( PDF ) Estratégias de aproximação para a otimização estrutural

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ESTRATÉGIAS DE APROXIMAÇÃO PARA A OTIMIZAÇÃO

ESTRUTURAL

Marcelo Ferreira da Silva

Dissertação submetida ao Corpo Docente do Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal

de Pernambuco, como parte integrante dos requisitos

necessários à obtenção do Grau de Mestre em Ciências em

Engenharia Civil.

Orientadora: Profª. Silvana Maria Bastos Afonso da Silva

Coorientador: Profº. Bernardo Horowitz

Recife, Pernambuco – Brasil

Novembro de 2009.

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S586e Silva, Marcelo Ferreira da.

Estratégias de aproximação para a otimização estrutural / Marcelo

Ferreira da Silva. - Recife: O Autor, 2009.

xvi, 98 f., il : grafs., tabs., figs.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco.

CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2009.

Inclui bibliografia.

1. Engenharia Civil. 2. Modelos substitutos (metamodelos) 2.

Aproximação. 3. Otimização. 4. Treliças. I. Título.

UFPE

624 CDD (22. ed.) BCTG/2010-017

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ESTRATÉGIAS DE APROXIMAÇÃO PARA A OTIMIZAÇÃO

ESTRUTURAL

Marcelo Ferreira da Silva

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DE PERNAMBUCO, COMO PARTE INTEGRANTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Banca Examinadora:

Recife, Pernambuco – Brasil

Novembro de 2009.

Agradecimentos

Agradeço a Deus por ter me dado saúde e inspiração para que pudesse realizar este

trabalho;

Ao meu pai, Marcelo José da Silva (in Memoriam), minha mãe, Cleise Ferreira

Gomes, e meus irmãos, Michelle Ferreira Wright e Sandro Ferreira da Silva, pelo apoio e

incentivo dedicado a mim;

À professora Silvana Maria Bastos Afonso da Silva pela excelência na orientação,

paciência e grande atenção dedicada a mim;

Ao professor, Bernardo Horrowitz pela soberba coorientação e valiosas ideias de

fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho;

Aos professores da banca, Paulo Roberto Maciel Lyra e Ramiro Brito Willmersdorf,

por seus valiosos comentários durante a avaliação dessa dissertação;

Aos professores, Paulo Régis e Ézio da Rocha pelo apoio e conhecimentos passados

ao longo de minha carreira acadêmica;

Aos amigos de convívio do laboratório de estruturas da UFPE, Juliana, Renato,

Sérgio, Leonardo, Denillo, Pedro, Flávia, entre outros;

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), pelo

auxílio financeiro;

A todos que, direta ou indiretamente, tornaram este trabalho possível.

Resumo

A otimização de treliças é um assunto bastante estudado na literatura, principalmente

quando se deseja verificar a implementação de um método de programação matemática ou

avaliar uma técnica recentemente desenvolvida. A escolha de treliças deve-se ao fato da

facilidade de implementação computacional, aliada ao uso prático das mesmas, ou seja, as

treliças são capazes de vencer grandes vãos com um peso estrutural relativamente baixo.

Geralmente os problemas de engenharia prática requerem um extensivo

processamento computacional para realizar uma simples análise estrutural. Além disso,

quando se deseja otimizar uma estrutura, a obtenção do projeto ótimo pode se tornar inviável

uma vez que o procedimento de otimização requer sucessivas avaliações das funções e suas

derivadas.

Entretanto são apontados na literatura inúmeras alternativas para superar tais

dificuldades. Uma delas refere-se à criação de modelos substitutos, metamodelos, que são

construídos a partir da simplificação da função real complexa (KEULEN e HAFTKA, 2004);

(FORRESTER, SOBESTER e KEANE, 2008). As aproximações podem ser agrupadas em

dois tipos, local e global (BARTHELEMY e HAFTKA, 1993) e podem assumir a forma

funcional ou física.

As aproximações locais são geralmente utilizadas juntamente à estratégia de

otimização aproximada sequencial (Sequential Approximate Optimization (SAO)) (GIUNTA

e ELDRED, 2000), uma vez que as mesmas são válidas apenas na vizinhança na qual é

concebida. Nesta estratégia a solução é obtida através da solução sequencial de subproblemas

restritos a sub-regiões de confiança adaptativamente ajustadas em função do desempenho

preditivo do modelo substituto. As aproximações na forma funcional baseadas na série de

Taylor de primeira ordem e baseadas no ajustamento de pontos através da obtenção de uma

superfície de resposta serão avaliadas neste trabalho.

Outra opção seria a utilização das aproximações globais que buscam aproximar o

comportamento global da função. No presente trabalho a aproximação global baseada no

ajustamento de pontos através do modelo de krigagem associada a dois tipos de planos de

amostragem (Design of Experiments (DOE)) (SIMPSON, LIN e CHEN, 2001) será

considerada. O mesmo é apontado na literatura como uma boa escolha quando se considera

iii

problemas de engenharia (GIUNTA e WATSON, 1998). Além dessa, uma aproximação

global baseada na física do problema será aqui proposta.

A combinação da estratégia global e local, denominada de uma estratégia híbrida, será

também considerada. O modelo de grelha (abordagem física) será corrigido por um termo

aditivo ou multiplicativo obtido através da determinação da diferença entre o modelo real

(treliça) e aproximado (grelha) (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004). Tal termo de correção

será expresso tanto em função de uma série de Taylor quanto a partir de um modelo de

krigagem, onde em ambas à estratégia SAO será adotada.

Portanto este trabalho utilizará as estratégias de aproximação acima descritas para

obter o projeto ótimo de treliças. Espera-se assim reduzir o tempo de processamento

computacional durante o processo de otimização estrutural, uma vez que os metamodelos

simplificam tais problemas. Sendo assim, duas classes de treliças serão estudadas. A primeira

consiste de treliças bidimensionais onde quatro exemplos clássicos da literatura (KIRSCH,

1981) com diversos níveis de complexidades serão estudados. A segunda trata-se de uma

treliça espacial que representa uma coberta treliçada real onde buscamos demonstrar a

viabilidade da aplicação de tais técnicas para problemas reais da engenharia.

A análise e a otimização de tais problemas será conduzida a partir do código

computacional inicialmente implementado no ambiente MATLAB (MATHWORKS, 2009)

por Afonso e Horowitz (1998). O código incorpora o algoritmo de Otimização das Dimensões

Estruturais (Structural Sizing Optimization (SSO)) o qual é subdividido em três principais

módulos, ou seja, o módulo da análise estrutural, o módulo da análise de sensibilidade e o

módulo de otimização estrutural. O mesmo será tomado como base para as implementações

das diversas estratégias de aproximação.

A dissertação finaliza com a comparação dos resultados obtidos através das técnicas

de aproximação com os resultados obtidos via o método convencional de alta fidelidade.

Palavra chave: Modelos substitutos (metamodelos). Aproximação. Otimização. Treliças.

Abstract

Optimization of trusses is a well-known subject in the literature, especially when the

goal is to verify an implementation of a mathematical programming method or to evaluate a

technique recently developed. Trusses are usually chosen due to their simple computational

implementation combined with the practical usage of them, i.e., trusses are capable of

reaching longer spans thus keeping their structural weight relatively low.

In general, practical engineering problems usually require large computational

processing for a single structural analysis. Additionally, when the main objective is to

optimize the structure, the process of obtaining an optimal design may become impossible

since the optimization process requires repeated functions evaluations and their derivatives.

Nevertheless, various alternatives to overcome such difficulties appear in the

literature. One of each is the creation of a surrogate model - metamodels - that are built based

on a simplification of real/complex functions (KEULEN e HAFTKA, 2004); (FORRESTER,

SOBESTER e KEANE, 2008). Those approaches can be grouped into two types: local and

global (BARTHELEMY e HAFTKA, 1993) and may also take the functional and physical

forms.

Local approximations are usually used in combination with a SAO (Sequential

Approximate Optimization) strategy (GIUNTA e ELDRED, 2000), since those types are only

valid in the vicinity in which they are built it. In this approach the solution is obtained by

solving a sequence of sub-problems restricted to a sub-region (trust region) which are

adaptively adjusted based on the predictive performance of the surrogate model. Functional

form approximations based on first-order Taylor series and response surfaces obtained

through a data fitting technique will be evaluated in this work.

Another option would be to use global approach which seeks to approximate the

overall behavior of a function. In this study, the global approximation based on data fitting

technique obtained by kriging interpolation model combined with two types of DOE (Design

of Experiments) (SIMPSON, LIN e CHEN, 2001) are considered. Those are appointed in the

literature as a good choice when engineering problems are addressed (GIUNTA e WATSON,

1998). Besides this, another global approach is proposed which is based on the physics of the

problem considered.

A combination of global e local strategies, named here as a hybrid strategy, will also

be considered. In this one, the grillage model (physical approach) will be corrected by an

additive or multiplicative term determined by the difference between actual (truss) and

approximated (grid) models (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004). This correction term is

expressed either as a function of a Taylor series or as a kriging model, where for both the

SAO strategy is again assumed.

Therefore, this work will use the approximation strategies described above to obtain

an optimal design of trussed structures. In addition, reduction of the computational time

required during the structural optimization procedure is expected, since metamodels simplifies

the real problem. Thus, two classes of examples will be studied. The first consists of two-

dimensional trusses where four benchmarks examples reported in literature (KIRSCH, 1981)

with various levels of complexity are studied. The second will consider a special truss that

represents a real trussed roof problem in order to demonstrate the viability and applicability of

those techniques to any real engineering problem.

The analysis and optimization of those problems will be conducted with the

computational code OPTRUSS which was first implemented in MATLAB (MATHWORKS,

2009) by Afonso and Horowitz (1998). The code incorporates the SSO (Sizing Structural

Optimization) algorithm, which can be subdivided into three main modules, i.e., the structural

analysis module, the sensitivity analysis module, and the structural optimization module. The

code will be taken as the basis for all implementations which considers various approximated

strategies.

This thesis concludes with a comparison of results obtained by approximation

techniques with the results based on conventional approach of high-fidelity.

Key-word: Surrogate models (metamodels). Approximation. Optimization. Trusses.

Lista de Figuras

Figura 1.1: Exemplo de estruturas treliçadas. ............................................................................ 1

Figura 2.1: Definição do pórtico bidimensional para o problema de otimização..................... 11

Figura 2.2: Otimização estrutural representada graficamente. ................................................. 13

Figura 2.3: Discretização do elemento da treliça tridimensional. ............................................ 21

Figura 2.4: Discretização do elemento da grelha. .................................................................... 22

Figura 3.1: Exemplo de diferentes tipos de aproximações. ...................................................... 32

Figura 3.2: Exemplo de três diferentes amostras. ..................................................................... 34

Figura 3.3: Exemplo de amostras LHS e não LHS. ................................................................. 35

Figura 3.4: Modelo da coberta treliçada. .................................................................................. 43

Figura 3.5: Modelo de grelha equivalente. ............................................................................... 44

Figura 4.1: Coberta treliçada do Centro de Convenções de Brasília (Brasília, DF)................. 60

Figura 4.2: Exemplos clássicos de treliças bidimensionais. ..................................................... 62

Figura 4.3: Histórico das iterações considerando a estratégia SAO. ........................................ 70

Figura 4.4: Modelo da coberta treliçada. .................................................................................. 71

Figura 4.5: Agrupamento das variáveis de projeto para o modelo de treliça

espacial. ............................................................................................................ 72

Figura 4.6: Representação gráfica da flexibilidade estrutural da treliça espacial. ................... 73

Figura 4.7: Modelo equivalente de grelha. ............................................................................... 74

Figura 4.8: Agrupamento das variáveis de projeto para o modelo de grelha. .......................... 75

Figura 4.9: Representação gráfica da flexibilidade estrutural da grelha. ................................. 76

Figura 4.10: Diferença da flexibilidade entre o modelo de treliça e o modelo de

grelha. ............................................................................................................... 76

Figura 4.11: Superfície de resposta da flexibilidade estrutural via krigagem. ......................... 79

Figura 4.12: Curvas de níveis da flexibilidade estrutural via krigagem. .................................. 80

Figura 4.13: Flexibilidade estrutural via krigagem considerando amostra LHS+. ................... 81

Figura 4.14: Flexibilidade estrutural via MMQ considerando amostra LHS+. ........................ 81

Figura 4.15: Diferença da flexibilidade considerando a correção aditiva. ............................... 84

Figura 4.16: Diferença da flexibilidade considerando a correção multiplicativa. .................... 84

Figura 4.17: Histórico da evolução da região de confiança para a estratégias

SAO_T .............................................................................................................. 88

Figura 4.18: Gráfico da flexibilidade versus as variáveis de projeto a volume

constante. .......................................................................................................... 88

Figura 4.19: Histórico da evolução da região de confiança. .................................................... 89

Figura 4.20: Histórico das iterações de três distintas estratégias SAO. ................................... 89

vii

Lista de Tabelas

Tabela 1.1: Resumo da metodologia adotada. ............................................................................ 5

Tabela 2.1: Parâmetros para a formulação do problema de otimização estrutural. .................. 15

Tabela 2.2: Aspectos computacionais do algoritmo SSO......................................................... 17

Tabela 2.3: Procedimento simplificado do MEF. ..................................................................... 20

Tabela 2.4: Etapas do algoritmo SQP. ...................................................................................... 30

Tabela 3.1: Funções de correlação disponíveis. ....................................................................... 46

Tabela 3.2: Etapas para determinação do PRESS. ................................................................... 50

Tabela 3.3: Aspectos computacionais da estratégia SAO. ....................................................... 55

Tabela 4.1: Estratégias de aproximação consideradas no processo de otimização. ................. 61

Tabela 4.2: Resultados da flexibilidade e do volume com relação ao projeto inicial. ............. 63

Tabela 4.3: Resultado da flexibilidade via MEF e aproximações por série de

Taylor. .............................................................................................................. 63

Tabela 4.4: Resultados dos gradientes da flexibilidade via MEF e aproximações

por série de Taylor ............................................................................................ 64

Tabela 4.5: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 10 barras com

RC = 10%. ........................................................................................................ 65

Tabela 4.6: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 64 barras com

RC = 10%. ........................................................................................................ 66

Tabela 4.7: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 200 barras com

RC = 10%. ........................................................................................................ 66

Tabela 4.8: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 940 barras com

RC = 10%. ........................................................................................................ 66

Tabela 4.9: Resultados da flexibilidade ótima via MEF. ......................................................... 67

Tabela 4.10: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 10

barras. ............................................................................................................... 67

Tabela 4.11: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 64

barras. ............................................................................................................... 68

Tabela 4.12: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 200

barras. ............................................................................................................... 68

Tabela 4.13: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 940

barras. ............................................................................................................... 68

Tabela 4.14: Resultados da análise estrutural da treliça via MEF ............................................ 73

Tabela 4.15: Resultados da análise estrutural da grelha via MEF. ........................................... 75

Tabela 4.16: Comparação da flexibilidade no ponto inicial de projeto. ................................... 77

Tabela 4.17: Medida quantitativa dos modelos de krigagem. .................................................. 78

Tabela 4.18: Comparação das técnicas de ajustamento de pontos. .......................................... 82

Tabela 4.19: Comparação da flexibilidade no ponto inicial de projeto. ................................... 82

Tabela 4.20: Medida quantitativa do modelo de grelha com correção aditiva. ........................ 83

Tabela 4.21: Medida quantitativa do modelo de grelha com correção multiplicativa ............. 83

viii

Tabela 4.22: Estratégias adotadas para comparação no processo de otimização. .................... 85

Tabela 4.23: Resultados da análise estrutural da treliça via MEF. ........................................... 86

Tabela 4.24: Resultados da otimização estrutural .................................................................... 86

Lista de Abreviaturas e Siglas

Abreviações

BFGS

Método Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

DACE

Design and analysis of computer experiments

DOE

Design of experiments

DSM

Direct Stiffness Method

FMINCON

Rotina de otimização do software MATLAB

LCVT

Latin centroidal voronoi tessellation

LHS

Latin hypercube sampling

MATLAB

Matrix laboratory software

MEF

Método dos elementos finitos

MDF

Método das diferenças finitas

Método direto

MDA

Método direto analítico

MDSA

Método direto semianalítico

MMA

Method of moving asymptotes

MMQ

Método dos mínimos quadrados

MSE

Mean square error

MVA

Método das variáveis adjuntas

Orthogonal array

PRESS

Predicted residual sum of squares

QMC

Quasi Monte Carlo

Região de confiança

RMSE

Root mean squared error

SAO

Sequential approximate optimization

SLP

Sequential linear programming

SQP

Sequential quadratic programming

SRS

Simple random sampling

SSO

Structural sizing optimization

Trust region

Lista de Símbolos

Romanos

Escalares:

Espaçamento entre as barras da treliça na direção X e Y, respectivamente

Espaçamento entre as barras da grelha na direção X e Y, respectivamente

x y z

c c c

Cosseno do

  

, respectivamente

Distância entre o banzo superior e inferior da coberta treliçada

Contador do número de elementos

 

f x

Função aproximada

 

f x

Função objetivo

 

f x

Função objetivo normalizada

,ij

Índices das coordenadas dos vetores

Índices das coordenadas dos vetores; Contador de iterações

Comprimento da estrutura na direção X e Y, respectivamente

 

,x λL

Função Lagrangiana

Tamanho da amostra

Número das variáveis de projeto

nbar

Número total de barras

ngl

Número total de grau de liberdade

Número de pontos da amostra

,pq

Máximo número de índices das coordenadas dos vetores

Contador de iterações

tol

Tolerância da estratégia SAO

Deslocamento

Carregamento externo por unidade de área

Área da seção transversal da barra

Flexibilidade estrutural

Módulo de elasticidade

Rigidez à flexão na direção X e Y, respectivamente

Módulo de elasticidade cisalhante

Momento de inércia

Constante de torção

Comprimento dos elementos estruturais

Carga concentrada externa aplicada

Volume estrutural

Carregamento externo por unidade de área

 

Z x

Desvio localizado no modelo global

Vetores:

Direção de busca

Forças nodais globais

Pseudo-forças

 

Função restrição de desigualdade

 

Função restrição de desigualdade normalizada

 

Função restrição de igualdade

Deslocamento

,xx

Variáveis de projeto; estimativa das novas variáveis de projeto

,xx

Variáveis de projeto no ponto inicial e ótimo de projeto, respectivamente

Variáveis de projeto no ponto central da região de confiança

Limites inferiores e superiores das variáveis de projeto, respectivamente

Flexibilidade dos elementos

Identidade

Esforços normais

 

Polinômio de regressão

Carregamento externo concentrado

f

Derivada da função objetivo com relação às variáveis de projeto

xii

Matrizes

Rigidez do elemento

Rigidez global da estrutural

Modelo de regressão

Hessiana

Correlação e Rotação

Amostra

Gregos

Escalares:



Tamanho do passo da direção de busca



Diferença ou razão entre o modelo real e aproximado



Covariância



Termo de aceitação



Parâmetro de correlação; Ângulo entre a barra e o eixo X



Ângulo entre a barra e o eixo Y e Z respectivamente



Distância entre os pontos da amostra; Tamanho da região de confiança

Vetores:

Coeficientes de regressão incógnitos

Variáveis adjuntas

Multiplicadores de Lagrange



Tensão admissível

x

Perturbação da variável de projeto

xiii

Matemáticos

Símbolos:



Operador Nabla



Pertencente



Derivada parcial

∑

Somatório

∏

Produtório

Conjunto ou espaço dos números reais

,,  

Igual; diferente; aproximadamente igual

,,

Maior que; maior ou igual à; muito maior que

,

Menor que; menor ou igual à

∫

Integral

xiv

Sumário

Capítulo 1 - Introdução 1

1.1 Considerações Gerais .......................................................................... 1

1.2 Motivação ............................................................................................. 3

1.3 Objetivos ............................................................................................... 3

1.4 Metodologia .......................................................................................... 4

1.5 Organização da Dissertação ............................................................... 5

Capítulo 2 - Otimização 7

2.1 Introdução ............................................................................................ 7

2.2 Elementos que Constituem um Problema de Otimização ............... 8

2.2.1 Variáveis de Projeto ......................................................................................... 8

2.2.2 Função Objetivo ................................................................................................ 8

2.2.3 Funções Restrições ............................................................................................ 9

2.3 Formulação Padrão do Problema de Otimização........................... 10

2.3.1 Normalização do Problema de Otimização .................................................. 13

2.3.2 Formulação do Problema Estrutural em Estudo ........................................ 14

2.4 Algoritmo SSO ................................................................................... 16

2.4.1 Aspectos Computacionais .............................................................................. 16

2.4.2 Análise de Estrutural ..................................................................................... 18

2.4.2.1 Formulação Estática para Treliças ................................................................ 21

2.4.2.2 Formulação Estática para Grelhas ................................................................ 22

2.4.3 Análise de Sensibilidade ................................................................................. 24

2.4.3.1 Método das Diferenças Finitas ..................................................................... 24

2.4.3.2 Método Direto .............................................................................................. 25

2.4.3.3 Método das Variáveis Adjuntas.................................................................... 26

2.4.4 Programação Matemática .............................................................................. 26

2.4.4.1 Programação Quadrática Sequencial ............................................................ 29

Capítulo 3 - Aproximações 31

3.1 Introdução .......................................................................................... 31

3.2 Classificação Geral das Aproximações ............................................ 31

3.3 Plano de Amostragem ........................................................................ 33

3.3.1 Amostra do Tipo Vetor Ortogonal ................................................................ 34

3.3.2 Amostra do Tipo Hipercubo Latino ............................................................. 34

3.4 Aproximações Locais ......................................................................... 35

3.4.1 Forma Funcional ............................................................................................ 36

3.4.1.1 Séries de Taylor ............................................................................................ 36

3.4.1.1.1 Linear ...................................................................................................... 37

3.4.1.1.2 Recíproca ................................................................................................ 37

3.4.1.1.3 Posinomial ............................................................................................... 38

3.4.1.2 Método da Superfície de Resposta ............................................................... 39

3.4.1.2.1 Coeficientes da Regressão ...................................................................... 40

3.5 Aproximações Globais ....................................................................... 41

3.5.1 Forma Física .................................................................................................... 41

3.5.1.1 Modelo de Grelha ......................................................................................... 41

3.5.2 Forma Funcional ............................................................................................ 44

3.5.2.1 Modelo de Krigagem .................................................................................... 44

3.6 Métodos de Avaliação da Precisão ................................................... 48

3.6.1 RMSE ............................................................................................................... 49

3.6.2 PRESS .............................................................................................................. 49

3.7 Tipos de Correções ............................................................................ 50

3.7.1 Correção Baseada no Modelo de Krigagem ................................................. 51

3.7.2 Correção Baseada na Série de Taylor .......................................................... 51

3.7.2.1 Determinação Numérica da Matriz Hessiana ............................................... 52

3.8 Estratégia SAO ................................................................................... 53

3.8.1 Formulação Matemática ................................................................................ 53

3.8.2 Aspectos Computacionais .............................................................................. 54

3.8.3 Critérios de Convergência ............................................................................. 55

3.8.4 Imposição da Consistência ............................................................................. 57

3.9 Esquema da Região de Confiança .................................................... 57

Capítulo 4 - Exemplos 60

4.1 Introdução .......................................................................................... 60

4.2 Definição dos Problemas Clássicos de Treliças 2D ......................... 61

4.2.1 Estudos da Precisão das Aproximações por Série de Taylor...................... 63

4.2.2 Estudos da Otimização das Aproximações por Série de Taylor ................ 65

4.3 Definição do Problema da Coberta Treliçada ................................ 71

4.3.1 Estudo da Precisão dos Metamodelos ........................................................... 73

4.3.1.1 Modelo de Grelha Equivalente ..................................................................... 73

4.3.1.2 Modelo Global de Krigagem ........................................................................ 76

xvi

4.3.1.3 Modelo de Grelha com Correção ................................................................. 82

4.3.2 Estudo da Otimização dos Metamodelos ...................................................... 85

Capítulo 5 - Conclusões 90

5.1 Realizações .......................................................................................... 90

5.2 Conclusões Gerais .............................................................................. 91

5.3 Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................... 92

Bibliografia 94

Página 1

Capítulo 1 - Introdução

1.1 Considerações Gerais

As estruturas treliçadas são relativamente leves e oferecem uma grande vantagem com

relação às outras estruturas, pois são capazes de suportar altíssimos carregamentos e vencer

longos vãos, isto é, a sua relação peso/vão livre ou peso/carregamento são baixas. Outra

vantagem refere-se à simplicidade de seu dimensionamento, pois seus elementos são apenas

submetidos a esforços normais (tração e compressão) e geralmente os esforços secundários,

tais como esforços cortantes, momentos fletores e torçores, são desprezados.

