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MAGALI TERESOPOLIS REIS AMARAL
ABORDAGEM BAYESIANA PARA CURVA DE
CRESCIMENTO COM RESTRIÇÕES NOS PARÂMETROS
RECIFE-PE - DEZ/2008
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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA E ESTATÍSTICA APLICADA
ABORDAGEM BAYESIANA PARA CURVA DE
CRESCIMENTO COM RESTRIÇÕES NOS PARÂMETROS
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Biometria e Estatística
Aplicada como exigência parcial à obtenção
do título de Mestre.
Área de Concentração: Inferência Estatística
Orientador: Prof. Dr Eufrázio de Souza Santos
Coorientador: Prof. Dr Borko D. Stosic
RECIFE-PE - DEZ/2008.
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FICHA CATALOGRÁFICA
A485a Amaral, Magali Teresopolis Reis
Abordagem bayesiana para curva de crescimento com
restrições nos parâmetros / Magali Teresopolis Reis Amaral.
-- 2008.
109f. : il.
Orientador : Eufrázio de Souza Santos
Dissertação (Mestrado em Biometria e Estatística Apli –
cada) -- Universidade Federal Rural de Pernambuco. Depar -
tamento de Estatística e Informática.
Inclui apêndice e bibliografia.
CDD 519. 54
1. Curva de crescimento
2. Modelos não lineares
3. Análise bayesiana
4. Simulação MCMC
5. Método de Gauss - Newton
I. Santos, Eufrázio de Souza
II. Título
iii
À minha família, em especial a meus pais,
dedico com muito amor e carinho
iv
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a DEUS, por ter me concedido a vida me dando força nos
momentos mais difíceis, permitido a minha chegada até aqui.
Aos meus pais Antonio de Lisboa Amaral e Maria Helena Amaral pelo carinho, dedi-
cação e esforço para me educar.
A David Duarte Pinto, pelo suporte, incentivo, amor, compreensão e pela suas incan-
sáveis idas e vindas a Pernambuco, nunca me deixando só.
Ao professor Marinho Gomes de Andrade Filho pela amizade, confiança, incentivo e
por me mostrar que as dificuldades da vida são importantes para o nosso próprio cresci-
mento.
A Katiane Silva Conceição por estar sempre ao meu lado, dando-me apoio, incentivo e
fazendo-me sorrir mesmo nos momentos mais difíceis. Obrigada amiga por ter sido a irmã
que não tive.
Aos meus irmãos Marcos Teresopolis e Mateus Teresopolis pela alegria e confiança
depositada em mim.
A meu sobrinho Rafael Teresopolis pelo sorriso sincero.
A professora Dra. Rosimeire Fiaccone pelo apoio, conselhos e experiências passadas
nesse período.
Ao meu orientador Professor Dr. Eufrázio de Souza Santos, pela oportunidade conce-
dida e ensinamentos ministrados
Ao professor Dr. Borko D. Stosic pelo profissionalismo, competência e incentivo.
Aos meus amigos Lenaldo Azevedo Santos e Eucymara França Nunes Santos pelos
agradáveis momentos de convivência e descontração.
Aos professores e funcionários do Departamento de Estatística e Informática pela con-
tribuição em minha formação profissional, convivência agradável durante esse período.
À minha amiga Aline Santos pelos momentos de lazer, amizade e apoio concedido.
À FAPESB pelo apoio financeiro.
A todos que de forma direta ou indireta, contribuíram para execução deste trabalho.
v
Resumo
O ajuste de curva de crescimento peso-idade para animais tem um papel importante no
planejamento da produção animal. No entanto, as curvas de crescimento ajustadas devem
ser coerentes com as interpretações biológicas do crescimento do animal, o que exige
muitas vezes que sejam impostas restrições aos parâmetros desse modelo.
A inferência de parâmetros de modelos não lineares sujeito a restrições, utilizando
técnicas clássicas apresenta diversas dificuldades. Para contornar estas dificuldades, foi
proposta uma abordagem bayesiana para ajuste de curvas de crescimento. Neste sen-
tido, a abordagem bayesiana proposta introduz as restrições nos parâmetros dos modelos
através das densidades de probabilidade a priori adotadas. Devido à não linearidade, as
densidades a posteriori destes parâmetros não têm um núcleo que possa ser identificado
entre as distribuições tradicionalmente conhecidas e os seus momentos só podem ser obti-
dos numericamente. Neste trabalho, as técnicas de simulação de Monte Carlo Cadeia de
Markov (MCMC) foram implementadas para obtenção de um sumário das densidades a
posteriori. Além disso, foram utilizados critérios de seleção do melhor modelo para um de-
terminado conjunto de dados baseados nas amostras geradas das densidades a posteriori.
O objetivo principal deste trabalho é mostrar a viabilidade da abordagem bayesiana
e comparar a inferência bayesiana dos parâmetros estimados, considerando-se densi-
dades a priori não informativas (de Jeffreys), com a inferência clássica das estimativas
obtidas pelo método de Gauss-Newton. Assim, observou-se que o cálculo de intervalos
de confiança, baseado na teoria assintótica, falha, levando a não significância de certos
parâmetros de alguns modelos. Enquanto na abordagem bayesiana os intervalos de credi-
bilidade não apresentam este problema. Os programas utilizados foram implementados
no R e para ilustração da aplicabilidade do método proposto, foram realizadas análises
de dados reais oriundos de um experimento de avaliação de sistema de cruzamento entre
raças bovinas de corte, executado na Embrapa Pecuária Sudeste. Os dados correspon-
dem a 12 mensurações de peso dos 8 aos 19 meses de idade do grupo genético das raças
Nelore e Canchim, pertencente ao grupo de genotípico AALLAB, ver (Paz 2002). Os resul-
tados revelaram excelente aplicabilidade do método bayesiano, destacando que o modelo
de Richard apresentou dificuldades de convergência tanto na abordagem clássica como
bayesiana (com priori não informativa). Por outro lado o modelo Logístico foi quem melhor
se ajustou aos dados em ambas metodologias quando se optou por densidades a priori
não informativa e informativa.
Palavras-chave: Curva de crescimento, modelos não lineares, análise bayesiana,
simulação MCMC, método de Gauss-Newton.
vii
Abstract
The adjustment of the weight-age growth curves for animals plays an important role in
animal production planning. These adjusted growth curves must be coherent with the bi-
ological interpretation of animal growth, which often demands imposition of constraints on
model parameters.
The inference of the parameters of nonlinear models with constraints, using classical
techniques, presents various difficulties. In order to bypass those difficulties, a bayesian
approach for adjustment of the growing curves is proposed. In this respect the bayesian
proposed approach introduces restrictions on model parameters through choice of the prior
density. Due to the nonlinearity, the posterior density of those parameters does not have a
kernel that can be identified among the traditional distributions, and their moments can only
be obtained using numerical techniques. In this work the MCMC simulation (Monte Carlo
chain Markov) was implemented to obtain a summary of the posterior density. Besides,
selection model criteria were used for the observed data, based on generated samples of
the posterior density.
The main purpose of this work is to show that the bayesian approach can be of practical
use, and to compare the bayesian inference of the estimated parameters considering non
informative prior density (from Jeffreys), with the classical inference obtained by the Gauss-
Newton method. Therefore it was possible to observe that the calculation of the confidence
intervals based on the asymptotic theory fails, indicating non significance of certain pa-
rameters of some models, while in the bayesian approach the intervals of credibility do
not present this problem. The programs in this work were implemented in R language,
and to illustrate the utility of the proposed method, analysis of real data was performed,
from an experiment of evaluation of system of crossing among cows from different herds,
implemented by Embrapa Pecuária Sudeste. The data correspond to 12 measurements of
weight of animals between 8 and 19 months old, from the genetic groups of the races Nelore
and Canchim, belonging to the genotype AALLAB (Paz 2002). The results reveal excellent
applicability of the bayesian method, where the model of Richard presented difficulties of
convergence both in the classical and in the bayesian approach (with non informative prior).
On the other hand the logistic model provided the best adjustment of the data for both
methodologies when opting for non informative and informative prior density.
Key words: Growing Curves, nonlinear models, bayesian analysis, MCMC simulation,
Gauss Newton method.
Sumário
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiii
1 Introdução e Revisão de Literatura 15
2 Abordagem clássica para modelos de crescimento 19
2.1 Os modelos para curvas de crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Procedimento de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Uso de Incrementos Fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Aspectos práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Critério de seleção dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Resultados da abordagem clássica 28
3.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Seleção do modelo na abordagem clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Abordagem bayesiana 39
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Protótipo bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Distribuição a priori não informativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Método de Jeffreys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3.2 Aspectos práticos usando o método de Jeffreys . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Densidade a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Método de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 implementação do algoritimo da Metropolis-Hastings . . . . . . . . . . . . . 51
4.7 Cálculo da densidade preditiva dos pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.8 Critério de seleção dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8.1 Critério de Informação bayesiana (BIC) . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8.2 Critério Desvio-Informação (DIC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8.3 Critério da Densidade Preditiva Ordenada (CPO) . . . . . . . . . . . 55
5 Resultados da abordagem bayesiana 56
5.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.1 Modelo de Brody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.2 Modelo de Chapman-Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.3 Modelo de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.4 Modelo Logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.1.5 Modelo Von Bertalanffy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Seleção do modelo na abordagem bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Conclusão 77
Referências Bibliográficas 79
Apêndice A -- Demonstração de Fórmulas 82
Apêndice B -- Dados 84
Apêndice C -- Programas da abordagem clássica 85
C.1 Modelo Brody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
C.2 Modelo Chapman-Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
C.3 Modelo Chapman-Richards m fixo igual a 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
C.4 Modelo de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
C.5 Modelo Logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.6 Modelo Von Bertalanffy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.7 Seleção do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Apêndice D -- Programas da abordagem bayesiana 98
D.1 Modelo Brody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
D.2 Modelo Chapman-Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
D.3 Modelo de Gompertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
D.4 Modelo Logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
D.5 Modelo Von Bertalanffy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
D.6 Seleção do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Lista de Figuras
3.1 Curva ajustada pelo modelo de Brody. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Brody. . . . . . . . 29
3.3 Curva ajustada pelo modelo de Richards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Convergência dos parâmetros a, c , k e m para o modelo de Chapman-
Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 Curva ajustada pelo modelo de Richards (m=10). . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Chapman-Richards
(m=10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7 Curva ajustada pelo modelo de Gompertz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8 Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Gompertz. . . . . . 32
3.9 Curva ajustada pelo modelo de Logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.10 Convergência dos parâmetros a, k e m para o modelo de Logístico. . . . . . 33
3.11 Curva ajustada pelo modelo de Von Bertalanffy . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.12 Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Von Bertalanffy. . . 34
3.13 Pesos estimados para os diferentes modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.14 Gráfico dos resíduos do modelo logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.15 Gráfico de normalidade dos modelo logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1 Parâmetros ajustados pelo modelo de Brody. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Histograma do parâmetros para o modelo de Brody. . . . . . . . . . . . . . 59
5.3 Parâmetros ajustados pelo modelo de Chapman-Richards. . . . . . . . . . 61
5.4 Histograma do parâmetros para modelo de Chapman-Richards. . . . . . . . 62
5.5 Parâmetros ajustados pelo modelo de Gompertz. . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Histograma do parâmetros para o modelo de Gompertz. . . . . . . . . . . . 65
5.7 Parâmetros ajustados pelo modelo Logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.8 Histograma do parâmetros para o modelo Logístico. . . . . . . . . . . . . . 68
5.9 Parâmetros ajustados pelo modelo de Von Bertalanffy. . . . . . . . . . . . . 70
5.10 Histograma do parâmetros para o modelo de Von Bertalanffy. . . . . . . . . 71
5.11 Densidade preditiva ordenada com priori não informativa. . . . . . . . . . . 73
5.12 Densidade preditiva ordenada com priori informativa. . . . . . . . . . . . . . 75
5.13 Percentis preditivo dos pesos do modelo logístico. . . . . . . . . . . . . . . 76
Lista de Tabelas
1.1 Modelos utilizados para expressar curvas de crescimento por peso. . . . . . 17
2.1 Forma geral dos modelos linearizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Derivadas dos modelos linearizados utilizadas no algoritmo de Gauss-Newton. 25
3.1 Estimativa e erro padrão dos parâmetros dos modelos de curvas de cresci-
mento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Critério de seleção dos modelos de curvas de crescimento . . . . . . . . . . 37
5.1 Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Brody. . 56
5.2 Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método
de Metropolis-Hastingns com 22% de aceitação para o modelo de Brody. . . 57
5.3 Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Chapman-
Richards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método
de Metropolis-Hastingns com 52% de aceitação para o modelo de Chapman-
Richards. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5 Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Gompertz. 63
5.6 Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método
de Metropolis-Hastingns com 25% de aceitação para o modelo de Gompertz. 63
5.7 Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo Logístico. . 66
5.8 Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método
de Metropolis-Hastingns com 27% de aceitação para o modelo Logístico. . . 66
5.9 Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Von
Bertalanffy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.10 Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método
de Metropolis-Hastingns com 24% aceitação para o modelo de Von Bertalanffy. 69
5.11 Critério de seleção dos modelos de curvas de crescimento na abordagem
bayesiana com priori não informativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.12 Critério de seleção dos modelos de curvas de crescimento na abordagem
bayesiana com priori informativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.13 Percentis preditivo dos pesos do modelo logístico. . . . . . . . . . . . . . . 75
B.1 Mensurações de idade e peso do grupo genético das raças Nelore e Can-
chim do grupo de genotípico AALLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
15
1 Introdução e Revisão de Literatura
A representação paramétrica das curvas de crescimento peso-idade de animais é feita por
modelos matemáticos não lineares (função de crescimento) (Ratkoswky 1983). O ajuste
de funções de crescimento peso-idade é uma ferramenta fundamental no planejamento
da produção animal, pois permite obter informações precisas da presente curva de cresci-
mento dos animais estudados, além de informações de prognósticos futuros para animais
do mesmo grupo racial sob a mesma situação ambiental. Neste contexto, a seleção da
função de crescimento que melhor descrevesse o crescimento de um animal é utilizada
tanto para fins de exigência nutricional, como para seleção genética, uma vez que essas
funções sintetizam um grande número de medidas em apenas alguns parâmetros com si-
gnificado biológico, facilitando dessa forma, a interpretação e o entendimento do fenômeno.
