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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E
MATEMÁTICA
REGINA LÚCIA TARQUÍNIO DE ALBUQUERQUE
A MATEMÁTICA SOB A ÓTICA DO TARÔ:
uma experiência com a educação de jovens e adultos
NATAL/RN
2004
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REGINA LÚCIA TARQUÍNIO DE ALBUQUERQUE
A MATEMÁTICA SOB A ÓTICA DO TARÔ:
uma experiência com a educação de jovens e adultos
NATAL/RN
2004
Dissertação apresentada como exigência
parcial para obtenção do grau de M
estre em
Ensino de Ciências Naturais e Matemática, à
banca examinadora da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte.
Orientador: Prof. John Andrew Fossa, PhD
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REGINA LÚCIA TARQUÍNIO DE ALBUQUERQUE
A MATEMÁTICA SOB A ÓTICA DO TARÔ:
uma experiência com a educação de jovens e adultos
BANCA EXAMINADORA
____________________________________________________________
Prof. John Andrew Fossa, PhD (Orientador)
_____________________________________________________________
Prof. Dr. André Luís Mattedi Dias (Examinador Externo)
______________________________________________________________
Profª Drª Arlete de Jesus Brito (Examinadora Interna)
Natal, 15 de Abril de 2004.
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-
Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemáti
ca, do Centro de
Ciências Exatas e da Terra, da
Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, para fins de obtenção do Grau de
Mestre em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática.
Dedico aos meus netos, Gabriel e Hari, que enchem minha
vida de esperança e m
e fazem ver a necessidade de continuar,
e a todo aquele que está em busca de si mesmo.
AGRADECIMENTOS
Nenhum trabalho é obra de um homem só. Este não poderia ser diferente. Por isso
agradeço:
Àquele que me deu vida e a todo o Universo, permitindo que pessoas iluminadas se
aproximassem de mim, tornando amena essa caminhada – Deus Pai!;
Ao professor John A Fossa, meu orientador, pela confiança em mim depositada e
atuação eficaz nos momentos necessários e decisivos;
Aos alunos jovens e adultos, pela contribuição constante na busca do meu
aprimoramento profissional;
Ao Prof. Dr. Iran A. Mendes e à Profª Drª Arlete de J. Brito, pelo auxílio dado em
diversos momentos, sobretudo pelas contribuições dadas no Exame de Qualificação;
A todos os Professores do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática da UFRN, pelos ensinamentos necessários para minha
formação acadêmica;
A Stevenson, pela maneira solícita com que sempre me atendeu;
Ao Instituto de Educação Superior Presidente Kennedy e a todos os amigos
amorosos, fonte constante de força, pelo apoio, colaboração e estímulo; em especial,
a Fracinete, Maria José, Rosalba, José de Fátimo e Tania;
Aos Professores William M. Virgínio e José Paulino Filho, pela preciosa e
indispensável ajuda em diversos momentos;
A Francisco Reinaldo, pelos esclarecimentos e informações prestados;
Aos meus filhos, Silviamélia e Jethro, pelo apoio incondicional;
À Escola Municipal Profª Josefa Botelho, nas pessoas de Maria Lúcia Gomes da
Silva e Janka Chaplinska B. da Costa, pelo estímulo e apoio na finalização deste
trabalho;
Aos colegas do curso, pelo companheirismo, pelos momentos de reflexão, de ajuda
mútua, descontração e integração; em especial, a Andréia, Anilda, Carmen e Rejane;
À Danusa Oliveira, pela amizade e presteza em me ajudar sempre;
Às professoras Edileusa e Nora Massoc, pela leitura crítica;
Por último, mas longe de serem os menos importantes, a todos os amigos e parentes
iluminados, visíveis e invisíveis, que contribuíram, direta ou indiretamente, para a
realização deste trabalho.
O que vemos é governado pelo modo como vemos e
este é determinado pelo lugar de onde vemos.
Mikhail Bakthin
RESUMO
A busca da formação de cidadãos críticos e participativos, no trabalho educativo com jovens e
adultos, enseja uma prática docente que vá além da postura tradicional de ensinar com
métodos mecânicos e arbitrários, que, ao focarem excessivamente a figura do professor,
priorizam o ensino, em detrimento da aprendizagem. Nessa direção, o presente estudo, ao
procurar a possibilidade de realização de um trabalho alternativo para o ensino de
Matemática, numa perspectiva transdisciplinar, no sentido de desenvolver aprendizagem
significativa de alunos jovens e adultos do Projeto Acreditar, apresenta os resultados de uma
pesquisa-intervenção que utilizou as cartas de tarô como recurso didático em sala de aula.
Pretende-se, com isso, mostrar tal instrumento como facilitador da aprendizagem de
conteúdos da Matemática como sistemas de numeração, números inteiros e geometria,
tomando a Matemática numa perspectiva histórico-cultural e dando um tratamento holístico
ao complexo ato de aprender. Nesse trabalho, o aluno jovem e adulto é tomado como
indivíduo concreto, levando-se em consideração os aspectos cognitivos e atitudinais de seu
aprender, o que é favorecido pela natureza das cartas do tarô e pela compreensão adotada, de
matemática como sistema simbólico.
Palavras-Chave: ensino de matemática; jovens e adultos; recurso didático; tarô; sistema
simbólico.
RÉSUMÉ
La recherche de la formation des citoyens critiques et participatifs, dans le travail
pédagogique avec les jeunes et les adultes, a besoin d’ un entraînement pédagogique qui va au
delà de l’attitude traditionnelle d'apprendre avec des méthodes mécaniques et arbitraires qui,
en insistant excessivement sur l’image du professeur, donnent priorité à l'enseignement, au
détriment de l’apprentissage. Dans ce sens, la présente étude, cherchant la possibilité de
réalisation d'un travail alternatif pour l'enseignement des Mathématiques, dans une
perspective transdisciplinaire, dans le sens de développer l’apprentissage significatif des
étudiants jeunes et adultes du Projet Croire, présente les résultats d'une recherche-intervention
qui a utilisé les lettres du tarot comme ressource didactique en salle de classe. On prétend,
avec cela, montrer cet instrument comme facilité d’apprentissage de contenus des
Mathématiques comme systèmes de numération, nombres entiers et géométrie, en amenant les
Mathématiques dans une perspective historique et culturelle et donnant un traitement global à
l'acte complexe d'apprendre. Dans ce travail, le jeune étudiant et l’étudiant adulte est pris
comme individu concret, prenant en considération les aspects cognitifs et les aspects
d’attitude de son apprentissage, ce qui est favorisé par la nature des lettres du tarot et par la
compréhension adoptée, des mathématiques comme système symbolique.
Mots clef: l’enseignement des mathématiques; jeunes et adultes; ressource didactique; tarot;
système symbolique.
SUMÁRIO
1 TARÔ: um projeto transdisciplinar............................................................................. 11
1.1 Da postura tradicional às novas tendências pedagógicas ..................................... 12
1.1.1 Novas perspectivas para abordar o conhecimento escolar:
interdisciplinaridade e transdisciplinaridade.............................................. 16
1.2 Tarô: um projeto transdisciplinar........................................................................ 22
1.3 Objetivos............................................................................................................ 25
1.3.1 Objetivo geral ......................................................................................... 26
1.3.2 Objetivos específicos............................................................................... 26
1.4 Pressupostos e procedimentos metodológicos..................................................... 26
1.4.1 Contexto da pesquisa............................................................................... 30
1.4.1.1 Breve histórico da vila de Ponta Negra ......................................... 30
1.4.1.2 Os sujeitos da pesquisa ................................................................. 32
1.5 Estrutura da dissertação...................................................................................... 36
2 O SÍMBOLO COMO FORMA DE EXPRESSÃO DO HOMEM .......................... 37
2.1 A diversidade da linguagem simbólica dos números........................................... 40
2.1.1 O sentido mitológico do número ............................................................. 45
2.2 A geometria na visão histórico-simbólico-mitológica ......................................... 50
2.2.1 A geometria e sua natureza ..................................................................... 53
2.2.2 Breve desenvolvimento histórico da geometria ...................................... 55
2.2.2.1 A geometria entre os séculos XV e XVII.......................................... 65
2.2.2.2 A geometria entre os séculos XVIII e XIX....................................... 66
2.2.2.3 A geometria na prática docente...................................................... 67
2.3 A linguagem simbólica das cartas do tarô........................................................... 70
2.3.1 Fragmentos da história das cartas do tarô ............................................. 70
2.3.2 A linguagem simbólica das cartas do tarô e a conexão dessa linguagem
com a matemática .................................................................................... ..73
3 UMA EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA: o tarô como recurso didático.................... 110
3.1 Articulando o tarô aos sistemas de numeração.................................................... 111
3.1.1 A visão de número dos alunos da Educação de Jovens e Adultos ......... 113
3.1.2 Análise e discussão dos resultados........................................................... 114
3.2 Os onze pares de cartas: números positivos e negativos ...................................... 121
3.2.1 Desenvolvimento das atividades: os onze pares de cartas e os números
positivos e negativos................................................................................. 122
3.3 A geometria na arte: uma visão histórico-simbólica a partir do tarô .................... 129
3.3.1 Análise e discussão dos resultados........................................................... 131
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................... 138
REFERÊNCIAS........................................................................................................ 143
ANEXOS
1 TARÔ: um projeto transdisciplinar
Tendo como premissa que a educação tem como finalidade criar, entre as pessoas,
laços sociais em referenciais comuns, conforme entende Jacques Delors (2000), consideramos
educar a abertura para o horizonte da qualidade política, que pretende tornar o ser humano
mais sociável, amável e feliz, um cidadão crítico-consciente-participativo, e que une mais
facilmente a teoria à prática. Todavia faz-se necessário, para isso, que tenhamos consciência
da importância do conhecimento, uma vez que ele é o instrumento imprescindível à
competência formal, na realização dos objetivos.
Tal educação depende, em grande parte, da ação do professor, o qual, sendo um dos
principais agentes do processo ensino-aprendizagem, deve refletir sobre o seu fazer
pedagógico, a respeito de questionamentos primordiais, como por que e para quem ensinar. A
ação educativa pedagógica deve tomar como base as respostas a esses questionamentos. É
preciso saber aonde se quer ir para depois se decidir que caminho tomar, e esse caminho deve
ir ao encontro dos objetivos e nortear as ações.
Com esse propósito, o ensino/aprendizagem tem passado por modificações diversas,
no sentido de aprimorar seus métodos: passamos por uma educação tradicional até chegarmos
a uma nova tendência do ensino – o trabalho com projetos.
Vejamos, então, de forma mais detalhada essas formas de ensino.
1.1 Da postura tradicional às novas tendências pedagógicas
O perfil do professor detentor do conhecimento é marcante no ensino tradicional, no
qual o professor aplica as atividades de aprendizagem como exemplificações e há uma
exercitação, em forma de repetição das tarefas. O aluno absorve os conhecimentos prontos,
acabados, tornando-se um ser passivo.
Nessa perspectiva, a escola não se preocupa com a integração dos conhecimentos que
o aluno aprende fora dela, criando-se um contra-senso e desajustes em relação ao saber extra-
escolar, como aponta Delval (1998). Alguns alunos conseguem integrar as informações
oriundas dessas fontes distintas graças a esforço próprio; no entanto outros só conseguem
lançar mão dos seus conhecimentos acadêmicos na escola, para solucionar os problemas que
ali são levantados.
Entretanto, se almejamos que o conhecimento escolar tenha utilidade também no
âmbito exterior à escola, para o aluno resolver os problemas habituais e aprender o que
acontece consigo e com os outros, será imprescindível que a escola promova e amplie mais
ainda a capacidade de pensar. Ao alargarmos a capacidade de pensar e de descobrir soluções
para os problemas é que verdadeiramente aprendemos a aprender.
O acesso a conhecimentos por meio de questionamentos e experimentações faz com
que os alunos comecem a pensar, pesquisar, questionar-se, reorganizando, assim, as relações
de conhecimentos entre eles e os professores, além de colocar o professor em constante busca,
a fim de solucionar os problemas que surgem a partir da realidade dos alunos.
Nesse sentido, a escola tem o papel de desenvolver uma aprendizagem significativa,
dispondo os alunos para encarar desafios que lhes consinta expor atitudes de responsabilidade,
compromisso, crítica, satisfação e reconhecimento de seus direitos e deveres.
Assim, os conteúdos devem ser trabalhados com uma orientação para situações-
problema do cotidiano dos alunos, para que possam despertar o interesse na busca dos
conhecimentos.
Contudo a escola não se preocupa em articular esses recursos a situações da vida. No
sistema tradicional, de acordo com Pozo e Crespo (2001), as atividades de ensino se
restringem à transmissão verbal feita pelo professor, que dirige e controla toda a dinâmica da
sala de aula, conduzindo, passo a passo, o aluno em sua aprendizagem. O educando recebe o
conhecimento e o reproduz da mesma forma, em uma avaliação na qual são devolvidos os
conhecimentos que lhe foram transmitidos. Como se vê, nesse sistema se prioriza o ensino,
em detrimento da aprendizagem.
No entanto, para formar pessoas aptas à nova realidade social e do trabalho, o
professor terá de realizar uma mudança em sua postura frente à classe, cedendo tempo de aula
para atividades que integrem várias disciplinas, e desejar aprender com a turma, numa visão
mais ampla do conhecimento. Para tanto, é necessário que adote uma postura interdisciplinar,
ou seja, que promova a compreensão do conhecimento como um todo integrado e inter-
relacionado.
Com esse novo enfoque de ensino, o aluno passa a ser visto como agente ativo no
processo de aprendizagem, e o professor deixa o seu antigo papel de detentor e transmissor do
conhecimento, atuando agora como mediador, conduzindo e provocando interações na aula,
ajudando o aluno a buscar conhecimentos. Para que isso ocorra, o professor deve conhecer seu
aluno, com o intuito de valorizá-lo, despertando, assim, seu interesse na aprendizagem.
Na visão de Phillippe Perrenoud (1999), o melhor indício de uma transformação
explícita é a redução do peso dos conteúdos disciplinares, os quais deverão estar centrados
claramente nas competências que se almeja desenvolver nos alunos.
Para o desenvolvimento de tais competências, é necessário, primeiramente, trabalhar
por resolução de problemas e por projetos, sugerindo tarefas complexas e desafios que
possam estimular os alunos a mobilizar seus conhecimentos e, de certa forma, completá-los,
como indica Fernando Hernández (1998).
Esse autor afirma que os projetos são situações didáticas em que o professor e os
alunos se comprometem com um produto final. As ações propostas ao longo da execução do
projeto relacionam-se entre si, em função do produto que se deseja alcançar, ou seja, a
característica básica de um projeto é que ele tem um objetivo compartilhado por todos os
envolvidos em sua realização e se expressa num produto final em função do qual todos
trabalham.
Os projetos são muito parecidos com as atividades seqüenciadas: contêm seqüências
de atividades mas também possuem um produto final definido no ponto de partida. Na
verdade, comportam atividades de todas as modalidades: além das seqüenciadas, também as
planejadas previamente, mas que, de vez em quando, precisam ser realizadas porque as
circunstâncias exigem ou lhes dão sentido.
Uma proposta pedagógica que privilegia o trabalho com projetos se apóia em
princípios que se expressam em necessidades de natureza didática, como, por exemplo, a
compreensão do aluno como sujeito da própria aprendizagem e a contextualização das
propostas de ensino, considerando-se que a aquisição de conhecimentos é sempre mediada
pelo modo de aprender dos alunos e pelo modo de ensinar dos professores.
É importante ressaltar que, na visão de Hernández (1998), os projetos de trabalho não
constituem um método ou uma pedagogia, e sim um planejamento de ensino e aprendizagem
ligado a uma concepção de escolaridade que leva em conta, dentre outros fatores:o papel do
professor como facilitador (problematizador) das relações estabelecidas entre os alunos e o
conhecimento, em cujo processo o docente também é um aprendiz;
• a relação que se estabelece com as informações produzidas no meio social e que são
apresentadas de diferentes maneiras (representações);
• o aprendizado através da escuta, fazendo-se a transcrição das conversas, dos debates e
a análise de ambos como conteúdos do projeto. Assim, os alunos assumem a
responsabilidade da aprendizagem e constroem atitudes de participação e
reconhecimento do outro como parceiro na investigação que se realiza (o aprender
deles mesmos);
• a avaliação como parte das experiências significativas da aprendizagem, na medida em
que permite a cada aluno reconstruir seu processo e transferir seus conhecimentos e
estratégias a outras situações e problemas.
Hernández (1998) ainda nos chama a atenção para o fato de que a aprendizagem e o
ensino se realizam mediante um percurso que nunca é fixo, mas que serve de fio condutor
para a atuação do professor em relação ao processo a ser realizado pelos alunos.
Sob esse prisma de entendimento, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, ao
proporem os temas transversais, contribuem para que se desenvolva um trabalho
interdisciplinar, ou seja, os professores, independente das disciplinas nas quais são
especializados, poderão abordar assuntos como: Ética, Saúde, Meio Ambiente, Orientação
Sexual e Pluralidade Cultural, buscando uma comunicação entre sua disciplina e outras áreas
do conhecimento, através dos projetos de estudo, pesquisa e ação.
Para Ubiratan D’Ambrosio (1998), a interdisciplinaridade é uma forma de deslocar
métodos de algumas disciplinas para outras, ajustando-os a novos objetos de estudo. Hilton
Japiassu (1976, p. 51) ressalta que ela “reivindica as características de uma categoria
científica, dizendo respeito à pesquisa”. Também a considera um método que se elabora para
responder a uma série de demandas ligadas ao social, ao desenvolvimento da ciência, às
reivindicações estudantis e a uma formação profissional, tendo em vista a descoberta de
melhores métodos para planejar e guiar a ação da pesquisa. Dessa forma, para ele, a
interdisciplinaridade proporciona informações novas, aponta diferentes maneiras de abordar
um objetivo, elucida os resultados de uma política, enfim desenvolve as perspectivas daqueles
que almejam atuar ou solucionar problemas sociais concretos ou tomar decisões racionais.
Frente a essas novas tendências pedagógicas, a escola não poderia deixar de contribuir,
implementando projetos comprometidos com o desenvolvimento de competências e
habilidades que venham favorecer a formação do indivíduo, numa melhor compreensão da
realidade.
1. 1. 1 Novas perspectivas para abordar o conhecimento escolar: interdisciplinaridade e
transdisciplinaridade
Surge, então, na educação, uma nova abordagem no ensino e as Secretarias de
Educação do Estado do Rio Grande do Norte e do Município da Cidade do Natal promovem
cursos de atualização curricular enfocando os Parâmetros Curriculares Nacionais. A partir daí,
começam a se desenvolver, nas escolas da rede pública, trabalhos com projetos
interdisciplinares. Além disso, os documentos oficiais (Propostas e Diretrizes Curriculares)
apontam nessa mesma direção.
Nessa nova política educacional, o segmento dos jovens e adultos não foi esquecido. De
acordo com Sergio Haddad (1987), a preocupação com a educação de adultos no Brasil se
iniciou no o período colonial, quando os jesuítas exerciam suas ações educativas missionárias,
em grande parte com adultos. A primeira Constituição brasileira, de 1824, explicitava a
garantia da instrução primária e gratuita para todos os cidadãos, o que significa afirmar que
esse todo incluía os jovens e adultos.
Contudo, de acordo com Brasil (2001), foi apenas a partir de 1930 que a educação
básica de adultos demarcou seu espaço na história da educação no Brasil, quando, afinal, um
sistema público de educação elementar começou a se firmar. Iniciou-se, então, uma longa
trajetória na articulação das iniciativas de educação de jovens e adultos, como a Campanha de
Educação de Adultos, em 1947; o Plano Nacional de Alfabetização, em 1964, o qual previa a
propagação por todo o Brasil de programas de alfabetização norteados pela proposta
conscientizadora de Paulo Freire; e o Movimento Brasileiro de Alfabetização – Mobral; em
1967.
As dificuldades encontradas nessas iniciativas de alfabetização suscitaram reflexões e
apontaram novas estratégias. Finalmente, a história da educação de jovens e adultos atingiu os
anos 90 reclamando a consolidação de reformulações pedagógicas as quais se faziam
necessárias em todo o Ensino Fundamental.
Por conseguinte, em 1998, a Secretaria Municipal de Educação do Município de Natal,
a partir de uma avaliação feita, elaborou uma proposta para a Educação de Jovens e Adultos
(EJA), com o intuito de
garantir o acesso e permanência do jovem e adulto na escola, propondo
alternativas pedagógicas que viabilizem o processo ensino-aprendizagem,
elevando a auto-estima do aluno e valorizando o professor, de forma que
ambos passem a acreditar em suas potencialidades (Brasil, 1999, p. 9-10).
Essa proposta foi implantada através do Projeto Acreditar, inicialmente oferecida para
os níveis I e II, e, no ano de 2001, o projeto foi ampliado para os níveis III (5ª e 6ª séries) e IV
(7ª e 8ª séries). Atualmente, o número de jovens e adultos que freqüentam o projeto é
relativamente grande e essa clientela apresenta características diversas. Muitas são as razões
que contribuíram para que essas pessoas não concluíssem os estudos no tempo regular, tais
como: ingresso precoce no mercado de trabalho, fracassos repetitivos, desinteresse pessoal,
falta de escola no local onde residem e outros.
Ao questionarmos o trabalho com projetos desenvolvido atualmente nas escolas da
rede pública de Natal, compreendemos a amplitude dessa tendência. Entendemos que os
projetos de trabalho não constituem uma técnica de transmissão de conteúdos, e sim uma
mudança de atitude frente aos conteúdos de cada área e ao mundo da informação. São uma
forma de repensar as teorias que dão suporte à prática, fazendo a escola repensar seu tempo,
seu espaço, vendo a aprendizagem como um processo global e complexo, conhecendo a
realidade e superando o modelo fragmentado de educação. Dessa maneira, a escola está sendo
recriada num espaço significativo de aprendizagem para todos os que dela fazem parte.
Assim, a busca por um novo caminho de fazer matemática tem nos conduzido ao trabalho
com projetos interdisciplinares. Esse encaminhamento metodológico nos permite interagir
com outras disciplinas, de modo que cada professor desenvolva o tema escolhido pela escola
procurando incluir os conteúdos planejados dentro do contexto da situação investigada.
Sendo assim, concordamos com a visão de Hernández e Ventura (1998, p. 54) sobre a
interdisciplinaridade. Eles a apontam como “uma tentativa de uma organização da
informação, dos conhecimentos escolares, partindo de uma visão disciplinar que tenta
centralizar-se em alguns temas contemplados a partir de múltiplos ângulos e métodos”. Aos
professores de cada uma das matérias, recai o peso dessa responsabilidade, cabendo-lhes irem
além das disciplinas. Segundo os referidos autores, algumas vezes, porém, essas propostas
pecam por ingenuidade, uma vez que se limitam a cada professor, individualmente,
proporcionar aos educandos a visão da matéria na qual é especialista em torno do assunto
abordado, esperando que o aluno a relacione de forma fragmentada.
Vivenciando a alternativa metodológica dos projetos numa escola da rede municipal
situada no bairro de Ponta Negra, temos observado, ao longo dos três anos em que esse
procedimento vem sendo adotado, que ainda não atingimos o nosso ideal de termos alunos
investigadores e apaixonados pelo processo de conhecer.
Além disso, sofremos com a indisciplina e a violência na escola. Frente a esse quadro, no
ano letivo de 2001, trabalhamos com um projeto sobre Violência, porém a situação, nesse
aspecto, não foi alterada. Dessa maneira, propomos executar um projeto transdisciplinar que
tem como eixo norteador o tripé Filosofia, Artes e Matemática, numa forma não-convencional
de abordar o conhecimento.
Cabe, nesse momento, explicitar o sentido que estamos assumindo para o termo
transdisciplinaridade no nosso trabalho.
D'Ambrosio (1998, p.19), ao referir transdisciplinaridade, nos diz que "é um enfoque
holístico do conhecimento que recupera as dimensões para a compreensão do mundo na sua
integralidade".
Para Basarab Nicolescu (2001), no termo transdisciplinaridade, o prefixo trans diz
respeito àquilo que está, ao mesmo tempo, entre (as disciplinas), através de e além de
(qualquer disciplina). O objetivo da transdisciplinaridade é a compreensão do mundo
presente, para a qual um dos imperativos é a unidade do conhecimento, tal qual no holismo. A
transdisciplinaridade se interessa pela dinâmica gerada pela ação de vários níveis de realidade
ao mesmo tempo.
O relatório Delors
1
(2000) enfatiza os quatro pilares de um novo tipo de educação:
aprender a conhecer, aprender a fazer, aprender a viver em conjunto e aprender a ser. A
transdisciplinaridade tem contribuído para esse novo tipo de educação.
1
Relatório, para a UNESCO, da Comissão Internacional sobre Educação para o século XXI.
Para Crema (1995), a vivência dos valores humanos e o ensino transdisciplinar e
integral/holístico abrem a visão para diferentes níveis de realidade, entre o permanente e o
transitório, a emoção e sentimento.
Abreu Júnior (1996, p.178) fala da interdisciplinaridade como uma forma de se chegar
à transdisciplinaridade, entendida como a superação das fronteiras entre as ciências, artes e
filosofias. Esse pensamento é esclarecedor uma vez que a interdisciplinaridade busca
parcerias com outros campos do conhecimento, embora preservando os conceitos em sua
identificação original, “já é um arejamento, uma mexida em posições fixas e duras que
caracterizam boa parte do ensino”, daí ser um caminho para se chegar à transdisciplinaridade.
Essa visão integrada e integradora envolve mudanças profundas de relações humanas e
das ações profissionais, englobando todo tipo de interferência na sociedade.
A integração do conhecimento se processa pela transdisciplinaridade, ou seja, vai além
da disciplina a ser ensinada, numa (re)ligação de saberes, uma vez que nada acontece que
não esteja em conexão com o todo.
Entretanto, para pôr em prática um ensino não-convencional, é necessário vencer uma
série de convencionalismos e oposições, estar disponível a correr riscos, propor-se a
experimentar, avaliar o que foi feito e modificar o que não deu certo.
Há uma tendência, bastante generalizada no pensamento pedagógico, de se colocar
contra os currículos de caráter transdisciplinar, argumentando-se que eles, como aponta
Hernández (1998), induzem à redução de conteúdos do currículo das áreas originais que
devem ser abordadas nos programas dos cursos. Argumenta-se também que eles produzem
reduções e lacunas na maneira de tratar os conteúdos. Além disso, teme-se que o tempo
não seja tão eficiente como aquele utilizado numa abordagem epistemológica
convencional.
Na visão de Hernández, o argumento mais relevante contra o currículo de caráter
transdisciplinar provém da natureza e da tradição do conhecimento disciplinar na educação
escolar.
Entretanto existem também aqueles que se posicionam a favor desse tipo de currículo,
ressaltando que ele é o fio condutor para a melhoria da escolaridade. Nesse sentido,
argumentam que, com ele, a utilização do tempo torna-se mais eficaz, no que tange à
organização em relação às atividades a serem desenvolvidas, podendo realizar-se uma
seqüência completa de aprendizagem numa sessão. Outro ponto favorável é que se evita a
propagação de temas e conceitos freqüentes ao longo da vida acadêmica, devido à falta de
planejamento entre os professores. Além disso, a abordagem transdisciplinar contribui para a
comunicação e o intercâmbio entre os docentes, repercutindo não apenas na melhoria do
ensino como também no acompanhamento individual do aluno.
Dessa forma, quando adotamos uma postura transdisciplinar, devemos estar atentos
não apenas aos conteúdos conceituais dos alunos, mas também às suas atitudes frente a esse
conhecimento, à aprendizagem e às implicações sociais. Nesse processo, cada indivíduo tem
uma ação e um comportamento diferente, devido a sua relação afetiva consigo mesmo e com
os outros.
Diante dessa diversidade, compete ao professor desenvolver uma educação
fundamentada em condições de aprendizagem que acatem as necessidades e os ritmos
individuais de cada aluno, possibilitando expandir e enriquecer as capacidades de cada um,
considerando-o como pessoa singular e com características próprias. Além disso, o professor
deve dar ao aluno uma atenção que evidencie a necessidade de reconstruir sua auto-estima.
Nesse sentido, a história de vida dos alunos não pode ser esquecida.
1. 2 Tarô: um projeto transdisciplinar
Nosso estudo está centrado no resgate dos valores humanos. Partimos do pressuposto
de que, para nos relacionarmos melhor com o outro, o melhor caminho é conhecermos a nós
mesmos, pois, segundo Conceição Passeggi (2001), é através do autoconhecimento que
adquirimos a base para a aprendizagem de todas as competências. Nesse processo de
conhecer-se, o sujeito encontra-se em permanente estado de reconstrução, aprendendo a
aprender ao longo da vida.
De acordo com Mary Steiner-Geringer (1997, p. 09) “concentrar-se nos símbolos é um
meio de permitir que o nosso consciente unilateralmente orientado tenha acesso aos conteúdos
do inconsciente pessoal, familiar e coletivo”. Daí, ancorada nas cartas do tarô buscamos o
exercício do autoconhecimento. Por que tarô? Porque, sendo um jogo de caráter divinatório, é
provável que desperte interesse nos alunos, visto que a maioria das pessoas sente uma atração
por esse tipo de adivinhação.
Além disso, Jung, segundo Post ([19--], p. 16)
reconheceu de pronto, como fez em muitos outros jogos e tentativas
primordiais de adivinhação do invisível e do futuro, que o tarô tinha
sua origem e antecipação em padrões profundos do inconsciente
coletivo, com acesso a potenciais de maior percepção à disposição
desses padrões.
Assim, é importante ressaltar que as vinte e duas cartas simbólicas, denominadas de
arcanos maiores, representam as imagens primordiais, ou arquétipos, dentro do inconsciente
coletivo. Dois termos merecem ser explicitados: inconsciente coletivo e arquétipos, os quais
foram criados por Carl G. Jung, psiquiatra suíço, iniciador da psicologia analítica (Camargo,
1995), ao qual nos referimos anteriormente.
Inconsciente coletivo, de acordo com Jung (1977), são esquemas de pensamentos
coletivos comuns em toda parte, agindo mais ou menos da mesma forma, quando necessário,
em todos nós, e, assim como os instintos, são inatos e herdados. Os conteúdos do inconsciente
coletivo Jung denominou de arquétipos.
O termo arquétipo designa um modelo do conhecimento universal, ou seja, são as
manifestações das emoções, imagens ou atitudes que afloram à mente, em algumas
circunstâncias, por meio de funções psíquicas naturais.
Se as cartas do tarô são consideradas arquétipos e estes são manifestações emocionais,
então podemos deduzir que, nas cartas, não há nenhuma magia de adivinhação, pois o que
buscamos saber está em nós mesmos. As cartas apenas agem como instrumento de diálogo
entre as realidades objetiva e subjetiva das nossas vidas.
De acordo com Jolande Jacobi (1977), Jung considerou os números naturais como
representações arquetípicas, uma vez que há uma forte tendência do homem a contar. Esse
último autor observou que o senso numérico está presente não apenas no homem, mas
também nos animais. Evidenciamos, ainda, a utilização das formas geométricas na confecção
de cerâmicas, cestos e em pinturas nas cavernas.
