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Jiusandro K
¨
uhn
Controle Param
´
etrico de Evolu¸c
˜
ao
Qu
ˆ
antica
Tese apresentada ao Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em F´ısica
do Setor de Ciˆencias Exatas da Universidade Federal do
Paran´a, como requisito parcial para a obten¸c˜ao do grau
de Doutor em Ciˆencias.
Orientador: Prof. Dr. Marcos Gomes Eleut´erio da Luz
Curitiba
2008
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Folha de Aprova¸c
˜
ao
i
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Resumo
No presente trabalho mostramos como controlar diferentes sistemas quˆanti-
cos atrav´es de um procedimento que utiliza campos externos est´aticos por partes. O
procedimento ´e fundamentado na aplica¸c˜ao da teoria do controle inverso e na solu¸c˜ao
da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger independente do tempo. Com base neste procedimento
apresentamos um estudo anal´ıtico do controle do valor esperado de um observ´avel
para um sistema de dois e trˆes n´ıveis. Neste problema destinamos nossos esfor¸cos
na busca de um campo externo param´etrico, dependente do tempo, que conduzir´a o
valor esperado de um observ´avel por um caminho espec´ıfico. Para esses sistemas es-
tudamos como as imprecis˜oes e flutua¸c˜oes no campo externo interferem na qualidade
do controle. Em seguida, aplicamos a t´ecnica para controlar os efeitos de reconstru-
¸c˜ao de um pacote de ondas para diferentes momentos iniciais em um bilhar circular.
Neste problema, utilizamos um campo magn´etico externo para mostrar como inco-
erˆencias nas energias interferem na qualidade do controle. Finalmente, no ´ultimo
cap´ıtulo, fazemos um estudo do espalhamento de um pacote de ondas Gaussiano por
um potencial de contato geral movendo-se com velocidade constante. Neste ´ultimo,
mostramos como ´e poss´ıvel usar potenciais de contato para controlar o momento
m´edio do pacote de ondas.
ii
Abstract
In the present work, we develop a parametric procedure based on tuning
time-independent external fields piecewisely to control different quantum systems.
For so, we use the so called inverse method for the time-independent Schr
¨
odinger
equation. We discuss the particular cases of controlling the expectation values of ar-
bitrary operators for two and three levels systems. We show how to set the external
potential, which changes in time intervals ∆t, making the expected value of an obser-
vable to follow a determined trajectory. Also, for the two levels case, we analyze how
the presence of small errors in the control parameters values influences the control
accuracy. We furthermore apply the method to control the revivals of a wave packet
confined in a circular billiard. If we consider initial wave packets with increasing
values of linear momentum, then the possibility of reconstruction of the packet at
certain times (the revival times) dies out. Here we demonstrate how to recover, at
least partially, the revival behavior by means of an applied constant magnetic field.
Finally, we study the scattering of wave packets by contact interaction potentials in
1D. We assume the potentials to move with constant velocity. We discuss how the
characteristics of the transmitted packets can be “tailored” through the appropriate
choice of the potential parameters.
iii
Agradecimentos
Em mem´oria de meu pai
H´elio Roberto K
¨
uhn
Gostaria de agradecer a todas as pessoas que de alguma forma contribu´ı-
ram para que esta tese pudesse ser realizada. Ao Prof. Marcos Gomes Eleut´erio da
Luz pela orienta¸c˜ao e paciˆencia a mim dedicada desde 2002, quando come¸camos a
trabalhar juntos. Pela oportunidade a mim concedida de desenvolver meus primeiros
trabalhos em mecˆanica quˆantica, em especial, nessa fascinante ´area do conhecimento
que ´e o controle quˆantico. Aos estudantes da p´os-gradua¸c˜ao, em especial, ao pes-
soal da sala (“sala-πB”) pela convivˆencia durante esses anos: Jane Rosa, Camila
Tonezer, S´ılvio Buchner, Adriano Willian da Silva, Paulo C´esar Rech, Milton Do-
mingues Michel, C´esar Manchein, Denize Kalempa, Ezequiel Burkarter, Alexandre
Mikowski. Aos colegas Fabiano Manoel de Andrade e Cristiano Francisco Woellner
pelas discuss˜oes sobre computa¸c˜ao.
Agrade¸co ao Departamento de F´ısica pela estrutura cedida para o desenvol-
vimento da pesquisa. Pelos laborat´orios de inform´atica que permitiram a realiza¸c˜ao
deste trabalho. Ao Prof. Carlos Carvalho pelo suporte computacional. Ao grupo de
f´ısica atˆomica e molecular (Atomol) pelos semin´arios e oportunidades de discuss˜oes.
Aos professores, Prof. Marcus Werner Beims pela dedica¸c˜ao e confian¸ca nos projetos
iv
- v -
de pesquisa. A banca de qualifica¸c˜ao, Prof. M´arcio Henrique Franco Bettega, Prof.
Miguel Abbate e Prof. Renato Moreira Angelo, pelas contribui¸c˜oes na leitura, revi-
s˜ao e sugest˜oes na primeira vers˜ao da tese. Aos membros da banca de defesa, Prof.
Flavio Caldas da Cruz, Prof. Jayme Vicente de Luca Filho, Prof. Marcus Werner
Beims e Prof. M´arcio Henrique Franco Bettega. Aos funcion´arios do departamento,
em especial `a secret´aria da p´os-gradua¸c˜ao Tˆania Aparecida dos Santos.
Agrade¸co tamb´em a F´abio Marcel Zanetti, Adam Luiz de Azevedo, Alexan-
dre Grezzi de Miranda Schmidt e Bin Kang Cheng pela colabora¸c˜ao no trabalho
sobre os potenciais de contato. Ao Guilherme Jurkevicz Delben pela colabora¸c˜ao no
trabalho sobre o controle quˆantico no bilhar circular.
`
A CAPES pelo ap´oio financeiro fornecido a mim e ao projeto de pesquisa
sem o qual n˜ao seria poss´ıvel realiz´a-lo.
Gostaria de agradecer a minha maravilhosa fam´ılia. Aos meus pais, Rose-
mari e H´elio, e ao meu irm˜ao Jimiandreos (ju´ızo). A minha doce esposa Jane, pela
convivˆencia durante esses anos, e pelas longas discuss˜oes sobre f´ısica, e em particular,
sobre o meu trabalho.
`
A minha enteada Caroline, sabemos que n˜ao ´e f´acil conviver
com dois f´ısicos em casa! Obrigado tamb´em aos meus amigos pelas horas agrad´aveis
que passamos juntos.
Sum
´
ario
1 Introdu¸c
˜
ao 1
1.1 Sele¸c
˜
ao de Modos em Qu
´
ımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Controle Coerente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Controle com Feixes de Laser de Onda Cont
´
ınua . . 6
1.2.2 Controle com Laser Pulsado . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 O Controle
´
Otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 O Controle da Trajet
´
oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 O Controle Inverso e os Temas Relacionados com
a Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Objetivo e Estrutura da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Controle Qu
ˆ
antico em um Sistema de Dois N
´
ıveis 28
2.1 O M
´
etodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 A Solu¸c
˜
ao da Equa¸c
˜
ao de Schr
¨
odinger . . . . . . . . . 32
2.1.2 O Estado Qu
ˆ
antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 O Valor Esperado de um Observ
´
avel . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Resultados e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Controle de S(t) para Determinados Instantes de
Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Controle de S(t) Como uma Trajet
´
oria . . . . . . . . 43
vi
Sum
´
ario - vii -
2.4 Discuss
˜
ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 A Sensibilidade do Controle a Erros nos Valores
dos Par
ˆ
ametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 A generalidade do M
´
etodo em Rela¸c
˜
ao ao Estado
Inicial |Ψ(t
0
) e o Observ
´
avel V . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.3 Generalidade do M
´
etodo: Demonstra¸c
˜
ao . . . . . . . 53
2.4.4 Conex
˜
ao com os Par
ˆ
ametros do Campo de um Laser 55
2.5 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo . . . . . . . . . . . . . 58
3 Controle Qu
ˆ
antico em um Sistema de Tr
ˆ
es N
´
ıveis 62
3.1 O Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.1 O Vetor de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2 O Valor Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Resultados e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo . . . . . . . . . . . . . 79
4 Controle de Reconstru¸c
˜
oes de um Pacote de Ondas em um Bi-
lhar Circular 81
4.1 O Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1 Fun¸c
˜
oes e Energias Pr
´
oprias do Sistema . . . . . . . . 84
4.2 O Pacote de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3 As Propriedades do Pacote de Ondas . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4 A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo . . . . . . . . . . . . . 103
5 Controle de Transmiss
˜
ao de Pacotes de Ondas Atrav
´
es de Po-
tenciais de Contato Dependentes do Tempo 106
5.1 Potenciais em Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.1 Barreira de Potencial Infinita . . . . . . . . . . . . . . 108
Sum
´
ario - viii -
5.1.2 Intera¸c
˜
ao Pontual Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2 Espalhamento do Pacote de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.1 Caso da Barreira de Potencial Infinita . . . . . . . . 115
5.2.2 Caso de Intera¸c
˜
oes Pontuais . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo . . . . . . . . . . . . . 122
Conclus
˜
oes e Perspectivas 124
A C
´
alculo dos Coeficientes de Transmiss
˜
ao e Reflex
˜
ao 129
Refer
ˆ
encias Bibliogr
´
aficas 132
1
Introdu¸c
˜
ao
Neste cap´ıtulo introdut´orio faremos uma breve revis˜ao hist´orica acerca
do controle quˆantico. Buscaremos enfatizar as principais contribui¸c˜oes
— te´oricas e experimentais — desta nova, por´em, j´a estabelecida ´area
de pesquisa. A Se¸c˜ao 1.4 foi reservada `a contextualiza¸c˜ao desta tese
nesse vasto campo de estudos que se tornou o controle quˆantico. Nas
Se¸c˜oes 1.4.1 e 1.6 faremos a explana¸c˜ao dos objetivos e diretrizes que nos
motivaram a desenvolver tal pesquisa.
O desejo de controlar fenˆomenos em escalas microsc´opicas ´e relativamente
antigo, e nos remete ao per´ıodo do surgimento da mecˆanica quˆantica, por volta do
ano de 1920
1
. Nos anos em que se seguiram houveram muitos avan¸cos rumo ao en-
tendimento da estrutura de ´atomos e mol´eculas, e com isso, ganhamos uma nova
forma de pensar a estrutura da mat´eria, e a maneira como essa estrutura interage
com os sistemas `a nossa volta. A intera¸c˜ao da radia¸c˜ao com a mat´eria ´e um dos
processos conhecidos mais elementares. Este tipo de intera¸c˜ao nos permitiu argu-
mentar a respeito da possibilidade de se controlar fenˆomenos em escalas atˆomicas
1
Anteriormente a esse per´ıodo, quest˜oes muito profundas estavam sendo discutidas acerca das
leis que governam a dinˆamica de part´ıculas em escalas microsc´opicas, tais como o pr´oprio significado
dessa nova ciˆencia.
1
- 2 -
atrav´es da aplica¸c˜ao de um campo de radia¸c˜ao. Com isso, poder´ıamos idealizar es-
ses campos externos como se fossem uma esp´ecie de “pin¸ca ´otica” para manipular o
comportamento atˆomico e molecular; mas para isso precisar´ıamos ter a disposi¸c˜ao
um campo de radia¸c˜ao com as propriedades adequadas para esta tarefa.
´
E impor-
tante lembrar que esse campo de radia¸c˜ao n˜ao era dispon´ıvel na ´epoca em que as
primeiras id´eias sobre o controle come¸caram a surgir. Desse modo, as investiga¸c˜oes
ficavam apenas no ˆambito te´orico, e as implementa¸c˜oes experimentais s´o poderiam
surgir com profundos avan¸cos cient´ıficos e tecnol´ogicos.
A esperan¸ca de se conseguir controlar fenˆomenos em escalas atˆomicas re-
nasceu em 1960, com a publica¸c˜ao de uma nota por Theodore Maiman na revista
Nature [1], a respeito de uma nova fonte de luz emitida por um cristal de rubi. Nessa
nota ele comenta sobre uma t´ecnica de bombeamento ´otico capaz de produzir uma
emiss˜ao ´otica estimulada de comprimento de onda de 6,943
˚
A, ou seja, no espectro
vis´ıvel (vermelho). Essa t´ecnica deu origem `a primeira fonte de luz laser da hist´o-
ria [2]; o laser de rubi. Logo em seguida, em 1961, Ali Javan, William R. Bennett e
Donald R. Herriott, publicam um artigo na revista Physical Review Letters [3], no
qual descrevem as propriedades do laser de g´as h´elio-neˆonio, o primeiro laser de onda
cont´ınua (CW - continue wave). Essa nova fonte de energia criou perspectivas na
f´ısica, na qu´ımica [4] e em outros campos de pesquisa [5]. Mas somente cerca de 10
anos mais tarde — com a inven¸c˜ao do laser pulsado — essa tecnologia come¸cou a ser
empregada de forma efetiva em outras ´areas, em especial, na qu´ımica. Esse foi um
per´ıodo em que os experimentos com lasers tornaram-se vi´aveis, e intensos estudos
de processos atˆomicos e moleculares come¸caram a ser realizados.
Atualmente as t´ecnicas de fabrica¸c˜ao de lasers constituem um intenso campo
de estudos na ´otica, sendo que muitos avan¸cos foram alcan¸cados e novas fontes de
luz foram inventadas. Para aplica¸c˜ao em controle, ´e muito importante que o campo
el´etrico de sa´ıda do laser tenha a possibilidade de ser configurado, para que pos-
teriormente seja aplicado no sistema que se deseja controlar. Uma op¸c˜ao ´e criar
pulsos ultracurtos no dom´ınio tempo. No presente, temos dois tipos de lasers que se
1.1. Sele¸c
˜
ao de Modos em Qu
´
ımica - 3 -
mostram adequados para essa tarefa: os lasers de estado s´olido (solid-state laser ) e
os lasers de corante (dye laser). Nos lasers de estado s´olido, geralmente um cristal
s´olido ´e dopado com ´ıons que produzem os estados energ´eticos de interesse, como
por exemplo no laser de titˆanio-safira (Ti:sapphire), no qual um cristal de safira ´e
dopado com titˆanio para produzir um pulso de sa´ıda configur´avel na regi˜ao do in-
fravermelho. J´a os lasers de corante usam um corante orgˆanico — normalmente em
estado l´ıquido — como meio ativo para produzir um pulso ultracurto da ordem de
uns poucos femtosegundos. H´a ainda muitos outros tipos de lasers que s˜ao utiliza-
dos para as mais diversas aplica¸c˜oes; desde lasers de baixa potˆencia utilizados em
eletrˆonica (dispositivos ´oticos) e aplica¸c˜oes m´edicas [5] at´e lasers de alta potˆencia
utilizados na ind´ustria para cortar e/ou fundir metal.
1.1 Sele¸c
˜
ao de Modos em Qu
´
ımica
Ap´os a inven¸c˜ao e aprimoramento do laser, come¸caram a surgir muitas pro-
postas de aplica¸c˜ao para o controle de processos moleculares — ou mais especifi-
camente para o controle de rea¸c˜oes qu´ımicas. Esses avan¸cos deram in´ıcio a novas
´areas de pesquisa, tais como: a fotoqu´ımica [6], a espectroscopia molecular e mais
tarde, a femtoqu´ımica [7]. A partir deste ponto, come¸caram a surgir trabalhos no
qual depositava-se enormes quantidades de energia em liga¸c˜oes qu´ımicas espec´ıficas
de mol´eculas, sendo essas, idealizadas como molas individuais com diferentes for¸cas,
vibrando como uma certa quantidade de energia. Esse m´etodo ficou conhecido na
literatura como qu´ımica de modo seletivo (mode-selective chemistry), e consiste em
ajustar a freq
¨
uˆencia de um laser de alta potˆencia
2
com a freq
¨
uˆencia do modo de
vibra¸c˜ao da mol´ecula, at´e ocorrer a ruptura ou a forma¸c˜ao de uma liga¸c˜ao espec´ıfica
de interesse.
2
Em um trabalho publicado na Physics Today (1980) [8] Letokhov descreve em seus experimentos
um laser de CO
2
TEA (Transverse Excitation Atmospheric pressure) com repeti¸c˜ao de pulso acima
de 200Hz e potˆencia m´edia de 1kW.
1.1. Sele¸c
˜
ao de Modos em Qu
´
ımica - 4 -
Essa t´ecnica foi muito utilizada por volta de 1980, quando experimentos
com diferentes mol´eculas foram realizados. Como um breve exemplo, discutiremos
a dissocia¸c˜ao da mol´ecula CF
3
Br para formar a mol´ecula CF
3
I. Essa mol´ecula foi
amplamente usada para demonstrar a potencialidade da fotoqu´ımica; e foram descri-
tas, por exemplo, nos trabalhos de Vladilen S. Letokhov [8], Nicolaas Bloembergen e
Ahmed H. Zewail
3
[9]. Nesses trabalhos eles demonstraram que a convers˜ao fotoqu´ı-
mica da mol´ecula CF
3
Br, misturada com o aceitador I
2
, com o objetivo de gerar a
mol´ecula CF
3
I, ´e altamente eficiente (pr´oximo de 100%) `a press˜ao acima de 10 torr.
Nesse processo, a mol´ecula CF
3
Br ´e irradiada com um pulso intenso de laser
de freq
¨
uˆencia ν (na regi˜ao do infravermelho), a qual ´e ajustada pr´oximo da freq
¨
uˆencia
de vibra¸c˜ao da liga¸c˜ao C-Br. Com a absor¸c˜ao do f´oton essa mol´ecula fica altamente
excitada, ocorrendo ent˜ao a dissocia¸c˜ao molecular. Em seguida, esta mol´ecula se
liga ao aceitador, formando finalmente a mol´ecula CF
3
I. Esse exemplo procede da
seguinte forma:
CF
3
Br + nhν −→ CF
3
+ Br
CF
3
+ I
2
−→ CF
3
I + I
CF
3
+ I −→ CF
3
I
Br + Br −→ Br
2
Por outro lado, se irradiarmos a mol´ecula com um pulso de laser com freq
¨
uˆen-
cia ν′, pr´oximo da freq
¨
uˆencia da liga¸c˜ao C-F, poder´ıamos esperar a dissocia¸c˜ao
CF
3
Br + nhν′ −→ CF
2
Br + F, o que n˜ao ocorre. Assim, a t´ecnica de modo se-
letivo mostrou ter sucesso limitado. De fato, essa t´ecnica demonstrou-se ineficiente
para a grande maioria das mol´eculas, e os pesquisadores perceberam que quando
os graus de liberdade vibracionais da mol´ecula est˜ao suficientemente acoplados, a
energia aplicada na liga¸c˜ao ´e rapidamente redistribu´ıda entre os outros modos vi-
3
Ahmed H. Zewail recebeu em 1999 o prˆemio Nobel de qu´ımica pelas suas contribui¸c˜oes `a
femtoqu´ımica.
1.2. Controle Coerente - 5 -
bracionais moleculares; e nesse caso, a liga¸c˜ao n˜ao absorve energia suficiente para
se quebrar, e a dissocia¸c˜ao n˜ao pode acontecer. Para que a dissocia¸c˜ao ocorra ´e
necess´ario que a taxa de transferˆencia de energia para a liga¸c˜ao seja maior que a
redistribui¸c˜ao de energia para os outros modos vibracionais. Com isso, a energia
permanecer´a localizada nessa liga¸c˜ao at´e que a mol´ecula se quebre.
A partir da´ı, o foco central do problema passou a ser o estudo do “casa-
mento” entre o laser e as liga¸c˜oes intramoleculares, que ficou conhecido como laser
chemistry [4]. Um outro problema importante era compreender como a energia era
redistribu´ıda entre os graus de liberdade da mol´ecula. Esse problema ficou conhecido
na literatura como IVR (da sigla em inglˆes para Intramolecular Vibracional-energy
Redistribution). Uma discuss˜ao bastante did´atica sobre a IVR em macro mol´eculas
foi feita por Ahmed H. Zewail na revista Physics Today (1980) [10].
Essa quest˜ao sobre a redistribui¸c˜ao de energia para os modos vibracionais
intramoleculares havia limitado muitos esfor¸cos em estabelecer o controle sobre rea-
¸c˜oes qu´ımicas, e o antigo sonho de usar f´otons como “reagente” em rea¸c˜oes qu´ımicas,
perdeu muito do seu fasc´ınio. Nesse momento muitas d´uvidas sobre as reais possi-
bilidades de se controlar fenˆomenos quˆanticos foram levantadas [11, 12]. O laser ´e a
ferramenta adequada para se realizar o controle?
´
E necess´ario desenvolver um novo
m´etodo de controle? Estamos olhando para as propriedades f´ısicas corretas?
´
E pos-
s´ıvel tornar o sonho de controlar os fenˆomenos em escalas microsc´opicas realidade?
1.2 Controle Coerente
Com o sucesso limitado da t´ecnica de sele¸c˜ao de modos em qu´ımica, uma
nova abordagem come¸cou a ser desenvolvida para buscar contornar as barreiras im-
postas pela IVR. O primeiro passo foi abandonar a idealiza¸c˜ao de uma liga¸c˜ao qu´ımica
como uma mola vibrando. Essa aproxima¸c˜ao n˜ao era mais adequada para progre-
dir nas t´ecnicas de controle em escalas atˆomicas. Como conseq
¨
uˆencia, uma nova
abordagem denominada de controle coerente — que se utilizava das propriedades
1.2. Controle Coerente - 6 -
ondulat´orias da luz laser (coerˆencia) e da mat´eria — come¸cou a ser elaborada.
Essa nova abordagem iniciou-se por volta de 1985 com os trabalhos de David
J. Tannor e Stuart A. Rice [13], e em seguida, com a contribui¸c˜ao de Moshe Shapiro,
Paul Brumer [14–16], e na seq
¨
uˆencia por muitos outros colaboradores
4
. A presente
abordagem utilizava fundamentalmente as propriedades de coerˆencia da luz laser
5
para conduzir uma rea¸c˜ao qu´ımica, dessa forma, produzindo uma particular mol´e-
cula e extinguindo outra. A luz coerente tem uma propriedade fundamental para
o controle: o processo de interferˆencia (construtiva e destrutiva). Essa importante
propriedade refere-se `a forma com que todas as ondas se combinam, e para nosso
interesse, podemos incluir aqui tamb´em as ondas de mat´eria [17]. O controle coe-
rente se utiliza deste princ´ıpio (interferˆencia em ondas de mat´eria) para atingir um
objetivo particular de evolu¸c˜ao quˆantica. Observe que essa forma de controle leva
em conta explicitamente as propriedades ondulat´orias da mat´eria. Mas afinal, como
explorar os fenˆomenos de interferˆencia em rea¸c˜oes qu´ımicas?
Para isso, algumas t´ecnicas foram desenvolvidas, entre elas, destacamos o
controle atrav´es da aplica¸c˜ao de dois feixes de laser CW [18,19], e atrav´es da aplica¸c˜ao
de dois pulsos [20–22], t´ecnica amplamente utilizada at´e hoje.
1.2.1 Controle com Feixes de Laser de Onda Cont
´
ınua
Trataremos agora de um caso importante de dissocia¸c˜ao molecular. Vamos
supor que desejamos dissociar a mol´ecula ABC em suas componentes
6
[23]. Dessa
4
Anteriormente a esses trabalhos espec´ıficos sobre controle quˆantico, muitas t´ecnicas de espec-
troscopia haviam sido empregadas para obter informa¸c˜ao a respeito da estrutura eletrˆonica de
´atomos e mol´eculas.
5
A coerˆencia est´a relacionada `a forma como os ´atomos emitem luz. Em resumo, uma fonte ´e
dita coerente se todos os ´atomos que est˜ao excitados emitem simultaneamente, e em fase, o excesso
de energia em forma de radia¸c˜ao, decaindo portanto para um estado de menor energia. No entanto,
devemos acrescentar que esta propriedade deve ser analisada em um sentido mais amplo, como por
exemplo de coerˆencia temporal, espacial, espectral e de polariza¸c˜ao.
6
N˜ao estamos considerando aqui o caso em que h´a cadeia fechada.
1.2. Controle Coerente - 7 -
Fig. 1.1: O controle da dissocia¸c˜ao qu´ımica pode ser realizado irradiando simultaneamente a mol´e-
cula com dois f´otons diferentes. O processo de controle de um certo componente molecular ´e feito
ajustando-se corretamente a amplitude e a fase dos feixes do laser. Esta figura foi adaptada da
Ref. [23].
forma podemos obter duas poss´ıveis rea¸c˜oes: ABC −→ A + BC ou ABC −→ AB +
C; e uma terceira rea¸c˜ao com pouco interesse para o controle coerente, a saber, ABC
−→ A + B + C. Para isso, precisamos quebrar as liga¸c˜oes entre os constituintes
moleculares, ou seja, as liga¸c˜oes entre A e B, ou B e C. Para essa tarefa podemos
empregar uma t´ecnica que utiliza dois feixes de laser CW.
A mol´ecula ´e irradiada pelos dois feixes simultaneamente, como ilustrado
na Fig. 1.1. Um feixe irradia a mol´ecula com um f´oton de freq
¨
uˆencia conhecida,
capaz de ser absorvido pela mol´ecula, enquanto o outro irradia a mol´ecula com, por
exemplo, trˆes f´otons com um ter¸co da freq
¨
uˆencia do primeiro, isto ´e, um ter¸co de
energia para cada f´oton. A informa¸c˜ao sobre a natureza dos f´otons envolvidos no
processo fica contida na fun¸c˜ao de onda da mol´ecula gerando fenˆomenos de interfe-
rˆencia. Podemos ent˜ao controlar esse processo de interferˆencia e, conseq
¨
uentemente,
a dinˆamica molecular, modificando a freq
¨
uˆencia e o n´umero de f´otons envolvidos no
processo. Esses parˆametros dependem do tipo de mol´ecula envolvida na rea¸c˜ao.
Essas caracter´ısticas ondulat´orias da mat´eria e, conseq
¨
uentemente, dos pro-
cessos de interferˆencia, s˜ao a essˆencia da mecˆanica quˆantica; e o controle sobre esses
1.2. Controle Coerente - 8 -
processos de interferˆencia constitui a essˆencia do assim chamado, controle radiativo
coerente. Utilizando o laser como ferramenta podemos manipular indiretamente a
fun¸c˜ao de onda molecular, e com isso privilegiar uma determinada rea¸c˜ao, por exem-
plo, a rea¸c˜ao ABC −→ AB + C, e omitir outra, simplesmente ajustando os termos
de interferˆencia. Isto ´e feito ajustando-se a amplitude e a fase relativa entre os dois
feixes. Note que como o controle reside nos processos de interferˆencia, o m´etodo n˜ao
requer o uso de lasers intensos, ou seja, um laser de baixa intensidade pode ter um
efeito consider´avel sobre a dinˆamica molecular.
Como um exemplo da aplica¸c˜ao deste m´etodo, podemos citar os trabalhos
sobre a dissocia¸c˜ao da mol´ecula de IBr (Brometo de iodo) [24]. Essa mol´ecula pode
ser separada em I + Br ou I + Br
∗
, no qual o asterisco indica que o ´atomo de bromo
tem um excesso de energia e encontra-se em um estado excitado. Os c´alculos prevˆeem
que mudan¸cas na amplitude e na fase dos dois lasers, podem variar a quantidade de
bromo energ´etico entre 25% e 95% do total do produto formado. Este m´etodo de
controle ´e muito mais eficiente que os m´etodos qu´ımicos tradicionais, que atingem
em torno de 10% do total. Tal m´etodo tem sido empregado com sucesso em outras
mol´eculas diatˆomicas, e tamb´em em mol´eculas poliatˆomicas [19].
Limita¸c
˜
ao do M
´
etodo
Apesar do conceito por tr´as do controle de rea¸c˜oes qu´ımicas aplicar-se a uma
gama grande de mol´eculas isoladas, existem dois grandes obst´aculos:
O primeiro ´e que a eficiˆencia do m´etodo cai significativamente quando a
fun¸c˜ao de onda molecular n˜ao tem uma fase definida. Essa perda de fase ocorre
principalmente quando h´a colis˜ao entre mol´eculas. Essas colis˜oes tornam-se mais
freq
¨
uentes com o aumento da temperatura e da press˜ao. Para contornar essa difi-
culdades pr´aticas, trabalha-se com gases a baixa press˜ao, com a t´ecnica de feixes
moleculares ou com ´atomos frios (cold atoms).
O segundo obst´aculo envolve a fase da luz laser. Dadas duas fontes arbitr´a-
rias (independentes), geralmente n˜ao conhecemos a diferen¸ca de fase entre os feixes,
1.2. Controle Coerente - 9 -
al´em dessa diferen¸ca ser afetada por qualquer instabilidade que possa ocorrer nos
equipamentos. Essas instabilidades reduzem significativamente o grau de interferˆen-
cia e por conseq
¨
uˆencia, o controle na rea¸c˜ao. Alguns m´etodos sofisticados em ´otica
tˆem sido desenvolvidos para eliminar o problema da fase. Entre eles, destacamos a
proposta feita em 1995 por Zhidang Chen [25] de usar um feixe de laser intenso, e
nesse caso, o controle n˜ao fica somente a cargo da configura¸c˜ao de fase, mas tamb´em
do controle da amplitude do campo el´etrico externo, permitindo um maior controle
em sistemas com um n´umero maior de colis˜oes moleculares. A utiliza¸c˜ao de lasers
pulsados ´e uma outra proposta que tem chamado a aten¸c˜ao da comunidade cient´ıfica
e tem sido aplicada largamente em t´ecnicas de controle mais modernas, por raz˜oes
que discutiremos a seguir.
1.2.2 Controle com Laser Pulsado
Qualquer cen´ario em mecˆanica quˆantica que possa induzir processos de in-
terferˆencia pode servir como um meio de estabelecer controle em sistemas micros-
c´opicos. Assim, podemos usar como cen´ario de controle, a aplica¸c˜ao de pulsos de
luz laser ultracurtos no dom´ınio tempo, ao inv´es de usar dois feixes de laser CW.
Ao contr´ario da radia¸c˜ao de onda cont´ınua, um pulso de luz ´e constru´ıdo com uma
cole¸c˜ao de distintas freq
¨
uˆencias (banda) e, portanto, de uma cole¸c˜ao de f´otons com
diferentes energias. O pulso curto (banda larga) e a gama de energia que o constitui,
tem um papel fundamental no m´etodo de controle de rea¸c˜oes qu´ımicas com laser
pulsado. Essa gama de energia pode induzir uma dinˆamica molecular (tais como vi-
bra¸c˜ao e/ou rota¸c˜ao), na qual a mol´ecula pode interagir com um outro pulso de luz.
Um sistema quˆantico com uma energia fixa reside em um estado denominado estado
estacion´ario, e n˜ao apresenta dinˆamica temporal. Quando o pulso eletromagn´etico
interage com a mol´ecula, a mesma passa a existir em v´arios n´ıveis de energia simulta-
neamente, e esta configura¸c˜ao ´e chamada de estado de superposi¸c˜ao. Para aplica¸c˜oes
em dissocia¸c˜ao molecular, o estado de superposi¸c˜ao ´e freq
¨
uentemente constru´ıdo com
1.2. Controle Coerente - 10 -
a superposi¸c˜ao de estados vibracionais. Nesta configura¸c˜ao o sistema quˆantico possui
uma dinˆamica temporal que depende da natureza do pulso de luz, e da sua intera¸c˜ao
com a mol´ecula. Desse modo, podemos mudar a dinˆamica molecular controlando as
freq
¨
uˆencias que comp˜oem o pulso, ou seja, a forma do pulso eletromagn´etico.
Embora um ´unico pulso de luz possa alterar a dinˆamica da mol´ecula, o
mesmo n˜ao ´e capaz de controlar a taxa de rea¸c˜ao qu´ımica. Um m´etodo introduzido
por Rice e Tannor [13] e subseq
¨
uentemente estendido por outros pesquisadores, per-
mitiu controlar rea¸c˜oes empregando uma seq
¨
uˆencia de dois pulsos. Nesse m´etodo
o primeiro pulso coloca a mol´ecula em um estado de superposi¸c˜ao, determinando
como a mol´ecula responder´a ao pulso seguinte. O segundo pulso tem como fina-
lidade quebrar a mol´ecula em diferentes componentes. Esse cen´ario ´e similar ao
m´etodo descrito por dois lasers de onda cont´ınua, em que o processo de interferˆencia
entre as fun¸c˜oes de onda ´e respons´avel pelo controle. Para os pulsos, as freq
¨
uˆencias
que o comp˜oe, induzem nas fun¸c˜oes de onda moleculares processos de interferˆencias.
Essas interferˆencias, e desse modo, o ganho no produto formado, pode ser alterado
variando-se o intervalo entre os pulsos, e a freq
¨
uˆencia que os comp˜oe. Diferentemente
dos experimentos com laser CW, os pulsos de laser tˆem a vantagem da introdu¸c˜ao
do tempo como uma vari´avel experimental.
Um dos primeiros trabalhos visando a aplica¸c˜ao de pulsos de radia¸c˜ao para
fazer o controle de rea¸c˜oes foi publicado em 1985 em Journal of Chemical Physics
por David J. Tannor e Stuart A. Rice [13]. Neste trabalho os autores utilizaram o
m´etodo variacional para otimizar a probabilidade de dissocia¸c˜ao de uma determinada
mol´ecula triatˆomica, considerando a dinˆamica molecular em uma aproxima¸c˜ao de
superf´ıcie de potencial de Born-Oppenheimer
7
.
O m´etodo te´orico desenvolvido por eles utiliza dois pulsos de luz, sendo
que a configura¸c˜ao do segundo pulso depende das caracter´ısticas do primeiro, veja
7
Nessa aproxima¸c˜ao ´e considerada apenas a dinˆamica dos el´etrons, de modo que e os n´ucleos
atˆomicos s˜ao considerados fixos. Portanto, as coordenadas nucleares n˜ao aparecem explicitamente
na fun¸c˜ao de onda.
1.2. Controle Coerente - 11 -
E
d
E
x
Config. A
Config. B
Fig. 1.2: Essa figura mostra esquematicamente o m´etodo do controle radiativo coerente. Na su-
perf´ıcie de potencial inferior (config. A) a mol´ecula encontra-se no estado fundamental. Quando
ent˜ao, um pulso gaussiano E
x
coloca a mol´ecula em um estado de superposi¸c˜ao contendo apenas
dois n´ıveis vibracionais. Nesse estado, a mol´ecula apresenta uma dinˆamica devido a evolu¸c˜ao do
pacote de onda. Ap´os um tempo ∆t um segundo pulso E
d
interage com a mol´ecula, fazendo-a
retornar para o estado fundamental, em uma nova regi˜ao do potencial (config. B), e portanto,
como uma nova mol´ecula.
a Fig. 1.2. O primeiro pulso E
x
atinge a mol´ecula (inicialmente no estado funda-
mental) e a coloca em um estado de superposi¸c˜ao no qual a mol´ecula apresenta uma
dinˆamica temporal definida por uma superf´ıcie de potencial
8
. Ent˜ao, ap´os um in-
tervalo de tempo ∆t, o segundo pulso E
d
atinge a mol´ecula fazendo-a retornar para
o estado fundamental em uma nova configura¸c˜ao, ou equivalentemente, como uma
nova mol´ecula. Nesse processo a rea¸c˜ao ´e vista basicamente como a evolu¸c˜ao de um
pacote de ondas na superf´ıcie de potencial (Fig. 1.2), sendo o tempo um parˆametro
determinante na rea¸c˜ao. Essa abordagem, embora original, tinha fortes limita¸c˜oes
experimentais. Para controlar a dinˆamica do pacote de ondas — constru´ıdo com
muitos estados — exigia-se uma fonte de radia¸c˜ao muito curta no dom´ınio tempo
(femtosegundo); mas tal fonte n˜ao era dispon´ıvel na ´epoca, limitando severamente
8
Essa ´e a superf´ıcie de Born-Oppenheimer. Os detalhes sobre essa superf´ıcie podem ser vistos
nas Refs. [13,15].
1.2. Controle Coerente - 12 -
qualquer configura¸c˜ao experimental.
Em 1989 Tamar Seideman, Moshe Shapiro e Paul Brumer propuseram uma
t´ecnica que utilizava dois pulsos gaussianos para controlar rea¸c˜oes qu´ımicas unimo-
leculares [15,16]. Nessa t´ecnica, o primeiro pulso colocava a mol´ecula em um estado
de superposi¸c˜ao, criando um pacote de ondas contendo apenas dois n´ıveis de energia,
de modo que o segundo pulso, quando atingia a mol´ecula, gerava os processos de
interferˆencia necess´arios `a dissocia¸c˜ao. Essas interferˆencias puderam ser controla-
das atrav´es do atraso temporal entre os dois pulsos. A partir deste esquema uma
importante equa¸c˜ao pˆode ser deduzida, demonstrando isoladamente os efeitos da
fotodissocia¸c˜ao e da interferˆencia
9
:
P (q) α |C
1
|
2
µ
(q)
1,1
(E
m
) + |C
2
|
2
µ
(q)
2,2
(E
m
)+
2|C
1
C
2
µ
(q)
1,2
(E
m
)| e
−τ
d
2
(E
2
−E
1
)
2
/8
cos[ω
2,1
∆T + α
(q)
1,2
(E) + φ] ,
(1.1)
sendo P (q) a probabilidade de formar um determinado produto q, os C’s s˜ao os
coeficientes do pacote de ondas formado pelo primeiro pulso, os µ’s s˜ao os momentos
de dipolo do produto. Os dois primeiros termos da express˜ao (1.1) s˜ao respons´aveis
pela fotodissocia¸c˜ao e n˜ao carregam informa¸c˜ao sobre o atraso temporal dos pulsos,
enquanto o terceiro termo ´e respons´avel pelos fenˆomenos de interferˆencia, e ∆T ´e o
intervalo de tempo entre os pulsos, que pode ser controlado experimentalmente.
