( PDF ) Célula de comutação totalmente óptica em cristal fotônico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE

TELEINFORMÁTICA

ALMIR WIRTH LIMA JUNIOR

CÉLULA DE COMUTAÇÃO ÓPTICA EM CRISTAL

FOTÔNICO

Fortaleza-Ceará

2010

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Autor: ALMIR WIRTH LIMA JUNIOR

CÉLULA DE COMUTAÇÃO ÓPTICA EM CRISTAL

FOTÔNICO

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia

de Teleinformática, (PPGETI) da Universidade Federal do Ceará, como parte dos

requisitos para a obtenção do título de Doutor em Engenharia de Teleinformática.

Orientador: Prof. Dr. ANTONIO SÉRGIO BEZERRA SOMBRA

Fortaleza-Ceará

2010

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DEDICATÓRIA

Dedico esta Tese aos meus filhos, Almir, Stefan e Pedro, e Esposa, bem como a

toda a minha Família, e Amigos, especialmente, pelo carinho e apoio em todos os

momentos difíceis.

AGRADECIMENTOS

Ao meu Orientador, Prof. Dr. Antonio Sérgio Bezerra Sombra, pela sua atenção,

apoio, e dedicação durante todo o processo de elaboração, e apresentação dessa

Tese.

Aos professores e colegas do PPGETI pela amizade, e lealdade demonstrada

durante o curso.

Ao Prof. Dr. Márcio Gomes da Silva, a quem devo grande parte da base teórica

adquirida no assunto, durante a sua orientação no Mestrado.

RESUMO

Apresentamos o ciclo completo de projetos e analises de acopladores ópticos

embutidos em cristais fotônicos (PhCs) e selecionamos o acoplador PhC mais

apropriado para operar em comutadores totalmente ópticos nas bandas C, L e U do

“International Telecommunication Union – ITU” (1530 – 1675nm).

Analisamos e propusemos uma célula de comutação totalmente óptica baseada em

acoplador direcional embutido em cristal fotônico (PhC), a qual é acionada através

através de um sinal de comando óptico externo. Com o intuito de obtermos o menor

comprimento de acoplamento possível, nós analisamos diversos tipos de projetos

referentes a esses dispositivos.

A análise desses diferentes projetos demonstrou a dependência do comprimento de

acoplamento e da faixa operacional em relação ao raio das hastes dielétricas das

interfaces e da região central do acoplador.

Finalmente, mostramos todos os detalhes do acoplador direcional mais apropriado

para operação como célula comutadora em um comutador totalmente óptico

trabalhando nas bandas C, L e U do ITU. Essa célula comutadora é controlada através

de um sinal de comando óptico externo, o qual possui potência óptica relativamente

baixa. O comprimento de acoplamento mínimo desse dispositivo (estado direto) é

37μm.

Palavras-chaves: Acoplador Direcional Óptico, Cristais Fotônicos (PhCs),

Comprimento de Acoplamento, Comutadores Ópticos, Intervalo de Faixas Fotônicas

(PBG), Região de Acoplamento, Relação de Dispersão.

ABSTRACT

We present the complete cycle of projects, and analysis of optical directional

couplers embedded in photonic crystals (PhCs), and selected the more appropriate

PhC coupler to operate in all-optical switches in the bands C, L, and U of the ITU (1530

- 1675nm).

We analyze and propose an all-optical switching cell based on directional coupler

embedded in photonic crystal (PhC), which is driven by an external command signal. In

order to obtain the lowest possible coupling lengths we analyzed several projects of

such devices.

The analysis of these different projects demonstrated the dependence of the

coupling length and of the operating range, regarding to the radius of the dielectric rods

of the interfaces and of the coupler central region.

Finally, we showed all the details of the directional coupler more suitable for

operation as switching cell in an all-optical switch worwing over the C, L, and U bands

of the ITU. This switching cell is controlled by an optical external command signal,

which has relatively low optical power. The minimum coupling length of this device (bar

state) is 37μm.

Key-words: Coupling Length, Coupling Region, Dispersion Relations, Optical

Directional Coupler, Optical Switches, Photonic Band Gap (PBG), Photonic Crystals

(PhCs).

SUMÁRIO
INTRODUÇÃO........................................................................................................20
COMUTADORES ÓPTICOS (“OPTICAL SWITCHES - OXCs”).........................23
1 Visão Geral sobre OXCs e Redes Ópticas...................................................23
2 Comutadores Ópticos (“Optical Switch Fabrics”)..........................................28
2.1 Características dos Comutadores Ópticos.............................................28
2.2 Grandes Comutadores...........................................................................29
PROPRIEDADES BÁSICAS DOS CRISTAIS FOTÔNICOS (PhCs)..................35
1 Tipos de Cristais Fotônicos (PhCs)...............................................................35
2 Determinação dos Modos.............................................................................36
2.1 Simetrias para Classificação dos Modos................................................41
3 Cristais Fotônicos 1D ...................................................................................44
4 Cristais Fotônicos Bi-dimensionais (2D) ......................................................48
4.1 Intervalos de freqüência do Cristal Fotônico (PBG)...............................49
4.2 Parâmetros Estruturais ..........................................................................52
4.3 Placas PhC (“PhC Slabs”)......................................................................55
4.4 Configuração) de PBGs em Placas PhC................................................57
4.5 Alto versus Baixo Contraste de Índice de Refração em Placas PhC ....59
4.5.1 Alto Contraste do Índice de refração ..............................................59
4.5.2 Baixo Contraste do Índice de Refração ..........................................60
4.5.3 O Problema da Linha de Luz em Placas PhC.................................60
5 Fabricação de Cristais Fotônicos..................................................................63
5.1 Visão Geral.............................................................................................63
5.2 Fabricação de Cristais Fotônicos 3D......................................................66
CARACTERIZAÇÃO ÓPTICA DOS PhCs...........................................................72
1 Tecnologia “Fonte de Luz Interna” (Internal Light Source” -  (ILS))..............72
1.1 Princípio Experimental..............................................................................72
1.2 Normalização das Medições de Transmissão........................................73
1.3 Sintonia Litográfica.................................................................................73
1.4 Coleta de Sinais.....................................................................................74
1.4.1 Os Três Sinais..................................................................................74
1.4.2 Posição da Fonte Virtual..................................................................75
8

1.4.3 Distância de Excitação.....................................................................76
1.5 Estrutura da Amostra..............................................................................78
1.5.1 Estrutura Vertical do Guia de Onda.................................................78
5.1.2 Fonte de Luz Embutida....................................................................80
2 Configuração dos Testes..............................................................................82
3 Caracterização das Estruturas de Testes.....................................................85
3.1 Placas PhC.............................................................................................85
4 Modelo de Perda Óptica Fora do Plano........................................................89
4.1 Perdas Intrínsicas...................................................................................91
4.2 Perdas Devido à Profundidade Finita dos Buracos................................95
4.3 Perdas Devido ao Formato dos Buracos................................................97
4.3.1 Buracos Cilíndrico-Cônicos..............................................................97
4.3.2 Cones Truncados...........................................................................100
4.4 Modelo de Perdas para Estruturas Baseadas em GaAs.....................103
MÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS...........................................................105
1 Método “Plane Wave Expansion” 2D..........................................................105
1.1 Estruturas PhC 2D...............................................................................109
2 Método “Finite Difference Time Domain”....................................................112
3 Método de Propagação Binária (“Binary Propagation Method-BiPM”).......113
4 Método “Finite Element”..............................................................................114
PONTOS DE DEFEITO, GUIAS DE ONDAS E   ACOPLAMENTO DE SINAIS 
EXTERNOS EM PhCs..............................................................................................116
1 Pontos de Defeito........................................................................................116
2 Guiamento em Cristal Fotônico...................................................................118
2.1 Guias de Onda W1...............................................................................118
2.1.1 Perdas Ópticas em um Guia de Onda W1....................................125
2.1.2 Dispersões em um Guia de Onda W1...........................................129
2.2 Guias de onda W3................................................................................132
2.2.1 Determinação do Índice de Refração Efetivo usando-se a MSB. .133
3 Acesso ao PhC............................................................................................134
3.1 Acesso ao PhC Via Guias de Onda Convencionais.............................135
3.1.1 Visão Geral sobre o Acesso aos PhCs..........................................135
3.1.2 Detalhes do Acesso ao PHC Via Guias de Onda Convencionais.136
3.2 Acesso ao PhC Via Guias de Onda PhC.............................................138
9

5.3.2.1 Conicidade W5 para W1................................................................138
5.3.2.2 Conicidade W3 para W1................................................................140
5.3.3 Acesso ao PhC Tipo W3-W1 Via Incremento Gradual das Dimensões 
dos Buracos.......................................................................................................140
5.3.3.1 Variações devidas à Fabricação....................................................141
5.3.3.2 Perdas Fora do Plano ...................................................................144
6 ACOPLADORES ÓPTICOS DIRECIONAIS EM PhC ......................................146
6.1 Análise Matemática dos Acopladores PhC.................................................148
6.1.1 Método do Supermodo.........................................................................148
6.1.2 Método do Modo Acoplado...................................................................149
6.2 Acopladores em PhC com o Formato dos Buracos Alterados...................151
6.2.1 Modelagem...........................................................................................155
6.2.2 Fabricação e Medições.........................................................................158
6.3 Acopladores em PhC Comutados por Alteração da Condutividade...........161
6.3.1 Método de Comutação.........................................................................168
6.4 Acopladores em PhC com Controle de Comutação através de Efeitos Não 
Lineares.................................................................................................................169
  7   ACOPLADOR   COM   MELHOR   PERFORMANCE   PARA   OPERAÇÃO   NAS 
BANDAS C, L, E U DO ITU.......................................................................................173
CONCLUSÕES.....................................................................................................182
FUTURO TRABALHO...........................................................................................184
ARTIGOS RELACIONADOS COM A TESE.........................................................185
OUTROS ARTIGOS..............................................................................................186
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................188
10

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1.1. Elementos de uma rede óptica [2].......................................................22

Figura 1.2. Esquemático de um comutador 3D MEMS [2].....................................23

Figura 1.3. Interface Óptica Usuário/Rede O-UNI - (“Optical – User to Network

Interface”) [2]...............................................................................................................25

Figura 1.4. Operação conjunta de comutadores O-E-O inteligentes e comutadores

O-O-O [2].....................................................................................................................27

Figura 1.5. Arquitetura “Crossbar” de um comutador 4x4 utilizando 16 células de

comutação 2X2 [4].......................................................................................................30

Figura 1.6. Comutador do tipo sem bloqueio com reodenamento 8x8 obtido

através de 20 células de comutação 2x2 interconectadas através da arquitetura

Benes [5]......................................................................................................................31

Figura 1.7. Comutador do tipo sem bloqueio com reordenamento 8x8 obtido

através de 28 células de comutação 2x2, interconectadas através da arquitetura “n-

stage planar” sem cruzamentos de guias de ondas [4]..............................................32

Figura 1.8. Comutador 4x4 do tipo alto nível sem bloqueio obtido através de 24

células de comutação 1x2 e 2x1 interconectados através da arquitetura “Spanke” [4].

.....................................................................................................................................32

Figura 2.1. Ilustração esquemática de cristais fotônicos uni-dimensional, (1D), bi-

dimensional (2D), e tri-dimensional (3D) [6]). ............................................................35

Figura 2.2. Relação de dispersão referente a um plano de vidro com espessura

“a” e ε = 11,4................................................................................................................38

Figura 2.3. Configuração de dielétrico com simetria translacional discreta. A

unidade de repetição (célula unitária) está realçada através da caixa apresentada

[6]. .............................................................................................................................39

Figura 2.4. Estrutura de bandas para propagação na direção do eixo z (“on-axis”),

para três diferentes estruturas de PhC 1D [6]. ...........................................................44

Figura 2.5. Modos associados à PBG da parte central da figura 2.4 em k = π/a [6].

.....................................................................................................................................46

Figura 2.6. Estrutura de bandas referente a um filme multi-camadas (espelho de

Bragg) com constante de periodicidade a. .................................................................47

Figura 2.7. Parte lateral da estrutura porosa de um PhC 2D, com uma linha de

defeito. Os poros estão separados de 1,5μm, e possuem profundidade de 100μm

[9]). ..............................................................................................................................48

Figura 2.8. (a) Esquema de um PhC constituído por buracos de ar perfurados no

material dielétrico da placa dielétrica; (b) Esquema de um PhC constituído por

hastes dielétricas submersas no ar; (c) Configuração dos modos TE e TM dentro do

PhC, e definição da constante de periodicidade e dos índices de refração referentes

ao PhC.........................................................................................................................49

Figura 2.9. Vista esquemática de uma super-célula PhC contendo um defeito

(sombreada), repetida em ambas as direções............................................................50

Figura 2.10. Diagramas de banda de um PhC com estrutura triangular de buracos

de ar perfurados em material dielétrico para modos TE. ...........................................51

Figura 2.11. Estruturas direta, recíproca, e zona de Brillouin, incluindo os pontos

de simetria da zona irredutível da primeira zona de Brillouin referente a um PhC com

estrutura quadrada......................................................................................................52

Figura 2.12. Zona de Brillouin normatizada referente a um PhC com estrutura

quadrada.....................................................................................................................53

Figura 2.13. Estruturas, direta e recíproca, bem como a primeira zona irredutível

da primeira zona de Brillouin (estruturas triangulares)...............................................53

Figura 2.14. Perfil vertical da estrutura PhC planar [11].........................................55

Figura 2.15. Diagrama de faixa de um PhC 2D com indicação das linhas de luz do

ar, e do revestimento [11]............................................................................................56

Figura 2.16. Configuração das PBGs de estruturas 2D de buracos em uma matriz

dielétrica (ε = 11,4): a) Estrutura quadrada, b) Estrutura triangular [9]. ....................57

Figura 2.17. Primeira ordem das PBGs referentes a uma estrutura triangular de

buracos de ar em função de “f”, para diferentes constantes dielétricas do substrato

[9].................................................................................................................................58

Figura 2.18. Duas possíveis implementações de PhC 2D com alto contraste de

índice de refração........................................................................................................58

Figura 2.19. a) Representação esquemática da lei de Snell-Descartes, b)

Dispersão de modos guiados TE em uma placa dielétrica [9]. ..................................60

Figura 2.20. Relação de dispersão de uma estrutura triangular (Polarização TE).

.....................................................................................................................................61

Figura 2.21. Cristal Fotônico Bi-dimensional [17]...................................................62

Figura 2.22. “Holey Fibre” [18]. ..............................................................................62

Figura 2.23. Estrutura de Yablonovite elaborada através da perfuração de buracos

em um material cerâmico [19].....................................................................................63

Figura 2.24. Cristal Fotônico com estrutura “woodpile” [19]...................................64

Figura 2.25. Cristal Fotônico com estrutura do tipo opala inversa [19]..................64

Figura 2.26. Cristal Fotônico com estrutura em espiral quadrada tetragonal [22]. 65

Figura 2.27. Relação PBG/Freqüência media da PBG (Δω/ωg) da estrutura de

diamante, em função do contraste do índice de refração. .........................................66

Figura 2.28. Uma das primeiras estruturas PhC 3D do tipo “Yablonovite” com PBG

total [26].......................................................................................................................67

Figura 2.29. Estrutura “Woodpile” com PBG total, operando na região de

comprimentos de onda infra-vermelha [26 - 29].........................................................68

Figura 2.30. a) Estrutura tri-dimensional idêntica à do diamante (hastes ≈

ligações), proposta por S. G. Johnson et al. (MIT) [31]. b) Realização de acordo com

M. Qi e H. Smith (MIT).................................................................................................68

Figura 2.31. Chip desenvolvido por meio de opalas invertidas através de auto-

montagem [32, 33].......................................................................................................69

Figura 3.1. Configuração experimental para medições de transmissão em PhCs

[34]...............................................................................................................................72

Figura 3.2. Esquema do método ILS [9].................................................................74

Figura 3.3. Obtenção da posição da fonte virtual [9]..............................................75

Figura 3.4. Medição de um espectro de referência [9]...........................................76

Figura 3.5. a) Estrutura vertical da amostra de InP contendo 2 QWs (Poços

quânticos). b) Estrutura vertical da amostra de GaAs contendo 3 camadas QD

(Pontos quânticos). c) Perfil do modo guiado para o caso InP. d) Perfil do modo

guiado para o caso GaAs [40]. ...................................................................................77

Figura 3.6. Diagrama de propagação do modo 1 saindo da faceta.......................79

Figura 3.7. a) Sinal de fotoluminescência (PL) TE. b) Perdas modais (TE) do guia

de onda InP/GaInAsP tipo degrau [9].........................................................................79

Figura 3.9. Esquemático da configuração de operação experimental nas janelas

de 1,55μm, e 1μm [9]..................................................................................................82

Figura 3.10. Esquemático focalizando diferentes linhas coletoras fornecidas

através da configuração [9]. .......................................................................................83

Figura 3.11. Amostra de teste típica para caracterização básica de PhCs incluindo

cavidades 1D [9]..........................................................................................................84

Figura 3.12. Imagem de uma placa PhC orientada na direção , consistindo-se de

três blocos de 4, 8, e 10 linhas de buracos de ar, respectivamente. A seta mostra a

fonte de excitação típica (Ф = 4μm) [41].....................................................................85

Figura 3.13. Espectro de transmissão de um cristal com 4 e 8 filas de buracos

orientado nas direções e [9].....................................................................................86

Figura 3.14. Ilustração de forma simplificada das perdas fora do plano, causadas

pela ausência do confinamento vertical nos buracos.................................................88

Figura 3.15. Espectro de transmissão de PhC com 8 linhas , calculado via FDTD,

para diferentes valores de ε” (parâmetros: InP, polarização TE, f = 0,35) [9]............90

Figura 3.16. Configuração dielétrica 3D real [44]...................................................91

Figura 3.17. Esquema de PhC com buracos de profundidades finitas [45]. .........94

Figura 3.18. a) Fator de confinamento parcial plotado para três diferentes casos.

b) Parâmetro de perda εhole [45]...............................................................................95

Figura 3.19. Formato de buraco cilíndrico-cônico [45]...........................................96

Figura 3.20. Espectro de transmissão através de 8 linhas de PhCs orientados nas

direções e para a amostra da figura 3.21 [45]..........................................................98

Figura 3.21. a) Esquema micrográfico de uma amostra InP com formato de buraco

cônico, típico (Rhole = 200nm, f = 0,3). b) Dependência angular das perdas

induzidas dependentes do formato do buraco, para buracos estritamente cônicos [9].

.....................................................................................................................................99

Figura 3.22. Fotografia microscópica de uma amostra InP gravada através de ICP

(Rhole = 120 nm, f ≈ 0,5) [9]........................................................................................99

Figura 3.23. a) Esquemático de um buraco com formato de cone truncado. b) a

(d): perturbações parciais P1, P2, e P3, nas quais cada plugue radiante P pode ser

decomposto [48]........................................................................................................100

Figura 3.24. Plotagem do têrmo ε”hole em função do ângulo do cone α [48]. ....101

Figura 3.25. Espectro de transmissão através de oito linhas orientadas na

direção ......................................................................................................................102

Figura 3.26. Corte lateral de determinada estrutura PhC [9]................................103

Figura 4.1. Grade de malha de um PhC para formar um célula unitária no FDTD.

...................................................................................................................................111

Figura 4.2. Grade de malha de um PhC usando FEM. .......................................113

Figura 5.1. Frequência normalizada do modo na cavidade em função do raio da

cavidade [6]...............................................................................................................115

Figura 5.2. Configuração de campos elétricos dos modos em função do raio da

haste dielétrica [6].....................................................................................................116

Figura 5.3. (a) Relação de dispersão típica. (b) Velocidade de grupo (vg). (c)

Distribuição do campo modal em um PhCW1 [55]...................................................119

Figura 5.4. (a) Diminuição da frequência normalizada do modo “even” em função

da diminuição dos raios dos buracos de ar da primeira linha de buracos de ar. (b)

Aumento da frequência normalizada do modo “even” em função do aumento dos

raios dos buracos de ar da segunda linha de buracos de ar [55]. ...........................120

Figura 5.5. Abrindo um novo projeto através da janela “Model Navigator” do

COMSOL...................................................................................................................121

Figura 5.6. Configurando eixos e grades do projeto...........................................122

Figura 5.7. Configurando as condições de fronteira.............................................123

Figura 5.8. Obtenção dos campos modais se propagando no interior do PhCW1.

...................................................................................................................................124

Figura 5.9. Exemplo de perfil vertical de uma PCS perfurada com buracos de ar.

...................................................................................................................................125

Figura 5.10. Esquema do teste usado para medição de perdas ópticas em

PhCW1s embutidos em placas PhC [58]. ................................................................126

Figura 5.11. Relação de dispersão do PhCW1 [58].............................................126

Figura 5.12. Parte superior: espectro de transmissão para diferentes

comprimentos de PhCW1s (0,1, 0,4, 0,7 e 1,0mm). Parte inferior: espectro de perda

óptica do PhCW1 [58]...............................................................................................127

Figura 5.13. Esquema da estrutura PhC onde o PhCW1 está embutido.............128

Figura 5.14. Índice de refração de grupo versus comprimento de onda [54].......129

Figura 5.15. (a) Parâmetro GVD. (b) Parâmetro TOD. (c) Parâmetro FOD [54]..130

Figura 5.16. Relação de dispersão de um guia de onda W3 com os diferentes

modos suportados [59]. ...........................................................................................131

Figura 5.17. Posição simulada da MSB em função do índice de refração neff [59].

...................................................................................................................................132

Figura 5.18. (a) Determinação do índice efetivo de refração neff utilizando-se a

MSB medida em guias de onda. (b) Comparação entre simulações 2D com valores

encontrados e medidos [59]......................................................................................133

Figura 5.19. Acesso a um guia de onda PhC através de guias de onda

convencionais, e guiamento no PhC [59]..................................................................134

Figura 5.20. a) Acesso via guia de onda tipo “cume”. b) Acesso tipo guia de onda

tipo “rego” [59]..........................................................................................................135

Figura 5.21. Estrutura de acesso ao PhC para acoplamento da luz proveniente de

um fibra com extremidade cônica [59]......................................................................136

Figura 5.22. (a) Fotografia micrométrica (SEM) da transição “rego”/“cume”. (b)

Simulação da transmissão referente ao acesso, incluindo a transição “rego”/“cume”

[59].............................................................................................................................136

Figura 5.23. (a) Modos em um guia de onda W5. (b) Modos “even” e “odd” em um

guia de onda W [59]..................................................................................................137

Figura 5.24. (a) Esquemático de acesso via conicidade por etapas (W5-W3-W1).

(b) Comparação entre diferentes métodos de simulação em termos de transmissão

de potência referente ao acesso W5-W3-W1. (Material: InP3, f = 0,40) [59]. .........138

Figura 5.25. Transmissão medida (gráfico superior) e simulada 3D (gráfico

inferior) para o acesso tipo conicidade em etapas W5 para W1. (Material: InP3, f =

0,40) [59]...................................................................................................................138

Figura 5.26. Simulações MMP 2D e FDTD 3D referentes a um acesso W3-W1.

(Material: InP1, f = 0,40) [59].....................................................................................139

Figura 5.27. Comportamento da transmissão referente aos tipos de acesso com

incremento dos diâmetros dos buracos linear, e geométrico. (Material: InP1, f = 0,40)

[59].............................................................................................................................140

Figura 5.28. Formato da conicidade mostrando as direções horizontal e vertical do

cone de acesso em uma estrutura PhC [59].............................................................141

Figura 5.29. Resultados de simulações para região de conicidade em etapas [59].

...................................................................................................................................142

Figura 5.30. Aprimoramento da eficiência de transmissão da região de acesso

com conicidade obtida em cinco etapas, através do efeito da conicidade vertical,

utilizando-se índices de refração maiores para os buracos menores. (Material: InP1, f

= 0,40) [59]................................................................................................................143

Figura 5.31. (a) Distribuição do campo H via FDTD 3D na entrada de uma região

cônica de cinco etapas. (b) Distribuição de ε” em função da posição do buraco. (c)

Simulação 2D para comparação com a simulação 3D (Matéria: InP1, f = 0,40) [59].

...................................................................................................................................144

Figura 6.1. a) Dispersão linear. b) Divisão dependente da freqüência. c) Regime

com os guias de onda desaclopados. .....................................................................145

Figura 6.2. Acoplamento direcional de acordo com o método dos supermodos. 147

Figura 6.3. Relação de dispersão de dois guias de onda acoplados...................148

Figura 6.4 Esquemático para obtenção das equações dos modos acoplados....150

Figura 6.5. Esquemático de um acoplador [65]....................................................151

Figura 6.6. Relação de dispersão do guia de onda otimizado com a faixa de

freqüência monomodo em torno de 88,7% da faixa proibida [65]. ..........................152

Figura 6.7. Diagrama de dispersão de um guia de onda W1 (linhas tracejadas), e

de um acoplador (linhas sólidas) [66].......................................................................153

Figura 6.8. (a) Esquemático de três projetos de acopladores PhC. (b) Simulações

PWE da faixa de operação e comprimento de acoplamento mínimo [66]................154

Figura 6.9. Simulações do campo Hz para os acopladores dos Projetos A e B [66].

...................................................................................................................................156

Figura 6.10. Comprimento de acoplamento em função da freqüência reduzida

[66].............................................................................................................................157

Figura 6.11. Fotografia micrométrica (SEM) de um acoplador PhC típico [66]. ..158

Figura 6.12. (a) Gráfico da potência transmitida normalizada para o estado direto

(quadrados cheios), e “cross” (quadrados vazios), versus comprimento do dispositivo

[66].............................................................................................................................159

Figura 6.13. Acoplador embutido cristal fotônico com estrutura triangular de

hastes dielétricas submersas em ar [73, 74].............................................................161

Figura 6.14. (a) Diagrama de dispersão para a estrutura mostrada na figura 6.13,

obtida usando-se os métodos PWE e FDTD. (b) Curvas de dispersão do sistema

CPhCW mostrado em (a). (c) Diagrama de dispersão para um sistema CPhCW

embutido em um PhC com estrutura triangular de buracos de ar perfurados em

dielétrico. (d) Curvas de dispersão CPhCW mostrado na parte (c) [1].....................164

Figura 6.15. Acoplador embutido em uma estrutura periódica de buracos de ar no

formato triangular [83, 84].........................................................................................166

Figura 6.16. Esquemático do acoplador controlado por comando externo [90]...169

Figura 6.17. Curva de dispersão do acoplador mostrado na Figura 6.16 [90].....169

Figura 6.18. Distribuição do campo elétrico dentro do acoplador obtido através do

método FDTD para u = 0,3281. (a) Regime linear. (b) Regime não linear. (c) Sinal de

controle para u = 0,285 [90]......................................................................................170

Figura 7.1. Esquemático do acoplador. ...............................................................172

Figura 7.2. Cálculo do comprimento de acoplamento..........................................173

Figura 7.3. Passagem do estado direto para o estado cruzado...........................174

Figura 7.4 (a). Intensidade do campo elétrico dos supermodos (u = 0.3127) e do

sinal de comando (u = 0,283). (b) Relação de dispersão do sinal de comando......174

Figura 7.5 (a). Distribuição do campo elétrico antes da inserção do sinal de

comando. (b) Distribuição do campo elétrico antes da inserção do sinal de comando.

Figura 7.6. a) Frequência normalizada versus . b) Comprimento de onda versus

n2. .............................................................................................................................176

Figura 7.7. Variação de em função do comprimento do acoplador.....................177

Figura 7.8. a) Potência óptica do sinal de comando. b) Variação do índice de

refração em função do comprimento do acoplador..................................................178

Figura 7.9. Transmissão em função do coeficiente de acoplamento...................180

Figura TF1. a) Escrita de dados na memória óptica. b) Leitura de dados da

memória óptica..........................................................................................................183

..............................................................................................................................186

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Parâmetros referentes às estruturas quadradas e triangulares de

PhCs............................................................................................................................57

Tabela 3.1. Modos verticais na estrutura heterogênea de GaAs. O comprimento

de extinção inclui o tunelamento no ar, e a absorção no núcleo com centro do

espectro em 1050nm. .................................................................................................81

Tabela 3.2 Visão geral dos resultados (f, ε’’) para placas PhCs baseadas em

GaAs............................................................................................................................90

Tabela 6.1 Comparação entre as dimensões dos buracos desejados, e fabricados,

bem como do impacto no comprimento de acoplamento via simulações PWE.......163

LISTA DE SÍMBOLOS

eff

– Área efetiva

a – Constante de periodicidade da estrutura do cristal fotônico

– Vetores da estrutura direta

– Vetores da estrutura recíproca

B – Densidade de fluxo magnético, parâmetro de XPM.

C – Capacitância

c – Velocidade da luz no vácuo

D – Densidade de fluxo elétrico

E – Campo elétrico, energia

G - Conjunto de vetores recíprocos

f – Fator de preenchimento, frequência

G- Condutância

H – Campo magnético

I – Corrente elétrica

i - (-1)

1/2

J- Densidade de corrente elétrica

j - (-1)

1/2

k – Número de onda

L – Indutância, comprimento

– Comprimento de acoplamento

m – Massa

n – Índice de refração

eff

– Índice de refração efetivo

– Índice de refração não linear

P – Potência

Q – Fator de qualidade

R – Resistência elétrica, espaçamento, refletividade

r – Função de periodicidade do Phc

T – Período, temperatura, Transmissividade

t – Tempo

u – Frequência normalizada

V – Tensão, Volume

- Volume da célula unitária

v – Velocidade de propagação

– Velocidade de fase

– Velocidade grupo

W – Densidade de potência, Vetor de Poynting

w – Frequência angular

X – Reatância

Y – Admitância

Z – Impedância

– Impedância característica

 – Fator de perda, ângulo

 – Constante de fase

- Parâmetro de não linearidade, constante de propagação

, K e M – Pontos de simetria da zona irredutível de Brillouin



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INTRODUÇÃO

Cristais fotônicos são estruturas periódicas de meio dielétrico em escala de

comprimento de onda. Essas estruturas com índice de refração periódico podem

ocasionar uma teoria de banda para fótons, semelhante ao que acontece com os

elétrons em uma estrutura atômica com potencial periódico. As propriedades

eletromagnéticas dos cristais fotônicos são completamente determinadas através das

soluções das equações de Maxwell.

Os cristais fotônicos (PhCs) são também conhecidos como “cristais PBG” ("Photonic

Band Gap Crystals"), ou seja, cristais fotônicos com intervalo de freqüência (faixa de

freqüência). Esses dispositivos conseguem refletir qualquer luz incidente, com

frequência dentro de uma determinada faixa de freqüências (PBG).

Existe uma grande variedade de tipos de PhCs. De forma grosseira, os PhCs

podem ser diferenciados uns dos dos outros, através da periodicidade de suas funções

dielétricas (periodicidade em uma, duas, ou três dimensões).

Atualmente, os componentes eletrônicos em modernos computadores são forçados

a operar em freqüências cada vez mais altas, o que ocasiona o aquecimento

demasiado dos componentes eletrônicos. Entretanto, o maior problema para a

eletrônica são os nós em redes de telecomunicações ópticas, uma vez que os

dispositivos eletrônicos não conseguem operar com grandes faixas operacionais de

freqüência e banda passante, principalmente, devido ao processo de

modulação/demodulação dos sinais. Portanto, pesquisadores em todo o mundo estão

se ocupando cada vez mais, no sentido de encontrar dispositivos ópticos, os quais

possam substituir componentes eletrônicos.

Os PhCs oferecem enormes possibilidades para modelagem do fluxo de luz.

Utilizando-se efeitos não lineares de PhCs, é possível a obtenção da operação do

dispositivo de forma eficiente em sistemas com altas freqüências e sujeitos a grandes

bandas passantes. Além disso, devido às dimensões nanométricas dos PhCs é

possível a integração desses dispositivos em pastilhas microscópicas (“chips” ópticos).

Podemos fazer a seguinte analogia entre semicondutores e PhCs: “os

semicondutores estão para a eletrônica, assim como os PhCs estão para a óptica

integrada.”

Comutadores ópticos maiores do que 2x2 (duas portas de entrada e duas portas de

saída) podem ser obtidos através de cascateamento de pequenos comutadores

organizados de forma correta.

Os acopladores direcionais foram estudados por muito tempo utilizando-se a óptica

clássica integrada. Entretanto, atualmente, os acopladores direcionais embutidos em

cristais fotônicos estão sendo estudados cada vez mais.

O objetivo desta Tese é desenvolver a teoria sobre os acopladores direcionais

ópticos embutidos em cristais fotônicos (CPhCs), para sua utilização como célula de

comutação em comutadores totalmente ópticos.

Tendo em vista que os modernos sistemas de comunicações ópticas DWDM

(“Dense Wavelength Division Multiplexing”), ou seja, multiplexação densa por divisão

de frequência, podem utilizar as bandas C, L e U do ITU (1530nm a 1675nm),

apresentamos os acopladores embutidos em cristais fotônicos, que demonstraram os

melhores desempenhos para operação nessa faixa de comprimentos de onda.

Projetamos e analisamos uma célula de comutação baseada nesses acopladores, a

qual é impulsionada através de um sinal de comando óptico externo com potência

óptica relativamente baixa. Diferentemente da maioria dos trabalhos apresentados na

literatura, que usa a condutividade induzida de forma elétrica ou óptica na região de

acoplamento entre os dois de guias de onda acoplados [1], o acoplador direcional que

estamos propondo está baseado na alteração do índice de refração efetivo, através de

efeitos não lineares.

Elaboramos diversas simulações nesses acopladores, para conseguirmos nossos

objetivos. Em nossas simulações foram utilizados os métodos PWE (“Plane Wave

expansion”), FDTD (“Finite Dimension Time Domain”), COMSOL (“Finite-Element”-FE)

e o Método de Propagação Binária (“Binary Propagating Method – BiPM), o qual é

baseado no MATLAB. O BiPM foi desenvolvido na própria U.F.C. Através dos nossos

estudos e simulações, chegamos ao acoplador, cujo desempenho, foi o melhor

possível para operação nas faixas C, L, e U do ITU (1530nm a 1675nm).

A apresentação da nossa tese é constituída por sete Capítulos. No Capítulo 1

detalhamos os comutadores ópticos (OXCs) utilizados em redes totalmente ópticas.

No Capítulo 2 mostramos as propriedades básicas dos cristais fotônicos, e no

Capítulo 3 descrevemos a caracterização óptica desses dispositivos. Esses dois

capítulos nos fornecem a teoria necessária sobre cristais fotônicos, de forma que

nos próximos capítulos passamos a escrever sobre o desenvolvimento de

dispositivos baseados em cristais fotônicos. Dedicamos o Capítulo 4 ao estudo dos

métodos numéricos utilizados em nossas simulações. O Capítulo 5 detalha os guias

de onda baseados em PhCs, incluindo o acoplamento de sinais externos. No

Capítulo 6 projetamos e analisamos diversos acopladores direcionais embutidos em

cristais fotônicos. O Capítulo 7 é dedicado ao acoplador selecionado como mais

apropriado para operação nas faixas C, L e U do ITU. Após o Capítulo 7 mostramos

nossas Conclusões com relação a esse nosso objetivo.

1 COMUTADORES ÓPTICOS (“OPTICAL SWITCHES -

OXCs”)

1.1 Visão Geral sobre OXCs e Redes Ópticas

As Operadoras de serviços de telecomunicações adotaram, principalmente nos

núcleos das suas redes de transporte (“backbones”), a multiplexação densa por

multiplexação de comprimento de onda (DWDM - “Dense Wavelength Division

Multiplexing”) para suprir imediatamente, a necessidade do rápido e enorme

incremento de taxas de transmissão (e conseqüentemente da banda passante). Essa

infra-estrutura baseada em comprimentos de onda proporcionou a nova geração de

redes totalmente ópticas.

Nas atuais redes totalmente ópticas foram introduzidos novos elementos de rede, a

fim de possibilitar as novas arquiteturas de redes com enormes bandas passantes. A

maior inovação em tais redes é o comutador óptico, o qual proporciona também a

inteligência do núcleo da rede totalmente óptica. Na Figura 1.1 estão detalhados os

elementos de uma rede totalmente óptica.

Figura 1.1. Elementos de uma rede óptica [2].

Os comutadores ópticos proporcionam a convergência das funções de transporte,

enorme banda passante, e inteligência da rede, a qual por sua vez permite a

distribuição eficiente de uma ampla faixa de dados, para a gerência da rede.

