ads:
Univ ersidade Federal da Paraíba
Centro de Ciências Exatas e da Natureza
Programa de P ós-Graduação em Matemática
Curso de Mestrado em M atem ática
Extensões de Hom om orfismo s de
Subgrupos a Endomorfismos
do Grupo
por
Bruno Formiga Guimarães
sob orien tação do
Prof. Dr. AntôniodeAndradeeSilva
Dissertação apresentada ao Corpo Do -
cen te do Programa de Pós-G ra duação
em Matem á tica - CCEN - UFPB , como
requisito parcial para obtenção do tí-
tulo de M estr e em Matem á tica.
Fev ereiro/2010
João Pessoa - PB
ads:
Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
Univ ersidade Federal da P araíba
Cen tro de Ciências Exatas e da Natureza
Program a de Pós-G raduação em Matem ática
Curso de Mestr ado em Matem ática
Extensões de Hom om orfismo s de
Subgrupos a Endomorfismos
do Grupo
por
Bruno Formiga Guimarães
Dissertação apresentada ao C orpo Docente do Programa d e Pós-Gradu ação em Matemá tica -
CCE N -U FP B , com o requisito parcial para obtençã o d o título de Mestre em Matemática.
Área de Concen tração: Álgebra
Aprovada por:
Prof. Dr. AntôniodeAndradeeSilva- UFPB (Orien tador )
Prof. Dr. Orlando Stanley Juriaans -IME-USP
Prof. Dr. José Gom es de Assis -UFPB
Prof. Dr. Fernando Antônio Xavier de Sousa - UFPB (Suplen te)
Fev ereiro/2010
ii
ads:
Agradecimentos
- A Deus, acim a de tudo, pois sem E le nada seria possível.
- Ao Prof. Dr. Antônio de Andrade e Silva, pela paciência, incentivo, amizade, com-
preenção e, principalm ente, por ter acreditado em mim quan do nem eu m esm o acr editava.
- Em especial a os meu s pais Guimarães e Nevinha e ao meu irmão Arth u r que con tr ibuiram
decisivamente para minha form ação.
- A todos os colegas d o curso de mestrado, pelo incentivo e amizade.
- Em especial aos amigos Robson, Thiago, Roberto, Simeão, Juanice e Anselmo pela grande
amizade.
- A minha namorada Dan ielle Soares e ao seu filho L uc as pelo incentiv o , companheirism o,
carinho e principalmente por ter compreendid o toda minha ausência durante todo esse
período.
- Aos ex-professores da P ós-Graduação do Departam ento de Matemá tica da UFPB, pelo
conhecimen to transmitido.
- Ao meu Tio Assis que m e acolh eu durante todo esse período.
- Aos meus amigos de Campina Grande pelo incentivo e apoio que me deram para para
seguir este difícil cam in h o .
-ACAPESpelosuportefinanceiro durante a realização deste trabalho.
-Porfim agradeço a todas as pessoas que torceram por mim e que de alguma forma me
apoiaram nos meus estudos.
iii
Dedicatória
Aminhafamília.
É a ela que devo tudo.
iv
Resumo
Berth olf e Walls forneceram uma caracterização para a classe de grupos quasi-injetivos
finito s. Além disso, Juriaans, Basto s e Azevedo dão um a classificação para os grupos do tipo
injetivo, os quais são uma classe distinta da anterior apesar de serem bastan te próximas.
Palavras chave: Grupo quasi-injetivo, injetivo, tipo inetivo, div isível, abeliano.
v
Abstract
Berth olf and Walls provided a characte rizat ion for the class of gr oups quasi-injec tive finite.
Furthermore, Juriaans, Bastos Azevedo and give a rating for the injective type groups, which
are a d istinct cla ss of the former despite being quite close.
Key-w ords: Quasi-injective group, injective, injectiv e type, divisible, abelian.
vi
Notação
G, H, . . . - Grupos
|G| - O rdem do Grupo G
[G : H] - Índice do Subgrupo H no Grupo G
|g| - Ordem do Elemento g de um Grupo
G
0
- Subgrupo Com u tador
[x, y] - Comutador de x e y
× - Produto Direto
o - Produto Semidireto
I -Identidade
Aut (N) - Conjun to dos Automorfism os de N
Inn(G) -ConjuntodosAutomorfismos In ternos de G
Ker (ϕ) -Núcleodeϕ
Im(ϕ) -Imagemdeϕ
Z(G) -CentrodeG
C
G
(H) - Centralizador de H em G
N
G
(H) - Normalizador de H em G
G
0
- Subgrupo Comutador de G
d (G) - Sub gr upo Divisível Ma xim a l de G
Fit (G) - Subgrupo Fitting de G
Frat (G) - Subgrupo Fratini de G
car - Característico
H
π
- π-subgrupo de H all
O
π
(G) - π-subgrupo Norm al M axim al de G
Q
8
-GrupodosQuatérniosdeOrdem8
C - Con jun to d os números complexos
Z - Conjunto dos números inteiros
N - Conjunto dos números naturais
R - Conjunto dos números reais
T (G) - Subgrupo Torção
Z (p
∞
) -GrupodePrüfer
h (g) - Altura Vetorial de g
t (G) -TipodeG
I -Identidade
' -Isomorfo
< - Subgrupo
C - Subgrupo Normal
vii
hSi - Subgrupo Gerado pelo Subconjunto S de um Grupo
∀ -Paratodo
P
-Soma
viii
Sumário
In trodução x
1Preliminares 1
1.1 Produto direto de grupos............................... 1
1.2 Produtosemidiretodegrupos ............................ 2
1.3 Grupos abelianos . .................................. 5
1.4 Grupossolúveisenilpotentes ............................ 8
2Gruposinjetivos 15
2.1 Grupos divisíveis . .................................. 15
2.2 Grupos injetivos .................................... 19
2.3 Subgrupos puros . .................................. 24
3 Grupos quasi-injetivos finitos 26
3.1 Resultados básicos .................................. 26
3.2 Grupos quasi-injetivos ................................ 30
4 Gruposdotipoinjetivo 42
4.1 Resultados básicos .................................. 42
4.2 Propriedadesdosgruposdotipoinjetivo ...................... 44
4.3 Ocasoabeliano.................................... 46
Re fe rê ncias Bibliogr á ficas 52
ix
Introdução
Histórico
A ideia d os g rupos injetiv os su rgiu com os módulos injetivos, pois qualquer grupo abeliano
éumZ-m ódu lo. Em 1940, Reinhold Ba er, caracterizou os gru pos injetiv o s co m o seguinte
resultado.
Teorema (Baer) Um grupo G é injetivo se, e somente se, ele é divisível.
Apartirdadefiniçãodegruposinjetivosemotivadopelofatodenãoexistiremgrupos
injetivos não triviais de ordem finita, o matem ático Laszló Fuchs criou o conceito de grupos
quasi-injetivos. Um grupo G é chamado quasi-injetivo se para qualquer subgrupo H de G e
para qualquer homomorfismo de grupos α : H → G existir um endomorfismo β : G → G tal
que
β|
H
= α.
Em [3], Bertholf e Walls apresentaram um a caracterização geral para os grupos qua si-injetivos
finitos.
Teorema (Bertholf-Walls) Um grup o G é quasi-injetivo se, e somente se, G = Q
8
× K,com
K um grupo quasi-injetivo de or dem ímpar ou G = K o H tal que:
1. Syl
p
(K) e Syl
p
(H) são homocíclicos.
2. G
0
= K.
3. mdc (|K| , |H|)=1.
4. Para c ada h ∈ H,sep éumnúmeroprimo,comp||K|, então existe um r = r (p, h) ∈ Z
tal que k
h
= k
r
para todo k ∈ K
p
.
5. Se K
π
éumπ-subgrupo de Hall de K, par a algum conjunto de primos π,entãoC
H
(K
π
)
é um fator direto de H.Emparticular,
Z(G) ∩ H = C
H
(K)
é um fator direto de H.
Em , [1, Página 25], A lperin propôs o seguinte exercício:
x
“Let H asubgroupofacyclicgroupG. Show that e very automo rphism of H is the restriction
to H of an automorp hism of G”.
Baseado na ideia d este exercício, em [2], A zevedo, B astos e Juriaan s, criara m o con ceito de
grupos do tipo injetivo. Um grupo G é c hamado do tipo injetiv o se para qualquer subgrupo H
de G e para qualquer automorfism o de grupos φ : H → G,existirumautomorfismo ψ : G → G
tal que
ψ|
H
= φ.
Além disso, eles caracterizaram todos os grupo abelianos do tipo injetiv o no seguinte teorema :
Teorema Sejam G um grupo abeliano e T (G) seu subgrupo torção. Então G é do tipo injetivo
se, e som ente se, é satisfeita uma das seguin tes co ndiçõ es:
1. G éumgrupodivisível.
2. G é um gru po de torção e cada uma de suas componentes primárias é divisível ou ho-
mocíclica.
3. T (G) é div isível e
G
T (G)
é livre de torção, abeliano e d e posto 1.
A classe dos gru pos quasi-injetivos e a classe dos grupos do tipo injetiv o são distintas, apesar
de serem muito próxim as.
Descrição do Trabalho
Esta d issertação é constituída de qua tro capítulos.
No Capítulo 1, apresentamos algumas definições e resulta d os clá ssicos sob re a teoria de
grupos necessários para o d esenv olvim ento do trabalh o.
No Capítulo 2, apresentamos os principais resultados e propriedades dos grupos divisíveis e
dos grupos injetivos, além de demonstra r o resultado de Baer.
No Capítulo 3, destacam o s o conceito de grupos quasi-injetivo . Além disso, desta cam o s
algum as de suas propriedades e, ainda, resultad os que nos levam à caracterização de Bertholf
eWalls.
Finalm e nte, no Capítulo 4, a presentamos a definição de grupos do tipo injetivo, com ênfase
nosgruposabelianos.
xi
Capítulo 1
P r e limina r e s
Neste capítulo apresen taremos alguma s definições e resultados básicos da teoria de grupos
que serão necessários para os capítulos subsequentes. O leitor in teressad o em mais detalhes
pode consultar [7, 10].
1.1 Produtodiretodegrupos
Sejam H
1
,...,H
n
grupos. Sabemos que o conjun to
G = H
1
×···×H
n
= {(a
1
,...,a
n
):a
i
∈ H
i
}
munido com a operação binária
(a
1
,...,a
n
) ∗ (b
1
,...,b
n
)=(a
1
b
1
,...,a
n
b
n
)
éumgrupocom(e
1
,...,e
n
) com o elemento identidade e (a
−1
1
,...,a
−1
n
) com o elemen to inverso
de (a
1
,...,a
n
) em G. Neste caso, G é c hamado o pro duto dir eto (externo)dosH
i
.Notequeo
produto direto externo sempre existe e que os H
i
nãosão,emgeral,subgruposdeG.
Sejam G um grupo e H
i
subgrupos de G,paracadai,comi =1,...,n.OgrupoG é
c hamado o pr oduto direto (interno)dosH
i
se as seguintes condições são satisfeitas:
1. h
i
h
j
= h
j
h
i
,paratodoh
i
∈ H
i
e h
j
∈ H
j
com i 6= j.
2. Todo g ∈ G pode ser escrito de m odo único sob a forma g = h
1
···h
n
,comh
i
∈ H
i
,
i =1,...,n.
Teorema 1.1 Sejam G, G
1
,...,G
n
grupos. Então o grupo G éisomorfoaogupoG
1
×···×G
n
se, e somente se, G possui subgrupos H
1
' G
1
,...,H
n
' G
n
tais que:
1. G = H
1
···H
n
.
2. H
i
C G,paratodoi,comi =1,...,n.
3. H
i
∩ (H
1
···H
i−1
H
i+1
···H
n
)={e},paratodoi,comi =1,...,n.
1
Corolário 1.2 Sejam G um grupo e H
i
subgrupos de G, i =1,...,n.SeG éumproduto
direto interno dos H
i
,então
G ' H
1
×···×H
n
.
Exemplo 1.3 Sejam G um grup o finito e H e K subgrupos de G com mdc (|H| , |K|)=1.
Mostr e que se G = H × K,entãotodosubgrupoL de G édaforma
L =(L ∩ H) × (L ∩ K) .
Solução. Como H e K são subgrupos normais em G éimediatoverificar que L ∩ H e L ∩ K
são subgrupos normais de L tais que
(L ∩ H) ∩ (L ∩ K)={e}.
Logo,
(L ∩ H) × (L ∩ K) ⊆ L.
Por outro lado, dado g ∈ L existem únicos
h ∈ H e k ∈ K tais que g = hk.Comohk = kh
e mdc (|h| , |k|)=1temos que |hk| = |h||k| e hgi = hhki'hhi×hki. Assim, h, k ∈ hgi ⊆ L.
Portanto, h ∈ L ∩ H e k ∈ L ∩ K,istoé,g ∈ (L ∩ H) × (L ∩ K). ¥
1.2 P r odu to semidireto de gr u pos
Sejam G um grupo e H e N subgrupos de G.OgrupoG é cham ado o produto semid ireto
(interno)deN por H, em símbolos G = N o H, se as seguintes condições são satisfeitas:
1. G = NH.
2. N é subgrupo normal em G.
3. N ∩ H = {e}.
Exemplo 1.4 Sejam G = S
3
, N = A
3
e H = hτi,com
τ =
Ã
123
132
!
.
Então G = N o H.ComoH não é um sub grupo normal em G temos que G nãoéoproduto
direto de N e H.
Observação 1.5 Seja G = N o H o produto semidireto de N por H.
1. Pelo Se gundo Te orema de Isomorfismo, temos que
H =
H
N ∩ H
'
NH
N
=
G
N
.
e H é chamado um complementar de N. Consequentemente, se G é finito, então
|G| = |N| [G : N]=|N||H| .
2
2. Como G = NH e N éumsubgruponormalemG temos que cada g ∈ G pode ser escrito
de modo únic o sob a forma g = nh, n ∈ N e h ∈ H.
3. Seja h ∈ H fixado. Então a função ϕ
h
: N → N definida por ϕ
h
(n)=hnh
−1
éum
automorfismo de N.Alémdisso,ϕ
hk
= ϕ
h
◦ ϕ
k
,paratodosh, k ∈ H.Portanto,a
função ϕ : H → Aut (N) definida por ϕ (h)=ϕ
h
é um homomorfismo de grupos. Neste
caso, dizemos que H age sobre N como um grupo de autom orfism os e ϕ é cham ado o
homomorfismo por conjugação de N.Como
(n
1
h
1
)(n
2
h
2
)=n
1
(ϕ(h
1
)(n
2
)) h
1
h
2
, para alguns n
1
,n
2
∈ N e h
1
,h
2
∈ H,
temosqueaoperaçãodogrupoG pode ser expressa em termos das operações de N, H e
do homomorfismo ϕ.
