( PDF ) Cosmologia na teoria de Visser

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COSMOLOGIA NA TEORIA DE VISSER

M´arcio Eduardo da Silva Alves

Disserta¸c˜ao de Mestrado em Astrof´ısica,

orientada p elo Dr. Oswaldo Duarte Miranda e Dr. Jos´e Carlos Neves de Araujo.

INPE

S˜ao Jos´e dos Campos

Agosto, 2006

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XXX.XX.XX.XX(XX.XX)

ALVES, M. E. S.

Cosmologia na Teoria de Visser / M. E. S. Alves.

– S˜ao Jos´e dos Campos: INPE, Agosto, 2006.

XXp. – (INPE-XXXX-TDI/XXX).

1. Cosmologia. 2. Energia Escura. 3. Gr´avitons

Massivos. 4. Teoria Alternativa de Gravita¸c˜ao.

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Aprovada pela Banca Examinadora

em cumprimento a requisito exigido

para a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mes-

trado em Astrof´ısica.

Dr. Carlos Alexandre Wuensche de Souza

Presidente

Dr. Oswaldo Duarte Miranda

Orientador

Dr. Jos´e Carlos Neves de Araujo

Orientador

Dr. Jorge Ernesto Horvath

Membro da Banca

Candidato: M´arcio Eduardo da Silva Alves

S˜ao Jos´e dos Campos, 30 de Agosto de 2006.

Aos meus pais.

AGRADECIMENTOS

Agrade¸co aos meus pais, sem os quais jamais teria chegado onde cheguei.

Agrade¸co `a Dani, a pessoa mais maravilhosa e o cora¸c˜ao mais puro que j´a conheci, por

suportar minhas ausˆencias, pela paciˆencia, compreens˜ao, amor, apoio e al´em de tudo

isso, por me auxiliar em meu crescimento individual como ningu´em jamais havia feito.

Agrade¸co ao Oswaldo e Jos´e Carlos, pesquisadores brilhantes que al´em de professores e

orientadores, foram amigos com os quais sempre pude contar e que depositaram em mim

uma conﬁan¸ca fora do comum.

Agrade¸co ao C´esar, meu companheiro de sala, por sua grande amizade (praticamente

irmandade), pela pasciˆencia com que sempre atendeu todas as minhas d´uvidas (que n˜ao

foram poucas) e aos aux´ılios t´ecnicos que me forneceu in´umeras vezes.

Agrade¸co `a todos os amigos incr´ıveis que ﬁz em Rio Claro, os quais, atrav´es de nossas

conversas e discuss˜oes, possibilitaram n˜ao s´o minha inicia¸c˜ao no mundo do pensamento

cient´ıﬁco e ﬁlos´oﬁco, mas tamb´em me acolheram de tal forma que juntos, passamos a

formar uma verdadeira fam´ılia.

Agrade¸co ao Tiago e ao Lucas, que como meus amigos de infˆancia sempre estiverem

comigo em certo sentido.

Agrade¸co ao C´esar Lenzi e sua m˜ae, pela hospitalidade e amizade que me permitiu iniciar

uma nova vida em S˜ao Jos´e dos Campos.

Agrade¸co a todos os novos amigos que ﬁz na Divis˜ao de Astrof´ısica, pessoas fascinantes

que sempre me incentivaram e que me acolheram alegremente ao seu conv´ıvio.

Agrade¸co `a Marina, pelas diversas noites de estudo, nas quais compartilhamos tamb´em

nossas frustra¸c˜oes e realiza¸c˜oes (al´em de cachorro quente), ao F´abio, pelo incentivo e

incont´aveis caronas e `a Clara que, de certa forma, esteve conosco desde o in´ıcio da

jornada.

Agrade¸co ao Mauro, que apesar de ir al´em do que eu poderia ir, me deu incentivo para

continuar buscando a essˆencia de todas as coisas.

Agrade¸co `a Valdirene e `a Nilda, nossas secret´arias, pela simpatia e eﬁciˆencia fora do

comum com as quais sempre atenderam minhas solicita¸c˜oes.

Agrade¸co aos membros dessa banca, pela paciˆencia e aten¸c˜ao que prestaram ao meu

trabalho nesse momento de grande importˆancia em minha vida.

Agrade¸co a todas as pessoas que n˜ao foram mensionadas aqui, mas que, de alguma forma,

deram sua contribui¸c˜ao para este trabalho.

Agrade¸co `a CAPES, a agˆencia que ﬁnanciou esse projeto, sem a qual o trabalho seria

inviabilizado.

RESUMO

O advento da cosmologia observacional tem nos levado `a conclus˜ao de que apenas 4 %

do Universo ´e constitu´ıdo pela mat´eria conhecida (b´arions). Por outro lado 23 % corres-

pondem `a mat´eria escura n˜ao bariˆonica, enquanto o dom´ınio da dinˆamica c´osmica foi

legado `a, assim chamada, energia escura (geralmente considerada um tipo de ﬂuido),

correspondendo a 73 % da densidade de energia de todo o cosmos. Nos ´ultimos anos,

surgiram muitas propostas para tal ﬂuido, paralelamente desenvolvem-se teorias de gra-

vita¸c˜ao alternativas `a Relatividade Geral (RG) no intuito de nos levar a uma melhor

compreens˜ao das leis f´ısicas. No presente trabalho revisamos ﬂuidos que nos permitem

obter modelos com expans˜ao acelerada atrav´es da parametriza¸c˜ao de suas equa¸c˜oes de

estado, onde a constante cosmol´ogica ´e um caso particular. A seguir apresentamos as ba-

ses da teoria de gravita¸c˜ao de M. Visser, uma teoria alternativa que admite a hip´otese de

gr´avitons massivos em contraponto `a RG. Em sua teoria, Visser acrescenta uma m´etrica

de fundo n˜ao dinˆamica que entra na constru¸c˜ao do tensor respons´avel pela inser¸c˜ao da

massa do gr´aviton. No limite n˜ao relativ´ıstico, o potencial n˜ao ´e mais Newtoniano, mas

sim do tipo Yukawa. Estudos do movimento planet´ario no sistema solar, utilizando um

potencial desse tipo, nos levam ao limite m

< 10

−54

g. No regime radiativo, gr´avitons

massivos implicam na dispers˜ao das ondas gravitacionais e surgem estados de polariza¸c˜ao

adicionais que n˜ao encontramos na RG. Dessa forma, as futuras detec¸c˜oes da radia¸c˜ao

gravitacional constituem-se novos testes para a RG e teorias alternativas. Nossas an´ali-

ses nos mostram a possibilidade de impor limites para a massa do gr´aviton atrav´es do

modelo cosmol´ogico resultante dessa teoria bim´etrica que estejam em concordˆancia com

os dados observacionais. Mesmo com um gr´aviton com massa aparentemente desprez´ıvel,

nosso intuito ´e mostrar que a teoria pode nos levar a um modelo cosmol´ogico consistente

que explique os atuais dados observacionais sem a necessidade de energia (e talvez de

mat´eria) escura.

COSMOLOGY FROM THE VISSER’S THEORY

ABSTRACT

The advent of observational cosmology has led us to conclude that only 4 % of whole

Universe is composed by known matter (baryons). On the other hand 23 % comes from a

kind of non barionic dark matter. Moreover the cosmic dynamics is almost fully domina-

ted by the so called dark energy (usually considered a kind of ﬂuid), which corresponds

to 73 % of the energy density of the cosmos. In the last years, a lot of proposals ari-

ses in order to explain such a ﬂuid, while many alternative gravitational theories have

been developed aiming to lead us to know more about the physics laws. In this work we

review a parametric equation of state of such ﬂuids, which imply on models with acce-

lerated expansion where the cosmological constant is a particular case. We then present

the gravitational theory proposed by M. Visser. Such alternative theory assumes that

the graviton is massive. In his theory, Visser uses a non-dynamic background metric in

order to construct a tensor, which is necessary to take in account a massive graviton. In

the non-relativistic limit, the potential is non-Newtonian, it is instead Yukawian. Some

studies about orbital motions in the solar system (using this kind of potential) give an

upper limit to the graviton mass of m

< 10

−54

g. Under the radiative regime, massive

gravitons produce dispersive gravitational waves and introduce new polarization states

which are not found in the GR. So, future detections of gravitational radiation will oﬀer

new tests to GR and to the alternative theories of gravity. In particular, our results show

the possibility to constrain the graviton mass through a cosmological model that results

from this bimetric theory. Although the graviton has an apparently negligible mass, our

aim is to show that the theory may lead us to a consistent cosmological model, which

explains the current observational data without dark energy (and maybe without dark

matter).

Perceber o quanto somos pequenos pode ajudar a nos libertar da arrogˆancia, o pecado

que persegue os cientistas.

(Freeman Dyson)

SUM

ARIO

P´ag.

LISTA DE FIGURAS

CAP

ITULO 1 – INTRODU ¸C

AO 17

CAP

ITULO 2 – O ANTIGO E O NOVO CEN

ARIO COSMOL

OGICO 23

2.1. Uma Pequena Revis˜ao da Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. O modelo FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. O Universo Acelerado e a Constante Cosmol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4. Parametrizando a Energia Escura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5. O que ´e a Energia Escura? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

CAP

ITULO 3 – TEORIA DE GRAVITA ¸C

AO E GR

AVITONS MAS-

SIVOS 37

3.1. Massa para o Gr´aviton? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. A aproxima¸c˜ao linear e o termo de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Equa¸c˜oes de movimento no limite n˜ao relativ´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4. A Teoria de Gravita¸c˜ao de Visser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5. Sobre a Escolha de Uma M´etrica de Fundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.6. Sobre as Equa¸c˜oes de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

CAP

ITULO 4 – IMPLICA ¸C

OES COSMOL

OGICAS DA TEORIA DE

VISSER 51

4.1. Sobre as Densidades de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2. Da Dinˆamica do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. O Universo Observ´avel e a Massa do Gr´aviton . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4. A Idade do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5. O Passado e o Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6. Universo Acelerado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CAP

ITULO 5 – TESTANDO O MODELO 67

5.1. O Redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2. Uma Deﬁni¸c˜ao Cosmol´ogica de Distˆancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3. A Distˆancia de Luminosidade e a Massa do Gr´aviton . . . . . . . . . . . . . 71

5.4. As Supernovas Tipo Ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

CAP

ITULO 6 – CONCLUS

AO 81

REFER

ENCIAS BIBLIOGR

AFICAS 85

LISTA DE FIGURAS

P´ag.

2.1 Evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade no modelo ΛCDM. . . . . . . . . . . 31

2.2 Evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao no modelo XCDM. . . . . . . . . . 33

2.3 Evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble no modelo XCDM. . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Rela¸c˜ao entre a idade do Unvierso e o parˆametro de estado ω

. . . . . . . . 35

3.1 Decaimento orbital do pulsar bin´ario PSR B1913+16 . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Os seis modos de polariza¸c˜ao de ondas gravitacionais permitidos em qualquer

teoria m´etrica de gravita¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade no modelo massivo. . . . . . . . . . . 54

4.2 Rela¸c˜ao dentre a idade do Universo e a massa do gr´aviton. . . . . . . . . . . 59

4.3 Evolu¸c˜ao do fator de escala normalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Rela¸c˜ao entre o tempo de vida do Universo com a massa do gr´aviton. . . . . 61

4.5 Evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble no modelo massivo para diferentes valores

de Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 Evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble para diferentes valores de m

. . . . . . . . 63

4.7 Evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao no modelo massivo para diferentes

valores de Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.8 Evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao para diferentes valores de m

. . . . 65

4.9 Rela¸c˜ao entre o valor atual do parˆametro de desacelera¸c˜ao, a massa do gr´a-

viton e Ω

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1 Deﬁnindo distˆancia de luminosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Distˆancia de luminosidade para o modelo massivo, ΛCDM, mat´eria dominante

e de Sitter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Distˆancia de luminosidade para diferentes combina¸c˜oes dos parˆametros Ω

comparadas com o modelo ΛCDM

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4 Compara¸c˜ao entre as distˆancias de luminosidade calculadas no modelo mas-

sivo e no modelo ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5 Compara¸c˜ao espectral entre duas supernovas tipo Ia em diferentes redshifts . 76

5.6 Melhor ajuste dos dados das Supernovas Ia com o m´odulo de distˆancia no

modelo Λ-CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.7 Compara¸c˜ao dos dados das Sup ernovas Ia com o m´odulo de distˆancia no

modelo massivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

CAP

ITULO 1

INTRODU ¸C

O passado sempre inﬂuencia o presente. Quando olhamos para o c´eu noturno, o que

vemos s˜ao estrelas que, muitas vezes, sequer existem mais. Isso se deve a um simples,

por´em fundamental, princ´ıpio. A informa¸c˜ao tem velocidade ﬁnita de propaga¸c˜ao. E a

m´axima velocidade permitida pela natureza ´e c, a velocidade da luz. Ent˜ao, a luz das

estrelas que vemos hoje as deixaram h´a muito tempo atr´as.

Mas o mais curioso ´e que essa velocidade m´axima ´e a mesma para qualquer observador!

Quer eles estejam em movimento relativo ou n˜ao. Isto implica, entre outras coisas, que

a velo cidade da luz ´e a mesma em qualquer referencial. Esse ´e o alicerce da relatividade

restrita publicada por Einstein em 1905.

Por que a relatividade restrita ´e restrita? Porque ela n˜ao leva em conta a a¸c˜ao de cam-

pos gravitacionais, sendo v´alida apenas para os casos nos quais eles n˜ao s˜ao relevantes.

Como construir uma teoria que leve em conta a gravidade e a velocidade m´axima de

informa¸c˜ao? Einstein deu a resposta 10 anos depois.

Uma das quest˜oes mais fundamentais para a constru¸c˜ao de uma teoria geral da relati-

vidade ´e: o que sentir´ıamos se estiv´essemos, por exemplo, num elevador em queda livre

sob a a¸c˜ao de um camp o gravitacional uniforme? A resposta ´e nada. Um observador

em queda livre n˜ao sente a a¸c˜ao do campo gravitacional que age sobre ele. Ent˜ao, n˜ao

existir˜ao experimento locais que permitam esse observador disting

uir-se de outro que n˜ao

sofra a a¸c˜ao de campos gravitacionais. Os dois s˜ao equivalentes. E aqui se inicia toda a

jornada intelectual que levou Einstein `a cria¸c˜ao de uma teoria relativ´ıstica de gravita¸c˜ao

descrita numa linguagem geom´etrica.

Ap´os a relatividade geral (doravante denominada RG) a cosmologia nunca mais foi a

mesma.

O pr´oprio Einstein iniciou o estudo do Universo em grandes escalas atrav´es de suas equa-

¸c˜oes de campo. Mas ele tinha uma cren¸ca, o Universo deveria ser est´atico. As equa¸c˜oes de

campo n˜ao diziam isso, elas eram despidas de consistˆencia f´ısica quando o Universo es-

t´atico era assumido a priori. Para tornar seu modelo condizente com sua vis˜ao, Einstein

adicionou uma constante em suas equa¸c˜oes de campo, uma nova constante da natureza

segundo ele, que n˜ao abalava nenhum fundamento da teoria. Esta era a constante cos-

mol´ogica, que tornava o Universo est´atico, com curvatura positiva e portanto ﬁnito.

Alguns anos depois, Edwin Hubble revolucionava a cosmologia por outra via: a observa-

cional. Hubble foi capaz, pela primeira vez, de medir grandes distˆancias com consider´avel

precis˜ao. Conﬁrmou que as supostas nebulosas estavam, na realidade, fora de nossa ga-

l´axia e mais, eram gal´axias semelhantes `a nossa. Al´em disso, descobriu que as linhas

espectrais desses objetos estavam deslocadas para o vermelho. A magnitude desses des-

locamentos s´o podia ser explicada se essas gal´axias estivessem se afastando da nossa.

Estava descoberta a expans˜ao do Universo.

Ap´os esse fato, Einstein recomendou que a constante cosmol´ogica fosse retirada de suas

equa¸c˜oes de campo, pois ela j´a n˜ao fazia mais sentido.

A busca, agora, era por encontrar o modelo cosmol´ogico mais adequado que explicasse a

expans˜ao, origem e destino do Universo. E a RG era a melhor alternativa para se fazer

isso, pois era a teoria de gravita¸c˜ao que fornecia os resultados mais condizentes com as

observa¸c˜oes, como as medidas de desvio da luz por corpos massivos, o avan¸co do perih´elio

de Merc´urio, o redshift gravitacional entre outros testes que, cada vez mais precisos, tˆem

consolidado, at´e os dias de hoje, o sucesso da RG perante outras teorias de gravita¸c˜ao.

Nesse contexto, desenvolveu-se um modelo simples, considerado o mais adequado. Era o

modelo de Alexander Friedmann, o qual associava a evolu¸c˜ao da expans˜ao com a curva-

tura espacial. Em seu modelo, n˜ao importando a curvatura, a expans˜ao sempre se daria

de forma desacelerada.

Dando um salto na hist´oria, em 1965 Arno Penzias e Robert W. Wilson dos laborat´orios

da Bell Telephone, uma empresa de telecomunica¸c˜oes de Nova Jersey, estavam traba-

lhando num radiˆometro. Havia um ru´ıdo em seus equipamentos que eles n˜ao podiam

identiﬁcar a origem. Esse ru´ıdo correspondia a uma temperatura de aproximadamente

3 K. N˜ao muito longe dali, Robert Dicke, Jim Peebles e David Wilkinson estavam pla-

nejando medir o fundo de radia¸c˜ao em microondas conforme havia sido previsto por

Gamow e colaboradores no ﬁnal dos anos 1940. Se o Universo est´a em expans˜ao, no

passado a densidade e a temperatura s˜ao maiores. Em alguma ´epoca, mat´eria e radia-

¸c˜ao estavam acopladas em equil´ıbrio t´ermico. Com a expans˜ao, num dado momento, a

radia¸c˜ao desacopla da mat´eria e espalha-se livremente. A radia¸c˜ao c´osmica de fundo ´e

o res´ıduo desta ´epoca, e o modelo de Friedmann estava de acordo com essa id´eia. Em

1978, Penzias e Wilson s˜ao agraciados com o Prˆemio Nob el pela descoberta da radia¸c˜ao

c´osmica de fundo em microondas (RCF).

