( PDF ) Elementos de Geometria

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Euclides - Elementos de Geometria

Frederico Commandino

São Paulo: Edições Cultura, 1944

ISBN - Não indicado

Fonte: Biblioteca do Clube de Engenharia da Bahia

Obra digitalizada por: Neuziton Torres Rapadura - [email protected]

Colaboração voluntária

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S É R I E C I E N T Í F I C A

EUCLIDES

Elementos de Geometria

dos seis primeiros livros do undécimo

e duodécimo da versão latina de

FREDERICO COMMANDINO

Adicionados e Ilustrados

Por

ROBERTO SIMSON

Profº Matemática na Academia de Glasgow

REVISTOS P A R A

EDIÇÕES CULTURA

Por

ANÍBAL FARO

EDIÇOES CULTURA

AV. 9 DE JULHO, 872 e 878 (1º and.)

FONE: 402228 - SÃO I'AULO - BRASIL

1944

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PRIMEIRO LIVRO

DOS

ELEMENTOS DE GEOMETRIA DE EUCLIDES

EUCLIDES

DEFINIÇÕES.

Ponto é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza alguma.

Linha é o que tem comprimento sem largura.

III

As extremidades da linha são pontos.

Linha reta é aquela, que está posta igualmente entre as suas

extremidades.

Superfície é o que tem comprimento e largura.

As extremidades da superfície são linhas.

VII

Superfície plana é aquela, sobre a qual assenta toda uma tinha reta entre

dois pontos quaisquer, que estiverem na mesma superfície.

VIII

Ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em

uma superfície plana, sem estarem em direitura uma com outra.

Ângulo plano retilíneo é a inclinação recíproca de duas linhas retas, que

se encontram, e não estão em direitura uma com outra.

Se alguns ângulos existirem no mesmo ponto B (Fig. 1.), cada um deles

vem indicado com três letras do alfabeto; e a que estiver no vértice do ângulo,

isto é, no ponto, no qual se encontram as retas que formam o ângulo, põe-se

no meio das outras; e destas uma está posta perto de uma das ditas retas, em

alguma parte, e a outra perto da outra linha. Assim () ângulo feito pelas retas

AB, CB representar-se-á com as letras ABC, ou CBA; o ângulo formado pelas

retas AB, DB, com as letras ABD, ou DBA; e o ângulo que fazem as retas DB,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 4

EUCLIDES

CB, com as letras DBC, ou CBD. Mas se um ângulo estiver separado de outro

qualquer, poder-se-á marcar com a mesma letra, que estiver no vértice, como

o ângulo no ponto E (Fig. 2.)

Quando uma linha reta, caindo sôbre outra. linha reta, fizer com esta dois

ângulos iguais, um de uma, e outro de outra parte, cada um dêstes ângulos

iguais se chama ângulo reto; e a linha incidente se diz perpendicular a outra

linha; sôbre a qual cai (Fig. 3.).

Ângulo obtuso é o que é maior, que o ângulo reto (Fig. 4.).

XII

Ângulo agudo é o que é menor, que o ângulo reto (Fig. 5.)_

XIII

Têrmo se diz aquilo, que é extremidade de alguma cousa.

XIV

Figura é um espaço fechado por um ou mais têrmos.

Círculo é uma figura plana fechada por uma só linha, a qual se chama

circunferência: de maneira que tôdas as linhas retas, que de um certo ponto

existente no meio da, figura, se conduzem para a circunferência, são iguais

entre si (Fig. 6.).

XVI

O dito ponto se chama centro do círculo.

XVII

Diâmetro do círculo é uma linha reta, que pas.sa pelo centro, e que se

termina por ambas as partes na circunferência.

XVIII

Semicírculo é uma figura compreendida entre o diâmetro e aquela parte

da circunferência do círculo, que é cortada pelo diâmetro.

XIX

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 5

EUCLIDES

Segmento de círculo é uma figura compreendida entre uma linha reta, e

uma porção da circunferência.

Figuras retilíneas são as que são formadas com linhas retas.

XXI

As triláteras são aquelas, que são formadas com três linhas retas.

XXII

As quadriláteras são aquelas, que são feitas por quatro linhas retas. .

XXIII

Ás multiláteras são as que são feitas por mais de quatro linhas retas.

XXIV

Entre as figuras triláteras o triângulo eqüilátero é o que tem os três lados

iguais (Fig. 7.).

XXV

Triângulo isósceles é o que tem dois lados iguais (Fig. 8.).

XXVI

Triângulo escaleno é o que tem os três lados desiguais

(Fig. 9.).

XXVII

Triângulo retângulo é o que tem um ângulo reto (Fig. 10.).

XXVIII

Triângulo obtusângulo é o que tem um ângulo obtuso (Fig. 11.).

XXIX

O triângulo acutângulo é o. que tem todos os ângulos agudos (Fig. 12.).

XXX

Entre as figuras quadriláteras, o quadrado é o que é juntamente

eqüilátero e retângulo (Fig. 13.).

XXXI

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 6

EUCLIDES

E a figura, que de uma parte, fôr mais comprida, pode ser retângula, mas

não eqüilátera (Fig. 14.).

XXXII

Mas o rombo é uma figura eqüilátera, e não retângula

(Fig. 15.).

XXXIII

Romboide é uma figura, que tendo os lados opostos iguais, nem é

eqüilátera, nem eqüiângula (Fig. 16.).

XXXIV

Tôdas as mais figuras quadriláteras, que não são as referidas, se chamam

trapézios.

XXXV

Linhas paralelas, ou eqüidistantes são linhas retas, que existindo no

mesmo plano, e sendo produzidas de ambas as partes, nunca se chegam a

tocar (Fig. 17.).

POSTULADOS.

Pede-se, como cousa possível, que se tire de um ponto qualquer para

outro qualquer ponto uma linha reta.

E que uma linha reta determinada se continue em direitura de si mesma,

até onde seja necessário.

III

E que com qualquer centro e qualquer intervalo se descreva um círculo.

AXIOMAS

As cousas, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si.

Se a cousas iguais se juntarem outras iguais, os todos serão iguais.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 7

EUCLIDES

III

E sé de cousas iguais se tirarem outras iguais, os restos serão iguais.

E se a cousas desiguais se juntarem outras iguais, os todos serão

desiguais.

E se de, cousas desiguais se tirarem cousas iguais, os restos serão

desiguais.

As quantidades, das quais cada uma por si faz o dôbro de outra

quantidade, são iguais.

VII

E aquelas, que são metades de uma mesma quantidade, são também

iguais.

VIII

Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra; são

iguais.

O todo é maior do que qualquer das suas partes.

Duas linhas retas não compreendem espaço.

Todos os ângulos retos são, iguais.

XII

E se uma linha reta, encontrando-se com outras duas retas, fizer os

ângulos internos da mesma parte menores que dois retos, estas duas retas

produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos ditos ângulos

internos. (Veja-se a nota sôbre a proposição 29 do livro I).

Êstes sinais =, >, <, de que os matemáticos usam freqüentemente,

servem para maior brevidade.

o sinal = significa que o primeiro têrmo é igual ao segundo.

> que o primeiro têrmo é maior que o segundo.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 8

EUCLIDES

< que o primeiro têrmo é menor que o segundo.

Assim A = B significa, que A é igual a B.

A>B que A é maior que B.

A<B que A é menor que B.

PROPOSIÇÃO I. PROBLEMA.

Sôbre uma linha reta determinada descrever um triângulo

equilátero (Fig. 18.).

Seja a linha reta AB de um certo comprimento. Deve-se sôbre ela

descrever um triângulo eqüilátero.

Com o centro A, e com o intervalo AB se descreva (Postul. 3.) o círculo

BCD; e com o centro B, e com o intervalo BA se descreva o círculo ACE. Do

ponto C, onde os círculos se cortam reciprocamente, tirem-se (Post. 1.) para

os pontos A, B as retas CA, CR O triângulo ABC será equilátero. Sendo o ponto

A o centro do círculo BCD, será AC = AB (Def. 15.). E sendo o ponto B o

centro do círculo CAE, será BC = BA. Mas temos visto CA = AB. Logo, tanto

CA, como CB, é igual a AB. Mas as cousas, que são, iguais a uma terceira, são

iguais entre si (Ax. 1.). Logo, será CA = CB. Logo as três retas CA, AB, BC são

iguais; e por conseqüência, o triângulo ABC, feito sôbre a reta dada AB, é

eqüilátero.

PROP. II. PROB.

De um ponto dado tirar uma uma reta igual a outra reta

dada (Fig. 19.).

Seja dado o ponto A, e dada também a reta BC. Deve-sedo ponto A tirar

uma linha reta igual a reta dada BC.

Do ponto A para o ponto B tire-se (Post. 1.) a reta AB, e sôbre esta se

faça (Prop. 1.1.) o triângulo eqüilátero DAB; e produzam-se (Post. 2.) as retas

AE, BF em direitura das retas DA, DB. Com o centro B, e o intervalo BC

descreva-se (Post. 3.) o círculo CGH; e também com o centro D, e o intervalo

DG descreva-se o círculo GKL. Sendo o ponto B o centro do círculo CGH, será

BC = BG (Def. 15.). E sendo' D o centro do círculo GKL, será DL = DG. Mas as

partes DA, DB das retas DL, DG são iguais. Logo, tiradas estas, as partes

resíduas AL, BG serão também iguais (Ax. 3.). Mas temos demonstrado, que é

BC = BG. Logo cada uma das duas AL, BC será igual a BG. Mas as cousas

iguais a uma terceira, são iguais entre si. Logo será AL = BC; e por

conseqüência temos. tirado do ponto A a linha reta AL igual a outra dada BC.

PROP. III. PROB.

Dadas duas linhas retas desiguais, cortar da linha maior

uma parte igual à linha menor (Fig. 20.).

Sejam as duas retas desiguais AB, e C, e seja AB maior. Deve-se da reta

maior AB cortar uma parte igual à reta menor C.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 9

EUCLIDES

Do ponto A tire-se (Pr. 2.1.) a reta AD = C. Com o centro A, e o intervalo

AD descreva-se (Post. 3.) o círculo DEF. Porque o ponto A é o centro do círculo

EF, será AE = AD. Mas é também C = AD. Logo tanto AE, como C, será igual a

AD; e por conseqüência AE = C (Ax. 1.). Logo temos tirado da reta maior AB

uma parte igual à reta C<AB.

PROP. IV. TEOREMA.

Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados,

cada um a cada um, e os ângulos, compreendidos por êstes

lados, forem também iguais; as bases e os triângulos, e os mais

ângulos, que são opostos a lados iguais, serão também iguais

(Fig. 21.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, cujos lados AB, AC, DE, DF são

iguais, cada um a cada um, isto é, AB = DE, e AC = DF; e seja o ângulo BAC =

EDF. Digo, que a base BC é igual à base EF; e que o triângulo' ABC é igual ao

triângulo DEF; e que os outros ângulos do primeiro triângulo são iguais aos

outros do segundo, cada um a cada um, segundo ficam opostos a lados iguais;

isto é, o ângulo ABC = DEF, e ACB = DFE.

Considere-se pôsto o triângulo ABC sôbre o triângulo DEF, de sorte que o

ponto A caia sôbre o ponto D, e a reta AB sôbre a r.eta DE. O ponto B cairá

sôbre o onto E, por ser AB = DE. Ajustando-se pois AB sôbre DE, também a

reta AC se ajustará sôbre a reta DF, sendo o ângulo BAC = EDF. Logo sendo

AC = DF, o ponto C cairá sôbre o ponto F. Mas temos visto que B cai sôbre E.

Logo a base BC se ajustará sôbre a base EF. Porque se não se ajustarem,

caindo B em E, e C em F, se seguirá, que duas linhas retas compreendem um

espaço, o que não pode ser (Ax. 10.). Logo a base BC deve-se ajustar sôbre a

base EF, e por conseqüência são iguais. Logo todo o triângulo ABC se ajusta

sôbre todo o triângulo DEF, e assim são iguais; e os outros ângu!os do

primeiro triângulo também se ajustam sôbre os outros do,segundo e são

iguais; isto é, o ângulo ABC = DEF, e ACB = DFE.

PROP. V. TEOR.

Em qualquer triângulo isósceles os ângulos que estão sôbre

a base, são iguais e produzidos os lados iguais, os ângulos, que

se formam debaixo da base, são também iguais (Fig. 22.).

Seja o triângulo isósceles ABC com os lados iguais AB, AC, os quais sejam

produzidos para D e E. Digo, que será o ângulo ABC = ACB, e CBD = BCE.

Tome-se na reta BD um ponto qualquer F; e da reta AE>AF se corte (Pr.

3.1.) a parte AG = AF; e se tirem as retas PC, GB. Sendo AF = AG, e AB = AC;

as duas FA, AC serão iguais às duas GA, AB, cada uma a cada uma. E além

disto compreendem o ângulo comum F AG. Logo a base FC será igual (Pr.

4.1.) à base GB; e o triângulo AFC igual ao triângulo AGB; e os mais ângulos

iguais aos mais ângulos, cada um a cada um; isto é, os que são opostos a

lados iguais, como ACF = ABG, e AFC = AGB. E sendo AF = AG e AB = AC,

tirando AB de AF, e AO de AG, ficará BF = CG (Ax. 3.). Mas temos

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 10

EUCLIDES

demonstrado, que FC = GB. Logo as duas BF, FC são iguais às duas CG, GB,

cada uma a cada uma; e o ângulo BFC = CGE. Mas a base BC é comum aos

dois triângulos FBC, GCB. Logo êstes dois triângulos são iguais (Pr. 4.1.); e os

mais ângulos dêles, que forem opostos a lados iguais, são também iguais.

Logo será .() ângulo FBC = GCB e BCF = CBG. Assim sendo o ângulo total ABG

igual ao total ACF, como se tem demonstrado; e sendo CBG = BCF, tirando

QBG de ABG, e BCF de ACF, ficará o ângulo ABC = ACB, que são os ângulos

sôbre a base BC do triângulo isósceles ABC. E já se tem provado FBC = GCB,

que são os ângulos debaixo da base BC.

COROL. Disto se segue, que todo o triângulo equilátero é também

equiângulo.

PROP. VI. TEOR.

Se dois ângulos de um triângulo forem iguais, os dados

opostos a êstes ângulos iguais, serão também iguais (Fig. 28.).

Seja o triângulo ABC, e seja o ângulo ABC = ACE. Digo, que será AB =

AO.

Se não fôr AB = AC, uma destas duas retas será maior que a outra. Seja

AB a maior, e desta, que é maior, se corte (Pr. 3.1.) DB = AC, que é menor.

Tire-se a reta DC. Sendo DB = AC, e BC comum, serão as duas DB, BC iguais

às duas AC, CB, cada uma a cada uma. Mas é o ângulo DBC = ACB. Logo a

base DC será igual à base AB; e o triângulo DBC igual (Pr. 4.1.) ao triângulo

ACB, o que é absurdo, porque DBC é menor que ABC. Logo as retas AB, AC

não são desiguais, e por conseqüência deve ser AB = AC.

COROL. Desta proposição se infere que todo o triângulo eqüiângulo é

também eqüilátero.

PROP. VII. TEOR.

Sôbre a mesma base e da mesma parte não se podem

construir dois triângulos diferentes, que tenham os outros lados

iguais isto é, os dois, que partem de um mesmo têrmo da, base,

e os outros dois, que partem do outro, não podem ser iguais

(Fig. 24.).

Se é possível, estejam sôbre a mesma base AB, e da mesma parte os

dois triângulos ACB, ADB, que tenham tanto os lados CA, DA, como os lados

CB, DB, iguais entre si.

Tire-se a reta CD. Ou nenhum dos vértices dos triângulos cai dentro do

outro triângulo, ou um vértice de um triângulo está dentro do outro triângulo.

Primeiramente, nenhum vértice esteja dentro de um dos dois triângulos.

Sendo AC = AD, será ângulo ACD = ADC (Pr. 5.1.). Mas o ângulo ACD é maior

que o ângulo BCD. Logo será ADC>BCD, e por conseqüência BDC será muito

maior que BCD. Também Rendo CB = DB, será o ângulo BDC = BCD (Pr.

5.1.). Mas tem-se demonstrado BDC>BCD. Logo BDC será igual e maior ao

mesmo tempo, que BOD, o que não pode ser.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 11

EUCLIDES

Agora o vértice D do triângulo ADB esteja dentro do outro triângulo ACB

(Fig. 25). Produzam-se as retas AC, AD para os pontos E, F. Sendo AC = AD

serão os ângulos ECD, FDC, que são debaixo da base CD, iguais (Pr. 5.1.). Mas

é o ângulo ECD>BCD. Logo será FDC>BCD, e BDC será muito maior que BCD.

E porque é CB = DB, será BDC = BCD (Pr. 5.1.). Mas temos visto ser

BDC>BCD. Logo BDC será igual e maior ao mesmo tempo, que BCD, o que é

igualmente absurdo. Suposto que um vértice de um triângulo caia sôbre um

lado do outro triângulo, não há mister demonstração alguma.

PROP. VIII. TEOR.

Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados,

cada um a cada um, e as bases também iguais; os ângulos,

compreendidos pelos lados iguais, serão também iguais (Fig.

26.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, e seja o lado AB = DE, e AC = DF, e

também a base BC = EF outra base. Digo, que será o ângulo BAC = EDF.

Pôsto o triângulo ABC sôbre o triângulo DEF de sorte que o ponto B caia em E,

e a reta BC sôbre a reta EF, também o ponto C deve cair sôbre o ponto F, por

ser BC = EF; e assim ajuntando-se BC com EF, as duas BA, AC se ajustarão

com as duas ED, DF. E se, ajustando-se a base BC sôbre a base EF, quisermos

que os lados BA, AC se não ajustem sôbre os lados ED, DF, mas tenham outro

lugar, como EG, GF, poder-se-ão construir sôbre a mesma base e da mesma

parte dois triângulos, cujos lados, partindo de uma e outra extremidade da

base comum, sejam iguais. Mas isto é impossível (Pr. 7.1.). Logo se a base BC

se ajusta sôbre a base EF, os lados BA, AC devem-se ajustar sôbre os lados

ED DF, e por conseqüência o ângulo BAC sôbre o ângulo EDF. Logo será BAC =

EDF (Ax. 8.).

PROP. IX. PROB.

Dividir em duas partes iguais um ângulo retilíneo dado (Fig.

27.).

Seja dado o ângulo retilíneo BAC. Deve-se dividir êste ângulo em duas

partes iguais.

Tome-se na reta AB qualquer ponto D, e da reta AC corte-se (Pr. 3.1.) a

parte AE = AD; e tirada a reta DE, sôbre esta se faça (Pr. 1.1.). o triângulo

eqüilátero DE:B', e se tire AF. Digo, que o ângulo BAC fica dividido em duas

partes iguais pela reta AF. Sendo AD = AE e AF comum; nos dois triângulos

FDA, FEA os dois lados DA, AF serão iguais aos dois lados EA, AF, cada um a

cada um. Mas é a base DF = EF outra base. Logo, será o ângulo DAF = EAF

(Pr. 8.1.); e por conseqüência o ângulo retilíneo dado BAC fica dividido pela

reta AF em duas partes iguais.

PROP. X. PROB.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 12

EUCLIDES

Dividir em duas partes iguais uma linha reta de um

comprimento dado (Fig. 28.).

Seja dada a linha reta determinada AB. É preciso dividi-Ia em duas partes

iguais.

Faça-se (Pr. 1.1.) sôbre a reta dada AB o triângulo eqüilátero ABC; e com

a reta CD se divida (Pr.9 .1.) em duas metades o ângulo ACB. Digo, que a reta

AB fica dividida em duas partes iguais no ponto D.

Porque sendo AC = CB, e CD comum, serão as duas AC, CD, iguais às

duas BC, CD, cada uma a cada uma. Mas é o ângulo ACD = BCD. Logo será

(Pr. 4.1.) a base AD = DB outra base. Logo temos dividido a reta determinada

AB em duas partes iguais no ponto D.

PROP. XI. PROB.

De um ponto dado em uma linha reta dada levantar uma

perpendicular sôbre a mesma reta dada (Fig. 29.).

Seja dada a reta AB, e nela o ponto C. Deve-se do ponto O levantar uma

perpendicular sôbre a reta ÁB.

Tome-se na reta AC qualquer ponto D, e ponha-se OE = OD (Pr. 3.1.), e

sôbre DE faça-se (Pr. 1.1.) o triângulo eqüilátero DFE. Tire-se finalmente a

reta FC. Digo, que FC é perpendicular sôbre a dada AB no ponto C.

Por ser DC =CE, e FC comum; as duas DC, CF serão iguais às duas EC,

CF, cada uma a cada uma. Mas é a base DF = FE outra base. Logo será o

ângulo DCF = ECF (Pr. 8.1.) ; .e êstes ângulos são formados um de uma, e

outro de outra parte da mesma linha. Mas quando uma reta,' caindo sôbre

outra, faz os ângulos de ambas as partes iguais entre si, êstes ângulos são

retos (Def. 10.). Logo os ângulos DCF, FCE são retos, e assim temos levantado

a perpendicular FC sôbre a reta dada AB, e do ponto dado C.

COROL. Com isto podemos demonstrar que duas linhas retas não podem

ter um segmento comum (Fig. 30.).

Tenham as duas retas ABC, ABD, se é possível, o segmento comum AB.

Do ponto B levante-se a perpendicular BE sôbre AB. Porque ABC é uma linha

reta, será o ângulo CBE = EBA (Def. 10.). Do mesmo modo sendo ABD uma

linha reta, será o ângulo DBE = EBA. Logo será DBE = CBE,isto é, um ângulo

menor igual a um maior, o que não pode ser. Logo duas linhas retas não

podem ter um segmento comum.

PROP. XII. PROB.

Conduzir uma perpendicular sôbre uma linha reta dada

indefinita de um ponto dado fora dela (Fig. 81.).

Seja dada a linha reta AB, e fora dela o ponto C. Devese do ponto C

conduzir uma perpendicular sôbre a reta AB.

Da outra parte da reta AB tome-se um ponto qualquer D, e com o centro

C, e o intervalo CD descreva-se (Post. 3.) o círculo EGF, que corte a reta AB

nos pontos F, G; e a reta FG se. divida pelo meio (Pr. 10.1.) no ponto H, e

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 13

EUCLIDES

tirem-se as retas CF, CH, CG. Digo, que a reta CH é perpendicular sôbre a reta

indefinita AB.

Sendo FH = HG, e HC comum, as duas FH, HC serão iguais às duas HG,

HC, cada uma' a cada uma. Mas é a base CF = CG (Def. 15.) outra base. Logo,

será o ângulo CHF = CHG (Pr. 8.1.), e por conseqüência êstes ângulos, sendo

adjacentes à mesma linha CH, serão retos, e a reta CH, que parte do ponto C,

será perpendicular sôbre a reta dada indefinita AB, como se pedia.

PROP. XIII. TEOR.

Uma linha reta, caindo sôbre outra linha reta, faz com esta

ou dois ângulos retos, ou dois ângulos iguais a dois retos (Fig.

32. 33.).

Caia a reta AB sôbre a reta CD, fazendo com esta os dois ângulos CBA,

ABD. Digo, que os ângulos CBA, ABD, ou são dois retos, ou são iguais a dois

retos.

Porque se fôr o ângulo CBA = ABD (Fig. 32.), claro está que são retos

(Def. 10.). E quando assim não seja: do ponto B (Fig. 33.) levante-se (Pr.

11.1.) sôbre CD a perpendicular BE. Logo os ângulos CBE e EBD são dois

retos. E porque o ângulo CBE é igual aos dois CBA, ABE, ajuntando de uma e

outra parte o mesmo ângulo EBD, serão os dois, CBE, EBD iguais aos três

CBA, ABE, EBD (Ax. 2.). Também, sendo o ângulo DBA igual aos dois DBE,

EBA, ajuntando de ambas as partes o ângulo comum ABC, serão os dois DBA,

ABC iguais aos três DBE, EBA, ABC. Mas êstes três ângulos são iguais aos dois

CBE, EBD; e as quantidades, que são iguais a uma terceira, são iguais entre si

(Ax. 1.). Logo. os dois ângulos CBE, EBD são iguais aos dois DBA, ABC.

Mas CBE, EBD são dois retos. Logo os dois ângulos DBA, ABC são iguais a

dois retos.

PROP. XIV. TEOR.

Se em um ponto de uma linha reta qualquer concorrerem

de partes opostas duas retas, fazendo com a primeira reta os

ângulos adjacentes iguais a dois retos, as retas, que concorrem

para o dito ponto, estarão em direitura uma da outra (Fig. 34.).

No ponto B da linha reta AB concorram de partes opostas; as duas BC,

BD, fazendo com a reta AB os ângulos adjacentes ABC, ABD iguais a dois

retos. Digo, que BD está em direitura de CB.

Se BD não está em direitura de CB, esteja-o BE, de sorte que CBE seja

uma só linha reta. Caindo a reta AB sôbre a reta CBE, os ângulos ABC, ABE

serão iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Mas também são iguais a dois retos os

ângulos ABC, ABD. Logo os dois ângulos CBA, ABE são iguais aos dois CBA,

ABD. Logo tirando de uma e outra parte o ângulo comum CBA, ficará o ângulo

ABE = ABD (Ax. 3.) ; isto é, um ângulo menor igual a um maior, o que não

pode ser. Logo a reta BE não está em direitura com BC. O mesmo se pode

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 14

EUCLIDES

demonstrar de qualquer outra reta fora de BD. Logo, as retas CB, BD estão em

direitura.

PROP. XV. TEOR.

Se duas linhas retas reciprocamente se cortarem, farão os

ângulos verticalmente opostos iguais entre si (Fig. 35.).

Cortem-se as duas retas AB, CD reciprocamente no ponto E. Digo, que

será o ângulo AEC = DEB, e OEB = AED.

Porque a reta AE cai sôbre a reta CD, serão os ângulos CEA, AED iguais a

dois retos (Pr. 13.1.). Do mesmo modo, caindo DE sôbre AB, serão também os

ângulos AED, DEB iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, os ângulos CEA, AED

são iguais aos ângulos AED, DEB. Logo, tirando de' uma parte e outra o

comum AED, ficará CEA = BED.

Com a mesma demonstração se prova ser CEB = AED.

COROL. 1. Disto se pode deduzir, que quando duas retas se cortam,

fazem quatro ângulos iguais a quatro retos.

COROL. 2. E que todos os ângulos ao redor de um mesmo ponto são

iguais a quatro retos.

PROP. XVI. TEOR.

Produzido um lado qualquer de qualquer triângulo, o ângulo

externo sempre é maior que cada um dos ângulos internos e

opostos (Fig. 36.).

Seja o triângulo ABC, cujo lado BC seja produzido para a parte D. Digo,

que o ângulo externo ACD é maior que 'qualquer dos internos e opostos CBA,

BAC.

Divida-se o lado AC em duas partes iguais (Pr. 10.1) no ponto E; e tirada

a reta BE, esta se continue até F de sorte que seja BE = EF. Tire-se FC, e o

lado AC seja produzido para G. Sendo AE = EC, e BE = EF, as duas AE, EB

serão Iguais às duas CE, EF, cada uma a cada uma. Mas é o angulo AEB = CEF

(Pr. 15.1), por serem êstes ângulos verticalmente opostos. Logo, a base AB é

igual à base CF; e o triângulo AEB igual ao triângulo CEF; e os mais ângulos

iguais aos mais ângulos. (Pr. 4.1), cada um a cada um, segundo ficam opostos

a lados iguais. Logo será o ângulo BAE = ECF. Mas é o ângulo ECD>ECF. Logo,

será também ACD>BAE. Com o mesmo discurso, dividido pelo meio o lado BC,

se demonstra ser o ângulo BCG, isto é, ACD>ABC (Pr. 15.1.).

PROP. XVII. TEOR.

Dois ângulos de um triângulo qualquer, tomados de

qualquer modo que se quiser, são menores que dois retos (Fig.

37.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 15

EUCLIDES

Seja o triângulo ABC. Digo, que dois ângulos quaisquer do triângulo ABC,

tomados juntamente, são menores que dois retos.

Produza-se BC para D. Sendo no triângulo ABC o ângulo externo A CD

maior (Pr. 16.1.) que o ângulo interno e oposto ABC; se a um e outro se

ajuntar o ângulo comum ACB, os ângulos ACD, ACB juntos serão maiores que

os ângulos ABC, ACB. Mas ACD, ACB são iguais a dois retos (Pr. 13.1.).

Logo, os dois ângulos ABC, BCA são menores que dois retos. Do mesmo

modo podemos demonstrar serem os ângulos BAC, ACB e os ângulos CAB,

ABC menores que dois retos.

PROP. XVIII. TEOR.

Em qualquer triângulo, o lado maior opõe-se ao ângulo maior

(Fig. 38.).

Seja o triângulo ABC, e seja o lado AC>AB. Digo que o ângulo ABC>BCA.

Sendo AC>AB, poderá tomar-se AD = AB (Pr. 3.1.).

Tire-se a reta BD. Porque no triângulo BDC o ângulo externo> ADB é

maior que o ângulo interno e oposto BCD (Pr. 16.1.) ; e é ADB = ABD, por ser

AB = AD (Pr. 5.1.); será o ângulo, ABD>ACB, e por conseqüência ABC muito

maior que ACB.

PROP. XIX. TEOR.

Em qualquer triângulo o ângulo maior fica oposto ao lado

maior (Fig. 39.).

Seja o triângulo ABC, e seja o ângulo ABC>BCA. Digo, que é o lado

AC>AB.

Se AC não é maior, será ou igual, ou menor, que AB. Mas não é igual,

porque seria ABC = ACB (Pr. 5.1.), contra a suposição. Logo não é AC = AB.

Também não pode ser AC<AB, porque seria ABC<ACB (Pr. 18.1.), contra a

hipótese. Logo, não é AC<AB. Logo, segue-se ser AC>AB.

PROP. XX. TEOR.

Em qualquer triângulo dois lados, tomados de qualquer

modo que se quiser, são maiores que o terceiro (Fig. 40.).

Seja o triângulo ABC. Digo que dois quaisquer lados do triângulo ABC são

maiores que o terceiro; isto é, os lados BA, AC são maiores que o lado BC; os

lados AB, BC são maiores que o lado AC: e os lados BC, CA são maiores que' o

lado AB.

Produza-se BA, para D, e posta AD = CA (Pr. 3.1.), tire-se a reta DC.

Sendo DA = AC, será o ângulo ADC = ACD (Pr. 5.1.). Mas é BCD>ACD. Logo,

será BÚD> ADC. E porque no triângulo DCB é o ângulo BCD>BDC; e' ao

ângulo maior fica oposto o lado também maior (Pr. 19.1.), será o lado DB

>BC. Mas DB é igual aos dois lados juntos ,BA, AC. Logo os dois lados BA, AC

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 16

EUCLIDES

são maiores que O lado BC. Do mesmo modo se prova que os lados AB, BC

são maiores que o lado CA; e que os lados BC, CA são maiores que o lado AB.

PROP. XXI TEOR.

Se sôbre os extremos de um lado de um triângulo estiverem

postas duas retas dentro do mesmo triângulo, estas serão

menores que os outros dois lados do triângulo, mas

compreenderão um ângulo maior do que o ângulo que fica oposto

ao lado, sôbre cujos extremos estão postas as ditas retas (Fig.

41.).

Sôbre os extremos B, C do lado BC do triângulo ABC estejam postas as

retas BD, DC dentro do mesmo triângulo ABC. Digo que as retas BD, DC são

menores que os outros lados dos triângulos BA, AC; mas que o ângulo BDC é

maior que o ângulo BAC.

Produza-se BD até E. Porque dois quaisquer lados de um triângulo são

maiores que o terceiro (Pr. 20.1.) ; serão os dois lados BA, AE do triângulo

ABE maiores que o lado BE. Ajunte-se a uma e outra parte a reta EC. Logo,

BA, ACserão maiores (Ax. 4.) que BE, EC. E porque, no triângulo CED, os dois

lados CE, ED fião maiores que o lado, CD, ajuntando 1.1. comum DB, serão as

duas CE, EB maiores (Ax. 4.) que as duas CD, DB; e por conseqüência BA, AC

serão muito maiores que BD, DC.

E porque em qualquer triângulo o ângulo externo é maior que o interno e

oposto (Pr. 16.1.), no triângulo CDE será o angulo externo BDC> CDB. Pela

mesma razão, no triângulo ABE deve ser o ângulo CEB>BAC, e por

conseqüência será o ângulo BDC muito maior que o ângulo BAC.

PROP. XXII. PROB.

Construir um triângulo com três linhas retas iguais a três

outras dadas, entre as quais duas, tomadas como se quiser,

sejam sempre maiores que a terceira (Fig. 42.).

Sejam dadas as três retas A, B, C, das quais duas tomadas como se

quiser, sejam maiores que a terceira, isto é, as duas A, B>C; as duas A, C>B;

e as duas B, C>A (Pr. 20.1.). Deve-se formar um triângulo de três lados iguais

às três retas dadas A, B, C.

Tire-se de qualquer ponto D uma reta infinita DE, e ponha-se (Pr. 3.1.)

DF = A; FG = B; e GH = C. Com o centro F, e o intervalo FD descreva-se

(Post. 3.) o círculo DKL; e com o centro G, e o intervalo GB descreva-se o

círculo KLH. Tirem-se as retas KF, KG. Digo que o triângulo KFG é o que se

pede.

Sendo o ponto F o centro do círculo DKL, será FD = FK (Def, 15.). Mas é

FD = A. Logo será FK = A. E sendo Q ponto G o centro do círculo LKH, será GH

= GK. Mas é GH = C. Logo, será GK = C.Mas se tem tomado FG = B. Logo, as

três retas KF, FG, GK são iguais às três dadas, A, B, C, e o triângulo KFG é o

que se pedia.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 17

EUCLIDES

PROP. XXIII. PROB.

Em um ponto de uma linha reta dada formar 1tm ângulo

retilíneo igual a outro ângulo retilineo dado (Fig. 43.).

Seja dada a reta AB, e nela o ponto A; e seja dado o ângulo retilíneo

DCE. Deve-se formar no ponto A, e com a reta dada AB um ângulo retilíneo

igual ao ângulo proposto DCE.

Tomados os pontos D, E, como se quiser, nos lados do ângulo DCE, tire-

se a reta DE; e com três lados, que sejam iguais às três retas CD, DE, EC,

faça-se (Pr. 22.1.) o triângulo AFG, e seja CD = AF, CE = AG, e DE = FG.

Digo, que o ângulo F AG será igual ao proposto DCE. Porque as duas DC, CE

são iguais às duas F A, AG, cada uma a cada uma, e a base DE = FG outra

base; será o ângulo DOE = F AG (Pr. 8.1. ). Logo, com a reta dada AB, e no

ponto A temos feito o ângulo retilíneo FAG igual ao ângulo retilíneo dado DCE.

PROP. XXIV. TEOR.

Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada

um a cada um, e um dos ângulos compreendidos pelos lados

iguais fôr maior, e o outro menor, a base, que estiver oposta ao

ângulo maior, será maior que a outra base oposta ao âng1tlo

menor (Fig. 44.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, que tenham os lados AB, AC iguais

aos lados DE, DF, cada um a cada um, isto é, o lado AB = DE, e AC = DF; e

seja o ângulo BAC>EDF. Digo que será também a base BC>EF, que é a outra

base.

Seja DE não maior que, DF. Com a reta DE e no ponto D faça-se (Pr.

23.1.) o ângulo EDG = BAC; e posta DG = DE (Pr. 3.1.), tirem-se as retas EG,

GF. Sendo AB = DE, e AC = DG, serão as duas BA, AC, iguais às duas ED, DG,

cada uma a cada uma. Mas é o ângulo BAC = EDG. Logo, será a base BC = EG

outra base (Pr. 4.1.). E sendo DG = DF, será o ângulo DFG = DGF (Pr. 5.1.).

Mas é o ângulo DGE>DGF. Logo será o ângulo DEG>EGF. Logo, o ângu]o EFG

é muito maior que o ângulo EGF. E porque ,no triângulo EFG é o ângulo

EFG>EGF; e ao ângulo maior fica oposto o lado também maior (Pr. 19.1), será

o lado EG>EF. Mas é EG = BC. Logo será BC>EF.

PROP. XXV. TEOR.

Se em dois triângulos forem dois lados de um iguais a dois

lados do outro, cada um a cada um, e fôr a base de um triângulo

maior que a base do outro; aquêle dos ângulos compreendidos

pelos lados iguais, que ficar oposto à base maior, será maior que

o outro oposto à base menor (Fig. 45.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, que tenham. os l/1dOfj AB, AC iguais

aos lados DE, DF, cada uma a cada um, iHLn é, AB = DE, e AC = DF, e seja a

base BC>EF. Digo fll'" será o ângulo BAC>EDF.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 18

EUCLIDES

Se não é BAC>EDF, será ou igual, ou, menor. Mas não podo ser 13AC =

EDF, porque seria BC = EF (Pr. 4.1.) contra o que temos suposto. Logo não é

BAC = EDF. Mas nem pode ser BAC<EDF, porque seria BO<EF (Pr. 24.1.)

contra a hipótese. Logo não é BAC<EDF; e por conseqüência deve ser

BAC>EDF.

PROP. XXVI. TEOR.

Se em dois triângulos dois ângulos de um forem iguais a

dois ângulos do outro, cada um a cada um, e um lado do

primeiro igual a um lado do outro, e forem êstes lados ou

adjacentes, ou opostos a ângulos iguais, os outros lados dos

dois triângulos serão iguais aos outros lados cada um a cada

um; e também o terceiro ângulo será igual ao terceiro (Fig. 46.).

Sejam os dois triângulos ABO, DEF, que tenham os ângulos ABO, BOA

iguais aos ângulos DEF, EFD, cada um a cada um, isto é, ABO = DEF, e BCA =

EFD; e tenham um lado igual a um lado, e sejam êstes lados em primeiro,

lugar adjacentes a ângulos iguais, isto é, BC = EF. Digo que os outros lados

são iguais aos outros lados, cada um a cada um, isto é, AB = DE, e AC = DF; e

o ângulo BAC = EDF outro ângulo.

Se AB, DE não são retas iguais, uma delas sera maior. Seja AB maior.

Ponha-se BG = DE, e tire-se a reta GC. Sendo BG =DE, e BC = EF, as duas

GB, BC serão iguais às duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas é o ângulo

GBO = DEF. Logo será a base GO = DF outra base (Pr. 4.1.); e o triângulo

GBC = DEF outro triângulo; e os outros ângulos opostos a lados iguais serão

respectivamente iguais entre si. Logo será o ângulo GCB = DFE. Mas temos

posto DFE = BCA. Logo será o ângulo BCG = BCA, isto é, um ângulo menor

igual a um maior, o que não pode ser, e por consequência AB, DE não são

desiguais. Logo são iguais. Mas é BC = EF. Logo as duas AB, BC são iguais às

duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas é também o ângulo ABC = DEF.

Logo, será a base AC = DF, que é a outra base, e o ângulo BAC = EDF (Pr.

4.1.).

Sejam agora iguais os lados (Fig. 47.), que ficam opostos a ângulos

iguais, isto é, seja AB = DE. Digo outra vez que os outros lados são iguais aos

outros lados, isto é, AO= DF, e BO = EF; e também que é o ângulo BAC =

EDF.

Se as retas BO, EF não são iguais, uma delas será maior que a outra.

Seja BC, se é possível, a maior; e posta BH = EP, tire-se a reta AH. Sendo BH

= EF, e AB = DE, as duas AB, BH serão iguais às duas DE, EF, cada uma a

cada uma. Mas os ângulos feitos por estas retas são iguais. Logo, a base AH

será igual à base DF; e o triângulo ABH igual ao triângulo DEF; e os outros

ângulos iguais aos outros ângulos, segundo ficam opostos a lados iguais. Logo,

será o ângulo BHA. = EFD. Mas pela hipótese é EFD = BCA. Logo será BHA =

BCA; isto é, o ângulo externo BHA do triângulo AHC será igual ao interno e

oposto BCA, o que não pode ser (Pr. 16.1.). Logo, as retas BC, EF não são

desiguais. Logo, são iguais. Mas é AB = DE. Logo, as duas AB, BC são iguais

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 19

EUCLIDES

às duas DE, EF, cada uma a cada uma. Mas os ângulos feitos por elas são

iguais. Logo, é a base AC = DF outra base, e o ângulo BAC = EDF.

PROP. XXVII. TEOR.

Se uma reta, cortando outras duas retas, fizer com elas os

ângulos alternos iguais, as mesmas duas retas serão paralelas

(Fig. 48.).

A reta EF corte as outras duas AB, CD e faça com elas os ângulos alternos

AEF, EFD iguais. Digo, que AB, CD são duas paralelas.

Se AB, CD não são paralelas, produzidas hão de concorrer ou para as

partes B, D, ou para as partes A, C. Produzam-se, e concorram para as partes

B, D no ponto G. Logo, no triângulo GEF, deve ser o ângulo externo AEF>EFG,

flue é o interno e oposto (Pr. 16.1.). Mas, pela hipótese, era AEF = EFG, o que

já não pode ser. Logo, as duas retas AB, CD produzidas para as partes B, D

não concorrem. Do mesmo modo se demonstrará, que nem podem concorrer

para ns partes A, C. Mas as linhas retas, que produzidas nunca concorrem nem

para uma, nem para outra parte, são paralelas (Def. 35.). Logo, as duas retas

AB, CD são paralelas.

PROP. XXVIII. TEOR.

Se uma reta cortar outras duas, e fizer o ângulo externo

igual ao interno e oposto da mesma parte; ou também os dois

internos da mesma parte iguais a dois retos, as mesmas retas

serão paralelas (Fig. 49.).

A reta EF corte as duas AB, CD, e faça o ângulo externo EGB = GRD, que

é o interno e oposto da mesma parte; ou faça os dois internos da mesma

parte BGR, GRD iguais a dois retos. Digo que as retas AB, CD são paralelas.

Sendo o ângulo EGB = GHD, e EGB = AGH (Pr.15.1.), será AGH = GHD.

Mas são alternos. Logo AB será paralela a CD (Pr. 27.1.). E porque os ângulos

BGH, GHD são iguais a dois retos, pela hipótese e também os ângulos AGH,

BGH são iguais a dois retos (Pr. 13.1.), os dois AGH, BGH serão iguais aos dois

BGH, GHD. Logo, tirando o ângulo comum BGH, ficará AGH = GHD. Mas são

alternos. Logo, as duas retas AB, CD são paralelas.

PROP. XXIX. TEOR.

Uma linha reta, que corta duas retas paralelas, faz os ângulos

alternos iguais entre si o ângulo externo igual ao interno e

oposto da mesma parte, e finalmente os internos da mesma

parte iguais a dois retos (Fig. 49.).

A linha reta EF corte as duas AB, CD, paralelas. Digo que fará com elas os

ângulos alternos AGH, GHD iguais; e que o angulo externo EGB será igual ao

interno e oposto da mesma parte GHD e que os internos e da mesma parte

BGH, GHD serão iguais a dois retos.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 20

EUCLIDES

Se não fôr o ângulo AGH = GHD, um será maior que o outro. Seja AGH o

maior. Sendo AGH>GHD, se ajuntarmos a uma é outra parte o mesmo ângulo

BGR, os ângulos AGH, BGH serão maiores que os ângulos BGH e GHD.Mas os

ângulos AGH, BGH são iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, os ângulos BGH,

GHD são menores que dois retos. Mas as retas, que com outra fazem os

ângulos internos da mesma parte menores que dois retos, produzidas ao

infinito finalmente concorrem (Ax. 12.). Logo, as retas AB, CD, produzidas ao

infinito, concorrem entre si. Mas isto não pode suceder, porque são paralelas.

Logo, os ângulos AGH, GHD não são desiguais, e por conseqüência será AGH =

GHD. Mas é também AGH = EGB (Pr. 15.1.). Logo, será EGB = GHD. Ajunte-

se-lhes o mesmo ângulo BGR j serão os ângulos EGB, BGH iguais aos ângulos

BGI:I, GHD. Mas EGB, BGR são iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, também

os ângulos BGH, GHD são iguais a dois retos (Vej. as noto a esta Prop.).

PROP. XXX. TEOR.

As linhas retas, que são paralelas a uma mesma linha reta,

são paralelas entre si (Fig. 50.).

Sejam as retas AB, CD paralelas à mesma reta EF. Digo que as retas AB,

CD são paralelas entre si.

A reta GHK corte as três retas AB, EF, CD nos pontos G, H, K. Porque a

reta GK corta as duas paralelas AB, EF em G, e H, será o ângulo AGH = GHF

(Pr. 29.1.). E porque a mesma reta GK corta as paralelas EF, CD em H, e K,

será também o ângulo GHF = GKD. Mas temos visto ser AGK = GHF. Logo,

será AGK =GKD. Mas são os ângulos alternos. Logo, as retas AB, CD são entre

si paralelas (Pr. 27 . 1. ).

PROP. XXXI. PROB.

De um ponto dado conduzir uma linha reta paralela a outra

linha reta dada (Fig. 51.).

Seja o ponto A, e a reta BC. Deve-se do ponto A conduzir uma linha reta,

que seja paralela à reta BC.

Tome-se na reta BC um qualquer ponto D, do qual se tire a reta DA para

o ponto A. Com a reta DA se faça no ponto A o ângulo DAE = ADC (Pr. 23.1.);

e se produza EA para F. Digo que estará feito o que se pede.

Porque a reta AD cortando as duas BC, EF, faz os ângulos alternos EAD,

ADC iguais entre si, será EF paralela a BC (Pr. 27.1.). Logo do ponto dado A

temos conduzido a reta EAF paralela à reta dada BC.

PROP. XXXII. TEOR.

Em todo o triângulo, produzido um lado qualquer, o ângulo

externo é igual aos dois internos e opostos e os três ângulos

internos de um triângulo qualquer são iguais a dois retos (Fig.

52.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 21

EUCLIDES

Seja o triângulo ABC, e um lado dêle BC seja produzido para D. Digo que

o ângulo externo ACD é igual aos dois internos e opostos CAB, ABC; e que os

três ângulos intern08 ABC, BCA, CAB do mesmo triângulo ABO são iguais a

dois retos.

Pelo ponto C tire-se a reta CE paralela a AB (Pr. 31.1.). Sendo AB, CE

paralelas, e cortadas pela reta AC, os ângulos alternos BAC, A,CE serão iguais

(Pr. 29.1.). E as mesmas paralelas AB, CE, sendo cortadas pela reta BD, o

ângulo externa ECD será igual ao interno e oposto ABC (Pr. 29.1.). Mas temos

demonstrado ser ACE = BAC. Logo, o ângulo externo e total ACD é igual aos

dois internos e opostos CAB, ABC. Ajunte-se-lhes o mesmo ACB; e os dois

ACD, ACB serão iguais aos três CBA, BAC, ACB. Mas os dois ACD, AGB são

iguais a dois retos (Pr. 13.1.). Logo, os três CBA, BAC, ACB serão também

iguais a dois retos.

COROL. 1. Todos os ângulos internos de qualquer figura retilínea,

juntamente com quatro retos, são iguais a duas vêzes tantos retos, quantos

são os lados da figura (Fig. 53.).

Uma figura retilínea qualquer ABCDE pode-se dividir em tantos triângulos,

quantos são os lados da mesma figura, tomando, como se quiser, dentro da

figura um ponto F, e tirando dêste ponto para todos os ângulos da figura

outras tantas retas, como FA, FB, FC, FD, FE. Mas pela precedente proposição,

todos os ângulos dêstes triângulos tomados juntamente são iguais a duas

vêzes tantos retos, quantos são os mesmos triângulos, isto é, quantos são os

lados da figura; e ao mesmo tempo os ditos ângulos são iguais aos ângulos da

figura juntamente com os outros ao redor do ponto F, que é o vértice comum

de todos os triângulos, isto é, juntamente com quatro retos (Cor. 2. Pr. 15.1.).

Logo, todos os ângulos da figura, e mais quatro retos, são iguais a duas vêzes

tantos retos, quantos são os lados da mesma figura.

COROL, 2. Todos os ângulos externos de 1trlUl figura qualq1ter tomados

juntamente são iguais a quatro retos (Fig. 54.).

O ângulo interno ABC, juntamente com o externo adjacente ABD, é igual

a dois retos (Pr. 13.1.). Logo; todos os internos juntamente com todos os

externos são iguais a duas vêzes tantos retos, quantos são os lados da figura;

isto é, pelo corolário precedente, são iguais a todos os ângulos internos da

figura, juntamente com quatro retos. Logo, tirados os ângulos internos, ficarão

os externos iguais a quatro retos.

PROP. XXXIII. TEOR.

As retas, que da mesma parte estão postas entre as

extremidades ele duas outras retas iguais e paralelas, são

também iguais é paralelas (Fig. 55.).

Sejam as duas retas AB, OD iguais e paralelas, e entre os 'extremos dela

A, C, B, D estejam postas as outras duas AO, BD. Digo que AO, BD são iguais

e paralelas.

Tire-se a reta BC. Porque AB, CD são paralelas, e são cortadas pela reta

BC, serão os ângulos alternos ABC, BCD iguais (Pr. 29.1.). E sendo AB = CD, e

BC comum; as duas AB, BC serão iguais às duas DC, CB. Mas temos o ângulo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 22

EUCLIDES

ABC = BCD. Logo,será a base AC = BD, que é a outra base (Pr. 4.1.); e o

triângulo ABC igual ao triângulo BCD, e os mais ângulos iguais aos mais

ângulos (Pr. 4.1.), cada um a cada um, segundo ficam opostos a lados iguais.

Logo, deve ser o ângulo ACB = CBD. Logo, a reta BC, fazendo com as duas

AC, BD os ângulos alternos ACB, CBD iguais, as duas retas AC, BD serão

paralelas (Pr. 27.1.). E já temos demonstrado que são também iguais.

PROP. XXXIV. TEOR.

Os lados e os ângulos opostos dos espaços formados com

linhas paralelas, ou paralelogramos, são iguais; e todo o espaço

paralelogramo, fica dividido pela diagonal em duas partes iguais

(Fig. 55.).

Seja o espaço paralelogramo ABDC, cuja diagonal é BC. Digo que os

lados' e, os ângulos opostos do paralelogramo ABDC são iguais; e que a

diagonal BC divide o mesmo parele~ogramo ARDC em duas partes iguais.

Sendo AB, CD paralelas e cortadas pela reta BC, os ângulos alternos ABC,

BCD serão iguais (Pr. 29.1.). Também por serem paralelas as duas AC, BD, e

cortadas pela mesma reta BC, devem ser iguais entre si os ângulos alternos

A.CR, CBD. Logo, Os dois triângulos ABC, CBD têm dois ângulos, ABC, BCA

iguais a dois ângulos BCD, CBD, cada um a cada um, e um lado igual a um

lado, que vem a ser o lado comum BC oposto aos ângulos iguais CAB, CDB.

Logo, os outros lados serão iguais aos outros lados, cada um a cada um, e o

ângulo, que resta, igual ao outro ângulo, que resta (Pr. 26.1. ). Logo, será AB

= CD, AC = BD, e o ângulo BAC = BDC. E sendo ABC = BCD, e CBD = ACB;

será o ângulo total ABD = ACD também total. Mas temos demonstrado ser o

ângulo BAC = BDC. Logo, os lados e os ângulos opostos do paralelogramo

ARDC são iguais. Deve-se agora demonstrar, que o paralelogramo ABDC fica

dividido em duas partes iguais pela diagonal BC. Sendo AB = CD, e BC

comum, serão as duas AB, BC iguais às duas DC, CB, cada uma a cada uma.

Mas temos o ângulo ABC = BCD.Logo, será o triângulo ABC = BCD outro

triângulo (Pr. 4.1.). Logo, a diagonal BC divide em duas partes iguais o

paralelogramo ABDC.

PROP. XXXV. TEOR.

Os paralelogramos, que estão postos sôbre a mesma base,

e entre as mesmas paralelas, são iguais (Fig. 56.57.).

Sejam os paralelogramos ABCD, EBCF sôbre a mesma base BC (Fig. 57.),

entre as mesmas paralelas AF, BC. Digo que o paralelogramo ABCD é igual ao

paralelogramo EBCF.

Se os lados AD, DF (Fig. 56.) dos paralelogramos ABCD, DBCF oposto à

base comum BC tiverem um têrmo comum D; claro está que, sendo os

paralelogramos ABCD, DBCF cada um o dôbro do mesmo triângulo BDC (Pr.

34.1.), serão iguais entre si.

Mas os lados AD, EF (Fig. 57.) não sejam terminados no mesmo ponto.

No paralelogramo ABCD é AD = BC (Pr. 34.1. ), e no paralelogramo EBCF é EF

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 23

EUCLIDES

= BC. Logo, será AD = EF (Ax. 1.). Ajunte-se a mesma reta DE, ou tire-se.

Será AE = DF, isto é, o todo igual ao todo, ou o resto igual ao resto (Ax. 2.3.).

Mas é -AB = DC. Logo, as duas EA, AR são iguais às duas FD, DC, cada uma a

cada uma. Mas o ângulo externo FDC é igual (Pr. 29. 2.) ao interno EAB. Será

o triângulo EAB = FDC outro triângulo (Pr. 4.1.). Do trapézio ABCF tire-se o

triângulo FDC; e do mesmo trapézio ABCF tire-se o triângulo EAB. Logo, os

paralelogramos ABCD, EBCE, que são os restos, serão iguais (Ax. 3.) entre si.

PROP. XXXVI. TEOR.

Os paralelogramos, que estão postos sôbre bases iguais, e

entre as mesmas paralelas, são iguais (Fig. 58.).

Os paralelogramos ABCD, EFGH estejam postos sôbre as bases iguais BC,

FG, e entre as mesmas paralelas AH, BG. Digo que êstes paralelogramos são

iguais.

Tirem-se as retas BE, CH. Sendo BC = FG, e FG =EH (Pr. 34.1.) será BC

= EH. Mas BC, EH são paralelas; e entre os têrmos delas B, E, C, H, estão

tiradas as retas BE, CH; e as retas, que estão tiradas entre os extremos de

duas outras iguais e paralelas, e da mesma parte, são também iguais e

paralelas (Pr. 33.1). Logo, EB, CH são iguais e paralelas. Logo, EBCH é um

paralelogramo, igual ao paralelogramo ABCD (Pr. 35.1. ); por ter a mesma

base BC, e por estar entre as mesmas paralelas BC, AD. Pela mesma razão

será paralelogramo EFGH = EBCH, outro paralelogramo. Logo, os

paralelogramos ABCD, EFGH serão iguais entre si.

PROP. XXXVII. TEOR.

Os triângulos, que estão postos sôbre a mesma base, e

entre as mesmas paralelas, são iguais (Fig. 59.).

Os triângulos ABC, DBC, estejam postos sôbre a mesma base BC, e entre

as mesmas paralelas AD, BC. Digo que os triângulos ABC, DBC são iguais.

Produza-se AD de uma e outra parte para E, e F, e pelo ponto B tire-se

BE paralela a CA, e pelo ponto C tire-se CF paralela a BD (Pr. 31.1.). Logo,

EBCA, DBCF serão dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são iguais

(Pr. 35. 1.), por estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas

paralelas BC, EF; e o triângulo ABC é a metade (Pr. 34.1.) do paralelogramo

EBCA, que fica dividido em duas partes iguais pela diagonal AB, como também

o triângulo DBC é a metade do paralelogramo DBCF, que é dividido em duas

partes iguais pela diagonal DC. Logo, será o triângulo ABC = DBC, outro

triângulo, porque as metades de quantidades iguais são também iguais (Ax.

7.).

PROP. XXXVIII. TEOR.

Os triângulos, que estão sôbre bases iguais, e entre as

mesmas paralelas, são iguais (Fig. 60.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 24

EUCLIDES

Sejam os triângulos ABC, DEF, postos sôbre as bases iguais BC. EF e

entre as mesmas paralelas BF, AD. Digo que os triângulos ABC, DEF são

iguais.

Produza-se de uma e outra parte a reta AD para G, e H; e pelo ponto B

tire-se a reta BG paralela a CA, e pelo ponto F a reta FH paralela a ED (Pr.

31.1.). Serão GBCA, DEFH dois paralelogramos. Mas êstes paralelogramos são

iguais (Pr. 36.1.), porque estão sôbre as bases iguais BC, EF, e entre as

mesmas paralelas BF, GH; e o triângulo ABC é a metade do paralelogramo

GBCA, como também o triângulo DEF é a metade do paralelogramo DEFH (Pr.

34.1.). Logo, será o triângulo ABC = DEF outro triângulo, por serem iguais as

metades de quantidades iguais (Ax. 7.).

PROP. XXXIX. TEOR.

Os triângulos iguais postos sôbre a mesma base e da

mesma parte, estão entre as mesmas paralelas (Fig. 61.).

Sejam os triângulos ABC, DBC sôbre a mesma base BC, e da mesma

parte. Digo que os triângulos ABC, DBC estão entre as mesmas paralelas.

Tire-se a reta AD. Digo que AD é paralela a BC. Se AD não é paralela a

BC, pelo ponto A se faça passar outra reta AE paralela (Pr. 31.1.) a BC, e se

tire EC. Logo, os triângulos ABC, EBC são iguais (Pr. 37.1.), por estarem

ambos sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, AE. Mas é o

triângulo ABC = DBC outro triângulo. Logo, será DBC = EBC, isto é, um

triângulo maior igual a um menor, o que não pode ser. Logo, as retas AE, BC,

não são paralelas. O mesmo se demonstra de outra reta qualquer, que não

seja a. reta AD. Logo, AD é paralela a BC.

PROP. XL. TEOR.

Os triângulos iguais postos sôbre bases iguais e da mesma

parte, estão entre as mesmas paralelas , (Fig. 62.).

Sejam os triângulos iguais ABC, DEF sôbre as bases iguais BC, EF e da

mesma parte. Digo que êstes triângulos estão entre as mesmas paralelas.

Tire-se a reta AD. Digo que AD é paralela a BF. Se AD não é paralela a

BF, pelo ponto A tire-se AG paralela (Pr. 31.1.) a BF, e conduza-se a reta GF.

Os triângulos ABC, GEF são iguais (Pr. 38.1.), porque estão postos sôbre as

bases iguais BC, EF, e entre as mesmas paralelas BF, AG. Mas o triângulo ABC

é igual ao triângulo DEF, Logo, será também DEF = GEF, isto é, um triângulo

maior igual a um menor, o que não é possível. Logo, AG não é paralela a BF.

Do mesmo modo se prova que nenhuma outra reta, fora a reta AD, é paralela

a BF. Logo, as duas AD, BF são paralelas.

PROP. XLI. TEOR.

Se um paralelogramo e um triângulo estiverem sôbre a

mesma base, e entre as mesmas paralelas, o paralelogramo

será o dôbro do triângulo (Fig. 63.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 25

EUCLIDES

Estejam sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, AE, eo

paralelogramo ABCD, e o triângulo EBC. Gigo que o paralelogramo ABCD é o

dôbro do triângulo EBC.

Tire-se a reta AC. Logo os triângulos ABC, EBC são iguais (Pr. 37.1.), por

estarem sôbre a mesma base BC, e entre as mesmas paralelas BC, AE. Mas o

paralelogramo ABCD é o dôbro do triângulo ABC (Pr. 34.1.), porque é dividido

em duas partes iguais pela diagonal AC. Logo, também o paralelogramo ABCD

será o dôbro do triângulo EBC.

PROP. XLII. PROB.

