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Raquel Rodrigues Santos
Técnicas de modelagem do improvement para construção
de tábuas geracionais
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de
Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-
Rio.
Orientadora: Fernanda Chaves Pereira
Rio de Janeiro, agosto de 2007
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Raquel Rodrigues Santos
Técnicas de modelagem do improvement
para construção
de tábuas geracionais
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-
Graduação em Ciências Atuariais do Instituto de
Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-
Rio.
Prof.ª Fernanda Chaves Pereira
Orientadora e Presidente
Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuarias - PUC-Rio
Prof. Cristiano A. C. Fernandes
Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuarias e Departamento de
Engenharia Elétrica - PUC-Rio
Prof. Renato Martins Assunção
Coordenador do Curso de Ciências Atuariais da Universidade Federal de
Minas Gerais – UFMG
Rio de Janeiro, 31 de agosto de 2007
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Resumo
Santos, Raquel Rodrigues. Técnicas de modelagem do improvement para
construção de tábuas geracionais. Rio de Janeiro, 2007. 70p. Dissertação
de Mestrado – Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Melhorias da mortalidade vêm sendo observadas em praticamente todo o
mundo desde o início do século XX e impactam diretamente o resultado dos
cálculos atuariais. A incorporação das tendências futuras da mortalidade no
cálculo atuarial é possível através do uso de tábuas de mortalidade geracionais,
que fornecem probabilidades de morte baseadas não só na idade x do indivíduo,
como também no tempo t. O estudo aborda técnicas para projeção da mortalidade
e consequente determinação dos fatores de improvement, utilizados para tornar
uma tábua de mortalidade na forma geracional. As metodologias Lee-Carter e
modelos lineares genralizados são utilizadas para construir previsões de
mortalidade com base na experiência de mortalidade da população da Inglaterra e
País de Gales da última metado do século passado.
Palavras-chave
tábuas geracionais; improvement; previsão; projeção da mortalidade; Lee-
Carter; modelos lineares generalizados.
Abstract
Santos, Raquel Rodrigues. Modeling the improvement of mortality rates
on life tables’ construction. Rio de Janeiro, 2007. 70p. MsC Thesis -
Instituto de Gestão de Riscos Financeiros e Atuariais da PUC-Rio,
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
By the beginning of the 20
th
century, improvement of mortality started
rising around the Globe which is directly impacting the results of actuarial
calculus. The trend of mortality can be incorporated to actuarial calculus through
the use of generation mortality tables, that consider not only the age x of the
individual but also the time t. This study shows techniques to project the mortality
and the improvement factors used to turn a mortality table into a generational one.
The methodologies Lee-Carter and generalized linear models were used to
forecast mortality by using the England and Wales mortality experience of the
past half century.
Keywords
generational tables; improvement; forecast; mortality projection; Lee-Carter;
generalized linear models.
Sumário
1 Introdução e motivação 9
2 Tendências da mortalidade 14
2.1. Noções básicas de matemática atuarial 14
2.2. Panorama da mortalidade 17
2.3. Tábuas de mortalidade estáticas versus geracionais 21
3 Métodos de projeção da mortalidade 25
3.1. Método Lee-Carter 28
3.2. Utilização de modelos lineares generalizados 35
4 Dados 40
5 Resultados 43
5.1. Lee-Carter 43
5.2. Modelos Lineares Generalizados 58
6 Conclusão 64
7 Referências Bibliográficas 65
Apêndice I – Estimativas dos parâmetros LC 68
Lista de figuras
Figura 1 – Evolução da expectativa de vida mundial (1700-2050) 10
Figura 2 – Expectativa de vida por países (2005) 18
Figura 3 – Mudanças na curva da função de sobrevivência 19
Figura 4 – Expectativa de vida feminina e masculina aos 60 anos 19
Figura 5 – Projeção da população brasileira (2050) 20
Figura 6 – Probabilidades de morte: tábuas estáticas x tábuas geracionais 23
Figura 7 – Comparação entre tábuas de mortalidade (60-80 anos) 24
Figura 8 – Evolução das taxas cruas de mortalidade femininas 42
Figura 9 – Evolução das taxas cruas de mortalidade masculinas 42
Figura 10 – Coeficientes
x
estimados por sexo (1950-2003) 44
Figura 11 – Coeficientes
t
estimados por sexo (1950-2003) 45
Figura 12 – Coeficientes
x
estimados, por sexo (1950-2003) 45
Figura 13 – Coeficientes
t
reestimados (1950-2003) 46
Figura 14 – Correlograma da série
t
feminina 47
Figura 15 – Correlograma da série
t
masculina 48
Figura 16 – Teste de normalidade dos resíduos – Série fem
t
51
Figura 17 – Teste de normalidade dos resíduos – Série masc
t
51
Figura 18 – Previsão out-of-sample da série fem
t
53
Figura 19 – Previsão out-of-sample da série masc
t
53
Figura 20 – Previsão da série fem
t
(2004 – 2028) 54
Figura 21 – Previsão da série masc
t
(2004 – 2028) 55
Figura 22 – Probabilidades de morte q
x
, na escala logaritmica, projetadas via
método LC 56
Lista de tabelas
Tabela 1 – Tábua de mortalidade para a População dos Estados Unidos 1979-1981
22
Tabela 2 – Expectativa de vida aos 55 anos: AT-83M e RP-2000 Geracional 24
Tabela 3 – Estimação dos parâmetros - processo ARIMA(0,1,1), série fem
t
49
Tabela 4 – Estimação dos parâmetros - processo com tendência linear, série fem
t
49
Tabela 5 – Estimação dos parâmetros - modelo ajustado para a série masc
t
50
Tabela 6 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série fem
t
50
Tabela 7 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série masc
t
51
Tabela 8 – Medidas de aderência no período out-of-sample 52
Tabela 9 – Coeficientes estimados para os modelos preditivos finais 54
Tabela 10 – Deviance e AIC – polinômios preditivos femininos 58
Tabela 11 – Deviance e AIC – polinômios preditivos masculinos 59
Lista de quadros
Quadro 1 – Estimação dos parâmetros GLM feminino 60
Quadro 2 – Estimação dos parâmetros GLM masculino 61
Quadro 3 - Estimação dos parâmetros GLM feminino com termo de interação 62
Quadro 4 – Estimação dos parâmetros GLM masculino com termo de interação 62
Introdução e Motivação 9
1
Introdução e motivação
No século XX, reduções na mortalidade e conseqüentes aumentos na
expectativa de vida atingiram níveis que não se podia imaginar alcançar há alguns
anos. Dois acontecimentos causaram a redução da mortalidade: o controle de
doenças infecciosas que atingiram principalmente as idades mais jovens na
primeira metade do século XX e a redução da mortalidade nas idades mais
avançadas. Segundo Alves (2006), sem dúvida, a redução das taxas de
mortalidade e o aumento da esperança de vida foram além das perspectivas mais
otimistas. Para um brasileiro nascido durante a Segunda Guerra Mundial, a
expectativa de vida ao nascer era de apenas 39 anos; hoje, esta encontra-se acima
dos 70 anos. De acordo com o estudo “Indicadores Sócio-demográficos
Prospectivos para o Brasil 1991-2030”, projeto do IBGE em parceria com o
Fundo de População da ONU, a expectativa de vida dos brasileiros em 2030 será
de 78,3 anos. O estudo mostra também que, ainda que apontando para uma
diminuição, as diferenças entre as vidas médias de homens e mulheres, a favor do
sexo feminino, permanecerão relativamente elevadas até 2030. A Fig.1 ilustra, a
nível mundial, a evolução da expectativa de vida ao nascer da população. Uma
melhora de cerca de 10% é observada no século XIX, mas é no século XX que o
avanço é significativo. Um aumento de mais de 100% na expectativa de vida em
100 anos nunca tinha acontecido antes na história da humanidade e,
provavelmente, nunca mais aconteça no futuro. As projeções indicam que a
expectativa de vida da população mundial deve continuar aumentando, embora em
ritmo mais lento, devendo chegar a 75 anos no ano 2050. Nos Estados Unidos, a
expectativa de vida à idade 65 vem aumentando 1 mês a cada 18 meses (Watson
Wyatt, 2007). É uma conquista, mas qual o impacto disso na razão de
dependência? O que isso significa para o custo dos planos de previdência e saúde?
Introdução e Motivação 10
27 27
30
46
65
75
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1700 1800 1900 1950 2000 2050
Figura 1 – Evolução da expectativa de vida mundial (1700-2050)
Fonte: FMI, World Economic Outlook setembro 2004, www.imf.org
A diminuição da mortalidade é uma grande conquista para o ser humano
que sempre lutou pela ampliação da sobrevivência. Contudo, as mudanças na
mortalidade afetam claramente a precificação e as obrigações financeiras
calculadas para entidades de previdência e seguradoras. O aumento da expectativa
de vida nas idades mais avançadas é hoje uma das maiores preocupações dos
técnicos com o custo das aposentadorias e reflete a necessidade de reformulação
do cálculo atuarial, para que passe a incorporar tal tendência demográfica. Uma
pesquisa desenvolvida em 2000 (Society of Actuaries, 2003) com 67 companhias
seguradoras de vida situadas nos Estados Unidos e Canadá, revelou que 45% delas
incorporavam a evolução da sobrevivência em seus cálculos. Entretanto, de 2004
até hoje, esse percentual já se elevou e atualmente é comum a inclusão das
tendências de melhoria da mortalidade nos cálculos atuariais em países como
Estados Unidos e Canadá.
No Brasil, a adaptação do cálculo atuarial para inclusão da tendência de
melhoria da mortalidade ainda não vem sendo adotada pela maioria das
seguradoras e entidades de previdência. No caso das seguradoras, em relação ao
produto seguro de vida, tal fato não deixa de ser uma medida de conservadorismo
pois, desta forma, a seguradora já se prepara para fazer juz à indenização pelo
falecimento dos segurados antes do período necessário. Uma vez que o
falecimento do segurado provavelmente ocorrerá após a data prevista quando não
Introdução e Motivação 11
considerada a melhoria da mortalidade nos cálculos, o prêmio pago pelo segurado
deveria ser menor do que o efetivamente cobrado caso a redução da mortalidade
não fosse considerada na época da formulação do seguro. Na contramão, há as
entidades de previdência que muitas vezes garantem pagamento de anuidades
vitalícias enquanto o participante sobreviver após a data de aposentadoria e, nesse
caso, a subestimação da sobrevivência dos participantes afeta diretamente a saúde
financeira das entidades.
O impacto do risco de longevidade
1
será maior quando incidir sobre planos
de benefício definido (BD). As melhorias na mortalidade passam a representar
uma surpresa cruel, pois os planejamentos das entidades de previdência para
pagamento de benefício têm sido feitos com base em expectativas de vida mais
modestas. No Brasil, a histórica taxa de juros alta minimiza os efeitos da
subestimação da sobrevivência, pois o retorno dos investimentos acima do
esperado supera a perda conseqüente da adoção de uma hipótese de mortalidade
superestimada. No entanto, o atual cenário de queda da taxa de juros na economia
agrava o impacto do aumento da sobrevida em um plano de previdência. Em
entrevista (Antolín, 2006), o economista Pablo Antolín afirmou que cálculos
mostram que um aumento não previsto de um ano na expectativa de vida no
decorrer de uma década pode elevar o Valor Atual Líquido das despesas anuais
com benefícios em até 10%. O cálculo atuarial visa ao longo prazo: escolhas mal
feitas hoje podem gerar conseqüências desastrosas amanhã. Ao reconhecer que há
tendências de melhoria da mortalidade, é importante tentar antecipar-se a elas para
minimizar a discrepância dos cálculos atuariais no médio/longo prazo. Mas, como
incluir a tendência de melhoria da mortalidade no cálculo atuarial?
____________________________________________________________
1
A longevidade é definida como o alcance da vida humana, a duração. O risco de longevidade é
caracterizado pelo não reconhecimento do aumento da longevidade nos cálculos atuariais. Para
maiores detalhes, ver Willets et.al. (2004).
Introdução e Motivação 12
As inclusões das tendências da mortalidade no cálculo atuarial são feitas
através do uso das tábuas de mortalidade desenvolvidas para tal fim. As tábuas,
quando não incluem alterações das probabilidades de morte ao longo do tempo,
são denominadas tábuas estáticas. Ainda que os sistemas de seguridade brasileiros
procurem utilizar tábuas estáticas construídas com base em períodos mais recentes
de observação, estas não consideram as tendências de mudança da mortalidade no
tempo, criando o risco de subestimação da probabilidade de sobrevivência e
conseqüente determinação de contribuições/reservas inadequadas. Para afrontar
esse risco de subscrição, faz-se necessária a construção de tábuas de mortalidade
que incluam as tendências de melhoria da mortalidade no tempo, que são
denominadas tábuas geracionais, dinâmicas ou bidimensionais. A idéia é que além
da idade x, a época t futura em que se assume a morte ou sobrevivência do
participante também passe a ser considerada nas tábuas de mortalidade então
denominadas geracionais, que são construídas com base em projeções. Uma breve
descrição das tábuas de mortalidade é feita na Seção 2.3.