Para evitar a absor¸c˜ao atmosf´erica, a melhor maneira de se medir a CMB ´e atrav´es de

sat´elites. Com esse intuito, em 1989, a agˆencia espacial americana (NASA) colocou em

´orbita o sat´elite COBE (Cosmic Background Explorer ). Em 1992, um grupo de cien-

tistas americanos anunciou que haviam sido encontradas as sementes primordiais das

estruturas de mat´eria, as anisotropias na CMB haviam sido identiﬁcadas nos dados do

COBE. Com os dados do COBE mostrou-se que a CMB era a uma radia¸c˜ao de corpo

negro de 2,726 K. Veriﬁcou tamb´em que essas anisotropias correspondem a desvios na

temperatura de ∆T/T  10

−5

[1].

O estudo da CMB tornou-se uma nova e rica ´area dentro da cosmologia. Em 2001, o su-

cessor do sat´elite COBE foi lan¸cado, em homenagem a David Wilkinson ele foi nomeado

WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe). Sua alta resolu¸c˜ao angular permitiu

medir com precis˜ao as anisotropias na CMB, obtendo novos e interessantes resultados.

Confrontando as medidas do sat´elite WMAP com o modelo cosmol´ogico de Friedmann,

conﬁrmou-se que o Universo ´e, com boa aproxima¸c˜ao, plano. Resultado esse que j´a havia

sido encontrado por experimentos precedentes. Al´em disso, a mat´eria total do Universo

deve corresponder a cerca de 27 %, enquanto a mat´eria bariˆonica que comp˜oe tudo o que

conhecemos corresponde a apenas 4 %! Os 23 % de diferen¸ca devem corresponder a um

tipo de mat´eria desconhecida que tem sido chamada de mat´eria escura. Mas e os 73 %

restantes da energia do Universo? A partir do modelo de Friedmann s´o h´a uma forma de

responder a essa pergunta, ´e necess´ario acrescentar um ﬂuido nas equa¸c˜oes dinˆamicas. A

maneira mais simples de se fazer isso ´e “ressuscitar” a constante cosmol´ogica, a mesma

repudiada por Einstein, por´em sem a premissa de um Universo est´atico.

Mas essa n˜ao era a ´unica evidˆencia da existˆencia de um ﬂuido adicional. Em 1999 grupos

de astrof´ısicos interessados em testar as teorias cosmol´ogicas tinham observado a reces-

s˜ao de Supernovas do Tipo Ia [2] que, por serem eventos que apresentam luminosidade

intr´ınseca aproximadamente uniforme, nos fornecem um padr˜ao de luminosidade permi-

tindo assim a obten¸c˜ao de medidas diretas da expans˜ao do Universo, constituindo uma

´otima forma de testar nossos modelos cosmol´ogicos. Quando observadas a alto redshift

trouxeram a tona a informa¸c˜ao de que o Universo expande-se aceleradamente no tempo

presente. E para explicar esse efeito, o modelo mais adequado, surpreendemente, era o

mesmo que emergiria dos dados do WMAP alguns anos depois.

Um novo e revolucion´ario cen´ario cosmol´ogico tomou lugar no meio cient´ıﬁco, o modelo

ΛCDM, ou seja, um modelo com constante cosmol´ogica e mat´eria escura fria.

Por´em, se a constante cosmol´ogica for uma realidade, ela deve estar associada `a energia

do v´acuo e portanto deve ser poss´ıvel estimar seu valor no contexto da mecˆanica quˆan-

tica. No entanto, o c´alculo nos leva a uma discrepˆancia de 120 ordens de grandeza maior

do que o valor observado. Algo inaceit´avel no que diz respeito `a consistˆencia das leis

f´ısicas.

Desde a constata¸c˜ao de um Universo em expans˜ao acelerada muitas tˆem sido as sugest˜oes

para candidatos `a “Energia Escura”, como tem sido denominado esse ﬂuido desconhecido.

Al´em da constante cosmol´ogica, que apresenta densidade de energia constante ao longo

do tempo, surgiram propostas de ﬂuidos com diferentes equa¸c˜oes de estado e dos mais

variados comportamentos. Um dos candidatos muito explorados pela literatura ´e o G´as

de Chapligyn [3], um ﬂu´ıdo que apresenta uma equa¸c˜ao de estado ex´otica que implica

num comportamento dual, numa fase da evolu¸c˜ao do Universo o ﬂuido se comporta como

mat´eria escura e em outra como energia escura. Outra possibilidade ´e um v´acuo dinˆamico

ou quintessˆencia [4, 5].

De qualquer forma, a energia e a mat´eria escura s˜ao problemas abertos. N˜ao h´a, at´e o

momento, um modelo completo e satisfat´orio capaz de dar conta de todos os observ´aveis

cosmol´ogicos e, ao mesmo tempo, possuir a consistˆencia f´ısica requerida.

Todos esses fatos podem nos sucitar uma quest˜ao: a RG ´e, realmente, a teoria f´ısica que

melhor descreve os efeitos da gravidade? E se existir uma teoria que dˆe conta de todos

os testes da RG, mas que apresente diferen¸cas signiﬁcativas em grandes escalas?

Estas, sem d´uvida, s˜ao quest˜oes que n˜ao po dem ser ignoradas.

Por exemplo, a teoria de Einstein admite que o campo gravitacional possui alcance in-

ﬁnito. Ser´a uma premissa verdadeira? Se o campo gravitacional possuir longo, por´em

ﬁnito, alcance o que mudaria na RG? Uma forma de restringir o alcance da intera¸c˜ao

gravitacional ´e considerar que o campo seja massivo. Numa linguagem de f´ısica de part´ı-

culas, signiﬁca dizer que o b´oson (p´articula de intera¸c˜ao fundamental) respons´avel pela

intera¸c˜ao gravitacional tenha massa de repouso n˜ao nula, assim como nas intera¸c˜oes nu-

cleares. Chamemos esse b´oson de gr´aviton.

Assim, no limite n˜ao relativ´ıstico, o potencial n˜ao seria mais Newtoniano, mas sim do

tipo Yukawa que descreve intera¸c˜oes de alcance ﬁnito. O alcance da intera¸c˜ao ´e inver-

samente proporcional `a massa do gr´aviton. Mas qu˜ao pequena deveria ser a massa do

gr´aviton para que essa nova gravita¸c˜ao descreva, por exemplo, os movimentos dos pla-

netas no sistema solar t˜ao bem quanto a teoria Newtoniana? Estes estudos existem,

observando pequenas varia¸c˜oes na terceira lei de Kepler, aplicadas para as ´orbitas dos

planetas no sistema Solar, foi encontrado o seguinte limite superior para a massa do

gr´aviton m

< 10

−54

g [

6].

Bem (algu´em poderia pensar), ent˜ao uma massa dessa ordem n˜ao deveria fazer qualquer

diferen¸ca para o estudo do Universo como um todo. Esse ponto demanda s´eria aten¸c˜ao,

e essa aﬁrma¸c˜ao pode n˜ao ser correta. Lembremo-nos que estamos falando de escalas da

ordem do tamanho do sistema solar e da teoria n˜ao relativ´ıstica. Quando consideramos

grandes escalas, a ﬁnitude da intera¸c˜ao poder´a implicar em diferen¸cas consider´aveis, que

ser˜ao mensur´aveis desde que o alcance seja inferior `a distˆancia do horizonte observ´avel.

Ent˜ao, o que precisamos ´e de uma teoria relativ´ıstica de gravita¸c˜ao com gr´avitons massi-

vos. A constru¸c˜ao de tal teoria ´e um trabalho n˜ao trivial. Em 1998 Matt Visser publicou

um trabalho [7] lan¸cando nova luz a esse problema. O que Visser fez, de forma simplista,

foi acrecentar uma geometria deﬁnida a priori como alternativa para o acr´escimo de um

termo massivo nas equa¸c˜oes de campo. Isso torna a teoria n˜ao Einsteniana, pois a RG

n˜ao necessita de nenhuma geometria “especial” para sua constru¸c˜ao. Mas, por outro lado,

a teoria respeita outros princ´ıpios b´asicos “canonizados” por Einstein como, por exemplo,

o princ´ıpio da equivalˆencia e o princ´ıpio da covariˆancia geral. Al´em disso, aparentemente

recupera todos os resultados da RG para gr´avitons com massa suﬁcientemente pequenas.

Mas, como saber se tal teoria ´e a mais adequada se passar por todos os testes que a RG

passa?

A resposta para essa quest˜ao provavelmente est´a num futuro n˜ao muito distante. A RG

prevˆe que objetos massivos emitem ondas gravitacionais, deforma¸c˜oes do espa¸co tempo

que propagam-se `a velocidade da luz. Se esses objetos forem de alta massa (sistemas

estelares bin´arios ou buracos negros, por exemplo), as amplitudes dessas ondas podem,

em princ´ıpio, ser medidas em nosso planeta. H´a diversos trabalhos pelo mundo, que tem

esse objetivo. Existem detectores de base terrestre como LIGO e VIRGO, detectores

de massa ressonante como o brasileiro Mario Schenberg e at´e projetos desaﬁadores de

detectores espaciais como o LISA. A detec¸c˜ao da radia¸c˜ao gravitacional, al´em de abrir

uma nova janela para a compreens˜ao do cosmos, nos permitir´a submeter a RG, e as

teorias alternativas de gravita¸c˜ao, a testes no regime radiativo, os quais nos dar˜ao pistas

decisivas na busca dos melhores modelos de gravita¸c˜ao como, por exemplo, informa¸c˜oes

a respeito dos estados de polariza¸c˜ao das ondas gravitacionais e de sua velocidade de

propaga¸c˜ao.

Se o gr´aviton possuir massa, diversas caracter´ısticas das ondas gravitacionais ser˜ao dis-

tintas do modelo previsto pela RG como, por exemplo, velocidade de propaga¸c˜ao (a

velocidade seria menor do que c no modelo massivo), dispers˜ao das ondas gravitacionais

e n´umero dos estados de polariza¸c˜ao.

No presente trabalho, propomos um primeiro teste para a teoria de Visser, o teste cos-

mol´ogico. Poder´a a teoria de Visser explicar a expans˜ao acelerada sem a necessidade da

energia (e talvez, da mat´eria) escura? Como veremos no decorrer do trabalho, a resposta

para essa quest˜ao nos reserva algumas surpresas.

O plano do presente trabalho ´e o seguinte:

• No cap´ıtulo 2, ap´os uma breve revis˜ao da relatividade geral, exploramos os

conceitos b´asicos do modelo Friedmann-Robertson-Walker padr˜ao, discutimos

equa¸c˜oes de estado de diferentes tipos de ﬂuidos alternativos `a energia escura

e, atrav´es da an´alise do parˆametro de desacelera¸c˜ao, mostramos como podem

produzir expans˜ao acelerada;

• No cap´ıtulo 3 apresentamos a hip´otese de massa para o gr´aviton, mostramos

como ela se aplica na teoria linearizada da RG a partir do qual recuperamos

um potencial do tipo Yukawa no limite n˜ao relativ´ıstico. Extrap olando para

campos fortes mostramos como a teoria de Visser ´e constru´ıda a partir da

inclus˜ao de uma m´etrica de fundo n˜ao dinˆamica, mostramos ainda como as

equa¸c˜oes de Visser mantˆem inalteradas as equa¸c˜oes de movimento e adotamos

um crit´erio de simplicidade na escolha da m´etrica de fundo;

• No cap´ıtulo 4 calculamos as equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao das densidades de energia

cosmol´ogicas para enﬁm obter uma descri¸c˜ao da dinˆamica do Universo. Mos-

tramos ainda como ´e poss´ıvel estabelecer limites para a massa do gr´aviton

atrav´es do modelo cosmol´ogico e discutimos a possibilidade de uma expan-

s˜ao acelerada como um resultado natural do modelo resultante da teoria de

Visser;

• No cap´ıtulo 5 derivamos as express˜oes anal´ıticas para a distˆancia de luminosi-

dade em fun¸c˜ao do redshift, para ent˜ao compararmos os resultados obtidos do

modelo massivo com os dados de Sup ernovas tipo Ia existentes na literatura;

• Finalmente, no ´ultimo cap´ıtulo, apresentamos nossas discuss˜oes e conclus˜oes

a respeito do trabalho.

CAP

ITULO 2

O ANTIGO E O NOVO CEN

ARIO COSMOL

OGICO

2.1 Uma Pequena Revis˜ao da Relatividade Geral

As equa¸c˜oes de campo para a gravita¸c˜ao ser˜ao inevitavelmente mais complicadas do que

as do eletromagnetismo. As equa¸c˜oes de Maxwell s˜ao lineares porque o campo eletro-

magn´etico por ele mesmo n˜ao carrega carga, de outra forma, os campos gravitacionais

carregam energia e momentum e devem, portanto, contribuir para sua pr´opria fonte.

Assim, as equa¸c˜oes de campo gravitacional dever˜ao ser equa¸c˜oes diferenciais parciais n˜ao

lineares, a n˜ao linearidade representa o efeito da gravita¸c˜ao sobre ela mesma.

A relatividade geral (RG) descreve a gravita¸c˜ao como geometria. Qualquer geometria

suave ´e localmente plana, e na RG isto signiﬁca que ela ´e localmente Minkowskiana.

Quando dizemos local estamos nos referindo ao espa¸co-tempo. O sistema de referˆencia

de Minkowski ´e um observador em queda livre. Nesse sistema de referˆencia um elemento

de linha do espa¸co-tempo ´e dado por

= η

µν

, (2.1)

onde η denota a matriz diag(1, −1, −1, −1), os ´ındices repetidos indicam a soma de 0 a 3

e os diferenciais das coordenadas s˜ao denotadas da seguinte forma: dx

= cdt, dx

= dx,

= dy e dx

= dz em coordenadas cartesianas.

Num sistema geral de coordenadas o elemento de linha de Minkowski ´e trocado por

= g

µν

, (2.2)

onde g ´e uma matriz sim´etrica 4 × 4 que ´e fun¸c˜ao das coordenadas. Assim como na

relatividade especial, a m´etrica mede tempo pr´oprio e distˆancia pr´opria. As coordenadas

s˜ao arbitr´arias na RG, mas em muitas situa¸c˜oes a an´alise ´e facilitada com a escolha

apropriada das coordenadas.

Uma part´ıcula livre segue uma geod´esica desta m´etrica, deﬁnida como uma linha de

mundo localmente reta.

A descri¸c˜ao tensorial da geometria ´e feita atrav´es do tensor curvatura de Riemann, que

cont´em derivadas segundas da m´etrica. Ele ´e dado por:

µνκ

= ∂

µκ

− ∂

µν

+ Γ

µκ

σν

− Γ

µν

σκ

, (2.3)

onde Γ ´e a conex˜ao m´etrica que relaciona-se com a m´etrica por:

µν

λκ

(∂

κν

+ ∂

κµ

− ∂

µν

) . (2.4)

Se a m´etrica ´e Minkowski, Γ

µν

= 0 e portanto R

µνκ

= 0.

De particular interesse, podemos construir o tensor de Einstein a partir do tensor de

Riemann:

µν

= R

µν

−

µν

R, (2.5)

onde R

µν

= g

σκ

λσ

µκν

e R = g

µν

. O tensor de Einstein ´e a base das equa¸c˜oes de

campo.

Em resumo, uma teoria de gravita¸c˜ao ´e Einsteniana se [8]:

a) for uma teoria m´etrica (grosso modo: satisfaz o princ´ıpio da eq

uivalˆencia);

b) as equa¸c˜oes de campo forem lineares na segunda derivada da m´etrica;

c) n˜ao tiver derivadas de ordem mais alta nas equa¸c˜oes de campo;

d) satisfaz o limite Newtoniano para camp os fracos;

e) e, n˜ao depende de qualquer geometria a priori.

Respeitando todos esses itens, as equa¸c˜oes de campo da RG tal qual derivadas por Eins-

tein s˜ao [9, 10]:

µν

= −

8πG

µν

, (2.6)

onde T

µν

´e o tensor energia-momentum cujas componentes contˆem a densidade de energia,

densidade de momento e press˜ao da fonte do campo. Na RG, momento e press˜ao assim

como densidade de energia geram gravidade. O tensor de Einstein ´e livre de divergˆencia

para qualquer m´etrica:

∇

µν

= 0. (2.7)

Esta ´e a chamada identidade de Bianchi. Ela implica, das equa¸c˜oes de campo, que

∇

µν

= 0, (2.8)

que ´e a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao de energia e momentum nas fontes materiais.