Construir um paralelogramo, que seja igual a um triângulo

dado, e que tenha um ângulo igual a outro ângulo dado (Fig.

61.).

Seja dado o triângulo ABC, e o ângulo retilíneo D. Deve-se construir um

paralelogramo igual ao triângulo ABC, e com um ângulo igual ao ângulo D.

Divida-se a base BC em duas partes iguais (Pr. 10.1.) no ponto E; tire-se

AE, e com a reta EC no ponto E se faça (Pr. 23.1.) o ângulo CEF = D. Pelo

ponto A conduza-se AG paralela (Pr. 31.1.) a EC, e pelo ponto C a reta CG

paralela a EF. Será FECG um paralelogramo. E sendo BE = EC, o triângulo ABE

será igual ao triângulo AEC (Pr. 38.1.), por estarem ambos sôbre as bases

iguais BE, EC, e entre as mesmas paralelas BC, AG. Logo, o triângulo ABC é o

dôbro do triângulo AEC. Mas também o paralelogramo FECG é o dôbro (Pr.

41.1.) do mesmo triângulo AEC, que se acha sôbre a mesma base, e entre as

mesmas paralelas do paralelogramo FECG. Logo, o paralelogramo FECG é (Ax.

6.) igual ao triângulo ABC, e tem o ângulo CEF = D, que é o ângulo dado.

Logo, temos construído o paralelogramo que se pedia.

PROP. XLIII. TEOR.

Em qualquer paralelogramo os complementos dos

paralelogramos, que existem ao redor da diagonal, são iguais

entre si (Fig. 65.).

Seja o paralelogramo ABCD, cuja diagonal é AC, e existam ao redor da

diagonal AC os paralelogramos EH, FG; e os que se chamam complementos,

serão os dois paralelogramos BK, KD. Digo que o complemento BK é igual ao

complemento KD.

No paralelogramo ABCD os dois triângulos ABC, ADC, são iguais (Pr.

34.1.); como também os dois AEK, AHK no paralelogramo EKHA; e os outros

dois KGC, KFC no paralelogramo KGCF. Logo, sendo o triângulo AEK igual ao

triângulo AHK, e KGC = KFC, os dois AEK, KGC juntos serão iguais aos dois

também juntos AHK, KFC. Mas o triângulo total ABC é igual ao triângulo total

ADC (Pr. 34.1.). Logo, o resíduo, que é o complemento BK, será igual ao

resíduo, que é o outro complemento KD.

PROP. XLIV. PROB.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 26

EUCLIDES

Sôbre uma linha reta dada construir um paralelogramo

igual a um triângulo dado, e que tenha um ângulo igual a outro

ângulo retilíneo dado (Fig. 66.):

Seja dada a reta AB, o triângulo C, e o ângulo retilíneo D. Deve-se

construir sôbre a reta dada AB um paralelogramo igual ao triângulo C, e que

tenha um ângulo igual ao ângulo D.

Faça-se (Pr. 42.1.) o paralelogramo BEFG igual ao triângulo C, e com um

ângulo EBG igual ao triângulo D. Ponha-se BE em direitura com a reta AB, e

produza-se FG para H; e pelo ponto A se tire AH paralela (Pr. 31.1.) a BC, ou

EF; e finalmente seja conduzi da a reta HB. Porque as paralelas AH, EF são

cortadas pela reta HF, os ângulos AHF, HFE serão iguais a dois retos (Pr.

29.1.). Logo, os dojs ângulos BHF, HFE são menores que dois retos. Mas as

retas, que com uma terceira fazem os ângulos internos, e da mesma parte

menores que dois retos, produzidas ao infinito finalmente concorrem (Ax. 12.).

Logo, as duas retas HB, FE devem concorrer. Produza-se pois, e concorram no

ponto K. Por êste ponto tire-se a reta KL paralela a EA, e sejam produzidas as

retas HA, GB até L, e M. Logo, HLKF é um paralelogramo, cujo diâmetro é RH,

e ao redor deste diâmetro RK existem os paralelogramos AG, ME, cujos

complementos são os paralelogramos LB, BF. Logo, será LB = BF (Pr. 43.1.).

Mas o complemento BF é igual ao triãngulo C. Logo, o complemento LB será

igual ao mesmo ângulo C. E porque o ângulo GBE é igual ao ângulo ABM (Pr.

15,1.), e também é igual ao ângulo D, será o ângulo ABM = D. Logo, sôbre a

linha reta dada AB temos construído o paralelogramo LB igual ao triângulo

dado C, e com um ângulo ABM igual ao ângulo proposto D.

PROP. XLV. PROB.

Construir um paralelogramo igual a uma figura retilínea

qualquer dada, e com um ângulo igual a outro ângulo dado (Fig.

67.).

Seja dado o retilíneo ABCD, e o ângulo retilíneo E. Deve-se construir um

paralelogramo igual ao retilíneo ABCD, e com um ângulo igual ao ângulo E.

Tire-se a reta DB, e faça-se (Pr. 42.1.) o paralelogramo FH igual ao

triângulo ADB, e com o ângulo HKF = E. Sôbre a reta GH faça-se (Pr. 44.1.) o

paralelogramo GM igual ao, triângulo DBC com o ângulo GHM = E. Sendo o

ângulo E igual ao ângulo FKH, e também igual a GHM, será FKH = GHM.

Ajunte-se-lhes o mesmo ângulo KHG. Os ângulos FKH, KHG serão iguais aos

ângulos KHG, GHM. Mas FKH, KHG são iguais a dois retos (Pr. 29.1.). Logo, os

dois KHG, GHM serão também iguais a dois retos. Logo, KH estará em

direitura (Pr. 14.1.) com HM. E porque as paralelas KM, FG são cortadas pela

reta HG, os ângulos alternos MHG, HGF são iguais (Pr. 29.1.). Ajunte-se-lhes o

mesmo ângulo HGL. Logo, os ângulos MHG, HGL são iguais aos ângulos HGF,

HGL. Mas MHG, HGL são iguais a dois retos. Logo, também HGF, HGL serão

iguais a dois retos. Logo, a reta FG está em direitura com a reta GL. E sendo

KF paralela a HG, e HG paralela a ML, será KF paralela (Pr. 30.1.) a ML. Mas

KM, FL são também paralelas. Logo, KFLM é um paralelogramo. E porque o

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 27

EUCLIDES

triângulo ABD é igual ao paralelogramo HF; e o triângulo DBC igual ao

paralelogramo GM, será o retilíneo total ABCD igual ao paralelogramo inteiro

KFLM. Logo, temos construído o paralelogramo KFLM igual ao retilíneo dado

ABCD, e com o ângulo FKM igual ao ângulo dado E.

COROL. É manifesto, pelo que temos dito, como se possa fazer sôbre

uma linha reta dada um paralelogramo igual a um retilíneo dado, e com um

ângulo igual a outro dado. Deve-se sôbre a reta dada formar um

paralelogramo igual (Pr. 44.1.) ao primeiro triângulo ABD, e que tenha um

ângulo igual ao ângulo dado; e ir continuando o resto, como temos explicado

acima.

PROP. XLVI. PROB.

Sôbre uma linha reta dada descrever um quadado (Fig.

68.).

Seja a reta dada AB. Sôbre AB deve-se construir um quadrado.

Levante-se do ponto A a reta AC perpendicular (Pr. 11.1.) sôbre AB; e

ponha-se (Pr. 3.1.) AD = AB. Pelo ponto D faça-se passar a reta DE paralela

(Pr. 31.1.) a AB; e pelo ponto B a reta BE paralela a AD. Será ADEB um

paralelogramo. Logo, será AB = DE (Pr. 34.1.), e AD = BE. Mas temos feito BA

= AD. Logo, as quatro retas BA, AD, DE, EB são iguais entre si, e por

conseqüência o paralelogramo ADEB é eqüilátero. Digo que é também

retângulo. Porque as paralelas AB, DE são cortadas pela reta AD, os ângulos

BAD, ADE serão iguais a dois retos (Pr. 29.1.), Mas BAD é reto. Logo, também

ADE será reto. Mas nos paralelogramos os ângulos opostos são iguais (Pr.

34.1.). Logo, os dois ABE, BED, que ficam opostos a ângulos retos, devem ser

também retos. Logo, ADEB será um retângulo.

Logo, sendo equilátero, como temos provado, sôbre a reta dada AB

temos descrito o quadrado AE, que se pedia.

COROL. Disto se segue, que um paralelogramo é retângulo, quando tem

um ângulo reto.

PROP. XLVII. TEOR.

Em todo o triângulo retângulo o quadrado feito sôbre o lado

oposto ao ângulo reto, é igual aos quadrados formados sôbre os

outros lados, que fazem o mesmo ângulo reto (Fig. 69.).

Seja o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto seja BAC. Digo que o

quadrado feito sôbre o lado BC é igual aos quadrados descritos sôbre os lados

BA, AC, que formam o ângulo reto BAC.

Descreva-se sôbre BC o quadrado BDEC (Pr. 46.1.), e sôbre BA, AC os

quadrados GB, HC. Pelo ponto A tire-se AL, paralela (Pr. 31.1.) a BD, ou CE,

tirem-se também as retas AD, FC. Porque os ângulos BAC, BAG são retos

(Def. 30.), as duas retas CA, AG estão em direitura uma com outra (Pr.

14.1. ). O mesmo será a respeito das duas AB, AH. Os ângulos DBC, FBA, por

serem retos, são iguais. Ajunte-se-lhes o mesmo ângulo ABC. Logo, o total

DBA será igual ao total FBC (Ax. 2.). E sendo as duas AB, BD iguais às duas

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 28

EUCLIDES

FB, BC, cada uma a cada uma, e o ângulo DBA = FBC, será o triângulo ABD =

FBC outro triângulo (Pr. 4.1.). Mas o paralelogramo BL é o dôbro (Pr. 41.1.) do

triângulo ABD, porque está sôbre a mesma base BD, e entre as mesmas

paralelas BD, AL; e o quadrado GB é o dôbro do triângulo FBC, porque tem a

base comum FB, e estão entre as mesmas paralelas FB, GC. Logo, sendo

iguais os dobros de quantidades iguais (Ax. 6.), deve ser o paralelogramo BL

igual ao quadrado GB. Do mesmo modo, tiradas as retas AE, BK, se

demonstra, que o paralelogramo CL é igual ao quadrado HC. Logo, o quadrado

inteiro BDEC, feito sôbre o lado BC oposto ao ângulo reto BAC, é igual aos dois

quadrados GB, HC formados sôbre os lados BA, AC, que fazem o mesmo

ângulo reto BAC.

PROP. XLVIII. TEOR.

Se o quadrado feito sôbre um lado de um triângulo fôr igual

aos quadrados dos outros dois lados, o ângulo compreendido por

êstes dois lados será reto (Fig. 70.).

Seja o quadrado feito sôbre o lado BC do triângulo ABC igual aos

quadrados feitos sôbre os lados BA, AC. Digo que o ângulo BAC é reto.

Levante-se do ponto A sôbre AC a perpendicular AD (Pr. 11.1.), e ponha-

se AD = BA, e tire-se DC. Sendo DA = AB, será o quadrado sôbre DA igual ao

quadrado sôbre AB. Ajunte_se-lhes o quadrado de AC. Os quadrados de DA,

AC serão iguais aos quadrados de BA, AC. Mas o quadrado de DC é igual aos

quadrados de DA, AC, por ser o ângulo DAC reto (Pr. 47.1. ), e o quadrado de

BC se supõe igual aos quadrados de BA, AC. Logo, o quadrado de DC será

igual ao quadrado de BC. Logo, será DC = CB. Sendo pois DA = AB, e AC

comum, as duas DA, AC serão iguais às duas BA, AC. Mas é a base DC = BC

outra base. Logo, será o ângulo DAC = BAC (Pr. 8.1.). Mas o ângulo DAC é

reto. Logo, também o ângulo BAC será reto.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 29

LIVRO II

EUCLIDES

DEFINIÇÕES

Todo o paralelogramo retângulo se considera compreendido por duas

linhas retas, que formam o ângulo reto.

Em todo o paralelogramo a figura, que resulta de um paralelogramo

daqueles, que existem na diagonal do paralelogramo maior, juntamente com

os dois complementos, chama-se gnômon. Dêste modo o paralelogramo HG

(Fig. 1.), juntamente com os complementos, AF, FC fazem o gnômon que por

brevidade, nota-se com as letras AGK, ou EHC, que estão postas nos vértices

dos ângulos opostos dos paralelogramos, que formam o gnômon.

PROP. I. TEOR.

Se houver duas linhas retas, e uma delas fôr dividida em

quantas partes se quiser, será o retângulo compreendido pelas

duas retas igual, aos retângulos compreendidos pela reta inteira,

e pelos segmentos da outra (Fig. 2.).

Sejam as duas retas A, e BC; e seja' BC dividida, como sc quiser, nos

pontos D, E. Digo que o retângulo compreendido pelas retas Â:; BC é igual aos

retângulos compreendidos pelas retas A, BD; A, DE; A, EC.

Do ponto B conduza-se a reta BF perpendicular a BC (Pr. 11.1.), e faça-se

BG = A (Pr. 3.1.). Pelo ponto G tire-se GH paralela a BC, e pelos pontos D, E,

C as retas DK, EL, CH paralelas a BG (Pr. 31.1.). Logo, o retângulo BH é igual

aos retângulos BK, DL, EH. Mas o retângulo BH é compreendido pelas retas

GB, BC, ou pelas retas A, BC, por ser GB = A; e os retângulos BK, DL, EH são

compreendidos pelas retas GB, BD; DK, DE; EL, EC, ou pela retas A, BD; A,

DE; A, EC, porque sendo BG, DK, EL iguais entre si (Pr. 34.1.), e sendo BG =

A, cada uma das três retas BG, DK, EL é igual à linha reta A. Logo, o retângulo

compreendido pelas retas A, BC é igual aos retângulos compreendidos pelas

retas A, BD; A, DE; A, EC.

PROP. II. TEOR.

Se uma linha reta fôr dividida, como se quiser, os

retângulos compreendidos pela reta tôda, e por cada uma das

partes, são iguais ao quadrado da linha inteira (Fig. H.).

Seja a reta AB' cortada, como se quiser, no ponto C. Digo que os

retângulos compreendidos pelas reta.<; AB, BC; AB, AO' são iguais ao

quadrado da reta AB.

Descreva-se sôbre a reta AB o quadrado ADEB (Pr. 46.1.); e pelo ponto C

tire-se CF paralela a AD, ou BE (Pr. 31.1.). Será o quadrado AE igual aos

ELMENTOS DE GEOMETRIA 31

EUCLIDES

retângulos AF, CE. Mas a quadrado AE é o quadrado da reta AB; e o retângulo

AF é compreendido pelas retas DA, AC, isto é, pelas retas BA, AC, por ser AD

= AB; e o retângulo CE é compreendido pelas retas CF, GB, isto é, pelas retas

AB, BC, por ser CF = AD, e AD = AB. Logo, os retângulos compreendidos pelas

retas AB, AC; AB, BC são iguais ao quadrado da reta AB.

PROP. III. TEOR.

Se uma linha reta fôr dividida, como se quiser, será o

retângulo compreendido pela mesma reta, e por uma parte dela,

igual ao retângulo das partes juntamente com o quadrado da

dita parte (Fig. 4.).

Seja a reta AB cortada, como se quiser, no ponto C. Digo que o retângulo

compreendido 'pelas retas AB, BC ê igual ao retângulo compreendido pelas

retas AC, CB, juntamente com o quadrado da reta BC.

Faça-se o quadrado CDEB da reta BC (Pr. 46.1.), e produza-se ED para F,

e pelo ponto A tire-se AF paralela a CD, ou BE (Pr. 31.1.). Será o retângulo AE

igual aos retângulos AD, CE. Mas AE é o retângulo compreendido pelas retas

AB, BE, isto é, pelas retas AB, BC, por ser BE = BC; e o retângulo. AD é

compreendido pelas retas AC, CD, isto é, pelas retas AC, CB, por ser CD = CB;

e DB é o quadrado da reta BC. Logo, o retângulo compreendido pelas retas

AB, BC é igual ao retângulo compreendido pelas retas AC, CB, juntamente com

o quadrado da reta BC.

PROP. IV. TEOR.

Se uma uma reta fôr cortada em duas partes quaisquer,

será o quadrado da tôda igual aos quadrados das partes,

juntamente com o retângulo das mesmas partes, tomado duas

vêzes (Fig. 5.).

Seja a reta AB cortada, como se quiser, no ponto C. Digo que o quadrado

da reta AB é igual aos quadrados das partes AC, CB, juntamente com duas

vêzes o retângulo, compreendido pelas mesmas partes AC, CB.

Sôbre a reta AB descreva-se o quadrado ADEB (Pr. 46. 1. ), e tirada a

diagonal BD pelo ponto C tire-se a reta CGF paralela a AD, ou BE (Pr. 31.1.); e

pelo ponto G a reta HK paralela a AB, ou DE. Sendo, pois, as duas retas CF,

AD paralelas, e ambas cortadas pela incidente BD, será o ângulo externo BGC

= ADB, que é o interno e oposto (Pr. 29.1.). Mas é ADB = ABD (Pr. 5.1.), por

ser BA = AD. Logo, será CGB = GBC, e por conseqüência BC = CG (Pr. 6.1.).

Mas é GB=GK e CG=BK (Pr. 34.1.). Logo, será GK = KB. Logo, CGKB é uma

figura eqüilátera. Digo que é também retângula. Porque, sendo paralelas as

retas CG, BK, e caindo sôbre elas a incidente CB, serão os ângulos KBC, GCB

iguais a dois retos. Mas o ângulo KBC é reto. Logo, também o ângulo GCB será

reto, e por conseqüência são retos os ângulos opostos CGK, GKB (Pr. 34.1.).

Logo, a figura CGKB é retângula. Logo, sendo também eqüilátera, como temos

demonstrado, será um quadrado, e consequentemente o quadrado da reta CB.

Com a mesma demonstração se prova . ser HF o quadrado da reta AC. Sendo

ELMENTOS DE GEOMETRIA 32

EUCLIDES

pois. AG = GE (Pr. 43.1.), e sendo o retângulo AG compreendido pelas reta.s

AC, CG, isto é, AC, CB, por ser CG = CB, será também o retângulo G E igual

ao retângulo compreendido pelas retas AC, CB. Logo, os retângulos AG, GE

são juntamente iguais a duas vêzes o retângulo compreendido pelas retas AC,

CB. Mas HF, CK são os quadrados das retas AC, CB, por ser HG = AC. Logo, os

quadrados HF, CK, e os retângulos AG, GE são todos juntos iguais aos

quadrados de AC, e de CB, e a duas vêzes o retângulo compreendido pelas

mesmas AC, CB. Mas HF, CK, AG, GE fazem o quadrado total ADEB, que é o

quadrado da reta AB. Logo, o quadrado de AB é igual aos quadrados de AD e

de CB, juntamente com duas vêzes o retângulo compreendido pelas retas AC,

CB.

COROL. Disto se segue que os paralelogramos, que existem na diagonal

de um quadrado, são também quadrados.

PROP. V. TEOR.

Se uma Unha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em

outras duas desiguais, será o retângulo compreendido pelas

partes desiguais, juntamente com o quadrado da parte entre as

duas seções, igual ao quadrado da metade da linha proposta

(Fig. 6.).

Seja a reta AB dividida em partes iguais no ponto C, e €m partes

desiguais no ponto D. Digo que o retângulo das retas AD, DB juntamente com

o quadrado de CD, é igual ao .quadrado CB.

Sôbre a reta BC descreva-se o quadrado CEFB (Pr. 46.1.), é tirada a reta

BE, pelo ponto D tire-se DHG paralela (Pr. 31.1.) a CE ou BF, e pelo ponto H a

reta KLM paralela a CB, ou EF, e pelo ponto A a reta AK paralela a CL, ou BM.

Sendo os complementos CH, HF iguais (Pr. 41.1.) ajunte-se-lhes o mesmo

quadrado DM. Será CM = DF. Mas é BM = AL (Pr. 36.1.), por ser AC = CB.

Logo, será AL = DF. Ajunte-se-lhes o mesmo CH. Logo, será AH = DF mais

CH. Mas AH é o retângulo compreendido pelas retas AD, DH, isto é, AD, DB;

por ser DH = DB (Cor. 4.2.); e DF, CH fazem o gnômon CMG. Logo, o gnômon

CMG é igual ao retângulo compreendido pelas retas AD, DB. Ajunte-se-lhes

LG, que é igual ao quadrado de CD (Cor. 4.2.). Logo, o gnômon CMG mais o

quadrado LG são iguais ao retângulo compreendido pelas retas AD, DB, e mais

ao quadrado de CD. Mas o gnômon CMG e LG fazem o quadrado CEFB, que é o

quadrado da reta CB. Logo, o retângulo compreendido pelas retas AD, BD,

juntamente com o quadrado de CD, é igual ao quadrado de CB.

PROP. VI. TEOR.

Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em

direitura com ela se puser outra reta, será o retângulo

compreendido pela reta tôda e mais a adjunta, e pela mesma

adjunta juntamente com o quadrado da metade da primeira

reta, igual ao quadrado da reta, que se compõe da mesma

metade, e da outra reta adjunta (F1ig.7.).

ELMENTOS DE GEOMETRIA 33

EUCLIDES

Sendo a reta AB dividida pelo meio no ponto C, e com AB esteja em

direitura a outra BD. Digo que o retângulo compreendido pelas retas AD, BD,

juntamente com o quadrado de CB, é igual ao quadrado de CD.

Sôbre a reta CD descreva-se o quadrado CEFD (Pr. 46. 1.), e tire-se DE.

Pelo ponto B conduza-se BHG paralela a CE, ou DF (Pr. 31.1.); e pelo ponto H

a reta KLM paralela a AD, ou EF; e finalmente pelo ponto A a reta AK paralela

a CL, ou DM. Logo, sendo AC = CB, será o retângulo AL = CH outro retângulo

(Pr. 36.1.). Mas é CH = HF (Pr. 43.1.). Logo, será AL = HF. Ajunte-se-lhes o

mesmo CM. Logo, será o total AM = CMG, que é um gnômon. Mas AM é o

retângulo compreendido pelas retas AD, DM, isto é, pelas retas AD, DB, por

ser DM = DB (Cor. 4.2.). Logo, o gnômon CMG será igual ao retângulo

compreendido pelas retas AD, DB. Ajunte-se-lhes o mesmo LG, que é igual ao

quadrado da reta OB. Logo, o retângulo compreendido pelas retas AD, DB,

juntamente com o quadrado de CB, é igual ao gnômon CMG, juntamente com

o quadrado LG. Mas o gnômon CMG, e o quadrado LG fazem o quadrado

inteiro CEFD, que é o quadra,do de CD. Logo, o retângulo compreendido pelas

retas AD, DB, juntamente com o quadrado de OB, é igual ao quadrado de OD.

PROP. VII. TEOR.

Se uma linha reta fôr dividida, como se quiser, em duas

partes, serão os quadrados da tôda e de uma das partes iguais a

duas vêzes o retângulo compreendido pela linha tôda, e pela dita

parte juntamente com o quadrado da outra parte (Fig. 5.).

Seja a reta AB dividida, como se quiser, no ponto C. Digo que os

quadrados de AB e de BC são iguais a duas vêzes o retângulo compreendido

pelas retas AB, BO, juntamente com o quadrado de AC.

Faça-se sôbre a reta AB o quadrado ADEB (Pr. 46.1.), e completada a

figura, como se vê, será o retângulo AG = GE outro retângulo (Pr. 43.1.).

Ajunte-se-lhes o mesmo CK. Será o total AK = CE total. Logo, os retângulos

AK, CE são juntamente o dôbro de AK. Mas AK, CE equivalem ao gnômon AKF,

e mais ao quadrado CK. Logo, o gnômon AKF mais o quadrado CK são o dôbro

do retângulo AK. Mas também o retângulo compreendido pelas retas AB, BC

tomado duas vêzes é o dôbro do retângulo AK, por ser BK = BC (Cor. 4.2.).

Logo, o gnômon AKF, juntamente com o quadrado CK, é igual a duas vêzes o

retângulo compreendido pelas retas AB, BC. Ajunte-se-lhes o mesmo HF, que

é igual ao quadrado de AC. Logo, o gnômon AKF, e os quadrados CK, HF são

iguais a duas vêzes o retângulo de AB, BC, e ao quadrado de AC. Mas o

gnômon AKF, e os quadrados CK, HF equivalem aos quadrados ADEB, e CK,

que são os quadrados de AB, e de BC. Logo, os quadrados de AB, e de BC são

iguais a duas vêzes o retângulo compreendido pelas retas AB, BC, juntamente

com o quadrado de AC.

PROP. VIII. TEOR.

Se uma linha reta estiver cortada, como se quiser, será o

retângulo da reta tôda, e de uma das partes, tomado quatro

ELMENTOS DE GEOMETRIA 34

EUCLIDES

vêzes, juntamente com o quadrado da outra parte, igual ao

quadrado da reta, que se compõe da linha tôda; e da dita

primeira parte (Fig. 8.).

Seja a reta AB dividida, como se quiser, no ponto C. Digo que o retângulo

compreendido pelas retas AB, BC tomado quatro vêzes, juntamente com o

quadrado de AC, é igual ao quadrado da reta, que fizera soma das duas AB,

BC.

Ponha-se BD = CB, e em direitura com AB, e sôbre AD faça-se o

quadrado AEFD, prosseguindo o resto da construção, como se vê na figura.

Sendo pois CB = BD, e CB = GK (Pr. 34.1.), e BD = KN, será GK = KN. Pela

mesma razão será PR = RO. E porque temos CB = BD, GK = KN, será o

retângulo CK = BN, e GR = RN (Pr. 36.1.). Mas é CK = RN (Pr. 43.1.), porque

são complementos do paralelogramo CO. Logo, será BN = GR. Logo, os quatro

BN, CK, GR, RN são iguais entre si; e por conseqüência são o quádruplo de CK.

Também sendo CB = BD, e BD = BK (Cor. 4.2.), isto é, BD = CG; e sendo CB

= GK, isto é, CB = GP, será CG = GP. E sendo CG = GP, e PR = RO, será o

retângulo AG = MP, e PL = RF. Mas é PM = PL (Pr. 43.1.), porque são

complementos do paralelogramo ML. Logo, será AG = RF. Logo, os quatro AG,

MP, PL, RF são iguais entre si, e por conseqüência são o quádruplo de AG. Mas

temos demonstrado que os quatro CK, BN, GR, RN são também o quádruplo

de CK. Logo, as oito figuras, que formam o gnômon AOH, são o quádruplo de

AK. Mas o retângulo AK é o retângulo compreendido pelas retas AB, BK, isto é,

pelas retas AB, BC, por ser BK = BC. Logo, o retângulo das retas AB, BC,

tomado quatro vêzes, será o quádruplo do retângulo AK. Mas o gnômon AOH,

como se tem visto, é também o quádruplo de AK. Logo, o retângulo das retas

AB, BC, tomado quatro vêzes, é igual ao gnômon AOH. Ajunte-se-lhes o

mesmo XH, que é igual ao quadrado de AC. (Cor. 4.2. ). Será o retângulo das

retas AB, BC, tomado quatro vêzes juntamente com o quadrado de AC, igual

ao gnômon AOH e ao quadrado XH. Mas o gnômon AOH, e o quadrado XH

fazem o quadrado inteiro AEFD, que é o quadrado da reta AD. Logo, o

retângulo compreendido pelas retas AB, BC, tomado quatro vêzes, juntamente

com o quadrado de AC, é igual ao quadrado da reta AD, que se compõe da

reta dada AB, e da parte BC.

PROP. IX. TEOR.

Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e em

outras duas desiguais, os quadrados das partes desiguais serão

o dôbro do quadrado sôbre a metade da reta, juntamente com o

quadrado da porção, que fica entre as duas seções (Fig. 9.).

Seja a reta AB dividida em partes iguais no ponto C, e em parte!?

desiguais no ponto D. Digo que os quadrados de AD e de DB são o dôbro dos

quadrados de AC e de CD.

Do ponto C levante-se sôbre AB a perpendicular (Pr. 11.1.) CE, que seja

igual a AC, ou CB, e conduzidas as retas EA, EB pelo ponto D, tire-se DF

paralela a CE (Pr. 31.1.), e pelo ponto F a reta FG paralela a AB. Tire-se

ELMENTOS DE GEOMETRIA 35

EUCLIDES

também AF. Sendo AC = CE, será o ângulo EAC = AEC (Pr. 5.1.). E porque o

ângulo ECA é reto, serão os dois AEC, EAC juntos iguais a um reto (Pr. 32.1.),

e por conseqüência cada um dêles será a metade de um ângulo reto. Pela

mesma razão, cada um dos ângulos CEB, EBC deve ser a metade de um reto.

Logo, o ângulo total AEB é reto. E porque o ângulo GEF é a metade de um

reto, e EGF é um reto, por ser igual ao ângulo ECB interno e oposto (Pr.

29.1.), será o outro ângulo EFG também a metade de um reto. Logo, será o

ângulo GEF = EFG e, por conseqüência, EG= GF (Pr. 6.1.). Também, sendo o

ângulo B semi-reto, e FDB reto, por ser êste igual a ECB interno e oposto, será

o ângulo BFD semi-reto. Logo, será o ângulo B = BFD e, conseqüen-' temente,

DF = DB (Pr. 6.1.). E sendo AC = CE, será o quadrado de AC igual ao

quadrado de CE. Logo, os quadrados de AC e de CE juntamente fazem o dôbro

do quadrado de AC. Mas o quadrado de EA é igual aos quadrados de AC e de

CE (Pr. 47.1.), por ser o ângulo ACE reto. Logo, o quadrado de EA é o dôbro

do quadrado de AC. Também, sendo EG = GF, será o quadrado de EG igual ao

quadrado de GF. Logo, os quadrados de EG e de GF são o dôbro do quadrado

de GF. Mas o quadrado de EF é igual aos quadrados de EG e de GF. Logo, o

quadrado de EF será o dôbro do quadrado de GF. Mas é GF = CD (Pr. 34.1.).

Logo, o quadrado de EF é o dôbro do quadrado de CD. Mas também o

quadrado de AE é o dôbro do quadrado de AC. Logo, os quadrados de AE, e de

EF são o dôbro dos quadrados de AC e de CD. Mas o quadrado de AF é igual

aos quadrados de AE e de EF, por ser o ângulo AEF reto. Logo, o quadrado de

AF é o dôbro dos quadrados de AC e de CD. Mas os quadrados de AD, e de DF

são iguais ao quadrado de AF; porque o ângulo ADF é reto. Logo, os

quadrados de AD e de DF são o dôbro dos quadrados de AC e de CD. Mas é DF

= DB. Logo, os quadrados de AD e de DB são o dôbro dos quadrados de AC e

de CD.

PROP. X. TEOR.

Se uma linha reta fôr dividida em duas partes iguais, e se

em direitura com ela se puser outra reta qualquer, serão os

quadrados da tôda com a adjunta e da adjunta o dôbro dos

quadrados da metade, e daquela reta, que se compõe da

metade e da adjunta (Fig. 10.).

Seja a reta AB dividida pelo meio no ponto C, e em direitura com AB

esteja outra reta qualquer BD. Digo que os quadrados de AD e de DB são o

dôbro dos quadrados de AC e de CD.

Do ponto C levante-se sôbre AB a perpendicular (Pr. 11.1.) CE, que seja

igual a AC ou CB, e tiradas as retas AE, EB, pelo ponto E conduza-se EF

paralela a AB (Pr. 31.1.), e pelo ponto D a reta DF paralela a CE. Porque a reta

EF encontra as duas paralelas EC, FD nos pontos E, F, serão os ângulos CEF,

EFD iguais a dois retos (Pr. 29.1.). Logo, os ângulos BEF, EFD são menores

que dois retos. Mas duas retas, que com uma terceira fazem os ângulos

internos menores que dois retos, produzidas ao infinito, finalmente chegam a

tocar-se (Ax. 12.). Logo, as duas retas EB, FD produzidas para as partes B, D

devem encontrar-se. Produzam-se pois, e encontrem-se no ponto G. Tire-se

ELMENTOS DE GEOMETRIA 36

EUCLIDES

AG. Porque temos AC = CE, será o ângulo CEA = EAC (Pr. 5.1.). Mas o ângulo

ACE é reto. Logo, cada um dos ângulos CEA, EAC será semi-reto. Pela mesma

razão é semi-reto cada um dos ângulos CEB, EBC. Logo, o ângulo AEB deve

ser reto. E porque EBC é semi-reto, será DBG também semi-reto (Pr. 15.1.).

Mas BDG é reto, porque é igual ao alterno DCE (Pr. 29.1.). Logo, DGB será

semi-reto. Logo, será DGB = DBG, e por conseqüência BD = DG (Pr. 6.1.)

Também, sendo EGF semi-reto, e sendo F reto, por ser igual ao ângulo oposto

ECD (Pr. 34.1.), será FEG semi-reto. Logo, será EGF = FEG, e GF = FE. E

porque temos EC = CA, será o quadrado de EC igual ao quadrado de CA. Logo,

os quadrados de EC e de CA são o dôbro do quadrado de CA. Mas o quadrado

de EA é igual aos quadrados de EC e de CA (Pr. 47.1.). Logo, o quadrado de

EA é o dôbro do quadrado de AC. Também, sendo GF = FE, será o quadrado

de GF igual ao quadrado de FE. Logo, os quadrados de GF e de FE são o dôbro

do quadrado de EF. Mas o quadrado de EG é igual aos quadrados de GF e de

FE. Logo, o quadrado de EG é o dôbro do quadrado de EF. Mas EF, CD são

iguais. Logo, o quadrado de EG é o dôbro do quadrado de CD. Mas temos

demonstrado ser o quadrado de EA o dôbro do quadrado de AC. Logo, os

quadrados de AE e de EG são o dôbro dos quadrados de AC e de CD. Mas o

quadrado de AG é igual aos quadrados de AE e de EG.Logo, o quadrado de AG

é o dôbro dos quadrados de AC e de CD. Mas os quadrados de AD e de DG são

iguais ao quadrado de AG. Logo, os quadrados de AD e de DG são o dôbro dos

quadrados de AC e de CD. Mas é DG = DB. Logo, os quadrados de AD e de DB

são o dôbro dos quadrados de AC e de CD.

PROP. XI. PROB.

Dividir uma linha reta de sorte que o retângulo da tôda e de

uma parte seja igual ao quadrado da outra parte (Fig. 11.).

Seja AB a linha reta dada. Deve-se dividir a reta AB em um ponto H, de

sorte que o retângulo, compreendido pela reta AB e pela parte BH, seja igual

ao quadrado de AH, que é a outra parte.

Descreva-se o quadrado ABDC (Pr. 46.1.) sôbre a reta AH, e divida-se AC

em duas partes iguais no ponto E (Pr. 10.1.), e tirada a reta BE, produza-se

CA para F, e ponha-se EF = BE (Pr. 3.1.). Sôbre AF descreva-se o quadrado

FGHA, e produza-se GH até K. Digo que a reta AB fica dividida no ponto H, de

sorte que o retângulo das retas AB, BH é igual ao quadrado de AH.

Porque a reta AC está dividida em duas partes iguais no ponto E, e em

direitura com ela está posta a reta AF, será o retângulo compreendido pelas

retas CF, FA, juntamente com o quadrado de AE, igual ao quadrado de EF (Pr.

6.2.). Mas temos EF = EB. Logo, o retângulo das retas CF, FA, juntamente

com o quadrado de AE, é igual ao quadrado de EB. Mas o quadrado de EB é

igual aos quadrados de BA e de AE (Pr. 47.1.) por ser o ângulo BAE reto. Logo,

o retângulo de CF, FA, juntamente com o quadrado de AE, é igual aos

quadrados de BA e de AE. Logo, tirando quadrado comum de AE, será o

retângulo de CF, FA igual ao quadrado de AB. Mas FK é o retângulo

compreendido pelas retas CF, FA, por ser AF = FG; e AD é o quadrado da reta

AB. Logo, será FK = AD. Tire-se de uma parte e outra o comum AK. Ficará FH

ELMENTOS DE GEOMETRIA 37

EUCLIDES

= HD. Mas HD é o retângulo compreendido pelas retas AB, BH, por ser AB =

BD; e FH é o quadrado de AH. Logo, o retângulo de AB, BH, é igual ao

quadrado de AH. Logo, temos dividido a reta AB no ponto H, de sorte que o

retângulo compreendido pelas retas AB, BH é igual ao quadrado de AH.

PROP. XII. TEOR.

Em todo o triângulo obtusângulo, o quadrado do lado

oposto ao ângulo obtuso é tanto maior que os quadrados dos

outros lados, quanto é duas vêzes o retângulo compreendido por

um dos ditos lados, e pela parte do mesmo lado produzido, que

fica entre o ângulo obtuso e a perpendicular, que do ângulo

agudo oposto cai sôbre o mesmo lado produzido (Fig. 12.).

Seja o triângulo obtusângulo ABC, e nêle o ângulo obtuso ACB. Do ponto

A caia (Pr. 12.1.) a perpendicular AD sôbre o lado BC produzido para D. Digo

que o quadrado de AB é tanto maior que os quadrados de AC e de CB, quanto

é duas vêzes o retângulo compreendido pelas retas BC, CD.

Seja a linha reta BD cortada em C, será o quadrado de BD igual aos

quadrados de BC e de CD, juntamente com o dôbro do retângulo das mesmas

BC, CD (Pr. 4.2.). Ajunte-se-lhes o mesmo quadrado de DA. Logo, os

quadrados de BD e de DA serão iguais aos quadrados de BC, de CD e de DA, e

mais ao dôbro do retângulo de BC, CD. Mas o quadrado de BA é igual aos

quadrados de BD e de DA (Pr. 47.1.), por ser o ângulo D reto; e o quadrado

de CA é igual aos quadrados de CD e de DA. Logo, o quadrado de BA será

igual aos quadrados de BC e de CA, e a duas vêzes o retângulo de BC, CD.

Logo, o quadrado de BA é tanto maior que os quadrados de BC e de CA,

quanto é duas vêzes o retângulo compreendido. pelas retas BC, CD.

PROP. XIII. TEOR.

Em todo o triângulo, o quadrado do lado oposto a um

ângulo agudo é tanto menor que os quadrados dos lados, que

formam o dito ângulo agudo, quanto é duas vêzes o retângulo

compreendido por um dos lados, que fazem o ângulo agudo, e

pela parte do mesmo lado, que fica entre o ângulo agudo e a

perpendicular, que do vértice do ângulo oposto cai sôbre o

mesmo lado (Figs. 12. 13. 14.).

Seja o triângulo ABC, e nêle o ângulo agudo B. Do ponto A caia (Pr.

12.1.) sôbre BC a perpendicular AD. Digo que o quadrado de AC é tanto menor

que os quadrados de CB e de BA, quanto é duas vêzes o retângulo

compreendido pelas retas CB, BD.

Caia primeiro a perpendicular AD dentro do triângulo ABC (Fig. 13).

Sendo a reta CB dividida no ponto D, serão os quadrados de CB e de BD iguais

a duas vêzes o retângulo de CB, BD, juntamente com o quadrado de DC (Pr.

7.2.). Ajunte-se-lhes o mesmo quadrado de AD. Serão os quadrados de CB, de

BD e de DA iguais a duas vêzes o retângulo de CB, BD, juntamente com os,

quadrados de AD e de DC. Mas o quadrado de AB é igual aos quadrados de BD

ELMENTOS DE GEOMETRIA 38

EUCLIDES

e de DA (Pr. 47. 1.), porque o ângulo BDA é reto; e o quadrado de AC é igual

aos quadrados de AD e de DC. Logo, serão os quadrados de CB e de BA iguais

ao quadrado de AC, juntamente com o dôbro do retângulo de CB, BD. Logo, o

quadrado de AC será tanto menor que os quadrados de CB e de BA, quanto é

duas vêzes o retângulo compreendido pelas retas CB, BD.

Caia agora a perpendicular AD fora do triângulo ABC (Fig. 12). Porque o

ângulo D é reto, será o ângulo ACB maior que um reto (Pr. 16.1.). Logo, o

quadrado de AB é igual aos quadrados de AC e de CB, e a duas vêzes o

retângulo das retas BC, BD (Pr. 12.2.). Ajunte-se-lhes o mesmo quadrado de

BC. Serão os quadrados de AB e de BC iguais ao quadrado de AC, a duas

vêzes o quadrado de BC, e também a duas vêzes o retângulo das retas BC,

CD. Sendo pois a reta BD dividida em C, será o retângulo das retas DB, BC

igual ao retângulo de BC, CD, juntamente com o quadrado de BC (Pr. 3.2.).

Mas os dobros destas quantidades são também iguais. Logo, serão os

quadrados de AB e de BC iguais ao quadrado de AC, e a duas vêzes o

retângulo das retas DB, BC. Logo, o quadrado de AC será tanto menor que os

quadrados de AB e de BC, quanto é duas vêzes o retângulo compreendido

pelas retas CB, BD.

Seja finalmente o lado AC perpendicular sôbre o lado BC (Fig. 14.). Logo,

a reta BC está posta entre a perpendicular AC e o ângulo agudo B. Sendo pois

o quadrado de AB igual aos quadrados de AC e de CB (Pr. 47 .,1.), ajuntando

a uma e outra parte o mesmo quadrado de BC, serão os quadrados de AB e de

BC iguais ao quadrado de AC, e a duas vêzes o quadrado de CB. Mas o

quadrado de CB vem a ser o mesmo que o retângulo das retas CB, BC. Logo,

os quadrados de AB e de BC serão iguais ao quadrado de AC e a duas vêzes o

retângulo de CB, BC e, por conseqüência, será o quadrado de AC tanto menor

que os quadrados de AB e de BC, quanto é duas vêzes o retângulo das retas

CB, BC.

PROP. XIV. PROB.

Construir um quadrado igual a um retilíneo dado (Fig. 15.).

Seja dado o retilíneo A. Deve-se construir um quadrado igual ao retilíneo

Descreva-se o paralelogramo retângulo BCDE igual ao retilíneo A. (Pr.

45.1.). Se fôr EB = ED, estará feito o que se pede, porque BD será um

quadrado igual ao retilíneo A. Mas se não forem iguais os lados BE, ED,

produza-se BE até F, de maneira que seja EF = ED, e corte-se a reta BF em

duas partes iguais no ponto G; e fazendo centro em G, com o intervalo GB ou

GF, descreva-se o semicírculo BHF, e produzida DE até H, tire-se a reta GH.

Porque a reta BF está dividida em duas partes iguais no ponto G, e em duas

desiguais no ponto E, será o retângulo compreendido pelas retas BE, EF,

juntamente com o quadrado de EG igual ao quadrado de GF (Pr. 5.2.). Mas é a

reta GF = GH. Logo, o retângulo das retas BE, EF, juntamente com o quadrado

de EG, será igual ao quadrado GH. Mas os quadrados de HE, EG são iguais ao

quadrado de GH (Pr. 47.1. ). Logo, o retângulo de BE, EF, juntamente com o

quadrado de EG, será igual aos quadrados de HE, EG. Logo, tirando o

ELMENTOS DE GEOMETRIA 39

EUCLIDES

quadrado comum de EG, ficará o retângulo de BE, EF igual ao quadrado de EH.

Mas o retângulo de BE, EF é o mesmo retângulo BD, por ser EF = EI). LQgo,

será BD igual ao quadrado de EH. Mas temos construído o paralelogramo BD

igual ao retilíneo dado A. Logo, o retilíneo A será igual ao quadrado da reta

EH. Logo, fazendo um quadrado sôbre a reta EH, estará feito o que se pedia.

ELMENTOS DE GEOMETRIA 40

LIVRO III

EUCLIDES

DEFINIÇÕES.

Aquêles círculos são iguais, cujos diâmetros são iguais, ou nos quais as

retas, que vão do centro até à circunferência, são iguais.

Esta não é propriamente uma definição, mas sim um teorema de uma

verdade patente. Porque se os círculos, nos quais as ditas retas, tiradas do

centro até à circunferência, são iguais, se aplicarem reciprocamente entre si,

de maneira que os centros venham a cair no mesmo ponto, os círculos se

ajustarão entre si perfeitamente.

Uma linha reta se diz que toca um círculo, ou que é tangente de um

círculo quando, estando no mesmo plano do círculo, encontra a circunferência

sem a cortar. (Fig. 1).

III

Também os círculos se tocam reciprocamente, quando postos no mesmo

plano, as circunferências dêle se encontram, e não se cortam (Fig. 1.).

Em um círculo se diz que aquelas retas distam igualmente do centro,

quando as perpendiculares, que do centro caem sôbre as ditas retas, são

iguais (Fig. 2.).

Mas uma reta se diz mais distante do centro que outra reta, quando a

perpendicular, que do centro cai sôbre a primeira reta, é maior que a

perpendicular, que do mesmo centro cai sôbre a segunda (Fig. 2.).

Segmento de círculo é uma figura compreendida por uma linha reta e por

uma porção da circunferência do círculo (Fig.3.).

VII

O ângulo do segmento é aquêle que é formado pela dita reta, e pela

porção da circunferência (Fig. 3.).

VIII

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 42

EUCLIDES

Um ângulo se diz estar, ou existir no segmento, quando é formado pelas

retas, que de um, ponto qualquer, tomado na circunferência do segmento, se

tiram para os extremos da reta, que é a base do segmento (Fig. 4.).

Quando duas retas, fazendo um ângulo, compreendem entre, si uma

porção da circunferência; o dito ângulo se diz insistir, ou assentar sôbre a dita

parte da, circunferência (Fig. 1).

Setor de círculo é uma figura formada por duas retas, que fazem um

ângulo no centro, e por aquela porção da circunferência, que as ditas retas

compreendem entre si (Fig. 5. ).

Segmentos semelhantes de círculos são aquêles, nos quais existem

ângulos iguais (Fig. 6.).

Às vêzes, para maior comodidade, usaremos dos têrmos raio,

semidiâmetro, arco, e corda, Raio, ou semidiâmetro, significa uma reta

conduzida do centro do círculo até à circunferência. E é manifesto que o raio é

a metade do diâmetro, razão por que também se chama semidiâmetro.

Arco é uma' parte qualquer da circunferência do círculo.

Corda é aquela linha reta, que está tirada entre as extremidades de um

arco qualquer. E fica evidente que a corda de um arco, igual à metade da

circunferência, é o mesmo diâmetro.

PROP. I. PROB.

Achar o centro em um círculo dado (Fig. 7.).

Seja dado o círculo ABC. Deve-se-lhe achar o centro.

Tire-se a reta AB, como se quiser, e dividida pelo meio (Pr. 10.1.) no

ponto D, dêste levante-se DC perpendicular (Pr. 11.1.) sôbre AB. Produza-se

CD até encontrar a circunferência em E, e divida-se CF em duas partes iguais

no ponto F. Digo que F é o centro do círculo ABC.

Se não é F, seja G o centro do círculo ABC. Tirem-se as retas GA, GD, GB.

Sendo DA = DB, e DG comum, serão as duas AD, DG iguais às duas BD, DG,

cada uma a cada uma. Mas é a base GA = GB outra base, por serem ambas

raios do mesmo círculo. Logo, será o ângulo ADG = GDB. (Pr. 8.1.). Mas

quando uma reta, caindo sôbre outra, faz os ângulos adjacentes iguais entre

si, cada um dêstes ângulos é reto (Det. 10.). Logo, o ângulo GDB é reto. Mas

também FDB é reto. Logo, será FDB = GDB, isto é, um ângulo maior será igual

a um menor, o que não pode ser. Logo, o ponto G não é o centro do círculo

ABC. O mesmo se pode demonstrar de outro ponto qualquer, que não seja o

ponto F. Logo, o ponto F é o centro do círculo ABC.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 43

EUCLIDES

COROL. Disto se segue que, se dentro de um círculo, uma linha reta

cortar outra em duas partes iguais e perpendicularmente, o centro do círculo

deve estar na primeira linha que corta a outra.

PROP. II. TEOR.

Se na circunferência de um círculo se tomarem dois pontos

quaisquer, e entre êles como extremos estiver tirada uma linha

reta, esta cairá tôda, dentro do círculo (Fig. 8.).

Seja o círculo ABC, uma circunferência dêle tomem-se dois pontos

quaisquer A, B. Digo que a reta AB, tirada do ponto A até o ponto B, está tôda

dentro do círculo ABC.

Se é possível, caia fora dêle, e seja a reta AEB. Ache-se o centro (Pr.

1.3.) do círculo ABC, o qual seja o ponto D. Tirem-se as retas AD, DB e DE,

que encontrem a circunferência no ponto F. Sendo DA = DB, será o ângulo

DAB = DBA (Pr. 5.1.). E porque no triângulo DAE temos um lado produzido

AEB, será o ângulo DEB>DAE (Pr.16.1.). Mas é DAE = DBE. Logo, será

DEB>DBE. Mas a um ângulo maior fica oposto um lado também maior

(Pr.19.1.). Logo será DB>DE. Mas é DB = DF. Logo, será DF>DE, o que não

pode ser. Logo, a reta tirada entre os pontos A, B não pode cair fora do

círculo. Do mesmo modo se pode demonstrar que não cairá sôbre a

circunferência. Logo, deve cair dentro do círculo.

PROP. III. TEOR.

Se dentro de um círculo uma linha reta, que passa pelo

centro, cortar outra, que não passa pelo centro, em duas partes

iguais, também a cortará perpendicularmente. E se a cortar

perpendicularmente, também a cortará em duas partes iguais

(Fig. 9.).

Seja o círculo ABC, e dentro dêle a reta CD tirada pelo centro E, a qual

corte pelo meio no ponto F a reta AB, que não passa pelo centro. Digo que CD

é perpendicular a AB.

Achado o centro (Pr. 1.3.). E do círculo ABC, tirem-se as retas EA, EB.

Sendo AF = FB, e FE comum, as duas AF, FE serão iguais às duas BF, FE, cada

uma a cada uma. Mas é a base EA = EB outra base. Logo, será o ângulo AFE =

BFE (Pr. 8.1.). Mas quando uma linha reta, caindo sôbre outra, faz os ângulos

adjacentes iguais entre si, cada um dêstes ângulos é reto (Def. 10.1.). Logo,

os ângulos AFE, BFE são retos, e por conseqüência a reta CD, que passando

pelo centro corta em duas partes iguais a reta AB, que não passa pelo centro,

é perpendicular sôbre a mesma reta AB.

Seja agora CD perpendicular a AB. Digo que C]) corta .a reta AB em duas

partes iguais, de maneira que é AF = FB. Feita a mesma construção como.

acima, sendo EA = EB, por serem semidiâmetros do mesmo círculo, será o

ângulo EAF = EBF (Pr. 5.1.). Mas é também. AFE = BFE por serem ambos

êstes ângulos retos. Logo, os dois triângulos EAF, EBF têm dois ângulos iguais

a dois ângulos, cada um a cada um, e um lado igual a um lado, isto é, o lado

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 44

EUCLIDES

comum EF, que é oposto a ângulos iguais. Logo, os outros lados dos ditos

triângulos serão iguais aos outros lados, cada um a cada um (Pr. 26.1.) e por

conseqüência será AF = FB.

PROP. IV. TEOR.

Se em um círculo duas retas, as quais ambas não passam

juntamente pelo centro, se cortarem reciprocamente, não se

poderão cortar em duas partes iguais (Fig. 10.).

Seja o círculo ABCD, e dentro dêle no ponto E cortem-se as duas retas

AC, BD, que não passam pelo centro. Digo que as retas AC, BD não se podem

cortar em duas partes iguais.

Seja, se fôr possível, AE = EC, e BE = ED. Se uma das retas passar pelo

centro, claro está que não poderá ser cortada em duas partes iguais pela

outra, que não passa pelo centro. Mas, se nenhuma delas passar pelo centro,

achado o centro F do círculo ABCD (Pr. 1.3.), tire-se a reta EF. Logo, a reta FE,

que passa pelo centro, cortando em duas partes iguais a reta AC, que não

passa pelo centro, também a cortará perpendicularmente (Pr. 3.3.), e assim

será FEA um ângulo reto. Pela mesma razão, deve ser reto o ângulo FEB.

Logo, será FEA = FEB, isto é, um ângulo menor igual a um ângulo maior, o

que não pode ser. Logo, as retas AC, DB não se cortam reciprocamente em

duas partes iguais.

PROP. V. TEOR.

Se dois círculos reciprocamente se cortarem, não poderão

ter um mesmo centro comum (Fig. 11.).

Cortem-se reciprocamente os dois círculos ABC, CDG nos pontos B, C.

Digo que êstes círculos não podem ter um mesmo centro.

Seja E, se é possível, o centro comum de ambos. Tire-se a reta EC, e a

outra EFG, como se quiser. Porque o ponto E é o centro do círculo ABC, será

CE = EF. E porque o mesmo ponto E é o centro do círculo CDG, será CE = EG,

e por conseqüência FE = EG, isto é, uma reta menor igual a uma maior, o que

é absurdo. Logo, o ponto E não pode ser centro comum de ambos os círculos

ABC, CDG.

PROP. VI. TEOR.

Se dois círculos se tocarem interiormente, não poderão ter

um mesmo centro comum (Fig. 12.).

Toquem-se interiormente os círculos ABC, CDE no ponto C. Digo que

êstes círculos não podem ter um mesmo centro.

Seja F, se é possível, o centro comum de ambos. Tire-se FC, e também a

outra FEB, como se quiser. Porque F é o centro do círculo ABC, será CF = FB.

E porque o mesmo ponto F é também centro do círculo CDE, será CF = FE, e

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 45

EUCLIDES

assim FE = FB, isto é, uma reta menor igual a uma maior, o que não pode ser.

Logo, não é o ponto F o centro comum dos círculos ABC, CDE.

PROP. VII. TEOR.

Se no diâmetro de um círculo se tomar um ponto qualquer,

que não seja o centro do círculo, e se do dito ponto se tirarem

para a circunferência quaisquer linhas retas, entre tôdas estas

retas a máxima será aquela na qual estiver o centro, e a mínima

o resto da máxima para diâmetro inteiro. Entre as outras aquela,

que estiver mais perto da máxima, será sempre maior que outra

qualquer mais afastada da dita máxima. Finalmente, do mesmo

ponto não se poderão tirar para a circunferência senão duas

retas iguais, e estas cairão para uma e outra parte daquela, que

entre tôdas fôr a mínima (Fig. 13.).

Seja o círculo ABCD, cujo diâmetro seja AD. Tome-se em AD o ponto F,

que não seja o mesmo que o ponto E, que é o centro do círculo.

Do ponto F para a circunferência ABCD tirem-se as retas FB, FC, FG. Digo

que FA é a máxima, e FD a mínima entre tôdas as retas, que do ponto F vão

para a circunferência. Digo também ser FB>FC, e FC>FG.

Tirem-se as retas BE, CE, GE. Porque em um triângulo qualquer dois

lados são maiores que o terceiro (Pr. 20.1.), serão BE, EF juntamente maiores

que BF, mas é AE = BE, e por conseqüência as duas BE, EF iguais a AF. Logo,

será AF>FB. Também sendo BE = CE, e FE comum, as duas BE, EF serão

iguais às duas CE, EF. Mas é o ângulo BEF>CEF. Logo, será a base BF>FC (Pr.

24.1.), que é outra base. Pela mesma razão, deve ser CF>FG. Sendo pois CF,

FE juntamente maiores que EG, e sendo EG = ED, serão as duas GF, EF

maiores que ED. Logo, tirando a comum FE, ficará GF>FD. Logo FA é a

máxima, FD a mínima; e BF>FC, e FC>FG. Digo, finalmente, que do ponto F

para a circunferência se poderão tirar somente duas retas iguais entre si, e

que estas duas retas cairão uma para uma, e outra para outra parte da

mínima FD. No ponto E, e com a reta EF faça-se (Pr. 23.1,) o ângulo FEH =

GEF, e tire-se FH. Porque temos GE = EH, e EF comum, as duas GE, EF serão

iguais às duas HE, EF. Mas é o ângulo GEF = HEF. Logo, será (Pr. 4.1.) a base

GF = FH outra base. Digo que do ponto F para a circunferência não se pode

tirar outra reta nenhuma igual à reta FG, que não seja a reta FH. Seja, se é

possível, a reta FK = FG. Sendo FK = FG, e FG = FH, será FK = FH, isto é, a

mais próxima igual à outra mais afastada da reta, que passa pelo centro, e

contra o que temos demonstrado.

PROP. VIII. TEOR.

Se fora de um círculo se toma, um ponto qualquer, e dêste

se tirarem para a circunferência algumas linhas retas, como se

quiser, das quais, porém, uma passe pelo centro, entre aquelas,

que caírem na parte côncava da circunferência, a máxima será a

que passar pelo centro e, entre as outras, a que estiver mais

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 46

EUCLIDES

perto da máxima, será sempre maior que outra qualquer mais

afastada dela. Mas entre as retas, que caírem na parte convexa

da circunferência, a mínima será aquela que, produzida, passar

pelo centro; e entre as, outras a que estiver mais perto da

mínima será sempre menor que outra qualquer mais afastada

dela. Finalmente, do mesmo ponto não se poderão tirar para a

circunferência mais de duas retas iguais, e destas uma cairá

para uma parte, e a outra para a parte oposta a respeito da

reta, que entre tôdas fôr a mínima (Fig. 14.).

Seja o círculo ACB, e fora dele o ponto D. Dêste ponto considerem-se

tiradas para a circunferência do círculo as retas DA, DE, DF, DO, e passe DA

pelo centro. Digo que entre as retas, que caírem na parte côncava da

circunferência AEFC, a reta DA, que passa pelo centro, será a máxima; e que

será DE>DF, e DF>DC. Mas entre as retas, que caírem na parte convexa

HLKG, a mínima será a reta DG, que, produzida, passa pelo centro: e que será

DK<DL, e DL<DH.

Ache-se (Pr. 1.3.) o centro M do círculo ACB, e tirem-se as retas ME, MF,

MC, MK, ML, MH. Sendo AM = ME, ajuntando a uma e outra parte a mesma

reta MD, será AD igual às duas EM, MD. Mas EM, MD juntamente são maiores

(Pr. 20.1.) que EL. Logo, será AD>ED. Sendo também ME = MF, e MD comum,

serão as duas EM, MD iguais às duas FM, MD. Mas é o ângulo EMD>FMD.

Logo, será (Pr. 24.1.) a base ED>FD outra base. Do mesmo modo

demonstraremos ser FD>CD. Logo, DA é a máxima; e DE>DF, e DF>DC. E

porque MK, KD tomadas juntas são maiores que MD; e temos MK = MG;

tirando de uma e outra parte as duas MK, MG, ficará (Ax. 4.) KD>GD; e por

conseqüência GD<KD. Logo, GD é a mínima. E porque sôbre o lado MD do

triângulo MLD estão tiradas dentro do mesmo triângulo as duas retas MK, KD,

serão as duas MK, KD tomadas juntas menores (Pr. 21.1.) que as duas ML,

LD. Logo, tirando destas as iguais MK, ML, ficará DK<DL. Do mesmo modo se

pode demonstrar que deve ser DL<DH. Logo, DG é a mínima; e DK<DL, e

DL<DH.

Digo também que do ponto D não se poderão tirar, para a circunferência,

senão duas retas iguais, uma para uma e outra para outra parte da reta DG,

que é a mínima. Sôbre a reta MD e no ponto M faça-se o ângulo DMB = KMD;

e tire-se DE. Sendo pois MK = MB, e MD comum, serão as duas KM, MD iguais

às duas BM, MD, cada uma a cada uma. Logo, sendo o ângulo KMD = BMD,

será , (Pr. ,4.1.) a base DK = DB outra base.

