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INFERÊNCIAS SOBRE PROPORÇÕES BINOMIAIS:
TESTES FREQUENTISTAS E BAYESIANOS
NÁDIA GIARETTA BIASE
2009
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NÁDIA GIARETTA BIASE
INFERÊNCIAS SOBRE PROPORÇÕES BINOMIAIS: TESTES
FREQUENTISTAS E BAYESIANOS
Tese apresentada à Universidade Federal
de Lavras como parte das exigências do
Curso de Doutorado em Estatística e Experi-
mentação Agropecuária, para a obtenção do
título de “Doutor”.
Orientador
Prof. Dr. Daniel Furtado Ferreira
LAVRAS
MINAS GERAIS-BRASIL
2009
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Ficha Catalográfica Preparada pela Divisão de Processos Técnicos da
Biblioteca Central da UFLA
Biase, Nádia Giaretta.
Inferências sobre proporções binomiais: testes frequentistas e
bayesianos / Nádia Giaretta Biase. -- Lavras: UFLA, 2009.
152 p. : il.
Tese (Doutorado) - Universidade Federal de Lavras, 2009.
Orientador: Daniel Furtado Ferreira.
Bibliografia.
1. Simulação Monte Carlo. 2. Razão de verossimilhanças. 3.
Formas quadráticas 4. Procedimentos de comparações múltiplas. I.
Universidade Federal de Lavras. II.Título.
CDD-519.282
-519.54
NÁDIA GIARETTA BIASE
INFERÊNCIAS SOBRE PROPORÇÕES BINOMIAIS: TESTES
FREQUENTISTAS E BAYESIANOS
Tese apresentada à Universidade Federal
de Lavras como parte das exigências do
Curso de Doutorado em Estatística e Experi-
mentação Agropecuária, para a obtenção do
título de “Doutor”.
APROVADA em 23 de abril de 2009
Prof. Dr. Marcelo Tavares UFU
Prof. Dr. Ednaldo Carvalho Guimarães UFU
Prof. Dr. Júlio Silvio de Sousa Bueno Filho UFLA
Profa. Dra. Thelma Sáfadi UFLA
Prof. Dr. Daniel Furtado Ferreira
UFLA
(Orientador)
LAVRAS
MINAS GERAIS-BRASIL
“A esperança não é um sonho, mas uma maneira
de traduzir os sonhos em realidade.”
(Suenens)
Agradecimentos
A Deus, que sempre iluminou e guiou a minha vida, dando-me forças para ven-
cer e concretizar meus sonhos.
A minha querida mãe, pela paciência e incondicional amor, que nunca mediu
esforços para que meus objetivos fossem alcançados e sempre apoiou em todas as deci-
sões de minha vida.
Ao meu querido pai, pela confiança e infinito amor, que sempre lutou incan-
savelmente pela minha educação e foi o meu suporte para vencer todos os obstáculos
encontrados.
As minhas irmãs, Érica e Adriele, pelo carinho, atenção e pelo estímulo cons-
tante no decorrer destes anos, para que eu vencesse minhas apreensões. Sei que vocês e
nossos pais almejaram tanto quanto eu a conquista desse projeto de vida.
Ao meu cunhado, Edivânio, pelo carinho, consideração e amizade.
Ao meu orientador, Daniel Furtado Ferreira, pelo profissionalismo, competência
intelectual, disponibilidade e entusiasmo com que me orientou e, principalmente, pela
amizade, paciência e por todos os ensinamentos e conselhos transmitidos durante esses
anos, não restritos somente à vida acadêmica.
À Universidade Federal de Lavras, pela oportunidade de realizar o doutorado.
Em especial, ao Departamento de Ciências Exatas (DEX), por todas as condições ofe-
recidas para minha formação, aos funcionários, pela acolhida simples e carinhosa e aos
professores, pela amizade e por ajudarem a enriquecer os meus conhecimentos.
À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), pelo
apoio financeiro concedido durante o período de realização deste trabalho.
Aos membros da banca examinadora, pelas sugestões e contribuições para o
aprimoramento desse trabalho.
À amiga de longa data, Maria Imaculada, pelo carinho, amizade, troca de co-
nhecimentos, apoio e por todos os momentos inesquecíveis durante essa caminhada.
Às amigas Patrícia, Verônica, Andréa e Fabrícia pela ajuda e a amizade com que
sempre pude contar e também às amigas Gabriella, Flávia, Franciella, Jessica e Marília
que compartilharam harmoniosamente comigo vários momentos do cotidiano. Nunca
me esquecerei de tudo o que todas vocês fizeram por mim.
A todos os colegas da Pós-Graduação em Estatística que conviveram comigo
em Lavras, por todas as palavras e gestos de amizade manifestado durante esses anos.
A todos os amigos do Grupo de Partilha de Profissionais (GPP), pelas orações e
momentos agradáveis de confraternização.
Finalmente, a todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram e acreditaram
no meu crescimento e sucesso. Deus os abençoe!!!
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
CAPÍTULO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Introdução Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Referencial Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Procedimentos de comparações múltiplas (PCM) . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Erros envolvidos e poder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Pressuposições dos procedimentos de comparações múltiplas . . . . . . . . . 12
2.4 Testes de comparações múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Procedimentos de comparações múltiplas de proporções binomiais . . . . . 14
2.4.2 Teste de comparações múltiplas via bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.3 Teste de comparações múltiplas bayesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Inferência bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Distribuição a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.2 Métodos de simulação Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC) . . . 26
2.5.3 Estimação usando a inferência bayesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Teste de razão de verossimilhanças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Inferências sobre proporções multinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.8 Testes de distribuições baseadas em formas quadráticas . . . . . . . . . . . . 38
2.9 Aplicações testes assintóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10 Simulação Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
CAPÍTULO 2: Comparações múltiplas e teste simultâneo para parâmetros bino-
miais independentes de k populações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1 Teste de razão de verossimilhanças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Teste assintótico qui-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Comparações múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Simulações Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1 Testes para a hipótese nula global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Erro tipo I sob H
0
completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.2 Poder sob H
0
parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Comparações múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 Erro tipo I sob H
0
completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.2 Erro tipo I sob H
0
parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2.3 Poder sob H
0
parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
CAPÍTULO 3: Inferência Bayesiana para k populações binomiais independentes 101
1 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2 ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.1 Teste bayesiano para igualdade de proporções binomiais . . . . . . . . . . . 106
4.2 Comparações múltiplas bayesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Simulação Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.1 Teste bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2 Erro tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.1 Erro tipo I sob H
0
completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Poder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.1 Poder sob H
0
parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4 Teste de comparações múltiplas bayesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.5 Erro tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5.1 Erro tipo I sob H
0
completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5.2 Erro tipo I sob H
0
parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.6 Poder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.6.1 Poder sob H
0
parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7 Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
LISTA DE TABELAS
1.1 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
completa, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de
valores do parâmetro (π), para os testes de bootstrap de Pan (Pan) e de
máxima verossimilhança (MV), no valor nominal de 5%. . . . . . . . . 18
1.2 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores do parâmetro
(π) para os testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e formas quadráti-
cas (X
2
), ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores do parâmetro
(π) para os testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e formas quadráti-
cas (X
2
), ao nível nominal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre as proporções bi-
nomiais (∆), para os testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas
quadráticas (X
2
), ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre as proporções bi-
nomiais (∆), para os testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas
quadráticas (X
2
), ao nível nominal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de
amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para
os testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas (X
2
), ao
nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
i
1.7 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de
amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para
os testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas (X
2
), ao
nível nominal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.8 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
completa, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de
valores de π para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível
nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.9 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
completa, para di-
ferentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e
de valores de π para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível
nominal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.10 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferenças
entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações
múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.11 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferenças
entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações
múltiplas (TCM), ao nível nominal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.12 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferen-
tes números de populações (k), de valores do parâmetro π no primeiro
grupo (π
(1)
), de tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os pa-
râmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas
(TCM), ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
ii
1.13 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível no-
minal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.14 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível no-
minal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.15 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de
amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆),
para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%. 95
1.16 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de diferen-
ças entre os parâmetros π de cada grupo (∆) considerando π
(1)
= 0,05,
para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%. 97
1.17 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre os parâmetros π de
cada grupo (∆) considerando π
(1)
= 0,05, para o teste de comparações
múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.18 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores do parâmetro
(π), para o teste bayesiano (TB) com todos os hiperparâmetros iguais a
2, ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
iii
2.19 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números
de populações (k), tamanhos de amostras (n) e diferentes valores do
parâmetro (π) para o teste bayesiano (TB) com hiperparâmetros α
i
’s e
β
i
’s iguais a 1 e α’s e β’s iguais a 2, ao nível nominal de 5%. . . . . . . 118
2.20 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre os parâmetros bino-
miais π de cada grupo (∆), para o teste bayesiano (TB) com todos os
hiperparâmetros iguais a 2, ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . 120
2.21 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre os parâmetros bino-
miais π de cada grupo (∆), para o teste bayesiano (TB) com hiperparâ-
metros α
i
’s e β
i
’s iguais a 1 e α’s e β’s iguais a 2, ao nível nominal de
5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.22 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de
amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆),
para o teste bayesiano (TB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2,
ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.23 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
completa, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de
valores do parâmetro π, para o teste de comparações múltiplas bayesi-
ano (TCMB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2, ao nível nominal
de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
iv
2.24 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
completa, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de
valores do parâmetro π para o teste de comparações múltiplas bayesi-
ano (TCMB), com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s
iguais a 2, ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.25 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
parcial, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e dife-
renças entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de com-
parações múltiplas bayesiano (TCMB), com todos os hiperparâmetros
iguais a 2, ao nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.26 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferen-
tes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferen-
ças entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de compa-
rações múltiplas bayesiano (TCMB), com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s
iguais a 0,01 e α’s e β’s iguais a 2, ao nível nominal de 5%. . . . . . . . 128
2.27 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
parcial, para dife-
rentes números de populações (k), valores do parâmetro π no primeiro
grupo (π
(1)
), tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros
π de cada grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas bayesiano
(TCMB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2, ao nível nominal de
5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.28 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas bayesiano (TCMB),
com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s iguais a 2, ao
nível nominal de 5%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
v
2.29 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas bayesiano (TCMB),
com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s iguais a 2, ao
nível nominal de 1%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
vi
LISTA DE FIGURAS
1.1 Taxas de erro tipo I dos testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e for-
mas quadráticas (X
2
), em função dos tamanhos amostrais (n) e valores
dos parâmetros (a) π = 0,1 e (b) π = 0,5 para α = 5%, considerando a
hipótese H
0
completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.2 Taxas de erro tipo I dos testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e for-
mas quadráticas (X
2
), em função dos tamanhos amostrais (n) e valores
dos parâmetros (a) π = 0,1 e (b) π = 0,5 para α = 1%, considerando a
hipótese H
0
completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.3 Poder, sob H
0
parcial, dos testes G
2
e X
2
, em função da diferença ∆,
com k = 5, n = 10 e valores nominais de significância iguais (a)
α = 5% e (b) α = 1% para o teste G
2
e (c) α = 5% e (d) α = 1%, para
o teste X
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
vii
RESUMO
BIASE, Nádia Giaretta. Inferências sobre proporções binomiais: testes frequentistas
e bayesianos. 2009. 152p. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agrope-
cuária) - Universidade Federal de Lavras, Lavras, MG.
*
Inferências sobre várias proporções binomiais são frequentemente realizadas por meio
da análise de variância e dos procedimentos de comparações múltiplas convencionais.
O problema é que, nesse caso, algumas pressuposições dos testes aplicados são viola-
das e, assim, as inferências são não confiáveis. Uma solução para minimizar o problema
consiste em aplicar testes assintóticos e procedimentos bayesianos. O presente trabalho
teve por objetivos propor testes de comparações múltiplas clássicos e bayesianos, bem
como propor um teste bayesiano para a hipótese global de igualdade de várias propor-
ções binomiais e divulgar os testes assintóticos G
2
e X
2
de Pearson no contexto das
distribuições binomiais. O desempenho de todos os testes propostos foi avaliado por
meio de simulação Monte Carlo. As taxas de erro tipo I do teste bayesiano proposto e
dos testes assintóticos G
2
e X
2
de Pearson, para testar a hipótese de igualdade de várias
proporções binomiais, foram avaliadas sob H
0
completa e as taxas de erro tipo I, por
experimento dos testes de comparações múltiplas sob H
0
completa e parcial. Os valores
de poder de todos os testes foram mensurados apenas para H
0
parcial. Foram geradas k
populações binomiais independentes com parâmetros π
i
e n
i
, i = 1, 2, ···, k, e simu-
ladas amostras de Monte Carlo para cada configuração envolvendo as combinações das
quantidades k, n
i
’s e π
i
’s. Para os testes bayesianos, consideraram-se prioris conjuga-
das betas com parâmetros α
i
e β
i
. As simulações sob H
0
completa foram realizadas
considerando π
i
’s idênticos e fixados em 0,01, 0,1 e 0,5, com populações k = 2, 5 e 10
e tamanhos amostrais n
i
= 10, 30 e 100, para cada população e, para H
0
parcial,
considerou-se uma diferença ∆ entre os valores de π de dois grupos distintos, variando
no intervalo de 0,01 a 0,9. O teste bayesiano e o teste X
2
de Pearson para a igualdade de
várias proporções binomiais apresentaram excelentes performances, controlando o erro
tipo I em praticamente todas as situações, em níveis iguais ou inferiores aos valores
nominais. O teste G
2
é liberal, nos casos de pequenas amostras e maiores números de
populações. Os valores de poder destes testes são relativamente altos, principalmente se
as diferenças entre as proporções binomiais dos dois grupos são grandes. Os testes de
comparações múltiplas clássicos e bayesianos para populações binomiais apresentaram
excelentes resultados e, em geral, são conservativos.
*
Orientador: Daniel Furtado Ferreira - UFLA
viii
ABSTRACT
BIASE, Nádia Giaretta. Inferences about binomial proportions: frequentist and
bayesian tests. 2009. 152p. Thesis (Doctor in Statistics and Agricultural Experimenta-
tion) - Federal University of Lavras, Lavras, MG.
*
Inferences about several binomial proportions are often made by means of an analysis
of variance followed by conventional multiple comparisons procedures. The problem
of this approach is that some tests assumptions are violated and thus the inferences are
not reliable. A solution to minimize the problem is to apply asymptotic and bayesian
tests. This work aimed to propose tests classical and bayesian of multiple comparisons
and a bayesian test for the overall hypothesis of equality of several binomial proportions
and to divulge the asymptotic Pearson’s X
2
and G
2
. The performance of all proposed
tests were evaluated by means of Monte Carlo simulation. The type I error rates of the
bayesian proposed test and of the asymptotic tests Pearson’s X
2
and G
2
for the overall
hypothesis of equality of several binomial proportions were evaluated under complete
H
0
and the experimentwise type I error rates and also for the multiple comparisons pro-
cedures under complete and partial H
0
. The power of all tests were computed only for
partial H
0
. Independent binomial populations with parameters π
i
and n
i
were sampled,
i = 1, 2, ···, k considering different configurations involving combinations of k, n
i
’s
and π
i
’s. For the bayesian tests ones considered conjugated betas prior with parameters
α
i
and β
i
. The simulations under complete H
0
were made considering identical π
i
’s
settled in 0.01, 0.1 and 0.5, with number of populations k = 2, 5 and 10 and sample
sizes n
i
= 10 30 and 100 for each population. For partial H
0
it was considered a diffe-
rence ∆ between the values of π of two different groups, varying in the interval 0.01 to
0.9. The bayesian and Pearson’s X
2
tests for equality of several binomial proportions
showed excellent performance, controlling the type I error rates in almost all cases, at
levels below or equal to the nominal levels. The G
2
test was liberal in cases of small
samples and large number of populations. The powers of the tests are relatively high,
especially if the differences of the binomial proportions between the two groups are
large. The classical and bayesian multiple comparisons tests for the binomial proporti-
ons showed excellent performance and in general are conservatives.
*
Guidance Committee: Daniel Furtado Ferreira - UFLA
ix
CAPÍTULO 1
1
1 Introdução Geral
Nas pesquisas científicas, é de interesse de muitos pesquisadores inferir sobre
duas ou mais médias populacionais. Para testar a hipótese de igualdade das médias po-
pulacionais, frequentemente aplica-se o teste F em uma análise de variância e, quando
essa hipótese é rejeitada, vários procedimentos de comparações múltiplas são utilizados
para investigar as diferenças entre as proporções das populações, tais como os testes
Tukey, Student-Newman-Keuls (SNK), Duncan e Scheffé.
Para garantir que os resultados da aplicação desses testes sejam válidos, as pres-
suposições de independência das observações, normalidade dos resíduos e homogenei-
dade das variâncias devem ser satisfeitas. Particularmente no caso da independência das
observações, há o controle, pelo pesquisador, por meio da utilização de casualização.
As demais pressuposições devem ser checadas caso a caso.
Quando o problema de comparar duas ou mais proporções binomiais nas pes-
quisas está em foco, alguns pesquisadores fazem uso da análise de variância, teste F e
dos procedimentos de comparações múltiplas convencionais. No entanto, esse procedi-
mento constitui apenas uma aproximação, uma vez que a pressuposição de normalidade
dos resíduos e de homogeneidade das variâncias é violada quase que certamente. As-
sim, as inferências são não confiáveis, embora existam alternativas para contornar ou
minimizar o problema.
Técnicas estatísticas mais apropriadas, por considerarem a distribuição especí-
fica dos dados, como a binomial, podem ser utilizadas, como é o caso dos modelos
lineares generalizados. Nesse caso, a modelagem é feita pela família exponencial que
abrange o modelo binomial. O problema dessa abordagem é que as distribuições das
estatísticas dos testes da hipótese nula global de igualdade das proporções das diferentes
populações binomiais são assintóticas e, portanto, a inferência pode ter baixa qualidade
em pequenas amostras. Ademais, não existem procedimentos de comparações múltiplas
2
entre os testes relacionados à família exponencial.
Outra opção é utilizar os métodos computacionalmente intensivos, como os tes-
tes bootstrap e de permutação. Não são encontrados relatos, na literatura, para o teste
global de igualdade das proporções binomiais, mais existem relatos do seu uso em com-
parações múltiplas. Para esse fim, os resultados são de alta qualidade. O problema é a
necessidade de implementação de rotinas para a realização desses testes, o que é uma ta-
refa impeditiva para a maioria dos pesquisadores. Além disso, os programas comerciais
de análise estatística, ou até mesmo os gratuitos, não têm opções ou funções para reali-
zar essa tarefa. Outro problema que, em épocas mais antigas, era relevante é o grande
número de reamostragens necessárias para a aplicação do teste, embora isso não seja
mais relevante, considerando a capacidade de processamento dos computadores atuais.
Para o teste global da igualdade de várias proporções binomiais existem os tes-
tes assintóticos da razão de verossimilhanças (estatística G
2
) e o teste X
2
de Pearson.
Esses testes são pouco conhecidos para essa finalidade, pois são, em geral, utilizados
nos modelos multinomiais e nas tabelas de contingência. Estudos de desempenho des-
ses testes foram encontrados no trabalho de Williams (1988) e Krishnamoorthy & Peng
(2008), embora Krishnamoorthy et al. (2004) relatem o emprego de testes para igual-
dade de várias proporções binomiais com um valor de referência específico. Entretanto,
nenhum trabalho foi encontrado, envolvendo aproximações assintóticas, relatando o uso
de testes de comparações múltiplas para proporções binomiais.
A inferência bayesiana tem tido um grande papel nos trabalhos científicos. O
grande apelo do uso das técnicas de inferência nessa área da estatística é a possibilidade
de incorporar o conhecimento a priori do pesquisador sobre os parâmetros. No caso
particular de realizações de inferências sobre várias proporções binomiais, principal-
mente no caso das comparações múltiplas, nenhum relato foi encontrado na literatura
científica.
Por todas essas razões, o presente trabalho foi realizado com o objetivo de pro-
3
por um teste bayesiano para a hipótese global de igualdade de várias proporções bino-
miais e divulgar os testes assintóticos G
2
e X
2
de Pearson, no contexto das distribuições
binomiais, bem como propor testes de comparações múltiplas clássicos e bayesianos,
com a avaliação do desempenho por simulação Monte Carlo.
4
2 Referencial Teórico
2.1 Procedimentos de comparações múltiplas (PCM)
Os experimentos, na pesquisa científica, são planejados com a finalidade de pro-
piciar a comparação de médias de diferentes níveis do fator. No entanto, para verificar
se existem diferenças reais entre os níveis de qualquer fator de efeitos fixos, um teste de
hipótese pode ser formulado. A hipótese de nulidade global (H
0
) de interesse é:
H
0
: µ
1
= µ
2
= ··· = µ
i
= ··· = µ
k
(2.1)
que estabelece não existirem diferenças entre os k níveis do fator e deve ser testada
utilizando-se o teste F (Machado et al., 2005).
Quando o pesquisador decide por não rejeitar a hipótese de nulidade global,
admite-se a não existência do efeito do fator sobre a variável resposta. Caso contrário,
se essa hipótese é rejeitada, adota-se a hipótese alternativa, representada por H
1
ou H
a
como verdadeira, que supõe existir pelo menos uma diferença entre os níveis do fator.
Surge, então, a necessidade de averiguar a que se devem as diferenças e quais são os
níveis do fator que diferem entre si (Hochberg & Tamhane, 1987).
Para investigar as diferenças específicas entre níveis do fator ou combinações
lineares de médias do fator, várias técnicas estatísticas podem ser empregadas. Dentre
elas têm-se os procedimentos de comparações múltiplas (Rafter et al., 2002). Machado
et al. (2005) afirmam que a aplicação adequada desses procedimentos está relacionada
com os seguintes tipos de níveis do fator (tratamento) em estudo:
i) se os níveis do fator são quantitativos, é aconselhável utilizar os métodos de aná-
lise de regressão;
ii) se os níveis do fator são qualitativos com uma estruturação que propõe com-
5
parações pré-planejadas entre os níveis do fator, recomenda-se, primeiramente,
aplicar contrastes e, depois, um teste específico;
iii) se os níveis do fator são qualitativos e não estruturados, procedimentos de com-
parações múltiplas (PCM) são indicados.
A comparação de médias dos níveis do fator é planejada quando ela é definida
a priori ou durante a fase de planejamento do experimento. A decisão a respeito da
possibilidade de as comparações serem planejadas ou não depende do tipo de fator
em estudo e dos objetivos do experimento. Uma comparação não é planejada quando
ela é definida em função daquilo que foi observado após a realização do experimento
(Machado et al., 2005)
Segundo Hsu (1996), os PCM são utilizados para comparar duas ou mais mé-
dias e, apesar de serem usados consistentemente na pesquisa científica, muitas vezes
são empregados incorretamente. De acordo com Hinkelmann & Kempthorne (1987),
em várias situações experimentais, o pesquisador tem interesse em realizar um grande
número de comparações, como, por exemplo, comparações sugeridas pelos dados ou to-
das as possíveis combinações entre duas delas. Nesse caso, algumas precauções devem
ser tomadas para que os procedimentos de inferência sejam empregados corretamente
quando se realizam testes de hipóteses ou estimação, caso contrário, a falta de transiti-
vidade da não significância pode conduzir a muitos resultados significativos.
Gopalan & Berry (1998) comentam que a falta de transitividade da não signifi-
cância é um dos problemas mais difíceis enfrentados por estatísticos e outros pesquisa-
dores e que os PCM são casos especiais dessa falta de transitividade.
Machado et al. (2005) ressaltam que são muitos os problemas envolvidos na
aplicação dos PCM e mencionam alguns desses problemas:
1. grande número de parâmetros a serem considerados: são realizadas todas as com-
parações duas a duas, consequentemente, o número de parâmetros cresce muito
6
com o aumento do número de níveis k do fator em estudo;
2. falta de transitividade da não-significância: conhecido por ambiguidade dos re-
sultados. Como ilustração, considere três médias; a maior pode diferir da menor,
mas ambas não diferirem da média intermediária;
3. dificuldade de interpretação: devido à falta de transitividade ou ambiguidade dos
resultados;
4. teste global não significativo: o teste F da hipótese de igualdade dos k efeitos do
fator apresentam resultados significativos em um nível nominal α, entretanto, os
testes de comparações múltiplas apresentam resultados não significativos nesse
mesmo nível de significância nominal, indicando que os níveis dos fatores são
iguais.
Assim, a seleção do método apropriado de comparações múltiplas pelo qual se
deve optar depende das qualidades estatísticas desse procedimento. Essa qualidade está
relacionada com o tipo de erro que é controlado e da forma como esses erros são con-
trolados (Machado et al., 2005). Para aplicação da maioria dos PCM, uma padronização
das estatísticas utilizadas precisa ser realizada por meio do estimador do erro padrão da
diferença das médias entre dois níveis do fator (O’Neill & Wetherill, 1971; Perry,1986).
Esse estimador envolve o quadrado médio do erro obtido na análise de variância e é co-
nhecido por diferença mínima significativa (DMS). A expressão generalizada da DMS
é dada por:
DMS = γS
d
,
em que: S
d
=
2QME/r é o estimador do erro padrão da diferença de duas médias
em um delineamento balanceado; QME é o quadrado médio do erro da análise de vari-
ância correspondente a ν graus de liberdade; r é o número de repetições das médias a
serem comparadas e γ depende do método, dos graus de liberdade do erro e do número
7
de comparações simultâneas.
Independentemente do PCM utilizado, a diferença observada entre duas médias,
consecutivas ou não, é confrontada com um valor crítico apropriado. Se o valor abso-
luto da diferença observada entre duas médias exceder o valor crítico, ela é considerada
significativa e, consequentemente, as médias são diferentes. Caso contrário, a diferença
é considerada não-significativa e, portanto, as médias são estatísticamente iguais. Os
valores críticos alternam de um procedimento para outro. Com isso, PCM distintos,
aplicados a um mesmo conjunto de dados, podem apresentar diferentes resultados (Car-
mer & Swanson, 1973).
Quando estudos de simulações são realizados para avaliar o desempenho dos
PCM, pesquisadores frequentemente geram dados experimentais sob a situação de nuli-
dade parcial ou H
0
parcial, para retratar situações em que determinados níveis do fator
em estudo são diferentes e outros níveis são considerados iguais. Nessas situações, a
hipótese de nulidade global (2.1) é que é testada ao serem aplicados os testes. Isso
permite aos pesquisadores reproduzirem situações reais que são consideradas comuns
(Silva et al., 1999; Santos et al., 2001).
2.2 Erros envolvidos e poder
Ao realizar testes de hipóteses, o pesquisador deve levar em consideração o risco
global de tomar uma decisão errada. Ao tomar a decisão de rejeitar ou não a hipótese
de nulidade, o pesquisador está sujeito a incorrer em três possíveis erros (Mood et al.,
1974; Rafter et al., 2002; Steel & Torrie, 1980), descritos a seguir.
O erro tipo I é cometido quando a hipótese nula verdadeira, da forma H
0
: µ
i
=
µ
i
, i = i
=1, 2,···, k, é rejeitada. Esse erro é controlado diretamente pelo pesquisador
e a probabilidade de se cometer esse erro é representada pelo nível de significância α,
dada por: P [Erro Tipo I] = P [rejeitar H
0
|H
0
verdadeira] = α.
8
O erro tipo II é cometido quando a hipótese nula falsa não é rejeitada. Esse erro
não é controlado diretamente pelo pesquisador e a probabilidade (β) de se cometer esse
erro é dada por: P [Erro Tipo II] = P [não rejeitar H
0
| H
0
falsa] = β.
O último tipo de erro, conhecido como erro tipo III, é cometido quando uma
hipótese nula falsa é rejeitada a favor da hipótese alternativa errada. Nesse caso, afirma-
se que uma média é superior a outra, quando ocorre exatamente o contrário (Rama-
lho et al., 2000; Machado et al., 2005). A probabilidade associada a esse erro é:
P [Erro Tipo III] = P [rejeitar H
0
, mas a favor de H
1
errada|H
0
falsa].
O poder do teste é a probabilidade (1−β) de rejeitar a hipótese nula H
0
, quando
ela realmente é falsa, ou seja, é a capacidade do teste em determinar todas as reais
diferenças entre os níveis do fator (Ramalho et al., 2000).
O desempenho da maioria dos testes de comparações múltiplas é avaliado em
relação ao controle da taxa de erro tipo I, para assegurar o nível de probabilidade pre-
tendido em um conjunto de várias comparações. As probabilidades de se cometerem
os erros tipo I e II são inversamente proporcionais. Portanto, é necessário manter um
certo equilíbrio, pois, ao controlar de maneira excessiva a taxa de erro tipo I, a taxa de
erro tipo II aumenta e o poder do teste diminui, levando a aceitar como iguais médias
diferentes. Quando isso ocorre, o teste é considerado conservativo (Carmer & Swan-
son, 1973). Esse fato pode causar um efeito extremamente indesejável, uma vez que
um dos objetivos dos experimentos é discriminar tratamentos por meio de suas médias
(Machado et al., 2005).
Por outro lado, se a taxa de erro tipo I for elevada (superior ao valor nominal de
significância α), a taxa de erro tipo II diminui e o poder do teste aumenta. Nesse caso, o
teste é considerado poderoso e, ao mesmo tempo, liberal (Hochberg & Tamhane, 1987).
Teoricamente, algumas medidas podem ser tomadas para minimizar a taxa de
erro tipo II. Uma medida está relacionada com a escolha apropriada do teste e da ava-
liação criteriosa das suas pressuposições, que devem ser atendidas. Se essas condições
9
forem satisfeitas com êxito, existe uma garantia de maior poder. Uma segunda medida
que pode possibilitar o teste ter o maior poder possível é a determinação do tamanho da
amostra, desde que não aumente demasiadamente o custo da pesquisa a ser realizada.
Por fim, a fixação do nível de significância α entre 0,10 e 0,01 é, sempre que possível,
uma atitude recomendável, por causa da relação inversa entre as taxas de erro tipo I e II
(Ferreira, 2005).
Outra questão que merece ser enfatizada refere-se ao desempenho das taxas de
erro tipo I e II, resultantes da aplicação de um único teste, que são diferentes daquelas
decorrentes da aplicação de uma sequência de k testes. Se a probabilidade de cometer
o erro tipo I for igual a α, (1 − α) é a probabilidade de que, em um destes testes,
não seja cometido o erro tipo I. Então, se forem realizados k testes independentes, a
probabilidade de não cometer o erro tipo I em nenhum dos testes é (1−α)
k
e 1−(1−α)
k
é a probabilidade máxima de se cometer o erro tipo I em pelo menos um dos k testes.
Como consequência desse fato, várias estratégias surgiram para garantir a taxa de erro
tipo I para todas as comparações. Procedimentos de inferência que asseguram uma pro-
babilidade conjunta (1 − α) contra o erro tipo I são denominados procedimentos de
inferência simultânea (Machado et al., 2005).
Quanto às taxas de erro tipo III, Carmer & Swanson (1973) mostraram que elas
são baixas e, geralmente, desprezíveis e que, normalmente, são medidas considerando
todas as comparações (comparisonwise) ou por experimento (experimentwise).
A escolha do teste de comparações múltiplas a ser aplicado deve levar em con-
sideração o controle desses erros. Inúmeros trabalhos comparam os PCM em relação às
taxas de erro tipo I por meio de simulação computacional, pois executar analiticamente
essa tarefa é bastante complicado (Carmer & Swanson, 1973; Perecin & Barbosa, 1988;
Borges & Ferreira, 2003).
Segundo Steel & Torrie (1980), existem duas maneiras básicas de calcular as
taxas de erro tipo I nos PCM. A primeira maneira consiste em medir a taxa de erro tipo
10
I por comparação, conhecida por comparisonwise ou per-comparison error rate (TPC)
e refere-se à probabilidade de se rejeitar uma hipótese verdadeira em todas as possíveis
combinações de médias de níveis do fator, tomadas duas a duas:
TPC =
Número de inferências erradas
Número total de inferências
.
A segunda maneira consiste em calcular a taxa de erro tipo I por experimento,
denominada de experimentwise error rate (TPE), definida como sendo a probabilidade
de se realizar pelo menos uma inferência errada por experimento:
TPE =
Número experimentos com pelo menos uma inferência errada
Número total de experimentos
.
De acordo com Gopalan & Berry (1998), muitos PCM controlam apenas uma
dessas duas taxas de erro tipo I. Além disso, ao tentar controlar a taxa de erro tipo
I por experimento, quando o número de comparações múltiplas a serem realizadas é
grande, os pesquisadores se deparam com problemas relacionados à redução conside-
rável do poder em detectar diferenças significativas entre os níveis do fator. Benjamini
& Hochberg (1995) apresentaram um critério alternativo de proteção do erro tipo I por
experimento para solucionar esse problema. Esse critério é denominado false discovery
rate (FDR) e corresponde à proporção esperada de erro tipo I cometido entre todas as
hipóteses nulas rejeitadas. Segundo esses autores, quando um grande número de hipó-
teses é testado, pode ser mais interessante controlar a proporção de falsas rejeições do
que manter uma baixa probabilidade de, pelo menos, uma falsa rejeição.
O critério FDR é menos conservativo do que o TPE e, por essa razão, apresenta
valores de poder mais elevados. A implementação desse critério é simples e pode ser
aplicada tanto para dados independentes como também para dados dependentes. Vários
trabalhos avaliaram o desempenho desse critério. Dentre eles têm-se Benjamini & Liu
(1999), Storey (2002) e Tsai et al. (2003). Storey (2002) estimou as FDRs fixando a
11
região de rejeição e verificou que esse método apresenta grande aplicabilidade, precisão
e alto poder. Tsai et al. (2003) avaliaram a FDR utilizando bootstrap por meio de simu-
lação Monte Carlo e concluíram que este procedimento apresenta bons desempenhos.
2.3 Pressuposições dos procedimentos de comparações múltiplas
Ao realizar inferência, quase todos os procedimentos apresentam algumas pres-
suposições que devem ser satisfeitas pelos dados para garantir que os resultados sejam
válidos (Rafter et al., 2002). Assim, a aplicação dos PCM deve satisfazer a algumas
pressuposições que são as mesmas estabelecidas para a aplicação do teste F na análise
de variância. De acordo com Hochberg & Tamhane (1987), essas pressuposições são:
• aditividade: os efeitos dos fatores que ocorrem no modelo matemático devem ser
aditivos;
• independência das observações: os erros ou desvios, devidos ao efeito de fatores
não controlados, não devem ser correlacionados;
• normalidade dos resíduos: os erros ou desvios, devidos ao efeito de fatores não
controlados, devem possuir uma distribuição normal;
• homogeneidade das variâncias: os erros ou desvios, devidos ao efeito de fatores
não controlados, devem possuir variância comum.
Rafter et al. (2002) afirmam que qualquer uma dessas pressuposições pode ser
violada para um determinado conjunto de dados, no entanto, é importante ter a consci-
ência de que essa violação pode causar impactos nas inferências. Segundo estes autores,
um procedimento que é insensível à violação de uma ou mais dessas pressuposições é
considerado robusto. A pressuposição da independência das observações é a menos
provável de ser violada porque está sob controle do pesquisador.