No limite n˜ao relativ´ıstico as equa¸c˜oes de campo (2.6) recuperam a equa¸c˜ao de Poisson:

∇

φ = 4πGρ. (2.9)

Uma vez que a auxˆencia da gravidade deixa o espa¸co plano, um campo gravitacional

fraco ´e aquele no qual o espa¸co-temp o ´e aproximadamente plano. A m´etrica, nesse caso,

pode ser representada por:

= (η

µν

)dx

, |h

µν

|. (2.10)

Deﬁnindo o tensor chamado tra¸co-reverso:

µν

≡ h

µν

−

µν

h, (2.11)

e adotando o calibre de Lorentz:

∂

µν

= 0, (2.12)

as equa¸c˜oes de Einstein tornam-se simplesmente um conjunto de equa¸c˜oes de onda de-

sacopladas[11, 12]:



µν

= −

16πG

µν

. (2.13)

A solu¸c˜ao para essas equa¸c˜oes no v´acuo s˜ao as ondas planas:

µν

= A

µν

exp(2πik

), (2.14)

para amplitudes constantes A

µν

e vetor de onda k

. As equa¸c˜oes de Einstein implicam

que o vetor de onda ´e um vetor nulo k

= 0[

13], o que signiﬁca que a onda se propaga

`a velocidade da luz, e a condi¸c˜ao de calibre implica que a amplitude e o vetor de onda

s˜ao ortogonais, A

µν

= 0.

Assim, num paralelo com a teoria de campos, as equa¸c˜oes da RG s˜ao compat´ıveis com

uma part´ıcula de intera¸c˜ao (gr´aviton) de massa nula.

2.2 O modelo FRW

Um dos conceitos fundamentais que o estudo da cosmologia tem fundamentado nas

´ultimas d´ecadas ´e que o Universo n˜ao ´e uma mera cole¸c˜ao de mat´eria distribu´ıda irre-

gularmente, mas sim uma entidade ´unica, partes da qual est˜ao, de alguma forma, em

uni˜ao com todas as outras partes. Esta, em certo sentido, ´e a vis˜ao assumida no “modelo

padr˜ao” que ser´a assunto na continuidade do cap´ıtulo

Consideraremos que a mat´eria est´a distribu´ıda no Universo de forma homogˆenea e isotr´o-

pica. Esse ponto de vista ´e chamado de “princ´ıpio cosmol´ogico”. Ele implica, entre outras

coisas, que a distˆancia entre duas gal´axias t´ıpicas tem um fator universal, o mesmo para

cada par de gal´axias. Esse fator ´e chamado de “fator de escala” R(t) e entra na constru-

Alguns textos que contribu´ıram para esse e os pr´oximos t´opicos s˜ao e.g. [14, 15, 16, 17, 18]

¸c˜ao da m´etrica que utilizaremos. Num espa¸co com curvatura k, assumindo o princ´ıpio

cosmol´ogico, a m´etrica ser´a dada por:

= c

− R

(t)



1 − kr

+ r

(dθ

+ sin

θdφ

)



. (2.15)

Essa ´e a m´etrica de Robertson-Walker (RW). O comportamento do fator de escala dita

a evolu¸c˜ao temporal de uma se¸c˜ao espacial do espa¸co-tempo.

O tensor energia-momentum para ﬂuido perfeito ´e tipicamente utilizado em cosmologia

devido `a sua simplicidade e consistˆencia com o conte´udo observado no Universo. Sua

forma ´e:

µν

= (ρ + p)U

− pg

µν

(2.16)

onde U

´e a quadrivelocidade do ﬂuido, ρ ´e a densidade de energia no referencial em

repouso em rela¸c˜ao ao ﬂuido e p ´e a press˜ao no mesmo referencial.

Os elementos do ﬂuido movem-se em conjunto num referencial cosmol´ogico em repouso,

a quadrivelocidade nesse referencial ´e dada por:

= (1, 0, 0, 0). (2.17)

Com as equa¸c˜oes (

2.15), (2.16) e (2.17) nas equa¸c˜oes de Einstein (2.6) somos capazes de

obter rela¸c˜oes que regem a evolu¸c˜ao do fator de escala. Elas s˜ao chamadas equa¸c˜oes de

Friedmann:





8πG

ρ −

(2.18)





= −

4πG

p −

(2.19)

Nas equa¸c˜oes anteriores,

ρ =



e p =



onde a soma corre sobre todos os ﬂuidos que comp˜oem o Universo tais como mat´eria

bariˆonica, radia¸c˜ao, neutrinos, mat´eria escura n˜ao bariˆonica entre outros.

A curvatura k que aparece nas equa¸c˜oes precedentes pode ser:

k =











+1, curvatura positiva

0, espa¸co plano

−1, curvatura negativa

Assim, a partir da equa¸c˜ao (2.18) deﬁnimos a densidade cr´ıtica de energia para a qual

as se¸c˜oes espaciais s˜ao precisamente planas (k = 0):

≡

8πG

(2.20)

onde H ´e o parˆametro de Hubble deﬁnido como H =

Com o aux´ılio de (2.20) podemos deﬁnir um parˆametro adimensional da distribui¸c˜ao de

mat´eria chamado parˆametro de densidade dado por:

Ω

≡

(2.21)

lembrando que o ´ındice i refere-se a cada ﬂuido considerado e portanto:

Ω

total



Ω

Quando fazemos a substitui¸c˜ao desta equa¸c˜ao em (2.18) ﬁca clara a conex˜ao entre cur-

vatura e conte´udo energ´etico. Encontramos a rela¸c˜ao:

(Ω

total

− 1)

= k. (2.22)

A partir dessa express˜ao conclu´ımos que:











k = +1, se Ω

total

> 1

k = 0, se Ω

total

= 1

k = −1, se Ω

total

< 1

Utilizando o tensor dado p or (

2.16) em (2.8) e fazendo o c´alculo chegamos `a seguinte

equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao para os ﬂuidos cosmol´ogicos:

˙ρ + 3H(ρ + p) = 0 (2.23)

Desta forma dada a equa¸c˜ao de estado de determinado ﬂuido ´e poss´ıvel saber como evolui

o parˆametro de densidade do mesmo. Por exemplo, na aproxima¸c˜ao de poeira a mat´eria

´e descrita atrav´es da equa¸c˜ao de estado:

= 0

que levando em (2.23) nos fornece ap´os integra¸c˜ao:

(R) = ρ





−3

. (2.24)

Por sua vez, a radia¸c˜ao ´e regida pela equa¸c˜ao de estado:

que, adotando o procedimento anterior nos d´a:

(R) = ρ





−4

. (2.25)

Veja que as equa¸c˜oes (2.24) e (2.25) descrevem a evolu¸c˜ao das densidades de energia da

mat´eria e radia¸c˜ao em fun¸c˜ao do fator de escala. Nessas equa¸c˜oes o ´ındice A indica o

valor das grandezas no tempo atual.

E usual pensar sobre uma curvatura espacial n˜ao nula como mais uma componente do

conte´udo energ´etico cosmol´ogico, tal que:

= −

3kc

8πGR

(2.26)

8πGR

. (2.27)

E claro que n˜ao ´e uma densidade de energia, mas simplesmente uma maneira conveniente

de avaliar a quantidade de energia que sobra ou falta em compara¸c˜ao com um Universo

plano.

Um parˆametro que ser´a muito ´util em nossas an´alises ´e o parˆametro de desacele-

ra¸c˜ao, deﬁnido como:

q(a) ≡ −

¨aa

˙a

(2.28)

onde a ´e o fator de escala normalizado em rela¸c˜ao ao seu valor no tempo atual, ou seja:

a(t) ≡

R(t)

com R(t

) = R

O termo “parˆametro de desacelera¸c˜ao” ´e de cunho hist´orico pois imaginava-se que o

Universo estava em expans˜ao desacelerada, ent˜ao criou-se esse parˆametro adimensional

para medir sua desacelera¸c˜ao. Portanto, quando tivermos expans˜ao desacelerada q ser´a

positivo, caso contr´ario ser´a negativo.

Quando utilizamos a deﬁni¸c˜ao (2.28) em conjunto com as equa¸c˜oes (2.18) e (2.19) somos

levados a:

q =

4πG



p +



(2.29)

Fica claro nesta equa¸c˜ao que quando consideramos um Universo permeado somente pelos

ﬂuidos “comuns”, tais como mat´eria e radia¸c˜ao, que o parˆametro de desacelera¸c˜ao ´e

positivo, pois densidade de energia e press˜ao sempre s˜ao positivos. Ou seja, num Universo

dominado por mat´eria e radia¸c˜ao a expans˜ao deve se dar de forma desacelerada em

qualquer ´epoca. No entanto, as recentes observa¸c˜oes da recess˜ao de Supernovas do tipo

Ia tˆem mostrado que o Universo se expande de forma acelerada no tempo presente. Assim

somos levados a pensar na existˆencia de outro ﬂuido, al´em dos conhecidos, que domine

a dinˆamica c´osmica.

Desenvolvido o cen´ario FRW padr˜ao, nos dedicaremos, a partir da pr´oxima se¸c˜ao, aos

modelos que apresentam uma fase de expans˜ao acelerada come¸cando pelo problema da

constante cosmol´ogica.

2.3 O Universo Acelerado e a Constante Cosmol´ogica

Analisando a rela¸c˜ao (2.6) vemos que ´e poss´ıvel introduzir um termo cosmol´ogico sem

interferir nas equa¸c˜oes de conserva¸c˜ao, assim as equa¸c˜oes de Einstein tomam a forma:

µν

−

µν

+ Λg

µν

= −

8πG

µν

(2.30)

onde Λ ´e a constante cosmol´ogica. Passando o termo cosmol´ogico para o lado direito de

(

2.30) podemos interpret´a-lo como a inclus˜ao de um novo tensor energia-momentum. Ou

seja:

µν

−

µν

= −

8πG



µν

+ T

µν



, (2.31)

onde identiﬁcamos:

µν

Λc

8πG

µν

(2.32)

Considerando (2.32) um ﬂuido perfeito tal qual descrito pela equa¸c˜ao (2.16) encontramos

que:

= ρ

(2.33)

e portanto:

Λc

8πG

. (2.34)

Da mesma forma:

= −

Λc

8πG

. (2.35)

Estas duas ´ultimas equa¸c˜oes combinadas levam-nos `a seguinte equa¸c˜ao de estado:

= −ρ

. (2.36)

Levando (2.36) `a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao (2.23) veriﬁcamos que:

= constante,

ou seja, a constante cosmol´ogica implica num ﬂuido com densidade de energia constante

ao longo do tempo.

Como visto, para levar a constante cosmol´ogica em considera¸c˜ao em nosso modelo de

Universo basta acrescentar sua densidade de energia nas equa¸c˜oes de Friedmann, desen-

volvidas na se¸c˜ao precedente. Tomando a rela¸c˜ao (2.29) e a deﬁni¸c˜ao (2.21) podemos

obter:

q(a) =

Ω

(a) + Ω

(a) − Ω

(a) (2.37)

onde Ω

(a), Ω

(a) e Ω

(a) s˜ao os parˆametros de densidade para a mat´eria, radia¸c˜ao e

constante cosmol´ogica respectivamente. Para obter a evolu¸c˜ao temporal dos parˆametros

de densidade basta aplicar a deﬁni¸c˜ao (2.21) nas equa¸c˜oes (2.24) e (2.25), e no caso da

constante cosmol´ogica basta considerar sua densidade de energia constante ao aplicar a

deﬁni¸c˜ao (2.21). As express˜oes que obtemos para esses parˆametros s˜ao as seguintes:

Ω

(a) =

Ω

, (2.38)

Ω

(a) =

Ω

, (2.39)

Ω

(a) =

Ω

. (2.40)

Na ﬁgura 2.1 vemos a evolu¸c˜ao da densidade relativa de cada tipo de ﬂuido. Veja que

a contribui¸c˜ao do termo cosmol´ogico s´o se d´a numa ´epoca tardia, sendo dominante no

tempo atual.

As an´alises recentes das anisotropias na radia¸c˜ao c´osmica de fundo em microondas reali-

zadas pelo grupo do sat´elite WMAP tˆem indicado, com boa aproxima¸c˜ao, que o Universo

´e plano. Por quest˜oes de completeza, podemos assumir um parˆametro de densidade re-

lacionado com a curvatura que quando somado com os outros parˆametros de densidade

nos fornece:

Ω

(a) + Ω

(a) = 1 , (2.41)

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

-4 -3 -2 -1 0 1

log(a)

Ω

(a)

Ω

(a)

Ω

(a)

Ω

total

(a)

FIGURA 2.1 – Evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade no modelo ΛCDM.

a partir da qual obtemos:

(a) = H

(Ω

−3

+ Ω

−4

+ Ω

−2

+ Ω

) , (2.42)

que ´e a equa¸c˜ao que nos d´a a evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble em fun¸c˜ao em fun¸c˜ao do

fator de escala.

Voltando nossa aten¸c˜ao para a express˜ao (

2.37) e substituindo as equa¸c˜oes (2.38), (2.39)

e (2.40) encontramos:

q(a) =



Ω

−3

+ Ω

−4

− Ω



(2.43)

E como j´a conhecemos o comportamento de H

(a), podemos obter a evolu¸c˜ao do

parˆametro de desacelera¸c˜ao em fun¸c˜ao do fator de escala normalizado. Na ﬁgura 2.2

vemos que nesse cen´ario a evolu¸c˜ao se inicia de forma desacelerada, a desacelera¸c˜ao

diminue at´e que o Universo inicia uma fase de expans˜ao acelerada na qual continua no

tempo presente.

2.4 Parametrizando a Energia Escura

Os ﬂuidos que vimos at´e o momento podem ser resumidos considerando uma equa¸c˜ao de

estado geral com parˆametro ω:

p = ωρ.

Assim, o que determina o tipo de ﬂuido ´e simplesmente o valor de ω como vemos na

tabela 2.1. Dessa forma, podemos sugerir ﬂuidos com press˜oes negativas assim como

a constante cosmol´ogica por´em com densidades de energia que n˜ao s˜ao constantes ao

longo do tempo. Esse enfoque ´e conhecido como parametriza¸c˜ao XCDM e foi analisado

em detalhes em [19].

ﬂuido ω

mat´eria 0

radia¸c˜ao

Λ −1

TABELA 2.1 – Rela¸c˜ao entre o parˆametro de estado e o tipo de ﬂuido

Na parametriza¸c˜ao XCDM tomamos, portanto, a seguinte equa¸c˜ao de estado para a

energia escura:

= ω

(2.44)

Onde ω

´e o parˆametro que determina a evolu¸c˜ao da densidade de energia do “ﬂuido

x”. Veja que a constante cosmol´ogica ´e um caso particular da equa¸c˜ao (2.44) quando

= −1.

A an´alise da evolu¸c˜ao do ﬂuido x segue o mesmo procedimento tomado para a constante

cosmol´ogica. Substitu´ımos a equa¸c˜ao de estado (

2.44) na equa¸c˜ao (2.23) para obter:

= ρ

−3(1+ω

)

(2.45)

e o parˆametro de densidade ﬁca:

Ω

(a) =

Ω

−3(1+ω

)

. (2.46)

O parˆametro de desacelera¸c˜ao toma a forma:

q(a) =

Ω

(a) + Ω

(a) +

1 + 3ω

Ω

(a) . (2.47)

FIGURA 2.2 – Evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao no modelo XCDM.

Para que ocorra acelera¸c˜ao devemos ter ω

< −

e o valor absoluto do termo que carrega

Ω

deve preponderar sobre os outros. Substituindo as respectivas fun¸c˜oes dos parˆametros

de densidade, a express˜ao (2.47) ﬁca:

q(a) =



Ω

−3

+ Ω

−4

1 + 3ω

Ω

−3(1+ω

)



. (2.48)

E o comportamento do parˆametro de Hubble pode ser obtido fazendo-se Ω

total

(a) = 1,

que nos fornece:

(a) = H



Ω

−3

+ Ω

−4

+ Ω

−2

+ Ω

−3(1+ω

)



. (2.49)

Dessa forma, escolhido o ﬂuido x atrav´es do parˆametro ω

, temos express˜oes gerais que

nos permitem estudar sua inﬂuˆencia na evolu¸c˜ao do fator de escala bem como a evolu¸c˜ao

dos parˆametros de densidade de cada um dos constituintes do cosmos. Na ﬁgura 2.2

vemos o comportamento do parˆametro de desacelera¸c˜ao para alguns valores de ω

A Figura

2.3 mostra a evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble para um Universo permeado

com esses mesmos tipos de ﬂuidos. Os valores atuais dos parˆametros de densidade que

FIGURA 2.3 – Evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble no modelo XCDM.

usamos s˜ao Ω

= 0, 25 sendo a soma de 0, 20 de mat´eria escura e 0, 05 de mat´eria

bariˆonica, Ω

 0 e Ω

= 0, 75. Al´em de estarmos considerando um Universo plano

(k = 0 e portanto Ω

= 0)[1, 2].

Adotando esse tipo de equa¸c˜ao de estado geral para a energia escura (2.44), podemos

restringir o parˆametro de estado atrav´es dos observ´aveis cosmol´ogicos. Al´em disso, a

idade do Universo tamb´em ´e dependente desse parˆametro (ﬁg. 2.4). Tanto mais negativa

´e a press˜ao, mais antigo ´e o Universo.

E interessante notar que ω

< −1 descreve um ﬂuido cuja densidade de energia aumenta

com a expans˜ao do Universo (eq. 2.45), esse ﬂuido ´e conhecido como ﬂuido fantasma [20].

Para ω

> −1 a densidade de energia diminue. O grupo do sat´elite WMAP [1] limita

< −0, 78 que ´e consistente, portanto, com a constante cosmol´ogica.

2.5 O que ´e a Energia Escura?

Atrav´es de argumentos puramente cl´assicos n´os n˜ao podemos dizer se o valor absoluto

de Λ ´e “grande” ou “pequeno”. Ela ´e simplesmente uma constante da natureza que pode-

r´ıamos obter atrav´es de experimentos.

