( PDF ) Théorie Analytique des Probabilités

Download PDF

ads:

Ce document est extrait de la base de données

textuelles Frantext réalisée par l'Institut National de la

Langue Française (InaLF)

Théorie analytique des probabilités [Document électronique] / par M. le Comte

Laplace

Je me propose d' exposer dans cet ouvrage, l' analyse et les

principes nécessaires pour résoudre les problèmes concernant les

probabilités. Cette analyse se compose de deux théories que j' ai

données, il y a trente ans, dans les mémoires de l' académie des

sciences. L' une d' elles est la théorie des fonctions

génératrices : l' autre est la théorie de l' approximation

des formules fonctions de très-grands nombres . Elles sont l'

objet du premier livre, dans lequel je les présente d' une

manière encore plus générale que dans les mémoires cités. Leur

rapprochement montre avec évidence, que la seconde n' est qu' une

extension de la première, et qu' elles peuvent être considérées

comme deux branches d' un même calcul, que je désigne par le nom

de calcul des fonctions génératrices . Ce calcul est le

fondement de ma théorie des probabilités , qui fait l' objet

du second livre. Les questions relatives aux événemens dus au

hasard, se ramènent le plus souvent avec facilité, à des

équations linéaires aux différences simples ou partielles : la

première branche du calcul des fonctions génératrices donne la

méthode la plus générale pour intégrer ce genre d' équations.

Mais quand les événemens que l' on considère, sont en grand

nombre, les expressions auxquelles on est conduit, se composent

d' une si grande multitude de termes et de facteurs, que leur

calcul numérique devient impraticable ; il est donc alors

indispensable d' avoir une méthode qui les transforme en séries

convergentes. C' est ce que la seconde branche du calcul des

fonctions génératrices fait avec d' autant plus d' avantage, que

la méthode devient plus nécessaire. Mon objet étant de présenter

ici les méthodes et les résultats généraux de la théorie des

probabilités, je traite spécialement les questions les plus

délicates, les plus difficiles, et en même tems les plus utiles

de cette théorie. Je m' attache surtout, à déterminer la

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

probabilité des causes et des résultats indiqués par les

événemens considérés en grand nombre, et à chercher les lois

suivant lesquelles cette probabilité approche de ses limites, à

mesure que les événemens se multiplient. Cette recherche mérite

l' attention des géomètres, par l' analyse qu' elle exige : c'

est là principalement que la théorie de l' approximation des

formules fonctions de grands nombres, trouve ses applications les

plus importantes. Cette recherche intéresse les observateurs, en

leur indiquant les milieux qu' ils doivent choisir entre les

résultats de leurs observations, et la probabilité des erreurs

qu' ils ont encore à craindre. Enfin, elle mérite l' attention

des philosophes, en faisant voir comment la régularité finit par

s' établir dans les choses mêmes qui nous paraissent entièrement

livrées au hasard, et en dévoilant les causes cachées, mais

constantes, dont cette régularité dépend. C' est sur la

régularité des résultats moyens des événemens considérés en grand

nombre, que reposent divers établissemens, tels que les rentes

viagères, les tontines, les assurances, etc. Les questions qui

leur sont relatives, ainsi qu' à l' inoculation de la vaccine, et

aux décisions des assemblées, n' offrent aucune difficulté d'

après ma théorie. Je me borne ici à résoudre les plus générales ;

mais l' importance de ces objets dans la vie civile, les

considérations morales dont ils se compliquent, et les

observations nombreuses qu' ils supposent, exigent un ouvrage à

part.

Si l' on considère les méthodes analytiques auxquelles la théorie

des probabilités a déjà donné naissance, et celles qu' elle peut

faire naître encore ; la justesse des principes qui lui servent

de base, la logique rigoureuse et délicate qu' exige leur emploi

dans la solution des problèmes ; les établissements d' utilité

publique qui s' appuient sur elle : si l' on observe ensuite que

dans les choses même qui ne peuvent être soumises au calcul,

cette théorie donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous

guider dans nos jugemens, et qu' elle apprend à se garantir des

illusions qui souvent nous égarent ; on verra qu' il n' est point

de science plus digne de nos méditations, et dont les résultats

soient plus utiles. Elle doit la naissance à deux géomètres

français du dix-septième siècle, si fécond en grands hommes et en

grandes découvertes, et peut-être de tous les siècles celui qui

fait le plus d' honneur à l' esprit humain. Pascal et Fermat se

proposèrent et résolurent quelques problèmes sur les probabilités

. Huyghens réunit ces solutions, et les étendit dans un petit

traité sur cette matière, qui ensuite a été considérée d' une

manière plus générale par les Bernoulli, Montmort, Moivre, et

par plusieurs géomètres célèbres de ces derniers tems.

ads:

Calcul des fonctions génératrices. des fonctions génératrices.

1 concevons une suite de termes disposés sur une ligne

horizontale, et tels que chacun d' eux dérive des précédens,

suivant une loi donnée : supposons cette loi exprimée par une

équation entre plusieurs termes consécutifs, et leur indice, ou

le nombre qui indique le rang qu' ils occupent dans la série :

cette équation est ce que je nomme équation aux différences

finies à un seul indice variable . L' ordre ou le degré de cette

équation, est la différence du rang de ses deux termes extrêmes.

On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la

série, et la continuer indéfiniment ; mais il faut pour cela,

connaître un nombre de termes de la série, égal au degré de l'

équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'

expression du terme général de la série, ou de l' intégrale de l'

équation aux différences. Concevons maintenant, au-dessus des

termes de la série précédente, une seconde série de termes

disposés horizontalement ; concevons encore, au-dessus des termes

de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de

suite à l' infini, et supposons les termes de toutes ces séries,

liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs

, pris tant dans le sens horizontal, que dans le sens vertical,

et les nombres qui indiquent leur

rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme

équation aux différences finies partielles à deux indices

variables . Concevons pareillement au-dessus du plan qui

renferme les séries précédentes, un second plan renfermant des

séries semblables, dont les termes soient placés respectivement

au-dessus de ceux que contient le premier plan. Concevons ensuite

au-dessus de ce second plan, un troisième plan renfermant des

séries semblables, et ainsi à l' infini. Supposons tous les

termes de ces séries, liés par une équation entre plusieurs

termes consécutifs, pris tant dans le sens de la longueur, que

dans les sens de la largeur et de la profondeur, et les trois

nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette

équation est ce que je nomme équation aux différences finies

partielles à trois indices variables . Enfin, en considérant

la chose d' une manière abstraite et indépendante des dimensions

de l' espace, concevons généralement un système de grandeurs qui

soient fonctions d' un nombre quelconque d' indices variables, et

supposons entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces

indices et les indices eux-mêmes, autant d' équations qu' il y a

de ces grandeurs ; ces équations seront aux différences finies

partielles à un nombre quelconque d' indices variables. On peut à

leur moyen, déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même

que l' équation à un seul indice, exige que l' on connaisse un

certain nombre de termes de la série ; de même l' équation à deux

indices exige que l' on connaisse une ou plusieurs lignes de

séries, dont les termes généraux peuvent chacun être exprimés par

une fonction arbitraire d' un des indices. Pareillement, l'

équation à trois indices exige que l' on connaisse un ou

plusieurs plans de séries, dont les termes généraux peuvent être

exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, et

ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des

éliminations successives, déterminer un terme quelconque des

séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine,

étant comprises dans un même système d' équations générales ;

toutes les expressions des termes successifs que l' on obtient

par ces éliminations, doivent être comprises dans une expression

générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme.

Cette expression est l' intégrale de

l' équation proposée aux différences, et sa recherche est l'

objet du calcul intégral. Si l' on conçoit les indices des séries

que nous venons de considérer, comme infinis ; et qu' en divisant

chacun d' eux par un nombre infini, mais constant, on représente

ces divers quotiens par autant de variables ; si l' on regarde

ensuite, comme différence infiniment petite d' une quelconque de

ces variables, l' unité divisée par le nombre infini constant qui

lui correspond ; enfin, si l' on néglige les puissances

supérieures de ces infiniment petits, relativement aux

inférieures, et les infiniment petits eux-mêmes, eu égard aux

quantités finies ; les équations aux différences finies seront

transformées dans des équations aux différences infiniment

petites, dont les intégrales seront celles des équations aux

différences finies, dans lesquelles on aura substitué, au lieu

des indices, les variables correspondantes, en négligeant

pareillement les infiniment petits, relativement aux quantités

finies. Les quantités qu' on néglige dans ce passage du fini à l'

infiniment petit, semblent ôter au calcul infinitésimal, la

rigueur des résultats géométriques ; mais il suffit, pour la lui

rendre, d' envisager les quantités que l' on conserve dans le

développement des équations aux différences finies et de leurs

intégrales, par rapport aux puissances des différences

indéterminées, comme ayant toutes pour facteurs leurs plus

petites puissances, dont on compare entre eux les coefficiens.

Cette comparaison étant rigoureuse, le calcul différentiel qui n'

est évidemment que cette comparaison même, a toute la rigueur des

autres opérations algébriques. Mais la considération des

infiniment petits de différens ordres que l' on reconnaît souvent

avec facilité par l' inspection seule des grandeurs, et l'

omission des infiniment petits d' un ordre supérieur à celui que

l' on conserve, à mesure qu' ils se présentent, simplifient

extrêmement les calculs, et sont l' un des principaux avantages

de l' analyse infinitésimale, qui d' ailleurs, en réalisant les

infiniment petits, donne par une première approximation, les

différences et les sommes des quantités. Le passage du fini à l'

infiniment petit, a l' avantage d' éclairer plusieurs points de

l' analyse infinitésimale, qui ont été l' objet de grandes

contestations parmi les géomètres. C' est ainsi que j' ai fait

voir dans les mémoires de l' académie des sciences, pour l' année

1779, et

que je démontrerai ci-après, la possibilité d' introduire des

fonctions arbitraires discontinues dans les intégrales des

équations aux différences partielles, pourvu que ces fonctions

soient assujéties à des conditions déterminées. Les résultats

transcendans de l' analyse sont, comme toutes les abstractions de

l' entendement, des signes généraux, dont on ne peut connaître la

véritable étendue, qu' en remontant par l' analyse mathématique,

aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent

de grandes difficultés ; car l' esprit humain en éprouve moins

encore à se porter en avant, qu' à se replier sur lui-même. Il

paraît que Fermat, le véritable inventeur du calcul différentiel

, a considéré ce calcul comme une dérivation de celui des

différences finies, en négligeant les infiniment petits d' un

ordre supérieur, par rapport à ceux d' un ordre inférieur : c'

est du moins ce qu' il a fait dans sa méthode de maximis , et

dans celle des tangentes, qu' il a étendue aux courbes

transcendantes. On voit même par sa belle solution du problème de

la réfraction de la lumière, en supposant qu' elle parvient d' un

point à un autre dans le tems le plus court, et en concevant qu'

elle se meut dans les divers milieux diaphanes, avec différentes

vîtesses ; on voit, dis-je, qu' il savait étendre son calcul, aux

fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationalités,

par l' élévation des radicaux aux puissances. Newton a depuis

rendu ce calcul plus analytique, dans sa méthode des fluxions, et

il en a simplifié et généralisé les procédés, par l' invention de

son théorème du binome. Enfin, presqu' en même tems, Léibnitz a

enrichi le calcul différentiel d' une notation très-heureuse, et

qui s' est adaptée d' elle-même à l' extension que le calcul

différentiel a reçue par la considération des différentielles

partielles. La langue de l' analyse, la plus parfaite de toutes

les langues, étant par elle-même un puissant instrument de

découvertes ; ses notations, lorsqu' elles sont nécessaires et

heureusement imaginées, sont les germes de nouveaux calculs.

Ainsi la simple idée qu' eut Descartes, d' indiquer les

puissances représentées par des lettres, en écrivant vers le haut

de ces lettres, les nombres qui expriment le degré de ces

puissances, a donné naissance au calcul exponentiel ; et

Léibnitz a été conduit par sa notation, à l' analogie singulière

des puissances et des différences. Le calcul des fonctions

génératrices, qui donne la véritable origine

de cette analogie, offre tant d' exemples de ce transport des

exposans des puissances aux caractéristiques, qu' il peut encore

être considéré comme le calcul exponentiel des caractéristiques.

Le calcul des différences finies et des sommes des fonctions

rationnelles et entières d' une variable, a précédé le calcul

différentiel ; mais la considération des équations aux

différences finies, a suivi celle des équations aux différences

infiniment petites. à la vérité, les termes généraux des

progressions arithmétiques et géométriques, que l' on connaissait

depuis long-tems, ne sont au fond que les intégrales d' équations

aux différences finies, données par l' égalité des rapports

arithmétiques et géométriques à des constantes ; mais on ne les

avait pas envisagés sous ce point de vue, l' un de ceux qui, se

rattachant à des théories générales, ont plusieurs fois conduit à

ces théories, et sont par là de véritables découvertes. Taylor

et Moivre sont, si je ne me trompe, les premiers qui aient

considéré les équations aux différences finies. Moivre a intégré

généralement les équations linéaires aux différences finies à

coefficiens constans, et qu' il a désignées sous le nom d'

échelles des suites récurrentes . Sa théorie est une des choses

les plus curieuses et les plus utiles que l' on ait trouvées sur

les suites. J' ai considéré depuis, les équations linéaires aux

différences finies partielles ; plusieurs géomètres se sont

ensuite occupés du même objet. L' intégration de ces équations,

comme tout ce qui concerne les séries, découle avec une extrême

facilité de la théorie des fonctions génératrices.

p58

15 la valeur de (..) donnée par la formule ( (..) ) du numéro

précédent, dépendant de la connaissance de (..) ; il est visible

que ces quantités seront connues, lorsque l' on aura le

coefficient de (..) dans le développement de (..) ; tout se réduit

donc à déterminer ce coefficient. On a par le N 5, (..) .

p59

Si l' on fait (..) , et que l' on différentie l' expression

précédente de (..) , N fois de suite par rapport à S, on aura

avec l' équation précédente, (..) équations, au moyen desquelles,

en éliminant les puissances indéterminées (..) , on parviendra à

une équation linéaire entre (..) , dont les coefficiens seront

fonctions de (..) , et de leurs différentielles prises par rapport

à S ; or il est clair que (..) doivent entrer de la même manière

dans ces coefficiens que l' on pourra ainsi obtenir en fonctions

rationnelles et entières des coefficiens de l' équation qui donne

les valeurs de (..) , et des différences de ces coefficiens, et par

conséquent en fonctions rationnelles de S. En faisant ensuite

disparaître les dénominateurs de ces fonctions, on aura une

équation linéaire entre (..) et ses différentielles, équation dont

les coefficiens seront des fonctions rationnelles et entières de

S. Cela posé, considérons un terme quelconque de cette équation,

tel que (..) , et nommons (..) le coefficient de (..) dans le

développement de (..) suivant les puissances de (..) ; ce

coefficient dans le développement de (..) sera (..) . En repassant

ainsi des fonctions génératrices à leurs coefficiens, l' équation

entre (..) et ses différences, donnera une équation entre (..) ,

dont les coefficiens seront des fonctions rationnelles de R, et

dont l' intégrale sera la valeur de (..) . Il suit de là que l'

intégration de toute équation linéaire aux différences finies

partielles, dont les coefficiens sont constans, dépend, 1 de l'

intégration d' une équation linéaire aux différences finies dont

les coefficiens sont variables ; 2 d' une intégrale définie

p60

L' intégrale définie dont dépend la valeur de (..) dans la formule

( (..) ) est relative à R, et doit s' étendre jusqu' à (..) .

