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Luciana Ferreira dos Santos
PINTAR, DOBRAR, RECORTAR E DESENHAR: O
ensino da Simetria e das Artes Visuais em Livros
Didáticos de Matemática para séries iniciais do
Ensino Fundamental.
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Educação
Matemática e Tecnológica da
Universidade Federal de Pernambuco,
como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Educação matemática
e Tecnológica.
Orientadora: profª. Drª. Rosinalda Aurora de Melo Teles
Recife
2010
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Santos, Luciana Ferreira dos
Pintar, dobrar, recortar e desenhar: o ensino de
simetria e das artes visuais em livros didáticos de
matemática para séries iniciais do ensino fundamental
/
Luciana Ferreira dos Santos. – Recife : O Autor, 2010.
216 f. : il.
Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de
Pernambuco. CE. Educação, 2010.
Inclui apêndices
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Livro didático.
3. Simetria. I. Título.
37 CDU (2.ed.) UFPE
372.7 CDD (22.ed.) CE2010-20
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2
3
A
minha família, que sempre está comigo, não apenas
neste momento, como em todos os momentos de
minha vida, sendo-me sempre muito carinhosa e
compreensiva.
4
AGRADECIMENTOS
A Deus, por sua imensa bondade e sabedoria.
Aos meus familiares, por me ensinarem tudo que aprendi sobre respeito, ética
e honestidade.
A Rosinalda Teles, pela paciência, companheirismo e orientação.
A Paula Bellemain, Iranete Lima, Marcelo Câmera, Paulo Figueiredo, pelo
acompanhamento e sugestões.
A Emerson Melquiades, por sua orientação inicial que me introduziu nos
caminhos da Arte.
Ao professor Pedrosa por sua generosa contribuição.
A todo o corpo docente da EDUMATEC que me possibilitou um
aprofundamento teórico acerca da Educação Matemática e Tecnológica.
Aos companheiros de Mestrado que tanto colaboraram para a construção
deste trabalho nas tardes calorosas de discussão, especialmente, a Diógenes,
Izauriana, Diana, Gledson, Emerson e Cybele Regina.
Aos/às companheiros/as de luta por uma educação de qualidade das escolas
Terezinha Camarotti e Alto da Macaíba, especialmente, Rosilene, Valdira, Mirian
Valéria, Cristiane, Salete, Irlene, Dona Givsan, Daniela, Juliana, Dona Suzana, pelo
incentivo e compreensão.
Ao professor Xavier, mestre que me apresentou Paulo Freire, com a toda
sabedoria e genialidade, e que me estimula na busca por me tornar um ser humano
melhor.
5
Nossa universidade atual forma, pelo mundo afora,
uma proporção demasiado grande de especialistas
em disciplinas predeterminadas, portanto
artificialmente delimitadas, enquanto uma grande
parte das atividades sociais, como próprio
desenvolvimento da ciência, exige homens capazes
de um ângulo de visão muito mais amplo e, ao
mesmo tempo, de um enfoque dos problemas em
profundidade, além de novos progressos que
transgridam as fronteiras das disciplinas.
Licgenerowicz
6
RESUMO
Inserindo-se no âmbito do ensino e aprendizagem da Geometria, esta pesquisa
analisa atividades que articulam Geometria e Artes Visuais na abordagem do
conteúdo da Simetria nos livros didáticos de Matemática para séries iniciais do
Ensino Fundamental. O estudo envolve uma revisão da literatura sobre
Interdisciplinaridade, Geometria, Simetria, Artes e livros didáticos. Os procedimentos
metodológicos foram baseados em etapas da análise do conteúdo e utilizamos
elementos da análise teórica. A coleta de dados foi realizada em 17 coleções de
livros didáticos de Matemática aprovados pelo PNLD em 2010. No estudo
quantitativo, observaram-se 200 atividades que estabelecem laços de colaboração e
reciprocidade entre o conteúdo da Simetria e as Artes visuais. As contribuições eram
realizadas através de modalidades artísticas padrões, arquitetura, pinturas, borrões
de tinta, desenhos e dobraduras. Este estudo, junto à fundamentação teórica,
apontou as categorias de análise para o estudo qualitativo. Neste identificamos que
as propriedades da simetria são trabalhadas de forma implícita, uma ênfase no tipo
de figuras conexas, em detrimento das desconexas. O eixo de simetria, dependendo
da atividade, é abordado em diferentes posições. Encontramos lacunas conceituais
em relação às ações de artes (leitura, contextualização e fazer artístico).
Constatamos que o elemento de visualidade “cor” é utilizado como critério para
produção de figuras simétricas sem a devida explicitação que esta é uma
propriedade geométrica. Averiguamos que a construção das atividades acontece
basicamente à mão livre e são poucas as atividades que sugerem o uso de
instrumentos de desenho, assim como os recursos materiais das artes visuais
restringiram-se a lápis de cores, tinta e papel. Apesar das limitações identificadas,
encontramos atividades cujas propostas indicam aportes mútuos entre o conteúdo
Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos das séries iniciais.
Palavras chaves: Simetria - Artes visuais – Interdisciplinaridade – Livro Didático
7
ABSTRACT
In the teaching-learning environment of Geometry, and within the
interdisciplinary practices of attributing meaning to mathematical content, this
study analyses activities which articulate Geometry and Visual Arts in the
approach to Symmetry in textbooks on Mathematics in the initial stages of
Primary School Teaching. Our methodological procedures based themselves
on stages of Analysis in the work of Bardin (2009), as well as on elements of
theoretical analysis in Henry. The data were collected in 17 collections of
Mathematics textbooks approved by the PNLD-2010, where 200 activities
establishing collaborative links and reciprocity between Symmetry and Visual
Arts were mapped in the following artistic modes: pattern-making,
architecture, painting, design and paper-folding. Quantitative data and
theoretic bases helped form analytical categories for qualitative study which,
amongst other aspects, showed that the properties of Symmetry are
approached implicitly; there being an emphasis on connected figures, to the
detriment of those which are adrift. The predominant position of the axis of
that which is symmetrical is vertical. There exist conceptual gaps in relation to
how artistic disciplines behave (reading, contextualization and artistic
endeavor). Color is also a visual element used as a criterion for the production
of symmetrical figures. We verify that the construction of designs in the
majority of artistic modes is basically free-handed. Taking into account certain
limitations, we find engravings, patterns, folding and paintings which propose
mutual influences between Symmetry and Visual Arts in textbooks.
Key-words: Symmetry – Visual Arts – Interdisciplinary approach - Textbook
8
LISTA DE ILUSTRAÇOES
FIGURA 01:
DACOSTA, Milton. Retrato de Alexandre, 1959. ................
18
FIGURA 02:
ARARIPE, Oscar. Reflexo. .................................................
22
FIGURA 03:
DA VINCI, Leonardo. Mona Lisa..........................................
36
FIGURA 04:
CEZANNE, Paul, Still Life with Apples.................................
37
FIGURA 05 :
PICASSO, Pablo. Les demoiselles d'Avignon......................
38
FIGURA 06:
MONDRIAN, Piet .Komposition in rot...................................
39
FIGURA 07:
CORDEIRO, Waldemar. Estrutura Plástica.........................
40
FIGURA 08:
DACOSTA, Milton. Figura. 1960..........................................
41
FIGURA 09:
VOLPI, Alfredo, Projeto nº 2129..........................................
42
FIGURA 10:
SIQUEIRA, Edeson. Simetria de Reflexão..........................
45
FIGURA 11:
SIQUEIRA, Edeson. Simetria de Translação.......................
46
FIGURA 12:
SIQUEIRA, Edeson. Simetria de Rotação...........................
46
FIGURA 13:
SIQUEIRA, Edeson. Simetria de Reflexão por
deslizamento........................................................................
47
FIGURA 14:
ESCHER, Maurice. Cisnes.................................................
51
FIGURA 15:
Cerâmica Marajoara...........................................................
52
FIGURA 16:
VALENTIM, Rubem. Emblema..........................................
53
FIGURA 17:
Proposta triangular.............................................................
60
FIGURA 18:
ESCHER. M.C. Sky and Water............................................
66
FIGURA 19:
FAINGUELERNT e NUNES, Faixa criada por Amanda
Magno de Assis...................................................................
67
FIGURA 20:
Diagrama com a fundamentação teórica da pesquisa.........
74
FIGURA 21:
Pintura indígena, Kaokokoxi/ largato pequeno.....................
77
FIGURA 22:
Quadro - procedimentos metodológicos, elaborados a
partir da leitura sobre Análise do Conteúdo de Bardin
(2009)..................................................................................
83
FIGURA 23:
Quadro - categorias de análise............................................
86
FIGURA 24:
ESCHER, Maurice. [sem titulo]. ..........................................
95
FIGURA 25:
Gráfico - Frequência das atividades que articulam Simetria
e Artes Visuais por volume...................................................
98
9
FIGURA 26:
Gráfico - Frequência das modalidades artísticas nas
coleções
105
FIGURA 28:
BORJORNO, J. R.; AZENHA, R. Pode contar comigo.
FTD. São Paulo, 2008, p.76. ...........................................
106
FIGURA 29:
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Saraiva. São Paulo,
2008, p. 88........................................................................
107
FIGURA 30:
MENEGHELLO, M.; PASSOS, Â. De olho para o futuro -
matemática. Quinteto editorial. São Paulo,
2008......................................................................................
108
FIGURA 31:
BARROSO, J. M. Projeto Pitanguá matemática. 2ª edição,
v. 3, 127. Moderna. 2008....................................................
109
FIGURA 32:
CERULLO. M. I. C. et al. Coleção: Ponto de partida
matemática.Sarandi. São Paulo, 2008, p.262...................
110
FIGURA 33:
CENTURIÓN, Marília et al. Porta Aberta – Matemática.
FTD. São Paulo. 2008, p. 76..............................................
111
FIGURA 34 :
MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. editora
Moderna. São Paulo, 2008, p. 89........................................
112
FIGURA 35:
TOSSATO, C. et al. Hoje é dia de matemática. Positivo,
Curitiba,2007, p. 13..............................................................
113
FIGURA 36:
REAME, E.; MOTENEGRO, P. Linguagem Matemática.
Saraiva. São Paulo. 2008, p.209..........................................
114
FIGURA 37:
Arquitetura. Fotografia.........................................................
116
FIGURA 38:
AIDAR, Márcia. Ler Mundo – Matemática. Editora
Scipione. São Paulo, 2008. v. 4, p. 193...............................
119
FIGURA 39:
SOUZA, M. H. et al. Asas para voar matemática. Editora
Ática. São Paulo. 2008.v.3, p.145........................................
121
FIGURA 40:
MILANI, Estela et al. Projeto conviver matemática. Editora
Moderna. São Paulo, 2008, v. 3. p. 121..............................
121
FIGURA 41:
SOUZA, Mª. H. et al. Coleção asas para voar matemática.
Editora Ática. São Paulo. 2008. V. 3, p. 144. ......................
123
FIGURA 42:
TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Editora
positivo, Curitiba, 2007. v.1, p 192.......................................
124
FIGURA 43:
SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo
matemática. 4ª edição reformulada, Saraiva. São Paulo.
10
2008. v. 3, p. 177.................................................................
125
FIGURA 44:
REAME, E. et al. Linguagens Matemática. Editora saraiva.
São Paulo. 2008. v. 5, p. 169...............................................
126
FIGURA 45:
BARROSO, J. M. (org). Projeto Pitanguá matemática.
Editora moderna. 2ª edição, 2008. v. 2, p. 208....................
127
FIGURA 46:
SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo
matemática. . 4ª edição reformulada. Editora Saraiva, São
Paulo. 2008. V. 3, p. 179.....................................................
128
FIGURA 47:
REAME, E. et al. Linguagem Matemática. Saraiva. São
Paulo. 2008. V. 5, p. 170.....................................................
129
FIGURA 48:
SOUZA. Et al. Asas para voar matemática. Editora Ática.
São Paulo. 2008. v. 4, p. 161.............................................
130
FIGURA 49:
GASTALDI; Mª. V. et al. Projeto Buriti - matemática.
Editora Moderna, São Paulo 2007, v. 1, p. 117...................
131
FIGURA 50 :
BORDEAUX, A. L. et al. Bem-me-quer. Editora Brasil. São
Paulo. 2008. v. 3, p. 71.......................................................
132
FIGURA 51:
Gráfico - posições do eixo de Simetria................................
133
FIGURA 52:
CERULLO. Mª. I.C. et al. Ponto de partida matemática.
Editora sarandi. São Paulo, 2008. v. 3, p.253......... ............
134
FIGURA 53:
BORDEAUX, A. L. et al. Bem-me-quer. 1ª edição, editora
Brasil. São Paulo. 2008. v. 5, p. 206...................................
135
FIGURA 54 :
MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Moderna.
São Paulo, 2008, volume 2, p. 188....................................
136
FIGURA 55:
SOUZA, Mª. H. et al. Asas para voar matemática. Ática.
São Paulo. 2008. v. 3, p. 146.............................................
137
FIGURA 56:
BUENO, A. Mª. et al. Pensar e viver – Matemática. Ática.
São Paulo. V. 4, p. 147......................................................
138
FIGURA 57:
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São
Paulo, 2008. V. 4, p. 122......................................................
139
FIGURA 58:
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São
Paulo, 2008, v. 4 p. 88.........................................................
140
FIGURA 59:
AIDAR, Márcia. Ler Mundo – Matemática. São Paulo,
Editora scipione. v. 4, p. 192, 2008......................................
141
FIGURA 60:
Gráfico - distribuição das figuras nas atividades..................
142
11
FIGURA 61 :
MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Moderna.
São Paulo, 2008, volume 2, p. 189......................................
143
FIGURA 62 :
DANTE, L. R. et al. Aprendendo Sempre Matemática.
Editora Ática. São Paulo. 2008. v. 5, p. 94...........................
144
FIGURA 63:
CERULLO. Mª. I. et al. Ponto de partida matemática.
Editora Sarandi. São Paulo, 2008. v. 3, p. 257....................
145
FIGURA 64:
MILANI, Estela e outros. Projeto conviver matemática.
Moderna. São Paulo, 2008, volume 1, p. 141......................
146
FIGURA 65:
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São
Paulo, 2008. V. 3, p. 174......................................................
146
FIGURA 66:
FERREIRA, A. et al. Fazer, compreender e criar em
matemática. 3ª edição, IBEP. São Paulo, 2008, v.5, p.
148......................................................................................
147
FIGURA 67:
TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Positivo,
Curitiba, 2007. v. 3, p. 10....................................................
148
FIGURA 68:
REAME, E. et al. Linguagem Matemática. Editora Saraiva.
São Paulo. 2008. v. 4, p. 210...............................................
149
FIGURA 69:
MONET. Claude. O barco ateliê...........................................
152
FIGURA 70:
Gráfico - distribuição das atividades de Simetria e Artes
Visuais, conforme as formas de leitura de imagens.............
154
FIGURA 71:
TOSSATO, C. M. et. Hoje é dia de matemática. Positivo,
Curitiba, 2007. v. 5, p. 88.....................................................
155
FIGURA 72:
DANTE, L. R. Aprendendo Sempre Matemática. Ática.
São Paulo. 2008. v. 5, p. 163...............................................
155
FIGURA 73:
BARROSO, J. M. Projeto Pitanguá matemática. 2ª edição.
Moderna. 2008. V. 2, p. 217.................................................
156
FIGURA 74:
DANTE, L. R. Aprendendo Sempre Matemática. 1ª
edição.Ática.São Paulo. 2008. v. 3, p. 79............................
157
FIGURA 75 :
MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Editora
Moderna. São Paulo, 2008, volume 1, p. 140......................
158
FIGURA 76:
____________________. Projeto conviver matemática.
Moderna. São Paulo, 2008, volume 3, p. 120......................
159
FIGURA 77:
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Saraiva. São Paulo,
2008. V. 4, p. 122.................................................................
160
12
FIGURA 78:
AIDAR, M. Ler Mundo – Matemática. São Paulo. Scipione.
2008. v. 4, p. 192..................................................................
161
FIGURA 79:
BARROSO, J. M. (org). Projeto Pitanguá matemática. 2ª
edição. Moderna. 2008. v. 2, p. 208....................................
162
FIGURA 80:
TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de Matemática. Positivo,
Curitiba, 2007. v. 3, p. 10-11................................................
163
FIGURA 81:
Gráfico - distribuição das atividades com contextualização
nos livros didáticos...............................................................
165
FIGURA 82:
Ferreira. A. et al. Fazer, compreender e criar em
matemática. 3ª edição. IBEP. São Paulo, 2008. v. 5, p.
151.......................................................................................
165
FIGURA 83:
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Saraiva. São Paulo,
2008. V. 3, p. 179.................................................................
166
FIGURA 84:
REAME, E. et al. Linguagem Matemática. Editora saraiva.
São Paulo. 2008. v. 5, p. 168...............................................
167
FIGURA 85:
BARROSO, J. M. (org). Projeto Pitanguá matemática. 2ª
edição. Moderna, 2008. v. 3, p. 127...................................
168
FIGURA 86:
Ferreira, A. et al. Fazer compreende e criar em
matemática. 3ª edição, IBEP. São Paulo, 2008. v. 5, p.
149........................................................................................
169
FIGURA 87:
AIDAR; M. Ler mundo - matemática. Scipione São Paulo,
2008. v. 3, p. 193..................................................................
170
FIGURA 88:
TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Positivo,
Curitiba, 2007. v. 4, p. 10-11................................................
171
FIGURA 89:
Gráfico - distribuição do Fazer Artístico por modalidade.....
172
FIGURA 90:
DANTE, L. R. Aprendendo Sempre Matemática. Ática.
São Paulo. 2008. v. 4, p. 167...............................................
173
FIGURA 91:
AIDAR, Márcia. Ler Mundo - Matemática. Scipione. São
Paulo, 2008. V. 3, p. 145......................................................
174
FIGURA 92:
MILANI, E. et al. Projeto Conviver - Matemático. Moderna.
São Paulo, 2008. V. 4, p. 91................................................
175
FIGURA 93:
_______________. Projeto Conviver - Matemático.
Moderna. São Paulo, 2008. V. 1, p. 141.............................
176
FIGURA 94:
_______________. Projeto Conviver – Matemática.
13
Moderna. São Paulo, 2008. V. 1, p. 145- 146....................
177
FIGURA 95:
_________________. Projeto Conviver - Matemática.
moderna. São Paulo, 2008. V. 1, p. 185.............................
178
FIGURA 96:
AIDAR, M. Ler Mundo - Matemática. Scipione. São Paulo,
2008. V. 5, p. 19..................................................................
179
FIGURA 97:
SANCHEZ, l. B. et al. Fazendo e compreendendo
matemática.Saraiva. 4ª edição reformulada, São Paulo.
2008. v. 1, p. 126................................................................
180
FIGURA 98:
SOUZA, Mª. H. et al. Coleção asas para voar matemática.
1ª edição. Editora Ática. São Paulo. 2008. V. 3, p. 143. ....
181
FIGURA 99:
Gráfico - tipo de papel.........................................................
182
FIGURA 100:
DANTE, L. R. Aprendendo Sempre Matemática. Ática.
São Paulo. 2008. v. 5, p. 91.................................................
183
FIGURA 101:
GASTALDI. Mª. V. et al. Projeto Buriti-matemática.
Moderna, São Paulo 2007. v.3, p.152..................................
184
FIGURA 102:
DANTE, L. R. Aprendendo Sempre Matemática. Ática.
São Paulo. 2008. v. 4, p. 163...............................................
185
FIGURA 103:
AIDAR; M. Ler mundo - matemática. Scipione São Paulo,
2008. v. 3, p. 193..................................................................
185
FIGURA 104:
REAME, E. et al. Linguagem Matemática. Saraiva. São
Paulo. 2008. v. 5, p. 171....................................................
185
FIGURA 105:
MILANI E. et al. Projeto Conviver - Matemática. 1ª edição.
Moderna. São Paulo, 2008. v. 5, 102.................................
186
FIGURA 106:
SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo
matemática.Saraiva. 4ª edição reformulada, São Paulo.
2008. v. 5, p. 61..................................................................
187
FIGURA 107:
BORJORNO, et al. Pode contar comigo. 1ª edição,.
Editora FTD. São Paulo, 2008. v. 3, p. 77.........................
188
FIGURA 108:
Técnica Borrão de tinta......................................................
191
14
LISTA DE TABELAS
TABELA 01:
Frequência da Simetria Articulada as Artes visuais nos Livros
Didáticos de Matemática............................................................
96
TABELA 02:
Distribuição das atividades de acordo com as modalidades
artísticas......................................................................................
103
TABELA 03:
Frequência dos tipos de Simetrias..............................................
118
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
CFE – Conselho Federal de Educação
CERI – Centro para Pesquisa e Inovação do Ensino
INTERCOM - Brasileira de Estudos Interdisciplinares da Comunicação
LDB - Lei de Diretrizes e Base da Educação Nacional
OCDE - Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico
PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNM - Parâmetros Curriculares Nacionais do ensino Médio
PNLD - Programa Nacional do Livro didático
15
SUMÁRIO
DEDICATÓRIA
AGRADECIMENTOS
EPÍGRAFE
RESUMO
ABSTRACT
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
LISTA DE TABELAS
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................
19
2
PROBLEMÁTICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...............................
23
2.1
Interdisciplinaridade: uma relação de Colaboração e
Reciprocidade ................................................................................
23
2.1.1
A origem da interdisciplinaridade...................................
25
2.1.2
A Interdisciplinaridade na legislação e documentos
oficiais.............................................................................
27
2.1.3
Concepções de interdisciplinaridade..............................
29
2.1.4
O lugar da interdisciplinaridade em nossa pesquisa......
31
2.2
Geometria: uma diversidade de temas..........................................
32
2.2.1
O encontro da Geometria com as Artes Visuais ao
longo do tempo...............................................................
35
2.2.2
Beleza, harmonia, proporção, regularidade. Afinal, o
que é Simetria?...........................................................
43
2.2.2.1
Simetria, um olhar matemático....................
43
2.2.2.2
Reflexão, Translação, Rotação: tipos de
simetrias....................................................
45
2.2.2.3
O ensino da Simetria: um olhar pedagógico
47
2.2.2.4
Simetria e Artes Visuais: uma conexão.......
50
2.3
O ensino da arte: uma área de conhecimento................................
55
2.3.1
O ensino da arte: uma técnica, uma expressão, uma
atividade, uma área de conhecimento............................
55
2.3.1.1
Leitura de imagem ou obras de artes?........
60
2.3.1.2
A história, o espaço e o lugar da arte........
61
16
2.3.1.3
Jogo de criação..........................................
62
2.3.2
Cor, linha, forma na linguagem visual............................
63
2.3.3
Evidências de interdisciplinaridade da Geometria e das
Artes Visuais...................................................................
66
2.4
Livro Didático: Possibilidades e Limites..........................................
69
2.4.1
Livro Didático, o que é?..................................................
69
2.4.2
Livro didático, possibilidades..........................................
71
2.4.3
Livro didático, limites ......................................................
73
2.5
Objetivos.........................................................................................
76
2.5.1
Geral...............................................................................
76
2.5.2
Específico.......................................................................
76
3 SIMETRIAS E ARTES VISUAIS: LAÇOS DE COLABORAÇÃO E
RECIPROCIDADE.....................................................................................
78
3.1
Procedimentos Metodológicos........................................................
78
3.1.1
Pré-análise......................................................................
79
3.1.2
Exploração do material...................................................
81
3.1.3
Tratamento dos dados....................................................
81
3.2
O papel da análise teórica em nossa pesquisa..............................
83
3.3
O entrelaçamento entre Simetria e Artes visuais: categorias de
análise.............................................................................................
86
3.3.1
Propriedades da Simetria de Reflexão e translação......
86
3.3.2
Eixo ou plano de simetria?..............................................
87
3.3.3
Figura Simétrica..............................................................
89
3.3.4
Leitura de Obras de Artes...............................................
90
3.3.5
Contextualização............................................................
90
3.3.6
Fazer Artístico................................................................
91
3.3.7
Elementos de visualidade (cor)....................................
92
3.3.8
Recursos Didáticos........................................................
92
3.4
Apresentação dos livros didáticos..................................................
93
4 LAÇOS DE COLABORAÇÃO DA SIMETRIA E DAS ARTES VISUAIS
NOS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA: UM ESTUDO
QUANTITATIVO........................................................................................
96
4.1
A freqüência da simetria e artes visuais nos livros didáticos de
matemática para séries iniciais.......................................................
96
17
4.1.1
Desenho.........................................................................
99
4.1.2
Dobradura......................................................................
99
4.1.3
Padrão.. .........................................................................
101
4.1.4
Pintura............................................................................
101
4.1.5
Arquitetura......................................................................
102
4.1.6
Gravura...........................................................................
102
4.2
Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos: identificando alguns
laços de colaboração......................................................................
114
5 RECIPROCIDADE DA SIMETRIA E ARTES VISUAIS NOS LIVROS
DIDÁTICOS: UMA ANÁLISE QUALITATIVA...........................................
117
5.1
Tipos de Simetria............................................................................
117
5.1.1
Simetria de Translação...................................................
120
5.1.2
Simetria de Reflexão......................................................
122
5.1.2.1
Propriedades da Simetria de Reflexão ......
122
5.1.2.2
Eixo ou plano de Simetria?..........................
133
5.1.2.3
Figura Simétrica...........................................
142
5.2
As contribuições recíprocas das Artes Visuais para Simetria em
livros didáticos de matemática.......................................................
150
6 PINTAR, DOBRAR, RECORTAR E DESENHAR NOS LIVROS
DIDÁTICOS - UMA ANÁLISE QUALITATIVA.........................................
153
6.1
Leitura de obras de artes................................................................
153
6.2
Contextualização.............................................................................
164
6.3
Fazer artístico.................................................................................
173
6.4
Elementos de visualidade (cor).......................................................
180
6.5
Recursos didáticos..........................................................................
182
6.6
Os aportes mútuos da simetria e artes visuais nos livros didáticos
de matemática...............................................................................
189
7 INTERDISCIPLINARIDADE: AVANÇOS, ENTRAVES, APORTES
MÚTUOS - REFLEXÕES SOBRE SIMETRIA E ARTES VISUAIS NOS
LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA PARA SÉRIES
INICIAIS.....................................................................................................
192
7.1
Possíveis encaminhamentos..........................................................
196
REFERÊNCIAS
APÊNDICE
18
Figura 01: DACOSTA, Milton. Retrato de Alexandre,
1959. Fotografia. il. Color. Apresentada no livro didático
- Projeto conviver matemática. Moderna, 2008, v. 2, p.
186
.
19
1 INTRODUÇÃO
O presente estudo, intitulado “Pintar, dobrar, recortar e desenhar: o ensino de
Simetria e das Artes Visuais em livros didáticos de matemática para séries iniciais do
Ensino Fundamental”, insere-se na linha de Pesquisa de Didática da Matemática da
Pós-Graduação em Educação Matemática e Tecnológica da Universidade Federal de
Pernambuco.
A interdisciplinaridade é vista como o coração desta pesquisa, pois guiou o
nosso olhar para identificarmos momentos nos quais conhecimentos referentes à
Arte Visual e à Simetria estabelecem laços de colaboração e reciprocidade em livros
didáticos de matemática.
Nas últimas décadas, o termo interdisciplinaridade está presente em
documentos oficiais no Brasil; entre eles, os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática (BRASIL, 1997), o Guia do Livro Didático de Matemática – PNLD
(BRASIL, 2007; 2008). Esses documentos buscam, através da palavra
“interdisciplinaridade”, promover um diálogo permanente entre a Matemática, a vida
cotidiana do educando e as outras áreas de conhecimento. É o que se pode
comprovar em:
Com o objetivo de favorecer a atribuição de significados aos
conteúdos matemáticos, dois princípios têm assumido particular
destaque no ensino atual: o da contextualização e o da
interdisciplinaridade (BRASIL, 2007, 2008, p.16).
Para Fazenda (2002, p.40), esta é “uma atitude, uma mudança de postura em
relação ao conhecimento, uma substituição da concepção fragmentária para a
unidade do ser humano, atribuindo grande ênfase ao sujeito, para que se promova
uma transformação no conhecimento”.
Nessa perspectiva de mudança, vemos na interdisciplinaridade a possibilidade
de refletir sobre questões relacionadas ao ensino-aprendizagem da Geometria
articulados às Artes Visuais. Como pesquisadores da Educação Matemática,
antenados com a formação de cidadãos aptos a mobilizar de forma eficaz
conhecimentos matemáticos nos propomos a investigar, buscar, realimentar novas
alternativas para o ensino da Matemática. Colocamos então as seguintes questões:
20
a) Haveria atividades que articulam Geometria e Artes Visuais na abordagem
da Simetria em livros didáticos de matemática para séries iniciais do Ensino
Fundamental? Quais seriam essas atividades?
b) Quais seriam os elementos teóricos referentes ao conteúdo da Simetria e
ao ensino das Artes Visuais presentes nas atividades? Ou seja, quais
seriam os laços de colaboração e reciprocidade entre eles?
c) Quais as contribuições do uso das Artes Visuais para o ensino da Simetria?
Para responder essas questões, foi necessário construir uma base teórico-
metodológica para fortalecer e dar suporte à pesquisa. Nosso objetivo geral é
analisar laços de colaboração e reciprocidade em atividades que articulam
Geometria e Artes Visuais na abordagem da Simetria em livros didáticos de
Matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental. Assim os elementos
discursivos deste trabalho foram organizados da seguinte forma:
No capítulo 1, exporemos a problemática e a fundamentação teórica da
pesquisa, apresentando a nossa compreensão acerca da interdisciplinaridade, do
Ensino da Geometria e da Simetria, Ensino da Arte, enquanto uma área de
conhecimento, e os limites e possibilidades do uso de livros didáticos. Finalizamos o
capítulo com os objetivos da pesquisa.
No capítulo 2, intitulado “Simetria e Artes Visuais: laços de colaboração e
reciprocidade”, descreveremos a metodologia utilizada que se baseou na análise do
conteúdo de Bardin (2009) e em alguns elementos da análise teórica proposta por
Michel Henry (2006). Justificaremos nossas categorias de análise e realizaremos
uma breve apresentação das coleções dos livros didáticos de matemática
analisados.
No capítulo 3, “Laços de Colaboração do Conteúdo da Simetria e Artes
Visuais nos Livros Didáticos de Matemática: um estudo quantitativo”, discorreremos
sobre os resultados do estudo, discutindo a frequência de atividades por volume e
as modalidades artísticas identificadas.
No capítulo 4, intitulado “A reciprocidade do conteúdo da Simetria e Artes
visuais nos livros didáticos de matemática: um estudo qualitativo”, apresentaremos
uma análise qualitativa dos elementos teóricos indicados da revisão de literatura e
estudo quantitativo referentes aos aspectos didático-matemáticos da Simetria.
21
No capítulo 5, “Pintar, dobrar, recortar e desenhar nos livros didáticos - uma
análise qualitativa”, analisaremos como as ações de ensino das Artes são abordadas
conceitualmente nas atividades que articulam Simetria e Artes Visuais.
No capítulo 6, “Interdisciplinaridade: avanços, entraves, aportes mútuos,
reflexões sobre Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos de matemática das
séries iniciais”, apresentaremos as reflexões sobre o ler, o contextualizar e o fazer
artes na Simetria. A seguir, apresentaremos nossas considerações finais e algumas
perspectivas para futuras pesquisas.
Desejamos que a leitura desta dissertação seja o primeiro passo para que os
leitores reflitam e criem novas alternativas para a interdisciplinaridade entre Arte e
Matemática, e Matemática e Artes, seja em livros didáticos, na formação de
educadores ou nas salas de aula com os educandos.
22
Figura 02: ARARIPE, Oscar. Reflexo.
Fotografia il color. Apresentadas no livro
didático -Linguagem Matemática. Saraiva,
2008, v. 5, p. 169.
23
2 PROBLEMÁTICA E FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo apresentamos o referencial teórico no qual se baseia a nossa
pesquisa. Esse referencial está dividido em quatro itens: no primeiro, discutimos a
interdisciplinaridade sob o ponto de vista histórico, legal (documentos oficiais) e as
diversas concepções acerca do tema. Por fim, apresentamos nossa posição em
relação ao que se diz sobre o assunto.
No segundo item, realizamos uma breve discussão sobre a Educação
Matemática e Didática da Matemática. Versamos sobre o Ensino da Geometria e sua
relação com as Artes Visuais ao longo do tempo. Discorremos a respeito da Simetria
através de um olhar matemático e pedagógico e apresentamos os laços de
colaboração e reciprocidade entre a simetria e Artes Visuais.
No terceiro item, apresentamos as artes visuais, enquanto área de
conhecimento. Para isso, realizamos uma discussão acerca das diversas
concepções de Ensino de Artes. Expomos os elementos de visualidade e
evidências interdisciplinares entre Artes Visuais e Simetria presentes nas literaturas.
No quarto item, discutimos os limites e possibilidades presentes no livro
didático; por isso, discorremos sobre as concepções de livro didático encontradas na
revisão da literatura referentes a esse tema.
Com essa fundamentação teórica, construímos nossas categorias de análise,
assim como analisamos os dados coletados.
2.1 Interdisciplinaridade: uma relação de Colaboração e Reciprocidade
A interdisciplinaridade tem sido abordada por diversos pesquisadores,
principalmente por aqueles que investigam teorias curriculares, epistemologias e
pedagogias. As discussões sobre o assunto apontam para dois aspectos: o
pedagógico e o epistemológico, ambos abrangem múltiplos conceitos que muitas
vezes são complementares.
Thiese (2008) considera que o primeiro enfoque da epistemologia estuda o
conhecimento em seus aspectos de produção, reconstrução e socialização; a ciência
e seus paradigmas; os métodos como mediação entre sujeito e realidade. Enquanto
a abordagem pedagógica discute, fundamentalmente, questões de natureza
curricular, de ensino-aprendizagem escolar.
24
As discussões referentes à interdisciplinaridade estão presentes em diversos
setores da vida social: na economia, na política e na tecnologia. Na educação,
contudo a presença da interdisciplinaridade “constitui um dos pressupostos
diretamente relacionados com um contexto mais amplo e também muito complexo
de mudanças” (THIESE, 2008, p. 545). De acordo com Moraes (2002), se a
realidade é complexa, é necessária uma forma de pensar abrangente que contemple
as interfaces dessa realidade.
Desse modo, entendemos que a escola, para cumprir o seu papel, que é
formar cidadãos críticos, ativos e conscientes, precisa de uma reorganização na
forma de ensinar, pois, ao contrário do que pensávamos, a simplificação do
conhecimento por meio da fragmentação gera sujeitos com visões limitadas.
Nesse sentido, Edgar Morim (2005) defende a tese do pensamento complexo
sobre uma realidade complexa, o que pode, dentre outras questões, promover uma
reforma do pensamento a partir da contextualização e interdisciplinaridade do
conhecimento produzido na sociedade. Para ele,
O pensamento contextual busca sempre a relação de
inseparabilidade e as inter-retroações entre qualquer fenômeno e
seu contexto. (...) o complexo requer um pensamento que capte
relações, inter-relações, implicações mútuas, fenômenos
multidimensionais, realidades que são simultaneamente solidárias e
conflitivas (como a própria democracia, que é o sistema que se nutre
de antagonismo e que, simultaneamente, os regula), que respeite a
diversidade, ao mesmo tempo em que a unidade, um pensamento
organizador que conceba a relação recíproca entre todas as partes.
