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A Integral de Haar construtiva segundo
von Neumann
Francisca Andrea Macedo Fran¸ca
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Orientador: Antonio Roberto da Silva
Doutor
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2006
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“... vocˆe foi minha for¸ca quando nada parecia dar certo
me deu f´e quando s´o vocˆe acreditava...
tudo o que sou hoje...
foi gra¸cas a Deus e a vocˆe. ”
`
A minha m˜ae
1
Agradecimentos
Ao meu orientador Antonio Roberto da Silva, por sua excelente orienta¸c˜ao, pelos seus
conselhos e apoio a mim dispensados.
Ao professor Helvecio Rubens Crippa, pela confian¸ca que sempre teve em mim desde
o come¸co. Ao pessoal da secretaria da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica, pela acolhida e
paciˆencia.
Aos professores Suely Druck, Cec´ılia S. Fernandez, Cristina Cerri e Franciscus Josef
Vanhecke pelos conselhos e apoio.
Aos meus pais pelo incentivo para continuar em frente e ao meu irm˜ao por ser quem
ele ´e.
Aos amigos Eul´alia de Melo N. Oliveira, Marcelo Dantas, Vˆania Cristina Machado e
Gladson Otaviano Antunes por sempre me apoiarem e acreditarem em mim.
Aos amigos da gradua¸c˜ao e da P´os-Gradua¸c˜ao, pois todos em algum momento fizeram
parte desta “caminhada”.
Ao Andr´e pelo apoio, carinho e por estar sempre ao meu lado.
Francisca Andrea Macedo Fran¸ca
2
Resumo
Apresentamos nesta disserta¸c˜ao uma vers˜ao mais detalhada da prova da existˆencia e
unicidade da integral de Haar, baseada no processo construtivo proposto por von Neumann
com a colabora¸c˜ao de Kakutani.
No primeiro cap´ıtulo apresentamos alguns conceitos b´asicos da topologia geral e da
teoria da medida que s˜ao necess´arios para os cap´ıtulos subseq¨uentes. O cap´ıtulo inclui
ainda uma prova do cl´assico lema de Urysohn e algumas considera¸c˜oes sobre grupos
topol´ogicos, que s˜ao preliminares a constru¸c˜ao da medida de Haar.
No segundo cap´ıtulo introduzimos algumas classes de conjuntos e estudamos a regu-
laridade das medidas. Finalmente, apresentamos o teorema de Fubini, o qual utilizaremos
para provar a unicidade da medida de Haar.
No terceiro cap´ıtulo definimos os conceitos de m´edia invariante e O-eq¨uidistribui¸c˜ao
que ser˜ao de grande importˆancia no processo de von Neumann para a constru¸c˜ao da
medida de Haar. Finalmente, conclu´ımos o trabalho apresentando o teorema principal
que garante a existˆencia da integral de Haar e a sua unicidade, a menos de uma constante
positiva.
Abstract
In this dissertation we present a detailed version of the existence and uniqueness proof
of the Haar measure based on the constructive method proposed by von Neumann in
collaboration with Kakutani.
In the first chapter we present some basic concepts of general topology and measure
theory which are necessary for the subsequent chapters. We include also a proof of the
classic Urysohn’s lemma and basic results concerning topological groups, that precede the
proper Haar measure construction.
The second chapter starts with the introduction of classes of sets that are useful for
studying the regularity of measures. We present Fubini’s theorem, and apply it to prove
the uniqueness of the Haar measure.
In the third and final chapter we define the concepts of invariant measure and O-
equidistribution, which are fundamental for von Neumann’s construction. Finally, we
conclude the dissertation presenting its main result. It assures, through a constructive
procedure, the existence and uniqueness, up to a constant, of the Haar measure.
1
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 3
1 Preliminares 4
1.1 Conceitos b´asicos da Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 No¸c˜oes b´asicas da teoria da medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Mensurabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Conex˜ao entre λ e ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Considera¸c˜oes sobre grupos topol´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Preliminares para a constru¸c˜ao da medida de Haar . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Conex˜ao entre topologia e medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 A unicidade da Medida de Haar 36
2.1 Algumas classes especiais de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Unicidade da medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 A Constru¸c˜ao de von Neumann 63
3.1 Classes especiais de fun¸c˜oes cont´ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 M´edias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 M´edias e medidas invariantes `a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Sistemas convergentes de m´edias aproximadamente invariantes `a esquerda . 89
3.5 Eq¨uidistribui¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Exemplos de M´edias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.7 M´edias e fun¸c˜oes cont´ınuas de 2-vari´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8 Compara¸c˜ao de duas m´edias aproximadamente O-invariantes `a esquerda . . 107
3.9 O Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2
Introdu¸c˜ao
O objetivo da presente disserta¸c˜ao ´e apresentar uma vers˜ao simplificada e atualizada
da prova da existˆencia e unicidade da medida de Haar, utilizando o processo construtivo
de von Neumann. Cabe notar que embora a constru¸c˜ao original, que vamos tratar, tenha
sido elaborada nos anos quarenta por von Neumann, com a participa¸c˜ao indireta de
Kakutani, o conte´udo das anota¸c˜oes contendo a proposta aqui apresentada s´o veio a
p´ublico, pela primeira vez, cerca de sessenta anos mais tarde (ver [6]). O interesse nesse
tipo de constru¸c˜ao ´e justificado pelo empenho recente na obten¸c˜ao de provas construtivas
de resultados cl´assicos da An´alise ( ver [2] e [12] ), tornando-os computacionalmente
realiz´aveis.
No primeiro cap´ıtulo estabelecemos as no¸c˜oes b´asicas de topologia geral e da teoria da
medida, que vamos utilizar ao longo da disserta¸c˜ao. Apresentamos uma prova do cl´assico
lema de Urysohn, ainda nesse cap´ıtulo inicial fazemos algumas considera¸c˜oes sobre grupos
topol´ogicos, que s˜ao preliminares `a constru¸c˜ao da medida de Haar. Conclu´ımos o cap´ıtulo
com algumas inter-rela¸c˜oes entre medida e topologia que nos ser˜ao ´uteis nos cap´ıtulos
posteriores.
No segundo cap´ıtulo apresentamos um estudo sobre regularidade de medidas e uma
prova da unicidade da medida de Haar via o teorema de Fubini.
No terceiro e ´ultimo cap´ıtulo apresentamos a constru¸c˜ao propriamente dita, para tal
intro duzimos os conceitos de eq¨uidistribui¸c˜ao e m´edias invariantes. A partir das rela¸c˜oes
entre estes dois ´ultimos conceitos, fazendo uso do Lema de Hall, Maak e Kakutani, apre-
sentamos exemplos de eq¨uidistribui¸c˜ao e construimos m´edias para duas vari´aveis . Con-
clu´ımos o trabalho apresentando o resultado final da disserta¸c˜ao (teorema principal).
3
Cap´ıtulo 1
Preliminares
O objetivo desse primeiro cap´ıtulo , al´em de estabelecer a nota¸c˜ao, ´e o de apresentar as
no¸c˜oes b´asicas da topologia geral e da teoria da medida, que ser˜ao utilizados, nos cap´ıtulos
posteriores. Para tornar o texto auto-suficiente apresentamos uma prova do cl´assico lema
de Urysohn e algumas rela¸c˜oes entre os conceitos de natureza topol´ogica e os da teoria da
medida que nos ser˜ao ´uteis ao longo da disserta¸c˜ao .
1.1 Conceitos b´asicos da Topologia Geral
No decorrer deste cap´ıtulo iremos trabalhar com um espa¸co topol´ogico de Hausdorff fixo S
e denotaremos por C, D e K subconjuntos compactos de S; O, P e Q como subconjuntos
abertos de S e M, N e E subconjuntos arbitr´ario de S. Al´em disso, dado um conjunto
arbitr´ario M denotaremos por M o fecho de M, por M
c
o conjunto complementar S\M,
e por M
i
o interior de M.
Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja f : S → C. O suporte da fun¸c˜ao f (supp f) ´e o fecho do conjunto
{x ∈ S; f(x) = 0}. A cole¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes complexas cont´ınuas sobre S cujo
suporte ´e compacto ser´a denotada por C
c
(S).
Lema 1.1.2. Sejam os conjuntos K compacto e M tais que K ∩ M = ∅. Se para todo
ponto x ∈ K existem conjuntos abertos disjuntos correspondentes Q
x
e P
x
tais que x ∈ Q
x
e M ⊂ P
x
ent˜ao existe um par de conjuntos abertos disjuntos Q e P tais que K ⊂ Q,
M ⊂ P .
Demonstra¸c˜ao. Temos que K ⊂
x∈K
Q
x
. Como K ´e compacto podemos encontrar um
n´umero finito de conjuntos abertos Q
x
1
, . . . Q
x
n
tais que K ⊂
n
i=1
Q
x
i
. Denotando Q =
4
n
i=1
Q
x
i
e P = P
x
1
∩ P
x
2
∩ ··· ∩ P
x
n
segue que
K ⊂ Q, M ⊂ P e Q ∩ P = ∅.
Este lema afirma, em linguagem menos formal, que se todo ponto de um compacto
pode ser separado de um conjunto fixo M, ent˜ao o conjunto compacto todo pode ser
separado de M.
Lema 1.1.3. Se C e D s˜ao conjuntos compactos disjuntos ent˜ao existem conjuntos abertos
disjuntos O e P tais que C ⊂ O, D ⊂ P .
Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ D dado. Considerando no lema 1.1.2, M = {x} e K = C temos
que existem conjuntos abertos Q
y
e P
y
, para cada y ∈ C, tais que y ∈ Q
y
, M ⊂ P
y
e
Q
y
∩ P
y
= ∅, j´a que estamos considerando um espa¸co de Hausdorff.
Desta forma, como x ∈ D foi dado arbitrariamente segue que se considerarmos no lema
1.1.2, K = C e M = D obtemos abertos disjuntos O e P tais que C ⊂ O e D ⊂ P .
Segue do lema anterior:
Lema 1.1.4. Seja C um conjunto compacto, temos que
(i) se F ⊂ S ´e um conjunto fechado ent˜ao C ∩ F ´e compacto;
(ii) se O e P s˜ao conjuntos abertos tais que C ⊂ O ∪ P ent˜ao existem conjuntos com-
pactos D ⊂ O, E ⊂ P tais que C ⊂ D ∪ E.
Lema 1.1.5. Supondo que S ´e localmente compacto, se C e O s˜ao conjuntos compacto e
aberto, respectivamente, tais que C ⊂ O ent˜ao existe um conjunto compacto D tal que
C ⊂ D
i
⊂ D ⊂ O.
Demonstra¸c˜ao. Provemos a afirmativa, inicialmente, para o caso em que S ´e compacto.
Nesse caso, O
c
´e um conjunto fechado num espa¸co compacto, e portanto, C e O
c
s˜ao con-
juntos compactos disjuntos, pois C ⊂ O. Pelo lema 1.1.3, podemos encontrar conjuntos
abertos disjuntos Q e P tais que C ⊂ Q, O
c
⊂ P . Como Q ⊂ P
c
e P
c
´e fechado ent˜ao
Q ⊂ P
c
⊂ O. Logo, podemos tomar Q como o conjunto desejado D .
5
No caso em que S for apenas localmente compacto, temos para todo ponto x que
existe uma vizinhan¸ca N
x
correspondente tal que N
x
´e compacto. Se x ∈ C, escrevemos
Q
x
= O ∩N
x
, ent˜ao , pelo item (i) do lema 1.1.4, Q
x
´e uma vizinhan¸ca de x cujo fecho ´e
compacto que est´a inteiramente contida em O. Temos para o compacto C que
C ⊂
x∈C
Q
x
,
ent˜ao existe um n´umero finito de pontos x
1
, . . . , x
n
tais que
C ⊂ T = Q
x
1
∪ ··· ∪ Q
x
n
⊂ O.
Ent˜ao T = Q
x
1
∪ ··· ∪ Q
x
n
´e um conjunto compacto. Aplicando o resultado anterior
aos conjuntos C e T , que s˜ao subconjuntos do espa¸co compacto T , obtemos um conjunto
compacto D para o qual
C ⊂ D
i
⊂ D ⊂ T.
Como T ⊂ O segue o resultado.
Apresentaremos agora o importante lema de Urysohn e alguns resultados que ser˜ao
´uteis para os cap´ıtulos posteriores.
Teorema 1.1.6. Sejam K ⊂ S compacto e p ∈ K
c
. Ent˜ao, existem conjuntos abertos O
e Q tais que p ∈ O, K ⊂ Q e O ∩ Q = ∅.
Demonstra¸c˜ao. Se q ∈ K segue da condi¸c˜ao de Hausdorff que existem vizinhan¸cas dis-
juntas U
q
e V
q
tais que p ∈ U
q
e q ∈ V
q
. Pela compacidade de K, existem pontos
q
1
, . . . , q
n
∈ K tais que
K ⊂ V
q
1
∪ ··· ∪ V
q
n
.
Tomando O = U
q
1
∩ ··· ∩ U
q
n
e Q = V
q
1
∪ ··· ∪ V
q
n
, temos que:
(i) p ∈ O,
(ii) K ⊂ Q e O ∩ Q = O ∩
V
q
1
∪ ··· ∪ V
q
n
=
O ∩ V
q
1
∅
∪ ··· ∪
O ∩ V
q
n
∅
= ∅.
Teorema 1.1.7. Sejam U um conjunto aberto em um espa¸co de Hausdorff localmente
compacto S e K ⊂ U compacto. Ent˜ao, existe um conjunto aberto V com fecho compacto
tal que K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
6
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, suponhamos que U = S.
Como S ´e localmente compacto segue que todo ponto de K possui uma vizinhan¸ca em
S cujo fecho ´e compacto. Visto que K ser´a coberto por uma uni˜ao finita de vizinhan¸cas
cujos fechos ser˜ao compactos podemos tomar G sendo a uni˜ao finita dessas vizinhan¸cas
com fecho compacto. Assim, G ´e um conjunto aberto com fecho compacto, tal que K ⊂ G.
Logo,
K ⊂ G ⊂ G ⊂ S = U.
Suponhamos agora que U S. Seja C = U
c
, pelo teorema 1.1.6, a cada p ∈ C
corresponde um conjunto aberto Q
p
tal que K ⊂ Q
p
e p /∈ Q
p
.
Desta forma, variando p sobre C a cole¸c˜ao {C ∩G ∩Q
p
}
p∈C
´e formada por conjuntos
compactos cuja interse¸c˜ao ´e vazia. De fato, dado p ∈ C, temos que C ∩G ∩Q
p
´e compacto
e como
p∈C
Q
p
⊂ C
c
ent˜ao
(1.1)
p∈C
C ∩ G ∩ Q
p
= ∅.