Todos os atuais tipos de aplicações, como, por exemplo, dados, voz, vídeo, tele-

medicina, e multímida em geral, bem como futuras aplicações podem ser

transportadas através dessa rede.

Os atuais comutadores ópticos podem ser do tipo O-E-O (Óptico – Elétrico –

Óptico), nas quais os sinais precisam ser convertidos para a forma elétrica,

comutados, e depois reconvertidos para a forma óptica, e do tipo O-O-O (Óptico –

Óptico – Óptico), nas quais todo o processamento é elaborado de forma óptica, sem

a necessidade de conversões óptico/elétrico/óptico. No segundo caso a rede é

denominada rede totalmente óptica (AON). Apesar de que os comutadores

totalmente ópticos proporcionam bandas passantes muito largas, possibilitando

taxas de transmissão da ordem de terabits, e mesmo assim alcançando menores

tempos de comutação, a inteligência do sistema ainda precisa ser elaborada através

de circuitos eletrônicos. Estudiosos, mundo afora, estão muito interessados na

evolução de novos “chips” ópticos, o que garantiria uma rede totalmente óptica.

Portanto, o atual estágio das redes exige um minucioso detalhamento da inter-

operacionalidade entre os comutadores O-E-O e O-O-O.

Entre outras tecnologias existentes, a tecnologia 3D MEMS (Micro-

Electromechanical System) é muito usada no atual momento. Essa tecnologia utiliza

mecanismos de controle para direcionar micro-espelhos em todas as direções (3D).

Os comutadores ópticos podem ser utilizados em redes DWDM, operando sobre

inúmeras fibras ópticas, onde cada uma dessas fibras ópticas pode transportar

centenas de comprimentos de onda ópticos (canais ópticos). O esquemático de um

comutador totalmente óptico baseado na tecnologia 3D MEMS está mostrado na

Figura 1.2.

Figura 1.2. Esquemático de um comutador 3D MEMS [2].

Um dos principais desafios para a tecnologia 3D MEMS trata-se do manuseio de

grandes número de espelhos, o que exige um minucioso controle do sistema de

comutação. O atual estágio, dessa tecnologia possibilita a fabricação de

comutadores ópticos na faixa de 256x256 a 1000x1000 portas ópticas bidirecionais.

Atualmente, estão projetados comutadores ópticos 3D MEMS com até 8000x8000

portas ópticas bidirecionais. Entretanto o número de portas ópticas é apenas uma

das características desses comutadores, uma vez que esses sistemas de

comutação precisam operar de forma independente das taxas de transmissão de

dados, e protocolos de redes adotados.

Nossa Tese apresenta células de comutação baseadas em acopladores

direcionais ópticos, os quais apresentam excelente desempenho, e devido ao seu

diminuto comprimento de acoplamento podem ser utilizados em chips ópticos.

As operadoras de telecomunicações estão entendendo os enormes benefícios

dos comutadores totalmente ópticos, de forma que a cada dia procuram por novas

idéias e tecnologias nessa área.

Os atuais comutadores ópticos possuem perdas de inserção entre 6 a 15 dBs,

dependendo do tamanho, da arquitetura com simples, ou múltiplos estágios

(detalhes mais a frente), bem como da tecnologia usada para a comutação dos

sinais ópticos. Quanto maior for o número de estágios de comutação maior é a

perda óptica. Portanto os dispositivos que operam em conjunto com esses

comutadores, como, por exemplo, roteadores DWDM precisam operar com altos

níveis de potência óptica, o que encarece o custo dos desses componentes de rede,

uma vez que tais dispositivos precisam possuir LASERs de alta potência óptica.

O atual estágio dos comutadores O-O-O requer um estudo criterioso por parte das

operadoras de telecomunicações, antes da decisão de implantação dos mesmos em

suas redes. Esses estudos devem levar em consideração as dispersões cromáticas,

dispersões de modo de polarização, não linearidades, degradação da dependência

de polarização, estreitamento das bandas passantes nos filtros WDM (Multiplexação

por Divisão de Comprimento de onda), “crosstalk”, e aumento de ruído na

amplificação.

A próxima geração de rede (NGN) precisa ser escalável e dinâmica. Vale

salientar, que uma rede dinâmica deve ser constituída por comutadores ópticos

introduzidos em uma arquitetura mista, a fim de suportar um número flexível de

serviços, restauração de rotas, e fácil acesso.

As atuais funções de gerenciamento de rede são proporcionadas através de

comutadores ópticos possuindo uma matriz de comutação eletrônica. Esses

comutadores O-E-O inteligentes permitem o gerenciamento das enormes bandas

passantes disponíveis na rede, e oferecem os tradicionais serviços de rápida

localização de falhas, bem como da ótima supervisão da sua performance. Apesar

de que os comutadores O-O-O proporcionam os serviços baseados em

comprimentos de onda, os comutadores inteligentes O-E-O podem suportar serviços

com grandes bandas passantes de até 2,5 Gbs. Os comutadores O-E-O inteligentes

conseguem superar as limitações dos comutadores O-O-O referentes a defeitos que

surgem na rede. Um comutador inteligente O-E-O combina a última geração de

hardware, com sofisticados softwares, com o intuito de melhor acomodar os

requisitos necessários das redes ópticas dinâmicas. A eletrônica dos comutadores

O-E-O não apenas possibilita o uso das tradicionais normas das redes SONET

(“Synchronous Optical Network”), como também aumenta a performance do

gerenciamento de tais redes, e possibilitam ainda a utilização de dispositivos de

diversos Fabricantes na mesma rede. A evolução dos comutadores inteligentes O-E-

O adicionou sua operação em redes com protocolos O-UNI (“Optical – User to

Network Interface”), conforme está detalhado na Figura 1.3, e GMPLS (“General

Multiprotocol Label Switching”).

Figura 1.3. Interface Óptica Usuário/Rede O-UNI - (“Optical – User to Network Interface”)

[2].

O GMPLS é um protocolo baseado no protocolo MPLS orientado a dados, o qual

aumenta a performance das redes roteadas. O GMPLS possui a intenção de

proporcionar os benefícios de roteamento de dados às grandes redes dinâmicas

operando com comutadores ópticos.

Uma alternativa para a implementação de redes ópticas é o uso de matriz de

comutação híbrida, a qual pode suportar tráfego por rajadas (“burst”) e a tradicional

comutação por circuito [3].

Os comutadores O-E-O inteligentes, usando matriz de comutação “switch fabric”

eletrônica, diminuem os riscos associados à implantação da nova tecnologia

totalmente óptica.

Não devemos pensar que a tecnologia O-E-O seja concorrente da tecnologia O-

O-O. Muito pelo contrário, os comutadores O-O-O serão introduzidos à medida do

desenvolvimento dessa nova tecnologia, de tal forma que essas duas tecnologias

são complementares, ou seja, essas duas tecnologias deverão permanecer juntas

ainda por um bom tempo, porém o processo de demultiplexação, conversão

óptico/elétrico, comutação do sinal elétrico, reconversão elétrico/óptico, e

multiplexação exige a utilização de centenas de chips, os quais necessitam de

espaço físico e potência.

Os comutadores O-O-O reduzem de forma significante o espaço físico e o

consumo de energia nas instalações das operadoras de telecomunicações. Note,

que atualmente um comutador O-O-O suportando 1000x1000 pode estar contido em

dois ou quatro gabinetes do equipamento. Cada um desses gabinetes requer 1 kW

ou menos de potência elétrica para o seu funcionamento. Para se ter uma idéia da

redução do espaço físico, um comutador SONET necessita de 25 a 32 gabinetes, e

cada um desses gabinetes requer 4 a 5 kW de potência elétrica para o seu

funcionamento, o que em outras palavras significa uma redução de 92% do espaço

físico nas dependências da operadora de telecomunicações e uma redução de 96%

de energia elétrica necessária para o funcionamento de tais dispositivos.

A evolução das atuais redes para as NGNs se dá de forma que acontecem

implementações paralelas de comutadores inteligentes O-E-O, ao invés de

dispositivos SONET, por exemplo, e comutadores O-O-O. As operadoras de

telecomunicações que possuem infra-estrutura para suportar serviços baseados em

canais ópticos (DWDM) deverão se as primeiras a instalar comutadores O-O-O.

Esses dois tipos de comutadores operando conjuntamente proporcionam o

crescimento ordenado , gerenciamento, e flexibilidade da rede, sem se correr o

risco de ocorrência de falhas no sistema.

A maioria dos atuais serviços das operadoras de telecomunicações está baseada

em grande banda passante e irão evoluir para suportar canais ópticos multiplexados,

os quais possibilitarão a seleção da taxa de transmissão desejada pelo cliente. O

incremento de instalação de comutadores O-E-O inteligentes e O-O-O nessas redes

está levando à migração para as NGNs ópticas, de acordo com o que está

apresentado na Figura 1.4.

Figura 1.4. Operação conjunta de comutadores O-E-O inteligentes e comutadores O-O-O

[2].

1.2 Comutadores Ópticos (“Optical Switch Fabrics”)

1.2.1 Características dos Comutadores Ópticos

O parâmetro mais importante de um comutador é o tempo de comutação [3].

Diferentes aplicações possuem diferentes requerimentos de tempo de comutação.

Abaixo mostramos outros parâmetros que devem ser levados em consideração na

avaliação de um comutador óptico [4].

1) Perda por inserção: Fração da potência do sinal perdida devido ao comutador.

Essa perda é medida em dBs, e precisa ser a menor possível. Adicionalmente, a

perda de inserção de um comutador deve ser aproximadamente igual para todas as

conexões de entrada/saída (uniformidade de perda).

2) “Crosstalk”: Razão entre a potência do sinal em uma determinada porta de

saída indesejada, e as potências dos sinais em todas as outras portas de entrada do

dispositivo, que não se referem à porta de entrada associada para comutação do

sinal para essa referida porta de saída. Essa razão deve ser a menor possível.

3) Razão de extinção (“Extinction ratio”, ou “ON – OFF switches”): Razão entre a

potência do sinal na porta de saída desejada quando na situação de comutação (“on

state”) e a potência de saída do sinal nessa porta de saída, quando na situação de

não comutação (“off-state”). Esta razão deve ser a maior possível.

4) Perda dependente da polarização (“Polarizatio-Dependent Loss” – PDL): Se a

perda no comutador não for igual para ambos os estados de polarização do sinal

óptico, esse comutador possui perda dependente da polarização. Os comutadores

devem possuir baixa PDL.

Outros parâmetros que devem ser levados em consideração são a confiabilidade,

escalabilidade, uso de energia, e resistência à temperatura. O termo escalabilidade

se refere à habilidade para se construir comutadores com grande número de portas,

sem perda de qualidade.

1.2.2 Grandes Comutadores

Comutadores maiores que 2x2 podem ser obtidos através do posicionamento

ordenado de pequenos comutadores. As principais considerações para obtenção de

grandes comutadores são os seguintes [4].

1) Quantidade de pequenos comutadores requeridos: Os comutadores ópticos

podem ser obtidos através de comutadores 2x2, ou 1x2 em cascata. Nesse caso o

custo total do comutador será obviamente função do número desses pequenos

comutadores o qual denominaremos de células de comutação. Entretanto esse não

é o único fator que afeta o custo total do comutador, uma vez que outros fatores,

como, por exemplo, conexões, emendas, e facilidade de fabricação.

2) Uniformidade de perda: Os comutadores podem possuir diferentes perdas,

para diferentes combinações de portas de entrada e de saída. Podemos obter a

medida da uniformidade de perda considerando-se o número máximo, e mínimo de

células de comutação contidas na trajetória durante a comutação do sinal, referente

a diferentes combinações de entradas/saídas, ou seja, o numero de células de

comutação deve ser constante para qualquer combinação de entrada/saída.

3) Número de cruzamentos: Os grandes comutadores ópticos podem ser

fabricados através da integração de múltiplas células de comutação em um único

substrato. Diferentemente do que ocorre nos circuitos eletrônicos integrados (ICs),

onde as conexões entre os diversos componentes precisam ser elaborados em

múltiplas camadas, na óptica integrada todas essas conexões precisam ser obtidas

em uma única camada através de guias de onda. Quando acontece o cruzamento

entre dois guias de onda são produzidos dois efeitos indesejáveis: perda de

potência, e “crosstalk”. Para se obter perda e “crosstalk” aceitáveis no comutador é

necessária a minimização, ou eliminação completa desses cruzamentos de guias de

onda.

4) Características de bloqueio: Existem dois tipos de comutadores: com bloqueio

(“blocking”) e sem bloqueio (“nonblocking”). Um comutador é do tipo sem bloqueio,

quando qualquer porta de entrada que não estiver sendo usada, pode ser conectada

a qualquer porta de saída que também não está sendo usada. Portanto, um

comutador sem bloqueio é capaz de realizar qualquer interconexão entre as portas

de entrada e saída. Quando não houver possibilidade de conexão entre uma, ou

mais portas de entrada e saída, o comutador é do tipo com bloqueio. A maioria das

aplicações requerem comutadores sem bloqueio.

Os comutadores do tipo sem bloqueio podem ser diferenciados, uns dos outros,

através da maneira de conseguir essa característica. Um comutador com alto

desempenho deve possuir alta sensibilidade e ser do tipo sem bloqueio. Nesse caso,

uma porta de entrada ainda não usada poder ser conectada a qualquer uma porta

de saída também, nesse momento, não usada, sem a necessidade de re-

roteamento de uma conexão já existente. Adicionalmente, se um comutador é do

tipo sem bloqueio, independentemente de uma regra de conexão, o mesmo é

denominado comutador sem bloqueio de alto nível. Um comutador do tipo sem

bloqueio, o qual utiliza o processo de re-roteamento de conexões a fim de alcançar a

propriedade sem bloqueio é denominado de comutador sem bloqueio por

reordenamento. O re-roteamento de conexões pode ou não ser aceitável,

dependendo da aplicação, uma vez que quando isso acontece, conexões existentes

precisam ser interrompidas, mesmo que rapidamente, a fim de que seja obtida uma

determinada conexão. A vantagem da arquitetura dos comutadores do tipo por

reordenamento é que os mesmos utilizam menos células comutadoras, quando

comparadas às arquiteturas referentes aos comutadores do tipo sem bloqueio de

alto nível. Por outro lado, a arquitetura dos comutadores do tipo por reordenamento

utilizam algoritmos de controle mais complexos, para que as conexões sejam

alcançadas. Entretanto, não se tratando de enormes comutadores esse aumento de

complexidade pode ser aceitável. A maior desvantagem dos comutadores do tipo

por reordenamento é que muitas aplicações não permitem o cancelamento da

conexão, a fim de que seja possível a elaboração de uma nova conexão, mesmo de

forma temporária.

As arquiteturas mais populares de grandes comutadores são as arquiteturas de

barra cruzada (“crossbar”) [4]. Abaixo detalhamos as principais arquiteturas de

grandes comutadores:

1) “Crossbar” - O comutador é obtido através de células de comutação 2x2. As

interconexões entre as portas de entrada e saída são obtidas através da seleção do

estado apropriado dessas células de comutação 2x2. A regra de conexão usada

estabelece que para se conectar uma porta de entrada a uma porta de saída, a

trajetória do sinal passa através das células de comutação 2x2 em fila, até atingir a

coluna que possibilita encontrar a porta de saída. A arquitetura “crossbar”,

apresentada na Figura 1.5 é do tipo sem bloqueio de alto nível.

Figura 1.5. Arquitetura “Crossbar” de um comutador 4x4 utilizando 16 células de

comutação 2X2 [4].

A menor trajetória ocorre através de 1 célula de comutação, enquanto a mais

longa ocorre através de 2n -1 ( n = número de linhas, ou colunas) células de

comutação, o que representa a principal desvantagem da arquitetura “crossbar”. Por

outro lado esse comutador pode ser fabricado sem cruzamentos.

2) Benes - A arquitetura Benes [5] proporciona comutadores do tipo não

bloqueante reordenado, conforme se pode constatar através da Figura 1.6. Trata-se

de uma das arquiteturas mais eficientes em termos de quantidade de células de

comutação 2x2 necessárias para a obtenção de grandes comutadores.

Figura 1.6. Comutador do tipo sem bloqueio com reodenamento 8x8 obtido através de 20

células de comutação 2x2 interconectadas através da arquitetura Benes [5].

Um comutador Benes nxn requer







2 log

n− 1



células de comutação 2x2,

onde n é uma potência de 2. A perda é a mesma para qualquer trajetória de

comutação dentro do comutador. Cada trajetória possui

2 log

n−1

células de

comutação 2x2. As duas maiores desvantagem dessa arquitetura são: não se tratam

de comutadores sem bloqueio de alto nível, e são necessários um determinado

número de cruzamentos de guias de onda, o que dificulta a fabricação desses

comutadores utilizando-se óptica integrada.

3) Spanke-Benes (Arquitetura Planar de n estágios) - Na Figura 1.7 mostramos

essa arquitetura, a qual trata-se de uma integração entre as arquiteturas “Crossbar”

e “Benes”, sendo do tipo sem bloqueio com reordenamento, requerendo [n(n-1)]/2

células de comutação 2x2.

Figura 1.7. Comutador do tipo sem bloqueio com reordenamento 8x8 obtido através de 28

células de comutação 2x2, interconectadas através da arquitetura “n-stage planar” sem

cruzamentos de guias de ondas [4].

A menor trajetória é n/2, e a maior é n. Não existem cruzamentos de guias de

onda. As principais desvantagens são: não se tratam de comutadores do tipo sem

bloqueio de alto nível, e a perda não é uniforme.

4) Spanke - Essa arquitetura é apropriada para grandes comutadores obtidos

através de tecnologia que não utiliza integração de células de comutação, conforme

está mostrado na Figura 1.8.

Figura 1.8. Comutador 4x4 do tipo alto nível sem bloqueio obtido através de 24 células de

comutação 1x2 e 2x1 interconectados através da arquitetura “Spanke” [4].

Esse comutador nxn desse tipo é obtido através da combinação de n células de

comutação 1Xn, e n células de comutação 2X1. Essa arquitetura requer 2n(n-1)

células de comutação (1x2, e 2X1), cada trajetória possui

2 log

células de

comutação.

2 PROPRIEDADES BÁSICAS DOS CRISTAIS

FOTÔNICOS (PhCs)

2.1 Tipos de Cristais Fotônicos

(PhCs)

Conforme parte da definição de cristais fotônicos inclusa na Introdução desta

Tese, os cristais fotônicos são estruturas periódicas de meio dielétrico em escala de

comprimento de onda.

Os PhCs podem ser diferenciados, de forma grosseira, através da periodicidade

de suas funções dielétricas (periodicidade em uma, duas, ou três dimensões),

conforme está mostrado na Figura 2.1. Para muitas aplicações, PhCs 2D e até 1D

com apenas uma pseuda PBG é suficiente.

Através da inserção de defeitos, conforme veremos mais adiante, os PhCs 1D

permitem a inserção de luz dentro da PBG, se propagando em apenas uma direção,

enquanto os PhCs 2D permitem a inserção de luz dentro da PBG se propagando em

um plano. Os PhCs 3D são também denominados de “isoladores fotônicos” em

analogia às estruturas eletrônicas. Da mesma forma que acontece nos PhCs 1D e

2D, devido a inserção de defeito nesses PhCs 3D, os fótons com energia dentro da

PBG podem penetrar no dispositivo, porém nesse caso podem se propagar em

qualquer direção.

Por outro lado, o grande confinamento dos modos guiados (dentro da faixa

permitida), proporciona o uso de PhCs em chips ópticos (integração óptica). Foi

demonstrado que apesar de que um intervalo de faixa fotônica (“Photonic Band Gap”

– PBG”) somente é possível em PhCs 3D, um PhC 2D combinado com um guia de

onda de índice de refração em degrau na sua direção vertical, oferece controle

suficiente da luz, de forma que esse PhC pode ser utilizado em aplicações de óptica

integrada. Ao contrário do acontece com os dispositivos ópticos integrados

convencionais, onde as medidas estão em milímetros, essa nova geração de

dispositivos PhC possuem medidas em nanômetros.

Existem dois tipos de redes ópticas na área de telecomunicações: comutadas por

pacotes, e multiplexadas por divisão de comprimento de ondas. O potencial dos

PhCs é interessantíssimo para o segundo, onde os inúmeros canais ópticos

precisam ser separados, combinados, comutados, redirecionados. Nosso trabalho

procura os acopladores direcionais ópticos embutidos em PhC, com melhor

desempenho para operação nas redes WDM.

A introdução de linha, ou ponto de defeito internamente aos PhCs proporciona

estados fotônicos permitidos, proporcionando, por exemplo, a criação de guias de

onda (modos guiados propagando-se na linha de defeito), e modos confinados em

um ponto de defeito (cavidades), respectivamente, dentro dos PhCs (Conforme está

detalhado na parte inferior da Figura 2.1).

Figura 2.1. Ilustração esquemática de cristais fotônicos uni-dimensional, (1D), bi-

dimensional (2D), e tri-dimensional (3D) [6]).

Na parte inferior esquerda da Figura 2.1 está detalhada a obtenção de cavidade

óptica, e na parte inferior direita um guia de onda dentro de um PhC.

2.2 Determinação dos Modos

Partindo-se das equações de Maxwell, podemos separar a dependência temporal da

dependência espacial através da expansão dos campos em um conjunto de modos

harmônicos (variando de forma senoidal com o tempo), uma vez que as análises de

Fourier proporcionam a obtenção de qualquer solução em função da combinação desses

modos harmônicos. Os modos harmônicos acima referidos são denominados

simplesmente de “modos”, ou “estados”.

Vamos utilizar as expressões matemáticas complexas referentes aos campos, elétrico,

e magnético, as quais possibilitam a determinação dos modos harmônicos como um

padrão espacial (perfil do modo), multiplicado por uma exponencial complexa:



r ,t







−iwt

, (2.1)



r , t







−iwt

. (2.2)

Lembre-se que a parte real das equações acima determina fisicamente o modo, e que

nesse caso esses modos são constituídos por ondas eletromagnéticas transversais.

As equações (2.3) e (2.4) fornecem o relacionamento entre os campos, elétrico, e

magnético em um material dielétrico:

∇ xE





−iw μ





, (2.3)

∇ xH





iw ε









. (2.4)

Através de manipulações matemáticas chega-se à Equação fundamental dos modos

magnéticos

∇×





∇×H













. (2.5)

Depois da obtenção dos modos magnéticos podemos utilizar a equação (2.4) para

encontrar os modos elétricos





wε





∇ xH





. (2.6)

Qualquer solução H(r) referente à Equação fundamental (2.6) será na forma de

constante multiplicada pela função original H(r) (problema de auto-valores), sendo essa

solução denominada de auto-função, ou auto-vetor, e a constante que a está

multiplicando é denominada de auto-valor.

Os auto-vetores H(r) são os padrões espaciais dos modos harmônicos e os auto-

valores são determinados por w/c

. Levando-se em consideração que a Equação

fundamental dos modos pode ser representada através de operador Hermitiano

demonstra-se que os auto-valores acima referidos são números reais.

A Equação (2.7) determina o fluxo médio de energia eletromagnética na direção S por

unidade de tempo, e por unidade de área (intensidade da radiação) para um campo

variando de forma harmônica com o tempo

[

E xH

]

. (2.7)

A razão entre o fluxo de energia e a densidade de energia define a velocidade

de transporte de energia, para um meio considerado sem perdas, com dispersão

material pequena e para vetor de onda (k) real. Lembre-se que sendo o meio,

homogêneo e isotrópico, k é a direção na qual a onda se propaga, o que não é

necessariamente verdadeiro tratando-se de um meio periódico. Nesse caso, a

direção e a velocidade da energia eletromagnética são determinadas através do

vetor velocidade de grupo (v

), o qual é função do índice de refração e do vetor de

onda (k).

Um sistema que possui simetria translacional contínua em todas as três

direções, como, por exemplo, um guia de onda plano com as extensões de x e y

muito maiores que z, é um meio homogêneo, onde ε(r) é constante e nesse caso

os modos magnéticos, por exemplo, possuem a seguinte forma:





ikr

. (2.8)

Na Equação (2.9) H

é um vetor constante e Hk(r) são ondas planas

polarizadas na direção de H

com a restrição k.H

= 0, devido ao fato de que os

modos são transversais. Essas ondas planas são na realidade soluções da

equação fundamental dos modos com auto-valores





∣k∣

. Podemos

classificar uma onda plana através do seu vetor de onda, o qual especifica como o

modo é transformado através de uma operação contínua de translação.

Vamos agora, considerar um meio periódico em z onde ε varia apenas na

direção z. Nesse caso podemos classificar os modos de acordo com os vetores de

onda “in-plane” (

k =k

xk

y

), dentro do plano (x,y)). Nesse caso:





ik ρ





. (2.9)

Na Equação (2.9) o vetor de posicionamento ρ está localizado no plano (x,y) e

a função h(z), a qual depende de k, não pode ser determinada através dessa linha

de raciocínio, uma vez que o sistema não possui simetria translacional na direção

Podemos classificar os modos através de seus valores k, alinhando-se em

ordem crescente de freqüência para um determinado valor de k. Vamos

denominar a linha gráfica em que se encontram os modos referentes a todas as

freqüências de banda. Como existem várias bandas, classificamos essas bandas

através do numero “n”. Portanto, “n” é número da banda. Quanto maior for “n”

maiores são as freqüências dos modos da banda. Dessa forma, qualquer modo

existente no sistema pode ser localizado através de (k,n). Quando existe uma

degenerecencia precisamos incluir um índice adicional aos modos com o mesmo

(k,n).

Na Figura 2.2 estão plotados os gráficos das bandas existentes em guia de

onda planar de vidro (diagrama de bandas, ou relação de dispersão), os quais

foram calculados a partir da equação fundamental dos modos.

Figura 2.2. Relação de dispersão referente a um plano de vidro com espessura “a” e ε =

11,4.

Na Figura 2.2 as

linhas azuis correspondem aos modos que estão localizados

dentro do vidro. A região azul representa uma continuidade de estados (modos)

que se estendem tanto no vidro, quanto no ar em torno do guia de onda. A linha

azul é linha de luz (w = ck). Os gráficos acima mostram apenas os modos com

polarização em uma direção, na qual o modo H é perpendicular às direções z, e k

[6].

É importante se afirmar que os componentes do vetor de onda ao longo de

direções de simetria em um sistema com simetria translacional contínua são

quantidades conservadas.

Os cristais fotônicos não possuem simetria translacional contínua, porém se

caracterizam pela simetria translacional discreta que apresentam, ou seja, os PhCs não

são invariáveis ao sofrerem translações em relação a qualquer distância, porém possuem

simetria em relação a determinadas distâncias múltiplas de algum comprimento padrão.

O exemplo mais simples de uma estrutura PhC é um sistema constituído por uma

estrutura que periódica em uma direção, conforme está mostrado na Figura 2.3.

Figura 2.3. Configuração de dielétrico com simetria translacional discreta. A unidade de

repetição (célula unitária) está realçada através da caixa apresentada [6].

Esse sistema possui simetria translacional contínua na direção x, porém na direção y

possui simetria translacional discreta. O comprimento de repetição (a) é denominado

constante de estrutura e o vetor associado é denominado de vetor primitivo de estrutura. (

a=a y

) Devido à simetria translacional discreta podemos afirmar que





=ε



r±a



Generalizando para todo o sistema temos que





=ε



rR



, onde R é um número

inteiro múltiplo de “a”, ou seja, R = l.a, onde l é um número inteiro. Podemos observar que

a célula unitária mostrada na Figura 2.3 possui largura “a”. As “eigenfunctions” desse

sistema são ondas planas.

Observe que nem todos os valores de k

possuem diferentes valores. Na realidade,

demonstra-se, que os modos da forma

m



2π /a



, onde m é um número inteiro,

constitui um conjunto de modos degenerados. Aumentando-se k

através de número

inteiro múltiplo de b = 2π/a, o modo não é alterado. Denomina-se



b=b



de vetor

primitivo recíproco de estrutura. Podemos admitir que esses modos são ondas planas

moduladas através de uma função periódica (devido à periodicidade da estrutura –

Teorema de Bloch) e são denominados modos de Bloch. Os modos k

que diferem

através de de números inteiros múltiplos de “b” não são diferentes sobre o ponto de vista

físico. Portanto, esses modos também são periódicos (







mb



. Na realidade,

precisamos considerar apenas os k

existentes na faixa

−π /ak

≤π /a

. A região que

contêm todos os valores não redundantes de k

é denominada de zona de Brillouin.

2.2.1 Simetrias para Classificação dos Modos

Um sistema com simetria translacional contínua no espaço livre (ε = 1) possui modos

com a forma







k . r



, onde H

é um vetor constante. Portanto, podemos afirmar

que são ondas planas polarizadas na direção de H

. Levando-se em consideração o

requerimento da transversalidade, temos que k.H

= 0. Observe que na realidade essas

ondas planas são soluções da Equação fundamental, com auto-valores (w/c)

= k

Podemos classificar as ondas planas através de k, determinando-se dessa forma o

comportamento dos modos sob operações de translação.

Da mesma forma que acontece com os átomos de uma estrutura cristalina, os cristais

fotônicos também não possuem simetria translacional contínua, e sim simetria

translacional discreta. Portanto, os cristais fotônicos não são invariantes sob translações

referentes à quaisquer distâncias. Entretanto, para distâncias múltiplas de algum

determinado comprimento (constante de periodicidade) esses dispositivos são invariantes

sob translações. A estrutura mais simples dessa estrutura está mostrada na Figura 2.3.

Essa estrutura se consiste de camadas alternadas de alto e baixo índice de refração. A

distância entre cada célula unitária é definida como constante de periodicidade (ou de

estrutura), da mesma maneira que ocorre na física dos semicondutores.

Note que nesses sistemas existe simetria translacional contínua na direção x, porém

na direção y existe apenas simetria translacional discreta. Vamos adotar a nomenclatura

internacional para a constante de estrutura (“a”). O vetor básico é denominado vetor

primitivo da estrutura, o qual nesse caso é a = ay, onde y é vetor unitário na direção y. De

acordo com o acima detalhado, ε(r) = ε(r + a). Repetindo-se essa translação constatamos

que ε(r) = ε(r + R), para qualquer número R integral múltiplo de a (R = n.a, onde n é um

número inteiro).

Podemos classificar os modos determinando-se k

e k

. Entretanto, nem todos os

valores de k

proporcionam diferentes auto-valores. Na realidade, todos os modos com

vetores de onda da forma k

+ m(2π/a), onde m é um número inteiro forma um conjunto

de modos degenerados, ou seja, possuem o mesmo auto-valor. Multiplicando-se ky por

um número múltiplo de 2π/a o modo assim encontrado possue o mesmo estado.

Denomina-se b = b.y como vetor recíproco da estrutura. Levando-se em consideração

que qualquer combinação linear dessas auto-funções degeneradas é também uma auto-

função com o mesmo auto-valor, podemos fazer combinações de modos para expressar

um determinado modo, de forma que:

, k





∑







m



∑





imby

= e



v , z



, (2.10)

onde os coeficientes de expansão (“c”) que serão determinados através de solução

explícita, e u(v,z) é uma função periódica em y. Podemos mostrar que u(v + n.a),z) =

u(v,z). Esse resultado é denominado de teorema de Bloch.

Uma conseqüência essencial dos estados de Bloch é que os modo de Bloch com

vetores de onda k

+ m.b são idênticos. Os k

s que diferem através de b = 2π/a não são

diferentes sob o ponto de vista físico. Portanto, as freqüências dos modos também são

periódicas em k

(w(k

) = w(k

+ m.b). Isto acarreta que na realidade precisamos

considerar k

apenas na faixa – π/a < ky ≤ π/a. Essa região possue valores de k

denomina-se zona de Brillouin.

A zona de Brillouin para a estrutura mostrada na figura 2.3 pode ser considerada a

partir da estrutura original do PhC, porém no espaço k. Portanto, se coincidirmos ambos

os espaços, podemos dizer que a célula unitária corresponde à zona de Brillouin, de

forma semelhante ao que acontece na física do estado sólido. A zona irredutível de

Brillouin contêm todos os possíveis auto-vetores permitidos na estrutura, conforme já

detalhamos anteriormente.

Vale salientar, que os cristais fotônicos 3D também apresentam essas mesmas

características. Nesse caso o dielétrico é invariável sob translações através de

combinações de vetores R nas três dimensões. Qualquer vetor da estrutura original

(direta) pode ser determinado através de combinações particulares dos três vetores

primitivos da estrutura (a

), ou seja, cada R = la

+ ma

+ na

, onde l, m e n são

números inteiros. Os vetores (a

) são usados para a determinação dos vetores

primitivos (b

) da estrutura recíproca utilizando-se

. b

=2 πδ

. A estrutura

recíproca formada pelos vetores recíprocos determina os vetores de onda.

Os modos de uma estrutura periódica tri-dimensional são estados de Bloch, os quais

podem ser determinados através de k = k

+ k

, de forma que k está localizado

na zona de Brilloiun. Cada valor do vetor de onda k dentro da zona de Brillouin idenfica

um auto-estado da Equação fundamental, com freqüência w(k) e auto-vetor H

da forma:







k. r







, (2.11)

onde u

(r) é uma função periódica na estrutura: u

(r) = u

(r + R) para todos os vetores R

da estrutura.

Os cristais fotônicos podem possuir outros tipos de simetrias além da translação

discreta. Por exemplo, um determinado cristal pode ser também invariável após uma

rotação, uma reflexão em espelho, ou após uma inversão.

Na existência de simetria rotacional w

(Rk) = w

(k). Portanto, quando existe simetria

rotacional na estrutura, as bandas de freqüência wn(k) possuem redundâncias adicionais

dentro da zona de Brillouin. De forma semelhante, podemos mostrar que quando um

cristal fotônico possue simetria de rotação, reflexão em espelho, ou inversão, as funções

wn(k) também possuem simetrias. Essa coleção particular de operações de simetria

(rotações, reflexões, e inversões) é denominada de ponto de grupo do cristal.

Levando-se em consideração que w

(k) possui todas as simetrias do ponto de grupo,

não precisamos considerar todos os pontos k pertencentes à zona de Brillouin. A menor

região dentro da zona de Brillouin onde w

(k) não está relacionado através de simetria é

denominada zona irredutível de Brillouin, a qual possui formato triangular, com área igual

a 1/8 da área da zona total de Brillouin. Observe que a área dentro da zona de Brillouin,

porém fora da zona irredutível possui redundâncias.

É importante afirmarmos que a simetria de reflexão em espelho é muito importante

para o desenvolvimento da teoria dos cristais fotônicos. Sob determinadas condições

essa simetria possibilita a separação da Equação de auto-valor, encontrada através da

Equação fundamental, em duas equações separadas, sendo uma para cada tipo de

polarização. Existem duas possibilidades: Uma dessas possibilidades proporciona H

perpendicular ao plano do espelho e aoutra E

paralela ao mesmo. A outra possibilidade

proporciona K

está no plano e E

é perpendicular. Essa simplificação ocasiona

informações imediatas sobre as simetrias dos modos, bem como facilita o cálculo

numérico de suas freqüências.

Os cristais fotônicos 2D são periódicos em um plano e uniforme ao longo do eixo

perpendicular a esse plano, o qual é denominado de eixo z. A operação z → -z é uma

simetria do cristal para qualquer origem. Temos também que M

= k

para todos os

vetores de onda em k

, na zona de Brillouin referente a cristais fotônicos 2D. Portanto, os

modos de todos os cristais 2D podem ser classificados em duas distintas polarizações

, E

, H

, ou H

, H

, E

). Quando o campo elétrico está confinado no plano x-y o modo é

denominado transversal elétrico (TE). Por outro lado, quando o campo magnético está

confinado no plano x-y o modo é denominado transversal magnético (TM).

Finalmente, também podemos mostrar que w

(k) = w

(-k) para qualquer cristal

fotônico. Levando-se em consideração que o conjugado de H

é equivalente à inversão

do sinal em relação ao tempo nas equações de Maxwell, podemos dizer que a relação

acima apresentada é uma conseqüência da simetria de inversão do tempo nas equações

de Maxwell.

