( PDF ) Projeto e execução de lajes unidirecionais com vigotas em concreto armado

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CONSTRUÇÃO CIVIL

PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES UNIDIRECIONAIS

COM VIGOTAS EM CONCRETO ARMADO

Eng

Márcio Cardozo Flório

Orientador: Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho

São Carlos

2004

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Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da

Biblioteca Comunitária da UFSCar

F638pe

Flório, Márcio Cardozo.

Projeto e execução de lajes unidirecionais com vigotas

em concreto armado / Márcio Cardozo Flório. -- São Carlos :

UFSCar, 2004.

213 p.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São

Carlos, 2003.

1. Construção civil. 2. Lajes de concreto. 3. Concreto

armado. 4. Concreto pré-moldado. 5. Fissuração. 6.

Fluência. I. Título.

CDD: 690 (20

)

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PROJETO E EXECUÇÃO DE LAJES PRÉ-FABRICADAS

UNIDlRECIONAIS COM VIGOTAS EM CONCRETO ARMADO

Márc io Cardozo Flório

Dissertaçãode Mestrado defendidae aprovada em08 de dezembrode 2003, pela Banca

Examinadoraconstituídapelosprofessores:

~~~~

ProfDr. Ronaldo arros Gomes, r. (UFG)

(Examinador Externo)

Ao meu pai José Carlos Flório e à minha mãe

Maria Izoldina Cardozo Flório

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus.

Ao Professor Dr. Roberto Chust de Carvalho, pela orientação cuidadosa,

ensinamentos e amizade demonstrada ao longo dos últimos quatro anos.

Aos meus pais José Carlos e Maria Izoldina e minha irmã Priscila pelo

amor, ensinamentos, apoio e honra de tê-los como minha família.

À minha noiva Karen pelo amor e compreensão.

Aos meus avós, tios e primos, em especial ao meu avô Divino Jacinto e

meu tio Geraldo Roberto.

Aos grandes amigos da época de graduação Luciano, Juliano, Rogério,

André, Murilo pela amizade e momentos de descontração.

Aos professores, funcionários e colegas do Mestrado e da Graduação.

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior) pela bolsa de estudos concedida.

SUMARIO

CAPITULO 1 INTRODUÇÃO

1.1 Historio recente........................................................................................... 1

1.2 Objetivos .................................................................................................... 2

1.2.1 Objetivos específicos................................................................................ 2

1.3 Justificativas ............................................................................................... 3

1.4 Metodologia................................................................................................ 5

1.5 Apresentação............................................................................................... 6

1.6 Estudos realizados por outros pesquisadores. ............................................ 7

CAPITULO 2 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE A EXECUÇÃO

DE LAJES PRÉ-FABRICADAS

2.1 Introdução.................................................................................................... 10

2.1 Descrição das lajes nervuradas.................................................................... 10

2.2 Lajes nervuradas pré-fabricadas................................................................. 18

2.2.1 Vigota tipo treliça (VT) .......................................................................... 18

2.2.2 Vigota tipo trilho (VC) ............................................................................ 20

2.2.3 Vigota tipo trilho protendido (VP) .......................................................... 21

2.3 Materiais Empregados................................................................................ 24

2.3.1 Concreto................................................................................................... 24

2.3.1.1 Cobrimento............................................................................................ 25

2.3.2 Material de enchimento............................................................................ 27

2.3.3 Armadura complementar ou adicional..................................................... 29

2.4 Vantagens e desvantagens dos sistemas de lajes com vigotas pré-

fabricadas............................................................................................................ 29

2.5 Montagem e concretagem das lajes no local................................................ 31

2.6 Processo de adensamento de uma peça de concreto.................................... 36

2.6.1 Tipos de vibração..................................................................................... 37

2.6.2 Medida da trabalhabilidade...................................................................... 38

2.7 A cura do concreto...................................................................................... 40

2.7.1 Métodos de cura....................................................................................... 43

2.7.2 O tempo de cura....................................................................................... 44

2.8 Espaçamento entre escoras.......................................................................... 44

CAPITULO 3 MODELOS DE CÁLCULO DE PAVIMENTOS DE

LAJES UNIDIRECIONAIS PRÉ-FABRICADAS

3.1 Introdução.................................................................................................... 48

3.2 Modelo de grelha equivalente.................................................................... 48

3.3 Modelo de grelha equivalente simplificado................................................ 53

3.4 Modelo de viga independente...................................................................... 54

vii

3.5 Modelo de cálculo para consideração da continuidade............................... 59

3.5.1 Esforços solicitantes nas lajes.................................................................. 63

3.5.1.1 Vigas sem continuidade e tabelas para dimensionamento.................... 63

3.5.1.2 Vigas hiperestáticas com modelo linear................................................ 67

3.5.2 Emprego de trecho maciço junto ao apoio............................................... 68

3.5.3 Redistribuição de esforços no apoio central............................................. 70

3.5.3.1 Recomendações da norma brasileira NBR 6118 (2003)....................... 71

3.5.3.2 Recomendações da norma espanhola EF-96......................................... 72

3.5.3.3 Dimensionamento usual........................................................................ 73

3.5.4 Processo de vigas independentes considerando o cálculo não linear....... 74

3.5.4.1 Carregamento incremental.................................................................... 75

3.5.4.2 Determinação da força última no modelo hiperestático com controle

de rotação.......................................................................................................... 76

3.5.4.2.1 Critério da capacidade de rotação das rótulas plásticas..................... 76

3.5.4.2.2 Critério da formação de um mecanismo de colapso........................... 78

3.6 A ação do carregamento nas vigas de contorno.......................................... 79

3.7 Programas existentes................................................................................... 81

CAPITULO 4 DIMENSIONAMENTO EM RELAÇÃO AO ESTADO

LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO E DE CISALHAMENTO

4.1 Introdução.................................................................................................... 83

viii

4.2 Procedimento de cálculo considerando a verificação dos estados limites.. 83

4.3 Dimensionamento no estado limite último de flexão simples..................... 84

4.3.1 Cálculo do valor da armadura.................................................................. 87

4.3.2 Momentos resistentes pela seção da nervura........................................... 89

4.3.2.1 Momento resistente positivo pela seção da nervura.............................. 89

4.3.2.2 Momento fletor resistente negativo na seção nervurada....................... 90

4.3.3 Armadura mínima de flexão em lajes pré-fabricadas............................... 91

4.4 Dimensionamento em relação ao cisalhamento.......................................... 92

4.4.1 Considerações sobre os mecanismos resistentes...................................... 93

4.4.2 Força cortante em lajes............................................................................. 96

4.4.2.1 Lajes sem armadura para força cortante................................................ 96

4.4.2.2 Lajes com armadura para força cortante............................................... 99

4.4.2.2.1 Cálculo da resistência......................................................................... 99

4.4.2.2.2 Modelo de cálculo I............................................................................ 100

4.4.2.2.3 Modelo de cálculo II........................................................................... 103

4.4.3 Força Cortante em lajes pré-fabricadas unidirecionais segundo a Norma

Espanhola........................................................................................................... 104

4.5 Estudo experimental exploratório............................................................... 106

CAPITULO 5 VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE

DEFORMAÇÃO EXCESSIVA

5.1 Introdução……..........................................................…………………… 110

5.2 Cálculo das características geométrica (Estádios I e II)………………… 111

5.3 Efeito da fissuração teórico na rigidez…………………………………… 116

5.4 Estudo experimental do efeito da fissuração……………………………... 117

5.4.1 Estudo experimental realizado por FLÓRIO…………………………… 118

5.4.2 Estudo experimental realizado por CAIXETA (1998)…………………. 125

5.4.3 Outros fatores que influenciam na determinação da flecha……………. 128

5.4.3.1 Ensaio de flexão variando-se processos de adensamento……………. 128

5.4.3.2 Ensaio de flexão variando-se o tipo de cura.....................……………. 131

5.4.4 Ensaio com carregamentos uniformemente distribuídos……………….. 133

5.4.5 Conclusões dos ensaios de flexão……………………………………… 134

5.5 Efeito da fluência teórico………………………………………………… 135

5.6 Efeito da fluência experimental…………………………………………... 137

5.6.1 Considerações sobre o ensaio de fluência……………………………… 145

5.7 Deformações limites segundo a NBR 6118/03…….....………………….. 149

5.8 Combinações de ações segundo a NBR 6118/03.....……………………... 151

CAPITULO 6 EXEMPLOS

6.1 Introdução................................................................................................... 153

6.2 Exemplo 1: Variação de altura em lajes simplesmente apoiadas................ 153

6.2.1 Resolução item I....................................................................................... 154

6.2.2 Resolução item II..................................................................................... 161

6.3 Exemplo 2: Comparar os resultados das flechas imediatas encontrados no

exemplo 1.......................................................................................................... 163

6.4 Exemplo 3: Consideração de uma parede transversal às nervuras.............. 170

6.5 Exemplo 4: Calculo da armadura de uma nervura de laje pré-fabricada

com dois vãos.................................................................................................... 175

6.6 Exemplo 5: Verificar o estado de deformação excessiva da laje do

exemplo 4.......................................................................................................... 185

6.7 Exemplo 6: Calcular os momentos fletores para as nervuras,

considerando o processo de grelha equivalente simplificado........................... 192

CAPITULO 7 CONCLUSÕES FINAIS, SUGESTÕES

7.1 Introdução.................................................................................................... 197

7.2 Conclusões em relação à questão de execução........................................... 198

7.3 Conclusões em relação às questões de projeto............................................ 199

7.3.1 Modelos de Cálculo.................................................................................. 199

7.3.2 Estado limites últimos de flexão e cisalhamento...................................... 200

7.3.3 Estado limites de deformação excessiva.................................................. 200

7.4 Sugestões para novas pesquisas.................................................................. 201

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

203

ANEXO I

212

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1- Pavimento com forma em planta quadrada solução laje

maciça................................................................................................................

FIGURA 2.2- Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada

em uma direção..................................................................................................

FIGURA 2.3- Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada

em duas direções................................................................................................ 16

FIGURA 2.4- Seções transversais para utilizarem em um pavimento

quadrado com solução com laje maciça e nervurada em uma direção (cotas

em cm)............................................................................................................... 16

FIGURA 2.5 Seções transversais de lajes nervuradas com as formas e

materiais empregados: a) forma reutilizável; b) blocos de concreto; c) blocos

de concreto celular; d) tijolos cerâmicos furados.............................................. 17

FIGURA 2.6- Laje formada por nervuras pré-moldadas, EL DEBS (2000)..... 17

FIGURA 2.7-Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo treliça.. 19

FIGURA 2.8– Vigotas em treliças e elementos de enchimento utilizados para

confecção de lajes, retirada do site www.puma.com.br.................................... 19

FIGURA 2.9-a)armadura da treliça e b)suas dimensões (www.puma.com.br). 20

FIGURA 2.10 – Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo

trilho................................................................................................................... 21

xii

FIGURA 2.11 – Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo

trilho protendido................................................................................................ 21

FIGURA 2.12 - Laje pré-moldada armada em duas direções, Revista Téchne

68....................................................................................................................... 23

FIGURA 2.13 -Planta de arquitetura e formas de um edifício em que se usou

lajes pré-moldadas bidirecionais (manual da Associação dos Fabricantes de

Laje de São Paulo)............................................................................................. 23

FIGURA 2.14 – Modificações na seção para garantir o cobrimento................ 27

FIGURA 2.15–Lajotas cerâmicas, exemplo de dimensões............................... 28

FIGURA 2.16– Blocos de EPS, a) para lajes unidirecionais, b) para lajes

bidirecionais, (www.puma.com.br)...................................................................

FIGURA 2.17- Montagem do painel de laje com nervuras treliçadas, manual

lajes mediterrânea (1992).................................................................................. 32

FIGURA 2.18 – Detalhe da interface com a tubulação elétrica Revista,

Revista Téchne 68............................................................................................ 33

FIGURA 2.19 – Detalhe da interface com a tubulação hidráulica, Revista

Revista Téchne 68............................................................................................ 34

FIGURA 2.20 a)Influência da umidade relativa do ar e b)da temperatura

sobre a perda de água do concreto nas idades iniciais....................................... 42

FIGURA 2.21- Efeito da temperatura do concreto, do ar, umidade relativa e

velocidade dos ventos na evaporação da água na superfície do concreto......... 43

FIGURA 3.1- Forma de pavimento composto por lajes pré-fabricadas e vigas

feito com a utilização do programa CypeCAD................................................. 49

xiii

FIGURA 3.2- Esquema para a utilização do processo de grelha equivalente

para o carregamento da figura 3.1..................................................................... 49

FIGURA 3.3 a)– geometria real da seção da nervura. b) geometria adotada.... 51

FIGURA 3.4 – geometria da viga...................................................................... 52

FIGURA 3.5 – geometria da seção capa........................................................... 52

FIGURA 3.6- Esquema para a utilização do processo de grelha equivalente

simplificado.......................................................................................................

FIGURA 3.7 - Pavimento simples, praticamente quadrado e simplesmente

apoiado nos quatro lados utilizado no estudo..................................................

FIGURA 3.8. a) laje pré-moldada composta por elementos isolados; b) laje

pré-moldada composta por nervuras mais capa; c) laje de placa maciça.......... 56

FIGURA 3.9- Deformações dos pavimentos considerando vigas

independentes, laje pré-moldada com capa e placa maciça............................... 57

FIGURA 3.10- diagrama do momento fletor.................................................... 58

FIGURA 3.11- Esquema para a utilização do processo de viga independente. 59

FIGURA 3.12 Laje contínua unidirecional, seções submetidas a momento

fletor positivo e negativo. ................................................................................. 60

FIGURA 3.13 Laje contínua unidirecional, diagramas de momento elástico e

com plastificação no apoio central.................................................................... 61

FIGURA 3.14 a) Esquema estrutural de laje isostático e b) Diagrama de

momento fletor de laje isostático....................................................................... 64

xiv

FIGURA 3.15 a) Esquema estrutural de laje hiperestático e b) Diagrama de

momento fletor de laje hiperestático..................................................................

FIGURA 3.16 a)Perspectiva da região maciça de concreto. b) Seção

transversal maciça de concreto.......................................................................... 69

FIGURA 3.17 Determinação do trecho maciço................................................ 70

FIGURA 3.18– Diagramas dos momentos de acordo com a norma espanhola

EF-96 (1997)......................................................................................................

FIGURA 3.19 – Diagrama carga x deslocamento: 1)desenvolvimento real

2)desenvolvimento por etapas lineares, CARVALHO (1994)..........................

FIGURA 3.20 – Determinação da curvatura média a partir dos

deslocamentos, MAGALHÃES (2001)...........................................................

FIGURA 3.21 – Critério da formação de um mecanismo de colapso,

MAGALHÃES (2001)....................................................................................... 78

FIGURA 4.1- Esquema para o cálculo da largura colaborante......................... 84

FIGURA 4.2 – Comportamento da seção transversal nos três Estádios de

uma viga de concreto armado na flexão normal simples [MONTOYA, 1978]. 85

FIGURA 4.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma

seção transversal segundo a NBR:2003............................................................. 88

FIGURA 4.4 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo

resistente a) LN na mesa b) LN na alma........................................................... 88

FIGURA 4.5 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo

resistente: a)seção real b)seção de cálculo......................................................... 90

FIGURA 4.6 Comportamento de uma viga com fissuração de flexão e

cisalhamento (adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2001))......

FIGURA 4.7 Esquema da treliça idealizada por MÖRSCHE para situação

a)com estribos, b)armadura dobrada. Biela de concreto inclinada de 45

(modelo I) (adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2001)).......... 95

FIGURA 4.8 Comprimento de ancoragem necessário...................................... 98

FIGURA 4.9– Perímetro (u) a ser empregado na verificação do cisalhamento 106

FIGURA 4.10 – Esquema estrutural da nervura e do carregamento................. 106

FIGURA 5.1 - Seção transversal em forma de “T”a) bruta ou geométrica

sem armadura, b) com armaura......................................................................... 112

FIGURA 5.2 - Seção transversal em forma de “T” no estádio II puro.............. 115

FIGURA 5.3 - Esquema de uma viga submetida à flexão com trechos

funcionando em vários Estádios........................................................................ 116

FIGURA 5.4 - Esquema do ensaio para análise da nervura, capa+vigota, com

vigota de concreto. ............................................................................................ 119

FIGURA 5.5 - Esquema estrutural.................................................................... 120

FIGURA 5.6- Seção transversal medidas em cm.............................................. 133

FIGURA 5.7 Esquema dos protótipos de ROGGE (2000)................................ 138

FIGURA 6.1 Características geométricas da seção........................................... 155

FIGURA 6.2 – Esquema estrutural de uma nervura.......................................... 156

FIGURA 6.3 Esquema dos protótipos............................................................... 163

FIGURA 6.4 Seção transversal medidas em cm............................................... 163

xvi

FIGURA 6.5 Armadura da treliça..................................................................... 172

FIGURA 6.6 Seção transversal adotada para cálculo da laje do exemplo 3..... 175

FIGURA 6.7 Esquema estrutural da laje e principais características das ações

considerando-a elástica e de inércia constante.................................................. 176

FIGURA 6.8-Situação para o cálculo do máximo momento negativo

resistido pela nervura sem considerar região maciça........................................ 178

FIGURA 6.9-Esquema estrutural da laje com seção maciça próxima ao

apoio central....................................................................................................... 180

FIGURA 6.10-Esquema estrutural da laje sem seção maciça próxima ao

apoio central e com momento negativo igual ao máximo resitido pela seção... 181

FIGURA 6.11-Esquema estrutural da laje do problema para três soluções:

dois tramos isostático, contínua com seção do apoio plastificada e com seção

do apoio maciça................................................................................................. 184

FIGURA 6.12-Esquema das seções transversais no tramo para o cálculo das

características geométricas. Seção bruta e com armadura................................. 185

FIGURA 6.13 Planta de forma de pavimento com nervuras pré-moldadas. 192

FIGURA 6.14 Esquema dos nós que compõem a malha da grelha empregada

para determinar os esforços nas nervuras. Os nós 1, 9 e 17 são indeslocáveis

na vertical (fazem o papel dos pilares de apoio) e os nós 103 a 119

correspondem a nervura central e o eixo de simetria da

estrutura.............................................................................................................

193

xvii

LISTA DE TABELAS

TABELA 2.1 – Valores de Momento fletor e flecha para uma viga e uma

placa que compõem um piso de lados iguais a: b e 2b...................................... 12

TABELA 2.2 bitola mínima para o fio do banzo superior, conforme a altura

da treliça............................................................................................................. 20

TABELA 2.3 Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimento

nominal para ∆

= 5,0 mm (adaptada da NBR 6118/03)...................................

TABELA 2.4 Classes de agressividade ambiental.Classe de agressividade..... 26

TABELA 2.5 Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimento

nominal para ∆

= 5mm (adaptada a NBR 6118/03).........................................

TABELA 2.6 - Alturas totais das lajes pré-fabricadas em função das alturas

padronizadas dos elementos de enchimento...................................................... 29

TABELA 2.7 - Fatores de adensamento (extraída de NEVILLE (1982)).........

TABELA 3.1 Laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples – intereixo de 33

cm, vãos livres máximos (metros).....................................................................

Tabela 3.2 Valores máximos (m) de vãos para lajes simplesmente apoiadas

com altura de 12 cm (capa de 4 cm); ruptura e deformação excessiva

atendidas............................................................................................................ 66

TABELA 3.3 Exemplos estudados e porcentual de cargas transferida para as

vigas secundarias............................................................................................... 80

TABELA 4.1 Taxas mínimas de armadura de flexão para viga

........................................................................................................................... 92

TABELA 4.2 Dados das nervuras ensaiadas.................................................... 107

xviii

TABELA 4.3 Protótipos e respectivas cargas de ruptura................................. 108

TABELA 5.1 Características geométricas de seções transversais em “T”, no

estádio I, sem considerar a presença da armadura........................................

113

TABELA 5.2 Características geométricas de seções transversais em “T”, no

estádio I, com armadura longitudinal A

s........................................................................................

113

TABELA 5.3 Características geométricas e mecânicas dos protótipos............ 121

TABELA 5.4 Nomenclatura dos protótipos do ensaio de adensamento........... 129

TABELA 5.5 Nomenclatura dos protótipos do ensaio de cura......................... 132

TABELA 5.6 Flecha imediata dos protótipos e flecha teórica (f

= 20MPa)... 134

TABELA 5.7 Valores do coeficiente de fluência.............................................. 136

TABELA 5.8 Determinação de ξ de acordo com t...........................................

137

TABELA 5.9 Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m 139

TABELA 5.10 Valores médios de flechas, temperatura e umidade do

protótipo piloto.................................................................................................. 140

TABELA 5.11 - Valores de flechas, umidade e temperatura ambientes dos

protótipos........................................................................................................... 141

TABELA 5.12 - Comparação entre as lajes A e B............................................ 146

TABELA 5.13- Comparação entre as lajes C, D e E........................................ 147

TABELA 5.14 - Limites para deslocamento ................................................... 150

TABELA 5.15 - Combinações de serviço e valores do coeficiente γ

f2....................

152

TABELA 6.1 Flecha para diferentes combinações........................................... 159

xix

TABELA 6.2 Flechas para diferentes alturas de laje........................................ 161

TABELA 6.3 Verificação de Flechas para diferentes alturas de laje................ 162

TABELA 6.4- Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m.. 164

TABELA 6.5 - Flecha imediata e após 200 dias dos protótipos....................... 164

TABELA 6.6 Características geométricas da seção do exemplo 1 h=11cm..... 165

TABELA 6.7 Expressões para valores característicos segundo as normas de

1980 (adaptada) e 2003...................................................................................... 166

TABELA 6.8 Flecha imediata de pesos próprio da laje com h=11 cm nas

versões da NBR6118(1980) e NBR6118(2003)................................................ 168

TABELA 6.9-Momentos Fletores e armaduras positiva e negativa para as

diversas situações da laje...................................................................................

183

TABELA 6.10 Características geométricas para o estádio II puro para seção

do tramos da laje nas diversas situações............................................................ 187

TABELA 6.11 condição de aceitabilidade sensorial......................................... 189

TABELA 6.12 Valores dos máximos momentos positivos e negativos em

cada nervura....................................................................................................... 195

LISTA DE GRAFICOS

GRÁFICO 5.1 - Carga aplicada x flecha para as nervuras A e C(f

43 MPa),

armadura (A

): 2 φ 4,2 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h

) de 4,5 cm;

altura (h)11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)....................................... 122

GRÁFICO 5.2 - Carga aplicada x flecha para as nervuras B e E (f

48 MPa),

armadura (A

): 2 φ 6,0 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h

) de 4,5 cm;

altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)......................................

123

GRÁFICO 5.3 - Carga aplicada x flecha para as nervuras D e F (f

40 MPa,

armadura (A

): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 3,0 m; capa de concreto (h

) de

4,5 cm; altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)......................... 123

GRÁFICO 5.4- Carga aplicada x flecha para as nervuras G e H (f

40 MPa,

armadura (A

): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

)de

3,0cm; altura (h)14 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)..............................

124

GRÁFICO 5.5 – Carga aplicada x flecha para as nervuras 121 e 122 (f

27,31 MPa, armadura (A

): 0,756 cm

; comprimento: 3,0 m; capa de

concreto (h

) de 4,0cm; altura (h) 12 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)... 126

GRÁFICO 5.6 - Carga aplicada x flecha para as nervuras 161 e 162 (f

17,82 MPa), armadura (A

): 0,899 cm

; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h

)

de 4,0cm; altura (h) 16 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)........................

127

GRÁFICO 5.7 - Carga aplicada x flecha para a nervura 202 (f

18,8 MPa),

armadura (A

): 0,746 cm

; vão (L): 2,0 m; capa de concreto (h

) de 4,0cm;

altura (h) 20cm; ensaio: Flexão armadura positiva).......................................... 127

GRÁFICO 5.8 - Carga aplicada x flecha para a nervura VI - 01 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com

de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em

nervura submetida a vibração por imersão)....................................................... 129

xxi

GRÁFICO 5.9 - Carga aplicada x flecha para a nervura VS - 06 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com

de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva

submetida a vibração superficial).....................................................................

129

GRÁFICO 5.10 - Carga aplicada x flecha para a nervura NV - 07 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com

de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva

submetida ao adensamento manual)................................................................. 130

GRÁFICO 5.11 - Carga aplicada x flecha para as nervuras submetidas a

diferentes processos de adensamento................................................................ 131

GRÁFICO 5.12 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com

de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em

nervura não submetida a cura por recobrimento).............................................. 132

GRÁFICO 5.13 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com

de 34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em

nervura submetida a cura por recobrimento).....................................................

132

GRÁFICO 5.14 - Valores da flecha ao longo do tempo do protótipo piloto..... 139

GRÁFICO 5.15- Valores das flechas ao longo do tempo dos protótipos.......... 142

GRÁFICO 5.16- Comparação dos resultados experimentais da laje piloto

com os valores teóricos da NBR 6118 (1999) com mesma expressão da

versão 2003....................................................................................................... 143

GRÁFICO 5.17- Comparação dos valores experimentais das lajes A e B com

os valores teóricos da NBR 6118...................................................................... 144

xxii

GRÁFICO 5.18 - Comparação dos valores experimentais das lajes C, D e E

com os valores teóricos da NBR 6118.............................................................. 145

GRÁFICO 5.19 - Variação da flecha no tempo – Laje A................................. 148

GRÁFICO 6.1-Deslocamentos do tramo 1 para as diversas situações da laje.

Cálculo executado com a inércia da seção bruta............................................... 188

GRÁFICO 6.2- Deformação do pavimento com deslocamentos dos pontos

em m. Pode-se perceber a menor deformação que ocorre na região das três

vigas e como as longarinas apoiadas nos pilares ou próximas deles tem

menor deformação............................................................................................ 193

GRÁFICO 6.3- Deformação das diversas nervuras. As laterais esquerda e

esquerda 1 são respectivamente a nervura apoiada nos pilares calculada no

modelo de grelha e com viga independente (deformação praticamente igual).

A nervura intermediária correspondente a formada pelos nós 52 a 68 (ver fig.

14 ) e finalmente a nervura central é a formada pelos nós 103 q 119, ou seja

a que apresenta a maior deformação................................................................ 194

GRÁFICO 6.4 Variação do momento fletor negativo de cada nervura. O

valor do momento vai diminuindo em módulo conforme a nervura fica mais

próxima do centro da laje.................................................................................

194

GRÁFICO 6.5- Variação do momento fletor positivo de cada nervura. O

valor do momento vai aumentando em módulo conforme a nervura fica mais

próxima do centro da laje................................................................................. 195

GRÁFICO 6.6- Diagrama de momento fletor positivo da nervura isolada

(apoios indeslocaveis), intermediária e central................................................. 196

xxiii

LISTA DE FOTOGRAFIAS

FOTOGRAFIA 2.1-Tipo treliça (VT), (www.puma.com.br)........................... 18

FOTOGRAFIA 2.2 - Tipo trilho (VC), ( www.puma.com.br)........................ 20

FOTOGRAFIA 2.3- Concretagem da capa de concreto.................................... 35

FOTOGRAFIA 4.1– Ensaio de cisalhamento com pórtico, macaco,

dinamômetro e nervura isolada.......................................................................... 107

FOTOGRAFIA 4.2 – Vista lateral do ensaio. Os protótipos não ensaiados

eram armazenadas em baixo do pórtico...................................................... 107

FOTOGRAFIA 4.3 –fissura na lateral da nervura após o colapso, trincas a

um ângulo próximo de 45

................................................................................

108

FOTOGRAFIA 4.4 - Face lateral da nervura após o colapso, trincas a um

ângulo próximo de 45

...................................................................................... 108

FOTOGRAFIA 4.5 –fissura na lateral da nervura após o colapso, carga a 35

cm do apoio, inclinação de trincas é menor que 45

...................................... 109

FOTOGRAFIA 4.6 - fissura na lateral da nervura após o colapso, concreto

junto ao apoio se soltou. Inclinação das trincas menor que 45

........................ 109

FOTOGRAFIA 4.7 – Aparecimento da fissura na face inferior da nervura..... 109

FOTOGRAFIA 4.8- Face inferior da nervura, a fissura (ou trinca) ocorre

inclusive na mesa............................................................................................... 109

FOTOGRAFIA 5.1 - defletômetro mecânico.................................................... 119

FOTOGRAFIA 5.2 - nível de precisão.............................................................. 119

xxiv

FOTOGRAFIA 5.3 Anel dinamométrico.......................................................... 120

FOTOGRAFIA 5.4 - ensaio de compressão para obtenção do f

..................... 121

FOTOGRAFIA 5.5 - corpo de prova após ensaio de compressão.................... 121

xxv

RESUMO

FLÓRIO, M. C. Projeto e execução de lajes unidirecionais com vigotas pré-moldadas

em concreto armado. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de São Carlos. São

Carlos, SP. 2003.

Neste trabalho é apresentada toda a metodologia para o projeto e a execução

de lajes pré-moldadas com nervuras unidirecionais, que são um dos elementos construtivos

mais utilizados em edificações de pequeno porte no país, abordando temas relacionados

desde detalhes construtivos assim como o cálculo no estado limite de deformação

excessiva.

São discutidos detalhes construtivos como a escolha do concreto com

resistência adequada, técnicas de cura e adensamento, ensaios necessários no canteiro,

lançamento do concreto, cuidados na confecção de formas, distancia mínima entre escoras

para diferentes tipos de vigotas, utilização de contra flecha. Em relação ao

dimensionamento tem-se a consideração da fissuração e da fluência no estado limite de

deformação excessiva e estado limite ultimo de flexão e cisalhamento. São feitas ainda

considerações a respeito da continuidade, paredes apoiadas diretamente sobre a laje.

Preocupou-se em adequar todas as teorias de cálculo e técnicas já conhecidas e empregadas

em larga escala. Estão incluídas neste trabalho as especificações normativas referentes à

NBR 6118/03 que acaba de entrar em vigor.

Os resultados apresentados foram realizados, em sua maioria, pelo Grupo de

Estudo de Sistemas Estruturais em Concreto da UFSCar do qual faz parte o autor dessa

dissertação e envolveram uma serie de experimentos relacionados à deformação de lajes

pré-moldados considerando os fenômenos de fluência e fissuração do concreto.

xxvi

ABSTRACT

FLÓRIO, M. C. Design and construction of concrete pre-cast slabs with unidirectional

ribs. Master Thesis. Universidade Federal de São Carlos. São Carlos, SP. 2003.

This work presents design and executive procedures for pre-cast slabs with

unidirectional ribs, which are one of the most used construction elements for small

buildings in the country, discussing aspects related to constructive details and both to limit

state and service limit design procedures.

Many construction details are discussed, such as choice of adequate concrete

strength, placement, consolidation and cure of concrete, materials quality assurance tests,

formwork, minimum distance between supports to different kinds of joists, camber details

