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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Física
Mestrado em Física
Ferrofluidos em células de Hele-Shaw de
espaçamento variável: o papel do campo
magnético e dos estresses viscosos.
Rafael Menezes de Oliveira
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Recife
27 de fevereiro de 2007
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Oliveira, Rafael Menezes de
Ferrofluidos em células de Hele-Shaw de
espaçamento variável: o papel do campo magnético e
dos estresses viscosos / Rafael Menezes de Oliveira –
Recife : O autor, 2007.
xiii, 104 folhas : il., fig.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal de
Pernambuco. CCEN. Departamento de Física, 2007.
Inclui bibliografia.
1. Mecânica dos fluidos. 2. Instabilidades hidrodinâmicas.
3. Formação de padrões. 4. Ferrofluidos. 5. Células de Hele-
Shaw. 6. Estresses viscosos. I. Título.
532 CDD (22.ed.) FQ2007-07
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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Departamento de Física
Rafael Menezes de Oliveira
Ferrofluidos em células de Hele-Shaw de espaçamento
variável: o papel do campo magnético e dos estresses viscosos.
Trabalho apresentado ao Programa de Mestrado em Física
do Departamento de Física da Universidade Federal de
Pernambuco como requisito parcial para obtenção do grau
de Mestre em Física.
Orientador: Prof. Dr. José Américo de Miranda Neto
Co-orientador: Prof. Dr. Sérgio Galvão Coutinho
Recife
27 de fevereiro de 2007
A Deus e às pessoas de minha vida.
Agradecimentos
Primeiramente, gostaria de agradecer a meu orientador e amigo, Américo. Sem seu apoio, sua
confiança e nosso trabalho duro, nada disso, essa dissertação e nossas publicações, existiria.
Estou certo de que a maior parte do pouco de física que vivenciei até agora devo a essa intensa
e prazerosa relação. Agradeço também ao Prof. Sérgio, que em pouco tempo de colaboração
como co-orientador me fez deslumbrar novos modelos e geometrias.
A minha mãe, que, apesar de quase nunca entender, está sempre disposta a tentar ouvir
qualquer coisa que eu tenha a dizer sobre essas coisas. Saiba que diversas vezes isso ajudou a
me expressar melhor e a explicar de uma forma mais didática um pouco do que aqui fazemos.
A meu pai e sua eterna preocupação, que me ensinaram a procurar fazer tudo sempre da melhor
forma possível. E a Lilinha, minha irmã, cada vez mais próxima, que adoro tanto.
A Hermes, por nossas conversas, discussões e coincidências, porque é incrível como as
coisas aconteceram sempre da mesma forma e na mesma época para nós dois, independen-
temente, durante os anos de graduação de mestrado. A Fernando, por sua amizade, nossas
corridas, pedaladas, braçadas e, claro, física também. E a Roberto e nossos vinhos, apesar de
poucos, ainda, espero. E a Amanda, que por muito tempo, desviou minha atenção dos estudos
para cinema, festas e viagens.
Devo agradecer também a toda a galera que cursou as disciplinas comigo e às noites per-
didas no departamento com listas de exercícios, habib´s e hambúrgueres do raul. Entre eles,
Priscila, Karlla, Cioba, Marion, Leo, Erms, Bernardo, Eroni, Danieverton, Lincoln, Renato,
Sérgio (Cubano), Gabriel, André (Zangado). Sei que tem mais, mas minha memória não per-
mite lembrar todos ao mesmo tempo.
Aos membros da banca Eduardo Shirlippe e Ernesto Raposo, por suas leituras, comentários
e sugestões para o melhoramento deste trabalho. Ao Prof. Fernando Moraes, por sua amizade
e apoio, principalmente no início de nossa graduação. E aos professores do Departamento de
Física, em especial os das disciplinas, claro, Flávio, Sérgio e Rita, aos funcionários e ao CNPq.
Foi divertido.
iv
Qualquer caminho é apenas um caminho e não constitui insulto algum -
para si mesmo ou para os outros - abandoná-lo quando assim ordena o seu
coração. Olhe cada caminho com cuidado e atenção. Tente-o tantas vezes
quantas julgar necessárias... Então, faça a si mesmo e apenas a si mesmo
uma pergunta: possui esse caminho um coração? Em caso afirmativo, o
caminho é bom. Caso contrário, esse caminho não possui importância
alguma.
—CARLOS CASTAÑEDA (Os Ensinamentos de Don Juan)
Resumo
Neste trabalho de dissertação, exploramos analiticamente o fluxo de um ferrofluido newtoni-
ano confinado entre duas placas planas e paralelas. Analisamos o desenvolvimento de instabi-
lidades de interface quando a placa superior é levantada, sob a ação de um campo magnético
aplicado. Obtivemos uma equação diferencial de modos acoplados para o sistema, cuja solução
descreve as amplitudes de perturbação da interface, e a utilizamos para descrever os regimes
linear e não-linear do fluxo confinado. Diferentemente do usual, consideramos o efeito de es-
tresses viscosos oriundos de gradientes normais da velocidade na interface do ferrofluido. A
inclusão desses estresses normais é feita a partir de uma modificação na condição de contorno
de pressão de Young-Laplace, que também inclui a contribuição de trações magnéticas nor-
mais. Estudamos a maneira pela qual as propriedades de estabilidade da interface e a forma
dos padrões respondem à ação combinada dos estresses normais e do campo magnético, tanto
na presença quanto na ausência de tensão superficial. Neste contexto, mostramos que a inclusão
dos estresses viscosos introduz uma sensibilidade do problema em uma de suas condições ini-
ciais básicas: o espaçamento inicial entre as placas. Isto indica que, caso esses estresses não
estejam presentes, o número de estruturas (dedos) formados que é estimado pela teoria linear
é maior que o número de dedos obtido com a presença deles. No regime linear, os estresses
viscosos regularizam o sistema atuando como uma tensão superficial efetiva e, no regime fra-
camente não-linear, reduzem a competição entre os dedos. Por outro lado, esta competição
pode ser totalmente eliminada com a aplicação adequada do campo magnético azimutal. Na
situação em que a tensão superficial e o campo magnético são nulos, as instabilidades de in-
terface são tamanhas que a gota quebra-se em partes. A supressão da competição pela ação
do campo azimutal indica que esta configuração de campo pode ser usada para controlar este
comportamento singular (quebra das gotas). Mostramos, ainda, que a tração magnética intro-
duz uma contribuição puramente não-linear ao problema, revelando o papel fundamental da
susceptibilidade magnética no controle do mecanismo de competição entre os dedos viscosos.
Palavras-chave: Formação de padrões, ferrofluido, célula de Hele-Shaw, estresses viscosos.
vi
Abstract
An analytical investigation is presented for the stretch flow of a viscous Newtonian ferrofluid
highly confined between parallel plates. We focus on the development of interfacial instabili-
ties when the upper plate is lifted at a described rate, under the action of an applied magnetic
field. We derive the mode-coupling differential equation for the interface perturbation ampli-
tudes and study both linear and nonlinear flow regimes. In contrast to the great majority of
works in stretch flow we take into account stresses originated from velocity gradients normal to
the ferrofluid interface. The impact of such normal stresses is accounted for through a modified
Young-Laplace pressure jump interfacial boundary condition, which also includes the contri-
bution from magnetic normal traction. We study how the stability properties of the interface
and the shape of the emerging patterns respond to the combined action of normal stresses and
magnetic field, both in the presence and absence of surface tension. We show that the inclu-
sion of normal viscous stresses introduces a pertinent dependence on the initial aspect ratio,
indicating that the number of fingers formed would be overestimated if such stresses are not
taken into account. At early linear stages it is found that such stresses regularize the system,
acting as an effective interfacial tension. At weakly nonlinear stages we verified that normal
stresses reduce finger competition, which can be completely suppressed with the assistance of
an azimuthal magnetic field. When the surface tension and applied magnetic field are zero,
interfacial instabilities develop and the droplet breaks. The suppression of finger competition
by magnetic means suggest that the magnetic field can be used as a controllable parameter to
discipline singular behavior. We have also found that the magnetic normal traction introduces a
purely nonlinear contribution to the problem, revealing the key role played by the magnetic sus-
ceptibility in the control of finger competition. Besides all, this lifting Hele-Shaw cell system
is intimately related with the practical problem of adhesion.
Keywords: Pattern Formation, ferrofluid, Hele-Shaw cell, viscous stresses.
vii
Sumário
1 Introdução 1
1.1 Ferrofluidos 1
1.2 Formação de padrões em fluidos confinados 4
1.2.1 Fluidos não-magnéticos 4
1.2.2 Fluidos magnéticos 6
1.3 Célula de Hele-Shaw de espaçamento variável 9
1.4 Esboço da dissertação 15
2 Célula de Hele-Shaw de espaçamento variável com ferrofluidos 17
2.1 Equação básica: lei de Darcy generalizada 17
2.2 Condições de contorno 19
2.3 Equação de movimento da interface 21
3 Estágios linear e fracamente não-linear do problema magnético 24
3.1 Análise de estabilidade linear 24
3.1.1 Caso não-magnético com estresses: comparação com experimentos 27
3.2 Dinâmica fracamente não-linear 37
4 Conclusões e perspectivas 46
A Dedução da equação de movimento da interface 49
B Stretching of a confined ferrofluid: Influence of viscous stresses and magnetic field
[Phys. Rev. E 73, 036309 (2006)] 51
C Magnetic fluid in a time-dependent gap Hele-Shaw cell [J. Mag. Mag. Mat. 289,
360 (2005)] 52
D Adhesion phenomena in ferrofluids [Phys. Rev. E 70, 036311 (2004)] 53
viii
SUMÁRIO ix
E Time-dependent gap Hele-Shaw cell with a ferrofluid: Evidence for an interfacial
singularity inhibition by a magnetic field [Phys. Rev. E 69, 066312 (2004)] 54
Referências Bibliográficas 55
Lista de Figuras
1.1 Alinhamento de um ferrofluido às linhas de campo magnético. 1
1.2 Representação esquemática de um ferrofluido surfactado em três escalas de
comprimento. Na escala macroscópica (esquerda), o ferrofluido aparece como
um fluido comum. Na escala coloidal (meio), o fluido aparece com uma dis-
persão coloidal de diversas partículas sólidas. Na direita, mostramos o reves-
timento das partículas. A colisão entre partículas é elástica. Figura tirada da
Ref. [3]. 2
1.3 Gota de ferrofluido sujeita a ação de sete ímãs. 3
1.4 Construção artística com ferrofluidos. 3
1.5 Representação esquemática (vista de cima) da formação de dedos viscosos
numa célula de Hele-Shaw retangular. O fluido menos viscoso é empurrado
pela esquerda contra o fluido mais viscoso. 4
1.6 Evolução temporal do padrão formado em experimentos numa célula de Hele-
Shaw com geometria radial. Tirada da Ref. [7]. 5
1.7 Simulação computacional mostrando a evolução da interface no fluxo radial da
célula de Hele-Shaw com injeção quando a tensão superficial é nula [10]. Em
(a), a célula está parada e, em (b), girando. Note que a presença da rotação
elimina a formação de singularidades de cúspide. 5
1.8 Evolução temporal dos padrões obtidos numa célula de Hele-Shaw com fer-
rofluido sob a ação de um campo magnético perpendicular ao plano da célula.
Figura tirada da Ref. [12]. 6
1.9 Instabilidades labirínticas formadas na célula de Hele-Shaw vertical em re-
sposta a um campo uniforme perpendicular ao plano da página. A gravidade
atua para baixo. Figura tirada da Ref. [1]. 7
1.10 Padrões labirínticos em organismos vivos. 8
1.11 Espumas magnéticas e favos de mel. 8
x
LISTA DE FIGURAS xi
1.12 Padrões em forma de espirais e protozoários são obtidos ao se superpor os
campos perpendicular e girante [14]. 9
1.13 Célula de Hele-Shaw girante com um campo magnético azimutal. Forças cen-
trífugas e magnéticas competem para determinar a forma da interface do fer-
rofluido. A figura mostra apenas o círculo inicial e o padrão final obtido nas
simulações da Ref. [16]. 10
1.14 Representação diagramática de uma célula de Hele-Shaw em que a placa supe-
rior é levantada. 11
1.15 Evolução temporal dos padrões obtidos numa célula de Hele-Shaw de espaça-
mento vari-ável com fluidos não-magnéticos. À esquerda, experimento real-
izado por Derks et al. tirado da Ref. [32]. À direita, simulações numéricas
realizadas por Shelley et al. tiradas da Ref. [21]. 12
1.16 Evolução temporal dos padrões obtidos numa célula de Hele-Shaw de espaça-
mento va-riável com fluidos não-magnéticos. A situação em que a tensão super-
ficial entre os fluidos é nula está representada pelas curvas tracejadas. Note que
quando a tensão superficial não está presente, a gota parte-se em duas partes
como mostrado na curva tracejada que corresponde a t = 0.76. As curvas con-
tínuas representam simulações com tensão superficial pequena, mas não-nula.
Figura tirada da Ref. [21]. 13
2.1 Representação diagramática do fluxo de um ferrofluido confinado entre placas
paralelas em t = 0 (esquerda) e em t > 0 (direita). O campo magnético azimutal
é produzido por um fio retilíneo longo com corrente elétrica I. 17
3.1 Taxa de crescimento linear
λ
(n) como função do modo n, para t = 0.2,
σ
=
1.5×10
−5
e três valores diferentes de N
B
: (a) 0, (b) 3.5×10
−3
e (c) 7.0×10
−3
.
As cores correspondem a valores distintos de
δ
e q:
δ
= 0 (preto),
δ
= 1,
q = 100 (cinza escuro) e
δ
= 1, q = 50 (cinza claro). 25
LISTA DE FIGURAS xii
3.2 n
max
como função do tempo adimensional t, para levantamento com velocidade
constante
˙
b = 1,
σ
≈ 1.592 × 10
−6
e N
B
= 0. Esses parâmetros correspondem
aos valores experimentais apresentados nas Refs. [39, 40]. Plotamos os dados
experimentais tirados da Fig. 4 da Ref. [40] (círculos abertos) e os resultados
correspondentes de nossa análise de estabilidade linear quando
δ
= 0 (curva
preta) e quando
δ
= 1 com q = 80 (curva cinza). Note que a previsão teórica
para o número típico de dedos é consideravelmente melhorado quando os es-
tresses viscosos são considerados (curva cinza). 27
3.3 Gráfico log-log que representa como o número típico de dedos n
max
no in-
stante t = 0 varia com o espaçamento inicial entre as placas b
0
(0.1 mm ≤ b
0
≤
1.0 mm). Os demais parâmetros são os mesmo usados na Fig. 3.2. Plotamos
os dados experimentais da Fig. 3 da Ref. [40] (círculos abertos) junto com re-
sultados de nossa análise de estabilidade linear quando
δ
= 0 (pontos pretos) e
quando
δ
= 1 (pontos cinza). 29
3.4 Evolução linear da interface usando a Eq. (2.11) para n = 2,
δ
= 0 e 0 ≤ t ≤ 2
em intervalos de 0.25 considerando
δ
= 0 quando (a) N
B
= 0 e (b) N
B
= 2.5 ×
10
−5
. 31
3.5 Taxa de crescimento linear
λ
(n) como função do modo n, para t = 0.2,
σ
= 0
e dois diferentes valores de N
B
: (a) 0 e (b) 7.0 × 10
−3
. O rótulo das cores
referem-se a valores distintos de
δ
e q:
δ
= 0 (preto),
δ
= 1, q = 100 (cinza
escuro) e
δ
= 1, q = 50 (cinza claro). 32
3.6 n
max
como função da razão de aspecto inicial q, para t = 0.2,
σ
= 1.5 × 10
−5
,
δ
= 1 e três valores diferentes de N
B
: (a) 0, (b) 3.5 × 10
−3
e (c) 7.0 × 10
−3
.
Esses parâmetros são os mesmos usados na Fig. 3.1. 33
3.7 n
max
como função da razão de aspecto inicial q, para t = 0.2,
σ
= 0,
δ
= 1 e
três valores diferentes de N
B
: 0, 3.5× 10
−3
e 7.0× 10
−3
. Note que, escondidas
nesta simples curva pontilhada, há de fato três curvas (uma para cada valor de
N
B
). Esses parâmetros são os mesmos da Fig. 3.5. 34
3.8 Gráfico log-linear do diagrama de fases, de estabilidade linear que mostra as
zonas (sombreadas) do modo que tem crescimento mais rápido n
∗
de acordo
com a Eq. (3.3). Os parâmetros físicos são exatamente os mesmos usados na
Fig. 3.1. 35
LISTA DE FIGURAS xiii
3.9 Largura da banda de modos instáveis ∆n
c
como função do número magnético
N
B
quando
σ
= 0:
δ
= 0 (preto),
δ
= 1, q = 100 (cinza escuro) e
δ
= 1, q = 50
(cinza claro). Os demais parâmetros são os mesmos da Fig. 3.1. 36
3.10 Largura da banda de modos instáveis ∆n
c
como função do número magnético
N
B
quando
σ
= 0:
δ
= 1, q = 100 (cinza escuro) e q = 50 (cinza claro). Os
demais parâmetros são os mesmos da Fig. 3.5. Não há curva preta (
δ
= 0) uma
vez que neste caso ∆n
c
→ ∞. 37
3.11 C(n) como função do tempo para os modos n = 16 e n = 20 para o caso em
que a tensão superficial é diferente de zero (
σ
= 1.5 × 10
−5
). As curvas pretas
(cinza) referem-se a
δ
= 0 (
δ
= 1). O número magnético é N
B
= 0 (N
B
=
2.0 × 10
−4
) para as curvas contínuas (tracejadas), q = 50 (curvas cinza claro)
e q = 100 (curvas cinza escuro). A susceptibilidade magnética é
χ
= 5. Note
que a razão de aspecto inicial q só está presente quando
δ
= 1. 39
3.12 C(n) como função do tempo para os modos n = 16 e n = 20 quando a tensão su-
perficial é zero. As curvas pretas (cinza) referem-se a
δ
= 0 (
δ
= 1). O número
magnético é N
B
= 0 (N
B
= 2.0 × 10
−4
) para as curvas contínuas (tracejadas),
q = 50 (curvas cinza claro) e q = 100 (curvas cinza escuro). A susceptibilidade
magnética
χ
= 5. Note que a razão de aspecto inicial q só está presente quando
δ
= 1. 41
3.13 Tempo adimensional
τ
∗
para o qual a intensidade da competição é máxima
(na ausência de campo magnético) como função do modo n, quando (a)
σ
= 0
(veja Fig. 3.12) , (b)
σ
= 1.5×10
−5
(veja Fig 3.11). Consideramos que q = 100
(cinza escuro) e q = 50 (cinza claro). 42
3.14 Tempo adimensional
τ
para o qual C(n) = 0 como função da susceptibilidade
magnética
χ
(1 ≤
χ
≤ 10), quando (a)
σ
= 0, (b)
σ
= 1.5×10
−5
, para n = 30,
N
B
= 2.0 × 10
−4
e
δ
= 0. Os demais parâmetros são os mesmos das Figs. 3.11
e 3.12. 43
CAPÍTULO 1
Introdução
1.1 Ferrofluidos
Figura 1.1 Alinhamento de um ferrofluido às linhas de campo magnético.
Um ferrofluido, ou fluido magnético, é um material sintetizado que combina propriedades
de dinâmica de fluidos com magnetismo, isto é, ele possui a fluidez de um líquido comum
mas pode ser facilmente e convenientemente manipulado, sem contato físico direto, através
da ação de um campo magnético externo (veja Figura 1.1). Microscopicamente, consistem de
uma dispersão coloidal de pequenas esferas duras e dipolares, em um líquido portador [1, 2].
Estas partículas comportam-se como minúsculos ímãs permanentes, com pólos norte e sul, que
apontam em direções aleatórias até que um campo magnético externo cause um eventual ali-
nhamento ao longo de sua direção. É natural pensar que, sob a ação de um campo de força
(gravitacional ou magnético) essas pequenas partículas possam aglomerar-se, ou então, que
haja sedimentação. Para evitar a formação de grandes gradientes de concentração e para que
o ferrofluido possa gozar as propriedades de um meio contínuo da mesma forma que um flui-
do newtoniano convencional, é necessário que as partículas magnéticas sejam nanométricas
(tipicamente entre 3 e 15 nm) para que a agitação térmica, através do movimento browniano,
as mantenha em suspensão [1]. Para evitar aglomerações via atração magnética, é necessário
1
1.1 FERROFLUIDOS 2
Figura 1.2 Representação esquemática de um ferrofluido surfactado em três escalas de comprimento.
Na escala macroscópica (esquerda), o ferrofluido aparece como um fluido comum. Na escala coloidal
(meio), o fluido aparece com uma dispersão coloidal de diversas partículas sólidas. Na direita,
mostramos o revestimento das partículas. A colisão entre partículas é elástica. Figura tirada da Ref. [3].
que os pequenos dipolos sejam revestidos por uma camada de um surfactante. Este revesti-
mento mecânico limita a proximidade entre os dipolos através de colisões elásticas impedindo
a aglomeração dessas partículas (veja Fig. 1.2). Nos ferrofluidos ditos iônicos, tal aglomeração
também pode ser evitada através de repulsão eletrostática [4]. Em função disso, os ferrofluidos
são materiais extremamente estáveis e mantêm sua fluidez mesmo quando submetidos aos mais
intensos campos magnéticos. Possuem ainda comportamento superparamagnético e são opacos
à luz visível.
A ferrohidrodinâmica, ciência que lida com a interação entre campos magnéticos e fluidos,
começou a se desenvolver em meados da década de 1960, motivada inicialmente pela conversão
de calor em trabalho sem o uso de componentes mecânicos [1]. Esta junção entre duas áreas da
física básica (magnetismo e fluidos), que independentes são de suma importância para o desen-
volvimento científico e tecnológico, faz da ferrohidrodinâmica uma ciência bastante atraente
a diversos problemas científicos fundamentais, além de abrir uma lista enorme e crescente de
aplicações. Como exemplo de algumas aplicações do uso dos ferrofluidos [1, 2] podemos
citar a construção de selos herméticos em torno de peças mecânicas de rápido movimento e
a movimentação de medicamentos/drogas na corrente sanguínea. São usados também como
propulsores de foguetes em naves espaciais e na refrigeração e amortecimento de vibrações
mecânicas em poderosos alto-falantes. Além disso, ferrofluidos miscíveis podem oferecer no-
vas ferramentas para a engenharia ambiental e para a segurança e manipulação de substâncias
em laboratórios, onde é necessário manipular fluidos, corrosivos ou tóxicos, sem bombeamento
ou contato direto. Além de seu controle à distância, as fortes características magnéticas dos fer-
rofluidos permitem que funcionem como rastreadores de imagem, fazendo com que sensores
1.1 FERROFLUIDOS 3
Figura 1.3 Gota de ferrofluido sujeita a ação de sete ímãs.
localizados na superfície da Terra construam imagens precisas do movimento subterrâneo de
fluidos, os quais são difíceis de visualizar por outros métodos. Para enriquecer ainda mais
as possibilidades de uso, os interesses acadêmicos, científicos e tecnológicos dos ferrofluidos
muitas vezes se misturam com um caráter artístico, intrínseco desses materiais, que está condi-
cionado as diferentes configurações de campo magnético a que são submetidos. Por exemplo,
a Figura 1.3 mostra uma gota de ferrofluido em repouso sobre uma placa de vidro embaixo
da qual há uma folha de papel colorido e sete ímãs. A forma como os ímãs foram dispostos
em relação à gota é que proporciona este visual agradável. Outras construções artísticas com
Figura 1.4 Construção artística com ferrofluidos.
1.2 FORMAÇÃO DE PADRÕES EM FLUIDOS CONFINADOS 4
ferrofluidos, que são verdadeiras “esculturas líquidas” talhadas por campo magnético, podem
ser vistas na Figura 1.4.
1.2 Formação de padrões em fluidos confinados
Apesar de serem materiais conceitualmente simples, compreender a fundo as propriedades
hidrodinâmicas e termodinâmicas dos ferrofluidos permanece na fronteira da pesquisa cien-
tífica atual. Abordaremos a situação física em que os fluidos magnéticos estão “espacialmente
confinados”, num dispositivo conhecido como “célula de Hele-Shaw”. Este dispositivo é bas-
tante simples, sendo composto por duas placas de vidro planas e paralelas, separadas por uma
pequena distância, dentro da qual se dá o escoamento dos fluidos.
1.2.1 Fluidos não-magnéticos
Figura 1.5 Representação esquemática (vista de cima) da formação de dedos viscosos numa célula de
Hele-Shaw retangular. O fluido menos viscoso é empurrado pela esquerda contra o fluido mais viscoso.
Comecemos definindo o fluxo de dois fluidos newtonianos, não-magnéticos, imiscíveis e de
diferentes viscosidades numa célula de Hele-Shaw como o problema de Saffman-Taylor, um ar-
quético da mecânica de fluidos. Nele, quando um fluido menos viscoso pressiona um mais vis-
coso, a interface entre os dois se torna instável e começa a se deformar. A competição dinâmica
entre as estruturas viscosas, ou “dedos viscosos”, que começam a surgir levam eventualmente
à formação de diversos padrões de interface [5, 6, 7]. Neste caso, os dedos competem de tal
modo que um deles se sobressai em relação aos demais, suprimindo-os, e formando, no final
da evolução, um padrão estacionário estável e suave que compõe aproximadamente metade da
célula de Hele-Shaw. A Fig. 1.5 mostra o instante inicial (antes da formação das instabilidades)
e um estágio intermediário, em que uma das estruturas começa a se destacar. Outra possibi-
1.2 FORMAÇÃO DE PADRÕES EM FLUIDOS CONFINADOS 5
Figura 1.6 Evolução temporal do padrão formado em experimentos numa célula de Hele-Shaw com
geometria radial. Tirada da Ref. [7].
lidade é fazer um pequeno furo no centro da placa superior e por ele injetar o fluido menos
viscoso formando padrões com muitas ramificações [6, 7, 8, 9] (Fig. 1.6). Outra característica
interessante em fluxos confinados é a formação de singularidades de cúspide e quebra da gota
na interface entre os fluidos quando consideramos que a tensão superficial é nula (isso pode ser
feito usando dois fluidos miscíveis, por exemplo). Em um trabalho relativamente recente reali-
zado por Magdaleno e outros [10] acerca do fluxo radial em Hele-Shaw com injeção, estuda-se
a possibilidade de prevenir a formação de singularidades de cúspide usando uma célula girante
(Fig. 1.7). Eles mostraram que, para um subconjunto de soluções exatas, existe uma rotação
Figura 1.7 Simulação computacional mostrando a evolução da interface no fluxo radial da célula de
Hele-Shaw com injeção quando a tensão superficial é nula [10]. Em (a), a célula está parada e, em (b),
girando. Note que a presença da rotação elimina a formação de singularidades de cúspide.
1.2 FORMAÇÃO DE PADRÕES EM FLUIDOS CONFINADOS 6
crítica acima da qual a formação de cúspides é eliminada. Mostraram ainda que este valor
crítico para a rotação pode ser calculado através da análise de estabilidade linear. Esses resul-
tados abrem a possibilidade de que existam semelhantes mecanismos de controle da formação
de singularidades em tempo finito em outros importantes sistemas de fluxo confinado.
Todos esses problemas de instabilidades de interface são processos de crescimento fora do
equilíbrio e pertencem à conhecida família de fenômenos que tem crescimento laplaciano (ou
seja, as grandezes envolvidas, tais como, a pressão e o potencial de velocidade, satisfazem
a equação de Laplace). Além da formação de dedos viscosos na célula de Hele-Shaw, out-
ros fenômenos com crescimento laplaciano incluem processos de agregação por difusão (mais
conhecido em inglês por diffusion limited aggregation ou DLA), crescimentos dendríticos (den-
dritic growth) e descargas elétricas (dielectric breakdown) [11].
1.2.2 Fluidos magnéticos
Figura 1.8 Evolução temporal dos padrões obtidos numa célula de Hele-Shaw com ferrofluido sob a
ação de um campo magnético perpendicular ao plano da célula. Figura tirada da Ref. [12].
Ao considerarmos fluxos em Hele-Shaw com fluidos magnéticos, uma enorme diversidade
de novos padrões e novas fenomenologias aparecem a nossa disposição. Neste caso, forças
de natureza magnética acoplam com a forma do material fluido como um todo, resultando em
instabilidades hidrodinâmicas complexas e de grande beleza [12]. Por exemplo, confinemos
uma gota de ferrofluido numa célula de Hele-Shaw plana e apliquemos um campo magnético
perpendicular ao plano da célula. O fluido polariza-se imediatamente, gerando uma intensa
1.2 FORMAÇÃO DE PADRÕES EM FLUIDOS CONFINADOS 7
Figura 1.9 Instabilidades labirínticas formadas na célula de Hele-Shaw vertical em resposta a um
campo uniforme perpendicular ao plano da página. A gravidade atua para baixo. Figura tirada da
Ref. [1].
auto-repulsão interna. A tensão superficial tenta manter a topologia de uma única gota circu-
lar, mas o perímetro deforma-se de maneira impressionante, levando à formação de incríveis
padrões em forma de labirinto [12] (Figura 1.8). Estes padrões labirínticos tornam-se mais in-
trincados à medida que aumentamos a intensidade do campo aplicado. Podemos ainda dispor
a célula de Hele-Shaw na direção vertical de modo a permitir que a gravidade atue juntamente
com o campo magnético uniforme. O resultado da combinação desses efeitos pode ser visto na
Figura 1.9. O curioso é que esses padrões labirínticos aparecem na natureza em diversos outros
sistemas, que aparentemente não trazem relação alguma com a dinâmica de interface de fluidos
confinados, como, por exemplo, na superfície de peixes e em corais (Fig. 1.10).
Outra forma de se obter padrões tão incríveis quanto esses labirintos é fazer uma pequena
modificação na configuração do campo magnético aplicado. Se, ao invés de considerarmos
um campo magnético uniforme, usarmos um campo magnético oscilante, mas ainda aplicado
perpendicularmente ao plano horizontal da célula de Hele-Shaw, encontraremos padrões seme-
lhantes a favos de mel (Fig. 1.11). Esses padrões são conhecidos como espumas magnéti-
1.2 FORMAÇÃO DE PADRÕES EM FLUIDOS CONFINADOS 8
Figura 1.10 Padrões labirínticos em organismos vivos.
Figura 1.11 Espumas magnéticas e favos de mel.
cas [13].
Podemos ainda considerar a superposição de diferentes configurações de campo na deter-
minação dos padrões. Por exemplo, a Figura 1.12 mostra padrões em espirais gerados ao se
aplicar inicialmente um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da célula de Hele-
Shaw e superpondo este campo, depois de algum tempo, com um campo girante aplicado no
plano da célula. Porém, se invertermos a ordem de aplicação desses campos, o padrão resul-
tante será totalmente diferente, semelhante a um protozoário [14] (Fig. 1.12). Esta diversidade
de padrões obtidos mostra um pouco da riqueza desse sistema, e de como é possível obter resul-
tados distintos acerca de fenômenos diferentes ao considerarmos mudanças na configuração do
campo magnético aplicado ao ferrofluido. No entanto, os fenômenos com os quais lidamos e os
tratamentos, analítico e numérico, destinados ao sistema, muitas vezes mudam completamente
ao considerarmos esta - talvez aparentemente pequena - modificação.
Diferentemente dos casos acima, se considerarmos um campo magnético aplicado tangente
1.3 CÉLULA DE HELE-SHAW DE ESPAÇAMENTO VARIÁVEL 9
Figura 1.12 Padrões em forma de espirais e protozoários são obtidos ao se superpor os campos perpen-
dicular e girante [14].
à célula de Hele-Shaw, gerado por um longo fio retilíneo passando pelo centro da gota de
ferrofluido, o efeito será de estabilizar as perturbações da interface [15]. Para que possamos ver
o efeito estabilizante desta configuração de campo, a formação das instabilidades será impulsio-
nada por termos centrífugos relacionados à diferença de densidade entre os fluidos. Isso deverá
acontecer quando o fluido de dentro (ferrofluido) for mais denso que o fluido externo não-
magnético. Veja na Figura 1.13 que, quanto maior for o efeito centrífugo (maior N
Ω
), maior o
número de “dedos” na interface. Note também que, à medida que aumentamos a intensidade
do campo magnético aplicado (número ao lado de cada padrão), os dedos passam a diminuir
gradativamente e uma maior quantidade de ferrofluido começa a se concentrar no centro da
célula [16].