12
Quando os PCM não satisfazem às pressuposições de normalidade e homoge-
neidade de variâncias, existem indicações de que muitos deles não são considerados
um procedimento robusto (Hochberg & Tamhane, 1987). Segundo Rafter et al. (2002),
geralmente, quando a pressuposição de normalidade é violada moderamente, a taxa de
erro tipo I por experimento de muitos PCM é ligeiramente maior que o valor nominal
adotado. Ringland (1983) acrescenta, ainda, que, mesmo que a diferença entre a taxa
de erro tipo I e o valor nominal não seja tão discrepante ao aplicar um único teste de
comparação múltipla, ao realizar inferências múltiplas, essa diferença aumenta propor-
cionalmente ao número de comparações realizadas.
Vários métodos alternativos podem ser utilizados para contornar as dificuldades
de aplicação dos PCM nas situações de não normalidade ou de variâncias heterogêneas
sob modelos probabilísticos normais ou não normais (Machado et al., 2005). Nessas
situações, Steel & Torrie (1980) ressaltam que métodos de análise mais robustos podem
ser aplicados, como, por exemplo, os modelos lineares generalizados e os métodos não-
paramétricos.
A técnica dos modelos lineares generalizados (MLGs), apresentada por Nelder
& Wedderburn (1972), é uma extensão dos modelos lineares clássicos e permite que a
distribuição da variável resposta seja normal ou não normal, podendo ser qualquer dis-
tribuição da família exponencial. Essa técnica proporciona também maior flexibilidade
para a relação funcional entre a média da variável resposta e o preditor linear.
Os métodos não-paramétricos são procedimentos da inferência estatística que
não fazem qualquer suposição explícita sobre a forma da distribuição dos dados, tendo,
portanto, menores exigências para a sua aplicação. A base dos testes não-paramétricos
está na ordenação (postos) dos dados e não em seu valor intrínseco e na aleatorização,
em que se consideram todas as possíveis permutações (rearranjos) dos dados (Hochberg
& Tamhane, 1987).
13
Machado et al. (2005) dão ênfase à aplicação dos procedimentos robustos de
comparações múltiplas baseados na reamostragem bootstrap. O método de bootstrap
é um processo de reamostragem das amostras que permite obter as estimativas dos pa-
râmetros sem pressupor a distribuição dos estimadores. Esse método tem apresentado
resultados satisfatórios e tem sido utilizado por muitos pesquisadores. Recentemente,
uma outra abordagem estatística que vem sendo utilizada para solucionar os proble-
mas envolvendo comparações múltiplas é a inferência bayesiana, que descreve toda
quantidade desconhecida por meio de probabilidades. Estudos envolvendo compara-
ções múltiplas via bootstrap e inferência bayesiana são apresentados, respectivamente,
nos tópicos 2.4.2 e 2.4.3.
2.4 Testes de comparações múltiplas
2.4.1 Procedimentos de comparações múltiplas de proporções binomiais
Piegorsch (1991) considerou vários procedimentos simultâneos para realizar
comparações múltiplas entre proporções binomiais, dando maior ênfase à construção
de intervalos simultâneos para várias funções da probabilidade de sucesso π
i
, i = 1, 2,
···, k. As inferências basearam-se na normalidade assintótica do estimador de máxima
verossimilhança de π
i
. Aplicações específicas, incluindo todos os pares de comparações
( π
i
− π
i
, i = i
= 1, 2, ···, k) e comparações com um tratamento controle (π
i
− π
1
, i
= 1), foram avaliadas.
Primeiramente, ele considerou intervalos simultâneos para qualquer conjunto
finito de contrastes, utilizando a aproximação de Bonferroni aplicada ao intervalo de
confiança de Wald, dados por:
k
i=1
hi
ˆπ
i
±Φ
−1
(1 −
α
2G
)(
k
i=1
hi
ν
i
)
1
2
para a h-ésima
combinação linear das proporções, h=1, 2, ···, G, em que Φ(.) é a distribuição normal
acumulada, G = k(k − 1)/2 e ν
i
é a variância estimada
ν
i
=
ˆπ
i
(1−ˆπ
i
)
n
i
. Em uma
segunda etapa, o autor considerou um método implementado por Hochberg & Tamhane
14
(1987), usando o intervalo de Wald juntamente com a distribuição da amplitude normal
padronizada, para comparar todas as diferenças π
i
− π
i
, i = i
, por meio do intervalo:
ˆπ
i
− ˆπ
i
±
1
√
2
Q
k,∞
(α)(ν
i
+ ν
i
)
1/2
, ∀i < i
, em que Q
k,∞
(α) é o quantil superior
100(α)% da distribuição da amplitude normal padronizada. Esses dois métodos apre-
sentaram pobres desempenhos, tendo taxas de erro consideravelmente maiores do que
o valor nominal quando os tamanhos amostrais eram pequenos.
Piegorsch (1991) mostrou também que um melhor desempenho desses inter-
valos foi obtido utilizando-se um procedimento de estimação intervalar simultâneo,
empregando a formulação de Jeffreys-Perks, motivada pela aproximação bayesiana de
Beal (1987). Quando implementado para as comparações múltiplas usando a distribui-
ção padronizada, com tamanhos amostrais iguais, n
i
= n, o intervalo para π
i
− π
i
é: (1 − d
2
)
−1
[(ˆπ
i
− ˆπ
i
) ± d{(2 −
˜
θ
ij
)
˜
θ
ij
(1 + d
2
− (ˆπ
i
− ˆπ
i
)
2
)}
1/2
], em que
˜
θ
ij
=
{n(ˆπ
i
− ˆπ
i
) + 1}/(n + 1) e d = Q
k
(α)/2
√
n. Com essas modificações, obtiveram-
se probabilidades de cobertura próximas ao valor nominal, para amostras pequenas e
moderadas.
Para identificar quais proporções binomiais causaram a rejeição da hipótese
de nulidade em relação a um valor de referência específico π
0
, Krishnamoorthy et
al. (2004) propuseram um procedimento de construção de intervalos de confiança si-
multâneos para π
i
, i = 1, 2, ··· , k. Os limites inferiores e superiores dos interva-
los foram obtidos de uma distribuição beta com parâmetros (y
i
, n
i
), tal que: L
i
=
Beta(c/2, y
i
, n
i
− y
i
+ 1) e U
i
= Beta(1 − c/2, y
i
+ 1, n
i
− y
i
), mas, se y
i
= 0,
(L
i
,U
i
) = (0, (1 −c)
1/n
i
) e se y
i
= n
i
(L
i
,U
i
) = (c
1/n
i
,1), sendo c o quantil da distri-
buição beta. Desse modo, os autores verificaram que, escolhendo c = 1 −(1 −α)
1/k
, o
intervalo de confiança contém π
i
com probabilidade de, pelo menos, (1−α)
1/k
e, então,
P (π
i
∈ (L
i
,U
i
), i = 1, 2, ··· , k) ≥ 1 −α. Assim, se π
0
/∈ (L
j
,U
j
), j = 1, 2, ··· , k
l
≤
k, eles concluíram que os π
j
’s são significativamente diferentes de π
0
, ao nível nominal
α. Esse método foi ilustrado por meio da aplicação de dois exemplos.
15
McCann & Tebbs (2007) estenderam os procedimentos assintóticos de Hoch-
berg & Tamhane (1987) e de Jeffreys-Perks, apresentados por Piegorsch (1991) para
dados combinados. Nesse caso, as observações foram analisadas em grupo e não indi-
vidualmente, de modo que, um grupo foi classificado como positivo se ao menos um
indivíduo era positivo, considerando tamanhos de grupos maiores do que 1 (s > 1). Por
exemplo, em estudos envolvendo análises de sangue são coletadas amostras de vários
indivíduos. Essas amostras são combinadas e, em seguida, é realizado um único teste
para verificar se o sangue desses indivíduos pode ser considerado positivo ou negativo,
ao invés de realizar um teste para cada indivíduo.
Avaliando o intervalo de confiança simultâneo de Hochberg & Tamhane (1987)
esses autores verificaram que esse intervalo apresentou excelentes probabilidades de
cobertura para tamanhos de grupos maiores do que 10 (s ≥ 10) e, observou-se que
o intervalo aproximado de Jeffreys-Perks apresentou resultados conservativos quando
tamanhos de grupos menores foram estabelecidos. Esses dois procedimentos de com-
parações múltiplas de pares de proporções estimadas, foram ilustrados utilizando dados
de um estudo HIV observacional envolvendo homens que usam drogas intravenosas.
Agresti et al. (2008) apresentaram um método de construção de intervalos de
confiança simultâneos, que utiliza a distribuição da amplitude estudentizada com uma
estatística escore, para comparar proporções de várias amostras binomiais independen-
tes. Esse método consiste em usar o intervalo de Wald, depois de adicionar um sucesso
e um fracasso na amostra da população, e substituindo o percentil normal Q
k,∞
(α)/
√
2
que, deve ser multiplicado pelo erro padrão, sendo Q
k,∞
(α) o quantil 100(1 − α)%
da distribuição com um número infinito de graus de liberdade (amplitude padronizada).
Esse método é aplicável a uma série de medidas como a razão de chances, diferenças
entre proporções e o risco relativo.
Para a razão de chances, um estudo de simulação indicou que esse método tem
probabilidade de cobertura mais próxima ao valor nominal do que o método de Bonfer-
16
roni aplicado ao intervalo de confiança padrão. Para a diferença de proporções binomi-
ais π
i
−π
i
, foi proposto o seguinte intervalo de confiança: ˜π
i
− ˜π
i
± {Q
k,∞
(α)/
√
2}
˜π
i
(1−˜π
i
)
n
i
+2
+
˜π
i
(1−˜π
i
)
n
i
+2
, em que ˜π
i
=
y
i
+1
n
i
+2
e ˜π
i
=
y
i
+1
n
i
+2
. Esse intervalo apresentou
desempenho semelhante ao método proposto por Piegorsch (1991) e, portanto, parece
ser um procedimento útil para obter intervalos de confiança simultâneos para vários pa-
râmetros binomiais, embora Piegorsch (1991) tenha encontrado desempenho ruim para
pequenas amostras.
2.4.2 Teste de comparações múltiplas via bootstrap
Na literatura, são encontrados vários trabalhos envolvendo métodos de compa-
rações múltiplas das médias de níveis dos fatores para populações normais e não nor-
mais, utilizando métodos de bootstrap. No entanto, o número de trabalhos envolvendo
comparações múltiplas de proporções binomiais é relativamente pequeno.
Biase (2006) realizou comparações múltiplas em populações binomiais utili-
zando a técnica de bootstrap infinito, introduzida por Conlon & Thomas (1990) por
meio de simulação Monte Carlo. Esses autores avaliaram as taxas de erro tipo I por
experimento e o poder de dois testes de bootstrap infinito, um considerando o estima-
dor de máxima verossimilhança (MV) e o outro o estimador de Pan (Pan). Esse último
tem como característica a utilização de quatro pseudo-observações, sendo duas delas
consideradas como sucesso do evento de interesse. Foram simuladas situações conside-
rando tamanhos amostrais (n) iguais a 10, 30 e 100 e número de populações binomiais
(k) iguais a 2, 5 e 10. Sob a hipótese de nulidade completa, admitiu-se que as proba-
bilidades de sucesso (π) fossem iguais a 0,1, 0,5 e 0,9 e, sob a hipótese de nulidade
parcial, considerou-se a formação de dois grupos, cuja diferença entre as probabilidades
de sucesso dos grupos, denominada de ∆, variava entre 0,01 e 0,9.
A taxa de erro tipo I por experimento sob H
0
completa foi controlada em nível
inferior ou, no máximo, igual ao valor nominal α adotado em ambos os testes. Assim,
17
em nenhuma configuração avaliada houve resultados que classificassem os testes como
liberais. Para valores de π próximos a 0,5, houve tendências de melhores resultados
dos testes, mesmo para tamanhos de amostras pequenas. Verificou-se um melhor de-
sempenho do teste bootstrap MV devido à menor ocorrência de casos em que o teste
foi considerado conservativo quando comparado com o teste bootstrap de Pan. Esses
resultados são apresentados na Tabela 1.1, para o valor nominal de 5%. Para o valor
nominal de significância de 1%, os resultados das taxas de erro tipo I por experimento
foram bastante similares aos observados para 5%.
TABELA 1.1 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
completa, para diferen-
tes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores
do parâmetro (π), para os testes de bootstrap de Pan (Pan) e de máxima
verossimilhança (MV), no valor nominal de 5%.
π = 0,1 π = 0,5 π = 0,9
k n Pan MV Pan MV Pan MV
2 10 1,00
+
1,00
+
4,10
ns
4,05
ns
0,65
+
0,65
+
2 30 2,35
+
3,95
ns
5,10
ns
4,90
ns
2,30
+
3,95
ns
2 100 5,55
ns
5,85
ns
5,05
ns
4,90
ns
5,10
ns
5,20
ns
5 10 0,00
+
0,15
+
3,35
+
3,30
+
1,50
+
1,00
+
5 30 2,40
+
3,90
ns
5,25
ns
5,15
ns
2,50
+
4,20
ns
5 100 4,00
ns
4,55
ns
5,15
ns
5,25
ns
4,20
ns
4,30
ns
10 10 0,00
+
1,35
+
2,55
+
2,55
+
0,00
+
0,80
+
10 30 1,05
+
3,15
+
4,40
ns
4,20
ns
0,70
+
3,00
+
10 100 4,45
ns
5,20
ns
5,20
ns
5,20
ns
3,50
+
4,35
ns
+
significativamente inferior, ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma confiança de
99%.
Quanto às taxas de erro tipo I por experimento sob H
0
parcial, observou-se que
os dois testes de bootstrap apresentaram desempenhos similares em relação ao controle
do erro tipo I e foram classificados, na grande maioria dos casos, como conservativos,
tanto para α = 5% quanto para α = 1%.
O poder do teste bootstrap MV apresentou pequena superioridade em relação ao
poder do teste bootstrap de Pan, embora nas situações em que o teste bootstrap de Pan
18
foi superior, esta superioridade foi muito expressiva. Isso ocorreu quando os valores
de ∆ eram grandes (∆ ≥ 0,8) e os tamanhos amostrais eram menores (n ≤ 30) sob a
hipótese H
1
(π
1
= π
2
= ··· = π
k
) e H
0
parcial (π
1
= π
2
= ··· = π
i
= π
i+1
= π
i+2
=
··· = π
k
). Os valores de poder de ambos os testes foram relativamente pequenos para
pequenas amostras (n ≤ 30) e, com o aumento do número de populações, constatou-se
uma redução expressiva dos valores de poder de ambos os testes. Essa redução tornou-
se menor à medida que o tamanho das amostras aumentava. Esses fatos ocorreram tanto
sob H
1
quanto sob H
0
parcial.
Westfall & Young (1989), realizando estudos clínicos no desenvolvimento de
novas drogas, modeladas por meio da distribuição binomial multivariada, propuseram
o uso de valores-p ajustados nos PCM, utilizando métodos de reamostragem bootstrap.
Esta metodologia foi comparada ao ajustamento de Bonferroni usual e os autores certi-
ficaram que, com esse ajustamento, os valores-p são excessivamente conservativos para
muitas situações envolvendo testes com dados binomiais. Os autores verificaram que os
resultados do ajustamento de reamostragem de bootstrap e permutação foram similares,
principalmente para grandes amostras.
Jhun & Jeong (2000) construíram regiões de confiança simultâneas para pro-
porções de uma única população multinomial e para um número finito de contrastes de
várias populações multinomiais utilizando métodos de bootstrap. O desempenho dos
métodos de bootstrap foi comparado ao dos métodos de Goodman (1964) e Bonfer-
roni, em relação à probabilidade de cobertura média via simulação Monte Carlo. Esses
autores concluíram que os métodos de bootstrap propostos apresentaram pequenas van-
tagens em relação aos outros, pois são mais precisos, em termos de probabilidade de
cobertura média.
19
2.4.3 Teste de comparações múltiplas bayesianos
Para solucionar os problemas envolvidos na aplicação dos PCM, métodos alter-
nativos de comparações múltiplas são encontrados na literatura. Esses métodos envol-
vem metodologias bayesianas.
O primeiro método de comparação múltipla bayesiano foi proposto por Dun-
can (1965). Em uma primeira etapa da aproximação bayesiana, o método de Duncan
consiste em especificar uma distribuição a priori conjunta para os parâmetros e assumir
um modelo usual de efeitos aleatórios para as médias θ
i
, estabelecendo uma relação
conhecida para a razão da variância entre e dentro, k = σ
2
θ
/σ
2
, obtendo-se, assim, a
distribuição a posteriori das médias. Na segunda etapa, uma das mais importantes con-
tribuições de Duncan (1965) foi estabelecida. Ele modelou a consequência de duas ou
mais médias serem iguais usando funções de perda e verificou que, ao assumir a mesma
função perda entre pares de comparações, era necessário especificar apenas uma cons-
tante k e isso revela uma importância relativa do erro tipo I em relação ao erro tipo II,
para cada par de comparação.
Waller & Duncan (1969) modificaram o método de Duncan original usando uma
priori hierárquica para σ
2
θ
/σ
2
. A vantagem dessa alteração é que não é necessário espe-
cificar um valor para a razão desconhecida de variâncias entre e dentro. Esses autores
estabeleceram uma conexão entre os possíveis valores de k e o nível de significância
envolvido na comparação.
A partir da década de 1990, muitos estudos envolvendo PCM têm aplicado a
metodologia bayesiana com sucesso. Alguns deles combinam idéias bayesianas e fre-
quentistas.
Consonni & Veronese (1995) consideraram um conjunto de experimentos bi-
nomiais no intuito de inferir sobre um ou mais π
i
, em que π
i
é a probabilidade de
sucesso correspondente ao experimento i. Os autores utilizaram distribuições a priori
para π
i
mais flexíveis, considerando vários graus de similaridade entre os π
i
, seme-
20
lhante a técnica de cluster. Por meio de conjunto de dados reais, eles verificaram que
essa metodologia pode ser aplicada favoravelmente às análises de variáveis respostas
binárias na presença de covariáveis categóricas.
Gopalan & Berry (1998) afirmaram que os PCM estão entre os problemas mais
difíceis encontrados por estatísticos e outros pesquisadores e que muitos desses PCM
controlam apenas uma das taxas de erro tipo I: por comparação ou por experimento.
Utilizando uma abordagem bayesiana ao problema de comparações múltiplas, esses au-
tores utilizaram famílias do processo de Dirichlet como distribuições a priori para obter
probabilidades a posteriori de várias hipóteses de igualdade entre médias populacio-
nais, sob as duas diferentes combinações de priori/verossimilhança: beta/binomial e
normal/gama invertida com variância iguais. Como as distribuições a posteriori eram
complexas de serem executadas analiticamente, os autores utilizaram o algoritmo de
simulação aproximado, conhecido por amostrador de Gibbs. O procedimento proposto
foi comparado com o teste de Duncan, que mostrou ser mais poderoso sob certas hipó-
teses alternativas.
Berry & Hochberg (1999) mostraram que as inferências bayesiana e frequen-
tista podem apresentar resultados similares para o problema de comparações múltiplas,
quando a taxa de erro por experimento é controlada. Esses autores descreveram a dife-
rença entre distribuição a priori independente e hierárquica e, como ilustração, utiliza-
ram uma distribuição a priori de Dirichlet no contexto de ambiguidade dos resultados.
E, finalmente, discutiram alguns procedimentos quasi-bayesiano que combinam ideias
bayesiana e frequentista, mostrando que a metodologia bayesiana tem potencial para
determinar procedimentos que podem ser avaliados utilizando-se critérios objetivos.
Bratcher & Hamilton (2005) propuseram um procedimento bayesiano de com-
parações múltiplas para avaliar médias de populações normais com variâncias homo-
gêneas, considerando um modelo de função perda constante. Por meio de simulações,
compararam o desempenho desse modelo com o bayesiano, usando função perda linear
21
e com os métodos frequentistas usuais e verificaram que, para o caso de prioris não in-
formativas, o método proposto apresentou melhor desempenho do que os demais, além
de ser apropriado para todos os tamanhos amostrais.
Scott & Berger (2006), motivados pela necessidade de analisar dados de DNA,
exploraram vários aspectos dos PCM utilizando a abordagem bayesiana, apresentando
alguns exemplos de aplicação com esse tipo de dados.
Ali et al. (2006) estudaram as comparações múltiplas bayesianas em populações
binomiais negativas utilizando prioris da família de Dirichlet, o que possibilitou obter
probabilidades a posteriori para diferentes hipóteses sobre os parâmetros da distribuição
binomial negativa. O cálculo das probabilidades a posteriori foi realizado utilizando-se
o amostrador de Gibbs devido à dificuldade de se encontrar formas analíticas.
Andrade (2008) propôs a utilização de procedimentos bayesianos para realizar
comparações múltiplas em populações normais homocedásticas e heterocedásticas via
simulação Monte Carlo. A partir da distribuição a posteriori, foram geradas, sob H
0
,
k cadeias de médias, assumindo médias constantes, e obtida a amplitude padronizada
da posteriori, por meio da distribuição a posteriori das médias. Para a realização das
inferências, sob H
0
, obtiveram-se a diferença mínima significativa e o intervalo de cre-
dibilidade bayesiano. Concluiu-se, então, que os PCM bayesianos foram propostos
com sucesso, pois os procedimentos baseados na amplitude padronizada foram superio-
res aos demais procedimentos estudados, por terem controlado o erro tipo I e detectado
a maior parte das diferenças sob H
1
, nos exemplos simulados.
2.5 Inferência bayesiana
Durante grande período, a metodologia bayesiana ficou resguardada por neces-
sitar de resoluções matemáticas inviáveis de serem obtidas analiticamente, mais espe-
cificamente de integrações. Por volta da década de 1960, a análise bayesiana ressurgiu
22
em alguns trabalhos teóricos, como o de Jeffreys (1961), mas somente em 1990, Gel-
fand & Smith (1990) conseguiram solucionar o problema das integrações de maneira
alternativa, utilizando um recurso de simulação dinâmica, denominado algoritmo Gibbs
Sampler.
O avanço dos recursos computacionais possibilitou que a abordagem bayesiana
fosse aplicada com maior intensidade, pois, com esses recursos, foi possível implemen-
tar técnicas de simulação intensiva que favoreceram a solução aproximada de problemas
que, anteriormente, eram de difícil solução.
Atualmente, a inferência bayesiana é uma das duas possíveis alternativas aos
procedimentos clássicos de estimação e testes de hipóteses.
Na inferência bayesiana, o parâmetro θ é desconhecido e toda incerteza a seu
respeito deve ser quantificada em termos de probabilidade, sendo de interesse tentar
reduzir essa incerteza por meio das informações obtidas de experiências anteriores ou
do conhecimento do pesquisador na área em questão (Gelman et al., 1997). No modelo
bayesiano, o parâmetro θ é também considerado uma variável aleatória, ao contrário
do modelo clássico, que considera o parâmetro como um valor fixo ou constante, ig-
norando toda a informação do pesquisador. A inferência clássica assume que todas as
informações ou inferências sobre os parâmetros de interesse sejam obtidas a partir de
dados amostrais selecionados aleatoriamente da população.
Segundo Box & Tiao (1992), a inferência bayesiana considera toda a informa-
ção do pesquisador sobre o parâmetro de interesse θ, fundamentado em algum conhe-
cimento a priori. Essa informação é representada por uma função de distribuição p(θ),
conhecida por distribuição a priori.
Os dados y = {
y
1
, y
2
, . . . , y
n
}, representados por uma amostra alea-
tória de uma população com densidade f, são considerados na análise bayesiana, por
meio da função de verossimilhança. Essa função é denotada por L(y|θ) e constitui a
densidade conjunta dos dados (Paulino et al., 2003).
23
Assim, a inferência bayesiana consiste do conhecimento prévio em relação aos
parâmetros (distribuição a priori) e das informações referentes aos dados amostrais
(função de verossimilhança). A partir dessas informações, obtém-se a densidade a pos-
teriori dos parâmetros a serem estimados. O mecanismo utilizado para combinar a
distribuição a priori e a função de verossimilhança é o Teorema de Bayes, que permite
obter a distribuição de densidade a posteriori, p(θ|y), dada por:
p(θ|y) =
L(y|θ)p(θ)
L(y|θ)p(θ)dθ
. (2.2)
Na expressão (2.2), o denominador não depende de θ e funciona como uma
constante normalizadora de p(θ|y), pois depende somente da amostra dada. Portanto, a
expressão do Teorema de Bayes pode ser simplificada por:
p(θ|y) ∝ L(y|θ)p(θ),
em que ∝ representa proporcionalidade.
Desse modo, a densidade a posteriori de θ incorpora, via Teorema de Bayes,
toda a informação disponível sobre o parâmetro e é proporcional ao produto da função
de verossimilhança e a densidade a priori de θ (Gelman et al., 1997).
De acordo com Broemiling (1989), o Teorema de Bayes pode ser visto como
um método de atualização da opinião do pesquisador sobre o parâmetro θ e pode ser
considerado a base da inferência bayesiana, pois todas as inferências a respeito dos
parâmetros é realizada a partir da distribuição a posteriori obtida.
A função de verossimilhança é muito importante no Teorema de Bayes, pois,
por meio dela, os dados modificam o conhecimento que se tem a priori sobre θ e pode,
entretanto, ser considerada como a representação da informação de θ obtida por meio
dos dados (Box & Tiao, 1992).
24
2.5.1 Distribuição a priori
A distribuição a priori é a distribuição de probabilidade que consegue captar a
variabilidade dos graus de conhecimento de uma quantidade de interesse θ. Essa distri-
buição é especificada por meio de experiências ou crença dos pesquisadores e é consi-
derada de natureza subjetiva, ou seja, varia de problema para problema e de pesquisador
para pesquisador (Paulino et al., 2003).
As distribuições a priori podem ser informativas ou não informativas e são des-
critas a seguir.
As prioris informativas são utilizadas quando o pesquisador tem algum conhe-
cimento prévio sobre o parâmetro em questão, que são incorporadas na análise por meio
da distribuição a priori p(θ) que mais bem o representa. Essa distribuição a priori, em
algumas situações, é especificada com o auxílio de constantes, denominadas de hiper-
parâmetros, que representam os parâmetros da distribuição dos parâmetros de interesse
θ (Paulino et al., 2003).
Uma classe de prioris interessantes ocorre quando as distribuições a priori e a
posteriori pertencem à mesma classe de distribuições. Quando isso acontece, diz-se que
as prioris são conjugadas. Nesse caso, a atualização do conhecimento sobre o parâme-
tro θ pode ser realizada alterando-se somente os valores dos hiperparâmetros (Gelman
et al., 1997). Esses autores comentam, ainda, que a família de distribuições conjuga-
das é computacionalmente conveniente, pelo fato de apresentar uma forma paramétrica
conhecida. Como exemplificação, eles mostraram que a família da distribuição beta é
conjugada ao modelo bernoulli e binomial.
As prioris não informativas são utilizadas quando o pesquisador tem pouco ou
nenhum conhecimento sobre o parâmetro. Em outras palavras, as informações a priori
são relativamente não significativas em relação às informações amostrais (Paulino et al.,
2003).
Segundo Box & Tiao (1992), quando se utilizam prioris não informativas, pode-
25
se supor que todos os possíveis valores do parâmetro são igualmente prováveis, ou seja,
com uma distribuição uniforme. Nesse caso, a distribuição a priori será proporcional
a uma constante (p(θ) ∝ k), o que equivale a dizer que nenhum valor particular de
θ tem preferência. Outro conjunto de priori não informativas utilizadas com bastante
frequência na literatura refere-se à classe de prioris de Jeffreys (Gelman et al., 1997).
De acordo com Paulino et al. (2003), a princípio, as prioris não informativas
eram interpretadas como representações formais de ignorância, mas, atualmente, essas
prioris são consideradas opções convencionais de defeito a que se recorre em caso de
informação a priori insuficiente, que torna difícil nomear uma distribuição subjetiva
considerada adequada.
2.5.2 Métodos de simulação Monte Carlo via Cadeias de Markov (MCMC)
Quando se pretende realizar a inferência sobre a densidade conjunta a posteri-
ori, o interesse consiste em encontrar uma distribuição para um parâmetro específico θ
i
,
i = 1, 2, ···, k. Essa distribuição é conhecida como distribuição marginal e sua obten-
ção baseia-se na integração da densidade a posteriori em relação aos outros parâmetros
do modelo, ou seja,
p(θ
i
|y) =
p(θ
1
,θ
2
, ··· ,θ
k
|y)dθ
−i
em que: θ
−i
= (θ
1
, ··· , θ
i−1
, θ
i+1
, ··· , θ
k
) é o vetor de parâmetros com o i-ésimo
componente removido.
A distribuição marginal de um parâmetro θ contém toda a informação probabi-
lística a seu respeito. No entanto, a resolução dessa integral é, na maioria das vezes,
complexa ou, até mesmo, impossível de ser executada analiticamente. Portanto, a infe-
rência exata somente será possível se essas integrais puderem ser calculadas analitica-
mente. Caso contrário, uma das alternativas existentes são os métodos aproximados de
26
inferência, conhecidos como métodos de simulação Monte Carlo via Cadeias de Markov
(MCMC). Para a utilização desses métodos, é necessário que se obtenha, da distribui-
ção a posteriori, um conjunto de distribuições, denominadas distribuições condicionais
completas (Paulino et al., 2003).
A distribuição condicional completa do parâmetro θ
i
é obtida considerando que,
na densidade conjunta, os demais parâmetros θ
−i
são conhecidos. Desta forma, as
constantes podem ser desprezadas e a expressão se torna menos complexa.
Os métodos de MCMC são processos estocásticos que consideram as distribui-
ções condicionais completas a posteriori de cada parâmetro θ
i
, i = 1, 2, ···, k, para
gerar amostras que convergem para a densidade marginal à medida que o tamanho da
amostra aumenta, por meio de simulação Monte Carlo (Gelfand, 2000). O Amostrador
de Gibbs e o Metropolis-Hastings são algoritmos que utilizam esses métodos e serão
especificados a seguir.
O Amostrador de Gibbs foi introduzido por Gelman & Gelman (1984), para si-
mular distribuições multivariadas de natureza bastante complexa e constitui uma ferra-
menta de grande importância na resolução de problemas em inferência bayesiana (Pau-
lino et al., 2003).
O algoritmo do Amostrador de Gibbs é, essencialmente, um método iterativo
de amostragem de uma cadeia de Markov, cujo núcleo de transição é constituído pelas
distribuições condicionais completas. Portanto, esse algoritmo é empregado quando
as distribuições condicionais completas apresentam formas de densidades conhecidas
que, nesse caso, são facilmente amostradas, por meio da geração de variáveis aleatórias
que convergem para a distribuição marginal, mesmo quando a sua densidade não é
conhecida (Gamerman, 1997).
Se o Amostrador de Gibbs não apresenta resultados eficientes, situação veri-
ficada quando a distribuição condicional completa dos parâmetros não apresenta uma
expressão de densidade conhecida, um algoritmo denominado por Metropolis-Hastings
27
pode ser utilizado, para obter a distribuição marginal a posteriori. Nesse caso, os valo-
res do parâmetro são gerados de uma distribuição proposta e esses valores serão aceitos
ou não com uma certa probabilidade de aceitação (Chib & Greenberg, 1995).
Para a aplicação dos algoritmos Amostrador de Gibbs e Metropolis-Hastings,
algumas considerações devem ser observadas, tais como o diagnóstico da convergência,
o período de descarte amostral (burn-in), o intervalo de amostragem (thin) e o tamanho
da cadeia amostral.
Na prática, admite-se a convergência quando a série alcança um estado de es-
tacionariedade, o que significa que as distribuições condicionais completas estão su-
ficientemente próximas das distribuições marginais. Como os algoritmos MCMC são
processos iterativos, o grande problema está em encontrar o número de iterações ne-
cessárias para que essa convergência seja verificada (Gamerman, 1997). Na presença
de modelos complicados, os algoritmos MCMC necessitam de um grande esforço com-
putacional. O ideal é obter a convergência fazendo o menor esforço computacional
possível e, para que isso ocorra, existem alguns métodos formais na literatura para ava-
liar essa convergência. Dentre os mais relevantes, destacam-se os de Geweke (1992),
Gelman & Rubin (1992), Heidelbberg & Welch (1983) e Raftery & Lewis (1992).
2.5.3 Estimação usando a inferência bayesiana
Na teoria frequentista, podem realizar inferências por meio dos processos de
estimação, pontual e intervalar, e dos testes de hipóteses. Esses mesmos procedimentos
também podem ser utilizados para realizar inferências na abordagem bayesiana. Do
ponto de vista bayesiano, a distribuição a posteriori de um parâmetro dado os dados
fornece inferências completas (Bolstad, 2004).
A distribuição marginal a posteriori de um parâmetro θ contém toda a informa-
ção probabilística de θ. Algumas vezes, no entanto, é necessário resumir a informação
contida nessa distribuição por meio de alguns valores numéricos. O caso mais simples
28
é a estimação pontual de θ, que resume a distribuição marginal a posteriori por meio de
um único valor de θ. Esse valor é denotado por
ˆ
θ e denominado de estimador pontual
de θ (Box & Tiao, 1992).
A escolha das estimativas bayesianas de θ depende naturalmente da expressão
de p(θ|y) e dos objetivos da pesquisa. Dentre as estimativas pontuais mais usuais, Gel-
man et al. (1997) mencionam a média, a moda e a mediana da distribuição a posteriori.
A média é interpretada como a esperança a posteriori do parâmetro θ. A moda a pos-
teriori, de acordo com Paulino et al. (2003), coincide com a estimativa de máxima
verossimilhança de θ, quando a distribuição a priori é constante e pode ser interpretada
como o valor de θ que tem a maior credibilidade a posteriori e não como o valor de θ
que torna mais plausível a amostra observada, como interpretada na inferência clássica.
A estimação pontual é mais bem caracterizada na teoria da decisão, em que é
muito comum, na inferência bayesiana, aplicar funções de perda ou de risco para gerar
critérios de decisão. Essas funções, no caso de testes de hipóteses, atribuem perdas
conforme a decisão tomada, dado que uma determinada hipótese é verdadeira. O risco
ou a perda esperada a posteriori são obtidos tomando-se a esperança da função perda
em relação à distribuição a posteriori de θ. Uma regra de decisão é considerada ótima
quando se obtém um risco mínimo (Box & Tiao, 1992).
Segundo Gelman et al. (1997), a principal restrição da estimação pontual é
que, ao estimar um parâmetro por meio de um único valor numérico, toda a informação
presente na distribuição a posteriori é resumida por esse número. Esse tipo de estimação
não especifica a magnitude do erro cometido e, portanto, não é possível ter uma idéia
da precisão associada ao estimador.
Uma informação da distribuição a posteriori mais precisa do que qualquer es-
timativa pontual é obtida de uma região do espaço paramétrico Θ que contenha uma
parte substancial da massa probabilística a posteriori (Paulino et al., 2003). Assim,
para obter essa informação, pode-se realizar a inferência utilizando-se os intervalos de
29
credibilidade, que são intervalos alternativos aos intervalos de confiança clássico.
Gelman et al. (1997) definem C como um intervalo de credibilidade 100 (1 −
α)% para θ se P (θ ∈ C) ≥ (1 −α). Quanto menor for o tamanho desse intervalo, mais
concentrada é a distribuição do parâmetro θ, ou seja, o tamanho do intervalo informa
sobre a dispersão do parâmetro.
Uma infinidade de intervalos de confiança pode ser obtida. No entanto, o in-
teresse principal está naquele com o menor comprimento possível. Os intervalos de
comprimento mínimo são obtidos tomando-se os valores de θ com a maior densidade
a posteriori e são denominados de intervalos de credibilidade de máxima densidade a
posteriori (HPD - Highest posterior density interval ).