Afirmamos que existem pontos p
1
, . . . , p
n
∈ C tais que
C ∩ G ∩ Q
p
1
∩ ··· ∩ Q
p
n
= ∅.
Com efeito, definamos V
p
:=
C ∩ G ∩ Q
p
c
para cada p ∈ C. Fixando p
o
∈ C temos que
nenhum ponto de V
p
o
est´a em todos os V
c
p
, pois
p∈C
V
c
p
= ∅, por (1.1). Da´ı, {V
p
}
p∈C
´e
uma cobertura aberta para V
c
p
o
= C ∩ G ∩ Q
p
o
. Logo, V
c
p
o
⊂ V
p
1
∪ V
p
2
∪ ··· ∪ V
p
n
para
alguma cole¸c˜ao finita de {V
p
i
}. Desta forma, V
c
p
0
∩ V
c
p
1
∩ ··· ∩ V
c
p
n
= ∅, isto ´e,
(1.2) C ∩ G ∩ Q
p
o
∩ Q
p
1
∩ ··· ∩ Q
p
n
= ∅.
O conjunto V = G ∩ Q
p
o
∩ Q
p
1
∩ ··· ∩ Q
p
n
possui as propriedades requeridas, pois
K ⊂ V ⊂ V ⊂ G ∩ Q
p
o
∩ ··· ∩ Q
p
n
⊂ U, por (1.2).
Defini¸c˜ao 1.1.8. Seja f uma fun¸c˜ao real (ou estendida-real) sobre S.
f ´e dita semicont´ınua inferiormente (s.c.i.) ⇔ {x; f(x) > α} ´e aberto para todo α ∈ R.
f ´e dita semicont´ınua superiormente (s.c.s.) ⇔ {x; f(x) < α} ´e aberto para todo α ∈ R.
7
Exemplos:
(i) Fun¸c˜oes caracter´ısticas de conjuntos abertos s˜ao semicont´ınuas inferiormente.
(ii) Fun¸c˜oes caracter´ısticas de conjuntos fechados s˜ao semicont´ınuas superiormente.
(iii) O supremo de qualquer cole¸c˜ao de fun¸c˜oes semicont´ınuas inferiormente ´e s.c.i.
O ´ınfimo de qualquer cole¸c˜ao de fun¸c˜oes semicont´ınuas superiormente ´e s.c.s.
Nota¸c˜oes: Sejam f ∈ C
c
(S), K ⊂ S compacto, 0 ≤ f ≤ 1 e V ⊂ S aberto.
(i) K ≺ f significa que f (x) = 1 para todo x ∈ K.
(ii) f ≺ V significa que o suporte de f existe e est´a contido em V .
(iii) K ≺ f ≺ V indica que (i) e (ii) ocorrem.
Lema de Urysohn: Se S ´e um espa¸co de Hausdorff localmente compacto, V ⊂ S aberto
e K ⊂ V compacto. Ent˜ao, existe uma fun¸c˜ao f ∈ C
c
(S) tal que K ≺ f ≺ V .
Demonstra¸c˜ao. Definamos uma seq¨uˆencia {r
n
}
n∈N
da seguinte forma: r
1
= 0, r
2
= 1 e
r
3
, r
4
, r
5
. . . . sendo uma enumera¸c˜ao dos racionais em (0, 1) [r
1
< r
3
< r
4
< ··· < r
2
].
Pelo teorema 1.1.7, podemos encontrar conjuntos abertos V
o
e V
1
tais que V
o
´e compacto
e
K ⊂ V
1
⊂ V
1
⊂ V
o
⊂ V
o
⊂ V.
Suponhamos que n ≥ 2 e V
r
1
, . . . , V
r
n
escolhidos de tal maneira que r
i
< r
j
implica
V
r
j
⊂ V
r
i
. Ent˜ao, existem r
i
= max
k=1,...,n
{r
k
; r
k
< r
n+1
} e r
j
= min
k=1,...,n
{r
k
; r
k
< r
n+1
}.
Usando o teorema 1.1.7, podemos encontrar V
r
n+1
tal que
V
r
j
⊂ V
r
n+1
⊂ V
r
n+1
⊂ V
r
i
.
Assim, pelo princ´ıpio de indu¸c˜ao, obtemos uma cole¸c˜ao {V
r
}
r∈Q∩[0,1]
, de conjuntos
abertos para cada racional r ∈ [0, 1] com as seguintes propriedades:
K ⊂ V
1
, V
o
⊂ V, V
r
´e compacto e s > r ⇒ V
s
⊂ V
r
.
Definamos para cada r, s ∈ Q ∩ [0, 1] as seguintes fun¸c˜oes:
f
r
(x) :=
r, se x ∈ V
r
0, se x /∈ V
r
; g
s
(x) :=
1, se x ∈ V
s
s, se x /∈ V
s
;
f(x) := sup
r∈Q∩[0,1]
f
r
(x) e g(x) := inf
r∈Q∩[0,1]
g
s
(x) para todo x ∈ S.
8
Afirmamos que f ´e a fun¸c˜ao procurada.
Temos que 0 ≤ f ≤ 1, f(x) = 1 se x ∈ K e f tem seu suporte em V
o
. De fato, se
x ∈ K ent˜ao f(x) = sup{f
r
(x); r ∈ Q ∩ [0, 1]} = 1 e, se f (x) = 0 ent˜ao existe r > 0 tal
que x ∈ V
r
por´em, pela constru¸c˜ao de {V
r
}
r∈Q
, V
r
⊂ V
r
⊂ V
o
. Logo x ∈ V
o
.
Pelo item (iii) no exemplo anterior, temos que f e g s˜ao semicont´ınuas inferiormente
e superiormente, respectivamente. Para que f ∈ C
c
(X) falta mostrar apenas que f ´e
cont´ınua, isto ´e, f ´e s.c.s. e s.c.i., para isso mostraremos que f = g.
Afirmamos que f
r
≤ g
s
para todo r, s ∈ Q ∩ [0, 1], ou seja, f ≤ g.
Com efeito, dados r e s, temos que f
r
(x) > g
s
(x) ´e poss´ıvel somente se r > s, x ∈ V
r
e x /∈ V
s
. Por´em, por defini¸c˜ao da cole¸c˜ao {V
i
}
i∈Q∩[0,1]
se r > s ent˜ao V
r
⊂ V
s
, isto ´e,
x ∈ V
s
⊂ V
s
uma contradi¸c˜ao.
Logo, f ≤ g.
Suponhamos, por absurdo, que exista x ∈ S tal que
0 < f(x) < g(x) < 1.
Nesse caso, existem racionais r e s tais que f(x) < r < s < g(x). Da´ı, f(x) < r
ent˜ao x /∈ V
r
e, como g(x) > s segue que x ∈ V
s
, o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois
r < s ⇒ V
s
⊂ V
r
.
Logo, f = g.
Teorema 1.1.9. Sejam V
1
, . . . , V
n
subconjuntos abertos de um espa¸co de Hausdorff local-
mente compacto S e K um conjunto compacto tal que
K ⊂ V
1
∪ ··· ∪ V
n
.
Ent˜ao, para cada i ∈ {1, . . . , n} existe uma fun¸c˜ao h
i
≺ V
i
tal que
h
1
(x) + h
2
(x) + ··· + h
n
(x) = 1, para todo x ∈ K.
Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema 1.1.7, temos para cada x ∈ K que existe uma vizinhan¸ca
W
x
com fecho compacto W
x
⊂ V
i
para algum i (dependendo de x). De fato, dado x ∈ K
existe i ∈ {1, . . . , n} tal que x ∈ V
i
e, portanto {x} ⊂ V
i
. Assim, pelo teorema 1.1.7,
existe uma vizinhan¸ca W
x
com fecho compacto tal que {x} ⊂ W
x
⊂ W
x
⊂ V
i
.
Ent˜ao, pela compacidade de K, existem finitos p ontos x
1
, . . . , x
m
em K tais que K ⊂
W
x
1
∪ W
x
2
∪ ··· ∪ W
x
m
.
9
Para cada i ∈ {1, . . . , n} fixo, definamos o conjunto
H
i
:=
W
x
j
⊂ V
i
1 ≤ j ≤ m
W
x
j
.
Como uni˜ao finita de compactos ´e compacto segue que H
i
´e compacto para todo i ∈
{1, . . . , n}. Assim, pelo lema de Urysohn, existem fun¸c˜oes g
i
∈ C
c
(S) tais que H
i
≺ g
i
≺ V
i
para cada i ∈ {1, . . . , n}.
Definamos
h
1
:= g
1
h
2
:= (1 − g
1
)g
2
h
3
:= (1 − g
1
)(1 − g
2
)g
3
.
.
.
h
n
:= (1 − g
1
)(1 − g
2
) . . . (1 −g
n−1
)g
n
.
Ent˜ao, h
i
≺ V
i
. De fato, h
i
´e cont´ınua e o suporte de h
i
´e:
supp h
i
= {x ∈ S; g
j
(x) = 1, para todo 1 ≤ j < i e g
i
(x) = 0} ⊂ {x ∈ X; g
i
(x) = 0}
´e compacto, portanto, h
i
∈ C
c
(S). Ainda mais, como supp h
i
⊂ supp g
i
⊂ V
i
segue que
h
i
≺ V
i
.
Por indu¸c˜ao, temos
(1.3) h
1
+ h
2
+ ··· + h
n
= 1 − (1 − g
1
)(1 − g
2
) . . . (1 −g
n
).
Com efeito,
h
1
+ h
2
+ ··· + h
n
= g
1
+ (1 − g
1
)g
2
+ (1 − g
1
)(1 − g
2
)g
3
+ ··· + (1 − g
1
) . . . (1 −g
n−1
)g
n
da´ı,
−1 + h
1
+ h
2
+ ··· + h
n
= −1 + g
1
+ (1 − g
1
)g
2
+ ··· + (1 − g
1
) · ··· · (1 − g
n−1
)g
n
=
= (1 − g
1
)[−1 + g
2
+ ··· + (1 − g
2
) · ··· · (1 − g
n−1
)g
n
] =
= (1 − g
1
)(1 − g
2
) . . . (1 −g
n−1
)[−1 + g
n
] =
= (1 − g
1
)(1 − g
2
) · ··· · (1 − g
n
)(−1).
Ent˜ao
h
1
+ h
2
+ ··· + h
n
= 1 − (1 − g
1
)(1 − g
2
) · ··· · (1 − g
n
).
10
Como K ⊂ H
1
∪ ··· ∪ H
n
e H
i
≺ g
i
≺ V
i
para todo i ∈ {1, . . . , n} segue, por (1.3), que
para todo x ∈ K vale
h
1
(x) + h
2
(x) + ··· + h
n
(x) = 1.
1.2 No¸c˜oes b´asicas da teoria da medida
Seja M um subconjunto arbitr´ario de S.
Defini¸c˜ao 1.2.1. Uma cole¸c˜ao A de subconjuntos de M ´e dita uma σ-´algebra em M se
ela tem as seguintes propriedades:
(i) Ω ∈ A;
(ii) A ∈ A ⇒ A
c
∈ A;
(iii) (A
n
)
n∈N
⊂ A ⇒
n∈N
A
n
∈ A.
Teorema 1.2.2. A interse¸c˜ao
i∈I
A
i
de qualquer fam´ılia (A
i
)
i∈I
de σ-´algebras em um
conjunto comum M ´e uma σ-´algebra.
Demonstra¸c˜ao. A prova pode ser encontrada em [3].
Segue do teorema acima a seguinte defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao 1.2.3. Para qualquer cole¸c˜ao E de subconjuntos de M existe uma menor σ-
´algebra σ(E) que cont´em E. A σ-´algebra σ(E) ´e dita a σ-´algebra gerada por E em M e E
´e dito um gerador de σ(E).
Defini¸c˜ao 1.2.4. A σ-´algebra σ(B), onde B ´e a cole¸c˜ao dos subconjuntos abertos em M,
´e chamada σ-´algebra de Borel e os elementos de σ(B) ser˜ao ditos conjuntos de Borel.
Defini¸c˜ao 1.2.5. Uma cole¸c˜ao R de subconjuntos de M ´e dita um anel em M se ela
tem as seguintes propriedades:
11
(i) ∅ ∈ R;
(ii) A, B ∈ R ⇒ A\B ∈ R;
(iii) A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R.
Defini¸c˜ao 1.2.6. Seja R um anel em M e µ uma fun¸c˜ao sobre R com valores em [0, +∞].
µ ´e dita uma pr´e-medida sobre R se :
(i) µ(∅) = 0
(ii) para toda seq¨uˆencia (A
n
)
n∈N
de conjuntos em R, dois a dois disjuntos, cuja uni˜ao
ainda est´a em R vale:
µ
∞
n=1
A
n
=
∞
n=1
µ(A
n
) (aditividade completa)
• µ ´e dita um conte´udo se no lugar de (ii) vale
µ
k
n=1
A
n
=
k
n=1
µ(A
n
) (aditividade finita)
para qualquer cole¸c˜ao finita de conjuntos dois a dois disjuntos A
1
, A
2
, . . . , A
k
∈ R.
Defini¸c˜ao 1.2.7. Uma pr´e-medida µ definida em uma σ-´algebra A de subconjuntos de
M ´e dita uma medida,
µ : A −→ [0, +∞]
A −→ µ(A) := medida de A
• se µ(M) < +∞ dizemos que µ ´e finita.
• µ ≡ 0 ´e uma medida, dita nula.
Defini¸c˜ao 1.2.8. Uma medida µ definida em uma σ-´algebra A de subconjuntos de M ´e
dita
(i) regular interior se para todo A ∈ A temos µ(A) = sup{µ(K); K ⊂ A, K compacto};
(ii) regular exterior se para todo A ∈ A temos µ(A) = inf{µ(O); A ⊂ O, O aberto};
12
(iii) regular se ela ´e ambas regular interior e exterior.
Estenderemos a S a constru¸c˜ao de uma medida do tipo Lebesgue, procedendo de modo
an´alogo ao contexto dos espa¸cos euclidianos.
Seja λ : {C ⊂ S; C ´e compacto } → [0, +∞] uma aplica¸c˜ao tal que para quaisquer C
e D compactos temos
(1.4) λ(C ∪ D) ≤ λ(C) + λ(D),
(1.5) λ(C ∪ D) = λ(C) + λ(D) se C ∩ D = ∅.
A partir de λ definiremos mais duas aplica¸c˜oes µ e ν p or
(1.6) µ(O) := sup{λ(C); C ⊂ O, C compacto}, para todo aberto O
e
(1.7) ν(M) := inf{µ(O); M ⊂ O, O aberto}, para todo M.
