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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
GRATULIANO ERIGOI ALVES DA SILVA
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NATAL
2006
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GRATULIANO ERIGOI ALVES DA SILVA
UM ESTUDO SOBRE A APRENDIZAGEM DE NÚMEROS IRRACIONAIS NO
ENSINO MÉDIO
NATAL
2006
Tese apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Educação da
Universidade Federal do Rio Grande
do Norte como requisito parcial para
obtenção do título de Doutor em
Educação.
Orientador:
Professor Dr. Francisco Peregrino
Rodrigues Neto
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4
N
ão é no silêncio que os homens se fazem, mas na palavra,
no trabalho, na ação-reflexão. Por isso o diálogo é uma
exigência existencial.
N
ão há porém, diálogo, se não há uma intensa fé nos
homens. Fé no seu poder de fazer e refazer, de criar e
recriar. Fé na sua vocação de ser mais, que não é privilégio
de alguns eleitos, mas direito dos homens.
Paulo Freire
5
AGRADECIMENTOS
Quero agradecer a todos aqueles que contribuíram de forma direta ou indireta
com este trabalho, mais especialmente aos três professores que fizeram parte da
banca de seleção doutoral que acreditaram na minha capacidade de luta — sem a
confiança deles não teria nem mesmo iniciado esta caminhada.
Inicio citando a Professora Doutora Betânia Leite Ramalho a quem devo toda
gratidão; ao professor Doutor Iran Abreu Mendes que atuou como grande amigo e
ao professor Doutor Francisco Peregrino Rodrigues Neto que além de ter participado
da Banca assumiu a orientação dos estudos, o qual fez com muita paciência e
tranqüilidade.
Agradeço ao professor Dr. John Andrew Fossa e a professora Doutora
Rogéria Gaudêncio do Rego pelas contribuições ao trabalho. A então diretora da
escola estadual Walftredo Gurgel, professora Edjane Maria Vilar de Souza Ramos,
pelo apoio e interesse em conseguir um professor para ceder uma das turmas para
que realizássemos parte da intervenção metodológica da pesquisa. A professora
Francisca das Chagas Sena Lobato (chaguinha), por ter cedido uma das turmas
para realização do trabalho.
A professora Lígia Souza de Santana Pereira coordenadora pedagógica do
Ensino Médio da escola Agrícola de Jundiaí por ter cedido uma das turmas para
fazer parte do estudo.
Aos alunos que contribuíram participando voluntariamente do
desenvolvimento da intervenção metodológica da pesquisa.
À minha esposa Francisca Terezinha e aos meus filhos: Diego Felipe, Ricardo
Luiz e Fernando Vitor, pela compreensão e apoio nos momentos mais difíceis da
árdua caminhada.
6
RESUMO
O presente estudo descreve as relações teórico-práticas entre a elaboração e a
aplicação de atividades de ensino de matemática. Propomos uma abordagem
metodológica sobre números irracionais para a primeira série do Ensino Médio,
amparando-nos em uma experiência que envolve o ensino de números irracionais
através do uso de atividades construtivistas aplicadas obedecendo a uma seqüência
didática. Utilizamos o construtivismo como referencial teórico importante no ensino-
aprendizagem da Matemática. A intervenção metodológica foi levada a efeito junto a
estudantes de duas turmas de 1ª série do Ensino Médio de duas escolas públicas,
uma estadual e outra federal, situadas na grande Natal, no Estado do Rio Grande do
Norte. A elaboração, aplicação e a avaliação das atividades usadas nesta
experiência nos levaram a refletir mais profundamente acerca do valor das idéias
construtivistas e entender que o uso de atividades obedecendo a uma seqüência
didática no ensino de Matemática favorecem a aprendizagem dos educandos.
Discutimos também os resultados da pesquisa comentando-os de forma a contribuir
com o avanço da proposta e seu uso mais constante. A participação e a avaliação
dos estudantes foram analisadas e julgadas mediante os conceitos de compreensão
relacional e compreensão instrumental de Skemp. Dado os resultados alcançados
que consideramos positivos de nossa pesquisa, acreditamos que esta intervenção
metodológica pode ser usada de forma mais freqüente em sala de aula do Ensino
Médio e também pode ser aplicada a professores em cursos de formação inicial e/ou
formação contínua.
Palavras-chave: Ensino–aprendizagem, Números Irracionais, Ensino Médio,
Matemática.
7
ABSTRACT
The present study describes theoretical–practical relationships between development
and application of activities in Mathematics education. It’s proposed a methodological
approach to Mathematics in the first grade of Ensino Médio, supported by an
experiment involving Irrational Numbers education by using constructive activities,
applied obeying an educational sequence. Constructivism is used as an important
theoretical reference in teaching–learning process of Mathematics. The
methodological intervention was done with two classes of students of the first grade
of Ensino Médio, in two public schools, a state one and a federal one, located on the
city of Natal, Rio Grande do Norte. The development, application and testing of the
activities used on this experiment led us to think more profoundly about the value of
constructivism ideas and understand that the use of activities that obey an
educational sequence favors the learning. It’s also discussed the research results,
commented on a way to contribute to the advances of the proposal and it’s more
constant use. The participation and testing of the students were analyzed and judged
using Skemp’s Instrumental Understanding and Relational Understanding concepts.
The results of the research were considered good, so we believe this methodological
intervention can be used more frequently in the classes of Ensino Médio and also be
applied to teachers in courses of initial education and continuous formation.
Key-Words: Teaching–Learning process, Irrational Numbers, Ensino Médio,
Mathematics
8
RESUMÉ
Cette étude décrit les rapports théorique-pratiques entre l’élaboration et l’application
d’activités d’enseignement de mathématiques. Nous proposons une approche
méthodologique pour les mathématiques à la première année de l’Enseignement
Moyen, en nous appuyant sur une expérience qui concerne l’enseignement des
nombres irrationnels à partir de l’usage d’activités constructives appliquées obéissant
à une séquence didactique. Nous avons pris le constructivisme comme référence
théorique importante dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques.
L’intervention méthodologique a été effectuée auprès d’étudiants de deux classes de
première année de l’Enseignement Moyen de deux écoles publiques : L’une de l’état
et l’autre fédérale, situées sur la banlieue de Natal, à l’état du Rio Grande do Norte.
L’élaboration, l´application et l’évaluation des activités utilisées dans cette expérience
nous amènent à réfléchir plus profondément à propos de la valeur des idées
constructivistes et comprendre que l’usage d’activités obéissant à une séquence
didactique dans l’enseignement de mathématiques favorise l’appretissage des
apprenants. Nous avons également discuté les résultats de la recherche en les
commentant de manière à contribuer à l’avancement de la proposition et à son
utilisation plus constante. La participation et l’évaluation des apprenants ont été
analisées et jugées conformément aux concepts de compréhension relationnelle et
compréhension instrumentale de Skemp. Par les résultats positifs obtenus de notre
recherche, nous croyons que cette intervention méthodologue peut être utilisée de
manière plus fréquente en salle de classe de l´Enseignement Moyen et peut aussi
être appliquée à des professeurs en cours de formation initiale et/ou formation
continue.
Mots-clés : Enseignement-apprentissage, Nombres irrationnnels, Enseignement
Moyen, Mathématiques.
9
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 11
1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ESTUDO 14
1.1 A Educação Escolar Brasileira 1960 – 2003 14
1.2 A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 15
1.2.1 As reformas da LDB – Lei de nº 5.692/71 15
1.3 A Nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – Lei 9394/96 17
1.4 As Leis de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira e as Exigências para
o Exercício da Função de Professor 18
1.5 O Novo Ensino Médio no Brasil 19
1.5.1 O Currículo de Matemática para o Ensino Médio: PCNEM 21
1.6 O Ensino de Matemática no Brasil 22
1.6.1 O Ensino de Matemática no estado do Rio Grande do Norte 25
1.7 Os Livros Didáticos e os Conteúdos Propostos para a 1ª série do Ensino
Médio
27
2 METODOLOGIA
30
2VQ¼PHURVLUUDFLRQDLVQR(QVLQR)XQGDPHQWDO
30
2.2 O Estudo sobre a Aprendizagem de Números Irracionais no Ensino Médio
32
2.3 O Construtivismo de Jean Piaget 35
2.4 O Construtivismo Radical de von Glasersfeld
39
2.5 Skemp e os conceitos de aprendizagem
40
2.6 Os obstáculos que interferem na aprendizagem da matemática 42
2.6.1 Obstáculos epistemológicos 43
2EVW£FXORVGLG£WLFRV
44
2.6.3 Obstáculos ontogênicos 45
2.6.4 Números irracionais e os obstáculos 45
2.7 Outros trabalhos que envolvem números irracionais 46
2.8 Percurso Metodológico 46
2.9 Instrumentos para levantamento de dados 48
3 A INTERVENÇÃO METODOLÓGICA NO ENSINO MÉDIO 50
3.1 Caracterização dos sujeitos 50
3.2 A opção de pesquisa 50
10
3.3 Avaliação diagnóstica 51
3.3.1 Objetivos da Avaliação Diagnóstica 53
3.3.2 A entrevista para a Avaliação Diagnóstica 54
3.3.3 Apresentação dos objetivos das questões da prova escrita para a
avaliação diagnóstica e respectivas questões
55
3.3.4 Critérios para correção das questões da prova escrita da Avaliação
Diagnóstica
61
3.3.5 Pontuação das respostas das questões
62
3.3.6 Apresentação dos dados
62
3.3.7 Comentário sobre as respostas dos alunos 65
3.3.8 As entrevistas 71
3.3.9 Análise dos dados da avaliação diagnóstica 80
3.4 O Módulo de Ensino 84
3.4.1 Atividades para o Módulo de Ensino 84
3.4.2 Comentários sobre aplicação do Módulo de Ensino 86
3.4.3 A Aplicação do Módulo de Ensino 89
3.4.4 A Aplicação das atividades no grupo 1 90
3.4.5 A aplicação do Módulo de Ensino no grupo 2 99
3.4.6 Conclusões sobre a aplicação do Módulo de Ensino 107
3.5 Avaliação final 107
3.5.1 Objetivos da Avaliação de saída 108
3.5.2 Critérios para a correção e julgamento das respostas dos alunos 108
3.5.3 Questões da prova escrita da avaliação de saída 109
3.5.4 Apresentação dos dados da avaliação de saída em tabelas e gráficos 114
3.5.5 Apresentação gráfica dos dados da avaliação de saída 114
3.5.6 Comentários sobre as respostas dos alunos na avaliação final 117
3.5.7 Análise qualitativa dos dados da avaliação final 118
Conclusões do estudo 123
BIBLIOGAFIA REFERIDA 126
BIBLIOGAFIA CONSULTDA 130
APÊNDICE 1: O MÓDULO DE ENSINO 131
APENDICE 2: OS NÚMEROS REAIS 161
11
INTRODUÇÂO
O nosso interesse pelo tema números irracionais, surgiu da própria prática
como professor de Matemática dos dois níveis do ensino básico, 1º e 2º graus, hoje,
denominados de Ensino Fundamental e Ensino Médio, respectivamente — Iniciando
a função de professor de Matemática no ano de 1979, quando começamos a
graduação em tecnologia têxtil pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte
(UFRN).
Com a implantação da Lei 9394/96, comentada neste trabalho, e nossa
participação como professor-formador do curso de atualização curricular para
professores de Matemática da rede estadual de ensino, visando à implantação dos
Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, em sua versão preliminar, vimos
à necessidade e importância de continuarmos estudando e nos aperfeiçoando no
campo da atuação profissional. O que veio a ocorrer com o curso de especialização
em Matemática, promovido pelo Departamento de Matemática da UFRN, onde
realizamos uma pesquisa bibliográfica objetivando verificar a maneira pela qual o
conteúdo matemático número irracional era abordado nos livros didáticos.
A definição de número irracional é abordada na 7ª série, mas geralmente, o
assunto é apresentado em termos práticos através de regras para operar com
radicais, o que se verifica na 8ª série. Muitas vezes não se usam justificativas
convincentes que possibilitem aos alunos perceberem a utilidade do estudo deste
conteúdo.
Partindo dessa análise bibliográfica percebemos a necessidade de fazer uma
intervenção metodológica sobre o ensino dos números irracionais junto a alunos da
8ª série do Ensino Fundamental, que pudesse tornar o trabalho sobre esses
números mais significativo. Além disso, alunos, da 7ª e da 8ª série, como também
das três séries do Ensino Médio, não conseguem entender que o conjunto dos
números irracionais é parte dos números reais, ficando sua aplicação restrita à
racionalização de denominadores.
Ao realizarmos a intervenção metodológica, com atividades de ensino, junto a
alunos da 8ª série, constatamos a deficiência na aprendizagem deste conteúdo,
12
havendo a necessidade de se rever o modo como é desenvolvido em sala de aula,
em conseqüência do nível de entendimento demonstrado pelos alunos.
Considerando o baixo desempenho dos alunos da 8ª série sobre os números
irracionais, surgem os questionamentos: i) Será que ao oportunizarmos aos alunos
da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de
atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo?
ii) É realmente necessário estudar os números irracionais no Ensino Médio? É nossa
finalidade responder as questões ao elaborarmos, aplicarmos e avaliarmos uma
proposta metodológica para o conteúdo dos números irracionais que priorize a
construção dos conceitos pelos alunos.
Ao propormos um trabalho com atividades de ensino aos alunos priorizando a
construção de conceitos, acreditamos que estes alcançarão uma aprendizagem que
seja mais significativa. Sendo assim, concebemos a aprendizagem significativa
como aquela em que os alunos aprendem com mais compreensão, ou seja, que o
assunto aprendido tem significância lógica e se transforma em psicológica para o
aprendiz e é incorporado por este, a partir da bagagem cognitiva que possui.
O texto está dividido em três partes onde comentamos sobre as Leis que
deram estrutura organizacional à Educação Escolar brasileira no período de 1960
(séc. XX) a 2003 do corrente; discutimos a proposta sugerida pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM); discorremos sobre o ensino
da matemática no Brasil, no Estado do Rio Grande do Norte e apontamos os
conteúdos abordados nos livros didáticos para a primeira série do Ensino Médio.
Apresentamos dados sobre o trabalho realizado no mestrado: Um estudo
sobre a aprendizagem de números irracionais no Ensino Fundamental. Apontamos
outros trabalhos envolvendo os números irracionais e traçamos um perfil deste
trabalho indicando objeto de estudo, teorias de ensino, o construtivismo de Jean
Piaget, o construtivismo radical, os conceitos de compreensão instrumental e
relacional de Skemp, o percurso metodológico da pesquisa e os instrumentos para
levantamento de dados.
Destacamos a metodologia da pesquisa descrevendo sobre as três fases da
intervenção metodológica: A avaliação inicial, o Módulo de Ensino e a Avaliação de
Saída. Apontamos também os procedimentos para avaliar as respostas dos alunos e
os critérios que adotamos para análise e julgamento dos dados. Finalizando,
13
apresentamos as conclusões do estudo descrevendo a importância dos irracionais
serem trabalhados no Ensino Médio por meio de atividades de ensino.
14
1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ESTUDO
Este capítulo tem como objetivo apresentarmos as considerações iniciais da
pesquisa, descrevendo os vários momentos históricos da educação escolar
brasileira, apontando as propostas de mudanças na denominação dos níveis de
ensino e a organização curricular no período de 1960 a 2003. Neste intervalo de
tempo fatos importantes influenciaram a educação nacional.
Para falarmos dos momentos marcantes da educação no Brasil recorreremos
às leis de ensino. A Lei nº 4024, de 20 de dezembro de 1961, e suas reformas
através da Lei nº 5692 de 1971 foram marcos no contexto educacional — como
também foi a segunda e atual Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei
de nº 9394 de 20 de dezembro de 1996. Estas leis trouxeram mudanças
significativas e reorganizaram a estrutura do ensino-aprendizagem no Brasil.
Destacaremos a estrutura do novo ensino médio proposta pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) discutindo o currículo de
Matemática lá colocado e comentaremos os conteúdos abordados nos livros
didáticos do referido componente curricular para a primeira série do ensino médio,
comentaremos ainda sobre o ensino de Matemática no Brasil, perpassando pelo
movimento da Matemática Moderna e ressaltaremos o ensino desta disciplina no
Estado do Rio Grande do Norte.
1.1 A Educação Escolar Brasileira 1960 – 2003
A educação escolar brasileira ao longo de sua história tem passado por
mudanças na legislação e organização curricular. Neste estudo retrataremos
aspectos importantes e um pouco dessa história a partir da primeira Lei de Diretrizes
e Bases da Educação Nacional (LDB de 1961, Lei 4.024 de 20 de dezembro de
1961). Também relataremos as reformas feitas à LDB, com a 5.692/71 e a atual de
20 de dezembro de 1996.
Nessas quatro últimas décadas o Sistema de Educação Escolar do Brasil
passou por reformas, foram elaboradas diretrizes e bases da educação nacional,
estabeleceram-se metas e parâmetros de organização da educação. Todas essas
mudanças favoreceram um acompanhamento, pela população brasileira, das
15
decisões tomadas na área da educação escolar que passou a ser vista como um
problema de ordem nacional.
Para organizar a educação escolar há a necessidade de leis que estabeleçam
diretrizes e parâmetros para o seu funcionamento. Assim, comentaremos algumas
importantes leis de ensino no Brasil, a partir da década de 1960, destacando a parte
que se refere ao atual Ensino Médio.
1.2 A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei de nº 4024 de
20 de dezembro de 1961, manteve a estrutura do ensino em vigor, seguindo o
estabelecido nas leis orgânicas do ensino decretadas em 1942 e 1946. Ela manteve
o ensino primário em quatro anos, seqüenciado pelo ensino médio com duração de
sete anos e dividido de forma vertical em duas etapas: A primeira, ginasial, com a
duração de quatro anos; e a segunda, colegial, com três anos de duração. O colegial
estava subdividido horizontalmente em: Secundário, Normal e Técnico. A primeira
LDB deu nova forma ao curso Técnico deixando-o organizado em Industrial, Agrícola
e Comercial e, apenas o curso Secundário permitia acesso ao ensino superior. A
LDB mudou essa estrutura dando a oportunidade do acesso ao ensino superior
através do vestibular, independentemente do curso realizado no ensino médio.
(SAVIANI, 2001).
1.2.1 As reformas da LDB – Lei de nº 5.692/71
As reformas na LDB feitas pela Lei nº 5.692/71 alteraram toda a estrutura do
ensino em vigor. O sistema de ensino brasileiro passou a ter a seguinte organização:
um ensino de primeiro grau com duração de oito anos e um ensino de segundo grau
de três anos. Como regra geral, instituiu um curso de segundo grau unificado, de
caráter profissionalizante, abrindo espaço para as diversas habilidades profissionais,
implantando o tecnicismo no Brasil. A pedagogia tecnicista se baseava na
pressuposta neutralidade científica, bem como na racionalidade, eficiência e
produtividade. Tinha a função de reorganizar o processo educativo, de modo a
torná-lo objetivo e operacional. Nesta pedagogia surgiram propostas com enfoque
sistêmico — o micro-ensino e o tele-ensino. Além disso, surgiu também a divisão do
16
trabalho pedagógico em diferentes funções: os chamados especialistas (SAVIANI,
2000, p. 13).
O enfoque do tecnicismo não era o aluno e nem tão pouco o professor e sim,
“[...] a organização racional dos meios [...]”, (SAVIANI, 2000, p. 13). O planejamento,
a coordenação e o controle de todo o processo educativo ficava a cargo dos
especialistas, pessoas que supostamente eram habilitadas, para tal atividade e
isentos de parcialidade. Permitiu, também, espaço para um ajustamento regional e
local do educando ao sistema de ensino. Segundo o parecer nº 853/71, citado em
Brasil (1979),
A escolha dos conteúdos que irão formar cada currículo é feita,
segundo sistemática da lei por aproximação sucessiva em escala
decrescente, numa intencional busca de autenticidade aos vários
níveis de influência que se projetam no ensino: o nível dos
conhecimentos humanos, o nível nacional, o nível regional, o nível
escolar, o nível do próprio aluno. (BRASIL, 1979, p, 221).
Reportando-nos ao parecer 853/71 percebemos que a legislação, em sua
flexibilidade, dava a oportunidade para a escola adaptar o seu currículo, mas ao
mesmo tempo retirava essa autonomia dando poderes aos conselhos de educação
para determinarem o que poderia ou não ser incluído como parte diversificada.
Observemos o que determina o artigo 4º da Lei 5692/71:
“Os currículos do ensino de
1º e 2º graus terão um núcleo comum obrigatório em âmbito nacional, e uma parte
diversificada para atender, conforme as necessidades e possibilidades concretas, as
peculiaridades locais, aos planos dos estabelecimentos e às diferenças individuais
dos alunos”.
Esta Lei propiciava ao educando, além dos conteúdos obrigatórios em todo o
país, uma abertura para que fossem implantados no currículo escolar conteúdos
com particularidades de interesses da comunidade, mas ao mesmo tempo, dava
poderes aos conselhos estaduais de educação para restringir e subtrair essa
abertura usando os mais diversos artifícios como mostra o parágrafo 1º do artigo 4º
que orienta as seguintes prescrições na definição dos conteúdos curriculares: “
I — O
conselho Federal de Educação fixará para cada grau as matérias relativas ao núcleo
comum, definindo-lhes os objetivos e amplitude”; “II — Os Conselhos de Educação
relacionarão para os respectivos sistemas de ensino as matérias dentre as quais
17
poderá cada estabelecimento escolher as que devem constituir a parte
diversificada”. Neste caso os conselhos decidiam quais as disciplinas que os
estabelecimentos escolares poderiam ou não escolher como parte diversificada, não
assumindo a responsabilidade direta nessa escolha.
Como podemos perceber com a Lei 5.692/71, a parte diversificada da
estrutura curricular do sistema de ensino nacional passou a ser de controle dos
conselhos de educação, não cabendo às escolas ou à comunidade escolar opinar e
decidir sobre o assunto.
1.3 A Nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – Lei 9394/96
Em 20 de dezembro de 1996, o Sistema Nacional de Educação passou a ser
regido pela nova Lei, a 9394/96, que tem como proposta o fim da dualidade entre o
ensino médio e a educação profissional. Assim, os sistemas e os estabelecimentos
escolares de ensino médio deverão ser capazes de criar e desenvolver, com a
participação de professores e a comunidade escolar, alternativas institucionais com
identidade própria, observada a missão de promover a educação do jovem, usando
as várias possibilidades de organização pedagógica. Os sistemas educacionais
terão de contemplar a formação básica, integrando as séries finais do ensino
fundamental com o ensino médio, dado a proximidade de faixa etária dos alunos
desses níveis de ensino e as características comuns entre as disciplinas desses
segmentos de ensino.
A organização curricular na LDB apresenta uma base comum que determina
a construção do currículo no ensino fundamental e médio, a ser complementada em
cada sistema de ensino e estabelecimento escolar, por parte diversificada, exigida
pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e da
clientela (art. 26, da Lei 9394/96).
A base comum contém em si a dimensão de preparação para o
prosseguimento de estudos e deve caminhar no sentido de que a construção de
competências e habilidades básicas seja o objetivo do processo de aprendizagem e
não o acúmulo de esquemas pré-estabelecidos.
A parte diversificada do currículo destina-se a atender às características de
cada região, da sociedade, da cultura e da clientela; complementa a base nacional
comum podendo ser definida em cada sistema de ensino e estabelecimento escolar.
18
O art. 26 da LDB determina a obrigatoriedade, nessa base nacional comum,
de “estudos da língua portuguesa e de matemática, conhecimento do mundo físico e
natural e da realidade social e política, especialmente, do Brasil [...]”. Este é o
direcionamento dado para os conhecimentos básicos que devem ser trabalhados
pelos sistemas de ensino.
1.4 As Leis de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira e as Exigências para o
Exercício da Função de Professor.
A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), de 20 de
dezembro de 1961 apresenta, pela primeira vez, exigência e fixa diretrizes para a
educação nacional. Neste sentido, o Art. 5º inciso XIV diz que: “traçar as diretrizes
da educação nacional” é dever da União. Indica a necessidade de se fixar um plano
nacional de educação em seu Artigo 150, alínea “a”, em que está escrito: “fixar o
plano nacional de educação, compreensivo do ensino de todos os graus e ramos,
comuns e especializados; e coordenar e fiscalizar a sua execução, em todo território
do país”. Como também, dá poderes ao Conselho Nacional de Educação para
elaborá-lo e encaminhá-lo ao Poder Legislativo para aprovação.
A Lei nº 4024/61 apresentava em seu Capítulo IV a exigência para atuar no
magistério de ensino primário e médio. O ensino normal era responsável pela
formação de professores e especialistas do ensino primário. Dentre eles,
orientadores, supervisores e administradores escolares. Para a função de professor
do ensino médio era exigida a formação e habilitação nas Faculdades de Filosofia.
Quanto aos docentes do Ensino Normal sua formação deveria acontecer nos
Institutos de Educação.
A atual e segunda LDB (Lei nº 9394 de 20 de dezembro de 1996), trata a
carreira do profissional da educação com ênfase no seu Título VI, tocando em
questões substantivas e princípios. A Lei afirma que a formação dos profissionais da
educação terá como fundamentos “a associação entre teorias e práticas, inclusive
mediante a capacitação em serviço” e, conseqüentemente, “aproveitamento da
formação e das experiências anteriores, em instituição de ensino e outras
atividades”. Propõe “formação preferencial em nível superior”. No Art. 67, sugere que
os sistemas de ensino deverão promover a valorização dos professores enquanto
profissionais, com estatutos e planos de carreira definidos.
19
O ingresso no magistério público deve-se dar exclusivamente por concurso
público de provas e títulos, devendo ser assegurado aos professores
aperfeiçoamento profissional continuado, inclusive em serviço, piso salarial
profissional, incentivos à titulação e produtividade.
1.5 O Novo Ensino Médio no Brasil
O Novo Ensino Médio tem uma organização curricular dividida em três áreas
de conhecimento, assim propostas:
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias: nessa área de conhecimento estão
agrupadas as disciplinas de Língua Portuguesa, Língua Estrangeira Moderna,
Educação Física, Arte e conhecimentos de Informática. O fio condutor desse
agrupamento é o entendimento de que as linguagens e códigos são vistos em suas
multiplicidades, dinamicidades e situados no tempo e espaço, com implicações de
caráter histórico, sociológico e antropológico.
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias: são agrupadas as
disciplinas de Biologia, Física, Química e Matemática. A finalidade proposta para
esse agrupamento é o ensino das disciplinas produzir um conhecimento efetivo e
significativo para os alunos, perdendo um pouco do caráter propedêutico que
sempre marcou o ensino de 2º grau.
Ciências Humanas e suas Tecnologias: nessa área é proposto o agrupamento
das disciplinas História, Geografia, conhecimentos de Sociologia, Antropologia,
Política e Filosofia. A tônica é trabalhar essas áreas do conhecimento de forma que
os alunos compreendam que a sociedade é resultado de uma construção humana.
Os PCNEM propõem, ainda, que todas as áreas sejam trabalhadas tendo-se
como eixos norteadores a interdisciplinaridade e a contextualização. A
interdisciplinaridade tem a finalidade “[...] de utilizar os conhecimentos de várias
disciplinas para resolver um problema concreto ou compreender um determinado
fenômeno sob diferentes pontos de vista” (BRASIL, 1999, p. 34). A compreensão do
trabalho com a interdisciplinaridade se dá a partir da abordagem relacional, onde se
propõe que através da prática escolar, aconteça o estabelecimento de interconexões
entre os diversos conhecimentos, possibilitando aos professores maior liberdade
para abordar os conteúdos e aos alunos uma aprendizagem motivadora e
significativa. A contextualização propõe que se pense em um ensino que esteja mais
20
próximo do cotidiano dos alunos possibilitando-lhes condições de compreender e
intervir na realidade em que vivem.
As diretrizes do novo ensino médio colocam a escola como agente principal
na definição do currículo escolar, o professor como agente mediador e transformador
e o estudante, o cidadão alvo de toda a mudança. As diretrizes estão definidas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio como guias para orientar o
estabelecimento escolar e os professores na aplicação do novo modelo. Ao dispor
os conteúdos interligados por área, os PCNEM facilitam e criam caminhos para
atingir o objetivo de levar ao estudante conhecimentos capazes de torná-lo uma
pessoa crítica e hábil para continuar aprendendo e se adaptando ao mundo
globalizado.
Os PCNEM propõem que os conteúdos devam ser vistos como meios para a
constituição de competências e não como fins em si mesmo. O trabalho do
raciocínio deve prevalecer sobre o da memória e o conhecimento deve ser
experimentado pelo aluno e não apenas transmitido a ele pelo professor. O aluno
deverá ser capacitado a construir competências, habilidades e disposição de
condutas que lhe tornem possível a inserção na sociedade de forma produtiva,
deixando de ter um comportamento passivo diante das informações recebidas.
Com as novas diretrizes fica maior a responsabilidade da escola e do
professor em planejar seu programa de ensino procurando dar dinamismo e evitando
seguir rigorosamente o livro didático. Para isso, deverão identificar as necessidades
imediatas dos alunos e traçar um planejamento adequado às novas exigências. O
professor passa a ter uma maior liberdade, mas requer disciplina, responsabilidade e
também um maior preparo por parte deste. Percebemos então que essa nova
exigência para a escola e o professor requer mudanças profundas de postura, de
materiais didáticos e principalmente uma formação adequada aos professores, tanto
a inicial, quanto a continuada, essenciais para haver melhorias na educação.
O trabalho com a Matemática no Ensino Médio deve se propor, segundo os
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM), a desenvolver
competências que ajudarão ao aluno na sua vida cotidiana. Para isso a Matemática
deve ser trabalhada de forma a estimular nos alunos o interesse, a criatividade, o
espírito investigativo e crítico diante do que lhes são expostos. Assim, segundo os
PCNEM “a Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo que ajuda a
estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo [...]” (BRASIL, 1999, p. 251).
21
A idéia é que se pense em propostas de trabalho com a Matemática que
auxiliem os alunos a trilhar esse caminho e isto só será possível se houver uma
ressignificação dos conteúdos trabalhados no Ensino Médio. Tais conteúdos
necessitam ser propostos aos alunos com um novo formato, onde possam participar
significativamente: fazendo, debatendo, construindo a partir do que é posto.
1.5.1 O Currículo de Matemática para o Ensino Médio: o que apontam os PCNEM
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio — PCNEM,
(BRASIL, 1999, p. 250-260), afirmam que a Matemática deve ter um papel formativo,
contribuir para o desenvolvimento de processo de pensamento e aquisição de
atitudes, ajudando a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo. Além de seu
caráter instrumental, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e
estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento. “O aluno deve
perceber a Matemática como um sistema de códigos e regras que a torna uma
linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-las”,
Brasil, (1999, p. 253).
O currículo de Matemática para o Ensino Médio deve conter os conteúdos
mínimos para a Base Nacional Comum e o currículo flexível organizado pela unidade
escolar. O currículo a ser elaborado deve apresentar uma boa seleção de conteúdos
e contemplar aspectos dos conteúdos a serem enfatizados. Os PCNEM propõem
que o currículo de Matemática do Ensino Médio contemple os seguintes conteúdos:
i) Funções — destacando as funções trigonométricas e seus gráficos; as
seqüências, enfatizando progressões aritméticas e progressões
geométricas; as propriedades de retas e parábolas estudadas em
geometria analítica; polinômios e equações algébricas, dando ênfase às
funções polinomiais;
ii) Trigonometria — enfatizando a aplicação da trigonometria na resolução
de problemas que envolvem medições;
iii) Números e álgebra — esses temas devem ser trabalhados interligados a
outros conceitos e problemas como também associados a sua perspectiva
sócio-histórica;
22
iv) Geometria — destacando as formas e as propriedades geométricas,
contemplando as habilidades de visualização, desenho e argumentação
lógica;
v) Probabilidade e combinatória — destacando as técnicas e raciocínios
estatísticos e probabilísticos;
Desta maneira os PCNEM (1999), destacam a importância do currículo de
Matemática para o Ensino Médio, de forma a contemplar os conceitos, os
procedimentos, o desenvolvimento de valores e atitudes como pontos fundamentais
para que o aluno desenvolva suas habilidades.
1.6 O Ensino de Matemática no Brasil
O ensino da matemática elementar tem sido objeto de estudo de
pesquisadores, com crescente interesse, desde o Movimento da Matemática
Moderna como uma conseqüência de discussões de estudiosos da Educação
Matemática. Esse movimento, com ênfase nos anos setenta teve como
características marcantes a reestruturação do currículo de matemática, com a
inclusão de novos conteúdos — a exemplo, Teorias dos Conjuntos e Funções —
além de uma visão estruturalista do ensino da Álgebra. A questão metodológica, que
no começo estava voltada para os meios de ensino sob influência do behaviorismo,
receberia importantes contribuições da área da cognição, notadamente dos estudos
de Piaget, como o conceito de abstração reflexiva, que dariam base a trabalhos
voltados para teoria de aprendizagem em matemática numa perspectiva
construtivista.
Ao longo das décadas de oitenta e noventa, os encontros de Educação
Matemática discutiram questões gerais de teorias de ensino, livros-textos e
metodologias para abordagem de conteúdos (BRASIL, 1998, Matemática). A
pesquisa nessa área contemplou estudos sobre conteúdos de matemática dos
vários níveis de ensino. Vale salientar que na primeira década aqui mencionada, as
discussões tinham lugar principalmente nos Congressos Internacionais. Nos anos
noventa, os encontros de Educação Matemática no Brasil, como por exemplo, os
Encontros Nacionais de Educação Matemática (ENEM), multiplicaram-se em
encontros regionais e locais por todo o país para discutirem ensino e pesquisa.
23
Apesar das discussões sobre o ensino de matemática e as diversas pesquisas
realizadas, a disciplina ainda é considerada um verdadeiro filtro social.
O ensino de matemática que foi marcado pela excessiva preocupação com a
memorização, em detrimento da compreensão, de fórmulas e a formação incompleta
de conceitos, numa época que antecede ao que se chamaria de “Matemática
Moderna”, não tem mudado de maneira geral, nem mesmo com as propostas de
inovações metodológicas incorporadas em alguns currículos.
A Matemática Moderna, que a partir dos trabalhos do grupo Nicolas Bourbaki
cujo objetivo central consistia na exposição de toda a matemática de forma
axiomática e unificada, tendo como elementos unificadores as estruturas, teve
grande repercussão na educação matemática mundial, recebeu considerável
importância no Brasil e conseguiu acabar com alguns mitos existentes. Como todo
movimento inovador radical, sofreu desgastes com os exageros das improvisações e
das precipitações, como relatado por D’Ambrosio (1996).
A matemática moderna no Brasil dos anos 70 estava ligada diretamente aos
livros didáticos teve grande influência no ensino-aprendizagem e foi repensada
depois da constatação de que era inadequada em alguns de seus princípios (formar
um adulto bem disciplinado, persistente, rigoroso). Segundo Fonseca (1995), “a
Matemática Moderna seria um meio pelo qual se formariam homens bem
organizados, de pensamentos claros, preciosos e ordenados”
Miorim refere-se à Matemática Moderna, afirmando que:
A organização da Matemática Moderna baseava-se na teoria dos
conjuntos, nas estruturas matemáticas e na lógica matemática.