Um intervalo de credibilidade C de 100(1 −α)% para θ é de máxima densidade
a posteriori se C = {θ ∈ Θ : p(θ|y) ≥ k(α)}, em que k(α) é a maior constante obtida,
tal que P (θ ∈ C) ≥ 1 − α (Gelman et al., 1997; Paulino et al., 2003; Box & Tiao,
1992).
Os intervalos de credibilidade e o HPD são coincidentes, quando as distribui-
ções a posteriori são unimodais e simétricas. No caso de distribuições assimétricas, es-
ses intervalos apresentam diferenças, que dependem do grau de assimetria. Finalmente,
quando a distribuição a posteriori é multimodal, diversos subintervalos em torno das
modas mais relevantes podem ser obtidos e, nessas condições, o intervalo HPD apre-
senta certa vantagem em relação ao intervalo de credibilidade pelo fato de fornecer
maiores informações (Gelman et al., 1997).
2.6 Teste de razão de verossimilhanças
O teste de razão de verossimilhanças é um procedimento completamente geral
de obtenção da estatística teste em qualquer situação, univariada ou multivariada, para
o qual é possível maximizar a verossimilhança das observações. Este teste é utilizado
30
quando se deseja testar a hipótese de nulidade H
0
contra a hipótese global alternativa
H
1
(Mardia et al., 1995).
Suponha, então, que o interesse esteja em testar a hipótese H
0
de que um parâ-
metro θ pertença a algum subespaço de R
s
. Este subespaço é conhecido como conjunto
nulo e é representado por Ω
0
⊂ R
s
. Geralmente, este subespaço corresponde às restri-
ções que são impostas no espaço paramétrico e, portanto, neste caso, a hipótese nula
equivale ao espaço restrito. A solução deste teste de hipótese, em termos da região de
rejeição R, é um conjunto de valores do espaço amostral que levam à decisão de re-
jeitar a hipótese H
0
em favor da hipótese alternativa H
1
, que é denominada de espaço
irrestrito (Ferreira, 2008).
A região de rejeição R do teste de razão de verossimilhanças baseia-se no con-
trole do erro tipo I sob um valor pré-fixado de 100α%, ou seja, P(rejeitar H
0
| H
0
verdadeira) = α. Desse modo, R é determinada por:
sup
θ ∈ Ω
0
P (y ∈ R; θ) = α,
em que y é o vetor 1 × k de dados e α é o nível nominal de significância do teste
(0 < α < 1) ( Mardia et al., 1995; Ferreira, 2008).
Assim, se a distribuição da amostra aleatória y depende de um parâmetro θ, e se
H
0
: θ ∈ Ω
0
e H
1
: θ ∈ Ω são quaisquer duas hipóteses, em que H
0
pertence ao espaço
restrito Ω
0
e H
1
ao espaço irrestrito Ω, então, a estatística da razão de verossimilhanças,
para testar H
0
contra H
1
, é definida por Mardia et al. (1995), por:
Λ =
L
Ω
0
(y;
ˆ
θ)
L
Ω
(y;
ˆ
θ)
em que L
Ω
0
(y;
ˆ
θ) é o máximo da função de verossimilhança para o espaço restrito e
L
Ω
(y;
ˆ
θ) é o máximo da função de verossimilhança para o espaço irrestrito.
Quando o valor da razão de verossimilhanças em seu máximo é grande, é mais
31
provável que a hipótese H
0
não será rejeitada. Caso contrário, se a razão de verossi-
milhanças for pequena, a hipótese H
1
deve ser escolhida (Johnson & Wichern, 2002;
Ferreira, 2008).
De acordo com Ferreira (2008), pode-se estabelecer uma região de rejeição de
H
0
com base na distribuição de Λ, para especificar um teste de tamanho α. No entanto,
obter a distribuição nula de Λ é tarefa bastante complicada.
Neste contexto, se Ω
0
⊂ Ω, com Ω
0
⊂ R
s
e Ω ⊂ R
r
e, sob determinadas condi-
ções de regularidade, para cada θ ∈ Ω
0
−2ln(Λ) tem distribuição assintoticamente de
qui-quadrado com r − s graus de liberdade (Mood et al., 1974; Mardia et al., 1995).
Portanto, a região de rejeição da hipótese nula para o teste da razão de verossimilhanças
é dada por:
R = {y|λ = −2ln[Λ(y)] > χ
2
α, r−s
}
em que χ
2
α, r−s
é o quantil superior da distribuição qui-quadrado com r − s graus de
liberdade.
2.6.1 Estimação
A inferência estatística é realizada por meio dos processos de estimação e dos
testes de hipóteses e tem por objetivo obter informações dos valores dos parâmetros
desconhecidos em relação às amostras selecionadas da população (Walpole, 1974).
Os processos de estimação permitem obter aproximações numéricas para os
parâmetros. Segundo Mood et al. (1974), existem, basicamente, dois processos de
estimação: a estimação pontual e a estimação intervalar.
A estimação pontual ou por ponto é aquela em que se obtém, por meio de um
estimador, um único valor amostral para estimar o parâmetro populacional. Convém
ressaltar que o estimador é uma variável aleatória, que é função dos elementos amos-
trais. Portanto, a estimativa pontual pode variar entre as amostras, pois está sujeita a
32
erros de estimação, devido ao processo de aleatorização e à variabilidade inerente à
população da qual a amostra foi selecionada.
Desse modo, a estimação pontual não fornece idéia da margem de erro que é
cometida ao se estimar um determinado parâmetro. Por essa razão, é importante obter
a estimação por intervalo, que procura suprir essa necessidade (Ferreira, 2005).
A estimação intervalar consiste em construir um intervalo com uma probabili-
dade pré-fixada de conter o verdadeiro valor do parâmetro desconhecido. Geralmente,
essas probabilidades são fixadas em 95% ou 99% e são conhecidas por coeficiente de
confiança (Mood et al., 1974).
Algumas propriedades dos estimadores são desejáveis na teoria da inferência.
A escolha de um estimador de um parâmetro θ qualquer em relação a outro depende de
uma avaliação criteriosa dessas propriedades (Ferreira, 2005). Essas principais propri-
edades são citadas a seguir:
• um estimador
ˆ
θ é considerado não viesado quando sua esperança matemática é
igual ao valor do parâmetro populacional θ, isto é, E(
ˆ
θ) = θ;
• o estimador de maior eficiência, dentre todos os estimadores não viesados de θ, é
aquele que possui menor variância;
• um estimador é consistente se, além de ser não viesado, sua variância tende a
zero, quando o tamanho da amostra n aumenta, ou seja, lim
n→∞
σ
2
ˆ
θ
= 0.
O método da máxima verossimilhança é um dos métodos de estimação pontual
mais importantes e utilizados na teoria estatística (Mood et al., 1974). Neste método, os
estimadores são obtidos a partir da maximização da função de verossimilhança (Bolfa-
rine & Sandoval, 2000).
Para ilustrar o procedimento de obtenção do estimador de máxima verossimi-
lhança, considere uma amostra aleatória Y
1
, Y
2
, ···, Y
n
de uma população com densi-
dade f(y), dependente do parâmetro θ. Em razão de os valores amostrais Y
1
, Y
2
, ···,
33
Y
n
serem independentes, é possível definir a densidade conjunta ou função de verossi-
milhança (L) pelo produtório das densidades de cada Y
i
(i = 1, 2, ···, n). Define-se,
então, a função de verossimilhança:
L = f(y
1
).f(y
2
).f(y
3
). ··· .f(y
n
) =
n
i=1
f(y
i
)
O estimador de máxima verossimilhança (
ˆ
θ) é aquele que maximiza o valor de
L (Ferreira, 2005).
Após obter a expressão da função de verossimilhança, o estimador de máxima
verossimilhança
ˆ
θ é obtido tomando-se a primeira derivada de L em relação ao parâme-
tro θ, igualando a zero e resolvendo a expressão para θ (Mood et al., 1974).
Nas situações que a função de verossimilhança contém mais de um parâmetro,
devem-se tomar as derivadas parciais de L em relação a cada um deles. Dessa forma,
iguala-se cada derivada a zero e resolve-se o sistema formado, obtendo-se, assim, os
estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros.
Existem ainda algumas propriedades matemáticas do logaritmo da função de
verossimilhança que garantem a possibilidade de usar uma função suporte S = ln(L)
em seu lugar, uma vez que apresentam o máximo para o mesmo valor de θ. Isso facilita
a obtenção do máximo, pois, ao aplicar o logaritmo neperiano, o produtório transforma-
se em somatório (Ferreira, 2005).
No caso específico deste trabalho, o interesse está voltado aos estudos de pro-
porções binomiais independentes, cujos parâmetros são as probabilidades de sucesso
(π
i
) e o tamanho das amostras (n
i
), i = 1, 2, ···, k. No entanto, apenas os parâmetros
π
i
são desconhecidos e precisam ser estimados. A descrição de como obter os esti-
madores de máxima verossimilhança para esses parâmetros está apresentada na seção
4.1.
34
2.7 Inferências sobre proporções multinomiais
Conforme mencionado anteriormente, o foco deste trabalho está no desenvol-
vimento de metodologias envolvendo populações binomiais independentes. Entretanto,
serão apresentados a seguir procedimentos de inferência para modelos multinomiais,
pois, para modelos binomiais independentes, o raciocínio é análogo, uma vez que os
modelos multinomiais constituem uma generalização dos modelos binomiais.
Considere, então, uma amostra aleatória de tamanho n obtida de uma população
classificada em k categorias mutuamente exclusivas. Cada unidade amostral indepen-
dente e identicamente distribuída pode ter realizações em qualquer das k categorias.
Seja X
ij
a variável correspondente à j-ésima unidade amostral da i-ésima categoria, cu-
jas possíveis realizações são 1 para o sucesso e 0 para o fracasso. Então, X
j
= [X
1j
,
X
2j
, ··· , X
kj
] é uma observação multinomial com
k
i=1
X
ij
= 1 e tem-se também
que X
ij
é linearmente dependente das demais k − 1 categorias. Se a amostra aleatória
de tamanho n desta população for obtida utilizando-se n independentes ensaios multi-
nomiais, tem-se que Y
i
=
n
j=1
X
ij
, cuja realização é representada por n
i
, i = 1, 2,
··· , k. As contagens Y = [Y
1
, Y
2
, ··· , Y
k
]
possuem distribuição multinomial.
Desse modo, seja π
i
= P (X
ij
= 1) a probabilidade de sucesso na i-ésima
categoria em uma realização j qualquer do experimento. Segundo Ferreira (2008), a
função de probabilidade multinomial é dada por:
P (Y
1
= n
1
, Y
2
= n
2
, ··· , Y
k
= n
k
) =
n!
n
1
!n
2
! ···n
k
!
k
i=1
π
n
i
i
, (2.3)
sendo que
k
i=1
n
i
= n e
k
i=1
π
i
= 1.
Nessas condições, a média e a variância das variáveis Y
i
são dadas, respecti-
vamente, por nπ
i
e nπ
i
(1 − π
i
) e a covariância entre as variáveis Y
i
e Y
i
é igual a
−nπ
i
π
i
. Para inferir sobre os parâmetros desconhecidos π
i
, obteve-se, por meio da
35
expressão (2.3), o estimador de máxima verossimilhança:
ˆπ
i
=
Y
i
n
.
Utilizando-se esse estimador, é possível obter o valor esperado, a variância e a
covariância do estimador de π. Observa-se que ˆπ
i
é obtido dividindo a variável alea-
tória por uma constante n. Então, seu valor esperado e a sua covariância são dados,
respectivamente, por:
E(ˆπ) =
π
1
π
2
.
.
.
π
k
e cov(ˆπ) =
π
1
(1−π
1
)
n
−
π
1
π
2
n
. . . −
π
1
π
k
n
−
π
2
π
1
n
π
2
(1−π
2
)
n
. . . −
π
2
π
k
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
π
k
π
1
n
−
π
k
π
2
n
. . .
π
k
(1−π
k
)
n
. (2.4)
Pelo Teorema do Limite Central, Ferreira (2008) considera, assintoticamente,
que
ˆ
π possui distribuição aproximadamente normal multivariada, ou seja,
ˆ
π ˙∼ N
p
(π,
cov(ˆπ)). O autor ressalta, ainda, que as matrizes cov(ˆπ) ou
ˆ
cov (ˆπ) são singulares,
pois
k
i=1
π
i
= 1 e
k
i=1
ˆπ
i
= 1. Com isso, a distribuição multivariada degenera-se
em uma dimensão inferior, k − 1. A matriz
ˆ
cov (ˆπ) é obtida substituindo-se π por ˆπ
na matriz da covariância em (2.4). Associando-se estas ideias com a teoria das formas
quadráticas, pode-se obter a seguinte estatística, quando pretende-se testar a hipótese
H
0
: π = π
0
, sob a restrição de que π
0
1 = 1, em que 1 é um vetor de uns:
χ
2
c
= n(ˆπ − π
0
)
Σ
−
0
(ˆπ − π
0
)
=
k
i=1
(n
i
− nπ
0i
)
2
nπ
0i
,
que, sob H
0
, possui distribuição assintoticamente qui-quadrado com ν = k − 1 graus
36
de liberdade, sendo Σ
−
0
definida por:
Σ
−
0
=
1
π
01
+
1
π
0k
1
π
0k
. . .
1
π
0k
0
1
π
0k
1
π
02
+
1
π
0k
. . .
1
π
0k
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
π
0k
1
π
0k
. . .
1
π
0k−1
+
1
π
0k
0
0 0 0 0 0
.
Essa estatística de χ
2
c
é conhecida por X
2
de Pearson. Outra opção ao teste de
qui-quadrado de Pearson é o teste de razão de verossimilhanças. Para a obtenção desse
teste, deve-se substituir o estimador de máxima verossimilhança (
ˆ
π) na expressão (2.3),
para se obter o máximo da função de verossimilhança (Ferreira, 2008).
Assim, o máximo da função de verossimilhança irrestrita é dado por:
L
Ω
(y;
ˆ
π) =
n!
n
1
!n
2
! ···n
k
!
k
i=1
n
i
n
n
i
.
Sob a hipótese nula, nenhum parâmetro é estimado. Portanto, o máximo da
função de verossimilhança é:
L
Ω
0
(y; π
0
) =
n!
n
1
!n
2
! ···n
k
!
k
i=1
π
n
i
0i
.
Assim, a estatística de razão de verossimilhanças é dada por:
Λ =
L
Ω
0
(y; π
0
)
L
Ω
(y;
ˆ
π)
=
k
i=1
π
n
i
0i
n
i
n
n
i
,
37
que permite obter −2ln(Λ) por:
χ
2
2
= 2
k
i=1
n
i
ln
n
i
nπ
0i
que possui distribuição assintoticamente qui-quadrado com ν = k−1 graus de liberdade
sob H
0
.
2.8 Testes de distribuições baseadas em formas quadráticas
O conhecimento das formas quadráticas é de grande importância na estatística
multivariada, pois muitos métodos de estimação e inferência são baseados em distâncias
e na suposição de que os dados têm distribuição normal multivariada. As distâncias
quadráticas e a densidade normal multivariada podem ser expressas em termos de matriz
produto, denominadas de formas quadráticas (Johnson & Wichern, 2002).
Por definição, se A é uma matriz simétrica, k × k e X e Y são dois vetores
em R
p
de dimensão 1 × k. Então, as expressões para a distância quadrática entre os
pontos X e Y e para as formas quadráticas são dadas, respectivamente, por: d
2
(x, y) =
(x − y)
A (x − y) e Q(x) = x
Ax=
k
i=1
a
ii
x
2
i
+
k−1
i=1
k
j=i+1
a
ij
x
i
x
j
=
k
i=1
k
j=1
a
ij
x
i
x
j
.
De acordo com Ferreira (2008), é possível realizar inferências dos principais
parâmetros de interesse utilizando a distribuição de formas quadráticas derivadas de ve-
tores aleatórios de distribuições amostrais multivariadas. Existem alguns teoremas que
relacionam a distribuição de formas quadráticas com os vetores de médias e matrizes de
covariâncias de distribuições normais.
Um desses importantes teoremas, enunciado a seguir, afirma que:
Teorema 1: Se o vetor aleatório Y ∈ R
p
segue uma distribuição normal multivariada
com densidade f
Y
(y) = (2π)
−
k
2
|Σ|
−
1
2
exp
−
1
2
(y − µ)
Σ
−1
(y − µ)
, com média
38
µ e matriz de covariâncias Σ, então:
(Y −µ)
Σ
−1
(Y −µ)
tem distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade (χ
2
k
) e a região
(Y −µ)
Σ
−1
(Y −µ) ≤ χ
2
α, k
define o elipsóide de concentração (1 − α) × 100% das realizações das variáveis alea-
tórias, em que χ
2
α, k
é o quantil superior 100α% da distribuição de qui-quadrado com
ν = k graus de liberdade que, probabilisticamente, implica em P (χ
2
k
> χ
2
α, k
) = α.
A região de confiança (RC) representa um subconjunto aleatório de R
p
que
garante uma confiança de 100(1 − α)% de que esta região contenha µ. Para o caso
particular de matriz de covariâncias Σ conhecida, a região de confiança para a média
de uma população normal multivariada pode ser construída utilizando-se o teorema 1.
Assim, sabendo que o ponto de massa
¯
Y . possui distribuição normal multivariada com
vetor de médias µ e matriz de covariâncias Σ/n, quando a amostra aleatória é obtida
de uma população normal multivariada, a região de 100(1 − α)% de confiança para o
vetor de médias µ é dada por:
RC =
µ ∈ R
p
|n(µ −
¯
Y .)
Σ
−1
(µ −
¯
Y .) ≤ χ
2
k, α
Essa região é determinada pela hiperelipsóide de distância quadrática constante
χ
2
k, α
/n do centro de massa definido por
¯
Y ..
A construção da região de confiança de forma gráfica pode ser obtida ape-
nas quando o número de variáveis é no máximo igual a três. Nesse caso, é possível
identificar visualmente as variáveis responsáveis pela rejeição da hipótese nula H
0
:
µ = µ
0
. Para dimensões maiores, pode-se observar se um determinado ponto pertence
39
ou não à região de confiança de forma analítica, se a desigualdade n(µ −
¯
Y .)
Σ
−1
(µ −
¯
Y .) ≤ χ
2
k, α
se verifica (Ferreira, 2008).
Outro procedimento alternativo que pode ser utilizado para identificar as variá-
veis que levaram à rejeição da hipótese nula são os intervalos de confiança para cada
componente ou para combinações lineares dos componentes do vetor de médias. No
entanto, para garantir que os intervalos preservem simultaneamente o coeficiente de
confiança no nível nominal determinado, intervalos de confiança simultâneos são cons-
truídos.
Desse modo, os intervalos de 100(1 − α)% de confiança simultâneos com vari-
âncias conhecidas são estabelecidos por:
IC
(1−α)
(
µ) :
¯
Y . ±
χ
2
α, k
Σ
n
em que é um vetor não nulo de coeficientes reais utilizados para estabelecer a combi-
nação linear de interesse.
Johnson & Weerahandi (1988) obtiveram regiões de credibilidade para a dife-
rença de duas médias normais multivariadas utilizando formas quadráticas, mostrando
uma solução ao problema de Behrens-Fisher multivariado. Um exemplo numérico foi
apresentado para ilustrar o procedimento proposto.
Em estudos envolvendo proporções binomiais, o interesse está em realizar infe-
rências sobre os parâmetros desconhecidos π. Nesses casos, a normalidade não existe
e pode ser obtida apenas de maneira aproximada, utilizando-se o teorema do Limite
Central, que garante, para grandes valores de n, que ˆπ possui distribuição aproximada-
mente normal multivariada, ou seja, ˆπ ˙∼ N(π, Σ). Portanto, é possível inferir sobre
proporções binomiais utilizando a aproximação normal assintótica e o Teorema 1 com
as modificações necessárias.
40
2.9 Aplicações testes assintóticos
Motivado por problemas práticos de análise de dados in vitro envolvendo en-
saios de anomalias cromossômicas, Williams (1988) estabeleceu vários testes estatís-
ticos para verificar diferenças entre várias proporções binomiais. Dentre esses testes,
foram avaliados o teste de qui-quadrado de Pearson, na presença de uma pequena cor-
reção (X
2
) e o teste de razão de verossimilhanças (G
2
). O autor verificou que o teste X
2
apresentou desempenho melhor do que o teste G
2
, uma vez que o tamanho desse teste
se aproximou mais do nível nominal adotado de 5%. Os testes X
2
e G
2
foram conser-
vativos, principalmente quando o número de sucessos era pequeno. Nas situações em
que o número de sucessos eram maiores, o teste G
2
foi liberal. No entanto, verificou-se
que essa liberalidade reduziu substancialmente ao aplicar um fator de ajustamento de
Bartlett nesse teste.
Hayter & Liu (1990) consideraram o problema de testar a igualdade de várias
probabilidades de Bernoulli, com a atenção voltada para a avaliação das propriedades
de poder de um teste baseado na distância da transformação da raiz arco seno das pro-
porções observadas. Os autores mostraram como é possível calcular os valores de poder
sob a suposição assintótica e exata e comentaram que o teste proposto apresenta como
vantagens, considerando grandes amostras, a obtenção de pelo menos uma configura-
ção favorável de probabilidades e também a possibilidade de se obter uma expressão
conveniente para avaliar a função poder exata.
Kulkarni & Shah (1995) desenvolveram um teste de igualdade de várias propor-
ções binomiais em relação a um padrão conhecido. Para testar tal hipótese contra uma
hipótese alternativa bilateral, esses autores estudaram a distribuição não nula da esta-
tística teste sob a hipótese alternativa e estabeleceram uma maneira de calcular o poder
via o método aproximado de momentos. Eles propuseram também uma estatística teste
para testar a hipótese de igualdade das proporções contra uma hipótese alternativa uni-
41
lateral e apresentaram o método de obtenção dos valores-p e do poder desta estatística.
Um método exato, utilizando somas ponderadas de distribuições de qui-quadrado com
binomiais, foi avaliado numericamente em relação ao método aproximado proposto, por
meio de dois exemplos de dados balanceados e não-balanceados.
McCulloch & Searle (2001) apresentaram alguns procedimentos que podem ser
utilizados para inferir a respeito de duas ou mais proporções binomiais. Para testar a
hipótese de igualdade de várias proporções binomiais, eles utilizaram os testes de ra-
zão de verossimilhanças e o de independência de qui-quadrado, que assintoticamente
baseiam-se em uma distribuição de qui-quadrado. Considerando ainda grandes amos-
tras, os autores apresentaram testes de hipóteses e intervalos de confiança que podem
ser utilizados para comparar duas proporções binomiais e que são fundamentados em
aproximações normais padrão. No entanto, segundo Hochberg & Tamhane (1987), es-
ses métodos não preservam o valor global da significância, quando as comparações das
diferenças das proporções, tomadas duas a duas, são realizadas.
Em virtude desse fato, McCulloch & Searle (2001) propuseram procedimentos
alternativos que podem ser utilizados para analisar dados binomiais, dentre os quais
destacam-se os modelos lineares generalizados. A teoria dos modelos lineares genera-
lizados propicia uma melhor tratabilidade dos dados, pois permite que a distribuição da
variável resposta seja qualquer distribuição da família exponencial, que inclui o modelo
binomial. A estimação dos parâmetros desses modelos, geralmente, é realizada pelo
método da máxima verossimilhança e as inferências baseiam-se na teoria assintótica.
Agresti (2002) mostrou que os testes de qui-quadrado e razão de verossimilhan-
ças podem ser utilizados para testar a igualdade de proporções binomiais, no contexto
de tabelas de contingência. Nessas condições, foram apresentados alguns exemplos
para ilustrar a aplicação desses testes.
Krishnamoorthy et al. (2004) afirmam que estudos numéricos comprovaram que
o tamanho do teste aproximado de Kulkarni & Shah (1995) frequentemente excedem
42
consideravelmente o nível nominal de significância. Por esta razão, esses autores apre-
sentaram um método exato baseado na estatística teste de Kulkarni & Shah (1995), para
testar a igualdade de várias proporções binomiais em relação a um padrão especificado
e concluíram que, no caso de uma amostra, não existe nenhuma evidência vantajosa en-
tre o teste proposto e o teste exato usual. Eles apresentaram também um procedimento
de construção de intervalo de confiança para identificar as proporções populacionais
que causaram a rejeição da hipótese de nulidade. Para ilustração dos métodos foram
utilizados os exemplos apresentados por Kulkarni & Shah (1995).
Krishnamoorthy & Peng (2008) avaliaram o desempenho de alguns testes de
igualdade de várias proporções binomiais. A distribuição binomial exata foi utilizada
para avaliar as taxas de erro tipo I dos seguintes testes: condicional exato, condicional
baseado no valor-p médio, qui-quadrado usual e o incondicional aproximado, denomi-
nado de UA-teste, proposto nesse trabalho. O UA-teste e o teste condicional controla-
ram as taxas de erro tipo I satisfatoriamente para pequenas amostras, enquanto o teste
condicional exato foi considerado conservativo. Comparando-se os valores de poder
desses três últimos testes, nas situações em que eles controlaram as taxas de erro tipo I,
os autores verificaram que todos os testes apresentaram propriedades de poder simila-
res. Conclui-se também que o AU-teste comporta-se praticamente como um teste exato,
mesmo para pequenas amostras e pode ser usado com segurança para aplicações. Esses
resultados foram ilustrados utilizando exemplos em que as proporções binomiais eram
pequenas.
2.10 Simulação Monte Carlo
Em estudos de desempenho de testes de comparações múltiplas é bastante com-
plicado obter analiticamente informações sobre as taxas de erro tipo I e poder dos testes.
Também é impossível desenvolver pesquisas com dados reais, pois é difícil estabele-
43
cer vários experimentos sob as mesmas condições experimentais (Carmer & Swanson,
1973). Em virtude disso, tornou-se necessário utilizar os métodos de simulação, que
permitem obter resultados sob situações desejáveis. Um método de simulação de grande
aplicação nesse tipo de estudo é o Monte Carlo, que permite obter resultados de maneira
mais simples e eficiente (Smith & Gelfand, 1992).
O método de Monte Carlo é um processo que consiste em simular dados por
meio de um algoritmo, estabelecido em uma certa linguagem de programação, para
gerar números pseudoaleatórios, com uma determinada distribuição de probabilidade.
A finalidade desse método é estudar o comportamento de diferentes técnicas estatísticas
que podem ser empregadas num problema específico (Dachs, 1988).
Na inferência clássica, vários autores aplicaram simulação Monte Carlo para
comparar diversos testes de comparações múltiplas, levando em consideração as taxas
de erro e poder. Entre eles, podem-se citar Carmer & Swanson (1973), Piegorsch
(1990), Borges & Ferreira (2003) e Tsai et al. (2003), entre outros. Agresti & Min
(2005), avaliando o desempenho de intervalo de credibilidade bayesiano em tabelas de
contingência 2 × 2 para comparar proporções binomiais, também ressaltaram a impor-
tância de se usar os métodos de simulação e recomendaram utilizar o método de Monte
Carlo para validar testes bayesianos.
44
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51
52
CAPÍTULO 2
COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS E TESTE SIMULTÂNEO PARA
PARÂMETROS BINOMIAIS INDEPENDENTES DE k
POPULAÇÕES
53
1 RESUMO
Uma estratégia utilizada em estatística para comparar várias proporções binomiais é a
aplicação do teste F em uma análise de variância, seguida de testes de comparações
múltiplas, se houver a rejeição da hipótese nula global. No entanto, as pressuposições
exigidas pelos testes nem sempre são atendidas e, portanto, essa estratégia não é ade-
quada. Entre os métodos alternativos utilizados para contornar o problema, destacam-se
os testes assintóticos. Este trabalho teve por objetivos propor um teste de comparações
múltiplas assintóticas de proporções binomiais, baseado em formas quadráticas e ava-
liar seu desempenho por meio de simulação Monte Carlo, além de divulgar e avaliar o
desempenho dos testes assintóticos G
2
e X
2
de Pearson para a hipótese de várias pro-
porções binomiais. Foram simuladas 10.000 amostras de Monte Carlo para diferentes
configurações de k populações binomiais geradas com parâmetros π
i
e n
i
para a i-ésima
população, i = 1, 2, ···, k. No caso do teste de razão de verossimilhanças e do teste
de qui-quadrado baseado em formas quadráticas, as taxas de erro tipo I foram men-
suradas apenas sob H
0
completa e, no caso particular das comparações múltiplas, as
taxas de erro tipo I por experimento foram consideradas, nas situações simuladas sob
H
0
completa e parcial. O poder de todos os testes foi avaliado sob H
0
parcial. Sob H
0
completa, foram consideradas populações com π
i
’s idênticos e fixados em 0,01, 0,1 e
0,5 e, sob H
0
parcial, considerou-se uma diferença ∆, variando de 0,01 a 0,9, entre os
valores de π de dois grupos distintos. Foram consideradas k = 2, 5 e 10 populações e
tamanhos de amostras n
i
= 10, 30 e 100 para cada população, admitindo-se os níveis
nominais de significância de 1% e 5%. De modo geral, o teste X
2
controlou o erro
tipo I, em níveis iguais ou inferiores aos valores nominais de significância, e apresentou
desempenho superior ao do teste G
2
, que foi considerado liberal, principalmente nas si-
tuações de pequenas amostras e maiores populações. O teste de comparações múltiplas
assintóticas proposto apresentou excelentes resultados e, como houve controle do erro
tipo I por experimento de forma conservativa e os resultados de poder deste teste foram
bons, recomenda-se sua aplicação em situações reais.
Palavras-chave: Simulação Monte Carlo, razão de verossimilhanças, formas quadráti-
cas, procedimentos de comparações múltiplas.
54
2 ABSTRACT
A strategy used in statistics to compare several binomial proportions is the analysis of
variance F test followed by tests of multiple comparisons, if the overall null hypothesis
had been rejected. However, the assumptions of those tests are not satisfied in the bi-
nomial circumstance and therefore this strategy is not appropriate. Among the methods
used to circumvent the problem, there are asymptotic tests proposed in the literature.
This work aimed to propose an asymptotic test for multiple comparisons for binomial
proportions based on quadratic forms and to evaluate their performance by means Monte
Carlo simulation, and also to divulge and evaluate the performance of asymptotic tests
G
2
and Pearson’s X
2
for the hypothesis of several binomial proportions. We simula-
ted 10.000 Monte Carlo samples for different configuration of k binomial populations
generated with parameters π
i
and n
i
for the ith population, i = 1, 2, ···, k. For the
likelihood ratio and chi-square based on quadratic forms tests the type I error rates were
measured only under H
0
complete. For the specific case of multiple comparisons the
experimentwise type I error rates were computed under complete and partial H
0
. The
power of all the tests was assessed under partial H
0
. Under complete H
0
populations
with identical π
i
’s settled in 0.01, 0.1 and 0.5 were considered and under partial H
0
two different groups were considered with a difference ∆, varying from 0.01 to 0.9,
between the values of π of the two groups. Several number of populations, k = 2, 5 and
10, and several sample sizes, n
i
= 10, 30 and 100, were considered in the Monte Carlo
simulations assuming the nominal levels of significance of 1% and 5%. In general, the
X
2
test controlled the type I error rates showing values equal to or lower than the no-
minal significance levels and showed superior performance than the G
2
test, that was
considered liberal, especially for the small samples and large number of populations
circumstances. The asymptotic multiple comparisons test proposed showed excellent
results, and since the experimentwise type I error rates were conservative and the power
was high this test is recommended for real situations.
Key-words: Monte Carlo simulation, likelihood ratio, quadratic forms, multiple com-
parison procedures.
55
3 Introdução
Em diferentes áreas do conhecimento, o pesquisador se depara com a necessi-
dade de realizar inferências a respeito de várias proporções binomiais. Esse é o caso,
por exemplo, dos ensaios de germinação (Raven et al., 2005) e dos ensaios de ebenação
cromossômica (Williams, 1988; Kim et al., 2000). Boa parte desses estudos é analisada
de maneira clássica, realizando testes F em uma análise de variância, para comparar as
várias proporções binomiais, acompanhada de um teste de comparações múltiplas, para
identificar onde ocorrem as diferenças, no caso da rejeição da hipótese nula global pelo
teste F .
A adoção dessa estratégia não é adequada, em geral, por violar as pressuposi-
ções exigidas pelos testes aplicados, quais sejam, de normalidade e de homogeneidade
das variâncias. O uso de modelos lineares generalizados é uma alternativa para tentar
contornar o problema (McCulloch & Searle, 2001). Nessa alternativa, a família expo-
nencial, que abrange o modelo binomial, é utilizada. Assim, a distribuição adequada
dos dados é empregada, embora a distribuição das estatísticas sejam apenas assintóticas
(Nelder & Wedderburn, 1972; Dobson & Barnett, 2008). Além disso, não existem pro-
cedimentos de comparações múltiplas, fazendo uso desse tipo de análise relacionados à
família exponencial.
Outra opção apropriada são os métodos de reamostragem com reposição (boots-
trap) e sem reposição (permutação). Entre os estudos envolvendo proporções binomiais,
destaca-se o trabalho de Biase & Ferreira (2006), no qual testes de comparações múl-
tiplas foram propostos e avaliados os desempenhos desses testes. Os autores não apre-
sentaram, no entanto, um teste para a hipótese nula global de igualdade das proporções
binomiais. Foram obtidos desempenhos excelentes dos procedimentos de comparações
múltiplas propostos. O problema é a inexistência em programas de análises estatísticas,
sejam gratuitos ou pagos, de opções ou rotinas para a realização desse teste.
56
Soluções assintóticas para o teste global da igualdade de várias proporções bi-
nomiais são discutidas por Williams (1988) e Krishnamoorthy & Peng (2008). Entre
os testes destacam-se o da razão de verossimilhanças G
2
e o de X
2
de Pearson. Um
outro teste para a igualdade de proporções binomiais a um valor de referência π
0
pré-
determinado é apresentado por Krishnamoorthy et al. (2004).
No contexto de comparações de proporções binomiais, Piegorsch (1991) apre-
sentou vários intervalos de confiança simultâneos. Primeiramente, ele considerou inter-
valos simultâneos para qualquer conjunto finito de contrastes, utilizando a aproximação
de Bonferroni aplicada ao intervalo de confiança de Wald. Em uma segunda etapa, o
autor considerou um método implementado por Hochberg & Tamhane (1987), usando o
intervalo de Wald juntamente com a distribuição da amplitude normal padronizada, para
comparar todas as combinações das proporções tomadas duas a duas. Esses dois mé-
todos apresentaram pobres desempenhos, tendo taxas de erro consideravelmente maior
do que o valor nominal quando os tamanhos amostrais eram pequenos. Um melhor
desempenho foi obtido utilizando-se um procedimento de estimação intervalar simul-
tâneo utilizando a formulação de Jeffreys-Perks, motivada pela aproximação bayesiana
de Beal (1987).
Por essas razões, o presente trabalho foi realizado com os objetivos de divulgar
e avaliar o desempenho dos testes assintóticos G
2
e X
2
de Pearson para a hipótese
de várias proporções binomiais. Ademais, pretende-se propor um teste de comparações
múltiplas assintóticas de proporções binomiais e avaliar o desempenho do teste proposto
por meio de simulação Monte Carlo.