Portanto, fazendo uso das cartas do tarô, poderemos unir-nos ao mundo dos
arquétipos, as quais, por sua vez, contêm elementos geométricos e números, os quais poderão
nos ajudar a refletir sobre nossas experiências de vida, despertando, nos educandos, a noção
da sua história para, em seguida, abordarmos as idéias produzidas nas diferentes áreas do
conhecimento.
Temos como objetivo analisar como o tarô pode ser utilizado no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática e, como problematização, saber qual a contribuição deste para a
elevação da auto-estima dos alunos que estudam em turmas de Educação de Jovens e Adultos
e investigar como ele pode ser usado para apresentar certos conteúdos nas aulas de
Matemática.
Para tanto, nos apoiamos no pensamento de Ernst Cassirer (1994, p. 48) sobre o
simbolismo. Refere esse autor que o homem, para compreender a si mesmo e lidar com os
problemas de seu universo, cria e usa símbolos, envolvendo-se de tal maneira em “formas
lingüísticas, imagens artísticas, símbolos míticos ou ritos religiosos que não consegue ver ou
conhecer coisa alguma a não ser pela interposição desse meio artificial”. Sobre esse aspecto,
ainda nos respaldamos nos conceitos de simbolismo e imagem da psicologia junguiana
adotados por Sallie Nichols, em seu estudo sobre Jung e o tarô. Para Jung, o homem é
também capaz de criar símbolos espontaneamente a partir dos sonhos, estabelecendo uma
relação entre o inconsciente e o consciente.
Além disso, enfatizamos a evolução histórica dos sistemas de numeração, os números
inteiros e a geometria, no que concerne aos aspectos observáveis nas cartas do tarô.
Interessa-nos levar os alunos a perceberem a Matemática como atividade humana e
elemento da cultura bem como instrumento de leitura, releitura e transformação dos fatos. É
necessário que eles entendam que a Matemática, como afirma Arthur Powell (1998, p. 96),
“nasce de uma atividade cultural, e que diferentes culturas priorizam diferentes aspectos de
uma mesma realidade. Isso implica que culturas, até mesmo numa mesma sociedade possam
ter diferentes modos de matematizar a realidade”.
Portanto é importante que os educandos compreendam que a Matemática estudada
deve, de alguma forma, ser-lhes útil, ajudando-os a entender, exemplificar ou organizar sua
realidade.
Nesse contexto, Iran A. Mendes (2002, p. 92) afirma que é “através do conhecimento
histórico, que o aluno aumenta a sua capacidade de pensar e compreender as leis matemáticas
a partir de certas propriedades e artifícios usados hoje e que foram construídos em períodos
anteriores ao que vivemos.”
Nesse sentido, a Matemática deve estabelecer parceria com outros campos do
conhecimento, com o objetivo de contribuir para a formação da consciência do cidadão.
Logo, é de fundamental importância que a escola propicie oportunidade para que um
maior número de indivíduos se aproxime do conhecimento matemático que a humanidade
acumulou, que se integrou à nossa cultura e que interfere, direta ou indiretamente, no nosso
dia-a-dia, buscando compreendê-lo na forma como é construído, pois criamos e vivemos um
mundo matemático, com seus símbolos, normas, linguagens e procedimentos.
1. 3 Objetivos
São os objetivos que orientam os estudos de uma pesquisa, servindo de ponte para o
desenvolvimento das ações e a avaliação destas.
Os objetivos gerais, segundo Brasil (1997), são os princípios que norteiam o processo
de investigação como um todo, em metas a serem atingidas para além do âmbito investigativo
e, por isso, não conseguimos detectá-los nem avaliá-los de imediato no campo de pesquisa.
Entretanto, é a partir deles que todo o planejamento de pesquisa é construído, devendo nortear
os objetivos específicos, bem como servir de referência para opções metodológicas.
Por conseguinte é através dos objetivos específicos que pretendemos concretizar o
objetivo geral. Por sua especificidade, esses objetivos oferecem estratégias sobre a ação da
pesquisa as quais favorecem o desenvolvimento da investigação.
Nessa perspectiva, este estudo tem como objetivos:
1.3.1 Objetivo geral
• analisar a utilização do tarô como instrumento facilitador no processo de ensino e
aprendizagem da Matemática, de modo a contribuir para a permanência de jovens
e adultos na escola.
1.3.2 Objetivos Específicos
• investigar algumas inter-relações entre o conhecimento matemático acadêmico e o
conhecimento matemático inserido no tarô;
• investigar como o tarô pode contribuir para que o aluno conceba a Matemática
como um dos instrumentos relevantes para interpretar informações sobre o mundo,
reconhecendo o valor desta na nossa cultura;
• investigar a eficácia do tarô em promover no aluno a oportunidade de comunicar-
se matematicamente, identificando, interpretando e utilizando diferentes
linguagens e códigos.
1.4 Pressupostos e procedimentos metodológicos.
Este trabalho apóia-se predominantemente na abordagem metodológica qualitativa e foi
desenvolvido no primeiro semestre de 2003.
Maria Cecília Minayo (1994, p. 21-22) afirma que a pesquisa qualitativa
responde a questões muito particulares. [...] Ou seja, ela trabalha com o
universo de significados, motivos, aspirações, crenças, valores e atitudes, o
que corresponde a um espaço mais profundo das relações, dos processos e
dos fenômenos que não podem ser reduzidos à operacionalização de
variáveis.
Com esse intento, iniciamos nossa pesquisa utilizando recortes da história de vida dos
nossos alunos como método de investigação, para melhor definirmos o perfil da clientela
envolvida neste estudo. Além disso, realizamos entrevistas semi-estrutaradas, no intuito de
contribuirmos para a construção de suas histórias. A metodologia adotada foi a de tentar
aprofundar-nos “no mundo dos significados das ações e relações humanas, um lado não
perceptível e não captável em equações, médias e estatísticas” (Minayo, 1994, p. 22).
Nessa perspectiva, para a realização deste estudo, planejamos três atividades com o
objetivo de explorar os conteúdos matemáticos (sistema de numeração, geometria e números
inteiros) a partir das cartas do tarô e da história da matemática, articulando esses
conhecimentos aos contextos que lhe deram origem.
Convém salientar que o tarô foi utilizado como recurso didático com o propósito de
verificar qual o conhecimento prévio dos alunos sobre os temas a serem abordados, além de
como instrumento para exercitar a busca do autoconhecimento.
Para iniciar essas atividades, recomendamos aos alunos que fizessem a leitura de
pequenos textos sobre aspectos históricos da matemática, por acreditarmos, como propõe John
Fossa (1995), que as informações históricas sobre a construção do conhecimento matemático
podem ser utilizadas como um recurso de ensino, em forma de atividades manipulativas que
contribuem para a construção da matemática escolar.
Solicitamos que os alunos destacassem e procurassem no dicionário e nos livros
didáticos as palavras desconhecidas, com a finalidade de desenvolver competências
relacionadas ao ato de consultar o dicionário, como conhecer a ordem alfabética, transpor a
palavra para a forma como consta no dicionário, escolher, entre várias definições, aquela que
melhor convém ao contexto e reconhecer quando o uso do dicionário se faz necessário.
Devemos salientar que as competências, como entende Perrenoud (1999), não são em
si conhecimentos, mas mobilizam e põem em ação conhecimentos e atitudes (saber ser) e
habilidades (saber fazer) fundamentais para a resolução de situações-problema.
Numa turma de jovens e adultos, espera-se que estes já tenham desenvolvido tais
competências, no entanto alguns alunos deram depoimentos de que pela primeira vez estavam
fazendo uso de um dicionário, ao mesmo tempo que ressaltavam o fato de isso estar
ocorrendo durante uma aula de Matemática.
O trabalho com a linguagem escrita também foi aplicado, no desenvolvimento das três
atividades – no registro das auto-avaliações (levando o aluno a refletir sobre seu desempenho
na realização das tarefas), nas respostas às questões propostas sobre o texto lido e na
construção de pequenos textos sobre recortes de suas histórias de vida, com a finalidade de
favorecer a auto-aprendizagem através do exercício da leitura e da escrita e estimular a auto-
estima e a confiança na capacidade de ler e escrever.
Com o intuito de testar a eficácia dos instrumentos utilizados na nossa pesquisa, foram
pré-testadas duas atividades no segundo semestre de 2002: A geometria na arte: uma visão
histórico/simbólica a partir do tarô e Os onze pares de cartas: números positivos e negativos.
A terceira atividade, Articulando o tarô aos sistemas de numeração, não foi testada, por não
ter sido concluída em tempo hábil. Essa pré-testagem também teve como objetivo verificar se
o tempo definido para sua aplicação era suficiente.
A partir da avaliação do trabalho desenvolvido, alguns pontos das atividades
executadas foram reformulados, para serem reaplicados no primeiro semestre de 2003, no
mesmo campo de estudo, ou seja, numa outra turma do Projeto Acreditar III (5ª e 6ª séries) –
EJA – , de uma escola da rede municipal de ensino, situada na vila de Ponta Negra – zona sul
da cidade do Natal – , no turno noturno.
Quanto à avaliação do nosso estudo, esta foi contínua e processual. Estivemos atenta,
observando e registrando o comportamento dos alunos frente à compreensão dos conceitos e o
desenvolvimento de atitudes e procedimentos.
Assim, ao lançarmos um olhar reflexivo sobre a realidade da sala de aula, procuramos
buscar pontos de aproximação entre os conhecimentos matemáticos do cotidiano dos alunos e
a matemática escolar inserida no tarô, como tentativa de compreender os elementos que
contribuem para uma aprendizagem matemática significativa, na qual o aluno saiba
estabelecer relações entre o conhecimento apreendido dentro do contexto escolar com outras
situações práticas do seu dia-a-dia.
Para mediar o processo de construção do saber matemático escolar e as condições
concretas de aprendizagem dos alunos, foram aplicados trabalhos em grupo e individual, para
que pudéssemos analisar como estava ocorrendo a aprendizagem e, assim, planejarmos as
intervenções necessárias.
A maioria dessas atividades foi desenvolvida em grupo, pois pretendíamos valorizar a
interação dos alunos como instrumento de desenvolvimento pessoal, sugerindo outras atitudes
que viessem favorecer o desenvolvimento da autonomia na dimensão grupal, como propõem
os Parâmetros Curriculares Nacionais. O trabalho individual também foi proposto, com a
finalidade de que os alunos trabalhassem suas idéias, suas tarefas, sua organização pessoal,
para que pudessem envolver-se melhor com os estudos.
Em síntese, a disponibilidade cognitiva dos alunos para a aprendizagem é
fator essencial para que haja uma interação cooperativa, sem depreciação do
colega por sua eventual falta de informação ou incompreensão. Aprender a
conviver em grupo supõe um domínio processual de procedimentos,
valores, normas e atitudes (Brasil, 1998, p. 92).
Entendemos que esses procedimentos aliados aos projetos de trabalhos tendem a
provocar uma mudança de atitude frente aos conteúdos de cada área. Enfim, esse domínio
vem, de forma ampla, contribuir dinamicamente para o processo ensino e aprendizagem e a
formação da cidadania do aluno jovem ou adulto que freqüenta os cursos noturnos.
1.4.1 Contexto da pesquisa
1.4.1.1 Breve histórico da vila de Ponta Negra
Para melhor compreendermos os nossos alunos, é importante fazermos uma ponte
entre o presente e o passado da vila de Ponta Negra, originariamente uma pequena colônia de
pescadores.
Ao recorrermos ao passado, estamos buscando o entendimento de nós mesmos, pois,
de acordo com Cassirer, (1994, p. 311) “a história não é um conhecimento de fatos ou eventos
externos; é uma forma de autoconhecimento”, uma vez que o homem, sujeito social e
histórico, é constantemente influenciado pelo seu ambiente físico, o qual deixa marcas em
todos os aspectos de sua vida.
Anamélia Araújo (1999) diz que a vila de Ponta Negra – que, assim como Natal,
também é quatrocentona – originou , com sua urbanização o bairro de Ponta Negra. Segundo
a autora, nesse bairro residem mais de onze mil moradores, cuja economia está voltada para o
turismo, fato que levou à descaracterização do lugar.
Ainda com os dados da referida autora, durante a ocupação holandesa, de 1633 a 1654,
já se fazia referência à praia de Ponta Negra na cartografia da capitania do Rio Grande do
Norte. Araújo (1999) esclarece também que, no final do século XIX, a população dessa
praia sobrevivia da pesca artesanal e da agricultura de sobrevivência e era basicamente
formada por pescadores. Suas casas rústicas erguiam-se à beira mar, construídas com
palhas de coqueiro. Depois, os pescadores (posseiros) foram progressivamente vendendo
seus terrenos, por preços módicos, e deslocando-se da orla para o alto da colina, o que deu
origem à vila.
No término da Segunda Grande Guerra Mundial, tendo em vista a proximidade ao
centro da cidade, a localidade recebeu os primeiros veranistas, inspirados na moda lançada
pelos soldados americanos.
Assim sendo, a estrutura urbana e social começou a ser transformada e hoje
percebem-se em Ponta Negra edificações modernas, prédios e mansões, contrastando com
moradias humildes. Há hotéis, pousadas, bares, restaurantes e toda uma estrutura montada,
visando contribuir para o crescimento do turismo como solução econômica para o estado e
o município.
Além dessa estrutura, foi recentemente construído um calçadão na orla de Ponta
Negra facilitando a circulação de populares em suas caminhadas. No entanto esse espaço
transformou-se em comércio, principalmente no horário noturno. É comum encontrarmos
aí alguns dos nossos alunos, prestando serviços como vendedores ambulantes. No período
de alta estação, mês de julho, esses alunos estão mais presentes no calçadão do que na sala
de aula.
O convívio com pessoas de outros estados e outras nacionalidades oportuniza aos
alunos interagirem com culturas diferentes, ampliando suas perspectivas de mundo, o que
pode contribuir para o desenvolvimento de habilidades cognitivas ligadas ao trabalho,
através de atividades que promovem reflexão e o distanciamento da rotina de sala de aula.
No entanto não se pode perder de vista a importância que tem a escola no
desenvolvimento cognitivo dos sujeitos que dela podem compartilhar, visto que, nesse espaço,
os conhecimentos herdados culturalmente são sistematizados e socializados, embora não
possamos encará-la como única instância social capaz de promover aprendizagem e educação.
1.4.1.2 Os sujeitos da pesquisa
O grupo investigado é constituído por 27 alunos (15 do sexo feminino e 12 do sexo
masculino), todos moradores da vila de Ponta Negra, os quais desempenham funções
profissionais e estudantis, com a faixa etária variando entre 14 e 60 anos, conforme
demonstrado no quadro seguinte.
Faixa-etária
14 – 23
24 – 33
34 – 43
44 – 53
54 – 63
Número de
alunos
13
07
05
00
02
QUADRO 1: Distribuição dos alunos que freqüentam a escola, segundo faixa-etária.
Essa clientela é constituída por empregadas domésticas (06), estudantes (05),
cozinheiro (01), costureira (01), lavadeira (01), autônomos (03), marceneiro (01), vendedores
ambulantes (03), artesão de praia (01), garçonete (01), jardineiro (01), funcionário de
supermercado (01) e desempregados (02). Com exceção de cinco alunos, os demais
freqüentam as aulas irregularmente, na tentativa de conciliar o trabalho com a escola.
Pelo Quadro 1, pode-se observar a heterogeneidade das idades dessa turma. Entretanto
não encontramos divergência de opiniões sensíveis entre eles. Os alunos mostram-se
receptivos e sempre prontos a colaborarem uns com os outros.
O Quadro 2, por sua vez, explicita a duração do intervalo de tempo em que os sujeitos
de nossa pesquisa estiveram fora da escola.
Tempo
(anos)
0 – 9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
Número de
alunos sem
estudar
14
07
04
00
01
01
QUADRO 2: Distribuição dos alunos que ficaram sem estudar, segundo intervalo de tempo
Os dados evidenciam que o intervalo de tempo em que o maior número de alunos
esteve ausente da sala de aula foi o período de 0 a 9 anos. Dentre estes, oito alunos nunca se
afastaram mais de um ano da escola; alegaram desistência no meio do ano, retornando no ano
seguinte.
Os motivos que levaram esses jovens e adultos a retornarem à escola relacionam-se
predominantemente às suas expectativas de conseguir um emprego melhor, porém sua
motivação não se limita a esse aspecto. Ao referir-se à importância de estudar, muitos deles
salientaram que, com os estudos, entenderiam melhor as coisas e poderiam ajudar os filhos
nas tarefas da escola.
Da mesma forma que o trabalho os fez retornar à escola, também os afastou, uma vez
que a principal causa alegada de afastamento da sala de aula foi a falta de tempo para estudar,
em conseqüência dos afazeres assumidos. As mulheres alegaram que o casamento e os filhos
dificultavam os estudos, uma vez que não podiam deixar as crianças aos cuidados de qualquer
pessoa, para estudar.
Ao serem questionados sobre os motivos que os fizeram deixar de estudar, dois alunos
alegaram que, apesar de não terem freqüentado escola por um determinado tempo, isso não
ocorreu por terem deixado de estudar. Enquanto um deles justificava: “Não deixei; é que
minha família se mudava muito de lugar”, o outro argumentava: “Nunca deixei de estudar; eu
desisti de estudar. Eu achava chato, então eu desistia para brincar com meus colegas”.
Para melhor entender suas justificativas, realizamos com eles uma entrevista semi-
estruturada. O aluno que alegava mudanças da família disse não ter deixado de estudar, pois a
mudança independia de sua vontade, não se responsabilizando por ela.
O outro aluno, ao justificar sua desistência, relatou que isso não significava que tivesse
deixado de estudar, pois entendia que deveria retornar à escola mais cedo ou mais tarde. Para
ele, a expressão deixar de estudar indicava algo definitivo.
Como diz Jung (1977, p. 40), “cada palavra tem um sentido ligeiramente diferente
para cada pessoa, mesmo para os de um mesmo nível cultural”. Devemos, portanto, recuperar
os significados embutidos nas falas e nos textos produzidos pelos alunos para que possamos
compreendê-los, ajudando-os a reconstruir sua imagem da escola, das aprendizagens escolares
e de si próprios.
Por motivo de trabalho, falta de interesse, gestação de risco, envolvimento com
drogas, por achar a matemática difícil, por casamento ou qualquer outra causa, esses alunos
estiveram ausentes durante longos períodos, só retornando naquele momento.
Esses fatores, que geram evasão escolar de jovens e adultos, contribuem para a não-
conclusão dos estudos no tempo regular, originando baixa auto-estima na clientela.
As experiências de fracasso e exclusão normalmente costumam provocar uma auto-
imagem negativa nesses educandos. Percebemos que os mais velhos apresentam-se inseguros
e tímidos, enquanto os mais jovens expressam sua baixa auto-estima por meio da indisciplina,
chamando a atenção sobre si mesmos. Em qualquer dos casos, faz-se necessário que o
professor fique alerta e não esqueça os quatro pilares da educação referidos por Delors (2000).
Assim cumpre o seu papel de educar, favorecendo uma boa convivência entre os alunos, o
respeito às diferenças e a cultura escolar, dentre outros aspectos, visto que educação constitui
estratégia primordial para o desenvolvimento humano.
Uma questão preocupante é o que podemos fazer para resgatar esses jovens e adultos,
cidadãos e trabalhadores, para as salas de aula, uma vez que já estão integrados, de um modo
ou de outro, na sociedade.
Ao ressaltarem eles a importância e a necessidade dos estudos como forma da
conquista do emprego, sentimos também a relevância da leitura e da escrita em suas vidas
com relação à vontade de entender o que está em sua volta e de saber dialogar, como
expressou uma aluna, senhora de 55 anos de idade. Disse nunca ter estudado e que a
oportunidade surgiu naquela ocasião, então ela procurou estudar, porque é comerciante e
pretende atender as pessoas sem sentir vergonha.
Neste mundo impregnado de símbolos e de avanços tecnológicos, os quais exigem dos
trabalhadores outras habilidades, a leitura e a escrita assumem papel relevante em suas vidas,
pois, para eles, ler e escrever significa liberdade para não depender do outro, no que concerne
ao exercício de seus direitos de cidadãos. Isso nos remete a Paulo Freire (2000, p. 89) quando
diz:
Ler é algo mais criador do que simplesmente ou ingenuamente ‘passear’
sobre as palavras. Leio tanto mais e melhor quanto, inteirando-me da
substantividade do que leio, me vou tornando capaz de re-escrever o lido, à
minha maneira, e de escrever o por mim ainda não escrito. Não é possível
dicotomizar ler de escrever.
Portanto a leitura e a escrita, assim como o modo como os conhecimentos matemáticos
são produzidos, são os conteúdos mais relevantes que podemos trabalhar, promovendo, dessa
forma, o acesso dos jovens e adultos à cultura da qual fazem parte.
1.5 Estrutura da Dissertação
Esta dissertação tem a seguinte estrutura: depois de, no capítulo 1, termos apresentado
o sentido de um trabalho por projeto transdisciplinar tomando o tarô como elemento
dinamizador e facilitador da aprendizagem dos alunos da EJA e de termos apresentado os
objetivos pretendidos e a metodologia escolhida para o desenvolvimento da pesquisa, no
capítulo 2, o mais longo, por motivos que ficarão claros durante seu desenvolvimento,
apresentaremos uma discussão acerca do Símbolo como forma de expressão do homem,
valendo-nos, para tanto, das investigações de Ernest Cassirer. Apresentaremos também
considerações de ordem conceitual, epistemológica e histórica acerca do conceito de Número
e de Geometria, elucidando como eles aparecem nas cartas do tarô, tratadas aqui como um
sistema simbólico. No capítulo 3, Uma experiência matemática: o tarô como recurso
didático, analisaremos os resultados obtidos com o trabalho realizado junto aos sujeitos da
pesquisa, quando privilegiamos atividades didáticas e conteúdos como sistema de numeração,
números inteiros e conceitos geométricos, a partir das cartas do tarô. Por fim, nas
Considerações Finais, retomamos, de maneira objetiva, o que realizamos, para tentar dar o
sentido do trabalho docente com alunos jovens e adultos, numa perspectiva transdisciplinar,
com foco neles e em seu aprender por intermédio de métodos e instrumentos didáticos que
facilitem a integração de conteúdos, ao mesmo tempo que os percebam em sua vida concreta.
2 O SÍMBOLO COMO FORMA DE EXPRESSÃO DO HOMEM
Apresentamos, no capítulo anterior, o sentido de um trabalho por projeto
transdisciplinar utilizando as cartas do tarô e mostramos a metodologia escolhida para levar a
termo os objetivos pretendidos. Agora, faremos uma discussão acerca do símbolo como forma
de expressão do homem, assumindo que ocorrem manifestações simbólicas no número e na
geometria. Trataremos as cartas do tarô como sistema simbólico, socorrendo-nos, para tanto,
do trabalho do filósofo alemão Ernest Cassirer acerca das formas simbólicas que se
manifestam na cultura humana. Iniciaremos essa discussão abordando as práticas sociais e
culturais do homem.
Os humanos, desde que entraram em processo perene de produção e reprodução de sua
vida coletiva, têm recorrido à força mediadora dos símbolos de suas atividades sociais para
darem significado a essas mesmas atividades, aquilo que freqüentemente antropólogos e
sociólogos costumam chamar de artefatos culturais. Nesse sentido, o homem se vale de
símbolos para poder expressar seus pensamentos, seus sentimentos e suas emoções. Por isso
Cassirer (1994) o chama de animal symbolicum.
Para Cassirer (1994), a despeito de sua pertença ao reino biológico, o homem tem um
círculo funcional que é quantitativamente maior que o de outras espécies animais e muito
diferente delas. Há um terceiro elemento – além de um elo receptor e, um efetuador – na
relação interativa que o homem trava com o ambiente, a qual é responsável pela
transformação do conjunto da vida humana. A esse elemento Cassirer (1994) chama de
sistema simbólico: a resposta que o homem dá aos estímulos externos não é imediata como a
dos outros animais, mas interrompida por um lento e complexo processo de pensamento, ou
seja, a atividade simbólica do homem é sempre uma atitude reflexiva perante a realidade
externa.
Tal caracterização vale para as mais diversas formas de expressão, quer seja nas
manifestações artísticas e filosóficas, quer seja nas manifestações religiosas e científicas, não
obstante suas diferenças e gradações, uma vez que “a função simbólica não está restrita a
casos particulares, mas é um princípio de aplicabilidade universal que abarca todo o campo do
pensamento humano” (Cassirer, 1994, p. 62, grifo do autor).
As sociedades estão repletas de símbolos e de sinais. Os sinais sinalizam algo pontual
– ou seja, só há uma interpretação – e normalmente têm o mesmo significado em qualquer
parte do mundo. Como exemplo, podemos citar os sinais de trânsito: o verde indica que a
pessoa pode passar; e o vermelho, que a pessoa deve parar.
Para Cassirer (1998), sinais e símbolos dizem respeito a dois modos diferentes de
discurso, ou seja, um sinal faz parte do mundo físico do ser e um símbolo é parte do mundo
humano do significado.
Habermas (2001) apresenta uma concepção crítica do modo como Peirce trata o
conceito de signo. Para o primeiro, Peirce fica a meio caminho de efetivar o giro pragmático-
linguístico dos processos de significação, ao desconsiderar que a relação entre o signo e seu
interpretante só pode acontecer pelo entendimento intersubjetivo. Peirce erra por tratar tal
relação de modo muito abstrato, de modo que a relação comunicativa entre falante e ouvinte
desaparece na relação com o interpretante, na ênfase de uma semiótica do signo elementar
com seu caráter triádico, o que podemos ver na definição dada por Peirce apud Habermas
(2001, p. 38):
Defino um signo como qualquer coisa que esteja determinada por outra
chamada seu objeto, e que determina um efeito sobre uma pessoa, efeito que
chamamos interpretante, de modo que o último vem medianamente
determinado primeiro. Minha inserção de ‘sobre uma pessoa’ tem por objeto
ganhar a benevolência do leitor, pois desespero de fazer entender alguma vez
minha própria concepção mais ampla.
Tal caráter triádico aponta os três elementos que, segundo Peirce, compõem o signo; a
saber: o fundamento, o objeto e o interpretante. Assim, o signo só pode representar um objeto
através da relação entre esses elementos. Ou seja, para um signo dar-se a conhecer como algo
do mundo deve também dirigir-se a um espírito interpretante. Nas palavras de Peirce postas
por Habermas (2001, p. 39), “uma coisa não pode estar por algo sem estar para algo por algo”.
Mas Peirce acaba por eliminar o intérprete, ao apresentar o ato de significar como uma
seqüência despersonalizada de signos, na qual cada signo é o intérprete de um signo anterior.
Esse processo ocorre na cognição das formas simbólicas, quando “todo pensamento é uma
palavra não expressa” (Peirce apud Habermas, 2001, p. 42).
Peirce, conforme Habermas, aproxima, tal como Cassirer, signo de símbolo, sem,
contudo, confundi-los. Os símbolos reproduzem uma quantidade indeterminada de conteúdos,
mas o tempo aparece como lugar necessário de tal ocorrência.
Isso quer dizer que, para os conteúdos sígnicos ou simbólicos se manifestarem,
carecem de tempo: as operações que deslindam as relações entre os signos bem como entre os
símbolos se prolongam ao longo do tempo.
Mas, se assim é, eles não se confundem, muito embora Habermas não o diga: o signo é
algo sobre o qual se age ou o meio de ordenar a ação; o símbolo é um instrumento do
pensamento. Uma rua molhada, por exemplo, é um signo de que choveu, como um tamborilar
no telhado é signo de que está chovendo; uma mancha anelada envolvendo a lua é signo de
que vai chover e o campo verdejante é signo de que aí chove abundantemente. Já quando,
diante de um interlocutor, alguém reage à pronúncia de um nome – Sr. Fulano, diretor da
repartição tal, por exemplo – , o ouvinte não associa esse nome à chegada dessa pessoa mas
tece de imediato algumas reflexões ou considerações acerca dela. Eis aí uma atitude
simbólica: Sr. Fulano é símbolo de uma concepção de um certo homem chamado, quando é
preparada a mente do ouvinte para novas situações nas quais a noção desse homem se
apresenta.
Afinal, o homem tem uma propensão para criar símbolos, seja na arte, na religião, ou
em qualquer outro setor da sua vida. Tudo pode assumir uma significação simbólica: desde
objetos naturais, objetos criados pelo homem, como também formas abstratas, como os
números e as formas geométricas.
Veremos, então, na matemática, como o pensamento simbólico se apresenta.
2.1 A diversidade da linguagem simbólica dos números
Desde o tempo dos pitagóricos, o número tem sido reconhecido como o tema central
do pensamento matemático e, portanto, como um dos conceitos fundamentais da matemática.
Por conseguinte, estudiosos buscaram descobrir uma teoria abrangente que se adequasse a
esse tema. No entanto, a cada passo nessa direção, esses estudiosos – matemáticos e filósofos
– enfrentavam o mesmo problema, ou seja, a necessidade de ampliar o campo numérico e
introduzir nele novos números.
Especula-se que o homem começou a contar usando conjuntos de pedras para fazer o
controle da quantidade de ovelhas que possuía, relacionando cada ovelha a cada pedra.
Dessa forma, ao fazer a correspondência um a um, o homem deu o primeiro passo para
o surgimento da noção de número. Todavia ele não utilizou apenas pedras para fazer essa
relação; os dedos também foram utilizados e, conseqüentemente, o registro dessa informação
fez-se necessário, uma vez que era difícil lembrar quantos dedos haviam sido levantados no
momento em que se os baixava.
Uma das primeiras formas de registro foi marcar com pontos ou traços as quantidades
desejadas. Estas podiam ser registradas em árvores, pedaços de madeira, ossos, ou nós em
cordas, etc. Com o registro, o homem percebeu que, agrupando essas marcas, facilitava a
contagem. A idéia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração,
como, por exemplo, o egípcio, o dos maias, o babilônico e o dos hindus, dentre outros.
Portanto a idéia de número surgiu da necessidade de contar, da comparação de grupos
com a mesma quantidade de elementos, sendo, então, criados os números naturais. Esses
números atendiam às condições da vida econômica dessa época, mas, à medida que as
civilizações foram se desenvolvendo, outros problemas foram aparecendo, exigindo a criação
de novos números.
Enfim, todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito
de número natural e desenvolveram um sistema de contagem. O conceito de número
prosseguiu seu desenvolvimento, principalmente devido ao próprio desenvolvimento da
matemática.
No entanto a humanidade não sentiu apenas a necessidade da contagem; a medição
tornou-se imperativa. Apesar de as operações de medir e contar serem freqüentemente
utilizadas no cotidiano, os inteiros limitam-se a contar coleções finitas de objetos. Como
fazer, então, para medir quantidades como áreas, comprimentos, pesos e tempos?
Para resolver essa questão, segundo Courant e Robbins (2000), os matemáticos
fizeram a ampliação do domínio da aritmética para além dos números inteiros, ou seja,
criaram um padrão único de comparação para todas as grandezas – a unidade de medida.
Dessa forma, quando necessário, podemos subdividir essa unidade de medida em
subunidades, conseguidas mediante a divisão da unidade original em um número n de partes
iguais, e as representamos hoje em dia pelo símbolo 1/n. Se determinada quantidade contém
exatamente m dessas subunidades, sua medida é concebida por m/n, denominada de fração ou
razão.