Devido a essas e outras vantagens, as treliças espaciais têm sido e continuam sendo

empregadas por vários séculos nas mais diversas áreas da engenharia civil e podem ser

facilmente encontradas em terminais de aeroportos, galpões industriais, centro de convenções,

gruas, pontes, estádios de futebol, torres de transmissão, etc.. A Figura 1.1 mostra alguns

exemplos reais da aplicação das treliças.

(a) Aeroporto Int. dos Guararapes (Recife, PE)

(b) Ponte sobre Rio Tocantins (Estreito, MA)

(d) Centro de Convenções de Brasília (Brasília, DF)

Figura 1.1: Exemplo de estruturas treliçadas.

Página 2

Devido ao grande número de graus de liberdades, a análise rigorosa de tais estruturas

no passado tornou-se um desafio. Como consequência, a utilização de técnicas de análise

aproximada foi uma das alternativas para prever o comportamento de tais estruturas. Esta

estratégia consiste na simplificação da treliça espacial adotando uma estrutura análoga mais

simples. As estruturas mais comuns adotadas seria a de vigas e lajes, pois o comportamento

de tais estruturas pode ser obtido através da solução analítica exata para os casos de

carregamentos e condições de contorno simples.

Mais atualmente, com o crescente poder dos computadores e o desenvolvimento de

novos algoritmos, a análise completa de treliças espaciais tem se tornado mais fácil e barata

computacionalmente. Apesar disso, as análises aproximadas ainda são muitíssimo utilizadas

em engenharia durante a etapa de projeto preliminar por causa de sua rapidez, fácil aplicação

e resultados razoavelmente precisos.

Além disso, a otimização de muitos problemas comuns de engenharia podem envolver

um estágio de simulação computacional caro. Em alguns casos, o custo da simulação pode

tornar-se tão elevado que inviabilizaria a obtenção do projeto ótimo. A construção de modelos

aproximados (metamodelos) (KEULEN e HAFTKA, 2004); (FORRESTER, SOBESTER e

KEANE, 2008) é apontada na literatura com uma das alternativas para superar esse

inconveniente. Tais técnicas podem ser divididas em duas categorias, a física e a funcional. A

primeira, a analogia física, envolve a procura de uma estrutura simples para ser analisada,

sendo essencial um bom entendimento físico do problema, na segunda, o modelo funcional,

considera expressões matemáticas de diferentes ordens as quais são usadas para aproximar a

resposta estrutural.

Neste trabalho, ambas as técnicas de aproximação serão usadas para obter o projeto

ótimo de treliças bi e tridimensionais. A flexibilidade estrutural é a função objetivo. As

variáveis de projeto são as seções transversais das barras que são agrupadas em diferentes

regiões. O volume total inicial da estrutura será mantido constante. A escolha de tais

parâmetros é explica com mais detalhes na Seção 2.3.2. Duas diferentes estratégias serão

adotadas como foco de reduzir o tempo computacional. Em todos os casos, a precisão com

relação ao modelo real será aferida.

Na primeira estratégia, ambos os modelos físico e a funcional são usados juntos, dessa

forma a aproximação da função objetivo é escrita como uma combinação das duas técnicas de

aproximação. A analogia de grelha (RENTON, 1966) é usada para substituir a treliça e uma

Página 3

função polinomial é usada para aproximar a diferença entre o modelo real (treliça) e o

aproximado (grelha).

Na segunda estratégia, o modelo funcional será usado sozinho ou como uma parcela

de correção do modelo físico. A metodologia de Otimização Sequencial Aproximada

(Sequential Approximate Optimization (SAO)) (GIUNTA e ELDRED, 2000); (JACOBS,

ETRNAN, et al., 2002) é usada. A mesma decompõe o problema original em vários

subproblemas de otimização, onde cada subproblema é confinado a uma pequena região do

espaço de projeto. O esquema iterativo de atualização da região de confiança proposto em

(ALEXANDROV, DENNIS, et al., 1997) foi adotado para obtenção do novo espaço de

projeto em cada iteração.

Ambas as estratégias foram implementadas no ambiente SSO (Structural Sizing

Optimization), desenvolvido anteriormente pelo grupo de pesquisa, o qual integra a

modelagem geométrica, análise de elementos finitos, análise de sensibilidade e otimizadores.

O algoritmo de otimização escolhido é o de Programação Quadrática Sucessiva (Sequential

Quadratic Programming (SQP)) (POWELL, 1978). Um novo módulo foi implementado pelo

autor, o qual considera as diversas estratégias de aproximações aqui propostas. Exemplos

clássicos de treliças serão considerados, de modo a verificar as estratégias de aproximação

usadas. Posteriormente o desempenho de tais estratégias será avaliado/comparado com o

método convencional (MEF), de maior custo computacional.

1.2 Motivação

Uma das grandes motivações para realização do presente trabalho é a possibilidade de

desenvolver e usar ferramentas voltadas para a otimização de problemas reais da engenharia,

normalmente complexos e de grande escala, através de dois principais aspectos: a

investigação e uso de algoritmos voltados para problemas de grandes escala; e a investigação

de procedimentos alternativos para a otimização que trabalhem com um problema aproximado

do real. Nesta dissertação será enfatizado o segundo aspecto acima mencionado.

1.3 Objetivos

O objetivo principal desta dissertação é utilizar diferentes métodos para reduzir o

tempo da otimização estrutural, porém, obviamente, mantendo certo nível de precisão. Para

isso, diversos métodos para a construção de modelos substitutos (metamodelos) foram

implementados e usados durante o procedimento de otimização. Com a implementação e

Página 4

verificação de tais técnicas, problemas práticos da engenharia, geralmente complexos e de

grande escala, poderão ser otimizados com um custo computacional viável. Tais ferramentas

serão aqui aplicadas a problemas relativamente simples da engenharia estrutural. No entanto,

o conhecimento adquirido nesse trabalho de pesquisa servirá de base para ser aplicado a

problemas mais complexos no futuro.

1.4 Metodologia

A seguir descrevemos brevemente a metodologia utilizada para o estudo da análise

estrutural e otimização da treliça espacial.

A otimização estrutural usando o método dos elementos finitos (MEF) requer o uso

sequencial da análise estrutural e de sensibilidades combinados com um otimizador. Foram

aqui desenvolvidos dois sistemas integrados para solução de problema de treliças e problemas

de grelhas em regime estático. A linguagem de programação MATLAB foi escolhida para o

desenvolvimento de ambos os sistemas, devido à simplicidade e grande capacidade numérica

proveniente da vasta biblioteca matemática acoplada ao mesmo.

O código computacional OPTRUSS_3D foi utilizado para analisar e otimizar as

estruturas treliçadas, sendo o mesmo previamente desenvolvido pelo grupo de pesquisa da

orientadora deste trabalho. O código computacional OPTGRID que realiza a análise e

otimização de grelha planas, foi implementado a partir do código OPTFRAME que considera

a análise e otimização de pórticos planos. Os códigos contêm três principais módulos que

seguem um procedimento convencional para otimização. O primeiro módulo utiliza o MEF

em regime linear elástico para conduzir a análise estrutural estática. O segundo módulo

conduz o cálculo das sensibilidades, a partir da escolha de quatro métodos (o procedimento

direto analítico e semianalítico, método das variáveis adjuntas e o método das diferenças

finitas) (VAN KEULEN, HAFTKA e KIM, 2005). O terceiro, e último, módulo contêm uma

interface para acessar a função FMINCON do MATLAB. Esta por sua vez, contém o

algoritmo de programação quadrática sequencial (SQP) necessária para conduzir a otimização

estrutural propriamente dita.

A Tabela 1.1 resume as principais atividades executadas para o desenvolvimento dessa

pesquisa.

Página 5

Tabela 1.1: Resumo da metodologia adotada.

Estágio

Descrição

OPT 1.

Uso do programa OPTRUSS_3D para análise de treliças espaciais;

OPT 2.

Análise de um exemplo clássico apresentado na literatura consultada,

considerando o programa supracitado;

OPT 3.

Implementação da rotina OPTGRID para análise de grelha;

OPT 4.

Comparação dos resultados obtidos através da rotina implementada com os

resultados obtidos utilizando o software comercial (SAP2000), com o objetivo de

verificar o código implementado;

OPT 5.

Implementação de rotinas de cálculo para a utilização do Método de Otimização

com Aproximação Sequencial (SAO) utilizando o esquema da Região de

Confiança (RC) para atualizar o novo espaço de projeto;

OPT 6.

Implementação de rotinas de cálculo para a criação de um modelo substituto

baseado no ajuste de pontos via o modelo de krigagem, onde o mesmo é criado

em função de diferentes planos de amostragem (DOE). Utilizar modelos baseado

nesta técnica tanto para a correção do modelo físico (grelha) como também em

substituição do modelo da treliça espacial (alta fidelidade) no procedimento de

otimização;

OPT 7.

Análise dos resultados de otimização obtidos através das sete diferentes

estratégias utilizadas: 1. Método convencional (MEF); 2. SAO com funções

polinomiais; 3. SAO com superfície de resposta; 4. Modelo global de krigagem;

5. Modelo físico aproximado (grelha); 6. Modelo físico aproximado (grelha)

com correção por série de Taylor e 7. Modelo físico aproximado (grelha) com

correção por krigagem.

1.5 Organização da Dissertação

Esta dissertação consiste de cinco capítulos organizados de maneira a facilitar o

entendimento dos estudos realizados. Uma breve descrição do conteúdo de cada capítulo é

dada a seguir.

Até o presente momento foram discutidas as considerações gerais relativas às treliças

juntamente com a motivação, objetivos e a metodologia necessária para a realização deste

trabalho.

O capítulo dois apresentará, em mais detalhes, a definição sobre o procedimento de

otimização. Os elementos que constituem um problema de otimização juntamente com a

formulação padrão de um problema de otimização serão descritos. Uma breve discussão sobre

o algoritmo de otimização SQP (Sequential Quadratic Programming) será apresentada. Uma

atenção especial será dada aos aspectos computacionais do algoritmo SSO (Structural Sizing

Página 6

Optimization), uma vez que o mesmo servirá de base para as implementações realizadas neste

trabalho.

No capítulo três é dada atenção às metodologias para a construção de modelos

substitutos. Uma visão geral dos tipos de aproximações existentes e as vantagens de suas

aplicações são também apresentadas. A definição de aproximação local e global é introduzida,

onde para cada uma delas, dois métodos de aproximações são discutidos em detalhes. O

conceito de plano de amostragem (Design of Experiments (DOE)) necessário para a obtenção

das amostras juntamente com os métodos de avaliação (RMSE e PRESS) serão introduzidos.

Uma breve exposição dos tipos de correção dos metamodelos também é apresentada.

Posteriormente serão introduzidos os pontos chaves da estratégia SAO (Sequential

Approximate Optimization) juntamente com os aspectos computacionais para a

implementação do esquema da região de confiança, necessária para a atualização do espaço

de projeto de cada subproblema do SAO.

O capítulo quatro trata dos exemplos considerados. Os mesmos serão exemplos

clássicos da literatura e um exemplo real de treliça espacial, nos quais serão analisados e

otimizados com o intuito de avaliar e verificar as implementações e conceitos apresentados no

Capítulo 2 e 3. Comentários referentes aos resultados obtidos serão revelados e as devidas

explicações serão evidenciadas.

No capítulo cinco, último capítulo deste trabalho, será resumido às realizações feitas

nesta dissertação. As conclusões obtidas através dos diversos resultados serão também

descritas e discutidas. O capítulo, então, finaliza com sugestões para trabalhos futuros.

A bibliografia consultada é a apresentada no final desta dissertação.

Página 7

Capítulo 2 - Otimização

2.1 Introdução

O ser humano, guiado e influenciado pelas limitações naturais, desempenha, quase que

instintivamente, todas as funções de um modo que economize energia ou minimize o

desconforto e a dor. A motivação é tirar proveito de recursos disponíveis, porém limitados, de

maneira a maximizar a produção ou lucro (HAFTKA e GÜRDAL, 1993).

Sendo assim de forma geral, a otimização pode então ser definida como o estudo de

um conjunto de técnicas que têm como objetivo a obtenção de um melhor resultado para uma

função e parâmetros (variáveis de projeto) pré-especificados dentro de um conjunto permitido

(espaço de projeto viável).

Nas engenharias, geralmente, um grande número de variáveis estão envolvidas. Cabe,

então, ao projetista encontrar uma combinação para estas variáveis que resultem num projeto

mais eficiente e econômico possível. No entanto, a determinação desta melhor configuração

dos parâmetros do projeto, muitas vezes depende da experiência do projetista, porém, nem

sempre é possível obtê-la intuitivamente, em função da ausência de uma base de

conhecimentos físicos que é, em geral, causada pela complexidade do problema a ser

resolvido.

Na engenharia estrutural, um bom projeto requer eficiência no tempo de execução e

nos vários custos envolvidos. Além disso, este deve atingir uma forma aceitável do ponto de

vista da execução e satisfazer as restrições de projeto impostas. Muitas vezes, para se chegar à

forma ideal, é necessário avaliar as várias possibilidades de combinação dos parâmetros do

projeto. Esse procedimento iterativo envolve vários processos até se encontrar a combinação

ótima. A otimização, por sua vez, é utilizada para auxiliar o projetista na determinação da

solução para esses problemas de acordo com os critérios e limitações estabelecidas.

Os elementos que constituem os problemas de otimização, suas diversas características

e classificações serão aqui inicialmente discutidos. Posteriormente, o algoritmo SSO,

inicialmente desenvolvido por Afonso e Horowitz (1998), será introduzido. O algoritmo

contém três principais módulos: O módulo de análise estrutural, o módulo de análise de

sensibilidade e o módulo de otimização estrutural. Tal código servirá de base para todas as

implementações realizadas nesse trabalho.

Página 8

2.2 Elementos que Constituem um Problema de

Otimização

2.2.1 Variáveis de Projeto

A ideia de melhorar ou otimizar uma estrutura implica em alguma liberdade para

modificá-la e assim obter um melhor desempenho da mesma. O potencial de mudanças é

tipicamente expresso em termos das variações permitidas num grupo de parâmetros. Estes são

comumente chamados de variáveis de projeto e podem ser denotados por um vetor

 

, , , ,

x x xx

, onde

é o número total de variáveis de projeto de um dado problema.

Na engenharia estrutural, as variáveis de projeto podem ser as dimensões das seções

transversais, os parâmetros que controlam a geometria ou a forma da estrutura e ainda, as

propriedades dos materiais utilizados. O conjunto de variáveis que fornecem o valor ótimo do

projeto avaliado é chamado de ponto ótimo e também pode ser representado por um vetor

* * * *

, , , ,

x x x







(KIRSCH, 1993).

As variáveis podem assumir valores contínuos ou discretos. Na maioria dos problemas

de projetos estruturais, tende-se a negligenciar a natureza discreta das variáveis de projeto na

solução do problema de otimização. No caso da presença de variáveis discretas, uma

alternativa adotada é o ajuste do projeto ótimo obtido para o valor discreto mais próximo. Esta

abordagem é adotada porque resolver um problema de otimização com variáveis discretas é,

normalmente, muito mais complicado do que resolver o mesmo considerando as variáveis

contínuas. Entretanto, arredondamentos no projeto, para a solução inteira mais próxima,

funcionam bem quando os valores admissíveis para as variáveis são espaçados a uma

distância cujas mudanças no valor de uma variável para o inteiro mais próximo não

modificam substancialmente a resposta da estrutura. Além disso, a viabilidade em termos das

restrições deve ser assegurada. Alternativamente, outros algoritmos, como aqueles

pertencentes à classe evolucionária lidam diretamente com variáveis discretas (BÄCK, 1996).

2.2.2 Função Objetivo

A noção de otimização implica na existência de uma função de mérito que pode ser

melhorada e utilizada como uma medida da eficácia do projeto. A essa função é dada o nome

de função objetivo

 

f x

. Em problemas de otimização estrutural, por exemplo, o peso, os

Página 9

deslocamentos, as tensões, as frequências de vibração, a carga de flambagem, e o custo, são

comumente utilizados como funções objetivo.

Elas podem ser função de uma variável (unidimensional) ou de várias variáveis

(multidimensional). Da mesma maneira, o problema de otimização pode ser formulado com

um ou vários objetivos, sendo o primeiro definido como problema de otimização uni-objetivo

ou escalar e o segundo como um problema de otimização multiobjetivo ou vetorial

(MACEDO, 2002); (COLLETE e SIARRY, 2003).

O melhor resultado da função objetivo avaliada em um ponto é chamado de solução

ótima e a mesma pode ser classificada como:

 ótimo local – melhor solução encontrada em uma região específica do espaço de

projeto;

 ótimo global – melhor solução encontrada em todo o espaço de projeto

investigado.

No entanto nem todas as técnicas de otimização garantem que a solução encontrada

será a ótima global. A grande maioria apenas converge para uma solução local próxima ao

ponto inicial (BEALE, 1988); (CASTRO, 2001).

2.2.3 Funções Restrições

Em muitos problemas dos mais variados campos da Engenharia, algumas condições

são impostas de modo a limitar a escolha do projetista. A essas condições dá-se o nome de

restrições que podem ser geométricas ou de comportamento (do ponto de vista físico), ou de

igualdade ou desigualdade (do ponto de vista matemático). As restrições geométricas, também

chamadas restrições de limite, são as limitações impostas diretamente às variáveis de projeto,

já as restrições de comportamento são aquelas que limitam indiretamente as variáveis de

projeto.

As restrições geométricas são determinadas através de valores que impõem limites

inferiores e/ou superiores e são funções de desigualdade por natureza

 

x x x

As restrições de comportamento são determinadas através de especificações de

funções que dependem das variáveis de projeto, impondo a limitação das mesmas a um

semiespaço, através de funções de desigualdade (geralmente concebidas na forma

 

g x

ou em uma superfície, através de funções de igualdade (geralmente concebidas na forma

Página 10

 

h x

). As restrições podem ser funções de uma, de algumas, ou de todas as variáveis de

projeto.

O espaço de projeto é delimitado pelas restrições geométricas, e a viabilidade do

projeto é determinada pela intersecção entre o espaço delimitado pelas restrições geométricas

e as restrições de comportamento. Para um projeto na região viável, uma restrição pode estar

ativa ou não, porém, é prefere-se que no ponto de ótimo, todas ou quase todas as restrições

estejam ativas. Uma restrição de desigualdade é dita ativa para um ponto

 

g 

inativa para o mesmo ponto se

 

g 

(TORRES, 2001). Uma restrição de igualdade é

dita ativa para um ponto

( ) 0

h 

. Para um projeto na região inviável, existem duas

possibilidades ao considerar um ponto

, ou seja,

( ) 0

g x

( ) 0

h x

É importante frisar que o número de funções de restrições de igualdade deve ser

menor ou igual que o número de variáveis (NOCEDAL e WRIGHT, 2006). Caso isso não

ocorra, tem-se um sistema de equações superdeterminado, onde há uma formulação

inconsistente ou alguma restrição redundante (isto é, linearmente dependente de outra). No

caso das restrições de desigualdade, não há limitação imposta ao número de funções.

2.3 Formulação Padrão do Problema de Otimização

Os conceitos apresentados anteriormente para variáveis de projeto, função objetivo e

de restrições, podem ser sumarizado na formulação matemática de um problema típico de

otimização da seguinte maneira:

Minimize

 

f x

(2.1)

Sujeito à:

 

g x

1jp

 

h x

1kq

i i i

x x x

1in

onde

 

f x

 

representam, respectivamente, o vetor das variáveis de

projeto, a função objetivo, os vetores das restrições de desigualdade e igualdade e os limites

inferiores e superiores dos vetores das variáveis de projeto.

O problema definido pela Equação (2.1) é apresentado como uma minimização porque

a maioria dos algoritmos de otimização é formulada dessa maneira, uma vez que a

Página 11

maximização pode ser obtida através da minimização da sua forma negativa. Da mesma

forma, se na formulação de alguma restrição de desigualdade for apresentada de forma

diferente, é possível chegar à mesma formulação apresentada pela Equação (2.1) através de

algumas operações matemáticas.

De modo a facilitar o entendimento dos conceitos de otimização apresentado até

agora, será apresentado na Figura 2.1, um exemplo prático de um problema de otimização

relativamente simples, no qual se pretende encontrar as dimensões dos pilares e viga que

minimize o volume da estrutura, porém não se deve ultrapassar a tensão admissível (tração

e/ou compressão) nos seis pontos chaves localizada na base dos pilares, topo dos pilares e

extremos da viga.

O pórtico bidimensional aqui considerado é construído a partir de dois pilares

conectados rigidamente a uma viga. Os pilares e a viga têm comprimento

e seção

transversal quadrada, onde a largura e altura são iguais a

para os pilares e

para a viga.

As bases do pilares são engastados e uma carga concentrada

é aplicada na metade do vão

da viga.

Figura 2.1: Definição do pórtico bidimensional para o problema de otimização.

A formulação do problema de otimização é definida segundo a Equação (2.2), onde a

função objetivo

é o peso da estrutura, as restrições

1 2 3

, e g g g

são respectivamente, as

tensões na base dos pilares, no topo dos pilares e nos extremos da viga e as variáveis de

projeto

são respectivamente, as dimensões do pilares e da viga.

topo do pilar

base do pilar

1800 kgfP 

130 kgf cm





550 cmL 

0.5L

extremo da viga

0.5L

Pilar

Viga

Tensão admissível

Página 12

Minimizar

 

1 2 1 2

, 2 ,f x x Lx Lx

(2.2)

Sujeito à:

 

   

 

4 4 4 3 4 4

1 1 2 2 1 1 2

1 1 2

3 4 4

1 1 2

3 6 6

P Lx x x Lx x x x

g x x

x x x



   





 

4 3 4 4

2 1 1 1 2

2 1 2

3 4 4

1 1 2

3 3 6

Px L x x x x

g x x

x x x



  





 

   

 

4 4 3 2 4 4

1 2 2 2 1 2

3 1 2

2 4 4

2 1 2

6 18 2 6

P x x Lx x x x

g x x

x x x



   





5 , 60xx

A Figura 2.2 mostra graficamente o resultado do problema de otimização definido

anteriormente, onde as linhas coloridas representam as curvas de níveis do volume da

estrutura para os valores

6 6 6 6 6 6 6

0.2 10 ,0.6 10 ,1.2 10 ,2.4 10 ,3.0 10 ,3.6 10 ,4.2 10      

As três linhas nas cores cinza claro, cinza médio e cinza escuro representam respectivamente

as funções de restrição

0g 

, e

0g 

. A região hachurada define a região viável

do projeto de otimização, na qual quaisquer pares

escolhidos dentro dessa região é

solução do problema. Os três pontos destacados no gráfico representam os pontos de ótimo

local onde duas das restrições, neste caso

e gg

estão ativas, ou seja,

0gg

está

inativa, ou seja,

0g 

. Deve-se ter em mente que nem sempre é possível obter um projeto

ótimo, onde todas as funções de restrições estejam ativas.