2.3 Cristais Fotônicos 1D

Um tipo de PhC 1D, conhecido como PhC de empilhamento multi-camada, ou

PhC espelho de Bragg, já foi estudado no início do século XX. Trata-se de uma

estrutura constituída por múltiplas camadas alternadas com diferentes índices de

refração, nos quais a espessura óptica de cada camada corresponde a um quarto

do comprimento de onda no vácuo (“vacuum quarter-wave”). Essas estruturas são

de relativamente fácil fabricação, através da deposição de camadas alternadas de

dois diferentes materiais no substrato. O refletor de Bragg foi utilizado em várias

aplicações, desde espelhos dielétricos para LASERs de alta potência, até

LASERs Semicondutores de Cavidades de Superfície Emissora (VCSELs).

Vamos analisar a estrutura de bandas desse dispositivo, de forma que as

soluções encontradas podem servir de base para PhCs 2D e 3D.

Considerando-se que esse dispositivo é periódico na direção z e homogêneo

no plano (x,y), vamos classificar os modos através de k

, k

e n. Os vetores de

onda especificam a maneira que os modos se transformam sob os efeitos dos

operadores de translação, e como o número de banda cresce em função da

freqüência. Podemos escrever os modos de Bloch da seguinte forma:

n , k

, k

∣∣





=ei

∣∣

n ,k

, k

∣∣





. (2.12)

A função u(z) é periódica, de forma que u(z) = u(z + R), sendo R um número

inteiro múltiplo da periodicidade do sistema (a). Tendo em vista que esse cristal

possui simetria translacional no plano (x,y), o vetor k

pode assumir qualquer

valor. Entretanto, o vetor k

possui valor dentro de um intervalo finito no interior da

zona de Brillouin, uma vez que o cristal possui simetria translacional discreta na

direção z. Admitindo-se que o vetor primitivo da estrutura é

a . z

, então o vetor

recíproco primitivo da estrutura é dado por



2π /a



. z

e a zona de Brillouin é

−π /ak

≤π /a

Levando-se em consideração apenas as ondas que se propagam na direção z,

as quais cruzam as camadas periódicas em relação a ε em incidência normal,

apenas o componente k

deve ser considerado, e dessa forma podemos usar k

em lugar de k

Na Figura 2.4 mostramos w

(k) para três diferentes tipos de filme multi-camada

(ou espelho de Bragg).

Figura 2.4. Estrutura de bandas para propagação na direção do eixo z (“on-axis”), para três

diferentes estruturas de PhC 1D [6].

Em todos os três casos, cada camada possui espessura de 0,5a. A Figura

2.4(a) se refere a um cristal com constante dielétrica fixa (ε = 13). Na Figura 2.4(b)

mostramos um dispositivo com camadas alternadas de ε entre 13, e 12. Na Figura

2.4(c) exibimos um espelho de Bragg com camadas alternadas de ε entre 13, e 1.

Portanto, a Figura 2.4(a) refere-se a uma estrutura homogênea, para a qual foi

atribuída uma periodicidade arbitrária a. Entretanto, em uma estrutura

homogênea, a velocidade da radiação é reduzida de acordo com o índice de

refração, e dessa forma os modos estão localizados ao longo da linha de luz (







Tendo em vista que os valores de k se repetem fora da zona de Brillouin, a

linha de luz retorna à zona de Brillouin, quando a mesma chega à extremidade

dessa zona de Brillouin, o que nos permite visualizar a repetição dos valores de k

+ 2π/a, os quais são simplesmente “renomeados” para k. A estrutura referente à

Figura 2.4(b) possui periodicidade com pequeno contraste de índice de refração.

Nesse dispositivo existe uma PBG de freqüências, entre a parte superior e a parte

inferior da linha de luz, o que significa dizer, que nenhum modo pertencente a

essa PBG pode penetrar no dispositivo. Esse intervalo é denominado de intervalo

de faixa fotônica (“photonic band gap - PBG”). A parte direita dessa figura se

refere a um dispositivo com alto contraste de índice de refração, indicando que

nesse caso a PBG é muito mais larga que no caso anterior.

A aparição da PBG acontece na extremidade da zona de Brillouin (k = π/a),

porque para k = π/a os modos possuem comprimento de onda λ = 2a. Existem

duas maneiras de se posicionar esses modos, sendo a primeira delas posicioná-

los em cada camada com baixo ε, conforme está mostrado na Figura 2.5(a). A

outra alternativa seria posicioná-los em cada camada com alto ε, conforme

indicado na Figura 2.5(b). Qualquer outro posicionamento desses modos iria violar

a simetria da célula unitária em relação ao seu centro.

Tendo em vista que os modos com freqüências mais baixas concentram sua

energia nas regiões com ε mais alto, e que os modos com freqüências mais altas

possuem grande parte de sua energia (embora não necessariamente a maior parte)

nas regiões com ε mais baixo, os modos da parte inferior, por exemplo, do gráfico

mostrado na Figura 2.4(b), (menores freqüências) possuem a maior parte de sua

energia concentrada na região com ε = 13, conforme indicado na Figura 2.5(c). Por

outro lado acontece exatamente o inverso no que se refere à parte superior do

gráfi

co, onde os modos possuem a maior parte de sua energia concentrada na

região com ε = 12, conforme está indicado na Figura 2.5(d).

Figura 2.5. Modos associados à PBG da parte central da figura 2.4 em k = π/a [6].

Na Figura 2.5 (a) vemos o campo elétrico referente à banda 1. Na Figura 2.5 (b)

podemos bsevar o campo elétrico referente à banda 2. A Densidade de energia

elétrica (ε|E|

/8π) da banda 1 está indicada na Figura 2.5 (c) e a densidade de

energia elétrica da banda 2 está mostrada na Figura 2.5 (d). A parte azul na Figura

2.5 indica a região com maior constante dielétrica [6].

Tendo em vista que nos PhCs 2D e 3D na maioria dos casos a região com

menor índice de refração é o ar, as bandas acima e abaixo da PBG são

denominadas de banda do ar (“air band”), onde está concentrada a maior parte da

energia dos modos com maiores freqüências, e de banda do dielétrico (“dielectric

band”) respectivamente, onde está concentrada a maior parte da energia dos

modos com menores freqüências.

Para estruturas com alto contraste de índice de refração, de acordo com o que

está apresentado na Figura 2.4(c), também acontece o mesmo fenômeno acima

detalhado, porém nesse caso a energia dos modos em ambas as bandas está

concentrada em sua maior parte na região de alto índice de refração, porém a

primeira banda possui maior concentração de energia nessa região que a

segunda banda. Entretanto, da mesma forma, surge uma PBG devido à diferença

da localização da energia do campo elétrico. As denominações das bandas,

inferior e superior, continuam sendo “dielectric band” e “air band”,

respectivamente.

Portanto, conforme já detalhamos acima, em dispositivos 1D, qualquer

contraste de índice de refração provoca a abertura de PBG. Entretanto, quanto

maior for o contraste do índice refração, maior será a PBG.

Na Figura 2.6 mostramos a estrutura de bandas de um PhC 1D.

Figura 2.6. Estrutura de bandas referente a um filme multi-camadas (espelho de Bragg)

com constante de periodicidade a.

A l

argura da camada com ε = 13 é de 0,2a, e a espessura da camada com ε = 1 é

0,8a [6].

2.4 Cristais Fotônicos Bi-dimensionais (2D)

Apesar de que até mesmo em um PhC 1D reflexões omni-direcionais podem

ser obtidas sob certas condições [7, 8], esses dispositivos sofrem a carência de

projetos para a concepção de circuitos integrados fotônicos.

Um PhC 2D pode ser periódico no plano x – y, e estendido infinitamente ao

longo da direção z (kz é conservado). O PhC 2D, o qual consegue confinar a luz

no plano, na realidade não existe, porém se pode obter uma boa aproximação

através de PhCs baseados em silício com macro-poros, conforme está detalhado

na Figura 2.7. Tais PhCs podem ser fabricados através de gravura eletroquímica

em pastilhas de sílica padronizadas. Podem ser obtidas razões de 67:1 entre a

profundidade dos buracos e a distância entre os mesmos. Para isto, as

profundidades dos buracos devem ser, por exemplo, de 100μm, e a distância

entre os furos (período do cristal) de 1,5μm [9].

Figura 2.7. Parte lateral da estrutura porosa de um PhC 2D, com uma linha de defeito. Os

poros estão separados de 1,5μm, e possuem profundidade de 100μm [9]).

2.4.1 Intervalos de freqüência do Cristal Fotônico (PBG)

Cristais fotônicos, ou melhor, Cristais Fotônicos de Intervalo de Freqüência, (Cristais

PBG ("Photonic Band Gap Crystals")) são dispositivos capazes de bloquear, ou permitir a

passagem de luz de determinados comprimentos de onda. O cristal fotônico é formado

por buracos de ar (ou por buracos dielétricos com índice de refração menor que o índice

de refração do substrato) perfurados na placa dielétrica espaçados de uma distância “a”

(“a” é constante de periodicidade da estrutura PhC), ou por hastes dielétricas submersas

em ar (ou submersas em substrato dielétrico com índice de refração menor que o índice

de refração das hastes dielétricas) espaçadas entre sí de “a”, conforme mostramos nas

Figuras 2.8(a) e 2.8(b), respectivamente. Levando-se em consideração o estudo em duas

dimensões do PhC (a coordenada z na direção da espesura é considerada infinita, sendo

perpendicular ao plano (x,y), no qual se considera a região de propagação dos sinais),

podemos considerar que a onda propagante dentro do PhC é constituída por dois modos

desacoplados: polarização TE (modo “z-even”) e polarização TM (modo “z-odd”). Nesse

caso o modo TE é definido como um modo possuindo polarização de forma que as

componentes do campo elétrico estão localizadas apenas no plano (x,y), enquanto o

campo magnético possui componente apenas na direção z. Observe que essa definição

de polarização TE é diferente da polarização TE definida para guias de ondas

convencionais, onde se considera que as componentes do campo elétrico estão

localizadas apenas no plano transversal à direção de propagação do sinal, enquanto o

campo magnético possui componente apenas na direção de propagação do sinal.

Raciocínio idêntico pode ser aplicado para os modos considerados como TM, os quais

possuem componentes do campo magnético apenas no plano (x,y), enquanto o campo

elétrico possui componente apenas na direção z. Na Figura 2.8(c) mostramos o diagrama

referente a esses dois modos ao longo da zona irredutível de Brilloiun. Observe também

nessa figura a definição dos vetores referentes à periodicidade “a” do PhC, bem como a

determinação dos índices de refração do material dielétrico, e dos buracos de ar. O

método numérico denominado “Plane Wave Expansion – PWE” (detalhes mais a frente) é

o mais usado para a determinação das faixas de freqüências que podem, ou não,

penetrar na estrutura do PhC.

Figura 2.8. (a) Esquema de um PhC constituído por buracos de ar perfurados no material

dielétrico da placa dielétrica; (b) Esquema de um PhC constituído por hastes dielétricas

submersas no ar; (c) Configuração dos modos TE e TM dentro do PhC, e definição da

constante de periodicidade e dos índices de refração referentes ao PhC.

As faixas de freqüências para os modos TE e TM podem ser bastante distintas. Pode,

inclusive, existir uma PBG para os modos TM e não existir uma PBG para os modos TE.

Nossas simulações foram elaboradas levando-se em consideração propagações

apenas no plano (x,y), ou seja, consideramos a periodicidade do tipo 2D, com k

= 0.

Quando se plota em função do vetor de onda k, os auto-valores com suas freqüências

associadas formam a PBG do PhC. Essas soluções são funções periódicas do vetor de

onda k. O método PWE é usado através das denominadas super-células, conforme

indicado na Figura 2.9, com as quais se pode calcular o diagrama de faixa de um PhC

com defeitos (por exemplo, não existe um buraco de ar, ou uma linha de buracos de ar,

onde deveria existir de acordo com a periodicidade do PhC) em duas dimensões (a altura

dos buracos é considerada infinita).

Figura 2.9. Vista esquemática de uma super-célula PhC contendo um defeito (sombreada),

repetida em ambas as direções.

Na Figura 2.10 mostramos o diagrama de faixa dos modos TE e TM, calculados via

PWE, ao longo das fronteiras da zona irredutível de Brillouin referente a um PhC com

estrutura triangular de buracos de ar perfurados em material dielétrico. A “freqüência”

é normalizada (u = a/λ). Cada ponto de determinada faixa corresponde a uma solução da

Equação fundamental. Essa estrutura possui uma larga PBG entre a primeira e a

segunda faixa para modos TE (“zeven”), de acordo com o que está apresentado na

Figura 2.10. Essas duas faixas são denominadas faixa do dielétrico e faixa do ar,

respectivamente. Por outro lado, o diagrama de faixa dos modos TM (“zodd”) mostra uma

relativamente pequena PBG localizada na região de alta freqüência. Nesse caso

específico é preferível se trabalhar com os modos TE devido à PBG mais larga. Observe

na Figura 2.10(a), que o modo com polarização TE (“zeven”) possui uma PBG entre a

primeira e a segunda faixa de freqüência reduzida, a qual é mais larga que a PBG

mostrada na Figura 2.10(b), referente aos modos com polarização TM (“zodd”), a qual

está localizada entre a sexta e sétima faixa.

Figura 2.10. Diagramas de banda de um PhC com estrutura triangular de buracos de ar

perfurados em material dielétrico para modos TE.

Na Figura 2.10(a) está mostrado o o diagrama de banda de um PhC com estrutura

triangular de buracos de ar perfurados em material dielétrico para modos TE e na Figura

2.10(b) o diagrama de bandas para modos TM. A região sombreada indica a PBG dos

modos.

Um parâmetro importante na teoria dos cristais fotônicos é o fator de preenchimento f

(“filling factor”), o qual é definido como a razão entre a área da célula unitária e a área do

buraco nessa célula. Por exemplo, o fator de preenchimento para estruturas triangulares

(vide Tabela 2.1) é dado por

f =

2π







, (2.13)

onde r é raio dos buracos e a é a constante de periodicidade.

A Equação 2.14 (considerando-se

∇ .









, a fim de se reduzir o tamanho do

sistema) fornece os auto-valores para cada



incidente

Θ ∇ .





















Θ=∇ x

[







∇ x

]

. (2.14)

2.4.2 Parâmetros Estruturais

Supondo-se um determinado conjunto a

; a

de estrutura direta de vetores (no caso

2D a

pode ser escolhida de forma arbitrária, por exemplo, a

= (0; 0; 1)). O conjunto

correspondente de vetores recíprocos b1; b2; b3 é definido através de

. b

= 2π ∂

. A

solução dessas equações é:

b1=2π

a2 xa3

, b2=2π

a3 xa 1

, b3=2π

a1 xa 2

, (2.15)

onde Vc = a1(a2 x a3) o volume da célula unitária primitiva. Observe que para um PhC

simétrico 2D, com estrutura quadrada a

= a

= a, e consequentemente b

= b

2π/a.

A relação de dispersão mostra todos os possíveis valores de



existentes em um

PhC. Devido à periodicidade e simetria do PhC podemos determinar todos os

valores de



existentes nos limites da zona irredutível da primeira zona de Brillouin

(condição de máxima difração) referente à estrutura recíproca, a qual depende da

estrutura do PhC.

Na Figura 2.11(a) mostramos a estrutura direta de um PhC com estrutura

quadrada e a Figura 2.11(b) mostra a estrutura recíproca, a primeira zona de

Brillouin, bem como a zona irredutível da primeira zoma de Brillouin referente a

estrutura quadrada de um PhC. Os pontos de simetria são,

, M e X.

Figura 2.11. Estruturas direta, recíproca, e zona de Brillouin, incluindo os pontos de simetria

da zona irredutível da primeira zona de Brillouin referente a um PhC com estrutura quadrada.

Lembre-se que todos os valores de k (0 <

k < π/a) de um PhC com estrutura

quadrada estão contidos na zona irredutível de Brillouin. Levando-se em

consideração a estrutura de vetores recíprocos para um PhC 2D, as coordenadas

dos pontos pertencentes à zona irredutível de Brillouin correspondem aos valores

de k, conforme você pode observar através da F

igura 2.12.

Figura 2.12. Zona de Brillouin normatizada referente a um PhC com estrutura quadrada.

Na Figura 2.13(a) mostramos uma estrutura direta triangular com periodicidade a

no espaço real. A estrutura de vetores é formada a partir dos vetores a

e a

. Na

Figura 2.13(b) mostramos a estrutura recíproca correspondente à estrutura

quadrada direta. Observe que a estrutura recíproca possui periodicidade

4π



Essa estrutura recíproca é formada a partir de b

e b

. As linhas pontilhadas são os

bissetores perpendiculares aos vetores da estrutura recíproca, os quais conectam a

origem (ponto

) aos seus pontos mais próximos da estrutura recíproca. A região

embutida entre essas linhas, contendo a origem é a primeira zona Brillouin.

(hexágono sólido). A área sombreada é a zona irredutível da primeira zona de

Brillouin. Os pontos de simetria são,

, M e K.

Figura 2.13. Estruturas, direta e recíproca, bem como a primeira zona irredutível da

primeira zona de Brillouin (estruturas triangulares).

As equações (2.16) e (2.17) fornecem as coordenadas dos pontos de simetria da

zona irredutível da primeira zona de Briolluin, para as estruturas quadradas e

triangulares, respectivamente, os quais serão utilizados no método PWE, para

determinação da relação de dispersão:

Γ :k

=0, k

=0 ; M : k

=π /a , k

=π /a; X : k

=π/a , k

 (2.16)

Γ :k

=0, k

=0 ; M : k

=2π/



3 a , k

=0 ; K : k

=2π/



3 a , k

=2π /3a

- (2.17)

A Tabela 2.1 fornece os parâmetros mais utilizados, referentes às estruturas PhC.

Tabela 2.1: Parâmetros referentes às estruturas quadradas e triangulares de PhCs.

Discriminação Geometria

Estrutura quadrada Estrutura triangular

Vetores diretos

=a x

.

=a y

=a





x



y /2

.

= a y

Vetores recípocros

=

2π

 x

.

=

2π

 y

= 4π /



3 a 



.

= 4π /



3 a [−



3 /2



x  1/2



y ].

πR







2π





Superfície da célula

unitária











Uma interessante característica dos PhCs é sua escalabilidade, ou seja, a

possibilidade de se obter um PhC de acordo com o comprimento de onda da luz

incidente no cristal fotônico, mantendo-se sem modificações todas as propriedades

desse PhC, como, por exemplo o intervalo de faixa. Esse fato nos permite, por

exemplo, testar um dispositivo de GaAs para λ = 1μm, onde a tecnologia de

fabricação já está amadurecida, e transferir os resultados obtidos para um dispositivo

de InP para λ = 1,5μm, uma vez que as perdas ópticas estão no mesmo patamar.

2.4.3 Placas PhC (“PhC Slabs”)

Apesar de que até mesmo em um PhC 1D reflexões omni-direcionais podem ser

obtidas sob certas condições, esses dispositivos sofrem a carência de projetos para a

concepção de circuitos integrados fotônicos.

Um PhC 2D pode ser periódico no plano x – y, e estendido infinitamente ao longo

da direção z (kz é conservado) [10]. O PhC 2D, o qual consegue confinar a luz no

plano, na realidade não existe, porém se pode obter uma boa aproximação através

de PhCs baseados em sílica com macro-poros. Tais PhCs podem ser fabricados

através de gravura eletroquímica em pastilhas de sílica padronizadas. Podem ser

obtidas razões de 67:1 entre a profundidade dos buracos e a distância entre os

mesmos. Para isto, as profundidades dos buracos devem ser, por exemplo, de

100μm, e a distância entre os furos (período do cristal) de 1,5μm.

Quando as PBGs dos modos TE e TM não se intercedem, o PhC não suporta

uma PBG completa, onde nenhuma luz seria permitida em qualquer direção da

estrutura infinita. Um PhC 3D com periodicidade nas três direções pode suportar

uma PBG completa, porém esses dispositivos são de difícil fabricação. As placas

PhC possuem espessuras menores que os sistemas PhC 2D ideais, e necessitam

de um guia de onda no corpo do PhC, para evitar a fuga de luz para a dimensão na

direção do eixo z (“out-plane”). Essas estruturas são denominadas placas PhC

(“Slab PhC”) 2D. O forte confinamento vertical é obtido através de um empilhamento

de materiais com alto contraste de índice de refração entre a camada de guia e a

camada de revestimento. Por outro lado, também se pode obter o confinamento da

luz na direção vertical através de um regime de fraco confinamento.

Na Figura 2.14 mostra o esquemático de uma placa PhC com fraco confinamento

vertical da luz, obtido com um sistema de InP/InGaAsP, ou AlGaAs/GaAs.

Figura 2.14. Perfil vertical da estrutura PhC planar [11].

Tratando-se de regime com alto confinamento da luz na direção vertical, em

sistemas com membrana ou “silicon-on-isolator” (SOI), não mais é possível o

tratamento da placa PhC em 2D, pois nesse caso não existe uniformidade na direção

vertical. No regime de baixo contraste de índice de refração o modo é alargado na

direção vertical e se comporta quase como uma onda plana. Então, dessa forma é

possível a utilização de um modelo 2D com índice de refração uniforme para a

caracterização do PhC.

Tendo em vista a inclusão de um revestimento adicional no perfil vertical

precisamos também considerar os modos de radiação nessa camada. Nesse caso,

surge uma nova linha de luz no digrama de faixa, conforme está ilustrado na Figura

2.15.

Figura 2.15. Diagrama de faixa de um PhC 2D com indicação das linhas de luz do ar, e do

revestimento [11].

De forma idêntica à linha de luz do ar, a linha de luz do revestimento também é

dependente da freqüência de forma linear, mas nesse caso também é dependente do

índice de refração do perfil vertical da placa PhC. No regime de baixo contraste do

índice de refração a linha de luz do revestimento (indicada por triângulos) está

localizada abaixo da faixa dielétrica da estrutura do PhC. Portanto, nesse caso os

modos não são mais puramente guiados e estão sujeitos à perdas, uma vez que

podem ser acoplados aos modos do revestimento, e mesmo tratando-se de PhC com

perfeita fabricação, esses modos possuem perdas.

2.4.4 Configuração) de PBGs em Placas PhC

A configuração das PBGs é uma importante ferramenta para a escolha apropriada

do fator de preenchimento de ar (f), por exemplo, (“air-filling”), conforme ilustrado na

Figura 2.16, e se trata da visualização dos limites das faixas mais baixa e mais alta, em

relação a diferentes ordens de polarização. A configuração das PBGs” exibe

imediatamente quais são os valores de f, que proporcionam uma PBG completa. O PhC

constituído por GaAs com estrutura triangular de buracos perfurados em um dielétrico,

e com o fator “f” entre f

= 0,1 e f

= 1, possui, a condição “área fechada comprimida”

alcançada para f = 0,9. Nas estruturas quadradas a primeira e a segunda faixa TE

são abertas em f = 0,35, e a primeira faixa TM é aberta em f = 0,5. No caso de

estrutura triangular a faixa TE é aberta em f = 0,11, e cresce com o incremento do

raio, até alcançar o máximo em f = 0,73. A abertura da faixa TM não é iniciada para

valores

f abaixo de 0,63. A região da PBG completa 2D é obtida através da

intercessão das faixas

TE e TM, as quais surgem na janela de freqüência u =

0,37...0,56. Geralmente, os limites da faixa são deslocados para freqüências mais

altas, com o aumento do fator f, o que está de acordo com a redução da média da

constante dielétrica (ε

médio

= f. ε

+ (1 – f). ε

sub

Observe que a estrutura triangular possui faixa TE mais larga, a qual

adicionalmente é aberta para menores fatores de preenchimento.

Figura 2.16. Configuração das PBGs de estruturas 2D de buracos em uma matriz dielétrica

(ε = 11,4): a) Estrutura quadrada, b) Estrutura triangular [9].

Considerando-se o intervalo TE de primeira ordem de uma estrutura triangular de

buracos de ar em um dielétrico notamos, que a largura e posição do intervalo estão

relacionadas com o contraste dielétrico entre o substrato e os buracos de ar (ε = 1).

Com o decréscimo desse contraste a largura do intervalo diminui, e a sua posição se

desloca para energias mais altas, uma vez que o índice de refração médio diminui,

conforme indicamos na Figura 2.17. Ao contrário do que acontece com PhCs 1D, em

PhCs 2D o intervalo é fechado abruptamente, quando o contraste do índice de

refração cai abaixo de um certo limiar.

Figura 2.17. Primeira ordem das PBGs referentes a uma estrutura triangular de buracos de

ar em função de “f”, para diferentes constantes dielétricas do substrato [9].

2.4.5 Alto versus Baixo Contraste de Índice de Refração em Placas PhC

As estruturas de cristais fotônicos 2D podem ser divididas em dois tipos: de alto, e

de baixo contraste do índice de refração.

Para cada um desses dois tipos de estruturas PhC existem vantagens e

desvantagens.

2.4.5.1 Alto Contraste do Índice de refração

As membranas suspensas em ar, sílica sobre isolante, ou GaAs sobre

são

exemplos de estruturas de alto contraste de índice de refração, conforme podemos

observar na Figura 2.18. No último caso o alto contraste de índice de refração é obtido

através de oxidação úmida da camada base Al

0:9

0:1

As, a fim de se obter a camada

[12]. O alto contraste de índice de refração entre o núcleo GaAs e ar é Δη

= 2,5, e entre esse mesmo núcleo e o revestimento de

Δη ≈ 2

. No caso de

silica sobre isolante

Δη entre o isolante e o núcleo de Si, bem como entre o

substrato de SiO

é igual a

Figura 2.18. Duas possíveis implementações de PhC 2D com alto contraste de índice de

refração.

Na Figura 2.18 (a) mostramos uma membrana de Al

0,1

0,9

com 270nm de

espessura suspensa em ar [13]). Na Figura 2.18(b) mostramos uma placa de cristal

fotônico com buracos de ≈ 0,5μm de profundidade, gravados parcialmente dentro da

camada de Al

, a qual atua como revestimento de baixo índice de refração (n ≈ 1,5)

[12].

NOTA: O tamanho da PBG pode ser medido através da relação entre o valor da

freqüência central da PBG e a largura total dessa PBG (”gap-midgap ratio”).

2.4.5.2 Baixo Contraste do Índice de Refração

Em uma estrutura periódica triangular de buracos gravados na estrutura vertical da

placa PhC, o cristal fotônico opera como uma grade de difração 2D de primeira ordem,

ou seja, o período fica em torno da metade do comprimento de onda do modo no meio

da PBG.

A vantagem do efeito do baixo contraste de índice de refração é que suas

propriedades de dispersão são muito semelhantes ao 2D ideal, o que não acontece

com estruturas com alto contraste de índice de refração, nas quais as energias dos

modos são consideravelmente deslocadas para a região azul [14].

O método do índice de refração efetivo no qual a estrutura vertical da placa PhC é

levada em conta simplesmente por meio do índice de refração efetivo relativo ao primeiro

modo guiado da placa, também é válido o caso das placas PhC com baixo contraste de

índice de refração, quando consideramos que a luz é monomodo dentro da região de

interesse

[15].

2.4.5.3 O Problema da Linha de Luz em Placas PhC

A linha de luz é um conceito muito importante, quando se considera a influência da

terceira dimensão no caso de PhCs 2D, com uma geometria vertical da placa. Trata-

se da reformulação da condição para reflexão interna em termos da conservação do

vetor de onda. A lei de Snell-Descartes afirma que a componente paralela do vetor de

onda é conservada na interface:

= β

k

senθ



senθ

. (2.18)

O ângulo crítico é dado pela condição θ

= π/2. Então,

sen

 w β

=

cβ

, (2.19)

onde β

é o vetor de onda dentro do núcleo, paralelo à interface, n

é o índice de

refração do revestimento e ω(β

) identifica a linha de luz.

Para simplificar, consideremos a relação de dispersão de uma placa guia de onda

com índice de refração n

envolvido em um meio com índice de refração n

< n

. O

diagrama de dispersão é dividido em três distintas regiões, conforme se pode

observar na Figura 2.19. (I) Na região abaixo da linha de luz do núcleo não pode

existir nenhum modo. (II) Entre a linha de luz do núcleo e a linha de luz do

revestimento estão os modos verdadeiramente guiados. Esses modos possuem

perda de propagação muito baixa e os seus perfis de campo decaem de forma

exponencial dentro do revestimento. (III) A região acima da linha de luz do

revestimento (cone de luz) suporta a continuidade dos modos irradiados.

No caso de guias de onda em placas PhC, os modos guiados são modos guiados

de Bloch, e o espectro de irradiação contêm ressonâncias modos vazados, os quais

são caracterizados através da curva de Lorentzian, com um valor médio que define a

energia da faixa, e com uma largura proporcional à perda óptica [14]. Esses modos

quase guiados (“quasi-guided modes”) possuem perfil ondulatório dentro do

revestimento.

Figura 2.19. a) Representação esquemática da lei de Snell-Descartes, b) Dispersão de

modos guiados TE em uma placa dielétrica [9].

O conceito de linha de luz é equivalente à condição para reflexão interna total

expressa em termos de conservação de k

Tratando-se de guias de onda simétricos verticais os verdadeiros modos guiados

estão situados abaixo da linha de luz do revestimento. No caso de guias de onda

assimétricos existem duas linhas de luz: uma para o revestimento superior (por

exemplo, ar), e outra para o revestimento inferior (por exemplo, substrato). Então,

existem modos verdadeiramente guiados, modos que vazam para o substrato e

modos que vazam para o substrato e para o ar.

Até agora nós só consideramos modos numa estrutura de placa não modelada,

porém os mesmos princípios se aplicam ao confinamento vertical de modos em

estruturas de placa de PhC 2D.

No caso de PhCs 2D a linha de luz é definida por





∣k∣c

, onde k = (k

, k

)

está definido ao longo das principais direções de simetria, conforme mostramos na

Figura 2.20.

Figura 2.20. Relação de dispersão de uma estrutura triangular (Polarização TE).

Conforme detalhamos na Figura 2.20, na região I não podem existir modos. A

região II contêm os modos realmente guiados no volume do corpo PhC, e a região III

representa a região de irradiação dos modos vazados.

Em relação ao problema da linha de luz as estruturas de alto contraste de índice

de refração são favorecidas. Nessas estruturas podem ser embutidos guias de ondas

lineares (W

), os quais se constituem de n linhas de defeito ao longo de

ΓK

. Esses

guias de ondas suportam apenas modos de Bloch sem perda óptica, propagando-se

abaixo da linha de luz [16]. Entretanto, o modo de Bloch somente não apresenta

perdas, quando existe simetria de translação. Uma razão para a quebra de simetria

pode ser uma cavidade, ou uma curva, os quais são elementos, que constantemente

estão embutidos nos circuitos integrados fotônicos. Nesse caso, mesmo as

estruturas que apresentam grande confinamento nos guias de onda, também exibem

perdas ópticas. Lembramos que as estruturas com alto contraste de índice de

refração são mais sensíveis a imperfeições de fabricação, como, por exemplo,

aspereza.

2.5 Fabricação de Cristais Fotônicos

2.5.1 Visão Geral

Os avanços na fabricação, caracterização, e modelação de cristais fotônicos

proporcionaram a obtenção de várias estruturas de cristal fotônico. Cristais fotônicos

2D, normalmente, são fabricados com litografia de fluxo de elétrons de alta

resolução [17], através da qual, de modo geral, agrupamentos de buracos são

gravados em placas de semicondutores , de acordo com o que está apesenado na

Figura 2.21.

Figura 2.21. Cristal Fotônico Bi-dimensional [17].

Outro tipo de cristal fotônico é a “Holey Fibre”, a qual se consiste de um

agrupamento de fibras ópticas, conforme está indicado na Figura 2.22 [18].

Figura 2.22. “Holey Fibre” [18].

A luz pode ser guiada através do buraco extra localizado no centro da fibra óptica.

Entretanto, os cristais fotônicos 2D possuem PBG apenas no plano de

periodicidade. Para a obtenção de PBG total em todas as direções é necessário PhC

3D, os quais apresentam maiores dificuldades de fabricação.

Yablonovitch demonstrou experimentalmente a existência de uma PBG em

freqüências na faixa de microondas, usando uma estrutura inversa do diamante em

material cerâmico, conforme ilustrado na Figura 2.23.

Figura 2.23. Estrutura de Yablonovite elaborada através da perfuração de buracos em um

material cerâmico [19].

Entretanto, a estrutura acima, denominada “Estrutura de Yablonovite” não pode

ser utilizada em comprimentos de onda ópticos. Uma outra geometria, denominada

estrutura pilha de madeira (“woodpile structure”), utiliza a bem desenvolvida

tecnologia de crescimento de semicondutor permitindo a obtenção de uma PBG em

torno do comprimento de onda 1,55μm, conforme está detalhado na Figura 2.24.

Figura 2.24. Cristal Fotônico com estrutura “woodpile” [19].

No ano 2000, John et al. apresentou uma estrutura obtida através de auto-

montagem de esferas de opala, de acordo com o que está apresentado na Figura

2.25, e mostrou que uma estrutura de silício cúbica inversa com face centrada,

proporciona uma PBG completa em torno de 1,55μm [46].

Figura 2.25. Cristal Fotônico com estrutura do tipo opala inversa [19].

Existem técnicas que combinam o método “top-down” de litografia com o método

“bottom-up” de auto-montagem, para melhorar a ordenação de partículas coloidais

em estruturas de cristais fotônicos [20, 21].

Recentemente, Toader and John apresentaram uma estrutura em espiral

quadrada tetragonal, conforme está mostrado na Figura 2.26, a qual apresenta uma

larga PBG em torno de 1,55μm [22].

Figura 2.26. Cristal Fotônico com estrutura em espiral quadrada tetragonal [22].

A estrutura apresentada na Figura 2.26 foi fabricada utilizando-se o método

“Glancing Angle Deposition (GLAD)” [23].

Os cristais fotônicos podem ser construídos com precisão nanométrica, através

de um bombardeamento com raios-X, os quais atravessam uma máscara de ouro

com uma série de buracos, removendo assim, porções de um polímero colado por

baixo da máscara. A seguir, deposita-se vidro para preencher os buracos da

máscara de ouro e o polímero que resta é destruído com calor. Deposita-se então

silício nas regiões vazias do vidro. Finalmente, o vidro é removido com a utilização

de produtos químicos apropriados, deixando como resultado uma rede de cristais

puros de silício.

2.5.2 Fabricação de Cristais Fotônicos 3D

Enquanto no domínio do PhCs 2D as pesquisas são dedicadas principalmente à

estruturas triangulares e quadradas, as estruturas PhCs 3D estão sendo estudadas

através de novos projetos e concepções. Existem inúmeras tecnologias de

fabricação relativas aos PhCs 3D. Hoje em dia acontece uma grande procura por

estruturas otimizadas de PhCs, ou seja, por estruturas com maiores PBGs para cada

direção e tipos de polarização. O protótipo de materiais mais utilizada no momento

para PhCs 3D é a estrutura do diamante, a qual é baseada em uma estrutura cúbica

de face centrada (fcc), com dois átomos por célula unitária (primitiva). Esta estrutura

proporciona uma zona de Brillouin quase esférica, a qual é importante para omni-

direcionalidade da PBG. As ligações do diamante possibilitam que os campos

referentes às faixas mais baixas fiquem concentrados na estrutura do dielétrico. A

primeira estrutura de intervalo de faixas 3D foi proposta por K.M. Ho et al [24]. Tal

estrutura se consiste em esferas de Si sobrepostas em uma estrutura de diamante.

Observando-se a Figura 2.27 podemos afirmar, que a PBG existe para contraste de

índices de refração mais baixos que 2. Por outro lado, as esferas sólidas

organizadas dentro de uma estrutura fcc, não possuem PBG.

Figura 2.27. Relação PBG/Freqüência media da PBG (Δω/ωg) da estrutura de diamante,

em função do contraste do índice de refração.

A linha pontilhada apresentada na Figura 2.27 refere-se ao caso de esferas de ar

em dielétrico com f = 0,81, e as linhas sólidas se referem ao caso de esferas

dielétricas em ar, com f = 0,34 [24]).

Diferentemente do que ocorre no PhC 1D, existe um limiar de contraste de índice

de refração para a abertura de uma PBG completa na estrutura do diamante. A

estrutura 3D “Yablonovite”, com simetria igual a do diamante, foi proposta por E.