4. Se ϕ(h)=I
N
,paratodoh ∈ H,entãoϕ
h
(n)=n,paratodon ∈ N.Logo,
hnh
−1
= n ⇒ n
−1
hn = h ∈ H,
isto é, H é um sub grup o normal em G.Portanto,
G = N × H.
Reciprocamen te, se G = N × H, então os elementos de H c omutam com os elementos de
N e, assim, o homomorfismo ϕ étrivial.
5. Se ϕ(h) 6= I
N
,paraalgumh ∈ H,entãoϕ
h
(n) 6= n,paraalgumn ∈ N.Logo,
hnh
−1
6= n ⇒ hn 6= nh.
Portanto, G é um grupo não abeliano.
Sejam N e H grupos e ϕ um homom orfismodegruposdeH em Aut (N).Definim os uma
operação binária sobre N × H do seguin te modo:
(n
1
,h
1
)(n
2
,h
2
)=(n
1
ϕ(h
1
)(n
2
) ,h
1
h
2
) .
En tão é fácil v erificar que N × H com essa operação é um grupo com elemento iden tidade
(e, e) e (ϕ(h
−1
)(n
−1
) ,h
−1
) oelementoinversode(n, h).OgrupoN × H é cham ado o produto
semidireto (externo)deN por H via ϕ e será denotado por
G = N o
ϕ
H.
Note que
e
N = {(n, e):n ∈ N} e
e
H = {(e, h):h ∈ H}
3
são subgrupos de G ta is que N '
e
N e H '
e
H. A função σ : G → G definida por σ(n, h)=(e, h)
é um homomorfismodegruposcomIm (σ)=
e
H, Ker (σ)=
e
N e σ
2
= σ. Con sequentemente,
e
N
éumsubgruponormalemG e pelo Primeiro Teorema de isomorfism o
G
e
N
'
e
H.
Como
(n, e)(e, h)=(nϕ(e)(e) ,h)=(n, h)
temos que G =
e
N
e
H. Além disso,
e
N ∩
e
H = {(e, e)}.Portanto,G é o produto sem id ireto
(in terno ) de
e
N por
e
H.Finalmente,
(e, h)(n, e)(e, h)
−1
=(ϕ(h)(n) ,e)
implica que a função ψ :
e
H → Aut(
e
N) definida por ψ(e, h)=ψ
(e,h)
,com
ψ
(e,h)
(n, e)=(ϕ(h)(n),e),
é o homomorfismo por conjugação de
e
N.Portanto,identificando
e
N com N e
e
H com H,temos
que ϕ é o homomorfism o por conjugação de N e G é o produto semidireto (in t erno) d e N por
H. Neste caso,
N o
ϕ
H = {nh : n ∈ N, h ∈ H} ,
com
(n
1
h
1
) · (n
2
h
2
)=n
1
ϕ(h
1
)(n
2
) · h
1
h
2
e ϕ
h
1
(n
2
)=h
1
n
2
h
−1
1
.
Além disso,
C
H
(N)=Ker(ϕ)=C
G
(N) ∩ H e C
N
(H)=N
N
(H).
Teorema 1.6 Sejam G um grup o e N um sub grup o normal em G. Então as seguintes condições
são equivalentes:
1. G é um produto semidireto de N por
G
N
,istoé,N temumcomplementaremG.
2. Existe um homomorfismo de grupos ϕ :
G
N
−→ G tal que
π ◦ ϕ = I
G
N
,
com π : G →
G
N
a projeção canônica e ϕ é chamada de seção de
G
N
em G.
3. Existe um homom orfismo de grupos φ : G −→ G tal que Ker (φ)=N e φ(g)=g,para
todo g ∈ Im (φ).
Proposição 1.7 Sejam G um grup o e H e N sub grupos de G.EntãoG é um produto semidir eto
intern o de N por H se, e somente se, existir um homomorfismo de grupos σ : G → G tal que
σ
2
= σ.
4
Proposição 1.8 Sejam N e H grup os, ϕ : H −→ Aut (N) um homomorfism o de grupos e
f ∈ Aut (N) fixado. Se
b
f :Aut(N) → Aut (N) édefinida p or
b
f(g)=f ◦ g ◦ f
−1
,então
N o
e
f◦ϕ
H ' N o
ϕ
H.
Exemplo 1.9 Sejam N um grupo abeliano qualquer e H = hbi'Z
2
.Sedefinimos ϕ : H →
Aut(N) por ϕ(b)=ϕ
b
,comϕ
b
(a)=a
−1
,paratodoa ∈ N,entãoG = N o
ϕ
H éumgruponão
abeliano c om
ϕ
b
(a)=bab
−1
= a
−1
, ∀a ∈ N,
isto é, b ∈ Z(G).Emparticular,seN écíclico,entãoG ' D
n
ou G ' D
∞
.
1.3 Grupos abelianos
Nesta seção, salvo menção explícita em contrário, todos os grupos serão abelianos e escritos
na notação aditiva. Com esta term inologia escrev em os a soma direta dos grupos H e K da
forma
H ⊕ K = {h + k : h ∈ H, k ∈ K}.
Teorema 1.10 Sejam A, B grupos e λ
1
: A → A ⊕ B, λ
2
: B → A ⊕ B monomorfism os.
Então o p ar ordenado (λ
1
,λ
2
) possui a seguinte pr opriedade universal: Dados qualquer grupo
H e qualquer par de homom orfismos de grupos β
1
: A → H e β
2
: B → H,existeumúnico
homomorfismo de grup os
β : A ⊕ B → H
tal que β ◦ λ
1
= β
1
e β ◦ λ
2
= β
2
,ouseja,β|
A
= β
1
e β|
B
= β
2
.Nestecaso,Hom(A ⊕ B, H) é
isomorfo a Hom(A, H) ⊕ Hom(B, H).
De forma mais geral, se
G =
X
i∈I
G
i
e qualquer família de homomorfismos de grupos, β
i
: G
i
→ H, então existe um único homo-
morfism o de grupos β : G → H tal que β|
G
i
= β
i
,paratodoi ∈ I.
Teorema 1.11 Seja G
i
' H
i
, para cada i ∈ I.Se
G =
X
i∈I
G
i
e H =
X
i∈I
H
i
,
então G ' H.
Corolário 1.12 Asomadireta
G =
X
i∈I
G
i
satisfaz a seguin te condição: par a toda função α : X → H,comH um grupo abeliano qualquer
e X = {x
i
: i ∈ I} um conjunto qualquer, existe um único hom om o rfismo de grupos β : G → H
tal que β|
X
= α. Em particu la r , se X é um sub conjunto de G tal que G = hXi,entãoG é
chamado grupo abeliano livre e X é chamado uma base para G.
5
Considerem os os seguintes exemplos de grupos abelianos: Q, o grupo aditivo dos números
racionais;
G =
Q
Z
o grupo dos núm eros racionais módulo um; e C
∗
, o grupo multiplicativo dos comple xos. Nenhum
desses grupos é isomorfo a qualquer um dos outros dois. Uma das formas de v er isso é examinar
as ordens dos elementos dos grupos. Note que todo elemento de Q, com excessão do neu tro, é
de ordem infinitaetodoelementodeG édeordemfinita, pois, se
p
q
+ Z ∈ G,
com p e q n úmeros inteiros relativamen te primos, en tão
q
µ
p
q
+ Z
¶
= p + Z = Z.
Para não gera r confusão permanecer emo s com a notação m u ltiplicativa para C
∗
.Afirmamos
que C
∗
tem elementos de ordem finita e tam bém elemen tos de ordem infinita. Lembre que a
identidade de C
∗
é 1.Noteque(−1)
2
=1im plica que −1 édeordem2 e 3
r
=1se, e somente
se, r =0. Logo, −1 édeordemfinita e 3 édeordeminfinita. Resumindo, temos que
1. todososelementosdeQ, exceto o neutro, são de ordem infinita;
2. todososelementosdeG são de ordem finita;
3. C
∗
possui elem entos de ordem finita e elemen tos de ordem infinita.
Com isso é fácil ver que os três grupos não são isomorfos.
Seja G um grupo. En tão é fácil v erificar que o conjunto
T (G)={g ∈ G : |g| < ∞}
éumsubgrupodeG, c ham ado subgrupo de torção de G.SeT (G)={0},entãoG échamado
um grupo livredetorção. Em particular, o grupo
G
T (G)
é livre de torção.
Proposição 1.13 Se um grupo G é a soma dir eta de grupos de torção, então G éumgrupo
de tor ção.
Proposição 1.14 Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e T (G) o subgrupo de tor ção de
G.EntãoT (G) ∩ H é o sub grupo de tor ção de H.
6
Um grupo G ch am a-se um p-grupo, para algum n ú m ero primo p,seaordemdetodoelemento
de G é uma potência de p.Sep éumnúmeroprimoquedivideaordemdeumelementog de
G,entãog é chamado um p-elemen to. O teorema seguinte mostra que um grupo de torção é
construído a partir de p-grupos. Assim, o estudo de grupos de torção se limita ao estudo de
p-grupos.
Teorema 1.15 Sejam G um grupo de torção e
G
p
= {g ∈ G : |g| = p
n
, para algum n ∈ Z
+
},
com p um número primo fixado. Se Π é o c onjunto de todos os númer os primos, então
G =
X
p∈Π
G
p
.
Os sub grupos G
p
são chamados de p-componentes de G.
Sejam G um grupo e X um subconjunto de G. O conjunto X é c hamado um conjunto
inde penden te se para x
1
,...,x
r
elementos distin tos d e X e n
1
,...,n
r
∈ Z,tivermosque
n
1
x
1
+ ···+ n
r
x
r
=0⇒ n
1
x
1
= ···= n
r
x
r
=0. (1.1)
Caso contrário, X é c hamado um conjunto dependente.NotequeseG é livre de torção e X é
independen te, então a Equação (1.1) nos diz que n
1
= ···= n
r
=0.
Sejam G um grupo livre de torção e X um subconjun to de G. O conjun to X échamado
um conjunto independente maximal se as seguint es cond içõ es são satisfeitas:
1. X é independente.
2. Se g ∈ G e g/∈ X,entãoX ∪ {g} é um conjunto dependente.
Teorema 1.16 Seja G um grupo. Então G possui um conjunto independente maxim al.
Suponhamos que G seja um grupo livre de torção e possua um conjun to independen te
maximal X que seja finito. Então o posto de G édefinido como
#(X) .
Caso contrário, o grupo G édeposto infinito. É fácil ver que se G e H são grupos isomorfos,
então eles tem o mesmo posto.
7
1.4 Grupossolúveisenilpotentes
Nesta seção, estudarem os grupos que, de alguma forma, estão “próximos” dos grupos
abelianos. Para isso, com eçaremos introduzindo alguns conceitos.
Dadosdoiselementosg e h de um grupo G,ocomutador de g e h é o elemento
[g,h]=ghg
−1
h
−1
∈ G.
Mais geralm ente, um comutador de c omprimento n ≥ 2 define-se indutivamente por
[g
1
,...,g
n
]=[[g
1
,...,g
n−1
] ,g
n
] .
Dados dois subconjuntos H e K de um grupo G, denotaremos por [H, K] o subgrupo de G
gerado pelo conjunto
X = {[h, k]:h ∈ H e k ∈ K}.
Em par ticular, o grupo G
0
=[G, G] c h am a-se subgrupo comutador ou subgrupo derivado de G.
Indutivamente, definiremos agora uma sequência de subgrupos da seguin te forma:
G
(0)
= G, G
(1)
=
£
G
(0)
,G
(0)
¤
= G
0
,...,G
(n)
=
£
G
(n−1)
,G
(n−1)
¤
,..., ∀ n ∈ Z
+
.
O subgrupo G
(n)
é cham ado o n-ésimo grupo derivado de G e a sequência
G = G
(0)
⊇ G
(1)
⊇ ···⊇ G
(n)
⊇ ···
é cham ada a sequência derivada de G.
Lema 1.17 Sejam g, h e k elementos de um grupo G.Então
1. [g, h]=e se, e somente se, gh = hg.
2. [g, h]
−1
=[h, g].
3. [g, h]
k
=
£
g
k
,h
k
¤
.
4. Se φ : G → H é um homomorfismo de gru pos, então φ ([g, h]) = [φ (g) ,φ(h)].
Note que o item (1) mostra que um grupo G é abeliano se, e somente se, G
0
= {e}. Veremo s,
a seguir, que o conhecimen to de G
0
também permite saber quando um quocien te é abeliano.
Lema 1.18 Seja H um subgrupo normal de um grupo G. Então o grupo quociente
G
H
éabeliano
se, e somente se, G
0
⊆ H.
Observe que o item (3) do Lem a 1.17 nos permite deduzir facilmente que G
0
é um subgrupo
normal em G.
Sejam G um grupo e H um subgrupo de G.EntãoH é chamado um subgrupo característico
em G se
σ(H) ⊆ H, ∀ σ ∈ Aut (G) .
8
Proposição 1.19 Seja G um grupo.
1. Qualquer subgrupo característico em G é um sub grupo normal.
2. Se K éumsubgrupocaracterísticoemH e H é um sub grupo car acterístico em G,então
K é um subgrupo c aracterístic o em G.
3. Se K é um subgrupo caracterís tico em H e H éumsubgruponormalemG,entãoK é
normal em G.
4. Se H é o único subgrup o em G de ordem n,entãoH é subgrupo característic o em G.
Para indicar que H é um subgrupo característico em G escreveremos H car G.Comoa
conjugação por um elemento fixo h de G, g 7→ hgh
−1
,éumautomorfismo de G temos que
todo subgrupo característico é, em particular, um subgrupo normal. Note, ainda, que se φ é
um automorfism o de G e H é um subgrupo característico em G,entãoarestriçãoφ|
H
éum
automorfismo de H. Portanto, segue facilmente que se K car H e H car G,entãoK car G.
Exem plos 1.20 São exemp los de subgrupos característicos os seguintes subgrupos:
1. O bem conhecido centro de G definido por
Z (G)={g ∈ G : gh = hg, ∀ h ∈ G} .