and others. Regarding the design procedure, there is study about the consideration of

cracking and creep in the deflections service state design and also about shear and flexure

reinforcement limit state design. Considerations related to panel continuity and walls

directly supported by the slab were taken into account. Special care was taken during the

work in other to try to suit design theories to construction techniques already known and

used in large scale. Recommendations included in the new concrete code NBR 6118

(2003) were also analyzed.

The tests presented were performed mainly by “Grupo de Estudos de

Sistemas Estruturais em Concreto da UFSCar” in which the author belongs in, including a

series of tests to measure deflections in pre-cast slab taking in account the creep and

cracking phenomena.

Key Worlds: slab, reinforced concrete, joist, pre-cast, cracking, creep.

INTRODUÇÃO

1.1 Histórico Recente

O Grupo de Estudo de Estruturas de Concreto da UFSCar denominava o

sistema estrutural que trata este trabalho de lajes com vigotas parcialmente pré-

moldadas, porém a Norma NBR14859 (2002) passou a chamar este mesmo sistema

simplesmente de lajes pré-fabricadas. Assim, procura-se neste texto usar esta

nomenclatura.

O uso de lajes pré-fabricadas tem se intensificado nos últimos anos. O

que era, em princípio, uma solução adotada para edificações de pequeno e médio porte

se tornou viável em grandes obras como prédios de diversos andares, edificações de

grandes vãos e até mesmo pontes. Grande parte desse aumento no uso ocorreu pela

entrada no mercado de duas grandes siderúrgicas que fabricam treliças metálicas para

laje com vigotas treliçadas.

Assim após as dissertações de mestrado pioneiras de DiPietro (1993),

Bocchi (1995) e Gaspar (1997), seguiram-se os trabalhos de Lima (1997), Caixeta

(1998), Droppa Junior (1999), Magalhães (2001) e mais recentemente Pereira (2002). O

Grupo de Estudo de Estruturas de Concreto da UFSCar, do qual fazem parte o autor e

seu orientador, já realizou cerca de oito trabalhos de iniciação científica com

financiamento da FAPESP e CAPES.

Destacam-se também alguns trabalhos realizados a partir de convênios

entre empresas e universidades como os de FRANCA (1997), EL DEBS e DROPPA

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

JÚNIOR (1999). Somado a todos estes trabalhos o Comitê CB18 editou as Normas que

regulamentam a fabricação de lajes pré-fabricadas (NBR14859; NBR14859-2; NBR

14860-1; NBR14860-2; NBR14862) no ano de 2002. Logo em seguida, no ano de 2003,

concluiu-se e publicou-se o texto final da NBR6118 (2003) que altera diversos

dispositivos do cálculo de lajes com vigotas pré-fabricadas.

Também no período destes últimos cinco anos junto com as tabelas para

escolha de laje existentes (ver MEDITERRÂNEA (1992) e MESQUITA (1999))

surgiram outras tabelas publicadas em catálogos da BELGO (2003) e KNIJNIK (2003)

além de diversos programas automáticos (MULTIPLUS (1996), DROPA JUNIOR

(2003), GERDAU(2003) e TQS (2003)) que disponibilizam ferramentas para o uso em

projeto de pavimentos com lajes de vigotas pré-fabricadas.

1.2 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é apresentar estudos dos principais

tópicos de conhecimento necessários aos engenheiros que atuam no mercado para

desenvolver projetos e construir pisos com lajes pré-fabricadas unidirecionais.

Para tanto além do estudo das questões construtivas elegeu-se os tópicos

de dimensionamento no Estado Limite Último à flexão e ao cisalhamento e a

verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva destes pavimentos, baseados em

normas e em resultados experimentais, como os temas a se desenvolver.

Para realizar o objetivo principal divide-se o trabalho em diversas partes

que se tornam objetivos específicos listados no subitem seguinte.

1.2.1 Objetivos específicos

Como objetivos específicos pode-se listar os seguintes:

• Estudo de aspectos construtivos que interferem no funcionamento das lajes

• Avaliação da consideração da fissuração em deformações imediatas com o

emprego da expressão de Branson (1968);

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

• Avaliação das deformações de longo prazo devidas à fluência;

• Fornecer recomendações de processos de cálculo de solicitações para o sistema

de lajes unidirecionais.

• Fornecer recomendações de projeto para o dimensionamento ao cisalhamento

considerando a atuação de paredes diretamente apoiadas sobre lajes;

Todos estes tópicos acabam sendo descritos ao longo do trabalho de

maneira concatenada formando um roteiro de projeto.

1.3 Justificativas

Quanto à importância do sistema estrutural em questão (lajes com vigotas

pré-fabricadas) pode-se citar como válidos ainda, alguns aspectos levantados no

relatório da pesquisa de CARVALHO R. C.(2000):

• Há um grande déficit habitacional do país, havendo a necessidade de se

aumentar a velocidade da construção de unidades habitacionais.

• O custo de edificações térreas é elevado, pois o preço dos lotes em áreas urbanas

é muito alto tornando necessário, para barateamento das unidades, a construção

de edificações pelo menos assobradadas.

• Grande parte da população não tem condições econômicas para comprar

imóveis, tornando necessário minimizar o custo destes empregando, se for

preciso, o único bem de que dispõem: a força de trabalho (o uso de auto-

construções).

• A falta de recursos para investimento no setor, principalmente para a

capitalização em maquinários de grande porte (para lançamentos etc.) que inibe

o uso de sistemas muito sofisticados de pré-fabricação.

• O surgimento em cidades de pequeno e médio porte da região (Matão, Franca,

Jaboticabal) e em outras partes do país de cooperativas que empregam mão de

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

obra não qualificada, ou seja, a dos próprios cooperados que em regime de

mutirão executam as unidades.

• A existência de fábricas de lajes pré-fabricadas em quase todas as cidades de

médio porte no estado de São Paulo.

Acrescenta-se às justificativas anteriores o emprego deste tipo de solução

a obras de maior envergadura tais como prédios altos ou até pontes na medida que o

custo da forma tem onerado demais outras soluções.

Os sistemas estruturais que utilizam lajes de nervuras pré-fabricadas se

enquadram naqueles que combinam o uso da fabricação em série, sob condições

controladas (emprego de técnicas de confecção adequadas), sem que seja preciso a

utilização de equipamentos sofisticados e mão de obra especializada. Suas principais

vantagens, que fazem com que seu custo seja inferior a outros sistemas, são: dispensam

o uso de fôrmas das lajes, são de fácil manuseio e montagem (podem ter seus elementos

transportados com o uso de força humana e máquinas primitivas, como cordas e

roldanas etc.), em quase todas as cidades existem fábricas de lajes pré-fabricadas e, se

bem dimensionados e executados, apresentam desempenho compatível com as

necessidades previstas e com segurança.

Não obstante o aumento de pesquisas do tema, assim como as

publicações a respeito ainda não houve uma sistematização capaz de proporcionar aos

projetistas sem experiência no assunto desenvolverem toda a potencialidade deste tipo

de estrutura.

O formato da seção transversal da nervura (um ¨T¨) leva, na maioria das

vezes, para elementos contínuos, ao emprego de um cálculo não linear. Isto se dá na

medida que a resistência à flexão de uma seção ¨T¨ é muito menor a momentos

negativos (em módulo, geralmente, maiores que os positivos nas estruturas contínuas).

Poucos são os profissionais familiarizados com este tipo de cálculo que apresenta

também dificuldades no cálculo de flechas no estado limite de deformação excessiva.

Outra característica deste sistema é que para pequenas alturas de lajes em

sistemas unidirecionais a fissuração do concreto é muito importante, ou seja, a condição

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

determinante de projeto pode ser a do estado limite de deformação que precisará

empregar cálculo considerando fissuração e fluência do concreto, também não tão

presente no dia a dia dos engenheiros.

Finalmente é preciso mostrar que para situações mais simples de

pequenos vãos e alturas de laje razoáveis o cálculo possa ser feito de maneira mais

simples com ferramentas usuais (até cálculo manual).

Assim, espera-se que este trabalho possa ajudar os projetistas a aproveitar

todo o potencial do sistema estrutural de lajes com nervuras pré-fabricadas usando

corretamente as normas em vigor e ferramentas disponíveis, obtendo inclusive

informações sobre experimentos realizados no Brasil.

1.4 Metodologia

Inicialmente foi realizada uma revisão bibliográfica, permitindo a

obtenção de informações disponíveis na literatura técnica sobre o tema. A partir dessa

revisão foi desenvolvida a parte teórica deste trabalho que conta também com uma parte

experimental, estas partes estão relacionadas através de comparações de resultados que

deram o embasamento necessário para as recomendações contidas neste trabalho.

Os trabalhos, na sua maior parte, foram realizados nos laboratórios de

Materiais e de Sistemas Construtivos do Departamento de Engenharia Civil da UFSCar,

e consistiam em ensaiar nervuras confeccionadas a partir de vigotas pré-fabricadas e

faixas de lajes submetidas a diversos tipos de carregamentos, cujas intensidades foram

registradas com os respectivos deslocamentos. Esses deslocamentos foram comparados

aos resultados teóricos através da elaboração de gráficos, o mesmo sendo feito com os

valores de ensaios obtidos a partir de outros autores.

São analisados os principais métodos e modelos de cálculo, descrevendo-

se a hipótese de cada um deles; a partir disso são feitos os exemplos para finalmente

apresentar-se sugestões e conclusões.

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

1.5 Apresentação

Este trabalho está dividido em 7 capítulos, apresentando-se a seguir,

sucintamente o conteúdo de cada um deles.

O capítulo 1 apresenta além de um histórico recente, os objetivos, as

justificativas, a metodologia do trabalho e uma breve descrição de estudos realizados

por outros autores sobre o sistema de lajes pré-fabricadas unidirecionais.

No capitulo 2 são apresentados considerações gerais sobre a execução de

lajes com vigotas pré-fabricadas mostrando as questões relacionadas à execução e

escolha de materiais.

No capítulo 3 são apresentados modelos de cálculo de pavimentos de

lajes com vigotas pré-fabricadas, como o modelo de grelha equivalente, grelha

equivalente simplifica, de viga independente, viga independente considerando a

continuidade, as ações do carregamento nas vigas de contorno e citação dos diversos

programas existentes para dimensionamento e verificação dessas lajes.

No capitulo 4 é apresentado o dimensionamento no Estado Limite Último

em relação à flexão e ao cisalhamento e o estudo experimental relacionado a esse efeito

(cisalhamento).

No capitulo 5 é apresentada a verificação do Estado Limite de

Deformação Excessiva, o estudo experimental relacionado a essa verificação.

No capitulo 6 é apresentada uma série de exemplos numéricos

relacionados aos capítulos anteriores que servem de roteiro para engenheiros que

projetam lajes.

As conclusões e os comentários finais deste trabalho são apresentados no

capítulo 7.

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

1.6 Estudos realizados por outros pesquisadores.

Apresenta-se neste item de forma sucinta os estudos realizados por outros

autores sobre o sistema de lajes pré-fabricadas unidirecionais. Para o levantamento

destes dados realizou-se pesquisas junto às bibliotecas da Universidade Federal de São

Carlos, da Universidade de São Paulo e na INTERNET nos domínios da ABCP e do

IBRACON através da consulta de seus bancos de dados com a utilização das palavras

chaves aqui apresentadas.

As informações referenciadas mais antigas sobre as lajes pré-fabricadas

no Brasil podem ser encontradas em MEDITERRÂNEA. (1992 e 1993) em que a

empresa MEDITERRÂNEA PRÉ-FABRICADOS DE CONCRETO através de manual

e boletim técnico apresenta uma série de informações sobre o sistema de lajes pré-

fabricadas com armadura em treliça, incluindo na publicação tabelas para

dimensionamento de armadura longitudinal das nervuras para sistemas simplesmente

apoiados, porém sem considerar a fissuração dos elementos. Em relação às lajotas

compostas por trilhos só foi possível encontrar folhetos de propaganda de empresas

comerciais que já não trabalham mais no mercado e que da mesma forma que as

publicações da MEDITERRÂNEA apresentavam tabelas para identificação de altura

para as lajes em função de vão e sobrecarga empregada.

DI PIETRO (1993) abordou em sua dissertação de mestrado a tecnologia

de execução de lajes pré-fabricadas com vigotas de concreto analisando inclusive a

questão de custo. Abordou também a fabricação, comentando as questões de qualidade e

industrialização não tendo focado seu trabalho na parte de cálculo.

BOCCHI JR. (1995) apresentou dissertação sobre lajes nervuradas de

concreto armado comparando através de um exemplo numérico as pré-moldadas (pré-

fabricadas) com as moldadas no local, mostrando que o custo das pré-moldadas é bem

inferior. Enfatiza em seu trabalho que o caminhamento correto, desde o projeto até a

execução das lajes é fundamental para o bom desempenho das mesmas, de maneira

segura e econômica. Além disso analisou as principais recomendações da norma de

concreto da época NBR6118 (1980). Finalmente nos exemplos numéricos apresentou o

detalhamento das armaduras de flexão.

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

GASPAR (1997), apresenta trabalho de dissertação que analisa

fundamentalmente, de forma experimental e teórica, o aspecto de execução de lajes pré-

fabricadas com vigotas treliçadas. Estuda na verdade a questão do escoramento

mostrando como pode ser definido o espaçamento entre as escoras. Este assunto é

retomado por EL DEBS & DROPPA JÚNIOR (1999) e FORTE et Alli (2000). Assim

como o trabalho de GASPAR os dois últimos tiveram caráter experimental mostrando

uma tendência em se desenvolver experimentos para caracterizar melhor o sistema.

Dentro deste raciocínio CAIXETA (1998) apresentou dissertação de mestrado

ensaiando quatro nervuras (com vigotas treliçadas) submetidas à flexão simples

tentando caracterizar de forma mais real o comportamento das mesmas. Mostrou a

necessidade de se considerar o efeito da fissuração e mostra que a armadura diagonal da

treliça de aço que não tem banzo superior ancorado acima da linha neutra praticamente

não tem tensão atuante a não ser quando se aproxima do colapso da mesma. Ressalta

também a necessidade da introdução de contra-flecha nas nervuras em virtude da baixa

rigidez alcançada pelas mesmas.

LIMA (1999) em sua dissertação apresentou estudo experimental de lajes

nervuradas porem concretadas no local, em que usou armaduras treliçadas. DROPPA

JUNIOR (1999), na dissertação de mestrado abordou com ênfase a análise estrutural de

lajes pré-moldadas formadas por vigotas treliçadas considerando a fissuração do

concreto. Esta análise foi realizada mediante o modelo de grelha, considerando a não-

linearidade do concreto armado utilizando-se a relação momento x curvatura e

carregamento incremental. Testou o modelo comparando os resultados teóricos com os

de vigas simplesmente apoiadas ensaiadas na Escola de Engenharia de São Carlos.

Analisou em seguida sistemas contínuos e lajes bi-direcionais. Este trabalho junto com

outros do Grupo de São Carlos abriu caminho para a pesquisa de outros temas tais como

redistribuição do momento negativo em sistemas contínuos. Da associação destes dois

pesquisadores DROPPA JUNIOR e EL DEBS resultou a publicação de diversos artigos

técnicos sobre o assunto como pode ser encontrado na bibliografia.

MAGALHÃES (2001) em sua dissertação de mestrado aborda a

continuidade estrutural de lajes pré-fabricadas estudando o valor dos momentos fletores

negativos nos apoios destas lajes. Fez análises teórico experimentais. Na análise teórica,

Capitulo 1 – Introdução

___________________________________________________________________________________

a consideração da não-linearidade física do concreto é realizada a partir do uso da

relação momento curvatura proposta pelo código modelo CEB-90 em conjunto com a

técnica do carregamento incremental. Os resultados do modelo teórico são confrontados

com os resultados obtidos em ensaios experimentais de faixas de lajes contínuas

dimensionadas com diferentes graus de redistribuição dos momentos fletores negativos.

Estudo similar foi desenvolvido por FURLAN JUNIOR et alli (2000) com o trabalho:

“Lajes pré-moldadas de concreto: a consideração da plastificação nos valores dos

momentos negativos em elementos hiperestáticos e seus efeitos no dimensionamento do

pavimento”. Finalmente MERLIN (2002) (já havia participado do trabalho de

FURLAN) abordou de forma teórica, em sua dissertação os momentos fletores

negativos nos apoios de lajes formadas por vigotas de concreto, neste caso com trilhos

protendidos.

PEREIRA (2002) em sua dissertação de mestrado faz um estudo

experimental de emendas em vigotas treliçadas. Aborda também práticas de usuários do

sistema de lajes pré-fabricadas trazendo uma série de informações importantes sobre

questões de patologia obtidas através de levantamento junto a fabricantes de lajes.

Além destes trabalhos o Grupo da UFSCar desenvolveu alguns estudos

experimentais exploratórios e diversos estudos teóricos visando, em princípio, as lajes

pré-fabricadas unidirecioanis tais como o de MESQUITA et alli (1999) em que

basicamente corrigia as tabelas apresentadas pela MEDITERRÂNEA; SILVA et alli

(2000) que analisou, baseado em valores experimentais o espaçamento de escoras em

lajes pré-moldadas com nervuras do tipo trilho; FLÓRIO et alli (2001) que desenvolveu

estudo experimental exploratório sobre vigotas pré-moldadas e nervuras de concreto

armado para execução de lajes unidirecionais; ROGGE et alli (2000) realizou estudo

experimental da deformação ao longo do tempo de lajes com nervuras pré-moldadas.;

PEIXOTO et alli (2002) estudou os efeitos da vibração mecânica e cura controlada do

concreto no comportamento à flexão de lajes com vigotas pré-moldadas;

BUSCARIOLO et alli (2003) apresentou um estudo experimental do comportamento da

região das mesas de lajes com nervuras parcialmente pré-moldadas: Consideração da

punção.

CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE

A EXECUÇÃO DE LAJES

PRÉ-FABRICADAS

2.1 Introdução

Segundo o item 14.7.7 da NBR 6118 (2003) as “lajes nervuradas são

lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração é

constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”.

Acrescentando-se ainda que onde o texto da Norma refere-se a nervura pré-moldada,

neste trabalho por vezes é denominado vigota pré-moldada, pois somente parte da

nervura é pré-moldada.

2.1 Descrição das lajes nervuradas

Para ilustrar o uso das lajes nervuradas pré-fabricadas segue-se o

raciocínio descrito nas notas de aulas de CARVALHO e FIGUEIREDO (2001) em que

os autores fazem uma comparação entre o comportamento estrutural de lajes maciças e

nervuradas.

A laje maciça apresenta um comportamento estrutural bastante eficiente,

principalmente, quando se deseja projetar pavimentos com forma, em planta, retangular

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

____________________________________________________________________________________

e com as duas dimensões da mesma ordem de grandeza. Considerando, por exemplo,

um pavimento quadrado em que se projeta uma laje maciça com os lados de dimensões

iguais a “b” e simplesmente apoiada (a rotação nas bordas é suposta livre, não

impedida) em paredes (deslocamentos impedidos na vertical), pode-se, a partir da carga

p (uniformemente distribuída) atuante, calcular o momento e flecha usando a teoria de

placa de pequena espessura, cuja solução é amplamente conhecida. Usando as tabelas

encontradas também em CARVALHO e FIGUEIREDO (2001), os valores do momento

fletor máximo (por metro) e a flecha são dados respectivamente pelas equações 2.1 e

2.2:

= 0,0441pb

Eq. 2.1

a=0,0467

Eq. 2.2

Com:

valor do momento fletor na direção x por faixa de um metro da laje

p-carga uniformemente distribuída por superfície

b- dimensão da laje em planta

a- valor da flecha da placa

E- módulo de elasticidade do concreto

h- espessura da placa

Considerando que o mesmo piso fosse executado com elementos de

concreto armado da mesma espessura que a placa, porém cada elemento com a largura

de um metro e independente, por exemplo, com elementos pré-moldados, os valores do

momento fletor e flecha podem ser obtidos pela teoria de viga. Assim cada elemento

com largura de um metro, espessura h e valor de vão igual a b terá os valores de

momento e flecha dados pelas equações 2.3 e 2.4

= 0,125 pb

Eq. 2.3

=0,15625

Eq. 2.4

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

____________________________________________________________________________________

Com:

- valor do momento fletor na viga

p- carga uniformemente distribuída por metro na viga

b- valor do vão da viga

- valor da flecha da viga

h- altura da viga

Como se vê a laje, por ter o comportamento de placa, ou seja, um

elemento que apresenta ações significativas em duas direções, está submetida, a

esforços solicitantes mais baixos que o elemento do tipo viga, embora necessite de

armadura disposta em duas direções. Também o estado de deformação é menor que o da

viga e principalmente o valor da flecha da laje.

Estas vantagens diminuem bastante quando um dos lados do pavimento é

igual a duas vezes o outro. Nesta situação os valores de momento e flecha seriam

(considerando b o valor do menor lado) os apresentados na tabela 2.1.

TABELA 2.1 – Valores de Momento fletor e flecha para uma viga e uma placa que

compõem um piso de lados iguais a: b e 2b

Placa (laje) Viga

MOMENTO m

= 0,10 pb

= 0,125 pb

FLECHA

a=0,1168

=0,15625

Considera-se inclusive que no limite, quando um lado da placa for muito

maior que o outro, o comportamento da mesma passa a ser de uma viga, ou uma laje

armada em uma direção, ou seja, os esforços na menor direção passam a ser

praticamente iguais aos obtidos com o da teoria de viga.

Exatamente pela vantagem da laje maciça apresentar menor deformação

e esforços relativamente pequenos é que durante muito tempo optou-se por projetar

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

____________________________________________________________________________________

pisos com este sistema estrutural. A execução dos mesmos também é bastante simples e

rápida depois de montado o tabuleiro de formas. Em relação ao custo elevado da forma,

procura-se fazer projetos, sempre que possível, de edificações com pavimentos tipo, ou

seja, pavimentos com a mesma geometria para poder se usar a mesma forma várias

vezes diminuindo seu custo final.

De qualquer forma para pequenos vãos, pelo menos no estado limite

último, boa parte do concreto da laje maciça pouco contribui na resistência à flexão.

Para que isto fique claro considere-se que a laje quadrada descrita anteriormente tenha

lado de 4 m, espessura de 7 cm, e esteja submetida a uma ação de carga acidental de 2

kN/m

. Considerando estes valores chega-se a um momento máximo igual à

=(0,07x25+2). 4

.0,0441=2,646kN.m/m. Considerando um concreto f

=20 MPa, aço

CA50 e altura útil de 5,5 cm e usando o formulário do capítulo 3 do livro de

CARVALHO e FIGUEIREDO (2001) (ou anexo I), obtém-se para valor da distância da

linha neutra e área de aço: respectivamente 0,92 cm e 1,63 cm

. O valor da armadura é

pequeno porém é preciso lembrar que na outra direção será necessária a mesma

quantidade de armadura, ou seja, é como se usasse 3,26 cm

mas com apenas 9,2 mm de

concreto comprimido.

A partir dos resultados anteriores surge a idéia de considerar nervuras, ou

seja, retirar ou substituir parte da região de concreto abaixo da linha neutra por material

leve. Imaginando a seção indicada na figura 2.2 (usando-se neste caso formas para

evitar o concreto na parte inferior) obtém-se para a seção transversal de uma faixa de

um metro uma área de concreto de 0,0364 m

contra 0,07 m

da laje maciça (figura 2.1)

e assim um momento de m

=(0,0364.25+2) 0,125.4

=5,82 kN.m, uma linha neutra de

1,7 cm (menor que a espessura da mesa de 3cm) e armadura de 3,9 cm

. Usando a

solução de laje nervurada unidirecional haveria uma economia de concreto, mas com

um ligeiro aumento do consumo da armadura. Na medida que o vão for aumentando ou

então que o pavimento a ser projetado tiver uma relação entre os lados maior que dois o

uso de um sistema nervurado irá se tornar mais interessante sob do ponto de vista

econômico e também por conduzir a um sistema com menor peso próprio.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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Nas figuras 2.1 e 2.2 são apresentadas as plantas do piso de 4x4m com a

solução em laje maciça e nervurada em uma direção. Para melhorar o funcionamento da

laje nervurada pode-se optar por uma laje nervurada nas duas direções como a mostrada

na figura 2.3 que teria como inconveniente apenas a maior dificuldade na execução das

nervuras.

FIGURA 2.1 Pavimento com forma em planta quadrada solução laje maciça

Portanto a laje nervurada, é um sistema estrutural onde se procura afastar o concreto da

seção transversal da linha neutra aumentado a altura da laje o que proporciona um maior

braço de alavanca, formando um conjunto de nervuras, em uma ou duas direções com

espaçamentos uniformes entre si. Para fins de análise, o sistema pode ser comparado a

uma grelha de barras uniformemente espaçadas.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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FIGURA 2.2 Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada em uma

direção

Na discussão feita anteriormente, em que se mostrou a vantagem de uma

laje nervurada em relação à maciça, todo o raciocínio foi desenvolvido em torno do

estado limite último. Na questão da deformação a laje nervurada apresenta, se

considerarmos a peça trabalhando no estádio I (sem fissuração), uma flecha maior.

Assim, de uma maneira geral quando se projeta uma laje nervurada considera-se sempre

uma altura maior que a correspondente maciça para que a inércia final da seção

transversal confira uma flecha adequada. Em outras palavras em um pavimento

quadrado de lado de 4m, no caso de se projetar uma laje maciça usa-se por exemplo

uma espessura final de 7 cm. Para a solução de laje nervurada unidirecional pode-se

usar nervuras espaçadas de, por exemplo, 50 cm, com largura de 8 cm, altura final de 10

cm e altura de capa de 3 cm como indica a figura 2.4.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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FIGURA 2.3 Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada em duas

direções

FIGURA 2.4 Seções transversais para utilizar em um pavimento quadrado com

solução com laje maciça e nervurada em uma direção (cotas em cm).

A solução de laje nervurada embora seja mais econômica em relação ao

consumo de concreto do que a laje maciça poderia representar um alto consumo de

fôrmas, necessárias para se fazer o molde de todas as nervuras. Este inconveniente pode

ser superado com a utilização de moldes reaproveitáveis (Figura 2.5.a), materiais de

enchimento que podem ficar incorporados à laje, como os blocos de concreto, concreto

celular e cerâmico (Figura 2.5b, c e d) ou com a utilização de blocos de EPS. Em todos

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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estes casos persiste, em princípio, a execução de um tablado de madeira para depois ser

colocado sobre ele os materiais de enchimento, armadura e finalmente executar a

concretagem das nervuras. Alem de se evitar as formas nas faces laterais das nervuras e

face inferior da mesa obtém-se, pelo menos nos casos b, c e d da figura 2.5, uma

superfície inferior plana, melhorando o aspecto final de acabamento.

FIGURA 2.5 Seções transversais de lajes nervuradas com as formas e materiais

empregados: a) forma reutilizável; b) blocos de concreto; c) blocos de concreto

celular; d) tijolos cerâmicos furados.

Uma possibilidade para evitar o tablado de madeira é empregar

elementos (vigotas) pré-moldadas, como é mostrado nas figura 2.6.

FIGURA 2.6 Laje formada por nervuras pré-moldadas, EL DEBS (2000)

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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2.2 Lajes nervuradas pré-fabricadas

As lajes com vigotas pré-fabricadas, como o nome já caracteriza, são

sistemas formados por nervuras cujas vigotas (parte da nervura) são pré-moldadas de

concreto armado (trilho ou treliça) espaçadas de maneira uniforme por lajotas

(normalmente cerâmicas ou de outros materiais como o EPS) e cobertas por uma capa

de concreto moldada no local, cuja função é garantir a distribuição dos esforços atuantes

no elemento, aumentar sua resistência à flexão e nivelar o piso. Desse modo a função

da vigota, quando da execução da concretagem da capa, é resistir a ação do seu peso

próprio, das lajotas cerâmicas ou materiais de enchimento, do concreto da capa e dos

equipamentos utilizados para a concretagem (carrinhos ou gericas).

A norma NBR 14859-1 (2002) no item 3.1 define vigotas pré-fabricadas

como elementos estruturais constituídos por concreto estrutural, executadas

industrialmente ou no próprio canteiro de obra, mas fora do local definitivo de

utilização, sob rigorosas condições de controle de qualidade. Parcialmente ou totalmente

envolvida pelo concreto estrutural encontra-se a armadura que irá constituir a armadura

inferior de tração da laje, integrando parcialmente a seção de concreto da nervura

longitudinal. Destacando-se três tipos: treliça, trilho e trilho protendido. Nos itens

seguintes serão definidos e descritos os três tipos de vigotas citados.

2.2.1 Vigota tipo treliça (VT)

A vigota treliçada (foto 2.1) é formada por uma placa (sapata) de

concreto que envolve parcialmente ou total mente a armadura treliçada (conforme NBR

14862 (2002)) e quando for necessário pode ser complementada com armadura passiva

inferior de tração que ficaria totalmente envolvida pelo concreto da nervura. São

utilizadas para compor as lajes treliçadas (LT).

FOTOGRAFIA 2.1 Tipo treliça (VT) (www.puma.com.br)

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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Os parâmetros que definem a laje com vigota treliçada mostrados na

figura 2.7 são os seguintes:

FIGURA 2.7 Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo treliça

a) Altura total da laje (h) .

b) Espessura da capa de concreto (h

) .

c) Intereixo de nervuras (i) .

d) Espessura das nervuras (b

) .

e) Tipo de material de enchimento (figura 2.8).

f) Altura da vigota (h

) .

FIGURA 2.8 Vigotas em treliças e elementos de enchimento utilizados para

confecção de lajes; retirada do site www.puma.com.br.

A armadura treliçada é constituída de um fio de aço no banzo superior,

interligado por dois fios de aço laterais em diagonal (sinusóide) a dois fios de aço no

banzo inferior (Figura 2.9).

A altura da treliça pode variar entre 7 e 25 cm. O passo do sinusóide

normalmente é de 20 cm e a distância entre as duas barras do banzo inferior é

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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geralmente igual a 8 cm. Uma das maneiras de se designar as treliças é o código TR

seguido dos seguintes dígitos: um ou dois para representar a altura, e três dígitos para

representar a bitola em mm do banzo superior, sinusóide e banzo inferior,

respectivamente, sem casas decimais.

FIGURA 2.9 a)armadura da treliça e b)suas dimensões(www.puma.com.br)

Desta forma o código TR16856, designa uma treliça de 16 cm de altura,

com 1 fio de 8 mm no banzo superior, sinusóides de 5,0 e dois fios de 6,0 mm no banzo

inferior.A fim de garantir uma rigidez mínima à treliça, a norma prescreve uma bitola

mínima para o fio do banzo superior, conforme a altura da treliça, dada pela tabela 2.2.

TABELA 2.2- bitola mínima para o fio do banzo superior, conforme a altura da

treliça

HT (altura total)

Sup

(diâmetro da barra superior)

8,0 a 11,0 cm 6,0 mm

12,0 a 20,0 cm 7,0 mm

21,0 a 30,0 cm 8,0 mm

2.2.2 Vigota tipo trilho (VC)

É uma vigota de concreto armado com seção usualmente no formato de

um “T” invertido (foto 2.2) com armadura passiva totalmente envolvida pelo concreto,

utilizada para compor as lajes de concreto armado (LC). Sendo os parâmetros que

definem a laje confeccionada com vigotas tipo trilho os mesmos da laje tipo treliça

(figura 2.10).

FOTOGRAFIA 2.2 Tipo trilho (VC)

(www.puma.com.br)

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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FIGURA 2.10 Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo trilho

2.2.3 Vigota tipo trilho protendido (VP)

Semelhante à vigota de concreto armado com seção “T” invertido, mas

com armadura ativa pré-tensionada também totalmente envolvida pelo concreto da

vigota, utilizadas para compor as lajes de concreto protendido (LP) (figura 2.11).

FIGURA 2.11 Corte em laje confeccionada a partir de vigotas do tipo trilho

protendido

A NBR6118/03 (2003) também prescreve que:

A mesa deve ter espessura maior ou igual a 1/15 da distância entre

nervuras e não menor que 3 cm, quando não houver tubulações horizontais.

Existindo tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm, o valor

mínimo absoluto deve ser 4 cm.

A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm e nervuras com

espessura menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão.

Para projeto de lajes nervuradas devem ser obedecidas as seguintes

condições:

• Para laje com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 60 cm,

pode ser dispensada a verificação de flexão da mesa, e para a verificação do

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de

laje;

• Para laje com espaçamento entre eixos de nervuras entre 60 e 110 cm, exige-se a

verificação de flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao

cisalhamento como vigas, permitindo essa verificação como lajes se o

espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm e a espessura média

das nervuras for maior que 12 cm.

• Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maiores que 110

cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas,

respeitando seus limites mínimos de espessura.

O elemento do tipo trilho (foto 2.2), embora tenha rigidez inferior à da

treliça (foto 2.1), só necessita de um conjunto de fôrmas adequadas para ser executado,

o mesmo não ocorre no outro caso em que é preciso, em geral, comprar a armadura

treliçada, sendo, portanto, apropriado para ser empregado em regiões em que a

armadura em forma de treliça não é encontrada ou tem preço não competitivo. O

elemento do tipo trilho pode ser feito com protensão permitindo vencer vãos livres

maiores.

A configuração do sistema com treliças permite a confecção de lajes

nervuradas em uma (figura 2.2) ou em duas direções (figura 2.3 e 2.12). O primeiro

caso, também é chamado de sistema unidirecional, enquanto que o segundo é

denominado por sistema bidirecional. As lajes armadas em duas direções apresentam

um comportamento estrutural mais eficiente que as lajes unidirecionais, pois o

posicionamento de nervuras em duas direções diminui os valores dos esforços e

deslocamentos, diminuindo conseqüentemente a altura da laje e o volume de concreto e

armadura necessários, embora, já ressaltado anteriormente, aumentando as etapas de

execução.

A melhoria do comportamento ao se usar as nervuras nas duas direções é

mais notada se a relação entre os vãos em direções ortogonais não for superior a 2, pois

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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caso contrário, seria mais interessante usar o sistema unidirecional com as nervuras na

direção do menor vão. (exemplo de planta de um projeto bidirecional na figura 2.13).

FIGURA 2.12 Laje pré-moldada armada em duas direções, Revista Téchne 68

Embora no sistema unidirecional as nervuras sejam colocadas em uma

única direção, a correspondente ao vão menor, a antiga NBR 6118 (1980) recomenda o

uso de nervuras transversais colocadas com a finalidade de travamento ou distribuição

de cargas lineares atuantes perpendiculares às nervuras principais, mesmo com a

existência destas nervuras transversais o sistema é denominado de unidirecional. Esta

recomendação foi retirada do texto da nova NBR 6118(2003)

FIGURA 2.13 Planta de arquitetura e formas de um edifício em que se usou

lajes pré-moldadas bidirecionais (manual da Associação dos Fabricantes de

Laje de São Paulo).

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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2.3 Materiais Empregados

Os elementos constituintes de uma laje pré-moldada são os seguintes:

a) Elemento pré-moldado (já definidos anteriormente);

b) Concreto lançado in-loco para aderência com as nervuras e confecção da capa;

c) Material de enchimento inerte;

d) Armadura complementar.

A seguir são descritas as características desses materiais utilizados na

confecção dessas lajes.

2.3.1 Concreto

O concreto utilizado em estruturas teve, durante muito tempo, como

único parâmetro sua resistência característica, chamada de f

.. Atualmente devido à

preocupação maior com a durabilidade e funcionabilidade da estrutura, passou-se a

preocupar com outros parâmetros do concreto como: seu módulo de elasticidade, E

seu índice de vazios, e outros pois na realidade o f

pode ser apenas um indicativo do

. Como exemplo de que o valor do f

é só indicativo tem-se os ensaios realizados por

PEIXOTO (2002), onde se obteve peças de rigidezes à flexão totalmente diferentes

mudando apenas o processo de vibração em protótipos executados com o mesmo

concreto e portanto com mesmo valor f

encontrado nos ensaios de resistência a

compressão.Com isso a tendência, em médio prazo, é especificar um concreto com mais

parâmetros, além da resistência a compressão característica. No momento continua a se

especificar somente este parâmetro, mas garantindo um valor mínimo para o mesmo de

tal forma que, indiretamente se garanta também valores mínimos para outras variáveis

que influem na durabilidade do concreto. A norma NBR 6118(2003) especifica para o

concreto estrutural o valor mínimo de 20 MPa (200 Kgf/cm

), devendo ser composto de

cimento, areia grossa, brita 1 e relação água cimento de acordo com o item 7.4.2 da

NBR 6118 (2003) que fornece uma tabela semelhante à tabela 2.3. O diâmetro máximo

do agregado não deve ser superior a 1/3 da espessura da capa.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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Tabela 2.3 Correspondência entre classe de agressividade e relação água/cimento

Classe de agressividade (tabela 2.4) Concreto Tipo

I II III IV

≤0,65 ≤0,60 ≤0,55 ≤0,45

