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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
ANALITICIDADE, NA VARI
´
AVEL ESPACIAL,
DA SOLUC¸
˜
AO DO PROBLEMA DE CAUCHY
PARA A EQUAC¸
˜
AO DE KdV
M´arcio Lu´ıs Miotto
S˜ao Carlos – SP
Mar¸co de 2006
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE S
˜
AO CARLOS
CENTRO DE CI
ˆ
ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM MATEM
´
ATICA
Analiticidade, na vari´avel espacial, da solu¸c˜ao do
Problema de Cauchy para a equa¸c˜ao de KdV
M´arcio Lu´ıs Miotto
Orientador: Prof. Dr. Gerson Petronilho
Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa
de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da
UFSCar como parte dos requisitos pa-
ra a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em
Matem´atica.
S˜ao Carlos – SP
Mar¸co de 2006
ads:
Orientador
Prof. Dr. Gerson Petronilho
Banca Examinadora
Prof. Dr. Gerson Petronilho
Prof. Dr. Wagner Vieira Leite Nunes
Prof. Dr. Lu´ıs Antˆonio Carvalho dos Santos
Agradecimentos
A Deus, pela d´adiva da vida.
Aos meus pais, Anselmo e Lourdes, pela educa¸c˜ao, por todo amor, com-
preens˜ao, pelo constante incentivo e apoio. Vocˆes possuem grande parte do m´erito
desta conquista.
Ao Prof. Dr. Gerson Petronilho, pelos ensinamentos matem´aticos, bem
como por sua orienta¸c˜ao.
Aos meus irm˜aos, Eder e Anderson, bem como a Ana, pela for¸ca, paciˆencia,
pelo encorajamento e incentivo.
`
A minha noiva Ta´ısa, por todo amor, alegrias, pela paciˆencia, apoio, to-
lerˆancia, por sua inesgot´avel aten¸c˜ao e disposi¸c˜ao em me ajudar.
A todos os meus familiares. Em especial, ao “nono”Jos´e e a “nona”Teon´esta,
pela constante presen¸ca e apoio.
Aos professores do Departamento de Matem´atica da UFSCar, em especial
ao professor Lu´ıs, por todo o seu empenho e presteza em me auxiliar.
Aos amigos e professores da Universidade Federal do Paran´a e da CEU,
em especial ao professor Xavier, pelas oportunidades, por sua enorme aten¸c˜ao e
incentivo.
Aos amigos do DM, Ana Claudia, Angelo, Bruno, Claudete, Cristina, Elai-
ne, Elisa, Fab´ıolo, Fernanda, Francisco, Gustavo, Irma, Jacson, Jamil, Jo˜ao, M´arcia,
Paulo, Ricardo, Tiago.
A CAPES pelo apoio financeiro.
Resumo
Neste trabalho usamos estimativas bilineares e teorema do ponto fixo para
mostrar que a solu¸c˜ao do Problema de Cauchy para a equa¸c˜ao de Korteweg-de Vries,
com dado inicial anal´ıtico peri´odico, ´e anal´ıtica e peri´odica na vari´avel espacial.
Abstract
In this work we use bilinear estimates and point fix theorem to show that
the solution to the initial value problem for the Korteweg-de Vries equation with
analytic periodic initial data is analytic and periodic in the space variable.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 5
O Problema de Cauchy para a equa¸c˜ao de KdV 7
1.1 Infinitas equa¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Os Espa¸cos X
s
e Y
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 O espa¸co A(Y
s
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Apˆendice 26
2.1 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Referˆencias Bibliogr´aficas 50
Introdu¸c˜ao
O nosso trabalho baseia-se no artigo de Gorsky e Himonas [GH], o qual
apresenta um estudo sobre o Problema de Cauchy, com dado inicial peri´odico, para
a equa¸c˜ao de Korteweg-de Vries (KdV),
∂
t
u + ∂
3
x
u+
1
2
∂
x
(u
2
) = 0, x ∈ T, t ∈ IR, (1)
u(x, 0) = ϕ(x), ϕ ∈ C
ω
(T), ϕ(0) = 0, (2)
onde C
ω
(T) denota o conjunto das fun¸c˜oes anal´ıticas peri´odicas e ϕ denota o coefi-
ciente de Fourier de ϕ.
O nosso objetivo neste trabalho ´e demonstrar o seguinte resultado.
Teorema 1.1 A solu¸c˜ao u(·, t) do problema de valor inicial (1)–(2) pertence a
C
ω
(T), para t pr´oximo de 0.
A demonstra¸c˜ao deste resultado ser´a feita utilizando estimativas bilineares
e um teorema do ponto fixo.
Lembremos que o Teorema 1.1 foi primeiramente demonstrado por Trubowi-
tz [Tr] usando a t´ecnica do espalhamento. V´arios autores tˆem estudado a equa¸c˜ao
de KdV, dentre eles podemos citar Bourgain [B], Byers e Himonas [BH], Korteweg
e de Vries [KdV], Kenig, Ponce e Vega [KPV1], [KPV2], [KPV3] e Sj¨oberg [Sj].
Gostar´ıamos de salientar que embora o dado inicial seja anal´ıtico, em geral
a solu¸c˜ao n˜ao preserva esta propriedade na vari´avel t como acontece com a vari´avel
x. Em [BH], encontra-se a constru¸c˜ao de um exemplo em que o dado inicial ´e
5
6
um fun¸c˜ao anal´ıtica peri´odica, mas u(0, ·) ∈ C
ω
(IR). Finalmente salientamos que
embora a solu¸c˜ao possa n˜ao ser anal´ıtica na vari´avel t, mostra-se que a mesma
pertence ao espa¸co de Gevrey G
3
(IR) na vari´avel t para x fixado e pr´oximo de zero,
(ver Himonas e Petronilho [HP]).
O Problema de Cauchy para a
equa¸c˜ao de KdV
Este cap´ıtulo esta dividido em cinco partes. Na primeira, iniciamos a de-
monstra¸c˜ao do Teorema 1.1 transformando o problema (1)–(2) em infinitas equa¸c˜oes.
Na segunda se¸c˜ao, introduzimos dois espa¸cos de fun¸c˜oes, os quais ser˜ao de extrema
importˆancia para o que segue. Na terceira parte, exibimos condi¸c˜oes para que uma
fun¸c˜ao peri´odica de classe C
∞
seja uma fun¸c˜ao anal´ıtica. Nesta se¸c˜ao ainda defi-
nimos um espa¸co natural para expressar a analiticidade na vari´avel x. Na quarta
se¸c˜ao, obtemos algumas estimativas que s˜ao ´uteis para demonstrarmos o Teorema
1.1 e finalizamos este cap´ıtulo fazendo a demonstra¸c˜ao do referido teorema.
1.1 Infinitas equa¸c˜oes
Nesta se¸c˜ao iremos come¸car a demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1 e para isto
come¸camos diferenciando formalmente as equa¸c˜oes (1)–(2), k vezes com respeito a
x, donde obtemos os seguintes problemas
∂
t
∂
k
x
u
+ ∂
3
x
∂
k
x
u
+
1
2
∂
x
∂
k
x
(u · u)
= 0, (1.3)
∂
k
x
u(x, 0) = ∂
k
x
ϕ(x), k = 0, 1, · · · . (1.4)
Definindo B
k
(v, v)
.
=
1
2
∂
x
∂
k
x
(v · v)
e usando a f´ormula de Leibniz, obtemos
7
8
que
B
k
(v, v) =
1
2
∂
x
k
j=0
k!
j!(k − j)!
∂
k−j
x
v ∂
j
x
v.
Por simplicidade, neste trabalho denotaremos ∂
k
x
v = v
k
, para todo k ∈ IN.
Devido a nota¸c˜ao utilizada, podemos reescrever B
k
(v, v) da seguinte forma
B
k
(v, v) =
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
(v
k−j
v
j
).
Portanto podemos reescrever o problema de valor inicial (1.3)–(1.4) da se-
guinte maneira
∂
t
u
k
+ ∂
3
x
u
k
+ B
k
(u, u) = 0, (1.5)
u
k
(x, 0) = ϕ
k
(x), k = 0, 1, · · · . (1.6)
Desse modo, caso u : T × IR → IR seja tal que u
k
´e solu¸c˜ao do problema de
valor inicial (1.5)–(1.6), para todo k = 0, 1, · · · , ent˜ao a fun¸c˜ao u
0
= u ser´a solu¸c˜ao
do problema de valor inicial (1)–(2).
Agora, com o objetivo de encontrar as solu¸c˜oes do problema de valor inicial
(1.5)–(1.6), definimos o operador W , onde para cada fun¸c˜ao h ∈ C
∞
(T) temos
W (t)h(x) =
n∈ ZZ
e
inx
e
in
3
t
h(n).
O operador W ´e frequentemente denotado por e
−t∂
3
x
.
´
E interessante ressaltar que W (0)h(x) =
n∈ ZZ
e
inx
h(n) = h(x) e ainda que
∂
t
W (t)h(x)
= −∂
3
x
W (t)h(x)
,
para todo x ∈ T, pois
∂
t
W (t)h(x)
=
n∈ ZZ
e
inx
e
in
3
t
in
3
h(n)
=
n∈ ZZ
−∂
3
x
e
inx
e
in
3
t
h(n)
= −∂
3
x
n∈ ZZ
e
inx
e
in
3
t
h(n)
= −∂
3
x
W (t)h(x)
.
9
Como o nosso objetivo ´e encontrar as solu¸c˜oes do problema de valor inicial
(1.5)–(1.6), definimos para cada k = 0, 1, · · · ,
v
k
(x, t) = W (t)ϕ
k
(x) −
t
0
W (t − τ)B
k
(v, v)( x, τ ) dτ,
Fixado k ∈ IN qualquer, mostremos que v
k
(x, t) satisfaz o problema de valor
inicial (1.5)–(1.6).
De fato, se x ∈ T ent˜ao temos que
v
k
(x, 0) = W (0)ϕ
k
(x) = ϕ
k
(x).
Como
∂
t
v
k
(x, t) = ∂
t
W (t)ϕ
k
(x) −
t
0
W (t − τ)B
k
(v, v)( x, τ ) dτ
= ∂
t
W (t)ϕ
k
(x)
− W (0)B
k
(v, v)(x, t)
−
t
0
∂
t
W (t − τ)B
k
(v, v)( x, τ )
dτ
= −B
k
(v, v)( x, t) − ∂
3
x
W (t)ϕ
k
(x)
−
t
0
−∂
3
x
(W (t − τ)B
k
(v, v)(x, τ)) dτ
= −B
k
(v, v)( x, t) − ∂
3
x
W (t)ϕ
k
(x) −
t
0
W (t − τ)B
k
(v, v)(x, τ)
dτ
= −B
k
(v, v)( x, t) − ∂
3
x
v
k
(x, t),
ent˜ao temos que
∂
t
v
k
(x, t) + ∂
3
x
v
k
(x, t) + B
k
(v, v)( x, t) = 0,
o que mostra o desejado.
Portanto caso encontrarmos uma fun¸c˜ao u : T × IR → IR de modo que
u
k
(x, t) = W (t)ϕ
k
(x) −
t
0
W (t − τ)B
k
(u, u)(x, τ) dτ, (1.7)
para qualquer k = 0, 1, · · · , ent˜ao teremos que u
k
´e solu¸c˜ao do problema de valor
inicial (1.5)–(1.6) e consequentemente a fun¸c˜ao u
0
= u ser´a solu¸c˜ao do problema de
valor inicial (1)–(2).