No entanto o ponto de mínimo global é definido pelo ponto

40x 

cm para a

dimensão dos pilares e

34.1x 

cm para a viga. O volume obtido a partir deste ponto é igual

2.4 10

e as tensões na base dos pilares, no topo dos pilares e nos extremos da viga

são respectivamente iguais a

2 2 2

130 kgf cm ,80.29 kgf cm e 130 kgf cm

Contudo, deve-se ter em mente que nem sempre é possível tal representação gráfica de

um problema de otimização, pois o mesmo geralmente é constituído por funções complexas e

não-lineares que nem sempre são possíveis de serem obtidas na sua forma analítica ou

simplesmente consideram quatro ou mais variáveis de projeto, ou seja, consideram mais de 3

dimensões sendo este caso impossível de ser ilustrado graficamente.

Página 13

Figura 2.2: Otimização estrutural representada graficamente.

2.3.1 Normalização do Problema de Otimização

Em problemas de otimização, a discrepância entre a magnitude das variáveis de

projeto e/ou das funções objetivo e de restrições, pode levar a dificuldades numéricas na

solução dos mesmos. Este problema pode ser resolvido através da normalização destas

quantidades.

As variáveis de projeto devem ser normalizadas através da razão entre o valor atual e o

valor inicial, isto é:



(2.3)

onde

são, respectivamente, a variável

do ponto

(corrente) e a variável

ponto

(inicial).

Similarmente a magnitude da função objetivo pode ser normalizada como mostra a

Equação (2.4).

 



(2.4)

, x

) = 0

, x

) =

, x

) =

f (x

, x

) = 2,4 × 10

[cm]

Página 14

onde

 

f x

 

f x

são, respectivamente, a função objetivo avaliada no ponto

(corrente)

e a função objetivo avaliada no ponto

(inicial).

A normalização das restrições de desigualdade é feita em função do valor limite

estabelecido para as mesmas. Um exemplo de normalização é apresentado no esquema a

seguir:

 





com

g 

(2.5)

onde

 

g x

são, respectivamente, o valor da restrição

correspondente a variável

valor limite superior da mesma. Da mesma forma pode ser obtida a normalização para

restrições com limite inferior.

A normalização das restrições de igualdade pode ser feita de forma similar ao

apresentado para o caso da função objetivo, na Equação (2.4).

2.3.2 Formulação do Problema Estrutural em Estudo

Geralmente em problema de otimização de estrutural busca-se minimizar o volume

(peso) total da estrutura. Este tipo de otimização é conhecida como uni-objetivo ou escalar,

uma vez que apenas uma função objetivo (volume) é considerada. Tal função por sua vez,

apresenta um comportamento linear que pode ser facilmente observado na Equação (2.6).

nbar

V AL





(2.6)

onde

é a área da seção transversal e

é o comprimento, ambos respectivos a barra

nbar

é o número total de barras. A função peso é obtida a partir da multiplicação do volume

pela respectiva densidade do material.

Tal otimização apesar de ter uma função objetivo relativamente simples, geralmente

está associada a funções de restrições de tensões e/ou deslocamentos que, por outro lado, são

altamente complexas e não-lineares. Tal afirmação pode ser confirmada a partir da observação

da solução gráfica da otimização do pórtico plano apresentada anteriormente (ver Figura 2.2).

Por outro lado, em otimizações do tipo multiobjetivo são escolhidas duas ou mais

funções objetivos e geralmente não são consideradas as funções de restrições. Tal

simplificação é adotada devido ao fato de que as funções objetivas são estritamente escolhidas

de modo que tenham um comportamento inverso uma com relação à outra, ou seja, ao se

tentar minimizar uma função a outra é maximizada e vice-versa. Desta forma, em tais

Página 15

problemas de otimização não existem uma solução única (escalar) e, portanto as soluções são

expressas a partir de um vetor no qual contem infinitas soluções.

Com ambos os argumentos em mente, buscou-se formular o problema de otimização

de certa forma simples, porém com um comportamento não-linear com relação à variável de

projeto de modo a verificar a viabilidade das funções aproximadas. Para isso, a função de

flexibilidade estrutural

, definida pela Equação (2.7), foi à função objetivo escolhida uma

vez que a mesma é uma função não-linear com relação à área da seção transversal.

ngl

nbar

i i j j

C Pu N F





(2.7)

onde

é a força externa aplicada e

é o deslocamento no sentido da força

, ambos

relativos ao grau de liberdade

ngl

é número total de grau de liberdade,

nbar

é o número

total de barras da estrutura,

é o esforço normal na barra

 

j j j j

F L E A

é a

flexibilidade de cada barra

A consideração de uma segunda função objetivo daria um caráter multiobjetivo ao

problema de otimização. No entanto de forma a simplificar o problema de otimização

investigado nessa dissertação, a segunda função objetivo foi substituída pela função de

restrição de igualdade. A mesma recebeu o valor do volume inicial

que é determinado a

partir do ponto inicial de projeto. A escolha do volume como função de restrição se deve ao

fato de que a mesma tem um comportamento inverso à função de flexibilidade e portando a

formulação de otimização uni-objetivo investigada tem aspecto multiobjetivo. A Tabela 2.1

resume os parâmetros escolhidos.

Tabela 2.1: Parâmetros para a formulação do problema de otimização estrutural.

Função objetivo

 

f x

Flexibilidade estrutural;

Função restrição de desigualdade

 

g x

Não considerada;

Função restrição de igualdade

 

h x

Volume inicial da estrutura constante;

Variáveis de projeto

Área da seção transversal das barras.

No Capítulo 4 - serão apresentados e discutidos exemplos clássicos da literatura de

treliças bidimensionais e um problema real de treliça espacial, a qual é amplamente utilizada

em cobertas. Tais problemas serão utilizados para verificar e comparar o desempenho das

estratégias de aproximações consideradas aliadas à técnica de otimização.

Página 16

2.4 Algoritmo SSO

O algoritmo de otimização utilizado como base para as implementações das diversas

técnicas de otimização aproximada previamente mencionadas é denominado de Algoritmo

SSO (Sizing Structural Optimization), ou seja, Algoritmo de Otimização das Dimensões

Estruturais. Tal algoritmo foi implementado por Afonso e Horowitz (1998), e utiliza o

ambiente Matrix Laboratory, comumente chamado de MATLAB. O mesmo foi escolhido,

pois oferece um ambiente de programação com linguagem interativa de alto desempenho

voltado para o cálculo numérico, onde se encontra já integradas diversas bibliotecas relativas

à análise numérica, cálculo com matrizes, otimização não-lineares, processamento de sinais e

imagens, construção de gráficos, etc. O MATLAB oferece também um ambiente fácil de usar,

onde problemas e soluções são expressos como eles são escritas matematicamente, ao

contrário dos softwares de programação tradicional (MATHWORKS, 2009).

O algoritmo SSO é composto por três principais módulos que de forma sistemática

efetuam a análise e otimização estrutural. Tais módulos são definidos como:

1. Módulo da Análise Estrutural: considera o Método dos Elementos Finitos (MEF)

em regime linear elástico e o carregamento estático;

2. Módulo da Análise de Sensibilidade: considera diferentes métodos, para o cálculo

dos gradientes (derivadas) numericamente, tais como o método das diferenças

finitas, o método das variáveis adjuntas e o método direto, nas versões analítico e

semianalítico. Tais gradientes são necessários durante o processo de otimização;

3. Módulo de Otimização Escalar: considera o algoritmo de otimização SQP

(Sequential Quadratic Programming) (POWELL, 1978) já implementado na rotina

FMINCON da biblioteca de otimização do MATLAB.

Um quarto módulo - implementado pelo autor - considera as diversas técnicas de

aproximações a serem discutidas no Capítulo 3 -. Os aspectos computacionais do algoritmo

SSO e seus principais módulos serão brevemente descritos a seguir.

2.4.1 Aspectos Computacionais

O algoritmo SSO (AFONSO, 1995); (MACEDO, 2002), como já foi previamente

mencionado, serviu de base para as novas implementações baseadas nas técnicas de

aproximações descritas. A estratégia SAO por sua vez utiliza o algoritmo para obter as

soluções intermediárias para cada iteração

. O algoritmo contém diferentes ferramentas,

Página 17

onde é possível fazer a definição da geometria, discretização da estrutura, análise estrutural e

de sensibilidade e finalmente a otimização propriamente dita.

Os aspectos computacionais do código são resumidos, segundo a Tabela 2.2, e

discutidos as seguir.

Tabela 2.2: Aspectos computacionais do algoritmo SSO.

Etapa

Descrição

SSO 1.

Definir a formulação do problema de otimização;

SSO 2.

Gerar a (nova) geometria da estrutura;

SSO 3.

Discretizar o domínio através de elementos;

SSO 4.

Analisar a estrutura via o método dos elementos finitos;

SSO 5.

Conduzir a análise de sensibilidade via um dos métodos numéricos para o cálculo

dos gradientes;

SSO 6.

Realizar a otimização via o algoritmo de programação matemática (SQP) para

obter o projeto ótimo parcial;

SSO 7.

Checar os critérios de convergência para a otimização dimensional;

7.1.

se alcançada: o projeto ótimo é obtido, o processo é terminado.

7.2.

caso contrário: voltar para o passo SSO 2, repetir o processo.

Na sequência do algoritmo SSO descrita acima, podemos apontar algumas

observações importantes adotadas tanto com relação ao código propriamente dito, como para

a estratégia proposta de otimização sequencial aproximada. Maiores detalhes estão

disponíveis em publicações de Afonso (1995) e Macedo (2002).

OBS SSO 1: A função objetivo e de restrições, assim como as variáveis de projeto e

seus limites devem ser definido de modo a determinar a formulação do problema de

otimização. Um grande número de opções está disponível, como por exemplo: minimização

do volume (peso) com restrição de tensões, ou minimização da flexibilidade estrutural com

restrição volume (peso), minimização do volume (peso) com restrição de deslocamentos, etc.

Neste trabalho será explorada uma dessas formulações clássicas de modo a avaliar o

desempenho das técnicas de aproximações;

OBS SSO 2 e 3: No caso das treliças e grelhas, a discretização do domínio coincide

com a representação geométrica das mesmas, pois tais estruturas são modeladas a partir de

elementos (barras);

Página 18

OBS SSO 4: Duas estratégias para realizar a avaliação das funções são adotas. Uma

considera a análise via MEF (convencional) e a outra considera as diferentes técnicas de

aproximações apresentadas;

OBS SSO 5: O cálculo da sensibilidade é requerido quando o algoritmo de

programação matemática é baseado nos gradientes. Sendo assim vários métodos para a

determinação numérica das derivadas estão disponíveis, como por exemplo: Método das

Diferenças Finitas, Método das Variáveis Adjuntas, Método Direto nas versões Analítico e

Semianalítico. Tais esquemas estão disponíveis e implementados para ambas as estratégias,

ou seja, método EF, ou convencional, e para as diferentes diversas técnicas de aproximações;

OBS SSO 6: O otimizador é baseado no algoritmo sequencial de programação

quadrática (SQP) (POWELL, 1978). A formulação matemática de um problema de

otimização pode ser definida através da escolha da função objetivo, das restrições que podem

ser de desigualdades e igualdades e das variáveis de projeto juntamente com os limites

inferiores e superiores da mesma. Na estratégia SAO, o algoritmo SSO é utilizado em cada

laço da estratégia, onde um ótimo local é encontrado para cada iteração. Este processo se

repetirá até que a convergência de todo o processo seja alcançada.

Uma vez que as principais observações e considerações relativas ao aspecto

computacional relativas ao algoritmo SSO foram mencionadas. Contudo, a seguir serão dadas

algumas explicações com relação aos três principais módulos que constituem o algoritmo

SSO.

2.4.2 Análise de Estrutural

O Método dos Elementos Finitos (MEF) utilizado no módulo de análise estrutural do

algoritmo SSO, tem suas origens nos anos 50, porém tem sido vastamente utilizado nos

últimos 20-30 anos, graças aos avanços tecnológicos dos computadores. O método consiste

basicamente numa adaptação/modificação de métodos de aproximação conhecidos já no

início deste século, como por exemplo, o Método de Ritz, estabelecido em 1909 (CLOUGH,

1960); (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 2006).

MEF é um método matemático para a solução de equações diferenciais parciais, entre

as quais se inclui a equação de Poisson, Laplace, Helmholtz, Navier-Stokes, etc. Em muitos

casos práticos, o MEF é a capaz de fornecer uma solução aceitável, ainda que sob o ponto de

vista matemático, a solução seja considerada como uma aproximação (ZIENKIEWICZ e

TAYLOR, 2006).

Página 19

Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento do MEF foi dado

pela indústria aeroespacial, aonde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 70.

Contudo, inúmeras são as áreas em que o método pode ser aplicado, entre elas citamos:

projeto e análise de estruturas, análise de escoamento de fluídos, distribuição de temperaturas,

eletromagnetismo, projeto de equipamentos eletromecânicos (máquinas, transformadores),

biomecânica, etc.

Devido à sua versatilidade na aplicação dos mais diversos problemas de engenharia,

seu conhecimento é de fundamental importância para a aplicação prática do mesmo. O

procedimento segue uma forma consistente e sistemática e consequentemente pode ser

facilmente implementada na forma de um sistema computacional (programa de computador).

Além disso, o método oferece flexibilidade e estabilidade numérica (ZIENKIEWICZ e

TAYLOR, 2006). Tais características explicam a sua grande popularidade e crescente

aparecimento nos mais diversos softwares comerciais disponíveis atualmente, tais como:

ANSYS, ABAQUS, SAP2000, etc.

Desta forma, na Tabela 2.3 será apresentado de forma simplificada o procedimento do

MEF para análise estrutural linear elástica (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 2006).

A formulação do MEF pode ser simplificada para o caso de treliças bi e

tridimensionais e das grelhas, uma vez que tais estruturas consistem em um arranjo natural de

elementos finitos, ou seja, as mesmas são discretizadas através de elementos unidimensionais

e também devido à hipótese de regime linear-elástico adotada.

O resultado de tais simplificações resulta em dos métodos mais comuns para análise

estrutural e atualmente disponíveis em diversos softwares comerciais de EF (ANSYS,

ABAQUS, SAP2000, etc.). Tal formulação foi finalmente consolidada por Jon Turner (chefe

do departamento de dinâmica estrutural da Boeing) (TURNER, CLOUGH, et al., 1956) em

meados dos anos 50 e é conhecida na literatura como o Método da Rigidez Direta, do inglês

Direct Stiffness Method (DSM), sendo o mesmo brevemente discutido a seguir para ambas as

estruturas, treliça e grelha.

Página 20

Tabela 2.3: Procedimento simplificado do MEF.

Etapa

Descrição

MEF 1.

Identificar a equação governante, geralmente na forma diferencial:

 

0uL

MEF 2.

Introduzir a forma integral através de um dos métodos (Formulação do MEF):

2.1.

Diferenças finitas;

2.2.

Método Variacional;

2.3.

Resíduos ponderados.

     

00dd





 

    



u u uL L L

MEF 3.

Discretizar o domínio de interesse através de elementos (Seleção dos elementos):

MEF 4.

Introduzir a aproximação para as variáveis incógnitas sobre o elemento (Interpolação):

       

1 1 2 2 3 3

  u x N x u N x u N x u

: Valor da variável incógnita no nó

: Função de interpolação ou de forma para o

nó

MEF 5.

Avaliar a forma integral em cada elemento (Integração numérica):

 

   

K u f

MEF 6.

Montar a matriz global (Processo de montagem):

 

   

K u f

MEF 7.

Impor as condições de contorno (naturais e essenciais) relativas ao problema:

Por exemplo:

u 

100

f 

, etc.

MEF 8.

Resolver o sistema de equações para obter os valores incógnitos (Técnicas de solução):

 

 

 

u K f





MEF 9.

Calcular os valores de interesse através da solução aproximada (Pós-processamento):

 

 

 

f K u

, etc.

 

Página 21

2.4.2.1 Formulação Estática para Treliças

O método da rigidez direta para treliças tridimensionais é aqui formulado, no qual se

considera cada barra da treliça como uniforme, sujeita a um carregamento estático em regime

linear-elástico.

A Figura 2.3 mostra a representação de um elemento isolado da treliça no espaço

tridimensional

X Y Z

(GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

Figura 2.3: Discretização do elemento da treliça tridimensional.

Para cada elemento

, o vetor deslocamento

e o vetor de forças nodais

são

obtidos a partir do sistema de coordenadas globais

X Y Z

e podem ser expressos como,

 

1 2 3 4 5 6

u u u u u uu

(2.8)

 

1 2 3 4 5 6

f f f f f ff

A rigidez axial

de cada elemento

da treliça é definida pela Equação (3.16) abaixo

(GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009),













(2.9)

onde

= a área da seção transversal,

= o módulo de elasticidade,

= o comprimento e

é a matriz de rotação

33

definida por:

x x y x z x

e x y y y z y

x z y z z z

c c c c c c











(2.10)

Na equação (2.10), os termos

, e

x y z

c c c

, são respectivamente os cossenos dos ângulos

de inclinação

, e

  

do elemento

com relação à orientação global dos eixos

,eX Y Z

(GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

 







Página 22

A partir da obtenção da matriz de rigidez, do vetor deslocamento e do vetor de forças

nodais de cada elemento. O procedimento de montagem é então efetuado, obtendo assim um

sistema linear de equações definido segundo a expressão abaixo:

Ku f

(2.11)

onde

é a matriz de rigidez global,

é o vetor de deslocamentos globais incógnitos e

é o

vetor das forças externas aplicadas sobre os graus de liberdade não restritos.

A solução não-trivial do sistema de equações definido pela Equação (2.11) é possível

a partir da imposição das condições de contorno que regem o problema (deslocamentos

impostos e/ou forças externas aplicadas nos nós das barras). A partir da solução do sistema,

isto é, determinação dos deslocamentos incógnitos é possível obter em cada barra os valores

de interesse, tais como: esforços nas barras, tensões, energia de deformação, flexibilidade

estrutural, etc.

2.4.2.2 Formulação Estática para Grelhas

A formulação do DSM para as estrutura grelhadas são definidas de forma semelhante

a das treliças apresentadas anteriormente. Portanto, cada barra da grelha é considerada

uniforme, submetida a um carregamento estático em regime linear-elástico.

A Figura 2.4 mostra a representação de um elemento isolado da grelha no espaço

tridimensional

X Y Z

(GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

Figura 2.4: Discretização do elemento da grelha.

Para cada elemento

, o vetor deslocamento

e o vetor de forças nodais

são

obtidos a partir do sistema de coordenadas locais e podem ser expressos como,

 

1 2 3 4 5 6

u u u u u uu

(2.12)

 

1 2 3 4 5 6

f f f f f ff

A rigidez

de cada elemento

, descrita pela Equação (2.13), é expressão em função

das seguintes propriedades:

,EG

são respectivamente, o módulo de elasticidade e o módulo

 



Página 23

de elasticidade cisalhante,

é o momento de inércia,

é a constante de torção e

é o

comprimento da barra (GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

2 0 3 2 0 3

0 1 0 0 1 0

3 0 4 3 0 5

2 0 3 2 0 3

0 1 0 0 1 0

3 0 5 3 0 4

k k k k

















  











(2.13)

onde



Na Equação (2.14) é definida a matriz de rotação

que é utilizada para transformar

do sistema local de coordenadas para o sistema global

X Y Z

(GHALI, NEVILLE e BROWN,

2009).

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1



















(2.14)

onde

 

cosc





 

sens







é o ângulo medido a partir do eixo de orientação global

e a barra. Consequentemente, a matriz de rigidez do elemento, o vetor deslocamento e o vetor

de forças nodais podem ser rescritos como,

e e e e

K R k R

(2.15)

e e e

u R u

e e e

f R f

A partir da obtenção da matriz de rigidez, do vetor deslocamento e do vetor de forças

nodais de cada elemento. O procedimento de montagem é então efetuado, obtendo assim um

sistema linear de equações definido segundo a expressão abaixo:

Ku f

(2.16)

onde

é a matriz de rigidez global,

é o vetor global de deslocamento incógnitos e

é o

vetor global das forças nodais .

A solução não-trivial do sistema de equações definido pela Equação (2.16) é possível

a partir da imposição das condições de contorno que regem o problema (deslocamentos

Página 24

impostos e/ou forças externas aplicadas nos nós ou ao longo das barras). A partir da

determinação dos deslocamentos incógnitos é possível obter em cada barra os valores de

interesse, tais como: esforços nas barras, tensões, energia de deformação, flexibilidade

estrutural, etc.

2.4.3 Análise de Sensibilidade

A análise de sensibilidade consiste no cálculo das derivadas das funções provenientes

da análise estrutural, por exemplo, do volume, da tensão, do deslocamento e da flexibilidade

estrutural, com relação às variáveis de projeto (KIRSCH, 1981).

A determinação das derivadas é de extrema importância, pois a partir delas, o

algoritmo SQP define a direção de busca. Porém a obtenção das mesmas corresponde ao

maior custo computacional durante o processo de otimização. Devido a este fato, se faz

necessário utilizar técnicas computacionais eficientes para obtê-las de forma rápida e precisa.

No caso de carregamento estático, a principal meta é encontrar o vetor das derivadas

dos deslocamentos, pois todos os outros valores de interesse (esforços, tensões, energia de

deformação, flexibilidade estrutural) são cálculos em função do mesmo.

Os quatro diferentes métodos para o cálculo das derivadas numericamente serão aqui

discutidos. Entre eles podemos citar o método das diferenças finitas, o método direto

semianalítico, o método direto analítico e o método das variáveis adjuntas.

2.4.3.1 Método das Diferenças Finitas

O Método das Diferenças Finitas (MDF) é um método de fácil implementação, porém

o seu custo computacional é diretamente proporcional ao número de variáveis de projeto. O

método consiste em perturbar cada variável de projeto

independentemente com um valor

relativamente pequeno. O tamanho da perturbação

x

é de grande importância e pode

influenciar o resultado obtido, contudo o valor tipicamente adotado é da ordem de



De forma geral, o método das diferenças finitas pode ser expresso por:

( ) ( )

i i i

x x x

  





  

(2.17)

De modo geral, quando se utiliza o MEF para resolver problemas em regime linear-

elástico, as derivadas do vetor deslocamento devem ser a primeira a ser determinada.

Página 25

Portanto, a análise de sensibilidade considerando o MDF para o cálculo dos gradientes do

vetor deslocamentos pode ser escrita como:

( ) ( )

i i i

x x x

  





  

(2.18)

2.4.3.2 Método Direto

O Método Direto (MD) consiste em diferenciar diretamente a equação de equilíbrio

.Ku f

A diferenciação da mesma com relação às variáveis de projeto

define:

i i i

x x x

  



  

u K f

(2.19)

O vetor conhecido como pseudo-forças

é obtido a partir da reorganizando da

Equação (2.19), isto é,

i i i

x x x

  

  

  

u f K

K u f

(2.20)

No caso dos problemas estudados nessa dissertação, o vetor de carregamento

geralmente independente das variáveis de projeto. Como resultado, o termo

xf

tem seu

valor igual à zero. Portanto, o termo

da Equação (2.20) pode ser simplificada segundo,







(2.21)

onde

é a matriz de rigidez global da estrutura,

é o vetor de deslocamento determinado

através da solução do sistema linear de equações e o termo

xK

é o termo que precisa ser

derivado. Consequentemente, o termo

xu

é o único vetor desconhecido e pode ser

determinado a partir da solução da expressão:









(2.22)

Se os componentes de

xK

forem obtidos analiticamente tem-se o Método Direto

Analítico (MDA). O mesmo é considerado como um dos mais eficientes computacionalmente

e diferentemente do MDF, independe da existência de uma perturbação. O método requer uma

grande quantidade de desenvolvente analítico, o que o torna de difícil implementação para

casos gerais, ou seja, para cada novo problema é necessário realizar a diferenciação analítica

da nova equação antes de proceder com a implementação.