Esses três elementos foram responsáveis pela “unificação” dos
campos matemáticos, um dos maiores objetivos do movimento. Para
isso, enfatizou-se o uso de uma linguagem matemática precisa e de
justificações matemáticas rigorosas os alunos não precisam “saber
fazer”, mas sim, “saber justificar” por que faziam. A teoria dos
conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos, as relações e
funções, tornaram-se temas básicos para o desenvolvimento dessas
propostas.
(MIORIM, 1998, p. 114).
A Matemática Moderna surgiu como um movimento educacional inserido
numa política de modernização econômica e foi posta na linha de frente, por ser
considerada uma via de acesso privilegiada para o pensamento científico e
tecnológico. A Matemática a ser ensinada era aquela concebida pela lógica, tendo
24
como papel fundamental a linguagem matemática; o ensino estava mais voltado à
teoria do que à prática, dando-se ênfase a linguagem da teoria dos conjuntos em
detrimento do cálculo da aritmética, da geometria e das medidas. A repercussão da
Matemática Moderna no Brasil se deveu à ênfase dada pelos livros didáticos de
matemática para o 1º e 2º graus.
Algumas propostas curriculares de Matemática, elaboradas a partir da
segunda metade da década de 1980, não surtiram o efeito esperado, apresentando
incoerência entre a carta de princípios, os conteúdos e a metodologia indicada:
confundiram-se os fundamentos ideológicos dos educadores matemáticos
progressistas e a sugestão de uma lista de conteúdos que hoje são de pouco
interesse e também apresentavam uma abordagem de ensino-aprendizagem
apenas como transmissão de conhecimento, sem a preocupação de definir critérios
que pudessem indicar, de modo claro e objetivo, as capacidades a serem
desenvolvidas.
Nos recentes anos, o Ministério da Educação e Cultura (MEC) realizou
pesquisas sobre o ensino-aprendizagem nos vários níveis da educação escolar. Os
resultados obtidos pelos alunos de 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental nos testes
em matemática não foram muito animadores.
Dados do Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educação Básica
(SAEB), coletados através de testes aplicados em todos os estados brasileiros,
podem ser considerados indicadores expressivos de como se encontra o ensino da
Matemática.
Nas provas de proficiências em matemática, aplicadas em 1993, verificou-se
que 5,9% dos alunos de 7ª Série acertaram, pelo menos, metade das questões.
Nas provas de proficiências de matemática, aplicadas em 1995, englobando
estudantes de 4ª e 8ª Séries do Ensino Fundamental, os percentuais de acertos e de
capacidade cognitiva continuavam diminuindo à medida que aumentava o tempo de
escolaridade mostrando, também, que as maiores dificuldades apresentadas pelos
alunos estavam relacionadas à aplicação de conceitos e resolução de problemas.
Associado a esse baixo índice de desempenho dos alunos em matemática,
está a alta taxa de reprovação e, agravando ainda mais este quadro, está a
formação dos professores, tanto na sua formação inicial quanto na continuada.
Dispondo de poucos recursos para a compra de instrumentos para desenvolverem
suas atividades na sala de aula, tais como livros paradidáticos, revistas e outros que
25
pudessem ser utilizados como recursos metodológicos, os professores se apóiam
nos livros didáticos, mas nem sempre levando em consideração a qualidade destes.
Propostas inovadoras são esbarradas na existência de concepções
pedagógicas inadequadas, e a prática de qualquer professor, mesmo por vezes de
forma não consciente, apóia-se numa concepção de ensino e aprendizagem que é
responsável pelo tipo de representação que ele constrói sobre o seu papel, o papel
do aluno, a metodologia, a função social da escola e os conteúdos a serem
trabalhados. (BRASIL, 1997).
1.6.1 O Ensino de Matemática no Estado do Rio Grande do Norte
O ensino de matemática no estado do Rio Grande do Norte não difere
historicamente dos outros estados brasileiros, mas no estudo comparativo dos
resultados do SAEB – 1995/1997, o Rio Grande do Norte apresentou um melhor
desempenho dos alunos da 8ª série, em 1997, quando se observou um aumento
significativo nas médias de proficiência do Ensino Fundamental.
Em 1996, a Secretaria de Educação Cultura e Desportos do Estado do Rio
Grande do Norte, realizou pesquisa avaliativa sobre o ensino-aprendizagem de
matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Os dados foram publicados
no Relatório Geral da Sub-Coordenadoria de Avaliação da Secretaria Estadual de
Educação, Cultura e Desportos do Rio Grande do Norte, SUAV/SECD-RN, 1999.
Discutiremos neste trabalho apenas os dados referentes à 8ª série do Ensino
Fundamental. Segundo o Relatório Final de Matemática da Sub-coordenadoria de
Avaliação SUAV/SECD-RN, a análise teve como objetivo fornecer um diagnóstico
psicopedagógico das habilidades alcançadas pelos alunos em cada nível de
proficiência, identificando as atividades que eles dominam.
Foi constatado que, quando se trata de ensino-aprendizagem de matemática,
os alunos da 8ª série do Ensino Fundamental das Escolas Públicas do Estado do
Rio Grande do Norte pouco se diferenciam quando comparados com a média da
proficiência dos alunos desta mesma série das escolas públicas brasileiras. A
caracterização do perfil dos alunos da 8ª série partiu das variáveis: dados gerais e
vida escolar.
Verificamos que mais da metade dos alunos da 8ª série — 51% — situam-se
na faixa etária que vai de 15 a 17 anos de idade, mas também se observa que é
26
significativa a porcentagem de alunos, com 18 anos, ou mais, chegando a 32% e
apenas 17% dos alunos da 8ª série (que participaram da avaliação) estão na faixa
de idade esperada. Do total de alunos avaliados, 40% são do sexo masculino e 60%
do sexo feminino, mostrando que a população da 8ª série pesquisada é
predominantemente feminina.
Um fato importante que merece ser citado é que o desempenho dos alunos
em matemática também está associado à média de proficiência de gestão escolar
(Administração da escola). Observou-se que nas escolas jurisdicionadas pelos 12
centros escolares de proficiência mais baixa, o rendimento dos alunos avaliados foi
inferior à média de proficiência dos alunos em que a gestão escolar apresentou uma
média de proficiência maior que à média, ou seja, cerca de 20% do total dos centros
escolares.
O baixo desempenho em matemática dos alunos da 8ª série, também é
atribuído à formação do professor, sendo que aproximadamente 62% deles possui
diploma de curso superior. Também associado ao fracasso está o pouco tempo que
o professor tem para preparar suas aulas, ocupando quase a totalidade do tempo de
aula com o ensino, não sobrando tempo para o estudo e pesquisa.
Nas escolas jurisdicionadas pelos centros escolares, considerados na
pesquisa como superiores (média de proficiência maior que a média geral do
estado), 93% dos professores usam o livro didático de matemática que, para muitos,
torna-se um bom manual de ensino pela sistematização das informações fornecidas
sobre o conteúdo a ser ensinado.
A avaliação das escolas públicas indica que, a instituição escolar com infra-
estrutura organizacional e pedagógica e que disponha de mais recursos materiais
(livros didáticos, livros paradidáticos, dicionários, TV, vídeo, fita de vídeo, papel
sulfite, cartolina, etc.), tende a ajudar significativamente o desempenho do aluno.
Em 1997, a Secretaria de Educação, Cultura e Desportos do Estado do Rio
Grande do Norte iniciou o processo de implantação dos Parâmetros Curriculares
Nacionais, objetivando dar uma formação continuada ao professor do Ensino
Fundamental através do Curso de Atualização Curricular e, ao mesmo tempo,
começou a equipar as escolas públicas estaduais com laboratórios de informática
que poderiam ajudar ao professor a desempenhar um melhor trabalho junto aos
alunos.
27
O relatório geral do caderno de avaliação das escolas públicas estaduais
aponta um crescimento no índice da média de proficiência em matemática dos
alunos pesquisados, tanto da 8ª série como 3ª série do Ensino Médio. O relatório
mostra que, na 8ª série o índice de reprovação em matemática decresceu, mas isto
não significa um aumento considerável dos alunos quanto aos conhecimentos
matemáticos apreendidos.
Finalizando este sub-tópico, chegamos à conclusão de que o ensino-
aprendizagem de matemática na 8ª série do Ensino Fundamental no Brasil
apresenta um menor índice de repetência, mas este crescimento no número de
aprovados na 8ª série não está refletindo no crescimento do conhecimento adquirido
pelo aluno. No Relatório Geral de Avaliação das Escolas Públicas, (março, 1999
p.59), SUAV/SECD-RN, observa-se que os alunos da 8ª série do Ensino
Fundamental apresentaram médias superiores às do Estado quando professores
desenvolveram todo o conteúdo, ou pelo menos, 80% do previsto para o ano letivo,
indicando assim que, quando os alunos possuem habilidades necessárias à
aprendizagem, o ensino do conteúdo ocorre em menor tempo, elevando, portanto, a
quantidade de conteúdos que podem ser ensinados durante o ano.
1.7 Os Livros Didáticos e os Conteúdos Propostos para a 1ª série do Ensino Médio
Ao recorrermos aos PCNEM (proposta oficial do governo), percebemos que o
currículo de matemática proposto para o Ensino Médio não difere daqueles
indicados pelos autores de livros didáticos para a 1ª Série. Para chegarmos a esta
constatação consultamos alguns livros adotados nas escolas do Estado, dentre eles
o de: Kátia Smole e Roku Kiyukama (1998), volume 1; José Ruy Giovanni, José
Roberto Bonjorno e José Ruy Giovanni Jr. (2002), volume único; Manoel Rodrigues
Paiva (1995), volume 1; Marcio Cintra Goulart, (1999), volume 1; Luiz Roberto Dante
(1999), volume 1; Nelson Gentil et al (1996), volume 1. Dentre os livros consultados,
apenas Nelson Gentil et al (1996) e Manoel Rodrigues Paiva (1995), apresentam
uma abordagem da Teoria dos Conjuntos, os outros autores citados apresentam o
currículo de Matemática para a 1ª Série do Ensino Médio seguindo de certa forma os
mesmos conteúdos, alterando em alguns casos a ordem de abordagem, o que
significa dizer que divergem na seqüência. Os conteúdos propostos são:
28
i) Conjuntos numéricos – destacando os números naturais, os inteiros, os
racionais, os números reais e intervalos;
ii) Funções – enfatizando os diversos tipos de funções, função do 1º grau,
função do 2º grau e função definida por mais de uma sentença;
iii) Função Exponencial – enfatizando equações e inequações exponenciais;
iv) Logaritmos – dando ênfase às propriedades operatórias, mudanças de
bases, funções logaritmos e suas aplicações;
v) Razões trigonométricas – destacando seno, cosseno, tangente, relação
fundamental e área do triângulo;
vi) Trigonometria – enfatizando o ciclo trigonométrico e as funções seno,
cosseno, tangente e a relação fundamental;
vii) Progressões – progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas
(PG).
Observando os currículos de Matemática para o antigo 2º Grau e o Novo
Ensino Médio, verificando ainda o que propõem os PCNEM e os livros didáticos para
a 1ª Série do Ensino Médio, percebemos que quando se trata de conteúdos não há
uma grande diferença a não ser na Teoria dos Conjuntos, que não é incluída no
currículo oficial atualmente. A diferença entre o antigo e Novo Ensino Médio está na
proposta para a abordagem metodológica e, conseqüentemente, no referencial
teórico.
A proposta para o atual Ensino Médio relaciona as competências indicadas na
base comum, organiza o ensino-aprendizagem de forma a atender as exigências da
Matemática e suas tecnologias produzindo conhecimento significativo, sugere a
interdisciplinaridade e a contextualização dos conteúdos, atribui competências
humanas a serem atingidas com o uso do conhecimento matemático. (BRASIL,
1999).
A Matemática ciência, com seus processos de construção e
validação de conceitos e argumentações e os procedimentos de
generalizar, relacionar e concluir que lhe são característicos, permite
estabelecer relações e interpretar fenômenos e informações. As
formas de pensar dessa ciência possibilitam ir além da descrição da
realidade e da elaboração de modelos. (BRASIL, 1999, p. 211).
29
O desenvolvimento dos procedimentos matemáticos, envolvendo raciocínio
lógico e expressões não deve ser exclusivo do professor de matemática, é preciso
haver a interdisciplinaridade envolvendo os quatro componentes curriculares
científico-tecnológicos de forma coordenada para que o aluno possa construir as
abstrações matemáticas evitando a memorização de algoritmos.
2 METODOLOGIA
30
Este capítulo objetiva apresentarmos uma discussão sobre o percurso
metodológico deste trabalho, destacando o objeto de estudo e as questões
norteadoras da pesquisa. Para tanto, retomamos pontos relevantes da nossa
pesquisa de mestrado (SILVA 2002) sobre a aprendizagem de números irracionais
no ensino fundamental, realizada junto a alunos de 8ª série. Neste capitulo também
enfatizaremos o construtivismo de Jean Piaget; o construtivismo Radical de
Glasersfeld; e os conceitos de compreensão instrumental e a relacional de Skemp;
os obstáculos no processo de ensino/aprendizagem; além de comentarmos os dois
trabalhos encontrados no portal da capes, sobre a temática.
2.1 Os números irracionais no Ensino Fundamental
Os números irracionais são inseridos nos livros didáticos de matemática
destinados a alunos de 7º e 8ª série, geralmente com uma abordagem superficial,
conclusão essa pensada a partir de pesquisa bibliográfica que realizamos como
trabalho final da Especialização em Matemática/UFRN (SILVA, 2000).
Partindo dessa análise bibliográfica percebemos a necessidade de fazer uma
intervenção metodológica sobre o ensino dos números irracionais junto a alunos da
8ª série do Ensino Fundamental, que pudesse tornar o trabalho sobre esses
números mais significativo.
Apesar dos alunos que estão cursando ou que já cursaram a 8ª série, terem
estudado o conjunto dos números irracionais, eles não vêem a utilização destes em
situações práticas. Essa deficiência de aprendizagem fica confirmada pelas
pesquisas realizadas no Rio Grande do Norte e comentadas neste trabalho.
Diante do exposto, percebemos a necessidade de se rever o modo como
esse conteúdo é desenvolvido em sala de aula em conseqüência do nível de
entendimento demonstrado pelos alunos, o que foi concretizado através de um
Mestrado em Educação, (SILVA, 2002).
Apresentaremos a seguir um resumo da pesquisa de Mestrado, apontando as
principais conclusões.
31
Realizamos a intervenção metodológica na sala de aula de uma turma de 8ª
série, composta por 31 alunos, dos quais, 20 do sexo masculino e 11 do sexo
feminino, de uma escola da rede pública municipal de ensino da cidade do Natal,
localizada na Zona Norte, no segundo semestre de 2000.
O referido estudo teve quatro fases intercaladas entre si:
i) Avaliação Diagnóstica; ii) Intervenção em Sala de Aula; iii) Pós-teste; iv) Análise
dos dados.
Sintetizamos as conclusões desse estudo considerando a metodologia geral
da pesquisa que compreendeu uma coleta de dados, com fases de avaliação e
aplicação de módulo de ensino, caracterizada nos seguintes pontos:
i) A Avaliação Diagnóstica mostrou que, de modo geral, a maioria dos alunos
não tinha conhecimento dos conceitos matemáticos explorados que permitisse
responder as questões de forma satisfatória. No geral, percebemos que o nível de
compreensão relacional demonstrado pelos participantes está muito baixo,
esperava-se que alunos da série em questão apresentassem mais habilidades sobre
os conteúdos explorados. Os resultados das respostas das questões avaliadas no
estudo reforçam as pesquisas que apontam deficiência no ensino-aprendizagem de
matemática.
ii) A aplicação das atividades do módulo de ensino foi bem recebida pelos
alunos, cujo interesse em realizá-la foi percebido desde o início, tendo o grupo
demonstrado uma afetividade positiva em relação à intervenção como um todo, o
que contribuiu para o desenvolvimento do trabalho. As condições gerais de estudo
favoreceram a aplicação desse instrumento da pesquisa. Verificamos também que a
intervenção com o módulo de ensino foi positiva do ponto de vista da aprendizagem,
em virtude da superação das dificuldades apontadas na avaliação diagnóstica. As
atividades sobre números irracionais foram desenvolvidas de maneira satisfatória,
atendendo aos objetivos propostos.
iii) Analisando o resultado do pós-teste, podemos afirmar que, a aplicação do
módulo de ensino promoveu um avanço no nível de aprendizagem dos indivíduos
envolvidos, notadamente sobre o conceito de área de retângulo, o desenvolvimento
dos procedimentos para o cálculo de raiz quadrada por aproximação e o teorema de
Pitágoras. Sobre números irracionais, objeto da pesquisa, o entendimento dos
alunos também foi favorecido.
32
Diante dos resultados apresentados pelos alunos da 8ª série pesquisada
retornamos aos seguintes questionamentos: i) Será que ao oportunizarmos aos
alunos da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por
meio de atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste
conteúdo? ii) É realmente necessário estudar os números irracionais no Ensino
Médio? Na tentativa de respondermos a esses questionamentos nos propomos a
realizar uma pesquisa junto a alunos do ensino médio da rede pública de ensino.
2.2 O Estudo sobre a Aprendizagem de Números Irracionais no Ensino Médio
Diante dos resultados apontados na pesquisa de mestrando, relatados neste
trabalho, e a necessidade de continuarmos os estudos sobre números irracionais,
propomos este trabalho para dar continuidade à pesquisa (SILVA, 2002),
considerando o conhecimento dos alunos da primeira série do Ensino Médio, tendo
como objeto de estudo os números irracionais. Sendo assim, é nossa finalidade
elaborar, aplicar e avaliar uma proposta metodológica sobre este conteúdo
matemático que priorize a construção dos conceitos pelos alunos.
Dentre os campos que compõem a matemática elementar — tradicionalmente
visto como Aritmética, Álgebra e Geometria — isolamos os Números Irracionais
como sendo o assunto de nosso interesse para um estudo do ponto de vista do
ensino.
Segundo Níven (1984), a História dos Números Irracionais remonta há cerca
de 2500 anos, quando matemáticos gregos constataram a incomensurabilidade
entre o lado e a diagonal do quadrado unitário. Em outras palavras, isso significa
que
2 não pode ser escrito na forma de um número racional, (isto é,
b
a
com a e b
inteiros). Uma discussão sobre números irracionais geralmente contém a prova
clássica da irracionalidade de
2 , por um argumento lógico chamado “redução ao
absurdo”. Num estudo mais aprofundado sobre números reais, estes são
classificados não apenas como racionais e irracionais, mas também em duas outras
categorias — que não são estudadas no nível do presente trabalho. Uma categoria
compreende os que são chamados de “números algébricos”, ou seja, os números
que são soluções de equações algébricas com coeficientes inteiros (por exemplo:
33
2 é solução de x
2
– 2 = 0) e uma outra contém todos os demais números, sendo
estes chamados de números transcendentes, como o número irracional S (PI).
O estudo dos Números Reais faz parte do currículo oficial de Matemática
para o Ensino Fundamental e consta nos livros-texto de Matemática para as 7ª e 8ª
séries. Constatamos as dificuldades que os alunos de 8ª série apresentam no
entendimento dos números irracionais, principalmente nos conteúdos que
consideramos pré-requisitos para a aprendizagem do tema em foco, como:
operações com raiz quadrada exata e não-exata, dízimas periódicas, cálculo de área
do retângulo e teorema de Pitágoras. No estudo realizamos uma intervenção
metodológica com base nesses conteúdos e percebemos ser possível, a partir dos
resultados alcançados, haver um melhor entendimento do assunto por parte dos
alunos, em razão da maneira como são trabalhados.
Consideramos os conceitos avaliados de fundamental importância para a
aprendizagem e uso da matemática nas três séries do Ensino Médio, A nossa
proposta de aprofundar o estudo sobre o conteúdo Números Irracionais em duas
turmas de 1ª série do Ensino Médio, enquadra-se no currículo atual, tanto na
proposta de conteúdos sugerida nos PCNEM, quanto à abordada nos livros
didáticos. Segundo os PCNEM “[...] A Matemática no Ensino Médio não possui
apenas o caráter formativo ou instrumental, mas deve ser vista como ciência, com
suas características estruturais específicas” (BRASIL, 1999, p. 252).
Os Números Irracionais como comentamos neste trabalho são explorados
como forma de subconjunto dos Números Reais nas últimas séries do Ensino
Fundamental, mas também são utilizados dentro dos vários conteúdos Matemáticos
do Ensino Médio. Perpassando por intervalos, geometria e na trigonometria como
seno, cosseno, tangente, [...], exemplo: seno de 45º que é igual a
2
2
; no cálculo de
determinante, aplica-se junto ao conjunto dos números imaginários, também é
explorado em geometria plana e geometria analítica.
Mas é de fundamental importância ressaltar que os Números Irracionais têm
aplicação prática no nosso cotidiano e que muitas vezes passa despercebida essa
aplicação por trabalharmos com aproximações (limites). Como exemplo comum que
acontece nas cidades, podemos citar que: Um motorista ao perceber que um
pedestre displicente estava atravessando uma avenida, pisou fundo no freio
34
cantando os pneus no asfalto para não provocar um acidente, parando próximo ao
assustado pedestre. Um guarda próximo ao local quis logo multar o motorista por
excesso de velocidade, mas o motorista disse que estava dirigindo a menos de 80
quilômetros por hora, velocidade máxima permitida naquela avenida. Como o guarda
poderia saber a velocidade com que vinha o carro?
Em uma freada brusca os pneus deixam uma marca no asfalto, medindo o
comprimento dessa marca é possível saber, aproximadamente a velocidade com
que vinha o carro. A fórmula, obtida através da física é a seguinte: V =14,6
c , onde
V representa a velocidade do carro em quilômetro por hora e c é o comprimento da
marca deixada pelos pneus em metros — No caso citado, se os pneus do carro
deixassem gravadas no asfalto uma marca de 43 metros. Aplicando a fórmula
V =14,6
c , teríamos a utilização de um número irracional e ficaria 436,14 u V =
78,9556,66,14 u , ou seja, o carro vinha aproximadamente a 96 km/h e o motorista
deveria ser multado. Nessa situação, qualquer valor que fosse o comprimento da
marca dos pneus no asfalto e que a medida não representasse um número
quadrado perfeito se estaria usando números irracionais. Os referidos números
também são muito utilizados nas engenharias, principalmente na construção civil,
tendo assim, grande importância na prática, mesmo sendo utilizado com
determinação de limite de casas decimais.
Outro ponto importante e, que chama nossa atenção para a necessidade de
se aprofundar a abordagem dos Números Irracionais no Ensino Médio é a crescente
procura dos estudantes desse nível de ensino pelos cursos da área tecnológica na
Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), nos últimos anos.
Em 2004, das 3.711 vagas ofertadas pela UFRN, cerca de 28,9% foram
preenchidas na área tecnológica. Em 2005, de 25.332 inscritos no vestibular, 18,8%
optaram pela área tecnológica, incluindo os Centros de Tecnologia e Ciências
Exatas e da Terra. Nesse mesmo ano, das 3.741 vagas ofertadas pela UFRN, 28,7%
efetuaram matrículas na referida área, dados fornecidos pela Comissão permanente
do vestibular (COMPERVE, 2004).
35
2.3 O Construtivismo de Jean Piaget
O construtivismo foi certamente o movimento predominante na educação em
geral e, em particular, na pesquisa em ensino de ciências nas últimas décadas. A
imagem de que o conhecimento é ativamente construído pelo aprendiz e não
apenas transmitido pelo professor e passivamente apreendido é hoje um lugar
comum não apenas entre pesquisadores, mas também no discurso de boa parte dos
professores de todas as áreas. Embora seja difícil avaliar a extensão das mudanças,
é notória a influência desse movimento nas concepções e práticas docentes. Talvez
o principal impacto das orientações construtivistas esteja na atenção antes dirigida
aos métodos de ensino, entendidos como técnicas capazes de ensinar com
eficiência, para os processos de aprendizagem. O olhar do educador dirige-se assim
para as potencialidades e as dificuldades dos estudantes em suas interações com
os conteúdos escolares.
No ensino de ciências, a partir do final da década de 1970, a vertente
predominante desse movimento dedicou-se a um grande esforço de pesquisa no
sentido de mapear os conteúdos do conhecimento prévio dos estudantes acerca de
fenômenos e processos naturais, bem como as interações dessas concepções
espontâneas com os conceitos e teorias científicas que lhes são apresentados na
escola.
Dos anos 1980 para cá, no Brasil, percebemos que há uma busca crescente
da “perspectiva construtivista”, fundamentada nas pesquisas de Jean Piaget sobre
epistemologia genética. O construtivismo surgiu para se contrapor ao inatismo e ao
empirismo, que dominaram as explicações cognitivas, desde muito tempo. No
inatismo, o ser humano já nasce com uma carga que o predispõe a aprender e
compreender a realidade que o cerca. Já o empirismo coloca a origem do
conhecimento nas experiências vividas pelo sujeito.
Tanto o inatismo quanto o empirismo não dão espaço para a ação do sujeito
no conhecimento do mundo, e o construtivismo começa a valorizar essa ação do
sujeito na busca pelo conhecimento.
Jean Piaget (1896 – 1980) procurou estudar a aprendizagem de forma
científica, destacando-se a capacidade de interação do sujeito com o mundo e o
objeto.
36
O pensamento psicogenético considera fatores internos e fatores de interação
do sujeito com a realidade. Existem fatores que possuem aspectos que influenciam o
desenvolvimento e um dos fatores Piaget considera dominante. Os influenciadores
são: Hereditariedade (considerado maturação biológica), experiência física,
transmissão social. A equilibração é fator dominante. A hereditariedade influencia o
desenvolvimento, mas não é suficiente para explicá-lo a maturação está na
dependência da ação do sujeito, ou seja, o nosso mundo sensorial é resultante das
nossas próprias atividades perceptivas de depende da maneira de percebermos e
concebermos.
A experiência física é considerada como toda a experiência que resulta das
ações realizadas materialmente; é fundamental ao desenvolvimento, também é
insuficiente porque a lógica do sujeito não é resultante apenas dela. É necessária a
coordenação interna entre as ações que o sujeito exerce sobre os objetos.
A transmissão social diz respeito ao aspecto da educação que é
fundamental, mas não suficiente. Para a transmissão ser possível entre o adulto e a
criança ou entre o meio social e a criança a ser educada, é necessário que ela
assimile o que o meio lhe quer transmitir, e essa assimilação é acionada pelas leis
do desenvolvimento.
A equilibração é o fator essencial e determinante no desenvolvimento do
sujeito neste processo de adaptação ao meio em que vive. A equilibração se
caracteriza por dois aspectos: equilibrar entre si os outros três fatores do
desenvolvimento e equilibrar a descoberta de uma noção nova com outras, já
existentes nas possibilidades de entendimento da criança ou do adulto. Diante do
enfrentamento de um conflito cognitivo, é necessário um jogo de regulações e de
compensações para que se atinja uma coerência entre o que já se sabia com as
novidades provocadoras deste conflito; isto acontece pelas leis da equilibração. O
processo interno de regulação e compensação se dá através de mecanismos
internos de assimilação e acomodação.
Assimilação: É o processo que o sujeito utiliza para procurar compreender o
mundo. Todas as coisas, todas as idéias e pensamentos tendem a ser explicadas,
inicialmente, pelo próprio sujeito em função de seus esquemas ou estruturas
cognitivas construídas. O sujeito está num movimento constante de assimilação
desta realidade com seus esquemas ou estruturas cognitivas. Assim, o sujeito está
37
em constante assimilação. Quando estamos diante de qualquer situação nova,
primeiramente buscamos interpretá-la segundo nossas concepções atuais, emitindo
hipóteses possíveis à sua interpretação dentro do contexto presente de nossa
inteligência.
Acomodação: Quando o objeto que se pretende assimilar apresenta
resistências e não é possível a sua apreensão o sujeito faz um esforço em sentido
oposto ao da assimilação, isto é, se lança em movimento de acomodação. Modifica
as suas hipóteses anteriores às exigências por esta novidade e torna possível sua
assimilação. A acomodação surge a partir das perturbações provocadas pelas
situações novas que o sujeito enfrenta. Na acomodação, o sujeito age no sentido de
se transformar, ajustando-se através de um esforço pessoal e espontâneo às
resistências impostas pelo objeto de conhecimento, que não foi possível ser
assimilado imediatamente.
Piaget e seus colaboradores percebem o conhecimento como proveniente de
fontes internas e externas ao sujeito e o reconhecem em três aspectos distintos e
interligados: o físico, o lógico-matemático e o social.
Na teoria de Piaget, a abstração da cor dos objetos é considerada muito
diferente da natureza ou abstração de números. Para a abstração de propriedade de
objetos, Piaget usou o termo abstração empírica (ou simples); para a abstração de
número, ele usou o termo abstração reflexiva (KAMII, 1986). Na Abstração
Construtiva, a experiência lógico-matemática envolve não somente as abstrações
exercidas sobre os objetos, mas as abstrações das coordenações que ligam essas
ações; ela se relaciona com as propriedades das ações e não apenas dos objetos. É
característica da experiência lógico-matemática a abstração construtiva ou reflexiva.
A abstração construtiva é elaborada na mente do sujeito ao criar
relacionamentos entre vários objetos e coordenar essas relações entre si. Na
abstração simples é a abstração do próprio objeto, ou seja, de suas propriedades
mediante a observação das respostas que o objeto dá à ação exercida sobre ele.
Ex.: estabelecer relações entre a massa de modelar e outros objetos, ordenar
mentalmente essas relações, distinguir objetos que são moldáveis dos que não são.
Nesse caso a criança já pensa no objeto em si, mas relaciona-o com outros
objetos, em função das ações exercidas sobre ele e coordenando essas relações no
38
seu pensamento. A partir de um dado momento o sujeito é capaz de realizar
operações lógico-matemáticas dispensando a experiência física, interiorizando as
ações em operações simbolicamente manipuláveis. Neste nível existe uma lógica e
uma matemática pura onde a experiência física torna-se desnecessária.
A abstração reflexiva é considerada por Piaget um dos aspectos mais gerais
do processo de equilibração e um dos motores do desenvolvimento. Ela se apóia
nas coordenações das ações do sujeito, podendo estar inconsciente ou haver
tomado de consciência. A abstração reflexiva possui dois aspectos inseparáveis: o
refletir, ou seja, a projeção sobre o plano superior daquilo que é retirado do plano
inferior, e a reflexão ato mental de reconstrução e reorganização, no plano superior,
do que é transferido do inferior. A abstração reflexiva é, então, uma reflexão crítica
das nossas atividades de reflexão, resultante num todo conceitual consistente, quer
seja pela adição de novas experiências ao esquema já construído, quer pela
reorganização da situação para acomodar o novo material. Em qualquer um desses
casos, a compreensão conceitual é conseguida através de atividades
organizacionais do sujeito epistemológico (PIAGET; GARCIA, 1987).
César Coll, (1998) ao falar na intervenção pedagógica do professor dentro da
concepção construtivista de ensino, ressalta o quanto ela é importante e necessária.
O aluno é o sujeito que constrói, modifica o seu conhecimento, mas é a ajuda
pedagógica que favorece e direciona de forma mais organizada esse processo. Ela
“[...] consiste essencialmente em criar condições adequadas para que essa dinâmica
interna ocorra e para orientá-la em determinada direção: a que as intenções
educativas indicam” (COLL, 1998, p. 139). Assim, a intervenção pedagógica
funciona como algo necessário para que a aprendizagem dos alunos ocorra e seja
significativa.
Os PCN sugerem como abordagem para o desenvolvimento dos trabalhos
em sala de aula, metodologias embasadas na construção do conhecimento,
tomando a “perspectiva construtivista” como teoria para fundamentação do trabalho
na sala de aula. E, nesse processo, sugerem que o conhecimento não é entendido
como algo fora do indivíduo, “[…] é, antes de mais nada, uma construção histórica e
social, na qual interferem fatores de ordem cultural e psicológicos.” (BRASIL, 1997,
p. 42).
39
Os PCNEM sugerem que “O Ensino Médio deve, sem ser profissionalizante,
propiciar um aprendizado útil à vida e ao trabalho, desenvolvendo instrumentos reais
de julgamento, atuação e aprendizado permanente”. (BRASIL, 1999, p. 202). O
processo ensino-aprendizagem deixa de ser centralizado exclusivamente no
professor, para centrar-se no aluno, sujeito que constrói seu conhecimento ao
elaborar representações relativas a um determinado conteúdo.
O papel do professor é muito importante nesse processo, pois, é ele, através
de sua intervenção consciente, que possibilita ao aluno um caminho para uma
aprendizagem significativa. Assim, o conhecimento se dará como algo resultante
”[…] de um complexo e intricado processo de modificação, reorganização e
construção, utilizado pelos alunos para assimilar e interpretar os conteúdos
escolares“. (BRASIL, 1997, p. 43).
O conhecimento é construído a partir da interação entre o aluno, o objeto de
estudo e o professor, pois cada um desses agentes envolvidos no processo
construtivo está diretamente ligado à construção final do conhecimento, ou seja, do
saber. Em nosso trabalho utilizamos a proposta construtivista a partir da socialização
das questões e suas respostas, da troca de experiências dos estudantes, da
interação entre objeto de estudo e estudante, o diálogo entre os pares do mesmo
grupo e também da turma, e a valorização dos saberes.
Os estudos de Jean Piaget foram muito importantes para a matemática, pois
deles pode-se perceber o conhecimento de outro modo. Mas, neste trabalho também
comentaremos o construtivismo radical de Ernsto van Glasersfeld.
2.4 O Construtivismo Radical de von Glasersfeld
Compreender o construtivismo educacional enquanto movimento heterogêneo
cujas fontes têm passado por contribuições da epistemologia genética, da filosofia
das ciências, da sociologia do conhecimento e da psicologia cognitiva é um espectro
que está longe de oferecer uma base consensual significativa. As variedades das
contribuições dos vários autores dependem não apenas das fontes que inspiram
seus trabalhos, mas ainda da maneira peculiar como às interpretam e, sobretudo, da
visão que têm do processo educacional como um todo e do ensino de ciências, em
particular.
40
O construtivismo radical de Glasersfeld, que é uma dessas vertentes que
assume uma posição nitidamente subjetivista e idealista. Segundo Glasersfeld, o
conhecimento reside na mente do sujeito cognoscente e não tem qualquer
existência externa: "Se nossos conceitos são derivados por abstração da
experiência, não há base para acreditar que eles possam captar nada que exista
além da nossa experiência" (GLASERSFELD, 1991, p. 31).
A idéia de verdade é substituída pelo conceito de viabilidade. O conhecimento
viável é aquele coerente com outros entendimentos da pessoa e que se organiza e
se adapta com sua experiência. Disso resulta o fato de que o conhecimento
científico não se diferencia de outras formas de conhecimento senão por sua
linguagem, por sua forma, mas não por seus métodos ou por seus méritos.
Mesmo quando o indivíduo está limitado ao mundo da experiência perceptiva,
este não está capacitado a colher todos os dados que seus sentidos podem
oferecer. O indivíduo é, antes de tudo, um participante ativo no processo de
conhecimento, devendo organizar e selecionar suas experiências, de modo a
conferir significado a todas as suas aquisições sensoriais.