10
Usando s´erie de Fourier e transformada de Fourier podemos reescrever a
equa¸c˜ao (1.7) da seguinte maneira
u
k
(x, t)=
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
ϕ
k
(n)+i
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
∞
−∞
e
i(λ−n
3
)t
− 1
λ − n
3
B
k
(u, u)(n, λ) dλ, (1.8)
para qualquer k ∈ IN, pois devido a defini¸c˜ao do op erador W temos que
u
k
(x, t) =
n∈ ZZ
e
inx
e
in
3
t
ϕ
k
(n) −
t
0
n∈ ZZ
e
inx
e
in
3
(t−τ)
B
k
(u, u)
x
(n, τ)
dτ
=
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
ϕ
k
(n) −
t
0
n∈ ZZ
e
inx
e
in
3
(t−τ)
IR
e
iτλ
B
k
(u, u)
x,τ
(n, λ) dλ
dτ
=
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
ϕ
k
(n) +
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
IR
t
0
−e
iτ(λ−n
3
)
dτ
B
k
(u, u)(n, λ) dλ
=
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
ϕ
k
(n) +
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
IR
−
e
iτ(λ−n
3
)
i(λ − n
3
)
t
τ=0
B
k
(u, u)(n, λ) dλ
=
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
ϕ
k
(n) +
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
IR
−
e
it(λ−n
3
)
− 1
i(λ − n
3
)
B
k
(u, u)(n, λ) dλ
=
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
ϕ
k
(n) + i
n∈ ZZ
e
i(nx+n
3
t)
∞
−∞
e
i(λ−n
3
)t
− 1
λ − n
3
B
k
(u, u)(n, λ) dλ.
Como estamos interessados em mostrar que a solu¸c˜ao do problema de valor
inicial (1)–(2) ´e anal´ıtica na vari´avel x, apenas para t pr´oximo de zero, a seguir
escolhemos uma fun¸c˜ao ψ : IR → IR infinitamente diferenci´avel, com suporte contido
no intervalo (−1, 1), onde 0 ≤ ψ(t) ≤ 1, para todo t ∈ IR e ainda ψ(t) ≡ 1 se |t| <
1
2
.
Fixado 0 < δ < 1 qualquer, definimos a fun¸c˜ao ψ
δ
: IR → IR, onde para
cada t ∈ IR temos ψ
δ
(t) = ψ(
t
δ
).
Agora, substituindo na equa¸c˜ao (1.7) a fun¸c˜ao u
k
por ψ
δ
u
k
e multiplicando
a express˜ao resultante p ela fun¸c˜ao ψ, obtemos que
ψ(t)ψ
δ
(t)u
k
(x, t) = ψ(t)W (t)ϕ
k
(x)−ψ(t)
t
0
W (t − τ)B
k
(ψ
δ
u, ψ
δ
u)(x, τ)dτ (1.9)
.
= T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
).
Ent˜ao se encontrarmos uma fun¸c˜ao u de modo que T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
) satis-
faz a equa¸c˜ao (1.9) para to do k, ent˜ao T
δ
0
(u
0
) = u
0
(x, t) ser´a a solu¸c˜ao do problema
11
de valor inicial (1)–(2), desde que |t| <
δ
2
.
Demonstraremos o Teorema 1.1 garantindo a existˆencia de tal fun¸c˜ao u e
mostrando que a fun¸c˜ao T
δ
0
(u
0
) ´e anal´ıtica na vari´avel x. Para tanto, necessitamos
de alguns espa¸cos de fun¸c˜oes especiais.
1.2 Os Espa¸cos X
s
e Y
s
Antes de definirmos tais espa¸cos, demonstramos um resultado que nos for-
nece uma propriedade da solu¸c˜ao u do problema de valor inicial (1)–(2).
Lema 1.1 Se u : T × IR → IR for solu¸c˜ao do problema de valor inicial (1)–(2),
ent˜ao temos que
u
x
(0, t) =
1
2π
u(x, t) dx = ϕ(0) = 0,
para todo t em IR, onde u
x
denota o coeficiente de Fourier de u com rela¸c˜ao a
vari´avel x.
Demonstra¸c˜ao: Seja f : IR → IR, onde f(t) =
u(x, t) dx para cada t ∈ IR.
Devido a rela¸c˜ao (2) temos que
f(0) =
u(x, 0) dx =
ϕ(x) dx = 2π ϕ(0) = 0.
Ent˜ao para concluir a demonstra¸c˜ao, basta mostrar que f
(t) = 0, para todo
t ∈ IR. Devido a rela¸c˜ao (1) temos que
f
(t) =
∂
t
u(x, t) dx
=
−∂
3
x
u(x, t) −
1
2
∂
x
u
2
(x, t) dx
= −
∂
2
x
u(x, t) +
1
2
u
2
(x, t) + C(t)
2π
x=0
= ∂
2
x
u(0, t) − ∂
2
x
u(2π, t) +
1
2
u
2
(0, t) −
1
2
u
2
(2π, t)
= 0,
12
pois ∂
2
x
u(·, t) e u
2
(·, t) s˜ao 2π−peri´odicas na vari´avel x.
Observe que se u
x
(0, t) = 0 para qualquer t ∈ IR, ent˜ao temos para todo
λ ∈ IR que u(0, λ) = 0.
Portanto se u ´e solu¸c˜ao do problema de valor inicial (1)–(2) ent˜ao u(0, λ) = 0
para todo λ ∈ IR.
Devido ao Teorema 5 em ([B], p.221) e ao fato que ϕ ∈ H
s
(T) para qualquer
s ≥ 0, sabemos que o problema de valor inicial (1)–(2) possui uma ´unica solu¸c˜ao
global (ver defini¸c˜ao abaixo) para todo s ≥ 0. Logo a solu¸c˜ao u do problema de
valor inicial (1)–(2) ´e C
∞
na vari´avel x.
Lembremos que o problema de valor inicial para a KdV ´e localmente (glo-
balmente) bem-posto em um espa¸co X se dado u
0
∈ X existe T = T (u
0
) (para
todo T ) tal que existe uma ´unica u resolvendo a equa¸c˜ao integral associada a KdV,
como em (1.7), com u ∈ C([−T, T ]; X) e a aplica¸c˜ao
u
0
→ u ∈ C([−T, T ]; X)
´e cont´ınua.
Motivados por esta propriedade, definimos a seguir o espa¸co de fun¸c˜oes X
s
,
o qual foi usado por diversos autores, ver por exemplo [KPV2], [KPV3].
Defini¸c˜ao 1.1 Dado s ≥ 0, definimos por X
s
, o espa¸co das fun¸c˜oes u ∈ L
2
(T×IR),
onde para qualquer λ ∈ IR temos u(0, λ) = 0, com u(·, t) ∈ C
∞
(T) para qualquer
t ∈ IR e ainda
|||u|||
X
s
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1 + |λ − n
3
|
|u(n, λ)|
2
dλ
1/2
< ∞. (1.10)
Temos que (X
s
, ||| · |||
X
s
) ´e um espa¸co vetorial normado completo.
Para provar a analiticidade na vari´avel x necessitamos do seguinte espa¸co.
13
Defini¸c˜ao 1.2 Fixado s ≥ 0, definimos por Y
s
o espa¸co das fun¸c˜oes u ∈ X
s
, onde
|||u|||
Y
s
= |||u|||
X
s
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
|u(n, λ)| dλ
2
1/2
< ∞. (1.11)
Temos que (Y
s
, ||| · |||
Y
s
) ´e um espa¸co vetorial normado completo.
Observe ainda que Y
s
⊂
→
X
s
, para qualquer s ≥ 0.
Os espa¸cos Y
s
foram primeiramente introduzidos por Colliander, Keel, Staf-
filani, Takaoka e Tao [CKSTT] para se estudar a bem postura global do problema
de valor inicial para a equa¸c˜ao de KdV quando s ≥ −1/2.
Observe que as normas |||u|||
Y
s
e |||u|||
X
s
diferem apenas pela quantidade
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
|u(n, λ)| dλ
2
1/2
. Esta quantidade foi acrescentada com o objetivo
de garantir que se u ∈ Y
s
, ent˜ao u(·, t) ∈ H
s
(T) para todo t ∈ IR, fixado. Vejamos
tal resultado.
Lema 1.2 Sendo s ≥ 0 qualquer e u ∈ Y
s
ent˜ao para todo t ∈ IR, fixado, temos que
u(·, t)
H
s
( )
≤ |||u|||
Y
s
.
Demonstra¸c˜ao: Fixemos t ∈ IR qualquer. Como para cada n ∈ ZZ temos que
u
x
(n, t) =
IR
e
iλ·t
u(n, λ) dλ, ent˜ao
u(·, t)
H
s
( )
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|u
x
(n, t)|
2
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
e
it·λ
u(n, λ) dλ
2
1/2
≤
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
e
it·λ
u(n, λ)
dλ
2
1/2
=
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
|u(n, λ)| dλ
2
1/2
≤ |||u|||
Y
s
,
14
o que conclui a demonstra¸c˜ao.
A seguir apresentamos um resultado que nos garante que dada uma fun¸c˜ao
ψ(t) ∈ C
∞
0
(IR) qualquer, ent˜ao ψu ∈ Y
s
para toda u ∈ Y
s
, ou seja, o espa¸co
Y
s
´e invariante pela multiplica¸c˜ao de fun¸c˜oes na vari´avel t que s˜ao infinitamente
diferenci´avel e que possuem suporte compacto.
Lema 1.3 Dada ψ(t) ∈ C
∞
0
(IR), ent˜ao existe C = C(ψ) > 0, de modo que,
|||ψu|||
Y
s
≤ C|||u|||
Y
s
,
para toda u ∈ Y
s
.
Demonstra¸c˜ao: Nestas condi¸c˜oes evidentemente que ψu ∈ Y
s
. Definimos a
fun¸c˜ao g : T × IR → C, onde g(x, t) = ψ(t)u(x, t). Ent˜ao se n ∈ ZZ e λ ∈ IR, temos
g(n, λ) =
ψ
t
(λ) ∗ u
x,t
(n, λ) =
IR
ψ
t
(τ)u
x,t
(n, λ − τ) dτ.
Como 1 + |λ − n
3
| ≤ (1 + |τ|) (1 + |λ − τ − n
3
|), para quaisquer n ∈ ZZ e
λ, τ ∈ IR, ent˜ao temos que
|||ψu|||
2
X
s
=
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
1 + |λ − n
3
|
IR
ψ
t
(τ)u
x,t
(n, λ − τ) dτ
2
dλ
≤
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
1 + |λ − n
3
|
IR
ψ
t
(τ)u
x,t
(n, λ − τ)
dτ
2
dλ
≤
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
IR
(1 + |τ|)
1/2
1 + |λ − τ − n
3
|
1/2
ψ
t
(τ)u
x,t
(n, λ − τ)
dτ
2
dλ
≤
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
IR
(1+|τ |)
1/2
1+|λ−τ −n
3
|
1/2
ψ
t
(τ)u
x,t
(n, λ − τ)
2
dλ
1/2
dτ
2
≤
IR
(1 + |τ|)
ψ(τ)
dτ
2
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
1 + |µ − n
3
|
|u(n, µ)|
2
dµ
≤ C|||u|||
2
X
s
,
onde a terceira desigualdade decorre da desigualdade de Minkowski para Integrais e
15
a ´ultima segue do fato de que a fun¸c˜ao ψ pertence ao espa¸co de Schwartz. Note que
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
|g(n, λ)| dλ
2
=
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
IR
ψ
t
(τ)u
x,t
(n, λ − τ) dτ
dλ
2
≤
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
IR
ψ(τ)u(n, λ − τ)
dτdλ
2
=
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ)
IR
|u(n, λ − τ )| dλdτ
2
=
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ)
dτ
IR
|u(n, λ)| dλ
2
=
IR
ψ(τ)
dτ
2
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
|u(n, λ)| dλdτ
2
≤ C
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
|u(n, λ)| dλdτ
2
,
onde a ´ultima desigualdade decorre do fato de ψ pertencer ao espa¸co de Schwartz.