2. O sub grup o de Frattini de G Frat (G) que é a interseção de todos os subgrupos maxim ais
de G,seG possuir subgrupos ma ximais. Caso contrário, o subgrupo de Frattini de G é
igual ao próprio G.
Proposição 1.21 Sejam G um grupo e H um subgrupo de G.SeH car G,entãoH
0
car G.Em
particula r, G
(n)
car G, para todo inteiro positivo n.
Informalmente, pode-se pensar nos grupos solúveis como “aproximadamente” abelianos.
Por exemplo, podemos considerar que um grupo G está “perto” de ser abeliano se ele con tém
um subgrupo normal H tal que tanto H quan to o qu ociente
G
H
sejam abelianos. Generalizan do
esta idéia podemos formular a seguinte definição.
Um grupo G é chamado solúv el se existir uma cadeia de subgr upos
{e} = G
0
⊆ G
1
⊆ ···⊆ G
n−1
⊆ G
n
= G
tal que
1. G
i−1
é um subgrupo normal em G
i
,paratodoi =1,...,n.
2. O grupo fator
G
i
G
i−1
é abeliano, para todo i =1,...,n.
9
Uma cadeia de subgrupos de G com estas propriedades é cham ada uma série subnormal
abeliana de G e os quocientes são cham a dos fatores da série. Como a normalidade não é
necessariam ente transitiva, os subgrupos G
i
, não necessariamente, são normais em G, 1 ≤ i ≤
n − 1.
Exemplo 1.22 Todo gru po abeliano é solú v el.
Solução. Seja H um subgrupo qualquer de G. Como sabemos H C G e
G
H
é abeliano. Assim,
temos que a cadeia
{e} ⊂ H ⊂ G
é a cadeia d esejada. ¥
Forneceremos a seguir uma caracterização da solubilidade de um grupo em termos da se-
quência d erivada.
Teorema 1.23 Um grup o G é solúvel se, e so m e nte se, sua sequência derivada é limitada, isto
é, se existe um inteiro positivo n tal que
G
(n)
= {e}.
A partir da caracterização acima formaliza-se o seguin te resulta do.
Lema 1.24 Sejam G um grupo e H um sub grupo de G.
1. Se G ésolúvel,entãoH é solúvel.
2. Qualquer imagem homo m órfica de um grupo solúvel é solúvel.
3. Se H é um subgrupo normal em G tal que H e
G
H
sejam solúv eis , então G é solúvel.
Se um grupo solúvel é finito , en tão ele con tém uma cadeia subnorm a l abeliana m u ito especial.
Proposição 1.25 Um grupo solúvel fin ito G contém um a série subnormal abeliana cujos fa-
tores são todos cíclicos de or dem prima.
Outra importante definição do nosso trabalho é a de grupos supersolúveis. Um grupo é dito
supersolúvel se ele possui uma sérire normal cíclica, isto é, uma série de subgru pos norm a is
cujos fatores são cíclicos. Grupos supersolúveis são obviamente solúv eis, entretanto, grupos
solúveis não são necessariam ente supersolúv eis. Como exemplo deste último fato, temos o
grupo A
4
que não possui subgrupos cíclicos normais distin tos de {e}.
Proposição 1.26 Um fator principal de um grup o supersolúvel tem ordem prima e seu sub-
grup o maximal p ossui índic e primo.
10
Um grupo G é chamado nilpotente se ele co ntém um a série de subgrupos
{e} = G
0
⊂ G
1
⊂ ···⊂ G
n
= G
tal que cada subgrupo G
i−1
énormalemG ecadaquociente
G
i
G
i−1
estácontidonocentrode
G
G
i−1
, 1 ≤ i ≤ n. Esta série de subgrupos de G é chamada um a série centr al de G.
Um a v ez que as condições da definição de nilpotência são, ob v iam ente, m ais restritivas que
as da definição de solubilidade, é evidente que todo grupo nilpoten te é, em particular , solúvel.
Note que da definiçã o acima implica que G
1
está contido no centro de G.SeG
1
= {e} en tão
G
2
está con tid o no centro e, assim, sucessivamen t e. Co m o a série cen tral acaba, todo grupo
nilpoten te tem centro não trivial.
Exemplo 1.27 Todo grupo abeliano é nilpotente.
Forneceremos agora duas caracterizações alternativas para nilpotência. P ara isso, definire-
mos indutivamente uma no va série de subgrupos:
γ
1
(G)=G, γ
2
(G)=G
0
e γ
i
(G)=
£
γ
i−1
(G) ,G
¤
.
Precisarem o s ainda de uma outra série, que definiremos também indutivamen te, nos apoiando
no conceito de cen tro de um grupo. Den otarem os
ζ
0
(G)={e} e ζ
1
(G)=Z (G)
edefiniremos indutiv amente ζ
i
(G) com o sendo o único sub grupo de G tal que
ζ
i
(G)
ζ
i−1
(G)
= Z
µ
G
ζ
i−1
(G)
¶
.
O subgrupo ζ
i
(G) é c hamado i-ésim o centro de G.
As sequências de subgrupos
{e} = ζ
0
(G) ⊂ ζ
1
(G) ⊂ ···⊂ ζ
n
(G) ⊂ ···
e
G = γ
1
(G) ⊃ γ
2
(G) ⊃ ···⊃ γ
n
(G) ⊃ ···
são chamadas série c entral superior e série central inferior de G, respectivamen te. Claramente,
estas são séries cen trais. A razão pela qual sã o chamadas de “superior” e “inferior” ficará clara
a partir dos próximos resultados.
Lema 1.28 Seja
{e} = A
0
⊂ A
1
⊂ ···⊂ A
n
···
uma série central de G, isto é, uma cadeia de subgrupos norm ais tal que
A
i
A
i−1
⊂ Z
³
G
A
i−1
´
,para
todo i.Então
A
i
⊂ ζ
i
(G) ,
para todo i.
11
Lema 1.29 Seja
{e} = A
0
⊂ A
1
⊂ ···⊂ A
n
= G
uma série c entral de G.Então
γ
i
(G) ⊂ A
n−i+1
,
para todo i.
Destes r esu ltados vem a seguinte caracterização pa ra g rupos nilpotentes.
Teorema 1.30 Seja G um grup o. Então as se guintes c ondições são e quivalentes:
1. G é nilpotente ;
2. Existe um inteiro positivo m tal que ζ
m
(G)=G;
3. Existe um inteiro positivo n tal que γ
n
(G)={e}.
Também resulta do s lemas que se G é nilpotente, en tã o as séries centra is superior e inferior
de G têm o mesmo com p rim ento. A este número chamaremos classe de nilpotência de G.
Proposição 1.31 Todo p-grupo finito é nilpotente.
Proposição 1.32 Produtos diretos finito s de grupos nilpotentes são também nilpotentes .
Com o sugestão para a demonstração deste resu ltado note que se G = G
1
×···× G
n
,então
γ
i
(G)=γ
i
(G
1
) ×···×γ
i
(G
n
) ,
para todo índice i.
Proposição 1.33 Seja H 6= {e} um subgrupo normal de um grup o nilpotente G.Então
H ∩ Z (G) 6= {e}.
Agora mostrarem os que existe um teorem a de estrutu ração para o s grupos nilpotentes fini-
tos. Pa ra isso, verificaremos uma propriedade importante dos grupos nilpoten tes, que v ale
também no caso em que o grupo em questão não seja finito. U m grupo G tem a pr opriedade do
normalizador se todo subgrupo próprio de G está estritamente con tido no seu norma lizador.
Proposição 1.34 Seja H um subgrupo pr óprio de um grupo nilpotente G.Então
H Ã N
G
(H),
ou seja, se G é nilpotente ele tem a propriedade do normalizador.
12
Lem bremos que um subgrupo H de um grupo G é chamado subnormal se existe uma cadeia
de subgru pos:
H = H
0
⊂ H
1
⊂ ···⊂ H
n
= G
tal que H
i−1
C H
i
, 1 ≤ i ≤ n.
Corolário 1.35 Seja G um grup o nilp otente finito. Então to do subgrupo de G é subnormal.
Forneceremos agora um teorema de caracterização para os grupos nilpotentes finitos.
Teorema 1.36 Seja G um grupo fin ito. Então as seguintes condições são equivalen tes:
1. G é nilpotente ;
2. G tem a propriedade do normalizador;
3. To do subgrupo de Sylow de G énormalemG;
4. G éoprodutodiretodosseussubgruposdeSylow;
5. To do subgrupo de G é subnormal;
6. To do sub grupo maximal de G énormal.
Note que o teorema afirma que se G é um grupo nilpotente de ordem
|G| = p
n
1
1
···p
n
t
t
,
então, denotando por S
p
i
, 1 ≤ i ≤ n os p
i
-subgrupos de Sylow de G,temosque
G = S
p
1
×···×S
p
n
.
O subgrupo de Fitting de um grupo finito G, denotado por
Fit (G) ,
é o maior subgrupo normal nilpotente de G.
Teorema 1.37 Se G é um grupo supersolúvel, então Fit (G) é nilpoten te e
G
Fit(G)
éumgrupo
abeliano finito. Em particular, G
0
é nilpotente.
Dados um grupo finito G e p um número primo divisor da ordem de G, sabemos que um
p-subgrupo de Sylow de G é um subgrupo de G cuja ordem é tal que
p
k
||G| mas p
k+1
- |G| ,
com k ∈ Z
+
. Faremos agora um a generalização desta definição.
13
Se π é um conjunto não vazio de nú m eros primos, en tão um π-número éuminteiron tal
que todos os seus fatores primos pertencem a π. O complementar de π no conjunto de n úmeros
primos é denotado por π
0
e, assim, um π
0
-número éuminteirom tal que nenh um de seus fatores
primos pertence a π.
Seja G um grupo finito. Então G é c hamado um π-grupo se a ordem de cada um de seus
elementos é um π-núm ero .
Se G éumgrupofinito, en tão um π-subgrupo H de G tal que [G : H] éumπ
0
-n úmero é
c hamado de π-subgrupo de Hall de G.
Sabemos que os p-subgrupos de Sylow sempre existem, e que são conjugados en tre si. Entre-
tanto, os π-subgrupos de Hall nem sempre existem. Por exemplo, sejam G = A
5
e π = {3, 5}.
Como |A
5
| =60,umπ-subgrupo de Hall teria índice 4 eordem15, mas não existe tal subgrupo.
Quer em os estudar condições sob as quais tais subgrupos existem e, quando existirem, se são
conjugado s entre si. O próximo resultado afirma que em um grupo solúv el finito, π-subgrupos
de Hall sempre existem e são conjugados entre si.
Teorema 1.38 ( P. Hall) Se G éumgruposolúvelfinito de or dem mn,com
mdc (m, n)=1,
então G contém um subgrupo de ordem m. Além disso, quaisquer dois subgrup os de ordem m
são c on jugados.
Este teorema de P. Hall nos diz que em grupos solúv eis finitos, π-subgrupos de Hall sempre
existem, para todo conjunto de primo s. A seguir veremos que vale a recíproca deste teorem a.
Teorema 1.39 ( P. Hall) Se G éumgrupofinito que possui um p
0
-subgrupo de Hall, para todo
primo p,entãoG ésolúvel.
Teorema 1.40 Um grup o finito G ésolúvelse,esomentese,todosubgrupodeSylowdeG
possui complementar em G.
Teorema 1.41 (Teorema de Sh u r-Zassenhaus) Sejam G um grupo finito e H um π-subgrupo
normal em G.EntãoG contém um π
0
-subgrup o K, que é um complem entar de H em G.Além
disso, se H ou
G
H
é solúvel, então quaisquer dois π
0
-sub grup os de G são conjugados em G.
A hipótese de que N é norma l não pode ser retirada do teor em a. D e fato, sejam G = A
5
e
N um 2-subgrupo de Sylo w de G;logo|N| =4, [G : N]=15e mdc (4, 15) = 1.Portanto,G
está nas condições do teorema, porém, G = A
5
não possui subgrupo de ord em 15.Concluímos,
desta forma , que se N não for n orm al, o resultado nem sempre é válido.
14
Capítulo 2
Grupos injetivos
Ateoriadosgruposabelianoséumaparteimportantenateoriadegrupos,mas,além
da propriedade com utativa, esta categoria de grupos possui outras propriedades que serão
de grande relevância para o nosso propósito. Em todo este capítulo, todos os grupos serão
abelianos, portanto, no vamen te adotaremos a notação aditiva.
2.1 G rupos divis íveis
Dizemos que G éumgr upo divisív el se para cad a g ∈ G ecadan ∈ Z
∗
existe h ∈ G tal que
g = nh,
isto é, se a função ϕ : G → G,definida por
ϕ(g)=ng,
é sobrejetora, para cada n ∈ Z
∗
.
Note que um qu ocien te d e u m grupo divisível é também divisível. Como todo subgr upo H
de G énormalemG e G é divisível temos qu e
g + H = nh + H = n(h + H),
com h ∈ G e n ∈ Z
+
.
Exem plos 2.1
1. Entre os grupos divisíveis infinitos mais conhecidos estão: Q, R, C, C
∗
e R
+
.
2. Nenhum grupo finito não trivial é divisível.
Observemos que um subgrupo de um grupo divisível não necessariamente é divisív el. Por
exemplo: Z éumsubgrupodeQ m as, en quanto Q é div isível, Z não o é.
Observemos, tam bém, que se
G = H ⊕ K
15
e G é divisível, então H e K tam bém o são. É possível estender este argumento para uma soma
direta de um a quantidade arbitrária de subgrupos.
A recípr oca deste resultado também é válida, como verem os a seguir.
Proposição 2.2 Se os grupos G
i
,comi ∈ I, são divisíveis, então
G =
X
i∈I
G
i
é um grupo divisível.
Prova. Consideremos n ∈ Z
+
e
g ∈ G =
X
i∈I
G
i
.
Como
g = g
1
+ ···+ g
k
ecadaG
i
é divisível temos que existem h
1
∈ G
1
,...,h
k
∈ G
k
tais que
g
1
= nh
1
,...,g
k
= nh
k
.
En tão
g = nh
1
+ ···+ nh
k
= n (h
1
+ ···+ h
k
) .