Alternativamente, o termo

xK

pode ser determinado através de aproximações por

diferenças finitas. A Equação (2.23) demonstra o cálculo do termo

xK

através do MDF,

Página 26

   

i i i

x x x

  





  

(2.23)

Consequentemente, a consideração do MDF para o cálculo do termo

xK

, resulta

então no Método Direto SemiAnalítico (MDSA). O mesmo pode ser implementado

independentemente do caso considerado, porém tem uma eficiência computacional

intermediária, pois o método é uma combinação entre o MDA e o MDF e similarmente ao

MDF, o MDSA possui uma dependência do tamanho da perturbação.

2.4.3.3 Método das Variáveis Adjuntas

O Método das Variáveis Adjuntas (MVA) (KIRSCH, 1981) é definido a partir da

multiplicação de ambos os termos da Equação (2.20) por



i i i

x x x













  



I K u

(2.24)

onde

é o vetor identidade onde o termo

recebe 1 e todos os outros recebem zero.

O vetor das variáveis adjuntas



pode então ser calculado pela expressão,



KI

(2.25)

O MVA é definido segundo a Equação (2.26), a qual foi obtida a partir da substituição

da Equação (2.25) na (2.24),

i i i

x x x













  



(2.26)

Sua eficiência computacional é governada pelo tamanho do vetor das variáveis

adjuntas



, ou seja, o número total de graus de liberdade da estrutura. Similarmente ao

método direto, o MVA pode ser também obtido na versão analítica e semianalítica.

2.4.4 Programação Matemática

A programação matemática pode ser considerada como a primeira linha de métodos

para resolução de problemas de otimização através do uso de algoritmos computacionais. Ela

trata o problema de forma iterativa e determinística, isto é, através do uso de gradientes,

funcionais e operações matriciais (CASTRO, 2001). Devido a isto, normalmente necessita de

várias informações iniciais.

Os algoritmos são distinguidos entre algoritmos de ordem zero, primeira ordem e

segunda ordem, dependendo se a solução do mesmo exige apenas o valor da função, da

Página 27

primeira derivada ou da segunda derivada (VANDERPLAATS, 2001); (HAFTKA e

GÜRDAL, 1993).

Para resolver alguns tipos de problemas de otimização, e lidar com problemas restritos

de várias variáveis, é comum definir a função Lagrangiana

 

,x λL

do problema original

como segue:

       

j j p k k

f g h







  



x λ x x xL

(2.27)

onde

é o vetor com os multiplicadores de Lagrange associadas às restrições

ponto

. Pode ser demonstrado (HAFTKA e GÜRDAL, 1993); (VANDERPLAATS, 2001)

que a condição de mínimo local desta função na solução

, satisfaz as condições necessárias

de Karush, Kuhn e Tucker:

1. Viabilidade:

 

0, 1, ,

g j p

h k q



  





  





(2.28)

2. Estacionaridade:

     

* * *

j j p k k

f g h







      



λ x x x

(2.29)

3. Complementaridade:

 

0, 1

g j p



  x

(2.30)

4. Positividade:

0, 1, ,

j p



  

(2.31)

O processo de otimização normalmente é iniciado com uma proposta inicial

fornecido como entrada. O projeto é então atualizado modificando

através da Equação

(2.32).

1t t t





x x d

(2.32)

Na expressão acima,

é o índice que identifica a iteração. O vetor

 

, , ,

d d dd

é a direção de busca e indica a direção viável para qual o valor de

()f x

decresce. O escalar



é o tamanho do passo na direção de

Os métodos de solução são aplicados de acordo com o tipo de problema de

programação matemática identificado. No geral, este tipo é determinado pelas características

Página 28

das funções objetivo e de restrições envolvidas (AFONSO, 1995). A classificação mais

simples é:

 Programação linear: quando ambos, objetivo e restrições, são funções lineares ou

são assumidas como funções lineares;

 Programação quadrática: quando o objetivo é quadrático, ou é assumido como

função quadrática, e as restrições são lineares, ou assumidas assim;

 Programação não-linear: quando ambos, objetivo e restrições, são funções não-

lineares.

Os primeiros dois métodos foram desenvolvidos para lidar com classes especiais de

problemas de otimização, já os métodos de programação não-linear consistem de uma

categoria genérica de algoritmos. As formas mais complexas de programação matemática

envolvem funções não-lineares.

O método de programação não-linear é agrupado em duas categorias. Essa

classificação depende de como a otimização é efetuada no algoritmo (VANDERPLAATS,

2001).

1. Métodos indiretos: Esses métodos envolvem técnicas para solucionar o problema

original de otimização através da conversão do mesmo em um problema de

otimização equivalente. Alguns exemplos de métodos indiretos são:

 Métodos de penalidade ou barreira;

 Método dual.

2. Métodos diretos: Esses métodos resolvem diretamente o problema original em vez

de convertê-lo num problema equivalente. Alguns exemplos de métodos diretos

são:

 Métodos gradientes;

 Métodos sequenciais, recursivos ou sucessivos.

A classificação anterior dá apenas uma ideia dos algoritmos de otimização

disponíveis.

Na otimização estrutural, muitos algoritmos podem ser aplicados. Os mais comuns

são: a linearização convexa (Convex Linearization – CONLIN); o método das assíntotas

móveis (Method of Moving Asymptotes – MMA); a programação linear sequencial

(Sequential Linear Programming – SLP); e a programação quadrática sequencial (Sequential

Quadratic Programming – SQP) (CHRISTENSEN e KLARBRING, 2008).

Página 29

Cada um deles oferece vantagens e desvantagens um com relação ao outro. O

CONLIN, por exemplo, tenta tomar em consideração qualquer característica especial das

funções que governam o problema de otimização durante a construção da função

Lagrangiana. O mesmo é o método mais conservativo dentre eles. O MMA é tem

características similares ao CONLIN, porém oferece uma vantagem, uma vez que o grau de

“conservativismo” pode ser controlado através da escolha das assíntotas. Ambos oferecem

uma convergência linear. O LQP similarmente aos dois primeiros busca linearizar as funções

que governam o problema de otimização, porém sem considera a forma das mesmas. O

método oferece uma convergência linear que pode ser facilmente afetada a partir da escolha

da regra de atualização dos limites. O SQP é o mais robusto entre eles, pois considera o termo

quadrático na criação da função Lagrangiana. O mesmo tem uma convergência quadrática que

resulta na redução do número de iterações.

Consequentemente, o algoritmo SQP será utilizado nesta dissertação e, portanto será

apresentada a seguir uma breve descrição do mesmo.

2.4.4.1 Programação Quadrática Sequencial

Considerando uma expansão de segunda ordem em série de Taylor da função

()f x

, de acordo com:

       

f f f  x x x d d H x d

(2.33)

onde

d x x

 

f x

é o vetor gradiente de

, de quem os elementos são definidos

por:







(2.34)

 

é a matriz Hessiana, de quem os elementos

são definidos por:







(2.35)

É assumido que o vetor gradiente e a matriz Hessiana, na Equação (2.33) irão

proporcionar uma boa aproximação da função verdadeira, especialmente se

estiver próximo

ao ponto ótimo.

Num algoritmo SQP, uma sequência de subproblemas quadráticos é resolvida. A

função objetivo deste subproblema é tal que o coeficiente do termo linear é formado pelo

gradiente da função objetivo do problema principal enquanto para o termo quadrático, uma

Página 30

aproximação da Hessiana da função Lagrangiana (esquema BFGS – método Broyden-

Fletcher-Goldfarb-Shanno) (BROYDEN, 1970); (VANDERPLAATS, 2001) do problema

principal é usada. Uma descrição detalhada deste algoritmo pode ser encontrada em Powell

(1978) e Vanderplaats (2001). Em suma, são descritos na Tabela 2.4 as principais etapas

envolvidas no algoritmo SQP convencional.

Tabela 2.4: Etapas do algoritmo SQP.

Etapa

Descrição

SQP 1.

Estabelecer uma solução inicial

;

SQP 2.

Configurar uma aproximação inicial para a matriz Hessiana dos termos

quadráticos da função objetivo;

SQP 3.

Resolver o subproblema para encontrar a direção de busca

;

SQP 4.

Realizar uma busca linear para determinar o tamanho do passo



na direção

;

SQP 5.

Atualizar a solução, remetendo-a para a posição indicada;

SQP 6.

Checar a convergência do algoritmo SQP:

6.1.

se o mínimo local for encontrado: o processo termina.

6.2.

caso contrário: atualiza-se a matriz Hessiana via o esquema BFGS e volta para o

passo SQP 3.

Página 31

Capítulo 3 - Aproximações

3.1 Introdução

A natureza é extremamente complexa e para tentar entendê-la, o ser humano cria

modelos simplificados, obtendo assim um resultado aproximado. Essas leis que procuram

descrever a natureza são, em geral, expressas matematicamente. As formulações matemáticas,

embora simplificações do que se passa na realidade, ainda assim, com frequência, são muito

complexas para serem resolvidas analiticamente. Como consequência, os métodos numéricos

buscam soluções aproximadas para essas formulações.

Na engenharia estrutural, os métodos aproximados são extensivamente utilizados, de

forma a obter soluções para os problemas complexos nos quais os engenheiros lidam no dia a

dia. Um bom entendimento do comportamento físico da estrutura auxilia na escolha da

maneira mais simples e eficaz de se resolver um problema. Modelos simplificados, tais como,

o modelo biela-tirante para o dimensionamento do elemento estrutural consolo, o modelo de

treliça para o dimensionamento à torção de vigas, o modelo de grelha para o cálculo de laje,

etc., são também extensivamente utilizados no cotidiano de engenheiros civis.

A otimização de estruturas, às vezes, torna-se inviável devido ao grande custo

computacional envolvido decorrente de funções complexas e/ou não-lineares. No entanto, em

meados dos anos 70, Schmit e Farshi (1974) e Schmit e Miura (1976) demonstraram que a

utilização de modelos substitutos (com fidelidades variáveis) pode ser custo-eficiente quando

se busca a otimização de grandes/complexas estruturas. Isto se dá ao fato de que as funções

substitutas suavizam e/ou simplificam as funções caras computacionalmente (alta fidelidade).

Possibilitando dessa forma, a obtenção de resultados rápidos e na maioria dos casos com

precisão possível de ser aferida. Assim sendo, a utilização de modelos aproximados, ou

substitutos, e atualmente chamados metamodelos tem aumentado sua popularidade no campo

da otimização, sendo esta uma das motivações para o desenvolvimento desta pesquisa.

3.2 Classificação Geral das Aproximações

No processo de se obter uma resposta aproximada de uma dada função cara e/ou não

suave do ponto de vista computacional, um grande número aproximações está disponível

(TOROPOV, 1989); (BARTHELEMY e HAFTKA, 1993); (ALEXANDROV, DENNIS, et

Página 32

al., 1997); (FORRESTER, SOBESTER e KEANE, 2008). No entanto, as aproximações

podem ser classificadas, segundo o seu intervalo de aplicabilidade no espaço de projeto.

Consequentemente, três grupos distintos podem ser definidos (BARTHELEMY e HAFTKA,

1993):

1. As aproximações locais: são válidas apenas em uma vizinhança próxima de onde

as funções foram criadas;

2. As aproximações globais: são válidas em todo de projeto, e finalmente;

3. As aproximações de médio-alcance: enquadram-se entre ambos os tipos, ou seja,

tenta dar um aspecto global para as aproximações do tipo locais.

Figura 3.1 mostra graficamente as definições assumidas por Barthelemy e Haftka

(1993) e aqui adotadas.

(a) Espaço de projeto

(b) Aproximação local

(d) Aproximação Global

Figura 3.1: Exemplo de diferentes tipos de aproximações.

Em adição, tanto os modelos locais quanto os modelos globais podem ser acrescidos

de uma parcela adicional relacionada com a correção. Eldred e outros (ELDRED, GIUNTA e

Página 33

COLLIS, 2004) recentemente publicaram um artigo, onde dois tipos de correção (aditiva e

multiplicativa) foram usados para corrigir os modelos substitutos considerados em sua

pesquisa. A ideia central da estratégia, a qual será discutida com mais detalhes na Seção 3.7

(Tipos de Correções), é usar uma função (correção local) ou uma superfície de resposta

(correção global) do erro, ou seja, da diferença entre o modelo real e o aproximado.

3.3 Plano de Amostragem

As técnicas de construção de metamodelos por ajustamento de pontos tipicamente

envolvem interpolação ou regressão numérica (polinomial) de um conjunto de resultados

gerados a partir do modelo real (KEANE e NAIR, 2005); (FORRESTER, SOBESTER e

KEANE, 2008). No entanto, para se construir tal modelo, o primeiro passo é gerar um

conjunto de pontos (amostra) que sejam únicos e limitados pelo limite inferior e superior do

espaço de projeto. Esta técnica é conhecida na literatura como Design of Experiments (DOE)

(KEANE e NAIR, 2005); (FORRESTER, SOBESTER e KEANE, 2008), aqui traduzida

como plano de amostragem.

A localização desses pontos pode influenciar o modelo criado, pois em cada ponto da

amostra, a função real é avaliada e o resultado da análise é salvo para posterior criação do

modelo substituto. O modelo de krigagem (GANO, SANDERS e RENAUD, 2004) é

altamente influenciado pela localização dos pontos, pois este método usa a covariância entre

pontos para criar o modelo aproximado.

A escolha dos pontos é um assunto bastante importante para se obter um bom modelo

substituto, especialmente quando o tempo da análise para um único experimento é longo.

Portanto deve-se procurar uma amostra adequada, isto é, com um número mínimo de pontos,

porém que assegure a precisão do metamodelo com relação ao modelo real. Tal amostra pode

ser obtida a partir de diversos métodos disponíveis, dos quais podemos citar: Hipercubo

Latino (Latin Hypercube Sampling (LHS)), Vetor Ortogonal (Orthogonal Array (OA)),

Ladrilhamento de Voronoy Latinizado (Latin Centroidal Voronoi Tessellation (LCVT)),

Quasi Monte Carlo (QMC), Amostragem Randômica Simples (Simple Random Sampling

(SRS)) (KOEHLER e OWEN, 1996); (SIMPSON, LIN e CHEN, 2001); (FORRESTER,

SOBESTER e KEANE, 2008).

Figura 3.2 mostra a distribuição de três amostras contendo 25 pares ordenados

 

,xy

que variam entre 0 e 1, onde cada amostra foi geradas usando diferentes métodos.

Página 34

LHS

LCVT

Figura 3.2: Exemplo de três diferentes amostras.

No entanto, apenas as amostras do tipo OA e LHS serão consideradas neste trabalho,

de modo a podermos comparar a influência de cada amostra na precisão do modelo substituto.

3.3.1 Amostra do Tipo Vetor Ortogonal

A amostra do tipo vetor ortogonal (Orthogonal Array (OA)) é a técnica de plano de

amostragem mais simples possível. A mesma é determinada a partir da hipótese de um

retângulo (ou quadrado) definido a partir dos limites inferiores e superiores das variáveis de

projeto (LOPHAVEN, NIELSEN e SøNDERGAARD, 2002). Tal amostragem pode ser

obtida segundo a Equação (3.1) abaixo.

i i i





S x k

(3.1)

onde

1,in

sendo

= número de variáveis,

0,1,

mk

sendo

o número de pontos

da amostra para cada vetor

. Quando todos os

mm

, então o número total de pontos na

amostra pode ser calculado por

 

m

3.3.2 Amostra do Tipo Hipercubo Latino

A amostra do tipo hipercubo latino (Latin Hypercube Sampling (LHS)), inicialmente

introduzida por McKay e outros (MCKAY, CONOVER e BECKMAN, 1979), pode ser

obtidas ao se dividir o intervalo de cada variável por

subintervalos de mesma

probabilidade. Portanto, se

é o número de variáveis, então a divisão produzirá um total de

subintervalos no espaço de projeto igual a

. Em seguida, as amostras

são selecionadas

aleatoriamente dentro do espaço de projeto, porém algumas restrições devem ser satisfeitas,

isto é, cada amostra é aleatoriamente colocada dentro de uma partição do espaço de projeto

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Página 35

onde em sua projeção unidimensional

haverá apenas uma amostra em cada divisória para

cada partição (GIUNTA, WOJTKIEWICZ e ELDRED, 2003).

A Figura 3.3 mostra graficamente quatro amostras onde duas delas são consideradas

amostras LHS. Podemos notar também que devido à aleatoriedade inerente ao processo, é

possível obter diferentes arranjos das variáveis que satisfaz os critérios da amostragem do tipo

LHS.

(a) Não LHS

(b) Não LHS

(d) LHS

Figura 3.3: Exemplo de amostras LHS e não LHS.

Devido à natureza estocástica (não viciadas) das amostras LHS (OWEN, 1992), se faz

necessário gerar a amostra várias vezes de maneira a obter uma amostra considerada

representativa do espaço de projeto. Tal amostra é obtida, quando a variância dos pontos da

amostra se torna a mínima possível, isto é, a distância entre os pontos da amostra é a máxima

possível.

A distância entre os pontos considerando duas variáveis

 

,xy

pode ser facilmente

obtida a partir da Equação (3.2) sugerida por (KEANE e NAIR, 2005). Consequentemente, a

melhor amostra LHS será aquela onde o valor de



for o menor.

   

i j i

j i j i

x x y y



  









  





(3.2)

onde

é o número total de pontos da amostra.

3.4 Aproximações Locais

As aproximações do tipo local são válidas apenas na vizinhança na qual a função é

avaliada, isto é, as aproximações são ditas precisas apenas a uma pequena distância a partir do

ponto em que foram construídas. Regressões numéricas, séries numéricas, splines são alguns

exemplos de aproximações locais baseadas em polinômios. Podemos ainda citar as chamadas

superfícies de resposta que são obtidas através do ajustamento de pontos.

Página 36

As técnicas de aproximações locais são mais adequadas quando se faz o uso de

processo iterativo, no qual os resultados da análise proveniente da função real são comparados

periodicamente com os da função aproximada durante o processo de otimização. Esta

estratégia de otimização é comumente referida na literatura como Sequential Approximate

Optimization (SAO) (GIUNTA e ELDRED, 2000), aqui traduzida como Otimização

Sequencial Aproximada, onde a ideia central desse método é substituir o problema inicial de

otimização por uma sucessão de subproblemas menores, nos quais as aproximações do tipo

locais são precisas. Tal esquema será discutido em mais detalhes na Seção 3.8 (Estratégia

SAO).

3.4.1 Forma Funcional

A definição de forma funcional aqui empregada é dada as funções aproximadas onde

as mesmas podem ser escritas com uma expressão matemática. Contudo, apenas dois tipos de

funções de forma funcional serão aqui considerados:

1. As baseadas em expansão numérica, especificamente usando série de Taylor;

2. As baseadas no ajustamento de pontos, especificamente usando o método dos

mínimos quadrados aliada à estratégia da superfície de resposta.

As duas formas são descritas em detalhes, a seguir.

3.4.1.1 Séries de Taylor

Inicialmente desenvolvida pelo matemático inglês Brook Taylor em 1715, as séries de

Taylor buscam representar funções reais ou complexas pelo somatório de um número infinito

de termos que dependem da avaliação da função real e suas derivadas em um determinado

ponto. A função por sua vez precisa ser contínua e infinitamente diferenciável para que a

representação seja verdadeira.

A definição acima pode ser escrita segundo a Equação (3.3) abaixo,

 









x x x

(3.3)

onde

 

f x

é a função aproximada por série de Taylor da função real

 

f x

é variável de

projeto,

é o fatorial de

 

f x

denota a n-éssima derivada avaliada no ponto

Para problemas simples que envolvem funções matemáticas explícitas, o cálculo das

derivadas pode ser feita analiticamente. Entretanto, certo nível de aproximação deve ser

escolhido, pois o cálculo de infinitas derivadas se torna impossível de ser atingido de forma a

Página 37

obtermos a série completa. Devido a este fato, frequentemente truncamos a série de forma a

obtermos um resultado aproximado.

O cálculo estrutural, mais especificamente a otimização estrutural, lida com equações

complexas (não-lineares) e geralmente não podemos expressar tais problemas com

formulação analítica exata. Devido a este fato, o cálculo dos gradientes que é necessário no

processo de otimização e também na criação da série de Taylor, se tornam às vezes

impossível de obter. No entanto, existem certos métodos numéricos (método das diferenças

finitas, método analítico, método semianalítico) que podemos usar para obtê-las

computacionalmente.

Tendo em mente que o cálculo das derivadas é computacionalmente caro, podemos

escolher uma função que necessite o mínimo possível delas. Consequentemente, a

aproximação por série de Taylor mais simples e amplamente utilizada é a aproximação do

tipo linear e suas variações (recíproca, convexa, polinomial, etc.) (GIUNTA e WATSON,

1998) que apenas envolvem as derivadas de primeira ordem. Tais aproximações são

discutidas em detalhes a seguir.

3.4.1.1.1 Linear

A aproximação linear é a forma mais simples e por isso é frequentemente utilizada.

Dessa forma uma função qualquer

 

f x

pode ser aproximada utilizando a série de Taylor de

primeira ordem, onde a função aproximada

 

f x

é descrita pela Equação (3.4).

     

aL i i

f f x x







  









(3.4)

onde

 

f x











são respectivamente o valor da função

 

f x

e sua derivada ambas

avaliadas no ponto

3.4.1.1.2 Recíproca

A Equação (3.5) é obtida assumindo

como sendo a inversa (recíproca) de



(3.5)

Página 38

A partir da suposição acima, podemos então obter a aproximação recíproca

 

f x

substituímos a Equação (3.5) na Equação (3.4). O resultado dessa substituição é mostrado na

Equação (3.6), onde podemos perceber certa não-linearidade na função obtida,

     

aR i i

f f x x







  









(3.6)

A função do tipo recíproca, a grosso modo, pode linearizar a função objetivo e/ou

restrições consideradas geralmente em uma otimização estrutural, uma vez que certas funções

que definem um problema de otimização estrutural (tensão, flexibilidade estrutural) dependem

inversamente da área da seção transversal dos elementos, sendo essas frequentemente

escolhidas como as variáveis de projeto.

3.4.1.1.3 Posinomial

A definição posinomial inicialmente introduzida por Duffin e outros (DUFFIN,

PETERSON e ZENER, 1967) não deve ser confundida com a de polinômios, ou seja, os

expoentes de um polinômio são inteiros e não negativos, mas as suas variáveis independentes

e os coeficientes podem ser arbitrários e reais, por outro lado, os expoentes de uma posinômio

podem ser arbitrários e reais, mas as suas variáveis independentes e os coeficientes devem ser

números reais e positivos.

As funções do tipo posinomial apesar de serem não-lineares são geralmente usadas em

algoritmos de programação sequencial linear (SLP), pois as mesmas não destroem a

linearidade da função aproximada (BARTHELEMY e HAFTKA, 1993). As mesmas podem

ser escritas segundo a expressão,

   















(3.7)

onde o expoente



é definido por:

 

f x x















(3.8)

De fato, ao calcular o logaritmo da função posinomial

 

f x

pode-se obter a função

linear

 

f x

. Portanto, se a função objetivo e/ou restrição for logarítmica, as mesmas podem

ser linearizadas e aproximadas a partir da consideração da função posinomial.