57
4 Metodologia
Considerando amostras aleatórias independentes (eventos de Bernoulli) de ta-
manhos n
1
, n
2
, ···, n
k
de k populações binomiais com probabilidade de sucesso do
evento de interesse dados por π
1
, π
2
, ···, π
k
, cujas realizações amostrais são y
1
, y
2
,
···, y
k
pode-se testar a hipótese H
0
: π
1
= π
2
= ··· = π
k
= π
0
, sendo π
0
não especi-
ficado, o que faz com que este trabalho difira do desenvolvido por Krishnamoorthy et
al. (2004). O primeiro teste considerado refere-se ao teste da razão de verossimilhan-
ças e o segundo, a um teste baseado na distribuição assintótica de formas quadráticas.
Procedimentos de comparações múltiplas foram derivados da teoria apresentada nesses
testes. A inclusão dos testes da hipótese H
0
: π
1
= π
2
= ··· = π
k
= π
0
neste capítulo teve
o objetivo de obter resultados que servissem de referência para os resultados do teste
bayesiano proposto no capítulo 3.
4.1 Teste de razão de verossimilhanças
Para testar a hipótese da igualdade de k proporções binomiais independentes
H
0
: π
1
= π
2
= ···= π
k
= π
0
, foi desenvolvido o teste da razão de verossimilhanças. Para
isso, a função de verossimilhança, considerando os modelos probabilísticos binomiais
independentes, sob H
1
(modelo irrestrito Ω), é:
P (Y
1
= y
1
, ··· , Y
k
= y
k
) = L
Ω
(y|π) =
k
i=1
n
i
!
y
i
!(n
i
− y
i
)!
π
y
i
i
(1 − π
i
)
n
i
−y
i
, (4.1)
em que y = [
y
1
, y
2
, . . . , y
k
]
é o vetor de dados e π = [
π
1
, π
2
, . . . , π
k
]
.
Para o modelo restrito (Ω
0
), sob H
0
, a função de verossimilhança é:
P (Y
1
= y
1
, ··· , Y
k
= y
k
) = L
Ω
0
(y|π
0
) =
k
i=1
n
i
!
y
i
!(n
i
− y
i
)!
π
y
i
0
(1 − π
0
)
n
i
−y
i
. (4.2)
58
As funções de verossimilhanças (4.1) e (4.2) foram maximizadas e a estatística
do teste resultante, na forma geral, é dada por:
Λ =
L
Ω
0
(y|π
0
)
L
Ω
(y|π)
, (4.3)
em que ˆπ
0
é o estimador de máxima verossimilhança de π
0
no modelo restrito Ω
0
, sob
H
0
, e ˆπ = [
ˆπ
1
, ˆπ
2
, . . . , ˆπ
k
]
é o estimador do vetor de parâmetros no modelo
irrestrito Ω, sob H
1
.
Foi utilizado o fato de que χ
2
c1
= −2ln(Λ) segue assintoticamente uma distri-
buição qui-quadrado com ν = k − 1 graus de liberdade para realizar o teste (Mood et
al., 1974).
A partir da função de verossimilhança (4.1), foi obtida a função suporte, sendo
considerado Y como variável aleatória, resultando em:
g(Y ,π) =
k
i=1
ln(n
i
!) −
k
i=1
ln(Y
i
!) −
k
i=1
ln[(n
i
− Y
i
)!]
+
k
i=1
Y
i
ln(π
i
) +
k
i=1
(n
i
− Y
i
)ln(1 − π
i
).
Derivando-se essa expressão em relação a π
i
, tem-se:
∂g(Y,π)
∂π
i
=
Y
i
π
i
−
n
i
− Y
i
1 − π
i
,
que, igualando a zero, resulta no seguinte estimador de máxima verossimilhança:
ˆπ
i
=
Y
i
n
i
, i = 1, 2, ··· , k. (4.4)
59
Assim, o máximo da função de verossimilhança no modelo irrestrito é:
L
Ω
(Y
i
|ˆπ
i
) =
k
i=1
n
i
!
Y
i
!(n
i
− Y
i
)!
ˆπ
Y
i
i
(1 − ˆπ
i
)
n
i
−Y
i
.
Para o modelo restrito, tem-se a seguinte função suporte:
g(Y ,π
0
) =
k
i=1
ln(n
i
!) −
k
i=1
ln(Y
i
!) −
k
i=1
ln[(n
i
− Y
i
)!]
+
k
i=1
[Y
i
ln(π
0
) + (n
i
− Y
i
)ln(1 − π
0
)],
cuja derivada de primeira ordem em relação a π
0
é:
dg(Y,π
0
)
dπ
0
=
k
i=1
Y
i
π
0
−
k
i=1
(n
i
− Y
i
)
1 − π
0
.
Igualando-se essa derivada a zero e resolvendo, tem-se o estimador de máxima
verossimilhança para o modelo restrito (Ω
0
) de π
0
dado por:
ˆπ
0
=
k
i=1
Y
i
n
=
k
i=1
n
i
ˆπ
i
n
, (4.5)
em que n =
k
i=1
n
i
. O estimador ˆπ
0
, sob H
0
, é a média ponderada dos estimadores ˆπ
i
de (4.4) de cada população, tendo como peso os tamanhos das amostras.
O máximo da função de verossimilhança restrita (4.2) é:
L
Ω
0
(Y |ˆπ
0
) =
k
i=1
n
i
!
Y
i
!(n
i
− Y
i
)!
ˆπ
Y
i
0
(1 − ˆπ
0
)
n
i
−Y
i
.
60
A estatística do teste, utilizando (4.3) é, portanto, dada por:
Λ =
k
i=1
ˆπ
0
ˆπ
i
Y
i
1 − ˆπ
0
1 − ˆπ
i
n
i
−Y
i
.
Assim, tem-se que:
χ
2
c1
= −2
k
i=1
Y
i
ln
ˆπ
0
ˆπ
i
− 2
k
i=1
(n
i
− Y
i
)ln
1 − ˆπ
0
1 − ˆπ
i
= 2
k
i=1
Y
i
ln
ˆπ
0
ˆπ
i
−1
+ 2
k
i=1
(n
i
− Y
i
)ln
1 − ˆπ
0
1 − ˆπ
i
−1
. (4.6)
Substituindo-se os estimadores de π
i
e π
0
, obtidos em (4.4) e (4.5), na expressão
(4.6), obtém-se que:
χ
2
c1
= 2
k
i=1
Y
i
ln
nY
i
n
i
k
j=1
Y
j
+
k
i=1
(n
i
− Y
i
)ln
n(n
i
− Y
i
)
n
i
(n −
k
j=1
Y
j
)
(4.7)
possui distribuição assintótica qui-quadrado com ν = k −1 graus de liberdade, pois, no
modelo completo, há k parâmetros e no modelo reduzido, 1.
Se χ
2
c1
≥ χ
2
α,k−1
, a hipótese de nulidade das proporções binomiais das k popu-
lações deve ser rejeitada. Esse teste é conhecido como G
2
na literatura (Williams, 1988)
e foi utilizado para fins de comparação com a modificação proposta neste trabalho do
teste X
2
de Pearson, baseada-se em formas quadráticas.
4.2 Teste assintótico qui-quadrado
Na segunda abordagem para testar a hipótese nula de igualdade de k proporções
binomiais independentes, foi considerado que o estimador de máxima verossimilhança
61
ˆπ de π é assintoticamente normal com média π e matriz de covariância Σ
k×k
. Assim,
utilizando-se os resultados de Ferreira (2008), verifica-se que:
χ
2
c2
= (ˆπ − π)
Σ
−1
(ˆπ − π) (4.8)
possui distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade.
Sob H
0
, o vetor π será π
0
= [
π
0
, π
0
, . . . , π
0
]
que, no entanto, é desco-
nhecido. Assim, o estimador de máxima verossimilhança ˆπ
0
será utilizado para estimar
a matriz Σ como alternativa. Portanto, a quantidade pivotal (4.8) utilizando tal estima-
dor terá distribuição qui-quadrado assintótica com ν = k − 1 graus de liberdade. A
matriz Σ foi determinada a partir do valor hipotético π
0
, também estimado.
Considerando X
ij
uma variável aleatória Bernoulli para o j-ésimo ensaio cor-
respondente à i-ésima população binomial, sendo j = 1, 2, ···, n
i
e i = 1, 2, ···,
k, então Y
i
=
n
i
j=1
X
ij
. Essa variável aleatória X
ij
assumirá o valor 1 para o sucesso
do evento considerado e 0 para o fracasso. Para o desenvolvimento da expressão (4.8),
foi necessário obter a matriz de covariâncias Σ que depende das expressões para as
variâncias e covariâncias de Y
i
. Assim,
E(X
ij
) = 1 ×P (X
ij
= 1) + 0 × P (X
ij
= 0)
= P (X
ij
= 1) = π
i
.
Como a amostra de tamanho n
i
da i-ésima população binomial é aleatória, en-
tão, X
i1
, X
i2
, ···, X
in
i
são independentes. Logo,
E(Y
i
) = E
n
i
j=1
X
ij
=
n
i
j=1
E(X
ij
) =
n
i
j=1
π
i
= n
i
π
i
.
62
Também se pode obter facilmente a esperança de X
2
ij
, pois X
ij
assume valores
iguais a 1 ou a 0. Portanto,
E(X
2
ij
) = 1
2
× P (X
ij
= 1) + 0
2
× P (X
ij
= 0)
= P (X
ij
= 1) = π
i
.
Assim,
V (X
ij
) = E(X
2
ij
) − E
2
(X
ij
)
= π
2
i
− π
i
= π
i
(1 − π
i
).
Portanto, a variância de Y
i
é:
V (Y
i
) = V
n
i
j=1
X
ij
=
n
i
j=1
V (X
ij
) =
n
i
j=1
π
i
(1 − π
i
)
= n
i
π
i
(1 − π
i
).
A covariância entre Y
i
e Y
i
para i = i
é nula, uma vez que as amostras das
diferentes populações são independentes. O objetivo é determinar a covariância de ˆπ.
Utilizando o estimador de máxima verossimilhança ˆπ
i
(4.4), então:
V (ˆπ
i
) = V
Y
i
n
i
=
1
n
2
i
n
i
π
i
(1 − π
i
)
=
π
i
(1 − π
i
)
n
i
.
Assim, a matriz de covariância Σ é dada por:
63
Σ =
π
1
(1−π
1
)
n
1
0 . . . 0
0
π
2
(1−π
2
)
n
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . .
π
k
(1−π
k
)
n
k
,
uma vez que a covariância entre ˆπ
i
e ˆπ
i
, para i = i
é nula, devido à independência.
Dessa forma, a quantidade pivotal (4.8) sob H
0
pode ser simplificada em:
χ
2
c2
=[
ˆπ
1
− π
0
, ˆπ
2
− π
0
, . . . , ˆπ
k
− π
0
]
n
1
π
1
(1−π
1
)
. . . 0
0
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . .
n
k
π
k
(1−π
k
)
ˆπ
1
− π
0
ˆπ
2
− π
0
.
.
.
ˆπ
k
− π
0
,
que, expandida, resulta em:
χ
2
c2
=
k
i=1
n
i
(ˆπ
i
− π
0
)
2
π
i
(1 − π
i
)
=
k
i=1
(Y
i
− n
i
π
0
)
2
n
i
π
i
(1 − π
i
)
.
Essa quantidade pivotal não pode ser utilizada em situações reais, pois depende
de π
i
, que é desconhecido. Desse modo, uma alternativa que pode ser considerada
baseia-se em um procedimento análogo ao X
2
de Pearson para populações multinomi-
ais, também utilizado no contexto de binomiais por Williams (1988), exceto por uma
pequena correção no denominador da expressão da estimativa. Nesse caso, consideram-
se a hipótese nula π
1
= π
2
= ··· π
k
= π
0
e o estimador dado em (4.5). Assim, a
estatística desse teste é dada por:
χ
2
c2
=
k
i=1
(Y
i
− n
i
ˆπ
0
)
2
n
i
ˆπ
0
(1 − ˆπ
0
)
. (4.9)
A estatística (4.9), sob H
0
, segue uma distribuição qui-quadrado assintótica com
64
ν = k − 1 graus de liberdade. Os desempenhos das estatísticas (4.7) e (4.9) serão
avaliados na seção (5.1).
4.3 Comparações múltiplas
Para realizar o teste de comparações múltiplas foi utilizado o resultado geral
(4.8), devidamente modificado para contemplar o estimador ˆπ
0
no lugar do parâmetro
π
0
. Assim, para testar
H
0
: π
i
= π
i
, i = i
= 1, 2, ··· , k (4.10)
foi utilizada a seguinte estatística:
χ
2
c3
=
(ˆπ
i
− ˆπ
i
)
2
var(ˆπ
i
) + var(ˆπ
i
) − 2cov(ˆπ
i
, ˆπ
i
)
, (4.11)
que possui distribuição assintótica qui-quadrado com ν = k graus de liberdade, sendo
var(ˆπ
i
) e var(ˆπ
i
) as variâncias dos estimadores ˆπ
i
e ˆπ
i
, respectivamente e cov(ˆπ
i
, ˆπ
i
)
é a covariância entre eles.
A hipótese (4.10) será rejeitada se χ
2
c3
> χ
2
α,k
, em que χ
2
α,k
é o quantil superior
100α% da distribuição qui-quadrado com ν = k graus de liberdade. As variâncias e a
covariância de (4.11) são desconhecidas e precisam ser estimadas. As particularidades
desses estimadores estão apresentadas na seção 5.2.
4.4 Simulações Monte Carlo
Para a validação dos desempenhos dos testes avaliados neste trabalho foram
realizadas simulações Monte Carlo. Foram geradas k populações binomiais com pa-
râmetros π
i
e n
i
para a i-ésima população, i = 1, 2, ···, k. Diferentes configurações
desses parâmetros foram consideradas, sendo que, em cada configuração, 10.000 amos-
65
tras de Monte Carlo foram simuladas. As taxas de erro tipo I e poder foram computadas
conforme a situação. No caso do teste de razão de verossimilhanças e do teste de qui-
quadrado baseado em formas quadráticas, as taxas de erro tipo I foram mensuradas ape-
nas sob H
0
completa e, no caso particular das comparações múltiplas, as taxas de erro
tipo I por experimento foram consideradas, nas situações simuladas sob H
0
, completa
e parcial. O poder de todos os testes foi avaliado sob H
0
parcial.
Foram consideradas duas situações distintas. Na primeira, foram consideradas
populações com π
i
idênticos (H
0
completa) e fixados em 0,01, 0,1 e 0,5. Esses valores
foram escolhidos em consonância com aqueles propostos por Biase & Ferreira (2006),
para fins de comparação dos resultados via bootstrap com os do presente trabalho.
Na segunda, foram simuladas situações de H
0
parcial, dadas por H
0
: π
1
=
π
2
= ··· = π
i
= π
i+1
= π
i+2
= ··· = π
k
. Nesse caso, foram considerados dois
grupos distintos e cuja diferença entre seus parâmetros foi fixada em ∆ =0,01, 0,05,
0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 e 0,9. Optou-se por considerar apenas dois
grupos em função da simplicidade e da existência de trabalhos na literatura com essa
situação, que serviram de referência para comparação. O valor do parâmetro π
do
primeiro grupo foi fixado em 0,01, sendo = 1, 2, 3 quando o número de populações
binomiais foi igual a 5 (k = 5), e = 1, 2, ···, 5, no caso de k = 10. Também foi
considerada uma situação em que o valor π
do primeiro grupo foi fixado em 0,3, 0,45
e 0,5 e os valores de ∆ = 0,01, 0,10 e 0,4.
Foram consideradas k = 2, 5 e 10 populações e tamanhos de amostras n
i
=
10, 30 e 100, para cada população, ∀ i = 1, 2, ···, k. Foram fixados os níveis nominais
de significância α = 1% e 5%. Nas comparações dentro dos grupos, sob H
0
parcial e
nas comparações entre populações sob H
0
completa, foram avaliadas as taxas de erro
tipo I por experimento, no caso de comparações múltiplas. Ainda sob H
0
parcial, o
poder do procedimento de comparações múltiplas foi avaliado nas 10.000 simulações,
nos testes envolvendo médias dos diferentes grupos.
66
No caso particular de k = 5 populações, a formação dos dois grupos foi reali-
zada conforme Biase & Ferreira (2006), em que as populações 1, 2 e 3 pertenceram ao
primeiro grupo e 4 e 5, ao segundo. As taxas de erro tipo I foram confrontadas com os
valores obtidos por Biase & Ferreira (2006) utilizando bootstrap e comparadas com os
níveis nominais de significância.
Também foram realizadas algumas simulações adicionais para avaliar as taxas
de erro tipo I dos testes de razão de verossimilhanças e qui-quadrado com tamanhos
amostrais (n) variando de 5 em 5, de 10 até 100, considerando k = 5. E, para as
comparações múltiplas, foram simuladas algumas situações para avaliar o poder e as
taxas e erro tipo I por experimento sob H
0
parcial, considerando n = 400, 800 e 1000,
k = 5 e 10, ∆ = 0,01, 0,02, 0,03 e 0,04 para α = 5%. Para esta situação, os valores
de π do primeiro grupo foram fixados em 0,05 e os do segundo foram dados por 0,05 +
∆.
O teste binomial exato, considerando um nível nominal de significância de 1%
para a hipótese H
0
: α = 5% vs H
1
: α = 5% e H
0
: α = 1% vs H
1
: α = 1%, foi apli-
cado. Se a hipótese nula for rejeitada e a taxa de erro tipo I observada for considerada
significativamente (p < 0,01) inferior ao nível nominal, então, o teste será conside-
rado conservativo; se a taxa de erro tipo I observada for considerada significativamente
(p < 0,01) superior ao nível nominal, o teste será considerado liberal e, finalmente,
se a taxa de erro tipo I observada for considerada não significativamente (p < 0,01)
diferente do nível nominal, o teste será considerado exato. Se m representa o número
de hipóteses nulas rejeitadas em N = 10000 simulações Monte Carlo para o nível no-
minal α, então, a estatística é obtida, usando a relação entre a distribuição binomial e a
F , com probabilidade de sucesso π = α, por:
F =
m + 1
N − m
1 − α
α
,
67
que, sob a hipótese nula, segue uma distribuição F com ν
1
= 2(N −m) e ν
2
= 2(m+1)
graus de liberdade. Se F ≤ F
0,005
ou se F ≥ F
0,995
, a hipótese nula pode ser rejeitada,
ao nível nominal de significância de 1%, em que F
0,005
e F
0,995
são os quantis da
distribuição F, com ν
1
e ν
2
graus de liberdade.
Para N = 10.000 simulações, verificou-se, para α = 5%, que valores inferiores
a 445 e superiores a 557 levam à rejeição da hipótese nula H
0
: α = 5%, considerando
o nível de significância de 1% para o teste. Da mesma forma, valores inferiores a 75
e superiores a 127 levam à rejeição da hipótese H
0
: α = 1%, considerando o mesmo
nível de significância de 1% para o teste realizado.
Os valores de poder, no caso de comparações múltiplas, também foram compa-
radas com os valores apresentados em Biase & Ferreira (2006).
Para avaliação do desempenho dos testes propostos, foram implementadas as
rotinas utilizando-se o programa R (R. Development Core Team, 2008), que são apre-
sentadas em anexo.
68
5 Resultados e Discussão
5.1 Testes para a hipótese nula global
O desempenho dos testes de razão de verossimilhanças e qui-quadrado assintó-
tico, baseado em formas quadráticas, foi avaliado e os resultados das taxas de erro tipo
I e poder foram apresentados e discutidos na sequência.
5.1.1 Erro tipo I sob H
0
completa
Na Tabela 1.2 são apresentadas, em porcentagem, as taxas de erro tipo I sob H
0
completa dos testes de razão de verossimilhanças e formas quadráticas, identificados
por G
2
e X
2
, respectivamente. Esses testes foram avaliados em função do número de
populações k, do tamanho da amostra n e dos valores dos parâmetros binomiais π,
resultantes de 10.000 simulações Monte Carlo, considerando o nível nominal de 5%.
Pode-se verificar, na maioria das situações, que o teste X
2
controlou o erro tipo
I em nível inferior ou, no máximo, igual ao valor nominal de 5%, exceto para k = 2,
n = 100 e π = 0,5, em que a taxa de erro tipo I superou significativamente o valor
nominal, indicando desempenho liberal. Considerando π = 0,01, observou-se que, para
todas as configurações de n e k avaliadas, o teste X
2
apresentou taxas significativamente
(P < 0,01) menores do que 5%. O teste X
2
apresentou esse mesmo desempenho para
n = 10, k = 2 e 5 e para π = 0,1 e 0,5 e também para n = 10 com k = 10 e
π = 0,1. Em todos esses casos mencionados, o teste X
2
foi considerado conservativo.
Nas demais situações, o teste X
2
apresentou taxas de erro tipo I iguais ao valor nominal.
Para o teste G
2
, houve um desempenho distinto em relação ao teste X
2
para o
controle do erro tipo I, pois, ou o teste foi liberal ou exato, considerando π = 0,1 ou
0,5. Para π = 0,1, o teste foi liberal com k = 2, 5 e 10, considerando n = 30 e também
com k = 10 e n = 10. Para π = 0,5, este teste foi liberal com k = 2 e n = 100
69
TABELA 1.2 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores do parâmetro
(π) para os testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas
(X
2
), ao nível nominal de 5%.
π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
2 10 0,01
+
0,00
+
4,66
ns
0,88
+
5,21
ns
3,99
+
2 30 0,45
+
0,03
+
7,22
∗
5,40
ns
5,35
ns
5,33
ns
2 100 6,01
∗
1,34
+
5,02
ns
4,99
ns
5,68
∗
5,68
∗
5 10 0,04
+
0,04
+
5,12
ns
2,55
+
6,49
∗
4,33
+
5 30 0,58
+
0,53
+
8,57
∗
4,94
ns
5,63
∗
5,12
ns
5 100 3,25
+
2,66
+
5,47
ns
4,85
ns
5,36
ns
5,31
ns
10 10 0,01
+
1,78
+
5,65
∗
3,81
+
7,29
∗
4,75
ns
10 30 0,24
+
4,36
+
8,27
∗
4,81
ns
6,17
∗
5,55
ns
10 100 4,41
+
4,35
+
5,38
ns
4,51
ns
4,88
ns
4,71
ns
∗
significativamente superior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma confiança de
99%.
e também com k = 5 e 10, considerando n = 10 e 30. Uma possível e potencial
explicação para esse resultado pode ser dada em função da variância da binomial. Essa
variância é máxima quando o parâmetro π é igual a 0,5. Na medida que π afasta-se
de 0,5, o valor da variância diminui. Assim, espera-se que essa maior variabilidade
influencie no desempenho do teste quanto a sua taxa de erro tipo I. Em todos os outros
casos, o tamanho do teste G
2
não foi significativamente diferente do valor nominal de
5%. Considerando π = 0,01, apenas para k = 2 e n = 100 o teste G
2
foi liberal; para
os demais valores de k e n, esse teste apresentou taxas de erro tipo I significativamente
(P < 0,01) inferiores a 5%.
De maneira geral, o teste X
2
apresentou melhor desempenho em relação ao con-
trole do erro tipo I, pois, em apenas um caso o teste foi considerado liberal, quando com-
parado ao teste G
2
. Entretanto, apesar de esse valor ser significativamente (P < 0,01)
diferente de 0,05, a diferença não foi expressiva. O teste G
2
foi liberal, principalmente
70
nas situações de amostras pequenas e maior número de populações envolvidas. Em
parte, esses resultados são esperados, em virtude da natureza assintótica da distribuição
da estatística de um teste de razão de verossimilhanças. Além disso, o desempenho
desses testes foi semelhante ao apontado por Williams (1988).
Para o nível nominal de significância de 1%, os testes apresentaram taxas de
erro tipo I mais conservativas do que as observadas para 5%. Esses resultados são
apresentados na Tabela 1.3. Novamente ocorreu, especificamente, um caso em que o
teste X
2
foi considerado liberal. Isso foi verificado para k = 2 e n = 30 com π = 0,5.
Nas demais situações, as taxas de erro tipo I desse teste foram significativamente (P <
0,01) inferiores ou não diferiram (P > 0,01) significativamente do valor nominal de
1%. O teste X
2
foi conservativo em todas as situações avaliadas para π = 0,01, exceto
com k = 10 e n = 100, em que o teste apresentou tamanho não significativamente
(P < 0,01) diferente do valor nominal e também para k = 2 e n = 10 e 30 com
π = 0,1. Para números de populações maiores (k = 5 e 10), o teste X
2
apresentou
taxas de erro tipo I inferiores ao nível nominal de 1% somente para pequenas amostras
(n = 10) e π = 0,1.
Pode-se observar que houve um melhor desempenho do teste X
2
para π = 0,5,
pois todos os valores das taxas apresentaram tamanhos não significativamente (P <
0,01) diferentes do valor nominal de significância de 1%, com exceção para k = 2 e
n = 30, em que o teste foi considerado liberal.
Considerando valores afastados de 0,5 (π ≤ 0,1), o teste G
2
apresentou situa-
ções em que foi considerado conservativo, exato e liberal para o nível nominal de 1%.
Todas as taxas de erro tipo I do teste G
2
, considerando π = 0,01, são significativamente
(P < 0,01) inferiores ao valor nominal de 1%. Para π = 0,1, o teste G
2
apresentou de-
sempenho conservativo para pequenas amostras (n = 10), independente do número de
populações. Para esse mesmo valor de π, o teste foi considerado liberal para tamanhos
de amostras intermediárias (n = 30) e exato para amostras grandes (n = 100).
71
TABELA 1.3 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores do parâmetro
(π) para os testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas
(X
2
), ao nível nominal de 1%.
π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
2 10 0,00
+
0,00
+
0,13
+
0,13
+
1,15
ns
1,15
ns
2 30 0,00
+
0,00
+
1,72
∗
0,66
+
1,43
∗
1,43
∗
2 100 0,24
+
0,00
+
0,97
ns
0,84
ns
0,76
ns
0,76
ns
5 10 0,00
+
0,00
+
0,37
+
0,49
+
1,32
∗
0,81
ns
5 30 0,01
+
0,01
+
1,74
∗
0,89
ns
1,14
ns
0,99
ns
5 100 0,33
+
0,38
+
1,20
ns
0,91
ns
1,17
ns
1,14
ns
10 10 0,00
+
0,13
+
0,56
+
0,62
+
2,09
∗
0,79
ns
10 30 0,01
+
0,41
+
1,79
∗
1,01
ns
1,34
∗
0,98
ns
10 100 0,46
+
0,86
ns
1,06
ns
0,83
ns
1,10
ns
1,03
ns
∗
significativamente superior ao nível nominal de 1%, considerando uma confiança de 99%.
+
significativamente inferior ao nível nominal de 1%, considerando uma confiança de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 1%, considerando uma confiança de
99%.
O teste G
2
foi liberal para π = 0,5 com k = 2 e n = 30, k = 5 e n = 10 e
também para k = 10 e n = 10 e 30. Em todas as demais situações, o tamanho do teste
G
2
foi não significativamente diferente do valor nominal de 1%.
De modo geral, verificou-se que o teste G
2
apresentou melhores desempenhos,
considerando grandes amostras, uma vez que, nessas situações, o teste foi exato.
Procurando avaliar o desempenho dos testes para tamanhos amostrais variando
entre 10 e 100, foram feitas simulações adicionais, considerando k = 5. Nessas si-
tuações, o erro tipo I foi computado para os níveis nominais de significância de 1% e
5%.
Na Figura 1.1 são apresentadas as taxas de erro tipo I observadas, sob H
0
com-
pleta, dos dois testes para k = 5 com π = 0,1 e 0,5, em função dos tamanhos amostrais,
considerando α = 5%. De modo geral, o teste G
2
apresentou tamanho não significati-
vamente (P > 0,01) diferente do valor nominal ou, então, foi considerado liberal, ao
72
contrário do teste X
2
que, nas situações em que as taxas diferiram significativamente
(P < 0,01) do valor nominal, o teste foi considerado conservativo.
10 30 50 70 90 110
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
10 30 50 70 90 110
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
(a) (b)
FIGURA 1.1 Taxas de erro tipo I dos testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e formas
quadráticas (X
2
), em função dos tamanhos amostrais (n) e valores dos
parâmetros (a) π = 0,1 e (b) π = 0,5 para α = 5%, considerando a
hipótese H
0
completa.
Para pequenas amostras (n = 10), na Figura 1.1 (a), a taxa de erro tipo I do
teste G
2
é não significativamente (P > 0,01) diferente do valor nominal e para ta-
manhos amostrais variando entre 15 e 60, as taxas, além de serem significativamente
diferentes de 5%, são expressivamente elevadas. Com n ≥ 65, as taxas de erro tipo I
do teste tenderam a se igualar ao nível nominal de significância. Por outro lado, pode-
se observar, na Figura 1.1 (a), que o teste X
2
foi conservativo para amostras pequenas
(n ≤ 20) e, para os demais tamanhos amostrais, as taxas de erro tipo I passaram a ser
significativamente iguais ao valor nominal de 5%.
Para π = 0,5, na Figura 1.1 (b), o teste G
2
foi considerado liberal para n ≤ 25,
55 e 70. Nos demais casos, o teste apresentou tamanho não significativamente diferente
do valor nominal. Independentemente dos tamanhos amostrais, as taxas de erro tipo I
do teste X
2
não diferiram do valor nominal.
73
Pode-se observar que o teste X
2
apresentou desempenho melhor, pois, na mai-
oria das situações, as taxas de erro tipo I desse teste foram iguais ao nível nominal
adotado e as do teste G
2
foram superiores ao valor nominal em pequenas amostras,
principalmente se π = 0,1.
Para o valor nominal de significância de 1%, pode-se observar, na Figura 1.2
(b), que, para valores de π = 0,5, as taxas de erro tipo I dos dois testes apresentaram o
mesmo desempenho geral dos testes obtidos para α = 5%. Para valores de π afastados
de 0,5 (π = 0,1), os resultados das taxas do teste X
2
também foram bastante similares
aos observados para 5%. No entanto, o valor da taxa de erro tipo I do teste G
2
foi
significativamente menor do que 1% para pequenas amostras (n = 10), ou seja, o teste
foi conservativo. Para n = 15 e 20, o tamanho do teste não diferiu significativamente
(P<0,01) do valor nominal e, para tamanhos de amostras variando de 25 a 60, os valores
das taxas foram sempre superiores a 1%, indicando um desempenho liberal do teste.
Para n ≥ 65, as taxas do teste em questão foram consideradas iguais ou, em algumas
situações superiores ao valor nominal.
0
20 40 60 80 100
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
10 30 50 70 90 110
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
(a) (b)
FIGURA 1.2 Taxas de erro tipo I dos testes de razão de verossimilhanças (G
2
) e formas
quadráticas (X
2
), em função dos tamanhos amostrais (n) e valores dos
parâmetros (a) π = 0,1 e (b) π = 0,5 para α = 1%, considerando a
hipótese H
0
completa.
74
5.1.2 Poder sob H
0
parcial
Na Tabela 1.4 são apresentados os valores de poder dos testes G
2
e X
2
, em
função de k, n e ∆, considerando α = 5%, sob H
0
parcial. É importante enfatizar que,
para medir os valores de poder sob a hipótese H
0
parcial, considerou-se a formação de
dois grupos. Os valores de π no primeiro grupo foram fixados em 0,01 e, no segundo
grupo, esses valores foram dados por 0,01 + ∆.
Para valores de ∆ = 0,01, os valores de poder de ambos os testes são inferiores
ou relativamente próximos ao nível nominal de 5%, exceto para populações e amostras
grandes (k = 5, 10 e n = 100). Se os valores de ∆ são pequenos ou moderados
(∆ = 0,1 e 0,3), observa-se que o poder dos testes, em algumas situações, é pequeno
(inferior a 70%), considerando tamanhos amostrais pequenos ou intermediários. Isso
foi constatado para ∆ = 0,1 com n = 10 e 30 com k = 5 e n = 10 com k = 10, para
ambos os testes. Para grandes amostras (n = 100), o desempenho dos testes se igualou
e seus valores de poder se aproximaram de 100%. Para ∆ = 0,3, o poder foi pequeno
apenas para o teste X
2
, com k = 5 e n = 10. Nos demais casos, o poder de ambos os
testes atingiu 100% rapidamente.
De maneira geral, verifica-se que o teste G
2
apresentou valores de poder superi-
ores ao do teste X
2
e que, com o aumento do tamanho das amostras, o poder dos testes
tende a aumentar expressivamente, como já era esperado. Outro aspecto interessante a
ser destacado refere-se ao desempenho de ambos os testes quando o número de popula-
ções k eleva-se de 5 para 10. Nesses casos, observa-se que os valores de poder tendem a
ser maiores, se for fixado o valor de ∆, n e o teste. Porém, esse aumento foi sutilmente
menor quando o tamanho das amostras e valores de ∆ foi grande (n ≥ 30 e ∆ ≥ 0,3).
Para diferenças grandes ou muito grandes (∆ ≥ 0,4), verifica-se que o poder
de ambos os testes aproxima-se de 100%, mesmo para pequenas amostras (n = 10).
Assim, se o pesquisador tem interesse em averiguar pequenas diferenças (∆ < 0,01)
entre populações de grupos diferentes, é aconselhável estabelecer tamanhos de amostras
75
TABELA 1.4 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k), de
tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre as proporções binomiais
(∆), para os testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas
(X
2
), ao nível nominal de 5%.
∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,3
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 10 0,12 0,11 9,18 6,73 77,22 64,33
5 30 1,90 1,54 64,61 50,36 99,95 99,93
5 100 9,05 6,86 99,54 99,48 100,00 100,00
10 10 0,05 3,20 13,18 16,82 95,29 86,31
10 30 1,22 6,24 86,58 74,03 100,00 100,00
10 100 15,01 10,24 100,00 100,00 100,00 100,00
∆ = 0,4 ∆ = 0,5 ∆ = 0,6
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 10 94,39 88,46 98,92 97,52 99,91 99,80
5 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 99,82 98,62 99,99 99,98 100,00 100,00
10 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
∆ = 0,7 ∆ = 0,8 ∆ = 0,9
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 10 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
maiores que 100, principalmente se o número de populações for menor.
Na Tabela 1.5 são apresentados os valores de poder de ambos os testes em fun-
ção de k, n e ∆, para α = 1%. O desempenho do poder dos testes, nesse caso, apresen-
tou, de modo geral, semelhanças ao observado para o nível nominal de 5%. Entretanto,
verifica-se que os valores de poder são maiores para α = 5% do que para α = 1%, prin-
cipalmente se as amostras são pequenas e intermediárias (n ≤ 30) e se as diferenças ∆
são pequenas ou moderadas (∆ ≤ 0,3), confirmando a validade da simulação.
76
TABELA 1.5 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k), de
tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre as proporções binomiais
(∆), para os testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas
(X
2
), ao nível nominal de 1%.
∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,3
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 10 0,01 0,02 1,32 2,39 43,74 35,40
5 30 0,17 0,14 34,52 26,37 99,67 99,37
5 100 1,98 1,76 97,94 97,40 100,00 100,00
10 10 0,01 0,33 2,69 5,60 79,25 60,06
10 30 0,10 0,77 62,30 44,10 100,00 100,00
10 100 3,70 3,04 99,99 99,97 100,00 100,00
∆ = 0,4 ∆ = 0,5 ∆ = 0,6
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 10 76,35 65,54 93,90 88,47 99,14 97,91
5 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 97,80 91,12 99,94 99,33 100,00 100,00
10 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
∆ = 0,7 ∆ = 0,8 ∆ = 0,9
k n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 10 99,97 99,74 100,00 100,00 100,00 100,00
5 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Pode-se observar que, para ∆ = 0,01, os valores de poder dos dois testes ava-
liados são pequenos, para todos os tamanhos amostrais e número de populações. Para
∆ = 0,1, o poder dos testes foi consideravelmente pequeno (inferior a 70%) para tama-
nhos amostrais iguais a 10 e 30, tanto para k = 5 quanto para k = 10. Considerando
∆ = 0,3, verificou-se que o poder de ambos os testes é pequeno para pequenas amostras
(n = 10) e k = 5 para ambos os testes e também com k = 10, n = 10 para o teste X
2
.
Com o aumento dos valores de n houve um crescimento expressivo do poder dos testes,
77
atingindo 100% para grandes amostras (n = 100). É conveniente enfatizar que, para as
situações em que π = 0,01, sob H
0
completa, houve controle do erro tipo I, tanto para
α = 5% quanto para α = 1% (Tabelas 1.2 e 1.3). Esse controle ocorreu, de maneira
geral, de forma conservativa.
Se os valores de ∆ são grandes ou muito grandes (∆ ≥ 0,4), conforme já
salientado para α = 5%, o poder de ambos os testes tende a igualar e se aproximar de
100%. No entanto, observa-se que, o poder do teste X
2
é relativamente pequeno para
pequenas amostras (n = 10), considerando ∆ = 0,4 e k = 5.
O desempenho do poder dos testes estudados também foi avaliado em algumas
situações em que os valores de π do primeiro e segundo grupo estivessem próximos
de 0,5, pois, nesses casos, os testes de hipóteses tradicionais que envolvem proporções
binomiais apresentam melhores propriedades. Assim, foram realizadas algumas simu-
lações em que os valores de π do primeiro grupo, denominado de π
(1)
, foram fixados
em 0,30, 0,45, e 0,50 e os do segundo grupo foram dados pela combinação dos valores
de π
(1)
e ∆, ou seja, π
(2)
= π
(1)
+ ∆. Nessas situações específicas, os valores de ∆
foram iguais a 0,01, 0,1 e 0,4.
Na Tabela 1.6 são apresentados os valores de poder dos testes G
2
e X
2
em
função de k, π
(1)
, n e ∆, considerando o nível nominal de 5%. Pode-se observar que,
para ∆ = 0,01, os valores de poder de ambos os testes são relativamente pequenos,
independente dos tamanhos amostrais n e do número de populações k. Para ∆ = 0,1,
verifica-se que os valores de poder dos dois testes também foram pequenos (inferiores
a 70%), mas, com o aumento do tamanho das amostras, o poder dos testes teve um
crescimento considerável, principalmente se n aumenta de 30 para 100.
O desempenho dos testes foi consideravelmente melhor para ∆ = 0,4, apre-
sentando valores de poder pequenos apenas para k = 5 e n = 10, principalmente em
relação ao teste X
2
. Para amostras intermediárias e grandes (n ≥ 30), os valores de
poder de ambos os testes tenderam a se igualar e se aproximaram de 100%.
78
TABELA 1.6 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k), de
valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de amos-
tras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para os
testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas (X
2
), ao nível
nominal de 5%.
∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,4
k π
(1)
n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 0,30 10 9,00 5,05 10,73 6,82 63,94 58,24
5 0,30 30 5,66 5,07 15,23 14,45 98,81 98,71
5 0,30 100 5,37 5,24 42,32 42,17 100,00 100,00
10 0,30 10 9,14 4,93 12,50 7,64 85,39 81,06
10 0,30 30 6,08 4,93 19,29 17,47 100,00 100,00
10 0,30 100 6,12 5,79 61,95 61,35 100,00 100,00
5 0,45 10 7,38 4,86 9,38 6,67 70,96 61,98
5 0,45 30 5,19 4,67 14,19 13,44 99,37 99,30
5 0,45 100 5,33 5,20 38,93 38,71 100,00 100,00
10 0,45 10 6,75 4,40 11,16 7,16 90,57 86,48
10 0,45 30 5,74 5,10 18,70 17,15 100,00 100,00
10 0,45 100 5,24 5,03 57,39 56,73 100,00 100,00
5 0,50 10 6,74 4,47 9,92 6,89 76,22 66,11
5 0,50 30 5,71 5,09 14,22 13,44 99,78 99,75
5 0,50 100 5,44 5,26 39,36 38,91 100,00 100,00
10 0,50 10 6,83 4,35 11,21 7,64 94,33 90,37
10 0,50 30 5,57 4,95 18,22 16,75 100,00 100,00
10 0,50 100 5,15 5,01 56,95 56,17 100,00 100,00
Observou-se que, se a diferença entre os valores de π é pequena (∆ = 0,01),
o poder dos testes é pequeno e, à medida que essa diferença torna-se maior (∆ =
0,1 e 0,4), o poder dos testes tem um aumento avultado, principalmente para grandes
amostras (n ≥ 30). Isso pode ser verificado na Tabela 1.6, fixando-se um valor de k,
π
(1)
, n e o teste. Finalmente, pode-se observar um grande aumento do poder dos testes
com o aumento de k = 5 para k = 10. Esse desempenho também foi semelhante ao
observado para valores de π afastado de 0,5 (Tabela 1.4).
Para o nível nominal de significância de 1%, os valores de poder de ambos os
testes simulados apresentaram grandes similaridades aos resultados obtidos para α =
79
5% e são apresentados na Tabela 1.7. Em função disso, vale ressaltar, como já esperado,
que o poder de ambos os testes é relativamente inferior aos observados para o nível
nominal de 5%, principalmente se os valores de ∆ são pequenos ou moderados (∆ ≤
0,1).
TABELA 1.7 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k), de
valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de amos-
tras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para os
testes de razão verossimilhanças (G
2
) e formas quadráticas (X
2
), ao nível
nominal de 1%.
∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,4
k π
(1)
n G
2
X
2
G
2
X
2
G
2
X
2
5 0,30 10 2,19 0,95 2,95 1,36 40,21 33,88
5 0,30 30 1,27 0,93 4,81 4,22 95,28 94,76
5 0,30 100 1,05 0,97 20,37 20,16 100,00 100,00
10 0,30 10 2,12 0,84 3,45 1,57 66,72 58,25
10 0,30 30 1,38 1,00 6,70 5,59 99,90 99,89
10 0,30 100 1,44 1,41 38,58 37,62 100,00 100,00
5 0,45 10 1,81 1,04 2,65 1,53 46,59 34,23
5 0,45 30 1,07 0,86 4,12 3,61 97,41 96,72
5 0,45 100 0,96 0,94 18,18 17,80 100,00 100,00
10 0,45 10 1,90 0,83 3,06 1,33 76,21 65,40
10 0,45 30 1,06 0,84 5,74 4,80 99,98 99,97
10 0,45 100 0,89 0,82 32,95 32,24 100,00 100,00
5 0,50 10 1,56 0,87 2,47 1,34 53,53 37,07
5 0,50 30 1,19 0,97 4,10 3,59 98,87 98,40
5 0,50 100 1,14 1,07 18,97 18,42 100,00 100,00
10 0,50 10 1,89 0,81 3,14 1,46 83,08 71,98
10 0,50 30 1,22 0,95 6,20 5,12 100,00 100,00
10 0,50 100 1,23 1,15 33,35 32,54 100,00 100,00
Se as situações de π
(1)
= 0,01 e π
(1)
= 0,30, 0,45 e 0,50 (Tabelas 1.4 e 1.6)
ou (Tabelas 1.5 e 1.7) forem comparadas, pode-se observar que o poder aumenta com
o aumento da diferença paramétrica ∆ entre as populações, fixados k e n, como já é
preconizado pela teoria. No entanto, ao contrário do que se esperava, quando π
(1)
se
aproxima de 0,5 (Tabelas 1.6 e 1.7), o aumento do valor de poder com o aumento de ∆
80
é menor do que esse mesmo aumento com π
(1)
= 0,01 (Tabelas 1.4 e 1.5). Simulações
adicionais mostraram que isso ocorre também para valores de π
(1)
variando de 0,01 a
0,35 (resultados não apresentados). A partir desse ponto (π
(1)
= 0,35), para um dado
valor fixo de ∆, o poder é maior na medida que π
(1)
aumenta e se aproxima de 0,5.
Para se ter uma percepção mais nítida do que ocorreu com os valores de poder
quando os valores de π
(1)
se aproximam de 0,5, o poder de ambos os testes é apre-
sentado na Figura 1.3, em função de ∆ com k = 5 e n = 10, considerando α = 5 e
1%. Para α = 5% (Figura 1.3 a e c), pode se observar que o poder de ambos os testes,
considerando ∆ = 0,01 e π
(1)
= 0,01, é inferior e relativamente próximo de zero em
relação aos valores de π
(1)
próximos de 0,5 (π
(1)
= 0,30, 0,45 e 0,50).
Para ∆ = 0,1, os valores de poder de ambos os testes são pequenos e tendem
a se igualar para diferentes valores de π
(1)
. Por fim, considerando ∆ = 0,4, verifica-se
que houve uma inversão dos valores de poder quanto aos valores de π
(1)
, ou seja, para
uma diferença maior de ∆, os valores de poder dos testes para π
(1)
= 0,01 foram rela-
tivamente superiores, se comparados com os demais valores de π
(1)
avaliados. Quanto
mais afastados do 0,5 forem os valores de π
(1)
, maiores são os valores de poder.
Para α = 1% (Figura 1.3 b e d), observou-se o mesmo desempenho geral dos
testes. No entanto, verificou-se, para ∆ ≤ 0,1, que os valores de poder de ambos os
testes foram aproximadamente iguais ao valor nominal, independente dos valores de
π
(1)
. Para ∆ = 0,4, as diferenças dos valores de poder entre π
(1)
= 0,01 e π
(1)
= 0,30,
0,45 e 0,50 (Figura 1.3 d) do teste X
2
foram expressivamente maiores que as observadas
para o teste G
2
(Figura 1.3 b). Ainda para ∆ = 0,4, observa-se que os valores de poder
do teste X
2
, para todos os valores de π
(1)
próximos de 0,5 (π
(1)
= 0,30, 0,45, 0,50),
foram pequenos e muito semelhantes.
A superioridade do teste G
2
em relação ao teste X
2
, considerando o poder, tem
de ser vista com certa ressalva, devido ao fato de as taxas de erro tipo I do teste G
2
serem superiores aos níveis nominais em pequenas amostras (n = 10) e valores de π
81
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
(a) (b)
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
(c) (d)
FIGURA 1.3 Poder, sob H
0
parcial, dos testes G
2
e X
2
, em função da diferença ∆, com
k = 5, n = 10 e valores nominais de significância iguais (a) α = 5% e
(b) α = 1% para o teste G
2
e (c) α = 5% e (d) α = 1%, para o teste X
2
.
afastados de 0,5. Essas situações são exatamente aquelas em que, sob H
1
, o teste G
2
apresentou maior poder. Assim, numa situação real, em que o pesquisador não sabe se
está sob H
0
ou sob H
1
, o risco de rejeitar H
0
, sendo esta verdadeira, é maior que o nível
nominal α, pois o teste G
2
é liberal. Por essa razão, as vantagens em relação ao poder
desse teste devem ser ponderadas pela desvantagem maior de se cometer o erro tipo I
por experimento.
82
5.2 Comparações múltiplas
A estatística (4.11) para testar a hipótese (4.10), utilizando-se o estimador da
variância, é simplificada por:
χ
2
c3
=
(ˆπ
i
− ˆπ
i
)
2
ˆπ
i
(1−ˆπ
i
)
n
i
+
ˆπ
i
(1−ˆπ
i
)
n
i
, (5.1)
uma vez que
ˆ
var(ˆπ
i
) = ˆπ
i
(1 − ˆπ
i
)/n
i
,
ˆ
var(ˆπ
i
) = ˆπ
i
(1 − ˆπ
i
)/n
i
e a
ˆ
cov(ˆπ
i
, ˆπ
i
) = 0.
Sob a hipótese nula, χ
2
c3
possui distribuição assintótica qui-quadrado com ν = k − 1
graus de liberdade. Se χ
2
c3
≥ χ
2
α,k
, a hipótese (4.10) deve ser rejeitada.
No entanto, essa expressão possui muitas limitações práticas, principalmente se
n
i
for pequeno (n ≤ 10) e se os valores de π
i
se aproximam de 0 ou de 1. A razão
disso é que podem ocorrer denominadores nulos na expressão (5.1) em decorrência de
estimativas nulas das variâncias. Assim, para contornar essa limitação, foi proposto o
estimador comum (4.5) dos π
i
para ser utilizado no estimador das variâncias dos ˆπ
i
.
Assim, a estatística do teste foi dada por:
χ
2
c4
=
(ˆπ
i
− ˆπ
i
)
2
ˆπ
0
(1−ˆπ
0
)
n
i
+
ˆπ
0
(1−ˆπ
0
)
n
i
, (5.2)
que, sob H
0
, segue uma distribuição de qui-quadrado com ν = k−1 graus de liberdade.
Nesse caso, as estimativas de π
0
podem ser nulas ou iguais à unidade em algu-
mas situações, o que levaria o denominador de (5.2) a ser nulo. Nesse caso, haveria uma
impossibilidade matemática, pois, não existe divisão por zero. Como ˆπ
0
seria igual a
0, se todas as realizações das k populações fossem iguais a 0, é natural considerar χ
2
c4
como nulo. Da mesma forma, χ
2
c4
seria nulo se ˆπ
0
fosse igual a 1, que ocorre quando
todas as realizações y
i
forem iguais a n
i
. Em ambos os casos, todos os estimadores
seriam iguais, o que é uma forte evidência a favor de H
0
.
Inicialmente, a avaliação do desempenho do teste de comparações múltiplas
83
foi realizada considerando o erro tipo I por experimento, mensurado sob a hipótese H
0
completa e sob a hipótese H
0
parcial. Essas duas situações são discutidas nas subseções
seguintes, 5.2.1 e 5.2.2. Em seguida, o poder do TCM foi avaliado sob a hipótese H
0
parcial.
5.2.1 Erro tipo I sob H
0
completa
Na Tabela 1.8 são apresentadas, em porcentagem, as taxas de erro tipo I por
experimento sob H
0
completa para o teste de comparações múltiplas, denotado por
TCM, em função de k, n e π, considerando o nível nominal de 5%. O que se observa,
de maneira geral, é que, na grande maioria dos casos, houve controle do erro tipo I
por experimento, que ocorreu de forma conservativa. Em apenas um caso, o TCM
apresentou taxas de erro tipo I significativamente superiores ao nível nominal de 5% e,
em outros casos, as taxas de erro tipo I do TCM foram não significativamente (P >
0,01) diferentes do valor nominal. Pode-se verificar também que houve excesso de
conservadorismo, para os casos em que os números de populações eram grandes (k = 5
e 10), independentemente dos tamanhos amostrais e dos valores de π.
O TCM foi considerado liberal com k = 2, n = 100 para π = 0,5. No en-
tanto, verificou-se que essa diferença não é expressivamente superior ao valor nominal
adotado de 5%. O TCM foi considerado exato nas situações com k = 2, n = 30 e
100 para π = 0,1 e com k = 2, n = 30 para π = 0,5. Em todos os demais casos, o
TCM apresentou taxas de erro tipo I significativamente (P < 0,01) inferiores ao valor
nominal de 5%.
Biase (2006) avaliou as taxas de erro tipo I por experimento em situações simi-
lares às consideradas neste trabalho sob H
0
completa, para dois testes de bootstrap, que
se diferenciaram pelo estimador das proporções utilizado, sendo um deles o estimador
de máxima verossimilhança e o outro, o estimador add-4 de Pan (Pan, 2002). Consi-
derando as mesmas configurações para k, n e π = 0,1, 0,5 e 0,9, com α = 5%, esses
84
TABELA 1.8 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
completa, para diferen-
tes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores
de π para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível nominal de
5%.
k n π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
2 10 0,00
+
0,92
+
4,14
+
2 30 0,04
+
5,30
ns
5,30
ns
2 100 1,23
+
5,09
ns
5,61
∗
5 10 0,00
+
0,31
+
2,14
+
5 30 0,03
+
1,30
+
2,10
+
5 100 0,32
+
1,45
+
1,86
+
10 10 0,00
+
0,06
+
0,04
+
10 30 0,00
+
0,10
+
0,20
+
10 100 0,13
+
0,10
+
0,09
+
∗
significativamente superior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma confiança de
99%.
dois testes de bootstrap controlaram o erro tipo I por experimento em todas as situações
avaliadas e apresentaram muitas taxas significativamente inferiores ao valor nominal
para amostras pequenas e intermediárias (n = 10 ou 30) e valores de π afastados de
0,5. Para grandes amostras (n = 100), os dois testes foram considerados exatos, exceto
com maior número de populações (k = 10) e π = 0,9, em que o teste de bootstrap Pan
foi considerado conservativo.
O TCM apresentou algumas diferenças em relação ao desempenho dos testes
de bootstrap sendo considerado conservativo para todas as situações em que o número
de populações é elevado (k = 5 e 10) e liberal em uma situação com pequeno número
de populações (k = 2), conforme mencionado anteriormente. Isso não ocorreu com
os testes de bootstrap. No entanto, é importante salientar que os testes de bootstrap
exigem maior esforço computacional, se comparados com o TCM avaliado neste traba-
lho. Esse fato deve ser levado em consideração pelo pesquisador quando seu interesse
for realizar comparações múltiplas envolvendo proporções binomiais. Ademais, rotinas
85
para a aplicação destes testes de bootstrap ainda não são encontradas nos programas
de análise estatísticas. Isso é um grande limitador para muitos pesquisadores que, em
geral, têm dificuldades de implementar rotinas como as exigidas para a aplicação dos
testes de bootstrap.
Piegorsch (1991), avaliando o desempenho dos intervalos simultâneos, utili-
zando o método aproximado de Bonferroni e o de Hochberg & Tamhane para comparar
proporções binomiais, verificou também que, para pequenas amostras, esses métodos
apresentaram taxas de erro tipo superiores ao valor nominal. Resultados semelhantes
foram encontrados por Agresti et al. (2008), na comparação de pares de proporções
binomiais utilizando o método da distribuição da amplitude estudentizada com a esta-
tística escore.
Para o nível nominal de significância de 1%, as taxas de erro tipo I, por experi-
mento, do TCM são apresentadas na Tabela 1.9. O desempenho do TCM teve inúmeras
similaridades com os resultados observados para 5%. Pode-se observar que para gran-
des amostras (n = 100), com k = 2 e π = 0,1 e 0,5 e também com k = 2, n = 10
e π = 0,5, o TCM apresentou tamanho não significativamente (P > 0,01) diferente
do valor nominal de significância de 1%. O TCM foi liberal apenas para k = 2 com
n = 30 e π = 0,5. Nas demais situações, o TCM foi conservativo, ou seja, apresentou
taxas de erro tipo I significativamente (P < 0,01) inferiores ao valor nominal.
De modo geral, o TCM foi mais conservativo considerando α = 1%, para k = 5
e 10. Observou-se também que os tamanhos amostrais não influenciaram as taxas de
erro tipo I por experimento, pois a variação destas taxas, na maioria dos casos, foi muito
pequena. Tanto para α = 5% como para α = 1%, verifica-se que, houve uma redução
das taxas com o aumento de k de 2 para 5. De 5 para 10, em alguns casos, essa redução
foi ligeiramente menor, considerando π = 0,1, 0,5.
86
TABELA 1.9 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
completa, para diferen-
tes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores
de π para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível nominal de
1%.
k n π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
2 10 0,00
+
0,13
+
1,22
ns
2 30 0,00
+
0,68
+
1,34
∗
2 100 0,00
+
0,89
ns
0,82
ns
5 10 0,00
+
0,03
+
0,07
+
5 30 0,00
+
0,17
+
0,12
+
5 100 0,00
+
0,23
+
0,16
+
10 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 30 0,00
+
0,01
+
0,02
+
10 100 0,02
+
0,01
+
0,01
+
∗
significativamente superior ao nível nominal de 1% considerando uma confiança de 99%.
+
significativamente inferior ao nível nominal de 1% considerando uma confiança de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 1%, considerando uma confiança de
99%.
5.2.2 Erro tipo I sob H
0
parcial
Na Tabela 1.10, as taxas de erro tipo I por experimento sob H
0
parcial para o
TCM são apresentadas em função de k, n e ∆, para α = 5%. Verificou-se que, em
todos os casos, o TCM controlou o erro tipo I por experimento e foi classificado como
conservativo em todas as situações. O TCM apresentou excesso de conservadorismo
para valores de π de um ou ambos os grupos afastados de 0,5 (∆ ≤ 0,05 ou ∆ ≥ 0,6),
lembrando que, para avaliar as taxas de erro tipo I sob H
0
parcial, estabeleceu-se que
os valores de π no primeiro grupo fossem iguais a 0,01 e de 0,01 + ∆ no segundo
grupo. Este artifício foi utilizado para evitar que os valores de π de ambos os grupos
extrapolassem o espaço paramétrico dos parâmetros binomiais π, que variam entre 0 e
1.
Comparando-se as taxas de erro tipo I para k = 5 e k = 10, observa-se, para
um valor fixo de ∆, que houve redução das taxas quando o número de populações au-
mentou de 5 para 10, independentemente dos tamanhos amostrais. Esse desempenho foi
87
TABELA 1.10 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferenças
entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações
múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00
+
0,18
+
0,80
+
2,52
+
2,66
+
1,91
+
5 30 0,14
+
1,93
+
2,81
+
3,17
+
2,65
+
1,82
+
5 100 0,71
+
2,30
+
3,13
+
3,22
+
2,61
+
1,81
+
10 10 0,00
+
0,08
+
0,49
+
0,89
+
0,66
+
0,38
+
10 30 0,09
+
0,78
+
1,14
+
1,15
+
0,90
+
0,58
+
10 100 0,16
+
1,07
+
1,24
+
1,22
+
0,99
+
0,61
+
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 1,35
+
0,57
+
0,27
+
0,03
+
0,00
+
5 30 1,39
+
0,64
+
0,26
+
0,04
+
0,00
+
5 100 1,19
+
0,69
+
0,22
+
0,03
+
0,00
+
10 10 0,26
+
0,08
+
0,02
+
0,00
+
0,00
+
10 30 0,38
+
0,10
+
0,02
+
0,00
+
0,00
+
10 100 0,24
+
0,07
+
0,01
+
0,00
+
0,00
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
semelhante ao observado para as taxas de erro tipo I por experimento, sob H
0
completa.
Para o nível de significância de 1%, as taxas de erro tipo I por experimento
do TCM são apresentadas na Tabela 1.11, em função de k, n e ∆. Pode-se observar,
de modo geral, que o TCM controlou as taxas de erro tipo I em nível inferior ou, no
máximo, igual ao valor nominal de 1%. Os casos em que o TCM teve taxas de erro tipo
I não significativamente (P > 0,01) diferentes de α = 1% foram com k = 5, n = 10
para ∆ = 0,2 e 0,3 e com k = 5, n = 30 e 100 considerando ∆ = 0,1, 0,2 e 0,3.
De maneira análoga ao que ocorreu para α = 5%, as taxas de erro tipo I foram
expressivamente inferiores ao valor nominal de 1%, para valores de π afastados de 0,5.
Isso ocorreu para todos os tamanhos amostrais. Esse fato pode ter como consequência
pequenos valores de poder, o que intensifica o risco de não detectar diferenças signifi-
cativas entre os tratamentos, se ∆ for pequeno.
88
TABELA 1.11 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferenças
entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações
múltiplas (TCM), ao nível nominal de 1%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00
+
0,02
+
0,10
+
0,85
ns
1,05
ns
0,65
+
5 30 0,00
+
0,19
+
0,75
ns
0,82
ns
0,88
ns
0,53
+
5 100 0,08
+
0,67
+
0,89
ns
1,10
ns
0,86
ns
0,56
+
10 10 0,00
+
0,02
+
0,10
+
0,16
+
0,09
+
0,05
+
10 30 0,01
+
0,12
+
0,29
+
0,21
+
0,24
+
0,12
+
10 100 0,04
+
0,17
+
0,29
+
0,38
+
0,20
+
0,14
+
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 0,50
+
0,19
+
0,04
+
0,00
+
0,00
+
5 30 0,32
+
0,13
+
0,04
+
0,00
+
0,00
+
5 100 0,28
+
0,11
+
0,04
+
0,00
+
0,00
+
10 10 0,02
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 30 0,04
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 100 0,06
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 1%, considerando uma confiança de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 1%, considerando uma confiança de
99%.
Os resultados das taxas de erro tipo I por experimento do TCM, tanto para α =
5% quanto para α = 1%, são coerentes com os resultados obtidos para os testes de
bootstrap avaliados por Biase (2006), que também apresentaram, na maioria dos casos,
taxas de erro tipo I por experimento não significativamente (P > 0,01) diferentes ou
significativamente (P < 0,01) inferiores ao valor nominal adotado. Portanto, tanto os
testes de bootstrap como o TCM controlaram o erro tipo I sob a hipótese H
0
parcial
e apresentaram desempenho bastante similar para todos os tamanhos de amostras n,
número de populações k e valores de ∆.
As taxas de erro tipo I por experimento, sob a hipótese H
0
parcial, também
foram avaliadas em algumas situações em que os valores de π dos dois grupos se apro-
89
ximavam de 0,5 tanto quanto fosse possível. Para tal finalidade, foram realizadas simu-
lações adicionais, considerando os níveis nominais de significância de 1% e 5%. Como
as taxas de erro tipo I por experimento do TCM, ao nível nominal de 1%, foram seme-
lhantes as taxas considerando α = 5%, serão apresentados apenas os resultados obtidos
para α = 5%. Na Tabela 1.12 são apresentadas as taxas de erro tipo I por experimento,
sob H
0
parcial, do TCM em função de k, π
(1)
, n e ∆ para α = 5%.
Os resultados foram todos conservativos, embora sejam menos conservativos se
comparados aos observados sob H
0
parcial, com um dos grupos afastados grandemente
de 0,5. O mesmo desempenho do TCM para valores de π próximos de 0,5 foi observado
em relação ao efeito do número de populações, no sentido de reduzir os valores das taxas
de erro tipo I. Assim, observa-se que as taxas de erro tipo I diminuem com o aumento
de k = 5 para k = 10, se fixado π
(1)
, n e ∆. Outro aspecto que deve ser abordado
é que, com o aumento do tamanho das amostras, as taxas de erro tipo I mantiveram
o padrão conservativo, para todas as configurações de k, π
(1)
e ∆. Para os testes de
bootstrap apresentados por Biase (2006), observou-se esse mesmo desempenho dos
testes, considerando valores de π dos grupos próximos de 0,5.
90
TABELA 1.12 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferen-
tes números de populações (k), de valores do parâmetro π no primeiro
grupo (π
(1)
), de tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâme-
tros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas (TCM),
ao nível nominal de 5%.
k π
(1)
n ∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,4
5 0,30 10 0,59
+
0,63
+
0,33
+
5 0,30 30 0,71
+
0,52
+
0,49
+
5 0,30 100 0,77
+
0,68
+
0,36
+
10 0,30 10 0,01
+
0,02
+
0,00
+
10 0,30 30 0,04
+
0,04
+
0,00
+
10 0,30 100 0,07
+
0,11
+
0,01
+
5 0,45 10 0,87
+
0,84
+
0,82
+
5 0,45 30 1,03
+
0,85
+
0,72
+
5 0,45 100 0,75
+
1,03
+
0,62
+
10 0,45 10 0,00
+
0,01
+
0,01
+
10 0,45 30 0,07
+
0,06
+
0,03
+
10 0,45 100 0,08
+
0,03
+
0,06
+
5 0,50 10 1,02
+
0,96
+
0,95
+
5 0,50 30 1,12
+
0,97
+
0,85
+
5 0,50 100 1,07
+
0,76
+
1,06
+
10 0,50 10 0,01
+
0,02
+
0,06
+
10 0,50 30 0,10
+
0,06
+
0,23
+
10 0,50 100 0,06
+
0,03
+
0,19
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
5.2.3 Poder sob H
0
parcial
Na Tabela 1.13 são apresentados os valores de poder, em porcentagem, para
o TCM, em função de k, n e ∆ para α = 5%. Para valores muito pequenos de ∆
(∆ = 0,01 e 0,05), observa-se que os valores de poder são extremamente pequenos
(inferiores a 70%), independente do número de populações e do tamanho das amostras.
Para valores pequenos e moderados de ∆ (0,1 ≤ ∆ ≤ 0,3), os valores de poder do
TCM aumentam consideravelmente com o aumento de n, principalmente de 30 para
100, com exceção para k = 10 e n = 100, considerando ∆ = 0,1, em que o poder do
TCM não apresentou um grande crescimento.
91
TABELA 1.13 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível no-
minal de 5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00 0,09 0,48 3,25 8,50 18,59
5 30 0,07 1,53 7,46 34,51 67,72 89,83
5 100 0,53 14,83 56,63 97,99 99,99 100,00
10 10 0,00 0,02 0,10 0,24 0,40 0,94
10 30 0,02 0,16 0,57 3,74 13,89 35,34
10 100 0,03 1,25 10,96 67,30 97,51 99,97
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 33,77 51,10 69,69 88,35 98,62
5 30 98,09 99,88 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 1,91 4,91 11,79 15,67 35,03
10 30 65,37 89,55 98,37 99,95 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Para ∆ = 0,4, verificou-se que os valores de poder do TCM foram pequenos
para pequenas amostras (n = 10) e para k = 10 e n = 30. Para grandes amostras, os
valores de poder do TCM se aproximaram de 100%. Considerando ∆ = 0,5 e 0,6, o
poder do TCM foi pequeno para pequenas amostras (n = 10), tanto para k = 5 como
para k = 10. Para amostras intermediárias ou grandes (n ≥ 30), os valores de poder
do TCM são altos (superiores a 70%) e tenderam a se aproximar de 100%, exceto para
∆ = 0,5 com k = 10 e n = 30. Se as diferenças (∆) são muito grandes (∆ ≥ 0,7),
os valores de poder do TCM são altos e tendem a se aproximar de 100%, exceto para
k = 10 e n = 10 e k = 5, n = 10, considerando ∆ = 0,7.
De maneira geral, verifica-se, que para todos os valores de ∆, houve redução
expressiva dos valores de poder com o aumento do número de populações k e que o
aumento de n propicia incrementos consideráveis no poder do TCM.
92
Para o nível nominal de 1%, o desempenho geral do TCM foi semelhante aos
obtidos para α = 5%. Na Tabela 1.14 são apresentados os valores de poder do TCM
em função de k, n e ∆, para α = 1%. De modo geral, pode-se observar que, na maioria
das situações avaliadas, considerando pequenas amostras (n = 10), o poder do TCM
foi extremamente pequeno (inferior a 70%), principalmente para k = 10. A exceção
ocorreu para k = 5 e ∆ = 0,9. Da mesma forma que ocorreu para α = 5%, verificou-se
que os valores de poder do TCM tiveram crescimento com o aumento do tamanho das
amostras, aproximando-se de 100% em muitos casos e, ainda, observou-se redução do
poder do TCM com o aumento de k.
TABELA 1.14 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível no-
minal de 1%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00 0,01 0,06 0,88 2,37 6,08
5 30 0,00 0,21 1,85 14,59 42,84 74,06
5 100 0,05 4,62 32,65 92,52 99,87 100,00
10 10 0,00 0,00 0,02 0,04 0,05 0,10
10 30 0,00 0,02 0,10 0,92 4,45 14,87
10 100 0,01 0,29 3,72 43,25 90,61 99,70
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 12,88 23,58 41,30 68,07 92,17
5 30 92,48 99,01 99,95 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 0,15 0,49 0,71 0,10 0,00
10 30 37,98 70,56 92,21 99,62 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Para ∆ ≤ 0,1, os valores de poder foram pequenos para todas as configurações
de k e n. Se os valores de ∆ são moderados ou grandes (∆ = 0,2, 0,3 e 0,4), o poder do
TCM é alto para grandes amostras (n = 100), exceto para k = 10, n = 100 e ∆ = 0,2.
93
Para diferenças muito grandes de ∆ (∆ ≥ 0,5), os valores de poder aproximam de
100% para n ≥ 30, com exceção para k = 10, n = 30 com ∆ = 0,5.
Biase (2006), avaliando o poder dos testes de bootstrap sob a hipótese H
0
par-
cial, concluiu também que os valores de poder dos testes de bootstrap sofrem grande
redução com o aumento do número de populações k e que, com o aumento dos tama-
nhos amostrais n, o poder dos testes tem um crescimento expressivo, tanto para o teste
MV como para o teste Pan. O mesmo efeito do poder dos TCM avaliado neste trabalho
foi verificado com o aumento de n e k. O mesmo desempenho é observado nas com-
parações múltiplas de médias normais para o teste Tukey. Nesse caso, o teste se torna
muito conservativo, com grandes valores de k sob H
0
e pouco poderoso, na mesma
situação, sob H
1
(Borges & Ferreira, 2003; Santos et al., 2001)
Procurando avaliar situações em que os valores de π dos grupos se aproximavam
de 0,5, foram realizadas algumas simulações adicionais para mensurar o poder do TCM
sob a hipótese H
0
parcial, considerando os níveis nominais de 1% e 5%. Novamente,
verificou-se que houve uma semelhança muito grande entre os resultados de 1% e 5%
e, por isso, são apresentados apenas os resultados obtidos para α = 5%.
Na Tabela 1.15 são apresentados os valores de poder do TCM, em função de k,
π
(1)
, n e ∆, para α = 5%. Pode-se observar, para ∆ = 0,01 e 0,1, que o poder do
TCM foi expressivamente pequeno e que, em todas as situações considerando k = 10,
o poder foi inferior ou próximo do valor nominal de 5%. Para uma diferença maior
entre os grupos (∆ = 0,4), os valores de poder foram pequenos (inferiores a 70%)
com n ≤ 30 e, para grandes amostras (n = 100), os valores de poder do TCM se
aproximaram de 100%. Esses resultados estão de acordo com os apresentados por Biase
(2006), considerando os testes de bootstrap.
De modo geral, verifica-se que, se os valores de π dos dois grupos (π
(1)
e π
(2)
)
são muito próximos (∆ = 0,01 e 0,1), o poder do teste é pequeno, independente do
número de populações k e dos tamanhos amostrais n. Para valores de (π
(1)
e π
(2)
) mais
94
TABELA 1.15 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de
amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆),
para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%.
k π
(1)
n ∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,4
5 0,30 10 0,13 0,43 10,88
5 0,30 30 0,19 1,04 56,05
5 0,30 100 0,23 5,72 99,74
10 0,30 10 0,00 0,00 0,11
10 0,30 30 0,01 0,02 16,41
10 0,30 100 0,00 0,42 94,58
5 0,45 10 0,24 0,52 9,66
5 0,45 30 0,30 1,29 56,52
5 0,45 100 0,25 5,14 99,85
10 0,45 10 0,00 0,00 0,42
10 0,45 30 0,01 0,05 15,99
10 0,45 100 0,00 0,27 97,80
5 0,50 10 0,25 0,47 8,53
5 0,50 30 0,31 1,13 58,72
5 0,50 100 0,25 4,87 99,97
10 0,50 10 0,00 0,00 0,43
10 0,50 30 0,01 0,04 21,30
10 0,50 100 0,00 0,37 98,89
bem diferenciados (∆ = 0,4), os valores de poder tendem a se aproximar de 100%,
com o aumento do tamanho das amostras. E, novamente, verifica-se que o poder do
TCM sofre redução com o aumento de k = 5 para k = 10. Esse último fato já poderia
ter sido antecipado quando se avaliou o erro tipo I, pois, com o aumento de k de 5 para
10, sob H
0
parcial, verificou-se que houve tendência de o TCM ser mais conservativo
(Tabela 1.12).
