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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA J
´
ULIO DE MESQUITA FILHO - UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
PROGRAMA DE P
´
OS-GRADUAC¸
˜
AO EM ENGENHARIA EL
´
ETRICA
Aloca¸c˜ao de P´olos com Realimenta¸c˜ao da Derivada
dos Estados usando LMIs
Candidato: Fl´avio Andrade Faria
Orientador: Prof. Dr. Edvaldo Assun¸c˜ao.
Disserta¸c˜ao apresenta da ao Pro-
grama de P´os-Gradua¸c˜ao em En-
genharia El´etrica da UNIVER-
SIDADE ESTADUAL PAULISTA
“J
´
ULIO DE MESQUITA FILHO”
- UNESP, CAMPUS DE ILHA
SOLTEIRA, para preenchimento
dos pr´e-requisitos parciais para ob-
ten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em En-
genharia El´etrica.
23 de Dezembro de 2005
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILH A SO LTEIRA
CERTIFICADO DE APROVAC¸
˜
AO
T
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ITULO: Alo ca¸c˜ao de P´olos com Realimenta¸c˜ao da Derivada dos Estados usando LMIs
Autor: FL
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AVIO ANDRADE FARIA
Orientador: Prof. Dr. EDVALDO ASSUNC¸
˜
AO
Aprovad o como parte das exigˆencias para obten¸c˜ao do T´ıtulo de MESTRE em ENGENHARIA
EL
´
ETRICA pela Comiss˜ao Examinadora:
Prof. Dr. EDVALDO ASSUNC¸
˜
AO
Departamento de En genharia El´etrica / Faculdade de E ngenharia de Ilha Solteira
Prof. Dr. MARCE LO CARVALHO M. TEIXEIRA
Departamento de En genharia El´etrica / Faculdade de E ngenharia de Ilha Solteira
Dr. HILTON CLEBER PIET ROBOM
Divis˜ao de Sistemas Espaciais - Instituto de Aeron´autica e E spa¸co - IAE - S˜ao Jos´e dos Campos
Data da realiza¸c˜ao: 23 de Dezembro de 2005.
ads:
Dedico esta disserta¸c˜ao `a minha fam´ılia,
por todo apoio, compreens˜ao, amor e
carinho que se mpre me con cederam.
Agradecimentos
Dedico meus sinceros agradecimentos:
– `a Deus, por n˜ao olhar minhas faltas e me ajudar, concedendo sa´ude e inteligˆecia;
– ao professor doutor Edvaldo Assun¸c˜ao, pela orienta¸c˜ao e incentivo;
– ao professor doutor Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira, por todo apoio e aten¸c˜ao;
– Prof
a
. Dr
a
. Neusa A. P. da Silva do Departamento de Matem´atica da FEIS, pela
ajuda em algumas demonstra¸c˜oes de teoremas.
– as funcion´arias da se¸c˜ao de p´os-g radua¸c˜ao, pelo bom atendimento;
– aos meus amigos da P´os-gradua¸c˜ao, com quem muito aprendi;
– `a CAPES, pelo apoio financeiro;
“A lei tura f az o homem completo.
A conversa¸c˜ao o torna ´agil. E o
escrever o le va a ser preciso.”
Francis Bacon (1561–1626),
fil´osofo inglˆes.
Resumo
Este trabalho abor da t´ecnicas de controle em sistemas lineares realimentados com
a derivada dos estados. Apresenta-se uma nova t´ecnica de aloca¸c˜ao de p´olos, de forma
que a resposta do sistema em malha fechada atenda alguns ´ındices de desempenho. O
projeto pa ra o controlador ´e desenvolvido na forma de LMIs. Esse tipo de projeto ´e mais
flex´ıvel no trata mento de robustez. Por´em, ´e bem complicado inserir restri¸c˜oes cl´assicas
de ´ındice de desempenho em LMIs. Para resolver essa situa¸c˜ao usa-se o conceito de esta-
bilidade regional (ou D-e s tabi l i dade) de sistemas. S˜ao apresentadas condi¸c˜oes necess´a r ia s
e suficientes para a D-estabilidade de sistemas lineares, realiment ados com a derivada
dos estados. Tamb´em s˜ao encontradas condi¸c˜oes de suficiˆencia para a D-es tabi l i dade em
sistemas com incertezas polit´opicas nos parˆametros. Apresenta-se a analogia que existe
entre LMIs para sistemas com incertezas polit´opicas e LMIs para sistemas variantes no
tempo. A eficiˆencia da metodologia apresentada ´e avaliada atrav´es da solu¸c˜ao de exemplos
num´ericos.
Abstract
This work focuses control techniques in linear systems using only state-derivative feed-
back. It presents new techniques for pole-placement, where the transient response of a
linear system is specified by design constraints. The design of t he controller is described
in LMI framework. This framework is more flexible on the design of robust systems.
However, it is more difficulty to incorporate classical design constraints in LMIs. The
problem is solved using D-stability concept. We propo sed necessary and sufficient condi-
tions for D-stability of linear system using state derivative feedback. Are also proposed
sufficient conditions to uncertain linear system and time-varying systems with b ounded
parameters. The validity and applicability of this approach are illustrated by examples.
Lista de Figuras
1 Regi˜ao S(γ, r, θ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21
2 Sistema Mecˆanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37
3 Sistema alocado na regi˜ao S(3, 6, 45
o
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39
4 Entrada de controle u(t) do Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39
5 Sistema alocado na regi˜ao S(5, 8, 0
o
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 4 1
6 Entrada de controle u(t) do Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
7 Sistema alocado na regi˜ao S(5.5 , 7, 30
o
). . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
8 Entrada de controle u(t) do Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
9 Sistema alocado na regi˜ao S(2, 30, 60
o
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46
Lista de Tabelas
1 Exemplo 5.1 - Localiza¸c˜ao dos p´olos do sistema controlado . . . . . . . p. 38
2 Exemplo 5.2 - Localiza¸c˜ao dos p´olos do sistema controlado . . . . . . . p. 41
3 Exemplo 5.3 - Localiza¸c˜ao dos p´olos do sistema controlado . . . . . . . p. 42
4 Exemplo 5.4 - Localiza¸c˜ao dos p´olos do sistema incerto . . . . . . . . . p. 45
Sum´ario
Introdu¸c˜ao p. 11
1 Conceitos iniciais p. 15
2 Realimenta¸c˜ao da derivada dos estados p. 17
2.1 Realimenta¸c˜ao em sistemas lineares e invar ia ntes no tempo . . . . . . . p. 17
2.2 Condi¸c˜ao de estabilidade: projeto do controlador . . . . . . . . . . . . p. 18
3 Aloca¸c˜ao de P´olos usando D-estabilidade p. 20
3.1 T´ecnicas de Projeto usando D-estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
3.2 Projeto de um controlador D-est´avel usando realimenta¸c˜ao derivativa . p. 25
4 Aloca¸c˜ao de P´olos usando D-estabilidade em sistemas incertos p. 30
4.1 A D-estabilidade de sistemas lineares incertos . . . . . . . . . . . . . . p. 30
4.2 A D-estabilidade em sistemas lineares variantes no tempo . . . . . . . . p. 35
5 Exemplos Pr´aticos p. 36
5.1 Exemplo 1 - Sistema Mecˆanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
5.2 Exemplo 2 - Alimentador para manufatura de papel . . . . . . . . . . . p. 38
5.3 Exemplo 3 - Sistema MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43
Conclus˜oes p. 48
Referˆencias p. 49
Apˆendice A p. 51
A.1 Formas Hermitianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51
11
Introdu¸c˜ao
O conceito de realimenta¸c˜a o de sistemas constitui a base da Teoria de Controle Mo-
derno e existe uma vasta literatura sobre esse assunt o ((OGATA, 2000),(DORF; BISHOP,
2001),(CHEN, 1999)). As t´ecnicas mais usadas para realimentar os sistemas s˜ao a reali-
menta¸c˜ao da sa´ıda ou dos estados.
Neste texto utiliza-se uma outra forma de realimenta¸c˜ao, que ´e a realimenta¸c˜ao da
derivada dos estados (realimenta¸c˜ao derivativa).
A motiva¸c˜ao para esse trabalho vem dos sistemas mecˆanicos para controle de vi-
bra¸c˜oes (ABDELAZIZ; VAL
´
A
ˇ
SEK, 2004). Os sensores mais usados nestes sistemas s˜ao os
acelerˆometros. A partir da acelera¸c˜ao ´e poss´ıvel obter a velocidade com boa precis˜ao,
por´em ´e mais complexo obter o deslocamento. Logo os sinais usados para realimentar
esses sistemas s˜ao: a acelera¸c˜ao e a velocidade e estes s˜ao justamente as derivadas da
velocidade e da posi¸c˜ao que podem r epresentar os estados do sistema.
Um exemplo espec´ıfico pode ser encontrado em (TRINDADE; BENJEDDOU; OHAYON,
2001) onde os auto r es desenvolveram controladores para um sistema de amortecimento
ativo de vibra¸c˜oes. Primeiro eles projetaram um controlador ´otimo com realimenta¸c˜a o de
estados. Como esse tipo de controlador necessita que todos os estados estejam dispon´ıveis
para a realimenta¸c˜ao, foi necess´ario adicionar um observador de estados ao projeto do con-
trolador. Por´em os sinais medidos na sa´ıda do sistema s˜ao velocidades! Alternativamente,
eles projetaram e aplicaram uma realimenta¸c˜ao derivativa no sistema. Isso permitiu a im-
plementa¸c˜ao de um outro controlador mais simples e barato.
O uso da realimenta¸c˜ao derivativa em sistemas lineares tem sido explorada nos ´ultimos
anos. Alguns pesquisadores procuram desenvolver m´etodos similares aos j´a existentes para
a realimenta¸c˜ao de estados, por exemplo (ABDELAZIZ; VAL
´
A
ˇ
SEK, 2004) desenvolveram
uma f´ormula de Ackermann generalizada para sistemas lineares (SISO) sob r ealimenta¸c˜ao
derivativa.
Introdu¸c˜ao 12
A realimenta¸c˜ao derivativa ´e imprescind´ıvel para o estudo de modelos em espa¸co de
estados generalizados (ou sistemas descritores). Um sistema descritor tem a seguinte
forma:
E ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), (1)
sendo E, A ∈ R
n×n
, B ∈ R
n×m
, u(t) ∈ R
m
e x(t) ∈ R
n
.
Se a matriz E ´e invers´ıvel (det(E) = 0), basta multiplicar ( 1) `a esquerda por E
−1
para obter
˙x(t) = A
E
x(t) + B
E
u(t), sendo A
E
= E
−1
A, B
E
= E
−1
B.
Logo o comportamento do sistema (1) se torna equivalente ao comp ortamento de um
sistema na forma padr˜ao ( ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) ).
O processo de passar o sistema (1 ) para o formato padr˜ao ´e chamado de processo de
padroniza¸c˜ao, sistemas em que isso ´e poss´ıvel (det(E) = 0) s˜ao chamados de sistemas
regulares (ou padroniz´aveis).
O problema surge justamente quando a matriz E ´e singular (det(E) = 0). Sistemas
com essa caracter´ıstica tamb´em s˜ao conhecidos na literatura como sistemas singulares.
A resposta dinˆamica de um sistema singular ´e estruturalmente complicada tendo formas
impulsivas e ausˆencia de unicidade nas solu¸c˜oes. O que dificulta muito a sua manipula¸c˜a o.