(p.23)
Assim a interdisciplinaridade pressupõe uma nova forma de pensar a
produção e a sistematização do conhecimento fora dos parâmetros científicos
dogmáticos, no sentido de inseri-las num contexto de totalidade. O pensamento
interdisciplinar é multidimensional, crítico é solidário, pois possibilita estabelecer
relações de colaboração e reciprocidade entre conhecimentos que ao longo da
história foram fragmentados.
Traremos, no tópico a seguir, o enfoque pedagógico da interdisciplinaridade,
por sentirmos a necessidade de partir de uma discussão da origem dela a fim de
compreendermos a sua importância para a pedagogia.
25
2.1.1 Origem da Interdisciplinaridade
A divisão da ciência no século XIX em disciplinas apartou o conhecimento das
significações históricas e contextuais, distanciando-o da realidade complexa. No
entanto, essa fragmentação do conhecimento incomodou professores e estudantes
fazendo surgir, segundo Fazenda (2009), movimentos que reivindicavam, dentre
outras mudanças, um ensino mais integrado às grandes questões sociais, políticas e
econômicas da época. Evidenciaram, assim, o aspecto pedagógico da
interdisciplinaridade.
De acordo com Barbosa (2006, p. 20), as comoções estudantis “são resultado
de um ‘mal-estar’ promovido pela fragmentação e especialização do conhecimento,
visto que era ignorado tudo aquilo que ultrapassava as fronteiras das disciplinas”.
Face às comoções sociais, a interdisciplinaridade foi contemplada no
Congresso de Nice, França, em 1969, quando, pela primeira vez, houve uma
tentativa de discussão sistemática sobre o próprio termo. Segundo Machado e
Cavalcante (2008), a interdisciplinaridade emergiu e se sustenta da necessidade de
superar equívocos oriundos de uma prática científica que teve como âncora o
positivismo. A racionalidade científica positivista separou as ciências, gerando
especialistas. Compreendemos, no entanto, que
O olhar especializado não está errado, simplesmente. Mas a lógica
formal que fundamenta não permite que o movimento dialético, do
interdisciplinar para o disciplinar e do disciplinar para o
interdisciplinar, seja percebido concretamente (BARBOSA, 2006, p.
14).
Considerando tal aspecto, a questão da interdisciplinaridade transpôs
fronteiras e, ao Brasil, chegou no final da década de 1960. Fazenda (1995) aponta
três fases na teoria da interdisciplinaridade em nosso país, nas últimas três décadas
do século passado.
Na década de 1970, buscou-se a construção epistemológica, ou seja, a
explicitação filosófica da interdisciplinaridade. Em 1977, é fundada a sociedade
Brasileira de Estudos Interdisciplinares da Comunicação (Intercom), uma associação
científica sem fins lucrativos, que agrega pesquisadores em núcleos de pesquisa, os
quais discutem, em diferentes eventos, seus trabalhos de pesquisas
multidisciplinares na área de comunicação.
Na década de 1980, houve a explicitação das incoerências presentes na
interdisciplinaridade, esse momento caracterizou-se como de constatação da
26
existência da interdisciplinaridade nas ciências humanas e na educação, pois se
percebe que diversas práticas interdisciplinares já se vinham sendo desenvolvidas
em algumas instituições de ensino. Isso foi percebido por Fazenda (1995) em
pesquisas realizadas em dois períodos – de 1987 a 1989 e de 1989 a 1991. Nessas
pesquisas, a autora pôde identificar com alguns profissionais, características do
professor interdisciplinar: realização de pesquisas, alto grau de comprometimento
com a aprendizagem dos alunos, utilização de novos procedimentos de ensino.
Noutra pesquisa, essa autora procurou desenvolver uma metodologia de trabalho
interdisciplinar, cujo principal objetivo era a conscientização do professor como
sujeito de sua própria ação.
Na década de 1990, houve a tentativa de construção de uma nova
epistemologia oriunda da própria interdisciplinaridade (projeto antropológico), mas
instaurou-se um modismo interdisciplinar no Brasil. Muitas práticas intuitivas se
fizeram e ainda se fazem presentes, o que impulsiona estudos e pesquisas visando
ainda esclarecer a temática. Fazenda (1995, p. 35) comenta que
O número de projetos educacionais que se intitulam
interdisciplinares vem aumentando no Brasil, numa progressão
geométrica, seja em instituições públicas ou privadas, em nível de
escola ou de sistema de ensino. Surgem da intuição ou da moda,
sem lei, sem regras, sem intenções explícitas, apoiando-se numa
literatura provisoriamente difundida.
Na atualidade, a interdisciplinaridade continua sendo apontada pelos
pesquisadores como “moda”, pois não há uma assimilação crítica do conceito
elaborado no Congresso de Nice. Segundo Jantsch (2008, p. 145),
Na medida em que a interdisciplinaridade foi se afirmando como
moda, difícil se tornou a atividade de interlocução crítica universal
entre os diferentes profissionais da educação. Uma vez sendo
moda, a tônica passou a ser não o trabalho do conceito e a
apropriação crítica do trabalho do conceito, mas o consumo o mais
extensivo possível de uma concepção hegemônica desde o
Congresso de Nice, tanto mais hegemônica quanto mais a vulgata
da conceituação desse congresso foi socializada nos diversos
âmbitos escolares.
Além disso, esse autor aponta que são restritas as discussões sobre a
temática nas instituições escolares dos diferentes níveis, algo esperado numa época
marcada pela moda. Ele mesmo afirma que os debates sobre o tema aconteceram e
acontecem basicamente em alguns cursos de Pós-Graduação stricto sensu.
Jantsch (2008) aponta que o termo é concebido e assumido de forma
polissêmica entre os profissionais da educação. Conforme esse autor tem sido
27
comum a utilização do termo em eventos científicos e/ou culturais, sem uma base
epistemológica e política comum.
Apesar de não haver uma definição estanque, a interdisciplinaridade precisa
ser compreendida para evitar desvios na sua prática. Por outro lado, acreditamos
que a multiplicidade de conceitos não significa uma fragilidade epistemológica, mas
o indício de que a temática gera inúmeras reflexões e possibilidades.
2.1.2 A Interdisciplinaridade na legislação e documentos oficiais
A interdisciplinaridade, ao chegar ao Brasil, no final da década de 1960,
exerceu influência sobre a lei 5.692/71, através da Resolução 8/17 e do Parecer
4.833/75, os quais ressaltam a importância do currículo que integre conteúdos, e
matérias assegurando a unidade do currículo nas diversas fases de
desenvolvimento. É o que podemos observar nos fragmentos a seguir:
As matérias fixadas, diretamente, e por seus conteúdos obrigatórios,
deverão julgar-se entre si com as outras que lhes apresentam, para
assegurar unidade do currículo em todas as fases do seu
desenvolvimento (art. 2º RESOLUÇÃO 8/71-CFE).
Assim sendo, embora exista, inicialmente, uma compartimentação
do currículo em matérias, nota-se uma preocupação com a
integração entre conteúdos, conhecimentos, experiências e
habilidades de matérias fixas, sistematizadas pelos alunos, sob
orientação do professor. (Parecer 4.833/75 – CFE).
De acordo com Fazenda (2002), a idéia de integração de matérias, presente
no Parecer 4.833/75 – CFE, seria a “filosofia da nova lei” que se sustenta nos
conceitos de terminalidade e continuidade. Segundo essa autora (ibid, p. 66),
A terminalidade e continuidade devem ser buscadas numa
ordenação horizontal através de aprendizagens concomitantes ao
invés de conteúdos particulares. Deve se estabelecer linearmente,
tendo em vista o conhecimento humano como um todo.
Apesar de a palavra interdisciplinaridade não ser utilizada, observamos que a
ideia de abordar o conhecimento humano como um todo está presente nesse
Parecer. De fato, a terminologia será utilizada pela primeira vez na legislação
estadual de São Paulo para o ensino de 1º e 2º graus através da indicação 1/72.
Currículo é a seqüência de experiências através das quais a escola
tenta estimular o desenvolvimento do aluno. A verificação do
conceito leva a concluir que problemas afetam o currículo são os
mesmos que compõem o quadro das ciências pedagógicas. Daí a
construção requer um embasamento teórico interdisciplinar que
28
envolve a totalidade dos múltiplos setores componentes das
instituições escolares (ind. 1/72 – CFE).
Desde de então, o termo “interdisciplinaridade” tem estado presente em
diversos documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Fundamental. Nesse documento, a interdisciplinaridade surge associada a
outro conceito o da transversalidade, mas o documento aponta as diferenças e
semelhanças entre os dois conceitos.
Ambas — transversalidade e interdisciplinaridade — se
fundamentam na crítica de uma concepção de conhecimento que
toma a realidade como um conjunto de dados estáveis, sujeitos a
um ato de conhecer isento e distanciado. Ambas apontam a
complexidade do real e a necessidade de se considerar a teia de
relações entre os seus diferentes e contraditórios aspectos. Mas
diferem uma da outra, uma vez que a interdisciplinaridade refere-se
a uma abordagem epistemológica dos objetos de conhecimento,
enquanto a transversalidade diz respeito principalmente à dimensão
da didática. (BRASIL, 1997, p. 29-30)
Embora considere que a interdisciplinaridade e transversalidade possuem
naturezas diferentes, o PCN (BRASIL, 1997) entende que, na prática pedagógica,
ambas se alimentam mutuamente. O referido documento conceitua a
interdisciplinaridade como o elo entre diferentes campos de conhecimento, pois
questiona a segmentação entre os diferentes campos de
conhecimento produzida por uma abordagem que não leva em conta
a inter-relação e a influência entre eles — questiona a visão
compartimentada (disciplinar) da realidade sobre a qual a escola, tal
como é conhecida, historicamente se constituiu (p.30).
Os PCN’s para o Ensino Médio (BRASIL, 2000) evidenciam a LDB por
destacarem dentre as diretrizes do ensino médio, uma organização curricular
“orgânica” que supere a disciplinas estanques em busca da “integração e articulação
dos conhecimentos, num processo permanente de interdisciplinaridade e
transdisciplinaridade (p. 17)”. Na proposta de reforma curricular do PCNM (BRASIL,
2000), a interdisciplinaridade é compreendida
a partir de uma abordagem relacional, em que se propõe que, por
meio da prática escolar, sejam estabelecidas interconexões e
passagens entre os conhecimentos através de relações de
complementaridade, convergência ou divergência (p. 21).
29
Assim, no PCN para o Ensino Fundamental, no Ensino Médio a
interdisciplinaridade surge associada ao conceito de contextualização. Segundo o
PCNM (BRASIL, 2002, p. 13),
buscamos dar significado ao conhecimento escolar, mediante a
contextualização; evitar a compartimentalização, mediante a
interdisciplinaridade; e incentivar o raciocínio e a capacidade de
aprender.
Essa perspectiva, também pode ser observada no Guia do Livro Didático de
Matemática (BRASIL, 2007; 2008 e 2010), com o intuito de favorecer a atribuição de
significados aos conteúdos matemáticos. O documento assume como princípios
norteadores a contextualização e a interdisciplinaridade. É o que se percebe em:
A contextualização estabelece a necessidade de o ensino da
Matemática estar articulado com as várias práticas e necessidades
sociais, enquanto a interdisciplinaridade defende um ensino aberto
para as inter-relações entre a Matemática e as outras áreas do
saber científico ou tecnológico (p. 24).
Observamos que as propostas curriculares compreendem que a
interdisciplinaridade sozinha, não é suficiente para atender as práticas pedagógicas.
Dessa forma, associam-se aos conceitos de transversalidade e contextualização.
De modo geral, é atribuído à interdisciplinaridade o papel de estabelecer inter-
relações entre conhecimentos. Percebe-se, então, que os documentos buscam
ultrapassar a idéia de disciplinas, adotando uma organização curricular através de
áreas de conhecimentos.
No entanto, para entender o que é interdisciplinaridade, faz-se necessário
mergulhar nas diversas conceituações que a norteiam, assim como as diferentes
terminologias e níveis.
2.1.3 Concepções de Interdisciplinaridade
A multiplicidade de conceitos referentes à interdisciplinaridade indica, dentre
outros aspectos, que ela está em construção. Neste texto, apontamos algumas
definições, expressas no estado da arte, para então indicarmos a nossa concepção
de interdisciplinaridade.
Iniciaremos com a definição considerada clássica, produzida em 1970, pelo
CERI – Centro para Pesquisa e Inovação do Ensino –, órgão da OCDE (Documento
30
CERI/HE/SP/7009, apud. FAZENDA 2009), em que a interdisciplinaridade é definida
como intercâmbio existente entre duas ou mais disciplinas. Identificamos que essa
definição traz a ideia de integração mútua dos conceitos.
Barbosa (2006, p. 39) toma por base a etimologia da palavra - inter (entre) +
disciplina (área de conhecimento) + idade (verdadeiro, qualificado, histórico) - para
chegar à definição de interdisciplinaridade: “um elo (ou espaço, ou área) verdadeiro
ou histórico que há entre áreas do conhecimento”. Desse modo, o autor (ibid.)
compreende que a interdisciplinaridade se fundamenta no contexto teórico e
histórico que explica e revela uma realidade e o conhecimento na sua totalidade
dialética.
Do mesmo modo, Fazenda (2008) compreende que “não se pode de forma
alguma negar a evolução do conhecimento ignorando sua história”. Porém, essa
autora entende que as definições de interdisciplinaridade ultrapassam a idéia de elo
entre áreas de conhecimento. Ela compreende interdisciplinaridade como “atitude de
ousadia e busca, frente ao conhecimento”.
Japiassu (1976) compreende a atividade interdisciplinar como uma
integração das disciplinas no nível de conceitos e métodos. A unidade do objeto não
se dá de forma a priori nem a posteriori, pois o objeto real não pode ser apreendido
como uma máquina que se pode manipular, tampouco se pode depreendê-lo pela
organização dos dados, a partir da investigação científica.
Veiga Neto (1996) tece uma crítica ao enfoque de atitude pessoal, presente
nas definições de Fazenda e Japiassu. Para ele, essa atitude representa a condução
para a direção comportamental, e, assim, é entendida como responsabilidade
individual. Afirma, então que ambos teorizam sobre a disciplinaridade num contexto
de patologia.
Esse autor entende a interdisciplinaridade como um trabalho conjunto de
várias disciplinas em direção ao mesmo objeto de pesquisa, com o propósito de
aproximá-lo, cada vez mais, da realidade objetiva, à medida que constrói sua
perspectiva dialética. Para ele a interdisciplinaridade é um processo pertencente à
disciplinaridade e não pode ser colocada em posição antagônica.
Etges (1993) também considera a disciplinaridade e compreende a
interdisciplinaridade como princípio mediador entre disciplinas, assim como
considera as especificidades presentes nas disciplinas e ressalta que elas nunca
podem ser levadas a um denominador comum.
31
A interdisciplinaridade é um princípio mediador entre diferentes
disciplinas, não poderá jamais ser elemento de redução a um
denominador comum, mas elemento teórico-metodológico da
diferença e da criatividade. A interdisciplinaridade é o princípio da
máxima exploração das potencialidades de cada ciência, da
compreensão dos seus limites, mas, acima de tudo, é o princípio da
diversidade e da criatividade (p. 18).
A aceitação da diversidade implica a aceitação das disciplinas considerando
as suas especificidades. Nesse sentido, Etges (ibid.) compartilha da mesma idéia de
Richeter (2008) ao indicar que
(...) a inter-relação entre duas ou mais disciplinas, sem que
nenhuma se sobressaia sobre as outras, mas que se estabeleça
uma relação de reciprocidade e colaboração, com o
desaparecimento de fronteiras entre as áreas do conhecimento
(p.85).
Entendemos que as posições apresentadas em relação à interdisciplinaridade
não são antagônicas, mas complementares. Compreendemos interdisciplinaridade
como uma possibilidade de investigação do objeto de conhecimento e conteúdo, a
partir de atividades que promovem uma relação de reciprocidade e colaboração
entre áreas de conhecimento, considerando as especificidades entre as disciplinas.
2.1.4 O lugar da Interdisciplinaridade em nossa pesquisa
A interdisciplinaridade é vista como o coração desta pesquisa, pois guiou o
nosso olhar para identificamos o momento em que os conhecimentos referentes à
Arte Visual e à Simetria estabelecem laços de colaboração e reciprocidade nos livros
didáticos de matemática.
Segundo Tomaz e David (2008, p. 108), “atividade de artes amplia a
aprendizagem matemática do aluno, porque pode gerar novos significados para o
conhecimento”. Da mesma forma, a matemática desenvolver o olhar do aluno acerca
do ler, compreender e fazer arte. Assim, a interdisciplinaridade é um elemento
fundamental para ressignificação das formas de pensar, ser e produzir ciência.
32
2.2 Geometria: uma diversidade de temas
A Educação Matemática abrange uma diversidade de temas, aspectos e
questões inerentes ao processo de ensino-aprendizagem do conhecimento
matemático. Segundo Ubiratan D’ Ambrosio (1993), a Educação Matemática é
uma área autônoma de pesquisa em Educação, através de
considerações sobre a própria natureza da matemática, na qual,
abordam-se aspectos históricos, cognitivos e políticos da
matemática e da sua inserção nos currículos escolares (p.17).
Essa compreensão também é compartilhada por Knijnik (2001), que defende
uma Educação Matemática associada ao contexto cultural, social e o político. Assim,
a Educação Matemática se constitui como um conjunto de práticas dentre as quais
está a prática cientifica.
Na Educação Matemática destacamos a Didática da Matemática, área que
discute diversos temas, aspectos e questões inerentes ao processo de ensino-
aprendizagem do conhecimento matemático. Segundo Gálvez (1996, p.31), “a
finalidade da Didática da Matemática é o conhecimento dos fenômenos e processos
relativos ao ensino da matemática para controlá-los e, através deste controle,
otimizar a aprendizagem dos alunos”.
No contexto da Didática da Matemática, identificamos o Ensino da Geometria.
Embora seja um campo da matemática que apresenta o caráter epistemológico,
histórico e didático. Nesta pesquisa teremos como enfoque as questões didáticas.
Iniciaremos, então, definindo o que é Geometria para entendermos o porquê do
ensino dela. De acordo com Miguel e Miorim (1986),
A geometria é o estudo das propriedades dos objetos e das
transformações que podem ser submetidas – desde as
transformações mais simples, que alteram apenas a posição de um
objeto, às mais complexas, que destroem a sua forma até
descaracterizá-la por completo (p.66).
Segundo Broitman e Itzcovich (2006), “a Geometria não é somente um
conjunto de saberes formalizados ao longo da história, é também um modelo de
raciocínio e dedução muito importante para a formação cultural dos sujeitos (p.175)”.
Nessa perspectiva, Fainguelernt (1999, p.15) considera que a Geometria é “uma
ferramenta para compreender, descrever e interagir com o espaço em que vivemos;
e talvez, a parte da matemática mais intuitiva, concreta e real”.
33
Como afirma o PCN de matemática (BRASIL; 1997), o trabalho com a
geometria possibilita não apenas a vinculação do conhecimento geométrico com
outras áreas, mas também com conceitos matemáticos inseridos em situações
problema. Lorenzato (1995) defende que
sem estudar geometria as pessoas não desenvolvem o pensar
geométrico ou o raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas
dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem
geometrizadas; também não poderão se utilizar da geometria como
fator altamente facilitador para a compreensão de resolução de
questões de outras áreas de conhecimento humano. Sem conhecer
geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a
comunicação das idéias fica reduzida e a visão da Matemática
torna-se distorcida (p.11).
Desse modo, compreendemos que a Geometria é necessária para
interpretação e realização de atividades cotidianas em diversas áreas de
conhecimento, como a bioquímica, a cirurgia, a escultura, a arquitetura, a arte,
dentre outras que solicitam do sujeito à percepção espacial e visual.
Embora a Geometria propicie conhecimentos matemáticos que ampliam o
raciocínio visual e espacial, Pavanello (2004) afirma que, o seu ensino tem sido
negligenciado nos bancos escolares e muitas vezes reduzido a nomenclaturas e uso
de fórmulas. Esse descaso com o ensino da Geometria pode ser atribuído a vários
fatores, dentre os quais o Movimento da Matemática Moderna (década de 60 -70),
que levou os matemáticos a desprezarem a abrangência conceptual e filosófica da
Geometria Euclidiana
1
, reduzindo-a a um exemplo de aplicação da Teoria dos
Conjuntos e da Álgebra Vetorial.
Com o Movimento da Matemática Moderna, houve a diminuição da Geometria
nos programas escolares e nos cursos de formação de professores do Ensino
Fundamental e do Ensino Médio, com consequências que sentimos até hoje.
Segundo Pavanello (2004), os professores que não aprenderam Geometria,
certamente desenvolveram uma atitude negativa em relação a ela e sentem-se
inseguros para abordá-la em sala de aula.
Quanto aos livros didáticos, os conteúdos referentes a esse campo da
matemática foram mantidos, porém só era possível encontrá-los nos últimos
capítulos. Como consequência, raramente eram abordados por falta de tempo.
1
Geometria euclidiana constituiu, durante muitos séculos um paradigma para o resto da matemática
e, inclusive, para o resto das ciências. Sua grande contribuição foi o uso da demonstração formal,
considerada a primeira axiomatização da história da matemática. (GALVÉS, 1996).
34
Atualmente, os documentos oficiais, como os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1997), têm um eixo específico denominado o Espaço e Forma,
que aborda questões referentes à Geometria no Ensino Fundamental. Também o
Guia do livro didático de Matemática (BRASIL, 2007/ 2008) tem promovido um
resgate deste conteúdo nos Livros didáticos dos anos iniciais e finais do ensino
fundamental.
As mudanças com relação à abordagem de conteúdos de Geometria já são
observadas nos livros didáticos brasileiros. Há cerca de dez anos, Pavanellho (1999)
afirmava que “este costume de programar a Geometria para o final do ano letivo é,
de outro modo, reforçado pelos livros didáticos que, pelo que se pode observar,
abordam esses temas quase sempre por último”. Atualmente, Pais (2006) aponta
que na última década, a distribuição da Geometria nos livros didáticos de
matemática tem se dado de forma diferente. Há livros que a apresentam na primeira
parte; em outros a Geometria é apresentada na primeira e na segunda metade e,
finalmente, encontram-se livros nos quais a Geometria encontra-se diluída ao longo
de todos os capítulos. Para esse autor, “essa distribuição sinaliza, pelo menos, uma
tendência de quebrar a idéia de que a geometria está sempre localizada nas últimas
páginas (p. 10)”.
Apesar dessa tendência, o Guia do Livro Didático (BRASIL, 2007/ 2008)
aponta lacunas conceituais e metodológicas na sistematização do conhecimento
geométrico, na identificação de propriedades, classificação, conceituação precisa,
comprovação, entre outros aspectos. Pais (2006) observa que, ainda existe uma
ênfase na fixação da nomenclatura das figuras geométricas e de seus elementos
constitutivos.
O Guia do Livro Didático (ibid) considera que os conhecimentos geométricos
estão integrados à exploração do espaço e dos movimentos, e são adquiridos,
gradualmente, a partir das experiências no mundo físico e das interações
propiciadas pelas diversas formas de linguagem. Apesar disso, ressalta que “o
trabalho com as diversas formas de representação gráfica – vistas, perspectivas, ou
outras – é muito limitado em várias das coleções resenhadas” (GUIA DO LIVRO
DIDÁTICO, 2007, p.29).
Dentre os conteúdos recomendados no Guia, destacamos a Simetria, por ser
um conteúdo trabalhado em praticamente todas as coleções recomendadas pelo
Guia (ibid.). Além disso, esse documento observa que a relação da Geometria, por
meio do conteúdo da Simetria, com as artes plásticas e a arquitetura faz-se presente
35
em algumas coleções, porém essa articulação limita-se a essas áreas de
conhecimento. Dessa maneira, o estudo da simetria fica isolado dos demais
conteúdos matemáticos de outros campos de conhecimento.
Compreendemos que a interdisciplinaridade entre essas áreas do
conhecimento nos livros didáticos não significa apenas a junção de disciplinas, mas
uma atitude política, uma ruptura com abordagem tradicional de ensino-
aprendizagem da matemática. Conforme Ivani Fazenda (1995),
O pensar interdisciplinar parte da premissa de que nenhuma forma
de conhecimento é em si mesma exaustiva. Tenta, pois, o diálogo
com outras fontes do saber, deixando-se irrigar por ela. (...) a
interdisciplinaridade é uma atitude, uma ousadia à busca de uma
outra forma de pensar e construir conhecimento (p. 15-18).
Para essa autora, ao substituirmos a concepção do conhecimento
fragmentado pela perspectiva unitária poderemos promover uma integração
horizontal entre áreas de conhecimentos que, quando associadas, possibilitam a
produção de novos conhecimentos que fazem sentido para o educando e podem ser
utilizados no seu dia-a-dia.
2.2.1 O encontro da Geometria com as Artes Visuais ao longo do tempo
A interdisciplinaridade da Geometria com as Artes Visuais é algo inerente às
produções humanas, uma vez que, já existe a articulação entre elas nos primeiros
registros históricos da humanidade. As civilizações antigas nos deixaram diversos
artefatos que comprovam essa relação. Um exemplo são os egípcios, que
arquitetaram monumentais pirâmides e esculturas a partir de conhecimentos
geométricos, e os árabes, que a partir de linhas pintadas e quadrados perfeitos,
chegaram a uma variedade de padrões repetidos repletos de Simetria.
No Renascimento, os artistas dominaram a técnica de projetar espaços reais
sobre uma superfície plana, dando a noção de profundidade e de volume.
Fainguelernt e Nunes (2006, p. 19) apontam que, “ao tentar compreender os
princípios que governavam os processos de projeção e perspectiva, os matemáticos
criaram uma nova geometria, chamada de geometria projetiva”. Os artistas, por sua
vez, utilizaram desse conhecimento para pensar e fazer arte.
O artista renascentista mais aclamado é o pintor, desenhista, escultor,
arquiteto e geômetra Leonardo da Vinci (1452 a 1519). Ele teceu a seguinte
36
advertência: “que ninguém que não seja matemático leia minhas obras”. Da Vinci
pintou o retrato mais conhecido do mundo, a Mona Lisa, um quadro de 77 cm de
altura por 53 cm de largura, cuja estrutura formal baseia-se em uma proporção
chamada “seção áurea” ou divina proporção, que foi utilizada pelos gregos na busca
de harmonia e estética na arquitetura.
Figura 03: DA VINCI, Leonardo. Mona Lisa. 1503 – 1507, óleo sobre madeira de álamo 77x
53. Museu de louve. il Color. Disponível em : http://pt.wikipedia.org/wiki/Mona_Lisa.. Acesso em : 28
out. 2009.
No século XIX, identificamos o impressionista Paul Cézanne (1839-1906) que,
diferente dos renascentistas, não subordinava sua obras às leis da perspectiva. Nas
suas composições, de acordo com Fainguelernt e Nunes (2006, p. 20-21), “as
sensações de volume e distância eram obtidas através de um jogo que suas pinturas
realizavam com as cores”. Segundo essas autoras, Cézanne simplificava as figuras
37
que via até transformá-las em formas sólidas geométricas, como cilindros, cones,
cubos. Por isso, ele é considerado precursor do Cubismo.
Figura 04: CEZANNE, Paul, Still Life with Apples.1895-1898 , Oil on canvas. 27 x 36 1/2 in
(68.8 x 92.7 cm). The Museum of Modern Art, New York Venturi 736. il color. Disponível em :
www.dl.ket.org/.../auth/cezanne/sl/index.htm
, Acesso em : 15 jul. 2008
O Cubismo, um movimento artístico surgido no século XX, teve seu marco
inicial em Paris, em 1907, com a tela Les Demoiselles d'Avignon, de Pablo Picasso
(1881 – 1973). O movimento fundado por Picasso e George Braque propunha “a
liberdade para compor e recompor as formas da realidade” (FAINGUELERNT E
NUNES, 2006, P. 22). Assim, a representação do mundo nas pinturas cubistas não
tinha compromisso algum com o real. As principais características do movimento
eram a geometrização das formas, a renúncia à perspectiva e a representação do
volume colorido sobre superfícies planas.
38
Figura 05 : PICASSO, Pablo. Les demoiselles d'Avignon. 1907, 280 x 288 - 25k . il Color
Disponivel em :http://www.moma.org/collection/browse_results.php?object_id=79766
.,.
Outro artista cujas obras apresentam elementos geométricos, Piet Mondriam
(1877-1944) teve forte influência do Cubismo. Mas suas produções foram além,
deixando que as figuras fossem substituídas por formas geométricas. Segundo
Fainguelernt e Nunes (2006, p. 22), a partir de 1918, Mondrian realizou uma série de
composições inspiradas em grades de linhas retas nas posições verticais e
horizontais, em que os contornos delimitaram áreas quadradas e retangulares
coloridas.
39
Figura 06: MONDRIAN, Piet .Komposition in rot, [1922]. 400 x 394 - 46k – jpg., il color
Disponível em : www.anthroposophie.net/.../mondrian_comp_rgb.jpg
,. Acesso em: 24 de abr. 2009
Mondrian contribuiu para criação de um novo movimento, o Neoplaticismo ou
Abstracionismo Geométrico, em que as composições de cores e formas resultavam
numa expressão geométrica. Mas é preciso lembrar do Abstracionismo Lírico que
busca simplesmente a livre expressão das formas e cores, fugindo da realidade
concreta.
No Brasil, a abstração surge junto à arte moderna, mas apresenta maior
ênfase em meados dos anos 50. O abstracionismo geométrico no Brasil teve como
principais representantes Waldemar Cordeiro, Geraldo de Barros, Lothar Charoux,
Ivan Serpa, Lygia Clark, Hélio Oiticica e Franz Weissmann, dentre outros.
40
Figura 07: CORDEIRO, Waldemar. Estrutura Plástica, 1949. Têmpera sobre tela, c.s.e. 73 x 54http.
,il Color. Disponível em:
//www.itaucultural.org.br/aplicexternas/enciclopedia_ic/index.cfm?fuseaction=artistas_obras&acao=me
nos&inicio=9&cont_acao=2&cd_verbete=3529. Acesso em: 3 de nov. 2009
Milton Dacosta é um artista brasileiro que produzia figuras humanas
geometrizadas, tendo como referência o Cubismo, mas na década de 1950 aderiu
ao Abstracionismo Geométrico. Podemos observar, na imagem a seguir, o grande
rigor matemático, a nítida a Simetria de reflexão.
41
Figura 08: DACOSTA, Milton. Figura. 1960, 24 x 19 cm. óleo sobre tela. il color. Disponível
em :
http://www.masterarte.com/br/obra_busca.php?busca_nome=Dacosta&busca_class=q&busca_ano=q
&busca_valor=q&busca=Buscar+Obras. Acesso em: 30 de nov. 2009
Outros artistas, apesar de não fazerem parte do Abstracionismo Geométrico
apresentavam em suas telas elementos geométricos. Um exemplo é Volpi, que traz
em suas pinturas muito do Concretismo e da Abstração Geométrica.
42
Figura 09: VOLPI, Alfredo, Projeto nº 2129. 50. 70 x 50 cm., il Collor. Disponível em :
http://www.masterarte.com/br/obra_busca.php?busca_nome=volpi&busca_class=q&busca_ano=q&bu
sca_valor=q&busca=Buscar+Obras., Acesso em: 30 de nov. 2009
Assim, ao longo do tempo, a Geometria e as Artes estabeleceram uma
relação natural. Hoje edificamos documentos como o PCN de matemática que
sugerem a inter-relação dessas áreas de conhecimento, pois acredita-se que pode
contribuir para o desenvolvimento integral do ser humano, por despertar a natureza
holística que compatibiliza a cognição, a história e a sociologia do conhecimento; por
conseguinte, é fundamental para a evolução da sociedade. Do mesmo modo,
possibilita ao sujeito sua inserção no mundo do trabalho e da cultura.
Identificamos no PCN de Matemática (1997) a sugestão de que o ensino do
Espaço e da Forma “deve ser feito a partir da exploração dos objetos do mundo
físico, de obras de artes, pintura, desenhos, esculturas e artesanatos, ele permitirá
ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e outras áreas de
conhecimento”.
43
Nesse sentido, acreditamos que é necessária uma análise profunda das
atividades mais frequentes em livros didáticos de matemática das séries iniciais do
Ensino fundamental, observando como são distribuídas por coleção e volume, para
entendermos como acontece a conexão entre as áreas de conhecimento. Assim,
nasce o objeto a ser investigado nesta pesquisa, a interdisciplinaridade que
acontece entre Geometria e Artes Visuais nos livros didáticos de matemática para os
anos iniciais, tendo a Simetria como o conteúdo que estabelece vínculo entre as
duas áreas de conhecimento.
Pesquisar a relação de reciprocidade e colaboração entre a Geometria
através da Simetria com as Artes Visuais é, acima de tudo, uma busca de
refundamentação e ressignificação do ensino da Geometria nas séries iniciais.
2.2.2 Beleza, harmonia, proporção, regularidade. Afinal, o que é Simetria?
Neste capitulo discutiremos a Simetria sob três enfoques. No primeiro, a partir
do ponto de vista das pesquisas na área da Educação Matemática, buscaremos
discutir questões de natureza conceitual. No segundo enfoque, enfatizaremos o
ensino. Enfim no terceiro enfoque, sob o ponto de vista das Artes Visuais ao longo
da história e nos dias atuais, apresentaremos as diversas acepções de artista
plásticos e matemáticos sobre Simetria.
2.2.2.1 Simetria, um olhar matemático
Sob o ponto de vista matemático, a Simetria está no campo da Geometria das
transformações, ramo da Geometria que estuda as transformações que acontecem
por meio de regras especiais que transformam pontos do plano em outros pontos do
plano. Nesse estudo, enfocaremos as transformações geométricas planas. De
acordo com Mega (2001), Alves (2005)
e Ripligger (2006), na Geometria moderna, a
palavra “transformações” indica uma classe especial de função.
Os conjuntos A e B são iguais no mesmo plano £. Portanto, os
elementos relacionados pelas transformações são pontos e, em
última instância, figuras (definidas como conjuntos de pontos). Assim
cada ponto no plano £, chamado ponto original, tem um ponto
associado, no mesmo plano chamado imagem. (MEGA 2001,p. 11).
44
As Transformações Geométricas trabalhadas no Ensino Fundamental,
segundo Luz (2007), resumem-se a isométricas e a homotéticas. A primeira se refere
às transformações que “conservarem as medidas das figuras (congruência), fazendo
que as figuras apenas mudem de posição” (CROWE E THOMPSON, 1994).
Enquanto, homotetia diz respeito à ampliação e à redução de imagens, conservando
as propriedades de semelhanças das mesmas.
Nesta pesquisa, teremos como foco a isometria, especificamente a Simetria.
Pesquisadores como Lopes e Nasser (1996), Mabuchi (2000), Mega (2001) e
Ripplinger (2006) definem a Simetria como “movimentos rígidos”, por fazerem as
figuras apenas mudarem a sua posição. Enquanto, para Rodher (1997, p.09),
“Simetria é uma operação que mantém uma forma invariante”. Em ambas as
acepções, a Simetria é compreendida como um processo que transforma uma
entidade matemática em outra, sendo invariante com relação à forma e à
conservação de distância. O Guia do Livro Didático (BRASIL, 2007, 2008) afirma
que
O conceito de simetria envolve três noções básicas: um conjunto de
elementos; uma transformação “interna” desse conjunto em si
mesmo; a existência de um subconjunto desse conjunto maior que
fica invariante quando submetido a tal transformação (p.31).