Esse trabalho tornou-se um dos mais importantes na literatura do controle
quˆantico, porque foi a primeira vez que se mostrou a possibilidade real de se obter o
controle de rea¸c˜oes qu´ımicas em uma gama maior de mol´eculas com uma tecnologia
de laser dispon´ıvel na ´epoca (laser de picosegundo). A express˜ao (1.1) ´e an´aloga `a
express˜ao obtida para explicar padr˜oes de interferˆencia em experimentos de dupla
fenda, e a partir da´ı, come¸caram-se a fazer compara¸c˜oes entre o controle quˆantico e
esses tipos de experimentos.
9
Para a dedu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao os pesquisadores utilizaram a teoria de perturba¸c˜ao de primeira
ordem e a aproxima¸c˜ao de pacote de onda rotacional. Mais detalhes sobre essa equa¸c˜ao podem ser
vistos na Ref. [15].
1.3. O Controle
´
Otimo - 13 -
As id´eias originais do controle coerente deram uma grande contribui¸c˜ao ao
entendimento dos processos de controle de rea¸c˜oes qu´ımicas. Mas logo ficou claro
que para superf´ıcies de potencial mais real´ısticas, e para mol´eculas mais complexas,
era necess´ario usar um pulso configur´avel e com freq
¨
uˆencias que otimizavam a pro-
babilidade de se obter uma determinada rea¸c˜ao. Este pulso precisava levar em conta
a dinˆamica do pacote de ondas, j´a que o mesmo, uma vez criado, n˜ao permanecia
localizado, ao contr´ario, se dispersava rapidamente. Como consequˆencia, a intui¸c˜ao
(na qual se baseava os trabalhos [15, 16]) foi “abandonada” em favor de um esquema
mais sistem´atico, denominado controle ´otimo (Optimal Control).
1.3 O Controle
´
Otimo
O princ´ıpio fundamental de qualquer t´ecnica de controle ´e a manipula¸c˜ao de
interferˆencias quˆanticas construtivas e destrutivas. A promessa do controle coerente,
especialmente a formula¸c˜ao ´otima, ´e criar apenas as interferˆencias quˆanticas corretas
para guiar a mol´ecula ao produto final desejado, denominado estado alvo. Essa nova
abordagem denominada teoria do controle ´otimo [26,27], tem como meta maximizar
(minimizar) uma certa probabilidade de transi¸c˜ao, chamada de objetivo. Portanto,
dado um sistema quˆantico, como deve ser a configura¸c˜ao do pulso de laser aplicado
que conduza o sistema de um estado A para um estado B em um intervalo de tempo
finito? Essa ´e uma quest˜ao fundamental estudada no ˆambito da teoria do controle
´otimo, cuja resposta apropriada d´a-se por meio da configura¸c˜ao do pulso.
Matematicamente expressam-se essas id´eias atrav´es da otimiza¸c˜ao do se-
guinte funcional:
J = Ψ(t
f
)|A|Ψ(t
f
) , (1.2)
sendo A um observ´avel qualquer, e |Ψ ´e o estado do sistema em t = t
f
, que ´e obtido
da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger. Para otimizar J precisamos ent˜ao inserir um
conjunto de v´ınculos fisicamente aceit´aveis e pr´aticos.
Como n˜ao dispomos de uma fonte de laser que forne¸ca energia infinita, e
1.3. O Controle
´
Otimo - 14 -
por raz˜oes pr´aticas muitas vezes deseja-se manter a energia I do pulso fixa, podemos
usar esse argumento para estabelecer o primeiro v´ınculo no problema. Esse v´ınculo
´e conhecido na literatura [26] como penalty, sendo
t
f
t
0
dt |ε(t)|
2
− I = 0 . (1.3)
Na express˜ao acima, ε(t) representa o campo el´etrico cl´assico de um laser.
Como a Eq. (1.2) depende do estado |Ψ, que por sua vez depende do campo
aplicado, a dinˆamica quˆantica ´e introduzida como um v´ınculo adicional, e deve sa-
tisfazer a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger dependente do tempo,
i
∂|Ψ
∂t
= H(t)|Ψ . (1.4)
O problema da otimiza¸c˜ao de J pode ser resolvido utilizando-se os multiplicadores
de Lagrange. De acordo com o procedimento padr˜ao, multiplicamos a Eq. (1.3) por
um n´umero `a determinar λ, e a Eq. (1.4) por um estado desconhecido |χ, para ent˜ao
generalizarmos a Eq. (1.2), tal que
J = Ψ(t
f
)|A|Ψ(t
f
)+ λ
t
f
t
0
dt |ε(t)|
2
−I
+ i
t
f
t
0
dt
χ|
i
∂
∂t
−H
|Ψ+ c.c.
(1.5)
Fazendo δJ = 0 podemos escrever |χ e λ em fun¸c˜ao dos parˆametros co-
nhecidos do problema, isto ´e, em fun¸c˜ao de |Ψ, A e ε(t). Agora esse conjunto de
equa¸c˜oes pode ser resolvido, desde que seja inserida uma fun¸c˜ao tentativa para ε(t).
O problema ´e resolvido da seguinte forma: com o campo tentativa determi-
namos H(t), ent˜ao propagamos |Ψ de t
0
at´e t
f
utilizando a Eq. (1.4). Assim, deter-
minamos |χ e λ. Com esse novo campo repetimos o procedimento iterativamente.
O resultado final ser´a um campo ε(t) que otimiza, isto ´e, maximiza (minimiza) o
funcional J em t = t
f
.
Esse procedimento foi aplicado para diversos tipos de mol´eculas, como por
exemplo, nos estudos de Kosloff et al. [28] sobre o modelo te´orico da dissocia¸c˜ao da
mol´ecula HHD, Amstrup et al. [29] sobre o controle da fotodissocia¸c˜ao de HgAr e
1.4. O Controle da Trajet
´
oria - 15 -
I
2
, e tamb´em os trabalhos de Hartke et al. [30] sobre a simula¸c˜ao da dinˆamica de
controle da dissocia¸c˜ao da mol´ecula Br
2
em Br
∗
/Br.
A t´ecnica de controle ´otimo tornou-se relevante porque permitia uma maior
flexibilidade na escolha dos v´ınculos f´ısicos estabelecidos no problema (penalties), e
nos objetivos moleculares. Mas nessa t´ecnica usualmente s´o nos preocupamos em
atingir o estado alvo desejado em um instante de tempo t = t
f
, sem dar aten¸c˜ao
para o caminho entre t
0
e t
f
. Para atender `a necessidade de conduzir o sistema a
um estado desejado por um caminho previamente estabelecido, criou-se um m´etodo
alternativo de controle, denominado de controle da trajet´oria (tracking control)
10
.
1.4 O Controle da Trajet
´
oria
O controle da trajet´oria, da mesma forma que os outros m´etodos j´a discu-
tidos, ´e obtido atrav´es da aplica¸c˜ao de um campo externo. Mas agora, tem-se como
objetivo conduzir o sistema por uma trajet´oria estabelecida a priori, ao inv´es de
simplesmente atingir o objetivo em um tempo t
f
. Geralmente o problema ´e posto
em termos da configura¸c˜ao do campo que conduzir´a a esse objetivo. Esse m´etodo al-
ternativo de condu¸c˜ao de um sistema quˆantico-mecˆanico por um caminho espec´ıfico,
se baseia fundamentalmente na solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao n˜ao linear, e normalmente
tem-se como meta a solu¸c˜ao de um problema inverso. Por essa raz˜ao o controle de
trajet´oria tamb´em ´e conhecido na literatura como controle inverso (inverse control ).
A base te´orica matem´atica da t´ecnica de controle inverso em mecˆanica quˆan-
tica foi estabelecida primeiramente em dois artigos publicados por Ong et al. em
Mathematical Systems Theory [31, 32]. Nesses artigos foram descritas as condi¸c˜oes
necess´arias e suficientes para a existˆencia de solu¸c˜oes para o problema do controle
quando aplicado `a mecˆanica quˆantica.
10
Essa t´ecnica foi utilizada em nosso trabalho para fazer o controle sobre um sistema de dois
n´ıveis. No cap´ıtulo 2 explicaremos em detalhes como a t´ecnica foi empregada nesse sistema, e quais
os resultados que obtivemos.
1.4. O Controle da Trajet
´
oria - 16 -
A utiliza¸c˜ao do controle inverso ´e conceitualmente simples, e tamb´em inex-
plorado em dinˆamica molecular; embora a vers˜ao cl´assica j´a tenha sido explorada
em diversos problemas de engenharia. Mas agora, na abordagem quˆantica, o ca-
minho dependente do tempo (trajet´oria), denotado aqui por S(t), ´e especificado a
priori. Geralmente escolhemos como meta de controle o valor esperado de um certo
observ´avel, isto ´e,
A(t) = Ψ(t)|A|Ψ(t) . (1.6)
O controle ´e feito ent˜ao quando impomos ao valor esperado de A que siga exatamente
a trajet´oria previamente definida por n´os, ou seja, quando A(t) = S(t). Dessa
forma, como A(t) depende do campo ´otico aplicado, podemos nos perguntar: como
deve ser a configura¸c˜ao desse campo ´otico para que o sistema tenha como resposta
para o valor esperado exatamente o caminho S(t)?
Uma resposta para essa quest˜ao come¸cou a ser investigada por Herschel
Rabitz et al. [33] a partir da solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Heisenberg
dA
dt
=
1
i
[A, H
0
] −
1
i
[A, µ(r)] ·
E(t) +
∂A
∂t
. (1.7)
Essa express˜ao pode ser deduzida diferenciando-se a Eq. (1.6) em rela¸c˜ao ao tempo, e
depois utilizando-se a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger (1.4), para H = H
0
−µ(r)·
E(t), sendo
µ(r) o operador de dipolo el´etrico e
E(t) o campo el´etrico cl´assico
11
. Nessa express˜ao
[A, H
0
] e [A, µ(r)] denotam os comutadores de A com H
0
e µ(r), respectivamente.
Observa-se tamb´em que o estado do sistema |Ψ(t) est´a impl´ıcito nessa express˜ao, de
forma que para determinar a dinˆamica do valor esperado do observ´avel precisamos,
em geral, resolver um sistema com duas equa¸c˜oes, sendo que uma delas — a saber,
´e a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger dependente do tempo.
Para facilitar a tarefa, ´e conveniente escolher um campo polarizado, de forma
que
E(t) = ˆeE(t). A solu¸c˜ao do controle ´e encontrada invertendo-se e resolvendo-se
11
A express˜ao (1.7) s´o ´e v´alida na aproxima¸c˜ao de dipolo.
1.4. O Controle da Trajet
´
oria - 17 -
a Eq. (1.7). Observa-se nessa express˜ao que quando os operadores A e µ comutam, a
express˜ao perde sua dependˆencia com o campo, ocorrendo uma divergˆencia em E(t);
e como conseq
¨
uˆencia temos uma perda de controle devido ao desacoplamento entre
o campo ´otico e o sistema. Uma discuss˜ao sobre a natureza dessas singularidades foi
feita por Herschel Rabitz et al. em 1999 [34].
A Eq. (1.7) fornece a solu¸c˜ao inversa para o campo de controle. No entanto,
podemos observar que o campo de controle depende de Ψ(r, t) atrav´es dos termos
[A, H
0
], [A, µ(r)] e ∂A/∂t e portanto E = E(t, Ψ(r, t)). Devemos enfatizar
aqui que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger ´e, em geral, muito complicada, porque
o campo externo depende — matematicamente falando — do estado do sistema, e
nesse caso a Eq. (1.4) fica:
i
∂|Ψ(r, t)
∂t
= [H
0
− µ(r) · ˆeE(t, Ψ(r, t))] |Ψ(r, t) . (1.8)
Essa ´e uma equa¸c˜ao diferencial n˜ao linear, e atrav´es dela podemos observar a com-
plexidade em se resolver um problema inverso para um potencial geral. Da express˜ao
acima observa-se tamb´em porque a intui¸c˜ao, diferentemente da proposta do controle
coerente, n˜ao ´e mais suficiente para configurar o campo externo.
Nesse contexto, ´e de grande interesse buscar express˜oes que cheguem a uma
solu¸c˜ao para o campo que tamb´em possa ser implementada em um algoritmo em
um procedimento experimental. A solu¸c˜ao num´erica das Eqs. (1.7) e (1.8) requer
um grande esfor¸co computacional, o que agrava, ou at´e mesmo pro´ıbe, a sua im-
plementa¸c˜ao direta em qualquer algoritmo gen´etico
12
. Por isso, o procedimento
padr˜ao consiste em simplificar o problema especificando-se a curva de energia po-
tencial e manipulando-se as equa¸c˜oes de forma anal´ıtica o m´aximo poss´ıvel para
minimizar trabalhos num´ericos posteriores. Exceto para potenciais muito simples —
que normalmente n˜ao servem para representar mol´eculas — n˜ao consegue-se obter
uma solu¸c˜ao anal´ıtica do valor esperado. Alguns exemplos de aplica¸c˜ao do controle
12
Um algoritmo gen´etico ´e uma t´ecnica de procura utilizada na ciˆencia da computa¸c˜ao para achar
solu¸c˜oes aproximadas em problemas de otimiza¸c˜ao e busca.
1.4. O Controle da Trajet
´
oria - 18 -
da trajet´oria podem ser encontrados nas Refs. [33–35]. Para esses exemplos foram
resolvidas as Eqs. (1.4) e (1.7) para potenciais espec´ıficos.
1.4.1 O Controle Inverso e os Temas Relacionados com a
Tese
O m´etodo do controle inverso mostrou-se bem mais geral que os m´etodos
anteriores por duas raz˜oes: (i) trata do controle sobre o valor esperado de uma
observ´avel qualquer, o que ´e interessante para a aplica¸c˜ao em diversas ´areas da f´ısica
e da qu´ımica; (ii) o controle ´e mantido sobre toda a trajet´oria, e n˜ao visa somente
um ´unico instante de tempo t
f
.
No contexto da teoria do controle ´e fundamental buscar solu¸c˜oes anal´ıticas
que nos permitam fazer uma an´alise f´ısica que mostre o comportamento geral do
problema. Isso ´e bastante dif´ıcil de se conseguir resolvendo-se as Eqs. (1.7) e (1.8).
No entanto, propomos uma forma mais simples de realizar o controle inverso e com
isso, elaboramos um protocolo capaz de contornar algumas dificuldades pr´aticas.
O protocolo consiste em fazer um controle inverso por partes, de tal forma que o
Hamiltoniano em cada um desses intervalos ´e independente do tempo por partes,
e com isso n˜ao precisamos mais resolver a equa¸c˜ao de um problema dependente
do tempo. No entanto, a dependˆencia temporal ´e obtida incrementando-se passo a
passo o processo de controle. Esta ´e uma outra vantagem desse protocolo, pois em
alguns casos ´e interessante obter apenas poucos passos de controle — em muitos
casos apenas um passo ´e necess´ario (veja por exemplo o Cap. 4) —, e neste caso a
aplica¸c˜ao do m´etodo torna-se direta.
Por isso escolhemos como tarefa inicial para essa finalidade, a aplica¸c˜ao do
m´etodo em um sistema de dois n´ıveis, tendo em vista que essa classe de sistemas
tem importˆancia pr´atica, como por exemplo, em ´otica quˆantica [36–38], e mais re-
centemente em f´ısica da mat´eria condensada [39, 40], visando aplica¸c˜oes na ´area da
computa¸c˜ao quˆantica [41–43]. Como resultado da aplica¸c˜ao do m´etodo, obtivemos
1.4. O Controle da Trajet
´
oria - 19 -
uma express˜ao geral e anal´ıtica para o valor esperado de um observ´avel qualquer.
Aqui, a palavra geral foi usada no sentido de que n˜ao precisamos especificar o po-
tencial do problema, e portanto, os resultados s˜ao v´alidos para qualquer problema,
desde que o mesmo possa ser representado por um sistema de dois n´ıveis.
Devemos lembrar que esse tipo de sistema tem uma gama ampla de aplica-
¸c˜oes, e j´a foi utilizado em importantes trabalhos sobre controle. Como por exemplo
no artigo publicado por Moshe Shapiro e Paul Brumer em 1989 [15] que j´a discuti-
mos na Se¸c˜ao 1.2. Nesse artigo eles aplicaram dois pulsos de laser gaussianos em um
sistema de dois n´ıveis com o objetivo de controlar a taxa de rea¸c˜oes qu´ımicas.
O que fizemos no Cap. 2 foi utilizar os mesmos elementos, por´em sem apro-
xima¸c˜oes, aplicando um m´etodo mais robusto (controle inverso) para fazer o controle
sobre o valor esperado do observ´avel. Os resultados obtidos puderam ser comparados
aos resultados descritos na Eq. (1.1) e ao experimento de fenda dupla, j´a que tamb´em
encontramos o termo de interferˆencia — principal respons´avel pelo controle — e os
termos de fotodissocia¸c˜ao.
A solu¸c˜ao do problema inverso encontrada ´e muito eficiente, porque agora
n˜ao precisamos mais resolver a equa¸c˜ao diferencial, e com isso abre-se a possibili-
dade de ser implementada diretamente em um algoritmo gen´etico, freq
¨
uentemente
utilizado em experimentos de controle. A forma do campo externo, ´e claro, depende
do caminho S(t) e, em geral, assume uma configura¸c˜ao bastante complicada, que
jamais poderia ser projetada intuitivamente. Mas algumas caracter´ısticas puderam
ser identificadas, tais como: a aplica¸c˜ao de pulsos intensos quando s˜ao exigidas vari-
a¸c˜oes r´apidas no valor esperado e, a convergˆencia do campo quando o valor esperado
´e uniforme. Os detalhes da solu¸c˜ao e a discuss˜ao dos resultados ser´a visto no Cap. 2.
Quando acrescentamos mais estados de superposi¸c˜ao, como por exemplo em
um sistema de trˆes n´ıveis, o problema come¸ca a ganhar complexidade. Nessas con-
di¸c˜oes ainda podemos aplicar a t´ecnica de controle inverso, por´em, algumas an´alises
adicionais s˜ao necess´arias, e a prepara¸c˜ao do estado inicial do sistema — o qual est´a
relacionado com o pulso pump — torna-se importante. O estado inicial gera uma
1.5. O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio - 20 -
janela em que a qualidade, e conseq
¨
uentemente, a viabilidade do controle ´e satisfeita.
Estes resultados ser´a descritos no Cap. 3.
A t´ecnica do controle inverso pode ser aplicada para uma part´ıcula carregada
no interior de um bilhar circular. Um bilhar ´e caracterizado por um potencial de
confinamento, isto ´e, quando part´ıculas s˜ao aprisionadas devido a a¸c˜ao de potenciais.
No problema proposto a part´ıcula sente o potencial somente em r = R
0
, sendo R
0
o raio do bilhar. Neste sistema, o parˆametro de controle ´e um campo magn´etico
externo, e neste caso nos preocupamos em fazer somente um passo de controle. Para
realizar o controle inverso, aplicamos um campo magn´etico perpendicular `a superf´ıcie
do bilhar de tal forma que ajustando-se apropriadamente a intensidade do campo
externo conseguimos recuperar as reconstru¸c˜oes do pacote de ondas. Neste sistema
particular a grandeza f´ısica de interesse a ser controlada ´e a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao;
que traz informa¸c˜oes sobre os processos de recorrˆencia em um sistema quˆantico. Um
aspecto importante ´e que para este sistema obtivemos as solu¸c˜oes anal´ıticas para
um regime de campos magn´eticos intensos, o qual possibilitou um maior controle,
mesmo com efeitos de incoerˆencias nas energias. Uma discuss˜ao sobre esta an´alise
ser´a apresentada no Cap. 4.
1.5 O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio
O protocolo geral para se fazer o controle sobre um sistema quˆantico ´e, em
princ´ıpio, direto: introduzimos um campo externo tentativa, como por exemplo, um
campo de radia¸c˜ao, e fazemos as medidas de interesse no sistema. Esta medida, em
geral, est´a associada com o valor esperado de um certo observ´avel. Ent˜ao reconfigu-
ramos o campo por meio da amplitude e da fase das componentes espectrais, afim
de corrigir os poss´ıveis desvios ocorridos do estado alvo. Esse procedimento deve
se repetir at´e que se consiga atingir o estado desejado com uma precis˜ao previa-
mente definida. Esse protocolo ´e conhecido na literatura como closed-loop learning
(CLL) [44] sendo utilizado at´e hoje em configura¸c˜oes experimentais. Chamamos a
1.5. O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio - 21 -
aten¸c˜ao, para o fato da necessidade de usarmos uma “boa” fun¸c˜ao tentativa para o
campo externo inicial
13
, caso contr´ario, qualquer investiga¸c˜ao experimental torna-
se dif´ıcil, ou em alguns casos, at´e mesmo proibitiva, em fun¸c˜ao da quantidade de
f´otons por mol envolvidos na rea¸c˜ao. Portanto, se a fun¸c˜ao tentativa inicial para
o campo externo n˜ao for suficientemente boa, se gastar´a no processo uma quanti-
dade de energia muito grande (em virtude do n´umero de f´otons) para se obter pouco
controle, tornando o processo de controle invi´avel. Nesse contexto, teoria e experi-
mentos precisam caminhar lado a lado, pois al´em do campo tentativa inicial previsto
pela teoria, precisamos conhecer tamb´em as for¸cas intramoleculares, ou em outras
palavras, o Hamiltoniano do sistema, afim de resolver iterativamente a equa¸c˜ao de
Schr
¨
odinger buscando sempre pelo campo que conduza ao objetivo molecular. Essas
solu¸c˜oes s˜ao focadas principalmente em explora¸c˜oes num´ericas, por isso ´e de grande
utilidade buscar algoritmos que aceleram o processo de solu¸c˜ao.
Um desafio especial inclui buscar configura¸c˜oes de campo num regime de
forte excita¸c˜ao (denominado regime de campos intensos), nas quais solu¸c˜oes anal´ıti-
cas s˜ao, em geral, dif´ıceis de serem obtidas. Buscar por essas solu¸c˜oes ´e particular-
mente importante porque nesse caso podemos incluir os efeitos de incoerˆencia, que
ocorrem principalmente por causa das colis˜oes moleculares, ou atrav´es de processos
de emiss˜ao de radia¸c˜ao espontˆanea [37]. Atualmente existem duas formas gerais de
aplica¸c˜ao da t´ecnica de controle de ciclo fechado (closed-loop control ) [45], a saber:
o controle inteligente (learning control) e o controle com resposta (feedback control );
sendo que a principal diferen¸ca entre os dois est´a na amostra molecular. Na t´ec-
nica de controle inteligente o procedimento de repeti¸c˜ao da busca pela configura¸c˜ao
do campo externo ´e feita sempre em uma nova amostra molecular. Geralmente para
esta t´ecnica, a amostra ´e preparada utilizando-se feixes moleculares. J´a na t´ecnica de
controle com resposta, o campo ´e reconfigurado na mesma amostra molecular. Deste
modo, a amostra molecular geralmente fica contida em um recipiente a baixa pres-
13
Para essa tarefa vem-se demandando consider´aveis esfor¸cos te´oricos a pelo menos uma d´ecada.
1.5. O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio - 22 -
(i)
(ii)
(iii)
C
(iv)
ONTROL
modulador
LEARNING
tempo (fs)
campo−E
célula
pump
controle
Algoritmo
Tentativa Inicial
Experimento
Configurador de Pulso
Fig. 1.3: Esta figura mostra esquematicamente o m´etodo de controle de ciclo fechado. Em (i) um
campo tentativa ´e introduzido e em (ii) as componentes espectrais que comp˜oem este pulso s˜ao
determinadas. Estas informa¸c˜oes s˜ao enviadas para um modulador ´otico (iii) que configurar´a o
pulso. Ap´os a configura¸c˜ao do pulso eletromagn´etico, o mesmo ´e redirecionado para a amostra
molecular (iv). A amostra pode ser uma c´elula contendo as mol´eculas em baixa press˜ao ou um feixe
molecular. Esta figura foi adaptada da Ref. [12].
s˜ao. Essas duas t´ecnicas possuem caracter´ısticas bem distintas, e os elementos gerais
que est˜ao envolvidos nessas duas t´ecnicas de controle s˜ao mostrados na Fig. 1.3. O
procedimento completo envolve quatro partes: (i) uma configura¸c˜ao tentativa para
o pulso de laser de entrada, (ii) o algoritmo de aprendizagem que calcula a forma do
pr´oximo pulso de controle e determina as componentes espectrais necess´arias para a
gera¸c˜ao do mesmo, e finalmente em (iii) a gera¸c˜ao do pulso eletromagn´etico em la-
borat´orio que posteriormente (iv) ser´a aplicado na amostra molecular. Essas quatro
partes devem ser aplicadas em ciclo at´e que se atinja o objetivo molecular. Observe
que as partes (i) e (ii) possuem um forte apelo te´orico, porque tanto a configura¸c˜ao,
quanto as express˜oes que s˜ao usadas na composi¸c˜ao do algoritmo, vˆem dos avan¸cos
1.5. O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio - 23 -
Vermelho
Azul
Rede de
Difraçao
Pulso Probe
Pulso Pump
Feixe molecular
Detetor
Lente
Espelhos
Gerador de
Ondas
Controle Computacional
Algoritmo de otimização
Atraso Temporal
Pulso Configurado
de fase
Modulador
Fig. 1.4: Exemplo t´ıpico de um experimento de quebra molecular [21,46]. Esta figura foi adaptada
das Refs. [7,20].
dos atuais m´etodos e modelos te´oricos. J´a as partes (iii) e (iv) est˜ao relacionadas
fortemente com os avan¸cos tecnol´ogicos experimentais, tais como, inova¸c˜oes na fonte
de luz laser e nos moduladores de amplitude e de fase
14
.
A seguir vamos descrever com mais detalhes um esquema experimental t´ıpico
de controle de quebra molecular
15
. A montagem ´e constitu´ıda basicamente de um
laser pulsado (com dura¸c˜ao t´ıpica de ∽ 100fs), um modulador de fase, e um detetor
(como por exemplo, um espectrˆometro de massa). O objetivo do experimento ´e
encontrar o campo el´etrico do laser que otimiza a quebra molecular. Acompanhe na
sequˆencia os passos ilustrados na Fig. 1.4.
14
As t´ecnicas mais modernas geralmente empregam laser de femtosegundo e moduladores acusto-
´optico (Acousto-Optical Modulator - AOM) ou modulares de cristal l´ıquido (Liquid Cristal Modu-
lator - LCM) para a configura¸c˜ao do campo.
15
Devemos esclarecer que os elementos que comp˜oem a montagem experimental variam de acordo
com o experimento em estudo. A figura ilustra apenas os principais elementos de um experimento
de controle.
1.5. O controle Qu
ˆ
antico em Laborat
´
orio - 24 -
Inicialmente uma fonte de luz laser produz um ´unico pulso de luz ultracurto
no dom´ınio tempo; este pulso ´e ent˜ao dividido em dois pulsos secund´arios denomi-
nados pump e probe, o primeiro segue livremente o seu caminho enquanto o segundo
atinge uma rede de difra¸c˜ao. A rede de difra¸c˜ao dispersa o pulso em diferentes co-
res (componentes espectrais), denotados esquematicamente na figura como um feixe
indo do azul ao vermelho
16
, sendo que cada componente espectral passa atrav´es de
um modulador de fase. Este dispositivo permite variar espacialmente o ´ındice de
refra¸c˜ao do meio, de modo que cada componente espectral, quando atravessa o dis-
positivo, sofre um atraso em sua fase [45]. Ap´os passar atrav´es do modulador de
fase as componentes s˜ao colimadas novamente em um ´unico feixe; devido `a diferen¸ca
de fase introduzida pelo modulador o pulso adquire uma configura¸c˜ao diferente da
forma inicial. Por causa da diferen¸ca de caminho ´otico o pulso probe ´e atrasado
em rela¸c˜ao ao pump, como ilustrado na figura; deste modo, o pulso pump atinge a
mol´ecula primeiro colocando-a em um estado de superposi¸c˜ao (prepara¸c˜ao do estado
quˆantico) e, ap´os um atraso temporal o segundo pulso (probe), j´a configurado, atinge
a mol´ecula. O resultado deste processo de intera¸c˜ao ´e ent˜ao coletado no detetor.
Caso o objetivo molecular tenha sido atingido, o processo ´e cessado, caso contr´ario,
os dados coletados no detetor, bem como a configura¸c˜ao atual do campo el´etrico,
s˜ao fornecidos a um algoritmo de otimiza¸c˜ao que calcula como deve ser a nova con-
figura¸c˜ao do campo el´etrico, e o resultado desde c´alculo ´e passado para um gerador
de ondas que envia um sinal para que o modulador ´otico reconfigure o campo. Este
processo se repete at´e que se atinja o objetivo molecular, ou seja, at´e que a quebra
molecular atinja o seu melhor resultado.
16
Aqui, o azul e o vermelho ´e meramente uma conven¸c˜ao, pois em algumas montagens experi-
mentais s˜ao usados outras faixas do espectro, tais como, infravermelho, ultravioleta, raio-x, etc,
al´em de a decomposi¸c˜ao espectral depender das caracter´ısticas do pulso original.
1.6. Objetivo e Estrutura da Tese - 25 -
1.6 Objetivo e Estrutura da Tese
Desde o trabalho pioneiro desenvolvido em 1985 por D. J. Tannor e S. A.
Rice [13], temos presenciado avan¸cos na ´area do controle quˆantico; passando pe-
las primeiras realiza¸c˜oes experimentais em 1989, mostrando a eficiˆencia desse tipo
de controle na quebra molecular [15], at´e a proposta de um novo procedimento de
controle que culminou no atual e complexo campo de estudos denominado controle
´otimo [44]. O estado da arte nesse campo de estudo aponta para novos procedimentos
de controle em sistemas quˆanticos grandes, como por exemplo, em pontos quˆanticos,
a fim de criar novos dispositivos com poss´ıveis aplica¸c˜oes pr´aticas, tais como, em
computa¸c˜ao quˆantica [22,39,40, 47–52].
Deste modo, o objetivo central da tese consiste em desenvolver um controle
quˆantico param´etrico integrado `as t´ecnicas usuais de controle inverso. Para isso,
o m´etodo exige a constru¸c˜ao de um Hamiltoniano que descreva apropriadamente a
intera¸c˜ao entre o sistema que se deseja controlar e o campo externo de controle,
para ent˜ao, realizar o controle manipulando-se temporalmente esses parˆametros ex-
ternos. Uma clara vantagem deste procedimento ´e que, uma vez resolvido o problema
do controle para esse Hamiltoniano param´etrico, os resultados podem ser aplicados
quase que diretamente para qualquer outro sistema f´ısico que seja descrito por esse
Hamiltoniano, restando ent˜ao a tarefa de identificar e relacionar os parˆametros desse
potencial com um campo f´ısico externo real. O m´etodo de controle desenvolvido
nesta tese ´e baseado em um protocolo de controle independente do tempo por par-
tes, desta forma, a dinˆamica temporal ´e obtida atrav´es da aplica¸c˜ao de uma seq
¨
uˆencia
de passos de controle. Este ponto ´e importante porque ganhamos a liberdade de es-
colher o n´umero de passos de controle, e dessa maneira podemos adaptar o m´etodo
levando em conta o problema de interesse. A partir da´ı, desenvolvemos um novo
procedimento de controle com poss´ıveis empregos em bilhares quˆanticos e problemas
correlatos. Al´em disso, a tese objetiva propor ferramentas de controle em um regime
de campos intensos.
1.6. Objetivo e Estrutura da Tese - 26 -
A tese, em sua totalidade, ´e constitu´ıda por cinco cap´ıtulos, al´em de uma
parte endere¸cada `as conclus˜oes e perspectivas. O t´ıtulo de cada cap´ıtulo indica cada
assunto abordado. Em princ´ıpio, todos os cap´ıtulos podem ser lidos mais ou menos
independentemente e, caso seja necess´ario, apontaremos para informa¸c˜oes localizadas
em outras partes da tese. A seguir apresentamos a rela¸c˜ao dos cap´ıtulos.
Cap
´
ıtulo 1 : Apresentamos uma revis˜ao bibliogr´afica e fizemos uma breve intro-
du¸c˜ao hist´orica acerca do controle quˆantico.
Cap
´
ıtulo 2 : Para este cap´ıtulo propusemos a obten¸c˜ao do controle do valor espe-
rado de um observ´avel por meio de um campo el´etrico est´atico independente
do tempo por partes. O foco neste problema ´e compreender como o campo
externo interfere na dinˆamica do pacote de ondas gerado pela superposi¸c˜ao de
dois n´ıveis e observar como o surgimento de erros interferem na qualidade do
controle [51].
Cap
´
ıtulo 3 : Neste cap´ıtulo utilizamos a t´ecnica do controle inverso para controlar
a dinˆamica temporal em um sistema constitu´ıdo por trˆes n´ıveis [53]. Com
isso, mostramos como o controle pode ser realizado mesmo em sistemas nos
quais solu¸c˜oes anal´ıticas n˜ao s˜ao mais dispon´ıveis. Para o controle utilizamos
o protocolo de controle independente do tempo por partes de maneira similar
ao procedimento utilizado na Ref. [51].
Cap
´
ıtulo 4 : Para o bilhar circular, objetivamos estudar o efeito do campo mag-
n´etico em um regime de campos intensos para a recupera¸c˜ao dos padr˜oes de
reconstru¸c˜ao de um pacote de ondas Gaussiano. Observamos tamb´em como
os efeitos de incoerˆencias nas energias interferem nesses padr˜oes de reconstru-
¸c˜ao [54].
Cap
´
ıtulo 5 : Para o estudo do espalhamento de um pacote de ondas por um po-
tencial de contato mostramos como podemos alterar a taxa de transmiss˜ao e
de reflex˜ao atrav´es do “controle” da velocidade desse potencial [55].
1.6. Objetivo e Estrutura da Tese - 27 -
Procuramos tamb´em acrescentar ao longo do texto algumas demonstra¸c˜oes
e exemplos que achamos serem importantes para auxiliar o leitor no entendimento
deste trabalho. Esses complementos, em sua grande maioria, ajudam na dedu¸c˜ao
de uma equa¸c˜ao ou no entendimento de um conceito f´ısico. Por´em, o leitor pode
sentir-se livre para pular essas dedu¸c˜oes e exemplos, uma vez que os mesmos n˜ao
constituem uma parte indispens´avel do texto.
2
Controle Qu
ˆ
antico em um
Sistema de Dois N
´
ıveis
Neste cap´ıtulo apresentaremos um m´etodo de controle geral, e matema-
ticamente simples, para um sistema de dois n´ıveis. Tal m´etodo ´e baseado
em um procedimento no qual os parˆametros externos s˜ao independentes
do tempo em um certo intervalo ∆t. Admitimos tamb´em que a troca nos
valores dos parˆametros entre um intervalo ∆t
j
e ∆t
j+1
possa ser realizada
“rapidamente”. O controle ´e realizado determinando-se apropriadamente
os valores dos parˆametros que conduzir´a `a dinˆamica temporal do valor
esperado de um observ´avel arbitr´ario por um caminho previamente defi-
nido. A busca dos parˆametros de controle ´e feita atrav´es de uma equa-
¸c˜ao alg´ebrica, ao inv´es de uma equa¸c˜ao diferencial ou integral. Como
exemplo, aplicamos o m´etodo para produzir r´apidas varia¸c˜oes no valor
esperado do observ´avel e tamb´em para atingir os extremos da janela de
controle. Discutimos tamb´em alguns aspectos t´ecnicos, bem como a ro-
bustez do m´etodo mediante erros nos valores dos parˆametros de controle.
A manipula¸c˜ao e o controle de processos quˆanticos est˜ao entre os desafios
atuais e futuros da f´ısica e da qu´ımica, e tˆem recebido consider´avel aten¸c˜ao te´orica
28
- 29 -
e experimental [12, 45]. Parte do entusiasmo na ´area vem dos r´apidos avan¸cos na
fabrica¸c˜ao de lasers de pulsos ultracurtos, tornando poss´ıvel produzir efeitos de in-
terferˆencias diretamente em sistemas atˆomicos e moleculares [13, 15, 26, 56, 57], para
poss´ıveis aplica¸c˜oes em mat´eria condensada [40,58, 59], na condu¸c˜ao de rea¸c˜oes qu´ı-
micas [23, 60], em implementa¸c˜oes de qubits para a computa¸c˜ao quˆantica [39, 50],
entre outras.
Aliados a esses r´apidos progressos experimentais, esfor¸cos tˆem sido feitos
rumo ao desenvolvimento de procedimentos te´oricos mais eficazes na busca por so-
lu¸c˜oes de campo de controle. A meta ´e desenvolver m´etodos r´apidos e precisos que
predigam como um dado sistema quˆantico evoluir´a sob a a¸c˜ao de um potencial ex-
terno “configur´avel”, como por exemplo, um campo eletromagn´etico. A partir da´ı,
podemos tirar proveito deste campo configur´avel para conduzir apropriadamente a
evolu¸c˜ao temporal do sistema f´ısico em quest˜ao. Obviamente um certo grau de in-
tui¸c˜ao f´ısica ´e ´util nesta tarefa [33]; no entanto, anos de pesquisas mostram que, de
fato, an´alises matem´aticas mais s´olidas s˜ao necess´arias para estabelecer as condi¸c˜oes
para o controle quˆantico [31, 32,61, 62].