Ainda de acordo como os autores acima citados, durante séculos de tentativas de
ressignificação, o símbolo m/n foi desprovido de sua referência concreta ao processo de medir
e às quantidades medidas e, ao contrário, foi considerado como um puro número, um ente em
si próprio, no mesmo nível dos números naturais. Quando m e n são números naturais, o
símbolo m/n é chamado número racional, com n diferente de zero.
Para os gregos antigos, a expressão m/n representava a razão entre dois números, e não
um número em si. Simultaneamente passou a ser concebida como parte de um todo e,
finalmente, como resultado de uma divisão.
Originariamente, a palavra número era utilizada apenas para os números naturais. Seu
uso se estendeu para esses novos símbolos pelo fato de a adição e a multiplicação desses
símbolos obedecerem às mesmas leis que orientam as operações com números naturais.
Historicamente, os racionais positivos vieram antes dos números inteiros negativos.
Hoje, podemos dizer que os números naturais e os inteiros estão contidos nos números
racionais através das leis fundamentais da aritmética dos dois primeiros, as quais continuam
válidas no domínio dos números racionais.
Qual seria, então, a necessidade prática desse conjunto, uma vez que, além da razão
prática para a introdução dos números racionais, há uma outra razão, de caráter aritmético e
típica de uma tendência dominante do procedimento matemático?
Sob esse prisma, podemos dizer que há o reconhecimento de um obstáculo aritmético
e manutenção das leis formais e soluções de equações, como propõem Courant e Robbins
(2000), fazendo com que, no domínio dos números racionais, as conhecidas operações
racionais – adição, subtração, multiplicação e divisão – possam ser realizadas sem restrições,
sem jamais se sair desse domínio.
Então, o que se ganha quando esse conjunto cresce?
Sabendo-se que a ampliação do conceito de número tornou-se possível pela criação de
novos números na forma de símbolos abstratos, como 0, -2 e ¾ e que apenas na esfera do
abstrato é que um sistema satisfatório de aritmética pode ser criado, deve-se garantir,
portanto, a predominância das leis válidas para o domínio original, no domínio maior, com a
generalização.
Então a generalização – no caso dos números naturais – para os números racionais
satisfaz tanto a necessidade teórica de afastar as restrições na subtração e na divisão, quanto a
necessidade prática de números para expressar os resultados de medidas.
Quanto à extensão dos números inteiros para os números reais, esses novos números
permitiram expressar quantidades que não podiam ser expressas pelos números inteiros ou por
razões entre estes, além de se ganhar com a riqueza das estruturas algébricas.
Inicialmente, esses novos números apresentavam-se de um modo bastante polêmico,
suscitando as mais profundas desconfianças e sendo considerados absurdos ou impossíveis.
Esse fato pode ser observado na história dos números negativos, irracionais e imaginários.
Howard Eves (2002) afirma que a descoberta dos números irracionais, considerada um
dos marcos da história da matemática, foi uma das grandes realizações dos pitagóricos. Essa
descoberta, entretanto, tornou-se surpreendente e embaraçosa para eles, pois parecia arruinar
sua filosofia de que tudo dependia dos números inteiros. Repercutiu com um grandioso
escândalo lógico, gerando esforços para que essa questão permanecesse em segredo por
algum tempo.
Quanto aos números negativos, segundo Carl B. Boyer (1974), eles apareceram pela
primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções
de barras: vermelha para os números positivos, e preta para os números negativos. No entanto
não aceitavam a idéia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os
matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um
algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplos disso as contribuições de
Brahmagupta, em cuja obra se encontrou pela primeira vez, a aritmética sistematizada dos
números negativos e do zero.
Entretanto, de acordo com Cassirer (1994), os números negativos apareceram pela
primeira vez no século XVI, apresentados por Michael Stifel, em sua Arithmetica integra,
sendo chamados de números fictícios.
Ainda durante muito tempo, a idéia desses números foi vista até pelos maiores
matemáticos como um mistério insolúvel, pois não se podia conceber algo menor do que o
zero. Do mesmo modo, não se via necessidade de considerar raízes quadradas de números
negativos. No entanto, com o surgimento dos números complexos, chamados de imaginários,
já se poderia pensar na raiz quadrada de um número negativo. Uma particularidade desses
números é que, desde o século XVI, os matemáticos trabalhavam com eles como se fossem
símbolos operatórios e não como números. No século XVII, Descartes os denominou de
números imaginários (Brito, 2003).
A matemática até então, era considerada pelos sistemas do racionalismo como “o
orgulho da razão humana – a província das idéias ‘claras e distintas’” (Cassirer, 1994, p.100).
Todavia essa reputação foi abalada, uma vez que os conceitos matemáticos fundamentais,
longe de serem claros e distintos, revelaram-se repletos de armadilhas e obscuridades. Até que
o caráter geral dos conceitos matemáticos fosse visivelmente reconhecido, essas obscuridades
não poderiam ser superadas, ou seja, “até que fosse reconhecido que a matemática não é uma
teoria de coisas, e sim uma teoria de símbolos” (Cassirer, 1994, p.101).
Por conseguinte, os símbolos da matemática estão, desde o princípio, envoltos em uma
espécie de atmosfera mágica, assim como os da linguagem e da arte, vistos com reverência e
veneração religiosas.
2.1.1 O sentido mitológico do número
Segundo Cassirer (1998) o estudo da linguagem nos tem ensinado que existe uma fase
na construção de cada número na qual ele, ao invés de significar simplesmente um membro
dentro de um sistema, possui uma característica absolutamente individual, na qual a
representação numérica não possui validade universal abstrata e sempre está fundada em
alguma intuição concreta de que não pode desligar-se. Porém não existem números em si, sem
que a noção e denominação do número provenha de uma coisa singular enumerável, a cuja
intuição permanece ligada.
Assim, para esse autor, em virtude da diversidade material do enumerável, do
conteúdo intuitivo particular e do tom emotivo particular das quantidades específicas, os
diversos números aparecem como entidades não absolutamente uniformes, mas extremamente
diferenciadas e até certo ponto matizadas. Essa matização peculiar emotiva do número, assim
como a antítese entre este e a determinação puramente conceitual, lógico-abstrata, evidencia-
se, todavia, mais clara e agudamente, quando se entra no campo da representação mitológica.
O mito desconhece absolutamente o meramente ideal. Para ele, qualquer igualdade ou
similaridade de conteúdos não aparece como uma mera relação, e sim como um vínculo real
que os enlaça e os envolve. O mesmo raciocínio é aplicável especialmente à determinação da
igualdade numérica.
Enquanto, para o pensamento lógico, o número possui uma função universal, um
significado universal válido, para o pensamento mitológico aparece inteiramente como uma
entidade originária e expressa sua essência e seu poder a tudo aquilo que está submetido a ele.
Porém, de acordo com Cassirer (1998), esse fato nos revela que a evolução do conceito de
número não tem o mesmo sentido nas esferas distintas do pensamento mitológico – fator de
universalidade e fator de absoluta particularidade. Assim sendo, para Cassirer (1998), cada
número tem sua própria essência, sua própria natureza e seu poder individual. Contudo,
justamente sua natureza individual é algo universal, na medida em que pode inserir-se nos
estados mais heterogêneos do ser, para a percepção meramente empírica, fazendo com que
uns participem dos outros, em virtude dessa inserção. Dessa forma, pode-se observar como o
conceito de número vai se estendendo gradualmente para esferas cada vez mais amplas da
sensação, da intuição e do pensamento, até chegar finalmente a envolver, dentro de sua
jurisdição, quase todo o campo da consciência.
Segundo Cassirer (1998), no pensamento científico, o número aparece como um
grande instrumento de fundamentação, enquanto que, no pensamento mitológico, representa
um veículo de significação especificamente religiosa. No primeiro caso, serve para preparar e
amadurecer tudo aquilo empiricamente existente, a fim de incorporá-lo em um mundo de
relações e de leis puramente ideais; no segundo caso, é o número que submete tudo o que
existe a um processo mítico-religioso de santificação, tudo aquilo imediatamente dado, tudo
aquilo meramente profano. Pois aquilo que, de algum modo participa do número, aquilo que
revela em si mesmo a forma e o poder de um número determinado, para a consciência
mitológica, deixa de ter uma existência meramente irrelevante, adquirindo uma significação
completamente nova. Desse modo, cada número, em particular, está envolvido por uma
espécie de aura encantada que se articula a tudo aquilo que entra em contato com ele,
inclusive aquilo que é aparentemente indiferente.
Portanto, de acordo com Cassirer (1998), no desenvolvimento da ciência teórica, só
muito lentamente se levou a cabo a passagem da concepção mágica para a concepção
matemática do número. Assim como a astronomia deriva da astrologia e a química da
alquimia, na história do pensamento humano a aritmética e a álgebra derivam de uma antiga
forma mágica da doutrina dos números, de uma ciência cabalística.
W. Wynn Westcott (1999, p. 21) afirma que os rabis judeus interessavam-se “pelo que
há por trás do valor meramente superficial dos números e das palavras que os representavam”
e, aos poucos, desenvolveram uma completa ciência de conceitos numéricos, à qual deram o
nome de kabalah ou qabalah, ou mesmo cabala. Ainda segundo Westcott, a cabala inclui as
doutrinas hebraicas de cosmogonia e teologia bem como a ciência dos números, e é um meio
de transmissão de verdades ocultas, noções religiosas, segredos da natureza, e fatos da
história. A revelação dos segredos e métodos de interpretação era feita em mistério apenas aos
iniciados, através da religião.
Para François-Xavier Chaboche [19--], a decifração dos textos sagrados pelo
simbolismo dos números e das letras é uma das principais aplicações da cabala.
Cassirer (1998) considera os pitagóricos como fundadores da matemática teórica,
todavia não apenas eles aceitavam as duas concepções de número, uma vez que várias
civilizações primitivas partilharam vários aspectos da numerologia, assim como a crença de
que os números ímpares tinham atributos masculinos, e os pares atributos femininos.
Entretanto, para Boyer (1974), os pitagóricos levaram a extremo o culto aos números,
firmando neles sua filosofia e seu estilo de vida.
Os exemplos de hipóteses referentes aos atributos peculiares dos números – no caso do
um, do dois, do três – estão não somente no pensamento dos primitivos, mas também em
todas as grandes religiões ocultas. O problema da unidade, que brota de si mesma, se converte
em outra segunda entidade e finalmente vem reunir-se consigo mesma em uma terceira
natureza, que pertence ao patrimônio espiritual comum da humanidade.
Por conseguinte, para Cassirer (1998), dos três primeiros números vem o quarto, de cujo
significado universal cósmico-religioso dão testemunho todas as religiões da América do
Norte. A mesma dignidade, todavia mais acentuada, corresponde ao sete, o qual irradia a sua
luz em todas as direções desde os mais antigos berços culturais da humanidade, na
Mesopotâmia, entretanto também é considerado como número especialmente sagrado nos
casos em que não é possível, ou é improvável, encontrar a influência da religião e da cultura
babilônica.
Se considerarmos os números simples e os compostos, o mesmo caráter básico que
pertence aos números simples se estende também aos compostos, isto é, não só ao três, ao
sete, ao nove ou ao doze correspondem poderes mítico-religiosos, mas também aos produtos
deles. Então, em última instância, existe apenas alguma determinação numérica que não pode
ser incluída nessa esfera de intuição e submetida a esse processo de santificação.
Para Cassirer (1998), aqui se abre, para o impulso criador mitológico, um campo de
jogo ilimitado, que pode propagar-se livremente, sem sujeitar-se a nenhuma norma lógica
estabelecida e a nenhuma lei da experiência objetiva. Enquanto que, para a ciência, o número
se converte em critério de verdade, em condição e preparação para todo conhecimento
rigorosamente racional, no terreno mitológico se imprime o caráter de mistério a tudo aquilo
que se insere na esfera do número, a tudo aquilo que entra em contato e se mistura com ele –
de um mistério cuja profundidade já não chega a explorar a razão.
Entretanto, da mesma forma que nos outros campos do pensamento mítico e também
no aparente e impenetrável caos da doutrina místico-mítica dos números, pode-se encontrar
um perfil espiritual perfeitamente definido. Também aqui, por ilimitado que seja o poder do
impulso meramente associativo, distinguem-se as vias principais e as acessórias de
configuração. Vão também se perfilando gradualmente certas diretrizes típicas que
determinam o processo de santificação do número e, conseqüentemente, do mundo.
Ainda segundo Cassirer (1998), se rastrearmos a origem do valor emotivo associado a
cada um dos números sagrados e tratarmos de descobrir suas verdadeiras raízes, sempre
iremos concluir que ele está fundado no caráter peculiar do sentimento mítico espacial, do
sentimento mítico temporal e do sentimento mítico do eu.
No que se refere ao espaço, para a concepção mitológica, as distintas áreas e direções
estão dotadas de bases valorativas e perfeitamente determinadas, sem que essas bases recaiam
também sobre a totalidade dessas direções, mediante o conjunto em que estão unitariamente
concebidas.
É daí que o norte e o sul, o leste e o oeste representam os pontos cardeais do mundo.
Essa distinção específica vai converter-se em modelo e protótipo para qualquer outra
distinção do mundo dos fatos ou dos fenômenos. Nesse sentido, o quatro se converte em
autêntico número sagrado, pois expressa justamente essa relação que existe entre cada ser
particular e a forma fundamental do universo.
Qualquer coisa que de fato apresenta uma articulação em quatro vias aparece
intimamente ligada a determinadas regiões do espaço como por uma espécie de vínculos
mágicos internos, já que, dessa articulação, resulta a observação sensível como realidade
imediatamente certa ou que está condicionada, de modo puramente ideal, por uma modalidade
determinada da percepção mítica.
Como se pode perceber, o número representa um instrumento de união que articula as
distintas faculdades da consciência, que funde em uma unidade as esferas da sensação, da
intuição e do sentimento. Desse modo, o número cumpre a função para a qual os pitagóricos
apontaram, a da harmonia (Cassirer, 1998).
2.2 A Geometria na visão histórico-simbólico-mitológica.
Como já foi mencionado, a miticidade do número não está ligada apenas a ele em si,
mas à aura que o envolve e, nesse sentido, articula-se com sua dimensão espacial. Portanto o
pensamento geométrico e sua representação estão associados a essa miticidade.
Cassirer (1998), com o propósito de caracterizar provisoriamente, em pontos gerais, a
intuição mítica do espaço, parte do fato de que o espaço mitológico ocupa uma posição
intermediária entre o espaço da percepção sensível e o espaço do conhecimento puro, o da
intuição geométrica.
Para ele, o espaço mitológico está estreitamente relacionado ao espaço da percepção
como oposto ao espaço intelectivo da geometria e, assim, tanto o espaço mitológico como o
da percepção são sempre configurações concretas da consciência.
Contrastando com a homogeneidade de que priva o espaço geométrico conceitual, no
espaço mitológico intuitivo, cada lugar e cada direção parecem estar revestidos de um timbre
particular que invariavelmente deriva do timbre fundamental genuinamente mitológico, a
divisão entre o sagrado e o profano. Os limites que a consciência mítica traça e mediante os
quais organiza espacial e espiritualmente o mundo não se baseiam, como na geometria, na
descoberta de um reino de rigorosas figuras frente às flutuantes impressões sensíveis, mas na
autolimitação do homem como sujeito que quer e atua em sua posição imediata ante a
realidade, na edificação de certas barreiras frente a essa realidade as quais submetem seus
sentimentos e sua vontade. A única distinção espacial original que sempre se repete nas
criações mais complexas do mito e se sublima cada vez mais é essa distinção de duas regiões
do ser: uma normal, geralmente acessível, e outra que, como região sagrada, aparece
realizada, separada, cercada e protegida do que a rodeia.
Porém, segundo Cassirer (1998), por muito que se diferencie, do espaço abstrato do
conhecimento puro, a intuição mítica espacial, em virtude desse fundamento individual
emotivo em que se baseia e do qual parece inseparável, sobreleva nela, todavia, uma
tendência e uma função geral. Dentro da totalidade da cosmovisão mitológica, o espaço não
desempenha, de maneira alguma, quanto ao conteúdo, uma função idêntica à do espaço
geométrico na construção da natureza empírica, objetiva, mas tem função análoga quanto à
forma. Ele também opera como um esquema por meio do qual podem ser inter-relacionados
os mais dessemelhantes elementos que, à primeira vista, resultem incompatíveis entre si.
Assim como o progresso do conhecimento objetivo se baseia essencialmente na
redução de todas as diferenças meramente sensíveis, o que oferece à sensação imediata
distinções de espaço e magnitude que as primeiras representam, também a cosmovisão mítica
conhece uma representação semelhante, uma reprodução, no espaço, do que em si é
inespacial. Aqui toda diferença qualitativa parece possuir um aspecto no qual aparece como
uma diferença espacial, assim como também toda diferença espacial é, e continua sendo, uma
diferença qualitativa. Entre ambos os campos, há uma espécie de intercâmbio, um constante
trânsito de um ao outro.
Cassirer (1998) assegura que o estudo da linguagem nos ensinou a forma desse
trânsito: mostrou-nos que há uma multiplicidade de relações da mais variada espécie,
principalmente qualitativas e modais, que a linguagem só pode chegar a captar e expressar
indiretamente, valendo-se do espaço. Por essa via, as simples palavras espaciais se
converteram em uma espécie de palavras espirituais originais. O mundo objetivo se tornou
inteligível e transparente para a linguagem, na medida em que ela logrou retraduzi-lo em
termos espaciais.
Assim, também no pensamento primitivo, vai ocorrendo, cada vez mais, uma tradução
similar, um deslocamento de qualidades percebidas e sentidas a imagens e intuições espaciais.
Também aqui opera aquele esquematismo peculiar do espaço, em virtude do qual este é capaz
de unificar até o mais heterogêneo, tornando-o comparável e de algum modo similar em si
mesmo.
No pensamento chinês, encontra-se desenvolvida, de modo mais sutil e preciso, a
concepção de que todas as diferenças e oposições qualitativas têm algum equivalente espacial.
Para os chineses, todo ser-e-acontecer está, de algum modo, distribuído entre os distintos
pontos cardeais. A cada um destes, corresponde, de modo específico e determinado, uma cor,
um determinado elemento, uma determinada estação, um determinado signo zodiacal, um
determinado órgão do corpo humano, uma determinada emoção básica, etc e, através dessa
relação comum, com uma determinada posição comum, com uma determinada posição no
espaço, inclusive as coisas mais heterogêneas parecem entrar em contato. Posto que todas as
espécies e gêneros do ser têm sua pátria em algum lugar do espaço, deixam de ser
absolutamente estranhos entre eles mesmos: a mediação espacial conduz a uma mediação
espiritual entre eles, a uma fusão de todas as diferenças em um grande todo, em um plano
mitológico fundamental do mundo (Cassirer, 1998).
Para Nigel Pennick (1989), a interpretação da geometria em termos de relações
numéricas é uma racionalização intelectual posterior de um sistema natural para a divisão do
espaço. Tal interpretação surgiu com o divórcio entre a geometria e o corpus de ciência,
magia e metafísica.
Nesse sentido, o autor mencionado indica que houve um tempo em que magia,
ciência e religião eram inseparáveis, uma vez que faziam parte do conjunto de habilidades
possuídas pelo sacerdócio, e a geometria tornou-se presente na arquitetura religiosa através
das construções de catedrais medievais, igrejas barrocas e o art nouveau, assim como os
círculos de pedra, em lugares especiais, separados do mundo profano. Essa geometria,
denominada sagrada, se relaciona não apenas às proporções das figuras geométricas
resultantes da forma clássica da utilização da régua e do compasso, “mas também às
relações harmônicas das partes de um ser humano com um outro; à estrutura das plantas e
dos animais; às formas dos cristais e dos objetos naturais – a tudo aquilo que for
manifestações do continuum universal” (Pennick, 1989, p. 08).
Dessa maneira, as formas geométricas básicas (círculo, quadrado, e o triângulo)
estão todas revestidas de significado psicológico e simbólico.
2.2.1 A geometria e sua natureza
Ao que parece, a geometria surgiu em tempos antigos, fruto de simples observações das
regularidades e da capacidade construtiva de reconhecer configurações, distinguir e avaliar
formas e tamanhos. Contudo sua transformação em teoria matemática demandou um
imenso período.
Nesse sentido, deu-se um longo processo de formações conceituais, tais como a noção
de distância e espaço percorrido assim como as noções geométricas mais triviais, como o
reconhecimento de quadrados, retângulos, círculos, retas, dentre outros, evoluindo para a
concepção de curvas, superfícies e sólidos.
A geometria opera com corpos geométricos e figuras; estuda as relações mútuas
desses corpos do ponto de vista da grandeza e da posição. Porém, segundo Aleksandrov,
Kolmogorov e Laurentiev (1994), um corpo geométrico não é senão um corpo real
considerado unicamente do ponto de vista de sua forma espacial e fazendo abstração de todas
as suas outras propriedades como densidade, cor ou peso. Portanto uma figura geométrica é
um conceito, todavia, mais geral, posto que, nesse caso, é possível abstrair também a extensão
espacial. Assim, uma superfície tem apenas duas dimensões; uma linha apenas uma dimensão;
e um ponto, nenhuma. O ponto é o conceito abstrato do fim de uma linha, de uma posição
definida com um máximo de precisão, de maneira que não se componha de nenhuma parte.
Para os referidos autores, a evidência dos conceitos básicos da geometria, seus métodos
de raciocínio e a certeza de suas conclusões têm a mesma origem que os da aritmética. A
partir dos desenhos de muitas linhas retas, os homens puderam considerar como axioma que,
entre dois pontos distintos quaisquer, é sempre possível traçar uma linha reta. Foi necessário
mover muitos corpos e juntá-los uns aos outros incontáveis vezes antes que se pudesse passar
dessa experiência à noção de superposição de figuras geométricas e fazer uso dessa noção
para a demonstração de teoremas, de como se aplicam os conhecidos teoremas sobre
congruência de triângulos.
Com o passar dos tempos, as inúmeras observações de casos particulares de formas,
tamanhos e relações foram extrapoladas para uma generalização mais acentuada, em que as
observações primeiras foram incluídas como casos particulares de outras mais abrangentes.
Na visão de Aleksandrov, Kolmogorov e Laurentiev (1994), a geometria tem como
objeto as formas espaciais e as relações dos corpos reais, eliminando as demais propriedades e
considerando esses corpos de um ponto de vista puramente abstrato. Sendo assim, de acordo
com esses autores, é justamente esse alto nível de abstração que diferencia a geometria de
outras ciências que também se ocupam das formas espaciais e das relações dos corpos. Em
astronomia, por exemplo, se estudam as posições mútuas de certos corpos, mas estes são os
corpos celestes reais; em geodésia, é a forma da Terra o que se estuda; em cristalografia, a
forma dos cristais. Em todas essas ciências, se estudam a forma e a posição dos corpos
concretos em função de outras propriedades.
Conforme a necessidade prática dos povos antigos, a geometria assume um caráter
científico e experimental pelo fato de proporcionar um avanço significativo nas atividades
ligadas à agricultura e à engenharia.
Não é estranho, portanto, que a geometria tenha um campo de aplicação quase tão
amplo quanto o da aritmética, uma vez que vários setores utilizam a geometria, seja os
trabalhadores que medem as dimensões de um edifício ou interpretam um plano, um
artilheiro que determina a distância do alvo, um granjeiro que mede a superfície de sua
granja, um engenheiro que estima o volume de uma infra-estrutura, enfim todos eles
necessitam trabalhar com conclusões precisas da geometria.
2.2.2 Breve desenvolvimento histórico da geometria
Estamos vivendo numa nova era, num mundo imerso em imagens. São outdoors,
computadores, TV, vídeos, cinemas, jornais, revistas, placas de sinalização, dentre outras.
Essas imagens delineiam formas, as quais identificamos como figuras geométricas planas ou
espaciais. Podem ser formadas por linhas retas ou curvas e, ainda, retas concorrentes,
perpendiculares, paralelas ou transversais, transcrevendo ângulos. Estes, por sua vez, podem
ser retos, agudos ou obtusos.
Os conceitos relativos à forma estão relacionados a um conhecimento chamado
geometria. A origem desse termo está associada ao modo como o homem primitivo
organizava sua economia. Com a agricultura e as construções, foram necessárias medidas: geo
(terra) e metria (medida).
Acredita-se que um dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos foi o
de distância, que estava interligado com a necessidade de demarcar as terras, ocasionando a
noção de figuras geométricas simples, tais como retângulos, quadrados e triângulos. Acredita-
se também que a construção de muros e moradias teriam originado outros conceitos
geométricos simples, como as noções de vertical, paralela e perpendicular.
Certamente, as observações feitas pelo homem primitivo em seu cotidiano
favoreceram a concepção de curvas, superfícies e sólidos: os contornos do sol e da lua
sugerindo círculos, uma pedra arremessada transcrevendo uma parábola, e assim por diante.
Essa geometria, como propõe Eves (1992, p. 02), deveria, por falta de melhor
denominação, ser chamada geometria subconsciente e já era empregada pelo homem
primitivo para fazer ornamentos decorativos e desenhos, ou seja, a arte primitiva, que
preparou em grande escala o caminho para o desenvolvimento geométrico posterior.
Baseados nos relatos do famoso historiador Heródoto, do século V a.C, sobre
agrimensura prática, escritores apontam que a geometria já era capaz de chegar ao status de
ciência e que o vale do rio Nilo, no Egito antigo, foi o local onde a geometria subconsciente
transformou-se em científica.
Os problemas relacionados com volumes bem como aqueles que envolvem áreas de
figuras planas foram trabalhados, em sua maioria, corretamente, além de determinarem um
valor aproximado para π. Alguns aspectos da geometria egípcia estão muito relacionados com
fórmulas de mensuração estabelecidas a partir do cálculo de áreas de terras e volumes de
celeiros.
Nos últimos séculos do segundo milênio a.C, os desenvolvimentos posteriores da
geometria foram passados aos gregos, que transformaram a matéria em algo muito diferente
do conjunto de conclusões empíricas produzido por seus antecessores.
Ainda segundo Eves (1992), o Sumário eudemiano de Proclus, supostamente baseado
na história completa da geometria grega antiga, escrito por Eudemo, discípulo de Aristóteles,
a geometria grega parece ter começado essencialmente com o trabalho de Tales de Mileto,
digno fundador da geometria demonstrativa, na primeira metade do século VI a.C. É ele o
primeiro indivíduo conhecido a quem está associada a utilização de métodos dedutivos em
geometria.
Para Eves (1992, p. 07):
Os gregos insistiram em que os fatos geométricos deviam ser estabelecidos,
não por procedimentos empíricos, mas por raciocínios dedutivos; as verdades
geométricas deviam ser obtidas no gabinete de estudos, e não no laboratório.
Em suma, os gregos transformaram a geometria empírica, ou científica, dos
egípcios e babilônios antigos no que poderíamos chamar de geometria
“sistemática” ou “demonstrativa”.
Outro geômetra grego respeitável citado no Sumário eudemiano é Pitágoras, nascido
por volta de 572 a.C, na ilha de Samos, considerado como o prosseguidor da sistematização
da geometria iniciada por Tales cerca de cinqüenta anos antes.
Para Boyer (1974), Pitágoras é uma figura histórica tão imprecisa quanto Tales, uma
vez que não há documentos que possam comprovar as obras do primeiro, salvo o relato de
suas contribuições acerca do que ele denomina de tradições persistentes. Esses dois
personagens se assemelham pelas oportunidades que tiveram de viajar aos centros antigos de
conhecimento, adquirindo informações sobre astronomia e matemática.
Após um período ausente de sua terra, Pitágoras retornou à Magna Grécia,
estabelecendo-se em Crotona, onde fundou uma escola, cujo lema era “Tudo é número e
harmonia” e tinha como símbolo o pentagrama, ou pentágono estrelado – estrela de cinco
pontas composta pelo traçado das cinco diagonais de uma face pentagonal de um dodecaedro
regular (Boyer, 1974).
Convém ressaltar a importância de três geômetras gregos da Antigüidade – Euclides
(c. 300 a.C), Arquimedes (287-212 a.C) e Apolônio (c. 225 a.C), pois muito do que se fez de
significativo em geometria originou-se em alguns trabalhos desses três grandes eruditos.
Os trabalhos de Euclides, Arquimedes (geometria plana e geometria sólida) e Apolônio
(astronomia e secções cônicas), que chegaram ao nosso conhecimento, nos dão uma idéia
básica do desenvolvimento da matemática grega. Existe um problema de difícil solução
relacionado à matemática grega, que é a dificuldade de se reconstruir o desenvolvimento
matemático dessa civilização, já que praticamente nenhum texto matemático completo
sobreviveu durante o seu período de maior esplendor, que foi a época helenística, após a
morte de Alexandre Magno (falecido em 323 a.C.)
Por volta do ano 300 a.C, Euclides criou sua célebre obra Elementos, com proposições
envolvendo geometria plana e espacial, teoria dos números e álgebra geométrica grega. Os
fundamentos desse estudo foram tão bem construídos que só vieram sofrer algumas
alterações, depois de dois mil anos, com o aparecimento do trabalho de N. I. Lobachevski
(Aleksandrov, Kolmogorov e Laurentiev, 1994).
Os Elementos se converteram no modelo de geometria a ser ensinado nas escolas até
os dias atuais e são o mais antigo texto matemático grego que nos chega completo. Trata-se de
uma compilação organizada de todo o conhecimento matemático acumulado até então. Sua
apresentação nos dá idéia de como era vista a geometria pelos gregos, como uma longa cadeia
de proposições, baseadas em definições e suposições iniciais, visando ao estabelecimento de
uma harmonia unificadora e axiomática.
O desenvolvimento aritmético e algébrico recebeu, em tese, uma forte influência e
inspiração da matemática babilônica.
A Babilônia ou, de um modo geral, a Mesopotâmia, é a região entre os rios Eufrates e
Tigre, na qual hoje se situa o Iraque. O que sabemos sobre a matemática desenvolvida naquela
região é recente e remonta ao século XIX, quando arqueólogos iniciaram a exploração das
colinas daquela região. Antes disso, existiam somente algumas referências na literatura grega
e outras feitas por astrônomos caldeus.
Os fragmentos de tabletes encontrados durante essas escavações nos apontam a criação
(ou o desenvolvimento) rápida de uma matemática decodificada em forma de marcações de
símbolos na forma de cunha, impressos em um tablete ainda úmido, com um estilete. Essa
forma de escrita ficou conhecida como escrita cuneiforme, devido a essas características.
O desenvolvimento da matemática babilônica incluía, em álgebra, as soluções de
equações do primeiro e segundo graus, em que as equações quadráticas são freqüentemente
dadas sob a forma equivalente de duas equações com duas incógnitas. Muitos problemas, ao
serem traduzidos para a notação algébrica moderna, revelaram-se complicados, necessitando,
em suas resoluções, de técnicas algébricas sofisticadas.