Página 39

3.4.1.2 Método da Superfície de Resposta

O método da Superfície de Resposta (SR) foi primeiramente introduzido por Box e

Wilson (1951). O método busca relacionar o resultado com suas diversas variáveis, isto é, a

ideia principal do método da SR é usar uma sequência de resultados experimentais para obter

uma resposta ótima, na qual segundo Box e Wilson (1951), pode ser melhor ajustada com um

polinômio de segundo grau. Deve-se ter em mente que tal modelo é dito preciso apenas

quando uma pequena região do espaço de projeto é investigada. No entanto, devido à fácil

aplicação e simplicidade na sua obtenção do modelo aproximado, esta técnica é largamente

utilizada nas mais diversas áreas.

Os modelos polinomiais usam os métodos de regressão numérica (ajustamento de

pontos) para obter o uma resposta aproximada para um sistema superdeterminado, isto é,

quando o número de equações é maior do que o número de incógnitas. Um dos métodos de

ajustamento de pontos amplamente empregado é conhecido como o Método dos Mínimos

Quadrados (MMQ), o qual foi primeiro descrito por Carl F. Gauss por volta de 1794. O MMQ

busca ajustar uma curva que minimiza a soma dos quadrados dos erros.

A aplicação dos métodos acima citados na otimização estrutural oferece grandes

vantagens com relação a outros métodos. Uma delas é a não necessidade do cálculo dos

gradientes da função real, computacionalmente cara. Outra vantagem seria a possibilidade

suavização dos resultados provenientes das análises e/ou experimentos ao se utilizar

regressões de baixa ordem (linear, quadrático, ou cúbico).

A estratégia da SR usa os resultados gerados pela análise de alto custo em pontos

chaves determinados por uma amostra dita ideal que foi discutida anteriormente. Com o uso

do MMQ é possível determinar uma função analítica aproximada que pode ser usada para

substituir a função de alto custo (real).

A função aproximada considerando a estratégia da superfície de resposta pode ser

descrita segundo a Equação (3.9) que considera uma regressão numérica genérica onde o

vetor

é o dado de entrada,

   

SR j j









x N x β

(3.9)

onde

é o vetor dos coeficientes do modelo de regressão a ser determinado e

 

vetor do

modelo de regressão a ser escolhido, ambos com tamanho

e definidos por:

Página 40

 





β

(3.10)

     

1 k

NN





N x x x

3.4.1.2.1 Coeficientes da Regressão

A determinação dos coeficientes da regressão

é formulada segundo a Equação

(3.11), onde são necessários

análises sendo

mk

f βN

(3.11)

onde

, representado pela Equação (3.12), é um vetor de tamanho

que contém os

resultados da função real avaliados nos pontos de uma amostra

 

1 m

S x x

     

1Sm

f f f





f S x x

(3.12)

é uma matriz formada por

linhas e

colunas que contém os polinômios escolhidos

para a criação do modelo de regressão numérica, com a forma descrita por:

   

1 1 1

m k m











(3.13)

Os termos do vetor

são a solução do problema de regressão, definido pela Equação

(3.11), o qual é resolvido usando o método dos mínimos quadradas definido abaixo,

 



βfN N N

(3.14)

onde para que o termo

exista, é necessário que as linhas da matriz

sejam

linearmente independentes. Sendo assim, ao substituirmos o vetor

na Equação (3.9),

podemos calcular o valor aproximado da função

em qualquer ponto do espaço de projeto.

Logo, a Equação (3.9) pode ser rescrita como:

   

SR j j









x N x β

(3.15)

Geralmente em problemas de otimização é desejável que as funções sejam contínuas e

diferenciáveis. A função linear é uma vez diferenciável, porém não é capaz de aproximar uma

superfície convexa continuamente. Dessa forma o polinômio de segunda ordem (quadrático)

foi escolhido. A Equação (3.16) descreve o modelo de regressão quadrático em função de

duas variáveis

 

,xx

que foi usado para criar a superfície de resposta.

 

1 2 1 2 1 2

1 x x x x x x







(3.16)

Página 41

3.5 Aproximações Globais

As aproximações do tipo global, geralmente, são utilizadas para obtermos uma ideia

geral da função investigada em todo o espaço de projeto. Tais aproximações podem ser

criadas usando um modelo físico simplificado o qual captura a tendência global de uma dada

resposta da estrutura, ou utilizando uma malha grosseria em um modelo de elementos finitos,

ou ainda construindo uma superfície de resposta global utilizando um modelo de krigagem ou

outro modelo por ajustamento de pontos. No presente trabalho, dois tipos serão investigados:

1. A aproximação global de forma física baseada em um modelo estrutural

simplificado, especificamente usando grelha e;

2. A aproximação global de forma funcional baseada no ajustamento de pontos,

especificamente usando o modelo de krigagem.

Ambas serão descritas em detalhes a seguir.

3.5.1 Forma Física

A análise estrutural, em geral, é complexa e na sua grande maioria não-linear, portanto

constantemente buscamos aproximar o comportamento estrutural por equações e/ou através

da resposta de um modelo estrutural simplificado de modo a facilitar o cálculo da mesma. O

avanço dos computadores possibilita o cálculo de estruturas mais complexa, porém quando se

tenta otimizar tais estruturas, o tempo computacional requerido pode tornar um projeto

inviável. Dessa forma, os modelos físicos buscam solucionar tais dificuldades.

Para a criação de um bom modelo dessa categoria, se faz necessário um bom

entendimento da física do problema a ser solucionado. Suposições e simplificações são

usualmente consideradas de forma a reduzir o número de incógnitas e com isso uma resposta

mais rápida e relativamente precisa pode ter obtida. Alguns exemplos de modelos

simplificados amplamente utilizada no dia-a-dia de um engenheiro civil são: o modelo biela-

tirante para o dimensionamento do elemento estrutural consolo, o modelo de treliça para o

dimensionamento à torção de vigas, o modelo de grelha para o cálculo de laje, etc.

3.5.1.1 Modelo de Grelha

O modelo físico adotado nessa pesquisa é o modelo de grelha. A escolha de tal

modelo, se deve ao fato de que o principal objetivo dessa dissertação é otimizar a coberta

treliçada descrita em detalhes no Capítulo 4 -. A treliça espacial, aqui considerada, consiste de

Página 42

dois banzos (inferior e superior) onde cada nó do banzo superior é conectado, por meio de

elementos diagonais, a quatro nós distintos do banzo inferior.

Flower e Schmidt (1971) demonstraram que o comportamento estrutural de uma

coberta treliçada, mais especificamente, o deslocamento vertical da treliça na região central,

pode ser calculado segundo a Equação (3.17) (FLOWER e SCHMIDT, 1971). Esta por sua

vez, é semelhante à equação diferencial de placas finas onde o termo que depende da rigidez a

torção é considerado nulo.

D D w







(3.17)

onde

é a rigidez a flexão na direção

, respectivamente. A Equação (3.18)

define a rigidez a flexão no caso do telhado treliçado

x tx

k EA d



y ty

k EA d



(3.18)

com,

bx tx





by ty





(3.19)

Nas Equações (3.18) e (3.19),

= distância entre o banzo superior e inferior;

espaçamento horizontal entre os elementos do banzo na direção

;

tx bx

= área da

seção transversal dos elementos na direção

do banzo superior e inferior, respectivamente;

ty by

= área da seção transversal dos elementos na direção

do banzo superior e inferior,

respectivamente;

= módulos de elasticidade do material. Tais dimensões podem ser

facilmente identificadas na Figura 3.4 do modelo da coberta treliçada,

Página 43

Figura 3.4: Modelo da coberta treliçada.

Foi demonstrado por Renton (1966) que o comportamento das estruturas em grelha,

quando o espaçamento horizontal entre os elementos são reduzidos, pode ser descrito pela

seguinte equação diferencial:

4 4 4

4 2 2 4

y y y x x y

GJ EI

EI GJ

u u u W

b x b b y y b y b b



  

   



   



(3.20)

onde

EI GJ

= rigidez à flexão e à torção da vigas com vão

na direção

;

EI GJ

rigidez à flexão e à torção da vigas com vão

na direção

;

= carregamento por

área.

Comparando a Equação (3.17) com (3.20) pode-se perceber a semelhança entre as

equações. Podemos então concluir que, o modelo de grelha é um possível candidato para

substituir o modelo de treliça. Entretanto, algumas considerações devem ser feitas de modo

compatibilizar ambos os modelos, dessa forma a rigidez a flexão e a torção e as áreas da seção

transversal dos elementos da grelha devem obedecer a Equação (3.21) e (3.22),

respectivamente.

x x tx

I k A d



y y ty

I k A d



JJ

(3.21)

 

gx tx bx

A A A



 

gy ty by

A A A



(3.22)

A Figura 3.5 mostra o modelo proposto equivalente à coberta treliçada,

Página 44

Figura 3.5: Modelo de grelha equivalente.

3.5.2 Forma Funcional

Tal como já foi mencionado na abordagem local, às técnicas de ajustamento de pontos

são geralmente escolhidas quando um modelo físico simplificado não é possível de ser obtido.

Diversos modelos de ajustamento estão disponíveis para a construção de um modelo

global por técnicas de ajuste de pontos (AFONSO, HOROWITZ e WILLMERSDORF, 2008).

No entanto, o modelo de krigagem foi o método escolhido, pois oferece certas vantagens as

quais são discutidas a seguir.

3.5.2.1 Modelo de Krigagem

O modelo de interpolação usando krigagem, do inglês Kriging, (SIMPSON,

PEPLINSKI, et al., 2001); (KEANE e NAIR, 2005) é bastante utilizado nas áreas da

estatística e geo-estatística e foi inicialmente introduzido pelo matemático francês Georges

Matheron (1963) baseado na dissertação de mestrado do Daniel G. Krige (1951). O modelo se

diferencia dos outros métodos, pois dá um aspecto global ao modelo criado e também é capaz

de capturar as tendências oscilatórias das funções (GIUNTA e WATSON, 1998). Além disso,

o modelo considera a covariância entre os pontos da amostra usando uma correlação espacial

através de uma distribuição gaussiana em cada ponto. Devido a isto, os modelos que utilizam

esta técnica são facilmente influenciados pelo arranjo dos pontos da amostra.

Página 45

Lophaven e coautores (LOPHAVEN, NIELSEN e SøNDERGAARD, 2002)

desenvolveram uma biblioteca de krigagem para MATLAB chamado DACE (Design and

Analysis of Computer Experiments). A mesma foi utilizada nesta dissertação para criar os

modelos de krigagem estudados e suas as principais considerações necessárias para o

entendimento e desenvolvimento do modelo de krigagem serão discutidas a seguir.

O modelo de krigagem de forma geral pode ser expresso segundo,

     

f N Z









x x x

(3.23)

onde o primeiro termo (determinístico) representa o modelo global construído em função de

uma amostra, similarmente ao MMQ, no qual as funções polinomiais são usadas para a

construção do termo

 

N x

. Diferentemente, o segundo termo

 

Z x

é responsável por criar

um desvio localizado no modelo global, o qual considera uma função aleatória. Esta

geralmente segue uma distribuição normal Gaussiana (GIUNTA e WATSON, 1998).

O termo aleatório

 

Z x

é construído assumindo média igual a zero e covariância

igual a:

 

   

cov , , ,

i j i j









x x R θ x x

(3.24)

quando a hipótese acima tem média desconhecida, porém constante, e o somatório dos pesos é

igual a 1 (um), o modelo de krigagem recebe a denominação de ordinário.

A matriz correlação

é definida por

 

       

 

, , ,

k k k k

i j i j









R θ x x R

(3.25)

onde

é a matriz

mm

de correlação com valores unitários em sua diagonal principal. A

mesma correlaciona os pontos

da amostra a partir do tipo de função de correlação

escolhida (ver Tabela 3.1) que depende do parâmetro de correlação



inicialmente

desconhecido. O termo



é posteriormente usado no processo de regressão do modelo.

A biblioteca DACE oferece diversas funções de correlação (SACKS, WELCH, et al.,

1989) as quais são descritas pelas expressões:

Página 46

Tabela 3.1: Funções de correlação disponíveis.

Tipo

Termo

       

 

k k k k



R

Exponencial

     

 

exp

k k k





Exponencial

generalizada

     

 

exp 0 2

k k k

i j n







   

Gaussiana

     

 

exp

k k k











Linear

     

 

max 0,1

k k k





Esférica

   

 

     

 

1 1.5 0.5 min 1,

k k k k k

j i j

   

   

Cúbica

 

     

 

1 3 2 min 1,

k k k k k

j i j

   

   

Spline

 

       

1 15 30 para 0 0.2

1.25 1 para 0.2 1 ,onde

0 para 1

k k k k k k

  

   





   



    











Tais correlações podem ser dividas em dois grupos (LOPHAVEN, NIELSEN e

SøNDERGAARD, 2002), onde o primeiro tem um comportamento parabólico perto da

origem (Gauss, Cúbica e Spline) e o segundo tem um comportamento linear (Exponencial,

Linear e Esférica). No entanto a função exponencial generalizada enquadra-se entre ambos os

grupos dependendo do termo





. Se





for igual a 2 (dois): resulta na correlação

Gaussiana; caso contrário se for igual a 1 (um): resulta na correlação Exponencial.

A Equação (3.26) permite estimar o valor

 

f x

em qualquer ponto no espaço de

projeto que considera as respostas da função real

 

f x

       

 

| , ,

f E f f fx x x x

(3.26)

em estatísticas esta equação é lida como: o valor esperado de

 

f x

, dado os eventos em

   

ffxx

ocorrerão.

Página 47

A medida do erro pode é calculada ao se introduzir o conceito do Erro Médio

Quadrado (Mean Square Error (MSE)), o qual mede a diferença entre a função aproximada

pelo modelo de krigagem

 

f x

e a função real

 

f x

em todo o espaço de projeto,

   

 

MSE E f fxx

(3.27)

A partir da minimização do MSE, a Equação (3.28) permite estimar o valor

 

f x

qualquer ponto no espaço de projeto, a partir da seguinte relação:

     

 

ˆˆ

T T T



  x N x β r x R f βN

(3.28)

onde

     

1 k

NN





N x x x

representa o vetor contendo os polinômios da regressão,

são os coeficientes do modelo de regressão,

 

fff

contém o valor da função

real calculada nos pontos da amostra

é uma matriz

mk

definida anteriormente pela

Equação (3.13).

A Equação (3.29) requer o cálculo do vetor de correlação

 

que correlaciona um

os pontos da amostra com qualquer ponto dentro de espaço de projeto,

     

, , , ,

RR





rx θ x x θ x x

(3.29)

Os coeficientes da regressão

e a covariância são obtidos usando o método dos

mínimos quadrados, onde

 





β R R fN N N

(3.30)

e a covariância é obtida segundo,

   

ˆˆ









f β R f βNN

(3.31)

Na Equação (3.28), ambos

dependem do parâmetro

 



desconhecido. No

entanto, para determiná-los é necessário utilizar a estimativa da máxima verossimilhança, a

qual é obtida minimizando o problema definido pela Equação (3.32) com

variáveis

(GIUNTA e WATSON, 1998),

Minimizar

 

ln ln















(3.32)

Sujeito à:

 



  

Enfim, ao resolver este problema de otimização, o modelo de krigagem está completo.

Página 48

3.6 Métodos de Avaliação da Precisão

O método da superfície de resposta

 

f x

e o modelo de krigagem

 

f x

definidos

anteriormente são criados baseados em uma amostra de tamanho

e posteriormente são

usados para prever o resultado em um número bem maior de pontos

 

. Devido a este

fato, se faz necessário verificar a priori se o modelo substituto criado pode representar

adequadamente a função real (cara computacionalmente). Tal medida da precisão fornecerá

também mais um parâmetro que auxiliará na escolha do melhor modelo substituto.

A diferença que é definida pela Equação (3.33) é a maneira mais simples de avaliar a

precisão de um modelo aproximado, porém apenas avalia o modelo localmente,

i i i

f f f  

(3.33)

onde

1, ,i np

, e

é o número total de pontos onde as funções aproximada

e real

são avaliadas.

Outra possibilidade seria calcular a média aritmética expressa pela Equação (3.34),

porém o valor médio mascara o resultado, ou seja, se a diferença for grande em um local e

pequena em outro, o resultado obtido será compensado e com isso sem muito significado.







(3.34)

O desvio padrão é um parâmetro mais significativo do que os anteriores, pois introduz

uma ponderação em seu cálculo, isto é, um erro grande ao ser elevado ao quadrado será ainda

maior e vice-versa, no entanto para a determinação do desvio padrão, definido pela Equação

(3.35), considera o valor médio e, portanto o mesmo não é aconselhável para a avaliação dos

modelos substitutos.

 













(3.35)

Como consequência, o método RMSE (Root Mean Squared Error) e o PRESS

(Predicted Residual Sum of Squares) que combinam as melhores ideias dos métodos acima

mencionados serão considerados para avaliar os modelos substitutos. Ambos os métodos de

avaliação serão definidos a seguir.

Página 49

3.6.1 RMSE

O método de avaliação chamado Root Mean Squared Error (RMSE) (ANDERSON e

WOESSNER, 1992) traduzido como Raiz da Suma Quadrática dos Erros, foi o escolhido,

pois o mesmo é baseado no conceito da discrepância para avaliar o modelo substituto.

A definição de discrepância ou diferença, não deve ser confundida com a definição do

erro residual que é o termo elevado ao quadrado e posteriormente minimizado quando se

considera o método dos mínimos quadrados. Nesse caso, o erro residual é a discrepância

(diferença) entre o modelo polinomial (aproximado) e o real calculado nos pontos da amostra.

No caso do modelo de krigagem, a discrepância é igual à zero entre o modelo aproximado e

real nos pontos da amostra, uma vez que o valor previsto é igual ao valor real nos pontos da

amostra. Sendo assim, o tradicional método do erro residual quadrático também chamado de

, não é considerado um bom parâmetro de avaliação, pois o mesmo pode ter seu valor

reduzido se a ordem do polinômio de regressão for aumentada.

Apesar de ter uma equação semelhante à Equação (3.35), o RMSE, definido pela

Equação (3.36), é apontado na literatura (GIUNTA e WATSON, 1998) como um método não

viciado se

np m

 

RMSE









(3.36)

onde

são respectivamente, o valor do modelo substituto e da função real calculados

pontos dentro de espaço de projeto.

3.6.2 PRESS

O método de avaliação Predicted Residual Sum of Squares (PRESS), inicialmente

formulado por D. Allen (1974) e aqui traduzida como a Estimativa da Suma Quadrada dos

Resíduos, é um entre muitos métodos para avaliação de modelos substitutos. O procedimento

é baseado no método Leave-One-Out (deixe um de fora) cujas etapas são descritas na Tabela

3.2.

Página 50

Tabela 3.2: Etapas para determinação do PRESS.

Etapa

Descrição

PRE 1.

Remover um ponto da amostra e cria um modelo substituto a partir da amostra com

1n

pontos;

PRE 2.

Calcular o valor previsto

no ponto i-ésimo removido considerando o modelo

criado a partir da amostra com

1n

pontos;

PRE 3.

Calcular

 

i i i

r f f

, onde

e o valor do modelo real no ponto removido;

PRE 4.

Readicionar o ponto removido e voltar para o passo PRE 1, até completar os todos

os pontos da amostra;

PRE 5.

Calcular a raiz quadrado do somatório

As etapas descritas acima são simplificadas pela Equação (3.37):

 

PRESS f f







(3.37)

onde

é o valor do modelo real no ponto removido e

é o valor previsto no ponto

removido calculado a partir do modelo substituto criado em função da amostra com

1n

pontos (TARPEY, 2000).

3.7 Tipos de Correções

Os modelos de correção são construídos de maneira a assegurar a coincidência entre o

modelo real e o modelo substituto (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004). Tais técnicas

podem ser aplicadas para qualquer tipo de aproximações (contexto local e global). Nesse

trabalho será considerada a correção do tipo aditiva e multiplicativa, as quais ajustaram o

modelo proposto de grelha que por sua vez substitui o modelo de treliça. Tais metodologias

são descritas segundo as expressões a seguir,

     



x x x

     



   x x x

(3.38)

     



x x x

         

g m g m

f f f



    x x x x x

(3.39)

onde

 

f x

é função a partir do modelo de grelha,

 



é o termo de correção aditiva e

 



é o termo de correção multiplicativo. Para ambas as abordagens serão construídas uma

correção local

 



 



gerada a partir de uma expansão por série de Taylor ou global

Página 51

usando

 



 



construído a partir da técnica de krigagem. Ambas são descritas a

seguir.

3.7.1 Correção Baseada no Modelo de Krigagem

A estratégia adotada consiste em utilizar o modelo de krigagem, onde será construído

um modelo de correção global. Este por sua vez é criado a partir da diferença ou da razão

entre o modelo substituto (analogia de grelha) e o modelo real (treliça espacial). De forma

geral, o modelo de correção baseado no modelo de kriging pode ser expresso como:

     

 

ˆ ˆ ˆ

T T T





  x N x β r x R βN

(3.40)

onde

depende do polinômio de regressão escolhido,

é o coeficiente de regressão

incógnito,

dependem do modelo de correlação escolhido,

é uma matriz

mk

que

também depende do polinômio de regressão.

O termo



, definido pela expressão Equação (3.41), é obtido a partir da diferença

(correção aditiva



) ou razão (correção multiplicativa



) entre o modelo real e aproximado.

 

a t g





(3.41)





onde

é o valor do modelo real (treliça) e

é o valor modelo substituto (grelha).

3.7.2 Correção Baseada na Série de Taylor

A estratégia adotada consiste em utilizar a série de Taylor para corrigir localmente a

diferença entre o modelo real e o substituto, onde serão consideradas as correções do tipo

aditivas e multiplicativas, semelhantes à Equação (3.41). Mais uma vez, a estratégia SAO,

descrita na próxima seção, tem um papel importante nessa abordagem, pois para cada

subproblema o modelo substituto (grelha) será corrigido a partir da escolha de três diferentes

níveis de correção.

De forma geral, a correção aditiva



e multiplicativa



baseadas na série de Taylor

de primeira ordem é definida segundo a Equação (3.42) a seguir:

       

0 0 0

a a a

  

   x x x x x

(3.42)

       

0 0 0

m m m

  

  x x x x x

Os gradientes









podem ser calculados segundo a Equação (3.43),

Página 52

       

0 0 0

a a a

  

     x x x x x

(3.43)

       

0 0 0

m m m

  

    x x x x x

Os diferentes níveis de correção

 

0 1 2

,eC C C

são obtidos a partir das considerações

ou não dos termos da série. Sendo assim, o nível

é obtido considerando apenas o termo

constante da série de Taylor. O nível

é obtido a partir do nível

com a inclusão do

termo da primeira derivada. Finalmente, o nível

é obtido a partir do nível

com a

inclusão da segunda derivada.

Os termos da correção aditiva são definidos segundo a Equação (3.44) a seguir.

     

0 0 0a t g



x x x

(3.44)

     

0 0 0a t g



   x x x

     

2 2 2

0 0 0a t g



    x x x

e os termos da correção multiplicativa são definidos pela Equação (3.45) abaixo.