1.3 Célula de Hele-Shaw de espaçamento variável
Uma forma alternativa de produzir padrões de dedos viscosos é confinando uma fina camada
de um fluido viscoso entre duas placas paralelas, planas e horizontais, e levantando a placa
superior enquanto a inferior permanece em repouso. À medida que as placas se separam, o
fluido externo, menos viscoso, entra no sistema e o fluido interno, mais viscoso, se move de
modo a conservar volume. Como resultado, a interface entre os fluidos se deforma, gerando
padrões incríveis. Nesta versão com levantamento do clássico problema de Saffman-Taylor, a
placa de cima pode ser levantada por um dos lados [17, 18, 19, 20] ou se manter sempre paralela
à placa de baixo, como mostrado na Fig. 1.14 [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]. Esta última
situação é um pouco mais simples, uma vez que ela induz um fluxo mais uniforme em que a
1.3 CÉLULA DE HELE-SHAW DE ESPAÇAMENTO VARIÁVEL 10
Figura 1.13 Célula de Hele-Shaw girante com um campo magnético azimutal. Forças centrífugas e
magnéticas competem para determinar a forma da interface do ferrofluido. A figura mostra apenas o
círculo inicial e o padrão final obtido nas simulações da Ref. [16].
separação entre as placas é dependente do tempo apenas. Note que, dentre as variações do
problema de Saffman-Taylor discutidos até agora, esta versão com levantamento é a única em
que o fluxo deixa de ser laplaciano, e é a única também em que não há conservação de matéria,
devido a entrada constante de ar por todos os lados da célula de Hele-Shaw. Isso dá um sabor
a mais ao problema, tornando-o academicamente ainda mais interessante.
Nos últimos anos, uma busca por novas morfologias e diferentes padrões levou a diversas
investigações experimentais e teóricas acerca do fluxo em células de Hele-Shaw com espaça-
mento variável [21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40].
Se os fluidos forem imiscíveis e newtonianos [21, 32, 33, 34, 38, 39, 40], a gota inicialmente
circular do fluido mais viscoso sofre um processo de desestabilização devido à penetração de di-
versos dedos do fluido externo menos viscoso. Com o passar do tempo esses dedos que entram
se tornam progressivamente mais espessos enquanto que os dedos do fluido mais viscoso se
tornam mais finos. Neste estágio, o comportamento da interface é caracterizado por uma forte
competição entre os dedos do fluido invasor menos viscoso, que avançam em direção ao centro
da gota. Ao mesmo tempo, também se observa que a interface pára de encolher, indicando que
a competição entre os dedos finos do fluido mais viscoso é suprimida. Seguindo este período
de intensa instabilidade e ramificação, surge uma segunda etapa na qual o número de dedos da
estrutura diminui. Em um estágio final, próximo a um total descolamento entre as placas, a
1.3 CÉLULA DE HELE-SHAW DE ESPAÇAMENTO VARIÁVEL 11
Figura 1.14 Representação diagramática de uma célula de Hele-Shaw em que a placa superior é levan-
tada.
gota tende a encolher e a voltar à forma circular inicial, mas claro que, agora, com um menor
raio. A evolução desses padrões pode ser vista nos experimentos de Derks et al., na Ref. [32],
e nas simulações numéricas de M. Shelley et al., na Ref. [21], aqui reproduzidos lado a lado
na Fig. 1.15. Se os fluidos forem imiscíveis e não-newtonianos [22, 23, 24, 25, 26, 32, 35],
várias outras particularidades morfológicas podem surgir, inclusive a formação de estruturas
muito mais ramificadas. Outras modificações interessantes consideram o sistema com fluidos
miscíveis [28] ou magnéticos [27, 29, 30, 37].
Quando os fluidos são newtonianos e imiscíveis, simulações numéricas do problema de le-
vantamento com o espaçamento entre as placas dependente apenas do tempo [21] mostram que,
para valores cada vez menores da tensão superficial, a interface é cada vez mais ramificada, e
que isso resulta em um processo de recircularização cada vez mais atrasado. Também foi veri-
ficado que, quando a tensão superficial não está presente, os dedos que entram competem tão
intensamente que há formação de singularidades topológicas e a gota quebra-se em partes. Para
que possamos visualizar este acontecimento, reproduzimos algumas simulações da Ref. [21] na
Fig. 1.16. Nela, a curva tracejada mostra a situação em que a tensão superficial entre os fluidos
é zero. Note que a fissão da gota acontece na figura que corresponde a t = 0.76.
Alguns aspectos interessantes relacionados à formação dessas singularidades podem ser in-
vestigados ao se considerar que os dois fluidos são miscíveis (situação em que a tensão super-
ficial é nula). Este problema da célula de Hele-Shaw com levantamento considerando fluidos
miscíveis foi abordado através de simulações numéricas bastante precisas [28]. Eles mostraram
1.3 CÉLULA DE HELE-SHAW DE ESPAÇAMENTO VARIÁVEL 12
Figura 1.15 Evolução temporal dos padrões obtidos numa célula de Hele-Shaw de espaçamento vari-
ável com fluidos não-magnéticos. À esquerda, experimento realizado por Derks et al. tirado da Ref. [32].
À direita, simulações numéricas realizadas por Shelley et al. tiradas da Ref. [21].
que a inclusão de estresses oriundos de gradientes de concentração na interface difusa podem
levar a efeitos semelhantes aos existentes quando a tensão superficial está presente. Esses
estresses (conhecidos como estresses de Korteweg [41]) afetam significantemente o comporta-
mento da interface difusa, introduzindo importantes efeitos estabilizantes.
Além de ser intrinsicamente um importante problema acadêmico, o sistema da célula de
Hele-Shaw com levantamento está intimamente relacionado com problemas de adesão [24, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39]. Um parâmetro comum usado para avaliar a adesividade de
um material é o tempo para o qual as duas superfícies separadas pelo adesivo pode resistir
ao avanço dos dedos viscosos, quando as placas são separadas a uma força constante [24].
Outra possibidade é calcular a força e a energia necessárias para separar as duas placas quando
afastadas a uma taxa constante [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39]. Há evidências [24, 33, 38, 39]
de que, em ambos os casos (puxar com força constante ou separar com velocidade constante),
a presença de instabilidades (dedos) podem influenciar a adesão entre as placas. O trabalho de
Thamida e outros [24] indica que a adesividade de um fluido confinado é fortemente reduzida
(diminuição de 50 % em relação ao caso sem perturbações) quando as placas são puxadas a
uma força constante, onde as instabilidades atuam facilitando o processo de separação. Em
experimentos em que a velocidade de separação é constante [33, 38, 39], a redução na adesão é
menos intensa, mas ainda notavelmente presente quando o espaçamento inicial entre as placas
1.3 CÉLULA DE HELE-SHAW DE ESPAÇAMENTO VARIÁVEL 13
Figura 1.16 Evolução temporal dos padrões obtidos numa célula de Hele-Shaw de espaçamento va-
riável com fluidos não-magnéticos. A situação em que a tensão superficial entre os fluidos é nula está
representada pelas curvas tracejadas. Note que quando a tensão superficial não está presente, a gota
parte-se em duas partes como mostrado na curva tracejada que corresponde a t = 0.76. As curvas con-
tínuas representam simulações com tensão superficial pequena, mas não-nula. Figura tirada da Ref. [21].
é pequena.
Em um trabalho anterior que não considera a influência das instabilidades de interface [37]
[Phys. Rev. E 70, 036311 (2004), reproduzido no Apêndice C], nós abordamos o problema da
adesão considerando um ferrofluido como material adesivo e estudamos a influência de diversas
configurações de campo magnético na adesividade destes materiais. Mostramos que, depen-
dendo da configuração de campo considerada, a adesão pode ser tanto aumentada quanto dimi-
nuída em relação ao caso em que não há campo aplicado. Mais especificamente, mostramos
que a força adesiva de um ferrofluido é reduzida se o campo magnético aplicado for perpen-
dicular às placas ou se o campo aplicado estiver no plano delas e exibir simetria azimutal. Por
outro lado, a força adesiva pode ser tanto aumentada quanto diminuída se o campo aplicado es-
1.3 CÉLULA DE HELE-SHAW DE ESPAÇAMENTO VARIÁVEL 14
tiver no plano e apresentar simetria radial apontando para fora da célula. Mostramos, portanto,
que é possível controlar a adesividade desses materiais por meios magnéticos.
Outros trabalhos experimentais e teóricos recentes que lidam com Hele-Shaw com levan-
tamento a taxa constante [39, 40] informam que o número de dedos predito pela análise linear
ordinária (baseada na lei de Darcy e em condições de contorno usuais) é maior que o número
de dedos obtido em experimentos [39, 40]. O motivo desta discrepância é uma questão interes-
sante que ainda está em aberto (e que aqui discutiremos).
Baseado nesta discussão, vê-se a importância e a necessidade de se obter um bom entendi-
mento da formação dos padrões de uma célula de Hele-Shaw de espaçamento variável, e de se
estudar diferentes formas de controlar as perturbações de interface. Com a intenção de exa-
minar alguns mecanismos de controle dessas perturbações, nós consideramos a influência de
um fator fundamental que até então foi descartado: o efeito de estresses que atuam no plano
da célula, perpendicularmente à interface entre os fluidos. De fato, há poucos trabalhos na
literatura que consideram o efeito de estresses hidrodinâmicos em problemas em células de
Hele-Shaw com fluidos imiscíveis. Apenas recentemente, foi mostrado [42, 43] que numa
célula de Hele-Shaw (com separação constante entre as placas) girante [44, 45], a incorporação
de estresses viscosos na condição de contorno de Young-Laplace leva a mudanças importantes
no comportamento da interface quando se permite variar o espaçamento entre as placas. Isto
significa que propriedades lineares e não-lineares fundamentais que determinam tanto o número
médio de dedos que surgem nos padrões, como a dinâmica de competição entre esses dedos,
podem ser significantemente afetados se permitirmos modificar o espaçamento entre as pla-
cas. Evidentemente, este efeito deve ser ainda mais relevante em fluxos em que a célula de
Hele-Shaw é levantada, uma vez que o próprio movimento da interface é determinado por este
mecanismo de separação. Apesar de parecer um pouco óbvio que os estresses viscosos devem
ser considerados para uma correta descrição da formação dos padrões de interface em fluxos
na célula de Hele-Shaw com levantamento, uma investigação extensiva desta questão ainda
precisa ser abordada. Este é um dos propósitos deste trabalho.
Para investigar os efeitos dos estresses viscosos, assumimos que o fluido interno é mag-
nético, ou um ferrofluido [1, 2]. Como apresentamos ao longo deste capítulo, esses fluidos tem
comportamento superparamagnético. Isto significa que, ao aplicarmos um campo magnético,
os pequenos dipolos alinham-se rapidamente à direção do campo. Além disso, na ausência de
um campo aplicado, os dipolos estão aleatoriamente distribuídos e o ferrofluido não manifesta
suas propriedades magnéticas já que sua magnetização líquida total é zero. Mais especifica-
1.4 ESBOÇO DA DISSERTAÇÃO 15
mente, a característica superparamagnética desses materiais reside no fato deles apresentarem
comportamento semelhante ao paramagnético mesmo a temperaturas abaixo da temperatura
de Curie. Usualmente, é esta a temperatura crítica que, para diversos materiais, regula a tran-
sição entre os comportamentos ferromagnético e paramagnético. Assim, devido ao compor-
tamento superparamagnético, os ferrofluidos podem ser facilmente manipulados através de
campos magnéticos externos que atuam tanto estabilizando quanto desestabilizando a inter-
face entre os fluidos. Agora, nós investigaremos o caso em que a gota de ferrofluido evolui
sob a ação de um campo magnético estabilizante [15, 16]. Realizaremos então um estudo sis-
temático investigando a ação conjunta dos estresses interfaciais (viscosos e magnéticos) com
o campo magnético no controle das instabilidades e singularidades da interface. Os primeiros
resultados desse trabalho foram inicialmente publicados no Journal of Magnetism and Mag-
netic Material [29] [J. Mag. Mag. Mat. 289 360-363 (2005), reproduzido no Apêndice B] e
posteriormente, com um estudo mais detalhado e sistemático no Physical Review E [30] [Phys.
Rev. E 73, 036309 (2006), Apêndice A]. Analisaremos ainda os resultados de outro trabalho
nosso também publicado [27] [Phys. Rev. E 69, 066312 (2004), Apêndice D] que discute a
possibilidade de se inibir a formação de singularidades na situação limite em que a tensão su-
perficial entre os fluidos é zero, e que ignora completamente a presença dos estresses viscosos
e magnéticos.
1.4 Esboço da dissertação
Neste capítulo introdutório, nós apresentamos um fluido magnético, discutindo brevemente sua
estrutura molecular e mostrando como o ferrofluido responde à ação de diversas configurações
de campo magnético. Seguimos, focalizando na dinâmica de interfaces de fluidos newtonianos
confinados na geometria quasi-bidimensional da célula de Hele-Shaw, definindo o problema
de Saffman-Taylor, mostrando os padrões obtidos em tal fluxo, e apresentando diversos outros
padrões obtidos ao se considerar variações desse problema. Mais especificamente, apresen-
tamos algumas propriedades dos fluxos com simetria radial e fluxos com efeitos centrífugos.
Dentre os fluxos confinados com fluidos magnéticos, vimos alguns padrões obtidos ao se aplicar
campos perpendiculares e paralelos à célula de Hele-Shaw e como esses padrões estão rela-
cionados a padrões na natureza. Apresentamos, então, o problema da célula de Hele-Shaw de
espaçamento variável motivando seus interesses acadêmicos e práticos.
Nosso objetivo principal é realizar uma investigação teórica acerca das instabilidades de
1.4 ESBOÇO DA DISSERTAÇÃO 16
interface geradas em fluxos em que o espaçamento da célula de Hele-Shaw varia com o tempo
usando ferrofluidos, e considerando a ação conjunta de um campo magnético estabilizante com
estresses interfaciais, magnéticos e viscosos, na presença e na ausência de tensão superficial.
Os efeitos estabilizantes do campo magnético e dos estresses serão fundamentais no controle
das instabilidades e singularidades da interface. Como já antecipamos, os estresses viscosos
são naturalmente relevantes ao se considerar variações na espessura da célula de Hele-Shaw,
mas um estudo sistemático dos efeitos desses estresses ainda faltava ser abordado. Além disso,
a presença dos estresses magnéticos no problema revelará o papel fundamental da susceptibili-
dade magnética em etapas não-lineares da dinâmica.
Os próximos capítulos estão organizados da seguinte maneira: no capítulo 2 apresen-
tamos o formalismo teórico básico e obtemos as equações fracamente não-lineares que de-
screvem o movimento da interface no fluxo do ferrofluido na célula de Hele-Shaw com levan-
tamento. Estudamos o desenvolvimento dos padrões da interface considerando a influência dos
estresses viscosos e magnéticos, além da ação do campo magnético aplicado. No capítulo 3, na
seção. 3.1, discutimos nossos resultados de estabilidade linear. Descobrimos nesta etapa linear
do pro-blema que a inclusão dos estresses viscosos normais introduzem uma dependência na
separação inicial entre as placas, indicando que o número de dedos formados estaria sobres-
timado caso esses estresses não estivessem presentes. No capítulo 3, seção 3.2, mostramos
que algumas características morfológicas importantes da interface, como, por exemplo, a com-
petição entre os dedos, podem ser preditas e melhor exploradas quantitativamente com nossa
abordagem analítica de modos acoplados de segunda ordem. Encontramos que a inclusão de
uma contribuição magnética à condição de contorno de pressão acrescenta um efeito pura-
mente não-linear ao problema, revelando o papel importante da susceptibilidade magnética na
dinâmica dos dedos em etapas fracamente não lineares da evolução. Verificamos, enfim, que a
interação entre os estresses normais e o campo magnético azimutal podem modificar profunda-
mente a evolução dos padrões, fornecendo mecanismos efetivos de controle do comportamento
da interface. Nossas conclusões finais e as perspectivas de trabalhos futuros encontram-se no
capítulo 4.
CAPÍTULO 2
Célula de Hele-Shaw de espaçamento variável com
ferrofluidos
2.1 Equação básica: lei de Darcy generalizada
Figura 2.1 Representação diagramática do fluxo de um ferrofluido confinado entre placas paralelas em
t = 0 (esquerda) e em t > 0 (direita). O campo magnético azimutal é produzido por um fio retilíneo
longo com corrente elétrica I.
A geometria da célula de Hele-Shaw com espaçamento variável pode ser vista na Fig. 2.1.
Considere um ferrofluido incompressível de viscosidade
η
confinado entre duas placas planas
e paralelas. O fluido externo é não-magnético e de viscosidade desprezível. No instante t = 0
a gota é circular e tem raio inicial R
0
. O espaçamento inicial entre as placas é representado por
b
0
. Num dado instante posterior t > 0, a distância entre as placas é denotada por b = b(t) e a
17
2.1 EQUAÇÃO BÁSICA: LEI DE DARCY GENERALIZADA 18
gota tem sua forma perturbada dada por
R(
θ
,t) = R(t) +
ζ
(
θ
,t), (2.1)
onde
ζ
(
θ
,t) =
+∞
∑
n=−∞
ζ
n
(t) exp(in
θ
) (2.2)
representa a perturbação total da interface com amplitudes de Fourier
ζ
n
(t) e número de onda
azimutal n. R = R(t) é o raio não perturbado dependente do tempo da interface do ferrofluido.
Consideramos um fio com corrente, longo e retílineo, e de raio desprezível direcionado ao
longo do eixo perpendicular às placas de modo que a conservação do volume do ferrofluido
resulta na importante relação R
2
b = R
2
0
b
0
. Note que R = R(t) representa o raio da interface não
perturbada (circular), o qual diminui durante o levantamento da placa superior. Pela lei de Am-
père, o campo magnético produzido é H = I/(2
π
r)
ˆ
e
θ
, onde r é a distância ao fio, I representa
a corrente elétrica e
ˆ
e
θ
é um vetor unitário na direção azimutal. Note que a simetria azimutal e
o gradiente radial do campo magnético resultarão numa força magnética radial que aponta em
direção ao fio. Esta é uma das formas que usamos para estabilizar a interface perturbada devido
à entrada do fluido externo no sistema durante o levantamento da placa superior.
Para estudar a hidrodinâmica do sistema, a equação de Navier-Stokes usual é modificada
de modo a incluir termos que representam os efeitos magnéticos
ρ
∂
u
∂
t
+ (u ·∇)u
= −∇p +
η
∇
2
u +
µ
0
M∇H. (2.3)
Nós seguimos as aproximações padrão de Rosensweig [1] e outros [2, 46, 47, 48] e assumi-
mos que o ferrofluido é magnetizado de modo que sua magnetização M é colinear com o
campo aplicado. Quando isto é verdade, a força magnética é dada por
µ
0
M∇H, onde
µ
0
é
a permeabilidade magnética do vácuo e H é o campo magnético local. O campo magnético
local pode incluir tanto contribuições do campo aplicado quanto do campo de demagnetização.
Porém, como consideramos apenas efeitos de baixa ordem das interações magnéticas que in-
fluenciam no movimento do fluido, e usando a configuração de campo azimutal em questão,
podemos considerar apenas o campo aplicado na determinação da magnetização do ferroflu-
ido M =
χ
H, onde
χ
é uma constante que representa a susceptibilidade magnética. Ainda na
equação de Navier-Stokes,
ρ
é a densidade do ferrofluido, u é sua velocidade tridimensional e
p é a pressão hidrodinâmica.
Para a geometria quase bidimensional da célula de Hele-Shaw, reduzimos o fluxo tridimen-
sional (3D) para um equivalente bidimensional ao calcular uma média na direção perpendicular
2.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO 19
às placas. Usando condições de contorno de não deslizamento [u = (u
x
,u
y
,u
z
) = 0 em z = 0
e em z = b(t), onde z é a coordenada perpendicular ao plano da célula] e considerando que
as taxas do fluxo de velocidade são baixas, podemos desprezar os termos inerciais [lado es-
querdo da Eq. (2.3) igual a zero] para, então, derivar uma lei de Darcy modificada, escrita em
coordenadas polares (r,
θ
) e dada por [48, 49]
v = −
b
2
12
η
∇p −
1
b
b/2
−b/2
µ
0
M∇Hdz
= −
b
2
12
η
∇Π, (2.4)
onde ∇ representa o gradiente bidimensional. A pressão generalizada Π = p − Ψ contém,
além da pressão hidrodinâmica p, uma pressão magnética representada pelo potencial escalar
Ψ =
µ
0
χ
H
2
/2. Como as quantidades observáveis (por exemplo, a velocidade v do fluido) são
determinadas por gradientes em Π, podemos, sem perda de generalidade, assumir que a pressão
generalizada do fluido externo é zero.
Ao impor a incompressibilidade do fluxo tridimensional ∇ · u = 0 e tirar a média sobre a
direção transversal
0 =
1
b
b(t)
0
∂
u
x
∂
x
+
∂
u
y
∂
y
+
∂
u
z
∂
z
dz =
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+ (u
z
|
z=b(t)
− u
z
|
z=0
)/b(t)
=
∂
v
x
∂
x
+
∂
v
y
∂
y
+
˙
b(t)
b(t)
obtemos uma condição de incompressibilidade modificada [18, 21]
∇ · v = −
˙
b(t)
b(t)
, (2.5)
onde v = (v
x
,v
y
) e o ponto denota derivada total em relação ao tempo. A equação (2.5) nos
mostra que a equação do potencial de velocidade
φ
(v = −∇
φ
) difere da equação de Laplace,
válida para o caso usual de espaçamento fixo entre as placas, de modo que agora o potencial
de velocidade não é mais uma função harmônica. No entanto, já que o espaçamento entre
as placas é uma função do tempo apenas, a solução da equação de Poisson para
φ
pode ser
convenientemente expressa em termos de duas contribuições,
φ
=
φ
0
+
¯
φ
, onde
¯
φ
=
˙
br
2
/(4b)
é a solução particular, e
φ
0
satisfaz a equação de Laplace [8, 9].
2.2 Condições de contorno
Além dos efeitos considerados acima, ainda temos de incluir outras contribuições importantes
resultantes da ação dos estresses magnéticos e viscosos. Para isso, consideramos uma modi-
2.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO 20
ficação na condição de contorno de pressão de Young-Laplace na interface, que expressa o
equilíbrio da componente normal do tensor de estresses através da interface fluido-fluido [1, 2,
42, 43, 50, 51, 52]
n ·
π
· n = −
γκ
+
1
2
µ
0
(M · n)
2
, (2.6)
onde
π
ik
= −p
δ
ik
+
η
∂
v
i
∂
x
k
+
∂
v
k
∂
x
i
(2.7)
inclui um termo de cisalhamento viscoso proporcional a
η
.
δ
ik
é a função delta de Kronecker e
v
i
representa a componente i do vetor velocidade do ferrofluido. O primeiro termo do lado di-
reito da Eq. (2.6) representa a contribuição usual relacionada a tensão superficial e a curvatura
da interface
κ
[5, 6, 7, 8, 9], onde n = ∇[r − R(
θ
,t)]/|∇[r − R(
θ
,t)]| é o vetor unitário normal
à interface. Um fato a destacar na Eq. (2.6) é a inclusão de uma contribuição magnética ao
equilíbrio dos estresses na interface (segundo termo do lado direito), a tração magnética nor-
mal (magnetic normal traction) [1, 2], que considera a influência da componente normal da
magnetização na interface.
Ao reescrever a Eq. (2.7) em coordenadas polares (r,
θ
) e substituir a expressão resultante
na condição de equilíbrio, Eq. (2.6), obtemos a condição de contorno de Young-Laplace do
salto da pressão na interface
p =
γκ
−
1
2
µ
0
(M · n)
2
− 2
δ η
∂
2
φ
∂
r
2
. (2.8)
Para a configuração de campo azimutal em questão, a contribuição de mais baixa ordem do
termo da tração magnética é dada por [
µ
0
χ
2
I
2
/8
π
2
R
4
](
∂ ζ
∂ θ
)
2
. Note que este termo magnético
é de segunda ordem na perturbação
ζ
, sendo legitimamente não-linear e portanto não influ-
enciando em estágios lineares da evolução da interface. O terceiro termo do lado direito da
Eq. (2.8) leva em consideração estresses viscosos oriundos de gradientes normais da velocidade
e bastante relevantes para qualquer fluxo em Hele-Shaw com simetria radial. A Equação (2.8)
nos diz que, se os estresses viscosos e as interações magnéticas forem consideradas, a curvatura
será balanceada não apenas pela diferença de pressão, mas também por componentes normais
dos estresses viscosos (∼
∂
v
r
/
∂
r) e pela magnetização. Note que “normal” significa normal
à interface fluido-fluido e não normal à superfície que separa o ferrofluido da placa superior.
Para nosso caso de um forte confinamento entre as placas (espaçamento entre as placas pequeno
comparado com qualquer dimensão no plano da célula), o fluxo entre as placas é prioritaria-
mente horizontal e radial, de modo que a abordagem da lei de Darcy (para fluidos newtoni-
anos incompressíveis e imiscíveis) se aplica e os estresses viscosos das direções transversal
2.3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA INTERFACE 21
(∼
∂
v
z
/
∂
z) e tangencial podem ser desprezados. O parâmetro
δ
[
δ
= 1 (
δ
= 0) se os estresses
normais são (não são) considerados] é usado para rastrear as contribuições oriundas deste novo
termo na Eq. (2.8) em nosso modelo de modos acoplados. Como será verificado abaixo, a in-
clusão desses estresses na Eq. (2.8) introduz uma dependência no espaçamento inicial entre as
placas tanto a nível linear como em níveis fracamente não-lineares [Eqs. (2.11)-(2.16)].
A segunda condição de contorno que usaremos para a descrição do problema é a condição
de contorno cinemática. Esta condição está relacionada com o modo como o movimento da in-
terface está acoplado com o movimento dos fluidos. Podemos expressar esta relação afirmando
que a derivada temporal da posição da interface I(r,
θ
,t) = r −R(
θ
,t) = 0 é igual à velocidade
de cada fluido na interface. Usando o potencial de velocidade v = −∇
φ
, podemos escrever
a condição de contorno cinemática de uma forma bastante conveniente, porque relaciona o
potencial de velocidade
φ
com a perturbação da interface
ζ
,
∂
R
∂
t
=
1
r
2
∂
R
∂ θ
∂ φ
∂ θ
r=R
−
∂ φ
∂
r
r=R
. (2.9)
Como n = ∇I/|∇I|, a Eq. (A.8) expressa o fato que a componente normal da velocidade dos
fluidos é contínua através da interface
n · v
1
= n · v
2
, (2.10)
onde o índice 1 (2) refere-se ao fluido interno (externo). As componentes tangenciais, no
entanto, são descontínuas e dão origem a uma folha de vorticidade (vortex sheet strength) na
interface, na qual uma concentração de vórtices pode ser encontrada. Apesar do formalismo
das folhas de vorticidade ser uma ferramenta alternativa para descrever dinâmicas de interface
em células de Hele-Shaw, a descontinuidade da componente tangencial da velocidade não atua
diretamente na determinação da condição de contorno de pressão (2.8) em nosso problema.
Aqui o fluxo se dá principalmente ao longo da direção radial.
2.3 Equação de movimento da interface
Nós adaptamos a teoria fracamente não linear originalmente desenvolvida para estudar o prob-
lema de Hele-Shaw com espaçamento fixo (
˙
b = 0) com fluidos não-magnéticos (M = 0) [9] para
esta situação de espaçamento variável com ferrofluidos. Como mostrado em mais detalhes no
Apêndice A, definimos expansões de Fourier para os potenciais de velocidade [que obedecem
a Eq. (2.5)] e usamos as condições de contorno para expressar
φ
em termos de
ζ
n
. Depois de
2.3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA INTERFACE 22
alguma álgebra, obtemos a equação de modos acoplados adimensional para o sistema (para
n = 0)
˙
ζ
n
=
λ
(n)
ζ
n
+
∑
n
=0
F(n,n
)
ζ
n
ζ
n−n
+ G(n, n
)
˙
ζ
n
ζ
n−n
, (2.11)
onde
λ
(n) =
1
J(n)
1
2
˙
b
b
[|n| − J(n)] −
σ
b
2
R
3
|n|(n
2
− 1) − |n| N
B
b
2
R
4
(2.12)
representa a taxa de crescimento linear, com
J(n) =
1+
δ
|n|(|n| − 1)b
2
6q
2
R
2
, (2.13)
onde
q =
2R
0
b
0
(2.14)
é a razão de aspecto inicial (tradução literal do inglês “initial aspect ratio”) e representa a
razão do diâmetro inicial da gota circular pelo espaçamento inicial entre as placas. Além disso,
F(n,n
) =
1
RJ(n)
1
2
˙
b
b
|n|
sgn(nn
) −
1
2
− 1 + [J(n) − 1]
3|n
| − n
2
− 2
|n| − 1
+ |n|sgn(nn
) − 1
−
σ
b
2
R
3
|n|
1−
n
2
(3n
+ n)
+
3
2
|n| N
B
b
2
R
4
1 +
χ
3
n
(n
− n)
(2.15)
e
G(n,n
) =
1
RJ(n)
|n|[sgn(nn
) − 1] − 1 + [J(n) − 1]
3|n
| − n
2
− 2
|n| − 1
+ |n|sgn(nn
) − 1
(2.16)
representam termos de acoplamento de segunda ordem. A função sgn é ±1 de acordo com o
sinal de seu argumento. Na Eq. (2.11), comprimentos no plano, b(t) e o tempo são reescalo-
nados por L
0
= 2R
0
, b
0
, e o tempo característico T = b
0
/|
˙
b(0)|, respectivamente. O parâmetro
σ
=
γ
b
3
0
/[12
η
|
˙
b(0)|L
3
0
] representa a tensão superficial adimensional e
N
B
=
µ
0
χ
I
2
b
3
0
/[48
π
2
η
|
˙
b(0)|L
4
0
]
denota o número magnético adimensional (“magnetic Bond number”).
Como dito anteriomente, o parâmetro
δ
= 1 [ou equivalentemente, a função J(n)] corres-
ponde aos estresses extras originados na Eq. (2.8). Ele introduz uma importante dependência
2.3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA INTERFACE 23
da taxa de crescimento linear
λ
(n) e também dos termos de acoplamento F(n, n
) e G(n,n
)
na razão de aspecto inicial q. Note a presença do termo de campo magnético N
B
tanto em
λ
(n) quanto em F(n,n
). Note ainda que a contribuição da tração magnética normal aparece
em F(n,n
) no termo que inclui a susceptibilidade magnética
χ
. Entre outras coisas, estas de-
pendências em
δ
e em N
B
são necessárias para uma descrição mais precisa dos mecanismos de
competição entre os dedos num fluxo em uma célula de Hele-Shaw com espaçamento variável.
De agora em diante, trabalharemos com as versões adimensionais das equações.
Gostaríamos de chamar a atenção para um requisito importante do formalismo da lei de
Darcy empregado neste trabalho: como é comum em sistemas de Hele-Shaw [28], consider-
amos que durante todo o processo de levantamento o sistema se mantém com uma alta razão
de aspecto, isto é, o espaçamento entre as placas b é sempre muito menor que qualquer outro
comprimento característico no plano da célula, que nós tomamos como sendo o raio R, então
R/b 1. Claro que há outras abordagens teóricas para dinâmica de fluidos em Hele-Shaw que
são livres desta restrição. Por exemplo, em circunstâncias mais gerais (não limitadas a restrição
de alta razão de aspecto), a solução da equação de Stokes tridimensional [52] ou o modelo de
Brinkman [53, 54, 55] são provalvelmente mais apropriados e precisos ao descrever os padrões
que surgem durante o levantamento. No entanto, note que tal descrição mais geral envolveria
um problema de superfície livre tridimensional. Então, não há dúvidas que este seria um prob-
lema mais difícil de ser tratado e consideravelmente desafiador [40, 54]. Portanto, o modelo de
Darcy que empregamos é muito bem-vindo. Ele é uma ferramenta útil para explorar o prob-
lema de Hele-Shaw de espaçamento variável, ao menos para razões de aspecto suficientemente
grandes.
Finalmente, há um segundo ponto que gostaria de chamar a atenção. Note que, ao assumir
uma razão de aspecto grande (R/b 1), as correções consideradas nas Eqs. (2.6) e (2.7) de-
vido aos estresses viscosos e à tração magnética normal são de fato pequenas se comparadas
ao primeiro termo da Eq. (2.8) (que involve a tensão superficial e a curvatura da interface).
Por outro lado, sabe-se que a adição de pequenas correções em condições de contorno podem
ser extremamente importantes (veja por exemplo as Refs. [42, 50]). Isto é confirmado pelos
resultados que aqui apresentamos, onde o número de dedos e a dinâmica da competição entre
eles são significantemente afetados por essas pequenas correções adicionadas à condição de
contorno generalizada de pressão [Eq. (2.8)].
CAPÍTULO 3
Estágios linear e fracamente não-linear do
problema magnético
3.1 Análise de estabilidade linear
Comecemos nossa análise estudando a Eq. (2.11) para examinar como o desenvolvimento de
instabilidades de interface em estágios iniciais da evolução dos padrões podem ser modifica-
dos pela influência dos estresses viscosos e do campo magnético externo. Enfatizamos que
a contribuição dos estresses magnéticos (ou, como mais comumente conhecido, tração mag-
nética normal, tradução de “magnetic normal traction”) aparece apenas no estágio não-linear
da evolução, e portanto, não aparecerá na análise de estabilidade linear do pro-blema. Consid-
eraremos a dinâmica desestabilizante
˙
b(t) > 0 e, como nas Refs. [21, 26, 28], assumimos que o
levantamento entre as placas é feito exponencialmente b(t) = e
t
, de modo que [
˙
b(t)/b(t)] = 1.