Digo agora que do ponto D se não pode tirar para a circunferência outra

reta igual à reta DK. Seja, se é possível, DN = DK. Logo, sendo DN = DK e DK

= DB, será DB = DN, isto é, a mais próxima igual à mais afastada da reta DG,

que é a mínima, contra o que se tem, demonstrado.

PROP. IX. TEOR.

Se de um ponto tomado dentro de um círculo caírem na

circunferência mais de duas retas iguais entre si, o dito ponto

será o centro do círculo (Fig. 15.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 47

EUCLIDES

Esteja dentro do círculo ABC o ponto D, do qual se oponham, tiradas para

a circunferência, as três retas iguais DA, DB, DC. Digo que o ponto D é o

centro do círculo ABC, Se D não é centro, sê-lo-á o ponto E. Tire-se DE, e

produza-se, de uma e outra parte, para a circunferência até os pontos F, e G.

Será FG o diâmetro do círculo ABC. E porque no diâmetro FG está o ponto D,

que não é o centro do círculo, será DG a máxima, e também será DC>DB, e

DB>DA (Pr. 7.3.), o que é absurdo, porque, pela, hipótese, as três retas DA,

DE, DO são iguais. Logo, o ponto E não pode ser o centro do círculo ABC. O

mesmo se demonstrará de outro ponto qualquer, que não seja o ponto D.

Logo, o ponto D é o centro do círculo ABC.

PROP. X. TEOR.

Um círculo não pode cortar outro círculo em mais de dois

pontos (Fig. 16.).

Deve-se isto entender a respeito das circunferências dos, mesmos

círculos.

O círculo ABC corte, se fôr possível, o círculo DEF em mais de dois

pontos, isto é, nos três pontos B, G, F; e seja K o centro do círculo ABC.

Tirem-se as retas KB, KG, KF. Porque dentro do círculo DEF se tem tomado o

ponto K, do qual para a circunferência estão tiradas as três retas iguais KB,

KG, KF, será o ponto K o centro (Pr. 9.3.) do círculo DEF. Mas, pela suposição,

o ponto K é também o centro do círculo ABC. Logo, o mesmo ponto K será o

centro comum de dois círculos, que reciprocamente se cortam, o que não pode

ser (Pr. 5.3.). Logo, um círculo não corta outro círculo em mais de dois pontos.

PROP, XI. TEOR.

Se dois círculos interiormente se tocarem, a reta, que fôr

tirada pelos centros dêles, passará também pelo contacto dos

mesmos círculos (Fig. 17.).

Toquem-se interiormente os dois círculos ABC, ADE no ponto A e seja F o

centro do círculo ABC, e G o centro do círculo ADE. Digo que a reta tirada

pelos dois centros F, G passa pelo ponto do contacto A.

Não seja assim, mas caia, se fôr possível, para fora do contacto A, e seja

a reta FGDH. Tirem-se os raios AF, AG. Porque as duas retas AG, GF são

maiores (Pr. 20.1.) que FA, isto é, são maiores que FH, por ser FA = FH,

tirando a comum FG, ficará AG>GH. Mas é AG = GD. Logo, será GD>GH, o

que não pode ser, porque temos GH>GD. Logo, a reta, que passa pelos

centros F, G não cai para fora do contacto A. Logo, deve passar pelo mesmo

contacto.

PRÓP. XII. TEOR.

Se dois círculos se tocarem exteriormente, a reta, que

passar pelos centros dêles, passará também pelo contacto (Fig.

18.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 48

EUCLIDES

Toquem-se exteriormente os dois círculos ABC, ADE no ponto A; e seja F

o centro do círculo ABC, e G o centro do círculo ADE. Digo que a reta tirada

pelos centros F, G passa pelo contacto A.

Se assim não é, caia para fora do contacto A, e seja a reta FCDG. Tirem-

se os semidiâmetros FA, AG. Sendo F o centro do círculo ABC, será AF = FC. E

sendo G o centro do círculo ADE, será AG = GD. Logo, as duas FA, e

juntamente AG são iguais às duas FC, DG também tomadas juntamente. Logo,

a total FG é maior que as duas FA, AG, o que não pode ser, porque a mesma

FG é menor (Pr. 20.1.) que as duas FA, AG. Logo, a reta tirada pelos centros

F, G não cai para fora do contacto A. Logo, passa pelo mesmo contacto.

PROP. XIII. TEOR.

Um círculo não toca outro círculo em mais de um ponto,

tanto interior como exteriormente (Fig.19.).

O círculo EBF toque o círculo ABC, interiormente, em mais de um ponto,

se fôr possível, como nos dois pontos B, D.

Tirada a reta BD, tire-se também a reta GH, a qual corte a BD

perpendicularmente, e em partes iguais (Pr. 10 e 11.1.). Porque os pontos B,

D estão nas circunferências de ambos os círculos, e a reta BD estará tôda

dentro de um e outro círculo (Pr. 2.3.). Logo, na reta GH, que corta a reta BD

perpendicularmente, e em duas partes iguais, devem existir os centros (Cor.

1.3.) ambos os círculos. Logo, a reta GH produzida passará pelo ponto do

contacto (Pr. 11.3.). Mas não passa pelo contacto, porque os pontos B, D

estão fora da reta GH, o que é absurdo. Logo, um círculo não toca outro

círculo pela parte de dentro mais em de um ponto. Também digo que dois

círculos se não podem tocar pela parte de fora em mais de um ponto.

O círculo AKC toque o círculo ABC (Fig. 20.), se é possível, em mais de

um ponto, isto é, nos pontos A, C. Tire-se a reta AC. Estando pois os pontos A,

C na circunferência do círculo AKC, a reta AC cairá tôda dentro (Pr. 2.3.) do

mesmo círculo AKC. Mas o círculo AKC está inteiramente fora do círculo ABC.

Logo, a reta AC está fora do círculo ABC. Também porque os pontos A, C estão

na circunferência do círculo ABC, a mesma reta AC deve estar dentro do

círculo ABC. Logo, a reta AC está dentro e fora do mesmo círculo ABC, O que é

absurdo. Logo, um círculo não toca outro círculo peia parte de fora em mais de

um ponto.

PROP. XIV. TEOR.

Em todo o círculo as retas iguais distam igualmente do

centro; e as que distam, igualmente do centro são iguais (Fig.

21.).

Seja o círculo ABDC, e nêle as retas iguais AB, CD, tiradas entre os

pontos da circunferência A, B, C, D. Digo que que estas distam igualmente do

centro.

Seja E o centro do círculo ABDC, e do ponto E caiam caiam sobre as retas

AB, CD as perpendiculares EF, EG. Tirem-se as retas AE, EC. Porque a reta EF,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 49

EUCLIDES

que passa pelo centro, corta perpendicularmente a reta AB, que não passa

pelo centro, esta reta AB ficará dividida em duas partes iguais. (Pr. 3.3.), e

será AF = FB, e assim AB será o dôbro de AF. Pela mesma razão será CD o

dôbro de CG. Mas é AB = CD. Logo, será AF =CG. Sendo pois AE = EC, será o

quadrado de AE igual ao quadrado de EC. Mas os quadrados de AF, FE são

iguais (Pr. 47.1.) ao quadrado de AE, por ser reto o ângulo AFE; e os

quadrados de EG, GC são iguais ao quadrado de EC, porque o ângulo EGC é

reto. Logo, os quadrados de AF, FE são iguais aos quadrados de CG, GE. Mas o

quadrado de AF é igual ao quadrado de CG, por ser AF = CG. Logo, o

quadrado de FE será igual ao quadrado de EG, e assim será: FE = EG. Mas em

um círculo as retas distam igualmente do centro, quando as perpendiculares,

que do centro caem sôbre elas, são iguais (Def. 4.3.). Logo, as retas AB, CD

distam igualmente do centro E.

Sejam agora as retas AB, CD igualmente distantes do centro E, isto é,

seja FE = EG. Digo que será AB = CD. Feita a mesma construção como acima,

se poderá do mesmo modo demonstrar que a reta AB é a dôbro da reta AF, e

CD é o dôbro de CG. E porque temos AE = EC, o quadrado de AE será igual ao

quadrado de EC. Mas as quadrados de EF, FA são iguais ao quadrado de AE; e

os quadrados de EG, GC são iguais ao quadrado de EC. Logo, os quadrados de

EF, FA são iguais aos quadrados de EG, GC. Mas a quadrado de EF é igual ao

quadrado de EG, por ser EF = EG. Logo, a quadrado de AF será igual ao

quadrado de CG, e por conseqüência será AF = CG.Mas AB é a dôbro de AF, e

CD é o dôbro de CG. Logo, será AB = CD.

PROP. XV. PROB.

Em todo o círculo o diâmetro é a máxima de tôdas as retas,

que podem estar dentro do mesmo círculo; e entre as outras

aquela, que está mais perto do centro, é sempre maior que

outra qualquer mais afastada do mesmo centro. Pelo contrário

aquela, que é maior, fica mais perto do centro, que outra

qualquer menor (Fig. 22.).

Seja o círculo ABCD, cujo diâmetro é AD, e a centro E. Seja a reta BC a

mais próxima ao centro E, e a reta FG a mais apartada dêle. Digo que o

diâmetro AD é a máxima entre tôdas as retas, que se podem tirar dentro do

círculo ABCD; e digo que é BC>FG.

Tirem-se do centro E sôbre as retas BC, FG as duas perpendiculares EH,

EK, e também os semidiâmetros EB, EC, EF. Sendo AE = EB, e DE = EC, será

AD igual às duas BE, BC tomadas juntas. Mas BE, EC são maiores (Pr. 20.1.)

que BC. Logo será AD>BC.

E porque BC está mais perto do centro do que FG, será EK>EH (Def.5.3.).

Mas BC, como temos demonstrado na proposição precedente, é o dôbro de

BH, e FG é o dôbro de FK; e os quadrados de EH, HB são iguais aos quadrados

de EK, KF, dos quais o quadrado de EH é menor que o quadrado de EK, por ser

EH<EK. Lago, o quadrado de BH será maior que o quadrado de FK, e assim

será BH>FK, BC>FG.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 50

EUCLIDES

Seja porém BC>FG. Digo, que a reta BC estará mais perto do centro do

que a reta FG; isto é, feita a mesma construção, será EH<EK. Porque sendo

BC>FG, será BH>FK. Mas os quadrados de BH, HE são iguais aos quadrados

de FK, KE, dos quais a quadrado de BH é maior que a quadrado de FK, por ser

BH>FK. Logo, o quadrado de EH será menor que o quadrado de EK, e por

conseqüência será EH<EK.

PROP. XVI. TEOR.

A reta, que de uma extremidade do diâmetro de um círculo

se levantar, perpendicularmente, sôbre o mesmo diâmetro, cairá

tôda fora do círculo; e entre esta reta e a circunferência não se

poderá tirar outra linha reta alguma; que é o mesmo que dizer,

que a circunferência do círculo passará entre a perpendicular ao

diâmetro, e a reta que com o diâmetro fizer um ângulo agudo,

por groode que seja; ou também que a mesma circ1tnferência

passará entre a dita perpendicular e outra reta, que fizer com a

mesma perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que

seja (Figs. 23 e 24.).

Seja a círculo ABC, cujo centro seja D, e a diâmetro AB. Digo que a reta,

que se levantar da extremidade A, perpendicularmente, sôbre o diâmetro AB,

cairá tôda fora do círculo ABC.

Não seja assim, mas caia, se é possível, dentro do círculo, como a reta

AC. Tire-se DC. Sendo DA = DC, será o ângulo DAC = ACD (Pr. 5.1.). Mas DAC

é reto. Logo, será também reto o ângulo ACD. Logo, no triângulo ACD, os dois

ângulos DAC, ACD serão iguais a dois retos, o que não pode ser (Pr. 17.1.).

Logo, a reta, que do ponto A, se levante perpendicularmente sôbre o diâmetro

BA, não cai dentro do círculo. Do mesmo modo se pode demonstrar, que não

assenta sôbre a circunferência. Logo, cai fora do círculo, como a reta AE (Fig.

24.).

Digo mais que entre a reta AE e a circunferência ACB não se pode

conduzir outra linha reta alguma (Fig. 24.).

Porque, se é possível, entre a circunferência ACB, e a perpendicular AE,

esteja tirada a reta FA. Do ponto D seja conduzida sôbre FÁ a perpendicular

(Pr. 12.1.) DHG. Por ser o ângulo AGD reto, e o ângulo DAG menor que um

reto (Pr.17.1.), será DA>DG (Pr. 19.1.). Mas teremos DA = DH. Logo, será DH

>DG, o que é absurdo, sendo DH<GD. Logo, entre a reta AE e a circunferência

ACB, não se poderá tirar outra linha reta alguma; isto é, a circunferência do

círculo passará entre a perpendicular, sôbre o diâmetro, e a reta, que com o

diâmetro fizer um ângulo agudo, por grande que seja; ou também a mesma

circunferência passará entre a dita perpendicular e outra reta, que faça com a

perpendicular um ângulo qualquer, por pequeno que seja.

Isto somente, e não outra coisa alguma se deve entender, quando no

texto grego e nas versões o ângulo do semicírculo é chamado o maior entre

todos os ângulos agudos; e o outro, que falta para o complemento de um

ângulo reto, o menor entre todos os ângulos também agudos.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 51

EUCLIDES

COROL. Do que se tem demonstrado fica claro, que a reta, a qual de uma

extremidade do diâmetro de um círculo se levanta perpendicularmente sôbre o

mesmo diâmetro, é tangente do círculo e o toca em um ponto só; porque já

temos visto que uma reta, que encontra a circunferência de um círculo em

dois pontos, está dentro do círculo (Pr . 2.3.). Também se faz evidente que

uma só linha reta pode ser tangente de um círculo, no mesmo ponto.

PROP. XVII. PROB.

De um ponto dado, e existente fora de um círculo, ou na

circunferência dêle, tirar uma linha reta tangente ao mesmo

círculo (Fig. 25.).

Seja dado primeiramente o ponto A fora do círculo BCD. Deve-se tirar do

ponto A uma linha reta, que toque o círculo dado BCD.

Achado o centro E do círculo (Pr. 1.3.) BCD, e tirada a reta AE, com o

centro E e o semidiâmetro EA descreva-se o círculo AFG; e do ponto D tire-se

DF perpendicular (Pr. 11.1.) a EA. Tirem-se também as retas EBF, AB. Digo

quo do ponto A está conduzida a reta AB, que toca o círculo BCD no ponto B.

Sendo aponto E o centro dos círculos BCD, AFG, será EA = EF, e ED = EB.

Logo, as duas AE, EB são iguais às duas FE, ED. Mas estas retas compreendem

o ângulo comum E. Logo, será a base DF = AB outra base; e o triângulo EDF

igual ao triângulo EBA, e os outros ângulos iguais aos outros ângulos (Pr.

4.1.), cada um a cada um, os opostos a lados iguais. Logo, será EBA = EDF.

Mas EDF é um ângulo reto. Logo, será também reto o ângulo EBA. Mas a reta

EB é um semidiâmetro; e uma reta, que de uma extremidade do diâmetro de

um círculo se levanta perpendicularmente sôbre o diâmetro, toca o círculo

(Cor. 16.3.). Logo, a reta AB toca círculo CDB no ponto B.

Esteja agora o ponto D na circunferência do círculo BCD. Conduzida a reta

DE, do ponto D tire-se a reta DF perpendicular (Pr. 11.1.) a DE. A reta DF

tocará (Cor. 16.3.) o círculo BCD no ponto D. Logo, de um ponto dado temos

conduzido uma tangente a um círculo dado.

PROP. XVIII. TEOR.

Se uma linha reta tocar um círculo, e do centro fôr tirada

para o ponto do contacto outra reta, esta cairá

perpendicularmente sôbre a tangente (Fig. 26.),

A reta DE toque o círculo ABC no ponto C, e do centro F do círculo seja

tirada para o ponto C a reta FC, Digo, que FC é perpendicular a DE.

Se FC não é perpendicular a DE, do ponto F tire-se FBG perpendicular

(Pr. 12.1.) a DE. Porque o ângulo FGC é reto, será GCF agudo (Pr. 17.1.). Mas

o lado, que fica oposto a um ângulo maior, é também maior (Pr. 19.1.). Logo,

será FC>FG. Mas é FC = FB. Logo, será FB>FG, o que é absurdo, por ser

FB<FG. Logo, FG não é perpendicular a DE. O mesmo se pode demonstrar de

outra reta qualquer, que não seja a reta FC. Logo, FC é perpendicular a DE.

PROP. XIX. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 52

EUCLIDES

Se uma linha reta tocar um círculo, e do ponto do contacto

se tirar outra reta perpendicular sôbre a tangente, o centro do

círculo estará na dita reta perpendicular (Fig. 27.).

A reta DE toque o círculo ABC no ponto C, e dêste ponto sôbre a tangente

DE esteja levantada a perpendicular CA. Digo que o centro do círculo ABQ está

na reta CA.

Se o centro do círculo ABC não estiver na reta CA, estará fora dela, como

o ponto F. Tire-se CF. Porque a reta DE toca o círculo ABC no ponto C, e do

centro F está tirada para o ponto do contacto C a reta FC; será FC

perpendicular (Pr. 18.3.) a DE, e por conseqüência o ângulo FCE será reto.

Mas também é reto o ângulo ACE. Logo, será FCE = ACE, o que não é possível,

por ser FCE<ACE. Logo, o ponto F não é o centro do círculo ABC. O mesmo se

demonstra de todos os mais pontos, que estejam fora da reta AC. Logo, o

centro do círculo ABC deve estar na reta AC.

PROP. XX. TEOR.

Em todo o círculo o ângulo, que é feito no centro, é o dôbro

do ângulo, que está na circunferência, tendo cada um dêstes

ângulos como por base a mesma porção da circunferência (Figs.

28 e 29.).

Seja o círculo ABC, e esteja no centro E dêle o ângulo BEC, e na

circunferência o ângulo BAC; e tenham os ângulos BEC, BAC como por base a

mesma porção ou arco BC da circunferência. Digo que o ângulo BEC é o dôbro

do ângulo BAC.

Caia em primeiro lugar o centro E (Fig. 28.) entre os lados do ângulo

BAC. Tire-se o diâmetro AEF. Sendo EA = EB, será o ângulo EAB = EBA (Pr.

5.1). Logo, os dois ângulos EAB, EBA tomados juntos fazem o dôbro do ângulo

EAB. Mas o ângulo BEF é igual (Pr. 32.1.) aos ângulos EAB, EBA. Logo, o

ângulo BEF será o dôbro do ângulo EAB. Pela mesma razão deve ser o ângulo

FEC o dôbro do ângulo EAC. Logo, o ângulo total BEC é o dôbro do ângulo total

BAC. Caia em segundo lugar o centro E (Fig. 29.) fora do ângulo BDC. Tire-se

o diâmetro DEG. Do mesmo modo se pode demonstrar que o ângulo GEC é o

dôbro do ângulo GDC. Mas GEB é o dôbro de GDB. Logo, tirando de GEC o

ângulo GEB, e de GDC o ângulo GDB, ficará sendo o resto BEC o dôbro do

resto BDC.

PROP. XXI. TEOR.

Em todo o círculo os ângulos, que existem no mesmo

segmento, são iguais entre si (Figs. 30 e 31.).

Seja o círculo ABCD, em cujo segmento BAED estejam os ângulos BAD,

BED. Digo que êstes ângulos são iguais entre si.

Seja o ponto F o centro do círculo ABCD (Fig. 30.), e o segmento BAED

seja primeiramente maior que o semicírculo. Tirem-se as retas BF, FD. Sendo,

pois, o ângulo BFD feito no centro, e o ângulo BAD na circunferência, e tendo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 53

EUCLIDES

êstes ângulos por base o mesmo arco BCD, será o ângulo BFD o dôbro (Pr.

20.3.) do ângulo BAD. Pela mesma razão o ângulo BFD é o dôbro do ângulo

BED. Logo, será o ângulo BAD = BED.

Agora o segmento (Fig. 31.) BAED não seja maior que o semicírculo; e

nêle existam os ângulos BAD, BED. Deve-se demonstrar que êstes ângulos são

iguais entre si. Tirado o diâmetro AFC e a reta CE, o segmento BAEC será

maior que o semicírculo. Logo, os ângulos BAC, BEC existentes no segmento

BAEC serão iguais. Com a mesma demonstração se prova serem iguais os

ângulos CAD, CED. Logo, serão também iguais os ângulos totais BAD,BED.

PROP. XXII. TEOR.

Os ângulos opostos de um quadrilátero, existentes em um

círculo, tomados juntos são iguais a dois retos (Fig. 32.).

Seja o círculo ABCD, e nêle exista o quadrilátero ABCD. Digo que os

ângulos opostos dêste quadrilátero tomados juntos são iguais a dois retos.

Tirem-se as retas AC, BD. Porque os três ângulos de um triângulo

qualquer são iguais a dois retos (Pr. 32.1.), os três ângulos CAB, ABC, BCA

serão iguais a dois retos. Mas é CAB = CDB, por estarem ambos no mesmo

segmento BADC; e também é ACB = ADB, porque cada um dêstes ângulos

existe no mesmo segmento ADCE. Logo, será o ângulo total ADC igual aos dois

BAC, ACB. Ajunte-se-lhe o mesmo ângulo ABC. Serão os três ABC, CAB, BCA

iguais aos dois ABC, ADC. Mas os três ABC, CAB, BCA são iguais a dois retos.

Logo, os dois ABC, ADC serão também iguais a dois retos. O mesmo se

demonstra a respeito dos outros dois ângulos opostos BAD, DOE.

PROP. XXIII. TEOR.

Sôbre a mesma linha reta e para a mesma parte não

podem existir dois segmentos semelhantes de círculos, sem

caírem um sôbre o outro (Fig. 33.).

Sôbre a reta AB estejam para a mesma parte, se é possível, a dois

segmentos semelhantes, ACB, ADB, e suponha-se que se não ajustam um

sôbre o outro. Havemos de demonstrar que a suposição é falsa, e que os dois

segmentos se ajustam entre si perfeitamente. Porque o círculo ACB corta o

círculo ADB nos dois pontos A, B, o primeiro não poderá cortar o segundo em

nenhum outro ponto (Pr. 10.3.). Logo, segue-se que um segmento de um

círculo deve cair dentro do segmento do outro círculo. Caia, pois, o segmento

ACB dentro do segmento ADB. Tirem-se as retas BCD, CA, DA, porque os

segmentos ACB, ADB, pela suposição, são semelhantes, será o ângulo ACB =

ADB (Def. 11.3.), isto é, o ângulo externo igual a um dos internos e opostos, o

que não pode ser (Pr. 16.1.). Logo, sôbre a mesma linha reta, e para a mesma

parte, não podem existir dois segmentos semelhantes de círculos, sem caírem

um sôbre o outro. Logo, êstes segmentos devem ajustar-se entre si

perfeitamente.

PROP. XXIV. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 54

EUCLIDES

Os segmentos semelhantes de círculos, que estão postos

sôbre linhas retas iguais, são também iguais (Fig. 34.).

Sôbre as retas iguais AB, CD estejam postos os segmentos semelhantes

de círculos AEB, CFD. Digo que êstes segmentos são iguais.

Pôsto o segmento AEB sôbre o segmento CFD de maneira que o ponto A

caia sôbre o ponto C, e a reta AB sôbre a reta CD, o ponto B cairá sôbre o

ponto D, por ser AB = CD. Logo, o segmento AEB deve ajustar-se (Pr.23.3.)

sôbre o segmento CFD, e por conseqüência êstes segmentos são iguais.

PROP. XXV. PROB.

Dado um segmento de círculo, descrever o círculo inteiro,

do qual é segmento o dado (Figs. 35, 36 e 37.).

Seja dado o segmento de círculo ABC. Deve-se descrever o círculo de que

ABC é um segmento.

Divida-se a reta AC pelo meio (Pr. 10.1.) no ponto D, e dêste ponto D

levante-se sôbre AC a perpendicular (Pr. 11.1.) DE. Tire-se a reta AE. Se os

ângulos ABD, BAD forem iguais (Fig. 35.), será BD = DA (Pr. 6.1.), e por

conseqüência BD = BC. Sendo, pois, as três retas DA, DB, DC iguais entre si,

será D o centro (Pr. 9.3.). do círculo. Logo, se com o centro D e com o

intervalo igual a uma das retas DA, DB, DO se descrever um círculo, êste

passará pelas extremidades das mesmas retas DA, DB, DC, e teremos o

círculo de que ABC é um segmento. E porque o centro D está na reta AC, será

o segmento ABC um semicírculo. Mas se os ângulos (Figs. 36 e 37.) ABD, BAD

forem desiguais, faça-se no ponto A com a reta AB o ângulo BAE = ABD (Pr.

23.1. ), e produza-se BD, se fôr preciso, para o ponto E, e tire-se a reta EC.

Porque temos o ângulo ABE = BAE, será BE = EA (Pr. 23 .1. ). E sendo AD =

DC, e DE comum, as duas AD, DE serão iguais às duas CD, DE, cada uma a

cada uma. Mas é o ângulo ADE = CDE, porque ambos são retos. Logo, será a

base (Pr. 4.1.) AE = EC outra base. Mas tem-se demonstrado ser AE = EB.

Logo, será também BE = EC, e conseqüentemente as três retas AE, EB, EC

serão iguais entre si. Logo, será o ponto E o centro do círculo. Com o centro E

e com o intervalo igual a uma das retas AE, EB, EC descreva-se um círculo;

êste passará pelas extremidades de tôdas as ditas retas, e será o círculo de

que ABC é um segmento. E claro está: 1º Que, se o ângulo ABD (Fig. 36.) fôr

maior que o ângulo BAD, o centro E cairá fora do segmento ABC, que por isto

será menor que o semicírculo. 2º Que, se o ângulo ABD fôr menor (Fig. 37.)

do que o ângulo BAD, o centro E cairá dentro do segmento ABC, o qual por

conseqüência será maior que o semicírculo. Logo, sendo dado um segmento

de círculo, temos descrito o círculo, de que era segmento o dado.

PROP. XXVI. TEOR.

Em círculos iguais os ângulos, que são iguais, e existem ou

nos centros ou nas circunferências, assentam sôbre arcos

também iguais (Fig. 38.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 55

EUCLIDES

Sejam os círculos iguais ABC, DEF, em cujos centros G, H existam os

ângulos iguais BGC, EHF, e nas circunferências existam os ângulos também

iguais BAC, EDF. Digo que os arcos BKC, ELF, sôbre os quais assentam os

ditos ângulos, são iguais.

Tirem-se as retas BC, EF. Porque os círculos ABC, DEF são iguais, serão

também iguais os seus semidiâmetros. Logo, as duas retas BG, GC são iguais

às duas EG, HF.

Mas pela hipótese é o ângulo G = H. Logo, será a base BC = EF outra

base (Pr.4.1.). E porque também é o ângulo A = D, serão os segmentos BAC,

EDF semelhantes (Def. 11.3.). Mas êstes segmentos estão postos sôbre as

retas iguais BC, EF; e os segmentos de círculos os quais, sendo semelhantes,

estão sôbre retas iguais, são também iguais (Pr. 24.3.). Logo, será o

segmento BAC igual ao segmento EDF. Mas os círculos ABC, DEF são iguais.

Logo, os outros segmentos BKC, ELF devem ser iguais, e por conseqüência são

também iguais os arcos BKC, ELF.

PROP. XXVII. TEOR.

Em círculos iguais os ângulos, que assentam sôbre arcos

iguais, são iguais, ou existam os ditos ângulos nos centros, ou

nas circunferências (Fig. 39.).

Nos círculos iguais ABC, DEF, e sôbre os arcos iguais BC, EF estejam

postos os ângulos EGC, EHF feitos nos centros G, H, e também os ângulos

BAC, EDF existentes nas circunferências BAC, EDF. Digo que será o ângulo

BGC = EHF, e BAC = EDF.

Se fôr o ângulo BGC = EHF, claro está que será também o ângulo BAC =

EDF. (Pr.20.3.). Mas se supusermos que um dêles é maior que o outro, seja

BGC o maior. Sôbre a reta BG, e no ponto G, faça-se (Pr.23.1.) o ângulo BGK

= EHF. Os ângulos, feitos nos centros e iguais entre si, assentam sôbre arcos

iguais (Pr. 26.3.). Logo, será o arco BK igual ao arco EF. Mas era EF = BC.

Logo, deve ser BE = BC, o que não é possível, sendo BK<DC. Logo, não são

desiguais os ângulos BGC, EHF. Logo, são iguais. Mas o ângulo A é a metade

(Pr. 20.3.) do ângulo BGC, e o ângulo D a metade do ângulo HEF. Logo, será

também A = D.

PROP. XXVIII. TEOR.

Em círculos iguais cordas iguais cortam arcos também

iguais; isto é, o arco maior igual ao maior, e o menor igual ao

menor (Fig. 40.).

Sejam os círculos iguais ABC, DEF, e as cordas iguais BC, EF, que dividam

as circunferências dos círculos nos arcos maiores BAC, EDF, e nos arcos

menores BGC, EHF. Digo que será BAC = EDF, e BGC = EHF.

Achados os centros (Pr. 1.3.) dos círculos K, L, tirem-se as retas BK, KC,

EL, LF. Porque os círculos são iguais, os raios também devem ser iguais. Logo,

serão as duas retas BK, KC iguais às duas EL, LF. Mas é a base BC = EF outra

base. Logo, será o ângulo BKC = ELF (Pr. 8.1.). Mas os ângulos iguais, e que

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 56

EUCLIDES

existem nos centros, assentam sôbre arcos iguais (Pr. 26.3.) Logo, será o arco

BGC igual ao arco EHF. Logo, sendo as circunferências ABC, DEF iguais entre

si, também será o arco BAC igual ao EDF.

PROP. XXIX. TEOR.

Em círculos iguais a arcos; iguais correspondem cordas

também iguais (Fig. 40.).

Sejam os círculos iguais ABC, DEF, e nas circunferências dêstes tomem-

se os arcos iguais BGC, EHF, cujas cordas sejam retas BC, EF. Digo que será

BC= EF.

Achados os centros (Pr. 1.3.) dos círculos K, L, tirem-se os raios BK, KC,

EL, LF. Porque os arcos BGC, EHF são iguais entre si, será o ângulo BKC = ELF

(Pr. 27.3.). E porque os círculos ABC, DEF são iguais, serão também iguais os

seus raios. Logo, as duas retas BK, KC serão iguais às duas retas EL, LF. Mas

os ângulos compreendidos por estas retas são iguais. Logo, será também a

base BC = EF outra base (Pr .4.1.). Logo, a arcos iguais correspondem cordas

também iguais.

PROP. XXX. PROB.

Dividir um arco dado em duas partes iguais (Fig. 41.).

Seja dado o arco ADB. Deve-se dividir o arco ADB em duas partes iguais.

Tire-se a reta AB, e divida-se pelo meio (Pr .10.1.) no ponto C. Dêste

ponto C levante-se sôbre AB a perpendicular CD, e tirem-se as retas AD, BD.

Sendo pois AC = CB, e CD comum, serão as duas AC, CD, iguais às duas BC,

CD. Mas é o ângulo ACD = BCD, por serem um e outro retos. Logo, será a

base AD igual (Pr. 4.1.) à base BD. Mas cordas iguais cortam arcos iguais; isto

é, o arco maior igual ao maior, e o menor igual ao menor; (Pr. 28.3.); e cada

um dos arcos AD, DB é menor que um semicírculo. Loo, será o arco AD igual

ao, arco DB.

PROP. XXXI. TEOR.

Em um círculo qualquer o ângulo, que existe no

semicírculo, é reto; o que existe em um segmento maior que o

semicírculo é agudo; e o que existe em um segmento menor que

o semicírculo é obtuso (Fig. 42.).

Seja o círculo ABCD, cujo diâmetro seja BC, e o centro E. Tirada a corda

CA que divide o círculo nos dois segmentos ABC, ADC, conduzam-se as retas

BA, AD, DC. Digo que o ângulo BAC, que existe no semicírculo BAC, é reto; e o

ângulo ABC, que existe no segmento ABC maior que o semicírculo, é agudo; e

o ângulo ADC, que existe no segmento ADC menor que o semicírculo, é

obtuso.

Tire-se a reta AE, e produza-se BA para F. Porque temos BE = EA, será o

ângulo EAB = EBA (Pr. 5.1.). Também sendo AE = EC, será EAC = ECA. Logo,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 57

EUCLIDES

o ângulo total BAC será igual aos dois ABC, ACB, Mas o ângulo FAC externo é

igual aos dois internos (Pr. 32.1.) e opostos ABC, ACB. Logo, será o ângulo

BAC = FAC, e por conseqüência cada um dêles será reto (Def. 10.1.). Logo, o

ângulo CAB, existente no semicírculo BAC, é reto. E porque no triângulo ABC

os dois ângulos ABC, BAC tomados juntos, são menores que dois retos (Pr.

17.1.), e BAC, como fica demonstrado, é um ângulo reto; será o ângulo ABC,

que existe no segmento ABC, maior que o semicírculo, menor que um reto, e

assim será agudo.

Finalmente, porque o quadrilátero ABCD existe em um círculo, e os

ângulos opostos de um quadrilátero qualquer, existente em um círculo, são

iguais a dois retos (Pr .22.3.), os ângulos ABC, ADC serão iguais a dois retos.

Mas o ângulo ABC, sendo agudo, é menor que um reto. Logo, o ângulo ADC,

existente no segmento ADC menor que o semicírculo, será maior que um reto,

e por conseqüência será obtuso.

É claro está que a porção AB da circunferência, a respeito do centro E, cai

para fora da reta AB, que com a base AC de um e outro segmento forma o

ângulo reto para a parte do segmento maior ABC; e que a porção AD cai entre

o mesmo centro E e a reta AF, que com a mesma AC faz o ângulo reto para a

parte do segmento menor ADC.

Isto é nada mais se deve entender, quando no texto grego e nas versões

o ângulo do segmento maior se diz maior que um reto; e o ângulo do

segmento menor se diz também menor que um reto.

COROL. Disto se pode deduzir, que se em um triângulo um ângulo fôr

igual aos outros dois, o dito ângulo deve ser reto. Porque o ângulo adjacente a

êste, o qual ângulo adjacente vem a ser por conseqüência um ângulo externo,

é igual àqueles outros dois ângulos do triângulo; e quando dois ângulos

adjacentes são iguais, cada um dêles é reto (Def. 10.1.).

PROP. XXXII. TEOR.

Se uma linha reta fôr tangente de um círculo, e se do ponto

do contacto se tirar outra reta, que divida o círculo em dois

segmentos, os ângulos, que esta reta fizer com a tangente,

serão iguais aos ângulos, que existem nos segmentos alternos

(Fig. 43.).

A linha reta EF seja tangente do círculo ABCD no ponto B, e dêste ponto B

seja conduzida a corda BD, que divida o círculo ABCD nos segmentos BAD,

BCD. Digo que os ângulos, formados pela corda BD, e pela tangente EF, são

iguais aos ângulos existentes nos segmentos alternos; isto é, o ângulo FBD =

DAB existente no segmento DAB, e o ângulo DBE = BCD, que existe no

segmento BCD.

Do ponto B levante-se sôbre a reta EF a perpendicular BA (Pr. 11.1.), e

tomado no arco BD um ponto qualquer, C, tirem-se as retas AD, DC, CE.

Porque a reta EF toca o círculo ABCD no ponto B, e do contacto B está

levantada a reta BA perpendicularmente sôbre a tangente EF o centro (Pr.

19.3.) do círculo ABCD estará na reta BA. Logo, será reto o ângulo ADB

existente no semicírculo (Pr, 31.3.), e por conseqüência os dois ângulos BAD,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 58

EUCLIDES

ABD serão iguais a um reto (Pr. 32.1.). Mas o ângulo ABF é reto. Logo, êste

ângulo ABF será igual aos dois BAD, ABD. Logo, tirando o comum ABD, ficará

o ângulo DBF = BAD, que existe no segmento alterno BAD. Sendo pois a figura

ABCD um quadrilátero existente em um círculo, os ângulos opostos dêle serão

iguais (Pr. 22.3.) a dois retos. Logo, os ângulos BAD, BCD são iguais aos

ângulos DBF, DBE (Pr. 13.1.). Mas temos visto DBF = BAD. Logo, será

também o ângulo DBE = DOB ângulo existente no segmento alterno DCB.

PROP. XXXIII. PROB.

Sôbre uma linha reta dada descrever um segmento de

círculo, no qual segmento possa existir um ângulo igual a outro

ângulo retilíneo dado (Figs. 44, 45, e 46.).

Seja a linha reta dada AB, e o ângulo retilíneo C. Sobre a reta AB deve-se

descrever um segmento de círculo, em que possa existir um ângulo igual ao

ângulo dado C.

Seja em primeiro lugar o ângulo O reto (Fig. 44.). Divida-se AB em duas

partes iguais (Pr. .10.1.) no ponto F; e fazendo centro em F; com o intervalo

FA descreva-se o semicírculo AHB. O ângulo AHB existente no semicírculo AHB

será reto (Pr. 31.3.), e por conseqüência igual ao ângulo dado C.

Não seja reto o ângulo dado C (Figs. 45 e 46.). Sôbre a reta AB, e no

ponto dela A faça-se o ângulo BAD igual (Pr. 23.1.) ao ângulo C; e sôbre a

reta AD levante-se do ponto A perpendicular (Pr .11.1.) AE, e divida-se a reta

AB pelo meio (Pr .10.1.) no ponto F, do qual ponto F levantada a perpendicular

(Pr .11.1.) FG sôbre a mesma AB, tire-se a , reta GB. Sendo AF = FB, e FG

comum, serão as duas AF, FG I iguais as duas BF, FG. Mas é o ângulo AFG =

BFG. Logo, será a base AG = GB outra base (Pr, 4.1.). Logo, o "círculo descrito

com o centro G e com o intervalo GA, deve passar também pelo ponto E.

Descreva-se pois, e seja o círculo AHB. Porque da extremidade A do diâmetro

AE está levantada a reta AD perpendicular ao mesmo diâmetro AE, será a reta

tangente (Pr. 16.3.) do círculo AHB, no ponto A. Logo, porque do contacto A

está conduzida a reta AB, que divide o , círculo em dois segmentos, será o

ângulo DAB igual ao ângulo, que pode existir no segmento alterno AHB. Mas é

DAB = C ângulo dado. Logo, o ângulo C será também igual ao ângulo no

segmento AHB. Logo, sôbre a linha reta dada AB temos descrito o segmento

de círculo AHB, em que pode existir um ângulo igual ao ângulo retilíneo dado

PROP. XXXIV. PROB.

Dado um círculo, cortar dêle um segmento, no qual possa

existir um ângulo igual a outro ângulo retilíneo dado (Fig, 47.).

Seja dado o círculo ABO, e o ângulo retilíneo D. Do círculo ABC deve-se

cortar um segmento, em que possa existir um ângulo igual ao ângulo dado D.

Tire-se a reta EF, que toque (Pr .17.3.) o círculo ABC em um ponto

qualquer B. Faça-se (Pr. 23,1.) no ponto B com a reta BF o ângulo FBC = D,

que é o ângulo dado. Porque a reta EF é tangente do círculo ABC no ponto B, e

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 59

EUCLIDES

do ponto do contacto B está tirada a reta BC, será o ângulo FBC igual ao

ângulo no segmento (Pr. 32.3.) alterno BAC. Mas temos feito o ângulo FBC =

D. Logo, será o ângulo no segmento BAC igual ao ângulo D; e assim do círculo

ABC temos cortado um, segmento, em que pode existir um ângulo igual ao

ângulo retilíneo dado C.

PROP. XXXV. TEOR.

Se dentro de um círculo qualquer duas linhas retas se

cortarem, será o retângulo, compreendido pelos segmentos de

uma, igual ao retângulo compreendido pelos segmentos da outra

(Figs. 48, 49, 50 e 51.).

Dentro do círculo ABCD cortem-se reciprocamente as duas retas AC, BD,

no ponto E. Digo que o retângulo compreendido pelos segmentos AE, EO é

igual ao retângulo compreendido pelos segmentos BE, ED.

Se as retas AC, BD (Fig. 48.) passarem pelo centro, isto é, se o ponto E

fôr o centro do círculo ABCD, claro está que, sendo iguais entre si as retas AE,

EC, BE, ED, será o retângulo das retas AE, EO igual ao retângulo das retas BE,

ED.

Passe agora pelo centro a reta BD (Fig. 49.) e corte perpendicularmente

no ponto E a reta AC, que não passa pelo centro. Dividida a reta BD em duas

partes iguais no ponto F, o centro do círculo ABCD.Tire-se o raio AF. Porque a

reta BD, que passa pelo centro, corta perpendicularmente no ponto E a reta

AC, que não passa pelo centro, será AE = EC (Pr.3.3.). E sendo a reta BD

dividida em partes iguais ponto F, e em partes desiguais no ponto E, será o

retângulo compreendido pelas retas BE, ED, juntamente com o quadrado de

EF igual (Fig. 5.2.) ao quadrado de FB, isto é, igual ao quadrado de FA. Mas o

quadrado de FA é igual (Pr. 47.1.) aos quadrados de AE e de EF. Logo, o

retângulo BE, ED juntamente com o quadrado de EF, será igual aos quadrados

de AE e de EF. Logo, tirando o quadrado comum de EF, ficará o retângulo

compreendido pelas retas BE, ED igual ao quadrado de AE, isto é, igual ao

retângulo compreendido pelas retas AE, EC.

Passando agora a reta BD (Fig. 50.) pelo centro, corte obliquamente no

ponto E a reta AC, que não passa pelo centro. Divida a reta BD no ponto F em

duas partes iguais, será o ponto F o centro do círculo ABCD. Tire-se AF, e do

centro F caia a reta FG perpendicularmente (Pr. 12.1.) sôbre AC. Será AG =

GC (Pr. 3.3.), e por conseqüência o retângulo de AE, EC juntamente com o

quadrado de EG igual (Pr. 5.2.) ao quadrado de AG. Ajunte-se a uma e outra

parte o quadrado de FG. Será o retângulo de AE, EC juntamente com os

quadrados de EG, e de GF igual aos quadrados de AG e de e de GF. Mas o

quadrado de EF é igual aos quadrados de EG, e de GF, e quadrado de AF é

igual (Pr. 47.1.) aos quadrados de AG e de FG. Logo, o retângulo das retas AE,

EC juntamente com o quadrado de EF, será igual ao quadrado de AF, isto é,

igual ao quadrado de FB. Mas o retângulo Be, ED juntamente com o quadrado

de EF é igual (Pr. .5.2.) ao quadrado de FB. Logo, o retângulo de AE, EC

juntamente com o quadrado de EF será igual ao retângulo de BE, ED

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 60

EUCLIDES

juntamente com o mesmo quadrado de EF. Logo, tirando o quadrado comum

de EF, ficará o retângulo das retas AE, EC igual ao retângulo das retas BE, ED.

Finalmentene nenhuma das retas Ac, BD (Fig. 51.) passe pelo centro, o

qual seja o ponto F. tire-se pelo ponto E, onde se cortam as retas AC, BD, o

diâmetro GEFH. Já temos demonstrado, que o retângulo de AE, BC é igual ao

retângulo de GE, EH; e que o retângulo de BE, ED é igual ao mesmo retângulo

de GE, EH. Logo, será o retângulo compreendido pelas retas AE, EC igual ao

retângulo compreendido pelas retas BE, ED.

PROP. XXXVI. TEOR.

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem

duas linhas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra

toque; será o retângulo compreendido por tôda a reta, que corta

o círculo, e pela parte dela, que fica entre o dito ponto e a

circunferência convexa do círculo, igual ao quadrado da tangente

(Figs. 52 e 53.).

Esteja o ponto D fora do círculo ABC, e dêste ponto D estejam tiradas a

reta DCA, que corte o círculo, e a reta DB, que o toque. Digo que o retângulo

das retas AD, DC é igual ao quadrado da tangente DE.

A reta DCA ou passa pelo centro do círculo ABC (Fig. 52. ), ou não. Passe

primeiramente pelo centro, o qual seja o ponto E. Tire-se o semidiâmetro EB.

Logo, será o ângulo EBD reto (Pr. 18.3.). E porque a linha reta AC está

dividida pelo meio no ponto E, e em direitura dela está a outra CD, e retângulo

da tôda AD, e da adjunta DC, juntamente com o quadrado de EC, será igual

(Pr. 6.2.) ao quadrado de ED. Mas é CE = EB. Logo, o retângulo de AD, DC,

juntamente com o quadrado de EB, será igual ao quadrado de ED. Mas o

quadrado de ED é igual (Pr.47.1.) aos quadrados de EB, e de BD, por ser reto

o ângulo EBD. Logo, o retângulo de AD, DC, juntamente com o quadrado de

EB será igual aos quadrados de EB e de BD. Logo, tirando o quadrado comum

de EB, ficará o retângulo de AD, DC igual ao quadrado da tangente DB.

Suponhamos agora que a reta DCA não passa pelo centro do círculo ABC

(Fig. 53.). Achado o centro E (Pr. 1.3.), e tirada a reta EF perpendicularmente

(Pr. 12.1.) sôbre a corda AC, tirem-se as retas EB, EC, ED. O ângulo EFD é

reto. E porque a reta EF passando pelo centro corta perpendicularmente a

corda AC, que não passa pelo centro, a mesma corda AC ficará dividida em

duas partes iguais. (Pr. 3.3. ), e será AF = FC. Logo, estando a reta CD em

direitura com a reta AC dividida pelo meio no ponto F, será o retângulo de AD,

DC juntamente com o quadrado de FC igual (Pr. 6.2.) ao quadrado de FD.

Ajunte-se a uma e outra parte o mesmo quadrado de FE. Será o retângulo de

AD, DC, juntamente com os quadrados de CF e FE, igual aos quadrados de DF

e de FE. Mas o quadrado de ED é igual (Pr. 47.1.) aos quadrados de DF e de

FE, por ser o ângulo EFD reto; e o quadrado de EC é igual aos quadrados de

CF e de FE. Logo, o retângulo de AD, DC, juntamente com o quadrado de CE,

é igual ao quadrado ED. Mas temos CE = EB. Logo, o retângulo de AD, DC,

juntamente com o quadrado de EB, será igual ao quadrado de ED. Mas os

quadrados de EB e de BD são iguais ao quadrado de ED, por ser o ângulo EBD

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 61

EUCLIDES

reto (Pr. 18.3.). Logo, o retângulo de AD, DC, juntamente com o quadrado de

EB, será igual aos quadrados de EB e de BD. Logo, tirando o quadrado comum

de EB, ficará o retnngulo compreendido pelas retas AD, DC igual ao quadrado

da tangente DB.

COROL. Disto se segue que, se de um ponto qualquer A fora de um

círculo (Fig. 54.) se tirarem duas retas que cortem o círculo, os retângulos

compreendidos pelas retas inteiras e pelas partes delas, que ficam entre o dito

ponto e a parte convexa da circunferência, serão iguais entre si; isto é, será o

retângulo das retas BA, AE igual ao retângulo das retas CA, AF. E a razão é

porque cada um dêstes retângulos é igual ao quadrado da tangente AD.

PROP. XXXVII. TEOR.

Se de um ponto qualquer fora de um círculo se tirarem

duas retas, das quais uma corte o círculo, e a outra chegue

somente até a circunferência; e se o retângulo compreendido

pela reta inteira que corta o círculo e pela parte dela que fica

entre o dito ponto e a parte convexa da circunferência, fôr igual

ao quadrado da reta incidente sôbre a circunferência, será a reta

incidente tangente do círculo (Fig. 55.).

Do ponto D fora do círculo ABC estejam tiradas as duas retas DCA, DB,

das quais DCA corte o círculo, e DB seja incidente sôbre a circunferência. Seja

também o retângulo compreendido pelas retas AD, DC igual ao quadrado de

DB. Digo que DB é tangente do círculo ABC no ponto B.

Do ponto D tire-se à reta DE, que toque (Pr. 17.3.) o círculo ABC no

ponto E, e achado o centro F do círculo, tirem-se as retas FE, FB, FD; O ângulo

FED será reto (Pr. 18.3.), E porque a reta DE toca o círculo ABC, é a reta DCA

o corta, o retângulo de AD, DC será igual (Pr. 36.3.) ao quadrado de DE. Mas

o retângulo das mesmas retas AD, DC se supõe igual ao quadrado de DB.

Logo, será o quadrado de DE igual ao quadrado de DB, e por conseqüência

sará a reta DE igual à reta DB. Mas é tambem FE = FB. Logo, as duas DE, EF

são iguais as duas DB, FB; cada uma a cada uma. Logo, nos triângulos DEF,

DBF sendo a base FD comum, será o ângulo DEF = DBF (Pr. 8.1.). Mas o

ângulo DEF é reto. Logo, será também reto o ângulo DBF. Mas a reta FB

produzida é um diâmetro; e uma reta, que de uma extremidade do diâmetro,

se levanta perpendicularmente sôbre o mesmo diâmetro, toca o círculo (Pr.

16.3.). Logo, a reta DB é tangente do círculo ABC no ponto B.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 62

LIVRO IV

EUCLIDES

DEFINIÇÕES

Uma figura retilínea se diz inscrita em outra figura retilínea, quando cada

um dos ângulos da inscrita toca cada um, isto é, o correspondente, dos lados

daquela em que a primeira está inscrita (Fig. 1.).

Do mesmo modo, uma figura retilínea se diz circunscrita a outra, quando

cada um dos lados da circunscrita toca cada 11m, isto é, o correspondente,

dos ângulos daquela, ao redor da qual a primeira está circunscrita (Fig. 1.).

III

Uma figura retilínea se diz inscrita em, um circulo, quando cada um dos

ângulos dela toca a circunferência do círculo (Fig. 2.).

Uma figura retilínea se diz circunscrita a um círculo, quando cada um dos

lados da dita figura toca a circunferência do círculo (Fig. 3.).

Do mesmo modo, um círculo se diz inscrito em, uma figura retilínea,

quando cada um dos lados da figura, na qual o círculo está inscrito, toca a

circunferência do mesmo círculo (Fig. 3.).

Um círculo se diz circunscrito a uma figura retilínea, quando a

circunferência do círculo toca cada um dos ângulos da figura, ao redor da qual

o círculo está circunscrito (Fig. 2.).

VII

Uma linha reta se diz inscrita em um círculo, quando as extremidades

dela estão na circunferência.

PROP. I. TEOR.

Em um círculo dado inscrever uma linha reta igual a outra

dada, e não maior que o diâmetro do círculo dado (Fig.4.).

Seja dado o círculo ABC e a reta D, a qual não seja maior que o diâmetro

do círculo ABC. Deve-se inscrever no círculo ABC uma reta igual à linha reta D.

Seja BC o diâmetro do círculo ABC. Se fôr BC = D, estará feito o que se

pede, porque no círculo ABC está, inscrita a reta BC = D. Mas se fôr BC>D,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 64

EUCLIDES

posta CE = D (Pr. 3.1.), com o centro C, e o intervalo CE descreva-se o círculo

AEF e tire-se CA. Será CA a reta que se pede. Porque C é o centro do círculo

AEF, será CA = CE. Mas é D = CE. Logo, será também D = CA. Logo, no

círculo dado ABC temos inscrito a reta AC igual à linha reta proposta D, e não

maior que o diâmetro do círculo dado ABC.

PROP. II. PROB.

Em um círculo dado inscrever um triângulo equiângulo a

outro triângulo dado (Fig. 5.).

Seja dado o círculo ABC e o triângulo DEF. Deve-se inscrever no círculo

ABC um triângulo eqüiângulo ao triângulo DEF.

Tire-se a reta GAH tangente (Pr. 17.3.) do círculo, ABC no ponto A. Sôbre

a reta AH, e nQ ponto dela A faça-se (Pr. 23.1.) o ângulo HAC = DEF, e sôbre

a reta AG,no' mesmo ponto A, o ângulo GAB = DFE. Tire-se BC. Digo, que

estará feito o que se pede. Porque a reta HAG toca o círculo ABC no ponto A, e

do ponto do contacto está tirada a reta AC, será o ângulo HAC igual ao ângulo

no segmento alterno (Pr. 32.3.), isto é, será HAC = ABC. Mas temos feito HAC

= DEF. Logo, será ABC = DEF. Pela mesma razão será ACB = DFE. Logo, o

terceiro ângulo BAC deve ser igual (Pr. 32.1.) ao terceiro EDF. Logo, os

triângulos ABC, DEF são eqüiângulos. Mas o triângulo ABC está inscrito no

círculo ABC. Logo, temos inscrito no círculo dado ABC o triângulo ABC,

eqüiângúlo ao triângulo proposto DEF.

PROP. III. PROB.

Circunscrever a um círculo dado um triângulo eqüiângulo a

outro triângulo dado (Fig . 6.).

Seja dado o círculo ABC e o triângulo DEF. Deve-se circunscrever ao

círculo ABC um triângulo eqüiângulo ao triângulo dado DEF.

Produza-se de uma e outra parte o lado EF para G e H, e do centro K do

círculo ABC tire-se um semidiâmeltro qualquer KB. Façam-se, no centro K e

sôbre o semidiâmetro KB, os ângulos (Pr. 23 .1.) BKA = DEG, e BKC = DFH; e

pelos pontos A, B, C tirem-se as tangentes (Pr. 17.3.) ao círculo LAM, MBN,

NCL, que se cortem reciprocamente nos pontos L, M, N. Será o triângulo LMN

o que se pede. Porque as retas LM, MN, NL tocam o círculo ABC nos pontos A,

H, C; e do centro K estão tirados os raios KA, KB, KC para os contactos A, B,

C; cada um dos ângulos em A, B, C será reto (Pr. 18.3.). E porque os quatro

ângulos do, quadrilátero AMBK são iguais a quatro retos (1.Cor. 32.1.). E cada

um dos ângulos MAK, MBK, é reto; serão os dois AKB, AMB tomados

juntamente iguais a dois retos. Mas também os ângulos DEG, DEF são iguais a

dois retos (Pr.13.1.). Logo, serão os ângulos AKB, AMB iguais aos ângulos

DEG, DEF. Mas é AKB = DEC. Logo, será AMB = DEF. Do, mesmo modo se

pode demonstrar LNM = DFE. Logo, será terceiro MLN igual (Pr. 32.1.) ao

terceiro EDF. Logo, os dois triângulos LMN, DEF são eqüiângulos. Mas o

triângulo LMN está circunscrito ao círculo ABC. Logo, temos circunscrito a um

círculo dado um triângulo eqüiângulo a outro triângulo dado.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 65

EUCLIDES

PROP. IV. PROB.

Inscrever um círculo em um triângulo dado (Fig.7.).

Seja ABC o triângulo dado. Deve-se inscrever um cír.culo no triângulo

ABC.

Dividam-se pelo meio (Pr. 9.1.) os ângulos ABC, BCA com as retas BD,

CD, as quais se encontrem no ponto D; do ponto D sejam conduzidas as retas

DE, DF, DG perpendiculares (Pr.12.1.) aos lados AB, BC, CA. Sendo o ângulo

EBD = FBD, por estar dividido em partes iguais o ângulo ABC, e sendo o

ângulo reto BED = BFD também reto; nos triângulos EBD, FBD haverá dois

ângulos iguais a dois ângulos, cada um a cada um, e um lado BD comum a

ambos os triângulos, e opôsto a ângulos iguais. Logo, serão os outros lados

iguais aos outros lados (Pr. 26 .1.), cada um a cada um, e assim será DE =

DF. Pela mesma razão será DG = DF. Logo, as três retas DE, DF, DG serão

iguais entre si. Logo, o círculo descrito com o centro D, e o intervalo igual a

uma das retas DE, DF, DG, passará pelos pontos E, F, G, e tocará as retas AB,

BC, CA, por serem retos os ângulos em E, F, G; pois já temos demonstrado

que uma reta toca um círculo quando é perpendicular (Pr. 16.3.) ao diâmetro

em uma das extremidades dêle. Logo, cada uma das retas AB, BC, CA toca o

círculo EFG, e por conseqüência no triângulo dado ABC temos inscrito o círculo

EFG.

PROP. V. PROB.

Circunscrever um círculo a um triângulo dado (Figs. 8, 9 e

10.).

Seja dado o triângulo ABC. Deve-se circunscrever um círculo ao triângulo

ABC.

Dividam-se em partes iguais (Pr. 10.1.) os lados AB, AC nos pontos D, E,

e dêstes pontos D, E sôbre AB, AC levantem-se as perpendiculares (Pr. 11.1.)

DF, EF, as quais produzidas necessariamente hão de concorrer em algum

ponto, porque de outra sorte seriam paralelas; e por conseqüência as duas AB,

AC, que fazem ângulos retos com as duas DF, EF, seriam também paralelas, o

que é manifesto absurdo. Concorram pois as duas DF, EF no ponto E. Tirem-se

as retas BF, FC, FA. Sendo AD = DB, e DF comum, e os ângulos em D iguais,

porque são retos; será a base AF igual (Pr. 4.1.) à base FB. Do mesmo modo

se provará ser CF = F A. Logo, será também BF = FC, e conseqüentemente

serão iguais entre si as três retas FA, FB, FC. Logo, o círculo descrito sôbre o

centro F, e com o intervalo igual a uma das retas FA, FB, FC, passará pelos

pontos A, B, C; e êste círculo ABC ficará circunscrito ao triângulo ABC. Logo,

temos circunscrito um circulo a um triângulo dado.

COROL. Fica claro (Fig. 8.), que se o centro do círculo cair dentro do

triângulo, cada um dos ângulos dêste triângulo será agudo (Pr. 31.3 .), porque

cada um ficará existindo em um segmento maior, que o semicírculo.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 66

EUCLIDES

Mas se o centro estiver em um lado do triângulo (Fig. 9.). o angulo

oposto a êste lado será reto, porque o segmento, em que o dito ângulo ficará

existindo, é um semicírculo,

Finalmente, se o centro do círculo cair fora do triângulo para a parte de

um dos lados (Fig. 10.), o ângulo oposto a êste lado, existindo em um

segmento menor que o semicírculo, será, obtuso (Pr.31.3,). De tudo isto se

colige que, se o triângulo dado fôr acutângulo, o centro do círculo circunscrito

cairá dentro do triangulo; se fôr retângulo, o centro estará no lado oposto ao

ângulo reto; e se fôr obtusângulo, o centro cairá fora do triângulo, e para a

parte daquele lado, que estiver defronte do ângulo obtuso.

PROP. VI. PROB.

Inscrever um quadrado em um círculo dado (Fig. 11.).

Seja dado o círculo ABCD. Deve-se inscrever um quadrado no círculo

ABCD.

No círculo ABCD, tirados os diâmetros AC, BD um perpendicular ao outro,

tirem-se as retas AB, BC, CD, DA. Digo que a figura ABCD é o quadrado que

se pede. Sendo BE = ED, por ser o ponto E o centro do círculo, e sendo EA

comum, e os ângulos AEB, AED iguais entre si, porque são retos, será a base

BA = AD (Pr. 4.1.) outra base. Pela mesma razão; cada uma das retas BC; CD

é igual a cada uma das retas BA, AD. Logo, o quadrílátero ABCD é equilátero.