Os conceitos básicos, como o de identidade ou o de mudança, são
construídos pelo sujeito epistemológico, em lugar de serem dados de uma realidade
externa. Sendo assim, os resultados de atividades organizadas cognitivamente do
sujeito, são mais ou menos coerentes, ou seja, estruturas cognitivas criadas por
abstração reflexiva e desenvolvidas por atividade intencional (FOSSA, 1998, p. 23-
26).
2.5 Skemp e os conceitos de aprendizagem
A análise do desenvolvimento das atividades de ensino da intervenção
metodológica deste estudo foi realizada mediante os conceitos de compreensão
instrumental e compreensão relacional de Skemp,
Segundo Skemp (1993, p. 42-43) o indivíduo alcança o nível de compreensão
relacional quando é capaz de resolver um grande número de atividades com rapidez
e inteligência, justificando suas respostas, ou seja, a aprendizagem de matemática
relacional está voltada para a construção de estruturas conceituais, a partir das
quais passam a ser exploradas possibilidades distintas para a realização de uma
41
mesma tarefa. Enquanto que, no nível de compreensão instrumental, o indivíduo só
consegue resolver algumas questões mecanicamente. A aprendizagem da
matemática instrumental consiste no domínio de um conjunto de planos
pré-estabelecidos e fixos para realizar tarefas matemáticas, planos que determinam
procedimentos passo a passo.
À caracterização em compreensão relacional ou instrumental, Skemp chamou
de o conhecimento, ou seja, o Saber. Na compreensão instrumental o Saber é
considerado superficial, ligado a fatos concretos e reduzidos a situações decorrentes
do próprio saber.
Para o pesquisador e professor John Fossa (2001, p. 83), “[...] a compreensão
instrumental é não somente útil em certas circunstâncias, mas também é uma etapa
necessária no desenvolvimento da compreensão relacional desde que o particular e
o concreto vêm antes do geral e abstrato”.
Enquanto a compreensão relacional é o conhecimento mais aprofundado
mais abstrato o qual permite ao indivíduo atuar com criatividade em novas situações.
Podemos observar que esses dois conceitos de compreensão denominados por
Skemp, são dois estágios de conhecimento que estão interligados apenas
quantitativamente. O nosso trabalho sobre números irracionais está embasado na
concepção dos conceitos de compreensão instrumental e relacional de Skemp.
Skemp também contextualiza esquema como sendo uma estruturação de
conceitos formados e relacionados pelo sujeito epistemológico, não percebe um
esquema como uma única estrutura da mente, pois considera a existência de vários
esquemas simultaneamente. Para ele, o esquema tem duas funções principais:
integra o conhecimento existente e também serve como um instrumento mental para
a aquisição de novos conhecimentos.
Fossa (2001) define os esquemas associados à caracterização supracitada
da seguinte maneira:
Os esquemas associados com compreensão relacional, em
contraste aos associados com compreensão instrumental, são ricos
em ligações internas e externas, o que promove o reconhecimento
de situações relacionadas entre si, ou situações analógicas. Assim,
o sujeito epistemológico poderá reduzir o conjunto numeroso de
regras especiais a um pequeno grupo de princípios gerais por um
processo de abstração. Esta redução facilita a retenção e um
42
manuseio num vasto elenco de conhecimentos, favorecendo assim
o pensamento crítico e criativo. Ao mesmo tempo, o
desenvolvimento do pequeno grupo de princípios gerais permite
uma organização mais eficiente dos vários elementos do
conhecimento em um todo significativo, favorecendo a memória.
Assim, o sujeito se torna mais adaptável à realização de tarefas
novas e menos dependente das situações já vivenciadas. (FOSSA,
2001, p. 85-86),
A fala de Fossa destaca a importância de trabalharmos no sentido dos alunos
(sujeitos da aprendizagem) atingirem o nível de compreensão relacional, reduzindo o
número de regras facilitando a abstração e havendo assim um maior desempenho e
consequentemente mais aproveitamento.
2.6 Os obstáculos que interferem na aprendizagem da matemática
A análise da avaliação diagnóstica torna-se impraticável, caso seja associada
às compreensões relacionais e instrumentais. Haja vista que, para classificarmos os
resultados dos alunos mediante estes conceitos precisávamos estar
acompanhando-os e observando-os há certo tempo. Para isto, recorremos a
Bachelard (2005), quando se refere aos obstáculos.
O ensino e a aprendizagem da Matemática é muitas vezes caracterizado por
dificuldades entre o saber que é produzido pelos matemáticos (saber científico) e o
saber que é ensinado (saber escolar). A dualidade entre estes saberes é marcada
por tentativas de transformar um saber, que na gênese de sua criação tem como
prioridade inicial, a generalização, e para isso recorre a uma descontextualização do
espaço/tempo/local de sua criação para ser universal (saber científico); e o saber
escolar que tem, na ação do professor, uma tentativa de recontextualizá-lo, para
torná-lo mais acessível à aprendizagem pelo aluno. Este contexto “recriado” pelo
professor para o saber escolar não é o contexto original em que o saber foi
inicialmente elaborado.
Trazer à tona essa dualidade entre saber científico e saber escolar é
importante para discutirmos obstáculos que permeiam o ensino e a aprendizagem da
Matemática, pois um ponto inicial dessa discussão é exatamente a dificuldade que o
professor tem em realizar a transformação do saber científico em saber escolar.
43
Bachelard (2005) mostra que os primeiros obstáculos são os provocados
pelas primeiras experiências, quando estas são realizadas sem maiores reflexões e
críticas. Essa atitude primária é contrária ao espírito científico e resulta na fragilidade
do conhecimento. Para a validação da ciência, esse abuso da intuição não se
constitui em um elemento plausível à elaboração conceitual. No plano pedagógico,
associam-se esses obstáculos à forma simplificada dos conteúdos no livro didático,
onde o formalismo não corresponde aos desafios do fenômeno cognitivo.
Em termos de Matemática podemos encontrar três tipos de obstáculos: os
epistemológicos, os didáticos e os ontogênicos. Para discutirmos o que são esses
tipos de obstáculos e alguns exemplos de ocorrência destes, é preciso inicialmente
fazer um comentário sobre o contexto de criação do conceito de obstáculos. Gaston
Bachelard no livro A Formação do Espírito Científico de 2005, discute a noção de
obstáculos, ao analisar a passagem de um conhecimento pré-científico para um
conhecimento científico.
Na análise de Bachelard observa-se que ao acontecer essa passagem pode
ocorrer a rejeição de conhecimentos anteriores, onde ocorrem obstáculos em virtude
de que esses conhecimentos antigos já estão cristalizados, resistindo a novas
concepções.
Brousseau apresenta três tipos de obstáculos no sistema didático:
Obstáculos epistemológicos: são os resultantes do próprio
saber, do conhecimento em si;
Obstáculos didáticos: são resultantes da escolha de um
determinado sistema educacional;
Obstáculos ontogênicos: são resultantes de limitações do sujeito
em um determinado momento mental.
2.6.1 Obstáculos epistemológicos
Pais (2001) traz uma discussão sobre os obstáculos epistemológicos no
sentido de estabelecer um percurso para seu entendimento. Para isso, recorre a
diversos autores fundamentando a sua discussão. Inicialmente, Pais (2001) aponta
que a criação do saber matemático passa por etapas de conflitos que não são
explicitadas no texto final e, para estudar o conceito de obstáculos epistemológicos é
necessário recorrer à formação dos conceitos matemáticos. O autor argumenta que
44
os obstáculos que aparecem no ato de criação do saber matemático não estão
postos no texto final e sim, são observados nos caminhos percorridos para a
elaboração de tal saber.
Os obstáculos epistemológicos podem ser considerados objeto de estudo em
Matemática, uma vez que ao se desenvolver as provas, estas são permeadas por
uma seqüência de rupturas dos argumentos que existem até então. Esta observação
apontada por Lakatos contribui para enfatizar que os obstáculos epistemológicos
estão mais presentes na fase de produção do saber matemático, do que no texto
final de uma demonstração matemática.
Pais (2001) observa que as provas matemáticas evoluem de acordo com as
refutações feitas pelo sujeito cognitivo e que tais refutações podem ajudar ou
dificultar a validação da Matemática. As refutações nesse caso podem se constituir
em obstáculos epistemológicos.
Os obstáculos epistemológicos são erros que estão ligados à maneira de
conhecer e podem explicar erros recorrentes de alunos dentro de certos conteúdos
matemáticos, a noção de obstáculo pode ser usada para analisar a gênese histórica
de um conhecimento ou também, situações de ensino e evolução espontânea do
aluno na aprendizagem de um conceito. Com isso, a noção de obstáculo não está
restrita apenas ao plano epistemológico e nem tampouco isolada no plano
pedagógico. Ela pode permear os dois planos.
2.6.2 Obstáculos didáticos
Esses obstáculos estão relacionados diretamente às questões educacionais.
Segundo Pais (2001, p. 44), “obstáculos didáticos são conhecimentos que se
encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e podem dificultar a
evolução da aprendizagem do saber escolar”. Os obstáculos didáticos podem ser
colocados como dificuldades que são criadas pela escola, pela ação do professor ao
abordar um determinado conteúdo, ou ao usar uma determinada metodologia que
posteriormente provocará obstáculos ao desenvolvimento e entendimento do
conceito. A percepção, pelo professor, do obstáculo didático, lhe permitirá retornar o
trabalho com o conteúdo no sentido de superar as dificuldades vivenciadas pelos
alunos.
45
À medida que os professores trabalham os conhecimentos matemáticos como
se fossem dogmas, que não podem ser questionados e são verdades absolutas,
contribui para tornar o conhecimento matemático um obstáculo para a aprendizagem
pelos alunos. Uma possível superação desse obstáculo seria uma mudança de
concepção por parte dos professores no sentido de compreenderem a Matemática
como uma atividade humana.
2.6.3 Obstáculos ontogênicos
Os obstáculos ontogênicos são os decorrentes de limitações do tipo
neurofisiológicas do sujeito e que podem se manifestar em determinados momentos
do processo de aquisição do conhecimento. São limitações que ocorrem com o
sujeito em um dado momento do desenvolvimento mental. Isto pode acontecer
quando uma determinada aprendizagem está deslocada em relação ao momento
intelectual pelo qual o aluno está passando.
Após fazermos um comentário geral acerca dos obstáculos que estão
presentes no campo didático, comentaremos a seguir, como estes obstáculos estão
presentes no ensino e aprendizagem dos números irracionais. Procederemos
destacando os obstáculos epistemológicos identificados no decorrer do trabalho.
2.6.4 Números irracionais e os obstáculos
A aprendizagem dos números irracionais é permeada por uma série de
questões que dificultam tal aprendizagem. Perez (1998) comenta que dificuldade é
algo que impede de executar de imediato e bem, alguma coisa. Essa dificuldade
pode ser causada por diversos fatores, tais como: o conceito que se aprende, o
método utilizado pelo professor, os conhecimentos prévios dos alunos e também
pela própria disposição do aluno em aprender.
Os obstáculos que estão presentes na compreensão, pelos alunos, dos
números irracionais, seja na representação em radical, seja na representação
decimal, são oriundos do conhecimento que eles possuem acerca dos números
racionais. O conhecimento dos números racionais por se encontrar sedimentado,
cristalizado pelos alunos, se constituem em obstáculos à compreensão e
46
aprendizagem dos novos números, os irracionais, que devem ser mais explorados
em forma de atividades de ensino para favorecer a compreensão.
2.7 Outros trabalhos que envolvem números irracionais
Pesquisando no Portal da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior (CAPES), encontramos dois trabalhos nas áreas de Matemática e
Educação Matemática que tratam sobre os números irracionais. Miguel, (1993): Três
estudos sobre história e educação matemática, em um desses estudos Miguel
destaca os números irracionais apontando como a história pode influenciar em um
tema específico da Matemática, revelando o potencial educativo e cultural da
humanidade. Apresenta os Números Irracionais de maneira informativa, utilizando
uma didática construtiva, tudo indica que o trabalho proposto por Miguel foi aplicado
em sala de aula por outros professores, aos níveis de 1º e 2º graus.
O autor elaborou uma unidade de ensino sobre Números Irracionais com 44
atividades associadas à história da Matemática. Não utilizou os exercícios de
algoritmos comumente abordados, mas utilizou os aspectos conceituais
contextualizando-os.
Outro trabalho que cita os irracionais é o de Silvana Martins Melo: Um estudo
das relações dos saberes dos alunos sobre matemática escolar, (2003). Nesse
trabalho a autora utiliza questões envolvendo números irracionais na entrevista com
os alunos.
Em nossa opinião o trabalho de Miguel representa um ponto positivo na
história da matemática e é importante que seja discutido e ampliado no âmbito de
cursos de Licenciatura de Matemática como forma de contribuição aos futuros
professores.
Os trabalhos que encontramos no referido portal diferem do nosso, pois,
elaboramos atividades de ensino sobre números irracionais, aplicamos em sala de
aula e avaliamos os resultados.
2.8 Percurso Metodológico
47
Nessa pesquisa optamos pela abordagem qualitativa. Para André (2000), o
conceito de pesquisa qualitativa não tem sido suficientemente discutido, apesar da
extensa literatura disponível. Mas nesse trabalho vamos seguir a orientação
conceitual de Bogdan (1984, p. 16) que afirma: “utilizamos a expressão investigação
qualitativa como um termo genérico que agrupa diversas estratégicas de
investigação que partilham determinadas características”. Referendado nessa
abordagem, faremos um estudo etnográfico com observação participante em duas
turmas de alunos de primeira série do Ensino Médio de duas escolas públicas: uma
da Rede Estadual e outra da Rede Federal de Ensino, localizadas na Zona Sul da
cidade do Natal e no distrito de Jundiaí, em Macaíba, na grande Natal,
respectivamente, sendo a intervenção pedagógica realizada no ano letivo de 2004.
De acordo com André (2000), a pesquisa qualitativa com abordagem
etnográfica apresenta características como: ênfase no processo, ou seja, no
experimento que está ocorrendo e não no produto final; observação da maneira em
que as pessoas vêem a si mesmas e suas experiências; contato direto entre o
pesquisador e as pessoas, havendo assim uma maior aproximação, não
pretendendo mudar o ambiente nem introduzir modificações que serão
experimentalmente controladas; o pesquisador utiliza grande quantidade de dados
descritivos; faz uso de um plano de trabalho flexível e aberto. Os dados investigados
vão sendo revistos e reavaliados objetivando construir novos conceitos e novas
formas de entender a realidade.
Segundo André (2000, p. 44) na abordagem etnográfica “o processo de
investigação da sala de aula se fará basicamente por intermédio da observação
direta das situações de ensino-aprendizagem, assim como por meio da análise do
material utilizado pelo professor e do material produzido pelo aluno”.
Para Ferreira (2000),
A grande vantagem da etnografia, por privilegiar o olhar sobre o
cotidiano focal, reside justamente na sua melhor capacidade de
compreender os micro-fundamentos da sociedade global, isto só
pode ser atingido pelo estudo de pessoas de carne e osso em
realidades circunscritas, seja por fronteiras institucionais, seja pela
delimitação mais ou menos arbitrária do alcance das explicações do
pesquisador
. (FERREIRA, 2000, p.32-33).
48
Com base nessa afirmação vemos a grande importância da escola como
fonte para um trabalho etnográfico, já que esta faz parte de uma estrutura maior,
mas apresenta particularidade própria à sua existência cotidiana.
2.9 Instrumentos para levantamento de dados
A abordagem qualitativa requer do pesquisador o maior cuidado no
levantamento dos dados para não deixar dúvidas nas suas interpretações. Nesse
trabalho usamos os seguintes instrumentos de pesquisa para levantamento dos
dados:
i) Documentos escritos pelos alunos sobre os conteúdos estudados. Os
documentos escritos pelos alunos sobre os conteúdos trabalhados durante a
abordagem metodológica visam explicitar seus entendimentos;
ii) Entrevista. A entrevista será um dos mais importantes instrumentos da
pesquisa, nela o aluno terá a oportunidade de expressar-se oralmente, contribuindo
para o aprofundamento das questões e dirimindo possíveis dúvidas.
iii) Observação participante. A Observação do pesquisador sobre a
participação e desenvolvimento dará respaldo ao pesquisador para analisar
detalhadamente a participação e atuação dos alunos podendo fazer um julgamento
quanto aos conceitos de compreensão instrumental e relacional.
Segundo Lüdke (1998, p.46), a entrevista se desenvolve a partir de um
esquema organizado, mas que não é aplicado com rigor, podendo ser alterado pelo
pesquisador quando necessário no transcorrer do percurso.
Para Minayo et al (2002), a entrevista é um dos procedimentos mais utilizados
no trabalho de campo, pois “através dela o pesquisador busca obter informações
contidas nas falas dos atores sociais”. As questões da entrevista foram sobre o nível
dos conteúdos que serão trabalhados durante a intervenção metodológica com as
atividades, considerando ou não os conhecimentos prévios dos alunos, além de
conteúdos considerados pré-requisitos para o entendimento dos números irracionais.
Ver Silva (2002).
Segundo Lüdke e André (2001, p. 25), para que a observação se torne um
instrumento considerado de investigação científica, “[...] precisa ser antes de tudo
controlada e sistemática,” pressupondo haver antecipadamente um planejamento do
49
que vai ser observado e um direcionamento daquilo que realmente se quer observar.
O planejamento das aulas e atividades que serão propostas e realizadas pelos
alunos também, constituir-se-ão como momentos importantes de análise. Serão
realizados registros sobre o que observarmos. Esses registros servirão para detalhar
aspectos e expressões observados.
Diante do exposto, fizemos a opção por um estudo experimental e analítico na
área de Educação Matemática, especificamente na elaboração e testagem de
atividades organizadas através de um módulo de ensino e voltadas ao ensino-
aprendizagem de números irracionais. Nestas atividades destacamos conceitos
fundamentais da construção dos números reais, enfatizando os números irracionais
e seu ensino por meio de atividades fundamentadas em princípios construtivistas,
desenvolvendo a construção e (re)-construção de conceitos numéricos visando
contribuir para o ensino da matemática no Ensino Médio.
Para tanto, no capítulo a seguir faremos uma apresentação, discussão e
análise das fases que compõem a intervenção metodológica bem como os
instrumentos que possibilitaram compreender todo o processo da pesquisa.
50
3 A INTERVENÇÃO METODOLÓGICA NO ENSINO MÉDIO
Neste capítulo objetivamos apresentar, discutir e analisar as três fases da
intervenção metodológica (Avaliação Diagnóstica, Módulo de Ensino e Avaliação de
Saída), realizada em duas turmas de 1ª série do Ensino Médio. Também traremos a
discussão sobre os instrumentos e procedimentos para coletas de dados,
considerando os aspectos relacionados ao conhecimento matemático dos alunos
nas construções e (re)-reconstruções dos conceitos de números racionais e
irracionais, durante a resolução das atividades de ensino, buscando responder uma
das questões que norteiam nosso estudo: i) Será que ao oportunizarmos aos alunos
da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de
atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo?
3.1 Caracterização dos sujeitos
A intervenção metodológica foi realizada em duas turmas de 1ª série do
Ensino Médio, denominadas de grupo participativo 1 e grupo participativo 2,
respectivamente. Uma das turmas era composta por 28 alunos sendo 17 do sexo
feminino e 11 do sexo masculino — turma esta da escola pública estadual e a outra
composta por 17 alunos: oito do sexo feminino e nove do masculino, educandos
estes pertencentes à Rede Pública Federal de Ensino. Os alunos pesquisados
estavam em uma faixa etária compreendida entre 14 e 18 anos de idade. Com
exceção de duas alunas, maiores de 18 anos. A renda familiar de aproximadamente
57% (cinqüenta e sete por cento), era em torno de dois salários mínimos. Os demais
indicaram renda familiar maior que dois salários.
3.2 A opção de pesquisa
Fazer a escolha por um tipo de pesquisa demanda leituras e posicionamentos
assumidos. Em nosso trabalho fizemos a opção pela pesquisa etnográfica com
51
grupos participativos por acreditarmos que ela se enquadra dentro de nossas
escolhas para os estudos do doutorado. O nosso trabalho tem o caráter etnográfico
participativo, haja vista que atuamos com dois grupos participativos de
características diferentes, mas com os mesmos objetivos.
De acordo com André (2000), a pesquisa qualitativa com abordagem
etnográfica tem como principais características:
a) Ênfase no experimento que está sendo executado e não no produto final;
b) Observação da maneira como as pessoas vêem a si mesmas e suas
experiências;
c) Contato direto do pesquisador com os sujeitos participantes, havendo assim
uma maior aproximação, não pretendendo mudar o ambiente nem tão pouco
introduzir modificações que serão experimentalmente controladas;
d) Utilização de grande quantidade de dados descritivos, demandando o uso de
um plano de trabalho aberto e flexível;
e) Os dados investigados vão sendo revistos e reavaliados no objetivo de
construir novos conceitos e novas formas de entender a realidade.
Para a referida autora a abordagem etnográfica se dá através do processo de
investigação em sala de aula e é feito por meio da observação direta das situações
de ensino-aprendizagem e também pela análise do material utilizado pelo professor.
Partindo dos resultados obtidos pelos alunos na prova escrita da Avaliação
Diagnóstica reforçados pelos resultados apontados nas entrevistas da (avaliação
inicial), percebemos a necessidade de retomar conteúdos básicos que consideramos
importante o seu conhecimento antes de uma abordagem com os Números
Irracionais propostos neste trabalho. As deficiências de aprendizagens que os
alunos de 1ª série do Ensino Médio apresentaram, não são diferentes dos resultados
da pesquisa realizada no mestrado Silva (2002).
3.3 Avaliação Diagnóstica
Avaliar se constitui em um elemento importante no processo de ensino-
aprendizagem, segundo Libâneo (2001):
52
A avaliação é um termo geral que diz respeito a um conjunto de
ações voltadas para o estudo sistemático de um fenômeno, uma
situação, um processo, um evento, uma pessoa, visando a emitir um
juízo valorativo. Considera-se, em geral, que os processos de
avaliação implicam a coleta de dados (de informação), a análise de
uma apreciação (juízo) valorativa com base em critérios prévios,
tendo em vista a tomada de decisões para novas ações. (LIBÂNEO,
2001, p. 199).
Nesta fase da pesquisa usamos uma das funções da avaliação, a função
diagnóstica. A avaliação diagnóstica tem como uma de suas finalidades averiguar o
nível de conhecimento dos alunos acerca de determinados conteúdos.
Rodrigues Neto (1998), chama de avaliação diagnóstica um teste de
conhecimento básico (prova escrita) sobre determinado conteúdo, servindo como
referencial para indicar a eventual necessidade de se promover um nivelamento dos
alunos.
Segundo Libâneo (1998), a função da avaliação diagnóstica é identificar
progressos e dificuldades dos alunos e a atuação do professor, que podem mudar o
processo de ensino para se adequar às exigências dos objetivos, podendo ocorrer,
no início, durante e no final do desenvolvimento das unidades de ensino. O autor
afirma que:
No início, verificam-se as condições prévias dos alunos de modo a
prepará-los para o estudo da matéria nova. Esta etapa inicial é de
sondagem de conhecimentos e de experiências já disponíveis bem
como de provimentos dos pré-requisitos para a seqüência da
unidade didática. (LIBÂNEO, 1998, p. 197).
No nosso estudo utilizamos a avaliação diagnóstica como recurso
fundamental para identificar os conhecimentos dos alunos sobre conteúdos que
consideramos importantes a um aprofundamento dos números irracionais através de
um módulo de ensino, e ao mesmo tempo indicou a necessidade de se fazer uma
retomada de conteúdos visando relembrar conceitos e operações. A Avaliação
Diagnóstica se deu por meio de uma prova escrita e uma entrevista.
A prova escrita examinou e verificou os conhecimentos dos alunos dos dois
grupos, sobre números irracionais, teorema de Pitágoras, teorema de Tales e
equações irracionais. Dentre estes conteúdos os alunos deveriam apresentar
53
conhecimento sobre potenciação, radiciação, decomposição de número em fatores
primos, razão, proporção, regra de três simples, equações do 1º e do 2º graus,
ângulos, retas paralelas e retas transversais, que consideramos pré-requisitos a uma
abordagem com os números irracionais.
A prova foi composta por 10 questões e os conteúdos abordados são
contemplados no currículo oficial de Matemática explorados nas três últimas séries
do Ensino Fundamental.
As questões abordadas na Avaliação Inicial serviram como base para
identificar os conhecimentos dos alunos sobre os referidos conteúdos,
conhecimentos esses, que consideramos de fundamental importância para que os
alunos possam participar com rendimento satisfatório de um Módulo de Ensino que
fará um aprofundamento sobre números irracionais consideramos a priori os
objetivos da Avaliação diagnóstica seguido de elementos para uma análise
preliminar.
3.3.1 Objetivos da Avaliação Diagnóstica
Dentro da perspectiva de nossa pesquisa a avaliação diagnóstica objetivava
verificar o nível de conhecimento do aluno quanto:
i) Identificação de número irracional;
ii) À representação geométrica de um número real;
iii) Ao entendimento sobre operações com radicais e simplificação
de radicais;
iv) Ao reconhecimento e a aplicação do teorema de Pitágoras em
situações-problema;
v) À identificação do fator racionalizante e racionalização de
denominadores de frações;
vi) Ao conhecimento sobre equações irracionais.
Dentre os elementos levados em consideração para uma análise preliminar
destacamos:
i) Cálculo de raiz quadrada por aproximação;
ii) Demonstração da irracionalidade de raiz quadrada de dois (
2 );
54
iii) Processo matemático para o cálculo de pi (
S), ou seja, método de
Arquimedes;
iv) Equações irracionais.
3.3.2 A entrevista para a Avaliação Diagnóstica
A entrevista é usada nas pesquisas como técnica importante para coleta de
dados, LȨdke e André (2001), consideram a entrevista como um instrumento básico
para a coleta de dados. Para essas pesquisadoras, é importante que se perceba o
caráter de interação que permeia a entrevista, considerando que há uma atmosfera
de influência recíproca entre quem pergunta e quem responde. Segundo as autoras:
“A grande vantagem da entrevista sobre outras técnicas é que ela permite a
capitação imediata e corrente da informação desejada, praticamente com qualquer
tipo de informante e sobre os mais variados tópicos”. (LÜDKE; ANDRÉ, 2001, p. 33).
Rummel (1977) discute a entrevista como técnica que representa uma relação
não-recíproca entre os indivíduos envolvidos, ou seja, uma parte pretende obter
informações para um objetivo determinado, enquanto a outra, contribui dando as
informações. Para ele, a entrevista deve ter objetivo definido e não ser uma ocasião
para observações desorganizadas, sem um princípio e um fim.
No nosso estudo utilizamos a entrevista como um instrumento para
aprofundar a análise. Foi realizada com uma amostra da população e para tal
utilizamos a Amostragem sistemática, na qual os elementos foram selecionados por
um sistema pré-estabelecido. No caso dos alunos do grupo 1, enumerados em
ordem crescente de acordo com o diário de classe, selecionamos para ser
entrevistado o número 2 (o número 1 não pertencia mais à turma) e acrescentamos
mais cinco, ficando a seqüência 2, 7, 12, 17, 22, 27 e 32. Para o grupo 2, como não
fizemos o uso do diário de classe, enumeramos as provas da Avaliação Diagnóstica,
em ordem crescente, seguindo a ordem alfabética e pegamos os números 01, 06,
11, e 16. Atingimos assim, uma amostra de aproximadamente 32% (trinta e dois por
cento) da população participante da intervenção metodológica da pesquisa.
Dentro da perspectiva do nosso estudo, fizemos opção pela entrevista do tipo
semi-estruturada, que segundo Lüdke (1998), se desenvolve a partir de um
esquema organizado, mas não é aplicado com rigor e permite que o pesquisador
faça as adaptações necessárias no decorrer do estudo. Como partimos do resultado
da prova escrita, as perguntas foram associadas diretamente às respostas de cada
55
aluno, e foram elaboradas seguindo um esquema organizado, mas não foram
aplicadas rigidamente, pois uma pergunta feita a um aluno não foi obrigatoriamente
feita aos outros. Durante a entrevista, o entrevistado teve acesso à sua prova, para
que pudesse acompanhar as perguntas do entrevistador.
3.3.3 Apresentação dos objetivos das questões da prova escrita para a
avaliação diagnóstica e respectivas questões
Apresentamos a seguir as questões da prova escrita da avaliação diagnóstica
que foi aplicada junto a alunos da primeira série do Ensino Médio de escolas
públicas.
O bloco que envolve as três primeiras questões tem como objetivos:
i) Reconhecer um número racional na forma fracionária ou decimal;
ii) Representar na reta numérica números reais;
v) Extrair raiz quadrada não-exata;
vi) Comparar número irracional em suas formas de radical e decimal;
vii) Reconhecer que o número
S (pi), não pode ser representado na reta
numérica utilizando régua e compasso.
A primeira questão apresenta dois itens, no item i, são indicados números
racionais sobre as formas de radical, fracionária e decimal, como também números
irracionais. Nesse item, o aluno deveria identificar o tipo de número e escrever a
palavra racional ou irracional no espaço apropriado. No item ii apresentamos uma
idéia de reta numerada e solicitamos que o aluno representasse os números
indicados do item anterior, na tal reta. Esperávamos que alunos de 1ª série do
Ensino Médio não demonstrassem dificuldades em identificar números irracionais e
representá-los na reta numérica, como também percebesse que o número pi não
pode ser representado na reta numerada por através dos instrumentos régua e
compasso.
1ª) Observe as representações numéricas a seguir e:
56
i) Identifique, escrevendo nos espaços, se os números abaixo são racionais
ou irracionais:
a)
4 _____________ ; b) 0,42 _______________ ; c) 5 ____________ ;
d) 2
9 ___________ ; e) 7 _______________; f)
4
3
_____________ ;
g) -
1 ___________ ; h) S ______________
ii) Represente na reta numérica os números indicados no item anterior.
0 1
Na segunda questão apresentamos exemplos de números irracionais sob a
forma de radical e solicitamos que os alunos os representassem sob a forma
decimal. Nessa questão o aluno poderia fazer uso da calculadora, o que no nosso
entender facilitaria a representação numérica. Como determinamos o uso de apenas
três casas decimais, esperávamos que o aluno aplicasse corretamente a regra de
arredondamento, no caso específico de décimo de milésimo para milésimo.
2ª) Complete as igualdades a seguir, (considere três casas decimais):
a)
8 = b) 3 =
c)
10 = d) 5 =
Na terceira questão esperávamos que o aluno conseguisse fazer a
comparação de um número irracional sob a forma de radical, com o mesmo número
sob a forma decimal.
57
3ª) Observe os resultados obtidos na 2ª questão e complete os espaços usando os
sinais
!, ou , ou :
a)
10 ___3,163 b) 5 ___ 2,237
c)
8 ___ 2,828 d) 3 ___ 1,731
A quarta questão requeria do aluno o conhecimento sobre conteúdos
matemáticos, tais como: definição de número irracional, dominar o cálculo de
perímetro de um polígono, saber fazer a decomposição de um número em fatores
primos e representá-lo sob a forma de potência, como também precisaria operar
com radicais, simplificando-os para depois adicionar (somar radicais). Acreditávamos
que esta questão faria com que o aluno demonstrasse habilidades com a seqüência
de procedimentos e operações necessárias ao seu desfecho. A quarta questão tinha
como objetivos:
i) Reconhecer o perímetro de um polígono;
ii) Decompor um número em fatores primos;
iii) Simplificar radicais por decomposição de radicando;
iv) Somar radicais de mesmo índice.
4ª) No triângulo da figura abaixo estão indicadas as medidas dos lados numa certa
unidade de comprimento. Calcule o perímetro desse triângulo.
175
28
112
58
O bloco envolvendo a quinta e a sexta questões tem como objetivos:
i) Identificar e representar a diagonal de um polígono;
ii) Reconhecer e aplicar o teorema de Pitágoras em situações-problema do
cotidiano;
iii) Reconhecer a aplicação prática dos números irracionais.
A quinta questão exigia do aluno habilidade com o uso de régua e/ou
esquadros, instrumentos que consideramos de grande importância na matemática,
mas que muitas vezes o aluno não consegue usar corretamente. Nessa questão, o
aluno precisaria reconhecer a diagonal de um retângulo, aplicar corretamente a
relação de Pitágoras e extrair raiz quadrada.
5ª) De acordo com os dados a seguir, desenhe a figura e calcule a diagonal em cada
um dos casos:
a) Um retângulo de 5 centímetros de comprimento por 4 centímetros de altura;
b) Um quadrado de lado unitário (cm).
A sexta questão referia-se à aplicação prática da matemática em situação que
pode ocorrer no dia-a-dia. Na resolução o aluno deveria representar a escada em
forma de figura, o que indicaria um triângulo retângulo, (indicado no próprio
enunciado), identificar os catetos com suas medidas definidas no próprio problema,
a hipotenusa que estava representada pelo comprimento da escada e calcular essa
hipotenusa, chegando a um número irracional na sua representação de radical que
deveria ser transformado na representação decimal.
6ª) Daniele é arquiteta. Ao fazer a planta de uma casa, deparou-se com a seguinte
situação: se a altura da parede são 5 metros e o afastamento da escada à parede é
de 6 metros, qual deve ser a medida do comprimento da escada? (Sugestão: faça
um desenho de um triângulo retângulo cujos lados que formam o ângulo reto medem
6 m e 5 m, depois aplique a relação de Pitágoras).
59
A sétima questão tem como objetivos:
i) Racionalizar o denominador de uma fração;
ii) Identificar e aplicar as diversas maneiras de racionalizar um denominador
de uma fração.
7ª) Racionalize o denominador de cada fração em cada um dos casos:
a)
3
1
b)
3
b
a
c)
4
3
3
d)
ab
a
e)
25
3
O bloco envolvendo a oitava e nona questões tem como objetivos:
i) Resolver problemas envolvendo razões e proporções;
ii) Interpretar e aplicar o teorema de que um feixe de retas paralelas
determina sobre duas transversais, segmentos proporcionais;
iii) Reconhecer e calcular o perímetro de um polígono.
A oitava questão é uma aplicação do teorema de Tales, para isto, o aluno
deveria apresentar conhecimento sobre razão e proporção, reconhecer retas
paralelas e retas transversais, saber resolver sistema de equações com duas
incógnitas (utilizando pelo menos um dos métodos) e saber resolver equação do
primeiro grau.
60
8ª) Calcule as medidas a e b dos segmentos determinados pelas paralelas cortadas
pelas transversais t e u, sabendo que a diferença dessas medidas é 1,5 cm.
A nona questão para ser resolvida precisaria que o aluno apresentasse
conhecimento sobre semelhança de triângulos, razão e proporção (regra de três
simples), e soubesse resolver equação do segundo grau incompleta, fazendo a
escolha de uma das raízes como resposta adequada para solução da situação-
problema.
9ª) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sabendo que BC
 DE. Considere todas
as medidas em centímetros.
a
6
4
b
t
u
B
A
x -2
x
C
x + 5
D
4x
2x
E
61
A décima questão tinha como objetivos:
i) reconhecer e resolver equações irracionais;
ii) verificar a validade da raiz de uma equação com radicais.