12.5

13.5

14.5

-1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4

Idade do Universo [Ganos]

Parametro de estado ω

(ω)

FIGURA 2.4 – Rela¸c˜ao entre a idade do Unvierso e o parˆametro de estado ω

Por outro lado, na teoria quˆantica, podemos vincular a densidade de energia associada a

Λ como sendo a energia do estado fundamental (ou energia do ponto zero) do oscilador

harmˆonico, ou seja a densidade de energia do v´acuo. Tal c´alculo leva-nos, todavia, a uma

das maiores discrepˆancias no que diz respeito `a concordˆancia entre as leis f´ısicas [15]:

obs

vac

∼ 10

−120

teoria

vac

. (2.50)

Esse ´e o famoso problema de 120 ordens de magnitude. O enigma tem incentivado as

pesquisas em duas vias. A primeira ´e a busca de novas alternativas para a Energia Escura.

A segunda ´e uma melhor compreens˜ao do c´alculo da energia do v´acuo atrav´es das teorias

de grande uniﬁca¸c˜ao (GUTs).

Entre outras alternativas `a constante cosmol´ogica, o G´as de Chaplygin (e.g. [3]) tem se

destacado na literatura. Caracteriza-se como sendo um ﬂuido perfeito com equa¸c˜ao de

estado:

p = −

, (2.51)

onde A ´e uma constante positiva. Chaplygin utilizou essa equa¸c˜ao de estado em 1904

como uma adequada aproxima¸c˜ao matem´atica para o c´alculo da for¸ca de sustenta¸c˜ao

produzida sobre a asa de um avi˜ao. O modelo foi redescoberto no in´ıcio dos anos 40 sob

o mesmo contexto.

A conveniˆencia do G´as de Chaplygin est´a ligada ao fato de que as correspondentes equa-

¸c˜oes de Euler tem um grande grupo de simetria, o que implica em sua integrabilidade.

O interesse por esse modelo em cosmologia remonta ao ﬁnal do s´eculo XX e vem da sua

conex˜ao com a teoria de cordas. Al´em disso, a equa¸c˜ao de estado p = −A/ρ po de ser

obtida a partir da a¸c˜ao de Nambu-Goto para “D-Branas” se movendo num espa¸co-tempo

a (d + 2) dimens˜oes [21].

Quando tomamos a equa¸c˜ao de estado (2.51) e seguimos o mesmo procedimento reali-

zado para o ﬂuido x, tamb´em encontramos express˜oes anal´ıticas para o parˆametro de

desacelera¸c˜ao [22], as quais exibem um comportamento similar ao dos ﬂuidos da Figura

2.2. Algo interessante que obtemos, dessa an´alise, ´e que o G´as de Chaplygin apresenta

um comportamento dual, ou seja, no passado sua densidade de energia comporta-se como

mat´eria escura, assumindo um comportamento de energia escura no futuro. Por isso diz-

se que ele possui um car´ater dual ou uniﬁcado. Todavia, para esse modelo, a inﬂuˆencia da

Energia Escura ´e desprez´ıvel quando inicia-se a forma¸c˜ao de estruturas e a aglomera¸c˜ao

de mat´eria ocorre de forma mais coerente num modelo CDM [3].

Outra possibilidade ´e um v´acuo dinˆamico ou quintessˆencia. Os modelos de quintessˆencia

envolvem, na maior parte dos casos, um ´unico campo escalar [4] ou dois campos escalares

acoplados [5]. Nesses modelos, o problema da coincidˆencia c´osmica, i.e. porque a energia

escura come¸cou a dominar a evolu¸c˜ao c´osmica apenas t˜ao recentemente, n˜ao tem solu¸c˜ao

satisfat´oria e ajustes ﬁnos s˜ao requeridos.

De qualquer forma, a energia e a mat´eria escura s˜ao problemas abertos. N˜ao h´a, at´e o

momento, um modelo completo e satisfat´orio capaz de dar conta de todos os observ´aveis

cosmol´ogicos e, ao mesmo tempo, possuir a consistˆencia f´ısica requerida.

No pr´oximo cap´ıtulo iniciaremos o estudo de uma nova possibilidade, at´e o momento

praticamente inexplorada, mas que pode nos levar a algumas surpresas.

CAP

ITULO 3

TEORIA DE GRAVITA ¸C

AO E GR

AVITONS MASSIVOS

3.1 Massa para o Gr´aviton?

O gr´aviton pode ter massa de repouso n˜ao nula? Como podemos construir uma teoria

consistente de gravita¸c˜ao com gr´avitons massivos? Estas s˜ao quest˜oes que tˆem gerado

discuss˜oes ao longo dos anos e que n˜ao possuem at´e o momento respostas un´ıvocas ou

deﬁnitivas.

Do ponto de vista experimental, existem limites estabelecidos para a massa do gr´aviton

para campos gravitacionais est´aticos. Se o gr´aviton possuir massa de repouso n˜ao nula,

o potencial altera-se de um potencial Newtoniano para um potencial do tipo Yukawa

φ(r) ∝ r

−1

exp(−r/λ

). Uma das restri¸c˜oes mais robustas para a massa do gr´aviton

prov´em do movimento planet´ario do sistema solar. Varia¸c˜oes na terceira lei de Kepler

quando comparadas as ´orbiras da Terra e de Marte levam a m

< 7, 8×10

−55

g [6]. Outra

resti¸c˜ao para a massa dessa part´ıcula prov´em da an´alise do movimento das gal´axias em

aglomerados ligados que levam a m

< 2 × 10

−62

g [23]. Embora seja um limite mais

restritivo, esse segundo resultado ´e considerado menos robusto devido `a incerteza em

torno do conte´udo do Universo em grandes escalas.

Em 2002, Finn e Sutton [24] apresentaram o primeiro limite para m

independente do

potencial de Yukawa. O m´etodo empregado por eles foi baseado na concordˆancia com a

RG dos dados observacionais existentes do decaimento orbital dos pulsares bin´arios PSR

B1913+16 (o pulsar bin´ario de Hulse-Taylor) e PSR B1534+12. O limite encontrado por

eles foi de m

< 1, 4 × 10

−52

g, cerca de duas ordens de grandeza menor do que o limite

imposto pelo movimento planet´ario no sistema solar. Vale ressaltar que as medidas do

pulsar bin´ario de Hulse-Taylor ([25] ou mais recentemente [26]), por exemplo, s˜ao muito

precisas, e concordam muito bem com a emiss˜ao de radia¸c˜ao gravitacional (ver Figura

3.2). O limite imposto por Finn e Sutton demonstra que as equa¸c˜oes de campo fraco da

RG permitem o acr´escimo de um termo massivo sem a altera¸c˜ao dos resultados obseva-

cionais.

Al´em disso, existem estimativas para a massa do gr´aviton a partir de futuros testes gra-

vitacionais no regime radiativo, tais como a back-reaction gravitacional, a polariza¸c˜ao de

ondas gravitacionais e a velocidade das ondas gravitacionais (ver por exemplo [

27, 28].

Se o gr´aviton for uma part´ıcula massiva, ent˜ao a velocidade das ondas gravitacionais ´e

dependente da freq

uˆencia. Um sistema bin´ario em revolu¸c˜ao espirala devido `a emiss˜ao de

ondas gravitacionais. A freq

uˆencia da ´orbita aumenta ao longo do tempo, aumentando

rapidamente nos ´ultimos est´agios de sua evolu¸c˜ao antes da coalescˆencia.

FIGURA 3.1 – Decaimento orbital de PSR B1913+16. Os pontos indicam a mudan¸ca

observada na ´epoca do periastro com a data, enquanto a par´abola ilustra

a mudan¸ca esperada teoricamente para um sistema emitindo radia¸c˜ao

gravitacional de acordo com a relatividade geral. Figura tomada de [26].

Os detectores interferom´etricos laser de ondas gravitacionais devem ser capazes de acom-

panhar a evolu¸c˜ao temporal da forma de onda desses sistemas usando as t´ecnicas de

matched ﬁltering requerida para esse tipo de an´alise. Detectores de base espacial como o

LISA seriam capazes de observar a coalescˆencia de buracos negros bin´arios massivos ou

estrelas compactas (estrelas de nˆeutrons ou estrelas de nˆeutrons bin´arias). Se o gr´aviton

possuir massa, ent˜ao os sinais observados n˜ao ser˜ao compat´ıveis com os modelos extra´ıdos

da RG, pois um gr´aviton massivo causaria dispers˜ao das ondas gravitacionais. Usando

o matched ﬁltering poderia-se estabelecer limites para a dispers˜ao, restringindo a massa

do gr´aviton. Will [27] encontrou que o LIGO poderia restringir a massa do gr´aviton em

< 3, 7 ×10

−55

g observando a espirala¸c˜ao de dois buracos negros de 10M



, enquanto

inteferˆometros de base espacial como o LISA poderiam nos dar m

< 6, 9 ×10

−55

g obser-

vando a espirala¸c˜ao de dois buracos negros de 10



. Os n´umeros representam a m´ınima

massa detect´avel por tais observa¸c˜oes se o gr´aviton for massivo.

Ainda poderiam ser estabelecidas restri¸c˜oes para a massa do gr´aviton realizando-se

observa¸c˜oes simultˆaneas na faixa do ´optico e de radia¸c˜ao gravitacional. Por exemplo,

comparando-se a fase do sinal eletromagn´etico orbitalmente mo dulado (a curva de luz) e

um sinal de onda gravitacional de um sistema estelar IBWD (Interacting Binary White

Dwarf ). Observa¸c˜oes do LISA, de fontes de IBWD conhecidas, poderiam nos levar a um

FIGURA 3.2 – Os seis modos de polariza¸c˜ao de ondas gravitacionais permitidos em qual-

quer teoria m´etrica de gravita¸c˜ao. Aqui mostramos a deforma¸c˜ao que

cada modo induz em uma esfera de part´ıculas teste. A onda gravitacio-

nal propaga-se para fora do plano em (a), (b) e (c), e propaga-se no plano

em (d), (e) e (f). A teoria de gravita¸c˜ao de Visser apresenta todos os seis

estados de polariza¸c˜ao. Figura retirada de [29]

limite t˜ao forte quanto m

< 4 × 10

−58

g, consideravelmente mais restritivo do que os

presentes limites inferidos a partir do sistema solar[

28].

Para a inclus˜ao de um termo massivo nas equa¸c˜oes linearizadas da RG, Boulware e Deser

[30] utilizaram um termo do tipo Pauli-Fierz (PF), no entanto as predi¸c˜oes de tal teoria

n˜ao reduzem-se para aquelas da relatividade geral quando m

→ 0 (e.g. [31] e [32]). To-

davia, n˜ao h´a raz˜ao para preferir termos do tipo PF no lugar de outros termos n˜ao-PF.

E importante enfatizar que estes termos de massa n˜ao possuem clara extrapola¸c˜ao para

campos fortes. Uma maneira de fazer isso foi proposta por M. Visser [7] que procura reali-

zar esse processo atrav´es da inser¸c˜ao de uma m´etrica de fundo n˜ao dinˆamica, preservando

o princ´ıpio da equivalˆencia e o princ´ıpio da covariˆancia. Outras teorias alternativas de

gravita¸c˜ao que apresentam duas m´etricas tˆem sido propostas ao longo dos anos. Dentre

elas uma das mais conhecidas ´e a teoria de Rosen [33] que insere uma segunda m´etrica

representativa das for¸cas inerciais. Mas a id´eia de Visser possui a caracter´ıstica singular

de unir o fato de ser uma teoria bim´etrica e abarcar a massa do gr´aviton no mesmo

modelo de gravita¸c˜ao.

Lembremos tamb´em que as ondas gravitacionais na RG apresentam dois estados de po-

lariza¸c˜ao (h

e h

). No entanto, de forma geral, em uma teoria m´etrica de gravita¸c˜ao

qualquer, podemos ter no m´aximo seis estados de polariza¸c˜ao [29](ﬁg. 3.2). Se forem de-

tectadas com certeza mais de duas polariza¸c˜oes de uma onda incidente, o resultado ser´a

devastador para a RG. A teoria de Visser apresenta todos os seis estados de polariza¸c˜ao

[34]. Assim, as observa¸c˜oes das polariza¸c˜oes das ondas gravitacionais al´em de serem mais

um teste para as teorias de gravita¸c˜ao, tamb´em servem para impor restri¸c˜oes para a

massa do gr´aviton.

Nas se¸c˜oes que seguem desenvolveremos as bases de uma teoria de gravita¸c˜ao com gr´a-

vitons massivos, partindo do limite de campo fraco escolhendo o termo massivo mais

adequado. Mostraremos, em seguida, como Visser generaliza a teoria para campos arbi-

tr´arios atrav´es da inclus˜ao de uma m´etrica de fundo.

3.2 A aproxima¸c˜ao linear e o termo de massa

No regime de campo fraco podemos assumir a m´etrica como sendo aproximadamente

plana deﬁnindo-a como:

µν

= η

µν

+ h

µν

, |h| << 1. (3.1)

Desprezando os termos de ordem maior ou igual a dois em h obtemos a chamada teo-

ria linearizada. Esse tratamento ´e caracterizado por podermos considerar essa pequena

perturba¸c˜ao da m´etrica como um tensor num plano de fundo Minkowskiano, ou seja, ´e a

m´etrica plana de Minkowski que atua como m´etrica dinˆamica respons´avel por opera¸c˜oes

como subir e abaixar ´ındices.

Esse formalismo ´e utilizado no estudo de campos gravitacionais gerados por fontes dis-

tantes do observador e corresponde uma b oa aproxima¸c˜ao da RG nesses casos. Utilizando

(

3.1), a lagrangiana linearizada da RG ﬁca escrita na forma:



µν,λ

− 2h

µν

,ν

µλ

,λ

+ 2h

µν

,ν

,µ

− h

,µ



−

8πG

µν

, (3.2)

onde o tra¸co da perturba¸c˜ao ´e dado por:

h ≡ η

µν

, (3.3)

e a v´ırgula representa a diferencia¸c˜ao parcial ordin´aria.

A teoria resultante dessa lagrangiana, como sabemos, ´e consistente com um b´oson de

massa nula que viaja `a velocidade da luz.

A maneira fenomenol´ogica de intro duzir um b´oson massivo na teoria ´e adicionar uma

lagrangiana que seja proporcional a termos quadr´aticos de h

µν

, cuja forma mais geral ´e

[32]:

mass



µν

− κh



, (3.4)

onde

m =



. (3.5)

Portanto a a¸c˜ao linearizada mais geral de uma teoria relativ´ıstica de gravita¸c˜ao com

gr´aviton massivo ´e dada por:

I =



x (L

+ L

mass

) . (3.6)

As equa¸c˜oes de campo resultantes dessa a¸c˜ao s˜ao:



µν

−h

,λν

−h

,λµ

,µν

+η

µν

ρσ

,ρσ

−η

µν



h−m

µν

−κη

µν

h) = −

16πG

µν

. (3.7)

Embora a escolha para o termo de massa n˜ao seja ´unica, pode ser demonstrado que

a mais natural ´e quando utilizamos κ = 1/2 (essa demonstra¸c˜ao pode ser encontrada

em [24]). Para tal, vamos requerer que a teoria possua as seguintes propriedades: (1) as

equa¸c˜oes de campo para perturba¸c˜oes m´etricas possam ser escritas na forma padr˜ao:

(

− m

µν

= −

16πG

µν

, (3.8)

onde o termo fonte S

µν

´e uma fun¸c˜ao local do tensor energia momentum e ´e independente

de h

µν

; e (2) tomando o limite m → 0 na teoria massiva recobramos as predi¸c˜oes da

relatividade geral.

Partindo das equa¸c˜oes de campo (3.7) e aplicando a divergˆencia em amb os os lados

encontramos a condi¸c˜ao:

µν

, ν

= κh

, µ

. (3.9)

Tomando o tra¸co de (3.7) e utilizando (3.9) chegamos `a rela¸c˜ao:

2(1 − κ)

h + (1 − 4κ)m

h =

16πG

T (3.10)

onde

T ≡ η

µν

. (3.11)

Retornando (3.9) e (3.10) para as equa¸c˜oes de campo chegamos a





− m



µν

= −

16πG



µν

−

µν



+ (2κ − 1)



,µν

µν



, (3.12)

que ´e da forma desejada (

3.8) exceto pelo ´ultimo termo do lado direito. Este po de ser re-

movido para apenas dois valores especiais de κ. Para κ = 1/2 o termo anula-se, deixando

a express˜ao:





− m



µν

= −

16πG



µν

−

µν



. (3.13)

Para κ = 1 (o termo de massa Pauli-Fierz usado por Boulware e Deser [

30]) podemos

utilizar a condi¸c˜ao (3.10) para reescrever o termo em colchetes como uma fun¸c˜ao local

do tensor energia momentum, o que nos conduz a





− m



µν

= −

16πG



µν

−

µν

T +

µν



, (3.14)

que tamb´em ´e da forma desejada (3.8). Todavia, ´e bem conhecido que as predi¸c˜oes

da teoria para esse caso n˜ao reduzem para aquelas da RG quando m → 0, essa ´e, a

assim chamada, descontinuidade van Dam-Veltman-Zakharov [31]. Assim, somos levados

a escolher κ = 1/2 para representar o termo massivo nessa teoria de gravita¸c˜ao com

equa¸c˜oes de campo dadas por (3.13).

Se reescrevemos a condi¸c˜ao (3.9) na forma:

µν

,ν

= 0, (3.15)

onde

µν

≡ h

µν

−

µν

h, (3.16)

notamos que ela representa o calibre de Lorentz, utilizado na teoria linearizada derivada

da RG, mas aqui ´e uma condi¸c˜ao que surge naturalmente da conserva¸c˜ao de energia.