Como contribui¸c˜ao neste campo de estudos, propomos um procedimento
geral para o controle quˆantico, na qual baseia-se no protocolo de solu¸c˜ao de um
problema inverso. N˜ao obstante, o m´etodo apresenta duas grande vantagens: a sua
simplicidade matem´atica, e — quase como conseq
¨
uˆencia da primeira — a maior fa-
cilidade de implementa¸c˜ao computacional
1
. De fato, evitamos t´ecnicas comumente
empregadas, tais como, maximiza¸c˜ao de funcional ou solu¸c˜ao de um conjunto de
equa¸c˜oes diferenciais dependentes do tempo. O “truque” ´e implementar o controle
atrav´es de um potencial externo U, que depende de um conjunto de parˆametros
{λ
n
}. Os λ
n
’s s˜ao modificados para os valores apropriados no instante de tempo t
j
,
quando ent˜ao s˜ao mantidos constantes durante o intervalo de tempo ∆t
j
. Portanto,
1
Embora enunciamos este m´etodo como tendo algumas facilidades frente a outros j´a estabelecidos
na literatura, ´e nosso dever notificar ao leitor que sua real implementa¸c˜ao requer muitos cuidados
pr´aticos, tornando-se claro o desafio da busca por solu¸c˜oes de problemas inversos.
2.1. O M
´
etodo - 30 -
em cada intervalo de tempo ∆t
j
teremos um problema independente do tempo, com
poss´ıvel solu¸c˜ao anal´ıtica. Configurando apropriadamente os tempos e os valores dos
parˆametros, podemos conduzir adequadamente a evolu¸c˜ao temporal de uma certa
grandeza f´ısica intr´ınseca do sistema. Al´em das vantagens matem´aticas, o m´etodo
permite um panorama claro de todas as caracter´ısticas f´ısicas envolvidas no processo
de controle, as quais muitas vezes est˜ao escondidas em sofisticadas descri¸c˜oes ma-
tem´aticas. Devemos mencionar que uma id´eia similar, mas usada em um contexto
diferente, foi aplicada na investiga¸c˜ao de um sistema de dois n´ıveis (black-box ) em
um processo de tomografia quˆantica (quantum tomography) [63].
Atrav´es deste cap´ıtulo as deriva¸c˜oes, resultados, e exemplos s˜ao focados num
sistema de dois n´ıveis. Este sistema foi escolhido devido a sua importˆancia pr´atica,
tendo em vista que uma gama de fenˆomenos podem ser descritos e controlados em
termos de um sistema de dois n´ıveis [15, 36, 40, 63–68]. Mesmo em casos onde o
problema ´e efetivamente um sistema de muitos n´ıveis [69–72], uma idealiza¸c˜ao por
um problema de dois n´ıveis muitas vezes torna-se adequada
2
. Al´em disso, um sistema
de dois n´ıveis nos permite realizar o controle com um n´umero m´ınimo de parˆametros,
dois ou eventualmente apenas um. Deste modo, podemos introduzir o m´etodo sem
a necessidade de utilizar um espa¸co de parˆametros multidimensional. O protocolo,
no entanto, pode ser aplicado igualmente bem em situa¸c˜oes mais gerais, como ser´a
visto nos Cap´ıtulos 3 e 4.
2.1 O M
´
etodo
Considere um sistema quˆantico com Hamiltoniano interno H
0
preparado em
um estado inicial |Ψ
0
, o qual pode ser descrito como a superposi¸c˜ao de dois vetores
de base |0 =
1
0
e |1 =
0
1
(bases de H
0
), tal que |0 denota o estado fundamental
2
´
E claro que h´a casos onde devemos abandonar completamente esta idealiza¸c˜ao frente a um mo-
delo mais adequado para tratar o sistema f´ısico. Por exemplo, para tratar efeitos de aprisionamento
quˆantico e transparˆencia, um sistema constitu´ıdo por trˆes n´ıveis ´e mais apropriado.
2.1. O M
´
etodo - 31 -
com energia E
0
, e |1 o estado excitado com energia E
1
. Em t = t
j
um campo externo
come¸ca a interagir com o sistema, fazendo-o evoluir de um estado caracterizado por
|Ψ(t
j
) = C
0
(t
j
)|0 + C
1
(t
j
)|1 para |Ψ(t) = C
0
(t)|0 + C
1
(t)|1, segundo a equa¸c˜ao
de Schr
¨
odinger
i
∂
∂t
|Ψ = H|Ψ , para H =
E
0
u e
−iϕ
u e
iϕ
E
1
, (2.1)
sendo H o Hamiltoniano que descreve a intera¸c˜ao entre o campo externo e o sistema
(H = H
0
+U). O acoplamento entre o campo e o sistema, e a forma desse campo, s˜ao
descritos pelos parˆametros u e ϕ. Esses s˜ao os parˆametros de entrada que desejamos
configurar para a realiza¸c˜ao do controle quˆantico. Da Eq. (2.1) vemos que n|U|n =
0 (n = 0, 1). Este ´e o caso t´ıpico quando os estados n˜ao perturbados possuem
paridade definida, e o potencial ´e ´ımpar — esta ´e uma situa¸c˜ao t´ıpica de intera¸c˜ao
dipolar, como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo
Tomemos como um exemplo um oscilador harmˆonico
3
, tal que os estados pr´oprios
do sistema n˜ao perturbado s˜ao caracterizados pela equa¸c˜ao:
ψ
n
(x) = x|n = 2
−n/2
(n!)
−1/2
mω
π
1/4
exp(−
mω
2
x
2
)H
n
mω
x)
.
Se o operador de dipolo el´etrico for aproximado por ˆµ ≈ x, ent˜ao os elementos de
matriz podem ser escritos como U
nk
= n|ˆµ.ǫ|k = n|x|kǫ, sendo
n|x|k =
+∞
−∞
ψ
n
∗
(x) x ψ
k
(x)dx =
mω
n
2
δ
k,n−1
+
n + 1
2
δ
k,n+1
.
Observe agora que se n = k ent˜ao δ
n,n−1
= δ
n,n+1
= 0, na qual obtemos
n|x|n = 0 ,
3
Veja como referˆencia o cap´ıtulo 5 do livro Quantum Mechanics de Eugen Merzbacher [73].
2.1. O M
´
etodo - 32 -
e portanto U
nn
= 0, como quer´ıamos mostrar. Este ´e um caso t´ıpico de mol´eculas
sem momento de dipolo el´etrico permanente
4
.
Al´em disso, os parˆametros que aparecem em U podem ser relacionados com os pa-
rˆametros de sa´ıda de um laser, como por exemplo, a intensidade e a fase do campo
eletromagn´etico, que est˜ao diretamente relacionados com 0 ≤ u ≤ +∞ e 0 ≤ ϕ ≤ 2π
atrav´es da equa¸c˜ao: 1|U|0 = u exp(iϕ). Esta reparametriza¸c˜ao ser´a ´util porque
nos permitir´a discutir o m´etodo simplesmente em termos de u e ϕ.
2.1.1 A Solu¸c
˜
ao da Equa¸c
˜
ao de Schr
¨
odinger
Quando mencionamos a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger, estamos nos
referindo `a obten¸c˜ao das energias pr´oprias e dos estados pr´oprios do sistema quando
o mesmo interage com um potencial externo. Se os parˆametros externos u e ϕ
s˜ao independentes do tempo, podemos simplesmente resolver a equa¸c˜ao: H|Ψ
±
=
E
±
|Ψ
±
; e a solu¸c˜ao torna-se agora um problema de valores pr´oprios, tais que |Ψ
±
denotam os dois estados pr´oprios, cuja energia ´e E
±
, obtidos da diagonaliza¸c˜ao da
matriz (2.1). Na Fig. 2.1 mostramos as energias pr´oprias E
±
em fun¸c˜ao do campo
externo aplicado. Uma dedu¸c˜ao das express˜oes para os estados e para as energias
pr´oprias pode ser encontrada na Ref. [74]
5
, sendo
E
±
=
(E
1
+ E
0
) ± Γ
2
, Γ =
4u
2
+ (E
1
− E
0
)
2
, (2.2)
e os estados pr´oprios escritos na base de H
0
s˜ao
|Ψ
+
= cos
θ
2
e
−i
ϕ
2
|0 + sen
θ
2
e
i
ϕ
2
|1 ,
|Ψ
−
= −sen
θ
2
e
−i
ϕ
2
|0 + cos
θ
2
e
i
ϕ
2
|1 ,
4
Uma r´apida discuss˜ao sobre o tema pode ser encontrada na p´ag. 460 da Ref. [73].
5
Ver Cap´ıtulo IV, p´ag. 420-423, Quantum Mechanics de C. Cohen-Tannoudji, B. Diu e F. Lalo
¨
e.
2.1. O M
´
etodo - 33 -
0,3236
0,3237
0,3238
0,3239
0,3240
0,3241
0,3242
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
energia (a.u.)
u/∆E
E
+
E
−
Fig. 2.1: Varia¸c˜ao de energia E
+
e E
−
com rela¸c˜ao ao campo aplicado u/∆E para ∆E = E
1
−E
0
. Na
ausˆencia do campo externo os n´ıveis de energia convergem para E
0
= 0, 323849 a.u. e E
1
= 0, 323968
a.u.. Para campos intensos as energias aproximam-se assintoticamente de um regime linear.
sendo
tan(θ) =
2u
E
0
− E
1
.
2.1.2 O Estado Qu
ˆ
antico
Considere um sistema quˆantico, devidamente preparado em um estado inicial
|Ψ(t = t
0
) = C
0
(t
0
)|0 + C
1
(t
0
)|1. O nosso objetivo ser´a determinar o estado final
|Ψ(t) quando o sistema est´a sob a a¸c˜ao do campo externo. O estado quˆantico,
representado na base {|Ψ
−
, |Ψ
+
} (base estacion´aria de H) ´e dado por
|Ψ(t) = C
−
e
−iE
−
t/
|Ψ
−
+ C
+
e
−iE
+
t/
|Ψ
+
. (2.4)
Escrevendo a Eq. (2.4) na base {|0, |1} e relacionando C
+
e C
−
com os coeficientes
C
0
(t
0
) e C
1
(t
0
) chegamos `a seguinte express˜ao
|Ψ(t) = C
0
(t)|0 + C
1
(t)|1 , (2.5)
2.1. O M
´
etodo - 34 -
sendo
C
0
(t) = C
0
(t
0
)(cos
2
θ
2
e
−iE
+
∆t/
+ sen
2
θ
2
e
−iE
−
∆t/
)
+
C
1
(t
0
)
2
sen θ e
−iϕ
(e
−iE
+
∆t/
− e
−iE
−
∆t/
) , (2.6a)
C
1
(t) = C
1
(t
0
)(sen
2
θ
2
e
−iE
+
∆t/
+ cos
2
θ
2
e
−iE
−
∆t/
)
+
C
0
(t
0
)
2
sen θ e
iϕ
(e
−iE
+
∆t/
− e
−iE
−
∆t/
) . (2.6b)
Nesta express˜ao ∆t = t −t
0
, tan θ = 2u/(E
0
−E
1
) para (0 ≤ θ < π), C
0
(t
0
) = r
0
e
iσ
0
e C
1
(t
0
) = r
1
e
iσ
1
, tal que |C
0
(t
0
)|
2
+ |C
1
(t
0
)|
2
= 1. Essas express˜oes descrevem
completamente a dinˆamica quˆantica de um sistema de dois n´ıveis quando u e ϕ s˜ao
independentes do tempo.
Por´em, em controle quˆantico, constantemente precisamos ajustar um po-
tencial de intera¸c˜ao para conduzir corretamente |Ψ(t). Se o potencial de intera¸c˜ao
muda continuamente no tempo, isto ´e, H = H(t), ent˜ao, o vetor de estado ´e calculado
atrav´es da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger dependente do tempo
i
∂|Ψ
∂t
= H(t)|Ψ , (2.7)
ao inv´es da f´ormula descrita pelas Eqs. (2.6). Nesse caso, o estudo do controle
freq
¨
uentemente demandar´a uma an´alise te´orica relativamente avan¸cada para deter-
minar a melhor forma de U(t) para a busca do comportamento da evolu¸c˜ao do estado.
Nossa meta aqui ainda ´e controlar a evolu¸c˜ao temporal do sistema ajustando tem-
poralmente os parˆametros relevantes do potencial. No entanto, para evitar compli-
ca¸c˜oes t´ecnicas, tais como, resolver um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais acopladas,
propomos um procedimento de controle independente do tempo por partes. Para
tal, admitiremos que em um determinado instante t
j
podemos variar muito rapida-
mente u e ϕ para um valor espec´ıfico u
j
e ϕ
j
, para em seguida mantˆe-los constantes
durante o intervalo de tempo ∆t
j+1
= t
j+1
− t
j
(j = 0, 1, 2, . . .). Aqui, “muito ra-
pidamente” significa que o tempo transcorrido para a transi¸c˜ao u
j−1
, ϕ
j−1
→ u
j
, ϕ
j
,
´e muito menor que qualquer tempo caracter´ıstico do sistema (veja a Se¸c˜ao 2.3 para
2.2. O Valor Esperado de um Observ
´
avel - 35 -
mais detalhes). Admitindo essa hip´otese, |Ψ(t) para cada intervalo de tempo ∆t
j+1
´e dado pela Eq. (2.6), sendo
u = u
j
, ϕ = ϕ
j
, e t
0
→ t
j
. (2.8)
A descri¸c˜ao feita acima assegura que as mudan¸cas repentinas nos valores dos pa-
rˆametros nos permitem obter |Ψ(t
+
j
) a partir de |Ψ(t
−
j
) mediante a proje¸c˜ao do
estado |Ψ(t
−
j
) no “novo” estado de H em t
j
< t < t
j+1
(aqui, t
+
j
(t
−
j
) significa um
instante imediatamente depois (antes) de t = t
j
). Em outras palavras, o estado final
no intervalo ∆t
j
ser´a o estado inicial para o intervalo ∆t
j+1
. Este procedimento ´e
ilustrado na Fig. 2.2.
t
j+1
t
j
t
j−1
∆t
j
∆t
j+1
u
j
|
ψ
(t
j
)
−
(t
j
+
)
|
ψ
ϕ
j
u
j−1
ϕ
j−1
(+)(−)
Fig. 2.2: No primeiro passo de controle (−) o sistema evolui de um estado qualquer em t = t
j−1
para o estado
Ψ(t
−
j
)
sob a a¸c˜ao de um campo caracterizado por u
j−1
, ϕ
j−1
. Neste ponto, o estado
quˆantico ´e projetado para o intervalo de tempo seguinte (
Ψ(t
+
j
)
). A partir da´ı, o sistema evolui
at´e t = t
j+1
sob a a¸c˜ao do novo campo u
j
, ϕ
j
.
Portanto, no presente protocolo de controle precisamos determinar os con-
juntos {t
1
; t
2
; . . .} e {u
1
, ϕ
1
; u
2
, ϕ
2
; . . .} que conduzir˜ao o sistema apropriadamente
para o estado |Ψ(t).
2.2 O Valor Esperado de um Observ
´
avel
Geralmente, o objetivo principal em se controlar um estado quˆantico ´e obter
um valor esperado espec´ıfico para um observ´avel de interesse, representado pelo
operador V . Em outras palavras, queremos obter um certo valor
˜
S para S(t) =
Ψ(t)|V |Ψ(t) em t =
˜
t. Lembrando que S(t) est´a restrito `a janela de controle
v
−
≤ S(t) ≤ v
+
, sendo v
±
os dois valores pr´oprios do operador Hermiteano V .
2.2. O Valor Esperado de um Observ
´
avel - 36 -
Supondo que o operador V seja escrito na base {|0, |1}, ent˜ao o valor
esperado do observ´avel ´e calculado atrav´es da seguinte equa¸c˜ao
S(t) = Ψ(t)|V |Ψ(t) para V =
v
0
v e
−iα
v e
iα
v
1
(2.9)
com v
0
, v
1
, v e α reais e 0 ≤ α < 2π.
Para um sistema independente do tempo o vetor de estado ´e dado pela
Eq. (2.5), e substituindo esta equa¸c˜ao em (2.9) obtemos
S(t) = |C
0
(t)|
2
v
0
+ |C
1
(t)|
2
v
1
+ 2vRe{C
0
∗
(t)C
1
(t) exp[−iα]} . (2.10)
Substituindo agora a forma expl´ıcita de C
0
(t) e C
1
(t) (Eqs. (2.6a) e (2.6b)) na
Eq. (2.10), e escrevendo a dependˆencia temporal dos termos |C
0
(t)|
2
, |C
1
(t)|
2
e
C
0
∗
(t)C
1
(t) em termos das fun¸c˜oes trigonom´etricas sen [ω(t − t
0
)] e cos[ω(t − t
0
)]
para ω = (E
+
− E
−
)/, temos
S(t) = V
0
+ V
1
sen [ω(t − t
0
)] + V
2
cos[ω(t −t
0
)] , (2.11)
tal que os coeficientes V
j
na Eq. (2.11) s˜ao dados pelas seguintes equa¸c˜oes
V
0
= (v
0
r
0
2
+ v
1
r
1
2
)(cos
4
[θ/2] + sen
4
[θ/2]) + (v
0
r
1
2
+ v
1
r
0
2
)sen
2
[θ]/2
+ (v
0
− v
1
)r
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ]
+ vr
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ α]sen
2
[θ] + vr
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ 2ϕ −α]sen
2
[θ]
+ v(r
0
2
− r
1
2
) cos[ϕ −α](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ] ,
V
1
= v(r
0
2
− r
1
2
)sen [ϕ −α]sen [θ] − (v
0
− v
1
)r
0
r
1
sen [σ
0
− σ
1
+ ϕ]sen [θ]
+ 2vr
0
r
1
sen [σ
0
− σ
1
+ α](cos
4
[θ/2] − sen
4
[θ/2]) ,
V
2
= (v
0
− v
1
)(r
0
2
− r
1
2
)sen
2
[θ]/2
− v(v
0
2
− v
1
2
) cos[ϕ − α](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ]
− (v
0
− v
1
)r
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ]
+ 2r
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ α](cos
4
[θ/2] + sen
4
[θ/2])
− vr
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ 2ϕ −α]sen
2
[θ] . (2.12)
2.2. O Valor Esperado de um Observ
´
avel - 37 -
A obten¸c˜ao destas equa¸c˜oes ´e um pouco extensa, no entanto, no intuito de auxiliar
o leitor realizamos algumas passagens intermedi´arias na demonstra¸c˜ao na p´ag 38.
Note que o per´ıodo caracter´ıstico de oscila¸c˜ao do valor esperado do obser-
v´avel (Eq. (2.11)) ´e, τ = 2π/ω, que depende somente da freq
¨
uˆencia de Rabi (ω =
4u
2
+ (E
1
− E
0
)
2
/). Ent˜ao, r´apidas varia¸c˜oes no valor esperado do observ´avel
est˜ao relacionadas com acentuadas varia¸c˜oes em u.
Para encontrar os valores espec´ıficos de u, ϕ e t =
˜
t, que conduzem o sistema
a um certo alvo
˜
S, colocamos este alvo como uma entrada na Eq. (2.11), isto ´e,
fazemos S(t) =
˜
S e resolvemos esta equa¸c˜ao para u e ϕ. Apesar da express˜ao (2.11)
parecer um pouco complicada, a sua solu¸c˜ao num´erica ´e direta, pois o que temos
na realidade ´e uma equa¸c˜ao polinomial trigonom´etrica. O procedimento para impor
uma “trajet´oria” espec´ıfica S(t) ´e o seguinte:
1. O primeiro passo ´e definir o conjunto de intervalos de tempo {∆t
j
}. Na pr´atica,
sua escolha est´a relacionada com os detalhes de qu˜ao r´apido os parˆametros do
Hamiltoniano podem variar, como por exemplo, o tempo de resposta determi-
nado por um campo externo de um laser; e o qu˜ao pr´oximo da trajet´oria alvo
o sistema deve estar para uma determinada aplica¸c˜ao.
2. O segundo passo ´e escolher
˜
t. Para cada ∆t
j
, escolhemos um
˜
t para o qual
S(
˜
t) atinge o valor desejado
˜
S. O valor exato de
˜
t n˜ao ´e muito importante,
desde que ∆t
j
seja pequeno o suficiente. Em nossas simula¸c˜oes sempre fizemos
˜
t = t
−
j+1
.
3. Finalmente, resolvemos apropriadamente a Eq. (2.11), no tempo t =
˜
t, com o
intuito de encontrar os valores correspondentes de u e ϕ.
O controle quˆantico ´e obtido dos c´alculos do conjunto de parˆametros u e ϕ.
´
E claramente observado, das discuss˜oes pr´evias, que a “qualidade” do controle est´a
relacionada com a raz˜ao entre o tempo ∆t
j
em cada passo de controle j e o per´ıodo
de Rabi τ. Para que tenhamos um controle mais apurado ´e necess´ario que ∆t
j
< τ.
2.2. O Valor Esperado de um Observ
´
avel - 38 -
Observamos que a nossa abordagem do controle est´a de acordo com o controle obtido
com outros m´etodos, tais como os apresentados nas Ref. [26,33,34], por´em os m´etodos
descritos nas referˆencias demandam m´etodos num´ericos mais complicados.
Demonstra¸c˜ao
Vamos fazer aqui a dedu¸c˜ao das express˜oes (2.11) e (2.12). O objetivo ´e obter
uma express˜ao geral para o c´alculo do valor esperado do observ´avel V (Eq. (2.9)). O
estado do sistema em um instante t foi calculado na express˜ao (2.5), portanto, vamos
iniciar a dedu¸c˜ao partindo da express˜ao geral para S(t),
S(t) = Ψ(t)|V |Ψ(t)
=
C
∗
0
(t) C
∗
1
(t)
v
0
v e
−iα
v e
iα
v
1
C
0
(t)
C
1
(t)
(2.13)
S(t) = |C
0
(t)|
2
v
0
+ |C
1
(t)|
2
v
1
+ C
∗
0
(t)C
1
(t)v exp (iα) + C
0
(t)C
∗
1
(t)v exp (−iα)
= |C
0
(t)|
2
v
0
+ |C
1
(t)|
2
v
1
+ 2vRe{C
0
∗
(t)C
1
(t) exp(−iα)} . (2.14)
Substituindo as Eqs. (2.6a) e (2.6b) em (2.14) obtem-se
|C
0
(t)|
2
= r
0
2
(cos
4
[θ/2] + sen
4
[θ/2]) + r
1
2
sen
2
[θ]/2
+ r
0
r
1
sen [θ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2]) cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ]
+ (r
0
2
− r
1
2
)sen
2
[θ] cos[ω(t − t
0
)]/2
− r
0
r
1
sen [θ] cos
2
[θ/2] cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ −ω(t − t
0
)]
+ r
0
r
1
sen [θ]sen
2
[θ/2] cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ + ω(t − t
0
)]) ,
|C
1
(t)|
2
= r
1
2
(cos
4
[θ/2] + sen
4
[θ/2]) + r
0
2
sen
2
[θ]/2
− r
0
r
1
sen [θ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2]) cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ]
+ (r
1
2
− r
0
2
)sen
2
[θ] cos[ω(t − t
0
)]/2
+ r
0
r
1
sen [θ] cos
2
[θ/2] cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ −ω(t − t
0
)]
− r
0
r
1
sen [θ]sen
2
[θ/2] cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ + ω(t − t
0
)]) ,
2.2. O Valor Esperado de um Observ
´
avel - 39 -
C
∗
0
(t)C
1
(t) = r
0
r
1
sen
2
[θ] exp[−i(σ
0
− σ
1
)]/2 + r
0
r
1
sen
2
[θ] exp[i(σ
0
− σ
1
+ 2ϕ)]/2
+ (r
0
2
− r
1
2
)sen [θ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2]) exp[iϕ]/2
+ r
0
r
1
cos
4
[θ/2] exp[−i(σ
0
− σ
1
− ω(t − t
0
))]
+ r
0
r
1
sen
4
[θ/2] exp[−i(σ
0
− σ
1
+ ω(t − t
0
))]
− r
0
r
1
sen
2
[θ] exp[i(σ
0
− σ
1
+ 2ϕ + ω(t − t
0
))]/4
− r
0
r
1
sen
2
[θ] exp[i(σ
0
− σ
1
+ 2ϕ −ω(t − t
0
))]/4
− (r
0
2
− r
1
2
)sen [θ] cos
2
[θ/2] exp[i(ϕ + ω(t − t
0
))]/2
+ (r
0
2
− r
1
2
)sen [θ]sen
2
[θ/2] exp[i(ϕ −ω(t − t
0
))]/2 .
Substituindo as express˜oes acima em (2.14), e separando os termos que contem as
dependˆencias temporais, obtemos:
S(t) = A
0
+ {A
1
+ (A
2
+ A
3
) cos[ϕ + α]
+ (A
4
+ A
5
) cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ] + (A
6
+ A
7
) cos[σ
0
− σ
1
− α]
+ (A
8
+ A
9
) cos[σ
0
− σ
1
+ 2ϕ + α]}cos[ω(t − t
0
)]
+ {(A
2
− A
3
)sen [ϕ + α] + (A
4
− A
5
)sen [σ
0
− σ
1
+ ϕ]
+ (A
6
− A
7
)sen [σ
0
− σ
1
− α]
+ (A
8
− A
9
)sen [σ
0
− σ
1
2ϕ + α]}sen [ω(t − t
0
)] (2.15)
tal que os coeficientes A
n
que aparecem nesta express˜ao s˜ao dados por:
A
0
= (v
0
r
0
2
+ v
1
r
1
2
)(cos
4
[θ/2] + sen
2
[θ/2]) + (v
0
r
1
2
+ v
1
r
0
2
)sen
2
[θ]/2
+ (v
0
− v
1
)r
0
r
1
sen [θ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2]) cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ]
+ vr
0
r
1
sen
2
[θ] cos[σ
0
− σ
1
− α] + vr
0
r
1
sen
2
[θ] cos[σ
0
− σ
1
+ 2ϕ + α]
+ v(r
0
2
− r
1
2
)sen [θ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2]) cos[ϕ + α]
A
1
= (v
0
− v
1
)(r
0
2
− r
1
2
)sen
2
[θ]/2
A
2
= v(r
0
2
− r
1
2
)sen [θ]sen
2
[θ/2]
A
3
= −v(r
0
2
− r
1
2
)sen [θ] cos
2
[θ/2]
A
4
= −(v
0
− v
1
)r
0
r
1
sen [θ] cos
2
[θ/2]
2.3. Resultados e Exemplos - 40 -
A
5
= (v
0
− v
1
)r
0
r
1
sen [θ]sen
2
[θ/2]
A
6
= 2vr
0
r
1
cos
4
[θ/2]
A
7
= 2vr
0
r
1
sen
4
[θ/2]
A
8
= A
9
= −vr
0
r
1
sen
2
[θ]/2
Substituindo esses coeficientes em (2.15) e reorganizando os termos entre chaves,
podemos escrever uma express˜ao fechada em termos de V
0
, V
1
e V
2
, quando ent˜ao, a
equa¸c˜ao assume sua forma final
S(t) = V
0
+ V
1
cos[ω(t −t
0
)] + V
2
sen [ω(t − t
0
)]
para
V
0
= (v
0
r
0
2
+ v
1
r
1
2
)(cos
4
[θ/2] + sen
4
[θ/2]) + (v
0
r
1
2
+ v
1
r
0
2
)sen
2
[θ]/2
+ (v
0
− v
1
)r
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ]
+ vr
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ α]sen
2
[θ] + vr
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ 2ϕ −α]sen
2
[θ]
+ v(r
0
2
− r
1
2
) cos[ϕ −α](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ] ,
V
1
= v(r
0
2
− r
1
2
)sen [ϕ −α]sen [θ] − (v
0
− v
1
)r
0
r
1
sen [σ
0
− σ
1
+ ϕ]sen [θ]
+ 2vr
0
r
1
sen [σ
0
− σ
1
+ α](cos
4
[θ/2] − sen
4
[θ/2]) ,
V
2
= (v
0
− v
1
)(r
0
2
− r
1
2
)sen
2
[θ]/2
− v(v
0
2
− v
1
2
) cos[ϕ − α](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ]
− (v
0
− v
1
)r
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ ϕ](cos
2
[θ/2] − sen
2
[θ/2])sen [θ]
+ 2r
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ α](cos
4
[θ/2] + sen
4
[θ/2])
− vr
0
r
1
cos[σ
0
− σ
1
+ 2ϕ −α]sen
2
[θ] . (2.16)
que era onde quer´ıamos chegar.
2.3 Resultados e Exemplos
Nesta se¸c˜ao mostraremos a potencialidade do nosso m´etodo de controle dis-
cutindo diferentes exemplos. Admitiremos em todas as aplica¸c˜oes um sistema de
2.3. Resultados e Exemplos - 41 -
dois n´ıveis com energias (no sistema atˆomico de unidades, no qual = m = e = 1)
E
0
= 0, 323849 a.u. e E
1
= 0, 323968 a.u., tal que ∆E = E
1
− E
0
= 0, 119 × 10
−3
a.u., com um tempo natural associado τ
0
= 1, 28 ps. Esses valores particulares de
energia foram escolhidos apenas como exemplo, e portanto, n˜ao h´a nenhum interesse
espec´ıfico maior. No entanto, ´e interessante mencionar que eles correspondem a dois
estados excitados da mol´ecula DH
2
usados para demonstrar o processo control´avel
de quebra molecular feito nos primeiros trabalhos sobre controle quˆantico [15]. O
controle quˆantico ´e implementado ajustando-se os parˆametros u e ϕ, como discu-
tido previamente. No laborat´orio este procedimento ´e realizado aplicando-se campos
externos ajust´aveis, como por exemplo, um feixe de laser com amplitude vari´avel
e fase configur´avel por um modulador de fase [21]. Os parˆametros u e ϕ est˜ao
relacionados com o campo externo atrav´es dos elementos de matriz 1|U|0, para
U = µ ǫ(t) [26, 33, 34, 75, 76], sendo µ o operador de dipolo e ǫ(t) ´e o campo el´etrico
independente do tempo por partes, que pode ser ajustado apropriadamente por um
valor constante durante o intervalo de tempo.
2.3.1 Controle de S(t) para Determinados Instantes de
Tempo
Vamos iniciar com uma simples situa¸c˜ao de controle, sendo o observ´avel
dado por V = |nn| (n = 0, 1) [20, 26]. Deste modo, S(t) ´e interpretado como
a probabilidade de um sistema ser encontrado em um estado n em um tempo t.
Os parˆametros que definem V s˜ao v
0
= 1 − n, v
1
= n, e v = 0. O objetivo ´e
conduzir a evolu¸c˜ao de tal forma que em tempos iguais a 1, 2, 3 e 4 ps, a popula¸c˜ao
no n´ıvel n = 0 seja dada por
˜
S
a
(t) = 0, 2 t/∆t, Fig. 2.3(a), e
˜
S
b
(t) = 0, 05 (t/∆t)
2
,
Fig. 2.3(b). Os valores dos parˆametros est˜ao listados na Tab. 2.1. Os valores mudam
apenas ap´os um intervalo de tempo ∆t = 1 ps. No entanto, no intervalo de tempo ∆t
a quantidade S(t) segue a dinˆamica de um sistema de dois n´ıveis sob a a¸c˜ao de um
potencial independente do tempo, apresentando simplesmente oscila¸c˜oes de Rabi.
2.3. Resultados e Exemplos - 42 -
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
|C
0
(t)|
2
t (ps)
(a)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
|C
0
(t)|
2
t (ps)
(b)
Fig. 2.3: O observ´avel S(t) ´e tomado como sendo a popula¸c˜ao do n´ıvel 0 que assume os valores
dados pela trajet´oria (curva pontilhada) (a) S
a
(t) e (b) S
b
(t), para t exatamente igual a 1, 2, 3,
e 4 ps. Em (a) o estado inicial ´e ´unico, mas evolui de acordo com dois diferentes conjunto de
parˆametros. Em (b) as duas curvas representam estados iniciais diferentes. Todos os valores de
parˆametros est˜ao listados na Tab. 2.1.
No primeiro exemplo, Fig. 2.3(a), admitimos como estado inicial C
0
= 1/
√
2
e C
1
= exp[iπ/4]/
√
2, tal que o controle ´e feito com dois conjuntos diferentes de
parˆametros para u’s e ϕ’s. A existˆencia, em certos casos, dessas m´ultiplas solu¸c˜oes
´e uma consequˆencia da caracter´ıstica polinomial da Eq. (2.11), da qual podemos
tomar vantagem escolhendo, entre as diferentes poss´ıveis solu¸c˜oes, a de mais f´acil
implementa¸c˜ao.
Como um segundo exemplo, Fig. 2.3(b), temos dois estados iniciais distintos,
para a curva s´olida (C
0
= 1/
√
2, C
1
= exp[iπ/4]/
√
2) e para a tracejada (C
0
=
√
3/2,
C
1
= exp[iπ/4]/2). Obviamente, cada estado demanda diferentes conjuntos de parˆa-
metros, como visto na Tab. 2.1. Podemos observar que o controle quˆantico sempre
pode ser implementado, independentemente do estado inicial (veja a discuss˜ao na
2.3. Resultados e Exemplos - 43 -
intervalo (ps) Fig. 2.3(a) linha s´olida Fig. 2.3(a) linha tracejada
0-1 u = 0, 630; ϕ = 2, 649177 u = 0, 546; ϕ = 1, 569089
1-2 u = 0, 630; ϕ = 4, 896750 u = 0, 504; ϕ = 4, 143567
2-3 u = 0, 630; ϕ = 4, 048721 u = 0, 504; ϕ = 3, 432818
3-4 u = 0, 630; ϕ = 2, 567145 u = 0, 504; ϕ = 3, 136860
intervalo (ps) Fig. 2.3(b) linha s´olida Fig. 2.3(b) linha tracejada
0-1 u = 0, 840; ϕ = 0, 870655 u = 0, 630; ϕ = 1, 493502
1-2 u = 0, 630; ϕ = 0, 687220 u = 0, 630; ϕ = 0, 214842
2-3 u = 0, 630; ϕ = 1, 346751 u = 0, 630; ϕ = 0, 070247
3-4 u = 0, 630; ϕ = 0, 082234 u = 0, 630; ϕ = 3, 449264
Tab. 2.1: Valores dos parˆametros de controle usados em intervalos de 1 ps na Fig. 2.3 para u =
u/(E
1
− E
0
) e ϕ est´a em radianos.
Se¸c˜ao 2.4). No entanto, o estado inicial C
0
=
√
3/2 e C
1
= exp[iπ/4]/2, que resultou
em S
b
(t), poderia tamb´em ser utilizado para conduzir ao alvo S
a
(t) para espec´ıficos
valores de t, desde que os parˆametros u e ϕ fossem adequadamente ajustados.
2.3.2 Controle de S(t) Como uma Trajet
´
oria
No exemplo anterior, o controle ocorre somente para certos instantes de
tempo. Por´em, fazendo os ∆t
j
’s pequenos, o n´umero de pontos onde S(t) concorda
com uma dada trajet´oria aumenta. No entanto, pode parecer que S(t) segue um ca-
minho completo somente no limite de ∆t
j
→ 0, ou seja, para um controle dependente
do tempo. Felizmente este n˜ao ´e o caso. Podemos obter um controle para S(t) ra-
zoavelmente perto da trajet´oria alvo fazendo os ∆t
j
’s pequenos, por´em finitos, como
ilustraremos a seguir. Deixaremos para a Se¸c˜ao 2.4 uma discuss˜ao mais detalhada
sobre como escolher apropriadamente tais intervalos de tempo ∆t
j
.
A menos que seja mencionado o contr´ario, a partir daqui usaremos ∆t
j
=
∆t = 100 fs [77]. Para V admitiremos (em unidades arbitr´arias) v
0
= 1, v
1
= 3,
2.3. Resultados e Exemplos - 44 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(a)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
u/(E
1
−E
0
)
(b)
➤
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
ϕ (rad.)
t (ps)
(c)
➤
Fig. 2.4: (a) S(t) foi configurado como uma fun¸c˜ao escada para o controle dos parˆametros (b) u
e (c) ϕ. A curva pontilhada representa S(t) para pequenos desvios aleat´orios para o conjunto de
parˆametros {t
j
}.
v =
√
3 e α = π/2, desta forma v
−
= 0 e v
+
= 4. Uma vez que τ
0
/∆t = 12, 8,
podemos considerar os intervalos de tempos relativamente curtos comparados ao
per´ıodo natural de oscila¸c˜ao do sistema τ
0
quando o sistema n˜ao ´e perturbado (u = 0).
Deste modo, obtemos S(t) com boa aproxima¸c˜ao para a trajet´oria cont´ınua na escala
de tempo de τ
0
. Como estado inicial usamos o mesmo valor num´erico que o da
Fig. 2.3(a).
Iniciaremos ent˜ao, com uma forma cr´ıtica para S(t), uma fun¸c˜ao tipo escada,
como mostra a Fig. 2.4(a). Da Eq. (2.11) temos que dS(t)/dt = {V
1
cos[ω(t − t
0
)]
−V
2
sen [ω(t−t
0
)]}ω. Como o termo entre chaves ´e limitado, conclu´ımos que mudan-
¸cas abruptas de S est˜ao associadas com ω =
4u
2
+ (E
1
− E
0
)
2
/. Logo, sempre
2.3. Resultados e Exemplos - 45 -
que desejamos atingir varia¸c˜oes abruptas de S, como por exemplo, nos cantos da
trajet´oria do tipo escada, precisamos de grandes varia¸c˜oes ∆u.