Digo que é também retângulo. Porque, sendo a reta BD um diâmetro do

círculo ABCD, será BAD um semicírculo, e, por consequência, o ângulo BAD

reto (Pr. 31.3.). Pela mesma razão, cada um dos ângulos ABC, BCD, CDA é

reto. Logo, o quadrilátero ABCD é retângulo. Mas temos demonstrado que é

também equilátero. Logo, o quadrilátero ABCD é um quadrado. E porque fica

inscrito no círculo ABCD, é manifesto, que já está feito o que se pedia.

PROP. VII. PROB.

Circunscrever um quadrado a um círculo dado (Fig. 12.).

Seja dado o círculo ABCD. Deve-se circunscrever um quadrado ao círculo

ABCD.

No círculo ABCD tirem-se os diâmetros AC, AD perpendicularmente um

sôbre o outro; e pelos pontos A, B, C, D sejam conduzidas as retas FG, GH,

RH, HF, tangentes (Pr. 17.3.),do círculo ABCD. Digo que a figura GRHF é o

quadrado que se pede. Porque FG toca o círculo ABCD no ponto A, e do centro

E para o contacto A está conduzido o semidiâmetro EA, os ângulos em A serão

retos (Pr. 18.3.). Pela mesma razão, são retos os ângulos em B, C, D. Sendo

pois retos os, ângulos AEB, EBG, serão GH, AC duas paralelas (Pr. 28.1.). Do

mesmo modo são paralelas as retas AC, FK. Com o mesmo discurso se

demonstra ser cada uma das retas GK, HK paralela a BED. Logo, as figuras GK

GC, AK, FB, BK são outros tantos paralelogramos. Logo, será GF = HK, e GH =

FK (Pr. 34.1.). E porque temos AC=BD, e AC é 'igual a cada uma das retas GR,

FK, como BD é igual a cada uma das retas GF, HK, será cada uma das retas

GH, FK igual a cada uma das retas GF, HK. Logo, o quadrilátero FGHK é

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 67

EUCLIDES

equilátero. Digo que é também retângulo. Porque, sendo a figura GBEA um

paralelogramo, e sendo o ângulo AEB reto, será também reto (Pr. 34.1.) o

ângulo AGB. Do mesmo modo se prova serem retos os ângulos em H, K, F.

Logo, o quadrilátero FGHK é retângulo. Logo, sendo também equilátero, como

temos demonstrado, será um quadrado. Mas êste quadrado é circunscrito ao

círculo ABCD. Logo, temos circunscrito um quadrado a um círculo dado.

PROP. VIII. PROB.

Inscrever um círculo em um quadrado dado (Fig. .12.).

Seja dado o quadrado GHKF. Deve-se inscrever um círculo no quadrado

GHKF.

Dividá-se cada uma das retas GH, GF em partes iguais (Pr. 10.1.), nos

pontos B, A, e pelo ponto A conduza-se AC paralela (Pr. 31.1.) a qualquer das

retas GH, FK, e pelo ponto B a reta BD paralela a qualquer das duas GF, HK.

Cada Uma das figuras GD, DH, GC, CF, GE, EK, HE, EF será um paralelogramo,

e por consequência serão iguais (Pr. 34.1.) todos os lados opostos. Sendo pois

GF = GH, e sendo GA a metade de GF, e GB metade de GH, será GA = GB, e

por consequência os lados opostos também iguais. Logo, será BE = EA. Da

mesma forma podemos demonstrar que cada uma das retas EC, ED é igual a

cada uma das retas BE, EA. Logo, são iguais entre si as quatro retas EA, EB,

EC, ED. Logo, o círculo descrito com o centro E, e com o intervalo igual a uma

das quatro retas EA, EB, EC, ED, passará pelos pontos A, B, C ,D, e tocará as

retas GF, GH, HK, KF nos mesmos pontos A, B, Ç, D, por serem retos (Pr.

29.1.) os ângulos em A, B, C, D, e por conseqüência cada uma das retas GH,

HK, KF, FG será tangente (Pr .16.3.) do círculo ABCD, que dêste modo fica

inscrito no quadrado GRKF. Logo, temos inscrito um círculo em um quadrado

dado.

PROP. IX. PROB.

Circunscrever um, círculo a um quadrado dado (Fig. 11.)

Seja dado o quadrado ABCD. Deve-se circunscrever um círculo ao

quadrado ABCD.

Tirem-se as diagonais AC, BD, as quais se cortem reciprocamente no

ponto E. Sendo DA = AB, e AC comum, serão as duas DA, AC iguais às duas

BA, AC. Mas é também a base DC = BC outra base. Logo será o ângulo DAC =

BAC (Pr.8.1.). Logo, o ângulo DAB fica dividido pelo meio com a diagonal AC.

Do mesmo modo se demonstra que cada um dos ângulos ABC, BCD, CDA fica

dividido em duas partes iguais pelas diagonais AC, BD. Logo, sendo o ângulo

DAB = ABC e sendo EAB a metade de DAB, e EBA a metade de ABC, será EAB

= EBA. Logo, será também o lado EA igual (Pr. 6.1.) ao lado EB. Com a

mesma demonstração se prova que cada uma das retas EC, ED é igual a cada

uma das retas EA, EB. Logo, as quatro retas EA, EB, EC, ED são iguais entre

si. Logo o círculo descrito com o centro E, e com o intervalo igual a uma das

retas EA, EB, EC, ED, passará pelos pontos A, B, C, D, e assim será

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 68

EUCLIDES

circunscrito ao quadrado ABCD. Logo, temos circunscrito um círculo a um

quadrado dado.

PROP. X. PROB.

Construir um triângulo isósceles de maneira que cada um

dos ângulos, que estão sôbre a base, seja o dôbro do ângulo do

vértice (Fig. 13.).

Tome-se uma reta qualquer AB, e esta se divida em C de sorte que o

retângulo, compreendido pelas retas AB, BC, seja igual (Pr. 1.2.) ao quadrado

de CA. Com o centro A e o raio AB descreva-se o círculo BDE, e inscreva-se

(Pr. 1.4.) nêle a reta BD igual à reta AC, que não é maior que o diâmetro do

círculo BDE. Tirem-se as retas DA, DC, e circunscreva-se (Pr. 5.4.) o círculo

ACD ao triângulo ACD. Digo que no triângulo isósceles ABD cada um dos

ângulos ABD, ADB sôbre a base é o dôbro do ângulo BAD no vértice.

Porque o retângülo compreendido pelas retas AB, BC é igual ao quadrado

de AC, e também temos AC = BD, será o retângulo de AB, BC igual ao

quadrado de BD. E como do ponto B fora do círculo ACD estão tiradas as retas

BCA, BD, das quais BCA corta o círculo ACD, e BD chega até à circunferência

do mesmo círculo, e o retângulo das retas AB, BC é igual ao quadrado de BD,

será a reta BD tangente (Pr. 37.3.) do círculo no ponto D. Logo, sendo BD

tangente, e do contacto D saindo a corda DC, que divide o círculo em dois

segmentos, será o ângulo BDC = DAC existentes no segmento (Pr. 32.3.)

alterno DAC. Ajunte-se a um e outro dêstes ângulos o mesmo ângulo CDA.

Será o ângulo total BDA igual aos dois CDA, DAC. Mas o ângulo externo BCD é

igual (Pr. 32.1.) aos mesmos ângulos CDA, DAC. Logo, será BDA = BCD. Mas

é BDA = CBD, por ser AD = AB (Pr. 5.1.). Logo, será CBD, isto é, DBA = BCD.

Logo, os três ângulos BDA, DBA, BCD são iguais entre si. E porque os ângulos

DBC, BOD são iguais, também serão iguais (Pr. 6.1.) os lados BD, DC. Mas

temos BD = CA. Logo, será CA = CD, e por conseqüência o ângulo CDA =

DAC. Logo, os dois ângulos CDA, DAC tomados juntos fazem o dôbro do

ângulo DAC. Mas BCD é igual aos dois CDA, DAC. Logo, também BCD será o

dôbro de DAC. Mas BCD é igual a cada um dos ângulos BDA, DBA. TJogo, cada

um dos dois BDA, DBA é o dôbro do ângulo DAB. Logo, temos construído um

triângulo isósceles ABD, de maneira que cada um dos ângulos sôbre a base é

o dôbro do ângulo do vértice.

PROP. XI. PROB.

Em um círculo dado inscrever um pentágono eqüilátero e

eqüiângulo (Fig. 14.).

Seja dado o círculo ABCDE. Deve-se inscrever no círculo ABCDE um

pentágono eqüilátero e eqüiângulo.

Formado o triângulo isósceles FGH, de maneira que cada um dos ângulos

G, H, seja o dôbro (Pr. 10.4.) do ângulo F, inscreva-se no círculo ABCDE o

triângulo ACD eqüiângulo (Pr. 2.4.) ao triângulo FGH, e seja o ângulo CAD =

F, e cada um dos ângulos ACD, CDA igual a cada um dos ângulos G, H. Logo,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 69

EUCLIDES

tanto ACD como CDA Serão o dôbro de CAD. Divida-se cada um dos ângulos

ACD, CDA em partes iguais (Pr. 9.1.) com as retas CE, DB, e tirem-se as

cordas AB, BC, DE, EA. Digo que a figura retilínea ABCDE é o pentágono que

se pede.

Porque cada um dos ângulos ACD, CDA é o dôbro do ângulo CAD, e cada

um dos mesmos ângulos ACD, CDA está dividido pelo meio com as retas CE,

DB; os cinco ângulos DAC, ACE, ECD, CDB, BDA serão iguais entre si. Mas os

ângulos iguais e existentes na mesma circunferência de um círculo assentam

sôbre arcos iguais (Pr. 26.3.). Logo, serão também iguais entre si os cinco

arcos AB, BC, CD, DE, EA. Mas a arcos iguais da mesma circunferência

correspondem cordas também iguais (Pr. 29.3.). Logo, serão iguais entre si as

cinco retas AB, BC, CD, DE, EA. Logo, o pentágono ABCDE é eqüilátero. Digo

que é também eqüiângulo. Porque, sendo iguais os arcos AB, DE, se

ajuntarmos a uma e outra parte o mesmo arco BCD, será o arco ABCD igual.

ao arco EDCE. Logo, os ângulos AED, BAE, que assentam sôbre os arcos iguais

ABCD, EDCB, serão também iguais (Pr. 27 .3.). Com a mesma demonstração

se prova que cada um dos ângulos ABC, BCD, CDE é igual a cada um dos

ângulos BAE, AED. Logo, o pentágono ABCDE é eqüiângulo. Logo, sendo

também eqüilátero, como se tem demonstrado, temos inscrito em um círculo

dado um pentágono eqüilátero e eqüiângulo.

PROP. XII. PROB.

Circunscrever a um círculo dado um pentágono eqüilátero e

eqüiângulo (Fig. 15.).

Seja dado o círculo ABCDE. Deve-se circunscrever ao círculo ABCDE um

pentágono eqüilátero e eqüiângulo.

Na circunferência do círculo ABCDE suponham-se marcados os pontos A,

B, C, D, E, como vértices dos ângulos de um pentágono equilátero e

eqüiângulo inscrito no mesmo círculo, de maneira que sejam iguais (Pr. 11.4.)

entre si os arcos AB, BC, CD, DE, EA. Pelos pontos A, B, C, D, E sejam

conduzidas as tangentes (Pr. 17.3.) GH, HK, KL, LM, MG; e do centro F do

círculo tirem-se as retas FB, FK, FC, FL, FD. Porque a reta KL toca o círculo

ABCDE no ponto C, e do contacto C para o centro F está tirado o semidiâmetro

F€ será FC perpendicular (Pr. 18.3.) a KL, e assim o cada um dos ângulos em

C será reto. Pela mesma razão, os ângulos em B e D são retos. Sendo, pois o

ângulo FCK reto o quadrado de FK será igual (Pr.47.1.) aos quadrados dé FC e

de CK. Do mesmo modo o quadrado de FK é igual aos quadrados de FB e de

BK. Logo os quadrados de FC e de CK serão iguais, aos quadrados de FB e de

BK. Mas o quadrado de FC é igual ao quadrado de FB. Logo, o quadrado do CK

sará igual ao quadrado de BK, e por conseqüência será CK = BK. E porque

temos FB = FC e FK comum, as duas BF, FK serão iguais às duas CF, FK. Mas

é a base BK = KC outra base. Logo, será o ângulo BFK = KFC (Pr. 8.1.), e BFK

=FKC e por conseqüência será o ângulo BFC o dôbro do ângulo KFC e BKF o

dôbro de FKC. Do mesmo modo CFD dôbro de CFL, e CLD o dôbro de CLF. E

porque no são iguais os arcos BC, CD, será o ângulo BFC = CED (Pr. 27.3).

Logo, sendo BFC o dôbro de KEC, e CFD o dôbro CFL, será KFC = CFL. Mas é

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 70

EUCLIDES

também FCK = FCL, porque ambos são ângulos retos. Logo, nos dois

triângulos FKC, FLG há dois ângulos iguais a dois ângulos, cada um a cada um,

e um lado igual a um lado, que é o lado comum FC adjascente a ângulos

iguais. Logo, serão os outros lados iguais aos outros lados, e o terceiro ângulo

igual ao terceiro (Pr. 12.1). Logo, será KC = CL, e o ângulo FKC = FLC. Sendo

pois KC = CL, será KL o dôbro de KC. Pela mesma razão, será HK o dôbro de

BK. E porque temos demonstrado ser BK = KC, KL é o dôbro de KC, como HK

é o dôbro de BK, será HK = KL. Com o mesmo discurso se prova que cada

uma das retas GH, GM, ML deve ser igual a cada uma das duas HK, KL. Logo,

o pentágono GHKLM é eqüilátero. Digo que é também equiângulo. Porque,

sendo o ângulo FKC = FLC, e sendo HKL o dôbro de FKC, como KLM o dôbro

de FLC, será HKL = KLM. Do mesmo modo se provará que cada um dos

ângulos KHG, HGM, GHL é igual a cada um dos ângulos HKL, KLM. Logo, os

cinco ângulos GHK, HKL, KLM, LMG, MHG, são iguais entre si. Logo, o

pentágono GHKLM é equiângulo. Logo, sendo também eqüilátero e circunscrito

ao círculo ABCDE, temos feito o que se pedia.

PROP. XIII. PROB.

Inscrever um círculo em um pentágono dado eqii.ilátero e

eqüiângulo (Fig. 16.).

Seja dado o pentágono eqüilátero e eqüiângulo ABCDE. Deve-se inscrever

um círculo no pentágono ABCDE.

Divida-se cada um dos ângulos BCD, CDE em partes iguais (Pr. 9.1.) com

as retas CF, DF, e do ponto F, onde se encontram as mesmas retas CF, DF,

tirem-se as três FB, FA, FE. Sendo BC = CD, e CF comum, as' duas BC, CF

serão iguais às duas DC, CF. Mas é o ângulo BCF = DCF. Logo, será a base BF

= FD outra base (Pr. 4.1.), e o triângulo BFC igual ao triângulo DFC, e os

outros ângulos iguais aos outros ângulos, segundo ficam opostos a lados

iguais. Logo, será o ângulo CBF = CDF. E porque o ângulo, CDE é o dôbro do

ângulo CDF, e temos CDE = CBA, e CDF = CBF, será também CBA o dôbro de

CBF. Logo, será ABF = CBF e por conseqüência ficará o ângulo ABC dividido,

pelo meio com a reta BF. Do mesmo modo se pode demonstrar, que cada um

dos ângulos BAE, AED fica dividido em partes iguais pelas retas AF, FE. Do

ponto F sôbre as retas AB, BC, CD, DE, EA sejam conduzidas as

perpendiculares (Pr. 12.1.) FG, FH, FK, FL, FM. Sendo o ângulo HCF = KCF, e

FHC = FKC, por serem êstes dois retos, nos triângulos FHC, FKC haverá dois

ângulos iguais a dois ângulos, e um lado igual a um lado, que é o lado comum

FC oposto a cada um dos ângulos retos. Logo, serão os outros lados iguais aos

outros lados (Pr. 26.1.). Logo, as duas perpendiculares FH, FK serão iguais.

Com semelhante discurso se prova que cada uma das perpendiculares FL, FM,

FG é igual a cada uma das outras FH, FK. Logo, as cinco retas FG, FH, FK, FL,

FM são iguais entre si, e por conseqüência o círculo descrito com o centro F, e

com o raio igual a cada uma das ditas cinco retas, passará pelos pontos G, H,

K, L, M, e tocará as retas AB, EC, CD, DE, EA. nos mesmos pontos G, H, K, L,

M, por serem nestes pontos retos todos os ângulos, porque uma reta, toca um

círculo, quando faz ângulos retos com o diâmetro em uma das extremidades

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 71

EUCLIDES

do mesmo diâmetro (Pr. 16.3.). Logo, cada uma das retas AB, BC, CD, DE, EA,

sendo uma tangente do círculo GHKLM, será êste círculo inscrito no pentágono

ABCDE. Logo, temos inscrito um círculo em um pentágono dado eqüilátero e

eqüiângulo.

PROP. XIV. PROB.

Circunscrever um círculo a um pentágono dado, equilátero.

e eqüiângulo. (Fig. 17.).

Seja dado o pentágono eqüilátero e eqüiângulo ABCDE. Deve-se

circunscrever um círculo ao pentágono ABCDE.

Divida-se em partes iguais. (Pr. 9.1.) cada um dos ângulos BCD, CDE

com, as retas CF, FD; e do ponto F, onde: estas retas se cortam, tirem-se as

três FB, F A, FE. Podemos demonstrar, como na proposição antecedente, que

cada um dos ângulos CBA, BAE, AED fica dividido em partes iguais pelas retas

FB, FA, FE. Sendo pois o ângulo BCD = CDE, e sendo FCD a metade de BCD,

como CDF a metade de CDE, será FCD = FDC, e por conseqüência CF = FD,

(Pr. 6.1.). Do mesmo modo será cada uma das retas FB, FA, FE igual a cada

uma das duas FC, FD. Logo, as cinco retas FA, FB, FC, FD, FE, são iguais entre

si. Logo, o círculo descrito com o centro F, e o intervalo igual a uma das ditas

cinco retas, passará pelos pontos A, B, C, D, E, e ficará circunscrito ao

pentágono eqüilátero e eqüiângulo ABCDE. Logo, temos circunscrito um círculo

a um pentágono dado eqüilátero e eqüiângulo.

PROP. XV. PROB.

Inscrever em um círculo dado um hexágono equilátero e

equiângulo. (Fig. 18.).

Seja dado o círculo ABCDEF. Deve-se inscrever no círculo ABCDEF um

hexágono eqüilátero e eqüiângulo.

Seja G o centro do círculo ABCDEF. Tirado o diâmetro AGD, com o ponto

D como centro, e com o raio DG descreva-se o círculo EGCH, o qual corte o

círculo dado ABCDEF nos pontos C, E. Por êstes pontos C, E tirem-se os

diâmetros CGF, EGB; tirem-se também as cordas AB, BC, CD, DE, EF, FA. Digo

que o hexágono ABCDEF inscrito no círculo ABCDEF ó eqüilátero e eqüiângulo.

Sendo o ponto G o centro do círculo ABCDEF, será GE = GD. E sendo D o

centro do círculo EGCH, será DE = DG. Logo, será GE = ED. Logo, o triângulo

EGD é eqüilátero, e por conseqüência os três ângulos dêle EGD, GDE, DEG são

iguais entre si (Pr. 5.1.). Mas em um triângulo qualquer os três ângulos são

iguais a dois retos (Pr. 32.1.). Logo, o ângulo EGD é a têrça parte de dois

retos. Do mesmo modo provaremos que o ângulo DGC é a têrça parte de dois

retos. E porque a reta GC, caindo sôbre a reta EB, faz os dois ângulos

adjacentes EGC, CGB iguais a dois retos (Pr. 13.1.), será o ângulo CGB

também a têrça parte de dois retos. Logo, são iguais entre si os três ângulos

EGD, DGC, CGB. Mas a êstes ângulos são iguais os verticalmente opostos (Pr

.15.1.), isto é, os ângulos BGA, AGF, FGE. Logo, os seis ângulos EGD, DGC,

CGB, BGA, AEF, FGE são iguais entre si. Mas ângulos iguais assentam sôbre

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 72

EUCLIDES

arcos iguais (Pr. 26.3). Logo, os seis arcos AB, BC, CD, DE, EF, FA são iguais,

como também as seis cordas (Pr. 29.3.), AB, BC, CD, DE, EF, FA. Logo, o

hexágono ABCDEF é eqüilátero. Digo que é também eqüiânguIo. Porque,

sendo o arco AF igual ao arco ED, se a uma e outra parte se ajuntar o mesmo

arco ABCD, será o arco FABCD igual ao arco EDCBA. Mas o ângulo FED assenta

sôbre o arco FABCD, e o ângulo AFE assenta sôbre o arco EDCBA. Logo, será

FED = AFE (Pr. 27.3.). Do mesmo modo podemos demonstrar que cada um

dos, outros ângulos do hexágono ABCDEF é igual a cada um dos dois AFE,

DEF. Logo, o hexágono ABCDEF é eqüiângulo. Logo, sendo também eqüilátero

e inscrito no círculo ABCDEF, temos inscrito em um. círculo dado um hexágono

eqüilátero e eqüiângulo.

COROL. Disto se conclui que o lado do hexágono eqüilátero e eqüiângulo

é igual ao semidiâmetro do círculo, no qual o hexágono está inscrito.

Também é claro que, se pelos pontos A., B, C, D, E, F se tirarem outras

tantas tangentes ao circulo, ficará circunscrito ao mesmo círculo um hexágono

eqüilátero e eqüiângulo, na conformidade do que temos demonstrado a

respeito do pentágono; e que na mesma conformidade se poderá inscrever, ou

circunscrever um círculo a um hexágono dado eqüilátero e eqüiângulo.

PROP. XVI. PROB.

Inscrever em um círculo dado um qüindecágono eqüilátero

e eqüiângulo (Fig. 1.9.).

Seja dado o círculo ABCD. Deve-se inscrever no círculo ABCD um.

qüindecágono eqüilátero e eqüiângulo.

Seja AC o lado do triângulo eqüilátero inscrito (Pr. 2.4.) no círculo ABCD;

e AB o lado do pentágono eqüilátero e eqüiângulo também inscrito (Pr. 11.4.)

no mesmo círculo.

Logo, se tôda a circunferência do círculo ABCD se entender dividida em

quinze partes iguais, o arco ABC, que é uma têrça parte de toda a

circunferência, constará de cinco partes daquela, nas quais foi dividida a

circunrerência; e o arco AR, que é a quinta parte da mesma circunferência,

constará de três daquelas mesmas partes. Logo, o arco BC, que é a diferença

dos arcos AB, ABC, deve conter duas das mesmas partes. Divida-se o arco BC

pelo meio (Pr. 30.3.) no ponto E. Será cada um dos arcos BE, EC a parte

décima quinta de tôda a circunferência do círculo ABCD. Logo, se tiradas as

cordas BE, EC, continuarmos inscrevendo (Pr. 1.4.) no círculo ABCD outras e

outras retas, cada uma igual a BE, ou EC, até acabarmos o giro inteiro da

circunferência no ponto B, ficará inscrito rio mesmo círculo ABCD o

qüindecágono, que se pedia, eqüilátero e eqüiângulo.

Com o mesmo método, de que temos feito uso no pentágono, se por

tôdas as divisões, feitas na circunferência, forem tiradas outras tantas

tangentes ao círculo, ficará circunscrito ao mesmo círculo um qüindecágono

eqüilátero e eqüiângulo.

Também em um qüindecágono dado, eqüilátero e eqüiângulo, poderemos

inscrever um círculo, ou circunscrevê-lo ao redor dêle.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 73

LIVRO V

EUCLIDES

DEFINIÇÕES

Uma grandeza se diz parte de outra grandeza, a menor da maior, quando

a menor mede a maior.

A grandeza maior se diz múltipla, ou multíplice da menor, quando a

menor mede a maior.

III

A razão entre duas grandezas, que são do mesmo gênero, é um respeito

recíproco de uma para outra, enquanto uma é maior, ou menor do que a

outra, ou igual a ela.

As grandezas têm entre si razão, quando a grandeza menor, tomada

certo número de vêzes, pode vencer a grandeza maior.

As grandezas têm entre si a mesma razão, a primeira para, a segunda, e

a terceira para a quarta, quando umas grandezas, quaisquer que sejam,

eqüimultíplices da primeira e da terceira a respeito de outras, quaisquer que

sejam, eqüimultíplices da segunda e da quarta, são ou juntamente maiores,

ou juntamente iguais, ou juntamente menores.

As grandezas, que têm entre si a mesma razão, se chamam

proporcionais.

VII

Quando das quantidades eqüimultíplices a multíplice da primeira fôr

maior que a multíplice da segunda, não o sendo a multíplice da terceira a

respeito da multíplice da quarta, neste caso' a razão da primeira grandeza

para a segunda se diz maior que a razão 4a terceira para a quarta. E pelo

contrário se diz que a terceira grandeza tem para a quarta uma razão menor,

que a razão da primeira grandeza para a segunda.

VIII

Proporção, ou proporcionalidade é uma semelhança de razões.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 75

EUCLIDES

A proporção consiste em três termos, pelo menos.

Quando três grandezas são proporcionais, se diz que a primeira tem para

a terceira a razão duplicada da razão, que a mesma primeira tem para a

segunda.

Quando quatro grandezas são contiuamente proporcionais, se diz que a

primeira tem para a quarta a razão triplicada da razão, quê a primeira tem

para a segunda. E assim, se as grandezas continuamente proporcionais forem

cinco, seis, etc., a razão da primeira para a última chama-se quadruplicada;

quintuplicada, sextuplicada, etc., da razão da primeira para a segunda.

DEFINIÇÃO A, QUE É DA RAZÃO QOMPOST A

Pôsto um numero, qualquer que seja, de grandezas do mesmo gênero, a

primeira grandeza se diz que tem para a última a razão composta das razões

da primeira para a segunda, da segunda para a terceira, da terceira para a

quarta, e assim sempre até a última grandeza.

Exemplo. Sejam as grandezas A, B, C, D. A primeira A se diz que tem

para a última D a razão composta da razão de A para B, da razão de B para C,

e da razão de C para D, ou a razão de, A para D ,se chama razão composta

das razões de A para B, de B para C, e de C para D. .

Se fôr pois a razão de, A para B a mesma que a razão de E para F., e a

razão de B para C a mesma que a razão de G para H, e a razão de C para D a

mesma que a razão de K para L; se dirá, que A tem para D a razão composta

das razões, que são as mesmas que as razões de E para F, de G para H, e de

K para L. E o mesmo ,se deve entender, quando por brevidade se diz que A

tem para D a razão composta das razões de E para F, de G para H, e de K

para L. .

Do mesmo modo se a razão de M para N fôr a mesma, que a razão de A

para D, ficando tudo como na suposição precedente, por brevidade se diz que

a razão de M para N é a mesma, que a razão composta das razões de E para

F, de G para H, e de K para L.

XII

Postas umas grandezas proporcionais, as antecedentes a respeito das

antecedentes, e as conseqüentes a respeito das conseqüentes, chamam-se

grandezas homólogas.

Os vocábulos seguintes explicam os diferentes modos, inventadas pelos

geômetras, de mudar a ordem, ou a quantidade das grandezas proporcionais,

de maneira porém que fiquem sempre proporcionais.

XIII.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 76

EUCLIDES

Permutar, ou alternar: Usa-se dêste vocábulo, quando, existindo quatro

grandezas proporcionais, se argumenta que a primeira é para a terceira, como

a segunda para a quarta.

Demonstra-se isto na Proposição 16, dêste Livro.

XIV

Inverter: Quando, dadas quatro grandezas proporcionais, se conclui, que

a segunda é para a primeira, como a quarta para a terceira. Prop. B, deste

Livro.

Compor: Quando, postas quatro grandezas proporcionais, se conclui que

a primeira juntamente com a segunda é para a segunda, como a terceira

juntamente com a quarta é para a quarta. Prop. 18, dêste Livro.

XVI

Dividir: Quando, dadas quatro grandezas proporcionais, se argumenta

que o excesso da primeira sôbre a segunda é para a segunda, como o excesso

da terceira sôbre a quarta é para a quarta. Prop. 17, dêste Livro.

XVII

Converter: Quando de quatro grandezas proporcionais se colige, que a

primeira é para o excesso da mesma primeira sôbre a segunda, como a

terceira é para o excesso da mesma terceira sôbre a quarta. Prop. E. dêste

Livro.

XVIII

Por igual, ou por igualdade de razões: Quando, pôsto certo número de

grandezas de uma parte, e igual número de outras grandezas de outra parte,

as quais grandezas, porém, em ambas as séries estejam entre si a duas e

duas na mesma razão, e argumenta que a primeira grandeza é para a última,

na primeira série, como a primeira grandeza é também para, a última, na

segunda série. Deste modo de argumentar temos as duas espécies seguintes,

XIX

Por igual, ou por igualdade de razões simplesmente: Quando na primeira

série, sendo a primeira grandeza para a segunda, como a primeira é para a

segunda na outra série; e sendo, na primeira série, a segunda grandeza para

a terceira, como a segunda é também para a terceira na segunda série; e

dêste modo continuando sempre até às últimas grandezas em uma e outra

série; finalmente, como temos dito, na Definição precedente, se conclui, que a

primeira grandeza na primeira série é para a última, como a primeira é para a

última na segunda série. Prop. 22, dêste livro.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 77

EUCLIDES

Por igual, ou por igualdade de razões em proporção perturbada: Quando,

na primeira série, sendo a primeira grandeza para a segunda como a

penúltima é para a última, na outra série; e sendo, na primeira série, a

segunda grandeza para a terceira, como a ante penúltima é para a penúltima,

na segunda série; e sendo também, na primeira série, a terceira grandeza

para a quarta, como a que precede a antepenúltima é para a mesma

antepenúltima; e dêste modo, e por esta ordem continuando por tôdas as

grandezas de ambas as séries, se argumenta finalmente, como na Definição

18, que a primeira grandeza, na primeira: série, é para a última, como a

primeira é para a última, na segunda série. Prop. 23, dêste livro.

AXIOMAS I

As grandeza eqüimultíplices da mesma grandeza ou de grandezas iguais

são também iguais.

As grandezas, que têm o mesmo eqüimultíplice, ou eqüimultíplices iguais,

são iguais.

III

O multíplice de uma grandeza maior é maior que o igualmente multíplice

de uma grandeza menor.

Uma grandeza e maior que outra, quando um multíplice qualquer da

primeira é maior que o igualmente multíplice da segunda.

[Os geômetras modernos, quando comparam entre si quatro grandezas

proporcionais, isto é, quatro grandezas, as quais entre si duas a duas têm a

mesma razão, como as quatro A, B, C, D, em lugar de dizer que a grandeza A

é para a grandeza B, como a grandeza C para a grandeza D, escrevem por

brevidade A:B::C:D. Nós faremos o mesmo, tôdas as vêzes que êste modo de

representar a proporcionalidade de quatro grandezas não causar confusão, ou

obscuridade alguma].

PROP. I. TEOR.

Se umas grandezas, seja qualquer que fôr o número delas,

forem eqüimultíplices, de outras tantas grandezas, cada uma de

cada uma; assim como uma grandeza das primeiras é multíplice

de uma das segundas, assim também todas as primeiras juntas

serão eqüimultíplices de tôdas as segundas juntas (Fig. 1.).

Sejam as grandezas AB, CD eqüimultíplices de outras em igual número E,

F, cada uma de cada uma. Digo que como AB é multíplice de E, do mesmo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 78

EUCLIDES

modo AB, CD tomadas juntas são eqüimultíplices de E, F, também tomadas

juntas.

Sendo AB multíplice de E, como CD o é de F, quantas forept as

grandezas, que cabem em AB, cada uma igual a E, outras tantas serão

aquelas, que cabem em CD, cada uma igual a F. Divida-se pois AB nas partes

iguais cada uma a E, as quais sejam AG, GB; e CD nas partes iguais, cada

uma a F, isto é, nas partes CH, HD. Será o número das partes CH, HD igual ao

número das partes AG, GB. E porque temos AG = E, e CH = F, serão as duas

AG, CH tomadas juntas, iguais às duas EF também tomadas juntas. Pela

mesma razão, sendo GB = E, e HD = F, serão GB, HD tomadas juntamente

iguais (Ax. 2.1.) a E, F tomadas também juntamente. Logo, quantas são as

partes em AB iguais, cada uma a E, outras tantas serão as partes em AB, CD

tomadas juntas iguais a E, F também tomadas juntas. Logo, como AB é

multíplice de E, do mesmo modo as duas AB, CD tomadas juntas são

multíplices de E, F também tomadas juntas.

E porque esta demonstração sempre subsiste, qualquer que seja o

número das grandezas propostas, é manifesto que a proposição é verdadeira

em tôda a generalidade dela.

PROP. II. TEOR.

Se a primeira grandeza fôr multíplice da segunda, como a

terceira o é da quarta, e se a quinta fôr multíplice da segunda,

como a sexta o é da quarta; será a primeira juntamente com a

quinta multíplice da segunda, como a terceira juntamente com a

sexta o é da quarta (Fig. 2.).

Seja a primeira grandeza ,AB multíplice da segunda C, como a terceira DE

é multíplice da quarta F, e também seja a quinta BG multíplice da segunda C,

como a sexta EH é multíplice da quarta F. Digo que a primeira, juntamente

com a quinta, isto é, tôda a grandeza AG é multíplice da segunda C, como a

terceira juntamente com a sexta, isto é, tôda a grandeza, DH é multíplice da,

quarta F.

Sendo AB, DE' eqüimultíplices de C, F, quantas grandezas calhem em AB,

das quais cada uma é igual a C, outras tantas devem caber em DE, sendo

cada uma' delas iguala F. Pela mesma razão o número das grandezas, que

cabem em BG cada uma das quais é igual a C, será igual ao número das,

grandezas, que cabem em EH, sendo cada uma destas igual a F. Logo, o

número das grandezas iguais, cada uma a C, compreendidas na grandeza total

AG, será igual ao número das grandezas compreendidas em DH, outra

grandeza total, e iguais cada uma a F. Logo, é AG multíplice de C, do mesmo

modo que DH é multíplice de F. Logo, a primeira grandeza, juntamente com a

quinta, iguala GA, é multíplice da segunda C, do mesmo modo que a terceira

grandeza, juntamente com a sexta, igual a DH, é multíplice da quarta F.

COROL. Segue-se disto que, se fôr um número (Fig. 3.), seja qualquer

que fôr, de grandezas AB, BG, GH multíplices de C, e outras tantas grandezas

DE, EK, KL igualmente multíplices de, F, cada uma de cada uma, tôdas as

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 79

EUCLIDES

primeiras tomadas juntas, isto é, AH, serão multíplices de C, como tôdas as

segundas também tomadas juntas, isto é, DL, são multíplices de F.

PROP. III. TEOR.

Se a primeira grandeza sendo multíplice da segunda, como

a terceira o é da quarta, se tomarem outras grandezas

quaisquer eqüimultíplices da primeira e da terceira, serão estas

grandezas também eqüimultíplices a respeito da segunda

grandeza e da quarta (Fig. 4.).

Seja a primeira grandeza A multíplice da segunda B, como a terceira C é

multíplice da quarta D, e sejam EF, GH eqüimultíplices de A, C. Digo que EF

será multíplice de B, do mesmo modo que GH o é de D.

Sendo EF, GH eqüimultíplices de A, a, o número das -grandezas em EF,

cada uma delas igual a A, será igual ao número das grandezas em GH, cada

uma destas igual a C. Divida-se pois EF nas grandezas EK, KF, das quais cada

uma seja igual a A; e GH nas grandezas GL, LH iguais cada uma a C. Logo,

será o número das grandezas EK, KF igual ao número das grandezas GL, LH. E

como A, C são eqüimultíplices de B, D, e temos EK = A, e GL, = C, serão

também EK, GL eqüimultíplices de B, D. Pela mesma razão KF e LH são

eqüimultíplices de B, D. O mesmo será, se nas grandezas EF, GH houver um

número maior de partes iguais, - cada uma e respectivamente a A, e C. Logo,

sendo a primeira grandeza EK multíplice da segunda B, do mesmo modo que a

terceira GL o é da quarta D; e também sendo a quinta KF multíplice da

segunda B, como a sexta LH é multíplice da quarta D, será a primeira

grandeza, juntamente com a quinta, isto é, EF, multíplice (Pr. 2.5.) da

segunda B, do mesmo modo que a terceira grandeza, juntamente com a

sexta, isto é, GH, é multíplice da quarta D.

PROP. IV. TEOR.

Se a primeira grandeza tiver para a segunda a mesma

razão, que a terceira tem para a quarta, também umas

grandezas quaisquer eqüimultíplices da primeira e da terceira

terão a mesma razão para outras grandezas quaisquer,

eqüimultíplices da segunda e da quarta (Fig. 5.).

A primeira grandeza A tenha para a segunda B a mesma razão, que a

terceira a tem para a quarta D. Sejam as grandezas quaisquer E, F

eqüimultiplices de A, C. E as outras G, H quaisquer eqüimultiplices de B, D.

Digo que será E:G::F:H.

Tomem-se as grandezas quaisquer K, L eqüimultíplices de E, F, e as

outras M, N eqüimultíplices quaisquer de G, H. Sendo, pois, E, F

eqüimultíplices de A, C, e K, L eqüimultíplices de D, F, serão as mesmas

grandezas K, L também eqüimultíplices (Pr. 3.5.) de A, C. Pela mesma razão,

as grandezas M, N são eqüimultíplices de B, D. E como temos A:B::C:D, e K,

L, são eqüimultiplices de A, C, e M, N eqüimultiplices de B, D; se K fôr maior,

ou igual, ou menor a respeito de M, também L será maior, ou igual, ou menor

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 80

EUCLIDES

(Def. 5.5.) a respeito de N. Mas K, L são umas grandezas eqüimil1típlices

quaisquer de E, F; e M, N são outras eqüimultíplices quaisquer de G, H. Logo,

será E:G::F:H (Def. 5.5.).

COROL. Do mesmo rnodo, se a primeira grandeza tiver para a segunda a

mesma razão, que a terceira tem para a quarta, também as grandezas

eqüimultíplices quaisquer da primeira o da terceira terão a mesma razão para

a segunda e para a quarta; e a primeira grandeza e a terceira terão a mesma

razão para as grandezas eqilimultíplices quaisquer da segunda e da quarta.

A primeira grandeza A para a segunda B tenha a mesma razão, que a

terceira a tem para a quarta D. Sejam as grandezas E, F eqüimultíplices

quaisquer de A, C. Digo que será E:B::F:D.

Tomem-se as grandezas K, L eqüimultíplices quaisquer do E, F, e as

grandezas G, H outras eqÜimultíplices quaisquer de B, D. Podemos

demonstrar, como acima, que K, L são eqüimultíplices de A, C. Sendo, pois

A:B::C:D, e sendo K, L eqütmultíplices de A, C, e G, H eqüimultíplices do B, D;

se K fôr maior, ou igual, ou menor a respeito de G, também L será maior, ou

igual, ou menor a respeito de H. Mas K, L são umas grandezas eqüimultíplices

quaisquer de E, F, e G, H são outras quaisquer eqiiimultíplices de B, D. Logo,

serão E:B::F:D. Com o mesmo método se demonstra lambém o outro caso.

PROP. V.TEOR.

Se uma grandeza fôr multíplice de outra grandeza, do

mesmo modo que uma parte da primeira grandeza é multíplice

de uma parte da segunda; tiradas estas partes, será o que fica

da primeira grandeza do mesmo modo multíplice do que fica da

segunda grandeza, como a primeira grandeza é multiplice da

segunda (Fig. 6.).

Seja a grandeza AB multíplice da grandeza CD, como a parte AE é

multíplice da parte CF. Digo que o resto EB será multíplice do resto FD, do

mesmo modo que a grandeza total AB o é da grandeza total CD.

Ponha-se a grandeza AG multíplice de FD, como a parte AE é multíplice

da parte CF. Logo, as grandezas AE, EG são eqüimultíplices (Pr. 1.5.) de CF,

CD. Mas AE, AB são pela hipótese eqüimultíplices de CF, CD. Logo, EG, Ab são

eqüimultíplices da mesma grandeza CD, e. por conseqüência será EG = AB

(Ax. 1.5.). Logo, tirando a parte comum AE, ficará AG = EB. Logo, sendo AE,

AG eqüimultíplices de CF, FD, e sendo AG = EB, também AE, BE serão

eqüimultíplices de CF, FD. Mas temos suposto serem AE, AR eqüimultíplices de

CF, CD. Logo, também EB, AB serão equimultíplices de FD, CD.

PROP. VI. TEOR.

Se duas grandezas, sendo igualmente multíplices de outras

duas, umas partes daquelas forern também eqümultíplices

destoutras duas,; tiradas aquelas partes, os restos, que ficarem,

serão iguais às mesmas segundas grandezas, ou eqüímultíplices

delas (Fig. 7.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 81

EUCLIDES

Sejam as duas grandezas AB, CD eqüimultíplices dasoutras duas E, F, e

também as partes AG, CH sejam eqüimultíplices das mesmas grandezas, E, F.

Digo que os restos GB, HD serão respectivamente, ou iguais, ou

eqüimultíplices das grandezas E, F.

Seja, primeiramente, GB = E (Fig. 7.a). Digo que será HD = F. Ponha-se

CK = F. Sendo pois AG, CH eqüimultíplices de E, F, e sendo GB = E, e CK = F,

também AB, KH serão eqüimultíplices de E, F. Mas pela hipótese AB, CD são

eqüimultíplices de E, F. Logo, KH, CD serão eqüimultíplices da mesma

grandeza F, e assim será KH = CD (Ax. 1. 5.). Logo, tirada a parte comum CH,

ficará KC = HD. Mas era KC = F. Logo, será também HD = F. Logo, sendo GB

= E, será também HD = F.

Seja agora GB multíplice de E (Fig. 7.b). Digo que HD será igualmente

multíplice de F. Ponha-se CK multíplice de F, do mesmo modo que GB é

multíplice de E. Porque tanto AG, CH, como GB, CK são eqüimultíplices de E,

F, as duas grandezas AB, KH serão também eqüimultíplices (Pr. 2.5.) de E, F.

Mas pela hipótese AB, CD são eqüimultíplices de E, F. Logo, KH, CD são

eqüimultíplices da mesma grandeza F, e por conseqüência KH = CD. Logo,

tirada a parte comum CH, será o resto KC igual ao resto HD. Mas CB, KC são

eqüimultíplices de E, F, e temos KC = HD. Logo, HD, GB serão também

eqüimultíplices de F, E.

PROP. A. TEOR.

Se a primeira grandeza tiver para a segunda a mesma

razão, que a terceira tem para a quarta; sendo a primeira maior,

ou igual, ou menor que a segunda, também a terceira será

maior, ou igual, ou menor que a quarta.

Postas umas grandezas eqüimultíplices de tôdas as quatro grandezas

propostas, por exemplo, o dôbro de cada uma; pela definição quinta dêste

livro, se o dôbro da primeira grandeza fôr maior que o dôbro da segunda,

também o dôbro da terceira será maior que o dôbro da quarta. Mas se a

primeira grandeza fôr maior que a segunda, será o dôbro da primeira também

maior que o dôbro da segunda. Logo, o dôbro da terceira grandeza será maior

que o dôbro da quarta, e por conseqüência será a terceira grandeza maior que

a quarta. Logo, se a primeira grandeza fôr maior que a segunda, também a

terceira será maior que a quarta. Com a mesma demonstração se prova que,

sendo a primeira grandeza igual, ou menor que a segunda, também a terceira

deve ser igual, 011 menor que a quarta:

PROP. B. TEOR.

Se quatro grandezas forem proporcionais, invertendo serão

também proporcionais (Fig. 8.).

Seja A:B::C:D. Digo que, invertendo, será também B:A::D:C.

Tomem-se os eqüimultíplices quaisquer E, F das grandezas B, D e os

eqüimultíplices G, H quaisquer das grandezas, A, C; e, primeiramente, seja

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 82

EUCLIDES

E>G, ou G<E. Como temos A:B::C:D, e G, H são eqüimultrplices de A, C; e E,

F eqüimultíplices de B, D; sendo G<E, será H>F (Def. 5.5.), e por

conseqüência F>H. Logo, sendo E<G, será também F>H. Do mesmo modo, se

fôr E = G, se provará que F = H; e se fôr E>G, também será F<H. Mas E, F

são umas grandezas eqüimultíplices quaisquer de B, D; e G, H eqüimultíplices

quaisquer de A, C. Logo, será B:A::D:C (Def. 5.5.).

Logo, se quatro grandezas forem proporcionais, também invertendo serão

proporcionais.

PROP. C. TEOR.

Se a primeira grandeza fôr multíplce, ou parte da segunda,

do mesmo modo que a terceira é multíplice, ou parte da quarta,

será a primeira grandeza para a segunda, como a terceira é para

a quarta (Fig. 9.).

Seja a primeira grandeza A multíplice da segunda B, como a terceira C é

multíplice da quarta D. Digo que será A:B::C:D.

Tomem-se Os eqüimultíplices quaisquer E, F das grandezas A, C; e os

eqüimultíplices quaisquer G, H das outras grandezas B, D. Como A, C são

eqüimultíplices de B, D, e E, F são eqüimultíplices de A, C; serão E, F também

eqüimultíplices (Pr. 3.5.) de B, D. Mas G, H são eqüimultíplices de B, D. Logo,

se E multíplice de B fôr maior que G multíplice da mesma grandeza B, isto é,

se fôr E>G, será também F>H. Do mesmo modo, se E fôr igual, ou menor que

G, demonstraremos que F é igual, ou menor que H. Mas E, F são umas

grandezas eqüimultíplices quaisquer de A, C, e G, H eqüimultíplices quaisquer

de B, D. Logo, será A:B::C:D (Def. 5.5.). Mas, se a primeira grandeza A (Fig.

10.) fôr a mesma parte da segunda B, que a terceira C o é da quarta D, digo

que será também A:B::C :D.

Porque B será multíplice de A, como D o é de C. Logo, pelo primeiro caso

já demonstrado deve ser B:A::D:C. Logo, invertendo (Pr. B. 5.), será A:B::C

:D.

PROP. D. TEOR.

Se a primeira grandeza fôr para a segunda, como a terceira

é para a quarta, sendo a primeira grandeza multíplice da

segunda, ou uma parte dela, a terceira será uma grandeza

igualmente multíplice da quarta, ou a mesma parte dela (Pr.

11.).

Seja A:C::B:D, e seja A multíplice de B. Digo que {) será uma grandeza

multíplice de D, como A o é de B.

Tome-se E = A, e ponha-se F tal multíplice de D, como A, ou E é

multíplice de B. Logo, sendo A:B::C:D, e sendo E, F eqüimultíplices da

segunda grandeza B, e da quarta D, será A:E::C:F (Cor. 4.5.). Mas temos

A=E. Logo, será C = F (Pr. A.5.). Mas F, E, ou F, A são eqüimultíplices de D, B.

Logo, será C multíplice de D, como A o é de B.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 83

EUCLIDES

Mas seja a primeira grandeza A (Fig. 10.) uma parte da segunda B. Digo

que a terceira C será a mesma parte da quarta D. .

Porque, sendo A :B::C:D, será invertendo (Pr. B.5.) B:A::D:C. Mas A é

uma parte de B, e por conseqüência B é uma grandeza multíplice de A. Logo,

pelo caso antecedente, D será outra grandeza igualmente multíplice de C, e

assim C será a mesma parte de D, como A é a parte de B.

PROP. VII. TEOR.

As grandezas iguais têm a mesma razão para uma mesma

grandeza, e a mesma grandeza tem também a mesma razão

para grandezas iguais (Fig. 12.).

Sejam as grandezas iguais A, B, e outra grandeza qualquer C. Digo que

cada uma das grandezas A, B tem a mesma razão para a grandeza C, e que a

grandeza C também tem a mesma razão para cada uma das grandezas A, B.

Tomem-se os eqüimultíplices quaisquer D, E das grandezas A, H; e F seja

uma grandeza qualquer multíplice de C. Sendo pois D, E eqüimultíplices de A,

B, e sendo A = H, será também D = E (Ax. 1.5.). Logo, se D fôr maior, ou

igual, ou menor que F, também E será maior, ou igual, ou menor que F. Mas

D, E são grandezas eqüimultíplices de A, H, e F multíplice de C. Lago, será

A:C::B:C (Def. 5.5.).

Digo também que será C:A::C:D. Feita a mesma construção como acima,

da mesma moda demonstraremos ser D = E. Logo, se F fôr maior, ou igual, ou

menar que D, será também a mesma grandeza F maior, ou igual, ou menor

que E. Mas F é uma grandeza multíplice de C; e D. E são eqüimultíplices de A,

B. Logo, será C:A::C:B.

PROP. VIII. TEOR.

De duas grandezas desiguais a maior tem para uma

terceira grandeza qualquer uma razão maior que a razão, que a

menor tem para a mesma terceira. E esta tem para a grandeza

menor uma razão também maior que a razão, que a mesma

terceira tem para a grandeza maior (Figs. 13, 14 e 15.).

Sejam as grandezas desiguais AB, BC, e AB seja a grandeza maior. Seja

D também uma terceira grandeza qualquer. Digo que a razão de AB para D é

maior que a razão de BC para D; e que a razão de D para BC é maior que a

razão da mesma D para AB

Se das duas grandezas AC, CB aquela, que não é a maior, não fôr menor

que D, tome-se EF dôbro de AC, e FG dôbro de CB, como na figura 13. E se

das mesmas grandezas AC, CB aquela, que não é maior, ou seja AC, ou seja

CB, fôr menor que D, como nas figuras 14 e 15; esta mesma grandeza tomada

certo número de vêzes, finalmente ficará sendo maior que D. Tome-se pais

esta grandeza, como fica dito; e faça-se a mesma a respeito de outra,

tomando-a igual número de vêzes; e seja EF multíplice de AC e FG igualmente

multíplice de CB. Logo, cada uma das grandezas EF, FG é maior que a

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 84

EUCLIDES

grandeza D. Em todos as casos tome-se H dôbro de D, K triplo de D, e assim

se continue com a quádruplo, quíntuplo, etc., até que se chegue a um

multíplice de D, proximamente maior que a grandeza FG. Seja L a grandeza

multíplice de D, e proximamente maior que FG, e K seja também multíplice de

D, e proximamente menor que L.

Sendo L multíplice de D, e proximamente maior que FG, K não será maior

que FG, e por conseqüência FG não será menor que K. E sendo EF, FG

eqüimultíplices de AC, CB, serão também FG, EG eqüimultíplices (Pr. 1.5.) de

CB, AB, ou EG, FG eqüimultíplices de AB, CB. Mas temos demonstrado que FG

não é menor que K, e pela construção temos EF>D. Lago, a grandeza total EG

será maior que as duas juntamente K, D. Mas K, D tomadas juntas são iguais

a L. Lago, EG é maior que L. Mas FG não é maior que L; e EG, FG são

eqüimultíplices de AB, BC, e L é multíplice de D. Logo, a razão de AB para D é

maior que a razão de BC para D (Def. 7.5.).

Agora diga que a razão de D para BC é maior que razão da mesma D

para AB. Feita a mesma construção coma acima, do mesmo modo

demonstraremos que L deve ser maior que FG, mas não maior que EG. Mas L

é multíplice de D, e FG, EG são eqüimultíplices de CB, AB. Logo, a razão de D

para CB será maior que a razão de D para AB (Def. 7.5.).

PROP. IX. TEOR.

As grandezas, que têm a mesma razão para uma mesma

grandeza, são iguais entre si, como iguais são também aquelas,

para as quais uma mesma grandeza tem a mesma razão (Fig.

16.).

Tenham as grandezas A, H a mesma razão para a grandeza C. Diga que

A, H são iguaís.

Se A, B não são iguais, uma delas será maior que a outra. Seja A a

maior. Logo, cama temas demonstrado na proposição precedente, poder-se-ão

achar umas grandezas eqüimultíplices de A, B, e outra multíplice de C, de

maneira que a multíplice de A, sendo maior que a multíplice de C, a multíplice

de B não a seja a respeita da mesma multíplice de C. Sejam pois D, E

grandezas eqüimultíplices de A, H, e F multíplice de C, de sorte, que sendo

D>F, não seja E>F. Porque pela hipótese é A:C::B:C; e porque D, E, sendo

eqüimultíplices de A, B, e F multíplice de C, temos D>F, será também E>F

(Def. 5.5.). Mas isto não pode ser, porque pela construção E não é maior que

F. Logo, as grandezas A B não são desiguais, mas sim iguais.

Tenha agora a mesma grandeza C para cada uma das duas A, B a mesma

razão. Digo que A, B serão iguais.

Se A, B não são iguais, será uma delas maior que a outra. Seja A a

maior. Logo, haverá (Pr. 8.5.) uma grandeza F multíplice de C, e outras E, D

eqüimultíplices de B, A, de maneira que, sendo F>E, não seja a mesma F>D.

Mas, sendo C:B::C:A, e sendo F multíplice da primeira grandeza C maior que

E, multíplice da segunda B, será F multíplice da terceira C, maior (Def. 5.5.)

que D, multíplice da quarta A. Mas isto é impossível, porque pela construção F

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 85

EUCLIDES

não é maior que D. Logo, as grandezas A, B não são desiguais. Logo, são

iguais.

PROP. X. TEOR.

Entre as grandezas, cada uma das quais tem certa razão

para outra grandeza, será maior aquela cuja razão para

aqueloutra grandeza fôr maior; e entre as grandezas, para cada

uma das quais outra grandeza tem certa razão, será menor

aquela para a qual estoutra grandeza tiver uma razão maior

(Fig. 16.).

A grandeza A tenha para a grandeza C uma razão maior que a razão de B

para C. Digo que será A>B.

Tendo A para C uma razão maior que a razão de B para C, há de haver

umas grandezas eqüimultíplices (Def. 7.5.) de A, B, e outra multíplice de C, de

maneira que, sendo a multíplice de A maior que a multíplice de C, a multíplice

de B não seja maior que a mesma multíplice de C. Tomem-se pois e sejam D,

E eqüimultíplices de A, B, e F multíplice de C, de maneira que sendo D>F, não

seja E>F. Logo, será D>E.

Mas D, E são eqüimultíplices de A, B, e temos D>E. Logo, será também

A>B (Ax. 4.5.).

Agora a grandeza C tenha para a grandeza B uma razão maior, que a

razão de C para A. Digo, que será B<A.

Há de haver, como se tem dito acima, uma grandeza F multíplice de C, e

outras E, D eqüimultíplices de B, A, de sorte que sendo F>E, não seja a

mesma F>D. Logo, deve ser E<D. Logo, sendo E, D eqüimultíplices de B, será

B<A (Ax. 4.5.).

PROP. XI. TEOR.

Razões as mesmas que uma terceira, são as mesmas entre

si (Fig. 17,).

Seja A:B::C:D, e seja também C:D::E:F. Digo que será A:B::E:F.

Tomem-se as grandezas G, H, K eqüimultíplices, como se quiser, de A, C,

E, e as grandezas L, M, N equimultíplices quaisquer de BD, F. Porque se supõe

A:B::C:D, e G, H são eqüimultíplices de A, C, e L, M são eqüimultíplices de B;

se G fôr maior, ou igual, ou menor que L, também H será maior, ou igual, ou

menor que M (Def. 5.5.). Também, sendo C:D::E:F, e sendo H, K

eqüimultíplices de C, E, e M, N eqüimultíplices de D, F; se H fôr maior, ou

igual, ou menor que M, também K será maior, ou igual, ou menor que N. Mas,

se G fôr maior, ou igual, ou menor que L, temos demonstrado, que H do

mesmo modo será maior, ou igual, ou menor quê M.

Logo, se fôr G maior, ou igual, ou menor que L, também K será maior, ou

igualou menor que N. Mas G, K são eqüimultíplices de A, E; e L, N são

eqüimultíplices de B, F. Logo, deve ser A:B::E:F.

PROP. XII. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 86

EUCLIDES

Se umas grandezas, seja qualquer que fôr o número delas,

forem proporcionais, será uma como antecedente para outra como

conseqüente, como tôdas as antecedentes, tomadas juntas para

tôdas as conseqüentes, também tomadas juntas (Fig. 17.). '

Sejam as grandezas proporcionais A, B, C, D, E, F, e suponha-se A:B::C:

D, e C:D::E:F. Digo que como A é para B, assim A, C, E, juntamente, são para

B D, F, também juntamente. .

Sejam as grandezas G, H, K eqüimultíplices, como se quiser, de A, C, E; e

L, M, N eqüimultíplices de B, D, F. Porque se supõe A:B::C:D, e C:D::E:F, e G,

H, K são eqüimultíplices de A, C, E, e L, M, N eqüimultíplices de B, D, F; se G

fôr maior, ou menor que L, também H será (Def. 5.5.) maior, ou igual, ou

menor que M, e K maior ou igual, ou menor que N. Logo, se G fôr maior, ou

igual, ou menor que L, também as três grandezas G, H, K, juntamente, serão

maiores, ou iguais, ou menores que as três L, M, N, tomadas juntas. Mas G, e

G, H, K são umas grandezas eqüimultíplices quaisquer de A, e de A, C, E, e

também L, e L, M, N são outras eqüimultíplices de B, e de B, D, F; porque,

quando umas grandezas, qualquer que seja o número delas, são igualmente

multíplices de outras tantas grandezas, cada uma de cada uma; assim como

uma das primeiras grandezas é multíplice de outra das segundas, do mesmo

modo tôdas as primeiras, juntamente, são multíplices (Pr. 1.5.) de tôdas as

segundas, juntamente. Logo, será A para B como A, C, E, tomadas juntas,

para B, D, F, também tomadas juntas (Def. 5.5.).

PROP. XIII. TEOR.

Se a primeira grandeza tiver para a segunda a mesma

razão, que a'terceira tem para a quarta, e se a terceira tiver

para a quarta uma razão maior que a razão da quinta para a

sexta, a primeira terá para a segunda uma razão maior que a

razão da quinta para a sexta (Fig. 17.).

Tenha a primeira grandeza A para a segunda B a mesma razão, que a

terceira C tem para a quarta D, e a terceira C tenha para a quarta D uma

razão maior que a razão da quinta E para a sexta F. Digo que a razão da

primeira A para a segunda B será maior que a razão da quinta E para a sexta

Porque a razão de C para D é maior que a razão de E para F, há de haver

umas grandezas eqüimultíplices de C, E, e outras eqüimultíplices de D, F, de

maneira que, sendo a multíplice de C maior que a multíplice de D, não seja a

multíplice de E maior que a multíplice de F (Def. 7.5.).

Sejam as grandezas H, K eqüimultíplices de C, E, e M, N eqüimultíplices

de D, F, de modo que, sendo H maior que M, não seja K maior que N, e como

H é multíplice de C, do mesmo modo se faça G multíplice de A. Faça-se

também L multíplice de B, como M é multíplice de D. Sendo A:B::C:D, e sendo

G, R eqüimultíplices de A, C, e L, M eqüimultíplices de B, D; se G fôr maior, ou

igual, ou menor que L, também H será maior, ou igual, ou menor que M. Mas

é H>M. Logo, será também G>L: Mas não é K>N, e G, K são eqüimultíplices

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 87

EUCLIDES

de A, E, e L, N são eqüimultíplices de B, F. Logo, A tem para B uma razão

maior (Def. 7.5.) que a razão de E para F.