Pelo fato de
|||ψu|||
Y
s
= |||ψu|||
X
s
+
n∈ ZZ
|n|
2s
IR
|g(n, λ)| dλ
2
1/2
,
obtemos ent˜ao que |||ψu|||
Y
s
≤ C|||u|||
Y
s
, o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Na sequˆencia demonstraremos um resultado que tem por objetivo caracte-
rizar, atrav´es da norma ·
H
s
( )
, as fun¸c˜oes anal´ıticas peri´odicas. Para tanto, para
cada k ∈ IN, denotemos ϕ
k
.
= ∂
k
ϕ.
Lema 1.4 Seja ϕ ∈ C
ω
(T) qualquer, ent˜ao para cada s ≥ 0 existe M(s, ϕ) > 0 e
C
ϕ
= C(ϕ) > 0, tal que
ϕ
k
H
s
( )
≤M(s, ϕ)
1
2C
ϕ
k
k!,
para cada k ∈ IN.
Demonstra¸c˜ao: Fixemos k ∈ IN e s ≥ 0 quaisquer. Pelo fato de ϕ ∈ C
ω
(T),
temos que existem constantes C, ε > 0, de modo que | ϕ(n)| ≤ Ce
−ε|n|
, para todo
16
n ∈ ZZ . Portanto obtemos que
ϕ
k
2
H
s
( )
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|ϕ
k
(n)|
2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|n|
2k
|ϕ(n)|
2
≤
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|n|
2k
C
2
e
−2ε|n|
=
n∈
˙
ZZ
C
2
|n|
2s
e
−ε|n|
|n|
2k
e
−ε|n|
.
Como o intuito de limitarmos |n|
2k
e
−ε|n|
, para todo n ∈ IN, definimos a
fun¸c˜ao f : [0, ∞) → IR, onde f(t) = t
2k
e
−εt
, para todo t ∈ [0, ∞).
Pelo fato da fun¸c˜ao f ter como ponto de m´aximo t
0
=
2k
ε
, obtemos que
f (|n|) ≤ f(
2k
ε
) para cada n em ZZ , ou seja,
|n|
2k
e
−ε|n|
≤
2k
ε
2k
e
−2k
=
2
ε
k
k
k
e
−k
2
≤
2
ε
k
k!
2
,
para todo n ∈ ZZ , onde a ´ultima desigualdade decorre do fato de k
k
e
−k
≤ k!, para
todo k ∈ IN.
Como a s´erie
n∈ ZZ
C
2
|n|
2s
e
−ε|n|
converge, existe uma constante M(s, ϕ) < ∞,
de modo que
n∈ ZZ
C
2
|n|
2s
e
−ε|n|
≤ M(s, ϕ)
2
.
Ent˜ao devido a majora¸c˜ao acima de ϕ
k
2
H
s
( )
, obtemos que
ϕ
k
2
H
s
( )
≤
M(s, ϕ)
2
ε
k
k!
2
.
Tomando C
ϕ
=
ε
4
e pelo fato das constantes M(s, ϕ), C
ϕ
> 0 independerem
do valor de k ∈ IN ent˜ao obtemos que
ϕ
k
H
s
( )
≤ M(s, ϕ)
1
2C
ϕ
k
k!,
para todo k ∈ IN, o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Na sequˆencia deste trabalho, denotaremos por C
ϕ
> 0, a constante obtida
pelo Lema 1.4, onde ϕ ∈ C
ω
(T) ´e a condi¸c˜ao inicial do problema (1)–(2). Ainda nos
17
referindo a condi¸c˜ao inicial do problema (1)–(2), denotamos para cada s ≥ 0,
[[ϕ]]
s
=
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
ϕ
k
H
s
( )
.
A seguir, apresentamos um resultado que nos d´a uma condi¸c˜ao para que
uma fun¸c˜ao ϕ ∈ C
∞
(T) seja uma fun¸c˜ao anal´ıtica em T.
Lema 1.5 Seja ϕ : T → IR uma fun¸c˜ao infinitamente diferenci´avel. Se existem
constantes s ≥ 0, M(s, ϕ) ≥ 0 e C
ϕ
> 0, onde para qualquer k ∈ IN temos
ϕ
k
H
s
( )
≤ M(s, ϕ)
1
2C
ϕ
k
k!, (1.12)
ent˜ao ϕ ∈ C
ω
(T).
Demonstra¸c˜ao: Sabemos que ϕ ∈ C
ω
(T) se, e somente se, ϕ ∈ C
∞
(T) e existem
constantes positivas C e ε, de modo que |ϕ(n)| ≤ Ce
−ε|n|
, para todo n ∈ ZZ .
Pela rela¸c˜ao (1.12) obtemos para qualquer k ∈ IN que
n∈ ZZ
|n|
2s
|ϕ
k
(n)|
2
=
n∈ ZZ
|n|
2s
|n|
2k
|ϕ(n)|
2
≤ M(s, ϕ)
2
1
2C
ϕ
2k
(k!)
2
,
donde resulta que
|n|
2s
|n|
2k
|ϕ(n)|
2
≤ M(s, ϕ)
2
1
2C
ϕ
2k
(k!)
2
,
para quaisquer k ∈ IN e n ∈ ZZ . Temos que a ´ultima rela¸c˜ao ´e equivalente a,
|n|
s
|n|
k
|ϕ(n)| ≤ M(s, ϕ)
1
2C
ϕ
k
k!,
para todo k ∈ IN e n ∈ ZZ , ou ainda,
C
k
ϕ
|n|
k
k!
|ϕ(n)| ≤ M(s, ϕ)
1
2
k
,
para quaisquer k ∈ IN e n ∈ ZZ \{0}, donde resulta que
∞
k=0
(C
ϕ
|n|)
k
k!
|ϕ(n)| ≤ M(s, ϕ)
∞
k=0
1
2
k
,
18
para todo n ∈ ZZ \{0}, ou seja,
e
C
ϕ
|n|
|ϕ(n)| ≤ 2M(s, ϕ),
para todo n ∈ ZZ \{0}.
Tomando C = max{2M(s, ϕ), | ϕ(0)|} e ε = C
ϕ
, obtemos ent˜ao que
|ϕ(n)| ≤ Ce
−ε|n|
para qualquer n ∈ ZZ , o que conclui a demonstra¸c˜ao.
1.3 O espa¸co A(Y
s
)
Como o nosso objetivo ´e mostrar que a solu¸c˜ao u, do problema de valor
inicial (1)–(2), ´e anal´ıtica na vari´avel x, desde que t esteja pr´oximo de zero, ent˜ao
vamos introduzir um espa¸co especial para tornar isto poss´ıvel.
Como j´a visto no Lema 1.4 o fato de ϕ ∈ C
ω
(T) pode ser traduzido em
termos das normas H
s
por
ϕ
k
H
s
( )
≤M(s, ϕ)
1
2C
ϕ
k
k!,
para cada k ∈ IN. Portanto se definirmos
{ϕ
k
} ˙=(ϕ
0
, ϕ
1
, ϕ
2
, · · · ), ϕ
k
= ∂
k
x
ϕ
e definirmos
[[{ϕ
k
}]]
s
˙=[[ϕ]]
s
=
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
||ϕ
k
||
H
s
( )
,
ent˜ao pela defini¸c˜ao de [[ϕ]]
s
, temos que
[[{ϕ
k
}]]
s
< ∞.
Motivados por este resultado, a seguir iremos definir um espa¸co natural para
expressar a analiticidade na vari´avel x.
19
Defini¸c˜ao 1.3 Fixado s ≥ 0, definimos A(Y
s
) como o conjunto das sequˆencias
{v
k
}
.
= (v
0
, v
1
, v
2
, . . .), onde v
k
∈ Y
s
para cada k ∈ IN e ainda
|||{v
k
}|||
s
=
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
|||v
k
|||
Y
s
< ∞. (1.13)
Temos que (A(Y
s
), ||| · |||
s
) ´e um espa¸co vetorial normado completo.
Mostraremos a seguir porque este espa¸co ´e apropriado para mostrarmos a
analiticidade pretendida.
Lema 1.6 Se {v
k
} ∈ A(Y
s
) para algum s ≥ 0, ent˜ao v(·, t) ∈ C
ω
(T), para qualquer
t ∈ IR fixo.
Demonstra¸c˜ao: Pelo fato de existir s ≥ 0 de modo que
|||{v
k
}|||
s
=
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
|||v
k
|||
Y
s
< ∞,
ent˜ao existe uma constante M = M(s, v), de modo que
C
k
ϕ
k!
|||v
k
|||
Y
s
≤ M,
para todo k ∈ IN. Mas isso ´e equivalente a afirmar que se k ∈ IN, ent˜ao
|||v
k
|||
Y
s
≤ M
1
C
ϕ
k
k!.
Fixado t ∈ IR qualquer, pelo fato das hip´oteses do Lema 1.2 serem satisfeitas,
obtemos ent˜ao que
v
k
(·, t)
H
s
( )
≤ |||v
k
|||
Y
s
≤ M
1
C
ϕ
k
k!,
para todo k ∈ IN. Como as hip´oteses do Lema 1.5 s˜ao satisfeitas, conclu´ımos que
v(·, t) ∈ C
ω
(T). Pelo fato de t ∈ IR ser qualquer, temos ent˜ao que v(·, t) ∈ C
ω
(T)
para todo t ∈ IR, o que conclui a demonstra¸c˜ao.
Na sequˆencia deste trabalho denotaremos por B
s
[0, r] o conjunto das se-
quˆencias {v
k
} ∈ A(Y
s
), onde |||{v
k
}|||
s
≤ r.
20
Temos que o espa¸co A(Y
s
) ´e extremamente ´util para demonstrarmos o Te-
orema 1.1, pois para cada s ≥ 0 fixo, vamos garantir a existˆencia de 0 < δ < 1 e
de {v
k
} ∈ A(Y
s
), de modo que T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
) satisfaz a equa¸c˜ao (1.9) para cada
k ∈ IN. Isso implica que se |t| <
δ
2
, ent˜ao a fun¸c˜ao T
δ
(v
0
) = v(x, t) ´e uma solu¸c˜ao
do problema de valor inicial (1)–(2) e pelo fato de {v
k
} ∈ A(Y
s
) temos ent˜ao que a
fun¸c˜ao v ´e anal´ıtica na vari´avel x.
Como iremos demonstrar o Teorema 1.1 utilizando a t´ecnica do ponto fixo,
ent˜ao para cada 0 < δ < 1, definimos o operador T
δ
: A(Y
s
) → A(Y
s
), onde
T
δ
({v
k
}) =
T
δ
0
(v
0
), T
δ
1
(v
0
, v
1
), . . . , T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
), . . .
=
T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)
.
Na sequˆencia veremos alguns resultados t´ecnicos que ser˜ao ´uteis para mos-
trarmos que a aplica¸c˜ao T
δ
´e uma contra¸c˜ao em um subconjunto apropriado de
A(Y
s
).