Para S(t < 2, 5 ps) = 3, S(2, 5 ≤ t < 7, 5 ps) = 0, 5, S(7, 5 ≤ t < 12, 5 ps) =
3, 5, e S(t ≥ 12, 5 ps) = 1, fizemos o controle de duas maneiras diferentes: (i)
mudamos ambos u e ϕ; e (ii) mantivemos u constante e configuramos ϕ. Para (i)
mostramos na Fig. 2.4 os valores de u e ϕ e o resultado S(t). Observe que, para cada
instante de tempo em que S apresenta um salto na Fig. 2.4(a), existe uma varia¸c˜ao
correspondente mais pronunciada de u (veja a Fig. 2.4(b)), e de ϕ (Fig. 2.4(c)).
Essas fortes mudan¸cas de u em um curto intervalo de tempo (eventualmente
necess´arias, por exemplo, para o controle de processos moleculares na presen¸ca de
colis˜oes [16]) podem, na pr´atica, impor algumas dificuldades t´ecnicas. Como u tem
unidade de energia, ´e conveniente compar´a-lo a um campo externo cl´assico, de tal
forma que u passa a ser diretamente relacionado com a intensidade desse campo.
Deste modo, em nosso exemplo, o m´etodo demandaria r´apidas varia¸c˜oes na amplitude
do campo. Uma outra possibilidade consiste em fixar u em um valor nunca inferior
a um m´ınimo necess´ario para promover a maior transi¸c˜ao (∆S/∆t) e ent˜ao controlar
somente a fase ϕ. Isto ´e mostrado na Fig. 2.5(a) (curva cont´ınua), para a qual fixamos
o parˆametro u tal que u/(E
1
− E
0
) = 2, 94, isto ´e, um valor 1,52 vezes maior que
o m´aximo u na Fig. 2.4(b). Na Fig. 2.5(c) exibimos S(t) em torno de uma regi˜ao
de salto. Observamos algumas (n˜ao t˜ao acentuadas) oscila¸c˜oes para S(t) depois de
atingir o valor constante de 0,5, o que n˜ao ocorreu na Fig. 2.4(a). Essa perda de
qualidade no controle durante os curtos intervalos de tempo ´e o pre¸co que se paga
por usar apenas um, a saber ϕ, ao inv´es de dois parˆametros de controle. Devemos
mencionar tamb´em que uma terceira possibilidade seria fixar ϕ e configurar u, mas
este procedimento n˜ao apresenta um bom resultado para o controle.
´
E um fato
conhecido na literatura que a maior contribui¸c˜ao no processo de controle pertence
ao controle das fases do campo externo.
Por outro lado, para uma curva S(t) mais suave, as condi¸c˜oes para o controle
s˜ao mais favor´aveis. Para ilustrar, vamos supor como alvo a seguinte trajet´oria:
2.3. Resultados e Exemplos - 46 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(a)
0,0
1,0
2,0
3,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
ϕ (rad.)
t (ps)
(b)
➤
0,0
1,0
2,0
3,0
1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6
S(t)
t (ps)
(c)
Fig. 2.5: (a) S(t) (curva cont´ınua) configurada como na Fig. 2.4, mas para um valor fixo u/(E
1
−
E
0
) = 2, 94 e (b) varia¸c˜ao de ϕ. (c) A curva cont´ınua mostra S(t) em torno de uma regi˜ao de salto.
Em (a) e (c) as curvas pontilhadas representam S(t) para pequenos desvios aleat´orios em {t
j
}.
S(t) = S
0
+S
1
exp[−σ(t−T
1
)
2
]+S
2
exp[−σ(t−T
2
)
2
]. A curva representa basicamente
duas curvas Gaussianas centradas em diferentes instantes de tempo. A Fig. 2.6(a)
(curva cont´ınua) mostra o resultado para T
1
= 2, 5 ps, T
2
= 10 ps, S
0
= 3, 0,
S
1
= −2, 9, S
2
= 0, 9 e σ = 1, 54 ps
−2
. Para este caso, mantivemos constante
u/(E
1
− E
0
) = 1, 1 e mudamos somente ϕ, mostrado na Fig. 2.6(b). Observe que
podemos colocar u em um valor mais baixo, comparado com o resultado da Fig. 2.5,
porem aqui, o m´aximo e o m´ınimo de S(t) est˜ao muito pr´oximos dos extremos da
janela de controle, isto ´e, v
−
= 0 e v
+
= 4. Isto ´e poss´ıvel porque n˜ao existem
2.3. Resultados e Exemplos - 47 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(a)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
ϕ (rad.)
t (ps)
(b)
➤
Fig. 2.6: (a) A curva cont´ınua mostra S(t) para um valor fixo u/(E
1
−E
0
) = 1, 1 e (b) varia¸c˜ao de
ϕ. A curva pontilhada representa S(t) para pequenos erros aleat´orios nos {t
j
}.
varia¸c˜oes abruptas em S(t). Al´em disso, n˜ao temos os curtos “ru´ıdos” de oscila¸c˜oes
observadas no caso anterior.
Das Figs. 2.4, 2.5 e 2.6 observamos que durante os intervalos de tempo ∆t,
em que S(t) =
˜
S ´e constante, os parˆametros de controle tamb´em tendem a um valor
fixo (indicados nas figuras por uma seta). Para entender este fato, note que uma
forma de obter S(t) =
˜
S ´e ter |Ψ(t) = exp[−i(E
a
/)t] |Ψ
a
, com |Ψ
a
um estado
pr´oprio de H(u, ϕ) para o qual Ψ
a
|V |Ψ
a
´e exatamente
˜
S. Uma vez nesta situa¸c˜ao,
o m´etodo (em ∆t) seleciona progressivamente os parˆametros at´e que |Ψ(t) → |Ψ
a
onde ent˜ao mant´em o seu valor. Para ilustrar este fato mostramos na Fig. 2.7 a
proje¸c˜ao |Ψ(t)|Ψ
a
|
2
e |Ψ(t)|Ψ
b
|
2
(com |Ψ
b
correspondendo ao segundo estado
pr´oprio de H) em torno de t = 2, 5 ps para o exemplo da Fig. 2.4. |Ψ
a
´e o estado
para o qual |Ψ(t) evolui tal que conduza o sistema para S(t) = 0, 5. Tal processo
de transi¸c˜ao inicia-se em t = 2, 5 ps, e termina 0,38 ps depois. Em t = 2, 88 ps, u e
ϕ tamb´em alcan¸cam o valor fixo apropriado (marcado pelas setas nas Figs. 2.4(b) e
(c)). Devemos mencionar que o fato de |Ψ
b
estar pr´oximo de um estado estacion´ario
2.4. Discuss
˜
ao - 48 -
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2
projeção
t (ps)
Fig. 2.7: Proje¸c˜ao de probabilidades |Ψ(t)|Ψ
b
|
2
(linha cheia) e |Ψ(t)|Ψ
a
|
2
(linha pontilhada)
para 2, 2 < t < 3, 2 ps da Fig. 2.4(a).
que resulta em S(t < 2, 5 ps) = 3 ´e apenas uma peculiaridade desse exemplo.
2.4 Discuss
˜
ao
Ap´os apresentar e exemplificar o m´etodo, agora passaremos a discutir alguns
aspectos gerais da t´ecnica.
2.4.1 A Sensibilidade do Controle a Erros nos Valores
dos Par
ˆ
ametros
Um ponto importante ´e a abordagem de estabilidade para pequenos erros
nos valores dos parˆametros de controle. Ent˜ao, o primeiro passo relevante ´e estimar o
qu˜ao apurada deve ser a troca nos valores do campo. Em nossos c´alculos supomos a
aproxima¸c˜ao por trocas r´apidas (“repentinas”) (veja a discuss˜ao anterior `a Eq. (2.8)).
Portanto, um pequeno atraso na transi¸c˜ao u
j
, ϕ
j
→ u
j+1
, ϕ
j+1
pode introduzir alguns
desvios na trajet´oria alvo. Desejamos tamb´em estudar como uma varia¸c˜ao (erro) nos
t
j
’s afetam a qualidade do controle e tamb´em o papel das transi¸c˜oes finitas no tempo,
nas quais em uma situa¸c˜ao real podem ser muito curtas mas n˜ao zero.
Testamos esta estabilidade introduzindo erros aleat´orios δt
j
para os instantes
t
j
’s. Cada δt
j
´e aleatoriamente escolhido entre (−∆t/16.66, +∆t/16.66), tal que o
2.4. Discuss
˜
ao - 49 -
intervalo de erro correspondente ´e de 12% do intervalo de tempo ∆t = 100 fs usado
no exemplo. As curvas pontilhadas nas Figs. 2.4(a), 2.5(a),2.5(c) e 2.6(a) mostram
S(t) para os parˆametros ajustados no tempo t
j
+ δt
j
. Comparando as Figs. 2.4(a)
— onde o controle foi feito ajustando-se u e ϕ — e 2.5(a) — onde o controle foi feito
apenas em ϕ —, podemos observar que a qualidade no controle ´e menos afetada por
erros quando ambos os parˆametros s˜ao usados. Observamos tamb´em um resultado
melhor para a Fig. 2.6(a) que para a Fig. 2.5(a), indicando que trajet´orias mais
suaves para S(t) s˜ao mais robustas a erros.
Uma segunda situa¸c˜ao que podemos tratar, ´e a introdu¸c˜ao de pequenos
erros nos pr´oprios valores dos parˆametros de controle. Simulamos esta situa¸c˜ao
considerando u
j
+ δu
j
e ϕ
j
+ δϕ
j
, sendo δu
j
e δϕ
j
escolhidos aleatoriamente entre
(−u
j
/20, u
j
/20) e (−ϕ
j
/20, ϕ
j
/20). Portanto, a largura do intervalo de erro corres-
ponde a 10% nos valores dos parˆametros correspondentes a u
j
e ϕ
j
. Nas Figs. 2.8(a) e
(c) consideramos o controle de ambos u e ϕ, enquanto nas Figs. 2.8(b) e (d) somente
em ϕ.
Todas as figuras mostram S(t) para o controle feito com: os valores exatos
de u e ϕ; erros somente em ϕ; e erros em ambos os parˆametros u e ϕ. Vimos que,
como anteriormente, no processo de controle com dois parˆametros, os desvios s˜ao
muito menos pronunciados. De fato, o pior caso, especialmente entre 5 < t < 11 ps,
´e aquele mostrado na Fig. 2.8(b) (curvas tracejadas e pontilhadas). No entanto, este
´e um exemplo cr´ıtico: uma curva n˜ao suave para S(t), controlado com apenas um
´unico parˆametro, ϕ, para o qual ainda apresenta erros.
2.4. Discuss
˜
ao - 50 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(a)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(b)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(c)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
S(t)
t (ps)
(d)
Fig. 2.8: As trajet´orias S(t) dos exemplos pr´evios para os parˆametros selecionados nos tempos
correspondentes t
j
’s onde: nenhum erro para u e ϕ (cont´ınua); erro aleat´orio para ambos ϕ e u
(pontilhado); e erros aleat´orios somente para ϕ (tracejada). Em (a) e (c) u e ϕ s˜ao configurados,
enquanto em (b) e (d) apenas ϕ ´e configurado.
2.4. Discuss
˜
ao - 51 -
2.4.2 A generalidade do M
´
etodo em Rela¸c
˜
ao ao Estado
Inicial |Ψ(t
0
) e o Observ
´
avel V
Nos exemplos de aplica¸c˜oes tratados at´e aqui discutimos somente dois obser-
v´aveis V e poucas formas para S(t). No entanto, testamos o m´etodo para o controle
de outros diferentes caminhos S(t) e para muitos outros V ’s, sempre com boa precis˜ao
num´erica.
Ent˜ao uma pergunta natural ´e se a presente abordagem permite direcionar S(t) para
qualquer trajet´oria alvo (sob a restri¸c˜ao de v
−
≤ S(t) ≤ v
+
), respeitando-se o ope-
rador V e o problema de estado inicial |Ψ(t
0
). Devido ao nosso tipo espec´ıfico de
protocolo, isto ´e equivalente a responder se configurando os parˆametros do Hamilto-
niano e escolhendo um apropriado instante de tempo t
0
≤
˜
t ≤ t
0
+∆t, podemos fazer
S(t =
˜
t) assumir qualquer valor
˜
S. Na demonstra¸c˜ao a seguir (2.4.3), mostramos que
o m´etodo pode ser usado para controlar um sistema de dois n´ıveis em um contexto
arbitr´ario.
Para demonstrar a generalidade do m´etodo constru´ımos um bloco de proce-
dimento, isto ´e, fizemos o controle param´etrico local em cada intervalo de tempo ∆t
j
,
considerando a situa¸c˜ao mais desfavor´avel (veja a demonstra¸c˜ao na Se¸c˜ao 2.4.3). En-
contramos que para se fazer o controle em um caso geral, devemos assumir ∆t ≥ τ .
Em muitos exemplos ao longo deste cap´ıtulo utilizamos ∆t = τ
0
/12, 8 (lembrando
que τ
0
≥ τ). Observamos que nas Fig. 2.4, 2.5 e 2.6, a escolha do estado inicial |Ψ(t
0
)
j´a fornece um S(t
0
) em torno do valor desejado S(
˜
t) =
˜
S para t
0
≤
˜
t ≤ t
0
+ ∆t. Na
verdade, as figuras refletem este fato desde que o transiente para t ≈ t
0
= 0 seja quase
impercept´ıvel, como por exemplo, na Fig. 2.4(a), em que aparecem pequenos ru´ıdos
para S(t ≈ 0). O ponto importante ´e que quando controlamos a evolu¸c˜ao temporal
de S(t), se para cada intervalo de tempo ∆t
j+1
j´a estamos com um estado |Ψ(t
j
)
pr´oximo do estado alvo
Ψ(
˜
t)
, ent˜ao a condi¸c˜ao apresentada na demonstra¸c˜ao pode
ser relaxada.
Naturalmente, a “proximidade” do estado em cada t
j
´e automaticamente
2.4. Discuss
˜
ao - 52 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0 2,0 4,0 6,0
S(t)
t/∆t
(a)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 2,0 4,0 6,0
2,08
τ/∆t
t/∆t
(b)
Fig. 2.9: (a) O controle de S(t), objetiva ser constante
˜
S = 3.99, onde ajustamos ambos u e ϕ.
Aqui ∆t = 100 fs e o estado inicial ´e tal que Ψ(t
0
= 0)|V |Ψ(t
0
= 0) = 0.01. (b) A raz˜ao τ/∆t em
fun¸c˜ao do tempo.
satisfeita quando fazemos o controle para um alvo S(t) suave. Neste caso n˜ao exitem
restri¸c˜oes importantes para os valores de ∆t
j
, o qual pode ser pequeno, limitado
somente por aspectos externos, como o mecanismo de ajuste de controle.
No entanto, se n˜ao pudermos selecionar o estado inicial [78] e S(t) tem
r´apidas varia¸c˜oes, ou at´e mesmo saltos como nas Figs. 2.4 e 2.5, podemos ainda
utilizar intervalos de tempo curtos, desde que u possa assumir valores grandes. O
m´etodo ent˜ao seleciona u para que a raz˜ao τ/∆t seja apropriada para o controle.
Ilustramos este fato com um simples exemplo, admitindo que S(t) seja um alvo
com valor num´erico constante de 3,99, isto ´e, quase o valor m´aximo permitido de
v
+
= 4. Escolhemos ∆t = 100 fs e fizemos o controle — mostrado na Fig. 2.9
(a) —, usando ambos u e ϕ. Como estado inicial admitimos C
0
= 0, 840745 e
C
1
= 0, 541431 exp[−iπ/2], e deste modo temos Ψ(t
0
)|V |Ψ(t
0
) = 0, 01, isto ´e,
muito pr´oximo do menor valor permitido de v
−
= 0. Na demonstra¸c˜ao mostramos
analiticamente que para se obter
˜
S = v
+
com ∆t, em um dado estado inicial cujo
valor esperado fornece S(t
0
) = v
−
, precisamos que τ/∆t = 2. A Fig. 2.9(b), mostra
que τ /∆t em fun¸c˜ao do tempo est´a em concordˆancia com tais resultados. De fato,
durante os primeiros passos de controle t/∆t < 1, temos u/∆E = 3, 02, um valor
alto para u, fazendo com que τ seja curto o suficiente para encontrar a condi¸c˜ao
temporal, aqui de τ/∆t = 2, 08. Note al´em disso que para t/∆t > 2, u j´a decresceu
2.4. Discuss
˜
ao - 53 -
para u ≈ ∆E.
Finalmente, se n˜ao pudermos mudar livremente u ou at´e mesmo ajust´a-lo
para um valor constante muito alto como na Fig. 2.5, ent˜ao podemos ainda fazer ∆t
j
pequeno na regi˜ao suave de S(t). No entanto, precisamos assumir valores grandes no
intervalo de tempo no in´ıcio do processo de controle e tamb´em em torno da regi˜ao
que apresenta fortes varia¸c˜oes na trajet´oria alvo.
2.4.3 Generalidade do M
´
etodo: Demonstra¸c
˜
ao
Nesta Se¸c˜ao demonstraremos que, para um V arbitr´ario, se fixarmos corre-
tamente os parˆametros u e ϕ no Hamiltoniano H na Eq. (2.1) em um t =
˜
t apro-
priado no intervalo de tempo (t
0
, t
0
+ ∆t), podemos obter qualquer valor espec´ıfico
v
−
≤
˜
S ≤ v
+
para S(t =
˜
t), independentemente do estado inicial |Ψ(t
0
).
Iniciamos observando que sob a a¸c˜ao de H e para t
0
< t < t
0
+∆t, a evolu¸c˜ao
temporal do estado inicial |Ψ(t
0
) = |Ψ
0
´e dada por
|Ψ(t) = exp[−
i
H (t − t
0
)] |Ψ
0
. (2.17)
Em ∆t os estados pr´oprios de H, {|±}, s˜ao um boa base do problema.
N˜ao obstante, sempre podemos expandir |Ψ(t) na base dos estados pr´oprios de V ,
{|v
±
}. Em particular, para t =
˜
t supomos
Ψ(
˜
t)
= c
−
|v
−
+ c
+
|v
+
. Desde
que |c
−
|
2
+ |c
+
|
2
= 1, temos
˜
S = ρ(
˜
t)v
+
+ [1 − ρ(
˜
t)]v
−
, com 0 ≤ ρ(
˜
t) = |c
+
|
2
≤ 1.
Conseq
¨
uentemente, se de algum modo conseguirmos fazer ρ(
˜
t) assumir qualquer valor
entre 0 e 1, ent˜ao poderemos escolher qualquer valor desejado para
˜
S. Vamos definir
ρ(t) = |v
+
|Ψ(t)|
2
, (2.18)
tal que ρ(
˜
t) = |c
+
|
2
. A seguir, desprezando-se uma fase global podemos escrever
(0 ≤ (a, b) ≤ 1, 0 ≤ (α, β) < 2π)
|v
+
=
√
a exp[iα] |+ +
√
1 − a |− ,
|Ψ
0
=
√
b exp[iβ] |+ +
√
1 − b |− . (2.19)
2.4. Discuss
˜
ao - 54 -
Desta maneira, definindo φ = (t − t
0
) ω − (β − α), das Eqs. (2.17) e (2.19) teremos
para a Eq. (2.18)
ρ(t) = 2ab + 1 − (a + b) + 2
ab(1 − a)(1 − b) cos[φ]. (2.20)
Com isso, podemos fazer o controle quˆantico para quaisquer observ´avel V
e estado inicial. Isto ´e equivalente a dizer que podemos controlar ρ admitindo |v
+
e |Ψ
0
completamente arbitr´arios. Agora, analisando a Eq. (2.2), notamos que, se
tivermos total liberdade de escolher u e ϕ, poderemos obter quaisquer valores para
os estados pr´oprios de H e portanto, (a menos de uma fase global) qualquer vetor no
espa¸co de Hilbert de dois n´ıveis. Portanto, uma das duas proje¸c˜oes dos parˆametros na
(2.20), a saber a = |+|v
+
|
2
, pode assumir qualquer valor. Segundo, se escolhermos
apropriadamente t =
˜
t, tal que φ(
˜
t) assuma qualquer valor entre [0, π], ent˜ao a fun¸c˜ao
cosseno na Eq. (2.20) pode ser expandida sobre todo intervalo num´erico [−1, 1]. Isto
´e poss´ıvel sempre que ∆t ω ≥ π + γ, para γ dado por (β − α) mod π. Ent˜ao, uma
condi¸c˜ao suficiente para o controle total de φ, independente de β − α, ´e ter ∆t ≥ τ.
No entanto, uma diferen¸ca de fase mais favor´avel pode conduzir a intervalos de tempo
mais curtos.
Finalmente, podemos mostrar via Eq. (2.20), para um b arbitr´ario, que po-
demos conseguir qualquer valor entre 0 e 1, nos deixando livre para variar cos[φ]
e a, o que ´e sempre poss´ıvel do resultado acima. Deste modo, a generalidade do
procedimento de controle ´e estabelecida.
Como uma aplica¸c˜ao, particularizaremos a Eq. (2.20) para uma situa¸c˜ao na
qual o controle ´e um extremo. Suponha o alvo
˜
S = v
+
, tal que ρ(
˜
t) = 1. Para o
estado inicial mais “dif´ıcil”, neste caso ´e |Ψ(t
0
) = |v
−
, temos b = 1 −a e β = α + π.
Deste modo, Eq. (2.20) reduz-se a
ρ(t) = 4a(1 − a)sen
2
[(t − t
0
)ω/2] .
Impondo ρ(
˜
t) = 1 na equa¸c˜ao acima, encontramos a = 1/2,
˜
t = t
0
+ ∆t sendo um
valor m´ınimo para o intervalo de tempo ∆t = τ/2.
2.4. Discuss
˜
ao - 55 -
2.4.4 Conex
˜
ao com os Par
ˆ
ametros do Campo de um Laser
O esquema proposto ´e baseado em um controle de busca de parˆametros.
Ent˜ao, ´e de fundamental importˆancia saber como esses parˆametros s˜ao relacionados
com os parˆametros de um dado potencial externo, como por exemplo, o campo
el´etrico de um laser, produzido em condi¸c˜oes de laborat´orio. Abaixo discutiremos
dois t´opicos relacionados com este assunto.
O primeiro ponto ´e que o m´etodo admite um tempo de transiente r´apido
τ
sw
para a troca dos parˆametros. Recentemente foi reportado um experimento de
controle quˆantico [77] com um campo pulsado de τ
sw
= 100 fs. De fato, o presente
“estado da arte” em configura¸c˜ao de pulsos em escalas de tempo de femtosegundo —
veja por exemplo a Ref. [79] — implica que mudan¸cas repentinas devem acontecer
tipicamente nessas escalas de tempo. Para os nossos exemplos pr´evios e um campo
de laser de τ
sw
= 100 fs, encontramos que τ
sw
/τ
0
≈ 0.08 que ´e relativamente pequeno,
no entanto, satisfaz o principal argumento do m´etodo — veja a discuss˜ao anterior `a
Eq. (2.8) na Se¸c˜ao. 2.1.1.
N˜ao obstante, uma poss´ıvel dificuldade para a realiza¸c˜ao concreta dos exem-
plos discutidos at´e ent˜ao est´a na escolha do passo de tempo de ∆t = 100 fs, para
qual a condi¸c˜ao desejada de τ
sw
< ∆t n˜ao ´e assegurada. Neste caso, a varia¸c˜ao dos
parˆametros do potencial em τ
sw
tem um efeito similar `a introdu¸c˜ao de erros nos va-
lores de t
j
’s, exemplificado na Se¸c˜ao. 2.4.1. Provavelmente os controles com menor
precis˜ao seriam aqueles mostrados nas Figs. 2.4(a) e 2.5(a) em linhas cont´ınuas.
Uma maneira de contornar o problema ´e usar intervalos de tempo de controle
(∆t’s) mais longos. Na Fig. 2.10 mostramos a mesma situa¸c˜ao que a Fig. 2.4, mas
para ∆t = 200 fs. O controle ainda ´e muito bom, tal que erros introduzidos nos
valores de t
j
(curva pontilhada na Fig. 2.10(a)) n˜ao introduzem fortes perturba¸c˜oes.
Note que, desde que o intervalo de erro (12% de ∆t = 200 fs) seja em torno de
τ
sw
/4 = 25 fs, podemos esperar obter experimentalmente um controle razoavelmente
bom. Inevitavelmente, aumentando ∆t, a acuracidade do protocolo torna-se mais
2.4. Discuss
˜
ao - 56 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S(t)
(a)
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
u/(E
1
−E
0
)
(b)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0
ϕ (rad.)
t (ps)
(c)
Fig. 2.10: O mesmo que a Fig. 2.4, mas para ∆t = 200 fs.
sens´ıvel a varia¸c˜oes em u
j
e ϕ
j
. Observamos na Fig. 2.10 que durante o processo
de controle as mudan¸cas nos valores dos parˆametros ocorrem mais freq
¨
uentemente,
se comparado com a Fig. 2.4. De fato, na Fig. 2.10 n˜ao aparecem grandes platˆos
como na Fig. 2.4. Portanto, os erros acumulados (devido aos eventuais desvios em
δu
j
e δϕ
j
) ser˜ao mais pronunciados. Deste modo, em uma situa¸c˜ao real existe um
compromisso entre o qu˜ao r´apidos s˜ao as transi¸c˜oes e o qu˜ao precisos os valores dos
parˆametros podem ser ajustados.
O segundo ponto est´a relacionado com a amplitude do laser necess´aria em
aplica¸c˜oes concretas. Para um sistema constitu´ıdo por N n´ıveis ainda temos a liber-
dade de superpor apenas dois n´ıveis [69, 75, 80, 81]. Neste caso, para que a descri¸c˜ao
de dois n´ıveis seja aplicada, os campos utilizados para o controle n˜ao poder˜ao ser
2.4. Discuss
˜
ao - 57 -
t˜ao intensos `a ponto de superpor mais estados do sistema. Desse modo, os picos nos
campos determinam a validade do controle de um sistema de dois n´ıveis, mesmo para
sistemas constitu´ıdos por N n´ıveis. Naturalmente, n˜ao estamos levando em conta o
fato de existirem sistemas efetivos com apenas dois n´ıveis, como por exemplo, nos ca-
sos em que os outros n´ıveis n˜ao s˜ao acess´ıveis em condi¸c˜oes experimentais [40,63,66].
Para estimar a magnitude do campo, podemos rever a discuss˜ao no in´ıcio da
Se¸c˜ao 2.3 e como usual, na aproxima¸c˜ao dipolar, negligenciamos poss´ıveis varia¸c˜oes
espaciais de ǫ, com isso podemos escrever
u = |1|U|0| = |1|µǫ|0| ≈ |ǫ|µ
10
, (2.21)
sendo µ
10
o m´odulo do elemento do momento de dipolo. Conseq
¨
uentemente, em
rela¸c˜ao ao tempo, a amplitude do campo ter´a exatamente o mesmo perfil que u
— como por exemplo, aqueles mostrados nas Figs. 2.4(b) e 2.5(b). Al´em disso,
observamos que em muitos exemplos [58, 81–83] a quantidade µ
10
´e tipicamente da
ordem de 1 a.u.. Ent˜ao, em unidade atˆomica ǫ
max
est´a numericamente pr´oximo
de u
max
— veja por exemplo a Fig. 2.5(b). Neste caso temos que u
max
/∆E = 2,
ent˜ao ǫ
max
= 2.3 × 10
−4
a.u. ≈ 118 × 10
6
V/m. Comparando com o artigo original
de controle da mol´ecula de DH
2
[15], o pico m´aximo do campo de controle ´e de
1.9 × 10
−4
a.u., portanto, o nosso m´etodo demanda amplitude com a mesma ordem
de grandeza.
Finalmente, em certas aplica¸c˜oes podemos desejar intensidades menores do
laser. Em nosso modelo podemos fazˆe-lo permitindo passos de controle no tempo
maiores, como diretamente observado na Fig. 2.10, em que usamos ∆t = 200 fs.
Note que u
max
/∆E = 1.2, em contraste com u
max
/∆E = 2 da Fig. 2.4, ou seja, uma
diminui¸c˜ao de cerca de 40%. Desse modo, o m´etodo permite uma certa flexibilidade
no conjunto de picos m´aximos do campo, desde que possamos aceitar uma perda na
acuracidade no processo de controle.
2.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 58 -
2.5 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo
Neste cap´ıtulo propusemos um m´etodo simples de controle da evolu¸c˜ao tem-
poral de um estado quˆantico e conseq
¨
uentemente, o valor esperado de um operador
relevante. A id´eia principal ´e mudar somente em instantes de tempo apropriados, os
valores dos parˆametros de um potencial de intera¸c˜ao externo. Com isso, trabalhamos
com sucessivos conjuntos de sistemas independentes do tempo. A id´eia de usar so-
lu¸c˜oes anal´ıticas por partes para resolver a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger independente do
tempo [84] ou dependente do tempo [85,86], no contexto de f´ısica atˆomica e molecular
n˜ao ´e novo. No entanto, s´o recentemente esta t´ecnica come¸cou a ser empregada em
controle quˆantico, como por exemplo, em processos de tomografia quˆantica [63] e na
constru¸c˜ao de pacotes de onda [55]. O trabalho publicado recentemente em Physical
Review A [51] foi discutido em detalhes neste cap´ıtulo, sendo este o primeiro trabalho
aplicando tal abordagem para o controle total de trajet´orias.
A solu¸c˜ao do problema inverso, isto ´e, a obten¸c˜ao do potencial externo —
como por exemplo, um campo el´etrico — que conduz o sistema a uma desejada
evolu¸c˜ao temporal, ´e relativamente simples, tendo em vista que precisamos resolver
algebricamente uma equa¸c˜ao independente do tempo, ao inv´es de equa¸c˜oes diferenci-
ais ou integrais. Al´em dessas observa¸c˜oes, s˜ao necess´arios alguns poucos coment´arios
comparando nosso m´etodo com um esquema mais convencional de controle. Para tal,
resumiremos brevemente a seguir o m´etodo de controle ´otimo e o controle inverso (ou
trajet´orias). Para uma revis˜ao dos diferentes m´etodos veja por exemplo o Cap´ıtulo 1
e tamb´em a Ref. [61].
O m´etodo ´otimo ´e baseado em um funcional J
1
envolvendo a fun¸c˜ao de onda e
a evolu¸c˜ao temporal do alvo, como por exemplo S(t). A minimiza¸c˜ao deste funcional
resulta no campo de controle que maximiza o valor esperado de um determinado
operador (em um certo intervalo de tempo), e faz a fun¸c˜ao de onda do sistema seguir
uma evolu¸c˜ao pr´e-definida [26]. Usualmente, um segundo funcional J
2
(um termo que
penaliza o campo) tamb´em ´e introduzido. Seu papel ´e evitar solu¸c˜oes para o campo
2.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 59 -
que apresentam caracter´ısticas indesejadas, tais como divergˆencias. A minimiza¸c˜ao
de J
1
+ J
2
representa ent˜ao o balan¸co entre encontrar um campo de controle para
o alvo exato e manter o campo de controle baixo. No entanto, o m´etodo descrito,
demanda um procedimento de otimiza¸c˜ao interativo computacionalmente intenso [33]
(apesar de algoritmos eficientes terem sido descritos na literatura [80,87]).
O m´etodo de trajet´orias segue o ponto de vista padr˜ao de problemas inver-
sos. A sa´ıda (output) S(t) ´e especificada e a entrada (input), ´e o potencial externo
que precisa ser encontrado. Uma equa¸c˜ao diferencial para S(t), cuja ordem de-
pende das caracter´ısticas do operador observ´avel V e o potencial de intera¸c˜ao U [33],
´e obtida. Com isso conseguimos escrever o potencial U desejado em termos das
derivadas temporais de S(t) = Ψ(t)|V |Ψ(t). Mas U aparece explicitamente na
equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger, a qual determina a evolu¸c˜ao de |Ψ(t). Deste modo, ter-
minamos com um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais n˜ao lineares acopladas para o
qual m´etodos num´ericos de busca de solu¸c˜oes fazem-se necess´arios. Um importante
aspecto deste m´etodo ´e que somente a evolu¸c˜ao temporal do alvo S(t) ´e imposta.
N˜ao h´a restri¸c˜oes ao potencial externo (campo el´etrico). Desse modo, em alguns ca-
sos o m´etodo fornece solu¸c˜oes singulares. Em tais situa¸c˜oes, aliado ao procedimento
inverso, um tratamento especial que lida com as divergˆencias no campo precisa ser
considerado [34].
Da curta descri¸c˜ao feita acima, torna-se evidente a simplicidade matem´atica
do controle param´etrico por partes. O m´etodo trabalha com equa¸c˜oes alg´ebricas line-
ares e n˜ao necessita de um procedimento de recursividade no tempo, mesmo quando
estendido para um sistema de N n´ıveis. Al´em disso, o m´etodo sempre conduz a
uma solu¸c˜ao regular. Uma simples e intuitiva forma de entender este fato ´e notar
que, impor uma trajet´oria S(t) ao longo da curva totalmente cont´ınua no intervalo
de tempo pode ser muito restritivo, demandando singularidades no campo. No pre-
sente esquema relaxamos esta imposi¸c˜ao. Fizemos o controle somente em um ´unico
instante
˜
t em cada intervalo de tempo ∆t
j
. Como j´a discutido anteriormente, para
apropriadas escalas de tempo o S(t) obtido pode se aproximar formidavelmente bem
2.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 60 -
de um caminho cont´ınuo. Desde que se tenha uma certa flexibilidade na escolha do
valor do parˆametro tempo, sempre ser´a poss´ıvel encontrar uma solu¸c˜ao finita para a
Eq. (2.11).
Como uma ´ultima compara¸c˜ao, tamb´em podemos citar a teoria de controle
local (TCL), desenvolvida por Tannor, Kosloff entre outros [75, 76, 88]. Em tal m´e-
todo, revisado na Ref. [89], a perturba¸c˜ao externa sobre o sistema ´e determinada
ap´os cada instante de tempo, de tal forma a influenciar o observ´avel alvo. Por-
tanto, nosso m´etodo e a TCL possuem as mesmas caracter´ısticas de n˜ao demandar
informa¸c˜oes sobre dinˆamicas temporais pr´evias — apesar do processo ser iterativo
— t´ıpicas de uma abordagem de otimiza¸c˜ao global. No entanto, tecnicamente os
dois m´etodos s˜ao diferentes. Na teoria do controle local podemos considerar o pulso
externo dependente do tempo para a qual faz-se necess´ario solucionar a equa¸c˜ao de
Schr
¨
odinger dependente do tempo. Com isso derivam-se rela¸c˜oes de raz˜ao que for-
necem a informa¸c˜ao de como os n´ıveis de energia ou suas popula¸c˜oes variam com o
tempo. Escolhendo apropriadamente o campo externo em cada t — a equa¸c˜ao de
onda dependente do tempo no mesmo t — ´e poss´ıvel: mudar as energias dos estados
monotonicamente, aprisionar a popula¸c˜ao de um determinado conjunto de n´ıveis,
congelar os graus de liberdades internos de um sistema, como por exemplo, os modos
vibracionais de uma mol´ecula etc. Nosso m´etodo caminha em uma dire¸c˜ao diferente.
Primeiro, focamos o controle diretamente sobre um valor esperado relevante, ao in-
v´es de sua varia¸c˜ao temporal. Ent˜ao, nosso m´etodo pode ser facilmente aplicado se
conhecermos a forma espec´ıfica de S(t), enquanto a TCL pode ser mais apropriada
se h´a somente varia¸c˜oes monotˆonicas — ou nenhuma varia¸c˜ao — do observ´avel alvo.
Segundo, o m´etodo requer uma caracter´ıstica diferente para o campo externo, en-
quanto na TCL ´e basicamente uma sequˆencia de pulsos. Portanto, a configura¸c˜ao
experimental necess´aria para a implementa¸c˜ao de ambos pode ser diferente.
Discutimos o m´etodo no contexto de um sistema de dois n´ıveis, no entanto,
a abordagem pode ser estendida para uma situa¸c˜ao mais geral contendo N n´ıveis.
Neste caso a principal equa¸c˜ao de controle ´e uma generaliza¸c˜ao direta (mas ´e claro,
2.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 61 -
uma vers˜ao muito mais complicada) da Eq. (2.11). Al´em disso, o caso do controle
total requer um potencial multi-param´etrico U(λ
1
, . . . , λ
M
), a an´alise do qu˜ao geral
o m´etodo pode ser aplicado e quais as condi¸c˜oes para o controle, envolve o mesmo
tipo de discuss˜ao feito na demonstra¸c˜ao 2.4.3 mas agora para um sistema multi-
dimensional no espa¸co dos parˆametros.
´
E vi´avel no entanto, desde que existam
diferentes t´ecnicas eficientes, classificar a poss´ıvel dinˆamica resultante de um sistema
em termos de seus parˆametros, usados, por exemplo, para sistemas complexos tais
como sistemas biol´ogicos [90]. T´ecnicas similares j´a s˜ao empregadas em experimen-
tos envolvendo a t´ecnica de closed loop learning quantum control para mais de 130
parˆametros independentes — veja, por exemplo [91] e suas referˆencias.