Siqueira (2000), por sua vez, considera que a Simetria tem como elementos
essenciais da formulação os conceitos de isometria e de invariância de uma figura
por um grupo de isometrias. No plano, as isometrias produzem três tipos básicos de
movimento e uma combinação:
• reflexões em relação a uma reta;
• translações;
• rotações em torno de um ponto;
• reflexões com deslizamento em relação a uma reta.
Rodher (1997, p.16), contudo, divide a Simetria em operações simples e
composta. A operação simples seria constituída por: translação, dilatação, inversão,
rotação e reflexão. Enquanto a operação combinada possui as propriedades
reunidas de duas ou mais operações simples: inversão rotatória, reflexão rotatória,
rotação deslizante, reflexão deslizante, dilatação deslizante, dilatação rotatória,
reflexão dilatatória, rotação deslizante dilatatória, reflexão dilatatória deslizante e
reflexão rotatória dilatatória.
45
De acordo com o autor, tais simetrias são importantes no estudo de poliedros
(rotação deslizante, reflexão rotatória, inversão rotatória, etc), cristais (inversão
rotatória, reflexão rotatória, inversão rotatória, etc) e movimentos dos vegetais
(rotação deslizante, rotação dilatatória deslizante), mas os movimentos complexos
são praticamente ausentes nas artes visuais.
Assim como as simetrias simples, as complexas conservam características
tais como ângulos, forma, comprimento dos lados, distâncias, tipos e tamanhos, que
alteram a posição do objeto desenhado.
2.2.2.2 Reflexão, Translação, Rotação: tipos de simetria
A Simetria de Reflexão é considera uma das mais conhecidas. Segundo
Lopes e Nasser (1996, p.102), a simetria de reflexão acontece quando: “(I) a linha
que une cada par de pontos correspondentes é perpendicular ao eixo de simetria e
se (II) dois pontos correspondentes estão à mesma distância (perpendicular) do eixo
de simetria, em lados opostos”.
Siqueira (2000) define a Simetria de Reflexão como
Dada uma reta r, diz-se que σ: Π → Π é uma reflexão com relação à
r (referida como o eixo de simetria) se esta reta é a mediatriz do
segmento de extremidades P e σ (P), P representando um ponto
qualquer do plano (p.9).
Figura 10: SIQUEIRA, Edeson. Simetria de Reflexão. Monografia, 2000, p. 30.
As translações são transformações que, segundo Ripligger (2006), fazem as
figuras “deslizarem” ao longo de uma direção, a uma distância T. Para Rodhe (1997,
46
p. 10), “a translação corresponde a uma operação simples de Simetria e corresponde
à repetição periódica de motivos que se repetem numa dada direção”. Nesse
sentido, podemos apontar dois elementos característicos da Simetria de Translação:
o comprimento de translação e a repetição da forma.
Figura 11: SIQUEIRA, Edeson. Simetria de translação. Monografia, 2000, p. 30.
Em relação à Simetria de Rotação, Lopes e Nasser (1996, p. 105) definem-na
como “uma rotação de centro O e um ângulo â é uma transformação em que a
imagem é obtida girando-se cada ponto da figura segundo um arco de circunferência
de centro O, percorrendo um ângulo â (no sentido horário ou anti-horário)”.
Figura 12: SIQUEIRA, Edeson. Simetria de rotação σ de 72
o
em torno do ponto O.
monografia, 2000, p. 31.
A Simetria de Reflexão por deslizamento é uma isometria menos conhecida
que combina uma reflexão com uma translação em direção a um eixo de reflexão.
Assim como a Simetria por Translação, a Simetria de Reflexão por deslizamento não
47
apresenta ponto fixo. Esse movimento vai alterar o movimento das figuras, mas não
vai fixar os pontos.
Figura 13: SIQUEIRA, Edeson. Simetria de Reflexão por deslizamento. Monografia, 2000, p. 30.
Desse modo, os movimentos de reflexão, translação e rotação são
subconjuntos de uma classe maior que seria a isometria no plano, é uma função σ :
Π → Π, que preserva distância entre pontos do plano. Segundo Ripligger (2006),
essas Simetrias constam nos documentos oficiais do país e estão presentes também
nas discussões sobre os conteúdos no ensino da matemática.
De acordo com essa autora, essas Simetrias (reflexão, rotação e translação)
podem ser amplamente desenvolvidas em sala de aula, pois estão presentes no
nosso cotidiano e nos ajudam a entender melhor a Geometria.
2.2.2.3 O Ensino da Simetria: um olhar pedagógico
Com o intuito de propor parâmetros ao professor na sua prática escolar e de
acordo com a nova LDB, os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL,
1997) trazem uma série de propostas e orientações para o ensino da Simetria em
séries iniciais do Ensino Fundamental.
Para o primeiro ciclo (segundo e terceiro anos), propõe que sejam abordadas
formas geométricas presentes em elementos naturais e nos objetos criados pelo
homem e as características delas: arredondadas ou não, simétricas ou não etc. (Ibid,
p. 73). Nessa fase da escolaridade, a Simetria auxilia no trabalho das formas
geométricas, pois enfoca questões referentes às propriedades da figura (algo
presente ou não na figura/configuração).
No segundo ciclo (quarto e quinto anos), o ensino da simetria contribui para
identificação de semelhanças e diferenças de polígonos. Os PCN’s sugerem, ainda,
48
a abordagem do eixo de simetria, elemento característico da simetria de reflexão,
mas ainda não faz referência a uma abordagem formal do conteúdo.
As propostas de atividade recomendam o desenvolvimento da “sensibilidade
para observar simetrias e outras características das formas geométricas na
natureza, nas artes, nas edificações" (p. 62). Nessa perspectiva, observa-se a
proposição de diferentes atividades, como “compor e decompor figuras, perceber a
simetria como característica de algumas figuras e não de outras etc.” (p. 82).
No terceiro ciclo (sexto e sétimo anos), esses parâmetros propõem que se
aborde a Simetria de maneira mais formal, por isso recomenda
Enfatizar as noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e
de perpendicularismo, as classificações das figuras geométricas
(quanto à planicidade, quanto à dimensionalidade), as relações entre
figuras espaciais e suas representações planas, a exploração das
figuras geométricas planas, pela sua decomposição e composição,
transformação (reflexão, translação e rotação), ampliação e redução.
(BRASIL, 1998, p. 68).
Percebemos que, nesse ciclo, busca-se aprofundar e ampliar o estudo de
modo que os alunos sejam capazes de reconhecer as figuras planas por meio de
relações mais complexas.
No quarto ciclo (oitavos e nonos anos), os PCN propõem que o conceito de
congruência de figuras planas seja abordado “a partir de transformações (reflexões
em retas, translações, rotações e composição destas), identificando as medidas
invariantes (dos lados, dos ângulos, da superfície), (ibid. p.89)”.
Com relação ao aprendizado das isometrias, Jaime e Guitérrez (1996)
realizaram uma experimentação e classificaram os resultados da pesquisa a partir de
três critérios: a) a análise dos componentes matemáticos da isometria que podem
influir na compreensão dos alunos; b) as estratégias mais utilizadas; c) e os
equívocos cometidos pelos alunos diante de situações-problemas nas
transformações isométricas.
A primeira isometria discutida pelos pesquisadores é a reflexão. Eles apontam
desacertos (conhecimentos não adequados) cometidos pelos alunos em situações
de aprendizagem do conteúdo em questão. Esses desacertos referem-se à
compreensão do conceito de reflexão. Um exemplo disso é o fato de, ao desenhar a
imagem de uma figura, os estudantes desconsiderarem a equidistância que deve ser
estabelecida ao eixo de pontos simétricos, assim como a perpeculariedade com
relação eixo do segmento que une dois pontos simétricos.
49
Outro equívoco decorrente de uma interpretação deformada do eixo de
simetria, pois é recorrente, no ensino da simetria, a utilização de exemplos de figura
com eixo vertical. Segundo Jaime e Gutiérrez (1996), essa prática é responsável
pelo fato de os alunos desenharem a imagem sempre paralelamente à figura original,
mesmo que o eixo não seja paralelo a ela.
A complexidade da figura também é apontada como uma variável importante,
mas a principal dificuldade está relacionada ao eixo de simetria e posição relativa ao
eixo do objeto. Determinadas posições do eixo induzem mais ao erro, principalmente
quando corta o objeto.
Jaime e Guitérrez (1996) também elencam estratégias utilizadas pelos alunos
na resolução de problemas que envolvem a simetria de reflexão. Uma dessas
estratégias é desenhar a imagem com pontos significativos da figura original, tais
como vértices, no caso dos polígonos, ou das extremidades, no caso dos
segmentos, unindo os pontos para obter a imagem da figura completa. Outra
estratégia é desenhar a imagem apenas com um ou dois pontos significativos da
figura original e completar o desenho visualizando mentalmente a posição da figura
completa.
O movimento de translação é considerado por Jaime e Guitérrez (1996) como
a isometria mais fácil. Esses autores apontam como única dificuldade a
compreensão do vetor livre. Frequentemente, os alunos fazem o desenho do vetor
ligando um ponto da figura original a um ponto mais próximo da imagem, sem que
este seja o ponto correspondente da figura original. Quanto a esse tipo de isometria,
os autores não discutem as estratégias utilizadas pelos alunos.
Quanto à rotação, Jaime e Guitérrez (1996) apontam que os estudantes têm
dificuldade em estimar corretamente o ângulo, reconhecer a equivalência dos
ângulos e reconhecer a equidistância entre centro de rotação e os pontos
correspondentes da figura de imagem, assim como constatar a congruência da
figura.
Esses pesquisadores ressaltam que a estratégia apresentada pelos alunos
para resolver problemas de rotação consiste em começar a rotação pelo traçado de
um segmento ligando outro ponto da figura original ao centro de rotação e, em
seguida, estimar o ângulo e traçar o segmento que ligará o centro de rotação a
imagem da figura dada, completando a figura anterior.
Analisar os desacertos cometidos pelos estudantes na resolução de
problemas de simetria é essencial para a proposição de atividades significativas que
50
promovam de fato conhecimento sobre as isometrias. Sabemos que não há um
caminho único para o ensino das Simetrias ou para qualquer outro conteúdo
matemático, contudo percebemos na interdisciplinaridade entre Simetria e Artes
Visuais, inúmeras possibilidades de ensino que podem despertar o interesse e a
participação dos alunos.
2.2.2.4 Simetria e Artes Visuais: uma conexão
De forma intuitiva, o conteúdo Simetria pode ser entendido de diversas
maneiras dependendo da área de conhecimento científica. Frequentemente a
palavra “Simetria” é utilizada como sinônimo de beleza, igualdade, regularidade e
proporcionalidade, visto que, os movimentos simétricos se associam a aspectos
estéticos.
Contudo, nas Artes, a Simetria é percebida nas múltiplas manifestações
artísticas, por isso possui conotações diferentes. Geralmente, é associada à “ordem
e lei”, à métrica exata, à perfeição e, para alguns artistas plásticos, significa a prisão.
Contrapondo-se a isso, a assimetria significa arbitrariedades e liberdade.
Na história, encontramos vários indícios que apontam a utilização intuitiva da
Simetria. Os grandes artistas de antigas civilizações, como os gregos, ou a arte
arquitetura dos grandes mestres da Idade Média apresentam obras simétricas.
Segundo Fainguelernt e Nunes (2006), os árabes, a partir de um quadrado simples e
linhas pintadas, apresentam uma multiplicidade de padrões repetidos e repletos de
simetria. A arte islâmica, em particular, tem como característica a abstração das
figuras geométricas, visto que o Islamismo não permite o uso de figuras humanas
em manifestações artísticas.
O islamismo influenciou o holandês Maurits Cornelis Escher, nascido em
1898, que aplicou a geometria dos mosaicos muçulmanos em seus desenhos de
repetições matemáticas, hoje difundidos em todas escolas de artes plásticas do
mundo. Podemos observar na gravura “Cisnes”, talhada em madeira, que o
movimento representado é uma translação.
51
Figura 14: ESCHER, Maurice. Cisnes. Entalhe em madeira, 20 x 32 cm,1956., il color. Disponível em:
http://www.pen.k12.va.us/Div/Winchester/jhhs/math/escher/angels.jpg. Acesso em: 20 de out.
2009.
Podemos identificar, nessa figura, a divisão regular do plano, com os
pássaros se deslocando para mesma direção. Tanto a preservação da distância
entre os pássaros quanto à invariância das figuras são atributos relevantes para o
conceito de translação e qualquer outra isometria.
Os povos indígenas brasileiros também, em seus ornamentos (como chapéus,
cestos, peneiras), mostram-nos diferentes trançados e figuras geométricas com
conceitos simétricos, como podemos observar na cerâmica Marajoara apresentada a
seguir.
52
Figura 15: Cerâmica Marajoara: 397 x 361 - 42k – jpg. il color. Disponível em:
babeldasartes.files.wordpress.com/2008/09/pra. Acesso em: 10 de maio 2009.
Acreditamos que os padrões presentes na natureza - a exemplo da pele das
cobras e do casco de uma tartaruga, os hexaedros dispostos nos favos de mel, a
distribuição dos grãos de milho numa espiga - inspiram os indígenas a construírem
suas obras.
Outros artistas contemporâneos - como Max Bill, Rubens Valentin, Rubem
Ludolf,
dentre outros - empregaram a linguagem geométrica em suas obras que
possuem simetria ou assimetria, criando o movimento Concreto e Neoconcretista.
Isso demonstra como, intuitivamente ou não, as regularidades e os padrões
entusiasmam.
53
Figura 16: VALENTIM, Rubem. Emblema - acrílica/tela - 100x73cm – 1972. il color disponível em:
http://www.ocaixote.com.br/galeria1/rubem_bsb07.html. Acesso em set. 2009.
De acordo com Weyl (1997) o artista realiza intuitivamente as leis
matemáticas que têm origem na simetria da natureza. Ainda conforme esse autor,
“raramente a assimetria é mera ausência de simetria. Mesmos nos desenhos
assimétricos pode-se sentir a simetria como norma da qual se desvia sob a força de
caráter não formal (p.25)”.
Dessa forma, entendemos que a Simetria torna-se elemento de referência
para produção de obras de arte, sejam estas orgânicas ou abstratas, no espaço
bidimensional ou tridimensional. Tomar a arte como ponto de partida para o trabalho
com Simetria é uma forma de significar o conteúdo, de estabelecer laços entre
campos de saber.
A abordagem desse conteúdo de ensino tomando como base a intuição, seja
através da Arte ou de outra área de conhecimento, possibilita que a imaginação, a
criação, a emoção e a sensibilidade sejam mobilizadas na sala de aula de
matemática. Segundo Mega (2001, p.10), “frequentemente a matemática se inspira
no mundo físico e idéias intuitivas para formar conceitos. Com a formalização, as
54
idéias intuitivas podem desaparecer, mas em geral permanecem como referência
sensível, principalmente como recurso didático”.
Contudo, se restringirmos o trabalho com Simetria à intuição, não estaremos
impedindo que aconteça a construção formal dos conceitos, ou seja, que
propriedades sejam observadas, discutidas e aprendidas? No entanto, estudos
comprovam que o formalismo e a fragmentar do conhecimento, dissociando-o do
contexto, das implicações sociais, políticas dificultam a construção de sentido.
Entendemos que, as relações de colaboração e reciprocidade em conteúdos,
disciplinas, temas ou áreas de conhecimentos; quando estabelecidas de forma
adequada possibilitam a construção de sentido e aprendizagem de novos saberes,
mas é necessário pensarmos os conteúdo sob o ponto de vista intuitivo e formal.
55
2.3 O ensino da Arte: uma área de conhecimento
Neste item apresentamos de forma objetiva e sintética os temas relacionados
ao ensino das Artes. Discutimos as concepções de ensino da arte ao longo da
história brasileira e situamos nossa visão de ensino da arte. Discorremos sobre as
ações (leitura, contextualização e fazer artístico) que configuram a proposta
triangular de Ana Barbosa (1998). Discutimos especificamente as artes visuais e
seus elementos de visualidade. Finalizamos com propostas de ensino desenvolvidas
por matemáticos que evidenciam a Interdisciplinaridade entre Simetria e Artes
Visuais.
2.3.1 O ensino da Arte: uma técnica, uma expressão, uma atividade e uma área
de conhecimento
A arte é um dos conceitos mais controverso da história do pensamento
humano. Há teóricos que a definem pela ótica metafísica; outros, a partir da
concepção orgânica segundo a qual a arte é vista como algo inerente ao ser
humano. Não temos a intenção, neste texto, de definir o que é Arte, mas traçar um
percurso histórico do ensino das Artes no Brasil e apontar nossa concepção de
Ensino de Arte em sintonia com a proposta curricular de Ana Mae Barbosa (1998),
identificando os elementos de visualidade da Arte Visual.
Pesquisadores da educação em Artes - como Fusari e Ferraz (1999),
Iavelberg (2003) - apontam duas vertentes que norteiam o ensino em artes no Brasil:
a Idealista Liberal e Realista Progressista. A primeira engloba a Escola Tradicional, a
Escola Renovada Progressista, a Escola Renovada não-diretiva e a Escola
Tecnicista. De acordo Iavelberg (2003, p. 100), para a tendência a Idealista Liberal “a
educação, sozinha, pode garantir a construção de uma sociedade mais igualitária e
democrática”.
A tendência Realista Progressista agrega a Escola libertária, a Escola
libertador, crítico-social dos conteúdos. Essa tendência surge no país na década de
60, discutindo as contribuições da escola para a formação e conscientização do
povo, mas, diferente da primeira, não considera a escola como o único instrumento
para formação de uma sociedade mais democrática e igualitária.
56
Silva (2005), em sua dissertação
2
difere das autoras ao apresentar essas
tendências a partir de quatro concepções de ensino da arte que traçaram a trajetória
histórica e socioepistemológica dessa área de conhecimento no Brasil. São elas:
Ensino da arte como técnica, Ensino da Arte como expressão, Ensino da arte como
atividade, Ensino da arte como conhecimento. A seguir, discorreremos sobre as
características históricas e epistemológicas de todas as concepções de ensino de
arte presentes na realidade brasileira.
O ensino da arte como técnica surge no Brasil com a presença dos jesuítas.
Segundo Silva (2005), em 1549, iniciou-se o ensino de arte na Educação Brasileira,
através de procedimentos informais, caracterizados pelo ensino da arte em oficinas
de artesãos. O objetivo era catequizar os povos da nova terra, utilizando-se, como
um dos instrumentos, do ensino de técnicas artísticas.
De acordo com esse autor em 1816, com a celebre Missão Artística Francesa
trazida por Don João VI, foi criada a Academia Imperial de Belas-Artes, na qual se
seguia o padrão europeu cuja proposta estética era a neoclássica. A aprendizagem
acontecia através da mímese, ou seja, da cópia fiel de modelos, ou de forma natural,
isto é, tudo ocorria por meio da repetição mecânica.
Após a Proclamação da República, a Academia Imperial de Belas-Artes
passou a ser chamada de Escola de Belas Artes. Assim, a República marca o início
da escola tradicional, que teve como representante Rui Barbosa, influenciado pelos
modelos educativos americanos, ingleses e belgas. Silva (ibid.) afirma que Rui
Barbosa propôs, por meio de suas reformas educacionais, a implementação do
ensino de Desenho no currículo escolar, com o objetivo primordial de preparar o
povo para o trabalho. Os positivistas liberais acreditavam que a arte era um
poderoso veículo para o desenvolvimento do raciocínio e da racionalização da
emoção, desde que ensinada através do método positivo, que subordinava a
imaginação à observação.
A partir dessas ideias, os positivistas reorganizaram o ensino de arte através
do retorno ao processo de aprendizagem desenvolvido em ateliês livres, baseado na
imitação e na cópia de estamparias e no ensino do desenho geométrico na
educação primária e secundária. Havia a supremacia da concepção de arte
neoclássica com ênfase na linha, no traçado e na configuração. Segundo Ferraz e
2
Arte como conhecimento: As concepções de ensino de arte na formação continuada dos
professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental de Recife. Dissertação apresentada ao
programa de Pós-graduação em Educação da Universidade Federal de Pernambuco. 2005
57
Fusari (1993), o programa de ensino em desenho era organizado da seguinte
maneira:
a) Desenho natural (observação, representação e cópia de
objetos); b)Desenho decorativo (faixas, ornatos, estudo de letras,
barras decorativas, painéis); c) Desenho geométrico (morfologia
geométrica e estudo das construções geométricas); d) Desenho
pedagógico nas escolas normais (esquema de construção de
desenho para “ilustrar” aulas).
De acordo com Silva (2005), foram quase quatro séculos do ensino de arte no
Brasil baseado, exclusivamente, na concepção de arte como técnica. Com
consequências dessa prática, até hoje observa-se o ensino do desenho geométrico,
dos elementos da linguagem visual descontextualizado da obra de arte. Na
produção de artefatos, utilizam a da pintura de desenhos e figuras mimeografadas.
Silva (2005) observa que as orientações de ensino de arte como técnica se
sustentam em dois pilares:
(1) na efetivação do processo de aprendizagem da arte através do
ensino de técnicas artísticas, para uma formação meramente
propedêutica, que visa, como por exemplo, a preparação para a vida
no trabalho; (2) e na utilização da arte como ferramenta didático-
pedagógica para o ensino das disciplinas mais importantes do
currículo escolar, tais como Matemática e Língua Portuguesa (p.49).
Compreendemos que o ensino da arte fundamentado nessa concepção não
possui um fim em si mesmo, mas serve como âncora para se alcançarem objetivos
que não estão relacionados com o ensino de arte propriamente dito, mas com outras
disciplinas ou atividades profissionais.
Com relação à concepção de ensino da arte como expressão, Silva (2005)
identifica uma trajetória menor, cerca de 20 anos, que teve influência do movimento
denominado Escola Nova, já presente na Europa e nos Estados Unidos desde o final
do século XIX. Com o princípio pedagógico centrado no aluno, nas aulas de artes se
direcionou o ensino para a livre expressão e valorização do processo de trabalho.
Nessa concepção havia uma ênfase nos aspectos psicológicos do ser
humano em detrimento dos aspectos sociais. Os conteúdos eram definidos em
função das experiências vivenciadas. Segundo Martins, Picosque e Guerra (1998, p.
11), “o papel do professor era dar oportunidades para que o aluno se expresse de
forma espontânea, pessoal, o que vinha a ser a valorização da criatividade como
máxima do ensino da arte”.
Conforme Silva (2005), é nessa,
58
tendência que vai surgir à concepção de ensino de arte como lazer,
auto-expressão e catarse, o que descaracteriza a arte como um
conhecimento indispensável para a formação das novas gerações,
passível de ser ensinado e aprendido (p. 57).
A concepção de ensino das artes como atividade baseia-se apenas na
realização de atividades artísticas. Essa concepção resulta do esvaziamento dos
conteúdos específicos da área de arte na educação escolar e foi legitimada pela Lei
de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN), de n° 5.692, promulgada em
11 de agosto de 1971, que instituiu a obrigatoriedade do ensino de arte nos
currículos das escolas de 1° e 2° graus. A partir dessa Lei, o ensino de arte no Brasil
passou a ser designado por meio da rubrica “Educação Artística”.
Essa Lei, contudo, estabeleceu duas modalidades que, fazem-se referência a
partes do currículo, a primeira são as disciplinas (áreas de conhecimento com
objetivos, conteúdos, metodologias e processos avaliativos específicos); a segunda
modalidade são as atividades conceituadas como desenvolvimento de práticas e
procedimentos. Nesse contexto, coube ao ensino da arte apenas o papel de
atividade.
Martins, Picosque e Guerra (1998) ressaltam que essa lei acabou criando a
figura de um professor único que deveria dominar todas essas linguagens de forma
eficiente. Além disso, gerou uma série de desvios que vêm comprometendo o ensino
das artes. Percebemos que a concepção do ensino da arte como atividade se
desobriga de qualquer substância de ensino, isto é, a concepção de ensino da arte
fundamentada unicamente no fazer artístico contribuiu muito para relegar a arte a
um lugar inferior na educação escolar. Segundo Silva (2005), essa compreensão
custou, inclusive, a retirada do ensino de arte das três primeiras versões da nova
LDBEN, nos meados da década de 1980.
Há que se registrar, contudo, a luta de arte/educadores no Brasil a partir da
década de 1980, para garantir a presença da arte no currículo escolar. Nessa luta,
passou-se a reivindicar que arte é um campo de conhecimento específico, composto
por objetivos, conteúdos, métodos de ensino e processos de avaliação da
aprendizagem próprios, e não apenas uma mera atividade, conforme poderemos
verificar na concepção de ensino de arte apresentada a seguir.
Segundo a LDBEN 9.394, em seu artigo 26, parágrafo 2º “O ensino da arte
constituirá componente curricular obrigatório, nos diversos níveis da Educação
básica, de forma a promover o desenvolvimento cultural dos alunos”. Nessa lei,
diferente da LDBEN 5.692, a arte ganha o estatuto de área de conhecimento.
59
Segundo Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN de Arte,
São características desse novo marco curricular as reivindicações
de identificar a área por arte (e não mais por educação artística) e
de incluí-la na estrutura curricular como área com conteúdos
próprios ligados à cultura artística, e não apenas como atividades.
Para Martins, Picosque e Guerra (1998, p. 13),
A arte é importante na escola, porque é importante fora dela. Por ser
um conhecimento construído pelos homens através dos tempos, a
arte é patrimônio cultural da humanidade e todo ser humano deve
ter acesso a esse saber.
Dessa forma, Iavelberg (2003, p.25) ressalta que “o objetivo das artes no
Ensino Fundamental é construir um percurso de criação pessoal cultivado, isto é,
alimentado pela produção cultural em artes”. Ana Mae Barbosa (2001) afirma que
o principal objetivo da Arte na escola é levar os indivíduos a se
confrontarem com símbolos de realidade e experiências
compartilhadas, o que é fundamental para a compreensão social e
do mundo em que vivem. Expressão pessoal e interpretação pessoal
não são construtos espontâneos, mas resultado da ativa negociação
entre o indivíduo e a sociedade, capacidade e necessidade,
liberdade e legalidade, particularidade e universidade (p.50).
O Ensino da arte como área de conhecimento é baseado na proposta
triangular de Ana Mae Barbosa que o compreende como um sistema aberto de
abordagem da Arte, seu ensino e sua história. Identificamos três campos de
conhecimentos articulados: o ler, o fazer e o contextualizar, que se apresentam como
relevantes para Educação Infantil; Ensino Fundamental, Ensino Médio e Educação
de Jovens e Adultos, por compreender a Arte como construção histórica, social e
cultural.
A proposta triangular foi sistematizada, no Brasil, por Barbosa nos anos
1980/90; com a finalidade de trabalhar as Artes Visuais a partir da sua
epistemologia. Segundo Barbosa (1998),
A proposta triangular deriva de uma dupla triangulação. A primeira é
a natureza epistemológica, ao designar os componentes do ensino-
aprendizagem por três ações mentais e sensorialmente básicas,
quais sejam: criação (fazer artístico), leitura da obra de artes e
contextualização (p. 33).
60
Barbosa (1998) denomina essa proposta como pós-moderna por ter como
base estrutural a teoria construtivista, interacionista, dialogal e multicultural. Todas
essas dimensões se encontram no ensino da arte com a finalidade de produzir
conhecimento.
Neste trabalho, para realizar a análise teórica das atividades que articulam
Geometria e Artes visuais nos Livros Didáticos de Matemática, levaremos em conta
as três ações básicas para o processo ensino-aprendizagem da Arte apontadas por
Barbosa em sua proposta triangular, que ilustramos a seguir:
Leitura
Contextualização Fazer artístico
Figura 17: proposta triangular
3
.
Para analisarmos as atividades que estabelecem laços de relação e
reciprocidade entre Simetria e Artes Visuais, é fundamental termos conhecimento
sobre o papel da leitura, do fazer artístico e da contextualização no ensino da arte.
2.3.1.1 Leitura de imagem ou obra de artes?
A palavra leitura implica muitas definições, mas Martins, Picosque e Guerra
(1998, p. 31-32) sintetiza as inúmeras concepções vigentes sobre o tema em duas
caracterizações: “a leitura como decodificação mecânica e a leitura como processo
de compreensão”. Ambas são necessárias, pois, para compreender, precisamos
decodificar e decodificar sem compreensão inviabiliza a leitura.
Para a construção do conhecimento visual, a ação da leitura é fundamental.
Segundo Barbosa (2002, p. 02), “a palavra leitura sugere uma interpretação para a
3
O diagrama foi retirado da Proposta curricular da Rede Municipal da cidade do Recife- Construindo
competências (2001, p. 16).
Arte
61
qual colabora uma gramática, uma sintaxe, um campo de sentido decodificável, a
decodificação do mundo e a poética pessoal do decodificador”. Compreendemos,
então que a leitura é uma ação subjetiva e atravessada pela visão de mundo e pelas
experiências do sujeito. Dessa forma, existe uma pluralidade de leituras, dentre as
quais destacamos a leitura de imagens e leitura de obras de artes.
Leitura de imagens ou leitura de mundo? Paulo Freire (2003) considera que
aprender a ler implica aprender a ler o mundo, compreender o contexto, através de
um diálogo permanente da linguagem com a realidade. Para o autor (ibid, p.11-12),
“a leitura de mundo precede a leitura da palavra”. Parafraseando Freire, Luis
Camargo (apud. PILLAR, 2006, p. 14) diz que a leitura da imagem precede a leitura
da palavra. Nesse sentido, os textos primeiros que decodificamos, interpretamos e
julgamos são as imagens do mundo que nos circunda.
A leitura de uma obra de arte, segundo Pillar (2006, p.15), seria “perceber,
compreender, interpretar as trama de cores, texturas, volumes, formas, linhas que
constituem uma imagem. Perceber objetivamente os elementos presentes na
imagem, na sua temática, sua estrutura”.
Os dois tipos de leitura são complementares, pois a imagem sempre é
produzida por um sujeito numa determinada época, num contexto peculiar, segundo
uma visão subjetiva de mundo. Assim, para realizar uma leitura de obra de arte, é
fundamental a compreensão do mundo de quem produziu a obra.
A ação de ler na arte abrange a produção artística dos alunos e dos colegas,
a produção histórico-social em sua diversidade, a identificação de qualidades
estéticas e significados artísticos no cotidiano, na mídia, na indústria cultural, nas
práticas populares e no meio ambiente.
2.3.1.2 A história, o espaço e o lugar da arte
Contextualizar significa se situar no tempo e no espaço, no qual a obra de
arte cênica, visual ou musical foi produzida. Nós, seres humanos, por sermos
históricos, temos o tempo e o espaço como suportes na nossa forma de ler e fazer
arte. Segundo Rubens Alves (1988 apud. MARTIN, PICOSQUE E GUERRA 1998),
A música que me faz rir ou chorar, o alimento que me apetece ou
me é indigesto, a carícia que me alegra ou me entristece: tudo isso
está relacionado às minhas raízes culturais, às minhas aspirações e
aquelas formas específicas de entender e sentir a vida, que são
peculiares à cultura à qual pertenço (p.21).
62
Dessa forma, compreendemos que cada um de nós tem um repertório
alimentado de experiências pessoais e culturais que guiam o nosso olhar, levando-
nos a conhecer arte, assim como a construir sentidos e significações que nos
permitem analisar e interpretar as produções artísticas da humanidade.
Para Barbosa (2002, p. 03), é através da contextualização de produtos e
valores estéticos que a atitude multiculturalista é desenvolvida. A autora acrescenta
que, “sem o exercício da contextualização, corremos o risco de que, do ponto de
vista da Arte, a pluralidade cultural se limite a uma abordagem meramente aditiva
4
”.
2.3.1.3 Jogo de criação.
Este é o momento da concepção, do invento, da edificação. Segundo
Martins, Picosque e Guerra (1998, p. 54), “o ser humano através da linguagem da
arte, forma, transforma a matéria oferecida pelo mundo da natureza e da cultura em
algo significativo”. Luigi Pareyson (1989, p. 32) afirma que, no jogo da criação, a arte
é “um tal fazer que, enquanto faz, inventa o fazer de modo diferente”.
Desse modo, o processo de criação na arte é compreendido como o
desenvolvimento da criatividade do educando, dando espaço à sua expressividade
nas diferentes linguagens. No fazer artístico, ressalta-se o exercício da percepção,
da fantasia e da imaginação criadora. Para o PCN de artes (BRASIL, 1997, p. 32), “o
fazer formas artísticas e tudo que entra em jogo na ação criadora: recursos
pessoais, habilidades, pesquisa de materiais e técnicas, a relação entre perceber,
imaginar e realizar um trabalho de arte”.
Compreendemos que essas três ações são imperativas para o ensino-
aprendizagem de Artes. E, sendo um sistema aberto, a proposta triangular não
privilegia nenhum desses campos no processo de ensino-aprendizagem, nem os
hierarquiza, mas enfatiza as conexões e interseções existentes entre elas. Para
Barbosa (2002), sem a inter-relação entre o fazer artístico, a apreciação e a
contextualização, a epistemologia da arte fica comprometida. Assim, trabalhando
apenas um desses conteúdos, não estaremos abordando as artes de forma integral.
Diante dos múltiplos campos de atuação do ensino da arte, focaremos nosso
olhar nas Artes Visuais, porque os livros didáticos de matemática para séries iniciais
encontram-se repletos de atividades com a linguagem visual.
4
Barbosa (2002) entende como abordagem aditiva a atitude de apenas adicionar à cultura dominante
alguns tópicos relativos a outras culturas
63
2.3.2 Cor, linha, forma na linguagem visual
Compreendemos Artes Visuais como um campo da Arte que nos possibilita
perceber e reconhecer, as qualidades estéticas nas imagens do nosso cotidiano. A
linguagem visual nos coloca em contato com formas, textura, espaço, cores, linhas,
dentre outros. Tradicionalmente esse campo da arte inclui o desenho, a pintura, a
escultura, a arquitetura, o desenho industrial. Mas se expandirmos nosso olhar,
deparamo-nos com outras manifestações artísticas como as seguintes modalidades:
fotografia, artes gráficas, teatro, dança, publicidade, cinema, televisão etc.
Ferraz e Fusari (2001) consideram que o conhecimento em Artes Visuais
deve acontecer por meio de um processo sistemático de discussão, análise do
campo estético, artístico e cultural. Segundo essas autoras, “não basta, portanto,
saber simplesmente o significado das produções visuais, mas procurar entender
como são feitas e através de que regras e conceitos (p.77)”.
Conforme Martins, Picosque e Guerra (1998), para o aprendiz conhecer o
campo da linguagem visual, é necessário que o professor possibilite:
1) a prática do pensamento visual tornando visível, materializado,
através da forma e da matéria; 2) pesquisa e leitura da estrutura da
linguagem visual e articulação de seus elementos constitutivos:
ponto, linha, forma, cor, dimensão, movimento, volume, ritmo
textura, planos, espaços e profundidade; 3) experimentação de
diferentes modos da linguagem visual: pintura, desenho, gravura,
escultura, modelagem, caricatura, história em quadrinho, colagem,
fotografia, cinema, instalação, vídeos, tevê, informática etc.; 4)
manuseio e a seleção de materiais, instrumentos, suportes e
técnicas suas especificidades como recurso expressivo (p.136).
Segundo essas autoras (1998, p.136.), precisamos oportunizar experiências
estéticas, pois “nutrir o olhar é alimentá-lo com muitas e diferentes imagens”,
estimulando a percepção do educando de modo que este possa resolver as
questões estéticas, estabelecendo relação entre os conceitos e a história da
produção artística.