Procederemos sistematicamente para derivar propriedades de µ e ν e para estabelecer
rela¸c˜oes entre λ, µ e ν.
Lema 1.2.9. Sejam O e P abertos tais que O ⊂ P . Ent˜ao µ(O) ≤ µ(P ).
Demonstra¸c˜ao. Se C ⊂ O ⊂ P ent˜ao , p or defini¸c˜ao de µ, λ(C) ≤ µ(P ). Logo, µ(O) =
sup
C⊂O
λ(C) ≤ µ(P ).
Lema 1.2.10. Sejam M e N conjuntos arbitr´arios tais que M ⊂ N. Ent˜ao ν(M) ≤ ν(N).
Demonstra¸c˜ao. Se O ´e um conjunto aberto tal que N ⊂ O ent˜ao M ⊂ O. Portanto,
µ(O) ≥ ν(M) = inf
M⊂O
µ(O), donde segue que ν(N) = inf
N⊂O
µ(O) ≥ ν(M).
Lema 1.2.11. ν(C) ≥ λ(C) para todo compacto C.
Demonstra¸c˜ao. Se C ⊂ O ent˜ao µ(O) = sup
C⊂O
λ(C) ≥ λ(C). Da´ı, ν(C) = inf
C⊂O
µ(O) ≥
λ(C).
Lema 1.2.12. ν(O) = µ(O) para todo aberto O.
13
Demonstra¸c˜ao. Temos que ν(O) = inf
O⊂P
µ(P ) ≤ µ(O). Por outro lado, se O ⊂ P ent˜ao
pelo lema 1.2.9, µ(O) ≤ µ(P ). Mas, ν(O) = inf
O⊂P
µ(P ) ≥ µ(O). Logo, µ(O) = ν(O).
Lema 1.2.13. λ(∅) = µ(∅) = ν(∅) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Para λ, isto segue de (1.5) tomando C = D = ∅. Por outro lado, como
℘(∅) = {∅} segue que µ(∅) = 0 e pelo lema 1.2.12, segue que ν(∅) = µ(∅) = 0.
Lema 1.2.14. µ(O ∪ P ) ≤ µ(O ) + µ(P ) para quaisquer abertos O e P .
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que C ⊂ O∪P . Ent˜ao, pelo item (ii) do lema 1.1.4, podemos
encontrar D ⊂ O e E ⊂ P compactos tais que C ⊂ D ∪ E. Ent˜ao, por (1.4), λ(C) ≤
λ(D) + λ(E) ≤ sup
D⊂O
λ(D) + sup
E⊂P
λ(E) = µ(O) + µ(P ). Assim,
µ(O ∪ P ) = sup
C⊂O∪P
λ(C) ≤ µ(O) + µ(P ).
Lema 1.2.15. Sejam O e P abertos tais que O ∩P = ∅. Ent˜ao µ(O ∪P ) = µ(O) + µ(P ).
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que C ⊂ O ∪ P e escrevamos D = C ∩ P
c
, E = C ∩ O
c
.
Ent˜ao, C ⊂ O ∪ P , D ∩ E = C ∩ O
c
∩ P
c
= C ∩ (O ∪ P )
c
= ∅. Pelo item (i) do lema
1.1.4, D e E s˜ao compactos. Al´em disso, D ⊂ O e E ⊂ P , pois O ∩ P = ∅ e C = D ∪ E.
De fato, D = C ∩P
c
⊂ C e E\(C ∩O
c
) ⊂ C ent˜ao D ∪E ⊂ C. Por outro lado, se c ∈ C
ent˜ao c ∈ O ou c ∈ P , pois O ∩ P = ∅. Se c ∈ O ⊂ P
c
ent˜ao c ∈ C ∩ P
c
= D, ou seja,
se c ∈ P ⊂ O
c
ent˜ao c ∈ C ∩ O
c
= E. Assim, C ⊂ D ∪ E. Logo, C = D ∪ E. De (1.5)
temos que
λ(C) = λ(D) + λ(E), pois D ∩ E = ∅,
da´ı,
µ(O ∪ P ) = sup
C⊂O∪P
λ(C) ≥ λ(D) + λ(E).
Portanto,
µ(O ∪ P ) ≥ sup
D⊂O
λ(D) + sup
E⊂P
λ(E) = µ(O) + µ(P ).
Enfim, pelo lema 1.2.14, temos que µ(O ∪ P ) = µ(O) + µ(P ).
14
Lema 1.2.16. Se O
i
´e aberto para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}, ent˜ao µ(O
1
∪ ··· ∪ O
n
) ≤
µ(O
1
) + µ(O
2
) + ··· + µ(O
n
).
Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente do lema 1.2.14.
Lema 1.2.17. Se O
i
´e aberto para todo i ∈ {1, 2, . . . , n} e O
i
∩ O
j
= ∅ para i = j ent˜ao
µ
(
O
1
∪ ··· ∪
O
n
) =
µ
(
O
1
) +
···
+
µ
(
O
n
)
.
Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente do lema 1.2.15.
Lema 1.2.18. Se O
i
´e aberto para todo i ∈ N, ent˜ao µ
∞
i=1
O
i
≤
∞
i=1
µ(O
i
).
Demonstra¸c˜ao. Seja C um conjunto compacto tal que C ⊂
∞
i=1
O
i
, ent˜ao podemos encon-
trar um n´umero finito de ´ındices i
1
, . . . , i
n
tais que
C ⊂ O
i
1
∪ ··· ∪ O
i
n
.
Segue de (1.6) que
λ(C) ≤ µ(O
i
1
∪ ··· ∪ O
i
n
) ≤ µ(O
i
1
) + ··· + µ(O
i
n
).
Da´ı,
λ(C) ≤
∞
i=1
µ(O
i
).
Como isto ´e v´alido para todo compacto C ⊂
∞
i=1
O
i
, temos que
µ
∞
i=1
O
i
= sup
C⊂
∞
i=1
O
i
λ(C) ≤
∞
i=1
µ(O
i
).
Lema 1.2.19. Seja {O
i
}
i∈N
uma cole¸c˜ao de abertos tais que O
i
∩ O
j
= ∅ para i = j.
Ent˜ao µ
∞
i=1
O
i
=
∞
i=1
µ(O
i
).
15
Demonstra¸c˜ao. Temos µ
∞
i=1
O
i
≥ µ
n
i=1
O
i
)
pelo lema 1.2.17
=
n
i=1
µ(O
i
) para todo n ∈ N.
Como a desigualdade anterior ´e v´alida para todo n, temos que
µ
∞
i=1
O
i
≥
∞
i=1
µ(O
i
).
Logo, a igualdade segue do lema 1.2.18.
Lema 1.2.20. Seja {M
i
}
i∈N
uma cole¸c˜ao de conjuntos arbitr´arios. Ent˜ao ν
∞
i=1
M
i
≤
∞
i=1
ν(M
i
).
Demonstra¸c˜ao. Como ν(M) = inf
M⊂O
µ(O) ent˜ao para todo ε > 0 podemos encontrar
conjuntos abertos O
i
⊃ M
i
tais que µ(O
i
) ≤ ν(M
i
) +
ε
2
i
para cada i ∈ N . Assim,
ν
∞
i=1
M
i
≤ µ
∞
i=1
O
i
≤
∞
i=1
µ(O
i
)
≤
∞
i=1
ν(M
i
) +
∞
i=1
1
2
i
ε
=
∞
i=1
ν(M
i
) + ε.
Como ε foi escolhido arbitrariamente, o resultado segue tomando ε → 0.
1.3 Mensurabilidade
Defini¸c˜ao 1.3.1. Um conjunto M ´e mensur´avel se para todo conjunto compacto K vale
ν(K) = ν(K ∩ M) + ν(K ∩ M
c
).
Uma parti¸c˜ao ´e uma seq¨uˆencia finita ou enumer´avel de conjuntos dois a dois disjuntos
em S cuja uni˜ao ´e S.
Se U = (A
1
, A
2
, . . . ) e B = (B
1
, B
2
, . . . ) s˜ao parti¸c˜oes, iremos denotar por U ≤ B se
para todo A
i
existe algum j ∈ N tal que A
i
⊂ B
j
. Sob esta ordena¸c˜ao parcial, o conjunto
de todas as parti¸c˜oes ´e um reticulado, isto ´e, para todo par U, B de parti¸c˜oes existe uma
´unica parti¸c˜ao C chamada o produto de U e B (C = U ·B) com as seguintes propriedades:
C ≤ U, C ≤ B, e se existe uma parti¸c˜ao C
tal que C
≤ U, C
≤ B ent˜ao C
≤ C. C ´e
16
a parti¸c˜ao cujos conjuntos s˜ao A
i
∩ B
j
para i, j ∈ N . Uma parti¸c˜ao U = (A
1
, A
2
, . . . ) ´e
mensur´avel se para todo conjunto compacto K temos
ν(K) =
∞
i=1
ν(K ∩ A
i
).
Observamos que M ´e um conjunto mensur´avel se, e somente se, a parti¸c˜ao (M, M
c
) ´e
uma parti¸c˜ao mensur´avel.
Lema 1.3.2. Se M ´e um conjunto arbitr´ario tal que ν(O) ≥ ν(O ∩M) + ν(O ∩M
c
) para
todo aberto O ent˜ao M ´e mensur´avel.
Demonstra¸c˜ao. Dado K um conjunto compacto arbitr´ario, seja O um aberto tal que
O ⊃ K . Ent˜ao,
ν(O) ≥ ν(O ∩ M) + ν(O ∩ M
c
) ≥ ν(K ∩ M) + ν(K ∩ M
c
).
Como ν(O) = µ(O), temos
µ(O) ≥ ν(K ∩ M) + ν(K ∩ M
c
) para todo K ⊂ O,
tal que
ν(K) = inf µ(O) ≥ ν(K ∩ M) + ν(K ∩ M
c
).
A igualdade segue do lema 1.2.20.
Lema 1.3.3. O produto de duas parti¸c˜oes mensur´aveis ´e mensur´avel.
Demonstra¸c˜ao. Se U = (A
1
, A
2
, . . . ) e B = (B
1
, B
2
, . . . ) s˜ao parti¸c˜oes mensur´aveis e M ´e
um conjunto qualquer, temos que
ν(M) =
∞
i=1
ν(M ∩ A
i
) =
∞
i=1
∞
j=1
ν(M ∩ A
i
∩ B
j
).
Assim, segue da defini¸c˜ao 1.3.1 que U · B ´e mensur´avel.
Lema 1.3.4. Se U = (A
1
, A
2
, . . . ) ´e uma parti¸c˜ao mensur´avel e B = (B
1
, B
2
, . . . ) uma
parti¸c˜ao tal que U ≤ B ent˜ao B ´e mensur´avel.
17
Demonstra¸c˜ao. Para qualquer conjunto M temos
ν(M) =
∞
i=1
ν(M ∩ A
i
) =
∞
j=1
i∈{l;A
l
⊂B
j
}
ν(M ∩ A
i
).
Por outro lado,
ν(M ∩ B
j
) =
∞
i=1
ν(M ∩ A
i
∩ B
j
) =
i∈{l;A
l
⊂B
j
}
ν(M ∩ A
i
∩ B
j
) =
=
i∈{l;A
l
⊂B
j
}
ν(M ∩ A
i
),
donde
ν(M) =
∞
j=1
ν(M ∩ B
j
).
Lema 1.3.5. Seja U = (A
1
, A
2
, . . . ) uma parti¸c˜ao. Ent˜ao U ´e mensur´avel se, e s´o se, A
j
´e mensur´avel para todo j ∈ N.
Demonstra¸c˜ao. Seja U uma parti¸c˜ao mensur´avel, pelo lema 1.3.4, a parti¸c˜ao (A
j
, A
c
j
)
tamb´em ´e mensur´avel para todo A
j
, com j ∈ N . Logo, A
j
´e mensur´avel para todo j ∈ N.
Reciprocamente, suponhamos para todo j ∈ N que A
j
´e mensur´avel. Ent˜ao, cada uma
das parti¸c˜oes (A
1
, A
c
1
), . . . (A
n
, A
c
n
) ´e mensur´avel, e portanto, o seu produto ´e mensur´avel.
Visto que os A
j
s˜ao dois a dois disjuntos, este produto ´e a parti¸c˜ao
A
1
, A
2
, . . . , A
n
,
n
j=1
A
c
j
.
Por isso, para todo conjunto M temos
ν(M) = ν(M ∩ A
1
) + ν(M ∩ A
2
) + ··· + ν(M ∩ A
n
) + ν
M ∩
n
j=1
A
c
j
≥
n
i=1
ν(M ∩ A
i
),
de modo que ν(M) ≥
∞
i=1
ν(M ∩ A
i
). Como, pelo lema 1.2.20, a inequa¸c˜ao oposta ´e
verdadeira, pois A
1
∪ A
2
∪ ··· ∪ A
n
∪
n
j=1
A
c
j
= S, segue que, U ´e mensur´avel.
Os trˆes lemas 1.3.3, 1.3.4 e 1.3.5 ser˜ao utilizados para derivar as propriedades essenciais
dos conjuntos mensur´aveis.
18
Lema 1.3.6. Se A e B s˜ao conjuntos mensur´aveis ent˜ao A
c
, A ∩ B e A ∪ B s˜ao men-
sur´aveis.
Demonstra¸c˜ao. Para A
c
a afirma¸c˜ao segue diretamente, simetria entre A e A
c
, na defini¸c˜ao
1.3.1 . Por hip´otese, ( A, A
c
) e (B, B
c
) s˜ao parti¸c˜oes mensur´aveis e A∩B ´e um dos conjuntos
no seu produto, logo A ∩B ´e mensur´avel. De fato, A ∪B = (A
c
∩B
c
)
c
que, por sua vez,
´e mensur´avel.
Lema 1.3.7. Se {A
j
}
j∈N
´e uma cole¸c˜ao de conjuntos mensur´aveis e A =
∞
j=1
A
j
ent˜ao A
´e mensur´avel. Al´em disso, se os A
n
s˜ao dois a dois disjuntos, ent˜ao
(1.8) ν(A) =
∞
j=1
ν(A
j
)
Demonstra¸c˜ao. Mostremos, primeiramente, o caso em que A
i
∩ A
j
= ∅ para i, j ∈ N tais
que i = j. Como A
j
´e mensur´avel, a parti¸c˜ao (A
j
, A
c
j
) tamb´em ´e mensur´avel. Logo,
A
1
, A
2
, . . . , A
n
,
n
j=1
A
c
j
que envolve o produto dos n primeiros termos desta parti¸c˜ao ´e mensur´avel. Conseq¨uen-
temente, se M ´e um conjunto arbitr´ario
ν(M) =
n
j=1
ν(M ∩ A
j
) + ν
M ∩
n
j=1
A
c
j
≥
n
j=1
ν(M ∩ A
j
) + ν
M ∩
∞
j=1
A
c
j
,
e visto que isto ´e v´alido para to do n, temos que
ν(M) ≥
∞
j=1
ν(M ∩ A
j
) + ν
M ∩
∞
j=1
A
c
j
.