Vale ressaltar que, nessa nova dimensão de análise, é possível destacar outras vantagens,
como por exemplo, a possibilidade de se fazer previsões sobre o comportamento médio
da resposta para ocasiões de avaliação diferente daquela para as quais o estudo foi plane-
jado e a aquisição de um maior conhecimento sobre o processo de variação da resposta
ao longo das condições de avaliação.
A diversidade genética, variabilidade ambiental e nutricional, pode levar a diferentes
curvas de crescimento para uma mesma espécie de animal. Assim, serão abordados
diversos modelos de crescimento, visando proporcionar ao pesquisador uma metodologia
estatística que possa selecionar de forma sistemática o modelo que melhor se ajusta aos
dados analisados.
Neste sentido, diversas funções vêm sido empregadas nos estudos de crescimento
(Tabela 1.1), entre eles destacam-se as funções de Brody, Gompertz, Logística, Richards
e von Bertalanffy. Essas funções têm sido utilizadas por diversos autores em diferentes
áreas, para descrever o crescimento de bois, ovinos, rã-touro, tilápia, cordeiro, vacas entre
outros, ver por ex. (Tedeschi et al 2000), (Sousa 2006), (Santos et al 2007) e (Guedes et
al 2005).
1 Introdução e Revisão de Literatura 16
Para descrever a curva de crescimento de bovinos, alguns autores como, (Tedeschi et
al 2000), utilizou diferentes funções não lineares na forma genuína e modificada, (Mazzini
et al 2003) comparou as funções ajustadas de forma não-ponderada e ponderada pelo
inverso da variância dos pesos em cada pesagem, (Machado et al 2003) ajustou a curva
de crescimento de bovinos por meio da equação de Michaelis-Menten, mostrando que o
ajuste com essa técnica é condizente com a realidade. Tanto (Tedeschi et al 2000) como
(Silva et al 2003) usaram os valores da soma dos quadrados do resíduo (SQr), coeficiente
de determinação (R
2
) e desvio de regressão na seleção das funções de crescimento, o
método utilizado para estimar os parâmetros, em quase todos os estudos, foi o método de
Gauss-Newton.
(Sousa 2006) e (Afonso 2007) aplicaram esses modelos a dados de ovinos. Segundo
esses autores os pesos ajustados pela função de Gompertz se mostraram mais próximos
aos pesos observados, sendo esta, a função escolhida para melhor representar o cresci-
mento desses animais.
De acordo com (Santos et al 2007) a aplicação de modelos não lineares para o ajuste
de curvas de crescimento de tilápia do Nilo foi satisfatória em todos os modelos, contudo
os modelos de Gompertz e von Bertalanffy são mais indicados, tanto para a linhagem
Chitralada quanto para a Supreme, considerando que foram pequenas as diferenças exis-
tentes entre as duas linhagens. Já ( Rodrigues et al 2007) ajustou essa funções matemáti-
cas para curva de crescimento em peso de rã-touro e deduziu que o formato sigmoidal da
curva dos modelos de Gompertz e Logístico, associado ao parâmetro que representou o
peso final, fez com que estes modelos fossem os eleitos para estimar o crescimento da
rã-touro em recria para as condições observadas no experimento.
(Guedes et al 2005), estudaram a curva de crescimento de cordeiros da raça Santa
Inês através da análise bayesiana, e concluíram que as estimativas para os parâmetros
são mais precisa, comparados às obtidas por estudos anteriores nos quais foi utilizado o
mesmo conjunto de dados para ajustar modelos não lineares.
Neste estudo as funções não lineares usadas no ajuste da curva de crescimento são
listadas na Tabela 1.1:
1 Introdução e Revisão de Literatura 17
Tabela 1.1: Modelos utilizados para expressar curvas de crescimento por peso.
Autor Peso P(t)
Brody a(1 −ce
−kt
)
Chapman-Richards a(1 −ce
−kt
)
m
Gompertz ae
ce
(−kt)
Logístico a(1 + e
−kt
)
−m
Von Bertalanffy a(1 −ce
−kt
)
3
Na Tabela 1.1, P(t) é a média dos pesos dos animais, t é a idade em meses, a é o
parâmetro que representa o peso assintótico ou peso adulto, o valor assintótico da curva,
isto é, o peso médio do animal livre das variações sazonais, c é uma constante que está
relacionada aos pesos iniciais do animal, indicando a proporção do crescimento assintótico
a ser ganho depois do nascimento, k é a taxa de crescimento da variável de interesse e
corresponde ao índice de maturidade, determina a eficiência do crescimento do animal,
isto é indica a velocidade com que o animal se aproxima da idade adulta, m representa
o parâmetro que define a forma da curva nos modelos e conseqüentemente determina o
ponto em que o animal passa de uma fase de crescimento inibitório, indicando o ponto que
ele passa a crescer com menor eficiência.
Quando 0 < m < 1, tem-se um modelo intermediário entre o de Brody e o de Gompertz;
quando 1 < m < 2, o formato se situa entre o modelo de Gompertz e o modelo logístico;
quando m > 2, o resultado é um modelo similar ao logístico, porém, assimétrico, em que o
ponto de inflexão pode ser alterado para um valor maior do que P = a/2, ver (Freitas 2007).
Contudo, vale salientar que no modelo logístico, o parâmetro c é fixo e igual a 1, uma
parametrização realizada por (Brown et al 1976) que inclui o parâmetro m, tornou o ponto
de inflexão variável, acarretando dessa forma na limitação do ponto de inflexão a entre 0,41
e 0,44. Para esta função, o ponto de inflexão é determinado por:
I = a(
m −1
m
)
m
.
Note que o modelo de Von Bertalanffy e Brody são casos especiais do modelo de
Richards para o ponto de inflexão m igual a três e um respectivamente. A equação abaixo
1 Introdução e Revisão de Literatura 18
determina o ponto de inflexão para essa função
I = a(
m
m + 1
)
m
.
Cada curva é desenvolvida a partir dos dados obtidos e os modelos matemáticos uti-
lizados para representá-la, podem ser classificados como modelos lineares ou passíveis
de linearização, que podem ser ajustados pelos métodos de regressão linear simples
ou múltipla ou modelos não lineares ajustados por método de regressão não linear. No
entanto, diversos autores relataram dificuldades de ajuste para a função de Richards,
(Ratkoswky 1983) e (Brown et al 1976). (Sarmento et al 2006) relatou que na aplicação
desse modelo a convergência no processo iterativo não foi atingida em aproximadamente
50% dos animais. Conseqüentemente, essa dificuldade foi atribuída à necessidade desse
modelo em estimar um parâmetro a mais e principalmente pela correlação negativa entre
c e m.
Neste trabalho foi utilizado o método de Gauss-Newton para ajustar os modelos no
contexto clássico e teste de hipótese são utilizados no sentido de auxiliar na escolha do
melhor modelo. O principal objetivo deste estudo é propor uma abordagem bayesiana para
ajustar estes modelos. Considerando restrições nos parâmetros, foram utilizados também
critérios de seleção dos modelos no contexto bayesiano, para selecionar o modelo que
melhor se ajusta a um conjunto de dados.
Esta dissertação é estruturada da seguinte forma: No Capitulo 2, é apresentada a
abordagem clássica de ajuste dos modelos de crescimento. No Capitulo 3, resultados e
discussão, da abordagem clássica. No Capitulo 4, apresenta-se a abordagem bayesiana
para ajuste e seleção destes modelos. No Capitulo 5, resultados e discussão, da abor-
dagem bayesiana. No capitulo 6, apresenta-se a conclusão do trabalho.
19
2 Abordagem clássica para modelos
de crescimento
2.1 Os modelos para curvas de crescimento
A análise de curvas de crescimento consiste na análise de dados longitudinais por meio
de ajustamento de um modelo matemático que descreve todo o período de vida do animal
relacionando o peso P(t) e a idade t do animal. O ajuste destas curvas tem sido abordado
em inúmeros estudos e em diversas áreas de pesquisa, (ver citações em (Paz 2002)).
Neste contexto, pode-se definir os modelos de crescimento como funções não lineares
que relacionam os pesos de um animal, medido em diferentes idades. Denotando por P(t)
o peso do animal na idade t e as diferentes funções dadas na Tabela 1.1.
Vale ressaltar que uma grande vantagem desses modelos é a simplicidade e facili-
dade na interpretação dos parâmetros, pois em muitas situações, são requeridos menos
parâmetros nos modelos não lineares do que nos lineares. Além disso, nos modelos não
lineares, os parâmetros fornecem um maior conhecimento sobre o fenômeno em estudo, o
que gera um bom ajuste, com menos parâmetros.
Em muitas aplicações práticas, adota-se o procedimento de linearização, isso pode ser
feito aplicando-se a transformação logarítmica nos modelos, dessa forma o modelo geral
pode ser escrito como:
lnP(t
i
) = h(t
i
;β ) + e
t
i
, (2.1)
em que β pode ser definido como um vetor de parâmetros, β = (a,c,k,m) e e
t
é um
erro aleatório independente de t e com distribuição normal N(0, τ
−1
), em que τ = 1/σ
2
e
σ
2
> 0 é a variância dos erros e
t
.
Entretanto a transformação de um modelo não linear em um modelo linear nos parâ-
2.1 Os modelos para curvas de crescimento 20
metros, se por um lado facilita o processo de ajuste, implica em fazer suposições não
realistas sobre o termo dos erros (distribuição normal com variância constante). Outro fato
importante, é que existem modelos que são inerentemente não lineares, isto é, não podem
ser linearizados por transformação.
Pelo modelo geral descrito em (2.1), obtêm-se os modelos logaritmizados conforme a
Tabela 2.1.
Tabela 2.1: Forma geral dos modelos linearizados.
