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Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés...

[Document électronique] / par J.-L. Lagrange

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La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière

la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes

les racines tant réelles qu' imaginaires d' une équation

numérique donnée, et d' approcher le plus rapidement et aussi

près que l' on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le

présent traité le mémoire qui contient cette méthode, et les

additions qui ont paru dans le volume des mémoires de la même

académie, pour l' année 1768. Et pour rendre ce traité plus

intéressant, on y a joint plusieurs notes, dont les deux

dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle

édition. Ces notes contiennent des recherches sur les principaux

on ne reconnaît plus les premiers

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nombres qui ont servi d' élémens, et qui ne conservent aucune

trace des différentes opérations particulières qui les ont

produits. L' extraction des racines carrées et cubiques est l'

opération la plus simple de ce genre ; c' est la résolution des

équations numériques du second et du troisième degré, dans

lesquelles tous les termes intermédiaires manquent. Aussi

conviendrait-il de donner dans l' arithmétique les règles de la

résolution des équations numériques, sauf à renvoyer à l' algèbre

la démonstration de celles qui dépendent de la théorie générale

des équations. Newton a appelé l' algèbre arithmétique

universelle . Cette dénomination est exacte à quelques égards ;

mais elle ne fait pas assez connaître la véritable différence qui

faire sur les premières quantités données pour obtenir les

valeurs cherchées ; je dis arithmétiques ou géométriques, car on

connaît depuis Viète les constructions géométriques par

lesquelles on peut faire sur les lignes les mêmes opérations que

l' on fait en arithmétique sur les nombres. L' algèbre plane pour

ainsi dire également sur l' arithmétique et sur la géométrie ;

son objet n' est pas de trouver les valeurs mêmes des quantités

cherchées, mais le système d' opérations à faire sur les

quantités données pour en déduire les valeurs des quantités qu'

on cherche, d' après les conditions du problème. Le tableau de

inconnues par des fonctions des quantités connues, ou qu' on

regarde comme connues ; et la résolution générale des équations

consiste à trouver pour toutes les équations d' un même degré,

les fonctions des coefficiens de ces équations qui peuvent en

représenter toutes les racines. On n' a pu jusqu' à présent

trouver ces fonctions que pour les équations du second, du

troisième et du quatrième degré ; mais quoique ces fonctions

expriment généralement toutes les racines des équations de ces

mêmes degrés, elles se présentent néanmoins, dès le troisième

degré, sous une forme telle qu' il est impossible d' en tirer les

. Heureusement on a trouvé le moyen de la vaincre dans le

troisième et le quatrième degré, par la considération de la

trisection des angles, et par le secours des tables

trigonométriques ; mais ce moyen, qui dépend de la division des

angles, n' est applicable dans les degrés plus élevés qu' à une

classe d' équations très limitée ; et l' on peut assurer d'

avance que quand même on parviendrait à résoudre généralement le

cinquième degré et les suivans, on n' aurait par là que des

formules algébriques, précieuses en elles-mêmes, mais très peu

utiles pour la résolution effective et numérique des équations

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dispenseraient pas d' avoir recours aux méthodes arithmétiques

qui sont l' objet de ce traité. Viète est le premier qui se

soit occupé de la résolution des équations numériques d' un degré

les tâtonnemens, suivant les différens cas qui ont lieu dans les

équations relativement aux signes de leurs termes. Mais la

multitude des opérations qu' elle demande, et l' incertitude du

succès dans un grand nombre de cas, l' ont fait abandonner

entièrement. En effet, il est aisé de se convaincre qu' elle ne

peut réussir d' une manière certaine, que pour les équations dont

tous les termes ont le même signe, à l' exception du dernier tout

connu ; car alors ce terme devant être égal à la somme de tous

les autres, on peut, par des tâtonnemens limités et réglés,

trouver successivement tous les chiffres de la valeur de l'