1.4 Estimativas
Esta se¸c˜ao tem por objetivo encontrar, para cada s ≥ 0 fixo, condi¸c˜oes sobre
0 < δ < 1 e r > 0, de modo que o operador T
δ
seja uma contra¸c˜ao em B
s
[0 , r].
A princ´ıpio, enunciaremos um resultado que ´e fundamental para mostrarmos
que T
δ
´e uma contra¸c˜ao em uma bola apropriada de A(Y
s
). A demonstra¸c˜ao desta
proposi¸c˜ao n˜ao foi redigida nesta se¸c˜ao devido ao sua extens˜ao, mas est´a inteiramente
contida no Apˆendice.
Proposi¸c˜ao 1.1 Fixado 0 < δ < 1, existe uma constante C > 0, de modo que
|||T
δ
k
(v
0
, v
1
, v
2
, . . . , v
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/24
k
j=0
k
j
|||v
k−j
|||
Y
s
|||v
j
|||
Y
s
+ Cϕ
k
H
s
( )
,
para quaisquer v
0
, v
1
, v
2
. . . , v
k
∈ Y
s
.
A seguir, enunciamos uma generaliza¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1, cuja demons-
tra¸c˜ao tamb´em pode ser encontrada no Apˆendice.
21
Proposi¸c˜ao 1.2 Se 0 < δ < 1, ent˜ao existe uma constante C > 0, de modo que
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/24
k
j=0
k
j
|||w
k−j
+ v
k−j
|||
Y
s
|||w
j
− v
j
|||
Y
s
,
para quaisquer w
0
, v
0
, w
1
, v
1
, . . . , w
k
, v
k
∈ Y
s
.
Na sequˆencia, demonstraremos um resultado que nos d´a, mediante o uso das
estimativas obtidas pelas Proposi¸c˜oes 1.1 e 1.2, uma estimativas para |||T
δ
({v
k
})|||
s
.
Lema 1.7 Fixado 0 < δ < 1, existe uma constante C > 0, de modo que
|||T
δ
({w
k
}) |||
s
≤ Cδ
1/24
|||{w
k
}|||
2
s
+ C[[ϕ]]
s
, (1.14)
e ainda
|||T
δ
({w
k
}) − T
δ
({v
k
}) |||
s
≤ Cδ
1/24
|||{w
k
} + {v
k
}|||
s
· |||{w
k
} − {v
k
}|||
s
, (1.15)
para quaisquer {w
k
} e {v
k
} que pertencem a A(Y
s
).
Demonstra¸c˜ao: Seja {w
k
} ∈ A(Y
s
). Devido a Proposi¸c˜ao 1.1, obtemos que
|||T
δ
({w
k
}) |||
s
=
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/24
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
k
j=0
k
j
|||w
k−j
|||
Y
s
|||w
j
|||
Y
s
+
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
Cϕ
k
H
s
( )
= Cδ
1/24
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
k
j=0
k
j
|||w
k−j
|||
Y
s
|||w
j
|||
Y
s
+ C[[ϕ]]
s
. (1.16)
Observemos agora que
22
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
k
j=0
k
j
|||w
k−j
|||
Y
s
|||w
j
|||
Y
s
(1.17)
=C
0
ϕ
1
0!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
C
1
ϕ
1
1!
|||w
1
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
1
1!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
1
|||
Y
s
+
C
2
ϕ
1
2!
|||w
2
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
1
1!
|||w
1
|||
Y
s
|||w
1
|||
Y
s
+
1
2!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
2
|||
Y
s
+
C
3
ϕ
1
3!
|||w
3
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
1
2!
|||w
2
|||
Y
s
|||w
1
|||
Y
s
+
1
2!
|||w
1
|||
Y
s
|||w
2
|||
Y
s
+
1
3!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
3
|||
Y
s
+
.
.
.
=C
0
ϕ
1
0!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
C
1
ϕ
1
1!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
1
|||
Y
s
+
1
1!
|||w
1
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
C
2
ϕ
1
2!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
2
|||
Y
s
+
1
1!
|||w
1
|||
Y
s
|||w
1
|||
Y
s
+
1
2!
|||w
2
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
C
3
ϕ
1
3!
|||w
0
|||
Y
s
|||w
3
|||
Y
s
+
1
2!
|||w
1
|||
Y
s
|||w
2
|||
Y
s
+
1
2!
|||w
2
|||
Y
s
|||w
1
|||
Y
s
+
1
3!
|||w
3
|||
Y
s
|||w
0
|||
Y
s
+
.
.
.
=C
0
ϕ
|||w
0
|||
Y
s
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
|||w
k
|||
Y
s
+ C
1
ϕ
|||w
1
|||
Y
s
1!
∞
k=1
C
k−1
ϕ
(k − 1)!
|||w
k−1
|||
Y
s
+
C
2
ϕ
|||w
2
|||
Y
s
2!
∞
k=2
C
k−2
ϕ
(k − 2)!
|||w
k−2
|||
Y
s
+ C
3
ϕ
|||w
3
|||
Y
s
3!
∞
k=3
C
k−3
ϕ
(k − 3)!
|||w
k−3
|||
Y
s
+ . . .
=
∞
j=0
C
j
ϕ
j!
|||w
j
|||
Y
s
∞
k=j
C
k−j
ϕ
(k − j)!
|||w
k−j
|||
Y
s
=
∞
j=0
C
j
ϕ
j!
|||w
j
|||
Y
s
∞
l=0
C
l
ϕ
l!
|||w
l
|||
Y
s
,
onde a antepen´ultima igualdade ´e obtida da igualdade anterior somando em colunas.
Segue de (1.16) e da ´ultima igualdade que
|||T
δ
({w
k
}) |||
s
≤ Cδ
1/24
∞
j=0
C
j
ϕ
j!
|||w
j
|||
Y
s
∞
l=0
C
l
ϕ
l!
|||w
l
|||
Y
s
+ C[[ϕ]]
s
= Cδ
1/24
|||{w
k
}|||
2
s
+ C[[ϕ]]
s
,
23
o que prova a rela¸c˜ao (1.14).
A seguir mostraremos que a rela¸c˜ao (1.15) ´e satisfeita. Devido a defini¸c˜ao
de ||| · |||
s
, Proposi¸c˜ao 1.2 e a igualdade (1.17), obtemos que
|||T
δ
({w
k
}) − T
δ
({v
k
}) |||
s
=
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
) |||
Y
s
≤ Cδ
1/24
∞
k=0
C
k
ϕ
k!
k
j=0
k
j
|||w
k−j
+ v
k−j
|||
Y
s
|||w
j
− v
j
|||
Y
s
= Cδ
1/24
∞
j=0
C
j
ϕ
j!
|||w
j
+ v
j
|||
Y
s
∞
l=0
C
l
ϕ
l!
|||w
l
− v
l
|||
Y
s
= Cδ
1/24
|||{w
k
} + {v
k
}|||
s
· |||{w
k
} − {v
k
}|||
s
,
o que demonstra a rela¸c˜ao (1.15) e conclui a demonstra¸c˜ao do Lema 1.7.
O resultado a seguir exibe condi¸c˜oes sobre 0 < δ < 1 e r > 0 para que o
operador T
δ
seja uma contra¸c˜ao em B
s
[0 , r].
Proposi¸c˜ao 1.3 Se tomarmos r = 2C[[ϕ]]
s
e 0 < δ < min
1,
[[ϕ]]
24
s
(2r
2
)
24
, onde C
´e a constante obtida no Lema 1.7, ent˜ao T
δ
: B
s
[0, r] → B
s
[0, r] ´e uma contra¸c˜ao.
Mais precisamente, temos que |||T
δ
({w
k
}) |||
s
≤ r, para todo {w
k
} ∈ B
s
[0, r] e ainda
|||T
δ
({w
k
}) − T
δ
({v
k
}) |||
s
≤
1
2
|||{w
k
} − {v
k
}|||
s
,
para qualquer {w
k
}, {v
k
} ∈ B
s
[0, r].
Demonstra¸c˜ao: Devido ao Lema 1.7 e as condi¸c˜oes impostas sobre r e δ obtemos
|||T
δ
({w
k
}) |||
s
≤ Cδ
1/24
|||{w
k
}|||
2
s
+ C[[ϕ]]
s
< C
[[ϕ]]
s
2r
2
r
2
+
r
2
=
3r
4
< r,
para qualquer {w
k
} em B
s
[0, r].
Fixados {w
k
}, {v
k
} ∈ B
s
[0, r] quaisquer, ainda pelo Lema 1.7 e pelo fato de
||| · |||
s
ser uma norma sobre A(Y
s
), temos que
24
|||T
δ
({w
k
}) − T
δ
({v
k
}) |||
s
≤ Cδ
1/24
|||{w
k
} + {v
k
}|||
s
· |||{w
k
} − {v
k
}|||
s
< C
[[ϕ]]
s
2r
2
|||{w
k
} + {v
k
}|||
s
· |||{w
k
} − {v
k
}|||
s
≤ C
[[ϕ]]
s
2r
2
|||{w
k
}|||
s
+ |||{v
k
}|||
s
· |||{w
k
} − {v
k
}|||
s
≤
r
2
2r
2r
2
|||{w
k
} − {v
k
}|||
s
=
1
2
|||{w
k
} − {v
k
}|||
s
,
o que conclui a demonstra¸c˜ao.
A seguir enunciaremos o Lema da Contra¸c˜ao, resultado este que nos garan-
tir´a a existˆencia de um ´unico elemento {v
k
} ∈ A(Y
s
) de modo que T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)
satisfaz a equa¸c˜ao (1.9) para qualquer k ∈ IN. A demonstra¸c˜ao deste Lema pode ser
encontrada em ([St], p.12).
Lema 1.8 Seja (X, d) um espa¸co m´etrico completo e F : X → X uma contra¸c˜ao.
Ent˜ao existe um ´unico ponto fixo p, isto ´e, F (p) = p. Mais ainda, p ´e um atrator
de F , isto ´e, dado qualquer x ∈ X, temos que lim
n→∞
F (x
n
) = p, onde x
1
= F(x) e
x
n+1
= F (x
n
) para todo n ∈ IN.
1.5 Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1
Seja s ≥ 0 fixado. Se tomarmos r e δ satisfazendo as hip´oteses da Proposi¸c˜ao
1.3, ent˜ao pelo fato de (B
s
[0, r], |||·|||
s
) ser um espa¸co normado completo e a aplica¸c˜ao
T
δ
ser uma contra¸c˜ao sobre B
s
[0, r], temos pelo Lema 1 .8 que existe um ´unico
elemento {v
k
} ∈ A(Y
s
), de modo que {v
k
} = T
δ
({v
k
}).
Segue desta ´ultima igualdade e da defini¸c˜ao do operador T
δ
que para todo
k ∈ IN temos
v
k
(x, t) = T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
).
25
Assim para |t| <
δ
2
, temos para cada k ∈ IN que
ψ(t)ψ
δ
(t)v
k
(x, t) = T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
).
Logo, pelo fato da fun¸c˜ao v satisfazer a rela¸c˜ao (1.9) para qualquer k ∈ IN,
obtemos ent˜ao que v ´e solu¸c˜ao do problema de valor inicial (1)–(2), desde que |t| <
δ
2
.
Agora devido o fato de {v
k
} ∈ A(Y
s
), temos ent˜ao que a fun¸c˜ao v ´e anal´ıtica
na vari´avel x. Portanto, temos que a solu¸c˜ao v(x, t) = T
δ
0
(v
0
) do problema de
valor inicial (1)–(2) ´e anal´ıtica na vari´avel x desde que |t| <
δ
2
, o que conclui a
demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1.