Relativement à l' équation aux différences partielles du premier

ordre (..) , on a (..) ; on a de plus (..) ; ce qui donne (..) ; d' où

l' on tire cette équation différentielle (..) ; ce qui donne l'

équation aux différences finies (..) ; on a ensuite (..) . La

formule ( (..) ) du numéro précédent deviendra donc (..) , l'

intégrale finie étant prise depuis (..) jusqu' à (..) . C' est l'

intégrale complète de l' équation précédente aux différences

partielles du premier ordre. L' équation aux différences en (..)

donne en l' intégrant, (..) , H étant une constante arbitraire ;

et le dénominateur étant l' unité, lorsque R est nul. Pour

déterminer cette constante, on observera

p61

que le coefficient indépendant de (..) dans (..) est (..) ; c' est

la valeur de (..) , et par conséquent de H ; on aura donc (..) . En

passant du fini à l' infiniment petit, la méthode précédente

donnera l' intégrale des équations linéaires aux différences

infiniment petites partielles dont les coefficiens sont constans,

1 en intégrant une équation linéaire aux différences infiniment

petites ; 2 au moyen d' une intégrale définie. Mais ce n' est

pas ici le lieu de m' étendre sur cet objet que j' ai considéré

ailleurs avec étendue. On doit faire ici une remarque importante

relative au nombre des fonctions arbitraires que renferme l'

expression générale de (..) . Ce nombre, dans la formule ( (..) ) du

numéro précédent, est égal à N ; mais il devient plus petit dans

le cas où la valeur de Z du N 13 ne renfermant que des

puissances de (..) moindres que N, la plus haute puissance (..) a

un coefficient constant ou indépendant de (..) . Alors en suivant

l' analyse précédente, et déterminant à son moyen la valeur de

, comme nous avons déterminé celle de (..) ; en repassant ensuite

des fonctions génératrices à leurs coefficiens, on parviendra à

une formule analogue à la formule ( (..) ) ; seulement, l' intégrale

définie, au lieu de s' étendre jusqu' à (..) , devra s' étendre

jusqu' à (..) . Cette nouvelle expression de (..) , ne dépendra plus

que des (..) fonctions arbitraires (..) ; et tandis que la première

suppose la connaissance des N premiers rangs verticaux de la

table (Q) du N 14 ; celle-ci n' exige que la connaissance des

premiers rangs horizontaux de la même table. Ainsi les N

fonctions arbitraires (..) de la formule ( (..) ) n' équivalent qu' à

fonctions arbitraires distinctes. En effet, l' équation

proposée aux différences partielles, donne (..) au moyen des

valeurs de (..) , R étant un nombre entier. Elle donne

pareillement (..) au moyen de (..) , et éliminant (..) au moyen de

p62

son expression, on a (..) au moyen de (..) ; en continuant ainsi,

on voit que l' expression générale de (..) ne dépend que des

arbitraires (..) ; on peut donc, au moyen des (..) premiers rangs

horizontaux de la table (Q), former tous ses rangs verticaux qui

sont, chacun, des fonctions de (..) , dans lesquelles I est

invariable. En passant du fini à l' infiniment petit, on voit

avec évidence, que le nombre des fonctions arbitraires des

équations aux différentielles partielles, peut être moindre que

le plus haut degré de la différentielle dans ces équations.

p70

considérations sur le passage du fini à l' infiniment petit.

19 le passage du fini à l' infiniment petit, consiste à

négliger les différences infiniment petites, par rapport aux

quantités finies, et généralement les infiniment petits d' un

ordre supérieur, relativement à ceux d' un ordre inférieur. Cette

omission semble ôter à ce passage, la rigueur géométrique ; mais

pour se convaincre de son entière exactitude, il suffit de le

considérer comme le résultat de

p71

la comparaison des puissances homogènes d' une variable

indéterminée, dans le développement des termes d' une équation

qui subsiste, quelle que soit cette indéterminée ; car il est

clair que les termes affectés de la même puissance, doivent se

détruire mutuellement. Pour rendre cela sensible par un exemple,

considérons l' équation suivante que donne l' équation (Q) du N

10, en y faisant (..) , (..) est la caractéristique des différences

finies, (..) variant de (..) , et D est la caractéristique des

différences, (..) variant de (..) . L' équation précédente

développée donne, en appliquant conformément à l' analyse du

numéro cité, les exposans des puissances de (..) à la

caractéristique D, (..) . Supposons qu' en développant la fonction

de (..) , représentée par (..) , on ait (..) . Développons pareillement

suivant les puissances de (..) , et supposons que l' on ait (..)

;

p72

l' expression précédente de (..) deviendra ainsi, (..) étant

indéterminé, les termes indépendans de (..) doivent être égalés

séparément entre eux ; on a donc (..) . Maintenant, (..) est le

coefficient de (..) dans le développement de (..) ; c' est ce que

l' on désigne dans le calcul différentiel, par (..) . Pareillement

est le coefficient de (..) dans le développement de (..) ; c'

est ce que l' on désigne par (..) , ou par (..) , et ainsi de suite ;

en substituant donc dans l' équation précédente, (..) au lieu de

, on aura le théorème suivant, (..) . Considéré comme résultat de

la comparaison des termes indépendans de (..) , ce théorème ne

laisse aucun doute sur son exactitude rigoureuse, et il est

visible par l' analyse précédente, que cette comparaison revient

à négliger les termes multipliés par (..) et ses puissances,

relativement aux quantités finies ; cette omission n' ôte donc

rien à la rigueur du calcul différentiel. Mais on voit de plus,

à priori, que les termes affectés de la même puissance de l'

indéterminée (..) , doivent se détruire mutuellement, ce que l' on

peut vérifier à posteriori ; ainsi ce que l' on néglige comme

infiniment petit est rigoureusement nul ; ensorte que l' omission

des infiniment petits, relativement aux quantités finies, n' est

au fond qu' un moyen facile d' éliminer les termes superflus qui

doivent disparaître dans le résultat final.

p73

Ce rapprochement du calcul aux différences finies, et du calcul

différentiel, met en évidence la rigueur des résultats de ce

dernier calcul, et donne sa vraie métaphysique ; mais ses

applications à l' étendue, à la durée et au mouvement, supposent

de plus, le principe des limites. On peut, par un rapprochement

semblable, éclaircir divers points de l' analyse infinitésimale,

qui ont été des sujets de contestation parmi les géomètres :

telle est la discontinuité des fonctions arbitraires dans les

intégrales des équations aux différences partielles. Ceux qui ont

rejeté cette discontinuité, se fondaient sur ce que l' analyse

ordinaire des différences infiniment petites, suppose que les

différentielles successives d' une fonction, doivent être

infiniment petites relativement aux précédentes, ce qui n' a

point lieu lorsque la fonction est discontinue. Pour éclaircir

cette question délicate, il faut la considérer dans les

différences finies, et observer ce qui arrive dans le passage de

ces différences aux différences infiniment petites. Prenons pour

exemple l' équation suivante aux différences finies partielles

; son équation génératrice est, par le N 16, (..) ; et en

suivant l' analyse donnée précédemment, il est facile d' en

conclure que l' intégrale complète de l' équation proposée (A)

est (..) , (..) étant une fonction arbitraire de (..) étant une

fonction arbitraire de (..) . Il est facile d' ailleurs de s'

assurer que cette valeur satisfait à la proposée, et qu' elle en

est l' intégrale complète, puisqu' elle renferme deux fonctions

arbitraires. Supposons présentement que dans la table suivante,

p74

on connaisse les deux premiers rangs horizontaux compris entre

les deux colonnes verticales extrêmes (..) et que l' on connaisse

de plus tous les termes de ces deux colonnes ; on pourra

déterminer toutes les valeurs de (..) qui tombent entre ces

colonnes. Car si l' on veut former le troisième rang horizontal,

on observera que l' équation (A) donne (..) . En faisant dans

cette dernière équation, (..) , et successivement (..) , on aura les

valeurs de (..) , ou le troisième rang horizontal, au moyen des

deux premiers rangs horizontaux. On formera de la même manière,

le quatrième rang horizontal, et ainsi de suite à l' infini. Mais

si l' on veut déterminer les valeurs de (..) qui tombent hors de

la table (Z), les conditions précédentes ne suffisent pas, et il

faut leur en ajouter d' autres. Reprenons l' intégrale (..) ; et

supposons que le second rang horizontal qui détermine une des

deux fonctions arbitraires, soit tel que l' on ait (..) . Il est

facile de voir que cette équation satisfait à l' équation

proposée (A) ; mais elle n' en est qu' une intégrale

particulière qui répond au cas où le second rang horizontal se

forme du premier, au moyen de l' équation (..) . Tant que (..) sera

égal ou moindre que N, et que (..) sera positif ou nul ; on aura

la valeur de (..) au moyen du premier

p75

rang horizontal. Mais lorsque (..) croissant, (..) deviendra plus

grand que N, ou lorsque (..) deviendra négatif ; il faudra

déterminer les valeurs de (..) , au moyen des deux colonnes

verticales extrêmes. Supposons que tous les termes de ces

colonnes soient nuls, et que l' on ait ainsi (..) . En faisant (..)

nul dans l' équation (..) , on aura (..) . En faisant ensuite (..)

dans la même équation, on aura (..) . Si l' on change ensuite dans

cette dernière équation (..) , on aura (..) . On pourra ainsi, au

moyen de ces deux équations, continuer les valeurs de (..) à l'

infini, du côté des valeurs positives de X, et l' on en conclura

celles qui répondent à X négatif, au moyen de l' équation (..) .

De là résulte la construction suivante. Représentons les valeurs

de (..) depuis (..) jusqu' à (..) , par les ordonnées menées aux

angles d' un polygone dont l' abscisse soit X, et dont les deux

extrémités, que je désigne par Aetb, aboutissent aux points où

. On portera ce polygone depuis (..) , en lui donnant une position

contraire à celle qu' il avait depuis (..) ; c' est-à-dire, une

position telle, que les parties qui étaient au dessus de l' axe

des abscisses X, se trouvent au-dessous, le point B restant d'

ailleurs dans cette seconde position, à la

p76

même place que dans la première, et le point A répondant ainsi à

l' abscisse (..) . On placera ensuite ce même polygone, depuis (..)

jusqu' à (..) , en lui donnant une position contraire à la seconde,

et par conséquent semblable à la première, de manière que le

point A, dans cette troisième position, conserve la place qu' il

avait dans la seconde, et qu' ainsi le point B réponde à l'

abscisse (..) . En continuant de placer ainsi ce polygone

alternativement au-dessus et au-dessous de l' axe des abscisses ;

les ordonnées menées aux angles de cette suite de polygones,

seront les valeurs de (..) qui répondent à X positif.

Pareillement, on placera ce polygone depuis (..) jusqu' à (..) , en

lui donnant une position contraire à celle qu' il avait depuis

jusqu' à (..) , A restant d' ailleurs à la même place dans ces

deux positions. On placera ensuite ce polygone depuis (..) jusqu'

à (..) , en lui donnant une position contraire à la seconde, le

point B conservant la même place, et ainsi de suite à l' infini.

Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs de (..) ,

qui répondent à X négatif. On aura ensuite la valeur de (..) en

prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent aux

abscisses (..) . Cette construction géométrique est générale,

quelle que soit la nature du polygone que nous venons de

considérer. Elle servira à déterminer toutes les valeurs de (..) ,

comprises depuis (..) , pourvu que l' on ait (..) , et que d'

ailleurs le second rang horizontal de la table (Z) soit tel, que

l' on ait (..) . On a par ce qui précède (..) ; il suit de là que

dans la table (Z), le (..) rang horizontal, est

p77

le (..) rang pris avec un signe contraire et dans un ordre

renversé ; ensorte que le terme (..) est le même que le terme (..)

rang pris avec un signe contraire. On a ensuite (..) . Considérons

présentement les vibrations d' une corde tendue, dont la figure

initiale soit quelconque, pourvu qu' elle soit très-rapprochée

dans tous ses points, de l' axe des abscisses. Nommons X l'

abscisse, T le tems, (..) l' ordonnée d' un point quelconque de

la corde, après le tems T. Concevons de plus l' abscisse X

partagée dans une infinité de parties égales à Dx, et que nous

prendrons pour unité ; ce qui revient à considérer X comme un

nombre infini. Cela posé, on aura par les principes de dynamique,

; A étant un coefficient constant dépendant de la tension et

de la grosseur de la corde. Si l' on fait (..) deviendra une

fonction de (..) , que nous désignons par (..) ; or la grandeur de

Dt étant arbitraire, on peut la supposer telle, que la variation

de (..) soit égale à celle de X, que nous avons prise pour l'

unité ; l' équation précédente devient ainsi (..) étant ici des

nombres infinis. Cette équation est la même que celle que nous

venons de considérer ; ainsi la construction géométrique que nous

avons donnée précédemment, peut être

p78

employée dans ce cas : le polygone dont les ordonnées des angles

sont représentées par (..) , est ici la figure initiale de la corde

; mais il faut pour cela supposer la longueur N, divisée dans

une infinité de parties égales à Dx. Il faut de plus que la

corde soit fixe à ses extrémités, afin que l' on ait (..) . D'

ailleurs l' équation de condition (..) . Or (..) est la vitesse

initiale de la corde ; cette vitesse doit donc être nulle à l'

origine du mouvement. Toutes les fois que ces conditions auront

lieu, la construction précédente donnera toujours le mouvement de

la corde, quelle que soit sa figure initiale, pourvu cependant

que dans tous ses points, (..) soit un infiniment petit du second

ordre, c' est-à-dire que deux élémens contigus de la corde, ne

forment point un angle fini. Cette condition est nécessaire pour

que l' équation différentielle du problème puisse subsister, et

pour que celle-ci (..) . Mais d' ailleurs il est évident, par ce

qui précède, que la figure initiale de la corde peut être

discontinue et formée d' un nombre quelconque d' arcs de courbes

différentes, pourvu que ces arcs se touchent. Les diverses

situations de la corde dans son mouvement, sont représentées par

les rangs horizontaux de la table (Z) ; et comme

p79

les rangs qui correspondent aux valeurs de (..) sont les mêmes par

ce qui précède, il en résulte que la corde revient à la même

situation après les tems (..) . On voit encore par la construction

géométrique donnée ci-dessus, que si l' on conçoit une suite de

cordes liées entre elles, et placées alternativement au-dessus et

au-dessous de l' axe des abscisses, comme dans cette construction

; toutes ces cordes vibreront de la même manière, ensorte que

leurs figures initiales étant les mêmes, leurs figures seront

constamment pareilles. On peut même ne fixer que les deux

extrémités de cette suite, et laisser leurs noeuds entièrement

libres ; car les élémens des deux cordes au point de leur

jonction, étant en ligne droite et également tendus, ce point n'

a aucune tendance à se mouvoir, et doit conséquemment rester

immobile ; ce que l' expérience confirme. Cette analyse des

cordes vibrantes, établit d' une manière incontestable, la

possibilité d' admettre des fonctions discontinues dans ce

problème ; et l' on en doit généralement conclure que ces

fonctions peuvent être employées dans tous les problèmes qui

dépendent d' équations à différences partielles infiniment

petites, pourvu qu' elles puissent subsister avec ces équations

et avec les conditions du problème. On peut en effet considérer

ces équations, comme des cas particuliers d' équations aux

différences finies, dans lesquelles on suppose que les variables

deviennent infinies ; or rien n' étant négligé dans la théorie

des équations aux différences finies partielles, il est visible

que les fonctions arbitraires de leurs intégrales, ne sont point

assujéties à la loi de continuité, et que les constructions de

ces équations, au moyen de polygones, ont lieu quelle que soit la

nature de ces polygones. Maintenant lorsqu' on passe du fini à l'

infiniment petit, ces polygones se changent dans des courbes qui,

par conséquent, peuvent être discontinues ; ainsi la loi de

continuité n' est nécessaire ni dans les fonctions arbitraires

des intégrales, ni dans les constructions géométriques qui les

représentent. Il faut seulement observer que si l' équation aux

différentielles partielles en (..) , est de l' ordre N, il ne doit

point y avoir de saut entre deux valeurs consécutives de ( (..) ),

p80

Rets étant des nombres entiers positifs, S pouvant être nul ;

c' est-à-dire que la différentielle de cette quantité doit être

infiniment petite par rapport à cette quantité elle-même. Cette

condition est indispensable pour que l' équation différentielle

proposée puisse subsister ; parce que toute équation

différentielle partielle suppose que les différentielles

partielles de (..) dont elle est formée, et divisées par les

puissances respectives de (..) , sont des quantités finies et

comparables entre elles ; mais rien n' oblige d' admettre la même

condition relativement aux différences de (..) de l' ordre N ou

d' un ordre supérieur. En prenant pour fonctions arbitraires, les

différences les plus élevées des fonctions arbitraires qui

entrent dans l' intégrale d' une équation aux différences

partielles ; cette intégrale ne renfermera plus alors que des

fonctions arbitraires et leurs intégrales successives qui sont

continues, parce qu' en général l' intégrale (..) est continue

dans le cas même où la fonction (..) ne l' est pas. La condition

précédente se réduit donc à ce que la différence (..) de chaque

fonction arbitraire soit continue, c' est-à-dire que sa

différentielle soit infiniment plus petite. Il ne doit donc point

y avoir de saut entre deux tangentes consécutives de la courbe

qui représente la fonction arbitraire de l' intégrale d' une

équation aux différentielles partielles du second ordre ; ainsi

dans le problème des cordes vibrantes que nous venons de discuter

, il est nécessaire et il suffit que deux élémens quelconques

contigus de la figure initiale de la corde, forment entre eux un

angle infiniment peu différent de deux angles droits. Il ne doit

point y avoir de saut entre deux rayons osculateurs consécutifs

de la courbe qui représente la fonction arbitraire continue dans

l' intégrale, si l' équation aux différences partielles est du

troisième ordre ; et ainsi de suite.