A desigualdade oposta vale pelo lema 1.2.20, logo
(1.9) ν(M) =
∞
j=1
ν(M ∩ A
j
) + ν
M ∩
∞
j=1
A
c
j
.
Isto significa que a parti¸c˜ao
A
1
, A
2
, . . . ,
∞
j=1
A
c
j
´e mensur´avel, por conseguinte, o conjunto
∞
j=1
A
c
j
tamb´em ´e mensur´avel. Conseq¨uentemente,
∞
j=1
A
j
= A ser´a mensur´avel.
19
Substituindo M por A em (1.9) obtemos (1.8).
Para o caso em que A
i
∩ A
j
= ∅ para algum i, j , teremos
A = A
1
∪ (A
c
1
∩ A
2
) ∪ (A
c
1
∩ A
c
2
∩ A
3
) ∪ ··· ,
onde cada termo desta uni˜ao, cujos termos s˜ao dois a dois disjuntos, ´e mensur´avel, pelo
lema 1.3.6. Isto completa a demonstra¸c˜ao do lema 1.3.7.
Desta forma, ν ´e uma medida definida sobre os conjuntos mensur´aveis. Como o
conjunto vazio ´e mensur´avel, temos que a aditividade completa de ν para conjuntos men-
sur´aveis implica na aditividade finita. Para o caso finito, temos o seguinte lema
Lema 1.3.8. Se A ´e mensur´avel e B ´e qualquer ent˜ao
ν(A ∪ B) + ν(A ∩ B) = ν(A) + ν(B).
Demonstra¸c˜ao. A mensurabilidade de A implica as rela¸c˜oes:
(1.10) ν(A ∪ B) = ν((A ∪ B) ∩ A) + ν((A ∪ B) ∩ A
c
) = ν(A) + ν(B ∩ A
c
),
(1.11) ν(B) = ν(B ∩A) + ν(B ∩ A
c
).
Das quais segue que
ν(A) + ν(B) = ν(A) + ν(B ∩ A) + ν(B ∩ A
c
) = ν(A ∪ B) + ν(A ∩ B).
Lema 1.3.9. Se A
1
⊂ A
2
⊂ ··· ´e uma seq¨uˆencia mon´otona crescente de conjuntos
mensur´aveis, ent˜ao
ν
∞
j=1
A
j
= lim
j→∞
ν(A
j
).
Demonstra¸c˜ao. Como
∞
j=1
A
j
= A
1
∪ (A
c
1
∩ A
2
) ∪ (A
c
2
∩ A
3
) ∪ (A
c
3
∩ A
4
) ∪ . . . ,
temos que
ν
∞
j=1
A
j
=
pelo lema 1.3.7
lim
j→∞
ν(A
1
) +
j
i=1
ν(A
c
i
∩ A
i+1
)
=
pelo lema 1.3.8
lim
j→∞
ν(A
j
).
20
Lema 1.3.10. Se A
1
⊃ A
2
⊃ ··· ´e uma seq¨uˆencia mon´otona decrescente de conjuntos
mensur´aveis tal que existe algum j para o qual A
j
possui medida finita, ent˜ao
ν
∞
j=1
A
j
= lim
j→∞
ν(A
j
).
Demonstra¸c˜ao. Se ν(A
j
) < ∞ temos que ν(A
j
) ≥ ν(A
j+p
) para todo p ∈ N, ent˜ao
ν(A
j+p
) < ∞. Por isso, sem perda de generalidade, podemos assumir que todo A
j
tem
medida finita. Em outras palavras, para todo j ∈ N temos que A
j
est´a contido em um
conjunto mensur´avel M de medida finita.
O teorema segue agora da aplica¸c˜ao do lema 1.3.9 na seq¨uˆencia M\A
1
⊂ M\A
2
⊂ ··· .
De fato, temos que
ν(
∞
j=1
(M\A
j
)) = ν(M\(
∞
j=1
A
j
)) = lim
j→∞
ν(M\A
j
)
como ν(M) < ∞ segue que ν(
∞
j=1
A
j
) = lim
j→∞
ν(A
j
).
Lema 1.3.11. Todo conjunto aberto ´e mensur´avel.
Demonstra¸c˜ao. Dado um conjunto aberto O , tomemos P conjunto aberto arbitr´ario.
Sejam C e D conjuntos compactos tais que C ⊂ O∩P e D ⊂ P ∩C
c
. Ent˜ao D∩C = ∅,
pois D ⊂ C
c
. Como C ⊂ P e D ⊂ P , temos que C ∪ D ⊂ P . Logo,
ν(P ) = µ(P ) ≥ λ(C ∪D) = λ(C) + λ(D).
Da´ı, como P ∩C
c
´e aberto e C
c
⊃ O
c
, temos
ν(P ) ≥ λ(C) + sup
D⊂P ∩C
c
λ(D)
= λ(C) + ν(P ∩ C
c
) ≥ λ(C) + ν(P ∩ O
c
),
e assim,
ν(P ) ≥ sup
C⊂P ∩O
λ(C) + ν(P ∩ O
c
)
= µ(P ∩O) + ν(P ∩ O
c
).
Portanto, pelo lema 1.3.2, O ´e mensur´avel.
Lema 1.3.12. Todo conjunto de Borel ´e mensur´avel.
Demonstra¸c˜ao. Segue dos lemas 1.3.11, 1.3.7 e 1.3.8.
21
1.4 Conex˜ao entre λ e ν
No lema 1.2.11 mostramos que para todo conjunto compacto C, ν(C) ≥ λ(C). Nesta
se¸c˜ao, estabeleceremos a igualdade entre ν e λ e ent˜ao discutiremos hip´oteses sob as quais
a extens˜ao λ ´e determinada por ν.
Lema 1.4.1. Se al´em das aplica¸c˜oes (1.4) e (1.5), a aplica¸c˜ao λ tamb´em satisfaz a
condi¸c˜ao
(1.12) λ(C) ≤ λ(D) para C ⊂ D compactos.
Ent˜ao para todo compacto C
(1.13) ν(C
i
) ≤ λ(C).
Demonstra¸c˜ao. De acordo com o lema 1.2.12 e (1.6), temos:
ν(C
i
) = µ(C
i
) = sup
D⊂C
i
λ(D).
Se D ⊂ C
i
ent˜ao D ⊂ C, o que implica λ(D) ≤ λ(C). Da´ı,
sup
D⊂C
i
λ(D) = ν(C
i
) ≤ λ(C).
Defini¸c˜ao 1.4.2. Diremos que uma aplica¸c˜ao λ : {C ⊂ S; C ´e compacto } → [0, +∞] que
satisfaz (1.4) e (1.5) gera uma aplica¸c˜ao ν se ν(O) = sup{λ(C); C ⊂ O, C compacto},
para todo aberto O e ν(M) = inf{ν(O); M ⊂ O, O aberto}, para todo conjunto M.
Notemos que segue da defini¸c˜ao acima que se a medida ν ´e gerada por alguma aplica¸c˜ao
λ que satisfaz (1.4) e (1.5) ent˜ao ν ´e uma medida regular.
Impondo restri¸c˜oes sobre o espa¸co S, vamos determinar agora condi¸c˜oes sob as quais
a medida ν ´e gerada pela medida λ.
Teorema 1.4.3. Se λ
1
, λ
2
: {C ⊂ S; C ´e compacto } → [0, +∞] s˜ao aplica¸c˜oes satis-
fazendo (1.4) e (1.5) tais que λ
1
gera ν e λ
1
(C) ≤ λ
2
(C) ≤ ν(C), para todo compacto C
ent˜ao λ
2
tamb´em gera ν.
22
Demonstra¸c˜ao. Como λ
1
gera ν ent˜ao ν(M) = inf{ν(O); M ⊂ O, O aberto}, para todo
conjunto M. Falta provar que, para todo conjunto aberto O,
ν(O) = sup{λ
2
(C); C ⊂ O, C compacto}.
Temos, para todo compacto C ⊂ O,
ν(O) ≥ ν(C) ≥ λ
2
(C) ≥ λ
1
(C).
Logo
ν(O) ≥ sup
C⊂O
λ
2
(C) ≥ sup
C⊂O
λ
1
(C) = ν(O),
o que implica o resultado procurado.
Lema 1.4.4. Se S ´e localmente compacto e ν ´e uma medida gerada por uma aplica¸c˜ao λ
o
satisfazendo (1.4) e (1.5) ent˜ao uma aplica¸c˜ao dada por λ(C) = ν(C
i
) para todo C ⊂ S
compacto tamb´em gera ν.
Demonstra¸c˜ao. Observemos que n˜ao iremos usar explicitamente a hip´otese de que ν ´e
gerada por λ
o
, assumimos isto apenas para aplicar uma conseq¨uˆencia do teorema 1.4.3
que λ
(C) = ν(C) para todo compacto C gera ν. Assim, temos para qualquer conjunto
aberto O
(1.14) ν(O) = sup
C⊂O
ν(C).
Para provar o lema 1.4.4 ´e suficiente provar que para todo conjunto ab erto O temos
(1.15) ν(O) = sup
D⊂O
ν(D
i
).
Seja C ⊂ O compacto qualquer. Como S ´e localmente compacto podemos, de acordo
com o lema 1.1.5, encontrar um conjunto compacto D tal que
C ⊂ D
i
⊂ D ⊂ O.
Ent˜ao ν(C) ≤ ν(D
i
) ≤ ν(O) de modo que
(1.16) sup
C⊂O
ν(C) ≤ sup
D
i
⊂O
ν(D
i
) ≤ ν(O),
onde o termo da esquerda de (1.16) ´e, por (1.14), igual a ν(O). Logo, (1.16) implica
(1.15).
23
1.5 Considera¸c˜oes sobre grupos topol´ogicos
Defini¸c˜ao 1.5.1. Um grupo topol´ogico ´e uma terna (G, ·, T ) onde:
(i) (G, ·) ´e um grupo;
(ii) (G, T ) ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff com topologia T ;
(iii) a aplica¸c˜ao (x, y) xy
−1
de G ×G em G ´e cont´ınua, quando munimos G ×G com
a topologia produto e G com a topologia T .
Se M ´e um subconjunto arbitr´ario de G escrevemos aM (ou Ma) para o conjunto de
todos os elementos de G da forma ax (ou xa) onde x ∈ M e denotaremos por M
−1
o
conjunto de todos os elementos de G da forma x
−1
, onde x ∈ M. Al´em disso, dados M
e N dois subconjuntos quaisquer de G, denotaremos por M N o conjunto de todos os
elementos de G da forma xy onde x ∈ M, y ∈ N.
Se G e H s˜ao grupos topol´ogicos denotaremos por G × H seu produto direto: isto ´e,
G × H = {(x, y); x ∈ G, y ∈ H}, e G × H ´e um grupo se definimos o produto de (x
, y
)
por (x
, y
) por (x
x
, y
y
). Analogamente, se S e T s˜ao espa¸cos topol´ogicos denotamos
por S × T = {(x, y); x ∈ S , y ∈ T }. S × T ´e um espa¸co topol´ogico se definimos uma
vizinhan¸ca de (x, y) sendo um conjunto O ×P onde O ´e uma vizinhan¸ca (em S) de x e P
´e uma vizinhan¸ca (em T ) de y. Se G e H s˜ao grupos topol´ogicos denotaremos por G ×H
o grupo produto direto com a topologia produto.
No restante deste cap´ıtulo iremos assumir que G ´e um grupo sobre o qual est´a definida
uma topologia de Hausdorff de modo que G se torna um espa¸co topol´ogico localmente
compacto e que G ´e um grupo topol´ogico.
Vamos provar que existe uma medida ν definida para to dos os conjuntos de Borel que
´e invariante sob multiplica¸c˜ao `a esquerda em G, isto ´e, ν(M) = ν(aM) para todo a ∈ G e
todo conjunto de Borel M. Como foi visto anteriormente, ser´a suficiente encontrar uma
aplica¸c˜ao λ : {C ⊂ S; C ´e compacto } → [0, +∞] satisfazendo as condi¸c˜oes: (1.4), (1.5),
(1.17) se C ⊂ D ent˜ao λ(C) ≤ λ(D),
(1.18) se C
i
= ∅ ent˜ao λ(C) > 0,
(1.19) λ(C) < ∞,
que ´e invariante sob multiplica¸c˜ao `a esquerda em G. Tal aplica¸c˜ao λ ser´a constru´ıda na
se¸c˜ao a seguir .
24
Primeiramente, iremos analisar a diferen¸ca entre invariˆancia `a esquerda e invariˆancia
`a direita. O que n˜ao interferir´a no resultado apresentado por dois motivos:
Se G ´e um grupo ent˜ao obtemos outro grupo G
d
, substituindo a regra da multiplica¸c˜ao
xy por yx. Logo, G
d
´e o mesmo conjunto que G, por´em um grupo diferente (exceto quando
G ´e abeliano) e G
dd
= G. Embora G
d
tenha em geral uma regra de multiplica¸c˜ao diferente
de G, temos que ter´a a mesma unidade 1 e o mesmo rec´ıproco x
−1
.
Se G ´e um grupo topol´ogico ent˜ao G
d
´e tamb´em um grupo topol´ogico com a mesma
topologia.
Passando de G para G
d
, as no¸c˜oes de direita e esquerda s˜ao permutadas. Considere o
teorema I o qual ´e v´alido para todos os grupos G, ou para todos os grupos topol´ogicos
os quais satisfa¸cam condi¸c˜oes topol´ogicas, em geral compacidade ou compacidade local.
Ent˜ao o teorema que obtemos de I por permuta¸c˜ao da direita para a esquerda – o dual
I
d
– tamb´em ´e v´alido, para os mesmos grupos: I
d
´e provado aplicando I para G
d
ao inv´es
de G.
Mais especificamente: Se ν ´e qualquer medida invariante `a esquerda em G, ent˜ao
ν
(M) = ν(M
−1
), para todo conjunto M, ´e uma medida invariante `a direita em G, e
vice-versa.
Deste modo, a existˆencia de uma medida invariante `a esquerda para todo grupo
topol´ogico localmente compacto, implica um resultado an´alogo com respeito a invariˆancia
`a direita.