Apˆendice
Neste apˆendice o nosso objetivo ser´a demonstrar alguns dos resultados que
foram omitidos durante a demonstra¸c˜ao do Teorema 1.1.
2.1 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1
A seguir faremos a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1, resultado este de gran-
de valia, pois nos d´a uma estimativa para o valor de |||T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)|||
Y
s
para
quaisquer 0 < δ < 1 e k ∈ IN. Esta estimativa possui um papel fundamental para
mostrarmos que T
δ
´e uma contra¸c˜ao em um conjunto apropriado de A(Y
s
). Na
sequˆencia enunciamos a referida proposi¸c˜ao novamente.
Proposi¸c˜ao 2.1 Fixado 0 < δ < 1, existe uma constante C > 0, de modo que
|||T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/24
k
j
=0
k
j
|||u
k−j
|||
Y
s
|||u
j
|||
Y
s
+ Cϕ
k
H
s
( )
,
para quaisquer u
0
, u
1
, . . . , u
k
∈ Y
s
.
Fixemos k ∈ IN qualquer. Antes de come¸carmos a demonstra¸c˜ao do resul-
tado acima, iremos buscar uma outra caracteriza¸c˜ao de T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
).
Para simplificar a nota¸c˜ao utilizada convencionamos que
B
δ
k
.
= B
k
(ψ
δ
u, ψ
δ
u) =
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
(ψ
δ
u
k−j
· ψ
δ
u
j
) .
26
27
Segue da defini¸c˜ao de T
δ
k
, rela¸c˜ao (1.9) e da defini¸c˜ao do operador W que
T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)=ψ(t)W (t)ϕ
k
(x) − ψ(t)
t
0
W (t − τ)B
k
(ψ
δ
u, ψ
δ
u) (x, τ) dτ
=ψ(t)W (t)ϕ
k
(x) − ψ(t)
t
0
W (t − τ)B
δ
k
(x, τ) dτ
=ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
ϕ
k
(n)−ψ(t)
t
0
n∈
˙
ZZ
e
i
[
nx+n
3
(t−τ)
]
B
δ
k
x
(n, τ)
dτ.
Como
B
δ
k
x
(n, τ) =
∞
−∞
e
iλ·τ
B
δ
k
(n, λ) dλ, para quaisquer n ∈ ZZ e τ ∈ IR,
segue da igualdade acima que
T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
) = ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
− ψ(t)
t
0
n∈
˙
ZZ
e
i
[
nx+n
3
(t−τ)
]
∞
−∞
e
iλ·τ
B
δ
k
(n, λ) dλ
dτ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
− ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
t
0
∞
−∞
e
i
(
λ−n
3
)
·τ
B
δ
k
(n, λ) dλdτ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
− ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
B
δ
k
(n, λ)
t
0
e
i
(
λ−n
3
)
·τ
dτdλ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
− ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
B
δ
k
(n, λ)
e
i
(
λ−n
3
)
·τ
i (λ − n
3
)
τ=t
τ=0
dλ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
− ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
B
δ
k
(n, λ)
−i
e
it
(
λ−n
3
)
− 1
λ − n
3
dλ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
28
+ iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
e
it
(
λ−n
3
)
− 1
λ − n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ.
Como 1 = ψ (λ − n
3
) + 1 − ψ (λ − n
3
) = ψ (λ − n
3
) + (1 − ψ) (λ − n
3
) e
ainda para quaisquer λ ∈ IR e n ∈ ZZ temos que
e
it
(
λ−n
3
)
− 1
λ − n
3
=
∞
j=1
i
j
j!
t
j
λ − n
3
j−1
,
ent˜ao obtemos que
T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
ψ
λ−n
3
+(1−ψ)
λ−n
3

e
it
(
λ−n
3
)
−1
λ−n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
ψ
λ − n
3
e
it
(
λ−n
3
)
− 1
λ − n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
(1 − ψ)
λ − n
3
e
it
(
λ−n
3
)
− 1
λ − n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
ψ
λ − n
3
∞
j=1
i
j
j!
t
j
λ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, λ) dλ
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
(1 − ψ)
λ − n
3
e
itλ
e
−itn
3
λ − n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ
−iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
(1 − ψ)
λ − n
3
1
λ − n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ
= ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
(2.18)
+i
∞
j=1
i
j
j!
t
j
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
ψ
λ − n
3
λ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, λ) dλ (2.19)
29
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
inx
∞
−∞
(1 − ψ) (λ − n
3
)
λ − n
3
e
itλ
B
δ
k
(n, λ) dλ (2.20)
−iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
(1 − ψ) (λ − n
3
)
λ − n
3
B
δ
k
(n, λ) dλ. (2.21)
Como o nosso intuito ´e obter uma estimativa para |||T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
) |||
Y
s
,
a nossa estrat´egia ser´a estimar os valores de |||(2.18)|||
Y
s
, |||(2.19)|||
Y
s
, |||(2.20)|||
Y
s
e
|||(2.21)|||
Y
s
.
Estimativa de |||(2.18)|||
Y
s
.
Por conveniˆencia definimos f : T × IR → C, onde se x ∈ T e t ∈ IR,
(2.18) = f(x, t) = ψ (t )
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
.
Basta ent˜ao encontrarmos uma estimativa para |||f|||
Y
s
.
Fixados m ∈ ZZ e λ ∈ IR, afirmamos que
f(m, λ) = ϕ
k
(m)
ψ(λ − m
3
).
De fato, temos que
f(m, λ) =
1
2π
IR
e
−it·λ
e
−ix·m
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
i
(
nx+n
3
t
)
dxdt
=
IR
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
ϕ
k
(n)e
−it·(λ−n
3
)
1
2π
e
ix·(n−m)
dxdt
=
IR
ψ(t)e
−it·(λ−m
3
)
ϕ
k
(m) dt
= ϕ
k
(m)
ψ(λ − m
3
).
Ent˜ao obtemos que
|||f|||
Y
s
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1 +
λ − n
3
f(n, λ)
2
dλ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
f(n, λ)
dλ
2
1/2
30
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1 +
λ − n
3
ϕ
k
(n)
ψ(λ − n
3
)
2
dλ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ϕ
k
(n)
ψ(λ − n
3
)
dλ
2
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|ϕ
k
(n)|
2
IR
1 +
λ − n
3
ψ(λ − n
3
)
2
dλ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|ϕ
k
(n)|
2
IR
ψ(λ − n
3
)
dλ
2
1/2
= ϕ
k
H
s
( )
IR
(1 + |λ
|)
ψ(λ
)
2
dλ
1/2
+
IR
ψ(λ
)
dλ
≤ Cϕ
k
H
s
( )
,
onde a ´ultima desigualdade segue do fato da fun¸c˜ao ψ pertencer ao espa¸co de
Schwartz.
Portanto, temos que existe C > 0, de modo que
|||(2.18)|||
Y
s
≤ Cϕ
k
H
s
( )
. (2.22)
Estimativa de |||(2.19)|||
Y
s
.
No intuito de obter estimativas para |||(2.19)|||
Y
s
, ent˜ao para cada j ∈ IN
∗
,
definimos f
j
: T × IR → C, onde para qualquer x ∈ T e t ∈ IR, temos
f
j
(x, t) = t
j
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ) dτ.
Pela defini¸c˜ao das fun¸c˜oes f
j
, temos ent˜ao para qualquer x ∈ T e t ∈ IR que
(2.19) =
∞
j=1
i
j+1
j!
f
j
(x, t).
Buscaremos ent˜ao estimativas para |||f
j
|||
Y
s
.
31
Fixado j ∈ IN
∗
qualquer, afirmamos que
f
j
(m, λ) =
t
j
ψ(λ − m
3
)
IR
ψ(τ − m
3
)
τ − m
3
j−1
B
δ
k
(m, τ) dτ,
para quaisquer m ∈ ZZ e λ ∈ IR.
De fato, fixados m ∈ ZZ e λ ∈ IR quaisquer, temos que
f
j
(m, λ)
=
1
2π
IR
t
j
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
−i
[
x·(m−n)+t·(λ−n
3
)
]
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ) dτdxdt
=
n∈
˙
ZZ
IR
e
−it·(λ−n
3
)
t
j
ψ(t)
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ)dτ
1
2π
e
−ix·(m−n)
dxdt
=
IR
e
−it·(λ−m
3
)
t
j
ψ(t)
IR
ψ(τ − m
3
)
τ − m
3
j−1
B
δ
k
(m, τ) dτdt
=
IR
e
−it·(λ−m
3
)
t
j
ψ(t) dt
IR
ψ(τ − m
3
)
τ − m
3
j−1
B
δ
k
(m, τ) dτ
=
t
j
ψ(λ − m
3
)
IR
ψ(τ − m
3
)
τ − m
3
j−1
B
δ
k
(m, τ) dτ.
Na sequˆencia encontraremos uma estimativa para |||f
j
|||
Y
s
.
|||f
j
|||
Y
s
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1 + |λ − n
3
|
t
j
ψ(λ − n
3
)
2
·
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ) dτ
2
dλ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
t
j
ψ(λ − n
3
)
IR
ψ(τ −n
3
)
τ −n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ) dτ
dλ
2
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
(1 + |λ
|)
t
j
ψ(λ
)
2
·
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ)dτ
2
dλ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
t
j
ψ(λ
)
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ)dτ
dλ
2
1/2
32
=
IR
(1 + |λ
|)
t
j
ψ(λ
)
2
dλ
1/2
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ) dτ
2
1/2
+
IR
t
j
ψ(λ
)
dλ
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ) dτ
2
1/2
=
(1 + |λ|)
t
j
ψ(λ)
2
1/2
L
1
(IR)
+
t
j
ψ(λ)
L
1
(IR)
·
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
.
Como 1+|λ| ≤ 2(1+|λ|
2
), para todo λ ∈ IR e por ψ pertencer a C
∞
0
(−1, 1),
onde 0 ≤ ψ(t) ≤ 1, para todo t ∈ IR, obtemos que existe C = C(ψ) > 0, tal que
(1 + |λ|)
t
j
ψ(λ)
2
1/2
L
1
(IR)
≤ 2
IR
1 + |λ|
2
t
j
ψ(λ)
2
dλ
1/2
= 2
t
j
ψ
H
1
(IR)
= 2
t
j
ψ
H
0
(IR)
+
(t
j
ψ)
H
0
(IR)
≤ 2
t
j
ψ
L
2
(IR)
+
jt
j−1
ψ
L
2
(IR)
+
t
j
ψ
L
2
(IR)
≤ C · j.
Analogamente, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e desigualdade
acima, obtemos que existe C = C(ψ) > 0, tal que
t
j
ψ(λ)
L
1
(IR)
=
IR
1
(1 + |λ|)
(1 + |λ|)
t
j
ψ(λ)
dλ
≤
IR
1
(1 + |λ|)
2
dλ
1/2
·
IR
(1 + |λ|)
2
t
j
ψ(λ)
2
dλ
1/2
≤ C
IR
1 + |λ|
2
+ 2|λ|
t
j
ψ(λ)
2
dλ
1/2
≤ C
IR
1 + |λ|
2
t
j
ψ(λ)
2
dλ
1/2
= Ct
j
ψ
H
1
(IR)
≤ C · j.
33
Portanto, devido as rela¸c˜oes acima, n´os obtemos para qualquer j ∈ IN
∗
, que
existe C = C(ψ) > 0, onde
|||f
j
|||
Y
s
≤ C · j
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
.