Yablonovitch [25], e fabricada primeiramente para a região de microondas. Essa

fabricação se consiste na perfuração de buracos formando uma estrutura triangular

composta de três diferentes ângulos azimutais (separados de 120 graus) em uma

inclinação de 35 graus em relação à vertical, conforme está apresentada na Figura

2.28(a).

Figura 2.28. Uma das primeiras estruturas PhC 3D do tipo “Yablonovite” com PBG total

[26].

Na parte (a) da Figura 2.28 está apresentada a perfuração dos buracos no

substrato, com três diferentes ângulos, proporcionando um estrutura 3D fcc

periódica. Na parte (b) dessa figura, está indicada a realização prática de uma

estrutura “Yablonovite” para regime óptico, a qual é obtida através da perfuração de

buracos através de fluxo de íons em silício mocroporoso.

E. Yablonovitch fabricou diversos tipos dessas estruturas na “Bell

Communications Research” em New Jersey, através da perfuração de diferentes

materiais dielétricos. Dez anos após foi obtida a estrutura “Yablonovite” produzida

em silica macroporosa para a região visível da luz, através da combinação de

química foto-elétrica (para os poros verticais) e gravura através de fluxo concentrado

de íons, conforme está mostrado na Figura 2.28(b).

Outra das primeiras estruturas obtidas foi a estrutura “Woodpile”, a qual possui

uma simetria fcc. A fabricação dessas estruturas para a faixa do infra-vermelho é

baseada na tecnologia microeletrônica relativa padrão, a qual se apóia em um

processo de empilhamento de cinco níveis, baseado na repetitiva deposição, e

gravura de múltiplos filmes dielétricos, conforme indicado (Figura 2.29(a)) [27].

Figura 2.29. Estrutura “Woodpile” com PBG total, operando na região de comprimentos de

onda infra-vermelha [26 - 29].

Na Figura 2.29(a) a estrutura “Woodpile” foi fabricada através de litografia UV em

silício [27]. Na Figura 2.29(b) mostramos a mesma estrutura, a qual foi fabricada

através de fusão da placa e processo de remoção do substrato [28]. Na parte(c) a

estrutura “Woodpile” foi fabricada através do processo de polimerização dois fótons

[29].

A estrutura “Woodpile” é bom exemplo para se mostrar como uma mesma

estrutura pode ser obtida através de diferentes técnicas de fabricação. S. Noda

propôs a fusão de placas de GaAs, ou InP, de acordo com o que está apresentado

na Figura 2.29(b). O substrato da placa superior é removido através de uma

combinação de processo químico, e de gravura a seco [28].

Outro processo de fabricação é baseado na absorção dois fótons, o qual se apóia

no fato de que a probabilidade de absorção “dois fótons” depende de forma

quadrática da intensidade, acarretando sob determinadas condições, que a

absorção fica localizada no foco, para um volume da ordem de λ

[30]. Para limitar a

potência do LASER, essa aplicação requer combinações que exibam uma grande

absorção “dois fotons”. Na Figura 2.29(c) mostramos uma estrutura “Woodpile”

obtida dessa maneira.

Uma interessante estrutura 3D com grande PBG foi proposta por S. G. Johnson et

al. [31], a qual se consiste de uma seqüência de idênticas camadas planares com

determinada impressão horizontal, a qual se repete a cada terceira camada,

formando um estrutura fcc, conforme está mostrado na Figura 2.30. 

Figura 2.30. a) Estrutura tri-dimensional idêntica à do diamante (hastes ≈ ligações),

proposta por S. G. Johnson et al. (MIT) [31]. b) Realização de acordo com M. Qi e H. Smith

(MIT)

A vantagem dessa estrutura é que a mesma forma uma ponte entre o mundo 2D

e o mundo 3D. As camadas podem ser imaginadas como um emplilhamento

alternativo de duas geometrias de placas de PhCs 2D típicos: hastes dielétricas em

ar, e buracos de ar em uma matriz dielétrica.

Uma classe completamente diferente de PhCs 3D é a estrutura constituída por

opalas, e opalas inversas, conforme detalhamos na Figura 2.31. Essas estruturas

podem ser fabricadas de forma mais fácil através de técnicas de montagem, as

quais são apropriadas para produção em massa, e são muito mais baratas do que

os métodos baseados em litografia. Além disso, podem proporcionar grandes áreas

de PhCs regulares.

Figura 2.31. Chip desenvolvido por meio de opalas invertidas através de auto-montagem

[32, 33].

Conforme está detalhado na Figura 2.31(a), as esferas de sílica (SiO

) são

forçadas a se organizarem dentro de um arranjo ordenado, em uma superfície como

uma lente ao caírem, através da evaporação do solvente. Uma temperatura gradual

é aplicada possibilitando um fluxo de condução de calor das partículas, a fim de

minimizar as sedimentações indesejadas [32]. Na Figura 2.31(b) podemos observar

finos padrões de opalas planas, montadas sobre uma pastilha de Si, os quais foram

obtidos a partir de esferas com diâmetros de 855nm [33]). Na Figura 2.31(c)

podemos constatar que, primeiramente, a estrutura de opala é infiltrada com sílica e

então as esferas de sílica são removidas através de gravura úmida, cedendo uma

opala invertida unida ao “chip” de silício [33].

A primeira auto-montagem de opalas foi obtida através da sedimentação de

micro-esferas de sílica (SiO

) em solução dentro de uma estrutura fcc fechada,

somente através da gravidade, o que resultou em uma estrutura com um

considerável número de falhas de empacotamento. Essa limitação foi superada por

A. Vlasov et al. [33]. O cristal é auto-montado na lente entre o substrato vertical e

uma suspensão coloidal. A temperatura gradual aplicada proporciona fluxo de

partículas e evita a sedimentação, antes da evaporação do solvente.

Uma estrutura com esferas sólidas em uma estrutura fcc não possui uma PBG,

mas a estrutura invertida sim. A inversão é obtida através de infiltração de silício nas

partes vazias entre as esferas. As esferas de silício são então removidas através de

gravura úmida, o que provoca a estrutura opala invertida.

Abaixo discriminamos outros métodos de fabricação:

 Litografia de interferência de raio X

 Empilhamento através de micro-manipulação

 Litografia holográfica

 Litografia holográfica dois fótons

 “Block copolymers”

 “Glancing angle deposition”

 Auto-clonagem

3 CARACTERIZAÇÃO ÓPTICA DOS PhCs

3.1 Tecnologia “Fonte de Luz Interna” (Internal Light Source” -

(ILS))

3.1.1 Princípio Experimental

A técnica “Internal Light Source (ILS)” foi empregada com êxito nos estudos de

estruturas de guias de ondas gravadas em PhCs “quasi-2D” de GaAs, [34]. Essa

técnica é uma poderosa ferramenta para o entendimento de algumas propriedades

fundamentais dos PhCs, bem como para a medição de Reflexões (R), Transmissão

(T), e Difração (D). Por outro lado a técnica ILS também proporciona a caracterização

das estruturas das cavidades Fabry-Perot [35], cavidades hexagonais 2D [34], e guias

de onda [36]. A faixa de aplicações da técnica ILS foi expandida desde sistemas com

GaAs até InP [37, 38, 39].

A técnica ILS é baseada em uma fonte óptica interna (bombeamento LASER), a

qual é posicionada de tal forma, que a luz se propaga através do PhC, sendo depois

coletada, após atravessar a distância entre essa fonte e a extremidade da placa PhC

). A fonte é, então, deslocada para uma outra região, situada antes da região

padronizada (estrutura periódica) à uma distância igual à da fonte até a extremidade da

placa PhC (d

), e o sinal coletado é usado como referência para a normalização do

sinal primário, conforme está mostrado na Figura 3.1.

Figura 3.1. Configuração experimental para medições de transmissão em PhCs [34].

Com relação ao que está apresentado na Figura 3.1, as distâncias entre a estrutura

periódica e a extremidade do PhC, ou seja, e a faceta lateral do PhC (d

), e entre a

fonte óptica e a referida extremidade (d

) são mantidas constantes. A referência I

(λ) é

obtida através de uma região sem estrutura periódica, enquanto o espectro I

(λ) é

coletado através de estruturas periódicas com diferentes períodos.

3.1.2 Normalização das Medições de Transmissão

O sinal de referência e o sinal relativo ao PhC são medidos de forma que a distância

entre os pontos de excitação e face clivada é mantida constante. Levando-se em

consideração que a emissão de luz (Fotoluminescência - PL) permanece homogênea,

a normalização das medições de transmissão através das estruturas em teste é obtida

pela razão ( I

(λ)/ I

(λ), a qual fornece o espectro absoluto de transmissão.

3.1.3 Sintonia Litográfica

Devido à limitada largura da faixa espectral do sinal de prova (Δλ ≈ 100nm para InP

e Δλ ≈ 150nm para GaAs), então, é aplicado o denominado método “Lithographic

Tuning” [34], conforme está detalhado na figura 3.1. Portanto, usa-se um LASER

sintonizável para manter constante o comprimento de onda e a propriedade de escala

do PhC [6]. PhCs com diferentes valores de períodos (a), e de fatores de

preenchimento (“f”) são testados, e o PhC como um todo é explorado em função da

freqüência reduzida u = a/λ, ou seja, o espectro correspondente a diferentes períodos

são considerados conjuntamente. Por exemplo, para o caso de GaAs são requeridos

nove diferentes períodos, para se obter de forma precisa a PBG, e as duas faixas

laterais.

3.1.4 Coleta de Sinais

3.1.4.1 Os Três Sinais

Na Figura 3.2(a) está apresentada a configuração geral para experimentos ILS. O

bombeamento LASER é introduzido verticalmente na estrutura heterogênea e excita

internamente a camada de emissão ativa de fotoluminescência (PL), constituindo

uma fonte de luz interna. Essa camada ativa é constituída por dois poços quânticos

(“quantum wells - QWs)”, no caso do InP, e por três pontos quânticos (“quantum dot”

- QD) no caso do GaAs, sendo embutidas na camada do núcleo da estrutura PhC,

para possibilitar a caracterização dessa estrutura [40]. Uma descrição detalhada de

diferentes fontes ativas e suas propriedades serão apresentadas na seção 3.1.5. A

técnica ILS proporciona resolução espacial (limitada pela dimensão da fonte de luz

(Φ = 2,5μm) para o posicionamento da fonte óptica no PhC. Parte da luz se propaga

paralelamente à superfície como modo guiado, e interage com a estrutura do PhC.

Então, o modo guiado que sai do PhC através da faceta clivada é introduzido em

uma fibra óptica multimodo (Φ = 100μm) para análise espectral. Devido às refrações

ocorridas nos limites das camadas, surgem três diferentes fluxos de sinais, ópticos,

os quais saem do PhC através da faceta clivada após a propagação através do ar,

substrato, e dentro do guia, respectivamente, conforme está mostrado na Figura

3.2(a). O sinal no ar surge como a metade de um círculo acima da faceta, com raio

d.AN, sendo AN a Abertura Numérica. O sinal no substrato surge no lado oposto

como a metade de um círculo com raio (d/n).AN. O sinal guiado surge como uma

elipse.

Figura 3.2. Esquema do método ILS [9].

Na Figura 3.2(a) podemos observar a configuração geral da experiência para

método ILS. A emissão fotoluminescente (PL) é excitada dentro da região ativa

embutida na placa da estrutura guia de onda do PhC, sendo guiada no sentido para

frente através da estrutura do PhC. Estão esboçados os três fluxos ópticos que saem

através da faceta clivada após a propagação através do ar, do substrato, e do núcleo.

Na Figura 3.2 (b) está mostrada a imagem típica dos sinais coletados na faceta clivada.

O círculo branco (Φ = 4μm) representa a imagem conjugada da fibra óptica coletora

[40].

O sinal guiado é coletado através de um objeto coletor localizado na faceta. A luz

coletada é então separada através de um divisor (“splitter”) e direcionada parcialmente

para uma câmera e parcialmente acoplada a uma fibra óptica. Este procedimento

permite a obtenção da análise espectral dos diferentes sinais laterais.

Através da Figura 3.2(b) podemos visualizar uma imagem típica obtida, quando o

coletor óptico é focalizado na faceta. O fluxo guiado surge como uma linha brilhante,

enquanto o círculo branco (Φ = 4μm) representa a imagem conjugada da fibra óptica

coletora. A contribuição guiada pode ser selecionada, alinhando-se o círculo com a

linha brilhante.

3.1.4.2 Posição da Fonte Virtual

A refração do sinal nas facetas cria uma fonte virtual dentro do semicondutor, de

onde parte o fluxo óptico. A posição dessa fonte virtual pode ser calculada através da

lei de Snell/Descartes, a qual no limite para pequenos ângulos pode ser simplificada

por tgθ = n.tgθ

. Por outro lado, tgθ

= s/d

, e tgθ = s/d

, conforme detalhado na Figura

3.3. Daí conclui-se que d

= d

/n.

Figura 3.3. Obtenção da posição da fonte virtual [9].

3.1.4.3 Distância de Excitação

Quando a fonte é colocada em uma parte não estruturada (sem periodicidade do

índice de refração) da placa, o modo guiado se propaga de forma radial em todas as

direções. Devido ao alto índice de refração do semicondutor, apenas a luz que incide

na faceta com um ângulo abaixo do ângulo crítico (θ

= 18º para InP, e 17,3º para

GaAs) pode sair pela faceta. Uma grande parte dessa luz sai da faceta com ângulos

muito grandes, e não pode penetrar no cone coletor (θ = 30º). O ângulo limite θ

(Vide

Figura 3.4) define o cone de luz dentro do semicondutor que consegue sair através da

faceta com ângulo θ, sendo obtido através do índice de refração referente ao modo

guiado, e da abertura numérica (NA = 0,5) relativa ao coletor, conforme mostrado na

Figura 3.4. O valor de θ

é 8,9º para InP e 8,6º para GaAs.n

Existem dois regimes: (a) quando a fonte é colocada longe da faceta, conforme

mostrado na Figura 3.4(a), e (b) quando a fonte é colocada próximo da faceta, e aordo

com o que está detalhado na Figura 3.4(b). No regime (b) a quantidade total de luz

dentro do ângulo θ

é coletada pelo objeto coletor. No regime (a) o ângulo de coleção é

limitado pela dimensão da imagem conjugada da fibra coletora (D = 4μm), a qual

contribui para o melhoramento da seletividade angular da medição. Portanto, é

preferível se trabalhar no regime (a), onde a resolução angular é limitada através de

“D”, e o ângulo efetivo interno de seleção é dado por

=arctg





, o qual é

menor que θ

conforme apresentado na /0-1-

A distância d

limite

que estabelece a transição entre os dois regime é obtido da

seguinte forma:

2θ

s →

34



2 θ

5



234θ

 0-6!

Assumindo-se a fonte como pontual d

limite

é igual a 13μm tanto para InP, quanto para

GaAs. Para um ponto qualquer a seletividade angular é dada pelo ângulo de seleção θ

= D/2d. Entretanto, para posições da fonte próximas à faceta, é necessário se levar em

consideração a extensão da fonte (Φ = 4μm). Se a fonte possuir diâmetro S = 2μm a

resolução angular é θs = (D + S)/2 θl. [31], e d

limite

= 22 μm.

Figura 3.4. Medição de um espectro de referência [9].

A PL é emitida a uma distância d

até a faceta, sendo coletada através de um objeto

coletor com um ângulo coletor θ = 30º e injetado em um fibra óptica com imagem

conjugada de diâmetro D. Existem dois regimes: fonte colocada longe da faceta, de

acordo com a Figura 3.4(a) e fonte colocada próxima à faceta, conforme apresentado

na Figura 3.4(b).

A seletividade angular é importante para medições de amostras de PhCs, onde as

propriedades ópticas dependem dos ângulos de incidência da luz referentes ao eixo

de simetria do PhC. Podemos afirmar que se a distância de excitação d

é maior que

limite

, o “crosstalk” entre os três sinais é desprezível, e a análise seletiva da luz guiada

pode ser elaborada levando-se em consideração o sinal de borda [41].

3.1.5 Estrutura da Amostra

3.1.5.1 Estrutura Vertical do Guia de Onda

Conforme acima detalhado a luz utilizada para medições é a luz guiada através de

uma estrutura vertical heterogênea. Os perfis verticais das estruturas, tanto para InP,

quanto para GaAs, inclusive onde os modos são guiados, estão mostrados nas Figuras

3.5(a) e 3.5(b), respectivamente.

Figura 3.5. a) Estrutura vertical da amostra de InP contendo 2 QWs (Poços quânticos). b)

Estrutura vertical da amostra de GaAs contendo 3 camadas QD (Pontos quânticos). c) Perfil

do modo guiado para o caso InP. d) Perfil do modo guiado para o caso GaAs [40].

No caso InP o modo guiado é monomodo na polarização TE, com n

eff

= 3,24. No

caso GaAs existem dois modos guiados TE, com

neff

= 3,36, e 3,13.

A estrutura vertical no caso InP, com índice refração n

eff

= 3,24, suporta um único

modo. Este é o caso de uma estrutura de InP, a qual suporta um modo TE com n

eff

3,24. O valor máximo da intensidade do campo |E(z)|

é ligeiramente deslocado do

centro da camada do núcleo, e decai de forma exponencial nas camadas de

revestimento, de acordo com a Figura 3.5 (a). O deslocamento entre o pico do perfil e a

localização dos QWs reduz levemente a reabsorção QW no modo propagante. Devido

à dispersão material n

eff

é uma função de λ, e para uma emissão de um espectro PL

centrado em 1500nm, a dispersão efetiva do índice de refração dos modos guiados é

∂n

∂ λ

=2,5. 10

−4

nm. Então, tendo em vista que uma única medição ILS consegue medir

um intervalo espectral de Δλ = 100nm, e que

Δn=Δλ .



∂n

∂ λ



, são encontrados os

valores corrigidos de n

eff

para a faixa de 3,23 a 3,255.

No caso da estrutura vertical de GaAs que suporta dois modos TE (Figura 3.5(b)),

os índices de reflexão efetivos do modo “even” (1) e do modo “odd” (2) são n

eff

= 3,36,

e 3,15, respectivamente. Como no caso anterior n

eff

é uma função de λ. Considerando-

se uma emissão de espectro centrada em 1050nm temos que a dispersão efetiva do

índice de refração é

∂n

∂ λ

=5 . 10

−4

nm. O modo 2 possui o seu campo concentrado

principalmente na região de revestimento superior, e podemos assumir que o mesmo

se propaga mais através do ar, portanto sofre mais perda óptica que o modo 1.

Conforme um cálculo de matriz de transferência [69,70], o comprimento de extinção do

modo de revestimento (modo 2) é da ordem 40μm, enquanto o modo 1 possui o

comprimento de extinção de 725μm, conforme mostramos na Tabela 3.1.

Tabela 3.1. Modos verticais na estrutura heterogênea de GaAs. O comprimento de extinção

inclui o tunelamento no ar, e a absorção no núcleo com centro do espectro em 1050nm.

Modo Simetria n

eff

Comprimento de extinção

(μm)

1 “even” 3,36 725

2 “odd” 3,13 42

O índice de refração efetivo pode ser substituído por um ângulo interno de reflexão θ

através da relação n

eff

= n

nuc

.senθ, obtendo-se θ = 73,5º, para o modo 1 e 63,6º para o

modo 2. Os ângulos θ e α estão mostrados na figura 3.6. Apenas o modo 1, com

ângulo α igual a 16,5º, incide sobre a faceta com um ângulo abaixo do ângulo crítico

(α

= 16,6º), sendo então o único que pode sair da estrutura, conforme ilustrado na

Figura 3.6.

Figura 3.6. Diagrama de propagação do modo 1 saindo da faceta.

3.5.1.2 Fonte de Luz Embutida

Amostra de InP: Na Figura 3.7(a) está mostrado os espectros típicos de emissão

fotoluminescente (PL) com polarização TE guiada em amostra de InP, à temperatura

ambiente com fonte de excitação distanciada de 70μm em relação à faceta clivada

(linha sólida escura). Essa estrutura foi projetada para dois comprimentos de onda

nos dois QWs centrados em λ

= 1565nm, e λ

= 1465nm.

A característica evidenciada em λ

GAP

= 1220nm é atribuída ao intervalo de emissão

do Ga

0,24

0,76

0,52

0,48

. O espectro PL guiado é fortemente modificado com relação

ao PL frontal, devido à reabsorção QW. Podemos observar uma acentuada inclinação

em λ = 1475nm devido à reabsorção, a qual acontece principalmente por causa da

recombinação eletrons/lacunas com a polarização TE em QW1 e QW2 [62]. A

convolução dos picos QW1 e QW2 PL proporcionam um sinal guiado com espectro

global Δλ ≈ 100nm. O valor para a PL lateral pode ser incrementada através da

execução de medições com altas potências de bombeamento (≈ 340 kWcm

-2

). Esse

limite intrínsico pode ser superado substituindo-se os QWs por QDs, como no caso das

estruturas baseadas em GaAs [34].

Figura 3.7. a) Sinal de fotoluminescência (PL) TE. b) Perdas modais (TE) do guia de onda

InP/GaInAsP tipo degrau [9].

Através da Figura 3.7(a) vemos que o sinal de fotoluminescência (PL) TE guiada

típica na estrutura InP heterogênea (curva escura) é coletado colocando-se a fonte de

excitação em uma região da amostra sem estrutura periódica à uma distância d =

70μm da faceta clivada. As setas indicam as contribuições de QW1 e QW2 das duas

QWs GaInAsP, bem como a grande absorção dos menores comprimentos de onda

devido à reabsorção QW dentro do guia. Observe a baixa intensidade da emissão PL

em λ

GAP

= 1,18μm do núcleo quaternário de GaInAsP do guia. Para comparação, a

emissão PL frontal está mostrada através da curva com coloração cinza. Podemos

observar através da Figura 3.7, que as perdas modais (TE) do guia de onda

InP/GaInAsP tipo degrau. As setas indicam a emissão de comprimento de onda de

QW1 e QW2.

O coeficiente de absorção plotado na figura Fig. 3.7(b) foi obtido através da medição

do sinal guiado I

(λ, d), para diferentes valores de “d” entre 50 e 100μm, utilizando-se a

fórmula de Lambert-Beer modificada, a fim de se levar em consideração a variação do

ângulo de coleta em função de “d” [41]:

0-4!

“A” é uma constante, I

(λ) é a intensidade emitida no ponto de excitação, e T

air

é o

coeficiente de transmissão na interface com o ar. A curva de extinção apresenta dois

degraus correspondentes à absorção devido aos QW1 e QW2. As duas setas indicam

a emissão nominal dos comprimentos de onda de QW1 e QW2.

Amostra de GaAs: Através da Figura 3.8(a) apresentamos a PL frontal de uma

amostra de GaAs contena do três camadas de QDs. A largura espectral da emissão

frontal é de 112nm. O pequeno pico em torno de 923nm corresponde à camada com

alto conteúdo de InAs. A PL lateral não está polarizada, porém devido ao diferente

acoplamento referentes aos modos TE e TM, o sinal TE guiado medido na faceta é

mais que duas vezes maior que sinal TM [31], o que está de acordo com a exploração

da PBG dos nossos PhCs. O sinal PL TE guiado possui uma banda relativamente

plana centrada em torno de λ = 1050nm e com largura Δλ= 150nm (Vide Figura 3.8(b)).

O sinal lateral guiado é na verdade muito diferente da PL frontal. A energia do sinal no

GaAs é fortemente absorvido para comprimentos de onda menores que 930nm.

Figura 3.8. Espectro PL na estrutura heterogênea de GaAs contendo três camadas QDs

auto-organizadas de InAs. a) Emissão PL frontal. b) PL TE guiada. c) Perdas modais

(coeficiente de extinção) [9].

As perdas modais totais devido ao confinamento do modo vertical e da reabsorção

da camada ativa é menor no caso de QDs em GaAS, do que para QWs em InP. Essas

perdas são da ordem de 120

-1

cm para três camadas de QDs (Figura 3.8c), enquanto

que para o caso de dois QWs no InP são da ordem de 200

-1

cm (Figura 3.7(b)).

3.2 Configuração dos Testes

Na Figura 3.9 mostramos o esboço da configuração do teste realizado, o qual

proporciona medições ILS tanto em amostras de PhCs de GaAs (λ = 1μm), quanto

de InP (λ = 1,55μm). Um LASER He-Ne (λ = 633nm) com potência de 17mW é

utilizado para excitar a emissão espontânea dentro da camada ativa. O fluxo LASER

é filtrado espacialmente e expandido, a fim de ser adaptado ao diâmetro da lente do

microscópio focalizado. O microscópio IR possui comprimento focal de 200nm e

abertura numérica de 0,4. O diâmetro da fonte de excitação (Φ = 2,5μm) proporciona

uma densidade máxima de excitação de 340kWcm

-2

. Quando focalizado pelo fluxo

LASER, um espelho “dichroic” em conjunto com uma câmera Si-CCD fornecem

simultaneamente o sinal incidente sobre a superfície frontal da amostra, bem como a

fonte PL excitada. O fluxo de luz que escapa da faceta clivada é coletado através de

lente Cassegrain 36 x acromática, com uma distância de operação de 8,6mm. A

acromaticidade é crucial para a utilização da configuração em duas diferentes faixas

de comprimento de onda de InP e GaAs. A limitada abertura numérica (A.N. = 0,5)

corresponde a um ângulo de coleta interno ao plano θ < 9º, e assegura a

direcionalidade da medição [68]. Um polarizador após a lente microscópica refletora

permite a seleção do componente TE (ou TM) do sinal. Finalmente, um divisor de

fluxo é usado para dividir o sinal coletado em dois fluxos.

Figura 3.9. Esquemático da configuração de operação experimental nas janelas de

1,55μm, e 1μm [9].

Um dos fluxos ópticos é encaminhado para a câmera de InxGa1-xAs na região

próxima ao infravermelho, através de uma lente focal longa (f = 40cm), para iluminar

a faceta. O outro fluxo óptico é acoplado em uma fibra óptica multimodo, para

alimentar um espectroscópio de campo plano de 46cm, para análise espectral. O

espectroscópio é equipado com detector de nitrogênio líquido gelado de InxGa1-xAs.

Os filtros “cut-off” evitam a passagem de luz do LASER de HeNe (633nm). Os

componentes chaves dessa configuração e suas respectivas performances são:

espectroscópio, detector, camara infra-vermelha, amostra e linhas de detecção.

O espectroscópio possui lente focal de 46cm fabricado por Jobin Yvon.

Dependendo da resolução e da cobertura espectral requerida, pode ser usada ou

uma grade com 150gr/mm em 1200nm, ou uma grade com 900gr/mm em 850nm.

Em 1500nm a resolução do espectroscópio com abertura de fenda de 10μm é de

0,04nm para 150gr/nm, e de 0,05nm para 900gr/nm, respectivamente. Quando

usada com um dispositivo detector CCD, a resolução para as duas grades em

1500nm são 0,7nm/pxl e 0,08nm/pxl, para as respectivas faixas espectrais de

360nm, e 40nm.

O detector é um dispositivo fabricado pela Sensors Unlimited, o qual se consiste

de duas barras entrelaçadas de 256 “pixels”, proporcionando um total de 512 “pixels”

em 50 x 500μm. Os “pixels” são obtidos de fotodiodos individuais dispostos em uma

disposição linear com um circuito multiplexador CMOS. O pequeno ganho de

assimetria entre as duas barras entre os “pixels” pares e ímpares acarreta um

problema de entrelaçamento, o qual, entretanto, pode ser corrigido via software.

Esse dispositivo está em contacto com um reservatório de nitrogênio líquido gelado

(T = 77K), proporcionando excelente razão sinal/ruído. Esse detector pode ser

operado ou em modo de auto-sensibilidade (HS mode), ou em modo de alta faixa

dinâmica (HDR mode). No modo HS o ganho é de 75 e

/contagem, com um padrão

fixo de ruído de 280 e

/s, e leitor de ruído de 640 e

rms. No modo HDR a

sensibilidade é de 2000 e

/contagem com um padrão fixo de ruído de 390e

/s, e um

leitor de ruído de 6100 e

/ rms. Como regra geral devemos passar do modo HS

(menor tempo de integração) para o modo HDR, quando o tempo de integração

exceder 80s, a fim de não se saturar o contador.

Figura 3.10. Esquemático focalizando diferentes linhas coletoras fornecidas através da

configuração [9].

A câmera infra-vermelha foi fabricada pela Sensors Unlimited baseada em uma

tecnologia similar ao detector. A área do chip mede 320 x 240 pixels, sendo cada

pixel de 40μm. A eficiência quântica é maior que 75% de 1 a 6 μm.

A amostra opera nas três direções espaciais (x,y,z) e com três rotações (Θ,Ф,ψ).

Os transladores x-y são equipados de micrômetros diferenciais com resolução de

0,07μm.

A configuração das linhas de detecção abrange três diferentes linhas de

detecção: frontal, lateral, e traseira, conforme pode ser constatado atravś da Figura

3.10.

3.3 Caracterização das Estruturas de Testes

A amostra a ser caracterizada contêm 4 e 8 filas nas orientações

ΓM

ΓK

bem como cavidades Fabry-Pérot 1D. Na Figura 3.11 está esboçado um layout

típico de uma estrutura de teste. Essa estrutura permite a avaliação da sua

qualidade e de suas principais parâmetros (posição da PBG, fator de preenchimento

(f), perda óptica).

Figura 3.11. Amostra de teste típica para caracterização básica de PhCs incluindo

cavidades 1D [9].

3.3.1 Placas PhC

A configuração experimental de PhCs para medições de transmissão está

ilustrada na figura 3.1. Essas medições proporcionam a localização da energia da

PBG e sua largura, a transmissão residual dentro da PBG, os níveis de transmissão

das faixas laterais, os quais estão relacionados às perdas fora do plano (Vide seção

3.4). Para se analisar as propriedades ópticas de uma estrutura PhC triangular é

suficiente se medir os coeficientes ópticos nas duas principais direções

cristalográficas

ΓM

ΓK

[41].

Na Figura 3.12 mostramos o detalhe da localização da linha de detecção frontal de

uma placa típica de um cristal.

Figura 3.12. Imagem de uma placa PhC orientada na direção

ΓM

, consistindo-se de três

blocos de 4, 8, e 10 linhas de buracos de ar, respectivamente. A seta mostra a fonte de

excitação típica (Ф = 4μm) [41].

Na figura 3.13 mostramos o espectro de transmissão através de 4 e 8 linhas em

PhCs baseados em GaAs ao longo das direções

ΓM

ΓK

para polarizações TE.

Os “stop-gaps” surgem em ambas as direções do espectro. O método “Plane Wave

Expansion (PWE)”, o qual está descrito no capítulo IV, foi utilizado para o cálculo

das posições das extremidades das faixas, em função do fator “filling” (“f”), o qual

permite a dedução de “f” a partir do espectro experimental. Observe que devido à

sua simplicidade e precisão, o método PWE possibilita a rápida caracterização do

PhC, de forma que podemos através desse método, determinar o valor efetivo de “f”

considerando-se a posição das extremidades da faixa.

Figura 3.13. Espectro de transmissão de um cristal com 4 e 8 filas de buracos orientado

nas direções

ΓM

ΓK

[9].

Na figura 3.1 a linha fina preta corresponde aos resultados do método FDTD sem

perda (f = 33%, ε’’ = 0), enquanto a linha ponteada representa os resultados

considerando-se as perdas (ε’’ = 0,08). OBS: O parâmetro de perda “ε’’ será

introduzido na seção 3.4.

A comparação entre o espectro experimental e o calculado através do método 2D

FTDT sem perdas leva-nos à conclusão de que o FTDT 2D não leva em

consideração um importante parâmetro físico. Observe na seção 1.3, que a terceira

dimensão do PhC representa uma importante função nas estruturas PhCs. Devido

ao fato de que os modos guiados em estruturas com baixo contraste de índice de

refração vertical estão situados acima da linha de luz, eles sofrem perdas ópticas e a

transmissão não é compatível com os cálculos puramente 2D considerados sem

perda fora do plano (ε’’ = 0). Geralmente a faixa no ar é mais sensível à perdas que

a faixa no dielétrico, tendo em vista que o campo está na sua maior parte

concentrado nos buracos de ar [34].

A discrepância entre a teoria e os experimentos pode ser resolvida através do

modelo ε’’, o qual leva consideração as perdas, através de uma constante dielétrica

complexa ε’’ nos buracos. A seção 3.4 detalha a constante dielétrica ε’’.

As faixas referentes ao direcionamento

ΓK

estão localizadas em energias mais

altas que as faixas referentes ao

ΓM

. Devido ao alto valor de k na fronteira da zona

de Brillouin, a “stopband”

ΓK

está centrada em energia mais alta que na “stopband”

ΓM

, porém ambas possuem larguras similares. Conforme já foi demonstrado

através de cálculos em estruturas de faixas puramente 2D [34], quando são

consideradas estruturas triangulares de buracos de ar em uma matriz dielétrica, a

largura da PBG TE aumenta em função de “f”, bem como também aumentam as

larguras das faixas de energia relacionadas ao dielétrico e ao ar (Vide seção 1.3.4).

Surgem interferências fora das “stopgaps” as quais são originadas pelas

interferências entre os modos de Bloch que se propagam dentro do PhC. Os modos

de Bloch são refletidos nas extremidades da placa PhC, ocasionando ondas

estacionárias, como também picos de transmissão similares à Fabry-Pérot. O

espaçamento entre os picos dos comprimentos de onda é função de N

-1

, onde N é

número de linhas [42].

A maior eficiência da difração no plano para

ΓK

em relação a

ΓM

[43] implica

em menores valores de T referentes à faixa do ar para

ΓK

, que para

ΓM

Tratando-se de estrutura com oito linhas, tanto para

ΓK

, quanto para

ΓM

, as

transmissões referentes às faixas do dielétrico são muito pequenas, provavelmente

devido à qualidade da fabricação para períodos muito pequenos (a = 195...210nm).

Finalmente, uma transmissão residual de 0,4% é observada dentro da PBG, para 8

linhas. Enquanto a faixa de energia do dielétrico é bastante independente de “f” para

valores menores que 0,5, a faixa de energia de ar se comporta de maneira oposta.

Nesse último caso, tendo em vista que o campo elétrico está localizado em sua

maior parte nos buracos de ar, a energia da faixa cresce rapidamente com “f” [43].

Então, ajustando-se a posição da faixa de energia do ar no espectro experimental,

os valores efetivos de “f” foram deduzidos, os quais estão mostrados na Tabela 3.2.

Essa tabela mostra também os valores de ε’’ (vide seção 3.4) para o método FDTD,

levando-se em consideração os valores de “f”.

Tabela 3.2 Visão geral dos resultados (f, ε’’) para placas PhCs baseadas em GaAs.

Placas

PhC (8

linhas)

PBG

(u = a/λ)

PWE FDTD

PWE

(ar) f

FDTD

(ar) ε (ar)

ΓM

0,18 a 0,28 0,333 0,33 0,08

ΓK

0,21 a 0,29 0,333 0,33 0,08

3.4 Modelo de Perda Óptica Fora do Plano

É necessário se acrescentar as perdas (“L”) aos parâmetros já apresentados (“T”)

e (“R”), uma vez que as perdas afetam de forma significativa a performance dos

PhCs. As perdas ópticas podem ser originadas por diferentes fontes, como, por

exemplo, perdas em guias de onda (propriedade dos PhCs “quasi-2D”) e

espalhamento fora do plano (no substrato e no ar). As perdas fora do plano podem

ser decompostas em perdas intrínsicas, e perdas devido às características dos

buracos (profundidade do buraco, forma do buraco, rugosidade da superfície do

buraco), ou seja:

ε" = ε"

intr

+ ε"

hole

. (3.18)

As perdas intrínsicas (ε”

intr

) ocorrem em uma estrutura com buracos infinitamente

profundos. Essas perdas são definidas pela estrutura heterogênea vertical (contraste

do índice de refração entre as camadas de núcleo e de revestimento, e espessura

das camadas) bem como por “f”. De modo superficial as perdas intrínsicas podem

ser atribuídas ao fato de que a luz não é guiada dentro dos buracos, devido a

ausência de confinamento dentro dos buracos (Figura 3.14).

Figura 3.14. Ilustração de forma simplificada das perdas fora do plano, causadas pela

ausência do confinamento vertical nos buracos.