Há diversas metodologias sendo estudadas que possibilitam a avaliação do
improvement nas tábuas de mortalidade. O termo improvement vem do inglês,
signficando melhoria, e no que se refere à mortalidade o termo é utilizado
internacionalmente para fazer referência à melhoria da mortalidade. Nesse estudo,
objetiva-se disseminar o conceito de tábuas geracionais e utilização de fatores de
improvement na literatura atuarial brasileira, onde tais conceitos são ainda
incipientes. Através da experiência de mortalidade da Inglaterra e País de Gales da
última metade do século XX, verifica-se como as aproximações pelo método Lee-
Carter e por modelos lineares generalizados podem ser utilizadas para a projeção
da mortalidade e conseqüente construção de tábuas geracionais. No método Lee-
Carter, parte-se de um modelo demográfico para modelagem das taxas de
mortalidade e depois são feitas previsões futuras dessas taxas através da análise de
séries temporais. Na utilização dos modelos lineares generalizados, as taxas de
mortalidade são projetadas por modelos de regressão de poisson. Estima-se então
fatores de improvement, que são aplicados às taxas de mortalidade de um período-
base, projetando-as e possibilitando a construção das tábuas geracionais. Os
fatores de improvement indicam o quanto se deve reduzir a probabilidade de
Introdução e Motivação 13
morte prevista na tábua de mortalidade a cada ano para que a nova probabilidade
obtida seja coerente com aquela esperada para o período avaliado.
O presente trabalho está estruturado na seguinte forma: no capítulo 2,
buscou-se relatar um pouco da tendência do comportamento da mortalidade no
Brasil e no mundo; as metodologias de projeção da mortalidade, incluindo Lee-
Carter e modelos lineares generalizados, estão descritas no capítulo 3; o
detalhamento dos dados da Inglaterra e País de Gales utilizados para a aplicação
das metodologias é feito no capítulo 4; no capítulo 5, encontram-se os resultados
da aplicação das metodologias propostas e, por fim, são apresentadas as
conclusões do estudo no capítulo 6 e as referências bibliográficas no capítulo 7.
Tendências da mortalidade 14
2
Tendências da mortalidade
2.1.
Noções básicas de matemática atuarial
Nesta seção, define-se alguns conceitos importantes dentro da matemática
atuarial e que serão abordados no presente trabalho. Para as notações, buscou-se
atender as convenções determinadas pelo International Actuarial Association’s
Permanent Committee on Notation.
Função de sobrevivência
A função de sobrevivência é denotada por s(x) e representa a probabilidade
de um recém-nascido sobreviver até a idade x. O símbolo (x) é utilizado para
denotar uma vida à idade x.
Considerando que a idade de morte X de uma pessoa recém-nascida é uma
variável aleatória contínua e sendo F
x
(x) a função de distribuição de X:
)xXPr()x(F
x
, x ≥ 0.
A função de sobrevivência é definida como:
)xXPr()x(F1)x(s
x
, x ≥ 0.
Por convenção, F
x
(0) = 0, o que implica em s(0) = 1.
Probabilidade de morte
O tempo futuro de vida de (x), X – x, é denotado por T(x). A probabilidade
de tempo futuro de vida T(x) se relaciona da forma:
)n)x(TPr(q
xn
,
)n)x(TPr(q1p
xnxn
, n ≥ 0.
O símbolo
n
q
x
representa a probabilidade de (x) morrer dentro de n anos.
Por outro lado,
n
p
x
é a probabilidade de (x) chegar vivo à idade x+n. Quando n=1,
convencionalmente é omitido o prefixo na simbologia, denotando-se
simplesmente q
x
e p
x
.
Tendências da mortalidade 15
A probabilidade de morte relaciona-se à função de sobrevivência através da
igualdade:
xnxn
q1
)x(s
)nx(s
p
Força de mortalidade
A força de mortalidade, denotada por
x
, mede a intensidade da morte
instantânea. Ela expressa a probabilidade condicional de (0) morrer entre as
idades x e z, dado que ela já sobreviveu até a idade x e assumindo que o intervalo
(z – x) tende a zero. Algebricamente, tem-se:
)x(s
)x('s
)x(F1
)x(F)z(F
lim
x
xx
xz
x
A força de mortalidade também é denominada “taxa de falha” em análises
de sobrevivência e confiabilidade. Formas de equivalência das equações expostas
acima podem ser obtidas através das seguintes fórmulas:
dspq
sx
t
0
xtxt
)dsexp(p
sx
t
0
txt
Taxas centrais de mortalidade
Para calcular as taxas brutas centrais de mortalidade no período de 1 ano,
precisa-se do número de mortes no ano e da quantidade central de expostos ao
risco de morte no meio do ano (Neves, 2005). A taxa central de mortalidade à
idade x é então definida pela razão:
x
x
x
L
d
m
,
onde m
x
é a taxa central de mortalidade à idade x, d
x
é o número de mortes
observadas de pessoas com idade x e L
x
é aproximadamente a quantidade de
pessoas expostas ao risco de morte no meio do ano. A função L
x
é derivada da
função básica l
x
das tábuas de mortalidade. Tem-se que:
2
ll
L
1xx
x
, onde l
x
é a
quantidade esperada de sobreviventes à idade x e l
x+1
é a quantidade esperada de
Tendências da mortalidade 16
sobreviventes à idade x+1, dado que se iniciou a coorte hipotética com l
0
indivíduos com zero ano.
As taxas de mortalidade m
x
são caracterizadas como uma forma discreta da
força de mortalidade
x
. As duas funções se relacionam da forma:
1
0
xn
1
0
nxxn
x
dnp
dnp
m
Se a força de mortalidade
x
assume valor constante no tempo, temos:
nxxn
1
0
xn
1
0
xnnx
xn
m
dnp
dnp
m
As taxas centrais de mortalidade também possuem relação com as
probabilidades de morte. Partindo-se do pressuposto que m
x
varia linearmente no
intervalo (x, x+n), concluímos que as mortes possuem uma distribuição uniforme
entre x e x+n. Temos:
xn
nxx
xn
L
ll
m
)p1(n
q2
n2/)ll(
ll
m
xn
xn
nxx
nxx
xn
Isolando
n
q
x
na equação, temos:
xn
xn
xn
mn2
mn2
q
Expectativa de vida
A expectativa de vida à idade x, denotada por e
x
, indica o tempo futuro de
vida esperado de (x), X – x. Através das funções de uma tábua de mortalidade, e
x
é obtida pela relação:
x
x
o
l
T
e ,
Tendências da mortalidade 17
onde T
x
representa a função “anos-pessoas”, indicando o total de anos
vividos pela coorte l
x
entre as idades x e a última idade prevista na tábua de
mortalidade.
2.2.
Panorama da mortalidade
O Brasil tem apresentado expectativa de vida acima da média mundial,
mas tem estado em uma situação um tanto desconfortável quando comparado aos
países latino-americanos e caribenhos. Segundo o estudo do IBGE em parceria
com a ONU, vários países possuíam, em 2005, expectativas de vida superiores às
do Brasil, estimada em 72,05 anos, na época. De acordo com as estimativas
apresentadas pela ONU para o período 2000-2005, o Brasil ocupou a 82ª posição
no ranking de 192 países ou áreas no que diz respeito à expectativa de vida. A
Fig.2 exibe um comparativo entre as expectativas de vida de alguns países latino-
americanos e caribenhos, e também do Japão e dos Estados Unidos. O Japão foi
incluído no gráfico por representar a primeira colocação no ranking mundial de
expectativa de vida em 2005, e a inclusão dos Estados Unidos justifica-se pelo
fato da maioria dos Atuários brasileiros adotarem tábuas de mortalidade baseadas
em experiências de mortalidade norte-americanas. A diferença na expectativa de
vida entre os países mais e menos desenvolvidos vem diminuindo. Essa queda é
naturalmente inevitável dada a tendência de envelhecimento global, pois as
expectativas de vida dos países com população mais idosa crescem menos.
Tendências da mortalidade 18
81,9
78,1
77,2
75,3
74,9
74,3
72,8
72,2
71,9
77,6
77,9
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
Japão Costa Rica Chile Estados
Unidos
Cuba Uruguai México Argentina Venezuela Colômbia Brasil
Figura 2 – Expectativa de vida por países (2005)
Fonte: IBGE
Seguindo a tendência mundial, no Brasil vem sendo verificado o aumento
da sobrevida das pessoas com idades mais avançadas, bem como o aumento do
número de pessoas que atingem tais idades, caracterizando dois fenômenos que
vêm ocorrendo concomitantemente, denominados, respectivamente, por
“expansão” e “retangularização” da função de sobrevivência. A Fig. 3 representa
as funções de sobrevivência s(x) afetadas pelos dois fenômenos. A
“retangularização” da curva de sobrevivência refere-se ao fato de estar ocorrendo
uma grande concentração de mortes em torno de uma idade média de morte
(ponto Lexis), a partir da qual a linha começa a se curvar. Até chegar nesse ponto
médio, as probabilidades de sobrevivência também vêm aumentando. Um maior
volume de pessoas atingem as idades mais avançadas. A “expansão” da função de
sobrevivência é caracterizada pela elevação da idade limite que a população
alcança. O envelhecimento populacional vem sendo evidenciado pela atuação
desses dois fatores. Enquanto o indivíduo envelhece à medida em que a sua idade
aumenta, e este é um processo irreversível, a população, como coletivo, envelhece
à medida em que aumenta a idade média das pessoas que a compõem. O
sustentado aumento da idade média que caracteriza o envelhecimento
Tendências da mortalidade 19
populacional ocorre ao aumentar o peso relativo dos idosos no total da população
(Wong & Moreira, 2000).
1
Expansã o
Retangularização
1
0
0
ω ω
ω'
Idade
S
x
Figura 3 – Mudanças na curva da função de sobrevivência
A evolução da sobrevida brasileira para a população aos 60 anos no
período 1991-2030 é demonstrada na Fig. 4. Observa-se claramente o aumento da
expectativa de sobrevida da população “idosa” e a diferença entre os valores
apontados para as mulheres e os homens.
15
17
19
21
23
25
27
Homens
17,41 18,02 18,85 19,31 19,77 20,22 20,66 21,07 21,47
Mulhere s
19,96 20,76 21,75 22,42 23,09 23,74 24,35 24,93 25,46
1991 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030
Figura 4 – Expectativa de vida feminina e masculina aos 60 anos
Ilustrando também a questão do aumento do número de pessoas que estão
atingindo idades mais avançadas, temos a previsão mostrada na Fig. 5. Percebe-se
Tendências da mortalidade 20
que é previsto um aumento de cerca de 30% da população jovem-adulta (15 a 64
anos) entre os anos 2007 e 2050. Já para a população idosa, esperamos um
crescimento bastante significativo: superior a 300%, passando de 7,7 milhões para
34,3 milhões.
52
125,2
7,7
46
164,5
34,3
0
50
100
150
200
250
2007 2050
0 a 14 15 a 64 > 70
Figura 5 – Projeção da população brasileira (2050)
Fonte: IBGE
O aumento da expectativa de vida tem levantado a questão do limite
máximo para a idade dos seres humanos. Na verdade, várias tentativas de se
estabelecer tais limites foram ultrapassadas rapidamente (Olshansky , 1988). O
Professor Jay Olshanksy, da Universidade de Illinois afirma que a mortalidade
não manterá sua taxa corrente de melhoria. As principais razões que ele aponta
são a obesidade, a disseminação de doenças e, o mais importante, a existência de
um limite biomédico para a duração da vida humana. O Professor Shripad
Tuljapurkar da Universidade de Stanford, na Califórnia, assume que a duração da
vida humana aumentará linearmente às taxas correntes até 2010, mas ele acredita
que tecnologias anti-idade se tornarão então disponíveis e prolongarão a vida
ainda mais. Segundo ele, drogas e terapias vão fazer com que a mortalidade
decline 5 vezes mais rápido do que taxas históricas, entre 2010 e 2030
Tendências da mortalidade 21
(Tuljapurkar, 1998). Os pesquisadores Jim Oeppens, da Universidade de
Cambridge na Inglaterra, e James Vaupel, do Instituto Max Planck para Pesquisa
Demográfica na Alemanha, contrariam as tentativas de se estabelecer limites para
a idade máxima do ser humano e concluíram que ainda estamos longe do limite do
crescimento da expectativa de vida. Eles apontam que a expectativa de vida vem
crescendo de forma aproximadamente linear de 1840 até hoje. “Se estivéssemos
perto do limite, essa linha deveria já ter começado a se curvar, mas não há sinais
disso” (Oeppens & Vaupel, 2002).
2.3.
Tábuas de mortalidade estáticas versus geracionais
Como já mencionado na seção 1, a inclusão nos cálculos atuariais da
tendência da mortalidade ao longo do tempo é feita através das tábuas de
mortalidade. Para estimar a sobrevida de um indivíduo quando da contratação de
um plano de previdência, associa-se a cada um dos seus possíveis anos de
falecimento uma probabilidade de morte, retirada de uma ferramenta utilizada
pelo atuário conhecida como tábua de mortalidade, tábua de vida, tábua
biométrica ou demográfica. A tábua de mortalidade é um instrumento que resume
a experiência de mortalidade de uma população, informando as probabilidades
condicionais de morte nas diversas idades. Consiste em uma tabela que registra,
de um grupo inicial de pessoas da mesma idade, o número daquelas que vão
atingindo as diferentes idades até a extinção completa do referido grupo.