 





(3.45)

 

0 0 0

m t g



    

x x x

 

   

 

       

 

2 2 2

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

m t g t g

g g g

g t t g

f f f f

f f f

f f f f





       





     





x x x x x

x x x

x x x x

3.7.2.1 Determinação Numérica da Matriz Hessiana

Os gradientes de otimização serão naturalmente calculados durante o processo de

otimização, pois o algoritmo SQP requer o cálculo das derivadas para a determinação da

direção de busca. Sendo assim, para a estratégia onde o modelo substituto (grelha) é

considerado juntamente com o modelo de correção baseado no modelo de krigagem, apenas o

cálculo dos gradientes do modelo substituto (grelha) será necessário, pois o modelo de

correção baseado no ajustamento de ponto não necessita do gradiente para a criação do

modelo de krigagem. No entanto, para a estratégia onde o modelo substituto é considerado

juntamente com o modelo de correção baseada na expansão por série de Taylor, o cálculo dos

gradientes e Hessiana necessária para ambos os modelos (real e substituto) de acordo com o

nível de correção

 

0 1 2

,eC C C

escolhido e seguem as Equações (3.44) e (3.45).

Página 53

O cálculo das derivadas é realizado a partir da análise de sensibilidade onde vários

métodos (diferenças finitas, analítico, semianalítico e variável adjunto) estão disponíveis,

porém para a determinação numérica da Hessiana de

que aparecem na Equação

(3.43), o método das diferencias finitas à direita será considerado devido a sua simplicidade

de implementação. O método é definido pela Equação (3.46) seguinte:

 

   

   





x x x

(3.46)

3.8 Estratégia SAO

A estratégia de Otimização Aproximada Sequencial (Sequential Approximate

Optimization (SAO)) é comumente utilizada na literatura (ALEXANDROV, DENNIS, et al.,

1997); (GIUNTA e ELDRED, 2000); (KEULEN e HAFTKA, 2004); (KEULEN e HAFTKA,

2004); (KEANE e NAIR, 2005); (AFONSO, HOROWITZ e SILVA, 2005) quando se

considera as aproximações do tipo local. A ideia central da metodologia consiste em

decompor o problema inicial de otimização em uma sucessão de subproblemas menores, onde

tais subproblemas são confinados em uma sub-região do espaço de projeto. A cada nova

iteração se conduz uma análise de consistência entre os dois modelos (real e aproximado) e

com isso auxilia na precisão dos modelos substitutos.

Nesse trabalho serão consideradas como função substituta as funções baseadas na série

de Taylor de primeira ordem e as funções baseadas no ajustamento de pontos criado a partir

do método da superfície de resposta (método dos mínimos quadrados). Posteriormente, a

função aproximada será corrigida com um termo aditivo ou multiplicativo que dependerá dos

de um dos três níveis

 

0 1 2

,eC C C

a ser escolhido.

3.8.1 Formulação Matemática

Tipicamente, o metodologia SAO decompõe o problema de otimização original em

uma sequência de subproblemas de otimização que são confinados em uma pequena sub-

região do espaço de projeto. Consequentemente, funções substitutas são criadas e

posteriormente utilizadas no processo de otimização, pois as mesmas são relativamente

precisas dentro dessas sub-regiões. O esquema da região de confiança, que será descrito na

Seção 3.9, é adotado para a atualização do tamanho na nova sub-região durante o processo

iterativo e sequencial do esquema SAO.

A formulação matemática da estratégia SAO é descrita por:

Página 54

Minimize

 

f x

(3.47)

Sujeito à:

 

g x

1, ,jp

 

h x

1, ,iq

L L U U

   x x x x x

max

0,1, ,kk

onde

k k k

 xx

(3.48)

k k k

  xx

Na equação (3.47), os termos

 

f x

 

g x

 

h x

são respectivamente a função

aproximada (ou substituta) da função objetivo, da restrição de desigualdade e da restrição de

igualdade. Subsequentemente na Equação (3.48), o termo

representa o ponto central da

região de confiança,



o tamanho da região de confiança e

são respectivamente os

limites inferiores e superiores da sub-região do espaço de projeto para a k-ésima iteração da

estratégia SAO (GIUNTA e ELDRED, 2000); (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004).

3.8.2 Aspectos Computacionais

Cada subproblema descrito pela Equação (3.47) e (3.48), define uma iteração

estratégia SAO, onde o número máximo de iterações é definido por

max

. Para a primeira

iteração

0k 

se faz necessário assumir o tamanho inicial



e o ponto central

(ou

para

0k 

) da região de confiança. Em seguida, a Equação (3.47) é resolvida e o ponto ótimo

aproximado

é encontrado. Calcula-se a função real (cara computacionalmente) no ponto

ótimo encontrado. A convergência é então checada de acordo com os critérios adotados, se

alcançada: o problema de otimização está resolvido, caso contrário: procede-se com a

atualização da nova sub-região através do esquema da região de confiança. A comparação

entre o ponto central

e o ótimo

é conduzida e consequentemente é determinado o

próximo ponto central



e o novo tamanho

1k



para a nova sub-região. Antes de começar

a nova iteração

1k 

, se faz necessário impor a consistência entre o modelo real e

aproximado de modo à melhor a precisão do modelo substituto. O procedimento é então

repetido até que o procedimento encontre a convergência do processo ou atinja-se o número

máximo de iterações permitido.

Página 55

Os aspectos computacionais da estratégia SAO podem ser resumidos segundo a

Tabela 3.3 abaixo, a qual descreve os principais passos para a implementação do esquema de

forma simplificada e sistemática.

Tabela 3.3: Aspectos computacionais da estratégia SAO.

Etapas

Descrição

SAO 1.

Assumir o tamanho e ponto inicial da região de confiança;

SAO 2.

Computar as funções objetivo e restrições reais no ponto central da sub-região;

SAO 3.

Construir as funções substitutas (aproximadas) para as funções objetivo e

restrições;

SAO 4.

Otimizar o problema usando as funções aproximadas, onde as variáveis de projeto

são limitadas pelas fronteiras da sub-região;

SAO 5.

Recalcular as funções objetivo e restrições reais no ponto ótimo encontrado;

SAO 6.

Checar os critérios de convergência internos do otimizador:

6.1.

se alcançada: o problema da iteração

está resolvido, continue com o processo.

6.2.

caso contrário: a função aproximada não é adequada, o processo é finalizado.

SAO 7.

Mover/reduzir/aumentar a nova sub-região de acordo com o esquema da região de

confiança;

SAO 8.

Impor a consistência entre o modelo real e o substituto;

SAO 9.

Checar os critérios de convergência global da estratégia SAO:

9.1.

se alcançada: o projeto ótimo é obtido, o processo é finalizado com sucesso.

9.2.

caso contrário: voltar para o passo SAO 3.

Os principais tópicos essências para a implementação da estratégia SAO serão

discutidos com mais detalhes nas seções seguintes.

3.8.3 Critérios de Convergência

Dois critérios de convergência são adotados quando se considera o esquema de

otimização sequencial aproximada. O primeiro deles é definido a partir da convergência local

durante o processo de otimização do subproblema, o qual é confinado a uma sub-região do

espaço de projeto. O ponto ótimo será aceito segundo os critérios “internos” de convergência

do otimizador, ou seja, da função FMINCON do MATLAB (MATHWORKS, 2009). Tal

função foi escolhida, pois contém o algoritmo SQP já implementado. Um dos critérios

descritos abaixo deve ser atingido de modo que a solução seja considerada como solução do

subproblema. Os critérios são:

Página 56

 A medida da otimalidade de primeira ordem é menor que a tolerância da função

(TolFun) e a máxima violação das restrições são menores que a tolerância

(TolCon) da mesma,

 O melhoramento do ponto ótimo

obtido foi menor que a tolerância (TolX) do

mesmo,

 O melhoramento da função objetivo aproximada

 

f x

foi menor que a

tolerância (TolFun) da mesma,

 A magnitude da direção de busca

foi menor que duas vezes a tolerância do

ponto ótimo (TolX) e a violação da restrições são menores que a tolerância

(TolCon) da mesma,

 A magnitude da derivada direcional com relação à direção de busca

rd

menor que duas vezes a tolerância do ponto ótimo (TolX) e máxima violação das

restrições são menores que a tolerância (TolCon) da mesma,

 O número máximo de iterações é maior que o número máximo de iterações

permitido (MaxIter).

onde, os termos TolFun, TolCon, TolX e MaxIter são as tolerâncias internas da função

fmincon do MATLAB (MATHWORKS, 2009).

Os critérios acima descritos são necessários durante cada iteração

da estratégia

SAO. Contudo, um segundo critério de convergência é necessário para avaliar a convergência

global durante as iterações do processo de otimização sequencial. O término do processo

sequencial é concluído se um dos seguintes critérios for atingido:

 Após um número prescrito, 3 (três), de subsequentes iterações do processo SAO, o

resultado da função aproximada obtido não demonstrou nenhuma melhoria,

 A Equação (3.49) busca representar matematicamente a condição de convergência

adotada nessa dissertação, onde a função real e a aproximada são comparadas.

   

 

tol





(3.49)

O valor da tolerância acima assumido representa um índice de confiabilidade da

função aproximada

 

f x

com relação à função real

 

f x

calculada no ponto ótimo

igual a 99.99%.

Página 57

Ao atingir um dos critérios acima, o processo de otimização sequencial é finalizado e

o último ponto ótimo obtido é considerado com solução ótima do problema.

3.8.4 Imposição da Consistência

De modo a manter a precisão do processo de otimização baseado em funções

aproximadas, foi requerido o critério de consistência, onde a igualdade entre o modelo

aproximado e o modelo real no ponto central de cada sub-região

fosse mantida.

Para o procedimento baseado no ajustamento de pontos, ou seja, krigagem e superfície

de resposta, apenas a consistência de ordem zero

foi imposta, uma vez que tais

procedimentos não necessitam dos gradientes para a construção do modelo substituto.

Por outro lado, ao se considerar os procedimentos baseados em série de Taylor, a

imposição da consistência de ordem zero

e ordem 1 (primeira)

foram assumidas, ou

seja, para cada nova iteração do algoritmo SAO, o valor da função aproximada é igualado ao

da função real calculada no ponto central da nova região, ou seja,

   

ffxx

Similarmente, para as derivadas, onde os gradientes da função aproximada são igualados aos

gradientes da função real, isto é,

   

ff  xx

O procedimento da imposição da consistência pode ser demonstrado assumindo a

correção do tipo aditiva, onde a Equação (3.44) é substituída na Equação (3.42) e (3.43) e o

termo que depende da Hessiana é considerado nulo, ou seja,





. O resultado dessa

substituição é então usado na Equação (3.38) a qual é avaliada no ponto central da sub-região

 

xx

. Analogamente, o mesmo procedimento pode se adotado para a correção do tipo

multiplicativa, onde a Equação (3.45) é substituída na Equação (3.42) e (3.43) com o termo da

Hessiana igual a zero, isto é,





. O resultado desta é então substituído na Equação

(3.39) e depois avaliada no ponto central da sub-região

 

xx

3.9 Esquema da Região de Confiança

O esquema da região de confiança (RC) (Trust Region), foi inicialmente introduzido

por Rodriguez e coautores (RODRÍGUEZ, RENAUD e WATSON, 1998) e posteriormente

aplicado com certas modificações por Guinta e Eldred (2000) e Eldred, Guinta e Collis (2004)

em trabalho baseados em otimização considerando modelos aproximados/substitutos. O

esquema da região de confiança, como já foi citado anteriormente, é necessário para atualizar

Página 58

o tamanho do novo espaço de projeto de cada sub-região durante o processo de otimização

sequencial aproximada.

O esquema da região de confiança adotado nesse trabalho foi descrito recentemente

por Eldred e coautores (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004) e inicia com o cálculo do

termo de aceitação



, definido pela Equação (3.50), depende do termo de aceitação “parcial”

da função objetivo e da função de restrição de desigualdade. O termo é determinado para cada

iteração

da estratégia SAO em função do cálculo da função real e substituta ambas

avaliadas no ponto ótimo local e no ponto central da sub-região.

 

min ,

k k k

  



(3.50)

onde

é o índice da iteração da estratégia SAO,



é o termo de aceitação da função

objetivo que é definido pela Equação (3.51) abaixo,

   

ˆˆ









(3.51)



é o termo de aceitação em função da restrição de desigualdade é definido pela Equação

(3.52) a seguir,

   

ˆˆ









(3.52)

onde

são respectivamente, o ponto central e o ponto ótimo da sub-região

. O termo

que dependeria da função de restrição de igualdade



é omitido, pois o mesmo é uma

constante.

A próxima região de confiança é determinada em função do valor de



e segue o

procedimento descrito abaixo:





- a função substituta é imprecisa. Deve-se rejeitar o resultado da iteração e

reduzir o tamanho da região pela metade;

0 0.25





- a função substituta é razoavelmente precisa. Deve-se aceitar o

resultado da iteração e reduzir o tamanho da região pela metade;

0.25 0.75 ou 1.25



  

- a função substituta é moderadamente precisa.

Deve-se aceitar o resultado da iteração e manter o tamanho da região;

0.75 1.25





- a função substituta é precisa. Deve-se aceitar o resultado da

iteração e duplicar o tamanho da região.

Página 59

O procedimento de atualização da região de confiança descrito acima pode ser

expresso segundo as Equações (3.53) e (3.54), onde o termo de aceitação



calculado para

cada iteração da estratégia SAO é usado na determinação do tamanho da próxima sub-região

1k



. A Equação (3.53) define os critérios para a atualização do novo tamanho da nova sub-

região

1k



0.5 , se 0,

0.5 , se 0 0.25,

, se 0.25 0.75 ou 1.25,

2 , se 0.75 1.25.

k k k









   

   

    

   

(3.53)

O novo ponto central



da nova sub-região é também determinado em função do

termo de aceitação e segue os critérios descritos pela Equação (3.54) abaixo:

, se 0,

, se 0.

k k k









(3.54)

Devido ao fato de que a função restrição considerada nesse trabalho é o volume

estrutural inicial, mantido constante e calculado analiticamente. O termo



é dado como

nulo. Sendo assim, o termo de aceitação pode ser simplificado em função apenas da função

objetivo, ou seja,





Página 60

Capítulo 4 - Exemplos

4.1 Introdução

Com o intuito de demonstrar a eficácia das diversas estratégias de aproximações

discutidas previamente, quarto exemplos clássicos da literatura e um caso real de treliça

tridimensional, o qual é amplamente utilizado em cobertas (ver Figura 4.1) serão considerados

e posteriormente conclusões provenientes dos resultados serão apresentadas.

Figura 4.1: Coberta treliçada do Centro de Convenções de Brasília (Brasília, DF).

O algoritmo SSO será utilizado para conduzir dois diferentes estudos: o primeiro

comparará os resultados obtidos através da análise estrutural considerando o método dos

elementos finitos e o segundo, e mais importante, utilizará as respostas provenientes das

diferentes estratégias de aproximação nos procedimentos de otimização. A Tabela 4.1 resume

as diferentes estratégias consideradas neste capítulo. Como podem ser observadas, algumas

delas serão aplicadas em estudos isolados para mais fácil compreensão e comparação.

Página 61

Tabela 4.1: Estratégias de aproximação consideradas no processo de otimização.

Siglas

Estratégia considerada na otimização

MEF

Método dos Elementos Finitos (convencional)

SAO_T

Estratégia SAO utilizando funções polinomiais baseadas na série de Taylor;

SAO_SR

Estratégia SAO utilizando a Superfície de Resposta baseado no MMQ;

KRIG

Modelo global de Krigagem;

GRE

Modelo físico aproximado (grelha);

GRE_TC

Modelo físico aproximado (grelha) com correção baseado na série de Taylor;

GRE_KC

Modelo físico aproximado (grelha) com correção baseado no modelo de

Krigagem.

Para todos os casos citados, será conduzida a análise estática estrutural em regime

linear-elástico e posteriormente será procedida a otimização da estrutura. O termo a ser

comparado será a flexibilidade estrutural

. Os exemplos aqui considerados são definidos a

seguir.

4.2 Definição dos Problemas Clássicos de Treliças 2D

Nesta seção apenas as técnicas de aproximação locais baseada na série de Taylor

(linear, recíproca e posinomial) serão consideradas. Inicialmente será realizado um estudo da

precisão dos modelos aproximados construídos e posteriormente os mesmos serão usados

durante o processo de otimização no qual a estratégia SAO será adotada.

Os modelos de treliças bidimensionais aqui considerados são exemplos clássicos da

literatura (KIRSCH, 1981). As subsequentes treliças são estruturas de análise simples, no

entanto o estudo das mesmas é importante tanto para se avaliar as estratégias utilizadas quanto

para verificar as implementações conduzidas. Os exemplos investigados têm as seguintes

denominações: a) treliça com 10 barras, b) treliça com 64 barras, c) treliça com 200 barras e

d) treliça com 940 barras. Na Figura 4.2 são fornecidas as informações com relação às

dimensões geométricas, ao carregamento estático externo e às condições de contorno são

também fornecidas.

Página 62

(a) Treliça com 10 barras

(b) Treliça com 64 barras

(d) Treliça com 940 barras

Figura 4.2: Exemplos clássicos de treliças bidimensionais.

Pode-se perceber que três cores diferentes (vermelho, azul e verde) são usadas na

representação gráfica dos quatro casos de treliças. Tais cores definem três regiões (I, II e III)

que representam o agrupamento das áreas das barras em três distintas variáveis de projeto.

Esta estratégia é bastante utilizado no processo de otimização, pois reduz o número de

variáveis de projeto tornando-o mais viável em termos computacionais. Por outro lado damos

também um caráter mais prático aos resultados obtidos, uma vez que projetar e/ou montar

uma estrutura contendo apenas três possíveis áreas é mais simples do que montar uma

estrutura com, por exemplo, 940 possíveis áreas.

A propriedade do material, ou seja, o módulo de elasticidade é igual a 210 GPa. A área

da seção transversal de todas as barras é 1 cm

, sendo este, o ponto inicial do projeto e

consequentemente, o valor das variáveis de projeto para a configuração inicial. A função

objetivo será a flexibilidade estrutural da treliça e função restrição será constante e igual ao

Página 63

volume inicial da estrutura. A Tabela 4.2 apresenta os resultados da flexibilidade e do volume

estrutural calculados no ponto inicial de projeto.

Tabela 4.2: Resultados da flexibilidade e do volume com relação ao projeto inicial.

Treliça

Flexibilidade Inicial

Volume Inicial

kN.cm

10 barras

1,3842×10

1,0491×10

64 barras

4,0662×10

3,7385×10

200 barras

1,3868×10

1,1002×10

940 barras

1,8366×10

7,4790×10

4.2.1 Estudos da Precisão das Aproximações por Série de Taylor

Os estudos aqui realizados buscam avaliar os três tipos de aproximações por série de

Taylor. Os mesmos podem adiantar o que se espera quando tais aproximações forem

utilizadas durante o processo de otimização. Portanto, são aqui apresentados os estudos da

precisão para o cálculo da função objetivo (flexibilidade) e seus gradientes.

Sabemos que as aproximações locais baseadas na série de Taylor de primeira ordem

são precisas em uma pequena vizinhança ao redor do ponto em que foi construída. Desta

forma, a função real (MEF) foi avaliada no ponto inicial

 

1 2 3

1 cmx x x  

e a partir

deste, a função aproximada foi avaliada no ponto ligeiramente afastado

 

1 2 3

0,9 cmx x x  

do ponto inicial.

A Tabela 4.3 apresenta os resultados para cada função substituta considerada, ou seja,

linear, recíproca e posinomial. Os resultados foram comparados com o método convencional

(MEF). A diferença percentual para cada caso também é também fornecida.

Tabela 4.3: Resultado da flexibilidade via MEF e aproximações por série de Taylor.

Treliças

MEF

Função aproximada

Linear

Posinomial

Recíproca

kN.cm

10 barras

1,5380×10

1,5226×10

1,5380×10

Erro %

64 barras

4,5180×10

4,4728×10

4,5180×10

Erro %

200 barras

1,5409×10

1,5255×10

1,5409×10

Erro %

940 barras

2,0406×10

2,0202×10

2,0406×10

Erro %

Página 64

Pode-se observar que os resultados provenientes da aproximação recíproca e

posinomial coincidiram com a solução através do MEF, porém a linear teve um erro aceitável

de apenas 1%.

Outro estudo ainda mais importante é o da avaliação dos gradientes, uma vez que os

mesmos são utilizados pelo otimizador (algoritmo SQP) na determinação da direção de busca

e no tamanho do passo durante o processo de otimização. Consequentemente, o mesmo foi

realizado e seus resultados são apresentados na Tabela 4.4. em função dos mesmo critérios de

comparação.

Tabela 4.4: Resultados dos gradientes da flexibilidade via MEF e aproximações por série de Taylor

Treliça

Método



Erro



Erro



Erro

kN.cm

barras

MEF ×10

-1,4650

-0,0968

-0,1471

Aproximação

×10

lin

-1,1866

19,0

-0,0784

19,0

-0,1191

19,0

pos

-1,4431

1,5

-0,0876

9,5

-0,1336

9,2

rec

-1,4650

0,0

-0,0968

0,0

-0,1471

0,0

barras

MEF ×10

-3,3148

-0,9863

-0,7190

Aproximação

×10

lin

-2,6849

19,0

-0,7989

19,0

-0,5824

19,0

pos

-3,1982

3,5

-0,9063

8,1

-0,6569

8,6

rec

-3,3148

0,0

-0,9863

0,0

-0,7190

0,0

200

barras

MEF ×10

-0,0022

-0,0544

Aproximação

×10

lin

-0,0018

18,2

-0,0441

18,9

-1,3409

19,0

pos

-0,0020

9,1

-0,0492

9,6

-1,6497

0,3

rec

-0,0022

0,0

-0,0544

0,0

-0,0544

0,0

940

barras

MEF ×10

-1,6365

-0,0753

-0,5555

Aproximação

×10

lin

-1,3260

19,0

-0,0610

19,0

-0,4499

19,0

pos

-1,5893

2,9

-0,0680

9,7

-0,5130

7,7

rec

-1,6365

0,0

-0,0753

0,0

-0,5555

0,0

Obs.: lin, pos e rec são respectivamente as abreviações de linear, posinomial e recíproca.

Pode ser percebido facilmente que os resultados provenientes da aproximação

recíproca mais uma vez coincidem com as soluções através do método convencional. A ótima

performance da função recíproca é facilmente explicada pois a mesma lineariza a função de

flexibilidade que por sua vez depende do inverso (recíproca) da variável de projeto. O tipo

posinomial teve um desempenho intermediário onde o erro variou entre 0.3% até 9.7%.

Finalmente, a aproximação linear apresenta um erro de 19% em relação ao MEF, sendo este o

maior dentre os tipos de aproximações consideradas.

Página 65

4.2.2 Estudos da Otimização das Aproximações por Série de

Taylor

No estudo da otimização foi considerado como função objetivo a flexibilidade

estrutural e como função de restrição o volume inicial da estrutura. Três variáveis de projetos

(áreas da seção transversal das barras) são consideradas segundo as regiões definidas na

Figura 4.2. Os limites inferiores e superiores das variáveis são respectivamente 0,1 cm

e 10

A partir dos parâmetros adotados acima, o algoritmo SSO foi utilizado para otimizar

as treliças. Primeiramente foi utilizado o método convencional (MEF), o qual serviu de base

para as futuras comparações. Posteriormente a estratégia SAO juntamente com as diversas

aproximações (linear, posinomial, recíproca) será considerada. Para a primeira iteração do

SAO, se faz necessário a escolha do tamanho inicial da região de confiança (RC), portanto os

tamanhos 1%, 5%, 10%, 50% e 100% serão considerados de modo a avaliar a influência do

mesmo na obtenção do projeto ótimo.

Os resultados apresentados na Tabela 4.5 a Tabela 4.8 são referentes aos casos: treliça

com 10 barras, treliça com 64 barras, treliça com 200 barras e treliça com 940 barras,

respectivamente. Nesse estudo o tamanho inicial da região de confiança foi mantido constante

e igual a 10%.

Tabela 4.5: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 10 barras com RC = 10%.