p86

Ainsi la même analyse qui donne les fonctions génératrices des

dérivées successives des variables, donne les fonctions sous le

signe (..) , des intégrales définies qui expriment ces dérivées. La

caractéristique (..) n' exprime, à proprement parler, qu' un

nombre I d' opérations consécutives ; la considération des

fonctions génératrices réduit ces opérations à des élévations d'

un polynome à ses diverses puissances ; et la considération des

intégrales définies donne directement l' expression de (..) , dans

le cas même où l' on supposerait I un nombre fractionnaire. Mais

le grand avantage de cette transformation des expressions

analytiques, en intégrales définies, est de fournir une

approximation aussi commode que convergente, de ces expressions,

lorsqu' elles sont formées d' un grand nombre de termes et de

facteurs ; c' est ce qui a lieu dans la théorie des probabilités,

quand le nombre des événemens que l' on considère est très-grand.

Alors le calcul numérique des résultats auxquels on est conduit

par la solution des problèmes, devient impraticable, et il est

indispensable d' avoir pour ce calcul, une méthode d'

approximation d' autant plus convergente, que ces résultats sont

plus compliqués. Leur expression en intégrales définies, procure

cet avantage, et celui de donner les lois suivant lesquelles la

probabilité des résultats indiqués par les événemens, approche de

la certitude à mesure que les événemens se multiplient, lois dont

la connaissance est l' un des objets les plus intéressans de la

théorie des probabilités. Ce fut à l' occasion d' un problème de

ce genre, dont la solution dépendait de l' expression du terme

moyen du binome élevé à une grande puissance, que Stirling

transforma cette expression dans une série très-convergente : son

résultat peut être regardé comme une des choses les plus

ingénieuses que l' on ait trouvées sur les suites. Il est surtout

remarquable, en ce que dans une recherche qui semble n' admettre

que des quantités algébriques, il introduit une quantité

transcendante, savoir, la racine carrée du rapport de la

circonférence au diamètre. Mais la méthode de Stirling, fondée

sur un théorème de Wallis, et sur l' interpolation des suites,

laissait à désirer une méthode directe qui s' étendît à toutes

les fonctions composées d' un grand nombre de termes

p87

et de facteurs. Telle est la méthode dont je viens de parler, et

que j' ai donnée d' abord dans les mémoires de l' académie des

sciences pour l' année 1778, et ensuite avec plus d' étendue,

dans les mémoires de la même académie, pour l' année 1782. Le

développement de cette méthode va être l' objet de la seconde

partie de ce livre, et complettera ainsi le calcul des fonctions

génératrices. Les séries auxquelles cette méthode conduit,

renferment le plus souvent, la racine carrée du rapport de la

circonférence au diamètre ; et c' est la raison pour laquelle

Stirling l' a rencontrée dans le cas particulier qu' il a

considéré ; mais quelquefois elles dépendent d' autres

transcendantes dont le nombre est infini. Les limites des

intégrales définies que cette méthode réduit en séries

convergentes, sont, comme on vient de le voir, données par les

racines d' une équation que l' on peut nommer équation des

limites . Mais une remarque très-importante dans cette analyse,

et qui permet de l' étendre aux fonctions que la théorie des

probabilités présente le plus souvent, est que les séries

auxquelles on parvient, ont également lieu dans le cas même où,

par des changemens de signe dans les coefficiens de l' équation

des limites, ses racines deviennent imaginaires. Ces passages du

positif au négatif, et du réel à l' imaginaire, dont les

premières applications ont paru, si je ne me trompe, dans les

mémoires cités, m' ont conduit dans ces mémoires, aux valeurs de

plusieurs intégrales définies, qui offrent cela de remarquable,

savoir, qu' elles dépendent à-la-fois de ces deux transcendantes,

le rapport de la circonférence au diamètre, et le nombre dont le

logarithme hyperbolique est l' unité. On peut donc considérer ces

passages, comme des moyens de découvertes, pareils à l' induction

dont les géomètres font depuis long-tems usage. Mais ces moyens,

quoique employés avec beaucoup de précautions et de réserve,

laissent toujours à desirer des démonstrations de leurs résultats

. Leur rapprochement des méthodes directes, servant à les

confirmer et à faire voir la grande généralité de l' analyse, et

pouvant par cette raison, intéresser les géomètres ; j' ai

insisté particulièrement sur ces passages qu' Euler considérait

en même tems que moi, et dont il a fait plusieurs applications

curieuses, mais qui n' ont paru que depuis la publication des

mémoires cités.

p120

31 la principale difficulté que présente l' application de la

méthode précédente, consiste dans l' intégration des équations

différentielles linéaires qui déterminent (..) . Les degrés de ces

équations ne dépendent point de ceux des équations aux

différences en (..) ; ils dépendent uniquement des puissances les

plus élevées de S, dans leurs coefficiens. En ne considérant

donc qu' une seule variable (..) , l' équation différentielle en

sera d' un degré égal au plus haut exposant de S, dans les

coefficiens de l' équation aux différences en (..) . L' équation

différentielle en (..) ne sera ainsi résoluble généralement que

dans le cas où ce plus haut exposant est l' unité. Développons ce

cas fort étendu. Représentons l' équation différentielle en (..)

par la suivante, (..) étant des fonctions linéaires de la variable

principale (..) et de ses différences, soit finies, soit

infiniment petites. Si l' on fait (..) ; Metn étant des fonctions

de X ; on aura donc, en intégrant

p121

par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations

suivantes, (..) , H étant une constante arbitraire. Supposons C

nul dans la seconde équation ; (..) sera l' une des limites de l'

intégrale (..) , suivant que l' on prend (..) . On déterminera les

autres limites, en résolvant l' équation (..) . Appliquons à cette

intégrale, la méthode d' approximation du N 23. Si l' on désigne

par A, la valeur de X, donnée par l' équation (..) , ce que

devient la fonction (..) , lorsqu' on y change Xena ; on fera (..)

; si l' on suppose S très-grand, et si l' on fait (..) sera un

très-petit coefficient. La quantité sous le radical prendra cette

forme (..) . X, X étant une fonction de (..) ; on aura donc, par

le retour des suites, la valeur de Xent, par une série de cette

forme, (..) . Maintenant, (..) , si l' on substitue dans cette

intégrale, au lieu de (..) , on substitue pour X, sa valeur

p122

en T, on aura (..) par une suite de cette forme, (..) , les limites

de l' intégrale relative à T devant se déterminer par la

condition qu' à ces limites, la quantité (..) , ou son équivalente

, soit nulle ; d' où il suit que ces limites sont (..) ; on aura

donc par le N 24, (..) . Cette expression a l' avantage d' être

indépendante de la détermination des limites en X, qui rendent

nulle la fonction (..) ; ensorte qu' elle subsiste dans le cas

même où cette fonction, égalée à zéro, n' a point de racines

réelles ; elle subsiste encore dans le cas de S négatif. Cette

remarque analogue à celle que nous avons faite dans le N 25, et

qui tient, comme elle, à la généralité de l' analyse, est très-

remarquable en ce qu' elle donne le moyen d' étendre la formule

précédente, à un grand nombre de cas auxquels la méthode qui nous

y a conduits, semble d' abord se refuser. Cette formule ne

renferme que la constante arbitraire H, et par conséquent, elle

n' est qu' une intégrale particulière de l' équation

différentielle proposée en (..) , si cette équation est d' un ordre

supérieur à l' unité. Pour avoir dans ce cas, l' intégrale

complète, il faudra chercher dans l' équation (..) , autant de

valeurs différentes de X, qu' il y a d' unités dans cet ordre.

Soient (..) ces valeurs ; on changera successivement dans l'

expression précédente de (..) ; on aura autant de valeurs

particulières qui renferment chacune une arbitraire, et dont la

somme sera l' expression complète de (..) . Quand les coefficiens

de la proposée en (..) renferment des puissances de S supérieures

à l' unité ; on peut quelquefois décomposer cette équation en

plusieurs autres qui ne renferment que cette première puissance.

Si l' on a, par exemple, l' équation (..) ,

p123

M étant une fonction rationnelle et entière de S ; on mettra

cette fonction sous la forme (..) . Il est facile, par ce qui

précède, de déterminer (..) en intégrales définies, et de réduire

ces intégrales en séries convergentes, lorsque S est un grand

nombre. On aura ensuite (..) . Dans plusieurs cas où l' équation

différentielle en (..) étant d' un ordre supérieur au premier, ne

peut être intégrée rigoureusement, on peut déterminer (..) par une

approximation très-convergente ; en substituant ensuite cette

valeur de (..) dans l' intégrale (..) , on peut obtenir d' une

manière fort approchée la valeur de cette intégrale. 32 l'

analyse exposée dans les numéros précédens, s' étend encore aux

équations à différences partielles, finies et infiniment petites.

Pour cela, considérons d' abord l' équation linéaire aux

différentielles partielles dont les coefficiens sont constans. En

désignant par (..) la variable principale, (..) étant les deux

variables dont elle est fonction ; et représentant cette équation

par celle-ci, (..) étant une fonction linéaire de (..) et de ses

différences partielles ; on y supposera (..) , (..) étant une

fonction de X ; alors l' équation (..) prend cette forme (..) , M

étant une fonction de X et de (..) . En égalant donc

p124

M à zéro, on aura la valeur de (..) , et cette valeur substituée

dans l' intégrale (..) , donnera l' expression générale de (..) ,

dans laquelle (..) est une fonction arbitraire de X ; les limites

de l' intégrale étant indépendantes de X, mais d' ailleurs

arbitraires. Si l' équation proposée (..) , est de l' ordre N, il

faudra, au moyen de l' équation (..) , déterminer un nombre N de

valeurs de (..) . La somme des N valeurs de (..) qui en résulteront

, et dans lesquelles on pourra mettre pour (..) des fonctions

arbitraires différentes de X, sera l' expression complète de (..)

. Il résulte de ce que nous avons dit dans la première partie de

ce livre, que l' équation (..) est l' équation génératrice de l'

équation proposée (..) . Considérons présentement l' équation aux

différences partielles (..) , dans laquelle V, T, Etr sont des

fonctions quelconques linéaires de (..) et de ses différences

partielles, soit finies, soit infiniment petites. Si l' on y

suppose, comme ci-dessus, (..) étant une fonction de X qu' il s'

agit de déterminer. On aura une équation de cette forme (..) ; par

conséquent, si l' on désigne (..) , et si l' on suppose que l' on a

substitué dans Metn pour (..) sa valeur en X,

p125

on aura (..) . Cette équation intégrée par parties, comme dans les

numéros précédens, donne les deux suivantes, (..) . La première

détermine (..) , et la seconde donne les limites de l' intégrale

. Cette valeur de (..) ne renfermant point de fonction arbitraire

, elle n' est qu' une intégrale particulière de l' équation

proposée aux différences partielles. Pour la rendre complète, on

observera que l' intégrale de l' équation (..) , qui détermine (..) ,

Q étant une fonction de X, et d' une constante arbitraire que

nous désignerons par U ; en représentant donc par (..) , une

fonction arbitraire de U, l' équation proposée aux différences

partielles sera satisfaite par cette valeur de (..) ; l' intégrale

relative à X étant prise entre les limites déterminées par l'

équation (..) , et l' intégrale relative à U étant prise entre des

limites quelconques. Cette valeur de (..) sera donc l' intégrale

complète de l' équation proposée aux différences partielles, si

celle-ci est du premier ordre ; mais si elle est d' un ordre

supérieur, il faudra, au moyen de l' équation (..) , déterminer

autant de valeurs de Xenu, qu' il y a d' unités dans cet ordre.

La réunion des valeurs de (..) auxquelles on parviendra, sera l'

expression complète de (..) .

p174

remarque générale sur la convergence des séries. 44 nous

terminerons cette introduction, par une observation importante

sur la convergence des séries dont nous avons fait un si fréquent

usage. Ces séries convergent très-rapidement dans leurs premiers

termes ; mais souvent cette convergence diminue et finit par se

changer en divergence. Elle ne doit pas empêcher l' usage de ces

séries, en n' employant que leurs premiers termes, dans lesquels

la convergence est rapide ; car le reste de la série, que l' on

néglige, est le développement d' une fonction algébrique ou

intégrale, très-petite par rapport à ce qui précède. Pour rendre

cela sensible par un exemple, considérons le développement en

série, de l' intégrale (..) , prise depuis (..) jusqu' à T infini.

On a, par le N 27,

p175

. Cette série finit par être divergente, quelque grande que

soit la valeur que l' on suppose à T ; mais alors on peut

employer sans erreur sensible, ses premiers termes. En effet, si

l' on considère, par exemple, ses quatre premiers termes, le

reste de la série sera (..) ; or cette quantité, abstraction faite

du signe, est plus petite que le terme (..) qui précède ; c' est-à

-dire que l' on a (..) , T étant égal à (..) , et l' intégrale

devant être prise depuis Z nul jusqu' à Z infini. On a donc (..)

; or cette dernière quantité est moindre que (..) , lorsque (..)

surpasse 7 ; par conséquent si T est un grand nombre, on peut

employer sans crainte d' erreur sensible, les premiers termes de

la série précédente qui exprime l' intégrale (..) . Ce que nous

venons de dire sur cette série, peut s' appliquer à toutes celles

que nous avons considérées, et doit ôter toute inquiétude sur les

usages que nous en avons faits.

p177

principes généraux de cette théorie. 1 tous les événemens,

ceux même qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux

grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que

les révolutions célestes. Une intelligence qui pour un instant

donné, connaîtrait toutes les forces dont la matière est animée,

ainsi que la position et la vîtesse de chacune de ses molécules ;

si d' ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données

à l' analyse, embrasserait dans la même formule, les mouvemens

les plus grands corps de l' univers et ceux du plus léger atome.