Relação

água/cimentos

em massa

≤0,60 ≤0,55 ≤0,50 ≤0,45

NOTAS

1 O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na

NBR 12655.

2 CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.

3 CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.

2.3.1.1 Cobrimento

A durabilidade das estruturas de concreto armado depende da qualidade e

da espessura do concreto de cobrimento das armaduras. Cobrimento mínimo é a menor

distância livre entre uma face da peça e a camada de barras mais próxima dessa face

(inclusive estribos) e tem por finalidade proteger as barras tanto da corrosão como da

ação do fogo. Para isso, além do cobrimento adequado, é importante que o concreto seja

bem compactado.

Um dos itens que mais se diferem entre a antiga NBR 6118/80 e sua

versão atualizada NBR 6118/03 é o referente ao cobrimento. A antiga Norma prescrevia

que as barras da armadura inclusive de distribuição, de montagem e estribos, devem ter

cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não menor que 0,5 cm

para concreto revestido com argamassa de espessura mínima de 1 cm, em lajes no

interior de edifícios.

Já a nova NBR 6118/03 no item 7.4.7.2 prescreve o seguinte sobre o

cobrimento: “deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que se

constitui num critério de aceitação. Para garantir o cobrimento mínimo (c

min

) o projeto e

a execução devem considerar o cobrimento nominal (c

nom

), que é o cobrimento mínimo

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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min

) acrescido da tolerância de execução (∆

). Assim as dimensões das armaduras e os

espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais”, A tabela 2.5 mostra os valores

de c

min

para ∆

= 5,0 mm, quando existe um adequado controle de qualidade e rígidos

limites de tolerância de variação de medidas, e este é o caso das vigotas pré-moldadas

pode-se reduzir o valor de ∆

para 5,0 mm. A tabela 2.5 mostra a correspondência entre

o cobrimento nominal e a classe de agressividade apresentada na tabela 2.4.

TABELA 2.4 Classes de agressividade ambiental.Classe de agressividade

Agressividade Ambientes para efeito

de projeto

Risco de deterioração

da estrutura

Rural I Fraca

Submersa

Insignificante

II Moderada Urbana 1),2) Pequeno

Marinha 1) III Forte

Industrial 1),2)

Grande

Industrial 1), 3) IV muito forte

Respingos e maré

Elevado

1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) para

ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos

residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) em: obras em regiões de

clima seco com umidade relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva

em ambientes predominantemente secos, ou regiões onde chove raramente.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em

indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, industrias químicas.

TABELA 2.5 Correspondência entre a classe de agressividade e cobrimento

nominal para ∆

= 5,0 mm (adaptada da NBR 6118/03)

classe de agressividade ambiental (ver tabela 2.4)

I II III IV

(3)

Tipo de Estrutura Componente ou

elemento

Cobrimento nominal (mm)

Laje

(2)

15 20 30 40

Concreto Armado

Viga/Pilar 20 25 35 45

Concreto

Protendido

(1)

Todos 25 30 40 50

(1) Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre

superior ao especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob

tensão.

(2) Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos

finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado

desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas

pelo item 7.4.7.5 da NBR 6118/03 que prescreve: a) c

nom

≥ φ barra; b) c

nom

≥ φ feixe; c) c

nom

≥ 0,5 φ bainha ,

respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm.

(3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de

esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos deve-se ter

cobrimento nominal ≥ 45 mm.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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Ou seja de acordo com a nova NBR 6118(2003), o cobrimento para uma

laje pré-moldada localizada em um ambiente urbano classe de agressividade II

(agressividade moderada com pequeno risco de deterioração da estrutura), considerando

uma tolerância de execução (∆

) de 5mm pois trata-se de um elemento pré-moldado

com rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução, seria

de 20 mm, valor que deixa praticamente todas as vigotas pré-moldadas existentes no

mercado fora das especificações da Norma. A adequação obriga os fabricantes de

vigotas a adaptarem seu produto. Essa adaptação não é fácil, pois envolve mudanças nas

características geométricas das peças já que a nova Norma exige um cobrimento de 2,0

cm, valor difícil de ser alcançado em uma peçaa de 3,0 cm onde esta embutida a

armadura (como é o caso das vigotas pré-moldadas), as dimensões das vigotas teriam

que aumentar e com isso os fabricantes de materiais de enchimento também teriam que

modificar as dimensões de seus produtos, garantindo assim o perfeito encaixe entre os

componentes das lajes nervuradas pré-fabricadas (figura 2.14).

FIGURA 2.14 Modificações na seção para garantir o cobrimento

2.3.2 Material de enchimento

O material de enchimento não é considerado um material estrutural no

contexto da laje. A princípio qualquer produto inerte pode ser utilizado para essa

função. Apesar de não ser necessário para a resistência da laje, a boa qualidade deste

material é importante para a segurança durante a fase de montagem e moldagem da laje,

pois os blocos de enchimentos são responsáveis por transferir o peso do concreto ainda

fresco às vigotas que se apóiam sobre as linhas de escora. Assim sendo torna-se

necessário que uma unidade do elemento de enchimento resista a uma carga de 1,0 kN

ou seja o suficiente para suportar esforços de trabalho durante a montagem e

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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concretagem da laje. Para os elementos de enchimento com 7,0 e 8,0 cm de altura,

admite-se a redução desse valor para 0,7 kN.

Durante muito tempo o material de enchimento mais utilizado foi a lajota

cerâmica (figura 2.15). Hoje em dia o uso de EPS (figura 2.16) está se popularizando

devido ao seu baixo peso e a facilidade de recorte para se adaptar a qualquer geometria

dos vazios. O intereixo no caso de lajotas cerâmicas é menor devido à pequena largura

destes blocos.

33,5

29,5

30,5

FIGURA 2.15–Lajotas cerâmicas, exemplo de dimensões

FIGURA 2.16– Blocos de EPS, a) para lajes unidirecionais, b) para lajes

bidirecionais, (www.puma.com.br)

Em função das alturas padronizadas dos elementos de enchimento, as

alturas totais das lajes pré-fabricadas estão prescritas na tabela 2.6.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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TABELA 2.6 Alturas totais das lajes pré-fabricadas em função das alturas

padronizadas dos elementos de enchimento

Altura do elemento de

enchimento (h

)

Altura total da laje

7,0 10,0 ; 11,0 ;12,0

8,0 11,0 ; 12,0 ; 13,0

10,0 14,0 ; 15,0

12,0 16,0 ; 17,0

16,0 20,0 ; 21,0

20,0 24,0 ; 25,0

24,0 29,0 ; 30,0

29,0 34,0 ; 35,0

2.3.3 Armadura complementar ou adicional

Armadura adicionada na obra, quando dimensionada e disposta de acordo

com o projeto da laje, pode ser:

• longitudinal (S

): armadura admissível apenas em lajes treliçadas,

quando da impossibilidade de integrar na sapata de concreto toda a

armadura inferior de tração necessária.

• transversal (S

): armadura que compõe a armadura das nervuras

transversais.

• de distribuição (S

): armadura posicionada na capa de concreto nas

direções transversal e longitudinal, quando necessária, para a distribuição

de tensões oriundas de cargas concentradas e para controle de fissuração.

• superior de tração (S

): armadura disposta sobre os apoios nas

extremidades das vigotas, no mesmo alinhamento das nervuras

longitudinais e posicionada na capa. Proporciona a continuidade das

nervuras longitudinais com o restante da estrutura, o combate à

fissuração e a resistência ao momento fletor negativo.

2.4 Vantagens e desvantagens dos sistemas de lajes pré-moldadas

Em comparação com os sistemas de lajes maciças e lajes nervuradas, as

pré-moldadas apresentam principalmente para edificações de pequeno porte diversas

vantagens, relatadas a seguir.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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• Facilidade de execução

As lajes pré-moldadas são de fácil manuseio e montagem permitindo

dessa maneira serem executadas mesmo por operários pouco preparados e, se bem

dimensionadas e executadas, comportam-se adequadamente e com segurança.

• Versatilidade

As lajes com nervuras pré-moldadas são versáteis, pois possibilitam uma

ampla variedade de aplicações, desde construções complexas como pontes, viadutos,

fábricas, até as mais simples como edifícios de apartamentos, edifícios comerciais e

escolares, galpões, residências, etc.

• Diminuição de escoramentos e eliminação de fôrmas

A quantidade de escoras necessárias para sua execução é menor do que

seria em lajes maciças similares, pois dependendo da sua altura, as nervuras pré-

moldadas têm rigidez que permite vencer vãos da ordem de 1 m a 2 m e o peso próprio

final deste sistema é menor que o das lajes maciças.

Os blocos de enchimento com dimensões apropriadas se apóiam sobre as

nervuras, formando um plano que serve de fôrma para a concretagem da capa,

dispensando o uso das tradicionais fôrmas de madeira.

• Redução de custos da estrutura

A grande quantidade de materiais industrializados (nervuras, elementos

de enchimento e até mesmo o concreto) empregados neste sistema acarreta em uma

pequena perda de materiais, se comparado a um sistema de lajes totalmente moldadas

no local.

O sistema pode apresentar menor volume de concreto e armaduras, entre

todos aqueles que possam ser utilizados para um projeto semelhante, o que representa

uma significativa redução do peso próprio da laje, de modo que as suas vigas de

sustentação podem ter dimensões menores, bem como os pilares e mesmo as fundações.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

____________________________________________________________________________________

• Desvantagens

Como principais desvantagens apresentadas pelos sistemas de lajes com

vigotas pré-moldadas, podem ser destacadas a dificuldade na execução das instalações

prediais nas lajes com nervuras tipo trilho, os valores dos deslocamentos transversais,

que são bem maiores que os apresentados pelas lajes maciças e o carregamento apenas

em uma direção, no caso de unidirecional, nas vigas de contorno.

2.5 Montagem e concretagem das lajes no local

Durante a montagem das lajes pré-fabricadas a estrutura esta submetida

aos esforços oriundos do peso próprio das vigotas pré-moldadas, dos elementos de

enchimento, dos operários e durante a concretagem também tem que resistir ao peso dos

equipamentos e o peso do concreto que irá formar a capa e o restante da nervura, que

ainda não foi espalhado formando concentrações de carregamento em algumas regiões.

Por não contar com a resistência conferida pela capa há a necessidade em

geral de existir escoramento (cimbramento), permitindo que a laje suporte as cargas. O

valor das distâncias entre escoras é discutido no item 2.8. Essas escoras devem estar

apoiadas sobre base firme, bem contraventadas, permitindo a aplicação de contra-flecha

se for necessário.

A seguir apresenta-se as etapas para a execução de pavimentos de lajes

(figura 2.17):

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

____________________________________________________________________________________

FIGURA 2.17- Montagem do painel de laje com nervuras treliçadas, manual lajes

mediterrânea (1992)

Etapa- nivelamento e acerto do piso que servirá de base para a

execução do escoramento, que normalmente é composto por pontaletes e uma tábua que

é a guia mestre que devem ser colocadas em espelho, exceto nos casos de escoramentos

destinados à nervuras transversais, quando deverão ser posicionados horizontalmente e

pontaleteadas; é nesta etapa que são executadas as contra flechas quando necessárias;

Etapa- transporte e colocação das nervuras, usando os próprios blocos

de enchimento como gabaritos colocando-os nas extremidades da vigotas, garantindo o

espaçamento entre as mesmas. A colocação das nervuras pode se dar de duas formas:

• Apoiadas sobre a estrutura de concreto armado, neste caso as nervuras devem

ser colocadas sobre as fôrmas, após a verificação se estas estão alinhadas,

niveladas, escoradas e já com a armadura colocada e posicionada, as nervuras

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

____________________________________________________________________________________

devem penetrar nos apoios pelo menos 5 (cinco) cm, e no máximo até a metade

da largura da viga.

• Apoiada diretamente sobre a alvenaria, neste caso as vigotas devem ficar sobre

o respaldo da alvenaria onde deve ser colocada a ferragem formando uma cinta

de solidarização, as nervuras devem penetrar nos apoios pelo menos 5 cm, e no

máximo até a metade da largura da alvenaria e a concretagem da cinta de

solidarização deve ser feito simultaneamente com a execução da capa. É

aconselhável o uso de blocos fechados na última fileira para evitar o consumo

desnecessário de concreto evitando que o concreto entre por seus furos;

Etapa - após a colocação dos elementos de enchimento (lajotas

cerâmicas, blocos de EPS ou outros) inicia-se a colocação da tubulação elétrica, caixas

de passagem, de acordo com as figuras 2.18 e 2.19;

FIGURA 2.18 – Detalhe da interface com a tubulação elétrica, Téchne 68.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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FIGURA 2.19 – Detalhe da interface com a tubulação hidráulica, Téchne 68.

Etapa - colocação das armaduras de distribuição e negativas,

respeitando a indicação do projetista (bitola, quantidade e posição), a armadura

negativa deve ser apoiada e amarrada sobre a armadura de distribuição (esta colocada

transversalmente às vigotas principais), e cuidados especiais devem ser tomados durante

a execução e concretagem para que ela permaneça na posição especificada, próxima à

face superior da capa e respeitando os cobrimentos exigidos;

Etapa - limpeza da interface entre as nervuras e o concreto a ser

lançado, retirando-se a areia, pó, terra, óleo ou qualquer substância que possa prejudicar

a transferência de cisalhamento pela superfície de contato. Deve ser sempre feito o

umedecimento da interface antes da concretagem;

Etapa – concretagem (foto 2.3) da capa de concreto que deve ser feita

tomando alguns cuidados que podem ser agrupados em três aspectos fundamentais: em

tratamento da interface, adensamento e cura, EL DEBS (2000).

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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FOTOGRAFIA 2.3- Concretagem da capa de concreto

Os seguintes procedimentos devem ser adotados:

• colocar passadiços de madeira para evitar que o material de enchimento se

quebre permitindo o “vazamento” do concreto;

• molhar adequadamente parte superior da laje, antes de lançar o concreto;

• adensar o concreto suficientemente para que ele penetre nas juntas entre as

vigotas e os elementos de enchimento de acordo com o que será descrito no item

2.6;

• efetuar uma boa cura, molhando a superfície da laje de concreto de acordo com

o que será descrito no item 2.7

Etapa - retirada do escoramento, deve ser feita aproximadamente

após o concreto adquirir resistência suficiente, quando houver múltiplos pavimentos,

o escoramento do piso inferior não deve ser retirado antes do término da laje

superior. É importante verificar se o próximo piso a ser concretado não aplicará no

inferior um carregamento excessivo, através do escoramento que nele se apoiará.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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2.6 Processo de adensamento de uma peça de concreto

O adensamento em lajes pré-fabricadas deve seguir os mesmos preceitos

que outras estruturas, algumas características como pequena espessura, grande

superfície serão comentados no capítulo 5. Nos próximos parágrafos serão apresentados

de forma resumida alguns conceitos para a boa execução do concreto.

O processo de adensamento de uma peça de concreto consiste

principalmente na eliminação do ar aprisionado nessa peça. Antigamente, para

conseguir isto, utilizava-se o método de golpeamento ou apiloamento da superfície do

concreto para expulsar o ar e forçar as partículas a uma disposição mais compacta. Nos

métodos mais modernos usa-se a vibração, onde as partículas são momentaneamente

separadas, possibilitando seu agrupamento em uma massa compacta. A vibração do

concreto, talvez a etapa mais importante da concretagem, se não for corretamente

aplicada, pode comprometer a futura utilização da estrutura.

O uso da vibração como meio de adensamento tornou possível o uso de

misturas mais secas do que as que devem ser adensadas manualmente. Mesmo misturas

altamente rijas e secas podem ser vibradas, obtendo-se com isso concretos com uma

resistência apropriada com um menor consumo de cimento. Isso representa um menor

custo com materiais, porém deve ser considerado o custo do vibrador e o de fôrmas

mais resistentes. Em relação à mão de obra, embora seja necessário um operário para

comandar o vibrador, a velocidade de lançamento é muito maior se comparada à

vibração manual. Para concretos de granulometria definida, bem dosados, bem

fabricados e corretamente transportados, a vibração mecânica apresenta os seguintes

benefícios:

• Maior resistência à compressão e com isso maior resistência à flexão;

• Maior densidade, homogeneidade e impermeabilidade;

• Maior resistência à ação do tempo;

• Maior aderência entre o concreto e os ferros da armadura;

• Menores variações de volume;

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

____________________________________________________________________________________

• Maior rapidez e perfeição de execução.

Dentro de um mesmo traço o aumento de resistência à compressão pode

ser atribuído à redução do fator água/cimento. É importante ressaltar também que no

que se refere à qualidade tanto a vibração mecânica como o adensamento manual,

podem resultar num concreto excelente, mas nesse último é mais fácil ocorrerem erros

na execução.

2.6.1 Tipos de vibração

A vibração do concreto, dependendo da consistência e tipo de peça, pode

ser: superficial, interna, externa e mesas vibratórias.

A vibração superficial é utilizada em superfícies horizontais chatas ou de

pouca espessura como as lajes. Nesse processo o vibrador age na superfície do concreto

através de uma placa plana, deixando-o confinado em todas as direções, de modo que a

tendência à segregação é limitada e a vibração pode ser então mais intensa. Esse método

pode também ser aplicado a grandes massas de concreto através do assentamento em

camadas sucessivas com o auxílio de aparelhos especiais

Na vibração interna o aparelho vibrador trabalha mergulhado no concreto

(também chamado de vibrador de imersão), cabendo ao operador mudar constantemente

a sua posição, retirando e introduzindo a agulha com a devida atenção. Essa é a

modalidade mais empregada atualmente na construção civil, podendo ser utilizada na

maior parte das peças de concreto. O vibrador já é muito comum e consta de um

cilindro, denominado agulha, acoplado a um eixo flexível movimentado por um motor.

Nos vibradores internos, o trabalho é executado diretamente no concreto, podendo a

agulha ter um tamanho tão reduzido que mesmo seções fortemente armadas podem ser

vibradas. A metodologia de utilização desse tipo de vibrador será descrita

posteriormente.

A vibração externa age por fora das fôrmas sendo fixado a estas por meio

de um suporte elástico, de modo que são vibradas tanto as fôrmas como o concreto.

Essa modalidade tem ampla aplicação na construção civil nas peças onde não pode ser

usado um vibrador interno como em cortinas, reservatórios e obras especiais de seção

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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reduzida como tubos de concreto e meios-fios. O principio de um vibrador externo é o

mesmo de um interno, porém utiliza-se vibradores com freqüência entre 3000 e 6000

ciclos por segundo. O lançamento deve ser feito em camadas de espessura adequada

para que assim o ar possa ser expulso de uma maneira completa, o que pode tornar

necessário a mudança na posição do vibrador. No caso de lajes pré-fabricadas pode ser

usada na vibração das vigotas.

As mesas vibratórias possuem o mesmo princípio que o da vibração

externa, ou seja, fôrma e concreto são vibrados em conjunto, sendo, porém a fôrma

adaptada ao vibrador ao invés deste àquela. Funciona com dois eixos girando em

sentidos opostos, de modo que a componente horizontal de vibração pode ser anulada,

liberando a mesa apenas a um movimento harmônico na direção vertical. Para peças

pequenas podem ser utilizados eletroímãs alimentados por corrente alternada. As faixas

de freqüência do eletroímã, bem como a aceleração e amplitude de vibração são

relacionadas através de equações e dependem da mesa e tipo de peça vibrada. A mesa

vibratória constitui uma técnica de adensamento confiável de concreto pré-moldado por

ter a vantagem de oferecer um tratamento uniforme e são utilizadas nas fábricas para

confecção de vigotas de concreto.

Peixoto (2002) mostra, como será visto no capítulo 5, que a prática de

vibração por imersão em lajes pré-fabricadas além de se mostrar viável melhorou as

características de rigidez de protótipos quando comparados a de vibração manual. Os

experimentos com vibração superficial mostraram que nesta situação não houve ganho

significativo nas características de rigidez dos elementos.

2.6.2 Medida da trabalhabilidade

Para caracterizar a relação entre os processos de adensamento e a

trabalhabilidade do concreto fresco, são necessários parâmetros para que esta possa ser

medida. Como não existe um ensaio aceitável que meça diretamente a trabalhabilidade,

foram feitas diversas tentativas de se relacioná-la com alguma grandeza física

facilmente mensurável. Apesar de nenhuma dessas tentativas ser completamente

satisfatória, alguns ensaios apresentaram informações úteis dentro de uma faixa de

variação. Um desses ensaios, bastante usado em canteiro de obras do mundo todo é o

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes com vigotas pré-moldadas

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Ensaio de Abatimento, que apesar de não medir a trabalhabilidade, é muito útil na

indicação de variações de uniformidade de uma mistura de proporções nominais dadas,

mede basicamente a variação de altura de um volume de concreto retirado de um cone

metálico. O resultado desse ensaio, ou seja, a ordem de grandeza de abatimento, apesar

de não ser unívoca, pode ser relacionada com a trabalhabilidade através da tabela 2.7.

TABELA 2.7 - Fatores de adensamento (extraída de NEVILLE (1982))

Grau de

trabalhabilidade

Abatimento

Aparelho

pequeno

Aparelho

grande

Uso para o qual o concreto é

indicado

Muito baixo 0-25 0,78 0,80 Pavimentos rodoviários vibrados

mecanicamente. No extremo mais

trabalhável desta faixa, o concreto

pode ser adensado, em alguns casos,

com máquinas operadas manualmente.

Baixo 25-50 0,85 0,87 Pavimentos rodoviários vibrados com

equipamentos manuais. No extremo

mais trabalhável desta faixa o

concreto pode ser adensado

manualmente usando agregados

arredondados ou irregulares.

Fundações em concreto massa, sem

vibração ou seções pouco armadas

com vibração.

* Médio 50-100 0,92 0,935 No extremo menos trabalhável destes

concretos, placas planas, adensadas

manualmente, usando-se agregados

britados; Concretos armados e seções

com armadura densa com vibração.

Alto 100-175 0,95 0,96 Seções com armadura densa.

Normalmente não apropriado para

vibração.

* Faixa de trabalhabilidade a ser buscada na execução dos ensaios de campo

Em relação a trabalhabilidade é importante ressaltar que geralmente não

deve ser obtida através do acréscimo de água como pensam muitos profissionais. O que

se percebe nas obras é que existe uma tendência de se acrescentar água na mistura para

tornar o concreto mais trabalhável sem que se preocupe com a perda de resistência e

diminuição do módulo de elasticidade do concreto executado.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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2.7 A cura do concreto

A cura é um processo mediante o qual mantém-se o grau de umidade

satisfatório, evitando a evaporação da água da mistura, garantindo ainda uma

temperatura favorável ao concreto durante o processo de hidratação dos materiais

aglomerantes, de modo a se obter um concreto com as qualidades esperadas. A boa cura

ajuda a controlar um dos processos mais importantes que ocorrem nas estruturas de

concreto, a sua retração.

A retração, processo que ocorre durante o endurecimento do concreto,

pode ser notada antes e depois da pega do cimento. A retração plástica, que ocorre antes

da pega do cimento, resulta em fissuras de grandes dimensões. Esta é devida à rápida

evaporação da água, que ocorre quando a superfície do concreto fica exposta ao vento,

ar seco e temperaturas elevadas (exposição direta ao sol). Estas causas têm efeito

cumulativo, podendo resultar em fissuração mais ou menos acentuada, devida à grande

diminuição de volume da pasta, que em condições mais desfavoráveis pode atingir a

ordem de 10 mm/m. Esse fenômeno é ainda agravado pela exsudação do concreto, ou

seja, a tendência da água de se separar dos sólidos ao subir para a superfície.

A retração plástica pode ser evitada, primeiramente, por um cuidadoso

estudo da mistura, onde o acréscimo de materiais finos pode reduzir sensivelmente a

exsudação, por uma imediata proteção da superfície do concreto e finalmente, quando

houver viabilidade econômica, pela revibração do concreto.

Depois da pega do cimento a retração assume características mais

complexas e pode ser dividida em quatro tipos:

• Autógena – redução de volume da pasta, gerada pela diminuição

do volume da mistura inicial em relação ao composto resultante.

• Hidráulica – devida à perda de água não fixada pelo cimento.

• Térmica – devida à contração decorrente da queda de temperatura

verificada após o aumento inicial, causado pelas reações exotérmicas da hidratação do

cimento.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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• Por carbonatação – devida à formação de carbonato de cálcio por

reação da cal livre com o dióxido de carbono do ar.

Dentre os tipos de retração, essa última pode ser considerada como pouco

significativa por ser muito lenta. A retração autógena tem valor muito pequeno quando

controladas a hidráulica e a térmica. Tem-se então que procurar métodos para amenizar

esses dois processos de retração.

Para controlar a retração hidráulica é suficiente impedir a perda de água

do concreto. A proteção nos primeiros dias fará com que a retração do concreto só

ocorra quando sua resistência já tiver sido aumentada. Já a retração térmica, por

englobar reações químicas do concreto, é mais difícil de ser controlada. Para buscar

métodos que proporcionem uma cura efetiva é preciso entender as duas principais

variáveis que interferem nesse processo: a umidade e a temperatura.

• Umidade satisfatória: A perda de água do amassamento do

concreto pode ocorrer por meio da evaporação, da absorção dos agregados, das fôrmas

ou sub-base, que podem reduzir a água a uma quantidade insuficiente para a hidratação

adequada do cimento;

• Temperatura: depois de preparado, o concreto passa a endurecer

lentamente em função das reações químicas entre a água e os compostos de anidro do

cimento. Essas reações químicas são exotérmicas e elevam a temperatura, conferindo à

cura e à pega do concreto um aumento de velocidade. Essa elevação da temperatura não

pode ser feita a seco, e sim saturada de umidade, a fim de não impedir a cura pela falta

de água. Concluindo-se que um ambiente quente e úmido permite uma cura e pega mais

rápida e um aumento da resistência do concreto.

A umidade e a temperatura são, portanto, fatores condicionados às

variações atmosféricas, de difícil previsão e controle, que têm uma direta relação com o

grau de hidratação do cimento devido à perda de água. A seguir são apresentados os

resultados obtidos por LERCH apud NEVILLE (1982) (figura 2.20).

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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FIGURA 2.20 a)Influência da umidade relativa do ar e b)da temperatura sobre a

perda de água do concreto nas idades iniciais.

Apesar de não levar em conta a geometria da peça, verifica-se nesses dois

gráficos a grande elevação da perda de água com o aumento da temperatura e com a

diminuição da umidade relativa do ar. A combinação desses fatores pode causar uma

grande evaporação d’água e conseqüentemente gerar perdas na resistência e

permeabilidade do concreto. Para uma avaliação dessa combinação pode ser utilizado

um gráfico publicado pelo ACI 308-3 (1986), figura 2.21.

Para a utilização deste gráfico, deve-se entrar com o valor da temperatura

do ar, mover para cima até a umidade relativa, à direita até a temperatura do concreto,

para baixo até a velocidade do vento e finalmente a esquerda onde se lê a taxa de

evaporação aproximada. É importante observar que os exemplos mostrados acima são

simplesmente típicos pois, na realidade, a perda de água depende da relação

área/volume do elemento.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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FIGURA 2.21- Efeito da temperatura do concreto, do ar, umidade relativa e

velocidade dos ventos na evaporação da água na superfície do concreto.

2.7.1 Métodos de cura

Existem dois métodos básicos para se realizar uma boa cura do concreto

e obter uma perfeita hidratação do cimento:

• Criação de um ambiente úmido quer por meio de aplicação

contínua ou freqüente de água, por meio de alagamento, molhagem, vapor de água ou

por materiais de recobrimento saturados de água, como manta de algodão, juta, terra,

areia e outros.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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• Prevenir a perda de água de amassamento por meio de materiais

selantes como folhas de papel ou plásticos impermeabilizantes ou por aplicação de

compostos líquidos para a formação de membranas de cura no concreto recém lançado,

tomando o cuidado para que esses materiais ao secarem, não absorvam a água do

concreto.

2.7.2 O tempo de cura

O tempo de cura corresponde ao período em que o concreto deve ficar

protegido para evitar a evaporação da água necessária para a hidratação do concreto. É

importante lembrar que esse tempo depende da técnica de cura adotada.

A cura inicia-se tão logo o concreto seja adensado, porém sua intensidade

e duração dependem fundamentalmente das condições ambientais e do tipo de cimento.

A Norma Brasileira exige que a proteção se faça nos sete primeiros dias contados do

lançamento. É desejável nos quatorze dias seguintes para se ter garantias contra o

aparecimento de fissuras devidas a retração, porém as exigências econômicas tendem a

restringir esse tempo o máximo possível. Três dias constitui o período mínimo que se

deve proteger o concreto preparado com cimento de alto forno ou com cimento

Portland resistente ao sulfato. Já para os concretos que utilizam cimento de alta

resistência inicial (ARI) o tempo mínimo é de dois dias. Nos ensaios com lajes pré-

fabricadas feitos pelo grupo de São Carlos para agregados típicos da região, os com o

emprego de cimento ARI bastaram 4 ou 5 dias de cura, enquanto que para os com

cimento portland foram necessários quase 10 dias.

Cabe ao engenheiro da obra de posse dos conhecimentos dos conceitos

resumidamente listados nos itens anteriores planejar a melhor cura do concreto do

pavimento executado. Essa etapa é primordial na garantia de condições mínimas de

resistências assim como características elásticas do concreto executado, maiores

detalhes e comentários podem ser vistos no capitulo 5 e no trabalho de Peixoto (2002).

2.8 Espaçamento entre escoras

No sistema de lajes pré-moldadas as próprias vigotas juntamente com o

material de enchimento funcionam como fôrmas, o que consiste em uma grande

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

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vantagem pois elimina o gasto com fôrmas de madeira. Além disso, a substituição do

concreto na região tracionada pelo material de enchimento proporciona uma diminuição

no peso próprio do pavimento e com isso o espaço entre as escoras pode ser maior.

Mesmo com essas vantagens a maioria dos problemas e acidentes ocorrem na fase de

concretagem da capa devido à falta de conhecimento técnico do funcionamento do

sistema ou por falta de regras específicas para a execução da tarefa.

Para a correta determinação da distância entre as escoras nas lajes com

vigotas pré-moldadas deve-se analisar a seção da vigota responsável pela resistência do

conjunto até o endurecimento do concreto da capa. Nesta etapa a vigota tem que resistir

ao seu peso próprio, ao do material de enchimento, ao concreto moldado no local, aos

operários e seu equipamentos. Portanto deve-se definir previamente qual o tipo de

equipamento a ser utilizado na concretagem (carrinhos de mão ou gericas, por exemplo)

e também qual é a quantidade máxima de concreto que pode ser lançado em uma região.

A determinação do comportamento das vigotas é difícil, pois no caso de

vigota em trilho, o momento resistente positivo e o negativo são bem diferentes, pois a

seção resistente tem o formato de um “T” invertido, além da variação dos valores das

inércias após a fissuração. Já no caso da vigota do tipo treliça, a determinação dos

esforços nas barras de aço envolve um cálculo hiperestático de análise analítica

complexa, pelo fato das diagonais não estarem contidas em um mesmo plano.

Em trabalhos experimentais feitos por SILVA (2000) e FORTE (2000)

chegou-se às seguintes conclusões:

No caso da vigota tipo treliça a condição determinante para o cálculo do

espaçamento do escoramento é a instabilidade devido a flambagem do banzo superior,

desse modo deve-se usar uma treliça com altura compatível com o espaçamento do

escoramento e com os equipamentos que se deseja utilizar lembrando que por ser a

compressão no banzo superior a condição determinante de colapso, o aumento de

armadura de tração da vigota não influi no espaçamento entre escoras. O sistema com

vigotas tipo treliça apresenta rigidez suficientemente grande para desprezar a

verificação do estado de deformação excessiva no cálculo do espaçamento entre

escoras.

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

____________________________________________________________________________________

Para o caso da vigota tipo trilho ocorre o contrário. Os ensaios mostraram

que a expressão de BRANSON (1968), devidamente testada para outros tipos de vigas,

não forneceu bons resultados para este tipo de elemento (vigota isolada) devido a sua

rigidez que é mais baixa que as das vigotas em treliça, o que faz com que em algumas

situações a condição determinante para o espaçamento usado entre escoras seja a de

deformação excessiva. A análise para determinar a deformação das vigotas,

principalmente tipo trilho, pode ser feita através dos resultados obtidos nos ensaios que

fornecem a rigidez dada pelo produto E.I (que estão relacionados à resistência do

concreto e à taxa de armadura usada nos elementos ensaiados).

Para as vigotas do tipo treliça, um banzo superior não exatamente

retilíneo reduz a resistência da mesma, e desse modo é importante que o transporte das

vigotas seja feito com cuidado e evitando o amassamento ou encurvamento do banzo

superior durante a montagem. Uma maneira de se garantir que não ocorra amassamento

ou encurvamento do banzo superior é o uso de passadiço de madeira com apoios na

base da vigota para permitir a passagem de operários e equipamentos, até porque o

material de enchimento é também pouco resistente.

Nos ensaios realizados pelo Grupo de Estudo em Sistema Construtivo em

Concreto da UFSCar para as vigotas em treliça, as rupturas ocorreram sempre por

instabilidade do banzo superior e quando se usou carga distribuída, ocorriam de forma

brusca, sem que houvesse grande deformação que pudesse alertar para o problema. Já as

vigotas do tipo trilho apresentaram grandes deformações não sendo possível durante o

ensaio alcançar o colapso das vigotas, pois as lajotas cerâmicas começaram a romper

primeiro.

Os ensaios mostraram que o espaçamento entre escoras que pode ser

usado para a laje tipo trilho com a condição determinante de ruína é de 2,15 m para as

cargas usuais e para a condição determinante do estado de deformação excessiva é de

1,5 m. E como a verificação do estado de deformação excessiva foi feita de forma

simplificada, principalmente por ainda não se conhecer bem o comportamento da

vigota após a concretagem da capa é melhor optar pelo vão em torno de 1,5 m

Capitulo 2 – Considerações gerais sobre a execução de lajes pré-fabricadas

____________________________________________________________________________________

Para o sistema com vigotas em treliça, para uma altura de 8 cm, o

espaçamento entre escoras recomendado seria de 1,1 m para a condição determinante de

ruína e 1,60 m para a condição determinante do estado de deformação excessiva.

Novamente deve-se optar pelo vão menor que neste caso é de 1,1 m.

Os dados anteriores são ilustrativos recomenda-se a leitura dos trabalhos

citados além de GASPAR (1997) e o programa Cortel de DROPPA JR (2003).

MODELOS DE CÁLCULO DE

PAVIMENTOS DE LAJES

UNIDIRECIONAIS PRÉ-FABRICADAS

3.1 Introdução

O objetivo desse capítulo é indicar procedimentos que permitam determinar

os esforços seccionais e os deslocamentos em lajes pré-fabricadas. Para isso separa-se os

modelos em lajes simplesmente apoiadas (sem continuidade) e contínuas. Para analisar um

trecho de pavimento a situação de simplesmente apoiada, é preciso montar um

procedimento de cálculo preciso e simples, considerando-se, inicialmente, o modelo dito

“elástico” em que se considera a relação linear entre deslocamentos e esforços e que não

haja fissuração nem plastificação, mas também discute-se métodos não lineares em que se

considera a fissuração e até a plastificação de seções.

3.2 Modelo de grelha equivalente

Para discretizar um pavimento composto por lajes e vigas (figura 3.1) pode-

se usar elementos ortogonais de uma grelha. A aplicação do processo de grelha equivalente

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

________________________________________________________________________________________

para analise de lajes com vigotas unidirecionais pode ser feito considerando as nervuras