Portanto, G é d iv isível. ¥
Proposição 2.3 (p-grupos de Prüfer) Seja p um número primo fixado. Então todos os sub-
grupos do grupo
Z(p
∞
)=
½
a
p
n
+ Z ∈
Q
Z
: a ∈ Z e n ∈ Z
+
¾
=
½
a
p
n
+ Z : a ∈ Z , 0 ≤ a<p
n
e n ∈ Z
+
¾
sãodaforma
C
n
=
¿
1
p
n
+ Z
À
,
com n ∈ Z
+
. Em particu la r,
Z(p
∞
)=
[
n∈Z
+
C
n
e Z(p
∞
) é um grupo divisível. O grupo Z(p
∞
) é chamado p-grupo de Prüfer.
Prova.Éclaroque
C
n
=
¿
1
p
n
+ Z
À
=
½
0,
1
p
n
,
2
p
n
,...,
p
n
− 1
p
n
¾
, ∀ n ∈ N,
é um subgrupo próprio de Z(p
∞
) com |C
n
| = p
n
.NotequeC
n
⊆ C
n+1
,paratodon ∈ Z
+
.
16
Reciprocamente, seja H um subgrupo próprio de Z(p
∞
). Vamos provar prim eiro que
a
p
m
+ Z ∈ H − {Z}, com mdc(a, p)=1 ⇒
b
p
n
+ Z ∈ H, ∀ b ∈ Z, com n ≤ m,
ou seja,
½
0,
1
p
n
,
2
p
n
,...,
p
n
− 1
p
n
¾
⊆ H.
De fato, como mdc(a, p)=1temos que existem r, s ∈ Z tais que ar + sp
m
=1. Logo, para
todo b ∈ Z e n ≤ m,obtemos
b = b · 1=abr + bsp
m
⇒
b
p
n
= bp
m−n
r
a
p
m
+ bsp
m−n
.
Assim ,
b
p
n
+ Z = bp
m−n
r
µ
a
p
m
+ Z
¶
∈ H.
Portan to, existe u m menor inteiro k ∈ N (H 6= Z(p
∞
))talque
H =
½
a
p
m
+ Z : a ∈ Z e m ≤ k
¾
e H ⊆ C
k
.
Logo, todo subgrupo próprio de Z(p
∞
) é da forma desejada.
Finalm ente, dados g ∈ Z(p
∞
) e k ∈ Z
+
,comk = p
r
l e mdc(p, l)=1. Logo,
g =
a
p
n
+ Z, para algum a ∈ Z, com 0 ≤ a<p
n
.
Seja
g
1
=
a
p
n+r
+ Z.
En tão p
r
g
1
= g.Comomdc (p
n+r
,l)=1tem os que existem x, y ∈ Z tais que
xp
n+r
+ yl =1.
Logo,
g
1
= g
1
· 1=g
1
¡
xp
n+r
+ yl
¢
= xp
n+r
g
1
+ lyg
1
= lyg
1
.
P ondo h = yg
1
,obtemos
kh = p
r
lyg
1
= p
r
g
1
= g.
Portanto, Z(p
∞
) é d iv isível. ¥
Proposição 2.4 Sejam p um número primo fixado e
C
0
= {0} ≤ C
1
≤ C
2
≤ ···≤ C
n
≤ ···
uma cadeia de grupos cíclicos de ordem p
n
, par a cada n ∈ Z
+
.Entãoogrupo
G =
[
n∈Z
+
C
n
,
éisomorfoaZ(p
∞
).
17
Prova. Vamos provar primeiro que: podemos escolher elemen to s a
n
tais que C
n
= ha
n
i e
pa
n+1
= a
n
, para cada n ∈ Z
+
. Suponhamos, como hipótese de indução, que escolhemos
a
0
,a
1
,...,a
n
tais que pa
i+1
= a
i
, i =0,...,n− 1 e C
i
= ha
i
i, i =0,...,n.SejaC
n+1
= hai.
En tão H = hpai é um g rupo cíclico de ord em p
n
,pois
p
n
(pa)=p
n+1
a =0.
Assim , H = C
n
. Logo, a
n
= r(pa),paraalgumr ∈ Z,commdc(p, r)=1.Como|a
n
| = p
n
temos que C
n+1
= hrai. Pondo a
n+1
= ra, obtemo s pa
n+1
= a
n
. P orta nto, é possível escolher
elementos a
0
,a
1
,...,a
n
,... tais que C
n
= ha
n
i e pa
n+1
= a
n
, para cada n ∈ Z
+
.Sejaσ : G →
Z(p
∞
) afunçãodefinida por
σ(xa
n
)=
x
p
n
+ Z, ∀ x ∈ Z.
En tão σ está bem definida, pois dados xa
m
,ya
n
∈ G com m ≤ n,obtemosp
n−m
a
n
= a
m
. Logo,
xa
m
= ya
n
⇒ (y − xp
n−m
)a
n
=0.
Assim , y − xp
n−m
= kp
n
,paraalgumk ∈ Z,pois|a
n
| = p
n
.Portanto,
y
p
n
+ Z =
xp
n−m
+ kp
n
p
n
+ Z =
x
p
m
+ Z ⇒ σ(xa
m
)=σ(ya
n
).
Agora, vamos provar que σ é um homomorfism o de grupos. Dado s a, b ∈ G,existen ∈ Z
+
tal
que a, b ∈ C
n
. L ogo, existem x, y ∈ Z.tais que a = xa
n
e b = ya
n
. A ssim,
σ(a + b)=σ(xa
n
+ ya
n
)=σ((x + y)a
n
)
=
x + y
p
n
+ Z =
µ
x
p
n
+ Z
¶
+
µ
y
p
n
+ Z
¶
= σ(a)+σ(b).
Portanto, σ é um homomorfism o de grupos. É claro que σ éumepimorfism o .
Finalmen te,
a ∈ Ker (σ) ⇔ σ(a)=Z ⇔∃ x ∈ Z e n ∈ Z
+
, tais que σ(xa
n
)=Z ⇔
x
p
n
+ Z = Z.
Logo, p
n
é um divisor de x.Portanto,a = xa
n
=0,istoé,Ker (σ)={0} e σ é um monomor-
fism o . ¥
Observemos que o p-grupo de Prüfer pode ser en tendido como o p-subgrupo de Sylo w de
Q
Z
,
queconsistedetodosoelementosdeZ (p
∞
) cuja ordem é uma potência de p.
Proposição 2.5 Sejam G um grupo e D um subgrupo divisível de G.EntãoD éumsubgrupo
característico em G.
Prova.Sejamd ∈ D e
ϕ ∈ Aut (D) .
18
Como D é div isível exis te n ∈ Z
+
tal que
g = nh,
para algum h ∈ G.Então
ϕ (g)=ϕ (nh)=nϕ (h) .
Portanto, D é um subgru po característico em G. ¥
2.2 Grupos injetiv os
Um grupo G é cham ado injetivo se, dados um monomorfismo de grupos μ : H → K eum
homomorfismo de grupos α : H → G,comH e K grupos, existe um hom om orfismo de gru pos
β : K → G
tal que
α = β ◦ μ,
em outras palavras, tal que o diagrama
Figura 2.1: D iagrama
comuta.
Como μ éinjetivatemosque
H ' Im (μ) <K.
Suponhamos que, de fato, H seja subgrupo de K e μ sejaaaplicaçãoinclusão,entãoaafirmação
de que G sejainjetivoimplicaqueohomomorfism o de grupos α : H → G pode ser estendido a
um homomorfismo d e grupos β : K → G,demodoque
α = β|
H
.
Teorema 2.6 (Baer) Um grup o G é injetivo se, e some nte se, ele é divisível.
Prova. Suponham os que G seja injetiv o e consider em o s g um elemen to qualquer de G e n ∈ Z
∗
.
A função
α : nZ → G
19
definida por α(nx)=xg é um homom orfismo de grupos. Se i : nZ → Z é a aplicação inclusão,
en tão , por hipótese, existe um homom orfismo de grupos β : Z → G tal que α = β ◦ i. Logo,
g = α (n)=(β ◦ i)(n)=β (n)=nβ (1) = nh,
com h = β (1).Portanto,G é divisível.
Reciprocamen te, suponhamos que G seja divisível. Dado s grupos H, K, um monomorfismo
μ : H → K e um homom orfismo α : H → G. Podemos supor, sem perda de generalidade, que
H é um subgrupo de K, pois podemos identificar H com Im (μ).SejaS oconjuntodetodas
as extensões parciais γ : L
→ G de α,istoé,seH<L<K,então
γ (h)=α (h) ,
para todo h ∈ H.Dadosγ
1
,γ
2
∈ S,definimos
γ
1
≤ γ
2
⇔ L
1
<L
2
e γ
1
= γ
2
|
L
1
.
Éfácilverificar que ≤ é uma ordem parcial sobre S.SejaC = {γ
i
: L
i
→ G : i ∈ I} uma cadeia
qualquer de S.Faça
L =
[
i∈I
L
i
.
Então é fácil verificar que L é um subgrupo m aximal de G.Sejaγ : L → G definida por
γ (x)=γ
i
(x).Entãoéclaroqueγ ∈ S e γ é um a cota superior de C. Assim, pelo Lema de
Zorn, S con tém um elemento maximal, digamos β : L → G.
Afirma ção. L = K.
De fato, se L 6= K, en t ão existe k ∈ K tal que k/∈ L. Logo, M = L + hki <K.EntãoL ⊂ M,
o que contradiz a maximalidade de L.
Se
L ∩ hki = {0} ,
en tão M = L ⊕ hki e β
1
: M → G definida por
β
1
(x)=
(
0, se x ∈ hki
β (x) , se x ∈ L,
étalqueβ = β
1
|
L
o que con tradiz a maximalidade de β.Se
L ∩ hki 6= {0} ,
então existe um menor in te iro positivo m tal que mk ∈ L. Suponhamos que β “leva” mk em
g ∈ G.ComoG é divisível temos que g = mg
1
,paraalgumg
1
∈ G. Agora,todoelementode
M pode ser escrito de m odo único sob a soma
x + tk, com x ∈ L e 0 ≤ t<m,
20
pois m é mínimo. Assim , podemos definir uma função β
2
: M → G por
β
2
(x + tk)=β (x)+tg
1
.
Verifica-se facilmente que β
2
é um homomorfismo de grupos tal que β = β
2
|
L
oquecontradiz
a m a x imalidade de β. Portan to, G éumgrupoinjetivo ¥
A consequêcia mais importan te do teorema an terior é a propriedade do fator de soma direta
dosgruposdivisíveis.
Corolário 2.7 Se D é um subgrupo divisível de um grupo G,então
G = D ⊕ E,
para algum subgrupo E.
Prova. Consideremos a aplicação inclusão i : D → G.ComoD é um grupo divisív el temo s,
pelo Teorema 2.6, que D é um grupo injetivo. Assim, para cada homomorfism o de grupos
α : D → D, existe um hom om or fismo de grupos β : G → D tal que
α = β ◦ i = β|
D
.
Em particular, isto vale para α = I
D
. A ssim ,
β (d)=I
D
(d)=d,
para todo d ∈ D.Seg ∈ G,entãoβ (g) ∈ D. Assim,
β (β (g)) = β (g) ,
ou seja,
β
2
(g)=β (g) .
Logo, (g − β (g)) ∈ Ker (β)=E.Portanto,
G = D + E.
pois g = β (g)+(g − β (g)),paratodog ∈ G.
Finalmente, seja d ∈ D ∩ E.Comod ∈ D temos que d = β (d). P or outro lado, d ∈ E =
Ker (β). Logo, d = β (d)=0.Portanto,G = D ⊕ E. ¥
Em outras pala vras, o que o corolário acima afirma é que se um grupo G possui um subgrupo
divisív el, este subgrupo é um fator de soma direta de G.
Um grupo G chama-se reduzido se não possui subgrupos divisíveis não triviais. O sub grupo
divisível maxima l de
G éauniãodetodosossubgruposdivisíveisdeG eserádenotadopor
d (G).
21
Teorema 2.8 Seja G um grup o. Então existe um único subgrupo divisível maximal de G.Além
disso,
G = d (G) ⊕ E,
com E um grup o reduzido.
Prova. P elo Corolário 2.7,
G = d (G) ⊕ E,
para algum E.NotequeE = d (E) ⊕ K,paraalgumK. Assim,
G = d (G) ⊕ d (E) ⊕ K.
Mas
d (G) ⊕ d (E)
é divisível e d (G) é seu subgru po divisív e l m ax imal. Logo,
d (E)={0} .
Portanto, E éreduzido. ¥
Observe que se d (G)=G então G é div isível e se d (G)={0},entãoG
é reduzido.
Exemplo 2.9 d (Q)=Q e d (Q
∗
)=Q
+
.
Lema 2.10 Se G éumgrupolivredetorção,n ∈ N e h, h
0
∈ G tais que nh = nh
0
,então
h = h
0
.
Prova.Comonh = nh
0
temos que
n (h − h
0
)=nh − nh
0
=0⇒ h − h
0
=0,
pois G é livre de torção. Portan to, h = h
0
. ¥
Teorema 2.11 Seja G um grupo livre de torção. Então G é divisível se, e somente se, G é
um espaço vetorial sobre Q. Em particular, G é uma soma dir eta de cópias de Q.
Prova.Sejamg ∈ G e
m
n
∈ Q.ComoG é div isível e livre de torção ex iste um único h ∈ G tal
que g = nh.Definamos uma composição externa ∗ sobre G, ∗ : Q × G → G,por
m
n
∗ g = mg =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
(m − 1)g + g, se m>0
0, se m =0
(−m)(−g)=(m +1)g − g, se m<0.
Então é fácil verificar qu e G é um espaço vetorial sobr e Q.
Reciprocamen te, suponhamos que G seja um espaço v etor ial sobre Q.Dadog ∈ G e n ∈ Z
∗
,
existe
h =
1
n
· g ∈ G
tal que nh = g. Portanto, G éumgrupodivisível. ¥
22
Lema 2.12 O subgrupo de tor çã o de um grupo divisível G é também divisíve l.
Prova. Suponhamos que G seja div isível. Seja m
g ∈ T (G)
e m aordemdeg, ou seja, mg =0.ComoG é divis ível temos que, pa r a cada n ∈ Z
∗
,existe
h ∈ G tal que g = nh. Assim,
(nm) h = m (nh)=mg =0
e h ∈ T (G).Portanto,T (G) é divisível. ¥
Teorema 2.13 Se G éump-grupo divisível, então G éumasomadiretadep-grupos de Prüfer.