Pour une semblable intelligence, rien ne serait irrégulier, et la

courbe décrite par une simple molécule d' air ou de vapeurs,

paraîtrait réglée d' une manière aussi certaine, que l' est pour

nous l' orbe du soleil. Mais dans l' ignorance où nous sommes de

l' immensité des données nécessaires à la solution de ce grand

problème, et dans l' impossibilité, vu notre faiblesse, d'

assujétir au calcul la plupart de celles qui nous sont connues,

alors même que leur nombre est très-borné ; nous attribuons les

phénomènes qui nous paraissent arriver et se succéder sans aucun

ordre, à des causes variables et cachées, dont l' action a été

désignée par le mot hasard , mot qui n' est au fond que l'

expression de notre ignorance. La probabilité est relative, en

partie, à cette ignorance, et en

p178

partie, à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus

grand nombre d' événemens, un seul doit exister ; mais rien ne

porte à croire que l' un d' eux arrivera plutôt que les autres.

Dans cet état d' indécision, il est impossible de prononcer avec

certitude sur leur existence. Il est cependant probable qu' un de

ces événemens, pris à volonté, n' existera pas ; parce que, sur

divers cas pour nous également possibles, nous en voyons

plusieurs qui excluent son existence, tandis qu' un seul la

favorise. La théorie des probabilités consiste à réduire tous les

événemens qui peuvent avoir lieu dans une circonstance donnée, à

un certain nombre de cas également possibles, c' est-à-dire tels

que nous soyons également indécis sur leur existence, et à

déterminer parmi ces cas, le nombre de ceux qui sont favorables à

l' événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce

nombre à celui de tous les cas possibles, est la mesure de cette

probabilité qui n' est donc qu' une fraction dont le numérateur

est le nombre des cas favorables, et dont le dénominateur est

celui de tous les cas possibles.

p189

de la probabilité des événemens composés d' événemens simples

dont les possibilités respectives sont données. 3 si l' on

développe le produit ( (..) ) composé de N facteurs ; ce

développement renfermera toutes les combinaisons possibles des N

lettres (..) , prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc.

Jusqu' à N ; et chaque combinaison aura pour coefficient l'

unité. Ainsi la combinaison (..) résultant du produit ( (..) ),

multiplié par le terme 1 du développement des autres facteurs ;

son coefficient est évidemment l' unité. Maintenant, pour avoir

le nombre total des combinaisons de N lettres prises Xàx ; on

observera que chacune de ces combinaisons devient (..) , lorsqu' on

suppose (..) égaux à P. Alors le produit des N facteurs

précédens se change dans le binome ( (..) ) ; or le coefficient de

dans le développement de ce binome, est (..) ; cette quantité

exprime donc le nombre des combinaisons des N lettres prises

Xàx. On aura le nombre total des combinaisons de ces lettres,

prises une à une, deux à deux, etc. Jusqu' à Nàn, en faisant (..)

, dans le binome ( (..) ), et en retranchant l' unité ; ce qui donne

pour ce nombre. Supposons que dans chaque combinaison, on ait

égard non-seulement au nombre des lettres, mais encore à leur

situation ; on déterminera le nombre des combinaisons, en

observant que dans la combinaison de deux lettres, (..) , on peut

mettre (..) à la seconde

p190

place, et ensuite à la première ; ce qui donne les deux

combinaisons (..) . En introduisant ensuite une nouvelle lettre (..)

dans chacune de ces combinaisons, on peut la mettre à la première

, à la seconde ou à la troisième place ; ce qui donne (..)

combinaisons. En continuant ainsi, on voit que dans une

combinaison de X lettres, on peut leur donner (..) situations

différentes ; d' où il suit que le nombre total des combinaisons

de N lettres, prises Xàx, étant par ce qui précède, (..) ; le

nombre total des combinaisons, lorsqu' on a égard à la différente

situation des lettres, sera cette même fonction, en supprimant

son dénominateur. On peut facilement, au moyen de ces formules,

déterminer les bénéfices des loteries. Supposons que le nombre

des numéros d' une loterie, soit N, et qu' il en sorte R à

chaque tirage ; on veut avoir la probabilité qu' une combinaison

de S de ces numéros, sortira au premier tirage. Le nombre total

des combinaisons des numéros, pris Ràr, est par ce qui précède,

. Pour avoir parmi ces combinaisons, le nombre de celles dans

lesquelles les S numéros sont compris, on observera que si l' on

retranche ces numéros de la totalité des numéros, et que l' on

combine (..) , le reste (..) , le nombre de ces combinaisons sera le

nombre cherché ; car il est clair qu' en ajoutant les S numéros

à chacune de ces combinaisons, on aura les combinaisons Ràr des

numéros dans lesquelles sont ces S numéros. Ce nombre est donc

; en le divisant par le nombre total des combinaisons Ràr des

N numéros, on aura pour la probabilité cherchée, (..) .

p191

En divisant cette quantité par (..) , on aura par ce qui précède,

la probabilité que les S numéros sortiront dans un ordre

déterminé entre eux. On aura la probabilité que les S premiers

numéros du tirage, seront ceux de la combinaison proposée, en

observant que cette probabilité revient à celle d' amener cette

combinaison, en supposant qu' il ne sort que S numéros à chaque

tirage ; ce qui revient à faire (..) dans la fonction précédente

qui devient ainsi (..) . Enfin, on aura la probabilité que les S

numéros choisis sortiront les premiers dans un ordre déterminé,

en réduisant le numérateur de cette fraction, à l' unité. Les

quotiens des mises divisées par ces probabilités, sont ce que la

loterie doit rendre aux joueurs : l' excédant de ces quotiens sur

ce qu' elle donne, est son bénéfice. En effet, si l' on nomme P

la probabilité du joueur, M sa mise, et X ce que la loterie

doit lui rendre, pour l' égalité du jeu ; (..) sera la mise de la

loterie ; car ayant reçu la mise M, et rendant X au joueur ;

elle ne met au jeu que (..) . Or pour l' égalité du jeu, l'

espérance mathématique de chaque joueur doit être égale à sa

crainte : son espérance est le produit de la mise (..) de son

adversaire, par la probabilité P de l' obtenir : sa crainte est

le produit de sa mise M, par la probabilité (..) de la perte. On

a donc (..) ; c' est-à-dire que pour l' égalité du jeu, les mises

doivent être réciproques aux probabilités de gagner. Cette

équation donne (..) ; ainsi ce que la loterie doit rendre, est le

quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour

gagner.

p210

Le problème que nous venons de résoudre, est celui que l' on

nomme problème des partis dans l' analyse des hasards. Le

chevalier De Méré le proposa à Pascal, avec quelques-autres

problèmes sur le jeu des dés. Deux joueurs dont les adresses sont

égales, ont mis au jeu la même somme ; ils doivent jouer jusqu' à

ce que l' un d' eux ait gagné un nombre de fois donné, son

adversaire ; mais ils conviennent de quitter le jeu, lorsqu' il

manque encore X points au premier joueur pour atteindre ce

nombre donné, et lorsqu' il manque (..) points au second joueur.

On demande de quelle manière ils doivent se partager la somme

mise au jeu. Tel est le problème que Pascal résolut au moyen de

son triangle arithmétique. Il le proposa à Fermat qui en donna

la solution par la voie des combinaisons ; ce qui occasionna

entre ces deux grands géomètres une discussion, à la suite de

laquelle Pascal reconnut la bonté de la méthode de Fermat, pour

un nombre quelconque de joueurs. Malheureusement nous n' avons

qu' une partie de leur correspondance, dans laquelle on voit les

premiers élémens de la théorie des probabilités, et leur

application à l' un des problèmes les plus curieux de cette

théorie.

p275

des lois de la probabilité, qui résultent de la

multiplication indéfinie des événemens. 16 à mesure que les

événemens se multiplient, leurs probabilités respectives se

développent de plus en plus : leurs résultats moyens et les

bénéfices ou les pertes qui en dépendent, convergent vers des

limites dont ils approchent avec des probabilités toujours

croissantes. La détermination de ces accroissemens et de ces

limites, est une des parties les plus intéressantes et les plus

délicates de l' analyse des hasards. Considérons d' abord la

manière dont les possibilités de deux événemens simples dont un

seul doit arriver à chaque coup, se développent lorsqu' on

multiplie le nombre de coups. Il est visible que l' événement

dont la facilité est la plus grande, doit probablement arriver

plus souvent dans un nombre donné de coups ; et l' on est porté

naturellement à penser qu' en répétant les coups un très-grand

nombre de fois, chacun de ces événemens arrivera

proportionnellement à sa facilité, que l' on pourra ainsi

découvrir par l' expérience. Nous allons démontrer analytiquement

cet important théorème.

p284

17 considérons une urne A renfermant un très-grand nombre N de

boules blanches et noires, et supposons qu' à chaque tirage, on

tire une boule de l' urne, et qu' on la remplace par une boule

noire. On demande la probabilité qu' après R tirages, le nombre

des boules blanches sera X. Nommons (..) cette probabilité. Après

un nouveau tirage, elle devient (..) . Mais pour qu' il y ait X

boules blanches après (..) tirages, il faut qu' il y ait ou (..)

boules blanches après le tirage R, et que le tirage suivant

fasse sortir une boule blanche, ou X boules blanches après le

tirage R, et que le tirage suivant fasse sortir une boule noire.

La probabilité qu' il y aura (..) boules blanches après R tirages

, est (..) , et la probabilité qu' alors le tirage suivant fera

sortir une boule blanche, est (..) ; la probabilité de l'

événement composé est donc (..) ; c' est la première partie de (..)

. La probabilité qu' il y aura X boules blanches après le tirage

R, est (..) ; et la probabilité qu' alors il sortira une boule

noire, est (..) , parce que le nombre des boules noires de l' urne

est (..) ; la probabilité de l' événement composé est donc (..) ;

c' est la seconde partie de (..) . Ainsi l' on a (..) . Si l' on fait

p285

cette équation devient (..) , N étant supposé un très-grand nombre

, on peut réduire en séries convergentes (..) ; on aura donc, en

négligeant les carrés et les puissances supérieures de (..) ; l'

intégrale de cette équation aux différences partielles est (..) ,

étant une fonction arbitraire de (..) , qu' il faut déterminer par

la valeur de (..) . Supposons que l' urne A ait été remplie de

cette manière. On projette un prisme droit dont la base étant un

polygone régulier de (..) côtés, est assez étroite pour que le

prisme ne retombe jamais sur elle. Sur les (..) faces latérales,

P sont blanches et Q sont noires, et l' on met dans l' urne A,

à chaque projection, une boule de la couleur de la face sur

laquelle le prisme retombe. Après N projections, le nombre des

boules blanches sera à fort peu près, par le N précédent, (..) et

la probabilité qu' il sera (..) , est, par le même numéro, (..) ;

p286

c' est la valeur de (..) ; mais la valeur précédente de (..) donne

. La valeur de X la plus probable est celle qui rend nul (..) ,

et par conséquent elle est égale à (..) ; la probabilité que la

valeur de X sera contenue dans les limites (..) , l' intégrale

étant prise depuis (..) . Cherchons maintenant la valeur moyenne du

nombre des boules blanches contenues dans l' urne A, après R

tirages. Cette valeur est la somme de tous les nombres possibles

de boules blanches, multipliés par leurs probabilités respectives

; elle est donc égale à (..) ,

p287

l' intégrale étant prise depuis (..) . Cette valeur est ainsi (..) ;

par conséquent, elle est la même que la valeur de X la plus

probable. Considérons maintenant deux urnes Aetb renfermant

chacune le nombre N de boules, et supposons que dans le nombre

total (..) des boules, il y en ait autant de blanches que de

noires. Concevons que l' on tire en même tems, une boule, de

chaque urne, et qu' ensuite on mette dans une urne, la boule

extraite de l' autre. Supposons que l' on répète cette opération,

un nombre quelconque R de fois, en agitant à chaque fois les

urnes, pour en bien mêler les boules ; et cherchons la

probabilité qu' après ce nombre R d' opérations, il y aura X

boules blanches dans l' urne A. Soit (..) cette probabilité. Le

nombre des combinaisons possibles dans R opérations, est (..) ;

car à chaque opération, les N boules de l' urne A peuvent se

combiner avec chacune des N boules de l' urne B, ce qui produit

combinaisons ; (..) est donc le nombre des combinaisons dans

lesquelles il peut y avoir X boules blanches dans l' urne A

après ces opérations. Maintenant, il peut arriver que l'

opération ( (..) ) fasse sortir une boule blanche de l' urne A, et

y fasse rentrer une boule blanche ; le nombre de cas dans

lesquels cela peut arriver, est le produit de (..) , par le nombre

X des boules blanches de l' urne A, et par le nombre (..) des

boules blanches qui doivent être alors dans l' urne B, puisque

le nombre total des boules blanches des deux urnes, est N. Dans

tous ces cas, il reste X boules blanches dans l' urne A ; le

produit X ( (..) ) est donc une des parties de (..) . Il peut arriver

encore que l' opération ( (..) ) fasse sortir et rentrer dans l'

urne A, une boule noire, ce qui conserve dans cette urne, X

boules blanches. Ainsi (..) étant après l' opération (..) , le

nombre des boules noires de l' urne A, et X étant celui des

boules noires de l' urne B, ( (..) ) est encore une partie de (..) .

S' il y a (..) boules blanches dans l' urne A après l' opération

p288

et que l' opération suivante en fasse sortir une boule noire, et

y fasse rentrer une boule blanche ; il y aura X boules blanches

dans l' urne A après l' opération ( (..) ) ; le nombre des cas dans

lesquels cela peut arriver, est le produit de (..) par le nombre

des boules noires de l' urne A après le tirage (..) , et par le

nombre (..) des boules blanches de l' urne B, après la même

opération ; (..) est donc encore une partie de (..) . Enfin, s' il y

a (..) boules blanches dans l' urne A après l' opération (..) , et

que l' opération suivante en fasse sortir une boule blanche, et y

fasse rentrer une boule noire ; il y aura encore, après cette

dernière opération, X boules blanches dans l' urne. Le nombre

des cas dans lesquels cela peut arriver, est le produit de (..)

par le nombre (..) des boules blanches de l' urne A, et par le

nombre (..) des boules noires de l' urne B après l' opération (..)

; (..) est donc encore une partie de (..) . En réunissant toutes ces

parties, et en égalant leur somme à (..) , on aura l' équation aux

différences finies partielles, (..) . Quoique cette équation soit

aux différences du second ordre par rapport à la variable X,

cependant son intégrale ne renferme qu' une fonction arbitraire

qui dépend de la probabilité des diverses valeurs de X dans l'

état initial de l' urne A. En effet, il est visible que si l' on

connaît les valeurs de (..) correspondantes à toutes les valeurs

de X, depuis (..) ; l' équation précédente donnera toutes les

valeurs de (..) , en observant que les valeurs négatives de X

étant impossibles, (..) est nul lorsque X est négatif. Si N est

un très-grand nombre, cette équation se transforme dans une

équation aux différences partielles que l' on obtient ainsi. On a

alors à très-peu près, (..) .

p289

Soit (..) ; l' équation précédente aux différences finies

partielles deviendra, en négligeant les termes de l' ordre (..) .