longitudinais com características de viga “T” (ver figura 3.2) e na direção transversal a capa

seria representada por um elemento de barra do tipo placa com largura definida pelo

espaçamento da malha e espessura igual à espessura da capa (figura 3.2). Nervuras

transversais e vigas periféricas são definidas como elemento do tipo viga.

FIGURA 3.1- Fôrma de pavimento

composto por lajes pré-fabricadas e vigas

feito com a utilização do programa

CypeCAD

FIGURA 3.2- Esquema para a utilização

do processo de grelha equivalente

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

________________________________________________________________________________________

“A idéia de se interpretar uma laje (no caso maciça) através de uma grelha

equivalente (processo de analogia de grelha) foi feita inicialmente por Marcus em 1932,

que, por não dispor na época de computadores, tinha que se valer de processos aproximados

para resolver as lajes. Bem mais tarde, em 1959, Lighfoot retomou a analogia de grelha no

estudo de pavimentos, mas já usando programas de computador, e posteriormente este

estudo foi sistematizado por Hambly.” (CARVALHO (2001)).

Entre as inúmeras vantagens de se usar esse procedimento destaca-se:

a) possibilidade de analisar o pavimento como um todo, considerando

inclusive, se for o caso, a rigidez dos pilares introduzida através do coeficiente de mola;

b) variação de modelagem considerando trechos fissurados, plastificados

(colocação de rótulas);

c) rapidez na obtenção de esforços; após a montagem e resolução da

estrutura têm-se os esforços de todos os elementos, assim como os deslocamentos dos

diversos pontos.

d) as vigas podem ser consideradas como elementos deformáveis

verticalmente;

e) é possível modelar mais adequadamente a interação das lajes com as

vigas;

f) é possível considerar facilmente, nas lajes, cargas não uniformemente

distribuídas, como por exemplo cargas lineares (ação de paredes).

A desvantagem deste procedimento está na necessidade do emprego de um

programa de grelha de boa capacidade e de preferência com geração automática de

elementos e com módulo gráfico de entrada e saída de dados.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Além disso, embora o procedimento pareça bastante refinado ele tem o

inconveniente de considerar que a deformação da capa na sua parte inferior ocorra no

mesmo nível da face inferior das nervuras e transversinas.

As considerações a serem feitas para o cálculo da inércia dos diversos

elementos são mostradas a seguir:

• Para nervuras longitudinais as características mecânicas são dadas

pela figura 3.3.

FIGURA 3.3 a)– geometria real da seção da nervura. b) geometria adotada

Inércia a torção

(

)

wfff

bhhhb

−

Eq 3.1

Inércia a flexão

() ()













−++













−−+−=

cgw

cgwff

wff

ybbh

bbI

Eq 3.2

• Para vigas e nervuras transversais (Figura 3.4) desprezando o efeito

da capa de concreto que poderia fazer com que as mesmas funcionassem como de seção em

forma de “T” e considerando que a inércia a torção seja correspondente ao Estádio II.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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FIGURA 3.4 – geometria da viga

Inércia a flexão

h.b

Eq. 3.3

Inércia a torção

h.b

= (30 por causa da fissuração)

Eq. 3.4

• Já no caso da capa (figura 3.5), para conferir um efeito de placa no

elemento, embora para este elemento isto seja muito discutível, a inércia à torção é o dobro

da de flexão, tendo-se portanto:

FIGURA 3.5 – geometria da seção capa

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Inércia a torção

h.b

Eq. 3.5

Inércia a flexão

h.b

Eq. 3.6

Considera-se neste caso que o método empregado seja o elástico e não se

está considerando portanto a fissuração ou plastificação do concreto. Considerações de

fissuração podem ser vistas no capítulo 5 e em CARVALHO (2001)

3.3 Modelo de grelha equivalente simplificado

Como será visto no próximo item, a contribuição nos esforços e

deslocamentos da capa considerada no sentido transversal é pequena. Assim é possível para

simplificar a análise do pavimento considerar apenas as longarinas, transversinas e vigas

(Figura 3.6). As características da seção transversal seguem as equações indicadas no caso

anterior.

Para situações de continuidade da laje, apoio de vigas em outras vigas e o

funcionamento das transversinas este procedimento é interessante e mais preciso que o

modelo de vigas independentes relatado no próximo item.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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FIGURA 3.6- Esquema para a utilização do processo de grelha equivalente

simplificado

3.4 Modelo de viga independente

Para entender o comportamento da laje nervurada formada a partir de

elementos pré-moldados de concreto armado sobre os quais é confeccionada uma capa de

concreto, é necessário verificar se a capa de concreto confere rigidez, mesmo que pequena,

ao pavimento na outra direção. Essa verificação é feita através de um estudo teórico

realizado por CARVALHO e FIGUEIREDO (2001).

Nesse estudo é feita uma análise detalhada sobre o comportamento de três

situações básicas (elementos independentes, laje pré-moldada com capa de concreto e laje

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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maciça), tomando-se como exemplo um pavimento bastante simples, praticamente

quadrado e simplesmente apoiado nos quatro lados (figura 3.7).

FIGURA 3.7 - Pavimento simples, praticamente quadrado e simplesmente apoiado

nos quatro lados utilizado no estudo.

Para compreensão destes sistemas estruturais são comparados, os esforços

internos e o estado de deslocamento obtidos para as três situações citadas e ilustradas na

figura 3.8.

Em todas as situações as vigas V1, V2, V3 e V4 serão consideradas

indeslocáveis na vertical. O objetivo em resolver este pavimento é identificar um processo

de cálculo (modelo físico e matemático) que possa ser usado com facilidade, segurança e

que resulte em valores próximos dos reais para pavimentos de lajes com nervuras pré-

fabricadas e para tornar possível as comparações, em todas as situações são empregadas a

mesma espessura total dos elementos, a mesma intensidade de carregamento atuante, e as

mesmas características elásticas do concreto. Os valores adotados são:

• espessura total do pavimento = 9,5 cm;

• espessura da capa = 3 cm;

• p = 5 kN/m

(ação total já considerado o peso próprio)

• E

= 30.000 MPa.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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FIGURA 3.8. a) laje pré-moldada composta por elementos isolados; b) laje pré-

moldada composta por nervuras mais capa; c) laje de placa maciça.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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A análise dos esforços e deslocamentos para os caso b e c foi feita usando o

processo de grelha equivalente, apresentado no item 3.2.

Os elementos na situação a são

isolados, trabalhando cada um como uma viga independente.

A configuração deformada dos pavimentos para os três casos é mostrada na

figura 3.9.

FIGURA 3.9- Deformações dos pavimentos considerando vigas independentes, laje

pré-moldada com capa e placa maciça

Os deslocamentos são maiores quando todos os elementos trabalham

isoladamente (caso a) e menores quando se considera o efeito de placa (caso c, laje

maciça). A laje pré-moldada (caso b) apresenta um comportamento intermediário, porém

bem mais próximo do caso de elementos isolados. Percebe-se ainda que no primeiro caso

todos os elementos têm a mesma linha elástica (eixo após a deformação), devido à própria

hipótese de que funcionam isoladamente, sem ligação transversal entre si. No caso da laje

pré-moldada com a consideração da capa, pelo menos as quatro nervuras centrais

apresentam praticamente a mesma linha elástica. Finalmente, no caso da laje maciça, há

diferença significativa entre as elásticas dos diversos “trechos” da placa, e as deformações

são bem menores. Isto ocorre por haver rigidez praticamente igual nas direções longitudinal

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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e transversal. Esta, em princípio, é a característica fundamental das placas de lados com

dimensões de mesma ordem de grandeza: valores dos momentos nas duas direções

próximos e distribuição eqüitativa das ações em todas vigas periféricas de apoio. Nesta

análise não foi considerada a fissuração da capa de concreto.

No mesmo estudo

, pode-se observar o momento fletor nas regiões centrais

dos três casos estudados, figura 3.10, percebendo-se que a placa apresenta novamente os

menores valores e que os resultados da laje nervurada pré-moldada e dos elementos

isolados estão relativamente próximos.

FIGURA 3.10- diagrama do momento fletor

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Portanto, os resultados anteriores mostram que é perfeitamente aceitável a

consideração de lajes unidirecionais nervuradas pré-moldadas comportando-se como

elementos independentes (figura 3.11), pois com essa simplificação o cálculo é feito a favor

da segurança e bastante próximo da realidade, justificando o emprego de um modelo

matemático que consiste em um conjunto de vigas paralelas que trabalham praticamente

independentes para o dimensionamento à flexão e a verificação do estado de deformação

excessiva de uma laje pré-fabricada.

FIGURA 3.11- Esquema para a utilização do processo de viga independente

3.5 Modelo de cálculo para consideração da continuidade

A consideração da continuidade em um pavimento formado por lajes pré-

fabricadas, de modo que o pavimento resista ao carregamento na seção de momento

negativo, permite um dimensionamento mais econômico do que aquele feito com a

consideração de elementos simplesmente apoiados. No entanto, em diversas situações o

momento fletor negativo obtido segundo o cálculo linear da estrutura hiperestática é maior

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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que o momento máximo resistido pela seção nesta região. Isso se deve à pequena área de

concreto na região comprimida de seção transversal nos apoios (parte inferior) em forma de

“T” (figura 3.12).

Seção AA momento fletor positivo

Seção BB momento fletor negativo

Concreto comprimido

Esquema Estrutural de laje unidirecional continua

FIGURA 3.12 Laje contínua pré-fabricada unidirecional, seções submetidas a

momento fletor positivo e negativo.

Assim, em lajes contínuas, nem sempre é possível obter, junto aos apoios

intermediários, regiões comprimidas suficientes para resistir ao momento negativo total

encontrado pelo cálculo elástico (admite os materiais, no caso o concreto armado, como

sendo homogêneo e com comportamento linear), ocorrendo então a plastificação do

concreto.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Para explicar o que ocorre com plastificação do concreto e o surgimento de

rótula plástica no apoio, mostra-se a mesma laje unidirecional contínua da figura 3.12 com

os diagramas de momento fletor devido ao comportamento elástico e com plastificação na

região do apoio na figura 3.13. Para o diagrama elástico temos a equação 3.7:

elástico

Eq. 3.7

Se a seção no apoio for capaz de resistir este momento o diagrama é o apresentado

na figura 3.13 (linhas continuas) com o diagrama de momento elástico já conhecido e

calculado da forma usual. Se a seção do apoio só for capaz de resistir a um momento fletor

plástico

|< |X

elástico

| então o diagrama será o de momento com plastificação no apoio central,

também indicado na figura 3.13 (linhas tracejadas), que apresentará valores de momento

positivo máximo no tramo M

plástico

elástico

. Devido à dificuldade do cálculo de um valor

plástico

é usual admitir que os elementos pré-fabricados sejam sempre simplesmente

apoiados, o que resulta em momentos positivos maiores que em elementos contínuos. Desta

maneira para uma mesma solicitação “p” resulta seção maior ou em limitação do vão a ser

vencido devido também a deslocamentos maiores.

Esquema Estrutural de laje unidirecional continua

Diagrama de

Diagrama de momento com

momento elástico

plasticação no apoio central

elástico

plástico

elástico

plástico

FIGURA 3.13 Laje contínua unidirecional, diagramas de momento elástico e com

plastificação no apoio central.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Por essa razão, é mais racional aproveitar as vantagens da continuidade, pois

há uma melhor distribuição de momentos, com a redução dos positivos, possibilitando

vencer vãos maiores. Assim, em pavimentos compostos de diversos painéis, sempre que a

geometria permitir, as vigotas devem ser dispostas de modo a aproveitar o efeito vantajoso

da continuidade, com o esquema estático das nervuras aproximando-se ao de uma viga

contínua hiperestática.

Para a solução do problema apontado pode-se adotar um trecho de seção

maciça de concreto na região onde a seção nervurada não resiste ao momento negativo.

Outra possibilidade é considerar que o esforço solicitante no apoio diminua até um valor

correspondente à resistência da seção no apoio intermediário (ou uma parcela deste valor,

ou ainda, um valor obtido experimentalmente) e, em seguida, considerar a redistribuição

dos esforços ao longo da nervura, verificando em seguida se o máximo momento positivo

solicitante não ultrapassa o máximo resistido na seção.

Portanto neste item tenta-se preencher uma das inúmeras lacunas do

dimensionamento de lajes pré-fabricadas que é o comportamento de pavimentos

constituídos de elementos hiperestáticos, uma vez que a maioria das tabelas utilizadas pelos

fabricantes não considera a continuidade e com isso não considera os valores dos

momentos negativos e os efeitos da plastificação do concreto nesta região (comportamento

não-linear), para incorporá-los no dimensionamento do pavimento.

Os efeitos da plastificação do concreto podem ser simulados através da

introdução de rótulas em programas de grelha ou de vigas contínuas, submetidas a

momentos de plastificação com valores obtidos experimentalmente ou a partir de uma

parcela do momento resistente da seção dos apoios intermediários (que no caso em questão

normalmente é menor que nas seções submetidas a momentos positivos, devido às

características da seção transversal).

Neste item, as nervuras primeiramente serão consideradas isoladas, ou seja,

será estudado um elemento linear de viga (viga “T”) assentadas sobre apoios indeslocáveis

na vertical (por exemplo paredes) e sem continuidade. Também será considerado no cálculo

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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dos esforços solicitantes que a inércia da laje seja constante, ou seja, cálculo linear sem

consideração dos efeitos da fissuração do concreto.

Posteriormente, será considerado o efeito de grelha (nervuras afetadas pela

deformação de vigas), através da utilização de programa de computador que usa técnica de

grelha equivalente. E finalmente serão investigados os benefícios que a consideração da

continuidade pode incorporar nas condições de serviço, especialmente no cálculo dos

deslocamentos.

3.5.1 Esforços solicitantes nas lajes

Conhecidos os momentos resistentes, serão calculados os valores dos

esforços solicitantes na nervura, considerando-as inicialmente bi-apoiadas, condição

geralmente empregada pelos fabricantes. Serão observados em quais casos, com a

consideração do efeito da continuidade, o momento negativo ultrapassa o momento

resistido (M

) pela seção em forma de “T” (neste caso o concreto comprimido tem a

largura igual a b

). Enquanto o momento no apoio for inferior (em módulo) ao valor de M

o cálculo pode ser feito sem considerar a plastificação na seção, considerando apenas a

fissuração para verificar o estado de deformação excessiva. Dessa forma o cálculo dos

esforços solicitantes pode ser feito com o modelo linear, ou seja, usando o sistema de viga

contínua. Quando o momento negativo (no apoio) ultrapassar o valor do momento

resistente da seção em forma de “T” pode-se considerar em torno dessa seção uma região

maciça de concreto, permitindo que o cálculo possa ainda ser executado com o modelo

linear. Sem considerar a região maciça ou se efetua o cálculo plástico, com a introdução de

uma rótula plástica na seção, ou se considera a redistribuição de esforços comentada nos

itens seguintes.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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3.5.1.1 Vigas sem continuidade e tabelas para dimensionamento

Em algumas situações em que os vãos são pequenos e não se tem garantia do

correto posicionamento da armadura negativa deve ser considerada a não continuidade das

nervuras para efeito de cálculo. O diagrama de momento fletor para o caso de nervuras bi-

apoiadas submetidas a carregamento distribuído como mostrado na Figura 3.14 leva às

equações 3.7 e 3.8.

l.p

Eq. 3.7

l.p

Eq. 3.8

pl1

pl2

a) b)

FIGURA 3.14 a) Esquema estrutural de laje isostático e b) Diagrama de momento

fletor de laje isostático

Usando vãos simplesmente apoiados é possível, uma vez fixada a geometria

e a armadura, calcular os momentos resistidos ou vãos máximos que podem ser

empregados, montando-se tabelas que permitam aos projetistas escolher os tipos de lajes

sem calcula-las. As primeiras tabelas que surgiram indicavam para cada geometria e ação

aplicada, qual o máximo vão possível, como na tabela 3.1. Entretanto essa tabela não leva

em consideração a quantidade de armadura e nem o efeito da fissuração e da fluência do

concreto.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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TABELA 3.1 Laje pré-moldada tipo trilho – apoio simples – intereixo de 33 cm,

vãos livres máximos (metros) (CARVALHO E FIGUEIREDO (2001))

p (kN/m

) 0,5 1,0 2,0 3,5 5,0 8,0 10,0 12,0

9,5

4,20 4,00 - - - - - -

4,50 4,30 4,10 3,50 2,70 - - -

5,70 5,50 5,30 4,50 3,40 - - -

6,90 6,80 6,50 5,70 4,60 3,30 2,70 -

8,30 8,10 7,90 6,70 5,50 4,00 3,30 2,90

- - 9,00 8,70 8,40 6,20 5,30 4,60

- - 10,3 9,90 9,60 7,20 6,20 5,40

Onde p é a carga atuante (q + g

) exceto o peso próprio da laje, que já foi computado

Tabelas mais próximas da realidade, como a tabela 3.2, por considerarem a

quantidade de armadura e o efeito da fissuração e da fluência são apresentadas em

CARVALHO (2001).

Em virtude do aparecimento de programas e uso do sistema hiperestático as

tabelas anteriores perderam sua utilidade, servindo apenas como referencia para uma

analise rápida ou um pré dimensionamento.

Nota-se que as tabelas do tipo 3.2 são mais completas indicando inclusive a

armadura a adotar. Durante muitos anos e até hoje foram empregadas pelos fabricantes

como única fonte de dimensionamento. Bastando ao usuário a partir do vão, carga acidental

e escolha da altura da laje consultar a tabela e obter a armadura necessária . Em

MESQUITA E CARVALHO (1999) são ainda fornecidas tabelas para a determinação da

contra flecha a se empregar em cada caso.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Tabela 3.2 Valores máximos (m) de vãos para lajes simplesmente apoiadas com altura

de 12 cm (capa de 4 cm); ruptura e deformação excessiva atendidas (CARVALHO e

FIGUEIREDO 2001)

LAJE TRELIÇADA − β

CARGAS (kgf/m

)

Classe e

armadura

(cm

)

FORRO

100 150 200 350 500

6 - 0,488 3,75 3,55 3,25 3,00 2,80 2,40 2,10

7 - 0,537 3,80 3,60 3,40 3,15 2,95 2,50 2,20

8 - 0,591 3,85 3,65 3,50 3,30 3,10 2,60 2,30

9 - 0,650 3,90 3,70 3,55 3,40 3,20 2,70 2,40

10 - 0,715 3,95 3,75 3,60 3,45 3,30 2,80 2,50

11 - 0,787 4,05 3,80 3,65 3,50 3,40 2,85 2,55

12 - 0,865 4,10 3,90 3,70 3,55 3,45 2,95 2,65

13 - 0,952 4,15 3,95 3,75 3,65 3,50 3,00 2,70

14 - 1,047 4,25 4,05 3,85 3,70 3,55 3,10 2,80

15 - 1,152 4,35 4,10 3,90 3,75 3,65 3,20 2,85

16 – 1,267 4,20 4,00 3,85 3,70 3,30 2,95

17 – 1,394 4,10 3,95 3,80 3,45 3,05

18 - 1,533 4,20 4,05 3,90 3,55 3,15

19 - 1,686 4,30 4,10 4,00 3,65 3,25

20 - 1,855 4,40 4,20 4,05 3,75 3,35

21 - 2,040 4,30 4,15 3,80 3,45

22 - 2,244 4,45 4,30 4,00 3,55

23 - 2,469 4,55 4,40 4,00 3,65

24 - 2,716 4,65 4,50 4,10 3,80

25 - 2,987 4,75 4,60 4,20 3,90

26 - 3,266 4,85 4,70 4,30 4,00

27 - 3,615 5,00 4,80 4,45 4,15

Intereixo = 50 cm; peso próprio = 141 kgf/m

=20 MPa;coeficiente de fluência ϕ = 2.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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3.5.1.2 Vigas hiperestáticas com modelo linear

O diagrama de momento fletor para o caso de nervuras hiperestáticas,

usando-se o modelo linear ou elástico, submetidas a carregamento distribuído como

mostrado na Figura 3.15a conduz, por exemplo, ao diagrama de momento indicado em

3.15b, para tanto é necessário que a seção junto ao apoio resista ao momento negativo

max,solicmax,solic

pos

max,solic

pos

neg

FIGURA 3.15 a) Esquema estrutural de laje hiperestático e b) Diagrama de

momento fletor de laje hiperestático

O cálculo nesse caso deve ser feito com os processos tradicionais, supondo

que os apoios das nervuras sejam indeslocáveis na vertical (processo de viga independente).

No caso da estrutura apresentada na figura 3.15 o momento fletor negativo máximo na

nervura calculado partir do processo dos esforços é dado pela equação 3.9:

neg

solic

max

= -

(

)

()

Eq. 3.9

Para l

= l

(vãos iguais), temos

neg

solic

max

= - p l

/ 8

Eq. 3.10

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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E o momento fletor positivo máximo na nervura calculado a partir do

processo dos esforços (equações 3.11, 3.12 e 3.13):

posit

solic

max,

2222













−×−













−×













−

Mlp

Eq. 3.11

Para

l =

l , temos que M=

lp ×

Eq. 3.12

posit

solic

max,

128

××

Eq. 3.13

A fissuração não deve alterar significativamente os esforços seccionais,

porém no caso do Estado Limite de Serviço (ELS) a verificação de flecha deve levar em

conta este efeito (fissuração).

3.5.2 Emprego de trecho maciço junto ao apoio

Consiste na utilização de seção maciça de concreto (figura 3.16) na região

onde a seção nervurada não resiste ao momento negativo. O trecho de laje maciça em

regiões próximas aos apoios é obtido com a substituição do material de enchimento, no

trecho preestabelecido pelo cálculo, por concreto moldado no local que será lançado sobre

uma tabua que se apóia nas guias e pontaletes.

Essa solução deve ser empregada nos trechos de lajes onde o momento fletor

negativo resultou maior que o momento resistente da nervura. Calcula-se a extensão do

trecho onde seria necessário executar a região de laje maciça, ou seja, determina-se a

distância

x (figura 3.17) a partir do qual o valor do momento fletor solicitante é maior que o

valor do momento fletor resistente na seção.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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Treliça

Elemento de Enchimento

Barras de Aço

Região maciça

de concreto

Apoio intermediário

LAJES CONTÍNUAS

Armadura (As)

Bloco cerâmico

Regiões sugeitas a momentos fletores negativos

Apoio Intermediário

Região maciça de concreto

Vigota treliçada

FIGURA 3.16 a)Perspectiva da região maciça de concreto. b) Seção transversal

maciça de concreto (CARVALHO E FIGUEIREDO (2001))

Para a determinação da largura do trecho maciço após ser calculado o

momento máximo resistido pela seção da nervura, basta encontrar no diagrama de

momento fletor da laje a seção em que o momento fletor é numericamente igual a este

valor.

O valor do momento máximo resistido em serviço é 4,1/

RdR

MM = , que

substituindo na equação do momento

RxM

−= , fornece o valor de x, assim, a região

maciça, de cada lado do apoio será

−

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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M = M

Rd/1,4

trecho maciço

FIGURA 3.17 Determinação do trecho maciço

3.5.3 Redistribuição de esforços no apoio central

Outra alternativa para resolver o problema do momento negativo no apoio

ser maior que o resistente da laje nesta região é a consideração da redistribuição de

momentos na viga, supondo-se que o momento fletor no apoio esteja limitado a um

determinado valor. Portanto a análise linear seguida por uma redistribuição limitada de

momentos fletores tem sido introduzida, comumente, em projetos. Dentre as principais

vantagens de se utilizar a redistribuição de momentos fletores o CEB (1982) lista os

seguintes:

• A transferência de esforços solicitantes para as áreas com tensões mais baixas;

• Menor taxa de armadura localizada nas áreas de momentos fletores negativos,

portanto, tensões reduzidas na região comprimida da seção;

• Redução do congestionamento das barras de aço sobre os apoios de lajes continuas,

melhorando as condições de concretagem nestas áreas criticas;

• Maior liberdade no detalhamento da armadura.

Os critérios para limitar a redistribuição dos momentos fletores variam de

acordo com as normas utilizadas. A norma brasileira NBR 6118:2003

e a norma espanhola

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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EF-96 (1997) são freqüentemente utilizadas por projetistas na realização do cálculo com

momentos fletores redistribuídos das lajes com vigotas pré-moldadas. Considerando a

redistribuição plástica como função do momento resistente da seção submetida ao momento

fletor negativo, impondo no dimensionamento um valor limite para a linha neutra. Sendo o

grande problema deste procedimento a impossibilidade de se fazer de maneira segura a

verificação do Estado Limite Último de Deformação Excessiva. Os critérios recomendados

na norma brasileira NBR 6118 e pela espanhola EF-96 são mostrados a seguir:

3.5.3.1 Recomendações da norma brasileira NBR 6118 (2003)

A NBR 6118(2003) não trata da redistribuição dos esforços de forma

específica para as lajes nervuradas. Sendo as considerações a respeito da redistribuição de

esforços para estruturas de elementos lineares especificadas a seguir:

“Limites para a redistribuição de momentos e condições de dutilidade

A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da

linha neutra no ELU. Quanto menor x/d, maior é essa capacidade.

Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou

de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas

redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer

aos seguintes limites:

a) x/d

≤ 0,50 para concretos com f

≤ 35 MPa; ou

b) x/d

≤ 0,40 para concretos com f

> 35 MPa.

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de

armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.

Quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de

M para

δ.M, em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de

redistribuição

δ e a posição da linha neutra nessa seção x/d, para o momento reduzido δ.M,

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

________________________________________________________________________________________

deve ser dada por:

δ ≥ 0,44 + 1,25 . x/d para concretos com f

≤ 35 MPa; ou

δ ≥ 0,56 + 1,25 . x/d para concretos com f

> 35 MPa.

O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites:

δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis;

δ ≥ 0,75 para qualquer outro caso.

Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos nesta Norma,

desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de analise não linear, com

verificação explicita da capacidade de rotação de rótulas plásticas.

3.5.3.2 Recomendações da norma espanhola EF-96

De acordo com a norma espanhola EF-96, no cálculo dos esforços em lajes

com vigotas pré-moldadas pode ser considerada uma redistribuição plástica dos momentos

fletores correspondente a 15 % ou , no máximo, a redistribuição que resulta ao se igualar os

máximos momentos fletores negativos e positivos em cada tramo. A redistribuição máxima

admitida para lajes continuas pode ser obtida a partir do seguinte procedimento:

a)Momentos fletores positivos: igualar os valores do máximo momento

fletor positivo e dos momentos fletores nos apoios para cada tramo interno e valor do

momento fletor máximo positivo e do momento fletor do apoio para o tramo extremo

(figura 3.18a).

b)Momentos fletores negativos: adota-se, no mínimo, a linha de fechamento

formada pelos máximos momentos fletores negativos nos apoios internos encontrados em

a) e para os apoios extremos, considerar um momento fletor negativo com valor igual a

quarta parte do máximo momento fletor positivo deste vão (figura 3.18b).

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

________________________________________________________________________________________

c)Balanços: deve-se considerar o máximo momento fletor que resulta ao se

considerar a carga atuante no balanço ou a quarta parte do momento fletor positivo do vão

adjacente (figura 3.18b).

FIGURA 3.18– Diagramas dos momentos de acordo com a norma espanhola EF-96

(1997)

Nos apoios onde não há continuidade será considerado um momento fletor

negativo não inferior a ¼ do máximo momento fletor positivo do tramo.

Esta norma observa que todos os vãos deverão resistir, no mínimo, a um

momento fletor positivo igual a ½ do seu momento fletor isostático.

Capitulo 3 – Modelo de cálculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

________________________________________________________________________________________

3.5.3.3 Dimensionamento usual

No projeto de uma laje contínua formada por elementos pré-moldados é

usual não se adotar no dimensionamento os momentos fletores negativos obtidos a partir da

analise linear. Isso porque os momentos fletores negativos são da mesma ordem de

grandeza dos momentos fletores positivos e a resistência da seção “T” a momentos

negativos ser muito inferior à resistência a momentos fletores positivos.

A solução empregada por muitos projetistas para resolver o problema da

continuidade consiste em adotar para o valor do momento negativo no apoio aquele

calculado como sendo o momento resistente negativo na nervura. Para tanto é necessário

arbitrar a posição da linha neutra com valores inferiores a linha neutra que corresponde ao

limite entre os domínios 3 e 4, que é a situação mais favorável, pois os dois materiais

atingem sua máxima capacidade resistente e são melhor aproveitados.Verifica-se, então, se

o momento positivo máximo solicitante não é superior ao momento resistente. Isto é feito

introduzindo-se uma rótula no apoio submetida ao

neg

resist

max,

, sendo o valor do momento

aplicado nessa rótula igual ao valor obtido a partir de parcelas do momento resistente

negativo.

Desvantagem do método de redistribuição de momentos esta na dificuldade

da determinação do valor da flecha.

3.5.4 Processo de vigas independentes considerando o cálculo não linear

A avaliação dos deslocamentos e esforços solicitantes em uma estrutura

depende de uma estimativa segura dos parâmetros de rigidez dos elementos de concreto.

Como já foi dito essa avaliação se torna complexa pelo fato de que parte do elemento

trabalha no Estádio I e parte no Estádio II e no caso de estruturas hiperestáticas a estimativa

dos parâmetros de rigidez se torna ainda mais importante, pois sua mudança afeta além dos

deslocamentos, os esforços solicitantes.

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

____________________________________________________________________________________

3.5.4.1 Carregamento incremental

A aplicação do carregamento incremental é uma técnica utilizada para se

considerar a não linearidade física do concreto, através de cálculos lineares. Consiste em

considerar o carregamento atuante na estrutura a partir da soma de n etapas de carga ou

incrementos de carga, possibilitando a atualização da rigidez da estrutura a cada nova

etapa de carga.

Em cada etapa de carga, considera-se que existe linearidade entre

esforços e deslocamentos, bastando para alcançar precisão suficiente um certo número

mínimo de etapas de carregamento. Desse modo um problema não-linear passa a ser

resolvido de forma linear, através da soma de parcelas lineares. A cada nova etapa de

carregamento a rigidez a ser utilizada para o elemento é obtida a partir da consideração

do nível de solicitação da etapa anterior. E portanto com o aumento do número de

etapas de carregamentos maior será a aproximação com o comportamento não-linear

(figura 3.19).

FIGURA 3.19 – Diagrama carga x deslocamento: 1)desenvolvimento

real 2)desenvolvimento por etapas lineares, CARVALHO (1994).

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

____________________________________________________________________________________

3.5.4.2 Determinação da força última no modelo hiperestático com controle de

rotação.

Uma outra técnica com carregamento incremental é descrita por Merlin

(2002 ) onde se considera critérios para a determinação da força ultima que são:

• Capacidade de rotação das rótulas plásticas.

• Formação de mecanismo de colapso.

3.5.4.2.1 Critério da capacidade de rotação das rótulas plásticas

Esse critério é utilizado para verificar a capacidade de rotação plástica

das rótulas nas regiões críticas é ultrapassada

Quando no carregamento incremental do modelo teórico o momento

fletor de uma seção atinge M

é criada uma rótula plástica

impossibilitando a obtenção

da curvatura desta seção pela relação momento x curvatura do CEB (1998). A curvatura

então é determinada a partir da hipótese que nas suas proximidades a deformada do

elemento estrutural será aproximada por um arco (figura 3.20) e portanto a curvatura é

determinada pela equação 3.15:

a)l(

a.2

Eq. 3.15

onde:













−=

l - tamanho do elemento e d–deslocamento

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

____________________________________________________________________________________

FIGURA 3.20 – Determinação da curvatura média a partir dos

deslocamentos, MAGALHÃES (2001)

A partir da criação da rótula plástica a consideração de rotação plástica

será realizada considerando o modelo de Darmstadt-Leipizig apresentado no

CEB(1998), e também utilizado por MAGALHÃES (2001) para a análise de lajes

contínuas. De acordo com esse modelo, a capacidade de rotação plástica está dividida

em duas partes que são determinadas separadamente, conforme a equação 3.16:

cort,plfle,plpl

Eq. 3.16

onde:

- capacidade de rotação da rótula plástica;

fle,pl

- parcela da rotação plástica decorrente do esforço de flexão;

cort,pl

- parcela da rotação plástica decorrente do esforço cortante.

Por ser o esforço de flexão o predominante em uma laje, considera-se nas

verificações da capacidade de rotação das rótulas plásticas somente a parcela de

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

____________________________________________________________________________________

deformação decorrente dos esforços de flexão. Com isso a expressão que fornece a

capacidade de rotação das rótulas plásticas segundo o modelo de Darmstadt-Leipizig é

a equação 3.17:

























−+













−+













−=

1.d.

.d.

Eq. 3.17

3.5.4.2.2 Critério da formação de um mecanismo de colapso

O critério da formação do mecanismo de colapso pode ser visualizado da

seguinte maneira seja uma viga engastada numa extremidade e apoiada na outra e uma

carga concentrada F no centro (figura 3.21 a). O diagrama de momentos fletores tem o

aspecto apresentado na figura 3.21 b, com o máximo momento fletor ocorrendo na

extremidade engastada.

FIGURA 3.21 – Critério da formação de um mecanismo de colapso,

MAGALHÃES (2001)

Com o incremento do carregamento a seção B será a primeira a escoar,

após um novo acréscimo de carga em F, começará a ocorrer o escoamento da seção C,

onde há um pico no diagrama dos momentos fletores. Com o aumento do carregamento

ocasionado por novas etapas do incremento, forma-se uma rótula plástica na

extremidade B. Entretanto, esta única articulação não provoca falha do elemento

estrutural, pois este se comporta como uma estrutura estaticamente determinada,

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

____________________________________________________________________________________

suportando uma carga F na seção C e um momento fletor M

em B. Com este esquema

estático, a estrutura ainda suportará um acréscimo de carga até que o momento fletor em

C também atinja o momento último desta seção. Nesta ocasião, existirão articulações

plásticas nas seções B e C e a estrutura formará um mecanismo. Então, existirão

deslocamentos ilimitados e não é mais possível nenhum acréscimo de carga, sendo

atingida a carga de ruptura. Lembrando-se que para isso é necessário que a rótula

apresente capacidade de rotação suficiente para que seja possível também criar uma

rótula no meio do vão.

3.6 A ação do carregamento nas vigas de contorno

A utilização mais comum do sistema de lajes pré-moldadas apresenta as

vigotas dispostas em uma única direção, geralmente a do menor vão, desse modo as

vigas nos quais essas vigotas estão apoiadas recebem a maior parte da carga. O que

representa uma desvantagem pois enquanto algumas vigas recebem a maior parte do

carregamento oriundo do pavimento e a transmitem aos pilares, outras contribuem

pouco com essa transmissão.

Para tentar determinar a distribuição das cargas nas vigas de contorno

deve-se verificar se a capa de concreto confere rigidez suficiente ao pavimento na outra

direção propiciando que também as vigas laterais recebam uma parcela da carga

proveniente da laje, e qual o valor estimado dessa parcela. Comparações teóricas foram

feitas por CARVALHO e FIGUEIREDO (2001), variando algumas características. O

objetivo foi verificar a influência nos valores das reações nas vigas de apoio, da

geometria do painel, da relação entre inércia e capa (para simular a influncia da

fissuração desses elementos) e das vigas de contorno.

Para levar em conta a diminuição da inércia das seções provocada pela

fissuração é utilizada, em alguns casos, a expressão de BRANSON (1968) que fornece

um momento de inércia médio ao longo de todo o elemento fissurado

O processo utilizado para análise foi o da grelha equivalente sendo os

valores das variáveis e os resultados apresentados na tabela 3.3

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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TABELA 3.3 Exemplos estudados e porcentual de cargas transferida para as vigas

secundárias

Exemplo Dimensão

pavimento

Espessura

capa (cm)

Altura

laje

(cm)

Condição

Contorno

Fissuração

capa

Fissuração

vigas

%absorvida

nas vigas

secundarias

1 3,30x3,63 3,0 11,0 Indeslocável Não Não 24

2 3,30x3,63 3,0 11,0 Indeslocável Sim Não 16

3 3,30x7,26 3,0 11,0 Indeslocável Não Não 11

4 3,30x7,26 3,0 11,0 Indeslocável Sim Não 8

5 3,30x3,63 3,0 11,0 Viga 12x40 Não Não 27

6 3,30x3,63 3,0 16,0 Viga 12x40 Não Não 16

7 3,30x3,63 3,0 16,0 Viga 12x40 Sim sim 20

Chegando-se às seguintes conclusões:

• A trajetória das cargas é influenciada significativamente pela geometria da laje.

Quanto mais próxima da forma quadrada, maior a parcela de forças absorvida