Ferraz e Fusari (2001) acrescentam que o ensino da linguagem visual deve
promover
A diversificação, ampliações de nosso repertório sensível –
cognitivo e estudos que aprofundem nosso modo de ver, observar,
expressar e comunicar imagens (desenhadas, pintadas, gravadas,
impressas, modeladas, eletrografadas, fotografadas, filmadas,
televisionadas, videografadas etc.) (p.78).
64
Desse modo, o acesso a uma pluralidade de obras de artes possibilita a
construção de conhecimentos visuais. Ao nos depararmos com uma pintura ou
escultura, vamos aguçando a nossa forma de ver e observar. Essas duas ações são
distintas: ver significa ter uma percepção global de determinado objeto, enquanto
que ao observarmos, nós delineamos o objeto, temos um olhar mais preciso.
Segundo Ferraz e Fusari (2001),
Ver significa conhecer, perceber, pela visão, alcançar com a vista
os seres, as coisas e as formas do mundo ao redor. (...) observar é
olhar, pesquisar, detalhar, estar atento de diferentes maneiras às
particularidades visuais relacionando-as entre si (p. 78).
Assim, no ensino da linguagem visual, espera-se que os alunos aprendam a
ver, a observar, a significar, a desvelar as nuances e características do próprio
cotidiano. Pillar (2006) afirma que a leitura de obras de artes apresenta uma
natureza diferente da leitura de imagem, porque uma obra deve ser percebida,
compreendida, interpretada a partir dos elementos de visualidade que a compõem
como as cores, linhas, volumes, formas e superfície, que constituem a imagem.
Nas Artes Visuais, há elementos de visualidade que possuem sua própria
possibilidade expressiva e significativa. Esses elementos são utilizados pelos
artistas, através de técnicas específicas para percebê-los. E apresentam-se
articulados a situações compositivas indicadas por movimentos (reais e aparentes):
direção, ritmo, simetria/assimetria, contrates, tensões, proposição dentre outras
(FERRAZ E FUSARI, 2001).
Ostrower (1983) afirma que são cinco os elementos de visualidade: linha,
superfície, volume, cor e espaço. A seguir iremos apresentar cada um desses
elementos.
A “linha”, de acordo com Kandinisky (1939, apud FERRAZ e FUSARI 2001, p.
82) “é o resultado do deslocamento de um ponto e vai concretizar-se em direção e
extensão”. A linha possui apenas uma dimensão espacial, o que equivale a uma só
direção no espaço. Embora de dimensão unidimensional, “as linhas podem se
articular expressivamente, visto que podem ser grossas, finas, brilhantes, coloridas,
interrompidas (OSTROWER, 1983)”.
A “cor”, quando definida por meio de uma ótica física, seria uma sensação
estimulada pela luminosidade. Esse elemento de visualidade, segundo Ferraz e
65
Fusari (2001), seria mais perceptível diante de outras cores. Quanto a isso, Ostrower
(1983) considera que
o valor exato de uma cor dependerá do conjunto que é visto.
Dependerá, portanto, do contexto colorístico (...) quando entra em
combinação com outras cores (quer seja a tonalidade da mesma
gama ou fundo branco), cada cor recebe determinadas funções
espaciais, sendo redefinidas a cada nova relação. Quer dizer, de
acordo com as relações colorísticas, a mesma cor pode definir o
espaço de maneiras diferentes (p.236).
Para esta autora, a cor é um elemento de visualidade que se caracteriza pela
sua carga de sensualidade, visto que nos aguça os sentidos. Na cor há uma
excitação dos sentidos, que é própria da cor e que não existe em nenhum outro
elemento visual.
O “espaço” é um elemento de visualidade que está ligado ao visual do nosso
ambiente. Segundo Ferraz e Fusari (2001), quando observamos uma pintura, por
exemplo, mobilizamos experiências visuais já decodificadas e referentes de
localização do objeto, distância e profundidades, luminosidade e áreas circundantes.
A esse elemento visual agregamos relações de distância, profundidade, com noções
de especialidade: transparência, superposições, direções que podem ser
bidimensionais ou tridimensionais.
A “superfície” é resultante da combinação de duas dimensões, a altura e a
largura. Ela acontece num plano e, para Ferraz e Fusari (2001), essas duas
dimensões devem ser vistas num conjunto para serem percebidas. As superfícies
podem resultar em formas fechadas, abertas, curvas, planas, regulares e irregulares.
O “volume” é visto como um elemento de visualidade que ocorre basicamente
num espaço tridimensional. É uma organização espacial percebida por massa
constituída de peso e densidade que avançam na altura, largura e profundidade
(FERRAZ e FUSARI, 2001).
Dessa forma, compreendemos que o ensino da Arte Visual deve contemplar
todos esses elementos de visualidade, possibilitando aos educandos a leitura, a
percepção, a compreensão, e assim, aprimorando a sua forma de “pensar e sentir o
mundo”.
66
2.3.3 Evidências de interdisciplinaridade da Geometria e das Artes Visuais.
A interdisciplinaridade entre a Geometria e Artes Visuais, como foi dito
anteriormente, é algo defendido nos documentos oficiais e por pesquisadores da
área da Educação Matemática no Brasil. Por isso, encontramos na literatura
inúmeras pesquisas e estudos que evidenciam a interdisciplinaridade entre
Geometria e das Artes Visuais.
Observamos, nos estudos de Fainguelernt (1999), Fainguelernt e Nunes
(2006) sobre Matemática e Artes, diversas sugestões de autores e atividades. Nas
quais são evidenciados relações entre matemática e Artes Visuais. Dentre os
autores por eles sugeridos, destacamos Escher, por ter uma proximidade com o
nosso conteúdo de estudo, a Simetria. Suas obras apresentam desenhos baseados
em regras de grupos de simetrias, cujas representações preenchiam toda superfície
pela repetição, sugerindo movimento. É o que podemos observar na imagem a
seguir:
Figura 18: ESCHER. M.C. Sky and Water I . 1938. 593 x 598 - 67k – jpg. disponível em:
www.owlnet.rice.edu/~psyc351/Images/Escher.jp. Acesso em: 16 nov. 2009.
67
As obras de Escher estão intimamente ligadas à matemática, à criação de
padrões isométricos de pavimentação do plano, nos quais podemos trabalhar as
transformações. De acordo com Fainguelernt (1999), Escher descobriu dezessete
maneiras fundamentais de cobrir o plano usando padrões de repetição. Para esse
artista, a matemática era um “portão aberto”, pois possibilitava sempre o encontro de
novas descobertas. Conforme a autora (ibid, p. 79), “com essa concepção, Escher
utilizava a matemática como uma ferramenta que lhe ampliava a percepção e a
exploração, enriquecendo seu trabalho gráfico”.
Não é, no entanto, a conotação de ferramenta ou instrumento que queremos
dar à Geometria, nem à Arte Visual, pois consideramos ambas como campos de
saberes que apresentam características epistemológicas, sociais, culturais e
cognitivas próprias.
Fainguelernt e Nunes (2006) propõem, no livro “Fazendo Arte com a
Matemática”, diversas práticas interdisciplinares com Geometria e Artes Visuais.
Através do conteúdo da Simetria, por exemplo, propõem a produção de faixas
decorativas em papel quadriculado, como podemos ver na figura abaixo.
Figura 19: FAINGUELERNT e NUNES, Faixa criada por Amanda Magno de Assis. In. Fazendo arte
com matemática. Porto Alegre: Artmed, 2006 p. 99.
Outra proposta de trabalho interdisciplinar é apresentada por Milani (2001).
Nesse projeto, a autora articula informática, Artes Visuais e Simetria. Através da
obra do artista Milton Dacosta, ela mostra como é possível construir conhecimento
rompendo com o isolamento tradicional de disciplinas.
No desenvolvimento do projeto, foram utilizados dois softwares, o Paint Brush
e o Storybook Weares. O primeiro possibilita criar figuras, recortar, colar, girar,
apagar, ampliar, pintar com pincel, spray ou lápis, produzir textos, dentre outros. O
segundo é um programa com o qual se pode ler ou escrever uma história, incluir
diversos tipos de textos, sons e ilustrá-los com imagem extraída de um banco de
imagens.
68
Aos procedimentos metodológicos seguiram algumas sequências de
atividade. Primeiro, a leitura do livro “Era uma vez uma Menina” com as ilustrações
de Dacosta. Nessa fase, os conceitos matemáticos não foram abordados, para
garantir o entendimento do texto. Depois da leitura, as imagens foram escaneadas.
A Simetria foi explorada no primeiro momento, com atividades de dobradura,
desenhos e jogos, enquanto os alunos se familiarizavam com livro e software.
Depois, a professora solicitou que cada aluno escolhesse uma figura para identificar
a simetria e traçar-lhe o eixo usando o Paint Brush. Em seguida, produziram um
pequeno texto sobre o assunto.
Na segunda fase, os alunos deveriam desenhar uma figura simétrica à figura
dada a partir de um eixo de simetria em uma malha quadriculada no Paint Brush. Por
fim, os alunos produziram um cartão com figuras simétricas. Essas figuras seriam
construídas a partir das figuras do banco de dados das imagens que não
apresentavam simetria. Com ajuda dos softwares, os alunos modificaram as figuras
escolhidas para construir outra com propriedades simétricas e, depois, produziram
um pequeno texto.
As experiências descritas mostram que um trabalho interdisciplinar é possível.
Essas tentativas, segundo Moreira (1997), buscam “recuperar uma totalidade de
pensamento, a qual teria sido perdida pelo fracionamento que a ciência moderna
trouxe a nossa maneira de pensar”.
As experiências acima descritas serviram de referências e nortearam a nossa
interpretação e análise nas atividades presentes nos livros didáticos de matemática
para séries iniciais.
69
2.4 O livro didático: possibilidades e limites
Neste item discutiremos concepções de livro didático e as possibilidades e
percalços presentes na utilização desse recurso didático. Atualmente o livro didático
tem sido uma fonte de dados para pesquisas científicas. Choppin (2004) em seu
estudo sob a história dos livros e edições didáticas e o estado da arte em educação
e pesquisa. Observa que esses livros “vêm suscitando um vivo interesse entre os
pesquisadores de uns trinta anos para cá”. Pode-se comprovar esse fato
observando-se pelo acréscimo de publicações sobre o tema em revistas voltadas à
educação, dissertações, teses e grupos de estudos em seminários e congressos.
2.4.1 Livro didático, o que é?
O livro didático tem sido abordado na literatura por diversos pesquisadores,
principalmente por aqueles que pesquisam instrumentos de ensino-aprendizagem.
As discussões acerca do assunto apontam uma multiplicidade de concepções de
livros didáticos, por abranger vários conceitos que muitas vezes são
complementares.
Na concepção de Richaudeau (apud. LOPES, 2000, p. 37), “o livro didático é
um material impresso, estruturado, destinado ou adequado a ser utilizado num
processo comum de aprendizagem ou formação”. Do mesmo modo, Molina (1988 p.
17) compreende o livro didático como “uma obra escrita (ou organizada, como
acontece tantas vezes), com a finalidade específica de ser utilizada numa situação
didática, o que a torna, em geral, anômala em outras situações”. Observa-se que,
para esses autores, o livro didático se caracteriza por ser especificamente escrito
para utilização em sala de aula.
Goldberg (1983), ao expor sua concepção de livro didático, distingue-o do
paradidático. Esse autor (1983, p. 7) considera que o livro didático tem intenção “de
fazer com que o aluno aprenda, razão pela qual apresenta conteúdos selecionados,
simplificados e seqüenciados”. Já o paradidático “é o livro cuja função é mais de
enriquecimento cultural e entretenimento, sem se preocupar com um ritmo de
aprendizado a ser percebido e trabalhado pedagogicamente”.
Quanto a essa concepção, Rojo (2005) afirma que o universo da discussão
fica bastante limitado. A autora questiona como pode ser classificado, dentro da
proposta de Goldberg, um Atlas de zoologia ou um Atlas histórico.
70
Preocupado com isso, Alain Chopin (2004) distinguiu quatro grandes tipos de
livros escolares, organizados de acordo com sua função no processo de ensino-
aprendizagem. Segundo esse autor, os livros ficaram divididos da seguinte forma: a)
manuais ou livros didáticos; b) livros paradidáticos ou para-escolares; c) livros de
referência; e d) as edições escolares de clássicos.
Segundo Rojo (2005), a classificação de Chopin se restringiu a impressos
didáticos no suporte livro, mas é necessário ir mais além. A autora questiona, então,
como se define um painel que mostre o litoral do Brasil com os vários peixes típicos
de cada região, ou um painel que mostra a evolução da matemática ao longo dos
séculos, com ilustrações de matemáticos e comentários de algoritmos, conceitos,
problemas e sobre as sociedades, ou uma coleção de gesso acrílico ou outro
plástico.
Percebemos que os pesquisadores citados limitam suas concepções ao tipo
de material didático. Entendemos o livro didático a partir de uma ótica social e como
recurso no processo de ensino-aprendizagem. Quanto a isso, Paulo Meksenas
(1993) defende que se entende
o livro didático como “meio de comunicação em massa”, enquanto
produto industrializado, gerado no âmago de uma sociedade de
consumo, fruto das relações de trabalho cujas características é
importante revelar, com uma dupla preocupação: a) a de apontar
caminhos de superação da qualidade deste produto industrial peculiar,
porque cultural e voltado para a educação sistemática; b) a de explicar
um conhecimento que se constitui em recurso de uso desde apoio
pedagógico, que permite tratá-lo enquanto recurso historicamente
produzido e situado, o que o desloca da posição de bíblia para de um
interlocutor de distâncias (autor), em que é preciso, desejável e
necessário dialogar, trocar ideia, concordar ou discordar (p.96).
O caráter diferenciado apresentado por Meksenas sobre o livro didático
coloca o professor como mediador entre o conhecimento que se deseja que seja
aprendido e aquilo que o autor do livro espera comunicar.
Lopes (2000) afirma que o livro, sozinho, não possibilita uma aprendizagem
eficaz, pois é fundamental a ação de professor em relação a esse instrumento.
Segundo o autor (ibid, p. 39), “Um bom livro nas mãos de um professor
despreparado pode ser um desastre, assim como um livro de baixa qualidade, nas
mãos de um professor competente, pode resultar numa ótima aprendizagem”.
Desse modo, Machado considera que, “utilizado de modo adequado, o livro
mais precário é melhor que livro nenhum, enquanto o mais sofisticado livro pode
tornar-se pernicioso, se utilizado de modo catequético” (MACHADO, 1997, p. 112).
71
Por mais diferentes que sejam as práticas pedagógicas dos professores ao
utilizarem o mesmo livro didático, a atuação em sala de aula pressupõe substratos
comuns, aos quais é possível imprimir marcas da individualidade do professor, mas
aos quais não se pode fugir totalmente.
2.4.2 Livro didático, possibilidades
Considerando as diversas concepções discutidas acima, compreendemos o
livro didático como um “instrumento impresso, intencionalmente estruturado para se
inscrever num processo de aprendizagem, com o fim de lhe melhorar a eficácia”
(GÉRARD E ROGIERS, 1998). Assim, o livro didático é um instrumento de
aprendizagem no contexto escolar que possui diversas funções.
Romanatto (2004) considera que o livro didático exerce a função de
instrumento de intercâmbio e inter-relação social, uma vez que permite a
comunicação no tempo e no espaço, ao mesmo tempo em que se apresenta como
fonte de informação. O Guia do Livro Didático de Matemática (BRASIL 2007/2008),
tomando por base as considerações de Gérard e Rogiers (1998), considera que as
funções mais importantes que o livro didático pode desempenhar junto ao aluno são:
a) favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes; b)
propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas, que
contribuam para aumentar a autonomia; c) consolidar, ampliar,
aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos; d) auxiliar na auto-
avaliação da aprendizagem; e) contribuir para a formação social e
cultural e desenvolver a capacidade de convivência e de exercício da
cidadania.
Com relação ao professor, o Guia do Livro Didático de Matemática (BRASIL
2007/2008) entende que é fundamental que o livro didático cumpra as seguintes
funções:
a) auxiliar no planejamento e na gestão das aulas, seja pela
explanação de conteúdos curriculares, seja pelas atividades,
exercícios e trabalhos propostos; b) favorecer a aquisição dos
conhecimentos, assumindo o papel de texto de referência; c)
favorecer a formação didático-pedagógica; d) auxiliar na avaliação da
aprendizagem do aluno.
No entanto, o Guia do Livro Didático de Matemática (BRASIL 2007/2008)
ressalta que as funções somente serão desempenhadas se, ao usar livro didático, o
professor considerar o contexto em que será utilizado, por compreender que as
“funções acima referidas são históricas e socialmente situadas e, assim, sujeitas a
72
limitações e contradições (GUIA DO LIVRO DIDÀTICO/ BRASIL, 2007, p.10)”.
Diante dessa afirmação, compreendemos a necessidade do professor de adequar
esse instrumento didático à sua prática pedagógica e ao contexto em que se
circunscreve a vivência do aluno.
Outra consideração feita por Pereira e Melo (2007) é que, uma quantidade
expressiva de docentes costuma preparar suas aulas unicamente a partir do livro
didático adotado na escola. Determinados professores restringem o conteúdo
abordado e a metodologia empregada ao que está sendo proposto nesse tipo de
livro.
Com relação ao livro didático de matemática, observamos que esse é um
recurso muito presente no ensino. De acordo com Pais (2006), o livro didático
funciona como referência para a validação do saber escolar para os alunos e
professores por se constituir uma importante fonte de informações para a elaboração
do conhecimento matemático, no qual a generalização e abstração assumem um
estatuto diferenciado em relação às outras disciplinas escolares.
Além desses fatores, o professor precisa mudar o seu desempenho, criando
situações, armando dispositivos, suscitando problemas, organizando
contraexemplos, mudando valores de variáveis didáticas, a fim de promover outras
estratégias de ensino. Compreendemos que o docente não deve conhecer apenas
sua ciência, mas também estar bem informado das possibilidades de
interdisciplinaridade e contextualização, assim como precisa conhecer as
peculiaridades do desenvolvimento psicológico da inteligência da criança,
adolescente ou adulto.
Com relação ao aluno, O Guia do Livro Didático de Matemática (BRASIL
2007/2008), tomando por base Gérard e Rogiers (1998), considera que o livro
didático, além de favorecer a aquisição de conhecimentos socialmente relevantes,
pode promover o desenvolvimento de competências cognitivas que contribuam para
aumentar a autonomia.
Desse modo, os livros didáticos deveriam ser, essencialmente, fontes de
ideias e de aperfeiçoamento dos conceitos estudados, trazendo para a sala de aula
os momentos críticos de construção ou evolução do saber.
73
2.4.3 Livro didático, limites
Estudiosos do tema “livro didático” apontam que esse recurso apresenta
alguns limites. Segundo Riachuello (apud. LOPES 2000, p. 38), por ser um material
impresso, o livro didático já limita a aprendizagem, em decorrência das diversas
formas de linguagem que ele apresenta: usual, a das denominações matemáticas,
as simbologias matemáticas, a linguagem gráfica, dentre outras. Além disso, o LD é
destinado a grupos sociais diferentes, por isso apresenta características próprias na
comunicação.
Do mesmo modo, Meksenas (1995, p. 131) observa que
a forma e a organização dos conteúdos apresentados fazem do livro
didático um produto que, recortando/reordenando aspectos da
Cultura, atinge igualmente leitores diferentes, produzindo um
'espetáculo'.
Lopes (2000) destaca que o livro didático revela uma compreensão de
conhecimento e aptidão do autor, diante das suas experiências num meio social e
cultural. Dessa forma, ao livro didático estão subjacentes as ideologias dos autores e
das editoras. Esse autor destaca que esse material didático tem alimentado os
interesses do mercado editorial que cresce a olhos vistos.
Além disso, Lopes (ibid, p.38) desvela “as visões errôneas no decorrer da
construção de conhecimento que estão descritas nos livros, principalmente na área
de exatas”. Lentin (1997 p. 13) acrescenta que
Nos livros didáticos estão expostos os resultados, não a maneira
como foram obtidos. Quanto ao erro, esse subproduto
nauseabundo, ninguém toca nele, ou então só o toca com uma
ponta de uma pinça bem cumprida.
Dessa forma, os autores que ignoram os erros proferem aprendizagens
erradas. Lopes (2000) também constata que os professores das séries iniciais,
principalmente, por conta da formação inadequada, não detectam os erros
conceituais presentes nos livros didáticos na década de 1990.
Embora, na atualidade, os livros didáticos de matemática tenham sido
submetidos a uma avaliação que tem como objetivo melhorar a qualidade das obras
aprovadas, tanto do ponto de vista dos conteúdos quanto da metodologia adotada, é
74
Livro didático
O que é Possibilidades
limites
necessário que a formação inicial e continuada discuta as possibilidades e limites
desse recurso didático tão presente em sala de aula.
Por fim, reafirmamos que o livro, sozinho, não promove a aprendizagem; é
essencial a mediação significativa que o professor é capaz de fazer entre o aluno e o
mundo (a sintonia entre aprendizagem e vida).
Ao buscamos uma ressignificação para o Ensino da Geometria nas séries
iniciais, vemos, nos laços de colaboração e reciprocidade existentes entre Simetria e
Artes Visuais, uma boa possibilidade para isso, sendo os livros didáticos um
importante recurso na prática do professor.
O diagrama abaixo sintetiza como estruturamos a nossa fundamentação
teórica,
Figura 20: diagrama da fundamentação teórica da pesquisa
Ressaltamos que, embora o campo da Geometria esteja no topo do diagrama,
consideramos que este não é superior as Artes Visuais. Entendemos que a inter-
relação entre duas ou mais disciplinas, pode acontecer sem que nenhuma se
sobressaia sobre as outras.
Artes
Artes Visuais Interdisciplinaridade das Artes visuais com a
Geometria.
Geometria
Simetria,
um olhar matemático
Simetria,
um olhar pedagógico
Simetria e Artes Visuais: uma conexão
interdisciplinaridade
interdisciplinaridade
75
A análise de como se dá essa articulação entre Geometria e Simetria é
importante para refletimos sobre a contribuição das Artes Visuais para matemática e
da matemática para Artes Visuais, no intuito de colaborar para produção futura de
atividades significativas que promovam de fato conhecimentos sobre as isometrias.
Assim, empreendemos uma pesquisa cujos objetivos passamos agora a apresentar.
76
2.5 Objetivos
2.5.1 Geral
• Analisar laços de colaboração e reciprocidade em atividades que articulam
Geometria e Artes Visuais na abordagem da Simetria em livros didáticos
de Matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental.
2.5.2 Específicos
• Identificar atividades que articulam Simetria e Artes Visuais em Livros
didáticos de matemática para as séries iniciais do Ensino Fundamental,
por coleção e volume.
• Categorizar modalidades artísticas utilizadas em atividades que articulam
Simetria e Artes Visuais nos Livros didáticos de matemática para as séries
iniciais do Ensino Fundamental.
• Identificar elementos teóricos referentes à Simetria presentes nas
modalidades das Artes Visuais.
77
Figura 21: Pintura indígena, Kaokokoxi/ largato
pequeno. Fotografia, il color. Apresentada no livro
didático - Asas para voar matemática. Ática, 2008,
v. 3, p. 146.
78
3 SIMETRIA E ARTES VISUAIS: LAÇOS DE COLABORAÇÃO E
RECIPROCIDADE
Após termos apresentado a fundamentação teórica e nossos objetivos nesta
pesquisa, discutiremos como estruturamos a metodologia para a realização deste
estudo. No primeiro momento, tomamos por base a Análise de Conteúdo de
Laurence Bardin (2009), da qual apreendemos as técnicas de unidade de contexto e
registro e categorização para quantificar e interpretar as atividades que articulam
Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos de matemática para os anos iniciais do
Ensino Fundamental.
No segundo momento, discutimos a Análise Teórica de Michel Henry (2006),
por trazer elementos que nos subsidiarão na organização das categorias de análise,
a partir de aspectos matemáticos e didáticos presentes nas atividades com o
conteúdo da Simetria na abordagem das Artes Visuais.
No terceiro momento, expomos teoricamente as categorias de análise criadas
a partir da fundamentação teórica. Por fim, apresentamos as coleções analisadas, a
organização e quantificação dos dados que serão apresentados no capítulo
posterior.
3.1 Procedimentos Metodológicos
Esta seção é dedicada à apresentação dos procedimentos metodológicos da
pesquisa. Tomamos por base os estudos de Bardin (2009) e Franco (2003) sobre
análise de conteúdo que pode ser definida como
um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter
por procedimento temático e objetivos de descrição do conteúdo das
mensagens indicadores (quantitativos ou não) que permitam a
inferência de conhecimentos relativos às condições de
produção/recepção (variáveis inferidas) das mensagens (BARDIN,
2009, p. 44).
A escolha da análise de conteúdo justifica-se pelo fato de ela possibilitar a
organização, categorização e interpretação das atividades presentes nos livros
didáticos que estabelecem laços entre o conteúdo da Simetria e as Artes Visuais. A
79
organização de nossa pesquisa tomou por base três pólos cronológicos indicados no
estudo de Bardin (2009):
1) pré-análise;
2) exploração do material;
3) tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação.
3.1.1 Pré-análise
Esta é a primeira fase de organização que, segundo Bardin (2009, p. 121),
possui “três missões: a escolha do documento a ser submetido à análise, a
formulação de hipóteses e objetivos, e a elaboração de indicadores que
fundamentem a interpretação final”.
Para Bardin (ibid.) esses fatores não seguem obrigatoriamente uma ordem
cronológica, mas mantêm-se interligados uns aos outros, visto que a escolha do
documento depende dos objetivos, os indicadores são construídos em função das
hipóteses, ou as hipóteses, em função dos indicadores. A nossa pré-análise seguiu
o percurso abaixo descrito.
Leitura flutuante: esta é a primeira atividade da pesquisa. Consiste em
estabelecer contatos com os documentos a serem analisados (BARDIN, 2009). Em
nossa pesquisa, realizamos a leitura nos livros didáticos para identificar a presença
de articulação entre Simetria e Artes Visuais em atividades propostas nestes
documentos.
Escolha dos documentos: esta etapa consiste em determinar o universo de
documentos a priori susceptíveis de fornecer informações (BARDIN, 2009), Isso, em
nosso estudo, aconteceu através dos livros aprovados pelo PNLD 2010 por estarem
mais atuais e circularem até 2012 nas escolas. No entanto, a constituição do
corpus
5
a ser submetido à análise implica algumas regras.
Regras de homogeneidade: “os documentos retidos devem homogêneos,
obedecer a critérios precisos de escolha e não apresentar demasiada singularidade”.
(BARDIN, 2009, p. 124). A partir dessa constatação, criamos os seguintes critérios:
a coleção de livro didático de matemática teria que estar aprovada pelo
PNLD 2010;
5
Corpus, conjunto de documentos tidos em conta para serem submetidos a procedimentos analíticos
(BARDIN, 2009, p. 122).
80
a coleção deveria possuir de quatro a cinco volumes para as séries
iniciais;
a coleção deveria abordar o conteúdo da Simetria utilizando algumas
modalidades artísticas.
Regras de pertinência: os documentos são adequados enquanto fonte de
informação (BARDIN, 200, p. 124). Em nosso estudo, os livros didáticos de
matemática são considerados por autores como Gérard e Rogiers (1998), Rojo
(2005), Lopes (2000) e outros, como uma fonte rica para informações e
interpretações.
Objetivos: a partir da leitura flutuante nos livros didáticos e escolha dos
documentos, determinamos os nossos objetivos, que já foram expostos no item 2.5.
Hipóteses: após determinarmos os objetivos, elaboramos hipóteses.
Segundo Bardin (2009), as hipóteses são afirmações provisórias sobre o que
pretendemos postular ou refutar. O corpus de hipóteses é fundamental, porque
serve de guia para desenvolvermos a análise. As nossas hipóteses são:
se existem atividades que articulam Geometria e Artes Visuais na
abordagem da Simetria em livros didáticos de matemática para séries
iniciais do Ensino Fundamental, então essas atividades possuem laços de
colaboração e reciprocidade entre o conteúdo Simetria e as Artes Visuais.
se há elementos teóricos referentes a esses conteúdos que precisam ser
identificados, então as Artes Visuais contribuem para o ensino de Simetria
e vice-versa.
Referenciação dos índices e a elaboração de indicadores: considerando o
texto como uma manifestação de índices que, na análise serão explicitados, o
trabalho preparatório incide em escolher esses índices em função das hipóteses
prédeterminadas (BARDIN, 2009). Em nossa pesquisa, buscaremos identificar, nos
enunciados das atividades, a menção explícita ou implícita dos seguintes índices:
os processos artísticos abordados;
elementos teóricos referentes ao conteúdo da Simetria e Artes Visuais:
- propriedades;
- eixo e suas posições;
- tipos de figuras;
- ações das Artes Visuais: leitura, contextualização e fazer artístico.
81
Os indicativos de contribuições da Simetria para Artes e da Arte para Simetria
foram os seguintes:
- quantidade significativa de atividades que articulam Simetria e Artes
visuais;
- modalidades artísticas diferentes abordando o conteúdo da Simetria;
- Indícios das ações (leitura, contextualização e fazer artístico), que
mostram que as Artes Visuais são tratadas como área de
conhecimento.
Preparação do material: antes da análise, realizamos uma edição de
material que em nossa pesquisa aconteceu através da codificação das atividades
por coleção e volume em tabelas (ver apêndice A).
3.1.2 Exploração do Material
Segundo Bardin (2009), nessa fase, devemos realizar a análise propriamente
dita, que não é mais que a aplicação das decisões tomadas na fase anterior. Os
procedimentos aplicados por nós foram manuais: seleção das atividades e
categorização delas por coleção e volume.
3.1.3 Tratamento dos resultados obtidos e interpretação dos dados
Para realizar o tratamento dos dados, é preciso realizar a codificação, ou seja,
a transformação dos dados brutos através de regras precisas. Segundo Bardin
(2009), essa transformação acontece por meio de recorte, categorização e
enumeração do conteúdo. Nossa pesquisa utilizou como unidade de registro e de
contexto a categorização do conteúdo. As formas de enumeração propostas na
análise de conteúdo não se adequaram aos nossos dados, por termos optado por
analisar os enunciados e as imagens que acompanham. As formas de enumeração
da análise do conteúdo aplicam-se apenas à linguagem escrita ou oral.
A unidade de registro é a menor parte do conteúdo, cuja ocorrência é
levantada de acordo com as categorias. Os registros podem ser: palavra, tema,
personagem ou item (FRANCO, 2003). Escolhemos como unidade de registro o
tema, pela possibilidade de analisar elementos teóricos presentes nos enunciados
(comandos) das atividades que articulam o tema Simetria e Artes Visuais nos livros.
82
Compreendemos esses enunciados como referentes
6
, porque outros conceitos estão
organizados em torno deles.
Quanto às unidades de contexto, entendemos que elas nos trazem subsídios
para entender as mensagens presentes na unidade de registro. Conforme Bardin
(2009 p. 133),
A unidade de contexto serve de unidade de compreensão para
codificar a unidade de registro e corresponder ao segmento da
mensagem, cujas dimensões superiores da mensagem são ótimas
para significação exata da unidade de registro.
A partir dos recortes apresentados, realizamos operações estatísticas simples
(percentagens) que permitiram construir tabelas e gráficos com resultados, nos quais
podemos identificar, quantitativamente, a frequência das atividades que articulavam
Simetria e Artes Visuais, assim como a frequência das modalidades artísticas por
coleção e volume, presentes nos Livros didáticos. A análise quantitativa dos dados
será apresentada no capítulo 5.
Posterior à quantificação das unidades de registro tema, partimos para a
categorização, que Franco (2003) considera como uma etapa fundamental na
análise do conteúdo. Segundo essa autora (p.59) esta é “uma operação de
classificação de elementos constitutivos de um conjunto, por diferenciação seguida
de um reagrupamento baseado em relação, a partir de critérios definidos”. Bardin
(2009) alerta que
Classificar elementos em categorias impõe a investigação do que
cada um deles tem em comum com os outros. O que vai permitir o
seu agrupamento, é a parte comum existente entre eles. É possível,
contudo, que outros critérios, insistam noutros aspectos de analogia,
talvez modificando consideravelmente a repartição anterior (p.146)
Em nossa pesquisa, buscamos categorizar os elementos teóricos do
conteúdo da Simetria e Artes identificados na revisão da literatura e no mapeamento
das atividades, considerando a área de conhecimento de que esses elementos
fazem parte, para então identificar interseções entre eles. Dessa forma, utilizamos
alguns elementos da análise que serão apresentados no próximo item.
Elaboramos o seguinte quadro com a finalidade de ilustrar as etapas do
método da Análise do Conteúdo realizada em nossa pesquisa
6
Objeto ou referente – trata-se de temas-eixo, ao redor dos quais os discursos se organizam
(BARDIN, 2009, p.132)
83
PRÉ-ANÁLISE
Leitura flutuante
Escolha do documento
Formulação das hipóteses e objetivos
Constituição do corpus
Elaboração dos indicadores
Preparação do material Referenciação dos índices
EXPLORAÇÃO DO MATERIAL
Administração da técnica no corpus
TRATAMENTO DOS RESULTADOS E INTERPRETAÇÃO
1. Regras de recorte, categorização e codificação.
2. Operação estatística simples (percentual)
3. Síntese e seleção dos resultados
4. Interpretação
5. Utilização dos resultados para análise dos elementos teóricos
Figura 22: Quadro - procedimentos metodológicos, elaborados a partir da leitura
sobre Análise do Conteúdo de Bardin (2009).
3.2 O papel da Análise Teórica em nossa pesquisa
Nosso olhar terá como parâmetro a Interdisciplinaridade, compreendida nesta
pesquisa como uma possibilidade de investigação do objeto de conhecimento e
conteúdo, a partir de atividades que promovem uma relação de reciprocidade e
colaboração entre áreas de conhecimento, considerando as especificidades entre as
disciplinas. Assim, ao olharmos uma atividade que articula Simetria e Artes Visuais,
analisaremos aspectos matemáticos que caracterizam a simetria envolvida na
situação, bem como analisaremos aspectos relacionados ao ensino de Artes Visuais.
84
Para a análise matemática e artística, utilizaremos as ideias de Henry
(2006). Michel Henry realiza uma discussão cautelosa sobre análise teórica de
situação didática, adotando a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau como
referência básica. Ele enfatiza que uma análise teórica é favorável para a pesquisa
que tem a finalidade de experimentar uma situação didática, buscando, por exemplo,
controlar as variáveis e construir argumentos para validar hipótese teóricas.
Nosso estudo não objetiva a construção de situações didáticas, mas analisar
atividades em livros didáticos de matemática para séries iniciais do ensino
fundamental, que articulam o conteúdo da Simetria e das Artes Visuais, assim como
identificar elementos teóricos subjacentes a esses conhecimentos.
Segundo Henry (2006), uma análise teórica é um conjunto de estudos que
contribuem para: o conhecimento do saber em jogo numa situação didática (análise
epistemológica); a descrição de seu funcionamento na evolução de uma situação
(análise didática); e também para o estudo dos comportamentos possíveis dos
alunos em sua gestão (análise pedagógica). Para esse autor, existem diversos
aspectos que servem de guia para a realização de uma análise teórica: a análise
matemática, a didática, a pedagógica e a epistemológica, bem como a transposição
didática e o contrato didático dentre outros estudos.