Pour intégrer cette équation qui, comme on peut s' en assurer par

la méthode que j' ai donnée pour cet objet, dans les mémoires de

l' académie des sciences, de l' année 1773, n' est intégrale en

termes finis, qu' au moyen d' intégrales définies ; faisons (..) .

p290

Il est facile de voir que l' équation précédente, aux limites de

l' intégrale, exige que les limites de l' intégrale relative à S

, soient prises depuis (..) . En prenant le radical (..) , avec le

signe (..) , on aurait pour U une expression de cette forme, (..) ,

la fonction arbitraire (..) pouvant être différente de (..) . La

somme de ces deux expressions de U sera sa valeur complette.

Mais il est facile de s' assurer que les intégrales étant prises

depuis (..) , l' addition de cette nouvelle expression de U n'

ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelle elle

est comprise. Développons maintenant le second membre de l'

équation (A), suivant les puissances de (..) , et considérons un

des termes de ce développement, tel que (..) ; ce terme devient,

après les intégrations, (..) . Considérons encore un terme de ce

développement, relatif aux

p291

puissances impaires de (..) , tel que (..) . Ce terme devient, après

les intégrations, (..) . On aura donc ainsi l' expression générale

de la probabilité U, développée dans une série ordonnée suivant

les puissances de (..) , série qui devient très-convergente,

lorsque (..) est un nombre considérable. Cette expression doit

être telle, que (..) soit égale à l' unité, les intégrales étant

étendues à toutes les valeurs de X et de (..) , c' est-à-dire

depuis X nul jusqu' à (..) , et depuis (..) ; car il est certain

que l' une des valeurs de X devant avoir lieu, la somme des

probabilités de toutes ces valeurs doit être égale à l' unité. En

prenant l' intégrale (..) dans les limites de (..) , on a le même

résultat à très-peu près, qu' en la prenant depuis (..) : la

différence n' est que de l' ordre (..) ; et vu l' extrême rapidité

avec laquelle (..) diminue à mesure que N augmente, on voit que

cette différence est insensible lorsque N est un grand nombre.

Cela posé, considérons dans l' intégrale (..) , le terme (..) . Le

facteur (..) est égal à ( (..) ) ; il est donc nul,

p292

excepté dans le cas de (..) , où il se réduit à l' unité. Il est

visible que les termes de l' expression de U qui renferment des

puissances impaires de (..) , donnent un résultat nul dans l'

intégrale (..) , étendue depuis (..) ; car ces termes ont pour

facteur (..) , et l' on a généralement dans ces limites, (..) . Il n'

y a donc que le premier terme de l' expression de U, terme que

nous représenterons par (..) , qui puisse donner un résultat dans

l' intégrale (..) , et ce résultat est (..) ; on a donc (..) . L'

expression générale de U a ainsi la forme suivante, (..) ; (..)

étant des constantes indéterminées qui dépendent de la valeur

initiale de U. Supposons que U devienne X lorsque R est nul,

X étant une fonction donnée de (..) . On a généralement ces deux

théorèmes, (..) , lorsque Q est moindre que I ; (..) étant des

fonctions de (..) , par lesquelles (..) sont multipliés dans l'

expression de U. Pour démontrer ces théorèmes, nous observerons

p293

que, par ce qui précède, (..) est égal à (..) ; il faut donc faire

voir que l' on a (..) ; les intégrales étant prises depuis (..) . En

intégrant d' abord par rapport à (..) , ce terme devient (..) . En

continuant d' intégrer ainsi par parties relativement à (..) , on

parvient enfin à des termes de la forme (..) , E n' étant pas zéro

, et par ce qui précède, ces termes sont nuls. On prouvera de la

même manière, que l' on a (..) . De là il suit que l' on a

généralement (..) , (..) étant des nombres différens. Car si, par

exemple, (..) est plus grand que I, toutes les puissances de (..)

dans (..) , sont moindres que (..) ; chacun des termes de (..)

donnera donc, par ce qui précède, un résultat nul dans l'

intégrale (..) . Le même raisonnement a lieu pour l' intégrale (..) .

Mais ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque (..) . On les

p294

obtiendra dans ce cas, de cette manière. On a, par ce qui précède

, (..) . Le terme qui a pour facteur (..) dans cette expression, est

; or, on peut ne considérer que ce terme dans le premier

facteur (..) de l' intégrale (..) ; car les puissances inférieures

de (..) , dans ce facteur, donnent un résultat nul dans l'

intégrale. On a donc (..) . On a, en intégrant par rapport à (..) ,

depuis (..) . Le premier terme du second membre de cette équation

est nul par ce qui précède ; ce membre se réduit donc à son

second terme. On trouve de la même manière, que l' on a (..) .

p295

On trouvera de la même manière, (..) . On a évidemment, (..) , dans

le cas même où (..) sont égaux, parce que le produit (..) ne

contient que des puissances impaires de (..) . Cela posé. L'

expression générale de U donne pour sa valeur initiale, que nous

avons désignée par X, (..) . Si l' on multiplie cette équation par

, et si l' on prend les intégrales depuis (..) , on aura, en

vertu des théorèmes précédens, (..) . On aura donc ainsi les

valeurs successives de (..) ; (..) , au moyen d' intégrales définies

, lorsque X ou la valeur initiale de U sera donnée. Dans le cas

où X est égal à (..) , l' expression générale de U prend une

forme très-simple. Alors la fonction arbitraire

p296

de la formule (A) est de la forme (..) . Pour déterminer les

constantes (..) , nous observerons qu' en supposant (..) . En faisant

ensuite (..) , et observant que l' intégrale relative à S devant

être prise depuis (..) , l' intégrale relative à (..) doit être

prise dans les mêmes limites, on aura (..) . En comparant cette

expression à la valeur initiale de U, qui est (..) , valeur que l'

on obtient encore, par la condition que (..) ,

p297

l' intégrale étant prise depuis (..) ; on aura donc pour l'

expression de U, quel que soit (..) . On trouve en effet, que

cette valeur de U, substituée dans l' équation aux

différentielles partielles en U, y satisfait. (..) diminuant sans

cesse quand (..) augmente, la valeur de U varie sans cesse, et

devient à sa limite, lorsque (..) est infini, (..) . Pour donner une

application de ces formules, imaginons dans une urne C, un très-

grand nombre M de boules blanches, et un pareil nombre de boules

noires. Ces boules ayant été mêlées, supposons que l' on tire de

l' urne, N boules que l' on met dans l' urne A. Supposons

ensuite que l' on mette dans l' urne B, autant de boules

blanches, qu' il y a de boules noires dans l' urne A, et autant

de boules noires, qu' il y a de boules blanches dans la même urne

. Il est clair que le nombre des cas dans lesquels il y aura X

boules blanches, et par conséquent (..) boules noires dans l' urne

A, est égal au produit du nombre des combinaisons des M boules

blanches de l' urne C, prises Xàx, par le nombre des

combinaisons des M boules noires de la même urne, prises (..) . Ce

produit est, par le N 3, égal à (..) . Le nombre de tous les cas

possibles est le nombre des combinaisons des 2 m boules de l'

urne C, prises Nàn ; ce nombre est (..) ; en divisant la

fraction précédente par celle-ci, on aura, pour la

p298

probabilité de X, ou pour la valeur initiale de U, (..) .

Maintenant, si l' on observe que l' on a à très-peu près, lorsque

S est un grand nombre, (..) ; on trouvera facilement après toutes

les réductions, en faisant (..) , et en négligeant les quantités de

l' ordre (..) , qui ne sont pas multipliées par (..) . Si le nombre

M est infini, alors (..) , et la valeur initiale de U est (..) . Sa

valeur, après un nombre quelconque de tirages, est (..) . Le cas de

M infini revient à celui dans lequel les urnes Aetb seraient

remplies, en projetant N fois une pièce qui amènerait

indifféremment croix ou pile , et mettant dans l' urne A, une

boule

p299

blanche, chaque fois que croix arriverait, et une boule noire

, chaque fois que pile arriverait ; et faisant l' inverse

pour l' urne B. Car il est visible que la probabilité de tirer

une boule blanche de l' urne C, est alors (..) , comme celle d'

amener croix ou pile . En prenant l' intégrale (..) , depuis (..)

, on aura la probabilité que le nombre des boules blanches de l'

urne A, sera compris dans les limites (..) . On peut généraliser

le résultat précédent, en supposant l' urne A remplie comme au

commencement de ce numéro, par la projection d' un prisme de (..)

faces latérales, dont P sont blanches et Q sont noires. On a vu

qu' alors si l' on fait (..) . Supposons Petq très-peu différens,

ensorte que l' on ait (..) .

p300

Supposons maintenant qu' après un nombre quelconque de tirages,

on ait (..) , (..) étant des fonctions de (..) . Si l' on substitue

cette valeur dans l' équation aux différences partielles en U,

on aura (..) . En les intégrant, et observant qu' à l' origine de

, on aura (..) . Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre

des boules blanches contenues dans l' urne A, après R tirages.

Cette valeur est la somme des produits des divers nombres des

boules blanches, multipliées par leurs probabilités respectives ;

elle est donc égale à l' intégrale (..) , prise depuis (..) . En

substituant pour U sa valeur donnée par la formule (K), on aura

, en vertu des théorèmes précédens, pour cette intégrale, (..) . à

l' origine où R est nul, cette valeur est (..) ; ainsi l' on aura

p301

au moyen du nombre des boules blanches que l' urne A contient

à cette origine. On peut obtenir fort simplement de la manière

suivante, la valeur moyenne du nombre des boules blanches, après

R tirages. Imaginons que chaque boule blanche ait une valeur que

nous représenterons par l' unité, les boules noires étant

supposées n' avoir aucune valeur. Il est clair que le prix de l'

urne A sera la somme des produits de tous les nombres possibles

de boules blanches qui peuvent exister dans l' urne, multipliés

par leurs probabilités respectives ; ce prix est donc ce que nous

avons nommé valeur moyenne du nombre des boules blanches .

Nommons-le Z, après le tirage (..) . Au tirage suivant, s' il sort

une boule blanche, ce prix diminue d' une unité ; or si l' on

suppose que X est le nombre des boules blanches contenues dans

l' urne après le tirage (..) , la probabilité d' en extraire une

boule blanche sera (..) ; en nommant donc U la probabilité de

cette supposition, l' intégrale (..) , étendue depuis (..) , sera la

diminution de Z, résultante de la probabilité d' extraire une

boule blanche, de l' urne. Si l' on fait, comme ci-dessus, (..) ,

et si l' on désigne la fraction très-petite (..) , cette diminution

sera égale à (..) ; car Z est égal à (..) , somme des produits des

nombres des boules blanches, par leurs probabilités respectives.

Le prix de l' urne A s' accroît, si l' on extrait une boule

blanche de l' urne B, pour la mettre dans l' urne A ; or, X

étant supposé le nombre des boules blanches de l' urne A, (..)

sera celui des boules blanches de l' urne B, et la probabilité

d' extraire une boule blanche de cette dernière urne, sera (..) ;

en multipliant cette probabilité par la probabilité U de x ; l'

intégrale (..) , prise depuis X nul jusqu' à (..) , sera l'

accroissement de Z (..) est le prix de l' urne B ; en nommant

donc (..) ce prix, (..) sera l' accroissement de Z : on aura donc

. La somme des prix des deux urnes est évidemment égale à N,

p302

nombre des boules blanches qu' elles contiennent, ce qui donne

; substituant cette valeur de (..) dans l' équation précédente,

elle devient (..) , (..) étant une constante arbitraire ; ce qui est

conforme à ce qui précède. On peut étendre toute cette analyse,

au cas d' un nombre quelconque d' urnes ; nous nous bornerons ici

à chercher la valeur moyenne du nombre des boules blanches que

chaque urne contient après R tirages. Considérons un nombre E

d' urnes, disposées circulairement, et renfermant chacune le

nombre N de boules, les unes blanches, et les autres noires ; N

étant supposé un très-grand nombre. Supposons qu' après R

tirages, (..) soient les prix respectifs des diverses urnes.

Chaque tirage consiste à extraire en même tems, une boule de

chaque urne, et à la mettre dans la suivante, en partant de l'

une d' elles dans un sens déterminé. Si l' on fait (..) ; on aura,

par le raisonnement que nous venons de faire relativement à deux

urnes, (..) ; cette équation a lieu depuis (..) . Dans le cas de (..)

, on a (..) ; en intégrant ces équations, et supposant qu' à l'

origine les prix respectifs de chaque urne, ou les nombres des

boules blanches qu' elles contiennent, soient (..) . On parvient à

ce résultat qui a lieu depuis (..) ,

p303

le signe S s' étendant à toutes les valeurs de S, depuis (..) ,

et A étant égal à (..) . Le terme de cette expression

correspondant à (..) , est indépendant de (..) , et égal à (..) ; c'

est-à-dire, à la somme entière des boules blanches des urnes,

divisée par leur nombre. Ce terme est la limite de l' expression

de (..) ; d' où il suit qu' après un nombre infini de tirages, les

prix de chaque urne sont égaux entre eux.

p347

Quand on n' a qu' un élément à déterminer, cette méthode ne

laisse aucun embarras ; mais lorsque l' on doit corriger à la

fois plusieurs élémens, il faut avoir autant d' équations finales

formées par la réunion de plusieurs équations de condition, et au

moyen desquelles on détermine par l' élimination, les corrections

des élémens. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de

combiner les équations de condition, pour former les équations

finales ? C' est ici que les observateurs s' abandonnaient à des

tâtonnemens arbitraires qui devaient les conduire à des résultats

différens, quoique déduits des mêmes observations. Pour éviter

ces tâtonnemens, M Legendre eut l' idée simple de considérer la

somme des carrés des erreurs des observations, et de la rendre un

minimum ; ce qui fournit directement autant d' équations

finales, qu' il y a d' élémens à corriger. Ce savant géomètre est

le premier qui ait publié cette méthode ; mais on doit à M

Gauss la justice d' observer qu' il avait eu, plusieurs années

avant cette publication, la même idée dont il faisait un usage

habituel, et qu' il avait communiquée à plusieurs astronomes. M

Gauss, dans sa théorie du mouvement elliptique, a cherché à

rattacher cette méthode à la théorie des probabilités, en faisant

voir que la même loi des erreurs des observations, qui donne

généralement la règle du milieu arithmétique entre plusieurs

observations, admise par les observateurs, donne pareillement la

règle des moindres carrés des erreurs des observations ; et c'

est ce qu' on a vu dans le N 23. Mais comme rien ne prouve

p348

que la première de ces règles donne le résultat le plus

avantageux, la même incertitude existe par rapport à la seconde.

La recherche de la manière la plus avantageuse de former les

équations finales, est sans doute une des plus utiles de la

théorie des probabilités : son importance dans la physique et l'

astronomie, me porta à m' en occuper. Pour cela, je considérai

que toutes les manières de combiner les équations de condition,

pour en former une équation finale linéaire, revenaient à les

multiplier respectivement par des facteurs qui étaient nuls

relativement aux équations que l' on n' employait point, et à

faire une somme de tous ces produits ; ce qui donne une première

équation finale. Un second système de facteurs donne une seconde

équation finale, et ainsi de suite, jusqu' à ce que l' on ait

autant d' équations finales, que d' élémens à corriger.

Maintenant, il est visible qu' il faut choisir les systèmes de

facteurs, de sorte que l' erreur moyenne à craindre en plus ou en

moins sur chaque élément, soit un minimum ; l' erreur moyenne

étant la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité.

Lorsque les observations sont en petit nombre, le choix de ces

systèmes dépend de la loi des erreurs de chaque observation. Mais

si l' on considère un grand nombre d' observations, ce qui a lieu

le plus souvent dans les recherches astronomiques ; ce choix

devient indépendant de cette loi ; et l' on a vu dans ce qui

précède, que l' analyse conduit alors directement aux résultats

de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.