Autor h(x;β )
Brody ln(a) + ln(1 −ce
−kt
)
Chapman-Richards ln(a) + mln(1 −ce
−kt
)
Gompertz ln(a) + ce
−kt
Logístico ln(a) −mln(1 + e
−kt
)
Von Bertalanffy ln(a) + 3ln(1 −ce
−kt
)
O uso de transformações para linearização de modelos não lineares torna-se mais
crítico quando as estimativas obtidas, utilizando-se os modelos linearizados, são feitas
para os parâmetros transformados e não para os parâmetros originais do modelo. Nestes
casos, perde-se a informação sobre os erros padrões dos parâmetros originais e isso re-
sulta em grandes dificuldades na inferência dos parâmetros originais e, em geral, impossi-
bilita cálculos de intervalos de confiança e testes de hipóteses sobre os parâmetros origi-
nais do modelo (uma abordagem mais ampla deste problema é dada em (Myers 1990)).
Vale salientar que mesmo utilizando variáveis contínuas como variáveis independentes,
não há razão para que as variáveis independentes, nos modelos não lineares, sejam con-
tínuas. Ao contrário, pode-se fazer uso de variáveis dummy para indicar a presença ou
ausência de um grupo, ou codificar diferenças entre indivíduos (dados de medidas repeti-
das).
2.2 Procedimento de Gauss-Newton 21
2.2 Procedimento de Gauss-Newton
No ajuste de funções, a forma mais utilizada para estimar os parâmetros de uma função
é o método dos mínimos quadrados ponderados. Este método consiste em encontrar um
vetor de parâmetros β de estimativas que minimiza a soma de quadrados dos desvios dos
valores observados em relação aos ajustados, por meio de processos iterativos, nos quais
são requeridos valores iniciais próximos ao verdadeiro valor dos parâmetros.
Entretanto, como trata-se de funções não lineares, não é possível obter explicitamente
o vetor de estimativas através do método dos mínimos quadrados. Neste caso, o método
de Gauss-Newton é indicado.
O método de Gauss-Newton é um caso particular do método dos mínimos quadrados
ponderados, também conhecido como método da linearização. Este método utiliza uma
expansão em série de Taylor para aproximar o modelo de regressão não linear com termos
lineares e, então, aplica-se mínimos quadrados ordinário para estimar os parâmetros. Ite-
rações desses passos geralmente conduzem a uma solução para o problema de regressão
não linear.
O método de Gauss-Newton inicia dando-se valores iniciais aos parâmetros β
0
,β
1
,..., β
p
,
denotados por:
β
0
0
,β
0
1
,...,β
0
p
Esses valores iniciais podem ser obtidos por meio de estudos anteriores conhecidos
na literatura.
Com os valores iniciais dos parâmetros, aproxima-se a função esperada h(x,β ) até a
potência desejada por termos lineares da expansão em série de Taylor de primeira ordem,
em torno dos valores iniciais β
0
. Assim, a solução geral para o i-ésimo caso é dada por:
h(x;β )
∼
=
h(x;β
0
) +
p
∑
j=1
∂ h(x; β
0
)
∂ β
j
(β
j
−β
0
j
) (2.2)
Aqui β
0
é o vetor dos valores iniciais dos parâmetros. Observe que as derivadas, assim
como a f (x,β ), são avaliadas em β
i
= β
0
i
, isto representa a diferença entre os verdadeiros
parâmetros da regressão e as estimativas iniciais dos mesmos. Assim, os coeficientes
de regressão representam uma correção que deve ser feita nos coeficientes de regressão
iniciais.
2.2 Procedimento de Gauss-Newton 22
Em linguagem matricial tem se que h(x;β
0
) = {h(x
i
;β
0
),i = 1, ...,n} é um vetor de
ordem (n ×1), γ = {(β
j
−β
0
j
), j = 1,... , p} tem dimensão (p ×1) e as derivadas parci-
ais
∂ h(x
i
;β
0
)
∂ β
j
, com i = 1,. .. ,n e j = 1,... , p formam uma matriz W de ordem (n × p) cujos
elementos são definidos por:
w
i, j
=
∂ h(x
i
;β
0
)
∂ β
0
j
para i = 1,... ,n, j = 1,. . ., p (2.3)
Passando h(x; β
0
) para o lado esquerdo denotando por γ
j
= β
j
−β
0
j
, tem-se a equação
(2.2) reescrita como:
y −h(x;β
0
) = γW, (2.4)
Pode-se portanto, estimar os parâmetros β
0
pelo método de mínimos quadrados or-
dinários, considerando as primeiras estimativas de γ = (γ
1
,..., γ
p
)
T
obtidas da equação
(2.4),
γ
0
= (W
T
W)
−1
W
T
(y −h(x;β
0
)).
Então temos uma primeira estimativa para os parâmetros β = (β
1
,..., β
p
)
T
, dada por:
β
1
j
=
β
0
j
+
γ
0
j
, para j = 1, ..., p
Em que β
1
j
representa a estimativa corrigida de β
j
no fim da primeira iteração.
Formalmente podemos afirmar que a o vetor das estimativas da s-ésima iteração,
definindo por β
s
= (β
s
1
,..., β
s
p
)
T
é dado por
β
s
=
β
s−1
+
γ
s−1
, ou seja:
β
s
=
β
s−1
+ (W
T
s−1
W
s−1
)
−1
W
T
s−1
(y −h(x;β
s−1
)). (2.5)
Neste ponto, verifica-se que os coeficientes de regressão corrigidos representam uma
melhoria na direção apropriada. Qualquer inferência sobre as estimativas dos parâmetros
proveniente do algoritmo de Gauss-Newton é baseada na matriz de covariância assintótica
da regressão, dada por σ
2
(W
T
W)
−1
assim tem-se que:
Var(
β
s
) = diag{
σ
2
(W
T
s
W
s
)
−1
} (2.6)
2.2 Procedimento de Gauss-Newton 23
em que
σ
2
é o resíduo médio quadrático dado por
σ
2
=
1
n − p
n
∑
i=1
(h
i
−h(x
i
;
β ))
2
. (2.7)
Denotaremos por S S
R,s
a soma dos quadrados dos resíduos na iteração s. Assim
calcula-se os coeficientes de regressão iniciais SS
R,1
como segue
SS
R,1
=
n
∑
i=1
(y
i
−h(x
i
;
β
1
))
2
.
Os coeficientes de regressão corrigidos são
β
2
, no final da primeira iteração. Assim,
calcula-se SS
R,2
, como segue
SS
R,2
=
n
∑
i=1
(y
i
−h(x
i
;
β
2
))
2
.
Se o algoritmo de Gauss-Newton estiver na direção correta, SS
R,2
deverá ser menor
do que SS
R,1
. Neste caso, o processo repetirá, isto é, procede-se a nova iteração até que
se verifique a convergência desejada. Vale ressaltar que a escolha das estimativas iniciais
no método de Gauss-Newton é muito importante, pois uma má escolha pode resultar num
número muito grande de iterações chegando muitas vezes a não convergir.
O método descrito é a base de muitos outros métodos. Alguns desses métodos intro-
duzem modificações para obter uma convergência mais rápida; outros usam o desenvolvi-
mento de Taylor de segunda ordem (método de Newton-Raphson), procurando assim uma
melhor aproximação. Estes métodos necessitam que se calculem derivadas das funções.
Alguns programas de computador requerem a introdução das expressões matemáticas
das derivadas, outros utilizam sub-rotinas com aproximações numéricas das derivadas. É
importante lembrar que no método iterativo, o valor inicial usado no processo deve ser se-
lecionado o mais próximo possível do verdadeiro valor. Deste modo, não só a convergência
é mais rápida como também é mais seguro que terminará no limite desejado.
2.2.1 Uso de Incrementos Fracionários
Um ponto fraco do procedimento de Gauss-Newton é o fato de que em alguns pro-
blemas práticos o incremento nos γ pode ser muito pequeno, o que provoca uma con-
2.3 Aspectos práticos 24
vergência muito lenta em alguns casos, já em outras situações mais graves, o algoritmo
pode caminhar na direção errada podendo muitas vezes não convergir. Para contornar
estas dificuldades, uma estratégia de incremento apresentada em (Myers 1990), é dada
por:
• Algoritmo Gauss-Newton com Incrementos Fracionários
1. Use (W
T
s−1
W
s−1
)
−1
W
T
s−1
(y −h(x;
β
s−1
)) =
γ
s−1
para calcular o incremento padrão
de Gauss-Newton para as iterações s = 1,2,...
2. Calcule
β
s
=
β
s−1
+
γ
s−1
, como o procedimento padrão sugere.
3. Se SS
R,s
< SS
R,s−1
continue na próxima iteração usando
β
s
.
4. Se SS
R,s
> SS
R,s−1
vá para o passo 2; use α
γ
s−1
para 0 < α ≤ 1 como vetor de
incremento.
5. Faça s ←− s + 1 e repetir os passos (2)-(4).
2.3 Aspectos práticos
Considere os modelos com erro aditivo apresentados na tabela (2.1) com vetor de
parâmetros β = (a, c,k,m)
T
e o conjunto de medidas de pesos e idades, D = {(p
1
,t
1
),
...,(p
n
,t
n
)}. Seja x = (t
1
,...,t
n
) e y = (y
1
,..., y
n
)
T
em que, y
t
= log(p
t
). Considerando os
seguintes valores iniciais para a estimativa do vetor de parâmetros β
0
= (a
0
,c
0
,k
0
,m
0
)
T
,
aproximamos a função h(x; β ) para os quatro parâmetros por termos lineares da expansão
em série de Taylor de primeira ordem, em torno dos valores iniciais β
0
. Logo expandindo
as funções h(t;β ) da tabela (2.1) em série de Taylor, temos:
h(x;β ) = h(x;β
0
) +
∂ h(x; β
0
)
∂ a
(a −a
0
) +
∂ h(x; β
0
)
∂ c
(c −c
0
) (2.8)
+
∂ h(x; β
0
)
∂ k
(k −k0) +
∂ h(x; β
0
)
∂ m
(m −m
0
).
Aqui observa-se que as derivadas, assim como a função h(x;β ), são avaliadas no vetor
dos valores iniciais dos parâmetros β
0
.
Para implementação do algoritmo de Gauss-Newton, vamos considerar os modelo
dado na tabela (2.1), calculando os elementos w
i, j
da matriz W . A tabela (2.2) apresenta
os elementos w
i, j
da matriz W de cada modelo dado em (2.8).
2.4 Critério de seleção dos modelos 25
Tabela 2.2: Derivadas dos modelos linearizados utilizadas no algoritmo de Gauss-Newton.
Autor
∂ h(x;β )
∂ a
∂ h(x;β )
∂ c
∂ h(x;β )
∂ k
∂ h(x;β )
∂ m
Brody
1
a
−
e
−kt
1−ce
−kt
cte
−kt
1−ce
−kt
-
Chapman-Richards
1
a
−
me
−kt
1−ce
−kt
mcte
−kt
1−ce
−kt
ln(1 −ce
−kt
)
Gompertz
1
a
e
−kt
−cte
−kt
-
Logístico
1
a
-
mte
−kt
1+e
−kt
−ln(1 + e
−kt
)
Von Bertalanffy
1
a
−
3e
−kt
1−ce
−kt
3cte
−kt
1−ce
−kt
-
A maior dificuldade de se empregar a abordagem utilizando estimadores de mínimos
quadrados é considerar restrições nos parâmetros. Todos os modelos apresentados na
Tabela 1.1 apresentam algum tipo de restrição nos parâmetros para que a relação peso-
idade seja biologicamente coerente. Nestes casos, todos os parâmetros devem obrigato-
riamente ser não negativos.
A solução numérica deste problema pode ser encontrada, mas exige condições iniciais
adequadas, caso contrário implica em muitas dificuldades de convergência. Para contornar
essa dificuldade, propomos uma abordagem bayesiana para o cálculo dessas estimativas.
Na abordagem bayesiana as informações a priori sobre os parâmetros podem compen-
sar parcialmente a pouca informação extraída somente dos dados quando estes constituem
uma pequena amostra. Para incorporar as restrições nos parâmetros dos modelos, vamos
utilizar uma abordagem bayesiana onde as restrições serão impostas nas densidades a
priori escolhidas para cada parâmetro.