COROL. Se a primeira grandeza tiver para a segunda uma razão maior,

que a razão da terceira para a quarta, e se a terceira tiver para a quarta a

mesma razão, que a quinta tem para a sexta, do mesmo modo

demonstraremos que a primeira tem para a segunda uma razão maior que a

razão da quinta para a sexta.

PROP. XIV. TEOR.

Se a primeira grandeza tiver para a segunda a mesma

razão, que a terceira tem para a quarta; sendo a primeira maior,

ou igual, ou menor que a terceira, também a segunda será

maior, ou igual, ou menor que a quarta (Fig. 18.).

Tenha a primeira grandeza A para a segunda B a mesma razão, que a

terceira C tem para a quarta D, e seja A>C. Digo que será B>D.

Sendo A>C, A deve ter para B, que é uma grandcza qualquer, uma razão

maior (Pr. 8.5.) que a razão de C para B.

Mas é C:D::A:B. Logo, C tem para D, uma razão maior (Pr. 13.5.) que a

razão de C para B, e por conseqüência deve ser D<B, ou B>D (Pr.10.5.).

Em segundo lugar seja A = C. Digo que será B = D (Fig. 19.).

Sendo A:B::C:, e sendo A = C, será também A:B::A:D. Logo, será B = D

(Pr. 9.5.).

Finalmente se fôr A<C, será B<D (Fig.20.).

Sendo A<C, será C>A. Mas, porque temos C:D::A:B, deve ser pelo

primeiro caso D>B. Logo, será B<D.

PROP. XV. TEOR.

As partes têm entre si a mesma razão, que têm as

grandezas equimultíplices delas (Fig. 21.).

Sejam as grandezas AB, DE eqüimultíplices de C, F. Digo que será C:F:

:AB:DE.

Sendo AB, DE grandezas eqüimultíplices de C, F, quantas são as partes

em AB, das quais, cada uma é igual á C, tantas são em DE, cada uma igual a

F. Divida-se AB nas partes iguais, cada uma, a C, e sejam AG, GH, HB, e DE

nas partes iguais, cada uma, a F, e sejam DK, KL, LE. Logo, o número das

partes AG, GH, HB é igual ao número das partes DK, KL, LE. E porque as

partes AG, GH, HB são iguais entre si, como também as partes DK, KL, LE,

será AG:DK::GH:KL, e GH:KL::HB:LE (Pr. 7.5.). Mas um antecedente é para

um conseqüente (Pr. 12.5.), como todos os antecedentes, tomados juntos,

para todos os conseqüentes, também todos juntos. Logo, será AG:DK::AB:DE.

Mas é AG = C, e DK = F. Logo, será também C:F::AB:DE.

PROP. XVI. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 88

EUCLIDES

Se quatro grandezas, tôdas do mesmo gênero, forem

proporcionais, também permutando serão proporcionais (Fig.

22.).

Sejam as quatro grandezas proporcionais e do mesmo gênero A, B, C, D,

e seja A:B::C:D. Digo, que permutando serão também proporcionais, isto é,

será A:C::B:D.

Tomem-se as grandezas E, F eqüimultíplices quaisquer das duas A, B, e

as grandezas G, H eqüimultíplices das duas C, D. Como E, F são

eqüimultíplices de A, B, e como as partes têm entre si a mesma razão (Pr.

15.5.) que têm as grandezas eqüimultíplices delas, será A:B::E:F. Mas é A:B:

:C:D. Logo, será C:D::E:F (Pr. 11.5.). Também, como G, H são eqüimultíplices

de C, D, será C:D::G:H. Mas temos visto ser C:D::E:F. Logo, será E:F::G:H.

Mas de quatro grandezas proporcionais, se a primeira fôr maior, ou igual, ou

menor que a terceira, será também a segunda maior, ou igual, ou menor que

a quarta (Pr. 14.5.). Logo, se E fôr maior, ou igual, ou menor que G, também

F será maior, ou igual, ou menor que H. Logo, sendo E, F eqüimultíplices de A,

B, e G, H eqüimultíplices de C, D, será A:C::B:D (Def. 5.5.).

PROP. XVII. TEOR.

Se as grandezas, que estão compostas, forem

proporcionais, também estando divididas serão proporcionais

(Fig. 23.).

Sejam proporcionais as grandezas compostas AB, BE, CD, DF, isto é, seja

AB:BE::CD:DF. Digo que as mesmas grandezas divididas serão também

proporcionais, isto é, será AE:EB::CF:FD.

Tomem-se as grandezas GH, HK, LM, MN eqüimultíplices quaisquer de AE,

EB, CF, FD; e também as outras KX, NP eqüimultíplices de EB, FD. Sendo GH,

HK grandezas eqüimultíplices de AE, EB, serão GH, GK também eqüimultíplices

(Pr. 1.5.) de AE, AB. Mas GH, LM são eqüimultíplices de AE, CF. Logo, GK, LM

serão eqüimultíplices de AB, CF. Também, sendo LM, MN eqüimultíplices de

CF, FD, serão LM, LN eqüimultíplices (Pr. 1.5.) de CF, CD. Mas LM, GK eram

eqüimultíplices de CF, AB. Logo, GK, LN são eqüimultíplices de AB, CD. Da

mesma sorte também, porque HK, MN são eqüimultíplices de EB, FD, e KX, NP

eqüimultíplices de EB, FD, as grandezas compostas HX, MP serão

eqüimultíplices (Pr. 2.5.) de EB, FD. Sendo pois AB BE::OD:DF, e sendo GK,

LN eqüimultíplices de AB, CD, e HX, MP eqüimultíplices de EB, FD; se GK fôr

maior, ou igual, ou menor que HX, também LN será maior (Def. 5.5.), ou

igual, ou menor que MP. Mas, se GH fôr maior que KX, ajuntando a parte

comum HK, será GK>HX, e por conseqüência LN>MP, e tirando a parte

comum MN, será LM>NP. Logo, se fôr GH>KX, será também LM>NP. Do

mesmo modo demonstraremos que, se GH fôr igual, ou menor que KX,

também LM será igual, ou menor que NP. Mas GH, LM são eqüimultíplices de

AE, CF; KX, NP são eqüimultíplices de EB, FD. Logo, será AE:EB::CF:FD.

PROP. XVIII. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 89

EUCLIDES

Se as grandezas, que estão divididas, forem proporcionais,

também estando compostas, serão proporcionais (Figs. 24, 25 e

26.).

Sejam proporcionais as grandezas divididas AE, EB, CF, FD, isto é, seja

AE:EB::CF:FD. Digo que estas grandezas, sendo compostas, também serão

proporcionais, isto é, será AB:BE::CD:DF.

Tomem-se as grandezas GH, HK, LM, MN eqüimultíplices quaisquer de

AB, BE, CD, DF, e as outras KO, NP, eqiiimultíplices quaisquer de BE, DF.

Porque KO, NP, como também KH, NM são eqüimultíplices de BE, DF; se KO,

multíplice de BE, fôr maior, ou igual, ou menor que KH, multíplice da mesma

grandeza BE, também NP, multíplice de DF, será maior, ou igual, ou menor

que MP, multíplice da mesma DF.

Seja, primeiramente, KO não maior que KH (Fig. 24.). Será NP não maior

que NM. E porque GH, HK são eqüimultíplices de AB, BE, e é AB>BE, será

GH>KH (Ax. 3.5.). Mas KO não é maior que KH. Logo, será GH>KO. Do

mesmo modo se demonstra ser LM>NP. Logo, não sendo KO>KH, será GH

multíplice de AB sempre maior que KO, multíplice de BE, e também LM,

multíplice de CD, será maior que NP, multíplice de DE.

Mas seja KO>KH (Fig. 25.). Será, como temos demonstrado, NP>NM. E

porque a grandeza total GH é multíplice da total AB, como a parte HK é

multíplice da outra parte BE, tiradas estas partes será o resto GK multíplice

(Pr. 5.5.), do resto AE, como GH é multíplice de AB, ou como LM é multiplice

de CD. Do mesmo modo sendo LM multiplice dc CD, como a parte MN o é da

parte DF, o resto LN será multíplice do resto CF, como LM o é de CD. Mas

temos provado que LM, GK são eqüimultiplices de CD, AE. Logo, GK, LN são

eqüimultíplices de AE, CF. Sendo pois KO, NP eqüimultíplices de BE, DF,

também, sendo as partes KH, NM eqüimultíplices das mesmas grandezas BE,

DF, os restos HO, MP serão iguais, ou às grandezas BE, DF, ou eqüimultíplices

delas (Pr. 6.5.).

Sejam, em primeiro lugar, (Fig. 25.) HO, MP iguais, respectivamente, a

BE, DF. Sendo AE:EB::CF:FD, e sendo GK, LN equimultíplices do AE, CF, será

GK:EB::LN:FD (Cor. 4.5.). Mas temos HO = EB, MP = FD. Logo, será

GK:HO::LO:MP. Logo, se GK fôr maior, ou igual, ou menor qe HO, também LN

será maior (Pr. A. 5.), ou igual, ou menor que MP.

Mas sejam (Fig. 26.) HO, MP eqüimultíplices de EB, FD. Porque temos AE

:EB::CF:FD, e GK, LN são eqüimultíplices, de AE, CF, e HO, MP eqüimultíplices

de EB, FD; e se GK fôr maior, ou igual, ou menor que HO, também LN será

maior (Def. 5.5.), ou igual, ou menor que MP, o que temos demonstrado

também no caso precedente. Logo, se fôr GH>KO, tirando a parte comum KH,

será GH>HO, e por conseqüência LN>LP, e juntando a mesma grandeza NM,

será LM>NP. Logo, se fôr GH>KO, será LM>NP. Do mesmo modo se

demonstra, que sendo GH = KO, será LM = NP; e que sendo GH<KO, será

também LM<NP. Mas, quando KO não é maior que KH, temos visto que é

sempre GH>KO, e LM>NP, e GR, LM são grandezas eqüimultíplices quaisquer

de AB, CD; e KO, NP eqüimultíplices de BE, DF. Logo, será AB:BE::CD:DF

(Def. 5.5.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 90

EUCLIDES

PROP. XIX. TEOR.

Se uma grandeza fôr para outra grandeza, como uma parte

daquela para uma parte desta, será o resto da primeira

grandeza para o resto da segunda, corno a primeira grandeza

para a segunda (Figo 27.).

Seja a grandeza total AB para a total CD, como a parte AE para a parte

CF. Digo que o resto EB será para o resto FD como a grandeza total AB é para

a grandeza' total CD.

Sendo AB:CD::AE:CF; será permutando (Pr. 16.5.) BA:AE::DC:CF. E

como as grandezas compostas proporcionais também divididas são

proporcionais (Pr. 17.5.); será BE:EA::DF:FC, e outra vez permutando

BE:DF::EA:FC. Mas é AE:CF::AB:CD. Logo, será EB:FD::AB:CD.

COROL. Se uma grandeza total fôr para outra grandeza total, como uma

parte daquela é para uma parte desta, será o resto, que fica da primeira

grandeza, para o resto da segunda, como a parte da primeira , para a parte

da segunda. Isto se faz evidente pela mesma demonstração, que fica dada.

PROP. E. TEOR.

Se quatro grandezas forem proporcionais, também

convertendo serão proporcionais (Fig. 27.).

Seja AB:BE::CD:DF. Digo, que convertendo será BA:AE::DC:CF.

Sendo AB:BE::CD:DF, dividindo (Pr. 17.5. ) será AE:EB::CF:FD, e

invertendo (Pr. B. 5.) BE:EA::DF:FC, Logo, compondo (Pr. 18.5.) será BA:AE:

:DC:CF,

PROP. XX. TEOR.

Se estiverem três grandezas de uma parte, e outras três de

outra, e estas duas a duas estiverem na mesma razão, que as

primeiras também duas a duas; sendo a primeira grandeza

maior, ou igual, ou menor que a terceira, também a quarta será

maior, ou igual, ou menor que a sexta (Figs. 28, 29 e 30.).

Sejam as três grandezas A, B, C, e as outras três D, E, F, e seja A:B::D

:E, e B:C::E :F, e suponha-se A>C. Digo que será D>F. Mas, se A fôr igual, ou

menor que C, também D será igual, ou menor que. F.

Sendo A>C, A terá para B (Fig. 28.), que é outra grandeza qualquer, uma

razão maior (Pr. 8.5.) que a razão de C para a mesma grandeza B. Mas é D:E

::A:B. Logo, a razão de D para E será maior (Pr. 13.5.) que a razão de C para

B. E como temos B:C::E:F, será invertendo C:B::F:E. Mas tem-se

demonstrado que a razão de D para E é menor que a razão de C para B. Logo,

a razão de D para E é maior (Cor. 13.5,) que a razão de F para E, e por

conseqüência será D>F (Pr. 10.5.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 91

EUCLIDES

Seja em segundo lugar A = C (Fig. 29,). Digo que serão D = F. Sendo A

= C, será A:B::C:B (Pr. 7.5.). Mas é A:B::D:E, e C:B::F:E. Logo, será (Pr.

11.5.) D:E::F:E, e por conseqüência D = F (Pr. 9.5.).

Seja finalmente A>C (Fig. 30.). Digo que será D>F.

Sendo A<C, será C>A. E porque, pela hipótese, e invertendo, é C:B::F:

E, e B:A::E:D, e temos C>A; será pelo primeiro caso F>D, e por conseqüência

D<F.

PROP. XXI. TEOR.

Se estiverem três grandezas de uma parte, e outras três de

outra, e estas duas a duas estiverem na l1iesma razão, que as

primeiras também duas a duas, mas em proporção perturbada;

sendo a primeira grandeza maior, ou igual ou menor que a

terceira, também a quarta será maior, ou igual, ou menor que a

sexta (Fig. 35.).

Sejam as três grandezas A, B, C, e as outras três D, E, F, e seja A:B::E

:F, e B:C::D :E, que é proporção perturbada.

Suponha-se A>C. Digo que será D>F. Mas, se A fôr igual, ou menor que

C, também será D igual, ou menor que F.

Sendo A>C, a razão de A para B, que é outra grandeza qualquer, será

maior (Pr. 8.5.) que a razão de C para a mesma B. Mas temos E:F::A:B. Logo,

a razão de E para F será maior (Pr. 13.5.) que a razão de C para B. Sendo pois

B:C::D:E, invertendo será C:B::E:D. Mas tem-se demonstrado que a razão de

E para F é maior que a razão de C para B. Logo, a razão de E para F é maior

(Cor. 13.5.) que a razão de E para D. Logo, será F<D (Pr. 10.5.), e por

conseqüência D>F.

Em segundo lugar seja A = O. Digo que será D = F.

Sendo A = C, será A:B::C:B (Pr. 7.5.). Mas é A:B::E:D, e C:B::E:D. Logo,

será E:F::E:D (Pr. 11.5.), e por conseqüência D=F (Pr. 9.5.).

Finalmente, seja A<C. Digo que será D<F.

Sendo A<C, será C>A. E porque, pela hipótese e invertendo, é C:B::E:D,

e B:A::F:E, e supõe-se C>A; será pelo primeiro caso F>D, e por conseqüência

D>F.

PROP. XXII. TEOR.

Se estiverem Umas grandezas em um número qualquer de

uma parte, e outras em número igual de outra parte; e se estas

tiverem duas a duas a mesma razão, que as primeiras também

duas a duas, por igual estarão também na mesma razão (Fig.

31.).

Sejam, primeiramente, as três grandezas A, B, C, e as outras três D, E,

F, e estejam estas duas a duas na mesma razão, que aB primeiras também

dUaB a duas, isto é, seja.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 92

EUCLIDES

A:B::D:E, e B:C::E:F. Digo que será A:C::D:F.

Tomem-se as grandezas G, H eqüimultíplices quaisquer de A, D, e K, L

eqüimultíplices quaisquer de B, E, e M, N equimultíplices quaisquer de C, F.

Como temos A:B::D:E, e G, H são eqüimultíplices de A, D; e K, L

eqüimultíplices de B, E, será G:K::H:L (Pr. 4.5.). Pela mesma razão será

K:M::L:N.

Sendo pois as três grandezas G,K, M, e as outras três H, L, N, e tendo

estas duas a duas a mesma razão, que têm as primeiras também duas a duas;

se G fôr maior, ou igual, ou menor que M, também H será maior, ou igual, ou

menor que N (Pr. 20.5.). Logo, sendo G, H umas. grandezas quaisquer

eqüimultíplices de A, D, e M, N outras grandezas quaisquer eqüimultíplices de

C, F, será A:C::D:F. (Def.5.5.).

Sejam agora as quatro grandezas A, B, C, D (Fig. 32.) de uma parte, e as

outras quatro E, F, G, H de outra parte; e tenham estas duas a duas a mesma

razão, que têm as primeiras também duas a duas, isto é, seja A:B::E:F, e B

:C::F:G. e C:D::G:H. Digo que será A:D::E :H.

Porque as três grandezas A, B, C, e as outras três E, F, G têm duas a

duas respectivamente a mesma razão, será pelo primeiro casO A:C::E:G. Mas

é C:D::G:H. Logo, pelo mesmo caso primeiro será A:D::E:H. Dêste modo

procede ,sempre a demonstração; qualquer que seja o número das grandezas

de uma e outra parte.

PROP. XXIII. TEOR.

Se estiverem umas grandezas em um número, seja

qualquer que fôr, de uma parte, e outras em número igual de

outra parte; e se estas tiverem duas a dutas a mesma razão,

que têm as primeiras também duas a duas, mas em proporção

perturbada, por igual estarão também na mesma razão (Fig.

33.).

Sejam em primeiro lugar as três grandezas A, B, C, e as outras três D, E,

F, as quais estejam duas a duas na mesma razão que as primeiras também

duas a duas, mas em proporção perturbada; isto é, seja A:B::E:F, e B:C::D

:E. Digo que será A:C::D:F.

Tomem-se as grandezas G, H, K eqüimultíplices qualquer de A, B, D, e as

grandezas L, M, N eqüimultíplices quaisquer de C, E, F. Sendo G, H

eqüimultíplices de A, B, será A:B::G:H (Pr. 15.5.). Pela mesma razão deve ser

E:F::M:N. Mas é A:B::E:F. Logo, será G:H::M:N. (Pr. 11.5.). E porque temos

B:C::D:E, e H, K são eqüimultíplices de B, D; e L, M eqüimultíplices de C, E;

será' H:L::K:M (Pr. 4.5.). Mas tem-se demonstrado ser G:H::M:N. Logo, tendo

as três grandezas G, H, L a mesma razão, que as outras três K, M, N, duas a

duas, e em proporção perturbada; se G fôr maior, ou igual, ou menor (Pr.

21.5.) que L, também K será maior, ou igual, ou menor que N. Mas G, K são

eqüimultíplices de A, D, e L, N eqüimultíplices de C, F. Logo, será A:C::D:F

(Def.5.5.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 93

EUCLIDES

Sejam agora as quatro grandezas A, B, C, D (Fig. 32.), e as outras quatro

E, F, G, H, as quais tenham duas a duas a mesma razão, que têm as primeiras

também duas a duas, e em proporção perturbada, de maneira que seja A:B::G

:H, e B:C::F :G, e C:D::E:F. Digo que será A:D::E:H.

Porque as três grandezas A, B, a, e as três F, G, H têm entre si a mesma

razão em proporção perturbada; será pelo primeiro caso A:C::F :H. Mas é C:D

::E:F. Logo, também pelo primeiro caso será A:D::E:H. A demonstração será a

mesma para outro qualquer número de grandezas.

PROP. XXIV. TEOR.

Se a primeira grandeza fôr para a segunda, como a terceira

é para a quarta, e se a quinta fôr para a segunda, como a sexta

é para a quarta; a grandeza, que se compõe da primeira e da

quinta, será para a segunda, como a que se compõe da terceira

e da sexta é para a quarta (Fig. 2.).

Esteja a primeira grandeza AB para a segunda C, como a terceira DE para

a quarta F; e esteja a quinta BG para a segunda C, como a sexta EH para a

quarta F. Digo que a composta AG da primeira e da quinta é para a segunda

C, como a composta DH da terceira e da sexta é para a quarta F.

Sendo BG:C::EH:F, será invertendo C:BG::F:EH.

E sendo AB:O: :DoE:F e O :BG : :F :EH, será por igual (Pr. 22.5.) AB:BG

::DE:EH. Logo, compondo (Pr. 18.5.) será AG:GB::DH:HE. Mas é GB:C::HE:F.

Logo, por igual será AG:C::DH:F.

COROL. 1. Feita a mesma suposição que acima, será a diferença entre a

primeira grandeza e a quinta para a segunda, como a diferença entre a

terceira e a sexta é para a quarta. A demonstração procede do mesmo modo

que na proposição, e somente em lugar de compor deve-se dividir.

COROL. 2. A verdade desta proposição fica sendo a mesma, qualquer que

seja o número das grandezas, das quais umas têm para uma certa grandeza

comum as mesmas razões, que as outras têm para outra grandeza também

comum; isto é, cada uma das primeiras tem para a mesma grandeza comum

a mesma razão, que cada uma das segundas tem para outra graooeza

também comum, como é evidente.

PROP. XXV. TEOR.

Se quatro grandezas forem proporcionais, a máxima e a

mínima delas tomadas juntas serão maiores, que as outras duas

também tomadas juntas (Fig. 34.).

Sejam as quatro grandezas proporcionais AB, CD, E, F, isto é, seja

AB:QD::E:F. E seja AB a máxima de tôdas, e por conseqüência F a mínima

(Pr. A. e 14.5.). Digo que AB e F tomadas juntas são maiores, que CD e E

também tomadas juntas.

Ponha-se AG = E, e CH = F. Sendo AB:CD::E:F, e sendo AG = E e CH =

F, será AB:CD::AG:CH. E porque a grandeza total AB é para a total CD, como

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 94

EUCLIDES

à parte AG para a parte CH, será o resto GB para o resto HD, como a total AB

para a total CD (Pr. 19.5.). Mas é AB>CD. Logo, será também GB>HD (Pr.

A.5.). E como temos AG = E, e CH = F, serão as duas AG, F iguais as duas CH,

E. Logo, sendo GB, HD desiguais, e sendo GB>HD, se a GB se ajuntarem as

duas AG, F, e a HD se ajuntarem as duas CH, E, as duas AB, F tomadas juntas

serão maiores, que as duas CD, E, também tomadas juntas.

PROP. F. TEOR.

As razões, que se compõem de razões entre si as mesmas,

são também as mesmas entre si (Fig. 35.).

Seja A:B::D:E, e B:C::E:F. Digo .que a razão composta das razões de A

para B, e de B para C, isto é, pela definição da razão composta, a razão de A

para C é a mesma que a razão de D para F, que se compõe das razões de D

para E, e de E para F.

Tendo as três grandezas A, B, C, e as outras três D, E, F entre si duas a

duas a mesma razão, será por igual (Pr. 22.5. ) A:C::D:F.

Seja agora A:B::E:F e B:C::D:E. Logo, por igual em proporção

perturbada (Pr. 23.5.) será A:C::D:F, isto é, a razão de A para C, que se

compõe das razões de A para B, e de B para C, será a mesma que a razão de

D para F, que se compõe das razões de D para E, e de E para F. A mesma

cousa se demonstra do mesmo modo em um e outro caso, qualquer que seja o

número dás razões propostas.

PROP. G. TEOR.

Se umas razões, a que chamo primeiras, forem as mesmas que outras

razões, a que chamo segundas, cada uma a respeito de cada uma, a razão,

que se compõe de razões, que são as mesmas que as primeiras propostas

cada uma a respeito de cada uma, será a mesma que a razão, que se com.

põe de outras razões as mesmas que as segundas propostas, cada uma a

respeito de cada uma (Fig. 36.).

Seja A:B::E:F e C:D::G:H. Seja também A:B::K:L e C:D::L:M. A razão de

K para M, pela definição da razão composta, se compõe das razões de K para

L, e de L para M, que são as mesmas que as outras de A para B, e de C para

D. Seja mais E:F::N:O e G:H::O:P. A razão de N para P é composta das duas

de N para O, e de O para P, que são as mesmas que as razões de E para F e

de G para H. Deve-se demonstrar que a razão de K para M é a mesma que a

razão de N para P, ou que é K:M::N:P.

Sendo K:L::A:B e A:B::E:F e E:F::N:O, será K:L::N:O. Também, sendo L

:M::C:D e C:D::G:H e G:H::O:P, será L:M::O:P. Logo, por igual (Pr. 22.5.)

deve ser K:M::N:P.

PROP. H. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 95

EUCLIDES

Se uma razão composta de algumas razões fôr a mesma

que outra razão também composta de outras; e se uma razão

das primeiras, ou a razão, que se compõe de algumas razões

das primeiras, fôr a mesma que a razão, que é composta de

algumas das segundas; a razão, que fica das primeiras, ou a

razão composta daquelas razões, que ficam das primeiras, será

a mesma que a razão, que fica das segundas, ou a mesma que a

razão, que se compõe das razões que ficam das segundas (Fig.

37.).

Sejam as razões de A para B, de B para C, de C para D, de D para E, e de

E para F; e as outras razões de G para H, de H para K, de K para L, e de L

para M. E seja a razão de A para F, que se compõe (Def. A.5.) das primeiras

razões propostas, a mesma que a razão de G para M, que é a composta das

segundas razões. Também a razão de A para D, que é composta das razões de

A para B, de B para C, e de C para D, seja a mesma que a razão de G para K,

que se compõe das razões de G para H, e de H para K. Digo que a razão de D

para F, que é composta das razões de D para E e de E para F, que são as que

restam das primeiras razões propostas, é a mesma que a razão de H para M,

que se compõe das razões de H para L e de L para M, que são as resíduas das

outras razões também propostas.

Sendo pela hipótese A:D::G:K, será invertendo (Pr. B.5.) D:A::K:G. Mas

é A:F::G:M. Logo, por igual (Pr. 22.5.) será D:F::K:M.

PROP. K. TEOR.

Se houver umas razões em um número qualquer, a que

chamo primeiras, e outras razões também em outro número

qualquer, a que chamo segundas; e se a razão composta das

razões as mesmas que as primeiras propostas, cada uma a

respeito de cada uma, fôr a mesma que a razão composta das

razões as mesmas que as segundas, cada uma a respeito de

cada uma; e uma razão das primeiras, ou a razão composta de

razões as mesmas que outras tantas das primeiras, cada uma a

respeito de cada uma, fôr a mesma que uma razão das

segundas, ou a mesma que a razão composta de razões as

mesmas que outras tantas das segundas, cada uma a respeito

de cada uma; a razão, que resta das primeiras, ou sendo mais

razões, a razão composta de razões as mesmas que as outras,

que restam das primeiras, cada uma a respeito de cada uma,

será a mesma que a razão que fica das segundas; ou se forem

mais razões, será a mesma que a razão composta de razões as

mesmas que as outras, que ficam das segundas, cada uma a

respeito de cada uma (Fig. 38.).

Sejam as razões de A para B, de C para D, e de E para F as razões, que

chamo primeiras; e as que chamo segundas sejam as razões de G para H, de

K para L, de M para N, de O para P, e de Q para R. Seja pois A:B::S:T e

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 96

EUCLIDES

C:D::T:V e E:F::V:X. Pela definição da razão composta, a razão de S para X

será a que se compõe das razões de S para T, de T para V e de V para X, que

são as mesmas que as razões de A para B, de C para D e de E para F, cada

uma a respeito de cada uma. Seja também G:H::Y:Z e K:L::Z:a e M:N::a:b e

O:P::b:c e Q:R::c:d. A razão de Y para d, pela mesma definição, será a razão

composta das razões de Y para Z, de Z para a, de a para b, de b para c, e de c

para d, que são as mesmas que as razões de G para H, de K para L, de M para

N, de O para P, e de Q para R, cada uma a respeito de cada uma. Logo, pela

hipótese será S:X::Y:d. Seja, agora a razão de A para B, ou a razão de S para

T, isto é, uma das razões primeiras, a mesma que a razão de e para g, que se

compõe das razões de e para f, e de f para g, as quais razões, pela hipótese,

são as mesmas que as outras de G para H, e de K para L, que pertencem às

segundas razões propostas. Seja também a razão de h para l a composta das

razões de h para k, e de k para l, as mesmas que as razões que restam das

primeiras, isto é, as mesmas que as razões de C para D e de E para F; e a

razão de m para p seja a composta das razões de m para n, de n para o, e de

o para p as mesmas que as razões, que ficam das segundas, cada uma a

respeito de cada uma, isto é, as mesmas que as razões de M para N, de O

para P, de Q para R. Isto tudo suposto, digo que a razão de h para l, é a

mesma que a razão de m para p. Deve-se pois demonstrar, que é h:l::m:p.

Sendo e:f::G:H e G:H::Y:Z, será e:f::Y :Z. E sendo f:g::K:L e K:L::Z:a,

será f:g::Z:a. Logo, será por igual e:g::Y:a. Mas pela hipótese é A para B, ou

S para T, como e para g. Logo, será S:T::Y :a, e, invertendo, T:S::a:Y. Mas

temos S:X::Y:d. Logo, por igual será T:X::a:d. Também, sendo h:k::C:D e C

:D::T:V, será h:k::T:V. E sendo k:l::E:F e E:F::V:X, será k:l::V:X. Logo, será

por igual h:l::T:X. Com as mesma demonstração se faz evidente que deve ser

m:p::a:d. Mas temos já demonstrado que é T:X::a:d. Logo, será (Pr. 11.5.)

h:l::m:p.

Os geômetras, tanto antigos como modernos, por brevidade costumam

incluir estas duas proposições G e K nas outras duas F e H. É porém coisa útil

e conveniente demonstrar em que sentido isto pode ser assim, pelo uso assaz

freqüente que os mesmos geômetras fazem destas proposições.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 97

LIVRO VI

EUCLIDES

DEFINIÇÕES.

Figuras retilíneas semelhantes são aquelas, que tendo os ângulos iguais

cada um a cada um, também têm proporcionais entre si os lados, que

compreendem os ditos ângulos iguais (Fig. 1.).

Figuras recíprocas, falando de triângulos e paralelogramos, são aquelas

que têm ao redor de ângulos iguais os lados proporcionais, de maneira que um

lado de uma figura seja para um lado da outra, como o outro lado desta é

para o outro lado da primeira.

III

Uma linha reta se diz dividida em extrema e média razão, quando tôda a

linha é para o segmento maior, como êste segmento maior é para o segmento

menor.

A altura de uma qualquer figura é a linha reta, que do vértice dela cai

perpendicularmente sôbre a base (Fig. 2.).

PROP. I. TEOR.

Os triângulos e paralelogramos, que têm a mesma altura,

estão entre si como as bases (Fig. 3.).

Tenham os triângulos ABC, ACD, e os paralelogramos EC, CF a mesma

altura, que é a perpendicular, que do ponto A cai sôbre a reta BD. Digo que a

base BC é para a base CD, corno o triângulo ABC é para o triângulo ACD, e

também como, o paralelogramo EC é para o paralelogramo CF.

Produza-se a reta BD de uma e outra parte para os pontos R, L, e

tomadas as partes BG, GH em um número, seja êle qualquer que fôr, e sendo

cada uma delas igual à base BC, e as partes DK, KL, cada uma igual à base

CD, tirem-se as retas AG, AH, AK, AL. Visto serem as retas CB, BG, GH iguais

entre si, também são iguais (Pr. 38.1.) os triângulos AHG, AGB, ABC. Logo,

como a base HC é multíplice da base BC, do mesmo modo o triângulo AHC

será multíplice do triângulo ABC. Pela mesma razão, como a base HC é

multíplice da base CD, do mesmo modo o triângulo ALC deve ser multíplice do

triângulo ACD. Mas, se a base HC fôr maior, ou igual ou menor, que a base CL,

também o triângulo AHC será maior, ou igual, ou menor que o triângulo ALC.

Logo, sendo a base HC, e o triângulo AHC umas grandezas eqüimultíplices

quaisquer da base BC, e do triângulo ABC, e a base CL, e o triângulo ALC

outras grandezas quaisquer. eqüimultíplices da base CD e do triângulo ACD,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 99

EUCLIDES

será a base BC para a base CD, como (Def. 5.5.) o triângulo ABC é para o

triângulo ACD.

E porque o paralelogramo EC é o dôbro (Pr. 41.1.) do triângulo ABC, e o

paralelogramo CF o dôbro do triângulo ACD, e porque as partes têm entre si a

mesma razão, que as grandezas eqüimultiplices delas (Pr. 15.5.), o triângulo

ABC será para o triângulo ACD, como o paralelogramo EC é para o

paralelogramo CF. Logo, tendo nós demonstrado que a base BC é para a base

CD, como o triângulo ABC para o triângulo ACD, e que o triângulo ABC é para

o triângulo ACD, como o paralelogramo EC para o paralelogramo CF; a base

BC será para a base CD, como (Pr. 11.5.) o paralelogramo EC é para o

paralelogramo CF.

COROL. Desta proposição se infere, que os triângulos e paralelogramos,

que têm alturas iguais, estão entre si na razão das bases.

Porque, dispostas as fiurtras de maneira que as bases delas estejam na

mesma linha reta, e lançadas dos vértices dos triângulos umas

perpendiculares sôbre as bases dos mesmos triângulos, a linha reta que

passar pelos vértices será paralela à outra reta, sôbre a qual se ajustam as

bases (Pr. 33.1.), por se suporem iguais entre si as alturas dos triângulos, e

por conseqüência iguais as, ditas perpendiculares, as quais além disto são

também paralelas. Feita pois a mesma construção, a demonstração se fará do

mesmo modo que acima.

PROP. II. TEOR.

Se uma linha reta fôr tirada paralela a qualquer lado de um

triângulo, esta cortará proporcionalmente os outros dois lados

do mesmo triângulo, ou cortará os mesmos lados produzidos. E

se dois lados doe um triângulo, ou os mesmos lados produzidos,

forem cortados proporcionalmente por uma linha reta, esta será

paralela ao terceiro lado (Fig. 4.).

Seja conduzi da a reta DE paralela ao, lado BC do triângulo ABC. Digo,

que será BD:DA::DE:EA.

Tirem-se as retas BE, CD. Serão iguais (Pr. 37.1.) os triângulos BDE,

CDE, por estarem sôbre a mesma base DE, e entre as mesmas paralelas DE,

BC. Mas as grandezas iguais têm para outra qualquer grandeza a mesma

razão (Pr. 7.5.). Logo, o triângulo BDE será para o triângulo ADE, como o

triângulo CDE é para o mesmo triângulo ADE. Mas o triângulo BDE é para o

triângulo ADE, como (Pr. 1.6.) BD para DA, porque os triângulos BDE, ADE,

tendo a mesma altura que é a perpendicular, que do ponto E cai sôbre AB,

estão entre si como as bases, e pela mesma razão o triângulo CDE é para o

triângulo ADE, como CE para EA. Logo, será BD:DA::CE:EA. (Pr. 11.5.).

Sejam agora os lados AB, AC do triângulo ABC, ou os mesmos lados

produzidos, cortados proporcionalmente nos pontos D, E pela reta DE, isto é,

seja BD:DA::CE:EA. Digo que a reta DE é paralela à BC.

Tirem-se as retas BE, CD. Sendo BD:DA::CE: EA, e BD para DA como o

triângulo BDE para o triângulo ADE (Pr. 1.6.), e também CE para EA, como o

triângulo CDE para o triângulo ADE; será o triângulo BDE para o triângulo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 100

EUCLIDES

ADE, como o triângulo CDE é para o mesmo triângulo ADE. Logo, visto ter

cada um dos triângulos BDE, CDE a mesma razão para o triângulo ADE, serão

os triângulos BDE, CDE iguais (Pr. 9.5.) entre si. Mas também estão postos

sôbre a mesma base DE. Logo, devem estar também entre as mesmas

paralelas (Pr. 39.1.), e por conseqüência a reta DE é paralela ao lado BC.

PROP. III. TEOR.

Se um ângulo de um triângulo fôr dividido em partes iguais

por uma reta que, divida ao mesmo tempo a base em dois

segmentos, êstes segmentos estarão entre si na razão dos

outros dois lados do triângulo. E se os segmentos da base

tiverem a mesma razão, que têm os outros lados do triângulo,

também, a reta, que do vértice do triângulo fôr tirada para o

ponto da seção, que separa os ditos segmentos, dividirá

igualmente o ângulo que fica oposto à mesma base (Fig. 5.).

Seja o triângulo ABC, cujo ângulo BAC esteja dividido em partes iguais

pela reta AD. Digo que será BD:DC::BA:AC.

Pelo ponto C seja conduzida a reta CE paralela (Pr. 31.1.) a DA, e o lado

BA produzido concorra com ela no ponto E. Porque a reta AC corta as paralelas

AD, EC, será o ângulo ACE = CAD ângulo alterno (Pr. 29.1.). Mas pela

hipótese é CAD = BAD. Logo, também será BAD = ACE. E como a reta BAE

corta as paralelas AD, EC, será o ângulo externo BAD =AEC interno e oposto.

Mas temos visto ser ACE = BAD. Logo, será ACE = AEC, e por conseqüência o

lado AE igual (Pr. 6.1.) ao lado AC. Sendo pois a reta AD paralela ao lado E.C

do triângulo BCE, será (Pr. 2.6.) BD:DC::BA:AE. Mas temos AE = AC. Logo,

será também BD:DC::BA:AC (Pr. 7.5.).

Seja agora BD:DC::BA:AC. Tire-se a reta AD. Digo que o ângulo BAC fica

dividido em partes iguais pela reta AD.

Feita a mesma construção que acima, como temos pela hipótese

BD:DC::BA:AC, e também BD:DC::BA:AE, (Pr. 2.6.), por ser AD paralela ao

lado EC do triângulo BCE, será (Pr. 11.5.) BA:AC::BA:AE. Logo, deve ser AC =

AE (Pr. 9.5.), e por conseqüência o ângulo AEC = ACE (Pr. 5.1.). Mas é AEC =

BAD, e ACE = CAD (Pr. 20.1.). Logo, será BAD = CAD, e assim o ângulo BAC

ficará dividido em partes iguais pela reta AD.

PROP. A. TEOR.

Produzido um lado de um triângulo, se o ângulo externo fôr

dividido em partes iguais por uma reta, que chegue a cortar a

base também produzida, os segmentos da base assim

produzida, que ficam entre as extremidades da mesma base e a

dita reta, que divide o ângulo, terão entre si a mesma razão,

que têm os outros lados do triângulo. E se os segmentos da

base tiverem a mesma razão dos outros lados do triângulo, a

reta, que do vértice do triângulo fôr tirada para a seção da base,

dividirá em partes iguais o ângulo externo do triângulo. (Fig. 6.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 101

EUCLIDES

Seja o triângulo ABC, e a reta AD dividindo em partes iguais o ângulo

externo CAE do triângulo ABC; corte também a base BC produzida no ponto D.

Digo que, será BC:DC::BA:AC.

Pelo ponto C seja conduzida a reta CF paralela (Pr. 31.1.) a AD. A reta AC

cortando as paralelas AD, FC, será o ângulo ACF = CAD alterno (Pr. 29.1.).

Mas pela hipótese é CAD = DAE. Logo, será DAE = ACF. E como a reta FAE

corta as paralelas AD, FC, será o ângulo externo DAE = CFA interno e oposto

(Pr. 29.1.). Mas tem-se demonstrado ser ACF = DAE. Logo, será ACF = CFA, e

por conseqüência o lado AF igual (Pr. 6.1.) ao lado AC. E sendo a reta AD

paralela ao lado FC do triângulo BCF, será (Pr. 2.6.) BD:DC::BA:AF. Mas é AF

= AC. Logo, também será BD:DC::BA:AC.

Suponha-se agora ser BD:DC::BA:AC, e tire-se a reta AD. Digo que o

ângulo CAE fica dividido em partes iguais pela reta AD.

Porque, feita a mesma construção que acima, sendo BD:DC::BA:AC, e

sendo também BD:DC::BA:AF (Pr. 2.6. ), por ser a reta AD paralela ao lado FC

do triângulo BCF, será BA:AC::BA:AF (Pr. 11.1.). Logo, será AC = AF (Pr.

9.5.), e por conseqüência serão iguais os ângulos AFC, ACF. Mas temos AFC =

EAD ângulo externo, e ACF = CAD ângulo alterno. Logo, será EAD = CAD, e

assim o ângulo CAE fica, dividido em partes iguais pela reta AD.

PROP. IV. TEOR.

Nos triângulos eqüiângulos os lados, que formam ângulos

iguais, são proporcionais; e os lados opostos a ângulos iguais

são homólogos (Fig. 7.).

Sejam os triângulos eqüiângulos ABC; DEF, cujos ângulos ABC, DEF, ACB,

DEC sejam iguais. Do mesmo modo serão iguais (Pr. 32.1.) os ângulos BAC,

CDE. Digo que nos triângulos ABC, DCE os lados, que formam ângulos iguais,

são proporcionais, e que os lados opostos aos ângulos iguais são homólogos.

Ponha-se o triângulo DCE de maneira que o lado CE esteja em direitura

(Pr. 22.1.) com o lado BC do triângulo ABC. Como os ângulos ABC, ACB são

menores que dois retos (Pr. 17.1.), e temos ACB = DEC; serão os ângulos

ABC, DEC menores que dois retos, e por conseqüência as duas retas BA, ED

produzidas devem finalmente concorrer (Ax. 12.1.). Produzam-se pois e

concorram no ponto F. Sendo o ângulo DCE = ABC, as retas BF, CD serão

paralelas (Pr. 28.1.). Também sendo ACB = DEC, a reta AC será paralela a FE.

Logo, a figura FACD é um paralelogramo, e por conseqüência deve ser AF =

CD, e AC = FD (Pr. 34.1. ). E porque a reta AC é paralela ao lado FE do

triângulo FBE, será (Pr. 2.6.) BA:AF::BC:CE. Mas é AF = CD. Logo, será

BA:CD::BC:CE (Pr; 7.5.), e permutando AB:BC::CD:CE. Além disto, sendo, CD

paralela a BF, será BC:CE::FD:DE. Mas é FD = AC. Logo, será BC:CE::AC:DE,

e permutando BC:CA::CE:ED. Logo, tendo-se já demonstrado ser

AB:BC::DC:CE, e BC:CA::OE:ED, será por igual (Pr. 22.5.) BA:AC::CD:DE.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 102

EUCLIDES

PROP. V. TEOR.

Se dois triângulos tiverem os lados proporcionais, serão

eqüiângulos; e serão iguais aquêles ângulos, aos quais ficarem

opostos os lados homólogos (Fig. 8.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF, que tenham os lados proporcionais,

isto é, seja AB:BC::DE:EF, e BC:CA::EF:FD, e por conseqüência, por igual

BA:AC::ED:DF. Digo que os triângulos ABC, DEF são eqüiângulos, e que os

ângulos opostos aos lados homólogos são iguais, isto é, o ângulo ABC = DEF,

BCA= EFD, e BAC = EDF.

Faça-se com a linha reta EF, (Pr. 23.1.) no ponto E, o ângulo FEG = ABC,

e no ponto F o ângulo EFG = BCA. Será BAC = EGF (Pr. 32.1.), e assim os

triângulos ABC, EGF serão eqüiângulos. Logo, será AB:BC::GE:EF. Mas pela

hipótese AB:BC::DE:EF. Logo, será DE:EF::GE:EF (Pr. 11.5.). Como pois cada

uma das retas DE, GE tem para EF a mesma razão, será DE = GE (Pr. 9.5.).

Do mesmo modo, deve ser DF = FG; e assim nos triângulos EDF, EGF, sendo

DE = GE, e DF = FG, e o lado EF comum, será o ângulo DEF = GEF, e DFE =

GFE, e EDF = EGF (Pr. 8.1.). E porque temos DEF = GEF, e GEF = ABC, será

ABC = DEF. Pala mesma razão será ACB = DFE, e A = D. Logo, os triângulos

ABC, DEF são eqüiângulos.

PROP. VI. TEOR.

Se dois triângulos tiverem um ângulo igual a outro ângulo e

proporcionais os lados, que formam êstes ângulos iguais, serão

eqüiângulos os triângulos, e os ângulos, que ficam opostos aos

lados homólogos, serão iguais (Fig. 9.).

Seja os dois triângulos ABC, DEF, e seja o ângulo BAC do primeiro igual

ao ângulo EDF do segundo. Sejam também proporcionais os lados, que fazem

os ditos ângulos iguais, isto é, seja HA:AC::ED:DF. Digo que os triângulos

ABC, DEF são equiângulos, e que o ângulo ABC é igual ao ângulo DEF, e ACB

= DFE.

Com a reta DF e no ponto D faça-se (Pr. 23.1.) o ângulo FDG igual a um

dos dois BAC, EDF, e com a mesma reta DF e no ponto F faça-se também DFG

= ACB. Será o terceiro ângulo B igual (Pr. 32.1.) ao terceiro G. Logo, os

triângulos ABC, DFG são equiângulos, e por conseqüência deve ser (Pr. 4.6.)

BA:AC::GD:DF. Mas temos pela suposição, BA:AC::ED:DF. Logo, será

ED:DF::GD:DF (Pr. 11.5.), e assim será ED = DG (Pr. 9.5.). Mas nos

triângulos DEF, DGF é comum o lado DF, e são iguais os ângulos EDF, GDF.

Logo, será a base EF igual (Pr. 4.1.) à base FG, e o triângulo EDF igual ao

triângulo GDF; e os mais ângulos iguais cada um a cada um dos outros

ângulos, segundo ficam opostos a lados iguais. Logo, será o ângulo DFG =

DFE, e G = E. Mas é DFG = ACB. Logo, será ACB = DFE. Mas temos suposto

ser BAC = EDF. Logo, o terceiro ângulo B é igual (Pr. 32.1) ao terceiro E, e os

triângulos ABC, DEF são eqüiângulos.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 103

EUCLIDES

PROP. VII. TEOR.

Se em dois triângulos, sendo um ângulo de um igual a

outro ângulo do outro, e proporcionais os lados, que formam

outros dois ângulos, e cada um dos terceiros ângulos, que ficam

fôr menor, ou não menor que um reto; ou também se um dêstes

terceiros ângulos fôr reto, os triângulos serão equiângulos, e os

ângulos formados pelos lados proporcionais serão iguais (Figs.

10, 1.1, e 12.).

Sejam os dois triângulos ABC, DEF (Fig. 10.), que tenham os ângulos

BAC, EDF iguais entre si, e sejam proporcionais os lados, que formam os

ângulos ABC, DEF, de maneira, que seja AB:BC::DE:EF. Seja primeiramente

agudo, ou menor que um reto cada um dos ângulos C, F. Digo que os

triângulos ABC, DEF são eqüiângulos, e que o ângulo ABC é igual ao ângulo

DFE, e C = F.

Supondo-se serem desiguais os ângulos ABC, DEF, um dêles há de ser

maior. Seja ABC o maior. Sôbre a reta AB, no ponto B, faça-se (Pr. 23.1.) o

ângulo ABG= DEF. Sendo o ângulo A = D, e ABG = DEF, será também AGB =

DFE (Pr. 32.1.). Logo, os triângulos ABG, DEF são eqüiângulos, e por

conseqüência deve ser AB:BG::DE:EF (Pr. 4.6.).

Mas pela hipótese temos DE:EF::AB:BC. Logo, será AB:BC::AB:BG (Pr.

11.5.). Logo, tendo AB para cada uma das retas BC, BG a mesma razão, será

BC = BG (Pr. 9.5.), o ângulo BGC = BCG (Pr. 5.1.). Mas BCG tem-se suposto

menor que um reto. Logo, também BGC será menor que um reto, e assim AGB

será maior que um reto (Pr. 13.1.). Mas tem-se demonstrado AGB = F. Logo,

F é maior que um reto, o que não pode ser, porque o temos suposto menor

que um reto. Logo, não são desiguais os ângulos ABC, DEF, mas sim iguais.

Mas o ângulo A é igual ao ângulo D. Logo, será também C = F, e assim são

eqüiângulos os triângulos ABC, DEF.

Suponha-se agora não menor que um reto cada um dos ângulos, C, F

(Fig. 11.). Digo que neste caso também são eqüiângulos os triângulos ABC,

DEF.

Feita a mesma construção que acima, do mesmo modo se pode

demonstrar BC = BG, e o ângulo C= BGC. Mas o ângulo C não é menor que

um reto. Logo, BGC não será menor que um reto. Logo, no triângulo BGC, dois

ângulos tomados juntos não são menores que dois, retos, o que não é possível

(Pr.17.1.). Logo, os triângulos ABC, DEF devem ser eqüiângulos, como temos

demonstrado no caso precedente. Seja, finalmente, reto um dos ângulos C, F,

por exemplo o ângulo C (Fig. 12.). Também digo que os triângulos ABC, DEF

são eqüiângulos.

Suposto não ser assim, sôbre a reta AB, no ponto B, faça-se o ângulo

ABG = DEF. Provar-se-á, como no primeiro caso, ser a reta BG = BC, e o

ângulo BCG = BGC. Mas BCG ó reto. Logo, BGC é também reto (Pr. 5.1.)

Logo, no triângulo BGC há dois ângulos, os quais tomados juntos não são

menores que dois retos, o que não pode ser (Pr. 17.1.), Logo, os triângulos

ABC, DEF são eqüiângulos.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 104

EUCLIDES

PROP. VIII. TEOR.

Se do ângulo reto de um triângulo retângulo fôr tirada uma

linha reta perpendicularmente sôbre a base, os triângulos assim

feitos de uma e outra parte da perpendicular serão semelhantes

ao triângulo total, e também semelhantes entre si. (Fig. 13.).

Seja o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo BAC seja reto. Do ponto A

esteja tirada a reta AD perpendicular sôbre a base BC. Digo que os tríângulos

ABD, ADC são semelhantes ao triângulo total ABC, e também semelhantes

entre si.

Sendo o ângulo BAC = ADC, por ser um e outro reto; e sendo o ângulo B

comum aos dois triângulos ABC, ABD, será o terceiro ACB igual (Pr. 32.1.) ao

terceiro BAD. Logo, os triângulos ABC, ABD são eqüiângulos, e por

conseqüência, sendo proporcionais os lados que fazem os ângulos iguais (Pr.

4.6.), são os mesmos triângulos ABC, ABD semelhantes (Def. 1.6.). Com o

mesmo discurso se prova serem também semelhantes os triângulos ADC, ABC.

Digo mais que os triângulos ABD, ADC são semelhantes entre si.

Como os ângulos retos BDA, ADC são iguais, e se tem demonstrado BAD

= C; será o terceiro ângulo B igual (Pr. 32.1.) ao terceiro DAC. Logo, os

triângulos ACD, ADB são eqüiângulos, e por conseqüência, semelhantes.

COROL. Disto se pode coligir, que em um triângulo retângulo e

perpendicular, que do ângulo reto cai sôbre a base do mesmo triângulo é

média proporcional entre os segmentos da base; e que cada um dos lados do

triângulo total é uma média proporcional entre a base e o segmento da base,

que fica da mesma parte dêsse lado. Porque dos triângulos eqüiângulos BAD,

ADC é BD:DA::DA:DC (Pr. 4.6.); e nos triângulos também eqüiângulos ABC,

DBA é BC:BA::BA:BD; e finalmente nos triângulos eqüiângulos ABC DAC é

BC:CA::CA:CD.

PROP. IX. PROB.

Dada uma linha reta, cortar dela qualquer parte que se

quiser (Fig. 14.).

Seja BA a linha reta dada. Deve-se cortar da reta AB uma parte qualquer

dela, que fôr pedida.

Tire-se do ponto A a reta AC, que faça com a outra dada AB um ângulo

qualquer que fôr. Na reta AC, tomado o ponto D, como quisermos, ponha-se

AC multíplice de AD, do mesmo modo que a reta dada AB é multíplice da

parte, que se deve cortar dela. Tire-se a reta BC, e pelo ponto D faça-se

passar DE paralela a BC. Será AE a parte, que se pede.

Como no triângulo ABC a reta ED é paralela ao lado BC, será

CD:DA::BE:EA (Pr. 2.6.), e compondo (Pr. 18.5. ), CA:AD::BA:AE. Mas CA é

uma grandeza multíplice de AD. Logo, também BA será multíplice de AE, e do

mesmo modo (Pr. D.5.). Logo, AE será a mesma parte de AB, como AD o é de

AC. Logo, AE é a parte que se deve cortar da reta dada AB, e por

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 105

EUCLIDES

consequência de uma linha reta dada temos cortado aquela. parte, que se

pedia.

PROP. X. PROB

Dividir uma linha reta dada do mesmo modo, que outra

linha reta está dividida. (Fig. 15.).

Seja dada a linha reta AB, e a outrá AC dividida de qualquer modo que

fôr. Deve-se dividir a reta AB, assim como está dividida a reta AC.

Esteja a reta AC dividida nos pontos D, E. Ponham-se as retas AB, AC de

maneira que façam entre si um ângulo, como se quiser, no ponto A; e tirada a

reta BC, a esta pelos pontos D, E sejam conduzidas as paralelas (Pr. 31.1.)

DF, EG; e também pelo ponto D a reta DHK paralela a AB. As figuras FH, HB

serão paralelogramos, e assim será DH = FG, e HK = GB (Pr. 34.1.). No

triângulo DKC, sendo HE paralela ao lado KC, será CE:ED::KH:HD (Pr. 2.6.).

Mas temos KH = BG, e HD = GF. Logo, será CE:ED::BG:GF. Também no

triângulo AGE, sendo FD paralela ao lado EG, será ED:DA::GF:FA. Mas temos

demonstrado ser CE:ED::BG:GF. Logo,será CE:ED::BG:GF, e ED:DA::GF:FA.

Logo, temos dividido a reta AB, assim como estava dividida a outra reta dada

AC.

PROP. XI. PROB.

Dadas duas linhas retas, achar-lhes a terceira proporcional

Fig. 16.).

Sejam dadas as retas AB, AC, as quais façam entre si um ângulo, como

quisermos, no ponto A. É preciso achar a terceira reta proporcional.

Produzam-se as retas AB, AC para D e E, e feita BD = A e, tire-se BC, e a

esta pelo ponto C conduza-se a paralela (Pr. 31.1.) DE. Visto ser, no triângulo

AED, a reta BC paralela ao lado DE, será AB:BD::AC:CE (Pr. 2.6.). Mas é BD =

AC. Logo, também será AB:AC::AC:CD, e, por conseqüência, temos achado a

reta CE, terceira proporcional a respeito das duas linhas retas dadas AB, AC.

PROP. XII. PROB.

Dadas três linhas retas, achar a quarta proporcional (Fig.

17.).

Sejam dadas as três linhas retas A, B, C. Deve-se achar a quarta

proporcional.

Ponham-se as duas retas DE, DF em um ângulo, qualquer que fôr, EDF.

Na reta DE tome-se DG = A, e GE = B; e na reta DF tome-se DH = C. Tire-se

a reta GH, e esta pelo ponto E conduza-se a paralela (Pr. 31.1.) EF. Como no

triângulo DEF a reta GH é paralela ao lado EF, será DG:GE::DH:HF (Pr. 2.6.).

Mas é DG = A, GE = B e DH = C. Logo, também será A:B::C:HF, e assim

temos achado a reta HF, quarta proporcional a respeito das três linhas retas

dadas A, B, C.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 106

EUCLIDES

PROP. XIII. PROB.

Dadas duas linhas retas, achar entre elas uma média.

proporcional (Fig. 18.).

Sejam dadas as retas AB, DC. Havemos de achar entre as retas AB, BC

uma média proporcional.

Ponham-se as retas AB, BC em direitura uma com outra, e sôbre a total

AC como diâmetro descreva-se o semicírculo ADC; e do ponto B levantada a

reta AD perpendicularmente (Pr. 11.1.) sôbre AC, sejam tiradas as retas AD,

DC. O ângulo ADC, que existe no semicírculo ADC, é reto (Pr. 31.3.) .

E, como no triângulo retângulo ADC do ângulo reto em D cai a reta DB

perpendicularmente sôbre a base AC, será DB média proporcional (Cor. 8.6.)

entre os segmentos da base AB, BC. Logo, entre as duas retas propostas AB,

BC temos achado a média proporcional DB.

PROP. XIV. TEOR.

Nos paralelogramos iguais, se um ângulo de um fôr igual a

um ângulo do outro, os lados, que formam êstes ângulos iguais,

serão reciprocamente proporcionais. E os paralelogramos, que

têm um ângulo igual a outro ângulo, e reciprocamente

proporcionais os lados, que fazem os ditos ângulos iguais são

iguais (Fig. 19.).

Sejam os paralelogramos iguais AB, BC e tenham os ângulos em B

também iguais. Considerem-se os lados DB, BE postos em direitura um com

outro. Estarão do mesmo modo em direitura um de outro também os lados FB,

BG (Pr. 14.1.). Digo que nos paralelogramos AB, BC os lados, que formam os

ângulos iguais DBF, GBE, são reciprocamente proporcionais, isto é, que

DB:BE::GD:BF.

Complete-se o paralelogramo FE. Como os paralelogramos AB, BC são

iguais, cada um dêles terá a mesma razão para o paralelogramo. FE, e por

conseqiiência será AB:FE::BC:FE (Pr. 7.5.). Mas é AB:FE::DB:BE (Pr. 1.6.), e

BC:FE::GB:BF. Logo, será DB:BE::GB:BF (Pr. 11.5.). Logo, nos

paralelogramos AB, BC os lados, que formam os ângulos iguais DBF, GBE, são

reciprocamente proporcionais.

Suponha-se agora que os lados, que fazem os ângulos iguais, são

reciprocamente proporcionais, isto é, que é DB:.BE::GB:BF. Digo que os

paralelogramos AB,BC são iguais.

Sendo DB:BE::GB:BF pela hipótese, e também sendo DB:BE::AB:FE, e

GB:BF::BC:FE, será AB:FE::BC:FE (Pr. 11.5.). Logo, o paralelogramo AB é

igual ao paralelogramo BC (Pr. 9.5.).

PROP. XV. TEOR.

Nos triângulos iguais, se um ângulo de um fôr igual a um

ângulo do outro, os lados, que formam êstes ângulos iguais,

serão reciprocamente proporcionais. E os triângulos, que têm

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 107

EUCLIDES

um ângulo igual a outro ângulo, e reciprocamente proporcionais

os lados, que formam os ângulos iguais, são também iguais (Fig.

20.).

Sejam os triângulos iguais ABC, ADE, e que tenham os ângulos BAC, DAE

iguais. Digo que nos triângulos ABC, DAE OS lados, que compreendem os

ângulos iguais BAG, DAE, são reciprocamente proporcionais, isto é, que deve

ser, CA:AD::EA:AB.

Ponham-se os triângulos BAC, DAE, de maneira que esteja o lado CA em

direitura com o lado AD. Estará também EA em direitura com AB (Pr. 14.1.).

Tire-se a reta BD. Sendo, pela hipótese, iguais os triângulos ABC, ADE, cada

um dêles deve ter a mesma razão para o triângulo ABD, e assim será

CAB:BAD::EAD:DAB (Pr. 7.5. ). Mas. é CAB:BAD::CA:AD (Pr. 1.6.); e

EAD:DAB::EA:AB. Logo, será CA:AD::EA:AB (Pr. 11.5.), e, por conseqüência,

nos triângulos iguais ABC, ADE são, reciprocamente, proporcionais os lados.

que fazem os ângulos BAC, DAE também iguais.

Nos triângulos ABC, ADE sejam agora reciprocamente proporcionais os

lados, que formam os ângulos iguais BAC, DAE, isto é, seja CA:AD::EA:AB

Digo que os triângulos ABC, APE são iguais.