Esta é precisamente a forma ideal de separação usada em problemas de adesão [35], uma vez
que ela promove uma cinemática mais uniforme devido a existência de uma “taxa de disten-
são” (strain rate), relacionada com a razão entre a velocidade de levantamento e o espaçamento
entre as placas, constante. Para tempo pequeno temos b ≈ 1 + t que corresponde ao caso de
levantamento com velocidade constante em que
˙
b = 1.
Podemos ganhar mais intuição acerca do papel do levantamento, dos estresses viscosos, do
campo magnético e da tensão superficial na formação das instabilidades de interface analisando
a Eq. (2.12) para a taxa de crescimento
λ
(n). Como de costume, o termo de tensão superficial
atua estabilizando os modos n grandes, isto é, se torna cada vez mais negativo ao aumentarmos
o valor de n. A Eq. (2.12) também nos mostra que a contribuição do campo magnético azimutal
N
B
é de estabilizar a interface. Mas, diferentemente desses dois, o termo de levantamento,
proporcional a
˙
b/b atua basicamente desestabilizando o sistema.
Através da Eq. (2.12) podemos obter algumas consequências da dependência da taxa de
crescimento linear com n. Por exemplo, o modo n = 0, que corresponde a uma expansão
uniforme da gota circular, decai [
λ
(0) = −1] para
˙
b(t) > 0 como consequência da conservação
24
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 25
Figura 3.1 Taxa de crescimento linear
λ
(n) como função do modo n, para t = 0.2,
σ
= 1.5 × 10
−5
e
três valores diferentes de N
B
: (a) 0, (b) 3.5 × 10
−3
e (c) 7.0 × 10
−3
. As cores correspondem a valores
distintos de
δ
e q:
δ
= 0 (preto),
δ
= 1, q = 100 (cinza escuro) e
δ
= 1, q = 50 (cinza claro).
da massa e da contração da gota, e é marginal [
λ
(0) = 0] para
˙
b(t) = 0. O modo n = 1, que
corresponde a uma translação da interface circular, é determinado apenas pelo termo magnético,
e decai se N
B
> 0, sendo marginal quando N
B
= 0. Isso faz todo sentido, uma vez que o
campo magnético azimutal tende a atrair o ferrofluido em direção ao fio, e, conseqüentemente,
a prender a gota no centro da célula. A estabilidade dos modos n ≥ 2 depende do balanço dos
três termos que aparecem na Eq. (2.12).
Uma característica incomum na Eq. (2.12) é a presença do fator J(n) [Eq. (2.13)], que intro-
duz uma dependência na razão de aspecto inicial q. Este termo aparece tanto como um prefator
geral quanto em um termo multiplicando
˙
b(t), o que o torna inerentemente relacionado com
o processo de levantamento. Da Eq. (2.13) vemos que, se n 1 a correção introduzida pelo
termo J(n) é mais importante quando nb/qR ∼ 1. Claro que esta dependência em q desaparece
completamente se os efeitos dos estresses normais não forem considerados. Neste caso,
δ
= 0
e J(n) = 1.
A Figura 3.1 mostra
λ
(n) como função do modo n para um valor não nulo do parâmetro da
tensão superficial
σ
(
σ
= 1.5× 10
−5
), no instante t = 0.2, para três valores distintos de N
B
: (a)
0, (b) 3.5 × 10
−3
e (c) 7.0 × 10
−3
. As curvas pretas correspondem ao caso em que os estresses
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 26
viscosos são desconsiderados (
δ
= 0) e as curvas em cinza referem-se aos casos em que esses
estresses são levados em consideração (
δ
= 1). Os diferentes tons de cinza referem-se aos
seguintes valores da razão de aspecto inicial: q = 100 (cinza escuro) e q = 50 (cinza claro).
A não ser quando dito o contrário, estes serão os rótulos para os tons de cinza ao longo desta
dissertação.
As curvas da taxa de crescimento ilustradas na Fig. 3.1 são caracterizadas por uma banda
de modos instáveis de largura
∆n
c
= n
c
>
− n
c
<
, (3.1)
onde o modo crítico n
c
>
(n
c
<
) é a solução de uma equação cúbica, definido como o maior
(menor) número de onda quando
λ
(n) = 0. Aqui, diferentemente do clássico problema de
formação de dedos num fluxo radial com injeção [8, 9] e do problema da célula de Hele-Shaw
girante [44, 45] em que a força motora é um termo centrífugo, a banda de instabilidade encolhe
pelas duas extremidades (n
c
>
e n
c
<
) devido a ação dos efeitos estabilizantes.
Outra característica comum a este tipo de curva é a presença de um máximo em n = n
max
,
obtido ao fazer d
λ
(n)/dn = 0. Uma quantidade que está bem relacionada a n
max
é o modo de
maior crescimento n
∗
, definido como o modo (inteiro) que produz a maior taxa de crescimento.
Um dado modo n será o de maior crescimento quando
λ
(n) >
λ
(n − 1) e
λ
(n) >
λ
(n + 1).
Este é o modo que tende a dominar durante os primeiros estágios do processo de formação do
padrão e é o modo que talvez determine o número de dedos em estágios mais avançados da
evolução.
Olhando a Fig. 3.1 podemos examinar como o campo magnético e os estresses viscosos
influenciam a taxa de crescimento linear quando
σ
é diferente de zero. Uma primeira e imediata
característica é que maiores valores de N
B
diminuem a banda de modos instáveis ∆n
c
, e reduzem
o valor de n
max
. Em contrapartida, para um dado valor de N
B
, mudanças em q levam a um menor
valor da taxa de crescimento do modo n
max
, levando-o inclusive a menores valores do número
de onda azimutal. Como n
max
determina o número típico de dedos formados no início da
instabilidade, esta dependência em q significa que confinamentos espaciais iniciais maiores (ou
equivalentemente, menores b
0
ou maiores valores de q) resultam em padrões com um maior
número de dedos. Esta é uma importante consequência da inclusão dos estresses viscosos
normais na Eq. (2.8). Então, para
σ
= 0, as instabilidades de interface serão mais efetivamente
suprimidas para maiores valores de N
B
e menores valores de q. Porém, é importante frisar que,
caso os estresses viscosos não estejam presentes (curvas pretas na Fig. 3.1) os valores de n
max
e
λ
(n
max
) tornam-se sobrestimados.
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 27
3.1.1 Caso não-magnético com estresses: comparação com experimentos
Como dito no capítulo 1, o número de dedos observados em experimentos (com fluidos não
magnéticos) em que a taxa de levantamento é constante é consideravelmente menor que o pre-
visto pela análise linear tradicional que desconsidera os estresses viscosos normais e utiliza
condições de contorno usuais [39, 40]. No entanto, foi mostrado recentemente [40] que a
concordância entre os experimentos e a teoria linear pode ser melhorada, principalmente para
grandes b(t), se efeitos tridimensionais forem considerados. Essas correções 3D são intro-
duzidas ao se considerar a influência do “molhamento” das paredes [50, 51], que considera a
existência de um filme fino de espessura variável entre os dedos e as placas. Porém, também
foi verificado na Ref. [40] que, para b(t) pequeno, uma discrepância importante entre teoria e
experimentos ainda permanece apesar da inclusão dos efeitos 3D.
Figura 3.2 n
max
como função do tempo adimensional t, para levantamento com velocidade constante
˙
b = 1,
σ
≈ 1.592 × 10
−6
e N
B
= 0. Esses parâmetros correspondem aos valores experimentais apre-
sentados nas Refs. [39, 40]. Plotamos os dados experimentais tirados da Fig. 4 da Ref. [40] (círculos
abertos) e os resultados correspondentes de nossa análise de estabilidade linear quando
δ
= 0 (curva
preta) e quando
δ
= 1 com q = 80 (curva cinza). Note que a previsão teórica para o número típico de
dedos é consideravelmente melhorado quando os estresses viscosos são considerados (curva cinza).
Neste ponto, nós sugerimos que uma possível explicação para a diminuição do número
de dedos quando b(t) é pequeno pode ser dada ao se considerar os efeitos dos estresses vis-
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 28
cosos normais. Como discutido ao longo deste capítulo, os efeitos desses estresses são mais
importantes para b(t) pequeno, ou equivalentemente para instantes iniciais. Nesses instantes
iniciais, a instabilidade acaba de se estabelecer e nossa análise de estabilidade linear (que
agora considera os estresses viscosos) deve se aplicar e ser suficientemente precisa. Uma info-
mação mais quantitativa deste fato pode ser vista na Fig. 3.2, que plota a evolução temporal de
n
max
considerando as condições experimentais usadas nas Refs. [39, 40], isto é, R
0
= 20 mm,
b
0
= 0.5 mm, velocidade de levantamento constante V =
˙
b = 20 × 10
−6
m/s, viscosidade do
fluido não-magnético
η
= 92 Pa s, e tensão superficial
γ
= 18 × 10
−3
N/m. Usando essas
quantidades físicas, fizemos nossa Fig. 3.2 considerando os correspondentes parâmetros adi-
mensionais:
˙
b = 1 e
σ
=
γ
b
3
0
/[12
η
|
˙
b|(2R
0
)
3
] ≈ 1.592 × 10
−6
. Consideramos também que não
há campo magnético aplicado (N
B
= 0), além de um intervalo de tempo adimensional no in-
ício da dinâmica 0.15 ≤ t ≤ 0.50 (note que aqui o tempo característico é T = b
0
/|
˙
b| = 25).
A curva preta representa a situação em que os estresses viscosos são desprezados (
δ
= 0) en-
quanto que a curva cinza considera o efeito desses estresses (
δ
= 1) para o valor exato da razão
de aspecto inicial usado na Ref. [40], q = (2R
0
/b
0
) = 80. Em outras palavras, o valor de q
utilizado é determinado pelas condições iniciais dos experimentos da Ref. [40]. Os círculos
abertos representam os valores experimentais da Fig. 4 da Ref. [40]. Ao se comparar as curvas
preta e cinza na Fig. 3.2 fica evidente que os estresses viscosos (curva cinza) reduzem a pre-
visão do número de dedos substancialmente, principalmente em instantes iniciais [ou menores
b(t)]. Isso mostra que o número típico de dedos fica de fato sobrestimado caso os estresses
viscosos não sejam considerados (curva preta). Além disso, a Fig. 3.2 nos mostra ainda que a
concordância entre o número de dedos observado experimentalmente e o previsto pela teoria
linear é considera-velmente melhorada quando os estresses viscosos são utilizados.
Para examinar este fato mais detalhadamente, na Fig. 3.3 temos o gráfico do número típico
de dedos n
max
para diferentes valores do espaçamento inicial entre as placas b
0
. Da mesma
forma que na Ref. [40], nossos resultados teóricos foram calculados considerando o instante
inicial t = 0. Note que a Fig. 3.3 usa o mesmo conjunto de parâmetros físicos da Fig. 3.2 (que
foi feita assumindo b
0
= 0.5 mm fixo), mas agora o tempo é que é fixo (t = 0) e 0.1 mm ≤
b
0
≤ 1.0 mm. Os valores representados pelos pontos pretos (cinza) assumem
δ
= 0 (
δ
= 1)
e os círculos abertos são os valores experimentais tirados da Fig. 3 da Ref. [40]. Ao olhar
para a Fig. 3.3 é fácil notar que os pontos em cinza (
δ
= 1) estão sempre abaixo dos pontos
pretos (
δ
= 0). Isto indica que a inclusão dos estresses viscosos levam a resultados teóricos que
estão mais próximos dos dados experimentais para todos os valores de b
0
medidos. A Fig. 3.3
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 29
Figura 3.3 Gráfico log-log que representa como o número típico de dedos n
max
no instante t = 0 varia
com o espaçamento inicial entre as placas b
0
(0.1 mm ≤ b
0
≤ 1.0 mm). Os demais parâmetros são os
mesmo usados na Fig. 3.2. Plotamos os dados experimentais da Fig. 3 da Ref. [40] (círculos abertos)
junto com resultados de nossa análise de estabilidade linear quando
δ
= 0 (pontos pretos) e quando
δ
= 1 (pontos cinza).
mostra ainda que uma melhor concordância entre teoria incluindo estresses (pontos cinza) e
experimento (círculos abertos) é encontrada dentro do intervalo 0.2 mm ≤ b
0
≤ 0.6 mm. Os
desvios observados para maiores b
0
são de certa forma esperados devido aos resultados da
Ref. [40] (efeitos 3-D). Apesar de ainda não entendermos a discrepância persistente quando a
separação entre as placas é bastante pequena (0.1 mm ≤ b
0
≤ 0.2 mm), ela pode estar rela-
cionada a imprecisões inerentes relacionadas às medidas experimentais do número de dedos
em instantes muito inicias da evolução (note que neste caso consideramos t = 0). Um melhor
acordo entre teoria e experimentos seria obtido caso os dados experimentais fossem calcula-
dos considerando um valor de t pequeno, porém diferente de zero. Em suma, da análise das
Figs. 3.2 e 3.3 temos que, para melhorar a concordância entre a teoria linear e os dados experi-
mentais [39, 40] é necessário incluir não apenas efeitos tridimensionais [mais relevantes para
maiores b(t)], mas também os estresses viscosos normais [necessários para valores pequenos
e intermediários de b(t)]. Desta forma, a inclusão dos estresses normais que propomos neste
trabalho acrescentam um elemento importante na discussão das discrepâncias observadas nas
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 30
Refs. [39, 40].
Voltando a considerar a presença do campo magnético, e como rapidamente discutido na
seção 1.3 do capítulo 1, sabe-se que há formação de singularidades de cúspide e quebra da gota
na interface entre os fluidos ao se considerar fluxos confinados na ausência de tensão super-
ficial. Um exemplo deste acontecimento na célula de Hele-Shaw com espaçamento variável
é mostrado nas simulações numéricas da Ref. [21] com fluidos não-magnéticos. A Fig. 1.16
mostrou parte dos resultados da Ref. [21] e nela vemos claramente que uma gota com forma de
haltere quebra-se em duas partes.
Também vimos no capítulo 1 que Magdaleno et al. [10] mostraram que é possível, devido
a efeitos centrífugos, prevenir a formação de singularidades de cúspide em fluxos radiais na
célula de Hele-Shaw girante com espaçamento constante quando a tensão superficial é zero.
Motivados pela idéia de que é possível controlar os mecanismos de formação de singu-
laridades em tempo finito para nosso sistema de Hele-Shaw com levantamento, vamos buscar
evidências teóricas de que o efeito estabilizante do campo magnético azimutal pode ser usado
como um parâmetro externo para inibir singularidades e a quebra da gota em fluxos quando
a tensão superficial é zero. Note que, especialmente para esta análise, que corresponde aos
resultados de nosso artigo do Physical Review E 69, 066312 (2004), estaremos considerando
os efeitos estabilizantes do campo magnético apenas, isto é, o efeito dos estresses viscosos não
serão levados em consideração na análise da inibição de singularidades.
Como antecipado na seção 2.1 do capítulo 2, esta configuração de campo azimutal gera uma
força magnética radial que aponta em direção ao fio e portanto atua atraindo o ferrofluido para
o centro da célula de Hele-Shaw estabilizando as perturbações de interface. Este mecanismo
estabilizante por si só já sugere a possibilidade de se obter uma evolução não-trivial da interface
instável, mas que não necessariamente desenvolva singularidades e fissão da gota neste limite
em que
σ
= 0.
Para ilustrar o efeito do campo magnético na formação de singularidades em tempo finito,
mostramos na Fig. 3.4 a superposição de gráficos em diferentes instantes de tempo que mostram
a evolução da interface linear, obtida integrando o primeiro termo do lado direito da Eq. (2.11)
para n = 2,
δ
= 0 e 0 ≤ t ≤ 2, com intervalos de tempo igualmente espaçados de 0.25. Evoluí-
mos do raio inicial circular R
0
= 0.5 com |
ζ
n
(0)| = R
0
/10. Com a intenção de tornar a figura
mais clara, pintamos a forma final da gota. A Figura 3.4(a) representa a evolução da interface
na ausência de campo magnético (N
B
= 0). Nela, a interface inicialmente circular evolui para
um padrão com a forma de um haltere que tende a se partir em dois círculos como predito pela
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 31
Figura 3.4 Evolução linear da interface usando a Eq. (2.11) para n = 2,
δ
= 0 e 0 ≤ t ≤ 2 em intervalos
de 0.25 considerando
δ
= 0 quando (a) N
B
= 0 e (b) N
B
= 2.5× 10
−5
.
Ref. [21]. Apesar de termos interrompido a evolução antes do processo da quebra, há uma clara
evidência de que uma singularidade tende a ocorrer quando N
B
= 0. Note que não poderíamos
avançar ainda mais na evolução uma vez que qualquer modelo perturbativo se torna quantita-
tivamente impreciso quando as perturbações crescem demais. No entanto, como discutido em
detalhes por Gingras e Rácz [57], a teoria linear é ainda válida desde que os padrões da interface
não se interceptem. Nas Figuras 3.4(a) e 3.4(b) nós respeitamos esse critério de validade.
A Figura 3.4(b) representa a evolução da interface para o mesmo conjunto de parâmetros da
Figura 3.4(a), mas agora considerando a presença do campo magnético com N
B
= 2.5 × 10
−5
.
É evidente que o campo magnético muda consideravelmente o movimento da interface, prin-
cipalmente sua forma final. Recordamos que os termos magnéticos na equação de movimento
da interface [Eq. (2.11)] crescem exponencialmente no tempo. Além de crescer com o tempo,
na taxa de crescimento linear, o termo de campo tem efeito estabilizante atraindo a gota de fer-
rofluido para o centro da célula de Hele-Shaw. Neste sentido, podemos afirmar que os termos
magnéticos “imitam” a tendência intrínseca de voltar a uma forma circular no final da evolução
como acontece no fluxo com levantamento quando a tensão superficial é não-nula [21]. O
fato mais notável na Fig. 3.4(b) é a ausência de uma fissão iminente na região central da gota.
Isto reforça a possibilidade de se inibir a formação de singularidades devido a ação do campo
magnético azimutal.
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 32
Figura 3.5 Taxa de crescimento linear
λ
(n) como função do modo n, para t = 0.2,
σ
= 0 e dois difer-
entes valores de N
B
: (a) 0 e (b) 7.0 × 10
−3
. O rótulo das cores referem-se a valores distintos de
δ
e q:
δ
= 0 (preto),
δ
= 1, q = 100 (cinza escuro) e
δ
= 1, q = 50 (cinza claro).
Continuemos agora com a análise de estabilidade linear, voltando a considerar os efeitos
dos estresses viscosos e analisando a taxa de crescimento quando o parâmetro de tensão su-
perficial é zero (veja Fig. 3.5). Ao longo deste trabalho, o limite de tensão superficial zero
será particularmente útil, uma vez que ele dessensibiliza o sistema com relação a
σ
e permite
um melhor esclarecimento dos papéis dos estresses viscosos e do campo magnético. A Fig. 3.5
mostra como a taxa de crescimento linear varia com o modo de Fourier n quando
σ
= 0, t = 0.2
e N
B
: (a) 0 e (b) 7.0× 10
−3
. O valor dos demais parâmetros e o rótulo das cores seguem exata-
mente os utilizados na Fig. 3.1. Quando os estresses viscosos são desprezados [retas pretas em
(a) e em (b)]
λ
(n) cresce linearmente com n e o sistema é mal definido [
λ
(n) cresce indefinida-
mente quando n → ∞] independente do valor de N
B
considerado. De outra forma, apesar da
inclinação da reta ser reduzida para maiores valores de N
B
, a curva da taxa de crescimento não
irá nunca apresentar um máximo bem definido para um n finito quando
δ
= 0. Então, o efeito
magnético por si só não é suficiente para regularizar o sistema a nível linear, e N
B
não tem
influência alguma na determinação de n
max
quando
σ
= 0 e
δ
= 0.
Um panorama completamente diferente surge quando os estresses viscosos são introduzi-
dos: quando
δ
= 1 [curvas cinza na Fig. 3.5(a) e na Fig. 3.5(b)] há a estabilização de modos
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 33
grandes e as curvas apresentam um n
max
finito bem definido e um ∆n
c
largo, porém finito tam-
bém. Note também que, para um dado N
B
, menores valores de q (curvas cinza claro) corres-
pondem a menores valores de n
max
e de ∆n
c
. Um fato interessante é que a posição (ao longo do
eixo n) do máximo nas curvas cinza que tem o mesmo q é sempre a mesma. Como dito anteri-
ormente, o valor de n
max
não depende de N
B
, mas apenas de q. Isso justifica o fato da posição
de n
max
não variar com o aumento de N
B
. Assim, a existência de um máximo nas curvas cinza
da Fig. 3.5 é devido exclusivamente a ação dos estresses viscosos. É neste sentido que podemos
afirmar que a inclusão dos estresses normais (
δ
= 1) na condição de contorno de pressão mod-
ificada Eq. (2.8) introduz uma tensão superficial efetiva ao sistema. Daí, no âmbito da teoria
linear, concluímos que a ação conjunta do campo magnético com os estresses viscosos normais
pode ser usada como parâmetro para disciplinar o surgimento das instabilidades de interface.
Figura 3.6 n
max
como função da razão de aspecto inicial q, para t = 0.2,
σ
= 1.5 × 10
−5
,
δ
= 1 e três
valores diferentes de N
B
: (a) 0, (b) 3.5 × 10
−3
e (c) 7.0× 10
−3
. Esses parâmetros são os mesmos usados
na Fig. 3.1.
Para investigar mais detalhadamente a ação combinada do campo magnético com os es-
tresses viscosos no modo de maior crescimento, mostramos na Fig. 3.6 o gráfico de n
max
como
função de q para três valores distintos de N
B
,
δ
= 1, t = 0.2 e
σ
= 1.5 × 10
−5
. Os valores de
N
B
são os mesmos usados na Fig. 3.1. Ao examinar a Fig. 3.6 vemos que n
max
é mais sensível
a mudanças em q para menores valores de N
B
. Ao aumentar q na Fig. 3.6, o número típico de
dedos aumenta de aproximadamente três unidades em (a) para N
B
= 0, duas unidades em (b)
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 34
para N
B
= 3.5 × 10
−3
e uma unidade em (c) para N
B
= 7.0 × 10
−3
. De fato, isto acontece para
qualquer instante t. Verificamos ainda que n
max
é uma função decrescente do tempo e decai
mais rapidamente para menores valores de q e maiores valores de N
B
.
Figura 3.7 n
max
como função da razão de aspecto inicial q, para t = 0.2,
σ
= 0,
δ
= 1 e três valores
diferentes de N
B
: 0, 3.5 × 10
−3
e 7.0 × 10
−3
. Note que, escondidas nesta simples curva pontilhada, há
de fato três curvas (uma para cada valor de N
B
). Esses parâmetros são os mesmos da Fig. 3.5.
Também observamos que, se diminuirmos
σ
, n
max
varia muito mais dramaticamente com
q e, no limite em que
σ
→ 0, as três curvas pontilhadas da Fig. 3.6 coincidem, como pode ser
visto na Fig. 3.7. Esta figura mostra n
max
como função de q, quando
σ
= 0 e
δ
= 1. Note
que, escondidas na linha reta pontilhada da Fig. 3.7, há de fato três curvas pontilhadas, duas
delas escondidas. Isto reforça nossa afirmação (veja discussão da Fig. 3.5) de que N
B
não
tem influência alguma na determinação de n
max
quando
σ
= 0. De fato, se fizermos
σ
= 0 e
calcularmos d
λ
(n)/dn = 0, os termos que dependem de N
B
se cancelam e encontramos que
n
max
=
6
δ
R
b
q. (3.2)
Na Eq. (3.2) vemos que n
max
varia linearmente com q e, como esperado, tende a infinito quando
δ
→ 0, uma vez que neste limite
λ
(n) é ilimitado. No entanto, se
δ
= 1, n
max
é uma função
decrescente do tempo. Isto indica que, devido aos estresses viscosos, a gota tenderia a uma
recircularização mesmo quando
σ
e N
B
são ambos nulos.
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 35
Figura 3.8 Gráfico log-linear do diagrama de fases, de estabilidade linear que mostra as zonas (som-
breadas) do modo que tem crescimento mais rápido n
∗
de acordo com a Eq. (3.3). Os parâmetros físicos
são exatamente os mesmos usados na Fig. 3.1.
Informação complementar pode ser obtida examinando a Fig. 3.8 que usa os mesmos
parâmetros da Fig. 3.6 mas retrata um “diagrama de fases”, no espaço dos parâmetros N
B
-q
para o sistema linearizado. As curvas que separam cada uma das regiões sobreadas são deter-
minadas pela condição
λ
(n) =
λ
(n ± 1). (3.3)
Elas separam zonas dentro das quais um dado modo é o de maior crescimento. Essas zonas são
rotuladas por n
∗
no gráfico. Como um exemplo de como podemos usar este gráfico, considere
o caso em que N
B
= 3.5 × 10
−3
é mantido fixo. Quando a razão de aspecto inicial aumenta
de q = 50 a q = 100, o modo de maior crescimento também aumenta, variando de n
∗
= 20 a
n
∗
= 22. Além disso, note que, à medida que N
B
aumenta, as regiões sombreadas tornam-se
mais estreitas e horizontais, indicando que a influência de q diminui à medida que aumentamos
o valor do parâmetro N
B
. Por outro lado, se q é fixado (por exemplo, q = 100), à medida que
aumentamos N
B
, temos que o modo de crescimento mais rápido diminui, variando de n
∗
= 25 a
n
∗
= 18. Estas constatações estão em perfeito acordo com o que encontramos na Fig. 3.6 para
três valores distintos de N
B
. Verificamos também que, enquanto diminuímos o valor de
σ
, as
regiões para cada n
∗
tornam-se cada vez mais estreitas e verticais de modo que, quando
σ
→ 0,
3.1 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR 36
vê-se mais uma vez que mudanças em N
B
não trazem influência alguma na determinação de n
∗
,
confirmando assim o colapso das curvas na Fig. 3.7.
Figura 3.9 Largura da banda de modos instáveis ∆n
c
como função do número magnético N
B
quando
σ
= 0:
δ
= 0 (preto),
δ
= 1, q = 100 (cinza escuro) e
δ
= 1, q = 50 (cinza claro). Os demais parâmetros
são os mesmos da Fig. 3.1.
Apesar de termos obtido fortes evidências de que o modo de maior crescimento n
∗
(ou,
n
max
) depende fortemente de q e de N
B
quando
σ
= 0, como indicado nas Figs. 3.1 e 3.6,
a banda de modos instavéis ∆n
c
diminui com o aumento de N
B
, mas, para um dado N
B
, é
pouquíssimo influenciado por mudanças no espaçamento inicial entre as placas, isto é, por
mudanças em q. Este fato pode ser facilmente verificado na Fig. 3.9, que mostra como ∆n
c
varia com N
B
, quando q = 100 (curva cinza escura), q = 50 (curva cinza clara) e quando
δ
= 0
(curva preta). Encontramos um comportamento diferente quando a tensão superficial é zero
mas
δ
= 1 (veja Fig. 3.10). Neste caso, a banda de modos instáveis é muito mais sensível
a variações em q. Além disso, ∆n
c
varia mais fortemente com N
B
para maiores valores de q.
Mais uma vez, no limite em que a tensão superficial é nula, temos acesso a mais uma importante
quantidade física, o valor crítico do número magnético que estabiliza todos os modos
N
B
c
=
R
4
˙
b
2b
3
1 −
δ
6
b
qR
2
. (3.4)
Da Eq. (3.4), vemos que, quando os estresses viscosos são considerados (
δ
= 1) e q é pequeno,
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 37
Figura 3.10 Largura da banda de modos instáveis ∆n
c
como função do número magnético N
B
quando
σ
= 0:
δ
= 1, q = 100 (cinza escuro) e q = 50 (cinza claro). Os demais parâmetros são os mesmos da
Fig. 3.5. Não há curva preta (
δ
= 0) uma vez que neste caso ∆n
c
→ ∞.
um menor N
B
c
é necessário para que todos os modos sejam estabilizados. Note também que
N
B
c
é uma função decrescente do tempo. Isso sugere que, com o passar do tempo, mesmo
quando
σ
= 0, um processo de recircularização da gota seria favorecido.
3.2 Dinâmica fracamente não-linear
Na seção anterior, vimos que a análise linear pode ser útil para determinar aspectos importantes
relacionados à estabilidade da interface fluido-fluido, principalmente aqueles relacionados ao
número típico de dedos formados e ao campo magnético crítico necessário para estabilizar to-
dos os modos. Nesta seção, nossa atenção estará voltada para a parte fracamente não-linear,
estágios intermediários da evolução dos padrões. Agora, não estamos interessados apenas em
questões de estabilidade da interface, mas também em acessar importantes características mor-
fológicas dos padrões formados na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável.
Como discutido na seção 1.3 do capítulo 1, o aspecto morfológico mais notável da formação
de padrões em fluxos na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável é a forte competição
existente entre os dedos que entram na estrutura, enquanto que a competição entre os dedos do
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 38
fluido mais viscoso (que saem) é consideravelmente menos intensa. Nosso objetivo principal
é obter informações analíticas a respeito deste processo de competição nas situações em que
a tensão superficial é nula e é diferente de zero, ao considerar a ação conjunta dos estresses
viscosos normais e do campo magnético. Também analisaremos os efeitos puramente não-
lineares introduzidos pela tração magnética normal [
µ
0
(M · n)
2
]/2 [segundo termo do lado
direito da Eq. (2.8)].
O modelo perturbativo de modos acoplados de segunda ordem que utilizamos descreve com
boa precisão os mecanismos de competição de fluxos radiais em células de Hele-Shaw com
injeção [9] e também em fluxos na célula de Hele-Shaw girante [43]. Resultados numéricos
recentes [56] confirmam essas previsões analíticas da Ref. [43] fornecendo assim uma boa
evidência do poder da descrição fracamente não-linear. Dentro de nossa abordagem fracamente
não-linear, a competição entre os dedos está relacionada à influência do modo fundamental n,
assumindo que n é par, no crescimento de seu modo sub-harmônico n/2 [9, 43]. É precisamente
o acoplamento entre esses dois modos que descreve a variabilidade do comprimento relativo
dos dedos, fazendo assim uma descrição precisa do fenômeno da competição. Para simplificar
nossa discussão, é conveniente reescrever a perturbação total
ζ
em termos dos modos cosseno
[a
n
=
ζ
n
+
ζ
−n
] e seno [b
n
= i (
ζ
n
−
ζ
−n
)]. Sem perda de generalidade, podemos escolher a
fase do modo fundamental de maneira que a
n
> 0 e b
n
= 0. Considerando apenas esses dois
modos e usando a Eq. (2.11) obtemos as equações de movimento dos modos sub-harmônicos
˙a
n/2
=
{
λ
(n/2) +C(n) a
n
}
a
n/2
(3.5)
˙
b
n/2
=
{
λ
(n/2) −C(n) a
n
}
b
n/2
, (3.6)
onde a função
C(n) =
1
2
F
−
n
2
,
n
2
+
λ
(n/2) G
n
2
,−
n
2
(3.7)
regula o comportamento competitivo.
Na Fig. 3.11, plotamos C(n) como função do tempo para dois valores de n, quando
σ
=
1.5× 10
−5
. As curvas contínuas (tracejadas) descrevem o comportamento de C(n) na ausência
(presença) de campo magnético. Quando o campo é diferente de zero N
B
= 2.0×10
−4
e
χ
= 5.
As curvas pretas (cinza) consideram que o parâmetro dos estresses normais
δ
= 0 (
δ
= 1).
As curvas cinza claro (escuro) referem-se a q = 50 (q = 100). É evidente da Fig. 3.11 que
C(n) ≤ 0. Das Eqs. (3.5) e (3.6) vemos que C(n) negativo aumenta o crescimento do modo
sub-harmônico seno b
n/2
, enquanto que o crescimento do modo sub-harmônico cosseno a
n/2
é desfavorecido. O resultado é uma maior variabilidade no comprimento dos dedos do fluido
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 39
Figura 3.11 C(n) como função do tempo para os modos n = 16 e n = 20 para o caso em que a tensão
superficial é diferente de zero (
σ
= 1.5 × 10
−5
). As curvas pretas (cinza) referem-se a
δ
= 0 (
δ
= 1).
O número magnético é N
B
= 0 (N
B
= 2.0 × 10
−4
) para as curvas contínuas (tracejadas), q = 50 (curvas
cinza claro) e q = 100 (curvas cinza escuro). A susceptibilidade magnética é
χ
= 5. Note que a razão
de aspecto inicial q só está presente quando
δ
= 1.
externo que entram no ferrofluido. É este efeito da diferença de comprimento entre os dedos
que entram que descreve a competição desses dedos. Isto está de acordo com o que é observado
tanto em experimentos [32, 33, 34, 38, 39] quanto em simulações computacionais [21] do
problema do fluxo com levantamento considerando fluidos não-magnéticos.