Diminuindo-se o fator de preenchimento (“f”) as perdas intrínsicas diminuem, uma

vez que a porcentagem da parte não guiada da estrutura diminui. Por outro lado, a

largura da PBG também decresce. Um “f” moderado, em torno de 30%, é um valor

aceitável para a obtenção de uma suficiente largura da PBG, e perdas ópticas

aceitáveis.

Tanto a profundidade com dimensão finita (vide seção 3.4.2), quanto o formato

não cilíndrico dos buracos (vide seção 3.4.3), devem ser levados em consideração,

em relação às perdas.

Uma imperfeição do PhC pode ser o desvio da circularidade dos formatos

individuais dos buracos, bem como flutuações das origens desses buracos em

relação à estrutura perfeita. É possível a determinação experimental das perdas L =

1 - (T + R + D), medindo-se o conjunto total de parâmetros T, R e D [40], onde T e R

já foram acima definidos, e D é difração no plano. Entretanto, esse último

procedimento consome muito tempo, e trata-se de um método muito delicado.

A idéia do modelo ε” é a introdução de uma constante dielétrica imaginária ε” nos

buracos de ar, a fim de podermos levar em consideração as perdas devido ao

espalhamento. As perdas em estruturas totalmente 3D podem, dessa maneira, ser

levadas em consideração a partir de estruturas simplificadas 2D. Esse procedimento

é muito utilizado quando são necessários a elaboração de cálculos pesados e

complexos de estruturas 3D. Dessa forma, esses cálculos podem ser aproximados

através de cálculos 2D, incluindo o parâmetro de perda ε”.

Tratando-se de cálculos através do método FDTD, ε” é introduzido como um

parâmetro da condutividade, σ(λ) = (c/2 λ) ε” [79].

A perda total pode ser determinada através da plotagem do espectro de

transmissão no PhC via FDTD. A figura 3.15 mostra a dependência do espectro de

transmissão em relação ao parâmetro ε”, para o caso de InP. É importante se

afirmar, que a faixa no ar é mais sensível à perdas, que a faixa no dielétrico, pois

existe maior concentração da energia do campo nos buracos de ar.

Figura 3.15. Espectro de transmissão de PhC com 8 linhas

ΓM

, calculado via FDTD, para

diferentes valores de ε” (parâmetros: InP, polarização TE, f = 0,35) [9].

Os cálculos para elaboração da Figura 3.15 foram elaborados através da

ferramenta de M. Qiu, KTH, Suécia.

3.4.1 Perdas Intrínsicas

As perdas intrínsicas representam o limite mínimo possível de perdas ópticas que

pode ser alcançado através de uma perfeita fabricação do PhC. H. Benisty et al.

desenvolveram um modelo para o cálculo das perdas intrínsicas baseado no método

da perturbação.

Consideremos a Equação da onda de um meio não homogêneo sem dispersão

tri-dimensional, com constante dielétrica ε(r):

. (3.19)

Aproximando-se a equação (3.19) para campo escalar temos:

, (3.20)

onde U(r) é um campo escalar. Assumindo-se que a composição dielétrica pode ser

decomposta nas direções horizontal, e vertical (

vh



x , y , z



=ε



x , y



ε





− A

), a

Equação da onda resultante pode ser resolvida através do campo separável



x , y , z , W



=ψ



x, y







jwt

[44]:

. (3.21)

Na Equação (3.21)

e A é uma constante, que será determinada a seguir.

Aplicando-se a identidade

∇



ψξ





∇



. ξψ



∇



, a Equação (3.21) pode ser

decomposta em duas equações, as quais precisam ser resolvidas simultaneamente:

, (3.22)

. (3.23)

Da Equação (3.23) e sabendo-se que

−K

eff

, temos que A = (n

eff

)

, ou

seja, trata-se do índice efetivo de refração do primeiro modo guiado da estrutura

vertical não padronizada. O PhC 3D descrito por ε

(x,y,z) pode ser decomposto na

denominada configuração ε

v+h

separável, juntamente com uma perturbação

consistindo-se de uma disposição de plugues dielétricos em ar com constante

dielétrica

Δε=ε

−ε

dentro do núcleo, conforme está mostrado na Figura 3.16) [44].

Figura 3.16. Configuração dielétrica 3D real [44].

A configuração dielétrica 3D real ε

(x, y, z) pode ser representada através da

superposição de um guia de onda planar (ε

(z)), com um PhC 2D (ε

(x,y)), e com

uma perturbação Δ

(x,y,z) [44].

A decomposição da configuração separável não é única. O problema se consiste

na obtenção do gráfico dos quatro valores distintos da configuração separável

+h(z), relacionando-se com as três constantes dielétricas existentes no PhC

(ε

,ε

,1), da configuração não separável 3D ε

D(x,y,z) [80], proporcionando um

sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas:

. (3.24)

O acima exposto está em contraste com o cálculo de ε’’

hole

da próxima seção, que

faz o cálculo de ε’’

intr

, menos confiável do que ε’’

hole

. Observe que a decomposição

correta ainda requer esforços adicionais.

Na primeira aproximação de Born a perturbação Δε(r) leva a uma polarização

periódica espacial

ΔP





=ψ



x , y







Δε





. Cada plugue dielétrico pode ser

considerado como uma fonte dipolo elétrico radiante, a qual emite luz no ar, no

substrato e no núcleo. Apesar de que o dipolo está embutido em uma complicada

estrutura heterogênea, podemos fazer uma aproximação, considerando-se que essa

fonte emite luz em um meio com índice de refração n

= (ε

)1/2 [44]. Para a radiação

de uma estrutura periódica de buracos, podemos esperar um espalhamento

coerente de Bragg, de forma que apenas uma parte da emissão total (η) é acoplada

aos modos de radiação. Existem, entretanto, diversos argumentos que justificam a

focalização em apenas um único buraco, ou seja, que se pode desprezar os efeitos

coerentes. No caso de estrutura 2D a luz espalhada é direcionada principalmente no

plano horizontal, e a integral sobre a metade do espaço vertical proporciona valores

constantes, independentemente da quantidade de espalhadores. Por outro lado, a

desordem também ajuda a destruir a coerência. Adicionalmente, quando se leva em

consideração os efeitos finitos originados no cristal, devido a um pequeno número

de linhas, ou da pequena profundidade de penetração, podemos assumir que os

espalhadores individuais emitem de forma incoerente [44]. Caso contrário, temos

que levar em consideração a modificação da emissão isotrópica do dipolo através da

estrutura heterogênea do cristal, levando-se em consideração a utilização da

eficiência de extração de uma conjunto de multi-camadas.

A energia dissipada em cada buraco levando-se em consideração o campo

elétrico pode ser analisada através de uma constante dielétrica imaginária ε

int

dada

por [45]:

. (3.25)

Na Equação (3.25) o campo elétrico 3D E

(x,y,z) pode ser convenientemente

decomposto em um perfil de campo vertical, e em um perfil de campo lateral de

modo escalar:

, (3.26)

, (3.27)

, (3.28)

assumindo-se E

como um campo elétrico unitário V-1m, e mantendo-se os perfis

vertical e horizontal como unidades de densidades unitárias m-1 e m-2,

respectivamente. De acordo com [44, 45], o valor de ε” pode ser assim expresso:

. (3.29)

Na Equação (3.29) w é a espessura do núcleo, η é a eficiência de extração do

dipolo em cada buraco, e

núcleo

é o fator de confinamento do modo no núcleo.

Então, para baixo contraste de índice de refração, as perdas intrínsicas devidas ao

espalhamento são calculadas em função do quadrado do contraste dielétrico entre o

núcleo e o revestimento. Para altos contrastes do índice de refração esse

relacionamento é quebrado, e as perdas são niveladas [46]. Analisando-se a

Equação (3.29) parece evidente que as perdas podem ser reduzidas através da

redução do contaste do índice de refração. Entretanto, diminuindo-se Δε o

confinamento vertical é reduzido, e o formato do modo se estende para uma maior

parte dentro do revestimento. De acordo com o que será descrito na próxima seção

existe uma relação apropriada entre a redução das perdas intrínsicas e as perdas

devidas à finita profundidade dos buracos. Às vezes é mais conveniente se escrever

Equação (3.29) da seguinte forma:

. (3.30)

A Equação (3.30) representa uma lei que nos permite a obtenção de ε’’

int

para

diferentes valores do fator de preenchimento, ou sistema material. Cálculos exatos

3D inspirados na análise de rede de Fourier para estruturas heterogêneas baseadas

em GaAs proporcionam as perdas intrínsicas na faixa 0,024 a 0,048 [47]. Para o

caso de InP, de acordo com a Equação (3.30), obtemos um valor menor (0,01 a 0,02

[81]), devido ao menor contraste do índice de refração vertical Δε.

3.4.2 Perdas Devido à Profundidade Finita dos Buracos

De forma análoga às perdas intrínsicas, a configuração dielétrica 3D não pode ser

decomposta no caso de PhCs com profundidade finita dos buracos. A estrutura do

PhC é considerada como a soma do sistema ideal de buracos com profundidade

infinitamente longa (perdas intrínsicas), com uma perturbação dielétrica no fundo

dos buracos. Essa perturbação se consiste de plugues com constante dielétrica



ε=1−ε

, que se estendem de z = d, até z = -∞, conforme apresentado na Figura

3.17 [45]. A perturbação, quando considerada até o infinito, não se constitui em um

problema, uma vez que o sistema é dotado de modos guiados com extensão finita

dentro do revestimento.

Figura 3.17. Esquema de PhC com buracos de profundidades finitas [45].

Um PhC com buracos de profundidades finitas pode ser estudado como uma

superposição de um PhC com buracos de profundidades infinitas, com uma

perburbação com constante dielétrica

Δε=1−ε

, na parte errada do buraco.

Observe o esboço do fator de confinamento parcial

Γd

, ou seja, a sobreposição

entre o quadrado do perfil do campo, com a região errada do buraco de ar (buracos

não infinitos).

Em contraste com o caso das perdas intrínsicas, o dipolo irradia em um meio

heterogêneo com o índice de refração do revestimento. A influência do guia de onda

próximo comparado com modos da radiação do revestimento é desprezada [81]. Isto

significa dizer, que toda a potência do dipolo radiante é perdida (não existe eficiência

de extração). A constante dielétrica imaginária contabilizada para buracos com

profundidades finitas com perfeitos formatos cilíndricos é dada por [45]:

Na Equação (3.31) (3.31)

(3.32)

é o fator de confinamento parcial, ou seja, é a sobreposição do quadrado do perfil

campo ξ

(z), com a região errada da coluna de ar, n

clad

= (ε

)

1/2

é o índice de refração

do fundo do buraco de ar na área do revestimento, e Ld é definido como o

comprimento de decaimento exponencial de ξ(z), o qual é dado por:

. (3.33)

Na Figura 3.18 estão apresentadas as plotagens referentes a

Γd

e ε

hole

, para

diferentes sistemas de materiais, dos quais um deles é o sistema Al

1-x

As/GaAs, o

qual é utilizado nesse trabalho (Figura 3.18). A linha pontilhada representa o valor

típico da perda ε = 0,08.

Figura 3.18. a) Fator de confinamento parcial

Γd

plotado para três diferentes casos. b)

Parâmetro de perda ε

hole

[45].

Na Figura 3.18(a) estão plotados o fator de confinamento parcial

Γd

para três

diferentes casos: 1) PhC 2D típico baseado em GaAs/AlO

; 2) Estrutura de AlxGa

A /GaAs; 3) Estrutura baseada em InP/GaInAsP. Na Figura 3.18(b) estão plotados

os parâmetros de perda ε

hole

BΓd

estimados em função da profundidade do buraco

d, para três diâmetros de buracos, que correspondem aos valores típicos de “f” na

faixa de 0,2 a 0,3. As curvas estão mostradas apenas para valores na região do

buraco dentro do revestimento (|d| > Z

, conforme você pode observar na Figura

3.21).

3.4.3 Perdas Devido ao Formato dos Buracos

Atualmente, não se consegue fabricar os buracos de forma perfeitamente

cilíndrica, com fundo plano. Na maioria das vezes os buracos gravados no PhC

baseados em InP são cilíndricos na parte superior, e cônicos na parte inferior. Em

alguns casos a parte cônica é ainda truncada.

3.4.3.1 Buracos Cilíndrico-Cônicos

Geralmente ocorre que a parte cilíndrica dos buracos apenas é obtida na parte

superior dos buracos, ao passo que na parte inferior dos mesmos a tendência é o

surgimento de paredes oblíquas. Freqüentemente são encontrados PhCs de

buracos com fundo em formato cônico. Para efeitos de simplificação assume-se que

a porção cônica do buraco está inteiramente localizada dentro da parte no

revestimento. O parâmetro z

indica a localização da base cônica do buraco,

enquanto o parâmetro α indica a inclinação da parede lateral da parte cônica do

buraco, de acordo com a Figura 3.19.

Figura 3.19. Formato de buraco cilíndrico-cônico [45].

Na Figura 3.19 mostramos os principais parâmetros geométricos e o perfil do

campo guiado ξ(z). d

é a profundidade equivalente do buraco cilíndrico, o qual

fornece a mesma quantidade de perdas do buraco de fundo com paredes inclinadas.

Os cálculos para esse tipo de buraco apenas diferem dos cálculos para os

buracos cilíndricos no que diz respeito à avaliação do fator de confinamento parcial.

Para isso é necessário apenas se substituir

, (3.34)

onde g(z) é um fator de forma que contabiliza a quantidade fracionária da parte da

perturbação na profundidade z, que em princípio pode ser aplicada a um buraco com

formato arbitrário. Esse fator de forma é assim obtido:

. (3.35)

Na Equação (3.35) r(z) = (z – z

)tgα é raio local do cone, e r

é o raio do cilindro.

As equações (3.34) e (3.35) podem ser usadas diretamente para a avaliação da

Equação (3.31), porém é preferível se elaborar uma comparação entre o caso do

ideal do buraco com fundo plano, e o caso do fundo cônico. Por essa razão vamos

introduzir a profundidade equivalente d

[81], a qual corresponde à profundidade de

um buraco ideal perfeitamente cilíndrico, com a mesma quantidade de perdas:

, (3.36)

onde z

indica a localização da base do cone e h ≡ z

- z

é a altura do cone (Figura

3.19). Substituindo-se d na Equação (3.31) por d

, obtemos o fator de formato

cônico (ε”

con

O seguinte método foi elaborado para amostras de InP, porém esse mesmo

método pode ser aplicado para GaAs. O espectro experimental é comparado com o

espectro teórico calculado através do modelo TFDT 2D (Figura 3.20). Através do

gráfico teórico calculado para faixa da transmissão no ar, os valores dos parâmetros

de perda total foram obtidos (ε = 0,32

0,020). Subtraindo-se desse valor a parte

referente às perdas intrínsicas (ε”

int

≈ 0,01 a 0,02), obtemos a perda do formato do

buraco (ε”

hole

= 0,305

0,025).

100

Figura 3.20. Espectro de transmissão através de 8 linhas de PhCs orientados nas direções

ΓM

ΓK

para a amostra da figura 3.21 [45].

Na Figura 3.20 os espectros experimentais (curvas pretas) são comparados com

os espectros calculados via FTDT 2D (curvas cinzas).

Por outro lado, da análise micrográfica da inclinação do cone α podemos calcular

o primeiro L

decai

. Observe na Figura 3.21(a), que os buracos não são perfeitamente

cônicos, e que α varia ao longo de z. Tendo em vista o decaimento exponencial da

perturbação com a profundidade, as perdas dependem principalmente do formato do

buraco, ou seja, do ângulo, no primeiro comprimento de decaimento. Então L

≈

360nm, e α ≈ 2,5

± 0,5

. Esse ângulo exprime um fator de perda ε”

hole con.

= 0,3,

conforme está detalhado na Figura 3.21(b), o qual está em perfeita concordância

com os dados experimentais.

101

Figura 3.21. a) Esquema micrográfico de uma amostra InP com formato de buraco cônico,

típico (R

hole

= 200nm, f = 0,3). b) Dependência angular das perdas induzidas dependentes do

formato do buraco, para buracos estritamente cônicos [9].

Na Figura 3.21 (a) o ângulo do cone é α = 2,5

. Baseados na figura 3.21(b),

concluímos:

 Para ângulos menores que 0,5º (buracos com paredes quase retas com

algum L

decaim

dentro do revestimento inferior, as perdas de buraco com

formato cônico podem alcançar o nível das perdas intrínsicas (0,01 a 0,02

para InP).

 A caracterização ILS em conjunto com o método FTDT + ε” se constituem

em uma ferramenta precisa para análise. O ângulo de conicidade exprime

um valor de ε”, o qual pode ser medido de forma óptica.

 O limite de perda superior para aplicações com bom desempenho

corresponde a α < 1,5º, o qual trata-se de um valor que ultrapassa os

valores encontrados.

3.4.3.2 Cones Truncados

No caso de gravação ICP os buracos ainda são cônicos, mas os fundos dos

mesmos são truncados. A Figura 3.22 mostra o que escrevemos acima.

102

Figura 3.22. Fotografia microscópica de uma amostra InP gravada através de ICP (R

hole

120 nm, f ≈ 0,5) [9].

Da mesma forma que o caso das perdas em buracos com formato cônico, as

perdas na caso de cone truncado podem ser calculadas analiticamente através da

introdução de um fator de forma que proporciona a quantidade fracionária do

material, como uma perturbação em determinada profundidade z. Entretanto, o

objetivo não é o cálculo de estruturas com formatos mais complicadas, e sim separar

a profundidade e ângulo, e determinar a influência de ambos os parâmetros em

perdas. O modo analítico nos dá a condição de avaliar o peso de cada parâmetro, a

fim de verificarmos, se para uma determinada profundidade é melhor se reduzir o

ângulo, ou se aumentar a profundidade dos buracos. Conforme ilustrado na Figura

3.23, o complicado “plugue” no fundo do buraco pode ser decomposto em três

contribuições: (b), (c) e (d).

103

Figura 3.23. a) Esquemático de um buraco com formato de cone truncado. b) a (d):

perturbações parciais P1, P2, e P3, nas quais cada plugue radiante P pode ser decomposto

[48].

Os principais parâmetros geométricos, bem como também está ilustrado o perfil

do campo guiado ξ(z), e seu comprimento de decaimento L

no revestimento da

parte inferior estão mostrados na Figura 3.23(a). A região sombreada nas Figuras

3.23(a), 3.23(b), e 3.23(c), representa a perturbação dielétrica P complementar do

buraco de ar.

Na Figura 3.24 ε”

hole

está plotada em função de α para diferentes valores de “d”.

A curva calculada através das equações (3.31) e (3.36) para o caso de buracos

cônicos com os mesmos valores de ângulos pode ser usada para a obtenção de

comparação (linha cinza fina). Podem ser identificados três regimes: Para pequenos

valores (α < 0,03º) a contribuição do formato para as perdas é desprezível e ε”

hole

um função da profundidade do buraco “d” (regime de formato cilíndrico). Por outro

lado, para grandes ângulos (α > 1º), D

<< D

para todos os valores de “d”, e o

formato do buraco tende ao limite do cone (regime com formato cônico). Entretanto,

ε”

hole

é quase independente da profundidade do buraco. Finalmente, no caso

intermediário o regime de cone truncado é obtido e tanto “d” quanto α precisam ser

considerados na análise da influência do formato do buraco em perdas fora do

plano.

104

Figura 3.24. Plotagem do têrmo $

%

em função do ângulo do cone α [48].

Os cálculos para obtenção da Figura 3.24 foram efetuados para PhC baseado em

InP com f = 0,5 e D

= 460nm. A faixa de profundidade total “d” varia de 2 a 4μm

(com passos de Δd = 0,1 μm). Os formatos cônico e cilíndrico estão indicados,

enquanto a curva obtida para um buraco cônico simples é mostrada como referência

(linha cinza fina).

Observe que os ângulos maiores são mais importantes que a profundidade,

especialmente quando ε”

hole

> ε”

intr

. Um valor típico para perdas intrínsicas, ε”

intr

. =

0,015 está indicada na figura 3.24. A análise mostrada a seguir foi obtida em uma

amostra de InP, porém o mesmo método pode aplicado para GaAs. A figura 3.25

mostra a transmissão experimental através de 8 linhas orientadas na direção

ΓM

um PhC gravado em InP (ICP). A curva experimental foi obtida através de cálculos

FTDT 2D com “ε” e “f” como parâmetros livres. Dois diferentes conjuntos de

parâmetros ((f = 0,52, ε” = 0,045) e (f = 0,49, ε” = 0,09)) foram usados no cálculo das

faixas do dielétrico e ar.

105

Figura 3.25. Espectro de transmissão através de oito linhas orientadas na direção

ΓK

O espectro experimental é comparado aos cálculos via FDTD 2D (linha sólida, f =

0,52, ε” = 0,045, linha pontilhada: f = 0,49, ε” = 0,09 na Figura 3.25).

Utilizando-se a Equação (3.26) as perdas intrínsicas (ε”

intr

.) totalizam 0,02 a 0,03,

de forma que ε”

hole

na faixa do ar mede

de 0,06 a 0,07. Esse valor ocasiona que o

ângulo do cone α varia entre 0,7º a 0,8º, com d > 2μm, o que está em acordo com a

análise teórica, nos levando ao diâmetro do buraco entre 200 a 500nm, que

representa uma razão de aspecto de 14, e uma profundidade total > 3μm.

Comparando-se com a figura 3.24 podemos notar que o PhC ainda está operando

em um regime onde as contribuições de perda se dão principalmente devido à

verticalidade lateral, enquanto que o efeito do aumento da profundidade do buraco é

quase desprezível. Então, esse modelo se constitui em uma valiosa ferramenta para

a decisão de quais parâmetros devem ter prioridade (por exemplo, profundidade do

buraco e/ou ângulo de inclinação). Observe que tratando-se de um regime

fortemente cônico não é recomendável se aumentar a profundidade dos buracos,

sem se corrigir o ângulo no primeiro comprimento decaimento.

3.4.4 Modelo de Perdas para Estruturas Baseadas em GaAs

A profundidade dos buracos em GaAs em tese é tipicamente d = 1,1μm, de

acordo com a Figura 3.26. Essa figura mostra uma fotografia micrográfica, através

da qual se pode constatar, que os buracos não são perfeitamente cilíndricos.

106

Figura 3.26. Corte lateral de determinada estrutura PhC [9].

A Figura 3.26 foi obtida através de uma fotografia micrográfica (SEM) de uma

amostra de GaAs clivada através de uma linha de buracos. A profundidade dos

buracos é de 1,1μm.

Calculando-se agora as perdas intrínsicas referentes à estrutura heterogênea

baseada em GaAs, levando-se em consideração o valor correto de “f”, bem como

das faixas de energia para o ar, temos que ε”

intr

. = 0,06 ± 0,01. Subtraindo-se esse

valor do valor de ε” referente à faixa do ar temos que ε”

hole

= 0,02 ± 0,01. Aplicando-

se o modelo para buracos cilíndricos (Equação 3.31), obtemos que a profundidade

do buraco fica entre 950nm a 1150nm, o que está em acordo com a imagem SEM

acima apresentada.

107

4 MÉTODOS NUMÉRICOS UTILIZADOS

4.1 Método “Plane Wave Expansion” 2D

O PWE trata-se de um método simples e direto para representar campos

periódicos que usam expansão clássica de Fourier em termos de função harmônica

definida através da estrutura recíproca de vetores. Nesta seção faremos a

explanação detalhada da Equação fundamental das ondas, e de sua implementação

em um problema algébrico de auto-valores considerado para o caso de PhCs 2D.

As equações de Maxwell em um material elétrico polarizável, e magnetizável em

unidades MKS são:

, (4.1)

, (4.2)

, (4.3)

, (4.4)

onde E e B são os valores médios dos campos elétrico e indução magnética,

respectivamente, no vácuo. Tratando-se de um meio dielétrico homogêneo, as

relações entre as quantidades macroscópicas (deslocamento D e campo magnético

H) e as quantidades microscópicas (E e B) são:

, (4.5)

. (4.6)

Os campos são considerados fracos, os quais não se modificam demasiadamente

rápidos no tempo e no espaço, sendo ε e μ a constante dielétrica relativa, e a

permeabilidade magnética relativa, respectivamente [49]. Além disso, as seguintes

hipóteses são consideradas:

 Cargas elétricas (ρ) ou correntes J são desprezadas.

 As intensidades de campo são bastante pequenas, a fim de se operar no

regime linear.

 O material é localmente macroscópico e isotrópico, ou seja, a constante

dielétrica ε(r) é escalar.

108

 A permeabilidade magnética é muito próxima ou igual à unidade (μ

≈ 1).

 Apenas dielétricos sem perda são considerados, para os quais ε(r) é uma

quantidade real.

Levando-se em consideração as hipóteses acima definidas as equações (4.1) a

(4.4) tornam-se:

, (4.7)

, (4.8)

, (4.9)

. (4.10)

Assumindo-se ondas planas para os campos, elétrico, e magnético, ou seja,





=ae

jk.r





=ae

jk.r

, as equações (4.7) e (4.9) ficam:

, então, a.k = 0. (4.11)

Assumindo-se dessa forma a transversalidade, podemos nos concentrar em outra

das equações, enquanto a transversalidade existir. Levando-se em consideração a

dependência dos campos em relação ao tempo, podemos assumir uma oscilação

harmônica, ou seja,



r ,t







jwt



r , t







jwt

, o que não é uma restrição

pois as equações de Maxwell são lineares, e podemos incluir uma dependência em

relação ao tempo mais complexa devido aos modos harmônicos. Inserindo-se os

campos harmônicos nas equações (4.8) e (4.10) obtemos:

, (4.12)

. (4.13)

Dividindo-se a Equação (4.12) por ε(r), e inserindo-se a Equação (4.13) na

mesma obtemos a equação fundamental para o campo H:

, sendo (4.14)

Por outro lado, efetuando-se o rotacional da Equação (4.13), inserindo-se a

equação (4.12) na mesma, e dividindo-se por ε(r), obtemos a Equação fundamental

para o campo E:

109

, sendo . (4.15)

O operador possui a conveniente propriedade de ser tanto linear, quanto

hermitiano. Entretanto, o operador não é hermitiniano. Esse problema pode ser

resolvido definindo-se um novo campo F(r) = (ε(r))

1/2

E, o que transforma a Equação

(4.15) em:

, sendo . (4.16)

Observe que o operador é hermitiano, com a desvantagem de que o campo F

não é transversal (k.F ≠ 0). A dimensionalidade (1D, 2D, 3D) ainda não foi

considerada.

O problema de auto-valores de um guia de onda em PhC 2D simétrico pode ser

dividido em duas distintas polarizações: TE (H

= H

= E

= 0) e TM (E

= E

= H

= 0)

, (4.17)

. (4.18)

Até agora ainda não levamos em consideração a periodicidade do meio, no qual

os modos são denominados modos de Bloch, onde:

(4.19)

Na Equação (4.19) u

(r) é uma função periódica em r, ou seja, u

(r + R) = u

(r).

Vamos expandir u

em uma série de Fourier, sobre uma estrutura de vetores

recíproca. Vamos assumir que todos os vetores do espaço real e recíproco estão no

plano 2D. Então, um caminho para se resolver as equações (4.17) e (4.18) é se

expandir tanto a configuração dielétrica inversa, quanto o campo magnético em uma

onda plana básica:

(4.20)

110

, (4.21)

, (4.22)

onde G

representa a estrutura recíproca de vetores, e k é um vetor recíproco dentro

da primeira zona de Brillouin. Os modos Bloch podem ser relacionados através de

seus respectivos valores k. Substituindo-se essas expansões nas equações (4.17) e

(4.18), encontramos um específico problema de auto-valor em forma de matriz [50].

As equações abaixo são obtidas após as substituições acima referidas:

(TE), (4.23)

(TM), (4.24)

, (4.25)

(4.26)

111

(4.27)

4.1.1 Estruturas PhC 2D

Os parâmetros estruturais das duas geometrias 2D mais usadas, incluindo suas

zonas de Brillouin foram apresentados na seção 3.3.2. Devido à simetria rotacional

da estrutura, temos zonas redundantes na zona de Brillouin, proporcionando a

focalização do problema apenas na parte irredutível da zona de Brillouin, a qual

engloba os três pontos de simetria (região sombreada da figura 2.6). O vetor k no

plano é facilmente introduzido nos cálculos das PBGs das estruturas, através de um

método direto: Tendo em vista que a configuração das PBGs do dielétrico recíproco

é expandido em uma série de Fourier, a “diagonalização” pode ser unida sobre k.

Podemos calcular os auto-valores para diferentes valores de k ao longo das direções

de simetria da zona de Brillouin, ou em outras palavras, é suficiente se seguir um

caminho no espaço k na borda da zona irredutível de Brillouin, a qual é definida, no

caso da estrutura triangular, através dos três pontos de simetria,

, M, e K.

Os parâmetros estruturais (fator de preenchimento, constante dielétrica,

geometria da estrutura) são inseridos nos cálculos através da disposição (banco de

dados)



(definido na Equação 4.20). Onde possível, pode-se calcular os

coeficientes



de forma analítica, ao invés de forma numérica [51]. Uma limitação

dessa implementação específica do PWE está no “f” máximo. Uma vez que a matriz

k é calculada analiticamente através da elaboração da integral de Fourier sobre a

abertura circular dentro da célula unitária, assume-se que os buracos não são

sobrepostos, o que reduz a faixa utilizável de “f”, que por sua vez proporciona a faixa

para f = 0,785, e f = 0,907 para estruturas quadradas, e triangulares,

respectivamente. Por outro lado, a determinação dos elementos



através da

Transformada Rápida de Fourier (FFT), oferece um alto grau de liberdade em

112

relação ao formato arbitrário não circular dos buracos, ou em relação às estruturas

com valores extremamente altos de “f”, tais como estruturas com sobreposição de

buracos. Entretanto, os campos tendem a ser exclusivos próximos das laterais e

cantos agudos. O FFT aceita esse fato, o que pode causar imperfeições, se a rede

do PhC não for suficientemente fina. Os coeficientes de Fourier



(G) são

determinados através da integral sobre a superfície a

da célula unitária [50]:

, (4.28)

onde J

denota a função de primeira ordem de Bessel. Esse método, o qual utiliza

diretamente a transformada de Fourier da função dielétrica recíproca é também

denominado de método inverso. Para se obter somatórias finitas, as séries de

expansões dos campos e da configuração dielétrica são truncados. O número de

vetores recíprocos, bem como o número de ondas planas, determinam a precisão

dos cálculos. A estrutura recíproca é obtida através de todas as combinações

possíveis de vetores recíprocos:

, (4.29)

onde h

, e h

são números inteiros entre -∞ e +∞. Um método aprovado para o

truncamento é a definição de uma regra máxima G

max

e a seleção de vetores

recíprocos, os quais estão em conformidade com a condição |G| < G

max

[52]. Nesse

método o espaço recíproco é truncado isotropicamente. Quando ε(r) possui uma

descontinuidade de ligação, como é o caso da interface do buraco, sua transformada

discreta de Fourier possui uma longa extensão devido ao fenômeno de Gibbs [53].

Então, apesar de que as séries de Fourier nos levam em média à convergência, as

mesmas não conseguem seus objetivos com relação aos reais valores nas

descontinuidades simples. Nas descontinuidades em ε(r), os campos E, D, B ou H

são também descontínuos, o que caracteriza o lento decréscimo dos componentes

de Fourier mesmo tratando-se de grandes valores |G|. Um possível modo para a

redução do fenômeno de Gibbs pode ser aproximar a função de passo na

representação espacial da função dielétrica por uma função contínua, por exemplo,

uma Gaussiana de alta ordem. Um erro adicional na representação da matriz finita

de k(G

– G

) ocorre devido o truncamento assimétrico nas linhas G

≠ 0 [51]. Esse

113

erro adicional introduzido pelo truncamento assimétrico torna-se pior para

componentes onde |G

| → G

max

As equações de Maxwell no domínio do tempo podem ser reduzidas a um simples

problema de auto-valores. A Equação 4.30 resolve esse problema de auto-valores

para o caso de uma estrutura periódica:

. (4.30)

A Equação (4.30) é a denominada equação mestre. Observe que existe uma

semelhança em relação á equação de Schrödinger para o estado sólido. Os elétrons

em uma estrutura de cristal são substituídos por luzura periódica e o potencial de

Coulomb V pela permissividade elétrica ε.

Essa Equação (4.30) é um problema de auto-valores com um campo periódico







e um conjunto discreto de auto-valores. A precisão da solução é determinada

pelo número de ondas planas usadas no cálculo. Quando plotado em função do

vetor de onda k, os auto-valores com suas freqüências associadas formam o

diagrama de faixa de um PhC. Essas soluções são funções periódicas do vetor de

onda k, onde existem apenas múltiplos de 2π em um PhC, ou seja, as propriedades

de um PhC são periódicas. Para o cálculo do diagrama de faixa podemos usar o

software livre MIT Photonic Bands (MPB), onde tanto a análise 2D, quanto 3D

podem ser implantadas. Esse software além de calcular a faixa da estrutura de um

cristal periódico, pode também para simular cavidades e guias de ondas. Para PhCs

esse programa utiliza o método da super-célula, quando o PhC com defeito é

analisado em duas dimensões. Esse fato aumenta o tempo de computação, uma vez

que são necessárias mais ondas planas para o cálculo preciso do campo

eletromagnético. A super-célula precisa ser definida com suficiente dimensão, a fim

de se evitar o acoplamento referente aos defeitos adjacentes. Devido ao seu método

de super-célula periódica esse método é limitado ao denominado problema “aberto”,

tais como curvas, e divisores.

A precisão desse método é dada pelo truncamento dos valores de G (G

max

) da

estrutura recíproca. Assumindo-se que a super-célula possui n.m células unitárias, o

número de ondas planas necessárias é dado por:

114

max



2π

n . a



2π

m.a



. n. m

. (4.31)

Na Equação (4.31) N

é o número de ondas planas necessárias para o cálculo

dos modos do cristal fotônico, onde se considera apenas uma célula unitária (

max

). Observe que no caso do cálculo utilizando-se uma super-célula, são

necessários n.m mais vetores recíprocos, a fim de se obter a mesma precisão.

O software MPB (“MIT Photonic-Bands”) baseado no método “Plane Wave

Expansion – PWE” é grátis e roda sobre o Linux, ou Windows. Esse software é

apropriado para o cálculo das relações de dispersão de sistemas ópticos, inclusive

PhCs, e foi desenvolvido por Steven G. Johnson do Departamento de Física do MIT

(Massachusetts Institute of Technology).

4.2 Método “Finite Difference Time Domain”

O método Finite Difference Time Domain (TFDT) é um dos mais antigos e

utilazados métodos de simulações. Matemáticamente esse método usa a forma

diferencial parcial das equações de Maxwell, e as modifica em equações diferenciais

centrais, as quais podem ser discretizadas em diferenças finitas, conforme mostrado

na Figura 4.1. A estrutura a ser calculada é definida em um domínio subdividido de

células unitárias retangulares. Os campos E e H de quaisquer problemas podem ser

resolvidos para cada célula unitária.

Figura 4.1. Grade de malha de um PhC para formar um célula unitária no FDTD.

115

Desse modo, o campo propagante é conduzido em passos de tempo, onde

durante cada passo de tempo os campos E e H são atualizados de forma interativa.

Especialmente, quando aplicado para todas as três dimensões, esse processo

consume muito tempo, e exige muitos recursos computacionais. Essa rotina de

resolução calcula os campos E e H em qualquer tempo, para cada ponto do

domínio, e pode ser usado posteriormente para análises. As reflexões nas fronteiras

do domínio são evitadas através da aplicação de camadas perfeitamente casadas

(PML). Existem diversos softwares comerciais com o código FDTD, como, por

exemplo, o desenvolvido conjuntamente pela ETH e grupos industriais (SemCAD), o

qual integra um ambiente CAD. Outros softwares comerciais, baseados em FDTD,

rodando sobre o Windows são: FastFDTD da EmPhotonics, WinFDTD (grátis), e

EMExplorer.

Por outro lado o software MEEP baseado no método “Finite Dimension Time

Domain – FDTD” é grátis. Esse software foi desenvolvido pela mesma equipe que

desenvolveu o MPB.

A estrutura é discretizada com uma malha não uniforme, a fim de se obter uma

boa representação dos buracos e limitar as incertezas devido aos degraus do

invólucro. Para reproduzir as formas curvas dos buracos, precisamos uma grade

fina, a qual exige muito tempo e memória. Para se obter um bom balanço entre

simulações precisas e recursos computacionais, são aplicados não menos que 10

pontos da grade por constante de periodicidade da estrutura (“a”), a fim de se

descrever a estrutura.