Eves (1992) aponta que, na geometria, o uso irrestrito do chamado teorema de
Pitágoras já era feito há, pelo menos, um milênio e meio antes de sua descoberta, assim como
estudos envolvendo semelhanças de triângulos. Fórmulas corretas para as áreas de figuras
geométricas simples (triângulos, trapézios, etc.) e volumes de alguns sólidos, assim como uma
aproximação menos elaborada para o cálculo de π, indicam um excelente desenvolvimento
geométrico por parte dos povos babilônicos. Outros estudos chamam a atenção para o fato de
a geometria babilônica estar intimamente relacionada com a mensuração prática.
O referido autor salienta ainda que os babilônios dividiram em 360 partes iguais a
circunferência de um círculo, a partir da adoção da sua milha-tempo, para a mensuração de
espaços de tempo. Essa milha é oriunda dos antigos sumérios. Ela corresponde a sete das
milhas atuais e inicialmente foi utilizada para a medição de distâncias.
Tendo-se determinado que 12 milhas-tempo formava um dia e que uma revolução no
céu equivale a um dia, dividiu-se um ciclo completo em 12 partes iguais. Oportunamente, a
milha-tempo foi dividida em 30 partes iguais. Logo, 12 · 30 = 360 partes iguais num ciclo
completo.
A necessidade de medir o tempo constituiu uma preocupação para outras civilizações.
Na civilização chinesa, os conhecimentos matemáticos datam da segunda metade do segundo
milênio a.C e estão relacionados com calendários altamente desenvolvidos, assim como com
tratados envolvendo cálculos aritméticos e conhecimentos astronômicos. Valores
aproximados para π foram determinados com uma boa precisão assim como o volume da
esfera e o volume da pirâmide. Outros sólidos geométricos foram importantes para as
necessidades práticas dos chineses, tais como a construção de muralhas, canais e represas
(Gaspar e Mauro, 2003).
René Taton (1959) aponta que, nos escritos da escola de Mo Ti, encontra-se apenas
um indício de geometria, contendo definições do ponto e da linha bem como rudimentos de
mecânica.
Taton (1959) ressalta que outras obras chinesas apresentam exclusivamente cálculos
de superfícies e de volumes. Numa dessas obras, o clássico do cálculo do gnomo, Tcheu pei
suan king, considera um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. Todavia apenas um comentador
do final do século II d.C, Tchao Kiun k’ing, acrescenta um diagrama que estabelece uma
demonstração original do teorema de Pitágoras: “oito triângulos retângulos estão contidos no
interior de um quadrado, cujo lado é igual à soma dos lados adjacentes ao ângulo reto do
triângulo; estes são ainda exteriores a outro quadrado, cujo lado é a diferença dos dois lados
do ângulo reto” (Taton, 1959, p. 189).
Ainda de acordo com Taton, a relação entre o círculo e o diâmetro é, na maioria das
vezes, considerada, nos escritos antigos, como igual a 3; contudo um cilindro de metal
conservado em Pequim, datado do reinado de Wang Mang, apresenta uma inscrição indicando
seu volume, 1.620 polegadas cúbicas, e, como dimensões, “mede dez polegadas de altura, e,
colocando-se um quadrado de dez polegadas de lado no centro da base, este teria suas
extremidades a nove li e cinco hão (isto é, a 0,095 polegadas, pois já temos divisões decimais)
da circunferência. Este cálculo dá para π o valor de 3,1547” (Taton, 1959, p. 189).
O I-King, ou Livro das Permutações, datado do período Shang, é considerado um dos
trabalhos chineses mais antigos e supõe-se que tenha sido escrito por Wön-wang (1182-1135
a.C). Nessa obra, surge o Liang I, ou os dois princípios: o masculino yang ( - ) e o feminino
ying ( -- ) e, a partir deles, formam-se oito figuras denominadas de Pa-kua:
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
A estes símbolos foram relacionados vários atributos, os quais são utilizados em
adivinhações (Eves, 2002).
Outro aspecto a considerar é que esses símbolos estão presentes noutra obra, também
considerada a mais antiga – o I Ching, ou Livro das Mutações. De acordo com Teresa Vergani
(2001, p. 131), esse trabalho, durante três mil anos, “orientou a conduta dos homens da Antiga
China e sua influência penetrou a filosofia, a arte, a religião, a história e a cultura desta
notável civilização”.
O I Ching é constituído por um conjunto de 64 textos, que estão associados a 64
esquemas geométricos, ou hexagramas. Suas linhas, como podemos visualizar no texto acima,
podem ser contínuas ou quebradas e aqui os dois princípios do Liang I são chamados de
energia. Dessa forma, às energias Yang correspondem: homem, firmeza, céu, fogo, dia e
receber, enquanto às energias Yin correspondem: mulher, brandura, terra, água, noite e dar.
Segundo Vergani (2001), a leitura e a meditação do I Ching eram obrigatórias para os
oficiais da esquadra japonesa durante a segunda guerra mundial. Ainda de acordo com a
autora, supõe-se que Mao Tse Tung tenha se inspirado no I Ching para arquitetar sua tática
revolucionária e que Confúcio também dele tenha feito uso, especialmente pelo teor ético
denso dos textos originais próprios de cada figura.
Confúcio não apenas utilizou o I Ching. Luís da C. Cascudo (2001) em um artigo
publicado em 1948, afirmou que ele era grande jogador de chee chow (o sete místico - as sete
peças engenhosas) por nós conhecidas como tangran. Cascudo (2001) relata uma viagem a
bordo de um navio durante a qual missionários, viajantes, industriais e senhoras, para matar a
lentidão das horas, costumavam brincar com um jogo constituído por sete peças, identificadas
por ele como: cinco triângulos isósceles, um paralelogramo e um quadrilátero, podendo-se
fazer com esses elementos várias combinações.
Cascudo (2001) ainda enfatiza que o chee chow era conhecido e apreciado na China,
há mais de três mil anos, por filósofos, imperadores, guerreiros e sacerdotes budistas e que o
garoto Pu Yi, último imperador, ao deixar o Palácio do Jade, da Cidade Sagrada, levou
consigo o seu chee chow.
A obra matemática dos gregos, dos babilônicos e dos chineses provavelmente exerceu
influência na matemática hindu, assim como a dos hindus influenciou a desses povos.
Segundo Eves (2002), existem evidências de que esse fato pode ter ocorrido, afinal a pax
romana favoreceu o intercâmbio de conhecimentos entre o Ocidente e o Oriente, e a Índia
antecipadamente tinha enviado diplomatas para o Ocidente e o Extremo Oriente.
As incertezas que pairam sobre o desenvolvimento da matemática hindu antiga são
geradas pela ausência de documentos históricos autênticos, uma vez que a fonte histórica mais
antiga e preservada são as ruínas de uma cidade de 5000 anos, a nordeste da cidade de
Karachi, no Paquistão. Nela, o povo utilizava um sistema de escrita, contagem, pesos e
medidas, e construía canais para irrigação. Há vestígios de ruas largas, casas de tijolos com
banheiros ladrilhados, circuito de esgotos subterrâneos e piscinas públicas. Tudo isso tem
como requisitos básicos a matemática e a engenharia.
O desenvolvimento das cidades indianas, no primeiro milênio a.C., exige, de certa
forma, um planejamento mais sofisticado, baseado em elementos geométricos, tais como os
conhecemos (retângulos, círculos que se interceptam, triângulos, etc.), além dos motivos
ornamentais presentes em sua cerâmica. Posteriormente, a geometria indiana se manifesta na
construção de diversos altares de sacrifício e no desenvolvimento de teoremas geométricos
formulados a partir de algoritmos (Gaspar e Mauro, 2003; Morey, 2003).
De acordo com Morey (2003), traços do desenvolvimento de uma teoria dos números,
permutação e combinação, assim como a utilização de uma notação posicional com o
primeiro uso do zero e álgebra rudimentar nos mostram o caráter apurado da matemática
indiana e, particularmente, as aplicações desta à astronomia e no desenvolvimento da
trigonometria. O trabalho de Brahmagupta sobre quadriláteros cíclicos, todos com lados,
diagonais e áreas racionais, é também relevante em termos de produção hindu relacionada à
matemática.
Indícios da existência de um sistema de pesos e medidas sugerem o desenvolvimento
de uma população economicamente organizada. Alguns dos escritos sagrados do povo hindu
traziam em detalhes as instruções que os construtores utilizavam para a elevação de
edificações – particularmente, os altares de sacrifício – assim como rudimentos de
matemática, tais como uma formulação genérica do teorema de Pitágoras, construção de
formas geométricas e um procedimento para obtenção da raiz quadrada de 2, por
aproximação. Esses escritos sagrados, ou sulbasutras, eram “[...] manuais de instrução para
construções geométricas: quadrados, retângulos, trapézios e círculos que tinham que estar de
acordo com certas dimensões e áreas especificadas. Qualquer imprecisão poderia
comprometer a efetividade do ritual ou do sacrifício” (Morey, 2003, p. 14).
Pode-se observar, portanto, que a matemática hindu alcançou um estágio de
desenvolvimento, até certo ponto, avançado e que atendia, em muitas ocasiões, às suas
necessidades mais específicas. O conhecimento matemático na Índia foi importante para a
época, além de ser contribuição significativa para que chegássemos a muitas conclusões atuais
relacionadas com os processos algébricos e aritméticos utilizados até hoje.
A contribuição árabe é notável e particularmente tão importante quanto a indiana.
Coincide com a ascensão do Islã como uma poderosa força religiosa em diversos lugares da
África, parte da Europa e países da Ásia. A formação de centros de excelência em pesquisa e
documentação, bibliotecas e observatórios impulsionou o desenvolvimento da matemática
árabe de tal forma que se torna inegável a importância desta em diversos aspectos.
Alguns desses aspectos estão relacionados com a disseminação dos numerais como os
conhecemos hoje, com o desenvolvimento algébrico na solução de inúmeras equações, assim
como na trigonometria, baseada em aspectos já existentes na matemática grega e na indiana.
Na geometria, destacam-se as edificações e seus desenhos geométricos ornamentais realizados
com a utilização dos materiais disponíveis, como os ladrilhos e os mosaicos (Morey, 2003).
Encontram-se também indícios de estudos relacionados com as cônicas e diversas
aplicações geométricas de seus conhecimentos na construção e fortificação de edificações,
assim como a astronomia foi bastante favorecida com o desenvolvimento da trigonometria.
Vale ressaltar que muitos desses avanços certamente foram sedimentados em conhecimentos
absorvidos pelos árabes, durante as suas conquistas, fazendo com que a matemática árabe
florescesse.
2.2.2.1 A geometria entre os séculos XV e XVII
O desenvolvimento da geometria nesse período estava concentrado na Europa central e
tinha como foco o estudo da trigonometria, a partir de conhecimentos práticos advindos da
navegação, da astronomia e da agrimensura. Durante o século XVI, um grande avanço, em
termos dos estudos em geometria, foi feito com as traduções do Comentário sobre Euclides,
Livro I, de Proclus, e os livros I-IV da obra Secções cônicas, de Apolônio.
No decorrer do século XV, de acordo com Eves (1992), artistas e arquitetos, na busca
por descobrir as leis formais que regem a construção de projeções de objetos, desenvolveram
uma teoria geométrica subjacente à perspectiva. Essa teoria foi ampliada consideravelmente
no início do século XVII, principalmente por Gerard Deságües, arquiteto e engenheiro que
publicou, no ano de 1639, em Paris, um trabalho original sobre secções cônicas, explorando a
idéia de projeção. Após dois séculos, em 1845, o trabalho foi ressuscitado pelo geômetra e
historiador da geometria Michel Chasles e, já no final do século XVIII, foram reintroduzidas
por Gaspard Monge e Poncelet as considerações projetivas. Essa geometria projetiva, ou
melhor, descritiva, está relacionada com a maneira de representar e analisar objetos
tridimensionais por meio de suas projeções sobre planos.
O grande avanço real da geometria surgiu com a criação da geometria analítica por
Descartes e Fermat, no século XVII, tal como a conhecemos hoje, embora tenhamos ciência
de teorias semelhantes desenvolvidas bem antes por egípcios, romanos e gregos. Quando
Descartes formulou a sua geometria, ela não apresentava a estruturação atual. Sua
sistematização, tal qual a conhecemos, foi iniciada por Antoine Parent e Aléxis Clairaut, com
trabalhos sobre curvas não-planas do espaço. Outros matemáticos deram sua contribuição
para a construção da geometria analítica, no decorrer dos anos, tais como Leonhard Euler e
Jakob Bernoulli, dentre outros.
2.2.2.2 A geometria entre os séculos XVIII e XIX
Com a invenção do cálculo diferencial e integral, assim como da geometria analítica,
muitos campos da matemática foram se desenvolvendo. A partir de então, tais campos, como
os estudos das curvas e das superfícies assim como de suas generalizações, pela geometria
diferencial e os sistemas de coordenadas cartesianas, utilizados como referência na elaboração
da geometria analítica, foram evoluindo para outras situações, que necessitavam da
elaboração de outros referenciais e mecanismos de localização mais convenientes.
Especialmente nesse período, grande destaque deve ser dado à elaboração de
geometrias alternativas, visando à superação da geometria euclidiana formal, até então em
desenvolvimento único. Trabalhos de Lobachevski, Gauss, Bolyai e Riemann tornaram-se
relevantes na concepção estrutural de novos modelos geométricos consistentes,
independentemente de terem sido criados em decorrência de falhas da axiomática euclidiana
ou se atendiam às necessidades, cada vez mais imperativas, de modelos explicativos teóricos
em áreas da física e da matemática.
Esses geômetras, ao rejeitarem o postulado das paralelas (quinto postulado de
Euclides), constituíram uma nova geometria, a geometria não-euclidiana. Porém uma outra
forma de visualização dessa geometria, segundo Brito (1995), é aquela utilizada pelos artistas
plásticos e arquitetos dos séculos XV e XVI, os quais faziam uso de uma geometria na qual as
retas paralelas se encontravam no infinito. Esses artistas buscaram inspiração nos arquitetos
do século I d.C. Portanto esses arquitetos, de acordo com a referida autora, já possuíam um
modelo para a geometria não-euclidiana, mesmo antes de ela ser formalizada e dela se
utilizarem na elaboração de suas obras.
Ainda de acordo com Brito, podemos observar o emprego dessa geometria nos
quadros renascentistas. Dessa forma, estudando as paralelas que aparecem nos citados
quadros, observa-se que o prolongamento de todas as que estão na direção que representa a
profundidade se encontram num mesmo ponto, denominado ponto de fuga. Os artistas, no
entanto, preferiram chamar esse ponto de ponto no infinito.
2.2.2.3 A geometria na prática docente
No mundo ocidental, da época clássica grega até quase o século XVII, a matemática se
desenvolvia a partir da geometria, ou seja, “demonstrações de proposições matemáticas eram
sempre feitas demonstrando as proposições geométricas equivalentes e a interpretação dos
conceitos matemáticos era feita em termos geométricos” (Fossa, 2001, p. 107). No entanto a
noção de que as questões geométricas admitem uma transformação
foi uma das primeiras grandes descobertas da filosofia moderna. A geometria
analítica de Descartes apresentou a primeira prova convincente dessa relação
entre a extensão e o número. A partir dela, a linguagem da geometria deixou
de ser um idioma especial e passou a fazer parte de uma linguagem muito mais
abrangente, de uma mathesis universalis (Cassirer, 1994, p. 348).
Ao mesmo tempo que isso acontecia, as ciências naturais iam sendo incorporadas aos
processos tecnológicos. Nesse sentido, o impulso dado ao desenvolvimento da ciência e da
tecnologia, por meio de uma educação científica e humanística, teve como base a inestimável
contribuição da matemática, o que fez com que, conseqüentemente, quem pretendesse uma
participação ativa e inteligente no mundo competitivo em que vivemos tivesse que adquirir e
desenvolver, pelo menos, conhecimentos matemáticos básicos.
No entanto muitos conceitos e símbolos matemáticos são apresentados aos alunos de
Ensino Fundamental de uma forma estática e mecanizada, sem que eles tenham chance de
conhecer a origem e a procedência de tais idéias e/ou símbolos e nem mesmo quem os criou e
por qual motivo se deu sua utilização em um determinado momento histórico.
Quanto à aplicação dos conhecimentos geométricos no ensino, diante das experiências
vivenciadas com a EJA, podemos perceber que o ensino da Matemática nas séries iniciais está
centrado no estudo das operações fundamentais, no qual a Geometria é, muitas vezes,
negligenciada, ou então tratada, em sala de aula, como um emaranhado de fórmulas,
propriedades e definições, mantendo-se ainda hoje conteúdos como os do tipo contido no
Livro I dos Elementos, de Euclides, geometria que ainda faz parte dos currículos escolares e
da prática docente, muito embora suponhamos que tenha começado a se ausentar deles a partir
da década de 80. Entretanto não sabemos se há registros desse fato, mas, durante nossa
passagem pela escola, (décadas de 60 e 70), ainda havia o cumprimento do currículo com a
Geometria e o Desenho Geométrico.
De resto, com todos esses elementos históricos, a prática de ensino de Matemática foi
engessada em exercícios mecânicos e descontextualizados. Todavia entendemos que a relação
entre o conhecimento matemático e o cotidiano deve ser trabalhada na escola a partir das
experiências dos alunos, procurando estabelecer uma relação entre estes e o conhecimento
científico. Nessa perspectiva, os professores deverão buscar também o diálogo e a troca de
idéias com os alunos, no sentido de lhes propiciar a participação ativa em todos os momentos
do seu aprendizado, pois esse conteúdo possibilita ao professor e, conseqüentemente, aos
alunos desenvolverem habilidades de observação, percepção, argumentação, representação
gráfica e habilidades lógicas, além de relacionarem o estudo da geometria com outros campos
do conhecimento (Smole, 1990).
Daí a necessidade de o professor fazer os alunos compreenderem a importância de se
estudar Geometria entendendo seu significado, propiciando-lhes novas possibilidades de
aprendizagem.
Para isso, o professor pode fazer-se valer de um importante recurso metodológico
presente na própria essência da disciplina que ministra. Trata-se da utilização da própria
história da matemática como elemento motivador no ensino, proposta defendida por teóricos,
professores e pesquisadores não só no Brasil, mas por todo o mundo.
Evelyne Barbin (2000) acredita que a consciência histórica leva os professores a
mudar a maneira de ver seus alunos. Assim sendo, as respostas que estes últimos dão a um
problema histórico ganham um novo caráter quando são comparadas às respostas dadas pelos
matemáticos, ao longo do tempo. A análise histórica e epistemológica ajuda o professor a
entender por que um certo conceito é difícil para o aluno propiciando ao educador selecionar
estratégias de ensino que levem à superação dessas dificuldades.
Ainda de acordo com a referida autora, quando se aprende sobre o desenvolvimento
histórico da matemática, isso afeta como se pensa sobre o tempo que os estudantes gastam
sobre a compreensão matemática.
Portanto, apesar de esse tema não ser novidade entre os estudiosos em educação
matemática, consideramo-lo de fundamental importância no momento atual de renovação do
ensino da matemática, pois ele atende a vários pressupostos que caracterizam as diretrizes
apontadas para a formação mais crítica e humana dos educandos. É esse caminho que
optamos por trilhar ao tomarmos as cartas do tarô como instrumento didático no ensino de
matemática nessa perspectiva histórico-cultural, como ficará claro nas páginas seguintes.
2. 3 A linguagem simbólica das cartas do tarô
A investigação histórica com relação às origens do tarô nos leva, na melhor das hipóteses,
aos ciganos, ou à área do mito e da lenda. Cassirer (1994), analisando o mito na cultura
humana, nos diz que não existe fenômeno natural e da vida humana que não esteja passível de
uma interpretação mítica.
Para a finalidade do nosso estudo, no entanto, a importância do tarô está centrada no
simbolismo de suas cartas, através de cuja observação e análise, poderemos liberar a intuição
que há em nós, investigando as inter-relações entre o conhecimento matemático acadêmico e
o conhecimento matemático inserido no tarô.
2.3.1 Fragmentos da história das cartas do tarô
Existem dúvidas quanto à origem do tarô. Para Steiner-Geringer (1997), suas figuras
foram criadas a partir das imagens iniciáticas dos sacerdotes egípcios, as quais eram pintadas
nas paredes dos templos em duas fileiras e provavelmente chegaram à Europa por intermédio
dos ciganos, que as utilizavam para ler a sorte. O que se sabe é que ele já estava circulando
pela Europa no século XIV (as primeiras lâminas de que se tem registro foram confeccionadas
em 1392), originando o tarô de Marselha.
A hipótese de que o tarô tenha surgido no Egito passou a ser defendida no final do
século XVIII por alguns pesquisadores europeus, dentre os quais Antoine Court de Gébelin.
Segundo Pedro Camargo (1995), a divulgação das teorias de Court de Gébelin, que faleceu
em 1784, provocou especial entusiasmo em Alliette, professor de matemática que inventou
um baralho a partir de seus próprios conceitos e publicou diversos livros relacionando o tarô
com as teorias de Pitágoras.
Eliphas Lévi, intelectual francês, iniciou seus estudos sobre o tarô em 1856. Sacerdote
católico, filósofo e escritor de extraordinária cultura, Lévi relacionou os vinte e dois arcanos
maiores do tarô com as vinte e duas letras do alfabeto hebraico e apontou estreitas ligações
entre elas e a árvore da vida dos cabalistas, cuja estrutura básica compõe-se igualmente de
vinte e dois caminhos que interligam os dez sephiroth, ou seja, números, de acordo com
Aleister Crowley (2000).
A partir desses dados, faremos uma descrição mais detalhada a respeito dessa árvore.
É importante esclarecer que, para os cabalistas, o universo surgiu como sucessivas emanações
do nada, não como ausência total de qualquer coisa, mas como a potencialidade mais
absoluta.
Essas emanações ou manifestações parciais são as chamadas
esferas de manifestações ou sephiroth. Desde a primeira, chamada
Kether (a Coroa) e que simboliza os primeiros hálitos da manifestação,
até a décima, Malkut (o Reino), que representa o universo mais denso.
Há dez esferas, a décima primeira é imaginária, dispostas em três
colunas formando a árvore da vida. As 22 linhas que unem os dez
sephiroth são os chamados caminhos da árvore e se correspondem com
as 22 letras do alfabeto hebraico.
Gerano Encalisse (1865-1916), médico francês nascido na Espanha, foi outro erudito a
relacionar o tarô ao alfabeto hebraico e à cabala. Georges Ifrah (1997) afirma que os judeus
ainda hoje utilizam o alfabeto hebraico como um sistema de notação numérica, ressaltando que
essas letras são escritas e lidas da direita para a esquerda. Ele ainda enfatiza que a
numeração hebraica consiste em empregar as vinte e duas letras do alfabeto
hebraico – colocadas na ordem das letras fenícias de que derivam –
associando as nove primeiras (de Aleph a Tet) aos nove primeiros números,
as nove seguintes (de Yod a Tsade) às nove dezenas e as quatro últimas (de
Qoph a Tav) às quatro primeiras centenas (Ifrah, 1997, p. 456).
No quadro seguinte, construído com base no livro O tarô e o autoconhecimento, de
Steiner-Geringer (1997), apresentamos a relação dos arcanos com o alfabeto hebraico.
Letras
hebraicas
Nomes
Arcanos
Nomes
Letras
hebraicas
Nomes
Arcanos
Nomes
Aleph
I
O Mago
Lamed
XII
O Enforcado
Beth
II
A Sacerdotisa
Mem
XIII
A Morte
Ghimmel
III
A Imperatriz
Nun
XIIII
A Temperança
Daleth
IIII
O Imperador
Samek
XV
O Diabo
He
V
O Papa
Ayin
XVI
A Casa de Deus
Vau
VI
O Namorado
Ph
XVIII
A Estrela
Zain
VII
O Carro
Tsade
XVIII
A Lua
Cheth
VIII
A Justiça
Coph
XVIIII
O Sol
Teth
VIIII
O Eremita
Resch
XX
O Julgamento
Yod
X
A Roda da Fortuna
Tau
XXI
O Mundo
Caph
XI
A Força
Shin
_
O Louco
QUADRO 3: Alfabeto hebraico/Arcanos
O tradicional baralho do tarô compõe-se de 78 lâminas, divididas em dois grupos. O
primeiro – e mais importante – compreende 22 cartas figurativas chamadas arcanos maiores.
O termo arcano é derivado do latim arcanum, que significa segredo ou mistério. Todas essas
cartas são figurativas, reproduzindo imagens que simbolizam o processo de evolução do ser
humano.
Com o passar do tempo, várias culturas e conjuntos de símbolos foram servindo de
base para a elaboração de outros tarôs. Para nosso estudo, escolhemos o tarô de Marselha, um
dos mais antigos, que preserva o estilo e o tom do tarô original.
Nas ilustrações do tarô de Marselha, estão presentes algarismos romanos, os quais se
apresentam na forma original, ou seja, seguindo o princípio da adição, que era adotado antes
de ser introduzida a regra segundo a qual um sinal menor colocado à esquerda de um maior
indica que o valor do primeiro deve ser subtraído do valor do último (Ifrah, 1997).
Com todas essas imagens, podemos afirmar que, enquanto a humanidade for composta
por indivíduos, cada um entenderá essas imagens/símbolos de acordo com suas experiências e
conhecimentos e quanto mais possibilidade tiver para a compreensão desses símbolos, mais
próximo estará de usufruir o prazer do conhecimento.
2.3.2 A linguagem simbólica das cartas do tarô e a conexão dessa linguagem com a
matemática
Nichols ([19--], p.18), é incisiva quando nos diz que “uma viagem pelas cartas do
Tarô, primeiro que tudo, é uma viagem às nossas próprias profundezas”, pois as figuras e
números das cartas, de diversos modos, se fazem presentes na nossa vida. Esses números e
formas geométricas investidos nas cartas não têm apenas uma expressão quantitativa ou
ilustrativa, mas representam nelas o sentido simbólico-mitológico a eles atribuídos.
Figuras e números, por sua vez, são elementos da aritmética e da geometria, cujas
raízes influenciaram o desenvolvimento da matemática. Originalmente, os problemas
geométricos eram, ao mesmo tempo, problemas de aritmética. Assim, a medição simples de
uma linha representa uma coalizão da geometria com a aritmética, pois medir o comprimento
de um objeto é aplicar a este certa unidade de comprimento e determinar quantas vezes é
possível repetir essa operação. O primeiro passo é de caráter geométrico; o segundo, de
caráter aritmético (Aleksandrov, Kolmogorov e Laurentiev, 1994).
Lancemos, então, nosso olhar às cartas do tarô, buscando, na interpretação dos seus
símbolos, sua relação com a matemática. Para a apresentação dessas cartas, respaldamo-nos
nas explanações arquetípicas feitas por Sallie Nichols, em seu estudo sobre Jung e o tarô,
conforme distribuição das cartas na página seguinte.
Para tanto, expomos as cartas em três fileiras horizontais (reinos) com sete cartas cada
uma, numeradas do 1 a 21, em algarismos romanos, mais a carta sem numeração (zero), ao
lado das fileiras, ou seja, 3 x 7 = 21 + 0. Cada uma dessas cartas recebe um nome, conforme
demonstrado no Quadro 3. Oswald Wirth apud Camargo (1995) define dois grupos de
arcanos. Assim, as onze primeiras cartas (Quadro 3) têm características ativas – yang,
ressaltando a presença de um agente consciente e autônomo. As onze últimas indicam
passividade, sensitividade, ou seja, a presença da energia yin. O autor denomina esses grupos
como via seca e via úmida. A primeira via acentua a iniciativa individual – masculina,
positiva, racional; a segunda manifesta o estado receptivo, a habilidade de receber
especialmente cultivada – feminina, negativa, intuitiva.
Há várias maneiras de se observar o tarô, sendo essa apresentada por Wirth uma delas.
Cada pessoa que se dispuser a observar as figuras poderá estabelecer os sentidos dos arcanos e
MAPA DAS CARTAS DO TARÔ
suas variações em face de cada situação.
ter sido numerada, nem tampouco receber o número 22, número que totaliza as cartas do
jogo. Seria ela, então, o coringa, tão comum nos outros jogos de cartas? Nesse caso, ela
poderia interferir no jogo sempre que solicitada, influenciando as experiências dos outros
personagens. Dessa maneira, esse arcano anuncia nossas possibilidades de comunicação
com o absoluto, a ligação do nosso cotidiano com o mundo arquetípico.
Para Juan-Eduardo Cirlot (1984, p. 350), a carência de cifra indica que esse arcano
“se encontra à margem de toda ordem ou sistema, como o centro na roda das
transformações se acha fora da mobilidade, do devir e da mudança” e destaca que
nenhuma leitura simbólica consente afirmar que o personagem esteja inevitavelmente
condenado, parecendo, entretanto, animado por um dinamismo que tende a equilibrar sua
aparente desrazão.
O símbolo dessa carta, de acordo com Nichols [19--], é o círculo vazio, o que nos
remete ao movimento circular em toda a vida do homem, através da sua respiração e do
fluir de sua corrente sanguínea. O círculo tem propriedade única, é indestrutível, portanto,
imortal. O mesmo não acontece com o quadrado. Assim, vejamos um exemplo: se
tomarmos um círculo, o recortarmos em duas ou quatro partes e indagarmos a uma pessoa
sobre o que são essas peças, é provável que ela responda que é um círculo cortado em
duas, ou em quatro partes. No entanto, se recortarmos um quadrado e fizermos o mesmo
A carta sem número (associada à letra hebraica shin) –
O
Louco –
cuja designação é zero, está localizada ao lado das demais,
sem disposição fixa, podendo situar-
se em qualquer outra posição. Se
o arranjo das cartas fosse circular, poderíamos colocar o Louco antes
do 1 e após o 21, fechando e/ou iniciando o círculo.
Os estudiosos do tarô não explicam o porquê de essa carta não
questionamento, a pessoa poderá responder que são dois retângulos ou dois triângulos, ou
até mesmo quatro quadrados, dependendo da forma como a figura foi recortada.
O zero também é simbolicamente indestrutível, pois não pode ser modificado por
adição, ‘subtração, multiplicação ou divisão. Na adição e na subtração, ele é elemento
neutro; na multiplicação e na divisão, é elemento absorvente, uma vez que um dos fatores
ou o dividendo sendo zero, o produto e o quociente também serão zero.
Sobre a origem do zero, Malba Tahan (1998) diz que a palavra hindu sunya originou
esse vocábulo, que se tornou de uso corrente em todas as línguas modernas. O termo
sunya, depois traduzido pelos árabes por sifr, no início do século X, quando adotaram o
sistema de numeração hindu, significa livre, ou seja, vazio, assim representado no
Alcorão. Chegando à Itália esse sistema de numeração, o vocábulo sifr é novamente
alterado, passando, agora sob a influência do latim, a zephirum. Já no século XIII, o
vocábulo voltou a ser transformado foneticamente pelo povo, assumindo a forma zero, do
italiano. No final do século XIII, o matemático Jordano Nemorarius fez a numeração
árabe ser conhecida na Alemanha. Então mais uma vez, a forma sifr, nesse país, foi
alterada para cifra, que, em latim, significa nulo, ou nada.
De acordo com Robert Lawlor (1996, p. 19) “a invenção do zero permitiu que os
números representassem idéias que não têm forma. Isso assinala uma mudança na
definição da palavra ‘idéia’, que na Antigüidade era sinônimo de ‘forma’ e leva
implicitamente à geometria”. Todavia, Lawlor afirma que o zero não aparece no início das
séries, pois a orientação teológica da mentalidade hindu não permitia que isso ocorresse.