É de se perguntar se, em estágios intermediários da evolução dos padrões, os estresses
viscosos tem um papel importante na dinâmica de competição entre os dedos. Para investigar
este fato, analisemos primeiro a situação em que não há campo magnético aplicado (curvas
contínuas na Fig. 3.11). Se N
B
= 0 vemos que as curvas que representam C(n) se comportam
do modo diferente caso os estresses viscosos sejam levados em consideração. Por exemplo,
para um dado n, vemos que uma curva relacionada ao menor q está acima das outras duas. Isso
indica que a competição é menos intensa para menores valores da razão de aspecto inicial q.
Então, quanto maior o confinamento espacial dos fluidos em t = 0, maior a competição em
instantes posteriores. Estes resultados teóricos estão de acordo os com experimentos em fluxos
com levantamento de fluidos newtonianos imiscíveis e não-magnéticos das Refs. [32, 39, 40].
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 40
Nesses experimentos, poucos (muitos) dedos e pouca (muita) competição aparecem para uma
grande (pequena) separação inicial entre as placas. A dependência da dinâmica de competição
entre os dedos viscosos em q é outra importante consequência da inclusão dos estresses normais
na Eq. (2.8) e no problema da célula de Hele-Shaw com levantamento.
Apesar da importante relação da competição com q como discutido nos últimos parágrafos,
note que, a ação conjunta dos estresses normais com a tensão superficial não é suficiente para
fazer com que C(n) → 0 dentro da escala de tempo na qual nossa teoria é quantitativamente
precisa. Um comportamento totalmente oposto pode ser observado quando consideramos que
o campo magnético é não nulo (curvas tracejadas na Fig. 3.11): C(n) é negativo e aumenta com
o avanço temporal. Eventualmente, C(n) se torna zero, isto indica que não há mais competição,
e isto é devido a ação do campo magnético. Apesar dos estresses viscosos contribuírem com a
diminuição da intensidade da competição dos dedos que entram quando N
B
= 0, eles não têm
grande influência na determinação do tempo para o qual esta competição será nula. Isto pode
se visto pelo fato de que, para um dado n, todas as curvas tracejadas tendem a coincidir quando
C(n) → 0. Outro fato digno de nota é que a competição para o modo n = 20 vai a zero antes
do modo n = 16. Isto faz com que as curvas tracejadas se cruzem antes de alcançarem a reta
C(n) = 0.
Na Fig. 3.12, mostramos C(n) como função de t, mas agora assumimos que
σ
= 0. Todos
os demais parâmetros são os mesmos usados na Fig. 3.11. Ao examinar a Fig. 3.12 vemos que
quando N
B
= 0 (curvas contínuas), C(n) é uma função sempre decrescente do tempo. Ao se
comparar as curvas contínuas das Fig. 3.11 e Fig. 3.12, vê-se claramente que é a ausência de
tensão superficial o fator responsável por este comportamento. Isto favorece uma competição
cada vez maior entre os dedos que entram. No entanto, é importante notar que, apesar da
tensão superficial estar completamente ausente na Fig. 3.12, os estresses normais ainda atuam
tentando diminuir a intensidade da competição (quanto menor q mais altas estão as curvas
contínuas). Entretanto, a redução na intensidade da competição proporcionada pelos estresses
viscosos não são suficientes para transformar as curvas contínuas de funções decrescentes no
tempo (que favorecem uma competição cada vez maior entre os dedos) para funções crescentes
no tempo (que diminuem efetivamente a intensidade da competição fazendo com que as curvas
interceptem a reta C(n) = 0, mostrando assim que a competição foi suprimida).
Estes resultados estão de acordo com as simulações numéricas da Ref. [21] para
σ
= 0
e mostradas na Fig. 1.16. Nela, vemos que à medida que a interface se propaga, os dedos
que entram competem e a interface começa a se afinar. A partir deste ponto, a formação de
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 41
Figura 3.12 C(n) como função do tempo para os modos n = 16 e n = 20 quando a tensão superficial
é zero. As curvas pretas (cinza) referem-se a
δ
= 0 (
δ
= 1). O número magnético é N
B
= 0 (N
B
=
2.0 × 10
−4
) para as curvas contínuas (tracejadas), q = 50 (curvas cinza claro) e q = 100 (curvas cinza
escuro). A susceptibilidade magnética
χ
= 5. Note que a razão de aspecto inicial q só está presente
quando
δ
= 1.
singularidades é esperada. A colisão entre duas frentes da interface vindas de direções opostas
resultaria na singularidade topológica produzindo a quebra da gota.
Semelhantemente ao que ocorre no caso ilustrado na Fig. 3.11 em que a tensão superficial é
diferente de zero, a situação é completamente modificada quando um campo magnético externo
é aplicado. Ao observarmos as curvas tracejadas da Fig. 3.12 vemos que, devido a ação do
campo magnético, essas curvas tornam-se funções crescentes do tempo, fazendo com que a
competição vá a zero num dado instante, indicando que a competição se anula, apesar do fato
de
σ
= 0. Como esperado, ao se comparar as Figs. 3.11 e 3.12 concluímos que o tempo
necessário para conter a competição é menor quando a tensão superficial é não-nula. Isto é
verificado ao se notar que os pontos em que C(n) = 0 nas curvas tracejadas são transladados
um pouco para a esquerda na Fig. 3.11.
É necessário que algumas palavras sejam ditas para corroborar nossos resultados lineares
e fracamente não-lineares acerca de estágios muito avançados da evolução dos padrões, como
por exemplo, na formação de singularidades. Foi mostrado [9, 58, 59] que previsões fraca-
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 42
mente não-lineares do problema de Saffman-Taylor em segunda ordem apresentam uma boa
concordância com soluções exatas em ambos os casos de tensão superficial nula e diferente
de zero. Além disso, também foi mostrado que esta concordância também é obtida mesmo
quando a evolução fracamente não-linear é descrita por acoplamentos de poucos modos de
Fourier [9, 58, 59]. A inclusão de mais modos certamente resultaria numa descrição mais pre-
cisa da forma da interface, mas os mecanismos de crescimento básicos dos dedos viscosos
(bifurcação e competição) podem ser bem reproduzidos usando apenas o acoplamento dos mo-
dos de Fourier relevantes. No caso dos mecanismos de competição, como antecipamos, os
modos relevantes são n e n/2.
Contudo, podemos afirmar que nossa análise de segunda ordem sugere que o campo mag-
nético azimutal atua reduzindo a competição entre os dedos que entram prevenindo o surgi-
mento de singularidades de interface. Essas observações são consistentes com nossos resulta-
dos de primeira ordem (Fig. 3.4) com relação ao papel estabilizante do campo magnético apli-
cado. Agora, portanto, além de disciplinar as perturbações de interface, o campo magnético
parece ser capaz de inibir a formação de singularidades.
Figura 3.13 Tempo adimensional
τ
∗
para o qual a intensidade da competição é máxima (na ausência
de campo magnético) como função do modo n, quando (a)
σ
= 0 (veja Fig. 3.12) , (b)
σ
= 1.5 × 10
−5
(veja Fig 3.11). Consideramos que q = 100 (cinza escuro) e q = 50 (cinza claro).
Para analisar em mais detalhes outros aspectos relevantes da dinâmica de competição entre
os dedos viscosos na célula de Hele-Shaw com levantamento, concluímos esta seção analisando
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 43
Figura 3.14 Tempo adimensional
τ
para o qual C(n) = 0 como função da susceptibilidade magnética
χ
(1 ≤
χ
≤ 10), quando (a)
σ
= 0, (b)
σ
= 1.5× 10
−5
, para n = 30, N
B
= 2.0× 10
−4
e
δ
= 0. Os demais
parâmetros são os mesmos das Figs. 3.11 e 3.12.
as Figs. 3.13 e 3.14. A Fig. 3.13 apresenta a influência dos estresses viscosos na competição
entre os dedos tanto na ausência (a) quanto na presença (b) de tensão superficial. Para os
dois valores de tensão superficial, consideramos dois valores distintos da razão de aspecto
inicial: q = 100 (cinza escuro) e q = 50 (cinza claro). Focalizamos no caso em que N
B
= 0
e plotamos o tempo adimensional
τ
∗
para o qual a função competição C(n) assume seu valor
máximo (mínimo das curvas cinza contínuas nas Figs. 3.11 e 3.12) como função do modo n. De
fato, verificamos que a função competição é significantemente afetada pela ação dos estresses
viscosos. Quando a tensão superficial é zero [Fig. 3.13(a)], para um dado n,
τ
∗
é menor para um
maior confinamento inicial (maior q). Fica evidente, então, que esse sistema com levantamento
é extremamente dependente das condições iniciais, no sentido que mudanças em q levam a
importantes variações na dinâmica da competição entre os dedos viscosos. Vemos também que
τ
∗
é uma função decrescente do modo n, indicando que a competição é mais forte em estágios
relativamente iniciais do processo de levantamento, quando modos n maiores são ativos, isto é,
instáveis. Isso concorda com o que discutimos anteriormente, na análise linear, uma vez que
no início do processo evolutivo da interface temos mais modos ativos (instáveis) participando
da dinâmica e esses modos vão deixando de estar presentes, tornando-se estáveis, com o passar
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 44
do tempo. Em estágios lineares, quem nos confirma essa informação é o fato de que tanto n
max
quanto N
Bc
serem funções decrescentes do tempo. Estas observações acerca da competição
também são válidas para o caso em que a tensão superficial é diferente de zero [Fig. 3.13(b)],
mas como neste caso as curvas para diferentes q são mais próximas umas das outras, fica óbvio
que a existência de tensão superficial (que estabiliza modos n grande) diminui a sensibilidade
do sistema com relação a mudanças em q.
Seguimos examinando agora a Fig. 3.14. Aqui nós queremos investigar a influência da
contribuição puramente não linear que surge da tração magnética normal [segundo termo do
lado direito da Eq. (2.8)], que introduziu uma dependência explícita do termo de acoplamento
F(n,n
) na susceptibilidade magnética
χ
[último termo da Eq. (2.15)]. A figura 3.14 mostra
o tempo
τ
para o qual a competição é nula [zeros de C(n) quando N
B
= 0] como função da
susceptibilidade magnética
χ
, considerando tensão superficial (a) zero e (b) diferente de zero
(
σ
= 1.5 × 10
−5
). Sem perda de generalidade, assumimos n = 30 e N
B
= 2.0 × 10
−4
e usamos
os mesmos parâmetros físicos empregados nas Figs. 3.11 and 3.12. Como a influência dos es-
tresses normais viscosos é desprezível na determinação de
τ
, a Fig. 3.14 foi feita considerando
δ
= 0.
A figura 3.14 ilustra claramente que, independente do valor de
σ
, o tempo
τ
necessário
para suprimir completamente a competição depende fortemente do valor da susceptibilidade
magnética, e este tempo é cada vez menor à medida que aumentamos o valor de
χ
. Num
primeiro momento, esta dependência pode parecer um pouco óbvia, no entanto, note que o valor
do número magnético N
B
usado ao longo desta seção fracamente não-linear 3.2 é uma ordem de
grandeza menor que os valores típicos de N
B
usados durante a análise linear da seção 3.1. Isto
é possível devido a inclusão da tração magnética normal na Eq. (2.8). Agora é possível usar
um valor consideravelmente menor de N
B
e ainda assim suprimir completamente a competição
escolhendo para tanto o valor adequado da susceptibilidade magnética. Em outras palavras,
mesmo se N
B
for mantido constante, é possível determinar o tempo para o qual a competição
será nula ao selecionar apropriadamente o valor de
χ
. Podemos obter mais informações acerca
disto analisando a expressão do número magnético que é necessário para suprimir a competição
completamente (por simplicidade, assumimos
σ
= 0 e
δ
= 0)
¯
N
B
=
4n + 2
χ
n
2
+ 4n + 10
N
B
c
, (3.8)
obtido da Eq. (3.7) fazendo C(n) = 0. Na Eq. (3.8) N
B
c
denota no número magnético crítico
necessário para estabilizar todos os modos em etapas lineares [veja Eq. (3.4)], enquanto que
¯
N
B
é um conceito legitimamente não-linear. A partir da Eq. (3.8) é fácil notar que o número
3.2 DINÂMICA FRACAMENTE NÃO-LINEAR 45
magnético
¯
N
B
que inibe a competição completamente pode ser significantemente menor que
o número magnético crítico (linear) N
B
c
, principalmente para grandes valores de
χ
e n. Esta
dependência de
¯
N
B
em
χ
é uma consequência direta e importante da introdução do termo de
tração magnética normal na condição de contorno generalizada de Young-Laplace [Eq. (2.8)].
Esta contribuição puramente não-linear proporciona um apoio adicional à idéia de controlar
convenientemente instabilidades e singularidades de interface em células de Hele-Shaw com
levantamento por meios magnéticos [27, 37].
CAPÍTULO 4
Conclusões e perspectivas
Neste trabalho, estudamos vários aspectos relacionados à formação de padrões em células de
Hele-Shaw com levantamento tanto em estágios puramente lineares quanto em estágios não-
lineares (intermediários) da evolução da interface. Nossa abordagem analítica incorpora a ação
combinada de três parâmetros importantes para o problema, os estresses viscosos (que apare-
cem sempre quando
δ
= 1), o campo magnético aplicado (N
B
) e a tensão superficial (
σ
). Em
particular, exploramos o fato da inclusão dos estresses viscosos no problema levar o sistema a
depender de uma de suas condições iniciais, o espaçamento inicial entre as placas, ou a razão
de aspecto inicial q. Esta dependência surge tanto em estágios lineares quanto em etapas não-
lineares da evolução. Em níveis puramente não-lineares, um quarto importante parâmetro (a
susceptibilidade magnética
χ
) surge no problema como resultado de estresses magnéticos - a
tração magnética normal - na interface.
Em estágios lineares, se
σ
= 0, verificamos que os estresses viscosos regularizam o sistema,
atuando como uma tensão superficial efetiva. Neste caso, a razão de aspecto inicial q influencia
tanto o número típico de dedos formados n
max
quanto a banda de modos instáveis ∆n
c
. ∆n
c
varia mais significantemente com N
B
para maiores valores de q, e n
max
não depende de N
B
,
apenas de q. Se
σ
= 0, verificamos que o número típico de dedos continua sendo influenciado
por q, no entanto ∆n
c
não varia muito com mudanças nesse parâmetro. Quando os estresses
viscosos radiais são considerados, encontramos que o número típico de dedos encontrado é
consideravelmente menor que o predito pela análise de estabilidade tradicional que não consid-
era o efeito desses estresses. Este resultado teórico é apoiado por resultados experimentais de
fluxos em Hele-Shaw com levantamento considerando fluidos não-magnéticos [32, 40]. Isso
indica que a inclusão dos estresses viscosos acrescenta um elemento importante para esclarecer
discrepâncias recentes entre outros modelos teóricos (que desprezam os estresses viscosos) e
experimentos acerca do número típico de dedos encontrado [39, 40].
Em estágios fracamente não-lineares, focalizamos na influência de
δ
e N
B
na competição
entre os dedos viscosos. Encontramos que os estresses viscosos afetam significativamente a
dinâmica de competição levando a uma interessante relação entre a razão de aspecto inicial
46
CAPÍTULO 4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS 47
e a intensidade da competição. Se o sistema é fortemente confinado em t = 0 (grande q),
espera-se que a competição em instantes posteriores seja também maior. Fica mostrado, por-
tanto, que a inclusão dos estresses viscosos é de considerável importância para uma descrição
precisa do problema de levantamento. Identificamos também os papéis específicos de N
B
e
de
δ
: enquanto os estresses viscosos atuam reduzindo a intensidade da competição, o campo
magnético pode suprimi-lo completamente. O efeito intrisicamente não-linear introduzido pela
tração magnética normal na condição de contorno generalizada de pressão [Eq. (2.8)] também
foi examinado. Ele revelou o papel fundamental da susceptibilidade magnética
χ
no controle
dos mecanismos de competição. Verificamos que, ao se escolher apropriadamente um fer-
rofluido, isto é, ao selecionar
χ
, é possível controlar convenientemente o desenvolvimento dos
dedos viscosos usando números magnéticos (intensidades de campo) bem menores que aqueles
tipicamente preditos pela teoria linear. Neste sentido, a ação conjunta dos estresses viscosos
normais, da tração magnética normal e do campo magnético, conspiram para inibir a formação
de instabilidades de interface quando
σ
= 0, e para prevenir a formação de singularidades de
interface quando
σ
= 0.
O fato de os estresses normais (viscosos e magnéticos) junto ao campo magnético azimutal
atuarem reduzindo a formação dos dedos em fluxos com levantamento podem ter implicações
importantes no cálculo da adesividade de materiais adesivos líquidos. Mostramos recentemente
[Phys. Rev. E 70, 036311 (2004), Apêndice C] que, em condições em que a separação das pla-
cas é realizada com velocidade constante, e desprezando os efeitos das instabilidades da inter-
face, o campo magnético azimutal atua reduzindo a adesão entre as duas placas. Uma extensão
natural deste trabalho seria investigar o papel dos estresses normais, do campo magnético e das
instabilidades de dedos viscosos em propriedades adesivas de fluidos confinados em duas cir-
cunstâncias: em que a separação é feita puxando a placa de cima com uma força constante [24]
e quando a separação entre as superfícies é feita a uma taxa constante [31, 32, 33, 34, 38, 39].
Pretendemos também analisar o fluxo de ferrofluidos confinados em células de Hele-Shaw
de espaçamento constante considerando a influência de um campo magnético externo que atua
desestabilizando a interface inicialmente circular da gota. Esta nova configuração de campo
magnético tem simetria radial e sua intensidade cresce linearmente com o raio. Pode ser obtido
ao colocarmos os pólos norte de dois ímãs longos próximos um do outro. E tem ainda a grande
vantagem de ser de fácil tratamento analítico se comparado a outros campos desestabilizantes,
como por exemplo os campos perpendiculares.
Em termos de estudos teóricos, o acesso aos detalhes morfológicos dos padrões de interface
CAPÍTULO 4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS 48
é geralmente feito através de simulações numéricas, ou métodos pertubativos. Por outro lado,
e surpreendentemente, sabe-se que soluções exatas da dinâmica completamente não-linear (e
não local) em células de Hele-Shaw podem ser representadas por equações locais relativa-
mente simples, mesmo para casos não estacionários. A solução deste aparente paradoxo e a
possibilidade de calcularmos tais soluções exatas são proporcionados pelo método da “vortex-
sheet” [60], que leva em consideração a descontinuidade da componente tangencial da veloci-
dade na interface que separa os dois fluidos. Um dos nossos principais objetivos será usar
tal método para tentar revelar simetrias “escondidas” nos padrões que não são acessíveis por
análises pertubativas ou puramente numéricas. As soluções exata de um problema, apesar de
não serem exatamente idênticas aos padrões obtido por complicadas simulações numéricas,
apresentam suas características morfológicas básicas, tornando-se assim muito mais que sim-
ples curiosidades matemáticas, sendo potencialmente importantes no entendimento completo e
estudo da validade das estruturas (padrões) obtidas por outros métodos teóricos.
É justamente esta possibilidade que planejamos explorar após a conclusão desta dissertação,
analisando ferrofluidos submetidos a um campo magnético radial. Estaremos interessados em
obter as soluções exatas que descrevem a forma dos padrões de interface gerados em estágios
completamente não-lineares da dinâmica do sistema. Afim de encontrarmos tais soluções ex-
atas, usaremos o método da vortex-sheet, dentro do qual as soluções exatas correspondem a
impor uma condição de vorticidade nula na interface que separa os fluidos [61]. Em termos
práticos, tal condição corresponde à forma da interface que resulta do equilíbrio perfeito en-
tre as diversas forças atuantes no problema. No caso do campo magnético radial, teremos o
equilíbrio entre as forças magnéticas e as de capilaridade (devida a tensão superficial). Em
geral, obtém-se uma equação diferencial ordinária (de caráter local) que pode ser resolvida
analiticamente, ou por métodos numéricos. Além da busca das soluções exatas citadas acima,
pretendemos utilizar os métodos analíticos de estabilidade linear e análise fracamente não-
linear que foram tão úteis nesta análise de sistemas de fluidos magnéticos confinados sob a
ação de campo magnético azimutal [27, 29, 30] para um melhor entendimento e descrição das
propriedades dos padrões gerados pelo campo radial.
APÊNDICE A
Dedução da equação de movimento da interface
Para deduzir a equação diferencial de modos acoplados que descreve o movimento da interface,
reescrevemos a equação de Darcy em termos do potencial de velocidade, e subtraímos
η
i
φ
i
,
onde i = 1 (i = 2) para o fluido interno (externo), avaliados na interface, para obter
A
φ
2
|
R
+
φ
1
|
R
2
−
φ
1
|
R
−
φ
2
|
R
2
= −
b
2
12(
η
1
+
η
2
)
(p
1
− p
2
)|
R
−
µ
0
χ
I
2
8
π
2
1
r
2
|
R
, (A.1)
onde
A =
η
2
−
η
1
η
2
+
η
1
. (A.2)
Ao longo da dissertação, consideramos que o fluido externo é o ar, e portanto, assumimos
η
2
= 0, de modo que A = −1. No entanto, para a generalidade da dedução, manteremos
η
2
presente.
Como mostrado no Cap. 2, a diferença de pressão entre os dois fluidos é dada por
p
1
− p
2
− 2
δ
η
1
∂
2
φ
1
∂
r
2
−
η
2
∂
2
φ
2
∂
r
2
=
γκ
−
1
2
µ
0
(M · n)
2
. (A.3)
Devido a geometria radial, temos que a expressão da curvatura da interface no plano da célula
de Hele-Shaw é dada por
κ
=
r
2
+ 2(
∂
r
∂ θ
)
2
− r
∂
2
r
∂ θ
2
r
2
+
∂
r
∂ θ
2
3/2
. (A.4)
A curvatura na direção perpendicular às placas é praticamente constante (seu gradiente sendo
próximo de zero), de tal modo ela não influencia o movimento em nosso problema.
Desta forma, mantendo apenas termos de segunda ordem na amplitude perturbação
ζ
, ree-
screvemos a curvatura da interface como
κ
=
1
R
−
1
R
2
ζ
+
∂
2
ζ
∂ θ
2
+
1
R
3
ζ
2
+
1
2
∂ ζ
∂ θ
2
+ 2
ζ
∂
2
ζ
∂ θ
2
. (A.5)
Como em nossa descrição fracamente não-linear estamos interessados em contribuições de se-
gunda ordem da amplitude de perturbação, todas as quantidades na Eq. A.1 devem ser avaliadas
49
APÊNDICE A DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DA INTERFACE 50
na interface perturbada R(
θ
,t) = R(t)+
ζ
(
θ
,t) e não simplesmente na posição da interface cir-
cular R(t) como é comumente feito ao se linearizar o problema.
Da solução da equação de Poisson para o potencial de velocidade encontramos
φ
1
= a
1
+
˙
b
2b
r
2
+
∑
n=0
φ
1n
(t)
r
R
n
e
in
θ
(A.6)
e
φ
2
= a
2
+
˙
b
2b
r
2
+
∑
n=0
φ
2n
(t)
R
r
n
e
in
θ
. (A.7)
onde a
i
, i = 1,2 independe de r e
θ
. Para calcular a equação diferencial de modos acoplados
para o sistema, substituímos as expansões (A.6) e (A.7) na equação de movimento (A.1), man-
temos os termos até a segunda ordem da perturbação e calculamos a transformada de Fourier da
equação. No entanto, para que tenhamos a equação final para as amplitudes de perturbação
ζ
n
,
é necessário expressar o potencial de velocidade
φ
i
em termos das amplitudes de perturbação
ζ
. Isso é possível através da condição de contorno cinemática:
∂
R
∂
t
=
1
r
2
∂
R
∂ θ
∂ φ
∂ θ
r=R
−
∂ φ
∂
r
r=R
. (A.8)
Expanda esta condição de contorno até segunda ordem em
ζ
e depois calcule a transformada
de Fourier. A paritr daí, será possível resolver a equação para
φ
in
e, consequentemente, obter
φ
1n
(t) = −
R
|n|
˙
ζ
n
−
1
2
˙
b
b
R
|n|
ζ
n
+
∑
n
=0
sgn(nn
) −
1
|n|
˙
ζ
n
ζ
n−n
+
˙
b
2b
∑
n
=0
sgn(n) −
1
|n|
ζ
n
ζ
n−n
(A.9)
e
φ
2n
(t) = +
R
|n|
˙
ζ
n
+
1
2
˙
b
b
R
|n|
ζ
n
+
∑
n
=0
sgn(nn
) +
1
|n|
˙
ζ
n
ζ
n−n
+
˙
b
2b
∑
n
=0
sgn(n) +
1
|n|
ζ
n
ζ
n−n
(A.10)
Podemos usar as relações (A.9) e (A.10) para substituir os potenciais de velocidade
φ
i
pela
perturbação
ζ
e sua derivada temporal
˙
ζ
na equação de movimento (A.1). Com isso, mantendo
apenas os termos quadráticos na amplitude de perturbação, chegamos, finalmente à equação
diferencial de modos acoplados para as amplitudes de perturbação
ζ
n
, Eqs.[(2.11)-(2.16)].
APÊNDICE B
Stretching of a confined ferrofluid: Influence of
viscous stresses and magnetic field [Phys. Rev. E
73, 036309 (2006)]
51
Stretching of a confined ferrofluid: Influence of viscous stresses and magnetic field
Rafael M. Oliveira
Laboratório de Física Teórica e Computacional, Departamento de Física, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Pernambuco
50670-901 Brazil
José A. Miranda
*
Department of Physics, University of Florida, P. O. Box 118440, Gainesville, Florida 32611-8440, USA
͑Received 19 July 2005; revised manuscript received 6 February 2006; published 21 March 2006
͒
An analytical investigation is presented for the stretch flow of a viscous Newtonian ferrofluid highly con-
fined between parallel plates. We focus on the development of interfacial instabilities when the upper plate is
lifted at a described rate, under the action of an applied magnetic field. We derive the mode-coupling differ-
ential equation for the interface perturbation amplitudes and study both linear and nonlinear flow regimes. In
contrast to the great majority of works in stretch flow we take into account stresses originated from velocity
gradients normal to the ferrofluid interface. The impact of such normal stresses is accounted for through a
modified Young-Laplace pressure jump interfacial boundary condition, which also includes the contribution
from magnetic normal traction. We study how the stability properties of the interface and the shape of the
emerging patterns respond to the combined action of normal stresses and magnetic field, both in the presence
and absence of surface tension. We show that the inclusion of normal viscous stresses introduces a pertinent
dependence on the initial aspect ratio, indicating that the number of fingers formed would be overestimated if
such stresses are not taken into account. At early linear stages it is found that such stresses regularize the
system, acting as an effective interfacial tension. At weakly nonlinear stages we verified that normal stresses
reduce finger competition, which can be completely suppressed with the assistance of an azimuthal magnetic
field. We have also found that the magnetic normal traction introduces a purely nonlinear contribution to the
problem, revealing the key role played by the magnetic susceptibility in the control of finger competition.
DOI: 10.1103/PhysRevE.73.036309 PACS number͑s͒: 47.54.Ϫr, 47.20.Ma, 75.50.Mm, 68.35.Np
I. INTRODUCTION
Among nonequilibrium growth processes, the viscous fin-
gering in Hele-Shaw cell has attracted much attention since
its discovery by Saffman and Taylor ͓1͔. The Saffman-Taylor
instability occurs when a less viscous fluid pushes a more
viscous one in pressure driven flow, resulting in the complex
evolution of the fluid-fluid interface, and producing a wide
range of interfacial patterns ͓2͔. Stable smooth fingers are
produced if the less viscous fluid is pumped from one side of
a long rectangular channel ͓1,2͔. Highly branched, fractal-
like fronts are obtained if injection is performed through a
hole at the center of the upper plate ͓2–4͔. This famous in-
terfacial instability belongs to the well-known family of
Laplacian growth phenomena which includes diffusion lim-
ited aggregation, dendritic growth, and dielectric breakdown
͓5͔.
An alternative way for producing viscous fingering pat-
terns is to stretch a very thin layer of a viscous fluid, sand-
wiched between two parallel plates, by lifting the upper plate
while the lower one remains at rest. As the plates separate the
outer less viscous fluid enters the system, and the more vis-
cous inner fluid moves inward to conserve volume. As a
result, the fluid-fluid interface deforms, forming visually
striking patterns. In such a lifting version of the classic
Saffman-Taylor problem the upper plate can be lifted from
one end ͓6–9͔, or kept always parallel to the lower plate
͓10–17͔. This last situation is somewhat simpler, in the sense
that it induces a more uniform stretching where the plate
spacing is just time dependent.
In recent years, the quest for other interesting pattern mor-
phologies and even richer phenomenology resulted in a num-
ber of experimental and theoretical investigations of the uni-
form stretch flow in lifting Hele-Shaw cells ͓10–27͔.Ifthe
fluids are immiscible and Newtonian ͓10,19–21,25–27͔ it is
found that the initially circular droplet of the more viscous
fluid undergoes a destabilization process via the penetration
of multiple fingers of the outer, less viscous fluid. As time
progresses these inward fingers become progressively
thicker, while the left over branches of the more viscous fluid
tend to form narrower fingers. At this stage, the interface
behavior is markedly characterized by the competition
among the fingers of the invading less viscous fluid, which
advance towards the center of the droplet. At the same time,
it is also observed that the outermost limit of the interface
ceases to shrink, indicating that the competition among the
narrower fingering structures of the more viscous fluid is
suppressed. Following this period of intense instability and
ramification, a second stage arises in which the number of
fingered structures diminishes. In a final stage, near to the
complete debonding of the plates, the droplet tends to shrink
and recircularize. If the fluids are immiscible and non-
Newtonian ͓11–15,19,22͔ various other morphological fea-
tures may arise including the formation of highly ramified
tree-like structures. Another interesting modifications assume
*
On leave from Departamento de Física, LFTC, UFPE, Brazil.
PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
1539-3755/2006/73͑3͒/036309͑13͒/$23.00 ©2006 The American Physical Society036309-1
that the system involves miscible ͓17͔ or magnetic fluids
͓16,24͔.
When the fluids are Newtonian and immiscible numerical
simulations of the lifting problem in time-dependent gap ͓10͔
show that increasingly smaller values of surface tension lead
to stronger interface ramification, resulting in a delayed re-
circularization process. It has been also verified that when
surface tension is absent, the penetrating fingers compete
strongly, producing the incipient breakup of the contracting
droplet, and ultimately leading to the formation of a topo-
logical singularity. Some important issues related to such sin-
gularity formation can be conveniently investigated by con-
sidering that the two fluids are miscible ͑zero interfacial
tension situation͒. Highly accurate numerical simulations for
miscible displacement in a time-dependent gap Hele-Shaw
cell ͓17͔ show that the introduction of stresses arising as a
result of concentration gradients at the diffusing interface
may lead to dynamic surface tension-like effects. Such
stresses ͑known as Korteweg stresses ͓28͔͒ significantly af-
fect the behavior of the mixing interface, introducing impor-
tant stabilizing effects. In fact, it has been shown that singu-
larity formation can be prevented by the action of stronger
interfacial stresses.
In addition of being an intrinsically important academic
problem, the lifting Hele-Shaw cell system is intimately re-
lated with the practical problem of adhesion ͓13,18–26͔.A
common parameter used for evaluating the effectiveness of
an adhesive material is the time for which two plates sepa-
rated by an adhesive can withstand the advance of viscous
fingers, under constant load conditions ͓13͔. Another possi-
bility is to compute the force or energy required to pull one
of the plates from the other, with constant drive speed
͓18–26͔. There are recent evidence ͓13,20,25,26͔ that in both
cases ͑constant pulling force or constant lifting velocity͒ the
presence of the fingering instability may influence the adhe-
sion between separating plates. The work by Thamida et al.
͓13͔ indicates that the adhesiveness of a confined fluid is
strongly reduced ͑decrease of 50% relative to the case with
no fingering͒ under constant load conditions, where the fin-
gering instability tends to accelerate immediately to failure.
In constant drive speed experiments ͓20,25,26͔ this reduction
in adhesion is comparatively less intense, but still present
notably for small initial plate separations. Other recent ex-
perimental and theoretical work at constant separation veloc-
ity ͓26,27͔ have found that the number of fingers predicted
by ordinary linear analysis ͑based on Darcy’s law and stan-
dard boundary conditions͒ is larger than the number obtained
in the actual experiment ͓26,27͔. The reason for this discrep-
ancy is still an open and interesting question.
Based on our previous discussion, it is clear that it is very
important to understand pattern formation in lifting Hele-
Shaw cells, and study different ways of controlling emerging
interfacial perturbations when the confined fluid is stretched.
In order to examine possible ways of implementing effective
controlling mechanisms in stretch flow, we consider the in-
fluence of a key factor that so far has been neglected: the
effect of stresses acting normal to the contracting fluid-fluid
interface. In fact, there is little consideration within the lit-
erature for the effect of hydrodynamic stresses in Hele-
Shaw-type problems with immiscible fluids. Only very re-
cently it has been shown ͓29,30͔, in the context of a constant
gap-width rotating Hele-Shaw cell ͓31,32͔, that the incorpo-
ration of viscous stresses into the Young-Laplace pressure
boundary condition results in important changes in the inter-
face behavior as the gap spacing is allowed to vary. It means
that key linear and nonlinear properties which determine the
average number of emerging fingers, and finger competition
dynamics are significantly affected as the gap spacing is
modified. Evidently, this effect must be even more relevant
in lifting Hele-Shaw flows, where the interface motion itself
is driven by a gap-varying mechanism. Even though it seems
obvious that viscous stresses should be taken into account in
the description of pattern formation in variable-gap Hele-
Shaw flows, a thorough investigation of this issue is lacking
and still needs to be addressed. This is one of the main pur-
poses of this work.