‘As probabilidades de morte são retiradas de tábuas de mortalidade, que
informam a probabilidade de morte por faixa etária, geralmente de um em
um ano, ou seja, a tábua informa, por exemplo, qual a probabilidade de
uma pessoa morrer entre 15 e 16 anos, entre 70 e 71 anos, até uma idade
denominada ômega (ω), que é o limite da tabela. Assume-se que, ao
alcançar a idade ω, a chance da pessoa morrer é 100% (cem por cento).
Outra informação muito importante trazida pelas tábuas é a esperança de
vida a partir de qualquer idade. Assim, é possível obter quantos anos
espera-se que uma pessoa vá viver ao se aposentar à idade Y, e,
conseqüentemente, calcular o custo de sua aposentadoria’
(Ferreira,1985).
Tendências da mortalidade 22
Por conta do aumento da longevidade, o Conselho de Gestão da
Previdência Complementar aprovou a resolução CGPC nº18, de 28/3/2006, que
elevou a tábua de mortalidade mínima a ser adotada pelos fundos de pensão
brasileiros. Antes, as regras exigiam que a premissa mínima adotada fosse a tábua
AT-49M, que prevê uma sobrevida de 18,5 anos para aqueles que chegam aos 60
anos. Com a nova regra, será preciso adotar, pelo menos, a AT-83, cuja sobrevida
prevista acima dos 60 anos é de 22,5 anos. A Resolução não exime as entidades da
responsabilidade de promoverem estudos sobre adequação de tábuas. Caso esse
estudo revele aderência a alguma tábua com expectativa de vida inferior à da AT-
83, ou se mostre não conclusivo, em função, por exemplo, do número reduzido de
expostos ao risco, a entidade deverá adotar a tábua AT-83 na avaliação dos
encargos de sobrevivência de válidos. Segundo o ex-secretário de Previdência
Complementar Adacir Reis (2006): "É de responsabilidade do fundo e de seus
administradores estudar a tábua que seja a mais adequada às suas necessidades e
nada impede que esta estime longevidade ainda maior que a da AT-83 (como a
AT-2000, por exemplo)".
O que ocorre na utilização das tábuas estáticas é que as probabilidades de
morte apontadas para cada idade se mantêm constantes ao longo do tempo. Por
exemplo, caso seja utilizada uma tábua estática, considera-se que a probabilidade
de uma pessoa de 80 anos morrer hoje antes de atingir a idade 81 é igual à de uma
pessoa de 80 anos morrer antes de atingir a idade 81 em qualquer época, seja há
10 anos ou daqui a 5, 10 ou 15 anos. Quando da utilização de tábuas estáticas, a
variação da mortalidade é inserida no cálculo atuarial somente quando da troca da
tábua de mortalidade adotada. E conforme relatado no parágrafo anterior, a
efetuação das trocas das tábuas adotadas vem sendo cada vez mais exigida pelos
órgãos regulamentadores, uma vez que a mortalidade está em movimento. A
Tabela 1 ilustra parcialmente uma tábua de mortalidade estática.
Tabela 1 – Tábua de mortalidade para a População dos Estados Unidos 1979-1981
x
n
q
x
l
x
n
d
x
n
m
x
n
L
x
T
x
e
x
0 0,01260 100000 1260 0,01260 98973 7387758 73,88
1 0,00093 98740 92 0,00093 98694 7288785 73,82
2 0,00065 98648 64 0,00065 98617 7190091 72,89
3 0,00050 98584 49 0,00050 98560 7091474 71,93
: : : : : : : :
.
.
.
.
.
.
.
.
Fonte: Bowers et al. (1997)
Tendências da mortalidade 23
As tábuas estáticas são obtidas a partir de dados coletados durante um
certo período enquanto as tábuas dinâmicas incorporam projeções futuras da
mortalidade. Claramente, em um ambiente onde a longevidade é crescente, temos:
t,kxkt,kx
qq
. Desta forma, é notório que as tábuas estáticas subestimam as
expectativas de sobrevida ou as contribuições relacionadas a planos de
previdência. A precificação de rendas vitalícias requer a utilização de tábuas
projetadas. As tábuas dinâmicas, ou geracionais, projetam a mortalidade para o
futuro, buscando-se antecipar ao aumento da longevidade. Os fatores de
improvement projetam a mortalidade para o ano em que esta será aplicada. Devido
à característica redutora dos fatores de improvement, a probabilidade de uma
pessoa com 80 anos em 2010 falecer é menor do que a de uma pessoa com 80
anos em 2007 falecer, pois foi introduzida a melhoria gradual da mortalidade nos
3 anos. A Fig. 6 ilustra o comportamento das probabilidades de morte previstas
em tábuas estáticas e em tábuas geracionais
x+4
x+3
x+2
x+1
x
t t+1 t+2 t+3 t+4
q
x+2,t+2
q
x+3,t+3
q
x+1,t+1
q
x,t
q
x+1,t
q
x+2,t
q
x+3,t
Figura 6 – Probabilidades de morte: tábuas estáticas x tábuas geracionais
Vários estudos estão sendo realizados e algumas tábuas geracionais já
foram publicadas, como a RP-2000, publicada pela Society of Actuaries (SOA)
em 2003. Esta tábua foi construída com base em um período mais recente de
observação (1990-1994) e teve por base experiências somente de populações
pertencentes a fundos de pensão. Juntamente com a tábua de mortalidade, a SOA
publicou uma escala de projeção da mortalidade denotada por AA
x
, contendo os
Tendências da mortalidade 24
fatores de improvement a serem aplicados nas probabilidades de morte em cada
idade para projetá-las a partir do ano-base 2000, tornando a tábua de mortalidade
geracional. A Tabela 2 fornece a expectativa de vida aos 55 anos esperada para
indivíduos nascidos em diferentes anos, pela tábua AT-83 masculina, que é
estática, e pela tábua RP-2000 masculina geracional. A Fig. 7 ilustra o
comportamento das probabilidades de morte previstas nas tábuas estáticas AT-
83M e UP-94M, bem como na tábua RP-2000 estática e geracional. Nota-se a
melhoria gradual sendo incorporada à sobrevivência na tábua geracional.
Tabela 2 – Expectativa de vida aos 55 anos: AT-83M e RP-2000 Geracional
Idade
hoje
Expectativa de vida
aos 55 anos pela
AT-83M
Expectativa de vida
aos 55 anos pela
RP-2000 Geracional
Nascido em 1952
55 26,8 28,5
Nascido em 1962
45 26,8 29,4
Nascido em 1972
35 26,8 30,2
Nascido em 1982
25 26,8 31,0
Fonte: Watson Wyatt (2007) .......
.......
Figura 7 – Comparação entre tábuas de mortalidade (60-80 anos)
Fonte: Watson Wyatt (2007)
No capítulo seguinte, são apresentadas algumas das metodologias que vêm
sendo estudadas para projeção das taxas de mortalidade.
Métodos de projeção da mortalidade 25
3
Métodos de projeção da mortalidade
A projeção da mortalidade é importante não somente para os cálculos
atuariais, mas também para o planejamento econômico, para as políticas de
investimento do governo e empresas, etc. No século XX, a mortalidade global
declinou a uma taxa relativamente constante, entretanto observou-se uma
heterogeneidade no declínio dessa taxa em relação ao número de mortes por
idade, causas de mortes e ano-calendário (Hoeddemakers & Grzeorgz, 2002). Ao
tentar escolher um modelo para previsão da tendência da mortalidade, é
importante observar se o modelo escolhido vai refletir tal heterogeneidade.
Algumas questões são fundamentais quando se tenta prever a mortalidade futura:
a utilização de dados históricos seria capaz de prever toda a projeção da
mortalidade? Podemos assumir que as tendências passadas de queda da
mortalidade vão permanecer nas próximas décadas? Uma idade limite para
alcance da sobrevivência deve ser imposta no modelo de projeção ou talvez
algumas barreiras biológicas deveriam ser incluídas? Todas essas questões sem
resposta afetam a crença nas previsões de mortalidade sob uma perspectiva de
longo prazo. Entretanto, é necessário que sejam feitas previsões para um horizonte
médio de tempo, e deve-se tentar escolher um método de previsão que seja
apropriado.
A revisão de GAD (2001) classifica os métodos potenciais para projeção
das taxas de mortalidade em 3 tipos essenciais:
- métodos biomédicos, que se concentram nos fatores determinantes das
mortes e modelam as taxas de mortalidade sob uma perspectiva biomédica;
- métodos causais que empregam uma aproximação de previsão por causa,
utilizando variáveis tais como fatores econômicos e do meio-ambiente;
- métodos extrapolativos baseados nas tendências históricas de projeções
da mortalidade no futuro.
Métodos de projeção da mortalidade 26
Na prática, os modelos extrapolativos são os favoritos pela vasta maioria
dos demógrafos e atuários. A extrapolação provavelmente é a aproximação mais
confiável (Haberman, 2004). Os métodos extrapolativos podem ser dividos em:
- modelos paramétricos, que envolvem o ajuste de uma curva/superfície
parametrisada aos dados para os primeiros anos, e depois projeta-se esses
parâmetros para o futuro;
- métodos targeting, que envolvem interpolação entre as taxas de
mortalidade atuais e um conjunto de taxas esperadas, as quais assume-se que vão
permanecer em uma data futura; e
- métodos de tendência que envolvem projeção de tendências históricos
para o futuro.
Todos esses métodos podem ser determinísticos ou estocásticos e incluem
um significante elemento subjetivo (MacDonald & Richards, 2004).
Alguns métodos paramétricos podem ser obtidos facilmente com a
utilização dos Modelos Lineares Generalizados (GLM). Assume-se geralmente
que o número de mortes, quando a exposição central ao risco de morte é
conhecida, segue uma distribuição Poisson. Dessa forma, são obtidas estimativas
futuras da mortalidade ajustando-se uma regressão de Poisson. Um método
alternativo foi proposto por Lee e Carter em 1992, combinando uma aproximação
paramétrica com análise de séries temporais.
As duas metodologias - GLM e Lee Carter - têm em comum a introdução
dos fatores de improvement, também conhecidos como fatores de redução
(reduction factors) conforme publicado pelo Continuous Mortality Investigation
Bureau - CMIB (Haberman & Fupuy, 2004), órgão de pesquisa em mortalidade
que publica tábuas de mortalidade no Reino Unido. De acordo com a prática
atuarial do Reino Unido e dos Estados Unidos, os fatores de improvement são
aplicados às taxas de mortalidade de referência a fim de ajustá-las para períodos
futuro. Podemos ver a aplicabilidade do fator de improvement (FI) pela equação:
0t),t,x(FIqq
0,xt,x
,
sujeita à restrição FI(x,0) = 1 para todo x. A monotonicidade decrescente e a
restrição 0< FI(x,t) 1
x, t > 0 são implícitas na relação. Convencionalmente,
q
x,0
é determinado por graduação, a partir das taxas cruas de mortalidade. A
graduação é a técnica utilizada para suavização de curvas de mortalidade, fazendo
Métodos de projeção da mortalidade 27
com que as probabilidades de morte graduadas sejam monotonicamente crescentes
em relação à idade, correspondendo ao que se espera da mortalidade humana, pelo
menos nas faixas etárias de interesse do mercado (Neves, 2005).
O CMIB, tem considerado melhorias futuras da mortalidade em suas
publicações mais recentes. Dois dos últimos conjuntos de tábuas publicadas pelo
CMIB, com base na experiência dos períodos 1979-1982 e 1991-1994,
denominadas, respectivamente, Series “80” e “92”, incluem uma formulação
explícita para projetar taxas de mortalidade. A modelagem do FI(x,t) foi feita da
seguinte forma:
,)]x(f1[)]x(1[)x()t,x(FI
n/t
n
)t,x(FIqq
0,xt,x
.
O fator de improvement FI(x,t) foi definido em termos de duas funções auxiliares,
(x) e f(x) e apresenta um decrescimento exponencial. Assume-se que a taxa de
mortalidade de longo prazo, quando t tende a infinito, para a idade x, será (x)
vezes a taxa base q
x,0
. Em adição, assume-se que a fração f(x) é um percentual que
indica a queda total (1-) que se espera ocorrer nos próximos n anos. Para a Série
“80”, (x) foi considerada uma função linear crescente da idade para 60 ≤ x ≤
110. Para x < 60 e para x > 110, a função assumiu valores constantes, na seguinte
forma:
110,1
11060,
100
10
60,5,0
)(
x
x
x
x
x
Na Série “92”, foram assumidos parâmetros diferentes da Série “80”. O valor para
n foi fixado em 20 e f(20) variou linearmente de 0,45 a 0,71 entre as idades 60 e
110. Idades abaixo de 60 e acima de 110 apresentaram um função constante. Os
valores de (x) foram também alterados. As equações abaixo mostram as
considerações utilizadas(me confudi nas caracteristicas da serie 80 e 92):
110,1
11060,
50
)110(
87,01
60,13,0
)(
x
x
x
x
x
Métodos de projeção da mortalidade 28
110,29,0
11060,
50
29,0)60(55)110(
60,55,0
)(
20
x
x
xx
x
xf
Os valores assumidos pelos parâmetros são resultados de análises de tendências
passadas de participantes de planos de previdência e na opinião de experts. O
CMIB recomendou a utilização dos mesmos fatores de redução para os homens e
as mulheres.