3.3 Equa¸c˜oes de movimento no limite n˜ao relativ´ıstico

A RG ´e constru´ıda de tal forma que esteja em concordˆancia com a gravita¸c˜ao Newtoni-

ana no limite n˜ao relativ´ıstico. Esse ´e um fator essencial para que a teoria abarque os

resultados experimentais em todos os casos. Veriﬁcaremos nessa se¸c˜ao qual o resultado

das equa¸c˜oes de campo linearizadas com gr´aviton massivo, desenvolvidas anteriormente,

nesse regime de baixas velocidades (comparadas `a velocidade da luz), e campos gravita-

cionais de baixa intensidade.

Aplicando a condi¸c˜ao (3.15)nas equa¸c˜oes de campo (3.7) podemos reescrevˆe-las em ter-

mos de h

µν

, asim:





− m



µν

= −

16πG

µν

, (3.17)

que ´e equivalente `a forma (3.13).

Lembrando que o operador D’Alembertiano ´e dado por:



= ∇

−

∂

∂t

, (3.18)

vemos que ao tomar campos aproximadamente estacion´arios podemos fazer:



 ∇

. (3.19)

O tensor energia-momentum no limite n˜ao relativ´ıstico reduz-se a:

µν

 T

= ρ, (3.20)

onde ρ, em nossa nota¸c˜ao, representa a densidade de energia.

Retornando agora (3.19) e (3.20) para (3.17) ﬁcamos com:



∇

− m



= −

16πG

ρ. (3.21)

Na correspondˆencia newtoniana identiﬁcamos h

= −2φ/c

[17] e portanto h

−4φ/c

. Assim obtemos a equa¸c˜ao:



∇

− m



φ =

4πG

ρ (3.22)

A solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao (3.22) em coordenadas polares esf´ericas ´e o potencial do tipo

Yukawa:

φ(r) = −

exp(−r/λ

) (3.23)

onde identiﬁcamos λ

= /m

c como sendo o comprimento de onda Comptom do gr´avi-

ton.

Veja que quando tomamos m

→ 0 recuperamos o potencial Newtoniano e as equa¸c˜oes

de campo voltam a ser Einstenianas.

3.4 A Teoria de Gravita¸c˜ao de Visser

Utilizando a condi¸c˜ao (3.15) podemos reescrever a a¸c˜ao que resulta na equa¸c˜ao (3.17) na

seguinte forma:

I =







µν



µν

−

h







µν

−



−

8πG

µν



(3.24)

O primeiro termo ´e bem conhecido, sua extrapola¸c˜ao para campos fortes ´e a a¸c˜ao de

Einstein-Hilbert (



√

−gR(g)). No entanto, o segundo termo n˜ao possui clara extra-

pola¸c˜ao para campos fortes. Aqui reside uma grande diﬁculdade em se construir uma

teoria de gravita¸c˜ao completa que inclua gr´avitons massivos.

Segundo Visser [7], uma maneira de fazer isso ´e introduzir uma m´etrica de fundo g

, que

n˜ao est´a sujeita a equa¸c˜oes dinˆamicas. A lagrangiana que Visser prop˜oe para representar

o termo massivo no regime de campos fortes ´e:

mass

(g, g

) =



√

−g



−1

)

µν

(g −g

)

µσ

−1

)

σρ

(g −g

)

ρν

(3.25)

−



−1

)

µν

(g −g

)

µν





que ´e constru´ıda de tal forma que recupere a parte massiva da a¸c˜ao linearizada que vimos

anteriormente.

Esse termo depende de duas m´etricas: a m´etrica de dinˆamica do espa¸co-tempo g, e da

m´etrica de fundo g

. De fato, h´a uma certa arbitrariedade em sua constru¸c˜ao, qualquer

rela¸c˜ao alg´ebrica entre a m´etrica de fundo e a m´etrica dinˆamica que tenha a mesma

extrapola¸c˜ao no limite de campos fracos pode ser utilizada.

O m´erito desse m´etodo ´e que as equa¸c˜oes de campo resultantes continuam respeitando

os princ´ıpios de covariˆancia geral e o princ´ıpio da eq

uivalˆencia.

Veja que tomar o limite de campo fraco, nesse caso, consiste em considerar a m´etrica

dinˆamica como sendo g = g

+ h com h pequeno.

Finalmente, a a¸c˜ao completa dessa teoria alternativa de gravita¸c˜ao ´e dada por:

I =





√

−g

R(g)

16πG

+ L

mass

(g, g

) + L

matter

(g)



. (3.26)

Note que g

aparece somente no termo massivo. A partir da lagrangiana (3.25) podemos

mostrar que a contribui¸c˜ao para as equa¸c˜oes de movimento ´e dada por um tensor energia-

momentum efetivo:

µν

mass

= −

√

−g

δL

mass

δg

µν

(3.27)

que nos leva a:

µν

mass

= −

8πG



−1

)

µσ



(g −g

)

σρ

−

)

σρ

−1

)

αβ

(g −g

)

αβ



−1

)

ρν



. (3.28)

Dessa forma, as equa¸c˜oes de campo da teoria de Visser podem ser escritas como:

µν

= −

8πG

µν

+ T

µν

mass

] , (3.29)

que s˜ao semelhantes `as equa¸c˜oes de Einstein exceto pela inclus˜ao do termo massivo.

Com todas as caracter´ısticas que mencionamos, a teoria caracteriza-se como uma teoria

quase Einsteniana, no sentido em que possui as mesmas caracter´ısticas de invariˆancia

requeridas para uma teoria relativ´ıstica de gravita¸c˜ao, al´em de recuperar os resultados

observacionais para gr´avitons com massas suﬁcientemente pequenas. Todavia, ela fere

um dos princ´ıpios fundamentais da RG ao requerer a inser¸c˜ao da m´etrica representativa

de uma geometria deﬁnida a priori. Mas, como veremos na pr´oxima se¸c˜ao, uma adequada

escolha dessa m´etrica de fundo ´e de suma importˆancia para que a teoria de Visser esteja

o mais pr´oxima poss´ıvel da teoria de Einstein, o que a coloca na posi¸c˜ao de uma forte

candidata `a teoria de gravita¸c˜ao.

Mas, se essa teoria ´e praticamente relatividade geral, qual a necessidade, ou importˆancia,

em prefer´ı-la `a RG?

Segundo o princ´ıpio heur´ıstico do ﬁl´osofo e te´ologo medieval Guilherme de Occam, as

entidades n˜ao devem ser adicionadas al´em do necess´ario. Em nosso caso, isso signiﬁca

que termos adicionais nas equa¸c˜oes que descrevem a gravita¸c˜ao seriam desnecess´arios,

uma vez que a RG concorda muito bem com a experimenta¸c˜ao.

No entanto, embora gr´avitons com massa suﬁcientemente pequena, nos proporcionem

uma teoria com os mesmos resultados que j´a obtemos atrav´es da RG nas escalas do

sistema solar ou at´e mesmo em escalas gal´acticas, diferen¸cas consider´aveis podem surgir

quando consideramos o estudo do Universo em grandes escalas. Em particular, em escalas

compar´aveis ao comprimento de onda Compton do gr´aviton.

A cosmologia resultante dessa teoria ser´a assunto do cap´ıtulo 4. Como veremos, esse

ser´a um contexto no qual o princ´ıpio de Occam ainda estar´a presente, nos mostrando,

dessa vez, que essa teoria alternativa de gravita¸c˜ao pode ser a teoria f´ısica mais simples

que nos permita a explica¸c˜ao dos efeitos cosmol´ogicos dinˆamicos obervados atualmente.

Efeitos estes que, atrav´es da RG, somente s˜ao explicados postulando-se ﬂu´ıdos ex´oticos

de natureza desconhecida.

3.5 Sobre a Escolha de Uma M´etrica de Fundo

Qual a melhor escolha para uma m´etrica de fundo na teoria de Visser? Em princ´ıpio a

escolha de uma m´etrica de fundo ´e completamente arbitr´aria. No entanto com um pouco

de intui¸c˜ao f´ısica podemos fazer a escolha mais adequada do ponto de vista cosmol´ogico.

Tomemos a equa¸c˜ao (3.29) para o v´acuo:

µν

= −

8πG

µν

mass

. (3.30)

Nesse caso particular a conserva¸c˜ao de energia implica em:

∇

µν

mass

= 0 (3.31)

Uma vez que o tensor de massa (eq. 3.28) ´e constru´ıdo pela m´etrica dinˆamica e pela

m´etrica de fundo (e n˜ao por derivadas de m´etricas), veriﬁcamos que a maneira mais

simples de satisfazer (3.31) ´e:

∇

µν

) = 0, (3.32)

j´a que a divergˆencia de g

µν

´e nula por constru¸c˜ao da derivada covariante.

Ent˜ao, a solu¸c˜ao natural de (3.32) ´e dada por:

)

µν

= g

µν

. (3.33)

A qual, por constru¸c˜ao do termo massivo (3.28) leva a

µν

mass

= 0 (3.34)

e portanto

µν

= 0. (3.35)

Na ausˆencia de fontes de campos gravitacionais (ou muito distante de fontes), a solu¸c˜ao

mais simples dessa ´ultima ´e:

µν

= η

µν

(3.36)

onde η

µν

´e a m´etrica de Minkowski e por (3.33) n´os temos:

)

µν

= η

µν

. (3.37)

O signiﬁcado de nosso resultado pode ser resumido dizendo que na ausˆencia de fontes

gravitacionais as duas m´etricas coincidem, nos deixando com uma ´unica m´etrica plana:

Minkowski. Na realidade, este ´e um crit´erio de simplicidade, uma vez que esperamos

recuperar os resultados da relatividade especial na ausˆencia de gravidade.

Tomemos, por exemplo, a divergˆencia covariante de (3.29) que nos d´a:

∇

µν

+ T

µν

mass

] = 0. (3.38)

Se a m´etrica de fundo ´e Minkowski, quando a m´etrica dinˆamica for Minkowski tamb´em,

somos levados naturalmente para a conserva¸c˜ao da energia tal qual dada na relatividade

especial:

∂

µν

) = 0, (3.39)

j´a que o termo de massa se anula.

Se, por outro lado, a m´etrica de fundo n˜ao for Minkowski, a relatividade especial n˜ao

ser´a recup erada t˜ao naturalmente quanto dessa forma. Isso porque o termo de massa n˜ao

desaparecer´a devido ao acoplamento entre as duas m´etricas.

Com todas essas caracter´ısticas, as bases da teoria, mais uma vez, est˜ao muito pr´oximas

dos fundamentos da relatividade geral.

Nosso pr´oximo passo ´e conjecturar que se a m´etrica de fundo ´e a de Minkowski num Uni-

verso vazio ent˜ao ela tamb´em o ser´a para um Universo permeado de mat´eria e radia¸c˜ao.

Consideramos esse argumento razo´avel, uma vez que a m´etrica de fundo, por deﬁni¸c˜ao,

n˜ao ´e afetada pela distribui¸c˜ao de mat´eria-energia.

A forma mais adequada para a m´etrica de fundo, no tratamento cosmol´ogico do pr´oximo

cap´ıtulo, ´e uma transforma¸c˜ao de coordenadas de (3.37) para coordenadas polares es-

f´ericas. Nesse sistema de coordenadas, o elemento de linha que representa a m´etrica de

fundo Minkowskiana ﬁca escrito na forma:

= c

−



+ r



dθ

+ sin

θdφ



(3.40)

onde o ´ındice “0” indica que este ´e o elemento de linha da m´etrica de fundo.

3.6 Sobre as Equa¸c˜oes de Movimento

Veriﬁcaremos se a equa¸c˜ao (3.38) est´a de acordo com as equa¸c˜oes de movimento de uma

part´ıcula teste de baixa massa, em queda livre, descrevendo uma geod´esica e, portanto,

se ela concorda com o princ´ıpio de equivalˆencia. Esse ´e um ponto importante, uma vez

que a equa¸c˜ao de uma geod´esica pode ser obtida independente das equa¸c˜oes de campo

da teoria de gravita¸c˜ao.

Para fazer isso, adotaremos o tensor energia-momentum para o ﬂuido perfeito (2.16) e

reescrevemos (3.38):

[(ρ + p)U

+ pg

µν

]

;ν

= −T

µν

mass ;ν

(3.41)

[(ρ + p)U

]

;ν

+ (ρ + p)U

;ν

= −T

µν

mass ;ν

(3.42)

onde “;” passar´a a denotar a diferencia¸c˜ao covariante por simpliﬁca¸c˜ao. Multiplicando

por U

vem:

[(ρ + p)U

]

;ν

+ (ρ + p)U

;ν

= −T

µν

mass ;ν

(3.43)

onde utilizamos o fato de que:

= 1. (3.44)

Manipulando (

3.44) encontramos que:

;ν

= −U

;ν

(3.45)

com a qual podemos reescrever a equa¸c˜ao (

3.43) como sendo:

[(ρ + p)U

]

;ν

− (ρ + p)U

;ν

= −T

µν

mass ;ν

. (3.46)

Ainda a partir de (3.44) podemos mostrar que o segundo termo de (3.46) se anula,

simpliﬁcando a express˜ao para:

[(ρ + p)U

]

;ν

= −T

µν

mass ;ν

. (3.47)

Agora substitu´ımos (3.47) em (3.42) e obtemos:

− U

αν

mass ;ν

+ (ρ + p)U

;ν

= −T

µν

mass ;ν

. (3.48)

Para que as equa¸c˜oes de campo estejam de acordo com a equa¸c˜ao de geod´esica temos:

;ν

= 0 , (3.49)

que pode ser reescrita como:

dτ

+ Γ

αν

dτ

= 0 , (3.50)

onde τ ´e o tempo pr´oprio. Portanto, concu´ımos que, para que as equa¸c˜oes de campo

de Visser concordem com as equa¸c˜oes de movimento, devemos ter obedecida a seguinte

rela¸c˜ao:

µν

mass ;ν

= U

αν

mass ;ν

. (3.51)

e se adotamos a quadrivelocidade no referencial em repouso (2.17) essa condi¸c˜ao reduz-se

µν

mass ;ν

= U

0ν

mass ;ν

(3.52)

que implica que apenas para µ = 0 temos um resultado n˜ao nulo, ou seja:

iν

mass ;ν

= 0 (3.53)

Note que a condi¸c˜ao imposta para o termo de massa (eq. 3.51) ´e independente da forma

do tensor T

µν

mass

, ent˜ao a express˜ao (

3.38) ´e v´alida para qualquer tensor de segunda ordem

“interagindo” com o ﬂuido perfeito.

CAP

ITULO 4

IMPLICA ¸C

OES COSMOL

OGICAS DA TEORIA DE VISSER

O que podemos esperar da cosmologia resultante de uma teoria bim´etrica de gravita¸c˜ao

com gr´avitons massivos? Tal teoria produz uma expans˜ao acelerada sem a necessidade

de uma constante cosmol´ogica?

E poss´ıvel estab elecer limites para a massa do gr´aviton

atrav´es de modelos cosmol´ogicos extra´ıdos dessa teoria?

E poss´ıvel julgar se a teoria ´e

correta ou n˜ao atrav´es do modelo do Cosmos que ela produz?

Buscar as respostas para essas, e outras quest˜oes, ´e o objetivo do presente cap´ıtulo.

4.1 Sobre as Densidades de Energia

Os resultados obtidos no cap´ıtulo anterior nos garantem que podemos aplicar a equa¸c˜ao

de conserva¸c˜ao de energia (3.38) para determinar a evolu¸c˜ao das densidades de energia

cosmol´ogicas desde que (3.51) seja satisfeita. De fato, quando calculamos a divergˆencia

covariante do tensor de massa para µ = i, a condi¸c˜ao (3.53) ´e automaticamente satisfeita.

Assim, obteremos a evolu¸c˜ao das densidades de energia efetivamente a partir da equa¸c˜ao:

∇



0ν



= −∇



0ν

mass



(4.1)

O resultado do termo do lado esquerdo de (4.1) j´a ´e conhecido do cap´ıtulo 2 e nos d´a:

∇

µν

= [ ˙ρ + 3H(ρ + p)] δ

(4.2)

Calculando o lado direito de (4.1) utilizando RW como a m´etrica dinˆamica (eq. 2.15) e

(3.40) como a m´etrica de fundo encontramos a seguinte rela¸c˜ao:

∇

µν

mass

∂

∂t



16πG



− 1







16πG



− 1



16πG



− R





(4.3)

Voltando nossa aten¸c˜ao para a deﬁni¸c˜ao do tensor energia-momentum para ﬂuido perfeito

(2.16) podemos fazer a seguinte identiﬁca¸c˜ao:

= ρ e T

= pδ

(4.4)

Tomando a equa¸c˜ao (3.28) como a representa¸c˜ao de um ﬂuido, podemos associar a den-

sidade de energia e a press˜ao devido ao tensor massivo por:

mass

16πG



− 1



(4.5)

mass

16πG



− R



. (4.6)

Assim, com o aux´ılio destas equa¸c˜oes podemos reescrever (

4.3) na forma:

∇

µν

mass

= [ ˙ρ

mass

+ 3H(ρ

mass

+ p

mass

)] δ

(4.7)

e ent˜ao, com (4.2) e (4.7) em (4.1) a express˜ao completa para a conserva¸c˜ao de energia

nessa teoria pode ser escrita de forma simpliﬁcada como:

˙ρ + 3H(ρ + p) = −[ ˙ρ

mass

+ 3H(ρ

mass

+ p

mass

)] (4.8)

A partir dessa equa¸c˜ao podemos obter a evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade cosmo-

l´ogicos. Em nosso caso, assumiremos um Universo com mat´eria e radia¸c˜ao e portanto:

ρ = ρ

+ ρ

e p = p

+ p

. (4.9)

Levando (4.9) em (4.8) obtemos:

˙ρ

+ 3H(ρ

+ p

) + ˙ρ

+ 3H(ρ

+ p

) = −[ ˙ρ

mass

+ 3H(ρ

mass

+ p

mass

)] (4.10)

Considerando que o termo massivo contribui isoladamente para a densidade de energia

de cada tipo de ﬂuido podemos separar a equa¸c˜ao anterior em duas:

˙ρ

+ 3Hρ

= −α(a) [ ˙ρ

mass

+ 3H(ρ

mass

+ p

mass

)] (4.11)

˙ρ

+ 4Hρ

= −β(a) [ ˙ρ

mass

+ 3H(ρ

mass

+ p

mass

)] , (4.12)

nas quais utilizamos as equa¸c˜oes de estado p

= 0 e p

As fun¸c˜oes α(a) e β(a) especiﬁcam os pesos com os quais o termo massivo contribui

para a densidade de energia de um dado ﬂuido para um dado valor do fator de escala.