Finalmente, observe que usamos o fato do Hamiltoniano de um sistema de
dois n´ıveis ser exatamente diagonaliz´avel (conforme as Eqs. (2.2) e (2.3)) para ob-
ter uma solu¸c˜ao anal´ıtica expl´ıcita dependente de S(t) em rela¸c˜ao aos parˆametros
externos. Ent˜ao, todo trabalho num´erico ´e reduzido a resolver S(t) =
˜
S. Este n˜ao
´e o caso para um sistema de N-n´ıveis (na verdade, para trˆes n´ıveis ainda ´e poss´ıvel
obter-se uma solu¸c˜ao fechada [92]). Para uma matriz Hermiteana de N × N, an´a-
logo `a Eq. (2.1), precisamos resolver numericamente a diagonaliza¸c˜ao. Neste caso, o
m´etodo de controle param´etrico independente do tempo por partes ´e implementado
atrav´es de dois passos. Para cada intervalo de tempo ∆t
j
, fixamos os valores dos
parˆametros, em seguida diagonalizamos o Hamiltoniano, ent˜ao encontramos nume-
ricamente os N coeficientes C
n
(t) para serem inseridos na extens˜ao apropriada da
Eq. (2.11). Depois, determinamos se em ∆t
j
o termo |S(t) −
˜
S| est´a perto o sufici-
ente de zero, e deste modo, decidindo se um novo conjunto de valores de parˆametros
deve ser testado para ∆t
j
. Desde que utilizemos, digamos, uns 100 estados para o
c´alculo num´erico de H, este procedimento ´e ainda r´apido em qualquer computador
pessoal. Deste modo, o nosso m´etodo ´e ainda funcional, demandando um tempo
computacional relativamente baixo para dezenas de n´ıveis.
3
Controle Qu
ˆ
antico em um
Sistema de Tr
ˆ
es N
´
ıveis
Neste cap´ıtulo mostraremos como estabelecer o controle param´etrico so-
bre um observ´avel geral de interesse para um sistema de trˆes n´ıveis. Na
Se¸c˜ao 3.1 apresentamos as caracter´ısticas f´ısicas do sistema e do campo
externo param´etrico de controle, e na Se¸c˜ao 3.2 calculamos o vetor de
estado associado com o campo externo de controle. Os resultados e exem-
plos s˜ao apresentados na Se¸c˜ao 3.3 e as conclus˜oes sobre este cap´ıtulo s˜ao
endere¸cadas `a Se¸c˜ao 3.4.
O controle da dinˆamica de sistemas quˆanticos atrav´es do campo externo de
um laser tem recebido recentemente consider´avel aten¸c˜ao te´orica [26]. Nesse con-
texto, o problema de um sistema constitu´ıdo por trˆes n´ıveis tem-se tornado funda-
mental na investiga¸c˜ao de novos fenˆomenos em espectroscopia e ´otica quˆantica [38].
O uso dessas fontes de luz coerentes e configur´aveis nesses tipos de sistemas tem
permitido atingir novas fronteiras em espectroscopia de alta precis˜ao, e com o desen-
volvimento de pulsos de luz altamente controlados tem sido poss´ıvel obter efeitos de
transi¸c˜oes coerentes e fenˆomenos de controle de transferˆencia de popula¸c˜ao [93–95].
Entre os fenˆomenos observados nos problemas relacionados com o sistema
62
- 63 -
de trˆes n´ıveis, destacamos os efeitos de transferˆencia adiab´atica [96] (STIRAP)
1
e n˜ao adiab´atica [97] de popula¸c˜ao, a cria¸c˜ao de estados aprisionados [98, 99] e a
transparˆencia quˆantica induzida eletromagneticamente (EIT) [100,101]. As primeiras
investiga¸c˜oes sobre os fenˆomenos adiab´aticos em um sistema de trˆes n´ıveis foram
realizadas por F. T. Hioe e colaboradores [102]; recebendo tamb´em aten¸c˜ao de outros
pesquisadores [103–105]. No entanto, de um ponto de vista mais real´ıstico esses
efeitos tornaram-se importantes com os trabalhos de K. Bergmann et al. [106–110].
A partir da´ı, muitos estudos experimentais foram desenvolvidos para este tipo de
sistema [95,111–113].
Uma aplica¸c˜ao interessante para o processo de STIRAP em mol´eculas, con-
siste na sele¸c˜ao e controle de um estado excitado espec´ıfico para uma mol´ecula em
n´ıveis vibracionais elevados — veja uma discuss˜ao sobre este tema na Ref. [114].
Para alguns sistemas moleculares, tais como nas mol´eculas de NO e SO
2
, a condi-
¸c˜ao de transferˆencia adiab´atica ´e conseguida atrav´es da aplica¸c˜ao de lasers pulsa-
dos [113,115].
Neste cap´ıtulo estudamos o processo de controle param´etrico de um obser-
v´avel qualquer para um sistema de trˆes n´ıveis. Para o sistema, escolhemos energias
t´ıpicas de estados vibracionais moleculares [15] em que todas as transi¸c˜oes s˜ao per-
mitidas. Isto ´e uma generaliza¸c˜ao, j´a que estamos aptos a proibir algumas transi¸c˜oes
espec´ıficas se assim desejarmos. Utilizamos para o controle o mesmo protocolo j´a
desenvolvido no Cap´ıtulo 2, isto ´e, um procedimento de controle independente do
tempo por partes [51]. N˜ao obstante, conseguimos testar a sensibilidade do m´etodo
a pequenos erros aleat´orios introduzidos no campo externo.
1
STImulated RAman Adiabatic Passage.
3.1. O Sistema - 64 -
E
2
1
E
1
2
E
3
3
E
ref.
λ
31
µ
21
λ
32
µ
32
µ
31
λ
21
SistemaCampo externo
F
,
,
,
Fig. 3.1: Representa¸c˜ao esquem´atica de um sistema de trˆes n´ıveis na presen¸ca de um campo externo
param´etrico F . O estado inicial do sistema ´e caracterizado pela superposi¸c˜ao dos estados de base
{|1, |2, |3} com energias E
1
, E
2
e E
3
. Os parˆametros λ
21
, λ
31
e λ
32
s˜ao definidos pelas diferen¸cas
de energia entre os n´ıveis, e os momentos de dipolo da transi¸c˜ao s˜ao caracterizados por µ
21
, µ
31
e
µ
32
. Os valores dos parˆametros est˜ao definidos no pr´oprio texto.
3.1 O Sistema
Considere um sistema Hamiltoniano H
0
constitu´ıdo por trˆes estados, com
bases representadas por
|1 =
1
0
0
, |2 =
0
1
0
, |3 =
0
0
1
, (3.1)
e com energias pr´oprias correspondentes E
1
, E
2
e E
3
, com estados mutuamente
acoplados. Veja a Fig. 3.1. Vamos admitir tamb´em um campo externo cl´assico
F
interagindo com o sistema de tal forma que o potencial de intera¸c˜ao seja represen-
tado pela rela¸c˜ao U = µ(r).
F , sendo µ(r) o operador momento de dipolo el´etrico
2
.
2
Por simplicidade vamos admitir um campo externo linearmente polarizado ao longo de um eixo
espec´ıfico
F = F ˆe.
3.1. O Sistema - 65 -
Portanto, o Hamiltoniano total ´e dado por
H = H
0
+ U .
Este operador pode ser representado pela seguinte matriz:
H =
E
1
u
12
e
−iϕ
12
u
13
e
−iϕ
13
u
12
e
iϕ
12
E
2
u
23
e
−iϕ
23
u
13
e
iϕ
13
u
23
e
iϕ
23
E
3
, (3.2)
para u
mn
= µ
mn
f e ϕ
mn
= ξ
mn
+ φ, sendo f e φ respectivamente a amplitude e a
fase do campo externo. Os elementos que comp˜oem a matriz (3.2) foram obtidos
admitindo-se uma intera¸c˜ao campo-sistema da forma dipolar, isto ´e, ˆµ = ˆx, tal
que n|U|n = 0 (n = 1, 2, 3), caso t´ıpico de mol´eculas sem momento de dipolo
permanente. A seguir apresentamos a demonstra¸c˜ao de como chegar na Eq. (3.2)
partindo da intera¸c˜ao de dipolo.
Demonstra¸c˜ao
Admitindo um operador Hamiltoniano dado por H = H
0
+ qxF , sendo q a
carga da part´ıcula, ent˜ao os elementos da matriz que comp˜oem o operador s˜ao dados
por
3
m|H|n = E
n
δ
mn
+ qm|x|nF para (m, n = 1, 2, 3) . (3.3)
Na express˜ao acima δ
mn
representa a fun¸c˜ao delta de Kronecker, e o termo qm|x|n,
ap´os realizada as integra¸c˜oes nas bases do Hamiltoniano H
0
, pode ser representado
por um n´umero complexo D
mn
de modo que
qm|x|n = D
mn
= µ
mn
e
−iξ
mn
e F = fe
−iφ
. (3.4)
Das Eqs. (3.3) e (3.4) podemos escrever
H
mn
= m|H|n = E
n
δ
mn
+ µ
mn
fe
−i(ξ
mn
+φ)
,
3
Em princ´ıpio, podemos admitir um campo externo F dependente do tempo, de modo que
F = F (t) e com isso, H = H(t).
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 66 -
sendo conveniente definir as seguintes rela¸c˜oes
u
mn
= µ
mn
f e ϕ
mn
= ξ
mn
+ φ .
Com isso, finalmente obtemos uma rela¸c˜ao para os elementos que comp˜oem o opera-
dor Hamiltoniano:
H
mn
= E
n
δ
mn
+ u
mn
e
−iϕ
mn
.
Para chegar `a Eq. (3.2) admitimos D
mm
= 0, ou seja, u
mm
= 0, rela¸c˜ao v´alida para
sistemas com paridade definida.
3.2 A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema
Para descrever a dinˆamica quˆantica de uma part´ıcula representada por um
sistema de trˆes n´ıveis, interagindo com um potencial dependente do tempo precisa-
mos, em princ´ıpio, resolver a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger dependente do tempo
i
∂|ψ(t)
∂t
= H(t)|ψ(t) ,
sendo |ψ(t) o estado do sistema e H(t) o Hamiltoniano dependente do tempo. No
entanto, a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger dependente do tempo demanda consi-
der´aveis esfor¸cos (veja por exemplo o Cap´ıtulo 5), sendo necess´arias an´alises te´oricas
mais avan¸cadas.
Essas complica¸c˜oes t´ecnicas podem ser evitadas se considerarmos um campo
externo independente do tempo por partes. Esta abordagem foi elaborada e aplicada
com sucesso para um sistema de dois n´ıveis (veja o Cap´ıtulo 2 e a Ref. [51]).
Para isso, vamos considerar um campo externo caracterizado por f e φ inde-
pendente do tempo no intervalo ∆t
j+1
= t
j+1
−t
j
(j = 0, 1, 2, ...) cujos valores podem
ser configurados neste intervalo para f
j
e φ
j
. Nessas condi¸c˜oes, podemos simplificar
o problema calculando o vetor de estado |ψ(t) por meio da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 67 -
independente do tempo, e neste caso, para cada intervalo, a solu¸c˜ao torna-se um
problema de valor pr´oprio, isto ´e,
H|ψ = E|ψ ,
sendo H descrito pela Eq. (3.2).
Para encontrar os estados pr´oprios devemos diagonalizar a matriz H resol-
vendo-se a equa¸c˜ao secular det(H −E
) = 0, de tal forma que os valores pr´oprios do
sistema podem ser encontrados analiticamente por meio do m´etodo de Cardano [92],
o qual relaciona o problema de valores pr´oprios com a solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao poli-
nomial c´ubica. Portanto, os trˆes valores pr´oprios s˜ao as ra´ızes da seguinte polinˆomio:
E
3
+ p
1
E
2
+ p
2
E + p
3
= 0
tal que p
1
, p
2
e p
3
est˜ao relacionados com os elementos da matriz (3.2) pelas seguintes
rela¸c˜oes:
−p
1
=trH =
i
E
i
,
p
2
=
1
2
[(trH)
2
− tr(H
2
)] =
i=j
E
i
E
j
e
−p
3
=detH =
i
E
i
,
para i, j = a, b, c sendo os E
i
’s as trˆes energias pr´oprias quando o sistema interage
com o campo externo. Essas energias podem ser encontradas pela seguinte express˜ao
E
i
= r
i
−
p
1
3
,
para r
a
, r
b
e r
c
dados por:
r
a
= x
0
+ y
0
, r
b
= −
1
2
(x
0
+ y
0
) +
√
3
2
(x
0
−y
0
)i , r
c
= −
1
2
(x
0
+ y
0
) −
√
3
2
(x
0
−y
0
)i .
x
0
= (−v +
√
v
2
+ u
3
)
1/3
e y
0
= (−v −
√
v
2
+ u
3
)
1/3
.
3u = −
1
3
(p
2
1
− 3p
2
) e 2v =
1
27
(2p
3
1
− 9p
1
p
2
+ 27p
3
) .
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 68 -
0,3234
0,3235
0,3236
0,3237
0,3238
0,3239
0,3240
0,3241
0,3242
0,3243
0,3244
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
energia (a.u.)
µ
31
f/∆U
E
c
E
b
E
a
Fig. 3.2: N´ıveis de energia E
a
, E
b
e E
c
(em unidades atˆomicas) em fun¸c˜ao do campo externo F
para ∆U = E
3
−E
1
. Na ausˆencia do campo externo os n´ıveis convergem para E
1
= 0, 323849 a.u.,
E
2
= 0, 323956 a.u. e E
3
= 0, 323968 a.u.. Para campos externos intensos as energias tendem a um
comportamento linear. Os valores dos parˆametros est˜ao definidos no texto.
Na Fig. 3.2 mostramos o gr´afico das energias em fun¸c˜ao do campo externo aplicado.
Em um regime de campos intensos as energias apresentam um comportamento linear.
Na figura podemos observar a influˆencia da intensidade do campo f e da fase φ na
separa¸c˜ao dos n´ıveis. Para f = 0 os n´ıveis naturalmente devem coincidir com os
n´ıveis E
1
, E
2
e E
3
.
No entanto, precisamos ainda encontrar os estados pr´oprios de H, que po-
demos representar na base de H
0
por
|a =
a
x
a
y
a
z
, |b =
b
x
b
y
b
z
e |c =
c
x
c
y
c
z
, (3.6)
sendo as componentes desses vetores, em geral, n´umeros complexos. Embora tenha-
mos uma solu¸c˜ao anal´ıtica para as componentes desses vetores, optamos por realizar
esta tarefa numericamente
4
, atrav´es da diagonaliza¸c˜ao da matriz (3.2).
4
Com as solu¸c˜oes anal´ıticas para os valores pr´oprios podemos encontrar uma solu¸c˜ao anal´ıtica
para os vetores pr´oprios de H. No entanto, as express˜oes obtidas n˜ao s˜ao pr´aticas para os c´alculos
computacionais exigidos para o controle. Por esta raz˜ao, optamos pela diagonaliza¸c˜ao num´erica da
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 69 -
3.2.1 O Vetor de Estado
Sob a a¸c˜ao de H a evolu¸c˜ao temporal do estado inicial |ψ(t
0
) = C
1
(t
0
)|1+
C
2
(t
0
)|2 + C
3
(t
0
)|3 ´e dada por
|ψ(t) = C
1
(t)|1 + C
2
(t)|2 + C
3
(t)|3 , (3.7)
para
C
1
(t) =N
−1
[a
x
exp(−iE
a
∆t/)R
a
+ b
x
exp(−iE
b
∆t/)R
b
+ c
x
exp(−iE
c
∆t/)R
c
] ,
C
2
(t) =N
−1
[a
y
exp(−iE
a
∆t/)R
a
+ b
y
exp(−iE
b
∆t/)R
b
+ c
y
exp(−iE
c
∆t/)R
c
] ,
C
3
(t) =N
−1
[a
z
exp(−iE
a
∆t/)R
a
+ b
z
exp(−iE
b
∆t/)R
b
+ c
z
exp(−iE
c
∆t/)R
c
] ,
N = a
x
b
y
c
z
+ a
y
b
z
c
x
+ a
z
b
x
c
y
− (a
x
b
z
c
y
+ a
y
b
x
c
z
+ a
z
b
y
c
x
) ,
R
a
=(b
y
c
z
− b
z
c
y
)C
1
(t
0
) + (b
z
c
x
− b
x
c
z
)C
2
(t
0
) + (b
x
c
y
− b
y
c
x
)C
3
(t
0
) ,
R
b
=(a
z
c
y
− a
y
c
z
)C
1
(t
0
) + (a
x
c
z
− a
z
c
x
)C
2
(t
0
) + (a
y
c
x
− a
x
c
y
)C
3
(t
0
) ,
R
c
=(a
y
b
z
− a
z
b
y
)C
1
(t
0
) + (a
z
b
x
− a
x
b
z
)C
2
(t
0
) + (a
x
b
y
− a
y
b
x
)C
3
(t
0
) .
Com isso, conseguimos determinar completamente o estado do sistema em um ins-
tante de tempo t quando o estado inicial est´a sob a influˆencia de um campo externo
independente do tempo. Para isso basta conhecer as componentes do vetor de estado
e as energias pr´oprias do sistema. A seguir apresentaremos uma demonstra¸c˜ao da
Eq. (3.7).
Demonstra¸c˜ao
A seguir vamos demonstrar como encontrar uma express˜ao para o estado do
sistema escrito com as bases de H
0
. Esta tarefa consiste em realizar uma mudan¸ca
de base no sistema.
O vetor de estado ´e escrito na base {|a, |b, |c} como
|ψ(t) = C
a
exp(−iE
a
t/)|a + C
b
exp(−iE
b
t/)|b + C
c
exp(−iE
c
t/)|c , (3.10)
Eq. (3.2).
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 70 -
e o estado inicial ´e dado por
|ψ(t
0
) = C
1
(t
0
)|1 + C
2
(t
0
)|2 + C
3
(t
0
)|3 . (3.11)
A rela¸c˜ao de bases ´e dada por (B
int
= T B
0
)
a
b
c
=
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
1
2
3
. (3.12)
A mudan¸ca de base ´e realizada atrav´es da matriz inversa B
0
= T
−1
B
int
, tal que
T
−1
=
1
N
b
y
c
z
− b
z
c
y
a
z
c
y
− a
y
c
z
a
y
b
z
− a
z
b
y
b
z
c
x
− b
x
c
z
a
x
c
z
− a
z
c
x
a
z
b
x
− a
x
b
z
b
x
c
y
− b
y
c
x
a
y
c
x
− a
x
c
y
a
x
b
y
− a
y
b
x
, (3.13)
N = a
x
b
y
c
z
+ a
y
b
z
c
x
+ a
z
b
x
c
y
− (a
x
b
z
c
y
+ a
y
b
x
c
z
+ a
z
b
y
c
x
) . (3.14)
Com isso podemos escrever os estados {|1, |2, |3} em termos dos estados {|a, |b, |c}.
Aplicando esta nova base na Eq. (3.11) e comparando-se com a Eq. (3.10) para t = t
0
,
obtemos a seguinte rela¸c˜ao:
R
a
=(b
y
c
z
− b
z
c
y
)C
1
(t
0
) + (b
z
c
x
− b
x
c
z
)C
2
(t
0
) + (b
x
c
y
− b
y
c
x
)C
3
(t
0
) ,
R
b
=(a
z
c
y
− a
y
c
z
)C
1
(t
0
) + (a
x
c
z
− a
z
c
x
)C
2
(t
0
) + (a
y
c
x
− a
x
c
y
)C
3
(t
0
) ,
R
c
=(a
y
b
z
− a
z
b
y
)C
1
(t
0
) + (a
z
b
x
− a
x
b
z
)C
2
(t
0
) + (a
x
b
y
− a
y
b
x
)C
3
(t
0
) ,
e
C
a
=
1
N
exp(iE
a
t
0
/)R
a
,
C
b
=
1
N
exp(iE
b
t
0
/)R
b
,
C
c
=
1
N
exp(iE
c
t
0
/)R
c
.
Conduzindo ao estado descrito pela Eq. (3.7)
|ψ(t) = C
1
(t)|1 + C
2
(t)|2 + C
3
(t)|3 ,
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 71 -
C
1
(t) =N
−1
[a
x
exp(−iE
a
∆t/)R
a
+ b
x
exp(−iE
b
∆t/)R
b
+ c
x
exp(−iE
c
∆t/)R
c
] ,
C
2
(t) =N
−1
[a
y
exp(−iE
a
∆t/)R
a
+ b
y
exp(−iE
b
∆t/)R
b
+ c
y
exp(−iE
c
∆t/)R
c
] ,
C
3
(t) =N
−1
[a
z
exp(−iE
a
∆t/)R
a
+ b
z
exp(−iE
b
∆t/)R
b
+ c
z
exp(−iE
c
∆t/)R
c
] .
3.2.2 O Valor Esperado
Usualmente o objetivo da aplica¸c˜ao de qualquer t´ecnica de controle em me-
cˆanica quˆantica, ´e manipular apropriadamente alguma grandeza f´ısica mensur´avel do
sistema. Isto se faz, estabelecendo o controle sobre o valor esperado de um deter-
minado observ´avel de interesse, que podemos representar por um operador V . Este
operador pode representar por exemplo, o operador posi¸c˜ao, e neste caso temos a
possibilidade de manipular a posi¸c˜ao do sistema em estudo. Se pensarmos no operado
V como um operador momento linear, ent˜ao podemos controlar a velocidade do sis-
tema. Este operador pode ser interessante para aplica¸c˜oes, por exemplo, em ´atomos
frios. Podemos pensar ainda em outros operadores importantes, como a popula¸c˜ao
de um terminado n´ıvel de energia ou o operador momento angular. Portanto, como
estamos interessados em um controle geral, representaremos o observ´avel de inte-
resse simplesmente pelo operador V . Em outras palavras, buscamos por um campo
externo param´etrico que conduza S(t) para um determinado valor
˜
S em t =
˜
t. Mate-
maticamente, o campo externo, o sistema e o operador observ´avel est˜ao relacionados
por
S(t) = ψ(t)|V |ψ(t) para V =
V
1
v
12
e
−iα
12
v
13
e
−iα
13
v
12
e
iα
12
V
2
v
23
e
−iα
23
v
13
e
iα
13
v
23
e
iα
23
V
3
, (3.18)
sendo V escrito na base {|1, |2, |3} (com V
m
, v
mn
reais e 0 ≤ α
mn
≤ 2π para m, n =
1, 2, 3) e |ψ(t) dado pela Eq. (3.7). Partindo da Eq. (3.18) chegamos facilmente a
3.2. A Evolu¸c
˜
ao Temporal do Sistema - 72 -
seguinte rela¸c˜ao
S(t) = V
1
|C
1
(t)|
2
+ V
2
|C
2
(t)|
2
+ V
3
|C
3
(t)|
2
+ 2v
12
Re[C
1
(t)C
∗
2
(t)e
iα
12
]
+ 2v
13
Re[C
1
(t)C
∗
3
(t)e
iα
13
] + 2v
23
Re[C
2
(t)C
∗
3
(t)e
iα
23
] . (3.19)
O controle quˆantico ´e estabelecido a partir de uma imposi¸c˜ao para o valor
esperado do observ´avel, isto ´e, fazendo-se S(
˜
t) =
˜
S na Eq. (3.19) para ent˜ao bus-
carmos por um campo espec´ıfico f e φ que conduza o sistema a esse valor esperado
espec´ıfico. Este procedimento consiste em buscar uma solu¸c˜ao inversa, para a qual
a rela¸c˜ao entre o campo externo e valor esperado do observ´avel n˜ao ´e direta. Na
verdade, diferentemente do caso para os dois n´ıveis [51], agora n˜ao dispomos de uma
rela¸c˜ao expl´ıcita entre os parˆametros de controle e o valor esperado do observ´avel.
Por´em, esta rela¸c˜ao pode ser implementada facilmente em qualquer algoritmo nu-
m´erico. O procedimento de controle por uma “trajet´oria” espec´ıfica segue o mesmo
protocolo descrito na Ref. [51], e na Se¸c˜ao 2.2, mas que vamos resumir `a seguir.
1. Definimos um conjunto de intervalos de tempo {∆t
j
}. Na pr´atica as escolhas
desses intervalos dependem de caracter´ısticas de qu˜ao r´apido os parˆametros
do Hamiltoniano podem ser modificados, e o qu˜ao pr´oximo do alvo queremos
atingir.
2. Para cada ∆t
j
escolhemos um
˜
t para o qual S(
˜
t) assume um valor desejado
˜
S.
O valor exato de
˜
t n˜ao ´e muito importante para ∆t
j
pequeno. Nas simula¸c˜oes
utilizamos
˜
t = t
−
j+1
.
3. Finalmente, em t =
˜
t, resolvemos apropriadamente a Eq. (3.19) para os corretos
valores de f e φ no intervalo.
Para os c´alculos da diagonaliza¸c˜ao da matriz utilizamos a rotina num´erica
gsl_eigen_hermv dispon´ıvel na biblioteca GNU Scientific Library - GSL [116]. Para
os c´alculos da solu¸c˜ao inversa utilizamos uma rotina num´erica denominada zbrent,
obtida na Ref. [117], que combina dois m´etodos distintos: o m´etodo seguro de busca
3.3. Resultados e Exemplos - 73 -
de ra´ızes (m´etodo da bisse¸c˜ao) com um m´etodo r´apido de busca (m´etodo de Newton-
Raphson).
3.3 Resultados e Exemplos
Nesta se¸c˜ao discutiremos alguns resultados e exemplos mostrando a potencia-
lidade do m´etodo. Discutiremos alguns aspectos importantes sobre a controlabilidade
de um sistema quˆantico. Admitiremos em todas as aplica¸c˜oes as seguintes energias
(no sistema atˆomico de unidades no qual = m = e = 1) E
1
= 0, 323849 a.u., E
2
=
0, 323956 a.u. e E
3
= 0, 323968 a.u., tal que ∆U = E
3
− E
1
= 0, 119 × 10
−3
a.u.. As
transi¸c˜oes correspondentes s˜ao: λ
21
= 426, 2µm, λ
32
= 3800, 2µm e λ
31
= 383, 2µm,
calculados a partir da rela¸c˜ao λ
ji
= hc/(E
j
− E
i
). Esse espectro de energia corres-
ponde a valores t´ıpicos do espectro vibracional molecular da mol´ecula de DH
2
[15].
Para os momentos de dipolo utilizamos, µ
12
= 1/10 a.u. e µ
13
= µ
23
= 1 a.u.. Para
o operador observ´avel na Eq. (3.18) utilizamos V
1
= 1, V
2
= 3, V
3
= 4, v
12
=
√
3,
v
13
= 1/2, v
23
=
√
2, α
12
= π/2, α
13
= 0 e α
13
= π/4 em unidades arbitr´arias.
Como primeira an´alise vamos considerar o sistema inicialmente preparado
(t
0
= 0) em um estado caracterizado por C
A
= {C
1
= exp[iπ/4]/
√
2,
C
2
= exp[iπ/6]/2, C
3
= 1/2}. Na ausˆencia do campo externo o valor esperado do
observ´avel V evolui de acordo com a Fig. 3.3(a). Na Fig. 3.3(b) mostramos S(t) evo-
luindo livremente para um estado inicial caracterizado por
C
B
= {C
1
= 0, 162003 exp[i3, 141593], C
2
= 0, 983033 exp[i0, 5041081],
C
3
= 0, 071858 exp[i0, 988639]}. A compara¸c˜ao entre as Figs. 3.3(a) e 3.3(b) nos
mostra uma forte dependˆencia da evolu¸c˜ao temporal do valor esperado com rela¸c˜ao
ao estado inicial. No primeiro caso as oscila¸c˜oes em S(t) ocorrem em uma janela que
varia entre 0 e 4, enquanto no segundo caso, a janela de oscila¸c˜ao em S(t) ´e bem
menor, variando aproximadamente entre 2,1 e 3,6. Com isso observamos que a prepa-
ra¸c˜ao do estado quˆantico ´e determinante no comportamento de um sistema quˆantico.
Como veremos adiante, o estado inicial ´e fundamental tamb´em quando queremos re-
3.3. Resultados e Exemplos - 74 -
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
S (arb.)
t (ps)
(a)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
S (arb.)
t (ps)
(b)
Fig. 3.3: Valor esperado do observ´avel S(t) para um sistema de trˆes n´ıveis na ausˆencia de campo
externo. (a) Para o estado inicial definido pelo conjunto C
A
(ver detalhes no texto) e (b) para o
estado inicial C
B
.
alizar um “bom” controle sobre um observ´avel de interesse. Agora vamos aplicar
um campo externo, e com isso passaremos a interferir na dinˆamica quˆantica do sis-
tema. Suponha ent˜ao que queiramos, de algum modo, “eliminar” as oscila¸c˜oes em
S(t). Ent˜ao, a pergunta que devemos responder ´e: como deve ser o campo externo
aplicado para que se elimine essas oscila¸c˜oes? Para responder esta pergunta vamos
escolher como trajet´oria alvo uma constante, que podemos definir a priori como
sendo
˜
S(t) = 2, 0. Com a trajet´oria alvo definida, resolvemos a Eq. (3.19) para os
parˆametros f e φ. Com isso obtemos o conjunto de parˆametros f
i
e φ
i
que conduz
o sistema `a trajet´oria alvo previamente escolhida. Nas Figs. 3.4(b) e (c) mostramos
a configura¸c˜ao desses parˆametros respectivamente, e na Fig. 3.4(a) mostramos S(t)
quando o campo interage com o sistema para um estado inicial caracterizado pelo
conjunto C
A
. Comparando as Fig. 3.3(a) e 3.4(a), podemos observar como a dinˆamica
de S(t) foi significativamente alterada com a presen¸ca do campo, ou seja, aplicando
um campo param´etrico conseguimos de fato eliminar as oscila¸c˜oes de S(t). Esta
compara¸c˜ao aponta para uma boa eficiˆencia do controle atrav´es de campos externos
configur´aveis. No entanto, assim como no caso para dois n´ıveis [51], podemos propor
outros alvos para o controle. Vejamos agora como podemos fazer o controle para
uma trajet´oria alvo mais elaborada, que podemos descrever pela seguinte equa¸c˜ao:
3.3. Resultados e Exemplos - 75 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S (arb.)
(a)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
f/∆U
(b)
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
φ (rad.)
t (ps)
(c)
Fig. 3.4: (a) S(t) configurado como um valor constante no tempo para um estado inicial carac-
terizado por C
A
. Em (b) e (c) mostramos respectivamente os ajustes dos parˆametros f e φ que
conduzem o sistema `a trajet´oria alvo S(t).
S(t) = S
0
+ S
1
exp[−σ
1
(t −t
1
)
2
] + S
2
exp[−σ
2
(t −t
2
)
2
], a qual descreve basicamente
duas Gaussianas centradas em diferentes instantes de tempo. Considerando o estado
inicial dado pelo conjunto C
A
, apresentamos na Fig. 3.5(a) (curva cont´ınua) o valor
esperado resultante do campo de controle mostrado nas Figs. 3.5(b) e (c). Neste
caso utilizamos os seguintes parˆametros em S(t): S
0
= 2, 1, S
1
= −1, 1, S
2
= 1, 5,
σ
1
= σ
2
= 1, 54ps
−2
, t
1
= 3, 0ps e t
2
= 10, 0ps, tal que S
min
= 1, 0, S
max
= 3, 6 e
∆S
A
= S
max
− S
min
= 2, 6.
Na Fig. 3.5(d) (curva cont´ınua) mostramos S(t) resultante do campo de con-
trole mostrado nas Figs. 3.5(e) e (f) para o estado inicial caracterizado pelo conjunto
C
B
. Nestes casos utilizamos S
0
= 2, 9, S
1
= −0, 9, S
2
= 0, 7, σ
1
= σ
2
= 1, 54ps
−2
,
3.3. Resultados e Exemplos - 76 -
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
S (arb.)
(a)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
f/∆U
(b)
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
φ (rad.)
t (ps)
(c)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
S (arb.)
(d)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f/∆U
(e)
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
φ (rad.)
t (ps)
(f)
Fig. 3.5: (a) S(t) quando controlamos os parˆametros (b) f e (c) φ (curva cont´ınua) para um estado
inicial caracterizado pelo conjunto C
A
. Em (d), (e) e (f) mostramos o controle para o estado
inicial C
B
. As curvas tracejadas representam S(t) para pequenos erros aleat´orios nos conjuntos dos
parˆametros {f
j
} e {φ
j
}.
t
1
= 3, 0ps e t
2
= 10, 0ps, tal que S
min
= 2, 0, S
max
= 3, 6 e ∆S
B
= S
max
−S
min
= 1, 6.
O esquema de controle proposto ´e baseado na busca de parˆametros. Ent˜ao
´e de fundamental importˆancia saber como estes parˆametros est˜ao relacionados com
os parˆametros de um potencial externo, como por exemplo, o campo de um laser,
produzido em condi¸c˜oes de laborat´orio. De maneira usual, para a aproxima¸c˜ao di-
polar negligenciamos as varia¸c˜oes espaciais do campo, por´em, dispomos ainda de um
perfil temporal. Este perfil pode ser encontrado diretamente da express˜ao para F
de tal forma que ǫ = f exp(−iφ)/2 + c. c., como mostrado na Fig. 3.6(a) para a
condi¸c˜ao inicial C
A
e na Fig. 3.6(b) para a condi¸c˜ao inicial C
B
para os casos descritos
na Fig. 3.5.
Testamos tamb´em a sensibilidade do m´etodo a erros no campo param´etrico.
Nas Figs. 3.5(a) e (d) (curva pontilhada) tra¸camos o gr´afico de S(t) quando intro-
3.3. Resultados e Exemplos - 77 -
−5,0
−2,5
0,0
2,5
5,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
F (10
−5
a.u.)
t (ps)
(a)
−5,0
−2,5
0,0
2,5
5,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
F (10
−5
a.u.)
t (ps)
(b)
Fig. 3.6: Perfil do campo de controle para a situa¸c˜ao descrita na Fig. 3.5. Em (a) mostramos o
perfil do campo para a condi¸c˜ao inicial C
A
e em (b) para o estado inicial C
B
.
duzimos pequenos erros aleat´orios em f e φ simultaneamente. Para o estado inicial
C
A
, consideramos como campo de controle os parˆametros f
j
+ δf
j
e φ
j
+ δφ
j
sendo
δf
j
e δφ
j
valores aleat´orios entre (−f
j
/20, f
j
/20) e (−φ
j
/20, φ
j
/20); tal que a lar-
gura do intervalo de erros corresponde a 10% dos valores corretos para f
j
e φ
j
. Neste
caso, o controle se mostrou bastante robusto `a introdu¸c˜ao de erros nos parˆametros do
campo. Para a condi¸c˜ao inicial C
B
introduzimos erros aleat´orios entre (−f
j
/20, f
j
/20)
e (−φ
j
/6, φ
j
/6); tal que a largura do intervalo de erros corresponde a 10% dos valores
corretos para f
j
e 3% para φ
j
. Neste caso o controle foi mais sens´ıvel a introdu¸c˜ao
de erros, especialmente no parˆametro φ
j
que est´a relacionado com a fase do campo
externo.
Na Fig. 3.7(a) mostramos o controle para uma trajet´oria alvo variando entre
dois valores, a saber, S
min
= 1, 2 e S
max
= 3, 6. A trajet´oria alvo utilizada foi
definida pela seguinte equa¸c˜ao: S(t) = ∆S χ(t) + S
min
, para ∆S = S
max
− S
min
e χ(t) = 1/2 + arctan[α(t − t
0
)]/π. Como parˆametros utilizamos α = 2, 0ps
−1
e
t
0
= 7, 5ps. No limite de α → ∞ a trajet´oria alvo tende a fun¸c˜ao degrau Θ(t − t
0
).
Na Fig. 3.7(b) e (c) podemos notar que o campo externo param´etrico apresenta uma
varia¸c˜ao mais acentuada em torno de t = 7, 5ps, isto ocorre porque nesse intervalo de
tempo uma transi¸c˜ao mais r´apida ´e requerida, exigindo campos mais elevados para
que seja realizada a transi¸c˜ao.
3.3. Resultados e Exemplos - 78 -
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
S (arb.)
(a)
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f/∆U
(b)
0,0
1,5
3,0
4,5
6,0
0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0
φ (rad.)
t (ps)
(c)
Fig. 3.7: S(t) quando controlamos os parˆametros (b) f e (c) φ para um estado inicial caracterizado
pelo conjunto C
A
.
A partir dos resultados apresentados nas Figs. 3.5 para as larguras das jane-
las, isto ´e, ∆S
A
e ∆S
B
, observamos que o controle ´e significativamente afetado pelas
condi¸c˜oes iniciais impostas ao sistema. Este ´e um fato totalmente novo j´a que no tra-
balho [51] — e apresentado nesta tese no Cap´ıtulo 2 — as condi¸c˜oes iniciais do sistema
n˜ao era significativas. Matematicamente, a janela de controle ´e determinada pelos
valores pr´oprios m´aximo e m´ınimo do operador observ´avel, calculados atrav´es da
diagonaliza¸c˜ao de V na Eq. (3.18) cujos valores correspondentes s˜ao: V
min
≈ −0, 27
e V
max
≈ 5, 17. Isto significa que podemos realizar o controle do observ´avel para
qualquer trajet´oria alvo dentro dessa janela de controle. No entanto, existem regi˜oes
onde o controle s´o ´e poss´ıvel sob condi¸c˜oes de campo bastante intensos (condi¸c˜oes
extremas) ocorrendo perdas significativas na qualidade do controle. As condi¸c˜oes de
3.4. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 79 -
controle tornam-se mais favor´aveis quando aproveitamos o comportamento natural
do valor esperado do observ´avel, respeitando as caracter´ısticas do pr´oprio sistema,
que por sua vez depende das condi¸c˜oes iniciais, como mostramos nas Figs. 3.3(a) e
(b). Em outras palavras, quando o sistema evolui livremente, as pr´oprias amplitudes
de oscila¸c˜ao “definem” uma janela de controle favor´avel para o controle quˆantico, que
denominamos ∆S
A
e ∆S
B
de acordo com as condi¸c˜oes iniciais correspondentes. No
entanto, a natureza dessas janelas n˜ao est´a completamente esclarecida, uma vez que
n˜ao dispomos de uma equa¸c˜ao matem´atica que relacione a qualidade do controle com
a posi¸c˜ao e a largura da janela.