Ele foi colocado após o nove e, no final do século XVI, na Europa, finalmente foi posto
antes do 1, permitindo, assim, o conceito de número relativo.
Há razões que nos levam a crer que o zero não apenas se tornou indispensável no
sistema matemático em que se encontra a ciência, como também, de maneira implícita, se
transferiu para o nosso modo de ver a natureza e para nosso temperamento.
Nesse sentido, o Louco (vagabundo arquétipo), com a sua pequena bagagem e o seu
cajado, assume o seu zero, ou seja, é o indefinido, aquele que vai vivenciar as experiências
correspondentes aos demais estágios (reinos). Como os outros arquétipos, ainda se encontra
presente em nossa cultura atual.
Vamos, então, conhecer as outras cartas do tarô, caminhando pelos três reinos.
Partindo do ponto original e final, simbolizado pela carta zero (O Louco), vamos à
primeira fileira (de 1 a 7, ou do Mago ao Carro), denominada o Reino dos Deuses, que
representa a área dos poderes criativos, ou das causas, no interior do inconsciente coletivo.
um como gerador de todas as coisas, e a mônada era, para eles, o nome da unidade – símbolo
da própria divindade.
O termo mônada vem do radical grego monos (o único). Esse radical aparece em
muitas palavras de nosso idioma: monossílabo, monômio, monografia, monograma, entre
outros.
A palavra um, deriva do latim unus. Numerosas palavras existem derivadas desta:
unidade, unificar, uníssono, único, universo, entre outras.
A primeira carta que encontramos é
O Mago (Carta I, associada à
letra hebraica aleph).
O número um
representa um princípio. Marca um começo,
uma causa primeira. “Na Cabala, o 1 é a Séphira Kether,
a Coroa. 1 é
a afirmação do ser” (Chaboche, [19--], p. 103).
Tahan (1998) esclarece que os pitagóricos consideravam o
Se pensarmos sobre a representação geométrica do número 1, percebemos que ele
pode ser inserido na noção básica da geometria – o ponto – , a causa primeira, pois o começo
da linha está no ponto, que buscará um segundo ponto, definindo a reta. A reta por sua vez,
procurará um terceiro ponto e, assim, surge o triângulo.
Cassirer (1998) diz que a linha surge a partir do ponto, a superfície a partir da linha, e o
corpo a partir da superfície, de modo que o pensamento origina cada um a partir do outro, de
acordo com uma lei determinada.
Dessa maneira, para que se possa entender todo o espaço, é necessário voltar-se até os
elementos criativos, ou seja, aos pontos e seus deslocamentos.
Sendo assim, ao se observar o Mago, vê-se que elementos geométricos estão definidos
na figura, tais como: idéias de retas, plano, ângulos e figuras geométricas planas e espaciais.
Nas mãos do Mago e sobre a mesa a sua frente, cujas três pernas visíveis representam
simbolicamente o mundo tridimensional, estão objetos que caracterizam os quatro elementos:
o cetro (bastão ou varinha mágica), a moeda ou esfera, a taça e a lâmina, correspondentes a
fogo, terra, água e ar.
Esse arcano é associado ao deus egípcio Thoth, iniciador da cultura ancestral e criador
da linguagem escrita. De acordo com Cassirer (1998), no panteão egípcio, ele é o deus da lua,
mede e divide o tempo, como também é o senhor de toda medida da justiça. Na Grécia, era
chamado Hermes. Em Roma, Mercúrio. Para os gregos e romanos, era o deus mensageiro,
filho do rei dos deuses, Zeus (ou Júpiter).
As características da energia primordial masculina, yang, estão aliadas no Mago.
Sobre sua cabeça, pode-se ver a lemniscata, símbolo da sabedoria e do infinito, discretamente
dissimulada nas abas do chapéu.
Essa figura nos atrai, por existir em nós um mago arquetípico disposto a nos mostrar a
realidade do nosso mundo interior, sempre que lhe dermos atenção, ajudando-nos a descobrir
nossas fantasias criativas e trazendo-as à realidade. Também pode orientar-nos,
conscientizando-nos das visões de poder, vingança, ou qualquer outro sentimento que exista
dentro de nós, de modo que possamos confrontar os sentimentos, com clareza e
discernimento.
ladeiam o trono da Papisa às que, no templo de Salomão, eram denominadas Jaquim e Boaz,
as quais simbolizam a intuição e a razão.
O dois é um número sagrado, para todas as divindades femininas, e é também
considerado símbolo de oposição e reflexão. A unidade busca o seu complemento ou a sua
oposição. A representação geométrica do dois está na linha, uma vez que dois pontos definem
uma linha (Lawlor, 1996).
Segundo Tahan (1998), esse número, na visão dos pitagóricos, representava a Justiça,
a qual se relacionava com a divisão perfeita por dois.
O dois é o único número primo que é par. Todos os números inteiros são múltiplos de
1, mas todos também podem ser definidos por uma soma de potências de 2. Exemplo: 193 =
2
0
+ 2
1
+ 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
. Dessa forma, o sistema de base dois tem a sua
aplicação prática na linguagem dos computadores.
Primeira manifestação da ordem cósmica, na cabala, 2 é a séphira Chokmah, a
Sabedoria, princípio feminino (Chaboche, [19--]).
A segunda carta é A Papisa, às vezes denominada A
Sacerdotisa (Carta II, corresponde à letra hebraica beth), simbol
izando
o arquétipo da Virgem, comum nos mitos e escritos sagrados de várias
culturas.
Cirlot (1984) vê na Sacerdotisa a representação de Ísis, com
todas as suas conotações noturnas e ocultas. Associa as colunas que
A Sacerdotisa manifesta o princípio binário, a bipolaridade yang/yin, a luta entre os
opostos, o rompimento da unidade. Entretanto a energia primordial feminina, passiva, yin, não
deve ser interpretada como fraqueza, inferioridade ou omissão. O grande poder da passividade
se manifesta pela capacidade de intuir por ela proporcionada (Nichols, [19--]).
Apesar de seu restrito contato com o mundo exterior, a experiência interior da
Sacerdotisa é intensa, manifestada pelo amor, a paciência feminina, a lenta persistência.
Em sua viagem através dos estágios que os arcanos representam, o herói aqui se sente
intimidado, ao reconhecer que ainda não pode penetrar certos mistérios. Sua entrada no
templo da sabedoria é impedida pelo véu que pende por detrás da Sacerdotisa. O caminhante
precisa cumprir outras etapas de sua jornada para reconhecer conscientemente o saber
inconsciente.
A Sacerdotisa está bem mais relacionada com os mistérios da natureza do que com o
mundo intelectual e sua lógica administrativa. O livro aberto em suas mãos sugere que o saber
principia no recolhimento. É o exemplo da dedicação, da habilidade para ensinar, da paciência
e da compreensão. Sabe o que quer e tem plena consciência de seu poder.
Representando a intuição, é o arquétipo da relação com o inconsciente coletivo.
Inspira o aprendizado, a preparação para a criação.
Na seqüência dessa fileira, encontra-se
A Imperatriz (Carta
III, que corresponde à letra hebraica ghimmel) e o Imperador,
simbolizando os arquétipos da Mãe e do Pai, respectivamente. Os
pais são os que mais influenciam a vida de cada um de nós, pelo
que fazem ou deixam de fazer.
O três, número da comunicação, domina a dualidade. Leva a uma nova integração e uma
abertura mais ampla. Seu sentido geométrico é o triângulo, que é formado por três pontos
(Lawlor, 1996).
A manifestação do ternário (manifestação do terceiro elemento, que vem modificar a
situação do binário e dar-lhe equilíbrio dinâmico) é resultante da bipolaridade estabelecida
pelo arcano I (O Mago, a energia yang) e pelo arcano II (A Sacerdotisa, a energia yin). O
arcano III representa a fertilidade, ou o parto, após a silenciosa fecundação.
Em resumo, a Imperatriz é o elo de conexão entre a ardente energia yang do Mago e o
pálido poder yin da Sacerdotisa, ou seja, o número um do Mago, mais o número dois da
Sacerdotisa, adicionados um ao outro, produzem o número três, da Imperatriz, que une esses
opostos (Nichols, [19--]).
Normalmente, a função do número três se reflete em todos os conjuntos de trindade:
Pai, Filho e Espírito Santo; passado, presente e futuro; mãe, pai e filho. Em todos eles, o
número três age como fator de equilíbrio, combinando por tal arte os números pais, que
produzem uma realidade completamente nova. Nesse sentido, de acordo com Erickson e
Fossa (1996), na Antigüidade havia uma teoria de que o um e o dois não eram números, e sim,
geradores dos números, pois não correspondiam a nenhuma figura geométrica e, por
conseguinte, não tinham realidade física. Porém o número três cria o triângulo, uma superfície
plana com princípio, meio e fim. Dessa forma, o triângulo pitagórico viria a ser composto
pelos três primeiros números: 3, 4 e 5.
A Imperatriz, portanto, aparece como base do triângulo, pois é através dela que o
transitório chega, pela primeira vez, ao reino da experiência humana. Enquanto a Sacerdotisa
representa o aspecto mental do arquétipo feminino, a Imperatriz revela emoção pura associada
à intuição. Simboliza a sabedoria, que nem sempre se apóia na racionalidade, o arquétipo
mãe. Reflete a presença ativa da intuição, combinada à descoberta da sensualidade e ao
reconhecimento do corpo, bem como o poder, fruto da união yang/yin, a capacidade de
recriar, convertendo a fusão destas duas energias primordiais em algo concreto que manifesta
sua presença no mundo da experiência sensorial.
Nichols [19--] diz que esse arcano está relacionado ao número quatro, o qual
simboliza a totalidade. Indica a nossa orientação para a dimensão humana. Seu equivalente
geométrico, o quadrado, representa a lei e a ordem, sobrepostas à desordem caótica da mãe
natureza. Nesse sentido, para essa autora, as quatro direções da bússola nos impedem de
sentir-nos perdidos em áreas não-mapeadas. As janelas retangulares de uma casa reduzem
proporcionalmente ao tamanho humano o amplo panorama da natureza, de sorte que sua
essência e seu pormenor possam ser mais prontamente abarcados pelo olho e pelo cérebro
humanos. Enfim, há uma lista de quatros que ajudaram o homem no discorrer dos séculos a
dirigir sua vida espiritual e física: os quatro cantos da Terra; os quatro evangelistas (Mateus,
Marcos, Lucas e João); as quatro bestas do Apocalipse; os quatro elementos (terra, ar, fogo e
água); as quatro estações (verão, inverno, outono e primavera); as quatro operações básicas da
aritmética (adição, subtração, multiplicação e divisão), dentre outros.
Quanto ao Imperador, (Carta IIII, corresponde à letra hebraica
daleth). Cirlot (1984, p. 312) vê nele uma alusão transparente ao mito
de Hércules, portador da maçã, e “levando as maçãs de ouro ao jardim
das Hespérides”, herói solar que resume, como nenhum outro, as fases
do processo iniciático, no sentido da liberação individual, que,
esotericamente, só se pode alcançar por meio do trabalho e do esforço.
Ao comentar o sentimento mítico-religioso descrito por Nissen, Cassirer (1998) diz
que a totalidade do céu se divide em quatro partes, determinadas por quatro regiões do
mundo: uma anterior, no sul; uma posterior, no norte; uma esquerda, no oriente; e uma direita,
no ocidente. A partir dessa divisão original, puramente espacial, se desenvolve todo o sistema
da teologia romana. Quando o áugure contemplava o céu, para nele decifrar os presságios da
atividade terrena, começava por dividi-lo em determinados setores. A linha este-oeste, traçada
e fixada pelo curso do sol, era cortada por outra linha perpendicular a ela, indo do norte ao
sul. Da intersecção de ambas as linhas, a decumanus e a cardo, tal como se chamam na
linguagem sacerdotal, o pensamento religioso cria seu primeiro sistema de coordenadas.
Cassirer afirma que Nissen mostrou com detalhes como esse esquema foi transferido do
campo da vida religiosa a todos os aspectos da vida jurídica, social e política, precisando-se e
diferenciando-se, cada vez mais sutilmente, nesse processo de transferência. Sobre esse
esquema, se baseia o desenvolvimento do conceito de propriedade e o simbolismo com o qual
se designa e protege a propriedade enquanto tal.
Portanto, o número quatro simboliza a orientação do homem para realidade como ser
humano, e o número quatro do Imperador nos traz à realidade de muitas maneiras. As três
dimensões do tempo (passado, presente e futuro) são meras abstrações, enquanto não as
localizamos no espaço. De idêntica maneira, os eventos no espaço tridimensional só se tornam
concretos depois que os situamos precisamente no tempo. Para civilizar-se, o homem precisa
colocar-se no espaço e no tempo. O Imperador traz permanência, estabilidade e perspectiva.
Tanto cultural quanto pessoalmente, o número quatro do Imperador anuncia um novo
começo, pois é ele que inicia o princípio simbolizado pelo Verbo. Esse arcano representa a
passagem do mundo da fertilidade (não-verbal, matriarcal) para o mundo da administração
racional, (verbal, patriarcal), a presença da ética associada à administração em favor da auto-
suficiência, das condições necessárias à sobrevivência.
Aqui entramos no mundo da ordem verbal, da ordem do logos. Com esse arcano, o
poder do Verbo é conferido à humanidade.
Para Aristóteles, “o logos é a sentença que pode ser verdadeira ou falsa, e que
manifesta ou expressa o pensamento” (Japiassú e Marcondes, 1996, p. 167). As palavras são a
base de todo o pensamento organizado, símbolos cujas reverberações, ao ouvido educado,
sempre incluem matizes que transcendem o significado manifesto. “Portanto, precisamos
entender o que a fala significa para entendermos o ‘significado’ do universo” (Cassirer, 1994,
p. 185). Para esse autor, nesse mundo, o poder da fala ocupa todo o auto-exame, toda a
ciência, toda a história registrada, toda a civilização.
Em resumo, O Imperador simboliza o princípio racional, uma das manifestações do
arquétipo pai.
O Papa é uma figura do logos e, como tal, também simboliza o animus, termo criado
por Jung (1977) para designar o princípio masculino inconsciente que aparece na psique da
mulher. O animus assume várias formas, muitas delas representadas no tarô. Marie Louise
von Franz (1977) destaca que o animus, assim como a anima (personificação de todas as
tendências psicológicas femininas na psique do homem), apresenta quatro estágios de
desenvolvimento. O primeiro estágio, segundo ela, é uma simples personificação da força
física (poder dirigido), expressa pelo Mago. O segundo possui iniciativa e capacidade de
O Papa, ou
Sumo Sacerdote (Carta V, está associada à letra
hebraica he
) representa uma figura de autoridade arquetípica cujo poder
ultrapassa o do Imperador.
Para Nichols [19--], o arcano cinco representa a presença – inerente
ao indivíduo – do mestre espiritual, o guia, a busca de respostas no
plano filosófico e espiritual.
planejamento, e é personificada pela carta de número sete, O Carro. O terceiro estágio torna-
se o verbo, personificado no tarô pelo Imperador. Finalmente, o quarto estágio é a encarnação
do pensamento, representado pelo Papa.
Em sua forma mais ampliada, o animus relaciona a mente feminina com o
desenvolvimento espiritual da sua época, tornando a mulher mais criativa do que o homem
(Franz, 1977).
Culturalmente, estamos na fase do quarto estágio, o do pensamento, ou seja, estamos
num tempo em que se acha necessário encontrar o significado. Não podemos esperar soluções
mágicas para os nossos problemas. Para muito de nós, a figura do Papa já não satisfaz nossas
necessidades. De alguma forma, temos que encontrar o seu equivalente dentro de nós e
encontrar uma maneira de nos relacionarmos com esse arquétipo (Nichols, [19--]).
Cirlot (1984) vê no Papa o representante da lei moral, não-escrita, que domina a
consciência e, no septenário que as pontas da sua cruz organizam, as virtudes necessárias para
vencer os sete pecados capitais (relacionados com o simbolismo planetário): orgulho (Sol),
preguiça (Lua), inveja (Mercúrio), cólera (Marte), luxúria (Vênus), gula (Júpiter) e avareza
(Saturno).
O significado simbólico do número cinco ajusta-se ao que foi mencionado sobre o Sumo
Sacerdote. Considerado número da humanidade, abre um canal entre o ser físico do homem e
o mistério arquetípico dos números. Segundo Tahan (1998), Deodoro da Sicília (historiador
grego) considerava o número cinco como representante do mundo, uma vez que, na formação
do universo, encontravam-se cinco elementos: terra, água, ar, fogo e éter. Ainda de acordo
com esse autor, para Pitágoras, a união do número dois (feminino) com o três (masculino)
resultava no número do matrimônio, ou seja, o cinco. Tahan também aponta que, para os
pitagóricos, o famoso triângulo retângulo de catetos com três e quatro unidades e hipotenusa
igual a cinco unidades era considerado triângulo nupcial. Além disso, o número cinco possui
uma qualidade mágica: quando elevado ao quadrado, sempre retorna sobre si mesmo (5
2
= 25;
5
3
= 125; 5
6
= 15 625).
Cupido, deus do amor.
Pode-se ver nesse moço a personificação do jovem e vigoroso ego, pronto para
enfrentar a vida e seus problemas sem a ajuda de ninguém. Não há aqui nenhuma figura de
autoridade ao seu alcance para a qual possa apelar em busca de ajuda. O moço necessita
encontrar, dentro de si mesmo, a força para enfrentar a confrontação; precisa assumir sozinho
a responsabilidade por qualquer ação que pratique em relação a ele mesmo.
Entre as duas mulheres, ele é ameaçado por uma flecha, que parece estar pronta para
ser disparada pelo Cupido, o qual está oculto numa parte do sol. Do disco solar, partem 23
raios pontiagudos: oito azuis, oito amarelos e sete vermelhos (supondo-se que a asa esquerda
do anjo oculte um oitavo raio vermelho, dada a seqüência de cores que se alternam).
Segundo Nichols [19--], para Pitágoras, o triângulo é a primeira forma geométrica.
Simboliza uma realidade humana fundamental e está ligado à alma. Vislumbra-se a verdade
simbólica dessa afirmativa no exame da carta que está sendo discutida. O eterno triângulo é
uma situação arquetípica vivida não apenas nos romances mas também nos dramas da vida
real.
A carta seguinte é O Namorado (Carta VI que representa a
letra hebraica vau). Nichols [19--
] a vê como a trajetória do ser
humano, o qual, após vive
nciar a experiência religiosa, enfrenta a
dúvida.
Este é o primeiro arcano cuja figura principal é um homem comum,
não um personagem mítico ou detentor de alguma atribuição
Uma profunda experiência de amor inicia, muitas vezes, a busca da individuação, ou
seja, “a harmonização do consciente com o nosso próprio centro interior (o núcleo psíquico)
ou self – em geral começa infligindo uma lesão à personalidade, acompanhada do
conseqüente sofrimento” (Franz, 1977, p. 166). Assim, experimentamos os dois aspectos da
seta do amor: tanto o de dar a vida quanto o de lidar com a morte, pois perder alguém no amor
é uma espécie de morte, a morte de uma existência puramente centrada no ego. Assinala uma
fase nova na nossa evolução para um centro transcendente.
O arcano O Namorado tem o número seis. O seis é único, de muitas maneiras.
Pitágoras chamou-lhe o primeiro número perfeito, porque seus divisores (um, dois e três),
excluindo-se ele próprio, somados, dão mesmo seis. Tahan (1998) diz que o seis é duplamente
perfeito, pois o produto dos seus divisores menores (1x2x3) também é 6. Além disso, é o
único número perfeito cujos divisores menores são consecutivos.
Seis é também o número da completação. No relato do Gênesis, Deus criou o mundo
em seis dias. Simbolicamente, o seis é retratado como uma estrela de seis pontas. Esta se
compõe de dois triângulos eqüiláteros: um deles com o ápice apontado para o céu, e o outro
com o ápice apontado para baixo.
A estrela de seis pontas é o grande símbolo de Salomão, em que o macrocosmo e o
microcosmo se entrelaçam, simbolizando a máxima hermética: como encima, assim em baixo.
É também o escudo de Daniel e o sinal egípcio da regeneração. Essas idéias se refletem no
número seis, o único número considerado, ao mesmo tempo, masculino e feminino (Nichols,
[19--]).
lugar na sociedade, o que simboliza a passagem para o segundo estágio da evolução, no qual
vai procurar fortuna e estabelecer sua identidade no mundo exterior.
Cirlot (1984) relaciona as rodas do Carro com os torvelinhos de fogo da visão de
Ezequiel. Para ele, O Carro é uma das principais analogias simbólicas da tradição universal
referente ao ser humano, cabendo ao condutor o si mesmo da psicologia junguiana, com os
cavalos representando as forças vitais.
O septenário (ordem formada por sete elementos, cujo fundamento se encontra nas sete
dimensões do espaço) tem como símbolo geométrico uma cruz encimada por um triângulo
regular ou um cubo encimado pelo mesmo triângulo. Na mitologia grega, ao se desdobrar o
cubo, este se transforma na cruz do cristianismo, “e assim, no simbolismo oculto, todos os
símbolos reduzem-se sempre a um somente, para significar que o ‘Todo procede do Um’”
(Tahan, 1998, p. 278).
O número sete, composto do ternário e do quaternário (3 + 4), representa o poder da
magia em toda a sua força. Algarismo dos deuses, número sagrado e de perfeição, o sete
marca uma transformação positiva. É o único algarismo no intervalo fechado de 1 a 10 que
não é múltiplo nem divisor de outro número (Chaboche, [19--]).
Com O Carro (Carta VII, associada à letra hebraica zain
),
chegamos à última carta da primeira fileira.
Aqui, de acordo com Nichols [19--
], o jovem encontra um
veículo para transportá-lo em sua jornada, livrando-
o da contenção da
família arquetípica.
Sai em busca da sua vocação, de constituir família e assumir seu
Em toda parte se encontra o número sete. Deus criou o mundo em sete dias, há sete
esferas da criação, sete pecados capitais, sete pragas do Egito, sete notas musicais, sete cores
do arco-íris.
Cassirer (1998), ao comentar a descrição feita por Cushing sobre a imagem mítico-
sociológica do mundo dos índios zuñi, diz que a forma totêmica setenária de organizar a
totalidade do mundo está representada principalmente no modo de conceber o espaço. Assim,
todo o espaço está dividido em sete setores: o norte e o sul, o oeste e o leste, o mundo situado
por cima de nós e o mundo situado por baixo de nós e, finalmente, o centro do mundo. Cada
ser tem uma posição inequívoca, ocupa um lugar fixo pré-determinado dentro de toda essa
distribuição.
Além disso, Cassirer ainda tece comentários sobre um mapa-múndi dividido em sete
partes que se encontra no texto hipocrático, no qual a Terra é representada como o corpo
humano: o Peloponeso é a cabeça e o Istmo corresponde à espinha dorsal, enquanto que a
Jônia aparece como o diafragma, isto é, como o verdadeiro centro, como o umbigo do mundo.
Inclusive todos os atributos espirituais e morais dos povos que habitam essas regiões estão
concebidos como dependendo, de certo modo, dessa forma de localização. Como se pode
depreender desse comentário, nesse período se estabelece a idéia geométrica do espaço, o
valor do número sete.
O número sete do Carro liga este ao fado, ao destino e à transformação. Num par de
dados, os lados opostos de cada dado somam sete. Foram numerados sete atos separados de
criação no Gênesis e, no processo alquímico, há sete estágios de transformação, sob o influxo
de sete metais e sete planetas. Na filosofia oriental, existe a lei sétupla da harmonia divina e
os sete chacras. Não é, portanto, de admirar que O Carro assinale o início de uma nova era e
que sua energia nos conduza à segunda fileira horizontal, apropriadamente denominada Reino
do Equilíbrio (Nichols, [19--]).
O Imperador marca a transição da infância para a juventude, da contenção na mãe e na
família íntima para a contenção no interior de um grupo social maior, dominado por
poderosas figuras masculinas, que simbolizam o princípio masculino. O Carro indica outra
iniciação. Aqui, a figura do herói apreende as primeiras intuições, embora fugazes, de sua
psique humana como instrumento através do qual o eu mais profundo pode tornar-se
manifesto.
À frente do moço, uma barra horizontal corta-o ao meio, dividindo-o pela metade, a
fim de formar uma rígida barreira entre o que está em cima e o que está embaixo e separar a
força diretiva dos seus cavalos, os quais simbolizam os pólos positivo e negativo da energia
animal que existe em toda a natureza, sendo o aspecto físico pintado de vermelho, e o
espiritual de azul (Nichols, [19--]).
Em resumo, esse arcano simboliza uma presença arquetípica que transcende o ego.
Mas o que foi feito do ego-Namorado? Se ele não aparece nessa figura, é porque coroou-se rei
a si mesmo e agora retrata sua consciência humana individual como régio cocheiro que lhe
guiará o destino.
Na verdade, a busca do autoconhecimento somente se acentuará no segundo reino de
evolução, quando nossa experiência nos permitirá a conquista dos territórios além do ego,
para finalmente atingirmos a plena conciliação das dualidades no terceiro reino.
A segunda fileira (de oito a quatorze, ou da Justiça à Temperança), conhecida como
Reino da Realidade Terrena e da Consciência do Ego, consiste em representações das leis
cujos poderes primordiais da primeira fileira são canalizados para a manifestação deles.
A Justiça (Carta VIII que representa a letra hebraica
cheth
) é a
primeira carta dessa fila. Nichols [19--
] assegura que agora o jovem
necessita avaliar problemas morais para si mesmo. Precisará da ajuda da
Justiça para pesar e conferir questões difíceis.
O número dessa carta é oito, número que repete, na dimensão de encaixe, os dois
pratos redondos da balança. Tanto o eixo celeste quanto terreno estão claramente envolvidos
na consecução do equilíbrio.
Os pitagóricos tinham o oito como o símbolo da igualdade, dedicando-lhe uma
atenção toda especial, pois, em seu misticismo numérico, admitiam que esse número
representava a lei primitiva e sagrada que indicava a igualdade irrestrita entre os homens.
Vultos notáveis da Igreja também o consideravam como símbolo. Assim, para Santo
Ambrósio, o número oito era o símbolo da regeneração e, para Santo Agostinho, simbolizava
a lembrança das oito beatitudes (Tahan, 1998).
Cirlot (1984, p. 327) informa que esse arcano
se relaciona com o signo zodiacal de Libra e representa, como este,
menos que a justiça exterior ou a legalidade social, a função justiceira
interior que põe em movimento todo um mecanismo psíquico para
determinar o castigo do culpado, partindo já da idéia de Weininger que
a culpa não é, em si, diferente do castigo.
Nessa fase da série do tarô, o herói deixou para sempre a paz bem-aventurada da
inconsciência para assumir o desafio e a responsabilidade que a espada representa. Se
ainda vê os pais como diabos, responsáveis pelos seus erros e limitações, está tão
vinculado a eles como estava quando os supunha seus infalíveis salvadores. Cortar o
cordão umbilical significa psicologicamente livrar-se de toda e qualquer dependência
infantil, tanto negativa quanto positiva.
De acordo com Nichols [19--], o significado da espada de ouro da Justiça é o
sacrifício. A espada também simboliza o sacrifício das ilusões e pretensões de muitos
tipos. Aqui, o jovem ego deixa para sempre o Jardim do Éden, não mais podendo viver a
vida provisória de sonhos impossíveis. Cumpre-lhe usar a espada, para separar a fantasia
da realidade, e a balança, para pesar as inúmeras possibilidades de perfeição que a sua
imaginação prefigura, contra as realidades imperfeitas do espaço, do tempo e da energia
humana.
o forro azul demonstra a concentração de forças espirituais no isolamento voluntário.
Concentrar-se nos símbolos significa unir-se ao mundo dos arquétipos, às formas revestidas
(Steiner-Geringer, 1997). O isolamento do Eremita não significa necessariamente que ele seja
anti-social. Pelo contrário, recolhe-se para aprender e comunicar, transmitir, a todo momento,
a luz a quem o busca, pois pode elevar-se constantemente e ver quem o procura. Essa atitude
se inscreve, aliás, exatamente na figura do nove.
Segundo Tahan (1998), esse número era considerado, pelos pitagóricos, símbolo da
fragilidade da vida, principal fator das incertezas do destino.
Os numerologistas, de acordo com o autor citado, aconselhavam que se evitassem
todos os outros múltiplos de nove, não apenas o nove, além de buscarem descobrir na história
episódios conduzidos por esse número. Por exemplo, Helena, causadora da guerra de Tróia –
que perdurou nove anos – , tinha no seu nome em grego nove letras.
Nove é também o número da gestação humana, período necessário à criação de um
novo ser humano. Historicamente, esse número está ligado à idéia de gestação e iniciação.
O E
remita (Carta VIIII está
associada à letra hebraica
teth
),
segundo Nichols [19--
], representa a experiência interior, conquistada
por meio de algo além de conceitos ou teorias. Possui o saber que não se
aprende na escola, e sim com o tempo e a reflexão. El
e tem sua própria
luz, sustentada pela mão direita.
O manto escuro mostra que ele se afastou das coisas perecíveis,
Apolônio de Tiana, o neoplatônico grego, considerava-o um número sagrado. Seus discípulos
usavam-no como amuleto e punham de lado a nona hora como tempo de silêncio. Ele proibia
seus seguidores de pronunciar o número nove em voz alta (Nichols, [19--]).
Na vida religiosa, o nove está presente nas novenas – orações realizadas durante um
período de nove dias.
O nove é o número da constante, igual a si mesmo.
2x9=18=1+8=9 6x9=54=5+4=9 10x9=90=9+0=9
3x9=27=2+7=9 7x9=63=6+3=9
4x9=36=3+6=9 8x9=72=7+2=9
5x9=45=4+5=9 9x9=81=8+1=9
O nove é indestrutível, anula-se a si mesmo e, por conseguinte, permanece.
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 4+5=9
Enfim, pode-se dizer que são várias as sucessões de regularidades relacionadas com
esse número.
Quanto à forma geométrica do nove, aparentemente não há nenhuma. Todavia, se
imaginarmos um cubo transparente com suas diagonais, veremos que elas se encontram num
ponto central. Teremos, assim, 4 + 4 + 1 = 9, ou seja, os oito vértices do cubo mais a
intersecção das diagonais. A essa figura, Conway e Guy (1999) denominam de números
cúbicos centrados que é a versão tridimensional dos chamados números quadrados centrados.
Em relação aos aspectos geométricos presentes na carta, O Eremita, identificamos
linhas curvas e figuras geométricas planas contidas na lanterna, como retângulos e triângulos.
O arcano VIIII nos lembra a necessidade do isolamento voluntário. Para entender
quem somos, precisamos nos recolher e buscar compreender nossas limitações, as quais
projetamos nos outros, aprendendo, assim, através do caminho solitário, a encontrar dentro de
nós mesmos essas deficiências (Nichols, [19--]).
Como no caso de todas as figuras arquetípicas, se não dermos atenção ao chamado do
Eremita, é possível sofrermos alguma moléstia física ou mental que nos obrigue à introversão.