Para que tenhamos consistˆencia no modelo cosmol´ogico, essas fun¸c˜oes devem obedecer

algumas caracter´ısticas:

• Para que a conserva¸c˜ao de energia seja respeitada (eq. 4.8) devemos ter α(a)+

β(a) = 1;

• Quando a → 0, α → 0 e β → 1, ou seja, o termo massivo contribui somente

para a radia¸c˜ao no passado, quando a densidade de mat´eria ´e desprez´ıvel;

• Quando a >> 0, α → 1 e β → 0, ou seja, o termo massivo contribui somente

para a mat´eria quando a densidade de radia¸c˜ao ´e desprez´ıvel;

• No momento da eq

uiparti¸c˜ao das densidades de energia da mat´eria e radia¸c˜ao

devevemos ter α(a

) = β(a

Duas fun¸c˜oes simples que obedecem todas essas caracter´ısticas s˜ao:

α(a) =

Ω

a + Ω

(4.13)

β(a) =

Ω

a + Ω

. (4.14)

Substituindo essas fun¸c˜oes em (4.11) e (4.12) e integrando notamos que a contribui¸c˜ao do

termo massivo para a radia¸c˜ao ´e desprez´ıvel ao longo de toda a evolu¸c˜ao do Universo. Isso

porque a radia¸c˜ao ´e dominante apenas numa fase muito curta que data aos prim´ordios

da hist´oria c´osmica. Assim, como os termos massivos s˜ao proporcionais a potˆencias de

R, na ´epoca em que a densidade de radia¸c˜ao domina, eles tornam-se desprez´ıveis.

Assim, obtemos as seguintes equa¸c˜oes de evolu¸c˜ao para as densidades de energia:

(a) =

−

8πG



−



(4.15)

(a) =

. (4.16)

Com a deﬁni¸c˜ao do parˆametro de densidade adimensional Ω

= ρ

/ρ

podem ser rees-

critas como:

Ω



(a) =



Ω

−



−



(4.17)

Ω



(a) =

Ω

, (4.18)

onde

H

(4.19)

´e uma constante com unidade de massa (como veremos adiante, m

´e de grande impor-

tˆancia no contexto dessa teoria) e R

´e o valor atual do fator de escala.

Essas express˜oes s˜ao constitu´ıdas da soma de duas contribui¸c˜oes:

Ω



(a) = Ω

(a) + Ω

mass

(a) (4.20)

0.2

0.4

0.6

0.8

-4 -3 -2 -1 0 1

log(a)

Ω

(a)

Ω

(a)

Ω

(a)

Ω

total

(a)

FIGURA 4.1 – Evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade no modelo massivo.

Ω



(a) = Ω

(a) + Ω

mass

(a), (4.21)

onde Ω

(a) e Ω

(a) s˜ao dados pelas equa¸c˜oes (2.38) e (2.39) respectivamente. Esses s˜ao

os termos provenientes puramente da RG. Enquanto os termos

Ω

mass

(a) =



−



−



(4.22)

Ω

mass

(a) = 0 (4.23)

s˜ao as contribui¸c˜oes do termo massivo devido `a mudan¸ca na intera¸c˜ao gravitacional.

Podemos, ainda, associar um parˆametro de densidade com a equa¸c˜ao (

4.5):

Ω

mass

(a) =





− 1





. (4.24)

A contribui¸c˜ao total do tensor massivo para as densidades de energia pode ser resumida

por:

Ω

(a) = Ω

mass

(a) + Ω

mass

(a) + Ω

mass

(a)

e assim

Ω

(a) = −



−



. (4.25)

Na ﬁgura

4.1 apresentamos a evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade de cada tipo de

ﬂuido (a dedu¸c˜ao da fun¸c˜ao H(a), utilizada na constru¸c˜ao dessas fun¸c˜oes, ser´a mostrada

na pr´oxima se¸c˜ao). Note que a evolu¸c˜ao dos parˆametros de densidade de mat´eria e

radia¸c˜ao ´e idˆentica ao modelo Λ-CDM. Veja tamb´em que a contribui¸c˜ao do termo massivo

evolui da mesma forma como Ω

(a) (ﬁg. 2.1), desde o passado at´e o presente. Por´em, o

futuro ´e drasticamente diferente, pois teremos um valor m´aximo para o fator de escala.

Estudaremos esse ponto com mais detalhes nas se¸c˜oes que seguem.

4.2 Da Dinˆamica do Universo

O caminho para a obten¸c˜ao das equa¸c˜oes dinˆamicas ´e similar ao processo de obten¸c˜ao

das equa¸c˜oes de Friedmann a partir das equa¸c˜oes de Einstein. Se assumimos a m´etrica

RW (eq. 2.15) com k = 0 e (3.40) como a m´etrica de fundo e desenvolvemos as equa¸c˜oes

de campo de Visser (eq.

3.29) obtemos:





8πG





16πG



− 1





(4.26)





= −

4πG





16πG



− R





, (4.27)

que com o aux´ılio de (4.5) e (4.6) podem ser reescritas na forma:





8πG

[ρ



+ ρ

mass

] , (4.28)





= −

4πG



+ p

mass

] . (4.29)

Note que as equa¸c˜oes (4.28) e (4.29) s˜ao semelhantes `as equa¸c˜oes de Friedmann e as

contribui¸c˜oes do termo massivo aparecem como o acr´escimo de um termo de densidade

de energia e um termo de press˜ao.

Se utilizamos a deﬁni¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao (eq. 2.28) e combinamos as

express˜oes acima chegamos a:

q(R) =



Ω



(R) + Ω



(R) +

+ 1)Ω

mass

(R)



(4.30)

Substituindo (4.17), (4.18) e (4.24) em (4.30) obtemos a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao do parˆa-

metro de desacelera¸c˜ao em fun¸c˜ao do fator de escala:

q(R) =



Ω





+ Ω





−



−





(4.31)

ou, em fun¸c˜ao do fator de escala normalizado:

q(a) =



Ω

−



−



. (4.32)

A evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble, assim como no cap´ıtulo 2, p ode ser obtida atrav´es

de:

Ω



(a) + Ω



(a) + Ω

mass

(a) = 1 (4.33)

ou:

Ω

(a) + Ω

(a) = 1, (4.34)

da qual encontramos:

(a) = H



Ω

−



−



(4.35)

Com essa ´ultima em (4.32) obtemos enﬁm a express˜ao completa para a evolu¸c˜ao do

parˆametro de desacelera¸c˜ao em fun¸c˜ao do fator de escala.

4.3 O Universo Observ´avel e a Massa do Gr´aviton

Veja que a equa¸c˜ao (

4.35) a princ´ıpio possui duas constantes desconhecidas; uma delas

´e R

e a outra ´e m

. No entanto podemos estabelecer uma rela¸c˜ao entre as duas se

tomamos (4.35) para o tempo presente (a = 1), obtendo:

Ω

+ Ω

−



−



= 1 (4.36)

ou ainda:

−



1 − Ω

− Ω



= 0. (4.37)

Solucionando (

4.37) para R

= R

) encontramos:









1 ±



1 −

200





(1 − Ω

∗

)









, (4.38)

onde

Ω

∗

= Ω

+ Ω

Assim dado o valor atual do parˆametro de densidade da mat´eria e da radia¸c˜ao podemos

encontrar o valor de R

para um dado m

Note que para que tenhamos valores reais de R

, o termo entre colchetes em (4.38) deve

obedecer a rela¸c˜ao:

1 −

200





(1 − Ω

∗

) > 0, (4.39)

o que imp˜oe um limite inferior para a massa do gr´aviton, em nosso modelo, dado por:



200

(1 − Ω

∗

. (4.40)

Por exemplo, se adotarmos Ω

∗

= 0, 05, obtemos:

> 5, 21m

, (4.41)

ou tomando Ω

∗

= 0.27:

> 4, 57m

. (4.42)

A constante m

que temos usado por simplicidade, ´e chamada de “massa de Hubble” em

[

35] e, como vemos, parece haver algo de mais fundamental devido `a coincidˆencia com a

ordem de grandeza da massa do gr´aviton. Essa quest˜ao pode ser melhor compreendida se

convertemos a rela¸c˜ao (4.40) num limite superior para o comprimento de onda Compton

associado ao gr´aviton:



200

(1 − Ω

∗

)



−

, (4.43)

que nos leva a

< 0, 19

(4.44)

< 0, 22

, (4.45)

para Ω

∗

= 0, 05 e Ω

∗

= 0, 27 respectivamente.

Ou seja, se o gr´aviton possuir massa, o comprimento de onda Compton associado deve ser

inferior ao tamanho atual do horizonte observ´avel, o que ´e um ponto de vista razo´avel

uma vez que o comprimento de onda Compton diz respeito ao alcance da intera¸c˜ao.

Portanto, essa informa¸c˜ao nos mostra que a contribui¸c˜ao do termo massivo deve ser

relevante em nosso Universo no tempo atual.

4.4 A Idade do Universo

A escala de tempo que nos d´a a ordem de grandeza da idade do Universo em um modelo

cosmol´ogico, assim como nos modelos de Friedmann, ´e o inverso da constante de Hubble:

. (4.46)

Com o valor dado pelo sat´elite WMAP, que ´e de H

= 71 km s

−1

Mpc

−1

, chegamos a:

= 13, 7 Ganos

Esperamos portanto que um modelo cosmol´ogico razo´avel apresente idades dessa ordem,

que contempla a idade das estrelas mais antigas e o tempo de forma¸c˜ao de estruturas.

Para calcular a idade em nosso modelo basta tomar a deﬁni¸c˜ao do parˆametro de Hubble:

H(a) =



aH(a)

(4.47)

Ent˜ao, substitu´ımos (4.35) em (4.47) e com o aux´ılio de (4.38), a idade do Universo

depender´a apenas de m

e Ω

∗

Na ﬁgura 4.2 mostramos a dependˆencia da idade do Universo com a massa do gr´aviton,

considerando dois casos particulares. Em primeiro lugar, consideramos que a contribui¸c˜ao

atual do termo de massa para a densidade corresponde a Ω

= 0, 73, ou seja, o valor

atual do parˆametro de densidade que tem sido atribu´ıdo `a constante cosmol´ogica, ou a

algum dos ﬂuido-X como vimos no cap´ıtulo 2. Nesse caso, o valor atual da densidade de

mat´eria corresponderia `a soma das densidades de mat´eria bariˆonica e de mat´eria escura.

Em segundo lugar, consideramos a possibilidade do termo massivo tamb´em representar

mat´eria escura em grandes escalas, e para tal consideramos Ω

= 0, 95. Como vemos, a

Idade do Universo ´e bastante sens´ıvel a pequenas varia¸c˜oes na massa do gr´aviton. Assim,

essa rela¸c˜ao proporciona um limite superior bastante restritivo para a massa.

Para estabelecer um limite superior podemos levar em conta, por exemplo, a idade das

estrelas e aglomerados mais antigos estimada a partir da metalicidade. Essas idades

podem chegar a aproximadamente 14 Ganos (ver e.g. [36]), o que, pela ﬁgura 4.2, nos

leva a um limite de

< 1, 26 × 10

−65

g (4.48)

quando Ω

= 0, 27 e de

< 3, 53 × 10

−65

g (4.49)

0 2e-65 4e-65 6e-65 8e-65 1e-64 1.2e-64 1.4e-64

Idade do Universo [Ganos]

[g]

Ω

=0,73

Ω

=0,95

FIGURA 4.2 – Rela¸c˜ao dentre a idade do Universo e a massa do gr´aviton.

para Ω

= 0, 05. Esses valores nos deixam com limites cerca de 10 ordens de magnitude

mais restritivos do que os atuais limites impostos para a dinˆamica planet´aria no sistema

solar, e cerca de 3 ordens de magnitude mais restritivos do que as inferˆencias em aglo-

merados de gal´axias.

Resumindo esses resultados com os resultados da se¸c˜ao precedente, a massa do gr´aviton,

nesse modelo, estar´a restrita aos intervalos:

2, 00 × 10

−65

h g < m

 3, 53 × 10

−65

g para Ω

= 0, 95 (4.50)

1, 75 × 10

−65

h g < m

 1, 26 × 10

−65

g para Ω

= 0, 73, (4.51)

onde h = 0, 71

+0,04

−0,03

[1].

Note que a rela¸c˜ao (4.38) possui duas respostas: a primeira para o sinal “+” e outra para

o sinal “-” do termo que aparece entre colchetes. Os resultados dessa se¸c˜ao foram obtidos

utilizando a primeita alternativa. Nossa escolha foi fundamentada na curva idade × m

resultante para ambas as rela¸c˜oes. Quando consideramos a segunda rela¸c˜ao (com o sinal“-

”), a idade do Universo ´e maior para massas maiores, o que, ﬁsicamente, n˜ao faz sentido.

Esperamos que quando m

→ 0 recuperemos os resultados da RG, e p ortanto, que

tenhamos idades maiores. Quando tomamos maiores valores de massa o modelo deve

apresentar resultados diferentes da RG, o que signiﬁca idades menores em nosso caso.

Ent˜ao, foi para que tiv´essemos consistˆencia f´ısica, que escolhemos a primeira solu¸c˜ao de

(4.38):









1 +



1 −

200





(1 − Ω

∗

)









, (4.52)

a qual, quando utilizada no c´alculo da idade, gera o comportamento da curva represen-

tada na ﬁgura 4.2.

4.5 O Passado e o Futuro

Podemos obter a hist´oria evolutiva completa do Universo integrando a equa¸c˜ao (4.28),

uma vez que j´a conhecemos a evolu¸c˜ao das densidades de energia. Utilizaremos tamb´em

a rela¸c˜ao entre R

e m

dada por (4.52). Com isso, obtivemos numericamente a evolu¸c˜ao

do fator de escala normalizado em fun¸c˜ao do tempo, o resultado pode ser visto na ﬁgura

4.3.

E interessante notar que o comportamento da curva a(t) no passado e presente assemelha-

se `a evolu¸c˜ao dos modelos de Friedmann com constante cosmol´ogica. Por´em, o futuro

´e drasticamente diferente. O termo massivo contribui de tal forma que, no passado ´e

capaz de gerar uma for¸ca cosmol´ogica repulsiva, tornando-a atrativa no futuro e levando

o Universo a colapsar no evento chamado de big crunch. Al´em disso, embora a evolu¸c˜ao

seja qualitativamente a mesma para qualquer valor da massa do gr´aviton, ´e not´avel a

forte dependˆencia do tempo de evolu¸c˜ao com m

. Na ﬁgura 4.4 mostramos a rela¸c˜ao

entre o tempo de vida do Universo e a massa do gr´aviton. As curvas s˜ao semelhantes ao

comportamento da idade visto anteriormente. Novamente, apresentamos os resultados

para o caso de Ω

= 0, 27, que ´e a soma das densidades de mat´eria bariˆonica e mat´eria

escura, e Ω

= 0, 05, ou seja, somente mat´eria bariˆonica.

Apresentamos, ainda, nas ﬁguras 4.5 e 4.6 a evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble em fun¸c˜ao

do fator de escala normalizado, obtido da equa¸c˜ao (4.35). Mais uma vez, identiﬁcamos

a semelhan¸ca entre o comportamento do Universo, no passado, em nosso mo delo e o

modelo ΛCDM apresentado na ﬁgura 2.3 do cap´ıtulo 2.

No gr´aﬁco 4.5, ﬁxamos um valor de m

e comparamos a diferen¸ca de comportamentos

quando consideramos os diferentes valores de densidade de mat´eria, os quais temos as-

sumido como possibilidade. Variar a densidade de mat´eria ou radia¸c˜ao tem um efeito

de deslocamento da curva e para pequenos valores de a as duas curvas tendem para o

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

a(t)

t/t

= 1,2e-65 g

= 5,0e-65 g

= 2,0e-65 g

FIGURA 4.3 – Evolu¸c˜ao do fator de escala normalizado com o tempo (em unidades do

tempo de Hubble).

100

1e-65 2e-65 3e-65 4e-65 5e-65 6e-65 7e-65 8e-65 9e-65 1e-64 1.1e-64 1.2e-64

Tempo de vida do Universo [Ganos]

[g]

Dens. mat. = 0.044

Dens. mat .= 0.27

FIGURA 4.4 – Rela¸c˜ao entre o tempo de vida do Universo com a massa do gr´aviton.

mesmo comportamento. J´a no gr´aﬁco 4.6 ﬁxamos um valor de densidade para a mat´eria

e comparamos o comportamento da curva para diferentes valores de massa para o gr´a-

viton. Repare que no passado as curvas confundem-se, mostrando, mais uma vez, que

FIGURA 4.5 – Evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble em fun¸c˜ao do fator de escala norma-

lizado. A curva azul corresponde a Ω

= Ω

= 0, 044 enquanto a verde

corresponde a Ω

= 0, 27. As duas curvas foram constru´ıdas usando

= 1.4 × 10

−65

o termo massivo tem inﬂuˆencia numa ´epoca mais tardia da hist´oria do Universo. Essa

caracter´ıstica tamb´em pode ser observada na evolu¸c˜ao de a(t) vista na ﬁgura

4.3, j´a que

H(a) d´a a evolu¸c˜ao modulada da derivada temporal do fator de escala. Na realidade,

devido `a estrutura da contribui¸c˜ao do termo massivo para o parˆametro de Hubble (eq.