4.3 Método de Propagação Binária (“Binary Propagation Method-

BiPM”)

A própria equipe de pesquisas da Universidade Federal do Ceará (U.F.C.)

desenvolveu um método numérico, o qual foi denominado de Método de Propagação

Binária ("Binary Propagation Method" - BiPM), o qual utiliza a teoria “Split-Step

Fourier” e o método de Runge-Kutta de quarta ordem, para solucionar as equações

dos modos acoplados abaixo:

∂ A

∂ z



∂ A

∂t



∂

∂t



=iγ



∣A

∣

B∣A

∣



ikA

, (4.32)

∂ A

∂ z



∂ A

∂t



∂

∂ t



=iγ



∣A

∣

B∣A

∣



ikA

. (4.33)

116

Através do método “Split-Step Fourier” é possível a obtenção do cálculo numérico

dos campos se propagando no interior do dispositivo. O método de Runge-Kutta

auxilia o “Split-Step” fornecendo a precisão necessária.

Nas 4.32 e 4.33 V

é a velocidade de grupo, β

é o parâmetro de dispersão de

velocidade de grupo (GVD) (obtido em [54]), α = 0 é o parâmetro de perda óptica

(sistema considerado sem perda óptica),

é o parâmetro de não linearidade (

. 2π

λA

eff

), B é o parâmetro que governa a o acoplamento induzido não linear

XPM, e k é o coeficiente de acopolamento.

4.4 Método “Finite Element”

O método “Finite Element” (FEM ou método FE) é um método desenvolvido

originalmente para simulações em engenharia civil, o qual é usado para análises

complexas não lineares, bem como para problemas estáticos, como, por exemplo,

projeto de estruturas de aço e concreto. Uma das primeiras aplicações na

engenharia elétrica foi o cálculo de redes e máquinas elétricas.

O FEM é muito apropriado para cálculos de PhCs. Um domínio contínuo é

dividido em um conjunto de sub-domínios com um malha constituída por triângulos,

de cordo com a Figura 4.2. Tendo em vista suas diferentes dimensões, esses

triângulos são apropriados aos formatos dos buracos.

Figura 4.2. Grade de malha de um PhC usando FEM.

Entretanto, a malha do FEM não é limitado apenas para estruturas formatos

triangulares, uma vez que podemos selecionar qualquer forma, porém para uma

maior simplicidade, é preferível se utilizar simples polígonos.

117

As soluções via FEM são aproximadas através do uso de equações diferencias de

potencial (PDE), as quais são resolvidas através da completa eliminação da

Equação diferencial, ou transformando-a em uma Equação diferencial ordinária

equivalente, que por sua vez pode ser resolvida através de diferenças finitas. Para

minimizar a reflexão no dispositivo são usadas fronteiras apropriadas. A excitação

da estrutura é alcançada através da aplicação do campo H no início do guia de

onda. O espectro da transmissão é gravado através da razão do tempo médio de

potência do fluxo propagando-se entre as fronteiras de início e fim do dispositivo.

Podemos implantar o FEM através do software COMSOL. Devido à sua

habilidade de operar em grandes projetos, esse método é apropriado para

simulações de acopladores direcionais, e multiplexadores.

118

5 PONTOS DE DEFEITO, GUIAS DE ONDAS E

ACOPLAMENTO DE SINAIS EXTERNOS EM PhCs

5.1 Pontos de Defeito

Quando se altera o formato, ou a constante dielétrica de uma coluna, ou quando

se remove uma coluna, surge um ponto de defeito, devido à quebra de simetria, o

que ocasiona nesse local o surgimento de um modo, o qual não pode penetrar no

corpo do PhC e fica confinado nesse ponto de defeito, pois esse modo possui

freqüência dentro da PBG. Portanto esse ponto de defeito é uma cavidade, a qual

está cercada por superfícies refletoras, desde que possua dimensões apropriadas

para suportar um modo pertencente à PBG.

Vamos analisar uma cavidade criada em uma estrutura quadrada de hastes

dielétricas com constante dielétrica ε = 8,9 e raio r = 0,2a, alterando-se o raio da

haste dielétrica.

Na Figura 5.1 mostramos as freqüências dos modos referentes às cavidades

criadas (polarização TM), alterando-se o raio da haste dielétrica de 0

(completamente removida) até r = 0,7a.

Figura 5.1. Frequência normalizada do modo na cavidade em função do raio da cavidade

[6].

Para r = 0,2a não existe ponto de defeito no PhC, e nesse caso não acontece o

surgimento de um modo na PBG (0,32 a 0,44(2πc/a)). Quando o raio é menor que

0,2a, o modo que penetra na cavidade é monopolo. Entretanto, para raios maiores

119

que 0,2a os modos penetrantes apresentam diferentes configurações de campo

elétrico, as quais dependem do valor do raio, conforme mostrado na Figura 5.2.

Figura 5.2. Configuração de campos elétricos dos modos em função do raio da haste

dielétrica [6].

Os modos com as configurações denominadas dipolo, hexaplolo e dipolo-2 são

degenerados, enquanto que os modos com as outras configurações mostradas na

Figura 5.2 são “não-degenerados”.

A configuração dipolo é obtida para r = 0,34a, a qual é duplamente degenerada

com o outro estado (não exibido na Figura 3.28), o qual pode ser obtido através de

uma rotação de 90º. As três configurações apresentadas na parte central dessa

figura são referentes a modos degenerados, obtidos para r = 0,55a. A parte inferior

dessa figura apresenta as configurações de campo elétrico para os modos obtidos

para r = 0,7a.

120

5.2 Guiamento em Cristal Fotônico

Quando se insere um ponto de defeito na estrutura de um cristal fotônico perfeito,

surge uma perturbação, ocasionando um modo correspondente na PBG. Quando se

remove uma linha completa de buracos surgem vários modos na PBG, formando

uma função de dispersão de modos de guia de onda. Uma linha de defeito pode ser

formada não apenas pela remoção de uma linha de buracos, podendo também ser

elaborada, por exemplo, através da introdução de buracos menores. Vamos nos

deter nos guias de ondas formados através da remoção de uma ou mais linhas na

direção

ΓK

de uma estrutura PhC hexagonal. Esses guias de ondas são

denominados de acordo com o número de linhas omitidas, ou seja, uma estrutura

PhC com n linhas de defeito é denominada de guia de onda W

5.2.1 Guias de Onda W

Para obtenção de um guia de ondas PhC W1 (PhCW1), remove-se uma única

linha da estrutura do PhC, ocasionando uma largura de (3)

1/2

a (estrutura triangular).

Além da utilização convencional, os PhCWs podem proporcionar linhas de

atraso, compensação de dispersão, bem como grandes interações entre a luz

propagante e a matéria, nesse caso, explorando-se o fenômeno da propagação

lenta da luz.

Por outro lado, as propriedades de dispersão dos PhCWs podem ser alteradas

através da modificação da estrutura do PhC. Entretanto, essas modificações podem

ocasionar: a operação multimodo, a diminuição do coeficiente de acoplamento ao

meio externo, bem como problemas estruturais de continuidade, por exemplo, em

curvas e em regiões de separação da luz.

Na Figura 5.3(a) mostramos um diagrama de bandas para luz polarizada tipo TE

em um PhCW1 2D embutido em uma estrutura triangular de silício, na qual os

diâmetros dos buracos de ar é 0,3a (a é constante de periodicidade do PhC). A

estrutura PhC penetra na placa de silício com espessura de 338nm de uma pastilha

SOI, a qual possui espessura da camada de sílica de 1μm.

A relação de dispersão normalizada foi obtida para vetores de onda k

, ou seja, ao

longo da direção do núcleo do guia de onda. Observe no detalhe da Figura 5.3(a) a

supercélula adotada para as simulações no PWE. Conforme podemos constatar o

PhCW1 suporta um modo “even” (linha sólida preta), e um modo “odd” (linha

121

tracejada preta) dentro da PBG do PhC, cuja faixa de freqüências normalizadas vai

de aproximadamente 0,20 a 0,28u (u é a freqüência normalizada = a/λ). As

paridades dos modos são definidas através da simetria no plano, com relação ao

núcleo do guia de onda. Observe que o modo “even” possui relação de dispersão

plana para k

> 0,3 e possui declividade nula em k

= 0,5. Isto acontece devido aos

efeitos de dobradura que surgem no limite da zona de Brillouin.

Na Figura 5.3(b) está mostrado o diagrama da velocidade de grupo (v

) para o

modo “even” (preto). Observe a enorme redução de v

ao se aumentar o vetor de

onda (frequências mais baixas). Note ainda, que conforme esperado, para k

< 0,3,

≈ c/4 que é aproximadamente a velocidade de grupo do modo se propagando em

guia de onda convencional de silício (n = 3,5). Para k

> 0,3 vg decresce de forma

acentuada abaixo de c/20. Próximo de k

=0,5, v

tende a zero. Nesse caso, a luz

está se propagando no que se denomina de regime de propagação lenta da luz.

Portanto, em um PhCW1, diferentes freqüências irão se propagar com velocidade de

grupo bastante diferente. A curva na cor vermelha da Figura 5.3(b) mostra o

parâmetro de dispersão de velocidade de grupo (GVD). Observe que o parâmetro de

GVD no regime de propagação lenta da luz, cresce de várias ordens de magnitude

(variando entre -10

/km até -10

/km). Note que o enorme valor do parâmetro

de GVD nas proximidades da fronteira da zona de Brillouin distorce qualquer trem de

pulsos se propagando através do PhCW1. Portanto a alteração da v

e GVD

ocasiona a impossibilidade utilização do regime de propagação lenta da luz em

sistemas multiplexados por divisão de comprimento de onda (WDM).

122

Figura 5.3. (a) Relação de dispersão típica. (b) Velocidade de grupo (v

). (c) Distribuição

do campo modal em um PhCW1 [55].

Na Figura 5.3(a) está detalhada a relação de dispersão típica, mostrando a

frequência normalizada em função do vetor de onda normalizado, para um guia de

onda PhC 2D constituído por uma única linha de defeito suportando um modo “even”

(linha cheia) e um modo “odd” (linha pontilhada) dentro da PBG. O detalhe mostrado

no gráfico representa a supercélula usada nos cálculos via método ”plane wave

expansion” (PWE). Na Figura 5.3(b) está plotada a velocidade de grupo (v

) em

unidades da velocidade da luz no vácuo (linha preta) e parâmetro GVD (linha

vermelha), ambos em função do vetor de onda normalizado. Na Figura 5.3(c)

mostramos a distribuição do campo modal em um PhCW1 para os vetores de onda

representados pelos quadrados marcados em vermelho, amarelo e verde nas figuras

5.3(a) e 5.3(b).

O conhecimento da distribuição de campo modal pode ser explorada para se

encontrar as características de dispersão do PhCW1. Na Figura 5.3(c) mostramos a

distribuição de campo modal referente ao modo “even” dentro da PBG, para três

diferentes vetores de onda representados através dos quadrados nas cores verde,

amarela e vermelha que estão mostrados nas figuras 5.3(a) e 5.3(b). Para k

≤ 0,3

com v

= c/4 (quadrado verde), o modo está muito confinado no núcleo do guia de

onda, e o perfil dos campos é parecido com o perfil dos campos do modo

fundamental em um guia de onda tipo “ridge”. Portanto, nesse regime parecido com

o regime de propagação via diferença de índice de refração (“index-like regime”) o

123

modo é denominado de modo guiado por índice de refração (“index-guided”). No

início da região de propagação lenta da luz (quadrado amarelo) o modo começa a

penetrar dentro do revestimento do PhC e, nas proximidades do limite da zona de

Brillouin, possui seu campo altamente concentrado nas primeira e segunda linhas de

buracos (quadrado vermelho).

No regime “index-like” as propriedades do modo “even” depende principalmente dos

parâmetros das primeiras linhas de buracos, onde a parte lenta da propagação da

luz do modo é enormemente dependente dos parâmetros do revestimento do PhC,

especialmente, das primeira, e segunda linhas de buracos de ar. Na Figura 5.4 está

plotado o modo “even” para um PhCW1 cujo corpo do PhC possui buracos com

raios r = 0,3a, bem como com diversos outros raios. Na Figura 5.4(a) podemos

observar que D

representa o diâmetro dos buracos referentes à primeira linha de

buracos de ar, enquanto D

na Figura 5.4(b), representa os diâmetros dos buracos

referentes à segunda linha de buracos de ar. Observe que à medida que se diminui

os raios dos buracos da primeira linha de buracos, os modos possuem freqüências

mais baixas, tanto no regime “index-guided” quanto regime de luz lenta (“slow-light”),

o que representa o incremento do índice de refração efetivo. Além disto, a

declinação da curva de freqüências normalizadas para pequenos comprimentos de

onda aumenta em magnitude, e a banda passante, onde a relação de dispersão é

linear, aumenta no regime “slow-light”. Por outro lado, ocorre justamente o contrário

quando se aumenta os raios dos buracos de ar referentes à segunda linha de

buracos de ar.

Figura 5.4. (a) Diminuição da frequência normalizada do modo “even” em função da

diminuição dos raios dos buracos de ar da primeira linha de buracos de ar. (b) Aumento da

frequência normalizada do modo “even” em função do aumento dos raios dos buracos de ar

da segunda linha de buracos de ar [55].

124

Na próxima figura mostramos a configuração dos campos propagantes dentro um

PhCW1 com estrutura triangular de hastes dielétricas

PhC 2D com raio

= 0,2a, e

índice de refração n = 3,35 submersas em um substrato dielétrico com índice de

refração n

= 1,45, onde “a” é a constante de periodicidade do PhC, obtidas através

do software COMSOL.

A PBG dessa estrutura é 0,2639 < u < 0,3599 para modos

TM.

Para o comprimento de onda λ = 1,55μm, o qual é o mais utilizado em

comunicações ópticas, escolhemos a = 500nm e desta forma obtemos u = 0,3127

em relação a esse comprimento de onda. Note que essa freqüência normalizada

está localizada no meio da PBG.

Para se obter a configuração dos campos elétricos transversais, via COMSOL,

se propagando dentro de um guia de onda PhC procede-se da seguinte forma:

1) Selecionando a aplicação correta

 Abra o COMSOL Multiphysics.

 No campo “Space dimension” da janela “Model Navigator” selecione a

opção 2D.

 Expanda o campo “RF Module” da lista “Application Modes”, expanda a

opção “In-Plane Waves”, expanda a opção “TE Waves”, selecione

“Harmonic propagation”, e clique no botão OK.

Na Figura 5.5 está mostrada a janela do COMSOL obtida ao se aplicar os

comandos acima referidos.

Figura 5.5. Abrindo um novo projeto através da janela “Model Navigator” do COMSOL.

125

Opções e Configurações

 Especifique comprimento de ondas (ao invés de freqüência) clicando com o

botão direito do mouse no campo “In-Plane TE Waves”, na árvore da janela

principal do COMSOL (“Model tree”), clique na opção “Properties” e na

janela “Application Mode Properties”, no campo “Specify wave using”, clique

em “Free space wavelength”.

 Clique no menu “Options”, selecione “Axis/Grid Settings” e configure o

desenho de acordo com as suas necessidades. No nosso caso, na guia “Axis”

deixamos marcada a caixa de seleção “Axis equal”, de forma que os valores

máximos e mínimos dos eixos foram dimensionados conforme a figura

abaixo. Você poderia dimensionar manualmente osvalores limites dos eixos x

e y, a fim de que o desenho fique melhor visualizado. Entretanto, usando a

ferramenta zoom, você pode visulizar o desenho da maneira mais apropriada

para o seu gosto.

Figura 5.6. Configurando eixos e grades do projeto.

3) Elaborando a geometria do projeto

 Utilize o “CAD” na janela principal do COMSOL através dos ícones

apropriados, e do menu “Draw”, para elaborar a geometria do projeto.

4) Configurações físicas e Condições de fronteiras.



Selecione “Scalar Variables” do menu “Physics”. Por enquanto, configure

apenas o comprimento de onda que você vai utilizar (1.55e

-6

m). Selecione

“Boundary Settings” do menu “Physics”. Selecione a opção “Scattering

boundary condition”, para todas as fronteiras do desenho. Observe na

Figura 5.7, que o campo elétrico é zero em todas as fronteiras (guia

“Conditions”, com exceção da fronteira 45 (onde será inserida a luz), na

qual adotamos, por convenção, o valor 1V/m.

126

Figura 5.7. Configurando as condições de fronteira.

5) Configuração dos sub-domínios

 Abra a janela “Subdomain Settings”, clicando na opção “Subdomain

Settings” do menu “Physics”. Observe que temos dois sub-domínios. Ar

(n_Ar) e hastes (n_Haste), que após você definí-las através do campo

“Specify material properties in terms of refractive index”, você indica os

respectivos valores desses índices de refração através da janela “Scalar

Expression” (“Options>Expressions>Scalar Expressions”).

NOTA: Tendo em vista que o índice de refração é dependente da freqüência você

pode ajustar o valor do índice de refração através da janela “Scalar Expression”.

Entretanto, como estamos usando apenas uma freqüência esse procedimento,

nesse caso, é dispensável.

6) Geração da malha

 Modifique os parâmetros padrões, para obter uma malha apropriada.

Nesse caso, abrimos a caixa de diálogo “Free Mesh Parameters”, do menu

“Mesh” clicamos em “Custom mesh size”, e configuramos “Element growth

rate para 1.55 e “Mesh curvature factor” para 0.65.

127

 Para obter a malha FEM, clique na opção “Initialize mesh”.

7) Obtendo a solução

 Clique no botão “Solve Problem” do menu “Solve”. Para tornar a figura

mais apropriada, selecione no menu “Postprocessing”, a opção “Plot

parameters”, e na guia “Surface”, marque a caixa de seleção “Colormap”

do campo “Surface color”, e selecione a opção “wave”. Na figura 5.8 está

mostrado as configurações dos campos elétricos modais propagantes.

Figura 5.8. Obtenção dos campos modais se propagando no interior do PhCW1.

5.2.1.1 Perdas Ópticas em um Guia de Onda W

Vamos analisar guias de onda W1 em placas PhC (PCS – “Photonic Crystal

Slab”) 2D. Na realidade, as placas PhCs são cristais fotônicos 2D obtidos a partir de

placas de semicondutores, nas quais ocorre o processo de reflexão interna total de

luz.

Nos guias de onda PhC embutidos em PCS, a luz é controlada no plano de

propagação através da estrutura de buracos de ar (ou hastes dielétricas), enquanto

na direção vertical a luz é guiada através de um alto ou baixo contraste do índice de

refração entre o núcleo e o revestimento da PCS. Geralmente, o confinamento

vertical não é perfeito, uma vez que a luz escapa do núcleo para o revestimento.

Essa perda, denominada de perda fora do plano (“out-of-plane loss”) é fortemente

dependente do perfil vertical da estrutura da PCS. Por outro lado, mesmo em PCSs

ideais pode haver perda óptica devido ao espalhamento intrínsico, quando os modos

de Bloch não estão totalmente confinados, apesar de que se pode inserir modos de

Bloch no abaixo da linha de luz do dispositivo PhC, de acordo com o projeto do

desejado.

As perdas ópticas acima referidas crescem em grande quantidade em função do

contraste entre os índices de refração do núcleo, e da casca da PCS. Se adotarmos

o regime de baixo contraste do índice de refração, por exemplo, sistema

GaAs/AlGaAs, as perdas ópticas não são nulas, entretanto podem ser compatíveis

128

com o objetivo do dispositivo PhC. Por outro lado, sistemas com alto contraste do

índice de refração, como, por exemplo, silício sobre isolante (“silicon-on-insulation”)

pode suportar modos sem perda óptica. Entretanto, uma violação na periodicidade

pode causar grandes perdas por espalhamento. As perdas intrínsicas fornecem

apenas o limite mínimo de perdas ópticas na PCS. Em estruturas reais pode ainda

ocorrer espalhamento adicional devido à rugosidade das paredes laterais dos

buracos (ou das hastes dielétricas).

Na Figura 5.9 mostramos um exemplo de geometria do perfil vertical de uma PCS

perfurada com buracos de ar.

Figura 5.9. Exemplo de perfil vertical de uma PCS perfurada com buracos de ar.

As placas PhC 2D estão atraindo de forma intensa a atenção dos pesquisadores

ao redor do mundo, devido ao alto fator de qualidade em nanocavidades, bem como

à pequena perda óptica nos guias de onda [56].

Teoricamente, um modo se propagando em um PCS ideal não apresenta perda

óptica, quando esse modo está dentro da PBG e abaixo da linha de luz. Entretanto,

a atual tecnologia de fabricação de PCS ocasiona desordem nanométrica, o que

proporciona um considerável aumento de perda óptica, devido ao espalhamento fora

do plano de propagação (“out-of-plane scattering”). Portanto, essa perda óptica pode

ser reduzida através da redução da desordem ocasionada durante o processo de

fabricação. Recentemente, foram fabricadas PCS de silício, as quais apresentam

fator de desordem (σ, RMS) em torno de 3nm. Guias de onda PhC (PhCW)

embutidos nesses PCSs apresentaram perda óptica de 5dB/cm, valor este que é

muito pequeno, quando comparado com os valores medidos anteriormente [57].

O formalismo da função de tensor de Green (GFT) pode ser usado para avaliação

do espalhamento devido à desordem. Foram efetuados cálculos e simulações

efetuados em PhCW1 embutido em PCS com constante de periodicidade a = 430nn,

perfurada com buracos de ar com raio r = 0,25a, as quais possuem uma grande

PBG para modos com polarização TE, conforme detalhado na Figura 5.10.

129

Figura 5.10. Esquema do teste usado para medição de perdas ópticas em PhCW1s

embutidos em placas PhC [58].

A rugosidade no plano de propagação referente ao dispositivo estudado é σ =

3nm (RMS do desvio em relação a uma superfície sem rugosidade).

O espectro de transmissão (polarização TE) para diferentes comprimentos de

guias de onda é mostrado na Figura 5.11.

Figura 5.11. Relação de dispersão do PhCW1 [58].

Na Figura 5.11 as frequências w

e w

representam as freqüências de corte dos

modos “even” e “odd”, respectivamente. Por outro lado, w

e w

representam,

respectivamente, os limites das frequências duplicadas da zona de Brillouin,

referentes aos modos “even” e “odd”. W

representa as frequências onde os modos

cruzam a linha de luz (ar) [58].

Observe na Figura 5.11 a freqüência de corte do modo “even” (w

) no limite da

PBG. Observe na Figura 5.12 que a área sombreada à direita de w

representa a

região de corte dos modos. Note ainda na Figura 5.11, que acima da linha de corte

, acima da qual o modo sofre uma grande perda óptica intrínsica devido a sua

penetração no revestimento. Apesar de que w

e wg

nos mostra a largura da janela

de transmissão, em nada auxiliam com relação ao espectro de perda óptica dentro

da janela de transmissão. Teoricamente, os modos entre as duas freqüências de

corte não apresentam perdas ópticas em guias de onda PCS com perfeita simetria

130

translacional. Portanto, qualquer perda óptica que ocorre nessa região é devido ao

espalhamento extrínsico, a qual surge no dispositivo PhC devido à desordem que

acontece durante o processo de fabricação, a qual destrói a simetria translacional.

Essa perda óptica extrínsica de propagação pode ser tratada como um problema de

espalhamento eletro-magnético.

Na parte superior da Figura 5.12 mostramos o espectro de transmissão para

diferentes comprimentos de guias de onda. Na parte inferior da Figura 5.12

mostramos o espectro de perda óptica referente ao guia de onda PhC. Observe que

o menor valor dessa perda óptica é aproximadamente 5dB/cm. Note ainda que a

largura de banda é de aproximadamente 50nm. É interessante se afirmar, baseado

na parte inferior da Figura 5.12, que a região que apresenta menores perdas ópticas

está no centro da PBG, abaixo da linha de luz e acima da freqüência de corte do

modo.

Figura 5.12. Parte superior: espectro de transmissão para diferentes comprimentos de

PhCW1s (0,1, 0,4, 0,7 e 1,0mm). Parte inferior: espectro de perda óptica do PhCW1 [58].

Os círculos e linhas sólidas na Figura 5.12 representam resultados obtidos via

medições. O espectro de perda óptica obtido via método GFT está representado

através de Figura círculos com interior branco. As freqüências determinadas

através da Figura 5.11 estão mostradas através das setas

131

5.2.1.2 Dispersões em um Guia de Onda W

Recentes pesquisas foram elaboradas para obtenção dos parâmetros de

dispersão referentes aos PhCW1, incluindo dispersão de velocidade de grupo

(“Group-Velocity Dispersion” (GVD)), dispersão de terceira ordem (“third-order

dispersion” (TOD)) e dispersão de quarta ordem (“fourth-order dispersion” (FOD)),

para altos valores do índice de refração de grupo (n

). Essas pesquisas mostraram

que os valores de GVD, TOD e FOD, para n

≈ 100, são, respectivamente,

~10

/mm, ~10

/mm e ~10

/mm. Os parâmetros TOD e FOD em simulações

sobre PhCW1 devem ser levados em consideração, quando se trata de pulsos

ópticos se propagando em regime de propagação lenta.

A estrutura triangular do PhC usado nessas simulações foi criada através da

perfuração de buracos de ar com constante de periodicidade a = 437nm, enquanto o

PhCW

embutido nessa estrutura foi obtido retirando-se um linha de buracos na

direção

Γ −K

. Na figura 5.13 está mostrado o esquema da membrana PhC, cuja

espessura é 0,5a. Observe na Figura 5.13 o guia de onda que interconecta o PhCW

ao meio externo.

Figura 5.13. Esquema da estrutura PhC onde o PhCW1 está embutido.

Os resultados experimentais mostraram que n

decresce em função do

incremento de r/a (r é o raio dos buracos). Os maiores encontrados para ng foram

110, 70 e 50, para r/a = 0,25, 0,30 e 0,35, respectivamente. Através da Figura 5.14

mostramos que o valor

(r/a = 0,25) permanece constante (≈ 4) no regime linear e

cresce rapidamente quando se aproxima do regime de propagação lenta do modo

guiado.

132

Figura 5.14. Índice de refração de grupo versus comprimento de onda [54].

Os círculos nas cores azul, vermelha e verde na Figura 5.14 mostram os valores

de n

obtidos de forma experimental, para r/a = 0,25, 0,30 e 0,35, respectivamente.

As linhas sólidas mostram os gráficos de n

em função do comprimento de onda do

modo guiado, calculadas através do método PWE 3D.

Os parâmetros GVD foram calculados computando-se a Equação (5.1)

2πc

∂n

∂ λ

. (5.1)

Os círculos sólidos apresentados na Figura 5.15(a) mostram os parâmetros GVD

obtidos de forma experimental. Levando-se em consideração que os resultados

negativos através da derivada de n

ocorrem apenas devido ao ruído, esses

resultados não apresentam significado físico. Portanto, apenas os valores positivos

de n

foram apresentados. Para n

> 70 as estruturas PhC com os três valores de r/a

apresentaram valores similares dos parâmetros GVD. Esses parâmetros medidos de

forma experimental (r/a = 0,25) foram 10

-2

/mm para n

≈ 4, 10ps

para n

≈ 25 e

/mm para n

≈ 100.

133

Figura 5.15. (a) Parâmetro GVD. (b) Parâmetro TOD. (c) Parâmetro FOD [54]..

Os círculos azuis, vermelhos e verdes na Figura 5.15 indicam os resultados

encontrados de forma experimental para r/a = 0,25, 0,30 e 0,35, respectivamente.

Os parâmetros TOD foram calculados a partir da Equação (5.2)

2πc

∂



GVD



∂ λ

. (5.2)

Na Figura 5.15(b) mostramos os parâmetros TOD. Os círculos sólidos mostram os

parâmetros TOD obtidos de forma experimental para os três valores de r/a. Da

mesma que descrevemos em relação aos parâmetros GVD, os resultados negativos

através da derivada de VGD ocorrem apenas devido ao ruído de GVD, e também

não apresentam significado físico. Os parâmetros TOD medidos de forma

experimental foram 10

-5

/mm para n

≈ 4, 10ps

/mm para n

≈ 25 e 10

/mm

para n

≈ 100.

Os parâmetros TOD foram calculados a partir da Equação (5.3)

2πc

∂



TOD



∂ λ

. (5.3)

Na Figura 5.15(c) apresentamos os parâmetros FOD. Os círculos sólidos mostram

os parâmetros FOD obtidos de forma experimental para os três valores de r/a. Os

parâmetros TOD medidos de forma experimental foram 10

-5

/mm para n

≈ 4,

/mm para n

≈ 25 e 10

/mm para n

≈ 100.

134

5.2.2 Guias de onda W3

Outro tipo de guia de onda muito estudado na literatura internacional é o guia de

onda W

. Nesse caso existem três linhas de defeito na a formação do guia de onda.

A relação de dispersão mostrada na Figura 5.16 indica que esse guia de onda

suporta, de forma significativa, mais modos que o guia de onda W

. A densa região

sombreada abaixo de 0,2 e acima de 0,27 pertencem aos modos do PhC, os quais

não são guiados no guia de onda, porém são guiados através do meio envolvente da

estrutura do PhC. Na relação de dispersão do guia de onda W

, podemos observar

que o modo fundamental “even” (linha vermelha da Figura 5.16) “cruza” e “anti-

cruza”, de forma alternada, os modos de ordem mais alta. Esse anti-cruzamento

causa um pequeno intervalo (“gap”) na relação de dispersão do modo fundamental

(detalhe da Figura 5.16) em torno k = 0,16*2π/a = 0,32π/a. Esse “gap” é

denominado de mini faixa proibida (“Mini-Stop Band – MSB”).

Figura 5.16. Relação de dispersão de um guia de onda W

com os diferentes modos

suportados [59].

Na Figura 5.16 as densas regiões sombreadas abaixo de 0,2 e acima de 0,27

pertencem às faixas do dielétrico, e do ar, respectivamente, nas quais os modos

estão mais precisamente localizados na estrutura do PhC do que no guia de onda. O

detalhe mostra com mais clareza a região da MSB.

135

5.2.2.1 Determinação do Índice de Refração Efetivo usando-se a

MSB

Os cálculos para a determinação do índice de refração referente ao PhC

propriamente dito (estrutura do PhC) onde o guia de onda PhC está embutido não é

tão simples. Podemos calculá-lo, assumindo-se um guia de onda PhC com a mesma

largura de um guia de onda convencional, ou utilizando-se uma grande área de

material dielétrico sem o distúrbio provocado pelos buracos. Para uma boa

representação 2D de um dispositivo PhC, precisamos conhecer dois parâmetros: o

índice efetivo de refração e o fator de preenchimento. Uma primeira estimativa do “f”

é obtida através de fotografias micrográficas (SEM) do dispositivo. Uma

determinação bem acurada dos parâmetros pode ser elaborada com o uso da PBG

e da posição da MSB, a qual é fortemente dependente do índice de refração efetivo,

conforme está indicado na Figura 5.17.

Figura 5.17. Posição simulada da MSB em função do índice de refração n

eff

[59].

A modificação de “f” além de ocasionar um deslocamento da relação de

dispersão, acarreta ainda um estreitamento, ou alargamento adicional do tamanho

da PBG. Vamos descrever um método diferente, no qual determinamos o “f”

utilizando-se a PBG, abrindo-se, e posteriormente sintonizando-se o índice efetivo

de refração, até que a MSB fique com a mesma freqüência normalizada usada nas

medições, conforme está apresentado na Figura 5.18(a).

136

Figura 5.18. (a) Determinação do índice efetivo de refração n

eff

utilizando-se a MSB medida

em guias de onda. (b) Comparação entre simulações 2D com valores encontrados e medidos

[59].

Observe na Figura 5.18(b), que a comparação entre simulações 2D e medidos,

mostra uma perfeita compatibilidade da posição da MSB. Das medições, podemos

extrair um índice efetivo de 3,178.

Uma simulação adicional no guia de onda W

com o método FE foi também

elaborado para se verificar os valores calculados, conforme pode ser observado na

Figura 5.18(b). A MSB surge nessa simulação como um pico estreito. O alargamento

da MSB nas medições é devido à perda, a qual não é leveda em consideração nas

simulações FEM.

5.3 Acesso ao PhC

Uma característica crítica dos dispositivos PhC é o acoplamento do sinal

proveniente do meio externo a esse dispositivo. Os guias de ondas convencionais

com propriedades de fraco guiamento possuem largura de alguns micrometros,

137

enquanto os guias de onda com estrutura hexagonal, por exemplo, possuem largura

de (3)

1/2

a, que nesse capítulo vamos considerar em torno de 750nm. Precisamos

encontrar uma transição que proporcione não apenas as propriedades de

acoplamento do sinal externo no dispositivo PhC, como também altas tolerâncias de

fabricação. Vamos, então, apresentar alguns projetos para esse acoplamento, tanto

em placas PhCs, quanto em guias de ondas PhC. Na Figura 5.19 mostramos as

partes referentes à transição acima mencionada.

Figura 5.19. Acesso a um guia de onda PhC através de guias de onda convencionais, e

guiamento no PhC [59].

Foram desenvolvidos vários esquemas para obtenção da conicidade necessária

para o acoplamento de sinais externos a PhC. Um dos tipos de projeto proporciona o

acoplamento de entrada através de guias de onda PhC de alto número, fazendo-se

então a transição para um de guia de onda menor de número menor, como, por

exemplo, W

, com um incremento gradual das dimensões dos buracos [62].

Nessa seção vamos descrever uma análise de diferentes regiões de entrada com

guias de onda convencionais, e com guias de onda PhC. A conicidade necessária é

obtida iniciando-se com um guia de onda de alto número, como, por exemplo, W

, ou

, e introduzindo-se um guia de onda com número menor em etapas, ou de forma

gradual. Primeiramente, vamos detalhar os acessos através de guias de ondas

convencionais (não PhCs), e a seguir descreveremos as entradas com guias de

onda PhC.

5.3.1 Acesso ao PhC Via Guias de Onda Convencionais

5.3.1.1 Visão Geral sobre o Acesso aos PhCs

Os guias de ondas dielétricos não PhC, já bem utilizados na integração óptica, em

geral são constituídos por uma camada de material dielétrico, como, por exemplo,

138

vidro, embutido em um outro material com um índice de refração mais baixo, como,

por exemplo, ar. O princípio do guiamento em tais guias de onda está baseado na

reflexão total. Vamos detalhar dois diferentes tipos de guias de onda convencionais

utilizados para acesso ao PhC: guia de onda tipo “cume” (“ridge”), o qual é formado

através da remoção de parte da camada de revestimento, conforme indicado na

Figura 5.20(a), inserindo-se, então, uma camada no topo com índice de refração

mais alto (região de guiamento), e o guia de onda tipo “rego” (“trench”), o qual é

obtido através do processo de gravação profunda para obtenção da região de

guiamento, cm pode ser visto através da Figura 5.20(b).

Figura 5.20. a) Acesso via guia de onda tipo “cume”. b) Acesso tipo guia de onda tipo “rego”

[59].

Na Figura 5.20(a) podemos notar o acesso via guia de onda tipo “cume”, o qual é

obtido através da remoção do material de revestimento e na Figura 5.20(b) o acesso

tipo guia de onda tipo “rego”, no qual podemos observar que o guia de onda está

gravado em local profundo do substrato.

5.3.1.2 Detalhes do Acesso ao PHC Via Guias de Onda

Convencionais

Vamos analisar um tipo de acesso obtido através de processo de gravura do tipo

EBL (“Electron Beam Lithography”) e ICP-RIE (“Inductively Coupled Plasma-

Reactive Ion Etch”) na região adjacente ao PhC, e através de litografia óptica no

139

restante do guia de onda de acesso (“trench”). O projeto desse acesso ao PhC está

mostrado na Figura 5.21.

Figura 5.21. Estrutura de acesso ao PhC para acoplamento da luz proveniente de um fibra

com extremidade cônica [59].

Observe que no início da região de penetração da luz a largura do guia de onda

tipo “cume” é de 5μm, e que ao longo de seu comprimento de 100μm sua largura cai

para 1,5μm. A partir daí o guia de onda é do tipo “rego”, o qual a partir de um

determinado comprimento tem sua largura novamente reduzida, dessa feita para a

largura desejada de 750nm, seguindo até o início do guia de onda PhC, conforme

está mostrado na Figura 5.22(a).