3.4 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo
Neste cap´ıtulo utilizamos o procedimento de controle inverso independente
do tempo por partes para controlar a evolu¸c˜ao temporal de um estado quˆantico e
conseq
¨
uentemente do valor esperado de um operador relevante em um sistema de
trˆes n´ıveis. A solu¸c˜ao do problema inverso, isto ´e, a busca pelo campo param´etrico
(como por exemplo o campo externo de um laser) que conduz o sistema a uma correta
evolu¸c˜ao, mostrou-se relativamente simples, uma vez que ainda precisamos resolver
uma equa¸c˜ao alg´ebrica, ao inv´es de um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais ou integrais.
Naturalmente o problema mostrou-se mais complicado que o seu an´alogo com dois
n´ıveis, pois agora, faz-se necess´aria a diagonaliza¸c˜ao num´erica do Hamiltoniano do
sistema, que cont´em as rela¸c˜oes expl´ıcitas do processo de intera¸c˜ao entre o campo e
o sistema. No entanto, alguns testes num´ericos mostraram que este procedimento ´e
computacionalmente mais simples que a busca de solu¸c˜oes atrav´es da solu¸c˜ao de um
conjunto de equa¸c˜oes diferenciais.
Na Se¸c˜ao 3.3 apresentamos alguns resultados e aplica¸c˜oes da t´ecnica de con-
trole. Mostramos a possibilidade de eliminar as oscila¸c˜oes naturais do valor esperado
do observ´avel atrav´es da aplica¸c˜ao de um campo externo param´etrico. Mostramos
tamb´em o controle para trajet´orias alvos mais elaboradas como curvas Gaussianas e
3.4. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 80 -
com transi¸c˜ao suaves entre dois estados alvos.
Para cada caso observamos a existˆencia de uma janela em S(t), onde a
qualidade do controle ´e suficientemente boa para o controle quˆantico. Resultados
qualitativos apontam que esta janela de controle depende fundamentalmente das
caracter´ısticas f´ısicas e do estado inicial do sistema em estudo (este ´ultimo est´a re-
lacionado com a prepara¸c˜ao do estado quˆantico [78]). De um ponto de vista pr´atico
precisamos observar a dinˆamica natural do sistema e, a partir deste ponto, realizar o
controle em torno da “janela” natural de oscila¸c˜ao. Os resultados revelaram tamb´em
a sensibilidade do controle a pequenos erros aleat´orios introduzidos no campo pa-
ram´etrico de controle para trajet´orias alvo suaves, mostrando-se significativamente
robusto comparado ao caso j´a apresentado para o sistema de dois n´ıveis (veja a
Se¸c˜ao 2.4.1).
Finalmente, chamamos a aten¸c˜ao do leitor para o fato de que o m´etodo foi
discutido em um contexto de um sistema de trˆes n´ıveis, interessante por apresentar
diversas aplica¸c˜oes. No entanto, esta abordagem pode facilmente ser estendida para
uma situa¸c˜ao mais geral de N n´ıveis. Nesta situa¸c˜ao a principal equa¸c˜ao continuar´a
sendo uma express˜ao similar `a Eq. (3.19), mas agora, ´e claro, em uma vers˜ao bem
mais complicada. Estas dificuldades surgem devido ao fato de n˜ao dispormos mais de
uma solu¸c˜ao anal´ıtica fechada para a diagonaliza¸c˜ao da matriz Hermiteana N × N.
No entanto, podemos ainda diagonaliz´a-la numericamente e com isso obter os coefi-
cientes C
n
(t) que dever˜ao ser aplicados na express˜ao similar a Eq. (3.19). Com isso
calculamos S(t) e determinamos se em t = t
j
o valor esperado encontra-se pr´oximo
o suficiente do alvo
˜
S, onde ent˜ao decidimos se os novos valores dos parˆametros
precisam ser configurados.
4
Controle de Reconstru¸c
˜
oes de
um Pacote de Ondas em um
Bilhar Circular
Neste cap´ıtulo mostraremos como melhorar a estrutura de reconstru¸c˜ao
de um pacote de ondas Gaussiano com momento linear m´edio inicial n˜ao
nulo em um bilhar circular. Para isso, aplicaremos um campo magn´etico
constante, com uma intensidade escolhida de forma apropriada. Investi-
garemos tamb´em como a introdu¸c˜ao de pequenas varia¸c˜oes nas energias
interferem no processo de reconstru¸c˜ao. Os resultados s˜ao comparados
com os casos sem campo externo B.
Nos ´ultimos anos tivemos a oportunidade de observar grandes avan¸cos na
fabrica¸c˜ao de dispositivos semicondutores capazes de confinar el´etrons em uma pe-
quena regi˜ao do espa¸co. Estes dispositivos s˜ao conhecidos como pontos quˆanticos
(quantum dots) [118]. Com tais sistemas, pode-se controlar o n´umero de part´ıculas
aprisionadas [40] — em alguns casos consegue-se aprisionar at´e mesmo uma ´unica
part´ıcula. Outro aspecto interessante ´e a possibilidade de fabricarmos essas estru-
turas ajustando-se adequadamente seus parˆametros. Com isso, somos capazes de
81
- 82 -
definir previamente como ser´a o espectro dos n´ıveis de energia, e por esta raz˜ao, os
pontos quˆanticos s˜ao freq
¨
uentemente denominados de ´atomos artificiais [119].
Atualmente busca-se por resultados ainda mais efetivos nos processos de
controle dessas part´ıculas no interior de dispositivos de confinamento (quantum dot).
Em outras palavras, precisamos entender como manipular campos externos adequa-
damente para gerar efeitos de interferˆencia capazes de modificar substancialmente
a dinˆamica quˆantica de uma part´ıcula sujeita ao potencial confinador. Com isso,
produzir novos dispositivos n˜ao somente para a pesquisa b´asica mas tamb´em para
o desenvolvimento de diferentes aplica¸c˜oes tecnol´ogicas. Um passo importante nesse
sentido consiste na obten¸c˜ao do controle da dinˆamica de pacotes de ondas. A nossa
contribui¸c˜ao no presente estudo consiste em descrever um m´etodo de controle capaz
de melhorar o processo de reconstru¸c˜ao desses pacotes de ondas em bilhares, mais
especificamente, em um bilhar circular [120]. Basicamente, bilhares s˜ao sistemas em
que uma part´ıcula “livre” encontra-se contida em uma certa regi˜ao finita do espa¸co de
configura¸c˜ao. Por exemplo, uma part´ıcula confinada em um c´ırculo com ψ(R
0
) = 0
nas paredes do c´ırculo. Tais problemas s˜ao bastantes usados como modelos simplifi-
cados de po¸cos quˆanticos, guia de ondas, etc.
O processo de reconstru¸c˜ao tem sido observado experimentalmente em uma
variedade de sistemas f´ısicos [121], tais como, em sistemas atˆomicos, moleculares,
mesosc´opicos, ´oticos, e at´e mesmo em condensados de Bose-Einstein (veja uma breve
discuss˜ao sobre essas aplica¸c˜oes na se¸c˜ao 5 da Ref. [122]). O melhoramento de tais
reconstru¸c˜oes podem ser importantes para, por exemplo, em f´ısica de laser, espec-
troscopia de raio-X [123, 124], entre outras. Podemos destacar tamb´em o interesse
da reconstru¸c˜ao quˆantica em computa¸c˜ao quˆantica [39, 43, 125, 126]. Investiga¸c˜oes
te´oricas recentes [127] mostraram que pulsos de laser ultra curtos podem interferir
na estrutura de reconstru¸c˜ao de pacotes de ondas rotacional de um sistema com
poucos estados. Esses resultados puderam ser confirmados experimentalmente para
a mol´ecula de oxigˆenio [50], e poderia ser uma maneira de se implementar os qubits.
Em um estudo recente [128] foi mostrado que a estrutura de reconstru¸c˜ao
4.1. O Sistema - 83 -
em um bilhar circular — normalmente usado para modelar po¸cos quˆanticos [129,130]
— tende a desaparecer quando o momento linear m´edio p
0
do pacote de ondas inicial
(Gaussiano) aumenta. Por´em, foi demonstrado tamb´em na Ref. [131] — por um
m´etodo perturbativo — que essas reconstru¸c˜oes podem ser parcialmente recuperadas
aplicando-se um campo magn´etico apropriado. Por´em, tal m´etodo ´e v´alido apenas em
um regime de campos fracos. Assim, a medida que o momento linear m´edio inicial do
pacote de ondas aumenta, este m´etodo n˜ao consegue mais efetuar o controle desejado.
Neste cap´ıtulo, mostraremos como restabelecer a perda das reconstru¸c˜oes
para um m´etodo n˜ao perturbativo atrav´es da aplica¸c˜ao de um campo magn´etico
intenso. Portanto, complementando e generalizando os resultados conhecidos na
literatura [131].
4.1 O Sistema
Vamos considerar uma ´unica part´ıcula, com massa efetiva µ, restrita ao
plano xy e sujeita a um campo magn´etico constante
B perpendicular a esse plano.
Vamos considerar tamb´em a part´ıcula sujeita a um potencial de confinamento dado
por:
V (r) =
0 (r < R
0
)
∞ (r R
0
)
. (4.1)
Assim V (r) representa o potencial do bilhar circular em 2D, sendo r =
x
2
+ y
2
e
R
0
´e o raio do bilhar. Para este problema o Hamiltoniano pode ser escrito como
H =
1
2µ
p −
q
c
A
2
+ V (r), sendo p = −i
∇ . (4.2)
Nesta express˜ao,
A =
1
2
Brˆe
φ
representa o potencial vetor, q ´e a carga efetiva da par-
t´ıcula e c ´e a velocidade da luz no v´acuo. Escrevendo-se esta equa¸c˜ao em coordenadas
4.1. O Sistema - 84 -
cil´ındricas
1
obtemos (ω
c
= qB/µc)
H = −
2
2µ
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂φ
2
+
1
8
µω
c
2
r
2
−
i
2
ω
c
∂
∂φ
+ V (r) . (4.3)
Este ´e finalmente o operador Hamiltoniano que descreve as intera¸c˜oes entre o campo
magn´etico e a part´ıcula dentro de um bilhar circular com paredes infinitas.
Demonstra¸c˜ao
A forma de chegar `a Eq. (4.3) a partir da Eq. (4.2) ´e direta, no entanto, alguns passos
intermedi´arios podem auxiliar o leitor nesta tarefa. A Eq. (4.2) pode ser escrita como
H =
p.p
2µ
−
q
2µc
(p.
A +
A.p) +
q
2
2µc
2
A.
A
sendo
2
p.p = −
2
∇ , p.
A =
A.p =
iB
2
∂
∂φ
e
A.
A =
1
4
B
2
r
2
.
Da´ı, temos que
H = −
h
2
2µ
∇
2
−
iqB
2µc
∂
∂φ
+
q
2
B
2
r
2
8µc
2
+ V (r) .
E finalmente, usando a freq
¨
uˆencia de ciclotron ω
c
e o operador ∇
2
em coordenadas
cil´ındricas na equa¸c˜ao acima, obtemos a Eq. (4.3), que ´e a mesma apresentada na
Eq. (3) da Ref. [129].
4.1.1 Fun¸c
˜
oes e Energias Pr
´
oprias do Sistema
As energias pr´oprias e as fun¸c˜oes de onda pr´oprias para este sistema s˜ao
fornecidas mediante a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger independente do tempo
H|ψ
n
= E
n
|ψ
n
, (4.4)
1
Operado: ∇
2
=
1
r
∂
∂r
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂φ
2
para z = 0.
2
Aqui usamos p = i
∂
∂r
,
1
r
∂
∂φ
,
∂
∂z
e
A =
0,
1
2
Br, 0
.
4.1. O Sistema - 85 -
sendo H o operador Hamiltoniano dado pela Eq. (4.3), E
n
as energias pr´oprias e |ψ
n
os estados pr´oprios do sistema.
Aplicando-se a condi¸c˜ao de contorno, podemos separar a solu¸c˜ao do pro-
blema em duas regi˜oes. Para a regi˜ao externa ao bilhar, isto ´e, (r R
0
), as solu¸c˜oes
para as fun¸c˜ao de onda s˜ao simplesmente ψ
n
(r, φ) = 0. Para a regi˜ao interna, isto ´e,
em que (r < R
0
), a energia potencial sentida pela part´ıcula ´e V (r) = 0, e com isso,
a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger torna-se simplesmente
3
−
2
2µ
∂
2
ψ
∂r
2
+
1
r
∂ψ
∂r
+
1
r
2
∂
2
ψ
∂φ
2
+
1
8
µω
c
2
r
2
ψ −
i
2
ω
c
∂ψ
∂φ
= Eψ . (4.5)
Fazendo-se uso da simetria do problema, podemos aplicar o m´etodo de separa¸c˜ao de
vari´aveis — sendo a solu¸c˜ao da parte angular a mesma do caso sem campo magn´e-
tico
4
. Com isso, podemos escrever
ψ(r, φ) = R(r)Φ(φ) =
1
√
2π
e
ilφ
R(r) para l = 0, ±1, ±2 ... (4.6)
Substituindo a Eq. (4.6) em (4.5) obtemos
−
2
2µ
d
2
R
dr
2
+
1
r
dR
dr
−
l
2
r
2
R
+
1
8
µω
c
2
r
2
R +
l
2
ω
c
R = ER . (4.7)
Definindo l
B
≡
c/qB e x ≡ r
2
/2l
B
2
a equa¸c˜ao diferencial (4.7) torna-se
5
para
R = R(x)
x
d
2
R
dx
2
+
dR
dx
+
−
x
4
+
E
ω
c
−
l
2
−
l
2
4x
R = 0 .
Esta ´e a equa¸c˜ao diferencial para a parte radial da Eq. (4.5). Uma vez resolvida esta
equa¸c˜ao, teremos encontrado a solu¸c˜ao geral para o problema atrav´es da Eq. (4.6).
A solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao diferencial foi obtida em um artigo publicado em Journal of
Applied Physics por F. Geerinckx, F. M. Peeters e J. T. Devreese [129], cuja solu¸c˜ao
´e dada pela seguinte equa¸c˜ao
R(x) = e
−x/2
x
|l|/2
X(x) , (4.8)
3
Usamos: ψ = ψ(r, φ) = r, φ|ψ.
4
Veja o Cap. 5, Sec. 3.1 de Eugen Butkov [132].
5
Lembrando que:
dR
dr
=
dR
dx
dx
dr
e
d
2
R
dr
2
=
d
2
R
dx
2
dx
dr
2
+
dR
dx
d
2
x
dr
2
.
4.1. O Sistema - 86 -
em que X(x) satisfaz a fun¸c˜ao hipergeom´etrica confluente
6
(Veja a Eq. (13.1.2) da
Ref. [134]), sendo
X(x) =
1
F
1
(−α; 1 + |l|; x) e α =
E
ω
c
−
(l + |l| + 1)
2
.
As energias pr´oprias do sistema s˜ao obtidas com aux´ılio da condi¸c˜ao de
contorno ψ(r = R
0
, φ) = 0, que na vari´avel x corresponde `a x
0
= R
2
0
/2l
2
B
. Da
Eq. (4.6) vimos que, Φ(φ) = 0 ∀ φ, logo, para que a condi¸c˜ao de contorno seja
satisfeita ´e necess´ario que R(r = R
0
) = 0, que nos conduz a
R(x
0
) = e
−x
0
/2
x
|l|/2
0
=0
X(x
0
)
=0
= 0 .
Desta equa¸c˜ao conclu´ımos que
X(x
0
) =
1
F
1
(−α; 1 + |l|; x
0
) = 0 . (4.9)
Esta equa¸c˜ao transcendental deve ser resolvida em termos do parˆametro α. Para
cada l existe um conjunto de solu¸c˜oes {α
n
} que satisfaz a Eq. (4.9); cada raiz encon-
trada ´e caracterizada pelo n´umero quˆantico n. Portanto, todas as poss´ıveis solu¸c˜oes
do problema ser˜ao caracterizadas por esses dois n´umeros quˆanticos, a saber, n e l,
cujos valores denotaremos por {α
nl
, n = 0, 1, 2, ... e |l| = 0, 1, 2, ...}. Para obter as
energias pr´oprias fazemos
E
nl
= ω
c
α
nl
+
1
2
(l + |l| + 1)
. (4.10)
No limite de campos magn´eticos intensos, ou equivalentemente, (R
0
/l
B
→ ∞) os
zeros da fun¸c˜ao passam a ser n´umeros inteiros (α
nl
→ n) e o espectro de energia
torna-se o mesmo que o de uma part´ıcula em duas dimens˜oes em um campo magn´etico
na ausˆencia do potencial V (r, φ). Por´em, em um caso geral, α
nl
dever´a ser calculado
numericamente. Para o campo magn´etico nulo, os α
nl
podem ser relacionados com
6
As propriedades das fun¸c˜oes hipergeom´etricas podem ser vistas, por exemplo, na Ref. [133]
(Gradshteyn et al.).
4.1. O Sistema - 87 -
0
50
100
150
200
0 5 10 15 20 25
E
nl
B
Fig. 4.1: N´ıveis de energia em fun¸c˜ao do campo magn´etico aplicado para o potencial do bilhar
circular. A figura mostra alguns n´ıveis de energia para n ≤ 3. Para B ≈ 25 o sistema tende a
um oscilador harmˆonico bidimensional e os n´ıveis de energia tendem aos n´ıveis de Landau (linha
pontilhada).
os zeros da fun¸c˜ao de Bessel J
|l|
(x), e os n´ıveis de energia passam a ser duplamente
degenerados, exceto para l = 0.
Ao longo deste cap´ıtulo adotaremos um sistema arbitr´ario de unidades tais
que 2µ = = c = q = R
0
= 1. A Fig. 4.1 mostra os n´ıveis de energia E
nl
de uma
part´ıcula de massa µ em um bilhar circular de raio R
0
. Para campos magn´eticos
intensos, as energias degeneram-se para o caso de um oscilador harmˆonico em que
E
n
′
= ω
c
(n
′
+
1
2
) (curvas pontilhadas na Fig. 4.1), e os n´ıveis de energia degeneram-
se para os denominados n´ıveis de Landau. Para campos magn´eticos mais baixos o
espectro de energia ´e mais complicado. Da Eq. (4.10) vemos que as energias para
valores negativos de l (E
nl
= ω
c
(α
nl
+
1
2
)) s˜ao sempre menores que para os valores
positivos l (E
nl
= ω
c
(α
nl
+ l +
1
2
)), tal que a diferen¸ca de energia ´e de ω
c
|l|.
Devemos salientar que para obtermos α
nl
´e necess´ario encontrar as ra´ızes de
uma fun¸c˜ao hipergeom´etrica confluente, e a partir da´ı, obter as energias pr´oprias. No
entanto, o custo computacional deste procedimento ´e bastante alto. Por raz˜oes que
ficar˜ao mais claras na se¸c˜ao 4.4, ´e interessante encontrar uma maneira de se obter
4.1. O Sistema - 88 -
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
E
nl
B
(0,0)
(0,-1)
(0,-2)
Fig. 4.2: Compara¸c˜ao entre os n´ıveis de energia em fun¸c˜ao do campo magn´etico para o c´alculo exato
(pontilhado) e a curva ajustada (linha cheia). A nota¸c˜ao (n, l) est´a relacionada com os n´umeros
quˆanticos correspondentes.
α
nl
com um custo computacional menor. Isto ´e poss´ıvel atrav´es do ajuste de uma
curva (fitting) para cada energia obtida via Eq. (4.10) (veja a Fig. 4.1). Desta forma,
para cada n e l calculamos a energia E
nl
em fun¸c˜ao do campo magn´etico B, onde
em seguida, ajustamos uma curva definida pelo seguinte polinˆomio
E
nl
= a
(0)
nl
+ a
(1)
nl
B + a
(2)
nl
B
2
+ a
(3)
nl
B
3
, (4.11)
sendo a
(i)
nl
os parˆametros de ajuste da curva. Na pr´atica, calculamos as energias para
n = 0 . . . 29 e l = −10 . . . 10, portanto, para cada parˆametro listado na Eq. (4.11)
temos uma matriz de dimens˜ao (n + 1) × (2|l| + 1) = 30 × 21. A Fig. 4.2 mostra
a compara¸c˜ao entre as curvas ajustadas (curva cheia) gerada pela Eq. (4.11) e as
exatas (pontilhada) gerada pela solu¸c˜ao das Eqs. (4.9) e (4.10). A figura mostra
uma excelente concordˆancia entre os resultados. Os ajustes para os n´umeros quˆanti-
cos mais elevados tamb´em foram verificados e mostraram boa concordˆancia com as
energias calculadas.
A fun¸c˜ao de onda normalizada correspondente `a energia pr´opria E
nl
´e dada
4.1. O Sistema - 89 -
|ψ(r,ϕ)|
2
(a)
n=0 m=0
x
y
|ψ(r,ϕ)|
2
(b)
n=0 l=1
(c)
n=0 l=2
(d)
n=1 l=0
(e)
n=1 l=1
(f)
n=1 l=2
(g)
n=2 l=0
(h)
n=2 l=1
(i)
n=2 l=2
Fig. 4.3: As figuras (a)-(i) mostram o gr´afico de |ψ
nl
(r, φ)|
2
para o bilhar circular para um campo
magn´etico aplicado B = 10, 0. Os n´umeros quˆanticos est˜ao indicados na pr´opria figura.
por
ψ
nl
(r, φ) =
C
nl
−1/2
√
2π
µω
c
1/2
e
ilφ
r
2
2l
B
2
|l|/2
e
−r
2
/4l
B
2
1
F
1
(−α
nl
; 1 + |l|;
r
2
2l
B
2
) , (4.12)
em que a constante de normaliza¸c˜ao C
nl
deve ser calculada numericamente de
C
nl
=
x
0
0
dx e
−x
x
|l|
[
1
F
1
(−α
nl
; 1 + |l|; x)]
2
.
Nas Figs. 4.3 (a)-(i) mostramos os gr´aficos de |ψ
nl
(r, φ)|
2
, isto ´e, da densidade de pro-
babilidade; estas figuras foram geradas diretamente da Eq. (4.12) para os primeiros
valores de n e l. Os gr´aficos para l negativo n˜ao foram mostrados, pois apresentam
exatamente a mesma estrutura do seu correspondente positivo. Isto acontece em de-
corrˆencia de α
nl
= α
n|l|
e da parte angular, que carrega a informa¸c˜ao sobre o sinal de
l, desaparecer quando calculamos a densidade de probabilidade. Como o potencial
4.2. O Pacote de Ondas - 90 -
ao qual a part´ıcula esta sujeita ´e independente do tempo, a parte temporal da fun¸c˜ao
de onda ´e introduzida simplesmente como
7
Ψ
nl
(r, φ; t) = ψ
nl
(r, φ) e
−iE
nl
t/
. (4.13)
4.2 O Pacote de Ondas
Na se¸c˜ao anterior calculamos as energias e as fun¸c˜oes de onda pr´oprias de
uma part´ıcula em um bilhar circular com um campo magn´etico aplicado, ou seja,
para cada n e l encontramos uma solu¸c˜ao caracterizada pelas Eqs. (4.13), (4.12) e
(4.10). No entanto, essas solu¸c˜oes n˜ao representam a solu¸c˜ao mais geral poss´ıvel
da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger. Se Ψ
nl
(r, φ; t) ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial —
para um dado n e l —, ent˜ao, devido a linearidade da equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger, a
superposi¸c˜ao de todas as poss´ıveis solu¸c˜oes tamb´em ser´a uma solu¸c˜ao. Isto pode ser
expresso matematicamente como
|Φ(t) =
n,l
b
nl
|ψ
nl
e
−iE
nl
t/
, (4.14)
sendo b
nl
coeficientes complexos e |Φ(t) o estado quˆantico mais geral poss´ıvel para
a part´ıcula, que denominaremos de pacote de ondas.
Dependendo do n´umero de estados utilizados na constru¸c˜ao do pacote de on-
das, podemos criar um estado quˆantico que inicialmente ´e bem localizado no espa¸co,
mas para isso, precisamos determinar corretamente os coeficientes b
nl
presentes na
Eq. (4.14). Supondo que em t = 0 a part´ıcula seja representada por um pacote de
ondas Gaussiano, centrado em r
0
, ent˜ao a express˜ao para este estado pode ser dada
pela seguinte equa¸c˜ao
8
Φ(r, φ; 0) = Φ(0) =
1
α
√
π
exp
− i
p
0
.(r − r
0
)
−
|r − r
0
|
2
2α
2
. (4.15)
7
Veja a Se¸c˜ao 5 do Cap´ıtulo 3 de Eugen Merzbacher [73].
8
A Eq. (4.15) representa um pacote de ondas normalizado, isto ´e,
R
0
0
2π
0
rdrdφ |Φ(0)|
2
≈ 1.
4.2. O Pacote de Ondas - 91 -
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
0
20
40
60
80
t=0
y
x
|Φ(0)|
2
Fig. 4.4: A figura mostra o pacote de ondas Gaussiano inicial centrado em r
0
= 0. A borda circular
que aparece na figura representa a fronteira do bilhar circular de raio R
0
= 1. Nesta escala podemos
observar claramente um pacote de ondas bem localizado no espa¸co, onde usamos α =
√
2/20.
Na Fig. 4.4 tra¸camos o gr´afico de |Φ(0)|
2
em fun¸c˜ao de r e φ. Nele podemos observar
um pacote de ondas Gaussiano bem localizado centrado em r
0
= 0. No entanto, para
que em t = 0 o pacote de ondas tenha a forma descrita pela Eq. (4.15), os coeficientes
b
nl
devem ser calculados da seguinte express˜ao
b
nl
= ψ
nl
|Φ(0) =
R
0
0
2π
0
rdrdφ ψ
∗
nl
(r, φ)Φ(0) . (4.16)
Substituindo-se as express˜oes (4.12) e (4.15) em (4.16) e resolvendo as integrais,
encontramos uma express˜ao matem´atica para os coeficientes b
nl
.
Por´em, resolver a Eq. (4.16) n˜ao ´e uma tarefa tecnicamente simples. Para
isso, vamos fazer duas considera¸c˜oes: a primeira consiste em fazer, sem perda de
generalidade, p
0
= p
0
ˆ, e a segunda, em admitir que o pacote de ondas esteja loca-
lizado inicialmente no centro do bilhar, isto ´e, em r
0
= 0. A integral angular na
Eq. (4.16) pode ser calculada exatamente como na Eq. (8.411) da Ref. [133]. Com
isso chegamos a seguinte express˜ao
b
nl
=
2C
−1/2
nl
i
l
√
2α
e
−iπl/2
µω
c
1/2
×
R
0
0
dr re
−r
2
/2α
2
r
2
2l
B
2
|l|/2
e
−r
2
/4l
B
2
J
l
(p
0
r/)
1
F
1
(−α
nl
; 1 + |l|;
r
2
2l
B
2
) .
(4.17)
4.2. O Pacote de Ondas - 92 -
Para obter os coeficientes b
nl
precisamos ainda resolver a parte radial da Eq. (4.17).
Esse c´alculo foi realizado numericamente uma vez que n˜ao dispomos de uma solu¸c˜ao
anal´ıtica para a integral. Para a constru¸c˜ao do pacote de ondas Gaussiano mostrado
na Fig. 4.4 utilizamos 30 × 21 = 630 n´ıveis de energia.
Como o pacote de ondas est´a normalizado, devemos ter necessariamente
n,l
|b
nl
|
2
≈ 1 .
Demonstra¸c˜ao
A seguir vamos indicar alguns passos na obten¸c˜ao da express˜ao para b
nl
, isto ´e, vamos
demonstrar como chegar na Eq. (4.17) partindo da Eq. (4.16). Sabendo que r
0
= 0
e p
0
= p
0
ˆ, e tamb´em, escrevendo r = r cos φ ˆı + rsen φ ˆ temos
p
0
.r = (0, p
0
).(r cos φ, rsen φ) = p
0
sen φ r .
Substituindo as express˜oes (4.12) e (4.15) em (4.16) e usando a rela¸c˜ao acima ficamos
b
nl
=
C
nl
−1/2
√
2πα
µω
c
1/2
2π
0
dφ e
−ip
0
sen φ r/
e
ilφ
×
R
0
0
dr re
−r
2
/2α
2
r
2
2l
B
2
|l|/2
e
−r
2
/4l
B
2
1
F
1
(−α
nl
; 1 + |l|;
r
2
2l
B
2
) .
(4.18)
Para o c´alculo da parte angular, podemos usar a rela¸c˜ao
2π
0
dφ e
−ip
0
sen φ r/
e
ilφ
= 2πi
l
J
l
(p
0
r/)e
−iπl/2
obtida da Eq. (8.411) da Ref. [133]. Finalmente substituindo esta rela¸c˜ao em (4.18)
obtemos a express˜ao (4.17), como quer´ıamos demonstrar. A parte radial deve ser
calculada numericamente, uma vez que n˜ao dispomos de uma solu¸c˜ao anal´ıtica.
4.3. As Propriedades do Pacote de Ondas - 93 -
4.3 As Propriedades do Pacote de Ondas
Sabemos que qualquer pacote de ondas pode ser expandido na base norma-
lizada dos estados pr´oprios do bilhar circular com campo magn´etico, e a evolu¸c˜ao
temporal deste pacote ´e obtido atrav´es da Eq. (4.14), representada aqui por
Φ(r, φ; t) =
n,l
b
nl
ψ
nl
(r, φ) e
−iE
nl
t/
. (4.19)
Portanto, uma vez conhecido o estado do sistema em um instante de tempo
9
t
0
, por
meio da Eq. (4.19) podemos determinar o estado do sistema em qualquer instante de
tempo t futuro.
´
E bem conhecido da literatura que para alguns potenciais espec´ıficos
— e aqui podemos incluir o bilhar circular na ausˆencia de campo magn´etico [128] —
o estado do sistema “retorna” `a sua forma inicial, isto ´e, |Φ(t
0
) = |Φ(t
r
) em algum
instante de tempo espec´ıfico t
r
[135–138]. Nesta condi¸c˜ao dizemos que houve uma
reconstru¸c˜ao total do pacote de ondas (revival), e o instante de tempo em que esta
reconstru¸c˜ao ocorre ´e denominado de tempo de reconstru¸c˜ao.
Uma quantidade muito usada para se estudar essas reconstru¸c˜oes ´e a fun¸c˜ao
de autocorrela¸c˜ao. Esta fun¸c˜ao ´e simplesmente a proje¸c˜ao do estado do sistema em
um instante de tempo t sobre o estado inicial, isto ´e,
A(t) = Φ(t)|Φ(0)
=
n,l
b
∗
nl
e
iE
nl
t/
ψ
nl
|
n
′
,l
′
b
n
′
l
′
|ψ
n
′
l
′
=
n,l
|b
nl
|
2
e
iE
nl
t/
. (4.20)
Quando |A(t)|
2
= 1 temos uma reconstru¸c˜ao total do estado inicial em um instante
de tempo t. Isto ´e, o pacote de ondas em t = t
r
retorna exatamente a mesma forma
inicial em t
0
. Observe tamb´em que o termo exp(iE
nl
t/) determina completamente
a estrutura de reconstru¸c˜ao, uma vez que o mesmo ´e respons´avel pelas interferˆencias
entre os diferentes estados pr´oprios do sistema.
9
Na pr´atica fizemos t
0
= 0.
4.3. As Propriedades do Pacote de Ondas - 94 -
Al´em dos fenˆomenos de reconstru¸c˜ao ´e interessante observar tamb´em que o
pacote inicial Gaussiano Φ(0), considerado em nossas an´alises, apresenta a rela¸c˜ao
de incerteza m´ınima, isto ´e, ∆x∆p
x
= ∆y∆p
y
= /2.
Demonstra¸c˜ao
Vamos demonstrar aqui a rela¸c˜ao de incerteza m´ınima para o estado inicial (t = 0),
para isso, vamos separar a Eq. (4.15) em suas componentes x e y.
Φ(0) =
1
α
√
π
e
−ip
0x
(x−x
0
)/
e
−(x−x
0
)
2
/2α
2
Φ
x
(0)
1
α
√
π
e
−ip
0y
(y−y
0
)/
e
−(y−y
0
)
2
/2α
2
Φ
y
(0)
,
onde o valor esperado inicial com rela¸c˜ao a vari´avel x s˜ao dadas por:
x = x
0
, x
2
= x
2
0
+
α
2
2
, ∆x =
α
√
2
,
p
x
= p
0x
, p
2
x
= p
2
0x
+
2
2α
2
, ∆p
x
=
√
2α
,
de tal forma que ∆x∆p
x
= /2. Esses c´alculos podem ser encontrados em livros
de mecˆanica quˆantica, veja por exemplo a p´agina 57 de J. J. Sakurai [139]. Uma
dedu¸c˜ao similar pode ser feita para a vari´avel y.
A energia m´edia do pacote de ondas pode ser calculada atrav´es da equa¸c˜ao
do valor esperado da energia, isto ´e
E = Φ(t)|H|Φ(t)
=
n,l
|b
nl
|
2
E
nl
. (4.21)
Observe que a energia m´edia do pacote de ondas depende do campo magn´etico apli-
cado atrav´es de E
nl
= E
nl
(B).
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 95 -
4.4 A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas
Usando a expans˜ao (4.19), descrita na se¸c˜ao anterior para a constru¸c˜ao do
pacote de ondas, vamos considerar diferentes condi¸c˜oes iniciais para o momento m´e-
dio inicial p
0
da part´ıcula. Com o c´alculo preciso das energias
10
E
nl
, apresentamos
na Fig. 4.5(a) os gr´aficos de |A(t)|
2
em fun¸c˜ao de t/T
0
para B = 0 e para diferentes
valores de p
0
, sendo
T
0
=
2µR
0
2
π
.
Observamos que T
0
´e um tempo caracter´ıstico do sistema, ´util para escalonar nossa
an´alise (para uma discuss˜ao veja a Ref. [128]). Para p
0
= 0, os termos de momento
angular l = 0 s˜ao os que contribuem para a constru¸c˜ao do pacote de ondas, sendo os
tempos de reconstru¸c˜ao dados por
2
π
2
4µR
0
2
T
(l=0)
rev
= 2π ou T
(l=0)
rev
= 4
2µR
0
2
π
≡ 4T
0
.
Os tempos de reconstru¸c˜ao mostrados acima tamb´em foram calculados na Ref. [128]
e os gr´aficos mostrados na Fig. 4.5(a) est˜ao em acordo com os resultados descri-
tos naquela referˆencia. Uma an´alise direta dos gr´aficos apresentados na Fig. 4.5(a)
mostram que quando p
0
aumenta, as reconstru¸c˜oes rapidamente desaparecem. No
entanto, em t = 20T
0
percebemos que a autocorrela¸c˜ao diminui, por´em, mais len-
tamente que para os tempos anteriores. Por´em, vemos que, com a introdu¸c˜ao do
momento m´edio inicial a reconstru¸c˜ao do pacote de ondas tende a ser destru´ıda.
Umas aspecto relevante sobre as reconstru¸c˜oes do pacote de ondas, ´e que o
tempo de reconstru¸c˜ao T
rev
n˜ao ´e alterado com rela¸c˜ao ao estado inicial do sistema.
Portanto, o tempo T
rev
n˜ao depende do momento m´edio inicial p
0
e da posi¸c˜ao do
centro do pacote Gaussiano x
0
. Logo, poder´ıamos utilizar esta propriedade para
estabelecer um contador de tempo. No entanto, o processo de detec¸c˜ao da part´ıcula
no interior do bilhar ´e prejudicado quando p
0
aumenta. A detec¸c˜ao da part´ıcula seria
menos prejudicada com o melhoramento das reconstru¸c˜oes do pacote de ondas no
10
Obtido atrav´es da solu¸c˜ao num´erica das Eqs. (4.10) e (4.17).
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 96 -
p
0
70
60
50
40
30
20
10
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20 25
|A(t)|
2
t/T
0
0
(a)
p
0
70
60
50
40
30
20
10
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20 25
|A(t)|
2
t/T
0
0
(b)
Fig. 4.5: Nas figuras (a) e (b) mostramos os gr´aficos de |A(t)|
2
em fun¸c˜ao de t/T
0
. (a) para B = 0
e (b) para os B’s que maximizam a reconstru¸c˜ao. Os momento m´edios iniciais p
0
est˜ao indicados
ao lado de cada gr´afico e os valores de B ´otimos s˜ao mostrados na Tab. 4.1.
interior do bilhar. Assim, a quest˜ao interessante aqui (e investigada na Ref. [131])
´e a possibilidade de usar campos magn´eticos para recuperar e/ou melhorar estes
processos de reconstru¸c˜ao. Na Ref. [131], os autores demonstraram o melhoramento
do processo de reconstru¸c˜ao atrav´es da aplica¸c˜ao de campos magn´eticos fracos
11
,
isto ´e, para |BΓ|/4 ≪ 1 com Γ = qR
2
0
/(c). Neste cap´ıtulo vamos mostrar como
melhorar — ao menos parcialmente — as reconstru¸c˜oes por meio da aplica¸c˜ao de
campos magn´eticos intensos.