Nos Estados Unidos, uma aproximação similar tem sido comum. O Group
Annuity Valuation Table Task Force (1995) sugere a seguinte equação para
projeção das taxas de mortalidade:
FI(x,t) = (1-AA
x
)
t
,
onde AA
x
é denominado “annual improvement factor” e foi divulgado
separado por sexo.
Uma breve revisão das metodologias Lee-Carter e GLM, utilizadas para
estimação dos fatores de improvement, será acompanhada a seguir.
3.1.
Método Lee-Carter
Em 1992, Ronald Lee e Lawrence Carter desenvolveram um novo método
para modelagem e previsão da mortalidade, e o utilizaram para prever a
mortalidade dos Estados Unidos para o ano 2065 (Lee e Carter,1992). O método
Lee-Carter, ou simplesmente LC, é um dos estudos recentes mais influentes na
previsão de mortalidade (Haberman & Russolillo, 2005) e vem sendo adotado
para as previsões do United States Bureau of the Census, sendo uma referência
técnica no que se refere à previsão de mortalidade. O referido método é
extrapolativo, baseia-se nas experiências históricas da mortalidade para a previsão
da mortalidade futura. Nenhuma consideração é feita para a inclusão no modelo
de informações relativas aos avanços da medicina, mudanças comportamentais ou
influências sociais que afetem o comportamento da mortalidade. Como virtudes
do método, Lee e Carter destacam o fato de combinar um modelo demográfico
com um modelo de séries temporais, permitindo obter intervalos probabilísticos
para as respectivas previsões. O método também permite que as taxas de
mortalidade decresçam de forma exponencial sem o estabelecimento de um limite
Métodos de projeção da mortalidade 29
arbitrário, ou sem que seja necessário racionalizar de alguma maneira a
desaceleração dos ganhos na esperança de vida, uma vez que esta desaceleração
acontece naturalmente sem qualquer pressuposto adicional.
A metodologia descrita a seguir refere-se à metodologia LC clássica
proposta em 1992. Seja m
x,t
a taxa central de mortalidade para a idade x no ano t.
Ajusta-se a matriz de taxas de mortalidade pelo modelo demográfico:
txtxxtx
m
,,
)ln(
,
(1)
),0(N~
2
t,x
onde
x
,
x
e
t
são parâmetros do modelo e
x,t
é um termo de erro com
distribuição normal de média zero e variância constante σ
2
.
O conjunto de coeficientes
x
, que constitui um vetor de constantes
específicas para cada uma das idades, descreve a forma geral do perfil idade nas
taxas de mortalidade m
x,t
avaliadas ao longo do tempo. O parâmetro
t
representa
a variação no nível de mortalidade com o tempo, capturando a tendência temporal
principal da mortalidade. Já os parâmetros
x
descrevem a tendência da
mortalidade à idade x quando o nível geral de mortalidade
t
se altera, dizendo
quais taxas declinam rapidamente e quais declinam lentamente em resposta a
mudanças no parâmetro :
t
t
m
x
tx
)ln(
,
O termo de erro
x,t
, com média 0 e variância
2
, reflete as influências
históricas específicas por idade não capturadas pelo modelo. O modelo LC
também assume que todas as taxas de mortalidade específicas por idade
movimentam-se para cima e para baixo juntas, uma vez que são guiadas pelo
mesmo índice
t
. As taxas movem-se juntas na mesma direção, mas não
necessariamente nas mesmas proporções.
A primeira parte do ajuste do modelo LC consiste em estimar os parâmetros
x
,
x
e
t
.
Suponha que (, , ) é uma solução para o modelo sugerido em (1).
Então, para qualquer escalar c ≠ 0, (-c, , +c) também será uma solução, bem
como (c, c).
Métodos de projeção da mortalidade 30
O modelo demográfico LC não pode ser ajustado pelo método de regressão
simples, uma vez que não há variáveis observáveis no lado direito da eq. (1).
Sendo assim, são infinitas as possíveis soluções para a equação. Para se obter uma
única solução, são aplicadas as restrições de que a soma dos coeficientes
x
é
igual a 1, e a soma dos parâmetros
t
é igual a 0. Sob essas hipóteses, os
coeficientes
x
devem ser simplesmente os valores médios no tempo de ln(m
x,t
)
para cada x. Estima-se
x
como o logaritmo da média geométrica das taxas de
mortalidade, avaliadas sobre todo o tempo t, para cada x:
]mln[)mln(
h
1
h/1
t,x
tn
1tt
tn
1tt
t,xx
,
(3)
onde h é obtido da forma h = t
n
– t
1
.
Em adição,
t
deve ser igual à soma sobre as idades dos logaritmos das
taxas de mortalidade, subtraídos os coeficientes
x
:
x
xtxt
m ))(ln(
,
(4)
Para estimação dos coeficientes
x
, é feita a regressão de (ln(m
x,t
) –
x
) em
t
, sem o termo constante, separadamente para cada idade x. Mais precisamente,
estima-se
x
pela equação:
t,x
1
txxt,x
)mln( ,
onde
1
t
refere-se ao k estimado anteriormente através do método de
mínimos quadrados. Resumindo, escolhemos
x
que minimize:
21
1
,
1
2
,
1
,
)(
))(ln(
))(ln(
t
tn
tt
xtxt
x
tx
txxtx
m
m
(5)
Os coeficientes β
x
estimados exibem um padrão irregular na maioria dos
casos, o que produz tábuas de mortalidade projetadas irregulares. É interessante
que os coeficientes estimados sejam suavizados para projeção da mortalidade.
A segunda parte do ajuste do modelo Lee-Carter consiste em reestimar o
parâmetro
t
com base nos valores já estimados
x
^
e
x
^
. Nesta etapa da
estimação de
t
, procura-se por um parâmetro tal que:
Métodos de projeção da mortalidade 31
}e)exp({d
t,xt
^
x
x
^
x
t
,
(6)
onde d
t
é o número total de óbitos observado no ano t e e
x,t
corresponde à
população de idade x no tempo t.
De acordo com (Lee, 2000) há muitas vantagens em se fazer a estimação de
segundo estágio do parâmetro
t
dessa forma. Primeiramente, garante-se que as
tábuas de mortalidade ajustadas sobre os anos amostrados vão se ajustar ao
número total de mortes e à distribuição etária da população. Dado que a estimação
em primeiro estágio foi baseada no logaritmo das taxas de mortalidade e não nas
próprias taxas de mortalidade, podem ocorrer discrepâncias entre o número
observado e o estimado de mortes. Segundo, pode ser que em alguns períodos, a
distribuição etária da população e o número total de mortes sejam conhecidos,
mas as taxas de mortalidade específicas por idade não sejam. O modelo ainda
pode ser ajustado nesse caso. Esta característica é bem útil para previsão quando
há uma distância temporal entre a publicação de dados por órgão competente
referente ao número total de mortes e as taxas de mortalidade específicas por
idade.
Após o ajuste do modelo demográfico, o próximo passo é modelar o índice
de mortalidade
t
como um processo estocástico de série temporal. A princípio,
busca-se utilizar a modelagem usual Box-Jenkins (Box & Jenkins, 1970). Caso
esse não possua bom ajuste, procedimentos alternativos devem ser empregados.
No processo Box-Jenkins, é necessária a escolha de um modelo ARIMA (p,d,q)
que descreva bem o comportamento da nossa série
t
. Em grande parte das
aplicações, como em Lee & Carter (1992),
t
vem sendo bem modelado como um
ARIMA (0,1,0), conhecido como passeio aleatório com uma constante, na forma:
t1tt
uc
.
Para identificação de um modelo que se ajuste bem aos dados, os seguintes
passos são seguidos:
1) Análise gráfica da série e identificação de possíveis transformações
O primeiro passo é analisar graficamente o desenvolvimento da variável ao
longo do tempo, como ela se comporta e qual a sua tendência. Para a modelagem
da série através da metodologia Box-Jenkins, a série deve ser estacionária, ou seja,
Métodos de projeção da mortalidade 32
sua média, variância e autocovariâncias não devem depender do tempo. Para
verificação da estacionariedade da série, é importante uma análise da sua função
de autocorrelação amostral (FAC). Séries não-estacionárias (com raiz unitária) são
caracterizadas por uma FAC que decai lenta e linearmente. Um procedimento
mais formal para análise de estacionariedade é a realização de testes que avaliam a
hipótese de raiz unitária. Alguns dos testes clássicos mais utilizados para se testar
esta hipótese são os testes Augmented Dickey-Fuller (ADF), Dickey Fuller GLS
(DF-GLS) e Phillips-Perron (PP).
A estratégia geral no tratamento de séries não-estacionárias é aplicar alguma
transformação sobre a série que a torne estacionária, e depois estimar um modelo
sobre a série transformada. As transformações mais comuns para estacionarizar
séries temporais são a operação de diferença, transformação logarítmica e retirada
de tendências determinísticas. Diferenciar significa tomar a diferença entre
observações no tempo. O número de vezes que a série necessita ser diferenciada
para alcançar a estacionariedade reflete no parâmetro d do modelo ARIMA
(p,d,q). Para variâncias que não são constantes, tomar o logaritmo ou a raiz
quadrada da série pode estabilizar a variância. Para dados negativos, podemos
adicionar uma constante para fazer com que todos os dados sejam positivos antes
de aplicar a transformação. Essa constante pode ser subraída do modelo para obter
valores preditos e previsões para pontos futuros.
Se os dados contêm uma tendência, pode-se ajustar algum tipo de curva aos
dados e então modelar os resíduos desse ajuste. Uma vez que o propósito é
simplesmente remover tendências de longo prazo, um simples ajuste como uma
reta é tipicamente utilizado.
2) Identificação da ordem do modelo
No caso da modelagem Box-Jenkins, é necessária a definição de quantos
parâmetros autoregressivos (p) e/ou média móvel (q) são necessários para garantir
um modelo eficiente, mas parcimonioso. A ferramenta primária para tal é analisar
a plotagem das funções autocorrelação amostral e autocorrelação parcial da série.
Os comportamentos observados são então comparados aos teóricos esperados
quando a ordem do modelo é conhecida. Nos últimos anos, critérios de
informação tais como FPE (Final Prediction Error) e AIC (Akaike Information
Criterion), dentre outros, têm sido preferidos e usados para determinação da
Métodos de projeção da mortalidade 33
ordem do modelo. Estas técnicas ajudam o processo de identificação do modelo e
requerem a utilização de softwares estatísticos.
3) Estimação dos parâmetros
Essa fase consiste em encontrar valores para os coeficientes do modelo que
fornecem o melhor ajuste aos dados. Os valores são estimados através de
softwares estatísticos.
4) Validação do modelo
Nesta etapa, o modelo estimado para a série
t
é avaliado em relação aos
pressupostos assumidos para o modelo. Caso o modelo seja considerado
inadequado, é necessário voltar ao passo 2 e tentar identificar um modelo
alternativo melhor.
5) Previsão
A previsão é o objetivo principal da modelagem. Uma vez que o modelo foi
selecionado, estimado e validado, buscam-se previsões futuras para
t
. Utilizando
o modelo de mortalidade descrito na eq. (1) e as estimativas de
x
e
x
, são
estimadas as taxas centrais de mortalidade, por idade, para os anos de interesse.
Podemos escrever as taxas de mortalidade m
x,t
projetadas na forma:
t
^
x
^
x
^
t,x
^
m
ou, com base no conceito de fatores de improvement e buscando-se escrever em
função de m
x,0
, temos:
)(expmm
0
^
t
^
x
^
0,x
t,x
^
,
onde os fatores de improvement são identificados como:
))(exp()t,x(FI
0
^
t
^
x
^
.
Note que a modelagem do FI(x,t) teve por base as taxas centrais de
mortalidade e não as probabilidades de morte q
x,t,
mas estas podem ser
diretamente obtidas uma vez que as taxas centrais de mortalidade são estimadores
das probabilidades de morte utilizadas na construção das tábuas de mortalidade.
Métodos de projeção da mortalidade 34
Para a determinação da variância e, consequentemente, do intervalo de
confiança das taxas centrais de mortalidade projetadas, é necessário que se
conheça todas as fontes de erros da projeção e que se calcule sua variância (Fígoli,
1996). Quando da estimativa de
x
,
x
e quando da previsão de
t
passos à frente
do período t surgem os erros referentes a essas estimações. A influência de cada
uma destas fontes de erro na projeção de m
x,t
foi analisada por Lee e Carter (1992,
apêndice B) e eles concluíram que, para previsões de expectativa de vida, é
razoável restringir atenção aos erros de previsão do índice de mortalidade e
ignorar aqueles oriundos do ajuste da matriz de mortalidade, mesmo para
previsões de curto prazo. Entretanto, para previsões de taxas de mortalidade
individuais, intervalos de confiança baseados somente em
t
são uma
aproximação razoável somente para horizontes de previsão maiores do que 10
anos. Neste caso, o erro na projeção do nível de mortalidade é responsável por no
mínimo 95% do erro baseado em todas as outras fontes.