On the top of the effects of viscous stresses, we assume
that the inner fluid is magnetic, or a ferrofluid ͓33,34͔. These
fluids behave superparamagnetically and can easily be ma-
nipulated with external magnetic fields that can act to either
stabilize or destabilize the fluid interface. Here we investi-
gate the situation in which the ferrofluid droplet evolves un-
der the influence of a simple stabilizing magnetic field
͓35,36͔. In an earlier work ͓16͔, restricted to the zero surface
tension limit, and which completely ignored the effects of
viscous and magnetic stresses, we have found theoretical evi-
dence indicating that a magnetic field could be used to in-
hibit the emergence of cusp singularities in time-dependent
gap Hele-Shaw flow. In this work, we go further and present
a systematic study which investigates the combined role of
interfacial stresses ͑both viscous and magnetic͒ and magnetic
field in possibly controlling interfacial instabilities and sin-
gularities.
The paper is organized as follows: In Sec. II we introduce
the formalism and obtain the weakly nonlinear equations de-
scribing flow of a ferrofluid in a variable-gap Hele-Shaw
cell. The development of interfacial patterns is studied con-
sidering the influence of viscous and magnetic stresses, and
the applied magnetic field. Section III discusses our linear
stability results. At linear level we found that the inclusion of
normal viscous stresses introduces a pertinent dependence on
the gap width, indicating that the number of fingers formed
would be overstimated if such stresses are not taken into
account. In Sec. IV we show that some important morpho-
logical features of the interface like finger competition, can
indeed be predicted and more quantitatively explained by our
analytical, second-order mode-coupling approach. It is found
that the magnetic contribution to the pressure jump boundary
condition introduces a purely nonlinear effect into the prob-
lem, unveiling the important role played by the magnetic
susceptibility in determining fingering dynamics at weakly
nonlinear stages. It is verified that the interplay between nor-
mal stresses and azimuthal magnetic field may profoundly
modify pattern evolution, providing effective mechanisms to
control interfacial behavior in stretch flows. Our conclusions
are summarized in Sec. V.
II. THEORETICAL APPROACH AND GOVERNING
EQUATIONS
The geometry of the lifting cell problem is sketched in
Fig. 1. Consider an incompressible ferrofluid of viscosity
RAFAEL M. OLIVEIRA AND JOSÉ A. MIRANDA PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-2
located between two narrowly spaced flat plates. The outer
fluid is nonmagnetic, and of negligible viscosity. At time t
=0 the droplet is circular and has initial radius R
0
. The initial
plate spacing is represented by b
0
. At a given time t Ͼ0 the
plate-plate distance is denoted by b =b͑t͒, and the droplet has
a perturbed shape described as
R͑
,t͒ = R͑t͒ +
͑
,t͒, ͑1͒
where
͑
,t͒ =
͚
n=−ϱ
+ϱ
n
͑t͒exp͑in
͒͑2͒
represents the net interface perturbation with Fourier ampli-
tudes
n
͑t͒, and discrete azimuthal wave numbers n. R
=R͑t͒ is the time-dependent unperturbed radius of the shrink-
ing ferrofluid interface. Conservation of ferrofluid volume
leads to the useful relation R
2
b=R
0
2
b
0
.
A long straight current-carrying wire of negligible radius
is directed along the axis perpendicular to ͑coaxial with͒ the
plates. The magnetic field produced is H=I/͑2
r͒e
ˆ
, where r
is the distance from the wire, I represents the electric current,
and e
ˆ
is a unit vector in the azimuthal direction. Note that
the azimuthal symmetry and radial gradient of the magnetic
field will result in a magnetic force directed radially inward
͓35,36͔. This is one of the ways we use to stabilize the per-
turbed contracting interface.
To study the hydrodynamics of the system, the usual
Navier-Stokes equation is modified through the inclusion of
terms representing the magnetic effects. We follow the stan-
dard approximations used by Rosensweig ͓33͔ and others
͓34,37–39͔ and assume that the ferrofluid is magnetized such
that its magnetization M is collinear with the applied field.
When this is the case, the magnetic body force is given by
0
M١H, where
0
is the magnetic permeability of free
space and H is the local magnetic field. The local magnetic
field can include contributions from the applied field as well
as the demagnetizing field. We consider only the lowest or-
der effect of the magnetic interactions that would result in
fluid motion. Thus, in the azimuthal field situation, we con-
sider only the applied field in determining the magnetization
M=
H, where
is a constant magnetic susceptibility.
For the quasi-two-dimensional geometry of the Hele-
Shaw cell, we reduce the three-dimensional ͑3D͒ flow to an
equivalent two-dimensional one by averaging over the direc-
tion perpendicular to the plates. Using no-slip boundary con-
ditions and neglecting inertial terms, one derives a modified
Darcy’s law as ͓39,40͔
v =−
b
2
12
١⌸, ͑3͒
where ١ denotes the two-dimensional gradient operator in
polar coordinates ͑r ,
͒. The generalized pressure ⌸ = p−⌿
contains both the hydrodynamic pressure p and a magnetic
pressure represented by a scalar potential ⌿ =
0
H
2
/2.
Since the observable quantities ͑like fluid velocity v͒ are
determined from gradients in ⌸, we take, without loss of
generality, the generalized pressure of the outer fluid to be
zero.
We now impose the incompressibility of the full three-
dimensional flow, and take its average over the transversal
direction to obtain a modified incompressibility condition ͓7͔
١ · v =−
b
˙
͑t͒
b͑t͒
, ͑4͒
where the overdot denotes total time derivative. From Eq. ͑4͒
it can be verified that the equation satisfied by the velocity
potential
͑v =−١
͒ differs from Laplace equation valid in
the usual case of constant gap, so that here the velocity po-
tential is not a harmonic function. However, since the gap is
only time dependent, the solution of the Poisson equation for
can be conveniently expressed in terms of two contribu-
tions, namely
=
0
+
¯
, where
¯
=b
˙
r
2
/͑4b͒ is the radial par-
ticular solution, and
0
satisfies the Laplace equation ͓3,4͔.
In addition to the effects considered above, we still have
to include other important contributions which result from
the action of viscous and magnetic stresses. In order to do
that, we consider a generalized Young-Laplace pressure jump
boundary condition at the interface, which expresses the
equilibrium condition on the normal component of the local
stress tensor across the fluid-fluid interface
͓29,30,33,34,41–43͔
n ·
· n =−
␥
+
1
2
0
͑M · n͒
2
, ͑5͒
where
ik
=−p
␦
ik
+
ͫ
ץ
v
i
ץ
x
k
+
ץ
v
k
ץ
x
i
ͬ
͑6͒
includes a viscous friction term proportional to
,
␦
ik
denotes
the Kronecker delta function, and
v
i
represents the ith com-
ponent of the ferrofluids’ velocity vector. The first term at the
right-hand side of Eq. ͑5͒ represents the usual contribution
related to surface tension and interfacial curvature
͓1–4͔,
with n =١͓r−R͑
,t͔͒/͉١͓r−R͑
,t͔͉͒ denoting the unit nor-
mal vector at the interface. A noteworthy feature of Eq. ͑5͒ is
the inclusion of a magnetic contribution to the interfacial
stress balance ͑second term at the right hand side͒, the so-
called magnetic normal traction ͓33,34͔, which considers the
influence of the normal component of the magnetization at
the interface.
By rewriting Eq. ͑6͒ in polar coordinates ͑r,
͒, and sub-
stituting the resulting expression into the equilibrium condi-
FIG. 1. Diagrammatic representation of the stretch flow of a
ferrofluid ͑gray fluid͒ confined between parallel plates at t=0 ͑left͒
and t Ͼ 0 ͑right͒. The azimuthal magnetic field is produced by a
long, straight wire carrying an electric current I.
STRETCHING OF A CONFINED FERROFLUID:¼ PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-3
tion Eq. ͑5͒, we obtain the pressure jump boundary condition
at the interface
p =
␥
−
1
2
0
͑M · n͒
2
−2
␦
ץ
2
ץ
r
2
. ͑7͒
For the current azimuthal field configuration the lowest order
contribution of the magnetic normal traction term is given by
͓
0
2
I
2
/8
2
R
4
͔͑
ץ
/
ץ
͒
2
. Note that this magnetic piece is of
second order in the interface perturbation
, being legiti-
mately nonlinear and therefore of no influence at purely lin-
ear stages of interfacial evolution. The third term at the right-
hand side of Eq. ͑7͒ takes into account viscous stresses
originated from normal velocity gradients which are nonzero
and of relevance to any radially symmetric Hele-Shaw flow.
Equation ͑7͒ expresses that, if viscous stresses and magnetic
interactions are accounted, the curvature term is balanced not
only by pressure difference, but also by the normal compo-
nents of the viscous stress ͑ϳ
ץ
v
r
/
ץ
r͒ and magnetization.
Note that by “normal,” we mean normal to the fluid-fluid
interface, and not normal to the surface separating the ferrof-
luid and the upper plate. In the present high aspect ratio case
͑thin gap compared to any in-plane dimension͒, the flow be-
tween the plates is mostly horizontal and radial, such that the
Darcy’s law approach ͑for incompressible and immiscible
Newtonian fluids͒ applies and viscous stresses acting along
the transversal ͑ϳ
ץ
v
z
/
ץ
z͒ and tangential directions can be
neglected. The parameter
␦
͓
␦
=1 ͑
␦
=0͒ if normal stresses
are ͑not͒ considered͔ is used to keep track of the contribu-
tions coming from the new term in Eq. ͑7͒ in our mode-
coupling description. As we will verify below the addition of
extra stresses in Eq.͑7͒ introduces a pertinent dependence on
the initial aspect ratio at both linear and weakly nonlinear
stages ͓Eqs. ͑8͒–͑13͔͒.
The problem is then specified by the generalized pressure
jump boundary condition Eq. ͑7͒, plus the kinematic bound-
ary condition, which states that the normal components of
each fluid’s velocity v
n
=−n·١
are continuous at the inter-
face. The tangential components, however, are discontinuous
and give rise to a vortex sheet strength at the interface, where
vorticity is concentrated. Even though the so-called vortex
sheet formalism ͓44͔ is an useful alternative tool to describe
interfacial dynamics in Hele-Shaw cells, the tangential ve-
locity discontinuity plays no direct role in determining the
pressure boundary condition ͑7͒ in our current problem. Here
the strongest shear flow is along the radial direction. We
define Fourier expansions for the velocity potentials, and use
the boundary conditions to express
in terms of
n
to obtain
the dimensionless mode-coupling equation for the system
͑for n 0͒
˙
n
= ͑n͒
n
+
͚
n
Ј
0
͓F͑n,n
Ј
͒
n
Ј
n−n
Ј
+ G͑n,n
Ј
͒
˙
n
Ј
n−n
Ј
͔,
͑8͒
where
͑n͒ =
1
J͑n͒
ͭ
1
2
b
˙
b
͓͉n͉− J͑n͔͒ −
b
2
R
3
͉n͉͑n
2
−1͒ − ͉ n͉N
B
b
2
R
4
ͮ
͑9͒
denotes the linear growth rate, with
J͑n͒ =
ͫ
1+
␦
͉n͉͉͑n͉−1͒b
2
6q
2
R
2
ͬ
, ͑10͒
where
q =
2R
0
b
0
͑11͒
is the initial aspect ratio, and
F͑n,n
Ј
͒ =
1
RJ͑n͒
ͭ
1
2
b
˙
b
ͫ
͉n͉
ͩ
sgn͑nn
Ј
͒ −
1
2
ͪ
−1+͓J͑n͒ −1͔
ϫ
ͫ
3͉n
Ј
͉ − n
Ј
2
−2
͉n͉ −1
+ ͉n͉sgn͑nn
Ј
͒ −1
ͬͬ
−
b
2
R
3
͉n͉
ͫ
1
−
n
Ј
2
͑3n
Ј
+ n͒
ͬ
+
3
2
͉n͉N
B
b
2
R
4
ͫ
1+
3
n
Ј
͑n
Ј
− n͒
ͬ
ͮ
,
͑12͒
G͑n,n
Ј
͒ =
1
RJ͑n͒
ͭ
͉n͉͓sgn͑nn
Ј
͒ −1͔ −1+͓ J͑n͒ −1͔
ϫ
ͫ
3͉n
Ј
͉ − n
Ј
2
−2
͉n͉ −1
+ ͉n͉sgn͑nn
Ј
͒ −1
ͬ
ͮ
͑13͒
represent second-order mode-coupling terms. The sgn func-
tion equals ±1 according to the sign of its argument. In Eq.
͑8͒ in-plane lengths, b͑t͒, and time are rescaled by L
0
=2R
0
,
b
0
, and the characteristic time T =b
0
/͉b
˙
͑0͉͒, respectively. The
parameter
=
␥
b
0
3
/͓12
͉b
˙
͑0͉͒L
0
3
͔ denotes the dimensionless
surface tension, and N
B
=
0
I
2
b
0
3
/͓48
2
͉b
˙
͑0͉͒L
0
4
͔ repre-
sents the dimensionless magnetic Bond number.
As mentioned earlier, note that the extra stress parameter
␦
=1 ͓or equivalently, the function J͑n͔͒, originated from Eq.
͑7͒, introduces an important additional dependence of the
linear growth rate ͑n͒, and also of the mode-coupling terms
F͑n ,n
Ј
͒ and G͑n ,n
Ј
͒ on the initial aspect ratio q. Note the
presence of the magnetic field term N
B
in both ͑n͒ and
F͑n ,n
Ј
͒, where the contribution from the magnetic normal
traction appears in F͑n,n
Ј
͒ as the term including the mag-
netic susceptibility
. Among other things, this dependence
on
␦
and N
B
is required to an accurate description of the
finger competition mechanisms in lifting Hele-Shaw flows.
From now on, we work with the dimensionless version of the
equations.
We close this section by pointing out an important re-
quirement of the Darcy’s law formulation we employed in
this work: as is common in Hele-Shaw systems ͓17͔,we
consider that during the lifting process the system remains of
large aspect ratio: the gap width b is always far smaller than
a characteristic length scale in the plane of the cell, which we
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036309-4
take as the droplet radius R, so that R /bӷ 1. Of course there
are other theoretical approaches for the dynamics of fluids in
the Hele-Shaw geometry which are free from such restric-
tion. For example, under more general circumstances ͑not
limited to the large aspect ratio requirement͒ the solution of
full three-dimensional Stokes equations ͓43͔ or the Brinkman
model ͓45–47͔ are probably more appropriate and accurate
to describe patterns occurring in debonding. However, it is
worth noting that such a more general description would
involve a three-dimensional free boundary problem, where
the interface position itself is an unknown which is part of
the dynamics. So, there is no doubt that it would be a con-
siderably challenging and difficult physical problem ͓27,46͔.
Therefore, the Darcy’s model is still a very welcome and
useful tool for exploring the current time-dependent gap
Hele-Shaw problem, at least for sufficiently high aspect ra-
tio.
Finally, we would like to call the reader’s attention to
another noteworthy point: note that, within the large aspect
ratio assumption ͑R /b ӷ 1͒, the corrections considered in
Eqs. ͑5͒ and ͑6͒ due to viscous stresses and normal magnetic
traction are indeed small compared to the first term in Eq. ͑7͒
͑which involves surface tension and interfacial curvature͒.
On the other hand, it is also well known that the addition of
small corrections into boundary conditions can be extremely
important ͑see for instance Refs. ͓29,41͔͒. This is reinforced
by the results we present here, where the typical number of
fingers and the finger competition dynamics are significantly
affected by the small corrections added into the generalized
pressure jump boundary condition ͓Eq. ͑7͔͒.
III. LINEAR STABILITY ANALYSIS
We begin our study by using Eq. ͑8͒ to examine how the
development of interfacial instabilities at early stages of the
pattern evolution could be modified by the influence of both
viscous stresses and external magnetic field. We emphasize
that the contribution from magnetic stresses ͑magnetic nor-
mal traction͒ is intrinsically a nonlinear concern, and is not
required in the linear stability analysis of the problem. Un-
less otherwise stated, we consider a destabilizing driving
b
˙
͑t͒Ͼ0, and as in Refs. ͓10,15,17͔ we assume an exponen-
tially increasing gap width b͑t͒=exp t, such that ͓b
˙
͑t͒/b͑t͔͒
=1. This is precisely the ideal plate separation profile used in
related adhesion probe-tack tests ͓22͔, since it provides a
more uniform kinematics and nearly constant strain rate. At
short times we have that b Ϸ1+t which corresponds to the
constant lifting velocity case with b
˙
=1.
Inspecting Eq. ͑9͒ for the linear growth rate ͑n͒ we can
gain further insight about the role of lifting, viscous stresses,
magnetic field, and surface tension in determining the inter-
face instability. As usual, the contribution coming from the
surface tension term has a stabilizing nature ͑
stabilizes
modes of large n͒. It is also evident that the azimuthal mag-
netic field contribution N
B
always tends to stabilize the inter-
face. On the other hand, the lifting term proportional to b
˙
/b
basically plays a destabilizing role.
From Eq. ͑9͒ we can also obtain some direct conse-
quences on the n dependence of the linear growth rate.
For example, it can be verified that the mode n=0, that
corresponds to a uniform expansion of the circle, decays
͓͑0͒=−1͔ for b
˙
͑t͒Ͼ0 as a consequence of mass conserva-
tion, and is marginal ͓͑0͒=0͔ for b
˙
͑t͒=0. In addition, the
stability of mode n =1, which corresponds to a rigid transla-
tion of the circular interface, is given solely by the magnetic
term, so that it decays if N
B
Ͼ0, and is marginal if N
B
=0.
This makes perfect sense, since the azimuthal magnetic field
tends to attract the ferrofluid towards the current carrying
wire, keeping the droplet pinned down at the center of the
cell. For modes nജ 2 the stability depends on the interplay of
the three terms appearing in Eq. ͑9͒.
The unusual feature of Eq. ͑9͒ is the presence of the factor
J͑n͓͒Eq. ͑10͔͒, that introduces a dependency on the initial
aspect ratio q. We recall that J͑n͒ arises directly from the
inclusion of viscous stresses into the generalized pressure
boundary condition ͓Eq. ͑7͔͒. However, the most interesting
aspect of Eq. ͑9͒ is the fact that J͑n͒ appears as an overall
prefactor, as well as a term multiplied by b
˙
͑t͒, being inher-
ently connected to the lifting itself. From Eq. ͑10͒ we see
that, if n ӷ 1 the correction incorporated by the term J͑n͒ is
more important when nb/qRϳ1. Of course, this explicit de-
pendence with q completely disappears if the effect of nor-
mal stresses is not taken into account, so that
␦
=0, and
J͑n͒=1.
Figure 2 plots ͑n͒ as a function of mode number n for a
nonzero value of the surface tension parameter
͑
=1.5
ϫ10
−5
͒, t =0.2, and for three different values of N
B
: ͑a͒ 0, ͑b͒
3.5ϫ 10
−3
, and ͑c͒ 7.0ϫ 10
−3
. The black curves correspond
to the case in which normal viscous stresses are neglected
͑
␦
=0͒, and the gray curves refer to the cases in which such
stresses are taken into account ͑
␦
=1͒. The gray color shading
refers to the following values of the initial aspect ratio: q
FIG. 2. Linear growth rate ͑n͒ as a function of mode n, for t
=0.2,
=1.5ϫ 10
−5
, and three different values of N
B
: ͑a͒ 0, ͑b͒
3.5ϫ 10
−3
, and ͑c͒ 7.0ϫ 10
−3
. The color labeling refers to distinct
values of
␦
and q:
␦
=0 ͑black͒,
␦
=1, q =100 ͑dark gray͒, and
␦
=1, q=50 ͑light gray͒.
STRETCHING OF A CONFINED FERROFLUID:¼ PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-5
=100 ͑dark gray͒, and q =50 ͑light gray͒. Unless otherwise
stated this will be the color labeling used throughout this
work.
The growth rate curves illustrated in Fig. 2 are character-
ized by a band of unstable modes of width
⌬n
c
= n
cϾ
− n
cϽ
, ͑14͒
where the critical mode n
cϾ
͑n
cϽ
͒ is the solution of a cubic
equation, defined as the largest ͑smallest͒ wave number for
which ͑n͒=0. We point out that unlike the classical finger-
ing problem in outward radial flow ͓3,4͔ and the
centrifugally-driven problem in rotating Hele-Shaw cells
͓31,32͔, here the band of unstable modes shrinks from both
ends ͑n
cϾ
and n
cϽ
͒ due to the action of stabilizing effects.
Another common feature of such curves is the presence of
a maximum at n =n
max
, obtained by setting d͑n͒/dn=0. A
quantity closely related to n
max
is the so-called fastest grow-
ing mode n
*
, defined as the integer mode that produces the
largest growth rate. A given mode n is only the fastest grow-
ing when ͑n͒Ͼ͑n−1͒ and ͑n͒Ͼ͑n +1͒. This is the
mode that will tend to dominate during the early stages of the
pattern formation process and will perhaps determine the
number of fingers in later stages.
By inspecting Fig. 2, we can examine how the magnetic
field and the viscous stresses influence the linear growth rate
when
is nonzero: it is clear that increasingly larger values
of N
B
decrease the band of unstable modes ⌬n
c
, and reduce
the value of n
max
. On the other hand, for a given value of N
B
,
changes in q do not affect ⌬n
c
significantly. However,
smaller values of q lead to a decreased growth rate of the
mode n
max
, shifting it toward lower values of azimuthal wave
numbers. Since n
max
determines the typical number of fingers
formed at the onset of the instability, this means that small
initial gaps ͑or equivalently, larger values of q͒ result in pat-
terns with a larger number of fingers. This is an important
consequence of the inclusion of normal viscous stresses in
Eq. ͑7͒. So, if
0 the emerging interfacial instabilities
would be more effectively suppressed for larger values of N
B
and smaller values of q. It is worth mentioning that if viscous
stresses are neglected ͑black curves in Fig. 2͒ the values of
n
max
and ͑n
max
͒ would be overestimated.
As commented in Sec. I, the number of fingers observed
in experiments ͑with nonmagnetic fluids͒ at constant lifting
velocity is considerably smaller than that predicted by tradi-
tional linear analysis which neglects normal viscous stresses
and consider standard boundary conditions ͓26,27͔. Recently,
it has been shown ͓27͔ that the agreement between experi-
ment and linear theory is improved, specially for large b͑t͒,
if three-dimensional effects are taken into account. These 3D
corrections are introduced considering the influence of wall
wetting effects ͓41,42͔, which take into account the existence
of a thin film of variable thickness separating the fingers
from the plates. However, it has also been verified in Ref.
͓27͔ that for small b͑t͒ an important discrepancy still re-
mains, despite the inclusion of 3D effects.
At this point, we suggest that a possible explanation for
the decrease of the numbers of fingers when b͑t͒ is small
found in Ref. ͓27͔, can be offered if we consider the effects
of normal viscous stresses. As discussed throughout this sec-
tion, the effects of these stresses are indeed more important
for small b͑t͒, or equivalently for earlier times. At such early
times, the instability has just set in, and our linear stability
analysis ͑which now considers the effect of viscous stresses͒
should apply and be sufficiently accurate. A more quantita-
tive account for this fact is depicted in Fig. 3, which plots the
time evolution of n
max
considering the typical experimental
conditions used in Refs. ͓19,27͔, i.e., R
0
=20 mm, b
0
=0.5 mm, constant lifting velocity V =b
˙
=20ϫ10
−6
m/s,
fluid viscosity
=92 Pa s, and surface tension
␥
=18
ϫ10
−3
N/m. By using these physical quantities we plot our
Fig. 3 considering the corresponding dimensionless param-
eters: b
˙
=1 and
=
␥
b
0
3
/͓12
͉b
˙
͉͑2R
0
͒
3
͔Ϸ1.592ϫ 10
−6
.We
also assume that there is no magnetic field applied ͑N
B
=0͒,
and consider earlier dimensionless times 0.15ഛt ഛ 0.50
͑note that here the characteristic time T =b
0
/͉b
˙
͉ =25͒. The
black curve represents the situation in which viscous stresses
are neglected ͑
␦
=0͒, while the gray curve considers the ef-
fects of such stresses ͑
␦
=1͒ for the exact value of the initial
aspect ratio used in Ref. ͓27͔, i.e., q =͑2R
0
/b
0
͒=80. The
open circles represent the experiemtal values obtained in Fig.
4 of Ref. ͓27͔. By comparing the black and gray curves in
Fig. 3 it is evident that viscous stresses ͑gray curve͒ reduce
the number of fingers significantly, mostly at shorter times
͓or, for smaller b͑t͔͒. It is also clear that the typical number
of fingers is indeed overestimated if viscous stresses are not
taken into account ͑black curve͒. In addition, by inspecting
Fig. 3 we verify that the agreement between the experimen-
FIG. 3. n
max
as a function of dimensionless time t, for lifting
with constant velocity b
˙
=1,
Ϸ1.592ϫ 10
−6
, and N
B
=0. These
parameters match the experimental values presented in Refs.
͓19,27͔. We plot the experimental data taken from Fig. 4 of Ref.
͓27͔͑open circles͒, and our corresponding linear stability results
when
␦
=0 ͑black curve͒, and
␦
=1 with q =80 ͑gray curve͒. Note
that the theoretical prediction for the typical number of fingers is
considerably improved when viscous stresses are taken into account
͑gray curve͒.
RAFAEL M. OLIVEIRA AND JOSÉ A. MIRANDA PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-6
tally observed number of fingers with the linear theoretical
prediction is considerably improved when the effects of vis-
cous stresses are considered.
To examine this issue a bit more systematically, in Fig. 4
we plot the typical number of fingers n
max
at early times, for
different values of the initial plate spacing b
0
. As in Ref. ͓27͔
our theoretical data are calculated by assuming that t =0.
Note that Fig. 4 uses the same set of physical parameters
used in Fig. 3 ͑which was plotted for fixed b
0
=0.5 mm͒, but
now the time is fixed ͑t =0͒, and 0.1 mmഛ b
0
ഛ1.0 mm. The
data represented by the black ͑gray͒ dots assume that
␦
=0
͑
␦
=1͒, and the open circles are the experimental data taken
from Fig. 3 of Ref. ͓27͔. By inspecting Fig. 4 we note that
the gray dots ͑
␦
=1͒ are always located below the black ones
͑
␦
=0͒, indicating that the inclusion of viscous stresses leads
to theoretical results which are closer to the experimental
data for all measured values of b
0
. Similarly to what we have
already observed in Fig. 3, the effects of viscous stresses are
indeed more relevant for smaller values of b
0
. It can be seen
that a better agreement between the theory including stress
͑gray dots͒ and the experiment ͑open circles͒ is obtained
within the interval 0.2 mmഛ b
0
ഛ0.6 mm. The deviation ob-
served for larger b
0
is somewhat expected from the results of
Ref. ͓27͔͑3D effects͒. Although we do not fully understand
the persisting disagreement for very small plate spacings
͑0.1 mmഛb
0
ഛ0.2 mm͒, it could be possibly originated
from the inherent inacurracy related to the experimental mea-
surement of the number of fingers at very early times ͑here
taken as t=0͒. We point out that an improved agreement
between theory and experiment would be achieved, if the
theoretical data would have been calculated by considering a
small, but nonzero t. In summary, from the analysis of Figs.
3 and 4 it seems that in order to improve the agreement
between linear theory and experiments ͓26,27͔ it is necessary
to include not only three-dimensional effects ͓more relevant
for larger b͑t͔͒, but also the effects of normal viscous stresses
͓important for intermediate and small b͑t͔͒. In this sense, the
inclusion of normal stresses we propose in this work add an
important element into the discussion about the discrepancies
observed in Refs. ͓26,27͔.
Now we analyze the growth rate considering the situation
in which the surface tension parameter is set to zero ͑see Fig.
5͒. Throughout this work, the zero surface tension limit will
be particularly useful, since it desensitizes the system with
respect to
, and allows a clearer elucidation of the role
played by viscous stresses and magnetic field. Figure 5 plots
the linear growth rate as a function of mode number, when
=0, t =0.2, N
B
:͑a͒ 0, and ͑b͒ 7.0ϫ 10
−3
. The value of the
other physical parameters and the color coding are exactly
the same as the ones employed in Fig. 2. When viscous
stresses are neglected ͓back straight lines in both ͑a͒ and ͑b͔͒
we notice that ͑n͒ scales with n, and the system is ill posed
͓͑n͒ is unbounded for n→ ϱ͔, regardless of the value of N
B
.
In other words, even though the slope of the straight lines are
reduced for larger values of N
B
, the growth rate curves will
never present a well defined, finite peak ͑maximum͒ at a
finite n if
␦
=0. So, the magnetic effect alone is not enough to
fully regularize the system at the linear stage, and N
B
would
not have any influence in determining n
max
if
=0 and
␦
=0.
A completely different scenario is revealed when the ef-
fect of viscous stresses is taken into account: when
␦
=1
͓gray curves in both Figs. 5͑a͒ and 5͑b͔͒, higher modes are
stabilized, such that the curves present a well defined, finite
n
max
and a wide ͑but finite͒ ⌬n
c
. Notice that, for a given N
B
,
smaller values of q ͑light gray curves͒ lead to lower values of
both n
max
and ⌬n
c
. Interestingly, the position ͑along the n
axis͒ of the peaks of the gray curves having the same q seem
FIG. 4. Log-log plot depicting how the typical number of fingers
n
max
at time t =0 varies with initial plate spacing b
0
͑0.1 mmഛ b
0
ഛ1.0 mm͒. The physical parameters are the same as the ones used
in Fig. 3. We plot the experimental data taken from Fig. 3 of Ref.
͓27͔͑open circles͒, and our corresponding linear stability results
when
␦
=0 ͑black dots͒, and
␦
=1 ͑gray dots͒.
FIG. 5. Linear growth rate ͑n͒ as a function of mode n, for t
=0.2,
=0, and two different values of N
B
: ͑a͒ 0, and ͑b͒ 7.0
ϫ10
−3
. The color labeling refers to distinct values of
␦
and q:
␦
=0 ͑black͒,
␦
=1, q=100 ͑dark gray͒, and
␦
=1, q=50 ͑light gray͒.
STRETCHING OF A CONFINED FERROFLUID:¼ PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-7
to coincide. As we have anticipated, the value of n
max
does
not seem to depend on N
B
, but solely on q. Therefore, the
existence of a peak in the gray curves of Fig. 5 is due exclu-
sively to the action of viscous stresses. In this sense, the
inclusion of normal stresses ͑
␦
=1͒ in the modified pressure
boundary condition Eq. ͑7͒ introduces an effective surface
tension into the system. Hence, within the scope of the linear
theory, we conclude that the combined action of magnetic
field and normal viscous stresses could be used as control
parameters to discipline the emergence of interfacial insta-
bilities.
To investigate more closely the combined influence of the
magnetic field and viscous stresses on the mode of largest
growth rate, in Fig. 6 we plot n
max
as a function of q, for
three different values of N
B
,
␦
=1, t=0.2, and
=1.5ϫ 10
−5
.
The values of N
B
are exactly the same ones as those used in
Fig. 2. By examining Fig. 6 we observe that n
max
is more
sensitive to changes in q for smaller values of N
B
.Byin-
creasing q in Fig. 6, the typical number of fingers increases
by approximately three units in ͑a͒ for N
B
=0, two units in ͑b͒
for N
B
=3.5ϫ 10
−3
, and roughly by one unit in ͑c͒ for N
B
=7.0ϫ 10
−3
. Actually, this is the trend for any time t:we
have verified that n
max
is a decreasing function of time, de-
caying more rapidly for smaller values of q, and larger val-
ues of N
B
.
We have also observed that, if
is decreased, n
max
varies
much more dramatically with q while the three different dot-
ted curves originally shown in Fig. 6 tend to coincide when
→ 0. With respect to this last point, observe Fig. 7 which
plots n
max
as a function of q, when
=0 and
␦
=1: we note
that hidden in the dotted straight line depicted in Fig. 7 there
are in fact three dotted lines ͑two other indistinguishable
dotted lines lie hidden͒. This reinforces our claim ͑see dis-
cussion of Fig. 5͒ that N
B
has no influence in determining
n
max
as
is set to zero. Indeed, if
=0 and we calculate
d͑n͒/dn=0, the terms involving N
B
cancel out, and it can
be shown that
n
max
=
ͱ
6
␦
R
b
q. ͑15͒
From Eq. ͑15͒ we see that n
max
varies linearly with q, and as
expected, tends to infinity when
␦
→ 0 since in this limit ͑n͒
is unbounded. However, if
␦
=1,n
max
is a decreasing function
of time, indicating that, due to viscous stresses, the droplet
would tend to recircularize even if both
and N
B
are zero.