É importante comentar que os tamanhos amostrais utilizados na experimentação
agrícola são compatíveis com os utilizados no presente trabalho. No entanto, esses ta-
manhos amostrais são insuficientes para ter alto poder em detectar diferenças pequenas
(∆ < 0,10). Por exemplo, nas pesquisas eleitorais, são amostrados n = 1068 eleitores
95
para se ter um erro de 3 pontos percentuais, com 95% de confiança. Nesse caso, pode-
se afirmar que um candidato possui maior proporção de eleitores votantes que outro
quando a diferença nas estimativas dessas proporções de ambos os candidatos for supe-
rior a 6 pontos percentuais. Caso essa diferença seja menor que esse valor, o resultado
é declarado como “empate técnico”.
Esse exemplo ilustra uma situação em que uma amostra de tamanho n = 1068
é necessária para detectar uma diferença de ∆ = 0,06. Esse valor é muito superior aos
tamanhos amostrais da maioria das situações agropecuárias. Sugere-se que tamanhos
amostrais bem maiores do que os que são praticados normalmente sejam utilizados nas
pesquisas, quando isso for viável de ser utilizado.
Em decorrência desse fato, foram realizadas algumas simulações extras para
avaliar o TCM em relação às taxas de erro tipo I por experimento e poder sob H
0
parcial, considerando tamanhos amostrais (n) iguais a 400, 800 e 1000, número de
populações (k = 5 e 10), para α = 5%. Especificou-se também que os valores de π no
primeiro grupo fossem iguais a 0,05 e os do segundo, por 0,05 + ∆.
Na Tabela 1.16 são apresentadas as taxas de erro tipo I por experimento sob H
0
parcial em função de k, n e ∆, para α = 5%. Observa-se que, mesmo para grandes
amostras, o TCM apresentou taxas de erro tipo I significativamente (P < 0,01) inferi-
ores ao valor nominal adotado, independente dos valores de k e ∆, sendo considerados
conservativos.
Na Tabela 1.17 são apresentados os valores de poder do TCM em função de
k, n e ∆, para α = 5%. Verifica-se, de modo geral, que os valores de poder foram
pequenos em todas as situações, exceto para ∆ = 0,04 e k = 5, com n = 800 e 1000
e que houve uma redução expressiva do poder com o aumento de k = 5 para k = 10.
Também verificou-se que, com o aumento do tamanho das amostras ou com o aumento
dos valores de ∆, o poder do TCM aumenta.
96
TABELA 1.16 Taxas de erro tipo I por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de diferen-
ças entre os parâmetros π de cada grupo (∆) considerando π
(1)
= 0,05,
para o teste de comparações múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%.
k n ∆ = 0,01 ∆ = 0,02 ∆ = 0,03 ∆ = 0,04
5 400 0,86
+
0,54
+
0,73
+
0,99
+
5 800 0,72
+
0,79
+
0,90
+
1,01
+
5 1000 0,69
+
0,77
+
0,85
+
0,85
+
10 400 0,07
+
0,16
+
0,17
+
0,35
+
10 800 0,09
+
0,12
+
0,23
+
0,29
+
10 1000 0,10
+
0,06
+
0,09
+
0,29
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma confiança de 99%.
TABELA 1.17 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre os parâmetros π de
cada grupo (∆) considerando π
(1)
= 0,05, para o teste de comparações
múltiplas (TCM), ao nível nominal de 5%.
k n ∆ = 0,01 ∆ = 0,02 ∆ = 0,03 ∆ = 0,04
5 400 0,77 3,08 9,37 38,09
5 800 1,44 8,90 27,85 79,59
5 1000 1,90 12,22 38,36 90,04
10 400 0,02 0,16 0,82 7,49
10 800 0,07 0,72 4,65 37,37
10 1000 0,09 1,27 8,13 55,09
97
6 Conclusões
O teste X
2
controlou o erro tipo I em níveis iguais ou inferiores aos valores
nominais de significância e apresentou desempenho superior ao do teste G
2
, que foi
considerado liberal, principalmente nas situações de pequenas amostras e maiores nú-
meros de populações.
O teste de comparações múltiplas assintóticas, proposto para populações bi-
nomiais, apresentou excelentes resultados. Como houve controle do erro tipo I por
experimento de forma conservativa e os resultados de poder deste teste foram bons,
recomenda-se sua aplicação em situações reais.
98
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100
CAPÍTULO 3
INFERÊNCIA BAYESIANA PARA k POPULAÇÕES BINOMIAIS
INDEPENDENTES
101
1 RESUMO
Na teoria frequentista, inferências sobre duas ou mais proporções binomiais são reali-
zadas utilizando-se a análise de variância e os procedimentos de comparações múltiplas
ou, ainda, por meio dos testes assintóticos e de métodos de computação intensiva. To-
dos esses procedimentos apresentam uma limitação, que pode ser atribuída à violação de
algumas das pressuposições exigidas pelos testes ou, então, à necessidade de implemen-
tação de rotinas para suas aplicações. Por essa razão, este trabalho teve por objetivos
propor uma abordagem bayesiana para realizar um teste de comparações múltiplas de
proporções binomiais e um teste global de igualdade de várias proporções binomiais
e, ainda, avaliar o desempenho desses testes utilizando simulação Monte Carlo. Fo-
ram geradas k populações binomiais independentes com parâmetros π
i
e n
i
, i = 1, 2,
···, k e realizadas 1.000 simulações Monte Carlo para cada configuração envolvendo
combinações das quantidades k, n
i
’s e π
i
’s, considerando prioris conjugadas betas com
parâmetros α
i
e β
i
, fixados por tentativa e erro, buscando minimizar as taxas de erro
tipo I e maximizar o poder. As simulações foram subdivididas em duas partes, sendo a
primeira para o teste bayesiano (TB) e a segunda para o teste de comparações múltiplas
bayesianas (TCMB). Cada uma delas foi subdividida novamente em duas etapas. Na
primeira, foram simuladas situações sob H
0
completa para avaliar o erro tipo I do TB
e o erro tipo I por experimento do TCMB. Na segunda, foram simuladas situações, sob
H
0
parcial, para avaliar o poder do TB e do TCMB e, ainda, as taxas de erro tipo I por
experimento somente do TCMB. Foram consideradas populações com π
i
’s idênticos e
fixados em 0,01, 0,1 e 0,5, sob H
0
completa. Para a hipótese H
0
parcial, considerou-se
uma diferença ∆ entre os valores das proporções de dois grupos formados que inter-
namente possuem proporções iguais. Essa diferença variou entre 0,01 e 0,9. Foram
consideradas k = 2, 5 e 10 populações e tamanhos amostrais n
i
= 10, 30 e 100 para
cada população, ∀ i = 1, 2, ···, k. O TB proposto para a igualdade de várias pro-
porções binomiais apresentou excelente desempenho e valores de poder relativamente
altos. O TCMB para proporções binomiais, sob H
0
completa e parcial, foi conservativo
e apresentou grandes valores de poder.
Palavras-chave: Simulação Monte Carlo, teste bayesiano de igualdade de várias pro-
porções binomiais, teste comparações múltiplas bayesianas.
102
2 ABSTRACT
In frequentist theory, inferences about two or more binomial proportions are performed
using analysis of variance and multiple comparisons procedures, or still, by means of
asymptotic tests and computational intensive methods. All these procedures have limi-
tations due to violations of some of the assumptions required by tests or to the need of
implementing routines for their usage. Therefore, this work aimed to propose a baye-
sian multiple comparisons test for proportions and a binomial test for the equality of
several binomial proportions, and also to evaluate their performance using Monte Carlo
simulation. Independent binomial populations with parameters π
i
and n
i
, i = 1, 2, ···,
k were considered and 1.000 Monte Carlo simulations were performed for each confi-
guration involving combinations the quantities k, n
i
’s and π
i
’s, considering conjugate
betas prior with parameters α
i
and β
i
, settled by trial and error for minimizing the type I
error rates and maximizing the power. The simulations were subdivided into two parts:
the first one to test the null hypothesis of equality of the proportions denote TB and
the second for performing the multiple comparisons bayesian tests (TCMB). Each one
was again subdivided into two parts. First, there were simulated circumstances under
complete H
0
to assess the type I error rate of TB and the experimentwise type I error
rate of TCMB. In the second, circumstance under partial H
0
were simulated to evalu-
ate the power of TB and TCMB, and also the experimentwise type I error rates for the
TCMB. Populations with π
i
’s identical and settled at 0.01, 0.1 and 0.5 were considered,
under complete H
0
. For the partial null hypothesis H
0
, it was considered a difference
∆ between the binomial proportions of two groups, where each one was considered
internally homogeneous. This difference varied between 0.01 and 0.9. We considered
k = 2, 5 and 10 populations and sample sizes n
i
= 10, 30 and 100 for the ith popu-
lation, ∀ i = 1, 2, ···, k. The TB for equality of several binomial proportions showed
excellent performance and relatively high power. The TCMB for binomial proportions,
under complete and partial H
0
, was conservative and showed high power.
Key-words: Monte Carlo simulation, bayesian test for equality of several binomial
proportions, bayesian multiple comparisons test.
103
3 Introdução
A comparação de várias proporções binomiais é relevante em muitos estudos
científicos. Na inferência clássica, essa comparação é normalmente realizada aplicando-
se, inicialmente, um teste F para a igualdade de todas as proporções binomiais em
uma análise de variância, seguida da aplicação de um teste de comparações múltiplas
para averiguar quais proporções binomiais diferem entre si, caso a hipótese de nulidade
global seja rejeitada.
Um problema encontrado pelos pesquisadores com a aplicação dessa técnica é
que, no caso das proporções binomiais, as pressuposições de normalidade dos resíduos
e a homogeneidade de variâncias não são atendidas. Nesse caso, métodos alternati-
vos podem ser utilizados para amenizar o problema. Dentre esses métodos, Nelder &
Wedderburn (1972) introduziram uma modelagem estatística de dados, utilizando os
modelos lineares generalizados, que envolve uma variedade de modelos pertencentes
à família exponencial, incluindo o modelo binomial. No entanto, uma limitação desse
método está relacionada com as distribuições das estatísticas dos testes, que são apenas
assintóticas. Procedimentos de comparações múltiplas baseados na família exponencial
não são encontrados.
Para testar a hipótese de nulidade global de igualdade de várias proporções bi-
nomiais, outros métodos alternativos baseiam-se na teoria assintótica. Williams (1988)
e Krishnamoorthy & Peng (2008) avaliaram o desempenho de alguns desses testes, dos
quais podem-se citar o teste de razão de verossimilhanças G
2
e o de X
2
de Pearson.
Especificando um valor de referência π
0
, Krishnamoorthy et al. (2004) também desen-
volveram um estudo para testar várias proporções binomiais. Em relação aos testes de
comparações múltiplas, existem poucos trabalhos na literatura envolvendo proporções
binomiais. Biase & Ferreira (2006) propuseram testes de comparações múltiplas para
parâmetros binomiais utilizando métodos de reamostragem bootstrap, que apresentaram
104
excelentes resultados. O problema da aplicação dos testes de comparações múltiplas,
como também dos testes assintóticos, está vinculado com a necessidade de implemen-
tação de rotinas para a realização desses testes que, para muitos pesquisadores, não é
uma tarefa fácil.
Por outro lado, testes de hipóteses globais de igualdade de várias proporções
binomiais e testes de comparações múltiplas de proporções binomiais podem ser rea-
lizados utilizando-se uma abordagem bayesiana. Essa abordagem permite incorporar
o conhecimento a priori dos pesquisadores sobre os parâmetros de interesse. Não fo-
ram encontrados trabalhos que aplicassem qualquer um desses testes para proporções
binomiais. Entretanto, existem trabalhos que utilizam procedimentos bayesianos para
realizar comparações múltiplas em populações normais homocedásticas e heterocedás-
ticas (Andrade, 2008). No contexto de tabelas de contingência, Agresti & Min (2005)
também avaliaram o desempenho de intervalos de credibilidade bayesiano para propor-
ções binomiais via simulação Monte Carlo.
Assim, este trabalho foi realizado com o objetivo de propor um teste bayesi-
ano para a hipótese de nulidade global de igualdade de várias proporções binomiais e
um teste de comparações múltiplas bayesiano, avaliando o desempenho desses testes
utilizando-se simulação Monte Carlo.
105
4 Metodologia
Para testar a hipótese de igualdade de k proporções binomiais independentes,
foi proposto, neste trabalho, um teste bayesiano usando prioris betas conjugadas. Numa
segunda etapa, desenvolveu-se um teste bayesiano para realizar comparações múltiplas.
Em ambos os casos, o desempenho foi avaliado por simulação Monte Carlo, conforme
justificativa apresentada por Agresti & Min (2005).
4.1 Teste bayesiano para igualdade de proporções binomiais
Para realizar o teste da hipótese de igualdade de k proporções binomiais inde-
pendentes H
0
: π
1
= π
2
= ··· = π
k
= π
0
, foi proposto o método bayesiano descrito
na sequência. Inicialmente, são consideradas k amostras aleatórias independentes, de
tamanhos n
1
, n
2
, ···, n
k
, de populações binomiais com probabilidade de sucesso dos
eventos de interesse, dados por π
1
= π
2
= ··· = π
k
, respectivamente. Sejam y
1
, y
2
,
···, y
k
as realizações do número de sucesso nas amostras das populações 1, 2, ···, k,
respectivamente, então, a função de verossimilhança é dada por:
L(y|π) =
k
i=1
n
i
!
y
i
!(n
i
− y
i
)!
π
y
i
i
(1 − π
i
)
n
i
−y
i
, (4.1)
em que: y = [
y
1
, y
2
, . . . , y
k
]
é o vetor de dados e π = [
π
1
, π
2
, . . . , π
k
]
é o
vetor de parâmetros das k populações binomiais independentes.
Optou-se por escolher prioris conjugadas. Logo, a distribuição de π foi uma
beta com parâmetros α
i
e β
i
. Como, os π’s são independentes, a distribuição conjunta
a priori de π foi:
p(π) ∝
k
i=1
π
α
i
−1
i
(1 − π
i
)
β
i
−1
. (4.2)
106
A distribuição conjunta a posteriori foi obtida multiplicando-se (4.1) por (4.2)
e o resultado é:
p(π|y) ∝ p(π)L(y|π)
∝
k
i=1
π
α
i
−1
i
(1 − π
i
)
β
i
−1
k
i=1
n
i
!
y
i
!(n
i
− y
i
)!
π
y
i
i
(1 − π
i
)
n
i
−y
i
∝ π
α
1
+y
1
−1
1
(1 − π
1
)
β
1
+n
1
−y
1
−1
. . . π
α
k
+y
k
−1
k
(1 − π
k
)
β
k
+n
k
−y
k
−1
,
logo, a distribuição conjunta a posteriori de π é:
π|y ∼
k
i=1
B
i
(α
i
+ y
i
, β
i
+ n
i
− y
i
),
em que B
i
(α, β) refere-se à distribuição beta com parâmetros α e β. Assim, para cada
π
i
, i = 1, 2, ···, k a distribuição é:
π
i
|y ∼ B
i
(α
i
+ y
i
, β
i
+ n
i
− y
i
).
Assim, a média e a variância da distribuição a posteriori de π
i
são:
E(π
i
|y) =
α
i
+ y
i
α
i
+ β
i
+ n
i
= µ
π
i
, (4.3)
V (π
i
|y) =
(α
i
+ y
i
)(β
i
+ n
i
− y
i
)
(α
i
+ β
i
+ n
i
)
2
(α
i
+ β
i
+ n
i
+ 1)
= σ
2
π
i
. (4.4)
Sob a hipótese nula, H
0
: π
1
= π
2
= ··· = π
k
= π, a função de verossimilhança
107
foi simplificada da seguinte forma:
L(y|π) ∝ π
y
1
(1 − π)
n
1
−y
1
π
y
2
(1 − π)
n
2
−y
2
···π
y
k
(1 − π)
n
k
−y
k
∝ π
k
i=1
y
i
(1 − π)
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
. (4.5)
A distribuição a priori para π, comum a todas as populações, foi escolhida como
uma beta com hiperparâmetros α e β. Assim,
P (π) ∝ π
α−1
(1 − π)
β−1
. (4.6)
A distribuição a posteriori de π foi obtida multiplicando-se (4.5) por (4.6), da
seguinte forma:
P (π|y) ∝ P (π)L(y|π)
∝ π
α−1
(1 − π)
β−1
π
k
i=1
y
i
(1 − π)
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
∝ π
α+
k
i=1
y
i
−1
(1 − π)
β+
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
−1
.
Logo, a distribuição a posteriori de π|y foi:
π|y ∼ B
α +
k
i=1
y
i
, β +
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
,
cuja média e variância são, respectivamente:
E(π|y) =
α +
k
i=1
y
i
α + β +
k
i=1
n
i
= µ
π
, (4.7)
108
V (π|y) =
α +
k
i=1
y
i
β +
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
α + β +
k
i=1
n
i
2
α + β +
k
i=1
n
i
+ 1
= σ
2
π
. (4.8)
A formalização do teste bayesiano (TB) foi inspirada nas estatísticas multiva-
riadas de razão de verossimilhanças para vetores de médias normais, que é uma forma
quadrática (Ferreira, 2008; Johnson & Weerahandi, 1988). Assim, para realizar o teste
será considerada a função dos parâmetros dada por:
q
c
= (π
p
− π
0
)
Σ
−1
p
(π
p
− π
0
), (4.9)
em que π
p
é a média da distribuição a posteriori de π, dada por:
π
p
=
E(π
1
|y)
E(π
2
|y)
.
.
.
E(π
k
|y)
= E(π|y),
tendo E(π
i
|y) sido apresentada em (4.3), π
0
é um vetor de médias de k cadeias inde-
pendentes de π, sob H
0
, dado por:
π
0
=
µ
π
µ
π
.
.
.
µ
π
, (4.10)
em que a média µ
π
é dada em (4.7) e Σ
−1
p
é a inversa da matriz de covariâncias da
109
distribuição a posteriori, sob H
1
, de π, que é dada por:
Σ
p
=
σ
2
π
1
0 . . . 0
0 σ
2
π
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . σ
2
π
k
= diag(σ
2
π
i
),
em que σ
2
π
i
é dado em (4.4).
Como a distribuição da função paramétrica (4.9) é desconhecida, usou-se o pro-
cedimento descrito na sequência. Inicialmente, foram geradas k cadeias independentes
da distribuição a posteriori de π sob H
0
, emulando uma situação de k diferentes popu-
lações. Essa é a mesma lógica da distribuição da amplitude estudentizada para compara-
ções múltiplas de k médias normais (Ferreira et al., 2005; Hinkelmann & Kempthorne,
1987; Steel & Torrie, 1980). Assim, foram gerados vetores π
j
, cujos componentes π
ij
são realizações da distribuição a posteriori beta:
π
ij
|y ∼ B
α +
k
i=1
y
i
, β +
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
,
em que π
ij
é a realização aleatória da distribuição beta referente a i-ésima população
(emulação) e j-ésima unidade da distribuição de equilíbrio a posteriori, sendo j = 1, 2,
···, N e i = 1, 2, ···, k. Foi considerado um valor de N igual a 10.000. É relevante
salientar que as distribuições a posteriori, sob H
1
ou sob H
0
, são conhecidas, o que
possibilita a obtenção de amostras válidas diretamente por meio de simulação Monte
Carlo, sem a necessidade de utilização de cadeias de Markov. O vetor de médias das k
distribuições a posteriori sob H
0
foi apresentado em (4.10) e a matriz de covariâncias
110
Σ
0
é dada por:
Σ
0
=
σ
2
π
0 . . . 0
0 σ
2
π
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . σ
2
π
= diag(σ
2
π
),
em que σ
2
π
é dado em (4.8).
Para cada unidade vetorial j da distribuição de equilíbrio a posteriori sob H
0
simulada (π
j
), foi obtida a forma quadrática:
q
j
= (π
j
− π
0
)
Σ
−1
0
(π
j
− π
0
), (4.11)
em que π
j
= [
π
1j
, π
2j
, . . . , π
kj
]
, para j = 1, 2, ···, N .
A quantidade (4.11) pode ser simplificada por:
q
j
=
k
i=1
(π
ij
− µ
π
)
2
α + β +
k
i=1
n
i
2
α + β +
k
i=1
n
i
+ 1
α +
k
i=1
y
i
β +
k
i=1
n
i
−
k
i=1
y
i
. (4.12)
Os N valores de q
j
, j = 1, 2, ···, N obtidos formaram a distribuição nula da
estatística teste. Os valores foram ordenados e o quantil superior 100α% q
α
foi obtido
para α = 5% e 1%. A decisão, contrária ou não à hipótese H
0
, foi tomada de acordo
com o seguinte critério: o valor da função paramétrica q
c
de (4.9) foi confrontado com
esse quantil e, quando q
c
> q
α
, a hipótese nula foi rejeitada ou computando o valor de
credibilidade (valor-c) a favor de H
0
por:
valor −c =
N
j=1
I(q
j
≥ q
c
)
N
,
111
em que I(q
j
≥ q
c
) é a função indicadora que deve retornar 1 se q
j
≥ q
c
ou 0, em
caso contrário. Se o valor-c for inferior a um valor de credibilidade nominal α, deve-se
rejeitar a hipótese nula.
4.2 Comparações múltiplas bayesianas
As comparações múltiplas são definidas para todos os testes de hipóteses entre
duas proporções binomiais. Assim, para testar H
0
:
π = 0, em que o vetor possui
na i-ésima e i’-ésima posições os valores de 1 e −1, respectivamente, e nas demais o
valor 0, foi utilizada a distribuição nula de q
j
, definida em (4.12), propondo a seguinte
função paramétrica:
δ
c
=
π
p
Σ
−1
p
.
Essa quantidade pode ser expandida na seguinte expressão:
δ
c
=
α
i
+y
i
α
i
+β
i
+n
i
−
α
i
+y
i
α
i
+β
i
+n
i
(α
i
+β
i
+n
i
)
2
(α
i
+β
i
+n
i
+1)
(α
i
+y
i
)(β
i
+n
i
−y
i
)
+
(α
i
+β
i
+n
i
)
2
(α
i
+β
i
+n
i
+1)
(α
i
+y
i
)(β
i
+n
i
−y
i
)
Portanto, se |δ
c
| ≥
√
q
α
, a hipótese nula H
0
:
π = 0 deve ser rejeitada, con-
siderando esse nível α de probabilidade nominal. É conveniente destacar que qualquer
outra escolha do vetor pode ser feita, embora o foco, neste trabalho, tenha sido o de
comparações múltiplas. Nesse contexto, é possível obter o intervalo de credibilidade
para
π da seguinte forma:
IC
1−α
(
π) :
π
p
±
√
q
α
Σ
−1
p
(4.13)
112
e a região de credibilidade (RC) de 100(1 − α)% para π por:
RC
1−α
(π) : {π|(π − π
p
)
Σ
−1
p
(π − π
p
) ≤ q
α
}. (4.14)
As expressões (4.13) e (4.14) não foram utilizadas diretamente na avaliação do
teste de comparações múltiplas bayesiano (TCMB), mas possuem grande valor didático
e científico.
4.3 Simulação Monte Carlo
A avaliação do desempenho dos testes bayesianos propostos neste trabalho foi
feita por meio de simulação Monte Carlo. Foram geradas k populações binomiais inde-
pendentes, com parâmetros π
1
, π
2
, ···, π
k
e n
1
, n
2
, ···, n
k
. Foram realizadas 1.000
simulações Monte Carlo para cada configuração, envolvendo combinações das quanti-
dades k, n
i
’s e π
i
’s. As simulações foram subdivididas em duas partes, sendo a primeira
para o TB e a segunda para as comparações múltiplas bayesianas. Cada uma delas foi
subdividida novamente em duas etapas. Na primeira, foram simuladas situações sob
H
0
completa para se avaliar o erro tipo I do teste bayesiano (TB) e o erro tipo I por
experimento do teste de comparações múltiplas bayesiano (TCMB). Na segunda, foram
simuladas situações sob H
0
parcial para avaliar o poder do TB e do TCMB e, ainda, as
taxas de erro tipo I por experimento somente do TCMB.
Para a simulação sob H
0
completa foram consideradas populações com π
i
’s
idênticos (H
0
completa) e fixados em 0,01, 0,1 e 0,5. Sob H
0
parcial, dois grupos iguais
internamente, mas diferentes entre si, foram considerados. Nesse caso, a diferença entre
os valores dos parâmetros dos dois grupos considerados (∆), foram iguais a 0,01, 0,05,
0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 e 0,9. O valor de ∆ representa a diferença entre
os dois grupos. O valor do parâmetro π
do primeiro grupo foi fixado em 0,01, sendo
= 1, 2, 3 quando o número de populações binomiais foi igual a 5 (k = 5) e = 1, 2,
113
3, 4, 5 no caso de k = 10. Também foi considerada uma situação em que o valor π
do
primeiro grupo foi fixado em 0,3, 0,45 e 0,5 e os valores de ∆ = 0,01, 0,10 e 0,4.
Foram consideradas k = 2, 5 e 10 populações e tamanhos de amostras n
i
=
10, 30 e 100 para cada população, ∀ i = 1, 2, ···, k. Foram fixados os níveis nominais
de probabilidade α = 1% e 5%. As taxas de erro tipo I e poder foram computadas para
os testes em questão conforme a situação.
Foi realizado um teste binomial exato, considerando a hipótese H
0
: α = 5%
vs H
1
: α = 5% e H
0
: α = 1% vs H
1
: α = 1%, para um nível nominal de
probabilidade de 1%. O teste será considerado conservativo nas situações em que a
hipótese de nulidade (H
0
) for rejeitada e a taxa de erro tipo I observada for considerada
significativamente (P < 0,01) inferior ao nível nominal. Caso contrário, se a taxa de
erro tipo I observada for considerada significativamente (P < 0,01) superior ao nível
nominal, o teste será considerado liberal. Por fim, pode acontecer, ainda, de a taxa de
erro tipo I observada ser não significativamente (P < 0,01) diferente do nível nominal,
situação ideal e, nesses casos, o teste será considerado exato.
A estatística do teste foi obtida da relação entre as distribuições binomial e F ,
com probabilidade de sucesso π = α, considerando que m representa o número de
hipóteses nulas rejeitadas em N = 1.000 simulações Monte Carlo para o nível nominal
α. Essa estatística é dada por:
F =
m + 1
N − m
1 − α
α
,
que, sob a hipótese nula, segue uma distribuição F com ν
1
= 2(N −m) e ν
2
= 2(m+1)
graus de liberdade. Quando for verificado que F ≤ F
0,005
ou que F ≥ F
0,995
, a hipótese
nula pode ser rejeitada ao nível nominal de probabilidade de 1%, em que F
0,005
e F
0,995
são os quantis da distribuição F com ν
1
e ν
2
graus de liberdade.
Considerando um nível nominal de probabilidade de 1% para o teste, observou-
114
se que, num total de N = 1.000 simulações para α = 5%, os valores inferiores a 33 e
superiores a 69 levam à rejeição da hipótese nula H
0
: α = 5% e que valores inferiores
a 3 e superiores a 19 levam à rejeição da hipótese H
0
: α = 1%, considerando o mesmo
nível de probabilidade de 1% para o teste realizado.
Os resultados do TCMB também foram comparados com os obtidos com os
testes de bootstrap, apresentados por Biase & Ferreira (2006).
Os hiperparâmetros da distribuição a priori foram fixados por tentativa e erro,
buscando minimizar as taxas de erro tipo I e maximizar o poder. Assim, inúmeras
situações foram avaliadas quanto aos valores de α
i
’s, β
i
’s, α’s e β’s, sob H
0
completa
e parcial. Os valores que trouxeram um controle adequado do erro tipo I e maiores
valores de poder foram escolhidos, tornando o teste final mais sensível. Dessa forma,
os valores dos hiperparâmetros para o TB sob H
1
foram (α
i
= 2, β
i
= 2) e (α
i
= 1,
β
i
= 1), para i = 1, 2, ···, k e, sob H
0
, foram (α = 2, β = 2) e (α = 1, β = 1). Para
as comparações múltiplas, todos os hiperparâmetros foram fixados em 2 e 0,01, para os
α
i
’s e β
i
’s e para os α’s e β’s, respectivamente.
As simulações foram realizadas utilizando-se o software R (R. Development
Core Team, 2008) e as rotinas implementadas para avaliação dos testes estão apresen-
tadas em anexo.
115
5 Resultados e Discussão
5.1 Teste bayesiano
Para avaliar o desempenho do teste bayesiano, as taxas de erro tipo I e poder
foram computadas e são apresentadas e discutidas separadamente nas subseções 5.2 e
5.3.
5.2 Erro tipo I
5.2.1 Erro tipo I sob H
0
completa
As taxas de erro tipo I, em porcentagem, sob H
0
completa do teste bayesiano,
representado por TB, são apresentadas na Tabela 2.18 em função de k, n e π, conside-
rando hiperparâmetros iguais a 2 (α
i
’s, β
i
’s, α’s e β’s) e nível nominal de 5%. Todos os
resultados correspondem a médias de 1.000 simulações Monte Carlo.
De modo geral, pode-se observar que houve controle do erro tipo I, pois não
ocorreram situações em que os valores das taxas de erro tipo I superaram significativa-
mente (P < 0,01) o valor nominal de 5%. O que se verifica, na grande maioria dos
casos, é que o TB foi considerado conservativo, ou seja, as taxas de erro tipo I foram
significativamente inferiores (P < 0,01), a 5%. Observa-se também que, para valores
de π próximos de 0,5 e para número de populações maiores (k = 5 e 10), houve uma
tendência de as taxas de erro tipo I aproximarem-se do valor nominal adotado.
A única situação em que o TB apresentou taxa de erro tipo I igual ao valor
nominal foi considerando π = 0,5, com k = 5 e n = 100. Nas demais situações, o
tamanho do TB foi significativamente inferior ao valor nominal de 5%. Em nenhuma
das configurações avaliadas, o TB apresentou desempenho liberal, ou seja, taxas de erro
tipo I significativamente (P < 0,01) superiores ao nível nominal. Isso mostra que esse
teste controlou o erro tipo I sob a hipótese H
0
completa, embora de forma conservativa.
As taxas de erro tipo I sob H
0
completa do TB também foram avaliadas consi-
116
TABELA 2.18 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de valores do parâmetro
(π), para o teste bayesiano (TB) com todos os hiperparâmetros iguais a
2, ao nível nominal de 5%.
k n π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
2 10 0,00
+
0,00
+
0,70
+
2 30 0,00
+
0,40
+
1,40
+
2 100 0,00
+
1,60
+
1,30
+
5 10 0,00
+
0,00
+
1,90
+
5 30 0,00
+
0,00
+
2,50
+
5 100 0,00
+
1,10
+
3,60
ns
10 10 0,00
+
0,00
+
3,10
+
10 30 0,00
+
0,00
+
3,00
+
10 100 0,00
+
2,10
+
3,20
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de
99%.
derando os valores dos hiperparâmetros, α
i
’s e β
i
’s iguais a 1 e dos α’s e β’s iguais a 2.
Na Tabela 2.19 são apresentadas essas taxas em função de k, n e π, para α = 5%. Em
várias situações, o que se observa, de modo geral, é que as taxas de erro tipo I tenderam
a se aproximar do nível nominal de 5%, passando a existir casos em que as taxas foram
consideradas significativamente (P < 0,01) superiores a 5%.
O tamanho do TB não foi significativamente diferente do valor nominal de 5%
com k = 5 e 10 e n = 100, para π = 0,1. Para π = 0,5, verificou-se que, para k = 5 e
10, o TB foi considerado exato, com exceção para k = 10 e n = 10, em que a taxa de
erro tipo I do teste foi significativamente (P < 0,01) superior, a 5%, sendo, nesse caso,
o teste classificado como liberal. Nas demais situações, as taxas de erro tipo I foram
significativamente (P < 0,01) inferiores a 5%, indicando desempenho conservativo do
TB.
Com base nesses resultados, observa-se que o TB apresentou melhor desempe-
nho, considerando todos os hiperparâmetros iguais a 2, uma vez que o teste em questão
não foi considerado liberal em nenhuma situação avaliada, se comparado aos resultados
117
TABELA 2.19 Taxas de erro tipo I (%), sob H
0
completa, para diferentes números de
populações (k), tamanhos de amostras (n) e diferentes valores do parâ-
metro (π) para o teste bayesiano (TB) com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s
iguais a 1 e α’s e β’s iguais a 2, ao nível nominal de 5%.
k n π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
2 10 0,00
+
1,60
+
1,20
+
2 30 0,00
+
1,90
+
1,70
+
2 100 0,10
+
1,30
+
1,60
+
5 10 0,00
+
0,30
+
5,50
ns
5 30 0,00
+
3,10
+
3,50
ns
5 100 0,00
+
4,20
ns
3,60
ns
10 10 0,00
+
0,10
+
8,20
∗
10 30 0,00
+
2,50
+
5,00
ns
10 100 0,00
+
4,50
ns
3,30
ns
∗
significativamente superior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de
99%.
obtidos das taxas de erro tipo I, considerando os hiperparâmetros iguais a 1 e 2. Agresti
& Coull (1998), avaliando métodos de estimação intervalar das proporções binomiais,
verificaram que, substituindo-se o estimador de máxima verossimilhança pelo estimador
das proporções add-4 no intervalo de Wald, os resultados obtidos foram surpreendentes,
uma vez que passaram de extremamente liberais para expressivamente conservativos.
Segundo esses autores, o ponto médio desse intervalo é dado pela estimativa pontual
desse estimador, que corresponde também à estimativa de Bayes (média da distribuição
a posteriori) considerando uma distribuição a priori beta com parâmetros (α e β) iguais
a 2, tendo média de 0,5 e desvio padrão de 0,224. Isso torna-se propício à realização do
TB utilizando-se hiperparâmetros iguais a 2.
Comparando-se os resultados das taxas de erro tipo I sob H
0
completa do TB
(Tabela 2.18) com os obtidos para os testes G
2
e X
2
(Tabela 1.2), verifica-se que o TB
é muito mais conservativo, principalmente em relação ao teste G
2
. Provavelmente, os
valores de poder do TB serão inferiores aos valores de poder dos testes G
2
e X
2
.
118
5.3 Poder
5.3.1 Poder sob H
0
parcial
Houve similaridade muito grande entre o desempenho do TB simulado, consi-
derando o nível nominal de 1% e 5%. Por essa razão, serão apresentados apenas os
resultados para 5%.
Na Tabela 2.20, são apresentados, em porcentagem, os valores de poder sob
H
0
parcial do TB em função de k, n e ∆, considerando hiperparâmetros iguais a 2
e α = 5%. Nessas situações, consideraram-se valores de π no primeiro grupo iguais
a 0,01 e, no segundo, iguais a 0,01 + ∆. Se os valores de ∆ são muito pequenos
(∆ = 0,01 ou 0,05), o poder do TB é igual a zero ou pequeno, independente do número
de populações (k) e do tamanho amostral (n).