Uma maneira de tratar sistemas singulares ´e com o uso da realimenta¸c˜ao derivativa
(u = −K ˙x(t)), ela permite a padro niza¸c˜ao desses sistemas alterando a estutura da matriz
(E + BK).
Existem muitos artigos tratando de sistemas singulares sob realimenta¸c˜ao derivativa.
Lewis e Syrmos (LEWIS; SYRMOS, 1991) obtveram resultados te´oricos abordando o pro-
blema sob o po nto de vista da teoria geom´etrica. Eles usaram uma equa¸c˜ao generalizada
de Lyapunov e encont raram uma t´ecnica est´avel computacionalmente para manipular a es-
trutura dos autovalores (do inglˆes, eigenstructure) do sistema. Em 1992, Bunse-Gerstner,
Mehrmann e Nichols (BUNSE-GERSTNER; MEHRMANN; NICHOLS, 1992 ) trataram os siste-
mas (1) para o caso cont´ınuo e discreto. Todos os procedimentos te´oricos apresentados
foram desenvolvidos usando decomposi¸c˜ao em matrizes ortogonais, o que torna o s pro-
cedimentos apresentados aplic´aveis computacionalmente. Em (BUNSE-GERSTNER et al.,
1999) os sistemas descritores s˜ao analisados usando a forma canˆonica de Weierstrass e
a estrutura dos autovalores do sistema. Garcia-Planas (GARCIA-PLANAS, 2003 ) estudou
o comportamento dos sistemas singulares desenvolvendo t´ecnicas que garantem a padro-
Introdu¸c˜ao 13
niza¸c˜ao e a controlabilidade do sistema (1) sob realimenta¸c˜ao derivativa e proporcional
(u = Lx(t) − K ˙x(t)), apenas pela an´alise das matrizes (E, A, B). Duan (DUAN; IRWIN;
LIU, 1999) tamb´em estudou sistemas singulares sob realimenta¸c˜ao derivativa e propo r ci-
onal. Ele encontrou condi¸c˜oes para a padroniza¸c˜ao e estabilidade de sistemas singulares
atrav´es de duas LMIs (do inglˆes, Linear Matrix Inequalities). Os resultados obtidos foram
estendidos para o caso em que (1) possui incertezas polit´opicas nos parˆametros.
A realimenta¸c˜a o derivativa em sistemas lineares dados na forma padr˜ao ˙x(t) = Ax(t)+
Bu(t), ´e pouco usual. Neste caso a realimenta¸c˜ao de estados j´a ´e suficiente. Por´em, a
realiment a¸c˜ao derivativa representa um recurso a mais para a abordagem desses sistemas.
O objetivo deste trabalho ´e propor uma t´ecnica de a loca¸c˜ao de p´olos, em sistemas
lineares na forma padr˜ao realimentados com a derivada dos estados. Em contraste aos
trabalhos de (DUAN; IRWIN; LIU, 1999) e (GARCIA-P LANAS, 2003), a t´ecnica proposta ne-
cessita apenas da realimenta¸c˜ao derivativa (u = −K ˙x(t)). Isso permite que o projeto do
controlador seja mais simples. A aloca¸c˜ao ´e feita usando o conceito de D-estabilidade de
sistemas. Existem v´arios artigos abordando D-estabilidade, um dos trabalhos pioneiros na
´area foi (GUTMAN; JURY, 1981), onde os autores caracterizaram diversas ´areas geom´etricas
do plano complexo atr av´es de equa¸c˜oes polinomiais. Haddad (HADDAD; BERNSTEIN, 1992)
estendeu esses resultados caracterizando regi˜oes do plano complexo atrav´es de LMIs. Em
(ARZELIER; BERNUSSOU; GARCIA, 1993) o conceito da D-estabilidade foi trata do como um
problema de programa¸c˜ao linear. A realimenta¸c˜ao de estados tamb´em t em sido explorada
no tratamento da D-estabil i dade de sistemas. Em ((GARCIA; BERNUSSOU, 1995),(FU-
RUTA; KIM, 1987)), os autores usaram a realimenta¸c˜ao de estados para alocar os p´olos em
uma regi˜ao circular pr´e-definida. Chilali e Gahinet ((CHILALI; GAHINET, 1996),(CHILALI;
GAHINET; APKARIAN, 1999)) usaram o conceito de D-e s tabi l i dade para inserir restri¸c˜oes
cl´assicas de projeto (porcentagem de overshoot, temp o de subida, tempo de estabeleci-
mento, etc.) na modelagem de um controlador misto H
2
/H
∞
.
A part ir dos resultados apresentados inicialmente em (CHILALI; GAHINET, 1996), de-
senvolvemos uma nova t´ecnica de aloca¸c˜ao de p´olos atrav´es de LMIs. Neste trabalho s˜ao
propostas condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para a D-es tabi l i dade de sistemas lineares sob
realiment a¸c˜ao derivativa. Como os resultados s˜ao o btidos na forma da solu¸c˜ao de LMIs,
isso torna f´acil a sua solu¸c˜ao em computadores. Tamb´em s˜ao propostas condi¸c˜oes sufi-
cientes para a D-estabilidade em sistemas que possuem incertezas polit´opicas. Exemplos
num´ericos s˜ao resolvidos com a metodologia propo sta.
Introdu¸c˜ao 14
O texto se apresenta estruturalmente da seguinte forma:
• Cap´ıtulo 1: Apresenta conceitos matem´aticos b´asicos, necess´arios ao desenvolvi-
mento te´orico.
• Cap´ıtulo 2: Introduz o uso da realimenta¸c˜a o das derivadas de estados em sistemas
lineares. Encontra condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que sistemas lineares sob
realiment a¸c˜ao derivativa sejam assintoticamente est´aveis.
• Cap´ıtulo 3: Discute t´ecnicas de controle usando D-estabilidade e encontra condi¸c˜oes
necess´arias e suficientes para que sistemas lineares sob realimenta¸c˜ao derivativa
sejam D-est´aveis.
• Cap´ıtulo 4: Estende os resultados obtidos no Cap´ıtulo 3 e encontra condi¸c˜o es su-
ficientes para que sistemas que possuem incertezas polit´opicas sejam D-est´aveis.
Apresenta condi¸c˜o es para a D-estabilidade em sistemas lineares variantes no tempo
com parˆametros limitados.
• Cap´ıtulo 5: Testa a eficiˆencia da metodologia proposta resolvendo exemplos num´ericos
atrav´es de simula¸c˜ao em microcomputadores.
15
1 Conceitos iniciais
Para a obten¸c˜ao dos resultados desejados usa-se ao longo do texto v´arias opera¸c˜oes
matriciais. Muitas dessas opera¸c˜oes j´a s˜ao bem conhecidas da
´
Algebra Linear, por´em em
alguns momentos ´e necess´ario o uso de propriedades mais espec´ıficas da
´
Algebra Matricial.
Abaixo citamos algumas dessas pro priedades. Todas as demonstra¸c˜oes s˜ao omitidas e
maiores informa¸c˜oes s˜ao encontradas em ((GRAHAM, 1981),(MEYE R, 2000)).
Dadas as matrizes A
m×n
e B
p×q
A =
a
11
· · · a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
· · · a
mn
B =
b
11
· · · b
1q
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b
p1
· · · b
pq
.
Definimos como produto de Kronecker (KRON ) entre A e B (A⊗B) a seguinte matriz
bloco
A ⊗ B =
a
11
B · · · a
1n
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
B · · · a
mn
B
, A ⊗ B ´e de ordem mp × nq. (1.1)
O produto de Kronecker verifica as seguintes propriedades:
1. O produto de Kronecker ´e um operador bilinear
A ⊗ (αB) = (αA) ⊗ B = α(A ⊗ B), α ∈ R.
2. Propriedade distributiva `a esquerda e `a direita
(A + B) ⊗ C = (A ⊗ C) + (B ⊗ C) ,
A ⊗ (B + C) = (A ⊗ B) + (A ⊗ C).
3. Associativa
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C).
1 Conceitos iniciais 16
4. N˜ao ´e comutativo
A ⊗ B = B ⊗ A.
5. Verifica produto de matrizes em matrizes de dimens˜oes adequadas
(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC ⊗ BD).
6. A transposi¸c˜ao n˜ao inverte a ordem das matrizes no produto de Kronecker
(A ⊗ B)
′
= A
′
⊗ B
′
.
7. Quando A e B possuem posto completo, a inversa do produto de Kronecker de A e
B ´e dada por
(A ⊗ B)
−1
= A
−1
⊗ B
−1
.
Neste trabalho ser´a ´util o seguinte r esultado de opera¸c˜ao elementar entre matrizes.
Lema 1. Dada a matriz M ∈ R
n×n
n˜ao sim´etrica (M = M
′
) tem-se
M + M
′
< 0 ⇒ M < 0.
Prova: A matriz M + M
′
´e sim´etrica, logo usando a hip´otese e as propriedades das
formas quadr´aticas tem-se
v
′
(M + M
′
)v < 0 ⇔ v
′
M + M
′
2
v < 0, ∀v = 0 ∈ R
n
.
Usando novamente as propriedades das formas quadr´aticas (v
′
M+M
′
2
v = v
′
Mv) conclui-
se que
v
′
M + M
2
v < 0 ⇔ v
′
Mv < 0 ⇒ M < 0.
17
2 Realimenta¸c˜ao da derivada dos
estados
2.1 Realimenta¸c˜ao da de r i vada d os estados em siste-
mas lineares e invariantes no tempo
Considere o sistema na forma padr˜ao control´avel linear e invariante no tempo:
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), (2.1)
onde x(t) ∈ R
n
, A ∈ R
n×n
, B ∈ R
n×m
, u(t) ∈ R
m
.
Sistemas lineares na forma padr˜ao tem a propriedade de que para toda condi¸c˜ao inicial
x
0
, existe uma ´unica solu¸c˜ao x(t), `a qual x(t
0
) = x
0
.
De (DUAN; IRWIN; LIU, 1999) e (GARCIA-PLANAS, 2003) tem-se que sempre existe uma
matriz constante K ∈ R
m×n
de modo que ao realimentar (2.1) com a derivada dos estados,
u = −K ˙x(t), (2.2)
o sistema em malha fechada fica com a seguinte forma:
˙x(t) = Ax(t) − BK ˙x (t) ⇔ (I + BK) ˙x(t) = Ax(t) ⇔
˙x(t) = (I + BK)
−1
Ax(t), (2.3)
sendo a matriz (I + BK) invers´ıvel.
Se det(A) = 0, ou seja, A n˜ao tem autova lo r es na origem, ent˜ao ´e poss´ıvel garantir a
estabilidade assint´otica do sistema (2.3 ) usando uma matriz K apropriada (ABDELAZIZ;
VAL
´
A
ˇ
SEK, 2004). A pr´oxima se¸c˜ao apresenta condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para a
existˆencia dessa matriz.
2.2 Condi¸c˜ao de estabilidade: projeto do controlador 18
2.2 Condi¸c˜ao de estabilidade: projeto do controlador
O estudo da estabilidade de (2.3) ´e realizado verificando a existˆencia de uma fun¸c˜ao
de Lyapunov ((OGATA, 2000 ) ,(DORF; BISHOP, 200 1),(CHEN, 1999)) para o sistema.