4.35), quando a → 0 ele pode ser desprezado se comparado com a contribui¸c˜ao da ma-

t´eria e radia¸c˜ao.

O ponto em que as curvas tocam o eixo das abcissas corresponde ao valor m´aximo que

o fator de escala atinge (turn point), e pode ser calculado fazendo-se:

H(a

max

) = 0. (4.53)

Quanto menor a massa do gr´aviton maior ´e esse valor. Isso mostra a rela¸c˜ao entre o

ponto de retorno e o alcance da intera¸c˜ao gravitacional, pois quanto menor a massa do

gr´aviton maior ´e o comprimento de onda Compton associado.

A contra¸c˜ao que se inicia ap´os a

max

pode ser representada pelo mesmo gr´aﬁco de H(a)

com os sinais trocados (ou seja, ˙a < 0).

FIGURA 4.6 – Evolu¸c˜ao do parˆametro de Hubble para diferentes valores de m

. Utili-

zamos Ω

= 0, 27

4.6 Universo Acelerado?

Na ﬁgura 4.7 e 4.8 apresentamos a evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao (eq. 4.32)

cuja express˜ao derivamos anteriormente.

Vemos que ter uma expans˜ao acelerada no tempo presente ´e um fator fortemente depen-

dente do valor de m

e dos parˆametros de densidades atuais que consideramos. Quanto

ao passado, o Universo tem uma fase de expans˜ao desacelerada tal qual apresentada no

modelo XCDM. O crescimento da fun¸c˜ao q(a) no futuro ´e explicado pela revers˜ao na

expans˜ao que vimos na se¸c˜ao anterior. No ponto de retorno, o valor do parˆametro de

desacelera¸c˜ao vai a inﬁnito. No per´ıodo de contra¸c˜ao, os valores de q(a) s˜ao os mesmos

do que aqueles para a expans˜ao, indicando que, em um ciclo completo, temos duas fases

aceleradas, uma enquanto o Universo se expande, e outra quando est´a em contra¸c˜ao.

Para veriﬁcar a dependˆencia entre o valor atual do parˆametro de desacelera¸c˜ao e os

parˆametros de densidade basta fazer a = 1 na equa¸c˜ao (4.32):

Ω

+ Ω

−







−



. (4.54)

Apresentamos essa dependˆencia na ﬁgura

4.9. Se assumimos Ω

= 0, 27 teremos o Uni-

FIGURA 4.7 – Evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao em fun¸c˜ao do fator de escala

normalizado. A curva azul corresponde a Ω

= Ω

= 0, 044 enquanto

a verde corresponde a Ω

= 0, 27. As duas curvas foram constru´ıdas

usando m

= 1.4 × 10

−65

verso acelerado no presente para m

< 1, 27 ×10

−65

g. Se Ω

= 0, 044 ent˜ao o Universo

estar´a acelerado no tempo presente se m

< 1, 47 × 10

−65

E interessante notar que esse resultado ´e compat´ıvel com universos de idades e ciclos

maiores, o que pode indicar uma tendˆencia para o melhor modelo nessas faixas de mas-

sas. No entanto, ´e poss´ıvel obter um modelo com idade coerente e com desacelera¸c˜ao

no presente. Assim, o modelo poderia explicar a grande parcela de densidade de ener-

gia desconhecida, por´em sem proporcionar uma fase de expans˜ao acelerada no tempo

presente, embora tenhamos obrigatoriamente fases de acelera¸c˜ao na hist´oria do Universo

independentemente do valor da massa do gr´aviton.

A ´unica evidˆencia at´e o momento de uma fase de expans˜ao acelerada no tempo presente

prov´em da observa¸c˜ao das Supernovas do tipo Ia a altos redshifts. Por´em os dados obser-

vacionais indicam que h´a acelera¸c˜ao da expans˜ao no tempo presente quando confrontados

com os modelos XCDM, g´as de Chaplygin ou outros.

E de suma importˆancia, p ortanto,

que nosso modelo possa explicar as observa¸c˜oes e, s´o assim, poderemos decidir sobre a

expans˜ao acelerada atual nesse novo contexto.

O estudo dos observ´aveis no modelo massivo ser´a assunto do pr´oximo cap´ıtulo.

FIGURA 4.8 – Evolu¸c˜ao do parˆametro de desacelera¸c˜ao para diferentes valores de m

Foi utilizado Ω

= 0, 27

-1

-0.5

0.5

1.5

1.2e-65 1.25e-65 1.3e-65 1.35e-65 1.4e-65 1.45e-65 1.5e-65 1.55e-65

[g]

Dens. mat. = 0.27

Dens. mat. = 0.044

FIGURA 4.9 – Rela¸c˜ao entre o valor atual do parˆametro de desacelera¸c˜ao, a massa do

gr´aviton e Ω

CAP

ITULO 5

TESTANDO O MODELO

5.1 O Redshift

A informa¸c˜ao mais importante a respeito do fator de escala R(t) prov´em das observa¸c˜oes

dos deslocamentos em freq

uˆencia da luz emitida por fontes distantes. Para calcular tal

deslocamento, podemos nos colocar na origem r = 0 das coordenadas (de acordo com

o princ´ıpio cosmol´ogico, isso ´e mera conven¸c˜ao) e considerar uma onda eletromagn´etica

viajando at´e n´os ao longo da dire¸c˜ao −r, com θ e φ ﬁxados. Na teoria de Visser, assim

como na teoria de Einstein, ´e a m´etrica dinˆamica a respons´avel por descrever as equa¸c˜oes

de movimento. Da m´etrica RW (2.15), a equa¸c˜ao de movimento de uma frente de crista

de onda ´e ent˜ao (e.g. [17]):

= c

− R

(t)

1 − kr

= 0. (5.1)

Se a onda deixa uma gal´axia t´ıpica, localizada em r

, θ

, φ

, no temo t

, ent˜ao ela chegar´a

a n´os no tempo t

dado por:



cdt

R(t)

= f(r

), (5.2)

onde f(r

) ´e independente do tempo, e dada por:

f(r

) ≡



√

1 − kr











sin

−1

k = +1

k = 0

sinh

−1

k = −1

Se a pr´oxima crista deixa r

no tempo t

+ δt

, ela nos alcan¸car´a no tempo t

+ δt

, que

mais uma vez ´e dado por:



+δt

cdt

R(t)

= f(r

) . (5.3)

Considerando que R(t) varia muito pouco no per´ıodo t´ıpico de um sinal luminoso, po-

demos fazer:



+δt

cdt

R(t)



cdt

R(t)

. (5.4)

Neste cap´ıtulo, utilizaremos o ´ındice “0” para simbolizar quando o valor das grandezas for tomado

no tempo atual

Renomeando a integral:



cdt

R(t)

= A(t) e

dA(t)

R(t)

, (5.5)

podemos reescrever (5.4) na forma:

A(t

+ δt

) − A(t

+ δt

) = A(t

) − A(t

)

A(t

+ δt

) − A(t

) = A(t

+ δt

) − A(t

)

δt



A(t

+ δt

) − A(t

)

δt



= δt



A(t

+ δt

) − A(t

)

δt



(5.6)

Tomando δt

→ 0 e δt

→ 0, a equa¸c˜ao (5.6) ﬁca:

δt



dA(t)



= δt



dA(t)



, (5.7)

e por (5.5) encontramos:

δt

R(t

)

δt

R(t

)

. (5.8)

A freq

uˆencia observada ν

´e, ent˜ao, relacionada com a freq

uˆencia emitida por:

δt

R(t

)

R(t

)

. (5.9)

Essa rela¸c˜ao pode ser convenientemente expressa atrav´es do parˆametro conhecido como

redshift z. Ele ´e deﬁnido como a fra¸c˜ao do crescimento do comprimento de onda:

z ≡

− λ

− 1 , (5.10)

assim temos:

a(t) =

1 + z

, (5.11)

onde a(t) = R(t)/R(t

) e t ´e o tempo em que o f´oton foi emitido.

Assim, se o Universo est´a expandindo, ent˜ao R(t

) > R(t), e (5.11) d´a um deslocamento

para o vermelho, enquanto que se o Universo est´a contraindo, ent˜ao R(t

) < R(t), e

(5.11) d´a um desvio para o azul.

5.2 Uma Deﬁni¸c˜ao Cosmol´ogica de Distˆancia

Nossa deﬁni¸c˜ao de distˆancia ser´a baseada na luminosidade aparente de uma fonte dis-

tante.

Seja E = hν a energia de um f´oton emitido pela fonte, e E

= hν

a energia observada

do mesmo f´oton. Devido `a expans˜ao do Universo, por (5.10), a energia recebida ´e dada

por E

= hν(z + 1)

−1

, ou seja, a energia recebida ´e reduzida por um fator (1 + z)

−1

rela¸c˜ao `a energia emitida:

(z + 1)

. (5.12)

Admitindo que a fonte irradie isotropicamente, e que os f´otons s˜ao emitidos num intervalo

de tempo δt, num per´ıodo T o n´umero de f´otons emitidos ´e:

δt

= n .

No mesmo intervalo de tempo, numa superf´ıcie esfericamente sim´etrica distante, ao redor

da fonte, o n´umero de f´otons que chegam ´e:

δt

= n

Fazendo a raz˜ao entre essas duas equa¸c˜oes:

δt

, (5.13)

e por (5.9) encontramos que o n´umero de f´otons que chegam na superf´ıcie esf´erica ´e

alterado por

= n(1 + z)

−1

. (5.14)

Assim, a energia total recebida da fonte no per´ıodo T ´e:

= n

(z + 1)

, (5.15)

onde E

= nE ´e a energia total que emana da fonte no mesmo intervalo de tempo.

Dessa forma, o ﬂuxo recebido ´e alterado pelo mesmo fator:

(z + 1)

. (5.16)

Considere, agora, que a luz emanada da fonte P no tempo t

, ´e observada por n´os

“agora” em O no tempo t = t

< t

)(ver ﬁgura 5.1). A luz se espalhar´a para fora da

superf´ıcie de uma esfera com centro no evento P

(t = t

, r = r

) passando no evento

(t = t

, r = 0). A ´area superﬁcial dessa esfera ´e a mesma da esfera centrada em

passando atrav´es de P

(linha pontilhada da ﬁg. 5.1) devido `a homogeneidade. Essa

FIGURA 5.1 – Luz de P

espalhando-se sobre uma esfera passando por O

. Figura de

[16]

esfera possui raio R(t

e, portanto, sua ´area superﬁcial ´e 4πR

. Assim, o ﬂuxo

ser´a dado por:

F =

4πr

)

, (5.17)

onde L ´e a liminosidade absoluta da fonte. Pela equa¸c˜ao (

5.16) o ﬂuxo observado ﬁca

[16]:

4πr

)(1 + z)

, (5.18)

4πd

, (5.19)

onde d

´e a distˆancia de luminosidade:

= r

R(t

)(1 + z) (5.20)

5.3 A Distˆancia de Luminosidade e a Massa do Gr´aviton

A distˆancia de luminosidade depende tanto da curvatura espacial quanto da dinˆamica

da expans˜ao do Universo. Para demonstrar isso, tomemos novamente a express˜ao (5.1)

que, como vimos, resulta em:





√

1 − kr





cdt

R(t)

= ϑ , (5.21)

que nos d´a

r = sin ϑ k = +1

r = ϑ k = 0

r = sinh ϑ k = −1

Pela deﬁni¸c˜ao do parˆametro de Hubble e por (5.11) temos que:

= −(1 + z)H(z) , (5.22)

que nos permite reescrever a rela¸c˜ao (5.21) na forma:

ϑ =



cdt

R(t)





h(z



)

, (5.23)

onde h(z) = H(z)/H

. Tomando a equa¸c˜ao de Friedmann (2.18) para o tempo atual,

temos a seguinte rela¸c˜ao para o parˆametro de densidade total do Universo:

= Ω

total

− 1 . (5.24)

Assim, com (5.24) e (5.23) em (5.20) temos a express˜ao geral para a distˆancia de lumi-

nosidade num Universo com diversos componentes [37]:

(z) =

(1 + z)cH

−1

|Ω

total

− 1|

S(ϑ) (5.25)

onde

ϑ = |Ω

total

− 1|





h(z



)

, (5.26)

e S(ϑ) ´e deﬁnido como segue:

S(ϑ) =











sin ϑ k = +1 (Ω

total

> 1)

ϑ k = 0 (Ω

total

= 1)

sinh ϑ k = −1 (Ω

total

< 1)

Tomando, por exemplo, o mo delo com mat´eria dominante e Universo plano, temos:

= (1 + z)cH

−1





h(z



)

= (1 + z)cH

−1





(1 + z



)

(5.27)

= 2cH

−1



(1 + z) − (1 + z)



. (5.28)

Para a solu¸c˜ao de de Sitter (Ω

= 1 e Ω

= 0), a distˆancia de luminosidade ´e simpliﬁcada

para:

= cH

−1

z(1 + z) . (5.29)

Considerando o modelo com mat´eria, radia¸c˜ao e constante cosmol´ogica, a equa¸c˜ao (5.25)

ﬁca:

ΛCDM

= (1 + z)cH

−1







Ω

(1 + z



)

+ Ω

(1 + z



)

+ Ω

, (5.30)

e para o modelo que constru´ımos a partir da teoria de Visser, utilizando a equa¸c˜ao (4.35),

ﬁcamos com:

mass

= (1 + z)cH

−1







Π(z



) , (5.31)

onde

Π(z



) =

(1 + z



)

Ω

(1 + z



)

+ Ω

(1 + z



)

− (m

)

/14 − (R

/10)(1 + z



)

]

. (5.32)

Se utilizamos a rela¸c˜ao entre o fator de escala tomado para o tempo atual, e a massa do

gr´aviton (eq. 4.52), os parˆametros livres para a rela¸c˜ao (5.31) s˜ao Ω

, Ω

e m

Calculamos numericamente a distˆancia de luminosidade para o modelo massivo e para

o modelo ΛCDM. Na ﬁgura 5.2 comparamos esses dois modelos e, de forma ilustrativa,

graﬁcamos tamb´em d

(z) e d

(z). O c´alculo da distˆancia de luminosidade d

mass

que

apresentamos nessa ﬁgura foi realizado utilizando m

= 1, 25 × 10

−65

g e Ω

= 0, 27, no

entanto ´e interessante veriﬁcar, tamb´em, como se comporta a distˆancia de luminosidade

para outras combina¸c˜oes de parˆametros.

Na ﬁgura 5.3 apresentamos diferentes possibilidades, inclusive para Ω

= 0, 04 que,

como vemos, para certos valores de massa, aproxima-se da curva d

ΛCDM

(z) para baixos

redshifts. De outra forma, a distˆancia de luminosidade calculada para Ω

= 0, 27 descreve

FIGURA 5.2 – Distˆancia de luminosidade (em unidades de cH

−1

) para o modelo mas-

sivo, ΛCDM, mat´eria dominante e de Sitter.

o mesmo comportamento que no modelo ΛCDM, sendo p oss´ıvel ajustar uma dado valor

de massa para o gr´aviton que sobrep˜oe as duas curvas, esse valor ´e m

≈ 1, 4 × 10

−65

Para esse valor de massa, o parˆametro de desacelera¸c˜ao possui valor positivo no tempo

atual (ver ﬁg 4.9), ou seja, o modelo nos fornece expans˜ao desacelerada no tempo atual

para a mesma evolu¸c˜ao que, no modelo ΛCDM, nos fornece expans˜ao acelerada.

No entanto, a diferen¸ca entre as curvas com diferentes valores de massa ´e muito sutil,

aumentando pouco para altos redshifts. Note, por exemplo, os valores de massa para o

gr´aviton que escolhemos na ﬁgura 5.3, o menor valor corresponde a q

< 0, enquanto o

maior corresponde a q

> 0.

E claro que, nesses casos, os menores valores s˜ao prefer´ıveis,

uma vez que eles proporcionam um modelo de Universo com maiores valores de idade.

Para veriﬁcar as diferˆen¸cas entre a distˆancia de luminosidade no modelo massivo e no

modelo com costante cosmol´ogica, graﬁcamos d

mass

(z) × d

ΛCDM

na ﬁgura 5.4

Estivemos comparando nosso modelo com o modelo ΛCDM que melhor ajusta os dados

observacionais (Ω

= 0, 27 e Ω

= 0, 73), no entanto, esse modelo possui suas limita¸c˜oes.

Assim, faz-se mister a compara¸c˜ao direta do modelo massivo com os dados observacionais.

A pr´oxima se¸c˜ao ser´a dedicada a essa tarefa.

FIGURA 5.3 – Distˆancia de luminosidade (em unidades de cH

−1

) para diferentes com-

bina¸c˜oes dos parˆametros Ω

e m

comparadas com o modelo ΛCDM. A

legenda est´a dada da seguinte forma: (Ω

; m

[1 × 10

−65

g])

5.4 As Supernovas Tipo Ia

Supernova ´e uma explos˜ao estelar que produz um plasma remanescente extremamente

brilhante, que pode emitir na regi˜ao vis´ıvel do espectro por semanas ou meses. H´a dife-

rentes tipos de supernovas e duas poss´ıveis rotas para sua forma¸c˜ao. Uma estrela massiva

pode cessar de gerar energia por fus˜ao dos n´ucleos atˆomicos em sua regi˜ao central e co-

lapsar sob a a¸c˜ao de sua pr´opria gravidade, formando uma estrela de nˆeutrons ou um

buraco negro, ou uma an˜a branca pode acumular material de uma estrela companheira

at´e atingir o limite de Chandrasekhar.