Isto n˜ao necessariamente implica que qualquer medida invariante `a esquerda ν (em um
grupo particular G) seja tamb´em invariante `a direita. Nem que deva existir uma medida
ν, simultaneamente, invariante `a esquerda e `a direita para um dado grupo G. Veremos
a seguir que existem grupos G para os quais nem um caso nem outro ocorre. Alguns
exemplos de grupos para os quais ambos os casos ocorrem s˜ao os grupos abelianos e os
grupos compactos.
Exemplo de uma medida invariante `a esquerda que n˜ao ´e invariante `a direita:
Seja G o grupo de todas as transforma¸c˜oes afins da reta R, definidas por
t → T (t) = xt + y (x, y fixados, x > 0).
Faremos corresponder a cada T = T
x,y
o ponto z = (x, y) do plano Euclidiano. Esta ´e
uma correspondˆencia bijetiva entre G e o semi-plano x > 0. Topologizaremos G com a
topologia induzida por esta correspondˆencia. Ser´a conveniente pensar nos elementos z
como elementos de G. A lei de multiplica¸c˜ao em G ´e descrita pela f´ormula
z
z
= (x
, y
)(x
, y
) = (x
x
, x
y
+ y
),
25
enquanto os elementos inversos e a unidade s˜ao dados por: z
−1
= (x, y)
−1
=
1
x
,
−y
x
e
1 = (1, 0) simultaneamente. Temos que G ´e um grupo topol´ogico.
Iremos construir medidas da forma ν(E) =
E
ϕ(z)d
m
(z) para todo conjunto compacto
E, onde m ´e medida de Lebesgue. Se escrevemos, para qualquer z = (x, y) ∈ G,
µ
∗
(z; E) = m(Ez),
∗
µ(z; E) = m(zE),
ent˜ao
µ
∗
(z; E) = xm(E),
∗
µ(z; E) = x
2
m(E).
Denotamos
ν(E) =
E
ϕ(z)d
m
z.
Ent˜ao, para z
o
= (x
o
, y
o
) temos:
ν(Ez
o
) =
Ez
o
ϕ(z)d
m
z =
E
ϕ(zz
o
)dµ
∗
(z
o
; z) =
E
ϕ(zz
o
)x
o
d
m
z,
ν(z
o
E) =
z
o
E
ϕ(z)d
m
z =
E
ϕ(z
o
z)dµ
∗
(z
o
; z) =
E
ϕ(z
o
z)x
2
o
d
m
z.
Assim, a invariˆancia `a esquerda e `a direita de ν ´e equivalente a
(1.20)
E
ϕ(z
o
z)x
2
o
d
m
z =
E
ϕ(z)d
m
z
e
(1.21)
E
ϕ(zz
o
)x
o
d
m
z =
E
ϕ(z)d
m
z
respectivamente. Temos que (1.20) ´e satisfeita para qualquer ϕ tal que ϕ(z
o
z)x
2
o
≡ ϕ(z). E
a rela¸c˜ao (1.21) ´e satisfeita para qualquer ϕ tal que ϕ(zz
o
)x
o
≡ ϕ(z). Tomando ϕ(z) =
1
x
2
ou ϕ(z) =
1
x
obtemos uma medida invariante `a esquerda (ou invariante `a direita), por´em
n˜ao invariante `a direita (ou invariante `a esquerda).
Terminaremos esta se¸c˜ao provando o seguinte lema:
Lema 1.5.2. Se A e B s˜ao subconjuntos compactos do grupo topol´ogico G ent˜ao A B
tamb´em ´e compacta.
Demonstra¸c˜ao. O conjunto A × B ´e compacto em G ×G. A aplica¸c˜ao (x, y) ∈ G ×G →
xy ∈ G ´e cont´ınua, pois G ´e um grupo topol´ogico. Como A ×B ⊂ G ×G compacto ent˜ao
a sua imagem A B ser´a compacto.
26
1.6 Preliminares para a constru¸c˜ao da medida de
Haar
A constru¸c˜ao que segue ´e baseada no trabalho pioneiro de Haar. O procedimento que
ser´a realizado difere do original em dois aspectos:
Primeiro: Haar usou o processo diagonal, isto ´e, sele¸c˜ao de subseq¨uˆencias sucessivas, para
obter limites. Isto restringe a aplica¸c˜ao de seu m´etodo para grupos separ´aveis.
Segundo: Separando as duas no¸c˜oes de λ e ν , como foi visto anteriormente, podemos
enquadrar a discuss˜ao na teoria geral de medida.
Consideraremos nesta se¸c˜ao que G ´e um grupo topol´ogico localmente compacto.
Dado um conjunto compacto C e um conjunto arbitr´ario M com M
i
= ∅, definiremos
uma aplica¸c˜ao n
C
M
como segue. Sendo M
i
= ∅, todo ponto de G est´a contido em um
conjunto apropriado aM
i
, a ∈ G. Ent˜ao a uni˜ao de todos os conjuntos aM
i
cobre C, onde
os conjuntos aM
i
s˜ao abertos e C ´e compacto. Conseq¨uentemente, C pode ser coberto
por um n´umero finito deles:
(1.22) C ⊂ a
1
M
i
∪ ··· ∪ a
n
M
i
n ∈ N, a
i
∈ G.
Denotemos o menor n para o qual (1.22) ´e v´alida por n
C
M
.
Por exemplo, se G ´e o plano Euclidiano, C ´e um conjunto fechado e limitado arbitr´ario,
e D ´e um c´ırculo fechado de raio r. O n´umero n
C
D
, neste caso, ´e o menor n´umero n(r)
de c´ırculos de raio r necess´arios para cobrir C. Claramente para todo r > 0, n(r)πr
2
≥
m(C), onde m ´e medida de Lebesgue.
´
E poss´ıvel mostrar (ver [4]) que lim
r→0
n(r)πr
2
=
2π
√
3
9
m(C). Em outras palavras, come¸cando com a no¸c˜ao usual de medida, a qual
associa πr
2
como a ´area de um c´ırculo de raio r, finalizamos com uma medida diferente,
um m´ultiplo constante da original. Por este motivo n˜ao iremos usar n
C
D
como uma
compara¸c˜ao dos “tamanhos”de C e D , ao inv´es disso, tomaremos um conjunto compacto
A fixo com A
i
= ∅, e utilizaremos o quociente n
C
A
n
D
A
.
Podemos verificar que
(1.23) n
C
M
≤ n
C
E
n
E
M
,
onde E satisfaz duas condi¸c˜oes: E compacto e E
i
= ∅.
(1.24) n
C ∪ D
M
≤ n
C
M
+ n
D
M
27
quando C e D s˜ao compactos. Temos tamb´em que:
(1.25) n
C
M
≤ n
D
M
se C ⊂ D,
(1.26) n
C
M
= 0 se, e s´o se, C = ∅,
(1.27) n
aC
M
= n
C
M
, a ∈ G.
Tomemos um conjunto compacto E com E
i
= ∅, a existˆencia de um tal conjunto segue
da compacidade local de G. Fixemos o conjunto E. Para qualquer conjunto compacto C
e qualquer conjunto compacto A com A
i
= ∅, definiremos a aplica¸c˜ao
(1.28) λ
A
(C) =
n
C
A
n
E
A
·
onde o denominador ´e n˜ao nulo por (1.25).
Proposi¸c˜ao 1.6.1. A aplica¸c˜ao λ
A
(C) =
n
C
A
n
E
A
· possui as seguintes propriedades:
(1.29) 0 ≤ λ
A
(C) ≤ ∞,
(1.30) λ
A
(C ∪ D) ≤ λ
A
(C) + λ
A
(D),
(1.31) λ
A
(C ∪ D) = λ
A
(C) + λ
A
(D) se (D
−1
C) ∩ (A
−1
A) = ∅,
(1.32) λ
A
(C) ≤ λ
A
(D) se C ⊂ D,
(1.33) λ
A
(C) ≤ 1
n
E
C
> 0, se C
i
= ∅,
(1.34) λ
A
(C) ≤ n
C
E
< ∞,
(1.35) λ
A
(aC) = λ
A
(C).
28
Demonstra¸c˜ao.
Para (1.30): Segue de (1.28) e (1.24).
Para (1.31): Segue de (1.28) , se a igualdade
(1.36) n
C ∪ D
A
= n
C
A
+ n
D
A
ocorre. Logo, basta verificarmos a igualdade (1.36). Temos, por (1.24) , que
n
C ∪ D
A
≤ n
C
A
+ n
D
A
.
Por defini¸c˜ao, se k = n
C ∪ D
A
ent˜ao k ´e o menor natural tal que C ∪D ⊂ a
1
A
i
∪···∪
a
k
A
i
n ∈ N, a
i
∈ G.
Temos, por (D
−1
C) ∩ (A
−1
A) = ∅, que n˜ao existe j ∈ {1, 2, . . . , k} tal que
a
j
A
i
∩C = ∅ e a
j
A
i
∩D = ∅. Caso contr´ario, se existe u ∈ a
j
A
i
∩C e v ∈ a
j
A
i
∩D ent˜ao
existem x, y ∈ A
i
tais que
v = a
j
y e u = a
j
x.
Assim, vy
−1
= a
j
⇒ u = vy
−1
x ⇒ v
−1
u = y
−1
x. Por´em, v
−1
u ∈ D
−1
C e y
−1
x ∈
A
−1
A, isto ´e, (D
−1
C) ∩ (A
−1
A) = ∅, o que ´e uma contradi¸c˜ao.
Desta forma, n
C ∪ D
A
≥ n
C
A
+n
D
A
e portanto, n
C ∪ D
A
= n
C
A
+n
D
A
.
Para (1.32): Segue de (1.28) e (1.25).
Para (1.33): Segue de (1.28) e (1.23), substituindo C, E e M de (1.23) por E, C e A
e por C, E e A, respectivamente.
Para (1.34): Segue de (1.28) e (1.23), substituindo C, E e M por E, C e A e por C,
E e A, resp ectivamente.
Para (1.35): Por (1.28) e (1.27).
Antes de ir adiante, observemos que (1.31) ´e uma forma enfraquecida da condi¸c˜ao
aditiva , como afirmado em (1.5). De fato, a hip´otese de (1.5) ´e
(1.37) C ∩
·
D = ∅.
Enquanto que a hip´otese de (1.31) ´e
(1.38) (D
−
1
C)
·
∩ (A
−
1
A) = ∅.
29
Agora, (1.38) implica (1.37), pois (1.37) ´e equivalente a 1 /∈ D
−1
C, quando 1 ∈
A
−1
A. Conseq¨uentemente, (1.38) implica (1.37), ou seja, (1.31) implica (1.24), se
1 ∈ A
−1
A. Notemos que as propriedades (1.29)-(1.35) de λ
A
coincidem com as condi¸c˜oes
(1.4), (1.5) e (1.17)-(1.19) para λ.
Estas considera¸c˜oes motivam o lema que segue, o qual afirma que para quaisquer dois
conjuntos compactos C, D satisfazendo (1.37) ´e poss´ıvel encontrar um conjunto compacto
A com A
i
= ∅ com o qual a condi¸c˜ao (1.38) ´e satisfeita.
Lema 1.6.2. Se C, D s˜ao conjuntos compactos tais que C ∩D = ∅, ent˜ao (D
−1
C)
c
´e
um conjunto aberto contendo 1.
Demonstra¸c˜ao. Temos que D
−1
´e compacto, j´a que este ´e a imagem por aplica¸c˜ao cont´ınua
do compacto D. Pelo lema 1.5.2, D
−1
C ´e compacto, logo (D
−1
C)
c
´e aberto. Como
C ∩ D = ∅ implica 1 /∈ D
−1
C, portanto 1 ∈ (D
−1
C)
c
.
Lema 1.6.3. Se O ´e um conjunto aberto contendo 1 ent˜ao existe um conjunto compacto
A
o
, com 1 ∈ A
i
o
, tal que A
−1
o
A
o
⊂ O.
Demonstra¸c˜ao. Como y
−1
x ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua de x e y, ´e posss´ıvel encontrar dois
conjuntos abertos O
1
e O
2
contendo 1 tais que se x ∈ O
1
e y ∈ O
2
ent˜ao y
−1
x ∈ O, ou
seja, O
−1
2
O
1
⊆ O. Aplicando agora o lema 1.1.5 com {1} e O
1
∩ O
2
no lugar de C e
O e substituindo D por A
o
, obtemos que 1 ∈ A
i
o
⊂ A
o
⊂ O
1
∩ O
2
, e conseq¨uentemente,
A
−1
o
A
o
⊂ O.
Defini¸c˜ao 1.6.4. Seja I um conjunto fixado arbitr´ario. Uma cole¸c˜ao n˜ao vazia T de
subconjuntos de I ´e dita um ideal se T cont´em todos os subconjuntos de I e para dois
conjuntos quaisquer em T a uni˜ao permanece na cole¸c˜ao T .
Prosseguiremos com o processo mencionado na se¸c˜ao 1.5. Faremos isto encontrando
um conjunto adequado de ´ındices I e um ideal de I.
Defini¸c˜ao 1.6.5. Seja Ξ o espa¸co das aplica¸c˜oes, com as opera¸c˜oes usuais,
x : I → R
α → x
α
ditas seq¨uˆencias generalizadas. Aqui, ξ ∈ Ξ significa que ξ = (x
α
)
α∈I
. Al´em disso, para
todo α
o
∈ I iremos tomar a fun¸c˜ao
ψ
α
o
: Ξ → R
ξ = (x
α
)
α∈I
→ ψ
α
o
(ξ) = x
α
o
.
30
Seja ϕ um funcional definido sobre um subconjunto do espa¸co das seq¨uˆencias generalizadas
Ξ
. Dado um conjunto de ´ındices I dizemos que um subconjunto de I, I
, ´e associado a
ϕ se dadas ξ
1
, ξ
2
∈ Ξ
temos que ´e v´alida a seguinte condi¸c˜ao: se ψ
α
(ξ
1
) = ψ
α
(ξ
2
) para
α /∈ I
ent˜ao ϕ(ξ
1
) = ϕ(ξ
2
).
Lema 1.6.6. A cole¸c˜ao T
ϕ
de todos os conjuntos I
⊂ I que s˜ao associados a ϕ ´e um
ideal que ser´a chamado o ideal associado ao funcional ϕ.
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [6].
Observa¸c˜ao: Notemos que existˆencia de um tal funcional ϕ ´e garantida pelo Teorema
de Tychonoff, e assim pelo Teorema de Kelley, faz uso indireto do Axioma da Escolha.