Novamente pelo fato de ψ ∈ C
∞
0
(−1, 1), onde 0 ≤ ψ(t) ≤ 1, para todo
t ∈ IR, ent˜ao ψ(τ − n
3
) = 0, se |τ − n
3
| > 1 e ainda |ψ(τ − n
3
)| |τ − n
3
|
j−1
≤ 1 se
|τ − n
3
| ≤ 1. Ent˜ao obtemos para qualquer j ∈ IN
∗
que
|||f
j
|||
Y
s
≤ C · j
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ψ(τ − n
3
)
τ − n
3
j−1
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
≤ C · j
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≤1
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
≤ C · j
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≤1
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
, (2.23)
onde a ´ultima desigualdade decorre do fato que 1 ≤
2
1+|τ−n
3
|
, sempre que |τ −n
3
| ≤ 1.
Pelo fato de (2.19) =
∞
j=1
i
j+1
j!
f
j
(x, t), por ||| · |||
Y
s
ser norma e pela rela¸c˜ao
(2.23) obtemos que existe C > 0, tal que
|||(2.19)|||
Y
s
≤
∞
j=1
1
j!
|||f
j
|||
Y
s
≤ C
∞
j=1
j
j!
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≤1
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≤1
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
∞
j=1
j
j!
= C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≤1
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
,
pois a s´erie
∞
j=0
1
j!
´e convergente.
34
Portanto, obtemos existe C > 0, de modo que
|||(2.19)|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
. (2.24)
Estimativa de |||(2.20)|||
Y
s
.
Com o objetivo de obter uma estimativa para |||(2.20)|||
Y
s
e o intuito de
simplificar a nota¸c˜ao, definimos f : T × IR → C, onde para quaisquer x ∈ T e t ∈ IR
f(x, t) =
n∈
˙
ZZ
e
inx
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
e
iτt
B
δ
k
(n, τ) dτ.
Devido a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao f, temos que (2.20) = iψ(t)f(x, t), para quais-
quer x ∈ T e t ∈ IR. Logo
|||(2.20)|||
Y
s
= |||iψf|||
Y
s
= |||ψf|||
Y
s
.
Devido ao fato de ψ ∈ C
∞
0
(−1, 1), temos ent˜ao pelo Lema 1.3 que existe uma
constante C = C(ψ) > 0 de modo que |||ψf|||
Y
s
≤ C|||f |||
Y
s
. Portanto para obter
uma estimativa para |||(2.20)|||
Y
s
, basta encontrar uma estimativa para |||f|||
Y
s
.
Temos que
f(m, λ) =
(1 − ψ)(λ − m
3
)
λ − m
3
B
δ
k
(m, λ), para todo m ∈ ZZ e λ ∈ IR.
De fato, sendo m ∈ ZZ e λ ∈ IR quaisquer, obtemos que
f(m, λ) =
1
2π
IR
e
−ix·m
e
−it·λ
n∈
˙
ZZ
e
inx
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
e
iτt
B
δ
k
(n, τ) dτdxdt
=
n∈
˙
ZZ
IR
e
−it·λ
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
e
iτt
B
δ
k
(n, τ) dτ
1
2π
e
−ix·(m−n)
dxdt
=
IR
e
−it·λ
IR
(1 − ψ)(τ − m
3
)
τ − m
3
e
iτt
B
δ
k
(m, τ) dτdt
=
(1 − ψ)(λ − m
3
)
λ − m
3
B
δ
k
(m, λ).
A seguir, iremos encontrar uma estimativa de |||f|||
Y
s
. Pelo fato da fun¸c˜ao
ψ ∈ C
∞
0
(−1, 1), onde 0 ≤ ψ(t) ≤ 1 para todo t ∈ IR e ainda ψ(t) = 1 se |t| <
1
2
,
35
temos que (1 − ψ)(t) = 0 se |t| <
1
2
e ainda |(1 − ψ)(t)| ≤ 1, para todo t ∈ IR, logo
|||f|||
Y
s
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1 +
τ − n
3
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
B
δ
k
(n, τ)
2
dτ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
1+
τ −n
3
|(1 − ψ)(τ − n
3
)|
2
|τ − n
3
|
2
B
δ
k
(n, τ)
2
dτ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
|(1 − ψ)(τ − n
3
)|
|τ − n
3
|
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
≤
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
(1 + |τ − n
3
|)
|τ − n
3
|
2
B
δ
k
(n, τ)
2
dτ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
B
δ
k
(n, τ)
|τ − n
3
|
dτ
2
1/2
.
Se |τ − n
3
| ≥
1
2
, ent˜ao 1 +|τ − n
3
| ≤ 2 |τ − n
3
|+ |τ − n
3
| = 3 |τ − n
3
| donde
resulta que
1
|τ − n
3
|
≤
3
1 + |τ − n
3
|
e ainda
1
|τ − n
3
|
2
≤
9
(1 + |τ − n
3
|)
2
. Portanto
temos que existe C > 0, tal que
|||f|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
+ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
+ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
.
36
Devido ao fato de |||(2.20)|||
Y
s
≤ C|||f|||
Y
s
, obtemos existe C > 0, tal que
|||(2.20)|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
+ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
. (2.25)
Estimativa de |||(2.21)|||
Y
s
.
Com o objetivo de simplificar a nota¸c˜ao, definimos f : T × IR → C, onde
f(x, t) = ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
(τ − n
3
)
B
δ
k
(n, τ) dτ,
para quaisquer x ∈ T e t ∈ IR. Devido a defini¸c˜ao da fun¸c˜ao f, temos para todo
x ∈ T e t ∈ IR que
(2.21) = −if(x, t).
Portanto
|||(2.21)|||
Y
s
= |||if|||
Y
s
= |||f|||
Y
s
.
Ent˜ao para obter uma estimativa de |||(2.21)|||
Y
s
basta encontrar uma ma-
jora¸c˜ao para |||f|||
Y
s
.
Afirmamos que
f(m, λ) =
ψ(λ − m
3
)
IR
(1 − ψ)(τ − m
3
)
(τ − m
3
)
B
δ
k
(m, τ) dτ, para
quaisquer m ∈ ZZ e λ ∈ IR.
De fato, pois fixados m ∈ ZZ e λ ∈ IR, obtemos que
f(m, λ) =
1
2π
IR
e
−ix·m
e
−it·λ
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
(τ − n
3
)
B
δ
k
(n, τ) dτdxdt
=
IR
e
−it·λ
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
in
3
t
1
2π
e
−ix·(m−n)
dx
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
(τ − n
3
)
B
δ
k
(n, τ) dτdt
=
IR
e
−it·(λ−m
3
)
ψ(t)
IR
(1 − ψ)(τ − m
3
)
(τ − m
3
)
B
δ
k
(m, τ) dτdt
=
ψ(λ − m
3
)
IR
(1 − ψ)(τ − m
3
)
(τ − m
3
)
B
δ
k
(m, τ) dτ.
37
Na sequˆencia encontraremos uma estimativa para |||f|||
Y
s
,
|||f|||
Y
s
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1+
λ−n
3
ψ(λ−n
3
)
IR
(1−ψ)(τ −n
3
)
τ −n
3
B
δ
k
(n, τ)dτ
2
dλ
1/2
+
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
ψ(λ−n
3
)
IR
(1−ψ)(τ −n
3
)
τ −n
3
B
δ
k
(n, τ)dτ
dλ
2
1/2
=
IR
(1+|λ
|)
ψ(λ
)
2
dλ
1/2
·
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
(1−ψ)(τ −n
3
)
τ −n
3
B
δ
k
(n, τ)dτ
2
1/2
+
IR
ψ(λ
)
dλ
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
B
δ
k
(n, τ)dτ
2
1/2
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
B
δ
k
(n, τ) dτ
2
1/2
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
(1 − ψ)(τ − n
3
)
τ − n
3
B
δ
k
(n, τ)
dτ
2
1/2
,
onde a pen´ultima desigualdade decorre do fato que a fun¸c˜ao ψ pertence ao espa¸co
de Schwartz.
Pelo fato de 0 ≤ ψ(t) ≤ 1, para todo t ∈ IR e ψ(τ − n
3
) ≡ 1, sempre que
|τ − n
3
| <
1
2
, obtemos ent˜ao que |(1 − ψ)(τ − n
3
)| = 0, se |τ − n
3
| <
1
2
. Usando este
fato, por |(1 − ψ)(t)| ≤ 1, para to do t ∈ IR e ainda que
1
|τ − n
3
|
≤
3
1 + |τ − n
3
|
se
|τ − n
3
| ≥
1
2
, obtemos ent˜ao que existe C > 0, onde
|||f|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
|τ−n
3
|≥
1
2
B
δ
k
(n, τ)
|τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
.
Portanto, existe C > 0 de modo que
38
|||(2.21)|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
. (2.26)
A partir das rela¸c˜oes (2.22), (2.24), (2.25) e (2 .26) obtemos o seguinte resul-
tado.
Proposi¸c˜ao 2.2 Fixado 0 < δ < 1 qualquer, ent˜ao existe C > 0 de modo que
|||T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
+ Cϕ
k
H
s
( )
+ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
, (2.27)
para quaisquer u
0
, u
1
, . . . , u
k
∈ Y
s
.
Devido a defini¸c˜ao de B
δ
k
, faremos uso de duas estimativas bilineares, cuja
demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em ([B], p.214).
Proposi¸c˜ao 2.3 Existe C > 0, de modo que para quaisquer f, g ∈ X
s
, com t-suporte
no intervalo [−δ, δ], temos
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
| w
fg
(n, τ)|
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
≤ Cδ
1/12
|||f|||
X
s
|||g|||
X
s
, (2.28)
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
| w
fg
(n, τ)|
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤ Cδ
1/12
|||f|||
X
s
|||g|||
X
s
, (2.29)
onde w
fg
= ∂
x
(f · g).
Portanto, para qualquer 0 < δ < 1 e u
0
, u
1
, . . . , u
k
∈ Y
s
, temos que existe
C > 0, tal que
39
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1
2
k
j=0
k
j
[∂
x
(ψ
δ
u
k−j
· ψ
δ
u
j
)](n, τ )
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
≤ C
k
j=0
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
∂
x
k
j
ψ
δ
u
k−j
· ψ
δ
u
j

(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
≤
k
j=0
Cδ
1/12
|||
k
j
ψ
δ
u
k−j
|||
X
s
|||ψ
δ
u
j
|||
X
s
= Cδ
1/12
k
j=0
k
j
|||ψ
δ
u
k−j
|||
X
s
|||ψ
δ
u
j
|||
X
s
.
Ainda devido a Proposi¸c˜ao 2 .3, obtemos que existe C > 0, de modo que
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1
2
k
j=0
k
j
[∂
x
(ψ
δ
u
k−j
· ψ
δ
u
j
)](n, τ )
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤ C
k
j=0
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
∂
x
k
j
ψ
δ
u
k−j
· ψ
δ
u
j

(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤
k
j=0
Cδ
1/12
|||
k
j
ψ
δ
u
k−j
|||
X
s
|||ψ
δ
u
j
|||
X
s
= Cδ
1/12
k
j=0
k
j
|||ψ
δ
u
k−j
|||
X
s
|||ψ
δ
u
j
|||
X
s
,
40
para quaisquer u
0
, u
1
, . . . , u
k
∈ Y
s
.
Logo pela rela¸c˜ao (2.27) e as desigualdades acima, obtemos para qualquer
0 < δ < 1 que existe C > 0, de modo que
|||T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/12
k
j=0
k
j
|||ψ
δ
u
k−j
|||
X
s
|||ψ
δ
u
j
|||
X
s
+Cϕ
k
H
s
( )
, (2.30)
onde u
0
, u
1
, . . . , u
k
∈ Y
s
s˜ao quaisquer.