Portanto cada um de nós tem de encontrar um modo de acender sua própria centelha.
transitoriedade e transcendência, temporal e eterno.
De acordo com Cirlot (1984, p. 501), esse arcano se refere, em última instância, à
decomposição da ordem do mundo em duas estruturas essenciais e distintas: “o movimento
rotatório e a imobilidade; a circunferência da roda e seu centro, imagem do ‘motor imóvel’
aristotélico. Este tema é obsessivo para a mentalidade mítica e aparece na alquimia sob a
contraposição do volátil e o fixo”.
A Roda da Fortuna resume o sentido da eterna mutação, a fusão do passado com o
presente e o futuro. Gira sempre para o mesmo lado e está sempre certa em seu eterno
movimento.
Esse arcano, segundo Nichols [19--], reflete os paradoxos do seu dirigente. Os animais
mantidos em cativeiro em seus raios nos recordam as limitações impostas por nossa natureza
animal. Ao mesmo tempo, contudo, apresentam o desafio de transcender as limitações,
pedindo ajuda.
Uma característica importante da forma circular da roda é que o centro eqüidista de
todos os pontos da circunferência. A famosa távola redonda do Rei Arthur era circular,
A Roda da Fortuna é a carta seguinte (Carta X, que simboliza a
letra hebraica yod). A figura do círculo, ou mandala, –
e sua estreita
relação com o Sol, o Zodíaco, a representação do Todo –
nos remete
ao conceito de ciclo –
o dia e a noite, as luas, as estações do ano, a
vida e a morte como ressurreição, o novo início. Nesse sentido,
dramatiza vários pares de opostos,
como: movimento e estabilidade,
simbolizando a idéia de que todos tinham o mesmo propósito, mesmo que os pontos de vistas
fossem divergentes.
Na filosofia oriental, a mandala (diagrama geométrico circular) tem sido usada há
milhares de anos como auxiliar da meditação. Também ocupa um lugar relevante na
arquitetura, compondo o plano básico das construções seculares e sagradas de quase todas as
civilizações e figurando no traçado das cidades antigas e modernas. Essas construções,
religiosas ou seculares, são projeções da imagem arquetípica do interior do inconsciente
humano sobre o mundo exterior (Jaffé, 1977).
Para Tahan (1998), a maneira como se escreve o número dez é muito significativa,
uma vez que ele pode ser expresso pela soma dos quatro primeiros números: 1 + 2 + 3 + 4. As
três primeiras parcelas formam o número seis, com suas perfeições notáveis, e, ao juntarmos o
número quatro (símbolo da Terra), obtemos o número universal, ou seja, o dez. Além disso, é
destaque entre todos os números, uma vez que o sistema decimal é universalmente adotado.
Esse número constava no quadro das maravilhas do mundo dos pitagóricos, que, ao
desejarem exprimir beleza ou perfeição, estavam sempre recorrendo ao décuplo: Isso é dez
vezes melhor, Aquela idéia é dez vezes mais correta. Além disso, consideravam-no símbolo
da amizade, pois, num aperto de mão, os dedos totalizam dez. Os pitagóricos ainda recorriam
a ele para manifestar sua simpatia por pessoas corajosas, bondosas ou belas, com expressões
do tipo: Grau dez da coragem, É o grau dez da bondade, O grau dez da beleza (Tahan, 1998).
A expressão grau dez continua em vigor ainda hoje, tendo, no entanto, se
metamorfoseado em nota dez, e é empregada com a mesma intenção da época dos pitagóricos.
Na Bíblia, observamos a lei divina, que são os dez mandamentos, e as conseqüências
da desobediência a essa lei, os dez flagelos do Egito.
Na cabala, Malcouth é a décima séphira, o Reinado, para onde a potência de todas as
outras séphirot aflui, onde se consolida, se cristaliza, torna-se corpórea. Enfim, é a realização
formal de todas as energias criadoras (Chaboche, [19--]).
Nesse sentido, com o impacto do número dez na Roda do tarô, o herói experimenta uma
revolução psíquica. Pela primeira vez seu ego, desvencilhando-se da prisão circular de
trivialidades sem fim, coloca-se de lado, para observar o padrão de sua vida como um todo.
Pode-se encarar essa dama como a anima, personagem arquetípico que representa o
lado feminino do inconsciente do herói, atuando como mediadora entre o seu ego e as forças
mais primitivas da sua psique (Nichols, [19--]).
Nesse sentido, pode-se considerar o número onze também como mediador, uma vez
que excede o número dos mandamentos e é menor que o doze, considerado número da graça e
da perfeição, de acordo com Westcott (1999), mediando, portanto, o trunfo das provas do
passado e o conhecimento que dele decorre. É também a soma de 5 e 6, ou seja, a soma do
número universal com o número perfeito, ao que Chaboche ([19--], p. 162) chama de “‘união
do microcosmo e do macrocosmo’ – que a simbologia maçônica representa pelo ‘hexagrama
pentáfico’”.
A dama domando um leão é A Força (Carta XI, a qual representa a
letra hebraica caph
). Ela ajuda o jovem a enfrentar sua natureza animal.
Nichols [19--] afirma que as energias outrora voltadas para a adaptação
exterior começam agora a preocupar-se mais com o crescimento
interior.
A aba do seu chapéu lembra o símbolo do infinito, a lemniscata, assim
como no arcano I, O Mago.
Entretanto, segundo Westcott , para os cabalistas, o onze é a essência de tudo quanto é
pecado, prejudicial e imperfeito.
Talvez por isso, por estar sob a influência do número onze, nosso herói parece não ter sido
bem sucedido. Será que não conseguiu domar sua fera interior, uma vez que na carta
seguinte surge pendurado por um dos pés?
Esse arcano está em posição de impotência, dependurado de cabeça para baixo,
amarrado por um pé a uma forca montada em galhos podados. A árvore, sobretudo a árvore
podada, é um símbolo universal da mãe. À semelhança de um recém-nascido, ele está seguro
pelos calcanhares, a fim de levar umas palmadas e renascer para uma nova vida.
Suas pernas, vistas de baixo para cima, formam o número quatro (assim como as
pernas do arcano IIII, O Imperador), demonstrando que a completação, a orientação e a
solidez tomam forma no inconsciente. Os pés, sobre os quais normalmente se firma, apontam
para cima, na direção do céu. Ele está adquirindo nova compreensão.
Ao observarmos o Enforcado, notamos que, se contornarmos seus braços até a cabeça,
formaremos um triângulo; da mesma forma, a perna direita dobrada sob a esquerda, também
insinua um triângulo. Além disso, o doze nos coloca em contato com o três por meio da soma
dos seus algarismos: 12 = 1 + 2 = 3.
Essa é a carta O Enforcado (Carta XII
,
representando a letra hebraica
lamed).
O processo de evolução nem sempre é linear. Mesmo após conquistar a
interação entre o instinto e a razão, é possível que nos encontremos em
um período de teste, quando tudo parece adverso, sendo necessário,
talvez, o retorno às origens, como sugere Nicho
ls [19
--
].
O número doze assinala os limites de tempo da realidade humana, com as doze horas
alternativas do dia e da noite e a contagem anual de doze meses. Aponta também para o
zodíaco celeste, que simboliza as dimensões sobre-humanas do tempo e a intervenção do
destino, além do controle do homem. Como quatro vezes três, o número doze liga a trindade
do espírito à realidade quadrada da Terra, sendo considerado, portanto, como um número
glorioso (Chaboche, [19--]).
Desse modo, para Cassirer (1998), no movimento dos astros como imagem visível do
tempo, se expressa uma nova unidade de sentido que, para o pensamento mítico religioso,
começa a se entender agora sobre a totalidade do ser e do acontecer. O mito babilônico da
criação representa a gênese da ordem do mundo a partir da causa primitiva informe, na luta
que Marduk, deus do sol, trava contra o monstro Tiamat. Depois de sua vitória, Marduk fixou
nos astros a morada dos grandes deuses e determinou seu curso, introduziu os signos do
zodíaco, o ano e os doze meses; e estabeleceu rígidas barreiras para que nenhum dos deuses se
desviasse ou se extraviasse.
Heráclito, os medievais e como confirma a ciência moderna, “está intimamente ligada à
morte, também a morte é o manancial da vida, não só da espiritual, mas ainda da
ressurreição da matéria”.
Nesse sentido, Nichols [19--] vê no arcano sem nome o nosso segredo oculto sob as
aparências, como o esqueleto sob os músculos, a carne e a pele. Ele representa, portanto, a
O Enforcado, cumpre o seu ciclo, simbolizado pelos doze
galhos podados, e, na carta seguinte, ele enfrenta A Morte (Carta
XIII, que corresponde à letra hebraica mem), figura arquetípica
diante de cujo sabre todos se vêem desamparados.
Para Cirlot (1984, p. 389), tudo nesse arcano leva à
ambivalência, para marcar que, se a vida, em si, como supunha
renovação, a ressurgência, embora o número treze nos pareça uma intromissão que segue ao
doze das horas do dia e dos meses do ano. Tememos reconhecê-lo, por lembrar-nos a morte
física: na verdade, a vida nada mais é do que uma sucessão de mortes.
Nesse sentido, Cassirer (1998) é esclarecedor quando diz que a transição de um âmbito
mítico-religioso a outro sempre está ligada a ritos de passagem, os quais devem ser
observados cuidadosamente. Esses ritos não só regulam a transferência de uma cidade a outra
ou de um país a outro, mas regulam também a entrada em cada fase nova da vida – a
passagem da infância à puberdade, do celibato ao matrimônio, a passagem à maternidade, etc.
Também aqui se cumpre novamente aquela norma geral que se pode identificar no
desenvolvimento de todas as formas de expressão espirituais. Enquanto o puramente interior
deve se objetivar e se transformar em algo exterior, qualquer intuição do exterior deve, por
outro lado, também permanecer infiltrada e impregnada de determinações internas. É por isso
que, mesmo nos casos em que a consideração parece se mover inteiramente na esfera do
exterior, podem-se perceber sempre as pulsações da vida interior.
A superstição que envolve o número treze como fatídico, segundo Tahan (1998),
tem como hipótese o famoso episódio de origem cristã, a última ceia de Cristo.
Para Chaboche [19--] o treze está ligado a purificação, uma vez que a décima
terceira letra do alfabeto hebraico tem como correspondente o número 40. Assim, esse autor
argumenta que o êxodo dos judeus pelo deserto durou 40 anos, que Jesus jejuou 40 dias, e a
Quaresma dura 40 dias. Portanto o 13 e o 40 estão ligados na noção de morte a si mesmo e de
renascimento espiritual.
Assim sendo, o número treze corresponde a um recomeço, a uma reconstrução.
da Temperança derrama com precisão um fluido de um cântaro a outro. O padrão da trajetória
do líquido pode ser percebido sugerindo uma lemniscata aberta.
No Mago e na Força, a lemniscata é representada na aba do chapéu. Um chapéu nessas
condições, para Nichols, é uma espécie de marca registrada ou insígnia da função. Indica que
o portador é apenas o zelador dos poderes mágicos ou talentos divinos que simboliza. O anjo
da Temperança não usa chapéu; os seus poderes divinos estão, portanto, investidos nele
mesmo.
Para Tahan (1998), o prestígio do número quatorze decorre, unicamente, do fato de
ser esse número igual ao dobro de sete.
Ao longo dessa jornada o jovem esteve em busca de si mesmo. Agora ele está mais
perto desse intento, chegando à terceira e última fileira (de quinze a vinte e um, ou do Diabo
ao Mundo), chamada Reino da Iluminação Celestial e da Auto-realização. Simboliza os
resultados ou as manifestações concretas concluídas dos primeiros sete poderes, quando estes
surgem na sua condição concreta ou diferenciada.
A carta final dessa fileira é A Temperança (Carta XIIII
que
representa a letra hebraica nun). Aqui, para Nichols [19--
], as energias e
esperanças do jovem tornam a fluir num novo rumo – dirigem-
se ao seu
interior, simbolizando a dissolução das antigas formas e o desatamento
dos laços rígidos, anunciando uma libertação do mundo dos fenômenos.
Como a Justiça, a Temperança também sugere equilíbrio. O anjo
impondo a sua vontade: 1 + 5 = 6. “Temos aqui a escolha entre dois caminhos: um, benéfico,
se dirige para a luz, e o outro, para as trevas”.
Cirlot (1984, p. 207) compara o Diabo ao baphomet dos templários, bode na cabeça e
nas patas, mulher nos seios e braços, e diz que o personagem tem como finalidade “a
regressão ou a estagnação no fragmentado, inferior, diverso e descontínuo”. Ele representa,
assim, o anjo caído. No entanto, sempre que aparece, traz consigo um pouco de luz.
Nichols [19--] acredita que os instintos são nocivos apenas quando não estão sob
domínio, assim como todos os aspectos materiais da existência. Nesse sentido, em sua
viagem, o herói aprende não apenas a reconhecer como também a valorizar e domar suas
forças instintivas e transformá-las em poderoso aliado com a ajuda do arcano XI, A Força.
A autora nos chama a atenção para o desenho dessa carta, o qual difere pouco da
representação do Sumo Sacerdote, mas há algumas diferenças importantes. O Diabo trabalha
nas costas de seus pequenos assistentes. Enquanto O Papa está de frente para os dois padres e
ergue a mão em sinal de bênção, o Diabo ergue a mão semelhante a uma garra, indicando uma
saudação limitada ao poder terrestre. O Papa segura o cajado à maneira ritual, com a mão
enluvada, em que se vê o símbolo da cruz, a revelar que ele detém o poder em confiança da
Igreja; o Diabo, no entanto, segura a espada casualmente, com a mão nua, indicando um uso
egocêntrico e inconsciente do poder.
A primeira carta dessa fila é O Diabo (Carta XV, a qual corresponde
à letra hebraica samek). Segundo Nichols [19--
], a figura arquetípica do
Diabo, de linhagem direta e indireta, remonta à mais alta Antigüidade,
quando costumava aparecer como
um demônio bestial, mais poderoso e
menos humano do que o da figura estampada no tarô.
Colette H. Silvestre (1991, p. 46) relaciona o número quinze
a Satã,
Os auxiliares do Diabo, postos um de cada lado, estão unidos por uma corda, a qual
sugere uma curva parabólica.
Na maioria das vezes, o Diabo é pintado como um esqueleto, sendo ligado aos sete
pecados capitais da teologia medieval, que eram: o orgulho, a luxúria, a inveja, a cólera, a
cobiça, a gula e a preguiça. Esses pecados não são fáceis de serem reconhecidos por nós,
levando-nos a viver em desarmonia (Nichols, [19--]).
As quatro cartas seguintes – A Torre, A Estrela, A Lua e O Sol – retratam várias fases de
iluminação, em ordem ascendente.
As cores das esferas pintadas na carta sugerem a aliança do arco-íris, entre Deus e o
homem, no Antigo Testamento, e parecem sugerir que, a despeito das aparências, a divindade
se interessa pelo bem-estar dos dois desgraçados da figura.
O relâmpago tem sido sempre experimentado como símbolo da energia divina,
representando poder e iluminação em sua forma mais primitiva e imediata. Os velhos
diagramas da Árvore Cabalística da Vida pintam o relâmpago como força divina que liga o
sephiroth. Ser atingido por um raio, simbolicamente, é ser tocado pela mão de Deus,
tornando-se uma pessoa merecedora de uma atenção especial.
ou
A Torre
ou A Casa de Deus (Carta XVI, que corresponde à
letra hebraica ayin). A princípio, conforme assegura Nichols [19--
],
a Torre era concebida simbolicamente como veículo para ligar o
espírito à matéria. Fornecia uma escada, pela qual os deuses
poderiam descer e o homem subir, dramatizando, assim, o conceito
de que existe uma co
rrespondência entre as ordens terrena e
celeste.
Silvestre (1991, p. 48) afirma que o “número dezesseis constrói ou destrói. 2 vezes 8 = de um
lado, a justiça e o rigor e, do outro, o castigo, o choque ou a desordem”.
Para Steiner-Geringer (1997), o quatro, considerado número da matéria, elevado ao
quadrado, é igual a dezesseis, que pode ser também interpretado como a soma de 10 + 6.
Simbolicamente, um círculo eterno, involução e evolução, elevação e decadência, estruturas
mortais, o ciclo da vida humana.
A Casa de Deus, para Nichols [19--], representa a fachada que construímos para
ocultar certos problemas íntimos mal resolvidos e sermos socialmente aceitos. A destruição
dessa fachada é o resgate, o fim de nossa traição, quando a revelação surge como um raio, a
exemplo da luz cegante que atingiu o futuro apóstolo Paulo na estrada para Damasco. Nesse
arcano, a parte que o raio destrói é o topo da torre, que parece coroar o monumento erigido
em louvor do ego. Quando protegemos nossa torre, tornamo-nos seu prisioneiro. A Torre não
tem portas e suas janelas são estreitas demais. Sua destruição representa a verdadeira
liberdade, e o raio pode ser considerado a luz da revelação.
De um modo geral, para Nichols, a Torre nos adverte contra todas as manobras
ilusórias das quais nos servimos para estarmos acima da sociedade, principalmente quando
mistificam nossa performance ideológica, religiosa, o sucesso financeiro, o desempenho dos
chefes, pais, artistas, enfim dos que confundem missão com monumento a si mesmo.
Em A Estrela (Carta XVII, correspondente à letra hebraica ph), vê-
se, pela primeira vez, um ser humano nu, despojado de todas as
suas pretensões. O seu eu essencial está exposto aos elementos,
conforme nos assegura Nichols [19--].
Para Silvestre (1991), o número dezessete está relacionado à
esperança e à fé, encontrando, em seu aspecto cósmico, o equilíbrio
e a estabilidade.
Não mais contemplado pelas aberturas da Torre, o mundo desdobrará novas vistas sob
um amplo céu estrelado.
Atrás e acima da figura ajoelhada, sete estrelas coloridas giram em torno de uma
estrela dupla central, e cada uma delas parece ter uma personalidade única. A estrela central é
desenhada com geométrica precisão, deixando visíveis seus eixos de simetria.
A reconquista da integridade, depois dos sucessivos fracionamentos enfrentados nos
estágios anteriores, revela-se principalmente na comunhão do inconsciente com a realidade
objetiva, o mundo físico, simbolizado pela água que a jovem verte sobre a terra. De outro
cântaro, ela despeja água de volta à vertente, indicando o poder de conexão com as origens.
Nesse arcano, encontram-se também, pela primeira vez, os quatro elementos representados: o
fogo, a água, o ar e a terra. Nesse momento, o ego do herói compreende que seus contornos
individuais fazem parte da realidade universal.
No fundo do quadro, vêem-se duas árvores verdes, numa das quais, se encontra um
pássaro preto. As árvores podadas, que antes aprisionavam o Enforcado, agora lançam novos
rebentos, liberando-o para um novo desenvolvimento e oferecendo-lhe vistas mais amplas,
para que possa viver o seu potencial individual.
passagem da Lua para o domínio do logos (conhecimento solar)”. O lagostim de dez patas à
espreita no lago, a energia instintiva, faz lembrar a Roda da Fortuna. O dez embaixo, e duas
vezes o quatro em cima dão o número da carta – dezoito.
A Lua (Carta XVIII, corresponde à letra hebraica
tsade
)
refletida na água simboli
za a variedade, por sua mutabilidade de
formas.
Aqui também há uma passagem difícil, entre torres e cães que
uivam por caminhos tortuosos.
Cirlot (1984, p. 355) acredita que “os cães impedem a
Esse arcano não exibe figuras humanas. De modo geral, acusa uma fase obscura, entre
loucura e lucidez. Nossa compreensão de nós mesmos está em teste.
O herói não pode voltar atrás. Expulso da torre mundana das idéias fugidias e dos padrões
convencionais, privado da mulher Estrela, acha-se entre mundos, numa espécie de terra de
ninguém, sem nenhuma ponte aparente que lhe facilite a travessia.
Como a Lua, renascida da escuridão, transformar-se-á para brilhar outra vez, assim possa
ele também emergir, renascido dessa noite de terror.
O Sol, que a tudo ilumina, é o símbolo do conhecimento, de intensa e equilibrada
atividade intelectual. Brilhando sobre as crianças, o Sol significa o reatamento do ser com o
eu, antes confundido pela interferência de que o espaço para a manifestação do eu é sagrado,
tão sagrado como o paraíso perdido que redescobrimos agora em nosso próprio interior.
Como Adão e Eva, estamos prontos a reiniciar um novo mundo. O domínio desse espaço
sagrado se apóia na consciência de que a energia do Sol é vivificante, mas pode extinguir a
vida, se a exposição a ela não for adequada. A luz do conhecimento superior ilumina os que a
ela se expõem de maneira apropriada.
Cassirer (1998) assinala que, nas lendas da criação procedentes de quase todos os
povos e de quase todas as religiões, esse processo se funde com o da criação da luz. Segundo
O Sol, (Carta XVIIII, corresponde à le
tra hebraica
coph
).
O número dezenove configura-
se poderoso, uma vez que
composto do primeiro e do último da série dos algarismos (1 + 9 =
10, ou uma totalidade), podendo ser entendido como um pentagrama
duplo, ou seja: 5 + 5 + 9 = 19.
a lenda babilônica, o mundo se originou da luta que Marduk, o deus do sol da manhã e do sol
primaveril, lutou contra o caos e a escuridão, representados pelo gigante Tiamat. O triunfo da
luz dá origem ao mundo e à ordem cósmica. A narração egípcia sobre a criação foi também
interpretada como sendo uma reprodução da saída diária do sol.
Assim sendo, o primeiro ato da criação começa com a formação de um ovo, que
emergiu da água original. Desse ovo, surgiu Ra, o deus da luz, cujo nascimento é relatado das
mais diversas maneiras, mas todas remontam ao mesmo fenômeno original: a irrupção da luz
fora da noite. Portanto, acima de tudo, o Sol é a grande mandala, que, renascendo
continuamente, inspira o reatamento com o nosso próprio sol interior.
Um anjo com uma trombeta aparece no céu, trazendo uma bandeira com uma cruz de
ouro. A cruz na bandeira sugere os eixos cartesianos, ou uma encruzilhada, indicando o
encontro de opostos, ou o momento em que uma decisão deve ser tomada. Abaixo dele, estão
três figuras humanas nuas, uma das quais, se ergue do túmulo. Esse arcano nos remete à
narrativa bíblica do Juízo Final, quando, ao ressoar da trombeta de Miguel, os justos serão
chamados à vida celestial, e os maus serão lançados ao inferno.
O homem e seu passado emergem do túmulo completamente nus. O presente é fruto
do passado e é necessário contemplá-lo nu, sem fantasias ou dissimulações.
Na seqüência do t
arô, O Julgamento (Carta XX, que corresponde à
letra hebraica resch
) proclama o início de uma nova ordem, uma
nova interação entre o consciente e o inconsciente, que se tornará
manifesta na última carta – O Mundo.
Nesse sentido, o número vinte anuncia a r
enovação e a
ressurreição, por uma dupla ação: 2 x 10 (Silvestre, 1991).
Seres ou manifestações do nível superior estão presentes nas cartas O Namorado, A
Torre, A Estrela, A Lua e O Sol. No entanto, no Julgamento, pela primeira vez o ser humano
os encara. A comunicação entre ambos é direta, anunciando que se aproxima um grande
momento, não apenas um novo começo, mas o reinício consciente, que emerge diretamente
do passado.
Na carta O Julgamento, a figura central percebe e ouve conscientemente o chamado
para ingressar numa nova dimensão de percepção, até então desconhecida.
A dança é o símbolo da plenitude, da individuação. Desde os tempos mais remotos, é
uma arte sagrada, através da qual o ser manifesta sua integração com o momento, a natureza e
a divindade.
A figura central desse arcano representa finalmente a união dos opostos. É
hermafrodita, plena e desenvolve seu movimento harmonioso no espaço contido por uma
grinalda, o espaço sagrado, aquele que no arcano O Sol era delimitado por um muro de
pedras. Aqui, o limite é vivo, e sua forma elíptica sugere renascimento. A cerca viva não
caracteriza limitações, mas a proteção necessária para que as energias acumuladas na
experiência da longa viagem não sejam dissipadas.
O Mundo (Carta XXI, que correspondente à letra hebraica tau
)
é a carta final. Com ela, o eu
é plenamente compreendido, e é
simbolizado por uma bailarina.
O número vinte e um simboli
za a sabedoria e a virtude, sendo,
portanto, sinônimo de maturidade. Também é considerado um número
de perfeição: 3 x 7 (Silvestre, 1991).
A forma elíptica representada na carta sugere a forma geométrica da vesica piscis,
figura que se produz quando dois círculos de igual tamanho são desenhados um a partir do
centro do outro. Em termos geométricos sagrados, trata-se do ponto de derivação do triângulo
eqüilátero e da linha reta que parte do círculo. Com base nesse triângulo, pode-se representar
o hexágono e o icosaedro. Em termos esotéricos, toda a série de sólidos geométricos regulares
conhecida como sólidos platônicos pode ser produzida a partir das figuras planas. A vesica
piscis representou os órgãos genitais da Deusa Mãe, o ponto físico de origem da vida,
simbolizada por sua posição fundamental na geometria. Por essa razão, ocupou uma posição
privilegiada na construção de edifícios sagrados (Pennick, 1989).
As quatro figuras em torno da forma elíptica remetem à visão de Ezequiel,
representando os quatro elementos, os quatro evangelistas e as quatro áreas específicas da
vida.
Acreditamos que essas figuras contam uma história simbólica e estão presentes na nossa
vida, de um jeito ou de outro, seja nos sonhos que nos visitam durante o sono, seja nos
nossos sonhos de esperança. Com elas, tenta-se criar uma ordem, formando uma roda, que
contém todas as possibilidades arquetípicas do número como elemento organizador da
energia psíquica e do tempo, como também se pode contar com o significado simbólico
das formas geométricas.
Além disso, essas figuras são projeções úteis à conquista do autoconhecimento, uma vez
que as cartas do tarô são consideradas detentoras da projeção. Mas o que é projeção,
afinal? A psicologia nos diz que “é um processo inconsciente, autônomo, pelo qual vemos
primeiro nas pessoas, nos objetos e nos acontecimentos, as tendências, características,
potencialidades e deficiências que, na verdade, são nossas” (Nichols, [19--], p. 26).
Enfim, temos, no nosso íntimo, os dramas do mundo exterior, o qual povoamos com as
figuras arquetípicas de feiticeiras e princesas, diabos e heróis.
Não existe uma forma específica que essas imagens venham a assumir, pois elas
variam de cultura para cultura e de pessoa para pessoa, mas têm caráter essencial universal.
Conhecer tais arquétipos possibilita-nos definir até que ponto suas qualidades
simbólicas estão incorporadas em nós mesmos e em pessoas de nossas relações.
Como já foi dito, há diversas maneiras de se observar o tarô. Poderíamos também
fazer esse percurso passando por sete colunas verticais, em vez de passar por três fileiras
horizontais. Dessa forma, estaríamos fazendo outras conexões e, assim, dando outros sentidos
às cartas.
3 UMA EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA: o tarô como recurso didático
Ao refletir sobre o processo de ensino e aprendizagem, devemos reconhecer que a
representação de mundo que temos é determinada por crenças, valores e princípios os quais
estão estruturados a partir de teorias, quer as tenhamos explícitas ou não. Essa visão de mundo
certamente norteará nossa visão de educação, nossas concepções de ensino e aprendizagem, as
opções metodológicas que fizermos, os materiais e as tecnologias que utilizarmos.
Nessa perspectiva, entendemos que o significado do ensinar e do aprender é singular
para cada pessoa, porque está condicionado à história de vida familiar, profissional e social,
especialmente quando lidamos com a EJA. Assim, devemos planejar as ações pedagógicas
tendo como referencial o contexto onde os alunos estão inseridos.
Por conseguinte, a par da importância dos conteúdos matemáticos sobre sistemas de
numeração, números inteiros e geometria, e por percebermos que normalmente eles têm sido
aplicados como simples temas a serem abordados, buscamos, através de uma discussão sobre
a aplicação do tarô como recurso didático, investigar como ele pode contribuir para que o
aluno conceba a matemática como um dos instrumentos relevantes para interpretar
informações sobre o mundo, reconhecendo o valor dessa disciplina na nossa cultura.
Além disso, visamos promover no aluno a oportunidade de comunicar-se
matematicamente, identificando, interpretando, e utilizando diferentes linguagens e códigos,
sugerindo encaminhamentos sob a ótica de uma nova abordagem.
A proposta deste trabalho, portanto, fundamenta-se na apresentação dos temas
citados num enfoque histórico, por entendermos que uma abordagem histórica consente
compreender a matemática como resultado da vida e da cultura dos povos. Sendo assim, o
ensino se fundamentará na identificação dos estágios por que passaram os conceitos, e não
apenas na memorização de fórmulas.
Para Sergio Nobre (1995), quando se tem noção do desenvolvimento histórico do
conteúdo trabalhado em sala de aula, tem-se uma visão mais ampla do objeto de trabalho,
isto é, da matemática. Nesse sentido, acreditamos ser de enorme importância conhecer a
história da matemática.
No nosso trabalho, como já mencionamos, o tarô foi utilizado como recurso
didático para uma abordagem histórica dos conteúdos matemáticos, explorando-se nas
cartas os princípios, os elementos e os conceitos de número e geometria presentes nas suas
figuras simbólicas e obtendo-se, a partir daí, conhecimentos mais amplos acerca dos temas
trabalhados.
3.1 Articulando o tarô aos sistemas de numeração.
Desde cedo, aprendemos a contar. Contamos a idade, o número de irmãos, de
brinquedos, de pessoas... Assim aprendemos a distinguir quantidades e percebemos também
que, quanto mais crescemos, mais aumenta a necessidade de contagem. Afinal, no nosso dia-
a-dia, dependemos das funções dos números.
Nesse sentido, aprendemos na escola os dez algarismos de que iremos dispor para
concatenar em casas decimais e com potências (0, 1, 2, 3,..., 9). Em seguida, conhecemos
também os sinais usados para podermos operar com esses algarismos (+, - , x, ÷), além de
outros sinais que irão nos auxiliar, dando clareza ao rigor matemático.
Todavia uma das maiores preocupações em relação às operações fundamentais com
números naturais decorre da dificuldade dos alunos com o aprendizado do sistema de
numeração decimal.
Essa dificuldade está relacionada aos agrupamentos e trocas, especialmente na base
dez, gerando conflitos com os famosos vai um e pede emprestado – rituais inerentes às contas
escolares – os quais, na maioria das vezes, os alunos, não relacionam de maneira alguma com
as unidades, dezenas e centenas apresentadas.
A partir desse contexto, realizamos a atividade Articulando o tarô aos sistemas de
numeração, com os seguintes objetivos:
• oportunizar aos alunos a compreensão de que a história dos números naturais
está relacionada às necessidades e preocupações dos povos e de que estes, ao
lidarem com os meios disponíveis, construíram interessantes sistemas de
numeração;
• favorecer a compreensão de agrupamentos e trocas nas diversas bases e aplicar
os conhecimentos sobre os sistemas de numeração;
• propiciar o entendimento das características do sistema de numeração decimal
e discutir o conhecimento científico e o conhecimento do senso comum em
relação ao conceito de número.