Método

Variáveis de projeto

Função objetivo

Erro

Flexibilidade

Erro

kN.cm

MEF

1,7174

0,1000

1,2108

9,4862×10

SAO_T

Linear

1,7019

0,9

0,1000

0,0

1,2419

2,6

9,4830×10

0,03

Posinomial

1,7165

0,1

0,1000

0,0

1,2126

0,1

9,4862×10

0,00

Recíproca

1,7181

0,0

0,1000

0,0

1,2094

0,1

9,4863×10

0,00

* excedeu o número máximo de iterações (201) em 4 iterações do SAO.

Página 66

Tabela 4.6: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 64 barras com RC = 10%.

Método

Variáveis de projeto

Função objetivo

Erro

Flexibilidade

Erro

kN.cm

MEF

1,1353

0,9134

0,7727

3,9798×10

SAO_T

Linear

1,1087

2,3

0,9381

2,7

0,8144

5,4

3,9748×10

0,13

Posinomial

1,1348

0,0

0,9177

0,5

0,7755

0,4

3,9798×10

0,00

Recíproca

1,1346

0,1

0,9198

0,7

0,7738

0,1

3,9798×10

0,00

* excedeu o número máximo de iterações (201) em 1 iteração do SAO.

Tabela 4.7: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 200 barras com RC = 10%.

Método

Variáveis de projeto

Função objetivo

Erro

Flexibilidade

Erro

kN.cm

MEF

0,1116

0,3838

1,4439

1,0560×10

SAO_T

Linear

0,1000

10,4

0,3475

9,5

1,4622

1,3

1,0534×10

0,25

Posinomial

0,1128

1,1

0,3851

0,3

1,4431

0,1

1,0560×10

0,00

Recíproca

0,1121

0,4

0,3838

0,0

1,4438

0,0

1,0560×10

0,00

* excedeu o número máximo de iterações (201) em 4 iterações do SAO.

Tabela 4.8: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 940 barras com RC = 10%.

Método

Variáveis de projeto

Função objetivo

Erro

Flexibilidade

Erro

kN.cm

MEF

1,9346

0,1702

0,2777

1,4497×10

SAO_T

Linear

1,8953

2,0

0,2114

24,2

0,3045

9,7

1,4487×10

0,07

Posinomial

1,9226

0,6

0,1736

2,1

0,3036

9,3

1,4500×10

0,02

Recíproca

1,9259

0,4

0,1737

2,1

0,2868

3,3

1,4497×10

0,00

* excedeu o número máximo de iterações (201) em 1 iteração do SAO.

Baseando-se nos resultados acima apresentados é possível fazer as seguintes

observações:

 Em todos os casos foi encontrado um resultado ótimo. Portanto, a otimização de

treliças pode ser realizada a partir da substituição da função real por uma

aproximada baseada na série de Taylor;

 A aproximação do tipo posinomial excedeu em diversas iterações do SAO o

número máximo de iterações do otimizador, significando assim um custo

computacional alto;

Página 67

 A aproximação do tipo linear teve um desempenho razoável comparado aos

resultados obtidos através da aproximação recíproca;

 A aproximação do tipo recíproca foi à melhor com um erro máximo na variável de

projeto de 3,3% (ver Tabela 4.8) e nulo na função objetivo.

Devido às observações aqui apontadas, foi decidido considerar apenas a aproximação

do tipo recíproca para os demais estudos, o qual irá investigar a influência do tamanho inicial

da região de confiança com relação ao tempo e custo computacional envolvido na obtenção

do projeto ótimo.

A Tabela 4.9 apresenta os resultados ótimos obtidos pelo método convencional que

utiliza o método dos elementos finitos.

Tabela 4.9: Resultados da flexibilidade ótima via MEF.

Treliças

Variáveis de projeto

Flexibilidade

NIO

NAFR

Tempo

kN.cm

10 barras

1,7174

0,1000

1,2108

9,4862×10

2,07

64 barras

1,1353

0,9194

0,7727

3,9798×10

4,09

200 barras

0,1116

0,3838

1,4439

1,0560×10

5,76

940 barras

1,9346

0,1703

0,2777

1,4497×10

21,16

NIO – Número de Iterações do Otimizador (SQP)

NAFR – Número de Avaliações da Função Real

Os resultados obtidos usando a estratégia SAO utilizando a aproximação do tipo

recíproca para os cincos diferentes tamanhos iniciais da RC são apresentados na Tabela 4.10 à

Tabela 4.13.

Tabela 4.10: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 10 barras.



NIO

NAFA

Variáveis de projeto

NISAO

Flexibilidade

Tempo

kN.cm

155

1,7176

0,1000

1,2103

9,4863×10

3,24

140

1,7181

0,1000

1,2094

9,4863×10

3,05

153

1,7181

0,1000

1,2094

9,4863×10

3,17

165

1,7181

0,1000

1,2094

9,4863×10

3,19

100

165

1,7181

0,1000

1,2094

9,4863×10

3,22

NAFA – Número de Avaliações da Função Aproximada

NISAO – Número de Iterações da estratégia SAO

Página 68

Tabela 4.11: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 64 barras.



NIO

NAFA

Variáveis de projeto

NISAO

Flexibilidade

Tempo

kN.cm

1,1350

0,9195

0,7731

3,9798×10

3,01

1,1346

0,9198

0,7738

3,9798×10

2,94

1,1346

0,9198

0,7738

3,9798×10

2,53

1,1346

0,9198

0,7738

3,9798×10

2,56

100

1,1346

0,9198

0,7738

3,9798×10

2,57

Tabela 4.12: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 200 barras.



NIO

NAFA

Variáveis de projeto

NISAO

Flexibilidade

Tempo

kN.cm

0,1125

0,3833

1,4439

1,0560×10

3,27

0,1126

0,3834

1,4439

1,0560×10

3,18

0,1121

0,3838

1,4438

1,0560×10

2,98

0,1121

0,3838

1,4438

1,0560×10

3,05

100

0,1121

0,3838

1,4438

1,0560×10

3,06

Tabela 4.13: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 940 barras.



NIO

NAFA

Variáveis de projeto

NISAO

Flexibilidade

Tempo

kN.cm

284

1,9086

0,1857

0,3049

1,4502×10

7,45

294

1,9083

0,1869

0,3052

1,4502×10

7,08

314

1,9088

0,1805

0,3047

1,4502×10

7,08

112

341

1,9088

0,1805

0,3047

1,4502×10

7,23

100

112

341

1,9088

0,1805

0,3047

1,4502×10

7,37

As seguintes conclusões podem ser obtidas ao analisar os resultados apresentados na

Tabela 4.9 à Tabela 4.13.

 O tempo computacional foi reduzido com um fator entre 1.36 a 2.84 ao se utilizar

a estratégia SAO, exceto para o caso da treliça com 10 barras que teve um

acréscimo no tempo. O mesmo é considerado problema pequeno, o qual não se

justifica o uso de modelos substitutos;

 No caso da otimização utilizando a estratégia SAO_T, o NAFR é o número de

iterações do SAO onde se percebe ao longo da Tabela 4.10 à Tabela 4.13 que o

máximo valor de NAFR foi 13, para o caso da treliça de 940 barras (vide Tabela

Página 69

4.13) que representa uma redução de 3,2 vezes o número de avaliações requeridas

via o modelo real (Tabela 4.9).

 O NAFA é muito maior que o NAFR, no entanto o custo computacional para a

avaliação da função aproximada é muito menor do que para a função real;

 Para um tamanho inicial pequeno da região de confiança, um número maior de

iterações do SAO foi necessário. Em todos os casos o tamanho de 10% mostrou-se

ideal;

 O erro máximo da função objetivo entre todos ficou em torno de 0,034%;

 O erro máximo na variável de projeto ficou em torno de 9,9% para o caso da

treliça com 940 barras e tamanho inicial da RC igual a 1%. No entanto, o mesmo

pode ser reduzido se a tolerância da estratégia SAO, definida pela Equação (3.49),

for reduzida para



, por exemplo;

A Figura 4.3 mostra o histórico das iterações da estratégia SAO para todas as treliças

aqui investigadas, onde os diferentes valores do tamanho inicial da RC foram avaliados. O

eixo das ordenadas representa à flexibilidade e o das abscissas o número de iteração. Pode-se

perceber um comportamento assintótico dos gráficos próximo ao ponto ótimo. Percebe-se

também, com mais clareza, a convergência mais rápida para o tamanho inicial de 10% da RC.

Para os problemas investigados, os resultados para os tamanhos 50% e 100% coincidiram

com o de 10%.

Página 70

(a) 10 Barras

(b) 64 Barras

(d) 940 Barras

Figura 4.3: Histórico das iterações considerando a estratégia SAO.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.9

0.95

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

x 10

Iteração

Flexibilidade [kN.cm]

100%

50%

10%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

3.97

3.98

3.99

4.01

4.02

4.03

4.04

4.05

4.06

4.07

x 10

Iteração

Flexibilidade [kN.cm]

100%

50%

10%

0 1 2 3 4 5

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

x 10

Iteração

Flexibilidade [kN.cm]

100%

50%

10%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

x 10

Iteração

Flexibilidade [kN.cm]

100%

50%

10%

Página 71

4.3 Definição do Problema da Coberta Treliçada

A coberta treliçada quadrada mostrada na Figura 4.4, com as respectivas dimensões

l 

1,3d 

metros, foi o exemplo considerado para avaliar as diversas

estratégias de aproximações aliadas à técnica de otimização. A treliça espacial contém 2048

barras distribuídas a partir de 16 cordas espaçadas por 1,5 metros em ambas as direções

 

, formando então o banzo superior com 544 barras. O banzo inferior contém 15 cordas

espaçadas a 1.5 metros, totalizando 480 barras. A ligação entre ambos os banzos é realizada a

partir de 4 barras diagonais, com comprimento de 1.68 metros, ligadas em cada nó do banzo

inferior e conectadas a 4 distintos nós do banzo superior, totalizando 1024 barras.

Figura 4.4: Modelo da coberta treliçada.

As barras são feitas de aço com o módulo de elasticidade igual a 210 GPa. Um

carregamento típico de telhado igual a 0,80 kN/m

foi aplicado na mesma, sendo este

concentrado em cada nó do banzo superior de acordo com a área de influência de cada nó, ou

seja, uma carga concentrada de 1.8 kN é aplicada em cada nó superior da treliça. O peso

próprio das barras foi incluído na carga distribuída aplicada, esta hipótese é prática comum

em projeto de treliças.

Na Figura 4.4, os círculos pretos representam os nós onde o deslocamento vertical foi

restringido. Para eliminar o movimento de corpo rígido, condições de contorno extras foram

adicionadas, ou seja, a direção em que os triângulos são apresentados na Figura 4.4, indica a

direção na qual os nós foram restritos, isto é, 1 na direção

e 2 na direção

Página 72

A área da seção transversal das barras do banzo superior foi igual a

, 3,9973 cm

tx ty

AA

e a área da seção transversal das barras do banzo inferior e diagonais foi

igual a 75% da área do banzo superior. Esta redução da seção transversal se deve ao fato de

que as barras submetidas à compressão tendem ser mais pesadas que aquelas submetidas à

tração, ou seja, para eliminar o efeito de flambagem local das barras, as mesmas têm

geralmente uma seção transversal maior.

Por motivos apontados previamente, o parâmetro escolhido para a formulação do

problema de otimização será a flexibilidade estrutural como função objetivo e o volume

inicial da estrutura como função restrição constante. Duas variáveis de projeto

 

,xx

foram

consideradas e podem ser facilmente identificadas na Figura 4.5. Os limites inferiores e

superiores para ambas as variáveis serão

2 , 15 cmxx

Figura 4.5: Agrupamento das variáveis de projeto para o modelo de treliça espacial.

O agrupamento das variáveis de projeto é prática comum em estudo de otimização,

uma vez que o mesmo reduz o número de incógnitas e também dá um caráter mais realista e

prático ao resultado obtido, uma vez que projetar e/ou montar uma treliça com 2048 barras

diferentes será muito mais complexo e demandará um maior tempo do que uma com apenas 4

possíveis áreas de seções transversal diferentes.

A Tabela 4.14 mostra os resultados referentes à flexibilidade estrutural, volume e

deslocamento máximo no ponto central da treliça, calculados em dois pontos diferentes do

espaço de projeto, o primeiro foi o ponto inicial de projeto

 

3,9973 cmxx

e o

Página 73

segundo foi arbitrariamente escolhido no espaço de projeto

 

3,9973, 5,8249 cmxx

. A

análise estrutural foi conduzida a partir do método convencional (MEF).

Tabela 4.14: Resultados da análise estrutural da treliça via MEF

Projeto

Flexibilidade

Volume

Deslocamento

kN.cm

Inicial

1039,1732

1057100,71

5,2688

Arbitrário

907,7085

1092465,19

4,4269

A Figura 4.6 mostra graficamente à função da flexibilidade estrutural do modelo de

treliça espacial plotados em uma superfície tridimensional e em curvas de níveis.

(a) Superfície de resposta

(b) Curvas de níveis

Figura 4.6: Representação gráfica da flexibilidade estrutural da treliça espacial.

Antes de proceder com a otimização estrutural propriamente dista, foi decidido estudar

a precisão dos dois modelos globais propostos.

4.3.1 Estudo da Precisão dos Metamodelos

Dois modelos propostos para substituir a treliça espacial mostrada anteriormente serão

aqui avaliados quanto à precisão dos mesmos com relação ao ponto inicial de projeto. Os

modelos aqui avaliados serão o modelo de grelha equivalente, o modelo global de krigagem e

o modelo de grelha adicionado o termo de correção.

4.3.1.1 Modelo de Grelha Equivalente

A Figura 4.7 mostra a grelha utilizada para substituir a treliça espacial. Pode-se

perceber que o número total de elementos foi drasticamente reduzido para apenas 144

comparados com 2048 da treliça. As cordas das grelhas são espaçadas com 3 metros em

ambas as direções

 

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Página 74

Figura 4.7: Modelo equivalente de grelha.

O carregamento aplicado segue o mesmo critério definido para o modelo treliçado,

sendo assim uma carga concentrada de 7,2 kN é aplicada em cada nó da grelha. As mesmas

condições de contorno são também adotadas. O momento de inércia a flexão e a torção e as

áreas dos elementos são definidos segundo a Equação (3.21) e (3.22) apresentado

anteriormente na Seção 3.5.1.1 (Modelo de Grelha). Consequentemente, as propriedades

geométricas no ponto inicial de projeto serão iguais a:

57903,75 in

II

JJ

13,9906 in

gx gy

AA

As variáveis de projeto foram definidas seguindo o mesmo procedimento de

agrupamento adotado no modelo de treliça. A Figura 4.8 apresenta as 2 variáveis de projeto

 

,xx

assumidas durante o processo de otimização da grelha. Pode-se perceber que existe

uma região mista (azul claro) onde ambas as variáveis são definidas.

A Tabela 4.15 mostra a comparação do modelo proposto de grelha com relação aos

resultados obtidos a partir da análise estrutural da treliça. Os valores comparados são a

flexibilidade estrutural e o deslocamento máximo no ponto central de ambos os modelos. Dois

pontos equivalentes aos adotados na análise da treliça são considerados, onde o primeiro é

definido por

 

13.9906 cmxx

e o segundo é igual a

 

13.9906, 20.3872 cmxx

O método convencional (MEF) foi considerado para conduzir a análise estrutural.

Página 75

Figura 4.8: Agrupamento das variáveis de projeto para o modelo de grelha.

Tabela 4.15: Resultados da análise estrutural da grelha via MEF.

Ponto

Deslocamento

Flexibilidade

Treliça

Grelha

Erro

Treliça

Grelha

Erro

kN.cm

Inicial

5,2688

5,2414

0,52

1039,1732

1051,2515

0,82

Arbitrário

4,4269

4,3355

2,06

907, 7085

903,1144

0,49

Os resultados demonstram uma boa concordância do modelo substituto proposto com

o modelo real de treliça para os dois pontos investigados.

A Figura 4.9 mostra graficamente a função da flexibilidade estrutural do modelo de

grelha plotados em uma superfície tridimensional e em curvas de níveis.

Página 76

(a) Superfície de resposta

(b) Curvas de níveis

Figura 4.9: Representação gráfica da flexibilidade estrutural da grelha.

Comparando a Figura 4.6, na qual é plotada a flexibilidade da modelo real (treliça)

com a Figura 4.9, onde a flexibilidade da modelo substituto (grelha) pode-se perceber a

semelhança entre ambos os modelos. Contudo, a diferença entre o modelo proposto de grelha

e o modelo real de treliça é plotada na Figura 4.10.

(a) Superfície de resposta

(b) Curvas de níveis

Figura 4.10: Diferença da flexibilidade entre o modelo de treliça e o modelo de grelha.

Baseado nos resultados plotados acima, percebe-se claramente uma variação maior do

erro, entre os modelos, no ponto

 

2, 15xx

. O mesmo tem sua magnitude igual a

135.30 kN.cm, ou seja, uma diferença relativa de aproximadamente 10% na flexibilidade.

4.3.1.2 Modelo Global de Krigagem

A criação do modelo global de krigagem foi obtida através da biblioteca de krigagem

desenvolvida no ambiente MATLAB por Lophaven e outros (LOPHAVEN, NIELSEN e

SøNDERGAARD, 2002). O modelo por sua vez requer alguns parâmetros de entradas

intrínsecos para a sua criação.

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

-20

100

120

Página 77

O estudo para a obtenção do melhor modelo de krigagem é realizado assumindo os

seguintes parâmetros:

 Duas ordens do polinômio de regressão são assumidas, ou seja, o polinômio

constante ou de ordem zero (Reg0) e polinômio quadrático (Reg2);

 Duas amostras com 25 pontos obtidos através de dois distintos planos de

amostragem, sendo eles do tipo vetor ortogonal (OA) e hipercubo latino (LHS).

Para o caso da amostra LHS, será necessário encontrar uma amostra com o menor

valor de



definido segundo a Equação (3.2) que descrito anteriormente na Seção

3.3.2 (Amostra do Tipo Hipercubo Latino);

 Dois parâmetros distintos de correlação



serão considerados, ou seja,









. A determinação de



é determinada a partir da estimativa da máxima

verossimilhança que é a solução de problema de otimização de

dimensões

(KEANE e NAIR, 2005); (FORRESTER, SOBESTER e KEANE, 2008).

Portanto um total de 8 modelos diferentes de krigagem serão criados e avaliados de

modo a obter a combinação de tais parâmetros que gerem o modelo mais adequado para

substituir o modelo real de treliça.

Outro parâmetro de grande importância é a escolha da função de correlação, no

entanto em estudos realizados por Afonso e outros (AFONSO, HOROWITZ, et al., 2006),

com contribuições do autor, foi concluído que para o problema aqui considerado, a melhor

função de correlação é a do tipo Gaussiana, sendo esta aqui empregada.

A Tabela 4.16 compara o resultado da função real (treliça) no ponto inicial de projeto

 

3.9973 cmxx

com os valores estimados segundo os 8 diferentes modelos de

krigagem.

Tabela 4.16: Comparação da flexibilidade no ponto inicial de projeto.

Ordem da

regressão

Parâmetro de

correlação

Plano de amostragem

Ortogonal

LHS





20,38%

4,68%





7,95%

0,78%





10,17%

2,08%





8,16%

2,07%

Nos resultados apresentados na Tabela 4.16 nota-se claramente que o plano de

amostragem do tipo LHS com ordem de regressão zero e o parâmetro de correlação obtido

através da estimativa do procedimento de otimização foi à melhor combinação de parâmetros.

Página 78

Resultando em um erro 0.78% na flexibilidade calculada pelo modelo real (treliça) e

comparada com o estimado pelo modelo substituto (krigagem). Contudo apenas um ponto foi

aqui avaliado (avaliação local) e consequentemente se faz necessário avaliar o modelo de

krigagem em todo o espaço de projeto (avaliação global).

Portanto, com o intuito de avaliar os modelos de krigagem de forma global, os

métodos de avaliação RMSE e PRESS discutidos previamente na Seção 3.6 (Métodos de

Avaliação da Precisão) foram considerados. Para o cálculo do RMSE, se faz necessário

utilizar o modelo criado para estimar o valor da função fora dos pontos da amostra. Sendo

assim, foi considerada uma nuvem com 121 (11×11) pontos ortogonais entre se e contidos

dentro do espaço de projeto para o cálculo do mesmo. Para o cálculo do PRESS, optou-se por

modificar a Equação (3.37) previamente definida de forma a normalizar o resultado obtido, tal

modificação foi necessária devido à ordem de grandeza da função de flexibilidade estrutural,

sendo assim a nova expressão para o calculo do PRESS é definida por:

PRESS















(4.1)

onde

é o valor médio da função real nos 25 pontos da amostra que por sua vez é constante

e independente do modelo de krigagem considerado e consequentemente não influenciará o

resultado final.

A Tabela 4.17 apresenta os valores quantitativos obtidos através dos métodos de

avaliação (RMSE e

PRESS

). A partir dos mesmos, é possível avaliar com mais precisão qual

dos modelos de krigagem é o mais adequado para substituir o modelo real de treliça.

Tabela 4.17: Medida quantitativa dos modelos de krigagem.

Ordem da

regressão

Parâmetro de

correlação

Ortogonal

LHS

RMSE

PRESS

RMSE

PRESS





71,76

1,0304

99,42

1,4544





32,35

0,0367

44,32

0,0389





40,13

0,1509

57,05

0,2296





33,11

0,0715

59,56

0,1014

Baseados nos resultados apresentado na Tabela 4.17, pode-se concluir que a melhor

combinação de parâmetros para criação do modelo de krigagem é: regressão de ordem zero,

parâmetro de correlação igual à



e o plano de amostragem do tipo vetor ortogonal (OA)

seguido pelo plano de amostragem do tipo LHS.

No entanto algumas observações devem ser apontadas, sendo elas:

Página 79

 Para o cálculo de RMSE, a amostra de 11×11 pontos adotada contém 9 pontos que

coincidem com os da amostra ortogonal de 25 pontos;

 Na amostra do tipo LHS, os pontos localizados nos quatro vértices do espaço de

projeto não são inclusos, em particular no ponto

 

2,2

onde a flexibilidade é

máxima o modelo não pode estimar precisamente o valor.

Tais observações podem ser facilmente visualizadas na Figura 4.11 e Figura 4.12, nas

quais são plotadas respectivamente as superfícies de resposta e as curvas de níveis da função

flexibilidade em função do tipo de amostragem. Deste modo foi possível determinar a

influência dos dois planos de amostragem (OA e LHS) considerados, onde para cada um deles

a melhor combinação de parâmetros apresentados na Tabela 4.17 são assumidos, ou seja,

polinômio de regressão zero (Reg0), parâmetro da função de correlação



e função de

correlação Gaussiana.

(a) Amostra OA + Reg0 +



(b) Amostra LHS + Reg0 +



Figura 4.11: Superfície de resposta da flexibilidade estrutural via krigagem.

As curvais de níveis são plotadas na Figura 4.12 a seguir.

Página 80

(a) Amostra OA + Reg0 +



(b) Amostra LHS + Reg0 +



Figura 4.12: Curvas de níveis da flexibilidade estrutural via krigagem.

Percebe-se claramente que o ponto de máxima flexibilidade referente ao ponto

 

2,2

está presente na Figura 4.12 (a), e ausente em (b). Contudo comparando a parte central da

Figura 4.12 (a) e (b) com as curvas de níveis da flexibilidade da treliça plotadas na Figura 4.6

(b), percebe-se uma melhor concordância do modelo de krigagem considerando a amostra do

tipo LHS.