Porque, tirada a reta BD, sendo CA:AD::EA:AB, e sendo

CA:AD::BCA:BAD, e também EA:AB::EAD:BAD; será BAC:BAD::EAD:BAD.

Logo, será o triângulo ABC igual (Pr. 9.5.) ao triângulo ADE.

PROP. XVI. TEOR.

Se quatro linhas retas forem proporcionais, o retângulo

compreendido pelas ditas extremas será igual ao retângulo

compreendido pelas duas médias. E se o retângulo

compreendido pelas extremas fôr igual ao retângulo

compreendido pelas médias, as quatro linhas retas serão

proporcionais (Fig. 21.).

Sejam as quatro linhas retas proporcionais AB, CD, E, F. isto é, seja

AB:CD::E:F. Digo que o retângulo compreendido pelas retas AB, F é igual ao

retângulo compreendido pelas retas CD, E.

Dos pontos A, C sejam conduzidas as retas AG, CH perpendicularmente

(Pr. 11.1.) sôbre as outras AB, CD; e feita AG = F e CH = E, completem-se os

paralelogramos BG, DH. Sendo AB:CD::E:F, e também sendo E = CH, e F =

AG será AB:CD::CH:AG (Pr. 7.5.). Logo, nos paralelogramos: BG, DH os lados,

que compreendem ângulos iguais, são reciprocamente proporcionais. Logo, os

mesmos paralelogramos BG, DH são iguais (Pr. 14.6.). Mas o paralelogramo

BG é compreendido pelas retas AB, F, por ser AG = F; e o paralelogramo DH é

compreendido pelas retas CD, E, por ser CH = E. Logo, o retângulo

compreendido pelas retas AB, é igual ao retângulo compreendido pelas retas

CD, E.

Suponhamos agora que o retângulo, compreendido pelas retas AB, F, é

igual ao retângulo compreendido pelas retas, CD, E. Digo que as quatro retas

AB, CD, E, F são proporcionais, isto é, AB:CD::E:F.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 108

EUCLIDES

Repetida a mesma construção que acima, como o retângulo

compreendido pelas retas AB, F se supõe igual ao retângulo compreendido

pelas retas CD, E, e o retângulo BG é compreendido pelas retas AB, F, por ser

AG = F, e o retângulo DH é compreendido pelas retas CD, E, por ser CH = E;

será o paralelogramo BG igual ao paralelogramo DH. Mas êstes.

paralelogramos são eqüiângulos; e nos paralelogramos eqüiângulos e iguais os

lados, que formam os ângulos iguais, são reciprocamente proporcionais (Pr.

14.6.). Logo, será, AB:CD::CH:AG. Mas é CR = E, e AG = F. Logo, será

AB:CD::E:F.

PROP. XVII. TEOR.

Se três linhas retas forem proporcionais, o retângulo

compreendido pelas extremas será igual ao quadrado da média.

E se o retângulo compreendido pelas extremas fôr igual ao

quadrado da média, as três linhas retas serão proporcionais (Fig.

22.).

Sejam proporcionais as três linhas retas .A, B, C, isto é, seja A:B::B:C.

Digo que o retângulo compreendido pelas retas A, C é igual, ao quadrado da

reta B.

Ponha-se D = B. Sendo, como temos suposto, A:B::B:C, o sendo B = D,

será A:B::D:C (Pr. 7.5.). Mas, quando quatro linhas retas são proporcionais, o

retângulo compreendido pelas extremas é igual ao retângulo compreendido

pelas médias (Pr. 16.6.). Logo, o retângulo compreendido pelas retas A, C é

igual ao retângulo compreendido pelas retas B, D. Mas o retângulo

compreendido pelas retas B, D é igual ao quadrado da reta B, por ser B = D.

Logo, o retângulo compreendido pelas retas A, C é igual ao quadrado da reta

Seja agora o retângulo compreendido pelas retas A, C igual ao quadrado

da reta E. Digo que será A:B::B:C.

Feita a mesma construção que acima, sendo o retângulo das retas A, O

igual ao quadrado da reta B; e sendo o quadrado da reta B o mesmo que o

retângulo compreendido pelas retas B, D, por ser B = D; o retângulo das retas

A, C será igual ao retângulo das retas B, D. Mas, quando o retângulo

compreendido pelas extremas é igual ao retângulo compreendido pelas

médias, as quatro retas são proporcionais (Pr. 16.6.). Logo, será A:B::D:C, e,

por conseqüência, sendo B = D, será também A:B::B:C.

PROP. XVIII. PROB.

Descrever sôbre uma linha reta dada um retilíneo

semelhante, e semelhantemente pôsto a respeito de outro

retilíneo dado (Fig. 23.).

Seja dada a linha reta AB, e o retilíneo quadrilátero CDEF. Sôbre a reta

AB se deve descrever um retilíneo semelhante ao retilíneo CDEF, e

semelhantemente pôsto.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 109

EUCLIDES

Tirada a reta DF sôbre AB, e no ponto A faça-se (Pr. 23.1,) o ângulo BAG

= C, e no ponto B faça-se o ângulo ABG = CDF, será o terceiro CFD igual (Pr.

32.1.) ao terceiro AGE. Logo, os dois triângulos FCD, GAB são eqüiângulos. Do

mesmo modo, sôbre a reta BG e no ponto G faça-se o ângulo BGH = DFE; e

no ponto B faça-se o ângulo GBH = FDE; será o terceiro FED igual (Pr. 32.1.)

ao terceiro GHB. Sendo pois AGB = CFD, e BGH = DFE, será o total AGH igual

ao total CFE. Pela. mesma razão deve ser ABH = CDE. Mas é também A = C, e

GHB=FED. Logo, os retilíneos ABHG, CDEF são eqüiângulos. Demonstraremos

agora que nestes retilíneos os lados, que formam os ângulos iguais, são

proporcionais. Sendo eqüiângulos os triângulos GAB, FCD, será BA:AG::DC:CF

(Pr. 4.6.), e AG:GB:CF:FD; e também nos triângulos eqüiângulos BGH, DFE,

sendo GB:QH::FD:FE, será por igual (Pr. 22.5.) AG:GH::CF:FE. Com o mesmo

discurso se prova ser AB:BH::DC:DE. Mas é GH:HB::FE:ED. Logo, os retilíneos

ABHG, CDEF têm proporcionais os lados, que formam os ângulos iguais, e, por

conseqüência, sendo os mesmos retilíneos também eqüiângulos, como se tem

demonstrado, serão semelhantes (Def. 1. 6.) entre si, e dêste modo está feito

o que se pedia.

Descreveremos agora sôbre a reta AB uma figura de cinco lados,

semelhante a outra CDKEF também de cinco lados, e semelhantemente posta.

Tirada a reta DE, descreva-se sôbre AB o quadrilátero ABHG semelhante

ao quadrilátero CDEF, e semelhantemente pôsto. Faça-se com a reta BH no

ponto B o ângulo HBL = EDK, e no ponto H o ângulo BHL = DEK. Será o

terceiro K igual ao terceiro L. E como os quadriláteros ABHG, CDEF são

semelhantes, será o ângulo GHB = FED. Mas é BHL = DEK. Logo, será o total

GHL igual ao total FEG. Com a mesma demonstração se prova ser ABL= CDK.

Logo, as duas figuras de cinco lados AGHLB, CFEKD são eqüiângulas. Pela

mesma semelhança dos quadriláteros AGHB, DFED temos GH:HB::FE:ED. Mas

é HB:HL::ED:EK (Pr. 4.6.). Logo, por igual (Pr. 22.5.) será GH:HL::FE:EK. Pela

mesma razão será também AB:BL::CD:DK. Mas é BL:LH::DK:KE, por serem

eqüiângulos os triângulos BLH, DKE. Logo, as figuras AGHLB, CFEKD têm

proporcionais os lados, que fazem os ângulos iguais; e como são também

eqüiângulos, pelo que temos demonstrado acima, serão semelhantes (Def.

1.6.) entre si. Logo, está feito o que se pedia. Com o mesmo método sôbre

uma linha reta dada se poderá descrever um retilíneo semelhante a um

hexágono, ou a outro qualquer polígono dado.

PROP. XIX. TEOR.

Os triângulos semelhantes estão entre si na razão duplicada

daquela, que tem os lados homólogos (Fig. 24.).

Sejam os triângulos ABC, DEF semelhantes entre si; os ângulos B, E

sejam iguais, e suponha-se AB:BC::DE:EF, de maneira que os lados BC, EF

sejam homólogos. Digo que o triângulo ABC tem para o triângulo DEF a razão

duplicada da razão do lado BC para o lado EF.

Achada a terceira proporcional (Pr. 11.6.) BG a respeito das duas retas

BC, EF, teremos BC:EF::EF:BG. Tire-se a reta GA. Sendo, pela hipótese,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 110

EUCLIDES

AB:BC::DE:EF, será permutando (Pr. 16.5.) AB:DE::BC:EF. Mas é

BC:EF::EF:BG. Logo, será AB:DE::EF:BG (Pr. 11.5.). Logo, nos triângulos

ABG, DEF os lados, que fazem os ângulos iguais, são reciprocamente

proporcionais. Logo, o triângulo ABG é igual (Pr. 15.6.) ao triângulo DEF. E,

como temos BC::EF::EF:BG, e também, quando três linhas retas são

proporcionais, a primeira se diz que tem para a terceira a razão duplicada

(Def.10.5.) daquela, que a primeira tem para a segunda; a reta BC terá para a

reta BG a razão duplicada da que a mesma BC tem para EF. Mas como BC é

para BG, assim o triângulo ABC é para o triângulo ABG (Pr. 1.6.). Logo, o

triângulo ABC tem para o triângulo ABG a razão duplicada da razão de BC para

EF. Mas os triângulos ABC, DEF são iguais. Logo, o triângulo ABC tem para o

triângulo DEF a razão também duplicada da razão do lado BC para o lado EF

(Pr. 7.5.).

COROL. Pelo que temos demonstrado, fica evidente que, se três linhas

retas forem proporcionais, será a primeira para a terceira, como um triângulo

feito sôbre a primeira reta é para outro triângulo semelhante, e

semelhantemente descrito sôbre a segunda. Pois temos visto ser CB para BG,

como o triângulo ABC é para o triângulo DEF.

PROP. XX. TEOR.

Os polígonos semelhantes dividem-se em triângulos

semelhantes, em número igual, e homólogos aos mesmos

polígonos totais. E um polígono tem para outro polígono

semelhante a razão duplicada que um lado homólogo tem para

outro lado homólogo (Fig. 25.).

Sejam os polígonos semelhantes ABCDE, FGHKL, sejam homólogos os

lados AB, FG. Digo que os polígonos ABCDE, FGHKL se dividem em triângulos

semelhantes, em igual número, e homólogos aos mesmos polígonos. Digo

mais que o polígono ABCDE tem, para o polígono FGHKL, a razão duplicada da

razão do lado AB para o lado FG.

Tirem-se as retas BE, EC, GL, LH. Como os polígonos ABCDE, FGHKL são

semelhantes, será o ângulo BAE = GFL (Def. 1.6.), e também será

BA:AE::GF:FL. Tendo pois os triângulos ABE; FGL um ângulo igual a um

ângulo, isto é, o ângulo BAE = GFL, e também tendo proporcionais entre si os

lados, que formam êstes ângulos iguais; os mesmos triângulos ABE, FGL serão

eqüiângulos (Pr. 6.6.), e por conseqüência semelhantes (Pr. 4.6.). Logo, será

o ângulo ABE = FGL. Mas o total ABC é igual ao total FGH, por serem

semelhantes os polígonos ABCDE, FGHKL. Logo, também será o ângulo EBC =

LGH. E sendo EB:BA::LG:GF pela semelhança dos triângulos ABE, FGL, e

sendo também AB:BC::FG:GH, porque os polígonos são semelhantes; será por

igual (Pr. 22.5.) EB:BC::LG:GH, isto é, serão proporcionais os lados, que

compreendem os ângulos iguais EBC, LGH. Logo, os triângulos EBC, LGH são

eqüiângulos, e por conseqüência semelhantes. Do mesmo modo se demonstra

que os triângulos ECD, LHK são semelhantes. Logo, os polígonos ABCDE,

FGHKL dividem-se em triângulos semelhantes, e em igual número em ambos

os polígonos.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 111

EUCLIDES

Digo agora que os ditos triângulos são homólogos aos polígonos, isto é,

que são proporcionais entre si, e a respeito dos mesmos polígonos, e que os

triângulos ABE, EBC, ECD são como umas grandezas antecedentes, e os

triângulos FGL, LGH, LHK são como umas grandezas conseqüentes, e,

finalmente, que o polígono ABCDE tem para o polígono FGHKL a razão

duplicada da razão do lado homólogo AB para o lado homólogo FG.

Como o triângulo ABE é semelhante ao triângulo FGL, a razão de ABE

para FGL será duplicada (Pr. 19.6.) da razão de BE para GL. Da mesma sorte o

triângulo BEC tem para o triângulo GLH a razão duplicada da razão de BE para

GL. Logo, o triângulo ABE é para o triângulo FGL, como o triângulo BEC para o

triângulo GLH (Pr. 11.5.). Também, por serem semelhantes os triângulos EBC,

LGH, e os outros dois ECD, LHK, estarão uns e outros entre si na razão

duplicada daquela, que o lado CE tem para o lado HL. Logo, será

EBC:LGH::ECD:LHK. Mas temos provado ser EBC:LGH::ABE:FGL. Logo, será

ABE:FGL::EBC:LGH, e ABE:FGL::ECD:LHK. Mas da mesma sorte que um

antecedente é para um conseqüente, assim todos os antecedentes tomados

juntos são para todos os conseqüentes também tomados juntos (Pr. 12.5.).

Logo, o triângulo ABE será para o triângulo FGL, como o polígono ABCDE é

para o polígono FGHKL. Logo, tendo o triângulo ABE para o triângulo FGL a

razão duplicada da que o lado homólogo AB tem para o lado homólogo FG;

também o polígono ABCDE terá para o polígono FGHKL a mesma razão

duplicada daquela que AB tem para FG.

COROL. 1. Com o mesmo método se pode demonstrado que as figuras

quadriláteras e multiláteras semelhantes, quaisquer que sejam, estão entre si

na razão duplicada dos lados homólogos. E como já se tem demonstrado o

mesmo a respeito dos triângulos semelhantes (Pr. 19.6.), podemos concluir

que geralmente tôdas as figuras retilíneas semelhantes têm entre si a razão

duplicada da razão dos lados homólogos.

COROL. 2. Se a linha reta M fôr terceira proporcional a respeito dos lados

homólogos AB, FG, a reta AB terá para a reta M a razão duplicada (Def. 10.5.)

daquela que AB tem para FG. Mas também o polígono ABCDE feito sôbre o

lado AB tem para o polígono FGHKL feito sôbre o lado FG, ou qualquer outra

figura retilínea, que quisermos feita sôbre o lado AB, tem para outra figura

semelhante, e semelhantemente feita sôbre o lado FG a razão duplicada da

que o lado homólogo AB tem para o lado homólogo FG. Logo, será o lado AB

para a reta M, como a figura feita sôbre AB para, outra figura semelhante e

semelhantemente feita sôbre FG. Mas temos demonstrado o mesmo a respeito

dos triângulos semelhantes (Corol. 19.6.). Logo, pode-se geralmente afirmar

que, se três linhas forem proporcionais, a primeira será para a terceira como

uma figura retilínea, qualquer que seja, feita sôbre a primeira reta é para

outra figura retilínea semelhante e .semelhantemente formada sôbre a

segunda.

PROP. XXI. TEOR.

As figuras retilíneas semelhantes à mesma figura retiUnea

também são semelhantes entre si (Fig. 26.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 112

EUCLIDES

Sejam os retilíneos A, B, semelhantes ao mesmo retilíneo C. Digo que o

retilíneo A é semelhante ao retilíneo B.

Como, pela hipótese, os retilíneos A, C são semelhantes entre si, serão

também eqüiângulos, e serão proporcionais (Def. 1.6.) os lados dêles, que

fizerem ângulos iguais. Do, mesmo modo, sendo semelhantes os retilíneos B,

C, êstes mesmos retilíneos devem ser eqüiângulos, e os lados dêles, que

formam ângulos iguais, devem ser proporcionais. Logo, cada um dos retilíneos

A, B é eqüiângulo ao retilíneo C; e, todos êstes três retilíneos têm

proporcionais os lados, que formam ângulos iguais. Logo, os retilíneos A, B são

eqüiângulos, (Ax. 1.1.), e têm proporcionais (Pr. 11.5.) entre si os lados; que

fazem ângulos iguais. Logo, o retilíneo A é semelhante ao retilíneo B.

PROP. XXII. TEOR.

Se quatro linhas retas forem proporcionais, os retilíneos

semelhantes e semelhantemente descritos sôbre as ditas retas

serão também proporcionais. E se os retilíneos semelhantes e

,semelhantemente descritos sôbre quatro linhas retas forem

proporcionais, também as quatro linhas retas serão

proporcionais (Fig. 27.).

Sejam as quatro linhas retas proporcionais AB, CD, EF, , GH, isto é, seja

AB:CD::EF:GH, e sejam formados sôbre as retas AB, CD os retilíneos

semelhantes e semelhantemente postos KAB, LCD; e sôbre as outras EF, GH

os retilíneos MF, NH também semelhantes entre si, e semelhantemente

postos, Digo que o retilíneo KAB é para o retilíneo LCD, como o retilíneo MF é

para o retilíneo NH.

Seja a linha reta X terceira proporcional (Pr. 11.6.) a respeito das duas

AB, CD, e a reta O também terceira proporcional a respeito das outras duas

EF, GH. Sendo, pela hipótese, AB:CD::EF:GH, será CD:X::GH:O (Pr. 11. 5. ).

Logo, por igual (Pr. 22.5.) deve ser AB:X::EF:O. Mas como AB é para X,

assim é o retilíneo KAB para o retilíneo LCD (2. Cor. 20.6.); e como EF é para

O, assim o retilíneo MF é para o retilíneo NH. Logo, será o retilíneo KAB para o

retilíneo LCD, como o retilíneo MF é para o retilíneo NH.

Suponhamos agora ser o retilíneo KAB para o retilíneo LCD, como o

retilíneo MF para o retilíneo NH. Digo que será AB:CD::EF:GH.

Achada a reta PR de maneira que seja AB:CD::EF:PR (Pr. 12.6.),

descreva-se sôbre a mesma reta PR (Pr. 18.6.) o retilíneo SR, semelhante e

semelhantemente pôsto a respeito de um dos dois MF, NH. Como temos

AB:CD::EF:PR, e sobre as retas AB, CD estão descritos os retilíneos

semelhantes e semelhantemente postos KAB, LCD, e sôbre EF, PR os outros

retilíneos, também semelhantes e semelhantemente postos MF, SR: será, pelo

que se tem demonstrado o retilíneo KAB para o retilíneo LCD, como o retilíneo

MF é para o retilíneo SR. Mas temos suposto ser KAB:LCD::MF:NH. Logo, o

retilíneo MF tem a mesma razão para cada um dos retilíneos NH, SR. Logo, o

retilíneo NH é igual (Pr. 9.5.) ao retilíneo SR. Mas êstes dois retilíneos são

também semelhantes e semelhantemente descritos. Logo, será GH = PR.

Logo, sendo AB:CD::EF:PR e sendo PR = GH, será finalmente AB:CD::EF:GH

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 113

EUCLIDES

PROP. XXIII. TEOR.

Os paralelogramos eqüiângulos estão entre si na razão, que

se compõe das razões dos lados. (Fig.28.).

Sejam os paralelogramos eqüiângulos AC, CF, cujos ângnlos BCD, ECG

sejam iguais. Digo que o paralelogramo AC tem para o paralelogramo CF a

razão composta das razões dos lados, isto é, da razão de BC para CG, e da

razão de DC para CE.

Ponham-se os dois paralelogramos AC, CF de maneira que o lado BC

esteja em direitura com o lado CG. Também o lado DC estará em direitura

com o lado CE (Pr. 14.1.). Completado pois o paralelogramo DG, tome-se uma

linha reta K, como se quiser, e faça-se (Pr. 12.6.) K para L, assim como BC

para CG; e L para M, assim como DC para CE. Serão as razões de K para L, e

de L para M iguais às razões dos lados, isto é, às razões de BC para GC, e de

DC para CE. Mas a razão de K para M se diz a razão composta (Def. A.5.) das

razões de K para L, e de L para M. Logo, a razão de K para H é a composta

das razões dos lados. E porque BC é para CG como o paralelogramo AC para o

paralelogramo CH (Pr. 1.6.), e também BC:CG::K:L; será K para L, como o

paralelo gramo AC é para o paralelogramo CH (Pr. 11.5.). Também sendo DC

para CE, como o paralelogramo CH para o paralelogramo CF, e DC:CE::L:M;

será L para M como o paralelogramo CH é para o paralelogramo CF. Logo,

visto têrmos demonstrado ser K para L, com o o paralelogramo AC é para o

paralelogramo CH; e L para M, como o paralelogramo CH é para o

paralelogramo CF, será por igual (Pr. 22.5.) do mesmo modo que K para M, o

paralelogramo AC para o paralelogramo CF. Mas K tem para M a razão

composta das razões dos lados, isto é, da razão de BC para CG, e da razão de

DC para CE. Logo, também o paralelogramo AC tem para o paralelogramo CF

a razão composta das razões dos mesmos lados, isto é, da razão de BC para

CG, e da razão de DO para CE.

PROP. XXIV. TEOR.

Os paralelogramos, que existem na diagonal de outro

paralelogramo, são semelhantes entre si e também semelhantes

ao paralelogramo total (Fig. 29.).

Seja o paralelogramo ABCD, cuja diagonal é a reta AC. Na diagonal AC

existam os paralelogramos EG, HK Digo que os paralelogramos EG, HK são

semelhantes entre si, e também semelhantes ao paralelogramo total ABCD.

Como as retas DC, GF são paralelas, será o ângulo ADC = AGF (Pr.

29.1.). Pela mesma razão, sendo BC, EF paralelas, será ABC = AEF. Mas cada

um dos ângulos BCD, EFG é igual (Pr. 33.1.) ao ângulo oposto DAB. Logo, será

BCD = EFG. Logo, os paralelogramos ABCD, AEFG são eqüiângulos. Sendo pois

o ângulo ABC = AEF, e BAC comum, os triângulos BAC, EAF serão também

eqüiângulos, e assim teremos AB:BC::AE:EF (Pr. 4.6.). Logo, sendo iguais (Pr.

34.1.) os lados opostos nos paralelogramos, será também (Pr. 7.5.)

AB:AD::AE:AG, e CD:CB::GF:FE, e finalmente CD:DA::FG:GA. Logo, nos

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 114

EUCLIDES

paralelogramos ABCD, AEFG, os lados, que fazem ângulos iguais, são

proporcionais, e por conseqüência são semelhantes (Def. 1.6.) entre si os

mesmos paralelogramos ABCD, AEFG. Pela mesma razão o paralelogramo

ABCD é semelhante ao paralelogramo FHCK Logo, cada um dos

paralelogramos GE, KH é semelhante ao mesmo paralelogramo DB. Mas os

retilíneos semelhantes a outro retilíneo são também semelhantes (Pr. 21.6.)

entre si. Logo, o paralelogramo GE é semelhante ao paralelogramo KH.

PROP. XXV. TEOR.

Construir um retilíneo semelhante a outro retilíneo dado, e

igual a um retilíneo também dado (Fig. 30.)

Sejam os dois retilíneos ABC, D. Deve-se construir um retilíneo

semelhante ao retilíneo ABC, e igual ao retilíneo D.

Sôbre a reta BC faça-se o paralelogramo BE igual ao retilíneo ABC; e

sôbre a reta CE faça-se o paralelogramo CM igual ao retilíneo D e com o

ângulo FCE = CBL (Cor. 45.1.). Logo, BC está em direitura de CF, e LE em

direitura de EM (Pr. 29 e 14.1.). Entre as retas BC, CF acha-se a média

proporcional GR (Pr. 13.6.), e sôbre GH descreva-se (Pr. 18.6.) o retilíneo KGH

semelhante ao retilíneo ABC. Será o retilíneo KGH o que se pede. Sendo

BC:GR::GR:CF, e postas três linhas retas proporcionais, sendo a primeira reta

para a terceira, como uma figura retilínea, qualquer que seja, feita sôbre a

primeira para outra figura retilínea semelhante, e semelhantemente descrita

sôbre a segunda (2. Cor. 20.6); como BC é para CF assim será o retilíneo ABC

para o retilíneo KGH. Mas como BC é para CF, assim o paralelogramo BE é

para o paralelogramo EF (Pr. 1.6.). Logo, como o retilíneo ABC é para o

retilíneo KGH, assim (Pr. 11.5.) o paralelogramo BE será para o paralelogramo

EF. Mas o retilíneo ABC é igual ao paralelogramo BE. Logo, o retilíneo KGH

será igual (Pr. 14.5.) ao paralelogramo EF. Mas o paralelogramo EF é igual ao

retilíneo D. Logo, o retilíneo KGR é igual ao retilíneo D. Mas KGR é semelhante

a ABC. Logo, temos construído o retilíneo KGH, semelhante ao retilíneo ABC, e

igual ao retilíneo D.

PROP. XXVI. TEOR.

Se de um paralelogramo fôr tirado outro paralelogramo

semelhante ao total, e semelhantemente pôsto, e que tenha um

ângulo comum ao mesmo total, o paralelogramo, que fôr tirado,

existirá ao redor da diagonal do paralelogramo total (Fig. 31.).

Do paralelogramo ABCD tire-se o paralelogramo AEFG, semelhante ao

total ABCD, e semelhantemente pôsto, e que tenha o ângulo DAB, que é

comum ao paralelogramo ABCD. Digo que o paralelogramo AEFG existe ao

redor da mesma diagonal AC do paralelogramo ABCD.

Suposto assim não ser, seja ARC, se é possível, a diagonal do

paralelogramo BD; e o lado GF corte a pretendida diagonal ARC no ponto H.

Tire-se pelo ponto R a reta RK paralela a uma das duas AD, BC. Como os

paralelogramos ABCD, AKRG existem ao redor da mesma diagonal AR C, êstes

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 115

EUCLIDES

paralelogramos serão semelhantes (Pr. 24.6.) entre si. Logo, será

DA:AB::GA:.AK (Def. 1.6.). Mas também, por serem semelhantes os

paralelogramos ABCD, AEFG, deve ser DA:AB::GA:AE. Logo, será

GA:AE::GA:.AK (Pr. 11.5.), e por conseqüência teremos. AE = AK (Pr. 9.5.), o

que é absurdo, porque AK é menor que AE. Logo, os paralelogramos ABCD,

AKRG não existem ao redor da mesma diagonal, mas sim os paralelogramos

ABCD, AEFG.

Para que mais facilmente se possam entender as três proposições

seguintes, convém advertir primeiramente o que se segue:

I. Um paralelogramo se diz que é aplicado a uma linha reta, quando é

descrito sôbre ela. Por exemplo, o paralelogramo AC (Fig. 32.) se diz

que é aplicado à reta AB, tôdas as vêzes que é descrito sôbre a

mesma reta AB.

II. Mas o paralelogramo AE se diz que é aplicado à reta AB com a falta

de uma figura paralelograma, quando a base AD do paralelogramo AE

é menor que a reta AB; assim o paralelogramo AE é tanto menor que

o paralelogramo AC, descrito sôbre a reta AB no mesmo ângulo, e

entre as mesmas paralelas, quanta é. a figura paralelograma DC, que

é o que falta ao paralelogramo AE para o complemento do

paralelogramo AC. O paralelogramo DC chama-se o defeito, ou a falta

do paralelogramo AE.

III. Finalmente, o paralelogramo AG.se diz que é aplicado à reta AB com

o excesso de uma figura paralelograma, quando n base AF do

paralelogramo AG é. maior que a reta AB; e assim o paralelogramo

AG tem de mais que o paralelogramo AC tôda a figura paralelograma

BG, que se chama o excesso do mesmo paralelogramo AG sôbre o

paralelogramo AC.

PROP. XXVII. TEOR.

Entre todos os paralelogramos aplicados à mesma linha

reta, e com os defeitos de figuras paralelogramas semelhantes à

figura descrita sôbre a metade da dita reta, e senelhantemente

postas, o máximo é aquêle que é aplicado à metade da mesma

reta, e que é semelhante à figura paralelograma que falta (Figs.

33 e 34.).

Seja a reta AB dividida em partes iguais no ponto C.

Esteja o paralelogramo AD aplicado à reta AR com a falta da figura

paralelograma CE descrita sôbre a metade da reta AB, A qual figura é

semelhante o paralelogramo AD. Digo que entre todos os paralelogramos

aplicados à reta AB, e com as faltas de figuras paralelogramas semelhantes à

figura CE, e semelhantemente postas, o máximo é o paralelogramo AD.

Seja aplicado à reta AB o paralelogramo AF com a falta da figura

paralelograma KH, semelhante à CE e semelhantemente posta. Digo que o

paralelogramo AD é maior que o paralelogramo AF.

Seja primeiramente a base AK do paralelogramo AF maior que a reta AC

(Fig. 33.). Como os paralelogramos CE, KH são semelhantes, necessàriamente

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 116

EUCLIDES

devem existir ao redor de uma mesma diagonal (Pr. 26.6.). Seja DB esta

diagonal comum, e descreva-se a figura tôda, produzindo a reta KF até o

ponto L. Sendo os paralelogramos CF, FE iguais (Pr. 43.1.), se ajuntarmos a

uma e outra parte o mesmo paralelogramo KH, será o total CH igual ao total

KE. Mas é CR = CG (Pr. 36.1.), por serem as retas AC, CB iguais entre si.

Logo, também será CG = KE. Ajunte-se-lhes o paralelogramo comum CF. Será

o paralelogramo AF igual ao gnômon CHL, e por conseqüência o paralelogramo

CE, isto é, o paralelogramo AD será maior que o paralelogramo AF.

Em segundo lugar a base AK (Fig. 34.) do paralelogramo AF seja menor

que a reta AC. Suposta a mesma construção, como os paralelogramos DH, DG

são iguais (Pr. 36.1.), por ser HM = MG (Pr. 34.1.), será DH>LG. Mas é DH =

DK (Pr. 43.1.). Logo, será DK>LG. Logo, ajuntando a uma e outra parte o

mesmo paralelogramo AL, será o paralelogramo AD maior que o

paralelogramo AF.

PROP. XXVIII. TEOR.

Aplicar a uma linha reta dada um paralelogramo igual a um

retilíneo dado, e com o defeito de uma figura paralelograma

semelhante à outra dada. Mas o retilíneo dado, ao qual se quer

que seja igual o paralelogramo que se pede, não deve ser maior

do que o paralelogramo, que se aplica à metade da reta dada,

sendo semelhantes entre si os defeitos, tanto do paralelogramo

aplicado à metade da reta proposta, como do paralelogramo que

se pede com o defeito da figura paralelograma semelhante à

outra dada (Fig. 35.).

Seja AB a linha reta dada, e o retilíneo dado, ao que deve ser igual o

paralelogramo, que se quer aplicar à reta AB, seja C; contanto, porém, que

êste retilíneo não seja maior do que o paralelogramo aplicado à metade da

mesma reta AB, sendo semelhantes os defeitos. Seja D a figura

paralelograma, a que deve ser semelhante o defeito do paralelogramo que se

pede. É preciso aplicar à reta AB um paralelogramo igual ao retilíneo C, e com

o defeito de uma figura paralelograma semelhante ao paralelogramo. D.

Dividida em partes iguais (Pr. 10.1.) a linha reta AB no ponto F,

descreva-se sôbre a parte EB como base o paralelogramo EBFG, semelhante

(Pr. 18.6.) ao paralelogramo D, e semelhantemente pôsto. Complete-se o

paralelogramo AG. O paralelogramo AG será igual, ou maior que o retilíneo C.

Se o paralelogramo AG fôr igual ao retilíneo C, estará feito o que se pede,

porque o paralelogramo AG igual ao retilíneo C, e com o defeito da figura

paralelograma EF semelhante a D, já está aplicado à reta dada AB. Mas não

sendo AG = C, será (Pr. 27.6.) AG>C. Logo, sendo EF = AG, será também

EF>C. Descreva-se (Pr. 25.6.) o paralelogramo KLMN igual ao excesso de EF

sôbre C, semelhante ao paralelogramo D, e semelhantemente pôsto. Será o

mesmo paralelogramo KLMN semelhante (Pr. 21.6.) ao paralelogramo EF, por

serem semelhantes entre si os dois EF, e D. Seja homólogo o lado KL a

respeito do lado EG, e seja também homólogo o lado LM a respeito do lado

GF: Como o paralelogramo EF é igual aos dois retilíneos C, KM tomados

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 117

EUCLIDES

juntos, será EF>KM. Logo, será o lado GE maior que o lado LK, e o lado GF

maior que o lado LM. Tome-se GX LK, e GO = LM, e complete-se o

paralelogramo XGOP. Logo, os paralelogramos XO, KM são iguais e

semelhantes. Mas KM é semelhante a EF. Logo; XO é também semelhante a

EF. Logo, os paralelogramos XO, EF existem ao redor de uma mesma diagonal

(Pr. 26.6.). Seja esta diagonal a reta GPB. Descreva-se a figura tôda

produzindo a reta OP até o ponto S, e a reta XP até os pontos T, R. Logo,

sendo o paralelogramo EF igual aos dois retilíneos C, e KM tomados juntos; e

sendo XO = KM tirando XO de EF, ficará o gnômon ERO igual ao retilíneo C. E

como os complementos OR, XS são iguais (Pr. 43.1.) entre si, se ajuntarmos a

um e outro o mesmo paralelogramo SR, será o total OB igual ao total XB. Mas

é XB = TE (Pr. 36.1.), por ser o lado AE igual ao lado EB. Logo, será também

TE = OB Ajunte-se-lhes o mesmo paralelogramo XS. Será o paralelogramo TS

igual ao gnômon ERO. Mas temos demonstrado que o gnômon ERO é igual ao

retilíneo C; Logo, será o paralelogramo TS igual ao retilíneo C. Logo, temos

aplicado à linha reta dada AB o paralelogramo TS igual ao retilíneo dado C, e

com o defeito da figura paralelograma SR semelhante a D, por ser também SR

semelhante (Pr. 24.6.) a EF, que foi feito semelhante a D.

PROP. XXIX. PROB.

Aplicar a uma linha reta dada um paralelogramo igual a um

retilíneo dado, e com o excesso de uma fig1tra paralelograma

semelhante a outra dada (Fig. 36.).

Seja AB a linha reta dada, C um retilíneo, e D um paralelogramo. Deve-se

aplicar à reta AB um paralelogramo igual ao retilíneo C, e com o excesso de

uma figura paralelograma semelhante a D.

Divida-se a reta AB em partes iguais no ponto E, e sôbre a parte EB

descreva-se (Pr. 18.6.) o paralelogramo EL, semelhante ao paralelogramo D, e

semelhantemente pôsto. Descreva-se (Pr. 25.6.) também o paralelogramo GH,

igual ao paralelogramo EL e ao retilíneo C tomados juntos, e ao mesmo tempo

semelhante a D. Será GH semelhante (Pr. 21.6.) a EL. Seja KH um lado

homólogo a respeito do lado FL; e seja também KG outro lado homólogo a

respeito do lado FE. Sendo o paralelogramo GH maior que o paralelogramo EL,

também será o lado KH maior que o lados FL, e KG>FE. Produzam-se as retas

FL, FE fazendo FLM = KH, e FEN = KG, e complete-se o paralelogramo MN.

Serão os dois paralelogramos MN, GH iguais entre si e semelhantes. Mas GH é

semelhante a EL. Logo, será também MN semelhante a EL, e por conseqüência

haverá uma diagonal comum (Pr. 26.6.) a ambos êstes paralelogramos. Seja

FX esta diagonal comum, e descreva-se a figura tôda produzindo as retas EB,

LB até os pontos O, P. Logo, sendo o paralelogramo GH igual ao paralelogramo

EL e ao retilíneo C, tomados juntos, e sendo GH = MN; será MN igual a EL e C,

também tomados juntos. Tire-se de uma e outra parte o paralelogramo

comum EL. Ficará o gnômon NOL. igual ao retilíneo C. E como temos AE = EB,

será o paralelogramo AN igual (Pr. 36.1.) ao paralelogramo NB. Mas é NB =

BM (Pr. 43.1.). Logo, será AN = BM. Ajunte-se a uma e outra parte o mesmo

paralelogramo NO. Será o paralelogramo AX igual ao gnômon NOL. Mas o

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 118

EUCLIDES

gnômon NOL é igual ao retilíneo C. Logo, será AX = C. Logo, à linha reta dada

AB temos aplicado o paralelogramo AX igual ao retilíneo proposto C, e com o

excesso da figura paralelograma OP semelhante a D, por serem EL, OP

semelhantes (Pr. 24.6.) entre si, e por têrmos feito o paralelogramo EL

semelhante ao paralelogramo D.

PROP. XXX. TEOR.

Dividir uma linha reta determinada na extrema e média

razão (Fig. 37.).

Seja a linha reta determinada AB. Deve-se dividir a reta AB na extrema e

média razão.

Descreva-se (Pr. 46.1.) sôbre a reta AB o quadrado BC, e aplique-se (Pr.

29.6.) ao lado AC o paralelogramo CD igual ao quadrado BC, e com o excesso

da figura paralelograma AD semelhante ao mesmo BC. Sendo pois BC um

quadrado, também a figura AD será um quadrado. E como o quadrado BC é

igual ao paralelogramo CD, tirando de uma e outra parte o paralelogramo

comum CE, ficará o resto BF igual ao resto AD.

Mas êstes paralelogramos, além de serem iguais, são também

eqüiângulos. Logo, os lados dêles, que fazem ângulos iguais, serão

reciprocamente proporcionais (Pr. 14.6.), e por conseqüência teremos

FE:ED::AE:EB. Mas é FE = AC (Pr. 34.1.) e AC = AB, e assim FE = AB, e

também temos ED = AE. Logo, será BA:AE::AE:EB. Mas é AB>AE, e por

conseqüência AE>EB (Pr. 14.5.). Logo, a linha reta AB está dividida na

extrema e média razão no ponto E (Def. 3.6.), como se pedia.

OUTRA CONSTRUÇÃO E DEMONSTRAÇÃO.

Seja dada a linha reta AB. Deve-se dividir a reta AB na

extrema e média razão (Fig. 38.).

Divida-se a reta AB no ponto C de maneira que o retângulo,

compreendido pela reta tôda AB e pela parte BC, seja igual (Pr. 11.2.) ao

quadrado da outra parte BC. A reta AB ficará dividida na extrema e média

razão no ponto C.

Como o retângulo das retas AB, BC é igual ao quadrado, de AC, será

BA:AC::AC:CB (Pr. 17.6.). Logo, a reta. AB está dividida na extrema e média

razão no ponto C (Def. 3.6.).

PROP. XXXI. TEOR.

Em todo o triângulo retângulo a figura retilínea, qualquer

que fôr, formada sôbre o lado oposto ao ângulo reto, é igual às

outras figuras retilíneas tomadas juntas, semelhantes à

primeira, e semelhantemente descritas sôbre os lados, que

compreendem o ângulo reto (Fig. 39.).

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 119

EUCLIDES

Seja o triângulo retângulo ABC, cujo ângulo BAC seja reto. Digo que a

figura retilínea, formada sôbre o lado BC, e igual às outras duas figuras

tomadas juntamente, semelhantes. à primeira, e semelhantemente descritas

sôbre os lados BA, AC.

Caia do ponto A sôbre o lado BC a perpendicular AD. Como no triângulo

retângulo ABC do ângulo reto em A, está tirada sôbre a base BC a

perpendicular AD, os triângulos ABD, ADC serão semelhantes ao triângulo total

ABC, e também serão semelhantes (Pr. 8.6.) entre si. Logo, sendo o triângulo

AHC semelhante ao triângulo ABD, será CB:BA::BA:BD (Pr. 4.6.). Logo, as

três retas CB, BA, BD são proporcionais, e assim será a primeira destas três

retas para a terceira, como a figura retilínea descrita sôbre a primeira reta

para outra figura semelhante (2. Cor. 20.6.), e semelhantemente descrita

sôbre a segunda. Logo, será CB para BD, como a figura formada sôbre o lado

CB para a figura semelhante, e semelhantemente descrita sôbre o lado BA. E

invertendo (Pr. B.5.), como DB para BC, assim a figura sôbre BA será para a

figura sôbre BC. Com a mesma demonstração se provará ser DC para CB,

como a figura sôbre CA é para a figura sôbre CB. Logo, como as duas retas

BD, DC tomadas juntas são para BC, assim as, figuras formadas sôbre os

lados BA, AC serão para a figura feita sôbre o lado BC (Pr. 24.5.). Mas as duas

retas BD, DC tomadas juntas são iguais a BC. Logo, a figura retilínea formada

sôbre o lado BC será igual (Pr. A.5.) às figuras semelhantes, e

semelhantemente descritas sôbre os lados BA, AC.

PROP. XXXII. TEOR.

Se dois triângulos, nos quais dois lados de um são

proporcionais a, dois lados do outro, se dispuserem entre si de

maneira que, tocando-se com dois ângulos, os lados homólogos

sejam respectivamente, paralelos, os outros lados dos mesmos

triângulos estarão em direitura um com outro (Fig. 40.).

Sejam os dois triângulos ABC, DCE, e sejam os lados BA AC do primeiro

proporcionais aos lados CD, DE do segundo, isto é, seja BA:AC::CD:DE.

Considerem-se os dois triângulos ABC, DCE postos entre si, de maneira que,

tocando-se pela parte dos ângulos ACB, DCE no ponto C, seja o lado AB

paralelo ao lado DC, e também seja o lado AC paralelo ao lado DE. Digo que o

lado BC estará em direitura com o lado CE.

Como o lado AB é paralelo ao lado DC, e são ambos cortados pela reta

AC, os ângulos alternos BAC, ACD serão iguais (Pr. 29.1.) entre si. Pela

mesma razão são iguais os ângulos CDE, ACD. Logo, também será BAC = CDE

E porque os dois, triângulos ABC, DCE têm iguais os ângulos A, D, e

proporcionais os lados, que formam êstes ângulos iguais, sendo pela hipótese

BA:AC::CD:DE, os mesmos triângulos ABC DCE serão eqüiângulos (Pr. 6.6.).

Logo, será o ângulo ABC = DCE. Mas temos demonstrado ser BAC = ACD.

Logo, será o total ACE igual aos dois juntamente ABC, BAC. Ajunte-se a uma e

outra parte o mesmo ângulo ACB, serão os dois ACE, ACB, tomados juntos,

iguais aos três ABC, BAC, ACB, também tomados juntos. Mas os três ABC,

BAC, ACB são iguais a dois retos (Pr. 32.1.). Logo, também os dois ACE, ACB

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 120

EUCLIDES

serão iguais a dois retos, e por conseqüência o lado BC estará em direitura

(Pr. 14.1.) com o lado CE.

PROP. XXXIII. TEOR.

Em círculos iguais, os ângulos existentes ou nos centros; ou

nas circunferências têm entre si a mesma razão, que têm os

arcos sôbre os quais assentam os ditos ângulos. O mesmo tem

lugar a respeito dos setores (Fig. 41.).

Sejam os círculos iguais ABC, DEF, e os ângulos BGC, EHF existentes nos

centros G, H; e também os ângulos BAC, EDF existentes nas circunferências

dos mesmos círculos. Digo que, como o arco BC é para o arco EF, assim o

ângulo BGC é para o ângulo EHF; e assim também o ângulo BAC é para o

ângulo EDF; e o setor BGC para o setor EHF.

Na circunferência do círculo ABC, principiando do ponto C, tomem-se os

arcos CK, KL em um número qualquer que fôr, contanto que cada um dêles

seja igual ao arco BC; e também na circunferência do círculo DEF, principiando

no ponto F, tomem-se os arcos FM, MN, e cada um dêles seja igual ao arco EF.

Tirem-se os raios GK, GL, HM, HN. Como os arcos BC, CK, KL são iguais entre

si, também serão iguais (Pr. 27.3.) os ângulos BGC, CGK, KGL. Logo, assim

como BL é multíplice do arco BC, do mesmo modo o ângulo BGL será

multíplice do ângulo BGC. Pela mesma razão, como o arco EN é multíplice do

arco EF, assim o ângulo EHN será multíplice do ângulo EHF. E se o arco BL fôr

maior, ou igual, ou menor que o arco EN, também o ângulo BGL será maior,

ou igual (Pr. 27.3.), ou menor que o ângulo EHN. Logo, como o arco BC é para

o arco EF, assim o ângulo BGC será para o ângulo EHF (Def. 5.5.). Mas é

BGC:EHF::BAC:EDF (Pr. 15.5.), porque cada um dos primeiros ângulos é o

dôbro (Pr. 20.3.) de cada um dos segundos. Logo, como o arco BC é para o

arco EF, assim também o ângulo BAC será para o ângulo EDF. Logo, em

círculos iguais os ângulos existentes, ou nos centros, ou nas circunferências,

têm entre si a mesma razão, que têm os arcos sôbre os quais assentam os

ditos ângulos.

Digo mais que assim como o arco BC é para o arco EF, assim também o

setor BGC é para o setor EHF (Fig. 42.).

Tiradas as cordas BC, CK, e tomados ncs arcos BC, CK os pontos X, O,

tirem-se as outras cordas BX, XC, CO, OK. Como as outras duas retas BG, CG

são iguais às duas CG, GK, e os ângulos BGC, CGK formados por estas retas

são também iguais entre si, será a base BC igual à, base CK, e o triângulo

GBC igual (Pr. 4.1.) ao triângulo GCK. E sendo os arcos, BC, CK iguais, os

complementos dêles para a circunferência inteira do círculo ABC serão também

iguais. Logo, será o ângulo BXC = COK (Pr. 27.3.), e assim serão semelhantes

(Def. 11.3.) os segmentos BXC, COK. Mas os segmentos de círculos

semelhantes existentes sôbre retas iguais são também iguais (Pr.24.3.). Logo,

o segmento BXC é igual ao segmento COK. Mas o triângulo BGC é igual ao

triângulo CGK, como já temos provado. Logo, todo o setor BGC deve ser igual

a todo o setor CGK. Com a mesma demonstração se prova que o setor KGL é

igual a cada um dos dois setores BGC, CGK. Do, mesmo modo são iguais entre

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 121

EUCLIDES

si os setores EHF, FHM, MHN. Logo, assim como o arco BL é multíplice do arco

BC, do mesmo modo o setor BGL será multíplice do setor BGC. Pela mesma

razão, como o arco EN é multíplice do arco EF, assim também o setor EHN o

será a respeito do setor EHF. E se o arco BL for maior, ou igual; ou menor que

o arco EN, também o setor BGL será maior, ou igual, ou menor que o setor

EHN. Logo, como o arco BC é para o arco EF, assim o setor BGC será para o

setor EHF (Def. 5.5.).

PROP. B. TEOR.

Se um ângulo de qualquer triângulo fôr dividido em partes

iguais por uma Unha reta, que corte também a base do mesmo

triângulo, o retângulo compreendido pelos lados do triângulo

será igual ao retângulo compreendido pelos segmentos da base,

juntamente com o quadrado da reta que divide o ângulo em

partes iguais (Fig. 43.).

Seja o triângulo ABC, cujo ângulo BAC seja dividido em partes iguais pela

reta AD. Digo que o retângulo compreendido pelos lados AB, AC é igual ao

retângulo compreendido pelos segmentos BD, DC da base BC juntamente com

o quadrado da reta AD.

Circunscreva-se (Pr. 5.4.) ao triângulo BAC o círculo ACB, e produza-se a

reta AD, até que encontre a circunferência no ponto E. Tire-se a corda EC.

Visto serem iguais pela hipótese os ângulos BAD, CAE; e também os ângulos

ABD, AEC (Pr. 21.3.), por estarem êstes no mesmo segmento ABEC; os

triângulos ABD, AEC serão eqüiângulos, e por consequência será

BA:AD::EA:AC (Pr. 4,6.); e assim o retângulo das retas BA, AC será igual (Pr.

16.6.) ao retângulo das retas AE, AD; isto é, o retângulo das retas BA, AC será

igual (Pr. 3.2.) ao retângulo das retas de ED, DA juntamente com o quadrado

de AD. Mas o retângulo das retas ED, DA é igual (Pr. 35.3.) ao retângulo das

retas BD, DC. Logo o retângulo compreendido pelos lados BA, AC será igual ao

retângulo compreendido pelas retas BD, DC juntamente com o quadrado da

reta AD.

PROP. C. TEOR.

Se em um triângulo do ângulo, que fica oposto à base, fôr

tirada uma reta perpendicularmente sôbre a mesma base, o

retângulo compreendido pelos lados do triângulo será igual ao

retângulo compreendido pela dita perpendicular, e pelo diâmetro

do círculo, que se pode circunscrever ao mesmo triângulo (Fig.

44.).

Seja o triângulo ABC, e do ângulo A esteja tirada a reta AD

perpendicularmente sôbre a base BC. Digo que, o retângulo compreendido

pelos lados BA, AC é igual ao retângulo compreendido pela reta AD e pelo

diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo ABC.

Seja circunscrito. (Pr. 5.4.) ao triângulo ABC o círculo ACB, cujo diâmetro

seja AE. Tire-se a corda EC. Como o ângulo BDA, que é reto, é igual ao ângulo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 122

EUCLIDES

ECA existente no semicírculo (Pr. 31.3.), e também o ângulo ABD é igual (Pr.

21.3.) ao ângulo AEC, por estarem ambos êstes ângulos no mesmo segmento

ABEC, os triângulos ABD, AEC serão eqüiângulos. Logo, será BA:AD::EA:AC

(Pr. 4.6.), e por conseqüência o retângulo compreendido pelos lados BA, AC

será igual (Pr. 16.6.) ao retângulo compreendido pela reta AD perpendicular à

base BC, e pelo diâmetro EA do círculo ACB circunscrito ao triângulo ABC.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 123

LIVRO XI

EUCLIDES

DEFINIÇÕES

Sólido é o que tem comprimento; largura e profundidade.

Os têrmos do sólido são superfícies.

III

Uma linha reta é perpendicular a um plano, quando faz ângulos retos com

tôdas as retas que a tocam, existentes no mesmo plano.

Um plano é perpendicular a outro plano, quando as linhas retas, que em

um dos planos, qual quisermos, se conduzem perpendicularmente à seção

comum dos mesmos planos, ficam sendo perpendiculares também ao outro

plano.

A inclinação de uma linha reta sôbre um plano é um ângulo agudo

formado pela mesma reta e por outra existente no plano entre a dita reta e a

perpendicular, que de qualquer ponto da reta inclinada cai sôbre o mesmo

plano.

A inclinação de um plano sôbre outro plano é um ângulo agudo feito por

duas linhas retas existentes uma em um plano, e outra no outro, as quais

conduzidas por um mesmo ponto, ficam sendo perpendiculares à seção

comum dos ditos planos.

VII

Dois planos se dizem semelhantemente inclinados a respeito de outros

dois, quando os ângulos das inclinações são iguais.

VIII

Planos paralelos são aquêles que, produzidos como qual que quisermos,

nunca concorrem para parte alguma.

Ângulo sólido é um ângulo formado por mais de dois ângulos planos não

existentes no mesmo plano, e os quais todos têm o mesmo vértice comum.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 125

EUCLIDES

Esta décima definição se deixa pelas razões, que se deram nas Notas.

As figuras sólidas semelhantes são aquelas, que têm iguais os ângulos

sólidos correspondentes, como também semelhantes entre si, e em número

igual os planos que se correspondem.

XII

Pirâmide é uma figura sólida formada por diferentes planos, os quais

todos, saindo de um mesmo plano, se terminam em um mesmo ponto.

XIII

Prisma é uma figura sólida compreendida por vários planos, entre os

quais dois, que ficam opostos, são iguais, semelhantes e paralelos; os outros

todos são paralelogramos.

XlV

Esfera é uma figura sólida descrita pela revolução inteira de um

semicírculo ao redor do seu diâmetro, que se considera como imóvel.

Eixo da esfera é aquêle diâmetro ao redor do qual o semicírculo faz a sua

revolução.

XVI

Centro da esfera é o mesmo centro do semicírculo.

XVII

Diâmetro da esfera se chama qualquer linha reta, que passa pelo centro

da esfera, e se termina de uma e outra parte na superfície da mesma esfera.

XVIII

Pirâmide cônica é uma figura sólida, que fica formada pela revolução

inteira de um triângulo retângulo ao redor de um lado daqueles, que

compreendem o ângulo reto. E êste lado se deve considerar como imóvel no

tempo de uma revolução inteira do triângulo.

Se o lado, que se imagina imóvel, fôr igual ao outro que gira, e que com

o primeiro faz o ângulo reto, a pirâmide cônica se chamará ortogonia; se fôr

menor, ambligonia, e se maior, oxigônia.

XIX

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 126

EUCLIDES

Eixo da pirâmide cônica é aquêle lado considerado como imóvel, ao redor

do qual gira o triângulo.

Base da pirâmide cônica é o círculo descrito pelo outro lado, que pertence

ao ângulo reto, e que faz uma revolução inteira juntamente com o triângulo.

XXI

Cilindro é uma figura sólida formada pela revolução de um paralelogramo

retângulo ao redor de qualquer lado, que se deve considerar como imóvel.

XXII

Eixo do cilindro é aquêle lado fixo, ao redor dp qual o paralelogramo faz

uma revolução inteira.

XXIII

Bases do cilindro são os dois círculos descritos pelos lados opostos do

paralelogramo, que giram justamente com o mesmo paralelogramo.

XXIV

Tanto as pirâmides cônicas como os cilindros se dizem semelhantes,

quando os eixos, e os, diâmetros das bases são proporcionais entre si.

XXV

Cubo é uma figura sólida compreendida por seis quadrados iguais.

XXVI

Tetraedro é uma figura sólida formada por quatro triângulos iguais entre

si, e equiláteros.

XXVII

Octaedro é uma figura sólida compreendida por oito triângulos iguais

entre si, e eqüiláteros.

XXVIII

Dodecaedro é uma figura sólida formada por doze pentágonos iguais

entre si, eqüiláteros, e eqüiângulos.

XXIX

Icosaedro é uma figura sólida formada por vinte triângulos iguais entre si,

e eqüiláteros.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 127

EUCLIDES

Def. A.

Sólido paralelepípedo é uma figura sólida compreendida por seis figuras

quadriláteras, das quais cada duas opostas são paralelas.

PROP. I. TEOR.

Uma linha reta não pode ter uma parte dela mesma em

um plano, e outra parte fora dêste mesmo plano (Fig. 1.).

Esteja a parte AB de uma linha reta em um plano, e a parte BC da

mesma linha reta, se é possível, esteja fora dêste plano. Neste mesmo plano

poderá haver outra linha reta, como DB, a qual esteja em direitura com a reta

AB. Mas isto assim suposto, as duas retas ABC, ABD vêm a ter o segmento

comum AB, o que não pode ser (Cor. 11.1.). Logo, é falso que a parte AB da

linha reta ABC esteja em um plano, e a outra parte BC exista fora dêste

mesmo plano.

PROP. II. TEOR.

Se duas linhas retas se cortarem reciprocamente, existirão

em o mesmo plano. E três linhas retas, as quais duas a duas se

encontram, também existem no mesmo plano (Fig. 2.).

Cortem-se as, duas retas AB, CD no ponto E. Digo que as retas AB, CD

existem no mesmo plano. Cortem-se agora duas a duas as três retas EC, CB,

BE nos pontos C, B, E. Digo que estas retas também existem em um mesmo

plano.

Imagine-se que passa um plano pela reta EB, a qual poderá ser

produzida, se fôr necessário. Faça-se girar êste plano ao redor da reta EB,

considerada como imóvel, até que passe pelo ponto C. Como os pontos E, C

existem no dito plano, neste mesmo plano deve também existir (Def. 7.1.) a

reta EC. Pela mesma razão a reta BC existe no plano, em que pela hipótese se

acha a reta EB. Logo, as três linhas retas EC, CB, BE existem em um mesmo

plano. Mas o plano das retas EC, EB é o mesmo (Pr. 1.11.), que o plano das

retas CD, AB. Logo, as duas retas AB, CD existem em um mesmo plano.

PROP. III. TEOR.

Se dois planos se cortarem reciprocamente, a seção comum

será uma linha reta (Fig. 3.).

Cortem-se reciprocamente os dois planos AB, BC, e seja a linha DB a

seção comum. Digo que a linha DB é uma linha reta.

Se DB não é uma linha reta, tire-se no plano AB do ponto D para o ponto

B a reta DEB, e no plano BC a reta DFB.

Logo, as duas retas DEB, DFB têm os mesmos têrmos, e compreendem

um espaço, o que é absurdo (Ax. 10.1.). Logo, a seção comum BD dos planos

AB, DC não é senão uma linha reta.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 128

EUCLIDES

PROP. IV. TEOR.

Se uma linha reta fôr perpendicular a outras duas retas no

ponto, onde estas duas se cortam reciprocamente, a dita reta

será também perpendicular ao plano, que passa pelas outras

duas (Fig. 4.).

Seja a reta EF perpendicular às duas AB, CD no ponto E, que é a seção

comum das mesmas retas AB, CD. Digo que a reta EF é também perpendicular

ao plano, que passa pelas retas AB, CD.

Postas as quatro retas AE, EB, CE, ED iguais entre si, tire-se pelo ponto

E, no plano das retas AB, CD, a reta GEH, como quisermos. Tirem-se também

as retas AD, CB, e de qualquer ponto F tomado na reta EF sejam conduzidas

as retas F A, FG, FD, FC, FH, FB. Sendo pois AE = EB, e DE = EC, e também o

ângulo AED igual (Pr. 15.1.) ao ângulo BEC, será AD = BC, e o ângulo DAE

igual (Pr. 4.1.) ao ângulo EBC. Mas o ângulo AEG é igual ao ângulo BEH.

Logo, nos dois triângulos AGE, BHE dois ângulos de um são iguais a

outros dois ângulos do outro, cada um a cada um. Mas o lado AE do primeiro é

igual ao lado EB do segundo, e estes lados ficam sendo adjacentes a ângulos

iguais. Logo, os outros lados do primeiro triângulo serão iguais (Pr. 26.1.) aos

outros do segundo, cada um a cada um, segundo ficam opostos a ângulos

iguais. Logo, será GE = EH, e AG = BH. E sendo AE = EB, e FE comum, e

sendo iguais, por serem retos, os ângulos AEF, BEF, será a base AF igual à

base FB. Pela mesma razão será CF = FD. E porque temos AD = BC, e AF =

FB, e se tem já demonstrado ser DF = FC; será o ângulo FAD igual (Pr. 8.1.)

ao ângulo FBC. Mas também temos visto ser AG = BH, e AF = FB, e o ângulo

FAG igual ao ângulo FBH. Logo, será GF = FH. Do mesmo modo sendo GE =

EH, GF = FH, e EF comum, será o ângulo GEF igual ao ângulo HEF, e por

conseqüência serão retos (Def. 10.1.) os mesmos ângulos GEF, HEF. Logo, a

reta EF cai perpendicularmente sôbre a reta GH. Com o mesmo discurso se

pode demonstrar que a reta EF deve ser perpendicular a tôdas as retas, que

pelo ponto E forem conduzidas no plano das retas AB, CD. Mas uma linha reta

é perpendicular a um plano, quando é perpendicular a tôdas as retas que a

tocam, e que existem no mesmo plano (Def. 3.11.). Logo, a reta FE é

perpendicular ao plano, que passa pelas retas AB, CD.