Figura 5.22. (a) Fotografia micrométrica (SEM) da transição “rego”/“cume”. (b) Simulação

da transmissão referente ao acesso, incluindo a transição “rego”/“cume” [59].

As transmissividades dos guias de onda de acesso foram calculadas via método

de propagação de fluxo (BPM). As diferentes seções cônicas do guia de onda até a

entrada do guia de onda PhC mostra uma eficiência de transmissão combinada de

80%, conforme podemos observar através da Figura 5.21 (b).

140

5.3.2 Acesso ao PhC Via Guias de Onda PhC

5.3.2.1 Conicidade W

para W

Esse tipo de acesso é obtido através da elaboração em etapas da conicidade,

conforme podemos observar através da Figura 5.23(a). Observe que a conicidade é

elaborada através transições a partir de um guia de onda PhC de alto número, para

um guia de onda PhC de número mais baixo, sem alterações no fator de

preenchimento. Esse dispositivo é muito compacto possuindo um comprimento de

acoplamento de apenas 6a. Após três linhas de buracos na direção do guia de onda

, o mesmo é alterado para guia de onda W

, e após mais três linhas esse guia de

onda W

se transforma em um guia de onda W

. Uma desvantagem apresentada

nesse processo é que o guia de onda W

suporta muitos modos acoplados, como

você pode notar através da Figura 5.23(a)). Por outro lado, o guia de ondas W

consegue guiar apenas um modo “even” e um modo “odd”, os quais não podem ser

acoplados um ao outro, conforme estamos mostrando na Figura 5.23(b).

Figura 5.23. (a) Modos em um guia de onda W

. (b) Modos “even” e “odd” em um guia de

onda W [59].

Esse fato ocasiona a desigualdade de modos, e apresenta fatores críticos

referentes às análises numéricas. As diferenças entre os resultados das simulações

podem ser observadas através da Figura 5.24.

141

Figura 5.24. (a) Esquemático de acesso via conicidade por etapas (W

-W

). (b)

Comparação entre diferentes métodos de simulação em termos de transmissão de potência

referente ao acesso W

-W

. (Material: InP3, f = 0,40) [59].

O método FE e as simulações FDTD estão em concordância, enquanto que

existem diferenças em relação ao método MMP (“Multiple Multipole Programs”) 2D.

Nos métodos FEM e FDTD são analisados todos os modos e suas reflexões na

entrada do guia de onda, bem como suas interações. Entretanto, no método MMP

apenas os modos fundamentais de W

e W

são excitados. Além disso, o método

MMP não considera as reflexões e transmissões dos modos de ordem mais alta. Na

Figura 5.25 está mostrado, que as simulações FDTD apresentam resultados

idênticos às medições. O pequeno deslocamento do comprimento de onda entre

medições e simulações é devido às variações de fabricação.

Figura 5.25. Transmissão medida (gráfico superior) e simulada 3D (gráfico inferior) para o

acesso tipo conicidade em etapas W5 para W1. (Material: InP3, f = 0,40) [59].

142

5.3.2.2 Conicidade W

para W

O acesso W

-W

já foi detalhado no acesso W

-W

. Para esse dispositivo o guia

de onda de acesso é iniciado com uma largura de 3(3)

1/2

a (estrutura hexagonal).

Trata-se de um acesso muito curto, uma vez que o guia de onda W

é iniciado após

três linhas ao longo da direção do guia de onda W

. Um guia de onda W

suporta

menos modos que um guia de onda W

, de forma que a simulação MMP 2D torna-se

confiável. As simulações 2D e 3D apresentam resultados compatíveis. Esse tipo de

projeto de acesso ao PhC suporta uma banda passante mais larga que o tipo W

-W

A eficiência geral de transmissão também é melhor, uma vez que nesse caso se

obtem uma eficiência de transmissão em torno de 80%, conforme podemos verificar

através da figura 5.26.

Figura 5.26. Simulações MMP 2D e FDTD 3D referentes a um acesso W

-W

. (Material:

InP1, f = 0,40) [59].

5.3.3 Acesso ao PhC Tipo W

-W

Via Incremento Gradual das Dimensões

dos Buracos

Um outro tipo de acesso ao PhC tipo W

-W

é obtido através do incremento linear

gradual dos diâmetros dos buracos. Nesse caso a diferença entre os diâmetros de

um determinado buraco para o seu sucessor é sempre a mesma. Um outro tipo de

acesso ao PhC W

-W

via alargamento dos buracos considera um incremento

geométrico nos diâmetros dos buracos, ou seja, cada buraco sucessor é 10% mais

largo que o respectivo buraco antecessor.

143

As simulações 2D plotadas na Figura 5.27 mostraram que a eficiência de

transmissão desse tipo de acesso possui valor acima de 99%, e o seu gráfico do

espectro de transmissão é mais plano sobre uma banda passante mais larga.

Portanto esse tipo de acesso será adotado em nosso trabalho.

Figura 5.27. Comportamento da transmissão referente aos tipos de acesso com incremento

dos diâmetros dos buracos linear, e geométrico. (Material: InP1, f = 0,40) [59].

5.3.3.1 Variações devidas à Fabricação

Influência do Efeito de Revestimento

Diferentes tamanhos de buracos, bem como buracos muito pequenos

proporcionam o denominado efeito de revestimento, o qual trata-se de uma

blindagem que ocorre durante o processo de gravura. Devido às pequenas

dimensões dos buracos os “etchants” (líquidos usados no processo de gravura) não

penetram de forma adequada nas laterais dos buracos e dessa forma não podem

contribuir nesse processo de gravura. Então, precisamos levar em consideração,

que os buracos com diâmetros menores na extremidade com o guia de onda

propriamente dito (no final da região de acesso), são menos profundos que os

buracos mais largos do restante da estrutura. O efeito da diferença de profundidade

dos buracos modifica a estrutura de acesso, conforme podemos observar através da

Figura 5.28.

144

Figura 5.28. Formato da conicidade mostrando as direções horizontal e vertical do cone de

acesso em uma estrutura PhC [59].

Esse efeito pode ser analisado via simulações 3D, uma vez que as simulações 2D

necessitam ainda de um modelo mais apropriado para esse caso. Vamos considerar

uma estrutura com buracos de profundidade infinita. A permitividade dielétrica

desses buracos é considerada ε = 1, e permitividade efetiva do material envolvente é

ε = 10,4796 (InP1). Buracos com menores profundidades são modelados como

buracos 2D com constante dielétrica efetiva ε > 1. Obtemos o valor do material

dielétrico através do confinamento dos modos via simulações FDTD 3D. Calculamos

a energia do campo armazenado em um guia de onda PhC com buracos de

profundidade igual a 2μm e com buracos ainda menores. A diferença nas

profundidades dos buracos proporciona um valor adicional em ε de 4% do valor da

mesma referente ao material dielétrico.

Após nova simulação encontramos que o efeito de revestimento não possui uma

influencia significante nas propriedades de transmissão da região de conicidade,

conforme pode observado através da Figura 5.29(a).

145

Figura 5.29. Resultados de simulações para região de conicidade em etapas [59].

Observe na Figura 5.9, que as transmissões para estruturas com buracos

uniformes e com buracos com profundidades variáveis, considerando-se o efeito

revestimento estão apresentados em a) MMP 2D , e b) FDTD 3D. (Material: InP3, f =

0,40).

Note que na parte b da Figura 5.29 apresentamos também os resultados das

simulações em FDTD 3D. Primeiramente consideramos os buracos uniformes, com

profundidade de 2μm. Depois, consideramos uma variação na profundidade dos

buracos da região de conicidade de 1,4μm a 1,917μm. Na Figura 5.29(b) mostramos

o gráfico de transmissão para ambos os casos, onde se pode verificar que

praticamente não existe diferença entre os dois casos. Concluímos, então, que o

efeito de revestimento na região de conicidade não acarreta nenhuma influencia nas

propriedades de transmissão, assumindo-se que os buracos são suficientementes

profundos para penetrarem na camada do núcleo.

Influencia Positiva do Efeito de Revestimento

Utilizando-se técnicas de fabricação aprimoradas o efeito de revestimanto não

afeta o formato dos modos, nem a eficiência de transmissão. Esse efeito foi em

princípio levado em consideração, quando a profundidade de modo geral dos

buracos somente alcança a profundidade mínima para obtenção do guiamento no

PhC. Pensou-se então em se usar a variação da profundidade na região de

conicidade para melhorar a transmissão da região de acesso ao PhC. Isso acontece

quando os buracos são tão rasos, que afetam o formato do modo. Essa situação foi

simulada através do aumento do efeito da conicidade vertical, conforme pode ser

146

observado através da Figura 5.30, de pequenos buracos. O valor do índice efetivo

de refração do menor buraco foi adotado como sendo 81% do índice de refração do

meio envolvente. Esse valor foi escolhido de forma arbitrária, a fim de proporcionar o

surgimento do efeito. Os buracos adjacentes possuem índices de refração

decrescentes de acordo com seus tamanhos. Na figura 5.30 mostramos que a

conicidade vertical da região de acesso fornece uma melhora na eficiência de

transmissão.

Figura 5.30. Aprimoramento da eficiência de transmissão da região de acesso com

conicidade obtida em cinco etapas, através do efeito da conicidade vertical, utilizando-se

índices de refração maiores para os buracos menores. (Material: InP1, f = 0,40) [59].

O controle da profundidade dos buracos possui a desvantagem da exigência de

uma técnica muito precisa.

5.3.3.2 Perdas Fora do Plano

Na Figura 5.31(c) mostramos uma transmissão reduzida ΔT no espectro de

transmissão entre simulações 2D e 3D. Essa diferença pode ser atribuída ao

espalhamento fora do plano, nos buracos finitos. Para as simulações abaixo

detalhadas levamos em consideração o modelo de perda “phenomenological” já

explicado anteriormente.

Além da perda devido ao espalhamento na estrutura periódica de buracos,

consideramos ainda a perda adicional proporcionada pelo espalhamento ocasionada

pelos buracos na entrada da região de conicidade. Observando-se a distribuição do

campo H do modo na Figura 5.31(a), notamos que os pequenos buracos localizados

no início da região cônica estão mais expostos aos campos de luz. Então, podemos

147

assumir que o espalhamento devido aos buracos com profundidade finita é maior

nesses pontos. A permitividade dielétrica efetiva imaginária ε” dos buracos na região

em torno do guia de onda é posto em 0,18 [60]. O valor de ε” para os buracos com

aumento gradual dos diâmetros diminui de 0,5 para os buracos menores, para 0,3,

conforme indicado na Figura 5.31(b). Utilizando-se esses valores para os diferentes

buracos, encontramos uma excelente concordância entre as simulações MMP 2D e

FDTD 3D, de acordo com o que está apresentado na Figura 5.31(c)).

Figura 5.31. (a) Distribuição do campo H via FDTD 3D na entrada de uma região cônica de

cinco etapas. (b) Distribuição de ε” em função da posição do buraco. (c) Simulação 2D para

comparação com a simulação 3D (Matéria: InP1, f = 0,40) [59].

148

6 ACOPLADORES ÓPTICOS DIRECIONAIS EM PhC

Acopladores lineares, ou co-direcionais, foram estudados por muito tempo

utilizando-se a óptica clássica integrada. Na sua forma mais simples um acoplador

direcional se constitui em dois guias de onda paralelos colocados bem próximos um

do outro. A energia pode ser trocada entre os dois guias de onda através do

acoplamento dos campos evanescentes. Os principais parâmetros do acoplador, ou

seja, a intensidade de acoplamento, e a resposta em freqüência estão relacionadas

através da relação de dispersão dos guias de onda acoplados.

Podemos considerar três regimes, conforme mostrado na Figura 6.1.

Figura 6.1. a) Dispersão linear. b) Divisão dependente da freqüência. c) Regime com os

guias de onda desaclopados.

Os acopladores podem ser usados em diferentes aplicações: a) dispersão linear,

a qual proporciona a divisão de intensidade de forma independente da freqüência. b)

divisão dependente da freqüência, que é útil em aplicações de filtragem e c) regime

através do qual os guias de onda estão desacoplados um do outro.

No regime (a) a dispersão do guia de onda é linear e a divisão de energia é

independente da freqüência. Esse regime é interessante para comutadores de

banda larga, ou para acopladores 3dBs. No regime (b) a divisão em β, ou na

velocidade de grupo é dependente da freqüência. Esse fato pode ser explorado em

filtros do tipo “add-drop”. O espaçamento de canal resultante, entretanto, não é

regular na maioria dos casos. O último regime (c) considera um possível

desacoplamento dos guias de onda PhC, o que pode ser interessante para a

redução do “crosstalk” entre guias de onda vizinhos dentro dos circuitos integrados

(ICs) PhC. A densidade de elementos (nível de integração) pode ser, na realidade,

limitada pelo “crosstalk” entre os guias de onda, e dessa forma foram desenvolvidos

149

métodos para cancelar, ou pelo menos minimizar o acoplamento. A física do

acoplamento de guias de onda proporciona uma farta quantidade de aplicações,

incluindo divisores de intensidade 3dBs para faixa larga [61], comutadores de

potência ativos [62], e guias de onda “add-dropps” seletivos [63]. No caso mais geral

o sistema é constituído por uma configuração de N guias de onda paralelos, os quais

podem, ou não ser simétricos. Os acopladores são dispositivos muito estudados

uma vez que se constituem em importantes componentes para a óptica integrada de

forma geral, e especialmente para circuitos integrados (ICs) PhCs. A combinação

desses componentes com outras funcionalidades proporciona novas aplicações. Os

acopladores direcionais baseados em PhC possuem o potencial de proporcionar um

comprimento de acoplamento muito curto. O comprimento de acoplamento L

definido como a distância após a qual a onda foi totalmente comutada de um guia de

onda para o outro. Os acopladores direcionais podem ser analisados considerando-

se a estrutura completa, a qual é constituída por todos os guias de ondas e os meios

ao redor dos mesmos (teoria do supermodo), ou considerando-se a troca de energia

e acoplamento entre guias de ondas individuais em um método perturbativo (teoria

do modo acoplado). Ambas as formulações acima referidas possuem vantagens e

desvantagens.

O acoplador direcional simétrico possui transferência periódica de potência. Em

todos os casos a transferência de potência óptica para o segundo núcleo ocorre de

modo períódico. A máxima transferência de potência óptica acontece em distâncias

tais, que

κz=

mπ

(k = coeficiente de acoplamento) e z é a distância percorrida pelo

sinal óptico dentro do acoplador), sendo m um número ímpar inteiro. A menor

distância, na qual surge uma máxima transferência de potência, é denominada de

“Comprimento de acoplamento”, dado por

z=L

2κ

(estado cruzado).

Acopladores de fibras ópticas com L = L

transferem toda a potência de entrada

na porta 1, para a segunda porta de saída, ou seja, a porta de saída 2, operando em

estado cruzado, enquanto que toda a potência óptica lançada na porta 1 sai na porta

1 de saída, quando L = 2L

,operando em estado direto.

150

6.1 Análise Matemática dos Acopladores PhC

6.1.1 Método do Supermodo

No caso mais simples de dois guias de onda monomodos a estrutura suporta dois

super modos, com os respectivos auto-vetores e , os quais possuem

paridades par (“even”), e ímpar (“odd”), respectivamente, conforme pode ser

observado na Figura 6.2. Esses supermodos possuem diferentes constantes de

propagação; β

even

e β

odd

Figura 6.2. Acoplamento direcional de acordo com o método dos supermodos.

O sinal de entrada na porta A excita uma sobreposição dos modos par “even” e

ímpar “odd”. No final do comprimento de acoplamento (Lc) o deslocamento de fase

entre os dois supermodos é π, e o sinal deixa o acoplador através da porta B.

Os modos acima referidos podem ser representados através dos modos não

acoplados nos guias de onda A e B, respectivamente:

. (6.1)

O campo total no acoplador pode ser expresso como uma sobreposição dos dois

supermodos

(6.2)

No início da propagação (z = 0) da seção de acoplamento, o campo está

completamente embutido no guia de onda A, ou seja,

∣φ



z= 0



〉=∣ A 〉

. Após o

151

percurso através do comprimento de acoplamento L

o campo foi totalmente

comutado para o guia de onda B, ou seja,

∣φ



z=L



〉=∣B 〉

. Isto somente acontece,

se o comprimento de acoplamento L

for um número ímpar múltiplo da metade do

comprimento de batimento, ou seja,

. (6.3)

Na Figura 6.3 mostramos a relação de dispersão referente a dois guias de ondas

acoplados. Observe que os supermodos “even” e “odd” possuem uma diferença de

constante de propagação igual a Δβ. No caso de dois guias de ondas idênticos a

transferência de potência é completa. Tratando-se de dois guias de ondas acoplados

multimodos, como, por exemplo, W

, existem algumas restrições com relação à

completa transferência de potência, conforme veremos mais a frente.

Figura 6.3. Relação de dispersão de dois guias de onda acoplados.

Um cálculo alternativo do comprimento de acoplamento é originado a partir da

oscilação de Rabi referente a dois osciladores acoplados [64].

6.1.2 Método do Modo Acoplado

Tratando-se de um acoplador constituído por dois guias de ondas dielétricos,

geralmente surgem apenas acoplamentos co-direcionais. Entretanto, no caso

especial de guias de ondas PhC, onde a interface do guia possui corrugação

periódica, pode ocorrer, simultaneamente, acoplamento contra-direcional. Esse fato

possibilita o acoplamento entre o modo fundamental e os modos de ordem mais alta,

152

proporcionando a formação de “Mini-StopBands”. Todavia, vamos considerar apenas

o acoplamento co-direcional.

A teoria do modo acoplado considera a troca de energia entre dois modos. Essa

teoria é iniciada com a descrição do campo



dos dois modos localizados nos

guias de ondas muito próximos um do outro. O campo total (super-modo) da

estrutura acoplada é baseada nos modos sem perturbação das respectivas

constantes de propagação, que se propagam em ambos os guias de ondas. A

equação abaixo é uma solução da equação geral dos modos acoplados:



x , y , z , t









x , y





wt− β



B







x , y





wt− β



. (6.4)

Entretanto, a Equação (6.4) precisa, também, satisfazer a Equação geral de onda

para estrutura acoplada, considerando-se a perturbação que surge nas constantes

de propagação.

Inserindo-se a Equação (6.4) na Equação geral de onda para estrutura acoplada e

após diversas manipulações matemáticas, obtemos:



x , y , z , t









x , y





wt−



 Δβ



B







x , y





wt−



Δβ



. (6.5)

A partir da Equação (6.5) obtemos as equações dos modos acoplados para o

acoplador direcional:

=− jk

j2δβ

=− jk

− j2 δβ

, (6.6)

onde

δβ ab=







Δβ

−β

− Δβ



Na Figura 6.4 está ilustrado o processo de obtenção das equações dos modos

acoplados referentes ao acoplador direcional.

153

Figura 6.4 Esquemático para obtenção das equações dos modos acoplados.

Observe que as constantes de propagação sem perturbação (β

e β

) dos guias

de onda A e B são modificadas devido à presença do material dielétrico adicional

dos guias de ondas adajacentes para, β

+ Δ β

e β

+ Δ β

. O acoplamento entre os

dois guias de onda é ocasionado pelo coeficiente de acoplamento (k

e k

Podemos deduzir o comprimento de acoplamento para um acoplador direcional

com constantes de propagação idênticas (β

= β

) e coeficiente de acoplamento k

Lc=

(Estado cruzado), (6.7)

onde L

representa o comprimento onde a potência de um guia de onda é totalmente

transferida para o outro guia de onda.

6.2 Acopladores em PhC com o Formato dos Buracos Alterados

Vamos analisar um acoplador direcional PhC baseado em uma estrutura PhC

triangular de buracos de ar com periodicidade “a” dentro um guia de onda planar de

semicondutores. InP, ou GaAs são os materiais escolhidos, uma vez que são os

mais indicados para dispositivos de telecomunicações atuando na janela de

1550nm. Esse acoplador é constituído por guias de onda W1, os quais

demonstraram possuir curto comprimento de acoplamento, quando comparados com

outros acopladores PhC, atuando sobre a total faixa de operação.

Na Figura 6.5 mostramos a relação de dispersão para um determinado acoplador

direcional e para um guia de onda monomodo equivalente.

154

Figura 6.5. Esquemático de um acoplador [65].

Na Figura 6.5 está mostrada a estrutura de um acoplador constituído por dois

guias de onda idênticos formados por duas linhas de buracos de raio igual a 0,4a,

separados por 1 linha de buracos com raio igual 0,3a.

Os guias de onda são formados por duas linhas paralelas de buracos de ar com

raio igual a 0,4a de forma que o acoplador como um todo é formado por cinco linhas

de defeito com os buracos dispostos em uma estrutura retangular. Quando

combinadas com a região de barreira, essas duas linhas que compõem os núcleos

dos guias de onda são muito similares em estrutura ao guia onda otimizado. Esse

guia de onda otimizado, o qual possui uma estrutura conforme mostra a figura 6.5,

possui a característica de que a sua relação de dispersão possui uma segunda faixa

de freqüências localizada na metade da banda proibida, a qual limita a faixa de

banda passante monomodo. Elaborando-se pequenas modificações no índice de

refração do núcleo, podemos expandir essa nova faixa de freqüências, trazendo

essa banda inferior para fora da zona proibida (“stopband”). Uma análise das

relações de dispersões de vários guias de ondas PhC revelaram que uma estrutura

constituída por buracos centrais com raios de 0,425a entre linhas com buracos de

raios iguais a 0,4a e 0,3a produz a maior faixa monomodo, de acordo com com a

Figura 6.6. A largura desse guia de onda é interessante porque o mesmo é mais

largo que a maioria dos guias de ondas monomodo existentes, o que o torna

apropriado para ser usado para acoplar luz proveniente de uma fibra óptica de forma

mais eficiente dentro do dispositivo PhC.

155

Figura 6.6. Relação de dispersão do guia de onda otimizado com a faixa de freqüência

monomodo em torno de 88,7% da faixa proibida [65].

O acoplador cujo esquemático está representado na Figura 6.5 possui uma banda

passante monomodo relativamente larga. Nesse acoplador a barreira separa os

guias de onda e aprimora a relação de dispersão do mesmo. Os modos desse

dispositivo surgem em pares complementares (“even” e “odd”) em freqüências acima

e abaixo da faixa da estrutura do guia de onda individual. O resultado dessa simetria

de modos é que uma sobreposição desses modos pode se propagar ao longo do

acoplador com diferentes constantes de propagação, ocasionando o deslocamento

de potência de um guia para o outro. Na freqüência de 0,25c3a os supermodos

“even” e “odd” na estrutura possuem constantes de propagação βeven βodd que

diferem de 0,1046x2π/a. O comprimento de batimento L

do acoplador direcional

nessa freqüência é L

= 2π/|βodd - βeven| = 9,56a resultando em um comprimento de

acoplamento igual 4,78a.

Vamos agora analisar outros tipos de acopladores constituídos por dois guias de

ondas W

separados por uma linha de buracos. A figura 6.7 mostra o diagrama da

faixa fotônica com a relação de dispersão de guia de ondas W

(azul - tracejada) e o

referencial de um acoplador (linhas sólidas).

156

Figura 6.7. Diagrama de dispersão de um guia de onda W1 (linhas tracejadas), e de um

acoplador (linhas sólidas) [66].

O acoplador referente à Figura 6.7 possui os buracos centrais com raios

reduzidos (R

= 0,25a), restrito à metade superior do intervalo de faixa fotônico

(PBG). A área sombreada representa a área da faixa fotônica do PhC. A região

quase monomodo é limitada pelos modos na faixa do ar e pelo modo “odd”.

Devido a presença de um segundo guia de onda, os modos do guia W

são

acoplados com os modos do outro guia de onda, o que ocasiona a divisão em dois

modos dentro do acoplador, com diferentes constantes de propagação β [65].

O parâmetro de divisão Δβ dos dois modos está assim relacionado:

Lc=

Δβ

. L

é o comprimento de acoplamento, o qual está relacionado com o coeficiente de

acoplamento k através de

k ≡

. Tendo em vista um melhor desempenho do

acoplamento entre os dois guias de ondas, incluímos diversas modificações nos

projeto original, conforme mostramos na Figura 6.8 (Projeto A). A linha de separação

possui buracos com raios menores que os outros buracos da estrutura PhC,

conforme podemos observar na Figura 6.8 (Projeto B) ou, além disso, os buracos

na interface dos guias de ondas W

são maiores, de acordo com a Figura 6.8

(Projeto C).

157

Figura 6.8. (a) Esquemático de três projetos de acopladores PhC. (b) Simulações PWE da

faixa de operação e comprimento de acoplamento mínimo [66].

Na Figura 6.8 as linhas vermelhas representam os acopladores com buracos da

fronteira com raio r

= 0,31a, para diferentes raios de buracos centrais (r

). As linhas

azuis correspondem aos projetos com os raios dos buracos da fronteira r

= 0,33a,

0,35a, e 0,37a, para as linhas superior, central, e inferior de cada grupo,

respectivamente.

A faixa de operação dos acopladores é a faixa de freqüência onde:

1) O parâmetro de divisão Δβ dos modos é grande e constante.

2) Apenas dois modos estão presentes para cada freqüência.

Tendo em vista que o modo “odd” do guia de onda W1 está localizado no meio da

PBG do acoplador, o mesmo divide o PBG em duas metades. Dependendo do

projeto a região quase monomodo pode ficar localizada acima, ou abaixo do modo

“odd” do guia W

O parâmetro de divisão do modo Δβ(u) da faixa operacional abaixo do modo “odd”

de W

, normalmente é muito dependente da freqüência reduzida (u = a/λ). A janela

superior de freqüência possui Δβ(u) mais plana em função da freqüência reduzida, o

que a torna apropriada para divisores de potência de banda larga. Nesse estudo

escolhemos a parte superior da região quase monomodo, com o intuito de obtermos

de forma simultânea, uma larga faixa de operação, bem como um curto comprimento

de acoplamento.

6.2.1 Modelagem

Devido às grandes dimensões do acoplador, não é possível a elaboração de

simulações 3D. Entretanto esses acopladores podem ser analisados através de

simulações 2D. O perfil vertical da estrutura do acoplador ((revestimento de InP

158

(300nm, n = 3,17)/núcleo de InGaAsP (522nm, n = 3,35)/substrato de InP (n = 3,17))

pode ser representado de forma precisa através de um índice de refração efetivo

eff

) [67]. No nosso caso n

eff

foi calculado de forma analítica, levando-se em

consideração o perfil acima referido, o qual é igual a 3,258 para λ = 1550nm. Os

raios dos buracos localizados na placa PhC possuem valores r = 0,31a, uma vez que

esse valor proporciona um bom balanço entre a largura da PBG e as tolerâncias de

fabricação. Os acopladores direcionais PhC são simulados através da ferramenta de

simulação “Finite-Element” – FE COMSOL, e da ferramenta MPB (MIT Photonic-

Bands) para o PWE [68]. A luz acoplada no guia adjacente é referida como estado

cruzado “cross state”, enquanto que a luz transmitida é referida como estado direto

“bar state” (Figura 6.9).

Obtemos o L

através de simulações via FE, plotando-se a função

A cos



πx



a qual representa a intensidade da potência no guia de onda no estado “bar” em

função da posição no guia de onda (x) [69]. Foram elaboradas simulações da

densidade de potência no estado “bar”, para cada freqüência individualmente. A e L

são parâmetros do gráfico. A dispersão na placa PhC é avaliada em simulações 2D

através do cálculo de n

eff

para cada freqüência individual. Por outro lado nas

simulações via PWE L

é extraído do parâmetro de divisão Δβ(u) dos modos na

região quase monomodo do acoplador. Cada projeto é simulado através de ambos

os métodos, a fim de se verificar a validade dos resultados obtidos. A faixa

operacional sempre é determinada através do método PWE, uma vez que o método

FE não fornece informações precisas sobre a faixa.

Três diferentes estratégias de projetos foram analisadas conforme ilustramos na

Figura 6.8(a). O projeto A trata-se do acoplador convencional constituído por guias

de ondas W

separados por 1 linha de buracos. O acoplador do projeto B possui

buracos com raios reduzidos na região central de separação, enquanto o acoplador

do projeto C além de possuir buracos com raios menores na região central de

separação, possui também buracos com maiores raios nas regiões das interfaces do

PhC com o guia de onda W

O Projeto A exibe um fraco acoplamento o que ocasiona um L

mínimo de 1000a.

Reduzindo-se os raios dos buracos da linha de separação de r

= 0,31a a r

= 0,13a,

conforme está detalhado na Figura 6.8(b), a intensidade de acoplamento aumenta,

proporcionando uma drástica redução de L

(menor que 34a). Entretanto, essa

159

redução é alcançada com uma banda passante três vezes menor do que a obtida no

projeto A. O decréscimo de L

é visualizado através dos pontos plotados referentes

aos diferentes projetos dos acopladores, conforme está mostrado a Figura 6.9.

Figura 6.9. Simulações do campo Hz para os acopladores dos Projetos A e B [66].

Adicionalmente ao efeito da diminuição dos raios dos buracos da região de

separação, o aumento dos raios dos buracos das interfaces do PhC com o guia de

onda proporciona o decréscimo de L

de 13% com os buracos da região de

separação r

= 0,25a e de 23% para r

= 0,19a, incrementando-se os raios dos

buracos das interfaces para r

= 0,37a, de acordo com a Figura 6.8(b). A largura da

faixa operacional quase não é afetada pelo aumento dos raios dos buracos das

interfaces, porém a mesma é deslocada na direção das freqüências da região do ar.

A escolha dos raios da região de separação é obtida levando-se em consideração a

faixa operacional e o comprimento de acoplamento desejado. A redução de L

via

alargamento dos buracos das interfaces é limitada apenas pela habilidade de

obtenção desses largos buracos durante a fabricação. Portanto, o mínimo L

para

uma específica aplicação é definida pela faixa operacional desejada, a qual por sua

vez determina o raio dos buracos da região de separação. Os raios dos buracos da

região das interfaces r

podem ser incrementados para a obtenção da conseqüente

diminuição do comprimento de acoplamento, até que a faixa operacional comece a

se sobrepor sobre os modos do corpo do PhC, ou até o limite suportado pelo

processo de fabricação.

O projeto com buracos da região de separação r

= 0,19a proporciona L

menor

que 52a e uma faixa de operação de 16% da PBG total. Nosso acoplador terá esse

raio para os buracos da região de separação, e iremos variar o raio dos buracos das

interfaces, a fim de analisarmos o desempenho desses acopladores. Na Figura 6.10

apresentamos os comprimentos de acoplamento obtidos.

160

Figura 6.10. Comprimento de acoplamento em função da freqüência reduzida [66].

As plotagens observadas na Figura 6.10 foram obtidas através de simulação via

FE (retângulos com interior branco) e PWE (retângulos cheios), para acopladores

com r

= 0,19a e diferentes raios dos buracos das interfaces.

Os métodos (FE e PWE) apresentaram resultados muito semelhantes, com uma

discrepância abaixo de 4%. A variação do comprimento de acoplamento dentro da

faixa operacional é menor que 10% para todos os acopladores com r

= 0,19a, o que

proporciona a utilização desses acopladores em divisores de potência, para uma

determinada razão de divisão desejada.

6.2.2 Fabricação e Medições

As estruturas com buracos da região de separação com raio r

= 0,19a foram

fabricados com uma contante de periodicidade a = 435nm. O perfil vertical do

empilhamento é constituído por um revestimento de InP (300nm, n = 3,17) , um

núcleo de InGaAsP (522nm, n = 3,35), e um substrato de InP (n = 3,17). Para a

fabricação desses acopladores foi usada uma combinação de litografia de fluxo de

elétrons, gravação reativa (RIE) e plasma acoplado indutivamente [70 – 72].

Um guia de onda W

com comprimento de 10a é colocado antes do acoplador,

para permitir o estabelecimento do modo. Uma pequena região com buracos de

raios decrescentes é adicionada no início do acoplador propriamente dito, a fim de

se evitar as reflexões que ocorreriam devido às diferenças entre os modos do guia e

do acoplador W

Os guias de ondas são separados imediatamente após o acoplador através de um

separador de guias de ondas multimodo. A largura e distância desse separador de

161

guias de ondas estão em concordância com o guia de ondas W

. Nessa análise não

incorporamos nenhuma curva no acoplador, com o intuito de simplificarmos a

interpretação dos resultados. Através de simulações FE e medições, verificamos que

o acoplamento após a saída na curta região onde os guias de ondas são separados

pode ser desprezada. A luz entre o acoplador e as facetas clivadas é guiada através

de guias de ondas com dimensões de 3μm, possuindo comprimentos em torno de

1,5mm, os quais estão embutidos no PhC. Na Figura 6.11 mostramos uma fotografia

micrométrica de um acoplador, incluindo a região de acoplamento, o guia de onda

com o separador, bem como o acesso aos guias de ondas.

Figura 6.11. Fotografia micrométrica (SEM) de um acoplador PhC típico [66].

Na Figura 6.1 um guia de onda W

precede o acoplador e uma curta região na

interface com o acoplador evita reflexões entre o guia de onda W

e o acoplador.

Os dois guias de ondas de saída são separados por apenas uma linha de

buracos, porém a análise da transmissão desse acoplador mostrou que essa

terminação não modificou as características de transmissão.

A caracterização do dispositivo apresentado na Figura 6.11 é elaborada através

da técnica “endfire”. A luz é proveniente de um chip com LASER de espectro entre

1470nm a 1630nm, a qual trata-se da faixa de freqüência reduzida entre u = 0,267 a

0,297, para a = 435nm.

Para cada projeto de acoplador foram analisados acopladores com cinco

diferentes comprimentos (10a, 20a, 30a, 40a, e 50a). A transmissão nas condições

de estado direto e cruzado foram obtidas sem movimentação da fibra de entrada. Foi

utilizada uma afinação espectral de λ = 0,5nm para a fonte ajustável, e as médias

das medições foram obtidas sobre uma janela deslizante de 5nm, para eliminar a

influência da cavidade FP parasita entre o acoplador e as facetas clivadas. A

potência de transmissão medida (P) foi normalizada para cada medição e freqüência

de acordo com a expressão P(u)

bar,cross,norm

= P(u)

bar,cross

/(p(u)

bar

+ P(u)

cross

). Essa

normalização torna as medições independentes da eficiência do acoplamento, bem

162

como da perda do guia de onda. Para cada freqüência o comprimento de

acoplamento foi extraído através do gráfico da potência normalizada versus

comprimento do dispositivo com A.cos

(π.x/L

) e A.sen

(π.x/L

) para os estados,

direto, e cruzado, respectivamente. Foi adotada a média dos mínimos dos

quadrados das distâncias (RMS) durante os 10 pontos de medição. O erro desse

sistema é em média de 5%. Embora que o substrato do PhC por necessidade opera

acima da linha de luz do substrato, e portanto não sofra perda intrínsica, na prática

as perdas resultam principalmente fora do pano, induzida pelas imperfeições de

fabricação. Para se estimar as perdas do acoplador levamos em consideração as

medições de referência do guia de onda W

, como limite superior da perda. A perda

no guia de onda W

é de aproximadamente 160dB/nm dentro da faixa operacional

do acoplador, conforme determina o método “cutback”.

Os comprimentos de acoplamento medidos estão apresentados na Figura 6.12

para acopladores com r

= 0,19a, e r

= 0,31a até r

= 0,37a, simulados via PWE. As

medições experimentais dos comprimentos de acoplamento resultaram em 60a até

70a, estando entre 8a e 12a mais alto que as correspondentes simulações via PWE.

O aumento desprezível de L

em função da freqüência é reproduzido nas medições.

Uma maior redução do L

para determinada freqüência, pode ser obtida através do

aumento dos raios dos buracos das interfaces.

Figura 6.12. (a) Gráfico da potência transmitida normalizada para o estado direto

(quadrados cheios), e “cross” (quadrados vazios), versus comprimento do dispositivo [66].

Observe na Figura 6.12(a) o gráfico da potência transmitida normalizada para o

estado direto (quadrados cheios), e “cross” (quadrados vazios), versus comprimento

do dispositivo, com r

= 0,19a, r

= 0,31a, e u = 0,271. Na Figura 6.12(b) estamos

mostrando a comparação entre a simulação PWE (linha tracejada) e as medições

experimentais (linhas sólidas) dos acopladores com r

= 0,19a.