possible ; pourvu qu' on ait deux limites d' une racine, l' une

en plus, l' autre en

grande que celle de résoudre l' équation. à la méthode de

Viète a succédé celle de Newton , qui n' est proprement

qu' une méthode d' approximation, puisqu' elle suppose que l' on

ait déjà la valeur de la racine qu' on cherche, à une quantité

près moindre que sa dixième partie ; alors on substitue cette

valeur plus une nouvelle inconnue à l' inconnue de l' équation

proposée, et l' on a une seconde équation dont la racine est ce

qui reste à ajouter à la première valeur pour avoir la valeur

exacte de la racine cherchée ; mais, à cause de la petitesse

supposée de ce reste, on néglige, dans la nouvelle équation, le

trouve à chaque opération une nouvelle quantité à ajouter ou à

retrancher de la valeur déjà trouvée, et on a la racine d' autant

plus exacte, qu' on pousse le calcul plus loin. Telle est la

méthode que l' on emploie communément pour résoudre les équations

numériques ; mais elle ne sert, comme l' on voit, que pour celles

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convergente, ou qu' elle devienne même divergente après avoir été

convergente. Enfin, elle a encore l' inconvénient de ne donner

que des valeurs approchées des racines mêmes qui peuvent être

exprimées exactement en nombres, et de laisser par conséquent en

doute si elles sont commensurables ou non. Le problème qu' on

doit se proposer dans cette partie de l' analyse, est celui-ci :

étant donnée une équation numérique sans aucune notion

préalable de la grandeur ni de l' espèce de ses racines,

trouver la valeur numérique exacte, s' il est possible, ou

ici on n' a rien trouvé qui puisse dispenser dans tous les cas de

la recherche d' une limite moindre que la plus petite différence

entre les racines, ou qui soit préférable aux moyens donnés dans

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méthode pour trouver, dans une équation numérique quelconque,

la valeur entière la plus approchée de chacune de ses racines

réelles. 1 théorème I. si l' on a une équation

quelconque, et que l' on connaisse deux nombres tels qu' étant

substitués successivement à la place de l' inconnue de cette

équation, ils donnent des résultats de signes contraires, l'

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Or, soient Petq les nombres qui, substitués par X, donneront

des résultats de signes contraires, il faudra donc que ces deux

quantités (..) soient de signes différens ; par conséquent, il

donc si les nombres Petq ne diffèrent l' un de l' autre que de

l' unité, ou d' une quantité moindre que l' unité, le plus petit

de ces nombres, s' il est entier, ou le nombre entier qui sera

immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres, s'

il n' est pas entier, sera la valeur entière la plus approchée d'

une des racines de l' équation. Si la différence entre Petq est

plus grande que l' unité, alors nommant (..) , etc., les nombres

entiers qui tombent entre Petq, il est clair que, si l' on

substitue successivement à la place de l' inconnue les nombres

, etc. Q, on trouvera nécessairement deux substitutions

nécessairement une racine réelle positive, dont on pourra trouver

la valeur entière la plus approchée, en substituant à la place de

l' inconnue les nombres 0, 1, 2, 3, etc., jusqu' à ce que

l' on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de

signes contraires. Car, en supposant le premier terme Xm, et le

dernier (..) (H étant un nombre positif), on aura, en faisant (..)

, le résultat négatif (..) ; donc on aura ici (..) ; donc les

nombres entiers intermédiaires seront tous les nombres naturels

1, 2, 3, etc., donc, etc. (Coroll Préc.)