Como primeiro resultado podemos comparar a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao cal-
11
Para os parˆametros adotados neste cap´ıtulo (2µ = = c = q = R
0
= 1), o regime de campos
fracos corresponde a |B| ≪ 4.
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 97 -
culada com B = 0 para diferentes momentos m´edios iniciais (veja a Fig. 4.5(a))
com a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao calculada com a aplica¸c˜ao de um campo magn´etico
´otimo (Fig. 4.5(b)). Os valores ´otimos de B utilizados para o c´alculo de |A(t)|
2
s˜ao mostrados na Tab. 4.1. Os resultados apresentados na Fig. 4.5(a) mostram que
quando o momento m´edio inicial aumenta a reconstru¸c˜ao do pacote de ondas no
centro do bilhar tende a desaparecer. Este fato ´e observado com a diminui¸c˜ao do
pico em t = 20T
0
. No entanto, na Fig. 4.5(b) mostramos a recupera¸c˜ao parcial das
reconstru¸c˜oes por meio da aplica¸c˜ao de um campo magn´etico constante. Esse re-
sultado ´e observado com o aumento do pico em t = 20T
0
para diferentes valores de
p
0
. Devemos enfatizar que, para que o processo de reconstru¸c˜ao seja melhorado, ´e
necess´ario a aplica¸c˜ao de um campo magn´etico com uma intensidade apropriada, tal
que a busca por esses campos ´otimos ´e atribu´ıda `as t´ecnicas de controle. No decorrer
da se¸c˜ao mostraremos como encontrar esses campos ´otimos.
Observe tamb´em que os melhores resultados para o melhoramento das re-
constru¸c˜oes ocorreram para os momentos m´edios mais altos. De fato, para os mo-
mentos m´edios mais baixos n˜ao precisamos aplicar campos intensos para recuperar
as reconstru¸c˜oes, e nessa condi¸c˜ao o m´etodo perturbativo desenvolvido na Ref. [131]
mostra-se apropriado.
Para realizar o processo de busca por um campo de controle ´otimo, ´e con-
veniente, especialmente sob o aspecto computacional, dispor de solu¸c˜oes anal´ıticas
para as energias pr´oprias do problema. Para um regime de campos magn´eticos inten-
sos, conseguimos uma solu¸c˜ao anal´ıtica para as energias e para as fun¸c˜oes pr´oprias
— vejas as Eqs. (4.10) e (4.12). No entanto, essas solu¸c˜oes s˜ao dadas pelas ra´ızes
de uma fun¸c˜ao hipergeom´etrica confluente. Para reduzir custos computacionais no
processo de controle, ajustamos curvas para as energias pr´oprias — veja a Eq. (4.11)
e a Fig. 4.2. Inerente ao pr´oprio processo de ajuste, temos a introdu¸c˜ao de pequenos
erros, que dependem do campo magn´etico B e dos n´umeros quˆanticos n e l cujos va-
lores est˜ao em torno de 1%. Um aspecto importante ´e que esses erros dependem dos
n´umeros quˆanticos, e portanto n˜ao podem ser considerados um fator de fase global
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 98 -
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20
|A(t)|
2
t/T
0
(a)
p
0
=10
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20
|A(t)|
2
t/T
0
(b)
p
0
=60
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20
|A(t)|
2
t/T
0
(c)
p
0
=10
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20
|A(t)|
2
t/T
0
(d)
p
0
=60
Fig. 4.6: Compara¸c˜ao entre as fun¸c˜oes de autocorrela¸c˜ao sem (a) e (b) e com (c) e (d) erros em
torno de 10% nos valores das energias pr´oprias.
na fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao definida pela Eq. (4.20). Desta forma usamos as curvas
ajustadas para as energias E
nl
para achar o campo B ´otimo, mas no c´alculo de A(t)
usamos as energias pr´oprias corretas, isto ´e, calculadas com boa precis˜ao num´erica
12
.
A discuss˜ao acima levanta uma quest˜ao interessante. Suponha que tiv´esse-
mos um m´etodo n˜ao muito preciso para calcular os n´ıveis de energia. Por exemplo,
suponha que no c´alculo de E
nl
, err´assemos em m´edia em 10% nos valores corre-
tos. O quanto esses erros dificultariam nossa previs˜ao de reconstru¸c˜ao dos pacotes?
Para ilustrarmos este problema, na Fig. 4.6 mostramos |A(t)|
2
para o caso do c´al-
culo correto dos E
nl
’s e para o caso em que introduzimos erros aleat´orios nos valores
dos E
nl
’s. Observamos que a introdu¸c˜ao destas “incoerˆencias” (erros nos valores das
energias pr´oprias), diminuem a reconstru¸c˜ao do pacote de ondas.
O campo ´otimo de controle B foi obtido usando-se os as curvas ajustadas
para as energias pr´oprias (Eq. (4.11)). Como os ajustes para as energias apresenta-
ram resultados satisfat´orios, o efeito dos erros sobre o processo de reconstru¸c˜ao n˜ao
12
A precis˜ao num´erica considerada foi de 10
−6
para o c´alculo de α
nl
.
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 99 -
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
|A(t=20T
0
)|
2
B
(b)
p
0
=60
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
|A(t=20T
0
)|
2
B
(a)
p
0
=60
0,0
0,5
1,0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
|A(t=20T
0
)|
2
B
(c)
p
0
=20
Fig. 4.7: Em (a) para p
0
= 60 observamos a influˆencia do campo magn´etico na fun¸c˜ao de autocor-
rela¸c˜ao calculado em t = 20T
0
. (b) Uma amplia¸c˜ao da figura para valores de B entre 1,0 e 8,0. Em
(c) utilizamos p
0
= 20.
foi muito significativo. Ap´os encontrar o campo B que maximiza a reconstru¸c˜ao, apli-
camos este campo no c´alculo da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (4.20). Para este c´alculo
consideramos as energias exatas fornecidas pela solu¸c˜ao num´erica da Eq. (4.10), e
como resultado, obtemos um campo de controle que fornece |A(t = 20T
0
)|
2
muito pr´o-
ximo do valor ´otimo. Para momentos m´edios iniciais baixos (p
0
= 0, 10, 20 e 30), foi
conveniente fazermos ainda alguns ajustes precisos no campo de controle, enquanto
para momentos m´edios mais elevados, as incoerˆencias nas energias mostraram-se
pouco relevantes e nenhum ajuste adicional foi realizado.
Na Fig. 4.7 mostramos a influˆencia do campo magn´etico na reconstru¸c˜ao.
Nas Figs. 4.7(a) e (b) tra¸camos a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao em t = 20T
0
em fun¸c˜ao do
campo magn´etico B para um momento m´edio inicial alto (p
0
= 60). Na Fig. 4.7(c)
fizemos um gr´afico semelhante, mas para p
0
= 20. Nessas figuras calculamos a
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 100 -
autocorrela¸c˜ao com uma precis˜ao de passo em B suficientemente boa
13
, isto ´e, com
passo δB = 10
−3
, e a Fig. 4.7(b) apresenta uma amplia¸c˜ao da Fig. 4.7(a) mostrando
em detalhes os pontos da curva.
Uma an´alise do gr´afico mostra que para p
0
= 60 a autocorrela¸c˜ao, e con-
seq
¨
uentemente a reconstru¸c˜ao do pacote de ondas, atinge um m´aximo em torno de
B ≈ 18 — um regime de campos intensos —, tal que |A(t = 20T
0
)|
2
≈ 0, 82. No
entanto, para momentos m´edios baixos — veja a Fig. 4.7(c) —, observamos que a
reconstru¸c˜ao atinge um estado ´otimo para um campo baixo (B ≈ 2), e al´em disso,
podemos observar nessas circunstˆancias que a aplica¸c˜ao de campos intensos acaba
prejudicando o processo de reconstru¸c˜ao — veja a Fig. 4.7(c) para B > 20. Podemos
fazer uma s´ıntese do melhoramento do processo de reconstru¸c˜ao atrav´es do gr´afico
de |A(t = 20T
0
)|
2
em fun¸c˜ao de p
0
. Isto ´e ilustrado na Fig. 4.8, com os valores
num´ericos listados na Tab. 4.1. Nesta figura, a curva com quadrados mostra o que
ocorre com as reconstru¸c˜oes quando n˜ao interferimos na dinˆamica do pacote de on-
das, isto ´e, para B = 0. J´a a curva com pontos mostra o processo de reconstru¸c˜ao
quando interferimos na dinˆamica atrav´es da aplica¸c˜ao do campo magn´etico ´otimo.
O resultado apresentado neste gr´afico ´e bastante conclusivo em rela¸c˜ao a eficiˆencia
no processo de reconstru¸c˜ao atrav´es de campos magn´eticos externos, especialmente
para momentos m´edios altos, regi˜ao na qual foi poss´ıvel observar a maior eficiˆencia
do controle.
Portanto, o procedimento num´erico para encontrar o campo ´otimo ´e o se-
guinte:
1. Com as curvas ajustadas para as energias calculamos o valor aproximado de B
que otimiza as reconstru¸c˜oes em t = 20T
0
. Com isso, obtemos um gr´afico de
|A(t = 20T
0
)|
2
× B.
2. Uma an´alise direta do gr´afico de |A(t = 20T
0
)|
2
× B fornece um valor aproxi-
mado do campo magn´etico que otimizam as reconstru¸c˜oes. Em outras palavras,
13
O processo de reconstru¸c˜ao n˜ao ´e substancialmente melhorado aumentando-se a precis˜ao.
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 101 -
0,0
0,5
1,0
0 10 20 30 40 50 60 70
|A(t=20T
0
)|
2
p
0
Fig. 4.8: |A(t = 20T
0
)|
2
em fun¸c˜ao de p
0
. Na figura s˜ao mostrados dois casos: (quadrados)
representam o caso em que B = 0; e (c´ırculos) o caso em que B = 0. Os valores dos campos
magn´eticos B que otimizam a reconstru¸c˜ao s˜ao mostrados na Tab. 4.1.
o gr´afico mostra o valor de B
aprox
que fornece o maior valor para |A(t = 20T
0
)|
2
.
3. O valor de B
aprox
encontrado pelo passo anterior ´e utilizado como referˆencia
para uma busca mais precisa do campo. Em seguida calculamos o valor de
B que otimiza as reconstru¸c˜oes para valores exatos das energias. A busca
do campo ´e feita varrendo-se o campo em torno de B = B
aprox
calculado
anteriormente e analisando o valor de B que fornece o maior valor para a
fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao. Esses resultados para o campo ´otimo em fun¸c˜ao do
momento m´edio inicial do pacote de ondas ´e mostrado na Tab. 4.1.
4. Finalmente, com o valor do campo ´otimo, calculamos a fun¸c˜ao de autocor-
rela¸c˜ao atrav´es da Eq. (4.20), para verificar a otimiza¸c˜ao. Esses gr´aficos s˜ao
mostrados na Fig. 4.5(b).
Al´em da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, ´e recomend´avel e muito instrutivo ob-
servar a distribui¸c˜ao espacial do pacote de ondas no interior do bilhar atrav´es da
4.4. A Propaga¸c
˜
ao do Pacote de Ondas - 102 -
p
0
B |A(t = 20T
0
)|
2
B |A(t = 20T
0
)|
2
∆
0 0,0 0,999147 0,000 0,999147 0,0
10 0,0 0,996901 0,998 0,997076 0,000175
20 0,0 0,973142 1,975 0,974117 0,000975
30 0,0 0,900721 7,9303 0,946018 0,045297
40 0,0 0,779432 11,842 0,914278 0,134846
50 0,0 0,609005 14,806 0,869604 0,260599
60 0,0 0,345510 17,770 0,820201 0,474691
70 0,0 0,089367 20,734 0,757244 0,667877
Tab. 4.1: A tabela mostra os valores do campo magn´etico e das autocorrela¸c˜oes para cada momento
p
0
. A ´ultima coluna mostra a diferen¸ca das autocorrela¸c˜oes entre o caso sem campo magn´etico e
com campo aplicado.
fun¸c˜ao densidade de probabilidade
14
[73]. Esta fun¸c˜ao ´e matematicamente definida
por ρ = |Φ(r, φ; t)|
2
e pode ser facilmente calculada atrav´es da Eq. (4.19). Entre
outras coisas, esta grandeza fornece informa¸c˜oes relevantes sobre a “concentra¸c˜ao”
da part´ıcula no interior do bilhar, a qual j´a tivemos a oportunidade de discutir na
Sec. 4.2 e representar especificamente na Fig. 4.4. Do ponto de vista pr´atico, sig-
nifica que podemos observar diretamente do gr´afico as regi˜oes mais prov´aveis de se
encontrar a part´ıcula. Quando uma part´ıcula encontra-se em um estado pr´oprio do
bilhar, isto ´e, |Φ(t) = |ψ
nl
e
−iE
nl
t/
, a grandeza ρ passa a n˜ao apresentar dependˆen-
cia temporal e o estado ´e dito estacion´ario; para este caso espec´ıfico, a grandeza ρ
pode ser vista na Fig. 4.3. Apenas para exemplificar o seu significado, podemos a
partir de uma leitura direta do gr´afico ver que, a part´ıcula ter´a maior probabilidade
de ser encontrada no centro do bilhar se possuir n´umero quˆantico angular nulo
15
.
14
Esta fun¸c˜ao ´e definida como ρ = ψ
∗
ψ = |ψ|
2
, tal que,
ρ d
3
r = 1.
15
Observe que isso n˜ao necessariamente se aplica a um pacote de ondas; pois a part´ıcula pode
estar localizada no centro do bilhar com momento m´edio p
0
= 0 de modo que as contribui¸c˜oes
angulares sejam n˜ao nulas.
4.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 103 -
No entanto, em uma situa¸c˜ao mais geral, onde o estado da part´ıcula ´e des-
crito por um pacote de ondas, a part´ıcula passa a apresentar dinˆamica temporal. Na
Fig. 4.9 mostramos o pacote de ondas livre no instante da reconstru¸c˜ao para dois
valores diferentes de p
0
, a saber, p
0
= 0 na Fig. 4.9 (a) e p
0
= 70 em (b). Para
um momento m´edio inicial alto o pacote de ondas se reconstr´oi parcialmente fora do
centro do bilhar, al´em de apresentar grandes deforma¸c˜oes em rela¸c˜ao `a forma inicial.
Quando aplicamos o campo magn´etico ´otimo conseguimos recuperar parcialmente a
reconstru¸c˜ao no centro do bilhar, al´em de obter uma forma menos distorcida para o
pacote de ondas. Na Fig. 4.10 apresentamos mais resultados para as reconstru¸c˜oes
em t = 20T
0
. As figuras indicadas com letras min´usculas representam o pacote de
ondas livre dentro do bilhar, j´a as figuras com letras mai´usculas mostram os con-
tornos quando um campo ´otimo interage com a part´ıcula — veja a Tab. 4.1. Os
momentos m´edios iniciais s˜ao indicados na pr´opria figura. Os resultados obtidos com
esta figura mostram que para momentos m´edios iniciais baixos — p
0
= 0, 10, 20 e
30 — o pacote de ondas n˜ao ´e substancialmente afetado e n˜ao apresenta grandes
distor¸c˜oes da forma Gaussiana e portanto, a aplica¸c˜ao do campo ´otimo n˜ao altera
significativamente as reconstru¸c˜oes; estas conclus˜oes j´a foram discutidas e compro-
vadas na Fig. 4.8. No entanto, para momentos m´edios iniciais grandes, isto ´e, para
p
0
superior a 30, o pacote de ondas fica menos distorcido quando aplicamos o campo
magn´etico ´otimo e o resultado ´e um melhoramento das reconstru¸c˜oes no centro do
bilhar.
4.5 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo
Em conclus˜ao, estudamos os n´ıveis de energia e os estados quˆanticos de
uma part´ıcula em um bilhar circular com paredes r´ıgidas na presen¸ca de um campo
magn´etico externo. Vimos que para campos magn´eticos intensos o sistema tende ao
caso do oscilador harmˆonico bidimensional (apresentando os n´ıveis de Landau). A
partir disto analisamos como se d´a a evolu¸c˜ao de um pacote Gaussiano no sistema,
4.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 104 -
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0
20
40
60
|Φ(t=20T
0
)|
2
(a)
x
y
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0
30
60
90
120
|Φ(t=20T
0
)|
2
(b)
x
y
Fig. 4.9: Gr´afico de |Φ(r, t = 20T
0
)|
2
para (a) p
0
= 0 e (b) p
0
= 70. Em ambas figuras o pacote
de ondas representa uma part´ıcula livre dentro do bilhar (B = 0). Na parte inferior mostramos
tamb´em os gr´aficos de contorno do pacote de ondas.
discutindo sua dinˆamica de reconstru¸c˜ao.
Discutimos tamb´em uma t´ecnica de controle que utiliza campos magn´eticos
intensos para promover o melhoramento dos processos de reconstru¸c˜oes do pacote
de ondas. O foco de nossas investiga¸c˜oes foi a escala de tempo de revival T
rev
. Dos
resultados obtidos nos gr´aficos de |A(t)|
2
podemos observar que, para valores baixos
de p
0
as escalas de tempo curtas s˜ao pouco alteradas pela presen¸ca do campo. Em
outras palavras, a trajet´oria cl´assica da part´ıcula ´e pouco alterada pela presen¸ca
do campo externo. Uma outra situa¸c˜ao particularmente importante ´e que as re-
constru¸c˜oes ocorrem usualmente em sistemas integr´aveis [140]. Portanto, a presente
abordagem n˜ao pode ser aplicada para qualquer tipo de bilhar. De fato, esta abor-
dagem provavelmente n˜ao funcionaria, por exemplo, em um bilhar retangular porque
a presen¸ca do campo tornaria o sistema n˜ao integr´avel [141, 142].
Observamos tamb´em que o processo de reconstru¸c˜ao ´e mais sens´ıvel aos erros
nos c´alculos das energias pr´oprias para momentos m´edios iniciais baixos. Vimos que
o termo de energia ´e o maior respons´avel pelos efeitos de interferˆencia e conseq
¨
uente-
mente pela estrutura de reconstru¸c˜ao. Quando usamos os ajustes de curvas para as
4.5. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 105 -
(a) (A)
x
y
(b)
p
0
=10
(c)
p
0
=20
(d)
p
0
=30
(B) (C) (D)
(e)
p
0
=40
(f)
p
0
=50
(g)
p
0
=60
(h)
p
0
=70
(E) (F) (G) (H)
Fig. 4.10: Esta figura mostra os gr´aficos de contorno de |Φ(r, t = 20T
0
)|
2
. Em (a) at´e (h) mostramos
os contornos quando B = 0, e em (A) at´e (H) mostramos os contornos quando B assume seu valor
´otimo. Os valores de B est˜ao listados na Tab. 4.1.
energias (Eq. (4.11)) para obter os B’, nos casos de momentos baixos, pequenos ajus-
tes foram feitos para finalmente se chegar no B ´otimo de controle. Vimos tamb´em
que o melhoramento do processo de reconstru¸c˜ao est´a relacionada com o momento
m´edio inicial do pacote de ondas. Para valores grandes de p
0
conseguimos obter um
campo B ´otimo que melhorou significativamente o processo de reconstru¸c˜ao; j´a para
momentos baixos a aplica¸c˜ao de campos intensos n˜ao se mostrou muito eficiente,
ao contr´ario, em alguns casos a aplica¸c˜ao de campo intenso se mostrou at´e mesmo
prejudicial para o processo de reconstru¸c˜ao.
5
Controle de Transmiss
˜
ao de
Pacotes de Ondas Atrav
´
es de
Potenciais de Contato
Dependentes do Tempo
Neste cap´ıtulo consideramos uma aplica¸c˜ao direta da t´ecnica de extens˜ao
auto-adjunta de operadores para resolver o problema de intera¸c˜ao de
contato pontual dependente do tempo. Trataremos dos casos de uma
parede infinita com diferentes condi¸c˜oes de contorno e intera¸c˜oes pontuais
movendo-se com velocidade constante. Desses c´alculos obteremos uma
express˜ao geral que descreve o espalhamento de um pacote de ondas por
tais potenciais. Ao longo deste cap´ıtulo apontaremos algumas aplica¸c˜oes
f´ısicas simples ligadas ao uso dos potenciais para “manipular” pacotes de
ondas.
Muitos fenˆomenos quˆanticos interessantes s˜ao modelados por potenciais ex-
tremamente localizados no espa¸co [143]. Como exemplos representativos citamos:
1. Paredes r´ıgidas, comumente empregadas na descri¸c˜ao de confinamento ou re-
106
- 107 -
flex˜ao perfeita em pontos extremos — veja por exemplo a Ref. [144];
2. Intera¸c˜oes pontuais (com a fun¸c˜ao delta de Dirac sendo a mais usual), que
s˜ao idealiza¸c˜oes de potenciais de curto alcance e bastante ´uteis no estudo de
diferentes problemas, como por exemplo, em grafos quˆanticos [145–147].
Apesar de potenciais pontuais
1
, como por exemplo, a fun¸c˜ao delta de Dirac,
serem idealiza¸c˜oes, alguns trabalhos j´a prop˜oem sua implementa¸c˜ao em laborat´orio,
atrav´es de potenciais de curto alcance [143]. O interesse est´a justamente na riqueza
de como essas intera¸c˜oes de contato espalham o pacote de ondas [148]. Al´em disso,
se estes potenciais se movessem (com velocidade constante) poder´ıamos controlar
diferentes aspectos, tais como, o momento m´edio do pacote transmitido.
Assim, seguindo nossa linha, desenvolvemos um m´etodo param´etrico para
o controle de sistemas quˆanticos. Aqui vamos estudar intera¸c˜oes pontuais que se
movem, como uma proposta de se fazer uma “engenharia” de pacotes de ondas.
A id´eia principal n˜ao ´e desenvolvermos um m´etodo realista para ser implementado
diretamente. Mas sim, criar um modelo ´util no teste de novos m´etodos de controle de
evolu¸c˜ao de estados quˆanticos [12,45]. Notamos ainda que existem poucos trabalhos
nesta linha. Para intera¸c˜oes pontuais podemos mencionar alguns c´alculos para o
caso relativ´ıstico [149] e alguns resultados para difus˜ao em 3D [150]. Nossas an´alises
ser˜ao restritas ao caso unidimensional.
Por ´ultimo, mencionamos que os c´alculos desenvolvidos aqui apresentam
um interesse formal matem´atico. De fato, devido `as singularidades das intera¸c˜oes
de contato, em geral, n˜ao podemos tratar o potencial V (x, t) como um potencial
concreto, diretamente escrito na equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger. Ao inv´es disso, s˜ao in-
corporados na formula¸c˜ao matem´atica do problema atrav´es da t´ecnica de extens˜ao
auto-adjunta
2
[152], por meio de imposi¸c˜oes nas condi¸c˜oes de contorno da fun¸c˜ao de
1
Tamb´em denominado potenciais de contato.
2
Suponha A um operador definido no espa¸co de Hilbert H . A ´e sim´etrico ou hermiteano se
ϕ|A
∗
|ψ = ψ|A|ϕ. Note que isto n˜ao implica necessariamente que A = A
†
. Por´em se A = A
†
5.1. Potenciais em Movimento - 108 -
onda (veja a Sec. 5.1).
5.1 Potenciais em Movimento
5.1.1 Barreira de Potencial Infinita
Vamos iniciar nossa discuss˜ao com um exemplo bastante instrutivo e peda-
g´ogico: uma part´ıcula livre (quˆantica) interagindo com uma barreira de potencial
infinita. Se a barreira est´a localizada em x = 0 e a part´ıcula est´a localizada no lado
direito da barreira, ent˜ao a fun¸c˜ao de onda para o sistema independente do tempo ´e
obtida de
H
0
(x)ϕ(x) =
1
2
k
2
ϕ(x) para (x > 0) com H
0
(x) = −
2
2µ
∂
2
∂x
2
.
Neste cap´ıtulo admitiremos um sistema arbitr´ario de unidades nas quais utilizaremos
= µ = 1. Este Hamiltoniano, definido sobre fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis,
as quais s˜ao nulas fora do intervalo (0, ∞), n˜ao ´e a priori, auto-adjunto em L
2
[0, ∞).
Em geral, em livros textos assume-se que a fun¸c˜ao de onda se anula no potencial,
ou seja, ψ(x = 0) = 0. Logo, a solu¸c˜ao ´e: ψ(x) = N
−1/2
sen (kx). Por´em, esta n˜ao
´e a solu¸c˜ao mais geral poss´ıvel. Na verdade, o problema admite classes de solu¸c˜oes
obtidas impondo-se `a ϕ a condi¸c˜ao de contorno [153]
∂ϕ(x)
∂x
x=0
= λϕ(x)|
x=0
com (−∞ < λ ≤ +∞) .
Na linguagem de f´ısica matem´atica, o novo parˆametro λ introduzido no sistema, ca-
racteriza o procedimento conhecido como extens˜ao auto-adjunta do operador H
0
. Em
outras palavras, significa definir condi¸c˜oes de contorno para o problema que garan-
tam as condi¸c˜oes normalmente exigidas em mecˆanica quˆantica, ou seja, conserva¸c˜ao
do fluxo de probabilidades. A solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao diferencial ´e
ϕ
k
(x) = N
−1/2
{e
−ikx
+ f(k)e
+ikx
} ,
ent˜ao dizemos que A e auto-adjunto [151].
5.1. Potenciais em Movimento - 109 -
tal que a condi¸c˜ao de contorno conduz a
f(k) =
λ + ik
−λ + ik
. (5.1)
Observe que |f(k)|
2
= 1, como deve ser pela condi¸c˜ao de conserva¸c˜ao de
probabilidades. A constante de normaliza¸c˜ao vem de
∞
0
dx ϕ
k
′′
∗
(x)ϕ
k
′
(x) = δ(k
′′
− k
′
) ou N = (1 + |f(k)|
2
)π = 2π .
A barreira de potencial r´ıgida usual, para a qual a fun¸c˜ao de onda ´e nula sobre a
barreira, corresponde na formula¸c˜ao acima a fazer λ = +∞.
Uma barreira com a condi¸c˜ao de contorno de Dirichlet movendo-se com
velocidade constante u foi resolvida na Ref. [154]. Ent˜ao, a pergunta natural ´e como
construir apropriadamente uma extens˜ao auto-adjunta, para um valor arbitr´ario de
λ, para o caso em movimento. A primeira tentativa ´e apenas estender o procedimento
pr´evio para a fun¸c˜ao de onda dependente do tempo e escrever
i
∂ψ(x, t)
∂t
= H
0
ψ(x, t) para (x > ut) ,
impondo que
∂ψ(x, t)
∂x
x=ut
= λψ(x, t)|
x=ut
.
O que resulta em
ψ
k
(x, t) = e
iγ(x,t)
e
−i(k
2
/2)t
ϕ
k
(x − ut) , (5.2)
γ(x, t) = ux − u
2
t/2 ,
ϕ
k
(x − ut) = N
−1/2
u
{e
−ik(x−ut)
+ f
u
(k)e
+ik(x−ut)
} , (5.3)
para
f
u
(k) =
λ + i(k − u)
−λ + i(k + u)
e N
u
= (1 + |f
u
(k)|
2
) . (5.4)
O termo γ(x, t) e o argumento x − ut de ϕ, est˜ao diretamente associados com as
transforma¸c˜oes de Galileu usadas para resolver problemas de potencial da forma
V (x − ut), veja por exemplo, a Ref. [155]. Da express˜ao (5.4) para a amplitude
5.1. Potenciais em Movimento - 110 -
de espalhamento podemos observar que |f
u
(k)|
2
´e igual a 1 somente para u = 0 ou
λ = +∞. Isso n˜ao ´e aceit´avel se quisermos conservar o fluxo para qualquer u e λ.
A forma de se corrigir isto ´e atrav´es da equa¸c˜ao da continuidade em mecˆanica
quˆantica, isto ´e,
∂J
∂x
+
∂ρ
∂t
= 0 ,
com ρ = ψ
∗
(x, t)ψ(x, t) e J = 1/(2i)[ψ
∗
(x, t)∂ψ(x, t)/∂x −ψ(x, t)∂ψ
∗
(x, t)/∂x]. Ad-
mitindo ϕ
k
(x −ut) uma fun¸c˜ao arbitr´aria, a substitui¸c˜ao da Eq. (5.2) na equa¸c˜ao da
continuidade resulta em
∂J
ϕ
/∂x = 0 ,
para J
ϕ
= 1/(2i)[ϕ
∗
∂ϕ/∂x − ϕ∂ϕ
∗
/∂x] para qualquer x. Em outras palavras, a
conserva¸c˜ao da densidade de corrente ´e completamente determinada por ϕ. Quando
aplicamos a t´ecnica de extens˜ao auto-adjunta para o operador Hamiltoniano [152],
estamos de fato assegurando a conserva¸c˜ao da densidade de corrente [156] (para
explica¸c˜oes mais detalhadas sobre esse ponto veja por exemplo a Ref. [157, 158]).
Deste modo, uma poss´ıvel maneira — mas n˜ao a ´unica, como exemplificaremos mais
tarde — para considerar uma condi¸c˜ao de contorno mais geral, consistente com a
conserva¸c˜ao de probabilidade para uma barreira em movimento, ´e seguir o mesmo
procedimento da Ref. [153], em que precisamos tomar a condi¸c˜ao de contorno para ϕ
ao inv´es da fun¸c˜ao de onda total ψ, isto ´e, impomos que ∂ϕ(x−ut)/∂x|
x=ut
= λϕ(x−
ut)|
x=ut
. Fazendo isso, veremos que a Eq. (5.2) ainda ser´a a solu¸c˜ao correta para ψ,
onde ϕ ´e dado pela Eq. (5.3), mas agora com f
u
(k) substitu´ıdo por f(k). Desta
forma temos a solu¸c˜ao correta do problema, com uma amplitude de espalhamento
f(k) que tem as propriedades corretas para o problema.
5.1.2 Intera¸c
˜
ao Pontual Geral
Uma das intera¸c˜oes de contato mais conhecidas em mecˆanica quˆantica ´e a
fun¸c˜ao δ. Se esta barreira est´a localizada na origem, o Hamiltoniano correspondente
pode ser escrito como H(x) = H
0
(x)+λδ(x), com (−∞ < x < +∞). Obter a solu¸c˜ao
5.1. Potenciais em Movimento - 111 -
de Schr
¨
odinger para H ´e equivalente a obter ϕ(x) que satisfaz a rela¸c˜ao H
0
(x)ϕ(x) =
1
2
k
2
ϕ(x) em uma dimens˜ao, restrito `as condi¸c˜oes de contorno ϕ(0
+
) = ϕ(0
−
) = ϕ(0)
e ϕ
′
(0
+
) − ϕ
′
(0
−
) = 2λϕ(0) [ϕ
′
(x) ≡ dϕ(x)/dx].
Similarmente, diferentes tipos de intera¸c˜ao de contato — que s˜ao gene-
raliza¸c˜oes do potencial δ — podem ser pensados como formalmente definidos por
H(x) = H
0
(x)+ Ξ(x). A dificuldade ´e que, em geral, n˜ao existe uma forma funcional
para para Ξ(x) (veja por exemplo a discuss˜ao detalhada em [159]). Uma maneira
de contornar o problema ´e pensar que o potencial geral Ξ(x) pode ser descrito como
uma condi¸c˜ao de contorno apropriada, que deve ser imposta `a fun¸c˜ao de onda no
ponto de atua¸c˜ao de Ξ(x). Desta forma, similarmente ao caso da δ, consideramos
ϕ(0
+
)
ϕ
′
(0
+
)
= ω
a b
c d
ϕ(0
−
)
ϕ
′
(0
−
)
(5.5)
sendo a, b, c, e d n´umeros reais tais que ad − bc = 1 e |ω| = 1. Esta ´e a situa¸c˜ao
mais geral consistente com a conserva¸c˜ao do fluxo [160]. Particularizando os valores
dos parˆametros, temos diferentes tipos de intera¸c˜ao. Por exemplo, se a = d = ω = 1
ent˜ao os potenciais
3
δ e δ
′
s˜ao obtidos, respectivamente de b = 0, c = 2λ e de c = 0,
b = 2λ.
A solu¸c˜ao de espalhamento para a condi¸c˜ao geral descrita pela Eq. (5.5),
representada por uma onda plana de n´umero de onda k e incidˆencia da esquerda (+)
ou da direita (−), ´e escrita como [159].
ϕ
(±)
(x) =
1
√
2π
e
±ikx
+ R
(±)
e
∓ikx
(x ≶ 0)
T
(±)
e
±ikx
(x ≷ 0)
, (5.6)
onde as amplitudes quˆanticas s˜ao dadas por
R
(±)
=
c ± ik(d − a) + bk
2
−c + ik(d + a) + bk
2
, T
(±)
=
2ikω
±1
−c + ik(d + a) + bk
2
. (5.7)
3
Devemos enfatizar que a fun¸c˜ao δ
′
´e apenas uma nota¸c˜ao para um tipo de potencial de contato,
e n˜ao, a derivada da fun¸c˜ao delta de Dirac.
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 112 -
Agora, para resolver a intera¸c˜ao de contato mais geral movendo-se com ve-
locidade constante u, precisamos simplesmente seguir nossa descri¸c˜ao pr´evia feita
para a parede infinita. Deste modo, a fun¸c˜ao de onda exata dependente do tempo
ψ
(±)
k
(x, t) para o problema ´e escrita como na Eq. (5.2), onde ϕ
(±)
k
´e dado pela Eq. (5.6)
com x substitu´ıdo por x − ut.
5.2 Espalhamento do Pacote de Ondas
A evolu¸c˜ao temporal de um estado inicial Ψ(x, t
0
) ´e dada por
Ψ(x, t) =
dx
0
K
u
(x, t; x
0
, t
0
)Ψ(x
0
, t
0
) ,
sendo K
u
o propagador quˆantico. Para o caso de potenciais escritos como V (x −
ut), ou seja, movendo-se com velocidade constante, uma esp´ecie de transforma¸c˜ao
de Galileu conduz a uma solu¸c˜ao exata para o propagador; caso seja conhecido o
propagador exato para V (x). Ent˜ao os K
u
’s correspondentes s˜ao [155] (para y ≡
x − ut)
K
u
(x, t; x
0
, t
0
) = e
i[γ(x,t)−γ(x
0
,t
0
)]
K(y, t; y
0
, t
0
) , (5.8)
onde K(y, t; y
0
, t
0
) ´e o propagador no referencial de movimento y, para o qual o
potencial ´e V (y).
Para uma barreira de potencial infinita fixa com condi¸c˜ao de contorno mais
geral, o propagador exato foi calculado na Ref. [153], ou (T = t − t
0
)
K
wall
(y, t; y
0
, t
0
) = K
0
(y − y
0
) + K
0
(y + y
0
) + 2K
int
(y + y
0
, λ) . (5.9)
O propagador exato para a intera¸c˜ao pontual mais geral poss´ıvel (5.5) foi
obtido na Ref. [161]. Existem muitas express˜oes diferentes, dependendo dos valores
dos parˆametros na Eq. (5.5). Por exemplo, para os casos dos potenciais δ e δ
′
[161–
164] encontramos as seguintes express˜oes exatas para o propagador (s = sign(y) e
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 113 -
s
0
= sign(y
0
))
K
δ
(y, t; y
0
, t
0
) = K
0
(y − y
0
) + K
int
(|y| + |y
0
|, λ) (5.10)
K
δ
′
(y, t; y
0
, t
0
) = K
0
(y − y
0
) + ss
0
K
0
(|y| + |y
0
|) + ss
0
K
int
(|y| + |y
0
|, 1/λ) .
Em todas as express˜oes citadas anteriormente escrevemos
K
0
(v) =
1
√
2πiT
exp[
i
2T
v
2
] e
K
int
(v, ν) = −
ν
2
exp[
iT
2
ν
2
+ ν v] erfc[
iT
2
ν +
1
√
2iT
v] . (5.11)
Para discutir o espalhamento do pacote de ondas, vamos fazer t
0
= 0 e
escrever Ψ(x
0
, 0) =
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) exp[ikx
0
]. Note que o momento m´edio do estado
inicial ´e simplesmente p =
+∞
−∞
dk k |g(k)|
2
≡ k
0
. Para o caso Gaussiano g(k) =
2∆/
√
2π exp[−∆
2
(k − k
0
)
2
− i(k −k
0
)x] no qual obtemos
Ψ(x
0
, 0) =
1
(2π)
1/2
∆
exp
ik
0
x
0
−
(x
0
−
x)
2
4∆
2
. (5.12)
Considerando agora o pacote de ondas geral, um potencial que se move com veloci-
dade constante u, e a f´ormula exata do propagador, a fun¸c˜ao de onda pode ser escrita
como
Ψ(x, t) =
1
√
2π
e
iγ(x,t)
dx
0
K(x − ut, t; x
0
, 0)
+∞
−∞
dk g(k)e
i(k−u)x
0
. (5.13)
Dessa express˜ao podemos observar que o termo γ(x, t) n˜ao contribui para |Ψ|
2
.
´
E
interessante notar tamb´em que se considerarmos u = 0 e u = 0, vemos que |Ψ(x −
ut, t)|
2
para a barreira fixa. Logo temos a associa¸c˜ao g
mov.
(k + u) = g
fix.
(k). Em
particular, se g = g(k−k
0
) — como por exemplo, para um pacote de ondas Gaussiano
—, ent˜ao a distribui¸c˜ao dos momentos de um estado inicial ter´a a mesma forma
funcional Gaussiana, mas com k
0,mov.