pela viga paralela aos trilhos. Quando a relação entre as dimensões dos lados do

painel passa de 1 para 2, independente da fissuração, a parcela da carga nas

vigas paralelas às nervuras cai aproximadamente 50%.

• A espessura da capa influi na distribuição das cargas, quanto maior a espessura

em relação à espessura da laje maior o efeito.

• A fissuração do concreto, provoca uma diminuição na parcela do carregamento

que é absorvida pelas vigas paralelas em relação aos pavimentos não fissurados,

chegando em alguns casos a uma diminuição de aproximadamente 70%.

• O efeito da deslocabilidade das vigas de apoio tem influência pequena, mas não

desprezível, a parcela do carregamento total que vai para as vigas paralelas às

nervuras pré-moldadas é maior quando há a deformação das vigas (as maiores

diferenças notadas estão em torno de 10%).

Com isso percebe-se que a consideração da laje pré-moldada como um

conjunto de vigas isoladas pode levar a resultados contra a segurança no que se refere à

distribuição do carregamento na laje para as vigas de contorno e embora algumas

situações ainda mereçam um estudo mais detalhado recomenda-se que em torno de 25%

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

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da carga do pavimento seja transmitida a essas vigas, mantendo-se, por segurança, o

total da carga nas outras vigas.

3.7 Programas existentes

Dentre os programas existentes para o dimensionamento de lajes pré-

fabricadas que foi possível ter acesso cita-se os seguintes:

• Software de cálculo de lajes treliçadas – Gerdau;

• Treliças Belgo versão 1.0 – Belgo Mineira;

• Lajes Nervuradas CypeCAD – Multiplus;

• Lajes Treliçadas – TQS.

Os dois primeiros têm telas de entrada de dados bem amigáveis, próprias

para se fazer estudos de diversas situações, sendo muito fácil variar as entradas de

dados. Ambos usam como modelo de cálculo o de viga independente, permitem o uso

da expressão de Branson na questão da continuidade. Em todos os casos detalha a

armadura longitudinal de flexão.

O sistema CYPECAD embora não tenha um módulo específico para laje

pré-fabricada com as características das lajes brasileiras, permite através de lajes

nervuradas usando o módulo de viga independente o cálculo destes elementos. O

manual de cálculo é muito resumido indicando apenas que o projetista pode ou não

considerar a continuidade, bastando alinhar ou não as nervuras. Como resultado final

apresenta apenas o diagrama de momento das nervuras sem detalhar a armadura, como

curiosidade o programa gera a região maciça de concreto necessária quando o momento

negativo no apoio não pode ser resistido apenas pela nervura em “T”, mas essa região só

pode ser vista na tela do computador, não sendo apresentada nos desenhos de fôrma

gerados.

O programa TQS com módulo de lajes treliçadas, entre os analisados,

parece ser o mais completo do mercado. Usa o processo de grelha equivalente

Capitulo 3 - Modelos de calculo de pavimentos de lajes unidirecionais pré-fabricadas.

____________________________________________________________________________________

considerando inclusive as vigas de apoio como deformáveis. Apresenta a possibilidade

de verificar a flecha considerando a fissuração do concreto e possui um manual de 128

páginas bem detalhado para o usuário.

As versões consultadas dos programas ainda estavam de acordo com a

NBR 6118 (1980), mas há confirmações que todos estão sendo atualizados.

O uso e o estudo mais minucioso de todos estes programas fará parte de

outro projeto de mestrado que se encontra em desenvolvimento no programa de pós-

graduação em Construção Civil da UFSCar.

DIMENSIONAMENTO EM RELAÇÃO

AO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE

FLEXÃO E DE CISALHAMENTO

4.1 Introdução

Segundo a NBR 6118 (2003) as verificações dos estados limites últimos

e de serviço devem ser atendidas para todos os elementos estruturais. Para lajes

nervuradas pré-moldadas são, em geral, determinantes no dimensionamento: o Estado

Limite Último de Capacidade Resistente das seções sob flexão e cisalhamento cujos

procedimentos são mostrados neste capítulo e o Estado Limite de Utilização para

Deformação Excessiva mostrado no capítulo seguinte.

4.2 Procedimento de cálculo considerando a verificação dos estados limites

O Estado Limite Último (ELU) é o estado limite relacionado ao colapso,

ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da

estrutura. Enquanto que o estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF) é o estado

em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal.

A verificação de colapso na flexão nas lajes nervuradas pré-fabricadas é feita de acordo

com as hipóteses básicas da flexão contidas na Norma NBR 6118 (2003). Considera-se,

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

neste caso, que a seção transversal tenha a forma de um “T”. Primeiramente é

necessário o cálculo da largura b

(largura colaborante) da capa de concreto que

contribui para resistir aos esforços aplicados (figura 4.1). Este valor pode ser obtido

segundo a equação 4.1







⋅+

≤

10,0

Eq. 4.1

onde







⋅

≤

10,0

5,0

A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo

considerado, como se apresenta a seguir:

- viga simplesmente apoiada: a = 1,00 l ;

- tramo com momento em uma só extremidade: a = 0,75 l ;

- tramo com momentos nas duas extremidades: a = 0,60 l ;

- tramo em balanço: a = 2,00

l .

FIGURA 4.1- Esquema para o cálculo da largura colaborante

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

4.3 Dimensionamento no estado limite último de flexão simples

Considerando atuando na seção transversal de um elemento de concreto

armado um momento fletor (M) crescente que varia de zero até um valor que leve o

elemento ao colapso, nota-se níveis distintos de deformação denominados Estádios

(figura 4.2), que determinam o comportamento da seção até a sua ruína.

Pode-se conceituar cada um destes estádios como sendo:

Estádio I - também chamado de estado elástico, onde sob a ação de um

momento fletor M

de pequena intensidade, a tensão de tração no concreto não

ultrapassa sua resistência característica à tração (f

), neste Estádio temos:

• o diagrama linear de tensão normal ao longo da altura da seção;

• as tensões nas fibras são proporcionais às deformações, correspondendo ao

trecho linear do diagrama tensão-deformação do concreto

• ainda não aparecem fissuras visíveis a olho nú.

ESTÁDIO I

ESTÁDIO II

ESTÁDIO III

Deformações

Tensões Tensões Tensões

RS1 RS2 RSu

PPεuε2ε1 σ1 σ2 σu

QQ Q

S AS AS

MM M

FIGURA 4.2 – Comportamento da seção transversal nos três Estádios de uma

viga de concreto armado na flexão normal simples [MONTOYA, 1978]

Estádio II −com o aumento do valor do momento fletor para M

, as

tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores

superiores ao da resistência característica do concreto à tração (f

• M

é o momento de fissuração da seção transversal, ou seja, o momento

acima do qual surge a primeira fissura de tração à flexão.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

• considera-se que apenas o aço passa a resistir aos esforços de tração;

• admite-se que a tensão de compressão no concreto continue linear

embora alguns autores a considere com variação parabólica como

mostrada no desenho ;

• as fissuras de tração na flexão no concreto são visíveis.

Estádio III − com o aumento do valor do momento fletor até a um valor

próximo ao de ruína (M

) ocorre:

• o inicio do escoamento da fibra mais comprimida do concreto, atingindo

a deformação específica de 0,35% (3,5‰);

• o diagrama de tensões tende a ficar vertical (uniforme) para deformações

superiores a 2‰; com quase todas as fibras trabalhando com sua tensão

máxima.

• a peça encontra-se bastante fissurada, com a fissuração quase atingindo

quase a linha neutra;

• supõe-se que a distribuição de tensões no concreto ocorra segundo um

diagrama parábola-retângulo. A norma admite, para efeito de cálculo,

que o diagrama parábola-retângulo possa ser substituído por um

retangular com a distância y, da linha neutra a borda mais comprimida,

igual a 0,8 da real x (anexo I)

O dimensionamento das estruturas de concreto armado é feito,

usualmente, no estado limite último (estádio III), pois as estruturas devem resistir, de

forma econômica, aos esforços sem chegar ao colapso, as situações de serviço (Estádios

I e II) são importantes, porém pode-se dizer que muitas vezes o próprio cálculo no

estado limite último e o bom detalhamento da armadura conduz às verificações destas,

que serão feitas quando necessário. Cabe ressaltar que no caso de lajes nervuradas com

vigotas pré-moldadas em muitas situações o estado limite de deformação excessiva

passa a ser determinante no cálculo.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

4.3.1 Cálculo do valor da armadura

A quantidade de armadura longitudinal, para seções transversais

retangulares, conhecidos a resistência do concreto (f

), largura da seção (b

), altura útil

(d) e tipo de aço (f

e ε

) é determinada, a partir do equilíbrio das forças atuantes na

seção de acordo com os domínios (figura 4.3) estabelecidos pela NBR6118:2003

resultando em fórmulas e tabela como as encontradas em CARVALHO e

FIGUEIREDO FILHO (2001) que são apresentadas a seguir (Equações 4.2 e 4.3) e

tabela I1 do anexo I:

fdKZ

Eq. 4.2

Onde:

- momento fletor solicitante de cálculo na seção, no dimensionamento é obtido, em

geral, multiplicando-se o momento em serviço pelo coeficiente de ponderação γ

d- altura útil: distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada

até à fibra mais comprimida de concreto.

Com o valor de KZ (coeficiente adimensional) tirado da tabela 3.2 CARVALHO e

FIGUEIREDO FILHO (2001, pág. 113 (anexo I)) em função do coeficiente:

KMD=

fdb

Eq. 4.3

Onde:

b- largura da seção transversal de vigas de seção retangular ou da nervura (parte mais

estreita da seção transversal), também chamada de alma, nas vigas de seção T.

A tabela I1 em questão fornece o coeficiente KX (braço de alavanca) que

permite calcular a posição da linha neutra x (KX=x/d) e assim determinar o domínio de

deformação em que a peça está trabalhando.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

FIGURA 4.3 Domínios de deformação no estado limite último em uma seção

transversal segundo a NBR:2003

FIGURA 4.4 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo

resistente a) LN na mesa b) LN na alma

Quando atuar um momento fletor positivo (tração na borda inferior) em

seções transversais da laje nervurada há duas possibilidades em relação à linha neutra.

Em uma situação, se a distância da linha neutra x for menor que a espessura da mesa h

(ver figura 4.4 b) a região comprimida de concreto é um retângulo de lado b

e altura x,

podendo ser utilizado o procedimento anterior, usando-se no lugar de b na Eq. 4.3 o

valor de b

. Quando ao contrário x > h

usar-se-á o cálculo de viga Te como mostrado

em CARVALHO e FIGUEIREDO (2001,pág. 117), onde determina-se a parcela do

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

momento resistido pelas abas (M

) e pela alma da seção (M

-M

) ficando o valor da

armadura total necessária dado pela Eq. 4.4. Determina-se o valor de KZ a partir do

valor de KMD dado pela expressão 4.3 substituindo-se b por b

e no lugar do momento

o valor de M

-M

fdKZ

−













−

Eq. 4.4

Com

= (b

-b

).h













−

.0,85.f

Eq. 4.5

4.3.2 Momentos resistentes pela seção da nervura

Como já visto no capítulo 3 item 3.5, por causa da geometria de sua

seção a laje nervurada é mais eficiente para resistir aos momentos fletores positivos

(mesa comprimida) do que os negativos (alma comprimida), devido à diferença na área

da região comprimida

4.3.2.1 Momento resistente positivo pela seção da nervura

Para a determinação do momento resistente da seção, conhecida a largura

da capa de concreto que contribui para resistir aos esforços aplicados e a posição da

linha neutra x tem-se

para x

≤

. (seção como retangular Eq. 4.6)

(

)

(

)

xdxbfM

fcdd

⋅

−

⋅

⋅⋅⋅

⋅

= 4,08,085,0

Eq. 4.6

para x

≥

(seção em Te Eq. 4.7).

()

()( )

x.4,0d.x.8,0.b.f.85,0

dhbb.f.85,0M

wcd

fwfcdd

−+













−⋅−=

Eq. 4.7

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

O momento máximo resistido se dá entre os domínios 3 e 4 (x=x

) porque

neste caso ocorre o máximo aproveitamento dos materiais que compõe o concreto

armado, ou seja, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente com o escoamento do

aço, que é a situação ideal, pois os dois materiais atingem o máximo de sua capacidade

resistiva e com grande deformação na armadura. Portanto o valor da distância da linha

neutra à borda mais comprimida fica dada pela Eq. 4.8:

x = x

= d.

5,3













Eq. 4.8

Com ε

– deformação específica de escoamento do aço

Assim para calcular o momento máximo resistente determina-se o valor

da linha x para o limite dos domínios 3 e 4 x

(dado em 4.8) e conforme a situação

(x<h

ou x>h

) emprega-se 4.6 ou 4.7.

4.3.2.2 Momento fletor resistente negativo na seção nervurada

Para o cálculo do máximo momento fletor negativo resistente na seção

considera-se a área da seção abaixo da linha neutra, como indicado na figura 4.5

FIGURA 4.5 Seção transversal para cálculo do momento fletor negativo

resistente: a)seção real b)seção de cálculo.

O valor do momento resistido acaba sendo o mesmo que o da expressão

4.6 trocando-se o valor de

por b

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

()

(

)

xdxbfM

wcdd

⋅

−

⋅

⋅⋅⋅

⋅

= 4,08,085,0

Eq. 4.9

O máximo momento será obtido usando para o valor de x o obtido na equação

4.8 , ou seja, x=x

considerando-se que d-x>h

Lembrar que em todas as situações aqui discutidas considerou-se que a altura

útil d da seção é maior que o valor mínimo necessário para que a peça trabalhe ou no

domínio 2 ou 3 (no máximo no limite do 4). Tem-se sempre o caso de armadura simples

e não dupla, mesmo porque a Norma Brasileira restringe o uso de armadura comprimida

em nervuras com espessura menor que 8 cm que podem ocorrer em algumas situações.

4.3.3 Armadura mínima de flexão em lajes pré-fabricadas

A armadura mínima serve para melhorar o desempenho e dutilidade à flexão,

assim como controlar a fissuração. No caso de lajes armadas em uma só direção, o

estudado aqui, de acordo com o item 19.3.3.2 da NBR6118:2003 tanto para armaduras

negativas quanto positivas o valor da taxa mínima deve estar de acordo com os valores

míninos indicados para vigas que podem ser resumidos através da tabela 4.1

O fato da armadura da treliça eletrossoldada empregada ser de CA60 e armadura

de reforço usualmente composta de barras de CA50 faz com que tenha que escolher um

tipo de aço e adotar um valor de taxa mínima. Por observação da tabela o ideal é usar-

se pelo menos um valor de taxa mínima de 0,15%.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

Tabela 4.1 Taxas mínimas de armadura de flexão para viga.

Valores de ρ

min

s,min

) em porcentagem

para CA-50

Resistência característica do concreto (f

) em

MPa

Forma

da seção

min

20 25 30 35 40 45 50

Retangular

0,035

0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T (mesa

comprimida)

0,024

0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (mesa tracionada)

0,031

0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255

Os valores de taxa mínima foram feitos para CA50, γ

=1,4, γ

=1,15. Caso estes fatores

sejam diferentes os valores da taxa de armadura deverá ser refeito considerando-se

min

(abertura de fissura). Nas seções T, a área da seção a ser considerada deve ser

caracterizida pela alma acrescida da largura colaborante.

4.4 Dimensionamento em relação ao cisalhamento

Apresenta-se a seguir os principais conceitos relativos ao comportamento

resistente das vigas de concreto submetidas ao cisalhamento, que é um tema bastante

complexo, devido às diversas variáveis envolvidas no fenômeno, por isso, as

formulações normalmente ainda são baseadas em expressões empíricas ou semi-

empíricas, mesmo com os contínuos esforços desenvolvidos para associar um modelo

físico consistente ao fenômeno.

A utilização dos modelos de treliça é a base dos principais códigos e

normas técnicas para o dimensionamento de vigas com armadura transversal, dentre

eles, a NBR-6118(2003), o ACI-318(1995) e o CEB (1990). Recentemente também têm

sido utilizados modelos mais refinados, aplicando-se técnicas de elementos finitos com

as relações constitutivas dos materiais e dos mecanismos resistentes, considerando-se a

fissuração do concreto. Outros modelos também podem ser citados, incluindo aqueles

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

baseados em conceitos da Mecânica da Fratura, que são especialmente úteis no caso das

vigas sem armadura transversal, onde a ruptura por cisalhamento é tipicamente frágil.

As principais referencias bibliográficas sobre o assunto datam do inicio

deste século, a partir de 1908, e todas se baseiam nos trabalhos de MÖRSCH (reditado

em 1948),. Acreditava-se que a fissura de cisalhamento surgia quando as tensões

tangenciais superassem a resistência a tração simples do concreto. Percebeu-se que isso

era uma simplificação grosseira e que, na verdade, parte da força transversal seria

resistida pela inclinação da tensão principal de compressão no banzo comprimido e pelo

concreto situado entre as fissuras de flexão, que poderia fletir e induzir o aparecimento

de forças de pino na armadura, que também contribuiriam na resistência à força

cortante.

Segundo REGAN apud FURLAN JUNIOR (1995), de 1915 a 1950,

pouco se estudou sobre o cisalhamento. Quando o assunto foi retomado, surgiram varias

teorias e fórmulas que consideravam basicamente os mesmos dados empíricos. Muitos

modelos se originaram a partir de observações experimentais. Neste caso muitas vezes

os cuidados na execução dos modelos podem ser mais importantes do que o tratamento

teórico.

Os trabalhos sobre o cisalhamento se concentram basicamente na

determinação da força cortante que provoca o aparecimento da fissura diagonal (V

) e

da força cortante última (V

). O interesse na determinação do inicio da fissuração

inclinada está relacionado com a resistência de vigas sem estribos (já que nestas peças,

normalmente o valor de V

é associado à ruptura) e com o comportamento em serviço

das vigas com estribos.

4.4.1 Considerações sobre os mecanismos resistentes

Nos elementos de concreto armado, o dimensionamento normalmente

não se baseia nas tensões principais de tração e compressão, mas sim em tensões de

cisalhamento. Na região submetida a momento fletor e força cortante, o estado de

tensões principais de tração e compressão é inclinado, pois a força cortante produz

tensões de cisalhamento que alteram os seus valores. As tensões principais são

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

decompostas em tensões de cisalhamento e em componentes normais nas direções x e y,

esta última desprezível em seções distantes da região de introdução das cargas. Como o

concreto não tem resistência à tração alta surgem fissuras e pode ocorrer a situação

mostrada na figura 4.6.

FIGURA 4.6 Comportamento de uma viga com fissuração de flexão e cisalhamento

(adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2001]).

Com a fissuração generalizada e a peça chegando próxima ao estado

limite último, considerando a armadura longitudinal e transversal como concentradas, o

comportamento da viga pode ser associado a de uma treliça como indicada

esquematicamente na figura 4.7 (situação simplificada).

Com o aumento da fissuração, as limitações das tensões de compressão

no concreto, principalmente das bielas diagonais e um arranjo conveniente das

armaduras transversal e longitudinal deve garantir a segurança da peça, impedindo que

os componentes da treliça falhem sob as cargas de projeto. A limitação da tensão

convencional (ou de referencia) de cisalhamento procura evitar que a ruptura por

esmagamento da biela ocorra antes do escoamento da armadura transversal.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

FIGURA 4.7 Esquema da treliça idealizada por Mörsch para situação a)com

estribos, b)armadura dobrada. Biela de concreto inclinada de 45

(modelo I)

(adptado de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2001]).

A resistência ao cisalhamento é influenciada por vários parâmetros: o

carregamento (tipo e posição da carga), a armadura transversal, a forma da seção

transversal, a força normal e outros que interagem com os vários mecanismos

resistentes (resistência do concreto, altura da peça, granulometria).

A mobilização dos mecanismos é influenciada pelo tipo de carregamento.

Para cargas concentradas próximas dos apoios, é possível a transferência direta (efeito

de arco) e a seção crítica normalmente se localiza a uma distância igual a 2,5 – 3,0 d dos

apoios. À medida que a distância do ponto de aplicação da carga até o apoio aumenta,

este mecanismo de transferência direta se torna menos relevante, neste caso, a

resistência depende mais da ação de pino, do atrito nas fissuras e da resistência à tração

do concreto. Para cargas distribuídas o fenômeno é semelhante, mas sempre haverá uma

parcela da carga que pode ser transferida diretamente ao apoio e por isso a resistência ao

esforço cortante é maior.

A taxa de armadura longitudinal define a rigidez do banzo tracionado,

que por sua vez influi no desenvolvimento das fissuras de cisalhamento , também influi

na ação de pino e no mecanismo de arqueamento dos esforços internos.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

Considerando o Estado limite último para as solicitações tangenciais

verifica-se que a ruptura por cisalhamento via de regra, em lajes com nervuras, pode

ocorrer antes da flexão quando ocorrem forças concentradas ou forças distribuídas em

linha, como, por exemplo, em paredes. Para resistir a essa solicitação as lajes devem ser

dimensionadas considerando-se como seção resistente das nervuras a parte pré-moldada

somada à parte moldada no local, para isso deve ser garantida a transferência de

cisalhamento pela interface. Em casos usuais a transferência de cisalhamento pela

interface entre a vigota e a capa é feita sem necessitar de armadura de costura. De

qualquer forma para as vigotas sem armadura em treliça esta condição deve ser

verificada, já que no caso da armadura em treliça há, em geral, quantidade de armadura

suficiente para fazer a transferência de esforço.

4.4.2 Força cortante em lajes

A NBR 6118 (2003) no item 19.4 fornece a verificação da força cortante

em lajes com b

≥ 5d para situações em que não e usa armadura transversal e quando

se emprega a mesma. No último caso a armadura treliçada seria empregada para tal,

havendo uma discussão, em virtude dos resultados de CAIXETA (1998) da necessidade

de ancoragem do banzo superior da mesma.

4.4.2.1 Lajes sem armadura para força cortante

As lajes maciças ou nervuradas, podem prescindir de armadura

transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a

força cortante de cálculo obedecer à expressão:

≤ V

Rd1

Eq. 4.10

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

Rd1

= [τ

. k. (1,2 + 40 ρ

) + 0,15 σ

] b

Eq. 4.11

onde:

= 0,25 f

ctd

= f

ctk,inf

/ γ

com γ

=1,4 tem-se f

ctd

= 0,15.

3/2

, não maior que  0,02

= N

/ A

(tensão de compressão devida, em geral, à protensão).

k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

- para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1;

- para os demais casos: k = .1,6 - d., não menor que 1,com d em metros;

onde:

ctd

é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento;

é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d +

,nec

além da

seção considerada;

com

,nec

mostrado na figura 4.8;

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

FIGURA 4.8 Comprimento de ancoragem necessário (NBR 6118/2003)

é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;

é a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão

positiva).

Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a

resistência de cálculo V

Rd2

(resistência da biela de concreto) é dada por:

Rd2

= 0,5α

. f

. b

. 0,9. d

Eq. 4.12

onde:

= (0,7 – f

/200), não maior que 0,5.

Em geral esta segunda situação já é atendida quando a da equação 4.11

está verificada pois a anterior indica que só o concreto é capaz de resistir ao esforço de

cisalhamento e portanto a biela de concreto também terá de resistir o esforço de

compressão nela atuante.

Para mostrar tal situação imagina-se uma laje pré-fabricada com os

seguintes dados:

Altura total: h= 12 cm

Altura útil: d=10 cm

Largura da alma: b

Concreto: f

=20 MPa

Taxa de armadura mínima ρ=ρ

min

=0,15%

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

O valor de V

rd1

será dado por:

com

0,15, σ

= 0

= 0,25 f

ctd

= ⋅25,0

3/2

2015,0 ⋅ =0,27 MPa

k = .1,6 – d= 1,6 – 0,10=1,5

Rd1

= [τ

. k. (1,2 + 40 ρ

) + 0,15 σ

] b

= 0,27. 1,5 . (1,2+40.0,0015) b

d=0,51 b

A resistência de cálculo

Rd2

(resistência da biela de concreto) é dada

por:

= (0,7 – f

/200)= (0,7-20/200)=0,62 mas como α

, não maior que 0,5 α

=0,5

onde:

Rd2

= 0,5α

. f

. b

. 0,9. d = ⋅⋅⋅⋅ 9,0

4,1

5,05,0 b

d= 3,21 b

Rd2

= 3,21 b

d > V

Rd1

= 0,51 b

4.4.2.2 Lajes com armadura para força cortante

Aplicam-se os critérios da Verificação do estado limite último (item

17.4.2 da NBR 6118(2003).

A resistência dos estribos pode ser considerada com os seguintes valores

máximos, sendo permitida interpolação linear:

- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm;

- 435 MPa (

ywd

), para lajes com espessura maior que 35 cm.

4.4.2.2.1 Cálculo da resistência

A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção

transversal, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as

seguintes condições:

≤ V

Rd2

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

100

≤ V

Rd3

= V

+ V

Eq. 4.13

onde:

é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;

Rd2

é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas

de concreto, de acordo com o processo indicado nos modelos de cálculo I e II ;

Rd3

= V

+ V

, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração

diagonal, onde

é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos

complementares ao de treliça e

a parcela resistida pela armadura transversal, de

acordo com o processo indicado nos modelos de cálculo I e II.

Na região dos apoios, os cálculos podem considerar as forças cortantes

agentes nas respectivas faces.

4.4.2.2.2 Modelo de cálculo I

O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de θ = 45° em

relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela

complementar

Vc tenha valor constante, independente de V

Sd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto (mesma expressão

que a equação 4.12):

Rd2

= 0,27. α

v2.

onde:

= (1 - f

/ 250)

b) cálculo da armadura transversal:

Rd3

= V

com

= (A

/ s) 0,9 d f

ywd

(sen α + cos α)

Eq. 4.14

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

101

onde:

= 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da

seção;

= V

na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

= V

(1+ M

/ M

Sd,máx

) ≤ 2V

na flexo-compressão

= 0,6 f

ctd

= = 0,15.

3/2

onde:

é a menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d; entretanto, no

caso de elementos estruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com

diâmetro φ >

/8, a largura resistente a considerar deve ser (b

- 1/2Σφ), na posição da

alma em que essa diferença seja mais desfavorável, à exceção do nível que define o

banzo tracionado da viga;

d é a altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade

da armadura de tração; entretanto no caso de elementos estruturais protendidos com

cabos distribuídos ao longo da altura,

d não precisa ser tomado com valor menor que

0,8

h, desde que exista armadura junto à face tracionada.

s é o espaçamento entre elementos da armadura transversal A

, medido segundo o eixo

longitudinal do elemento estrutural;

ywd

é a tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor f

no caso de estribos

e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos,

valores superiores a 435 MPa; entretanto, no caso de armaduras transversais ativas, o

acréscimo de tensão devida à força cortante não pode ultrapassar a diferença entre

pyd

a tensão de protensão, nem ser superior a 435 MPa;

α é o ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do

elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°;

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

102

é o valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da

seção (tracionada por

d,max

), provocada pelas forças normais de diversas origens

concomitantes com

, sendo essa tensão calculada com valores de γ

e γ

iguais a 1,0 e

0,9 respectivamente; os momentos correspondentes a essas forças normais não devem

ser considerados no cálculo dessa tensão pois são considerados em

; devem ser

considerados apenas os momentos isostáticos de protensão;

Sd,max

é o momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser

tomado como o de maior valor no semitramo considerado (para esse cálculo não se

consideram os momentos isostáticos de protensão, apenas os hiperestáticos);

c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado:

Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de

esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela

fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de

força no banzo tracionado, dada pela expressão:

()













−+

−

αα

cmáxSd

máxSd

cotcot1.

Eq. 4.15

Onde:

a ≥ 0,5d, no caso geral;

a ≥ 0,2d, para estribos inclinados a 45°.

Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem

do diagrama de momentos fletores.

A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida

simplesmente aumentando a força de tração, em cada seção, pela expressão:

()

.cotcot.

αθ

ggV

corSd

−+=

Eq. 4.16

Onde θ é o ângulo da biela de concreto.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

103

Todos estes valores seriam empregados para o detalhamento da armadura

longitudinal ao longo da nervura, sendo comum porem, pos questões práticas,

prolongar-se toda a armadura longitudinal de uma nervura de uma extremidade a outra

da nervura.

4.4.2.2.3 Modelo de cálculo II

O modelo II admite diagonais de compressão inclinadas de θ em relação

ao eixo longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30° e 45°.

Admite ainda que a parcela complementar V

sofra redução com o aumento de V

a) verificação da compressão diagonal do concreto:

Rd2

= 0,54 α

d sen2 θ (cotg α + cotg θ)

Eq. 4.17

com: α

= (1- f

/250) e f

, em MPa

b) cálculo da armadura transversal:

Rd3

= V

onde:

= (A

/ s) 0,9 d f

ywd

(cotg α + cotg θ) sen α

Eq. 4.18

= 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da

seção;

= V

, na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

= V

(1+ M

/ M

Sd,máx

) < 2V

na flexo-compressão, com:

= V

quando V

≤ V

= 0 quando V

= V

Rd2

, interpolando-se linearmente para valores

intermediários.

São mantidas a notação e as limitações já definidas no Modelo de

Cálculo I

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

104

c) deslocamento do diagrama de momentos fletores:

São mantidas as condições estabelecidas no Modelo Cálculo I, item c), o

deslocamento do diagrama de momentos fletores, aplicando o processo descrito nessa

seção, deve ser:

()

ggda

cotcot..5,0 −=

Eq. 4.19

onde:

a ≥ 0,5d, no caso geral;

≥ 0,2d, para estribos inclinados a 45°.

Permanece válida para o modelo II a alternativa dada no Modelo I, item

c).

4.4.3 Força Cortante em lajes pré-fabricadas unidirecionais segundo a Norma

Espanhola

Uma norma bastante completa de lajes pré-fabricadas unidirecionais é a Norma

Espanhola

EF96 [1996], cujas considerações de esforço cortante são citadas neste item

resumidamente.

O Estado Limite Último para solicitações tangenciais implica segundo a Norma

Espanhola EF-96 em:

Para compressão obliqua da nervura

≤ V

= 0,3 . f

. b

. d

Eq. 4.20

Para tração obliqua da nervura

• Sem armadura transversal

≤ V

= ξ . ζ .f

. b

. d

Eq. 4.21

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

105

• Com armadura transversal

≤ V

= (f

. b

. d + 0,9 . f

. A

. (sen + cosα) . d)

Eq. 4.22

Sendo:

=Largura mínima da nervura

d = Altura útil da nervura

fcd = Resistência de cálculo do concreto a compressão

ξ = 1,6 – d < 1 fator adimensional com d em metros

ζ = (1 +50 . ρ) > 2 fator adimensional em função da taxa de armadura

ρ =

410

d.b

E para a verificação da transferência de cisalhamento para as lajes pré-

moldadas é utilizada a seguinte limitação da força cortante, conforme também indicado

pela norma espanhola EF-96.

< β.u.d.f

Eq. 4.23

Em que:

β - coeficiente relativo à rugosidade da superfície de contato, com os valores de 1,2 para

superfície rugosa e de 0,6 para parede lisa;

u – perímetro, conforme indicado na

figura 4.9;

d – altura útil da seção composta;

- resistência de referência ao cisalhamento do concreto moldado no local, calculada

com: f

= 0,13 .

f (em MPa)

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

106

FIGURA 4.9– Perímetro (u) a ser empregado na verificação do

cisalhamento

4.5 Estudo experimental exploratório

Com o intuito de se analisar o comportamento de nervuras de lajes pré-

fabricadas no cisalhamento, o autor realizou em um projeto de pesquisa com o auxilio

da FAPESP (

FLORIO [2001]), ensaios com protótipos de vigotas de concreto armado.

Os objetivos eram verificar se haveria aderência entre o concreto da vigota e do

concreto moldado no local, como se daria a ruptura e finalmente se as expressões da

Norma Brasileira e Espanhola conduziam a cortantes seguros.

FIGURA 4.10 – Esquema estrutural da nervura e do carregamento

Esses experimentos, com o esquema estrutural indicado na figura 4.10 e

feitos conforme as fotografias 4.1 e 4.2, destinavam-se verificar a aderência entre as

vigotas de concreto pré-moldado do tipo trilho (com aderência mais crítica em relação

às do tipo treliça) e a capa de concreto moldada no local, quando submetidas a uma

carga cortante próxima ao apoio, levando a nervura à ruptura por cisalhamento. São

apresentados a seguir resumidamente como foram feitos os ensaios e os resultados dos

cálculos teóricos e os valores experimentais dos protótipos.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

107

FOTOGRAFIA 4.1– Ensaio de

cisalhamento com pórtico, macaco,

dinamômetro e nervura isolada

FOTOGRAFIA 4.2 – Vista lateral do

ensaio.

As nervuras ensaiadas para verificação da resistência ao cisalhamento

foram submetidas a uma carga concentrada aplicada a 2,5 d (25 cm) do apoio de acordo

com o esquema da figura 4.10. Apenas em uma das vigotas a aplicação da carga se deu

a uma distância de 35 cm do apoio. As características dos elementos ensaiados estão na

tabela 4.2.

TABELA 4.2- Dados das nervuras ensaiadas

Vigota Armadura (mm) Altura (cm) Comprimento (m) Ensaio

3 φ 6,0

11,5 1,3 Cisalhamento

3 φ 6,0

11,5 1,3 Cisalhamento

3 φ 6,0

11,5 1,3 Cisalhamento

Aproveitando as nervuras dos primeiros ensaios foram realizados ensaios

de resistência ao cisalhamento na outra extremidade das nervuras. E essas vigotas foram

renomeadas como 1,2 e 3.

Os valores das cargas que provocaram o colapso por cisalhamento estão

indicados na tabela 4.3.

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

108

TABELA 4.3 - Protótipos e respectivas cargas de ruptura

Nervura Carga de ruptura (daN) Distancia da carga ao apoio (cm)

I Problemas no ensaio 35

J 1081,6 35

L 1251,0 25

1 1250,0 25

2 1187,8 25

3 1010,8 25

Média 1174,9

Os ensaios de cisalhamento mostraram que não houve separação entre a

superfície da vigota com o concreto moldado no local no caso de lajes pré-moldadas

confeccionadas a partir de vigotas do tipo trilho, lembrando que durante a execução dos

protótipos o único cuidado que se teve foi o de molhar a superfície das vigotas antes da

concretagem. O mesmo deve ocorrer no caso de lajes pré-moldadas confeccionadas a

partir de vigotas do tipo treliça que apresentam maior aderência entre o elemento pré-

moldado e a capa de concreto moldada no local.

FOTOGRAFIA 4.3 –fissura na lateral

da nervura após o colapso, trincas a

um ângulo próximo de 45

FOTOGRAFIA 4.4 - Face lateral da

nervura após o colapso, trincas a um

ângulo próximo de 45

Capitulo 4 - Dimensionamento em relação ao estado limite ultimo de flexão e de cisalhamento

_____________________________________________________________________________________

109

A ruptura se deu sempre pela tração diagonal em virtude da ausência de

armadura transversal e ao fato da carga estar a uma distância do apoio maior que 2.d. A

expressão de verificação do valor máximo da norma espanhola EF-96 chega a

resultados próximos do ensaio, considerando um coeficiente de segurança de 1,45. Na

norma brasileira NBR 6118 (2003)

a expressão a se empregar, em virtude da ausência

de armadura transversal, deve ser a correspondente a parcela do cortante resistida pelo

concreto usando o modelo I (fissuras a 45

) chegando-se neste caso a um coeficiente de

segurança médio de 1,57.

FOTOGRAFIA 4.5 –fissura na lateral

da nervura após o colapso, carga a 35

cm do apoio, inclinação de trincas é

menor que 45

FOTOGRAFIA 4.6 - fissura na lateral

da nervura após o colapso, concreto

junto ao apoio se soltou. Inclinação das

trincas menor que 45

FOTOGRAFIA 4.7 – Aparecimento da

fissura na face inferior da nervura

FOTOGRAFIA 4.8- Face inferior da

nervura, a fissura (ou trinca) ocorre

inclusive na mesa

VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE

DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA

5.1 Introdução

Para a verificação do estado limite de deformação excessiva pode-se

seguir o roteiro de CARVALHO at alli (2001) com algumas modificações pois é

baseado nos preceitos da NBR6118(1980), substituída pela NBR6118(2003).

Segundo esse roteiro, primeiramente é preciso considerar que uma seção

solicitada por momento fletor, pode estar atuando entre três situações limites, descritas

como Estádios I, II ou III, como visto no item 4.3. Pode-se dizer que as seções

trabalham nos Estádios I e II quando estão solicitadas pelas ações de serviço, e que o

Estádio III corresponde ao estado limite último (ações majoradas e resistências

minoradas).

Considera-se que uma seção esteja trabalhando no Estádio I se o

momento atuante for menor que o momento de fissuração. O momento de fissuração é

dado pela equação 5.1:

cct

Eq. 5.1

onde:

α =1,2 para seções T ou duplo T;

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

111

α = 1,5 para seções retangulares;

e onde:

α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a

resistência à tração direta;

é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;

é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

é a resistência à tração direta do concreto. Para determinação do momento de

fissuração deve ser usado o f

ctk,inf

no estado limite de formação de fissura e o f

ct,m

estado limite de deformação excessiva, ou seja f

= 0,21f

2/3