2.4 Critério de seleção dos modelos
Os critérios para selecionar a melhor função de crescimento têm sido relatados em
diversos trabalhos, (Santos et al 2007), (Guedes et al 2005), (Freitas 2007), (Sarmento et
al 2006) e são dados pelo quadrado médio dos resíduos (QMR), que é calculado através da
divisão da Soma de Quadrados do Resíduo (SQR), pelo número de observações. Quando
os dados são transformados, como no caso de linearização por logaritmos, altera-se a
estrutura do modelo matemático que expressa a média das observações, ou seja, para
2.4 Critério de seleção dos modelos 26
comparação de modelos matemáticos, é necessário que as variáveis dependentes sejam
de mesma dimensão, com idêntica estrutura de médias. Portanto, o QMR das equações
logarítmicas deve ser calculado partindo da extração do antilogaritmo da variável depen-
dente estimada e da observada, da seguinte forma (Sit 1994).
QMR =
n
∑
t=1
(P(t) −
ˆ
P)
2
(n −p)
,
em que
ˆ
P são os pesos estimados. Assim o erro padrão dos resíduos pode ser deno-
tado por:
S
P(t)
=
QMR, (2.9)
O erro padrão de estimativa S
P(t)
, pode ser expresso em percentagem em relação
à média das observações P(t) da variável dependente P(t), esta relação é chamada de
coeficiente de variação do modelo (CV ) e é dada por
CV =
100S
P(t)
P(t)
. (2.10)
O coeficiente de determinação (R
2
) é calculado como o quadrado da correlação entre
os pesos observados e estimados, que é equivalente a equação:
R
2
= 1 −
SQR
SQT c
, (2.11)
em que SQR é a soma de quadrados dos resíduos definida pelo
∑
n
t=1
(P(t) −
ˆ
P)
2
e
SQTc a Soma de Quadrados Total corrigida pela média dada por
∑
n
t=1
(P(t) −P(t))
2
.
Para avaliar a qualidade do ajuste, utiliza-se o desvio médio absoluto percentual dos
resíduos (DMAP), definido por
DMAP =
100
n
n
∑
t=1
(|P(t) −
ˆ
P|)
P(t)
. (2.12)
Os critérios Akaike, AIC (Akaike 1974) e de Schwarz, SBC (ou BIC) (Schwarz 1978)
são calculados pelas seguintes equações
AIC = −2 ln L + 2(p + 1). (2.13)
2.4 Critério de seleção dos modelos 27
SBC = −2 lnL + (p + 1)ln(n). (2.14)
em que L é a função de verossimilhança das curvas de crescimento apresentadas, n o
tamanho da amostra e p é o número de parâmetros livres;
Sob a hipótese de normalidade e independência dos resíduos, temos que os critérios
de AIC e de SBC são definidos por
AIC = n[ln(2πSS
R,s
) + 1] + 2(p + 1). (2.15)
SBC = n ln(
SS
R,s
n
) + ln(n)(p + 1). (2.16)
Assim, para verificação da normalidade dos dados, gráficos dos resíduos serão cons-
truídos.
28
3 Resultados da abordagem clássica
3.1 Aplicação
Para ilustrar a aplicabilidade dos métodos foram utilizados dados proveniente de um
experimento de avaliação de sistema de cruzamento entre raças bovinas de corte, execu-
tado na Embrapa Pecuária Sudeste. Os dados correspondem a 12 mensurações de peso
dos 8 aos 19 meses de idade do grupo genético das raças Nelore e Canchim pertencente
ao grupo de genotípico AALLAB, ver (Paz 2002). O objetivo é comparar a eficiência dos
diferentes modelos, os dados e os programas encontram-se no apêndice B e C respecti-
vamente.
As figuras 3.1 - 3.12 mostram as curvas ajustadas e a convergência dos respectivos
parâmetros para os diferentes modelos apresentados. Nota-se na figura 3.4 que o modelo
de Richard não atingiu a convergência após 50000 iterações. Esse fato deve-se, principal-
mente a não convergência do parâmetro m e para contornar essa dificuldade foi adotada
outra forma de estimação na qual o parâmetro m foi fixado no valor estimado pelo modelo
logístico.
3.1 Aplicação 29
Figura 3.1: Curva ajustada pelo modelo de Brody.
Figura 3.2: Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Brody.
3.1 Aplicação 30
Figura 3.3: Curva ajustada pelo modelo de Richards.
Figura 3.4: Convergência dos parâmetros a, c , k e m para o modelo de Chapman-Richards
.
3.1 Aplicação 31
Figura 3.5: Curva ajustada pelo modelo de Richards (m=10).
Figura 3.6: Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Chapman-Richards
(m=10).
3.1 Aplicação 32
Figura 3.7: Curva ajustada pelo modelo de Gompertz.
Figura 3.8: Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Gompertz.
3.1 Aplicação 33
Figura 3.9: Curva ajustada pelo modelo de Logístico.
Figura 3.10: Convergência dos parâmetros a, k e m para o modelo de Logístico.
3.1 Aplicação 34
Figura 3.11: Curva ajustada pelo modelo de Von Bertalanffy .
Figura 3.12: Convergência dos parâmetros a, c e k para o modelo de Von Bertalanffy.
3.1 Aplicação 35
A tabela 3.1 ilustra as estimativas dos parâmetros dos modelos. Assim, pode-se ob-
servar que todos os parâmetros foram significantes para os modelos de Brody, Chapman-
Richards (m = 10), Gompertz e Von Bertalanffy. O peso assintótico ou peso adulto que
representa a estimativa do peso à maturidade (parâmetro a) foi significativo para todos os
modelos. O parâmetro k do modelo logístico, que representa a eficiência do crescimento
animal não foi significativo. Este problema deve-se à limitação da teoria assintótica para
inferência desse parâmetro o qual é sabidamente diferente de zero.
Tabela 3.1: Estimativa e erro padrão dos parâmetros dos modelos de curvas de cresci-
mento .
Autor Modelo a c k m
Brody a(1 −ce
−kt
) 384.4233 3.7639 0.2572 -
(16.6122) (1.7564) (0.0603)
Chapman-Richards a(1 −ce
−kt
)
m
372.4548 0.17802 0.3735 66.6453
(19.381) (46.550) (0.31644) (1766.2)
Chapman-Richards (m=10) a(1 −ce
−kt
)
m
378.4950 0.83653 0.3253 10.00
12.5654 0.3990 0.0602 -
Gompertz ae
ce
(−kt)
377.9730 -9.1593 0.3331 -
(12.2317) (4.3843) (0.0602) -
Logístico a(1 + e
−kt
)
−m
377.4501 - 0.3408 10.0352
(11.9774) - (5.1485) ( 0.1699)
Von Bertalanffy a(1 −ce
−kt
)
3
379.8018 2.2575 0.3074 -
(13.4246) (1.0690) (0.0601) -
3.2 Seleção do modelo na abordagem clássica 36
3.2 Seleção do modelo na abordagem clássica
A figura 3.13 mostra o gráfico do peso real e dos estimados para as diferentes curvas
de crescimento e, através dela, observa-se que apesar dos problemas de convergência
para alguns parâmetros, os pesos estimados estão bem próximos, mostrando assim um
bom ajuste.
Figura 3.13: Pesos estimados para os diferentes modelos.
3.2 Seleção do modelo na abordagem clássica 37
A tabela 3.2, mostra os resultados das estatísticas 2.9- 2.12, 2.15 e 2.16 para as difer-
entes curvas de crescimento e a analise destas revela que o modelo logístico foi o que
melhor se ajustou aos dados dentre todos os modelos.
Tabela 3.2: Critério de seleção dos modelos de curvas de crescimento .
Autor S
P(T )
CV % R
2
DMAP % AIC SBC
Brody 16.0618 5.0207 0.9378 3.7028 -8.6978 -71.6014
Chapman-Richards 16.5306 5.1672 0.9414 3.5893 -6.2158 -68.6345
Chapman-Richards (m=10) 15.0740 4.7119 0.9452 3.3845 -10.4242 -73.3278
Gompertz 14.9714 4.6799 0.9459 3.3495 -10.6144 -73.5180
Logístico 14.8696 4.6480 0.9467 3.3145 -10.8032 -73.7068
Von Bertalanffy 15.3214 4.7893 0.9434 3.4667 -9.9784 -72.8820
Com base nesse resultado, avaliou-se a qualidade do ajuste do modelo logístico com o
gráfico dos resíduos e de normalidade apresentados nas figuras 3.14 e 3.15. Notando-se
que a hipótese de normalidade é satisfatória para os resíduos desse modelo.
3.2 Seleção do modelo na abordagem clássica 38
Figura 3.14: Gráfico dos resíduos do modelo logístico.
Figura 3.15: Gráfico de normalidade dos modelo logístico.
39
4 Abordagem bayesiana
4.1 Introdução
Realizar inferência sobre os parâmetros de um modelo é um dos principais objetivos da
inferência estatística. Na abordagem bayesiana, a informação que se tem do parâmetro de
interesse θ é de extrema importância na estatística, porém para inferência dos parâmetros
desse modelo o verdadeiro valor de θ é desconhecido. Para diminuir este desconheci-
mento e contornar os diferentes graus de incerteza que θ pode assumir, admite-se que
estes parâmetros são variáveis aleatórias e qualquer informação inicial sobre elas pode
ser representada por modelos probabilísticos para θ. Assim, no contexto bayesiano, o
parâmetro θ é uma quantidade significativa no qual existem diferentes graus de conheci-
mento que variam de problema para problema e de investigador para investigador como um
problema único com contexto próprio e real. Nesse sentido, as quantidades observáveis e
os parâmetros de um modelo estatístico são todos considerados quantidades aleatórias.
Os métodos bayesiano passam, de certa forma, por uma extensão do modelo clás-
sico, extensão que tem raiz na seguinte divergência fundamental. No modelo clássico, o
parâmetro θ, θ ∈ Θ é um escalar ou vetor desconhecido, mas fixo, isto é, igual ao valor
particular que indexa a distribuição da familia F que descreve o processo ou sistema físico
que gera as observações. No modelo bayesiano o parâmetro θ , θ ∈ Θ , é tomado como
um escalar ou vector aleatório (não observável). A filosofia bayesiana é, neste ponto, a
seguinte: o que é desconhecido, no caso em questão o parâmetro θ, é incerto e toda a
incerteza deve ser quantificada em termos de probabilidade.(Paulino et al 1999).
Para se realizar uma inferência bayesiana, é necessário portanto, além dos dados
amostrais, modelar uma função densidade de probabilidade a priori, que combinada com a
função de verossimilhança dos dados, por meio do teorema de Bayes, chega-se à função
densidade de probabilidade a posteriori. O estabelecimento de uma informação a priori so-
bre o parâmetro é informado pela densidade de probabilidade, no qual expressa, de alguma
forma, o conhecimento do pesquisador sobre os parâmetros a serem estimados. Assim as
4.2 Protótipo bayesiano 40
distribuições a priori podem ser classificadas como priori informativa e não informativa. A
principal diferença entre elas é que a priori informativa é caracterizada pela existência de
algum conhecimento a respeito do parâmetro θ e é representada por uma forma funcional,
cujo os parâmetros devem ser especificados de acordo com esse conhecimento. Contudo,
em determinados estudos, os pesquisadores têm pouca ou nenhuma informação sobre θ
para incorporar ao modelo. Neste caso, considera-se uma priori não informativa, como por
exemplo, a priori de Jeffreys.
Além desta possibilidade de incorporação de informações, outras vantagens relacionadas
com a Inferência bayesiana são caracterizadas pela ausência de pressuposições quanto
aos modelos utilizados e pela facilidade da adoção da estimação por intervalo. Neste caso
denominado de intervalo de credibilidade, o qual é obtido diretamente pelos quantis da
distribuição a posteriori (Paulino et al 1999).
4.2 Protótipo bayesiano
Considere Ω um espaço amostral não vazio, A
1
,A
2
,..., A
n
uma partição finita (ou in-
finita) de Ω e B qualquer evento associado a Ω, com P(B) > 0 verifica-se na união de
conjuntos disjuntos a decomposição de B como B =
i
(A
i
∩B).
Como a função de probabilidade é aditiva, para união de eventos disjuntos , aplica-se
a definição de probabilidade condicionada, escrita da forma a seguir
P(B) =
i
P(A
i
∩B) =
∑
i
P(B|A
i
)P(A
i
).