Complementary information can be obtained by examin-
ing Fig. 8 which uses the same physical parameters as the
ones utilized in Fig. 6, but depicts a “phase diagram” in
N
B
-q parameter space for the linearized system. The curves
that encompass the various shaded regions, determined from
the condition
͑n͒ = ͑n ±1͒, ͑16͒
denote zones where a particular mode is the fastest growing.
These zones are labeled by n
*
on the graph. As an example
of how one might use this graph, consider the case where
N
B
=3.5ϫ 10
−3
is held fixed. When the initial aspect ratio
increases from q =50 to q=100, the fastest growing mode
also increases, varying from n
*
=20 to n
*
=22. In addition,
notice that as N
B
is increased the shaded regions narrow and
become more horizontally oriented, indicating that the influ-
ence of q is weak for higher magnetic Bond numbers. On the
other hand, if q is held fixed ͑for example, q =100͒,asN
B
is
increased, we see that the fastest growing mode decreases,
changing from n
*
=25 to n
*
=18. These findings are in perfect
agreement with what we have observed in Fig. 6 for three
particular values of N
B
. We have also verified that when
→ 0 the boundary regions for each n
*
become very narrow
FIG. 6. n
max
as a function of the initial aspect ratio q, for t
=0.2,
=1.5ϫ 10
−5
,
␦
=1, and three different values of of N
B
: ͑a͒ 0,
͑b͒ 3.5ϫ 10
−3
, and ͑c͒ 7.0ϫ 10
−3
. These physical parameters are the
same as the ones used in Fig. 2.
FIG. 7. n
max
as a function of the initial aspect ratio q, for t
=0.2,
=0,
␦
=1, and three different values of N
B
:0,3.5ϫ 10
−3
, and
7.0ϫ 10
−3
. Note that hidden in the simple dotted line there are in
fact three lines ͑one for each value of N
B
͒. These physical param-
eters are the same as the ones used in Fig. 5.
RAFAEL M. OLIVEIRA AND JOSÉ A. MIRANDA PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-8
stripes directed along the vertical axis ͑or, along the N
B
axis͒,
in such a way that changes in N
B
have no influence whatso-
ever in the values of n
*
, confirming the collapse of curves we
have detected in Fig. 7.
Interestingly, despite the evident dependence of the fastest
growing mode n
*
͑or, n
max
͒ on both q and N
B
when
0, as
indicated in Figs. 2 and 6, it can be observed that the band of
unstable modes ⌬n
c
decreases for increasing N
B
, but for a
given N
B
, is very weakly influenced by changes in the initial
gap spacing ͑or, by changes in q͒. This fact can be very
clearly verified in Fig. 9, which depicts how ⌬n
c
changes
with N
B
, for q =100 ͑dark gray curve͒, q =50 ͑light gray
curve͒, and when
␦
=0 ͑black curve͒. In contrast, when sur-
face tension is zero and
␦
=1 ͑see Fig. 10͒, the band of un-
stable modes is much more sensitive to changes in q. More-
over, it can be verified that ⌬n
c
changes more significantly
with N
B
for larger values of q. Again, in the zero surface
tension limit we can have analytical access to another impor-
tant quantity, namely the critical value of the magnetic Bond
number required to stabilize all modes
N
Bc
=
R
4
b
˙
2b
3
ͫ
1−
ͱ
␦
6
b
qR
ͬ
2
. ͑17͒
From Eq. ͑17͒ it is clear that when viscous stresses are con-
sidered ͑
␦
=1͒ and q is small, a smaller N
Bc
is required to
stabilize all the modes. It is also worth noting that N
Bc
is a
decreasing function of time. This suggests that, as time
progresses, droplet recircularization would be favored, even
if
=0.
IV. WEAKLY NONLINEAR DYNAMICS
In the previous section, we have verified that the linear
analysis can be very useful in describing important aspects
related to the stability of the fluid-fluid interface, mainly the
ones related to the typical number of fingers formed, and the
critical magnetic field needed to stabilize all interfacial
modes. In this section, we turn our attention to the weakly
nonlinear, intermediate stages of pattern evolution. Now we
are not only interested in interface stability issues, but also to
access important morphological features of the patterns
formed in lifting Hele-Shaw cells.
As discussed in the Introduction of this paper ͑Sec. I͒, the
most noteworthy morphological aspect for pattern formation
in lifting Hele-Shaw flow is the strong competition among
FIG. 8. Log-linear plot of the linear stability phase diagram
showing zones ͑shaded͒ of fastest growing mode n
*
as given by Eq.
͑16͒. The physical parameters are exactly the same as the ones used
in Fig. 2.
FIG. 9. Width of the band of unstable modes ⌬n
c
as a function
of the magnetic Bond number N
B
when
0:
␦
=0 ͑black͒,
␦
=1,
q=100 ͑dark gray͒, and
␦
=1, q =50 ͑light gray͒. The physical pa-
rameters are exactly the same as the ones used in Fig. 2.
FIG. 10. Width of the band of unstable modes ⌬n
c
as a function
of the magnetic Bond number N
B
when
=0:
␦
=1, q =100 ͑dark
gray͒, and q =50 ͑light gray͒. The physical parameters are exactly
the same as the ones used in Fig. 5. There is no black curve ͑
␦
=0͒ since in this case ⌬n
c
→ ϱ.
STRETCHING OF A CONFINED FERROFLUID:¼ PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-9
the penetrating fingering structures, while the competition
among the fingers of the more viscous fluid is considerably
less intense. Our main goal is to get analytical insight about
such finger competition process both in zero and nonzero
surface tension circumstances, when the combined action of
normal stresses and magnetic field are considered. The
purely nonlinear effects introduced by the magnetic normal
traction ͓
0
͑M ·n͒
2
͔/2 ͓second term on the right hand side of
Eq. ͑7͔͒ are also examined.
The second order mode-coupling approach executed here
has been quite successful in accurately describing finger
competition mechanisms arising in radial Hele-Shaw cells
with injection ͓4͔ and also in rotating Hele-Shaw flow ͓30͔.
Recent numerical results ͓48͔ substantiate the analytical pre-
dictions of Ref. ͓30͔, providing a convincing evidence of the
usefulness of the weakly nonlinear description. Within our
weakly nonlinear approach, finger competition is related to
the influence of a fundamental mode n, assuming n is even,
on the growth of its subharmonic mode n/2 ͓4,30͔. To sim-
plify our discussion it is convenient to rewrite the net pertur-
bation
in terms of cosine ͓a
n
=
n
+
−n
͔ and sine ͓b
n
=i͑
n
−
−n
͔͒ modes. Without loss of generality we may choose the
phase of the fundamental mode so that a
n
Ͼ0 and b
n
=0.
From Eq. ͑8͒ we obtain the equations of motion for the sub-
harmonic mode
a
˙
n/2
= ͕͑n/2͒ + C͑n͒a
n
͖a
n/2
, ͑18͒
b
˙
n/2
= ͕͑n/2͒ − C͑n͒a
n
͖b
n/2
, ͑19͒
where the function
C͑n͒ =
1
2
ͫ
F
ͩ
−
n
2
,
n
2
ͪ
+ ͑n/2͒G
ͩ
n
2
,−
n
2
ͪ
ͬ
͑20͒
regulates finger competition behavior.
In Fig. 11 we plot C͑n͒ as a function of time for two
values of n, when
=1.5ϫ 10
−5
. The solid ͑dashed͒ curves
describe the behavior of C͑n͒ in the absence ͑presence͒ of
the magnetic field. The nonzero N
B
=2.0ϫ 10
−4
and
=5.
The black ͑gray͒ curves assume that the normal stress param-
eter
␦
=0 ͑
␦
=1͒. Light ͑dark͒ gray curves refer to q=50 ͑q
=100͒. It is clear from Fig. 11 that C͑n͒ഛ 0. From Eqs. ͑18͒
and ͑19͒ we verify that a negative C͑n͒ increases the growth
of the sine subharmonic b
n/2
, while inhibiting growth of its
cosine subharmonic a
n/2
. The result is an increased variabil-
ity among the lengths of fingers of the outer fluid penetrating
into the ferrofluid. This effect describes the competition of
inward fingers. We stress this is in line with what is observed
in experiments ͓19–21,25,26͔ and numerical simulations ͓10͔
of the lifting flow problem with nonmagnetic fluids.
At intermediate stages of pattern evolution, the question
arises as whether viscous stresses play a relevant role in the
finger competition dynamics. To examine this issue, first we
focus on the situation in which there is no applied magnetic
field ͑solid curves in Fig. 11͒.IfN
B
=0 we see that the curves
representing C͑n͒ behave differently if the influence of vis-
cous stresses is taken into account: for a given n, we see that
the curve associated to smaller q lies on the top of the other
two. This indicates that finger competition would be less
intense for lower values of the initial aspect ratio q. So, the
harder the spatial confinement set at t =0, the harder the com-
petition at later times. This theoretical finding is in agree-
ment with the experimental observations for stretch-flow of
immiscible ͑nonmagnetic͒ Newtonian fluids ͓19,26,27͔.In
such experiments, little ͑strong͒ fingering and competition
are observed for large ͑small͒ initial plate spacing. The de-
pendence of the finger competition dynamics on q is another
important consequence of the introduction of normal stresses
into the lifting Hele-Shaw cell problem.
Despite the important connection between finger competi-
ton and q discussed in the previous paragraph, it is worth
noting that, the combined effect of normal stresses and sur-
face tension is not quite enough to make C͑n͒→ 0 within the
typical time scales for which our theory is quantitatively ac-
curate. A distinct behavior is observed when the magnetic
field is nonzero ͑dashed curves in Fig. 11͒: C͑ n͒ is negative
and increases as time advances. Eventually, C͑n͒ vanishes
meaning that the competition ceases due to the action of the
magnetic field. Although normal stresses may contribute to
restrain competition of inward fingers when N
B
0, they do
not have a major role in setting the time for which competi-
tion vanishes. This can be verified by the fact that, for a
given n, all dashed curves tend to coincide when C͑n͒→ 0. It
is also interesting to observe that competition goes to zero
first for mode n =20, making the dashed curves for n =16 and
n=20 to cross one another before they reach the C͑n͒=0
line.
In Fig. 12 we plot C͑n͒ as a function of t, but now we
assume that
=0. All remaining physical parameters are
identical to those used in Fig. 11. By inspecting Fig. 12 we
note that when N
B
=0 ͑solid curves͒, C͑n͒ is a monotonically
decreasing function of time. By comparing the solid curves
FIG. 11. C͑n͒ as a function of time for modes n =16 and n
=20 in the nonzero surface tension case ͑
=1.5ϫ 10
−5
͒. The black
͑gray͒ curves refer to
␦
=0 ͑
␦
=1͒. The magnetic Bond number is
N
B
=0 ͑N
B
=2.0ϫ 10
−4
͒ for the solid ͑dashed͒ curves, q =50 ͑light
gray curves͒, and q =100 ͑dark gray curves͒. The magnetic suscep-
tibility
=5. Note that the initial aspect ratio q comes into play only
when
␦
=1.
RAFAEL M. OLIVEIRA AND JOSÉ A. MIRANDA PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-10
plotted in Figs. 11 and 12, one clearly observes that the ab-
sence of surface tension is responsible for such a behavior.
This would favor an ever increasing competition among the
inward fingers. However, it is important to point out that,
although surface tension is completely absent in Fig. 12, nor-
mal stresses still act to decrease the intensity of the finger
competition ͑solid curves move upwards for smaller q͒.
Similarly to the nonzero surface tension case illustrated in
Fig. 11, the situation is changed when an external magnetic
field is applied. By observing the dashed curves in Fig. 12
we see that they go to zero at a given time, indicating that
competition vanishes, despite the fact that
=0. As expected,
by comparing Figs. 11 and 12 we conclude that the required
time to suppress competition is smaller when surface tension
is nonzero. This is clearly verified by noting that the zeros of
the dashed C͑n͒ curves are shifted to the left in Fig. 11.
In order to analyze in greater detail other relevant aspects
of the finger competition dynamics in the lifting Hele-Shaw
setup, we conclude this section by analyzing Figs. 13 and 14.
Figure 13 summarizes the influence of viscous stresses on
finger competition both in the absence ͑a͒ and presence ͑b͒ of
surface tension. For both values of surface tension, we con-
sider two different values of the initial aspect ratio: q =100
͑dark gray͒ and q =50 ͑light gray͒. We focus on the case in
which N
B
=0, and plot the dimensionless time
*
at which the
finger competition function C͑n͒ assumes its largest magni-
tude ͑minima of the solid gray curves in Figs. 11 and 12͒,as
a function of mode n. Indeed, we verify that finger competi-
tion can be significantly affected by the sole action of vis-
cous stresses. When surface tension is zero ͓Fig. 13͑a͔͒ we
note that, for a given n,
*
is smaller for higher initial con-
finement ͑larger q͒. It is evident that, the lifting system is
strongly dependent on the initial conditions, in the sense that
changes in q lead to important variations in the finger com-
petition dynamics. It is also observed that
*
is a decreasing
function of mode n, indicating that finger competition is
stronger at relatively early stages of the lifting process, when
higher modes n are manifestly unstable. All these remarks
are also valid for the nonzero surface tension case ͓Fig.
13͑b͔͒, but from the fact that curves for different q are closer
to each other, it is obvious that the existence of interfacial
tension ͑which stabilizes modes of large n͒ decreases the
FIG. 12. C͑n͒ as a function of time for modes n =16 and n
=20 in the zero surface tension case. The black ͑gray͒ curves refer
to
␦
=0 ͑
␦
=1͒. The magnetic Bond number is N
B
=0 ͑N
B
=2.0
ϫ10
−4
͒ for the solid ͑dashed͒ curves, q =50 ͑light gray curves͒, and
q=100 ͑dark gray curves͒. The magnetic susceptibility
=5. Note
that the initial aspect ratio q comes into play only when
␦
=1.
FIG. 13. Dimensionless time
*
for which the strength of finger
competition is largest ͑in the absence of a magnetic field͒ as a
function of mode n, when ͑a͒
=0 ͑see Fig. 12͒, ͑b͒
=1.5
ϫ10
−5
͑see Fig. 11͒. We consider that q=100 ͑dark gray͒ and q
=50 ͑light gray͒.
FIG. 14. Dimensionless time
for which C͑n͒=0, as a func-
tion of magnetic susceptibility
͑1ഛ
ഛ10͒, when ͑a͒
=0,
͑b͒
=1.5ϫ 10
−5
, for n =30, N
B
=2.0ϫ 10
−4
, and
␦
=0. The remain-
ing physical parameters are the same is the ones used in Figs. 11
and 12.
STRETCHING OF A CONFINED FERROFLUID:¼ PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-11
sensitivity of the system with respect to changes in q.
We proceed by examining Fig. 14. Here we intend to
investigate a bit more closely the influence of the purely
nonlinear contribution coming from the magnetic normal
traction ͓second term on the right hand side of Eq. ͑7͔͒,
which introduced an explicit dependence of the mode-
coupling term F͑n ,n
Ј
͒ on the magnetic susceptibility
͓last
term in Eq. ͑12͔͒. Figure 14 depicts the time
at which all
finger competition is suppressed ͓zeros of C͑n͒ for N
B
0͔
as a function of magnetic susceptibility
, for both ͑a͒ zero
and ͑b͒ nonzero surface tension ͑
=1.5ϫ 10
−5
͒ cases. With-
out loss of generality we assume that n =30 and N
B
=2.0
ϫ10
−4
, and use the same physical parameters employed in
Figs. 11 and 12. Since the influence of normal viscous
stresses is negligible to determine
, Fig. 14 is plotted by
assuming that
␦
=0.
Figure 14 clearly illustrates that, regardless the value of
,
the time
required to completely suppress finger competition
is strongly dependent on the value of the magnetic suscepti-
bility, becoming significantly smaller as
is increased. At
first, this dependence may seem too obvious. However, we
note in passing that the value of the magnetic Bond number
used throughout this weakly nonlinear Sec. IV is one order
of magnitude smaller than the typical values of N
B
utilized in
the linear study carried out in Sec. III. This is possible due to
the inclusion of the magnetic normal traction in Eq. ͑7͒. Now
one can afford using a considerably lower value of N
B
and
still completely restrain finger competition by tuning the
value of the magnetic susceptibility. In other words, even if
N
B
is kept fixed, one might determine the typical time for
which finger competition should be suppressed, by appropri-
ately selecting the value of
. We can gain additional insight
about this last point by analyzing the expression of the mag-
netic Bond number which is required to suppress finger
competition entirely ͑for simplicity we assume that
=0 and
␦
=0͒
N
¯
B
=
ͩ
4n +2
n
2
+4n +10
ͪ
N
Bc
, ͑21͒
obtained from Eq. ͑20͒ by setting C͑n͒=0.InEq.͑21͒ N
Bc
denotes the critical magnetic Bond number required to stabi-
lize all interfacial modes at linear stages ͓see Eq. ͑17͔͒, while
N
¯
B
is a legitimately nonlinear concept. From Eq. ͑21͒ we
notice that the magnetic Bond number N
¯
B
at which compe-
tition is fully suppressed can be indeed significantly smaller
than the critical ͑linear͒ Bond number N
Bc
, mainly for larger
values of
and n. This dependence of N
¯
B
on
is a direct and
important consequence of the introduction of the magnetic
normal traction term in the generalized Young-Laplace pres-
sure jump boundary condition ͓Eq. ͑7͔͒. This purely nonlin-
ear magnetic contribution provides an additional support to
the idea of conveniently controlling interfacial instabilities
and singularities in lifting Hele-Shaw cells by magnetic
means ͓16,24͔.
V. CONCLUDING REMARKS
In this work we studied various aspects related to pattern
formation in lifting Hele-Shaw cells both in the purely linear,
and during intermediate nonlinear stages of interface evolu-
tion. Our analytical approach incorporates the combined role
of three relevant parameters for the problem, namely the vis-
cous stresses ͑accounted when
␦
=1͒, the applied magnetic
field ͑N
B
͒, and the surface tension ͑
͒. In particular, we have
explored the fact that the inclusion of viscous stresses into
the problem leads to a pertinent dependence of the system on
the initial aspect ratio q at both linear and nonlinear stages.
At the nonlinear level, a fourth relevant parameter ͑the mag-
netic susceptibility
͒ is revealed, resulting from the action
of magnetic stresses ͑magnetic normal traction͒ at the inter-
face.
At the linear stage, if
=0 it is verified that viscous
stresses regularize the system, working as an effective sur-
face tension. In this case the initial aspect ratio q influences
both the typical number of fingers n
max
and the band of un-
stable modes ⌬n
c
: ⌬n
c
changes more significantly with N
B
for larger q, but n
max
does not depend on N
B
, but solely on q.
If
0, we have shown that the typical number of fingers is
quite influenced by q, while ⌬n
c
does not change as much.
When radial viscous stresses are considered we find the num-
ber of emerging fingers to be considerably smaller than the
predicted by usual linear stability analyses which neglect
such stresses. This last theoretical finding is supported by
experimental results in lifting Hele-Shaw flows with non-
magnetic fluids ͓19,27͔. This indicates that the inclusion of
viscous stresses add an important element to elucidate recent
discrepancies between other theoretical models ͑which ne-
glect viscous stresses͒ and experiments on the typical num-
ber of fingers ͓26,27͔.
At the weakly nonlinear stage, we focus on the influence
of
␦
and N
B
on the competition among fingering structures.
We have found that normal stresses significantly affect finger
competition dynamics, leading to an interesting connection
between the initial aspect ratio and the strength of the com-
petition: if the system is highly confined at t =0 ͑larger q͒ the
competition at later times is expected to be quite strong as
well. Therefore, we have shown that the inclusion of viscous
stresses is of considerable importance for an accurate de-
scription of the lifting problem. We have also identified the
specific role played by N
B
and
␦
: while viscous stresses act
to restrain or delay the occurrence of finger competition, the
magnetic field is able to suppress it completely. The intrinsi-
cally nonlinear effect introduced by the magnetic normal
traction in the generalized pressure boundary condition ͓Eq.
͑7͔͒ has also been examined. It revealed the key role played
by the magnetic susceptibility
in the control mechanism of
the finger competition dynamics. We have found that by
choosing an appropriate ferrofluid ͑that is, by tuning
͒, one
can presumably control the fingering development by using
magnetic Bond numbers which are far smaller in magnitude
than those typically predicted by linear stability theory. In
this context, the combined action of normal viscous stresses,
magnetic normal traction, and magnetic field conspire to in-
hibit the formation of interfacial instabilities if
0, and to
prevent interfacial singularities when
=0.
RAFAEL M. OLIVEIRA AND JOSÉ A. MIRANDA PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-12
The fact that normal ͑viscous and magnetic͒ stresses and
azimuthal magnetic field restrain fingering formation in
stretch flow may have important implications on the evalua-
tion of adhesiveness and peel-off forces of a given liquid
adhesive material. It has been recently shown ͓24͔, under
constant drive speed conditions and by neglecting effects of
fingering, that the net effect of an azimuthal magnetic field
would be to reduce adhesion. A natural extension of the cur-
rent work is to investigate the role of normal stresses, mag-
netic field, and fingering in possibly influencing the adhesion
properties of confined fluids both under constant load ͓13͔
and constant lifting velocity ͓18–21,25,26͔ circumstances.
ACKNOWLEDGMENTS
We thank CNPq ͑Brazilian Research Council͒ for finan-
cial support of this research through the CNPq/FAPESQ
Pronex program. J.A.M. thanks CNPq for financial support
͑PDE Proceeding No. 200045/2005-9͒. We acknowledge
useful discussions with Enrique Alvarez-Lacalle and Jaume
Casademunt. We thank Daniel Bonn and Martine Ben Amar
for kindly supplying the experimental data of Ref. ͓27͔.
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STRETCHING OF A CONFINED FERROFLUID:
¼ PHYSICAL REVIEW E 73, 036309 ͑2006͒
036309-13
APÊNDICE C
Magnetic fluid in a time-dependent gap Hele-Shaw
cell [J. Mag. Mag. Mat. 289, 360 (2005)]
52
Journal of Magnetism and Magnetic Materials 289 (2005) 360–363
Magnetic fluid in a time-dependent gap Hele–Shaw cell
Rafael M. Oliveira, Jose
´
A. Miranda
Ã
Departamento de Fı
´
sica—LFTC, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, PE 50670-901 PE, Brazil
Available online 28 November 2004
Abstract
The traditional Saffman–Taylor problem addresses the flow of non-magnetic fluids in a fixed gap Hele–Shaw cell.
Under such circumstances interfacial singularities arise if the surface tension between the fluids is zero. In this work, we
study a variant of this interesting hydrodynamic situation and consider the flow of a magnetic fluid in a Hele–Shaw cell
with a time-dependent gap spacing. We focus on the zero surface tension limit and investigate the possibility of
controlling interfacial singularities with an appropriate magnetic field. Our analytical mode-coupling approach shows
evidence that the action of an azimuthal magnetic field and plus the inclusion of stresses originated from normal
velocity gradients conspire to singularity inhibition.
r 2004 Elsevier B.V. All rights reserved.
PACS: 47.65.+a; 75.50.Mm; 47.20.Ma
Keywords: Magnetic fluids; Ferrohydrodynamics; Interfacial instability
When a viscous fluid is displaced by a less viscous one
in the narrow space of a Hele–Shaw cell the Saffman–-
Taylor instability [1] arises, leading to the formation of
beautiful fingering patterns. A couple of years ago,
Shelley et al. [2] studied a variant of the traditional fixed
gap Saffman–Taylor problem and examined the dyna-
mical evolution of a fluid drop in a Hele–Shaw cell with
a variable gap-width. In such a cell the pressure gradient
within the fluid is due to the lifting of the upper plate.
This system is not only intrinsically interesting, but also
of considerable importance to adhesion-related pro-
blems [3]. Due to the practical and academic relevance of
the lifting cell problem it is of interest to study ways of
controlling emerging interfacial instabilities and singu-
larities.
In this work, we study the evolution of a fluid droplet
in a time-dependent gap Hele–Shaw cell and consider
the case in which the fluid used is ferrofluid [4]. The
ferrofluid droplet evolves under the influence of a
magnetic field presenting azimuthal symmetry. We
perform a weakly nonlinear analysis of the problem,
and find theoretical evidence indicating that the
magnetic field could be used to inhibit the emergence
of interfacial instabilities when surface tension is non-
zero, and hydrodynamic singularities and in the zero
surface tension limit.
Consider an incompressible ferrofluid of viscosity Z
located between two narrowly spaced flat plates (Fig. 1).
The outer fluid is non-magnetic, has negligible viscosity,
and its hydrodynamic pressure is set to zero. The time-
dependent plate spacing is represented by b ¼ bðtÞ; and
bðt ¼ 0Þ¼b
0
: A long straight current-carrying wire is
directed along the axis perpendicular to the plates,
producing the magnetic field H ¼ I=ð2prÞ
b
e
y
; where r is
the distance from the wire, I represents the electric
current, and e
ˆ
y
is a unit vector in the azimuthal
direction. We describe the perturbed droplet shape as
<ðy; tÞ¼RðtÞþzðy; tÞ; where zðy; tÞ¼
P
z
n
ðtÞ expðin yÞ
ARTICLE IN PRESS
www.elsevier.com/locate/jmmm
0304-8853/$ - see front matter r 2004 Elsevier B.V. All rights reserved.
doi:10.1016/j.jmmm.2004.11.102
Ã
Corresponding author. Tel.: +55 81 21267610,
Fax: +55 81 32710359.
represents the net interface perturbation with Fourier
amplitudes z
n
ðtÞ; and discrete azimuthal wave numbers
n: The unperturbed ferrofluid interface has initial and
final radii defined as R
0
and R ¼ RðtÞ; respectively. The
wire has negligible radius so that conservation of
ferrofluid volume leads to the useful relation R
2
b ¼
R
2
0
b
0
:
As in the traditional Hele–Shaw problem, the flow in
the ferrofluid is potential, v ¼Àrf; but now with a
velocity potential given by f ¼ðb
2
=12ZÞ½p À c [5],
where p is the hydrodynamic pressure in the ferrofluid,
c ¼ m
0
wH
2
=2 is a scalar potential containing the
magnetic contribution, w is the magnetic susceptibility,
and m
0
is the free-space permeability. To account for the
lifting of the upper plate we consider a modified
incompressibility condition of the ferrofluid, rÁv ¼
À
_
bðtÞ=bðtÞ [2], where the overdot denotes total time
derivative. As a consequence of the latter, and in
contrast to the usual Darcy’s law case, the velocity
potential is no longer Laplacian. The problem is then
specified by two boundary conditions: (i) a generalized
Young–Laplace pressure jump boundary condition at
the interface [6]
p ¼ gk À 2dZ
q
2
f
qr
2
; (1)
(ii) the kinematic boundary condition, which states that
the normal components of each fluid’s velocity v
n
¼
Àn Árf are continuous at the interface. The first term at
the right-hand side of Eq. (1) expresses the usual
contribution related to the surface tension g and
interfacial curvature k [1]. The second term takes into
account stresses originated from normal velocity gra-
dients. The parameter d (d ¼ 1ðd ¼ 0Þ if the normal
stresses are (not) considered) is used to keep track of the
contributions coming from the new term in Eq. (1) in
our mode-coupling description.
We tackle the problem by adapting a weakly non-
linear approach originally developed to study the
regular Hele–Shaw problem (
_
b ¼ 0) [7], to the time-
dependent gap situation. We define Fourier expansions
for the velocity potentials and use the boundary
conditions to express f in terms of z
n
: After some
manipulation, the dimensionless mode-coupling equa-
tion for the system is obtained (for na0):
_
z
n
¼ lðnÞz
n
þ
X
n
0
a0
½Fðn; n
0
Þ z
n
0
z
nÀn
0
þ Gðn; n
0
Þ
_
z
n
0
z
nÀn
0
;
(2)
where
lðnÞ¼
1
JðnÞ
1
2
_
b
b
½jnjÀJðnÞ
(
À
sb
2
R
3
jnjðn
2
À 1ÞÀjnjN
B
b
2
R
4
; ð3Þ
denotes the linear growth rate with
JðnÞ¼ 1 þ d
jnjðjnjÀ1Þb
2
6q
2
R
2
; (4)
where q ¼ 2R
0
=b
0
is the initial aspect ratio, and
Fð n; n
0
Þ¼
1
RJðnÞ
1
2
_
b
b
jnj sgnðnn
0
ÞÀ
1
2
À 1
þ JðnÞÀ1
½
3jn
0
jÀn
0
2
À 2
jnjÀ1
þjnjsgnðnn
0
ÞÀ1
"##
À
sb
2
R
3
jnj 1 À
n
0
2
3n
0
þ nðÞ
þ
3
2
jnjN
B
b
2
R
4
; ð5Þ
Gðn; n
0
Þ¼
1
RJðnÞ
jnj sgnðnn
0
ÞÀ1
½
(
À 1
þ JðnÞÀ1
½
3jn
0
jÀn
0
2
À 2
jnjÀ1
"
þjnjsgnðnn
0
ÞÀ1
#)
ð6Þ
represent second-order mode-coupling terms. The sgn
function equals 71 according to the sign of its
argument, and JðnÞ¼1ifd ¼ 0: In Eq. (2) in-plane
lengths, bðtÞ; and time are rescaled by L
0
¼ 2R
0
; b
0
; and
the characteristic time T ¼ b
0
=j
_
bð0Þj; respectively. The
parameter s ¼ g ½12Zj
_
bð0ÞjL
3
0
denotes the dimensionless
surface tension, and N
B
¼ m
0
wI
2
b
3
0
=½48p
2
Zj
_
bð0ÞjL
4
0
re-
presents the dimensionless magnetic Bond number. Eqs.
(3)–(6) agree with the results obtained in Ref. [8] if
normal stresses are not taken into account (d ¼ 0).
Although singular effects are essentially nonlinear,
some interesting information may be extracted already
at the linear level: from the linear growth rate Eq. (3) we
notice that the magnetic term is always stabilizing.
Another stabilizing factor is introduced by the term JðnÞ;
related to normal stresses. These findings indicate that
N
B
and JðnÞ may affect interfacial stability significantly,
and could be effective in regularizing the system, even in
the absence of surface tension. This peculiar stabilizing
ARTICLE IN PRESS
Fig. 1. Sketch of a time-dependent gap Hele–Shaw cell with a
magnetic fluid.
R.M. Oliveira, J.A. Miranda / Journal of Magnetism and Magnetic Materials 289 (2005) 360–363 361
mechanism suggests that it is conceivable to have a non-
trivial evolution starting from an unstable interface in
the zero surface tension limit, but not necessarily
developing finite-time singularities.
To investigate the suggestive possibility of inhibiting
singularity formation by magnetic means, we turn our
attention to the weakly nonlinear terms in Eq. (2), and
focus on the zero surface tension limit. The numerical
simulations performed in Ref. [2] for s ¼ 0 indicate that
as the interface propagates inwards, the penetrating
fingers compete and the interface begins to sharpen.
During this process the formation of interfacial singula-
rities takes place. We use our weakly nonlinear analysis
to describe the competition process in lifting cells, and
study the role played by the magnetic field and normal
stresses in possible avoiding the collision of the opposing
interfaces. Within our approach, finger competition is
described by the influence of a fundamental mode n;
assuming n is even, on the growth of its sub-harmonic
mode n=2 [7]. We rewrite Eq. (2) in terms of cosine ½a
n
¼
z
n
þ z
Àn
and sine ½b
n
¼ iðz
n
Fz
Àn
Þ modes, and without
loss of generality choose that a
n
40 and b
n
¼ 0 to obtain
the equations of motion for the sub-harmonic mode:
_
a
n=2
¼flðn=2ÞþCðnÞa
n
ga
n=2
; (7)
_
b
n=2
¼flðn=2ÞÀCðnÞa
n
gb
n=2
; (8)
where the function
CðnÞ¼
1
2
F À
n
2
;
n
2
þ lð n=2Þ G
n
2
; À
n
2
hi
(9)
regulates finger competition behavior.
In Fig. 2 we plot Cð nÞ as a function of time for two
values of n. As in Refs. [2,8] we assume an exponentially
increasing gap spacing bðtÞ¼e
t
: The solid (dashed)
curves describe the behavior of CðnÞ in the absence
(presence) of the magnetic field. The black (gray) curves
assume that the normal stress parameter d ¼ 0 ðd ¼ 1Þ:
Light (dark) gray curves refer to q ¼ 125 ð175Þ: It is
evident from Fig. 2 that CðnÞp0: A negative CðnÞ
implies growth of the sine sub-harmonic b
n=2
; and
inhibition of growth of its cosine sub-harmonic a
n=2
(see Eqs. (7) and (8)). The result is an increased
variability among the lengths of fingers of the outer
fluid penetrating into the ferrofluid. This mechanism
describes the competition of inward fingers.
When the magnetic field is absent (solid curves in Fig.