No entanto, como veremos o processo construtivo que vamos apresentar no cap´ıtulo 3
vai garantir que uma vez que seja poss´ıvel tomar limites de seq ¨uˆencias generalizadas ser´a
poss´ıvel construir a medida de Haar.
Iremos escolher para I a fam´ılia de todos os conjuntos compactos A ⊂ G com 1 ∈ A
i
para os quais foi definida a aplica¸c˜ao λ
A
vista em (1.28). Em outras palavras, I ´e a
classe dos compactos A para os quais λ
A
est´a definida, exceto que a exigˆencia A
i
= ∅
´e substitu´ıda pela exigˆencia 1 ∈ A
i
. Considere a fam´ılia I
⊂ I satisfazendo as duas
condi¸c˜oes a seguir:
Condi¸c˜ao 1.6.7. Existe um A
o
∈ I tal que A ∈ I
implica A ⊂ A
o
.
Condi¸c˜ao 1.6.8. Existe um conjunto aberto O contendo 1 tal que A ∈ I
implica A ⊂ O.
Observemos:
Lema 1.6.9. As duas condi¸c˜oes 1.6.7 e 1.6.8 s˜ao equivalentes. Denotemos a classe de
todas as fam´ılias I
⊂ I as quais satisfazem uma das condi¸c˜oes acima, por .
Demonstra¸c˜ao. 1.6.7 ⇒ 1.6.8: Tome O = A
i
o
. Para 1.6.8 ⇒ 1.6.7: use a compacidade
local de G.
Lema 1.6.10. ´e um ideal, = I.
31
Demonstra¸c˜ao. Provemos, inicialmente, que ´e um ideal. Com efeito, se I
∈ e I
⊂ I
ent˜ao I
∈ e se I
, I
∈ ent˜ao I
∪ I
∈ , pois se I
satisfaz a condi¸c˜ao 1.6.7 com
A
o
e para I
com A
o
ent˜ao I
∪ I
com A
o
∩ A
o
.
Por fim, iremos mostrar que = I. Pela condi¸c˜ao 1.6.7 temos que A ⊂ A
o
o que
exclue que a condi¸c˜ao 1.6.7 seja v´alida para I com qualquer A
o
, por isso I /∈ , ou seja,
= I.
Seja ϕ um funcional definido sobre o espa¸co das seq¨uˆencias generalizadas limitadas
(x
A
| A ∈ I) de n´umeros reais x
A
tais que o ideal asso ciado a ϕ cont´em , cuja existˆencia
est´a provada em [6]. Para todo C fixado (1.29) e (1.34) implicam que (λ
A
(C) | A ∈ I) ´e
uma seq¨uˆencia limitada, e assim, podemos definir
(1.39) λ(C) = ϕ(λ
A
(C) | A ∈ I).
Proposi¸c˜ao 1.6.11. A aplica¸c˜ao λ possui as seguintes propriedades:
(1.40) 0 ≤ λ(C) < ∞,
(1.41) λ(C ∪ D) ≤ λ(C) + λ(D),
(1.42) λ(C ∪ D) = λ(C) + λ(D), se C ∩ D = ∅,
(1.43) λ(C) ≤ λ(D) se C ⊂ D,
(1.44) λ(C) > 0, se C
i
= ∅,
(1.45) λ(aC) = λ(C), a ∈ G.
32
Demonstra¸c˜ao.
Para (1.40): Segue de (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Para (1.41): Por (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Para (1.42): De acordo com (1.31),
(1.46) λ
A
(C ∪ D) = λ
A
(C) + λ
A
(D),
exceto quando
(1.47) (D
−1
C) ∩ (A
−1
A) = ∅.
Agora, (1.47) significa que A
−1
A ⊂ (D
−1
C)
c
. Tomemos O = (D
−1
C)
c
no lema
1.6.2, e formemos o A
o
do lema 1.6.3 para este aberto O. Ent˜ao A
−1
o
A
o
⊂ (D
−1
C)
c
.
Deste modo, (1.47) implica A ⊂ A
o
.
Assim, o conjunto de todos os A ∈ I para os quais (1.46) n˜ao ´e v´alida, pertence a ,
pelo lema 1.6.9.
Conseq¨uentemente,
ϕ(λ
A
(C ∪ D) | A ∈ I) = ϕ(λ
A
(C) + λ
A
(D) | A ∈ I)
= ϕ(λ
A
(C) | A ∈ I) + ϕ(λ
A
(D) | A ∈ I),
isto ´e,
λ(C ∪ D) = λ(C) + λ(C).
Para (1.43): Segue de (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Para (1.44): Por (1.33), temos que λ(C) ≤ 1/n
E
C
> 0.
Para (1.45): Por (1.29), (1.30), (1.32) e (1.35), respectivamente.
Pela observa¸c˜ao feita na se¸c˜ao 1.5, a existˆencia de uma medida λ com as propriedades
(1.40)-(1.42) prova a existˆencia de uma medida de Haar invariante `a esquerda.
1.7 Conex˜ao entre topologia e medida
Nesta se¸c˜ao, mostraremos que ν ´e uma medida de Haar invariante `a esquerda, ou seja,
satisfaz ν(aM) = ν(M) para todo a ∈ G e M, aM conjuntos mensur´aveis.
Lema 1.7.1. G ´e compacto se, e s´o se, ν(G) ´e finito.
33
Demonstra¸c˜ao. Como j´a vimos, a defini¸c˜ao de ν garante que a compacidade de G implica
que ν(G) < ∞. Precisamos portanto, considerar apenas a afirma¸c˜ao oposta .
Suponhamos ent˜ao que G n˜ao ´e compacto. Consideremos uma medida de Haar ν em
G invariante `a esquerda. Seja O qualquer vizinhan¸ca da identidade para a qual D = O ´e
compacto. Ent˜ao D
−1
´e compacto, de modo que, pelo lema 1.5.2, C = D D
−1
tamb´em
´e compacto. Escrevamos a
1
= 1, e tomemos a
1
, . . . , a
n
∈ G. Considere o conjunto
compacto a
1
C ∪ ··· ∪ a
n
C. Se G n˜ao ´e compacto podemos encontrar a
n+1
∈ G de modo
que a
n+1
/∈ a
1
C ∪ ··· ∪ a
n
C. Deste modo, obtemos uma seq¨uˆencia infinita {a
n
} de
elementos de G tais que para p < q, a
q
/∈ a
p
C = a
p
(D D
−1
). Isto significa que a
p
D e
a
q
D s˜ao disjuntos sempre que p < q logo, por simetria, sempre que p = q. Assim,
ν(G) ≤
∞
i=1
ν(a
i
D) = ∞,
pois
ν(a
i
D) = ν(D) ≥ ν(O) > 0.
Portanto, se ν(G) ´e finito ent˜ao G ´e compacto.
Teorema 1.7.2. Se G ´e compacto ent˜ao existe sobre G uma medida de Haar ν para a
qual
ν(aM) = ν(M) = ν(Ma)
para todo a ∈ G e ν(M) = ν(M
−1
).
Demonstra¸c˜ao. Como G ´e compacto ent˜ao G ×G ´e tamb´em compacto, e existe em G ×G
uma medida de Haar invariante `a esquerda ν
∗
, como foi visto no final da se¸c˜ao 1.6. Para
todo conjunto de borel M ⊂ G, seja M
∗
⊂ G × G o conjunto de todos os (x, y) ∈ G × G
para os quais xy
−1
∈ M . Como M
∗
´e a imagem inversa do aberto M pela aplica¸c˜ao
cont´ınua (x, y) → (xy
−1
). Por isso, M
∗
´e um conjunto de Borel como M. Portanto,
podemos definir uma medida em G por ν
(M) = ν
∗
(M
∗
) para todo conjunto de Borel M.
Isto ´e poss´ıvel por causa da compacidade de G e de G×G, o que implica que ν
∗
(G×G)
´e finito e, com isto, todo ν
∗
(M
∗
) e todo ν
(M) tamb´em s˜ao finitos. Sem a hip´otese da
compacidade de G n˜ao ´e poss´ıvel garantir que ν
(M) seja sempre finito.
Agora,
(aM)
∗
= (a, 1)M
∗
, (Ma)
∗
= (1, a
−1
)M
∗
,
de modo que
ν
(aM) = ν
(M) = ν
(Ma).
Desta forma, ν(M) = ν
(M) + ν
(M
−1
) satisfaz o teorema.
34
Vimos no lema 1.7.1 que uma condi¸c˜ao topol´ogica (compacidade) ´e equivalente, para
grupos, a restri¸c˜ao te´orica da finitude da medida.
´
E poss´ıvel mostrar que vale um resultado an´alogo ao teorema 1.7.2 tamb´em para o caso
n˜ao-finito. Por restri¸c˜ao de espa¸co omitimos os detalhes deste ´ultimo caso, que podem
ser encontrados em [6].
35
Cap´ıtulo 2
A unicidade da Medida de Haar
Neste segundo cap´ıtulo iremos introduzir algumas classes de conjuntos e estudar a regu-
laridade das medidas. Ap´os estabelecer o teorema de Fubini vamos utiliz´a-lo para provar
a unicidade da medida de Haar.
2.1 Algumas classes especiais de conjuntos
Nesta se¸c˜ao iremos discutir algumas propriedades de certas classes de conjuntos as quais
aplicaremos no ´ultimo cap´ıtulo.
Seja M um subconjunto arbitr´ario do grupo topol´ogico G, definimos a seguir cinco
classes de subconjuntos de M .
Defini¸c˜ao 2.1.1. Uma classe D de conjuntos ´e do tipo 1 se dados A, B ∈ D existe um
n´umero finito de conjuntos dois a dois disjuntos, C
1
, . . . , C
n
, tais que
(A ∩ B)
c
= C
1
∪ ··· ∪ C
n
.
Iremos usar a letra D para denotar uma classe gen´erica deste tipo .
Defini¸c˜ao 2.1.2. Uma classe F de conjuntos ´e uma ´algebra se A, B ∈ F implica A ∪ B
e (A ∩ B)
c
∈ F. Observemos que se A, B ∈ F ent˜ao A ∩B = (A ∪B) ∩(A
∪B
)
c
, onde
A
= (A ∪ B) ∩ A
c
e B
= (A ∪ B) ∩ B
c
, o implica que A ∩ B ∈ F.
36
Defini¸c˜ao 2.1.3. Uma classe B de conjuntos ´e uma ´algebra de Borel se A
1
, A
2
, ··· ∈ B
implica
∞
i=1
A
i
∈ B e A ∩ B ∈ B implica A ∩ B
c
∈ B. Notemos que, como foi dito
anteriormente,
∞
i=1
A
i
= (
∞
i=1
A
i
) ∩ (
∞
i=1
A
i
)
c
,
onde A
i
= (
∞
i=1
A
i
) ∩ A
c
i
.
Assim,
∞
i=1
A
i
∈ B.
Defini¸c˜ao 2.1.4. Uma classe N de conjuntos ´e um anel mon´otono de Borel se A
1
⊂
A
2
⊂ . . . e A
i
∈ N para todo i ∈ N, implica que
∞
i=1
A
i
∈ N e, ao mesmo tempo, se
A
1
⊃ A
2
⊃ . . . e A
i
∈ N para todo i ∈ N implica que
∞
i=1
A
i
∈ N.
Notemos que a classe de todos os subconjuntos de M satisfaz as cinco defini¸c˜oes, e
que a interse¸c˜ao de um n´umero qualquer de an´eis, ´algebras, ´algebras de Borel, ou an´eis
mon´otonos de Borel, respectivamente, ´e novamente uma classe do mesmo tipo. Por isso,
a uma classe arbitr´aria C de conjuntos podemos associar a interse¸c˜ao de todos an´eis con-
tendo C: esta interse¸c˜ao ´e o menor anel contendo C, denotamos por R(C). Similarmente,
denotamos por F(C), B(C) e M(C), respectivamente, a menor ´algebra, ´algebra de Borel,
ou anel mon´otono de Borel contendo C. A afirma¸c˜ao acima n˜ao se aplica para conjuntos
do tipo D: a interse¸c˜ao de dois conjuntos do tipo D n˜ao ser´a, necessariamente, do tipo
D e pode n˜ao definir o menor conjunto do tipo D contendo C . Iremos usar D
(C) para
denotar a cole¸c˜ao de todos conjuntos da forma C
1
∪ ··· ∪ C
n
, onde C
i
∈ C e para i = j
tem-se C
i
∩ C
j
= ∅ .
Lema 2.1.5. Seja R um anel e tomemos Z a classe de todos os conjuntos da forma
A ∩ B
c
, onde A e B s˜ao elementos arbitr´arios de R e Z
a classe de todos conjuntos da
forma A ∩ B
c
onde A, B ∈ R tais que A ⊃ B. Ent˜ao Z ´e do tipo D e Z = Z
.
Demonstra¸c˜ao. Temos que Z
⊂ Z. Por outro lado, A, B ∈ R implica A ∩B
c
= A ∩(A ∩
B)
c
∈ Z
. Logo, Z = Z
. Considere agora a diferen¸ca de quaisquer dois conjuntos em Z
:
isto ´e, suponhamos que A
1
, B
1
, A
2
, B
2
∈ R e s˜ao tais que A
1
⊃ B
1
, A
2
⊃ B
2
, e considere
(A
1
∩ B
c
1
) ∩ (A
2
∩ B
c
2
)
c
. Temos
(A
1
∩ B
c
1
) ∩ (A
2
∩ B
c
2
)
c
= (A
1
∩ B
c
1
) ∩ (A
c
2
∪ B
2
) = (A
1
∩ B
c
1
∩ A
c
2
) ∪ (A
2
∩ B
c
1
∩ B
2
) =
= A
1
∩ (A
2
∪ B
1
)
c
∪ (A
1
∩ B
2
) ∩ B
c
1
.
Como (A
2
∪ B
1
)
c
⊂ A
c
2
⊂ B
c
2
ent˜ao os termos da ´ultima uni˜ao s˜ao disjuntos, e visto que
R ´e um anel segue que cada conjunto desta uni˜ao est´a em Z. Isto completa a prova de
que Z ´e do tipo D.
37
Lema 2.1.6. Se Z ´e uma classe do tipo D ent˜ao F(Z) = D
(Z).
Demonstra¸c˜ao. Temos que D = D
(Z) ⊂ F ⊂ F(Z). Provaremos que D = F mostrando
que D ´e uma ´algebra.
Pela defini¸c˜ao de D
(Z) temos que D
i
∈ D para todo i ∈ {1, . . . , n}(2.1)
e D
i
∩ D
j
= ∅ para i = j implica D
1
∪ D
2
∪ ··· ∪ D
n
∈ D.