Note que
P(A
i
∩B) = P(B|A
i
)P(A
i
) = P(A
i
|B)P(B),
Assim resolvendo para P(A
i
|B), tem-se que
P(A
i
|B) =
P(B|A
i
)P(A
i
)
P(B)
=
P(B|A
i
)P(A
i
)
∑
i
P(B|A
i
)P(A
i
)
No caso em que A
i
e B ser eventos representados por variável aleatória contínua com
funções densidades f (x) e f (y) respectivamente e com densidades condicionais f (x|y) e
f (y|x). Assim o teorema de Bays pode ser escrito como:
4.2 Protótipo bayesiano 41
f (y|x) =
f (x|y) f (y)
f (x|y) f (y)dy
(4.1)
Este resultado é conhecido como Teorema de Bayes e é também denominado como
fórmula das probabilidades das causas ou dos antecedentes. Este teorema é a base da
formulação do modelo bayesiano.
Considere agora uma quantidade de interesse desconhecida θ, suponha que observa-
se X = x gerada por alguma lei de probabilidade condicionada em θ, f (x|θ ) e que π(θ ) é
a distribuição a priori do investigador, comparando-se a equação 4.1 tem-se que
π(θ|x) =
f (x|θ )π(θ)
Θ
f (x|θ )π(θ)dθ
, θ ∈ Θ, (4.2)
Note que
θ
f (x|θ )π(θ)dθ = f (x) não depende do parâmetro de interesse θ e f (x) faz
o papel da constante normalizadora da densidade posteriori assegurando que a integral
de π(θ|x) para θ ∈ Θ é igual a 1. O denominador de (4.2), é integral múltipla sobre o
domínio de definição dos parâmetros θ ∈ Θ, que representa uma função somente dos
dados (x) observados. Quando θ é um vetor o cálculo dessas integrais nem sempre é fácil
de resolver, o que requer muitas vezes a utilização de cálculos numéricos intensivos.
Para um valor fixo de θ, a função L(x|θ) = f (x|θ) fornece a plausibilidade ou verossi-
milhança de cada um dos possíveis valores de θ enquanto π(θ ) é denominada distribuição
a priori de θ . Estas duas fontes de informação, priori e verossimilhança, são combinadas
pelo Teorema de Bayes levando a distribuição a posteriori de θ, para π(θ |x ).
É comum adotar a notação de proporcionalidade para representar a densidade a pos-
teriori, (Box et al 1992).
A forma usual do teorema de Bayes a menos de uma constante normalizadora pode
ser escrita como
π(θ|x) ∝ L(x|θ)π(θ ).
Considere uma amostra casual e independente, X
∼
= (X
1
,X
2
,..., X
n
), a verossimilhança
é escrita como L(x|θ) =
n
∏
i
f (x
i
|θ). Assim tem-se por meio da expressão (4.2) a dis-
tribuição posteriori de θ, π(θ|X
∼
), como segue
4.3 Distribuição a priori não informativa 42
π(θ|X
∼
) ∝
n
∏
i=1
f (x
i
|θ)π(θ ), θ ∈ Θ, (4.3)
A log-verossimilhança é
l(X
∼
|θ) =
n
∑
i=1
log f (x
i
|θ)
4.3 Distribuição a priori não informativa
A escolha de distribuições a priori é um importante tópico da Inferência bayesiana que
tem sido utilizada em diversas áreas. Através dela, a opinião a priori de um especialista
pode ser incorporada na forma de uma distribuição de probabilidade, pois permite construir
uma distribuição que represente uma forma lógica entre uma proposição ou conjunto de
proposições de conhecimentos probabilísticos que se tem sobre θ , antes das realizações
dos experimentos.
Nesse sentido, se faz necessário adotar uma forma de análise, que de alguma forma
consiga captar esta noção de uma priori quando não se consegue fazer uma elicitação
detalhada do verdadeiro conhecimento dela, e que possua um efeito mínimo referente aos
dados.
Na literatura, existem inúmeros métodos de se escolher uma distribuição a priori, porém
há situações que não existem informações a priori palpável ou de qualquer natureza subs-
tancial, neste caso as distribuições a priori não informativas são mais indicadas.
Esse tipo de distribuição desempenha ainda um papel de referência, pois além de
deduzir a crença a posteriori para quem parte de um conhecimento escasso, permite com-
parar os resultados com a inferência clássica que só usa as informações amostrais, além
de averiguar as influências da distribuição a priori subjetiva, quando confrontada com as
que resultam do uso da distribuição a priori de referência, ver (Paulino et al 1999).
Existem diversos formas para se obter a distribuição a priori não informativa, porém
aqui focaremos apenas o método de Jeffreys abordado a seguir.
4.3 Distribuição a priori não informativa 43
4.3.1 Método de Jeffreys
Em muitos problemas onde o logaritmo da verossimilhança é aproximadamente quadrática,
a segunda derivada é negativa então, neste caso define-se a curvatura em um ponto θ ∈Θ
como I(
ˆ
θ), dada por:
I(
ˆ
θ) = −
∂
2
l(X
∼
|
ˆ
θ)
∂ θ
2
. (4.4)
Uma grande curvatura é associada em um forte pico na função, intuitivamente indi-
cando menos incerteza sobre θ. I(θ ) = −E
∂
2
l(X
∼
|θ)
∂ θ
2
é chamada informação de Fisher.
Considerando l(x|θ) =
n
∑
i=1
ln f (x
i
|θ) temos
I(θ) = −E
n
∑
i=1
∂
2
ln f (x
i
|θ)
∂ θ
2
i
. (4.5)
A densidade a priori de jeffreys é definida por uma densidade proporcional à informação
de Fisher, ou seja:
π(θ) ∝ |I(θ)|
1
2
Mostra-se que a densidade a priori de Jeffreys é invariante sob a transformação dos
parâmetros, isto é, π(ψ) é computado para determinar π(θ), pelo modelo transformado
f (x,ψ) = π
0
(ψ) f (x|ψ) (Gelman et al 2004). Assim fazendo θ = g
−1
(ψ),
I(ψ) = −E
∂
2
ln f (x|ψ)
∂ ψ
2
= −E
∂
2
ln f (x|θ = g
−1
(ψ))
∂ θ
2
= I(θ)
∂ θ
∂ ψ
2
. (4.6)
Dessa forma, I(ψ)
1
2
= I(θ)
1
2
∂ θ
∂ ψ
, o que mostra que a distribuição proposta por jeffreys
goza da referida invariância, ou seja
4.3 Distribuição a priori não informativa 44
π(θ) ∝
I(θ)
1
2
.
O mesmo argumento em torno da matriz de informação de Fisher I(θ ) é dado para o
caso multiparamétrico. Assim
I
i j
(θ) = −E
∂ ln f (x|θ)
∂ θ
i
∂ ln f (x|θ)
∂ θ
j
. (4.7)
neste caso, a correspondente priori não informativa é
π(θ) ∝
I(θ)
1
2
. (4.8)
Em que |I(θ)| denota o determinante da matriz de informação de Fisher, dada por
|I(θ)| = −
E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
1
∂ θ
1
) E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
1
∂ θ
2
) ... E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
1
∂ θ
n
)
E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
2
∂ θ
1
) E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
2
∂ θ
2
) ... E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
2
∂ θ
n
)
.
.
. ...
.
.
.
.
.
.
E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
3
∂ θ
1
) E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
3
∂ θ
2
) ... E(
∂
2
ln f (x|θ )
∂ θ
3
∂ θ
n
)
4.3.2 Aspectos práticos usando o método de Jeffreys
Considere os modelos com erro aditivo apresentados na tabela (2.1) com vetor de
parâmetros θ = (a,c, k,m)
T
e o conjunto de medidas de pesos e idades, D = {(p
1
,t
1
),
...,(p
n
,t
n
)}, pode-se reescrever a equação (2.1) como
lnP(t) = h(t,θ ) + e
t
Considerando que os erros são independentes e identicamente distribuídos e
t
∼N(0,σ
2
),
a forma geral da matriz de informação de Fisher I(θ ), para os modelos dados na tabela
(2.1) pode ser calculada considerando.
−E
∂
2
l(x|θ)
∂ θ
i
∂ θ
j
= −
1
σ
2
n
∑
t=1
∂ h(t,θ )
∂ θ
i
∂ h(t,θ )
∂ θ
j
(4.9)
Detalhes da demonstração ver apêndice.
4.3 Distribuição a priori não informativa 45
Assim, a matriz de informação pode ser escrita como:
I(θ) = −
1
σ
2
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ a
∂ h(t,θ)
∂ a
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ a
∂ h(t,θ)
∂ c
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ a
∂ h(t,θ)
∂ k
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ a
∂ h(t,θ)
∂ m
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ c
∂ h(t,θ)
∂ a
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ c
∂ h(t,θ)
∂ c
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ c
∂ h(t,θ)
∂ k
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ c
∂ h(t,θ)
∂ m
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ k
∂ h(t,θ)
∂ a
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ k
∂ h(t,θ)
∂ c
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ k
∂ h(t,θ)
∂ k
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ k
∂ h(t,θ)
∂ m
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ m
∂ h(t,θ)
∂ a
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ m
∂ h(t,θ)
∂ c
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ m
∂ h(t,θ)
∂ k
)
n
∑
i=1
(
∂ h(t,θ)
∂ m
∂ h(t,θ)
∂ m
)
logo, pode-se obter a priori não informativa de Jeffreys por meio de (4.8).
Para implementação das prioris não informativas de Jeffreys, vamos considerar os mo-
delos dado na tabela (2.1), assumindo independência de e θ, σ e dos parâmetros dos
modelos, têm-se os cálculos dos elementos da matriz I(θ ) para os diferentes modelos.
• Modelo Brody
I(θ) =
−
n
σ
2
a
2
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
c
∑
n
i=1
t
i
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
c
∑
n
i=1
t
i
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
−
c
∑
n
i=1
t
i
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
a
c
∑
n
i=1
t
i
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
−
c
2
∑
n
i=1
t
2
i
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
Em que,
φ
t
i
(c,k) =
e
−kt
i
(1 −ce
−kt
i
)
,
|I(θ)| ∝
(−
n
σ
2
a
2
)(−
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k )
σ
2
)(−
c
2
∑
n
i=1
t
2
i
φ
2
t
i
(c,k )
σ
2
)
1
2
.
π(θ) ∝
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
∑
n
i=1
t
2
i
φ
2
t
i
(c,k)
a
.
4.3 Distribuição a priori não informativa 46
• Modelo Chapman-Richards
I(θ) =
−
n
σ
2
a
2
m
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
mc
∑
n
i=1
t
i
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
∑
n
i=1
ln(1−ce
−kt
i
)
σ
2
a
m
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
m
2
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
m
2
c
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
m
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k) ln(1−ce
−kt
)
σ
2
−
mc
∑
n
i=1
t
i
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
m
2
c
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
−
m
2
c
2
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
2
i
σ
2
−
mc
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k) ln(1−ce
−kt
i
)
σ
2
−
∑
n
i=1
ln(1−ce
−kt
i
)
σ
2
a
m
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k) ln(1−ce
−kt
)
σ
2
−
mc
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k) ln(1−ce
−kt
i
)
σ
2
−
∑
n
i=1
[ln(1−ce
−kt
i
)]
2
σ
2
|I(θ)| ∝
−
n
σ
2
a
2
−
m
2
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
−
m
2
c
2
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
2
i
σ
2
)
−
∑
n
i=1
[ln(1 −e
−kt
i
)]
2
σ
2
1
2
.
π(θ) ∝
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k )
∑
n
i=1
t
2
i
φ
2
t
i
(c,k )
∑
n
i=1
(ln(1 −ce
−kt
i
))
2
(a/cm
2
)
.
4.3 Distribuição a priori não informativa 47
• Modelo Gompertz
I(θ) =
−
n
σ
2
a
2
−
∑
n
i=1
ϕ
t
i
(c,k)
σ
2
a
c
∑
n
i=1
ϕ
t
i
(c,k)t
i
σ
2
a
−
∑
n
i=1
ϕ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k)
σ
2
c
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
c
∑
n
i=1
ϕ
t
i
(c,k)t
i
σ
2
a
c
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
−
c
2
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k)t
2
i
σ
2
Em que,
ϕ
t
i
(c,k) = e
−kt
i
,
|I(θ)| ∝
−
n
σ
2
a
2
−
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k)
σ
2
−
c
2
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k )t
2
i
σ
2
1
2
.