O nosso estudo irá utilizar alguns elementos da análise matemática e didática
para analisar os aspectos discutidos na fundamentação teórica sobre: Simetria,
Artes Visuais e Interdisciplinaridade. Segundo Henry (2006), para realizar uma
análise matemática, é necessário focarmos nosso olhar em questões referentes aos
conceitos matemáticos, as estratégias de resolução e pré-requisito, ou seja, os
conhecimentos necessários para uma estratégia particular. Do mesmo modo, é
analisada a história de noções e conceitos, os seus contextos de emergência e sua
evolução.
A análise matemática pondera sobre o papel desses conceitos
contemporâneos na matemática, a sua apresentação formal, assim como o
funcionamento do conhecimento na prática social. Também analisa os obstáculos
epistemológicos, marco na história e na prática. (HENRY, 2006).
Enquanto a análise didática compreende os aspectos relacionados ao aluno,
à tarefa e ao professor, nosso estudo pretende analisar apenas as tarefas propostas
nos livros didáticos de matemática para séries iniciais do ensino fundamental.
85
Segundo Henry (2006), a análise da tarefa permite estudar as variáveis educacionais
e os seus valores, bem como seus efeitos no uso das estratégias para resolver os
problemas. Também possibilita identificar possíveis mudanças nos quadros de
acordo com as instruções e analisar o efeito da descontextualização e as possíveis
generalizações, tal como o reinvestimento em outras opções.
Desse modo, uma análise didático-matemática tem como foco os conceitos
matemáticos na sua apresentação formal, o papel desses conceitos
contemporâneos na matemática e o funcionamento do conhecimento na prática
social. Compreende aspectos relacionados ao professor, ao aluno e à tarefa
realizada pelos alunos.
A escolha da análise teórica sob a ótica Michel Henry para subsidiar nosso
estudo traz a possibilidade de construir a pesquisa a partir de aspectos relacionados
à análise matemática, tais como a apresentação formal do conceito de Simetria em
seus aspectos matemáticos e a articulação desse conceito com as Artes Visuais,
tomadas neste caso como uma prática social. Também possibilita construir a
investigação a partir de aspectos relacionados à análise didática, tais como opções
metodológicas dos autores de livros didáticos, as variáveis didáticas e seus valores,
as lacunas conceituais e as possibilidades que as atividades podem apresentar na
contextualização e generalizações.
A partir da revisão da literatura e dos resultados do estudo quantitativo,
construímos categorias de análise que nos subsidiaram na identificação dos
elementos teóricos no campo da Geometria e das Artes Visuais, presentes nas
situações propostas nos livros didáticos. O quadro apresentado a seguir é uma
síntese das categorias de análise que serão discutidas no próximo item.
86
CATEGORIAS DE ANÁLISE
Didático-matemático Artes visuais
- Propriedades da simetria de Reflexão
e translação
7
- Leitura de obras de Artes
- Contextualização
- Eixo e plano de simetria - Fazer artístico
- Figura Simétrica - Elementos de visualidade (cor) .
*** Recurso didático é uma categoria que perpassa as duas áreas de
conhecimento.
Figura 23: Quadro - categorias de análise
3.3 O entrelaçamento entre o conteúdo da Simetria e Artes Visuais: categorias
de análise.
Neste item, discutimos teoricamente a construção das categorias de análise,
identificadas no estudo quantitativo e na revisão de literatura subjacente aos dois
temas. Buscamos analisar o entrelaçamento do conteúdo de Simetria com as Artes
visuais em livros didáticos de matemática para séries iniciais.
3.3.1 Propriedades da Simetria de Reflexão e translação
A revisão de literatura aponta como noções essenciais na formulação do
conceito de Simetria, a compreensão de isometria e de invariância de uma figura por
um grupo de isometrias. De acordo com Siqueira (2000, p. 9) esses “conceitos
compõem uma estrutura matemática na qual é possível uma organização dos
fenômenos relativos ao conceito de simetria em qualquer espaço, em particular no
plano”. Assim esses conceitos se aplicam a qualquer tipo de simetria.
No que se refere à Simetria de Reflexão, podemos apontar como
características essenciais as seguintes:
7
Não abordamos rotação, porque não encontramos atividades com esse tipo de simetria.
87
A preservação da distância e congruência de segmentos passa a ser mais um
invariante importante para que o aluno compreenda a Reflexão Axial, a
preservação da distância de um ponto ao eixo e entre dois pontos distintos
(ALVES, 2005 p. 21).
perpendicularidade é uma noção que indica se dois objetos (retas ou
planos) fazem um ângulo de 90º;
conservação (de forma, de tamanho, de comprimento, de alinhamento
dos pontos, de medida dos ângulos.).
Quanto à Simetria de Translação, destacamos:
repetição de forma;
vetor livre;
deslocamento numa direção pré-fixada.
Silva e Lima (2008), num estudo realizado em 12 (doze) das 16 (dezesseis)
coleções indicadas no Guia do Livro Didático (BRASIL, 2007) do 6º ao 9º ano,
verificaram que as propriedades da Simetria Reflexão eram trabalhadas quase
sempre de forma implícita, cabendo ao professor a responsabilidade de explicitá-las.
No que diz respeito, à Simetria de Translação, não identificamos estudos acerca de
suas propriedades nos livros didáticos.
Analisar como tais propriedades são abordadas nos livros didáticos de
matemática das séries iniciais no contexto das Artes Visuais pode contribuir para
identificarmos em que momento o conteúdo é introduzido, visto que os estudos
anteriores são das séries finais do ensino fundamental. Também pode nos ajudar a
verificar se os problemas se complexificam gradualmente, como sugere o PNLD
(2010), assim como perceber se a retomada do conteúdo acontece de forma
adequada.
3.3.2 Eixo ou plano de Simetria?
O eixo de simetria é um elemento importante na compreensão das
propriedades da Simetria Reflexão. Segundo Fernandes (2004, p. 13), “ele orienta a
figura imagem, a equidistância entre ponto e ponto-imagem e a congruência entre os
88
ângulos”. Além disso, a posição do eixo de Simetria, visto como variável didática
8
,
pode assumir os diferentes valores posicionais (inclinado, vertical e horizontal), o
que interfere na resolução do problema, visto que determinadas posições do eixo
podem gerar estratégias distintas.
Grenier (1988) observou que eixos dispostos vertical e horizontalmente em
relação à folha e que ocupavam um só semiplano foram classificados como mais
fáceis para as figuras dos dois tipos (pontos e segmentos). Quando as variáveis
eram a direção oblíqua do eixo e a intersecção da figura com a reta de simetria, os
níveis de dificuldade dos educandos aumentavam.
Siqueira (2000) também identificou, em seu estudo sobre a Simetria de
Reflexão, no Cabri-géomètre, que os alunos apresentam maior índice de erros na
atividade que o eixo estava inclinado, quando executadas no computador, porque,
trabalhando com o papel no pré e pós-teste, os alunos giravam a figura, levando o
eixo para posição vertical.
Esse tipo de estratégia ocorre visto que os alunos possuem maior familiaridade
com o eixo na posição vertical. Os pesquisadores Jaime e Gutierrez (1996) apontam
que, geralmente nos livros didáticos, assim como, em sala de aula, existe um
trabalho excessivo do eixo na posição vertical. Segundo esses autores, essa prática
é responsável pelo fato de os alunos construírem a imagem sempre paralela à figura
original, mesmo que o eixo não esteja na vertical.
Plano de simetria, “é assim chamado, por dividir a figura espacial em duas
partes iguais, como que espelhadas, uma é reflexo da outra”, (CONTADOR, 2008, p.
124). O Guia do Livro didático (BRASIL, 2007) observa que, dentre as limitações
encontradas nos livros didáticos para séries iniciais, há um trabalho insuficiente de
distinção entre o eixo e o plano de simetria. O documento ressalta que, “essa
limitação agrava-se quando a representação plana considerada é uma perspectiva
do objeto espacial, na qual o possível plano de simetria corresponde a uma reta que
não é, sequer, um eixo de simetria do desenho do objeto”.
Explicitar, as diferenças possibilita ao aluno uma compreensão de que a
simetria de reflexão acontece em dimensões espaciais diferentes. Contudo, será que
8
Entendemos que variáveis didáticas são aquelas para as quais as escolhas de valores provocam
modificações nas estratégias de resolução de problemas. [...] a importância da determinação dessas
variáveis e de seus intervalos para fundamentar a construção das situações didáticas, que permitirão
o surgimento do conhecimento almejado. (GÁLVEZ, 1996, p. 55).
89
os livros aprovados em 2010 avançaram nesse aspecto em relação aos livros de
2007 e, distinguem eixo e plano de simetria?
3.3.3 Figura Simétrica
A figura é um aspecto importante no ensino-aprendizagem do conteúdo de
Simetria. Os estudos que discutem o tema apontam dois tipos de figuras: as
conexas, que Alves (2005) define como aquelas formadas por uma só figura; e as
desconexas, que são formadas por figuras separadas. O tipo de figura é uma das
limitações observadas pelo Guia do livro didático (BRASIL, 2007, p. 32). Esse
documento evidencia que as noções de “figura simétrica” seriam as desconexas e
“simétrico de parte de uma figura” conexa. Embora estejam corretas, tais noções são
decorrentes de conceituações distintas de simetria, o que gera ambiguidade.
Siqueira (2000) considera que
atividades em que se pede para ‘completar a figura’ é possível que
fique obscurecida a idéia de invariância, dado que esta idéia só
emerge quando se considera a figura inteira e não cada uma de
suas metades iguais(p.9).
Esse autor observa que, ao desenhar, o aluno
apóia-se na isometria de reflexão para construir a ‘outra metade’ da
figura, mas talvez não se evidencie para ele que a mesma isometria
transforma também a ‘metade desconhecida’ da figura na ‘metade
conhecida’, assegurando, dessa forma, a existência de simetria (p.
9)
.
Observamos que ambas são atividades de construção de figura, mas
requerem do aluno competências diferentes.
Outro aspecto a ser destacado diz respeito ao contorno das figuras. Conforme
Alves (2005), o contorno curvo implica a inobservância de outras propriedades
(equidistância, correspondência ortogonal entre os pontos simétricos). Isso mesmo
foi constatado por Siqueira, Lima e Gomes Ferreira (2002). Além dessa constatação,
esses pesquisadores identificaram que os alunos apresentaram maior dificuldade
nas atividades que envolvem a construção de figuras desconexas em que eles
tiveram que obter o reflexo. Como estes elementos sobre Simetria discutidos acima
são abordados nos livros didáticos?
90
3.3.4 Leitura de Obras de Artes.
Nesta categoria de análise, temos como finalidade identificar como a ação de
ler é desenvolvida nos livros didáticos de matemática das séries iniciais.
Compreendemos que essa ação abrange a produção artística dos alunos, a
produção histórico-social em sua diversidade, a identificação de qualidades estéticas
e significados artísticos no cotidiano, na mídia, na indústria cultural, nas práticas
populares e no meio ambiente. Elegemos os seguintes aspectos para serem
analisados nas atividades que abordam a simetria no contexto das artes visuais:
produções visuais (originais e reproduzidas) e suas concepções estéticas nas
diferentes culturas (regional, nacional e internacional). Esses aspectos são
importantes se considerarmos o multiculturalismo presente na sociedade
atual;
possibilidade de os alunos “reconhecerem e experimentarem os elementos
básicos da linguagem visual, em suas articulações nas imagens
apresentadas pelas diferentes culturas (relações entre ponto, linha, plano,
cor, textura, forma, volume, luz, ritmo, movimento, equilíbrio) (PCN DE
ARTES, BRASIL, 1997, p. 46)”;
identificação e reconhecimento de algumas técnicas e procedimentos
artísticos presentes nas obras visuais;
se a análise estética foi desenvolvida de forma sistemática para que os
alunos aprendam a identificar os significados expressivos e comunicativos
das formas visuais.
Como estes aspectos estão presentes nas atividades que abordam a simetria no
contexto das artes visuais? Em nossa análise, buscaremos identificar como esses
aspectos são contemplados nas atividades.
3.3.5 Contextualização.
A contextualização é um dos elementos constitutivos do fazer artístico e da
leitura, porque recupera o tempo e o espaço em que a obra de arte foi produzida.
Para essa categoria escolhemos os seguintes indicativos a serem analisados:
leitura e discussão de textos simples, imagens e informações sobre artistas,
suas biografias e suas produções;
91
identificação de produtores em artes visuais como agentes sociais de
diferentes épocas e culturas: aspectos biográficos e alguns produtos
artísticos;
observação, estudo e compreensão de diferentes obras de artes visuais,
artistas e movimentos artísticos de diversas culturas (regional, nacional e
internacional) e em diferentes tempos da história.
Em nossa análise, iremos verificar como a contextualização é tratada nas
atividades tomando por base os aspectos apresentados acima e baseadas no PCN
de Artes (BRASIL, 1997).
3.3.6 Fazer Artístico.
O fazer artístico é compreendido como o processo de criação na arte e,
desenvolvimento da criatividade do educando, dando espaço à sua expressividade
nas diferentes linguagens. Nesta ação, ressaltamos o exercício da percepção, da
fantasia e da imaginação criadora. Apontados os aspectos seguintes como
indicativos de análise:
as artes visuais no fazer dos alunos, considerando as limitações dos livros
didáticos: desenho, pintura, colagem, gravura, histórias em quadrinhos,
produções informatizadas;
os elementos básicos da linguagem visual em suas articulações nas imagens
produzidas (relações entre ponto, linha, plano, cor, textura, forma, volume,
luz, ritmo, movimento, equilíbrio);
contato e reconhecimento das propriedades expressivas e construtivas dos
materiais, suportes, instrumentos, procedimentos e técnicas na produção de
formas visuais;
seleção e tomada de decisões com relação a materiais, técnicas,
instrumentos na construção das formas visuais.
Todos os indicativos apresentados acima serão analisados nas atividades que
articulam Simetria e Artes Visuais.
92
3.3.7 Elementos de visualidade (cor).
Quando definida, por meio de uma ótica física, seria uma sensação
estimulada pela luminosidade. Pedrosa (2007) compreende a cor como uma
sensação e informação, tendo como referência para sua abordagem o âmbito visual
da expressão.
Segundo Richeter (1999, p.43), “a cor é sensação por não ocorrer no mundo
físico e sim em nosso mundo psíquico, tendo como única identidade sensorial e não
figurada”. A cor não é um elemento essencial para qualquer elaboração pictórica,
mas Richeter (1999, p.43) ressalta que a cor, enquanto conhecimento, linguagem e
expressão tem ocupado pouco espaço no planejamento dos professores das séries
iniciais.
Nos livros de matemática das séries iniciais, o Guia de Livro Didático de
Matemática (BRASIL 2007) observa que a cor é considerada um critério para se
construir uma figura simétrica em algumas coleções. Segundo o documento, numa
visão ampla de geometria, tal critério é até aceitável, no entanto é necessário que as
coleções explicitem que a cor não é um elemento geométrico, mas artístico.
As categorias apontadas acima se apresentam relacionadas a outro aspecto
da educação matemática, os recursos materiais. Compreendemos que o livro
didático também se apresenta como suporte solicitado de diversos recursos
materiais. Dessa forma, nossa análise também incidirá sobre esses recursos.
3.3.8 Recursos Didáticos
Esse aspecto perpassa praticamente todas as categorias já citadas. Dessa
forma, torna-se um elemento indispensável para analisar os aspectos didático-
matemáticos, por promoverem variáveis didáticas nas situações propostas nos livros
didáticos, como, por exemplo, o tipo de papel, os valores (liso, quadriculado) e o
instrumento utilizado (régua e compasso), assim como nas Artes Visuais, como tinta,
pincel, lápis de cores etc.
Segundo o PCN de matemática (BRASIL, 1997, p. 19),
os recursos materiais [...] têm um papel importante no processo de
ensino e aprendizagem da matemática. Contudo, eles precisam
estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da
reflexão, em última instância, a base da atividade matemática.
93
Enquanto no ensino das Artes Visuais o PCN de Artes (BRASIL, 1997, p. 46)
sinaliza diversidade de materiais, a experimentação, a utilização e a pesquisa de
materiais e técnicas artísticas (pincéis, lápis, giz de cera, papéis, tintas, argila,
goivas).
Buscaremos em nossa análise identificar como os recursos materiais são
sugeridos e contemplados nas atividades, tanto os instrumentos de desenho
geométrico como os materiais artísticos.
3.4 Apresentação das coleções analisadas
A nossa análise incidiu sobre dezessete coleções de livros didáticos de
matemática aprovados pelo Programa de Livros Didáticos - PNLD de 2010 com
circulação até 2012. Ressaltamos que esta é a primeira análise em livros aprovados
pelo PNLD após a mudança relativa duração do ensino Fundamental. A inserção da
criança aos seis anos no ensino fundamental acarretou mudanças em nas propostas
pedagógicas e recursos didático, nas quais destacamos o livro didático de
matemática que teve a inclusão de um novo volume de alfabetização matemática.
Assim as resenhas sobre as coleções presentes no Guia do Livro Didático
estão organizadas em dois grupos: um destinado análise das coleções do 1º e 2º
anos e, o outro voltado para as coleções relativas ao 3º, 4º e 5º anos.
Quanto aos dois primeiros anos do ensino fundamental, em que o aluno conta
com cerca de 6 a 8 anos de idade, as coleções apresentam atividades voltadas para
a alfabetização matemática das crianças. O Guia do livro didático (2010, p. 18)
ressalta que,
as propostas metodológicas para o trabalho com crianças do
primeiro ano devem levar em conta que a passagem da educação
infantil para o ensino fundamental seja a mais suave possível.
Nesse contexto, vale lembrar que, entre aqueles que iniciarão o 1º
ano, certamente haverá alunos com cinco anos e meio de idade.
Esse documento também recomenda uma atenção redobrada em relação às
características das obras, para evitar rupturas, na continuidade e garantir a
progressão no desenvolvimento dos conteúdos, ou seja, faz referência à condução
de um processo didático coerente ao longo dos anos de escolaridade da criança.
94
Nosso objetivo foi identificar a frequência com que Simetria e Artes Visuais se
entrelaçavam em livros didáticos de Matemática para as séries iniciais do Ensino
Fundamental, por volume e coleção. Também nos propusemos categorizar as
modalidades artísticas que realizavam essa articulação. As coleções analisadas
foram as seguintes:
1. Aprendendo Sempre - Matemática. Luiz Roberto Dante. 1ª edição, Editora Ática.
2008
2. Asas para voar - Matemática. Maria Helena Souza et al. 1ª edição, Editora Ática.
2008
3. Bem-me-quer. Ana Lucia Bordeaux et al. 1ª edição, Editora Brasil. 2008.
4. De olho no futuro - Matemática. Marinez Meneghello et al. 1ª edição, Quinteto
editorial, 2008.
5. Fazendo e Compreendendo Matemática. Lucília Bechara et al. 3ª ed. Saraiva,
2008
6. Fazer Compreender e Criar em Matemática. Aida Ferreira et al. 4ª ed. IBEP, 2008.
7. Hoje é dia de Matemática. Claudia Miriam et al. 1ª ed. Positivo, 2007.
8. Ler Mundo - Matemática. Márcia Aidar. 1ª ed. Scipione, 2008.
9. Linguagem Matemática. Eliane Reame et al. 1ª ed. Saraiva, 2008.
10. Pensar e viver – Matemática. Ana Maria Bueno et al. 1ª ed. Saraiva, 2008.
11. Pode contar comigo. José Roberto Borjorno. 1ª ed. FTD, 2008.
12. Ponto de partida - Matemática. Maria Inez Castro et al. 1ª ed. Sarandi, 2008.
13. Porta Aberta - Matemática. Marília Centurión et al. 1ª ed. FTD, 2008.
14. Projeto Buriti - Matemático. Maria Virginia Gastaldi et 1ª ed. Moderna, 2007.
15. Projeto Conviver - Matemática. Estela Milani et al. 1ª ed. Moderna. 2008.
16. Projeto Pitanguá - matemática. Juliane Matsubara et al. Moderna, 2008.
17. Projeto Prosa. Daniela Padovan et al. 1ª ed. Saraiva, 2008.
Das dezenove coleções, analisamos dezessete. Dentre elas, apenas uma era
composta por quatro volumes. No total, foram analisados noventa e quatro volumes.
Optamos por não examinar as coleções compostas apenas por dois volumes
(alfabetização e 1º ano), porque temos a finalidade de identificar a frequência com
que as situações agregam o conteúdo Simetria com Artes Visuais ao longo dos anos
iniciais do ensino fundamental.
95
Figura 24: ESCHER, Maurice. [sem titulo].
Fotografia. il color. Apresentado no livro
didático Pensar e viver – Matemática. Editora
Ática, 2008 v. 4, p. 147.
96
4 LAÇOS DE COLABORAÇÃO DA SIMETRIA E DAS ARTES VISUAIS NOS
LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA: UM ESTUDO QUANTITATIVO
Neste capítulo, faremos uma análise quantitativa dos dados coletados nos
livros didáticos, a partir da frequência de atividades por coleção e volume. Também
observamos a frequência de atividades relativas a modalidades artísticas, o que será
apresentado no decorrer da discussão dos dados.
Lembramos que nossa análise quantitativa está calcada no método de análise
de conteúdo com base nas categorias apresentadas no segundo capítulo.
4.1 A frequência do conteúdo da Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos
de matemática para séries iniciais
Identificamos, em todas as coleções, atividades que articulam a Simetria com
as Artes Visuais. No total, são 200 exercícios distribuídos nos cinco volumes das
coleções. O volume 1 possui 9% das atividades, enquanto o volume 2 e o 4 são
responsáveis por 17 % das atividades. Já o volume 3 tem 33% e o volume 5, 42 %.
É o que podemos verificas na tabela 01.
Tabela 01: Frequência de atividades que articulam o conteúdo da Simetria e
das Artes visuais nos Livros Didáticos de Matemática
Coleção de livros
didáticos
Volume 1
(1º ano)
Volume 2
(2º ano)
Volume 3
(3º ano)
Volume 4
(4º ano)
Volume 5
(5º ano)
total
01
Aprendendo
Sempre
--------- ---------
1 5 6 12
02
Asas para Voar ----------
2 10 1
--------
13
03
Coleção Novo ------------- ------------
1 2 4 7
97
Conforme a tabela registrada acima, há maior incidência de atividades que
articulam Simetria e Artes Visuais no volume 3, cerca de 33%. É perceptível que
praticamente todas as coleções possuíam atividades que utilizavam alguma
modalidade artística para trabalhar Simetria.
Os volumes 2 e 4 apresentam o mesmo percentual (17% dos exercícios). A
Simetria é tratada em 10 coleções no volume 2 e em 11 coleções no volume 4. No
volume 5, o número de atividades volta a crescer para 24%, a abordagem do
conteúdo é tratado em 12 coleções. Verificamos que no volume 5 acontece, em
algumas coleções, a revisão do conteúdo que já foi tratado de forma mais intensa
nos volumes anteriores.
Percebemos que apenas 9% das atividades são trabalhadas no volume 1 em
6 coleções. No gráfico a seguir é possível visualizar que o número de atividades
Bem-Me-Quer
04
De Olho no Futuro ----------- ----------
3
----------
4 7
05
Fazendo e
Compreendendo
Matemática
2 2 3 5 1 13
06
Fazer,
Compreender e
Criar
----------- --------------
5
----------
3 8
07
Hoje é Dia de
Matemática
3 2 2 4 3 14
08
Ler o Mundo
Matemática
1 2 3 2 8 16
09
Linguagens da
Matemática
-------- ---------- ---------
2 5 7
10
Matemática Pode
Contar Comigo
--------- --------
3
---------- ---------
3
11
Pensar e Viver
3 2 4 1 4 14
12
Projeto Prosa ----------
---------- 4 3
-----------
7
13
Ponto de Partida --------- -----------
4 2
------------
6
14
Porta Aberta
Matemática
1 5 2 3 6 17
15
Projeto Buriti
1 9 12
---------- ----------
22
16
Projeto Conviver
6 4 6 4 1 21
17
Projeto Pitanguá -------
6 6
------------
2 14
Total 17 34 68 34 47 200
%
9%
17% 33% 17% 24% 100%
98
cresce do primeiro ao terceiro volume e decai a partir do quarto volume e volta a
crescer no volume 5. Identificamos que em média as atividades apresentam de seis
a cinco atividades, contudo, a coleção “Projeto Buriti” da Editora no volume 2 nove
atividades e possui dose no volume 3, sendo a coleção que mais possui atividades
com o conteúdo da Simetria e Artes Visuais, no total são vinte duas atividades. A
coleção “Asas para voar” da Editora Ática apresenta uma quantidade dez atividades
no volume 3. isso indica que o conteúdo da Simetria articulado as Artes Visuais tem
sido trabalhado de forma mais intensa em algumas coleções. Enquanto outras, não
abordam o conteúdo com a mesma quantidade.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
volume 1 volume 2 volume 3 volume 4 volume 5
Figura 25: Gráfico-Frequência das atividades que articulam Simetria e Artes
Visuais por volume
Com relação ao tipo de atividade artística proposta no ensino das Artes
Visuais, identificamos no conjunto de atividades analisadas, diferentes modalidades
artísticas: desenho (completar figura ou desenhar a figura simétrica), atividades que
envolvem produção de dobraduras (como kirigami e origami), os padrões
(artesanato, mosaicos e tapeçaria), pinturas (com borrão de tinta e pinturas de
artistas conhecidos). As imagens de obras arquitetônicas e gravuras possuem mais
de uma modalidade artística.
99
4.1.1 Desenho
No ensino das Artes Visuais, o desenho pode ser visto tanto como um
procedimento, quanto como um fruto artístico. No primeiro caso, diz respeito ao
processo pelo qual superfícies planas são marcadas aplicando-se sobre elas a força
de um instrumento (lápis, caneta, carvão ou pincel) e movimentando-as, de modo a
surgirem marcas como pontos, linhas e formas planas. Segundo Richeter (1999, p.
49), “desenhar é criar formas através de linhas”. Desse modo, um desenho
apresenta-se basicamente de forma bidimensional.
Outra questão é que o desenho é algo cultivado. Segundo Iavelberg (2008, p.
24), “o conceito de desenho está diretamente relacionado com aquilo que é
socialmente transmitido através do ‘horizonte de experiências’ do meio onde a
criança vive”. Assim compreendemos que a forma como a criança desenha sofre
influência das oportunidades que ela tem para desenhar, assim como dos modelos
que lhe são oferecidos.
O desenho sempre esteve presente na Geometria. Duval (1988) e Arsac
(1989) que o desenho pertence ao locus de exploração e de experiência, e solicita
uma percepção global. Segundo Alves (2005, p. 28),
A importância dos desenhos no ensino/aprendizagem da Geometria
reside no fato de eles contribuírem para intuições e facilitarem
gradativamente a passagem do concreto ao abstrato, ou seja, do
desenho à figura que é o objeto teórico.
4.1.2 Dobradura
A dobradura pode ser definida a partir de duas técnicas: dobrar o papel, sem
recortes e sem cola e dobrar ou recortar o papel para obter figuras. A primeira
técnica, conhecida como origami, tem origem desconhecida. Acredita-se que tenha
surgido na China assim que o papel foi inventado e tenha sido levada juntamente
com ele para o Japão. Devido à extensão do território, foi incorporada com facilidade
à cultura japonesa.
Apesar de ser uma arte milenar, a palavra “Origami” é recente. Em outros
países pode ter outras denominações. Segundo Ueno (2003),
O nome origami foi criado em 1880, através da fusão do verbo oru.
(dobrar) e a palavra kami (papel), mas antigamente chamava-se
origata (forma dobrada). Em outros países, também encontram-se
outras denominações para essa arte, tais como papiroflexia (em
100
castelhano), paperfolding (em inglês), faltenpapier (em alemão) e
pliage (em francês). (p.16)
O Kirigami é uma técnica mista, pois, além de utilizar a dobradura no papel
(técnica adotada no origami), também faz cortes (kiri) nele. De acordo com Ueno
(2003, p. 33), “vem da fusão da palavra kiru (cortar) e kami (papel). Podem-se
encontrar outras nomenclaturas para essa arte, tais como cutting paper, nos países
de língua inglesa, e schmeiden na Alemanha”.
Assim como o origami, essa técnica tem sua origem na China, junto com a
invenção do papel, e possui três denominações: senshi, sanshi e kokushi. Segundo
Ueno (2003),
Senshi - é utilizada apenas a tesoura, sendo que a forma final deriva
do corte de uma alegoria ou figura dobrada seqüencialmente.
Sanshi - o papel é recortado manualmente e é usada especialmente
por crianças como passatempo ou como uma prévia do kirigami
senshi. Kokushi - as formas das figuras são mais complexas e mais
definidas, pois são utilizadas lâminas afiadas de estiletes, formando
imagens positivas e negativas (p.34).
Para a construção do origami ou kirigami são necessário três elementos
básicos. O primeiro é o papel, cuja forma inicial mais frequente é quadrada, contudo
algumas dobraduras são realizadas com outras formas. A textura deve permitir a
realização de vincos bem determinados, sem rasgar o mesmo no origami. No caso
do kirigami, depende do que se pretende fazer.
O segundo elemento é a forma do origami, que permite a criação de figuras
geométricas e de animais, plantas, objetos e outros. As figuras podem ser
confeccionadas através de um único papel ou utilizando-se módulos, que serão
encaixados formando uma figura ou objetos cortados.
Por fim, um processo como a dobradura pode ser desenvolvida, observando-
se a sequência de passos realizados por um instrutor, o que leva os educandos a
construírem seus conhecimentos e faz do professor um mediador para que esse
processo tenha êxito.
101
4.1.3 Padrões
Quanto à modalidade artística padrão, que corresponde a 16% das
atividades, as coleções trazem imagens de tapeçaria, cestos indígenas, mosaicos e
pintura corporal dos indígenas, dentre outros. Identificamos diversas acepções
acerca da palavra “padrão”, o termo pode designar um conjunto de módulos. De
acordo com Ferreira, Palhares e Silva (2008 p. 30),
Os padrões estão presentes no nosso quotidiano. Basta
observarmos o meio circundante para encontrarmos os mais
diversos padrões, desde o ciclo dia-noite à regularidade das nossas
refeições ou ainda à geometria de algumas pavimentações de
passeios ou do chão das casas, como as que podemos observar em
Conímbriga.
Os padrões possuem forte relação com a matemática, especificamente com a
geometria, uma vez que apresentam grande variedade de Simetrias. De acordo com
Barison e Polón (2007), dependendo da forma como os padrões se repetem em uma
figura, pode-se compor translação, rotação, espelho ou a combinação dessas
formas.
4.1.4 Pintura
De forma genérica a pintura refere-se à técnica de sobrepor pigmento em
forma líquida em uma superfície a fim de colori-la, atribuindo-lhe gradação, tons e
texturas. Para Richter (1999, p. 49), pintar significa “criar formas através da
superfície”. Essa ação possibilita à criança expressar plasticamente suas
experiências e imaginação. Essa autora ressalta que
Pintar é sempre diferente de perceber a pintura, apesar de serem
ações complementares: ver pode estimular o fazer e o fazer pode
enriquecer o ver, complexificando-o. Valorar e julgar, manipular e
interpretar se complementam na construção de significados através
da pintura (p.51).
O elemento fundamental da pintura é a cor. A relação formal entre as massas
coloridas presentes em uma obra constitui sua estrutura fundamental, guiando o
olhar do espectador e propondo-lhe sensações de calor, frio, profundidade e
sombra. Para muitos pintores, a cor é considerada a base da imagem.
102
4.1.5 Arquitetura
As igrejas, casas, pontes e prédios públicos são obras arquitetônicas que
podem ser estudadas a partir dos movimentos artísticos, como Barroco e
Neoclassicismo. De acordo com a nossa concepção, ela se refere à arte ou a técnica
de projetar e construir o ambiente habitado pelo ser humano. Segundo Lemos
(1995),
Arquitetura seria, então, toda e qualquer intervenção no meio
ambiente criando novos espaços, quase sempre com determinada
intenção plástica, para atender as necessidades imediatas ou
expectativas programadas (p. 41-42).
Nesse sentido, a arquitetura trata destacadamente da organização do espaço
e de seus elementos: em última instância, a arquitetura lidaria com qualquer
problema de agenciamento, organização e estética em situações de instalação
espacial. Segundo Lemos (1989), por ser um espaço de uso, as obras arquitetônicas
precisam ser abordadas em seus aspectos estilísticos e as transformações das
técnicas construtivas, ou seja, recursos humanos que geralmente eram escravos ou
camponeses, materiais disponíveis; as relações climáticas e topográficas;
necessidade de utilização; condições econômicas.
4.1.6 Gravura
A gravura é outra modalidade artística observada no tratamento da Simetria
articulada às Artes Visuais nos livros didáticos de matemática para séries iniciais
do ensino fundamental. Andriole (2003) define a gravura como, “o múltiplo de uma
Obra de Arte, reproduzida a partir de uma matriz”. A gravura possui diversas
técnicas que geralmente se diferenciam pelo suporte que é reproduzida. Segundo
Andriole (2003) elas seriam:
Metal; nesse processo a gravação da imagem é realizada com metal,
geralmente o cobre;
xilogravura é a técnica cuja matriz é o relevo; é produzido em madeira. Nessa
técnica, a placa de madeira receberá a tinta que ficará nas partes em alto
relevo e, sob pressão, será transferida para o papel;
linóleo, técnica semelhante à xilogravura em que a gravação da imagem
também receberá a tinta que ficará nas partes em alto relevo, sendo que se
trata de um material sintético denominado linóleo. Segundo Andriole (2003),
103
essa técnica é mais recente devido ao material de sua matriz é muito utilizada
pelos artistas modernos, como Picasso;
litogravura é a matriz na qual as cópias são reproduzidas em pedra;
serigrafia, técnica que consiste em transferir a imagem desenhada para uma
"tela de nylon".
Possuímos outra categoria que denominamos “modalidades mistas” por
termos verificado, mesma atividade, duas ou mais das modalidades acima
apresentadas. Podemos observar na tabela 02 a freqüência com a qual as
atividades são distribuídas por modalidade artística.
Tabela 02: Distribuição das atividades de acordo com as modalidades
artísticas
Coleções
Desenho Dobradura Padrões Pintura
Arquitetura
Gravura
Modalidade
mista
01
Aprendendo
Sempre
8 3
0 0 0 0 0
02
Asas para
Voar
8 1 2 1 1
0 0
03
Coleção Novo
Bem-Me-Quer
5 2
0 0 0 0 0
04
De Olho no
Futuro
2 4
0
1
0 0 0
05
Fazendo e
Compreenden
do
Matemática
8 1
0
4
0 0 0
06
Fazer,
Compreender
e Criar
3 1 1
0
2
0 0
07
Hoje é Dia de
Matemática
6 4
0 0
1 3
0
08
Ler o Mundo
Matemática
7 3 2 1 1 1 1
09
Linguagens
da
Matemática
1 1
0
1 1
0
3
104
10
Matemática
Pode Contar
Comigo
1 1
0 0
1
0 0
11
Pensar e
Viver
2 1 6 2 1 1
0
12
Projeto Prosa
1 4
0
1 1
0 0
13
Ponto de
Partida
4 1 1 1
0 0 0
14
Porta Aberta
Matemática
10 2 2 1 0
0
2
15
Projeto Buriti
12 1 9
0
1
0 0
16
Projeto
Conviver
6 4 5 4 1
0
1
17
Projeto
Pitanguá
7 2 4
0 0
1
0
Total 91 36 32 17 11 6 7
% 45% 17% 16% 9% 6% 3% 4%
Na distribuição apresentada na tabela acima, verificamos que 16 coleções
trabalham com dobradura. Apenas a coleção “Projeto Pitanguá”, da Editora Moderna,
não possui atividades com essa modalidade. A modalidade “desenho” tem a maior
quantidade de atividades, 91 no total, e é trabalhada em todas as coleções.