Como o sistema (2.3) ´e linear, ent˜ao o objetivo ´e procurar por uma matriz sim´etrica
P ∈ R
n×n
verificando as seguint es desigualdades
V (x(t)) = x
′
(t)P x(t) > 0, ∀x(t) = 0 ⇔
P > 0,
(2.4)
˙
V (x(t)) < 0, ∀x(t) = 0. (2.5)
O pr´oximo teorema, proposto nessa disserta¸c˜ao, verifica as condi¸c˜oes de existˆencia de
uma matriz P satisfazendo (2.4) e (2.5).
Teorema 1. Suponha que o s i stema (2.1) n˜ao tem p´olos na origem (ou, det(A) = 0). O
sistema (2.3) ´e assintoticamen te est´avel se e som ente se, existe uma matriz Q sim´etrica
e uma matriz Y satisfazendo o seguinte conjunto de LMIs.
AQ + QA
′
+ AY
′
B
′
+ BY A
′
< 0, (2.6)
Q > 0.
Prova: (Suficiˆencia) Suponha que existem Q e Y satisfazendo (2.6).
Defina K = Y Q
−1
. Fazendo a substitui¸c˜ao de vari´avel Q = P
−1
tem-se Y = KP
−1
.
Substituindo Q e Y em (2.6) obtem-se
AP
−1
+ P
−1
A
′
+ A(KP
−1
)
′
B
′
+ BKP
−1
A
′
< 0 ⇔
A
P
−1
+ P
−1
K
′
B
′
+
P
−1
+ BKP
−1
A
′
< 0 ⇔
AP
−1
(I + BK)
′
+ (I + BK) P
−1
A
′
< 0. (2.7)
Aplicando o Lema 1 em (2 .7 ) chega-se em
(I + BK)P
−1
A
′
< 0,
de onde conlui-se que (I + BK) ´e invers´ıvel e ainda que det(A) = 0 (satisfazendo a
condi¸c˜ao de hip´otese). Agora multiplique (2.7) `a esquerda por P (I + BK)
−1
e `a direita
por [(I + BK)
′
]
−1
P e obtenha
2.2 Condi¸c˜ao de estabilidade: projeto do controlador 19
P (I + BK)
−1
AP
−1
(I + BK)
′
+ (I + BK) P
−1
A
′
[(I + BK)
′
]
−1
P < 0 ⇔
P (I + BK)
−1
A + A
′
[(I + BK)
′
]
−1
P < 0. (2.8)
Multiplicando (2.8 ) `a esquerda por x
′
(t), `a direita por x(t) e aplicando a igualdade (2.3)
chega-se em
x
′
(t)
P (I + BK)
−1
A + A
′
[(I + BK)
′
]
−1
P
x(t) < 0 ⇔
x
′
(t)P
(I + BK)
−1
Ax(t)
+
x
′
(t)A
′
(I + BK)
−1
′
P x(t) < 0
(2.3)
⇐⇒
x
′
(t)P ˙x(t) + ˙x
′
(t)P x(t) < 0. (2.9)
Note que a equa¸c˜ao (2.9) ´e equivalente a fun¸c˜ao
˙
V (x(t)) par a o sistema (2.3). Por
hip´otese tem-se que Q > 0 ⇒ Q
−1
= P > 0. Da´ı segue que, se as LMIs (2.6) s˜ao
fact´ıveis, ent˜ao existe uma matriz P satisfazendo as condi¸c˜oes de Lyapunov (2 .4 ) e (2.5)
em rela¸c˜ao ao sistema (2.3). Portanto quando as LMIs (2.6) s˜ao fact´ıveis, o sistema (2.3)
´e assintoticamente est´avel para K = Y P .
(Necessidade) Suponha que existe uma matriz K t al que o sistema (2.3) ´e assint oti-
camente est´avel. Pela teoria de Lyapunov existe uma matriz P sim´etrica real verificando
as desigualdades (2 .4 ) e (2.5). Logo a desigualdade (2.8) ´e fa ct´ıvel. Portanto existem
matrizes Q = Q
′
> 0 e Y satisfazendo as LMIs (2.6).
Pelo Teorema 1 conclui-se que o estudo da estabilidade assint ´otica do sistema (2.3) ´e
equivalente ao estudo da factibilidade das LMIs (2.6). Isso facilita o estudo de estabilidade
do sistema, pois LMIs quando fact´ıveis s˜ao fa cilmente resolvidas atrav´es de softwares de
programa¸c˜ao matem´atica. Dentre os quais citamos o MATLAB (GAHINET e t al., 1995)
que ´e o mais usado e o LMISol (OLIVEIRA; FARIAS; GEROMEL, 1997) que ´e gratuito.
Se as LMIs (2.6) s˜ao fact´ıveis, uma matriz K que estabiliza o sistema (2.3) ´e dada
por
K = Y Q
−1
, (2.10)
sendo Y e Q solu¸c˜oes de (2.6).
20
3 Aloca¸c˜ao de P´olos usando
D-estabilidade
3.1 T´ecnicas de Projeto usando D-estabilidade
Na pr´atica somente a estabiliza¸c˜ao do sistema (2.3) n˜ao ´e suficiente, pois a maioria
dos projetos de controle precisam atender ´ındices de desempenho ((OGATA, 2000),(DORF;
BISHOP, 2001)). Esses ´ındices s˜ao comumente passados como grandezas no dom´ınio do
tempo e tem o obj etivo de controlar a resposta transit´oria do sistema. Os ´ındices de de-
sempenho mais comuns s˜ao: Tempo de subida t
s
, Porcentagem de overshoot (ou, m´aximo
valor de ultrapassagem) PO% e Tempo de estabelecimento t
e
.
Em sistemas de segunda ordem os ´ındices de desempenho podem ser representados
em fun¸c˜ao da freq¨uˆencia natural n˜ao-amortecida ω
n
e do coeficiente de amortecimento ζ
((OGATA, 2000),(DORF; BISHOP, 2001)).
Considere as seguintes substitui¸c˜oes de vari´aveis (CHILALI; GAHINET, 1996): r = ω
n
,
ζ = cos(θ) e γ = ζω
n
. Ent˜ao o conjunto S(γ, r, θ) de n´umeros complexos x + yj que
satisfazem os ´ındices de desempenho, ´e dado por:
S(γ, r, θ) =
x < −γ < 0, Representa um semi-plano `a esquerda da reta
vertical passando pelo ponto (−γ, 0);
|x + yj| < r, Representa um disco centrado na origem
de raio r;
tan(θ)x < −|y|, Restri¸c˜ao que limita o argumento θ dos
elementos do conjunto.
(3.1)
A regi˜ao S(γ, r, θ) pode ser vista na Figura 1.
Uma vez caracterizada a regi˜ao de interesse no plano complexo, o pr´oximo passo ´e
alocar todos os p´olos do sistema (2.3) nessa regi˜ao.
3.1 T´ecnicas de Projeto usando D-estabilidade 21
r
γ
θ
Figura 1: Regi˜ao S(γ, r, θ).
Defini¸c˜ao 1. Dada uma matriz A quadrada e uma regi˜ao D no l ado esquerdo do plano
compl e xo, A ´e dita D-est´avel se todos os autovalores de A pertencem a D.
Gutman e Jury (GUTMAN; JURY, 1981) caracterizaram a D-estabi lidade de diversas
regi˜oes do plano complexo atrav´es de regi˜oes polinomiais. Um dos principais resultados
apresenta do s foi:
Lema 2. Uma matriz A
n×n
´e D-est´avel se e s o mente se, existe uma matriz Q
n×n
sim´etrica
tal que
n
k=0
n
l=0
c
kl
A
k
Q(A
′
)
l
< 0, Q > 0, (3.2)
com c
lk
= c
kl
∈ R.
Prova: Ver em (GUTMAN; JURY, 1981).
Infelizmente os resultados de Gutman n˜ao s˜ao de car´ater geral e assim a regi˜ao
S(γ, r, θ) n˜ao pode ser representada desta forma.
A D-estabilidade pode ser caracterizada atrav´es de LMIs ( (CHILALI; GAHINET, 1996),(CHI-
LALI; GAHINET; APKARIAN, 1999)).
3.1 T´ecnicas de Projeto usando D-estabilidade 22
Defini¸c˜ao 2. Uma regi˜ao D do plano complexo ´e chamada de regi˜ao LMI (do inglˆes, LMI
region), se existem matrizes rea i s L e H tais que
D = {z ∈ C : f
D
(z) < 0}; f
D
(z) = L + zH + (zH)
∗
= L + zH + ¯zH
′
, (3.3)
sendo L uma matriz sim´etrica, z uma vari´avel complexa, ¯z o conjugado complexo de z e
(zH)
∗
a matriz conjugada transposta de zH. A fun¸c˜ao f
D
´e chamada de fun¸c˜ao carac-
ter´ıstica da regi˜ao D.
Observa¸c˜ao 1. Note que apesar da fun¸c˜ao caracter´ıstica f
D
(z) ser complexa, o conjunto
imagem dessa fun¸c˜ao pertence ao espa¸co das matrizes hermitianas, pois
f
D
∗
(z) = (L + zH + ¯zH
′
)
∗
= L
∗
+ z
∗
H
∗
+ ¯z
∗
(H
′
)
∗
= L + ¯zH
′
+ zH = f
D
(z).
Como todos os autovalores de uma matriz hermitiana s˜ao reais (CHEN, 1984 ), ent˜ao os
resultados das formas quadr´aticas podem ser aplicados na fun¸c˜ao f
D
(z). Mais detalhes
s˜a o encontrados no Apˆendice A.
Portanto uma regi˜ao LMI ´e uma regi˜ao do plano complexo represent ada por uma LMI
em z e ¯z.
Observa¸c˜ao 2. Uma importante caracter´ıstica das regi˜oes LMI, ´e que elas s˜ao sim´etricas
em rela¸c˜ao ao eixo real do plano complexo, ou seja,
f
D
(z) = L + ¯zH + (¯zH)
∗
= L + ¯zH + zH
′
= L + zH + ¯zH
′
= f
D
(z).
Chilali e Gahinet (CHILALI; GAHINET, 1996) desenvolveram uma extens˜ao do resultado
de Gutman para regi˜oes LMI, e caracterizaram a estabilidade de regi˜oes LMI da seguinte
forma:
Lema 3. Uma matriz A
n×n
real ´e D-est´avel se e somente se, existem matrizes reais
Q
n×n
, L e H, sendo Q e L matrizes sim´etricas, tais q ue,
M
D
(A, Q) = L ⊗ Q + H ⊗ (AQ) + H
′
⊗ (AQ)
′
< 0, Q > 0. (3.4)
Prova: A demonstra¸c˜ao ´e feita usando autovalores. Das propriedades dos autova lo r es
temos que se λ
i
´e autovalor de A, ent˜ao λ
i
´e autovalor de A
′
, isto ´e,
A
′
v
i
= λ
i
v
i
⇔ v
∗
i
A =
¯
λ
i
v
∗
i
. (3.5)
sendo v
i
= 0 autovetor da matriz A
′
.
3.1 T´ecnicas de Projeto usando D-estabilidade 23
Supondo que existe uma matriz Q satisfazendo (3.4), multiplique a express˜ao `a es-
querda por (I ⊗ v
∗
i
) e `a direita por (I ⊗ v
i
),
{I ⊗ v
∗
i
} (L ⊗ Q + H ⊗ (AQ) + H
′
⊗ (AQ)
′
) {I ⊗ v
i
} < 0 ⇔
L ⊗ v
∗
i
Qv
i
+ H ⊗ v
∗
i
AQv
i
+ H
′
⊗ v
∗
i
QA
′
v
i
< 0
(3.5)
⇐⇒
L ⊗ v
∗
i
Qv
i
+ H ⊗ v
∗
i
¯
λ
i
Qv
i
+ H
′
⊗ v
∗
i
Qλ
i
v
i
< 0 ⇔
L ⊗ v
∗
i
Qv
i
+ H ⊗
¯
λ
i
v
∗
i
Qv
i
+ H
′
⊗ λ
i
v
∗
i
Qv
i
< 0.