A décima e última questão apresentava cinco itens envolvendo equações
irracionais, requeria aplicação direta da regra para resolução de equações
irracionais, exigia também do aluno habilidade com potenciação em todos os itens, e
também seria necessário o entendimento sobre equação do primeiro grau.
10ª) Determine o valor do número real x em cada um dos casos abaixo e em
seguida verifique se o valor encontrado satisfaz a igualdade:
a)
1x = 4 b)
3
2x = 10 c) 213 x = 31x
d) 3x =
3
7
x
e) 6x = x
3.3.4 Critérios para correção das questões da prova escrita da Avaliação
Diagnóstica
As questões da prova escrita foram corrigidas seguindo os seguintes critérios:
i) Totalmente Certa (TC): a questão em que o aluno usou corretamente
todos os procedimentos necessários à sua solução e chegou à resposta
adequada;
ii) Errada (E): a questão em que o aluno não conseguiu usar os
procedimentos necessários para encontrar a solução adequada (quando
nada pode se aproveitar do que foi feito pelo aluno);
iii) Parcialmente Certa (PC): aquela questão em que o aluno conseguiu
aplicar corretamente os procedimentos necessários ao seu
desenvolvimento, mas não chegou a uma resposta satisfatória, ou chegou
à resposta certa com procedimentos inadequados;
62
iv) Em Branco (EB): as questões que não foram respondidas pelos alunos.
3.3.5 Pontuação das respostas das questões
Para melhor organização e análise das respostas dadas pelos alunos, estas
receberam uma escala de pontuação variando de acordo com o nível de acerto. A
questão considerada totalmente certa recebeu a pontuação equivalente a um (1,0)
ponto; as questões consideradas erradas e/ou em branco receberam nota zero (0,0)
e, as questões parcialmente certas receberam notas proporcionais ao grau de acerto
no seu desenvolvimento, variando entre zero (0,0) e um (1,0). Além de atribuirmos
uma pontuação por cada questão, também atribuímos um conceito geral, que
corresponde à somatória dos pontos de todas as questões.
A prova escrita recebeu os seguintes conceitos A – B – C – D – E, seguindo
os intervalos:
i) de 0,0 a 2,0 conceito E;
ii) de 2,1 a 4,0 conceito D;
iii) de 4,1 a 6,0 conceito C;
iv) de 6,1 a 8,0 conceito B;
v) de 8,1 a 10,0 conceito A
A atribuição de conceitos para a prova escrita tem a finalidade de facilitar a
organização dos dados em tabelas e gráficos para a análise posterior.
3.3.6 Apresentação dos dados
Após a aplicação e correção da prova escrita da avaliação diagnóstica junto
aos dois grupos, apresentamos os resultados obtidos, em tabelas e gráficos. As
tabelas demonstrativas I e II mostram o número da questão e a quantidade de
alunos que acertaram totalmente, parcialmente ou erraram e a porcentagem em
cada um dos casos, nos grupos 1 e 2 respectivamente. Nos gráficos 1 e 2 são
indicados os resultados obtidos e representados em forma de conceitos referentes
ao grupo 1. Nos gráficos 3 e 4, os resultados do grupo 2. Os dados mostrados nas
tabelas e nos gráficos por meios de valores absolutos e relativos, serão
posteriormente analisados e comentados neste trabalho.
63
Tabela demonstrativa I (dados referentes ao grupo 1)
TC PC E EB total %
Nq
N%N%N%N%
i - - 28 100 - - - - 28 1001ª
ii 1 4 6 21 12 43 9 32 28 100
2ª 8 29 2 7 4 14 14 50 28 100
3ª 2 7 16 57 2 7 8 29 28 100
4ª 2 7 5 18 5 18 16 57 28 100
5ª 1 4 7 25 10 35,5 10 35,5 28 100
6ª 3 11 6 21 6 21 13 47 28 100
7ª 1 4 4 14 3 11 20 71 28 100
8ª - - 2 7 - - 26 93 28 100
9ª 1 4 - - - - 27 96 28 100
10ª 1 4 - - 04 14 23 82 28 100
Legenda:
Nq – número da questão
TC – questão certa
PC – questão parcialmente certa
E – questão errada
EB – questão em branco
Tabela demonstrativa II (dados referentes ao grupo 2)
TC PC E EB total %
Nq
N%N%N%N%
i15,91694,1---- 17 1001ª
ii - - 3 17,7 10 58,8 4 23,5 17 100
2ª 4 23,5 5 29,4 3 17,7 5 29,4 17 100
3ª 2 11,8 12 70,5 - - 3 17,7 17 100
4ª 1 5,9 - - 2 11,8 14 82,3 17 100
5ª 3 17,7 - - 4 23,5 10 58,8 17 100
6ª 3 17,7 - - 4 23,5 10 58,8 17 100
7ª 1 5,9 3 17,7 4 23,5 9 52,9 17 100
8ª - - 2 11,8 4 23,5 11 64,7 17 100
9ª 2 11,8 - - 3 17,7 12 70,5 17 100
10ª - - - - 6 35,3 11 64,7 17 100
64
16
10
1
0
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Alunos
E: 0 - 2,0 D: 2,1 - 4,0 C: 4,1 - 6,0 B: 6,1 - 8,0 A - 8,1 - 10
Conceitos
11
2
3
1
0
0
2
4
6
8
10
12
Número de alunos
E: 0 - 2,0 D: 2,1 -
4,0
C: 4,1 -
6,0
B: 6,1 -
8,0
A: 8,1 - 10
Conceitos
Gráfico I (valores absolutos referentes ao grupo 1)
Gráfico II (valores absolutos referentes ao grupo 2)
65
56
37
3,5
0
3,5
0
10
20
30
40
50
60
Porcentagem
E: 0 - 2,0 D: 2,1 - 4,0 C: 4,1 - 6,0 B: 6,1 - 8,0 A: 8,1 - 10
Conceitos
64,7
11,8
17,6
5,9
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Porcentagem
E: 0 - 2,0 D: 2,1 - 4,0 C: 4,1 - 6,0 B: 6,1 - 8,0 A: 8,1 - 10
Conceitos
Gráfico III (valores relativos referentes ao grupo 1)
Gráfico IV (valores relativos referentes ao grupo 2)
Apresentados os dados organizados em tabelas e gráficos indicando os
valores absolutos e relativos referentes aos dois grupos pesquisados, passamos a
descrevê-los, comentá-los e classificá-los indicando possíveis obstáculos
demonstrados pelos alunos.
3.3.7 Comentário sobre as respostas dos alunos
66
Fazendo uma análise inicial, (neste momento não estamos levando em
consideração os dados coletados nas entrevistas), percebemos que dentre os
alunos do grupo 1 que foram avaliados, 19 indicaram que 0,42 é um Número
Irracional; 15 escreveram que -
1 é um Número Irracional; nove afirmaram que
4
3
é
Irracional, oito consideraram como racional; dois não responderam se
S
é Irracional,
deixando esse item em branco; três alunos responderam que 2
9 é irracional;
enquanto oito alunos escreveram que é racional e sete responderam que
7 é
racional. No item (ii) dessa mesma questão, a maioria dos alunos não conseguiu
representar na reta numérica os números indicados no item (i). Apresentamos a
seguir repostas dadas por três alunos:
67
Nos três casos citados percebemos que há certa regularidade: repetição em
relação aos erros cometidos sobre números racionais na forma decimal. Esses
alunos, como os demais participantes da intervenção metodológica deixaram a
entender que não dominam o conceito de número racional, não compreendendo
assim que um número racional pode ser representado em forma decimal. Neste caso
fica subtendido que quando se trata do conceito do referido número o estudante
precisa ter uma boa formação matemática nas etapas anteriores ao Ensino Médio,
mas parece que esta base conceitual mais eficaz com o conjunto dos números
racionais e seus subconjuntos não está sendo bem trabalhada. Tanto que todos os
alunos participantes da intervenção metodológica apresentam obstáculos
epistemológicos quanto à compreensão desse conceito. Na primeira e na terceira
respostas apresentadas percebemos que os dois alunos afirmam que
4
3
é irracional,
na segunda resposta o aluno considera que -
1 é irracional. Nos três casos
apresentados como exemplos percebemos a fragmentação no conhecimento
matemático que eles detêm.
Na 2ª questão, três alunos responderam que
8 = 4, dois afirmaram 8 = 64
e um respondeu que
8 = 2,888; dois alunos responderam que 5 e 10 são
respectivamente 9 e 100; um aluno respondeu que
5 é 25 e três deram 2,5 como
resposta para
5 e um outro respondeu que 3 = 1,15.
68
Exemplo:
Neste caso percebemos que o aluno não tem idéia de como extrair raiz
quadrada por aproximação, deixando a entender que não compreende o que é um
número irracional.
Na comparação de Números Irracionais em suas representações de radical e
decimal, com o número de casas decimais determinado na questão anterior, 16
alunos afirmaram que
5 é maior que 2,237; sete alunos responderam que 8 é
maior que 2,828 e cinco responderam que é menor; oito não responderam esse
item.
Na 4ª questão, dois alunos acertaram totalmente. Um utilizou os
procedimentos para o cálculo de adição de radicais, ou seja, a decomposição dos
radicandos em fatores primos, simplificação de radicais e a extração das raízes para
chegar ao perímetro do triângulo, que é solicitado no enunciado da questão. Um
outro aluno fez uso da calculadora e chegou ao perímetro do triângulo de forma
direta. Os cinco alunos que acertaram a questão parcialmente usaram a calculadora,
fizeram os cálculos diretos, mas não conseguiram fazer as aproximações
corretamente, errando assim a resposta da referida questão.
Na 5ª questão um aluno conseguiu acertar os dois itens; quatro não
acertaram os dois itens; oito alunos desenharam as figuras do retângulo e do
quadrado, mas utilizaram a relação de Pitágoras apenas para o cálculo da diagonal
do retângulo. Dentre estes, quatro deram a resposta utilizando o sinal de
r para
medida; dois alunos desenharam um triângulo no lugar do retângulo, confundindo
assim o retângulo com um triângulo e três alunos fizeram o desenho do quadrado,
mas nada responderam.
69
No exemplo citado o aluno conseguiu desenvolver os procedimentos para o
cálculo, mas no final não encontrou a raiz quadrada por aproximação como era
esperado, mesmo assim consideramos a resposta como certa, pois não
esclarecemos no enunciado o tipo de resposta que queríamos.
A 6ª questão é uma aplicação direta do teorema de Pitágoras e os três alunos
que a acertaram totalmente desenharam o triângulo, indicaram as medidas, ou seja,
os catetos e a hipotenusa e aplicaram corretamente a relação de Pitágoras. Os que
acertaram parcialmente desenharam o triângulo, dentre eles, quatro, indicaram as
medidas dos lados do referido triângulo, enquanto dois não conseguiram representar
as medidas — mesmo desenhando a figura do triângulo esses alunos não
conseguiram desenvolver os cálculos corretamente.
Na 7ª questão apenas um aluno conseguiu fazer a racionalização de
denominadores de frações corretamente, aplicando as regras necessárias e obtendo
resultado satisfatório. Cinco alunos iniciaram as operações de racionalização, mas
não conseguiram utilizar as regras para todos os itens indicados. No exemplo que
citamos a seguir, o estudante tentou as racionalizações solicitadas, mas em alguns
casos não chegou a completar o item, parecendo insegura quanto aos
procedimentos necessários.
70
Verificando as respostas acima percebemos que o aluno tentou racionalizar
todas as frações indicadas demonstrando um certo conhecimento sobre o assunto,
mas em alguns casos deixou incompleta a resposta.
A 8ª questão, nenhum dos alunos avaliados conseguiu acertar totalmente. O
aluno que a acertou parcialmente fez a subtração da medida do segmento menor
pelo maior, o que daria um resultado negativo. Conseguiu inverter as operações
indicadas na proporção resultante e chegou ao resultado correto, ou seja, chegou ao
resultado através de um desenvolvimento incorreto. Os outros não tentaram fazer a
questão.
Um único aluno acertou totalmente as questões 9 e 10. Utilizou todos os
procedimentos necessários para chegar aos resultados, aplicou de forma correta as
propriedades das proporcionalidades, resolveu as equações de 1º e 2º graus que
surgiram e resolveu as equações irracionais testando a veracidade de cada uma
delas. Os demais, não responderam as referidas questões.
A seguir apresentamos a resposta da questão de número nove, de um dos
alunos. O estudante que respondeu essa questão demonstrou um certo
conhecimento prévio sobre equação do primeiro grau, perímetro de figuras planas,
proporcionalidade, e multiplicação de monômio por número inteiro.
71
3.3.8 As entrevistas
As entrevistas foram realizadas poucos dias após a aplicação da prova escrita
e não seguiram um sistema rigoroso. Nem sempre a pergunta feita a um aluno foi
feita a outros, com exceção da primeira que seguiu um padrão para todos os
entrevistados. Para participar das entrevistas foram selecionados sete alunos do
grupo 1 e quatro do grupo 2 perfazendo um total de onze alunos, aproximadamente
28% (vinte e oito por cento) dos alunos pesquisados. A amostra seguiu o método da
amostragem estratificada. Os entrevistados não foram identificados nominalmente,
sendo que para registrar a participação dos mesmos utilizamos as suas iniciais.
A primeira a participar das entrevistas foi à aluna Tsila, 17 anos, residente no
bairro Planalto, zona oeste de Natal. Sempre estudou em escola pública, obtendo
aprovação em todas as séries, com renda familiar de um salário mínimo. A aluna
Tsila conseguiu responder apenas dois dos sub-itens da primeira questão proposta
na prova escrita, deixando parte desta questão e o restante da prova em branco.
Nos sub-itens a e b que respondeu, escreveu que a raiz quadrada de 4, e o número
racional escrito na forma decimal 0,42 são irracionais.
Entrevistador: Tsila, por que você não tentou responder às outras questões da
prova?
Entrevistada: Professor, nunca aprendi matemática, não gosto e não vou
conseguir aprender. Para falar a verdade, professor, se o senhor colocar uma conta
de dividir para eu fazer, eu não vou acertar, nem isso sei fazer, nunca aprendi.
Diante da reposta da aluna resolvemos agradecer-lhe e evitamos fazer outras
perguntas.
A aluna Maria Regineide, 18 anos, residente na Colônia do Pium, Município
de Parnamirim, sempre estudou em escola pública, foi reprovada em uma das séries
que estudou, possui renda familiar de dois salários mínimos e trabalha na parte da
72
manhã na casa de uma tia. A aluna afirmou que o número racional na forma decimal
0,42 é irracional e que o número irracional
5 é racional. Deixando dúvida quanto ao
seu conhecimento sobre a definição de número irracional, não conseguiu
representar os pontos no segmento de reta indicados no item dois, deixou em
branco cinco questões.
Entrevistador: Regineide, por que você não tentou fazer todas as questões da
prova?
Entrevistada: As três primeiras respondi porque ainda me lembrava, estudei
na 7ª série, as outras li, mas não consegui entender.
Entrevistador: No sub-item a da primeira questão você escreveu que 0,42 é
irracional. Por quê?
Entrevistada: Esse número é irracional porque tem vírgula, foi assim que eu
aprendi.
Entrevistador: As outras questões você não respondeu. Qual foi o motivo?
Entrevistada: Essa que tem um desenho de um triângulo é para calcular o
perímetro, eu não sei calcular isso. A número cinco fiz os desenhos, mas não sabia
o que era diagonal nem muito menos como calcular.
Entrevistador: Na 8ª série você estudou o teorema de Pitágoras?
Entrevistada: Estudei.
Entrevistador: Você afirma ter estudado o teorema de Pitágoras na oitava
série. Será que agora você consegue responder a quinta ou a sexta questão que
são aplicações do teorema de Pitágoras?
Entrevistada: Não consigo professor. Estudei no ano passado, mas não me
lembro.
Entrevistador: Racionalização de denominadores de fração é um assunto
muito discutido na oitava série. Por que você não tentou fazer a sétima questão que
é sobre esse conteúdo?
Entrevistada: Ah! Professor, o senhor sabe que quando a gente estuda em
sala de aula o professor faz um exemplo no quadro e bota os outros parecidos pra
gente fazer. Assim, sem ter um exemplo feito é difícil. Eu acho que ninguém fez essa
daqui.
Mônica, 15 anos, residente no bairro do Planalto, renda familiar entre um e
dois salários mínimos, sempre estudou em escola pública, conseguindo êxito em
todas as séries pelas quais passou. Trabalha em uma lanchonete no período da
73
noite para ajudar a manter a família, muitas vezes tendo que sair da escola antes de
terminar o horário das aulas. A aluna inverteu as respostas do item i, da primeira
questão; o que deveria receber a resposta como sendo racional, ela colocou
irracional e que o era irracional, ela escreveu racional, mostrando assim que não
sabe classificar esses números.
Entrevistador: Mônica, por que você não fez todas as questões propostas na
prova?
Entrevistada: Professor, alguns assuntos que caíram na prova eu tinha
estudado no ano passado, quando estava na oitava série e outros eu nunca estudei.
Não gosto de prova desse tipo que a gente tem que calcular.
Entrevistador: Na primeira questão você respondeu que -
1 e 4 são números
irracionais e
7 e 5 são números racionais. Você não se enganou? Não seria o
contrário?
Entrevistada: É assim mesmo, era só para colocar o nome e eu coloquei.
Entrevistador: Na sexta questão você desenhou um triângulo, mas não fez os
cálculos. Por quê?
Entrevistada: Porque o que está pedindo eu fiz.
Entrevistador: Quantos graus tem um ângulo reto?
Entrevistada: Ah! Professor, eu ainda não estudei isso.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de
frações, conteúdo este que você deve ter estudado na oitava série, mas não fez
essa questão da prova. Será que você consegue resolver agora?
Entrevistada: Não, não me lembro, sei que estudei no ano passado, mas
agora não estou entendendo — responde depois de olhar a prova e ler a questão.
Entrevistador: Mônica, você estudou o teorema de Tales, na oitava série?
Entrevistada: Não, não sei nem o que danado é isso.
Entrevistador: Você não tentou fazer as outras questões da prova. Por quê?
Entrevistada: O que eu estudei não aprendi, imagine uma coisa que nunca
estudei, é algo impossível!
O aluno Josivan, 16 anos, residente no conjunto Santarém, zona norte de
Natal, renda familiar mais de dois salários mínimos, sempre estudou em escola
pública tendo sido reprovado em uma das séries anteriores. Na primeira questão o
74
aluno escreveu que
7 e 5 são racionais e o número 0,42 escreveu que é irracional,
demonstrando claramente que não consegue identificar um número irracional.
Entrevistador: Josivan, por que você não tentou fazer todas as questões da
prova?
Entrevistado: Só deixei em branco as três últimas questões, por que não deu
tempo de fazer, a prova, era muito grande.
Entrevistador: Você está dizendo que não fez as três últimas questões porque
o tempo foi pouco. Tente fazer uma delas agora.
Entrevistado: Não dá, eu nunca estudei isso assim.
Entrevistador: Na oitava série, ano passado, você estudou o teorema de
Pitágoras?
Entrevistado: Estudei.
Entrevistador: Você estudou o teorema de Tales na oitava série ou não? E
equações irracionais?
Entrevistado: O teorema de Tales eu ainda não estudei e equações
irracionais também não. São matérias que não deu tempo a minha professora de
Matemática dar.
Entrevistador: Na segunda questão da prova você escreveu que
8 = 64 e
3 = 9; será que você não enganou-se ou é assim mesmo?
Entrevistado: A raiz de 64 é 8 e a raiz de nove é três, mas a raiz de 8 é, ..., eu
não sei não.
Como foi que você chegou ao resultado da quarta questão?
Entrevistado: Encontrei na calculadora as raízes dos números dos lados do
triângulo e depois somei e deu o resultado.
Entrevistador: Na sexta questão você desenhou um triângulo, poderia me
mostrar nele onde fica o ângulo de 90º?
Entrevistado: É esse que tem uma seta.
A aluna Cariliana, 15 anos, reside no bairro dos Guarapes, zona oeste de
Natal. Com renda familiar de um salário mínimo, nunca foi reprovada e sempre
estudou em escola pública.
Entrevistador: Cariliana, Por que você não tentou fazer todas as questões da
prova?
75
Entrevistada: Nesta prova tem assuntos que eu nunca estudei e têm outros
que estudei, mas não me lembro mais, por isso, nem tentei fazer para não perder
tempo. Não ia acertar mesmo, então para quê fazer?
Entrevistador: Os conteúdos teorema de Tales e equações irracionais
explorados na oitava, na nona e na décima questões estão incluídos dentre aqueles
que você nunca estudou?
Entrevistada: Estão, nunca estudei esses assuntos.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de
frações, conteúdo muito explorado pelos livros didáticos e trabalhado em sala de
aula pelos professores de Matemática, mas você nem tentou fazer essa questão por
quê?
Entrevistada: É esse assunto eu estudei no ano passado, mas não sei nem
pra onde é que vai, não aprendi mesmo.
Entrevistador: Na segunda questão você respondeu que
8 é igual a quatro.
Você tem certeza que a resposta é essa mesmo?
Entrevistada: Tenho certeza porque quatro vezes dois é igual a oito.
A aluna Ednalva, 16 anos, residente no bairro do Bom Pastor, zona oeste de
Natal, nunca foi reprovada e sempre estudou em escola pública. A aluna deixou de
responder a segunda, a terceira, a quarta, a sétima, a oitava, a nona e a décima
questão. Na primeira questão afirmou que -
1 é irracional e que S é racional.
Entrevistador: Ednalva, Por que você não tentou fazer todas as questões da
prova?
Entrevistada: Ah! Essa prova é muito grande, não deu tempo fazer tudo.
Entrevistador: Mas você me entregou a prova bem antes do tempo previsto
para terminar. Por que não continuou fazendo até completar o tempo?
Entrevistada: Ah! Eu não me lembrava mais de nada, e por isso parei de fazer
e entreguei.
Entrevistador: Você não fez a segunda e terceira questões que são sobre raiz
quadrada, não lembra mais?
Entrevistada: Não, isso eu não me lembro ter estudado. Assim não.
Entrevistador: A quarta questão você também deixou em branco. Não lembra
mais como se calcula o perímetro de um polígono?
Entrevistada: Não respondi porque não sei, é muito complicado quando
aparece figura desenhada. É muito complicado.
76
Entrevistador: As três últimas questões você não respondeu. Foi o tempo que
não deu?
Entrevistada: Não. É porque eu não sabia. Nunca estudei isso.
Entrevistador: Você estudou o teorema de Tales na oitava série ou não?
Entrevistada: Não. Nunca ouvi falar nisso.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de
frações, conteúdo abordado nos livros didáticos de Matemática para a oitava série e
muito repetido pelos professores dessa disciplina, você não respondeu é por que
nunca estudou ou esqueceu?
Entrevistada: Estudei, é porque não aprendi, não me interessei. Não gosto de
Matemática. Odeio quem inventou Matemática.
A aluna Gerlane, 16 anos, reside no bairro Planalto, renda familiar entre um e
dois salários mínimos, sempre estudou em escola pública e já passou pelo processo
de reprovação em série anterior. A aluna deixou em branco a sexta, a oitava, a nona
e décima questões, e respondeu que -
1 é irracional.
Entrevistador: Gerlane, Você não respondeu todas as questões da prova Por
quê?
Entrevistada: Só não respondi as quatro que não sabia. Coisas que ainda não
estudei.
Entrevistador: Você afirma ter deixado em branco as questões sobre
conteúdo que você não estudou. Mas a sexta questão é uma aplicação do teorema
de Pitágoras. Você não lembra ter estudado?
Entrevistada: O teorema de Pitágoras eu estudei na oitava série, mas não era
assim com problema, por isso não entendi.
Entrevistador: E o teorema de Tales você estudou?
Entrevistada: Não estudei.
Entrevistador: A última questão é sobre equações irracionais, conteúdo da
oitava série. Você não estudou ou estudou e não está lembrada?
Entrevistada: Não estudei mesmo esse assunto.
No grupo 2 entrevistamos quatro alunos, dentre os 17 que fizeram a prova
escrita, seguindo os mesmos procedimentos utilizados para as entrevistas com os
alunos do grupo 1.
A aluna Micaella, residente no Sítio Araçá I, município de Vera Cruz, 15 anos
de idade, renda familiar entre um e dois salários, sempre estudou em escola pública,
77
já foi reprovada uma vez. A aluna afirmou que 0,42,
4
3
e - 1 são números
irracionais, não conseguiu representar os números na reta numérica, deixou de
responder quatro questões: a quarta, a quinta, oitava e a décima.
Entrevistador: Micaella, Você não respondeu todas as questões da prova. Por
quê?
Entrevistada: Alguns assuntos eu não estudei, por isso não fiz, não sabia.
Outros eu estudei, faz tempo, não consegui me lembrar.
Entrevistador: Na primeira questão você respondeu que 0,42,
4
3
e - 1 são
números irracionais. Você tem certeza que suas respostas estão corretas?
Entrevistada: Não. Eu chutei, mas acho que estão certas.
Entrevistador: A quarta questão pede para calcular o perímetro do triângulo
indicado. Você nem tentou fazer?
Entrevistada: Não me lembro como se calcula o perímetro. Faz muito tempo
que estudei isso.
Entrevistador: A quinta questão é uma aplicação da relação de Pitágoras,
você a deixou em branco, por quê?
Entrevistada: Relação de Pitágoras? O que é isso?
Entrevistador: Você nunca estudou o teorema de Pitágoras?
Entrevistada: Estudei. É a
2
= b
2
+ c
2
.
Entrevistador: Agora você poderia responder a quinta questão?
Entrevistada: Não, não dá. Não entendo. — disse após ter lido a questão.
Entrevistador: Na oitava série você estudou o teorema de Tales?
Entrevistada: Não, meu professor de matemática não deu esse assunto.
Entrevistador: Equações Irracionais, você também nunca estudou?
Entrevistada: Estudei, meu professor de matemática do ano passado deu
esse assunto, mas não aprendi, foi no final do ano e não ia cair na prova, nem me
interessei em aprender, é muito complicado.
Outra aluna entrevistada no grupo 2 foi Ana Cecília, 16 anos, residente na
cidade de Vera Cruz, renda familiar de dois salários mínimos, que sempre estudou
em escola pública e não foi reprovada em séries anteriores à primeira série do
Ensino Médio. A referida aluna respondeu apenas quatro itens da primeira questão
78
da prova. Afirmando que
4
3
e - 1 , são números irracionais, as outras questões
deixou em branco.
Entrevistador: Ana Cecília, Você não respondeu todas as questões da prova.
Por quê?
Entrevistada: Tem coisas nesta prova que eu ainda não estudei. Outros
assuntos eu estudei, só que até hoje não aprendi nada de matemática, não sei nem
porque ainda estudo, não vou aprender mesmo. Só serve para quebrar a cabeça,
cada ano complica mais.
Entrevistador: Na primeira questão você deixou quatro itens sem resposta,
por quê?
Entrevistada: Respondi os que eu tinha certeza.
Entrevistador: Você afirma que ainda não estudou alguns conteúdos
explorados na prova. Lembra se estudou o teorema de Pitágoras e o teorema de
Tales?
Entrevistada: O teorema de Pitágoras eu estudei. O teorema de Tales nunca
estudei.
Entrevistador: Você afirma ter estudado o teorema de Pitágoras, mas não
tentou responder a quarta, a quinta e sexta questões que são aplicação desse
teorema. Tente resolver uma delas agora.
Entrevistada: Professor, eu disse que estudei. Não disse que aprendi. Nem
sempre o que a gente estuda, a gente aprende, principalmente matemática, que até
hoje não aprendi nada — disse ao ler as questões.
O aluno Eduardo, 16 anos, residente no bairro Parque Industrial em
Parnamirim, sempre estudou em escola pública e nunca foi reprovado, renda familiar
entre um e dois salários mínimos. O aluno não respondeu todas as questões da
prova e as que tentou responder não se saiu bem como, por exemplo, na primeira
questão afirmou que
5 e 7 são números racionais e 29 e -1 são irracionais.
Entrevistador: Eduardo, você não respondeu todas as questões da prova. Por
quê?
Entrevistado: A prova era muito grande e tinha problemas complicados,
coisas que eu não entendia.
Entrevistador: Na quinta questão você desenhou as figuras mas não calculou
as diagonais, poderia calcular agora?
79
Entrevistado: Não me lembro.
Você estudou o teorema de Pitágoras na oitava série?
Entrevistado: Estudei, foi assunto da última prova do ano passado.
Entrevistador: Tente lembrar do teorema de Pitágoras e responda a quinta
questão.
Entrevistado: Não dá.
Entrevistador: Você estudou o teorema de Tales?
Entrevistado: Não. Não estudei ainda.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de
frações, conteúdo que é trabalhado na oitava série. Essa questão você começou
mas não terminou, quer terminar agora?
Entrevistado: Eu só fiz o que me lembrava. Sem ver um exemplo feito não
consigo fazer os outros.
Entrevistador: Você já estudou o teorema de Tales?
Entrevistado: Não. Professor, se o senhor tivesse feito uma revisão dos
assuntos que iam cair na prova teria ficado mais fácil, porque a gente ia se lembrado
e respondia certo.
Vandson, 16 anos, residente na Cidade de Boa Saúde, sempre estudou em
escola pública, tendo sido reprovado em uma das séries que estudou, renda familiar
de um salário mínimo. O aluno deixou em branco a sétima questão sobre
racionalização de denominadores de frações e tentou encontrar solução para todas
as outras e mesmo sendo de forma desorganizada e sem um conhecimento maior
do conteúdo, afirmou que -
1 é irracional e o número S (pi) é racional. Não
conseguiu representar no segmento de reta indicado os pontos referentes aos
números do item i da primeira questão.
Entrevistador: Vandson, você já estudou o teorema de Pitágoras?
Entrevistado: Estudei, na oitava série, no quarto bimestre, já no final do ano
passado.
Entrevistador: Você não conseguiu acertar a quinta e sexta questões que são
aplicações do teorema de Pitágoras, tente fazer uma delas.
Entrevistado: Professor, a letra a da quinta questão eu fiz no dia da prova,
olhe aqui.
Entrevistador: Como foi que você chegou a esse resultado?
80
Entrevistado: Multipliquei o valor de um lado, que é cinco centímetros, pelo
outro quatro centímetros, e aí encontrei 20 cm que é o valor da diagonal.
Entrevistador: Você pode me dizer onde fica a diagonal nessa figura que
desenhou?
Entrevistado: É a do traço que divide o retângulo no meio.
Entrevistador: A sétima questão refere-se à racionalização de denominadores
de frações. Você deixou em branco, é por que não estudou o conteúdo ou
esqueceu?
Entrevistado: Estudei, não respondi, porque foi um conteúdo que não aprendi,
mas estudei no início do ano passado, na oitava série.
Entrevistador: Você estudou equações irracionais?
Entrevistado: Estudei na oitava série.
Entrevistador: Como foi que você chegou ao resultado de cada um dos itens
da décima questão?
Entrevistado: Na letra a, fiz x + 1 = 4 e calculei x, que é igual a três, na letra c,
peguei 3x +21 coloquei igual a x + 31. Resolvi a expressão e encontrei 10.
3.3.9 Análise dos dados da avaliação diagnóstica
Faremos à análise dos dados levantados na prova escrita e também da
entrevista da avaliação diagnóstica deste estudo, fundamentado nos obstáculos
apresentados e discutidos neste trabalho e também verificaremos os possíveis
obstáculos apresentados pelos alunos levando em consideração Bachelard (2005).
Nesta análise constatamos que os alunos avaliados não dominam o conceito
de Número Irracional provavelmente por não ter tido uma boa aprendizagem
matemática nas séries iniciais. Apresentaram obstáculos epistemológicos e
demonstraram não ter uma boa compreensão sobre o conjunto dos números
racionais e seus subconjuntos numéricos.
A aprendizagem dos números racionais é permeada por uma série de
questões que dificultam tal aprendizagem. Perez (1998) comenta que dificuldade é
algo que impede de executar de imediato e bem alguma coisa. As dificuldades
apresentadas pelos alunos na prova escrita e referendadas pelas entrevistas podem
ter sido causadas por diversos fatores, tais como: o conceito que eles não
aprenderam, o método utilizado pelos professores das etapas anteriores, os
81
conhecimentos prévios deles e também pela própria disposição do aluno em
responder a questão.
Percebemos que eles confundem um número racional representado em sua
forma decimal com Número Irracional e não conseguem representar corretamente
um número qualquer na reta numérica. Cerca de 49% (quarenta e nove por cento)
deles não consegue comparar um Número Irracional na suas representações de
radical e decimal — conteúdos estes, explorados nas três primeiras questões. Eles
demonstraram não saber as operações mais simples com radicais, por exemplo:
simplificação e adição que foram explorados na 4ª questão.
Aproximadamente 67% (sessenta e sete por cento), dos alunos teve
dificuldade em representar a diagonal de quadrado e não soube aplicar
corretamente o teorema de Pitágoras; o que era necessário para responder a 5ª e a
6ª questões.
Na questão que tratou do assunto racionalização de denominadores de
frações, conteúdo trabalhado com ênfase por alguns professores de Matemática na
8ª série do Ensino Fundamental e também abordado nos livros didáticos
correspondente a tal série do segmento de ensino em foco, apenas três alunos
conseguiram obter êxito. Quanto ao teorema de Tales, explorado na 8ª e na 9ª
questões, os alunos demonstraram não ter conhecimento sobre o assunto, o mesmo
acontecendo com as equações irracionais.
Vale salientar que essa análise é extremamente subjetiva e é espelhada em
resultados apresentados por indivíduos que não foram nossos alunos nas séries
finais do Ensino Fundamental, e também não foram alunos dos colegas que nos
cederam as turmas, com exceção de seis do grupo 1, alunos de uma turma de 8ª
série. Outro fato que deve ser levado em consideração é que os indivíduos
envolvidos na pesquisa não são oriundos da mesma escola e sim de comunidades
distintas.
Concluídas as entrevistas, percebemos que os alunos pesquisados
apresentaram muitas dúvidas em relação ao conjunto dos números racionais, isto,
pode ser levando em consideração o que é proposto para os ciclos inicias. O estudo
dos racionais nos 3º e 4º ciclos tem como objetivo levar os alunos a perceberem a
insuficiência dos números naturais para resolver situações-problema relacionadas a
medidas, grandezas e resultados de uma divisão.
Nesse contexto, os racionais assumem diferentes interpretações:
82
Relação parte-todo: é apresentado quando um todo é dividido em partes
equivalentes;
Divisão: é a interpretação de um número racional como resultado da
divisão de um número inteiro por outro inteiro;
Razão: é aquela em que o racional é usado como índice comparativo entre
duas quantidades;
Número como operador: quando ele desempenha a função de mudar,
transformar uma situação.
A proposta é que esses diversos significados sejam trabalhados
separadamente. Os PCN também sugerem que seja feito um trabalho sistemático ao
longo desses ciclos para que seja consolidada a aprendizagem dos racionais.