(2.2) Se A, B ∈ Z temos que A ∩ B
c
∈ D.
(2.3) Se A ∈ D e B ∈ Z ent˜ao A ∩ B
c
∈ D.
Por hip´otese, podemos escrever A como uma uni˜ao disjunta de conjuntos de Z, A =
A
1
∪ A
2
∪ ··· ∪ A
n
tal que
A ∩ B
c
= (A
1
∪ ··· ∪ A
n
) ∩ B
c
= (A
1
∩ B
c
) ∪ ··· ∪ (A
n
∩ B
c
).
Por (2.2) , A
i
∩ B
c
∈ D e segue de (2.1) que A ∩ B
c
∈ D.
(2.4) Se A, B ∈ D ent˜ao A ∩ B
c
∈ D.
Se B = B
1
∪ ··· ∪ B
n
, onde os B
i
s˜ao conjuntos de Z, dois a dois disjuntos, ent˜ao
A ∩ B
c
= A ∩ (B
1
∪ ··· ∪ B
m
)
c
= A ∩ B
c
1
∩ B
c
2
∩ ··· ∩ B
c
m
,
e o resultado desejado segue da aplica¸c˜ao repetida de (2.3).
(2.5) Se A, B ∈ D ent˜aoA ∩B ∈ D.
Temos que A ∪ B = (A ∩ B
c
) ∪ B ´e uma uni˜ao de conjuntos disjuntos os quais por
(2.4) pertence a F
D
. Assim, por (2.1), pertence a D.
Juntas as afirma¸c˜oes (2.4) e (2.5) mostram que D ´e uma ´algebra.
Lema 2.1.7. Se F ´e uma ´algebra ent˜ao B(F) = M(F).
38
Demonstra¸c˜ao. A estrutura desta prova ´e an´aloga a dada anteriormente. Observemos que
M = M(F) ⊂ B = B(F). Iremos completar a prova mostrando que M ´e uma ´algebra
de Borel. Observemos que ´e suficiente provar que M ´e uma ´algebra. Pois, se M ´e uma
´algebra e A
i
∈ M, i ∈ N, ent˜ao A
i
= A
1
∪ ··· ∪ A
i
∈ M, da´ı, como M ´e, por defini¸c˜ao,
um anel mon´otono de Borel ,
∞
i=1
A
i
=
∞
i=1
A
i
∈ M.
Agora, para provar que M ´e uma ´algebra introduzimos trˆes classes auxiliares de conjuntos
como segue:
Consideremos a classe
M
M
M
dos conjuntos A tais que para todo B ∈
F
M
M
temos A ∪ B, A ∩ B
c
, A
c
∩ B ∈ M.
Temos que M
, M
e M
s˜ao an´eis mon´otonos de Borel, pois M ´e ´unico. Se A ∈ M
e
B ∈ F ent˜ao, pela defini¸c˜ao de M
, A ∪B, A ∩ B
c
, A
c
∩B ∈ M de modo que, trocando
os pap´eis de A e B e usando a defini¸c˜ao de M
, B ∈ M
. Isto significa que F ⊂ M
e,
portanto,
(2.6) M = M(F) ⊂ M
.
Assim, se A ∈ M, de modo que A ∈ M
, e B ∈ M
ent˜ao A ∪B, A∩B
c
, A
c
∩B ∈ M.
Trocando novamente os pap´eis de A e B e usando a defini¸c˜ao de M
, segue que B ∈ M
.
Em outras palavras,
(2.7) M
⊂ M
.
Finalmente, o fato de que F ´e uma ´algebra implica que F ⊂ M
de modo que
(2.8) M = M(F) ⊂ M
.
Combinando (2.7) e (2.8) obtemos
M ⊂ M
e isto implica que para A, B ∈ M, e portanto, para A ∈ M
, B ∈ M, temos que A ∪B,
A ∩ B
c
, A
c
∩ B ∈ M, isto ´e, M ´e uma ´algebra.
39
Se E ´e uma classe arbitr´aria de conjuntos e A
o
´e um conjunto dado , denotamos por
E
A
o
a classe de todos os conjuntos da forma A ∩ A
o
, onde A ∈ E.
Lema 2.1.8. Se R ´e um anel e A
o
∈ R, ent˜ao
(2.9) R
A
o
´e o conjunto de todos B ∈ R com B ⊂ A
o
,
e
(2.10) B(R
A
o
) = (B(R))
A
o
.
Demonstra¸c˜ao. Para (2.9): Todo elemento B de R
A
o
tem a forma B = A ∩ A
o
, A ∈ R.
Assim, B ∈ R, B ⊂ A
o
. Reciprocamente, B ∈ R, B ⊂ A
o
implica B = B ∩ A
o
∈ R
A
o
.
Para (2.10): Por (2.9) R
A
o
⊂ R de modo que B(R
A
o
) ⊂ B(R). Como os conjuntos
B ⊂ A
o
formam uma ´algebra de Borel a qual cont´em todos R
A
o
e portanto, B(R
A
o
)
ent˜ao B(R
A
o
) ⊂ (B(R))
A
o
. Reciprocamente, os conjuntos A com A ∩ A
o
∈ B(R
A
o
)
formam uma ´algebra de Borel. Como A ∈ R implica que A ∩ A
o
∈ R
A
o
⊂ B(R
A
o
) esta
´algebra de Borel cont´em R e, portanto, B(R). Da´ı
(B(R))
A
o
⊂ B(R
A
o
)
como quer´ıamos provar.
Lema 2.1.9. Se R ´e um anel e A ∈ B(R) ent˜ao existe uma seq¨uˆencia {A
i
}
i∈N
de con-
juntos em R tais que
(2.11) A
1
⊂ A
2
⊂ A
3
⊂ . . . ,
(2.12) A = (A ∩ A
1
) ∪ (A ∩ A
2
) ∪ ··· .
Demonstra¸c˜ao. A classe de todos os subconjuntos da forma
∞
i=1
A
i
com A
i
∈ R ´e uma
´algebra de Borel contendo R e, por conseguinte, contendo B(R). Isto prova que todo
A ∈ B(R) pode ser escrito na forma (2.12) com A
i
∈ R, substituindo A
i
por A
1
∪···∪A
i
obtemos (2.11).
Combinando os lemas 2.1.5-2.1.9 obtemos:
40
Teorema 2.1.10. Tome R como sendo um anel qualquer de subconjuntos de M . Obte-
mos a menor ´algebra de Borel B(R) contendo R pela seguinte seq¨uˆencia de passos .
Para qualquer A
o
∈ R tome:
(i) a classe R
A
o
formada pelos conjuntos A ∈ R com A ⊂ A
o
;
(ii) a classe D
A
o
formada pelos conjuntos A ∩ B
c
, com A, B ∈ R
A
o
, A ⊂ B;
(iii) a classe F
A
o
formada pelos conjuntos A
1
∪···∪ A
n
, onde os A
i
s˜ao conjuntos dois
a dois disjuntos de D
A
o
;
(iv) o anel mon´otono de Borel M
A
o
= M(F
A
o
);
(v) a classe B formada pelos conjuntos A =
∞
i=1
A
i
, onde A
1
⊂ A
2
⊂ . . . e A
i
∈ F
A
o
.
Ent˜ao B(R) = B.
Observamos que se µ : B = B(R) → [0, ∞] ´e uma medida completamente aditiva tal
que ´e finita para todo A ∈ R, ent˜ao podemos determinar uma medida sobre os conjuntos
formados em cada um dos passos de (i) a (v).
De fato, para (i) temos que R
A
o
´e apenas uma subclasse de R. Para (ii), basta usar a
opera¸c˜ao A ∩ B
c
com A ⊃ B onde µ(A), µ(B) s˜ao finitas, pois A, B ⊂ A
o
, de modo que
µ(A ∩B
c
) = µ(A) −µ(B). Para (iii) basta usar a opera¸c˜ao A
1
∪···∪A
n
, onde os A
i
s˜ao
conjuntos dois a dois disjuntos, de modo que
µ(A
1
∪ ··· ∪ A
n
) = µ(A
1
) + ··· + µ(A
n
).
Enquanto, a medida sobre a classe M
A
o
= M(F
A
o
) determinada em (iv) ´e baseada nas
opera¸c˜oes
∞
i=1
A
i
com A
1
⊂ A
2
⊂ . . . e
∞
i=1
A
i
com A
1
⊃ A
1
⊃ . . . . Assim, como
todos os µ(A
i
) s˜ao finitos, pois A
i
⊂ A
o
, temos que µ(
∞
i=1
A
i
) e µ(
∞
i=1
A
i
) s˜ao iguais
a lim
i→∞
µ(A
i
). Finalmente, para a classe B dada em (v), basta utilizarmos novamente a
opera¸c˜ao
∞
i=1
A
i
com A
1
⊂ A
2
⊂ . . . .
Desta maneira, algumas propriedades de µ sobre B(R) podem ser estabelecidas provando
que elas s˜ao v´alidas para µ sobre R. A t´ıtulo de ilustra¸c˜ao mencionamos que se duas me-
didas µ e ν s˜ao iguais sobre R, ent˜ao elas s˜ao iguais sobre B.
2.2 Regularidade
No restante do nosso trabalho quando discutimos medidas sobre espa¸cos topol´ogicos lo-
calmente compactos consideraremos R como o anel de todos os subconjuntos compactos
de G e B = B(R) a menor ´algebra de Borel contendo R.
41
Considere as seguintes condi¸c˜oes sobre uma medida ν:
(2.13) ν(M) = sup
C⊂M
Ccompacto
ν(C), para todo M,
(2.14) ν(M) = inf
M⊂O
Oaberto
ν(O), para todo M.
Lema 2.2.1. Ambas condi¸c˜oes (2.13) e (2.14) s˜ao heredit´arias sob os passos (iii), (iv),
e (v) de 2.1.10, isto ´e, na nota¸c˜ao de 2.1.10, a validez destas condi¸c˜oes para todos os
conjuntos M em todo D
A
o
garante sua validez para todo M ∈ B = B(R), onde R ´e o anel
de todos os conjuntos compactos.
Demonstra¸c˜ao. Conclu´ımos da discuss˜ao que segue ao teorema 2.1.10 que devemos provar
(2.13) e (2.14) para os seguintes casos:
(i) A
1
∪ ··· ∪ A
n
, onde os A
i
s˜ao dois a dois disjuntos,
(ii)
∞
i=1
A
i
onde A
1
⊂ A
2
⊂ . . . ,
(iii)
∞
i=1
A
i
, onde A
1
⊃ A
2
⊃ . . . .
Em cada uma das afirma¸c˜oes (i)-(iii) todo A
i
⊂ A
o,i
para algum A
o,i
∈ R. Assim, ν(A
i
)
´e finito para todo i.
Iremos provar as seguintes afirma¸c˜oes :
Para (2.13) e (i): Dado ε > 0, escolha C
i
⊂ A
i
com ν(C
i
) ≥ ν(A
i
) −
ε
n
· Tome C =
C
1
∪···∪C
n
. Temos que C ⊂ A
1
∪···∪A
n
. Como os C
i
s˜ao dois a dois disjuntos, assim
como os A
i
, vale
ν(C) = ν(C
1
) + ··· + ν(C
n
) ≥ ν(A
1
) + ··· + ν(A
n
) − ε = ν(A
1
∪ ··· ∪ A
n
) − ε.
Para (2.13) e (ii): Escolha α arbitr´ario com ν(
∞
i=1
A
i
) > α. Isto significa que lim
i→∞
ν(A
i
) >
α, assim podemos escolher um j com ν(A
j
) > α. Tome C ⊂ A
j
compacto com ν(C) > α
e C ⊂
∞
i=1
A
i
.
Para (2.13) e (iii): Seja ε > 0. Escolha C
i
⊂ A
i
compacto com ν(C
i
) ⊃ ν(A
i
) −
ε
2
i
· Tome
C =
∞
i=1
C
i
. Temos que C ⊂
∞
i=1
A
i
. Deste modo,
(
∞
i=1
A
i
) ∩ (
∞
i=1
C
i
)
c
⊂
∞
i=1
(A
i
∩ C
c
i
)
42
da´ı
ν(
∞
i=1
A
i
) − ν(C) = ν(
∞
i=1
A
i
) − ν(
∞
i=1
C
i
)
= ν((
∞
i=1
A
i
) ∩ (
∞
i=1
C
i
)
c
) ⊂
∞
i=1
ν(A
i
∩ C
c
i
)
=
∞
i=1
(ν(A
i
) − ν(C
i
)) ≤ ε,
isto ´e, ν(C) ≥ ν(
∞
i=1
A
i
) − ε.
Para (2.14) e (i): Seja ε > 0. Escolha O
i
⊃ A
i
com ν(O
i
) ≤ ν(A
i
) +
ε
n
·
Tome O = O
1
∪ ··· ∪ O
n
. Logo, O ⊃ A
1
∪ ··· ∪ A
n
. Al´em disso,
ν(O) ≤ ν(O
1
) + ··· + ν(O
n
) ≤ ν(A
1
) + ··· + ν(A
n
) + ε = ν(A
1
∪ ··· ∪ A
n
) + ε.
Para (2.14) e (ii): Seja ε > 0. Escolha O
i
⊃ A
i
com ν(O
i
) ⊂ ν(A
i
) +
ε
2
i
· Temos que
O ⊃
∞
i=1
A
i
. Desta forma,
(
∞
i=1
O
i
) ∩ (
∞
i=1
A
i
)
c
⊂
∞
i=1
(O
i
∩ A
c
i
)
da´ı
ν(O) = ν(
∞
i=1
A
i
) = ν(
∞
i=1
O
i
) − ν(
∞
i=1
A
i
)
= ν((
∞
i=1
O
i
) ∩ (
∞
i=1
A
i
)
c
) ⊂
∞
i=1
ν(O
i
∩ A
c
i
)
=
∞
i=1
(ν(O
i
) − ν(A
i
)) ≤ ε;
isto ´e, ν(O) ≤ ν(
∞
i=1
A
i
) + ε.
Para (2.14) e (iii): Escolha α arbitr´ario com ν(
∞
i=1
A
i
) < α. Isto significa que lim
i→∞
ν(A
i
) <
α, assim podemos escolher um j com ν(A
j
) < α. Tomemos O ⊃ A
j
com ν(O) < α e
O ⊃
∞
i=1
A
i
.
Lema 2.2.2. A validade de (2.13) para todos os conjuntos abertos M com fecho compacto,
isto ´e, relativamente compactos implica sua validade para todos os conjuntos de Borel.