π(θ) ∝ |c|
∑
n
i=1
ϕ
2
t
i
(c,k )
∑
n
i=1
t
2
i
ϕ
2
t
i
(c,k)
(a)
.
• Modelo Logístico
I(θ) =
−
n
σ
2
a
2
−
m
∑
n
i=1
ω
t
i
(c,k)t
i
σ
2
a
∑
n
i=1
ln(1+e
−kt
)
σ
2
a
−
m
∑
n
i=1
ω
t
i
(c,k)t
i
σ
2
a
−
m
2
∑
n
i=1
ω
2
t
i
(c,k)t
2
i
σ
2
m
∑
n
i=1
ω
t
i
(c,k)t
i
ln(1+e
−kt
)
σ
2
∑
n
i=1
ln(1+e
−kt
)
σ
2
a
m
∑
n
i=1
ω
t
i
(c,k)t
i
ln(1+e
−kt
)
σ
2
−
∑
n
i=1
[ln(1+e
−kt
i
)]
2
σ
2
Em que,
ω
t
i
(c,k) =
e
−kt
(1 + e
−kt
i
)
,
|I(θ)| ∝
−
n
σ
2
a
2
−
m
2
∑
n
i=1
ω
t
i
(c,k)t
2
i
σ
2
−
∑
n
i=1
[ln(1 + e
−kt
i
)]
2
σ
2
)
1
2
.
π(θ) ∝
∑
n
i=1
t
2
i
ω
t
i
(c,k)
∑
n
i=1
[ln(1 + e
−kt
i
)]
2
(a/m)
.
• Modelo Von Bertalanffy
4.4 Densidade a posteriori 48
I(θ) =
−
n
σ
2
a
2
3
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
3c
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)t
i
σ
2
a
3
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)
σ
2
a
−
9
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
9c
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
−
3c
∑
n
i=1
φ
t
i
(c,k)t
i
σ
2
a
9c
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
−
9c
2
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)t
i
σ
2
|I(θ)| ∝
−
n
σ
2
a
2
−
9
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
σ
2
−
9c
2
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k )t
i
σ
2
1
2
.
π(θ) ∝
∑
n
i=1
φ
2
t
i
(c,k)
∑
n
i=1
t
i
φ
2
t
i
(c,k)
(a/c)
.
4.4 Densidade a posteriori
A função de densidade a posteriori para os modelos descrito na tabela (1.1) é cons-
truída da seguinte forma:
Considere y
i
= h(t
i
;θ) + ε
i
para i = 1,2,.. .,n e
f (y
i
|θ,τ) =
τ
1/2
√
2π
exp{−
τ
2
(y
i
−h(t
i
;θ))
2
},
com ε
i
iid N(0,τ
−1
), em que τ =
1
σ
2
, σ > 0 e θ ∈ R
p
Seja X
∼
= (t
1
,...,t
n
)
T
, Y
∼
T
= (y
1
,..., y
n
) e θ
∼
= (θ
1
,..., θ
p
)
T
. A função de verossi-
milhança de f (y
i
|θ,τ) é dada por:
L(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝
n
∏
i=1
τ
1/2
exp
−
τ
2
(y
i
−h(t
i
;θ))
2
L(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝ τ
n/2
exp
−
τ
2
n
∑
i=1
(y
i
−h(t
i
;θ))
2
Com,
n
∑
i=1
[y
i
−h(t
i
;θ
∼
)]
2
= [(Y
∼
−h
∼
(X
∼
;θ
∼
)]
T
[(Y
∼
−h
∼
(X
∼
;θ
∼
)].
h(X
∼
;θ
∼
) = (h(t
1
,θ
∼
),..., h(t
n
,θ
∼
)).
Assim,
4.4 Densidade a posteriori 49
L(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝ τ
n/2
exp
−
τ
2
(Y
∼
−h
∼
(X
∼
;θ
∼
))
T
(Y
∼
−h
∼
(X
∼
;θ
∼
))
.
L(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝ τ
n/2
exp
−
τ
2
(Y
∼
T
Y
∼
−2Y
∼
T
h(X
∼
;θ
∼
) + h(X
∼
;θ
∼
)
T
h(X
∼
;θ
∼
))
.
Denota-se por
ψ(θ
∼
) = −2Y
∼
T
h(X
∼
;θ
∼
) + h
T
(X
∼
;θ
∼
)h(X
∼
;θ
∼
),
tem-se que,
L(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝ τ
n/2
exp
−
τ
2
(Y
∼
T
Y
∼
+ ψ(θ
∼
))
. (4.10)
Considerando as densidades a priori definida como,
π
0
(θ
∼
,τ) = π
0
(θ
∼
|τ)π
0
(τ),
e assumindo independência entre θ
∼
e τ a priori não informativa de Jeffreys para τ é dada
por
π(τ) ∝
1
τ
,
com densidade a posteriori escrita como
π(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝ L(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
)π
0
(θ
∼
|τ)π
0
(τ).
π(θ
∼
,τ|Y
∼
,X
∼
) ∝ τ
(n/2)−1
exp
−
τ
2
(Y
∼
T
Y
∼
+ ψ(θ
∼
))
π(θ
∼
|τ)
Para calcular os estimadores bayesianos dos parâmetros dos modelos, utiliza-se o al-
goritmo de simulação de Monte Carlo Cadeia de Markov (MCMC), mas especificamente o
algoritmo da Metropolis-Hastings (Chib et al 1995). A construção do algoritmo da Metropolis-
Hastings é baseada nas densidades condicionais a posteriori, assim como
π(θ
∼
|τ,Y
∼
,X
∼
) ∝ exp
−
τ
2
ψ(θ
∼
)
π
0
(θ
∼
|τ)
π(τ|θ
∼
,Y
∼
,X
∼
) ∝ G(a,b(θ )
∼
), (4.11)
4.5 Método de Laplace 50
em que G(a,b(θ)
∼
) denota uma densidade gamma com parâmetros a =
n
2
e b(θ ) dado
por
b(θ) =
1
2
(Y
∼
T
Y
∼
+ ψ(θ
∼
))
4.5 Método de Laplace
O método de sumarização da distribuição de densidade a posteriori multivariada π(θ|y)
é baseado no comportamento modal, ver (Jim 2007). Seja π(θ) a distribuição a priori e
f (y|θ) a densidade para uma observação y denota-se por h(θ,y) o logaritmo da função
densidade conjunta a posteriori, dado por
h(θ,y) = log{π(θ) f (y|θ)}.
Denotando a moda a posteriori de θ por
ˆ
θ e expandindo o logaritmo da densidade em
série de Taylor de segunda ordem em torno de
ˆ
θ têm-se que,
h(θ) = h(
ˆ
θ) + h
(
ˆ
θ)(θ −
ˆ
θ) + (θ −
ˆ
θ)
T
1
2
h
(
ˆ
θ)(θ −
ˆ
θ). (4.12)
Se
ˆ
θ é o ponto de máximo de h(θ ), h
(
ˆ
θ) = 0, portanto
h(θ) = h(
ˆ
θ) +
1
2
(θ −
ˆ
θ)
T
h
(
ˆ
θ)(θ −
ˆ
θ). (4.13)
Usando a aproximação normal para h(θ ), tem-se a matriz de covariância que é deno-
tada por
V = [−h
(
ˆ
θ)]
−1
,
Em que h
(θ) é a matriz Hessiana de h(θ ).
Para estimar
ˆ
θ, pode ser usado o fato de que h
(
ˆ
θ) = 0, portanto para um θ
∗
próximo
de
ˆ
θ, pode-se escrever
h
(
ˆ
θ) = h
(θ
∗
) + h
(θ∗)(
ˆ
θ −θ
∗
). (4.14)
4.6 implementação do algoritimo da Metropolis-Hastings 51
(
ˆ
θ −θ
∗
) = −[h
(θ
∗
)]
−1
h
(θ
∗
).
ˆ
θ = θ
∗
−[h
(θ
∗
)]
−1
h
(θ
∗
).
Fazendo
ˆ
θ = θ
k
e θ
∗
= θ
k−1
um algoritmo para achar
ˆ
θ é
θ
k
= θ
k−1
−[h
(θ
k−1
)]
−1
h
(θ
k−1
). (4.15)
Assim usa-se aproximação de Laplace para encontrar os hiperparâmetro dados por µ
0
=
ˆ
θ
e Σ
0
= V .
4.6 implementação do algoritimo da Metropolis-Hastings
• Algoritmo da Metropolis-Hastings é construído da seguinte forma:
1. Atribua condições iniciais arbitrárias para θ
∼
(0)
e τ
∼
(0)
2. Gere θ
∼
∗
de um núcleo normal N(µ
0
,Σ
0
) com µ
0
∈R
p
e Σ
0
= diag(σ
2
01
,..., σ
2
0p
), µ
0
e Σ
0
são hiperparâmetros assumidos conhecidos.
3. Aceite ou rejeite θ
∼
∗
, seguindo as regras abaixo.
i. Calcula-se a probabilidade de aceitação,
α = min{1, p}
com
p = exp
−
τ
2
[ψ(θ
∗
) −ψ(θ
( j−1)
)]
π
0
(θ
∗
|τ)
π
0
(θ
( j−1)
|τ)
ii.Gere u de uma distribuição uniforme U(0, 1) e use a seguinte regra:
se u ≤ α,
θ
( j)
= θ
∗
(aceita-se o candidato)
caso contrário,
θ
j
= θ
( j−1)
Fim
4.7 Cálculo da densidade preditiva dos pesos 52
4. Gera-se τ
( j)
para τ,
τ
( j)
∼ G(a,b(θ
j
))
5. Faz j ← j + 1 e volta para o passo 2.
Uma amostra de tamanho 150.000 foi gerada. A convergência do algoritmo será moni-
torada pelo critério de Geweke, (Geweke 1992) onde após a convergência, 50% das amos-
tras são descartadas. Esse procedimento é conhecido como período de aquecimento.
Para eliminar a correlação entre os valores gerados, uma reamostragem é feita selecio-
nando entre os parâmetros gerados um a cada 15 valores.
Um sumário das densidades a posteriori será feito considerando estimadores de Monte
Carlo para média, moda e mediana de cada parâmetro, assim como um histograma é
construído para que o núcleo de posteriori seja visualizado. Os gráficos de convergência
dos parâmetros também são visualizados.
4.7 Cálculo da densidade preditiva dos pesos
Considerando as equações dos pesos em função da idade logaritmizadas.
y
t
= h(t;θ) + e
t
,
no qual
P(t) = exp(y
t
),
Considerando a densidade a posteriori dos parâmetros π(θ |x) em que x = {(p
1
,t
1
),
(p
2
,t
2
), ...,(p
n
,t
n
)} temos que
π(y
t
,θ|x) = π(y
t
,θ|x)π(θ |x).
Logo a densidade preditiva para y
t
é dada por
π(y
t
|x) =
θ∈Θ
π(y
t
,θ|x)π(θ |x)dθ. (4.16)
Assim pode-se calcular o valor esperado de g(y
t
) para uma função bem definida g(·),
por
4.7 Cálculo da densidade preditiva dos pesos 53
g(y
t
) = E{g(y
t
)|x} =
+∞
−∞
g(y
t
)π(y
t
|x)dy
t
,
g(y
t
) =
+∞
−∞
g(y
t
)
θ∈Θ
π(y
t
|x)π(θ|x)dθ dy
t
,
g(y
t
) =
θ∈Θ
+∞
−∞
g(y
t
)π(y
t
|θ,x)dy
t
π(θ|x)dθ ,
g(y
t
) =
θ∈Θ
E(g(y
t
)|θ)π(θ |x )dθ.
Quando g(·) é a função identidade então g(y
t
) = y
t
e E(y
t
|θ) = h(t,θ ) quando g(y
t
) =
exp(y
t
) tem-se que E{exp(y
t
)|θ}= exp{h(t, θ)+0.5σ
2
} e π(θ |x) é a densidade a posteriori
dos parâmetros.
Seja P
t
= exp(y
t
), deste modo tem-se que
ˆp
t
=
θ∈Θ
E{exp(y
t
)|θ}π(θ |x )dθ. (4.17)
Considerando a amostra dos parâmetros gerada pelo algoritmo MCMC θ
( j)
, j = 1,.. . ,M,
tem-se que
ˆp
t
≈
1
M
M
∑
j=1
exp{h(t,θ
( j)
)}. (4.18)
Assim pode-se calcular uma amostra MCMC para y
t
e P(t) considerando:
y
( j)
t
= h(t,θ
( j)
),
P
( j)
t
= exp{h(t, θ
( j)
)},
portanto os estimadores MCMC para o percentil α de P(t) podem ser calculados usan-
do as amostras de P
( j)
t
.