2), CðnÞ is a decreasing function of time, regardless the
value of d: This effect favors an increasing competition
among the inward fingers, that eventually would collide
resulting in a topological instability, in agreement with
the numerical predictions of Ref. [2]. An entirely distinct
behavior is observed when the magnetic field is non-zero
(dashed curves): initially CðnÞ decreases with increasing
t; reaches a minimum value, and subsequently increases
as time advances. Eventually, CðnÞ vanishes which
means that the competition ceases due to the action of
the magnetic field. We also point out the role of the
parameter d when N
B
a0: It is clear from Fig. 2 that the
inclusion of normal stresses into the problem reduces
competition even further, and that this effect is more
relevant for increasingly larger (smaller) values of n ðqÞ:
Note that CðnÞ shows an explicit dependence on the
initial aspect ratio q only if d ¼ 1: However, within the
scope of our current theory (effectively 2-D flow with
large values of q at the onset of nonlinear effects) it is the
magnetic field that governs suppression of finger
competition, ultimately preventing the occurrence of
interfacial singularities. These nonlinear observations
confirm our first-order predictions. In summary, we
have found evidence that in addition to disciplining
regular perturbations at the interface when sa0; the
azimuthal magnetic field seems to be able to inhibit the
formation of interfacial singularities in the zero surface
tension limit.
This work was supported by CNPq, FACEPE, and
UFPE (Propesq/Proplan).
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ARTICLE IN PRESS
Fig. 2. CðnÞ as a function of time for modes n ¼ 8 and n ¼ 10:
The black (gray) curves refer to d ¼ 0 ðd ¼ 1Þ: The magnetic
Bond number is N
B
¼ 0 (N
B
¼ 2.5 Â 10
À5
) for the solid
(dashed) curves, and q ¼ 125 (light gray curves), q ¼ 175 (dark
gray curves). Note that the initial aspect ratio q comes into play
only when d ¼ 1: We assume that bðtÞ¼e
t
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APÊNDICE D
Adhesion phenomena in ferrofluids [Phys. Rev. E
70, 036311 (2004)]
53
Adhesion phenomena in ferrofluids
José A. Miranda
*
and Rafael M. Oliveira
Laboratório de Física Teórica e Computacional, Departamento de Física, Universidade Federal de Pernambuco, Recife,
Pernambuco 50670-901, Brazil
David P. Jackson
Department of Physics and Astronomy, Dickinson College, Carlisle, Pennsylvania 17013, USA
(Received 4 March 2004; published 21 September 2004
)
One efficient way of determining the bond strength of adhesives is to measure the force or the work required
to separate two surfaces bonded by a thin adhesive film. We consider the case in which the thin film is not a
conventional adhesive material but a high viscosity ferrofluid confined between two narrowly spaced parallel
flat plates subjected to an external magnetic field. Our theoretical results demonstrate that both the peak
adhesive force and the separation energy are significantly influenced by the action and symmetry properties of
the applied field. Specifically, we show that the adhesive strength of a ferrofluid is reduced if the applied
magnetic field is perpendicular to the plates or if the applied field is in plane and exhibits azimuthal symmetry.
Conversely, the adhesive strength can be either enhanced or reduced if the applied field is in plane and is
directed radially outward. This establishes an interesting connection between adhesion and ferrohydrodynamic
phenomena, allowing the control of important adhesive properties by magnetic means.
DOI: 10.1103/PhysRevE.70.036311 PACS number(s): 47.65.ϩa, 75.50.Mm, 68.35.Np
I. INTRODUCTION
The study of adhesive materials is vastly multidisciplinary
and its basic scientific research involves a broad spectrum of
areas ranging from interfacial science and rheology to pattern
formation and chemistry [1,2]. On the practical side, the phe-
nomenon of adhesion is part of our everyday lives, and ad-
hesive tape industries are among the most active and profit-
able [3].
One key aspect on both scientific and practical levels is to
precisely evaluate, characterize, and hopefully control, the
bond strength of adhesives. One efficient and relatively
simple way to study important adhesive properties is pro-
vided by the so-called probe-tack test [4,5], which measures
the force required to separate two surfaces bonded by a thin
adhesive film. The result of such a test is a force-distance
curve, that describes the behavior of the adhesive film under
tension. Good adhesives typically present highly nonlinear
force-distance curves, in which the force increases sharply,
reaches a maximum value, and then drops abruptly, defining
a plateau, before it eventually vanishes. From these curves
the separation energy (work done during the entire separation
process), as well as the peak adhesive force, can be deter-
mined.
Recently, several groups began investigating the funda-
mentals of adhesion in viscous liquids [6–10]. By dealing
with simpler Newtonian and non-Newtonian fluids, these in-
teresting studies tried to gain more insight into the relation
between the complicated rheological properties of conven-
tional adhesives and the force-distance curves. Some note-
worthy findings include the appearance of a cavitation-
induced force plateau for high separation velocities in very
viscous fluids [7], and the important verification of a modest
influence of fingering instabilities on the shape of the curves
[8]. As systematically proposed by Francis and Horn [6], all
these works [6–10] take into account the significant depen-
dence of the force-distance curves on the compliance of the
measurement apparatus.
In this paper we consider the case in which the fluid used
in the adhesion probe-tack test is a magnetic liquid called a
ferrofluid. The field of ferrofluid research is also highly in-
terdisciplinary, bringing physicists, chemists, engineers, and
even physicians together [11,12]. Ferrofluids are colloidal
suspensions of nanometer-sized magnetic particles sus-
pended in a nonmagnetic carrier fluid. These fluids behave
superparamagnetically and can easily be manipulated with
external magnetic fields that can act to either stabilize or
destabilize the fluid interface. As a result of the ferrofluid
interaction with the external field in confined geometries, the
usual viscous fingering instability (Saffman-Taylor instability
[13]) is supplemented by a magnetic fluid instability [11,12],
resulting in a variety of interesting interfacial behaviors. De-
pending on the applied field direction, one observes highly
branched, labyrinthine structures [14–17], patterns showing
an ordered line of peaks [18], or even the suppression of
viscosity-driven [19] and centrifugally induced [20,21] inter-
facial instabilities in thin ferrofluid films.
We stress that although these ferrofluids are viscous and
magnetic, they are not, rigorously speaking, “true” (non-
Newtonian) adhesives. However, in certain situations these
fluids have properties that are quite similar to regular adhe-
sives. Here we show that, in contrast to conventional adhe-
sive materials, the adhesive properties of a ferrofluid can be
enhanced or reduced by varying the intensity of an externally
applied magnetic field. This effect could be used to design
versatile adhesive materials with highly flexible properties
that vary with magnetic field, in which the bonding between
surfaces could be manipulated in a nondestrucitve way. The
*
PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
1539-3755/2004/70(3)/036311(10)/$22.50 ©2004 The American Physical Society70 036311-1
simplicity and potential usefulness of such a regulatory
mechanism could be of great value in many applications.
This paper is organized as follows: Sec. II formulates our
theoretical approach and derives the adhesion force between
two flat plates due to the presence of a ferrofluid subjected to
an external magnetic field. We study three different magnetic
field configurations: (i) perpendicular, when a uniform field
is normal to the plates of the apparatus, (ii) azimuthal, for an
in-plane field produced by a long current-carrying wire ori-
ented perpendicular to the plates, and (iii) radial, for a cy-
lindrically radial magnetic field pointing away from the cyl-
inder’s symmetry axis and decreasing linearly with radial
distance. Initially, the probe-tack apparatus is considered to
be perfectly rigid, and we focus on the derivation of the
adhesive force under the influence of magnetic interactions.
Section III discusses the effects of the three magnetic field
arrangements on the force-distance curves for the ferrofluid
sample. We find that the adhesive strength of the ferrofluid is
decreased in the perpendicular and azimuthal configurations
and can be either increased or decreased in the radial case.
The influence of the magnetic forces on the separation en-
ergy is also investigated. Section IV studies the combined
effects of the apparatus’ intrinsic compliance and the mag-
netic forces, and discusses their role in determining the
force-distance profiles. Our chief conclusions and perspec-
tives are summarized in Sec. V. Last, an alternative method
for determining the magnetic forces is discussed in the Ap-
pendix.
II. ADHESION FORCE: DARCY’S LAW FORMULATION
Figure 1 sketches the geometry of the system under study.
We consider a Newtonian, incompressible ferrofluid of high
viscosity
located between two narrowly spaced circular,
flat plates. The outer fluid is nonmagnetic, and of negligible
viscosity. As in Refs. [6–10] we consider that the apparatus
has a spring constant denoted by k. One end of the lifting
apparatus moves at a specified constant velocity V, subject-
ing the upper plate to a pulling force F. The lower plate is
held fixed at z=0, where the z axis points in the direction
perpendicular to the plates. The initial plate-plate distance is
represented by b
0
and the initial ferrofluid radius by R
0
.Ata
given time t the plate spacing is b=b͑t͒, while the deforma-
tion due to the stretching of the apparatus is L−b, where L
=b
0
+Vt. We stress that due to the compliance of the mea-
surement apparatus, the actual plate spacing b is not neces-
sarily equivalent to L. Of course, in the case of a completely
rigid apparatus we have b=L and b
˙
=V, where b
˙
=db/dt. The
perpendicular, azimuthal, and radial magnetic field configu-
rations are schematically illustrated in Fig. 2.
Our initial task is to calculate the pulling force F as a
function of displacement L, taking into account both hydro-
dynamic and magnetic contributions. We follow Derks et al.
[8] and derive F assuming that the ferrofluid interface re-
mains circular during the entire lifting process, with time-
dependent radius defined as R=R͑t͒. This approach is justi-
fied in Ref. [8], where it has been found that experiments
showing strong fingering instabilities are very well described
by theoretical force-distance curves which assume an exact
circularity of the evolving interface. In the perpendicular
magnetic field configuration conservation of ferrofluid vol-
ume leads to the useful relation R
2
b=R
0
2
b
0
. This expression
can be trivially modified in order to account for the radius of
the current-carrying wire or the cylindrical magnet in the
azimuthal and radial field cases.
To study the hydrodynamics of the system, the usual
Navier-Stokes equation is modified through the inclusion of
terms representing the magnetic effects. We follow the stan-
dard approximations used by Rosensweig [11] and others
[12,14–16] and assume that the ferrofluid is magnetized such
that its magnetization M is collinear with the applied field
H
a
. When this is the case, the magnetic body force is given
by
0
M١ H, where
0
is the magnetic permeability of free
space and H is the local magnetic field. The local magnetic
field can include contributions from the applied field as well
as the demagnetizing field. We consider only the lowest or-
der effect of the magnetic interactions that would result in
fluid motion. Thus, in the azimuthal and radial situations, we
consider only the applied field in determining the magneti-
zation. However, in the perpendicular situation, we include
the demagnetizing field produced by the uniform magnetiza-
tion resulting from the applied field.
FIG. 1. Schematic diagram for the plate-plate geometry and lift-
ing apparatus of the adhesion measurement system with ferrofluids.
FIG. 2. Schematic diagrams for the different magnetic field con-
figurations considered in this paper.
MIRANDA, OLIVEIRA, AND JACKSON PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-2
For the quasi-two-dimensional plate-plate geometry, we
employ the lubrication approximation and reduce the three-
dimensional flow to an equivalent two-dimensional flow
U͑r,
͒ by averaging over the direction perpendicular to the
plates (z axis), where ͑r,
͒ denote polar coordinates. Using
no-slip boundary conditions and neglecting inertial terms,
one derives a modified Darcy’s law as [16,22]
U =−
b
2
12
١ ⌸
j
. ͑1͒
The generalized pressure ⌸
j
=p−⌿
j
in Eq. (1) contains both
the hydrodynamic pressure p and a magnetic pressure repre-
sented by a scalar potential ⌿
j
. The subscript j=1,2,3 indi-
cates the perpendicular, azimuthal, and radial magnetic field
configurations, respectively.
We can exploit the irrotational nature of the flow to obtain
the two-dimensional flow field by z averaging the full three-
dimensional incompressibility condition ١ ·
v
=0. This yields
U͑r͒=−͑b
˙
r/2b͒e
ˆ
r
, where e
ˆ
r
is a unit vector in the radial di-
rection. This allows us to integrate Eq. (1) to obtain the pres-
sure field
⌸
j
͑r͒ =
3
b
˙
b
3
͑r
2
− R
2
͒ + ⌸
j
͑R͒, ͑2͒
where ⌸
j
͑R͒ is the value of the generalized pressure at the
ferrofluid droplet boundary. To determine ⌸
j
͑R͒ we use the
facts that ⌿
j
=0 in the nonmagnetic fluid and the pressure
jump at the interface of a magnetic fluid given by [11,12]
⌬p =
−
1
2
0
M
n
2
. ͑3͒
Here,
is the surface tension,
is the curvature of the in-
terface, and M
n
represents the normal component of the mag-
netization at the interface. In the present case, M
n
is given by
the radial component evaluated at r=R, namely, M
n
=M
r
͑R͒.
These boundary conditions result in a pressure field given by
⌸
j
͑r͒ =
3
b
˙
b
3
͑r
2
− R
2
͒ + p
0
− ⌿
j
͑R͒ −
1
2
0
M
jr
2
͑R͒, ͑4͒
where p
0
denotes the atmospheric pressure outside the fer-
rofluid droplet. As is common in this type of adhesion phe-
nomena [6–10], we have neglected the surface tension term
in Eq. (4).
In the nonmagnetic case, the inward viscous flow induced
by traction is accompanied by a pressure gradient pointing
outward. Therefore in the absence of an applied magnetic
field the border of the ferrofluid droplet is at atmospheric
pressure p
0
while the interior of the sample is at a lower
pressure. From Eq. (4) we see that the purely viscous, non-
magnetic contribution to the pressure in the sample is nega-
tive. In other words, when the upper plate is lifted, the pres-
sure gradient causes an inward viscous shearing flow in the
plane of the adhesive film, producing a downward adhesive
force normal to the upper plate. When a magnetic field is
applied, the magnetic contributions in Eq. (4) can modify
this scenario significantly. In fact, as we now show, addi-
tional magnetic terms come into play when calculating the
adhesion force.
Since it is the generalized pressure ⌸
j
that results in fluid
motion according to Eq. (1), the force exerted by the lifting
machine on the upper plate is calculated by integrating the
generalized pressure difference above and below the upper
plate, taking into account the pressure jump condition (3)
across the magnetic fluid surface in contact with the upper
plate. The net force of separation (adhesion force) is then
given by
F
j
=
͵
dA
ͭ
3
b
˙
b
3
͑R
2
− r
2
͒ + ͓⌿
j
͑R͒ − ⌿
j
͑r͔͒
+
1
2
0
͓M
jr
2
͑R͒ − M
jz
2
͑r͔͒
ͮ
, ͑5͒
where the integration is carried out over the cross sectional
area of the ferrofluid drop A. In the perpendicular case, this
is simply a circle of radius R. But in the azimuthal and radial
situations, this is an annulus of outer radius R and inner
radius a. The term M
jz
2
͑r͒ denotes the normal component of
the magnetization evaluated at the boundary z=b. An alter-
native way of calculating the magnetic terms appearing in
the adhesion force Eq. (5) is presented and discussed in the
Appendix.
We can gain some physical insight into the adhesion force
equation simply by looking at the sign of the magnetic terms.
Positive magnetic terms in Eq. (5) lead to increased adhesion
while negative terms lead to decreased adhesion. In particu-
lar, any radial magnetization at the boundary of the domain
will tend to increase adhesion while magnetization normal to
the plates will tend to decrease adhesion. This can be under-
stood qualitatively by noting that the effect of the normal
component of the magnetization at the fluid interface r=R is
to “push” outward on the interface. Thus magnetization that
pushes outward at the boundary of the domain leads to the
fluid attempting to “spread out” in the plane of the sample.
This results in a downward force on the upper plate and an
increase in adhesion. Conversely, magnetization that pushes
upward on the upper surface z=b will exert an upward force
on the plate, resulting in decreased adhesion. The effect of
the other magnetic terms in Eq. (5) will depend on the form
of the scalar potential.
Equation (5) is one of the central results of this work. The
remainder of this paper looks into the details of how the
magnetic effects alter the adhesion force for three different
magnetic field configurations.
A. Perpendicular magnetic field
First, we consider the perpendicular field case ͑j=1͒ in
which a uniform magnetic field H
a
=H
0
e
ˆ
z
is applied normal
to the plates. This situation was studied in Refs. [15,23] by
assuming the ferrofluid has a uniform magnetization M
0
=M͑H
0
͒. Here, M͑H͒ gives the (possibly nonlinear) relation-
ship between the magnetization and the applied field. This
configuration is then equivalent to a uniformly charged
ADHESION PHENOMENA IN FERROFLUIDS PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-3
parallel-plate capacitor and a scalar potential can be written
in a number of equivalent forms [16]. However, in contrast
to the situation studied in Refs. [15,16,23], which only re-
quired the magnetic pressure at the interface of a fingered
droplet, we are interested in calculating ⌿
1
for an arbitrary
point r of a circular magnetic domain ͑0ഛ rഛR͒. In particu-
lar, since we are interested in points within as well as on the
domain boundary, it is essential to choose a form for ⌿
1
that
is continuous at the boundary. If we describe the ferrofluid
boundary by a simple closed curve C parametrized by ar-
clength s, then a convenient way of writing the scalar poten-
tial is (see Ref. [16])
⌿
1
=
0
M
2
2
b
ͭ
Ͷ
C
ds
Ј
D
ˆ
ϫ t
ˆ
͑s
Ј
͒
+
Ͷ
C
dx
Ј
ln
͓
͑y − y
Ј
͒ +
ͱ
D
2
+ b
2
͔
ͮ
, ͑6͒
where x=x͑s͒, x
Ј
=x͑s
Ј
͒, etc., t
ˆ
͑s
Ј
͒ is the unit tangent vector
at arclength s
Ј
, and D
ˆ
=D/D is the unit difference vector
pointing from the point r=͑x,y͒ to the point r
Ј
=͑x
Ј
,y
Ј
͒.
Unfortunately, even though we assume the ferrofluid
sample maintains a circular shape during the lifting of the
upper plate, the evaluation of Eq. (6) for arbitrary points
located inside the sample does not result in a simple closed-
form expression. Substituting Eq. (6) into Eq. (5) results in a
dimensionless force
F
1
=
b
˙
b
5
+ N
B
Ќ
ͭ
2
R
0
2
͵
0
R
I͑r͒rdr −
ͩ
b
0
b
ͪ
ͫ
I͑R͒ +
2
ͬ
ͮ
, ͑7͒
where
I͑r͒ =
͵
0
/2
ͩ
Q + P
2
sin
2
ͱ
Q
2
+ P
2
sin
2
ͪ
d
+
1
2
͵
0
ln
ͫ
ͱ
1+Q
2
+ P
2
sin
2
−
1
2
sin 2
ͬ
ϫ
sin 2
d
, ͑8͒
=2R/b, Q=͑R−r͒/b, P
2
=4rR/b
2
, and N
B
Ќ
=
0
M
2
R
0
2
/k
␦
is
the magnetic Bond number for the perpendicular magnetic
field configuration. Similar to what is done in Refs. [6,8,10],
in Eq. (7) lengths have been re-scaled by
␦
=͑3
R
0
4
b
0
2
V/2k͒
1/6
and velocities by V. It is worth mention-
ing again that since we are dealing with the noncompliant
situation, we have b=L and hence b
˙
=1. Equation (7) shows
b
˙
explicitly in anticipation of our analysis of the compliant
apparatus situation.
B. Azimuthal magnetic field
For the azimuthal field case ͑j=2͒ we consider a long
straight current-carrying wire that is perpendicular to (co-
axial with) the plates (see Fig. 2). This may present an ex-
perimental challenge because the hole necessary for the wire
could result in leakage. The magnetic field produced by this
wire is H
a
=I/͑2
r͒e
ˆ
=͑H
0
a/r͒e
ˆ
, where I represents the
electric current, a is the radius of the current-carrying wire,
and e
ˆ
is a unit vector in the azimuthal direction. The mag-
netization is collinear with the magnetic field and is written
M=͑M
0
a/r͒e
ˆ
, where M
0
=M͑H
0
͒. Here again, M͑H͒ gives
the (possibly nonlinear) relationship between the magnetiza-
tion and the applied field. In this case, the scalar potential
can be simply written as [20]
⌿
2
͑r͒ =
0
M
0
H
0
a
2
2r
2
. ͑9͒
We note that the magnetization in this configuration is every-
where tangential to the interface, and also to the upper sur-
face of the ferrofluid sample. Thus there are no “surface”
contributions to the adhesion force. Furthermore, we note
that ͓⌿
2
͑R͒−⌿
2
͑r͔͒ will always be negative so that the mag-
netic contribution in the azimuthal case tends to reduce the
bond strength of the ferrofluid. This makes good physical
sense because the radial gradient results in a magnetic force
directed radially inward leading to an increased pressure that
pushes upward on the upper surface.
Under such circumstances, the evaluation of Eq. (5) for
the azimuthal field case leads to the dimensionless force
F
2
=
b
˙
b
5
ͩ
␥
−1
␥
ͪ
2
− N
B
azi
Ά
ln
ͫ
1+͑
␥
−1͒
b
0
b
ͬ
−
΄
͑
␥
−1͒
b
b
0
+ ͑
␥
−1͒
΅
·
, ͑10͒
where
␥
=͑R
0
/a͒
2
and N
B
azi
=͑
0
M
0
H
0
a
2
͒/͑2k
␦
͒ is a mag-
netic Bond number for the azimuthal magnetic field configu-
ration. In the case of a linear relationship M=
H, the Bond
number can be written N
B
azi
=͑
0
I
2
͒/͑8
k
␦
͒. As in the per-
pendicular field case, lengths and velocities in Eq. (10) have
been re-scaled by
␦
and V, respectively, and b
˙
=1.
C. Radial magnetic field
Last, we consider a cylindrically radial magnetic field
configuration ͑j=3͒ [24–26] such that H
a
=͑H
0
a/r͒e
ˆ
r
. The
experimental conditions required to obtain such a radial
magnetic field are discussed in Ref. [24]. Roughly speaking,
the radial field is produced by shaping the poles of a perma-
nent magnet into concentric cylinders. As before, we assume
the magnetization is collinear with the applied field so that
M=͑M
0
a/r͒e
ˆ
r
, where M
0
=M͑H
0
͒. In this case, the scalar
potential can be written as
⌿
3
͑r͒ =
0
M
0
H
0
a
2
2r
2
. ͑11͒
Note that the scalar potential in this situation is exactly the
same as in the azimuthal field configuration. Thus we already
know that the force resulting from this potential will tend to
decrease the adhesion force. However, unlike the azimuthal
case, the radial magnetization will lead to a “surface” force
MIRANDA, OLIVEIRA, AND JACKSON PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-4
term that will tend to increase adhesion. Under such circum-
stances, the evaluation of Eq. (5) for the radial field case
leads to a dimensionless force
F
3
=
b
˙
b
5
ͩ
␥
−1
␥
ͪ
2
− N
B
rad
Ά
ln
ͫ
1+͑
␥
−1͒
b
0
b
ͬ
−
ͩ
1+
M
0
H
0
ͪ
ϫ
΄
͑
␥
−1͒
b
b
0
+ ͑
␥
−1͒
΅
·
, ͑12͒
where
␥
=͑R
0
/a͒
2
and N
B
rad
=͑
0
M
0
H
0
a
2
͒/͑2k
␦
͒ is a mag-
netic Bond number for the radial magnetic field configura-
tion. In the case of a linear relationship M=
H, the Bond
number can be written N
B
rad
=͑
0
H
0
2
͒/͑2k
␦
͒.Asinthe
other cases, lengths and velocities in Eq. (12) have been
re-scaled by
␦
and V, respectively, and b
˙
=1.
We note in passing that by taking the limit a→ 0 and
eliminating the magnetic terms (by simply dropping the
terms involving the magnetic Bond numbers), all three force
equations (7), (10), and (12) reduce to the equivalent expres-
sion derived in Ref. [8] for nonmagnetic viscous fluids. As
we will see in the remaining sections, the magnetic terms
appearing in these force expressions enrich the physics in-
volved considerably, establishing an interesting link between
adhesion and magnetic phenomena.
III. NONCOMPLIANT APPARATUS CASE
Before turning our attention to the complete force-
distance curves including compliance and magnetic effects,
let us analyze Eqs. (7), (10), and (12) in greater detail and
explore the relevant aspects coming from the magnetic con-
tribution. Figure 3 is a log-log plot that depicts the pulling
force F
j
for the rigid apparatus case where b=L (and b
˙
=1).
Along with the usual nonmagnetic case (dashed line),we
have plotted three sets of curves: (1) the perpendicular case
given by Eq. (7) with N
B
Ќ
=5.0ϫ 10
−2
, (2) the azimuthal case
given by Eq. (10) with N
B
azi
=5.0ϫ 10
−3
, and (3) the radial
case given by Eq. (12) with N
B
rad
=5.0ϫ 10
−3
. The shading
represents different initial plate spacings given by b
0
=1.2
(light gray), b
0
=1.7 (medium gray), and b
0
=2.2 (dark gray).
In addition, we have set the parameters R
0
=100,
␥
=100, and
M
0
/H
0
=3.0.
It is clear from Fig. 3 that the presence of magnetic forces
can alter the adhesion force in markedly different ways. For
relatively small separation L the curves are quite similar to
the nonmagnetic case for all magnetic field configurations.
However, as L is increased, the magnetic cases depart more
and more from the nonmagnetic situation. Eventually, each
magnetic case is split further depending on the initial plate
spacing b
0
.
We note that the behavior of the perpendicular and azi-
muthal field configurations is qualitatively similar. In both
cases, the adhesion force is decreased (compared to a non-
magnetic liquid) throughout the entire range of L. The azi-
muthal case leads to a much more dramatic decrease than the
perpendicular case but the perpendicular case appears to be
more sensitive to the initial plate spacing.
Interestingly, the adhesion force in the perpendicular and
azimuthal magnetic field configurations becomes negative
and then falls asymptotically to zero as L increases. This is in
stark contrast to a nonmagnetic liquid in which the adhesion
force is always positive and drops smoothly to zero as 1/L
5
.
Thus, in these two magnetic field configurations, this force
will cease to be an adhesion force and will instead become a
sort of separation force. Thus, instead of pulling on the
plates, one would need to start pushing to keep the plate
velocity constant. Thus it may be possible to create a ferrof-
luid adhesive such that the adhesive force can be completely
eliminated simply by bringing a small hand magnet up close.
The situation is even more interesting in the radial field
configuration. Here, we have the possibility of increased or
decreased adhesion compared to a nonmagnetic liquid. This
configuration is also much more sensitive to the initial plate
spacing than the other configurations, with smaller initial
plate spacings leading to more increased adhesion. However,
unlike the perpendicular and azimuthal cases, the adhesion in
the radial case may or may not become negative as L in-
creases. This depends on the value of the parameter M
0
/H
0
(the magnetic susceptibility
in the linear case). In addition,
by taking the large b limit of Eq. (12), we see that F
3
ϳ1/L so that for large enough L, the adhesion force in the
radial case will always end up larger than the adhesion force
in the nonmagnetic case. Thus, in the radial case, there are
two possibilities. Either the adhesion force remains an adhe-
sion force throughout the entire plate separation process, or
the adhesion force first becomes a separation force and then
returns to being an adhesion force as the plates are separated.
FIG. 3. Pulling force F
j
as a function of L for the purely rigid
case described by Eqs. (7), (10), and (12). The dashed line shows
the nonmagnetic case and the solid curves show the magnetic situ-
ations with N
B
Ќ
=5.0ϫ 10
−2
, N
B
azi
=5.0ϫ 10
−3
, and N
B
rad
=5.0ϫ 10
−3
.
The solid curves are plotted in hues of gray for b
0
=1.2 (light), b
0
=1.7 (medium), and b
0
=2.2 (dark).
ADHESION PHENOMENA IN FERROFLUIDS PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-5
Figure 4 examines the radial situation further by varying
both
␥
and M
0
/H
0
. As in Fig. 3, N
B
rad
=5.0ϫ 10
−3
and the
shading represents the same initial plate spacings b
0
=1.2
(light gray), b
0
=1.7 (medium gray), and b
0
=2.2 (dark gray).
The solid black line is the nonmagnetic case and the dashed
(solid) curves have
␥
=100 ͑
␥
=25͒ and M
0
/H
0
is either 0.5
or 3.5 as labeled in the figure. The most obvious feature of
Fig. 4 is that the value of M
0
/H
0
determines whether adhe-
sion is increased or decreased for small plate spacings. Of
course, for large enough plate spacing, we have already seen
that adhesion will be increased relative to a nonmagnetic
liquid. As a practical matter, there is a point at which the
fluid film will rupture or the lubrication approximation will
no longer be valid. Selecting M
0
/H
0
can therefore effectively
result in a magnetic liquid that either increases or decreases
adhesion throughout the useful range of b.
Another relevant physical quantity of interest is the work
of separation given by
W
j
=
͵
b
0
L
f
F
j
dL. ͑13͒
For a nonmagnetic liquid and for the perpendicular and azi-
muthal situations, the upper limit of integration can safely be
taken to be L
f
=ϱ with no problems. However, in the radial
magnetic field configuration, the large L force varies as 1/L
so the work of separation diverges logarithmically. This
causes some difficulty in trying to calculate the work of
separation as there is no obvious termination point for this
integral. We follow the approach adopted in Ref. [6], and
integrate Eq. (13) to a finite end point. Consistently with the
restrictions imposed by the lubrication approximation, we
take L
f
=

, where

ӷb
0
. Using

=100, Fig. 5 illustrates
how the work of separation W
3
varies with initial plate spac-
ing b
0
for a nonmagnetic liquid (dashed) and for a magnetic
liquid in the radial field configuration (solid). As in Fig. 4,
we take M
0
/H
0
as either 0.5 or 3.5 and use two different
magnetic Bond numbers, N
B
rad
=5.0ϫ 10
−4
(light gray) and
N
B
rad
=5.0ϫ 10
−3
(dark gray). The results for the azimuthal
and perpendicular cases are qualitatively similar to the
M
0
/H
0
=0.5 results in the radial case and are therefore not
shown.
IV. COMPLIANT APPARATUS CASE
As briefly discussed at the beginning of this work, typical
force-distance curves increase sharply during the initial
stages of the plate separation process. This effect is not de-
scribed by the ferrohydrodynamic forces within the ferrof-
luid, but is a result of the elasticity of the apparatus [6,8].
Now we examine the complete form of the force-distance
curves, including the magnetic properties of the ferrofluid
and the intrinsic flexibility of the lifting machine. To accom-
plish this, we adapt a method originally developed by Fran-
cis and Horn [6] for their sphere-plate geometry with non-
magnetic fluids.
It is assumed that, during the entire separation process,
there is a perfect balance between the viscous, ferrohydrody-
namic force and the spring restoring force L−b which results
from the deflection of the apparatus. By equating Eqs. (7),
(10), and (12),toL−b, we obtain nonlinear first order differ-
ential equations for b=b͑t͒. Then, using the relation L=b
0
+t we can write b
˙
=db/dL so that
F
j
͑b,b
Ј
͒ = L − b, ͑14͒
where the prime denotes differentiation with respect to L.We
utilize differential equations (14) to obtain the complete
force-distance profiles. We solve them numerically for b͑L͒
and find the force curves from F
j
=L−b͑L͒.
FIG. 4. Pulling force F
3
for radial magnetic field case described
by Eq. (12). The solid black line denotes a nonmagnetic fluid while
the dashed (solid) gray curves have
␥
=100 ͑
␥
=25͒. The curves
with M
0
/H
0
=0.5 lead to decreased adhesion while those with
M
0
/H
0
=3.5 lead to increased adhesion for small plate spacings.
FIG. 5. Work of separation W
3
as a function of b
0
for the purely
rigid case for a nonmagnetic (dashed) and a magnetic liquid in the
radial field configuration (solid). Two values of M
0
/H
0
are used and
the light (dark) gray curves have N
B
rad
=5.0ϫ 10
−4
͑N
B
rad
=5.0
ϫ10
−3
͒.
MIRANDA, OLIVEIRA, AND JACKSON PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-6
Figure 6 presents the complete force-distance curves for
thin layers of ferrofluid obtained by numerically solving Eq.
(14) with F
3
given by Eq. (12). It compares the curves in the
absence of magnetic field (black dashed curves) with those
calculated for nonzero applied field (gray solid curves).We
use N
B
rad
=5.0ϫ 10
−3
,
␥
=100, and two values of M
0
/H
0
.Asin
Figs. 3 and 4, the gray hues indicate the initial plate spacing
with b
0
=1.2 (light gray), b
0
=1.7 (medium gray), and b
0
=2.2 (dark gray). The perpendicular and azimuthal field re-
sults are again qualitatively similar to the radial case with
M
0
/H
0
=2.0 and are therefore not shown.
By inspecting Figs. 6(a) and 6(b), we conclude that during
the beginning of the plate separation process the system is
dominated by the elastic force regardless of the nature (per-
pendicular, azimuthal, or radial) of the applied magnetic
field. We also note that the peak adhesive force decreases
considerably in the perpendicular and azimuthal cases but
can be either decreased or increased in the radial case de-
pending on M
0
/H
0
. In all field configurations, this increase
or decrease in the peak force is more pronounced for larger
b
0
.