Prova.SejaG um p-grupo divisíve l não trivial. Note que G possui um subgrupo isomorfo a
Z (p
∞
).Sejamg
1
∈ G de ordem p e C
1
= hg
1
i o grupo cíclico gerado por g
1
. Escolha g
2
∈ G
tal que pg
2
= g
1
.EntãoC
2
= hg
2
i é um grupo cíclico de ordem p
2
com C
1
≤ C
2
.Prosseguin do
dessa fo rm a, obtem o s uma cadeia
C
0
= {0} ≤ C
1
≤ C
2
≤ ···≤ C
n
≤ ···
de grupos cíclicos de ordem p
n
,paracadan ∈ Z
+
.Seja
C =
[
n∈Z
+
C
n
.
En tão, pela Proposição 2.4, C éisomorfoaZ (p
∞
) e C é um grupo divisível. P o rtanto, é um
fator de soma direta de G.
Agora , seja S oconjuntodetodosossubgruposdeG que sejam isomorfos a Z (p
∞
) e seja
T =
(
X ⊆ S :
X
i∈I
H
i
existe, ∀ H
i
∈ X
)
.
En tão, pelo Lema de Zorn, T possui um elemento maximal, digamos X
0
.Seja
H =
X
i∈I
H
i
,H
i
∈ X
0
,
Então, pela Proposição 2.2, H é um subgrupo divisív el de G. Assim ,
G = H ⊕ K,
para algum K.
Afirma ção. K = {0}.
De fato, se K 6= {0},entãoK contém um subgrupo P isomorfo a Z (p
∞
). Logo,
X
0
∪ {P } ∈ T,
o que contradiz a maximalidade de X
0
.Portanto,G é uma som a direta de cópias de Z (p
∞
).¥
Agora é possív el caracterizar os grupos divisív eis. O teorema seguinte descreve completa-
menteaclassedosgruposdivisíveis.
23
Te o r e ma 2.14 (D e c omposição dos Grupos Div isíveis) Todo grupo divisível G ésomadi-
reta de p-grupos de Prüfer e de cópias de Q.
Prova.SejaG um grupo div isível. Então
G = T (G) ⊕ H,
com H livre de torção. Pelo Teorema 2.11, H é isomorfo a uma soma direta de cópias de Q.
Sabemos que T (G) ésomadiretadep-grupos divisíve is. Logo, pelo Teorema 2.13, cada um
desses p-grupos divisíveis é uma soma de cópias de Z (p
∞
). Portanto, todo grupo divisível é
soma direta de cópias de Q edeZ (p
∞
). ¥
2.3 Subgrupos puros
Sejam G um grupo e P um subgrupo de G.EntãoP é cham ado subgrupo pur o de G se para
todo n ∈ Z,
P ∩ nG = nP.
É sempre v erdade que
nP ⊆ P ∩ nG.
Se p ∈ P ∩ nG,entãop ∈ nP ,istoé,sep ∈ P e p = ng,paraalgumg ∈ G,entãoexistep
0
∈ P
tal que
p = np
0
.
Proposição 2.15 Seja G um grupo. Todo fator de soma direta de G é um subgrupo puro.
Prova.SejaG = H ⊕ K.Seh ∈ H e h = ng,entãog = h
0
+ k
0
,comh
0
∈ H e k
0
∈ K.Assim,
ng = nh
0
+ nk
0
⇒ h = nh
0
+ nk
0
.
Logo,
nk
0
= h − nh
0
∈ H ∩ K = {0} .
Portanto, P é um subgrupo puro. ¥
Proposição 2.16 Sejam G um grupo e P um subgrupo de G tal que
G
P
é livre de torção. Então
P épuro.
Prova.Se
p = ng,
en tão
g + P ∈
G
P
24
possui ordem finita. Como
G
P
é livre de torção,
g + P = P.
Logo g ∈ P . ¥
Sejam G um grupo de torção e B um subgrupo de G.EntãoB é chamado subgrupo básico
de G se:
1. B é uma soma direta de grupos cíclicos.
2. B é um subgrupo puro de G.
3.
G
B
éumgrupodivisível.
Seja G um grupo. En tão G é c hamado um grupo limita do se
nG = {0} ,
para algum n ∈ N.
Teorema 2.17 (Prüfer-Baer) Seja G um grupo limitado. En tão G é uma soma dir eta de
grupos cíclicos.
25
Capítulo 3
G r u pos qu as i-in je tivos finitos
Neste capítulo trataremos do principal objeto do nosso trabalho, os grupos quasi-injetivos
finitos. A definiçãodetaisgruposfoimotivadaapartirdofatodenãoexistiremgruposinjetivos
nãotriviaisdeordemfinita. Uma demonstração para este fato pode ser encon trada em [9].
A palavra grupo, neste capítulo, significa, salv o menção em contrário, grupo finito. A partir
deste pon to usaremos a notação mais conveniente, aditiva ou m u ltiplicativa, para cada caso em
questão.
3.1 Resultados básicos
Neste seção apresentarem os algum a s definições e resultados básicos da teoria de grupos
que serão necessários para as seções subsequentes, o leitor interessado em mais detalhes pode
consultar [7, 10, 12].
Teorema 3.1 (N/C Lema) Sejam G um grupo e H um sub grupo de G.Então:
1. C
G
(H) é um subgrupo normal em N
G
(H) e
N
G
(H)
C
G
(H)
' K ≤ Aut (H) .
2. Inn(G) éumsubgruponormalemAut (G) e
G
Z(G)
' Inn(G).
Exemplo 3.2 Se G = Q
8
é o grupo dos quatérnios de ordem 8, então existe ϕ ∈ Aut(G) tal
que ϕ/∈ Inn(G) e ϕ
2
= I
G
.
Solução.Como
G
Z(G)
' Z
2
× Z
2
26
e Z
2
× Z
2
= hx, yi,comx =(1, 0), y =(0, 1) e x
2
= y
2
=(0, 0), temos que
G = {H, aH, bH, abH},
com H = Z(G) e G
0
= H. Assim, a função ϕ : G → G definida por ϕ(a)=a
−1
, ϕ(b)=b
−1
e
ϕ(z)=z
−1
,paratodoz ∈ H,éumautomorfism o de G e
ϕ
2
= I
G
,ϕ∈ C
Aut(G)
(Inn(G)) e ϕ
y
(x)=x[x, y],
que é o resu ltado desejado. ¥
Proposição 3.3 Sejam α : G → H um homomorfism o de grupos e P um subgrupo de G.Se
α = β|
P
,então
Ker(α)=Ker(β) ∩ P.
Sejam G um grupo e H um subgrupo em G. Dizemos que H é c ompletamente invariante
em G se para todo endomorfismo de grupos φ : G → G temos que φ (H) ⊆ H.Observequese
H é completamen te in varian te em G,entãoH é um subgrupo característico (normal) em G.
Exemplo 3.4 Seja G um grupo. Entã o , pelo item (4) do Lema 1.17,osubgrupoderivadoG
0
de G é completamente invariante em G.
Sejam G um grupo e H um subgrupo normal em G. Dizemos que um subgrupo K de G é
um fator direto de H em G se as seguintes condições são satisfeitas:
1. H ∩ K =1.
2. G = HK.
Note que se os fatores existem para um subgrupo H, então eles são únicos, a meno s de isom or-
fism o , pois
G
H
=
HK
H
'
K
H ∩ K
= K.
Sejam G um grupo e M um subgrupo de G.DizemosqueM éumsubgrupo minimal de G
se M 6=1eseK é um subgrupo de G tal que se 1 ⊆ K ⊆ M,entãoK =1ou K = M.Por
exemplo, se G = {1,a,b,c},coma
2
= b
2
= c
2
=1,entãoM = {1,a} é um subgrupo minimal
de G.
Seja G um grupo abeliano. Dizemos que G é abeliano elementar setodososelementosde
G diferentes da identidade são de ordem p, para algum núm ero primo p. Neste caso, |G| = p
n
,
para algum n ∈ N.
Exemplo 3.5 Se G éumgruposolúvelfinito e H é um sub gru po normal minimal em G,então
H éump-grupo abeliano elemen tar, para algum número primo p.
27
Solução.Éfácilverificar que
σ(H
0
) ⊆ H
0
,
para todo σ ∈ End (H), ou seja, H
0
é completam ente invariante em H.Emparticular,H
0
é
característico em H. Logo, H
0
é um subgrupo normal em G,poisH énormalemG.Assim,
por hipótese,
H
0
=1 ou H
0
= H.
Como H ésolúveltemosqueH 6= H
0
. Assim , H
0
=1e H éumgrupoabeliano. SejaP um
p-subgru po de Sylow não trivial de H, para algum n ú m ero primo p.ComoP é um subgrupo
normal em H temos qu e
σ(P ) ⊆ P,
para todo σ ∈ End (H). Assim, P é um subgrupo normal em G. Portanto, pela minim alida de
de H,temosqueH = P . ¥
Seja G um grupo. Dizemos que uma cadeia subnormal em G,
1=G
0
⊆ G
1
⊆ ···⊆ G
n−1
⊆ G
n
= G
éumasérie principal ou uma série chief para G se G
i
6= G
i+1
e G
i
é um subgrupo normal
maximal em G, i =0,...,n− 1.
Proposição 3.6 Seja G um grupo solúvel finito. Então os fatores de toda sé rie chief de G são
grupos abelianos elementares.
Prova. Vamos usar indução sobre o com prim ento da série chief. Seja
1=G
0
⊆ G
1
⊆ ···⊆ G
n−1
⊆ G
n
= G
uma série chief para G.Sen =2,entãoG
1
é um subgrupo normal minimal em G,poisnão
existe K C G tal que 1 ⊆ K ⊆ G
1
. L ogo, pelo Exem plo 3.5,
G
1
=
G
1
G
0
é um grupo abeliano elem entar. Suponhamos que o resultado seja válido para todo m,com
1 <m<n. Então, pelo Teorema da Correspondência,
1=
G
1
G
1
⊆ ···⊆
G
n−1
G
1
⊆
G
n
G
1
=
G
G
1
é um a série ch ief pa ra
G
G
1
.Como
¯
¯
¯
¯
G
G
1
¯
¯
¯
¯
< |G|
temos que
G
i+1
G
1
G
i
G
1
,i=1,...,n− 1,
28
são grupos abelianos eleme ntares. Ma s, pelo Terceiro Teorema de Isom o rfismo,
G
i+1
G
1
G
i
G
1
'
G
i+1
G
i
,i=1,...,n− 1.
Portanto,osfatoressãogruposabelianoselementares. ¥
Corolário 3.7 Seja G um grupo sup ersolúvel finito . E ntã o os fatores de toda série chief de G
são grup o s abelianos elementares.
Seja G um p-grupo abeliano. Dizem os que G éumgrupohomocíclico se G éumproduto
direto de subgrupos cíclicos H
i
,com|H
i
| = p
n
e n ∈ N. Por exemplo,
G = Z
p
n
×···×Z
p
n
,
com k fatores.
Observemos que Q
8
possui todos os subgrupos normais. Tais grupos são conhecidos como
grupos de Dedekind. Como exemplos de grupos de Dedekind temos toda a classe dos gupos
abelianos. Se um grupo não é abeliano e, ainda assim, possui todos os subgrupos normais, ele
é cham ado Hamiltoniano.
Teorema 3.8 Um grup o G é Hamiltoniano se, e som en te se,
G = A + B + D,
com A um grup o dos quatérnios, B um 2-grupo abeliano elementar e D um grupo de tor ção
cujos elementos são to dos de or dem ímpar.
Teorema 3.9 (Argumento de Frattini) Sejam G um grup o finito e K um sub grupo normal
em G.SeP éump-sub grupo de Sylow de K, para algum número primo p,então
G = KN
G
(P ).
Em p articular, se G éump-grupo finito , então
G = G
0
G
p
.
Corolário 3.10 Seja G um p-grupo finito, para algum número primo p.Então
G
Frat (G)
é um grupo abeliano elementar.
Teorema 3.11 Sejam G um grupo, P um p-subgrupo de Sylow de G abeliano e N = N
G
(P ).
Então:
29
1.
P ∩ G
0
= P ∩ N
0
ou P =(P ∩ N
0
) × (P ∩ Z (N)) .
2. O p-grupo quociente ma ximal de G éisomorfoaP ∩ Z (G).
Teorema 3.12 (Torre de Syl ow) Seja G um grup o sup ersolúvel de ordem
|G| = p
n
1
1
p
n
2
2
···p
n
k
k
,
com p
i
um número primo e p
i
>p
i+1
, par a cada i =1,...,r. Então, p ara cada k, temos que
P
1
P
2
···P
k
é um subgrup o normal em G.
Sejam p um número primo e k ∈ N. Denotarem os o grupo Ω
p
k
(G) por
Ω
p
k
(G)=
D
g ∈ G : g
p
k
=1
E
.
Teorema 3.13 Sejam G um p-grupo abeliano e σ ∈ Aut (G).Se
σ|
Ω
p
(G)
= I
G
,
então σ = I
G
.
3.2 Grupos quasi-injetivos
Nesta seção apresentaremo s um a caracterização para os grupos quasi-injetiv o s finitos.
Um grupo G é chamado quas i-in je tiv o se para qualquer subgrupo H de G e para qualquer
homomorfismo de grupos α : H → G existe um endomorfism o β : G → G tal que
β|
H
= α.
Note que um grupo G é quasi-injetivo quando todo homomorfismo de grupos, de qualquer
um d e seus subgrupos nele m esm o, pode ser estendido a um endom orfismo global.
Exemplo 3.14 OgrupodosquatérniosQ
8
é quasi-injetivo.
Solução.SejaQ
8
= ha, bi com b
4
= a
4
= e e a
b
= a
−1
. Então qualquer endomorfism o
β : Q
8
→ Q
8
é com pletam ente determ inad o por β(a) e β(b).OssubgruposprópriosdeQ
8
são:
ha
2
i = hb
2
i = h(ab)
2
i, hai, hbi e habi. Portan to, dado qualquer subgrupo H de Q
8
e qualquer
homomorfismo de grupos α : H → Q
8
éfácilverifica r que existe um endomorfismo β : Q
8
→ Q
8
tal que β|
L
= α. ¥
Lema 3.15 Seja G um grupo quasi-injetivo.
30
1. Se H é um fator dir e to de G,entãoH é quasi-injetivo.
2. Se H é um sub grupo completamente invariante de G,entãoH é quasi-injetivo.
3. Se um sub grupo completamente invariante H de G possui um elemen to de ordem n,então
H contém todos os elementos de ordem n.