4.8 Critério de seleção dos modelos 54
4.8 Critério de seleção dos modelos
Vários critérios para escolha do modelo de crescimento que melhor se ajusta a um
conjunto de dados podem ser adotados no contexto bayesiano, ver por exemplo (Raftery
et al. 1995). Dentre os seguintes critérios serão utilizados:
4.8.1 Critério de Informação bayesiana (BIC)
O BIC, (Bayesian Information Criterion) é um critério de seleção de modelo proposto
por (Schwarz 1978) e modificado por (Carlin e Louis 2000) para ser aplicado considerando
a densidade a posteriori dos parâmetros do modelo ajustado. Este critério pondera entre a
função log-verossimilhança maximizada e o número de parâmetros do modelo. O melhor
modelo é aquele que apresenta o maior valor do BIC dado por
BIC = E{ln L(θ )}−
(p + 1)
2
ln(N) (4.19)
em que E{lnL(θ )} é o valor esperado, tomado com relação a densidade a posteriori, da
função o log-verossimilhança, p é a dimensão do vetor de parâmetros e N é o tamanho
amostral. O Critério de Akaike, AIC também pode ser modificado para utilizar considerando-
se a densidade a Posteriori, por
AIC = E{ln L(θ )}−(p + 1) (4.20)
4.8.2 Critério Desvio-Informação (DIC)
O DIC (Deviance Information Criterion) é uma generalização do BIC. Este critério é
particularmente usual nos problemas bayesianos de seleção de modelos para os quais
amostras da distribuição a posteriori dos parâmetros dos modelos foram obtidas por si-
mulação de Monte Carlo em Cadeia de Markov (MCMC). Semelhante ao BIC este critério
é uma aproximação assintótica para amostras grandes, isto é válido quando a distribuição
a posteriori é aproximadamente uma distribuição normal multivariada.
Define-se o desvio como:
D(θ) = −2 log L(θ) +C
em que θ é o vetor de parâmetros desconhecidos do modelo; L(θ) a função de verossim-
ilhança e C é uma constante que se cancela e portanto não precisa ser conhecida na
4.8 Critério de seleção dos modelos 55
comparação de dois modelos. O critério DIC introduzido por (Spiegelhalter et al. 2002), é
dado por:
DIC = D(
θ) + 2p
D
(4.21)
sendo D(
θ) o desvio avaliado na média a posteriori e p
D
é o número efetivo de parâmetros
no modelo, que é dado por p
D
= D −D(
θ), em que D = E{D(θ )} é o desvio médio a
posteriori que mede a qualidade do ajuste do modelo aos dados. Valores menores para
DIC indicam melhores modelos, inclusive esses valores podem ser negativos.
4.8.3 Critério da Densidade Preditiva Ordenada (CPO)
Um critério bastante aceito para seleção de modelo é o critério da densidade preditiva
ordenada (CPO)(Gelfand 1994). Para aplicar este critério considera-se a densidade predi-
tiva para uma observação y
i
= log(P
i
) na idade t
i
dado as informações Y
∼
(i)
= (y
1
,...,y
i−1
,y
i+1
,..., y
n
)
e X
∼
(i)
= (t
1
,...,t
i−1
,t
i+1
,...,t
n
). A densidade preditiva para y
i
dado Y
∼
(i)
e X
∼
(i)
é
c
i
= f (y
i
|Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
) =
f (y
i
| Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
θ
∼
)π( θ
∼
| Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
)dθ
∼
(4.22)
na qual π( θ
∼
| Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
) é a densidade a posteriori para os parâmetros θ
∼
dado os
dados Y
∼
(i)
e X
∼
(i)
.
Usando as amostras geradas pelo algoritmo Metropolis-Hastings, (4.22) o mesmo pode
ser aproximado pelo estimador de Monte Carlo dado por:
f (y
i
| Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
) =
1
M
M
∑
j=1
f (y
i
| Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
,θ
∼
( j)
) (4.23)
em que θ
∼
( j)
, com j = 1,2, ...,M. são as amostras geradas no MCMC.
A estimativa
c
i
=
f (y
i
| Y
∼
(i)
, X
∼
(i)
) pode ser usada para a a seleção do modelo. Isto
pode ser feito considerando-se o gráfico de c
i
versus i (i = 1,2,. ..,n) para os diferentes
modelos. O maior valor de c
i
(em média) indica o melhor modelo. Outra forma de usar o
CPO é escolhendo o modelo l tal que P
l
=
∏
n
i=1
c
i
(l) seja máximo (l é um índice que indica
o modelo l).
56
5 Resultados da abordagem
bayesiana
5.1 Aplicação
Para ilustrar a aplicabilidade da abordagem bayesiana foram utilizados os dados do
apêndice B. As tabelas a seguir ilustram os hiperparâmetros obtidos pelo método de laplace
e o sumário das densidades a posteriori pelo método de Metropolis-Hastingns para os difer-
entes modelos.
5.1.1 Modelo de Brody
Tabela 5.1: Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Brody.
Estatística a c k τ
Moda 400.787 2.553 0.205 442.951
Variância 543.006 1.131 0.003 47243.78
A tabela 5.1 apresenta os valores da moda e variância de cada parâmetro obtidos pelo
método de laplace, esses hiperparâmetros foram utilizados como estimativas iniciais para
o cálculo da posteriori pelo método de Metropolis-Hastingns.
5.1 Aplicação 57
Tabela 5.2: Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método de
Metropolis-Hastingns com 22% de aceitação para o modelo de Brody.
Estatística a posteriori a c k τ
Moda 400.787 2.553 0.205 442.951
Média 402.073 3.007 0.216 428.861
Mediana 395.454 2.821 0.219 394.505
Desvio-padrão 26.653 1.190 0.053 207.263
Assimetria 1.416 0.725 -0.216 0.988
Curtose 2.399 0.181 -0.457 1.232
Intervalo de credibilidade (367.847, 475.658) (1.246, 5.856) (0.1046, 0.313) (125.683, 932.492)
Critério de Geweke 0.672 0.771 0.1969 0.8713
A tabela 5.2 apresenta as estatísticas a posteriori obtidas após a simulação e, através
dela, observa-se pelo critério de Geweke que houve convergência em todos os parâmetros
e que os intervalos de credibilidades foram todos significantes.
5.1 Aplicação 60
5.1.2 Modelo de Chapman-Richards
Por dificuldades de convergência, foram utilizadas no modelo de Chapman-Richard
densidades a priori informativas em que, a ∼ N(380, 400), c ∼ N(2,0.25), k ∼ N(1,1) e
m ∼ N(3, 1). A tabela 5.3 mostra os valores da moda e variância de cada parâmetros
obtidos pelo método de laplace.
Tabela 5.3: Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Chapman-
Richards.
Estatística a c k m τ
Moda 380.713 2.054 0.302 3.186 548.282
Variância 77.448 0.184 0.001 0.738 60090.903
Tabela 5.4: Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método de
Metropolis-Hastingns com 52% de aceitação para o modelo de Chapman-Richards.
Estatística a posteriori a c k m τ
Moda 380.713 2.054 0.302 3.186 548.282
Média 380.9474 2.108 0.303 3.265 542.678
Mediana 380.591 2.087 0.303 3.234 503.893
Desvio-padrão 9.257 0.430 0.034 0.846 245.508
Assimetria 0.197 0.355 -0.024 0.287 0.903
Curtose 0.372 0.345 0.077 0.182 1.113
Intervalo de credibilidade (363.572, 400.398) (1.344, 3.008) (0.234, 0.368) (1.708, 5.010) (176.243, 1120.697)
Critério de Geweke 0.831 0.008 0.039 -0.783 -1.772
As estatística a posteriori, obtidas após a simulação, são apresentadas na tabela 5.4 e
através dela, observa-se que houve convergência e pouca assimetria em todos os parâme-
tros. Contudo, pode-se notar que o parâmetro τ apresentou uma assimetria mais acen-
tuada. Pelo intervalo de credibilidade, verifica-se que todos os parâmetros do modelo
foram significativos.
5.1 Aplicação 63
5.1.3 Modelo de Gompertz
Tabela 5.5: Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Gompertz.
Estatística a c k τ
Moda 383.152 -7.444 0.306 560.932
Variância 153.981 9.058 0.002 71284.75
A tabela 5.5, apresenta os valores da moda e variância de cada parâmetro do modelo
de Gompertz obtidos pelo método de laplace.
Tabela 5.6: Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método de
Metropolis-Hastingns com 25% de aceitação para o modelo de Gompertz.
Estatística a posteriori a c k τ
Moda 383.15 -7.44 0.306 560.930
Média 382.797 -9.538 0.322 521.663
Mediana 379.949 -8.558 0.324 485.594
Desvio-padrão 16.760 4.708 0.061 247.555
Assimetria 1.695 -1.381 -0.288 0.900
Curtose 5.001 2.712 0.488 1.215
Intervalo de credibilidade (359.383,430.112) (-22.484, -2.891) (0.180, 0.443) ( 147.506, 1107.901)
Critério de Geweke -1.406 0.132 0.736 0.480
A estatística a posteriori obtida após a simulação é apresentada na tabela 5.6 e, através
dela, observa-se pelo critério de Geweke que houve convergência em todos os parâmetros
e que os intervalos de credibilidades foram todos significantes.
5.1 Aplicação 66
5.1.4 Modelo Logístico
Tabela 5.7: Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo Logístico.
Estatística a k m τ
Moda 380.542 0.324 8.899 580.740
Variância 123.429 0.002 10.563 68352.470
A tabela 5.7 descreve os valores da moda e variância de cada parâmetro do modelo
Logístico obtido pelo método de laplace .
Tabela 5.8: Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método de
Metropolis-Hastingns com 27% de aceitação para o modelo Logístico.
Estatística a posteriori a k m τ
Moda 380.541 0.324 8.899 580.740
Média 377.486 0.344 10.376 494.743
Mediana 377.625 0.343 10.254 496.755
Desvio-padrão 12.366 0.052 4.742 250.017
Assimetria a posteriori 0.903 0.017 1.181 0.957
Curtose 2.496 0.004 1.510 1.424
Intervalo de credibilidade (357.724, 407.032) (0.242, 0.450) ( 4.768, 24.051) ( 169.450, 1112.226)
Critério de Geweke 1.816 -1.606 -1.789 1.273
A estatística a posteriori, obtida após a simulação do modelo logístico, é apresentadas
na tabela 5.8 e, através dela, observa-se pouca assimetria para o parâmetro k e grande
amplitude no intervalo de credibilidade para o parâmetro m. Pelo critério de Geweke, houve
convergência em todos os parâmetros desse modelo.
5.1 Aplicação 68
Figura 5.8: Histograma do parâmetros para o modelo Logístico.
O núcleo de densidades a posteriori, visualizado através da figura 5.8, mostra que
todos os parâmetros apresentaram assimetria positiva, contudo para o parâmetro k essa
assimetria foi pouco acentuada.
5.1.5 Modelo Von Bertalanffy
Tabela 5.9: Estimadores bayesianos pelo método de Laplace para o modelo de Von Berta-
lanffy.
Estatística a c k τ
Moda 385.688 1.843 0.280 532.1725
Variância 189.434 0.537 0.002 59587.588
5.1 Aplicação 69
A tabela 5.9, apresenta os valores da moda e variância de cada parâmetro obtido pelo
método de laplace.
Tabela 5.10: Sumário das medidas descritivas das densidades a posteriori pelo método de
Metropolis-Hastingns com 24% aceitação para o modelo de Von Bertalanffy.
Estatística a posteriori a c k τ
Moda 385.688 1.843 0.280 532.172
Média 388.056 2.189 0.290 494.454
Mediana 383.054 2.051 0.295 461.277
Desvio-padrão 25.306 0.920 0.059 235.187
Assimetria 3.215 0.821 -0.726 0.785
Curtose 13.643 0.770 1.215 0.635
Intervalo de credibilidade (361.249, 476.627 ) (0.676, 4.456) (0.136, 0.393) (135.468, 1042.868)
Critério de Geweke 1.007 -1.656 -1.524 0.782
A estatística a posteriori, obtida após a simulação, é apresentada na tabela 5.10 e, através
dela, observa-se alto grau de assimetria e curtose para o parâmetro a. Nota-se, também,
pelo critério de Geweke, que houve convergência em todos os parâmetros e que os inter-
valos de credibilidades foram todos significantes.