Conforme dito aneriormente, a metodologia aqui exposta refere-se ao
método LC clássico. O método LC vem sendo vastamente discutido na literatura
atuarial e aprimoramentos à metodologia clássica vêm sendo sugeridos por
estudiosos. Como exemplos, podemos citar Brouhns et al. (2002) que fez ajustes
no modelo estimando-se parâmetros por uma regressão Poisson log-bilinear.
Hoedmakers & Darkiewicz (2002) introduziram a análise de co-integração das
taxas centrais de mortalidade. Girosi & King (2004) sugerem uma aprovação
bayesiana para o método, enquanto Currie et al. (2002) desenvolveram uma
aproximação two-spline.
Para Denuit (2006), as vantagens da aproximação LC estão nos seguintes
fatores:
Os parâmetros
x
,
x
e
t
podem ser interpretados facilmente;
A influência do tempo é sumarizada em um único índice que é extrapolado
no futuro através da série
t
permitindo-se a obtenção de tábuas
projetadas;
Há a possibilidade de interpretação do modelo utilizando os fatores de
improvement.
Como crítica ao modelo, Denuit aponta a hipótese de que os erros de
previsão são homocedásticos. Segundo ele, isso é irreal porque o logaritmo das
Métodos de projeção da mortalidade 35
taxas de mortalidade observadas variam muito mais nas idades avançadas do que
nas idades mais jovens devido ao número absoluto menor de mortes nas idades
mais avançadas.
3.2.
Utilização de modelos lineares generalizados
Diferentemente do modelo LC que modela o logaritmo das taxas de
mortalidade, o uso dos modelos lineares generalizados é feito para a modelagem
do número de mortes observadas. A aproximação via modelos lineares
generalizados pode ser vista como uma extensão das técnicas de graduação
convencionais utilizadas pelo Continuous Mortality Investigation Bureau, da
Inglaterra, para representar as tendências da mortalidade.
O CMIB modela as taxas centrais de mortalidade m
x,t
na forma:
p
1j
jxtjt,x
)mlog(
(7)
As variáveis explicativas idade e tempo entram no lado direito da equação
através de uma variedade de estruturas de covariáveis conhecidas
xtj
, lineares nos
parâmetros desconhecidos
j
. As variáveis explicativas relacionam-se com m
xt
através de uma função logaritmica. O link log é monotônico, diferenciável e
mapeia os números reais positivos (m
xt
: m
xt
> 0) para toda a linha real. Para dar
continuidade à modelagem, é necessária a estimação dos parâmetros
desconhecidos
j
. Para tal, os expostos centrais ao risco de morte, e
xt
, são tratados
como não aleatórios (constantes) e modela-se o número atual de mortes a
xt,
como
realizações independentes de uma variável aleatória poisson super-dispersa A
xt
,
com média e variância dadas por:
E(A
xt
) = e
xt
m
xt;
Var(A
xt
) =
xt
,
(8)
onde é o parâmetro de dispersão ou escala.
Por que a distribuição poisson foi escolhida e por que utilizar o parâmetro
? Assume-se que as variáveis respostas possuem uma distribuição poisson
baseados na hipótese de que a força de mortalidade é constante dentro de cada
dimensão que contém uma determinada idade e um determinado ano-calendário.
A Poisson é a distribuição mais adequada porque se trabalha com dados de
contagem e as observações podem ser em pequeno volume.. Quando = 1, tem-se
Métodos de projeção da mortalidade 36
a distruibuição poisson clássica. O parâmetro é incluído por reconhecimento ao
fato de que muitas vezes os dados manuseados são baseados no número de
emissões de apólices e não na contagem de indivíduos, e é comum a emissão de
mais de uma apólice para um mesmo indivíduo. Em Beard & Perks (1949) e
Renshaw (1992), demonstra-se que a presença de apólices duplicadas induz a uma
super-dispersão na modelagem da distribuição do número atual de mortes baseado
na contagem de apólices ao invés da contagem de indivíduos.
Para dar prosseguimento à modelagem, Renshaw et al. (1996) sugere que as
idade e os intervalos de tempo dos dados sejam mapeados no intervalo [-1, 1]. Isto
pode ser obtido rapidamente através das transformações:
x
x
cx
'x
;
t
t
ct
't
,
onde x’ representa as idades transformadas, t’ representa os anos-calendário
transformados,
2
xx
c
maxmin
x
e
2
xx
minmax
x
com expressões equivalentes
para c
t
e
t
em termos dos anos-calendário máximo e mínimo.
A equação (7) é modelada com base em fórmulas polinomiais do tipo:
s
1j
r
1i
i
ijj0t,x
't)'x(Lmlog
,
(9)
onde os parâmetros L
j
(x’) denotam polinômios de Legendre de graus j. Para
essa classse de funções, os efeitos da idade e ano-calendário aparecem como a
soma de termos separados de polinômios na escala logarítmica, tal que m
xt
é
multiplicativo nos efeitos da idade e dos anos-calendário. Os polinomiais
Legendre L
n
(x), de grau n, são gerados pelas relações:
L
0
(x) = 1,
L
1
(x) = n,
(n+1)L
n+1
(x) = (2n+1)xL
n
(x) – nL
n-1
(x), n inteiro ≥ 1,
tal que
,...
2
x3x5
)x(L,
2
1x3
)x(L
3
3
2
2
são ortogonais em relação à integração no intervalo [-1,1].
A eq.9 tem uma interpretação instrutiva e pode ser relacionada à prática de
graduação do CMIB ao reescrevê-la na forma:
Métodos de projeção da mortalidade 37
s
1j
r
1i
i
ijj0t,x
}'texp{)}'x(Lexp{m
(10)
O primeiro dos dois termos multiplicativos do lado direito da equação:
s
0j
jjx
Lexp)s(G
, s inteiro ≥ 0,
é equivalente ao termo de graduação Gompertz-Makeham GM
x
(0,s+1).
Dessa forma, a eq.10 pode ser interpretada como uma fórmula de graduação para
efeitos de idade, afetada por um fator multiplicativo para ajustar os efeitos do ano-
calendário. Esse termo de “ajuste” é nosso alvo de interesse, uma vez que ele
determina a natureza das tendências da mortalidade ao longo do período
analisado. Em adição, ressalta-se que o termo de ajuste da tendência da eq.10 não
é dependente da idade.
O modelo estruturado na eq.9 pode ser estendido através da introdução do
produto de termos com efeitos de idade e ano-calendário conjuntamente. Escreve-
se:
s
1j
r
1i
r
1i
s
1j
i
jij
i
ijj0t,x
't)'x(L't)'x(Lmlog
(11)
sujeito à convenção de que alguns dos parâmetros
ij
podem ser fixados
como zero.
Escrevendo a eq.11 na forma:
s
1j
r
1i
i
s
1j
jijijj0t,x
]'t)}'x(L{exp[)}'x(Lexp{m
(12)
e comparando com a eq.10, nota-se que o primeiro dos dois termos
multiplicativos no lado direito da equação é ainda o mesmo termo Gompertz-
Makeham de antes. Agora, entretanto, o segundo termo multiplicativo de ajuste da
tendência é dependente da idade. É importante ser capaz de modelar o efeito na
mortalidade da tendência dependente da idade e ser capaz de avaliar sua
significância estatistica, uma vez que acredita-se que esses efeitos existam em
outras experiências de mortalidade, como por exemplo o efeito da mortalidade
crescente com a AIDS na faixa jovem-adulta masculina.
Métodos de projeção da mortalidade 38
As variáveis aleatórias A
xt
Poisson superdispersas formam as variáveis
resposta do modelo linear generalizado proposto. O conceito de modelos lineares
generalizados foi introduzido por Nelder & Wedderburn (1972) e a idéia é que a
variável dependente do modelo siga qualquer distribuição que pertença à família
exponencial, na forma canônica. Na definição de um GLM são necessários a
definição da distribuição da variável resposta, do preditor linear e de uma função
de ligação (ver Nelder & Wedderburn, 1982). Na modelagem do número de
mortes, a função de ligação foi definida da forma logaritmica. Temos:
t,xt,xt,x
)em(log
(13)
Da eq.8, tem-se que o preditor linear é definido por:
xtxtt,x
mlogrlog
(14)
Combinando a eq.9 com as eq.13 e 14, obtém-se:
s
1j
r
1i
r
1i
s
1j
i
jij
i
ijj0xtt,x
't)'x(L't)'x(Lrlog
(15)
O termo log r
xt
, que não envolve nenhum parâmetro desconhecido, é uma
constante juntamente com o offset
0
, por uma quantidade conhecida, condicional
nos valores de x e t.
Com base na eq.15, obtemos os valores projetados das taxas centrais de
mortalidade para os anos futuros. A consequente possibilidade de obtenção dos
fatores de improvement e construção das tábuas geracionais coincide com a
implementação da aproximação LC.
Renshaw & Haberman (2003a, b) modelaram o fator de improvement em
função da força de mortalidade
x,t
usando GLM. A forma obtida para o FI(x,t) é
similar àquela apresentada pelo método Lee-Carter, sendo:
)tt())t,x(FIlog(
0
x
^
,
onde o termo
x
é modelado por um preditor linear.
O uso dos modelos lineares generalizados também pode ser feito
assumindo-se outra distribuição para o número de mortes. Renshaw & Haberman
(2000) assumem que o número de mortes possui uma distribuição binomial:
)q,r(bin~A
t,xt,xt,x
. Dessa forma, define-se um GLM cuja variável resposta pode
Métodos de projeção da mortalidade 39
ser escrita como:
t,x
t,x
t,x
r
A
Y
, onde E(Y
x,t
) = q
x,t
; Var (Y
x,t
) =
t,x
t,xt,x
r
)q1(q
e o
predito linear é uma função de ligação g monotônica diferenciável, tal que:
)(gq)q(g
t,x
1
t,xt,xt,x
.
Dados 40
4
Dados
A intenção inicial deste estudo era implementar as metodologias expostas na
seção 3 em dados brasileiros. No entanto, não foi possível a obtenção dos dados
históricos necessários. Segundo Renshaw & Haberman (2000), consideram-se
adequados para modelagem de previsão da mortalidade dados que possuam mais
de 15 a 20 anos consecutivos de observação. No Brasil, referente a esse universo
de tempo, é possível a obtenção de dados censitários publicados por órgãos de
pesquisa do governo. Todavia, sabemos que as estatísticas fornecidas para a
população brasileira como um todo são uma mesclagem de perfis demográficos
bem diferentes, não sendo uma boa base para análise de comportamento de uma
população especifica como as de produto de previdência privada. Diferentemente,
a massa de participantes de uma Entidade Fechada de Previdência Complementar
(EFPC) tende a ser mais homogênea pois a população compreendida
provavelmente possui o mesmo nível sócio-econômico. O ideal seria a agregação
de vários grupos com perfis demográficos semelhantes. Pensando nisso, tentamos
a obtenção de informações referentes a um grupo de EFPCs junto à Associação
Brasileira de Entidades Fechadas de Previdência Privada - ABRAPP, mas esse
tipo de coleta de informação ainda não é feito. A Superintendência de Seguros
Privados (SUSEP) começou a divulgar informações do número de mortes e
expostos, classificadas por idade e sexo, para subsidiar o estudo de tábuas
biométricas com informações a partir do ano 1998. Entretanto, atualmente só
estão disponíveis as informações de 1998 a 2002. Aquelas de 2003 a 2005 estão
sendo processadas, mas não conseguimos acesso antecipado à elas. Infelizmente,
devido ao período reduzido de disponibilidade dos dados (1998-2002), optamos
por não modelá-los uma vez que as previsões temporais são muito influencidas
por valores discrepantes, e em um período pequeno de observação qualquer
variabilidade dos dados causa esse efeito nos resultados. Embora a SUSEP tenha
começado a divulgar tábuas de mortalidade, podemos dizer que a construção de
tábuas de mortalidade no Brasil ainda não está consolidada, principalmente pela
Dados 41
dificuldade em se conseguir os dados necessários para estudos. As entidades de
previdência e seguradoras brasileiras acabam utilizando tábuas de mortalidade
baseadas na experiência de outros países, como Estados Unidos, Reino Unido,
França e Suíça. Para aplicação das metodologias expostas na seção 3, analisamos
a experiência de mortalidade da população feminina e masculina da Inglaterra e
País de Gales, obtida através do Human Mortality Database
2
.
Os dados disponíveis para análise foram denotados por d
x,t
e e
x,t
, que
denotam, respectivamente, o número de mortes e o correspondente número de
expostos centrais ao risco de morte à idade x, no ano t.
A análise foi feita sobre o intervalo de 54 anos, do ano 1950 ao ano 2003.
As idades não foram agrupadas, permanecendo como idades simples. O principal
interesse deste trabalho está na idade adulta, uma vez que as crianças e
adolescentes são público reduzido ou até mesmo inexistente em seguros de vida e
aposentadorias. Dessa forma, restringiu-se o intervalo de idade de 18 a 100 anos
para análise. Nas idades superiores a 100 anos,os dados encontravam-se esparsos
e seguindo a tendência de outros estudos (Renshaw et al., 1996) preferiu-se
ignorá-los.
