EUCLIDES
Se as grandezas, que estão divididas, forem proporcionais,
também estando compostas, serão proporcionais (Figs. 24, 25 e
26.).
Sejam proporcionais as grandezas divididas AE, EB, CF, FD, isto é, seja
AE:EB::CF:FD. Digo que estas grandezas, sendo compostas, também serão
proporcionais, isto é, será AB:BE::CD:DF.
Tomem-se as grandezas GH, HK, LM, MN eqüimultíplices quaisquer de
AB, BE, CD, DF, e as outras KO, NP, eqiiimultíplices quaisquer de BE, DF.
Porque KO, NP, como também KH, NM são eqüimultíplices de BE, DF; se KO,
multíplice de BE, fôr maior, ou igual, ou menor que KH, multíplice da mesma
grandeza BE, também NP, multíplice de DF, será maior, ou igual, ou menor
que MP, multíplice da mesma DF.
Seja, primeiramente, KO não maior que KH (Fig. 24.). Será NP não maior
que NM. E porque GH, HK são eqüimultíplices de AB, BE, e é AB>BE, será
GH>KH (Ax. 3.5.). Mas KO não é maior que KH. Logo, será GH>KO. Do
mesmo modo se demonstra ser LM>NP. Logo, não sendo KO>KH, será GH
multíplice de AB sempre maior que KO, multíplice de BE, e também LM,
multíplice de CD, será maior que NP, multíplice de DE.
Mas seja KO>KH (Fig. 25.). Será, como temos demonstrado, NP>NM. E
porque a grandeza total GH é multíplice da total AB, como a parte HK é
multíplice da outra parte BE, tiradas estas partes será o resto GK multíplice
(Pr. 5.5.), do resto AE, como GH é multíplice de AB, ou como LM é multiplice
de CD. Do mesmo modo sendo LM multiplice dc CD, como a parte MN o é da
parte DF, o resto LN será multíplice do resto CF, como LM o é de CD. Mas
temos provado que LM, GK são eqüimultiplices de CD, AE. Logo, GK, LN são
eqüimultíplices de AE, CF. Sendo pois KO, NP eqüimultíplices de BE, DF,
também, sendo as partes KH, NM eqüimultíplices das mesmas grandezas BE,
DF, os restos HO, MP serão iguais, ou às grandezas BE, DF, ou eqüimultíplices
delas (Pr. 6.5.).
Sejam, em primeiro lugar, (Fig. 25.) HO, MP iguais, respectivamente, a
BE, DF. Sendo AE:EB::CF:FD, e sendo GK, LN equimultíplices do AE, CF, será
GK:EB::LN:FD (Cor. 4.5.). Mas temos HO = EB, MP = FD. Logo, será
GK:HO::LO:MP. Logo, se GK fôr maior, ou igual, ou menor qe HO, também LN
será maior (Pr. A. 5.), ou igual, ou menor que MP.
Mas sejam (Fig. 26.) HO, MP eqüimultíplices de EB, FD. Porque temos AE
:EB::CF:FD, e GK, LN são eqüimultíplices, de AE, CF, e HO, MP eqüimultíplices
de EB, FD; e se GK fôr maior, ou igual, ou menor que HO, também LN será
maior (Def. 5.5.), ou igual, ou menor que MP, o que temos demonstrado
também no caso precedente. Logo, se fôr GH>KO, tirando a parte comum KH,
será GH>HO, e por conseqüência LN>LP, e juntando a mesma grandeza NM,
será LM>NP. Logo, se fôr GH>KO, será LM>NP. Do mesmo modo se
demonstra, que sendo GH = KO, será LM = NP; e que sendo GH<KO, será
também LM<NP. Mas, quando KO não é maior que KH, temos visto que é
sempre GH>KO, e LM>NP, e GR, LM são grandezas eqüimultíplices quaisquer
de AB, CD; e KO, NP eqüimultíplices de BE, DF. Logo, será AB:BE::CD:DF
(Def. 5.5.).
ELEMENTOS DE GEOMETRIA 90