Como v
∗
i
Qv
i
´e um escalar, decorre da Propriedade 1 de Kronecker que
L ⊗ v
∗
i
Qv
i
+ H ⊗
¯
λ
i
v
∗
i
Qv
i
+ H
′
⊗ λ
i
v
∗
i
Qv
i
< 0 ⇔
(v
∗
i
Qv
i
)
L ⊗ 1 + H ⊗
¯
λ
i
+ H
′
⊗ λ
i
< 0
v
∗
i
Qv
i
>0
⇐⇒
L ⊗ 1 + H ⊗
¯
λ
i
+ H
′
⊗ λ
i
< 0.
Aplique a opera¸c˜ao do conjugado complexo na express˜ao e obtenha
L ⊗ 1 + H ⊗
¯
λ
i
+ H
′
⊗ λ
i
< 0 ⇔
L ⊗ 1 + H ⊗ λ
i
+ H
′
⊗
¯
λ
i
< 0
KRON
⇐⇒
L + λ
i
H +
¯
λ
i
H
′
< 0
D ef. 2
⇐⇒ f
D
(λ
i
) < 0. (3.6)
Note que a demonstra¸c˜ao exibe uma equivalˆencia entre a regi˜ao M
D
(A, Q) e a fun¸c˜ao
f
D
aplicada nos a utovalores da matriz A. Uma demonstra¸c˜ao mais completa para esse
Teorema pode ser encontrada em (CHILALI; GAHINET, 1996, apˆendice pag. 366).
Observa¸c˜ao 3. Se a matriz A ´e D-est´avel, a express˜ao M
D
(A, Q) ´e eq uiva l ente a fun¸c˜ao
f
D
(λ
i
) < 0, ∀i, sendo λ
i
os autovalores da matriz A. A rela¸c˜ao de equivalˆencia entre a
LMI (3.4) e a fun¸c˜ao caracter´ıstica (3.6) ´e da seguinte forma:
Q ∼ 1,
AQ ∼ λ
i
,
QA
′
∼
¯
λ
i
.
(3.7)
Um resultado importante relacionando conjuntos M
D
(A, Q) ´e:
3.1 T´ecnicas de Projeto usando D-estabilidade 24
Corol´ario 1. A ´e simultaneame nte D
1
-est´avel e D
2
-est´avel se e somente s e,
M
D
1
(A, Q) < 0 e M
D
2
(A, Q) < 0.
Prova: ver em (CHILALI; GAHINET, 1996).
O resultado do Corol´ario 1 ´e muito importante, pois ele diz que pode-se estudar regi˜oes
convexas sim´etricas complicadas do plano atrav´es de regi˜oes LMI mais simples. Usando o
Corol´ario 1 na regi˜ao S(γ, r, θ) chega-se no seguinte resultado (CHILALI; GAHINET, 1996).
Lema 4. O sistema (2.1) ´e S(γ, r, θ)-est´avel se e somente se, existe uma matriz Q
sim´etrica verifi cando o seguinte conjunto de LMIs:
AQ + QA
′
+ 2γQ < 0, (I)
−rQ AQ
QA
′
−rQ
< 0, (II)
sen(θ)(AQ + QA
′
) cos(θ)(AQ − QA
′
)
cos(θ)(QA
′
− AQ) sen(θ)(AQ + QA
′
)
< 0, (III)
Q > 0. (IV)
Prova: Ver em ((CHILALI; GAHINET, 1 996),(ARZELIER; BERNUSSOU; GARCIA, 1993 ) ).
Note que a LMI (III) pode ser descrita de forma equivalente usando propriedades
do produto de Kronecker ((ARZELIER; BERNUSSOU; GARCIA, 1993),(CHILALI; GAHINET,
1996)),
(W ⊗ AQ) + (W ⊗ AQ)
′
< 0, (III.b)
sendo W =
sen(θ) cos(θ)
− cos(θ) sen(θ)
.
A LMI (I) representa o semi-plano `a esquerda da reta vertical que passa pelo ponto
(−γ, 0), γ > 0, a LMI (II) representa um disco centrado na origem com raio r e a LMI
(III) representa a regi˜ao interna ao cone com v´ertice na origem limitado pelas semi-retas
com coeficientes angulares t an(θ) e tan(−θ) (ver Figura 1).
Nesta se¸c˜ao foram apresentados resultados a respeito da D-estabilidade da matriz A
na regi˜ao S(γ, r, θ). A pr´oxima se¸c˜ao descreve t´ecnicas de controle usando a realimenta¸c˜ao
derivativa.
3.2 Projeto de um controlador D-est´avel usando realimenta¸c˜ao derivativa 25
3.2 Proje t o d e um controlador D-est´avel usando rea-
limenta¸c˜ao der i vativa
Esta se¸c˜ao apresenta condi¸c˜oes necess´arias e suficientes pa ra que sistemas (2.1) sejam
S(γ, r, θ)-est´aveis sob realimenta¸c˜ao derivativa. O objetivo ´e encontrar uma matriz K que
torne o sistema (2.3) S(γ, r, θ)-est´avel. O pr´oximo t eorema resolve esse problema.
Teorema 2. Suponha que (2.1) n˜ao tem p´olos na orige m (det(A) = 0). O sistema
(2.3) ´e S(γ, r, θ)-est´avel se e somente se, ex i s te uma matriz Q sim´etrica e uma m atriz Y
satisfazendo o seguinte conjunto de LMIs:
AQ + QA
′
+ BY A
′
+ AY
′
B
′
Q + BY
Q + Y
′
B
′
−
Q
2γ
< 0, (V)
r
2
A
−1
(Q + BY ) + (Q + BY )
′
(A
−1
)
′
−Q
−Q
r
2
A
−1
(Q + BY ) + (Q + BY )
′
(A
−1
)
′
< 0, (VI)
sen(θ)(AQ + QA
′
+ BY A
′
+ AY
′
B
′
) cos(θ)[AQ + AY
′
B
′
− (QA
′
+ BY A
′
)]
cos(θ)[QA
′
+ BY A
′
− (AQ + AY
′
B
′
)] sen(θ)(AQ + QA
′
+ BY A
′
+ AY
′
B
′
)
< 0, (VII)
Q > 0. (VIII)
Prova: Para a demonstra¸c˜ao do teorema usa-se a seguinte substitui¸c˜ao de var i´aveis:
Y = KQ. (3.8)
A demonstra¸c˜ao do t eorema ´e realizada em trˆes partes, uma para cada LMI.
Parte i) (Suficiˆencia) Supondo (V) fact´ıvel, aplique o complemento de Schur ((BOYD et al.,
1994),(ASSUNC¸
˜
AO; TEIXEIRA, 2001)) no sentido inverso na LMI (V) e obtenha
AQ + QA
′
+ BY A
′
+ AY
′
B
′
+ (Q + BY )
2γQ
−1
(Q + BY )
′
< 0, (3.9)
substitua Y pela express˜ao (3.8)
A(Q + BKQ)
′
+ (Q + BKQ)A
′
+ (Q + BKQ)
2γQ
−1
(Q + BKQ)
′
< 0 ⇔
AQ(I + BK)
′
+ (I + BK)QA
′
+ (I + BK)Q
2γQ
−1
Q(I + BK)
′
< 0 ⇔
AQ(I + BK)
′
+ (I + BK)QA
′
+ (I + BK) [2γQ] (I + BK)
′
< 0. (3.10)
3.2 Projeto de um controlador D-est´avel usando realimenta¸c˜ao derivativa 26
A express˜ao (3.9) ´e equivalente a LMI do Teorema 1 com taxa de decaimento γ
(BOYD et al., 1994). Ent˜ao da prova de suficiˆencia do Teorema 1 segue que a matriz
(I + BK) ´e invers´ıvel. Da´ı multiplique (3.10) `a esquerda por (I + BK)
−1
e `a direita
por [(I + BK)
−1
]
′
para obter
QA
′
(I + BK)
−1
′
+ (I + BK)
−1
AQ + 2γQ < 0, (3.11)
e substitua (I + BK)
−1
A por A
N
A
N
Q + QA
′
N
+ 2γQ < 0. (3.12)
Quando a LMI (V) ´e fact´ıvel, o sistema (2.3) com K = Y Q
−1
satisfaz a desigual-
dade (I).
(Necessidade) Suponha que existe K tal que o sistema (2.3) ´e S(γ, r, θ)-est´avel,
ent˜ao ( 2.3) satisfaz a desigualdade (I), isto ´e, A
N
Q + QA
′
N
+ 2γQ < 0. Como foi
visto, se isso ocorre ent˜ao a LMI (V) ´e fact´ıvel.
Parte ii) (Suficiˆencia) Supondo a LMI (VI) fact´ıvel, substitua Y p ela express˜ao (3.8) para
obter
r
2
A
−1
(Q + BKQ ) + (Q + BKQ)
′
(A
−1
)
′
−Q
−Q
r
2
A
−1
(Q + BKQ ) + (Q + BKQ)
′
(A
−1
)
′
=
r
2
A
−1
(I + BK)Q + Q(I + BK)
′
(A
−1
)
′
−Q
−Q
r
2
A
−1
(I + BK)Q + Q(I + BK)
′
(A
−1
)
′
< 0. (3.13)
Da suficiˆencia da Parte i) tem-se que (I + BK) ´e invers´ıvel e usando a hip´otese do
teorema (det(A) = 0), conclui-se que a matriz A
N
= (I + BK)
−1
A ´e invers´ıvel, logo
A
−1
N
= A
−1
(I + BK). Usando esse fato em (3.1 3) chega-se em
r
2
A
−1
N
Q + Q(A
′
N
)
−1
−Q
−Q
r
2
A
−1
N
Q + Q(A
′
N
)
−1
< 0. (3.14)
Da
´
Algebra sabe-se que se λ
i
´e autovalor de A
N
, ent˜ao
1
λ
i
´e autovalor de A
−1
N
, sendo
λ
i
= x + yj n˜ao nulo.
Usando essa propriedade e a rela¸c˜ao de equivalˆencia (3.7) em (3.1 4) conclui-se que
r
2
1
λ
i
+
1
¯
λ
i
−1
−1
r
2
1
λ
i
+
1
¯
λ
i
=
r
2
2x
x
2
+ y
2
−1
−1
r
2
2x
x
2
+ y
2
< 0,
3.2 Projeto de um controlador D-est´avel usando realimenta¸c˜ao derivativa 27
ou,
−
rx
x
2
+ y
2
1
1 −
rx
x
2
+ y
2
> 0. (3.15)
Observe que a matriz (3.15) ´e real, logo podemos estudar a positividade da matriz
usando a propriedade dos menores principais ((CHEN, 1999),(MEYER, 2000)). Da´ı
(a)
−rx
x
2
+ y
2
> 0 ⇔ −rx > 0 ⇔ x < 0.
e
(b)
r
2
x
2
(x
2
+ y
2
)
2
− 1 > 0 ⇔ r
2
x
2
> (x
2
+ y
2
)
2
.