As modalidades de pintura e arquitetura são trabalhadas em dez coleções;
sendo que, em quantidades diferentes. Identificamos 17 atividades com pintura e 11
com arquitetura. Os padrões estão presentes em nove coleções (no total são 32
atividades). As gravuras estão em quatro coleções (no total são 6 atividades). Por
fim, a categoria “modalidades mistas”, é trabalhada em apenas quatro coleções,
somando um total de sete exercícios.
O gráfico, registrado, abaixo, explana percentualmente como as modalidades
artísticas estão distribuídas nas coleções analisadas. Observamos que 45% do total
de atividades são desenhos; 17%, dobraduras; 16 %, padrões; 9% , pinturas; 6%,
obras arquitetônicas; 3%, gravuras; e 4%, modalidades mistas.
105
6%
16%
45%
17%
3%
9%
4%
Arquitetura
Padr ões
Desenho
Dobradura
Gravura
Pintura
Diversas modalidades
Figura 26: Gráfico - Frequência das modalidades artísticas nas coleções.
Verificamos que a modalidade “desenho” apresenta-se em maior número.
Essa modalidade artística está muito presente no ambiente escolar e perpassa
diversas modalidades artísticas e disciplinas. Inclusive na matemática, alguns
teóricos consideram o desenho como forma de representação dos conhecimentos do
aluno. Percebemos que a modalidade artística desenho apresenta 45%, ou seja, é
quase metade do total das atividades, enquanto, 55% correspondem a todas as
outras modalidades juntas. Deste modo, concluímos que há uma desigualdade a
distribuição das modalidades artísticas nos livros didáticos.
Evidenciamos uma grande diversidade de técnicas artísticas, ou seja,
verificamos que os educando têm a possibilidade de ampliar o repertório artístico nos
Lds de matemática para séries iniciais. A seguir, iremos discorrer sobre cada
modalidade artística, cujas atividades integram Simetria com as Artes Visuais.
Recordamos aqui que compreendemos a interdisciplinaridade como uma
possibilidade de colaboração e reciprocidade entre conhecimentos. Buscamos, então
interpretar cada modalidade artística a partir do ponto de vista das duas áreas de
conhecimento.
106
Nas coleções analisadas, identificamos que os desenhos são essenciais para
que os alunos compreendam Simetria. Nas atividades, predomina o desenho a mão
livre, mas considerando o ponto de vista do ensino das Artes Visuais, podemos dizer
que os desenhos apresentados são estereotipados. Em geral, são desenhos de
adultos, os quais as crianças têm que completar ou a partir das quais elas devem
desenhar uma figura semelhante. Podemos observar isso no exemplo a seguir.
Figura 28: BORJORNO, J. R. et al. Pode contar comigo. 1ª edição, São Paulo: Editora FTD, 2008,
v.3, p.76., il color.
Estudiosos do desenho da criança como Sans (2005) e Iavelberg (2008),
consideram que, no ensino da arte, as crianças tenham seu repertório alimentado
por desenhos de outras crianças e não por desenhos de adultos. Na perspectiva da
matemática, no desenho é importante que se estabeleça uma relação dialética entre
desenho e figura. Segundo Siqueira (2000, p. 36), “a dialética entre desenho e figura
inclui a passagem de uma percepção global do primeiro para uma compreensão
analítica da figura e das suas propriedades formais da geometria euclidiana”.
Na modalidade artística dobradura encontramos atividades com as duas
técnicas Origami e Kirigami, a primeira foi identificada em apenas 7 atividades como
no exemplo abaixo:
107
Figura 29: PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São Paulo, 2008, v. 4 p. 88. il Collor.
A atividade acima registrada mobiliza conhecimentos matemáticos que
ultrapassam as fronteiras do conteúdo Simetria, pois trabalha com a idéia de metade,
as formas geométricas e ponto. Assim estabelece uma relação intramatemática. A
segunda técnica, kirigami foi identificada em 31 das atividades propostas nas
coleções analisadas. Observamos que esse tipo de dobradura está presente em
praticamente todas as coleções analisadas nos diversos volumes. O trabalho com
dobradura possibilita que os alunos reflitam sobre alguns elementos da simetria,
como o eixo, e propriedades, como conservação de distância e forma.
108
No entanto, Siqueira (2000) observa que as atividades de dobradura se
inserem na categoria de movimento da figura, porque as trajetórias descritas pelos
pontos da figura não permanecem no plano. O movimento nesses casos ocorre no
espaço tridimensional, no qual o plano da figura está imerso. Podemos observar isso
a seguir, na ilustração 30.
Figura 30: MENEGHELLO, M.; PASSOS, Â. De olho para o futuro - matemática. Editora Quinteto
editorial. São Paulo, 2008.
As situações encontradas abordam as Simetrias de Reflexão e Translação. É
solicitado que os alunos realizem translações ou reflexão do padrão como podemos
observar a seguir.
109
Figura 31: BARROSO, J. M. (org.). Projeto Pitanguá matemática. 2ª edição, v. 3, p. 127. Editora
Moderna. 2008.il Collor.
A pintura possui um percentual de 11%. Identificamos atividades em que
propunha observar pinturas de artistas conhecidos, a técnica do borrão de tinta ou
desenhos para colorir. A pintura refere-se de forma genérica à técnica de aplicar
pigmento na forma líquida ou não a uma superfície, a fim de colori-la, atribuindo-lhe
tonalidade e texturas. Pintar e perceber a pintura são, contudo, duas ações
diferentes.
Nos livros didáticos de matemática analisados, apesar de haver poucas
atividades relativas à pintura, as apresentadas possibilitam as duas ações: o pintar e
o observar pinturas. Além disso, as atividades com borrões de tinta se inscrevem no
grupo “movimento da figura”, visto que o caminho delineado pelos pontos da figura
não permanece no plano a figura, assim como as dobraduras, em que o movimento
ocorre no espaço tridimensional, no qual o plano da figura está imerso. Podemos
observar isso no exemplo a seguir.
110
Figura 32: CERULLO. Mª. et al. Ponto de partida matemática. Editora Sarandi. São Paulo, 2008, v.
3, p.262.
Identificamos que 6% das atividades abordam a Simetria de Reflexão através
da leitura de imagens arquitetônicas diversas como: igrejas, museus, casas, pontes,
dentre outras. As situações propostas, em geral, solicitam dos alunos a identificação
da Simetria nessa obras através da apresentação de eixo de simetria. Em algumas
atividades, as imagens arquitetônicas aparecem misturadas a outras imagens.
111
Figura 33: CENTURIÓN, Marília et al. Porta Aberta – Matemática. Editora FTD. São Paulo. 2008, p.
76.
Também, encontramos atividades que comparam imagens de arquiteturas
simétricas e assimétricas. Nesse tipo de atividade, os autores explicitam diversos
objetivos: desenvolver expressão estética; valorizar a arquitetura popular; identificar
eixos de simetria; usar régua; dentre outros. Podemos observar isso no exemplo
abaixo.
112
Figura 34: MILANI E. et al. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008, p. 89.
Observamos que 6% das atividades que articulam a Simetria com as Artes
visuais são gravuras. As coleções, contudo, restringiram-se a uma técnica
específica, a xilogravura. Atribuímos isso ao fato dessa técnica estar muito presente
em nossa cultura, principalmente na arte popular.
As atividades, de modo geral, solicitavam dos alunos a identificação do eixo de
simetria nas imagens ou comparava obras simétricas com assimétricas, como
podemos observar a seguir:
113
Figura 35: TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Editora Positivo, Curitiba, 1ª edição,
2007, p. 13.
As modalidades mistas são aquelas atividades que apresentam mais de um
tipo de modalidade artística, ou seja, numa mesma atividade, temos imagens de
pinturas, esculturas, cerâmica, arquitetura, dentre outras. Geralmente, trabalham o
eixo de simetria independentemente de ser uma imagem bi ou tridimensional, como
podemos verificar na figura 36.
114
Figura 36: REAME, E; MOTENEGRO, P. Linguagem Matemática. Editora Saraiva. São Paulo. 2008,
v. 4, p.209.
4.2 Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos: identificando alguns laços de
colaboração
A identificação de duzentas atividades que articulam Simetria e Artes Visuais
em 17 coleções de livros didáticos de matemática, distribuídas em todos os volumes
das coleções, ajuda-nos a verificar um laço de colaboração entre Geometria e Artes
Visuais, suscitando a possibilidade de pensar aportes mútuos entre Geometria e
115
Artes Visuais. Olhando essas duzentas atividades, pudemos identificar seis
modalidades artísticas: desenhos, dobradura, padrões, pintura, arquitetura e
gravura.
A Simetria está integrada às Artes Visuais em todas as coleções examinadas,
em quantidade bem relevante, embora a quantidade de modalidades artísticas que
se apresenta nas coleções seja restrita, se levando em consideração a infinidade de
possibilidades presentes no universo das Artes Visuais. Algumas coleções, como
“Ler Mundo”, da Editora Scipione, “Projeto Conviver”, da Editora Moderna, e
“Linguagem Matemática”, da Editora Saraiva, contemplem, senão todas, quase
todas as modalidades identificadas.
Percebemos que, na distribuição das atividades, há uma concentração no
volume 3, embora o PCN (BRASIL, 1997) não registre observação alguma quanto à
distribuição das atividades relativas à Simetria. Apenas sugere que a Simetria seja
observada através formas geométricas no primeiro e segundo ciclo do ensino
fundamental. Apesar dessa concentração de atividades no volume 3, observamos
que a natureza das atividades é a mesma em todos os volumes. De modo geral,
solicita-se o reconhecimento e a construção de figuras simétricas.
Sob o ponto de vista da Arte, essas coleções estão oportunizando e
estimulando os alunos a construírem o hábito de experimentação de técnicas,
recursos e novas formas de trabalho expressivo. E sob o ponto de vista da
matemática, essas coleções possibilitam vivenciar o conteúdo matemático “Simetria”
através de atividades em contextos diferentes, oportunizando diversas situações
para construção de significado.
Reconhecemos essa busca pela interdisciplinaridade um trabalho que surge
em 1997 nos Parâmetros Curriculares Nacionais e é alimentada pelo Guia de Livro
Didático (BRASIL; 2007; 2008 e 2010), que considera o ensino interdisciplinar como
aquele que viabiliza a atribuição de significados aos conteúdos matemáticos.
Os dados apresentados acima contribuíram para estruturarmos o estudo que
será explanado no próximo capítulo. Realizamos uma análise qualitativa das
atividades sob os pontos de vista didático-matemático e artístico.
116
Figura 37: Arquitetura. Fotografia, il color. Apresentada
no livro didático - Projeto Conviver matemática. Editora
Moderna, 2008, v. 3. p. 89.
117
5 LAÇOS DE RECIPROCIDADE DA SIMETRIA E ARTES VISUAIS NOS
LIVROS DIDÁTICOS: UMA ANÁLISE QUALITATIVA
Neste capítulo analisamos qualitativamente laços de reciprocidade entre
Simetria e Artes Visuais identificadas nas atividades selecionadas nos livros
didáticos analisados. A partir da revisão da literatura e dos resultados do estudo
quantitativo, discutimos alguns elementos teóricos relacionados às temáticas já
abordadas no segundo capítulo. A princípio, analisamos os tipos de Simetria
identificados nos livros didáticos. Em seguida, a Simetria de Translação com relação
à isometria, conservação de direção no deslocamento; à forma nas figuras; ao
tamanho e ao ângulo das figuras.
Na Simetria de Reflexão, analisaremos as seguintes propriedades:
equidistância, perpendicularidade e conservação de forma, tamanho, ângulo das
figuras simétricas. Além dessas propriedades, discutiremos o elemento “eixo” e suas
diversas posições. Por fim, discorreremos sobre a categoria “figuras”, tanto sob o
ponto de vista da Simetria de Reflexão, quanto da Simetria de Translação.
Finalizamos o capítulo com algumas reflexões.
5.1 Tipos de Simetria
A Simetria, característica que pode ser observada em algumas formas
geométricas, equações matemáticas ou em outros objetos, classifica-se em
diferentes tipos (como já discutido na fundamentação teórica): as simetrias simples
(rotação, reflexão, translação) e as combinações, que podem ser inúmeras (inversão
rotatória, reflexão rotatória, rotação deslizante, reflexão deslizante dentre outras).
Em nosso estudo, identificamos duzentas atividades que articulam Simetria e
Artes visuais nos livros didáticos. Nelas predomina a Simetria do tipo reflexão (88%
do total), enquanto apenas 12% das atividades abordam a Simetria de Translação,
as atividades com Simetria de Rotação não foram identificadas, como podemos
observar na tabela 03. As atividades estão distribuídas por coleção (ver anexo 02):
118
Tabela 03: Frequência dos tipos de simetrias
Tipos de simetria
Coleções
Reflexão Translação
01
Aprendendo
Sempre
12 -----------------------
02
Asas para Voar
11 2
03
Coleção Novo
Bem-Me-Quer
7 --------------------------
04
De Olho no Futuro
8 -----------------------------
05
Fazendo e
Compreendendo
Matemática
13 -----------------------------
06
Fazer,
Compreender e
Criar
7 1
07
Hoje é Dia de
Matemática
13 -----------------------------
08
Ler o Mundo
Matemática
14 2
09
Linguagens da
Matemática
7 ----------------------
10
Matemática Pode
Contar Comigo
3 -------------------------
11
Pensar e Viver
9 5
12
Projeto Prosa***
7
13
Ponto de Partida
6 1
14
Porta Aberta
Matemática
17 -----------------------
15
Projeto Buriti
18 4
16
Projeto Conviver
15 6
17
Projeto Pitanguá
11 3
Total 178 22
% 88% 12%
Os dados revelam que os autores dos livros didáticos analisados privilegiam a
Simetria Reflexão, em detrimento das demais, como translação e rotação e a
combinação das mesmas. Esse aspecto foi apontado na dissertação de Ripligger
(2006).
Identificamos que as figuras com Simetria de Rotação pouco aparecem nos
livros. Isso já foi constatado pelo Guia do Livro Didático (BRASIL 2007, 2008),
embora Mega (2001) recomende em sua pesquisa que a Simetria de Rotação deva
119
ser a primeira apresentada às crianças, pela familiaridade que elas têm com essa
simetria na sua vida diária. Contudo, observamos que, quando aparecem figuras
com rotação, trabalha-se reflexão, como podemos verificar no exemplo a seguir:
Figura 38: AIDAR, M. Ler Mundo – Matemática. Editora Scipione. São Paulo, 2008. v. 4, p. 193, il
Color.
Na sequência de atividades acima registrada, ainda que seja apresentada
uma figura simétrica por rotação (atividade 4), tem-se como finalidade identificar
120
eixos de Simetria. Na atividade 5, solicita-se que os alunos desenhem, nas malhas
apresentadas, figuras com regularidade, ou seja, construam uma figura com
translações.
Além desse aspecto, não encontramos recomendações explícitas quanto ao
tipo de Simetria a ser abordado ao longo das séries iniciais em documentos oficiais.
O PCN (BRASIL, 1997) sugere que se identifiquem características das figuras
geométricas, percebendo-se semelhanças e diferenças entre elas, por meio de
reconhecimento e produção de figuras simétricas, mas não faz referência ao tipo de
simetria a ser trabalhado ao longo dos anos iniciais.
O Guia do Livro Didático (Brasil, 2007, 2008), embora conceitue os três tipos
básicos de simetria (rotação, reflexão e translação), não faz indicações quanto à
distribuição dos diferentes tipos de simetria nas coleções. Desse modo, fica a critério
dos autores de livros didáticos escolherem o tipo de Simetria a ser trabalhado.
Nesse estudo constatamos os autores privilegiam a Simetria de Reflexão, pois 88%
das atividades abordam este tipo de Simetria.
Consideramos que as simetrias de rotação, reflexão e translação produzem
tipos diferentes de transformação, e todas estão muitos presentes no vocabulário e
nas brincadeiras das crianças, através de denominações como giros, trocas,
deslizamentos. Então, por que não propor atividades com esses diversos tipos
existentes?
5.1.1 Simetria de Translação
A translação, como já dissemos, é um tipo de simetria que está presente em
22 atividades nas modalidades padrão e dobradura. Ressaltamos que apenas duas
delas são com dobradura, na qual o recorte remete à ideia de deslocamento.
Na Simetria de Translação, buscamos analisar aspectos referentes à
conservação de distância no deslocamento de uma figura, à conservação de forma,
de tamanho, de ângulo, assim como se a atividade indica se a direção da figura no
deslocamento deve ser mantida.
No conjunto de figuras observadas, não identificamos nas atividades indícios
que levassem o educando a perceber que as figuras devem manter a direção ao
serem deslocadas. Com podemos observar na atividade a seguir, não há menção da
direção que deve ser mantida, apenas se solicita que o aluno crie um mosaico.
121
Figura 39: SOUZA, M. H. et al. Asas para voar matemática. Editora Ática. São Paulo. 2008.v.3,
p.145., il color.
Com relação à conservação da distância entre as figuras, percebemos que a
maioria aparecia conjugada sem a necessidade de estabelecer distâncias, como em
atividades com padrões, a exemplos das dobraduras. Nas figuras que apareciam
desconexas não identificamos, contudo, explicitações com relação à distância entre
uma figura e outro ponto que deveria ser preservado no deslocamento. Também não
encontramos observações com relação à conservação de forma, comprimento e
ângulos das figuras.
figura 40: MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008, v. 3. p.
121., il Color.
122
Na atividade acima, não observamos qualquer questionamento que leve o
aluno pensar sobre a regularidade, a forma ou comprimento da figuras que foram
conservados ao realizar o deslocamento. Tais indagações poderiam estimula o aluno
a pensar sobre conceitos matemáticos na figura.
A não explicitação de conceitos de simetria de translação é verificada em
diversos estudos sobre as transformações geométricas, como o de Silva e Lima
(2008), Mega (2001) e Ripligger (2006), e em outros que constataram o enfoque
intuitivo na abordagem da simetria no ensino fundamental.
5.1.2 Simetria de Reflexão
Neste item, discutiremos a Simetria de Reflexão contemplada em 88% das
atividades. A princípio, analisaremos as propriedades dessa Simetria, essencial para
a construção do conceito. Dentre as propriedades referentes à Simetria de Reflexão,
discorreremos sobre equidistância em relação ao eixo, perpendicularidade e
conservação de forma, tamanho e comprimento. Também estudaremos outros
elementos característicos desse tipo de Simetria, o eixo.
5.1.2.1 Propriedades da Simetria de Reflexão
a) Equidistância
Nas modalidades artísticas identificadas neste estudo - desenho, dobradura,
arquitetura, gravura e pintura -, observamos que não se faz menção à
equidistância, embora algumas atividades oportunizem a explicitação dessa
propriedade. Observamos no exemplo seguinte.
123
Figura 41: SOUZA, M. H. et al. Asas para voar matemática. Editora Ática. São Paulo. 2008. V. 3, p.
144. il. Color.
O enunciado da atividade acima estimula o aluno a utilizar a malha
quadriculada fornece uma unidade de comprimento pela distancia de dois pontos
consecutivos como unidade medida para construir o desenho. Entendemos que,
implicitamente, a atividade propõe que o aluno complete a imagem
estabelecendo pontos na malha quadriculada com a mesma distância em relação
ao eixo da parte conhecida da figura.
124
No exemplo a seguir, podemos observar uma etapa de uma sequência de
atividades com dobradura do tipo kirigami. O aluno é solicitado a perceber a
Simetria na figura.
Figura 42: TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Editora Positivo, Curitiba, 2007. v.1, p
192. il Color.
Essa atividade, contudo, conduz o aluno a pensar sobre a equidistância
presente na dobradura, mesmo havendo possibilidade de ele verificar se a distância
está sendo conservada com instrumento de medida, como cordão, régua, fita
métrica, dentre outros. Essa lacuna também é observada nos exercícios com borrão
de tinta, na modalidade artística pintura. Observamos o exemplo abaixo exposto:
125
Figura 43: SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo matemática. 4ª edição
reformulada, Editora Saraiva. São Paulo. 2008. v. 3, p. 177., il Color
Nas atividades com arquitetura, com as diferentes das modalidades até então
citadas, há possibilidade de tratar a Simetria de maneira mais formal, considerando-
se que as fotografias das obras arquitetônicas não possuem a exatidão necessária
para que os alunos verifiquem a equidistância em relação ao eixo. Isso corrobora
com o aspecto intuitivo, característico das atividades artísticas, apontado por Mega
(2001). Podemos observá-lo a seguir.
126
Figura 44: REAME, E. et al. Linguagem Matemática. Editora saraiva. São Paulo. 2008. v. 5, p.
169., il Collor.
Nas modalidades “gravura” e nas “modalidades mistas”, devido ao número
menor de atividades, identificamos poucos indícios dessa propriedade. De modo
geral, as atividades exploram a leitura de imagens e solicitam que os alunos
comparem os dois lados da figura em relação ao eixo, a fim de identificarem a
igualdade entre eles, mas não há referência à equidistância, como podemos
observar no exemplo a seguir:
127
Figura 45: BARROSO, J. M.(org). Projeto Pitanguá matemática. Editora moderna. 2ª edição, 2008. v.
2, p. 208., il Collor.
A atividade acima registrada apresenta uma solicitação ao aluno quanto à
comparação das duas partes da obra. Segundo os autores da obra em que aparece
essa atividade, espera-se que os alunos percebam os elementos simétricos como se
estivessem num espelho. No entanto, não explicitam que, apesar de possuírem
inúmeros elementos simétricos, as figuras representadas no espelho são diferentes.
Deste modo, a obra torna-se assimétrica por não conservar a forma das figuras.
128
Embora, não seja uma obra simétrica a atividades trabalha a noção aproximada de
simetria.
Na exploração das atividades não se esgotam as possibilidades de levar o
aluno a perceber que a figura espelho deve conservar a mesma distância que a
figura imagem em relação ao eixo. A ausência de uma abordagem dessa
propriedade confirma o que Mega (2001, p. 34) considera como “tratamento intuitivo
e menos formal da simetria”.
Compreendemos que o ensino da Simetria nas séries iniciais deve acontecer
nos primeiros anos de forma intuitiva, mas deve ir se complexificando
gradativamente ao longo dos anos, de modo que os alunos cheguem aos anos finais
do ensino fundamental com um conhecimento formal do conteúdo, assim como
sugerem o Guia do Livro Didático (BRASIL, 1997; 1998).
B) Perpendicularidade
A perpendicularidade é uma propriedade que aparece de forma implícita nas
modalidades artísticas. Na modalidade “desenhos”, eles são apresentados de tal
maneira que possibilita traçar retas perpendiculares com precisão. Até mesmo a
malha quadriculada facilita essa atividade. Observamos a figura abaixo exposta.
Figura 46: SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo matemática. . 4ª edição reformulada.
Editora Saraiva, São Paulo. 2008. V. 3, p. 179., il Collor
.
129
Essa propriedade, no entanto, não é tratada nas atividades que envolvem
Simetria. Identificamos que as coleções abordam o perpendicularismo como um
conteúdo à parte, que não tem relação alguma com a Simetria. Essa atitude se
contrapõe ao que propõe o Guia do Livro Didático de matemática (BRASIL, 2010;
2008; 2007): um ensino aberto para as inter-relações entre conteúdos matemáticos,
assim como entre outras áreas do saber científico.
Nas atividades que envolvem dobradura, identificamos a mesma lacuna.
Geralmente não há referência ao perpendicularismo das dobraduras apresentadas,
assim como das produzidas pelos alunos. Conforme o PCN (BRASIL, 1997), a
perpendicularidade é uma característica das figuras planas que deve ser explorada a
partir do 2º ciclo.
Identificamos atividades de produção de dobraduras nas quais o vinco
estabelecido possibilita evidenciar tal aspecto. No exemplo a seguir, o pontilhado do
desenho permite apontar essa questão.
Figura 47: REAME, E. et al. Linguagem Matemática. Editora Saraiva. São Paulo. 2008. V. 5, p. 170, il
Color.
Compreendemos que, por tratar-se do último volume das séries iniciais, a
exploração dessa propriedade na atividade acima exposta poderia acontecer de
130
forma mais aprofundada, visto que o PNLD (Brasil, 2007; 2008; 2010) recomenda
que gradativamente os conteúdos sejam aprofundados nos seus aspectos formais.
Nas modalidades “Pintura”, “Gravura” e “Arquitetura”, não identificamos
referência a essa propriedade, apesar de que algumas obras arquitetônicas
simétricas apresentam perpendiculares entre eixos e segmentos que unem ponto e
imagem. Vejamos a imagem abaixo:
Figura 48: SOUZA, et al. Asas para voar matemática. Ática. São Paulo. 2008. v. 4, p. 161., il Collor.
Podemos observar na imagem da ‘Casa de vidro’, do Jardim Botânico da
cidade de Curitiba, que ela é composta por retas perpendiculares, mas esse aspecto
não é ressaltado na imagem nem nos enunciados das atividades.
Apesar de a perpendicularidade ser uma característica das figuras que
possuem reflexão, constatamos que, nos últimos volumes das séries iniciais, as
coleções trabalham esse conteúdo de forma desarticulada da Simetria.
131
C) Conservação (de forma, de comprimento, de alinhamento dos pontos).
Na modalidade “desenho”, observamos, em algumas atividades, a solicitação
de desenhar a figura imagem “exatamente igual” à figura original. Esse comando
deixa subentendido que, ao produzir uma figura igual à primeira, se estará
conservando a forma da figura. Podemos observar isso no exemplo a seguir.
Figura 49: GASTALDI; Mª.V. et al. Projeto Buriti - matemática. Moderna. São Paulo 2007, v. 1, p.
117. il Color.
Quanto à dobradura e à pintura, as atividades abordam essa propriedade a
partir da sobreposição de uma figura à outra. Percebemos isso através da
enunciação das palavras. O estudo de Silva e Lima (2008) observa que a maioria
dos autores privilegia a abordagem por sobreposição de figuras. No entanto,
132
percebemos que isso acontece sem se esclarecer que o que está sendo observado
é a conservação de forma, comprimento e ângulos nas figuras produzidas.
Observamos o exemplo a seguir.
Figura 50 : BORDEAUX, A.L. et al. Bem – me- quer. Editora Brasil. São Paulo. 2008. v. 3, p. 71., il
Color.
Entendemos que a enunciação as duas partes coincidem, sugere a ideia de
conservação de forma e comprimento. Explicitar, contudo, tais aspectos podem
facilitar a compreensão do aluno sobre Simetria.
Nas modalidades artísticas “Arquitetura”, “Gravura” e “Modalidades Mistas”,
não identificamos enunciações que remetessem às propriedades de conservação.
No conjunto de atividades analisadas, percebemos que as coleções não
esclarecem aos alunos que, para construírem uma figura exatamente igual à figura
original, assim como sobrepô-las, é imperativo conservar os comprimentos dos
segmentos, a forma da figura inicial e os ângulos.
133
5.1.2.2 Eixo ou plano de Simetria?
Embora o eixo de Simetria suscite inúmeras questões, nossa análise teve
como enfoque as posições do eixo e plano de simetria, porque a literatura sobre o
assunto aponta lacunas conceituais em relação a esses aspectos. Observamos as
atividades que trabalham especificamente a construção e reconhecimento do eixo
de simetria, ou seja, não iremos analisar neste momento as atividades que abordam
a construção de figuras simétricas em relação ao eixo.
Os dados revelaram que, das 178 atividades relativas à Simetria de Reflexão,
72 trabalham especificamente o eixo de Simetria. Dentre essas, 23 atividades, que
correspondem a 31% do total, são de construção e abordam o eixo numa única
posição (vertical); 15 atividades; que representam 20% do total, trabalham a
construção do eixo em posições diferentes (vertical, horizontal e inclinado). O
mesmo percentual foi encontrado nas atividades de reconhecimento em que o eixo
está numa única posição. Em 19 atividades, que correspondem a 26% do total,
solicita-se que o aluno reconheça as diferentes posições do eixo. Em 2 atividades
(3%), a posição do eixo está indeterminada.
31%
20%
20%
26%
3%
Construção do eixo numa
única posição
Construção do eixo em
posições diferentes
Reconhecimento do eixo
numa única posição
Reconhecimento do eixo
em posições diferentes
indeterminado
Figura 51: Gráfico - Posições do eixo de Simetria
134
Considerando as atividades de construção e reconhecimento, identificamos
que 51% delas trabalham o eixo numa única posição, enquanto 46% trabalham
posições diferentes do eixo. Os percentuais indicam um equilíbrio em relação às
propostas de atividades que provocam desafios diferentes para o aluno ao mudarem
a posição do eixo de Simetria.
Identificamos maior número de atividades que trabalham o eixo de simetria
em posições diferentes na modalidade artística “Desenho”. Esse é um aspecto
positivo, visto que, segundo Alves (2005) a mudança da posição do eixo contribui
para os educandos percebam que a ortogonalidade é constante, embora o eixo
mude de posição.
Figura 52: CERULLO. M. I. et al. Ponto de partida matemática. Editora Sarandi. São Paulo, 2008. v.
3, p.253., il Color
.
135
Na modalidade “Dobradura”, as atividades referem-se à descoberta do eixo
de simetria através do vinco realizado ao dobrar-se o papel. Identificamos que,
dependendo da figura a ser construída, o eixo pode ter uma única posição ou várias.
Verificamos que, nas figuras propostas pelos autores, predomina o trabalho numa
única posição, como podemos observar no exemplo abaixo:
Figura 53: BORDEAUX, A. L. et al. Bem – me- quer. Editora Brasil. São Paulo. 2008. v. 5, p. 206,
No conjunto de atividades relativas à modalidade “Pintura”, encontramos
atividades de reconhecimento de eixo em pinturas, ou construção do eixo por meio
da técnica de borrões de tinta, na qual se solicita ao aluno dobrar o papel com tinta
para formar o eixo de uma figura simétrica. Segundo Siqueira (2000), esse artifício
permite a produção do eixo da Simetria de Reflexão de modo bem acessível a
alunos de quase todos os níveis de escolaridade. Observamos essa técnica no
exemplo abaixo.
136
Figura 54: MILANI, Estela e outros. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008,
volume 2, p. 188., il Collor.
Na técnica, acima exposta, percebemos apenas a instrução de dobrar o
papel na posição vertical. As pinturas, em sua maioria, também apresentam o eixo
traçado verticalmente. Algumas pinturas, como no exemplo abaixo, também
evidenciam o trabalho com o eixo numa única posição.
137
Figura 55: SOUZA, M. H. Asas para voar matemática. Editora Ática. São Paulo. 2008. v. 3, p. 146.il
Collor.
Nas atividades com gravura, encontramos duas que trabalham o eixo
explicitamente: uma aborda o eixo na posição vertical, e outra atividade de
reconhecimento trabalha a quantidade de eixos numa figura. Verifiquemos essa
constatação no exemplo.
138
Figura 56 : BUENO, A. M. et al. Pensar e viver – Matemática. Editora Ática. São Paulo. V. 4, p. 147.
Estudos como o de Alves (2005), de Siqueira (2000) e de Jaime e Gutiérre
(1996) ressaltam a importância de trabalhar as diversas posições do eixo na simetria
reflexão. Entendem que essa variável é fundamental na apropriação das
propriedades da simetria e alertam que a abordagem de apenas uma posição do
eixo pode dar origem a uma concepção errônea sobre a simetria de reflexão. No
entanto, temos que refletir sobre as limitações que essa modalidade artística pode
ter em trabalhar o eixo de simetria nas suas diversas posições.
Quanto ao plano de simetria, encontramos 18 atividades que correspondem
a 8% do total das 200 atividades que abordam o conteúdo da Simetria em
articulação com as Artes Visuais. As atividades estão presentes em 10 coleções, em
três modalidades artísticas (arquitetura, dobradura e modalidades mistas).
Encontramos onze atividades com fotografias de obras arquitetônicas como
igrejas, casas e museus, como podemos observar a seguir:
139
Figura 57: PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São Paulo, 2008. V. 4, p. 122., il
Color.
A atividade acima solicita ao aluno que ele imagine uma linha reta vertical
exatamente no meio de cada figura. Os autores não explicitam para o aluno que esta
linha vertical trata-se de um eixo de simetria, bem como que por serem
140
tridimensionais as obras arquitetônicas reais possuem na verdade um plano de
simetria.
Identificamos quatro atividades com dobraduras do tipo origami que resultam
em figuras tridimensionais; as dobraduras, segundo Siqueira (2001) possuem um
duplo dinamismo, porque as trajetórias descritas pelos pontos da figura não
permanecem no plano a figura. O movimento nesses casos ocorre no espaço
tridimensional, no qual o plano da figura está imerso. Além disso, a dobradura
resulta numa figura tridimensional, ou seja, não possui eixo de simetria, mas um
plano.
Figura 58: PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São Paulo, 2008, v. 4 p. 88. il Color.
141
Na categoria modalidade mista, observamos três atividades com imagens
fotográficas de cerâmicas, esculturas e monumentos arquitetônicos numa única
atividade, como podemos observar no exemplo a seguir:
Figura 59: AIDAR, Márcia. Ler Mundo – Matemática. São Paulo, Editora scipione. v. 4, p. 192, 2008. il
Color.
Na atividade acima, solicita-se que o aluno observe as figuras simétricas e
identifique o eixo de simetria em fotografias de cerâmicas, cujas imagens
apresentam perspectiva.
Constatamos que, reproduções fotográficas de cerâmicas, dobraduras,
obras arquitetônicas e esculturas estão presentes nas atividades com Simetria e
142
Artes visuais nos livros didáticos das séries iniciais. No entanto, não se explicita nos
enunciados que as obras de artes reais não possuem eixo de simetria, mas um
plano de simetria e, que o eixo só é possível nas fotografias dessas imagens. Assim
como, que nas figuras com perspectiva não se trata de um eixo de simetria, mas
uma reta. Observamos que, esses aspectos são apontados pelo Guia do livro
didático (BRASIL, 2007), como limites nos livros de 2007, mas que perduraram os
livros didáticos de 2010.
5.1.2.3 Figura Simétrica
Observamos que o ensino da Simetria nos livros de matemática para séries
iniciais segue um aspecto considerado básico e essencial pelo PCN de matemática
(BRASIL, 1997) para esse nível da educação básica: relacionar observações do
mundo real com representações nas quais destacamos as figuras.
Neste estudo, destacamos dois tipos de figuras, as conexas e desconexas,
que estão presentes na Simetria de Reflexão e Translação. Encontramos 166
atividades com figuras conexas o que corresponde a 82%. Com figuras desconexas,
identificamos 21 atividades, o que corresponde a 11%, e 13 atividades, o que
corresponde 7%, em que não foi possível determinar o tipo de figura, visto que se
tratava de produções livres de desenhos ou padrões. Podemos observar no gráfico
essas nossas constatações.
82%
11%
7%
Figuras conexas
Figuras
desconexas
Indeterminadas
Figura 60: Gráfico - distribuição das figuras nas atividades
143
Na modalidade “desenho”, as figuras tidas como conexas são aquelas
cortadas por eixo de simetria. Nas translações, estamos considerando conexas as
que não estabelecem distância no deslocamento. Elas correspondem a 83%, num
universo de 91 desenhos. Enquanto as figuras desconexas, isto é, as figuras
separadas do eixo ou que estabelecem intervalo de espaço no caso das translações,
estão presentes em 17% das atividades.