Prova.(1) Suponhamos que H seja um fator direto de G. Então existe um subgrupo K de G
tal que G = HK e H ∩ K =1. Consideremosasfunçõesi : H → G definida por i(h)=h e
p : G → H definida por p(hk)=h. Logo,
(p ◦ i)(h)=p(i(h)) = p(h)=h, ∀ h ∈ H,
isto é, p ◦ i =
I
H
. Dados L um subgrupo qualquer de H e α : L → H qualquer homomorfismo
de grupos. Assim, i ◦ α : L → G é um homom orfismo de grupos. Como G équasi-injetivo
temos que existe um endom orfismo γ : G → G tal que
γ|
L
= i ◦ α.
Agora, vamos definir β : H → H por
β = p ◦ (γ|
L
).
En tão
β (h)=(p ◦ (γ|
L
)) (h)=(p ◦ (i ◦ α)) (h)=((p ◦ i) ◦ α)(h)
=(I
H
◦ α)(h)=I
H
(α (h)) = α (h) , ∀ h ∈ L,
isto é,
β|
L
= α.
Portanto, H é quasi-injetivo.
(2) Suponhamos que H seja um subgrupo completamente invariante de G. Dados L um
subgrupo qualquer de H e α : L → H um homomorfism o de grupos qualquer. Assim, i◦α : L →
G é um homomorfismo de grupos. C om o G é quasi-injetivo temos que existe um endomorfismo
γ : G → G tal que
γ|
L
= i ◦ α.
Assim , existe um endom orfismo β = γ|
H
: H → H tal que
β|
L
= α,
pois γ(H) ⊆ H.Portanto,H é qu asi-injetivo.
(3)SejamH um subgrupo completamente inv ariante de G,
α : H → G
31
um homomorfismo de grupos e h ∈ H um elemento de ordem n.ComoG é quasi-injetivo,
existe um endomorfismo β : G → G tal que
β|
H
= α
e g = β(h),paraalgumg ∈ G de ordem n. Por outro lado,
g = β(h) ∈ β(H) ⊆ H,
Portanto, H contém todos os elemen tos de ordem n. ¥
Lema 3.16 Seja
G = HK, com mdc (|H| , |K|)=1.
Então G é um grupo quasi-injetivo se, e somen te se, H e K também o são.
Prova.SejaG um grupo quasi-injetiv o . Então, pelo item (1)doLema3.15,H é quasi-injetiv o.
De form a análoga, prova-se que K também é quasi-injetivo.
Reciprocamen te, seja G = HK,comH e K quasi-injetiv os. Dados L um subgrupo qualquer
de G e α : L → G um homomorfismo de grupos. En tão, pelo Exemplo 1 .3, obtem os
L =(L ∩ H)(L ∩ K)
.
Logo, existem endomo rfismos
β
1
: H → G e β
2
: K → G
tais que
β
1
|
L∩H
= α|
L∩H
e β
2
|
L∩K
= α|
L∩K
,
pois L ∩ H<He L ∩ K<K. Assim , pelo Teorema 1.10 , a funçã o β : G → G definida por
β(hk)=β
1
(h)β
2
(k),
com h ∈ H e k ∈ K, é um endom orfismo de G tal que
β|
L
= α.
Portanto, G é q uasi-injetivo. ¥
Exemplo 3.17 OgupoG = Q
8
× Q
8
não é quasi-in jetivo.
Solução.SejamQ
8
= ha, bi e Q
8
= hc, di. P ondo H = hai e K = haci,obtemos
H ∩ K =1, [a, ac]=1 e L = HK.
Seja α ∈ Aut (L) definido por α (a)=ac.EntãoseG fosse quasi-injetivo, então é fácil encon trar
β ∈ Aut (G) tal qu e
β|
L
= α.
32
Como H C G tem os q ue K = β (H)=α(H) C G.Portanto,
(ac)
b
= b (ac) b
−1
= a
−1
c = a
2
(ac) /∈ K,
o que é uma contradição, ¥
Este exemplo ratifica a necessidade da hipótese do Lem a 3.16 de que mdc (|H| , |K|)=1.
Teorema 3.18 Todo grupo quasi-injetivo é sup ersolúvel.
Prova.SejaG um grupo quasi-injetivo finito. Suponhamos, por absurdo, que o resultado seja
falso. En tão podemos escolher um subgrupo normal minimal H em G tal que um fator chief
H
K
seja um grupo abeliano não elem entar, com K C G. Logo,
¯
¯
¯
¯
H
K
¯
¯
¯
¯
= p
n
m,
com n ≥ 2, m ≥ 2 e mdc(m, p)=1,paraalgumnúmeroprimop.Seja
P ∈ Syl
p
µ
H
K
¶
.
Como
¯
¯
P
¯
¯
= p
n
temos que existe K
p
C P tal que
¯
¯
¯
¯
P
K
p
¯
¯
¯
¯
= p.
Assim , pelo Terceiro Teorema do Isomorfismo, temos que K
p
C P<Heque
¯
¯
¯
¯
P
K
p
¯
¯
¯
¯
= p.
Logo, existe um homom orfismo de grupos α : P → G,com
Ker (α)=K
p
(K ⊂ K
p
) e
¯
¯
¯
¯
P
K
p
¯
¯
¯
¯
= p.
Por outro lado, como G é um grupo quasi-injetivo temos que existe um endomorfismo β : G → G
tal que
β|
P
= α e K
p
=Ker(α)=Ker(β) ∩ P C H.
Portanto,
K ⊂ H ∩ Ker(β) ⊂ H ⇒ {K} 6=
H
H ∩ Ker(β)
<
H
K
,
o que é uma contradição. ¥
Observação 3.19 OExemplo3.17 prova que a recíproca do Teorema 3.18 éfalsa.
O próximo teorema é bastan te usado para determinar a estrutura dos grupos quasi-injetiv o s.
33
Teorema 3.20 Sejam G um grupo quasi-injetivo e K um subgrupo de G.SeH éumsubgrupo
subnorm al em K,entãoH éumsubgruponormalemK.
Prova.ComoH é subnormal temos que existe uma cadeia subnormal
H = H
0
⊆ H
1
⊆ ···⊆ H
n−1
⊆ H
n
= L C K.
P odemos supor, usando indução sobre n,queH C L. Suponhamos, por absurdo, que H não
seja norm a l em K.Entãoexistek ∈ K tal que
H
k
= kHk
−1
6= H.
P ondo U = HH
k
,obtemos
U<L,
pois H énormalemL e H
k
éumsubgrupodeL. Então o grupo quociente
U
H
possui um
subgrupo de ordem p, para algum um número primo p. Logo, pela prova do Teorema 3.18,
existe M C G tal que
H ⊂ U ∩ M ⊆ U.
Neste caso, H
k
⊆ M.EntãoU ⊆ M, o que é uma contradição. Portan to, H é um subgrupo
normal em K. ¥
Corolário 3.21 Seja G um grupo quasi-injetivo. Então qualquer sub grupo nilpotente de G é
um grup o de Dedekind.
Prova.SejaH um subgrupo nilpotente de G. Então, pelo Corolário 1.35, todo subgrupo N de
H é subnormal em H. A ssim, pelo Teorem a 3.20, N énormalemH Portanto, H éumgrupo
de Dedekind. ¥
Lema 3.22 Sejam G um grupo quasi-injetivo e P um p-subgrupo de Sylow de G,paraalgum
número primo p. Então todos os elementos de ordem p em P tem a mesm a altura em P ,isto
é, eles estão c on tid os em subgrupos cíclicos maxim ais isomorfos de P .
Prova.SejamG um grupo, g ∈ G, P um p-subgrupo de Sylow de G e a ∈ P ,com|a| = p.
Considere
F = {hgi : |g| = p
n
e a ∈ hgi} .
Note que F 6= ∅ e contém um elemen to maximal, digamos hgi ∈ F,com|hgi| = p
n
eap-altura
de a sendo igual a n.
Tome b ∈ G,com|hbi| = p.Sejam a p-altu ra d e b. Ent ão existe h ∈ G tal que |hhi| = p
m
e b ∈ hhi.Sejaϕ : hai −→ hbi <Gum homomorfismo de gr upos. Como G éumgrupo
quasi-injetiv o, existe um homomorfismo de grupos ψ : G −→ G tal que
ψ|
hai
= ϕ.
34
Afirma ção. ψ|
hai
éinjetora.
De fato, se w ∈ hgi e ψ (w)=1,comw 6=1,entãoexistes ∈ N tal que a = w
s
. Logo,
1=ψ (w
s
)=ψ (a)=b,
o que é um absurdo.
Pondo t = ψ (g),obtemosque
|t| = |ψ (g)| = |g| = p
n
.
Como b = ϕ (a) ∈ hti,entãotemosquem = n. Portan to, todo elemento de ordem p em P tem
amesmaalturaemP . ¥
Corolário 3.23 Sejam G um grup o quasi-injetivo e P um p-subgrupo de Sylow de G.Então
P é um grupo homocíclico ou um grupo dos quaté rn ios de ordem 8.
Prova.Seja
P ∈ Syl
p
(G) .
Como P é um grupo de Dedekind temos, pelo Teorema 3.8, que ele é abeliano ou é o produto
direto do grupo quatérnio de ordem 8 com um 2-grupo abeliano elementar. Logo, pelo Lema
3.22, P é da forma desejada. ¥
Observação 3.24 O resultado acima implica que se P éump-subgrup o de Sylow de um grupo
quasi-in jetivo , que não é abeliano, então p =2e P é um grupo dos quatérnios de or dem 8.
Neste caso, o teorema seguinte prova que P deve ser um fator direto de G.
Teorema 3.25 Seja G um grupo quasi-injetivo. Se Q
8
éum2-subgrupo de Sylow de G,então
G = Q
8
× K,
com K um grupo quasi-injetivo de ordem ímpar.
Prova.Como
Q
8
∈ Syl
2
(G)
temos que
Q
8
∈ Syl
2
(Q
8
G
0
)
e Q
8
G
0
C G. En tão, pelo argumento de Fratini, obtemos
G = G
0
N
G
(Q
8
) ,
pois Q
8
C N
G
(Q
8
).
Afirma ção. Q
8
C G.
De fato, suponhamos por, absurdo, q ue Q
8
não seja n orm a l em G.Entãoexisteump-elemento
x ∈ G
0
tal que
xQ
8
x
−1
6= Q
8
.
35
Por hipótese, G ésupersolúveleG
0
é nilpoten te. En tão, pelo Teorema 3.20,
H = hxi C G.
Assim, dado σ ∈ Aut(Q
8
),obtemosδ
2
=(σ|
H
)
2
= I
H
,ouseja,hδi é um subgrupo cíclico de
Aut(Q
8
). Logo, C
Q
8
(x) é subgrupo cíclico de ordem 4.Portanto,emcada2-subgrupo de Sylo w
de G temos que cada elemento de ordem 2 centr aliza x. Como a função
α : HC
Q
8
(x) → H ≤ G
é um homomofismo de grupos tem os que existe um endomorfismo β : G → G tal que
β|
HC
Q
8
(x)
= α.
Seja
M =Ker(β) .
En tão
M ∩ HC
Q
8
(x)=C
Q
8
(x) .
Por outro lado, como
M ∩ HQ
8
C HQ
8
, C
Q
8
(x) ⊆ HQ
8
e M ∩ H =1
temos que
M ∩ HQ
8
⊆ C
Q
8
(x) ,
ou seja,
M ∩ HQ
8
= C
Q
8
(x) .
Assim ,
(HQ
8
) M
M
< Im (β) e
(HQ
8
) M
M
'
HQ
8
C
Q
8
(x)
6= {C
Q
8
(x)} .
Portanto, existe um elemento y de ordem 2 em
HQ
8
C
Q
8
(x)
tal que xy 6= yx, o que é uma contradição.
Finalmen te, se P
1
,...,P
k
são todos os p
i
-subgrupos de Sylo w de G,comp
i
n úm eros primos
ímpa res, i =1,...,k,então,peloTeorema3.12,
K = P
1
×···×P
k
' P
1
P
2
···P
k
.
éumsubgruponormalemG.Comoo
mdc(|Q
8
| , |K|)=1
temos, pelo Lema 3.16, que K éumgrupoquasi-injetivodeordemímpar. ¥
36
Observação 3.26 OTeorema3.25 eoLema3.16 reduzem a discussão a todos os grupos cujos
subgrup os de Sylow são ab elianos.
Lema 3.27 Seja G um grup o quasi-injetivo tal que to dos os p-subgrupos de Sylow de G são
grupos abelianos. Então G
0
éumπ-sub grupo de Hall de G eexisteH um sub grupo de G tal que
G = G
0
H, com G
0
∩ H =1.
Além disso, G
0
e H são grupos ab elianos homocíclicos e
G
0
∩ Z (G)=1.
Prova.SejamP um p-subgrupo de Sylow de G e N = N
G
(P ).Então,peloitem(1)do
Teorema 3.11, obtem os
P =(P ∩ G
0
) × (P ∩ Z (N)) .
Afirma ção. P ∩ G
0
=1ou P éumsubgrupodeG
0
.
De fato, suponhamos que
P ∩ G
0
6=1.
En tão P é um subgrupo de G
0
. Lembremos que, pelo Corolário 3.23, P é um grupo homocíclico
e, pelo item (3)doLema3.15,G
0
con t ém todos os elementos de ordem p,dondeP ∩G
0
éumfator
de P . A ssim , G
0
éumπ-subgrupo de Hall de G. Portan to, pelo Teorema de Schur-Zassenhaus,
G contém um π
0
-subgrupo H tal que
G = G
0
H, com G
0
∩ H =1.
Finalmente, se P éumsubgrupodeG
0
,entãoP é um subgrupo normal em G e
P ∩ Z (G)=1.
Assim ,
G
0
∩ Z (G)=1,
que é o resu ltado desejado. ¥
Lema 3.28 Seja G = KH um grupo quasi-injetivo tal que todos os p-subgrup os de Sylow de G
são grupos abelianos, com
K = G
0
e H ∩ K =1.
Se P éump-subgrup o de Sylow de K e h ∈ H,entãoexister = r (p, h) ∈ Z ta l que k
h
=
hkh
−1
= k
r
,paracadak ∈ P .