Para diferenças pequenas ou moderadas (0,1 ≤ ∆ ≤ 0,3), observa-se que os
valores de poder do TB são pequenos para todos os casos, considerando pequenas amos-
tras (n = 10) e, em alguns casos, considerando amostras intermediárias (n = 30). Para
grandes amostras (n = 100), o poder do teste tende a se aproximar de 100%. Entre-
tanto, para valores de ∆ grandes ou muito grandes, ∆ ≥ 0,4, o poder do TB aproximou-
se rapidamente de 100%, na maioria das situações avaliadas, inclusive para pequenas
amostras. Isso não foi verificado apenas com k = 5 e n = 10, considerando ∆ = 0,4 e
0,5 e também com k = 10 e n = 10, para ∆ = 0,4.
De maneira geral, pode-se observar que houve um grande efeito do tamanho
das amostras (n) e do número de populações (k), no sentido de aumentar os valores de
poder do TB. Assim, ao se fixar um valor de ∆ e o número de populações (k), o aumento
de n proporciona acréscimos consideráveis do poder, principalmente se a diferença ∆
é pequena ou moderada. O mesmo desempenho do poder do TB é observado se forem
fixados um ∆ e o tamanho amostral (n), variando o número de populações de 5 para
10.
119
TABELA 2.20 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre os parâmetros bino-
miais π de cada grupo (∆), para o teste bayesiano (TB) com todos os
hiperparâmetros iguais a 2, ao nível nominal de 5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00 0,00 0,00 0,90 6,90 29,90
5 30 0,00 0,00 0,90 42,60 92,30 99,90
5 100 0,00 9,90 87,60 100,00 100,00 100,00
10 10 0,00 0,00 0,00 2,00 19,30 64,30
10 30 0,00 0,00 1,10 86,20 99,90 100,00
10 100 0,00 30,00 99,80 100,00 100,00 100,00
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 62,00 88,70 98,60 100,00 100,00
5 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 95,70 100,00 100,00 100,00 100,00
10 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
O poder do TB também foi avaliado sob a hipótese H
0
parcial, considerando
os hiperparâmetros da distribuição a priori α
i
’s e β
i
’s iguais a 1 e α’s e β’s iguais a 2.
Na Tabela 2.21 são apresentados esses valores de poder, em função de k, n e ∆, para
α = 5%. De modo geral, verifica-se que o desempenho do teste, nesse caso, apresentou
semelhanças ao observado para os valores de poder do TB considerando todos os hiper-
parâmetros iguais a 2. No entanto, observa-se que, na maioria das situações, os valores
de poder do TB com hiperparâmetros iguais a 1 e 2 foram superiores aos valores de
poder do TB, considerando apenas hiperparâmetros iguais a 2.
Comparando-se esses resultados, pode-se observar que, para ∆ = 0,01, os valo-
res de poder do TB são relativamente iguais para as duas configurações de hiperparâme-
tros considerados, independente do número de populações (k) e do tamanho amostral
(n). Para valores de ∆ maiores (∆ = 0,05), os valores de poder do TB, considerando
120
TABELA 2.21 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e de diferenças entre os parâmetros bino-
miais π de cada grupo (∆), para o teste bayesiano (TB) com hiperparâ-
metros α
i
’s e β
i
’s iguais a 1 e α’s e β’s iguais a 2, ao nível nominal de
5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00 0,00 0,10 2,50 20,60 57,00
5 30 0,00 0,10 7,90 77,00 99,50 100,00
5 100 0,00 45,00 97,30 100,00 100,00 100,00
10 10 0,00 0,00 0,00 4,20 41,90 85,60
10 30 0,00 0,00 15,70 98,00 100,00 100,00
10 100 0,10 77,00 100,00 100,00 100,00 100,00
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 82,50 96,50 99,80 100,00 100,00
5 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 99,20 99,80 100,00 100,00 100,00
10 30 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
os hiperparâmetros iguais a 1 e 2, são expressivamente superiores aos de poder do TB
com hiperparâmetros iguais a 2, mas, somente para grandes amostras (n = 100).
Para valores de ∆ pequenos ou moderados (0,1 ≤ ∆ ≤ 0,3), o poder do TB
com hiperparâmetros iguais a 1 e 2 também apresentou várias situações em que os
valores de poder foram consideravelmente superiores ao do TB, com hiperparâmetros
iguais a 2. Para ∆ grande ou muito grande (∆ ≥ 0,4), houve casos de superioridade
dos valores de poder com hiperparâmetros iguais a 1 e 2, apenas em algumas situações
de pequenas amostras (n = 10), uma vez que, para amostras intermediárias e gran-
des (n ≥ 30), o poder do TB aproximou-se de 100%, independente dos valores dos
hiperparâmetros.
Outra comparação que deve ser realizada refere-se aos valores de poder do TB
121
com os dos testes G
2
e X
2
. Analisando-se as Tabelas 2.20 e 1.4, o que se verifica é que
os valores de poder do TB com hiperparâmetros iguais a 2 são inferiores aos valores
de poder dos testes G
2
e X
2
, principalmente se ∆ ≤ 0,3. À medida que os valores
de ∆ aumentam, a diferença entre os valores de poder destes testes diminui, pois o
poder de todos os testes tende a se aproximar de 100%. Esse mesmo desempenho foi
observado ao comparar-se o TB, considerando hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 1
e α’s e β’s iguais a 2 (Tabela 2.21), em relação aos testes G
2
e X
2
(Tabela 1.4). A
inferioridade do poder do TB já era esperada, pois, conforme comentado anteriormente,
o TB apresentou taxas de erro tipo I mais conservativas em relação aos demais testes
avaliados neste trabalho.
Buscando avaliar situações em que os valores das proporções populacionais (π)
dos dois grupos estivessem próximos de 0,5, foram realizadas algumas simulações adi-
cionais, nas quais avaliou-se o poder sob H
0
parcial do TB, considerando o nível no-
minal de 1% e 5%. Novamente, os resultados para α = 1% foram bastante similares
aos observados para α = 5% e, por isso, foram apresentados apenas os resultados para
α = 5%.
Na Tabela 2.22 são apresentados os valores de poder do TB com hiperparâme-
tros iguais a 2 em função de k, π
(1)
, n e ∆, para α = 5%. Pode-se observar, para
∆ = 0,01, que os valores de poder do TB são inferiores ao nível nominal de 5% para
todos os tamanhos amostrais (n), número de populações (k) e valores de π
(1)
.
Considerando ∆ = 0,1, os valores de poder ainda são pequenos, no entanto,
nota-se que o poder do TB tem um crescimento à medida que o número de populações
e tamanhos amostrais aumenta, principalmente se n aumenta de 30 para 100. Para uma
diferença maior entre os valores de π dos grupos (∆ = 0,4), verifica-se que, para k = 5
e n = 10, independente do valor de π
(1)
e também com k = 10, n = 10 e π
(1)
= 0,30
e 0,50, o poder do TB foi pequeno (inferior a 70%). Nas demais situações, os valores
de poder tenderam a se aproximar de 100%.
122
TABELA 2.22 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de valores do parâmetro π no primeiro grupo (π
(1)
), de tamanhos de
amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada grupo (∆),
para o teste bayesiano (TB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2,
ao nível nominal de 5%.
k π
(1)
n ∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,4
5 0,30 10 1,40 2,20 42,30
5 0,30 30 2,80 7,30 98,00
5 0,30 100 4,00 31,70 100,00
10 0,30 10 1,10 2,00 68,30
10 0,30 30 3,80 14,00 100,00
10 0,30 100 3,60 53,80 100,00
5 0,45 10 2,30 3,80 46,80
5 0,45 30 1,80 7,40 99,20
5 0,45 100 3,00 27,50 100,00
10 0,45 10 2,70 5,50 73,10
10 0,45 30 3,10 13,00 100,00
10 0,45 100 4,60 51,40 100,00
5 0,50 10 2,70 3,80 44,20
5 0,50 30 3,00 8,90 99,70
5 0,50 100 2,80 28,00 100,00
10 0,50 10 2,60 5,40 69,20
10 0,50 30 3,90 13,10 100,00
10 0,50 100 4,50 52,20 100,00
Observa-se que os valores de poder do TB com hiperparâmetros iguais a 2 tam-
bém foram inferiores aos valores de poder dos testes G
2
e X
2
(Tabelas 2.22 e 1.6),
independente dos valores de k, n, π
(1)
, para ∆ = 0,01 e 0,1. Para ∆ = 0,4, o desem-
penho do TB e o dos testes G
2
e X
2
tendem a se igualar e a se aproximar de 100%,
principalmente se n ≥ 30.
5.4 Teste de comparações múltiplas bayesiano
O teste de comparações múltiplas envolvendo proporções binomiais, utilizan-
do-se a abordagem bayesiana, foi avaliado, inicialmente, em duas maneiras distintas de
123
computar o erro tipo I por experimento: uma sob a hipótese H
0
completa e a outra sob
a hipótese H
0
parcial. Posteriormente, o poder desse teste foi mensurado sob a hipótese
H
0
parcial.
5.5 Erro tipo I
5.5.1 Erro tipo I sob H
0
completa
Na Tabela 2.23 são apresentadas, em porcentagem, as taxas de erro tipo I, por
experimento, sob H
0
completa, do teste de comparações múltiplas bayesiano, identi-
ficado por TCMB, em função de k, n e π, considerando os hiperparâmetros da distri-
buição a priori beta iguais a 2, para α = 5%. Pode-se observar que houve controle do
erro tipo I por experimento, pois, em todos os casos, as taxas de erro não superaram
significativamente (P < 0,01) o valor nominal de 5%. Na verdade, observou-se que,
exceto com k = 5, n = 100 e π = 0,5, em que o teste foi considerado exato, as taxas de
erro tipo I por experimento do TCMB foram significativamente (P < 0,01) inferiores,
ao nível nominal de 5%, o que indica que o TCMB é conservativo para essas situações
avaliadas.
Comparando-se esses resultados com os obtidos para o TCM utilizando a dis-
tribuição assintótica de qui-quadrado (Tabela 1.8) e também com os testes de bootstrap
avaliados por Biase (2006) (Tabela 1.1), observa-se que o TCMB é extremamente con-
servativo em relação aos demais testes, independente do número de populações (k),
tamanhos amostrais (n) e valores dos parâmetros binomiais (π).
Procurando obter um melhor desempenho do TCMB, ou seja, taxas de erro tipo
I por experimento iguais ao valor nominal de probabilidade, foram realizadas algumas
simulações adicionais, variando-se os valores dos hiperparâmetros (α e β) da distribui-
ção a priori do parâmetro π. Na Tabela 2.24, são apresentadas as taxas de erro tipo I
por experimento do TCMB, considerando hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e
124
TABELA 2.23 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
completa, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de
valores do parâmetro π, para o teste de comparações múltiplas bayesi-
ano (TCMB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2, ao nível nominal
de 5%.
k n π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
2 10 0,00
+
0,00
+
1,50
+
2 30 0,00
+
0,40
+
2,00
+
2 100 0,00
+
0,40
+
0,60
+
5 10 0,00
+
0,00
+
0,30
+
5 30 0,00
+
0,00
+
1,30
+
5 100 0,00
+
0,20
+
0,60
ns
10 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 30 0,00
+
0,00
+
0,10
+
10 100 0,00
+
0,00
+
0,00
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de
99%.
α’s e β’s iguais a 2, em função de k, n e π, para o nível nominal de 5%. Verifica-se
que, mesmo para pequenos valores dos hiperparâmetros, as taxas de erro para valores
de π afastados de 0,5 (π ≤ 0,1) são significativamente (P < 0,01) menores do que 5%.
Portanto, o TCMB continuou sendo conservativo nesses casos.
Para valores de π = 0,5, o TCMB apresentou melhores resultados para k = 2
e tamanhos de amostras pequenas e intermediárias (n = 10 e 30), em que a taxa não
diferiu significativamente (P > 0,01) do valor nominal adotado. Houve também alguns
casos em que o TCMB foi liberal, isto é, apresentou taxas de erro tipo I significativa-
mente (P < 0,01) superiores a 5%. Isso ocorreu para pequenas amostras (n = 10) e
k = 5 e 10. Nas demais situações, o TCMB foi considerado conservativo.
Os resultados das taxas de erro tipo I, sob H
0
completa, do TCMB considerando
α = 1%, foram bastante similares aos resultados observados para α = 5% e, em
decorrência desse fato, não foram apresentados.
125
TABELA 2.24 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
completa, para dife-
rentes números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e de
valores do parâmetro π para o teste de comparações múltiplas bayesi-
ano (TCMB), com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s
iguais a 2, ao nível nominal de 5%.
k n π = 0,01 π = 0,1 π = 0,5
2 10 0,00
+
0,50
+
4,60
ns
2 30 0,00
+
1,80
+
3,90
ns
2 100 0,00
+
1,50
+
1,80
+
5 10 0,00
+
0,10
+
10,00
∗
5 30 0,00
+
0,60
+
2,30
+
5 100 0,00
+
1,00
+
1,00
+
10 10 0,00
+
0,00
+
8,90
∗
10 30 0,00
+
0,00
+
0,60
+
10 100 0,00
+
0,20
+
0,30
+
∗
significativamente superior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
ns
não significativamente diferente do nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
5.5.2 Erro tipo I sob H
0
parcial
As taxas de erro tipo I por experimento, sob H
0
parcial, para o TCMB em função
de k, n e ∆, são apresentadas na Tabela 2.25, considerando hiperparâmetros iguais a
2 e α = 5%. Verifica-se, de modo geral, que o TCMB controlou o erro tipo I por
experimento sob H
0
parcial, independente do número de populações (k), do tamanho
amostral (n) e da diferença entre os valores de π dos grupos ∆. Em todos os casos, o
TCMB foi conservativo, apresentando taxas relativamente próximas de zero, indicando
excesso de conservadorismo.
Comparando-se o desempenho do TCMB com o TCM baseado na distribuição
assintótica, quanto às taxas de erro tipo I sob H
0
parcial, pode-se observar que o de-
sempenho do TCMB assemelha-se ao do TCM assintótico, pois ambos os testes foram
conservativos em todas as situações avaliadas. No entanto, as taxas de erro tipo I do
TCMB foram expressivamente menores do que as do TCM, o que pode afetar o poder.
Os testes de bootstrap avaliados por Biase (2006) apresentaram melhor de-
126
TABELA 2.25 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferenças
entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações
múltiplas bayesiano (TCMB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2,
ao nível nominal de 5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
5 30 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
5 100 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,10
+
0,10
+
0,00
+
10 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 30 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,10
+
0,10
+
10 100 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,10
+
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
5 30 0,00
+
0,10
+
0,20
+
0,00
+
0,00
+
5 100 0,20
+
0,00
+
0,20
+
0,10
+
0,00
+
10 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 30 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 100 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
sempenho, pois, em alguns casos, o tamanho dos testes não foi significativamente
(P < 0,01) diferente do valor nominal adotado. Porém, conforme mencionado an-
teriormente, a aplicação destes testes ainda é limitada por necessitar de conhecimento
de programação e de grande esforço computacional.
Na Tabela 2.26 são apresentadas as taxas de erro tipo I por experimento, sob
H
0
parcial do TCMB, com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s iguais
a 2, em função de k, n e ∆, considerando o nível nominal de 5%. De maneira geral,
verifica-se que os hiperparâmetros não tiveram grande influência nas taxas de erro tipo
I sob H
0
parcial, pois, mesmo para hiperparâmetros pequenos, as taxas de erro do tipo
I do TCMB apresentaram o mesmo padrão de resposta observado para as taxas de erro
tipo I do TCMB com hiperparâmetros iguais a 2.
127
TABELA 2.26 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), de tamanhos de amostras (n) e diferenças
entre os parâmetros π de cada grupo (∆), para o teste de comparações
múltiplas bayesiano (TCMB), com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a
0,01 e α’s e β’s iguais a 2, ao nível nominal de 5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,10
+
0,90
+
0,80
+
5 30 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,20
+
0,20
+
5 100 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,20
+
0,30
+
0,10
+
10 10 0,00
+
0,10
+
0,00
+
0,10
+
1,00
+
2,10
+
10 30 0,00
+
0,00
+
0,00
+
0,10
+
0,10
+
0,20
+
10 100 0,00
+
0,00
+
0,20
+
0,10
+
0,00
+
0,00
+
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 1,10
+
1,40
+
0,60
+
0,10
+
0,00
+
5 30 0,40
+
0,20
+
0,50
+
0,00
+
0,00
+
5 100 0,10
+
0,20
+
0,30
+
0,00
+
0,10
+
10 10 2,30
+
1,50
+
0,80
+
0,40
+
0,00
+
10 30 0,10
+
0,10
+
0,10
+
0,00
+
0,00
+
10 100 0,00
+
0,00
+
0,10
+
0,00
+
0,10
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
Novamente, pode-se observar que todas as taxas de erro tipo I, por experimento
sob H
0
parcial, foram significativamente (P < 0,01) inferiores ao nível nominal de
5%, indicando desempenho conservativo do TCMB. Porém, verifica-se que, para va-
lores moderados e grandes de ∆ (0,3 ≤ ∆ ≤ 0,7), algumas taxas de erro tipo I do
TCMB, considerando hiperparâmetros iguais a 0,01 e 2, foram sutilmente superiores às
observadas para o TCMB, considerando todos os hiperparâmetros iguais a 2.
Para o valor nominal de 1%, os resultados das taxas de erro tipo I por expe-
rimento foram semelhantes aos observados para 5%. Assim, a maioria dos resultados
foi significativamente (P < 0,01) inferior a α = 1%, existindo apenas alguns casos
em que os resultados do TCMB não diferiram significativamente (P > 0,01) de 1%,
considerando hiperparâmetros iguais a 0,01 e 2.
128
Para avaliar o TCMB com hiperparâmetros iguais a 2, considerando valores de
π dos dois grupos próximos de 0,5, as taxas de erro tipo I por experimento, sob H
0
parcial, foram calculadas e são apresentadas na Tabela 2.27, em função de k, π
(1)
e n.
TABELA 2.27 Taxas de erro tipo I, por experimento (%), sob H
0
parcial, para diferentes
números de populações (k), valores do parâmetro π no primeiro grupo
(π
(1)
), tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π
de cada grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas bayesiano
(TCMB), com todos os hiperparâmetros iguais a 2, ao nível nominal de
5%.
k π
(1)
n ∆ = 0,01 ∆ = 0,1 ∆ = 0,4
5 0,30 10 0,00
+
0,30
+
0,10
+
5 0,30 30 0,40
+
0,40
+
0,30
+
5 0,30 100 0,20
+
0,30
+
0,20
+
10 0,30 10 0,10
+
0,00
+
0,00
+
10 0,30 30 0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 0,30 100 0,10
+
0,00
+
0,00
+
5 0,45 10 0,20
+
0,00
+
0,10
+
5 0,45 30 0,00
+
0,60
+
0,20
+
5 0,45 100 0,00
+
0,70
+
0,10
+
10 0,45 10 0,10
+
0,00
+
0,00
+
10 0,45 30 0,10
+
0,00
+
0,00
+
10 0,45 100 0,00
+
0,10
+
0,00
+
5 0,50 10 0,00
+
0,50
+
0,30
+
5 0,50 30 0,40
+
0,30
+
0,20
+
5 0,50 100 0,50
+
0,30
+
0,20
+
10 0,50 10 0,00
+
0,00
+
0,00
+
10 0,50 30 0,20
+
0,00
+
0,00
+
10 0,50 100 0,10
+
0,00
+
0,00
+
+
significativamente inferior ao nível nominal de 5%, considerando uma credibilidade de 99%.
Pode-se observar, de modo geral, que, em todas as situações, os valores das
taxas de erro tipo I foram significativamente (P < 0,01) menores do que 5%. Ademais,
verificou-se que, para número de populações menores (k = 5), as taxas de erro tipo
I foram relativamente superiores às observadas para k = 10, enquanto os tamanhos
amostrais não apresentaram interferência nos resultados obtidos.
Apesar de o TCMB ser considerado conservativo para valores de π próximos de
129
0,5, esses resultados são menos conservativos do que quando os valores de π
(1)
eram
afastados de 0,5 (π
(1)
= 0,01) (Tabela 2.25) sob H
0
parcial, considerando k = 5. Para
k = 10, tanto para π
(1)
próximos ou afastados de 0,5, as taxas se aproximaram de zero.
5.6 Poder
5.6.1 Poder sob H
0
parcial
Como o poder do TCMB, com todos os hiperparâmetros iguais a 2, foi, em
geral, bem inferior à situação em que os hiperparâmetros eram iguais a 0,01 e 2 e,
em ambos os casos, houve controle do erro tipo I por experimento, embora de forma
conservativa, então, apenas os resultados do último caso foram apresentados. Na Tabela
2.28 são apresentados esses valores de poder do TCMB com hiperparâmetros iguais a
0,01 e 2 em função de k, n e ∆, considerando α = 5%.
Pode-se observar que, para valores muito pequenos de ∆ (∆ = 0,01 e 0,05),
o poder do TCMB é pequeno, apresentando, na maioria das situações, valores aproxi-
madamente iguais a zero. Se a diferença ∆ é pequena ou moderada, 0,1 ≤ ∆ ≤ 0,3,
os valores de poder tendem a se aproximar de 100% somente para grandes amostras
(n = 100), exceto para k = 5 e 10, com n = 100, considerando ∆ = 0,1.
Para grandes valores de ∆ (0,4 ≤ ∆ ≤ 0,6), verifica-se que o poder do TCMB
aumenta expressivamente com o aumento do tamanho das amostras (n), principalmente
se (n) aumenta de 10 para 30. Se as diferenças são muito grandes (∆ ≥ 0,7), os
valores de poder são pequenos apenas para k = 10, n = 10, considerando ∆ = 0,7.
Nos demais casos, o poder do TCMB tende a se aproximar de 100%, com o aumento
das amostras.
De modo geral, verifica-se que o aumento do tamanho das amostras exerce in-
fluência favorável no crescimento dos valores de poder do teste, ao contrário do que
ocorre com o aumento do número de populações (k), que propicia a redução dos valo-
130
TABELA 2.28 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas bayesiano (TCMB),
com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s iguais a 2, ao
nível nominal de 5%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00 0,00 0,00 0,85 6,40 17,95
5 30 0,00 0,03 0,63 16,46 59,60 88,80
5 100 0,00 1,76 35,30 97,20 100,00 100,00
10 10 0,00 0,02 0,00 0,12 1,35 6,18
10 30 0,00 0,00 0,00 1,02 15,01 53,99
10 100 0,00 0,00 3,66 76,10 99,42 100,00
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 39,78 67,76 87,03 97,00 99,83
5 30 98,50 100,00 100,00 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 18,04 38,57 64,83 86,68 98,78
10 30 87,05 98,24 99,91 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
res de poder. Essas informações estão de acordo com as obtidas para o poder do TCM
utilizando distribuição assintótica de qui-quadrado que estão apresentadas na Tabela
1.13. Entretanto, observa-se que, para ∆ ≤ 0,4, o TCMB apresentou valores de poder
inferiores ao TCM na maioria das situações avaliadas. Mas, à medida que a diferença
∆ tornou-se maior (∆ ≥ 0,5), a maioria dos valores de poder do TCMB aproximou-se
de 100% e igualou-se aos valores de poder dos testes G
2
e X
2
.
Para o nível nominal de 1%, observou-se que o TCMB com hiperparâmetros
iguais a 0,01 e 2 apresentou desempenho similar aos observados para α = 5%. Os valo-
res de poder do TCMB em função de k, n e ∆, considerando α = 1%, são apresentados
na Tabela 2.29. Verifica-se, para ∆ ≤ 0,1, que os valores de poder são relativamente
próximos de zero.
131
TABELA 2.29 Poder (%), sob H
0
parcial, para diferentes números de populações (k),
de tamanhos de amostras (n) e diferenças entre os parâmetros π de cada
grupo (∆), para o teste de comparações múltiplas bayesiano (TCMB),
com hiperparâmetros α
i
’s e β
i
’s iguais a 0,01 e α’s e β’s iguais a 2, ao
nível nominal de 1%.
∆
k n 0,01 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4
5 10 0,00 0,00 0,00 0,70 5,27 16,26
5 30 0,00 0,00 0,00 2,65 27,03 69,70
5 100 0,00 0,05 0,95 87,45 99,83 100,00
10 10 0,00 0,02 0,00 0,12 1,34 6,06
10 30 0,00 0,00 0,00 0,10 6,98 37,53
10 100 0,00 0,00 0,36 48,34 97,14 99,99
∆
k n 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
5 10 36,30 62,83 82,67 94,83 99,48
5 30 94,08 99,50 99,98 100,00 100,00
5 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
10 10 17,54 37,41 62,63 83,99 97,07
10 30 76,98 95,64 99,72 100,00 100,00
10 100 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Para uma diferença moderada de ∆ ( 0,2 ≤ ∆ ≤ 0,4), os valores de poder do
TCMB foram pequenos para amostras pequenas e intermediárias (n ≤ 30). Com o
aumento de n de 30 para 100, houve um crescimento expressivo dos valores de poder,
aproximando-se de 100%, tanto para k = 5 como para k = 10. Isso não foi verificado
apenas para k = 10, n = 100 e ∆ = 0,2.
Considerando valores de ∆ grandes ou muito grandes (∆ ≥ 0,5), os valores
de poder são pequenos (inferiores a 70%) para k = 5 e 10 e n = 10, considerando
∆ = 0,5 e 0,6 e com k = 10 e n = 10 para ∆ = 0,7. Nos demais casos, os valores de
poder aproximam-se de 100%, mesmo para pequenas amostras (n = 10).
De maneira geral, pode-se observar que houve redução do poder do TCMB com
o aumento de k de 5 para 10 e que, com o aumento do tamanho das amostras, o poder
132
dos testes tende a aumentar. Esses resultados estão de acordo com os apresentados para
o TCM (Tabela 1.14) e também com os testes de bootstrap avaliados por Biase (2006).
Comparando-se os resultados das Tabelas 2.28 e 2.29 com os das Tabelas 1.13
1.14, respectivamente, é possível verificar que, tanto para α = 1% como para α =
5%, o TCM apresentou, na grande maioria das situações, valores de poder inferiores
aos valores de poder do TCMB, considerando diferenças pequenas e moderadas de ∆
(∆ ≤ 0,4). Para diferenças grandes ou muito grandes, ∆ ≥ 0,5, o TCMB apresentou
desempenho melhor, tendo valores de poder superiores aos do TCM.
Quanto aos testes de bootstrap, verifica-se, para ∆ = 0,1, que os valores de
poder do TCMB são menores para n ≤ 30 e superiores aos testes de bootstrap, para
n = 100. Considerando ∆ = 0,5, os testes de bootstrap apresentaram valores de poder
superiores ao TCMB, independente do tamanho das amostras. Por fim, para ∆ = 0,9, o
teste bootstrap Pan apresentou desempenho semelhante ao do TCMB, enquanto o teste
bootstrap MV apresentou valores de poder expressivamente inferiores ao TCMB para
n ≤ 30. Para grandes amostras (n = 100), o poder dos dois testes aproximou-se de
100%, igualando-se.
133
6 Conclusões
O teste bayesiano para a igualdade de várias proporções binomiais apresentou
excelente desempenho, controlando o erro tipo I em praticamente todas as situações,
em níveis iguais ou inferiores aos valores nominais. O poder desse teste é relativamente
alto, principalmente se as diferenças entre as proporções binomiais dos dois grupos são
grandes.
O teste de comparações múltiplas para proporções binomiais foi proposto com
sucesso. De maneira geral, o teste é conservativo, sob H
0
completa e parcial e apresenta
valores de poder altos.
134
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estimation of binomial proportions. American Statistician, Alexandria, v.52, n.2,
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utilizando bootstrap. Revista de Matemática e Estatística, São Paulo, v.24, n.1,
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differences between several binomial proportions. Journal of Applied Statistical
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135
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Statistics & Data Analysis, Amsterdam, v.45, p.697-707, 2004.
NELDER, J.A.; WEDDERBURN, R.W.M. Generalized linear models. Journal of the
Royal Statistical Society. Series A. Statistics in society, London, v.135, p.370-384,
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Vienna: R Foundation for Statistical Computing, 2008. Disponível em:
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STEEL, R.G.D.; TORRIE, J.H. Principles and procedures of statistics. 2. ed. New
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WILLIAMS, D.A. Test for differences between several small proportions. Journal of
the Royal Statistical Society, London, v.37, n.3, p.421-434, 1988.
136
ANEXOS
Página
PROGRAMA A: Programa R de simulação utilizado para computar o erro
tipo I, erro tipo I por experimento e o poder de todos os testes, sob H
0
completa
e parcial, conforme a situação avaliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
PROGRAMA B: Programa R para realizar inferências sobre proporções bi-
nomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
137
PROGRAMA A: Programa R de simulação utilizado para computar o erro tipo I, erro
tipo I por experimento e o poder de todos os testes, sob H
0
completa e parcial, conforme
a situação avaliada.
# Programa p a r a s i m u l a r p o pula ç õ e s b i n o m i a i s i n d e p e n d e n t e s
# ( ni , p i ) i = 1 , 2 , . . . , k e par a a v a l i a r o desempenho de t e s t e s da
# h i p ó t e s e H0 : p1 = p2 = . . . = pk e de compa rações m ú l t i p l a s
# ( p oder e t a x a de e r r o t i p o I por e x p e r i m e n t o ) , u t i l i z a n d o
# i n f e r ê n c i a s f r e q u e n t i s t a s e b a y e s i a n a s .
# Função p a r a s i m u l a r k po pula ç õ e s b i n o m i a i s i n d e p e n d e n t e s de
# tamanho n i s e p r o b a b i l i d a d e s de s u ce s s o p i s − r e t o r n a o v e t o r
# y =[ y1 , . . . , yk ] .
g e r a b i n <− f u n c t i o n ( k , n is , p i s ) {
i f ( ( l e n g t h ( n i s ) != l e n g t h ( p i s ) ) | ( l e n g t h ( n i s ) ! = k ) )
s t o p ( "Dimensões i n c o m p a tívei s ! " )
return ( rbinom ( k , n i s , p i s ) )
}
# Função que r e t o r n a a média e a m a t r i z de c o v a r i â n c i a s da
# p o s t e r i o r i sob H1 , r e f e r e n t e as e x p r e s s õ e s ( 4 . 4 ) e ( 4 . 5 ) da
# t es e , r ecebe n d o : o v e t o r y ( k x 1) de observaç õ e s , o v e t o r n i s
# ( k x 1) dos tamanhos a m o s t r a i s , o número k de pop u laç õ es , o
# v e t o r a l p h a s de h i p e r p a r â m e t r o s a l p h a _ i s e o v e t o r b e t a s dos
# h i p e r p a r â m e t r o s b e t a _ i s ( k x 1 ) .
MedCovPostH1 <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , a l p h a s , b e t a s )
{
pip <− ( a l p h a s +y ) / ( a l p h a s + b e t a s + n i s )
s i g p <− ( a l p h a s +y ) ∗ ( b e t a s + n i s −y ) / ( ( a l p h a s + b e t a s + n i s ) ^2 ∗
( a l p h a s + b e t a s + n i s + 1 ) )
return ( l i s t ( pip =pip , s i g p = d i a g ( s i g p ) ) )
}
# Função que r e t o r n a a média e a m a t r i z de c o v a r i â n c i a s da
# p o s t e r i o r i sob H0 , r e f e r e n t e as e x p r e s s õ e s ( 4 . 9 ) e ( 4 . 1 0 ) da
# t es e , r ecebe n d o : o v e t o r y ( k x 1) de observaç õ e s , o v e t o r n i s
# ( k x 1) dos tamanhos a m o s t r a i s , o número k de pop u laç õ es , o
# h i p e r p a r â m e t r o a l pha e o h i p e r p a r â m e t r o be t a .
MedCovPostH0 <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , alp ha , b e t a ) {
pi0 <− r ep ( ( alp h a +sum ( y ) ) / ( a l ph a + b e t a +sum ( n i s ) ) , t i me s =k )
s i g 0 <− ( a l p h a +sum ( y ) ) ∗ ( b e t a +sum ( n i s )− sum ( y ) ) /
( ( a l ph a + b e t a +sum ( n i s ) ) ^ 2 ∗ ( a l p h a + b e t a +sum ( n i s ) + 1 ) )
s i g 0 <− r ep ( s ig0 , t i m e s =k )
return ( l i s t ( pi0 =pi0 , s i g 0 = d i a g ( s i g 0 ) ) )
}
138
# Função p a r a o b t e r a d i s t r i b u i ç ã o das fo rm as q u a d r á t i c a s q _ j sob
# H0 , r e p r e s e n t a d a p e l a eq ua ção ( 4 . 1 8 ) da t e s e . Deve r e c e b e r os
# h i p e r p a r â m e t r o s a lph a e bet a , os tamanhos a m o s t r a i s ni s , a s
# o b s e rv a ç õe s y ( k x 1) e o número de p o p ulaç õ e s k . R e t orna o v e t o r
# de q u a n t i s ( q a l p h a ) ( q x 1 ) , dado a l p h [ alpha1 , alpha2 , . . . , a l ph a q ]
# e N s i m u la ç õ e s .
q u a n t i s d e q j <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , alpha , bet a , alph , N=50000) {
pi 0co v0 <− MedCovPostH0 ( k , nis , y , a lpha , b e t a )
alp h a p 0 <− al p h a + sum ( y )
betap0 <− b e t a + sum ( n i s ) − sum ( y )
pi 0 p <− ( m a t r i x ( r b e t a ( k∗N, alphap0 , b e t a p 0 ) , k ,N)−
pi0cov0$pi0 )^2
pi 0 p <− pi0 p / p i 0c o v 0 $s i g 0 [ 1 , 1 ] # a r t i f í c i o
pi 0 p <− s o r t ( apply ( pi0p , 2 , sum ) )
qalpha <− r ound ((1 − a lph )∗ N)
qalpha [ q a l p h a ==0] <− 1
qalpha <− pi0 p [ q a l p h a ]
return ( q a l p h a )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e b a y e si a n o (TB) p a r a a h i p ó t e s e
# H0 : p1 = p2 = . . . = pk com h i p e r p a r â m e t r o s al p h a s , bet a s , a l p h a
# e b e t a . Deve r e c e b e r os q u a n t i s qa l ph a sob H0 da d i s t r i b u i ç ã o
# de q j s .
BTBin <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , a l p h a s , b e t a s , alpha , b eta , qalpha ) {
pi 0co v0 <− MedCovPostH0 ( k , nis , y , al ph a , b e t a )
pi 1co v1 <− MedCovPostH1 ( k , nis , y , a l p has , b e t a s )
s i g 0 i n v <− d i a g ( 1 / d i ag ( p i 1 co v 1 $ s ig p ) )
qc <− t ( pi1 cov 1$pi p − p i 0 c o v 0 $ p i 0)%∗%s i g 0 i n v%∗%
( pi1 cov 1$p i p −p i 0 c o v 0 $ p i 0 )
s i g <− rep ( qc , t i me s = l e n g t h ( q a l p h a )) > qa l p h a
# TRUE p a r a s i g n i f i c a t i v o
return ( l i s t ( qc=qc , s i g = s i g ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de r az ã o de v e r o s s i m i l h a n ç a s (G2)