5.2 Cálculo das características geométrica (Estádios I e II)

A seguir é necessário determinar as características geométricas de seções

no estádio I, considerando-se que nas peças de concreto armado todo o detalhamento da

armadura é feito no sentido de se garantir a aderência das barras de aço com o concreto,

de modo que os dois materiais trabalhem solidariamente. Assim, o centro de rotação da

seção e a rigidez da mesma é afetada pelo posicionamento e quantidade da armadura,

sendo necessária a homogeneização da seção, que consiste em considerar no lugar da

área de aço existente A

, uma área de concreto equivalente. Nesta situação supõe-se que

há linearidade entre tensão e deformação valendo a Lei de Hooke pois as deformações

são pequenas, como as deformações específicas do aço e do concreto são iguais

(ε

= ε

), devido a aderência, tem-se a equação 5.2:

ssssss

EAAR ⋅ε⋅

σ⋅= ou

scss

EAR

⋅

ε⋅=

Eq. 5.2

sendo R

, A

e E

a força, a área da armadura e o módulo de deformação longitudinal do

aço respectivamente.

Para homogeneizar a seção, é preciso encontrar uma área de concreto

(área equivalente) que suporte uma força igual à da armadura, dada pela equação 5.3:

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

112

cceq,cs

EAR ⋅

⋅=

Eq. 5.3

onde E

é o módulo de deformação longitudinal do concreto, igualando as duas

expressões de R

é possível encontrar a relação entre a área de concreto e da

armadura(equação 5.4):

cceq,cscs

EAEA ⋅ε⋅=⋅ε⋅ →

eq,c

A ⋅=

⋅

Eq. 5.4

e chamando de α

a relação entre os módulos de deformação longitudinal do aço e do

concreto

()

=α , a área equivalente de concreto é dada pela equação 5.5:

eseq,c

⋅=

Eq. 5.5

Na determinação da Inércia a Norma NBR 6118 (2003) recomenda a

consideração das características das seções compostas somente por concreto, ou seja,

desconsiderando a presença da armadura (seção bruta). As expressões para uma seção

bruta em forma de “

T” (figura 5.1) estão na tabela 5.1.

FIGURA 5.1 - Seção transversal em forma de “T”a) bruta ou geométrica sem

armadura, b) com armaura.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

113

A partir da determinação da quantidade de armadura necessária pode-se

trabalhar com a seção composta por aço e concreto usando o procedimento de

homogeneização. Para uma seção “T” as expressões são as da tabela 5.2 que permitem a

determinação da Inércia da peça no Estádio I

TABELA 5.1 - Características geométricas de seções transversais em “T”, no

estádio I, sem considerar a presença da armadura

Expressão

Área (seção

geométrica)

()

hbhbbA

wfwfg

⋅

−

Centro de

gravidade

−⋅













+⋅()

Momento

de inércia à

flexão

gfwf

fwf

yhb

yh)bb(

h)bb(











−⋅⋅+













−⋅⋅−+

⋅

⋅−

TABELA 5.2 - Características geométricas de seções transversais em “T”, no

estádio I, com armadura longitudinal A

Expressão

Área (seção

homogeneizada)

(

)

(

)

−

⋅

−

eswfwfh

AhbhbbA

Centro de

gravidade

esw

⋅−+⋅+













⋅−

)1(

)(

Momento de

inércia à flexão

hfwf

fwf

yh)bb(

h)bb(













−⋅⋅−+

⋅

⋅−

()( )

dyA

yhb

heshw

−⋅−⋅+













−⋅⋅+

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

As fórmulas relacionadas nas tabelas 5.1 e 5.2 aplicam-se também para

as seções retangulares, bastando igualar os valores de b

e h

a zero.

Agora é necessário determinar as características geométricas de seções

no estádio II, pois, aumentando-se o valor do momento fletor atuante na seção, as

tensões de tração na maioria dos pontos abaixo da linha neutra (LN) terão valores

superiores ao da resistência característica do concreto à tração (f

) conduzindo ao

estádio II (estado de fissuração) onde supõe-se:

• os esforços de tração são resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da

linha neutra;

• há uma relação linear entre tensão e deformação específica no concreto para

todos os pontos da seção transversal comprimidos.

Como todo o concreto da região fissurada está sendo desprezado, já que

esta é uma situação limite do estádio II, deve-se nomeá-lo de Estádio II puro.

Compreendendo o

Estádio II a situação em que atua na seção um momento maior que o

momento de fissuração, até à situação em que começa a ocorrer o escoamento da seção,

e apresenta as seguintes características:

• a distribuição das tensões de compressão no concreto é triangular;

• concreto não trabalha à tração, sendo este esforço resistido apenas pela armadura

presente abaixo da linha neutra;

• não ocorre escoamento do aço nem do concreto.

Na figura 5.2 indica-se o que ocorre em uma seção do tipo “T” quando

atua um momento maior que o de fissuração.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

εσ

FIGURA 5.2 - Seção transversal em forma de “T” no estádio II puro

Para o cálculo do momento de inércia no estádio ΙΙ puro é necessário que

se conheça a posição x da linha neutra, obtida fazendo o momento estático da seção

homogeneizada igual a zero. O cálculo de x em casos de vigas com seção em forma de

“T” é obtido da equação do segundo grau: 0axaxa

=+⋅+⋅

cuja solução é dada pela equação 5.6.

aa4aa

⋅

⋅⋅−±−

Eq. 5.6

com os coeficientes a

, a

e a

iguais a:

2/ba

()()

sewff2

AA1bbha ⋅α+⋅−α+−⋅=

() ()

AdA1da −⋅−⋅α⋅−⋅−α⋅−=

sendo: d’ sendo a distância do centro de gravidade de A’

(armadura comprimida) até à

borda comprimida de concreto.

Para situações em que a viga tem seção transversal retangular e não

existe armadura negativa, as equações também são válidas, bastando fazer b

= b

, h

0 e A

’

= 0.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

É possível agora, com a equação 5.7, calcular o momento de inércia da

seção no estádio II puro (I

x,II0

), em relação à linha neutra, cuja posição x é determinada

em 5.6:

d)-x(A

⋅⋅α+

⋅

=Ι

ΙΙ

Eq. 5.7

5.3 Efeito teórico da fissuração na rigidez

Conhecendo o momento atuante, o momento de fissuração e as inércias

nos Estádios I e II, pode-se aplicar modelo simplificado de BRANSON (1968) para a

determinação de uma inércia media que considera o efeito da fissuração no

funcionamento à flexão de uma peça de concreto armado.

Este modelo

admite para todas as seções da peça de concreto uma única

inércia média, representando os trechos fissurados e não fissurados (figura 5.3).

Baseando-se para isso em um método que toma a variação da tensão ao longo da seção

transversal e ao longo do comprimento da peça de uma maneira simplificada e

utilizando expressões empíricas que fornecem valores médios do momento de inércia.

FIGURA 5.3 - Esquema de uma viga submetida à flexão com trechos

funcionando em vários Estádios

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

Ou seja, procura traduzir, de forma aproximada, no cálculo das flechas

imediatas o efeito da fissuração do concreto submetido à flexão. A partir dos valores da

inércia no Estádio I (seção sem fissuração) e no Estádio II (seção totalmente fissurada) e

com os valores do momento de fissuração e momento atuante na peça pode-se calcular a

Inércia Média de Branson. Dada pela equação 5.8.

I ⋅

























−+⋅













Eq. 5.8

onde:

−

Momento de inércia efetivo para uma seção ou para toda a peça, no caso de vigas

simplesmente apoiadas; momento de inércia médio entre a seção do apoio e a seção do meio

do vão, para o caso de vigas contínuas;

−

Momento de inércia da peça no estádio

Ι;

−

Momento de inércia da peça no estádio

ΙΙ;

−

Momento de fissuração do concreto;

−

Momento atuante na seção mais solicitada;

n −

índice de valor igual a 4, para situações em que a análise é feita em apenas uma seção da

peça, ou igual a 3, quando se faz a análise da peça ao longo de todo o seu comprimento, que é

a situação em questão.

Dessa forma as flechas imediatas podem ser calculadas pelas expressões

da resistência dos materiais usando para o valor da inércia da seção a inércia média de

Branson.

5.4 Estudo experimental do efeito da fissuração

Em seguida são relatados os ensaios à flexão de protótipos de lajes

unidirecionais pré-fabricados feitos pelo autor, CAIXETA (1998), PEIXOTO (2002) e

ROGGE (2002) onde se compara os valores numéricos obtidos com a expressão

proposta por Branson.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

118

São analisados alguns aspectos tais como: taxa de armadura, tipo de

vigota, processo de execução (adensamento e cura do concreto) e tipos de carregamento.

A motivação desse relato está no fato de Branson não ter analisado peças com as

características das estudadas pelos autores.

Este texto acabou originando o trabalho publicado por FLORIO et alli

(2003) com o título “Flecha em Lajes com Vigotas Pré-moldadas Considerando a

Fissuração e o uso da Expressão de Brasson”, apresentado na sessão plenária da “Tarde

do Pré-Moldado” no 45

Congresso do Instituto Brasileiro do Concreto que teve como

tema “Excelência em Concreto na Terra e no Mar” na cidade de Vitória, Espírito Santo.

Cumpre ressaltar que esse texto, assim como os gráficos e respectivos

cálculos executados foram feitos antes da publicação da NBR 6118 em sua versão 2003.

Assim os valores numéricos do momento de fissuração e módulo de deformabilidade do

concreto seguem as expressões encontradas em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO

(2001). Uma comparação entre esse tipo de cálculo e o da NBR 6118 (2003) pode ser

visto no exemplo numérico 2 do capítulo6.

5.4.1 Estudo experimental realizado por FLÓRIO

A partir de valores experimentais obtidos por FLÓRIO (2001) em

pesquisa de iniciação científica foi possível comparar flechas medidas

experimentalmente com teóricas obtidas com a expressão de Branson para protótipos

com vigotas de concreto.

Essas flechas foram medidas em nervuras de concreto armado isoladas

feita com vigotas do tipo trilho e simplesmente apoiadas (figura 5.4). Os deslocamentos

do ponto no meio dos vãos das nervuras foram medidos através de um defletômetro

mecânico (fotografia 5.1) e de um nível de precisão (Carl-Zeiss, modelo NI-007,

fotografia 5.2). O defletômetro foi colocado sob as nervuras, apoiado em um suporte

metálico e retirado na eminência do colapso da nervura. Os resultados apresentados

constituem uma média aritmética dos valores obtidos com as duas aparelhagens, embora

a diferença entre ambas fosse muito pequena.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

FOTOGRAFIA 5.1 - defletômetro

mecânico

FOTOGRAFIA 5.2 - nível de precisão

Defletômetro

Pórtico

Metálico

Vista Lateral

Barra

cilindrica

Barra

cilindrica

Macaco

Hidraulico

Anel

dinamométrico

Perfis

metálicos

Protótipo

Pórtico

Metálico

Espessura

da capa h

Altura h

Capa de concreto

Elemento de

enchimento

Vigota pré-moldada

tipo trilho

Seção Transversal

Detalhe

FIGURA 5.4 - Esquema do ensaio para análise da nervura, capa+vigota, com

vigota de concreto.

As cargas nos ensaios eram aplicadas por macaco hidráulico e a medição

do valor da carga aplicada era feita com auxílio de um anel dinamométrico (fotografia

5.3). Para possibilitar a aplicação de duas cargas concentradas com a utilização de um

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

único macaco hidráulico, foi empregado um perfil metálico longitudinal e mais dois de

apoio como pode ser visto no esquema da figura 5.4, permitido assim o

encaminhamento da carga para os dois pontos previstos para a aplicação da carga.

FOTOGRAFIA 5.3 Anel dinamométrico

A concretagem dos protótipos foi simultânea para evitar ao máximo as

variações das características do concreto. Os protótipos executados foram nomeados de

A até H e suas características gerais são apresentadas na tabela 5.3. Os valores de a e b

(ver Figura 5.5) para o vão de 3,0 m e 2,0 m são iguais a, respectivamente, a = 1,0 m ; b

= 1,0 m e a=0,5 e b= 1,0 m.

FIGURA 5.5 - Esquema estrutural

Os valores da resistência do concreto dos corpos de prova à compressão

) foram obtidos a partir do ensaio de compressão aplicado aos corpos de prova

cilíndricos retirados no ato da concretagem dos protótipos (fotografias 5.4 e 5.5). No

caso de protótipos que apresentavam mais de um corpo de prova, a resistência do

concreto à compressão foi considerada igual a média aritmética dos resultado obtidos.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

121

FOTOGRAFIA 5.4 - ensaio de

compressão para obtenção do f

FOTOGRAFIA 5.5 - corpo de prova após

ensaio de compressão.

TABELA 5.3- Características geométricas e mecânicas dos protótipos

Protótipo Armadura

(mm)

(cm

)

Altura

(cm)

Capa

(cm)

(cm

)

II,O

(cm

)

(kNm)

/ M

2φ 4,2

0,277 11,5 4,5 1932 231 0,0044 0,0143 0,30

2φ 6,0

0,565 11,5 4,5 1972 328 0,0078 0,0293 0,27

2φ 4,2

0,277 11,5 4,5 1934 235 0,0044 0,0143 0,307

3 φ 6,0

0,848 11,5 4,5 2032 462 0,0081 0,0437 0,185

2 φ 6,0

0,565 11,5 4,5 1972 328 0,0078 0,0293 0,27

3 φ 6,0

0,848 11,5 4,5 2032 462 0,0081 0,0437 0,185

3 φ 6,0

0,848 14 3,0 3721 623 0,0123 0,0547 0,225

3 φ 6,0

0,848 14 3,0 3721 623 0,0123 0,0470 0,025

*Valor teórico do momento de fissuração

**Sendo M

o momento último. Notar que o momento de fissuração variou entre 18,5% a 30,7% de

Os gráficos de 5.1 a 5.4

mostram o deslocamento do meio do vão em

função da variação do carregamento para diferentes tipos de nervuras. Para cada par de

nervuras com as mesmas características são apresentados cinco diferentes

deslocamentos dois deles experimentais, cada um obtido com a média entre os valores

medidos a partir de um Nível Topográfico e de um Defletômetro, os demais

deslocamentos são teóricos e calculados com diferentes considerações de Inércia

(Inércia média de Branson, Inércia no Estádio I e Inércia no Estádio II puro).

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

122

O gráfico 5.1 mostra os resultados dos ensaios dos elementos A e C,

elementos de pequena rigidez e pequena taxa de armadura que apresentaram

deformação superior à calculada com a utilização da I

(Inércia média de Branon) onde

se pode perceber que quanto maior a carga aplicada maior é a diferença entre a flecha

teórica e a flecha real, ou seja, a diferença entre a flecha real e a de Branson aumenta

quanto mais se aproxima do colapso da peça.

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervuras A e C

100

200

300

400

500

600

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0 28,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + pe so próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Nervura A

Nervura C

GRÁFICO 5.1 - Carga aplicada x flecha para as nervuras A e C(f

43 MPa),

armadura (A

): 2 φ 4,2 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h

) de 4,5 cm;

altura (h)11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

O gráfico 5.2 mostra os resultados dos ensaios dos elementos B e E,

elementos de pequena rigidez e taxa de armadura intermediária entre as armaduras dos

elementos A-C e D-F que apresentaram deformação inferior à deformação calculada

com a utilização da I

(Inércia média de Branson). Nestes gráficos percebe-se uma

aproximação entre as inclinações das curvas.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

123

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervuras B e E

100

200

300

400

500

600

700

800

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Nervura B

Nervura E

GRÁFICO 5.2 - Carga aplicada x flecha para as nervuras B e E (f

48 MPa),

armadura (A

): 2 φ 6,0 mm; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h

) de 4,5 cm;

altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

O gráfico 5.3 mostra os resultados dos ensaios dos elementos D e F,

elementos de pequena rigidez e taxa de armadura mais elevada em relação às anteriores,

esses elementos apresentaram deformações reais inferiores às calculadas com a

utilização da I

(Inércia média de Branson), esse comportamento se mantém até a peça

alcançar o colapso. Neste gráfico as inclinações entre os diversos cursos já são bastante

semelhantes.

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervuras D e F

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 22,0 24,0 26,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + pe so próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Nervura D

Nervura F

GRÁFICO 5.3 - Carga aplicada x flecha para as nervuras D e F (f

40 MPa,

armadura (A

): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 3,0 m; capa de concreto (h

) de 4,5 cm;

altura (h) 11,5 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

O gráfico 5.4 mostra o resultado do ensaio dos elementos G e H,

elementos de maior rigidez e taxa de armadura mais elevada em relação às anteriores,

que apresentaram deformações reais maiores que as deformações calculadas com a

utilização da I

(Inércia média de Branson).

Esse comportamento se mantém, porém a inclinação da curva que mostra

o comportamento real é praticamente a mesma da inclinação obtida em cálculos teóricos

(Branson), o que facilita o emprego de um coeficiente de ajuste para o momento de

fissuração, fazendo com que a expressão de Branson resulte em precisão melhor.

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervuras G e H

200

400

600

800

1000

1200

1400

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Nervura G

Nervura H

GRÁFICO 5.4- Carga aplicada x flecha para as nervuras G e H (f

40 MPa,

armadura (A

): 3 φ 6,0 mm; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

)de 3,0cm;

altura (h)14 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

Observando-se os resultados pode-se resumir o comportamento dos

protótipos da seguinte maneira, a expressão de Branson, para elementos de pequena

rigidez (nervuras de 11,5 cm de altura), apresentou resultados de flechas menores que os

resultados experimentais para nervuras com pequena taxa de armadura (nervuras A e

C), com o aumento da taxa de armadura (nervuras B e E) as flechas obtidas com a

expressão de Branson aproximaram-se das reais e passam a ser maiores quando se

aumenta ainda mais a taxa de armadura (nervuras D e F). Além disso, a inclinação da

curva carga x flecha obtida com a utilização da Inércia de Branson não acompanha a

inclinação da flecha real, o que em tese impossibilita a utilização de um coeficiente de

ajuste para a correta utilização da Expressão de Branson como, por exemplo, mudar o

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

valor de E

ou M

Para os elementos de maior rigidez (nervuras com mais de 14 cm de

altura) a expressão de Branson apresentou resultados menores que os experimentais,

contudo na maioria dos casos a inclinação da flecha obtida com a Inércia de Branson

praticamente é a mesma da inclinação da flecha experimental, o que permite a utilização

de um coeficiente de ajuste para a correta utilização da Expressão de Branson,

possivelmente a mudança do M

5.4.2 Estudo experimental realizado por CAIXETA (1998)

Na sua dissertação de mestrado Caixeta (1998) procurou reunir

informações que possibilitam caracterizar lajes pré-moldadas do tipo treliça, realizando

para tanto ensaios de flexão simples em dez modelos, sendo seis deles em seção “T“ que

são apresentados aqui.

Para a medida das flechas das vigas foi utilizado um defletômetro

(transdutor mecânico de deslocamento), posicionado na seção do meio do vão da viga e

em contato com a parte inferior da mesma.

Os gráficos de 5.5 a 5.7 foram feitos utilizando-se resultados

apresentadas por Caixeta, mostrando a curva da flecha experimental variando de acordo

com a carga aplicada e as curvas teóricas correspondentes considerando o momento de

inércia no Estádio I, no Estádio II e o valor médio de Branson.

O gráfico 5.5 apresenta os resultados dos ensaios das nervuras 121 e 122,

elementos de pequena rigidez (12 cm de altura) e armadura de 0,756 cm

, esses

elementos apresentaram deformações reais maiores que as deformações calculadas com

a utilização da I

, excetuando-se os carregamentos iniciais da Nervura 122.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervuras 121 e 122

100

200

300

400

500

600

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Nervura 121

Nervura 122

GRÁFICO 5.5 – Carga aplicada x flecha para as nervuras 121 e 122 (f

27,31

MPa, armadura (A

): 0,756 cm

; comprimento: 3,0 m; capa de concreto (h

) de

4,0cm; altura (h) 12 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

O gráfico 5.6 apresenta os resultados dos ensaios das nervuras 161 e 162,

elementos de rigidez intermediária (16 cm de altura) entre os casos estudados e

armadura de 0,899 cm

, esses elementos apresentaram deformação reais menores que as

deformações calculadas com a utilização da I

(Inércia média de Branson), para os

carregamentos iniciais e com o aumento da carga as deformações reais aproximam-se

das teóricas chegando a ultrapassa-las, mas logo a seguir voltam a ter praticamente a

mesma inclinação, comprovando o que já havia ocorrido nas nervuras de 14 cm de

altura.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervuras 161 e 162

100

200

300

400

500

600

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Nervura 161

Nervura 162

GRÁFICO 5.6 - Carga aplicada x flecha para as nervuras 161 e 162 (f

17,82

MPa), armadura (A

): 0,899 cm

; vão (L): 3,0 m; capa de concreto (h

) de 4,0cm;

altura (h) 16 cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

O gráfico 5.7 mostra o comportamento da nervura 201, elemento de

elevada rigidez (20 cm de altura) e devido a isso não se encontra fissurado, trabalhando

praticamente no Estádio I.

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervura 202

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Flecha Branson

Flecha Estádio I

Flecha Estádio II

Flecha Relógio

GRÁFICO 5.7 - Carga aplicada x flecha para a nervura 202 (f

18,8 MPa),

armadura (A

): 0,746 cm

; vão (L): 2,0 m; capa de concreto (h

) de 4,0cm; altura

(h) 20cm; ensaio: Flexão armadura positiva)

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

128

5.4.3 Outros fatores que influenciam na determinação da flecha

A flecha de um elemento depende além do valor da inércia das suas

seções transversais das características do concreto, ou seja, para uma mesma peça em

concreto armado com mesmo nível de intensidade de carregamento, o valor da flecha

depende da resistência do concreto que, em princípio, caracteriza o valor de E

(Módulo

de Elasticidade). Sabe-se que o valor de E

é influenciado por diversas variáveis,

portanto é errado imaginar que conhecido o valor de f

pode-se determinar com muito

boa precisão o valor de E

A obtenção de um concreto com as características desejadas, inclusive do

módulo de elasticidade (E

), depende da boa execução de todas as etapas da

concretagem que podem ser resumidas em: mistura dos materiais, transporte até a obra,

transporte dentro do canteiro, lançamento do concreto, adensamento e cura. A má

execução de uma dessas etapas pode ser responsável pela ocorrência de problemas no

concreto, visto que não há nenhuma possibilidade de compensar as deficiências de uma

das operações com cuidados especiais em outra.

O trabalho realizado por PEIXOTO (2002)

mostra os efeitos do

adensamento e da cura do concreto em lajes pré-moldadas, principalmente no que diz

respeito à rigidez a flexão (produto E.I) de lajes pré-moldadas.

5.4.3.1 Ensaio de flexão variando-se processos de adensamento

PEIXOTO (2002) ensaiou diversos protótipos compostos por uma

nervura com vigotas pré-moldadas do tipo treliça, que se distinguiram entre si apenas

pelo processo de compactação do concreto: com adensamento manual, vibração

mecânica por imersão e vibração superficial. A escolha dessas técnicas se deu por serem

esses os processos que mais se adaptam às condições desse tipo de laje. Os protótipos

similares aos usados por FLÓRIO (2001) foram ensaiados à flexão e para caracterização

do concreto foi feito ensaio de compressão em seus corpos de prova. Para isso foram

elaborados nove protótipos (e respectivos corpos de prova) que foram nomeados de

acordo com a tabela 5.4.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

TABELA 5.4 – nomenclatura dos protótipos do ensaio de adensamento

Protótipos não vibrados NV – 07, NV – 08, NV – 09

Protótipos vibrados por imersão VI – 01, VI – 02, VI – 03

Protótipos vibrados superficialmente VS – 04, VS – 05, VS - 06

Os resultados dos ensaios são representados graficamente pelas curvas

carga aplicada x deformação e alguns desses resultados são apresentados nos gráficos

5.8, 5.9 e 5.10.

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervura VI-1

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Nível

Relógio

Branson

Es t á d io I

Es t á d io II

GRÁFICO 5.8 - Carga aplicada x flecha para a nervura VI - 01 (armadura (A

0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com f

de 34,65

MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em nervura submetida

a vibração por imersão)

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervura VS-6

200

400

600

800

1000

1200

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Deslocamento (mm

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Nível

Relógio

Branson

Es t á di o I

Es t á di o II

GRÁFICO 5.9 - Carga aplicada x flecha para a nervura VS - 06 (armadura (A

0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com f

de 34,65

MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva submetida a vibração

superficial)

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

Com esses gráficos foi possível analisar as diferenças de deslocamentos

entre as técnicas de adensamento adotadas nos diversos protótipos. A expressão de

Branson forneceu resultados de flechas inferiores aos experimentais nos processos onde

a vibração foi menos eficiente (gráficos 5.9 e 5.10) e resultados de flechas superiores

aos experimentais nos processos onde a vibração foi mais eficiente (gráfico 5.8),

mostrando que os concretos, que tem o mesmo f

, por questão de execução tem E

diferentes, rigidez diferente e por isso valores experimentais e teóricos de deslocamento

distintos.

Gráfico da carga aplicada x flecha

Nervura NV-7

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Nív el

Relógio

Branson

Estádio I

Estádio II

GRÁFICO 5.10 - Carga aplicada x flecha para a nervura NV - 07 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com f

34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva submetida ao

adensamento manual)

O gráfico 5.11 apresenta as curvas de todos os protótipos utilizados no

ensaio de flexão onde, variou-se o processo de adensamento, mostrando a variação de

deformabilidade entre eles.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

131

Gráfico das cargas x flechas para nervuras com

diferentes tecnicas de adensamento

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 5 10 15 20 25 30

DESLOCAMENTO (mm)

CARGA (dan)

VI - 1

VI - 2

VI - 3

VS - 4

VS - 5

VS - 6

NV - 7

NV - 8

NV - 9

GRÁFICO 5.11 - Carga aplicada x flecha para as nervuras submetidas a

diferentes processos de adensamento

5.4.3.2 Ensaio de flexão variando-se o tipo de cura

Entende-se por cura o processo mediante o qual mantém-se um grau de

umidade satisfatório, evitando a evaporação da água da mistura, garantindo ainda uma

temperatura favorável ao concreto durante o processo de hidratação dos materiais

aglomerantes, de modo a se obter um concreto com as qualidades esperadas. A boa cura

ajuda a controlar um dos processos mais importantes que ocorrem nas estruturas de

concreto, a sua retração. Lajes têm características especiais por terem pequena espessura

e grande superfície e por isso se não forem tomadas medidas imediatas para controle da

perda d’água esta pode ser tão rápida que o concreto sofrerá fissuras por retração

plástica que poderão comprometer o desempenho da estrutura.

No ensaio realizado por PEIXOTO (2002)

o método de cura escolhido

foi a cura por recobrimento com espuma de 40 mm e posteriormente os protótipos

foram ensaiados à flexão, para isso foram elaborados seis protótipos que foram

nomeados de acordo com a tabela 5.5 e dois corpos de prova para cada grupo de

protótipos foram ensaiados à compressão para determinação do f

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

132

TABELA 5.5 – Nomenclatura dos protótipos do ensaio de cura

Protótipos não curados NC – 01, NC – 02, NC – 03

Protótipos curados por recobrimento CR – 04, CR – 05, CR – 06

Alguns dos resultados desses ensaios são representados graficamente

pelas curvas carga aplicada x deformação (gráficos 5.12 e 5.13).

Gráfico da carga aplicada x flecha

protótipo NC - 02

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0510

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio

(daN)

Nível

Relógio

Branson

Estádio I

Estádio II

GRÁFICO 5.12 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com f

34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em nervura não

submetida a cura por recobrimento)

Gráfico da carga aplicada x flecha

protótipo CR - 04

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 5 10 15 20 25

Deslocamento (mm)

Carga aplicada + peso próprio (daN)

Nível

Relógio

Branson

Estádio I

Estádio II

GRÁFICO 5.13 - Carga aplicada x flecha para a nervura NC - 02 (armadura

): 0,566 cm

; comprimento: 2,0 m; capa de concreto (h

) de 3,0 cm com f

34,65 MPa; altura (h): 14cm; ensaio: Flexão armadura positiva em nervura

submetida a cura por recobrimento)

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

133

Os resultados apresentam em termos de resistência valores muito

diferentes, mostrando a importância do uso da técnica de cura controlada para se obter

com segurança uma peça que terá pouca variabilidade no comportamento à flexão.

Deve-se ressaltar que não foi feita a exposição de nenhum dos protótipos a ação direta

do sol e do vento por dificuldades de se obter um local seguro que atendesse as

condições e que no período em que foi efetuada a concretagem a temperatura ambiental

foi baixa. Nota-se nos protótipos curados há concordância entre valores experimentais e

teóricos (Branson), ocorrendo o oposto nas peças não curadas.

5.4.4 Ensaio com carregamentos uniformemente distribuídos

Além dos ensaios descritos anteriormente pode-se acrescentar o estudo

do comportamento à flexão realizado por ROGGE

et alli (2002). Embora o objeto de

estudo desse trabalho tenha sido a deformação ao longo do tempo, as deformações

imediatas foram medidas nos seis protótipos (constituídos por três nervuras feitas a

partir de vigotas treliçadas) submetidos apenas a ação do peso próprio com um vão de 4

m e portanto a uma carga distribuída e não mais concentrada como nos anteriores.

Na figura 5.6 apresenta-se as características desses protótipos e na tabela

5.6 tem-se os valores das flechas imediatas medidas e as teóricas calculadas usando a

expressão de Branson. Pode-se perceber que realmente, como esperado, todos os

protótipos funcionam no Estádio II e a maior discrepância entre os resultados

experimentais deve-se principalmente às condições de execução como foi descrito no

trabalho original quando não foi possível efetuar um adensamento homogêneo em todos

os protótipos.

27,75

43,5

FIGURA 5.6- Seção transversal medidas em cm

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

TABELA 5.6– Flecha imediata dos protótipos e flecha teórica (f

= 20MPa)

Protótipo A B C D E Piloto

Flecha (mm) 5,1 5,4 4,5 8,2* 4,9 5,0

Flecha teórica (mm) 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1

*O protótipo D foi desconsiderado da analise por apresentar problemas durante a concretagem.

5.4.5 Conclusões dos ensaios de flexão

Em todos os ensaios dos protótipos com lajes pré-moldadas, seja com

vigotas tipo trilho ou treliça, para elementos bi-apoiados, seja solicitado com cargas

concentradas ou uniformemente distribuídas, o funcionamento dos protótipos se deu

com uma rigidez intermediária às dos Estádios I e II. Exceção feita ao protótipo com 20

cm de altura confeccionado por CAIXETA (1998)

que segundo o gráfico 5.7 mostra um

comportamento típico de uma peça trabalhando no Estádio I. Os vãos utilizados em

todos os protótipos são relativamente pequenos, mas em virtude das seções terem

pequenos momentos de fissuração os valores das flechas só são próximos do Estádio I

para cargas menores que 0,3 P

. Na prática isso significa que lajes unidirecionais com

alturas de até 15 cm terão comportamento não linear, ou seja, a flecha não será

proporcional ao carregamento linearmente.

Este fato conduz a necessidade de verificação cuidadosa do estado limite

de deformação excessiva que como já foi provado em outros trabalhos teóricos do grupo

de pesquisa que o autor faz parte, passa a ser condição determinante na obtenção da

armadura de flexão.

Quando se analisa os gráficos flecha x carga, a expressão de Branson,

apresenta melhor precisão para elementos com seções maiores, porém quando se

considera ações cerca de 30 % superiores à aquelas que provocam o momento de

fissuração (gráfico 5.14) conclui-se que a discrepância é maior no caso de peças com

taxa de armadura alta (Nervuras D e F) enquanto que nas demais os valores são

próximos. Portanto a expressão de Branson pode ser aplicada com razoável precisão

para a avaliação de flechas em lajes unidirecionais pré-moldadas simplesmente

apoiadas. Embora não citado neste trabalho, algumas experiências feitas pelo grupo de

autores e outros pesquisadores mostram que não é possível usar o valor da inércia média

de Branson na expressão da flecha do cálculo elástico de peças hiperestáticas. Isto se

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

deve bastante ao fato da seção da nervura ser em forma de um “T” que possui

resistência a momentos positivos muito maior que a negativos.

5.5 Efeito teórico da fluência

No dimensionamento em relação à deformação deve também ser

considerado o efeito da fluência que pode ser definida como o aumento da deformação

imediata que o concreto apresenta ao longo do tempo quando submetido à carga

permanente.

A parcela de deformação oriunda da fluência em peças de concreto fletidas é

significativa e não pode, em hipótese alguma, ser desprezada, pois aumenta de uma a

três vezes o valor da deformação imediata. E segundo a NBR6118(1978) é calculada

multiplicando-se a flecha devida às ações das cargas quase permanentes pela razão entre

as curvaturas no tempo infinito e zero.

R ==

∞

εε

εεφ

).1(

Onde:

∞

- é a curvatura no tempo infinito

- é a curvatura inicial (no tempo “zero”)

é o coeficiente de fluência do concreto, que em casos onde não é necessária

grande precisão pode ser obtido por interpolação linear, a partir da tabela 5.7.

é a deformação específica do concreto;

é a deformação específica do aço;

d é a altura útil da peça.

Assim, a flecha em um tempo t qualquer é dada por:

a(t) = a(t

).+ a(t

).R

t,∞

onde:

a(t) é o deslocamento no tempo t;

a(t

) é o deslocamento inicial no instante inicial t

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

O valor do coeficiente de fluência pode ser obtido de forma simplificada,

pela tabela 5.7 definida na NBR 6118 (2003) como tabela 8.1 (item 8.2.11).

TABELA 5.7-Valores do coeficiente de fluência

Umidade ambiente % 40 55 75 90

Espessura equivalente

/u cm

20 60 20 60 20 60 20 60

5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1

30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

φ (t

∞

)

dias

60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4

* Sendo Ac a área da seção transversal e u o perímetro da seção em contato com a atmosfera.

E em virtude do comportamento não linear a flecha devida à carga acidental

não pode ser calculada diretamente e sim pela expressão:

= a

g1+g2+q

- a

g1+g2

Eq. 5.10

Onde:

é a flecha devida à carga acidental;

g1+g2+q

é a flecha devida à carga permanente estrutural, sobrecarga permanente e carga

acidental;

g1+g2

é a flecha devida à carga permanente estrutural, sobrecarga permanente.

A NBR 6118(2003) prescreve de forma mais simplista e aproximada o

cálculo de flecha deferida no tempo para vigas de concreto armado através da multiplicação

da flecha imediata pelo fator α

dado pela expressão:

'.501

∆

Eq. 5.11

onde:

’= A

’/A

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

é um coeficiente função do tempo que deve ser calculado pela expressão seguinte, se t

≤

70 meses, ou obtido da tabela 5.8.

∆ξ

(t)-

(t0)

(t)= 0,68.(0,996

0,32

para t

≤

70 meses

(t)=2 para t

≥

70 meses

TABELA 5.8 Determinação de ξ de acordo com t

(t) 0 0,5 1234510 20 40

≥70

(t)

0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

Onde:

t é o tempo em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;

é a idade, em meses, relativa à data de aplicação

da carga de longa duração.

No caso das

parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes pode-se tomar

para t

o valor ponderado a seguir:

i0i

∑

onde:

são parcelas de carga;

é a idade em que se aplicou cada parcela I, em meses;

O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando-se a flecha imediata por (1 + α

5.6 Efeito da fluência experimental

No trabalho realizado por ROGGE (2000) em pesquisa de iniciação

cientifica, para medir a flecha ao longo do tempo, mediu-se a flecha no centro da laje do

protótipo piloto (ver esquema da figura 5.7 e tabela 5.9) durante vinte e dois dias, tomando

o cuidado de verificar possíveis deslocamentos verticais dos apoios, pelo menos uma vez ao

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

138

dia, com o defletômetro e o nível de precisão topográfico. Mediu-se também a temperatura

e a umidade do ambiente. Na tabela 5.10 são apresentados os valores do deslocamento do

ponto central, ao final da tarde de cada dia, e a umidade e temperatura média.

FIGURA 5.7 Esquema dos protótipos de ROGGE (2000)

No gráfico 5.14 estão representados os valores experimentais da flecha ao

longo do tempo, no qual percebe-se que nos primeiros quatro dias de medições a inclinação

do gráfico é grande, indicando que a velocidade de deformação é bem alta. Após esse

período a inclinação diminui.

Prosseguindo o experimento confeccionou-se mais cinco protótipos em que

as flechas foram medidas durante 200 dias, nos pontos sobre os apoios, e os deslocamentos

do ponto central das lajes. Os valores de deslocamento foram medidos com nível de

precisão topográfico, e com o auxílio de uma régua metálica graduada.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

TABELA 5.9 Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m

Seção transversal total Nervura central

Largura b = 99 cm b = 43,5 cm

Altura total h = 10 cm h = 10 cm

Altura útil d =8,5 cm d =8,5 cm

Área de aço (lajes A a D) A

= 3,12 cm

= 1,04 cm

Área de aço (laje E) A

= 4,80 cm

= 1,60 cm

Seção transversal total Nervura central

Área de concreto. A = 568 cm

A = 224 cm

cg do concreto a partir da face

inferior.

= 6,28 cm y

= 6,63 cm

Inércia da seção de concreto. I

= 4599 cm

= 1674 cm

Ação Cálculo da armadura estado limite último Ação no ensaio

Peso próprio g

= 1,70 kN/m

Sobrecarga permanente g

= 0,50 kN/m

Acidental q = 1,5 kN/m

GRÁFICO 5.14 - Valores da flecha ao longo do tempo do protótipo piloto

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

TABELA 5.10- Valores médios de flechas, temperatura e umidade do protótipo piloto