= k
0,fix.
+ u. Isto mostra ent˜ao que controlar a
velocidade u do potencial ´e uma forma de controlar o momento m´edio de um pacote
de ondas transmitido pelo potencial.
O fato acima pode ser relevante para analisar certos fenˆomenos em f´ısica
atˆomica [165] ou at´e mesmo para a cria¸c˜ao de dispositivos em estado s´olido [166–168],
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 114 -
para a transmiss˜ao de part´ıculas atrav´es de barreiras de potencial extremamente
estreitas [165, 169–171]. Por exemplo, em condi¸c˜oes de laborat´orio pode-se n˜ao ter
controle sobre o estado quˆantico inicial, mas pode-se querer um pacote de ondas com
um determinado k
0
ap´os tunelar uma barreira. Ent˜ao, mudando a velocidade da
barreira de potencial poder´ıamos ajustar o momento m´edio relativo das componentes
transmitidas, e assim, obtermos um “filtro” regulador do momento m´edio do pacote
que posteriormente ser´a usado para algum fim espec´ıfico. Desta forma, potenciais
em movimento podem ser ´uteis at´e mesmo para configurar (estabelecer) um estado
inicial. Como discutido acima, sob certas condi¸c˜oes o pacote de ondas transmitido
para u > 0 tem a mesma forma espacial que para um caso fixo, no entanto com um
aumento do momento m´edio. Desse modo, se por alguma raz˜ao precisarmos de um
pacote de onda transmitido de uma dada forma (configura¸c˜ao), mas gostar´ıamos que
o mesmo fosse mais “r´apido”, ent˜ao um potencial de curto alcance em movimento
faria este trabalho.
Este efeito pode ser observado, por exemplo, nos espelhos de for¸ca atˆomica
— veja, por exemplo, a Ref. [172] —, no qual o efeito do espalhamento do pacote
de ondas por uma parede de potencial muda o momento m´edio do pacote de ondas
transmitido. Al´em disso, diferentes condi¸c˜oes de contorno de um potencial de con-
tato podem resultar em uma intera¸c˜ao mais forte. Ent˜ao, o efeito de for¸ca atˆomica
mencionado poderia ser aumentado quando o pacote de ondas ´e espalhado para fora
de uma barreira singular em movimento. Tal efeito pode servir como uma aplica¸c˜ao
interessante para o presente potencial.
Na pr´oxima se¸c˜ao discutiremos o espalhamento do pacote de ondas consi-
derando alguns exemplos num´ericos simples. Para isso, admitiremos um pacote de
ondas Gaussiano, Eq. (5.12), e resolveremos a integral numericamente sobre x
0
na
Eq. (5.13). Em todos os casos usamos ∆ = 0, 2 e deste modo os estados iniciais s˜ao
sempre bem localizados em torno de
x.
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 115 -
0
5
10
15
0
0,5
1
1,5
2
-22,5 -15 -7,5
0
7,5
0
0,05
0,1
0,15
t=0
k
2
|g(k)|
k =-12
0
k =-2
0
|Ψ|
2
x
Fig. 5.1: O pacote de ondas Gaussiano considerado no espalhamento por uma barreira infinita. O
gr´afico inserido mostra a distribui¸c˜ao de momento desse pacote para dois valores de k
0
.
5.2.1 Caso da Barreira de Potencial Infinita
Nesta subse¸c˜ao estudaremos somente a influˆencia da condi¸c˜ao de contorno
sobre o comportamento da part´ıcula, na qual discutiremos apenas o caso de u = 0.
Na Fig. 5.1 mostramos |ψ(x
0
, 0)|
2
, na qual usamos x = 12 e dois valores de momento
m´edio: k
0
= −12 e k
0
= −2. Deste modo, o centro do pacote de ondas inicial
ser´a sempre direcionado para a esquerda. Na figura inserida na Fig. 5.1 mostramos
|g(k)|
2
para os dois valores de k
0
indicados acima. Para k
0
= −12 o estado inicial
praticamente n˜ao tem componentes com k > −5, enquanto para k
0
= −2 o pacote
de ondas inicial tem uma contribui¸c˜ao consider´avel de ondas planas cujos valores de
k s˜ao maiores que 0, logo, se deslocam para a direita.
Na Fig. 5.2 mostramos a propaga¸c˜ao num´erica exata do pacote de ondas
para k
0
= −12, o parˆametro da condi¸c˜ao de contorno λ = 12, e t = 1 — que ´e o
tempo necess´ario para o centro do estado inicial atingir a barreira. Para esses valores
de parˆametros na Eq. (5.1) temos que f (k
0
) = i. Ent˜ao, a principal componente do
pacote de ondas adquire uma fase π/2 na colis˜ao com a parede. Na figura inserida
na Fig. 5.2 comparamos, para t = 1, o caso onde λ = 12 com a usual condi¸c˜ao de
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 116 -
0 4 8 12
0
0,2
0,4
0,6
0
0,5
1
1,5
2
0
0,2
0,4
0,6
|Ψ|
2
t=1
λ=12
k =-12
0
x
Fig. 5.2: Evolu¸c˜ao temporal de um pacote de Gaussiano da Fig. 5.1 para os parˆametros indicados.
No gr´afico inserido comparamos o caso de λ = 12 com os casos de Dirichlet (pontilhado) e Neumann
(tracejado).
Dirichlet (λ = +∞) e a condi¸c˜ao de contorno de Neumann (λ = 0). Podemos ver
claramente as diferen¸cas apresentadas nas fases.
Na Fig. 5.3 mostramos os casos de λ = 12, de Dirichlet e Neumann para os
parˆametros da Fig. 5.2 por´em para t = 10. Para compara¸c˜oes tamb´em mostramos a
propaga¸c˜ao do pacote de ondas Gaussiano livre (sem barreira) centrado em
x = −12
e com k
0
= +12 — ou seja, uma “imagem especular” do estado inicial. Em uma vis˜ao
geral todos os casos s˜ao muito similares. Os trˆes pacotes de ondas est˜ao viajando
para a direita com praticamente o mesmo momento m´edio k
0,scat.
= +12 — o mesmo
ocorre para tempos longos. No entanto, uma amplia¸c˜ao pr´oxima da parede (figura
inserida) revela que em torno de x = 0 eles diferem um do outro devido `as diferentes
condi¸c˜oes de contorno.
Na Fig. 5.4 mostramos |ψ(x, t = 200)|
2
para λ = 2 e k
0
= −2 e tamb´em
para a evolu¸c˜ao livre da correspondente imagem especular do pacote de ondas inicial.
Note que para esses valores de parˆametros encontramos novamente f(k
0
) = i. Al´em
disso, o tempo necess´ario para o centro do estado inicial atingir a parede ´e agora
t = 6. O comportamento oscilat´orio ´e observado at´e mesmo para o tempo longo de
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 117 -
0
125 250 375 500
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0
0,5
1
1,5
2
0
2×10
-6
4×10
-6
6×10
-6
k =-12
0
t=10
λ=12
|Ψ|
2
x
Fig. 5.3: Para a mesma situa¸c˜ao descrita na Fig. 5.2, mas com t = 10. Na figura comparamos
os casos para λ = 12 (s´olido), Dirichlet (pontilhado), Neumann (tracejado) e a propaga¸c˜ao livre
(tra¸co-pontilhado). Visualmente n˜ao podemos distinguir entre os diferentes casos. Na figura inserida
mostramos uma amplia¸c˜ao em torno da parede.
t = 200, que est´a simplesmente relacionado com o fato de no caso k
0
= −2 o pacote
de onda inicial ter uma contribui¸c˜ao importante de pequenas componentes de |k|.
De fato, as oscila¸c˜oes resultam da interferˆencia entre as componentes do pacote que
ainda est˜ao chegando com aquelas de j´a foram espalhadas pela barreira. Finalmente,
na figura inserida na Fig. 5.4 comparamos o caso de λ = 2 com as correspondentes
condi¸c˜oes de contorno de Dirichlet e Neumann.
5.2.2 Caso de Intera¸c
˜
oes Pontuais
O problema de part´ıculas espalhadas por uma intera¸c˜ao de contato geral em
1D exibem muitos fenˆomenos inesperados. S˜ao encontrados exemplos em: intera¸c˜ao
de muitos corpos [173]; dualidade f´ermions-b´osons [174]; jun¸c˜oes Josephson [175]; re-
constru¸c˜oes quˆanticas [169]; etc. Tal riqueza pode ser explicada pela dependˆencia da
amplitude de reflex˜ao e de transmiss˜ao com os parˆametros a, b, c e d destes potenciais
— veja a Eq. (5.7). Aqui, estamos adicionando um novo ingrediente no problema; o
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 118 -
|Ψ|
2
0
550
1100
1650
2200
0
0,001
0,002
0,003
0 100 200 300 400
0
0,001
0,002
t=200
λ=2
k =-2
0
x
Fig. 5.4: Evolu¸c˜ao temporal do pacote Gaussiano mostrado na Fig. 5.1 para os parˆametros indicados.
Para compara¸c˜ao, ´e tamb´em mostrado a imagem especular da evolu¸c˜ao livre do pacote de ondas
inicial (tra¸co-pontilhada). Na figura inserida comparamos os casos de λ = 2 com os correspondentes
casos de Dirichlet (pontilhado) e Neumann (tracejado).
deslocamento da barreira.
Vamos considerar como primeiro caso particular uma intera¸c˜ao do tipo δ,
para a qual T
(δ)
= ik/(−λ + ik) e R
(δ)
= λ/(−λ + ik). Apesar de ser o ponto de
intera¸c˜ao mais simples, an´alises de espalhamento do pacote de ondas para o potencial
δ para barreiras fixas s˜ao escassas [176, 177]. Para o caso em movimento, existem
alguns resultados [171, 178, 179], mas nestes exemplos o problema do espalhamento
n˜ao foi tratado.
Vamos admitir uma intera¸c˜ao tipo fun¸c˜ao δ cujo λ = 12, localizada na
origem em t = 0. Para o pacote Gaussiano inicial consideramos x = 12, ∆ =
0, 2, e k
0
= 12. Ent˜ao ambos, o pacote de ondas e sua distribui¸c˜ao de momentos
g(k), s˜ao apenas imagens especulares dos gr´aficos tra¸cados na Fig. 5.1. Mostramos,
respectivamente, nas Figs. 5.5 e 5.6, o espalhamento do pacote de ondas para o caso
do potencial δ fixo (u = 0) e em movimento (u = 4). Na Fig. 5.5 observamos que
ap´os um tempo suficientemente longo o pacote inicial ´e separado em dois pacotes
Gaussianos propagando-se em dire¸c˜oes opostas. Integrando-se o quadrado do pacote
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 119 -
-12 -9
-6
-3 0
0
0,12
0,24
0,36
-20 -10 0 10 20
0
0,125
0,25
0,375
0,5
-20 -10 0 10 20
0
0,04
0,08
0,12
-100
-50
0
50
100
0
0,01
0,02
0,03
0,04
t=0,5
t=1,5
t=1,0
t=5,0
|Ψ|
2
x
Fig. 5.5: Evolu¸c˜ao temporal do pacote de ondas Gaussiano em diferentes instantes de tempos para
um potencial δ fixo (u = 0), λ = 12 e
x = −12. Por compara¸c˜ao, mostramos em linhas pontilhadas
a evolu¸c˜ao temporal do mesmo pacote de ondas inicial para o caso livre (sem barreira).
de onda refletido e transmitido em suas respectivas regi˜oes, o resultado ´e 49%-51%.
Essa divis˜ao em partes quase iguais ocorre devido ao fato que o pacote de onda
inicial praticamente n˜ao tem componentes negativas do momento e |R
(δ)
(k
0
)|
2
=
|T
(δ)
(k
0
)|
2
= 0, 5. As porcentagens n˜ao s˜ao exatamente iguais (50%-50%) porque
|T
(δ)
(k)|
2
n˜ao ´e sim´etrica em torno de k = k
0
. Analisando a Fig. 5.5 para t = 5
observamos que o pacote de ondas transmitido tem uma velocidade de grupo maior
que a refletida e da evolu¸c˜ao livre (sem potencial). Caracter´ısticas similares podem
ser vistas na Fig. 5.6 para t ≥ 7, 5. Tamb´em, para o caso na Fig. 5.6, o momento
m´edio do pacote de ondas inicial relativo ao potencial em movimento ´e k
0,rel.
=
k
0
−u = 8, ent˜ao |T (k
0,rel.
= 8)|
2
= 0, 308. Isso explica porque somente em torno de
30% do estado inicial foi transmitido.
Comparando as Figs. 5.5 e 5.6, notamos na ´ultima a persistˆencia de efeitos
oscilat´orios para a “cauda” do pacote de ondas refletido pr´oximo a localiza¸c˜ao da bar-
reira. Durante o espalhamento, interferˆencias ocorrem entre as componentes da onda
plana refletida (k grande) com aqueles ainda propagando-se em dire¸c˜ao ao potencial
(k > 0, mas pequeno) e tamb´em com aqueles que inicialmente j´a estavam viajando
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 120 -
-8 0 8
16
0
0,1
0,2
0,3
0,4
-15
0
15
30
0
0,04
0,08
0,12
0,16
-75
0
75 150
0
0,006
0,012
0,018
0,024
|Ψ|
2
-150
0
150
300
0
0,003
0,006
0,009
0,012
t=1,5
t=7,5
t=2,25
t=16
x
Fig. 5.6: A mesma situa¸c˜ao descrita na Fig. 5.5, mas para u = 4. A flecha indica a posi¸c˜ao do
potencial δ em movimento. Observe que podemos fazer uma compara¸c˜ao direta para os respectivos
instantes de tempo t iguais a 1,5, 2,25, e 7,5 com os instantes de tempo t iguais a 1, 1,5, e 5 na
Fig. 5.5 porque k
0,rel.
(u = 0)/k
0,rel.
(u = 4) = 12/8 = 1, 5.
para a esquerda (k < 0). A diminui¸c˜ao relativa dos valores dos k’s do pacote no caso
em movimento, fazem com que as contribui¸c˜oes dos ´ultimos dois processos mencio-
nados de interferˆencia aumentem, deste modo prolongando as oscila¸c˜oes observadas.
Na Fig. 5.7 tra¸camos o gr´afico de |Ψ(x, t = 20)|
2
para os mesmos parˆame-
tros da Fig. 5.5, mas com k
0
= 3. Neste caso
0
−∞
dk|g(k)|
2
= 0, 115 ent˜ao, momento
negativo corresponde a 11, 5% das componentes da onda plana de um estado inicial,
explicando muitas oscila¸c˜oes vistas na Fig. 5.7. Mencionamos que t = 20 ´e equiva-
lente a t = 5 na Fig. 5.5 no sentido de ambas serem iguais ao tempo necess´ario para
o centro do pacote de ondas inicial atingir o potencial de contato.
Para calcular Ψ(x, t) para uma intera¸c˜ao de contato arbitr´aria, ´e necess´ario
primeiro escrever o propagador K correspondente — em geral dado por uma ex-
press˜ao complicada, veja a Ref. [161] — e ent˜ao calcular a integral na Eq. (5.13)
numericamente. No entanto, se o pacote de onda inicial ´e bem localizado em um dos
lados do potencial, podemos resolver uma integral mais simples que envolve somente
a amplitude quˆantica (5.7), ao inv´es do propagador total. No apˆendice A deduzimos
5.2. Espalhamento do Pacote de Ondas - 121 -
-200
-150
-100
-50
0
0
0,006
0,012
0,018
0,024
50
100
150
200
0
3×10
-4
6×10
-4
9×10
-4
0
2
k =3
λ=12
t=20
x
|Ψ|
Fig. 5.7: |Ψ(x, t = 20)|
2
para os mesmos parˆametros da Fig. 5.5, mas com k
0
= 3. A propaga¸c˜ao
livre (curva tracejada) ´e mostrada tamb´em para x < 0.
as express˜oes para a parte transmitida e para a parte refletida para o caso de um
potencial de contato geral, isto ´e, um potencial de forma arbitr´aria, mas identica-
mente nulo fora de uma certa regi˜ao. Obviamente intera¸c˜oes de contato s˜ao exemplos
particulares desta classe mais geral de potencial. Ent˜ao, do resultado apresentado
no apˆendice A segue:
Ψ(x, t) =
Ψ
(livre)
(x, t) +
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) R
(±)
(k) e
∓ikx−i
k
2
2
t
(x ≶ 0)
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) T
(±)
(k) e
±ikx−i
k
2
2
t
(x ≷ 0)
.
(5.14)
Na equa¸c˜ao acima o subscrito superior (inferior) significa que o pacote de ondas
inicial est´a localizado no lado esquerdo (direito) do potencial de contato em x = 0.
Mencionamos que, usando as express˜oes acima, conseguimos reproduzir todos os
gr´aficos mostrados nas Figs. 5.5-5.7, como deveria ser.
Da Eq. (5.14) podemos fazer estudos comparativos sobre os efeitos de diferen-
tes intera¸c˜oes de contato no espalhamento de um pacote de ondas inicialmente loca-
lizado. Por exemplo, no limite do tempo assint´otico podemos calcular o quanto o pa-
cote de onda (inicialmente localizado no lado esquerdo de um potencial de contato) foi
5.3. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 122 -
transmitido atrav´es de um potencial. Para isso basta fazermos
+∞
0
dx Ψ
∗
Ψ para x >
0 e admitindo t suficientemente grande, com isso obtemos: P
T
=
+∞
0
dk |g(k)|
2
|T
(+)
(k)|
2
. Al´em disso, podemos obter o momento m´edio do pacote
de ondas transmitido por p =
+∞
0
dk k |g(k)|
2
|T
(+)
(k)|
2
+∞
0
dk |g(k)|
2
|T
(+)
(k)|
2
.
Para casos particulares de potenciais
4
δ e δ
′
, temos (observando que
5
T
(δ
′
)
= λ
−1
/(λ
−1
−
ik) e R
(δ
′
)
= −ik/(λ
−1
− ik))
p
(δ)
=
1
P
(δ)
T
+∞
0
dk k |g(k)|
2
k
2
λ
2
+ k
2
,
p
(δ
′
)
=
1
P
(δ
′
)
T
+∞
0
dk k |g(k)|
2
λ
−2
λ
−2
+ k
2
. (5.15)
A equa¸c˜ao descrita acima fornece para p
(δ)
(veja as Figs. 5.5, 5.6 e 5.7)
respectivamente os valores: 12, 53, 9, 01 e 5, 38. Tais valores est˜ao em conformidade
com os c´alculos num´ericos mais elaborados de p
(δ)
em termos das Eq. (5.13). Da
Eq. (5.15) percebemos que para o caso δ
′
o momento m´edio do pacote de ondas
transmitido ´e menor que o momento m´edio do pacote de ondas inicial, e portanto,
contr´ario ao caso usual de potencial de contato. Este ´e apenas um exemplo de
uma caracter´ıstica n˜ao usual de intera¸c˜oes de contatos gerais, em que eventualmente
poderia ser usado para manipular pacotes de ondas.
5.3 Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo
Neste cap´ıtulo mostramos como estender a t´ecnica usual de extens˜ao auto-
adjunta para tratar uma intera¸c˜ao de contato movendo-se com velocidade constante.
A id´eia central consiste em usar as condi¸c˜oes de contornos an´alogas `as de um caso de
potencial de contato fixo. A diferen¸ca, no entanto, ´e que no problema em movimento
impomos tal condi¸c˜ao de contorno n˜ao na fun¸c˜ao de onda total, mas sim no termo
4
Lembrando que o potencial δ
′
n˜ao representa a derivada do potencial δ, e sim, uma nota¸c˜ao
para um tipo particular de potencial de contato.
5
Os c´alculos dos coeficientes de transmiss˜ao e reflex˜ao s˜ao obtidos a partir da Eq. (5.7).
5.3. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 123 -
da fun¸c˜ao de onda correspondente ao referencial em movimento. Este procedimento
assegura a conserva¸c˜ao da densidade de corrente, um dos guias do m´etodo auto-
adjunto.
Discutimos como um pacote de ondas Gaussiano ´e espalhado por uma parede
infinita para diferentes potenciais de contato. Analisamos tamb´em a influˆencia do
movimento da barreira no espalhamento do pacote. Os c´alculos foram realizados
tamb´em para uma barreira fixa (u = 0). Mostramos como a dinˆamica da barreira
interfere nos coeficientes de transmiss˜ao e reflex˜ao.
´
E muito interessante observar que apesar da nossa abordagem ser direta, a
mesma n˜ao representa a ´unica possibilidade de construir uma extens˜ao auto-adjunta
para o presente sistema. Em seguida exemplificaremos esse ponto para um barreira
de potencial infinita em movimento. Como mencionado antes, a imposi¸c˜ao direta da
condi¸c˜ao de contorno na fun¸c˜ao de onda dependente do tempo, a saber
∂ψ(x, t)
∂x
x=ut
= λψ(x, t)
x=ut
,
conduz `a n˜ao conserva¸c˜ao do fluxo. Mas aqui estamos assumindo λ uma constante
que n˜ao depende dos parˆametros do sistema. Ent˜ao, uma id´eia diferente da usada na
se¸c˜ao5.1 ´e tentar algumas generaliza¸c˜oes para a pr´opria condi¸c˜ao de contorno. Deste
modo, considere
∂ψ(x, t)
∂x
x=ut
= λψ(x, t)
x=ut
+ Λ
∂ψ(x, t)
∂t
x=ut
,
sendo λ um n´umero real arbitr´ario e Λ um parˆametro que pode depender do sistema.
Se fizermos Λ = −2u/(u
2
+ k
2
) (note a dependˆencia expl´ıcita de k e u), ent˜ao a
Eq. (5.2) ser´a a solu¸c˜ao exata para o problema com ϕ dado pela Eq. (5.3), onde, f
u
´e substitu´ıdo por
f
Λ
(k) =
λ + ik(k
2
− u
2
)/(k
2
+ u
2
)
−λ + ik(k
2
− u
2
)/(k
2
+ u
2
)
. (5.16)
Observe que: (i) |f
Λ
(k)|
2
= 1 para qualquer λ e u; e (ii) conseguimos obter a pr´evia
solu¸c˜ao exata para o caso fixo onde u = 0.
5.3. Considera¸c
˜
oes Finais sobre o Cap
´
ıtulo - 124 -
O exemplo acima mostra a grande liberdade para se implementar a extens˜ao
auto-adjunta para potenciais de contato em movimento. Para sistemas concretos,
certamente a forma correta de escolher a extens˜ao mais apropriada deve vir das
restri¸c˜oes para as caracter´ısticas f´ısicas do problema em m˜aos (veja, por exemplo a
Ref. [152]).
Por ´ultimo, observamos que este cap´ıtulo foi explorat´orio e podemos encon-
trar outras aplica¸c˜oes para esses resultados. Por exemplo, condi¸c˜oes de contorno
mais gerais para barreiras infinitas em movimento podem ser particularmente inte-
ressantes em estudos de: (a) flutua¸c˜oes no efeito Casimir [180]; e (b) o surgimento
de caos quˆantico em modelos de acelerador de Fermi [181, 182]. Tamb´em, nossa in-
tera¸c˜ao de contato em movimento; pode (c) aumentar a compress˜ao do pacote de
ondas [177] devido ao seu maior efeito singular sobre o estado incidente durante o
tunelamento; e (d) ser analisado em termos de uma parametriza¸c˜ao da intera¸c˜ao de
contato discutida recentemente na Ref. [183], proposta como uma poss´ıvel realiza¸c˜ao
de qubits em computa¸c˜ao quˆantica [184, 185].
Conclus
˜
oes e Perspectivas
A proposta desta tese foi desenvolver um procedimento de controle original
que pudesse ser aplicado em sistemas quˆanticos. Este novo procedimento foi baseado
na aplica¸c˜ao de campos externos est´aticos por partes, cuja dependˆencia temporal
pode ser conseguida atrav´es da aplica¸c˜ao de sucessivas partes do controle. Com isso,
do ponto de vista quˆantico podemos concluir que ´e poss´ıvel usar campos est´aticos
para controlar a dinˆamica quˆantica. Os resultados obtidos no controle do valor
esperado de um observ´avel, da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao e do momento m´edio do
pacote de ondas nos levaram a essas conclus˜oes.
´
E claro que outros fenˆomenos
podem interferir no processo de controle, tais como, divergˆencias no campo para o
controle de trajet´orias [33], incoerˆencias quˆanticas [40], flutua¸c˜oes e erros nos valores
do campo [51], aparecimento de caos etc. De fato, como vimos nesta tese, esses efeitos
interferem diretamente na qualidade do controle, n˜ao obstante o controle pode ser
realizado.
O ingrediente mais importante desse processo dinˆamico est´a relacionado com
as regras de intera¸c˜ao entre o campo externo e o sistema, ou seja, uma vez que
o campo externo ´e a ´unica forma de acessar e interferir
6
na dinˆamica molecular,
devemos evitar que o campo desacople do sistema. O surgimento de singularidades
no campo ocorrem devido ao desacoplamento do campo com o sistema quˆantico, e
com isso, temos perdas momentaneamente de controle.
6
Neste ponto estamos nos referindo aos processos de interferˆencias em ondas de mat´eria causada
pela presen¸ca do campo externo.
125
Conclus
˜
oes e Perspectivas - 126 -
Para demonstrar a t´ecnica escolhemos quatro tipos de sistemas: um sistema
descrito por apenas dois n´ıveis de energia [51], um sistema com trˆes n´ıveis [53],
uma part´ıcula em um bilhar circular [54] e uma part´ıcula livre interagindo com um
potencial de contato geral [55]. Deste modo, iniciamos com um sistema simples e
fomos progressivamente avan¸cando para sistemas mais complicados, o que nos parece
uma boa estrat´egia para se come¸car a testar um novo m´etodo. Cada um desses
sistemas foi escolhido por raz˜oes espec´ıficas.
O sistema de dois n´ıveis mostrou-se suficientemente simples para que fossem
obtidas solu¸c˜oes completamente anal´ıticas para o vetor de estado, o que resultou em
um sistema robusto o suficiente para se testar o m´etodo, al´em disso, esse tipo de
sistema serve como prot´otipo para diversas aplica¸c˜oes, como j´a foi mencionado no
Cap. 2. Neste sistema nos concentramos no controle sobre o valor esperado de um
observ´avel geral e mostramos que ´e poss´ıvel realizar o controle configurando-se dois
ou at´e mesmo um parˆametro do campo externo, independentemente do estado inicial
do sistema. Al´em disso, observamos que este sistema ´e robusto a erros aleat´orios
introduzidos nos parˆametros do campo, embora, a existˆencia de erros resulte em
perda de qualidade no controle.
Com o sistema de trˆes n´ıveis tivemos a oportunidade de estudar o controle em
um sistema fisicamente mais rico e prop´ıcio ao surgimento de novos fenˆomenos f´ısicos,
como por exemplo, a transparˆencia quˆantica, aprisionamento de estados, invers˜ao de
popula¸c˜ao adiab´atica e outros efeitos de interesse em ´optica quˆantica. No entanto,
no ˆambito deste trabalho estudamos apenas o controle de um observ´avel relevante no
contexto do controle de trajet´orias. Apontamos para o fato da qualidade do controle
depender das caracter´ısticas f´ısicas e do estado inicial do sistema em estudo.
Para o bilhar circular aplicamos somente um passo de controle, mas agora
o alvo de controle foi a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao, que traz informa¸c˜oes sobre os
processos de reconstru¸c˜ao. Este ´e um caso particular de controle global. Este foi
o primeiro passo de controle rumo a um sistema com muitos n´ıveis. A escolha
do bilhar circular est´a no fato de conseguirmos solu¸c˜oes anal´ıticas para os estados
Conclus
˜
oes e Perspectivas - 127 -
pr´oprios do sistema em um regime de campos intensos. Solu¸c˜oes para o sistema nesse
regime s˜ao, em geral, bastante dif´ıceis de se obter na pr´atica. Um outro aspecto
interessante ´e que o bilhar circular freq
¨
uentemente ´e utilizado como primeiro modelo
de pontos quˆanticos, o que o torna interessante para estudos em sistemas atˆomicos.
Observamos como incoerˆencias nas energias conduzem a perdas de qualidade na
reconstru¸c˜ao. Chegamos a esta conclus˜ao comparando os nossos resultados com
aqueles apresentados na Ref. [131].
Como extens˜ao do estudo da dinˆamica de pacotes de ondas, tratamos o caso
do espalhamento de um pacote de ondas Gaussiano por um potencial de contato geral
movendo-se com velocidade constante. Desses estudos mostramos que dependendo
da velocidade da barreira conseguimos controlar a velocidade m´edia do pacote de
ondas transmitido pela barreira de potencial. O pacote de ondas transmitido ´e uma
imagem especular do pacote de ondas inicial com momento m´edio maior.
Perspectivas
Nos ´ultimos 20 anos avan¸cos foram conseguidos rumo ao entendimento do
controle em processos atˆomicos e moleculares. Estes avan¸cos foram poss´ıveis em parte
pelos desenvolvimentos te´oricos e em parte pelo progresso experimental. Devido ao
interesse em ciˆencia aplicada, as pesquisas em controle quˆantico vˆem caminhando em
dire¸c˜oes como: na aplica¸c˜ao em sistemas quˆanticos grandes (mol´eculas poliatˆomicas),
controle em sistemas com decoerˆencia quˆantica (sistemas biol´ogicos e de mat´eria
condensada), pulsos altamente configur´aveis com depˆendencias temporais mais ricas
(desenvolvimento de lasers e dispositivos ´opticos), e a busca por um controle global
(controle das fun¸c˜oes de onda). Em teoria o grande desafio consiste em resolver
sistemas de equa¸c˜oes diferencias n˜ao lineares complexas com dimens˜oes elevadas
(equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger).
Neste sentido, apresentamos nesta tese quatro estudos que resultaram nos
Cap´ıtulos 2, 3, 4 e 5. No entanto, podemos apontar alguns estudos que poder˜ao
Conclus
˜
oes e Perspectivas - 128 -
ser realizados a partir desses trabalhos. A seguir vamos indentificar alguns casos de
interesse.
Para um problema de dois n´ıveis podemos aplicar um campo harmˆonico
com uma freq
¨
uˆencia caracteristica ν, e estudar a qualidade do controle em fun¸c˜ao
da freq
¨
uˆencia do campo aplicado. Para um caso particular em que a freq
¨
uˆencia do
campo externo ´e resonante com a transi¸c˜ao, podemos usar a aproxima¸c˜ao de fun¸c˜ao
de ondas rotacional e obter uma solu¸c˜ao anal´ıtica para os estados pr´oprios. Para
freq
¨
uˆencias n˜ao ressonantes teremos que resolver a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger numeri-
camente. Ou seja, ser´a que podemos conseguir um controle melhor se usarmos um
campo com uma freq
¨
uˆencia apropriada? Este pode ser um ponto importante quando
pensamos em controle em laborat´orio. Ou ent˜ao podemos pensar em aplicar um pulso
com um conjunto grande de freq
¨
uˆencias e efetuar o controle atrav´es da configura¸c˜ao
desse pulso. Como uma aplica¸c˜ao mais espec´ıfica podemos pensar em utilizar esses
conhecimentos para controlar um sistema de spin em um ponto quˆantico.
Com rela¸c˜ao a um sistema de trˆes n´ıveis podemos aplicar um conjunto cons-
titu´ıdo por dois campos harmˆonicos, e resolver a equa¸c˜ao de Schr
¨
odinger numerica-
mente, a fim de estudar a qualidade do controle com rela¸c˜ao a essas duas freq
¨
uˆencias.
Com isso poderemos otimizar uma invers˜ao de popula¸c˜ao para aplica¸c˜oes em laser,
por exemplo.
Para os bilhares podemos aplicar a t´ecnica de controle inverso para contro-
lar o valor esperado da posi¸c˜ao da part´ıcula dentro do bilhar, e comparar com as
trajet´orias cl´assicas de uma part´ıcula. Para isso, podemos escolher inicialmente um
sistema mais simples conhecido, o po¸co quadrado infinito, cujo objetivo ´e encontrar
os campos de controle, tanto para o caso cl´assico quanto para o caso quˆantico. O
que podemos esperar desses campos?
Ap
ˆ
endice A
C
´
alculo dos Coeficientes de
Transmiss
˜
ao e Reflex
˜
ao
Como ´e conhecido na literatura [186], o propagador ´e dado em termos da
fun¸c˜ao de Green G por (k
2
= 2E)
K(x, t; x
0
, 0) =
i
2π
+∞
−∞
dk k exp[−i
t
2
k
2
] G(x, x
0
; k) . (A.1)
Vamos considere um potencial V (x), identicamente nulo para x < l
i
or
x > l
f
, l
f
≥ l
i
. Para esses potenciais, a forma exata para G foi calculada na
Ref. [187]. Definindo G
+−
para x > l
f
, x
0
< l
i
; G
−+
para x
0
> l
f
, x < l
i
; G
++
para
x, x
0
> l
f
e G
−−
para x, x
0
< l
i
; temos que (R e T s˜ao os coeficientes de reflex˜ao e
transmiss˜ao atrav´es do potencial)
G
±∓
(x, x
0
; k) =
1
ik
T
(±)
(k) exp[ik|x − x
0
|] ,
G
∓∓
(x, x
0
; k) =
1
ik
exp[ik|x − x
0
|] + R
(±)
(k) exp[∓ik(x + x
0
)]
. (A.2)
Precisamos calcular Ψ(x, t) =
dx
0
K(x, t; x
0
, 0)Ψ(x
0
, 0) para um pacote de ondas
inicial Ψ(x, 0) = (2π)
−1/2
+∞
−∞
dk g(k) exp[ikx] bem localizada em um lado do po-
tencial, como por exemplo, no lado esquerdo, tal que Ψ(x, 0) ´e praticamente nulo
para x ≥ l
i
.
129
Ap
ˆ
endice A - 130 -
Iniciaremos com o caso em que x < l
i
. Na integral para Ψ(x, t) usamos (A.1)
para o propagador e a representa¸c˜ao do estado inicial pela integral de Fourier. Desde
que x < l
i
, a integra¸c˜ao envolver´a G
−±
, a Eq. (A.2), bem como a express˜ao exata
para G(x, x
0
; k) para l
i
< x
0
< l
f
[187]. No entanto, o pacote de ondas inicial ´e nulo
para x ≥ l
i
. Portanto, as contribui¸c˜oes relevantes na integral vem de G
−−
. Al´em
disso, para esse termo podemos extender a integral em x
0
(na qual varia de −∞ at´e
l
i
) para toda a linha sem introduzir erros significantes no resultado. Deste modo,
podemos escrever
Ψ(x, t) ≈
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k)
1
√
2π
+∞
−∞
dx
0
exp[ikx
0
]
×
1
√
2π
+∞
−∞
d
˜
k exp[−i
t
2
˜
k
2
] exp[i
˜
k|x − x
0
|]
+
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k)
1
√
2π
+∞
−∞
dx
0
exp[ikx
0
]
×
1
√
2π
+∞
−∞
d
˜
k R
(+)
(
˜
k) exp[−i
t
2
˜
k
2
] exp[−i
˜
k(x + x
0
)] . (A.3)
Ap´os algumas manipula¸c˜oes, encontramos
Ψ(x, t) ≈
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) exp[ik(x −
k
2
t)]
+
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) exp[−ik(x +
k
2
t)]
×
1
√
π
+∞
−∞
dx
0
exp[ix
2
0
]
1
√
π
+∞
−∞
d
˜
k exp[−i
˜
k
2
]
×R
(+)
k +
2
t
(
˜
k − x
0
)
. (A.4)
O primeiro termo no lado direito da equa¸c˜ao acima representa apenas a evolu¸c˜ao livre
do pacote de ondas inicial. Para o segundo termo, a integral em ambos x
0
e k pode
ser realizada exatamente por meio da transforma¸c˜ao: w = k − x
0
e v = (k + x
0
)/2.
A integral em v fornece a fun¸c˜ao delta de Dirac e desse modo, a integra¸c˜ao em w ´e
simplificada, resultando simplesmente em R
(+)
(k). Com isso chegamos
Ψ(x < l
i
, t) = Ψ
(free)
(x, t) +
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) R
(+)
(k) exp[−ik(x +
k
2
t)] . (A.5)
Ap
ˆ
endice A - 131 -
O c´alculo de Ψ(x, t) para x > l
f
´e realizado de maneira similar. Podemos escrever
Ψ(x, t) ≈
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k)
1
√
2π
+∞
−∞
dx
0
exp[ikx
0
]
×
1
√
2π
+∞
−∞
d
˜
k T
(+)
(
˜
k) exp[−i
t
2
˜
k
2
] exp[i
˜
k(x − x
0
)] , (A.6)
na qual pode ser simplificada
Ψ(x, t) ≈
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) exp[ik(x −
k
2
t)]
1
√
π
+∞
−∞
dx
0
exp[ix
2
0
]
×
1
√
π
+∞
−∞
d
˜
k exp[−i
˜
k
2
]T
(+)
k +
2
t
(
˜
k − x
0
)
. (A.7)
Novamente, considerando as mesmas transforma¸c˜oes de vari´aveis para w e v, fina-
mente encontramos
Ψ(x > l
f
, t) =
1
√
2π
+∞
−∞
dk g(k) T
(+)
(k) exp[ik(x −
k
2
t)] . (A.8)
Naturalmente, podemos derivar uma forma similar para o pacote de ondas
inicial localizado no lado direito do potencial. Nesse caso, a express˜ao final final
envolve a amplitude R
(−)
and T
(−)
.
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