5.1 Aplicação 71
Figura 5.10: Histograma do parâmetros para o modelo de Von Bertalanffy.
A figura 5.10 representa o histograma dos parâmetros do modelo de Von Bertalanffy
que permite visualizar o núcleo de densidades a posteriori, e através dela, observa-se uma
assimetria à direita para os parâmetros a, c e τ e à esquerda para k.
5.2 Seleção do modelo na abordagem bayesiana 72
5.2 Seleção do modelo na abordagem bayesiana
Tabela 5.11: Critério de seleção dos modelos de curvas de crescimento na abordagem
bayesiana com priori não informativa.
Autor AIC BIC CPO DIC
Brody 29.126 25.890 6.990 ×10
104
-56092.931
Gompertz 28.394 25.425 1.787×10
101
-32417.738
Logístico 29.085 26.116 9.413×10
116
-18148.551
Von Bertalanffy 28.421 25.452 1.947×10
94
-220.440
Observando se os valores dos critérios de seleção dos modelos apresentados na
tabela 5.11, nota se entre os modelos ajustados, considerando-se a priori não informativa,
que o modelo logístico deve ser escolhido como o melhor entre os critérios apresentados.
O critério de DIC não discriminou bem o modelo, tendo em vista que ele só é válido quando
as densidades a priori são normais. Vale ressaltar que o critério da densidade preditiva or-
denada (CPO) é o mais decisivo em favor do modelo logístico, apresentando uma relação
(CPO
logstico
/CPO
outros
) que varia de 12 a 22.
5.2 Seleção do modelo na abordagem bayesiana 74
No intuito de comparar o modelo de Richard com os demais, adotaram-se as den-
sidades a priori informativas em todos os modelos, com todos os parâmetros seguindo
a distribuição normal com as seguintes médias e variâncias: no modelo de Brody, a ∼
N(380,400), c ∼ N(2, 0.25) e k ∼ N(1,1); no modelo de Gompertz a ∼ N(380,400), c ∼
N(−10,0.25) e k ∼ N(0.5,1); no modelo Logístico a ∼ N(380, 400), k ∼ N(0.5,1) e m ∼
N(5,0.25) e no de Von Bertalanffy a ∼ N(380, 400), c ∼ N(2,0.25) e k ∼ N(0.5,1).
Tabela 5.12: Critério de seleção dos modelos de curvas de crescimento na abordagem
bayesiana com priori informativa.
Autor AIC BIC CPO DIC
Brody 28.117 26.899 3.301 ×10
153
-65565.425
Chapman-Richard 26.119 25.890 1.971×10
152
-53719.367
Gompertz 29.575 26.605 3.814×10
157
-38615.734
Logístico 29.680 26.710 7.495×10
157
-19715.465
Von Bertalanffy 29.136 26.166 2.198×10
156
-236.883
Com o uso de densidades a priori não informativas, o modelo de Gompertz mostra-se
praticamente tão bom quanto o logístico. No entanto, o logístico deve ser preferível por
ter-se mostrado de grande aplicabilidade na maioria dos trabalhos que estudam curvas de
crescimento de animais de grande porte.
Assim, pelo gráfico 5.12, nota-se que como nas priori não informativas, o modelo logís-
tico foi quem melhor discriminou o conjunto de dados.
5.2 Seleção do modelo na abordagem bayesiana 75
Figura 5.12: Densidade preditiva ordenada com priori informativa.
A tabela 5.13 e a figura 5.13 apresentados a seguir ilustram os valores preditivos dos
pesos, calculado através dos percentis das amostras dos parâmetros geradas pelo algo-
ritmo de MCMC do modelo logístico, de acordo com a seção 4.7 apresentada.
Tabela 5.13: Percentis preditivo dos pesos do modelo logístico.
t 2.5% 25% 50% 75% 97.5%
8 188.638 196.184 200.120 203.918 213.100
9 228.625 235.755 239.213 242.921 250.803
10 262.734 269.295 272.293 275.550 281.935
11 290.314 296.168 298.938 301.764 307.366
12 311.546 316.975 319.627 322.188 327.711
13 326.939 332.491 335.307 337.880 343.661
14 337.890 343.848 346.948 349.836 356.218
15 345.285 352.111 355.532 358.728 365.733
16 350.627 358.058 361.755 365.265 372.724
17 354.248 362.265 366.254 370.047 378.038
18 356.977 365.281 369.491 373.490 382.003
19 358.825 367.462 371.802 375.998 385.000
5.2 Seleção do modelo na abordagem bayesiana 76
Figura 5.13: Percentis preditivo dos pesos do modelo logístico.
77
6 Conclusão
No planejamento de produção, o ajuste de curva de crescimento desempenha um papel
central para o manejo da produção animal. A função de crescimento que melhor des-
creve o crescimento de um animal é utilizada tanto para fins de exigência nutricional, como
para seleção genética. A representação dessas curvas de crescimento é feita por meio
de modelos matemáticos não lineares cujos parâmetros possuem interpretação biológica
que são importantes do ponto de vista do planejamento da produção animal. Portanto,
ajustar bem e selecionar dentre os vários modelos o que melhor se ajusta a determinados
conjuntos de dados é fundamental para que se tenha uma boa avaliação do crescimento
dos animais.
Neste trabalho foram adotadas duas técnicas de ajuste e seleção de modelos não li-
neares, usados para crescimento de animais de grande e médio porte, comumente tratados
na literatura: a abordagem clássica usando o método de Gauss-Newton; e a abordagem
bayesiana, usando densidades a priori não informativas de Jeffrey, juntamente com técni-
cas de simulação MCMC (mais precisamente o algoritmo Metropolis-Hastings).
O ajuste de curvas de crescimento na abordagem clássica apresentou diversas limi-
tações, como problema de convergência e intervalo de confiança onde muitos parâmetros
não foram significativos. No entanto, esse fato pode ser explicado devido ao tamanho
pequeno da amostra e pela complexidade no acompanhamento do crescimento bovino,
tornando assim inviável o acompanhamento desse animal em um período superior a 60
meses.
Por outro lado, a metodologia bayesiana mostrou-se de fácil aplicação e entendimento.
Para fins de comparação, optou-se pelo uso de densidades a priori não informativas. En-
tretanto, densidades a priori informativas podem ser facilmente encontradas devido ao co-
nhecimento a priori das informações dos parâmetros, como por exemplo, o peso assintótico
do animal, taxa de crescimento bovino entre outros. Dessa forma, as distribuições a priori
informativas podem ser justificadas a partir de opiniões de especialistas. No entanto, essa
ferramenta foi também utilizada no ajuste da curva de crescimento dos modelos, devido à
6 Conclusão 78
permanência na dificuldade de convergência dos parâmetros do modelo de Richard com
priori não informativa. Para os demais modelos considerados, foi possível ajustar as curvas
de crescimento com ambas densidades a priori.
Pode-se constatar entanto, que o uso da abordagem bayesiana levou a inferências
mais acuradas, o que não se observou com a metodologia clássica, e que entre os modelos
estudados o logístico foi o mais adequado, tanto na abordagem bayesiana utilizando a priori
não informativa e informativa quanto na clássica.
Nesse sentido, pelos resultados encontrados, a metodologia bayesiana forneceu exce-
lentes estimativas significantes, devido ao seu extraordinário desempenho com pequenas
amostras de dados. Assim, pode-se dizer que ela é sempre preferível quando comparada
com a metodologia clássica para ajuste e seleção de modelos não lineares, usados para
descrever o crescimento de animais de grande e médio porte.
79
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82
APÊNDICE A -- Demonstração de Fórmulas
Considere os modelos apresentados nas tabelas (1.1) e (2.1), fazendo h(t
i
,β ) = f (t, θ )
pode-se reescrever a equação (2.1) como
lnP(t) = f (t,θ) + e
t
Assim,
π(x|θ) ∝
1
σ
exp
−
1
2σ
2
(x − f (t,θ ))
2
π(ln P(t)|θ) ∝
1
σP(t)
exp
−
1
2σ
2
(x − f (t,θ ))
2
x = {(p
1
,t
1
),(p
2
,t
2
),..., (p
n
,t
n
)}
L(x|θ) =
n
∏
t=1
π(ln P(t)|θ)
L(x|θ) =
n
∏
t=1
1
σP(t)
exp
−
1
2σ
2
(lnP(t) − f (t,θ))
2
lnL(x|θ ) =
n
∑
t=1
−ln σ −ln P(t) −
n
∑
t=1
−
1
2σ
2
[lnP(t) − f (t,θ)]
2
∂ f (t,θ )
∂ θ
∂ ln L(x|θ)
∂ θ
i
= −
1
2σ
2
2[lnP(t) − f (t,θ)]
∂ f (t,θ )
∂ θ
∂
2
lnL(x|θ )
∂ θ
i
∂ θ
j
=
n
∑
t=1
1
σ
2
∂ f (t,θ )
∂ θ
i
∂ f (t,θ )
∂ θ
j
+ [lnP(t) − f (t,θ)]
∂
2
f (t,θ )
∂ θ
i
∂ θ
j
Apêndice A -- Demonstração de Fórmulas 83
∂
2
lnL(x|θ )
∂ θ
i
∂ θ
j
=
1
σ
2
n
∑
t=1
∂ f (t,θ )
∂ θ
i
∂ f (t,θ )
∂ θ
j
−
1
σ
2
n
∑
t=1
[lnP(t) − f (t,θ)]
∂
2
f (t,θ )
∂ θ
i
∂ θ
j
E
∂
2
lnL(x|θ )
∂ θ
i
∂ θ
j
= −
1
σ
2
n
∑
t=1
∂ f (t,θ )
∂ θ
i
∂ f (t,θ )
∂ θ
j
I
i j
= −
1
σ
2
n
∑
t=1
∂ f (t,θ )
∂ θ
i
∂ f (t,θ )
∂ θ
j
84
APÊNDICE B -- Dados
Tabela B.1: Mensurações de idade e peso do grupo genético das raças Nelore e Canchim
do grupo de genotípico AALLAB.
Idade (meses) Peso (Kg)
8 206,7
9 229,5
10 267,0
11 292,5
12 321,5
13 340,0
14 355,8
15 384,0
16 377,2
17 349,2
18 355,8
19 359,7
85
APÊNDICE C -- Programas da abordagem
clássica
C.1 Modelo Brody
C.1 Modelo Brody 86
C.2 Modelo Chapman-Richards 87
C.2 Modelo Chapman-Richards
C.2 Modelo Chapman-Richards 88
C.3 Modelo Chapman-Richards m fixo igual a 10 89
C.3 Modelo Chapman-Richards m fixo igual a 10
C.3 Modelo Chapman-Richards m fixo igual a 10 90
C.4 Modelo de Gompertz 91
C.4 Modelo de Gompertz
C.4 Modelo de Gompertz 92
C.5 Modelo Logístico 93
C.5 Modelo Logístico
C.5 Modelo Logístico 94
C.6 Modelo Von Bertalanffy 95
C.6 Modelo Von Bertalanffy
C.6 Modelo Von Bertalanffy 96
C.7 Seleção do modelo 97
C.7 Seleção do modelo
98
APÊNDICE D -- Programas da abordagem
bayesiana
D.1 Modelo Brody
D.1 Modelo Brody 99
D.2 Modelo Chapman-Richards 100
D.2 Modelo Chapman-Richards
D.3 Modelo de Gompertz 101
D.3 Modelo de Gompertz
D.3 Modelo de Gompertz 102
D.4 Modelo Logístico 103
D.4 Modelo Logístico
D.5 Modelo Von Bertalanffy 104
D.5 Modelo Von Bertalanffy
D.5 Modelo Von Bertalanffy 105
D.6 Seleção do modelo 106
D.6 Seleção do modelo
D.6 Seleção do modelo 107
D.6 Seleção do modelo 108
D.6 Seleção do modelo 109
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