Com base nas informações d
x,t
e e
x,t
, obtém-se as taxas cruas ou brutas de
mortalidade m
x,t
, dividindo-se o número de mortes à idade x no tempo t pelo
correspondente número de expostos ao risco de morte à idade x no tempo t.
As Fig. 8 e 9 exibem, a partir dos dados analisados, as taxas cruas de
mortalidade femininas e masculinas, na escala logarítmica.
_________________________________________________________________________
2
O Human Mortality Database (HMD) foi criado para fornecer informações detalhadas de dados
de mortalidade e população aos pesquisadores, estudantes, jornalistas e outros interessados na
longevidade humana. Dois centros de pesquisa foram responsáveis pela criação da base de dados:
o Departamento de Demografia da Universidade da California, Berkeley (UCB), e o Laboratório
de Dados do Instituto Max Planck para Pesquisas Demográficas (MPIDR), situado na Alemanha.
Dados 42
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
Taxas cruas
18
28
38
48
58
68
78
88
98
Figura 8 – Evolução das taxas cruas de mortalidade femininas
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
Taxas cruas
18
28
38
48
58
68
78
88
98
Figura 9 – Evolução das taxas cruas de mortalidade masculinas
Os gráficos exibem a tendência geral de queda da taxa de mortalidade em
todas as faixas de idades e evidenciam comportamentos diferentes com relação à
alteração da mortalidade em cada uma dessas faixas. Conforme esperado, são
observados valores maiores para as taxas de mortalidade masculinas em relação às
femininas em todas as idades ilustradas.
Resultados 43
5
Resultados
5.1.
Lee-Carter
O modelo demográfico LC foi ajustado aos dados da Inglaterra e País de
Gales de 1950 a 2003. A modelagem foi feita segregada por sexo, para preservar a
diferença de mortalidade entre homens e mulheres. Primeiramente, foi feito o
ajuste do modelo demográfico previsto na eq.(1), com a estimação dos parâmetros
x
,
x
e
t
. O passo seguinte foi a projeção de
t
para 25 anos subsequentes à
última observação. Por fim, foi obtida a previsão das taxas de mortalidade para 25
anos.
Os parâmetros
x
^
obtidos com base na eq.(3) estão ilustrados na Fig. 10.
No período 1950-2003, a curva masculina encontra-se acima da feminina para
todas as idades, refletindo o fato esperado da mortalidade ter sido maior, em
média, na população masculina. Um ponto interessante a ser observado é o fato da
curva possuir um crescimento mais brando na faixa etária dos 20 aos 30 anos
(maior destaque na população masculina). Uma justificativa seria o aumento
geralmente existente da mortalidade nessas idades devido a acidentes e violência.
Resultados 44
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
18 28 38 48 58 68 78 88 98
Idades
Coeficientes
a
x
estimados
Feminino
Masculino
Figura 10 – Coeficientes
x
estimados por sexo (1950-2003)
Com base nos valores
x
^
, foram obtidas as primeiras estimações de
t
a
partir da eq. (4). A tendência de queda do nível de mortalidade com o tempo é
constatada para os dois sexos na Fig.11. Os parâmetros estimados
x
^
conforme
eq.(5), que avaliam a sensibilidade da variação nas taxas de morte quando o
parâmetro
t
varia, estão demonstrados na Fig. 12. Se
x
é pequeno, conclui-se
que as taxas de morte variam pouco quando o nível geral de mortalidade se altera,
o que é o caso da mortalidade nas idades mais avançadas. Para as idades acima de
75 anos aproximadamente, os coeficientes feminino e masculino apresentaram um
comportamento similar, uma tendência decrescente. A curva observada para a
população feminina, que mostra que quanto menor a idade, maior é a
sensibilidade à variação no parâmetro
t
, tem a mesma tendência da curva
apontada por Lee (2000) ao aplicar a metodologia LC aos dados dos Estados
Unidos e do Chile. Já a curva masculina apresentou valores menores para
x
^
quando estes eram maiores na população feminina e vice-versa.
Resultados 45
-40,0
-20,0
0,0
20,0
40,0
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
k
t
estimados
Feminino Masculino
Figura 11 – Coeficientes
t
estimados por sexo (1950-2003)
0,003
0,008
0,013
0,018
18 28 38 48 58 68 78 88 98
Idades
Coeficientes
b
x
estimados
Feminino
Masculino
Figura 12 – Coeficientes
x
estimados, por sexo (1950-2003)
Resultados 46
Para garantir que as taxas de morte ajustadas gerariam o número de mortes
observado quando aplicadas à população analisada, foi realizada a reestimação do
parâmetro
t
segundo a eq.(6). Os parâmetros reestimados para a população
feminina e masculina, bem como os estimados inicialmente, estão ilustrados nas
Fig. 13. Os valores estimados para os parâmetros , e constam no Apêndice I
deste trabalho.
-40.0
-20.0
0.0
20.0
40.0
1950 1960 1970 1980 1990 2000
Ano
k
t
estimados e reestimados
K est. Fem K est. Masc K reest. Fem K reest. Masc
Figura 13 – Coeficientes
t
reestimados (1950-2003)
Feita a reestimação do parâmetro
t
, podemos escrever o modelo
demográfico proposto na eq.(1). Uma vez que os parâmetros
x
e
x
foram
estimados e não dependem da variável tempo, a previsão das taxas de mortalidade
futuras passam a depender exclusivamente da projeção dos valores
t
futuros.
Para tal projeção, as séries
t
reestimadas feminina e masculina são modeladas
como um processo de séries temporais. A Fig. 13 mostra um declínio dos valores
de
t
aproximadamente linear, maior para as mulheres do que para os homens, no
período 1950-2003. A lineariedade aproximada de
t
, bem como a variação
relativamente constante das séries no período são grandes vantagens para a
construção de modelos de previsão. Os dados disponibilizados referem-se ao
período de 1950 a 2003. No entanto, os 5 últimos anos disponíveis não foram
Resultados 47
modelados, a fim de possibilitar uma comparação entre a previsibilidade dos
modelos nos próximos 5 anos e o comportamento observado no período.
Uma simples inspeção nas séries mostra que as mesmas aparentam não-
estacionariedade e apresentam uma tendência negativa sustentada. Os
correlogramas ilustrados nas Fig. 14 e 15 também apresentam indícios de não-
estacionariedade das séries, visto que observa-se um amortecimento lento da
função de autorocorrelação parcial (ACF). A não-estacionariedade das séries foi
superada modelando-as em primeira diferença ou com ajuste de tendência, como
será mostrado.
Figura 14 – Correlograma da série
t
feminina
Resultados 48
Figura 15 – Correlograma da série
t
masculina
Devido à tendência decrescente das séries, foi considerada a presença de
uma constante quando da estimação dos modelos. Em relação à série feminina,
doravante denominada fem
t
, dois modelos testados apresentaram bons ajustes e
uma análise de resíduos satisfatória. O primeiro modelo é um processo ARIMA,
onde a série é modelada em primeira diferença, uma vez que já foi verificado que
ela não é estacionária em nível. Os parâmetros dos modelos foram estimados
através do pacote estatístico EViews, utilizando o método de Mínimos Quadrados,
e estão apontados na Tabela 3. O índice fem
t
modelado como um processo
ARIMA(0,1,1,) é representado algebricamente na forma:
t1t1t
cfem
,
),0(N~
2
t
,
onde Δ representa o operador de diferença. Assumindo os valores estimados
para os parâmetros, a equação proposta se torna:
t1tt
778194,0101191,1fem
;
),0(N~
2
t
Resultados 49
Tabela 3 – Estimação dos parâmetros - processo ARIMA(0,1,1), série fem
t
Variable Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C -1,101191
0,086957
-12,66362
0,0000
MA(1) -0,778194
0,088414
-8,801654
0,0000
R
2
= 0,3825
AIC = 4,7029
O segundo modelo estimado para fem
t
foi ajustado com uma tendência
linear e um processo média móvel (MA) 4. Neste ajuste, o R
2
observado ficou
próximo de 1, conforme exposto na Tabela 4. A representação algébrica para o
modelo é:
tt
tkfem ;
;
4t4tt
),0(N~
2
t
Assumindo os valores estimados para os parâmetros, a equação proposta
se torna:
tt
t077052,186891,28kfem ;
),0(N~onde,508999,0
2
t4ttt
Tabela 4 – Estimação dos parâmetros - processo com tendência linear, série fem
t
Variable Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C 28,86891
0,993553
29,05622
0,0000
@TREND -1,077052
0,034769
-30,97754
0,0000
MA(4) 0,508999
0,119627
4,254865
0,0001
R
2
= 0,9770
AIC = 4,6498
Comparando os dois modelos pelo método de Akaike (AIC) e observando
o coeficiente R
2
, optou-se por modelar a série feminina considerando a tendência
linear e o processo MA(4). No caso da série masculina, masc
t
, quando da
tentativa de ajuste dos modelos, foi observado um comportamento atípico para o
resíduo da observação referente ao ano 1951. De fato, os gráficos das séries
masculina e feminina possuem um pico no ano 1951. Foi possível a estimação de
um modelo com uma análise de resíduos satisfatória para a série feminina, sem
que fosse necessária a anulação do impacto da observação do ano 1951. No
entanto, para a série masculina, o modelo preferido inclui uma variável dummy
Resultados 50
para remover a influência do referido ano. Observando a série masculina, nota-se
que a tendência do declínio de masc
t
está entre uma tendência linear e uma
tendência quadrática. O modelo utilizado para a previsão do índice masculino se
baseia nas duas tendências, linear e quadrática, bem como na utilização de uma
varíavel dummy referente ao ano 1951 e em um processo MA(12). As estimações
para os parâmetros, obtidas via EViews, estão demonstadas na Tabela 5. A forma
algébrica para o modelo é da forma:
t3
2
21t
Dttmasc
;
12t12tt
; ),0(N~
2
t
,
onde D é a varíavel dummy assumindo valor 1 se o ano observado é 1951.
Inserindo os valores estimados para os parâmetros, observa-se:
t
2
t
D345870,9t020347,0t227291,043730,13kmasc ;
12ttt
907975,0
Tabela 5 – Estimação dos parâmetros - modelo ajustado para a série masc
t
Variable Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C 13,43730
1,173386
11,45173
0,0000
@TREND 0,227291
0,090119
2,522115
0,0154
(@TREND)^2 -0.,20347
0,001582
-12,86183
0,0000
D1951 9,345870
3,330911
2,805800
0,0074
MA(12) -0,907975
0,030975
-29,31363
0,0000
R
2
= 0,9940
O coeficiente em D indica que masc
t
foi 9,345870 maior do que o
esperado em 1951. A análise de resíduos é necessária para verificação dos
pressupostos adotados quando da modelagem de uma série temporal. Ao ajustar
os modelos às séries, assume-se que os resíduos não são correlacionados e
possuem distribuição normal. Cada uma dessas condições foi verificada a partir da
análise de outputs do EViews.
1. Autocorrelação dos resíduos
Tabela 6 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série fem
t
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic 1.617961
Probability 0.123771
Obs*R-squared 27.16501
Probability 0.130685
Resultados 51
Tabela 7 – Teste de autocorrelação dos resíduos – Série masc
t
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic 0.688240
Probability 0.800222
Obs*R-squared 17.83708
Probability 0.598140
O teste LM para autocorrelação serial, conhecido como teste Breusch-
Godfrey, foi utilizado para testar a correlação serial dos resíduos dos modelos
avaliados. A hipótese nula do teste prevê que os erros são não-correlacionados até
a ordem p. Os modelos foram testados com p = 20 e concluiu-se que, ao nível de
5% de significância, aceita-se a hipótese de inexistência de correlação serial nos
modelos.
2. Normalidade dos resíduos
0
2
4
6
8
10
12
14
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Series: Residuals
Sample 1950 1998
Observations 49
Mean -0.034073
Median 0.293197
Maximum 5.626468
Minimum -5.814454
Std. Dev. 2.351251
Skewness -0.080425
Kurtosis 2.921760
Jarque-Bera 0.065322
Probability 0.967867
Figura 16 – Teste de normalidade dos resíduos – Série fem
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2
Series: Residuals
Sample 1950 1998
Observations 49
Mean 0.024141
Median -0.108816
Maximum 1.807597
Minimum -1.858614
Std. Dev. 0.901249
Skewness -0.059360
Kurtosis 2.392149
Jarque-Bera 0.783137
Probability 0.675996
Figura 17 – Teste de normalidade dos resíduos – Série masc
t
Resultados 52
A normalidade dos resíduos de regressão foi investigada através do teste
de Jarque-Bera. Neste teste, é verificada a hipótese nula de que os resíduos
possuem distribuição normal. Com base nas probabilidades apresentadas,
aceitamos a hipótese nula de normalidade dos resíduos ao nível de significância
de 5%.
Partindo dos modelos validados, o passo seguinte é a previsão dos índices
fem
t
e masc
t
. Para que fosse possível avaliar a capacidade preditiva do modelo,
foi utilizada na estimação do modelo bem como dos parâmetros o período in-
sample (1950-1998). Com base na previsão out-of-sample, ou ex-post
3
, é possível
a comparação, através de medidas de aderência, entre as previsões e os valores
realmente observados na série para o período 1999-2003 (out-of-sample). A
Tabela 8 apresenta os valores das séries fem
t
e masc
t
no período out-of-sample.