# da equação ( 4 . 1 1 ) da t e s e p a r a t e s t a r a h i p ó t e s e H0 : p1 = p2 =
# . . . = pk .
LRTBin <− f u n c t i o n ( k , ni s , y ) {
h a t p i s <− y / n i s
n <− sum ( n i s )
somaYj <− sum ( y )
h a t p i 0 <− sum ( y ) / n
aux <− any ( y >0)
i f ( aux==FALSE) aux1 <− n∗ y e l s e
aux1 <− n∗ y / ( n i s ∗ somaYj )
139
aux <− aux1 >0
aux1 <− sum ( y [ aux ]∗ l o g ( aux1 [ aux ] ) )
aux2 <− ( nis −y )
aux <− aux2 >0
aux2 <− sum ( aux2 [ aux ]∗ l og ( n∗ aux2 [ aux ] / ( n i s [ aux ] ∗ ( n−somaYj ) ) ) )
chi 1 <− 2∗ ( aux1+aux2 )
df <− k −1
pr . ch i <− pc h i sq ( chi1 , df , lower . t a i l =FALSE)
return ( l i s t ( h a t p i s = h a t p i s , h a t p i 0 = ha t p i 0 , c h i = ch i1 ,
df =df , pr . ch i = pr . c h i ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de fo rm as q u a d r á t i c a s ( X2) da equ aç ão
# ( 4 . 1 3 ) da t e s e p a r a t e s t a r a h i p ó t e s e H0 : p1 = p2 = . . . = pk .
QFTBin <− f u n c t i o n ( k , ni s , y ) {
h a t p i 0 <− sum ( y ) / sum ( n i s )
aux1 <− ( y−n i s ∗ h a t p i 0 ) ^ 2
aux2 <− n i s ∗ h a t p i 0 ∗ (1− h a t p i 0 )
aux <− ! any ( aux2 <=0)
i f ( aux==TRUE) c h i 2 <− sum ( aux1 / aux2 ) e l s e c h i 2 <− 0
df <− k − 1
pr . ch i <− pc h i sq ( chi2 , df , lower . t a i l =FALSE)
return ( l i s t ( h a t p i 0 = h a t p i 0 , c h i =chi2 , d f =df , p r . c hi =pr . c h i ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s (TCM) ,
# r e p r e s e n t a d o p e l a eq uação ( 5 . 2 ) da t e s e . R etorn a uma m a t r i z com
# v a l o r e s na d i a g o n a l dos e s t i m a d o r e s de p i s . Acima da d i a g o n a l
# tem−se o v a l o r da e s t a t í s t i c a ( p i vs pj ) , i d i f e r e n t e de j e
# va r i a n d o de 1 a t é k , e a b a i x o da d i a g o n a l os v a l o r e s −p r e f e r e n t e
# à e s t a t í s t i c a .
MCTBin <− f u n c t i o n ( k , n i s , y ) {
r e s <− diag ( y / n i s )
h a t p i 0 <− sum ( y ) / sum ( n i s )
v a r p i <− h a t p i 0 ∗ (1− h a t p i 0 ) / n i s
df <− k − 1
for ( i in 1 : ( k − 1))
{
for ( j in ( i + 1 ) : k )
{
i f ( ( v a r p i [ i ]==0) & ( v a r p i [ j ] = =0) )
{
r e s [ i , j ] <− 0
} e l s e
r e s [ i , j ] <− ( r e s [ i , i ]− r e s [ j , j ] ) ^ 2 / ( v a r p i [ i ]+ v a r p i [ j ] )
r e s [ j , i ] <− p c h i s q ( r e s [ i , j ] , df , low er . t a i l =FALSE)
}
}
140
return ( r e s )
}
# Função que re c e be o v a l o r de um o b j e t o de MCTBin ( r e s ) e r e t o r n a
# se houve p e l o menos uma s i g n i f i c â n c i a p a ra um v e t o r de n í v e i s
# a lph a
MCTETIEBin <− f u n c t i o n ( res , a l ph a =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) ) {
c t <− c ( 0 , 0 )
i f ( any ( r e s [ l ow er . t r i ( r e s )] <= a l p h a [ 1 ] ) ) c t [ 1 ] <− 1
i f ( any ( r e s [ l ow er . t r i ( r e s )] <= a l p h a [ 2 ] ) ) c t [ 2 ] <− 1
return ( c t )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s TCM) ,
# r e p r e s e n t a d o p e l a eq uação ( 5 . 2 ) da t e s e . Re t o r na uma m a t r i z com
# v a l o r e s na d i a g o n a l dos e s t i m a d o r e s de p is , acima da d i a g o n a l o
# v a l o r da e s t a t í s t i c a ( p i vs p j ) e a b a i x o da d i a g o n a l os v a l o r e s −
# p r e f e r e n t e à e s t a t í s t i c a . Ret o r n a ctH0 i n d i c a n d o se houve ou
# não pe l o menos 1 e r r o do t i p o I e c t h 1 in d i c a n d o o número de
# s i g n i f i c â n c i a s e n t r e gr u pos − somente p ara s im ulação sob H0
# p a r c i a l .
MCTBinPar <− f u n c t i o n ( k , n is , y , a l p ha =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) ) {
r e s <− d i a g ( y / n i s )
h a t p i 0 <− sum ( y ) / sum ( n i s )
v a r p i <− h a t p i 0 ∗ (1− h a t p i 0 ) / n i s
df <− k − 1
ct ETI <− c ( 0 , 0 )
ct Pod <− c (0 , 0 )
k1 <− k %/% 2
i f ( k %% 2 != 0 ) k1 <− k1 + 1
k2 <− k − k1
a c h e i 5 <− FALSE
a c h e i 1 <− FALSE
for ( i in 1 : ( k − 1))
{
for ( j in ( i + 1 ) : k )
{
i f ( ( v a r p i [ i ]==0) & ( v a r p i [ j ] = =0) )
{
r e s [ i , j ] <− 0
} e l s e
r e s [ i , j ] <− ( r e s [ i , i ]− r e s [ j , j ] ) ^ 2 / ( v a r p i [ i ]+ v a r p i [ j ] )
r e s [ j , i ] <− p c h i s q ( r e s [ i , j ] , df , low er . t a i l =FALSE)
i f ( ( ( i <=k1 ) & ( j <=k1 ) ) | ( ( i >k1 ) & ( j >k1 ) ) )
{
i f ( r e s [ j , i ]<= a l p ha [ 1 ] ) a c h e i 5 =TRUE
i f ( r e s [ j , i ]<= a l p ha [ 2 ] ) a c h e i 1 =TRUE
} e l s e
141
{
i f ( r e s [ j , i ]<= a l p ha [ 1 ] ) ct Pod [ 1 ] <− ctP od [ 1 ] + 1
i f ( r e s [ j , i ]<= a l p ha [ 2 ] ) ct Pod [ 2 ] <− ctP od [ 2 ] + 1
}
}
}
i f ( a c h e i 5 ==T ) ctET I [ 1 ] <− 1
i f ( a c h e i 1 ==T ) ctET I [ 2 ] <− 1
return ( l i s t ( r e s = res , c tET I =ctETI , ctP od= ct Pod ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s
# b ay e s i an o (TCMB) da t e s e . R e t o r na um v e t o r com v a l o r e s na d i a g o n a l
# das médias da p o s t e r i o r i de p i s sob H1 e o u t r o v e t o r com o v a l o r
# da e s t a t í s t i c a qc ( p i vs p j ) q c alpha1 é uma m a t r i z com TRUE=1 ou
# FALSE=0( se s i g n i f i c a t i v o ou não ) abaixo e o v a l o r da e s t a t í s t i c a
# acima da d i a g o n a l , idem q c a l p h a 2 p a r a o o u t r o al pha − e s t a t í s t i c a .
MCTBinBayes <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , a l p h a s , b e t a s , alpha , bet a ,
alp h =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) ) {
pi 1co v1 <− MedCovPostH1 ( k , nis , y , a l phas , b e t a s )
qalpha <− q u a n t i s d e q j ( k , nis , y , alpha , bet a , alph , 10000)
qcalpha 1 <− m a t ri x ( 0 , k , k )
qcalpha 2 <− m a t ri x ( 0 , k , k )
for ( i in 1 : ( k − 1))
{
e l l e <− m a t r i x ( 0 , k , 1 )
e l l e [ i ] <− 1
for ( j in ( i + 1 ) : k )
{
e l l e [ j ] <− −1
i f ( ( p i 1c o v 1 $ si g p [ i , i ]= =0 ) & ( p i 1 co v 1 $ s ig p [ j , j ] == 0 ) )
{
qcalpha 1 [ i , j ] <− 0
qcalpha 2 [ i , j ] <− 0
} e l s e
{
aux <− p i 1 c ov 1 $ s i gp [ i , i ]+ pi 1 c o v 1$ s i g p [ j , j ]
qcalpha 1 [ i , j ] <− ( t ( e l l e )%∗%p i 1 c o v 1 $ p i p ) / s q r t ( aux )
qcalpha 2 [ i , j ] <− q c a l p h a 1 [ i , j ]
i f ( abs ( qcalpha1 [ i , j ] ) >= s q r t ( q a l p h a [ 1 ] ) )
qcalpha 1 [ j , i ] <− TRUE e l s e q c a l p h a 1 [ j , i ] <− FALSE
i f ( abs ( qcalpha2 [ i , j ] ) >= s q r t ( q a l p h a [ 2 ] ) )
qcalpha 2 [ j , i ] <− TRUE e l s e q c a l p h a 2 [ j , i ] <− FALSE
}
e l l e [ j ] <− 0
}
}
return ( l i s t ( qc1= qca lp ha1 , qc2= q c a l p h a 2 ) )
}
142
# Função que re c e be o v a l o r de um o b j e t o de MCTBinBayes e r e t o r n a
# se houve pel o menos uma s i g n i f i c â n c i a p a r a um v e t o r de n í v e i s
# a lph a qc$qc1 p a r a p r i m e i r o a lp h a e qc$qc2 p a r a o segundo a l p h a .
MCTETIEBinBayes <− f u n c t i o n ( qc ) {
c t <− c ( 0 , 0 )
i f ( any ( qc$qc1 [ low er . t r i ( qc$qc1 ) ] = = 1 ) ) c t [ 1 ] <− 1
i f ( any ( qc$qc2 [ low er . t r i ( qc$qc2 ) ] = = 1 ) ) c t [ 2 ] <− 1
return ( c t )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s b a y es i a n o
# (TCMB) , da t e s e sob H0 p a r c i a l . R e torna c t h o in d i c a n d o se houve
# ou não pel o menos 1 e r r o do t i p o I e c t h 1 i n d ic a n d o o número de
# s i g n i f i c â n c i a s e n t r e gr u pos − somente p ara s im ulação H0 p a r c i a l .
MCTBinParBayes <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , a l p h a s , b e t a s , alpha , bet a ,
alp h =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) ) {
qc <−MCTBinBayes ( k , nis , y , a l p h a s , b e t a s , al pha , b eta , al p h )
ct ETI <− c ( 0 , 0 )
ct Pod <− c ( 0 , 0 )
k1 <− k %/% 2
i f ( k %% 2 != 0 ) k1 <− k1 + 1
k2 <− k − k1
a c h e i 5 <− FALSE
a c h e i 1 <− FALSE
for ( i in 1 : ( k − 1))
{
for ( j in ( i + 1 ) : k )
{
i f ( ( ( i <=k1 ) & ( j <=k1 ) ) | ( ( i >k1 ) & ( j >k1 ) ) )
{
i f ( qc$qc1 [ j , i ]== 1) a c h e i 5 =TRUE
i f ( qc$qc2 [ j , i ]== 1) a c h e i 1 =TRUE
} e l s e
{
i f ( qc$qc1 [ j , i ]== 1) c tPod [ 1 ] <− ct Pod [ 1 ] + 1
i f ( qc$qc2 [ j , i ]== 1) c tPod [ 2 ] <− ct Pod [ 2 ] + 1
}
}
}
i f ( a c h e i 5 ==T ) ctET I [ 1 ] <− 1
i f ( a c h e i 1 ==T ) ctET I [ 2 ] <− 1
return ( l i s t ( c tETI =ctETI , ctPod =ct Po d ) )
}
# A v a l i a ç ã o dos t e s t e s (G2 e X2 ) pa r a o e r r o t i p o I sob H0
# comp l eta e o pod er sob H0 p a r c i a l .
143
# D elt a é a d i f e r e n ç a e n t r e p r op o r ç õ e s bi n o m i a i s dos grupos ,
# e s p e c i f i c a d o ap e nas sob H0 p a r c i a l .
# n k i s g 1 é o número de p r o p o r ç õ e s p e r t e n c e n t e s ao p r i m e i r o grupo ,
# conforme número de p o p ulaç õ e s .
# p i 1 é o v a l o r da p roporção do p r i m e i r o grupo n i s são os
# tamanhos a m o s t r a i s .
k <− 2
D e l t a <− 0 . 0
nkisg1 <− 2
pi1 <− 0. 0 1
n i s <− r ep ( c ( 1 0 ) , k )
p i s <− c ( r e p ( c ( p i 1 ) , n k i s g 1 ) , rep ( c ( pi1 + D e l t a ) , k−n k i s g 1 ) )
nsim <− 10000
n s r = m a t r i x ( 0 , 2 , 2 )
rownames ( n s r ) = c ( "LRT" , "Formas Quadráticas" )
colnames ( n s r )= c ("alpha =0.05 " , " alpha =0.01 " )
for ( i in 1 : nsim )
{
y <− g e r a b i n ( k , nis , p i s )
chi 1 <− LRTBin ( k , nis , y )
chi 2 <− QFTBin ( k , nis , y )
i f ( c h i1 $ p r . c hi <=0 .05 ) n s r [ 1 , 1 ] <− n s r [ 1 , 1 ] + 1 / nsim
i f ( c h i1 $ p r . c hi <=0 .01 ) n s r [ 1 , 2 ] <− n s r [ 1 , 2 ] + 1 / nsim
i f ( c h i2 $ p r . c hi <=0 .05 ) n s r [ 2 , 1 ] <− n s r [ 2 , 1 ] + 1 / nsim
i f ( c h i2 $ p r . c hi <=0 .01 ) n s r [ 2 , 2 ] <− n s r [ 2 , 2 ] + 1 / nsim
}
n s r
# A v a l i a ç ã o do t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s (TCM) e s p e c i f i c a m e n t e
# p a r a o e r r o t i p o I por experimento sob H0 c o mpl e ta
k <− 2
n i s <− r ep ( c ( 1 0 ) , k )
p i s <− r ep ( c ( 0 . 0 1 ) , k )
nsim <− 10000
e t I e = m a t r i x ( 0 , 1 , 2 )
rownames ( e t I e ) = c ( "Erro Tipo I Por Experimento" )
colnames ( e t I e )= c ( "alpha =0.05" , "alpha =0.01" )
for ( i in 1 : nsim )
{
y <− g e r a b i n ( k , nis , p i s )
r e s <− MCTBin ( k , n i s , y )
c t <− MCTETIEBin ( r e s )
e t I e [ 1 , ] <− e t I e [ 1 , ] + c t / nsim
}
e t I e
144
# A v a l i a ç ã o do t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s (TCM) e s p e c i f i c a m e n t e
# p a r a o e r r o t i p o I por experimento e pode r sob H0 p a r c i a l .
k <− 5
k1 <− k %/% 2
i f ( k %% 2 != 0 ) k1 <− k1 + 1
k2 <− k − k1
n i s <− r ep ( c ( 1 0 ) , k )
p i s <− c ( r e p ( c ( 0 . 0 1 ) , k1 ) , rep ( c ( 0 . 0 2 ) , k2 ) )
nsim <− 10000
e t I eP o d = m a t r i x ( 0 , 2 , 2 )
rownames ( e t I e P o d ) = c ( "ETI Por Experimento − H0 p a r c i a l " ,
"Poder − H0 p a r c i a l " )
colnames ( e t I e P o d )= c ("alpha =0.05" , " alpha =0.01" )
for ( i in 1 : nsim )
{
y <− g e r a b i n ( k , nis , p i s )
r e s <− MCTBinPar ( k , n i s , y )
e t I eP o d [ 1 , ] <− e t I e P o d [ 1 , ] + r e s $ c t E T I / nsim
e t I eP o d [ 2 , ] <− e t I e P o d [ 2 , ] + r e s $ c t P o d / ( nsim ∗ k1∗ k2 )
}
e t I eP o d
# A v a l i a ç ã o do t e s t e b a y e si a n o (TB) p a r a a i g u a l d a d e das p r o p o r ç õ es
# bi n o m i a i s computando o e r r o t i p o I sob H0 c o m ple t a e o pode r sob
# H0 p a r c i a l .
k <− 2
D e l t a <− 0 . 0
nkisg1 <− 2
pi1 <− 0.01
# h i p e r p a r â m e t r o s
a l p h a s <− 2
a l p h a s <− r e p ( c ( a l p h a s ) , k )
b e t a s <− 2
b e t a s <− r ep ( c ( b e t a s ) , k )
a l p h a <− 2
b e t a <− 2
# fim h i p e r p a r â m e t r o s
n i s <− r ep ( c ( 1 0 ) , k )
p i s <− c ( r e p ( c ( p i 1 ) , n k i s g 1 ) , rep ( c ( pi1 + D e l t a ) , k−n k i s g 1 ) )
nsim <− 1000
n s r = m a t r i x ( 0 , 1 , 2 )
rownames ( n s r ) = c ( "BTBin" )
colnames ( n s r )= c ("alpha =0.05 " , " alpha =0.01 " )
alp h <− c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) # n í v e i s s i g n i f i c â n c i a
for ( i in 1 : nsim )
{
y <− g e r a b i n ( k , nis , p i s )
145
qalpha <− q u a n t i s d e q j ( k , n i s , y , alp ha , b eta , alph , 10000)
chiB <− BTBin ( k , n is , y , alph a s , b e t a s , alp ha , b eta , q a l p h a )
n s r [ c h iB$ s i g ==TRUE] <− n s r [ c h iB$ s i g ==TRUE] + 1 / nsim
}
n s r
# A v a l i a ç ã o do t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s b a y es i a n o (TCMB)
# e s p e c i f i c a m e n t e pa r a comp utar o e r r o t i p o I por e x p e r i m e n t o
# sob H0 comp l eta
k <− 2
D e l t a <− 0.00
nkisg1 <− 2
pi1 <− 0. 0 1
# h i p e r p a r â m e t r o s
a l p h a s <− 0 .01
a l p h a s <− r e p ( c ( a l p h a s ) , k )
b e t a s <− 0 . 0 1
b e t a s <− r e p ( c ( b e t a s ) , k )
a l p h a <− 2
b e t a <− 2
# fim h i p e r p a r â m e t r o s
n i s <− r ep ( c ( 1 0 ) , k )
p i s <− c ( r e p ( c ( p i 1 ) , n k i s g 1 ) , rep ( c ( pi1 + D e l t a ) , k−n k i s g 1 ) )
nsim <− 1000
e t I e = m a t r i x ( 0 , 1 , 2 )
rownames ( e t I e ) = c ( "Erro Tipo I Por Experimento" )
colnames ( e t I e )= c ( "alpha =0.05" , "alpha =0.01" )
alp h <− c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) # n í v e i s s i g n i f i c â n c i a
for ( i in 1 : nsim )
{
y <− g e r a b i n ( k , nis , p i s )
qc <− MCTBinBayes ( k , n is , y , a l p h a s , b e t a s , al pha , b eta , a lph )
c t <− MCTETIEBinBayes ( qc )
e t I e [ 1 , ] <− e t I e [ 1 , ] + c t / nsim
}
e t I e
# A v a l i a ç ã o do t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s b a y es i a n o e s p e c i f i −
# camente p a r a computar o e r r o t i p o I por e x p e r i m e n t o e o pod er
# sob H0 p a r c i a l .
k <− 5
pi1 <− 0 .01
D e l t a <− 0.0 1
k1 <− k %/% 2
i f ( k %% 2 != 0 ) k1 <− k1 + 1
k2 <− k − k1
# h i p e r p a r â m e t r o s
a l p h a s <− 0.0 1
146
a l p h a s <− rep ( c ( a l p h a s ) , k )
b e t a s <− 0 . 01
b e t a s <− r e p ( c ( b e t a s ) , k )
a l p h a <− 2
b e t a <− 2
# fim h i p e r p a r â m e t r o s
n i s <− r e p ( c ( 1 0 ) , k )
p i s <− c ( r e p ( c ( pi 1 ) , k1 ) , r e p ( c ( pi 1 + Del t a ) , k2 ) )
nsim <− 1000
e t I eP o d = m a t r i x ( 0 , 2 , 2 )
rownames ( e t I e P o d ) = c ( "ETI Por Experimento − H0 p a r c i a l " ,
"Poder − H0 p a r c i a l " )
colnames ( e t I e P o d )= c ("alpha =0.05" , " alpha =0.01" )
alp h <− c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) # n í v e i s s i g n i f i c â n c i a
for ( i in 1 : nsim )
{
y <− g e r a b i n ( k , n is , p i s )
r e s <− MCTBinParBayes ( k , n i s , y , alph a s , b e t a s , alp ha , b eta , a l p h )
e t I eP o d [ 1 , ] <− e t I e P o d [ 1 , ] + r e s $ c t E T I / nsim
e t I eP o d [ 2 , ] <− e t I e P o d [ 2 , ] + r e s $ c t P o d / ( nsim ∗ k1∗ k2 )
}
e t I eP o d
147
PROGRAMA B: Programa R para realizar inferências sobre proporções binomiais
# Programa p a r a a p l i c a ç ã o dos t e s t e s a s s i n t ó t i c o s de p r o p o rç õ e s
# bi n o m i a i s e de comparaçõ es m ú l t i p l a s u t i l i z a n d o i n f e r ê n c i a s
# f r e q u e n t i s t a s e b a y e s i a n a s .
# Função que r e t o r n a a média e a m a t r i z de c o v a r i â n c i a s da
# p o s t e r i o r i sob H1 , r e f e r e n t e as e x p r e s s õ e s ( 4 . 4 ) e ( 4 . 5 ) da t e s e ,
# r ecebe n d o : o v e t o r y ( k x 1) de obs e r v a ç õ e s , o v e t o r n i s ( k x 1)
# dos tamanhos a mo s t r a i s , o número k de pop u laç õ es , o v e t o r a l p h a s
# de h i p e r p a r â m e t r o s a l p h a _ i s e o v e t o r b e t a s dos h i p e r p a r â m e t r o s
# b e t a _ i s ( k x 1 ) .
MedCovPostH1 <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , a l p h a s , b e t a s )
{
pip <− ( a l p h a s +y ) / ( a l p h a s + b e t a s + n i s )
s i g p <− ( a l p h a s +y )∗ ( b e t a s + ni s −y ) / ( ( a l p h a s + b e t a s + n i s )^2
∗ ( a l p h a s + b e t a s + n i s + 1 ) )
return ( l i s t ( pip =pip , s i g p = d i a g ( s i g p ) ) )
}
# Função que r e t o r n a a média e a m a t r i z de c o v a r i â n c i a s da
# p o s t e r i o r i sob H0 , r e f e r e n t e as e x p r e s s õ e s ( 4 . 9 ) e ( 4 . 1 0 )
# da te s e , receb e n d o : o v e t o r y ( k x 1) de o b s e r v a ç õ e s , o
# v e t o r n i s ( k x 1) dos tamanhos a mo s t ra i s , o número k de
# pop u laç õ es , o h i p e r p a r â m e t r o a lp h a e o h i p e r p a r â m e t r o b e t a .
MedCovPostH0 <− f u n c t i o n ( k , n i s , y , alp ha , b e t a )
{
pi0 <− rep ( ( a lp h a +sum ( y ) ) / ( al p h a + b e t a +sum ( n i s ) ) , t i m e s =k )
s i g 0 <− ( a lph a +sum ( y ) ) ∗ ( be t a +sum ( n i s )− sum ( y ) ) /
( ( a l ph a + b e t a +sum ( n i s ) ) ^ 2 ∗ ( a l p h a + b e t a +sum ( n i s ) + 1 ) )
s i g 0 <− rep ( s ig0 , t i m e s =k )
return ( l i s t ( pi0 =pi0 , s i g 0 = d i a g ( s i g 0 ) ) )
}
# Função p a r a o b t e r a d i s t r i b u i ç ã o das fo rm as q u a d r á t i c a s q_j ,
# r e p r e s e n t a d a p e l a e qu aç ão ( 4 . 1 8 ) da t e s e . Deve r e c e b e r
# os h i p e r p a r â m e t r o s alp h a e b eta , os tamanhos a m o s t r a i s ni s ,
# as o bs e r va ç õ e s y ( k x 1 ) e o número de p o p u l açõe s k .
q u a n t i s d e q j <− f u n c t i o n ( k , nis , y , a lph a , bet a , alph , N=50000)
{
pi 0co v0 <− MedCovPostH0 ( k , nis , y , a lpha , b e t a )
alp h a p 0 <− al p h a + sum ( y )
betap0 <− b e t a + sum ( n i s ) − sum ( y )
pi 0 p <− ( m a t r i x ( r b e t a ( k∗N, alphap0 , b e t a p 0 ) , k ,N)
− pi0cov0$ p i0 )^2
pi 0 p <− pi0 p / p i 0c o v 0 $s i g 0 [ 1 , 1 ] # a r t i f í c i o
pi 0 p <− s o r t ( apply ( pi0p , 2 , sum ) )
148
qalpha <− r ound ((1 − a lph )∗ N)
qalpha [ q a l p h a ==0] <− 1
qalpha <− pi0 p [ q a l p h a ]
return ( q a l p h a )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e b a y e si a n o (TB) com h i p e r p a r â m e t r o s
# a l p has , be t a s , alp h a e b e t a .
BTBin <− f u n c t i o n ( k , n is , y , alphas , b e t as , alp ha , bet a , q a l p h a )
{
pi 0co v0 <− MedCovPostH0 ( k , nis , y , a lpha , b e t a )
pi 1co v1 <− MedCovPostH1 ( k , nis , y , a l phas , b e t a s )
s i g 0 i n v <− dia g ( 1 / d i a g ( p i 1 c ov 1 $ s igp ) )
qc <− t ( pi1 c ov1 $pi p − p i 0 c o v 0 $ p i 0)%∗%s i g 0 i n v%∗%
( pi1 cov 1$p i p −p i 0 c o v 0 $ p i 0 )
s i g <− rep ( qc , t im e s = l e n g t h ( q a l p h a )) > qa l p h a
# TRUE p a r a s i g n i f i c a t i v o
return ( l i s t ( qc=qc ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de r az ã o de v e r o s s i m i l h a n ç a s (G2)
# da equação ( 4 . 1 1 ) da t e s e .
LRTBin <− f u n c t i o n ( k , n i s , y )
{
h a t p i s <− y / n i s
n <− sum ( n i s )
somaYj <− sum ( y )
h a t p i 0 <− sum ( y ) / n
aux <− any ( y >0)
i f ( aux==FALSE) aux1 <− n∗ y e l s e
aux1 <− n∗ y / ( n i s ∗ somaYj )
aux <− aux1 >0
aux1 <− sum ( y [ aux ]∗ l o g ( aux1 [ aux ] ) )
aux2 <− ( nis −y )
aux <− aux2 >0
aux2 <− sum ( aux2 [ aux ]∗ l og ( n∗ aux2 [ aux ] / ( n i s [ aux ] ∗ ( n−somaYj ) ) ) )
chi 1 <− 2∗ ( aux1+aux2 )
df <− k −1
pr . ch i <− pc h i sq ( chi1 , df , lower . t a i l =FALSE)
return ( l i s t ( h a t p i s = h a t p i s , h a t p i 0 = ha t p i 0 , c h i = ch i1 , df =df ,
pr . ch i = pr . c h i ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de fo rm as q u a d r á t i c a s ( X2) da
# equação ( 4 . 1 3 ) da t e s e .
QFTBin <− f u n c t i o n ( k , n i s , y )
{
149
h a t p i 0 <− sum ( y ) / sum ( n i s )
aux1 <− ( y−n i s ∗ h a t p i 0 ) ^ 2
aux2 <− n i s ∗ h a t p i 0 ∗ (1− h a t p i 0 )
aux <− ! any ( aux2 <=0)
i f ( aux==TRUE) c h i 2 <− sum ( aux1 / aux2 ) e l s e c h i 2 <− 0
df <− k − 1
pr . ch i <− pc h i sq ( chi2 , df , lower . t a i l =FALSE)
return ( l i s t ( h a t p i 0 = h a t p i 0 , c h i =chi2 , d f =df , p r . c hi =pr . c h i ) )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s (TCM) ,
# r e p r e s e n t a d o p e l a eq uação ( 5 . 2 ) da t e s e .
MCTBin <− f u n c t i o n ( k , n is , y )
{
r e s <− d i a g ( y / n i s )
h a t p i 0 <− sum ( y ) / sum ( n i s )
v a r p i <− h a t p i 0 ∗ (1− h a t p i 0 ) / n i s
df <− k − 1
for ( i in 1 : ( k − 1))
{
for ( j in ( i + 1 ) : k )
{
i f ( ( v a r p i [ i ]==0) & ( v a r p i [ j ] = =0) )
{
r e s [ i , j ] <− 0
} e l s e
r e s [ i , j ] <− ( r e s [ i , i ]− r e s [ j , j ] ) ^ 2 / ( v a r p i [ i ]+ v a r p i [ j ] )
r e s [ j , i ] <− p c h i s q ( r e s [ i , j ] , df , low er . t a i l =FALSE)
}
}
return ( r e s )
}
# Função p a r a a p l i c a r o t e s t e de compara çõ es m ú l t i p l a s Ba yes ian o
# (TCMB) da t e s e .
MCTBinBayes <− f u n c t i o n ( k , nis , y , a l phas , b e tas , alp ha , b eta ,
alp h =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) )
{
pi 1co v1 <− MedCovPostH1 ( k , nis , y , a l p has , b e t a s )
qalpha <− q u a n t i s d e q j ( k , nis , y , alpha , bet a , a lph , 10000)
qcalpha 1 <− m at r i x ( 0 , k , k )
qcalpha 2 <− m at r i x ( 0 , k , k )
for ( i in 1 : ( k − 1))
{
e l l e <− m a t r i x ( 0 , k , 1 )
e l l e [ i ] <− 1
for ( j in ( i + 1 ) : k )
{
150
e l l e [ j ] <− −1
i f ( ( p i 1c o v 1 $ si g p [ i , i ]= =0 ) & ( p i 1 co v 1 $ s ig p [ j , j ] == 0 ) )
{
qcalpha 1 [ i , j ] <− 0
qcalpha 2 [ i , j ] <− 0
} e l s e
{
aux <− p i 1 c ov 1 $ s i gp [ i , i ]+ pi 1 c o v 1$ s i g p [ j , j ]
qcalpha 1 [ i , j ] <− ( t ( e l l e )%∗%p i 1 c o v 1 $ p i p ) / s q r t ( aux )
qcalpha 2 [ i , j ] <− q c a l p h a 1 [ i , j ]
i f ( abs ( qcalpha1 [ i , j ] ) >= s q r t ( q a l p h a [ 1 ] ) )
qcalpha 1 [ j , i ] <− TRUE e l s e q c a l p ha1 [ j , i ] <− FALSE
i f ( abs ( qcalpha2 [ i , j ] ) >= s q r t ( q a l p h a [ 2 ] ) )
qcalpha 2 [ j , i ] <− TRUE e l s e q c a l p ha2 [ j , i ] <− FALSE
}
e l l e [ j ] <− 0
}
}
return ( l i s t ( qc1= qca lp ha1 , qc2= q c a l p h a 2 ) )
}
# Dados a serem f o r n e c i d o s p a r a r e a l i z a ç ã o de t o d o s os t e s t e s
k <− 5
y <− c ( 2 0 , 18 , 25 , 29 , 30)
n i s <− c ( 3 0 , 30 , 30 , 30 , 30)
# Dados a serem f o r n e c i d o s p a r a r e a l i z a ç ã o dos t e s t e s b a y e s i a n o s
# h i p e r p a r â m e t r o s
a l p h a s <− 0 . 0 1
a l p h a s <− r e p ( c ( a l p h a s ) , k )
b e t a s <− 0.01
b e t a s <− r ep ( c ( b e t a s ) , k )
a l p h a <− 2
b e t a <− 2
# fim h i p e r p a r â m e t r o s
# Re s u l t a d o s dos t e s t e s G2 e X2 :
# G2 r e t o r n a : os v a l o r e s dos e s t i m a d o r e s de t o d os os p i s ;
# o v a l o r do e s t i m a do r de p i comum ; a e s t a t í s t i c a do t e s t e ;
# os g rau s de l i b e r d a d e e o va lor −p r e f e r e n t e à e s t a t í s t i c a .
# X2 r e t o r n a : o v a l o r do e s t i m a d o r de p i comum ; a e s t a t í s t i c a
# do t e s t e ; os g r a u s de l i b e r d a d e e o val o r −p r e f e r e n t e à
# e s t a t í s t i c a .
G2 <− LRTBin ( k , n i s , y )
X2 <− QFTBin ( k , n i s , y )
151
G2
X2
# Re s u l t a d o s do t e s t e de comparações m ú l t i p l a s (TCM) :
# TCM r e t o r n a na d i a g o n a l os v a l o r e s dos e s t i m a d o r e s dos p i s
# Acima da d i a g o n a l os v a l o r e s da e s t a t í s t i c a ( p i vs p j )
# Abaixo da d i a g o n a l os v al o r e s −p r e f e r e n t e à e s t a t í s t i c a
TCM <− MCTBin ( k , n i s , y )
TCM
# R es u l t ad o do t e s t e b ay e s i an o (TB ) :
# q a l p h a r e t o r n a os q u a n t i s da d i s t r i b u i ç ã o n u l a a 5 e 1%,
# r e s p e c t i v a m e n t e .
# TB r e t o r n a o v a l o r da e s t a t í s t i c a
qalpha <− q u a n t i s d e q j ( k , n i s , y , alp ha , b eta , a lph =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) , 10000)
TB <− BTBin ( k , n i s , y , a l p h a s , b e t a s , al pha , b eta , q a l p h a )
qalpha
TB
# R es u l t ad o do t e s t e de comparações m ú l t i p l a s b a y e si a n o (TCMB)
# das p r o p o r çõ e s b i n o m i a i s
# qc1 r e t o r n a as i n f e r ê n c i a s r e a l i z a d a s p a r a o n í v e l nominal
# de 5%. Sendo que :
# Na d i a g o n a l tem−s e os v a l o r e s da s médias da p o s t e r i o r i
# de p i s sob H1
# Acima da d i a g o n a l tem−se os v a l o r e s da e s t a t í s t i c a qc ( p i vs p j )
# Abaixo da d i a g o n a l tem−se houve ou s i g n i f i c â n c i a e n t r e as
# p r o p o rç õ e s b i n o m i a i s , rece b e n do 1 s e s i g n i f i c a t i v o e 0 se
# não s i g n i f i c a t i v o .
# qc2 r e t o r n a as i n f e r ê n c i a s r e a l i z a d a s p a r a o n í v e l nominal
# de 1%. Idem qc1
qc <− MCTBinBayes ( k , n is , y , a l p h a s , b e t a s , al pha , b eta ,
alp h =c ( 0 . 0 5 , 0 . 0 1 ) )
qc
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