Constatamos que predominam as atividades com figuras conexas. Há
aquelas em que se propõe ‘completar a figura’. Percebemos que a invariância da
figura é ofuscada, pois esse aspecto só é ressaltado quando se considera a figura
inteira e não cada uma de suas “metades iguais”. Siqueira (2000) observa que, o
aluno apoia-se na isometria de reflexão para construir a ‘outra metade’ da figura,
mas não lhe é explicito que a mesma isometria transforma também a ‘metade
desconhecida’ da figura na ‘metade conhecida’, garantindo que a figura se torne
simétrica (ver exemplo).
144
Figura 61: MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008, v. 2, p.
189., il Color.
Nas figuras desconexas, a invariância e a isometria são mais evidentes, pois
o aluno tem uma visualização global da figura e da distância estabelecida em
relação ao eixo. Também encontramos atividades que apresentam os dois tipos de
figuras, como podemos observar a seguir.
Figura 62: DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática. Editora Ática. São Paulo. 2008. v.
5, p. 94. il Color.
A atividade acima registrada, contudo, aborda a construção dos dois tipos de
figuras diferentes sob o ponto de vista da conceitualização da Simetria, pois as
figuras conexas são cortadas por um eixo dividindo a figura em duas partes,
enquanto as figuras desconexas têm sua imagem refletida em relação ao eixo. No
caso das figuras transladadas, a diferença está em estabelecer-se distância, ou não,
ao realizar-se o deslocamento. Não identificamos distinção entre os tipos
apresentados. Esse aspecto também foi constatado pelo Guia do Livro Didático
(Brasil, 2007; 2008). Segundo esse documento as noções de figura simétrica
(desconexa) e de simétrico de parte de uma figura (conexa) podem gerar
ambiguidade, o que dificulta a aprendizagem.
145
Com relação à “dobradura” (origami ou kirigami), encontramos apenas
atividades de reconhecimento ou construção de dobraduras conexas. Consideramos
que esta é uma característica dessa modalidade artística, a ação de dobrar faz com
que as “duas partes iguais” da figura com simetria de reflexão coincidam por
superposição, ou seja, a invariância da figura é evidenciada quando as “duas partes
iguais” são sobrepostas.
Figura 63: CERULLO. M. I. et al. Ponto de partida matemática. Editora Sarandi. São Paulo, 2008. v. 3,
p. 257. il Color.
Nos padrões das 32 atividades, 22 são conexas. Apenas 10 atividades
apresentam distância no deslocamento das figuras, estas atividades consideramos
como figuras desconexas. De modo geral, os problemas solicitam que padrões
sejam completados em malha quadriculada, ou pede-se que se identifique em que
momento a regularidade do padrão é quebrada. Ver exemplo:
146
Figura 64: MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008, v. 1, p.
141., il Collor.
Observamos que a atividade acima busca evidenciar questões referentes à
regularidade do padrão por meio da quebra de harmonia através da cor, deixando
obscurecidas questões referentes à forma da figura, à direção fixada, à distância
estabelecida entre as figuras. Assim, perde-se a oportunidade de destacar um
aspecto importante apontado pelo PCN de matemática (BRASIL, 1997), que é o fato
das crianças poderem descobrir regularidades presentes nas figuras geométricas.
Na modalidade “pintura” as imagens observadas, os desenhos a serem
pintados, assim como as pinturas produzidas através dos borrões de tinta são
figuras conexas a um eixo imaginário ou produzido, por meio do vinco estabelecido
ao dobrar a folha (ver exemplo).
Figura 65: PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São Paulo, 2008. V. 3, p. 174. il Color.
147
Na atividade acima, a imagem apresenta-se quase desconexa ao eixo, mas
há uma linha que interliga um lado ao outro, tornando a figura conexa. Outro aspecto
observado diz respeito ao contorno da figura que, além de ser curvo, não é preciso.
Isso pode dificultar a percepção da conservação de forma, equidistância,
congruência dos contornos. Siqueira (2002) observa, no seu estudo, que os alunos
apresentam maior dificuldade na preservação das propriedades citadas quando
contorno da figura é curvo. No entanto, esse tipo de contorno está presente em
praticamente quase todas as figuras relacionadas às modalidades artísticas
observadas nas atividades selecionadas por esta pesquisa.
Na arquitetura, as fotografias apresentadas são de imagens inteiras das obras
arquitetônicas. A partir delas, propõe-se que um eixo imaginário seja estabelecido
nas figuras. Assim, consideramos essas imagens como conexas, embora o eixo não
exista na imagem real, por tratar-se de um objeto espacial (ver exemplo).
Figura 66: FERREIRA, A. et al. Fazer, compreender e criar em matemática. 3ª edição, IBEP. São
Paulo, 2008, v.5, p. 148., il Color.
148
No que se refere às “Gravuras”, identificamos que todas as figuras são
conexas estabelecendo uma interseção da figura com o eixo (cruza o eixo). Na
atividade a seguir, o eixo intersecção a figura de forma imaginária.
Figura 67: TOSSATO, C.M. et al. Hoje é dia de matemática. Editora positivo, Curitiba, 2007. v. 3, p.
10. il Color.
Segundo os estudos de Siqueira (2000), Grenier (1988) e Alves (2005), os
alunos construíram o reflexo com facilidade em figuras conexas nos quais tinham
que completar a figura, mas as construções que envolviam figuras conexas que o
eixo cortava a figura foram caracterizadas como difíceis, resultando em um grande
número de questões em branco. Esses estudos nos levam a pensar no tipo de figura
a ser introduzida no trabalho com simetria nos livros didáticos das séries iniciais,
149
assim como nos fazem ver que podemos abordá-la como uma variável didática para
gerar estratégia de resolução diferente ao longo dos volumes nas coleções de livro
didático.
Quanto à categoria, “Modalidades Mistas”, percebemos, nas poucas
atividades que a contemplam, que as figuras abordadas são conexas com, de modo
geral são utilizadas na identificação e construção de figuras, como podemos
observar a seguir:
Figura 68: REAME, E.; MOTENEGRO, P.. Linguagem Matemática. Editora saraiva. São Paulo. 2008.
v. 4, p. 210., il Color.
150
Observamos que a atividade acima agrupa duas atividades (dobradura e
borrão de tinta) que, apesar de terem procedimentos muito semelhantes, podem
gerar dificuldades diferentes na percepção da invariância da figura quando sofre
uma transformação, pois a dobradura, o contorno da figura, mesmo curvo, apresenta
precisão maior que o borrão de tinta. De acordo com Alves (2005), Siqueira (2000) e
Jaime e Gutiérre (1996), a complexidade da figura é um elemento importante no
ensino-aprendizagem da simetria, pois pode promover mudanças de estratégias.
5.2 Contribuições recíprocas das Artes visuais e da Simetria em livros
didáticos de matemática.
Neste capítulo foram trazidos elementos que nos fazem refletir sobre a
abordagem do conteúdo Simetria em livros didáticos de matemática para séries
iniciais. Verificamos que predomina a Simetria de Reflexão, enquanto a de
Translação é pouco abordada e a de Rotação não identificadas atividades. Esses
dados nos levaram ao seguinte questionamento: por que essa opção pela ampla
abordagem da Simetria de Reflexão em detrimento das outras?
Além dessa questão, percebemos que, embora as propriedades das simetrias
sejam essenciais para que os alunos construam um conhecimento formal sobre
simetria, elas não são exploradas nas atividades, predominando o caráter intuitivo e
pragmático da simetria sem uma complexificação dela ao logo dos volumes, como
sugere o Guia do Livro Didático (BRASIL, 2007; 2008).
Percebemos que o eixo de Simetria é um elemento muito presente nas
atividades de construção ou reconhecimento de figuras simétricas. Verificamos que
a posição do eixo está atrelado ao tipo de figura que é sugerido na atividade.
Constatamos, então, que atividades com dobradura e borrões de tinta propõem
figuras na posição vertical.
Observamos que, embora reproduções fotográficas de cerâmicas,
dobraduras, obras arquitetônicas e esculturas estejam presentes nas atividades com
Simetria e Artes visuais os enunciados, não explicitam que as obras de artes reais
não possuem eixo de simetria, mas um plano de simetria e, que o eixo só é possível
nas fotografias dessas imagens. Assim como, que nas figuras com perspectiva não
se trata de um eixo de simetria, mas uma reta.
151
Quanto às figuras, encontramos dois tipos, - as conexas e desconexas.
Percebemos que as figuras sugeridas nas atividades eram, em sua maioria,
conexas, mas compreendemos que, ao longo dos anos iniciais, os alunos devem ter
contatos com diferentes tipos de figuras, pois as estratégias mobilizadas para
resolver um problema em figuras desconexas são diferentes das acionadas nas
figuras conexas.
Os resultados indicam que as modalidades artísticas colaboram de forma
significativa para a abordagem do conteúdo da simetria, através da contextualização
e ludicidade. Contudo, verificamos que abordagem da Simetria e Artes Visuais
nestes livros, ainda se apresenta de forma superficial, limitando-se apenas a
exploração intuitiva das simetrias.
152
Figura 69: MONET. Claude. O barco ateliê. Fotografia.
il color. Apresentado no livro didático - ler mundo –
matemática. Editora scipione. 2008. , v. 5., p. 191.
153
6 PINTAR, DOBRAR, RECORTAR E DESENHAR NOS LIVROS DIDÁTICOS -
UMA ANÁLISE QUALITATIVA
Neste capítulo realizaremos uma análise sobre Artes visuais. Primeiramente,
veremos como a leitura de obras de artes é desenvolvida nas atividades que
abordam o conteúdo da Simetria articulado às modalidades artísticas, já
apresentadas no capítulo 4. Faremos análise da contextualização e sua importância
nas atividades que articulam Artes Visuais e Simetria. Apresentaremos como o fazer
artístico é trabalhado nos exercícios. Realizaremos uma análise da abordagem do
elemento de visualidade “cor” nas atividades a partir do ponto de vista da Geometria
e das Artes Visuais. Além disso, discutiremos os recursos didáticos propostos nas
atividades.
6.1 Leitura de obras.
Neste capítulo buscamos analisar a ação de leitura nas atividades que
estabelecem laços de reciprocidade entre Simetria e Artes Visuais. Primeiramente,
veremos as formas de leitura desenvolvidas nos livros didáticos.
A princípio, identificaremos uma leitura superficial dos desenhos e imagens;
também a leitura de instruções; a leitura de imagens e a leitura de reproduções de
obras de artes. Relembramos que nossa análise buscará identificar se as atividades
contemplam os seguintes aspectos, já apresentados no capítulo 2:
produções visuais (reproduzidas) e suas concepções estéticas nas diferentes
culturas (regional, nacional e internacional);
Reconhecimento e experimentação dos elementos básicos da linguagem
visual em suas articulações nas imagens apresentadas pelas diferentes
culturas (relações entre ponto, linha, plano, cor, forma, luz, ritmo, movimento,
equilíbrio);
identificação e reconhecimento de algumas técnicas e procedimentos
artísticos presentes nas obras visuais.
154
Dentre as 200 atividades analisadas nesta pesquisa, a atividade de leitura está
presente em 194 delas, distribuídas em todas as modalidades artísticas, com
exceção das atividades de construção livre de figuras simétricas. Podemos observar
a distribuição percentual das atividades de Simetria e Artes Visuais, conforme o tipo
de leitura, no gráfico abaixo.
66%
18%
15%
1%
Leitura superficial
Leitura de instruções
Leitura de imagens
Leitura de obras de
artes
Figura 70: Gráfico - Distribuição das atividades de Simetria e Artes Visuais, conforme
as formas de leitura de imagens.
A leitura superficial de imagens que não solicita do aluno nenhum tipo de
apreciação estética é realizada em 66% das atividades. Esse tipo de leitura
apresenta uma série de lacunas, no que diz respeito ao ensino da Arte Visual, pois
as imagens são desenhos estereotipados, que não exigem do aluno tipo algum de
análise estética. Está presente em praticamente todas as modalidades, mas nos
desenhos identifica-se grande número de atividades de leitura superficial. Os
desenhos de adultos não trazem a possibilidade de os alunos alimentarem o próprio
repertório de imagens, como podemos observar nos exemplos a seguir. Apesar de
os desenhos serem de coleções diferentes são muito semelhantes.
155
Figura 71: TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. Editora Positivo, Curitiba, 2007. v. 5, p.
88. , il Color.
Figura 72: DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática. Editora Ática. São Paulo. 2008. v.
5, p. 163. il Color.
Além disso, por serem muito parecidos, os desenhos não despertam nos
alunos a consciência e novos modos de sensibilidade, como propõe Martins,
Piscosque e Guerra (1998), um aspecto necessário na proposta triangular. Espera-
se que, por serem livros destinados a crianças, também apresente desenhos de
156
crianças. Segundo França (2003), que observou as produções de outras crianças,
elas se familiarizam e sentem-se mais seguras com os trabalhos de seus pares,
pois, dessa forma, estarão observando e apreciando produções de colegas da
mesma faixa etária, com os quais muitas vezes, partilha os mesmos sentimentos de
insegurança e/ou interesse.
Nos padrões, também identificamos a leitura superficial em atividades que
solicitam apenas a percepção da Simetria, que seria um elemento matemático e
estético, sem menção a outros elementos de visualidade. É o que podemos ver no
exemplo abaixo.
Figura 73: BARROSO, J. M.(org.). Projeto Pitanguá matemática.2ª edição, Editora moderna. 2008. V.
2, p. 217., il Color.
Embora as imagens sejam de azulejos, algo muito presente em monumentos
culturais como igrejas, casarões e outros ambientes, a leitura não solicita do aluno
tipo algum de análise estética e, sob o ponto de vista matemático, a atividade é
superficial, pois a exploração restringe-se à identificação da simetria sem discutir o
tipo, a possibilidade de traçar o eixo apenas na posição vertical, tipo de figura e
outros aspectos a serem evidenciados numa atividade de Simetria. Assim,
consideramos que essa atividade realiza uma leitura superficial.
Na leitura de instruções, que corresponde a 18 %, assim como na leitura
superficial, os alunos não realizam qualquer análise estética, pois as imagens têm
157
apenas a função de instruir o aluno no desenvolvimento da atividade. Identificamos
esse tipo de leitura nas dobraduras e pinturas com borrão de tinta. Embora essa
técnica possibilite a exploração dos elementos de visualidade (cores e formas), a
leitura de instruções restringe-se aos desenhos que ilustram os comandos para fazer
as dobraduras, ou orientam passo-a-passo como o aluno produzir o borrão de tinta.
pode-se verificar isso no exemplo abaixo.
Figura 74: DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática. Editora Ática.São Paulo. 2008. v.
3, p. 79
Ressaltamos que a leitura de uma obra de arte é diferente da leitura de uma
instrução. Na primeira, segundo Pillar (2006), os alunos são solicitados a perceber
elementos visuais: linhas, cores, textura e superfície. Enquanto a leitura de uma
instrução tem a única finalidade de instruir para que o sujeito chegue a determinado
produto. Nesse caso, não é necessária uma interpretação profunda dos aspectos
estéticos.
A leitura de imagens corresponde a 15%. Apresenta-se uma obra
desenvolvida por um artista ou grupo étnico, num dado contexto histórico-cultural, ou
uma obra arquitetônica, mas não se faz análise das obras. Esse tipo de leitura é
identificado nas modalidades “Pintura”, “Arquitetura”, nos “Padrões”, nos quais
158
encontramos a leitura de imagem nos contextos da tapeçaria e artesanatos
indígenas, como podemos comprovar no exemplo abaixo.
Figura 75 : MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008,
volume 1, p. 140., il Collor.
Observamos que, na atividade acima registrada, o educando é direcionado a
perceber e analisar aspectos matemáticos presentes na obra de arte, como as
159
formas geométricas, as formas em que predominam as regularidades. Além disso,
as imagens estão contextualizadas. Apesar de não explorar elementos de
visualidade do artesanato, a atividade repertoria o aluno com imagens para uma
produção posterior.
Numa Proposta Triangular de educação multicultural, contudo, esse tipo de
leitura da obra de arte ou imagem não é suficiente, pois é necessário o
desenvolvimento de competências em múltiplos sistemas de perceber, avaliar,
acreditar e fazer. Por outro lado, temos que considerar que se trata de um livro
didático, ou seja, de um material que apresenta uma série de limitações. Além disso,
trata-se de um livro de matemática produzido por matemáticos.
Na modalidade “pintura”, mesmo que as imagens de obras de artes permitam
a leitura dos elementos de visualidade (linhas, cores, formas), além de composições
artísticas e matemáticas, como as Simetrias e Assimetrias que as pinturas
apresentam, as atividades identificadas solicitam a leitura apenas dos aspectos
matemáticos, como a identificação do eixo. É o que podemos observar no exemplo a
seguir.
Figura 76: MILANI, E. et al. Projeto conviver matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008, v. 3, p.
120., il Color.
160
Na atividade acima escaneada, busca-se, através da observação dos
quadros, levar o aluno a olhar, pesquisar e identificar eixos de simetria, mas limita-se
à observação matemática, pois não se atenta para as características estéticas dos
quadros. A mesma questão é percebida nas atividades cuja modalidade artística é
arquitetura, pois os alunos são convidados a “observar
9
” para identificar simetrias e
assimetrias presentes em portas, janelas, colunas, dentre outras, mas não é
estimulada a ultrapassar os aspectos matemáticos presentes nas obras
arquitetônicas (ver exemplo).
Figura 77: PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São Paulo, 2008. V. 4, p. 122., il
Color.
9
Segundo Ferraz e Fusari (2001), observar e ver são atividades de leitura visual distintas. Enquanto
ver se restringe a conhecer e alcançar com a vista as coisas e suas formas, a observação solicita o
pesquisar e a identificação de peculiaridades numa obra de arte.
161
Na modalidade mista, apesar de serem apresentadas imagens que trazem a
possibilidade de se realizar uma apreciação analítica e fazer-se um julgamento das
qualidades estéticas e diferenças presentes nas diversas obras apresentadas, a
leitura não se limita à identificação de um eixo imaginário. Pode ser constatado isso
no exemplo seguinte.
Figura 78: AIDAR, Márcia. Ler Mundo – Matemática. São Paulo, Editora scipione. v. 4, p. 192, 2008.
il Color.
Observamos, na atividade acima, a solicitação de que os alunos observem a
figura que representa a obra e identifiquem o eixo. Contudo, não seria interessante
que o autor explicitasse que a obra original possui um plano de simetria e não um
eixo? A distinção entre eixo e plano de simetria é sugerida pelo Guia do Livro
Didático (BRASIL, 2007,2008) e considerada importante na conceituação de
simetria.
162
Além disso, apesar de o livro ter como objeto de estudo conceitos
matemáticos, por tratar-se de um livro de matemática, perde-se a possibilidade de
explorar aspectos referentes à leitura da obra, como diferenças de estilos entre os
pintores, entre as cerâmicas, as formas, linhas e volumes dispostos nas duas
pinturas, assim como as cores e as padronizações das cerâmicas, o que seria
bastante interessante do ponto de vista da interdisciplinaridade. Outra implicação,
diz respeito à necessidade de investigar se a formação do professor prepara-o para
lidar com a interdisciplinaridade presente nos livros didáticos de matemática das
séries iniciais.
A leitura da obra de arte que está presente em 1% das atividades diferencia-
se das demais, porque, além de ser apresentada a obra de um artista ou de um
grupo étnico, esse tipo de leitura busca desenvolver a análise e a habilidade de
descobrir qualidades estéticas na obra de artes como cores, formas, linhas, texturas,
volumes que constituem a imagem. Identificamos atividades com esse tipo de
abordagem apenas na modalidade “Gravura”, como podemos observar no exemplo
a seguir:
Figura 79: BARROSO, J. M. (org.). Projeto Pitanguá matemática. 2ª edição. Editora moderna. 2008. v.
2, p. 208. il Color.
163
Percebemos que as atividades acima conduzem a uma leitura mais completa,
além disso, contextualiza a obra do artista, pois estimulam a percepção das
qualidades das linhas, formas, cores, texturas, movimentos, ritmos e temas da uma
obra enfocada. E isso que propõe Barbosa (1998) em sua proposta triangular, e
também o PCN de Artes (BRASIL, 1997). Noutra atividade, observamos que, após a
leitura, o autor busca explorar a análise de elementos estéticos da obras.
Observemo-la.
Figura 80: TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática.Editora positivo, Curitiba, 2007. v. 3, p.
10-11. , il Color.
Neste capítulo foram trazidos alguns elementos que caracterizam a atividade
de leitura nos livros didáticos de matemática para séries iniciais do ensino
Fundamental. Identificamos que a leitura acontece de forma diferente nas
modalidades artísticas. Nos desenhos, predomina a leitura superficial, o estereótipo
e apresentação de trabalhos de adultos. Não se estimula qualquer tipo de análise
visual. Em modalidades artísticas como dobraduras e borrões de tinta, encontra-se a
leitura de instruções. Entendemos que esse tipo de leitura é necessário para que o
aluno realize a atividade, mas poderiam ser explorados os elementos de visualidade,
como cores, formas, linhas, dentre outros, nas produções.
A leitura de imagens em pinturas, arquitetura e em modalidades mistas
convida em algumas atividades, o aluno a observar, mas não estimula a analisar
164
características e peculiaridades visuais das imagens. Por conta disso, distancia-se
da conceitualização de leitura defendida nesta pesquisa. A leitura de obras de arte
foi identificada apenas na modalidade artística “gravura”, pois nessa modalidade,
observa-se a análise das características visuais das imagens, assim como de
elementos matemáticos, como eixo de simetria.
As reflexões apresentadas sobre a atividade de leitura mostram que ainda
está presente a concepção de arte como uma atividade, pois a leitura se resume à
simples realização de atividades artísticas sem um caráter didático.
6.2 Contextualização
No universo das 200 atividades mapeadas nos livros didáticos analisados,
encontramos apenas 20 atividades, em 8 coleções, com contextualização, embora
se saiba que a contextualização implique conhecer arte por meio de um estudo da
história, o que leva o aluno ao entendimento do contexto, tempo e espaço em que
obra de arte foi criada. Nas atividades que articulam Simetria e Artes Visuais,
quando se contempla a contextualização, são apresentadas informações
insuficientes sobre as imagens, dificultando a compreensão do contexto em que a
imagem foi produzida.
Podemos visualizar, no gráfico abaixo, observamos a disparidade entre as
atividades que apresentam algum tipo contextualização das imagens e as atividades
que não qualquer tipo de contextualização. Verificamos que, nas atividades que
apresentam contextualização, predominam as legendas (5% das atividades).
Embora estejam longe do que esperamos de uma atividade contextualizadora de
obras de arte, elas identificam a produção artística através do título, ano, nome do
artista e local onde a obra pode ser encontrada. Identificamos, em 4% das
atividades, informações resumidas sobre o povo, o local em que a obra foi realizada.
Apenas 1% do total de atividades apresenta a biografia do autor e informações
sobre a obra de arte. A distribuição das atividades por volume e coleção pode ser
observada no (ver apêndice c).
165
5%
4%
2%
89%
Legendas
Informações sobre
locais e povos
culturais
Biografia do Artista
Sem contextualização
Figura 81: Gráfico - distribuição das atividades com contextualização nos livros
didáticos
Nas modalidades “desenhos” e “dobraduras”, a contextualização é um
aspecto praticamente inexistente. Identificamos apenas um desenho que teve como
contextualização uma atividade anterior de arquitetura. Observemos isso no exemplo
registrado abaixo.
Figura 82: FERREIRA. A. et al Fazer, compreender e criar em matemática. 3ª edição.Editora IBEP.
São Paulo, 2008
. v. 5, p. 151., il Color.
166
Nas dobraduras, foram abordadas as técnicas de origami e kirigami, arte de
origem oriental que se espalhou pelo mundo e foi incorporada por muitas culturas
orientais e ocidentais. Não percebemos, contudo, referência alguma ao contexto
histórico e sociocultural no qual a arte teve origem. De modo geral, as atividades
restringem-se às instruções de como dobrar e cortar o papel, como podemos
observar no exercício a seguir.
Figura 83: PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. Editora Saraiva. São Paulo, 2008. V. 3, p. 179., il Color.
Segundo Barbosa (2002) a contextualização estabelece um diálogo com a
obra, facilita a leitura das imagens. Dessa forma, o aluno terá acesso a imagens de
outras épocas. A contextualização pode ser realizada com os desenhos de outras
167
crianças, se os livros apresentarem obras de crianças. No caso das dobraduras, há
possibilidade do livro trazer informações do tempo e lugar de origem, as diferenças
entre as técnicas de origami e kirigami, e importância dela para a cultura oriental.
Percebemos alguns indícios de contextualização em 10 atividades, o que
correspondem percentualmente a 5% do total. Essas atividades apresentam
legendas que acompanham as imagens nas modalidades “pintura”, “arquitetura” e
“modalidades mistas”, como podemos observar no exemplo a seguir.
Figura 84: REAME, Eliane; MOTENEGRO, Priscila. Linguagem Matemática. Editora saraiva. São
Paulo. 2008. v. 5, p. 168., il Color.
168
Observamos que a atividade acima apresenta três obras de artes. A
modalidade arquitetura informa apenas o nome da igreja e o local dela. A respeito de
uma das pinturas, há informações sobre o nome da pintura, o ano em que foi
produzida, o tipo de material utilizado, o autor da obra e as suas dimensões. A
legenda da pintura de Brennand informa apenas sobre o autor e o tipo de material.
Percebemos que uma legenda apresenta mais informações que outras, ou seja, não
há homogeneidade quanto à quantidade e natureza das informações.
Embora, saibamos que as legendas são subsídios fundamentais para
identificarmos a obra de arte, elas não são suficientes para contextualizar as
imagens, pois, segundo Zagonel (2008), para que a contextualização aconteça, o
aluno precisa de elementos, como: tempo, espaço, contexto, biografia do autor da
obra. Dessa forma, poderá situar o produto artístico no meio em que vive ou
naquele em que foi gerado.
Em 7 atividades 4%, nas modalidades “padrões” e “arquitetura”, identificamos
informações sobre o grupo cultural e local em que o artesanato foi produzido. Vejam
o exemplo a seguir.
Figura 85: BARROSO, Juliane Matsubara (org). Projeto Pitanguá matemática. 2ª edição. Editora
Moderna, 2008. v. 3, p. 127., il Color
.
169
Em 3 atividades com obras arquitetônicas, encontramos informações acerca
do período histórico em que foi construída, por quem foi pensada ou decorada, além
de uma atividade apresentar o mapa que situa o aluno geograficamente. Todavia, há
coleções que apresentam apenas a imagem sem contextualizá-la, com pequena
legenda. Embora tais informações sejam importantes, não são suficientes para que o
aluno entenda o contexto social, político e econômico em que a obra foi criada.
Figura 86: Ferreira, A. et al. Fazer compreende e criar em matemática. 3ª edição, editora IBEP. São
Paulo, 2008. v. 5, p. 149., il Color.
170
A contextualização é um forte elemento para conhecermos e estabelecermos
um diálogo entre diferentes épocas, povos e culturas. Barbosa (2002) afirma que,
sem a contextualização, corremos o risco de, do ponto de vista da Arte Visual, nos
limitamos a, sem dialogarmos, adicionar à cultura dominante alguns elementos
relativos a outras culturas.
Encontramos 3 atividades de gravura (2% do total), que realizam a
contextualização através do texto biográfico do artista, o qual apresenta informações
sobre o artista e fatos que influenciaram sua obra, como podemos observar abaixo:
Figura 87: AIDAR; Márcia. Ler mundo - matemática., Editora scipione São Paulo, 2008. v. 3, p. 193., il
Color.
Na atividade acima, há informações sucintas sobre a vida do Escher e os
lugares que o influenciaram a utilizar Simetria em suas obras. Vemos uma intenção
clara dos autores em promover a interdisciplinaridade do conteúdo da Simetria com
a história da arte. Segundo Arslan e Iavelberg (2006), a biografia do autor é o
principal enfoque para abordar a história da arte. Além disso, através da imagem e
biografia do Escher.
171
Noutra atividade, além da biografia do autor ou de informações acerca do
local onde ele viveu, há registro da trajetória artística dele, como podemos observar
no exemplo seguinte.
Figura 88: TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática, Editora positivo, Curitiba, 2007. v. 4, p.
10-11. , il Color.
As autoras ressaltam, contudo, que o texto biográfico pode conduzir o leitor a
uma interpretação “anedótica” se não estabelecer uma conexão entre a biografia a
obra de arte. As atividades identificadas, porém utilizam a biografia para
contextualizar as imagens, ou seja, estabelece a articulação do texto biográfico com
a obra. Além desse aspecto, Barbosa (1998) aponta que, a contextualização não se
limita a ensinar ao aluno apenas a biografia ou história do autor, mas desenvolve
também a capacidade de formular suposição, avaliar e justificar as informações que
contextualizam a obra.
Entendemos que, para desenvolver essas capacidades, é necessária uma
reorientação na forma como Simetria e Artes Visuais estabelecem laços de
reciprocidade nos livros didáticos, assim como na abordagem que o professor faz do
livro didático.
172
Esta categoria dedicou-se à análise da contextualização nos livros didáticos
das séries iniciais. Percebemos indícios de contextualização em legendas que
identificam as obras de artes, mas não trazem informações são suficientes para que
o aluno realize uma interpretação da obra de arte.
Encontram-se, nos livros didáticos, informações sobre o local e povo a etnia
que produziu o artesanato ou arquitetura, contudo elas são insatisfatórias, pois são
conhecimentos concisos sobre a obra. As atividades que promoveram a
contextualização foram aquelas que apresentaram o texto biográfico dos artistas,
essas informações são resumidas.
Enfim, a contextualização é uma ação importante no ensino da arte, visto que
possibilita ao aluno perceber como Simetria e Artes Visuais estabeleceram laços ao
longo da história e pode ser fundamental para que o aluno encontre sentido e
significado em aprender matemática e artes.
6.3 Fazer artístico
Esta categoria discute como o livro didático oportuniza momentos para o
aluno desenvolver o seu potencial criativo, a capacidade de elaboração de imagens
e experimentação de recursos, técnicas e de novas formas de expressar. Do total de
atividades analisadas 126 (63%) oportunizam o fazer artístico em modalidades
artísticas (desenho, pintura, dobradura, padrões e modalidades mistas). O gráfico
abaixo apresenta a distribuição dessa categoria por modalidade artística.
51%
25%
12%
11%
1%
Desenho
Dobradura
Padrões
Pintura
Modalidades Mistas
Figura 89: Gráfico - distribuição do Fazer Artístico por modalidade.
173
Os dados revelam que a modalidade “desenho” está em metade das
atividades que solicitam dos educandos o fazer artístico, mas há algumas ressalvas
em relação ao modo como essa categoria é abordada nessa modalidade e em
algumas atividades com padrão. A cópia de desenhos de adultos é muito estimulada
nos enunciados das atividades, como se os desenhos simétricos fossem privilégio
dos mais velhos. Podemos observar isso na atividade a seguir:
Figura 90: DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática, Editora Ática. São Paulo. 2008. v.
4, p. 167., il Color.
Necessariamente, o educando não precisa copiar a figura, pois ele pode criar
na malha outros desenhos Simétricos. Observar desenhos simétricos para fazer
intervenções gráficas deles pode ser uma atividade interessante, mas ressaltamos
que uma intervenção gráfica é diferente de copiar, pois promove um mergulho na
imagem, leva o aprendiz a pensar criticamente sobre ela, enquanto a cópia não
exige qualquer esforço mental. Como afirma Pillar (2006), a cópia promove o
aprimoramento técnico, sem transformação do que é copiado.
O fazer artístico pode ser um grande aliado para que o aluno entenda
aspectos da Simetria. Ao elaborar uma figura simétrica em malha quadriculada, por
exemplo, a criança precisa considerar questões referentes à conservação de forma,
ângulos, distância, e, dependendo do nível de escolarização, a perpendicularidade.
Caso seja uma translação, o aluno precisa pensar sobre a direção do deslocamento,
a conservação de distância entre uma figura e outra a ser deslocada. Nesse sentido,
174
a arte contribui com o desenvolvimento do estudante, dando sentido à aprendizagem
da matemática. Do mesmo modo, as propriedades da simetria oportunizam a
composição de uma obra de arte, a ordem, a regularidade e a estética, seja nas
imagens simétricas, seja nas assimétricas.
Na modalidade “dobradura” que corresponde a 25% do total, assim como a
técnica de borrão de tinta da modalidade “pintura”, são apresentadas atividades em
que os alunos têm a possibilidade de vivenciar, em vários momentos, o invento, a
descoberta e a criação. Há, contudo, nessas atividades proposição de apenas a
instruções que limitam a criatividade dos alunos. Entendemos que a instrução é
necessária, mas não devemos nos restringir a ela. É fundamental que haja
momentos nos quais os alunos possam experimentar as múltiplas possibilidades de
dobrar e cortar o papel. Não é, porém, o que se observa no exemplo abaixo, em que
se solicita que o aluno apenas repita os procedimentos.
Figura 91: AIDAR, Márcia. Ler Mundo - Matemática. Editora Scipione. São Paulo, 2008. V. 3, p. 145.,
il Color.
Um aspecto a ser observado do ponto de vista do ensino das Artes Visuais é
que a coleção “Conviver – Matemática”, da Editora Moderna, sugere a exposição do
trabalho para os colegas. Em todas as modalidades trabalhadas, destacamos que
175
essa coleção apresenta quase todas modalidades artísticas identificadas, com
exceção da gravura. De acordo com Iavelberg (2008), a observação do trabalho do
colega amplia o repertório do aluno, assim como favorece a percepção de outras
soluções para resolver problemas. Observamos na proposta abaixo:
Figura 92: MILANI, E. et al. Projeto Conviver - Matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008. V. 4,
p. 91,
176
Nos padrões, que representam 11% das atividades de produção artística,
identificamos atividades que apresentavam imagens antes da proposta e produção,
oportunizando que o aluno amplie o seu repertório, pois estimulam a capacidade de
elaboração de novas imagens. Iavelberg (2008) recomenda que o nível de
conhecimento acerca de imagens do aluno seja ampliado por obras de arte e
desenhos de outras crianças.
Ressaltamos que é fundamental o cuidado ao propor-se uma atividade, cujo
objetivo é a cópia da imagem. A seguir podemos observar dois exemplos, num
mesmo volume, em que se estimula, em um, a cópia e segundo a criação de
padrões simétricos e assimétricos.
Figura 93: MILANI, E. et al. Projeto Conviver - Matemática. Editora moderna. São Paulo, 2008, v. 1,
p. 141, il color.
177
A atividade acima, apesar de oferecer um bom modelo para o aluno, perde a
oportunidade de estimulá-lo a elaborar o próprio padrão a partir dos recursos
disponíveis em sala de aula, pois solicita que o aluno apenas copie o padrão sem
pensar sobre o que está fazendo. Segundo Pillar (2006), esse tipo de atividade é de
aprimoramento técnico, não de criação.
Figura 94: MILANI, E. et al. Projeto Conviver - Matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008. v. 1,
p. 145- 146., il Color.
As atividades acima mostram outro momento do mesmo volume. Neste há
possibilidade de inventar e, assim, desenvolver a elaboração de imagens a partir do
próprio repertório e do que é exposto no livro. Para Barbosa (1998), os alunos
precisam produzir para conscientizarem-se da própria capacidade de elaborar
imagens, experimentando os recursos da linguagem e as técnicas existentes. Dessa
forma, atividades como as do segundo exemplo possibilitam a expressão do aluno.