Analisando o item (b) pode-se concluir que
b.1) Se r ≥ |x|,
r
2
r
2
≥ r
2
x
2
>
x
2
+ y
2
2
⇔ r
2
r
2
>
x
2
+ y
2
2
⇔
r
2
2
>
x
2
+ y
2
2
⇔ x
2
+ y
2
< r
2
.
b.2) Se r < |x|,
x
2
x
2
> r
2
x
2
>
x
2
+ y
2
2
⇔ x
2
x
2
>
x
2
+ y
2
2
⇔
x
2
2
>
x
2
+ y
2
2
⇔ x
2
> x
2
+ y
2
. (Absurdo!)
Logo pelos itens (b.1) e (b.2) a LMI (VI) ´e fact´ıvel se e somente se,
x
2
+ y
2
< r
2
. (3.16)
Portanto quando a LMI (VI) ´e fact´ıvel, o sistema (2.3) com K = Y Q
−1
satisfaz a
desigualdade (II).
(Necessidade) Suponha que existe K t al que o sistema (2.3) ´e S(γ, r, θ)-est´avel, ent˜ao
(2.3) satisfaz a LMI (II), ou seja, os autovalores do sistema satisfazem a desigualdade
(3.16). Log o a LMI ( VI) ´e fact´ıvel.
3.2 Projeto de um controlador D-est´avel usando realimenta¸c˜ao derivativa 28
Parte iii) Para a demonstra¸c˜ao da LMI (VII) usa-se as propriedades do produto de Kronecker.
Suponha que (VII) ´e fact´ıvel, da´ı segue que
sen(θ)(AQ + QA
′
+ BY A
′
+ AY
′
B
′
) . . .
cos(θ)[QA
′
+ BY A
′
− (AQ + AY
′
B
′
)] . . .
. . . cos(θ)[AQ + AY
′
B
′
− (QA
′
+ BY A
′
)]
. . . sen(θ) (AQ + QA
′
+ BY A
′
+ AY
′
B
′
)
=
sen(θ)(AQ + AY
′
B
′
) cos(θ)(AQ + AY
′
B
′
)
− cos(θ)(AQ + AY
′
B
′
) sen(θ)(AQ + AY
′
B
′
)
+
sen(θ)(QA
′
+ BY A
′
) − cos(θ)(QA
′
+ BY A
′
)
cos(θ)(QA
′
+ BY A
′
) sen(θ)(QA
′
+ BY A
′
)
< 0
KRON
⇐⇒
sen(θ) cos(θ)
− cos(θ) sen(θ)
⊗ (AQ + AY
′
B
′
)
+
sen(θ) − cos(θ)
cos(θ) sen(θ)
⊗ (QA
′
+ BY A
′
)
< 0
eq(III.b)
⇐⇒
W ⊗ (AQ + AY
′
B
′
) + W
′
⊗ (QA
′
+ BY A
′
) < 0 ⇐⇒
W ⊗ [A(Q + Y
′
B
′
)] + W
′
⊗ [(Q + BY )A
′
] < 0,
sendo W =
sen(θ) cos(θ)
− cos(θ) sen(θ)
.
Substituindo Y pela express˜ao (3.8) chega-se em
W ⊗ [A(Q + QK
′
B
′
)] + W
′
⊗ [(Q + BKQ)A
′
] < 0 ⇔
W ⊗ [AQ(I + BK)
′
] + W
′
⊗ [(I + BK)QA
′
] < 0,
e multiplicando `a esquerda por (I ⊗ (I + BK)
−1
) e `a direita por (I ⊗ [(I + BK)
′
]
−1
)
tem-se que
I ⊗ (I + BK)
−1
(W ⊗ [AQ(I + BK)
′
])
I ⊗ [(I + BK)
′
]
−1
+
I ⊗ (I + BK)
−1
(W
′
⊗ [(I + BK)QA
′
])
[I ⊗ [(I + BK)
′
]
−1
< 0. (3.17)
Aplicando a Propriedade 5 de KRON na express˜ao (3.17) chega-se em
W ⊗ (I + BK)
−1
AQ + W
′
⊗ [(I + BK)
−1
AQ]
′
< 0, (3.18)
3.2 Projeto de um controlador D-est´avel usando realimenta¸c˜ao derivativa 29
e substitua (I + BK)
−1
A = A
N
para obter
W ⊗ (A
N
Q) + W
′
⊗ (QA
′
N
) < 0. (3.19)
Aplicando a Propriedade 6 de KRON na express˜ao (3.19) conclui-se que
(W ⊗ A
N
Q) + (W ⊗ A
N
Q)
′
< 0. (3.20 )
Assim, se a LMI (VII) ´e fact´ıvel o sistema (2.3) com K = Y Q
−1
satisfaz a desigual-
dade (III), e vice-versa.
Portanto as LMIs (V), (VI), (VII) e (VIII) s˜ao fact´ıveis se e somente se, o sistema
(2.3) satisfaz as desigualdades (I), (II), (III) e (IV). Da´ı pelo Lema 4 o sistema (2.3) ´e
S(γ, r, θ)-est´avel e um controlador K que r esolve o problema ´e dado por
K = Y Q
−1
. (3.21)
sendo Q e Y solu¸c˜oes das LMIs (V), (VI), (VII) e (VIII).
Com isso conclui-se a demonstra¸c˜ao do teorema.
O Teorema 2 projeta controladores K para sistemas lineares sob realimenta¸c˜ao deri-
vativa, usando LMIs. Com isso pode-se facilment e testar a eficiˆencia do m´etodo atrav´es
de simula¸c˜ao em microcomputadores. O pr´oximo cap´ıtulo apresenta resultados similares
para o caso em que o sistema (2.3) ´e incerto.
30
4 Aloca¸c˜ao de P´olos usando
D-estabilidade em sistemas
incertos
4.1 D-estabilida de de sistemas lin eares incertos sob rea-
limenta¸c˜ao der i vativa
Em problemas reais ´e comum os parˆametros do sistema n˜ao serem fixos, mas sim
pertencent es a um intervalo de valores conhecidos. Isso ocorre po r diversos fatores. Os
mais comuns s˜ao:
• Os parˆametros do sistema s˜ao obtidos empiricamente, e ent˜ao cada valor medido
possui uma po r centagem de erro.
• O sistema ´e af etado por influˆencias externas presentes no ambiente ao qual ele
pertence.
Independente de qualquer motivo, sistemas com essa caracter´ıstica s˜ao chamados de
sistemas incertos e podem ser modelados usando combina¸c˜ao convexa (BOYD et al., 1994).
Considere um sistema control´avel linear e invariante no t empo que possui incertezas
polit´opicas, descrito por
˙x(t) =
p
i=1
α
i
A
i
x(t) +
q
j=1
β
j
B
j
u(t), (4.1)
e
α
i
≥ 0, i = 1, · · · , p,
p
i=1
α
i
= 1,
β
j
≥ 0, j = 1, · · · , q,
q
j=1
β
j
= 1, (4.2)
4.1 A D-estabilidade de sistemas lineares incertos 31
sendo p a quantidade de v´ertices do politopo em A, q a quantidade de v´ertices do politopo
em B e α
i
, β
j
n´umeros reais para quaisquer i, j.
O pr´oximo teorema trata das condi¸c˜oes de estabilidade desses sistemas sob reali-
menta¸c˜ao derivativa.
Teorema 3. Suponha q ue as matrizes A
i
n˜ao tem p´olos na origem (det(A
i
) = 0 , ∀i),
ent˜ao o sistema (4.1 ) sob realimenta¸c˜ao derivativa (u = −K ˙x(t)), ´e assintoticamente
est´av e l se existe uma matriz Q sim´etrica e uma matriz Y tais que
QA
′
i
+ A
i
Q + B
j
Y A
′
i
+ A
i
Y
′
B
′
j
< 0, i = 1, · · · , p, j = 1, · · · , q, (4.3)
Q > 0.
Se as LMIs (4.3) s˜ao fact´ıv eis, ent˜ao um controlador K ´e dado por (3.21).
Prova: Suponha que existem Q e Y satisfazendo o teorema, ent˜ao multiplique (4.3)
por α
i
β
j
e obtenha
α
i
β
j
QA
′
i
+ α
i
β
j
A
i
Q + α
i
β
j
B
j
Y A
′
i
+ α
i
β
j
A
i
Y
′
B
′
j
< 0 ⇔
β
j
Qα
i
A
′
i
+ β
j
α
i
A
i
Q + β
j
B
j
Y α
i
A
′
i
+ α
i
A
i
Y
′
β
j
B
′
j
< 0, (4.4)
sendo i = 1, . . . , p e j = 1, . . . , q. Somando todas as express˜oes (4.4) chega-se em
q
j=1
β
j
Q
p
i=1
α
i
A
′
i
+
q
j=1
β
j
p
i=1
α
i
A
i
Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y
p
i=1
α
i
A
′
i
+
p
i=1
α
i
A
i
Y
′
q
j=1
β
j
B
′
j
< 0
(4.2)
⇔
Q
p
i=1
α
i
A
′
i
+
p
i=1
α
i
A
i
Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y
p
i=1
α
i
A
′
i
+
p
i=1
α
i
A
i
Y
′
q
j=1
β
j
B
′
j
< 0,
Apenas para facilidade de nota¸c˜ao substitua
ˆ
A =
p
i=1
α
i
A
i
e
ˆ
B =
q
j=1
β
j
B
j
, lo go
Q
ˆ
A
′
+
ˆ
AQ +
ˆ
BY
ˆ
A
′
+
ˆ
AY
′
ˆ
B
′
< 0 ⇔
(Q +
ˆ
BY )
ˆ
A
′
+
ˆ
A(Q + Y
′
ˆ
B
′
) < 0. (4.5)
Aplicando o Lema 1 em (4.5) conclui-se que (Q +
ˆ
BY )
ˆ
A
′
< 0, logo as matrizes (Q +
ˆ
BY )
e
ˆ
A s˜ao invers´ıveis. Agora multiplique (4.5) `a esquerda por (Q +
ˆ
BY )
−1
e `a direita por
(Q + Y
′
ˆ
B
′
)
−1
, para obter
ˆ
A
′
(Q + Y
′
ˆ
B
′
)
−1
+ (Q +
ˆ
BY )
−1
ˆ
A < 0.
4.1 A D-estabilidade de sistemas lineares incertos 32
Fa¸ca a substitui¸c˜ao de vari´aveis Q = P
−1
e Y = KP
−1
,
ˆ
A
′
(P
−1
+ P
−1
K
′
ˆ
B
′
)
−1
+ (P
−1
+
ˆ
BKP
−1
)
−1
ˆ
A < 0 ⇔
ˆ
A
′
(I + K
′
ˆ
B
′
)
−1
P + P (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
A < 0 ⇔
P (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
A
′
+ P (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
A < 0. (4.6)
Multiplique a equa¸c˜ao (4.6) `a esquerda po r x
′
(t) e `a direita por x(t)
x
′
(t)
P (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
A
′
+ P (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
A
x(t) < 0, (4.7)
sendo x(t) = 0 um vetor coluna.
Note que a equa¸c˜ao (4.7) ´e justamente a fun¸c˜ao
˙
V (x(t)) para uma fun¸c˜ao de Lyapu-
nov do tipo V (x(t)) = x
′
(t)P x(t), P > 0 si m´etrica, associada ao sistema (4.1) sob a
realiment a¸c˜ao u(t) = −K ˙x(t). Portanto de (4.7) conclui que se existem matrizes Q e
Y satisfazendo (4.3), o sistema (4.1) em malha f echada ´e a ssintoticamente est´avel e um
controlador K que estabiliza o sistema ´e K = Y Q
−1
.