As Fig. 18 e 19 exibem as séries reais e os valores previstos com um intervalo de
confiança de 95%. Todos os valores observados encontram-se dentro do intervalo
de previsão de 95%, o que confirma uma boa capacidade preditiva dos modelos
propostos.
Tabela 8 – Medidas de aderência no período out-of-sample
Período
Observado
Previsão
Erro
% Erro
1999 -23.9949 -23.8747 -0.1202 0.50%
2000 -28.7352 -24.8344 -3.9008 13.57%
2001 -30.5103 -27.0666 -3.4437 11.29%
2002 -30.5146 -27.1110 -3.4036 11.15%
2003 -29.8683 -28.2148 -1.6535 5.54%
1999 -24.0245 -24.1382 0.1136 0.47%
2000 -27.8808 -25.7525 -2.1284 7.63%
2001 -29.2905 -27.2443 -2.0462 6.99%
2002 -31.6142 -29.5537 -2.0605 6.52%
2003 -32.8557 -31.3337 -1.5220 4.63%
Série
k
fem
t
Série
k
masc
t
____________________________________________________________
3
A previsão ex-post utiliza o modelo estimado no in-sample e extrapola o modelo no período out-
of-sample, comparando o previsto com o realmente observado (Fernandes, 2006)
Resultados 53
Série feminina
-35
-25
-15
1999 2000 2001 2002 2003
Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior
Figura 18 – Previsão out-of-sample da série fem
t
Série masculina
-35
-25
-15
1999 2000 2001 2002 2003
Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior
Figura 19 – Previsão out-of-sample da série masc
t
Após certificação da capacidade preditiva do modelo, as observações
referentes ao período 1999-2003 foram incluídas no modelo para a obtenção da
extrapolação das séries
t
a partir da última observação disponível. Os novos
Resultados 54
parâmetros estimados para os modelos preditivos finais encontram-se na Tabela 9.
As Fig. 20 e 21 ilustram as previsões das séries fem
t
e masc
t
para os 25 anos
subsequentes à última observação (2004 – 2028). É válido notar que o método LC
foi utilizado para calcular os intervalos de previsão concentrados somente na
variabilidade de
t
. Em Keilegom et al. (2005), mostra-se a possibilidade de
inclusão de outras fontes de variação através de método de bootstrap.
Tabela 9 – Coeficientes estimados para os modelos preditivos finais
Série feminina
Variable Coefficient
Std. Error
t-Statistic
P
rob.
C 29.42971
0.959687
30.66593
0.0000
@TREND -1.110437
0.030504
-36.40280
0.0000
MA(4) 0.519696
0.117248
4.432458
0.0000
R
2
= 0,9816
Série masculina
Variable Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C 12.06975
1.001806
12.04799
0.0000
@TREND 0.353629
0.073662
4.800670
0.0000
(@TREND)^2 -0.022815
0.001213
-18.81492
0.0000
D1951 8.359352
2.968737
2.815794
0.0070
MA(12) -0.891080
0.026348
-33.81991
0.0000
R
2
= 0,9957
-70
-60
-50
-40
-30
-20
2005 2010 2015 2020 2025
kfem_previsao
Figura 20 – Previsão da série fem
t
(2004 – 2028)
Resultados 55
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
2005 2010 2015 2020 2025
kmasc_previsao
Figura 21 – Previsão da série masc
t
(2004 – 2028)
A partir dos valores de previsão do índice de mortalidade
t
, as taxas de
mortalidade podem ser projetadas e as tábuas de mortalidade construídas.
Primeiramente, obtém-se as previsões das taxas de mortalidade a partir da última
taxa de mortalidade empírica disponível, m
x,2003
, através da fómula:
)(expmm
2003
^
s2003
^
x
^
2003,x
s2003,x
^
, s inteiro ≥ 0
A partir das taxas centrais de mortalidade projetadas, as probabilidades de morte a
serem utilizadas nas tábuas de mortalidade são facilmente obtidas conforme
relação exposta na seção 2.1:
x
x
x
m2
m2
q
t,x
t,x
t,x
m2
m2
q
O ideal é que seja feita a graduação das taxas cruas de mortalidade antes
da obtenção das probabilidades de morte, para que as informações sejam
suavizadas e produzam um comportamento de acordo com o espeardo. Apesar da
recomendação, o resultado apresentado para as probabilides de morte calculadas
Resultados 56
via método LC neste trabalho não consideraram a graduação nas taxas. Uma
referência sobre as formas de graduação mais utilizadas, especialmente aos casos
brasileiros, pode ser obtida em Martins (2007).
A Fig. 22 exibe as probabilidades q
x
projetadas através do método LC para
as gerações femininas e masculinas nascidas nos anos 2004 e 2028. Percebemos a
redução esperada para as probabilidades de morte entre os referidos anos. Nota-se
que a curva do 2028 apresenta, a partir da idade 85 aproximadamente,
probabilidades de morte masculinas esperadas menores do que as femininas. Os
modelos feminino e masculino foram construídos de forma independente, não
havendo a pressuposição de nenhuma relação entre eles. Portanto, a estimativa de
probabilidades de morte menores para o sexo masculino é possível. Sabemos que
as mulheres possuem uma sobrevida maior do que os homens em geral, mas não
se pode afirmar se essa tendência vai permanecer, reduzir ou aumentar no futuro.
18 28 38 48 58 68 78 88
2004 Fem. 2028 Fem. 2004 Masc. 2028 Masc.
Figura 22 – Probabilidades de morte q
x
, na escala logaritmica, projetadas via método LC
Com posse dos valores q
x
e arbitrando um valor para l
0
, raiz da tábua de
mortalidade, é possível a obtenção das funções da tábua de mortalidade para todas
as idades x através de fórmulas de recorrência. A raiz da tábua de mortalidade é
geralmente arbitrada em 100.000 e representa o número de sobreviventes à idade
0 (recém-nascidos) da coorte utilizada na construção da tábua. Partindo dos
Resultados 57
valores q
x,t
projetados, são definidas as funções da tábua de mortalidade
dependentes da idade e do tempo através das relações descritas na seção 2.1:
)q1(ll
t,xt,xt,1x
;
t,xt,xt,x
qld
;
2
ll
L
t,1xt,x
t,x
;
xx
t,xt,x
i
i
LT
; e
t,x
t,x
t,x
l
T
e
,
onde é a idade limite da tábua de mortalidade.
Resultados 58
5.2.
Modelos Lineares Generalizados
Começamos nossa análise ajustando a eq.14 àquela que envolve a graduação
de Gompertz G
x
(s) dada pela eq.10, ou seja:
s
1j
r
1i
i
ijj0xtt,x
't)'x(Lelog
(16)
Os dados são compostos por 4482 informações acerca de d
x,t
e e
x,t
para cada
sexo (83 idades x 54 anos de observação). A princípio, 10% da nossa amostra
(449 observações) foi selecionada aleatoriamente e retirada do banco de dados
original para a verificação do ajuste do modelo.
A seleção de variáveis explicativas a serem incluídas no modelo de
regressão foi feita através do método stepwise forward, onde geramos uma
sequência de modelos com um ou mais parâmetros, partindo do modelo nulo
(contendo somente o intercepto). Os valores ótimos de r e s foram determinados
monitorando-se a redução nas medidas Deviance e Akaike (AIC) à medida que os
valores dos parâmetros aumentavam. Os valores das Deviances e do AIC dos
modelos feminino e masculino estão reproduzidas nas Tabelas 10 e 11. Em
Haberman & Wong-Fupuy (2004), sugere-se que sejam usados valores baixos
para r e s, pois isso assegura uma melhor suavização dos dados. Em adição,
Renshaw et al. (1996) apontam que a dependência no tempo é expressa por
polinômios de baixo valor (r=2). Com base nessas informações, simulamos os
valores de Deviance e AIC obtidos variando o parâmetro r de 0 a 4 e o parâmetro
s de 0 a 6.
Tabela 10 – Deviance e AIC – polinômios preditivos femininos
Deviance
s
r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4
0
32.004.888,00
32.000.543,00
31.969.504,00
31.968.125,00
31.968.079,00
1
499.293,50
86.362,80
85.954,02
85.636,96
84.232,67
2
491.754,40
62.837,97
62.181,69
61.859,72
60.443,83
3
473.203,60
47.916,74
47.441,07
47.199,74
45.767,34
4
472.380,40
46.763,27
46.277,62
46.043,48
44.588,71
5
468.792,60
43.070,08
42.587,71
42.337,80
40.883,72
6
467.613,60
42.226,83
41.739,68
41.488,84
40.017,40
Resultados 59
AIC
s
r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4
0
32.041.438,00
32.037.095,00
32.006.058,00
32.004.681,00
32.004.637,00
1
535.845,70
122.917,00
122.510,20
122.195,10
120.792,90
2
528.308,60
99.394,16
98.739,87
98.419,90
97.006,02
3
509.759,80
84.474,92
84.001,25
83.761,93
82.331,53
4
508.938,60
83.323,45
82.839,80
82.607,67
81.154,90
5
505.352,80
79.632,27
79.151,90
78.903,99
77.451,91
6
504.175,80
78.791,02
78.305,87
78.057,03
76.587,59
Tabela 11 – Deviance e AIC – polinômios preditivos masculinos
Deviance
s
r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4
0
28.880.125,00
28.807.475,00
28.777.820,00
28.775.131,00
28.774.514,00
1
669.353,10
216.477,50
173.280,20
172.442,20
171.292,40
2
661.887,20
214.723,90
172.100,70
171.271,00
170.154,50
3
579.714,40
140.499,60
98.955,60
98.456,98
97.373,54
4
542.124,00
102.669,90
63.241,65
62.606,62
61.790,06
5
539.817,60
100.542,30
61.096,53
60.445,93
59.571,19
6
538.299,30
98.576,83
59.422,88
58.760,69
57.872,45
AIC
s
r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4
0
28.917.213,00
28.844.565,00
28.814.912,00
28.812.225,00
28.811.610,00
1
706.443,30
253.569,70
210.374,50
209.538,40
208.390,60
2
698.979,40
251.818,10
209.197,00
208.369,30
207.254,70
3
616.808,60
177.595,90
136.053,80
135.557,20
134.475,80
4
579.220,30
139.768,10
100.341,90
99.708,85
98.894,30
5
576.915,80
137.642,50
98.198,76
97.550,16
96.677,42
6
575.399,50
135.679,10
96.527,12
95.866,92
94.980,68
Para ajudar a obter os valores ótimos dos parâmetros r e s dos modelos,
assim como em Renshaw et.al. (1996), as diferenças nas deviances em cada linha
e coluna da tabela testadas foram aproximadas a uma distribuição qui-quadrado.
A deviance do modelo com p parâmetros (modelo mais simples) menos a
deviance do modelo com p+q parâmetros (modelo mais complexo) possui uma
distribuição qui-quadrado com q graus de liberdade. O teste foi feito através da
comparação da estatística obtida com uma
2
1
, sujeita às seguintes hipóteses:
H
0
: o modelo com p parâmetros é adequado;
H
a
: o modelo com p+1 parâmetros é adequado.
Fixando-se uma probabilidade de erro tipo I em 0,10 para o teste de inclusão
de variáveis, para o modelo feminino, a inclusão dos 10 parâmetros um a um foi
verificada e o número de parâmetros escolhidos buscando-se otimizar a
Resultados 60
modelagem foi r = 1 e s = 3, enquanto para o modelo masculino escolheu-se r = 2
e s = 4. Desta forma, temos os modelos propostos:
Feminino:
t,x
1
13322110t,xt,x
u't)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog
Masculino:
)'x(L)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog
443322110t,xt,x
t,x
2
2
1
1
u't't
,
onde L é o coeficiente de lagrange e u
xt
é o termo de erro. O próximo passo
é a estimação dos parâmetros e avaliação do erro padrão para que possamos
verificar a significância estatística de cada parâmetro proposto. A modelagem
GLM e a estimação dos parâmetros foi feita utilizando-se o pacote estatístico R.
Os Quadros 1 e 2 exibem os parâmetros estimados para os modelos feminino e
masculino. O parâmetro de escala
é considerado igual a 1 na nossa modelagem,
uma vez que não trabalhamos com dados de apólices, e sim com dados
individuais.