163

A diferença que ocorre em relação ao comprimento de acoplamento referente às

medições e simulações em torno de 10a ocorre devido às pequenas variações nas

dimensões dos buracos durante a fabricação. As variações das dimensões dos

buracos após a fabricação do PhC em relação às dimensões ideais foram

observadas através de microfotografias, as quais estão apresentadas na Tabela 6.1.

Observe também nessa mesma tabela, o impacto que ocorre no comprimento de

acoplamento em função dos desvios das dimensões dos buracos, os quais foram

obtidos através de simulações via PWE.

Tabela 6.1 Comparação entre as dimensões dos buracos desejados, e fabricados, bem como

do impacto no comprimento de acoplamento via simulações PWE.

Buracos Medições das

dimensões dos

buracos (% em

relação ao ideal)

Variação do

comprimento de

acoplamento para

desvio de 1% das

dimensões dos

buracos

Modificação

esperada do

comprimento de

acoplamento

devido ao desvio

das dimensões

dos buracos

Dimensões dos

buracos centrais

109% 1,6a 14,4a

Dimensões dos

buracos das

fronteiras

93% -0,4a 2,8a

Dimensões dos

buracos do PhC

96% 0,2a -0,8a

A contribuição das variações das dimensões nos buracos centrais em relação ao

comprimento de acoplamento (1,6a) são mais acentuadas, uma vez que esses

buracos interagem fortemente com os modos propagantes.

6.3 Acopladores em PhC Comutados por Alteração da

Condutividade

A estrutura mostrada na Figura 6.13 não mais se trata de um dispositivo com um

único modo uma vez que nesse caso, mesmo o modo propagante na região de

acoplamento possui agora duas soluções de auto-valores, sendo um simétrico

(“even”), e outro anti-simétrico (“odd”), os quais possuem constantes de propagação

com uma pequena diferença, e portanto se propagando com diferentes velocidades.

164

Figura 6.13. Acoplador embutido cristal fotônico com estrutura triangular de hastes

dielétricas submersas em ar [73, 74].

Na Figura 6.13 o acoplador é constituído por dois guias de onda embutidos em

cristal fotônico separados por uma linha de hastes dielétricas submersas em ar com

comprimento L

, utilizando-se um PhC com estrutura periódica quadrada de hastes

de silício. Os guias de onda dessa estrutura são análogos aos guias de onda de

silício “2D e-beam-etched” desenvolvidos por Loncar et al.

Para se calcular o comprimento de acoplamento a fim de que o sinal inserido em

uma das portas de entrada consiga passar para o outro guia de onda, precisamos

primeiramente determinar as constantes de propagação, dependentes da

freqüência, dos modos “even” e “odd”, o que se denomina de relação de dispersão

do sistema de guias de ondas acoplados. Para a determinação dessa relação utiliza-

se uma célula unitária computacional mostrada na parte inferior direita da figura 6.14

(a), uma vez que a estrutura é periódica. Vamos primeiramente considerar os

cálculos numéricos referentes ao acoplador mostrado na Figura 6.13, constituído por

dois guias de ondas monomodos embutidos no PhC bi-dimensional (2DPhC). Os

guias de onda foram obtidos através da remoção de uma linha de hastes dielétrica

da estrutura quadrada composta por hastes dielétricas infinitamente longas,

submersas em ar.

Os parâmetros do PhC usado são os seguintes: As hastes dielétricas possuem

uma constante dielétrica ε

= 11,56 com raio r = 0,2a, onde “a” é a constante de

periodicidade do PhC.

A estrutura PhC com os parâmetros acima determinados possui uma PBG

completa na faixa espectral 0,23 ≤ a/λ ≤ 0,41, para polarização TM (campo

magnético no plano).

165

A estrutura mostrada na Figura 6.13 pode ser analisada de forma numérica

através do método PWE (“Plane Wave Expansion” [75], ou do método FDTD (“Finite

Difference Time Domain (FDTD) [76, 77], considerando-se as condições de fronteira

periódica. O resultado de cada um dos métodos acima é o diagrama de dispersão

modal para os auto-modos da estrutura, através do qual podemos extrair as

constantes de propagação modal, e consequentemente calcular o comprimento de

acoplamento necessário para a total comutação da potência óptica do guia de onda

onde o sinal óptico foi inserido, para o outro guia de onda.

Vamos detalhar cada método utilizado, bem como analisar os resultados obtidos.

Utilizamos em nossas análises a super-célula mostrada na Figura 6.14(a). O método

PWE foi utilizado para computar de forma numérica as constantes de propagação de

Bloch, para uma onda plana se propagando através da super-célula.

O diagrama de dispersão obtido usando-se o PWE está mostrado na Figura

6.14(a).

Por outro lado, o método FDTD foi usado admitindo-se um conjunto de constantes

de propagação normalizadas na faixa (0 <β2π/a <0,35) com um intervalo

Δβ = 0,01×2π/a. Com o intuito de se caracterizar os modos “odd” e “even” foram

emitidas excitações tanto de um modo TE (“even”), quanto de um modo TM (“odd”)

[78]. Observou-se, então, que os auto-modos com freqüências mais baixas

pertencem ao modo “even”, enquanto os auto-modos com freqüências mais altas

pertencem ao modo “odd”. O diagrama de dispersão foi, então, plotado, sobre a

mesma plotagem referente ao método PWE, e podemos notar através figura 6.14(a),

que eles praticamente se sobrepõem.

Vamos focalizar as curvas de dispersão modal apenas dentro da PBG da

estrutura (0,23 ≤ a/λ ≤ 0,41), conforme mostra a figura 6.14(b).

Através das curvas de dispersão dos modos “odd” e “even” obtidos anteriormente,

podemos calcular o comprimento de acoplamento necessário para que a potência

óptica do sinal inserido no guia de onda 1 seja transferida para o guia de onda 2,

usando-se o seguinte procedimento: encontrar os valores correspondes das

constantes de fase modal de Bloch normalizadas, para os auto-modos “even” e

“odd”. O comprimento de acoplamento necessário para a total transferência de

potência óptica pode, então, ser assim calculada [79]

∣β

−β∣

. (6.8)

166

Por exemplo, para o dispositivo com as características mostradas na figura 6.13,

para um comprimento de onda de 1550nm (a/λ = 0,35), com a = 542,5nm, e r =

108,5nm, podemos encontrar a constante de propagação dos modos “odd” e “even”,

utilizando-se a figura 6.14(b):

2π0 ,1977

=2,357 x 10

−1

2π0 , 2154

=2, 568 x 10

−1

. Agora, podemos , então, calcular o comprimento de

acoplamento:

Lc=

2,568−2,357

x 10

=14 ,88 μm=

14 , 88 μm

0,5425 μm

a=28 a=9,6 λ

. (6.9)

Observe que os valores no eixo x dos gráficos da Figura 6.14 devem ser

multiplicados por 2π/a, uma vez que trata-se da constante de propagação

normalizada, ou seja, dentro da zona irredutível de Brillouin.

Do acima exposto, concluímos que a total transferência de potência óptica do guia

de onda 1 para o guia de onda 2 requer um comprimento de acoplamento de apenas

aproximadamente 10 comprimentos de onda, o que prova, que esse dispositivo está

apto para operar em aplicações de circuitos integrados de alta densidade baseados

em PhCs.

167

Figura 6.14. (a) Diagrama de dispersão para a estrutura mostrada na figura 6.13, obtida

usando-se os métodos PWE e FDTD. (b) Curvas de dispersão do sistema CPhCW mostrado

em (a). (c) Diagrama de dispersão para um sistema CPhCW embutido em um PhC com

estrutura triangular de buracos de ar perfurados em dielétrico. (d) Curvas de dispersão

CPhCW mostrado na parte (c) [1].

Na Figura 6.14(a) podemos observar o diagrama de dispersão para a estrutura

mostrada na figura 6.13, obtida usando-se os métodos PWM e FDTD. Existem duas

soluções correspondentes aos auto-valores (“odd” e “even”) dentro da PBG (0,23

<a/λ< 0,41). As linhas tracejadas correspondem aos resultados via FDTD, e as

linhas sólidas aos resultados PWE. Na Figura 6.14(b) mostramos as curvas de

dispersão modal dos auto-modos do sistema CPhCW mostrado na Figura 6.14 (a),

onde o modo “odd” é o modo com freqüência mais alta, e o modo “even” é o modo

de freqüência mais baixa. Uma linha reta traçada a partir do eixo da freqüência

normalizada corta as duas curvas, o que proporciona a determinação das constantes

de propagação modal dos modos “odd” e “even”. Consequentemente se pode

calcular o comprimento de acoplamento L

. Na Figura 6.14(c) está apresentado o

diagrama de dispersão para um sistema CPhCW constituído por dois guias de onda

168

criados em uma disposição triangular de buracos de ar em substrato de alta

constante dielétrica. Duas camadas de buracos de ar na região de acoplamento

separam os dois guias de onda. O diagrama de dispersão obtido usando-se o

método PWE mostra que existem dois modos soluções (“even” e “odd”) dentro da

PBG (0,24786 <a/λ< 0,3131). Na Figura 6.14(d) mostramos as curvas de dispersão

modal dos auto-modos do CPhCW mostrado na parte (c) dessa figura, onde o modo

“odd” é modo com freqüência mais baixa, e o modo “even” é o modo com freqüência

mais alta. De forma idêntica ao apresentado na parte (b) dessa figura, uma linha reta

traçada a partir do eixo da freqüência normalizada corta as duas curvas, e desse

modo as constantes de propagação dos modos “odd” e “even” podem ser

determinadas, e então, usadas para o cálculo do comprimento de acoplamento L

dependente da freqüência.

Agora, vamos considerar o caso da placa de silício perfurada com buracos de ar,

para a qual utilizamos uma aproximação do índice de refração efetivo, a fim de

simplificar o problema de computação 3D, para 2D. Esse método foi usado

previamente e ofereceu resultados similares aos resultados 3D, com a vantagem de

diminuir o tempo de computação [80, 81].

Utilizando-se a Equação transcendental em [82], encontramos n

eff

= 2,88. A

estrutura utilizada é triangular com buracos de ar de acordo com a relação r/a = 0,3.

Com esses parâmetros a análise 2D dessa estrutura possui uma PBG na faixa

espectral 0,24786 ≤ a/λ ≤ 0,3131 para polarização TE (campo elétrico no plano).

Para nossas simulações 3D foi usada uma estrutura triangular 3D com espessura de

acordo com a relação t/a = 0,6, e com perfurações de buracos de ar de acordo com

a relação r/a =0,3. Encontramos, então, a PBG na faixa espectral 0,2475 ≤a/λ≤

0,3125 também para modos TE (modo “even”). Portanto, podemos utilizar a

aproximação do índice de refração efetivo, a fim de se reduzir os cálculos

computacionais. O próximo passo é encontrarmos um guia de onda monomodo em

uma estrutura triangular de buracos de ar. Tal guia de onda foi encontrado

previamente em [83], de tal forma, que podemos utilizar os resultados já obtidos, a

fim de encontrarmos um sistema de dois guia de ondas monomodos acoplados,

conforme ilustrado na Figura 6.15.

169

Figura 6.15. Acoplador embutido em uma estrutura periódica de buracos de ar no formato

triangular [83, 84].

Acoplador mostrado na Figura 6.15 é constituído por dois guias de onda

embutidos em cristal fotônico constituído, bem próximos um do outro, separados por

uma linha de buracos de ar perfurados na placa PhC com comprimento Lc. Esse

sistema é formado através de uma estrutura periódica de buracos de ar no formato

triangular.

Para se obter a dispersão modal dos modos “even” e “odd” resolvemos

numericamente os auto-modos dentro da super-célula, mostrada na Figura 6.14(c),

através do método PWE. Consideramos, novamente, apenas as curvas de dispersão

modal para essa estrutura, dentro da PBG (0,2475 ≤a /λ≤ 0,3125), conforme

mostrado na Figura 6.14(d). Tendo em vista que as curvas de dispersão modal

foram obtidas tanto para os modos “odd”, quanto para os modos “even” o

comprimento de acoplamento, dependente da freqüência, pode ser obtido, seguindo-

se o mesmo raciocínio já apresentado para o caso de PhC com hastes dielétricas.

Por exemplo, para um comprimento de onda de 1550nm teremos a/λ = 0,27, para a

= 435nm, e r = 145nm.

Utilizando-se a Figura 6.14(d) podemos encontrar as constantes de propagação

dos modos “odd” e “even”:

2π0 , 2034

=2, 9379 x10

−1

2π0 ,2359

=3, 4074 x 10

−1

e em seguida os

valores do comprimento de acoplamento,

170

Lc=

3, 4074−2, 9379

x 10

=6, 69 μm=

6, 69 μm

0, 435 μm

a=15 , 38 a=4,5 λ

. (6.10)

Comparando-se as curvas de dispersão modal dos modos “even” e “odd” na

Figura 6.14(d), podemos notar, que diferente do que ocorre no caso da estrutura

PhC com hastes dielétricas, de acordo com a Figura 6.14(c), onde os modos com

freqüências mais altas pertencem ao modo “odd” e modos com freqüência mais

baixas pertencem ao modo “even”, no caso da estrutura PhC de substrato de silício

perfurado com buracos de ar, os modos com maiores freqüências pertencem ao

modo “even”, e os modos com menores freqüência pertencem ao modo “odd”.

6.3.1 Método de Comutação

Diferentemente do método utilizado por Lima Junior, A. W., A.S.B. Sombra, e

M.G. da Silva, para análise de acopladores ópticos de fibras ópticas com perfis de

dispersão, no qual a transferência de potência óptica entre os guias de onda surge

em função da intensidade do sinal óptico [85], essa célula de comutação está

baseada no fato de que a tangente de perda do material dielétrico na região de

acoplamento pode ser modificada através de comandos externos, a fim de modificar

as características de acoplamento.

Esse tipo de comutador é denominado comutador Δα, o qual utiliza diferente

tecnologia do comutador clássico Δβ. No comutador Δα é utilizada a alteração do

coeficiente de absorção óptico (Δα). Observe que a alteração na condutância (Δσ) é

proporcional a Δα ((σ(λ) = (c/2 λ)α).

Observamos que a perda induzida não atenua de forma significante as ondas

propagantes através dos guias de onda acoplados. Esse comportamento é análogo

ao apresentado por Soref and Little [86], onde foi utilizada absorção elétrica para

reduzir o “Q” de ressonadores acoplados a canais de guias de onda. Para se obter

comutação em guias de onda em PhC 2D feito de Si/Ar, ou Si/SiO

, a perda de

absorção do Si pode ser controlada através de:

 Injeção de portadores tipo “P”, e “N” nas hastes,

 Esvaziamento da dopagem das hastes através de portas MOS,

 Geração de elétrons e buracos através da técnica “above-gap light

shining”, a qual é um processo sem contacto.

171

Podemos obter a comutação através de comando externo, utilizando-se os

resultados obtidos previamente por [1].

 T(Estado direto) > 85% para σ > 10

-1

 T(Estado cruzado) > 90% para σ < 10

-1

Se o acoplador estiver implementado em camadas heterogêneas de semi-

condutor III-V, então o efeito de absorção elétrica pode ser utilizada. Esse dispositivo

difere do comutador de Fan et al [87], o qual está baseado em ressonador de ponto

de defeito, ou de dois pontos de defeito, situados entre os dois canais. Fan et al

assumiram que o “Q” dessas cavidades pode ser modificado através de perda

induzida eletricamente nesses buracos.

Analisando-se a transmissão espectral desse acoplador, encontrou-se uma

resposta periódica [88].

6.4 Acopladores em PhC com Controle de Comutação através de

Efeitos Não Lineares

Na Figura 6.16 mostramos o esquemático de acoplador PhC com estrutura

periódica triangular constituída por hastes de silício com índice de refração n

3,47 e raio r = 0,2a, embutidas em um material com índice de refração mais baixo (n

= 1,45) [89]. Consideramos que as hastes dielétricas possuem coeficientes não

lineares de Kerr não desprezíveis. O acoplador é obtido através da remoção de duas

linhas de hastes dielétricas na direção

ΓK

(dois guias de onda W

), separadas por

uma única linha de hastes dielétricas com raio r

= 0,7r. A linha de hastes de

separação dos dois guias PhC é também um guia de onda, o qual pode ser usado

para o sinal de controle da comutação desse dispositivo. Note que nesse momento

estamos preocupados apenas em desenvolver o mecanismo desse tipo de

acoplador controlado por comando externo, de forma que novas estruturas, incluindo

os materiais utilizados, podem ser alterados, a fim de se melhorar o desempenho

desses comutadores totalmente ópticos.

172

Figura 6.16. Esquemático do acoplador controlado por comando externo [90].

A curva de dispersão desse acoplador foi obtido através do método PWE,

conforme mostrado na Figura 6.17. Observe que estão exibidos três diferentes

modos guiados na PBG. Os modos na faixa de freqüências de mais altas possuem

simetria “even” e “odd” em relação ao plano eqüidistante dos eixos dos guias de

ondas, os quais correspondem aos supermodos desse acoplador. Quando se excita

uma porta de entrada do acoplador, tanto o modo “even”, quanto o modo “odd” se

propagam, proporcionado uma transferência periódica de potência entre os dois

guias de onda.

Figura 6.17. Curva de dispersão do acoplador mostrado na Figura 6.16 [90].

Na Figura 6.17 a linha sólida representa a relação de dispersão do sinal de

controle. A linha tracejada, e a linha pontilhada representam a relação de dispersão

173

dos modos “even” e “odd”, respectivamente. A Figura 6.17 apresenta ainda os

gráficos das intensidades dos campos elétricos desses modos

Na Figura 6.18(a) apresentamos a distribuição do campo elétrico dentro do

acoplador, em relação á freqüência normalizada 0,3281, obtida via método FDTD,

quando se aplica a fonte óptica I

no regime linear. Observe que para esse

comprimento (L) do acoplador direcional, o mesmo encontra-se no estado cruzado

(“cross”), apesar de que esse acoplador poderia ter sido projetado para estar no

sólido direto (“bar”).

Figura 6.18. Distribuição do campo elétrico dentro do acoplador obtido através do método

FDTD para u = 0,3281. (a) Regime linear. (b) Regime não linear. (c) Sinal de controle para u =

0,285 [90].

O índice de refração da linha de hastes entre os dois guias de onda é alterado de

acordo a não linearidade de Kerr, quando um alto nível de potência é emitido como

sinal de controle o coeficiente de acoplamento k (mede a intensidade de

acoplamento entre os dois guias de onda) é alterado, e consequentemente a razão

entre as potências nas portas de saída do acoplador também é modificada. Se o

comprimento do acoplador, bem como o pico de potência do sinal de controle for

selecionado de forma apropriada, a resposta de comutação desse acoplador pode

ser revertida, ou seja, se o acoplador estiver no estado “cross” no regime linear,

conforme mostramos na Figura 6.18(a) (baixo nível de potência do sinal de controle),

o mesmo passará para o estado “bar”, de acordo com o qe mostramos na Figura

6.18(b), quando o sinal de controle passa para o nível mais alto de potência. Isso

acontece devido ao efeito da alta potência do sinal de controle sobre o índice de

refração da região de acoplamento entre os dois guias de onda, o que por sua vez

altera o comportamento do coeficiente de acoplamento. Desse modo, se consegue

174

obter um comutador controlado de forma óptica, através do sinal de controle em

diferentes faixas de freqüência, o qual se propaga através da linha central de hastes

dielétricas. Observe através da Figura 6.18(b) que no caso desse projeto surge uma

diminuição no coeficiente de acoplamento, diminuindo assim o período de transição

de comutação entre os estados “cross” e “bar”, de forma que após o sinal percorrer o

comprimento L, o mesmo sairá na porta de saída correspondente ao estado “bar”,

que antes da aplicação do comando externo saia na porta correspondente ao estado

“cross”.

Note ainda que o sinal de comando com menor freqüência é altamente confinado

na região de acoplamento, conforme está mostrado na Figura 6.18(c), e que o

mesmo possui uma relação de dispersão plana, e, portanto, possui uma baixa

velocidade de grupo próximo da faixa de fronteira, de acordo com o que está

apresentado na Figura 6.17. Tendo em vista o acima exposto, surgem efeitos não

lineares na região de alto índice de refração entre os dois guias de onda, mesmo

quando o sinal de controle possua nível de potência relativamente baixo [91].

175

7 ACOPLADOR COM MELHOR PERFORMANCE

PARA OPERAÇÃO NAS BANDAS C, L, E U DO ITU

Na figura 7.1 mostramos a estrutura do acoplador embutido em cristal fotônico

que apresentou os melhores resultados para operação nas faixas C, L e U (1530 nm

a 1675 nm) do ITU.

Esse acoplador está embutido em um PhC 2D de estrutura triangular de hastes

dielétricas com raio

= 0,2a, e índice de refração n = 3,35 submersas em

substrato dielétrico com índice de refração n

= 1,45, onde “a” é a constante de

periodicidade do PhC. O acoplador é constituído por dois guias de onda do tipo W

A região de acoplamento é uma linha de hastes dielétricas com raio r

= 0,14a.

A PBG dessa estrutura é 0,2639 < u < 0,3599.

Levando-se em consideração que o comprimento de onda λ = 1,55μm é o mais

utilizado em comunicações ópticas, escolhemos a = 500nm e desta forma

obtemos u = 0,3127 em relação a esse comprimento de onda. Note que essa

freqüência normalizada está localizada no meio da PBG. Tendo em vista que

adotamos a = 500nm, obtemos a faixa de freqüências normalizadas 0,2985 < u <

0,3268 para as faixas C, L e U do ITU, a qual está dentro da PBG referente a essa

estrutura.

Figura 7.1. Esquemático do acoplador.

O sinal de comando possui freqüência normalizada dentro da PBG (0,283),

porém fora da faixa de freqüências normalizada referentes às janelas C, L, e U do

ITU.

176

O controle da comutação é baseado na inserção do sinal de controle na região

de acoplamento, a qual funciona com outro guia de onda, confinado fortemente o

sinal de controle.

Na Figura 7.2 mostramos que a diferença entre as constantes de propagação

even

e β

odd

para a freqüência normalizada u = 0,3127, obtida através do PWE.

Podemos aplicar a Equação 6.3 para cada freqüência normalizada e dessa forma

obter o comprimento de acoplamento necessário. Por exemplo, se escolhermos u

= 0,3127, obtemos L

= 37μm, o qual é o comprimento de acoplamento mínimo

para esse comprimento de onda (estado direto).

Figura 7.2. Cálculo do comprimento de acoplamento.

Vale salientar que os sinais de dados e de controle possuem polarização TE,

enquanto os sinais utilizados em telecomunicações possuem polarizações

aleatórias. Portanto, é necessário que esses sinais de telecomunicações passem

através de um polarizador, antes de penetrarem no acoplador.

As hastes dielétricas na região de acoplamento atuam como guia de onda

periódico. Quando o sinal de comando é inserido na região de acoplamento, o índice

de refração aumenta (devido aos efeitos não lineares), proporcionando o decréscimo

do valor da constante de acoplamento. Considerando-se que o acoplador foi

projetado para inicialmente operar no estado direto, como está mostrado na Figura

7.3(a), o decréscimo da constante de acoplamento deve ser suficiente para o

acoplador passar a operar no estado cruzado, conforme podemos constatar através

da Figura 7.3 (b) [92].

177

Figura 7.3. Passagem do estado direto para o estado cruzado.

Na Figura 7.4(a) mostramos o padrão transversal da intensidade do campo

elétrico dos supermodos e do sinal de comando (u = 0,283). A frequência

normalizada do sinal de comando foi escolhida para proporcionar uma baixa

velocidade de grupo, a fim de se obter um grande efeito não-linear. Na Figura 7.4(b)

mostramos a relação de dispersão do sinal de comando obtida através do PWE.

Figura 7.4 (a). Intensidade do campo elétrico dos supermodos (u = 0.3127) e do sinal de

comando (u = 0,283). (b) Relação de dispersão do sinal de comando.

Na Figura 7.5(a) mostramos a distribuição do campo elétrico referente ao sinal de

dados (u = 0,3127) dentro do acoplador com comprimento 10*Lc, obtido através do

FDTD, antes da inserção do sinal de comando. Na figura 7.5(b) apresentamos a

distribuição do campo elétrico do sinal de dados, após a inserção do sinal de

comando. Na Figura 7.5(c) está mostrada a distribuição de campo elétrico referente

ao sinal de comando dentro do acoplador.

178

Figura 7.5 (a). Distribuição do campo elétrico antes da inserção do sinal de comando. (b)

Distribuição do campo elétrico antes da inserção do sinal de comando. (c) Distribuição do

campo elétrico referente ao sinal de comando.

A faixa de frequências normalizadas (u), bem como a faixa de vetores de onda (k)

relacionada às relações de dispersão dos supermodos são diferentes da faixa de

frequencias normalizadas (u), bem como da faixa de vetores de onda (k) relacionada

à relação de dispersão do sinal de comando, respectivamente.

Os três sinais ópticos dentro do acoplador poderiam ocasionar mistura de quatro

ondas. Entretanto, para que isto possa ocorrer precisaria existir a concordância das

freqüências e dos vetores de onda (“phase-matching”). O requerimento para

ocorrência de “phase-matching” é que Δk

= 0 (k

= n

w/c), j = 1 a 4.

É muito difícil se satisfazer a condição de “phase-matching” em nosso dispositivo,

devido às variações na estrutura do PhC.

O cálculo da potência óptica do sinal de comando deve levar em consideração o

aumento do índice de refração da região de acoplamento (

Δn

)

, o qual depende da

estrutura do PhC e da freqüência normalizada do sinal de comando:

179



Δn





vg∣



(7.1)

Na Equação (7.1) P é a potência óptica desejada para o sinal de comando,

é o

índice de refração não linear, cujo valor máximo (1,2*10

-17

/W) está em torno do

comprimento de onda adotado para o sinal de controle (u = 0,283), A é a área efetiva

do modo (o volume modal é dado por (λ/2n)

vg∣

, é a velocidade de grupo do

sinal de comando em guia de onda axial uniforme convencional, e

vg∣

= 0,03*c, é a

velocidade de grupo do sinal de comando na região de acoplamento. Na figura

7.6(a) mostramos a relação entre a frequência normalizada e

vg∣

, e na Figura

7.6(b) exibimos n

em função do comprimento de onda [93, 94].

Figura 7.6. a) Frequência normalizada versus

vg∣

. b) Comprimento de onda versus n

Na Equação 7.1 foi levado em consideração o fator 2 (a modulação de fase cruzada

(XPM) induz uma variação duas vezes maior no índice de refração em relação à

auto-modulação de fase (SPM)), e o fator 1,5 (o confinamento longitudinal do modo

não é uniforme). Além disso, consideramos ainda a razão entre a velocidade de

grupo no centro de um guia de onda uniforme axial convencional, e velocidade de

grupo no guia de onda periódico.

Tendo em vista que nosso acoplador foi originalmente projetado para operar no

estado cruzado temos que

Δβ

=π

. Levando-se em consideração que

Δβ

= 2π

, então obtemos

Δβ

e consequentemente precisamos usar o sinal de

180

comando para reduzir o valor de Δβ

para a metade de seu valor original, de forma

que o acoplador passe para o estado cruzado.

Portanto, para o acoplador com L = 2L

passar do estado direto para o estado

cruzado, Δβ

(2)2L

= 3π, ou seja,

Δβ

c 2

3π

Δβ

Concluímos, então, que para: L = nL

temos:

Δβ

c n 

 2n−1 π

2n−1 

2. n

Δβ

. (7.2)

Na Figura 7.7 mostramos os valores das diferenças necessárias entre as constantes

de propagação dos dois supermodos para o acoplador operando no estado direto

(Δβ

), e no estado cruzado (Δβ

), bem como o valor do decréscimo de Δβ para a

passagem do estado direto para o estado cruzado em função do comprimento do

acoplador (para λ = 1,55μm).

Figura 7.7. Variação de

Δβ

em função do comprimento do acoplador.

Para analisarmos o aumento gradual do índice de refração usando-se o método

PWE aumentamos gradualmente a constante dielétrica da região de acoplamento,

deixando-se inalterado o restante da estrutura do acoplador. Desse modo, tudo se

181

passa como se estivéssemos aumentando gradualmente a potência óptica do sinal

de comando.

Os valores de Δβ encontrados na Figura 7.7 estão em concordância com os

resultados obtidos através de nossas simulações via PWE.

Tendo em vista que a variação do índice de refração para a passagem do estado

direto para o estado cruzado pode ser obtido através de ΔnL

= λ/2 [95], e como

temos que

2π

Δβ

, obtemos:

Δn=

λΔβ

4π

, (7.3)

Δn(n)nL

= λ/2,

Δn





λΔβ

4πn

. (7.4)

Na Figura 7.8(a) mostramos a diferença necessária no índice de refração, e na

Figura 7.8(b) apresentamos os valores referentes à potência óptica do sinal do

comando, para o acoplador passar do estado direto para o estado cruzado em

função do comprimento do acoplador.

Figura 7.8. a) Potência óptica do sinal de comando. b) Variação do índice de refração em

função do comprimento do acoplador.

Nas Figuras 7.8(a) e 7.8(b) podemos observar, que é muito grande a dependência

de Δn e P em relação ao comprimento do acoplador.

182

Podemos utilizar idêntico raciocínio para a determinação das características do

acoplador referente a cada uma das freqüências utilizadas no sistema de

transmissão.

Tendo em vista que as interfaces dos guias de onda do acoplador são corrugadas

de forma periódica, podem ocorrer acoplamento entre o modo fundamental co-

direcional e os modos contra-direcionais de ordem mais alta, ocasionado a formação

do que se denomina de mini bandas proibidas (“mini-stopbands-MSBs”). Nossas

simulações levaram em consideração os vetores de onda dentro da PBG e fora das

MSBs.

Entretanto, mesmo tratando-se de acoplador embutido em PhC não linear [96]

podemos usar as Equações dos modos acoplados (7.5) e (7.6), para análise do

nosso acoplador, uma vez que estamos trabalhando com os modos dentro da PBG,

e fora das MSBs. Por outro, lado para aplicar as equações acima referidas,

precisamos usar os parâmetros corretos do PhC,

∂ A

∂ z



∂ A

∂t



∂

∂t



=iγ



∣A

∣

B∣A

∣



ikA

(7.5)

∂ A

∂ z



∂ A

∂t



∂

∂ t



=iγ



∣A

∣

B∣A

∣



ikA

, (7.6)

onde V

é a velocidade de grupo, β

é o parâmetro de GVD (obtained by [54]), α = 0

é parâmetro de perda óptica (sem perda óptica),

é coeficiente de não linearidade

(

. 2π

λA

eff

), B é parâmetro XPM que governa acoplamento não linear induzido, e k

é coeficiente de acoplamento.

Na Figura 7.9, a qual foi obtida através do nosso software BiPM, mostramos a

variação na transmissão em função dos valores de k, para o comprimento do

acoplador 10 vezes maior que o comprimento de acoplamento mínimo.

Observe que a diminuição do valor do coeficiente de acoplamento devido aos

efeitos não lineares ocasionados pelo sinal de comando externo, reverte o estado

direto do acoplador para o estado cruzado. Quando o valor de k tende para zero, o

acoplador perde suas características de comutação, e quando k = 0 os modos estão

desacoplados.

183

Figura 7.9. Transmissão em função do coeficiente de acoplamento.

Considerando-se que o sinal de dados está abaixo do cone de luz, a dispersão é

mínima. Nesse caso, o único espalhamento que ocorre se deve à desordem das

hastes durante o processo de fabricação do PhC, o qual é muito pequeno e foi

desprezado em nosso trabalho. Por outro lado, como a velocidade de grupo do sinal

de dados é dez vezes maior do que a velocidade de grupo do sinal de comando, a

largura do pulso do sinal de comando precisa ser dez vezes maior do que a largura

do pulso do sinal de dados. Portanto, a taxa de transmissão dos pulsos de

transmissão deve ser calculada baseada na largura do pulso do sinal de comando.

O acoplador acima detalhado pode seu usado para obtenção de matriz de

comutação “crossbar” totalmente óptica do tipo sem bloqueio de alto nível

(qualquer porta de entrada não utilizada pode ser conectada a qualquer porta de

saída não usada, sem precisar de que qualquer uma das conexões seja re-

roteada).

184

CONCLUSÕES

Projetamos, e analisamos uma célula de comutação óptica embutida em cristal

fotônico, a qual pode ser utilizada em uma matriz de comutação, por exemplo, do

tipo “crossbar”, sem bloqueio de alto nível. Na matriz de comutação do tipo sem

bloqueio de alto nível, qualquer porta de entrada não utilizada, pode ser

conectada a qualquer porta de saída não usada, sem precisar de que qualquer

uma das conexões seja re-roteada.

A célula de comutação que nós estamos apresentando é constituída por um

acoplador direcional óptico embutido em uma estrutura PhC, o qual é comandado

através de um sinal óptico inserido na região de acoplamento. Portanto, essa

região de acoplamento atua como um guia de onda periódico adicional. O sinal

óptico de comando, apesar de possuir potência relativamente baixa, proporciona a

diminuição do índice de refração da região de acoplamento, devido aos efeitos

não lineares, ocasionando a passagem do acoplador do estado direto para o

estado cruzado e dessa maneira, o sinal de entrada é comutado para a porta de

saída referente ao guia de onda adjacente.

O acoplador está embutido em um PhC 2D de estrutura triangular de hastes

dielétricas com raio

= 0,2a, e índice de refração n = 3,35 submersas em um

substrato dielétrico com índice de refração n

= 1,45, onde “a” é a constante de

periodicidade do PhC. O acoplador é constituído por dois guias de onda do tipo W

e a região de acoplamento é uma linha de hastes dielétricas com raio r

= 0,14a.

A PBG dessa estrutura é 0,2639 < u < 0,3599.

Levando-se em consideração que o comprimento de onda λ = 1,55μm é o mais

utilizado em comunicações ópticas, escolhemos a = 500nm e desta forma

obtemos u = a/ ( = 0,3127 (frequência normalizada) em relação a esse

comprimento de onda. Essa freqüência normalizada está localizada no meio da

PBG desse sistema. Tendo em vista que adotamos a = 500nm, obtemos, então, a

faixa de freqüências normalizadas 0,2985 < u < 0,3268 para as faixas C, L e U

(1530nm a 1675nm)

do ITU, a qual está dentro da PBG referente a essa estrutura.

Tendo em vista que escolhermos u = 0,3127, obtemos o comprimento de

acoplamento L

= 37μm, o qual é o comprimento mínimo do acoplador para esse

comprimento de onda (estado direto).

185

A frequência normalizada do sinal de comando ( u = 0,283) foi escolhida para

proporcionar baixa velocidade de grupo, a fim de se obter um grande efeito não-

linear.

A nossa célula de comutação opera, portanto, utilizando-se apenas sinais ópticos,

de forma que, praticamente, não possui retardo.

186

FUTURO TRABALHO

Memória Óptica Feita de Cristal Fotônico Trabalhando

sobre a Banda C do ITU

A memória óptica proposta está embutida em uma estrutura triangular PhC 2D

constituída por buracos de ar com raio r

= 0,31a perfurado no dielétrico. O perfil

vertical do dielérico é formado por um revestimento de InP (n = 3,17), um núcleo

de InGaAsP (n = 3,35), e um substrato de InP. Essa estrutura pode ser

representada de forma precisa através de um índice de refração efetivo n

eff

3,258.

Na Figura TF1 (a) mostra o esquema leitura em nossa memória óptica.

Figura TF1. a) Escrita de dados na memória óptica. b) Leitura de dados da memória óptica.

Para se escrever, ou ler dados na memória óptica procede-se da seguinte

forma:

1) O sinal de dados a ser escrito na memória é simultaneamente inserido junto

com o sinal de controle, de forma que o acoplador opera no estado cruzado,

permitindo a entrada do sinal de dados, conforme está mostrado na Figura TF1(a).

2) Após a inserção do sinal de dados cessa também sinal de controle e o

acoplador opera agora no estado direto, aprisionando o sinal de dados dentro da

memória.

3) Para ler o sinal de dados, insere-se novamente o sinal de comando, pois

dessa forma o acoplador volta a operar no estado cruzado, de acordo com o está

detalhado na Figura TF1(b).

187