Dia Temperatura

(ºC)

Umidade

(%)

Flecha (mm)

04/jan 29,5 53,0 5,5

05/jan 27,5 57,3 6,5

06/jan 29,0 56,0 7,1

07/jan 33,0 46,0 7,7

08/jan 29,0 55,0 8,8

09/jan 26,7 72,0 8,6

10/jan 24,5 69,5 9,1

11/jan 25,5 67,5 9,1

12/jan 23,0 72,5 9,5

13/jan 27,3 63,0 9,9

14/jan 28,0 60,0 9,9

15/jan 25,2 63,7 10,0

16/jan 27,6 58,5 10,6

17/jan 28,3 57,5 10,7

18/jan 29,3 57,7 11,4

19/jan 29,8 56,0 11,5

20/jan 29,2 63,5 11,6

21/jan 27,1 60,5 12.0

22/jan 28,1 60,5 11,9

23/jan 27,6 70,0 11,9

24/jan 25,0 79,0 11,9

25/jan 28,6 69,0 11,7

A tabela 5.11 apresenta os valores das flechas medidas ao longo do tempo

das cinco lajes finais, e os valores médios de temperatura e umidade ambientes.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

141

TABELA 5.11 - Valores de flechas, umidade e temperatura ambientes dos protótipos

Idade Laje A Idade Laje B Laje C Laje D Laje E Idade Temp. Umid.

(dias) (mm) (dias) (mm) (mm) (mm) (mm) (dias) (ºC) (%)

5,125

5,420

26,20 69,5

7,460

7,682

25,55 69,5

8,767

8,892

26,20 63,5

12,005

11,948

25,20 66,0

12,465

12,290

24,05 68,5

13,000

15,465

24,60 67,0

13,338

16,148 4,545 8,200 5,925

23,65 87,5

13,673

16,678 5,875 8,773 8,010

23,65 78,5

13,678

16,870 6,342 8,858 9,168

24,50 77,0

14,120

17,048 7,375 9,715 9,420

25,25 75,0

14,198

17,293 7,910 9,928 9,745

26,30 74,5

15,290

18,120 9,627 11,580 11,023

25,55 69,0

Carreg.

18,143

18,648 9,875 11,678 11,208

25,10 72,0

18,595

19,048 10,060 11,770 11,538

24,85 72,0

18,755

19,328 10,825 11,825 11,765

25,50 65,0

18,968

19,683 11,000 11,870 11,975

25,60 68,0

19,030

19,903 12,000 13,198 12,015

25,45 66,0

19,833

Carreg.

22,983 13,315 17,965 15,150

19,975

23,515 14,955 18,295 16,215

25,10 71,5

20,028

23,530 15,665 18,433 16,433

24,30 74,5

20,170

23,545 15,800 18,745 16,608

24,20 74,5

20,310

23,573 16,188 18,893 16,700

23,95 74,0

20,668

24,033 16,713 19,020 16,823

23,70 74,0

20,825

24,044 16,913 19,455 16,933

23,30 74,0

21,253

24,055 17,548 20,770 17,388

24,85 74,0

22,405

25,500 18,683 23,045 18,455

22,75 69,5

23,268

27,093 19,843 24,955 19,480

22,30 67,0

24,558

28,098 20,998 25,980 21,343

23,05 64,5

24,703

28,170 21,150 26,653 21,450

19,60 64,5

24,810

28,305 21,273 26,768 21,668

19,00 79,0

24,920

28,318 21,446 26,840 21,798

19,80 68,0

109

25,020

109

28,400 21,900 26,955 21,820

109

20,55 69,5

119

25,585

119

28,440 22,290 27,163 21,845

119

20,55 71,5

128

25,795

128

28,563 25,580 28,365 21,900

128

19,95 66,5

135

26,020

135

28,883 25,910 28,630 21,988

135

12,60 69,5

143

26,618

143

30,328 26,095 28,798 22,303

143

15,60 64,0

156

26,778

156

31,065 27,220 29,270 22,620

156

18,65 65,5

171

27,565

171

31,965 27,753 29,440 22,400

171

17,55 65,5

184

28,613

184

32,250 27,855 29,640 23,875

184

19,55 63,5

200

29,410

200

32,580 28,030 29,940 24,010

200

19,90 65,5

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

142

As flechas ao longo do tempo são apresentadas no gráfico 5.15 através de

curvas de flechas x tempo de cada um dos 5 protótipos finais, batizados de A, B, C, D e E.

Com as seguintes particularidades: Nos protótipos A e B o escoramento foi retirado no

oitavo dia após a concretagem, sendo que o carregamento que simula uma sobrecarga

permanente no caso do protótipo A foi feito no dia 35 enquanto em B no dia 42 (notar que

se excetuando a Laje D estas são as lajes que apresentam, após 200 dias as maiores

flechas). Nas lajes C, D e E o escoramento foi retirado no dia 28 e os carregamentos de

sobrecarga ocorreram no dia 42. Dessas três, a laje D foi a que teve a maior deformação

pois teve problemas de concretagem. A laje E que tem maior taxa de armadura é a que

apresenta a menor deformação ao final dos 200 dias. Percebe-se novamente que a

velocidade de deformação em todas a lajes nos primeiros dias é bem alta e cai

gradativamente.

Não foi possível estabelecer uma correlação entre a temperatura ambiente e a

flecha devida à mesma, mas pode-se afirmar que os valores medidos, de acordo com as

tabelas anteriores pouco diferenciarão daqueles devidos apenas à fluência e retração, pois

através do ensaio de gradiente de temperatura (aplicação de gelo em uma face) pode-se

saber que o efeito do gradiente de temperatura no valor da flecha não é tão grande

GRÁFICO 5.15- Valores das flechas ao longo do tempo dos protótipos

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

143

A partir dos resultados experimentais pode-se fazer uma comparação

(gráficos de 5.16 a 5.18) com os resultados teóricos obtidos com as recomendações da nova

norma NBR 6118 (2003).

GRÁFICO 5.16- Comparação dos resultados experimentais da laje piloto com os

valores teóricos da NBR 6118 (1999) com mesma expressão da versão 2003.

Em todos os gráficos que comparam as flechas experimentais com as obtidas

com a utilização das fórmulas da NBR 6118 (2003), observa-se que a expressão da Norma

conduz a valores subestimados de flecha. O que já era de se esperar, pois a fórmula é muito

simplista e não leva em conta uma série de fatores que influenciam o fenômeno, fatores

indicados pela própria NBR 6118 (2003) para o cálculo de coeficiente de fluência do

concreto.

Os protótipos A e B, cujas flechas são apresentadas no gráfico 5.17, tiveram

seus escoramentos retirados no oitavo dia, enquanto que a sobrecarga permanente foi

aplicada no 36

e no 42

dia respectivamente. A laje A foi a segunda a ser concretada

enquanto a B foi a terceira, quando o concreto já estava difícil de ser adensado, levando a

crer que o módulo de elasticidade do concreto de A ficou com um valor maior que o B, ou

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

mesmo o fato de se fazer uma melhor compactação do concreto faz com que a laje A tenha,

ao final dos 200 dias, uma flecha menor que a B, embora esta tivesse sido submetido a

sobrecarga permanente posteriormente a laje A.

GRÁFICO 5.17- Comparação dos valores experimentais das lajes A e B com os

valores teóricos da NBR 6118

Houve um período intenso de chuvas entre os dias 119 e 128 fazendo com

que os tijolos colocados sobre os protótipos que servem de sobrecarga se encharcassem

aumentando a carga e conseqüentemente a deformação apenas nas lajes A e E que estavam

próximas a lateral do barracão e portanto sujeitas a receberem água da chuva

O fato da expressão da flecha da NBR 6118 (2003) não levar em conta

várias variáveis que interferem no processo, tais como: temperatura e umidade ambiente,

tipo de cimento, idade de carregamento, trabalhabilidade do concreto, taxa de armadura,

intensidade do carregamento, entre outros, provoca uma grande diferença entre o valor

experimental e o teórico.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

GRÁFICO 5.18 - Comparação dos valores experimentais das lajes C, D e E com os

valores teóricos da NBR 6118

5.6.1 Considerações sobre o ensaio de fluência

Todos os ensaios mostraram que a velocidade da deformação nos primeiros

dias é muito maior, chegando a 0,3 mm/dia no primeiro dia enquanto no terceiro dia caia

para vinte por cento deste valor.

A laje com maior taxa de armadura (laje E), que deveria apresentar uma

deformação menor do que as demais na verdade apresentou uma deformação tão grande ou

maior do que as outras lajes carregadas na mesma época. Contudo, a partir da metade do

experimento ela começou a melhorar o seu comportamento, apresentando deformações bem

baixas (velocidade de deformação de aproximadamente 0,02 mm/dia), e no final do

experimento foi a laje que apresentou a menor flecha (15% menor do que em peças menos

armadas). Pode-se concluir que a taxa de armadura influi mais nas deformações em longo

prazo.

A laje com maior deformação foi a laje D que apresentou problemas na

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

________________________________________________________________________________________

concretagem, e esteve constantemente exposta ao sol. Esses fatores contribuíram para que

essa peça apresentasse uma menor resistência. Essa laje apresentou deformação inicial,

cerca de 60% maior do que as demais lajes, porém por volta do 80º dia a velocidade de

deformação começou a cair (aproximadamente 0,015 mm/dia), mas no final do

experimento apresentava valores de flechas bem próximos às lajes C e D.

A análise dos resultados dos experimentos permitiu verificar que o efeito da

deformação ao longo do tempo é influenciado por duas variáveis principais: a idade do

concreto e a taxa de armadura. As lajes A e B tiveram seus escoramentos retirados no 8º

dia, porém a flecha inicial de B já foi superior a de A (5,42 e 5,125 mm). Ao ser feita a

segunda etapa de carregamento em épocas distintas, 35 dias para A e 42 dias para B, era de

se esperar um menor deslocamento de B. Porém, o provável menor valor de E

da laje B fez

com que a flecha, nesta segunda etapa, fosse maior (2,85 e 3,08 mm). Isso pode ser

explicado pela provável diferença entre os módulos de elasticidade do concreto, maior no

protótipo A do que no B, que depende da forma de executar a concretagem.

Lamenta-se apenas que os estudos de deformação ao longo do tempo aqui

apresentados não puderam ser continuados em virtude da falta de financiamento para sua

continuação.

TABELA 5.12 - Comparação entre as lajes A e B

Dias

Laje A

(mm)

Laje B

(mm)

5,125 5,420 1,0580

19,833 22,983 1,1156

200

28,610 32,580 1,1387

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

No início do carregamento, nas lajes C, D e E, a laje C teve deformação

menor do que a laje E que possui maior taxa de armadura pois para manter a

trabalhabilidade do concreto foi necessário aumentar o fator água/cimento na confecção

de D e E fazendo com que as deformações iniciais fossem maiores. Se no inicio a maior

armadura da laje E não foi suficiente para diminuir a deformação no final do

experimento ela levou a uma menor deformação (ver tabela 5.13)

TABELA 5.13- Comparação entre as lajes C, D e E.

Dia

Laje C

(mm)

Laje D

(mm)

Laje E

(mm)

4,545 8,200 5,925

13,315 17,965 15,150

21,446 26,840 21,798

200

28,030 29,940 24,010

Ao se comparar o comportamento e os resultados dos protótipos B e C

temos idéia da importância da idade do concreto na retirada do escoramento na

deformação final. Nos protótipos B e C o escoramento foi retirado com o concreto na

idade de 17 e 35 dias respectivamente e seus deslocamentos depois de 8 dias da retirada

do escoramento foram 11,95 e 9,875 mm, esse comportamento manteve-se até o final do

experimento.

Dentre as variáveis que podem ser analisadas numericamente, a taxa de

armadura e idade do concreto, tem-se que a taxa de armadura produz, em longo prazo, a

menor flecha. Outra variável, cuja importância é mais difícil de se analisar pela falta de

ensaios, é o módulo de elasticidade do concreto, pois mesmo comparando as lajes A e

B, e B e C, as menores deformações ocorrem naquelas em que a concretagem foi mais

favorável.

Portanto para lajes com vigotas pré-moldadas é aconselhável uma

armadura superior a correspondente ao estado limite último que é a armadura utilizada

nos protótipos de A a D, somente E tem armadura superior a esse valor. Além de se

executar uma boa concretagem aumentando o módulo de deformabilidade do concreto e

retardar ao máximo a retirada do escoramento quando a condição anterior não for

obtida.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

148

O cálculo de flechas em vigas de concreto armado com a utilização da

expressão fornecida pela NBR 6118/03 mostrou-se inadequado para o experimento, pois

subestima as deformações por fluência, já que não são considerados em suas expressões

os efeitos da umidade relativa, temperatura ambiente, idade do concreto, espessura

fictícia, etc.

No gráfico 5.19 a curva da flecha contra o tempo e verificamos duas

seqüências, a primeira corresponde ao tempo decorrido da retirada do escoramento até o

carregamento da laje, e o segundo trecho corresponde ao carregamento até o final do

experimento. Essas curvas foram elaboradas utilizando-se o programa Microsoft Excel,

que permite a adição de vários tipos de linhas de tendência e mostra como a curva adere

aos pontos experimentais através do valor de R

(porcentagem de concordância).

Utilizou-se a linha de tendência do tipo polinômio de 2º grau. O valor de

indica que a concordância entre pontos experimentais e linha de tendência está boa,

pois o desvio entre os valores não chega a 10%. O tempo refere-se a idade do concreto

em dias. Contudo por se tratar de função crescente estas seqüências não conseguiram

fornecer por extrapolação resultados aceitáveis para a flecha no tempo infinito

(considerado em geral 10.000 dias pelas normas).

GRÁFICO 5.19 - Variação da flecha no tempo – Laje A

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

5.7 Deformações limites segundo a NBR 6118/03

A nova Norma fornece alguns valores limites de deslocamentos e os

classifica, em quatro grupos:

• Aceitabilidade sensorial: os limites apresentados representam

deslocamentos máximos que não causem sensações desagradáveis aos usuários da

estrutura. As razões das limitações podem ser visual, com deslocamento limite igual a

/250 ou de outros tipos como vibrações, como a devido a cargas acidentais, com

deslocamento igual a

/350.

• Estruturas em serviço: estes limites representam os deslocamentos

que podem prejudicar a utilização adequada da estrutura. Neste caso, limitam-se os

casos de superfícies que devem drenar água em

/250, pavimentos que devem

permanecer plano em

/600 e elementos que suportam equipamentos sensíveis de

acordo com recomendação do fabricante.

• Efeitos em elementos não-estruturais: os limites representam os

deslocamentos que não prejudiquem o funcionamento dos elementos não-estruturais.

Assim, as razões de limitações podem ser paredes, com limitação de

/500 no caso de

alvenarias, caixilhos e revestimentos,

/250 no caso de divisórias leves H/500, para

movimento lateral de edifícios e

/300 para movimentos térmicos verticais, como

podem ser forros, com limitação de

/360 no caso de revestimentos colados e

/180 no

caso de revestimentos colados ou com juntas.

• Efeitos em elementos estruturais. Neste caso são apresentados os

limites que podem prejudicar o comportamento do elemento estrutural, provocando

afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas.

A NBR 6118/01 fornece uma tabela de limites para deslocamentos

semelhante à tabela 5.14.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

Tabela 5.14 - Limites para deslocamento

Tipo de

deslocamento

Razão da limitação Exemplo Deslocamento a

considerar

Deslocamento limite

Visual Deslocamentos

visíveis em

elementos

estruturais

Total

/250

Aceitabilidade

sensorial

Outro Vibrações sentidas

no piso

Devidos a cargas

acidentais

/350

Superfícies que

devem drenar água

Coberturas e

varandas

Total

/250

(1)

Total

/350 + contra

flecha

Pavimentos que

devem permanecer

plano

Ginásios e pistas

de boliche

Ocorrido após a

construção do piso

/600

Estruturas em

serviço

Elementos que

suportam

equipamentos

sensíveis

Laboratórios Ocorrido após

nivelamento do

equipamento

De acordo com a

recomendação do

fabricante do

equipamento

Alvenaria,

caixilhos e

revestimentos

Após construção

da parede

/500

(3)

ou 10

mm ou ou e =

0,0017 rad

(4)

Divisórias leves e

caixilhos

telescópios

Ocorrido após a

instalação da

divisória

/250

(3)

ou 25

Movimento lateral

de edificios

Provocado pela

ação do vento para

combinação

freqüente

/H/2500 ou

Hi/1250

(5)

entre

pavimentos

(6)

Paredes

Movimentos

térmicos verticais

Provocado por

diferença de

temperatura

/400

(7)

ou 15

Movimentos

térmicos

horizontais

Provocado por

diferença de

temperatura

Hi/500

Revestimentos

colados

Ocorrido após

construção do

forro

/350

Forros

Revestimentos

pendurados ou

com juntas

Deslocamento

ocorrido após

construção do

forro

/175

Efeitos em

elementos não

estruturais

Ponte rolante Desalinhamento de

trilhos

Deslocamento

provocado pelas

ações decorrentes

da frenação

H/400

Efeitos em

elementos

estruturais

Afastamento em

relação às

hipóteses de

calculo adotadas

Se os deslocamentos forem relevante para o elemento

considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a

estabilidade da estrutura devem ser considerados,

incorporando-se ao modelo estrutural adotado.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

151

5.8 Combinações de ações segundo a NBR 6118/03

Estes limites devem ser comparados ao valor de flecha para uma certa

combinação de ação dada pela NBR 6118/03. Para o cálculo da deformação devido à

fluência deve-se considerar a combinação quase permanente. A combinação freqüente

deverá ser usada para verificação de flechas que resultem em um aspecto visual

desagradável e também problemas como o acúmulo de água. Um limite deve ser

considerado para a atuação da carga acidental, que define a máxima contra-flecha que

pode ser dada no elemento analisado ou em um trecho da estrutura.

As ações para o cálculo das flechas são dadas por:

= F

Sendo γ

o coeficiente de ponderação das ações no estado limite de

serviço cujo valor é variável de acordo com a verificação que se deseja fazer :

Para locais em que não há equipamentos fixos nem elevada concentração

de pessoas o valor de γ

é 0,3 para quase permanente, 0,4 para freqüente e 1,0 para a

rara.

Para locais em que há equipamentos fixos ou elevada concentração de

pessoas o valor de γ

é 0,4 para quase permanente, 0,6 para freqüente e 1,0 para a rara.

Já para bibliotecas, arquivos oficinas e garagens o valor de γ

é 0,6 para

quase permanente, 0,7 para freqüente e 1,0 para a rara.

A ação S

corresponde à ação permanente e S

à ação acidental.

A NBR 6118/01 fornece as seguintes tabelas para as combinações em

serviço e valores do coeficiente γ

tabela 5.15.

Capitulo 5 - Verificação do estado limite de deformação excessiva

_____________________________________________________________________________________

152

Tabela 5.15 - Combinações de serviço e valores do coeficiente γ

Combinações de

serviço (ELS)

Descrição Calculo das solicitações

Combinações

quase-permanentes

de serviço (CQP)

Nas combinações quase permanentes de

serviço todas as ações variáveis são

consideradas com seus valores quase

permanentes Ψ

d,ser

= ΣF

gi,k

+ ΣΨ

qjk

Combinações

freqüentes de

serviço (CF)

Nas combinações freqüentes de serviço,

a ação variável principal F

é tomada

com seu valor freqüenteΨ

q1k

e todas

as demais ações variáveis são tomadas

com seus valores quase permanentes

d,ser

= ΣF

gi,k

+ Ψ

q1k

+ΣΨ

qjk

Combinações raras

de serviço (CR)

Nas combinações raras de serviço a

ação variável principal F

é tomada

com seu valor característico F

q1k

todas

as demais ações são tomadas com seus

valores freqüentes Ψ

d,ser

= ΣF

gi,k

+ F

q1k

+ΣΨ

qjk

d,ser

é o valor de calculo das ações para combinações de serviço

q1k

é o valor característico das ações variáveis principais diretas

é o fator de redução de combinação freqüente para ELS

é o fator de redução de combinação quase-permanente para ELS

O coeficiente γ

tem os seguintes valores conforme a verificação que se deseja fazer:

= 1 para combinações raras

= Ψ

para combinações freqüentes

= Ψ

para combinações quase permanentes

Ações

Locais em que não há predominância de pesos de

equipamentos que permanecem fixos por longos

períodos de tempo, nem de levadas concentrações de

pessoas

0,5 0,4 0,3

Locais em que há predominância de pesos de

equipamentos que permanecem fixos por longos

períodos de tempo ou de levadas concentrações de

pessoas

0,7 0,6 0,4

Cagas acidentais

de edifícios

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,7 0,6

Temperatura Variação uniformes de temperatura em relação à

média anual local

0,8 0,5 0,3

Para os valores de Ψ

relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga

Edifícios residenciais

Edifícios comerciais e de escritórios

EXEMPLOS

6.1 Introdução

Neste capítulo são apresentados exemplos numéricos usando alguns dos

modelos de cálculo descritos nos capítulos anteriores, com o intuito de verificar o

comportamento de diferentes configurações de lajes pré-fabricadas através de

comparações e ao mesmo tempo fornecer um roteiro para os projetistas que consultarem

este trabalho.

Em todos os exemplos o dimensionamento das lajes será feito sempre

que possível de acordo com as prescrições das Normas NBR 6118 (2003) e NBR

14859-1 (2002), além das condições impostas pelo mercado em relação às suas

dimensões e materiais componentes.

6.2 Exemplo 1: Variação de altura em lajes simplesmente apoiadas

I)Calcular a armadura longitudinal e verificar o Estado de Deformação

Excessiva de uma laje pré-fabricada simplesmente apoiada, com vão de quatro metros

para os seguintes dados:

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

154

1) Tipo da laje: laje pré-fabricada confeccionada a partir de vigotas do

tipo treliça.Material de enchimento: Poliestireno expandido (EPS)

com altura de 7,0 cm.

2) Vão: l = 4,0 m.

Geometria da seção transversal da nervura (figura 6.1) com altura

total (h) =11,0 cm; b

= 35,0 cm; h

= 4,0 cm; d = (h – 2,0) = 9,0 cm;

d’=2,0 cm, b

= 12,0.

4) Revestimento 5 cm de espessura e carga acidental (q) = 1,5 kN/m

5) Materiais: γ

concreto

= 25 kN/m

; γ

rev.

= 18 kN/m

; f

= 20 MPa. Aço

CA60.

II)Fazer a verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva para

diferentes alturas de lajes de14, 16, 18, 20, 26 cm. Utilizar os mesmos dados do item I)

inclusive com a armadura longitudinal determinada nele e a espessura da capa.

6.2.1 Resolução item I

Neste exemplo procura-se determinar a armadura necessária no Estado

Limite Último para uma laje pré-fabricada vencer um vão de quatro metros, fazendo-se

em seguida a verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva. Com essa

finalidade, o cálculo numérico do item I) será detalhado enquanto que os cálculos do

item II) serão apresentados na forma de tabela. O modelo de cálculo adotado é o de viga

independente, considerando que os apoios são indeslocaveis na vertical (por exemplo

paredes).

A laje pré-fabricada adotada é com a nervura do tipo treliça. O cálculo de

uma laje confeccionada com o elemento tipo trilho é semelhante ocorrendo somente

algumas modificações nas características geométricas da nervura e no coeficiente de

rugosidade na verificação ao cisalhamento, que cai para 0,6, como é visto no exemplo 2.

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

155

b1bf

FIGURA 6.1 Características geométricas da seção

a) Cálculo da largura colaborante e carregamento atuante

Da mesma forma como foi tratado no capítulo 4 é preciso antes de se

dimensionar a armadura na nervura verificar qual parcela da “capa” da laje participa no

trabalho de flexão da nervura determinando o valor de b







=⋅+=⋅+

≤

cmbb

cmab

0,42152122

0,4230010,01210,0

⇒ cmb

0,42

onde:

cma 400== l (simplesmente apoiada);







=⋅=⋅

≤

cma

cmb

3030010,010,0

15305,05,0

⇒ cmb 0,15

;

cmb 0,30

= é a distância entre as faces internas de duas nervuras adjacentes.

Agora é necessário determinar o carregamento que esta atuando sobre

uma nervura da laje, lembrando que o intereixo é de 42 cm

Peso próprio (g

)= A

. γ

Com A =área do concreto

A área da seção do concreto calculada pela equação

A=(b

--b

).h

+ b

.h=

(

)

11.124.1242

−

=252,00 cm

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

156

= 0,0252 m

. 25 kN/m

= 0,63 kN/m

Carga revestimento (g

)= 0,05m . 18 kN/m

. 0,42 m = 0,38kN/m

Carga acidental (q) = 1,5 kN/m

. 0,42 m = 0,63 kN/m

Carregamento total P = g

+ g

+ q = 1,64 kN/m (Combinação rara)

P = g

+ g

+ 0,3q = 1,20 kN/m (Combinação quase permanente)

P= g

+ g

= 1,01 kN/m (Combinação permanente)

Com o valor do carregamento calcula-se a cortante e o momento

máximos atuantes a partir do esquema da figura 6.2.

FIGURA 6.2 – Esquema estrutural de uma nervura

máx

= =

4.64,1

= 3,28 kN.m

máx

= =

4.64,1

= 3,28 kN

b) Dimensionamento à flexão em relação ao colapso

supondo a Linha Neutra (LN) na mesa

()

cdf

fdb

KMD

= =

4,1

20000

.09,0.42,0

28,3.4,1

= 0,0945≈ 0,0950

Com a tabela fornecida por CARVALHO (2001, pág 113) e apresentada neste trabalho

no anexo I, temos

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

157

KX =0, 1485

x = 0, 1485 . 0,09 =0,013 m < h

= 4,0 cm ∴ LN na mesa

= 10%0 > ε

assim f

= f

fdKZ

= =

15,1

.09,0.9406,0

28,3.4,1

= 1,04

c) Verificação em relação à deformação excessiva

Estádio I, determinação da Inércia da peça, primeiramente calcula-se o Módulo de

Elasticidade (

)do concreto.

= 4760. 20 = 21287MPa

21287

210000

= 9,865

Área da seção

A=252,00 cm

já calculada

Área da

seção homogeneizada

=(b

--b

).h

+ b

.h + A

. (α - 1) =

(

)

(

)

1865,9.04,111.124.1242 −

−

=261,23cm

Centro de gravidade

()













−

= =

()

00,252

.12

.1242













−

3,83 cm

Centro de gravidade homogeneizado

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

158

()

.1.

−++













−

() ()

23,261

9.1865,9.04,1

.12

.1242

−++













−

4,02 cm

Inércia no Estádio I

()













−+













−−++

−

yhb

yhbb

hbb

fwf

()

83,3.11.12

83,3.4.1242

11.12

4.1242













−+













−−++

−

=I= 2261,00 cm

Inércia no Estádio I homogeneizada

()

()( )

.1.

dyA

yhb

yhbb

hbb

hShw

fwf

−−+













−+













−−++

−

()

02,4.11.12

02,4.4.1242

11.12

4.1242













−+













−−++

−

()

)902,4.(1865,9.04,1 −

−

+ =2498,77 cm

Características no Estádio II puro

Posição da LN (supondo LN na mesa)

= b

= 42 cm

= b

/2 =21 cm

(

)

()

scscff

AAbbh .'.1.

−+− = 04,1.865,9 = 10,27 cm

()

AdAd

sese

−−−−− .

..'.1'.

αα

= 04,1.865,9.9

−

=-92,4 cm

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

159

..4

aaaa

−±−

21.2

4,92.21.427,1027,10

+±−

=1,87 cm < h

∴LN na mesa

()

dxA

oII

−+=

()

987,1.04,1.865,9

87,1.12

−+ =613,89 cm

A expressão do momento de fissuração é:

cct

= =

)0383,011,0(

10.2261,2.20.21,0.2,1

532

−

= 5,86.10

-1

=0,586 kN.m

Inércia Média de Branson

I .1.

























−+













Cálculo das flechas imediatas

..384

..5

= =

I.21287000.384

4.64,1.5

TABELA 6.1 Flecha para diferentes combinações

(kN/m)

(kN.m)

/M)

1-(M

/M)

(cm

)

(cm)

Combinação rara

1,64 3,28 0,0057 0,9943 623,31 4,11

Combinação quase

permanente

1,20 2,39 0,0147 0,9853 638,02 3,00

Combinação

permanente

1,01 2,02 0,0245 0,9755 654,30 2,53

A esse valor deve ser acrescentado o deslocamento referente à fluência

do concreto que segundo a NBR 6118 (2003) deve ser pode ser calculada de maneira

aproximada pela multiplicação da flecha quase permanete pelo fator α

dado pela

expressão:

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

160

'.501

∆

Onde:

= 0 pois As’= 0

é um coeficiente função do tempo, que pode ser calculado pelas seguintes expressões:

)()(

−=∆

32,0

).996,0.(68,0)( tt

para t<70

2)(

para t<70 meses

considerando a retirada do escoramentos no 14

dia temos t = 14/30 = 0,47e com isso

)(

=0,53 e )(

∞

= 2 e portanto

53,02

−

= 1,47

Flecha final (a

final

) (pela tabela 3.4 da NBR6118(2003))

final

= a

rara

+ α

quase perm.

= 4,11 + 1,47.3,00 = 8,52 cm

Utilizando contra flecha de acordo com a NBR 6118 (2003), cujo valor máximo é

14,1

350

= temos:

cff

aaa −= = 8,53 – 1,14 = 7,38 cm

A verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva segundo a

NBR 6118 (2003) deve ser feita para dois casos de aceitabilidade sensorial, a visual e a

de vibrações. Para a verificação da aceitabilidade sensorial visual tem-se o limite de

deslocamento de

250

que resulta em 1,6cm < 7,38 cm e portanto a laje de 11,0cm não

atende a esta condição.

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

161

Para a aceitabilidade sensorial de vibrações sentidas no piso usa-se o

carregamento devido às cargas acidentais cuja flecha é a diferença entre a flecha devida

à combinação rara e a flecha devida à combinação permanente o que neste resulta em

1,58

cm valor maior que o limite estabelecido pela norma que é de cm

14,1

350

= , ou

seja esta condição também não é atendida.

Deve-se aumentar a área de armadura ou mais convenientemente

aumentar a altura total da laje.

6.2.2 Resolução item II

A variação da flecha em conseqüência da variação da altura total da laje é

apresentada na tabela 6.2. Os dados constantes da tabela 6.2 foram obtidos através do

procedimento teórico do item anterior transformada em planilha de cálculo do tipo

EXCEL.

TABELA 6.2 Flechas para diferentes alturas de laje

altura laje combinação rara comb. quase permanente comb. permanente

h (cm) a (cm) a (cm) a (cm)

4,11 3,00 2,53

2,23 1,67 1,42

1,55 1,17 1,01

1,08 0,82 0,71

0,73 0,56 0,49

0,20 0,16 0,14

A verificação do Estado Limite de Deformação Excessiva é apresentada

na tabela 6.3

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

162

TABELA 6.3 Verificação de Flechas para diferentes alturas de laje

altura a

final

– a

contra flecha

limite visual

verifica a

acidental

limite vibração

verifica

11 7,38 1,6 não 1,58 1,14 não

14 3,54 1,6 não 0,81 1,14 sim

16 2,13 1,6 não 0,54 1,14 sim

18 1,15 1,6 sim 0,37 1,14 sim

20 0,41 1,6 sim 0,24 1,14 sim

26 -0,70 1,6 sim 0,06 1,14 sim

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

163

6.3 Exemplo 2: Comparar os resultados das flechas imediatas encontrados no exemplo 1,

para a laje com altura de 11 cm, com os resultados obtidos nos experimentos realizados por

ROGGE (2000), cujo resumo já foram apresentados no capítulo 5, usando as expressões da

Norma 6118(2003) e NBR6118(1980). Dados:

a) Do experimento

O experimento desenvolvido por ROGGE (2000) consistiu em acompanhar

os valores da flecha ao longo do tempo de diversos protótipos com seção transversal bem

próxima a empregada no exemplo 1 (altura de 10cm para os protótipos e 11 no caso do

exemplo) e também com o mesmo vão (de 4m). As condições de apoio do ensaio são as

mesmas, pois se usaram barras cilíndricas junto do apoio dos protótipos nas paredes. As

figuras 6.3 e 6.4 indicam as características dos protótipos. Na tabela 6.4 apresentam-se as

características geométricas dos protótipos.

27,75

43,5

FIGURA 6.3 Esquema dos protótipos FIGURA 6.4 Seção

transversal medidas em

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

164

TABELA 6.4- Dados e características geométricas. Protótipos com vão 4 m

Seção transversal total Nervura central

Largura b = 99 cm b = 43,5 cm

Altura total h = 10 cm h = 10 cm

Altura útil d =8,5 cm d =8,5 cm

Área de aço (lajes A a D) A

= 3,12 cm

= 1,04 cm

Área de aço (laje E) A

= 4,80 cm

= 1,60 cm

Seção transversal total Nervura central

Área de concreto. A = 568 cm

A = 224 cm

cg do concreto a partir da face

inferior.

= 6,28 cm y

= 6,63 cm

Inércia da seção de concreto. I

= 4599 cm

= 1674 cm

Ação Cálculo da armadura estado limite

último

Ação no ensaio

Peso próprio g

= 1,70 kN/m

Sobrecarga permanente g

= 0,50 kN/m

acidental q = 1,5 kN/m

TABELA 6.5 - Flecha imediata e após 200 dias dos protótipos

Protótipo A B C D E Piloto

Flecha (mm) 5,13 5,42 4,55 8,20 4,90 5,06

Idade do concreto (dias) 8 8 28 28 28 7

Ordem de concretagem 2 3 1 4 5 0

Flecha após 200 dias 29,410 32,58 28,03 29,94 24,01 ---

O protótipo a ser comparado será o piloto que teve como resistência à

compressão do concreto o valor de f

=20,2 MPa. Os dados foram retirados do artigo de

Rogge (2002).

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

165

b) Da laje do exemplo 1

Os valores das características da seção transversal da laje com 11 cm de

altura foram determinados no exemplo 1. Porem todos aqueles que envolvem as

características elásticas serão revistos, pois o valor do módulo de deformabilidade do

concreto se modifica.

TABELA 6.6 Características geométricas da seção do exemplo 1 h=11cm

Largura colaborante

cmb

0,42

Área da seção transversal de concreto

A=238,00 cm

Peso próprio g

= 0,60 kN/m

Área da armadura longitudinal

A 1,02 cm

Resolução

Basicamente o que se irá fazer é calcular o valor da flecha imediata (devida

a peso próprio) da laje simplesmente apoiada de vão de 4 m com as características da seção

transversal indicadas no exemplo 1 (ver figura 6.4), resumidas na tabela 6.6, usando as

expressões da norma NBR6118(2003) e a versão anterior de 1980 com algumas adaptações

comparando com o resultado experimental da laje do protótipo (com 10 cm de altura) que

apresentou uma flecha de 5,06 mm.

Desta forma inicialmente serão apresentadas as expressões que serão

empregadas em cada calculo na tabela 6.7.

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

166

TABELA 6.7 Expressões para valores característicos segundo as normas de 1980

(adaptada) e 2003

Característica NBR6118(1980) (adaptada) NBR6118(2003)

Módulo de Elasticidade (E

) do

concreto.

= 5400.

= 4760.

Resistência à tração do concreto

=0,06.f

+0,7

.21,0

Momento de Fissuração

hIct

..5,1

cct

..2,1

Para o Estádio I, considerando-se apenas a seção geométrica (sem considerar

a armadura) chega-se aos valores:

Área da seção:

A=238,00 cm

Posição do centro de gravidade:

y =3,62 cm

Inércia:

I =2004,54cm

Para considerar a presença da armadura, ou seja, homogeneizando a seção é

preciso levar em conta a relação dos módulos de elasticidade do concreto e do aço (

α=

)

e assim determinar a da inércia da seção homogeneizada:

Módulo de Elasticidade (E

) do concreto.

• NBR6118(1980) ---E

= 5940. 2,20 = 26697 MPa

• NBR6118(2003) ---E

= 4760. 2,20 = 21393 MPa

Valor de

• NBR6118(1980) ---α =

26697

210000

= 7,866

• NBR6118(2003) --- α =

21393

210000

= 9,816

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

167

Área da seção homogeneizada

• NBR6118(1980)--A

=A+A

. (α - 1)= 238+6,866 . 1,02 = 246,0 cm

• NBR6118(2003) --A

=A+A

. (α - 1)= 238+8,816 . 1,02 = 247,0 cm

Centro de gravidade da seção homogeneizada (borda superior)

• NBR6118(1980) ---y

=(A . y+A

. (α

-1) . d)/ A

= (238 . 3,62

+6,866 . 1,02 . 9)/246,0 = 3,76 cm

• NBR6118(2003) --- y

=(A . y+A

. (α

-1) . d)/ A

= (238 . 3,62

+8,816 . 1,02 . 9)/247,0 = 3,82 cm

Momento de inércia da seção homogeneizada no Estádio I

• NBR6118(1980) ---I

I,h

=2201,7 cm

• NBR6118(2003) --- I

I,h

=2255,6 cm

Resistência à tração do concreto

• NBR6118(1980) --- f

=0,06 . f

+ 0,7=0,06 . 20,2+0,7=1,912MPa

• NBR6118(2003) --- f

.21,0

f =

2,20.21,0 =1,558 MPa

Momento de fissuração

• NBR6118(1980)-

hIct

..5,1

= =

)0376,011,0(

1020,219125,1

−

⋅⋅

−

=0,87kN.m

• NBR6118(2003)-

cct

..2,1

= =

)0362,011,0(

.100,215582,1

−

⋅⋅

−

=0,50kN.m

Características no Estádio II puro

Posição da linha neutra (borda superior)

• NBR6118(1980) ---x = 1,67 cm

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

168

• NBR6118(2003) --- x =1,85 cm

• Momento de inércia (1980) --- I

II,0

=496,0 cm

• NBR6118(2003) --- I

II,0

=600,5 cm

Cálculo da flecha imediata de peso próprio

O cálculo da flecha imediata é feito através da expressão

..384

..5

= sendo p o valor da carga permanente de peso próprio igual

0,60 kN.m e a

Inércia Média de Branson dada por:

I .1.

























−+













Com estes valores pode-se montar a tabela 6.8 que apresenta o cálculo final

da flecha imediata de peso próprio (teórica) da laje cuja seção é dada no exemplo 1.

TABELA 6.8 Flecha imediata de pesos próprio da laje com h=11 cm nas

versões da NBR6118(1980) e NBR6118(2003)

Norma

(Versão)

l⋅p

kN/m

/M)

II,0

GPa

NBR6118

(1980)

1,2 0,871 0,382 0,618 2201 496,0 1147 26,70 6,53

NBR6118

(2003)

1,2 0,504 0,074 0,926 2004 600,5 704 21,39 13,2

Capitulo 6 – Exemplos

________________________________________________________________________________________

169

Percebe-se que na versão de 2003 o valor da flecha acaba sendo bem grande

principalmente devido ao momento de fissuração que na versão de 1980 adaptada, por

questão de maximização dos valores, é maior conduzindo a uma flecha de 6,5 mm. A

ordem de grandeza das flechas imediatas verificadas por Rogge nos experimentos é de 5

mm, valor bem próximo ao encontrado com as expressões da NBR6118(1980)

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

170

6.4 Exemplo 3: Calcular a laje do problema I1 considerando atuando no sentido

transversal, a 20 cm do apoio a esquerda uma parede de 25 cm de espessura com 3 m de

altura com peso específico de 3 kN/m

Peso da parede = 0,25 m. 0,42 m . 3,0 m. 18 kN/m

= 5,67 kN

Que combinado com a carga distribuída de 1,60 kN/m resulta em:

máx.

= 3,78 kN.m

máx.

= 8,59 kN

fdb

KMD

.96,1

= =

2000.09,0.42,0

378,0.96,1

= 0,0971 portanto KZ = 0,9372

0,6.9372,0.09,0

15,1.337,0.4,1

A = 1,21 cm

Para o dimensionamento de lajes sem armadura para força cortante temos

1RdSd

VV ≤

→

1,4 . 8,59

≤

Rd1

dbkV

wcpRdRd

.]..15,0)402,1.(.[

++=

4,1

20.21,0

.25,0

=0,276 Mpa = 276 kN/m

9.12

21,1

=0,0122 < 0,02

dk −= 6,1 =1,6 – 0,09 = 1,51

+= 09,0.12,0).0099,0.402,1.(51,1.276

1Rd

V 7,18 kN

kNVV

RdSd

18,70,12

=>= é preciso usar estribo ou aumentar altura

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

171

Verificação de compressão no concreto que deve ser considerada satisfatória quando

verificadas simultaneamente as seguintes condições:

2RdSd

VV ≤

SWCRdSd

VVVV +=≤

Onde :

V é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;

2Rd

V é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas

de concreto;

swCRd

VVV +=

,é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração

diagonal, onde V

é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos

complementares ao de treliça e V

a parcela resistida pela armadura transversal.

dbfV

wcdvRd

....27,0

250

−=

250

− = 0,92

kNV

32,3809,0.12,0.

4,1

20000

.92,0.27,0

V = 12,0 <

2Rd

V = 38,32 kN não há esmagamento da biela de concreto.

Cálculo da armadura transversal

swCRd

VVV +=

V = resistência do concreto

)cos(sen..9,0.

αα













ywd

Verificando se a armadura das diagonais (figura 6.5) é suficiente

S=20

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

172

1 barra

138,0

.42,0

cm=

2 barra

= 2 . 0,138 = 0,277 cm

20.00

8.00

38.66°

∅ 4,2 cm

FIGURA 6.5 armadura da treliça

= 0,6.f

ctd.

.d = 0,6.1100.0,12.0,09= 7,13 kN

MPa

ctk

ctdonf

1,1

4,1

20.21,0

===

250000250

=< MPaf

ydw

para lajes com espessura até 15 cm

96,1)6,38cos6,38.(sen250000.09,0.9,0.10.

2,0

138,0













−

kNVV

SdRd

0,1209,996,113,7

<=+= , não verifica, aumentar a altura da laje.

Refazendo os cálculos para uma laje de altura total de 14 cm, mantendo-

se as demais características geométricas.

Peso da parede = 5,67 kN

Que combinado com a carga distribuída de 1,73 kN/m resulta em:

máx.

= 4,03 kN.m

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

173

máx.

= 8,87 kN

fdb

KMD

.96,1

= = 0,0653 portanto KZ = 0,9602

A 0,939 cm

Para o dimensionamento de lajes sem armadura para força cortante temos

1RdSd

VV ≤

→

1,4 . 8,87

≤

Rd1

dbkV

wcpRdRd

.]..15,0)402,1.(.[

++=

4,1

20.21,0

.25,0

=0,276 Mpa = 276 kN/m

12.12

939,0

=0,0065 < 0,02

−= 6,1 =1,6 – 0,12 = 1,48

+= 12,0.12,0).0065,0.402,1.(48,1.276

1Rd