Towards the end of the lifting process the contribution
from the ferrohydrodynamic force becomes much more im-
portant. One can see from Figs. 6(a) and 6(b) that the behav-
ior of the force can be “controlled” in some sense depending
on the type of ferrofluid and the field configuration. When
the applied field is zero, there is no magnetic force and all
cases converge to the same 1/L
5
behavior that was seen in
Fig. 3. In the perpendicular and azimuthal magnetic field
cases, the magnetic forces decrease adhesion and the force
curves all drop off more rapidly than in the nonmagnetic
case, separated slightly based on the initial plate spacing. In
the radial case, the situation is a little different. Here, the
magnetic force can increase or decrease adhesion during the
initial stages of the pulling process. However, at some point
all of the radial force curves will drop off as 1/L, much less
rapidly than in the nonmagnetic case. By choosing an appro-
priate ferrofluid (that is, by tuning M
0
/H
0
), one can presum-
ably control when the force curves cross over from reducing
adhesion to increasing adhesion.
Finally, observe that for a given b
0
, the area below the
gray solid curves in Fig. 6(a)[Fig. 6(b)] are considerably
smaller (larger) than the corresponding area under the black
dashed curves. This implies that the magnetic forces can re-
duce (enhance) the energy of separation as anticipated by the
rigid case results depicted in Fig. 5. From Fig. 6 we conclude
that both the peak adhesive force and the separation energy
are significantly influenced by magnetic forces.
V. CONCLUSION
In this paper, we have shown that the introduction of a
ferrofluid plus the action of an appropriate magnetic field
configuration in a modified adhesion measurement system
permits the adhesive strength to be opportunely controlled by
magnetic means. Our analytical and numerical results show
that the adhesive strength of a ferrofluid is reduced if the
magnetic field is perpendicular to the plates or applied in-
plane with azimuthal symmetry. Additionally, we have
shown that the adhesive strength can be enhanced or reduced
if the external field is in plane and pointing radially outward.
So, having a bond strength adaptable to different applica-
tions, a magnetic fluid can perform different functions: it
could either reduce adhesion when mechanical, nondestruc-
tive removal is needed, or increase adhesion when a high-
shear strength, tough structural adhesive is necessary.
The ferrofluid thus acts as a sort of adjustable “magnetic
glue,” for which the adhesion strength is regulated by an
applied magnetic field. This important and suggestive con-
trolling mechanism is not only intrinsically interesting, but
may allow the development of technological applications
overlapping the fields of adhesion and ferrofluid research.
Possible future applications may include the development of
adhesive products in which adhesion could be switched on
and off by a suitable magnetic field. In particular, removing
FIG. 6. Force F
3
=L−b͑L͒ as a function of displacement L for
the flexible apparatus case for three initial plate spacings b
0
. The
curves are obtained by numerically solving Eq. (14) with F
j
given
by Eq. (12). The black dashed curves are for zero magnetic field
and the gray solid curves have N
B
rad
=5.0ϫ 10
−3
,
␥
=100, and b
0
=1.2 (light), b
0
=1.7 (medium), and b
0
=2.2 (dark).
ADHESION PHENOMENA IN FERROFLUIDS PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-7
the adhesive force via a small hand-held magnet seems like a
very useful possibility. Recent interesting studies have dem-
onstrated that the adhesive properties of some solid/polymer
interfaces can indeed be tuned by temperature [27,28]. The
magnetically monitored adhesive process we present here
would certainly add a welcome versatility to adhesion tech-
nology, even possibly allowing the emergence of a system-
atic way of controlling the reversibility of adherence using
magnetic fields.
Our theoretical work makes specific predictions that have
not yet been subjected to experimental check. It would be of
interest to examine the relationship between adhesion and
magnetic phenomena by performing probe-tack measure-
ments with ferrofluids subjected to perpendicular, azimuthal,
and in particular, radial magnetic field configurations
[24,29,30]; these might even include such configurations as
rotating [31–33] magnetic fields. A natural extension of the
current work would be the investigation of the influence of
magnetic forces on the adhesive properties of more complex
magnetic fluids, such as magnetorheological suspensions
[34], in which other important effects like elasticity, plastic-
ity, shear thinning, and shear thickening could be monitored
by external magnetic fields. In summary, we hope this work
will instigate further theoretical and experimental studies on
this rich topic.
ACKNOWLEDGMENTS
We thank the Brazilian Research Council/CNPq (J.A.M.
and R.M.O.) and Dickinson College (D.P.J.) for financial
support of this research. We gratefully acknowledge useful
communications and stimulating discussions with Anke
Lindner, Cyprien Gay, José Bico, Michael Widom, Raymond
Goldstein, and Alexandre Rosas. We are greatly indebted to
Andrejs Cebers for important discussions and useful sugges-
tions.
APPENDIX: CALCULATION OF MAGNETIC FORCES
USING AN ENERGY APPROACH
In this work, the magnetic effects were taken into account
via a modified Darcy’s law given by Eq. (1). This presup-
poses that one can write the magnetic forces in terms of a
scalar potential ⌿
j
. Indeed, the azimuthal and radial configu-
rations both led to relatively simple scalar potentials and the
magnetic forces could be calculated in closed form as shown
in Eqs. (10) and (12). However, in the perpendicular configu-
ration the scalar potential is a more complicated integral ex-
pression given by Eqs. (6) and (8) that leads to an even more
complex expression for the force via Eq. (7). Because of the
difficulties involved in calculating the forces in the perpen-
dicular situation, we wondered whether there was an alterna-
tive method for calculating this force.
Because most of our difficulties involved integrating
rather complicated expressions, it seemed appropriate to try
to find the force using a differentiation process. Specifically,
for a ferrofluid droplet whose magnetic energy is given as a
function of height by E
m
͑b͒, the force exerted by the ferrof-
luid is given by
F
m
=−
dE
m
db
. ͑A1͒
Now, the change in magnetic energy obtained by intro-
ducing a volume of magnetic fluid into a static magnetic field
in free space is [11,12]
E
m
=−
1
2
͵
M · B
0
dV , ͑A2͒
where M is the magnetization of the ferrofluid, B
0
is the field
that would be present in the absence of the ferrofluid, and the
integration is taken over the volume of the ferrofluid V. For
example, in the azimuthal situation, we have a ferrofluid cy-
lindrical annulus of height b and inner (outer) radius a (R).
To be consistent with the approximations used in the Darcy
approach, we assume the applied magnetic field given by
H
a
=͑H
0
a/r͒e
ˆ
and magnetization given by M=͑M
0
a/r͒e
ˆ
.
Equation (A2) then gives
E
m
azi
=−
0
M
0
H
0
a
2
b ln
ͩ
R
a
ͪ
. ͑A3͒
Using volume conservation and performing the required dif-
ferentiation, we obtain a magnetic force (scaled by k
␦
) of
F
m
azi
= N
B
azi
Ά
ln
ͫ
1+͑
␥
−1͒
b
0
b
ͬ
−
͑
␥
−1͒
b
b
0
+ ͑
␥
−1͒
·
, ͑A4͒
where
␥
and N
B
azi
are as previously defined. Equation (A4)
indicates an upward force and is exactly the same as the
magnetic force given in Eq. (10) as expected. Note that the
minus sign difference between Eq. (A4) and the correspond-
FIG. 7. Adhesion force for the perpendicular field configuration
with the magnetic terms calculated via (a) the Darcy approach using
Eq. (7), and (b) the energy approach using Eq. (A7). We have set
N
B
Ќ
=5.0ϫ 10
−3
, R
0
=100, and used the same initial plate spacings as
before, b
0
=1.2 (light gray), b
0
=1.7 (medium gray), and b
0
=2.2
(dark gray). The black dashed line shows the nonmagnetic situation.
MIRANDA, OLIVEIRA, AND JACKSON PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-8
ing terms in Eq. (10) is due to our choice of coordinate
system in describing the adhesion force.
Let us now try the same approach with the radial field
configuration. In this case we have an applied field given by
H
a
=͑H
0
a/r͒e
ˆ
r
and a magnetization given by M=͑M
0
a/r͒e
ˆ
r
.
Carrying out the energy and force calculations, we find that
the magnetic force in the radial case is exactly the same as in
the azimuthal case given by Eq. (A4). At first this might
seem strange since the radial and azimuthal magnetic fields
point in different directions. However, since it is the gradient
of the field magnitude that determines the force and the spa-
tial dependence is identical in both situations, this should not
be too surprising. What is surprising is the fact that in the
radial situation, the magnetic force calculated from the en-
ergy as given by Eq. (A4) does not equal the magnetic force
calculated from the Darcy approach as given in Eq. (12). The
difference between the two approaches can be traced to the
“surface” force term that comes from the boundary condition
(3). This means that if we want to use the energy method, we
must augment the force by inclusion of these surface terms.
Specifically, Eq. (A1) should be replaced by
F
m
=−
dE
m
db
+
1
2
0
͵
dA͓M
jz
2
͑r͒ − M
jr
2
͑R͔͒. ͑A5͒
Here, as in Sec. II, the integration is taken over the cross
sectional area A of the ferrofluid surface in contact with the
upper plate.
Although Eq. (A5) is not quite as simple as Eq. (A1),itis
still potentially much easier to use in some situations than
Eq. (5). As an example, let us now consider the perpendicu-
lar field configuration. In this case, the ferrofluid droplet is in
the shape of a cylinder of height b and radius R. The energy
of this configuration, is, apart from a constant term propor-
tional to the volume, given by [14,15]
E
m
Ќ
=
4
3
0
M
2
R
3
͕1−q
−3
͓͑2q
2
−1͒E͑q͒ + ͑1−q
2
͒K͑q͔͖͒,
͑A6͒
where K and E are, respectively, complete elliptic integrals
of the first and second kind, and q
2
=
2
/͑1+
2
͒ (recall that
=2R/b). Again, using volume conservation and performing
the differentiation, Eq. (A5) gives a dimensionless force of
F
m
Ќ
= N
B
Ќ
ͩ
b
0
b
ͪ
ͭ
q
3
− ͑2−q
2
͒E͑q͒ +2͑1−q
2
͒K͑q͒
q
2
ͱ
1−q
2
+
2
ͮ
,
͑A7͒
where N
B
Ќ
is defined as before.
Equation (A7) gives a closed form expression for the
magnetic contribution to the adhesion force in the perpen-
dicular field configuration. But this information is suppos-
edly contained in Eq. (7) as well. Figure 7 shows the adhe-
sion force as calculated using both (a) the Darcy approach
and (b) the energy approach. Although qualititatively similar,
these two forces are clearly not the same. The energy ap-
proach shows a dramatically decreased adhesion force. But
why? It turns out that when using the Darcy approximation
in the perpendicular field configuration, one uses only the
lowest nonvanishing component of the magnetic field [16],
whereas in the energy calculation, the entire demagnetizing
field is taken into account. Thus it seems as though the en-
ergy approach in this case should provide a more accurate
approximation to the magnetic force. Additionally, the en-
ergy approach gives a closed form expression for the mag-
netic force and is therefore much simpler to use in calcula-
tions.
We find it a bit surprising that there is such a large differ-
ence between the Darcy approach and the energy approach in
the perpendicular configuration. This suggests that the radial
component of the demagnetizing field may play an important
role in determining the evolution of a ferrofluid drop. Of
course, the results reported in Ref. [16] show excellent
agreement with experiments suggesting that the radial com-
ponent is not a relevant factor in determining the final state
patterns. Clearly, this is an unresolved issue. It would be very
interesting to know exactly what role (if any) the radial com-
ponent plays in these ferrofluid evolutions.
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MIRANDA, OLIVEIRA, AND JACKSON PHYSICAL REVIEW E 70, 036311 (2004)
036311-10
APÊNDICE E
Time-dependent gap Hele-Shaw cell with a
ferrofluid: Evidence for an interfacial singularity
inhibition by a magnetic field [Phys. Rev. E 69,
066312 (2004)]
54
Time-dependent gap Hele-Shaw cell with a ferrofluid: Evidence for an interfacial singularity
inhibition by a magnetic field
José A. Miranda
*
and Rafael M. Oliveira
Laboratório de Física Teórica e Computacional, Departamento de Física, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, Pernambuco
50670-901, Brazil
(Received 19 November 2003; revised manuscript received 18 March 2004; published 17 June 2004
)
We consider the flow of a ferrofluid droplet in a Hele-Shaw cell with a time-dependent gap width. When the
surface tension and applied magnetic field are zero, interfacial instabilities develop and the droplet breaks. We
execute a mode-coupling approach to the problem and focus on understanding how the development of
singularities is affected by the action of an external field. Our analytical results indicate that the introduction of
an azimuthal magnetic field profoundly modifies pattern formation, allowing the inhibition of interfacial
singularities. We suggest the magnetic field can be used as a controllable parameter to discipline singular
behavior.
DOI: 10.1103/PhysRevE.69.066312 PACS number(s): 47.20.Ma, 47.54.ϩr, 68.35.Np, 75.50.Mm
I. INTRODUCTION
The development of finite-time singularities is of funda-
mental importance to a broad class of hydrodynamic prob-
lems, such as the ones related to distributions of vorticity
evolving under Euler’s equation [1], jet breakup [2], and
droplet fission/snap-off [3]. Within this group of problems,
the dynamics of the interface between viscous fluids con-
fined in a Hele-Shaw cell (Saffman-Taylor problem) has re-
ceived much attention [4–7]. In the absence of surface ten-
sion, these constrained flows are known to form cusp
singularities and droplet fission at the fluid-fluid interface.
Recently, an interesting work by Magdaleno et al. [6] studied
the possibility of preventing cusp singularies for zero surface
tension flows in a rotating Hele-Shaw cell. They have shown
that for a subclass of exact solutions there is a critical rota-
tion rate above which cusp formation is suppressed. Interest-
ingly, it has been found in Ref. [6] that such a critical value
for the rotation rate can be predicted by linear stability cal-
culations. These results open up the possibility of the exis-
tence of similar types of control parameters which could in-
hibit the formation of finite-time singularies in other
important confined flow systems.
A couple of years ago, Shelley and collaborators [7] stud-
ied another variant of the traditional Saffman-Taylor prob-
lem, and examined the dynamical evolution of a fluid drop in
a Hele-Shaw cell with a time-dependent gap width. In such a
cell the pressure gradient within the fluid is due to the lifting
of the upper plate, leading to the formation of visually strik-
ing fingering patterns. The sophisticated numerical simula-
tions performed in Ref. [7] revealed that, in the absence of
surface tension, a dumbbell-shaped droplet would fission
into two, characterizing a fissioning instability. The fluid
flow in lifting Hele-Shaw cells is not only intrinsically inter-
esting, but also of considerable importance to adhesion re-
lated problems [8–11]. Due to the practical and academic
relevance of the lifting cell problem it is of interest to study
ways of controlling emerging interfacial singularies.
In this work we study the evolution of a fluid droplet in a
time-dependent gap Hele-Shaw cell, and consider the case in
which the fluid used is a ferrofluid [12,13]. Ferrofluids are
colloidal suspensions of nanometer-sized magnetic particles
suspended in a nonmagnetic carrier fluid. These fluids are
typically Newtonian and behave superparamagnetically. We
investigate the situation in which the ferrofluid droplet
evolves under the influence of a simple magnetic field con-
figuration exhibiting azimuthal symmetry, produced by a
current-carrying wire perpendicular to the cell plates. We
perform a weakly nonlinear analysis of the problem, and find
theoretical evidence indicating that the azimuthal magnetic
field could be used to inhibit the emergence of interfacial
singularities, even when surface tension is zero. One must
exercise caution in using a weakly nonlinear approach to
deal with the zero surface tension case, which presents subtle
singular effects [14]. On the other hand, the present weakly
nonlinear analysis serves as an alternative analytical tool to
tackle the problem, being nonperturbative in surface tension.
Remarkably, it has been shown recently that weakly nonlin-
ear predictions of the Saffman-Taylor problem at low orders
are compared satisfactorily to exact solutions for zero and
nonzero surface tension cases [15]. The magnetically moni-
tored process we present here certainly add a welcome ver-
satility to usual singularity formation problems in nonmag-
netic fluids, allowing the emergence of a systematic way of
controlling singular behavior using ferrofluids and appropri-
ate magnetic fields.
The layout of the rest of the paper is as follows: Section II
formulates our theoretical approach. We perform a Fourier
decomposition of the interface shape, and from a modified
form of Darcy’s law study the influence of an azimuthal
magnetic field on the development of interfacial patterns in a
time-dependent gap Hele-Shaw cell. Coupled, nonlinear, or-
dinary differential equations governing the time evolution of
Fourier amplitudes are derived in both nonzero and zero sur-
face tension cases. Section III discusses linear and weakly
nonlinear dynamics, focusing on the zero surface tension
limit. Section III A briefly discusses our linear stability re-
*
PHYSICAL REVIEW E 69, 066312 (2004)
1539-3755/2004/69(6)/066312(5)/$22.50 ©2004 The American Physical Society69 066312-1
sults, which suggest control of interfacial singularities by
magnetic means. In Sec. III B we show that some important
interfacial features can indeed be predicted and more quan-
titatively explained by our analytical mode-coupling ap-
proach. At second order we describe a finger competition
phenomenon, and use it to propose a mechanism responsible
for the inhibition of interfacial singularities by an azimuthal
magnetic field. Our conclusions are summarized in Sec. IV.
II. THE MODE-COUPLING EQUATION
Figure 1 sketches the geometry of the lifting cell problem.
Consider an incompressible ferrofluid of viscosity
located
between two narrowly spaced flat plates. The outer fluid is
nonmagnetic, and of negligible viscosity. The initial plate
spacing is represented by b
0
, and at a given time t the plate-
plate distance is denoted by b=b͑t͒. A long, straight current-
carrying wire is directed along the axis perpendicular to the
plates. The magnetic field produced is H=I/͑2
r͒e
ˆ
, where r
is the distance from the wire, I represents the electric current,
and e
ˆ
is a unit vector in the azimuthal direction.
To investigate the dynamical evolution of the interface in
a time-dependent gap Hele-Shaw cell, we describe its per-
turbed shape as R͑
,t͒=R͑t͒+
͑
,t͒, where
͑
,t͒
=͚
n=−ϱ
+ϱ
n
͑t͒exp͑in
͒, represents the net interface perturba-
tion with Fourier amplitudes
n
͑t͒, and discrete azimuthal
wave numbers n=0,±1,±2,.... The unperturbed ferrofluid
interface has initial and final radii defined as R
0
and R
=R͑t͒, respectively. We consider a current-carrying wire of
negligible radius, so that the conservation of ferrofluid vol-
ume leads to the useful relation R
2
b=R
0
2
b
0
, where both R and
b are time dependent. Notice that the Fourier expansion
includes the n=0 mode, with
0
=−͑1/2R͚͒
n0
͉
n
͑t͉͒
2
.
For the quasi-two-dimensional geometry of the Hele-
Shaw cell, we employ the lubrication approximation and re-
duce the three-dimensional flow to an equivalent two-
dimensional one by averaging over the direction
perpendicular to the plates. We assume that the ferrofluid is
uniformly magnetized and that its magnetization is collinear
with the external field M=
H [16,17], where
is the con-
stant magnetic susceptibility. This amounts to neglecting the
demagnetizing field relative to the applied field and can be
justified for low magnetic susceptibility of the ferrofluid, or
for large applied fields that saturate the ferrofluid magnetiza-
tion. It can also be justified for very thin ferrofluid films
when the field is parallel to the plane of the cell.
As in the traditional Hele-Shaw problem, the flow in the
ferrofluid is potential, v=−ٌ
, but now with a velocity po-
tential given by a modified Darcy’s law [18]
=
b
2
12
͓p − ⌿͔, ͑1͒
where p is the hydrodynamic pressure in the ferrofluid, ⌿
=
0
H
2
/2 is a scalar potential containing the magnetic con-
tribution, and
0
is the free-space permeability. In addition to
the inclusion of the magnetic term in Eq. (1), we still have to
consider a modified incompressibility condition of the ferrof-
luid, to account for the lifting of the upper plate [7] ٌ ·v=
−b
˙
͑t͒/b͑t͒, where the overdot denotes total time derivative.
So, in contrast to the usual Darcy’s law case, the velocity
potential (1) is no longer Laplacian and satisfies a Poisson
equation
ٌ
2
=
b
˙
͑t͒
b͑t͒
, ͑2͒
where its right-hand side depends only on time. As a conse-
quence of the latter, the solution of Eq. (2) differs from being
harmonic by only the simple particular solution
¯
=b
˙
r
2
/͑4b͒. The problem is then specified by two boundary
conditions: (i) p͉
R
=
␥
, which expresses the pressure jump
at the interface, where
denotes the interface curvature, and
␥
is the surface tension; and (ii) the kinematic boundary
condition, which states that the normal components of each
fluid’s velocity v
n
=−n
ˆ
· ٌ
are continuous at the interface,
where n
ˆ
is the unit normal pointing outward.
We adapt a weakly nonlinear approach originally devel-
oped to study the traditional fixed-gap Hele-Shaw problem
͑b
˙
=0͒ with nonmagnetic fluids ͑M=0͒ [19], to the current
time-dependent gap situation with ferrofluids. We define
Fourier expansions for the velocity potentials obeying Eq.
FIG. 1. Schematic representa-
tion of a time-dependent gap
Hele-Shaw cell with a ferrofluid.
The azimuthal magnetic field is
produced by a long, straight wire
carrying an electric current I.
J. A. MIRANDA AND R. M. OLIVEIRA PHYSICAL REVIEW E 69, 066312 (2004)
066312-2
(2), and use the boundary conditions to express
in terms of
n
. After some lengthy algebra, we obtain the dimensionless
mode-coupling equation for the system (for n 0)
˙
n
= ͑n͒
n
+
͚
n
Ј
0
͓F͑n,n
Ј
͒
n
Ј
n−n
Ј
+ G͑n,n
Ј
͒
˙
n
Ј
n−n
Ј
͔,
͑3͒
where
͑n͒ =
ͫ
1
2
b
˙
b
͉͑n͉ −1͒ −
b
2
R
3
͉n͉͑n
2
−1͒ − ͉n͉N
B
b
2
R
4
ͬ
͑4͒
denotes the linear growth rate, and
F͑n,n
Ј
͒ =
1
R
ͭ
1
2
b
˙
b
ͫ
͉n͉
ͩ
sgn͑nn
Ј
͒ −
1
2
ͪ
−1
ͬ
−
b
2
R
3
͉n͉
ͫ
1−
n
Ј
2
͑3n
Ј
+ n͒
ͬ
+
3
2
͉n͉N
B
b
2
R
4
ͮ
, ͑5͒
G͑n,n
Ј
͒ =
1
R
͕͉n͉͓sgn͑nn
Ј
͒ −1͔ −1͖͑6͒
represent second-order mode-coupling terms. The sgn func-
tion equals ±1 according to the sign of its argument. In Eq.
(3) in-plane lengths, b͑t͒, and time are rescaled by L
0
=2R
0
,
b
0
, and the characteristic time T=b
0
/͉b
˙
͑0͉͒, respectively. The
parameter
=
␥
b
0
3
/͓12
͉b
˙
͑0͉͒L
0
3
͔ denotes the dimensionless
surface tension, and N
B
=
0
I
2
b
0
3
/͓48
2
͉b
˙
͑0͉͒L
0
4
͔ repre-
sents the dimensionless magnetic Bond number. From now
on, we work with the dimensionless version of the equations.
We use Eq. (3) to examine how the scenario of finite-time
singularities could be modified by the presence of an external
magnetic field.
III. DISCUSSION
A. First order (linear stage)
Although at the level of purely linear analysis we do not
expect to fully explain or understand the development of
cusp singularities and droplet fissioning, some useful infor-
mation may still be extracted from the linear growth rate (4).
Hereinafter we assume that
=0 and consider a destabilizing
driving b
˙
͑t͒Ͼ0. As in Ref. [7] we assume an exponentially
increasing gap width b͑t͒=exp t. This is precisely the ideal
plate separation profile used in related adhesion probe-tack
tests [10], since it provides a more uniform kinematics and
nearly constant strain rate.
By inspecting Eq. (4) we notice that, in the absence of the
magnetic field ͑N
B
=0͒ we have the traditional ill-posedness
associated to an unregularized Saffman-Taylor instability.
However, if N
B
0 we observe that the magnetic term is
always stabilizing. As time progresses the magnetic term in-
creases ͓ϳb
4
͑t͔͒ and eventually stabilizes the system. Note
that the azimuthal symmetry and radial gradient of the mag-
netic field will result in a magnetic force directed radially
inward [18]. This force tends to stabilize the fingering insta-
bilities arising at the ferrofluid interface, as the outer fluid
enters into the system during the lifting of the upper plate.
This peculiar magnetically induced stabilizing mechanism
suggests that it is conceivable to have a nontrivial evolution
starting from an unstable interface, but not necessarily devel-
oping finite-time singularities.
To illustrate the overall effect of the magnetic field on the
formation of finite-time singularities, we show in Fig. 2 time
overlaid plots of the linear interface evolution, obtained by
integrating the first term on the right-hand side of Eq. (3), for
n=2, and 0ഛ tഛ 2, with equally spaced time steps of 0.25.
We evolve from the initial radius R
0
=0.5 with ͉
n
͑0͉͒
=R
0
/10. For clarity, the final droplet shape has been shaded.
Figure 2(a) depicts the interface evolution in the absence of
the magnetic field ͑N
B
=0͒. The initial circular interface
evolves to a dumbbell-like shape, and tends to fission into
two separate circles as described by Ref. [7]. Even though
we stopped showing the evolution before the complicated
pinch-off process, there is a clear evidence that a fissioning
singularity tends to occur when N
B
=0. Note that the inter-
FIG. 2. Linear evolution of the interface using Eq. (3) for n=2
and 0ഛ tഛ 2 in intervals of 0.25 when (a) N
B
=0 and (b) N
B
=2.5
ϫ10
−5
.
TIME-DEPENDENT GAP HELE-SHAW CELL WITH A… PHYSICAL REVIEW E 69, 066312 (2004)
066312-3
face deformation grows sufficiently large that quantitative
accuracy of any perturbative approach is doubtful. However,
as discussed in detail by Gingras and Rácz [20] the linear
theory is still valid as long as the pattern interfaces do not
overlap. In plotting Figures 2(a) and 2(b) we have respected
such validity criterion.
Figure 2(b) depicts the interface evolution for the same
set of parameters used to plot Fig. 2(a), but now considering
the presence of a magnetic field with N
B
=2.5ϫ 10
−5
.Itis
evident that the magnetic field changes considerably the ul-
timate motion of the interface. We recall that the magnetic
terms in Eq. (3) grow exponentially with time, mimicking
the intrinsic tendency towards circularization exhibited in the
usual time-dependent gap Hele-Shaw flows with nonzero
surface tension [7]. The most noteworthy feature in Fig. 2(b)
is the absence of an imminent fission at the central droplet
region. This reinforces the possibility of inhibiting fissioning
instability formation with the external azimuthal magnetic
field.
B. Second order (weakly nonlinear stage)
To further investigate the suggestive possibility of inhib-
iting singularity formation by magnetic means, we turn our
attention to the weakly nonlinear terms in the mode-coupling
equation (3). The numerical simulations performed in Ref.
[7] for
=0 indicate that as the interface propagates inwards,
the penetrating fingers compete and the interface begins to
sharpen. During this process, the formation of interfacial
cusps are expected. The collision of the opposing interfaces
would result in a topological singularity, producing the in-
cipient breakup of the contracting droplet. Obviously, this
competition effect is intrinsically nonlinear and could not be
properly addressed by a purely linear stability analysis. To
get analytical insight about this situation, we use our weakly
nonlinear analysis to describe the competition process in lift-
ing cells, and study the role played by the magnetic field in
possibly avoiding the collision of the opposing interfaces.
Within our approach, finger competition is related to the
influence of a fundamental mode n, assuming n is even, on
the growth of its subharmonic mode n/2 [19]. As we have
pointed out at the beginning of this work, it has been shown
[15,19] that weakly nonlinear predictions of the Saffman-
Taylor problem at second-order show good agreement with
exact solutions for both zero and nonzero surface tension
cases. Moreover, it has also been found that this agreement is
obtained even when the weakly nonlinear evolution is de-
scribed by the coupling of a small number of Fourier modes
[15,19]. The inclusion of additional modes would certainly
result in a more accurate description of the interface shape,
but the basic growth mechanisms of the viscous fingering
process (spreading, splitting, and competition) can be fairly
well reproduced by using only a couple of relevant Fourier
modes. For the purposes of the finger competition mecha-
nism we propose in this work, the relevant modes are pre-
cisely n and n/2.
To simplify our discussion it is convenient to rewrite the
net perturbation
in terms of cosine ͓a
n
=
n
+
−n
͔ and sine
͓b
n
=i͑
n
−
−n
͔͒ modes. Without loss of generality we may
choose the phase of the fundamental mode so that a
n
Ͼ0 and
b
n
=0. From Eq. (3) we obtain the equations of motion for
the subharmonic mode
a
˙
n/2
= ͕͑n/2͒ + C͑n͒a
n
͖a
n/2
, ͑7͒
b
˙
n/2
= ͕͑n/2͒ − C͑n͒a
n
͖b
n/2
, ͑8͒
where the function
C͑n͒ =
1
2
ͫ
F
ͩ
−
n
2
,
n
2
ͪ
+ ͑n/2͒G
ͩ
n
2
,−
n
2
ͪ
ͬ
͑9͒
disciplines finger competition.
In Fig. 3 we plot C͑n͒ as a function of time for two values
of n. The solid (dashed) curves describe the behavior of C͑n͒
in the absence (presence) of the magnetic field. It is clear
from Fig. 3 that C͑n͒ഛ0. From Eqs. (7) and (8) we verify
that a negative C͑n͒ increases the growth of the sine subhar-
monic b
n/2
while inhibiting growth of its cosine subharmonic
a
n/2
. The result is an increased variability among the lengths
of fingers of the outer fluid penetrating into the ferrofluid.
This effect describes the competition of inward fingers.
When the magnetic field is absent (solid curves in Fig. 3),
C͑n͒ is a monotonically decreasing function of time, favor-
ing an ever increasing competition among the inward fingers,
that eventually would collide resulting in a topological insta-
bility, in agreement with the numerical predictions of Ref.
[7]. A completely different scenario is observed when the
magnetic field is nonzero (dashed curves): initially C͑n͒ de-
creases with increasing t, reaches a minimum value, and sub-
sequently increases as time advances. Eventually, C͑n͒ van-
ishes, meaning that the competition ceases due to the action
of the magnetic field. We have verified this behavior for all
values of nജ4. Our second-order findings suggest that the
azimuthal magnetic field acts to reduce the competition
FIG. 3. C͑n͒ as a function of time for modes n=6 (black curves)
and n=4 (gray curves). The magnetic Bond number is N
B
=0 ͑N
B
=2.5ϫ 10
−5
͒ for the solid (dashed) curves.
J. A. MIRANDA AND R. M. OLIVEIRA PHYSICAL REVIEW E 69, 066312 (2004)
066312-4
among inward fingers, ultimately preventing the occurrence
of interfacial singularities. These nonlinear observations are
consistent with our first-order predictions (Sec. III A), re-
garding the stabilizing role of the applied magnetic field.
Now, in addition to disciplining regular interfacial perturba-
tions, the magnetic field seems to be able to inhibit the for-
mation of singularities.
IV. CONCLUDING REMARKS
By employing a mode-coupling approach, we have found
analytic evidence that the introduction of a ferrofluid into a
lifting Hele-Shaw cell, subjected to an azimuthal applied
field, may provide a magnetically induced way to inhibiting
the formation of cusp and fissioning singularities in zero sur-
face tension flows. This field-regulated behavior is predicted
by our linear stability analysis, and reinforced by our weakly
nonlinear results.
We point out that the controlling mechanism we suggest,
and the specific predictions of our theoretical work, have not
yet been checked experimentally. Considering the fundamen-
tal importance of singularity formation to many problems in
fluid dynamics, we believe it would be of interest to experi-
mentalists to study the role of magnetic fields in disciplining
singular behavior in ferrofluids. An interesting possibility in
this direction would involve the development of experiments
in the time-dependent gap Hele-Shaw cell using phase-
separated ferrofluids [21–23], which are magnetic liquids
consisting of a phase rich in magnetic particles in suspension
in another phase poor in such particles. For these magnetic
fluids, it is known that near the critical point the surface
tension between the two coexisting phases can be very small,
tending precisely to zero at the critical point. Another possi-
bility would be performing lifting Hele-Shaw cell experi-
ments using miscible magnetic and nonmagnetic fluids
[24,25].
On the theoretical side, a quantitative test of our chief
results to fully nonlinear stages of interface evolution would
require the calculation of exact solutions, or the elaboration
of sophisticated numerical simulations capable of describing
non-Laplacian flows [7,26–28]. Of course, these theoretical
approaches should be appropriately adapted to characterize
accurately the behavior of a ferrofluid droplet under applied
magnetic field, in the zero surface tension limit. In conclu-
sion, we hope the present work will impel further (experi-
mental and theoretical) studies on this fruitful research topic,
which would allow the check of the predictions made by our
linear and weakly nonlinear analyses.
ACKNOWLEDGMENT
We thank CNPq (Brazilian Research Council) for finan-
cial support of this research.
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