Os livros didáticos apresentam, em sua maioria, a forma convencional de
apresentar o conceito dos números racionais. O trabalho é iniciado pela
representação fracionária dos números, leitura e escrita e como operar com eles. Em
seguida é apresentada a representação decimal como escrita de uma fração,
seguindo os mesmos passos metodológicos da representação fracionária.
O equívoco maior está no fato dos livros abordarem a escrita fracionária dos
racionais e a decimal como se estas não fossem representações de números de um
mesmo conjunto numérico.
Dado o exposto, podemos associar às respostas dos estudantes na primeira
questão, provavelmente a fragmentação desse conhecimento prévio. Quando o
aluno não tem conhecimento do conceito de número racional tende a confundir um
racional em sua forma decimal como sendo um número irracional. Verificamos este
fato nas respostas da 1ª questão apresentadas neste trabalho.
Ao verificarmos o bloco com as três primeiras questões e considerarmos
também as entrevistas com uma amostra da população participante, constatamos
que do grupo 1, dezessete (17) indivíduos, cerca de 61% (sessenta e um por cento),
não atingiram os objetivos propostos, o que significa dizer que eles não dominam, ou
não sabem os conteúdos. Oito indivíduos, aproximadamente 28% (vinte e oito por
cento), conseguiram atingir, de forma parcial, os objetivos propostos não
apresentando um domínio total. Os outros três indivíduos, equivalentes a 11% (onze
por cento) atingiram satisfatoriamente os objetivos indicados.
A partir dos resultados e considerando os dois grupos como um todo,
percebemos que 22 indivíduos, cerca de 49% (quarenta e nove por cento), não
83
conseguiram atingir os objetivos traçados para as três primeiras questões.
Aproximadamente 44% (quarenta e quatro por cento), ou seja, 20 indivíduos
atingiram os objetivos parcialmente; e, apenas três, o que corresponde a
aproximadamente 7% (sete por cento) conseguiram atingir os objetivos propostos.
Levando em consideração o bloco incluindo a quarta, a quinta e a sexta
questões, verificamos que 17 indivíduos do grupo 1, aproximadamente 61%
(sessenta e um por cento), não conseguiram atingir os objetivos propostos, enquanto
que no grupo 2 esse percentual chega a se aproximar de 76% (setenta e seis por
cento), 13 indivíduos.
No grupo 1, cerca de 36% (trinta e seis por cento), 10 indivíduos atingiram
parcialmente os objetivos e, no grupo 2 esse percentual chegou aproximadamente a
18% (dezoito por cento), totalizando três alunos.
Um indivíduo de cada grupo participante conseguiu atingir satisfatoriamente
os objetivos. Em porcentagem, isto representa 3% (três por cento) do grupo 1 e 6%
(seis por cento) do grupo 2, respectivamente.
Considerando os dois grupos, verificamos que 30 indivíduos, cerca de 67%
(sessenta e sete por cento), não atingiram os objetivos propostos para as referidas
questões, não sabem ou não dominam os conteúdos explorados. Aproximadamente
29% (vinte e nove por cento), o que corresponde a 13 indivíduos, atingiram
parcialmente os objetivos e, dois indivíduos, 4% (quatro por cento), saíram-se
razoavelmente bem.
A sétima questão por se tratar de racionalização de denominadores de fração
e o objetivo v ter sido proposto especificamente para ela, evitamos agrupá-la com
outra. Nesta questão cerca de 75% (setenta e cinco por cento), 21 indivíduos do
grupo 1 e 82% (oitenta e dois por cento), 14 do grupo 2, não conseguiram atingir os
objetivos. Cerca de 18% (dezoito por cento), cinco indivíduos do grupo 1 e
aproximadamente 6% (seis por cento) um do grupo 2, respectivamente, atingiram
parcialmente os objetivos traçados para a referida questão. Em cada um dos grupos,
dois indivíduos, aproximadamente 7% (sete por cento) do grupo 1 e cerca de 12%
(doze por cento) do grupo 2, respectivamente atingiram satisfatoriamente os
objetivos. Fazendo a junção dos dois grupos classificamos como não tendo atingido
o nível de compreensão instrumental um total de 35 indivíduos, aproximadamente
78% (setenta e oito por cento), enquanto que seis, 13% (treze), ficaram no nível de
84
compreensão instrumental e cerca de 9% (nove por cento), quatro alunos
conseguiram se sair bem.
Nas questões que tratam da aplicação do teorema dito de Tales, a oitava e a
nona, aproximadamente 96% (noventa seis por cento), totalizando 27 alunos do
grupo 1 não atingiram os objetivos propostos; enquanto no grupo 2, esse percentual
chegou a 76% (setenta e seis por cento), ou seja, 13 indivíduos. Nenhum aluno do
grupo 1 conseguiu atingir os objetivos indicados para essas questões, mas quatro
alunos do grupo 2, cerca de 24% (vinte e quatro por cento), conseguiram atingir
parcialmente os objetivos propostos sobre o conteúdo explorado nas questões.
Apenas um aluno do grupo 1, representando 4% (quatro por cento), conseguiu
atingir satisfatoriamente os objetivos propostos.
Com a junção dos grupos, a representação percentual dos indivíduos que não
atingiram os objetivos ficou em torno de 89% (oitenta e nove por cento), perfazendo
um total de 40. Outros 9% (nove por cento), quatro alunos atingiram parcialmente os
objetivos e um indivíduo, o que representa apenas, 2% (dois por cento), conseguiu
na totalidade.
Finalizando, verificamos que 26 indivíduos do grupo 1 e 16 do grupo 2, 93%
(noventa e três por cento) e 94% (noventa e quatro por cento), respectivamente, não
conseguiram alcançar os objetivos propostos para o décima questão, demonstrando
não ter conhecimento sobre o conteúdo. Um indivíduo de cada grupo atingiu
parcialmente os objetivos, o que representa cerca 3% (três por cento), para o grupo
1 e 6% (seis por cento), para o grupo 2, e aproximadamente 2% (dois por cento), isto
é, um aluno, conseguiu alcançar os objetivos de forma satisfatória.
De modo geral percebemos que o resultado da avaliação inicial contribuiu
para fazermos o seguinte comentário: identificamos dificuldades dos alunos ao lidar
com números irracionais. Essas dificuldades relacionavam-se, dentre outras, à
possibilidade de divisão infinita de um segmento, à distribuição dos números reais,
dentre eles destacamos os irracionais na reta, ao conceito de irracionalidade e ao
surgimento dos irracionais. Dentre estas, a última expressa no estudo mencionado é
particularmente curiosa porque muitos alunos demonstraram desconhecer os
motivos pelos quais surgiram os números irracionais.
3.4 O Módulo de Ensino
85
3.4.1 Atividades para o módulo de ensino
Considerando o objetivo principal da pesquisa que foi promover atividades
para o aprofundamento do ensino de Números Irracionais no Ensino Médio,
retornamos ao questionamento inicial: Será que ao oportunizarmos aos alunos da 1ª
série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de
atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo?
Tentando responder este questionamento verificamos que o resultado
apresentado na avaliação diagnóstica, indicou a necessidade de se promover uma
retomada (revisão) dos conceitos testados, a partir desta necessidade, elaboramos
um módulo de ensino com a finalidade de minimizar as deficiências de conteúdos
dos alunos, através de atividades visando atender aos objetivos da pesquisa.
Uma atividade de ensino deve ser clara quanto aos objetivos, e nestes serem
definidos na própria atividade, o material de apoio a ser usado pelos alunos.
Também é importante antes da resolução, o professor fazer um rápido comentário
sobre os procedimentos a serem adotados para a execução da tarefa. Ainda é
oportuno que o professor (pesquisador), elabore as atividades por escrito, com as
devidas orientações. Deve ser entregue uma cópia a cada aluno e, em seguida,
reuni-los em pequenos grupos para a discussão e desenvolvimento da atividade.
Rodrigues Neto (1998).
Destacamos quatro momentos importantes numa atividade de ensino:
i) leitura e compreensão do enunciado (texto);
ii) discussão da atividade entre os componentes do grupo;
iii) realização da atividade pelos alunos;
iv) apresentação dos resultados ao grande grupo.
Assim, enquanto os alunos trabalham em uma interação em grupo, o
professor (pesquisador) atua como um mediador (orientador), devendo ficar atento
ao desenvolvimento da aprendizagem do aluno para dirimir possíveis dúvidas.
Para esse trabalho, tivemos o cuidado de selecionar algumas atividades de
ensino de livros-textos, fazendo as adaptações e mudanças necessárias para
adequá-las aos objetivos da pesquisa, como também elaboramos parte delas, tendo
a preocupação de não seguir rigorosamente os modelos apresentados em livros.
86
Enfim, procuramos selecionar as atividades de forma a proporcionar um
entendimento dos conceitos abordados.
Fossa (2001, p. 79), afirma: "[...] atividades bem estruturadas e usadas com
consistência e criatividade podem ser instrumento poderoso na aquisição de
conceitos matemáticos [...]". As atividades que compõem o módulo de ensino,
seguiram uma seqüência e inicialmente foram discutidas, para em seguida serem
aplicadas.
As atividades propostas foram desenvolvidas em pequenos grupos, seguindo
os seguintes procedimentos:
i) discussão sobre como resolver a atividade proposta;
ii) resolução da atividade (uso de materiais, procedimentos de cálculo,
anotações, e outros);
iii) comunicação das idéias.
As atividades desenvolvidas nos grupos visaram proporcionar uma interação
entre os alunos, a discussão das questões e, conseqüentemente, reforçando a
aprendizagem, o que de acordo com Keil (1999, p. 140) possibilita "[...] aos sujeitos
explicitarem, valorizarem e trocarem uns com os outros, vivências oriundas de
universos simbólicos de experiências cotidianas [...]". Para a autora, os indivíduos
buscam a companhia de seus pares, que pensam e agem da mesma forma
convivendo com uma troca de sentimentos e emoções um tanto quanto igualitárias,
construindo as representações dos sujeitos a partir de um substrato oriundo de
movimento dialético. Esse ponto de vista vem reforçar o intuito de nossa pesquisa de
aplicar as atividades de ensino com os alunos organizados em pequenos grupos.
Iniciamos a aplicação do módulo de ensino com uma seqüência didática
previamente organizada e distribuída em um bloco com atividades, dentre elas seis
visando retomar conteúdos e relembrar conceitos matemáticos aos indivíduos dos
dois grupos participantes: as outras envolveram o teorema de Tales, equações
irracionais, irracionalidade de raiz de dois, procedimentos para o cálculo de raiz
quadrada por aproximação e o cálculo do valor aproximado de pi.
O módulo de ensino obedeceu a uma seqüência não-linear, indicando
objetivos, conteúdos e procedimentos, seguida de exercícios propostos.
3.4.2 Comentários sobre a aplicação do módulo de ensino
87
O módulo de ensino foi aplicado em duas turmas de 1ª série do Ensino Médio,
sendo uma composta por 28 alunos (escola Estadual, ou seja, grupo participativo 1)
e a outra com 17 alunos (escola federal, grupo participativo 2), totalizando 45.
Na escola estadual assumimos o compromisso com a professora titular da
disciplina e a equipe pedagógica de aplicar também, atividades referentes aos
conteúdos planejados para o ano letivo de 2004 e fazer avaliação para registro de
notas no diário de classe nos três últimos bimestres letivos, ao mesmo tempo em
que assumiríamos a turma até o final do ano letivo, inclusive a recuperação e prova
final. Nessa escola o calendário de aulas de Matemática manteve uma certa
irregularidade apresentando como dificuldades e problemas a serem superadas:
i) a carga horária da disciplina, que consideramos pequena em relação
ao conteúdo proposto pelo currículo, três horas aulas semanais;
ii) A distribuição da carga horária não oferecia condições de trabalhar
determinado conteúdo sem quebrar a seqüência da atividade, como
por exemplo, representação de Números Irracionais na reta numérica
usando régua e compasso, demanda um certo tempo.
iii) A distribuição das aulas não oportuniza duas aulas seguidas em um
mesmo dia;
iv) A ausência de professores dos outros componentes curriculares nos
primeiros horários de aula fazia com que alunos fossem embora mais
cedo, não esperando pelas duas últimas aulas;
v) Outros fatores também contribuíram negativamente para prejudicar o
ensino-aprendizagem, tais como: suspensão das aulas para os
alunos ensaiarem festividades juninas, semana da cultura,
participação no carnatal.
vi) Às vezes os horários das aulas eram reduzidos a trinta minutos por
falta de água na escola.
vii) Quando a aula era no primeiro horário alguns alunos chegavam
atrasados alegando morarem longe da escola e depender de
transportes coletivos que nem sempre passam no horário.
Enfim, qualquer acontecimento se tornava motivo para a liberação dos alunos
das aulas e também, passamos por uma greve dos professores estaduais, que
prejudicou o andamento dos trabalhos. No entanto, mesmo com esses entraves,
88
desenvolvemos os trabalhos avançando com a pesquisa, no intuito de alcançarmos
os objetivos estabelecidos.
Na escola pública federal, combinamos com a coordenadora pedagógica do
Ensino Médio e com os alunos, ocuparmos duas aulas que estes tinham “livres”.
Nesses horários livres, aplicamos o módulo de ensino com a participação de 17
indivíduos de uma turma de 25, pois apenas esses 17 se dispuseram a ocupar seu
horário disponível para colaborar com a pesquisa. Para este grupo de alunos as
atividades não foram registradas como notas no diário de classe. Usamos dois
horários de 50 minutos de aula, sendo que as aulas corridas, um dos pontos
considerados positivos, favoreceram o desenvolvimento das atividades e a
participação dos envolvidos.
Para o desenvolvimento das atividades usamos a prática do estudo em grupo,
prática essa que nos últimos anos, temos desenvolvido em cursos de formação de
professores e que tem apresentado bons resultados, pois os alunos participam
ativamente dos trabalhos, discutindo as questões no próprio grupo de estudo e em
seguida apresentam os resultados aos colegas de turma. Esse tipo de estudo em
grupo não foi bem aceito pelos alunos da escola estadual. No inicio eles não
concordavam em se reunir nos grupos para discutir as questões e diziam: “professor
é melhor você explicar um ou mais exemplos no quadro e colocar exercícios para
nós fazermos”. Quando conseguiam reunir-se em grupos, tentavam fazer as
atividades individualmente ou copiar o que algum colega do grupo tinha feito,
prejudicando, assim, o trabalho de sala de aula, precisando sempre da nossa
intervenção para tirar as dúvidas.
Os alunos da escola pública federal, ao contrário, tiveram uma boa aceitação
para esse tipo de trabalho e desenvolveram as atividades em grupos,
satisfatoriamente. Boa parte das dúvidas eles tiravam com os próprios colegas,
ficando a nossa intervenção para os casos considerados mais difíceis.
Procuramos acompanhar e observar todos os grupos, onde foi possível
perceber a participação individual dos alunos e fazer uma análise valorativa mais
adequada. Vale salientar, que no mesmo grupo nem todos apresentavam a mesma
facilidade de aprender, uns conseguiam entender com mais facilidade, outros tinham
dificuldades, mas sempre havia uma interação entre eles, que ajudou no
desenvolvimento do ensino-aprendizagem e melhorou o nível de aprendizagem do
grupo.
89
As atividades foram selecionadas e elaboradas visando atender os objetivos
da pesquisa e na sua aplicação ficamos como professor mediador dos estudos. As
atividades foram desenvolvidas em pequenos grupos, seguindo os procedimentos:
i) Leitura individual e silenciosa;
ii) Discussão sobre como resolver a atividade proposta;
iii) Resolução da atividade (uso de materiais, procedimentos de cálculos,
anotações e outros);
iv) Comunicação das idéias e dos procedimentos adotados na resolução;
v) Quando necessário, havia intervenção do professor-pesquisador para
esclarecimentos.
As atividades desenvolvidas em grupos visam proporcionar uma maior
interação entre os alunos e entre os alunos e o pesquisador, facilitando a discussão
e o entendimento de cada uma das questões propostas.
3.4.3 A Aplicação do Módulo de Ensino
O módulo de ensino seguindo uma seqüência didática com atividades
previamente organizadas foi entregue a cada um dos alunos dos dois grupos
participantes em um bloco contendo todas as atividades previstas.
Antes de iniciarmos a aplicação das atividades propostas procuramos discutir
todas as questões da avaliação inicial, fazendo-as no quadro e explicando
detalhadamente os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais nelas
envolvidos.
Ao propormos as atividades, sugerimos a leitura e discussão nos grupos de
estudo para melhor entendimento do procedimento.
No grupo participante 1 (escola estadual), diante da primeira atividade tendo
como objetivos retomar os conceitos de números primos e compostos, identificar os
divisores de um número e também decompor um número em fatores primos, logo
percebemos que os indivíduos não costumavam se reunir para estudar em sala de
aula, pois passamos a ouvir frases como: “Professor, faça como a professora [...]
fazia, que é melhor. Ela copiava no quadro, fazia dois ou três exemplos e colocava
exercícios para a gente fazer.” “Professor, o senhor não acha melhor copiar no
quadro e explicar, depois colocar exercícios parecidos?” “Professor, assim a sala fica
muito desorganizada.”
90
Mesmo assim insistimos nesta metodologia de trabalho com a aplicação das
atividades em grupos de estudo e orientando para que os componentes dos grupos
ao encontrarem a solução da situação-problema, ou questão, comentassem os
resultados com os colegas.
No grupo participativo 1 havia dez alunos assistindo aulas de forma regular.
Enquanto estes dez alunos não costumavam faltar às aulas, os outros, pareciam
combinar um revezamento entre si. Ao questionarmos os motivos para as constantes
faltas, as justificativas eram as mais variadas possíveis, alegavam que saíam do
trabalho mais tarde; não tinham o dinheiro para locomoção; precisavam sair cedo
para ir trabalhar; não tiveram as primeiras aulas, por isso foram embora mais cedo.
Essas e outras desculpas eram postas.
Nesse grupo as atividades foram sempre retomadas na aula seguinte, o que
levou um tempo maior para a aplicação do módulo de ensino.
O grupo participativo 2 acatou de imediato a metodologia desenvolvida. Os
alunos se envolveram com facilidade nos grupos de estudo e passaram a colaborar
com os colegas que apresentavam dúvidas em determinada atividade, sendo
necessária a nossa intervenção nos momentos de sugerir os procedimentos e
conclusões das atividades.
3.4.4 A aplicação das atividades no grupo 1
Iniciamos a intervenção metodológica com o módulo de ensino no grupo 1, no
segundo bimestre letivo. Distribuímos entre os alunos o material (apostilas) para
acompanhamento e resolução das atividades. Entregamos também à equipe técnica
uma cópia para controle e arquivo na escola.
Acompanhamos o desempenho e desenvolvimento da aprendizagem dos
alunos desse grupo por meio de observação na atuação em sala de aula,
participação na atividade individual e em grupo, aplicação de exercícios e tarefas
referentes aos conteúdos explorados, como também verificamos a aprendizagem
dos indivíduos envolvidos através de provas bimestrais, ficha avaliativa para
recuperação semestral e prova final, sempre de acordo com o planejamento da
escola. Ressaltamos que o foco principal da avaliação foi a observação em sala de
aula e posterior registro do que foi observado.
91
A primeira atividade do módulo de ensino procurava fazer uma retomada da
identificação de um número primo e também a decomposição de um número em
fatores primos.
Organizamos a turma em quatro grupos com quatro (4) componentes e um
com três, totalizando 19 (dezenove) alunos na aula.
Iniciamos com as seguintes perguntas: o que é um número primo? E quais
são os divisores de 17?
A definição de número primo já estava no texto, mesmo assim, percebemos
que os alunos de três grupos apresentavam dificuldades em identificar um número
primo. Na expectativa de dirimir estas dúvidas passamos a dar orientação aos
estudantes com outros exemplos, ou seja, pedimos que escrevessem os divisores
de cinco e de seis, de sete e de oito. Com a exploração destes exemplos tiramos as
dúvidas e continuamos a atividade, trabalhando decomposição de um número em
fatores primos, o que já havíamos feito com os números cinco e seis.
Na atividade, os números 60 e 90 estão decompostos em fatores primos e
escritos em forma de produtos. Pedimos que os estudantes observassem os
exemplos e, aproveitando-se do conhecimento que tinham sobre o assunto
procurassem fazer a decomposição dos outros números apontados na atividade e
representassem na forma de produto (multiplicação).
Fazendo a observação e acompanhamento grupo a grupo, percebemos que
um dos grupos terminou muito rápido, fomos ao grupo e o estudante Michel disse:
“Professor esse assunto eu aprendi na 5ª série”. Outro componente do grupo, a
estudante Tâmara falou: “Eu não sabia fazer, aprendi agora com Michel”.
O grupo formado por Gerlane, Graça, Carmelita e Daniele Ferreira apresentou
dificuldade em decompor os números 700, 42, 500, mas como acertaram a
decomposição do número 18, solicitei que tentassem fazer a decomposição de 42
seguindo os passos da de 18, três delas conseguiram fazer, mas uma disse: “Não
tem jeito professor, não aprendo mesmo”. Percebendo a dificuldade da estudante
passamos a explicar a decomposição dos números oito e 10, utilizando a regra de
decomposição. Depois dos dois exemplos feitos ela disse: “Assim é mais fácil, agora
vou ver se acerto os outros exemplos”.
O conteúdo em discussão consta no currículo oficial e é abordado nos livros
didáticos da 5ª série. Portanto, esperávamos que esses estudantes aproveitassem o
conhecimento prévio sobre o assunto para agilizar o desenvolvimento das atividades
92
propostas, mas identificamos que a dificuldade na aprendizagem desses conteúdos,
que deveriam ser do domínio dos alunos é falta de segurança em conhecimentos
básicos, tais como a multiplicação e a divisão. Essa insegurança dos estudantes é
provocada provavelmente pelos obstáculos epistemológico e cognitivo
apresentados.
A segunda atividade do módulo de ensino foi desenvolvida objetivando
retomar o conteúdo de equação do 1º grau. A atividade foi composta por seis
situações-problema, contemplando os aspectos instrumental e relacional e os
estudantes precisavam apresentar conhecimentos prévios sobre operações com
números racionais fracionários, soma de ângulos interno de um triângulo, ângulos
complementares e ângulos alternos externos.
Na atividade foram trabalhados os aspectos instrumentais tais como: saber
calcular o termo desconhecido, saber aplicar fórmula, identificar os termos de uma
equação, saber o que são ângulos suplementares, reconhecer ângulos alternos
externos, lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 180
graus. Partindo dos aspectos instrumentais apresentados esperávamos avançar a
aprendizagem relacional nos aspectos: relacionar equação do 1º grau com o
cotidiano, compreender o problema proposto, evitar aplicar fórmulas, ler e imaginar
soluções das equações, saber o significado de cada termo. Aplicar fora do contexto,
saber o porquê e para que estudar equações, descobrir novas relações entre os
tópicos.
Essa atividade foi trabalhada em duas aulas, na primeira contamos com a
presença de 25 estudantes distribuídos em seis grupos. Os grupos foram formados
sem a nossa interferência, a única exigência que fizemos foi que nenhum grupo
poderia ter mais de cinco componentes. Depois dos grupos organizados, tal qual na
primeira atividade, percebemos que os alunos não costumavam se agrupar para
estudar em sala de aula e voltamos a explicar a importância do estudo ser realizado
em grupos, citando e mostrando para eles como tinha sido proveitosa a aula anterior
com esse tipo de organização.
No desenvolvimento da atividade percebemos que dois grupos avançavam
em relação aos demais. No grupo formado por Michel, Wallyson, Ester e Cidemar
cada aluno fazia uma questão e em seguida socializava com os demais. Este grupo
apresentou dificuldade no item ii da atividade, provavelmente por não lembrarem
que poderiam aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da altura do triângulo,
93
precisando da nossa interferência. Em um dos grupos formado por Cariliana,
Carmelita, Daniele e Danielly, cada aluna tentava resolver a mesma questão em
seguida faziam os comentários sobre os procedimentos adotados e conferiam os
resultados uma com as outras.
Os outros grupos demonstraram uma certa dependência precisando da nossa
orientação, caso a caso e, em alguns momentos percebemos a dificuldade real de
entendimento sobre os objetivos traçados para a atividade. Havia uma preocupação
entre eles de chegar à resposta de forma imediata esquecendo que era necessário
ter um entendimento geral da questão.
Essa atividade foi interrompida com o final da aula e, dado prosseguimento na
aula seguinte na presença de 23 alunos com a falta das alunas Regineide e Graça.
Para concluirmos a atividade propomos que cada grupo fizesse uma questão no
quadro, e, feito isto, passavamos a explicar detalhadamente os procedimentos para
resolução da questão dirimindo assim as possíveis dúvidas.
Podemos dizer que, de modo geral, os alunos conseguiram cumprir a
atividade e atingiram os objetivos traçados.
A terceira atividade abordava os conceitos de razão, proporção e discutia a
idéia de proporcionalidade. As questões para essa atividade foram elaboradas
seguindo uma das atuais tendências do ensino da matemática: a resolução de
problemas.
Utilizamos os mesmos procedimentos das atividades anteriores com os
trabalhos desenvolvidos em grupos. Observamos que dois grupos permaneciam
com os mesmos componentes da aula anterior e os outros foram recompostos de
acordo com os interesses dos próprios alunos.
Em relação à discussão que os grupos deveriam realizar, percebemos que
em princípio os estudantes estavam mais preocupados em chegar à resposta, com
exceção de dois grupos.
Essa atividade daria condições ao aluno de, por exemplo, identificar os
termos de uma razão, representar a razão entre dois segmentos, situar a idéia de
proporcionalidade do aspecto relacional, dominando o conceito de
proporcionalidade.
Observamos que alguns alunos conseguiam fazer a comparação entre
grandezas e representá-las em forma de razão com mais facilidade de que outros.
Percebemos também que, boa parte dos estudantes, aproximadamente 56%
94
demonstraram muitas dificuldades em desenvolver a atividade, provavelmente por
não terem o hábito de estudar ou por desatenção na leitura, ou mesmo por falta de
conhecimento do conteúdo básico de matemática. Dez alunos apresentaram
dificuldades na linguagem, liam o enunciado do problema, mas não compreendiam e
vinham os pedidos, como exemplo, citamos o da aluna Graça: “Professor, é melhor o
senhor fazer um exemplo parecido com esse no quadro e depois a gente faz os
outros”. Tentando reverter esse tipo de pensamento da aluna, ou seja, receber o
conteúdo pronto, como sendo um modelo, mas compreendendo a posição dela,
passamos a incentivá-la a encontrar a uma solução para questão.
Essa atividade foi desenvolvida em dois encontros e finalizada com a
participação dos estudantes apresentando suas respostas no quadro.
A despeito da idéia de proporcionalidade, verificamos que o conhecimento
prévio dos alunos sobre esse assunto deixava muito a desejar. Acreditamos que se
eles tivessem melhor conhecimento sobre o conteúdo em pauta, a aprendizagem
teria se dado de forma mais rápida.
A quarta atividade objetivava explorar o conhecimento dos estudantes sobre
números irracionais. Para essa atividade o estudante deveria saber usar a régua e o
compasso, instrumentos importantes e imprescindíveis na representação de um
número irracional na reta numérica. Para tanto, solicitamos na aula anterior que eles
levassem esses instrumentos para sala de aula.
Nessa atividade, a maioria dos alunos demonstrou desconhecer o uso do
compasso, sendo que 10 nunca tinham usado, levando um certo tempo para que
pudéssemos dar essa orientação, que foi feita grupo a grupo. Duas alunas não
sabiam representar um número inteiro na reta numerada, escreveram os números de
forma desordenada, não obedecendo a uma seqüência.
Com a realização dessa atividade percebemos que houve um avanço em
relação aos objetivos traçados, pois, alunos como Tsila e Graça afirmaram que a
partir daquela aula nunca mais iam esquecer que podem representar os números
inteiros e os irracionais em uma reta. A colega de outro grupo que estava ao lado
disse: Nem só esses, mas também os números racionais”.
A quinta atividade abordava o conteúdo referente a Radical, explorando suas
principais operações, discutindo a importância da racionalização de frações com
denominadores em forma de radical, assuntos esses, explorados nos livros didáticos
e contidos na proposta oficial para a oitava série do Ensino Fundamental
95
intercalando e associando as operações de radicais a outros conceitos matemáticos,
como área e perímetro de figuras planas, principalmente do retângulo.
Essa atividade foi desenvolvida em duas aulas: na primeira, os estudantes
reunidos em grupos resolveram os dois primeiros itens, e na segunda os outros
quatro. Os alunos demonstraram pouca habilidade nas operações com radicais,
confundiam perímetro com área, não sabiam calcular área de um triângulo e nos
parece que a maior dúvida foi quando solicitado que calculassem a área do
retângulo, lados
25 cm e 23 cm, questão 1, item a. Percebemos que um dos
grupos conseguiu resolver e dar a resposta correta, dois grupos conseguiram
escrever a expressão
cmcm 2325 u , mas na resposta final não colocaram cm
2
,
demonstrando não ter o conceito de área totalmente formado.
O grupo formado por Girlane, Graça, Tsila, Márcia e Micarla demonstrou não
saber como se calculava a área de um retângulo e quanto à multiplicação com
radicais disseram nunca ter estudado. Este grupo apresentou um grande obstáculo
no aprendizado por falta de base, o que dificultou um pouco o desenvolvimento dos
trabalhos.
Superados os obstáculos apresentados pelo grupo sobre área de retângulo e
multiplicação com radicais, avançamos para o item b da questão. Para esse item os
estudantes deveriam apresentar os aspectos instrumentais de: reconhecer um
triângulo, saber a fórmula para calcular a área de um triângulo, identificar a altura e
os lados de um triângulo, saber a relação de Pitágoras e também os aspectos
relacionais de: aplicar a relação de Pitágoras para calcular a área de um triângulo e
utilizar a fórmula resolutiva para calcular a área do triângulo.
Nesse item um dos grupos conseguiu encontrar a altura do triângulo
aplicando a relação de Pitágoras chegando ao resultado esperado. Outros grupos
precisaram da nossa orientação para avançar. Percebemos que a maior dificuldade
desses alunos não estava na multiplicação de radicais e sim na falta de
conhecimento prévio sobre o conceito de área de figuras planas e do teorema de
Pitágoras.
Os outros itens da questão envolvendo áreas de figuras planas e radicais
foram desenvolvidos sem maiores obstáculos, mas, no item v as alunas Rusiane e
Tâmara confundiram área de retângulo com perímetro.
96
No último item envolvendo racionalização de frações com denominadores
irracionais, percebemos que 12 alunos, dentre os 17 que estavam em sala de aula,
não sabiam as técnicas de racionalização de denominadores, seis deles disseram
que nunca estudaram e os outros seis disseram que viram, na 8ª série, mas não
aprenderam e que gostariam de aprender.
Finalizando essa atividade, retomamos todas as questões no quadro, com os
estudantes resolvendo-as, e em seguida fizemos uma explanação das técnicas de
racionalização de denominadores de frações discutindo caso a caso com o uso do
retroprojetor e transparência.
Na sexta atividade fizemos uma retomada geral objetivando verificar os
conhecimentos prévios dos estudantes sobre semelhança de figuras. Nessa
atividade o maior obstáculo apresentado pelos alunos foi na utilização dos
instrumentos de desenho, o compasso e o par de esquadros exigidos para
realização do item iv, boa parte dos alunos alegaram nunca ter usado o par de
esquadros. Passamos então a orientá-los grupo a grupo. Percebemos que houve um
avanço na aprendizagem dos alunos durante o desenvolvimento da atividade.
Na sétima atividade foram estudados os procedimentos para calcular raiz
quadrada por aproximação. Esse conteúdo por ser muito abstrato exigia do
estudante um conhecimento no aspecto instrumental, ou seja, saber os
procedimentos e aplicá-los. Explicamos a técnica do cálculo de raiz quadrada por
aproximação e solicitamos que eles em grupos aplicassem a alguns exemplos. No
desenvolvimento da atividade percebemos que havia alunos com dúvidas nos
cálculos e passamos a orientá-los de acordo com a necessidade. Nesse
acompanhamento observamos que o maior obstáculo que os estudantes
apresentavam não era no entendimento da técnica operatória e sim na operação de
divisão e também nos exemplos que poderiam ser resolvidos fazendo as
decomposições em fatores primos e depois simplificando os radicais, nos casos de
8 e 18 .
Nessa atividade os alunos compreenderam a técnica operatória de encontrar
por aproximação uma raiz quadrada não-exata, mas 10 deles perceberam que
tinham que estudar a tabuada de dividir e praticar a divisão, já que havia a
necessidade de avançar nos estudos.
97
A oitava atividade foi uma explanação sobre a demonstração da
irracionalidade de raiz de dois, conteúdo esse que não consta no currículo oficial,
não é abordado nos livros didáticos de Matemática para a 8ª série do Ensino
Fundamental nem nos livros de Matemática para a 1ª série do Ensino Médio, e que
exige um alto grau de abstração. Por isso resolvemos fazer apenas a demonstração
usando retroprojetor e transparência, acompanhando tópicos da história sobre a
descoberta de grandezas incomensuráveis.
A nona atividade explorou o conteúdo de equações irracionais, assunto esse
abordado na última série do Ensino Fundamental. Essa atividade requeria do aluno
conhecimento nos aspectos instrumentais de identificar dentre os diversos tipos de
equações uma equação irracional, saber elevar os dois membros de uma equação
irracional a um mesmo expoente, resolver equação do 1º grau, e os aspectos
relacionais: compreender porque elevar os dois membros de uma equação irracional
ao mesmo expoente, saber e perceber quando é necessário aplicar a fórmula de
Báskara e ainda testar os resultados para verificar se os resultados encontrados
satisfazem ou não a igualdade proposta.
Iniciamos a atividade com exemplos de equações irracionais e com um
exercício proposto solicitando que os estudantes identificassem as equações
irracionais. No grupo formado por Willame, Randerson, Mirley e Marcelo, Mirley
disse que ficava difícil responder à questão, pois na escola que estudou a 8ª série
quase não teve aula devido a uma reforma no prédio que levou meses. Fomos ao
grupo e perguntamos aos outros alunos se não lembravam do assunto para tentar
responder à questão e comentar com os colegas. Marcelo falou que sim, tinha
estudado e ia tentar dar a resposta; acompanhamos de perto o grupo e os
estudantes chegaram à solução sem uma maior interferência de nossa parte.
Os grupos continuavam o desenvolvimento da atividade, mas tivemos que
interromper. A aula naquela tarde teve duração de 30 minutos devido à falta d’água
na escola.
Na aula seguinte retomamos a atividade com um número de estudantes bem
menor que a aula anterior. Nesse dia faltaram cinco alunos dentre aqueles que
freqüentavam normalmente, ficando a turma com 16 apenas.
Nessa aula propomos um exercício incluindo quatro questões sobre equações
irracionais. Nas duas primeiras, os quatro grupos fizeram sem apresentar maiores
98
obstáculos, fomos chamados aos grupos para confirmar com eles a resposta que já
tinham testado.
Nas outras questões, dois grupos apresentaram dificuldades na resolução
quando era necessário aplicar conhecimentos prévios sobre equação do 2º grau e
também para desenvolver o produto notável (1 – x)
2
.