O Teorema 3 trata exclusivamente da estabilidade assint´otica de sistemas (4.1). Por´em
como j´a foi dito, a simples estabilidade nem sempre ´e suficiente. O nosso interesse ago r a ´e
estudar a D-estabilidade dos sistemas (4.1) na regi˜ao S(γ, r, θ). O teorema abaixo aborda
esse assunto.
Teorema 4. Suponha q ue as matrizes A
i
n˜ao tem p´olos na origem (det(A
i
) = 0 , ∀i),
ent˜ao o sistema (4.1) sob realime nta¸c˜ao derivativa ´e S(γ, r, θ)-est´avel s e existe uma matriz
Q sim´e trica e uma matriz Y tais que
A
i
Q + QA
′
i
+ B
j
Y A
′
i
+ A
i
Y
′
B
′
j
Q + B
j
Y
Q + Y
′
B
′
j
−
Q
2γ
< 0, (IX)
r
2
((Q + B
j
Y )A
′
i
+ A
i
(Q + B
j
Y )
′
) −A
i
QA
′
k
−A
i
QA
′
k
r
2
((Q + B
j
Y )A
′
i
+ A
i
(Q + B
j
Y )
′
)
< 0, (X)
sen(θ)(A
i
Q + QA
′
i
+ B
j
Y A
′
i
+ A
i
Y
′
B
′
j
) cos(θ)[A
i
Q + A
i
Y
′
B
′
j
− (QA
′
i
+ B
j
Y A
′
i
)]
cos(θ)[QA
′
i
+ B
j
Y A
′
i
− (A
i
Q + A
i
Y
′
B
′
j
)] sen(θ)(A
i
Q + QA
′
i
+ B
j
Y A
′
i
+ A
i
Y
′
B
′
j
)
< 0, (XI)
Q > 0, (XII)
sendo i = 1 , . . . , p , j = 1, . . . , q e k = 1, . . . , p.
4.1 A D-estabilidade de sistemas lineares incertos 33
Prova: Suponha que existem Q e Y satisfazendo (IX),(X), (XI) e (XII). Ent˜ao da
demonstra¸c˜ao do Teorema 3 e de (IX) segue que
det
I +
q
j=1
β
j
B
j
K
= 0.
Por f acilidade de nota¸c˜ao usa-se quando necess´ario as seguintes substitui¸c˜oes de vari´aveis
ˆ
A =
p
i=1
α
i
A
i
,
ˆ
B =
q
j=1
β
j
B
j
,
ˆ
A
N
=
I +
q
j=1
β
j
B
j
K
−1
p
i=1
α
i
A
i
. (4.8)
A demonstra¸c˜ao do t eorema ´e feita na mesma ordem usada no Teorema 2.
Parte i) Aplique o complemento de Schur ((BOYD et al., 1994),(ASSUNC¸
˜
AO; TEIXEIRA, 2001))
no sentido inverso na LMI (IX) e obtenha
A
i
Q + QA
′
i
+ B
j
Y A
′
i
+ A
i
Y
′
B
′
j
+ (Q + B
j
Y )
2γQ
−1
(Q + B
j
Y )
′
< 0.
De (4.2) segue que
p
i=1
α
i
= 1 e
q
j=1
β
j
= 1, logo
p
i=1
α
i
A
i
Q + Q
p
i=1
α
i
A
′
i
+
q
j=1
β
j
B
j
Y
p
i=1
α
i
A
′
i
+
p
i=1
α
i
A
i
Y
′
q
j=1
β
j
B
′
j
+
Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y
2γQ
−1
Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y
′
(4.8)
=
ˆ
AQ + Q
ˆ
A
′
+
ˆ
BY
ˆ
A
′
+
ˆ
AY
′
ˆ
B
′
+ (Q +
ˆ
BY )
2γQ
−1
(Q +
ˆ
BY )
′
< 0,
da´ı, substitua Y pela express˜ao (3.8)
ˆ
A(Q +
ˆ
BKQ)
′
+ (Q +
ˆ
BKQ)
ˆ
A
′
+ (Q +
ˆ
BKQ)
2γQ
−1
(Q +
ˆ
BKQ)
′
< 0 ⇔
ˆ
AQ(I +
ˆ
BK)
′
+ (I +
ˆ
BK)Q
ˆ
A
′
+ (I +
ˆ
BK) [2γQ] (I +
ˆ
BK)
′
< 0, (4.9)
multiplique (4.9 ) `a esquerda por (I +
ˆ
BK)
−1
e `a direita por [(I +
ˆ
BK)
′
]
−1
Q
ˆ
A
′
(I +
ˆ
BK)
−1
′
+ (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
AQ + 2γQ < 0, (4.10)
substitua (I +
ˆ
BK)
−1
ˆ
A = (I +
q
j=1
β
j
B
j
K)
−1
p
i=1
α
i
A
i
=
ˆ
A
N
ˆ
A
N
Q + Q
ˆ
A
′
N
+ 2γQ < 0. (4.11)
Portanto, se (IX) ´e fact´ıvel (4.1 ) em malha fechada satisfaz (I).
4.1 A D-estabilidade de sistemas lineares incertos 34
Parte ii) Multiplique a express˜ao (X) por (
p
i=1
α
i
) (
p
k=1
α
k
)
q
j=1
β
j
e obtenha
r
2
(
p
i=1
α
i
)
p
k=1
α
k
q
j=1
β
j
[(Q + B
j
Y )A
′
i
+ A
i
(Q + B
j
Y )
′
] . . .
− (
p
i=1
α
i
)
p
k=1
α
k
q
j=1
β
j
A
i
QA
′
k
. . .
. . . − (
p
i=1
α
i
)
p
k=1
α
k
q
j=1
β
j
A
i
QA
′
k
. . .
r
2
(
p
i=1
α
i
)
p
k=1
α
k
q
j=1
β
j
[(Q + B
j
Y )A
′
i
+ A
i
(Q + B
j
Y )
′
]
< 0 ⇔
r
2
(Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y )
p
i=1
α
i
A
′
i
+
p
i=1
α
i
A
i
(Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y )
′
. . .
− (
p
i=1
α
i
A
i
) Q
p
k=1
α
k
A
′
k
. . .
. . . − (
p
i=1
α
i
A
i
) Q
p
k=1
α
k
A
′
k
. . .
r
2
(Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y )
p
i=1
α
i
A
′
i
+
p
i=1
α
i
A
i
(Q +
q
j=1
β
j
B
j
Y )
′
< 0
(4.8)
⇔
r
2
(Q +
ˆ
BY )
ˆ
A
′
+
ˆ
A(Q +
ˆ
BY )
′
−
ˆ
AQ
ˆ
A
′
−
ˆ
AQ
ˆ
A
′
r
2
(Q +
ˆ
BY )
ˆ
A
′
+
ˆ
A(Q +
ˆ
BY )
′
< 0. (4.12)
Pela demonstra¸c˜ao do Teorema 3 e da Parte i) segue que
ˆ
A ´e invers´ıvel, da´ı multi-
plique (X) `a esquerda por
ˆ
A
−1
0
0
ˆ
A
−1
e `a direita por
(
ˆ
A
′
)
−1
0
0 (
ˆ
A
′
)
−1
.
ˆ
A
−1
0
0
ˆ
A
−1
r
2
(Q +
ˆ
BY )
ˆ
A
′
+
ˆ
A(Q +
ˆ
BY )
′
. . .
−
ˆ
AQ
ˆ
A
′
. . .
. . . −
ˆ
AQ
ˆ
A
′
. . .
r
2
(Q +
ˆ
BY )
ˆ
A
′
+
ˆ
A(Q +
ˆ
BY )
′
(
ˆ
A
′
)
−1
0
0 (
ˆ
A
′
)
−1
=
r
2
ˆ
A
−1
(Q +
ˆ
BY ) + (Q +
ˆ
BY )
′
(
ˆ
A
′
)
−1
−Q
−Q
r
2
ˆ
A
−1
(Q +
ˆ
BY ) + (Q +
ˆ
BY )
′
(
ˆ
A
′
)
−1
< 0,
(4.13)
∀i = 1, 2, . . . , p ∀j = 1, 2, . . . , q.
A express˜ao (4.13) ´e equivalente a express˜ao (VI) em
ˆ
A e
ˆ
B, logo pela demonstra¸c˜ao
de suficiˆencia da Parte ii) do Teorema 2 segue que existe uma matriz K = Y Q
−1
tal que os autovalores do sistema (4.1) pertencem a um disco centrado na origem
de raio r. Portanto quando a LMI (X) ´e fact´ıvel o sistema (4.1) em malha fechada
satisfaz a desigualdade (II).
Parte iii) Usando (4.2) na LMI (XI) chega-se em uma express˜ao equivalente `a LMI (VII) em
ˆ
A e
ˆ
B. Da´ı a demonstra¸c˜ao da LMI (XI) ´e similar a prova de suficiˆencia de (VII).
De onde conclui-se que
(W ⊗
ˆ
A
N
Q) + (W ⊗
ˆ
A
N
Q)
′
< 0. (4.14)
Assim, se a LMI (XI) ´e fact´ıvel o sistema (4.1) em malha fechada satisfaz a desi-
4.2 A D-estabilidade em sistemas lineares variantes no tempo 35
gualdade (III).
Portanto quando as LMIs (IX), (X), (XI) e (XII) s˜ao fact´ıveis, o sistema (4.1) sob
realiment a¸c˜ao derivativa satisfaz as desigualdades (I), (II), (III) e (IV). Ent˜ao pelo Lema 4
o sistema (4.1) em malha fechada ´e S(γ, r, θ)-est´avel e uma das solu¸c˜oes para o controlador
K ´e
K = Y Q
−1
.
sendo Q e Y solu¸c˜oes das LMIs (IX), (X), (XI) e (XII).
4.2 A D-estabilidade em s i stemas lineares variantes no
tempo
Considere um sistema linear variante no tempo dado por
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), (4.15)
sendo A(t) ∈ R
n×n
, B(t) ∈ R
n×m
.
Embora os parˆametros das matrizes A(t) e B(t) do sistema (4.1 5) variem no tempo,
em problemas pr´aticos ´e comum esses parˆametros estarem limitados por um politopo,
isto ´e, η
1
ij
≤ a
ij
(t) ≤ η
2
ij
e µ
1
ij
≤ b
ij
(t) ≤ µ
2
ij
, ∀i, j = 1, . . . , n. sendo η
1
ij
, η
2
ij
, µ
1
ij
e
µ
2
ij
∈ R valores conhecidos. Com isso t em-se que o tra tamento do sistema (4.15) ´e equiva-
lente ao tratamento de sistemas (4.1) que possuem incertezas em todos os parˆametros do
sistema (BOYD et al., 1994). Logo podemos estudar a D-estabil i dade desse sistema usando
o Teorema 4. O seguinte teorema enuncia esse resultado formalmente.
Teorema 5. Suponha que o sistema (4.15) possui parˆametro s A(t) e B(t) limitados dentro
de um politopo. Ent˜ao o sistema (4.15) ´e S(γ, r, θ)-est´avel sob realimenta¸c˜ao derivativa
se existem matrizes Q e Y satisfazendo o Teorema 4.
Prova: Substituindo as matrizes A(t) e B(t) pela express˜ao (4.8) a demonstra¸c˜ao
segue de maneira similar a demonstra¸c˜ao do Teorema 4.