Prova. Podemos supor, sem perda de generalidade, que
P = hk
1
i×···×hk
n
i ,
37
com hk
i
i subgrupos cícicos isomorfos, para cada i =1,...,n. Suponhamos que n>1,poiso
caso n =1é claro. En tão, pelo Teorema 3.20, os subgrupos hk
i
i, hk
j
i e hk
i
k
j
i são norm ais em
G,paracadai, j =1, 2,...,n,comi 6= j. Logo, existem r, s, t ∈ Z tais qu e
k
h
i
= k
r
i
,k
h
j
= k
s
j
e (k
i
k
j
)
h
=(k
i
k
j
)
t
,
com 0 <r,s,t <|k
i
| = |k
j
|. A ssim,
k
r
i
k
s
j
= k
h
i
k
h
j
=(k
i
k
j
)
h
= k
t
i
k
t
j
⇒ k
r−t
i
= k
t−s
j
.
Portanto, para cada k ∈ P ,exister = r (p, h) ∈ Z tal que s
h
= s
r
. ¥
Lema 3.29 Seja G = KH um grupo quasi-injetivo tal que todos os p-subgrup os de Sylow de G
são grupos abelianos, com
K = G
0
e H ∩ K =1.
Se K
π
éumπ-subgrupo de Hall de K,entãoC
H
(K
π
) é um fator direto de H.Emparticular,
Z (G)=C
H
(K)
é um fator dir eto de G.
Prova. Basta provar que se
1 6= x
p
∈ C
H
(K
π
) ,
en tão existe
z ∈ C
H
(K
π
) tal que z
p
= x
p
.
A função
α : K
π
hx
p
i → K
π
definida por α(kx
p
)=k éclaramenteumhomomorfismo de grupos. Assim, existe um endo-
morfism o de grupos β : G → G tal que
β|
K
π
hx
p
i
= α.
Seja M =Ker(β).Então
M ∩ K
π
hx
p
i =Ker(α)=hx
p
i .
Note que x/∈ C
H
(K
π
). Assim , existe y ∈ Im (β) de ordem p com a mesma ação de x em
K
π
. Logo, o conjugado y
k
pertence a H,paraalgumk ∈ K,ey
k
possui a mesma ação de x.
Portanto,
z = x
¡
y
k
¢
−1
∈ C
H
(K
π
)
é o elem ento desejad o. ¥
Teorema 3.30 Um grup o G é quasi-injetivo se, e somente se, G = Q
8
× K,comK um grupo
quasi-injetivo de ordem ímpar ou G = K o H tal que:
38
1. Syl
p
(K) e Syl
p
(H) são homocíclic os.
2. G
0
= K.
3. mdc (|K| , |H|)=1.
4. Par a cada h ∈ H,sep éumnúmeroprimo,comp||K|, então existe um r = r (p, h) ∈ Z
tal que k
h
= k
r
para todo k ∈ K
p
.
5. Se K
π
éumπ-subgrupo de Hall de K, p ara algum conjunto de primos π,entãoC
H
(K
π
)
é um fator direto de H.Emparticular,
Z(G) ∩ H = C
H
(K)
é um fator direto de H.
Prova. Suponhamos que G seja um grupo quasi-injetivo. E ntão, pelo Teorema 3.25 e, pelos
Lemas 3.27, 3.28 e 3.29, G satisfaz todas as condições desejadas.
Reciprocamen te, se G = Q
8
× K,então,peloLema3.16,G é u m grupo quasi-injetivo, pois
o
mdc (|Q
8
| , |K|)=1.
Agora, suponhamos que G = K o H. Note que dado qualquer subgrupo L de G po demos
supor, sem perda de generalidade, que
L =(L ∩ K) × (L ∩ H) .
Sejam α : L → G um homomorfismodegruposqualquer,π o conjunto dos primos que divide
aordemde
L ∩ K
Ker (α|
L∩H
)
e escolhamos x ∈ G tal que
α (L ∩ H) ⊆ H
x
.
Então há vários fatos a serem considerados:
1
◦
Fato. Se h ∈ L ∩ H, então existe c ∈ C
H
(K
π
) tal que
α (h)=(hc)
x
.
De fato, a função α
1
: L → G definida por
α
1
(y)=x
−1
α (y) x
é um homomorfismodegrupostalque
α
1
(L ∩ H) ⊆ H.
39
Assim, para um n úmero primo p ∈ π fixado, podemos escolher k ∈ L ∩ K tal que α
1
(k) seja
um p-elemen to de G,comα
1
(k) 6=1. Logo, pelo item (4), obtemos
α
1
(k)
α
1
(h)
= α
1
(h) α
1
(k) α
1
(h)
−1
=
¡
x
−1
α (h) x
¢¡
x
−1
α (k) x
¢¡
x
−1
α (h)
−1
x
¢
= x
−1
α (h) α (k) α (h)
−1
x
= x
−1
α
¡
hkh
−1
¢
x = x
−1
α
¡
k
h
¢
x
= α
1
(k)
h
ou, equivalentemen te,
α
1
(k)
α
1
(h)h
−1
= α
1
(k) ,
ou seja, α
1
(h) h
−1
centraliza α
1
(k).Éfácilverificar que conjugações sucessivas dos p-elem entos
α
1
(k) por α
1
(h) h
−1
mantém o elemento α
1
(k) cen tr alizad o. Neste ca so, α
1
(h) h
−1
cen traliza
todos os elemen tos de ordem p. Logo, pelo Teorema 3.13, temos que
α
1
(h) h
−1
∈ C
H
(K
p
) .
Portanto,
α
1
(h) h
−1
∈ C
H
(K
π
) ,
isto é,
α
1
(h) h
−1
= c ⇔ α (h)=(hc)
x
, para algum c ∈ C
H
(K
π
) .
2
◦
Fato. Existe um homomorfismo d e grupos γ : KL → G tal que
γ|
L
= α.
De fato, note que
KL = K (L ∩ H) ,α(L ∩ K) ⊆ K
π
eparaα|
L∩K
existe um homomorfism o de grupos σ : K → K tal que
σ|
L∩K
= α|
L∩K
,σ(K
π
) ⊆ K
π
e σ (k)=1,
se k éump
0
-elemento de K.Afunçãoγ : KL → G definida por
γ (kh)=σ (k) α (h) ,
é o homomorfismo de grupos desejado.
3
◦
Fato. Existe um homomorfismo d e grupos β : G → G tal que
β|
KL
= γ.
De fato, usando indução sobre |G|, basta esten der γ àfunção
β : M → G,
40
com M um subgrupo de G tal que
¯
¯
¯
¯
M
KL
¯
¯
¯
¯
= p.
Sejam h ∈ (M ∩ H) − L um p-elemento e suponhamos que
γ (h
p
)=(h
p
c)
x
,
para algum c ∈ C
H
(K
π
). Entãoaordemdec é |c| < |h|. Logo, |c| émenordoqueap-ésima
componente do expoente de H. Assim, pelo item (5), existe d ∈ C
H
(K
π
) tal que d
p
= c.Pondo
β (h)=(hd)
x
,
obtemos o homomorfism o desejad o β : M → G.Portanto,G éumgrupoquasi-injetivo. ¥
Exem plos 3.31 São exem plo s de grupos quasi- inj etivo s os seguinte s grupos:
1. G = K o
ϕ
H,comK = hai'Z
7
, H = hbi'Z
3
e ϕ : H −→ Aut (K) dada p o r
ϕ
b
(a)=a
2
. De fato, note que K e H são homocíclicos, mdc (|H| , |K|)=1, G
0
= K,
K
π
= K éum{7}-subgrupo de Hall de G e C
H
(K)=1é um fator direto de H;
2. G = D
p
n
,comp um número primo ímpar e n ∈ N.
41
Capítulo 4
Grupos do tipo injetivo
O conceito de grupo quasi-injetivo dado no capítulo anterior foi criado por L. Fuchs motivado
pelo fato de não existirem grupos injetiv os finitos não triviais. Agora, introduziremos um outro
conceito relativo, à extensão de automorfismos de grupos que foi criada por Azev edo e que foi
tratada por ele, Bastos e Juriaans em [2]. No nosso trabalho, estudaremos apenas o caso em
que G é um grupo abeliano.
Um grupo G édotipo injetivo se para qualquer subgrupo H de G e qualquer automorfism o
de grupos φ existir um automorfism o de grupos ψ tal que
ψ|
H
= φ.
Sejam o conjun to
L = {ψ ∈ Aut (G):ψ|
H
∈ Aut (H) ,paracadaH<G}
e a função
T : L −→ Aut (H)
ψ 7−→ ψ|
H
.
En tão é fácil verificar que L < Aut (G) e T é um hom om orfismo de grupos. Note que G édo
tipo injetivo se T é sobrejetora. Em particular, Aut (H) éumaseção de Aut (G),pois
L
Ker (T )
' Aut (H) .
Portan to, uma condição necessária para que um grupo finito G sejadotipoinjetivoéque
|Aut (H)| divida |Aut (G)|.
4.1 Resultados básicos
Nesta seção apresentaremos algumas definições e resultados básicos da teoria de grupos que
serão necessários para as seções subsequentes, o leitor interessado em ma is detalhes, mais u m a
v ez, pode consultar [7, 10, 12].
42
Teo re m a 4.1 (Kuliko v) Se um grup o G é uma som a dir eta de grupos cíclicos, então todo
subgrupo de G tamb ém é uma soma dir eta de grup os cíclic os.
Sejam p um n úm ero prim o e r ∈ N.Ump-grupo é chamado homocíclico do tipo (p
r
,m) se
eleéasomadiretadem cópias de um grupo cíclico de ordem p
r
.
Seja G um gru po homocíclico do tipo (p
r
,m). Dizemos que um conjunto X = {x
i
: i ∈ Λ},
com Λ um conjunto de índices, é uma base para G se
G =
X
i∈Λ
hx
i
i .
AbaseX é chamada in dependen te se ela é uma ba se para o subgrupo de seus gera dores.
Teorema 4.2 (Teorema da Base) Sejam G um grupo hom ocíclico do tipo (p
r
,m) e H um
subgrupo de G.EntãoH é uma soma dir eta de grupos cíclic os e, dada uma base
H = {h
i
: i ∈ Λ
1
}
de H,existemumabaseX = {x
i
: i ∈ Λ} de G eumconjunto
N = {r
i
: r
i
∈ N, ∀ i ∈ Λ}
tais que Λ
1
⊂ Λ e h
i
= x
p
r
i
i
, par a cada i ∈ Λ
1
.
Retomando o conceito de grupos divisív eis dado no Capítulo 2,observamosque,seum
grupo G é d ivisível, então um elem e nto g ∈ G étalque
g ∈ G
n
, para cada n ∈ Z
+
.
Observemosagora,quegruposlivresdetorçãosãomaisdifíceisdelidardoquep-grupos
abelianos, exceto no caso de grupos de posto 1. Por isto, não existe uma classificação satis-
fatória. O conceito de altura nos fornece um importante modo de distinção en tr e elementos em
gruposlivresdetorção.
Sejam p um número primo fixo e g um elemento d e um grupo abeliano G.Ap-altura de g
em G é o único elem e nto n
p
∈ Z
+
tal que
p
n
p
||g| , mas p
n
p
+1
- |g| .
Caso contrário, dizemos que g tem p-a ltu ra infin ita em G.
Seja p
1
,p
2
,... a sequência dos n úmeros primos em sua ordem natural. Se g éumelemento
de G,aaltura vetorial de g édefinida com o
h (g)=(n
1
,n
2
,...) ,
com n
i
a p
i
-altura de g em G. Note que cada n
i
é ∞ ou um inteiro não negativo. Qualqu er v etor
h com componentes desse tipo será ch am ado de altur a, sem referência a um grupo abeliano
específico.
43
O conunto de todas as alturas pode ser parcialmente ordenado definindo h ≤ h
0
sempre que
n
i
≤ n
0
i
,paratodoi. Aqui, o s ímbolo ∞ está sujeito a regras h abitua is. Assim,
0 =(0, 0,...)
é a ú nica altura m ínima e
∞ =(∞, ∞,...)
é a ún ica altura máxima.
Se g éumelementodeumgrupocomp-altura n,entãopg tem p-altur a n +1. Logo,
se a p-altura de um elemento g de G é acrecida de alguns primos p, a altura resultante será
um múltiplo da altura de g. Isso sugere que tais alturas sejam tratada s como equivalen tes.
Consequentemen te, duas alturas h e h
0
são e quivalentes se n
i
= n
0
i
, para quase todo i e n
i
= n
0
i
quando n
i
ou n
0
i
for infinito. Pode-se ve rificar que esta relação é uma relação de equivalência no
conjunto das alturas. As classes de equivalências são cha m ada s tipos. O tipo de um elemento
g de um grupo é definido com o o tipo de suas alturas v eto riais e será denotado por
t (g) .
O conjun to de todos os tipos pode tam bém ser parcialmente ordenado. Definim os t ≤ t
0
para significar que h ≤ h
0
,comh e h
0
as alturas associada aos tipos t e t
0
, respectivamente.
Claram ente, existem um único men or e um único maior tipo.
Suponhamos que G seja um grupo livre de torção de posto ≤ 1 e g
1
, g
2
dois elementos de
G − {1}.Então
hg
1
i ∩ hg
2
i 6= {1},
pois {g
1
,g
2
} é dependen te. Assim, existem m
1
,m
2
∈ Z
∗
tais que
m
1
g
1
= m
2
g
2
6=1.
Logo, por definição, h (g
1
) e h (g
2
) são equivalentes e
t (g
1
)=t (g
2
) .
Portanto,todoelementodeG − {1} tem o m esm o tipo, o qual é referido como o tipo de G,em
símbolos t (G).
Proposição 4.3 Sejam G e H grup os ab elianos livr es de tor ção de posto ≤ 1.EntãoG e H
são isomorfos se, e somente se, eles tem o mesm o tipo. Além disso, todo tipo é o tipo de um
grupo abeliano livr e de torção de posto 0 ou 1.
4.2 Propriedades dos grupos do tipo injetiv o
Lema 4.4 Sejam G umgrupodotipoinjetivoeH um subgrupo característico em G,entãoH
é do tipo injetivo .
44
Prova.SejamH um subgrupo característico em G, K um subgrupo qualquer de H e φ : K → K
um automorfismo de grupos. Com o K também é um subgrupo de G e G é um grupo do tipo
injetivo, existe um automorfismo de grupos ψ : G → G tal que
ψ|
K
= φ.