de là on voit, 1 que toute équation d' un degré impair, dont le

dernier terme est négatif, a nécessairement une racine réelle

positive. 2 que toute équation d' un degré impair, dont le

dernier terme est positif, a nécessairement une racine réelle

négative ; car, en changeant (..) , le premier terme de l' équation

deviendra négatif : donc, changeant tous les signes pour rendre

de nouveau le premier terme positif, le dernier deviendra négatif

terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine

réelle positive : donc l' équation primitive en aura une réelle

et négative. 4 remarque. comme on peut toujours changer les

racines négatives d' une équation quelconque en positives, en

changeant seulement le signe de l' inconnue, nous ne

positives de cette nouvelle équation ; ces racines, prises en

moins, seront les racines négatives de la proposée. 5

théorème Ii. si dans une équation quelconque, qui a une ou

plusieurs racines réelles et inégales, on substitue

successivement à la place de l' inconnue deux nombres, dont l' un

soit plus grand et dont l' autre soit plus petit que l' une de

ces racines, et qui diffèrent en même temps l' un de l' autre d'

une quantité moindre que la différence entre cette racine et

chacune des autres racines réelles de l' équation, ces deux

substitutions donneront nécessairement deux résultats de signes

chacune de ces racines se trouvera entre les deux nombres qui

auront donné des résultats consécutifs de signes différens ; de

sorte que si les nombres (..) donnent des résultats de signe

contraire, il y aura une racine entre (..) ; par conséquent, le

nombre entier qui approchera le plus de (..) sera la valeur

entière approchée de cette racine (N 2). Ainsi l' on reconnaîtra

cherche par les méthodes des numéros précédens la limite des

racines positives de l' équation proposée, il est clair qu' il

sera inutile d' y substituer à la place de l' inconnue des

nombres plus grands que cette limite. En effet, il est facile de

voir qu' en substituant des nombres plus grands que cette limite,

consécutifs avec le même signe (..) , soit égale ou plus grande que

la somme de tous les termes négatifs ; car il est facile de

prouver, par la méthode du N 7, qu' en donnant à l' inconnue des

valeurs plus grandes, on aura toujours à l' infini des résultats

positifs.

2 au lieu de substituer à la place de l' inconnue X les

fractions (..) , etc., on y mettra d' abord (..) à la place de X,

ou, ce qui revient au même, on multipliera le coefficient du

second terme par K, celui du troisième terme par K, et ainsi

les racines de l' équation proposée se trouveront nécessairement

entre les nombres consécutifs qui donneront des résultats de

signes contraires, ces nombres étant divisés par K, comme nous

répondent à (..) 0, 1, 2, etc., M, on pourra trouver tous

les suivans par la seule addition. Pour cela, il n' y aura qu' à

chercher les différences des résultats trouvés, lesquelles seront

au nombre de M, ensuite les différences de ces différences,

lesquelles ne seront plus qu' au nombre de (..) , et ainsi de suite

jusqu' à la différence (..) . Cette dernière différence sera

nécessairement constante, parce que l' exposant de la plus haute

puissance de l' inconnue est M ; ainsi on pourra continuer la

suite des différences (..) aussi loin qu' on voudra, en répétant

seulement la même différence trouvée ; ensuite, par le moyen de

étaient tous positifs, les termes suivans dans chaque suite

seraient tous aussi positifs. Or, puisque la dernière différence

est toujours positive, il est clair qu' on parviendra

nécessairement dans chaque suite à des termes tous positifs ;

ainsi il suffira de continuer toutes ces suites jusqu' à ce que

les résultats qui répondent à (..) , d' où l' on tirera les

différences premières (..) , les différences secondes 6, 12, et

la différence troisième 6 ; ainsi on formera les quatre séries

suivantes : (..) ; dont la loi est que chaque terme est égal à la

somme du terme précédent de la même série, et de celui qui y est

au-dessus dans la série précédente ; de sorte qu' il est très

facile de continuer ces séries aussi loin qu' on voudra. La

dernière de ces quatre séries sera, comme l' on voit, celle des

résultats qui viennent de la substitution des nombres naturels

pouvait trouver la valeur approchée de toutes les racines réelles

et inégales d' une équation quelconque, en y substituant

successivement à la place de l' inconnue différens nombres en

les racines réelles et inégales de l' équation proposée. Nous en

sommes heureusement venus à bout à l' aide du problème du N 8,

et nous