36
5 Exemplos Pr´aticos
Neste cap´ıtulo ´e testada a eficiˆencia da metodologia prop osta resolvendo po r simula¸c˜ao
alguns exemplos pr´aticos. Para resolver os exemplos foi utilizado o software MATLAB
(GAHINET et al., 1995). Exibimos as solu¸c˜oes encontradas para as matr izes Q, Y e K
usando a metodologia proposta e verificamos a S(γ, r, θ)-estabilidade do sistema em malha
fechada atrav´es da an´alise dos autovalores. Os parˆametros γ, r e θ s˜ao escolhidos de
forma aleat´oria apenas com o intuito de testar a metodolo gia, a ´unica exce¸c˜ao ocorre no
Exemplo 2, onde r esolvemos um problema com restri¸c˜oes de projeto. Plotamos a resposta
do sistema no tempo e a entrada de controle u(t) = −K ˙x(t) para avaliar o esfor¸co de
controle usado nos sistemas.
5.1 Exemplo 1 - Sistema Mecˆanico
Considere o sistema mecˆanico para controle de vibra¸c˜oes, mostrado na Figura 2.
O problema ´e representado matematicamente pelo seguinte sistema de equa¸c˜oes dife-
renciais (ABDELAZIZ; VAL
´
A
ˇ
SEK, 20 04)
˙x
1
(t)
˙x
2
(t)
˙x
3
(t)
˙x
4
(t)
=
0 0 1 0
0 0 0 1
−k
1
−k
2
m
1
k
2
m
1
−b
1
−b
2
m
1
b
2
m
1
k
2
m
2
−k
2
m
2
b
2
m
2
−b
2
m
2
x
1
(t)
x
2
(t)
x
3
(t)
x
4
(t)
+
0
0
−1
m
1
1
m
2
u(t), (5.1)
sendo k
1
e k
2
coeficientes de elasticidade das molas, b
1
e b
2
s˜ao os coeficientes de amorte-
cimento , x
1
(t) e x
2
(t) representam o deslocamento vertical dos corpos m
1
e m
2
respecti-
vamente. O vetor de estados ´e dado por
x(t) =
x
1
(t) x
2
(t) x
3
(t) x
4
(t)
′
, sendo ˙x
1
(t) = x
3
(t), ˙x
2
(t) = x
4
(t).
5.1 Exemplo 1 - Sistema Mecˆanico 37
Figura 2: Sistema Mecˆanico.
Para resolver o problema fo r am usados os seguintes valores nos parˆametros do pro-
blema: m
1
= 1 00kg, m
2
= 1 0kg, k
1
= 3 60kN/m, k
2
= 3 6kN/m, b
1
= 7 0Ns/m,
b
2
= 50Ns/m. Adotou-se o valor de γ = 3 para a taxa de decaimento, r = 6 para o
raio do disco, θ = 45
o
para as ass´ıntotas, x(0) =
0.15 0.15 0 0
′
para a condi¸c˜ao
inicial e sa´ıda do sistema igual a
y
1
(t)
y
2
(t)
=
1 0 0 0
0 0 1 0
x
1
(t)
x
2
(t)
x
3
(t)
x
4
(t)
5.2 Exemplo 2 - Alimentador para manufatura de papel 38
As solu¸c˜oes encontradas usando o Teorema 2 fora m
Q =
6.4323 × 10
−7
−0.0005 −3.143 × 10
−6
0.0039
−0.0005 1.2059 0.0012 −5.174
−3.1433 × 10
−6
0.0012 1.8464 × 10
−5
−0.0154
0.0039 −5.174 −0.0154 30.535
,
Y =
−0.6388 7.72 57 × 10
3
−3.4455 −2.0495 × 10
4
e
det(I + BK) = 2.7861 × 10
4
= 0
A matriz K = Y Q
−1
desejada ´e:
K =
−4.5729 × 10
7
2.7069 × 10
4
−2.7014 × 10
6
8.4643 × 10
3
S˜ao exibidos abaixo em uma tabela os m´odulos e ar gumentos dos p´olos do sistema con-
trolado (2.3).
Tabela 1: P´olos do sistema controlado e sua localiza¸c˜ao no plano complexo
P´olos do sistema c ontrolado M´odulo Argumento (135
o
− 225
o
)
λ
1
= −4.8965 + 1.1978j 5.0409 166.25
o
λ
2
= −4.8965 − 1.1978j 5.0409 -166.25
o
λ
3
= −3.3694 + 2.6369j 4.2786 141.95
o
λ
4
= −3.3694 − 2.6369j 4.2786 -141.95
o
A resposta da simula¸c˜a o do sistema (5.1) alocado na regi˜ao S(3, 6, 45
o
) e a evolu¸c˜ao
da entrada u(t) = −K ˙x(t) podem ser vistas nas F iguras 3 e 4. Pela Tabela 1 verifica-se
que o sistema atende a todas as especifica¸c˜oes necess´arias.
5.2 Exemplo 2 - Alimentado r para manufatura de pa-
pel
O processo do alimentador (headbox (DORF; BISHOP, 2001, pp. 529)) ´e usado na
manufatura de papel para transformar o fluxo de pasta de um jato de 2cm e, em seguida,
aspergi-lo sobre uma esteira de malha. Para se obter uma qualidade desej´avel do papel, a
pasta deve ser distribu´ıda o mais uniformemente poss´ıvel sobre a esteira e a rela¸c˜ao entre
a velocidade do jato e da esteira, chamada de rela¸c˜ao jato/esteira, deve ser mantida.
5.2 Exemplo 2 - Alimentador para manufatura de papel 39
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
Tempo [s]
y
1
(t)[m] e y
2
(t)[m/s]
y
1
(t)
y
2
(t)
Figura 3: Sistema alocado na regi˜ao S(3 , 6, 45
o
).
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
x 10
6
Tempo [s]
u(t)
Figura 4: Entrada de controle u(t) = −K ˙x(t).
Uma das principais vari´aveis ´e a press˜ao do n´ıvel de l´ıquido mais a press˜ao do ar que
´e bombeado dentro do alimentador. Como o alimentador pressurizado ´e um sistema
extremamente dinˆamico e acoplado, o controle manual seria dif´ıcil de manter e poderia
resultar na degrada¸c˜ao das propriedades das folhas de papel.
O modelo em espa¸co de estados de um alimentador t´ıpico, linearizado em torno de
um ponto de equil´ıbrio particular, ´e dado por
5.2 Exemplo 2 - Alimentador para manufatura de papel 40
˙x
1
(t)
˙x
2
(t)
=
−0.8 0.02
−0.02 0
x
1
(t)
x
2
(t)
+
0.05 1
0.001 0
u
1
(t)
u
2
(t)
,
y
1
(t)
y
2
(t)
=
1 0
0 1
x
1
(t)
x
2
(t)
.
(5.2)
onde x
1
´e o n´ıvel do l´ıquido e x
2
´e a press˜ao . As entradas de controle s˜ao: corrente na
bomba u
1
e abertura da v´alvula u
2
.
O objetivo ´e projetar um sistema que tenha equa¸c˜ao caracter´ıstica com ra´ızes reais
negativas de magnitude maior que cinco.
Vamos obter os valores γ, r e θ, `a partir dos ´ındices de desempenho exigidos. Como o
projeto requer ra´ızes reais, isso implica em θ = 0
o
. As ra´ızes devem ter magnitude maior
que cinco (γ > 5), da´ı
cos(θ) = ζ ⇔ ζ = cos(0) = 1.
γ = ζω
n
⇒ ω
n
=
γ
ζ
= 5,
r = ω
n
> 5,
Da´ı tome γ = 5, r = 8 e θ = 0
o
, considere a condi¸c˜ao inicial x(0) =
1 0
′
.
As solu¸c˜oes encontradas usando o Teorema 2 fora m
Q =
8.1715 × 10
5
−3.5174 × 10
3
−3.5174 × 10
3
5.0358 × 10
5
,
Y =
6.0941 × 10
6
−5.0359 × 10
8
−1.0188 × 10
6
2.5181 × 10
7
e
det(I + BK) = 1.0244 × 10
−5
= 0
Matriz K encontrada:
K =
3.1533 −1000
−1.0315 49.997
A Tabela 2 exibe os m´odulos e argumentos dos p´olos do sistema controlado.
A resposta da simula¸c˜ao do sistema (5.2) alocado na regi˜ao S(5, 8, 0
o
) e a evolu¸c˜ao da
entrada u(t) = −K ˙x(t) podem ser vistas nas F ig ura s 5 e 6.
5.2 Exemplo 2 - Alimentador para manufatura de papel 41
Tabela 2: P´olos do sistema controlado e sua localiza¸c˜ao no plano complexo
P´olos do sistema controlado M´odulo Argumento
λ
1
= −6.342 6 6.3426 180
o
λ
2
= −6.156 6 6.1566 180
o
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo [s]
y
1
(t)[m] e 10
3
y
2
(t)[m/s]
y
1
(t)
10
3
y
2
(t)
Figura 5: Sistema alocado na regi˜ao S(5, 8, 0
o
).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
−600
−500
−400
−300
−200
−100
0
100
200
300
Tempo [s]
u
1
(t) e 10u
2
(t)
u
1
(t)
10u
2
(t)
Figura 6: Entrada de controle u(t) = −K ˙x(t).
O sistema (5.2) realimentado pela matriz K o btida satisfaz os ´ındices de desempenho
exigidos. A aloca¸c˜ao dos p´olos pode ser devidamente verificada pela Ta bela 2.
5.3 Exemplo 3 - Sistema MIMO 42
5.3 Exemplo 3 - Sistema MIMO
Considere o sistema MIMO dado pelas matrizes abaixo
A =
1 0 0
0 3 1
2 0 6
, B =
1 0
0 1
1 1
, C =
1 0 0
0 1 0
.
O problema ´e resolvido adotando os seguintes valor es para as restri¸c˜oes de projeto:
γ = 5.5, r = 7 e θ = 30
o
. A resposta do sistema no tempo ´e avaliada usando x(0) =
1 0 0
′
para a condi¸c˜ao inicial.
Usando o Teorema 2 encontra-se os seguintes resultados.
Q =
32.81 −16.98 1.4096
−16.98 14.469 3.7474
1.4096 3.7 474 3.870 4
,
Y =
−37.794 19.45 8 −1.5315
24.84 −21.81 −6.2507
e
det(I + BK) = −0.0715 = 0.
Matriz K:
K =
−1.4367 −0.4996 0.6113
0.3585 −0.8471 −0.9255
A Tabela 3 exibe os m´odulos e argumentos dos p´olos do sistema.
Tabela 3: P´olos do sistema controlado e sua localiza¸c˜ao no plano complexo
P´olos do sistema c ontrolado M´odulo Argumento (150
o
− 210
o
)
λ
1
= −5.9439 + 2.1742j 6.3291 159.91
o
λ
2
= −5.9439 − 2.1742j 6.3291 -159.91
o
λ
2
= −6.284 6.28 4 180
o
A resposta da simula¸c˜ao do sistema e a entrada u(t) = −K ˙x(t) podem ser vistas nas
Figuras 7 e 8.
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto 43
0 0.5 1 1.5
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo [s]
y
1
(t)[m] e y
2
(t)[m/s]
y
1
(t)
y
2
(t)
Figura 7: Sistema alocado na regi˜ao S(5 .5 , 7, 30
o
).