Devido a este comportamento foi decido em adicionar manualmente os 4 pontos

localizados nos vértices do espaço de projeto, ou seja, os pontos

 

2,2

 

2,15

 

15,2

 

15,15

foram adicionados a uma nova amostra do tipo LHS contendo 21 pontos que por sua

vez seguiu o mesmo critério definido segundo a Equação (3.2) e doravante definida como

LHS+.

A partir dessa amostra foi criado um novo metamodelo considerando a metodologia de

krigagem, onde os melhores parâmetros de entrada, tais como: polinômio de regressão zero

(Reg0), parâmetro da função de correlação



e função de correlação Gaussiana foram

assumidos. O comportamento do novo modelo criado está apresentado na Figura 4.13, onde

pode ser observado que o novo modelo considerando a nova amostra (LHS+) capturou melhor

a tendência global da função real (Figura 4.6) do que os anteriormente apresentados (Figura

4.11 e Figura 4.12). Por conseguinte este será o modelo via krigagem adotado nos estudos de

otimização.

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Página 81

(a) Superfície de reposta

(b) Curvas de nívies

Figura 4.13: Flexibilidade estrutural via krigagem considerando amostra LHS+.

De modo a comparar globalmente ambas as técnicas de ajustamentos de pontos, isto é,

método dos mínimos quarados (MMQ) e krigagem, foi decidido criar uma superfície de

resposta a partir da amostra LHS+. A Figura 4.14 mostra o resultado obtido a partir da técnica

de ajustamento de pontos via MMQ.

(a) Superfície de reposta

(b) Curvas de nívies

Figura 4.14: Flexibilidade estrutural via MMQ considerando amostra LHS+.

Pode ser percebido claramente que o modelo aproximado via MMQ não foi capaz de

prever o ponto de máxima flexibilidade localizado no ponto

 

2,2

, apesar da utilização de

uma amostra (LHS+) que contêm os 4 pontos nos vértices. Outra observação seria a ausência

de uma região praticamente plana e descendente entorno do ponto

 

15,15

, onde a

flexibilidade estrutural tem o seu valor mínimo.

A Tabela 4.18 mostra os resultados de uma segunda comparação realizada, onde os

dois métodos de avaliação (RMSE e PRESS) foram calculados para ambos os modelos.

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Página 82

Tabela 4.18: Comparação das técnicas de ajustamento de pontos.

Técnica

Ordem da

regressão

Parâmetro de

correlação

LHS+

RMSE

PRESS

Kriging





46,04

0,1786

MMQ

86,86

1,2688

Os resultados apresentados demonstram claramente a grande vantagem do modelo de

krigagem em relação ao tradicional modelo da superfície de resposta através do MMQ.

4.3.1.3 Modelo de Grelha com Correção

Baseado nos resultados apresentados nas seções anteriores os quais comparam o

modelo real (treliça) e os metamodelos (modelo proposto de grelha e modelo global de

krigagem) foi possível observar uma boa concordância dos modelos. Contudo, a diferença

entre os modelos já era esperada, uma vez que os mesmos são aproximações do modelo real.

A metodologia proposta por Eldred e outros (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004) e

discutida anteriormente na Seção 3.7.1 (Correção Baseada no Modelo de Krigagem) será aqui

adotada de modo a criar um metamodelo corrigido, o qual combinará ambas as técnicas de

aproximações.

O metamodelo será criado a partir do modelo de grelha (barato computacionalmente) e

corrigido através do modelo global de krigagem. Os parâmetros intrínsecos ao modelo de

krigagem serão mais uma vez avaliados de modo a verificar qual deles melhor se adéqua ao

problema proposto. Contudo, o modelo do erro será criado a parir da diferença (correção

aditiva) ou da razão (correção multiplicativa) entre o modelo aproximado (grelha) e o modelo

real (treliça).

Os resultados apresentados na Tabela 4.19 comparam relativamente o modelo real de

treliça com o modelo de grelha corrigido calculado no ponto inicial de projeto.

Tabela 4.19: Comparação da flexibilidade no ponto inicial de projeto.

Ordem da

regressão

Parâmetro de

correlação

Plano de amostragem

LHS

LHS+

LHS

LHS+

Aditiva

Multiplicativa





0.87%

0.08%

0.75%

0.57%

0.12%

0.48%





1.13%

0.30%

0.60%

0.49%

0.02%

0.20%





1.05%

0.07%

0.76%

0.67%

0.12%

0.45%





1.19%

0.45%

1.02%

0.60%

0.07%

0.70%

Comparando os resultados apresentado com os da Tabela 4.16, podemos notar

claramente uma grande melhoria em todas as estratégias. Uma melhoria ainda mais expressiva

Página 83

é observada nos modelo de krigagem criados a partir da amostra do tipo ortogonal e com o

parâmetro de correlação





Os métodos de avaliação RMSE e

PRESS

, mais uma vez foram considerados de

modo a quantificar a precisão dos metamodelos criados. Os resultados da quantificação do

metamodelos são apresentados na Tabela 4.20 e Tabela 4.21 a seguir, onde o modelo de

grelha é corrigido com um termo aditivo e multiplicativo. De onde é possível perceber uma

melhoria expressiva dos resultados quando comparados com os da Tabela 4.17.

Tabela 4.20: Medida quantitativa do modelo de grelha com correção aditiva.

Ordem da

regressão

Parâmetro de

correlação

LHS

LHS+

RMSE

PRESS

RMSE

PRESS

RMSE

PRESS





8.74

0.0088

11.71

0.0197

13.66

0.0177





8.54

0.0043

6.60

0.0143

8.43

0.0122





6.70

0.0076

9.47

0.0066

10.32

0.0099





7.46

0.0083

10.21

0.0075

10.75

0.0139

Para a correção aditiva, os parâmetros Reg0 +



+ amostra LHS é considerado a

melhor combinação de parâmetros segundo um RMSE = 6.60. No entanto os parâmetros

Reg0 +



+ amostra ortogonal é a melhor combinação resultando num

PRESS

= 0.0043.

Tabela 4.21: Medida quantitativa do modelo de grelha com correção multiplicativa

Ordem da

regressão

Parâmetro de

correlação

LHS

LHS+

RMSE

PRESS

RMSE

PRESS

RMSE

PRESS





3.71

0.0063

8.31

0.0117

7.83

0.0101





1.91

0.0015

2.87

0.0022

3.15

0.0039





2.59

0.0073

6.31

0.0011

4.89

0.0058





2.27

0.0039

7.04

0.0005

5.91

0.0058

Para a correção multiplicativa, os parâmetros Reg0 +



+ amostra ortogonal é

considerado a melhor combinação de parâmetros segundo um RMSE = 1.91. No entanto os

parâmetros Reg2 +



+ amostra LHS é a melhor combinação resultando num

PRESS

0.0005.

Na Figura 4.15 e Figura 4.16 são apresentadas as curvas de níveis da diferença da

flexibilidade estrutural entre o modelo real de treliça e o modelo de grelha corrigido a partir

das quatro melhores combinações destacadas anteriormente. O erro máximo quer era de 135

kN.cm (10%) (ver Figura 4.10) foi reduzida para apenas 44 kN.cm (3%).

Página 84

(a) Reg0 +





+ amostra OA

(b) Reg0 +





+ amostra LHS

Figura 4.15: Diferença da flexibilidade considerando a correção aditiva.

Pode ser observada também uma maior magnitude nas curvas de níveis que

consideram a amostra do tipo LHS, porém na região central do espaço de projeto, o erro é

uniforme e praticamente nulo.

(a) Reg0 +





+ amostra OA

(b) Reg2 +





+ amostra LHS

Figura 4.16: Diferença da flexibilidade considerando a correção multiplicativa.

Baseando-se nos resultados apresentados é possível perceber a viabilidade da correção

do metamodelo na substituição do modelo de treliça.

A seguir serão apresentados e discutidos os resultados referentes à otimização

estrutural.

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

-30

-25

-20

-15

-10

-5

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

-15

-10

-5

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

-40

-30

-20

-10

Página 85

4.3.2 Estudo da Otimização dos Metamodelos

A Tabela 4.22 apresenta as estratégias adotadas durante a otimização estrutural do

telhado treliçado.

Tabela 4.22: Estratégias adotadas para comparação no processo de otimização.

Sigla

Descrição

Modelo real

MEF

Treliça espacial através método convencional (MEF);

Global

GRE

Analogia de Grelha sem correção;

GRE_K_A

Analogia de Grelha com correção Aditiva via Krigagem;

GRE_K_M

Analogia de Grelha com correção Multiplicativa via Krigagem;

KRIG

Modelo global de krigagem;

Local

SAO_T

Função aproximada por série de Taylor considerando a estratégia SAO;

SAO_SR

Função aproximada por ajustamento de ponto (Superfície de Resposta)

considerando a estratégia SAO;

SAO_T_C1_A

Analogia de Grelha aliadas a estratégias SAO com correção Aditiva via

série de Taylor e consistência

;

SAO_T_C1_M

Analogia de Grelha aliadas a estratégias SAO com correção Multiplicativa

via série de Taylor e consistência

;

SAO_T_C2_A

Analogia de Grelha aliadas a estratégias SAO com correção Aditiva via

série de Taylor e consistência

;

SAO_T_C2_M

Analogia de Grelha aliadas a estratégias SAO com correção Multiplicativa

via série de Taylor e consistência

;

SAO_K_A

Analogia de Grelha aliadas a estratégias SAO com correção Aditiva via

Krigagem;

SAO_K_M

Analogia de Grelha aliadas a estratégias SAO com correção Multiplicativa

via Krigagem;

Os valores principais da análise estrutural do telhado treliçado com relação ao ponto

inicial de projeto é apresentado na Tabela 4.23.

Página 86

Tabela 4.23: Resultados da análise estrutural da treliça via MEF.

Projeto

Flexibilidade

Volume

kN.cm

No ponto inicial

1039.17

1092465.19

A comparação dos resultados de todas as estratégias de aproximação aplicadas ao

processo de otimização é resumido segundo a Tabela 4.24.

Tabela 4.24: Resultados da otimização estrutural

Método

Erro

Flexibilidade

Erro

NAFR

Tempo

kN.cm

MEF

3,4142

11,3833

850,0917

23,73

Global

GRE

3,2452

4,95

13,5235

18,80

796,6321

6,289

●

0,79

GRE_K_A

3,4301

0,47

11,1823

1,77

841,8785

0,966

24,72

♠

GRE_K_M

3,4227

0,25

11,2749

0,95

848,0865

0,236

24,80

♠

KRIG

3,4235

0,27

11,2654

1,27

832,5618

2,061

24,81

♠

Local

SAO_T

3,4169

0,08

11,3675

0,14

850,1600

0,008

♣

12,59

SAO_SR

3,4174

0,09

11,3429

0,35

850,0804

0,001

8(×9)

89,17

♦

SAO_T_C1_A

3,4165

0,07

11,3545

0,25

850,1105

0,002

♣

16,51

SAO_T_C1_M

3,4168

0,08

11,3501

0,29

850,1102

0,002

♣

17,78

SAO_T_C2_A

3,4141

0,00

11,3844

0,01

850,0920

0,000

■

38,18

SAO_T_C2_M

3,4168

0,08

11,3501

0,29

850,1102

0,002

■

43,40

SAO_K_A

3,4136

0,02

11,3907

0,07

850,0914

0,000

7(×6)

58,47

♥

SAO_K_M

3,4189

0,14

11,3236

0,52

850,1058

0,002

6(×6)

48,60

♥

● Número de Avaliações da Função Aproximada (grelha);

♣ Número de Avaliações da Função Real e Aproximada e suas

respectivas derivadas;

■ Número de Avaliações da Função Real e Aproximada e suas

respectivas derivadas e Hessiana;

♠ Tempo para gerar a amostra com 25 pontos igual a 23.72 s

♦ Tempo médio para gerar cada amostra com 9 pontos igual a 8.94 s

♥ Tempo médio para gerar cada amostra com 6 pontos igual a 6.02 s

Alguns comentários importantes baseado nos resultados apresentados acima são

apresentados a seguir:

 Todas as estratégias encontram um ponto de ótimo semelhante ao encontrado

através do método convencional (MEF), no entanto as estratégias GRE, SAO_T,

SAO_T_C1_A e SAO_T_C1_M demandaram um menor tempo;

 O modelo substituto baseado na analogia de grelha (GRE) provou-se capaz de

reproduzir uma boa solução com erro aceitável na função objetivo de 6.3%. Porém

Página 87

a variável de projeto

teve um erro elevado de 18,8%. O mesmo pode ser

explicado segundo a Figura 4.18. Contudo a correção global do mesmo através do

modelo de krigagem (GRE_K_A ou M) melhorou enormemente o resultado,

porem com um custo computacional elevado;

 De modo geral, a estratégia SAO_T além de manter uma boa precisão também

requereu o menor tempo durante a otimização. A mesma considera a aproximação

recíproca associada à estratégia SAO com consistência

;

 O modelo de grelha corrigido localmente através da série de Taylor

(SAO_T_C1_A e M) teve uma boa performance com um ligeira diferença no

tempo requerido para a correção multiplicativa;

 A estratégia com consistência

(SAO_T_C2_A) foi à estratégia mais precisa.

Percebe-se que apenas 4 avaliações da função, gradientes e Hessianas da real

foram necessárias. Porém a estratégia tornou-se cara computacionalmente devido

ao método das diferenças finitas utilizado no cálculo das Hessianas. Similarmente

a correção

, a correção multiplicativa requereu um maior tempo.

 A estratégia baseada no ajustamento de pontos (SAO_SR, KRIG) requereu um

maior tempo ao serem comparadas com a SAO_T. Porém a mesma é uma ótima

escolha quando os gradientes da função real não estão disponíveis e/ou a mesma

tem um comportamento oscilatório (não-suave);

 O modelo de krigagem (KRIG) é geralmente a melhor escolha para aproximar

globalmente os problemas de engenharia (GIUNTA e WATSON, 1998) uma vez

que o mesmo é capaz de prever as tendências da função real com um número

mínimo de pontos.

 O modelo de grelha corrigido com modelo de krigagem (SAO_K_A e SAO_K_M)

e associado à estratégia SAO teve um desempenho melhor do que a estratégia

SAO_SR que além de considera um polinômio de ordem quadrática, também

utiliza um número maior de pontos.

A Figura 4.17 compara a evolução do esquema da região de confiança para as

estratégias SAO_T_C1_A e SAO_T_C2_A. Os pontos pretos indicam o centro de cada sub-

região, e as linhas na cor branca, tons de cinza e preta representam os limites de cada sub-

região.

Página 88

(a) SAO_T_C1_A

(b) SAO_T_C2_A

Figura 4.17: Histórico da evolução da região de confiança para a estratégias SAO_T

Na Figura 4.18 é plotado a flexibilidade estrutural versus cada variável de projeto

independentemente, porém mantendo o volume constante. Percebe-se claramente que a figura

que considera a variável

tem um ponto de mínimo mais bem definido do que o da variável

. Tal observação explica então a dificuldade do modelo proposto de grelha para encontra o

ponto de ótimo na variável

(a) Variação da variável de projeto

(b) Variação da variável de projeto

Figura 4.18: Gráfico da flexibilidade versus as variáveis de projeto a volume constante.

A Figura 4.19 compara as evoluções do esquema da região de confiança para as

estratégias SAO_SR e SAO_K_M. Percebe claramente que a estratégia SAO_K_M requereu

menos iterações apesar de utilizar uma amostra com um menor número de pontos (6).

2 4 6 8 10 12 14

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2 4 6 8 10 12 14

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2 4 6 8 10 12 14

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

X: 3.41

Y: 850.1

x1 [cm

]

Flexibilidade [kN.cm]

2 4 6 8 10 12 14

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

X: 11.38

Y: 850.1

x2 [cm

]

Flexibilidade [kN.cm]

Página 89

(a) SAO_SR

(b) SAO_K_M

Figura 4.19: Histórico da evolução da região de confiança.

A Figura 4.20 mostra o histórico das iterações de três distintas estratégias de

aproximação que considera o esquema SAO.

Figura 4.20: Histórico das iterações de três distintas estratégias SAO.

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2 4 6 8 10 12 14

x1 [cm

]

x2 [cm

]

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

840

860

880

900

920

940

960

980

1000

1020

1040

Iteração

Flexibilidade [kN.cm]

SAO_T

SAO_K_M

SAO_SR

Página 90

Capítulo 5 - Conclusões

5.1 Realizações

O presente trabalho teve como objetivo apresentar as diversas estratégias de

aproximação as quais podem ser utilizadas no procedimento de otimização. Os diversos

tópicos tratados nesta dissertação foram investigados com o intuito de desenvolver uma

ferramenta versátil e confiável. Vários códigos foram criados considerando diversos aspectos

dentro da teoria de aproximações de funções.

A primeira fase dos estudos foi concluída a partir da resolução de problemas de

otimização bidimensionais de treliças bastante estudados na literatura consultada. As mesmas

foram otimizadas através do método convencional de elementos finitos e posteriormente

comparadas com os resultados obtidos através da estratégia de otimização sequencial

aproximada. As funções polinomiais baseada na série de Taylor de primeira ordem foram

utilizadas para substituir a função real. O esquema da região de confiança foi considerado de

modo a atualizar o tamanho das sub-regiões para cada iteração.

A segunda fase dos estudos focalizou no problema real de uma coberta treliçada.

Primeiramente a treliça espacial foi analisada e os resultados comparados com os obtidos

através dos diversos metamodelos. Duas técnicas de amostragem e alguns parâmetros,

intrínsecos ao modelo de krigagem, foram também avaliados. Posteriormente, a otimização

estrutural foi conduzida a partir da consideração de diversas técnicas de aproximações locais e

globais. Métodos de correção para o modelo proposto de grelha foram também analisados. O

desempenho das estratégias consideradas foi comparado aos obtidos através do método

convencional via MEF.

A seguir são rapidamente descritos os códigos implementados e suas propriedades.

OPTRUSS_SAO: Este código foi implementado a partir das modificações realizadas

no código OPTRUSS anteriormente programado por Afonso e Horowitz (1998). As

modificações realizadas incluem: a programação das funções aproximadas baseadas na série

de Taylor de primeira ordem, a programação da estratégia SAO juntamente com o esquema da

região de confiança, os critérios de convergência e a imposição da consistência. O código em

seguida foi utilizado para estudar alguns exemplos clássicos literatura consultada com os

diferentes níveis de complexidade;

Página 91

OPTROOF: Esta implementação foi conduzida para analisar e otimizar a coberta

treliçada através do métodos convencional de elementos finitos. Este código foi criado a partir

da modificação do OPTTRUS_3D que considerada as treliças especiais. Duas novas versões

chamadas de OPTROOF_SAO_T e OPTROOF_SAO_RS foram implementadas a partir do

OPTROOF, que similarmente ao OPTRUSS_SAO, considera os aspectos computacionais da

estratégia SAO. Contudo, a diferença entre os códigos está no tipo da função aproximada

considerada, ou seja, o termo “T” refere-se às aproximações por série de Taylor e o termo

“RS” refere-se às aproximações pela superfície de resposta que são baseadas na técnica de

ajustamento de pontos através do método dos mínimos quadrados.

OPTGRID: Este código realiza a análise e otimização de grelhas planas e foi

concebido a partir de algumas modificações realizadas no código OPTFRAME que

considerada a resolução de pórticos planos. Um novo código foi criado e denominado de

OPTGRID_CORR_KRIG a partir das implementações das correções aditivas e/ou

multiplicativas do tipo global via o modelo de krigagem. Além dessa, duas novas versões

chamadas de OPTGRID_SAO_CORR_T e OPTGRID_SAO_CORR_KRIG foram

implementadas, onde em ambas os aspectos computacionais da estratégia SAO são

considerados. A diferença, portanto entre os códigos está no tipo de função aproximada

utilizada no modelo de correção, ou seja, o termo “T” indica que a correção aditiva ou

multiplicativa é construída em função dos 3 (três) níveis de consistência

 

0 1 2

,,C C C

criados

a partir da consideração ou não dos termos da série de Taylor. Por outro lado, o termo

“KRIG” refere-se à correção aditiva ou multiplicativa criada a partir do modelo de krigagem.

5.2 Conclusões Gerais

Neste trabalho, vários exemplos foram analisados, e com os resultados obtidos pode-

se chegar às seguintes conclusões a respeito da utilização de estratégicas de aproximação

associadas à técnica de otimização:

 Todas as estratégias aproximadas encontram um ponto de ótimo semelhante ao

encontrado através do método convencional (MEF), resultando então na

verificação dos códigos computacionais implementados;

 A estratégia SAO_T além de manter uma boa precisão também reduziu o tempo de

otimização em aproximadamente 50%, a mesma é também considerada como a

melhor estratégia de aproximação local dentre as investigadas;

Página 92

 O modelo proposto de grelha é considerado um bom metamodelo da treliça

espacial. O mesmo foi 30 vezes mais rápido do que a otimização do modelo de

treliça. Devido a este fato, o modelo aproximado pode ser utilizado como uma

estimativa inicial de modo a determinar a viabilidade ou não da otimização da

treliça (caro computacionalmente);

 A estratégia híbrida que combina a aproximação global via o modelo de grelha

proposto corrigido através da aproximação local via série de Taylor teve a segunda

melhor performance com relação as estratégias. A mesma reduziu o tempo em

30%;

 A inclusão do termo quadrático na função aproximada do erro resultou na solução

mais precisa, porém o mesmo se tornou caro computacionalmente uma vez que a

determinação numérica da Hessiana demanda um grande processamento

computacional;

 A estratégia baseada na técnica de ajustamento de pontos é uma ótima escolha

quando os gradientes da função real (caros computacionalmente) não estão

disponíveis e/ou a mesma tem um comportamento oscilatório (não-suave). Tal

estratégia oferece ainda a possibilidade de ser facilmente paralelizado, o que

reduziria o tempo de obtenção da amostra.

 O modelo de krigagem foi capaz de prever com precisão o comportamento da

função real da flexibilidade estrutural da treliça. Por outro lado, o modelo da

superfície de resposta de ordem quadrático criado através do método dos mínimos

quadrados não teve um bom desempenho. Tal observação corrobora com

recomendações da literatura.

5.1 Sugestões para Trabalhos Futuros

Este trabalho constitui estudos preliminares de diversas estratégias de aproximação.

Portanto tomando como ponto de partida os resultados obtidos e apresentados nesta

dissertação, alguns estudos com o intuito de melhorar o desempenho das estratégias

aproximadas, são sugeridos os seguintes tópicos para trabalhos futuros:

 Considerar outras funções de aproximações baseadas ou não na série de Taylor

(BARTHELEMY e HAFTKA, 1993);

 Desenvolver e implementar um código híbrido para a solução de coberta treliçada,

o qual combinaria o modelo proposto de grelha para obter uma resposta

Página 93

aproximada do ponto de ótimo e posteriormente seria utilizado o método

convencional para refinar o valor ótimo encontrado.

 Aplicação das estratégias em outros problemas da engenharia que considerem

diferentes tipos de análises, tais como a de vibrações livres (carregamento

dinâmico) e de flambagem elástica (instabilidade local);

 Paralelizar a estratégia baseada na técnica de ajustamento de pontos possibilitando

assim a redução do tempo necessário para a geração da amostra. A consideração

de outros planos de amostra (LCVT, QMC, SRS, etc.) visando encontrar uma

amostra “perfeita” que seja obtida com o menor número de pontos, porém

mantendo uma boa precisão do metamodelo;

 Considerar diferentes parâmetros de otimização, ou seja, função objetivo e

restrições, e/ou aplicar as estratégias aproximadas para a otimização multiobjetivo;

 Aplicação das estratégias para otimização de problemas complexos da engenharia

que apresentam funções descontínuas e domínios discretos, tais como problemas

de otimização da produção de campos de petróleo (AFONSO, HOROWITZ e

WILLMERSDORF, 2008);

Página 94

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