Na modalidade “pintura”, o fazer artístico é contemplado em atividades que
solicitam a pintura de figuras prontas. De acordo com Martins, Picosque e Guerra
(1998), este é um vestígio da concepção tradicional de ensino de artes, segundo a
178
qual fazer arte é pintar desenhos prontos, elaborados por adultos. É o que podemos
observar na atividade abaixo registrada.
Figura 95: MILANI, E. et al. Projeto Conviver - Matemática. Editora moderna. São Paulo, 2008. V. 1,
p. 185., il Color.
Arslan e Iavelberg (2006) na discussão sobre intervenção gráfica apontam
que este trabalho é apreciado pelos alunos, porque não exige esforço cognitivo, pois
a imagem, estando pronta, basta preenchê-la com cores. Essas autoras ressaltam,
contudo, que a criação de imagens também é muito apreciada pelos alunos, quanto
propostas como desafio.
Em contrapartida, encontramos atividades de pintura que incentivam a
produção livre. É o que podemos observar na atividade em que há uma leitura da
pintura “O barco ateliê”, de Claude Monet. Nessa atividade se espera que o aluno
identifique a inversão da imagem refletida e a linha da água como divisão da própria
figura. Depois é proposto que o estudante produza uma pintura com a imagem
refletida.
179
Figura 96: AIDAR, Márcia. Ler Mundo - Matemática. Editora Scipione. São Paulo, 2008. V. 5, p. 19., il
Color.
Essa categoria mostra que quantidade não indica qualidade. Embora o aluno
tenha, nos livros didáticos de matemática, a possibilidades de relacionar-se com o
fazer artístico através de seis modalidades artísticas, poucas são as possibilidades
de construção do novo, de interpretação e recriação.
Encontramos, porém, indícios de produção livre subsidiada por imagens. O
estímulo à apreciação de obras feitas pelas crianças e jovens em sala de aula traz a
arte para a realidade a que a escola pertence e contribui para estimular o olhar
observador e crítico da comunidade estudantil.
Com relação à interdisciplinaridade com o conteúdo de Simetria, o fazer
artístico implica a construção de uma figura. Para isso, o aluno tem que considerar
as propriedades do tipo de simetria abordado. Para fazer, por exemplo, uma faixa
simétrica o aluno é estimulado ao deslocar a figura, conservar a forma, a distância
entre uma e outra, manter a direção. Nesse sentido, os laços de colaboração entre
Artes Visuais e Simetria são estabelecidos. A questão é que essas propriedades
precisam ser explicitadas ao longo dos volumes para que o conhecimento seja
construído.
180
6.4 Elementos de visualidade cor.
Nesta categoria analisaremos como os livros abordam o elemento de visualidade
“cor”. Das sete modalidades observadas, apenas na modalidade “desenho” aparece
a cor. Identificamos enunciados que tratavam a cor como elemento geométrico; nas
demais modalidades, quando citada, a cor possui o caráter de elemento de
visualidade.
Das 17 coleções, identificamos que sete apresentam mensagens que nos levam
a interpretar que a cor, nessas coleções, está sendo considerada como elemento
geométrico. Vejamos o exemplo seguinte.
Figura 97: SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo matemática. Editora Saraiva. 4ª edição
reformulada, São Paulo. 2008. v. 1, p. 126., il Color.
A atividade acima, através da palavra “iguais”, sugere a ideia de que, para ser
uma figura simétrica, basta pintar da mesma cor os dois lados da figura. Essa
atividade trata a cor como propriedade essencial para que a figura seja simétrica,
sem explicitar outras propriedades, como conservação (forma, ângulo, comprimento)
e equidistância. Além disso, sob o ponto de vista do ensino da arte, a imagem acima
181
já está pronta, bastando ao aluno preenchê-la com cores predeterminadas. Segundo
Arslan e Iavelberg (2006), esse tipo de atividade não estimula qualquer esforço
intelectual. Assim, talvez a atividade não promova aprendizado sobre Simetria nem
Artes visuais.
Noutra coleção, identificamos uma sequência de atividades que, embora
trabalhe a cor como uma propriedade da simetria, não explicita que este é um
elemento de visualidade das Artes Visuais, e não da Geometria. Vejamos o exemplo
abaixo:
Figura 98: SOUZA, Maria Helena e til. Coleção asas para voar matemática. Editora Ática. São Paulo.
2008.,v. 3, p. 143. il. Color.
As atividades acima confirmam um aspecto observado pelo Guia do Livro
Didático (BRASIL, 2007; 2008), segundo o qual, para estabelecer a cor como um
critério de produção de figura simétrica, é necessário explicitar que se trata de uma
182
propriedade não geométrica. Sob o ponto de vista da arte, a cor é compreendida
como um elemento importante, mas os estudantes devem ter a oportunidade de
escolher e experimentar as diversas cores em suas produções.
6.5 Recursos didáticos
Nesta categoria de análise, verificamos como os recursos didáticos que
auxiliam os alunos na realização das atividades são sugeridos. Atentamos para o
tipo de papel sugerido (liso, quadriculado e pontilhado), instrumentos de desenho
geométrico (régua, esquadro, compasso e outros) e materiais artísticos (tinta, cola,
lápis de cores etc).
Entendemos que os recursos didáticos têm um papel importante no processo
de ensino e aprendizagem. Segundo o PCN de matemática (BRASIL, 1997), esses
recursos precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e
da reflexão; a base da atividade matemática.
O tipo de papel é uma variável didática importante no ensino da Simetria,
porque ele pode gerar mudanças de estratégias na resolução dos problemas. Em
nosso estudo, identificamos três tipos de papel: a malha quadriculada, presente em
32% das atividades; o papel liso, em 24%; e outros tipos (1%). Percebemos que
43% das atividades são imagens ou não especificam o tipo de papel a ser utilizado.
Podemos observar essa distribuição no gráfico abaixo.
32%
24%
1%
43%
Papel quadriculado
Papel liso
Outros
Não Especifica o
tipo de papel
Figura 99: Gráfico - tipo de papel.
183
Identificamos a presença da malha quadriculada nas modalidades “desenho”,
“dobradura” e “padrões”. Percebemos que os desenhos são os que mais utilizam
determinado papel, principalmente nas atividades de construção de figuras.
Atribuímos esse índice ao fato de a malha quadriculada facilitar a construção da
figuras, devido à possibilidade de utilizar os quadradinhos como unidade de medida.
Assim, contando os quadrados da malha, o aluno constrói a figura simétrica. No
entanto, não identificamos na literatura estudos que comprovem essa hipótese.
Podemos observar isso na proposta a seguir.
Figura 100: DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática.Editora Ática. São Paulo. 2008.
v. 5, p. 91, il Color.
Identificamos que, das 32 atividades com padrão, apenas duas são com papel
liso e papel quadriculado por facilitar a construção dos padrões retilíneos ou
circulares, aspectos constatados por Barison (2007) para quem, todas as
ornamentações geométricas, por mais complexas que sejam, seguem uma ordem
com padrões que se repetem em arranjos retilíneos ou circulares. Por isso a
construção desses padrões segue uma malha, basicamente quadrada, retangular ou
triangular. É o que podemos observar no exemplo a seguir.
184
Figura 101: GASTALDI. Mª. V. et al. Projeto Buriti-matemática. Editora Moderna. São Paulo 2007
.
v.3, p. 152, il Color.
Dessa forma, a malha torna-se um recurso indispensável para construção de
padrões na sala de aula, apesar termos encontrado atividades que produziram
padrões sem malha, dispensando dessa forma a precisão que a malha possibilita,
mas que promovem outro tipo de desafio.
Verificamos que as modalidades “dobradura”, “pintura” e dos “desenhos”
utilizarem papel liso, pois o objetivo dessas atividades é que o aluno perceba a
conservação de forma, distância e ângulo através da sobreposição do papel, por
meio de uma dobra. Desse modo, a malha quadriculada não traz contribuição
alguma.
185
Figura 102: DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática. Editora Ática. São Paulo. 2008.
v. 4, p. 163., il Color.
Encontramos uma atividade de desenho “malhas triangulares”, “hexagonal” e
uma pontilhada e, uma com padrão com malha triangular. Supomos que o tipo de
malha interfere na resolução de problemas com simetria, mas não identificamos na
literatura científica estudos que confirmem ou refutem essa hipótese (ver exemplos).
Figura 103: AIDAR; Márcia. Ler mundo -
matemática. Editora Scipione São Paulo, 2008. v.
3, p. 193., il Color
Figura 104: REAME, Eliane; MOTENEGRO,
Priscila. Linguagem Matemática. Editora Saraiva.
São Paulo. 2008. v. 5, p. 171., il Color.
186
Com relação aos instrumentos de desenhos geométricos, constatamos que
são pouco anunciados nas atividades. Das 200 atividades que trabalham Simetria e
Artes visuais, apenas nove fazem menção à utilização de instrumentos de desenhos
geométricos.
Em apenas três coleções - Projeto Conviver – Matemática, “da Editora
Saraiva”, De Olho no futuro – Matemática, “da Editora Quinteto Editorial”, e “Projeto
Buriti – Matemática”, da Editora Moderna - há enunciados ou desenhos que sugerem
a utilização da régua como instrumento para a construção das figuras simétricas.
Apenas uma coleção, a “Fazer e Compreender Matemática” sugere a utilização do
compasso (ver exemplos).
Figura 105: MILANI E. et al. Projeto Conviver - Matemática. Editora Moderna. São Paulo, 2008. v. 5,
102., il Color.
187
Figura 106: SANCHEZ, lucília Bechara; e outros. Fazendo e compreendendo matemática. Editora
Saraiva. 4ª edição reformulada, São Paulo. 2008. v. 5, p. 61., il Color.
O número insignificante de atividades com instrumentos de desenho
geométrico, nos livros didáticos de matemática das séries iniciais para trabalhar
simetria, indica que predominam atividades que sugerem construções de figuras,
eixos ou translações a mão livre. Esse aspecto também é constatado, nos estudos
de Silva e Lima (2008), em livros de matemática do 6º ao 9º ano. Esses dados
indicam que são poucas as oportunidades de manuseio de instrumentos de desenho
oferecidas por livros didáticos de matemática durante o Ensino Fundamental.
Nas dobraduras, o material utilizado restringiu-se ao papel, lápis e tesoura,
porque a atividade não requer o uso de outros materiais. A régua ou cordão podem
ser utilizados, caso o professor tenha como proposta evidenciar as propriedades da
Simetria de Reflexão (equidistância, perpendicularidade, conservação de forma).
Vejamos o exemplo abaixo.
188
Figura 107: BORJORNO, et al. Pode contar comigo.Editora FTD. São Paulo, 2008. v. 3, p. 77., il
Color.
As atividades de pintura são à mão livre. Os materiais utilizados são: tinta,
lápis de cor e papel liso. Não observamos sugestões de materiais diferentes, embora
os PCN de artes (Brasil, 1997) recomendem que os alunos devem ter contato e
reconhecimento dos materiais, suportes, instrumentos, procedimentos e técnicas na
produção de formas visuais. Isso, contudo, que não ocorre nos livros didáticos
analisados.
Nesta categoria, percebemos diversas limitações dos recursos materiais
sugeridos nos livros didáticos. Predomina o papel quadriculado e liso, quando
deveria haver uma igualdade em relação à quantidade distribuída pelos volumes,
pois consideramos que a diversidade de atividades em papel diferente, pode
promover a aprendizagem.
Os instrumentos de desenho limitam-se à régua e ao compasso, assim como
os recursos materiais utilizados nas Artes Visuais estão circunscritos à tinta, ao lápis
de cor, à tesoura e ao papel. Contrapondo o PCN de matemática e Artes (BRASIL,
1997) que sugerem a utilização de instrumentos de desenho geométrico, materiais e
189
suportes variados garantindo a experimentação, utilização e pesquisa de materiais e
técnicas artísticas.
6.6 Os aportes mútuos do conteúdo da Simetria e das Artes Visuais nos livros
didáticos de matemática.
Neste capítulo foi possível delinear como as ações de ensino das Artes
Visuais são trabalhadas nos livros didáticos de matemática das séries iniciais.
Constatamos diferentes formas de leitura das atividades, mas, dentre elas, a leitura
de obras de arte se restringiu às gravuras nas poucas atividades referentes a essa
modalidade artística. Embora se trate de obras que contemplam a simetria, uma
qualidade da obra, o senso estético, não era enfocado de forma a estimular os
alunos a julgarem essa qualidade nas obras, assim como perceberem os elementos
visuais.
A contextualização é pouco tratada nas atividades. Identificamos indícios,
como legendas e informações sobre o grupo cultural que produziu a obra, mas
poucas foram as atividades que apresentaram a biografia do artista e reflexões que
motivassem os alunos a julgarem, refletirem sobre o contexto e as razões de
produção da obra de arte.
Quanto ao fazer artístico, embora presente em várias atividades, encontramos
poucos exercícios que estimularam o potencial criativo dos alunos. As atividades, em
sua maioria, solicitavam a cópia de desenhos adultos, desprezando a capacidade do
aluno de elaborar imagens através do próprio repertório ou do livro didático.
A experimentação de recursos, técnicas e novas formas de fazer também são
escassas nos livros, quando aborda o conteúdo de Simetria articulado as Artes
Visuais. Apesar de necessários, os instrumentos de desenho foram pouco
recomendados nas coleções analisadas. Quando isso acontecia, limitava-se à régua.
Também os recursos para artes visuais estão restritos a tinta e lápis de cores.
Com relação ao elemento de visualidade, analisamos a cor, que é trabalhada
como propriedade geométrica em algumas coleções, em atividades em que os
alunos têm que pintar desenhos prontos.
A proposta Triangular considera que as três ações de ensino da arte devem
estar interligadas em todos os momentos do ensino da arte e da matemática.
190
Contudo, constatamos que isso não ocorre, pois predomina o fazer artístico em
detrimento da leitura e contextualização. Para autora a abordagem dessas ações em
momentos distintos compromete a epistemologia do ensino da arte.
191
Figura 108: técnica Borrão de tinta.
Apresentada no livro didático - Projeto
Prosa – matemática editora Saraiva, 2008,
v. 3, p. 174
192
7 INTERDISCIPLINARIDADE: AVANÇOS, ENTRAVES, APORTES MÚTUOS -
REFLEXÕES SOBRE SIMETRIA E ARTES VISUAIS NOS LIVROS DIDÁTICOS DE
MATEMÁTICA PARA SÉRIES INICIAIS.
Discutiremos, neste capítulo, alguns pontos relevantes de nossa análise,
feita a partir da ótica quantitativa e qualitativa, das atividades que articulam Simetria
e Artes Visuais. Inicialmente, organizaremos nossa síntese de acordo com os pontos
que consideramos essenciais na pesquisa. Relacionaremos os resultados com os
documentos oficiais (Guia do Livro didático e PCN), e com a revisão de literatura a
partir da qual tivemos acessos a estudos relativos ao assunto da pesquisa, tanto
inscritos na área pedagógica quanto os que priorizam a perspectiva epistemológica.
Constatamos, no estudo quantitativo, uma frequência considerável de
atividades que articulam Simetria e Artes Visuais nos livros didáticos, distribuídas de
forma crescente pelos volumes. Isso aponta uma tendência de articular-se ensino da
Geometria com outras áreas de conhecimento, como propõe o Guia do Livro
Didático. Embora tenhamos identificado uma abordagem que prima pela
interdisciplinaridade do conteúdo da Simetria com o das Artes Visuais, percebemos
que a relação da primeira com outras áreas intramatemáticas ainda é incipiente.
A relação entre Simetria e Artes Visuais é incontestável, porque as artes
Visuais são inerentes à Geometria, assim como, a Geometria é inerente às Artes
Visuais. Isso pode ser comprovado observando o que foi construído pela
humanidade ao longo da história. Entendemos, então, porque o PCN de matemática
(BRASIL, 1997) recomenda que o ensino da Geometria se dê por meio das artes
entre outros. Os livros didáticos que, se baseiam nesses parâmetros e nos princípios
do Guia dos Livros Didático têm trazido atividades em que diversas modalidades
artísticas são contempladas.
Verificamos seis modalidades artísticas que abordam a Simetria. Todas elas
trazem a possibilidade de explorar a Simetria a partir do ponto de vista intuitivo e
formal. Percebemos, contudo, que prevalece o enfoque intuitivo apontado pelos
PCN (BRASIL 1997), segundo o qual as atividades de artes introduzem a Simetria
de modo pragmático, favorecendo o desenvolvimento de aquisições intuitivas pelos
alunos.
Entendemos que a Simetria precisa ser trabalhada, a princípio, de forma
intuitiva, adequada ao nível de aprendizagem do aluno, mas a complexificação
193
desse conteúdo deve acontecer gradativamente de forma que garanta aos alunos
chegarem ao 6º ano com um conhecimento mais formal sobre Simetria.
Dentre as modalidades artísticas, o desenho é a mais contemplada nas
atividades. A prática de desenhar é muito recorrente na escola e utilizada por
diversas áreas de conhecimento como forma de representação do pensar da
criança. Na matemática não é diferente, principalmente na Geometria, pois vem
tornando-se uma atividade necessária para a construção e o reconhecimento da
Simetria.
Essa modalidade traz a possibilidade de trabalhar diversos elementos do
conteúdo, como construção de figuras simétricas, e o eixo no caso de Simetria de
Reflexão. Utilizando-se instrumentos de medida, poder-se-iam explorar propriedades
como equidistância e perpendicularidade, mas percebemos que não há, nas
atividades por nós analisadas, menções explícitas dessas propriedades.
Na dobradura, os dois tipos apresentados, origami e kirigami, apresentam
diferenças quanto ao movimento da figura e dimensões espaciais. Em ambos, as
trajetórias descritas pelos pontos da figura não permanecem no plano dela. O
movimento, nesses casos, ocorre no espaço tridimensional, no qual o plano da figura
está imerso. Esse aspecto foi observado por Siqueira (2000) em sua pesquisa.
Além disso, o kirigami, apesar de ter sua trajetória no espaço, resulta em uma figura
bidimensional, enquanto o origami tem como produto uma figura tridimensional.
Evidenciar tais características é fundamental para que os alunos não confundam, por
exemplo, eixo e plano de simetria.
As coleções utilizam a arquitetura para introduzir o conteúdo simetria, deste
modo possibilitam que os alunos explorem as imagens para descobrir a Simetria de
forma intuitiva. Apesar das construções arquitetônicas serem repletas de simetria ou
assimetrias e a comparação de tais aspectos contribuírem para a aprendizagem do
conteúdo, os livros analisados não explicitam que por tratam-se de fotografias são
indicados eixos de simetria, porém, o objeto real, ou seja, as construções
arquitetônicas são tridimensionais, não possuem eixo, mas um plano de simetria.
Os padrões são um tipo de modalidade artística que traz a possibilidade de
trabalhar com os diversos tipos de Simetria. Destacamos a translação pelo
deslocamento das figuras, conservação de forma e direção, mas observamos que
194
essas características não são exploradas nas atividades por nós analisadas nas
coleções de livros didáticos.
Quando observamos as atividades que envolvem pinturas, percebemos que
foram aplicados princípios da Simetria na construção delas, ou seja, foram
enfocadas ideias matemáticas que estão por trás de belas pinturas. As atividades
buscam evidenciar tal aspecto por meio da identificação de eixo e da construção de
figuras simétricas, através dos borrões de tinta. No entanto, essas atividades não
apresentam explicitamente as propriedades que tornam uma figura simétrica.
As atividades com gravura, embora sejam poucas, trazem a imagem e
exploram a simetria de forma muito intuitiva, mas possibilitam várias referencias às
propriedades da simetria.
O eixo de simetria, apesar de ser considerado um elemento essencial para
a percepção da Simetria de reflexão, não foi bem trabalhado nas atividades, pois
não detectamos nenhuma articulação entre o conceito de transformação e o eixo de
simetria de uma figura. O eixo de simetria é uma variável importante para o trabalho
do professor, mas observamos que em algumas modalidades artísticas - como
dobradura, pintura e modalidades mistas - predomina o eixo na posição vertical.
Nas figuras apresentadas nas coleções, identificamos um desequilibro na
quantidade de tipos de figuras, visto que predominam as figuras conexas, em
detrimento das desconexas. Essas figuras possuem características distintas sob o
ponto de vista da conceituação de simetria. Alguns estudiosos, como Siqueira (2000)
e Alves (2005), apontam as figuras desconexas como as que geram mais
dificuldade. As atividades propostas utilizam figuras com contornos retos e curvos,
dispostos em diferentes posições em relação ao eixo de simetria (paralelos,
perpendiculares, inclinados).
No entanto, Alves (2005) considera importante propiciar aos alunos o
trabalho com diferentes tipos de figuras para a construção do conhecimento sobre
Simetria. Dessa forma, faz-se necessário que os livros explicitem as diferenças e
busquem uma distribuição igualitária das figuras nas atividades, pois o tipo de figura
gera estratégias de resolução de problemas diferentes.
Em relação às atividades de ensino das Artes Visuais, percebemos a
presença de diversas formas de leitura: a leitura superficial, de instrução, de
imagens e de obras de arte. Nas três primeiras, a leitura acontece de forma contrária
ao que é proposto por Barbosa (1995). Apenas na modalidade “gravura”
195
identificamos uma leitura que ultrapassar a descrição dos aspectos formais da obra
e propõe uma análise dela.
A contextualização só foi verificada nas poucas coleções em que aparecem
as modalidades de arquitetura, pintura, padrões e gravura, mas poderia ter sido
trabalhada nas demais modalidades, visto que desenhos, padrões e dobraduras
estão presentes na história, estabelecendo relações com a matemática.
Identificamos alguns indícios de “contextualização” em legendas que
identificam a obra de arte. Informações breves sobre local e povo indígena que
produziu o artesanato. Encontramos também a biografia do autor e local onde viveu.
Como na coleção “Hoje é dia de matemática”, que traz as obras do pintor Odetto
Guersoni. Apesar de necessárias, tais informações não são suficientes para a
contextualização, pois segundo Barbosa (2007), além de “ensinar estética, história e
crítica da arte, precisamos desenvolver a capacidade de formular hipóteses, julgar,
justificar e contextualizar julgamentos acerca de imagens e da arte”.
O fazer artístico é um dos componentes da arte mais contemplado, mas isso
ocorreu através da cópia de imagens que pouco estimulam o aluno elaborar
imagens e utilizar a própria expressão. De acordo com o PNC de artes (BRASIL,
1997) Esse componente deve desenvolver o potencial criativo dos alunos. É
fundamental, então, que os livros proponham atividades em que os alunos elaborem
desenhos, pinturas, colagem, recorte, dobraduras e gravuras de modo livre, sem a
utilização da cópia.
A cor, embora esteja presente em diversas modalidades, é pouco explorada
como um conhecimento. A cor desenvolve o exercício estético de ver, interpretar e
interrogar o visto, mas quando enunciada de forma explícita, ela, que é um elemento
de visualidade que tem como função despertar sensações é utilizada nas atividades
como critério para produção de figura simétrica. Não se esclarece que a cor não é
uma propriedade geométrica, mas estética.
Quanto aos recursos didáticos, percebemos uma tendência muito forte da
malha quadriculada em detrimento dos outros tipos de papel. Há nas atividades,
pouco estímulo ao uso de instrumentos de desenho que podem ser facilitadores
para o trabalho com as propriedades da simetria.
Observamos uma tendência de ruptura com uma educação baseada na
formação de modelos, memorizações e fragmentação do conhecimento.
Percebemos sinais de uma educação que prima pela interdisciplinaridade e
196
contextualização. Esses indícios apontam para uma ressignificação no ensino da
matemática.
7.1 Possíveis encaminhamentos.
Ao escrever-se uma dissertação, é sempre preciso fazer opções sobre o
caminho a ser tomado e sobre os conteúdos a tratar. O conhecimento em todas as
áreas é muito amplo e não se esgota numa pesquisa. Ao contrário, muitas pesquisas
indicam uma nova forma de pensar em determinadas áreas de conhecimento ou em
conteúdos, gerando novas interrogações. Nesse sentido, buscamos entender os
aportes mútuos entre Artes Visuais e Simetria. Para isso, fizemos a análise, tanto do
ponto de vista da Geometria, quanto do ponto de vista das Artes Visuais, de 200
atividades que articulam essas áreas de conhecimento em livros didáticos de
Matemática para o Ensino Fundamental. Os dados possibilitaram a identificação de
laços de colaboração e reciprocidade entre elas, bem como possibilidades e lacunas
existentes nessa relação. Mas, principalmente, despertaram novas questões.
Em nossa compreensão, o ensino da Geometria, assim como de outros
campos da matemática, deve acontecer por meio de um processo formativo que
estabelece relações de inseparabilidade e colaboração entre conteúdos e áreas de
conhecimento. Entendemos a interdisciplinaridade como uma tendência que precisa
ser incorporada às propostas dos livros didáticos, por trazer, dentre outros
benefícios, as inter-retroações entre o conteúdo matemático e o seu contexto de
uso. Além disso, a interdisciplinaridade permite a interação entre todas as partes de
um conhecimento. Diante de tais considerações, surge a questão:
Os nossos professores do ensino fundamental, em sua formação inicial e
continuada, foram preparados para trabalhar de forma interdisciplinar as atividades
presentes nos livros didáticos?
Ao utilizar uma dobradura, uma pintura ou gravura, os autores de livros
didáticos, ainda que de forma incipiente e muitas vezes inadequada, como
constatamos em nossa pesquisa, por conta do pragmatismo que os orientou na
elaboração das atividades, tornaram conceitos complexos em noções acessíveis a
crianças de diversas faixas etárias, encurtando a distância entre o mundo
matemático e o artístico.
197
Nesse sentido, a arte aproxima a matemática das crianças, possibilitando-lhe
noções intuitivas sobre o conteúdo de simetria, apreciar obras de arte, conhecer
monumentos arquitetônicos do Brasil ou padrões presentes em de diversas culturas
indígenas. Percebemos que, embora os livros didáticos de matemática apresentem
limitações gráficas e lacunas conceituais quanto ao conteúdo da Simetria, e das
Artes Visuais, eles constituem um dos poucos materiais impressos que possibilitam
o acesso da criança à arte no Brasil.
Afinal que material está disponível em todas as salas de aula e lares do Brasil
que oportuniza ao aluno conhecer obras de artistas como Escher, Odetto Guersoni e
outros, além do livro didático?
Com relação às opções metodológicas identificadas, tanto em relação às
Artes Visuais como em relação à Simetria, percebemos que não há variedade. As
atividades propostas no volume 2 também estão nos volumes 3, 4, 5 da mesma
coleção, sem uma gradativa complexificação dos conteúdos. Esse aspecto nos faz
indagar:
Que atividades devem ser abordadas na apresentação do conteúdo Simetria,
utilizando as Artes visuais ao longo das séries iniciais? Como complexificá-las de
modo que sejam sempre desafiantes e gerem conhecimento?
Compreendemos que o livro didático é apenas um instrumento no processo
de ensino-aprendizagem que pode favorecer, sim, a aquisição de conhecimentos
socialmente relevantes; propiciar o desenvolvimento de competências cognitivas,
que contribuam para aumentar a autonomia do aluno. Mas, se não estiver nas mãos
de um professor que saiba adequar esse instrumento didático à sua prática
pedagógica e ao contexto em que se circunscreve a vivência do aluno, ele servirá
apenas para preencher as prateleiras empoeiradas das escolas e dos lares
brasileiros.
Nesse sentido, é fundamental que o professor tenha consciência e domínio
sobre os campos de conhecimento discutidos neste estudo; caso contrário, o
aprofundamento conceitual que propomos, para a interdisciplinaridade entre Artes e
Geometria, especificamente no conteúdo Simetria, não fará sentido. Esta seria, a
nosso ver, uma possibilidade de continuidade para esta pesquisa: analisar o uso que
o professor faz dessas atividades em sala de aula; que limites e possibilidades
podem ser vislumbrados em sua prática.
Concluímos este estudo consciente de que o grande desafio para um novo
fazer matemático é modificar as atuais práticas. Desejamos que o nosso trabalho
198
estimule mais pesquisas sobre esta temática, que envolve ideias importantes sobre
a possibilidade da abordagem de conteúdos matemáticos de modo significativo e
interdisciplinar, contribuindo assim para minimizar a fragmentação das disciplinas e
construir uma visão de totalidade. Por outro lado, acreditamos que a integração entre
disciplinas é possível de ser realizada em sala de aula.
199
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histórica e técnica do artesanato em papel e suas aplicações no design
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Paulista Júlio de Mesquita Filho, UNESP, São Paulo. Disponível em:
www.scribd.com/doc/28984150/Design-e-to. Acesso em: 17 jun.2008
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ZAGONEL, B. Metodologia do ensino de artes. Curitiba: XIBPEX, 2008.
211
Apêndice
212
Apêndice A – distribuição atividades por coleção e volume
Continuação da tabela......
Modalidades Artísticas
desenho dobradura padrões pintura
coleções
v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5
Aprendendo
Sempre
- - - 4 4 - - 1 1 1 - - - - - - - - - -
Asas para Voar
- 2 6 - - - - 1 - - - - 2 - - - - 1 - -
Coleção Novo
Bem-Me-Quer
- - - 2 3 - - 1 - 1 - - - - - - - - - -
De Olho no
Futuro
- - 1 - 1 - - 1 - 3 - - - - - - - 1 - -
Fazendo e
Compreendendo
Matemática
- - 2 4 2 - - - 1 - - - - - - 1 2 1 - -
Fazer,
Compreender e
Criar
- - 2 - 1 - - 1 - - - - 1 - - - - - -
Hoje é Dia de
Matemática
- 2 - 1 3 2 - 2 - - - - - - - - - - - -
Ler o Mundo
Matemática
1 - - - 6 - - 3 - - - 2 - - - - - - - 1
Linguagens da
Matemática
- - - - 1 - - - - 1 - - - - - - - - 1 -
Pode Contar
Comigo
- - 1 - - - - 1 - - - - - - - - - - - -
Pensar e Viver
- - 1 - 1 - 1 - - - - - 3 3 2 - - - -
Projeto Prosa
- - 1 - - - - 2 2 - - - - - - - - 1 - -
Ponto de
Partida
- - 3 - 1 - - 1 - - - - - 1 - - 1 - -
Porta Aberta
Matemática
- 2 1 1 6 1 1 - - - - 1 - - - - 1 - - -
Projeto Buriti
1 1 10 - - - - 1 - - - 6 3 - - - - - - -
Projeto
Conviver
- 1 3 1 1 - - 2 2 5 - - - - 3 1 - - -
Projeto
Pitanguá
- 3 2 - 2 - 2 - - - - 1 3 - - - - - - -
Total 2 11 33 13 32 3 4 17 6 6 5 11 12 1 3 6 5 4 1 1
Total por
modalidade
91 36 32 17
% 45% 16% 16% 9%
213
arquitetura Gravura Modalidades mistas
coleções
v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5
Total de
atividades
por coleção
Aprendendo
Sempre
- - - - - - - - - - - - - - - 12
Asas para Voar
- - -
1
- - - - - - - - - - - 13
Coleção Novo
Bem-Me-Quer
- - - - - - - - - - - - - -
7
De Olho no
Futuro
- - - - - - - - - - - - - - - 7
Fazendo e
Compreendendo
Matemática
- - - - - - - - - - - - - - - 13
Fazer,
Compreender e
Criar
- -
1 2
- - - - - - - - - - 8
Hoje é Dia de
Matemática
- - - -
1
- - -
3
- - - - - - 14
Ler o Mundo
Matemática***
- - - -
1 - - - 1 - - - - 1 -
16
Linguagens da
Matemática***
- - - -
1
- - - - - - - -
2 1
7
Pode Contar
Comigo
- -
1
- - - - - - - - - - - - 3
Pensar e Viver - - - - 1 - - - 1 - - - - - -
14
Projeto Prosa***
1
- - - - - - - - - - - 7
Ponto de
Partida
- - - - - - - - - - - - - - - 7
Porta Aberta
Matemática
- - - - - - - - - - - - -
2
- 17
Projeto Buriti
- - - - - - - - - - - - -
-
- 22
Projeto
Conviver
- - -
1
- - - - - -
1
- - - - 21
Projeto
Pitanguá
- - - - - -
1
- - - - - - - - 13
Total
0 0 2 3 6 0 1 0 5 - 1 0 0 5 1
200
Total por
modalidade
11 6 7
200
%
6% 3% 4%
100%
214
Apêndice – B
Listamos a seguir as coleções de livros didáticos aprovados pelo PNLD em
2010, que foram utilizadas como fonte de coleta de dados da pesquisa.
AIDAR, M. Ler Mundo – Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Scipione, 2008.
BARROSO, J. M. (org.). Projeto Pitanguá matemática. 2 ed. São Paulo: Editora
Moderna. 2008.
BORDEAUX, A. l. et. al. Bem – me- quer. São Paulo: Editora Brasil. 2008.
BORJORNO, J. R. et al. Pode contar comigo. 1. ed. São Paulo: Editora FTD,
2008.
BUENO, A. M. et al. Pensar e viver – Matemática. 1.ed. São Paulo: Editora Ática,
2008.
CENTURIÓN, M. et al. Porta Aberta – Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora FTD..
2008.
CERULLO. Mª. et al. Ponto de partida matemática. 1ed. São Paulo: Editora
Sarandi, 2008.
DANTE, Luiz Roberto. Aprendendo Sempre Matemática. 1. ed. São Paulo Editora
Ática, 2008.
FERREIRA, A. et al. Fazer, compreender e criar em matemática. 3. ed. São Paulo:
IBEP, 2008.
GASTALDI. Mª V. et al. Projeto Buriti matemática. São Paulo: editora Moderna.
2007
MENEGHELLO, M.; PASSOS, Â. De olho para o futuro - matemática. 1. ed. São
Paulo: Editora Quinteto editorial, 2008.
MILANI. E. et al. Projeto conviver matemática. 1ª ed. São Paulo: Editora Moderna,
2008.
PADOVAN, D. et al. Projeto Prosa. São Paulo: Editora Saraiva, 2008.
REAME, E.; MOTENEGRO, P. Linguagem Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora
Saraiva, 2008.
SANCHEZ, L. B. et al. Fazendo e compreendendo matemática. 4.ed. reformulada,
São Paulo: Editora Saraiva, 2008.
215
SOUZA, M. H. et al. Asas para voar matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática,
2008.
TOSSATO, C. M. et al. Hoje é dia de matemática. 1.ed. Curitiba: Editora Positivo,
2007.
216
Apêndice C
Distribuição das atividades de contextualização por coleção e
volume.
Desenho
Padrões
Pintura
Arquitetura
Modalidade
mista
Gravura
coleção
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
V
1
V
2
V
3
V
4
V
5
1. Asas para
voar
- - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - -
2. Fazer,
compreender
e matemática
- - - - 1 - - - - - - - - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - - -
3. Hoje é dia de
matemática
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - -
4. Ler mundo
matemática
- - - - - - 1 - - - - - - - 1 - - - 1 - - - 1
-
- - - - 1 -
5. Linguagem
matemática
- - - - - - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - 1 1 - - - - -
6. Projeto
conviver
- - - - - 2 - - - - - 1 1 - - - - - 1 - 1 - - - - - - - - -
7. Projeto
Pitanguá
- - - - - - - 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 - - -
8. Projeto prosa
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Total - - - -
1 2 1 1
- - -
1 1
-
2
- -
1 1 2 1
- -
2 1
-
1 1 1
-
Total por
modalidade
1 4 4 4 4 3
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
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