Quadro 1 – Estimação dos parâmetros GLM feminino
Coefficients:
Estimate
Std. Error
z value
Pr(>|z|)
Intercepto -4.6058 0.0006 -7259.8000 <2e-16 ***
b
1
3.8793 0.0014 2734.5000 <2e-16 ***
b
2
0.3012 0.0014 207.8000 <2e-16 ***
b
3
-0.1645 0.0013 -123.4000 <2e-16 ***
a
1
-0.3194 0.0005 -654.1000 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1
Null deviance: 32004888 on 4034 degrees of freedom
Residual deviance: 47917 on 4030 degrees of freedom
AIC: 84475
Resultados 61
Quadro 2 – Estimação dos parâmetros GLM masculino
Coefficients:
Estimate
Std. Error
z value
Pr(>|z|)
Intercepto -4.0549 0.0006 -6746.1000 <2e-16 ***
b
1
3.7200 0.0012 3124.2000 <2e-16 ***
b
2
0.2462 0.0014 174.2000 <2e-16 ***
b
3
-0.4274 0.0013 -321.1000 <2e-16 ***
b
4
0.2894 0.0015 192.3000 <2e-16 ***
a
1
-0.3141 0.0005 -649.6000 <2e-16 ***
a
2
-0.1801 0.0009 -197.3000 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1
Null deviance: 28880125 on 4034 degrees of freedom
Residual deviance: 63242 on 4028 degrees of freedom
AIC: 100342
As estatísticas t calculadas dividindo-se o parâmetro por seu erro padrão,
indicaram significância estatística. Com base nos valores-p obtidos, pode-se
afirmar que todos os parâmetros estimados foram considerados significativos
estatisticamente ao nível de 5% de significância. A partir dos modelos estimados,
testamos as possíveis interações entre as covariáveis. A inclusão dos termos de
interação foi realizada conforme previsto na eq. 15. O método stepwise resultou
nos seguintes modelos finais e estimativas:
Feminino:
)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog
3322110t,xt,x
t,x
1
111
1
1
u't)'x(L't
Resultados 62
Quadro 3 - Estimação dos parâmetros GLM feminino com termo de interação
Coefficients:
Estimate
Std. Error
z value
Pr(>|z|)
Intercepto -4.6125 0.0006 -7155.87 <2e-16 ***
b
1
3.8800 0.0014 2736.37 <2e-16 ***
b
2
0.2958 0.0015 203.95 <2e-16 ***
b
3
-0.1761 0.0013 -131.03 <2e-16 ***
a
1
-0.3580 0.0008 -465.02 <2e-16 ***
g
11
0.0988 0.0015 64.96 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1
Null deviance: 32004888 on 4034 degrees of freedom
Residual deviance: 43684 on 4029 degrees of freedom
AIC: 80244
Masculino:
)'x(L)'x(L)'x(L)'x(Lelogmlog
443322110t,xt,x
t,x
2
222
1
212
2
121
1
111
2
2
1
1
u't)'x(L't)'x(L't)'x(L't)'x(L't't
Quadro 4 – Estimação dos parâmetros GLM masculino com termo de interação
Coefficients:
Estimate
Std. Error
z value
Pr(>|z|)
Intercepto -4.0995 0.0008 -5268.33 <2e-16 ***
b
1
3.7324 0.0016 2312.80 <2e-16 ***
b
2
0.1061 0.0019 55.47 <2e-16 ***
b
3
-0.4622 0.0014 -340.96 <2e-16 ***
b
4
0.2658 0.0015 174.90 <2e-16 ***
a
1
-0.2890 0.0009 -329.11 <2e-16 ***
a
2
-0.0829 0.0016 -50.41 <2e-16 ***
g
11
0.0608 0.0016 37.98 <2e-16 ***
g
21
-0.1266 0.0030 -41.90 <2e-16 ***
g
12
0.2038 0.0020 104.05 <2e-16 ***
g
22
0.3445 0.0036 95.84 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.'
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1
Null deviance: 28880125 on 4034 degrees of freedom
Residual deviance: 33033 on 4024 degrees of freedom
AIC: 70141
Resultados 63
Calculamos um intervalo de confiança de 95% para a média das
observações da nossa amostra de 10% dos dados. Para cada observação,
verificamos se o valor observado estava dentro do intervalo gerado. O índice de
acerto de predição foi de aproximadamente 85%, o que consideramos um bom
ajuste. Estando os parâmetros estimados e os modelos validados, é possível a
estimação dos valores projetados das taxas centrais de mortalidade para os anos
futuros. Da mesma forma que no modelo LC, podemos estimar q
x,t
e
consequentemente gerar uma tábua de mortalidade geracional.
Conclusão 64
6
Conclusão
Mostramos um pouco da tendência da mortalidade nos últimos tempos. A
mortalidade em movimento, que impacta diretamente os resultados dos cálculos
atuariais principalmente na fase adulta, foi a motivação para o presente trabalho.
Demonstrou-se que as tendências de mudança da mortalidade podem e devem ser
reconhecidas antecipadamente nos cálculos atuariais quando da adoção de tábuas
de mortalidade geracionais, incluindo a variável tempo além da idade do
indivíduo. O uso e estudo de tábuas geracionais já é uma constante em países
desenvolvidos, e espera-se que esse conceito esteja difundido no Brasil dentro de
pouco tempo.
As metodologias Lee-Carter e GLM apresentadas para projeção da
mortalidade capturam e extrapolam as tendências históricas dos dados brutos de
mortalidade, sob a hipótese crucial de que essas tendências permanecerão no
futuro. No entanto, sabe-se que previsão é fonte de incerteza. Há incerteza no
modelo a ser adotado, nos parâmetros estimados, na medida de erro, no fato da
experiência passada não ser um bom indicativo para o comportamento futuro.
Enfim, ainda há muitos desafios no que diz respeito à estudos de projeção da
mortalidade. Outras fontes de informações, sejam opiniões médicas ou de experts
p.ex, podem ajudar a “prever” quando essas tendências provavelmente mudarão
para um futuro, apesar de ser difícil a implementação de tais informações. Um
grande número de extensões às metodologias ora apresentadas vêm sendo
divulgados buscando-se uma maior aproximação das projeções da mortalidade
com a realidade observada.
Referências Bibliográficas 65
7
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Apêndice I 68
Apêndice I – Estimativas dos parâmetros LC
1. Parâmetros
x
^
Idade
Feminino
Masculino
Idade
Feminino
Masculino
18 -7.8962255 -6.9463061 61 -4.5687767 -3.9307600
19 -7.8714771 -6.9327629 62 -4.4550881 -3.8158729
20 -7.8610486 -6.9145999 63 -4.3583455 -3.7156630
21 -7.8293890 -6.9317733 64 -4.2595673 -3.6069748
22 -7.8166698 -6.9431814 65 -4.1634200 -3.5156635
23 -7.7877272 -6.9787263 66 -4.0779624 -3.4403486
24 -7.7704616 -6.9961998 67 -3.9592727 -3.3226974
25 -7.7260825 -6.9959035 68 -3.8622824 -3.2337247
26 -7.6670774 -6.9809528 69 -3.7524161 -3.1358811
27 -7.6345745 -6.9813418 70 -3.6502615 -3.0501765
28 -7.5663133 -6.9544853 71 -3.5616115 -2.9695809
29 -7.4956456 -6.9262513 72 -3.4294836 -2.8540864
30 -7.4314256 -6.8915336 73 -3.3196750 -2.7612856
31 -7.3722783 -6.8681201 74 -3.2094914 -2.6671085
32 -7.2707137 -6.8001778 75 -3.1109537 -2.5868051
33 -7.2112402 -6.7589597 76 -2.9996329 -2.4906219
34 -7.1109859 -6.6994788 77 -2.9074705 -2.4149323
35 -7.0246333 -6.6153700 78 -2.7922875 -2.3220554
36 -6.9466265 -6.5572686 79 -2.6832662 -2.2285172
37 -6.8581782 -6.4754351 80 -2.5777659 -2.1515685
38 -6.7508988 -6.3913006 81 -2.4856417 -2.0773231
39 -6.6584655 -6.2884326 82 -2.3626645 -1.9708227
40 -6.5605248 -6.1945286 83 -2.2557640 -1.8850631
41 -6.4719875 -6.0985012 84 -2.1461135 -1.7913399
42 -6.3490269 -5.9827271 85 -2.0473416 -1.7117996
43 -6.2574609 -5.8886482 86 -1.9357154 -1.6179014
44 -6.1614106 -5.7888874 87 -1.8487121 -1.5389118
45 -6.0624976 -5.6642897 88 -1.7602178 -1.4643459
46 -5.9626959 -5.5513121 89 -1.6575217 -1.3817909
47 -5.8523861 -5.4392165 90 -1.5657488 -1.3086383
48 -5.7604324 -5.3407754 91 -1.4890631 -1.2414717
49 -5.6622238 -5.2111012 92 -1.3849589 -1.1411028
50 -5.5666531 -5.1026149 93 -1.2945757 -1.0725366
51 -5.4990368 -5.0104145 94 -1.2177570 -0.9968708
52 -5.3893120 -4.8836947 95 -1.1391300 -0.9167405
53 -5.3052303 -4.7681753 96 -1.0483323 -0.8421554
54 -5.2147442 -4.6625115 97 -0.9905827 -0.7920386
55 -5.1395076 -4.5673490 98 -0.9195703 -0.7336960
56 -5.0388046 -4.4484849 99 -0.8686597 -0.6751566
57 -4.9476052 -4.3363879 100 -0.7696601 -0.6081605
58 -4.8475127 -4.2269333
59 -4.7504804 -4.1245308
60
-4.6508366
-4.0264646
Apêndice I 69
2. Parâmetros
x
^
Idade
Feminino
Masculino
Idade
Feminino
Masculino
18 0.0119592 0.0082385 61 0.0094195 0.0170647
19 0.0128205 0.0095386 62 0.0107243 0.0181199
20 0.0137352 0.0094384 63 0.0109488 0.0180036
21 0.0153589 0.0099947 64 0.0105721 0.0178913
22 0.0161060 0.0094106 65 0.0103812 0.0171884
23 0.0175490 0.0084193 66 0.0099616 0.0157030
24 0.0177844 0.0077535 67 0.0108544 0.0161342
25 0.0183646 0.0072386 68 0.0109744 0.0157183
26 0.0175747 0.0075865 69 0.0114086 0.0155240
27 0.0175328 0.0066880 70 0.0110116 0.0145437
28 0.0179202 0.0065001 71 0.0103755 0.0132153
29 0.0184020 0.0067662 72 0.0114799 0.0142922
30 0.0176487 0.0077520 73 0.0118491 0.0138752
31 0.0160453 0.0054936 74 0.0122263 0.0133820
32 0.0172868 0.0069141 75 0.0120985 0.0128161
33 0.0157825 0.0071954 76 0.0123735 0.0128331
34 0.0156637 0.0084889 77 0.0118144 0.0119109
35 0.0150325 0.0103638 78 0.0124877 0.0121376
36 0.0148673 0.0096137 79 0.0125245 0.0119514
37 0.0154643 0.0101632 80 0.0117761 0.0108800
38 0.0152700 0.0118282 81 0.0110313 0.0102407
39 0.0150527 0.0112598 82 0.0114080 0.0110778
40 0.0145826 0.0120752 83 0.0114966 0.0107086
41 0.0140548 0.0122595 84 0.0115818 0.0114435
42 0.0147230 0.0144819 85 0.0106671 0.0099439
43 0.0138780 0.0136441 86 0.0105910 0.0104331
44 0.0134223 0.0143732 87 0.0097704 0.0101964
45 0.0133948 0.0153558 88 0.0091442 0.0095420
46 0.0134331 0.0154288 89 0.0088293 0.0094715
47 0.0132912 0.0158208 90 0.0081089 0.0085873
48 0.0133358 0.0167264 91 0.0071080 0.0080797
49 0.0136153 0.0174396 92 0.0070636 0.0078507
50 0.0123730 0.0173795 93 0.0064156 0.0072309
51 0.0116711 0.0174574 94 0.0061249 0.0072815
52 0.0123505 0.0184968 95 0.0054503 0.0069087
53 0.0120906 0.0187588 96 0.0053678 0.0072059
54 0.0118674 0.0189994 97 0.0050393 0.0053094
55 0.0103846 0.0180296 98 0.0050853 0.0066304
56 0.0113518 0.0186837 99 0.0045568 0.0073473
57 0.0108243 0.0185834 100 0.0042738 0.0052202
58 0.0111663 0.0191190
59 0.0105532 0.0187398
60
0.0100395
0.0176074
Apêndice I 70
3. Parâmetros
t
^
Ano
Feminino
Masculino
Ano
Feminino
Masculino
1950 37.67545453 23.76006214 1950 30.12565234 15.75299142
1951 38.55327710 27.06240947 1951 35.15849783 21.20292222
1952 27.34991855 19.07130363 1952 23.59322747 14.41499841
1953 25.70234794 17.79716425 1953 23.12240390 14.05515795
1954 22.92217563 16.37081354 1954 20.70094040 13.48857663
1955 22.19377839 17.21475158 1955 22.49072902 14.78251184
1956 19.95672274 15.16396597 1956 21.50818600 14.42977904
1957 18.48870510 14.26658663 1957 17.63417154 13.13360186
1958 17.27869906 13.27377576 1958 18.71409291 13.49713653
1959 15.96049249 12.44870209 1959 17.37411220 12.48554134
1960 12.90951237 11.94615484 1960 15.26221250 11.22813755
1961 15.91155271 13.95266068 1961 18.34320613 13.41461036
1962 15.50905245 13.33254382 1962 17.25888687 13.69663630
1963 15.23767982 14.39043539 1963 18.34700513 14.82858566
1964 9.82875660 9.99056570 1964 9.44315061 9.32440425
1965 10.18582889 10.58308784 1965 10.15344321 10.47546745
1966 10.66724811 11.18420879 1966 11.38926302 11.52588494
1967 6.77884616 6.78345336 1967 6.47386128 7.98886612
1968 8.93500303 8.39060034 1968 11.17591629 11.28135252
1969 8.82671278 8.68551676 1969 9.62646309 11.46575750
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