0 0.5 1 1.5
−6
−4
−2
0
2
4
6
Tempo [s]
u
1
(t) e u
2
(t)
u
1
(t)
u
2
(t)
Figura 8: Entrada de controle u(t) = −K ˙x(t).
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto
Considere o sistema incerto dado pelas matrizes abaixo
A =
a 0 0 0
0 4 0 0
−1 0 b 0
0 1 0 −2
, B =
1 0
0 1
1 c
0 1
. (5.3)
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto 44
sendo 0.8 ≤ a ≤ 1.2, 5.4 ≤ b ≤ 6.4 e 0 ≤ c ≤ 1.
• Os v´ertices do politopo em A s˜ao:
A
1
=
0.8 0 0 0
0 4 0 0
−1 0 5.4 0
0 1 0 −2
, A
2
=
1.2 0 0 0
0 4 0 0
−1 0 5.4 0
0 1 0 −2
,
A
3
=
0.8 0 0 0
0 4 0 0
−1 0 6.4 0
0 1 0 −2
, A
4
=
1.2 0 0 0
0 4 0 0
−1 0 6.4 0
0 1 0 −2
.
• Os v´ertices do politopo em B s˜ao:
B
1
=
1 0
0 1
1 0
0 1
, B
2
=
1 0
0 1
1 1
0 1
.
Observa¸c˜ao 4. O Teorema (4) parte da hip´otese de que as matrizes A
i
(v´ertices do
politopo) s˜ao invers´ıveis. Essa ´e uma verifica ¸c˜ao simples de se realiza r no MATLAB,
por´em o que se faz na pr´atica ´e tentar resolv e r o problema. Se o sistema incerto em
an´alise n˜ao satisfaz a condi ¸c˜ao de hip´otese, ent˜ao o conjunto de LMIs do Teorema (4) ´e
infact´ıvel.
O problema ´e resolvido usando os valores γ = 2, r = 30 e θ = 60
o
.
As solu¸c˜oes encontradas usando o Teorema (4) foram
Q =
3.3571 × 10
−4
−7.999 × 10
−7
2.4511 × 10
−4
−2.9879 × 10
−6
−7.9997 × 10
−7
1.9059 × 10
−6
2.3615 × 10
−7
4.6217 × 10
−6
2.4511 × 10
−4
2.3615 × 10
−7
1.8705 × 10
−4
−1.4994 × 10
−7
−2.9879 × 10
−6
4.6217 × 10
−6
−1.4994 × 10
−7
8.0498 × 10
−5
,
Y =
−3.7158 × 10
−4
9.6039 × 10
−7
−2.6362 × 10
−4
3.8361 × 10
−6
2.1946 × 10
−6
−4.1708 × 10
−6
−1.9999 × 10
−7
−1.4384 × 10
−5
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto 45
Matriz K:
K =
−1.8315 −0.3983 0.9912 4.3883 × 10
−3
1.6209 × 10
−3
−2.0382 −6.6943 × 10
−4
−0.0616
A Tabela 4 exibe os p´olos e suas propriedades.
Tabela 4: P´olos do sistema controlado
Sistema P´olos do sistema controlado M´odulo Argumento (120
o
− 240
o
)
λ
1
= −8.9759 8.9759 180
o
A
1
, B
1
λ
2
= −2.8524 2.8524 180
o
λ
3
= −2.7556 + 0.3285j 2.7751 173.2
o
λ
4
= −2.7556 − 0.3285j 2.7751 -173.2
o
λ
1
= −8.7797 8.7797 180
o
A
1
, B
2
λ
2
= −3.2005 3.2005 180
o
λ
3
= −2.6205 + 0.32849j 2.641 172.86
o
λ
4
= −2.6205 − 0.32849j 2.641 -172.8 6
o
λ
1
= −3.488 + 5.3276j 6.3678 123.21
o
A
2
, B
1
λ
2
= −3.488 − 5.3276j 6.3678 -123.21
o
λ
3
= −2.6827 + 0.31137j 2.7007 173.38
o
λ
4
= −2.6827 − 0.31137j 2.7007 -173.38
o
λ
1
= −3.4529 + 5.3516j 6.3688 122.83
o
A
2
, B
2
λ
2
= −3.4529 − 5.3516j 6.3688 -122.83
o
λ
3
= −2.6728 + 0.32281j 2.6922 173.11
o
λ
4
= −2.6728 − 0.32281j 2.6922 -173.11
o
λ
1
= −15.081 15.081 180
o
A
3
, B
1
λ
2
= −2.135 2.13 5 180
o
λ
3
= −2.6723 + 0.34127j 2.694 172.72
o
λ
4
= −2.6723 − 0.34127j 2.694 -172.7 2
o
*** Continua na pr´oxima p´agina . . . ***
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto 46
Sistema P´olos do sistema controlado M´odulo Argumento (120
o
− 240
o
)
λ
1
= −14.905 14.905 180
o
A
3
, B
2
λ
2
= −2.1407 2.1407 180
o
λ
3
= −2.6826 + 0.28923j 2.6982 173.85
o
λ
4
= −2.6826 − 0.28923j 2.6982 -173.85
o
λ
1
= −6.0958 + 3.2888j 6.9264 151.65
o
A
4
, B
1
λ
2
= −6.0958 − 3.2888j 6.9264 -151.65
o
λ
3
= −2.6852 + 0.30954j 2.703 173.42
o
λ
4
= −2.6852 − 0.30954j 2.703 -173.4 2
o
λ
1
= −6.0491 + 3.3951j 6.9367 150.7
o
A
4
, B
2
λ
2
= −6.0491 − 3.3951j 6.9367 -150.7
o
λ
3
= −2.6715 + 0.32323j 2.691 173.1
o
λ
4
= −2.6715 − 0.32323j 2.691 -173.1
o
Pela Tabela 4 os p´olos do sistema em malha fechada atendem a todas as especifica¸c˜oes
da regi˜ao S(2, 30, 60
o
).
A localiza¸c˜ao dos p´olos de todos os v´ertices do sistema em malha fechada ´e vista na
Figura 9.
−30 −25 −20 −15 −10 −5 0
−60
−40
−20
0
20
40
60
Re(λ)
Im(λ)
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
××
×
×
××
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
××
×
×
××
Figura 9: Sistema alocado na regi˜ao S(2, 30, 60
o
).
5.4 Exemplo 4 - Sistema Incerto 47
Os p´olos do sistema em malha fechada pertencem a regi˜ao de interesse, mas um fato
que deve ser considerado ´e que o m´odulo do maior autovalo r encontrado λ
max
= 15.081,
´e pouco mais da metade que o valor do raio usado r = 30. Para valores menores de r o
problema ´e infact´ıvel. Logo para resolver problemas incertos usando as LMIs do Teorema
(4) ´e necess´ario usar valores “grandes” para r. Uma poss´ıvel justificativa para esse fato
est´a no gr ande n´umero de LMIs a serem resolvidas. Neste simples exemplo que possui
duas incertezas em A e uma em B, foram necess´arias a r esolu¸c˜ao de 48 LMIs.
48
Conclus˜oes
A t´ecnica de aloca¸c˜ao de p´olos apresentada, representa uma nova ferramenta para o
uso da realimenta¸c˜ao da derivada dos estados. Em sistemas lineares na fo r ma padr˜ao, a
realiment a¸c˜ao da derivada dos estados ´e uma op¸c˜ao a mais para o projetista, sendo que
em determinados sistemas ela pode baratear o custo da implementa¸c˜ao do projeto. O s
resultados apresentados tamb´em resolvem sistemas descritores que possuem a matriz E
invers´ıvel, no caso em que a matriz E ´e singular s˜ao necess´arias condi¸c˜oes adicionais para
garantir a padroniza¸c˜ao e estabilizade dos sistemas descritores usando realimenta¸c˜ao da
derivada dos estados. N˜ao ´e poss´ıvel estabilizar um sistema que possui p´olos na origem
usando a realimenta¸c˜ao da derivada dos estados. Neste caso se for interessante ao projeto
deve-se usar a realimenta¸c˜ao derivativa e proporcional. O uso da D- e stabilidade oferece
mais flexibilidade no projeto de aloca¸c˜ao de p´olos, pois dispensa a necessidade de se alocar
os p´olos do sistema em um determinado ponto. Basta fazer o mapeamento dos ´ındices de
desempenho na regi˜ao S(γ, r, θ). O uso de LMIs par a representar a regi˜ao S(γ, r, θ) torna
f´acil o tratamento de sistemas com incertezas polit´opicas e a simula¸c˜ao de sistemas em
microcomputadores.
Sugest˜a o para trabalhos futuros:
• Usar um crit´erio de otimiza¸c˜ao para a obten¸c˜ao do controlador K.
• Estudo de sistemas singulares;
• Estudo de sistemas n˜ao-lineares,
Exemplo: Modelos Fuzzy Taka gi-Sugeno;
• S´ıntese de regi˜oes LMI mais simples que atendam os ´ındices de desempenho.
49
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51
AP
ˆ
ENDICE A
As informa¸c˜oes contidas neste cap´ıtulo tem o objetivo de apresentar conceitos te´oricos
que fo r am usados no desenvolvimento da disserta¸c˜ao e que atualmente n˜ao s˜ao abordados
nos livros cl´assicos de Teoria de Controle ((OGATA, 2000),(DORF; BISHOP, 2001),(CHEN,
1999)).
A.1 Formas Hermitianas
Chamamos de forma hermitiana (CHEN, 1984, pp. 412-413) da s va r i´aveis complexas
x
1
, . . . , x
n
, ao valor real obtido pelo seguinte polinˆomio
n
i,j
m
ij
¯x
i
x
j
, (A.1)
Ou pela seguinte forma matricial
¯x
1
. . . ¯x
n
′
m
11
· · · m
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
n1
· · · m
nn
x
1
.
.
.
x
n
x
∗
Mx (A.2)
sendo ¯x o conjugado complexo de x, x
∗
o conjugado transp osto de x e m
ij
n´umeros
complexos tais que m
ij
= ¯m
ji
, ∀i, j.
Como a forma hermitiana x
∗
Mx ´e um n´umero real, decorre que
x
∗
Mx = (x
∗
Mx)
∗
= x
∗
M
∗
x ⇔
x
∗
Mx − x
∗
M
∗
x = 0 ⇔
x
∗
(M − M
∗
)x = 0 ⇔
M − M
∗
= 0 ⇔ M = M
∗
(A.3)
sendo M
∗
a matriz conjugada transposta de M.
A.1 Formas Hermitianas 52
Logo toda matriz complexa que satisfaz (A.3) ´e chamada de matriz hermitiana.
O pr´oximo teorema caracteriza os autovalores de uma matriz hermitiana.
Teorema 6. Todos os autovalores de uma matriz hermitiana s˜ao reais.
Prova: Seja e a utovetor da matriz M em rela¸c˜ao ao a utovalor λ. Agora considere a
forma hermitiana de M, e
∗
Me, da´ı decorre que
e
∗
Me = e
∗
λ e = λ(e
∗
e) = λ||e||
2
.
Por hip´otese tem-se que e
∗
Me ∈ R ⇒ λ||e||
2
∈ R. Mas ||e||
2
´e um n´umero real positivo,
portanto λ ∈ R.
Observa¸c˜ao 5. Todo s os resultados existentes para as formas q uad r´aticas podem ser
estendidos para as formas h ermitianas.
Para mais informa¸c˜oes consulte (CHE N, 19 84, pp. 412-413;5 65-568).
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