Na equação x
2
– 4x +3 = 0, o grupo formado por João Paulo, Josivan, Marcelo
e Mirley estava atribuindo valores a x substituindo na expressão e verificando se o
resultado era zero, ou seja, estavam fazendo por tentativa e erro. Explicamos a eles
que seria melhor utilizar outro procedimento e encontrar as raízes da equação, mas
que o seu raciocínio não estava errado, provavelmente demorasse mais um pouco a
chegar ao resultado.
A conclusão dessa atividade seguiu os mesmos procedimentos das atividades
anteriores: os alunos apresentavam os resultados no quadro e fazíamos o
fechamento com uma explicação mais abrangente dirimindo as possíveis dúvidas.
Percebemos que mesmo os alunos apresentando obstáculos em conteúdos
matemáticos do Ensino Fundamental, o envolvimento deles no desenvolvimento das
questões propostas superava a dificuldades e os objetivos traçados foram
alcançados.
Para ser trabalhada a décima atividade, foi necessário retomarmos os
conteúdos envolvendo trigonometria no triângulo retângulo para dar aos estudantes
a idéia de seno, cosseno e tangente, orientação de como usar a tabela
trigonométrica e os ângulos de 30º, 45º e 60º como sendo os mais utilizados.
Trabalhamos também os polígonos regulares: o quadrado, o triângulo e o retângulo,
estudamos os polígonos regulares inscritos e circunscritos. Esses assuntos foram
abordados por meio de transparência e exercícios de treinamento como também foi
usado o “manual do estudante”, um bloco de conteúdos chamado de livro e doado
ao aluno por meio da Secretaria de Educação, o qual serviu como ponto de apoio.
Realizada a revisão, ou seja, ministrado o conteúdo passamos a trabalhar a décima
atividade.
A décima atividade foi iniciada com a leitura de um tópico da história do
número pi. Essa leitura foi feita por alunos: Josivan leu uma parte e a outra foi lida
pela estudante Ester. Logo após a leitura a aluna Cariliana comentou: “Professor,
não precisava isso, leitura se faz em Português e não em Matemática”. Diante da
preocupação da aluna passamos a explicar a importância da história e principais
99
descobertas em matemática e demos prosseguimento à atividade orientando aos
grupos na construção de polígonos inscritos e circunscritos no círculo.
No desenvolvimento da atividade surgiram dificuldades que foram sendo
superadas caso a caso, mas também surgiram preocupações do tipo a de Cariliana:
“Professor, mas para que isso, já sabemos que o valor de pi é 3,14”. Outra aluna
disse: “É melhor dizer que pi é igual a 3,14 e pronto”.
Partindo da preocupação das estudantes em querer apenas o valor de pi,
explicamos que o mais importante era saber os procedimentos para se chegar a
aproximação e não apenas saber o valor de pi sem as noções de como se chegou
naquele valor. Mostramos também que era importante que eles soubessem calcular
a aproximação de pi utilizando o método dos polígonos inscritos e circunscritos, para
se ter uma idéia de como surgiu o valor do número pi.
3.4.5 Aplicação do Módulo de Ensino no grupo 2
Iniciamos a aplicação das atividades de ensino no grupo participativo 2 no
segundo semestre letivo do ano 2004. A participação dos alunos desse grupo foi de
forma totalmente espontânea. As atividades, tarefas e exercícios aplicados não
tiveram efeito de nota registrada no diário de classe. As observações e anotações
que fizemos como pesquisador foram para avaliarmos o desenvolvimento do grupo,
e não para atribuirmos um conceito ou uma nota, ou seja, não havia um incentivo,
como a atribuição de nota no componente curricular de Matemática.
Utilizamos o mesmos procedimentos do grupo 1. Distribuímos o material para
cada um dos alunos, uma cópia para a coordenadora pedagógica do Ensino Médio
da escola e entregamos também uma cópia para o professor de Matemática da
turma, mesmo ele não tendo influência direta em ceder a turma, pois os horários que
ocupamos não foram cedidos dos seus horários.
Os alunos desse grupo mantiveram uma freqüência regular às aulas com
participação ativa nas atividades procurando resolvê-las, comentar com os colegas e
depois socializando as repostas no quadro para todos os colegas.
A avaliação foi realizada por meio de observação da participação e
desempenho deles a cada atividade, fazendo as anotações pertinentes caso a caso.
A classe, reunida em pequenos grupos, desenvolveu a primeira atividade sem
apresentar maiores dificuldades. Houve grande interação entre os componentes dos
100
grupos nesse primeiro estudo, e perguntas foram feitas sobre números primos, como
exemplo: “O número 1 (um) é primo ou é composto?”.
Havia necessidade dos estudantes apresentarem conhecimentos prévios
sobre os aspectos instrumentais destacados a seguir: identificar um número primo,
reconhecer os principais critérios de divisibilidade de um número, efetuar as
operações de multiplicação e divisão com números naturais e os aspectos
relacionais de compreender que um número composto pode ser representado em
forma de produto de fatores primos, relacionar o número a sua classificação (primo
ou composto).
Essa atividade foi finalizada com a participação de estudantes resolvendo
questões no quadro.
Concluímos que os objetivos desejados para a atividade foram atingidos
satisfatoriamente.
A segunda atividade foi desenvolvida com o objetivo de retomar o conteúdo
de equações de primeiro grau. Nessa atividade esperávamos que os estudantes
apresentassem conhecimentos prévios nos seguintes aspectos instrumentais: ler e
identificar uma sentença matemática, reconhecer os termos de uma equação,
representar uma equação do 1º grau na linguagem matemática a partir de situações-
problema, calcular o termo desconhecido de uma equação do 1º grau, saber aplicar
fórmula, saber o que são ângulos suplementares, reconhecer ângulos alternos
externos, lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 180
graus, reconhecer ângulos suplementares e a compreensão dos aspectos
relacionais tais como: interpretar e compreender uma situação-problema
contextualizada fazendo a sua passagem para a linguagem matemática, saber
aplicar equações no seu cotidiano, saber o porquê e para que estudar equações do
1º grau.
Essa atividade foi desenvolvida em dois encontros, que contou com a
presença de todos os 17 estudantes, formando grupos com quatro ou cinco
componentes. A organização dos grupos de estudo seguiu os mesmos
procedimentos utilizados para o grupo participativo 1.
No desenvolvimento da atividade percebemos que o grupo formado por
Rômulo, Paulo César, Hélder e Vandsom desenvolvia as questões com mais
facilidade que os outros grupos, mas observamos que o aluno Vandson que estava
no grupo não acompanhava o desenvolvimento das questões. Apresentando
101
obstáculo epistemológico na leitura e compreensão do enunciado, não conseguia
representar a expressão em linguagem matemática e não sabia resolver equação
quando era necessário fazer operações com frações. Neste caso específico do
grupo, solicitamos que os colegas dele tivessem mais calma e procurassem discutir
de forma mais aberta cada uma das questões, pois não adiantava avançar sem o
entendimento de todos do grupo.
O grupo formado por Micaella, Danielli, Gustavo, Flávia e Eduardo apresentou
dificuldade no desenvolvimento de todos os itens da atividade. Provavelmente por
não conseguirem fazer uma leitura compreensiva do enunciado, não conseguirem
compreender o que estava sendo proposto, apresentando assim obstáculos de
ordem epistemológica sobre os conteúdos explorados, precisando da nossa
interferência junto ao grupo.
Os outros grupos também demonstraram uma certa dependência precisando
da nossa orientação, caso a caso e, em alguns momentos percebemos a dificuldade
real, principalmente no item iii quando a questão envolvia o conteúdo sobre ângulos.
A conclusão da atividade se deu com a participação dos alunos resolvendo as
questões no quadro, ao que passávamos a explicar detalhadamente quais os
procedimentos usados para a resolução da questão, dirimindo assim as possíveis
dúvidas.
Podemos dizer que, de modo geral, os alunos conseguiram cumprir a
atividade e atingiram os objetivos propostos.
A terceira atividade foi elaborada seguindo uma das atuais tendências do
ensino da matemática: a resolução de problemas. Nessa perspectiva discutimos a
idéia de proporcionalidade, abordamos também os conceitos de razão e proporção,
e os procedimentos utilizados foram os mesmos das atividades anteriores.
Observamos que os grupos foram compostos de acordo com os interesses dos
próprios alunos.
Dentro da perspectiva do nosso trabalho essa atividade daria condições ao
aluno de apresentar conhecimento nos aspectos instrumental e relacional. Por
exemplo, no instrumental: identificar os termos de uma razão, representar a razão
entre dois segmentos, representar razão entre duas grandezas, reconhecer e
identificar os termos de uma proporção, reconhecer a propriedade fundamental de
uma proporção, calcular o termo desconhecido de uma proporção. Dentre os
102
aspectos relacionais os estudantes deveriam situar a idéia de proporcionalidade no
dia-a-dia, identificar e reconhecer as propriedades da proporção, perceber a
importância da proporcionalidade identificando grandezas diretamente e
inversamente proporcionais dominando o conceito de proporcionalidade.
Observamos que as alunas Danielli, Beatriz e o estudante Armando não
conseguiram se sair bem na identificação de grandezas inversamente proporcionais;
a aluna Micaella apresentou dificuldades na interpretação de situações-problema
envolvendo grandezas de mesma unidade e não conseguiu resolver os problemas
em que precisavam aplicar o conhecimento sobre razão. Eles foram superando as
dificuldades no desenvolvimento da atividade e avançando no aprendizado de forma
gradativa quando tirava as dúvidas com os colegas de grupo. Esses estudantes
precisaram de um maior acompanhamento de nossa parte, o que foi feito
procurando fazê-los superar os obstáculos apresentados, provavelmente por falta de
conhecimento básico do conteúdo explorado.
A referida atividade foi desenvolvida em dois encontros com a participação e
desempenho dos estudantes superando as dificuldades e obstáculos, a despeito da
idéia de razão e proporcionalidade. Verificamos que o conhecimento prévio dos
alunos sobre esses assuntos não era o esperado, mas aos poucos eles foram
avançando e chegaram a cumprir a tarefa alcançando os objetivos propostos.
A quarta atividade explorou os aspectos instrumentais e relacionais dos
estudantes; os instrumentais no sentido saber usar régua e compasso, reconhecer
um número irracional, reconhecer um número decimal ilimitado e não periódico.
Quanto aos aspectos relacionais: utilizar corretamente os instrumentos régua e
compasso para representar graficamente um número irracional na reta numerada e
reconhecer número irracional como pertencente ao conjunto dos números reais.
Nessa atividade a maioria dos alunos demonstrou utilizar corretamente a
régua e o compasso, três alunos disseram que nunca tinham utilizado esses
instrumentos e tinham dúvidas de como usá-los, mas ao mesmo tempo, a aluna
Beatriz disse que era porque eles tinham perdido as últimas duas aulas do professor
Evilásio (Evilásio era o professor de Matemática deles na Escola). Segundo a aluna,
o professor Evilásio tinha trabalhado o uso da régua e do compasso, por isso os
alunos não apresentavam muitas dúvidas nem dificuldades com esses instrumentos,
o que facilitou o nosso trabalho. O maior obstáculo apresentado por três alunos foi
na representação dos números negativos na reta numérica, mas esse obstáculo foi
103
superado sem maiores problemas. Com a aplicação dessa atividade percebemos
que estava havendo maior interação entre os componentes dos grupos e as
respostas das questões estavam sendo socializadas com toda a classe.
A quinta atividade explorava o conteúdo “operações com radicais”, nela o
estudante deveria demonstrar conhecimento prévio nos aspectos instrumentais,
dentre eles: identificar os termos da radiciação, saber simplificar radicais, efetuar
adição e multiplicação de radicais, saber reduzir radicais ao mesmo índice,
reconhecer um triângulo, saber a fórmula para calcular a área de um triângulo, saber
calcular a área de triângulo e de retângulo, identificar a altura e os lados de um
triângulo, saber a relação de Pitágoras, saber calcular o perímetro de um retângulo e
identificar a diagonal de um quadrado, utilizar a fórmula resolutiva para calcular área
de triângulo; e também os aspectos relacionais de: aplicar a relação de Pitágoras
para calcular a área de um triângulo, reconhecer e relacionar áreas e perímetro de
figuras planas, reconhecer o fator racionalizante de uma fração com denominador
irracional e saber aplicá-lo corretamente em cada caso, comparar área de retângulos
quando a medida dos lados é um número em forma de radical, compreender e
aplicar quando necessário a relação de Pitágoras para calcular a diagonal de um
quadrado.
Essa atividade foi desenvolvida em dois encontros, e pudemos perceber a
real dificuldade que os estudantes têm na base do ensino da Matemática. Alunos da
1ª série do Ensino Médio apresentando dúvidas e confundindo perímetro de
retângulo com área, área com perímetro, não deveria acontecer. No primeiro
encontro os alunos reunidos em grupos resolveram as três primeiras questões da
atividade, e no segundo as três restantes.
Os alunos demonstraram pouca habilidade nas operações com radicais,
principalmente com a racionalização de denominadores de frações dos tipos
3
2
x
e
52
5
, nesses dois casos eles tinham dificuldades em determinar o fator
racionalizante. No segundo caso, quando encontravam o fator racionalizante,
esqueciam o procedimento para calcular o produto notável resultante. Percebidos
esses obstáculos de ordem epistemológica, passamos a orientá-los grupo a grupo.
Superados os obstáculos individuais apresentados sobre os conteúdos
explorados, passamos a retomar todas as questões no quadro, com os estudantes
104
resolvendo-as, e em seguida fizemos uma explanação das técnicas de
racionalização de denominadores de frações discutindo caso a caso — com o uso
de retroprojetor e de transparência.
A sexta atividade que explorava semelhança de figuras não foi trabalhada no
grupo participativo 2.
A sétima atividade explorou o cálculo de raiz quadrada por aproximação.
Iniciamos essa atividade com um tópico da História da Matemática e demos
seqüência orientando como utilizar a regra para calcular a 1ª e a 2ª aproximações. O
conteúdo explorado, por ser de grande abstração, exigia do estudante
conhecimentos prévios sobre aspectos instrumentais e saberes básicos da
matemática, como: saber somar, multiplicar e dividir com números inteiros, saber os
procedimentos para calcular a aproximação e aplicá-los, saber somar, multiplicar e
dividir números racionais na forma decimal e calcular média aritmética.
Antes de iniciarmos a explicação dos procedimentos para o cálculo de raiz
quadrada por aproximação surgiram alguns comentários, como o da aluna Maria
Juliene: “Professor, esse assunto eu nunca estudei, deve ser difícil.”
Explicamos os procedimentos para se encontrar a raiz quadrada por
aproximação e em seguida solicitamos que eles aplicassem em alguns exemplos e
passamos a acompanhar o desenvolvimento dos estudos grupo a grupo. Nessas
observações percebemos que havia alunos com dúvidas no cálculo da média
aritmética, como por exemplo
2
33,3
, as alunas Flávia e Samara não sabiam fazer e
precisaram da nossa ajuda para explicar como se procedia para somar um número
decimal com um número inteiro. Surgiram outras dúvidas, mas foram dirimidas no
decorrer da aula.
No desenvolvimento da atividade verificamos que o maior obstáculo
encontrado não era no entendimento da regra para calcular a raiz quadrada por
aproximação e sim nas operações fundamentais, provavelmente por falta de prática
do cálculo mental ou mesmo da tabuada de multiplicar e dividir.
Concluindo, podemos considerar a atividade proveitosa, pois serviu de
incentivo aos estudantes no que refere ao cálculo mental e todos participaram
ativamente superando os obstáculos e alcançando os objetivos propostos.
A oitava atividade apresentava a irracionalidade da raiz quadrada de dois
(
2 ), por ser um conteúdo que exige um alto grau de abstração resolvemos fazer
105
apenas a demonstração acompanhada de tópicos da história sobre a descoberta de
grandezas incomensuráveis. A demonstração foi realizada com o uso de
retroprojetor e transparências. No final os estudantes disseram que o professor de
Matemática deles já tinha feito a demonstração em sala de aula.
A nona atividade abordava o conteúdo de equações irracionais, assunto esse
que consta no currículo oficial para a 8ª série do Ensino Fundamental e também é
apresentado nos livros didáticos para a referida série.
Na perspectiva de nosso estudo essa atividade requeria do aluno
conhecimentos prévios sobre os aspectos instrumentais e relacionais. Destacando-
se dentre os instrumentais: identificar uma equação irracional, saber os
procedimentos para se resolver uma equação irracional, saber resolver equações do
1º e do 2º grau, calcular produtos notáveis. Nos aspectos relacionais destacamos a
compreensão dos procedimentos para se resolver uma equação irracional, saber
identificar outros assuntos necessários à resolução de equação irracional, testar os
resultados para verificar a sua veracidade.
Essa atividade foi desenvolvida seguindo a mesma sistemática das anteriores
e os grupos de estudos passaram a resolver um exercício sobre equações
irracionais. No desenvolvimento das questões percebemos que o grupo formado por
Samara, Ana Cecília, Patrícia e João Andrade apresentava dificuldade em resolver
equação do tipo 3x=x
2
, pois eles estavam tentando a solução através da aplicação
da fórmula de Báskara e não estavam conseguindo. Explicamos para os estudantes
que poderiam resolver utilizando os procedimentos da fatoração, colocando o x em
evidência. Outros alunos apresentaram obstáculos no cálculo de equação do 2º grau
do tipo x
2
- 4x + 3 = 0. Os estudantes Eduardo, Flávia, e Danielli não conseguiram
desenvolver o produto notável (1 – x)
2
. Observados esses obstáculos
epistemológicos dos alunos, obstáculos esses sobre assuntos matemáticos que
consideramos pré-requisitos a uma abordagem com equações irracionais, passamos
a retomar esses conteúdos caso a caso, em todos os grupos, dirimindo as dúvidas
de acordo com a necessidade de cada aluno.
A atividade foi concluída com os estudantes apresentando as questões no
quadro, com nossa explicação mais detalhada logo em seguida. O envolvimento e a
participação dos estudantes no desenvolvimento das questões propostas, superou
as dificuldades apresentadas no decorrer das aulas. As tarefas foram realizadas e os
objetivos traçados, alcançados.
106
A décima atividade foi precedida por uma revisão de conteúdos que constam
no currículo oficial e são explorados nos livros de Matemática para a última série do
Ensino fundamental como também são explorados na 2ª série do Ensino Médio.
Dentre eles destacamos: trigonometria no triângulo retângulo para dar aos
estudantes a idéia de seno, cosseno e tangente, orientação de como usar a tabela
trigonométrica e os ângulos de 30º, 45º e 60º como sendo os mais utilizados; os
polígonos regulares; o quadrado; o triângulo e o retângulo e revisamos polígonos
regulares inscritos e circunscritos. Esses assuntos foram explicados com o uso de
retroprojetor e transparências e também foram aplicados exercícios de treinamento
preparados em folha de papel sulfite. Ao discutirmos esses assuntos os estudantes
disseram que o professor de Matemática deles já lhes tinha explicado alguns dos
conteúdos em pauta, o que veio favorecer e contribuir com o andamento dos
estudos.
Destacamos alguns aspectos instrumentais importantes para o
desenvolvimento dessa atividade como: leitura e utilização da tabela trigonométrica,
identificação e reconhecimento de tangente de um ângulo, saber o que é um
polígono, identificar os diversos tipos de polígonos, reconhecer polígonos inscritos e
circunscritos, saber utilizar os instrumentos de desenho, régua e compasso, saber o
que é perímetro de um polígono.
Essa foi uma das atividades que chamou mais a atenção dos estudantes: eles
tinham a curiosidade de saber como se chegou à aproximação de pi que só se utiliza
3,14; por que esse valor e não outro? Essa era uma das indagações.
No desenvolvimento da atividade surgiram algumas dúvidas que foram sendo
tiradas junto aos grupos. Mas também apresentamos um tópico da história de pi que
foi lido pela aluna Beatriz. Partindo da leitura eles puderam perceber que mesmo
tendo sido Willian Jones que introduziu a letra grega
S como símbolo para
representar o número pi, esse símbolo só veio ser popularizado e conhecido por
meio do famoso Leonhard Euler. A parte histórica foi importante, pois surgiram no
grupo de estudantes dois interessados em ler mais sobre o assunto.
Em conclusão pudemos perceber que as questões propostas foram feitas,
havendo envolvimento e participação de todos os alunos que superaram os
obstáculos apresentados, avançando assim na aprendizagem matemática.
107
3.4.6 Conclusões sobre a aplicação do Módulo de Ensino
A nossa participação no trabalho de pesquisa, como observador da
intervenção metodológica, a observação e o acompanhamento no desenvolvimento
das atividades de ensino, nos permite tirar as seguintes conclusões:
i. A aplicação das atividades de ensino foi bem recebida pelos alunos, tendo
os dois grupos demonstrado interesse e afetividade em relação a intervenção,
contribuindo assim para o desenvolvimento do trabalho;
ii. A partir da discussão e aplicação da primeira atividade em grupo e feito o
fechamento com esclarecimento do pesquisador, percebemos o interesse dos
alunos em realizar as atividades subseqüentes;
iii. Com o desenvolvimento da seqüência de atividades percebemos que a
intervenção estava favorecendo a aprendizagem dos indivíduos envolvidos,
pois vimos que a dificuldade dos conteúdos apresentados na avaliação
diagnóstica estava sendo superada;
iv. Os alunos demonstraram empenho e interesse em desenvolver as
atividades sobre números irracionais;
v. A estrutura organizacional da escola favorece o desenvolvimento das
atividades e contribui para a aprendizagem dos alunos;
vi. Comparando a atuação dos dois grupos percebemos que a obrigatoriedade
da nota não favorece a aprendizagem do aluno;
vii. O acompanhamento da coordenação pedagógica e equipe técnica ao
trabalho do professor, mantendo diálogo com este e com os alunos,
interagindo entre si, contribui para o desenvolvimento de um trabalho de
qualidade.
viii. A freqüência de forma regular às aulas é fator relevante para melhorar a
aprendizagem dos conteúdos trabalhados.
3.5 Avaliação final
108
A avaliação de saída ou avaliação final teve como finalidade verificar o
desenvolvimento e a aprendizagem do aluno na sua participação no Módulo de
Ensino e foi composta por questões sobre números irracionais.
A prova escrita contendo seis questões foi aplicada seguindo o calendário
letivo das escolas. O grupo participante 1 teve o teste escrito aplicado no dia nove
de dezembro de 2004, cumprindo assim o calendário de provas da escola referente
ao 4º bimestre, com a respectiva nota registrada no diário de classe. Compareceram
e fizeram a prova 22 alunos.
O grupo participativo 2 teve a prova aplicada no dia 1º de dezembro. Apenas
duas alunas deixaram de fazer a prova: uma não compareceu e a outra alegou que
não tinha interesse em fazê-la.
3.5.1 Objetivos da Avaliação de saída
A prova escrita da avaliação de saída ou final objetivava ao aluno:
x Identificar um número irracional;
x Aplicar procedimentos para racionalizar denominadores de fração;
x Representar geometricamente um número irracional;
x Calcular por aproximação raiz quadrada de um número irracional;
x Encontrar o termo desconhecido em uma equação irracional;
x Verificar a validade da raiz de uma equação irracional;
x Interpretar problemas que envolvam números irracionais;
x Resolver situações-problema que envolvam número irracional;
x Aplicar o teorema de Pitágoras em situações cotidiana;
x Calcular o valor aproximado de pi utilizando polígonos inscrito e circunscrito a
uma circunferência.
3.5.2 Critérios para correção e julgamento das respostas dos alunos
Utilizamos os mesmos critérios para julgamento da avaliação inicial na
avaliação de saída. Foram diferentes o número de questões e seus respectivos
valores: na avaliação inicial, foi atribuído um ponto (1,0) para cada uma das dez
109
questões aplicadas; na de saída, seis questões, sendo que 1,6 para as duas
primeiras e 1,7 para as demais. A classificação conceitual foi realizada o seguindo a
mesma escala intervalar usada para a avaliação diagnóstica.
3.5.3 Questões da prova escrita da avaliação de saída
A prova escrita previamente elaborada foi aplicada aos dois grupos
participativos em datas diferentes obedecendo ao calendário escolar.
Apresentaremos a seguir as questões propostas, respectivos objetivos e
comentários sobre os possíveis aspectos instrumentais e relacionais apontados.
Escola:_________________________________________________________
Aluno (a):_________________________________________Data:___/12/2004
Atividades sobre números irracionais
LEIA COM ATENÇÃO TODAS AS QUESTÕES ANTES DE RESPONDÊ-LAS
Objetivos traçados para a 1ª questão
i) Identificar um número irracional;
ii) Calcular a medida do lado de um quadrado, dado o valor de sua área;
iii) Identificar o fator racionalizante em uma fração com denominadores
irracionais;
iv) Racionalizar uma fração com denominador irracional;
v) Representar na reta numérica um número real, seja ele racional ou
irracional.
Essa questão, dado o seu grau de abstração exige do aluno conhecimentos
nos aspectos instrumentais, tais como: saber extrair raiz quadrada exata,
reconhecimento de um número racional nas formas decimal e fracionária, efetuar a
racionalização, saber representar um ponto na reta numerada, saber simplificar
frações. No aspecto relacional destacamos a representação geométrica de um ponto
na reta, reconhecer quando é necessário e porque racionalizar uma fração,
110
relacionar um denominador irracional a outro conteúdo matemático, reconhecer e
saber aplicar o conjugado de uma expressão.
1ª) Represente na reta abaixo os seguintes números, exibindo os cálculos e
procedimentos geométricos, e diga quais deles são números irracionais:
a) A medida do lado l de um quadrado de área igual a 9.
b)
2
2
c)
9
4
d) -
1
e)
25
3
f) 0,25
A segunda questão tinha tem como objetivo
i) Calcular raiz quadrada de um número irracional por aproximação
A extração de raiz quadrada por aproximação requer do estudante
conhecimentos nos aspectos instrumentais tais como: saber dividir números
racionais, decompor um número em fatores primos, saber multiplicação de radicais,
representar um número composto em produto de potências, simplificar radicais,
calcular média aritmética, aplicar corretamente a técnica de calcular raiz quadrada
por aproximação.
2ª) Calcule por aproximação, exibindo os cálculos, as seguintes raízes quadradas, e
utilize pelo menos uma casa decimal:
a)
7 b) 18
Objetivos da terceira questão
i) Reconhecer uma equação irracional;
ii) Calcular o valor do termo desconhecido de uma equação irracional.
111
A resolução de equações irracionais requer por parte do estudante
conhecimentos de outros conteúdos como pré-requisitos. O saber desses conteúdos
se enquadra nos aspectos instrumentais e relacionais. Dentre os instrumentais
destacamos: saber identificar, conhecer os procedimentos para resolução de uma
equação irracional, resolver equações do 1º e do 2º grau e calcular produtos
notáveis. Podemos destacar os conhecimentos dentre os aspectos relacionais como:
a compreensão de quando e como aplicar outro conteúdo para resolver equações
irracionais, relacionar equações irracionais com outro conteúdo e testar se a
resposta encontrada satisfaz a igualdade proposta.
3ª) Nos exemplos a seguir, assinale com x as equações irracionais. Depois, escolha
apenas uma dessas equações irracionais e resolva para determinar o conjunto
verdade.
a)
x
2
( 5 ) – x = 1 ( ) b)
3
2
430xx
( ) c) 12xx ( )
g)
2
25
x
x
( ) e) x
2
3
57x ( ) f) 1
x
= 7 ( )
Objetivos para a quarta questão
i) Aplicar números irracionais em situações do cotidiano;
ii) Resolver problemas envolvendo números irracionais.
O problema planejado para esta questão representa uma situação
contextualizada do nosso dia-a-dia, onde podemos perceber a aplicação de números
irracionais. Neste caso, o estudante precisa demonstrar conhecimentos sobre
compreensão instrumental e relacional. A compreensão instrumental deve estar
dentre os seguintes aspectos: saber a relação de Pitágoras, reconhecer um número
irracional, calcular raiz quadrada por aproximação, saber aplicar o teorema de
Pitágoras. Destacamos como aspectos relacionais: leitura e compreensão do
enunciado do problema, a discussão do resultado dos pontos de vista teórico e
prático, relacionar números irracionais à situações-problema do cotidiano.
4ª) Ao projetar um prédio um engenheiro indicou a construção de uma rampa para
facilitar a subida de pessoas com dificuldade de locomoção. O piso que a rampa
acessa tem 3m de altura em relação ao andar térreo e a rampa mede 7m
112
comprimento. Determine a medida da distância horizontal do começo da rampa até a
parede do prédio, e discuta esse resultado do ponto de vista teórico e do ponto de
vista prático.
Objetivos para a quinta questão
i) Aplicar números irracionais em situações-problema do dia-a-dia;
ii) Calcular área e perímetro de quadrado.
A situação a seguir requer do estudante habilidade e conhecimento sobre
compreensão instrumental, a saber: calcular área e perímetro de quadrado, calcular
o lado de um quadrado tendo a medida da área, conhecer a relação de Pitágoras e
reconhecer número irracional. Dentre os aspectos relacionais citamos: saber a
diferença entre medida e unidade de medida, relacionar a medida de um lado de um
quadrado com a medida de sua área, ter a percepção que a área de uma figura
poderá ser calculada pelo processo de contagem.
5ª) A igreja Santa Terezinha, no Tirol, em Natal, cuja construção levou em torno de
seis anos, (1925-1930), é uma das mais tradicionais de Natal, mantém seu piso
original em mosaico, cujo formato está representado na figura a seguir. Sendo a
área da figura sombreada correspondente a 3 u², responda o que se pede: a)
Calcule a área do quadrado ABCD. b) Determine o perímetro da figura ABCD.
Comente sobre as medidas encontradas quanto ao tipo de número.
A
B
a
a
C
D
113
Objetivo para a sexta questão
i) Calcular a aproximação de pi utilizando os perímetros dos polígonos inscritos e
circunscritos e uma circunferência.
O desenvolvimento dessa atividade dependia do conhecimento prévio dos
alunos sobre seno, cosseno, tangente, leitura e compreensão da tabela
trigonométrica, saber identificar tipos de polígonos, saber as operações de adição e
multiplicação com decimais, reconhecer ângulos e suas medidas — conteúdos
esses que consideramos como aspectos instrumentais. Os aspectos relacionais que
podemos destacar são: comparar perímetro de polígonos inscritos e circunscritos em
uma circunferência, comparar a aproximação de pi encontrada no dodecágono com
as aproximações calculadas em sala de aula de outros polígonos.
6ª) Com base no que foi discutido nas aulas, encontre um valor aproximado para pi
=
r
C
2
usando a figura do dodecágono regular (polígono de 12 lados), como mostra a
figura a seguir. Sabendo-se que: tangente de 15º é 0,27 e o seno é 0,26.
15°
114
3.5.4 Apresentação dos dados da avaliação de saída em tabelas e gráficos
A seguir faremos a apresentação dos resultados das respostas das questões
da prova escrita da avaliação final e a representação em tabelas e gráficos,
referentes aos dois grupos participantes.
3.5.5 Apresentação gráfica dos dados da avaliação de saída
A correção das provas escritas dos indivíduos dos dois grupos participativos
apresentou os resultados indicados nas tabelas e nos gráficos que se seguem. As
tabelas mostram os dados em valores absolutos e relativos; e os gráficos, além
destes dados, indicam também os conceitos por escala intervalar.
Tabela III - representa os dados apresentados na avaliação de saída do grupo 1.
TC PC E EB total %
Nq
N%N%N%N%
1ª - - 20 90,9 2 9,1 - - 22 100
2ª 9 40,9 11 50,0 2 9,1 - - 22 100
3ª 18 81,8 4 18,2 - - - - 22 100
4ª 19 86,4 - - 1 4,5 2 9,1 22 100
5ª 3 13,6 9 41,0 5 22,7 5 22,7 22 100
6ª 8 36,4 1 4,5 4 18,2 9 40,9 22 100
Legenda:
Nq – número da questão
TC – questão certa
PC – questão parcialmente certa
E – questão errada
EB – questão em branco
115
Tabela demonstrativa IV (Dados da avaliação de saída do grupo 2)
TC PC E EB total %
Nq
N%N%N%N%
1ª 2 13,3 4 26,7 5 33,3 4 26,7 15 100
2ª 6 40 5 33,3 4 26,7 15 100
3ª 3 20 6 40 2 13,3 4 26,7 15 100
4ª 10 66,6 3 20 1 6,7 1 6,7 15 100
5ª 3 20 1 6,7 7 46,6 4 26,7 15 100
6ª 14 93,3 1 6,7 15 100
Gráfico V – Valores absolutos e seus respectivos conceitos referentes ao grupo
participativo 1
1
3
8
2
1
15
0
2
4
6
8
10
12
14
16
E 0-2,0 D 2,1-4,0 C 4,1-6,0B 6,1-8,0 A 8,1-
10,0
TOTAL
Conceitos
Gráfico VI – Valores absolutos e seus respectivos conceitos referentes ao
grupo participativo 2
116
0
3
11
6
2
22
0
5
10
15
20
25
E 0-2,0 D 2,1-4,0 C 4,1-6,0B 6,1-8,0 A 8,1-
10,0
TOTAL
Conceitos
Gráfico VII – Dados apresentados em valores relativos e conceitos do grupo 1
7
13
53
20
7
100
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
E 0-2,0 D 2,1-4,0C 4,1-6,0B 6,1-8,0 A 8,1-
10,0
TO TAL
Conceitos
Gráfico VIII – Dados apresentados em valores relativos e conceitos do grupo 2
117
0
14
50
27
9
100
0
20
40
60
80
100
Porcentagem
E 0-2,0 D 2,1-4,0 C 4,1-6,0 B 6,1-8,0 A 8,1-
10,0
TOTAL
Conceitos
A tabela demonstrativa V apresenta os dados em valores absolutos e relativos
referente às seis questões, considerando as respostas dos alunos, em totalmente
certas, parcialmente certas, erradas e em branco.
Tabela demonstrativa V (Dados da avaliação de saída dos grupos 1 e 2)
TC PC E EB total %
Nq
N%N%N%N%
1ª 2 5,4 24 64,9 7 18,9 4 10,8 37 100
2ª 15 40,5 16 43,2 6 16,3 - - 37 100
3ª 21 56,8 10 27,0 2 5,4 4 10,8 37 100
4ª 29 78,4 3 8,1 2 5,4 3 8,1 37 100
5ª 6 16,2 10 27 12 32,5 9 24,3 37 100
6ª 22 59,5 1 2,7 5 13,5 9 24,3 27 100
3.5.6 Comentários sobre as respostas dos alunos na avaliação final
Observando os dados apresentados nas tabelas e gráficos que tratam da
avaliação final, percebemos que no grupo 1 os alunos mesmo tendo respondido à
primeira questão não conseguiram representar geometricamente correto todos os
118
números indicados, principalmente aqueles que exigiam a utilização de régua e
compasso. No grupo 2, dois alunos conseguiram responder corretamente à questão.
Enquanto que dois alunos do grupo 1 responderam errado, e do grupo 2, cinco
alunos não responderam corretamente, correspondendo a 9,1% e 33,3%
respectivamente, tendo também quatro do grupo 2 que deixaram a questão em
branco.