Ainsi cette méthode qui n' offrait d' abord que l' avantage de

fournir, sans tâtonnement, les équations finales nécessaires à la

correction des élémens, donne en même tems les corrections les

plus précises, du moins lorsqu' on ne veut employer que des

équations finales qui soient linéaires, condition indispensable,

lorsque l' on considère à la fois un grand nombre d' observations

; autrement, l' élimination des inconnues et leur détermination

seraient impraticables.

p349

application du calcul des probabilités, à la recherche des

phénomènes et de leurs causes. 25 les phénomènes de la nature

se présentent le plus souvent accompagnés de tant de

circonstances étrangères ; un si grand nombre de causes

perturbatrices y mêlent leur influence, qu' il est très-difficile

, lorsqu' ils sont très-petits, de les reconnaître. On ne peut

alors y parvenir, qu' en multipliant les observations, afin que

les effets étrangers venant à se détruire, le résultat moyen des

observations ne laisse plus apercevoir que ces phénomènes. On

conçoit par ce qui précède, que cela n' a lieu rigoureusement,

que dans le cas d' un nombre infini d' observations. Dans tout

autre cas, les phénomènes ne sont indiqués par les résultats

moyens, que d' une manière probable, mais qui l' est d' autant

plus, que les observations sont en plus grand nombre. La

recherche de cette probabilité est donc très-importante pour la

physique, l' astronomie, et généralement pour toutes les sciences

naturelles. On va voir qu' elle rentre dans les méthodes que nous

venons d' exposer. Dans le chapitre précédent, l' existence du

phénomène était certaine ; son étendue seule a été l' objet du

calcul des probabilités : ici l' existence du phénomène et son

étendue, sont l' objet de ce calcul. Prenons pour exemple, la

variation diurne du baromètre, que l' on observe entre les

tropiques, et qui devient sensible même dans nos climats, lorsque

l' on choisit et que l' on multiplie convenablement les

observations. On a reconnu qu' en général, vers neuf heures du

matin, le baromètre est plus élevé que vers quatre heures du soir

; ensuite il remonte jusque vers onze heures du soir, et il

redescend jusque vers quatre heures du matin, pour revenir à son

maximum de hauteur, vers neuf heures. Supposons

p350

que l' on ait observé la hauteur du baromètre vers neuf heures du

matin et vers quatre heures du soir, pendant le nombre S de

jours ; et pour éviter la trop grande influence des causes

perturbatrices, choisissons ces jours de manière que dans l'

intervalle de neuf heures à quatre heures, le baromètre n' ait

pas varié au-delà de quatre millimètres. Supposons ensuite qu' en

faisant la somme des S hauteurs du matin, et la somme des S

hauteurs du soir, la première de ces sommes surpasse la seconde

de la quantité Q ; cette différence indiquera une cause

constante qui tend à élever le baromètre vers neuf heures du

matin, et à l' abaisser vers quatre heures du soir. Pour

déterminer avec quelle probabilité cette cause est indiquée,

concevons que cette cause n' existe point, et que la différence

observée Q, résulte des causes perturbatrices accidentelles, et

des erreurs des observations. La probabilité qu' alors la

différence observée entre les sommes des hauteurs du matin et du

soir, doit être au-dessous de Q, est, par le N 18, égale à (..) ,

l' intégrale étant prise depuis (..) étant des constantes

dépendantes de la loi de probabilité des différences entre les

hauteurs du matin et du soir, et (..) étant les limites de ces

différences, A étant ici égal à quatre millimètres. (..) étant au

moins égal à six, comme on l' a vu dans le N 20 (..) ne peut pas

être supposé moindre que (..) ; en faisant donc (..) , et supposant

l' étendue de la variation diurne, d' un millimètre, ce qui est à

peu près ce que M Ramond a trouvé dans nos climats, par la

comparaison d' un très-grand nombre d' observations, on aura (..) .

Ainsi (..) est au moins égal à 37, 5 ; en faisant donc (..) ,

p351

la probabilité précédente devient au moins (..) , l' intégrale

étant prise depuis (..) . Cette intégrale est à fort peu près, par

le N 27 du premier livre, (..) , et elle approche tellement de l'

unité ou de la certitude, qu' il est extrêmement probable que s'

il n' existait point de cause constante de l' excès observé de la

somme des hauteurs barométriques du matin, sur celles des

hauteurs du soir, cet excès serait plus petit que (..) ; il

indique donc avec une extrême vraisemblance, l' existence d' une

cause constante qui l' a produit. Le phénomène d' une variation

diurne étant ainsi bien constaté, déterminons la valeur la plus

probable de son étendue, et l' erreur que l' on peut commettre

sur son évaluation. Supposons pour cela, que cette valeur soit

; la probabilité que l' étendue de la variation diurne du matin

au soir, sera comprise dans ces limites, est, par le N 18, (..) ,

l' intégrale étant prise depuis (..) . On peut éliminer (..) , en

observant que par le N 20, cette fraction est à peu près égale à

étant la différence de (..) à l' étendue observée le ( (..) ) jour

, et le signe S s' étendant à toutes les valeurs de I, depuis

; en faisant donc (..) ,

p352

la probabilité que l' étendue de la variation diurne du matin au

soir, est comprise dans les limites (..) , sera (..) , l' intégrale

étant prise depuis T nul. La variation diurne des hauteurs du

baromètre, dépend uniquement du soleil ; mais ces hauteurs sont

encore affectées par les marées aériennes que produit l'

attraction du soleil et de la lune sur notre atmosphère, et dont

j' ai donné la théorie dans le quatrième livre de la mécanique

céleste. Il est donc nécessaire de considérer à la fois ces deux

variations, et de déterminer leurs grandeurs et leurs époques

respectives, en formant des équations de condition analogues à

celles dont les astronomes font usage, pour corriger les élémens

des mouvemens célestes. Ces variations étant principalement

sensibles à l' équateur, et les causes perturbatrices y étant

extrêmement petites ; on pourra, au moyen d' excellens baromètres

, les déterminer avec une grande précision ; et je ne doute point

que l' on ne reconnaisse alors, dans l' ensemble d' un très-grand

nombre d' observations, les lois qu' indique la théorie de la

pesanteur dans les marées atmosphériques, et qui se manifestent

d' une manière si frappante dans les observations des marées de

l' océan, que j' ai discutées avec étendue, dans le livre cité de

la mécanique céleste. On voit, par ce qui précède, que l' on peut

reconnaître l' effet très-petit d' une cause constante, par une

longue suite d' observations dont les erreurs peuvent excéder cet

effet lui-même. Mais alors, il faut avoir soin de varier les

circonstances de chaque observation, de manière que le résultat

moyen de leur ensemble, n' en soit point altéré sensiblement, et

soit presqu' entièrement l' effet de la cause dont il s' agit :

il faut ensuite multiplier les observations, jusqu' à ce que l'

analyse indique une très-grande probabilité que l' erreur de ce

résultat sera comprise dans des limites très-rapprochées.

Supposons, par exemple, que l' on veuille reconnaître par l'

observation, la petite déviation à l' est, produite par la

rotation de la terre, dans la chute des corps. J' ai fait voir

dans le dixième livre de la mécanique céleste, que si du sommet

d' une tour fort élevée, on

p353

abandonne un corps à sa pesanteur ; il retombera sur un plan

horizontal passant par le pied de la tour, à une petite distance

à l' est du point de contact de ce plan avec une boule suspendue

par un fil dont le point de suspension est celui du départ du

corps. J' ai donné dans le livre cité, l' expression de cette

déviation, et il en résulte qu' en faisant abstraction de la

résistance de l' air, elle est uniquement vers l' est ; qu' elle

est proportionnelle au cosinus de la latitude, et à la racine

carrée du cube de la hauteur, et qu' à la latitude du point de

départ, elle s' élève à 5, 1 millimètres, lorsque la hauteur

de la tour est de 50 mètres. La résistance de l' air change ce

dernier résultat : j' en ai donné pareillement l' expression dans

ce cas, au livre cité. On a déjà fait un grand nombre d'

expériences pour confirmer, par ce moyen, le mouvement de

rotation de la terre, qui d' ailleurs est démontré par tant d'

autres phénomènes, que cette confirmation devient inutile. Les

petites erreurs de ces expériences très-délicates, ont souvent

excédé l' effet que l' on voulait déterminer ; et ce n' est qu'

en multipliant considérablement les expériences, que l' on peut

ainsi constater son existence et fixer sa valeur. Nous allons

soumettre cet objet à l' analyse des probabilités. Si l' on prend

pour origine des coordonnées, le point de contact du plan et de

la boule suspendue par un fil dont le sommet de suspension est

celui du départ d' une balle que l' on fait tomber ; si l' on

marque ensuite sur ce plan, les divers points où la balle va

toucher le plan dans chaque expérience ; en déterminant le centre

commun de gravité de ces points, la ligne menée de l' origine des

coordonnées à ce centre, déterminera le sens et la quantité

moyenne dont la balle s' est écartée de cette origine ; et l' un

et l' autre seront déterminés avec d' autant plus d' exactitude,

que les expériences seront plus nombreuses et plus précises.

Considérons maintenant, comme axe des abscisses, la ligne menée

de l' origine des coordonnées, à l' est ; et désignons par (..)

les coordonnées respectives des points déterminés par les

expériences dont le nombre est S. En exprimant par Xety les

coordonnées du centre de gravité de

p354

tous ces points ; on aura (..) , le signe S s' étendant à toutes

les valeurs de I, depuis (..) . Cela posé, en désignant par (..)

les limites des erreurs de chaque expérience, dans le sens des X

; la probabilité que l' écart moyen de la balle, du point origine

des coordonnées, est compris dans les limites (..) , sera, par le

N 18, (..) étant des constantes qui dépendent de la loi de

facilité des erreurs de chaque expérience dans le sens des X.

Pareillement, (..) étant les limites des erreurs de chaque

expérience dans le sens des Y ; la probabilité que la valeur

moyenne de la déviation dans le sens des Y, est comprise dans

les limites (..) , sera (..) , (..) étant des constantes dépendantes

de la loi des erreurs des expériences dans le sens des Y. Les

fractions (..) étant, par ce qui précède, plus grandes que (..) ;

on pourra juger du degré d' approximation et de probabilité des

valeurs de Xetdey, et déterminer la probabilité de l' écart au

sud et au nord, indiqué par les observations. L' analyse

précédente peut encore être appliquée à la recherche des petites

inégalités des mouvemens célestes, dont l' étendue est comprise

dans les limites, soit des erreurs des observations, soit des

perturbations produites par les causes accidentelles. C' est à

peu près ainsi que Ticho-Brahé reconnut que l' équation du tems

, relative au soleil et aux planètes, n' était point applicable à

la lune,

p355

et qu' il fallait en retrancher la partie dépendante de l'

anomalie du soleil, et même une quantité beaucoup plus grande ;

ce qui conduisit Flamsteed à la découverte de l' inégalité

lunaire que l' on nomme équation annuelle . C' est encore dans

les résultats d' un grand nombre d' observations, que Mayer

reconnut que l' équation de la précession, relative aux planètes

et aux étoiles, n' était point applicable à la lune ; il évalua à

décimales environ, la quantité dont il fallait alors la

diminuer, quantité que Mason éleva ensuite à près de (..) , par la

comparaison de toutes les observations de Bradley, et que M

Burg a réduite à (..) , au moyen d' un bien plus grand nombre d'

observations de Maskeline. Cette inégalité, quoiqu' indiquée par

les observations, était négligée par le plus grand nombre des

astronomes ; parce qu' elle ne paraissait pas résulter de la

théorie de la pesanteur universelle. Mais ayant soumis son

existence au calcul des probabilités, elle me parut indiquée avec

une probabilité si forte, que je crus devoir en rechercher la

cause. Je vis bientôt qu' elle ne pouvait résulter que de l'

ellipticité du sphéroïde terrestre, que l' on avait négligée

jusqu' alors dans la théorie du mouvement lunaire, comme ne

devant y produire que des termes insensibles ; et j' en conclus

qu' il était extrêmement vraisemblable que ces termes devenaient

sensibles par les intégrations successives des équations

différentielles. Ayant déterminé ces termes par une analyse

particulière, que j' ai exposée dans le septième livre de la

mécanique céleste ; je découvris d' abord l' inégalité du

mouvement de la lune en latitude, et qui est proportionnelle au

sinus de sa longitude : par son moyen, je reconnus que la théorie

de la pesanteur donne effectivement la diminution observée par

les astronomes cités, dans l' inégalité de la précession,

applicable au mouvement lunaire en longitude. La quantité de

cette diminution, et le coefficient de l' inégalité en latitude

dont je viens de parler, sont donc très-propres à déterminer l'

aplatissement de la terre. Ayant fait part de mes recherches à M

Burg qui s' occupait alors de ses tables de la lune ; je le

priai de déterminer avec un soin particulier, les coefficiens de

ces deux inégalités. Par un concours remarquable, les coefficiens

qu' il a déterminés, s' accordent à donner à la terre, l'

aplatissement (..) , aplatissement qui diffère peu du milieu conclu

p356

des mesures des degrés du méridien et du pendule ; mais qui vu l'

influence des erreurs des observations et des causes

perturbatrices, sur ces mesures, me paraît plus exactement

déterminé par les inégalités lunaires. M Burckhardt qui vient

de former de nouvelles tables de la lune, très-précises, sur l'

ensemble des observations de Bradley et de Maskeline, a trouvé

le même coefficient que M Burg, pour l' inégalité lunaire en

latitude : il trouve un trente-quatrième à ajouter au coefficient

de l' inégalité en longitude, ce qui réduit l' aplatissement à

, par cette inégalité. La différence très-légère de ces

résultats, prouve qu' en fixant à (..) , cet aplatissement, l'

erreur est insensible. L' analyse des probabilités m' a conduit

pareillement à la cause des grandes irrégularités de Jupiter et

de Saturne. La difficulté d' en reconnaître la loi, et de les

ramener à la théorie de l' attraction universelle, avait fait

conjecturer qu' elles étaient dues aux actions passagères des

comètes ; mais un théorème auquel j' étais parvenu sur l'

attraction mutuelle des planètes, me fit rejeter cette hypothèse,

en m' indiquant l' attraction mutuelle des deux planètes, comme

la vraie cause de ces irrégularités. Suivant ce théorème, si le

mouvement de Jupiter s' accélère en vertu de quelque grande

inégalité à très-longue période ; celui de Saturne doit se

ralentir de la même manière, et ce ralentissement est à l'

accélération de Jupiter, comme le produit de la masse de cette

dernière planète, par la racine carrée du grand axe de son orbite

, est au produit semblable relatif à Saturne. Ainsi en prenant

pour unité, le ralentissement de Saturne, l' accélération

correspondante de Jupiter doit être 0, 40884 ; or Halley

avait trouvé, par la comparaison des observations modernes aux

anciennes, que l' accélération de Jupiter correspondait au

ralentissement de Saturne, et qu' elle était 0, 44823 de ce

ralentissement. Ces résultats, si bien d' accord avec la théorie,

me portèrent à penser qu' il existe dans les mouvemens de ces

planètes, deux grandes inégalités correspondantes et de signe

contraire, qui produisaient ces phénomènes. J' avais reconnu que

l' action mutuelle des planètes ne pouvait point occasionner dans

leurs moyens mouvemens, des variations toujours croissantes, ou

p357

périodiques, mais d' une période indépendante de leur

configuration mutuelle ; c' était donc dans le rapport des moyens

mouvemens de Jupiter et de Saturne, que je devais chercher

celle dont il s' agit ; or en examinant ce rapport, il est facile

de reconnaître que deux fois le moyen mouvement de Jupiter ne

surpasse que d' une quantité très-petite, cinq fois celui de

Saturne ; ainsi les inégalités qui dépendent de cette différence

, et dont la période est d' environ neuf siècles, peuvent devenir

fort grandes par les intégrations successives qui leur donnent

pour diviseur, le carré du coefficient très-petit du tems, dans

l' argument de ces inégalités. En fixant vers l' époque de Tycho

-Brahé, l' origine de cet argument ; je voyais que Halley avait

dû trouver par la comparaison des observations modernes aux

anciennes, les altérations qu' il avait observées ; tandis que la

comparaison des observations modernes entre elles, devait

présenter des altérations contraires et pareilles à celles que

Lambert avait remarquées. L' existence des inégalités dont je

viens de parler, me parut donc extrêmement vraisemblable, et je

n' hésitai point à entreprendre le calcul long et pénible,

nécessaire pour m' en assurer complettement. Le résultat de ce

calcul, non-seulement les confirma, mais il me fit connaître

beaucoup d' autres inégalités dont l' ensemble a porté les tables

de Jupiter et de Saturne, au degré de précision des

observations mêmes. On voit par là combien il faut être attentif

aux indications de la nature, lorsqu' elles sont le résultat d'

un grand nombre d' observations, quoique d' ailleurs elles soient

inexplicables par les moyens connus. J' engage ainsi les

astronomes à suivre avec une attention particulière, l' inégalité

lunaire à longue période, qui dépend principalement du mouvement

du périgée de la lune, ajouté au double du moyen mouvement de ses

noeuds ; inégalité dont j' ai parlé dans le septième livre de la

mécanique céleste, et que déjà les observations indiquent avec

beaucoup de vraisemblance. Les cas précédens ne sont pas les

seuls dans lesquels les observations ont redressé les analystes.