Por outro lado,
ψ|
H
∈ Aut (H) ,
pois H é um subgrupo característico de G. Portanto, H é do tipo injetivo . ¥
Exem plos 4.5 Seja G umgrupodotipoinjetivo.Então:
1. O c entr o Z (G) de G édotipoinjetivo.
2. O sub grupo Frattini Frat (G) de G é do tipo injetivo.
3. O subgrupo Fitting Fit (G) de G édotipoinjetivo.
Lema 4.6 Sejam G umgrupodotipoinjetivoeφ : H → H um automorfismo de grupos. Se o
automorfismo de grupos ψ : G → G étalque
ψ|
H
= φ
então:
1. ψ (C
G
(H)) = C
G
(H).
2. ψ (N
G
(H)) = N
G
(H).
Lema 4.7 Sejam G um grupo e N e H sub grupos de G tais que
G = N o H.
Se G édotipoinjetivoeN é um subgrupo c aracterístic o em G,entãoH é do tipo injetiv o.
Prova.Sejam
π : G → H
aprojeçãodeG em H,e(K, φ) umadataemH.ComoG é um grupo do tipo injetivo ele
possui um a extensã o (G, ψ).Consideremosafunção
ˆ
φ := π ◦ ψ : H → H.
Afirma ção:
ˆ
φ ∈ Aut (H).
De fato, note que
ˆ
φ é um homom orfismo de grupos. Se
ˆ
φ (h)=1,
45
com h ∈ H,entãoψ (h) ∈ N. Assim,
h ∈ N ∩ H = {1}.
Logo,
ˆ
φ éinjetoraemH.Dadoh
1
∈ H,obtemos
h
1
= ψ (z) , para algum z ∈ G.
P ondo
z = nh,
com n ∈ N e h ∈ H,temosque
h
1
= π (h
1
)=π (ψ (z)) = (π ◦ ψ)(z)=
ˆ
φ (z) .
Logo,
ˆ
φ é sobrejetora em H. Assim ,
ˆ
φ é um automorfismo de H.Portanto,H éumgrupodo
tipo injetivo. ¥
4.3 O caso abeliano
Nesta seção abordarem os o resu ltado qu e caracteriza todos os grupos abelianos do tipo
injetivo.
Teorema 4.8 Sejam G umgrupoabelianoeT (G) seu subgrupo torção. Então G édotipo
injetivo se, e somente se, é satisfeita uma das seguintes condições:
1. G éumgrupodivisível.
2. G é um grupo de torção e cada um a de suas componentes primárias é divisível ou ho-
mo cíclica.
3. T (G) é divisível e
G
T (G)
é livre de torção, abeliano e de posto 1.
Prova.SejamG seja um grupo abeliano do tipo injetiv o e T (G) seu subgrupo torção. Supon-
hamos que G não seja divisível. Então há dois casos a ser analisados: quando G éumgrupo
de torção e quando G não é um grupo de torção.
1
◦
Caso. G = T (G).
De fato, pelo Teorem a 1.15, podemos supor, sem perda de generalidade, que G éump-grupo e
pelo Teorema 2.8, podemos escrever G comoasomadireta
G = D ⊕ E,
com D divisível e característico e E reduzido. Como D é característico e G édotipoinjetivo
temos que
E = {1} ou D = {1}.
46
Logo, G é reduzido.
Afirma ção. G é um grupo limita d o.
De fato, se G não fosse limitado , en tão ele seria divisível, o que é uma contradição. Po rtanto,
G é lim itad o.
Assim , pelo Teorema 2.17, G é a soma direta de grupos cíclicos. Como G édotipoinjetivo,
todas as or dens destes grupos cíclicos são iguais. Portanto, eles são homocíclicos.
2
◦
Caso. G 6= T (G).
Sejam x ∈ G tal que x/∈ T (G), g ∈ T (G) e n ∈ N.Tomemos
H = hgi×hx
n
i <G
edefinamos φ ∈ Aut (H) por
φ (h)=
(
g, se h ∈ hgi
gx
n
, se h ∈ hx
n
i .
En tão, sendo φ : H → H um automorfismo de grupos, como G édotipoinjetivo,existeum
automorfismo de grupos
b
φ : G → G,com
ˆ
φ (h)=φ (h) , ∀ h ∈ H.
Assim ,
gx
n
=
b
φ (x
n
)=(
b
φ (x))
n
⇒ g =(
b
φ (x) x
−1
)
n
.
Logo, T (G) é um gru po divisív el e então podemos escrever
G = T (G) ⊕ F.
Tomemos x ∈ F .ComoG não é divisível temos que existe n
0
∈ N tal que
x/∈ G
n
0
.
Sejam w ∈ F um elem ento não trivial qua lquer e
K = hw
n
0
,xi .
Se K fosse de posto 2,entãodefinim os φ ∈ Aut (K) por
φ (w
n
0
)=xw
n
0
, com φ (x)=x.
Logo,
b
φ satisfaz
x =(w
−1
b
φ (w))
n
0
∈ G
n
0
,
o que é uma contradição. Logo, K édeposto1. A ssim , F também o é.
Reciprocamente, seja G um grupo que satisfaz uma das três condições do teorema. Então
há três casos a considerar .
47
1
o
Caso. Seja G um grupo divisível. Já sabemos que T (G) também é divisíve l. En t ão
G = T (G) ⊕ F,
com F também divisível. Sejam H um subgrupo qualquer de G, φ : H → H um automorfismo
de grupos, Λ um conjunto de números primos, V um complemen tar para
X
p∈Λ
Ω
p
(H) em
X
p∈Λ
Ω
p
(G)
e
ˆ
H = V ⊕ H.
Podemos estender φ a
ˆ
H de modo que φ seja a iden tida de em V . Ainda denotemos essa extensão
por φ. Pelo Teorema 2.6, G é um grupo injetivo. Então existe um endomorfismo ψ : G → G
tal que
ψ|
ˆ
H
= φ.
Como
X
p∈Λ
Ω
p
(
ˆ
H)=
X
p∈Λ
Ω
p
(G) ,
temos que
ψ|
T (G)
∈ Aut (T (G)) .
Seja
F := {U : hT (G) ,Hi <U<G e ψ|
U
∈ Aut (U)} .
Afirma ção 1. hT (G) ,Hi ∈ F.
De fato, sejam
L = hT (G) ,Hi e g ∈ L.
En tão g = th,comt ∈ T (G) e h ∈ H.Seψ (g)=1en tão
φ (h)=ψ (h) ∈ T (G) ∩ H = T (H) .
Logo, g =1. P or outro lado, existem t
0
∈ T (G) e h
0
∈ H tais que
t = ψ (t
0
) e h = ψ (h
0
) ⇒ g = ψ (t
0
h
0
) .
O que pro va a afirm ação.
Ordenando F pela inclusão, temos que toda cadeia ascendente em F tem uma cota superior
em F. Assim, pelo Lem a d e Z orn, podemos escolher um elemento m axim al, diga m os
U
0
∈ F.
Seja
W =
p
U
0
= {g ∈ G : g
n
∈ U
0
, para algum n ∈ N}
o radical d e U
0
em G.
48
Afirma ção 2. W ∈ F.
De fato, note que
hT (G) ,Hi <W.
Se
x ∈ W ∩ Ker (ψ) ,
en tão, para algum n ∈ N, temos que
x
n
∈ U
0
∩ Ker (ψ)={1}.
Logo,
x ∈ T (G) ∩ Ker (ψ)={1}.
Assim , ψ éinjetoraemW.Sejamy ∈ W e n ∈ N tais que y
n
∈ U
0
.Entãoexistez ∈ U
0
tal que
y
n
= ψ (z) .
Como G é divisível, temos que existe x ∈ G tal que z = x
n
.Pordefinição,
x ∈ W e y
−1
ψ (x) ∈ T (G) <U
0
<W.
En tão existe t ∈ T (G) tal que y
−1
ψ (x)=ψ (t
−1
). A ssim,
y = ψ (tx)
com tx ∈ W . Logo, ψ é sobrejetora. Isto prova a afirmação e também que
W = U
0
.
Desta forma, U
0
é um subgrupo divisível de G. A ssim ,
G = U
0
⊕ K,
para algum subgrupo divisív el K de G.Definamos
ˆ
φ : G → G por
ˆ
φ (g)=
ˆ
φ (uk)=ψ (u) I
K
(k) , com u ∈ U
0
e k ∈ K.
En tão
ˆ
φ ∈ Aut (G) e
ˆ
φ étalque
ˆ
φ|
ˆ
H
= φ.
Portanto, G é d o tipo injetivo.
2
o
Caso. Seja G um grupo de torção tal que suas componen tes primárias são divisíveis ou
hom ocíclicas. P odemos supor, sem perda de generalidade, que G éump-grupo. Po r um caso
an terior, G também pode ser suposto hom ocíclico. Sejam H um subgrupo de G e φ : H → H
um automorfism o de grupos. Uma aplica ção do Teorema da Base gara nte a existência de uma
extensão de φ.
49
3
o
Caso. Seja G um grupo tal que
G = T (G) ⊕ F,
com T (G) divisív el e F de posto 1.Sejam
t = t (F ) ,
otipodeF ,e
h =(h
1
,h
2
,...)
uma altura qualquer em t. Pela Proposição 4.3, F é isomorfo ao subgrupo de Q gerado pelos
números racionais
1
p
j
i
,comi ∈ N, j =0, 1,...,h
i
e Π = {p
1
,p
2
,...} oconjuntodosnúmeros
primos ordenados naturalmen te. Desta forma podemos “mergulhar” G no grupo divisível
G = T (G) ⊕ Q.
Sejam H um subgrupo de G e φ : H → H um automorfism o de grupos. P elo 1
o
Caso, existe
ψ ∈ Aut
¡
G
¢
tal que
ψ|
G
= φ.
Afirma ção 1. ψ (G)=G.
De fato, suponhamos, por absurdo, que ψ (G) 6= G.Então,paraalgumf
0
∈ F , teríamos que
ψ (f
0
) /∈ G.
Seja
π :
G → Q
aprojeçãocanônicade
G e
ψ : Q → Q
a função induzida por ψ.Então
ψ ∈ Aut (Q) e ψ (π (f
0
)) /∈ π (F ) .
Logo, ex site u m nú m e ro racional α =
p
q
,commdc (p, q)=1,talqueψ éoprodutoporα e
απ (f
0
) /∈ π (F ) .
Por outro lado,
α
n
π (H)=π (H) , ∀ n ∈ Z.
Escolha n
0
∈ N ∩ π (H) e n ∈ N grande o suficien te para que α
n
n
0
∈ π (H) <π(F ) seja uma
fração irredutível. Se
q = p
s
1
i
1
···p
s
k
i
k
é a decom posição primária de q,então,comoπ (F ) é gerado pelos nú meros racionais
1
p
j
i
,com
i ∈ N, j =0, 1,...,h
i
,eα
n
n
0
é uma fração irredutív el em π (F ), devemos ter que h
i
k
6=0.De
50
fato, como podemo s tomar n ∈ N arbitrariamente grande segue que h
i
k
= ∞.Ofatodosp
i
k
serem relativ amente primos implica que
1
q
∈ π (F)
eentãoα ∈ π (F ).Sex ∈ π (F ),então
x =
X
s
ij
p
j
i
, (4.1)
uma soma finita com s
ij
∈ Z, ∀ i, j. Usand o a Equação (4.1), tem os que
x
q
∈ π (F ) e, assim ,
αx ∈ π (F ) .
Por outro lado,
ψ (π (f
0
)) = απ (f
0
) ∈ π (F ) ,
o que é uma contradição. Logo,
ψ (G)=G.
Portanto, G é um grupo do tipo injetivo. ¥
Corolário 4.9 Seja G um grupo finito do tipo injetivo. Entã o Z (G) é do tipo injetivo. Por-
tanto , Z (G) é um pro du to direto de p-grupos homocíclicos.
Exemplo 4.10 Seja G = D
p
n
,comp um número primo ímpar e n ∈ N,entãoG éumgrupo
do tipo injetivo.
Exemplo 4.11 OgrupoG = K o
ϕ
H,comK = hai'Z
7
, H = hbi'Z
3
e ϕ : H −→ Aut (K)
dada p or ϕ
b
(a)=a
2
, não é um grupo do tipo injetivo.
O Exemplo 4.11 com pro va o fato de que a categoria dos gupos quasi-injetivos é distin ta da
categoria dos grupos do tipo injetivo, pois o grupo G = K o
ϕ
H é quasi-injetiv o, pelo Exemplo
3.31, embora não seja do tipo injetivo.
51
Refe r ê ncias B ibliog r á ficas
[1] Alperin, J. L. and R owen, B. Bell, Groups and Repr esentations, Springer-Verlag, New
York, 1995.
[2]Azevedo,A.C.P.,Bastos,G.G.eJuriaans,S.O.,E xtension of A u tomorphism s of
Subgroups of Abelian and Polycyclic-by-finite G roups.J.AlgebraAppl.6 (2007), no. 2,
315 − 322.
[3] Bertholf, D., Walls G., Finite Quasi-In jective Groups,GlasgowMath.J.20 (1970), 29−33.
[4] Fuchs, L., Infinite Abelian Groups II, Academi Pr ess, 1970.
[5] Garcia, A. L. e Le qua in, Y., Á lgebra: Um Curso de Intr odução.IMPA,RiodeJaneiro,
1988.
[6] Gonçalv es, A. IntroduçãoàÁlgebra.IMPA,RiodeJaneiro,1979.
[7] Gorestein, D., F in ite Group s ,HarperandRow,1968.
[8] Hall, M., The Theory of Groups, MacMillan, 1959.
[9] Nogin, M., A Short Proof of Eilember g and Mooore’s Theor em . C. E. Journal of Mathe-
matics, 5 (1), 2007, 201 − 204.
[10] Robinson, Derek J. S., A Course in the The ory of Groups. Spring-Verlag, Berlim-
Heidelberg-New York, 2nd ed.,1995.
[11] Rotman , Joseph J., An Introduction to the Theory of Groups . New York: Spring-Verlag,
4.ed., (1994).
[12] Scott, W. R., Group The ory, Prentice-Hall, 1964.
[13] Spindler, K., Abstract Algebra with Aplications, Vol. I,MarcelDekker,1994.
[14] Tomkin so n, M. J., Infinite Qua si-Injective Groups, Proc. of the Edin burg Math. Soc., 31
(1988), 249 − 259.
52
Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
Milhares de Livros para Download:
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas
Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