Na segunda questão o número de acertos foi equivalente nos dois grupos,
ficando em torno de 40% (quarenta por cento). Mas no número de respostas que
consideramos parcialmente corretas, o grupo 1 conseguiu cerca de 50% (cinqüenta
por cento) do total de respostas e, o grupo 2 aproximadamente 33% (trinta e três por
cento) — dois alunos do grupo 1 não responderam essa questão.
Observando as tabelas III e IV verificamos que os alunos do grupo 1 se
saíram melhor do que os do grupo 2 nas questões que abordam equações
irracionais e a aplicação do teorema de Pitágoras — 3ª e 4ª, respectivamente;
enquanto os alunos do grupo 2 superaram em termos percentuais os do grupo 1 na
5ª e na 6ª questões. Essas questões abordaram a resolução de problemas
envolvendo área e perímetro e o cálculo do valor aproximado de ʌ usando o método
dos polígonos inscrito e circunscrito.
3.5.7 Análise qualitativa dos dados da avaliação final
A terceira parte da intervenção metodológica foi o pós-teste que denominaram
de avaliação final.
Corrigimos as provas considerando inicialmente o certo ou errado, ou
questões em branco, mas levando em consideração a relevância dos procedimentos
adotados pelos alunos, não nos detendo apenas no resultado final de cada questão.
Atribuímos conceitos e tabulamos os dados em tabelas e gráficos por grupo
participativo e também por agrupamento total de alunos.
Organizamos os dados qualitativamente e passamos a analisá-los
embasados nos conceitos de compreensão instrumental (habitual) e relacional de
Skemp (1993). Os conceitos de compreensão denominados por Skemp de
compreensão instrumental ou (habitual) e compreensão relacional são dois estágios
de conhecimento que estão interligados qualitativamente.
119
No estágio da compreensão instrumental, o indivíduo consegue resolver as
atividades propostas mecanicamente, não contextualiza e nem consegue relacioná-
las a outros conteúdos, é um conhecimento superficial ligado a fatos concretos e
limitado às situações do próprio saber. Fossa (2001, p. 83), afirma que: “[…] a
compreensão instrumental é não somente útil em certas circunstâncias, mas
também é uma etapa necessária no desenvolvimento da compreensão relacional
desde que o particular e o concreto vêm antes do geral e abstrato”.
A compreensão relacional é um estágio mais avançado do conhecimento.
Nesse estágio o sujeito epistemológico é capaz de resolver um grande número de
atividades, justificando suas respostas, contextualizando e relacionando a outros
conceitos.
Neste trabalho consideramos o aluno no estágio da compreensão relacional
quando consegue abstrair os conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais em
cada questão, relacionando-os entre si e, no nível de compreensão instrumental,
quando não consegue resolver a questão percebendo os conceitos envolvidos, os
procedimentos, as atitudes necessárias a resolução da questão.
A categorização em um dos dois tipos de compreensão instrumental e
relacional, comentados neste trabalho nos dá resultados aproximados em termos de
entendimento dos conceitos explorados, motivado pelo caráter qualitativo da
investigação e da subjetividade da interpretação. Desse modo, por exemplo, uma
resposta categorizada em um nível relacional, se o aluno não abstraiu todo o
conteúdo explorado no questionamento atingindo o objetivo proposto, podemos
considerar que ele estaria em uma fase de transição entre os dois tipos de
compreensão.
Para a 1ª questão que requer do aluno conhecimento sobre os conteúdos
conceituais (de números inteiros positivos e negativos, racionais nas formas
fracionária e decimal; irracionais, área de quadrado; raiz quadrada exata;
racionalização de denominadores de frações; identificação e representação de um
ponto na reta numérica) requer também os conteúdos procedimentais como:
procedimento para o cálculo de área e lado de um quadrado, procedimentos para
racionalizar um denominador de uma fração, procedimento para representar
geometricamente um ponto na reta real e, as atitudes de: ler a questão atentamente,
representar na reta, primeiro o ponto indicado por números inteiros, utilizar os
instrumentos necessários à representação geométrica de um ponto, de racionalizar
120
quando necessário os denominadores das frações indicadas. O aluno que conseguir
atingir este estágio será considerado em um nível de compreensão relacional para a
questão.
Nessa questão dois alunos atingiram satisfatoriamente os objetivos propostos
e apresentaram o entendimento sobre os conteúdos explorando o que estamos
considerando-os no nível de compreensão relacional. Representaram em valores
relativos 5,4% (cinco vírgula quatro por cento), 24 alunos. Aproximadamente 64,9%
(sessenta e quatro vírgula nove por cento) atingiram parcialmente os objetivos
propostos e apresentaram conhecimento fragmentado sobre os conteúdos. Neste
caso estamos considerando-os em um nível intermediário, entre a compreensão
instrumental e a compreensão relacional. Outros 11 alunos, aproximadamente
29,7% (vinte e nove vírgula sete por cento) estão no nível de compreensão
instrumental, do nosso ponto de vista.
A 2ª questão requer do aluno o conhecimento do conceito de número
irracional, os procedimentos de cálculo de raiz quadrada por aproximação e
decomposição de um número em fatores primos, e sua representação em forma de
potência, os conceitos em procedimento para os cálculos das operações adição,
multiplicação e divisão, além da atitude de leitura do enunciado e comparação entre
raízes quadradas.
Nessa questão consideramos que cerca de 40,5% (quarenta vírgula cinco por
cento), ou seja, 15 alunos atingiram o nível de compreensão relacional; 16
aproximadamente 43,2% (quarenta e três vírgula dois por cento) atingiram o nível
intermediário de conhecimento ficando entre a compreensão instrumental e a
relacional; enquanto os outros 6 alunos, 16,3% (dezesseis vírgula três por cento)
ficaram no nível de compreensão instrumental.
A 3ª questão explora o conteúdo conceitual de equações irracionais, requer
do aluno o conhecimento dos conteúdos conceituais de equação do 1º e 2º graus,
produtos notáveis (quadrado da soma e quadrado da diferença de dois termos),
necessita saber os conteúdos conceituais das operações adição e subtração e de
potenciação; requer do aluno o entendimento sobre os conteúdos procedimentais de
como encontrar o termo desconhecido em uma equação irracional, os
procedimentos para a resolução de equação do 1º e do 2º graus, o entendimento
sobre produtos notáveis e o procedimento para o cálculo da adição e subtração.
Essa questão também envolve as atitudes de ler atentamente o enunciado, observar
121
e escolher a equação a ser resolvida, testar a(s) resposta(s) encontrada(s). Num
percentual de 56,8% (cinqüenta e seis vírgula oito por cento), correspondente a 21
alunos, atingiram satisfatoriamente os objetivos propostos para essa questão,
demonstrando entendimento sobre os conteúdos explorados, dando-nos a condição
de categorizá-los no nível de conhecimento relacional. Aproximadamente 27% (vinte
e sete por cento), totalizando 10 alunos, não entenderam a totalidade dos objetivos e
apresentaram dúvidas em alguns conteúdos explorados na questão, o que nos faz
categorizá-los em um nível intermediário de conhecimento sobre o assunto em
pauta, ficando entre a compreensão instrumental e a relacional e os outros 6 alunos,
16,2% (dezesseis vírgula dois por cento), permaneceram no nível de compreensão
instrumental, o que significa dizer que eles não conseguiram demonstrar
conhecimento sobre o assunto.
A 4ª questão é uma situação-problema que a solução envolve os conteúdos
conceituais do teorema de Pitágoras, equação do 2º grau e a extração de raiz
quadrada por aproximação. Exige do aluno a compreensão do procedimento para
resolução de problemas, equação do 2º grau e decomposição de um número em
fatores primos, requer também a utilização das atitudes de ler e interpretar, testar a
validade da resposta encontrada e discutir o resultado no ponto de vista teórico e
prático. Foram 29 alunos, o equivalente a cerca de 78,4% (setenta e oito vírgula
quatro por cento) conseguiram atender satisfatoriamente o objetivo proposto
demonstrando entendimento no conteúdo explorado, o que nos faz categorizá-los no
nível de compreensão relacional. O correspondente a 8,1% (oito vírgula um por
cento), ou 3 alunos, atingiram parcialmente o objetivo ficando no nível intermediário
entre a compreensão instrumental e a relacional, e os outros 13,5% (treze vírgula
cinco por cento), 5 alunos ficaram no nível de compreensão instrumental.
A 5ª questão é uma situação contextualizada e requer do aluno o
conhecimento sobre os conteúdos conceituais sobre área e perímetro de quadrado,
o teorema de Pitágoras, equações do 2º grau incompletas, racionalização de
denominadores de frações, e o cálculo de raiz quadrada por aproximação. Exige
conhecimento sobre os procedimentos para aplicação do teorema de Pitágoras, os
procedimentos para o cálculo de área e perímetro de um quadrado, e também para
resolver equações do 2º grau incompletas. Oferece condições para as atitudes de
leitura e interpretação de enunciados, escolha de um procedimento adequado para
resolução e testar a solução encontrada.
122
Nessa questão, 6 alunos, aproximadamente 16,2% (dezesseis vírgula dois
por cento), atingiram satisfatoriamente os objetivos propostos, demonstrando
habilidade e compreensão sobre os conteúdos explorados, conseguindo assim o
nível de compreensão relacional. O equivalente a 27% (vinte e sete por cento), 10
alunos, atingiram parcialmente os objetivos planejados, sendo considerados entre o
nível de compreensão instrumental e o relacional, ou seja, em um nível intermediário
de conhecimento e os outros 21 alunos, cerca de 56,7% (cinqüenta e seis vírgula
oito por cento) foram categorizados no nível de compreensão instrumental.
Finalizando, a 6ª questão refere-se ao cálculo do valor da aproximação de pi
utilizando o método de Arquimedes, ou seja, o método dos polígonos inscrito e
circunscrito em uma circunferência. Para a resolução dessa questão é necessário
conhecimento sobre os conteúdos conceituais das operações de adição,
multiplicação e divisão de números racionais na forma decimal e conhecimento
sobre perímetro.
123
Cerca de 59,5% (cinqüenta e nove vírgula cinco por cento), 22 alunos,
conseguiram atingir os objetivos propostos de forma satisfatória, apresentando
habilidade nos cálculos. Consideramos esses alunos no nível de compreensão
relacional, um (1) aluno, aproximadamente 2,7% (dois vírgula sete por cento),
conseguiu atingir o nível intermediário ficando entre a compreensão instrumental e a
relacional. 37,8% (trinta e sete vírgula oito por cento), o que representa 14 alunos,
não conseguiram atingir os objetivos planejados, sendo assim, categorizados no
nível de compreensão instrumental.
Com as observações e anotações realizadas durante a aplicação do módulo
de ensino e a realização da avaliação final, percebemos que as atividades de ensino
contribuíram favoravelmente para o desenvolvimento e avanço dos alunos.
CONCLUSÕES DO ESTUDO
A realização de uma pesquisa de doutorado requer que aprofundemos a
temática a qual nos debruçamos ao longo do desenvolvimento do estudo (o ensino e
a aprendizagem dos números irracionais no ensino médio). Tentando responder a
indagação: Será que ao oportunizarmos aos alunos da 1ª série do Ensino Médio um
trabalho com os números irracionais por meio de atividades de ensino haverá uma
aprendizagem mais significativa deste conteúdo? É que construímos este texto o
qual traçamos a seguir as conclusões a que chegamos.
Sendo assim, ao chegarmos às considerações finais de nosso texto
retornamos ao objetivo principal do estudo que foi elaborar, aplicar e avaliar um
módulo de ensino com atividades fundamentadas em propostas construtivistas sobre
números irracionais, aplicado a estudantes da primeira série do Ensino Médio e
efetivado pelas três fases da intervenção metodológica: a avaliação diagnóstica ou
inicial, o módulo de ensino e a avaliação de saída, sendo estas integradas entre si,
ou seja, uma dependendo da outra. Apontamos as seguintes considerações
relevantes sobre o estudo:
Ao fazermos uso dos instrumentos da avaliação diagnóstica, da prova escrita
e das entrevistas, percebemos que o estudante chega à primeira série do Ensino
Médio apresentando pouca habilidade com os números irracionais. Isto se deve
talvez pela abstração do conteúdo e às vezes pelo fato de o educando não tê-lo
124
estudado nas séries finais do Ensino Fundamental, conforme constatamos nas
entrevistas com os alunos pesquisados — apesar de o conteúdo fazer parte do
currículo oficial e também ser abordado nos livros de Matemática para a sétima e a
oitava séries (atuais oitavo e nono anos do Ensino Fundamental).
A avaliação diagnóstica apontou a necessidade de retomarmos conteúdos
que consideramos relevantes e necessários ao conhecimento do estudante como
pré-requisitos à aplicação dos números irracionais, mesmo não considerando uma
organização linear de conteúdos matemáticos.
A retomada de conteúdos e a aplicação do módulo envolvendo os números
irracionais foram realizadas por meio de atividades de ensino. As atividades foram
fundamentadas em pressupostos construtivistas, as quais favorecem a interação
entre os estudantes no grupo de estudo e no grande grupo, dando a oportunidade
para que eles tirem dúvidas entre si, comentem o desenvolvimento de seus
resultados e façam a socialização para os demais colegas de sala.
Os números irracionais são utilizados nos conteúdos propostos no currículo
oficial de Matemática para as três séries do Ensino Médio e a procura pelas áreas
Tecnológica e Ciências Exatas, no vestibular da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte, vem apresentando um grande número de estudantes que faz a
opção por essas áreas e conseqüentemente, a elevada porcentagem de alunos
matriculados na UFRN, em tais áreas. Estas duas indicações já justificam o estudo
deste conteúdo no Ensino Médio.
Partindo do exposto, consideramos que o conjunto dos números irracionais é
extremamente necessário e deve ser incluído no currículo oficial para ser trabalhado
junto a alunos da primeira série do Ensino Médio.
Os conteúdos envolvendo os números irracionais devem ser abordados em
sala de aula embasados em atividades construtivistas, seguindo uma seqüência
didática e desenvolvidas em pequenos grupos de estudo. No grupo, a atividade deve
ser lida e discutida pelos pares para serem dirimidas possíveis dúvidas. Caso
persista alguma dúvida, o professor, coordenador dos trabalhos de sala, entra em
ação junto ao grupo, não para prontamente dar a resposta e sim para fazer
indagações instigando o estudante a pensar sobre a questão e chegar a uma
solução, desempenhando assim um papel de intervenção problematizadora para
favorecer a construção do conhecimento pelo estudante.
125
A metodologia utilizando atividades construtivas desenvolvidas em pequenos
grupos pode não ser fator decisivo no processo de ensino-aprendizagem, mas torna-
se muito importante e colabora com o desenvolvimento do trabalho. Os estudantes
se envolvem nos estudos e passam a interagir uns com os outros, de forma mais
descontraída, o que favorece a aprendizagem. Esta constatação nos foi possível ao
passarmos um ano letivo desenvolvendo um trabalho pedagógico dessa ordem em
duas turmas do Ensino Médio.
Diante dos obstáculos epistemológicos apresentados pelos alunos das duas
turmas e que foram constatados através da avaliação diagnóstica, vimos que a
aplicação do módulo de ensino por meio de atividades desenvolvidas em pequenos
grupos contribuiu de forma significativa para que os alunos avançassem
gradativamente nos níveis de conhecimentos.
Os dois grupos participativos apresentaram praticamente as mesmas
dificuldades iniciais, a despeito da falta de conhecimentos dos conteúdos
matemáticos básicos, os seja, os conteúdos explorados nas séries iniciais. Essas
dificuldades foram sendo superadas na medida em que as atividades de retomada
de conteúdo iam acontecendo e os aspectos instrumentais e relacionais, explorados.
Dentre os dois grupos percebemos que havia um certo nivelamento em
relação aos obstáculos apresentados inicialmente, mas além dos obstáculos
relacionados ao conhecimento, o grupo 1 apresentou dificuldades de ordem
estrutural e pedagógica da escola.
Sabemos que as atuais condições de trabalho dos professores não favorecem
a eles a busca de alternativas metodológicas para uma prática docente em que os
estudantes tenham a oportunidade de participar mais diretamente do processo de
ensino-aprendizagem, mas é possível sim, fazê-lo em escolas públicas. Ao se propor
um trabalho de interação com os estudantes, a aprendizagem, além de ser
significativa para estes, estimula-os, desafiando-os a buscar respostas que até então
esperavam que o professor lhes fornecesse prontas.
Ao elaborarmos e aplicarmos o módulo de ensino sobre números irracionais,
em turmas de 1ª série do Ensino Médio, tivemos a oportunidade de vermos se
concretizando um tipo de educação em que os estudantes são sujeitos participantes
do processo de ensino-aprendizagem, não de forma apenas a receber algo pronto,
dado pelo professor, mas que a partir das atividades propostas pelo professor, ele, o
aluno, sinta-se instigado a resolver as situações apresentadas, a buscar alternativas
126
de resolução e principalmente ser co-responsável pela sua aprendizagem, o que
pressupõe um envolvimento maior dos estudantes, estimula sua a freqüência, a
assiduidade às aulas e conseqüentemente uma aprendizagem com mais qualidade.
A avaliação no decorrer do processo, ou seja, durante a aplicação do módulo
de ensino favoreceu a compreensão do estudante, aproximando-o cada vez mais da
compreensão relacional. As anotações e registros dos relatos e perguntas feitas
pelos componentes dos grupos de estudos e também dos registros das falas
individuais colaboraram no sentido de retomarmos conteúdos e avaliarmos passo a
passo a participação e o desenvolvimento de cada um.
Esperamos que este trabalho venha colaborar com a melhoria do ensino e
aprendizagem da Matemática no Ensino Médio e que seja uma possibilidade de
alternativa metodológica para os professores de Matemática desse nível de ensino.
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134
APÊNDICE 1 — O Módulo de Ensino
As atividades para o módulo de ensino
1ª ATIVIDADE
Objetivos:
x Identificar números primos e compostos;
x Decompor um número composto em fatores primos;
x Identificar os divisores de um número;
x Representar um número como produto de fatores primos;
x Escrever um número a partir de um produto de fatores primos.
Conteúdo:
Decomposição de um número em fatores primos.
O que é um número primo?
Quais são os divisores de 17?
Partindo desses dois questionamentos chegamos à conclusão que: número
primo é todo número natural maior do que 1 que tem apenas dois divisores, 1 e ele
mesmo. E que, o número natural maior do que 1 que tem mais de dois divisores é
chamado número composto e sendo assim, pode ser feita sua decomposição em
fatores primos.
Exemplos:
a) Vamos decompor 60 em fatores primos.
Por divisões sucessivas, teremos:
60
2 30 30 2 15 15 3 55 5 1,
portanto, 60 = 2
2 3 5
135
Os números 2, 2, 3 e 5 são os fatores primos de 60
observe a decomposição de 900 em fatores
900 450
2
450 2 225
225 75 25 5
3 75 3 25 5 5 5 1
Portanto: 900
2 2 3 3 5 5
Aplicação:
i) Faça a decomposição dos seguintes números em fatores primos:
a) 700 b) 18 c) 42 d) 500
ii) Escreva o número composto cuja decomposição é dada por:
a) 2
3 5 b) 2 2 3 5 5 c) 5 7 7
2ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Reconhecer sentenças matemáticas verdadeiras e falsas;
x Reconhecer as variáveis de uma equação;
x Identificar a equação do primeiro grau e os seus termos;
x Representar simbolicamente uma equação do primeiro grau a partir de
uma situação-problema;
136
x Resolver equações do primeiro grau, aplicando técnicas algébricas;
x Resolver problemas envolvendo equações do primeiro grau;
x Determinar o conjunto solução de uma equação do primeiro e testar sua
validade;
x Interpretar a solução de equação.
Conteúdo:
Equação do 1º grau.
Retomaremos equação do primeiro grau, partindo de situações-problema.
Leia atentamente as situações-problema indicadas a seguir e tente encontrar
uma solução. Em seguida verifique se o resultado que você encontrou satisfaz a
igualdade.
i) Hélio tinha uma certa quantia de dinheiro e foi ao shopping. Lá gastou
3
1
da quantia na compra de um livro, gastou
4
1
da quantia na compra de um
CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Hélio tinha?
ii) O perímetro de um triângulo ABC é 16 cm. A medida do lado AB é igual à
medida do lado AC. A medida do lado BC é
3
2
da medida de AC.
Descubra as medidas dos três lados.
iii) Nas figuras apresentadas a seguir, encontre o valor de x e determine as
medidas dos ângulos em cada caso.
a)
2
x
x + 30º
137
b) Considere r e s : retas paralelas
c)
3ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Obter a razão de dois números inteiros;
x Expressar uma razão como uma fração, um quociente ou na notação
decimal;
x Resolver problemas envolvendo razões;
x Determinar razão entre grandezas;
r
s
x + 75º
3x – 25º
x
x
3x + 5º
138
x Identificar uma proporção;
x Identificar os termos de uma proporção;
x Calcular o termo desconhecido de uma proporção;
x Resolver problema com o auxilio de proporção.
Conteúdo:
Razão e proporção
Observe os segmentos seguintes:
Representamos a razão entre os segmentos AB e CD da seguinte forma:
CD
AB
, ou
AB
CD, como
CD
AB
36
24
3
2
A razão entre dois segmentos é quociente da medida de um pela medida do
outro, desde que as medidas sejam expressas na mesma unidade.
Dados quatro segmentos:
As razões
CD
AB
e
G
H
EF
são iguais:
4
3
8
6
CD
AB
4
3
12
9
G
H
EF
Quando quatro segmentos EFCDAB ,, e GH formam a proporção
C
B
D
24 cm
36 cm
BA
H
A B
G
FE
D
C
6 cm 12 cm
9 cm
8 cm
139
G
H
EF
CD
AB
, dizemos que os segmentos AB e CD são proporcionais a E
F
e GH .
Aplicação:
1º) Encontre a razão
b
a
na sua forma mais simples quando:
i) a = 18 e b = 15 ii) a = 27 e b = 45
iii) a = 21 cm e b = 2,8 m iv) a = 2 semanas e b = 4 dias
v) a = 1 ano e b = 5 meses vi) a = 2 h 30 min e b = 4 h
2º) Se
b
a
,
2
3
encontre as razões:
i)
b
ba
ii)
a
ba
iii)
b
ba
iv)
a
ba
Idéia de Proporcionalidade
i) Dona Joselita é costureira. Ela está fazendo camisas encomendadas para
uma instituição. Com 1,40 m de tecido, ela faz duas camisas. Agora ela quer saber
de quantos metros do mesmo tecido precisa para fazer seis camisas? Tente
encontrar a solução para esta situação de duas maneiras diferentes.
ii) Um feirante está vendendo saquinhos com três maçãs ao preço de R$
5,00. Joaquim é dono de uma lanchonete e vai precisar de 36 maçãs para fazer
torta. Quanto Joaquim vai pagar ao feirante para comprar as maças que precisa?
iii) Para percorrer 310 km, o carro de José gastou 25 litros de gasolina. Nas
mesmas condições, José quer saber quantos quilômetros seu carro percorrerá com
50 litros.
Cuidado: nem sempre há proporcionalidade em uma situação. Veja: um jogo
de futebol, dura 90 minutos. Aos 30 minutos de jogo, o placar é 4 x 2. qual será o
placar final?
140
Nessa situação o tempo de jogo triplica, de 30 para 90 minutos, mas será que
o placar vai triplicar?
O tempo de jogo e placar não são grandezas proporcionais.
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contatado. Por exemplo, são
grandezas: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço e idade.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando na medida que
uma cresce a cresce na mesma proporção.
Outras situações envolvendo proporção:
iv) Determine o menor de dois números positivos cuja razão é
10
9
, sendo a
diferença entre eles 4.
v) Divida um segmento de reta de 48 cm de comprimento em outros dois
segmentos de razão
3
1
.
4ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Identificar números irracionais;
x Representar geometricamente números irracionais;
x Reconhecer a existência de um número decimal ilimitado não-periódico.
Conteúdo
Números irracionais.
i) Utilizando régua e compasso e se possível papel quadriculado,
represente os seguintes números na reta numerada: (sugerimos partir
de um quadrado de lado unitário).
a)
2 b) 3
c) 4 d) 5
141
5ª ATIVIDADE:
Objetivos
x Identificar os termos da radiciação;
x Reconhecer e aplicar as propriedades dos radicais;
x Simplificar radicais;
x Operar com radicais;
x Identificar radicais semelhantes;
x Reduzir radicais ao mesmo índice;
x Identificar o fator racionalizante de uma fração cujo denominador é um
número irracional;
x Racionalizar o denominador de uma fração.
Conteúdo:
Radicais: identificação – simplificação – operações.
Racionalização de denominadores
Para a retomarmos estes conteúdos vamos partir de situações envolvendo
figuras planas.
i) Calcule a área de cada uma das figuras a seguir:
a)
3 2 cm
5 2 cm
b)
12 cm
3 7 cm
3 7 cm
142
c)
ii) O retângulo a seguir tem área igual a 12 cm
2
, Obtenha o valor de sua
altura.
h
iii) Obtenha o perímetro p e a área A do retângulo da figura, simplificando os
radicais resultantes:
iv) O lado de um quadrado mede 5
2 cm. Encontre:
a) a área do quadrado ... b) o perímetro ... c) a medida da diagonal ...
v) Um retângulo mede 5
3 m de comprimento e 6 2 m de largura. Outro
retângulo tem 6
3 m de comprimento e 5 2 m de largura.
8 2 cm
2 2 cm
6 2 cm
1+ 18
2 2
143
a) Qual dos dois retângulos tem a maior área?
b) Encontre o perímetro aproximado desses dois retângulos.
vi) Racionalize os seguintes denominadores:
a)
5
5
= b)
22
1
c)
32
10
6ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Identificar figuras de mesma forma;
x Ampliar figuras
x Reduzir figuras;
x Reconhecer quando dois triângulos são semelhantes;
x Identificar quadriláteros semelhantes.
Conteúdo
Semelhança de polígonos
Para identificar figuras semelhantes os alunos receberam atividades com
figuras de tamanhos diferentes, no item i, cada grupo deverá decidir qual dos
quadriláteros pequenos é semelhante ao grande, justificando a escolha.
O grupo deverá comparar os ângulos de cada polígono pequeno com os
ângulos do grande e também deve medir os lados, comparando-os. Em seguida
foram comentamos as condições para que dois quadriláteros sejam semelhantes.
No item ii, os alunos receberam figuras de triângulos e cada grupo usou os
mesmos procedimentos do item anterior, em seguida foi fizemos um comentário
sobre equivalência de triângulos.
144
i) Observe os quadriláteros e identifique qual dos quadriláteros pequenos é
semelhante ao grande.
C
A
B
145
ii) Observem os triângulos indicados abaixo e verifique qual dos
triângulos pequenos é semelhante ao grande.
A
C
B
146
iii) Observem a figura abaixo e verifiquem se os pares a seguir, são ou
não semelhantes:
ADE e ABC
ADE e AFG
ABC e AFG
iv) Os pontos marcados sobre os lados dos polígonos abaixo dividem
esses lados em duas ou três partes iguais.
Desenhe, em cada uma das figuras, um polígono semelhante ao dado,
usando esquadros e compasso.
7ª ATIVIDADE:
Objetivos:
C
G
B
D
F
E
A
147
x Reconhecer procedimentos para calcular por aproximação raiz quadrada
não exata;
x Calcular raiz quadrada por aproximação.
Conteúdo:
Cálculo de raiz quadrada por aproximação
Acerca de 1800 a. C., foi encontrada uma tabuleta de barro, na qual estava
escrito, com estilete, um método para se calcular o valor aproximado da raiz
quadrada de um número. O autor dessa descoberta não é conhecido.
Para obter
n , iniciamos com a primeira aproximação a
1
, escolhida de modo
qualquer. A menos que n seja um quadrado perfeito, tem-se em geral, a
1
z n .
Então um dos dois números a
1
,
1
a
n
é menor do que n e o outro é maior. A média
aritmética a
2
=
2
1
(a
1
2
a
n
), é neste caso, uma aproximação para n , melhor do
que a
1
. caso seja solicitada uma aproximação melhor, deve-se encontrar a
3
, ou seja,
a
3
=
2
1
(a
2
2
a
n
) e assim por diante.
Para esta atividade, vamos descrever os procedimento para se encontrar por
aproximação a raiz quadrada dos números 10 e 72,5.
Para o número 10, devemos:
* Procurar um número inteiro positivo que mais se aproxima de 10 por falta:
1
2
1
2
2
4
3
2
9
4
2
16
3 é a 1ª aproximação
148
Dividimos o número do qual vai se extrair a raiz quadrada pela 1ª
aproximação. A divisão termina quando o número de algarismos do quociente é o
dobro do número de algarismos do divisor:
10 3
10 3,3
1
A segunda aproximação se obtém calculando a média aritmética entre esse
quociente e a 1ª aproximação, com tantas casas decimais quanto o quociente 3,3
1,3
2
33,3
#
O número 3,1 é a 2ª aproximação (o símbolo # significa “é aproximadamente
igual a”)
Assim,
1,310 #
Dividimos 10 por 3,1, que é a 2ª aproximação:
10,0 3,1
0 70 3,225
080
180
25
Calculamos a média aritmética entre 3,1 e 3,225:
162,3
2
1,3225,3
#
149
A 3ª aproximação, 3,162, deve ter tantas casas decimais quanto o quociente
3,225. E assim continuamos até quantas casas decimais quisermos.
Veja como calculamos a raiz quadrada de 72,5 até a segunda aproximação:
5
2
= 25
6
2
= 36 72,5 8,0
7
2
= 49 0 50 9,0
8
2
= 64 8 é a 1ª aproximação
9
2
= 81
5,8
2
80,9
2ª aproximação
Então, .5,85,72 #
Exercício proposto:
i) Calcule cada raiz quadrada até a 2ª aproximação. Use como aproximação
um número inteiro.
a)
5 b) 11 c) 17
d) 8 e) 8 f)
150
8ª ATIVIDADE:
Objetivo:
Reconhecer a irracionalidade de raiz de dois.
Para essa atividade, fizemos uma apresentação da irracionalidade de
2
Começamos supondo que existisse uma fração irredutível m/n tal que
2 =
n
m
. Então:
22
2
2
22 nm
n
m
?
Daqui segue-se que m
2
é um número par, portanto o mesmo é verdade para
m, isto é, m = 2r, sendo r outro número inteiro. Substituindo m = 2r em m
2
= 2n
2
obtemos:
2222
224 rnnr ?
Mas esta última relação nos diz que n
2
é número par, logo n também é par.
Chegamos a um absurdo, pois m/n é fração irredutível, não sendo possível que m e
n sejam ambos pares. Somos, assim, forçados a rejeitar a suposição inicial de que
2 seja um número racional m/n.
A demonstração que acabamos de dar está baseada num argumento, que
segundo Aristóteles, teria sido usado na descoberta de grandezas incomensuráveis.
É um argumento que encerra um alto grau de abstração, razão pela qual muitos
historiadores da Ciência acreditam que a descoberta dos incomensuráveis tenha
ocorrido com um raciocínio mais concreto, como o argumento geométrico.
151
9ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Identificar uma equação irracional;
x Calcular o termo desconhecido em uma equação irracional;
x Identificar raízes estranhas;
x Verificar a validade do resultado encontrado.
Conteúdo:
Equações Irracionais
Quando uma equação tem uma variável, ou variáveis no radicando, então ela
é chamada de equação irracional. Ex.:
a)
2x = 5 b) 42 x = 12 x c)
3
x - 10 = 6 d) x – 1x =
1
Exercício proposto:
1) Nos exemplos abaixo, indique as equações irracionais?
a)
5 . x
2
– x = 1 b)
3
2
430xx c) 12xx
d) 73x e)
0
3
527
2
x
f) 33 1
x
x
g)
2
25
x
x h)
76
131x i)
2
3
57
x
x
j)
30
3
93 8x
152
2) Como são chamadas as equações que tem incógnitas no radicando?
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Na resolução de equações irracionais em R , devemos proceder do seguinte
modo:
x Isolamos um dos radicais em um dos membros da equação dada.
x Elevamos os dois membros da equação a um expoente conveniente.
x E se ainda restar um ou mais radicais, devemos repetir as operações
anteriores.
x Verificas as soluções encontradas.
RAÍZES ESTRANHAS
Quando elevamos os dois membros de uma equação a um mesmo expoente
par, a equação que obtemos tem, em geral, raízes estranhas à equação original.
Acompanhe essa verificação:
Resolvendo a equação x – 3 = 0 temos como conjunto verdade V = {3}.
· Agora, isolando x e elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
x – 3 = 0 x = 3 x
2
= 3
2
x
2
= 9 x = 9r x = 3r
cujo conjunto verdade é V = {– 3; 3}. Então, podemos concluir que:
Na resolução de uma equação irracional com radical de índice par,
devemos fazer uma verificação da validade das raízes encontradas na equação
original e em seguida fazer a eliminação das raízes estranhas.
Exercícios resolvidos:
153
1) Qual é o conjunto solução da equação
Resolução:
17x

2
2
17x 149x 49 1x 48x
Verificação:
1x = 7 148 = 7 49 = 7 7 = 7 (sentença verdadeira)
2) Resolva a equação
7423
x
x .
Resolução: Elevamos ao quadrado os dois membros da equação.
7423
x
x

22
74 23
x
x

2
2
7422.2.3 3
x
xx
744433
x
xx 
Agora, isolamos o termo com radical num dos membros, elevamos ao quadrado
novamente e resolvemos a equação obtida:
43 3 7 4 4xxx  43 4
x
x :4 3
x
x


2
2
3
x
x
2
3
x
x x.(x – 3) = 0 x = 0 ou x -3 = 0; x = 3
verificação:
7.0 4 2 3.0 7.3 4 2 3.3
42 25 2 3
2 = 2 (verdadeira) 5 = – 1 (falsa)
Logo: S = {0}
Exercício proposto:
154
3) Qual é o conjunto solução da equação irracional
3x
= 7
4) Qual é o conjunto solução da equação irracional 4 = 1
x
5) Para quais valores de x as expressões
2
21x e

1
x
são iguais?
6) Determine o valor de x nas equações abaixo:
a)
2x = 5
b)
3
2
430xx
10ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Reconhecer o número pi;
x Calcular o valor aproximado de pi, usando polígonos inscrito e circunscrito.
Conteúdo:
Cálculo do valor de pi pelo método utilizando polígonos Inscrito e circunscrito.
Procedimentos para inscrever e circunscrever um hexágono numa
circunferência usando régua e compasso
155
Pi: Um pouco de História sobre pi
S
Fig. 1
Trace uma circunferência, com uma abertura
qualquer do compasso, como mostra a figura
1.
Com a mesma abertura do compasso marque
p
ontos eqüidistantes na circunferência. Fig. 2
Fig. 2
60
Fig. 3
Fig. 4
Usando régua una os pontos como
mostra a figura 3.
A partir do centro, trace um triângulo
formando um ângulo de 60º
156
O número pi é a constante matemática que representa a relação entre a
extensão da circunferência de um círculo e seu diâmetro. Por isto, sempre que
dividimos o comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro, obtemos o
mesmo número: Pi.
O símbolo que usamos hoje para representar essa constante é a letra do
alfabeto grego
S
pi, que foi introduzida em 1706 pelo escritor e matemático inglês
Willian Jones. Mas, este símbolo se tornou conhecido e popularizado por meio do
famoso matemático suíço Leonhard Euler no século XVIII.