PROP. V. TEOR.

Se uma linha reta fôr perpendicular a outras três retas no

ponto, em que estas se cortam reciprocamente, estas três retas

existirão em um mesmo plano (Fig. 5.).

Seja a reta AB perpendicular a cada uma das outras três BC, BD, BE na

seção comum B. Digo que as retas BC, BD, BE existem em um mesmo plano.

Existam as duas retas BD, BE em um plano, e fora dêste plano, se é

possivel, esteja a reta BC. Considere-se produzido o plano das retas AB, BC,

até que chegue a cortar o plano das retas BD, BE, e seja a reta (Pr. 3.11.) BF

a seção comum dêstes planos. Logo, no plano, que passa pelas retas AB, BC

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 129

EUCLIDES

existem as três linhas retas AB, BC, BF. E como a reta AB é perpendicular a

cada uma das duas BD, BE, será também perpendicular ao plano, que passa

por elas (Pr. 4.11.), e por conseqüência a tôdas as retas, que a tocam e que

existem no mesmo plano (Def. 3.11.). Mas a reta BF toca a reta AB no ponto

B, e existe no plano, das retas BD, BF. Logo, a reta AB será perpendicular à

reta BF, e assim será reto o ângulo ABF. Mas também pela hipótese é reto o

ângulo ABC. Logo, será ABF = ABC, o que não pode ser, porque, existindo

ambos em um mesmo plano, é evidente que êstes ângulos são desiguais.

Logo, a reta BC não está fora do plano, que passa pelas outras duas BD, BE,

mas sim existe juntamente com elas no mesmo plano.

PROP. VI. TEOR.

Se duas linhas retas forem perpendiculares ao mesmo

plano, estas duas retas serão paralelas uma à outra (Fig. 6.).

Sejam as duas retas AB, CD perpendiculares ao mesmo plano BDE. Digo

que as retas AB, CD são paralelas entre si.

Tire-se a reta BD entre os pontos BD, nos quais as retas BD, CD

encontram o plano BDE. Seja conduzida neste mesmo plano a reta DE

perpendicular a BD, e igual a AB. Tirem-se também as retas BE, AE, AD. Como

a reta AB é perpendicular ao plano BDE, também será perpendicular a tôdas

as retas, que existirem no mesmo plano e a tocarem (Def. 3.11.). Logo, a reta

AB será perpendicular a cada uma das duas BD, BE, e por conseqüência serão

retos os ângulos ABD, ABE. Pela mesma razão são retos também os ângulos

CDB, CDE. E sendo AB = DE, e BD comum, serão as duas AB, BD iguais as

duas ED, DB. Mas os ângulos ABD, EPB são iguais, por serem retos. Logo, será

a base AD igual (Pr. 4.1. ), à base BE. Também sendo AB = DE, e BE = AD, as

duas AB, BE serão iguais às duas ED, DA, cada uma a cada uma. Mas a base

AE é comum. Logo, o ângulo ABE será igual (Pr. 8.1.) ao ângulo EDA. Mas

ABE, é reto. Logo, será também reto o ângulo EDA, e por conseqüência a reta

ED é também perpendicular a cada uma das duas BD, DC. Logo, ED é

perpendicular a tôdas as três retas BD, DA, DC na: seção comum D, e por

conseqüência estas três retas devem existir em um mesmo plano, (Pr. 5.11.).

Mas a reta AB existe no plano das retas BD, DA, porque três retas, que a duas

duas se encontram, estão postas em um só e mesmo plano. (Pr. 2.11.). Logo,

as três retas AB, BD, DC existem no mesmo plano. Mas os ângulos ABD, BDC

são retos. Logo, as retas AB, CD são paralelas (Pr. 28.1.).

PROP. VII. TEOR.

Se duas linhas retas forem paralelas, e de qualquer ponto

de uma para qualquer ponto da outra estiver tirada uma reta,

esta reta existirá no plano que passa pelas ditas duas paralelas

(Fig. 7.).

Seja as duas retas paralelas AB, CD, e entre os pontos E, F esteja tirada

a outra reta EF. Digo que a reta EF existe no plano, que passa pelas duas

paralelas AB, CD.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 130

EUCLIDES

Se a reta tirada do ponto E para o ponto F não existe no dito plano,

estará fora dêle como a reta EGF. Agora no mesmo plano das paralelas AB, CD

imagine-se, tirada do ponto E para o ponto F, a reta EHF. Mas também EGF se

quer considerar como uma linha reta. Logo, as duas retas EHF, EGF

compreendem um espaço, o que não pode ser (Ax. 10.1.). Logo, a reta, que

do ponto E se tira para o ponto. F, não existe senão no plano, que passa pelas

duas paralelas AB CD.

PROP. VIII. TEOR.

Se forem duas linhas retas paralelas, e fôr uma delas

perpendicular a um plano, também a outra será perpendicular

ao mesmo plano. (Fig. 6.).

Sejam as duas paralelas AB,. CD, €i seja AB perpendicular ao plano

BDE.Digo que também CD será perpendicular ao mesmo plano BDE.

Sejam os pontos B, D aquêles, onde as paralelas AB, ÇD encontram o

plano BDE. Tire-se a reta BD. As três AB, CD, BD existem em um mesmo

plano. No plano BDE entenda-se descrita a reta DE perpendicular a BD, e igual

a AB. Tirem-se, finalmente as retas BE, AE, AD. Como pela suposição a reta

AB é perpendicular ao plano BDE, também será perpendicular a tôdas as retas,

que existem no plano BDE e a tocarem (Def. 3.11.). Logo, serão retos os

ângulos AED, ABE. E como as paralelas AB, CD são cortadas pela reta BD, os

ângulos ABD, CDB devem ser iguais a dois retos (Pr. 29.1.). Mas ABD é reto.

Logo, será também reto o ângulo CDB, e assim a reta CD será perpendicular a

BD. E sendo AB = DE, e BD comum, as duas AB, BD serão iguais às duas ED,

DB. Mas o ângulo ABD é igual ao ângulo EDB, porque ambos são retos. Logo,

será a base AD igual (Pr. 4.1.) à base BE. Sendo pois AB = DE, e BE = AD, as

duas AB, BE devem ser iguais às duas ED, DA. Mas a base AE é comum. Logo,

será o ângulo ABE igual (Pr. 8.1.) ao ângulo EDA. E como ABE é um ângulo

reto, também será o reto o ângulo EDA, e por conseqüência será a reta ED

perpendicular a DA. Mas ED é também perpendicular a BD. Logo, ED será

perpendicular ao plano, que passa (Pr. 4.11.) pelas retas BD, DA, e assim será

perpendicular a tôdas as mais retas, que a tocarem, existentes no mesmo

plano. Mas a reta DC está no plano das retas BD, DA, porque cada uma destas

três retas existe no mesmo plano, em que existem as paralelas AB, CD. Logo,

a reta ED é perpendicular a CD, e assim CD é perpendicular a DE. Mas a

mesma CD é também perpendicular a DB. Logo, a reta CD é perpendicular a

ambas as retas DE, DB na seção comum D, e por conseqüência é

perpendicular ao plano, que passa por elas, isto é, ao plano BDE.

PROP. IX. TEOR.

As retas, que são paralelas a outra reta, e não existem no

plano desta, são também paralelas entre si (Fig. 8.).

Sejam as duas retas AB, CD paralelas à reta EF e estejam as mesmas

retas AB, CD fora do plano da reta EF. Digo que AB é paralela a CD.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 131

EUCLIDES

Tome-se na reta EF um ponto G, qualquer que seja, e dêste ponto no

plano, que passa pelas duas EF, AB, tire-se a reta GH perpendicular a EF, e no

plano das retas EF, CD tire-se GK também perpendicular a EF. Sendo EF

perpendicular a cada uma das duas GH, GK, será também perpendicular ao

plano, que passa (Pr. 4.11.) pelas mesmas retas GH, GK. Mas a reta EF é

paralela a AB. Logo, AB deve ser perpendicular ao plano, que passa (Pr. 8.11.)

pelas retas HG, GK. Pela mesma razão, também a reta CD é perpendicular ao

mesmo plano HGK. Logo, sendo as duas retas AB, CD perpendiculares ao

mesmo plano, que passa pelas retas HG, GH,serão paralelas (Pr. 6.11.) entre

si.

PROP. X. TEOR.

Se duas linhas retas, que formam um ângulo em plano,

forem paralelas a outras duas, que também fazem um ângulo

em outro plano, o ângulo feito pelas primeiras será igual ao

ângulo formado pelas segundas (Fig. 9.).

Sejam as duas retas AB, BC paralelas às duas DE, EF que existem em

plano diferente do plano das retas AB, BC. Digo que o ângulo ABC formado

pelas retas AB, BC é igual ao ângulo DEF feito pelas retas DE, EF.

Ponham-se iguais entre si as retas BA, BC, ED, EF, tirem-se as outras AD,

CF, BE, AC, DF. Sendo BA igual e paralela a ED, será AD igual (Pr. 33.1.) e

paralela a BE. Pela mesma razão, será CF igual e paralela a BE. Logo, sendo

tanto AD como CF igual e paralela a BE, será AD paralela (Pr. 9.11.) a CF, e

também será AD = CF (Ax. 1.1.); e, finalmente, será AC igual e paralela a DF,

E como as duas AB, BC são iguais às duas DE, EF, e a base AC é igual à base

DF, o angulo ABC sera igual (Pr. 8.1.) ao angulo DEF.

PROP. XI. PROB.

De um ponto dado fora de um plano conduzir uma linha

reta perpendicular a êste plano (Fig.10).

Seja dado o ponto A fora do plano BH. Deve-se do ponto A conduzir uma

reta perpendicular ao plano BH.

Tira-se no plano BH qualquer reta BC, e seja conduzida do ponto A a reta AD

perpendicularmente (Pr.12.1) sobre BC. Se a reta AD fôr perpendicular ao

plano BH, já estará feito o que se pede. Mas não o sendo, no plano BH tire-se

do ponto D a reta DE perpendicular (Pr. 11.1.) a BC, e do ponto A a reta AF

perpendicular a DE; e, finalmente, faça-se passar pelo ponto F a reta GR

paralela (Pr. 31.1.) a BC. Demonstraremos que a reta AF é perpendicular ao

plano BH. Sendo a reta BC perpendicular a cada um a das retas ED, DA será

também perpendicular ao plano, que passa (Pr. 4.11.) pelas mesmas retas ED,

DA. Mas a reta GH é paralela a BC, e quando, postas duas paralelas, uma

delas é perpendicular a um plano, também a outra é perpendicular (Pr. 8.11.)

ao mesmo plano. Logo, a reta GH será perpendicular ao plano, que passa

pelas retas ED, DA, e por conseqüência será perpendicular a tôdas as retas,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 132

EUCLIDES

que existindo no mesmo plano a tocarem (Def. 3.11.) Mas a reta AF existe no

plano das retas ED, DA, e toca a reta GH no ponto F. Logo, GH deve ser

perpendicular a AF, e assim AF vem a ser perpendicular a GH. Mas AF é

perpendicular a DE. Logo, AF é perpendicular a cada uma das duas GH, DE, e

por conseqüência é perpendicular ao plano, que passa pelas retas ED, UH, que

é o mesmo que o plano dado BH. Logo, do ponto dado A, existente fora do

plano BH, temos conduzido a reta AF perpendicular ao mesmo plano BH.

PROP. XII. PROB.

Dado um plano, e dado um ponto neste plano, levantar

do ponto dado uma perpendicular ao mesmo plano (Fig. 11.).

Seja dado o plano AC, e nêle o ponto A. Deve-se do ponto, A levantar

uma reta, que seja perpendicular ao plano AC.

Tomado fora do plano AC um ponto B, qualquer que seja, tire-se deste

ponto B a reta BC perpendicular (Pr. 11.11.) ao plano AC, e faça-se passar

pelo ponto A a reta AD paralela (Pr. 31.1.) a BC. Sendo AD e CB paralelas

entre si, e sendo BC perpendicular ao plano AC, também AD será

perpendicular (Pr. 8.11.) ao mesmo plano AC. Logo, do ponto A dado no plano

AC temos levantado a reta AD perpendicular ao mesmo plano AC.

PROP. XIII. TEOR.

De um mesmo ponto tomado em um plano não se podem

levantar para a mesma parte duas linhas retas, que sejam

perpendiculares a dito plano. Também de um ponto tomado fora

de um plano não se pode conduzir senão uma só linha reta

perpendicularmente sôbre o mesmo plano (Fig. 12.).

Sejam levantadas, se é possível, do ponto A tomado no plano DE sôbre

êste mesmo plano, e para a mesma parte as duas perpendiculares AB, AC,

pelas quais se imagine que passa outro plano.

Êste plano cortando o plano proposto DE fará com êle uma seção comum,

e será esta uma linha reta (Pr. 3.11.), a qual passará pelo ponto A. Seja, a

reta DAE esta seção comum. Logo, as três retas AB, AC, DAE devem existir no

mesmo plano. Sendo pois CA perpendicular ao plano DE será também

perpendicular a tôdas as retas, que existirem neste plano e a tocarem. Mas a

reta DAB existe no plano DE, e toca a reta CA no ponto A. Logo, será AC

perpendicular a DAE, e assim será reto o ângulo CAB. Do mesmo modo é reto

também o ângulo BAE. Logo, será CAE = BAE, o que é absurdo porque,

existindo êstes ângulos no mesmo plano, é evidente ser CAE<BAE. Logo, de

um mesmo ponto tomado em um plano não se podem levantar, para a mesma

parte, duas retas que sejam perpendiculares ao dito plano.

Mas, se de um ponto tomado fora de um plano supusermos que se podem

conduzir duas retas perpendiculares ao mesmo plano, estas duas retas serão

paralelas (Pr. 6.11.). Mas isto é impossível, porque duas paralelas nunca se

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 133

EUCLIDES

chegam a tocar. Logo, de um ponto tomado fora de um plano não se pode

conduzir senão uma só linha reta, perpendicular ao mesmo plano.

PROP. XIV. TEOR.

Aquêles planos são paralelos entre si, sôbre os quais ambos

a mesma linha reta cai perpendicularmente (Fig. 13.).

Seja a mesma linha reta AB perpendicular tanto ao plano CD, como ao

plano EF. Digo que os planos CD, EF são paralelos. Se os planos CD, EF não

são paralelos, produzidos hão de concorrer para alguma parte. Concorram

pois, seja a reta GH a seção comum dêles; e tomado na mesma seção GH o

ponto qualquer K, tirem-se as retas AK, BK. Sendo a reta AB perpendicular ao

plano EF, também será perpendicular à reta BK, existente no mesmo plano EF

produzido (Def. 3.11.). Logo, é reto o ângulo ABK. Pela mesma razão também

é reto o ângulo BAK; e, conseqüentemente, os dois ângulos ABK, BAK do

triângulo ABK são iguais a dois retos, o que é impossível (Pr. 17.1.). Logo, os

dois planos CD, EF produzidos, quanto se quiser, não concorrem. Logo, são

paralelos (Def. 8.11).

PROP. XV. TEOR.

Se duas linhas retas, que fazem um ângulo em um plano,

forem paralelas a outras duas, que formam outro ângulo em

outro plano, o plano, que passar pelas primeiras, será paralelo

ao plano, que passar pelas segundas (Fig. 14.).

As duas retas AB, BC, que formam o ângulo ABC, sejam paralelas às

outras duas DE, EF, que fazem o ângulo DEF. Digo que o plano ABC, que

passa pelas retas AB, BC, é paralelo ao plano DEF, que passa pelas retas DE,

EF.

Tire-se do ponto B a reta BG perpendicular (Pr. 11.11.) ao plano, que

passa pelas retas DE, EF, e seja G o ponto, em que a reta BG encontra, o

plano DEF. Tirem-se (Pr. 31.1.) pelo ponto G as retas GH paralela a ED, e GK

paralela a EF. Como a reta. BG cai perpendicularmente sôbre o plano DEF,

também será perpendicular (Def. 3.11.) a tôdas as mais retas, que existindo

neste mesmo plano a tocarem. Mas as duas retas GH, GK existem no dito

plano, e tocam a reta BG. Logo, será BG perpendicular tanto a GH como a GK,

e assim será reto cada um dos ângulos BGH, BGK. Sendo pois BA paralela (Pr.

9.11.) a GH, por serem ambas paralelas à mesma reta DE, ainda que existam

em diferentes planos, os ângulos GBA, BGH, serão iguais (Pr. 29.1.) a dois

retos. Mas BGH é um ângulo reto. Logo, será também reto o ângulo GBA, e

por conseqüência será GB perpendicular a BA. Pela mesma razão a reta GB

deve ser perpendicular a BC. Logo, sendo GB perpendicular a cada uma das

duas BA, BC no ponto em que estas se cortam, a mesma GB será também

perpendicular (Pr. 4.11.) ao plano conduzido pelas retas, BA, BC. Mas o

mesmo se verifica a respeito do plano, que passa pelas retas DE, EF. Logo, a

mesma reta BG é perpendicular tanto ao plano ABC, como ao plano DEF. Mas

os planos, sôbre os quais a mesma reta cai perpendicularmente, são paralelos

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 134

EUCLIDES

(Pr. 14.11.) entre si. Logo, o plano, que passa pelas. retas AB, BC, é paralelo

ao plano, que passa pelas retas. DE, EF.

PROP. XVI. TEOR.

Se dois planos paralelos forem cortados por outro plano

as seções comuns dêstes planos serão paralelas (Fig. 15.).

Sejam cortados os dois planos paralelos AB, CD pelo plano EFHG, e

sejam as retas EF, GH as seções comuns dêstes planos. Digo que as retas EF,

GH são paralelas.

Se as retas EF, GH não são paralelas, produzidas devem concorrer, ou

para a parte FH, ou para a parte oposta EG. Sejam, por exemplo, produzidas

para a parte FH, e concorram no ponto K. Como a reta EFK existe no plano AB,

qualquer ponto dela, como o ponto K, deve existir no mesmo plano. Pela

mesma razão, o ponto K deve também existir no plano CD. Logo, os planos

AB, CD produzidos concorrem entre si. Mas isto é contra a suposição de serem

paralelos os planos AB, CD. Logo, as retas EF, GH não concorrem para a parte

FH, por mais que sejam produzidas. Com o mesmo discurso podemos

demonstrar que as mesmas retas EF, GH, produzidas para a parte EG, nunca

poderão concorrer entre si. Logo, são paralelas.

PROP. XVII. TEOR.

Se duas linhas retas forem cortadas por diferentes planos

todos entre si paralelos, estas retas ficarão tôdas divididas na

mesma razão (Fig. 16.).

Sejam cortadas as duas retas AB, CD pelos planos paralelos GH, KL, MN

nos pontos A, E, B; C, F, D. Digo que, será AE:EB::CF:FD.

Tirem-se as retas AC, BD, AP, e encontre a reta AD o plano KL no ponto

X. Tirem-se também as retas EX, XF. Como os dois planos paralelos KL, MN

são cortados pelo plano EBDX, serão paralelas (Pr. 16.11.) entre si as seções

comuns EX, BD. Pela mesma razão, porque os dois planos paralelos GR, KL

são cortados pelo plano AXFC, devem ser também paralelas as seções comuns

AC, XF. Sendo pois no triângulo ABD a reta EX paralela ao lado BD, será

AE:EB::AX:XD (Pr. 2.6.). E no triângulo ADC, será AX:XD::CF:FD.Mas temos

visto ser AX:XD::AE:EB. Logo, será AE:EB::CF:FD (Pr. 11.5.).

PROP. XVIII. TEOR.

Se uma linha reta cair perpendicularmente sôbre um

plano, todos os planos, que passarem pela dita reta, serão

perpendiculares ao dito plano (Fig. 17.).

Caia a reta AB perpendicularmente sôbre o plano CK. Digo que todos os

planos conduzidos pela reta AB são perpendiculares ao plano CK.

Seja conduzido pela reta AB o plano DE, e seja a reta CE a seção

comum dos planos DE, CK. Tome-se na reta CE o ponto F, como se quiser; e

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 135

EUCLIDES

dêste ponto F tire-se no plano DE a reta FG perpendicular a CE. Como pela

hipótese a reta AB é perpendicular ao plano CK, será também perpendicular a

tôdas as retas, que existirem no mesmo plano, e a tocarem (Def. 3.11.). Logo,

será também perpendicular a CE, e por conseqüência será reto o ângulo ABF.

Mas GFB é reto. Logo, será AB paralela (Pr. 28.1.) a FG. Mas AB é

perpendicular ao plano CK. Logo, será também FG perpendicular (Pr. 8.11.) ao

mesmo plano CK. Mas um plano é perpendicular a outro plano quando as

retas, tiradas em um dos planos perpendicularmente à seção comum dos

mesmos planos, são também perpendiculares (Def. 4.11.) ao outro plano; e

juntamente temos demonstrado, que a reta FG, tirada no plano DE

perpendicularmente sôbre a seção comum CR dos planos DE, CK, é

perpendicular ao plano CK. Logo, o plano DE é perpendicular ao plano CK. Do

mesmo modo se demonstrará que todos os mais planos, que forem conduzidos

pela reta AB, serão perpendiculares ao mesmo plano CK.

PROP. XIX. TEOR.

Se dois planos, que se cortam reciprocamente, forem

perpendiculares a um terceiro plano, a seção comum dos ditos

planos será também perpendicular ao terceiro plano (Fig. 18.).

Sejam os dois planos AB, BC perpendiculares ao plano ADC, e seja a

reta BD a seção comum dos mesmos planos AB, BC, que reciprocamente se

cortam. Digo que a reta BD é perpendicular ao plano ADC.

Suponhamos não ser a reta BD perpendicular ao plano ADC. Tire-se do

ponto D, no plano AB, a reta PE perpendicular a AD j e no plano BC tire-se a

reta DF perpendicular a CD. Sendo o plano AB perpendicular ao plano ADC, e

sendo a reta ED existente no plano AB perpendicular à seção comum AD dos

planos AB, ADC; será DE perpendicular (Def. 4.11.) ao plano ADC. Pela

mesma razão deve ser a reta DF perpendicular ao mesmo plano ADC. Logo, do

mesmo ponto D, existente no plano ADC, estão levantadas para a mesma

parte as duas retas DE, EF perpendiculares ao mesmo plano ADC, o que não

pode ser (Pr. 13.11.). Logo, do ponto D não se pode levantar sôbre o plano

ADC uma perpendicular, que não seja a reta DB, que é a seção comum dos

planos AB, DC. Logo, a reta DD é perpendicular ao plano ADC.

PROP. XX. TEOR.

Se um ângulo sólido fôr feito por três ângulos planos,

dois dêstes, quais quisermos, tomados juntos serão maiores que

o terceiro (Fig. 19.).

Seja o ângulo sólido A formado pelos três ângulos planos DAC, CAD,

DAB. Digo que dois dêstes ângulos, quaisquer que sejam, tomados juntamente

são maiores que o terceiro.

Se os três ângulos BAC, CAD, DAB forem iguais entre si, fica evidente a

verdade do que se afirma. Mas, suposto serem desiguais, seja o ângulo BAC

não menor que qualquer dos outros dois, e ao mesmo tempo seja maior que o

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 136

EUCLIDES

ângulo DAB. No plano, que passa pelas retas BA, AC, tire-se do ponto A a reta

AE, de maneira que seja o ângulo BAE = DAB (Pr. 23.1). Ponha-se AE = AD e

pelo ponto E faça-se passar a reta BEC, que corte as duas AB, AC nos pontos

B, C, e finalmente tirem-se as retas DB, DC. Sendo DA = AE, e AB comum,

serão as duas DA, AB iguais às duas EA, AB. Más temos o ângulo DAB = BAE.

Logo, será a base DB igual (Pr. 4.1.) à base BE. E como as duas retas BD, DC

tomadas juntas são maiores (Pr. 20.1.) que CB, e é DB = BE, tirando de uma

parte a reta DB, e de outra a reta BE, ficará DC>EC; Sendo pois DA = AE, e

AC comum, e DC>EC; será o ângulo DAC>EAC (Pr. 25.1.). Mas pela

construção temos DAB = BAE. Logo, os ângulos DAB, DAC tomados juntos são

maiores que o ângulo BAC. Mas temos suposto êste ângulo BAC não menor

que qualquer dos dois DAB, DAC. Logo, o mesmo ângulo BAC juntamente com

um, seja qualquer que fôr, dos ditos ângulos DAB,DAC, será maior, do que o

outro que restar dos mesmos ângulos DAB, DAC.

PROB. XXI. TEOR.

Os ângulos planos, qualquer que seja o número deles,

que formam um ângulo sólido, todos juntamente tomados são

menores que quatro ângulos retos (Figs. 20 e 21.).

Seja primeiramente o ângulo sólido A formado pelos três ângulos

planos BAC, CAD; DAB.Digo que os ângulos BAC, CAD, DAB tomados juntos

são menores que quatro ângulos retos.

Tomem-se, como se quiser, nas retas AB, AC, AD os pontos B, C, D, e

tirem-se as retas BC, CD, DB. Como o ângulo sólido B é formado pelos três

ângulos planos CBA, ABD, DBC; dois dêstes ângulos, quaisquer que sejam,

tomados juntos, serão maiores (Pr. 20.11.) que o terceiro. Logo, os dois

ângulos CBA, ABD são maiores que o ângulo DBC. Do mesmo modo os dois

BCA, ACD são maiores que DCB e os dois CDA, ADB são maiores que BDC.

Logo, os seis ângulos CBA, A.BD, BCA, ACD, CDA, ADB tomados todos

juntamente serão maiores do que os três DBC, BCD, CDB também tomados

juntos. Mas os três DBC, BCD, CDB são iguais (Pr. 32.1.) a dois retos. Logo, os

seis ângulos CBA, ABD, BCA, ACD, CDA, ADB, são maiores que dois retos. E

como os três ângulos de cada um dos triângulos ABC, ACD, ADB são iguais a

dois retos; os nove ângulos CBA, BAC, ACB, ACD, CDA, DAC, ADB, DBA, BAD

dos ditos três triângulos serão iguais a seis ângulos retos. Mas seis dêstes

ângulos, isto é, os ângulos CBA, ACB, ACD, CDA, ADB, DBA, são maiores que

dois retos, como já se tem demonstrado. Logo, os três, que ficam e que

formam o ângulo sólido A, isto é, os, ângulos BAC, CAD, DAB, serão menores

que quatro ângulos retos.

Seja agora o ângulo sólido A (Fig. 21.) formado por quantos ângulos

planos quisermos, como, por exemplo, pelos ângulos planos BAC, CAD, DAE,

EAF, FAB. Digo também que todos êstes ângulos tomados juntos são menores

que quatro retos.

Sejam cortados os planos, em que existem os ditos ângulos, por

qualquer outro plano, e sejam as retas BC, CD, DE, EF, FB as seções comuns

de todos os planos. Como o ângulo sólido B é feito pelos três ângulos planos

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 137

EUCLIDES

CBA, ABF, FBC, dois dêstes ângulos, tomados como se quiser, serão sempre

maiores que o terceiro. Logo, os dois CBA, ABF são maiores que FBC. Pela

mesma razão, cada dois ângulos planos formados nos pontos C, D, E, F, os

quais ângulos são adjacentes às bases dos triângulos, que têm como vértice

comum o ponto A, são maiores que o terceiro feito no mesmo ponto que os

outros dois, e que sempre vem a ser um ângulo do polígono BCDEF, Logo,

todos os ângulos existentes sôbre as bases dos triângulos, cujo vértice comum

é o ponto A, tomados juntamente, são maiores que todos os ângulos do

polígono BCDEF, também tomados juntos. Mas, como todos os ângulos dos

ditos triângulos, tomados juntamente, são iguais a duas vêzes tantos retos,

quantos são os mesmos triângulos, isto é, quantos são os lados do polígono,

BCDEF, e além disto todos os ângulos de qualquer polígono, juntamente com

quatro retos, são iguais a duas vêzes tantos retos, quantos são os lados do

polígono (1. Cor. 32.1. ); serão todos os ângulos dos ditos triângulos, tomados

juntamente, iguais a todos os ângulos do polígono também tomados juntos, e

mais a quatro retos. Mas já se tem demonstrado quê todos os ângulos,

existentes sôbre as bases, dos ditos triângulos são maiores que todos os

ângulos do polígono BCDEF. Logo, os outros ângulos dos mesmos triângulos,

que formam o ângulo sólido A, devem ser menores que quatro retos. Fica pois

demonstrado que os ângulos planos, que em qualquer número formam um

ângulo sólido, tomados juntamente, são menores que quatro ângulos retos.

PROP. XXII. TEOR.

Se houver três ângulos planos, dos quais dois, tomados

como quisermos, sejam maiores que o terceiro, e se os lados,

que formam os ditos ângulos, forem iguais entre si; com as

retas, quê estiverem tiradas entre as extremidades dos ditos

lados iguais, sempre se poderá construir um triângulo (Fig. 22.).

Sejam os três ângulos planos ABC, DEF, GHK, e dois dêstes ângulos,

quaisquer que forem, sejam maiores que o terceiro. Sejam também iguais

entre si os lados AB, BC, DE, EF, GH, HK. Tirem-se as retas AC, DF, GK. Digo

que se poderá fazer um triângulo com as três retas AC, DF, GK, isto é, que

duas quaisquer destas três retas serão sempre maiores que a terceira.

Se os ângulos ABC, DEF, GHK forem iguais, também as retas AC, DF,

GK serão iguais (Pr. 4.1.); e por conseqüência duas destas, quaisquer que

sejam, serão maiores que a terceira. Mas suponhamos serem desiguais os

ângulos, ABC, DEF, GHK, e juntamente ser o ângulo ABC não menor que

qualquer dos outros dois DEF, GHK. Será a reta AC não menor que DF, nem

menor que GK (Pr. 4. ou 24.1.). É pois evidente que a reta AC, juntamente

com a reta DF, será maior que GK, e que a mesma AC juntamente, com GK

será maior que DF. Digo que as duas DF, GK tomadas juntas são maiores que

AC. Faça-se (Pr. 23.1.) no ponto B e com a reta AB o ângulo ABL = GHK, e

ponha-se BL igual a uma das retas AB, BC, DE, EF, GH, HK. Tirem-se as outras

AL, LC. Como cada uma das retas AB, BL, é igual a cada uma das retas GH,

HK, e são iguais os ângulos compreendidos ABL, GHK, serão também iguais

entre si as bases AL, GK. E como os ângulos E, H tomados juntos são pela

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 138

EUCLIDES

hipótese maiores que o ângulo ABC, e temos o ângulo H = ABL, será o ângulo

E>LBC. Sendo pois cada uma das duas LB, BC igual a cada uma das duas DE,

EF, e sendo o ângulo, DEF>LBC, será a base DF maior que a base LC. Mas

temos. visto ser GK = AL. Logo; as duas retas DF, GK, tomadas juntas, serão

maiores que as duas AL, LC, também tomadas juntas. Mas as duas AL, LC

juntas são maiores (Pr. 20.1.) que AC. Logo, as duas DF, GK tomadas juntas

serão ainda maiores que AC. Fica pois demonstrado que das três retas AC, DF,

GK duas, quaisquer que sejam, tomadas juntas são maiores que a terceira, e

que assim poderemos com elas construir (Pr. 22.1.) um triângulo.

PROP. XXIII. PROB.

Dados três ângulos planos, que todos juntos sejam

menores que quatro ângulos retos, e dos quais dois tomados

como quisermos, sejam maiores que o terceiro, formar com êles

um ângulo sólido (Figs. 23, 24, 25, 26 e 27.).

Sejam os três ângulos planos ABC, DEF, GHK tomados juntos menores

que quatro retos; e dois quaisquer dêles, também tomados juntos, suponha-se

sejam maiores que o terceiro. Com os três ângulos planos ABC, DEF, GHK se

deve formar um ângulo sólido.

Ponham-se iguais entre si as retas AB, BC, DE, EF, GH, RK, e tirem-se

as outras AC, DF, GK. Com estas três retas AC, DF, GK poder-se-á fazer um

triângulo (Pr. 22.11.). Faça-se pois (Pr. 22.11), e. seja o triângulo LMN, de

sorte que seja AC=LM, DF=MN, e GK=NL (Fig. 24.25.). Circunscreva-se (Pr.

5.4.) ao triângulo LMN o círculo LMN, cujo centro X cairá ou dentro do

triângulo, ou em um dos lados dêle, ou fora do triângulo.

Caia em primeiro lugar o centro X (Fig. 24.) dentro do triângulo LMN, e

tirem-se os raios LX, MX, NX. Digo que é AB>LX. Se não fôr AB>LX, será ou

AB = LX, ou AB<LX. Suponha-se primeiramente ser AB = LX. Sendo pois AB =

LX, e sendo, pela construção AB = BC, e LX = XM, serão as duas AB, BC iguais

às duas LX, XM, cada uma a cada uma. Mas a base AC do ,triângulo ABC é

igual à base LM do triângulo LXM. Logo, será ô ângulo ABC = LXM (Pr. 8.1.).

Pela mesma razão será DEF = MXN, e GHK = NXL. Logo, os três ângulos ABC,

DEF, GHK, tomados juntos, são iguais aos três LXM, MXN, NXL, também

tomados juntos. Mas êstes são iguais a quatro retos (2. Cor. 15.1.). Logo, os

três ABC, DEF, GHK, serão iguais a quatro retos, o que é absurdo, porque Os

temos suposto todos juntos menores que quatro retos. Logo, não podia ser AB

= LX.

Digo agora que nem pode ser AB<LX. Suponha-se AB<LX. Faça-se

sôbre a reta LM, e para a parte do centro X, o triângulo LOM, de maneira que

seja LO = AB, e OM = BC. Sendo pois a base LM igual à base AC, será o

ângulo LOM = ABC (Pr. 8.1.). Mas temos suposto ser AB; isto é, LO<LX. Logo,

as duas retas LO, MO devem cair por dentro do triângulo LXM, porque, se se

ajustassem sôbre os lados LX, XM do triângulo LXM, ou inteiramente caíssem

para fora do mesmo triângulo, seriam ou iguais ou maiores que os lados LX,

XM (Pr. 21.1.). Logo, deve ser o ângulo LOM, isto é, o ângulo ABC>LXM (Pr.

21.1.). Com o mesmo discurso se demonstra ser DEF>MXN, e GHK>NXL.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 139

EUCLIDES

Logo, os três ângulos ABC, DEF, GHK, tomados juntos são maiores que os três

LXM, MXN, NXL, também tomados juntos, e por conseqüência os ditos três

ângulos ABC, DEF, GHK são maiores que quatro retos. Mas isto não pode ser,

porque pela hipótese eram todos juntos menores que quatro retos. Logo, é

falso ser AB<LX. Mas também se tem demonstrado que não pode ser AB = LX.

Logo, resta ser AB>LX.

Caia agora o centro do círculo em um dos lados do triângulo LMN (Fig.

25.) por exemplo no lado MN, e seja o ponto X o dito centro. Digo outra vez

que é AB>LX. Se não fôr AB>LX, será ou AB = LX, ou AB<LX. Seja

primeiramente AB = LX. Serão as duas retas AB, BC juntas, isto é, as duas

DE, EF, iguais às duas MX, XL, isto é, iguais a MN. Mas é MN = DF. Logo, as

duas DE, EF, tomadas juntamente serão iguais a DF, o que não pode ser (Pr.

20.1.). Não é pois AB = LX. Mas nem pode ser AB<LX. Porque feita esta

suposição, finalmente se manifesta um absurdo ainda mais visível. Logo, deve

ser AB >LX.

Caia finalmente o centro X. (Fig. 26 e 27.) do círculo fora do triângulo

LMN. Tirem-se os semidiâmetros LX, MX, NX. Digo que também neste caso

será AB>LX. Se não fôr AB>LX, será AB = LX, ou AB<LX. Seja em primeiro

lugar AB = LX: Podemos demonstrar, como no primeiro caso, ser o ângulo

ABC = MXL, e GHK = LXN. Logo, será o ângulo total MXN igual aos dois ABC,

GHE tomados juntamente. Mas os dois ABC, GHK são maiores que o ângulo

DEF. Logo, será MXN>DEF. E como os dois dos lados DE, EF são iguais aos

dois MX, XN cada um a cada um; e também a base DF é igual à base MN, será

o ângulo MXN = DEF (Pr. 8.1.), o que é absurdo, por têrmos já demonstrado

ser MXN>DEF. Logo, não é AB = LX.

Também digo, que não pode ser AB<LX. Se supusermos que é AB<LX;

será o ângulo ABC>MXL, e GHK>LXN, como temos visto no primeiro caso.

Faça-se no ponto B e com a reta BC o ângulo CBP = GHK, e posta BP = HK,

tirem-se as retas CP, AP. Sendo CB = GH, serão as ditas CB, BP, iguais às

duas GH, HK. Mas os ângulos CBP, GHK compreendidos por estas retas são

iguais. Logo, será a base CP igual à base GK, ou LN. E nos triângulos ABC,

MXL, dos quais cada um é isósceles, sendo o ângulo ABC, no vértice maior do

que o ângulo MXL também no vértice, o ângulo MLX feito sôbre a base ML será

maior (Pr, 32.1.) que o ângulo ACB formado sôbre a base AC. Pela mesma

razão, sendo GHK, isto é, CBP>LXN, será também XLN>BCP. Logo, será o

ângulo total MLN maior que o total ACP. E como os dois lados ML, LN são

iguais aos dois AC, CP, cada um a cada um, e temos o ângulo MLN>ACP, será

a base MN maior (Pr. 24.1.) que a base AP. Mas é MN = DF. Logo, será

DF>AP. Logo, sendo os lados DE, EF iguais aos lados AB, BP, cada um a cada

um; e sendo DF>AP, será o ângulo DEF>ABP (Pr. 25.1.).

Mas o ângulo ABP é igual aos dois ABC, CBP, isto é, aos dois ABC, GHK

tomados juntamente. Logo, o ângulo DE será ,maior que os dois ABC, GHK

tomados juntos, o que é absurdo, por ser aquêle menor do que êstes dois

juntos, pela suposição que temos feito. Logo, não é AB<LX. Mas temos

demonstrado que nem é AB = LX. Logo, fica sendo AB>LX.

Tudo isto demonstrado assim, levante-se do ponto X (Fig. 23, 24, 25,

26 e 27.) a reta XR perpendicularmente (Pr. 12.11.) sôbre o plano do círculo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 140

EUCLIDES

LMN. E como em todos os casos temos visto ser AB>LX, ponha-se RX de tal

comprimento, que o seu quadrado seja igual ao excesso do quadrado de AR

sôbre o quadrado de LX. Tirem-se finalmente às retas RL, RM, RN. Sendo pois

a reta RX perpendicular ao plano do círculo LMN, será também perpendicular

(Def. 3.11.) aos semidiâmetros LX, MX, NX, E sendo LX = XM, e XR comum, e

retos os ângulos RXL, RXM, e por conseqüência iguais entre si, será RL = RM.

Do mesmo modo deve ser RN = RL, e RN = RM. Logo, são iguais entre si as

três retas RL, RM, RN. E como temos suposto ser o quadrado de XR igual ao

excesso, em que o quadrado de AB excede o quadrado de LX, será o quadrado

de AB igual aos dois quadrados de LX, e XR. Mas o quadrado de RL é igual (Pr.

47.1.) aos quadrados de LX e de XR, por ser reto o ângulo LXR. Logo, o

quadrado de AB será igual ao quadrado de RL, e por conseqüência será AB =

RL. Mas cada uma das retas BC, DE, EF, GH, HK é igual a AB, e tanto RM como

RN é igual a RL. Logo, cada uma das retas AB, BC, DE, EF, GH, HK será igual a

cada uma das retas RL, RM, RN. E como as duas RL, RM são, iguais às duas

AB, BC, e a base LM é igual à base AC, será o ângulo LRM = ABC (Pr. 8.1. ).

Pela mesma razão, será também o ângulo MRN = DEF, e NRL = GHK. Logo,

com os três ângulos planos LRM, MRN, NRL, que são iguais aos três dados

ABC, DEF, GHK, temos formado no ponto R um ângulo sólido, como se pedia.

PROP. A. TEOR.

Se forem dois ângulos sólidos ambos formados por três

ângulos planos, sendo os três ângulos planos, que formam um

dêstes ângulos sólidos, iguais aos três, que compreendem o

outro ângulo sólido, cada um a cada um; os planos, em que

existirem os ângulos planos iguais, serão entre si dois a dois

semelhantemente inclinados (Fig. 28.).

Sejam os dois ângulos sólidos A, B, e seja o ângulo A formado pelos

três ângulos planos CAD, CAE, EAD, e o ângulo B pelos três FBG, FBH, HBG.

Seja também Q ângulo CAD = FBG; CAE = FBH, e EAD = HBG. Digo que os

planos, em que existem os ditos ângulos iguais, têm entre si dois a dois a

mesma inclinação.

Tome-se na reta AC qualquer ponto K, e dêste ponto K tire-se no plano

CAD a reta KD, e no plano CAE tire-se a reta KL, uma e outra

perpendicularmente sôbre a reta AC. O ângulo DKL é a inclinação (Def. 6.11.),

do plano CAD a respeito do plano CAE. Tome-se agora na reta BF a parte BM

= AK, e tirem-se do ponto M nos planos FBG, FBH as retas MG, MN

perpendiculares a BF. Será o ângulo GMN a inclinação do plano FBG sôbre o

plano FBH. Tirem-se as retas LD, NG. Como nos triângulos KAD, MBG, são

iguais os ângulos KAD, MBG, e também os ângulos AKD, BMG por serem retos

e além disto têrmos AK = MB, será KD = MG, e AD = BG (Pr. 26.1.). Pela

mesma razão, nos triângulos KAL, MBN será KL = MN, e AL = BN. Mas nos

triângulos LAD, NBG temos visto que os lados LA, AD são iguais aos lados NB,

BG, cada um a cada um, e que êstes lados compreendem ângulos iguais.

Logo, será LD = NG (Pr. 4.1). Finalmente, nos triângulos KLD, MNG os lados

DK, EL são iguais aos lados GM, MN, cada um a cada um, e a base LD é igual à

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 141

EUCLIDES

base NG. Logo, será o ângulo DKL = GMN (Pr. 8.1.). Mas o ângulo DKL é a

inclinação do plano CAD sôbre o plano CAE, e o ângulo GMN a incl1nação do

plano FBG sôbre o plano FBH. Logo, êstes planos estão entre si

semelhantemente inclinados (Def. 7.11.). Com o mesmo discurso podemos

demonstrar que os outros planos, em que existem ângulos iguais, têm entre si

respectivamente a mesma inclinação.

PROP. B. TEOR.

Se forem dois ângulos sólidos, ambos formados por três

ângulos planos, sendo os três ângulos planos, que formam um

dêstes ângulos sólidos, iguais aos três, que fazem o outro

ângulo sólido, cada um a cada um, e semelhantemente postos,

os ditos ângulos sólidos serão iguais (Fig. 29.).

Sejam os ângulos sólidos A, B, e seja o ângulo A formado pelos três

ângulos planos CAD, CAE, EAD, e o ângulo B pelos três FBG, FBH, HBG. Seja

também o ângulo CAD = FBG, CAE = FBH, e EAD = HBG. Digo que o ângulo

sólido A é igual ao ângulo sólido B.

Aplique-se o ângulo sólido A ao ângulo sólido B, principiando por aplicar

o ângulo plano CAD ao ângulo plano FBG, de maneira que o ponto A caia no

ponto B, e a reta AC sôbre a reta BF. A reta AD cairá sôbre a reta BG, por ser

o ângulo CAD = FBG. E como a inclinação do plano CAE sôbre o plano CAD é

igual (Pr. A.11.) a inclinação do plano FBH sôbre o plano FBG, e o plano CAD

está aplicado ao plano FBG; também o plano CAE se ajustará sôbre o plano

FBH, e a reta AE sôbre a reta BH, por ser o ângulo CAE = FBH. Mas temos

visto que a reta AD se ajusta sôbre a reta BG. Logo, o plano EAD se deve

também ajustar sôbre o plano HBG. Logo, os ângulos sólidos. A, B se ajustam

entre si a respeito de tôdas as suas partes, e conseqüentemente são iguais

(Ax. 8.1.).

PROP. C. TEOR.

As figuras sólidas formadas por planos semelhantes, em

número e grandeza iguais, e semelhantemente postos, são

iguais entre si, e semelhantes, contanto que cada um dos

ângulos sólidos das ditas figuras sejam compreendido por três

ângulos planos, e não por mais (Fig. 30.).

Sejam as figuras sólidas AG, KQ formadas por, planos semelhantes, em

número e grandeza iguais, e semelhantemente postos. Seja o plano AC

semelhante e igual ao plano KM; o plano AF semelhante e igual ao plano KP; o

plano BG semelhante e igual ao plano LQ, e assim sempre, isto é, GD a QN;

DE a NO, e RF a RP. Digo que a figura sólida AG é igual e semelhante à figura

sólida KQ.

Como o ângulo sólido A é compreendido pelos três ângulos planos BAD,

BAE, EAD, os quais pela hipótese são iguais aos três LKN, LKO, OKN, cada um

a cada um, e êstes três formam o ângulo sólido K, será o ângulo A igual (Pr.

B.11.) ao ângulo sólido K. Do mesmo modo os outros ângulos sólidos das duas

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 142

EUCLIDES

figuras serão iguais entre si, respectivamente. Aplicando pois a figura sólida

AG a figura sólida KQ, de maneira que a figura plana AC caia sôbre a figura

plana KM, e tôda a reta AB sôbre tôda a reta KL; a figura AC se ajustará em

tôdas as partes dela. sôbre a figura KM, por serem estas figuras iguais entre si

e semelhantes. Logo, as retas AD, DC, CB se devem ajustar sôbre as retas KN,

NM, ML, cada, uma sôbre cada uma, respectivamente; e os pontos A, D, C, B

sôbre os pontos K, N, M, L, e o ângulo sólido A sôbre o ângulo sólido K, e, por

conseqüência, o plano AF sôbre o plano KP, e a figura AF sôbre a figura KP,

sendo estas iguais e semelhantes. Logo, as retas AE; EF, FB devem cair sôbre

as retas KO, OP, PL, e os pontos E, F sôbre os pontos O, P. Do mesmo modo

se provará que a figura AH se deve ajustar sôbre a figura KR, e à reta DH

sôbre a reta NR, e o ponto R sôbre o ponto H. Sendo pois o ângulo sólido B

igual ao ângulo sólido L, com a mesma demonstração concluiremos que a

figura BG se ajusta sôbre a figura LQ, e a reta CG sôbre a reta MQ, e o ponto

G sôbre o ponto Q. Ajustando-se pois entre si todos os planos e lados das

figuras sólidas AG, KQ, serão estas iguais entre si, e semelhantes.

PROP. XXIV. TEOR.

Se houver um sólido formado por seis planos, paralelos

entre si dois a dois, os que ficam opostos, êstes planos opostos

serão paralelogramos iguais e semelhantes (Fig. 31.).

Seja o sólido CDGH formado pelos planos paralelos AC, GF, BG, QE, FB,

AE. Digo que os planos opostos AC, GF BG, CE, FB, AE são paralelogramos

iguais e semelhantes.

Como os planos paralelos BG, CE estão cortados pelo plano AC, serão

paralelas entre si. (Pr. 16.11.) as seções comuns AB, CD. Pela mesma razão

devem ser paralelas as seções comuns AD, BC dos planos BF, AE como o plano

AC. Mas temos visto que a reta AB é paralela a CD. Logo, a figura AC será um

paralelogramo. Do mesmo modo se pode demonstrar que as figuras CE, FG,

GB, BF, AE são paralelogramos. Tirem-se as diagonais AH, DF. Sendo pois a

reta AB, paralela a DC, e BH paralela a CF, isto é, as duas AB, BH paralelas às

duas DC, CF existentes em outro plano, será o ângulo. ABH = DCF (Pr.

10.11.). E também sendo as duas AB, BH iguais às duas DC, CF cada uma a

cada uma, e sendo o ângulo ABH = DCF, será AH = DF, e o triângulo ABH

igual (Pr. 4.1.) ao triângulo DCF. Mas o paralelogramo BG é o dôbro (Pr.

34.1.) do triângulo ABH, e o paralelogramo CE é ó dôbro do triângulo DCF.

Logo, o paralelogramo BG será igual e semelhante ao paralelogramo CE. Com

a mesma demonstração se provará que Os paralelogramos AC, AE são,

respectivamente, iguais e semelhantes aos paralelogramos GF, DF.

PROP. XXV. TEOR.

Se um sólido paralelepipedo fôr cortado por um plano

paralelo a dois planos opostos do mesmo sólido, as bases dos

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 143

EUCLIDES

sólidos, em que estiver dividido o sólido total; terão entre si a

razão que têm os mesmos sólidos (Fig. 32.).

Seja o paralelepípedo ABCD cortado pelo plano EV paralelo aos planos

opostos AR, HD. Digo que a base AEFY é para a base EHCF, como o sólido

ABFV para o sólido EGOD.

Produza-se a reta AH para uma e outra parte, e tomadas as partes HM,

MN em qualquer número, e cada uma delas igual à reta EH, e as partes AK, KL

também em qualquer número, e cada uma igual à reta EA; façam-se os

paralelogramos LO, KY, HQ, MS, e sôbre êles como bases os sólidos LP, KR,

HU, MT. Sendo iguais entre si as retas LK, KA, AE, também serão iguais (Pr.

36.1.) os paralelogramos LO, KY, AF. Pela mesma razão devem ser iguais os

paralelogramos, KX, KB, AG. E os paralelogramos LZ, KP, AR são também

iguais, por serem opostos (Pr. 24.11.). Do mesmo modo são iguais entre si os

paralelogramos EC, HQ, MS, como também os paralelogramos HG, HI, IN, e,

finalmente, os paralelogramos HD, MU, NT. Logo, três planos do sólido LP são

iguais e semelhantes a três planos do sólido KR, como também são iguais e

semelhantes a três planos do sólido AV. Mas nestes sólidos três planos são

iguais e semelhantes a outros três opostos; e juntamente nos mesmos sólidos

cada ângulo sólido é formado por três ângulos planos. Logo, os três sólidos LP,

KR, AV são iguais (Pr. C.11.). Pela mesma razão devem ser iguais também os

três sólidos ED, HU, MT. Logo, como a base LF é multíplice da base AF, do

mesmo, modo o sólido LV é multíplice do, sólido AV; e assim também como a

base NF é multíplice da base HF, do mesmo modo o sólido NV é multíplice do

sólido ED. E se a base LF fôr igual à base NF, também o sólido LV será igual

(Pr. C.11.) ao sólido NV; e se a base LF fôr maior que a base NF, também o

sólido LV será maior que o sólido NV, e, finalmente, se a base LF fôr menor

que a base NF, do mesmo modo o sólido LV será menor que o sólido NV. Mas

a base LF, e o sólido LV são quaisquer eqüimultíplices da base AF, e do sólido

AV, e a base FN, e o sólido NV são outros quaisquer eqüimultíplices da base FH

e do sólido ED; e juntamente temos demonstrado, que, se fôr a base LF maior,

ou igual, ou menor que a base FN, também o sólido LV será maior, ou igual,

ou menor que o sólido NV. Logo, (Def. 5.5.) será a base AF para a base FH,

como o sólido AV é para o sólido ED.

PROP. XXVI. PROB.

Dada uma linha reta e dado nela um ponto, construir

sôbre a dita reta e no ponto dado um ângulo sólido igual a outro

ângulo sólido formado por três ângulos planos (Fig. 33.).

Seja dada a reta AB, e nela o ponto A. Seja também dado o ângulo

sólido D, formado pelos três ângulos planos EDC, EDF, FDC. Deve-se construir,

no ponto A e sôbre a reta AB, um ângulo sólido igual ao ângulo sólido D.

Tome-se na reta DF qualquer ponto F, e tire-se dêste ponto F a reta FG,

perpendicular (Pr. 11.11.) ao plano, que passa pelas retas ED, DC. Seja G o

ponto, em que a perpendicular FG encontra o plano. Tire-se DG, e faça-se (Pr.

23.1.) com a reta AB e no ponto A o ângulo BAL = EDC, e também o ângulo

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 144

EUCLIDES

BAK = EDG. Ponha-se AK = DG, e levante-se do ponto K a reta KH

perpendicular (Pr. 12.11.) ao plano BAL, e feita KH = GF, tire-se HA. Digo que

o ângulo sólido A, formado pelos três ângulos planos BAL, BAH, HAL, é igual

ao ângulo sólido D feito pelos três ângulos planos EDC, EDF, FDC.

Tomadas as duas retas AB, DE iguais entre si, tirem-se as retas HB, KB,

FE, GE. Sendo FG perpendicular ao plano das retas ED, DO, também será

perpendicular a tôdas as mais retas, que existindo no dito plano a tocarem

(Def. 3.11.). Logo, serão retos os ângulos FGD, FGE. Pela mesma razão são

retos os ângulos HKA, HKB. E porque os lados KA, AB são iguais aos lados GD,

DE, cada um a cada um, e também são iguais entre si os ângulos formados

por êstes lados, será a base BK igual (Pr. 4.1.) à base EG. Mas temos KH =

GF, e o ângulo BKH = EGF. Logo, será HB = FE. Também sendo os lados AK,

KH iguais aos lados DG, GF, e sendo iguais os ângulos AKH, DGF, por serem

retos, será a base AH igual à base DF. Mas é AB = DE. Logo, as duas HA, AB

serão iguais às duas FD, DE., Mas é HB = FE. Logo, será o ângulo BAH = EDF

(Pr. 8.1.). Pela mesma maneira se mostra ser HAL = FDC. Para isto ponha-se

AL = DC, e tirem-se as retas KL HL, GC, FC. Sendo o ângulo total BAL igual ao

ângulo total EDC; e sendo o ângulo BAK = EDG; tirando BAK de BAL, e EDG

de EDC, será o resto KAL igual ao resto GDC. E como as duas retas KA, AL são

iguais às duas GD, DC, é iguais entre si os ângulos compreendidos por elas,

será também a base KL = GC, que é outra base. Mas é KH = GF. Logo, as

duas, LK, KH são iguais às duas GC, GF. Mas estas retas fazem ângulos iguais.

Logo, será a base HL igual à base FC. Sendo pois as duas RA, AL iguais às

duas FD, DC, e sendo HL = FC. Será o ângulo HAL = FDC. Logo, sendo os três

ângulos planos BAL, BAH, HAL, pelos quais é formado o ângulo sólido A, iguais

aos três ângulos planos EDC, EDF, FDC, que fazem o ângulo sólido D, cada um

a cada um; e também sendo os mesmos ângulos planos semelhantemente

postos, será o ângulo sólido A igual (Pr. B.11.) ao ângulo sólido D. Logo, está

feito o que se pedia.

PROP. XXVII. PROB.

Sôbre uma, linha, reta dada formar um sólido

paralelepípedo semelhante a outro sólido paralelepípdo, e

semelhantemente pôsto (Fig. 34.).

Seja dada a reta AB, e o paralelepípedo CD. Deve-se descrever sôbre a,

reta AB um paralelepípedo semelhante ao paralelepípedo CD, e

semelhantemente pôsto.

Faça-se sôbre a reta AB, e no ponto dela A com os três ângulos planos

BAK, KAH, HAB o ângulo sólido A igual (Pr. 26.11.) ao ângulo sólido C; de

maneira que seja o ângulo, BAK = ECG, KAH = GCF, e HAB = FCE. Faça-se

(Pr. 12.6.) também EC:CG::BA:AK; e GC:CF::KA:AR. Logo, por igualdade de

razões ordenada (Pr. 22.5.) será EC:CF::BA:AH. Complete-se o paralelogramo

BH, e o sólido AL. Como temos EC:CG::BA:AK; isto é, proporcionais os lados,

que fazem os ângulos iguais ECG, BAK, o paralelogramo BK será semelhante

ao paralelogramo EG. Pela mesma razão, o paralelogramo KH é semelhante ao

paralelogramo GF, e o paralelogramo HB é semelhante ao, paralelogramo FE.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 145

EUCLIDES

Logo, três paralelogramos do sólido AL são respectivamente semelhantes a

três paralelogramos do sólido CD. E como os paralelogramos, que ficam

opostos aos ditos, três em ambos os sólidos, são iguais (Pr. 24.11.) e

semelhantes respectivamente aos mesmos ditos três paralelogramos, e por

serem também iguais entre si, e semelhante,mente postos os, ângulos planos,

que formam os ângulos sólidos correspondentes dos dois paralelepípedos, são

iguais (Pr. B. 11.) os mesmos ângulos sólidos que se correspondem; será o

sólido AL semelhante (Def. 11.11.) ao sólido CD, e por conseqüência ficará

feito o que se pedia.

PROP. XXVIII. TEOR.

Se um sólido paralelepípedo fôr cortado pelo plano, que

passa pelas diagonais de dois planos opostos, ficará dividido em

duas partes iguais (Fig. 31.)

∗

Seja o paralelepípedo EB, e sejam as retas DF, AH as, diagonais dos

planos opostos CE, BG. E como duas AD, HF são paralelas a GE, que não

existe no plano delas, será AD paralela (Pr. 9.11.) a RF, e conseqüentemente

as diagonais AH, DF existirão no plano das retas AD, HF; e serão paralelas

entre si (Pr. 16.11.). Digo pois que o paralelepípedo EB fica dividido em duas

partes iguais pelo plano ADFH.

Sendo o triângulo AGH igual ao triângulo ABH, e o triângulo DEF igual

ao triângulo DCF (Pr. 34.1.) e sendo o paralelogramo, HE igual (Pr. 24.11.) ao

paralelagramo BD, por serem paralelogramos opostos, e finalmente sendo o

paralelogramo EA igual ao paralelogramo BF, o prisma compreendido pelos

dois triângulos AGH, DEF e pelos três paralelogramos HE, EA, e AF será igual

(Pr. C .11.) ao prisma formado pelos dois triângulos ABH, DCF, e pelos três

paralelogramos BD, BF, HD, por serem êstes planos respectivamente

semelhantes entre si, em número e grandeza iguais, e, semelhantemente

postos; e juntamente porque todos os ângulos, sólidos dêstes dois prismas são

feitos por três ângulos planos e não mais. Logo, o sólido paralelepípedo EB fica

dividido em duas partes iguais pelo plano ADFH.

PROP. XXIX. TEOR:

Os sólidos paralelepípedos, que estão postos sobre a

mesma base, e têm a mesma altura e cujos lados, que se

levantam sôbre a base, se terminam nas mesmas linhas retas,

são iguais (Figs. 35, 36 e 37.).

Estejam postos sôbre a base comum AB os dois paralelepípedos AH, AK

igualmente, altos; e terminem-se nas mesmas retas FN, DK os lados AF, AG,

LM, LN CD, CE, BH, BK, que se levantam sôbre a base comum AB.Digo que os

paralelepípedos AH, AK são iguais.

Tenham em primeiro lugar os paralelogramos DG, NN, que ficam

opostos à base AB, o lado comum HG (Fig. 35.). Sendo o sólido AH cortado



Veja-se Legendre “Elem. de Geom.” Liv. VI. Prop. VI: Corol.,

e Not. 1.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 146

EUCLIDES

pelo plano AGHC das diagonais AG, CH dos planos opostos ALGF, CBHD, o

mesmo sólido AH ficará dividido em duas partes iguais (Pr. 28.11.). Logo, o

sólido AK é o dôbro do prisma, que tem os triângulos opostos ALG, CBH. Pela

mesma razão por que o sólido AK é cortado pelo plano LGHB, que passa pelas

diagonais LG, BH dos planos opostos ALNG, CBKH, será o sólido AK o dôbro do

mesmo prisma compreendido entre os triângulos opostos ALG, CBH. Logo, o

sólido AH é igual ao sólido AK.