O Lema a seguir ´e extremamente essencial para finalizarmos a demonstra¸c˜ao
da Proposi¸c˜ao 1.1, pois ele nos garante, para cada 0 < δ < 1, que existe uma cons-
tante C = C(
1
48
) positiva, onde |||ψ
δ
v|||
X
s
≤ Cδ
−1/48
|||v|||
X
s
para qualquer v ∈ X
s
.
Na demonstra¸c˜ao deste resultado ser´a utilizado alguns argumentos de interpola¸c˜ao.
Lema 2.1 Seja 0 < δ < 1 qualquer. Ent˜ao para qualquer 0 < ε < 1 existe uma
constante C = C(ε) > 0, de modo que para qualquer u ∈ X
s
temos
|||ψ
δ
u|||
X
s
≤ Cδ
−ε
|||u|||
X
s
. (2.31)
Demonstra¸c˜ao: Fixemos 0 < ε < 1 qualquer. Pelo fato que
|||v|||
X
s
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1 + |λ − n
3
|
|v(n, λ)|
2
dλ
1/2
,
para qualquer v ∈ X
s
, ent˜ao para que a rela¸c˜ao (2.31) seja v´alida basta mostrar que
existe C > 0, de modo que para qualquer n ∈
˙
ZZ e u ∈ X
s
IR
1 + |λ − n
3
|
ψ
δ
u(n, λ)
2
dλ ≤ Cδ
−2ε
IR
1 + |λ − n
3
|
|u(n, λ)|
2
dλ. (2.32)
Fixemos ent˜ao u ∈ X
s
qualquer. Temos que a rela¸c˜ao (2.32) ´e equivalente
`a seguinte desigualdade
IR
(1 + |τ|)
e
−in
3
t
ψ
δ
(t)u
x
(n, t)
t
(τ)
2
dτ
≤ Cδ
−2ε
IR
(1 + |τ|)
e
−in
3
t
u
x
(n, t)
t
(τ)
2
dτ, (2.33)
para qualquer n ∈
˙
ZZ .
41
Fixado n ∈
˙
ZZ qualquer, definimos para cada t ∈ IR a fun¸c˜ao h
n
onde
h
n
(t) = u
x
(n, t), ent˜ao a desigualdade (2.33) pode ser reescrita como
IR
(1 + |τ|)
e
−in
3
t
ψ
δ
(t)h
n
(t)
t
(τ)
2
dτ ≤ Cδ
−2ε
IR
(1 + |τ|)
e
−in
3
t
h
n
(t)
t
(τ)
2
dτ,
ou seja,
e
−in
3
t
ψ
δ
(t)h
n
(t)
2
H
1/2
(IR)
≤ Cδ
−2ε
e
−in
3
t
h
n
(t)
2
H
1/2
(IR)
. (2.34)
No intuito de demonstrar que a rela¸c˜ao (2.34) ´e satisfeita, utilizaremos al-
guns argumentos de interpola¸c˜ao.
Sendo b =
1 + ε
2
, ent˜ao para qualquer 0 ≤ ρ ≤ 1 definimos A
ρ
.
= H
ρb
(IR).
Observe que A
0
= L
2
(IR) e pelo fato de H
s
(IR) ser um espa¸co de Banach para
qualquer s ≥ 0, obtemos ent˜ao que A
ρ
´e um espa¸co de Banach para qualquer
0 ≤ ρ ≤ 1.
A seguir citaremos um resultado apenas para referˆencia futura. Este resulta-
do nos d´a uma condi¸c˜ao para que os elementos de H
s
(IR
n
) sejam fun¸c˜oes cont´ınuas.
Lema 2.2 Seja s >
n
2
. Ent˜ao H
s
(IR
n
) pode ser imerso continuamente em C
∞
(IR
n
)
(a cole¸c˜ao das fun¸c˜oes cont´ınuas de IR
n
em C que tendem a zero quando |x| → ∞)
e vale a seguinte desigualdade
f
L
∞
(IR
n
)
≤
1
(2π)
n
IR
1
(1 + |ξ|
2
)
s
dξ
1/2
f
H
s
(IR
n
)
.
A demonstra¸c˜ao deste lema pode ser encontrada em ([I], p.340).
Em ([SW], p.211) encontramos o seguinte resultado.
Lema 2.3 Sendo A
0
e A
1
dois espa¸cos de Banach e T ´e um operador linear de
A
0
+A
1
em A
0
+A
1
, onde T leva A
j
em A
j
, para j = 0, 1 e ainda existem constantes
M
0
e M
1
, de modo que T a
A
j
≤ M
j
a
A
j
, j = 0, 1 e a ∈ A
j
, ent˜ao T leva A
ρ
em
A
ρ
e ainda T a
A
ρ
≤ M
(1−ρ)
0
M
ρ
1
a
A
ρ
, para qualquer 0 ≤ ρ ≤ 1 e a ∈ A
ρ
.
42
Com o objetivo mostrar que a rela¸c˜ao (2.34) ´e satisfeita, iremos aplicar
o Lema acima com T sendo o operador multiplica¸c˜ao por ψ
δ
, mais precisamente,
T (f)(t) = ψ
δ
(t)f(t), para qualquer fun¸c˜ao f : IR → IR. Claramente T ´e linear.
Seja f ∈ L
2
(IR) qualquer, pelo fato de ψ
δ
∈ C
∞
0
(−δ, δ), onde 0 ≤ ψ
δ
(t) ≤ 1,
temos que
T f
2
L
2
(IR)
=
IR
[ψ
δ
f](t)
2
dt =
IR
|ψ
δ
f(t)|
2
dt ≤
IR
|f(t)|
2
dt =f
2
L
2
(IR)
. (2.35)
Portanto o operador T leva A
0
em A
0
.
A seguir mostraremos que existe C > 0 de modo que para qualquer f ∈ A
1
´e v´alida a seguinte estimativa
T f
A
1
≤ Cδ
2(1−2b)
f
A
1
,
donde resulta que T leva A
1
em A
1
.
Fixemos f ∈ A
1
qualquer. Devido o fato que
1
2
< b < 1, obtemos ent˜ao que
(1 + |τ|)
2b
≤
1 + 2
b
1 + |τ|
2b
, para qualquer τ ∈ IR. Portanto temos que
T f
2
A
1
=
IR
(1 + |τ|)
2b
T f(τ)
2
dτ
≤ C
IR
1 + |τ|
2b
[ψ
δ
f](τ)
2
dτ
= C
IR
[ψ
δ
f](τ)
2
dτ (2.36)
+ C
IR
|τ|
2b
[ψ
δ
f](τ)
2
dτ. (2.37)
Nosso objetivo ent˜ao ´e obter majora¸c˜oes para as rela¸c˜oes (2.36) e (2.37).
Devido a rela¸c˜ao (2.35), obtemos que
(2.36) ≤ Cf
2
L
2
(IR)
.
Pelo fato que f
L
2
(IR)
≤ f
A
1
para qualquer f ∈ A
1
e como 1 < δ
2(1−2b)
,
ent˜ao obtemos que
(2.36) ≤ Cδ
2(1−2b)
f
2
A
1
. (2.38)
43
Com o objetivo de obter uma estimativa para a rela¸c˜ao (2 .37), para qualquer
g ∈ H
b
(IR) definimos D
b
g : IR → IR, onde para todo x ∈ IR temos
D
b
g(x) =
IR
e
ix·λ
|λ|
b
g(λ) dλ.
Temos ent˜ao para qualquer τ ∈ IR que
D
b
g(τ) = |τ|
b
g(τ ).
Portanto
(2.37) = C
IR
|τ|
2b
[ψ
δ
f](τ)
2
dτ
= C
IR
[D
b
(ψ
δ
f)](τ)
2
dτ
= C
D
b
(ψ
δ
f)
2
L
2
(IR)
, (2.39)
ent˜ao o nosso objetivo ent˜ao ser´a encontrar uma estimativa para a rela¸c˜ao (2.39).
Em ([KPV1] , p.614) pode ser encontrada a demonstra¸c˜ao do seguinte resul-
tado.
Lema 2.4 Caso 0 < α < 1 e 1 < p < ∞, ent˜ao
D
α
(gh) − hD
α
g − gD
α
h
L
p
(IR)
≤ Cg
L
∞
(IR)
D
α
h
L
p
(IR)
.
Aplicando o Lema acima com α = b, p = 2, g = ψ
δ
e h = f, obtemos que
D
b
(ψ
δ
f)
L
2
(IR)
≤ Cψ
δ
L
∞
(IR)
D
b
f
L
2
(IR)
+
fD
b
ψ
δ
L
2
(IR)
+
ψ
δ
D
b
f
L
2
(IR)
. (2.40)
Pelo fato que ψ
δ
∈ C
∞
0
(−δ, δ), onde 0 ≤ ψ
δ
(t) ≤ 1 para todo t ∈ IR, resulta
que ψ
δ
L
∞
(IR)
≤ 1 e ainda ψ
δ
L
2
(IR)
≤ C.
Ent˜ao decorre da desigualdade de H¨older que
ψ
δ
D
b
f
L
2
(IR)
≤ ψ
δ
L
2
(IR)
D
b
f
L
2
(IR)
≤ C
D
b
f
L
2
(IR)
.
44
Devido a defini¸c˜ao de D
b
f, temos ent˜ao que
D
b
f
L
2
(IR)
=
IR
|τ|
2b
f(τ)
2
dτ
1/2
≤
IR
(1 + |τ|)
2b
f(τ)
2
dτ
1/2
= f
A
1
.
Portanto devido as rela¸c˜oes acima obtemos que
D
b
(ψ
δ
f)
L
2
(IR)
≤ Cf
A
1
+
fD
b
ψ
δ
L
2
(IR)
. (2.41)
A seguir buscaremos uma estimativa para
fD
b
ψ
δ
L
2
(IR)
.
Devido o fato de f ∈ H
b
(IR) = A
1
com
1
2
< b < 1, temos pelo Lema 2.2 que
existe C = C(
1
2
) > 0 de modo que
f
L
∞
(IR)
≤ Cf
A
1
.
Portanto obtemos que
fD
b
ψ
δ
L
2
(IR)
≤ f
L
∞
(IR)
D
b
ψ
δ
L
2
(IR)
≤ Cf
A
1
D
b
ψ
δ
L
2
(IR)
. (2.42)
Usando o fato que
ψ
δ
(τ) = δ
ψ(δτ) para todo τ ∈ IR, temos ent˜ao que existe
C = C(ψ) > 0, tal que
D
b
ψ
δ
2
L
2
(IR)
=
IR
|τ|
2b
ψ
δ
(τ)
2
dτ
=
IR
|τ|
2b
δ
ψ(δτ)
2
dτ
=
IR
µ
δ
2b
δ
ψ(µ)
2
dµ
≤ δ
(1−2b)
IR
(1 + |µ|
2
)
ψ(µ)
2
dµ
≤ Cδ
2(1−2b)
,
pois a fun¸c˜ao ψ pertence ao espa¸co de Schwartz e 1 < δ
(1−2b)
.
Logo devido a rela¸c˜ao (2.42) e a ´ultima desigualdade, obtemos que
fD
b
ψ
δ
L
2
(IR)
≤ Cδ
(1−2b)
f
A
1
. (2.43)
Usando o fato que 1 < δ
(1−2b)
e devido as rela¸c˜oes (2.41) e (2.43) temos que
D
b
(ψ
δ
f)
2
L
2
(IR)
≤ Cδ
2(1−2b)
f
2
A
1
. (2.44)
45
Segue ent˜ao das rela¸c˜oes (2.38), (2.39) e (2.44) que
T f
2
A
1
≤ Cδ
2(1−2b)
f
2
A
1
.