Para tanto, recomendamos aos alunos a leitura do texto Pequena história dos números,
de Antonia Terra, o qual trata da necessidade do homem de contar e registrar quantidades,
relacionando o que deveria ser contado com outros objetos, bem como do aperfeiçoamento
dos sistemas de numeração.
Em seguida, os alunos destacaram as palavras desconhecidas, procurando no
dicionário os respectivos significados. Houve uma discussão em torno do assunto,
favorecendo o exercício da oralidade e, para que o tema não se dispersasse, a linguagem
escrita também foi aplicada, registrando-se as questões levantadas, explicitadas no próximo
segmento, com suas respectivas respostas.
Para iniciarmos o trabalho de agrupamento e trocas, elaboramos uma atividade lúdica
na qual foi aplicado um ditado composto por 27 palavras, dentre as quais foram utilizados os
vinte e dois nomes dos arcanos maiores do tarô. Após corrigir o ditado, os alunos foram
orientados a marcar um traço em cada resposta certa, substituindo o sinal, após três traços, por
um círculo, e após três círculos, por uma estrela. Em seguida, o número 27 foi escrito na base
três, de acordo com o número de acertos dos alunos.
Nesse caso, o tarô foi utilizado como modelo de investigação didática no momento de
enfocarmos a evolução histórica dos sistemas de numeração, a partir do sistema de numeração
romano, presente nas cartas do tarô.
3.1.1 A visão de número dos alunos da Educação de Jovens e Adultos – EJA
Neste trabalho, procuramos fazer uma breve análise de como os alunos da EJA
concebem a idéia de número.
Para o desenvolvimento dessa atividade, fizemos uma abordagem metodológica
utilizando as cartas do tarô, a partir das experiências dos alunos, procurando estabelecer a
relação entre o senso comum e o conhecimento científico. Buscamos também o diálogo e a
troca de idéias entre professor e alunos, no sentido de propiciar a estes últimos a participação
ativa em todos os momentos do seu aprendizado.
Foram propostas cinco questões, a saber:
• O que são números e para que eles servem?
• Vocês utilizam números em seu cotidiano? Em quais situações?
• A matemática vista na escola é a mesma que vocês vêem fora dela? Justifique.
• O que vocês entendem por sistema de numeração? Vocês são capazes de
inventar um?
• O que aconteceria se hoje alguém inventasse um sistema de numeração
diferente do nosso?
Após a aplicação desses questionamentos, os alunos buscaram saber qual das cartas do
tarô representava sua relação com os números durante o seu processo de vida.
3.1.2 Análise e discussão dos resultados
O levantamento das representações dos alunos sobre a concepção do número revelou
que, em relação à primeira questão, eles confundem o conceito de número com o de
algarismos, o que podemos evidenciar em suas falas:
• Número é um símbolo para representar quantidades;
• São algarismos indo-arábicos;
• São algarismos que nos ajudam em nosso dia-a-dia, em tudo que vamos fazer que
envolve contagem;
• É um algarismo que serve para contar;
• Números são uma forma da gente aprender a fazer contas; se não fosse eles ninguém
sabia a quantidade das coisas.
Apenas um aluno colocou o conceito de acordo com o estudo realizado, afirmando que
“número é a idéia matemática que expressa quantidade ou medida. Serve para contar, medir,
codificar, ordenar”.
Quanto à questão complementar – para que servem os números? – , os alunos
relacionaram a função dos números com atividades práticas do cotidiano, como contar, pesar,
medir; com situações de compra e vendas; além de indicarem a utilidade para encontrar
endereço de uma casa, saber a idade das pessoas, fazer matemática e para aprender muito
mais a cada dia.
Sobre a utilização dos números no cotidiano e em quais situações, todos afirmaram
fazer uso dos números em diversas atividades corriqueiras, tais como: fazer cálculos,
conferindo o troco do mercado; olhar a hora no relógio; localizar endereço; na lista do
supermercado; nos agendamentos de pagamentos; na cozinha, para indicar a quantidade de
alimentos; para indicar a idade dos filhos, a data do mês e para usar o telefone.
Em relação a pergunta sobre se a matemática vista na escola era a mesma de fora do
contexto escolar, apenas dois alunos responderam negativamente. Todos os demais
concordaram que era, com uma argumentação baseada na concepção que têm dos números e
suas funções. Assim, vejamos a seguir alguns depoimentos:
• Eu acho que sim, porque tudo se resume matematicamente entre os números, medidas
e contagem;
• Sim, porque a matemática é única; só muda a forma aplicada;
• Sim, usando o telefone é como se estivesse fazendo contas e fora da escola nós vemos
números;
• Sim, porque as pessoas estão sempre usando os números para usar a matemática;
• É a mesma coisa. Vejo números na rua, nos carros e nas casas;
• Sim. Por exemplo: eu uso para medir receitas culinárias quando estou trabalhando.
Os outros dois alunos que não concordaram com a questão alegaram que, fora da
escola, a matemática não é explicada nem utilizada de modo correto, ou seja, eles sentem que,
na escola, há uma sistematização dos assuntos relacionados à matemática.
No geral, os alunos, impossibilitados de estudar e de ter acesso ao conhecimento
sistematizado, desenvolvem estratégias mentais de quantificação dos objetos físicos e sociais
que os cercam, numa atividade próxima daquilo que Cassirer (1994) chamou de
fundamentação intuitiva concreta, ou seja, aquele processo pelo qual um sujeito,
impossibilitado de exercícios conceituais abstrativos, próprios do pensamento científico,
desenvolve a consciência do número pela percepção das coisas exteriores e pela relação
subjetiva com os outros.
No trabalho realizado, pudemos perceber como os alunos se valem de suas
experiências numéricas para entrelaçarem dialeticamente sensação, intuição e sentimento.
Isso ficou claro para nós durante a realização das atividades com as cartas do tarô.
É oportuno lembrar aqui que D’Ambrosio (1990) ressalta que o sistema escolar não
valoriza as práticas etnomatemáticas, as quais são desconsideradas para o conhecimento
matemático. Sobre essa afirmação, chamamos a atenção para o trabalho de Terezinha Nunes,
Na Vida Dez, na Escola Zero, mostrando que meninos de rua sabem fazer contas com
dinheiro na feira, no entanto são constantemente reprovados na escola. Essas percepções
demonstram que a escola trabalha a matemática sem considerar os conhecimentos prévios dos
alunos, o que dificulta a formalização desse conhecimento.
Entretanto nos parece que não foi isso que ocorreu na situação que estamos
analisando, quando a maioria dos alunos disse que a matemática vista na escola é a mesma
que vêem fora dela, embora saibamos que eles estavam concebendo a matemática apenas
como aquilo que se refere a números.
Dessa forma, ao falar sobre sistemas de numeração, eles entendem que estes são
formas de organização da matemática e se resumem a símbolos, regras e bases. A maioria não
se acha capaz de inventar um sistema de numeração, e os poucos que se dispuseram não
conseguiram organizar os números dentro dos critérios estabelecidos.
Quanto à última questão, ao indagarmos o que aconteceria se hoje alguém inventasse
um sistema de numeração diferente do nosso, os alunos, com exceção de dois, afirmaram que
haveria dificuldades em aprendê-lo, que causaria transtornos, pois já estamos habituados com
a utilização do sistema indo-arábico.
Quanto aos dois alunos que responderam de modo diferente à questão, um disse que
seria “mais evolução para a matemática, apesar das dificuldades que iríamos ter para
entender”, enquanto que o outro afirmou que “seria muito bom porque a gente podia aprender
mais um novo sistema de numeração”.
Percebemos que esses alunos estão disponíveis para mudanças e que nós, como
mediadora do processo ensino-aprendizagem, devemos oportunizar esses momentos numa
discussão na qual os demais possam se envolver, respeitando as suas opiniões – para que eles
se sintam capazes – , elevando, assim, sua auto-estima e facilitando a formalização do
conhecimento. A interação dialógica, no sentido de pôr tais alunos em situação de
reflexividade, tem favorecido o alargamento de seus horizontes pessoais e culturais, com a
conseqüente desobstrução de seus potenciais de comunicabilidade.
Isso porque o seu mundo social, vivido onde suas experiências acontecem, é levado
em consideração, pois é nele que tais experiências têm seus significados construídos e
reconstruídos. Com o diálogo e a interlocução de saberes entre professores e alunos, arma-se
o longo circuito que pode formar sujeitos que foram por muito tempo alijados dos processos
formais de aprendizagem.
Essas discussões são importantes porque possibilitam aos alunos reflexões e
concentração sobre o tema em pauta, considerando as alternativas levantadas, ouvindo com
atenção e reconhecendo questões em que não haviam pensado antes.
Todas as questões propostas aos alunos foram discutidas previamente antes de o tema
ter sido contemplado. Logo após a exposição, foi aplicado um questionário acerca do assunto
abordado.
Imbuída do papel de fazer os alunos não apenas pensarem, mas fazê-los pensar bem,
solicitamos-lhes que escolhessem, dentre as cartas do tarô, aquela que representasse sua
relação com os números, durante o seu processo de vida.
Essa atividade tinha como objetivo investigar como esse conceito regula a
compreensão das coisas que fazemos na nossa vida, lembrando que os filósofos sempre têm
lidado com conceitos considerados relevantes para o conhecimento humano, como justiça,
verdade, identidade pessoal, beleza e liberdade, dentre outros, como aponta Lipman, Sharp e
Oscanyan (1994).
Ademais, a despeito de tais conceitos portarem uma carga pesadamente abstrata
enquanto tratadas por seu estatuto de cientificidade, elas apontam para experiências subjetivas
e intersubjetivas dos alunos como sujeitos sociais e servem, nesse sentido, como elementos
estruturadores de suas experiências objetivas ao tratar com o mundo sociocultural que os
circunda.
Assim, os alunos recorreram ao tarô, o qual serviu de ferramenta para consultarem o
seu próprio interior, possibilitando-lhes vôos amplos no resgate de suas memórias, ao contar
recortes de suas histórias de vida, partilhando sonhos, frustrações e medos.
Eles relacionaram a numeração das cartas com a idade que tinham no momento do fato
ocorrido, ao mesmo tempo que relacionaram esse acontecimento ao arcano da figura em
questão.
A título de ilustração, citaremos os casos de três alunos que utilizaram a carta VIII (A
Justiça) para relatar incidentes ocorridos na idade de oito anos, quando se sentiram
injustiçados. Um deles relatou que, naquela idade, ao sair com sua avó, encontrou o pai, até
então desconhecido. Quando lhe pediu a bênção, esta lhe foi negada. O aluno, por sua vez,
considerou o fato como preconceito de cor. Os outros dois alunos citados eram do sexo
feminino e escolheram a carta VIII pelo mesmo motivo: cuidar dos irmãos. Uma delas
afirmou: “o número 8 lembra-me quando eu tinha essa idade que a minha mãe ia trabalhar e
eu ficava com os meus irmãos e lembro que eu tinha medo de ficar em casa só com eles”. A
outra aluna lembrou que “queria muito estudar e não podia porque tinha que ficar com os
meus irmãos, que eram quatro irmãos; queria aprender os números, como se usa os números,
queria aprender a matemática dos números”.
Sabemos que os pitagóricos tinham o número oito como o símbolo da igualdade, o que
indicava a eqüidade irrestrita entre os homens. Os alunos, ao retomarem fatos da sua vida
reclamando justiça, estão (re)elaborando seu autoconceito, ou seja, estão valorizando o que
conhecem a respeito de si mesmos. Assim sendo, as interações com os recortes significativos
de suas vidas irá influenciar sua capacidade de aprender, uma vez que eles têm a possibilidade
de conhecer seus limites, valorizando alguns aspectos de sua história de vida, ao mesmo
tempo que podem depreciar outros.
Um outro relato nos remete à concepção do grau dez dos pitagóricos. Uma aluna, ao
referir-se ao arcano X, A Roda da Fortuna, afirma que “se tudo na vida fosse dez, seria
melhor pra todo mundo”. Por exemplo: uma amiga dez, nota dez na prova e saúde dez.
Carregando consigo o arquétipo do Eremita, uma outra aluna informou que o nove é o
número do dia em que ela nasceu e que guarda lembranças de bons momentos na companhia
desse número. Ela questiona se a carta que tem o número nove representa solidão, afirmando
que gosta de ficar sozinha e que costuma aborrecer-se quando alguém a procura sem motivo.
Como se pode depreender, essa aluna estende sua intuição para o campo do pensamento
mitológico, no qual o número, como já vimos, é concebido articulando-se a tudo que entra em
contato com ele, numa espécie de aura encantada.
Com essa atividade, pudemos perceber como o social e o individual estão integrados,
no momento em que esses alunos, ao se depararem com alguém que demonstra interesse em
conhecê-los, revelam situações ocorridas em seu cotidiano, transformando essa oportunidade
em desabafo.
Como podemos observar, o número em si tem uma forte presença em nossas vidas e,
desde os primórdios, o homem mantém uma estreita relação com ele – da necessidade da
contagem aos significados simbólicos que o número assumiu, uma vez que está sempre nos
servindo, seja na função de medir, quantificar, codificar, ordenar, ou mesmo fazendo-nos
lembrar fatos e/ou datas referentes a nossa vida ou à história da humanidade.
Tudo isso nos remete a Cassirer (1998), quando enfatiza que o número é um elo entre
as diferentes faculdades da consciência, fundindo-se na unidade das esferas da sensação, do
sentimento e da intuição.
Outrossim, estamos tão imersos num mundo de diversas interpretações numéricas, que
estas passaram a ter um valor, pois as prioridades da vida diária são compreendidas quando
sabemos o significado quantitativo que elas têm. Exupéry, em sua obra o Pequeno Príncipe
nos chama a atenção sobre esse aspecto. Segundo ele, quando falamos para uma pessoa de
uma casa com pombos no telhado, tijolos cor-de-rosa e flores na janela, essa pessoa não é
capaz de imaginar uma casa assim, porém, se dissermos que vimos uma casa de cem mil
francos, ela certamente a achará linda.
3. 2 Os onze pares de cartas: números positivos e negativos
Diante das nossas experiências como educadora, percebemos que o ensino dos
números inteiros não é fácil, uma vez que os alunos sentem dificuldades em assimilar esse
conteúdo, esbarrando no conceito do zero como referência, assim como nas operações de
adição e subtração que envolvem os sinais de + e – e na regra dos sinais nas operações de
multiplicação e divisão.
O estudo dos números inteiros favorece um tipo de pensamento que permite
interpretar, descrever e representar, de forma organizada, algumas situações no mundo em que
vivemos, visto que a compreensão desse conteúdo nos permite entender situações envolvendo
crédito e débito, temperatura, linhas do tempo, indicação de datas antes e depois de Cristo,
além de problemas de localização no espaço.
Na tentativa de fazer um trabalho que motivasse nossos alunos sobre esse assunto,
planejamos desenvolver atividades nas quais eles identificassem números positivos e
negativos em diferentes contextos.
Assim, ao indagarmos o que queremos formar e o que pretendemos que os educandos
aprendam e como poderemos contribuir para realizar as possibilidades levantadas,
encontramos nos objetivos o ponto de partida para nortear essa tarefa.
Nesse prisma, procuramos desenvolver uma seqüência de atividades nas quais
visávamos:
• ampliar e construir novos significados para os números, a partir de sua utilização nas
cartas do tarô;
• reconhecer números inteiros em diferentes contextos;
• perceber os sinais de + e – como operadores e como indicadores de situações opostas
(via seca/via úmida, lucro/prejuízo, altitude/profundidade);
• interpretar e resolver situações-problema envolvendo as operações com números
positivos e negativos.
3. 2.1 Desenvolvimento das atividades: os onze pares de cartas e os números positivos e
negativos
Prosseguindo nosso estudo, desenvolvemos um trabalho cujas atividades propostas
foram divididas em etapas. Inicialmente, pedimos aos alunos que fizessem a leitura do texto
extraído dos PCN, Números inteiros – um pouco de História, o qual retrata o grande desafio
que foi para o homem desenvolver o conceito e a interpretação dos números negativos como
uma ampliação dos números naturais na hierarquia dos sistemas numéricos. Sugerimos
também que destacassem no texto e procurassem no dicionário e nos livros didáticos as
palavras desconhecidas.
Solicitamos, em seguida, que os alunos fizessem pares com as cartas do tarô, de
acordo com as orientações estabelecidas e assinalassem com (+) as cartas que considerassem
ter uma mensagem positiva e com (–) as que tivessem mensagem negativa. Nessa etapa,
sentimos que eles tiveram certa dificuldade em formar os pares estabelecidos: O Mago/O
Louco; A Sacerdotisa/O Mundo; A Imperatriz/O Julgamento; O Imperador/O Sol; O Papa/A
Lua; O Namorado/A Estrela; O Carro/A Casa de Deus; A Justiça/O Diabo; O Eremita/A
Temperança; A Roda da Fortuna/A Morte e A Força/O Enforcado.
Provavelmente esse obstáculo ocorreu devido à grande dificuldade que a maioria dos
alunos enfrenta com a leitura, pois as cartas, além de serem numeradas, são identificadas pelo
nome. Sugerimos, então, que ficassem à vontade na formação dos pares, o que foi
prontamente atendido.
Dar significado positivo ou negativo às cartas pressupõe receptividade à interpretação
destas, ao mesmo tempo que leva a uma conexão com nossas experiências, projetando-as nas
figuras simbólicas do tarô.
Nesse sentido, Nichols ([19--], p.174) nos diz que “para descobrir quem somos
precisamos, finalmente, recolher as partes de nós mesmos que projetamos sem perceber em
outros, aprendendo a encontrar, bem no fundo de nossas próprias psiques os potenciais e
deficiências que anteriormente só víamos nos outros.”
Difícil é chegarmos a essa compreensão, entretanto é fácil observarmos que as
crianças, vez por outra, escapam de si mesmas pela imaginação, colocando-se no papel de
outras pessoas (super-heróis), de um animal ou até mesmo de um determinado objeto.
Dando seqüência às atividades, os pares de cartas foram organizados pelos números
nelas indicados e foi acrescentado ao lado de cada número o sinal + ou – , que já haviam sido
assinalados em relação à carta. De posse desses novos números, foram elaboradas situações-
problema envolvendo os números positivos e negativos.
Nessa atividade, encontramos um obstáculo: no momento em que a situação era
contextualizada, envolvendo débito e crédito, por exemplo, não havia dificuldade na
resolução do problema. Entretanto, ao colocarmos situações em que não havia
contextualização, os alunos faziam uma grande confusão, não conseguindo avançar com os
resultados da forma desejada.
No entanto devemos ter o cuidado de não nos limitarmos apenas a atividades
concretas, pois, de acordo com Brasil (1998), nem sempre essas atividades esclarecem os
significados dos conteúdos abordados.
Assim, devemos criar situações que permitam ao aluno reconhecer os números inteiros
como extensão dos naturais a partir de suas experiências com esses números. É importante, no
entanto, fazê-los entender que, numa adição de números inteiros, por exemplo, somar um
número negativo equivale a subtrair o número positivo com o mesmo módulo e subtrair um
número negativo equivale a somar o número positivo com o mesmo módulo, ou seja:
• a + (- b) = a + (0 – b) = a + 0 –b = a – b;
• a – (- b) = a – (0 – b) = a + b.
Da mesma forma, também é importante o aluno saber que as suas dificuldades no
contato com os números inteiros, já instigavam questionamentos de célebres matemáticos,
como Euler, Laplace, Cauchy, MacLaurin, Carnot, Diofanto, Stevin, Descartes, D’Alembert e
Hankel. Denivaldo P. Silva (2003) apresenta seis obstáculos, amplamente discutidos de forma
cronológica pelos matemáticos acima citados, os quais se dedicaram ao estudo dos números
relativos.
Esses obstáculos são: inaptidão para manipular quantidades isoladas, dificuldade em
dar sentido a quantidades negativas isoladas, dificuldade em unificar a reta numérica, a
ambigüidade dos dois zeros (dificuldade em associar o zero absoluto com o zero origem de
um eixo orientado); estagnação no estágio das operações concretas (em confronto com o
estágio das operações formais); busca por um modelo unificador que viesse a funcionar tanto
em modelos aditivos quanto em multiplicativos.
Para o aluno, esses obstáculos tornam-se muito mais complicados, uma vez que não se
trata apenas de entender as propriedades já conhecidas dos números naturais, mas também de
saber aplicá-las em um contexto, tendo que compreendê-las na construção de novos
significados. Ele aprendeu que, numa subtração, retira-se um número menor de um maior e
agora, no entanto, ouve dizer que é permitido fazer a retirada de um número maior de um
menor. Isso significa que ele terá que reorganizar seu pensamento a respeito do conceito de
número, admitindo essa nova realidade – uma nova classe de números, denominados
negativos.
Dessa forma, tomar conhecimento desses números, de acordo com Leny Teixeira
(1993, p. 62) é fazer uma abstração reflexiva da idéia de que eles “são menores do que os
positivos, característica generalizável a todos os números negativos”.
Outra grande dificuldade dos alunos diz respeito à reta numérica, em relação à
ordenação dos números a partir de um ponto de referência, que é o zero. Eles costumam
confundir a ordem crescente dos números positivos com a ordem decrescente dos negativos,
dificultando a comparação dos números, isto é, eles levam em conta apenas o valor absoluto
dos números, não os sinais +/−.
Uma discussão acalorada surgiu, na sala de aula, em torno da utilização ou não desses
sinais diante do zero. Nesse contexto, sugerimos que os alunos traçassem uma linha de tempo
da sua história de vida, destacando os fatos positivos acima dessa linha e os negativos abaixo.
Com a finalidade de haver um melhor entendimento desse estudo, trabalhamos com
situações envolvendo linhas de tempo (notações a.C./d.C.) e medidas de temperatura, as quais
serviram para apreensão de regras de adição e subtração com inteiros. Também propusemos
situações-problema, abordando gráficos estatísticos, possibilitando ao aluno a interpretação de
deslocamentos no plano, localizando pontos e desenvolvendo a noção de coordenadas
cartesianas.
Frente às dificuldades de leitura e escrita evidenciadas durante o desenvolvimento das
atividades e por entendermos que esses aspectos são imprescindíveis para a formação dos
nossos alunos, atuando como agente de transformação e ampliação de conhecimentos,
sugerimos que a partir dos dados da linha de tempo, eles escrevessem sua vivência com a
matemática, ou seja, contassem um pouco da sua história de vida em relação à
aprendizagem da matemática.
Acreditamos que, com essa atividade, estávamos contribuindo para que os alunos viessem
a melhorar a sua ortografia, assim como, no momento de registrar suas falas, se sentissem
estimulados a falar de suas idéias e concepções de mundo e de vida, traduzindo as
representações que fazem do seu cotidiano.
Nesse sentido, Wania M. Possas (1999, p. 32) diz que “é fundamental que a escola e
os professores compreendam que ensinar por meio da língua e, principalmente, ensinar a
língua, é tarefa não só técnica, mas também política.”
Trabalhamos, como professores de matemática, com uma linguagem de difícil
compreensão para aqueles que não dominam a própria língua materna. Isso acontece,
conforme expressa Carmen G. Granell (1998), pelo fato de que, enquanto a língua materna
tem como função primordial a comunicação, a linguagem matemática é caracterizada pela
abstração, rigor e precisão, apresentando como finalidade primordial a inferência, ou seja, a
indução, e não a comunicação.
Ao propor aos alunos que escrevessem a sua história de vida com relação à
matemática, estávamos considerando que dar atenção à diversidade cultural significa estar
atento não somente às capacidades intelectuais e às informações de que os alunos dispõem,
mas também a seus interesses e motivações.
Nessa perspectiva, preocupar-se com a identidade dos alunos, ao contrário do que se
poderia conceber, não é assinalar aquilo em que diferem e estigmatizá-los por isso, mas
considerar suas singularidades, respeitando-as e valorizando-as como fator de
desenvolvimento pessoal e cultural. Ao apreciar-se a diversidade e a individualidade dos
alunos, tem-se como valor o acatamento às diferenças, e não a consagração da disparidade.
Deve-se dar atenção ao aluno que evidencie a necessidade de reconstruir sua auto-
estima. Trata-se de criar condições de aprendizagem a todos os alunos, seja através de
incrementos na intervenção pedagógica ou de medidas extras que admitam necessidades
individuais. Dessa forma, como aponta Brasil (1997), a diversidade é um princípio envolvido
com a eqüidade, ou seja, com o direito de todos os alunos de desenvolverem aprendizagens
básicas para seu crescimento e socialização.
Em seus relatos sobre a vivência com a matemática, a maioria dos alunos afirmou que
gosta da matemática e reconhece sua importância em sua vida frente às necessidades sociais.
Apesar da dificuldade que eles sentem com os conteúdos matemáticos, têm clareza da
importância destes, demonstrando ansiedade pelo processo de aprendizagem. Falaram
vagamente sobre os problemas pessoais que os levaram a se afastar da escola, assim como da
grande dificuldade de voltar a estudar após um longo período ausentes da sala de aula.
Eles reconhecem que a matemática está presente nas diversas situações da vida
cotidiana e o desejo de aprender o conteúdo da divisão apareceu em quase todos os relatos.
Apenas um aluno esclareceu ter vontade de aprender geometria, enquanto dois disseram
querer aprender mais sobre gráficos.
Percebemos aqui quanto os conteúdos da aritmética são valorizados no Ensino
Fundamental e como há deficiência nesse estudo, pois é grande o número de alunos que
chegam ao Acreditar III, já mencionado no início deste trabalho, sem que saibam trabalhar
com as operações fundamentais e, pior ainda, nem reconhecem as suas propriedades.
Vale ressaltar a maneira como eles se colocaram em relação a Matemática. Falaram
como se fala a um amigo, com intimidade, carinho e afeto, como nos mostram os
fragmentos textuais a seguir:
• Eu nunca fui boa em matemática. Eu não entendo ela e nem ela me entende, mais
contudo isso eu preciso muito dela para aprender de tudo de bom que ela tem para me
ensinar. Mas ela deve estar aborrecida comigo porque já faz 23 anos de batalha e não
aprendi quase nada;
• A minha história com a matemática começou quando estava em casa sem fazer nada.
Fui me apegando aos livros matemáticos e eles foram meus amigos durante muitos e
muitos anos que eu passei no interior. Como não tinha muitos amigos, me apaixonei
pelos números;
• O meu romance com a matemática não é dos melhores, gostaria de me apaixonar por
ela, assim teria mais facilidade para aprender, pois o amor nos ensina a subtrair,
dividir, somar e multiplicar;
• A matemática significa quase tudo em minha vida, através dela que eu aprendi muitas
coisas significantes. Trouxe para mim muita alegria no meu interesse de aprender e
com ela consegui escrever, ler e resolver;
• Eu conheci a matemática com 7 anos de idade e eu achei muito interessante a
matemática ser assim tão legal. Às vezes eu paro para pensar, será que a matemática
oferece algo tão importante?.
O reconhecimento de suas limitações e o anseio por aprender uma disciplina com a
qual dizem sentir tanta dificuldade demonstram certa maturidade e autonomia. Autonomia
essa relacionada ao reconhecimento da construção do conhecimento e voltada para o elemento
emocional, envolvendo sensibilidade, consciência das limitações e respeito mútuo, ou seja,
respeito à disciplina e a si mesmos com a compreensão de que são responsáveis por seus
próprios atos.
Brasil (1998) salienta que a autonomia não é uma circunstância psicológica comum
que, uma vez acertada, esteja abonada para qualquer situação, pois uma pessoa pode ter
autonomia para atuar em determinados campos e, em outros, nem tanto. Dessa maneira, é
essencial que o educador valorize também o trabalho cooperativo, sugerindo atitudes que
possam favorecer o desenvolvimento da autonomia na dimensão grupal. Para tanto, os alunos
que sabem mais devem auxiliar aqueles que sabem menos, colaborando, assim, para uma
analogia interativa que atente para o conhecimento.
3. 3 A geometria na arte: uma visão histórico-simbólica a partir do tarô
Alguns autores chegam a afirmar que o saber matemático, dentre outros, é condição
necessária para se exercer a cidadania na sociedade em que vivemos, uma vez que saber
calcular, medir, argumentar e tratar informações estatisticamente é requisito primordial para
se enfrentar uma sociedade que se torna cada vez mais complexa.
Assim, se os trabalhos com os conhecimentos geométricos forem feitos a partir da
exploração dos objetos do mundo físico, como obras de arte, pinturas, desenhos, cartas de tarô
e outros, eles permitirão ao aluno estabelecer conexão entre a matemática e outras áreas do
conhecimento, favorecendo a construção da criatividade e possibilitando a superação da rotina
escolar.
Nessa perspectiva, desenvolvemos um trabalho no qual as atividades propostas foram
divididas em etapas, tendo como objetivos: explorar os conceitos geométricos a partir da arte
do tarô, fazer uma releitura das cartas e criar painéis a partir de critérios apresentados.
Para tanto, inicialmente pedimos aos alunos que fizessem a leitura do resumo do texto
A geometria na arte: uma visão histórico-simbólica a partir do tarô, com o intuito de obterem
um conhecimento maior acerca do conteúdo tratado. Sugerimos também que destacassem no
texto e procurassem no dicionário e nos livros didáticos as palavras desconhecidas.
Solicitamos, em seguida, com a finalidade de identificar os conhecimentos prévios dos
alunos sobre esse tema, que eles observassem as cartas do tarô e explorassem os aspectos
geométricos das figuras, selecionando, dentre as cartas, as que apresentassem mais aspectos
geométricos.
Nesse contexto, sugerimos que os grupos, a partir das observações feitas, produzissem
painéis contendo linhas retas, figuras apenas pontilhadas, com linhas curvas e com figuras
geométricas planas e as identificasse.
Depois, inspirado nas ilustrações das cartas observadas, o grupo fez uma releitura
dessas figuras, dando outro significado ao simbolismo presente no tarô.
Para finalizar as atividades, uma vez que as cartas do tarô têm uma relação com as vinte e
duas letras do alfabeto hebraico – no qual cada uma das letras corresponde a um valor
numérico e a um valor esotérico. O número de arcanos (22) é igual ao número de polígonos
regulares inscritos em uma circunferência (Chaboche, [19--]) – , desenvolvemos outra
atividade, fazendo uso do compasso e do transferidor para a construção de figuras a serem
inscritas na circunferência. Foram construídos os polígonos regulares: triângulo, quadrado,
pentágono e hexágono. Em seguida, orientamo-los no sentido de que duplicassem os lados
desses polígonos inscritos transformado-os em hexágono, octógono, decágono e dodecágono,
respectivamente. Solicitamos também que traçassem as diagonais dessas figuras. Ao fazer
isso, alguns alunos, visualizando as novas configurações, expressaram que a Matemática
transformava-se em arte a partir dali!.
Para que eles se apropriem desses conhecimentos, não basta apenas mostrar-lhes
objetos geométricos ou apresentar-lhes suas propriedades; é fundamental que vivenciem
experiências em que os conhecimentos geométricos possam estar presentes, procurando
descrevê-los e representá-los.
3.3.1 Análise e discussão dos resultados
De posse dos resultados do conhecimento prévio dos alunos sobre as observações
efetuadas, percebemos que eles demonstraram conhecer as figuras geométricas planas mais
comuns, como, no caso, triângulos, quadrados e retângulos. As representações dessas formas
são comumente encontradas em construções e objetos que pertencem ao espaço onde nos
encontramos, daí serem reconhecidas facilmente.