V 8,59 kN

kNVV

RdSd

59,842,12

=>= , é preciso usar estribo ou aumentar altura.

Verificação de compressão no concreto que deve ser considerada

satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições:

2RdSd

VV ≤

SWCRdSd

VVVV +=≤

dbfV

wcdvRd

....27,0

250

−=

250

− = 0,92

Capitulo 6 – Exemplos

_____________________________________________________________________________________

174

kNV

10,5112,0.12,0.

4,1

20000

.92,0.27,0

V = 12,42 <

2Rd

V = 51,10 kN não há esmagamento da biela de concreto.

Cálculo da armadura transversal

swCRd

VVV +=

V = resistência do concreto

)cos(sen..9,0.

αα













ywd

Verificando se a armadura das diagonais (figura 6.3) é suficiente

S=20

1 barra

138,0

.42,0

cm=

2 barra

= 2 . 0,138 = 0,277 cm

= 0,6.f

ctd.

.d = 0,6.1100.0,12.0,12= 9,50 kN

250000250

=< MPaf

ydw

para lajes com espessura até 15 cm

62,2)6,38cos6,38.(sen250000.12,0.9,0.10.

2,0

138,0













−

kNVV

SdRd

42,1212,1262,250,9

<=+= pode ser aceito.

Lembrar que o funcionamento das barras diagonais da armadura treliçada só estará

garantida se o banzo superior estiver na região comprimida de concreto. A norma EF96

considera que o banzo superior deve estar situado na região de 4 cm da borda

comprimida, assim seria necessário usar uma treliça de altura maior que 9 cm.

Capitulo 6 – Exemplos

____________________________________________________________________________________

175

6.5 Exemplo 4: Cálculo da armadura de uma nervura de laje pré-fabricada com dois

vãos de 4,00 m, cuja seção transversal é dada na figura 6.6 com os seguintes dados:

= 20 MPa (20000 kN/m

); aço CA-50; distância do cg da armadura à borda mais

tracionada 2,0 cm; peso próprio = 1,62kN/m

; peso de piso mais revestimento igual a

0,90 kN/m

; carga acidental q = 3,00 kN/m

12cm 30cm 12cm

42cm

8cm

4cm

FIGURA 6.6 Seção transversal adotada para cálculo da laje do exemplo 3

a) Carga total atuante na laje:

/52,500,390,062,1 mkNp =++=

b) Carga atuante em cada nervura, para o intereixo de 42 cm:

nervuramkNp

nerv

//31,242,0.52,5

c) Esquema estrutural e momentos fletores (figura 6.7)

Considerando a teoria da elasticidade ou linear, em que o material

concreto armado não sofre fissuras o diagrama de momento fletor da laje pode ser

calculado como o de uma viga, neste caso contínua, os momentos fletores máximo

positivo e negativo valem:

momento positivo ⇒ kNm

máx

60,2

128

431,29

128

⋅⋅

momento negativo ⇒ kNm

X 62,4

0,431,2

⋅

A reação de apoio R valerá

Capitulo 6 – Exemplos

_________________________________________________________________________________

176

Xpl

R 465,3

4.31,2.3

===−=

elástico

máx

Xpl

R +=

Xpl

R −=

Mmáximo

FIGURA 6.7 Esquema estrutural da nervura da laje e principais características

das ações considerando-a elástica e de inércia constante.

A cortante e o momento fletor em uma seção S genérica do tramo

distante x do apoio à esquerda valerão respectivamente:

pxRV −=

RxM −=

estas expressões serão usadas posteriormente.

d) Largura colaborante (b

) para seção "T" (b

= 12 cm):

Da mesma forma como foi tratado no capítulo 4 é preciso antes de se

dimensionar a armadura na nervura verificar qual a parcela da “capa” da laje participa

no trabalho de flexão da nervura determinando o valor de b

Capitulo 6 – Exemplos

____________________________________________________________________________________

177







=⋅+=⋅+

≤

cmbb

cmab

0,42152122

0,4230010,01210,0

⇒ cmb

0,42=

onde:

cma

30040075,075,0 =⋅=⋅= l para tramos com momento em uma só extremidade;







=⋅=⋅

≤

cma

cmb

3030010,010,0

15305,05,0

⇒ cmb 0,15

;

cmb 0,30

= é a distância entre as faces internas de duas nervuras adjacentes.

e) Verificação se a seção é retangular ou "T"

Para o momento positivo (para negativo, a seção é retangular), determina-se a posição

da linha neutra, supondo, em princípio, que ela passe pela mesa:

d = 12 - 2 = 10 cm; b = b

= 42,0 cm; kNmM

pos

60,2

060,0

4,1/2000010,042,0

6,24,1

⋅⋅

⋅

⋅⋅

cdf

fdb

KMD

⇒ KX= 0,091 (anexo I)

x = KX . d = 0,09 . 10 = 0,9 < h

= 4,00 cm

L.N. passa na mesa ⇒ seção retangular

f) Cálculo da armadura positiva (M

pos

= 2,60 kN m):

KMD = 0,060 ⇒ KZ =0,963

86,0

5010,0963,0

6,215,14,1

fdKZ

⋅⋅

g) Cálculo da armadura negativa (b=b

= 12 cm,

neg

= 4,62 kN m)

377,0

2000010,012,0

62,44,14,1

⋅⋅

⋅

=KMD ⇒ anexo I ⇒ ε

=0,087%<0,407%

Capitulo 6 – Exemplos

_________________________________________________________________________________

178

⇒ domínio 4 ⇒ não pode!

Solução: adotar região maciça, cuja largura deve se prolongar até à seção

em que o momento resistente da nervura seja igual ao atuante, de cada lado do apoio;

assim, o momento no apoio para cálculo da armadura poderá ser o obtido do cálculo

elástico.

h) Cálculo do momento resistente da seção (adotando CA-50 que

é mais desfavorável):

Em torno do apoio (momento negativo), a região comprimida da seção

transversal é a inferior, comportando-se como retangular, com b

= 12 cm (Figura 6.8):

εc=3,5‰

42 cm

0,8x

d=10

Seção transversal Deformações na seção Forças resultantes

0,85f

εs=2,07‰(CA-50)

FIGURA 6.8-Situação para o cálculo do máximo momento negativo resistido pela

nervura sem considerar região maciça.

O cálculo do momento máximo resistido M

é feito considerando-se a

linha neutra correspondente ao domínio 3-4, determinando a força no concreto e

finalmente o momento M

conforme as expressões a seguir:

3434

07,4

5,3

−

= ⇒

dx ⋅

07,25,3

5,3

⇒

cmx 28,610

07,25,3

5,3

=⋅

cmxy 02,528,68,08,0

3434

=⋅

⋅=

Capitulo 6 – Exemplos

____________________________________________________________________________________

179

kNmfzybM

cdwrd

485,5

4,1

000.20

85,0

0665,0

10,00502,012,085,0

3434

=⋅⋅













−⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

i) Cálculo da largura da região maciça:

Uma vez determinado o momento máximo resistido pela seção da

nervura basta encontrar no diagrama de momento fletor da laje (considerando o elástico

dado na figura 6.5 e item c) a seção em que o momento fletor é numericamente igual a

este valor.

O valor do momento máximo resistido em serviço é igual a :

917,34,1/485,54,1/

RdR

MM kN m

igualando à equação do momento dada por :

RxM −= cuja raiz positiva é x = 3,86 m

Assim, a região maciça, de cada lado do apoio será:

mx 27,073,30,4

−=−l ⇒ adotado 35 cm de cada lado.que seria

igual ao comprimento de um elemento de enchimento.

Resulta, então, na laje detalhada na figura 6.9, admitindo que a viga de

apoio tenha 20 cm de largura

Capitulo 6 – Exemplos

_________________________________________________________________________________

180

Vista Superior (admitindo viga de apoio com largura de 20cm)

0,20

Corte A-A

0,25

0,20

0,25

0,35

Corte B-B (seção resistente no tramo)

Vista C-C (seção resistente no apoio)

maciça

região

viga

4,0m

h=12cm

d=10cm

b=42cm

w=42cm

d=10cm

h=12cm

0,12

FIGURA 6.9-Esquema estrutural da laje com seção maciça próxima ao apoio

central.

j) Cálculo da armadura negativa, agora com b = 42 cm (região

maciça):

Para este cálculo despreza-se a variação da inércia e carregamento

causada pela criação da região maciça

kNm

neg

62,4

0,431,2

⋅

107,0

000.2010,042,0

62,44,14,1

⋅⋅

cdw

fdb

KMD

⇒ tabela anexo I⇒ KZ = 0,933

60,1

5010,0933,0

62,415,14,1

fdKZ

⋅⋅

Faz-se a seguir, para efeito de comparação, o cálculo das armaduras se

não houvesse região maciça e momento de cálculo no apoio igual ao momento

Capitulo 6 – Exemplos

____________________________________________________________________________________

181

resistente da nervura que e tomado como momento de plastificação.

k) Armadura positiva (momento positivo calculado a partir do

momento negativo resistente).

Neste caso considera-se que o momento máximo negativo (M =

5,485/1,4 = 3,917 kNm)) que poderá ocorrer na laje será o calculado anteriormente

igual a (ver item h e i) 3,917 kN.m. A partir do esquema estrutural montado na figura

6.10.

4,0 m

= 0 ⇒ 0917,3

0,4

31,24

=+⋅−⋅ Ra ⇒

⇒ Ra = 3,64kN

máx

⇒ V = 0 ⇒ 031,264,3 =⋅− x ⇒

⇒ x = 1,57 m

kNmM

máx

88,2

57,1.31,2

57,164,3

=−⋅=

FIGURA 6.10-Esquema estrutural da laje sem seção maciça próxima ao apoio

central e com momento negativo igual ao máximo resitido pela seção.

Verifica-se então que o momento positivo será igual a M

máx

= 2,88 kN.m

e a armadura correspondente passa a ser:

Supondo a linha neutra passando na mesa

067,0

000.2010,042,0

88,24,14,1

⋅⋅

cdf

fdb

KMD ⇒ KX = 0,1076

⇒ KZ = 0,957

cmdKXx 08,1101076,0

⋅

=⋅= < cmh

0,4

LN. na mesa ⇒ seção retangular ⇒ b

= b

= 42,0 cm

95,0

5010,0957,0

88,215,14,1

fdKZ

⋅⋅

= > 0,86 cm

do cálculo

elástico!

Capitulo 6 – Exemplos

_________________________________________________________________________________

182

l) Armadura negativa (momento negativo no apoio igual ao

resistente e b

= 12 cm)

32,0

000.2010,012,0

917,34,14,1

⋅⋅

cdw

fdb

KMD

⇒ KZ = 0,7485

68,1

5010,07485,0

917,315,14,1

fdKZ

⋅⋅

Por último considera-se a laje composta de dois tramos isostáticos sem

continuidade.

m) Armadura positiva (momento positivo calculado a partir da

laje com dois tramos isostáticos).

Neste caso considera-se que não há momento negativo e o positivo é

dado pela expressão:

máximo

= =4,62 kN.m/nervura

A armadura neste caso será calculada, supondo a linha neutra passando

na mesa, por:

107,0

000.2010,042,0

62,44,14,1

⋅⋅

cdf

fdb

KMD

⇒ KX = 0,169 ⇒ KZ = 0,931

cmdKXx 6,110.169,0

=⋅= < cmh

0,4

LN. na mesa ⇒ seção retangular ⇒ b

= b

= 42 cm

60,1

5010,0931,0

62,415,14,1

fdKZ

⋅⋅

= >0,86 cm

do cálculo

elástico!

Na tabela 6.9 faz-se um resumo dos resultados encontrados para as

armaduras positiva e negativa nas diversas soluções para o pano de laje do esquema e na

figura 6.11 mostra-se como ficaria o detalhe das três soluções.

Capitulo 6 – Exemplos

____________________________________________________________________________________

183

TABELA 6.9-Momentos Fletores e armaduras positiva e negativa para as diversas

situações da laje.

Situação

Momento (kNm) Largura da seção Armadura

pos

= 4,62 kNm

b = b

= 42 cm 1,60 cm

Laje com dois tramos

isostáticos.

Momento negativo =0

neg

= 0

- -

pos

= M

pos/elast

= 2,60 kNm

b = b

= 42 cm 0,86 cm

Laje contínua.

Momento negativo

com região maciça

neg

= M

neg/elast

= 4,62 kNm

b = 42 cm 1,60 cm

pos

= 2,88 kNm

b = b

= 42 cm 0,95 cm

Laje contínua.

Momento negativo

igual ao resistente sem

região maciça

neg

= M

res

= 3,92 kNm

b= b

= 12 cm 1,68 cm

Capitulo 6 – Exemplos

_________________________________________________________________________________

184

Vista Lateral Laje com dois tramos isostáticos

Vista Lateral Laje contínua seção do apoio plastificada

A =1,60cm

A =0,86cm

A =1,60cm

Vista Lateral Laje contínua com seção proxima ao apoio maciça

apoio apoio apoio

A =0,95cm

A =1,68cm

FIGURA 6.11-Esquema estrutural da laje do problema para três soluções: dois

tramos isostático, contínua com seção do apoio plastificada e com seção do apoio

maciça.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

185

6.6 Exemplo 5: Verificar o estado de deformação excessiva da laje do exemplo 4 nas

três situações consideradas. Além dos dados já empregados considerar que o

escoramento da laje será retirado aos 14 dias.

Para verificar o estado limite de deformação excessiva irá se considerar,

as condições de aceitabilidade sensorial e levando-se em conta a fissuração e fluência

do concreto. Inicialmente calcula-se a características geométricas da seção transversal

a) Cálculo das características geométricas

Calcula-se as características geométricas da seção mais solicitada do

tramo, como é recomendado pela norma para o uso da expressão de Branson (1968).

Seção transversal com armadura no tramo

b =42cm

b =12cm

b =42cm

b =12cm

Seção transversal bruta resistente no tramo

h=12cm

d=10cm

f=4cm

FIGURA 6.12-Esquema das seções transversais no tramo para o cálculo das

características geométricas. Seção bruta e com armadura.

• Estádio I

Para calcular as características geométricas no estádio I, segundo a

NBR6118(2003) basta faze-lo para a seção bruta usando as fórmulas. Calcula-se

primeiramente o centro de gravidade e em seguida o momento de inércia da seção bruta:

)(

⋅+













⋅−

y = 4,18 cm

)(

1212

)(













−⋅⋅+













−⋅⋅−+

⋅

⋅−

yhb

yhbb

hbb

hfwf

fwf

= 2,935 .10

-5

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

186

• Estádio II puro

Para calcular as características da seção no estádio II puro é preciso

conhecer, inicialmente, o valor do módulo de deformação longitudinal do concreto, para

encontrar o valor de α

(relação entre os módulos de deformação do aço e do concreto).

/101,2212872047604760 mkNMPafE

ckc

⋅==⋅=⋅=

865,9

101,2

1021

⋅

O valor da resistência à tração é dada por:

ct,imf

=0,21 f

2/3

=0,21 x20

2/3

=1,55MPa

O momento de fissuração, para este caso (seção “T”), é dado por:

cimfct

⋅

()

mkN /698,0

0,0418-0,12

,935.101,2.1550.2

-5

Para o estádio II puro o valor da posição da linha neutra e o momento de

inércia são dados pelas expressões a seguir. Lembrar que neste caso, 0A

= e que se

considerará que a linha neutra passa na mesa (x

) e há três situações a se considerar:

dois tramos simplesmente apoiados, tramos contínuos com plastificação no apoio

central e tramos contínuos elástico (sem plastificação). Para cada situação deste tem-se

para o valor da armadura 1,60,1,07 e 0,86 cm

respectivamente. As fórmulas a empregar

são:

(

)

1 f

ba =

Aa ⋅=

Ada ⋅⋅−=

e a posição

x da linha neutra igual a:

aaaa

⋅

⋅⋅−±−

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

187

e o momento de inércia no estádio II puro é:

d)-x(A

⋅⋅+

⋅

=Ι

ΙΙ e

com a

=21 cm e os valores de A

de cada caso obtém-se os valores de linha neutra e

inércia apresentados na tabela 6.10

TABELA 6.10 Características geométricas para o estádio II puro para seção do

tramos da laje nas diversas situações

Situação da laje Dois tramos

isostáticos

Continua com

plastificação

Continua elástica

Linha neutra x

(cm) 2,39 1,90 1,82

Inércia I

II0

(cm

) 1105 711 652

b) Cálculo das flechas para as diversas combinações

As flechas são calculadas inicialmente considerando a inércia da seção

bruta (I

=2,935.10

-05

). Este procedimento foi feito com um programa de análise

matricial que apresentou o estado de deformação para a combinação rara de ações

(carga permanente mais sobrecarga e carga acidental) p=2,31 kN/m. Os resultados

encontrados para um tramo estão apresentados na figura 6.13

O cálculo da flecha final deve ser feito segundo a NBR6118(2003) com

uma rigidez equivalente ou uma inércia equivalente

que é o valor da inércia média

de Branson. Porém como o momento de fissuração da seção transversal é muito baixo

praticamente a inércia equivalente se reduz ao valor da inércia do estádio II puro. Assim

a flecha desejada será obtida tomando-se a calculada com o programa em que se usou a

inércia da seção bruta e multiplicando-a pela relação entre as inércias do estádio I

(bruta) e estádio II ou seja:

0II

estádioI

aa ⋅=

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

188

DESLOCAMENTOS VERTICAIS

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,2

012345678910

Seçao (décimo do vão)

Deslocamentos (cm)

ISOSTÁTICA

CONTÍNUA

PLASTIFICAÇÃO

GRÁFICO 6.1 -Deslocamentos do tramo 1 para as diversas situações da laje.

Cálculo executado com a inércia da seção bruta.

Como está se considerando sempre a mesma inércia de referência ( a do

estádio II) as flechas passam a ser proporcionais ao carregamento podendo-se se

escrever:

021

2,0

estádioIfestádioIfinal

qgg

aa ⋅













+⋅

⋅++

⋅=

onde a primeira parcela corresponde a deformação devido a fluência e g

indica a ação

de carga permanente , g

sobrecarga permanente e q carga acidental. O coeficiente α

que traduz o efeito da fluência é determinado com as equações a seguir e o tempo t é

dado por t=14/30=0,47.

53,047,0996,068,0996,068,0)(

32,047,032,0

=⋅⋅=⋅⋅= tt

2)( =∞

Considerando que ρ`=0

Tem-se

47,1

53,02

'501

−

⋅+

∆

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

189

Por fim a expressão com os valores das flechas tiradas da figura 6.11

(1,09;0,45;0,31cm ) pode-se calcular a flecha final para a combinação rara de cargas e

para carga acidental nas três situações: Lembrar que a combinação quase permanente o

valor de p=g

+0,2q resulta em 3 kN/m

coincidentemente igual ao valor de q.

• Laje com dois tramos isostáticos

cma

final

30,5

1105

2935

09,147,1

52,5

0,3

09,1 =⋅













+⋅⋅=

cma

acidental

57,1

1105

2935

52,5

0,3

09,1 =⋅













⋅=

• Laje contínua com plastificação (contínua sem trecho maciço)

cma

final

40,3

711

2935

45,047,1

52,5

12,3

45,0 =⋅













+⋅⋅=

cma

acidental

00,1711

52,5

0,3

45,0 =⋅













⋅=

• Laje contínua elástica

cma

final

55,2

652

2935

31,047,1

52,5

12,3

31,0 =⋅













+⋅⋅=

cma

acidental

76,0

652

2935

52,5

0,3

31,0 =⋅













⋅=

As flechas limites podem ser encontradas na tabela 6.11 para

a condição de aceitabilidade sensorial

TABELA 6.11 condição de aceitabilidade sensorial

para a totalidade de cargas

cm6,1

250

para a carga acidental

350

=1,14 cm

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

190

Desta forma considerando ainda que pode ser dada uma contra-flecha de

até:

cma

14,1

350

=−=

• Laje com dois tramos simplesmente apoiadas

cmcma

total

6,1

250

26,414,130,5

=>=−=

∞

a condição de deformação

não estaria atendida.

cma

acidental

14,1

350

57,1 =>=

a condição de deformação para carga

acidental não estaria atendida.

• Laje contínua com plastificação

cmcma

toal

6,1

250

26,214,140,3

=>=−=

∞

a condição de deformação

não estaria atendida.

cma

acidental

14,1

350

00,1 =<=

a condição de deformação para carga

acidental estaria atendida.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

191

• Laje contínua com elástica

cmcma

toal

6,1

250

41,114,155,2

=<=−=

∞

a condição de deformação

estaria atendida..

cma

acidental

14,1

350

76,0 =<=

a condição de deformação para carga

acidental estaria atendida.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

192

6.7 Exemplo 6: Calcular os momentos fletores para as nervuras (considerando

contínuas) do pavimento dado na fôrma da figura 6.14, considerando o processo de

grelha equivalente simplificado, usando os mesmos dados do exemplo 3.

CORTE AA

V100 (12x40)

V101 (12x40)

V102(12x40)

SEÇÃO DE CÁLCULO

CORTE BB

40 cm

504 cm

400 cm

FIGURA 6.13 Planta de fôrma de pavimento com nervuras pré-moldadas.

A diferença entre este exemplo e o exemplo 4 é que neste caso em vez de

se usar o processo de viga independente usar-se-á o procedimento de grelha equivalente

“elástico” (sem considerar fissuração e plastificação). Os momentos fletores deverão ser

um pouco diferentes que os obtidos pelo processo elástico de viga independente pois as

vigas V100, V101 e V102 são deformáveis, havendo assim uma tendência da

diminuição (em módulo) nos valores do momento fletor no apoio central das nervuras.

Para a determinação dos momentos usou-se o programa GPLAN (1985)

com a malha de nós indicada na figura 6.15, sendo que os nós 103 a 119 estão no eixo

de simetria da estrutura. Os nós 1,18,35,52,69,86 e 103 determinarão a viga V100 e os

nós 9,26,43,50,77,94 e 111 a viga V101 enquanto os nós 17, 34, 51, 68, 85, 102 e 119 a

viga V102.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

193

FIGURA 6.14 Esquema dos nós que compõem a malha da grelha empregada para

determinar os esforços nas nervuras. Os nós 1, 9 e 17 são indeslocáveis na vertical

(fazem o papel dos pilares de apoio) e os nós 103 a 119 correspondem a nervura

central e o eixo de simetria da estrutura.

Resolvida a estrutura obtêm-se os deslocamentos da mesma verificando-

se, em virtude da deformabilidade das vigas que as nervuras centrais tem o apoio central

se deformando mais que os extremos interferindo nos resultados dos momentos. Como

pode ser visto nos gráficos 6.1 e 6.2 a deformação dos “apoios” centrais das nervuras é

bastante sensível.

-0.07

-0.05

-0.03

-0.01

0.01

-0.01-0.01

-0.03--0.01

-0.05--0.03

-0.07--0.05

GRÁFICO 6.2- Deformação do pavimento com deslocamentos dos pontos em m.

Pode-se perceber a menor deformação que ocorre na região das três vigas e como

as longarinas apoiadas nos pilares ou próximas deles tem menor deformação.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

194

Deslocamentos das diversas nervuras

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0.005

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

deslocamento

Ner. Lat. Esq.

Nerv. Lat.esq.1

Nerv. Interm.

Nerv. central

GRÁFICO 6.3- Deformação das diversas nervuras. As laterais esquerda e

esquerda 1 são respectivamente a nervura apoiada nos pilares calculada no modelo

de grelha e com viga independente (deformação praticamente igual). A nervura

intermediária correspondente a formada pelos nós 52 a 68 (ver fig. 14) e

finalmente a nervura central é a formada pelos nós 103 e 119, ou seja a que

apresenta a maior deformação.

No gráfico 6.2 repete-se as deformações de algumas nervuras mostrando

como a nervura central se deforma bem mais que as laterais e que uma nervura isolada

considerada em apoios indeslocáveis na vertical, conceito da viga isolada e usado no

exemplo anterior.

Desta é de se esperar que o momento fletor nas nervuras da lajes pré-

moldada no apoio da viga V102 sejam, em módulo, inferiores ao obtido com a nervura

isolada apoiada em apoios indeslocáveis.

Momento fletor negativo no centro da nervura

1234567

Nervura

Momento em kN.m

GRÁFICO 6.4 Variação do momento fletor negativo de cada nervura. O valor do

momento vai diminuindo em módulo conforme a nervura fica mais próxima do

centro da laje.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

195

Os valores dos momentos fletores máximos negativos e positivos em

cada nervura são apresentados na tabela 6.12.

TABELA 6.12 Valores dos máximos momentos positivos e negativos em cada

nervura

NERVURA

Momento fletor negativo

máximo(kN.m)

Momento fletor positivo máximo

(kN.m)

1 -6,56 -3,53

2 -5,92 3,76

3 -5,43 3,84

4 -5,06 3,94

5 -4,78 4,02

6 -4,62 4,07

7 -4,56 4,08

O momento fletor positivo das nervuras também sofre alteração, porém

não significativa como se vê na gráfico 6.4

Momento fletor máximo positivo nas nervuras

-4.5

-3.5

1234567

Nervura

Momento positiv

(kN.m)

GRÁFICO 6.5- Variação do momento fletor positivo de cada nervura. O valor do

momento vai aumentando em módulo conforme a nervura fica mais próxima do

centro da laje.

Finalmente o diagrama de momento fletor nas nervuras se alterará

conforme a deformação da viga V102 (viga central de apoio) como pode ser visto no

gráfico 6.5 em que a nervura se apoiada em apoios indeslocáveis acaba tendo um

momento fletor negativo no apoio maior (em módulo) que o caso das nervura

intermediária (nós 35 a 66) e a do meio da laje (nós 103 a 119). Para o momento fletor

positivo ocorre o inverso.

Capitulo 6 – Exemplos

___________________________________________________________________________________

196

Diagrama de Momento Fletor

-5

-4

-3

-2

-1

0 2 4 6 8 10121416

Seção

Momento Fletor

(kN.m)

Nervura isolada apoios

fixos

Nervura intermediária

Nervura central

GRÁFICO 6.6- Diagrama de momento fletor positivo da nervura isolada (apoios

indeslocáveis), intermediária e central.

CONCLUSÕES FINAIS, SUGESTÕES

7.1 Introdução

As considerações finais aqui apresentadas originaram-se do conteúdo

apresentado neste trabalho onde se procurou avaliar o comportamento de lajes pré-

fabricadas unidirecionais. Inicialmente pensou-se em realizar um trabalho só sobre a

determinação dos esforços e de armadura, assim como, detalhamento da mesma neste

tipo de sistema, porém o desenvolvimento do estudo alicerçado na bibliografia

encontrada mostrou como a execução, se não feita de forma apropriada, pode interferir

no comportamento final. Resolveu-se então incorporar mesmo que de maneira

resumida, orientações sobre a execução principalmente em relação ao escoramento,

lançamento e compactação do concreto. Outra constatação verificada é a necessidade de

um número maior de ensaios com este sistema pois alem da grande variabilidade

intrínseca do módulo de elasticidade e resistência à tração do concreto, as lajes pré-

fabricadas contínuas podem apresentar, mesmo em serviço seções com rótulas plásticas.

Desta forma sempre que possível os trabalhos experimentais, mesmos os exploratórios,

foram citados.

Para facilitar a leitura deste capítulo e melhor organizar os assuntos

separa-se as principais conclusões em ordem executiva e de projeto para depois no final

deste capítulo apresentar as sugestões para novas pesquisas.

Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões

___________________________________________________________________________________

198

7.2 Conclusões em relação à questão de execução.

Entre os diversos aspectos da execução do sistema de lajes pré-fabricadas

procurou-se, neste trabalho, ressaltar cinco deles: a) escoramento, b)adensamento do

concreto, c)cura do concreto, d)cobrimento e e)ações ao longo do tempo.

Em relação a montagem da lajes pré-fabricadas é de suma importância que se

empreguem espaçamentos adequados, como discutido no item 2.9, caso contrário o

risco de colapso durante o lançamento do concreto é grande. Os trabalhos de GASPAR

(1997), FORTE et alli (2000) e principalmente DROPPA JUNIOR (2000) permitem

determinar em função de equipamentos empregados e tipo de treliça o espaçamento

máximo a ser empregado. Vale a pena lembrar que no caso da vigota treliçada a

condição determinante está relacionada a instabilidade do banzo superior da treliça.

Assim é importante evitar, seja no transporte das mesmas ou na hora da execução, que a

barra que forma este banzo perca sua retilineidade, evitando, portanto que os operários

pisem na mesma. Os equipamentos a serem empregados (carrinhos de mão, gericas etc)

precisam ter seu peso corretamente avaliado e finalmente evitar-se a formação de

grandes acúmulos de volume de concreto em pequenas regiões que provoquem

sobrecarga acima da prevista. Finalmente como ferramenta recomenda-se o programa

de DROPPA JUNIOR (2003) para determinação do espaçamento de escoramento para

lajes treliçadas que pode também, a partir dos trabalhos de FORTE e Alli (1997) e

MERLIN (2002), ser devidamente adaptado para nervuras de concreto armado e

protendido.

Na questão da concretagem mostrou-se nos itens 2.7 e 2.8, resumidamente, os

processos de adensamento e cura do concreto que devem ser empregados para este

sistema, chamando a atenção que os mesmos podem afetar substancialmente a rigidez

das nervuras. O trabalho de PEIXOTO (2002), cujos resultados são apresentados em

5.4.3.1.e 5.4.3.2, apesar de simples pode mostrar que o adensamento do concreto com

vibração por imersão e a cura controlada por molhagem da superfície da laje permitem

um ganho de rigidez à flexão no sistema quando comparado aos sistemas executados

sem esta técnica. Valores experimentais foram apresentados mostrando claramente os

beneficios de tais técnicas, mas a maior importância é, sem dúvida, garantir uma menor

variabilidade nos valores de rigidez do sistema.

Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões

___________________________________________________________________________________

199

A questão do cobrimento é abordada no item 2.4.1.1 e mostrou-se as grandes

mudanças que ocorreram com a publicação da nova norma NBR6118(2003) com um

grande aumento para os valores nominais dos mesmos. Este tópico deverá merecer sem

dúvida um estudo mais cuidadoso no futuro para que não seja necessário mudar as

formas existentes de nervuras. De qualquer maneira a partir de março do ano de 2004

todos os fabricantes deverão obedecer os novos valores de cobrimento.

Finalmente em relação a questão de deformação, pode-se perceber pelos ensaios

de ROGGE (2000) que particularmente as deformações devido a fluência do concreto

são bastante altas, maiores ainda que as previstas pela NBR6118(2003) recomendando-

se assim que a retirada do escoramento seja retardada o máximo possível e que também

seja dada preferência a esquemas de lajes contínuas que reduzem também drasticamente

a flecha imediata. Nesta última situação chama-se a atenção para o correto

posicionamento da armadura “negativa” (junto a face superior) que deve estar bem

fixada e que deve ser evitada de ser pisada.

7.3 Conclusões em relação às questões de projeto

Diversos aspectos podem ser considerados em relação ao projeto de lajes pré-

fabricadas que passam basicamente pelo cálculo e verificação nos estados limites.

Assim para organizar melhor o texto e de acordo como foram tratados neste trabalho

considerar-se-á um item para os aspectos relativos ao modelo de cálculo empregado,

outro para os estado limites últimos de flexão e cisalhamento e mais um para os dos

estados limites de deformação excessiva.

7.3.1 Modelos de Cálculo

Poucos pesquisadores se detem na discussão dos processos de determinação dos

esforços e deslocamentos das lajes pré-fabricadas, mas como mostra o capítulo 3 há

uma série de hipóteses que podem ser feitas que levarão a resultados bem distintos.

Mesmos para as lajes unidirecionais é possível usar o modelo de grelha equivalente e

sempre que possível a fissuração do concreto deve ser considerada. Os principais

Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões

___________________________________________________________________________________

200

processos usados são o de viga isolada e de grelha equivalente sem a fissuração do

concreto corrigindo a flecha com a expressão de BRANSON já presente na

NBR6118(2003).

Embora seja possível usar-se processos “elásticos”, ou seja, aqueles baseados na

teria da resistência dos materiais, a forma da seção transversal das lajes requer em

diversas situações o cálculo não linear com fissuração do concreto e até plastificação do

concreto.

A grande variedade de programas existentes no mercado pode até confundir os

projetistas pois, em geral, são acompanhadas de explicações resumidas do processo de

cálculo. Recomenda-se ao projetista, sempre que possível testar, através de exemplos

simples, o programa para realmente entender o que é capaz de fazer.

7.3.2 Estado limites últimos de flexão e cisalhamento

O projeto de lajes pré-fabricadas unidirecionais embora aparentemente não

apresente novidade, requer que o projetista esteja sempre atento à questão da diferença

de capacidade portante que a seção em forma de “T” tem para momentos positivos e

negativos. Usando esta característica da seção transversal pode-se melhorar a

distribuição de armaduras longitudinais e detalhá-la de forma mais econômica como

mostra o exemplo 3 do capítulo 6.

Quando há paredes colocadas transversalmente às nervuras da laje a condição de

cisalhamento pode ser determinante no projeto. Isto fica claro no exemplo 2 do capítulo

6 e o projetista passa a determinar a altura da nervura e a treliça a ser empregada em

função, não mais do escoramento e as questões de flexão mas sim do cisalhamento.

7.3.3 Estado limites de deformação excessiva

No capítulo 5 deste mostra-se que o sistema de laje unidirecional trabalha, em

geral, com muitas seções funcionando, em serviço, no estádio II. Os ensaios feitos pelo

grupo de São Carlos e outros autores apresentados ao longo dos itens 5.4 a 5.6 mostram

em primeiro lugar que: a) para alturas inferiores a 20 cm e vão até 5m o momento de

Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões

___________________________________________________________________________________

201

fissuração para cargas usuais de serviço é ultrapassado (funcionamento no estádio II),

b)a flecha de fluência acompanha o valor do coeficiente de fluência e portanto é bem

maior que a flecha imediata, c) as expressões da NBR6118:1980 e NBR6118:2003

apresentaram resultados subestimados das flechas quando comparada a resultados

experimentais.

Através do primeiro exemplo mostra-se que as flechas de elementos

simplesmente apoiados é bem grande, em parte é verdade porque os resultados são

sempre considerando que o apoio se faz apenas através de um ponto, o que não ocorre

na prática. Há também as questões do impedimento a rotação que as nervuras podem

sofrer devido ao peso de paredes levantadas por cima delas junto ao apoio. Muitas vezes

executa-se uma argamassa (as vezes de cimento, areia e água) para uniformização da

face superior de laje que apesar de aumentar o peso próprio da laje pode também

aumentar significativamente a inércia da seção transversal. As questões levantadas

podem explicar, em parte, porque na prática algumas lajes com espessura em torno de

15 cm se apresentam com flechas compatíveis ao bom uso das mesma. De qualquer

forma são temas que devem ser investigados experimentalmente.

O exemplo 4 do capítulo 6, mesmo usando um processo relativamente simples

que permite a consideração aproximada da fissuração mostra os benifícios da

consideração de um sistema contínuo.

Finalmente a questão dos novos limites de flecha imposto pela NBR6118:2003

e os valores adotados para o valor do momento de fissuração, resistência à tração do

concreto e combinações de ações merecem para este sistema um estudo melhor e talvez

uma adapatação de valores, conforme mostra o exemplo 2 do capítulo 6 em que se

conclui para o caso dos protótipos de ROGGE (2000) as expressões da NBR6118:1980

devidamente adapatadas apresentaram resultados melhores.

7.4 Sugestões para novas pesquisas

A primeira sugestão que se faz é que é preciso agora se desenvolver uma série de

exemplos que devem ser resolvidos com as novas expressões proposta pela

NBR6118(2003), principalmente em relação ao estado de deformação excessiva, as

Capitulo 7 –Conclusões finais e sugestões

___________________________________________________________________________________

202

questões de cobrimento para que se possa identificar possíveis problemas ou até

modificações nas linhas de produção das fábricas de vigotas.

Mas mais importante é desenvolver um programa experimental com o objetivo

de fornecer mais parâmetros para que o engenheiro projetista conhecendo apenas o

valor da resistência característica do concreto consiga projetar com razoável segurança.

Dentro deste programa necessariamente estariam contemplados: o estudo da

fissuração de estruturas de lajes pré-fabricadas contínuas, assim como a deformação

diferida das mesmas. A questão da plastificação das seções nos apoios deveria também

merecer destaque.

Um estudo experimental interessante seria verificar a influência da largura dos

apoios das lajes em relação ao seu estado de deformação.

Finalmente seria importante “calibrar” as expressões de fissuração que

programas não lineares tipo TQS empregam para poder simular exemplos mais

próximos dos reais e até verificar se para pequenos vãos e cargas usuais os resultados de

programas mais simples e acessíveis podem ser usados com boa aproximação.

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FORMULÁRIO E TABELA PARA O DIMENSIONAMENTO

DE ARMADURA LONGITIDNAL DE FLEXÃO

Formulário para utilização da tabela A I.1

cdw

fdb

KMD

⋅⋅

KX =

KZ =

Se = ε

> ε

então

fdKZ

⋅⋅

FIGURA A I.1 Viga de seção retangular e diagramas de deformações e tensões na

seção solicitada pelo momento de cálculo M

Anexo 1

________________________________________________________________________________________

213

TABELA AI.1 Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares

KMD KX KZ

0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,0000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814

0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,0000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971

0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,0000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255

0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,0000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658

0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,0000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170

0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,0000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785

0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,0000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496

0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,0000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297

0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,0000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181

0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,0000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144

0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,0000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181

0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,0000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287

0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,0000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459

0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,0000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691

0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,0000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981

0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,0000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324

0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719

0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,0000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162

0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,0000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649

0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,0000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179

0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,0000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748

0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,0000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355

0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,0000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997

0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,0000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672

0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,0000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100

0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,0000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652

0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283

0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983

0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732

0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506

0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106

0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662

0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204

0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919

0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793

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