Le mouvement du périgée lunaire et l' accélération du mouvement

de la lune, qui n' étaient point donnés d' abord par les

approximations, ont fait sentir la nécessité de rectifier ces

approximations. Ainsi, l' on peut

p358

dire que la nature elle-même a concouru à la perfection

analytique des théories fondées sur le principe de la pesanteur

universelle ; et c' est à mon sens, une des plus fortes preuves

de la vérité de ce principe admirable. On peut encore, par l'

analyse des probabilités, vérifier l' existence ou l' influence

de certaines causes dont on a cru remarquer l' action sur les

êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons employer

pour connaître les agens imperceptibles de la nature, les plus

sensibles sont les nerfs, surtout lorsque leur sensibilité est

exaltée par des circonstances particulières. C' est à leur moyen,

que l' on a découvert la faible électricité que développe le

contact de deux métaux hétérogènes ; ce qui a ouvert un champ

vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les

phénomènes singuliers qui résultent de l' extrême sensibilité des

nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à diverses

opinions sur l' existence d' un nouvel agent que l' on a nommé

magnétisme animal , sur l' action du magnétisme ordinaire et l'

influence du soleil et de la lune, dans quelques affections

nerveuses ; enfin, sur les impressions que peut faire naître la

proximité des métaux ou d' une eau courante. Il est naturel de

penser que l' action de ces causes est très-faible, et peut

facilement être troublée par un grand nombre de circonstances

accidentelles ; ainsi de ce que, dans quelque cas, elle ne s' est

point manifestée, on ne doit pas conclure qu' elle n' existe

jamais. Nous sommes si éloignés de connaître tous les agens de la

nature, qu' il serait peu philosophique de nier l' existence des

phénomènes, uniquement parce qu' ils sont inexplicables dans l'

état actuel de nos connaissances. Seulement nous devons les

examiner avec une attention d' autant plus scrupuleuse, qu' il

paraît plus difficile de les admettre ; et c' est ici que l'

analyse des probabilités devient indispensable pour déterminer

jusqu' à quel point il faut multiplier les observations ou les

expériences, pour avoir en faveur de l' existence des agens qu'

elles semblent indiquer, une probabilité supérieure à toutes les

raisons que l' on peut avoir d' ailleurs de la rejeter. La même

analyse peut être étendue aux divers résultats de la médecine et

de l' économie politique, et même à l' influence des

p359

causes morales ; car l' action de ces causes, lorsqu' elle est

répétée un grand nombre de fois, offre dans ses résultats, autant

de régularité, que les causes physiques. On peut encore

déterminer par l' analyse des probabilités, comparée à un grand

nombre d' expériences, l' avantage et le désavantage des joueurs,

dans les cas dont la complication rend impossible leur recherche

directe. Tel est l' avantage de la main, au jeu du piquet :

telles sont encore les possibilités respectives d' amener les

différentes faces d' un prisme droit rectangulaire, dont la

longueur, la largeur et la hauteur sont inégales ; lorsque le

prisme projeté en l' air, retombe sur un plan horizontal. Enfin,

on pourrait faire usage du calcul des probabilités, pour

rectifier les courbes ou carrer leurs surfaces. Sans doute, les

géomètres n' emploiront pas ce moyen ; mais comme il me donne

lieu de parler d' un genre particulier de combinaisons du hasard,

je vais l' exposer en peu de mots. Imaginons un plan divisé par

des lignes parallèles, équidistantes de la quantité A ;

concevons de plus un cylindre très-étroit dont 2 r soit la

longueur, supposée égale ou moindre que A. On demande la

probabilité qu' en le projetant, il rencontrera une des divisions

du plan. élevons sur un point quelconque d' une de ces divisions,

une perpendiculaire prolongée jusqu' à la division suivante.

Supposons que le centre du cylindre soit sur cette

perpendiculaire, et à la hauteur Y au-dessus de la première de

ces deux divisions. En faisant tourner le cylindre autour de son

centre, et nommant (..) l' angle que le cylindre fait avec la

perpendiculaire, au moment où il rencontre cette division ; (..)

sera la partie de la circonférence décrite par chaque extrémité

du cylindre, dans laquelle il rencontre la division ; la somme de

toutes ces parties sera donc (..) ; cette somme est donc (..) . Pour

déterminer cette constante, nous observerons que l' intégrale

doit s' étendre depuis Y nul jusqu' à (..) , et par conséquent

depuis

p360

; ainsi la somme dont il s' agit est 4 r. Depuis (..) jusqu'

à (..) , le cylindre peut rencontrer la division suivante, et il

est visible que la somme de toutes les parties relatives à cette

rencontre, est encore 4 r ; 8 r est donc la somme de toutes

les parties relatives à la rencontre de l' une ou l' autre des

divisions par le cylindre, dans le mouvement de son centre le

long de la perpendiculaire. Mais le nombre de tous les arcs qu'

il décrit en tournant en entier sur lui-même, à chaque point de

cette perpendiculaire, est (..) ; c' est le nombre de toutes les

combinaisons possibles ; la probabilité de la rencontre d' une

des divisions du plan par le cylindre, est donc (..) . Si l' on

projette un grand nombre de fois ce cylindre, le rapport du

nombre de fois où le cylindre rencontrera l' une des divisions du

plan, au nombre total des projections, sera par le N 16, à très-

peu près, la valeur de (..) , ce qui fera connaître la valeur de la

circonférence (..) . On aura, par le même numéro, la probabilité

que l' erreur de cette valeur sera comprise dans des limites

données ; et il est facile de voir que le rapport (..) qui, pour

un nombre donné de projections, rend l' erreur à craindre la plus

petite, est l' unité ; ce qui donne la longueur du cylindre égale

à l' intervalle des divisions. Concevons maintenant le plan

précédent divisé encore par des lignes perpendiculaires aux

précédentes, et équidistantes d' une quantité B égale ou plus

grande que la longueur 2 r du cylindre. Toutes ces lignes

formeront avec les premières, une suite de rectangles dont B

sera la longueur et A la hauteur. Considérons un de ces

rectangles ; supposons que dans son intérieur, on mène à la

distance R de chaque côté, des lignes qui lui soient parallèles.

Elles formeront d' abord un rectangle intérieur, dont (..) sera la

longueur, et (..) la hauteur. Ensuite deux petits rectangles, dont

R sera la hauteur, et (..) la longueur ; puis deux autres

p361

petits rectangles dont R sera la longueur, et (..) la hauteur ;

enfin, quatre petits carrés dont les côtés seront égaux à R.

Tant que le centre du cylindre sera placé dans le rectangle

intérieur, le cylindre en tournant sur son centre, ne rencontrera

jamais les côtés du grand rectangle. Lorsque le centre du

cylindre sera placé dans l' intérieur d' un des rectangles dont

R est la hauteur et (..) la longueur ; il est facile de voir par

ce qui précède, que le produit de 8 r, par la longueur (..) ,

sera le nombre des combinaisons correspondantes, dans lesquelles

le cylindre rencontrera l' un ou l' autre des côtés B du grand

rectangle. Ainsi (..) sera le nombre total des combinaisons

correspondantes aux cas dans lesquels le centre du cylindre étant

placé dans l' un ou l' autre de ces petits rectangles, le

cylindre rencontre le contour du grand rectangle. Par la même

raison, (..) sera le nombre total des combinaisons dans lesquelles

le centre du cylindre étant placé dans l' intérieur des petits

rectangles dont (..) sont les dimensions, le cylindre rencontre le

contour du grand rectangle. Il nous reste à considérer les quatre

petits carrés. Soit Abcd l' un d' eux. De l' angle A commun à

ce carré et au grand rectangle, comme centre, et du rayon R,

décrivons un quart de circonférence, se terminant aux points

Betd. Tant que le centre du cylindre sera compris dans le quart

de cercle formé par cet arc, le cylindre en tournant, rencontrera

dans toutes ses positions, le contour du grand rectangle ; le

nombre des combinaisons dans lesquelles cela aura lieu, est donc

égal au produit de (..) par la surface du quart de cercle, et par

conséquent il est égal à (..) . Si le centre du cylindre est dans

la partie du carré qui est au-delà du quart de cercle ; le

cylindre en tournant autour de son centre, pourra rencontrer l'

un ou l' autre des deux côtés Abetad prolongés, sans jamais les

rencontrer tous deux à la fois. Pour déterminer le nombre des

combinaisons relatives à cette rencontre, je conçois sur un point

quelconque du côté Ab, distant de X du point A, une

perpendiculaire Y dont l' extrémité soit au-delà du quart de

cercle. Je place le centre du cylindre sur cette extrémité de

laquelle j' abaisse quatre droites égales à R, et

p362

dont deux aboutissent sur le côté Ab prolongé, si cela est

nécessaire, et deux autres sur le côté Ad pareillement prolongé.

Je nomme (..) l' angle compris entre les deux premières lignes, et

l' angle compris entre les deux secondes. Il est visible que

le cylindre en tournant sur son centre, rencontrera le côté Ab

prolongé, tant qu' une de ses moitiés sera dans l' angle (..) , et

qu' il rencontre le côté Ad prolongé, tant qu' une de ses

moitiés sera dans l' angle (..) ; le nombre total des combinaisons

dans lesquelles le cylindre rencontrera l' un ou l' autre de ces

côtés, est donc (..) ; ainsi ce nombre, relativement à la partie

du carré, extérieure au quart de cercle, est (..) ; or on a

évidemment, (..) ; l' intégrale précédente devient ainsi, (..) ; et

il est facile de voir que l' intégrale relative à (..) , doit être

prise depuis (..) , et que l' intégrale relative à (..) doit être

prise depuis (..) ; ce qui donne (..) pour cette intégrale. En lui

ajoutant (..) , on aura le nombre des combinaisons relatives au

quarré ; et en quadruplant ce nombre, et le réunissant aux

nombres précédens des combinaisons relatives à la rencontre du

contour du grand rectangle, par le cylindre ; on aura, pour le

nombre total des combinaisons, (..) . Mais le nombre total des

combinaisons possibles, est évidemment égal à (..) multiplié par

la surface Ab du grand rectangle ; la probabilité de la

rencontre des divisions du plan par le cylindre, est donc (..) .

p363

de la probabilité des causes et des événemens futurs, tirée

des événemens observés. 26 la probabilité de la plupart des

événemens simples, est inconnue : en la considérant à priori

, elle nous paraît susceptible de toutes les valeurs comprises

entre zéro et l' unité ; mais si l' on a observé un résultat

composé de plusieurs de ces événemens, la manière dont ils y

entrent, rend quelques-unes de ces valeurs plus probables que les

autres. Ainsi à mesure que le résultat observé se compose par le

développement des événemens simples, leur vraie possibilité se

fait de plus en plus connaître, et il devient de plus en plus

probable qu' elle tombe dans des limites qui se resserrant sans

cesse, finiraient par coïncider, si le nombre des événemens

simples devenait infini. Pour déterminer les lois suivant

lesquelles cette possibilité se découvre, nous la nommerons X.

La théorie exposée dans les chapitres précédens, donnera la

probabilité du résultat observé, en fonction de X. Soit Y cette

fonction ; si l' on considère les différentes valeurs de X comme

autant de causes de ce résultat, la probabilité de X sera, par

le troisième principe du N 1, égale à une fraction dont le

numérateur est Y, et dont le dénominateur est la somme de toutes

les valeurs de Y ; en multipliant donc le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par Dx, cette probabilité sera

, l' intégrale du dénominateur étant prise depuis (..) . La

probabilité que la valeur de X est comprise dans les limites (..)

, est par conséquent égale à (..) ,

p364

l' intégrale du numérateur étant prise depuis (..) , et celle du

dénominateur étant prise depuis (..) . La valeur de X la plus

probable, est celle qui rend Y un maximum . Nous la

désignerons par A. Si aux limites de X, Y est nul, alors

chaque valeur de Y a une valeur égale correspondante de l' autre

côté du maximum . Quand les valeurs de X, considérées

indépendamment du résultat observé, ne sont pas également

possibles ; en nommant Z la fonction de X qui exprime leur

probabilité ; il est facile de voir, par ce qui a été dit dans le

premier chapitre de ce livre, qu' en changeant dans la formule,

Y dans Yz, on aura la probabilité que la valeur de X est

comprise dans les limites (..) . Cela revient à supposer toutes les

valeurs de X également possibles à priori , et à considérer

le résultat observé, comme étant formé de deux résultats

indépendans, dont les probabilités sont Yetz. On peut donc

ramener ainsi tous les cas à celui où l' on suppose à priori ,

avant l' événement, une égale possibilité aux différentes valeurs

de X, et par cette raison, nous adopterons cette hypothèse dans

ce qui va suivre.

p402

de l' influence des inégalités inconnues qui peuvent exister

entre des chances que l' on suppose parfaitement égales. 34

j' ai déjà considéré cette influence dans le N 1, où l' on a vu

que ces inégalités augmentent la probabilité des événemens

composés de la répétition des événemens simples. Je vais

reprendre ici cet objet important dans les applications de l'

analyse des probabilités. Il résulte du numéro cité, que si au

jeu de croix et pile , il existe une différence inconnue

entre les possibilités d' amener l' un ou l' autre ; en nommant

X cette différence, ensorte que (..) soit la possibilité d'

amener croix , et par conséquent (..) celle d' amener pile ,

celui des deux signes (..) que l' on doit adopter étant inconnu ;

la probabilité d' amener croix N fois de suite, sera (..) . Le

jeu de croix et pile consiste, comme on sait, à projeter en

l' air une pièce très-mince, qui retombe nécessairement sur l'

une de ses deux faces opposées que l' on nomme croix et pile .

On peut diminuer la valeur de (..) , en rendant ces deux faces le

plus égales qu' il est possible. Mais il est physiquement

impossible d' obtenir une égalité parfaite ; et alors, celui qui

parie d' amener croix deux fois de suite, ou pile deux

fois de suite, a de l' avantage sur celui qui parie que dans deux

coups, croix et pile alterneront ; sa probabilité étant (..) .

p403

On peut diminuer l' influence de l' inégalité des deux faces de

la pièce, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard.