Num primeiro momento, principalmente para os alunos que não tiveram um
conhecimento mais sistematizado da geometria, as figuras foram reconhecidas por sua
aparência física, e não por suas propriedades. Posteriormente, após a intervenção didática e
através das observações e experimentações, eles passaram a perceber algumas características
dessas figuras e as propriedades das formas geométricas.
Além disso, passaram a conhecer outras figuras elementares, como o trapézio e o
paralelogramo. Boa parte dos alunos em questão reconheceu figuras geométricas espaciais,
como a esfera e o cone. Outros elementos, como retas, ângulos, paralelas e perpendiculares,
foram reconhecidos do mesmo modo.
Nesse sentido, “atividades de descrição e representação permitem que os alunos
construam idéias mais completas sobre o espaço, sobre as figuras geométricas e suas
propriedades e aprendam o vocabulário geométrico de forma natural” (Brasil, 1999, p. 149).
Entendemos que, a partir da observação, pode-se desenvolver a capacidade de
reconhecer formas, representá-las, identificar suas propriedades e abstraí-las. “Essas
habilidades são a base para a construção das relações espaciais que caracterizam o
pensamento geométrico” (Brasil, 1999, p. 146).
Alguns alunos afirmaram que, apesar de terem gostado do trabalho proposto, sentiram
dificuldade em realizar as atividades, principalmente na observação dos aspectos geométricos
presentes nas cartas do tarô. Provavelmente, isso é fruto da não-valorização dos
conhecimentos geométricos em sala de aula, assim como da não-utilização de recursos
didáticos para abordar esse conhecimento.
Para o desenvolvimento da atividade de releitura das cartas do tarô, sugerimos que os
alunos observassem atentamente as cartas e escolhessem aquela que mais os sensibilizasse.
Feita a escolha, eles deveriam desenhar uma nova figura, de acordo com o sentimento
despertado. Assim estariam expressando em seus desenhos suas emoções, seus afetos, enfim
sua vida interior. Aqueles que sentissem dificuldade no processo de criação poderiam tentar
reproduzir a própria figura da carta escolhida. Tínhamos, então, o objetivo de fazê-los
experimentar e explorar a linguagem do desenho, numa integração de sentidos, percepção e
pensamento.
Brasil (1998, p. 03) aponta que
o conhecimento da arte abre perspectivas para que o aluno tenha uma
compreensão do mundo na qual a dimensão poética esteja presente: a arte
ensina que nossas experiências geram um movimento de transformação
permanente, que é preciso mudar referências a cada momento, ser flexível.
Assim sendo, o desenho nos põe em contato com o mundo, visto que é uma linguagem
de expressão e comunicação da arte, haja vista que, desde os primórdios da humanidade, o
homem deixou seus registros em cavernas, expressando-se através de desenhos, sinais estes
que evidenciam sua passagem ao longo do tempo. Podemos constatar ainda desenhos vivos na
natureza, como a nervura das folhas, as rugas da pele, a disposição das nuvens no céu, dentre
inúmeros outros exemplos. Essa natureza exuberante desperta nos artistas o desejo de
expressá-la. Cassirer (1994, p. 277) afirma que “a arte nos propicia uma imagem mais rica,
mais viva e mais colorida da realidade...”.
Nessa experiência recriativa, os alunos demonstraram prazer e empenho na execução
de suas produções, como também evidenciaram interesse e respeito pelo trabalho dos colegas.
Externaram disposição e valorização para realizar tal tarefa, expressando e comunicando
idéias, sentimentos e percepções. Nesse sentido, destacamos a avaliação de uma aluna, que
afirmou: “O trabalho desenvolvido foi proveitoso e interessante, pois, além de revisar a
matéria (geometria), houve um entrosamento com os colegas” e, finalizou dizendo que “o
trabalho em grupo é bom para trocar idéias e estreitar os laços de amizade”.
Dentre os desenhos apresentados, três exprimem uma harmonia no traçado das linhas,
demonstrando uma composição equilibrada, uma simetria instintiva. Esse conceito, entretanto,
até então não era conhecido por esses alunos. Tal fato nos levou a fazer um trabalho posterior
sobre esse conteúdo, por entendermos que o “ensino de simetria se justifica, entre outras
coisas, devido ao dinamismo que imprime à geometria” (Brito e Carvalho, 2001, p. 43), no
que diz respeito às transformações do plano, as quais estão centradas em três tipos de
movimentos: reflexão, translação e rotação.
Esses movimentos são rígidos, pois as figuras mudam de posição sem, no entanto,
mudarem de forma e de tamanho. No ensino da matemática, as simetrias das figuras
propiciam a compreensão do conceito de congruência e semelhança, possibilitando o
desenvolvimento da capacidade de perceber se duas figuras têm ou não a mesma forma e o
mesmo tamanho, independente da posição que elas ocupam no espaço.
Os alunos demonstraram sensibilidade nos seus desenhos, e as cartas do tarô mais
interpretadas foram a Casa de Deus, o Sol, a Estrela e a Lua. Possivelmente, essas cartas os
motivaram remetendo-os a fatos do cotidiano (igreja, sol/mar, noite/estrela), uma vez que “a
arte é uma imitação de coisas externas. [...] mas, em vez de ser uma reprodução de coisas, de
objetos físicos, ela se tornaria uma reprodução de nossa vida interior, de nossos afetos e
nossas emoções” (Cassirer, 1994, p. 227-231).
Nesse sentido, lembramos que os nossos alunos estão inseridos no mundo do trabalho,
senão no mercado formal, na maioria das vezes, lutando pela sobrevivência em ocupações
temporárias. Com isso, convém retomar que, ao voltar a estudar, eles precisam superar uma
série de obstáculos, e o primeiro deles é acreditar que podem aprender. Dessa forma, trabalhar
a auto-estima do aluno, valorizando o conhecimento que detém e o que sabe fazer é o
primeiro passo nessa direção.
Com exceção de dois desenhos reproduzidos, os demais apresentaram um novo
significado para as cartas. Num deles, na representação da figura do Mago, a aluna
simbolizou-o por meio da imagem do alquimista fazendo suas experiências com elementos
que remetem à prática do cientista.
Enfim, os educandos expressaram seus sentimentos de forma espontânea, colaborando
com o nosso propósito de neles desenvolver
potencialidades (como percepção, observação, imaginação e sensibilidade)
que podem alicerçar a consciência do seu lugar no mundo e que também
contribuem inegavelmente para sua apreensão significativa dos conteúdos
das outras disciplinas do currículo (Brasil, 1998, p. 28).
Mediante tal experiência, entendemos que o aprendizado da arte nos leva a percorrer
um caminho progressivo de desenvolvimento de criação pessoal motivado pelas interações
significativas que realizamos. Esse aspecto ficou evidenciado no depoimento de um aluno que
disse: “gostei muito do trabalho porque ele me faz sentir um artista”.
Uma aluna, ao fazer sua auto-avaliação, afirmou que o trabalho inicialmente parecia
coisa de criança, no entanto os incentivou a criar; e prosseguiu afirmando: “Hoje, eu tenho
outra concepção de que realmente tudo isto veio para nos motivar e aprender a Matemática de
forma divertida, pois muitos alunos, já faz tempo que não estudam e já perderam a noção de
tudo isso.”
Por conseguinte, podemos afirmar que, com o material disponibilizado aos alunos,
tivemos um processo satisfatório de adaptação ao desenho, uma vez que todos, entendendo a
solicitação da tarefa que se propunham realizar, apresentaram um resultado positivo, de
acordo com as instruções dadas.
No que diz respeito ao estilo particular e ao desenvolvimento da representação gráfica
de cada indivíduo do grupo, ao analisarmos seus desenhos, observamos a predominância de
traços muito simples, no que tange à forma de expressão artística, coordenação motora,
traçado gráfico e uso das cores.
Observamos, outrossim, certa inadaptação gráfica, pois os desenhos, em sua maioria,
parecem não estar de acordo com a faixa etária dos alunos.
Em relação aos painéis, quase todos, apesar da forma simples de expressão, foram
ricamente colorizados, predominantemente nos pigmentos primários (vermelho, amarelo e
azul), além de alguns matizes secundários, ostensivamente contornados de preto. Apenas um
dos painéis foi elaborado em apenas duas cores, sem nenhuma consistência da textura.
De acordo como o proposto, todos os trabalhos apresentaram, em sua execução e
conteúdo, elementos geométricos, como linhas retas, paralelas e perpendiculares – que, em
alguns casos, cruzavam-se numa intersecção, quando expressavam uma cruz, por exemplo – ,
curvas sinuosas, bem como ângulos.
Os trabalhos exprimiam também a presença de retângulos e quadrados (representando
campos de futebol, bandeiras, casas, igrejas, navios e barcos), losangos (na bandeira
nacional), trapézios e também triângulos – nos desenhos referentes aos telhados das casas e na
construção de algumas mandalas. Mostravam ainda círculos e semicírculos – representados
pelo sol e pela lua, respectivamente, e até corações e alguns sólidos, como o cubo e o bloco
retangular.
Alguns painéis foram efetuados, segundo um eixo central de forma simétrica e outros
obedecendo a uma divisão assimétrica, porém sem demonstrarem um grau mais acurado de
conhecimento geométrico, fato observado claramente pela omissão do emprego da
perspectiva.
Observamos ainda a forte influência do dia-a-dia e o modus vivendi dos alunos
desenhistas, ao atribuírem suas próprias qualidades e necessidades a situações e objetos
exteriores ou a outras pessoas, num verdadeiro processo projetivo, sem que disso tenham
consciência, algumas vezes.
As dimensões e formas contidas nos vários elementos dos desenhos, a posição desses
elementos no conjunto ou o simbolismo do que foi desenhado estão bem expressos em
configurações, como a influência espiritual, através de imagens da cruz. Percebe-se ainda a
expressão da paixão pelo futebol, da sociedade de consumo, da televisão, moradia, lazer,
objetivos, emotividade, afetividade, carência, conflitos, intelectualidade, fantasias, desejos e
impulsos.
De tudo isso, depreende-se que os sujeitos investigados têm desenvolvido suas
próprias maneiras de organizar e estruturar o mundo que os circunda. Aquém ou além dos
conhecimentos sistematizados a partir de conhecimentos e conceitos científicos, eles têm
desenvolvido uma maneira intuitiva de conceber o espaço, pela apelação a formas concretas e
imediatas de apreensão de tal espaço. A pergunta: O que significa o espaço para a constituição
de seu mundo? é ultrapassada pela pergunta: O que expressa o espaço e como ele age na
construção e conquista da realidade espiritual? – na qual sentimentos, afetos, emoções,
desejos e pensamentos se afiguram de modo bastante significativo – o que denota a imperiosa
necessidade de conhecermos seu universo sociocultural, ao pretendermos a realização de um
trabalho docente, que deve partir de situações concretas.
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos, no início de nosso trabalho, um breve apanhado crítico da postura
tradicional do ato de ensinar, com o intuito de passar a idéia de que tal postura tem
freqüentemente trazido – por seu individualismo metodológico, que se centra no professor
e porta uma rigidez didática – conseqüências negativas para o desempenho escolar do
aluno. Ou seja, a postura tradicional de ensinar, a despeito de sua intenção, que é, afinal, a
de toda prática de ensino – de promover o sucesso escolar do aluno e sua permanência na
escola – , tem dificultado tal permanência e criado obstáculos à aprendizagem, devido aos
caminhos escolhidos.
O que queremos dizer com isso é que os recursos metodológicos defendidos e
utilizados por tal postura não chegam a realizar os objetivos a que se destinam, por serem
fragmentados e descontínuos, ao mesmo tempo que não-cumulativos – o que gera certa
estranheza nos alunos – ; descontextualizados e mecânicos – desconsiderando situações
vivenciais e motivacionais do aprender – ; arbitrários e freqüentemente abusivos –
centrando-se na figura e nas ações do professor e valorizando demais o ensinar, em
detrimento do aprender. Esse processo é tomado como o processo natural de ensino-
aprendizagem que muito triunfou na história dos processos didáticos, mas agora entrou em
crise e passa por uma fase de questionamento em várias frentes.
A ênfase excessiva em saberes rígida e previamente sistematizados, com métodos
de transmissão selecionados sem considerar o contexto sociocultural, e o exagero na
relevância do cumprimento de um currículo oficial arbitrariamente apresentado levaram,
por fim, à cristalização da prática de ensinar e à desconsideração da complexidade dos
processos de aprendizagem, conseqüentemente a uma desvalorização de aspectos
multicausais dos processos pedagógicos.
O que afirmamos não vale tão-somente para a escolaridade regular; vale também para
os processos educacionais de jovens e adultos. Essa modalidade de ensino, desconsiderada em
suas especificidades, também sofre das mesmas distorções – muito embora, as novas políticas
educacionais tenham apresentado alguns avanços, se bem que com visíveis limites. A
educação de jovens e adultos tem sido vítima das mesmas práticas tradicionais de ensino que
ainda vigoram no cotidiano dos espaços escolares. Também nela se adota uma prática
conteudista, com uma postura generalista, na qual o professor desconsidera aspectos concretos
próprios dos alunos.
Por isso tudo, buscamos em nossa investigação uma via alternativa: ao contrário do
fragmentário e descontínuo dos conteúdos, decidimos pela integração e continuidade; à
descontextualização e mecanização, preferimos o histórico-concreto e o dinâmico; ao invés do
arbitrário, privilegiamos o culturalmente compartilhado; ao invés de considerar a figura do
professor como centro do processo, decidimos pela interlocução entre professor e alunos e dos
alunos entre si. Tais escolhas as fizemos não só por buscarmos a inovação já advogada por
medidas instituídas por algumas instâncias educativas, mas, prioritariamente, por julgarmos
que a principal particularidade dos jovens e adultos que foram alijados do processo de
escolarização regular é a sua condição de serem portadores de uma situação de classe, que
está na origem de tal alijamento e que a escola mesma parece desconhecer, uma vez que não
consegue reconhecer sua incapacidade de inferir a real capacidade de tais sujeitos para o
conhecimento, não procura efetivamente conhecer os processos naturais que levam tais
sujeitos a adquirirem conhecimento e tampouco se empenha em ligar o conhecimento formal
que transmite ou quer transmitir ao conhecimento prático que eles possuem.
Na promoção da cidadania dos educandos jovens e adultos, no desenvolvimento de
sua criticidade e elevação de sua auto-estima, não poderíamos continuar trabalhando com o
ensino da Matemática numa abordagem que privilegia tão-somente as técnicas de cálculo, em
detrimento da compreensão de conceitos e de sua formação em bases histórico-culturais. Ora,
o trabalho do educador de jovens e adultos demanda o rompimento com o modelo de
instrução tradicional, além de conhecimentos pedagógicos que estruturem uma prática
consciente, o que tentamos insistentemente com nossa pesquisa-intervenção.
Nosso trabalho com ensino de Matemática para jovens e adultos, utilizando as cartas
de tarô como instrumento didático bem o demonstra. Queríamos uma metodologia que, longe
de destratar o aluno, o assimilasse em sua singularidade concreta, o que demandava uma
compreensão do seu cotidiano.
Assim dizemos porque, de saída, reconhecemos a complexidade do aluno da EJA,
sobre quem a aprendizagem ainda causa efeitos. Conquanto a psicologia do desenvolvimento
tenha avançado e amadurecido, com foco na infância e adolescência, ainda nos ressentimos da
falta de amadurecimento de uma psicologia do adulto, principalmente no que diz respeito à
dimensão cognitiva do adulto não-escolarizado. Isso ajudaria a afastar posições errôneas ou
mesmo preconceituosas acerca de respostas dos alunos jovens e adultos, freqüentemente
infantilizadas.
Ora, quando um aluno tem dificuldade de atender, de forma esperada, a determinada
instrução, tal não acontece geralmente por este ter retardo ou estar num nível cognitivo de
criança. Ocorre simplesmente que tal aluno não está ainda familiarizado com procedimentos
que são tipicamente escolares, principalmente quando se trata da simbolização formalizadora
da matemática. Isso ficou claro para nós quando aplicamos o questionário acerca do número,
com o objetivo de relacionar o que os alunos jovens e adultos sabiam do conhecimento
cientifico da Matemática. Pudemos, então, constatar que, a despeito de suas respostas, eles
tinham já internalizado o conceito de número, do que se infere que certas operações formais,
longe de se constituírem processos naturais dos seres humanos, são conquistas dependentes de
exercícios intelectuais característicos da prática escolar.
No caso da educação de jovens e adultos, tais exercícios demandam uma abordagem
mais holística do processo de aprendizagem. Tal abordagem permitiu tratar dos conteúdos em
suas dimensões cognitiva e afetiva, explorando a auto-estima dos alunos. Haja vista que não
basta, no trato com eles, a funcionalidade da aprendizagem de competências e habilidades,
mas também interessa como estas, relacionadas aos seus contextos existenciais, podem
receber um tratamento pedagógico para fazerem avançar nesses alunos sua capacidade crítica,
criatividade e autonomia, para além de meras atividades mecânicas.
Assim, com os conteúdos programáticos, são integrados elementos culturais, história
de vida e elementos que permitam um tratamento do emocional e do afetivo do aluno. Isso
porque freqüentemente o aluno jovem e adulto tem valorizado as aprendizagens que estão no
plano das atitudes; daí termos também enfatizado a interatividade e o diálogo.
O elo aglutinador, no nosso caso, foi o trabalho didático realizado com as cartas do
tarô, as quais, em sua composição e organização, permitem a realização de um trabalho
multidimensional e transdisciplinar, que possibilitou enlaçar, ao lidar com o aluno em sua
situação concreta, conteúdos escolares de Matemática, como sistema de numeração, números
inteiros e geometria com problemas do universo sociocultural e estrutura afetiva, explorada
positivamente. Nesse trabalho, a Matemática aparece como atividade humana concreta e
elemento de cultura, ao mesmo tempo que instrumento de leitura, ajudando os alunos, por
isso, na organização e no entendimento da realidade.
Além disso, essa abordagem possibilitou ultrapassar os limites do conhecimento
matemático, uma vez que favoreceu mergulhar em outros campos do conhecimento, como o
da arte, o da linguagem e o da filosofia, o que nos levou à compreensão de que as relações que
esses educandos irão estabelecer entre suas experiências e a atividade matemática facilitarão a
compreensão de que o conhecimento matemático, historicamente, foi construído em estreita
conexão com as comunidades que o produziram e, dessa forma, apresenta-se como resultado
de vida e da cultura dos povos.
Dessa forma, o ensino da Matemática estará centrado na identificação dos estágios
por que passaram os conceitos, buscando serem compreendidos na forma como foram
construídos, com seus símbolos, normas e procedimentos, e não apenas na memorização de
fórmulas.
É necessário, portanto, que o professor propicie condições para que a aprendizagem
matemática desenvolva-se num intercâmbio de saberes e idéias, de construção coletiva e
novos conhecimentos, de forma que um maior número de indivíduos possa aproximar-se do
conhecimento matemático que a humanidade acumulou.
Nessa perspectiva, resta-nos saber qual será a imagem que os alunos fazem da
escola e quais são suas expectativas em relação a ela. Assim, estaremos compartilhando dos
seus sonhos e metas de vida, buscando auxiliá-los no entendimento de suas atitudes, com o
intuito de contribuir para o processo de aprendizagem.
Sob esse prisma, o professor necessita conhecer várias possibilidades de trabalho
em sala de aula e deve procurar motivar o seu aluno, pois a falta de estímulo interfere na
aprendizagem e, para que esta ocorra, é necessário continuidade, esforço e motivos para
esforçar-se.
Acreditamos que, para ocorrer a motivação, é preciso que nos conheçamos, pois, só
assim, abrir-se-á uma porta no nosso interior a qual nos permitirá saber quem somos, de onde
vimos e aonde queremos chegar. Nesse sentido, o tarô com o seu simbolismo, configurou-se
como uma das ferramentas que podem ser utilizadas para descerrar essa porta.
REFERÊNCIAS
ABREU JÚNIOR, L. Conhecimento Transdisciplinar: o cenário epistemológico da
complexidade. Piracicaba: Unicamp, 1996.
ALEKSANDROV, A. D., et al. La Matemática: su contenido, métodos y significado.
Verson española de Manuel López Rodriguez. Madrid: Alianza Editorial, 1994.
ARAÚJO, A. Mudanças transformaram a Vila de Ponta Negra. Diário de Natal, Natal, 24
out. 1999. Caderno Cidades, p. 14-15.
BARBIN, E. Integrating history: research perspectives. In: FAUVEL, John e Jan
van Maanen. History Mathematics Education: the ICMI Study. Dordrecht:
Klumer Academic Publishers, 2000.
BOYER, C. B. História da Matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher,
1974.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
_____. Secretaria de Educação Fundamental. Proposta Pedagógica Curricular – 1º segmento.
Educação de Jovens e Adultos: Ensino Fundamental. São Paulo: Ação educativa: Brasília:
MEC, 1999.
_____. Secretaria de Educação Fundamental. Proposta Pedagógica Curricular – 1º segmento.
Educação de Jovens e Adultos: Ensino Fundamental. São Paulo: Ação educativa: Brasília:
MEC, 2001.
_____. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Introdução. Brasília: MEC, 1997.
BRITO, A. de J. Geometrias não-euclidianas: um estudo histórico-pedagógico. 1995. 00f.
Dissertação (Mestrado em) UNICAMP, Campinas, 1995.
_____ e Dione L. de Carvalho. Geometria e Outras Metrias. Natal: Editora da SBHMat,
2001. (Séries textos de História da Matemática, v. 2).
CAMARGO, P. Iniciação ao Tarô. 4ª ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
CASCUDO, L. da C. Chee Chow. Diário de Natal, Natal, 05 nov. 2001. Caderno Muito, p.
10.
CASSIRER, E. Ensaio sobre o Homem: Introdução a uma Filosofia da Cultura Humana.
Trad. Tomás Rosa Bueno. São Paulo: Martins Fontes, 1994.
_____. Filosofia de las Formas Simbólicas: el pensamiento mítico. Trad. Armando
Morones. México: Fondo de Cultura Económica, 1998. v. 2.
CHABOCHE, F. X. Vida e Mistério dos Números. Trad.: Luiz Carlos T. de Freitas. São
Paulo: Hemus, [19--].
CIRLOT, J. E. Dicionário de Símbolos. Trad. Rubens Eduardo F. Frias. São Paulo: Morais,
1984.
CONWAY, J. H. e Richard K. Guy. O Livro dos Números. Trad. José S. Pinto. Lisboa:
Gradiva, 1999.
COURANT, R. e H. Robbins. O que é matemática? Trad. Adalberto da Silva Brito. Rio de
Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
CREMA, R. Saúde e Plenitude: um caminho para o ser. São Paulo: Sumus, 1995.
CROWLEY, A. O Livro de Thoth: O Tarot. Trad. Edson Bini. São Paulo: Madras, 2000.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Conhecimento e Consciência: o despertar de uma nova era. In:
GUEVARA, A. J. H. et al. Conhecimento, cidadania e meio ambiente. São Paulo:
Peirópolis, 1998. p. 11-46 (Série Temas Transversais).
_____. Etnomatemática: Arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo: Ática, 1990
DELORS, J. Educação: um tesouro a descobrir. Trad. José Carlos Eufrásio - 4ª ed. - São
Paulo: Cortez; Brasília: MEC; UNESCO, 2000.
DELVAL, J. Aprender a aprender. Tradução: Jonas P. dos Santos. Campinas: Papirus,
1998.
ERICKSON, G. W. e John A Fossa. A Pirâmide Platônica. João Pessoa: Editora
Universitária/UFPB, 1996.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Trad. Hygino H. Domingues, 3ª ed.
Campinas: Editora da Unicamp, 2002.
_____. Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula. Trad. Hygino H.
Domingues. São Paulo: Atual, 1992.
FOSSA, J. A. Hamelet antipholus e antipholus: lucubrações pedagógicas sobre a História
da Matemática. In: ENEM, 5., 1995, Aracaju. Anais do V ENEM, Aracaju, 1995. p. 281-283.
_____. Ensaios sobre a educação matemática. Belém: EDUEPA, 2001.
FRANZ, M. L. von. O Processo de Individuação. In: JUNG, C. G., et al. O Homem e seus
Símbolos. Trad. Maria Lúcia Pinho. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1977. p. 158 – 229.
FREIRE, P. Pedagogia da indignação: cartas pedagógicas e outros escritos. São Paulo:
Editora UNESP, 2000.
GASPAR, M. T. e Suzeli Mauro. Explorando a geometria através da história da
matemática e da etnomatemática. Rio Claro: SBHM, 2003 (Coleção: História da
Matemática para Professores).
GRANELL, C. G. Rumo a uma epistemologia do conhecimento escolar: o caso da educação
matemática. In: RODRIGO, M. J. e ARNAY, J. (org.). Conhecimento, cotidiano escolar e
científico: representação e mudança – A construção do conhecimento escolar 1. Trad. Cláudia
Schilling. São Paulo: Ática, 1998. p. 15-41.
HABERMAS, J. Charles S. Peirce sobre comunicación. In: HABERMAS, J. Textos y
Contextos. Trad. Manuel Jiménez Redondo. Barcelona: Editorial Ariel, 2001. p. 37-58.
HADDAD, S. Ensino Supletivo no Brasil; o estudo da arte. Brasília: INEP/ REDUC, 1987.
HERNÁNDEZ, F. Transgressão e Mudança na Educação: os projetos de trabalho. Trad.
Jussara Haubert Rodrigues. Porto Alegre: ArtMed, 1998.
_____ e Monteserrat Ventura. A Organização do Currículo por Projetos de Trabalho: o
conhecimento é um caleidoscópio. Trad. Jussara Haubert Rodrigues. Porto Alegre: ArtMed,
1998.
IFRAH, G. História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens contada pelos
números e pelo cálculo. Trad. Alberto Muñoz e Ana Beatriz Katinsky. Rio de Janeiro: Nova
Fronteira, 1997. v. 1.
JACOBI, J. Símbolos em uma análise individual. In: JUNG, C. G., et al. O Homem e seus
Símbolos. Trad. Maria Lúcia Pinho. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1977.
p. 272 – 303.
JAFFÉ, A. O Simbolismo nas Artes Plásticas. In: JUNG, C. G., et al. O Homem e seus
Símbolos. Trad. Maria Lúcia Pinho. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1977. p. 230 – 271.
JAPIASSU. H. Interdisciplinaridade e Patologia do Saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976.
_____ e Danilo Marcondes. Dicionário Básico de Filosofia. 3ª ed. Rio de Janeiro: Jorge
Zahar, 1996.
JUNG, C. G. Chegando ao inconsciente. In: JUNG, C. G., et al. O Homem e seus Símbolos.
Trad. Maria Lúcia Pinho. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1977. p. 18 – 103.
LAWLOR, R. Geometria Sagrada: filosofia e prática. Trad. Maria José G.
Ripoll. Madrid: Edições del Prado, 1996.
LIPMAN, M., Ann M. Sharp e Frederick S. Oscanyan. A filosofia na sala de aula. Tradução:
Ana Luiza F. Falcone. São Paulo: Nova Alexandria, 1994.
MENDES, I. A. História no Ensino da Matemática: um enfoque transdisciplinar. In:
CUNHA, E. R. e Pedro F. Sá (orgs.). Ensino e Formação Docente: propostas, reflexões e
práticas. Belém: [s.n], 2002.
MINAYO, M. C. de S. Ciência, Técnica e Arte: o desafio da pesquisa social. In: MINAYO,
M. C. de S. (org) Pesquisa Social: teoria, método e criatividade. Petrópolis: Vozes, 1994. p.
9-15.
MOREY B. Geometria e Trigonometria na Índia e nos Países Árabes. Rio Claro: SBHM,
2003 (Coleção: História da Matemática para Professores).
NICHOLS, S. Jung e o Tarô: uma jornada arquetípica. Trad. Octavio Mendes Cajado. São
Paulo: Cultrix, [19--].
NICOLESCU, B. O manifesto da transdisciplinaridade. Trad. Lúcia P. de Souza. 2ª ed. SP:
Triom, 2001
.
NOBRE, S. R. História e Educação Matemática. Revista de Educação Matemática, São
Paulo, Ano 3, n. 2, p. 17, mar. 1995.
PASSEGGI, C. Autoconhecimento: Metacompetência para Formação Permanente. In:
Telecongresso Internacional de Educação de Jovens e Adultos, 1, 2001, Natal. Palestra
proferida no I Telecongresso Internacional de Educação de Jovens e Adultos. Natal, 2001.
PENNICK, N. Geometria Sagrada: simbolismo e intenção nas estruturas religiosas. Trad.
Alberto Feltre. São Paulo: Pensamento, 1989.
PERRENOUD, P. Construir as competências desde a escola. Trad. Bruno C. Magne. Porto
Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.
POSSAS, W. M. Compreensão e domínio da escrita: vale o escrito. In: Salto para o Futuro –
Educação de jovens e adultos/Secretaria de Educação a Distância. Brasília: Ministério da
Educação, SEED, 1999.
POST, L. van der. Introdução. In: NICHOLS, Sallie. Jung e o Tarô: uma jornada arquetípica.
Trad. Octavio Mendes Cajado. São Paulo: Cultrix, [19--].
POWELL, A. O que educadores precisam saber sobre a bagagem cultural de seus
alunos?. In: ENEM, 5., 1998, São Leopoldo. Anais do VI ENEM – Vol. 1. São Leopoldo,
1998. p. 95-96.
POZO, J. I. e M. A. Crespo. Aprender y Enseñar Ciência. Madrid: Ediciones Morata,
2001.
SILVA, D. P. da. Epistemologia dos Números Relativos. Disponível em:
<http://orbita.starmedia.com/~historia_da_matematica>. Acesso em: 09 fev. 2003.
SILVESTRE, C. H. ABC do Tarô. Trad. Célia Dourado. Rio de Janeiro: Nórdica, 1991.
SMOLE, K. C. S. O papel da Geometria na formação do professor das séries iniciais.
Revista do Professor de Matemática. nº 16, p. 1-9, 1º Semestre, 1990.
STEINER-GERINGER, M. O Tarô e o Autoconhecimento. Trad. Zilda Hutchinson Shild.
São Paulo: Pensamento, 1997.
TAHAN, M. Os Números Governam o Mundo: folclore da matemática. Rio de Janeiro:
Ediouro, 1998.
TATON, R. (org.) A Ciência Antiga e Medieval: as ciências antigas do oriente. 1º vol. Trad.
Ruy Fausto. São Paulo: Difusão Européia do Livro, 1959.
TEIXEIRA, L. R. M. Aprendizagem Operatória de Números Inteiros: Obstáculos e
Dificuldades. Pro-Posições, v. 4, n. 1, p. 60-71, mar. Unicamp: Cortez, 1993.
VERGANI, T. A Propósito de Conhecimento, Símbolos e Culturas: O livro das mutações e
o seu suporte numérico-geométrico. Educação em Questão, V.12 e 13. N.3/2, p. 127-140.
jul/dez 2000 – jan/jun 2001.
WESTCOTT, W. W. Os Números: seu poder oculto e suas virtudes místicas. Trad. Joaquim
Palácios. São Paulo: Pensamento, 1999.
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