As supernovas do tipo Ia correspondem `a segunda classe e s˜ao caracterizadas pela au-

sˆencia completa de linhas de hidrogˆeneo e h´elio, al´em de uma distinta e forte linha de

absor¸c˜ao pr´oxima a 6100

A, a qual vem de um dubleto de sil´ıcio uma vez ionizado. O

alto valor de sua luminosidade (M

 −19, 5) sugere que ela pode ser vista a grandes

distˆancias, o que a torna um candidato ideal para medir e restringir os parˆametros cosmo-

l´ogicos. A importˆancia crucial em utilizar as supernovas tipo Ia para estimar a distˆancia

de luminosidade d

vem da observa¸c˜ao de que: (a) a dispers˜ao em sua luminosidade

m´axima ´e extremamente pequena ( 0, 3); (b) a largura da curva de luz da supernova

0 1 2 3 4 5

mass

Λ-CDM

0,04; 1,46

0,04; 2,50

0,27; 1,25

0,27; 1,50

Λ-CDM

mass

FIGURA 5.4 – Compara¸c˜ao entre as distˆancias de luminosidades (em unidades de cH

−1

)

calculada no modelo massivo e no modelo ΛCDM para diferentes combi-

na¸c˜oes dos parˆametros Ω

e m

. A legenda est´a dada da seguinte forma:

(Ω

; m

[1 × 10

−65

g]).

est´a fortemente correlacionada com sua luminosidade intr´ınseca: uma supernova mais

brilhante ter´a uma curva de luz mais larga indicativa de um decl´ınio mais gradual do

brilho. As caracter´ısticas (a) e (b) reduzem a dispers˜ao da luminosidade absoluta da

supernova do tipo Ia para  10% [37] tornando-as excelentes “velas padr˜ao” (standard

candle).

Na ﬁgura 5.5 mostamos a compara¸c˜ao entre os espectros de uma supernova descoberta

em janeiro de 1999 [38] com outra supernova em diferente redshift. A ﬁgura ilustra que

n˜ao h´a diferen¸ca signiﬁcativa, o que d´a suporte `a hip´otese de vela padr˜ao.

No intuito de restringir os parˆametros cosmol´ogicos, levantamentos de supernovas tipo

Ia foram realizados por alguns grupos de pesquisa tais como o Supernova Cosmology

Project [2], o High-z Supernova Search Team [40] ou mais recentemente Riess et al [39]

entre outros.

FIGURA 5.5 – Compara¸c˜ao espectral entre duas supernovas tipo Ia a alto (z = 0, 46) e

baixo (z = 0, 0) redshift mostrando uma not´avel similaridade. Figura de

[38].

Uma quantidade de particular interesse nesse contexto ´e a magnitude aparente m de um

objeto de magnitude absoluta M, que relaciona-se com o redshift por:

µ ≡ m − M = 5 log(d

) − 5 + A, (5.33)

onde µ ´e conhecido como m´odulo de distˆancia, A ´e a absor¸c˜ao em magnitudes e d

´e a

distˆancia de luminosidadeluminosidade (em pc) dep endente da cosmologia que estuda-

mos nas se¸c˜oes anteriores. Num modelo XCDM, a rela¸c˜ao (5.33) pode ser utilizada, em

princ´ıpio, para determinar os parˆametros Ω

e Ω

total

se m e M s˜ao conhecidos dentro de

limites razo´aveis. Em nosso modelo ela nos permitir´a determinar tamb´em m

0 0.5 1 1.5 2

Dados de Riess et al (2004)

Modelo Λ-CDM

FIGURA 5.6 – Melhor ajuste do m´odulo de distˆancia te´orico (curva s´olida), obtida a

partir do modelo Λ-CDM, com os dados da tabela 5 de [39]. As barras

de erro s˜ao aquelas tomadas dos dados publicados.

Na ﬁgura 5.6 reproduzimos o melhor ajuste no modelo ΛCDM utilizando (5.30) em

(5.33). A curva te´orica ´e comparada com os dados de Riess et al [39]. O pr´oximo passo

´e comparar nosso modelo com os dados observacionais. Aplicando (5.31) em (5.33) obte-

mos como o m´odulo de distˆancia se comporta com o redshift. Na ﬁgura 5.7 comparamos o

modelo massivo para alguns valores de massa do gr´aviton e para os valores de densidade

da mat´eria que temos tomado como padr˜oes. Veja que o melhor ajuste para todos os da-

dos (e o que descreve o mesmo comportamento que o modelo Λ-CDM) ´e obtido quando

utilizamos Ω

= 0, 27. Pequenas varia¸c˜oes na massa do gr´aviton, para esse valor de den-

sidade relativa da mat´eria, n˜ao alteram a concordˆancia com os pontos observacionais,

as curvas para m

= 1, 25 × 10

−65

g e m

= 1, 35 × 10

−65

g est˜ao praticamente sobre-

postas e caem perfeitamente dentro das barras de erro. No entanto, o primeiro valor nos

confere um universo acelerado no tempo presente (ver ﬁg. 4.9), enquanto o segundo nos

guia para uma solu¸c˜ao desacelerada. Assim, em princ´ıpio, nosso modelo po de explicar os

dados sem a necessidade de impor um universo acelerado no tempo presente, embora ele

tenha passado por uma fase de acelera¸c˜ao da expans˜ao no passado. O modelo massivo

admite, inclusive, a possibilidade de que o universo esteja se expandindo com velocidade

0 0.5 1 1.5 2

Dados de Riess et al (2004)

0,27; 1,35

0,27; 1,25

0,04; 1,45

0,04; 1,75

FIGURA 5.7 – Compara¸c˜ao entre o m´odulo de distˆancia te´orico, obtida a partir do mo-

delo massivo, com os dados da tab ela 5 de [39]. A legenda ´e dada na

seguinte forma: (Ω

; m

[10

−65

g]) As barras de erro s˜ao aquelas toma-

das dos dados publicados.

constante no tempo presente (q

= 0), o valor para a massa do gr´aviton nesse caso seria

de 1, 28 × 10

−65

g quando utilizamos Ω

= 0, 27.

Voltemos nossa aten¸c˜ao para o caso Ω

= 0, 04. O que vemos pela ﬁgura 5.7 ´e que, para

= 1, 45×10

−65

g (q

< 0), a curva ´e condizente com as observa¸c˜oes at´e z ≈ 1, 2. Para

redshifts mais altos, os objetos observados deveriam parecer menos brilhantes segundo

essa curva. Mas, veja que a quantidade de dados para redshifts mais altos ´e menor, o

que mostra tamb´em a diﬁculdade em se observar objetos muito distantes. Para maiores

valores de massa do gr´aviton, a curva se distancia mais dos dados, como ´e o caso da

curva para m

= 1, 75 ×10

−65

g (q

> 0). Mesmo assim essa curva ainda est´a dentro das

barras de erros para baixos redshifts.

Essa an´alise nos motiva a escolher Ω

= 0, 27 e valores de massa para o gr´aviton pr´oxi-

mas ao limite inferior como sendo os parˆametros que proporcionam melhor concordˆancia

com as observa¸c˜oes. No entanto, como j´a mencionamos, as diferen¸cas mais signiﬁcativas

na escolha de diferentes parˆametros aparecem para altos redshifts (z  1, 2). Assim,

somente o ac´umulo de observa¸c˜oes de eventos cada vez mais distantes pode nos levar a

uma inferˆencia a respeito dos corretos valores dos parˆametros.

CAP

ITULO 6

CONCLUS

H´a um fato not´avel que emerge do modelo obtido. Veja que, nas an´alises que ﬁzemos

a respeito da massa do gr´aviton, em todos os casos, a massa tende para um mesmo, e

muito pequeno, conjunto de poss´ıveis valores.

Analisemos em particular o caso Ω

= 0, 27. No c´alculo da idade obtivemos os limites

(4.51), sendo que o limite superior depende do valor da idade que admitimos, em nosso

caso assumimos um modelo com idade m´ınima de 14Ganos. Dentro das massas poss´ıveis

nesse intervalo, a curva µ × z praticamente n˜ao ´e alterada, sendo condizente com as

observa¸c˜oes das supernovas do tipo Ia (ver ﬁg. 5.7) e mais, o comportamento dessa curva

´e o mesmo do melhor ajuste previsto pelo modelo ΛCDM para os redshifts observados.

Ent˜ao esperamos que a massa do gr´aviton possua um valor muito pr´oximo do limite

inferior para que o modelo tenha consistˆencia.

E justamente para esses pequenos valores

que teremos um modelo acelerado no tempo presente. No entanto, ´e importante ressal-

tar, mais uma vez, que a linha divis´oria entre um Universo acelerado ou desacelerado no

tempo atual ´e extremamente sens´ıvel ao valor da massa do gr´aviton. De tal forma que

se relaxarmos um pouco o crit´erio do valor m´ınimo da idade, somos capazes de descrever

as observa¸c˜oes das Supernovas sem que o Universo esteja acelerado no tempo presente,

embora tenha passado inevitavelmente por uma fase acelerada em sua hist´oria evolutiva.

Sendo assim, nossa conclus˜ao a respeito desse modelo, que podemos chamar (abusando

da linguagem) de massCDM, ´e que n˜ao ´e poss´ıvel distingu´ı-lo do ΛCDM a partir das

observa¸c˜oes das Supernovas tipo Ia.

E o caso Ω

= 0, 04? A mesma ﬁgura 5.7 nos mostra que os dados podem ser explicados

para at´e aproximadamente z = 1, 2 para um dado valor de massa. Para redshifts mais

altos, como j´a vimos, o modelo sai dos pontos exp erimentais e n˜ao ´e capaz de descrever

t˜ao bem os dados como o modelo ΛCDM ou massCDM. Mas ´e importante ressaltar a

baixa quantidade de dados para altos redshifts, o que n˜ao nos deixa em posi¸c˜ao de ex-

cluir o modelo sem outros testes ou medidas em maiores distˆancias. Mas aqui devemos

estar atentos a um ponto. Explicar mat´eria ou energia escura s˜ao tarefas distintas. A

energia escura ´e necess´aria para as escalas cosmol´ogicas, e como vimos, em princ´ıpio,

nosso modelo ´e capaz de explic´a-la. Por outro lado, a mat´eria escura ´e necess´aria j´a em

escalas gal´acticas, devido `a diferen¸ca observada nas curvas de rota¸c˜ao te´orica (utilizando

gravita¸c˜ao Newtoniana) e exp erimental, surgindo a necessidade ent˜ao de impor a exis-

tˆencia de mat´eria adicional n˜ao observada ou de uma modiﬁca¸c˜ao na lei de gravita¸c˜ao.

Esses resultados utilizam-se do limite n˜ao relativ´ıstico e, nesse limite, a teoria de Visser

resulta num potencial do tipo Yukawa. Para gr´avitons com massas da ordem qua estamos

considerando ( 10

−65

g), o potencial de Yukawa deve prever os mesmos resultados que o

Newtoniano para escalas do tamanho de gal´axias t´ıpicas [41], pois estes valores de massa

nos conferem um comprimento de onda Compton da ordem do tamanho do Universo

observ´avel. Desse ponto de vista conclu´ımos que o modelo massivo n˜ao po de explicar a

mat´eria escura.

Vale ressaltar que, algumas id´eias na constru¸c˜ao de nosso modelo foram assumidas a

priori como por exemplo os valores das densidades de energia e a planura do Universo

(k = 0). Embora sejam conceitos bem aceitos de forma geral, ´e interessante manter es-

ses parˆametros livres e, atrav´es de estudos estat´ısticos, determin´a-los pelas observa¸c˜oes

atrav´es dos melhores ajustes com os dados.

Cabe aqui algumas palavras sobre a curvatura espacial na teoria de Visser. Se a m´etrica

dinˆamica n˜ao for plana, ´e consistente conceitualmente utilizarmos uma m´etrica de fundo

tipo Minkowski? Ou, de outra forma, a m´etrica de fundo deveria descrever a mesma

curvatura que a m´etrica dinˆamica? S˜ao quest˜oes para as quais ainda n˜ao temos respos-

tas, mas que s˜ao importantes na constru¸c˜ao de um modelo completo que seja capaz de

abarcar todas as possibilidades. S´o o que podemos adiantar ´e que, se as curvaturas das

duas m´etricas forem distintas a complexidade das equa¸c˜oes aumenta consideravelmente.

De qualquer forma, esse ´e apenas um primeiro teste para o modelo cosmol´ogico com

gr´avitons massivos. Muitas outras quest˜oes podem ser levantadas para testar o modelo,

dentre elas podemos ressaltar algumas, por exemplo: como ´e o cen´ario de forma¸c˜ao de

estruturas?

E poss´ıvel reproduzir o espectro de potˆencia da radia¸c˜ao c´osmica de fundo

nesse modelo? Como se daria a evolu¸c˜ao de ondas gravitacionais primordiais nesse con-

texto?

E poss´ıvel encontrar alguma assinatura na CMB que indique a existˆencia de um

gr´aviton com massa n˜ao nula?

Em particular, o chamado modo-B de polariza¸c˜ao da CMB nos fornece uma oportuni-

dade ´unica de disting

uir entre efeitos de perturba¸c˜oes tensoriais (ondas gravitacionais) e

escalares, uma vez que este ´e excitado apenas por modos tensoriais ou vetoriais [42].

Deste ponto de vista, futuras miss˜oes com sat´elites, como o Planck, os quais ter˜ao sensi-

bilidade suﬁciente para detectar ou estabelecer limites para o modo-B da CMB predito

pelos modelos inﬂacion´arios mais simples, podem representar o primeiro detector espa-

cial de ondas gravitacionais [43]. Ent˜ao, as futuras miss˜oes da CMB apresentar˜ao uma

forma alternativa de impor um novo limite superior para a massa do gr´aviton e para

restringir o n´umero de modos de polariza¸c˜ao das ondas gravitacionais.

No que diz respeito `a detec¸c˜ao de ondas gravitacionais, podemos dizer que atrav´es de seu

estudo experimental ser´a poss´ıvel testar diretamente a gravidade no regime radiativo. A

RG poder´a ser testada como nunca antes havia sido, e novos limites ser˜ao impostos `as

teorias alternativas.

Um aspecto interessante dentro do estudo de fontes de radia¸c˜ao gravitacional, ´e que os

modelos inﬂacion´arios prevˆeem a gera¸c˜ao de um fundo estoc´astico de ondas gravitacio-

nais primordiais. Esse fundo ´e uma consequˆencia da ampliﬁca¸c˜ao da parte “tranversa e

sem tra¸co” das ﬂutua¸c˜oes quˆanticas do tensor m´etrico. O resultado disso ´e a forma¸c˜ao de

um fundo estoc´astico primordial de ondas gravitadionais distribu´ıdo sobre uma grande

faixa de frequˆencias [44].

A forma e as caracter´ısticas de um fundo estoc´astico detectado s˜ao dependentes tanto

da cosmologia como da teoria de gravita¸c˜ao adotada. Esperamos portanto, que teorias

alternativas de gravita¸c˜ao, como a teoria de Visser, apresentem fundos estoc´asticos dis-

tintos dos previstos pela RG. Esta via constitui-se numa maneira de identiﬁcar a correta

teoria de gravita¸c˜ao.

Esses estudos v˜ao de encontro aos interesses do Grupo Gr´aviton da Divis˜ao de Astrof´ı-

sica do INPE. Algumas das quest˜oes levantadas neste cap´ıtulo ser˜ao analisadas de forma

direta no meu projeto de doutoramento.

Embora o valor da massa do gr´aviton possa ser t˜ao pequeno e n˜ao venha a ser relevante

para o sistema solar, h´a um teste simples, que pode servir para limitar a massa do gr´a-

viton ou ainda pode ser um fator excludente da teoria de Visser. Trata-se do avan¸co

do perih´elio da ´orbita dos planetas. Esse problema j´a ´e conhecido de longa data e, na

relatividade geral, sua solu¸c˜ao surge considerando-se termos perturbativos na ´orbita, que

prov´em da utiliza¸c˜ao de uma m´etrica esfericamente sim´etrica para o v´acuo: a m´etrica de

Schwarzschild. Os resultados da RG est˜ao em b om acordo com as observa¸c˜oes. A quest˜ao

´e que na teoria de Visser, a solu¸c˜ao que encontrar´ıamos cosiderando simetria esf´erica no

v´acuo e na presen¸ca de campos gravitacionais seria diferente da m´etrica de Schwarzs-

child. Ent˜ao, ser´a que essa nova m´etrica estaria tamb´em de acordo com as observa¸c˜oes?

Esta ´e uma quest˜ao importante que deve, com certeza ser levada em considera¸c˜ao.

Como vemos, essa ´e uma teoria que apenas est´a come¸cando a ser explorada, mas que

demanda aten¸c˜ao em virtude dos bons resultados obtidos no que diz respeito `a cosmo-

logia. Perante os atuais modelos para a energia escura, a teoria de Visser vem em boa

hora trazendo uma poss´ıvel explica¸c˜ao que apresenta consider´avel simplicidade concei-

tual, procurando manter a f´ısica no campo do “conhecido”, ou seja, sem a necessidade

de postular a existˆencia de ﬂuidos ex´oticos que dominem a dinˆamica do Universo como

um todo. Neste ponto, evocamos mais uma vez o princ´ıpio de Occam, para dizer que

as solu¸c˜oes mais simples tendem a ser as corretas, tornando desnecess´arias a adi¸c˜ao de

quaisquer termos ou entidades extras.

REFER

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