Désignons par A cette pièce, et concevons une seconde pièce B

semblable à la première. Supposons qu' après avoir projeté cette

seconde pièce, on projette la pièce A pour former un premier

coup, et déterminons la probabilité que dans N coups pareils

consécutifs, la pièce A présentera les mêmes faces que la pièce

B. Si l' on nomme P la probabilité d' amener croix avec la

pièce A, et Q la probabilité d' amener pile ; si l' on

désigne ensuite par (..) les mêmes probabilités pour la pièce B ;

sera la probabilité que dans un coup, la pièce A présentera

les mêmes faces que la pièce B ; ainsi ( (..) ) sera la probabilité

que cela aura lieu constamment dans N coups. Soit (..) . Mais

comme on ignore quelles sont les faces que les inégalités (..)

favorisent, la probabilité précédente peut être également (..) ,

suivant que (..) sont de même signe ou de signes contraires ; la

vraie valeur de cette probabilité est donc, (..) étant supposés

positifs, (..) . Si l' on compare cette formule à la formule ( 1),

on voit qu' elle se rapproche plus qu' elle, de (..) , ou de la

probabilité qui aurait lieu, si les faces des pièces étaient

parfaitement égales. Ainsi l' inégalité de ces faces, est par là

corrigée en grande partie : elle le serait

p404

même en totalité, si (..) était nul, ou si les deux faces de la

pièce B étaient parfaitement égales. P représentant la

probabilité de croix , avec la pièce A, et Q celle de pile

; la probabilité d' amener croix un nombre impair de fois

dans N coups, sera (..) , le signe (..) ayant lieu si N est pair,

et le signe (..) ayant lieu si N est impair. Faisant (..) , la

fonction précédente devient (..) . Si N est impair et égal à (..) ,

cette fonction est (..) ; mais comme on peut y supposer également

positif ou négatif, il faut prendre la moitié de la somme de

ses deux valeurs relatives à ces suppositions ; ce qui donne (..)

pour sa véritable valeur ; l' inégalité des faces de la pièce ne

change donc point alors la probabilité (..) d' amener croix un

nombre impair de fois. Mais si N est pair et égal à 2 i, cette

probabilité devient (..) , (..) étant l' inégalité inconnue de

probabilité entre croix et pile ; il y a donc du

désavantage à parier d' amener croix ou pile un nombre impair

de fois dans 2 i coups, et par conséquent, il y a de l'

avantage à parier d' amener l' un ou l' autre, un nombre pair de

fois. On peut diminuer ce désavantage, en changeant le pari d'

amener croix un nombre impair de fois en 2 i coups, dans le

pari d' amener dans le même nombre de coups, un nombre impair de

ressemblances entre les faces des deux pièces Aetb, projetées

comme on l' a dit ci-dessus. En effet, la probabilité d' une

ressemblance à chaque coup est, comme on l' a vu, (..) , et la

probabilité d' une dissemblance est (..) . Nommons P la première

de ces deux quantités, et Q la seconde ; la probabilité d'

amener un nombre

p405

impair de ressemblances dans 2 i coups, sera (..) . Cette

fonction reste la même, quelque changement que l' on fasse dans

les signes de (..) ; elle est donc la vraie probabilité d' amener

un nombre impair de ressemblances ; mais (..) étant de petites

fractions, on voit qu' elle se rapproche de (..) , plus que la

formule ; le désavantage d' un nombre impair est donc par là

diminué. On voit par ce qui précède, que l' on peut diminuer l'

influence des inégalités inconnues entre des chances que l' on

suppose égales, en les soumettant elles-mêmes au hasard. Par

exemple, si l' on met dans une urne, les (..) , suivant cet ordre,

et qu' ensuite après avoir agité l' urne pour bien mêler ces

numéros, on en tire un ; s' il y a entre les probabilités de

sortie des numéros, une petite différence dépendant de l' ordre

suivant lequel ils ont été placés dans l' urne ; on la diminuera

considérablement, en mettant dans une seconde urne, ces numéros,

suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant

ensuite cette seconde urne, pour en bien mêler les numéros. Alors

l' ordre suivant lequel on a placé les numéros dans la première

urne, aura extrêmement peu d' influence sur l' extraction du

premier numéro qui sortira de la seconde urne. On diminuerait

encore cette influence, en considérant de la même manière une

troisième urne, une quatrième, etc. Considérons deux joueurs

Aetb jouant ensemble, de manière qu' à chaque coup, celui qui

perd, donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure

jusqu' à ce que l' un d' eux ait gagné

p406

tous les jetons de l' autre. Soient Petq leurs adresses

respectives ; Aetb leurs nombres de jetons en commençant. Il

résulte de la formule (H) du N 10, en y faisant I infini, que

la probabilité de A, pour gagner la partie, est (..) . Si l' on

fait dans cette expression, (..) ; on aura, en prenant le signe

supérieur, la probabilité relative au cas où A est plus fort que

B ; et en prenant le signe inférieur, on aura la probabilité

relative au cas où A est moins fort que B. Si l' on ignore quel

est le plus fort des joueurs, la demi-somme de ces deux

probabilités sera la probabilité de A, que l' on trouve ainsi

égale à (..) ; en changeant Aenb, et réciproquement, on aura la

probabilité de B. Si l' on suppose (..) infiniment petit ou nul ;

ces probabilités deviennent (..) ; elles sont donc

proportionnelles aux nombres des jetons des joueurs ; ainsi pour

l' égalité du jeu, leurs mises doivent être dans ce rapport. Mais

alors l' inégalité qui peut exister entre eux, est favorable au

joueur qui a le plus petit nombre de jetons ; car si l' on

suppose A moindre que B, il est facile de voir que l'

expression ( 3) est plus grande que (..) . Si les joueurs

conviennent de doubler, de tripler, etc. Leurs jetons ; l'

avantage de A augmente sans cesse, et dans le cas de Aetb

infinis, sa probabilité devient (..) ou la même que celle de B.

P étant la probabilité d' un événement composé de deux événemens

simples dont (..) sont les probabilités respectives ; si l' on

suppose que la valeur de P soit susceptible d' une inégalité

inconnue Z qui puisse s' étendre depuis (..) ; en nommant (..) la

probabilité de (..) , (..) étant fonction de Z ; on aura

p407

pour la vraie probabilité de l' événement composé, (..) , (..) étant

ce que devient P lorsqu' on y change P dans (..) , et les

intégrales étant prises depuis (..) . Si l' on n' a d' autres

données pour déterminer Z, qu' un événement observé, formé des

mêmes événemens simples ; en nommant Q la probabilité de cet

événement, (..) étant les probabilités des événemens simples ; l'

expression précédente donne, en y changeant (..) en Q, pour la

probabilité de l' événement composé, (..) , les intégrales étant

prises ici depuis (..) ; ce qui est conforme à ce que nous avons

trouvé dans le chapitre précédent.

p412

39 déterminons maintenant la durée moyenne de la vie, qui aurait

lieu, si l' une des causes de mortalité venait à s' éteindre.

Soit U le nombre des enfans qui sur le nombre N de naissances,

vivrait encore à l' âge X dans cette hypothèse ; U étant celui

des enfans vivans à cet âge sur le même nombre de naissances,

dans le cas où cette cause de mortalité subsiste. Nommons (..) , la

probabilité qu' un individu de l' âge X, périra de cette maladie

dans l' intervalle de tems très-court (..) sera à très-peu près

par le N 25, le nombre des individus U, qui périront de cette

maladie dans l' intervalle de tems (..) , si ce nombre est

considérable. Pareillement si l' on désigne par (..) la

probabilité qu' un individu de l' âge X périra par les autres

causes de mortalité dans l' intervalle (..) sera le nombre des

individus qui périront par ces causes, dans l' intervalle de tems

; ce sera donc la valeur de (..) ; j' affecte (..) du signe (..)

; parce que U diminue à mesure que X augmente ; on a donc (..) .

En éliminant (..) de ces deux équations, on aura (..) .

p413

étant une quantité très-petite, on peut transformer la

caractéristique (..) dans la caractéristique différentielle D, et

alors l' équation précédente devient (..) ; d' où l' on tire en

intégrant, et observant qu' à l' âge zéro, (..) ; l' intégrale

étant prise depuis X nul. On peut obtenir cette intégrale, au

moyen des registres de mortalité, dans lesquels on tient compte

de l' âge des individus morts, et des causes de leur mort. En

effet, (..) étant par ce qui précède, le nombre de ceux qui,

parvenus à l' âge X, ont péri dans l' intervalle de tems (..) ,

par la maladie dont il s' agit ; on aura à très-peu près l'

intégrale (..) , en supposant (..) égal à une année, et en prenant

depuis la naissance des N enfans que l' on a considérés, jusqu'

à l' année X, la somme des fractions qui ont pour numérateur le

nombre des individus que la maladie a fait périr chaque année, et

pour dénominateur, le nombre des N enfans qui vivent encore au

milieu de la même année. Ainsi l' on pourra transformer au moyen

de l' équation ( 3), une table de mortalité ordinaire, dans

celle qui aurait lieu, si la maladie dont il s' agit, n' existait

pas. La petite vérole a cela de particulier, savoir, que le même

individu n' en est jamais deux fois atteint, ou du moins ce cas

est si rare, que s' il existe, on peut en faire abstraction.

Concevons que sur un très-grand nombre N d' enfans, U

parviennent à l' âge X, et que dans le nombre U, Y n' aient

point eu la petite vérole. Concevons encore que sur ce nombre Y,

Iydx prennent cette maladie dans l' instant Dx, et que sur ce

nombre, (..) périssent de cette maladie. En désignant, comme ci-

dessus, par (..) la probabilité de périr à l' âge X, par d'

autres causes ; on aura évidemment (..) . En effet, Y diminue par

le nombre de ceux qui, dans l' instant Dx,

p414

prennent la petite vérole, et ce nombre est par la supposition,

Iydx. Y diminue encore par le nombre des individus compris dans

Y, qui périssent par d' autres causes, et ce nombre est (..) .

Maintenant, si de la première des deux équations précédentes,

multipliée par Y, on retranche la seconde multipliée par U, et

si l' on divise la différence par (..) , on aura (..) ; ce qui donne

, en intégrant depuis X nul, et observant qu' à cette origine,

; cette équation fera connaître le nombre d' individus de l' âge

X, qui n' ont point encore eu la petite vérole. On a ensuite (..)

, Zdx étant, comme ci-dessus, ceux qui périssent dans le tems

Dx, de la maladie que l' on considère. En substituant au lieu de

, sa valeur précédente ; on aura, après avoir intégré, (..) .

Cette valeur de U suppose que l' on connaît par l' observation

Ietr. Si ces nombres étaient constans, il serait facile de les

déterminer ; mais comme ils peuvent varier d' âge en âge, les

élémens de la formule ( 3) sont plus aisés à connaître, et cette

formule me semble plus propre à déterminer la loi de mortalité

qui aurait lieu, si la petite vérole était éteinte. En lui

appliquant les données que l' on a pu se procurer sur la

mortalité causée par cette maladie, aux

p415

divers âges de la vie ; on trouve que son extinction au moyen de

la vaccine, augmenterait de plus de trois années, la durée de la

vie moyenne, si d' ailleurs cette durée n' était point restreinte

par la diminution relative des subsistances, due à un plus grand

accroissement de population. 37 considérons présentement la

durée moyenne des mariages. Pour cela concevons un grand nombre

N de mariages entre N garçons de l' âge A, et N filles de l'

âge (..) ; et déterminons le nombre de ces mariages subsistans

après X années écoulées depuis leur origine. Nommons (..) la

probabilité qu' un garçon qui se marie à l' âge A, parviendra à

l' âge (..) ; et (..) la probabilité qu' une fille qui se marie à

l' âge (..) , parviendra à l' âge (..) . La probabilité que leur

mariage subsistera après sa Xième année, sera (..) ; donc si l'

on développe le binome ( (..) ), le terme (..) de ce développement,

exprimera la probabilité que sur les N mariages, I subsisteront

après X années. Le plus grand terme du développement est, par le

N 16, celui dans lequel I est égal au plus grand nombre entier

contenu dans (..) ; et par le même numéro, il est extrêmement

probable que le nombre des mariages subsistans ne s' écartera que

très-peu en plus ou en moins de ce nombre. Ainsi, en désignant

par I, le nombre des mariages subsistans ; on pourra supposer à

très-peu près, (..) . (..) est à fort peu près le nombre des N

maris vivans à l' âge (..) . Les tables de mortalité le feront

connaître d' une manière fort approchée, si elles ont été formées

sur des listes nombreuses de mortalité ; car si l' on désigne par

le nombre des hommes vivans à l' âge A, sur l' ensemble de

ces listes, et par (..) le nombre des survivans à l' âge (..) ; on

aura à fort peu près, par le N 29, (..) . Si l' on nomme

pareillement (..) le nombre des femmes vivantes à l' âge (..) , et

par (..) le nombre des survivantes à l' âge (..) ; on

p416

aura à très-peu près, (..) . On formera ainsi d' année en année,

une table des valeurs de I. En faisant ensuite une somme de tous

les nombres de cette table, et en la divisant par N ; on aura la

durée moyenne des mariages faits à l' âge A pour les garçons, et

à l' âge pour les filles. Cherchons maintenant la probabilité

que l' erreur de la valeur précédente de I, sera comprise dans

des limites données. Supposons pour simplifier le calcul, que les

deux conjoints soient du même âge, et que la probabilité de la

vie des hommes soit la même que celle des femmes ; alors on a (..)

; et l' expression précédente de I devient (..) . Concevons que la

valeur de I soit (..) ; S sera l' erreur de cette expression de

I. On a vu dans le N 30, que si l' on a observé que sur un très

-grand nombre P d' individus de l' âge A, Q sont parvenus à l'

âge (..) ; la probabilité que sur (..) autres individus de l' âge

A, (..) parviendront à l' âge (..) , est (..) . Si l' on suppose

Petq infinis, on aura évidemment (..) ;

p417

on aura (..) ; ce qui donne à très-peu près, en négligeant le

carré (..) ; ainsi la probabilité précédente de Z, est en même

tems la probabilité de cette expression de (..) . Supposons

maintenant (..) ; en considérant le binome ( (..) ), la probabilité

de cette expression de I est par le N 16, (..) . Mais la valeur

précédente de I devient, en y substituant pour (..) sa valeur,

; la probabilité de cette dernière expression de I est égale au

produit de celles de I et de Z, trouvées ci-dessus ; elle est

donc égale à (..) . Ayant supposé précédemment (..) , on aura (..) ;

en substituant donc pour L sa valeur tirée de cette équation, et

observant que l' on a à très-peu près (..) ; on aura pour la

probabilité que la valeur de S sera comprise dans des limites

données, l' expression intégrale (..) , l' intégrale relative à Z

pouvant être prise depuis (..) .

p418

De là il est facile de conclure par les méthodes exposées

précédemment, que si l' on fait (..) , l' intégrale étant prise

depuis S nul. L' analyse précédente s' applique également à la

durée moyenne d' un grand nombre d' associations formées de trois

individus, ou de quatre individus, etc. Soit N ce nombre, et

supposons que tous les associés soient du même âge A au moment

de l' association ; désignons par P le nombre des individus de

la table de mortalité, de l' âge A, et par Q le nombre des

individus de l' âge (..) ; le nombre I des associations

existantes après X années écoulées depuis l' origine des

associations, sera à fort peu près (..) , R étant le nombre des

individus de chaque association. On trouvera par la même analyse,

la probabilité que ce nombre sera renfermé dans des limites

données. La somme des valeurs de I correspondantes à toutes les

valeurs de X, divisée par N, sera la durée moyenne de ce genre

d' associations.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 