Arquimedes de Siracusa, um dos maiores matemáticos de todos os tempo,
estabeleceu rigorosamente a equivalência entre ambas as razões no seu tratado
Medição de Círculo.
Todas as tentativas de calcular o número pi realizadas na Europa até
meados do século XVII se basearam nos princípios de Arquimedes.
Citamos neste trabalho quatro métodos de se calcular os dígitos de pi:
1- Obtenção da extensão da circunferência por meio de polígonos de n-
lados inscritos e circunscritos.
2- Mediante a utilização de séries estatísticas.
3- Aráveis de procedimentos analíticos e geométricos e
4- Por meio de ordenadores (IBM 1620 Universidade de Deusto)
O primeiro cálculo teórico do número pi foi feito por Arquimedes de Siracusa.
Ele determinou que este número seria delimitado pela equação,
223
71
< pi <
22
7
. Para
isto Arquimedes se baseou no fato da largura da circunferência ter obrigatoriamente
que estar compreendida entre o perímetro de um polígono regular que circunscreve
e outro que estivesse inscrito na mesma.
Chamando c a circunferência do círculo e d o diâmetro, sabemos que: c =
S
d, quando o diâmetro é igual a unidade (o raio é igual a
1
2
). A seguir, na figura 1
está representado um polígono de 6 lados equivalentes, circunscrito a um circulo de
diâmetro igual a unidade (r =
1
2
). È evidente que tal polígono é constituído 2n
157
triângulos retângulos, cada um deles tendo um ângulo  (central e valendo,
360º
2
n
) e
um cateto igual à metade do lado do polígono circunscrito. Assim, o perímetro do
polígono circunscrito (P
c
), será igual a 2n vezes p. pela figura temos:
p =
1
2
tg
360º
2
n
§·
¨¸
©¹
, ? P
c
= n . tg
360º
2
n
§·
¨¸
©¹
, como na figura 5, temos um
hexágono regular n =6, teremos:
P
c
= 6 . tg
360º
12
§·
¨¸
©¹
= 6 tg 30º = 6 (0,58) = 3,48
Neste caso o ângulo  =
3607
2
n
No polígono de 6 lados equivalentes, temos
D
A
r
B
E
F
C
rrr
r
rrrr
r
r
r
b = r
A
h
p
Fig. 5
A
158
p
r
= tg A se r =
1
2
, p = tg
360º
2
n
e sen =
p
r
, se r =
1
2
, p = sen
360º
2
n
A figura 6, mostra também, que o perímetro (P
i
) do polígono inscrito de n
lados equivalestes, pode ser expresso da seguinte maneira:
P
i
= n sen
360º
2
n
, no nosso caso, o polígono é um hexágono, teremos:
P
i
= 6 sen
360º
12
§·
¨¸
©¹
= 6 sen30º = 6 (0,50) = 3,00
sen =
p
r
, se r =
1
2
, p = sen
360º
2
n
Neste caso
S
estará incluído entre os valores limites, 3, 00 e 3,48 o que
equivale dizer que
S
= 3,24.
Aumentado o número de lados do polígono, obtêm-se valores ainda mais
aproximados para pi
B
h = r
p
b
A
A
60
D
C
E
F
Fig. 6
159
´
2
p
p
Curiosidade sobre o número (pi)
1. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o
comprimento da circunferência estava entre 3 +
1
7
e 3 +
10
7
.
2. O símbolo
usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da
circunferência somente foi introduzido no século XVIII.
3. O valor de
correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do
comprimento da linha do Equador terrestre.
4. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um
segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.
5. O número
exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências,
predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de
gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos,
inclusive em cálculos de navegação, etc.
6. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor aproximado de
com mais de cem mil dígitos decimais.
Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido
através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o
perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares
circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
Exercício resolvido
1) Cálculo de pi utilizando a média dos perímetros dos polígonos inscritos e
circunscritos.
S =
p´ é o perímetro do polígono circunscrito e p é o perímetro do polígono inscrito.
160
360
8
42,8
2
Para o quadrado circunscrito, temos: tangente de 45º igual a 1, e seno de 45º
igual a 0,7.
O perímetro do quadrado circunscrito é dado por:
p´ = 4 . tg
4. tg 45º p´ = 4 . 1 p´= 4
p = 4. seno 45º p = 4. 0,7 p = 2,8
S=
S= 3,4
Exercício proposto
Sabendo-se que a tangente do ângulo de 18º é 0,33 e o seno é 0,31. Calcule
o valor aproximado de
S (no decágono), polígono de 10 lados.
B
A
D
C
r
L
l
4
r
161
APÊNDICE 2 — OS NÚMEROS REAIS
Este apêndice objetiva discutirmos a importância do número para as
atividades da humanidade e sua relevância para este trabalho. Nele apresentaremos
uma discussão sobre o conjunto dos números reais, conjunto numérico pelo qual se
desenvolve o ensino da Matemática nos níveis Fundamental e Médio. Destacaremos
os subconjuntos numéricos enfatizando os racionais. Enfocaremos os irracionais,
discutindo a apresentação da clássica demonstração de raiz quadrada de dois, e a
obtenção de raiz quadrada de dois por aproximação com e sem o uso da
calculadora. Expressaremos o método para calcular a raiz quadrada de um número
irracional, descreveremos os procedimentos para obtenção gráfica de um número
irracional, e enfocando sua trajetória histórica do número irracional transcendente PI,
discutiremos o teorema de Pitágoras e sua importância nos estudos dos números
irracionais. Finalizaremos com uma exposição sobre equações irracionais.
Representação dos números inteiros
Os números inteiros são representados por símbolos como 6, II, XIX, mas é
necessário distinguir um símbolo qualquer indicado para representar um número
inteiro, de um inteiro. No sistema decimal, os dez símbolos de dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, e 9, são utilizados para representar os nove inteiros positivos e o zero. Um
inteiro maior como duzentos e sessenta e cinco, pode ser expresso da seguinte
forma: 200 + 60 + 5 = 2
10
2
+ 6
10 + 5, que é representado no sistema decimal pelo
símbolo 265. (COURANT; ROBBINS, 2000, p 5 - 7).
Nesse caso, o significado dos algarismos 2, 6 e 5 depende de sua posição
nas ordens, ou na casa das unidades, dezenas ou centenas. Com essa notação
posicional podemos representar todo e qualquer inteiro usando os dez algarismos
em combinações diferentes. Para representar um número inteiro com três ordens
usamos a regra geral expressa na forma, Z = a
10
3
+ b
10
2
+ c
10 + d, onde o
inteiro Z é o símbolo abreviado e os dígitos a , b, c, d, são inteiros de zero a nove.
Como as potências de dez podem ser muito altas se faz necessário representar com
uma potência de expoente n, 10
n
, sendo n considerado um inteiro arbitrário. Assim,
162
para representar um inteiro qualquer no sistema decimal, utilizamos a forma:
Z = a
n
10
n
+ a
n – 1
10
n – 1
+
}
a
1
10+ a
0
Os números racionais
Os números naturais, representados simbolicamente por N, são fechados em
relação às operações de adição e multiplicação e que os inteiros, Z são fechados em
relação à adição, multiplicação e subtração, mas nenhum desses dois conjuntos é
fechado em relação à divisão. A divisão de inteiros pode produzir frações do tipo
5
4
,
2
7
,
4
5
,..., o conjunto de todas as frações é o conjunto dos números racionais, ou
seja, um racional, (ou uma fração ordinária) é um número que pode ser colocado na
forma
b
a
, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero, Niven (1984).
Representação dos irracionais, Q ={
b
a
, com a, b
Z e b 0}.
Comensurabilidade
A palavra comensurável significa medida comum
n
m
Q, ou seja, a razão entre
dois comprimentos m e n como sendo um numero racional. Assim, para uma
definição de segmentos comensuráveis, considera-se AB um segmento de reta que
se quer medir. Para tanto, é necessário compará-lo com um segmento padrão u,
denominado segmento unitário. Por definição, a medida do segmento u é igual a 1.
Estipularemos ainda que, segmentos congruentes tenham a mesma medida e que n
-1 pontos interiores decompõe AB em n segmentos justapostos, daí que a medida
de AB, será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se todos os segmentos
parciais forem congruentes a u, diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de
AB (que representamos por AB) será igual a n. Observar figura 1, em que n = 5.
A
B
U
F
ig. 1
163
Pode ocorrer o caso em que o segmento unitário não cabe um número exato
de vezes em AB, o segmento que se quer medir. Por exemplo, se AB for menor do
que a unidade u, então a medida de AB não será um número natural. Mas esta
situação conduz a uma medida fracionária, como mostramos a seguir.
Tomamos um pequeno segmento de reta v, que caiba n vezes no segmento
unitário u e m vezes em AB. Este segmento v será então uma medida comum de u e
AB, isto é, um submúltiplo comum a AB e u. Encontrado v, diremos que AB é
comensurável com u. A medida de v será a fração
n
1
e nv = u ou
nn
u
v
1
e AB =
mv AB =
n
m
, m, nN e n z 0 (LIMA, et all 1998, p. 52-53).
A figura 2 ilustra o caso para n = 2 e m = 11. Logo: AB =
2
11
Na prática, como temos um limite de percepção visual — até mesmo os
instrumentos mais sensíveis de aferição têm precisão limitada — “sendo incapazes
de distinguir dois pontos que, embora distintos, achem-se situados a uma distância
inferior a esse limite, tudo se passa como se dois segmentos quaisquer fossem
sempre comensuráveis” (LIMA, 1991, p.3). Porém, nem sempre dois segmentos de
reta são comensuráveis.
Incomensurabilidade
As circunstâncias que nortearam a identificação da incomensurabilidade e a
época em que foi descoberta são incertas. Eves (1995) e Ávila (1984), associam
essa descoberta aos filósofos e matemáticos gregos, por volta de 450 e 400 a.C.,
provavelmente feita pelos pitagóricos, membros de uma escola filosófica que
acreditavam que tudo poderia ser representado por números naturais ou por uma
razão entre números naturais. Para esses historiadores, a descoberta partiu de um
V
A
B
U
F
i
g
. 2
164
argumento geométrico, não se saber ao certo se da constatação de que o lado e a
diagonal de um quadrado de lado 1 são segmentos incomensuráveis. Figura 3.
Isto significa, geometricamente, que não existe uma unidade de comprimento
comum ao lado e a diagonal de um quadrado. Como por exemplo: “não há uma tira,
por mais curta que seja, que possa ser colocada um número inteiro de vezes sobre o
lado e a diagonal de um quadrado” (NÍVEN, 1984, p. 2). Conclui-se, assim que, os
números naturais, ou a razão entre dois deles, não seriam suficientes para
representar todas as relações de grandezas da natureza. Boyer (1974, p. 54), afirma
que: “Aristóteles se refere a uma prova de incomensurabilidade da diagonal de um
quadrado com seu lado, indicando que se baseava na distinção entre pares e
ímpares”.
Segundo Boyer há outras maneiras pelas quais a incomensurabilidade pode
ter sido descoberta, dentre essas se encontra a possibilidade do pentágono regular,
já que traçando as cinco diagonais do pentágono regular elas formam um novo
pentágono regular menor e assim por indefinidamente. Esse mesmo pensamento é
apresentado por Miguel (1993).
F
i
g
.3
1
F
ig.4
165
A descoberta de incomensuráveis acarretou a necessidade de se estabelecer
uma nova teoria das proporções que independesse da comensurabilidade, o que foi
feito por Eudóxo (c. 370 a. C), segundo (GUNDLACH, 1993).
Uma conseqüência da existência de grandezas incomensuráveis é a
existência de pontos na reta sem abscissas racionais, como é mostrado na figura 5.
Com referência a essa figura, tomando-se OP = AO, onde AO é a diagonal de
um quadrado de lado unitário OU, como OP e OU são incomensuráveis, não é
possível expressar a razão
OU
OP
como um número racional.
Pelo teorema de Pitágoras, chega-se ao número que será a abscissa de P, ou
seja,
222
UAOUAO , como OPAO e 1 OUUA , obtém-se
22
2OUOP ,onde
2 OP , esta é a abscissa de P, tomando-se OU como unidade de comprimento.
Irracionalidade de 2
Considerando-se que 2 é um número racional, ele poderá ser representado
pela fração
n
m
, que por suposição é irredutível, ou seja, em que m e n são primos
entre si, e em que, portanto, m e n são números naturais. Então,
n
m
2 ou seja, 2
2
2
n
m
e
22
2 nm u
Então m
2
será par (pois é o dobro de n
2
). O mesmo acontece a m pois,
quando o quadrado de um número é par, o número é par, mas se a fração
n
m
é
F
i
g
.5
A
P
U
O
x
166
irredutível n terá de ser um número ímpar. Por outro lado, se m é par existe um
número natural t tal que m = 2t. Substituindo este valor em,
2
2
2
n
m
, daí resulta em:
2222
2
2
2242
4
tnnt
n
t
Então, n
2
será par (pois é o dobro de t
2
), e n é par, pois só o quadrado de um
número par é um número par.
Quer dizer, se existisse a fração
n
m
irredutível, n teria de ser par e ímpar ao
mesmo tempo. Ora, isso é impossível. Conclui-se então que não pode existir o
número racional,
n
m
tal que 2
n
m
Quer dizer que
n
m
não é um número racional; é pois um número irracional, ou
seja, que
2 é um número irracional, (ÁVILA, p. 10).
Irracionalidade de
3
Niven (1984, p. 66), apresenta a demonstração da irracionalidade de 3
seguindo os mesmos procedimentos utilizados para a demonstração da
irracionalidade de
2 , com exceção do importante argumento que envolve o critério
de divisibilidade por 3. Como ilustração do seu processo vamos aplicá-lo à prova de
que
3 é um número irracional.
Supondo que
3 seja um número racional, portanto: 3 =
b
a
, com a e b
inteiros, considerando ainda, que
b
a
seja irredutível e de modo que a e b não sejam
ambos divisíveis por 3. Elevando a equação ao quadrado, obtemos:
(
3
2
=
2
¸
¹
·
¨
©
§
b
a
2
2
3
b
a
22
3ba . Como o inteiro
2
3b é divisível por 3,
2
a
também é divisível por 3, neste caso, a é divisível por 3, fazendo a=3c, onde c é um
167
inteiro e substituindo a por 3c na equação
22
3ba , chegamos a
22
3)3( bc
22
39 bc bc
2
3 , sendo assim b
2
é divisível por 3 e, portanto, b é divisível por
3. Assim, pode-se concluir que a e b, ambos são divisíveis por 3, contrariando a
hipótese inicial de que
b
a
é irredutível. Conclui-se que 3 é irracional.
Raiz quadrada de dois por aproximação sem o uso da calculadora
O matemático grego Eudóxo (500 a .C), provavelmente foi o primeiro a lidar
de modo preciso com grandezas incomensuráveis e teria desenvolvido uma teoria
que pode ser escrita da seguinte maneira “para conhecer um número irracional x
basta conhecer os números racionais menores do que x (suas aproximações por
falta), e os números racionais maiores, (aproximações por excesso)”. Lima (1991).
Fig.6
Na figura 5, pelo teorema de Pitágoras temos: a área do quadrado A é igual à
soma das áreas dos quadrados B e C, ou seja:
A = x
2
B = 1
2
= 1
C = 1
2
= 1
Assim, podemos escrever a equação x
2
= 1 + 1, ou x
2
= 2
O numero x, que satisfaz a equação formada, representa a raiz quadrada do
número 2, sendo assim, x =
2 .
x
x
x
1
1
1
1
1
1
C
B
A
168
No universo dos números racionais, podemos encontrar somente um valor
aproximado para o comprimento do lado x do quadrado de área 2.
O número 2 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4. como 1 = 1
2
e 4 = 2
2
o
valor procurado está entre 1 e 2. assim, podemos fazer:
(1,1)
2
= 1,21 < 2
(1,2)
2
= 1,44 < 2
(1,3)
2
= 1,69 < 2
(1,4)
2
= 1,96 < 2
(1,5)
2
= 2,25 > 2
Observamos que 1,4 < 2 < 1,5. Para descobrirmos a segunda casa decimal
utilizamos o mesmo procedimento:
(1,41)
2
= 1,9881 < 2
(1,42)
2
= 2,0164 > 2, então 2 está entre 1,41 e 1,42. Prosseguindo no
cálculo, teremos:
(1,411)
2
= 1,990921 < 2
(1,412)
2
= 1,993744 < 2
(1,413)
2
= 1,996569 < 2
(1,414)
2
= 1,999396 < 2
(1,415)
2
= 2,002225 > 2
Assim, observamos que 2 está entre 1,414 e 1,415. Se continuarmos com o
cálculo, vamos chegar a um valor aproximado a 1,414213562... para 2 .
Na figura 12, esse valor corresponde à medida do lado representado por x no
quadrado de área A = 2. As desigualdades 1,414 <
2 < 1,415 significam que 1,414
é um valor aproximado por falta, e 1,415 é um valor aproximado por excesso para o
número irracional
2 .
Desde que 1,414 – 1,415 = 0,001, isso significa que substituindo-se
2 por
qualquer um desses dois valores aproximados, o erro cometido será inferior a 0,001
(um milésimo).
Método para calcular um valor aproximado de raiz quadrada de um número
169
Há aproximadamente 1800 a.C., foi encontrada uma tabuleta de barro, na
qual estava escrito, com estilete, um método para se calcular o valor aproximado da
raiz quadrada de um número. O autor dessa descoberta é desconhecido.
Para obter
n , iniciamos com a primeira aproximação a
1
, escolhida de modo
qualquer. A menos que n seja um quadrado perfeito, tem-se em geral, a
1
z n .
Então um dos dois números a
1
,
1
a
n
é menor do que n e o outro é maior. A média
aritmética a
2
=
2
1
(a
1
2
a
n
), é neste caso, uma aproximação para n , melhor do que
a
1
. Caso seja solicitada uma aproximação melhor, deve-se encontrar a
3
, ou seja, a
3
=
2
1
(a
2
2
a
n
) e assim por diante.
Para calcularmos a raiz quadrada aproximada de um número, devemos seguir
os seguintes passos:
i) Devemos procurar um número inteiro positivo cujo quadrado mais se
aproxime do número dado;
ii) Dividimos o número do qual se quer extrair a raiz quadrada pela
primeira aproximação. A divisão termina quando o número de
algarismos do quociente é o dobro do número de algarismos do divisor;
iii) A 2ª aproximação se obtém calculando a média aritmética entre esse
quociente e a primeira aproximação, com tantas casas decimais quanto
o quociente.
Seguindo o procedimento anterior, podemos calcular a aproximação com o
número de casas decimais que desejarmos. Os exemplos que seguem ilustram o
método.
Para obtermos uma aproximação melhor, podemos começar com um número
expresso na notação decimal em vez de um número inteiro, (GUELLI, 1998a).
Neste trabalho vamos descrever os procedimentos para se encontrar por
aproximação as raízes quadradas dos números 10 e 72,5.
Calcular
10 considerando o 3 como primeira aproximação.
10 : 3 = 3,3
1,3
2
33,3
, o número 3,1 é a segunda aproximação.
170
10 : 3,1 = 3,225
162,3
2
1,3225,3
A 3ª aproximação 3,162, deve ter tantas casas decimais quanto o quociente
3,225.
Veja como calculamos a raiz quadrada de 72,5 até a segunda aproximação:
5
2
= 25
6
2
= 36
7
2
= 49
8
2
= 64
9
2
= 81
Dividindo-se 72,5 por 8 encontraremos 9,0, veja: 72,5 ÷ 8,0 = 9,0 e sobra 0,5,
o valor 8 é a 1ª aproximação, já que 8 é o número inteiro que elevado ao quadrado
mais se aproxima por falta de raiz quadrada de 72,5.
Agora se encontra a média aritmética entre 9,0 e 8,0 como segue, chegando-
se à 2ª aproximação:
5,8
2
80,9
2ª aproximação, Então, .5,85,72 #
A Construção de 2 , 3 ,..., 10
Utilizando o teorema de Pitágoras podemos representar esses números na
reta.
Para determinarmos a
2 , devemos construir um triângulo retângulo de
catetos iguais a uma unidade, neste caso, a hipotenusa mede 2 . Sobre a
hipotenusa do triângulo, construiremos um outro triângulo retângulo, com cateto
igual a um, encontrando
3 como hipotenusa. Seguindo esse procedimento,
representaremos os números indicados acima, formando uma figura tipo espiral
pitagórica, como mostra a figura 7.
171
1
1
11
1
1
6
5
4
3
3
7
O número S (pi)
O número
S é dos irracionais transcendente mais discutido e estudado pelos
matemáticos e é definido como sendo a área limitada por um círculo de raio 1.
A demonstração de que
S é um número irracional, pode ser feita usando-se
apenas o cálculo diferencial elementar que às vezes é ensinado no primeiro período
dos cursos de exatas. A primeira demonstração de que
S é irracional data de 1766
por J. H. Lambert, tendo sido finalmente obtida de modo rigoroso pelo matemático A.
M. Legendre e publicada em 1855. A prova de que
S é transcendente é muito mais
complexa e só foi obtida em 1882 por F. Lindermann, e não será comentada neste
trabalho.
A história da obtenção dessa constante remonta da Grécia Antiga, com o
clássico método dos perímetros, criado por Arquimedes, em um dos seus tratados
matemáticos. Esse cálculo era feito com base nos perímetros de polígonos regulares
inscritos e de qualquer polígono regular circunscrito, Eves (1995). Por suposição,
toma-se um círculo de diâmetro unitário. O comprimento da circunferência do círculo
situa-se entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e de qualquer
polígono regular circunscrito; realiza-se, em seguida, os cálculos dos perímetros dos
hexágonos regulares inscritos e circunscritos para se obter limites para pi (
S). Para
esses cálculos, segundo Eves (1995, p. 156), Arquimedes utilizou as seguintes
fórmulas:
nn
nn
n
Pp
Pp
P
2
2
, p
2n
=(p
n
P
2n
)
2
1
, fórmulas essas consideradas algoritmos de
Arquimedes. Partindo da seqüência P
n
, P
n,
, P
2n
, P
2n
, P
4n
, P
4n
,..., onde P
n
e P
n
F
ig.
7
172
representam os perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos de n
lados.
Iniciando no terceiro termo, calcula-se cada termo a partir dos dois anteriores,
utilizando alternadamente a média harmônica e a média geométrica. Neste caso
calcula-se sucessivamente os perímetros dos pares de polígonos de lados 12, 24, 48
e 96, determinando-se limites cada vez mais próximos para pi (
S).
Usando o método descrito acima, Arquimedes concluiu que o valor de
S
estava entre
71
223
, (
71
10
3
) e
7
22
(3
7
1
), ou que usando até duas casas decimais, o
valor obtido para
S é 3,14. Depois desses cálculos feitos por Arquimedes, muitos
sucederam. Com um polígono de 720 lados, inscrito numa circunferência de 60
unidades de raio, Ptolomeu (século III d.C.), conseguiu o valor de pi como sendo
3,1416.
As figuras 8a, 8b e 8c representam uma ilustração do método usado por
Arquimedes para conseguir o valor de pi por aproximação. As figuras 8a, 8b e 8c
mostram polígonos regulares inscritos e circunscritos a um mesmo círculo, em cada
caso, Hogben (1970).
O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos
chineses. No século III d. C., Liu Hui, um copista, conseguiu obter o valor 3,14159
com um polígono de 3072 lados. Mas no fim do século V, o matemático Isu Ch’ung-
Chih foi mais longe ainda, encontrando como valor de pi, um número entre
3,1415926 e 3,1415927. Já no século XV, al-Kashi encontrou o valor de pi como
sendo 3,1415926535897932. Mas, o símbolo que usamos hoje para representar
essa constante é a letra do alfabeto grego
S
(pi), que foi introduzida em 1706 pelo
escritor e matemático inglês Willian Jones. Este símbolo se tornou conhecido e
Fig. 8a: Quadrado inscrito e
circunscrito a um círculo.
Fig. 8b: Hexágono inscrito e
circunscrito a um círculo.
Fig. 8c: Octógono inscrito e
circunscrito a um círculo.
173
popularizado por meio do famoso matemático suíço Leonhard Euler no século XVIII.
Três décadas depois, os matemáticos desistiram de calcular o seu valor exato;
descobriram que pi é um número irracional e tem infinitas casas decimais. Em 1995,
estudantes japoneses, usando um supercomputador, calcularam um valor de pi com
seis bilhões de casas decimais, (GUELLI 1998a).
Arquimedes de Siracusa, um dos maiores matemáticos de todos os tempos,
estabeleceu rigorosamente a equivalência entre ambas as razões no seu tratado
Medição de Círculo.
Todas as tentativas de calcular o número pi realizadas na Europa até
meados do século XVII se basearam nos princípios de Arquimedes.
Hoje, pode-se calcular os dígitos de pi usando quatro métodos diferentes:
1- Obtenção da extensão da circunferência por meio de polígonos de n-lados
inscritos e circunscritos.
2- Mediante a utilização de séries estatísticas.
3- Através de procedimentos analíticos e geométricos e
4- Por meio de computadores.
Documentos históricos antigos trazem relatos que egípcios e babilônicos já
conheciam a relação constante entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Os babilônicos adotavam uma aproximação grosseira de que pi era igual a 3. Os
egípcios adotavam o valor mais exato de pi igual a 3,16, Hogben (1970). Em Lima
(1991), consta que os babilônicos adotavam a aproximação de pi = 3
8
1
(pi = 3,125).
Segundo Hogben (1970), em Maravilhas da Matemática, o papiro de Ahmes (1600
a.C.), aproximadamente, dá para a relação entre a circunferência e seu diâmetro um
valor de 3,16, em nossa notação. Já o papiro de Moscou contém uma fórmula para
se calcular a área da esfera, em que se atribui a
S o valor de 3,14. Isso nos mostra
que a medição egípcia da circunferência tinha erro menor que um por cento.
Aproximação de
S
Aproximações cada vez melhores de S podem ser encontradas com o auxílio
de uma máquina de calcular, capaz de fazer as operações básicas e mais a
174
operação de raiz quadrada, da seguinte forma: a idéia é aproximarmos o círculo de
raio 1 por polígonos regulares de
n
2 lados inscritos neste círculo.
Notadamente não é difícil verificar que para a área e o perímetro do polígono
regular de
n
2 lados inscritos num círculo de raio 1 temos:
Área =
4
1
perímetro ,4
2
lu onde l é o comprimento do lado do polígono.
Como l se aproxima mais e mais de 0 à medida que n cresce, vemos que para o
círculo de raio 1 devemos ter (fazendo l = 0). Na fórmula indicada obtemos área =
4
1
perímetro.
Neste caso, podemos também considerar
S como sendo a metade do
perímetro do círculo de raio 1. Por outro lado, usando a relação de Pitágoras e se
n
l
representa o comprimento do lado do polígono regular de
n
2 lados, é fácil mostrar
que
.42
2
1 nn
ll
. Para n = 2 temos o polígono regular de 4 lados, quadrado,
inscrito no círculo de raio 1, cujo lado é facilmente obtido usando-se o teorema de
Pitágoras, ou seja:
.2
2
l
, Portanto, podemos obter para os polígonos de n lados
(n-ágono), (COURANT; ROBBINS, 2000, p.148-150).
,222
4
l
,2222
5
l
,22222
6
l
,222222
7
l
,2222222
8
l
Para obter uma boa aproximação de S calculemos, por exemplo, o valor da
metade do perímetro do polígono de
2562
8
lados, inscrito no círculo de raio 1,
cujo lado tem comprimento igual a
.
8
l
765366864,0
3
l
175
390180644,0
4
l
19603428,0
5
l
098135348,0
6
l
049082457,0
7
l
024543076,0
8
l
283027456,6256
8
l
141513728,3
2
256
8
l
a
l
2
256
8
000078925,0 a
S
Teorema de Pitágoras
Filósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos (580 - 500 a.C.),
aproximadamente, nasceu na ilha de Egéia de Samos. Segundo relatos históricos,
Pitágoras viajou ao Egito e Babilônia, onde adquiriu informações e conhecimentos
filosóficos e matemáticos. Fundou a escola pitagórica que serviu como centro de
estudos matemáticos, filosóficos e de ciências naturais. A filosofia da escola
pitagórica fundamentava-se no estudo dos números inteiros, Eves (1995). Não se
sabe ao certo o método que é atribuído a Pitágoras para a demonstração, supõe-se
que foi uma prova por comparação de áreas de figuras geométricas, como sugerem
as figuras 9
a
e 9
b
, a seguir.
F
ig.9b
F
ig.9a
176
Considere dois quadrados, ambos com lados iguais (a + b). O primeiro que
chamamos de Fig. 9a é composto de seis figuras: um quadrado de lado a, um
quadrado de lado b, e quatro triângulos retângulos de catetos a e b. Se chamarmos
de S a área de um desses triângulos e sendo a área total da figura
2
)( ba , temos:
Scba 4)(
22
, onde S indica a área do quadrado.
O segundo quadrado, que chamamos de
Fig.9b é composto por quatro
triângulos retângulos e de um quadrado de lado c equivalente à hipotenusa dos
triângulos. Logo nesse quadrado temos:
Sbaba 4)(
222
, igualando os
segundos membros das equações, resulta:
SbaSc 44
222
Adicionando-se S4 aos dois membros da equação, resulta em:
222
bac
O enunciado do teorema de Pitágoras é “a área do quadrado cujo lado é a
hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos quadrados que
têm como lados cada um dos catetos”. Assim, sendo b e c as medidas dos catetos
de um triângulo retângulo e sendo h a medida da hipotenusa desse triângulo, o
enunciado acima equivale afirmar que na figura 10, temos h
2
= a
2
+ b
2
.
Fig. 10
Segundo os historiadores Hogben (1970); Aaboe (1984); Eves (1995) e
Guedy (1999), o teorema sobre os lados do triângulo retângulo, denominado de
teorema de Pitágoras já era conhecido pelos egípcios e também pelos babilônios, há
pelo menos 1000 anos antes à época em que viveu Pitágoras. Mas atribui-se a
Pitágoras sua descoberta, pois se supõe que a demonstração formal foi feita por ele.
O teorema antes da época da escola pitagórica era expresso em relações como:
3
2
+ 4
2
= 5
2
e 1
2
+ (
4
3
)
2
= (1
4
1
)
2
.
b
h
a
177
Em Aaboe encontramos a cópia de um tablete da Babilônia Antiga, figura 10
a
,
que apresenta uma das características mais relevantes da matemática suméria: o
uso do sistema de numeração posicional. Isto possibilitava o cálculo do valor
numérico de grandezas geométricas com uma precisão admirável para a época. Um
exemplo notável pode ser visto no tablete sumeriano da Yale Babylonian Collection,
catalogado sob a sigla YBC7289.
Nele vemos representado um quadrado, suas duas diagonais e três números
escritos no sistema sexagesimal sumeriano. Nessa notação os algarismos do
sistema sexagesimal são indicados por 0, 1, 2, ..., 9, 10, 11, 12, ...,59, e a vírgula
separa as casas.
F
ig. 11
b
Fig. 11
a
178
A figura 11
b
, apresentada acima, mostra um desenho esquemático do tablete
sumério YBC7289, mostrando um quadrado, suas duas diagonais, e três números
sexagesimais, um sendo o valor do lado do quadrado, outro uma aproximação do
valor de
2 , e o terceiro uma aproximação do valor de sua diagonal.
Calculando na base sexagesimal temos:
Portanto,
c = a
u b
Por outro lado, interpretando a figura 10
b
, considerando c como valor da
diagonal do quadrado de lado a, temos:
c = a
2
Assim, relacionando c = aub e c = a 2 , vemos que b deve ser uma
aproximação de 2 . É importante lembrar que os sumérios não tinham notação
para separar a parte inteira da parte fracionária na representação escrita dos
números, portanto, passamos a interpretar a, b e c como:
a = (0;30)
60
b = (1;24;51;10)
60
c = (0;42;25;35)
60
Partindo desse ponto, temos que [(1;24;51;10)
60
]
2
= (1;59;59;38;1;40)
60
,
resultando na aproximação de raiz quadrada de dois,
2 § (1;24;51;10)
60
, no
sistema decimal equivale a
2 § 1 +
60
24
+
2
60
51
+
3
60
10
§ 1,414212963.
Comparando com
2 § 1,414213562 r 10
-9
, percebemos que a aproximação
calculada pelos sumérios tem erro menor do que 10
-6
. O que podemos considerar
como um cálculo muito preciso para época.
1, 24, 51, 10
x 30
5, 0
25, 30
12
30
42, 25, 35,
179
Equações Irracionais
As equações são freqüentemente designadas segundo o tipo de funções
nelas envolvidas. Assim, uma equação diz-se irracional se a(s) incógnita(s) surge(m)
sob um radical.
Exemplos:
a)
12 x = x + 2;
b)
5x = 3x
c)
42 x = 12 x
Para resolver uma equação irracional é necessário:
(i) Organizar os termos de modo a que pelo menos um dos membros
contenha apenas um radical;
(ii) Elevar ambos os membros da equação à potência que é igual ao
índice do radical;
(iii) Se ainda restarem radicais, repetir (i) e (ii) com o objetivo de
eliminá-los;
(iv) Resolver a equação obtida.
A equação diz-se racionalizada quando todos os radicais tiverem sido
eliminados. É sempre necessário verificar se cada uma das soluções obtidas para a
equação racionalizada é também solução da equação original, pois ao elevarmos
ambos os membros da equação a uma potência, podemos correr o risco de estar
introduzindo novas raízes à equação.
Exemplo:
Resolver a equação
22 x + 3x = 2. Seguindo os procedimentos
descritos, temos:
22 x + 3x = 2
22 x = 2 - 3x
[ 22 x ]
2
= [2 – ( 3x )]
2
2x - 2 = 4 – 4. 3x + x – 3
x – 3 = - 4
3x
(x – 3)
2
= [- 4( 3x )]
2
180
x
2
– 6x + 9 = 16x – 48
x
2
– 22x + 57 = 0
Resolvendo a equação, verificamos que as raízes da equação obtida
(racionalizada) são: x = 3 e x = 19. No entanto, substituindo na equação original x
por cada um destes valores, facilmente verificamos que x = 3 é raiz desta e
x = 19 não o é.
Em relação à utilização deste tipo de equação no dia-a-dia, considera a
seguinte situação: Um vazamento de petróleo em uma plataforma na Bacia de
Campos, Rio de Janeiro, está formando uma mancha circular de petróleo à
superfície das águas. Quando os técnicos a detectaram, a mancha já tinha uma
superfície de 157 metros quadrados. A superfície da mancha cresce à velocidade de
5 metros quadrados por minuto. Se determinarmos a função que dá o raio da
mancha em função do tempo t decorrido desde que foi dado o alerta chegamos à
expressão
S
1575 t
. Supondo que os técnicos garantem que vão conseguir reparar
a avaria antes que a mancha tenha um raio de 20 metros, qual é o tempo de que
dispõem para cumprir a promessa? Para responder a esta questão temos que
resolver a equação
S
1575 t
=20, ou seja, estamos diante da necessidade de
resolver uma equação irracional.
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