Novamente usando o fato que 1 < δ
(1−2b)
obtemos que
T f
A
1
≤ Cδ
2(1−2b)
f
A
1
. (2.45)
Pelo fato das hip´oteses do Lema 2 .3 estarem satisfeitas, onde as constantes
M
0
e M
1
s˜ao respectivamente 1 e Cδ
2(1−2b)
, temos ent˜ao que
e
−in
3
t
ψ
δ
(t)h
n
(t)
A
ρ
≤ Cδ
2(1−2b)ρ
e
−in
3
t
h
n
(t)
A
ρ
,
para qualquer 0 ≤ ρ ≤ 1.
Tomando ρ =
1
2b
, temos que ρb =
1
2
e pelo fato que δ
−2ε
(1+ε)
≤ δ
−2ε
, obtemos
e
−in
3
t
ψ
δ
(t)h
n
(t)
H
1/2
(IR)
≤ Cδ
(1−2b)
b
e
−in
3
t
h
n
(t)
H
1/2
(IR)
= Cδ
2(1−1−ε)
1+ε
e
−in
3
t
h
n
(t)
H
1/2
(IR)
= Cδ
−2ε
(1+ε)
e
−in
3
t
h
n
(t)
H
1/2
(IR)
≤ Cδ
−2ε
e
−in
3
t
h
n
(t)
H
1/2
(IR)
,
donde resulta que a rela¸c˜ao (2.34) ´e satisfeita.
Pelo fato de n ∈
˙
ZZ ser qualquer, temos que a rela¸c˜ao (2.34) ´e satisfeita
para todo n ∈
˙
ZZ , donde resulta que ´e v´alida a rela¸c˜ao (2.32) para qualquer n ∈
˙
ZZ ,
ou seja, existe C = C(ε) > 0 de modo que
|||ψ
δ
u|||
X
s
≤ Cδ
−ε
|||u|||
X
s
,
o que conclui demonstra¸c˜ao do Lema 2.1.
Devido a rela¸c˜ao (2.30) e ao Lema 2.1 aplicado com ε =
1
48
obtemos para
qualquer 0 < δ < 1, que existe C > 0 de modo que
46
|||T
δ
k
(u
0
, u
1
, . . . , u
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/12
k
j=1
k
j
|||ψ
δ
u
k−j
|||
X
s
|||ψ
δ
u
j
|||
X
s
+ Cϕ
k
H
s
( )
≤ Cδ
1/12
k
j=1
k
j
δ
−1/24
|||u
k−j
|||
X
s
|||u
j
|||
X
s
+ Cϕ
k
H
s
( )
≤ Cδ
1/24
k
j=1
k
j
|||u
k−j
|||
Y
s
|||u
j
|||
Y
s
+ Cϕ
k
H
s
( )
para quaisquer u
0
, u
1
, . . . , u
k
∈ Y
s
, pois ||| · |||
X
s
≤ ||| · |||
Y
s
, desse modo concluindo a
demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1.
2.2 Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.2
Esta se¸c˜ao tem por objetivo demonstrar a Proposi¸c˜ao 1.2, cujo resultado,
juntamente com a Proposi¸c˜ao 1.1, foi essencial para demonstrarmos o Lema 1.7, e
consequentemente, concluir que o operador T
δ
´e uma contra¸c˜ao em um conjunto
apropriado de A(Y
s
). A princ´ıpio vamos enunciar novamente a referida proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.4 Se 0 < δ < 1, ent˜ao existe uma constante C > 0, de modo que
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/24
k
j=0
k
j
|||w
k−j
+ v
k−j
|||
Y
s
|||w
j
− v
j
|||
Y
s
,
para quaisquer w
0
, v
0
, w
1
, v
1
, . . . , w
k
, v
k
∈ Y
s
.
Demonstra¸c˜ao: Fixado k ∈ IN qualquer, temos ent˜ao que
T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)
= −
t
0
W (t − τ)B
δ
k
(w, w)(x, τ) dτ +
t
0
W (t − τ)B
δ
k
(v, v)(x, τ) dτ
= −
t
0
W (t − τ)
B
δ
k
(w, w) − B
δ
k
(v, v)
(x, τ) dτ. (2.46)
Com objetivo de reescrever a rela¸c˜ao acima de outra forma, temos que
47
B
δ
k
(w, w) − B
δ
k
(v, v)
=
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
(ψ
δ
w
k−j
ψ
δ
w
j
) −
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
(ψ
δ
v
k−j
ψ
δ
v
j
)
=
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
ψ
2
δ
(w
k−j
w
j
− v
k−j
v
j
)
=
1
2
∂
x
ψ
2
δ
w
k
w
0
− w
k
v
0
+ v
k
w
0
− v
k
v
0
+ k(w
k−1
w
1
− w
k−1
v
1
+ v
k−1
w
1
− v
k−1
v
1
)
+
k(k − 1)
2
(w
k−2
w
2
− w
k−2
v
2
+ v
k−2
w
2
− v
k−2
v
2
) + . . .
+
k(k − 1)
2
(w
2
w
k−2
− w
2
v
k−2
+ v
2
w
k−2
− v
2
v
k−2
)
+k(w
1
w
k−1
− w
1
v
k−1
+ v
1
w
k−1
− v
1
v
k−1
) + w
0
w
k
− w
0
v
k
+ v
0
w
k
− v
0
v
k
=
1
2
∂
x
ψ
2
δ
(w
k
+ v
k
)(w
0
− v
0
) + k(w
k−1
+ v
k−1
)(w
1
− v
1
)
+
k(k − 1)
2
(w
k−2
+ v
k−2
)(w
2
− v
2
) + . . . +
k(k − 1)
2
(w
2
+ v
2
)(w
k−2
− v
k−2
)
+k(w
1
+ v
1
)(w
k−1
− v
k−1
) + (w
0
+ v
0
)(w
k
− v
k
)
=
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
) · ψ
δ
(w
j
− v
j
)
= B
δ
k
(w
k−j
+ v
k−j
, w
j
− v
j
)
.
=
˜
B
δ
k
.
Portanto, pela rela¸c˜ao (2.46) e a igualdade acima, temos que
T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
) = −
t
0
W (t − τ)
˜
B
δ
k
(x, τ) dτ. (2.47)
Procedendo de maneira an´aloga `a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.1, podemos
reescrever a rela¸c˜ao (2.47) da seguinte maneira,
48
T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)
=+i
∞
j=1
i
j
j!
t
j
ψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
ψ
λ − n
3
λ − n
3
j−1
˜
B
δ
k
(n, λ) dλ (2.48)
+iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
inx
∞
−∞
(1 − ψ) (λ − n
3
)
λ − n
3
e
itλ
˜
B
δ
k
(n, λ) dλ (2.49)
−iψ(t)
n∈
˙
ZZ
e
i
(
nx+n
3
t
)
∞
−∞
(1 − ψ) (λ − n
3
)
λ − n
3
˜
B
δ
k
(n, λ) dλ, (2.50)
onde a seguinte estimativa ´e satisfeita,
|||(2.48)|||
Y
s
+ |||(2.49)|||
Y
s
+ |||(2.50)|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
˜
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
+C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
˜
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
.
Portanto, obtemos que ´e v´alida a seguinte estimativa
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)|||
Y
s
≤ C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
˜
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
(2.51)
+C
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
˜
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
. (2.52)
A seguir o nosso objetivo ser´a obter estimativas para as rela¸c˜oes (2.51) e
(2.52).
Devido a defini¸c˜ao de
˜
B
δ
k
e a Proposi¸c˜ao 2.3, temos que
49
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
˜
B
δ
k
(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
) · ψ
δ
(w
j
− v
j
)

(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
≤ C
k
j=0
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
∂
x
k
j
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
) · ψ
δ
(w
j
− v
j
)

(n, τ)
2
1 + |τ − n
3
|
dτ
1/2
≤
k
j=0
Cδ
1/12
|||
k
j
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
)|||
X
s
|||ψ
δ
(w
j
− v
j
)|||
X
s
= Cδ
1/12
k
j=0
k
j
|||ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
)|||
X
s
|||ψ
δ
(w
j
− v
j
)|||
X
s
.
Ainda pela defini¸c˜ao de
˜
B
δ
k
e a Proposi¸c˜ao 2.3, obtemos que
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
˜
B
δ
k
(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
=
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
1
2
k
j=0
k
j
∂
x
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
) · ψ
δ
(w
j
− v
j
)

(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤ C
k
j=0
n∈
˙
ZZ
|n|
2s
IR
∂
x
k
j
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
) · ψ
δ
(w
j
− v
j
)

(n, τ)
1 + |τ − n
3
|
dτ
2
1/2
≤
k
j=0
Cδ
1/12
|||
k
j
ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
)|||
X
s
|||ψ
δ
(w
j
− v
j
)|||
X
s
≤ Cδ
1/12
k
j=0
k
j
|||ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
)|||
X
s
|||ψ
δ
(w
j
− v
j
)|||
X
s
,
50
Portanto para quaisquer w
0
, v
0
, w
1
, v
1
, . . . , w
k
, v
k
∈ Y
s
e 0 < δ < 1, obtemos
que existe C > 0 de modo que
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/12
k
j=0
k
j
|||ψ
δ
(w
k−j
+ v
k−j
)|||
X
s
|||ψ
δ
(w
j
− v
j
)|||
X
s
.
Agora utilizando o Lema 2 .1, aplicado com ε =
1
48
, temos que para cada
0 ≤ j ≤ k que
|||ψ
δ
(w
j
+ v
j
)|||
X
s
≤ δ
−1/48
|||w
j
+ v
j
|||
X
s
,
e tamb´em que
|||ψ
δ
(w
j
− v
j
)|||
X
s
≤ δ
−1/48
|||w
j
− v
j
|||
X
s
.
Devido as rela¸c˜oes acima e o fato que ||| · |||
X
s
≤ ||| · |||
Y
s
, obtemos ent˜ao
para cada 0 < δ < 1 fixo, que existe uma constante C > 0, de modo que a seguinte
desigualdade ´e satisfeita
|||T
δ
k
(w
0
, w
1
, . . . , w
k
) − T
δ
k
(v
0
, v
1
, . . . , v
k
)|||
Y
s
≤ Cδ
1/24
k
j=0
k
j
|||w
k−j
+ v
k−j
|||
Y
s
|||w
j
− v
j
|||
Y
s
,
para quaisquer w
0
, v
0
, w
1
, v
1
, . . . , w
k
, v
k
∈ Y
s
, desse modo concluindo a demonstra-
¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.2.
Referˆencias Bibliogr´aficas
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subsets and applications to nonlinear evolution equations, Part II: The
KdV–Equation, Geom. Funct. Anal., 3, (1993), 209–262.
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[CKSTT] COLLIANDER, J.; KEEL, M.; STAFFILANI, G.; TAKAOKA, H.; e
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[KPV2] KENIG, C. E.; PONCE, G.; e VEGA, L.: The Cauchy problem for the
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[KPV3] KENIG, C. E.; PONCE, G.; e VEGA, L.: A Bilinear Estimate with
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[KdV] KORTEWEG, D.J.; e de VRIES, G.: On the change of form of long
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OBERG, A.: On the Korteweg–de Vries equation: existence and uni-
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