Não tenham agora os paralelogramos DM, EN algum lado comum (Figs.

36 e 37.). Como as figuras CH, CK são paralelogramos, será o lado CB igual

(Pr. 34.1.) tanto ao lado DH, como ao lado EK. Logo, será DH = EK. Ajunte-se,

ou tire-se de uma e outra parte a mesma reta RE. Será DE = HK, e o triângulo

CDE igual (Pr. 38.1.) ao triângulo BHK, e o paralelogramo DG igual (Pr. 36.1.)

ao paralelogramo HN. Pela mesma razão será o triângulo AFG igual ao

triângulo LMN. Mas os paralelogramos CF, CG são respectivamente iguais (Pr.

24.11.) aos paralelogramos BM, BN, por estarem opostos entre si. Logo, o

prisma formado pelos triângulos AFG, CDE, e pelos paralelogramos AD, DG,

GC é igual (Pr. C .11.) ao prisma compreendido pelos triângulos LMN, BHK, e

pelos paralelogramos BM, MK, KL. Tirando :pois o prisma LMNBHK do sólido,

que está entre a base AB o plano oposto FDKN, e também tirando do mesmo

sólido o outro prisma AFGCDE, os restos que ficarem, isto é os sólidos AH, AK,

serão iguais entre si.

PROP. XXX. TEOR.

Os sólidos paralelepípedos postos sôbre a mesma base, e

que têm a mesma altura, e cujos lados, isto é, aquêles que se

levantam sôbre a base, não se, terminam nas mesmas linhas.

retas, são iguais (Fig. 38.).

Estejam postos sôbre a mesma base AB, e tenham a mesma altura os

paralelepípedos CM, CN; e nã9 se terminem nas mesmas retas os lados dêles,

que se levantam sôbre a base comum AB, isto é, os lados AF, AG, LM, LN, CD,

CE, BH, BK. Digo que também neste caso são iguais entre si os

paralelepípedos CM, CN.

Produzam-se as retas FD, MH, NG, KE, até se encontrarem nos pontos

O, P, Q, R, e tirem-se as retas AO, LP, BQ, CR. Como o plano LBHM é paralelo

ao plano oposto ACDF, e no plano LBHM existem as duas retas paralelas LB,

MHPQ juntamente com a figura BLPQ, e no plano ACDF existem as outras

paralelas AC, FDOR, e também a figura CAOR, as figuras BLPQ, CAOR devem

existir em dois planos paralelos entre si. Do mesmo modo por que o plano

ALNG é paralelo ao plano oposto CBKE, e no plano ALNG existem as paralelas

AL, OPGN juntamente com a figura AOPL, e no plano CBKE existem as outras

paralelas CB, QREK, e também a figura CRQB, as figuras AOPL, CRQB existirão

em planos, paralelos entre si. Mas, os planos ACBL, ORQP são paralelos. Logo,

o sólido CP será um paralelepípedo. Mas o sólido CM, existente entre a base

ACBL e o paralelogramo oposto FDHM, é igual (Pr. 29.11.) ao sólido CP

existente entre a mesma base ACBL, e o paralelogramo oposto ORQP, por

estarem ambos êstes sólidos sôbre a mesma base ACBL, e se terminarem nas

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 147

EUCLIDES

mesmas retas FR, MQ, os lados dêles AF, AO, CD, CR, e LM, LP, BH, BQ, que

são os lados, que se levantam sôbre a base ACBL; e também o sólido CP é

igual ao sólido CN, porque ambos êstes sólidos estão sôbre a mesma base

ACBL, e os lados dêles AO,AG, LP, LN, e CR, CE, BQ, BK, levantados sôbre a

mesma base ACBL, se terminam nas mesmas retas ON, RK. Logo, o sólido CM

será igual ao sólido CN.

PROP. XXXI. TEOR.

Os sólidos paralelepípedos postos sôbre bases iguais, e

igualmente altos são iguais (Figs. 39 e 40.).

Sejam os paralelepípedos AE, CF, os quais estejam postos: sôbre as

bases iguais AB, CD, e ambos tenham a mesma altura. Digo que os

paralelepípedos AE, CF são iguais.

Sejam primeiramente (Fig. 39.) perpendiculares aos planos das bases

AB, CD aquêles lados, os quais em ambos os sólidos ficam levantados sôbre as

mesmas bases AB, CD. Ponham-se entre si os sólidos de maneira que as bases

dêles existam no mesmo plano, e os lados CL, LB destas mesmas bases

estejam em direitura um com outro. A reta LM, que se termina no ponto L,

será comum (Pr, 13.11.) aos sólidos AE, CF. Sejam AG, HK, BE; e DF, OP, CN

os outros lados dos sólidos, sôbre cujas bases ficam levantados, e

primeiramente seja o ângulo ALB = CLD. Estará o lado AL em direitura do lado

LD.

Produzam-se os lados OD, HB, os quais concorram no ponto Q, e

complete-se o paralelepípedo LR, cuja base é o paralelogramo LQ, e LM é um

dos lados que se levantam sôbre a mesma base LQ. Sendo pois o

paralelogramo AB igual ao paralelogramo CD, será AB:LQ::CD:LQ (Pr. 7.5.); e

como o sólido AR é cortado pelo plano LMEB paralelo aos planos opostos AK,

DR, será a base AB para a base LQ, como o sólido AE é para o sólido LR (Pr.

25.11.). Pela mesma razão, sendo o sólido CR cortado pelo plano LF paralelo

aos planos opostos CP, BR, será a base CD para a base LQ, como o sólido CF é

para o sólido LR. Mas temos visto ser AB:LQ::CD:LQ. Logo, será também

AE:LR::CF:LR. Logo, os sólidos AE, CF são iguais (Pr. 9.5.).

Estejam agora pastos os sólidos (Fig. 39.) SE, CF igualmente altos

sôbre as bases iguais SB, CD sôbre as quais sejam perpendiculares os lados

das mesmas sólidos; e postas as ditas bases no mesmo plano, de maneira que

os lados delas CL, LB façam uma só linha reta, não seja o ângulo SLB = CLD.

Digo que será o sólido SE igual ao sólido CF.

Produzam-se os lados DL, TS de modo que se encontrem no ponto A.

Tire-se pelo ponto B a reta BH paralela a DA, e as retas. HB, OD produzidas

concorram no ponto Q, e finalmente completem-se os sólidos AE, LR. O sólido

AE, cuja base é o paralelogramo LE, e o plano oposto a esta base o

paralelogramo AK, é igual (Pr. 29.11.) ao sólido SE, cuja base é o

paralelogramo LE, e o plano oposto a esta base o paralelogramo SX; porque

ambos êstes sólidos estão postos sôbre a mesma base LE, e têm a mesma

altura, e os lados dêles LA, LS, BH, BT; MG, MV, EK, EX se terminam nas

mesmas retas AT, GX. Sendo pois o paralelogramo AB igual (Pr. 35.1.) ao

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 148

EUCLIDES

paralelogramo SB, por terem ambos a mesma base LB, e por estarem entre as

mesmas paralelas LB, AT, e também sendo pela hipótese o paralelogramo SB

igual ao paralelogramo CD; será o paralelogramo AB igual ao paralelogramo

CD. Mas é o ângulo ALB= CLD. Logo, pelo que temos já demonstrado, será o

sólido AE igual ao sólido CF. Mas temos também provado, que o sólido AE é

igual ao sólido SE. Logo, será o sólido SE igual ao sólido CF.

Suponhamos, finalmente, não serem perpendiculares às bases iguais

AB, CD (Fig. 40.) as lado AG, HK, BE, LM; CN, RS, DF, OP dos sólidos AE, CF.

Digo também que são iguais entre si os sólidos AE, CF.

Caiam dos pontos G, K, E, M; N, S, F, P, sôbre os planos das bases LH,

OR as perpendiculares (Pr. 11.11.) GQ, KT, EV, MX; NY, SZ, FI, PU, que

encontrem os planos nos pontos Q, T, V, X; Y, Z, I; U. Tirem-se as retas QT,

TV, VX, XQ; YZ, ZI, lU, UY. Como as duas retas GQ, KT são perpendiculares ao

mesmo plano, serão paralelas (Pr. 6.11.) entre si. Mas também as duas MG,

EK são paralelas. Logo, também serão paralelos (Pr. 15.11.) entre si os planos

MQ, ET, passando o primeiro pelas retas MG, GQ; e passando o outro pelas

retas EK, KT. Pela mesma razão são paralelos os planos MV, GT. Logo, o sólido

QE é um paralelepípedo. Do mesmo modo se demonstra que o sólido YF é

também um paralelepípedo. Mas pelo que temos dito, o sólido EQ é igual ao

sólido FY, por serem iguais as bases MK, PS, e também iguais as alturas dêles,

e por se levantarem os lados perpendicularmente sôbre as mesmas bases: e o

sólido EQ é igual (Pr. 29. ou 30.11.) ao sólido AE, e o sólido FY é igual ao

sólido CF, por terem tanto uns como os outros a mesma base e a mesma

altura. Logo, será o sólido AE igual ao sólido CF.

PROP. XXXII. TEOR.

Os sólidos paralelepipedos, que têm a mesma altura,

estão entre si como as bases (Fig. 41.).

Sejam os paralelepípedos igualmente altos AB, CD. Digo que, como a

base AE é para a base CF, assim também o sólido AB é para o sólido CD.

Faça-se sôbre a reta FG o paralelogramo FH igual ao paralelogramo AE,

de maneira que seja o ângulo FGH = LCH (Cor. 45.1.). Complete-se o sólido

paralelepípedo GK, cuja base seja o paralelogramo FH, e um dos lados sôbre a

mesma base seja a reta FD. Serão iguais (Pr. 31.11.) entre si os sólidos AB,

GK, por serem iguais tanto as bases AE, FH, como as alturas dêles. E como o

paralelepípedo CK é cortado pelo plano DG, paralelo aos planos opostos, será

a base HF para a base FC, como o sólido HD é para o sólido DC (Pr. 25.11.).

Mas a base FH é igual à base AE, e o sólido HD é igual ao sólido AB.

Logo, será a base AE para a base CF, como o sólido AB é para o sólido CD.

COROL. Disto se infere, que os prismas de bases triangulares, e que

são igualmente altos, têm entre si a razão das mesmas bases.

Sejam os prismas igualmente altos (Fig. 41.), cujas bases são os

triângulos AEM, CFG, e os planos opostos os triângulos NBO, PDQ. Sejam

completados os paralelogramos AE, CF, e os sólidos paralelepípedos AB, CD, e

seja MO um lado do sólido AB, e GQ um lado do sólido CD daqueles que se

levantam sôbre as bases. Os paralelepípedos AB, CD, visto terem a mesma

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 149

EUCLIDES

'altura, estão entre si na razão das bases AE, CF. Logo, também os prismas,

que são as metades, (Pr. 28.11.) dêstes paralelepípedos, devem estar na

mesma razão das ditas bases AE, CF, isto é, na razão dos triângulos AEM,

CFG.

PROP. XXXIII. TEOR.

Os sólidos paralelepípedos semelhantes estão entre si na

razão triplicada dos lados homólogos (Fig, 42.).

Sejam os paralelepípedos semelhantes AB, CD, e sejam os homólogos

os lados AE, CF. Digo que o sólido AB tem para o sólido CD a razão triplicada

daquela, que o lado AE tem para o lado. CF.

Produzam-se os lados AE, GE, HE, fazendo EK = CF, EL = FN, e EM =

FR. Complete-se o paralelogramo KL, e também o sólido KO. Visto serem os

lados KE, EL iguais aos lados CF, FN, e o ângulo KEL = CFN, sendo pela

semelhança dos sólidos AB, CD o ângulo AEG = CFN, será o paralelogramo KL

semelhante e igual ao paralelogramo CN. Pela mesma razão o paralelogramo

MK é igual e semelhante ao paralelogramo CR, e o paralelogramo OE é igual e

semelhante ao paralelogramo FD. Logo, três paralelogramos do sólido KO são

iguais e semelhantes respectivamente a três paralelogramos do sólido CD. Mas

também os paralelogramos opostos a êstes são iguais (Pr. 24..11.) e

semelhantes. Logo, o sólido KO é semelhante e igual (Pr. C. 11.) ao sólido CD.

Complete-se o paralelogramo GK, e sôbre as bases GK, KL considerem-se

formados os paralelepípedos EX, LP, que tenham a mesma altura que o sólido

AB, de sorte que a reta ER seja um lado comum, e daqueles que se levantam

sôbre as bases GK, KL. Sendo pela semelhança dos sólidos AB, CD, e

permutando, AE:CF::EG:FN, e também AE:CF::EH:FR, e sendo FC = EK, e FN

= EL, e FR = EM, será AE:EK::EG:EL, e também AE:EK::HE:EM. Mas é AE para

EK, como o paralelogramo AG para o paralelogramo GK (Pr. 1.6.), e GE para

EL, como o paralelogramo GK para o paralelogramo KL, e finalmente HE para

EM, como o paralelogramo PE para o paralelogramo KM. Logo, será o

paralelogramo AO para o paralelogramo GK, como êste paralelogramo GK é

para o paralelogramo KL, e também como o paralelogramo PE é para O

paralelogramo KM. Mas o paralelogramo AG é para o paralelogramo GK como

o sólido AB é para o sólido EX (Pr. 25.11.); e o paralelogramo GK é para o

paralelogramo KL como o sólido EX é para o sólido PL, e também o

paralelogramo PE é para o paralelogramo KM como o sólido PL é para o sólido

KO. Logo, será o sólido AB para o sólido EX, como êste sólido EX é para o

sólido PL, e também como êste mesmo sólido PL é para o sólido KO. Mas, de

quatro grandezas continuamente proporcionais, a primeira se diz que tem para

a quarta razão triplicada daquela, que a mesma primeira tem para a segunda.

Logo, a razão do sólido AB para o sólido KO será a triplicada da razão do sólido

AB para o sólido EX. Mas o sólido AB é para o sólido EX, como o paralelo

gramo AG é para o paralelogramo GK, ou como o lado AE para o lado EK.

Logo, a razão do sólido AB para o sólido KO será a triplicada da razão do lado

AE para o lado EK. Mas o sólido KO é igual ao sólido CD, e o lado EK é igual ao

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 150

EUCLIDES

lado CF. Logo, a razão do sólido AB para o sólido CD é a tr1plicada da razão do

lado homólogo AE para o lado homólogo CF.

COROL. Disto se colige que, se forem quatro retas continuamente

proporcionais, será a primeira para a quarta, como o paralelepípedo formado

sôbre a primeira reta. é para o paralelepípedo feito sôbre a segunda, no caso

que ambos êstes sólidos sejam semelhantes entre si, e semelhantemente

descritos; e isto por ser a razão da primeira reta para a quarta triplicada (Def.

11.5.) da razão que a primeira tem para a segunda.

PROP. D. TEOR.

Os sólidos paralelepípedos, que são formados com

paralelogramos eqüiângulos entre si, cada um a cada um, isto é,

cujos ângulos sólidos são respectivamente iguais, estão entre si

na mesma razão que a composta das razões dos lados (Fig.

43.).

Sejam os paralelepípedos AB, CD, e seja o sólido AB formado pelos

paralelogramos AE, AF, AG eqüiângulos, cada um a cada um, aos

paralelogramos CH, CK, CL, pelos quais fica compreendido o sólido CD. Digo

que a razão do sólido AB para o sólido CD é a mesma que a composta das três

razões seguintes: da razão do lado AM para o lado DL, da razão de AN para

DK, e da razão de AO para DH.

Sejam produzidos os lados MA, NA, OA para P, Q, R, de maneira que

seja AP = DL, AQ = DK, e AR = DH. Complete-se o paralelepípedo AX

compreendido pelos paralelogramos AS, AT, AV, semelhantes e iguais aos

paralelogramos CH, CK, CL, cada um a cada um. Será o sólido AX igual

(Pr.C.11.) ao sólido CD. Complete-se também o sólido AY, cuja base é o

paralelogramo AS, e à reta AO é um lado dos que se levantam sôbre ela. Posta

qualquer reta a, faça-se MA:AP::a:b, e N.A:AQ::b:c, e OA:AR::c:d. Sendo

eqüiângulos entre si os paralelogramos AE, AS, será AE:AS::a:c (Pr. 23.6),

Mas os sólidos AB, AY, por estarem entre os planos paralelos BOY, EAS, são

igualmente altos. Logo, será o sólido AB para o sólido AY, como a base AE

para a baseAS (Pr. 33.22.), ou como a reta a é para reta c. Mas o sólido AY é

para o sólido AX, como o paralelogramo OQ para paralelogramo QR (Pr.

25.11.), ou como a reta a o lado AO para o lado AR, isto é, como a reta c para

a reta d. Sendo pois o sólido AB para o sólido AY, como a reta a para a reta c;

igual será o sólido AY para o sólido AX, ou para o sólido CD, como a reta a é

para a reta d. Mas a razão de a para d chama-se razão composta (Def. A. 5.)

das razões de a para b, de b para c e de c para d; e estas são iguais, cada

uma a cada uma, às razões do lao MA para o lado AP, de NA para AQ e de AO

para AR; e os lados AP, AQ, AR são iguais aos lados DL, DK, DH, cada um a

cada um. Logo o sólido AB tem para o sólido CD a razão composta das razões

do lado AM para o lado DL do lado DN para o lado DK e do lado AO para o lado

DH.

PROP XXIV. TEOR.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 151

EUCLIDES

As bases dos sólidos paralelepípedos iguais são

reciprocamente proporcionais às alturas; e sendo as bases

reciprocamente proporcionais às alturas, os sólidos

paralelepípedos são iguais (Figs. 44, 45 e 46.).

Sejam iguais entre si os paralelepípedos AB, CD. Digo que a base EH é

para a base NP, como a altura do sólido CD para a altura do sólido AB.

Sejam primeiramente (Fig. 44.) perpendiculares às bases EH, NP os

lados AG, EF, LB, KH; CM, NX, OD, PR. Digo que a base EH do sólido AB é para

a base NP do sólido CD, comp a altura CM do sólido CD é para a altura AG do

sólido AB.

Se as bases EH, NP forem iguais, sendo o sólido AB igual ao sólido CD,

também será CM = AG. Porque de outra sorte, sendo a base EH igual à base

NP, o sólido AB não poderia ser igual ao sólido CD, contra o que temos

suposto. Logo, deve ser CM = AG, e por conseqüência deve ser a base EH para

a base NP, como a altura CM é para a altura AG.

Mas não sejam iguais entre si as bases (Fig. 45.) EH, NP, e seja

EH>NP. Como o sólido AB é igual ao sólido ÇD, será CM>AG; porque suposto

não ser assim, seriam desiguais, contra a hipótese, os sólidos AB, CD. Tome-

se CT = AG, e sôbre a base NP e com a altura CT complete-se o paralelepípedo

CV. Logo, sendo o sólido AB igual ao sólido CD, será o sólido AB para o sólido

CV, como o sólido CD é para o sólido CV (Pr. 7.5.), Mas o sólido AB é para o

sólido DV, como a base EH é pará a base NP (Pr. 32.11.), por serem êstes

sólidos igualmente altos; e também o. sólido CD é para o sólido CV, como a

base MP é para a base PT (Pr. 25.11.), ou como a reta MC para a reta CT (Pr.

1.6.). Logo, será a base EH para a base NP, como a reta MC é para a reta CT.

Mas é CT = AG. Logo, será a base EH para a base NP, como a altura MC é para

a altura ÁG.

Estejam agora as bases dos paralelepípedos (Fig. 44.) AB; CD na razão

recíproca das alturas, isto é, seja a base EH do sólido AB para a base NP do

sólido CD, como a altura dêste sólido CD é para a altura do sólido AB. Digo,

que os sólidos AB, CD são iguais. Suponham-se em ambos os sólidos serem

perpendiculares às bases os lados, que se levantam sôbre as mesmas bases.

E, primeiramente, se fôr a base EH igual à base NF, tendo nós suposto ser a

base EH para a base NP, como a altura do sólido CD é para a altura do sólida

AB, serão estas alturas também iguais (Pr. A.5.). Mas os sólidos

paralelepípedos postos sôbre bases iguais, e igualmente altos são entre si

iguais (Pr. 31.11.). Logo, será o paralelepípedo AB igual ao paralelepípedo CD.

Mas não sejam iguais as bases EH, NP, e seja EH>NP. (Fig. 45,). Sendo

a base EH para a base NP, como a altura CM é para a altura AG, será CM>AG

(Pr. .A.5.). Ponha-se CT = AG, e complete-se o sólido CV. Logo, será a base

EH para a base NP, como a reta MC é Para a reta CT. Mas a base EH é para a

base NP, como o sólido AB para o sólido CV (Pr. 32 .11.), por serem êstes

sólidos igualmente altos; e a reta MC é para a reta CT, como a base MP para a

base PT, isto é, como o sólido CD para o sólido CV (Pr. 25.11.). Logo, será o

sólido AB para o sólido CV, como é o sólido CD para o sólido CV, e por

conseqüência serão iguais os sólidos AB, CD.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 152

EUCLIDES

Não sejam agora os lados (Fig. 46.) FE, BL, GA, KH; XN, DO, MC, RP

perpendiculares sôbre as bMes EH, NP. Tirem-se dos pontos F, B, E, G; X, D,

R, M outras tantas retas perpendicularmente sôbre os planos das bases EH,

NP, as quais encontrem os ditos planos nos pontos S, Y, V, T; Q, l, U, Z.

Completem-se os sólidos FV, XU, que devem ser paralelepípedos, como se tem

demonstrado no último caso da prop. 31 dêste Livro. Digo que, sendo iguais

entre si os sólidos AB, CD, as bases são reciprocamente proporcionais às

alturas, isto é, a base EH do sólido AB é para a base NP do sólido CD, como a

altura dêste sólldo CD é para a altura do sólido AB. Visto ser o sólido AB igual

ao sólido CD, pela suposição, e o sólido BT igual (Pr. 29. ou 30.11.) ao sólido

AB, por estarem sôbre a mesma base FK, e terem a mesma altura, e também,

pela mesma razão, o sólido DC igual ao sólido DZ; será o sólido BT igual ao

sólido DZ. Mas as bases de paralelepípedos iguais, e sôbre as quais se

levantam perpendicularmente os lados, são reciprocamente proporcionais às

alturas, como já se tem demonstrado. Logo, será a base FK do sólido BT para

a base XR do sólido DZ, como a altura dêste sólido DZ é para a altura do

sólido BT. Mas as bases FK, ÉH são iguais, como também são iguais as bases

XR, NP. Logo, será a base EH para a base NP, como a altura do sólido DZ é

para a altura do sólido BT. Mas os sólidos DZ, DC têm a mesma altura, como

também os sólidos BT, BA. Logo, será a base EH do sólido AB para a base NP

do sólido CD, como a altura do sólido DC é para a altura do sólido BA, e assim

as bases dos sólidos paralelepípedos AB, CD são também neste caso

reciprocamente proporcionais às alturas.

Tenham finalmente as bases, (Fig. 46.) dos paralelepípedos entre si a

razão recíproca das alturas, isto é, seja a base EH do sólido AB para a base NP

do sólido CD, como a altura do sólido CD é para a altura do sólido AB. Digo

que os sólidos AB, CD são iguais. Feita a mesma construção que acima, sendo

a base EH para a base NP, como a altura do sólido CD para a altura do sólido

AB; e sendo a base EH igual à base FK, e a base NP igual à base XR, será a

base FK para a base XR, como a altura do sólido CD é para a altura do sólido

AB. Mas os sólidos AB, BT, como também os sólidos CD, DZ, são igualmente

altos. Logo, será a base FK para a base XR como a altura do sólido DZ é para

a altura do sólido BT. Logo, as bases dos paralelepípedos BT, DZ são

reciprocamente proporcionais às alturas. Mas os lados, que se levantam sôbre

as bases nestes sólidos, sãoperpendiculares às mesma bases. Logo, os sólidos

BT, DZ devem ser iguais, como há pouco ficou demonstrado. Mas o sólido BT é

igual (Pr. 29 ou 30.11) ao sólido BA, e o sólido DZ é igual ao Sólido DC, por

estarem postos, tanto os primeiros , como os segundos sobre a mesma base e

por terem alturas iguais. Logo, os sólidos AB, Cd são iguais.

PROP. XXV. TEOR.

Se dos vértices de dois ângulos planos iguais se levantarem

sôbre, os planos deles duas linhas retas, que com os lados dos

ditos ângulos planos façam ângulos também iguais, isto é, os

formados sobre os lados de um ângulo iguais aos formados sôbre

os lados do outro ângulo, cada um a cada um; e se de ambas as

retas levantadas, tomados quaisquer dois pontos, um em cada

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 153

EUCLIDES

uma, se fizerem cair duas retas perpendiculares aos planos, em

que existem os ângulos dados; e finalmente se dos pontos, onde

as ditas perpendiculares encontram os planos, forem conduzidas

para os vértices dos ângulos dados outras duas retas; estas retas

com as outras, que estão levantadas, compreenderão ângulos

também iguais (Fig. 47.).

Dos vértices A, D dos ângulos planos e iguais BAC, EDF considerem-se

levantadas sôbre os planos dêles as retas AG, DM, que façam ângulos

respectivamente iguais com os lados dos ângulos BAC, EDF, isto é, o ângulo

GAB = MDE, e GAC = MDF; e tomados nas retas AG, DM os pontos G, M, como

quisermos, dêstes pontos G, M sejam conduzidas as duas retas GL, MN

perpendicularmente sôbre os planos dos ângulos propostos BAC, EDF. Dos

pontos L, N, nos quais as perpendiculares encontram os planos, tirem-se para

os vértices A, D dos ângulos BAC, EDF as retas LA, ND. Digo que o ângulo GAL

é igual ao ângulo MDN.

Ponha-se AH = DM, e pelo ponto H conduza-se a reta HK, paralela a

GL. Sendo GL perpendicular ao plano BAC, também HK será perpendicular (Pr.

8.11.) ao mesmo plano BAC. Dos pontos K, N tirem-se sôbre as retas AB, AC,

DE, DF as perpendiculares KB, KC, NE, NF . Tirem-se também as retas HB, BC,

ME, EF. Como HK é perpendicular ao plano BAC, também o plano HBK, que

passa pela reta HK, será perpendicular (Pr. 18.11.) ao mesmo plano BAC. Mas

neste plano existe a reta AB, perpendicular a BK, que é a seção comum dos

planos BAC, HBK. Logo, será a reta AB (Def. 4.11.) perpendicular ao plano

HBK, e juntamente a tôdas as retas, que existindo no mesmo plano a tocarem

(Def. 3.11. ). Mas BH existe no plano HBK, e toca a reta AB. Logo, será AB

perpendicular a BH, e assim reto o ângulo ABH. Do mesmo modo deve ser reto

também o ângulo DEM, e por conseqüência ABH = DEM. Mas é HAB = MDE.

Logo, os dois triângulos HAB, MDE, havendo dois ângulos iguais a dois

ângulos, cada um a cada um, e sendo iguais entre si os lados HA, DM, e

opostos aos ângulos iguais HBA, MED; os demais lados serão iguais (Pr. 26.1.)

aos outros, cada um a cada um, segundo, ficam opostos a ângulos iguais, e

por consêqüência será AB = DE. Com a mesma demonstração, tiradas as retas

HC, MF, se prova ser AC = DF. Sendo pois AB = DE, e AC = DF, e também

sendo o ângulo BAC = EDF; será a base BC igual (Pr. 4.1.) à base EF, e o

ângulo ABC = DEF. Mas os ângulos ABK, DEN, por serem retos são iguais.

Logo, tirando de ABK o ângulo ABC, e do ângulo DEN tirando DEF, ficará CBK

= FEN. Pela mesma razão são iguais os ângulos BCK, EFN. Logo, nos

triângulos BCK; EFN há dois ângulos iguais a outros dois, cada um a cada um,

e o lado BC do, triângulo BCK igual ao lado EF do triângulo EFN, sendo êstes

lados adjacentes a ângulos iguais. Logo, serão os outros lados do primeiro

triângulo iguais (Pr. 26.1.) aos outros lados do segundo, cada um a cada um,

segundo ficam opostos a ângulos iguais, e por conseqüência será BK = EN.

Mas é AB = DE, e o ângulo reto ABK = DEN outro ângulo reto. Logo, será AK =

DN. Sendo pois AH = DM, será o quadrado da reta AR igual ao quadrado da

reta DM.

Mas os quadrados de AK e de KH (Pr. 47.1.) são iguais ao quadrado de

AH, por ser reto o ângulo AKH; e os quadrados de DN e de NM são iguais ao

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 154

EUCLIDES

quadrado de DM, porque é reto também o ângulo DNM. Logo, serão os

quadrados de AK, e KH iguais aos quadrados de DN, e de NM. Logo, tirando

dos primeiros o quadrado, de AK, e tirando dos segundos o quadrado de DN,

que é igual ao quadrado de AK, ficará o quadrado de KH igual ao quadrado de

NM; e assim será KH = NM. E como as duas HA, AK são iguais às duas MD,

DN, cada uma a cada uma, e temos provado ser a base HK igual à base MN,

será o ângulo HAK= MDN (Pr.8.1,).

COROL. Desta Proposição se infere que, s,e tivermos dois ângulos

planos iguais, e se dos vértices dêstes ângulos levantarmos duas retas

também iguais, que façam ângulos iguais com os lados dos ditos ângulos

planos, do modo que temos dito, as perpendiculares, que das extremidades

das retas levantadas caírem sôbre os planos dos ditos ângulos, serão também

iguais.

OUTRA DEMONSTRAÇÃO DESTE COROLARIO

Sejam iguais entre si os dois ângulos planos BAC, EDF (Fig. 47.), e

sendo também iguais as retas AH, DM; que dos vértices dos ângulos se

levantam sôbre os planos dêles, façam com os lados BA, AC, ED, DF os

ângulos HAB, MDE iguais, e os ângulos HAC, MDF também iguais. Dos pontos

H, M sejam conduzidas sôbre os planos BAC, EDF as perpendiculares HK, MN.

Digo que será HK =MN.

Visto ser formado o ângulo sólido, A pelos três ângulos planos BAC,

BAH, HAC, que, são iguais, cada um a cada um, aos três ângulos planos EDF,

EDM, MDF que fazem o ângulo sólido D; serão iguais entre si os ângulos

sólidos A, D, de maneira, que um dêles se poderá ajustar sôbre o outro

exatamente. Porque, sendo o ângulo plano BAC aplicado ao, ângulo plano EDF,

poderemos demonstrar, como já fizemos na Proposição B dêste Livro, que a

reta AH se deve ajustar com a reta DM, e sendo AH = DM, o ponto H deve cair

sôbre o ponto M. Do que depois se segue que a reta HK, perpendicular ao

plano BAC, virá a ser a mesma (Pr. 13.11.) que a reta MN, perpendicular ao

plano EDF, por se ajustarem entre, si também êstes planos. Fica pois evidente

ser HK = MN.

PROP. XXXVI. TEOR.

Se forem três linhas retas proporcionais, o sólido

paralelepípedo formado com estas três retas como lados, será

Igual ao sólido paralelepípedo eqüilátero, descrito sôbre a média

das ditas três proporcionais; sendo um ângulo sólido dêste

paralelepípedo formado por três ângulos planos iguais cada um a

cada um, aos três ângulos planos, que compreendem um ângulo

sólido do outro paralelepípedo (Fig. 48.).

Sejam as retas proporcionais A, B, C, isto é, seja A:B::B:C. Digo que o

sólido paralelepípedo formado pelas três retas A, B, C, como lados, é igual ao

sólido paralelepípedo eqüilátero descrito sôbre a média B, e ao mesmo tempo

eqüiângulo ao primeiro.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 155

EUCLIDES

Considere-se o ângulo sólido D formado pelos três ângulos planos EDF,

FDG, GDE; e posta cada uma das três retas ED, DF, DG igual à reta B,

complete-se o paralelepípedo DH. Tome-se LK = A, e faça-se no ponto K um

ângulo sólido (Pr. 26.11.) com os três ângulos planos LKM, MKN, NIKL, que

sejam iguais aos três EDF, FDG, GDE, cada um a cada um. Tome-se KN = B, e

KM = C, e complete-se o paralelepípedo KO. Sendo pois A:B::B:C, e sendo A

= LK, e B = DE = DF, e C = KM; será LK:ED::DF:KM. Logo, nos

paralelogramos LM, EF, sendo reciprocamente proporcionais os lados, que

formam ângulos iguais, serão os mesmos paralelogramos, LM, EF iguais (Pr.

14.6.). E como dos vértices dos ângulos planos e iguais EDF, LKM estão

levantadas as retas DG, KN também iguais, e que fazem com os lados ED, DF,

LK, KM ângulos respectivamente iguais; as retas, que dos pontos G, N forem

lançadas perpendicularmente sôbre os planos EDF, LKM, do mesmo modo

serão iguais (Cor. 35.11.), e por conseqüência serão igualmente altos os

sólidos KO, DH. Mas os sólidos paralelepípedos, que estão postos sôbre bases

iguais, e que têm alturas iguais, são entre si iguais (Pr.31.11.). Logo, o sólido

paralelepípedo KO, que tem três lados iguais às três retas proporcionais A, B,

C, é igual ao sólido paralelepípedo DH, que é eqüilátero, por ser cada um dos

lados dêle igual à reta média B, e que ao mesmo tempo é eqüiângulo ao sólido

do paralelepípedo KO.

PROP. XXXVII. TEOR.

Se forem quatro linhas retas proporcionais, os sólidos

paralelepípedos, semelhantes e semelhantemente descritos

sôbre elas, serão também proporcionais. E se os sólidos

paralelepípedos, semelhantes e semelhantemente descritos

sôbre quatro retas, forem proporcionais, também as retas serão

proporcionais. (Fig. 49.).

Sejam as quatro retas proporcionais AB, CD, EF, GR, isto é, seja

AB:CD::EF:GR. Estejam postos sôbre estas retas proporcionais os

paralelepípedos AK, CL, semelhantes e semelhantemente descritos; e do

mesmo modo os outros EM, GN. Digo que será o sólido AK para o sólido CL,

como o sólido EM é para o sólido GN.

Ponham-se as retas O, P, Q, R, de maneira que as quatro AB, CD, O, P,

como também as quatro EF, GR, Q, R, sejam continuamente proporcionais (Pr.

11.6.). Sendo pois pela hipótese, AB:CD::EF:GR; será também CD:O::GH:Q;

e O:P::Q:R (Pr. 11.5.). Logo, será por igual AB:P::EF:R (Pr. 22.5.). Mas é AB

para P, como o sólido AK para o sólido CL (Cor. 33.11.), e EF para R, como o

sólido EM para o sólido GN. Logo, será o sólido AK para o sólido CL, como o

sólido EM é para o sólido GN.

Suponhamos agora ser o sólido AK para o sólido CL, como o sólido EM é

para o sólido GN. Digo que será AB:CD::EF:GH.

Faça-se AB:CD::EF:ST, e sôbre a reta ST descreva-se (Pr. 27.11.) o

paralelepípedo SV, semelhante e semelhantemente pôsto a respeito do

paralelepípedo EM, ou GN. Como é AB:CD::EF:ST, e sôbre as retas AB, CD

estão feitos os paralelepípedos AK, CL, semelhantes e semelhantemente

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 156

EUCLIDES

ostos; e sôbre as retas EF, ST, os paralelepípedos EM, SV, também

semelhantes e semelhantemente postos, será AK:OL::EM:SV. Mas pela

suposição é também AK:CL::EM:GN. Logo, será o paralelepípedo GN igual (Pr.

9.5.) ao paralelepípedo SV. Mas êstes sólidos são semelhantes entre si, e

semelhantemente descritos. Logo, os planos, que formam os sólidos GN, SV,

devem ser semelhantes e iguais, e por conseqüência também iguais os lados

homólogos dêles GR, ST. Logo, sendo AB:CD::EF:ST e sendo ST = GH, será

finalmente AB:CD::EF:GH.

PROP. XXXVIII. TEOR.

Se fôr um plano perpendicular a outro plooo, e se de

qualquer ponto de um dos ditos planos fôr conduzida uma

linha reta perpendicular ao outro plano, estas reta cairá sôbre

a seção comum dêstes - planos (Fig. 50.).

Seja o plano CD perpendicular ao plano AB, e seja a reta a AD a seção

comum dos planos AB, CD. Do ponto E tomado, como quisermos, no plano CD,

considere-se tirada uma reta, que seja perpendicular ao plano AB. Digo que

esta reta deve cair sôbre a seção comum AD.

Se a dita perpendicular não fôr terminada na seção comum AD, cairá

fora dela, como a reta EF. Seja F o ponto, no qual a reta EF encontra o plano

AB. Do ponto F, no mesmo plano AB, tire-se a reta FG, perpendicular (Pr.

12.1.) a DA. Será a reta FG também perpendicular (Def. 4.11.) ao plano. CD.

Tire-se EG. Sendo a reta FG perpendicular ao plano CD, e a reta EG existente

nó mesmo plano CD, tocando a reta FG no ponto G, será reto (Def. 3.11.) o

ângulo FGE. Mas também é reto o ângulo EFG, porque se tem Suposto ser a

reta EF perpendicular ao plano AB. Logo, no triângulo EFG, há dois ângulos

retos, o que é absurdo. Logo, a perpendicular, que do ponto E fôr conduzida

sôbre o plano AB, não pode cair fora da seção comum AD, mas sim deve cair

sôbre ela.

PROP. XXXIX. TEOR.

Se, em um sólido paralelepípedo, os ladas de dois planos

opostos forem divididos em partes iguais, e pelas seções dêstes

lados se fizerem passar dois planos, a seção comum dêstes dois

planos, e o diâmetro do sólido paralelepípedo se cortarão

reciprocamente em partes iguais (Fig. 51.).

Sejam divididos em partes iguais os lados dos planos opostos CF, AH do

paralelepípedo AF, nos pontos K, L, M, N, X, O, R, P. Tirem-se as retas KL, MN,

OX, RP. Sendo as duas DK, CL iguais entre si e paralelas, serão também

paralelas (Pr. 33.1.) as duas KL, DC. Pela mesma razão, serão paralelas as

duas MN, BA. Mas BA é paralela a DC. Logo, sendo KL, BA paralelas ambas a

DC, ainda que existentes em diferentes planos, será KL paralela (Pr. 9.11.) a

BA. E, também, sendo KL, MN paralelas à mesma reta BA, e não existentes no

plano da reta BA, será KL paralela a MN, e por conseqüência as duas retas KL,

MN. existirão em um mesmo plano. Do mesmo modo se demonstra existirem,

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 157

EUCLIDES

no mesmo plano, as duas retas OX, RP. Seja pois a reta YS à seção comum

dos planos KN, XR e seja DG: o diâmetro do paralelepípedo AF. Digo que as

duas retas YS, DG se encontram, e se cortam -reciprocamente em partes

iguais.

Tirem-se as retas DY, YE, BS, SG. Sendo DX paralela a OE, os ângulos

alternos DXY, YOE serão iguais (Pr. 29.1:). E sendo DX = OE, e XY = YO, e o

ângulo DXY == YOE; será a base DY igual à base YE, e o ângulo XYD = OYE

(Pr. 4.1.), e assim será DYE uma só linha reta (Pr. 14.1,). Do mesmo modo se

provará, que BSG é uma só linha reta, e que BS é igual a SG. E como a reta

CA é igual e paralela a DB, e ao mesmo tempo igual e paralela a EG, será DB

igual (Pr. 9.11.) e paralela a EG. Mas entre as extremidades das retas iguais e

paralelas DB, EG, estão tiradas as outras DE, BG. Logo, também estas duas

DE,BG serão iguais, (Pr. 33.1.) entre si e paralelas, e por conseqüência as

retas DG, YS devem existir no mesmo plano, por estarem tiradas entre os

pontos D, G, Y, S das duas paralelas DE, BG. Logo, as retas DG, YS hão de se

encontrar em algum ponto. Encontrem-se pois no ponto. T. Sendo paralelas

entre si as duas retas DE, BG, os ângulos alternos EDT, BGT serão iguais. Mas

é DTY = GTS (Pr. 15.1.). Logo, nos triângulos DTY, GTS há dois ângulos iguais

a outros dois ângulos, cada um a cada um; e um lado igual a outro lado, isto

é, o lado DY igual ao lado GS, por ser DY a metade de DE, e GS a metade de

BG, e por ser DE = BG; e além disto os mesmos lados DY, GS ficam opostos a

ângulos iguais. Logo, os outros lados dos ditos triângulos serão entre si,.

respectivamente, iguais (Pr. 26.1.), e por conseqüência será DT = TG, e YT =

TS.

PROP. XL. TEOR.

Se forem dois prismas triangulares igualmente altos, e

um dêles estiver pôsto sôbre uma base paralelograma e outro

sôbre uma base triângular, sendo esta base a metade daquela,

os dois prismas serão iguais (Fig. 52.).

Sejam os dois prismas igualmente altos ACDEF, GHKLMN, dos quais o

primeiro é formado pelos dois triângulos ABE, CDF, e pelos três

paralelogramos AD, DE, EC; e o outro pelos dois triângulos GHK, LMN, e pelos

três paralelogramos LH, HN, NG. Seja o paralelogramo AF a base do primeiro;

e o triângulo GHK a base do segundo; e suponhamos ser o paralelogramo AF o

dôbro do triângulo GHK. Digo que prisma ABCDEF é igual ao prisma GHKLMN.

Completem-se os sólidos AX, GO. Sendo pois, pela suposição, o

paralelogramo AF o dôbro do triângulo GHK, e o paralelogramo HK também o

dôbro (Pr. 34.1.) do mesmo triângulo GHK; será o paralelogramo AF igual ao

paralelogramo HK. Mas os paralelepípedos postos sôbre as bases iguais, e

igualmente altos, são iguais (Pr. 31.11.). Logo, o paralelepípedo AX é igual ao

paralelepípedo GO. Mas o prisma ABCDEF é a metade do paralelepípedo AX, e

o prisma GHKLMN é a metade do paralelepípedo GO (Pr. 28.11.). Logo, o

prisma ABCDEF é igual ao prisma GHKLMN.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 158

LIVRO XII

EUCLIDES

LEMA I.

Necessário para a demonstração de algumas Proposições dêste Liyro.

Êste Lema é a Proposição I. do Livro X.

Postas duas grandezas desiguais, se da grandeza maior

se tirar mais da sua metade, e da grandeza que resta se tirar

também mais de metade, e isto se continuar sempre assim;

ficará finalmente uma grandeza, a. qual será mais pequena que

a grandeza menor das duas acima postas (Fig. 1.).

Sejam as duas grandezas desiguais AB, C, e seja AB a maior. Digo que,

se de AB se tirar mais de metade, e do que resta se tirar também mais de

metade, e isto se continuar sempre assim, ficará finalmente uma grandeza

menor que a grandeza C.

A grandeza menor C, tomada certo número de vêzes, poderá exceder a

grandeza maior AB. Tome-se pois, e seja DE uma grandeza multíplice de C, e

maior que a grandeza AB. Divida-se DE nas partes DF, FG, GE, sendo cada

uma destas igual a C. Tire-se da grandeza AB a parte BR maior do que a

metade de AB; do resto AH tire-se a parte HK, também maior dó que a

metade de AH; continue-se isto assim até que as divisões, que se vão fazendo

na grandeza AB, sejam outras tantas quantas são aquelas, que se têm feito na

grandeza DE. Seja pois o número das divisões AK, KH, HB igual ao número

das divisões DF, FG, GE. Sendo DE>AB, e tirando-se da grandeza DE a parte

GE, menor do que a metade da mesma DE; e tirando-se da grandeza AB a

parte BH, maior que a metade da mesma AB; o resto GD será maior que o

resto HA. Também, sendo GD>HA, se da grandeza GD fôr tirada a sua metade

GF, e se da grandeza HA fôr tirada a parte HK, maior do que a metade da

mesma HA, o resto FD será maior que o resto AK. Mas é FD = C. Logo, será

C>AK, e por conseqüência AK<C. Logo, da grandeza maior AB fica o resto AK,

menor que a grandeza mais pequena C.

PROP. I. TEOR.

Os polígonos semelhantes inscritos em círculos estão

entre si, como os quadrados dos diâmetros dos mesmos círculos

(Fig. 2.).

Sejam os círculos ABCDE, FGHKL, cujos diâmetros sejam as retas BM,

GN.Estejam inscritos nestes círculos os polígonos semelhantes ABCDE, FGHKL.

Digo que assim como o quadrado de BM é para o quadrado de GN, assim

também o polígono ABCDE é para o polígono FGHKL.

Tirem-se as retas BE, AM, GL, FN. Sendo semelhantes entre si os

polígonos ABCDE, FGHKL, será o ângulo B AE = GFL. (Def. 1.6.), e também

será BA:AE::GF:FL. Logo, os dois triângulos BAE, GFL têm um ângulo igual a

outro ângulo, isto é, o ângulo BAE = GFL; e têm proporcionais os lados, que

formam os ditos ângulos iguais. Logo, são eqüiângulos (Pr. 6.6.), e por

conseqüência deve ser o ângulo AEB = FLG. Mas também são iguais (Pr.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 160

EUCLIDES

21.3.) os ângulos AEB, AMB, porque ambos assentam sôbre o mesmo arco AB,

e pela mesma razão é FLG = FNG. Logo, será AMB = FNG. Mas o ângulo reto

BAM é igual ao reto GFN (Pr. 31. 3.). Logo, será também o terceiro ABM igual

ao terceiro GFN, e assim serão eqüiângulos os triângulos ABM, FGN. Logo,

deve ser BM:GN::BA:GF (Pr. 4.6.), e por conseqüência a razão duplicada da

de BM para GN é igual (Def. 10.5. e Pr. 22.5.) à duplicada da razão de BA para

GF. Mas a razão do quadrado de BM para o quadrado de GN é duplicada (Pr.

20.6.) da razão de BM para GN; e a razão do polígono ABCDE para o polígono

FGHKL é a duplicada da razão de BA para GF.

Logo, assim como o quadrado de BM é para o quadrado de GN, assim

também será o polígono ABCDE para o polígono FGHKL.

PROP. II. TEOR.

Os círculos estão entre si como os quadrados dos seus

diâmetros (Figs. 3, 4 e 5.).

Sejam os círcúlos ABCD, EFGH, cujos diâmetros sejam BD, FH. Digo

que assim como o quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim também o

círculo ABOD é para o círculo EFGH

∗

Suposto não ser assim, o quadrado de BD será para o .quadrado de FH,

como o círculo ABCD é para um espaço menor, ou maior que o círculo EFGH

Seja, primeiramente, para um espaço menor, e seja S êste espaço

(Figs. 3.4.). Inscreva-se, no círculo EFGH, o quadrado EFGH. Digo que êste

quadrado, inscrito no círculo EFGH, é maior que a metade do mesmo círculo

EFGH. Porque, se pelos pontos E, F, G, H, forem tiradas outras tantas

tangentes ao círculo, o quadrado inscrito EFGH virá a ser a metade (Pr. 41.1.)

do quadrado circunscrito ao mesmo círculo.

Mas o círculo é menor do que o quadrado circunscrito. Logo, o

quadrado EFGH é maior que a metade do círculo EFGH. Divida-se cada um dos

arcos EF, FG, GH, HE em partes iguais nos pontos K, L, M, N, e tirem-se as

retas EK, KF, FL, LG, GM, MH, HN, NE. Cada um dos triângulos EKF, FLG,

GMH, HNE será maior que a metade do segmento circular, em que fica

compreendido, porque, se pelos pontos K, L, M, N forem conduzidas ao círculo

outras tantas tangentes, e sôbre as retas EF, FG, GH, HE se completarem

outros tantos paralelogramos; cada um dos triângulos EKF, FLG, GMH, HNE,

será a metade do paralelogramo, que lhe corresponde. Mas cada segmento é

menor que o paralelogramo que lhe pertence. Logo, cada um dos triângulos

EKF, FLG, GMH, HNE é maior do que a metade do segmento circular em que

fica descrito. E divididos outra vez êstes arcos nas suas metades, e tiradas as



A razão disto é porque há de haver um quadrado igual ao circulo ABCD. Chamando P o lado

dêste quadrado, ê manifesto, que postas as três retas BD, FH, P, se lhes poderá achar a

quarta proporcional, à qual chamo Q. Logo, os quadrados feitos sôbre as retas BD, FH, P, Q,

serão também proporcionais, que ê o mesmo que dizer, que supostos os quadrados das retas

BD, FH, e suposto o circulo ABCD, poderá haver um espaço, que seja uma quarta grandeza

proporcional a respeito dos mesmos quadrados de BD, e de FH, e do círculo ABCD. Seja S esta

quarta grandeza proporcional. Do mesmo modo se hão de entender alguns lugares

semelhantes, que há nas proposições seguintes.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 161

EUCLIDES

cordas correspondentes, e continuando isto sempre assim; hão de restar

finalmente uns segmentos circulares, os quais tomados juntos hão de ser

menores que o excesso, em que o círculo EFGH excede o espaço S. Porque já

se tem demonstrado no Lema precedente que, postas duas grandezas

desiguais, Se da grandeza maior se tirar mais do que a sua metade, e do que

fica também se tirar mais do que a metade, e isto se continuar sempre assim;

por fim havemos de ter uma grandeza menor que a mesma grandeza mai~

pequena das duas propostas. Sejam pois os segmentos EK, KF, FL, LG, GM,

MH, HN, NE, os que ficam, de maneira que tomados juntos venham a ser

menores que o excesso, em que o círculo EFGH excede o espaço S. Logo, o

polígono EKFLGMHN, que resta, será maior que o espaço S. Inscreva-se no

círculo ABCD o polígono AXBOCPDR, semelhante ao polígono EKFLGMHN.

Logo, assim como o quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim também

o polígono AXBOCPDR será para o polígono EKFLGMHN (Pr. 1.12.). Mas assim

como o quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim o círculo ABCD é para

o espaço S. Logo, como o círculo ABCD é para o espaço S, assim o polígono

AXBOCPDR deve ser para o polígono EKFLGMHN (Pr. 11.5.). Mas o círculo

ABCD é maior que o polígono, a que o mesmo círculo é circunscrito. Logo,

também o espaço S deve ser maior (Pr. 14.5.) que o polígono EKFLGMHN. Mas

temos já demonstrado, que o espaço S é menor que o mesmo polígono

EKFLGMHN. Logo, o espaço S é maior e menor ao mesmo tempo que o

polígono EKFLGMHN, o que não é possível. Logo, é falso que assim como o

quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim também o círculo ABCD é

para um espaço menor que o círculo EFGH. Do mesmo modo se pode

demonstrar que assim como o quadrado de FH é para o quadrado de BD,

assim o círculo EFGH não pode ser para um espaço menor que o círculo ABCD.

Digo também que nem pode ser, que assim como o quadrado de BD é

para o quadrado de FH, assim também o círculo ABCD seja para um espaço

maior que o círculo EFGH (Figs. 3 e 5.). Se isto é possível, assim como o

quadrado de BD é para o quadrado de FH, seja também o círculo ABCD para o

espaço T, maior que o círculo EFGH. Invertendo, será o espaço T para o círculo

ABCD, como o quadrado de FH para o quadrado de BD. Mas também pode ser

o espaço

∗

para o círculo ABCD, como o círculo EFGH para outro espaço, que

será menor (Pr. 14.5.) que o círculo ABCD, visto ser o espaço T maior que o

círculo EFGH. Logo, assim como o quadrado de FH é para o quadrado de BD,

assim o círculo EFGH será para um espaço menor que o círculo ABCD; o que já

se tem demonstrado que é impossível. Logo, não pode ser que assim como o

quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim seja o círculo ABCD para um

espaço maior que o círculo EFGH. Mas também temos provado que, assim

como o quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim não pode ser o

círculo ABCD para um espaço menor que o círculo EFGH. Logo, assim como o

quadrado de BD é para o quadrado de FH, assim é o círculo ABCD para o



Porque temos demonstrado, na Nota precedente, que postos os quadrados das retas BD, FH,

e pôsto o círculo ABCD, pode haver um espaço, que foi marcado com a letra S, o qual seja a

quarta grandeza proporcional. Da mesma sorte, postos o espaço T, e os círculos ABCD,

EFGH,poderá haver um espaço, que seja a quarta grandeza proporcional.

ELEMENTOS DE GEOMETRIA 162

círculo

∗

EFGR Logo, os círculos estão entre si como os quadrados dos seus

diâmetros.

PROP. III. TEOR.

Tôda a pirâmide, que tem a base triangular, se divide em

duas pirâmides iguais, semelhantes entre si, e semelhantes à

pirâmide total, e com bases também triangulares; e mais em

dois prismas iguais, que tomados juntos são maiores que a

metade da pirâmide total (Fig. 6.).

Seja pirâmide ABCD, cuja base é o triângulo ABC, e o vértice o ponto

D: Digo que a pirâmide ABCD se divide em outras duas pirâmides iguais,

semelhantes entre si, e com bases triangulares, e também semelhantes à

pirâmide ABCD; e em dois prismas iguais, os quais tomados juntos são

maiores que a metade da pirâmide ABCD.

Divididos pelo meio os lados AB, BC, CA, AD, BD, DC nos pontos E, F,

G, R, K, L, tirem-se as retas EH, EG, GH, HK, KL, LH, EK, KF, FG. Sendo AE =

EB, e AH = HD, será RE paralela (Pr. 2.6.) a DB. Pela mesma razão HK é

paralela a AB. Logo, a figura HEBK é um paralelogramo, e assim é HK = EB

(Pr. 34.1.). Mas temos EB = AE. Logo, deve ser AE = HK. Mas é AH = HD, e

juntamente são iguais (Pr. 29,1.) os ângulos EAH, KHD. Logo, será EH = KD, e

o triângulo AEH igual (Pr. 4.1.) e semelhante ao triângulo HKD. Pela mesma

razão, também o triângulo AGH é igual e semelhante ao triângulo HLD. E

como as duas retas EH, HG, existentes em um plano e que se tocam, são

paralelas respectivamente às outras duas KD, DL, existentes em outro plano e

que também se tocam, os ângulos compreendidos por estas retas serão iguais

(Pr. 10.11.) entre si, isto é, será EHG = KDL. Também sendo as duas retas

EH, HG iguais às duas KD, DL, cada uma a cada uma, e sendo o ângulo EHG =

KDL; será a base EG igual a base KL, e o triângulo EHG igual (Pr. 4.1.) e

semelhante ao triângulo KDL. Do mesmo modo, o triângulo AEG deve ser igual

e semelhante ao triângulo HKL. Logo, a pirâmide, cuja base é o triângulo AEG,

e o vértice o ponto H, é igual (Pr. C .11.) e semelhante à pirâmide, cuja base é

o triângulo KHL, e o vértice o ponto D. E como no triângulo ADB está tirada a

reta HK, paralela ao lado AB, os triângulos ADB, HDK serão eqüiângulos, e

assim terão proporcionais (Pr. 4.6.) os lados, e por conseqüência serão

semelhantes. Pela mesma razão são semelhantes os triângulos ABC, DKL, e os

triângulos ADC, RDL, e também os triângulos ABC, AEG. Mas temos

demonstrado ser o triângulo AEG semelhante ao triângulo HKL. Logo, será

também o triângulo ABC semelhante (Pr. 21.6.) ao triângulo HKL. Logo, a

pirâmide, cuja base é o triângulo ABC, e o vértice o ponto D, é semelhante

(Pr. B .11., e Def. 11.11.) à pirâmide, cuja base é o triângulo HKL, e o vértice

o ponto D. Mas a pirâmide da base triangular HKL e do vértice D é semelhante



Porque, postos os quadrados das retas BD, FH, e o circulo ABCD, podendo haver um espaço

que seja a quarta grandeza proporcional, e não podendo ser êste espaço nem menor, nem

maior que o circulo EFGH, como já se tem demonstrado, segue-se que o mesmo espaço há de

ser igual ao circulo EFGH.

à pirâmide da base triangular AEG e do vértice R, como temos demonstrado.

Logo, a pirâmide da base triangular ABC e do vértice D é semelhante à

pirâmide da base triangular AEG e do vértice H. Logo, cada uma das pirâmides

AEGH, HKLD é semelhante à pirâmide total ABCD.

Sendo pois BF = FC, o paralelogramo EBFG será o dôbro (Pr. 41.1.) do

triângulo GFC. E como dois prismas são iguais entre si, quando, sendo

igualmente altos, a base paralelograma de um é o dôbro (Pr. 40.11.) da base

triângular do outro; o prisma, cuja base é o paralelogramo EBFG, e que tem o

lado KH oosto à mesma base EBFG, será igual ao prisma, cuja base é o

triângulo GFC, e o plano oposto o triângulo HKL, visto serem êstes prismas

igualmente altos, por estarem postos entre os planos paralelos (Pr. 15,11.)

ABC, HKL,

Também é manifesto que cada um dêstes dois prismas é maior que

cada uma das duas pirâmides, cujas bases são os triângulos AEG,. RKL, e os

vértices os pontos H, D. Porque, tirada a reta EF, o prisma da base

paralelograma EBFG, e do lado oposto KH é maior que a pirâmide da base

triangular EBF e do vértice K. Mas esta pirâmide é igual à outra, que tem por

base o triângulo AEG, e por vértice o ponto H, por serem ambas

compreendidas por planos iguais entre si e semelhantes. Logo, também o

prisma, cuja base é o paralelogramo EBFG, e o lado oposto a esta base a reta

HK, é maior que a pirâmide da base triangular AEG e do vértice H. Mas o

prisma, cuja base é o paralelogramo EBFG, e que tem o lado HK oposto a esta

base, é igual ao prisma cuja base é o triângulo GFC, e o plano oposto o

triângulo HKL; e a pirâmide da base triangular AEG e do vértice R é igual à

pirâmide da base triangular RKL e do vértice D. Logo, os ditos dois prismas

tomados juntos são maiores que as duas pirâmides,cujas bases são os

triângulos AEG, HKL, e os vértices os pontos H, D, também tomadas juntas.

Logo, a pirâmide total, que tem por base o triângulo ABC, e por vértice o

ponto D, está dividida em duas pirâmides iguais e semelhantes entre si, e

também semelhantes à pirâmide total; e mais em dois prismas iguais, os quais

tomados juntos são maiores que a metade da mesma pirâmide total.

PROP. IV.TEOR.

Dadas duas pirâmides de alturas iguais, e que tenham

bases triangulares, se cada uma delas fôr dividida em duas

outras pirâmides iguais entre si, e semelhantes à pirâmide total,

e mais em dois prismas também iguais, e se cada uma das

pirâmides assim feitas fôr dividida do mesmo modo, e isto se fôr

continuando sempre da mesma maneira; assim como a base de

uma pirâmide total é para a base da outra pirâmide total, assim

todos os prismas, compreendidos na primeira pirâmide total,

serão para todos os prismas compreendidos em número igual na

outra pirâmide total (Fig. 7.).

Sejam as duas pirâmides igualmente altas com as bases triangulares

ABC, DEF, e os vérticés G, H, cada uma das quais se considere dividida em

outras duas pirâmides iguais entre si, e semelhantes à pirâmide tota