43
Demonstra¸c˜ao. Pelo lema 2.2.1, temos que provar que as condi¸c˜oes do lema s˜ao v´alidas
para todos os conjuntos da forma C ∩ D
c
, onde C e D s˜ao conjuntos compactos tais que
D ⊂ C. Suponhamos dados dois tais conjuntos compactos.
Escolha ε > 0 arbitr´ario, e um conjunto aberto O ⊃ C com fecho compacto. Ent˜ao
O ∩ D
c
´e tamb´em um conjunto aberto com fecho compacto de modo que, por hip´otese,
podemos encontrar um conjunto compacto C
⊂ O ∩ D
c
com ν(C
) ≥ ν(O ∩ D
c
) − ε.
Desta maneira,
ν(O ∩ D
c
∩ C
c
) = ν(O ∩ D
c
) − ν(C
) ≤ ε.
Como C ∩ C
´e compacto, C ∩ C
= C ∩ O ∩ D
c
= C ∩ D
c
e (C ∩ D
c
) ∩ (C ∩ C
)
c
=
C ∩ (D
c
∩ C
c
) ⊂ O ∩ D
c
∩ C
c
, temos que
ν(C ∩ D
c
) − ν(C ∩ C
) = ν((C ∩ D
c
) ∩ (C ∩ C
)
c
) ≤ ν(O ∩ D
c
∩ C
c
) ≤ ε,
ou seja, ν(C ∩ C
) ≥ ν(C ∩ D
) − ε.
Lema 2.2.3. A validade de (2.14) para todos os conjuntos compactos implica sua validade
para todos os conjuntos de Borel.
Demonstra¸c˜ao. Sejam C e D conjuntos compactos dados como no lema anterior.
Seja ε > 0 arbitr´ario. Por hip´otese, p odemos encontrar um conjunto aberto O ⊃ C
com ν(O) ≤ ν(C) + ε. Assim, ν(O ∩ C
c
) = ν(O) − ν(C) ≤ ε. Como O ∩ D
c
´e aberto,
O ∩ D
c
⊃ C ∩ D
c
e
(O ∩ D
c
) ∩ (C ∩ D
c
)
c
= (O ∩ C
c
) ∩ D
c
⊂ O ∩ C
c
,
ent˜ao
ν(O ∩ D
c
) − ν(C ∩ D
c
) = ν((O ∩ D
c
) ∩ (C ∩ D
c
)
c
) ≤ ν(O ∩ C
c
) ≤ ε
isto ´e, ν(O ∩ D
c
) ≤ ν(C ∩ D
c
) + ε.
Proposi¸c˜ao 2.2.4. As condi¸c˜oes sobre a medida ν dadas a seguir s˜ao equivalentes entre
si e a (2.13) assim como a (2.14):
Condi¸c˜ao 2.2.5. Para todo conjunto aberto O com fecho compacto
ν(O) = sup
C⊂O
Ccompacto
ν(C),
ou seja, vale (2.13).
44
Condi¸c˜ao 2.2.6. Para todo conjunto compacto C
ν(C) = inf
O⊂C
Oaberto
ν(O),
ou seja, vale (2.14).
Demonstra¸c˜ao. A condi¸c˜ao 2.2.5 ´e equivalente a (2.13) , pelo lema 2.2.2, enquanto que,
a condi¸c˜ao 2.2.6 ´e equivalente a (2.14), pelo lema 2.2.3. Ent˜ao basta provarmos que as
condi¸c˜oes 2.2.5 e 2.2.6 s˜ao equivalentes.
2.2.5 ⇒ 2.2.6: Sejam C um conjunto compacto e ε > 0. Escolha um conjunto aberto
O ⊃ C com fecho compacto. Ent˜ao O ∩ C
c
tamb´em ´e um conjunto aberto com fecho
compacto. Tome C
compacto com
C
⊂ O ∩ C
c
com ν(C
) ≥ ν(O ∩ C
c
) − ε.
Assim, ν(O ∩ C
c
∩ C
c
) = ν(O ∩ C
c
) − ν(C
) ≤ ε. Agora, O ∩ C
c
´e aberto e O ∩ C
c
⊃
O ∩ (O ∩ C
c
)
c
= C. Al´em disso,
ν(O ∩ C
c
) − ν(C) = ν(O ∩ C
c
∩ C
c
) ≤ ε,
isto ´e, ν(O ∩ C
c
) ≤ ν(C) + ε.
2.2.6 ⇒2.2.5: Seja O um conjunto aberto com fecho compacto . Escolha ε > 0 arbitr´ario.
O ´e compacto, assim como O ∩O
c
(o bordo de O). Podemos encontrar, por hip´otese, um
conjunto aberto O
⊃ O ∩ O
c
com ν(O
) ≤ ν(O ∩ O
c
) + ε. Deste modo,
ν(O
∩ (O ∩ O
c
)
c
) = ν(O
) − ν(O ∩ O
c
) ≤ ε.
Agora, O ´e compacto, e com isto O ∩O
c
. Assim, O ∩O
c
⊂ O ∩(O ∩O
c
)
c
= O. Como
O ∩ (O ∩ O
c
)
c
= O ∩ O
⊂ O
∩ (O
c
∪ O) = O
∩ (O ∩ O
c
)
c
,
temos que
ν(O) − ν(O ∩ O
c
) = ν(O ∩ (O ∩ O
c
)
c
) ≤ ν(O
∩ (O ∩ O
c
)
c
) ≤ ε,
isto ´e, ν(O ∩ O
c
) ≥ ν(O) − ε.
Assim, se ν satisfaz qualquer uma das quatro condi¸c˜oes equivalentes das condi¸c˜oes
2.2.5 e 2.2.6 ent˜ao ν ´e uma medida regular. Nas se¸c˜oes seguintes iremos assumir, al´em
da hip´otese geral formulada no come¸co desta se¸c˜ao, que as medidas com as quais estamos
lidando s˜ao regulares.
45
Observemos que 2.2.6 implica 2.2.5 mesmo que n˜ao seja exigido que todo conjunto
compacto tenha medida finita. Na verdade, ´e poss´ıvel supor apenas que nenhum ponto
tenha medida infinita. Pois neste caso, 2.2.6 implica que todo ponto p tem uma vizinhan¸ca
O
p
de medida finita, de modo que para todo conjunto compacto C temos
C ⊂
p∈C
O
p
.
A compacidade implica que C ⊂ O
p
1
∪ ··· ∪ O
p
n
, por isso, ν(C) < ∞ e a prova pode
ser realizada como foi feito anteriormente.
As considera¸c˜oes sobre a regularidade de medidas ficam obscurecidas quando consider-
amos apenas espa¸cos separ´aveis, pois em um espa¸co separ´avel localmente compacto toda
medida ´e regular. Para tal espa¸co todo conjunto fechado M ´e a interse¸c˜ao de conjuntos
abertos O
1
, O
2
, . . . , ou seja, todo conjunto fechado ´e um G
δ
. Se M = C ´e compacto,
podemos encontrar um conjunto ab erto O ⊃ C com fecho compacto O = D, e substi-
tuindo cada O
i
por O ∩ O
1
∩ ··· ∩ O
i
, obtemos D ⊃ O
1
⊃ O
2
⊃ . . . , e
∞
i=1
O
i
= C. Por
isso, lim ν(O
i
) = ν(
∞
i=1
O
i
) = ν(C), e isto implica 2.2.6, ou seja, a regularidade de ν.
2.3 Teorema de Fubini
Nesta se¸c˜ao assumiremos que S e T s˜ao espa¸cos topol´ogicos localmente compactos e que
µ e ν s˜ao medidas definidas sobre os conjuntos de Borel de S e T , respectivamente.
Recordemos que, de acordo com as conven¸c˜oes do par´agrafo anterior, µ e ν s˜ao regu-
lares e finitas sobre os conjuntos compactos.
Defini¸c˜ao 2.3.1. Uma fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao de Baire se seus valores s˜ao n ´umeros reais
positivos, e para todo α > 0 o conjunto de todos x para os quais f (x) ≥ α ´e um conjunto
de Borel.
Esta fam´ılia de fun¸c˜oes ´e fechada sob as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao, multiplica¸c˜ao,
e para o limite de seq¨uˆencias convergentes.
Em analogia a teoria usual de Lebesgue podemos desenvolver a teoria de integra¸c˜ao
para o tipo de medida que estamos considerando. No que segue vamos fazˆe-lo em rela¸c˜ao
aos conceitos de integral, e integrabilidade de uma fun¸c˜ao de Baire. Notemos que as
fun¸c˜oes consideradas s˜ao maiores ou iguais a zero e que suas integrais podem assumir o
valor +∞ .
46
Defini¸c˜ao 2.3.2. Seja S ×T o espa¸co produto de S e T . Para todo conjunto M ⊂ S ×T
denotamos por M
x
(ou M
y
) o conjunto de todos os pontos y ∈ T (ou x ∈ S) para os quais
(x, y) ∈ M. Denotemos por M
S
= Π
S
(M) e M
T
= Π
T
(M) para todo conjunto de Borel
M, onde Π
S
e Π
T
s˜ao as proje¸c˜oes de S × T sobre S e T , respectivamente.
Estabeleceremos os seguintes lemas:
Lema 2.3.3. Se M ⊂ S × T ´e compacto ent˜ao M
S
, M
T
tamb´em s˜ao compactos.
Demonstra¸c˜ao. Como M
S
= Π
S
(M), M
T
= Π
T
(M) s˜ao imagens cont´ınuas do conjunto
compacto M ent˜ao s˜ao compactos.
Lema 2.3.4. M ⊂ S × T tem um fecho compacto se, e s´o se, M
S
e M
T
possuem fechos
compactos.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que M ´e compacto, assim (M)
S
, (M)
T
s˜ao compactos pelo
lema 2.3.3. Agora, M ⊂ M. Deste modo, M
S
⊂ (M)
S
, M
T
⊂ (M)
T
. Assim, M
S
, M
T
s˜ao
subconjuntos fechados de (M)
S
, (M)
T
, respectivamente. Desta maneira, eles tamb´em
s˜ao compactos.
Por outro lado, se M
S
, M
T
s˜ao compactos ent˜ao M
S
×M
T
´e compacto . Conseq¨uen-
temente, ´e tamb´em fechado . Agora, M ⊂ M
S
× M
T
⊂ M
S
× M
T
. Assim, M ´e um
subconjunto fechado de M
S
× M
T
. Logo, tamb´em ´e compacto.
O principal objetivo dessa se¸c˜ao ´e provar o seguinte teorema:
Teorema de Fubini 2.3.5. Para todo conjunto Borel M ⊂ S × T
(2.15) M
x
⊂ T e M
y
⊂ S s˜ao conjuntos de Borel para todo (x, y) ∈ S × T,
(2.16) ν(M
x
) e µ(M
y
) s˜ao fun¸c˜oes de Baire definidas sobre S e T, respectivamente ,
(2.17)
S
ν(M
x
)dµ(x) =
T
µ(M
y
)dν(y) = ρ(M),
(2.18)
O valor em comum ρ = ρ(M) das integrais em (2.17) ´e uma aplica¸c˜ao completa-
47
mente aditiva, n˜ao negativa, regular definida para todos os conjuntos de Borel
M ⊂ S ×T e finita para todos os conjuntos compactos. Em outras palavras,
ρ ´e uma medida em S × T.
A prova do teorema de Fubini ir´a depender de alguns resultados auxiliares que mostraremos
separadamente como lemas. A constru¸c˜ao das integrais em (2.17) relativamente as medi-
das µ e ν pode ser encontrada em [11].
Lema 2.3.6. Se M ´e um conjunto compacto arbitr´ario tal que M ⊂ S × T , ent˜ao cor-
respondendo a todo ponto y
o
∈ T e a todo conjunto aberto O ⊂ S para o qual M
y
o
⊂ O
podemos encontrar uma vizinhan¸ca P de y
o
, y
o
∈ P ⊂ T , tal que y ∈ P implica M
y
⊂ O.
Em outras palavras, M
y
´e uma fun¸c˜ao semicont´ınua superiormente de y.
Demonstra¸c˜ao. Seja O
⊂ T uma vizinhan¸ca arbitr´aria de y
o
, tomemos o produto direto
O × O
. Para qualquer ponto y ∈ M
T
, y = y
o
, seja Q
y
uma vizinhan¸ca de y, tal que
y
o
/∈ Q
y
. Seja O
∗
um conjunto aberto, O
∗
⊂ S tal que M
S
⊂ O
∗
. Temos
M ⊂ O × O
∪
y∈M
T
,y=y
o
O
∗
× Q
y
.
Como M ´e compacto podemos encontrar um n´umero finito de pontos y
1
, . . . , y
n
∈ M
T
tais que
M ⊂ O × O
∪
n
i=1
O
∗
× Q
y
i
.
Seja P o complemento de
n
i=1
Q
y
i
. Ent˜ao P ´e um conjunto aberto, P ⊂ T , e, pela
escolha de Q
y
, y
o
∈ P . Afirmamos que P ´e a vizinhan¸ca cuja existˆencia ´e afirmada
no teorema. De fato, se y ∈ P e (x, y) ∈ M, ent˜ao (x, y) /∈ O
∗
× Q
y
i
, para qualquer
i = 1, . . . , n, pois y /∈ Q
y
i
, de modo que (x, y) ∈ O ×O
, isto ´e, x ∈ O. Como isto ´e v´alido
para todos tais x, temos que M
y
⊂ O, como quer´ıamos mostrar.
Exemplo:
Chamamos de retˆangulo um conjunto da forma A × B, onde A e B s˜ao conjuntos
de Borel com medidas finitas, em S e T , respectivamente. Uma uni˜ao enumer´avel de
retˆangulos dois a dois disjuntos ser´a chamada de conjunto retangular. Notemos que (2.15),
(2.16) e (2.17) s˜ao v´alidas para qualquer retˆangulo, e portanto, para qualquer conjunto
retˆangular. Se M = A ×B ent˜ao
48
M
x
=
B se x ∈ A,
∅ se x /∈ A,
M
y
=
A se y ∈ B,
∅ se y /∈ B,
desta forma,
ν(M
x
) =
ν(B) se x ∈ A,
0 se x /∈ A,
e
µ(M
y
) =
µ(A) se y ∈ B,
0 se y /∈ B.
Conseq¨uentemente, (2.15) e (2.16) s˜ao v´alidas e
S
ν(M
x
)dµ(x) = µ(A)ν(B) =
T
µ(M
y
)dν(y).
Lema 2.3.7. Se E ´e um conjunto de Borel arbitr´ario em T e se para cada y ∈ E existe
uma vizinhan¸ca O
y
associada a y, tal que E ⊂
y∈E
O
y
, ent˜ao existe uma seq¨uˆencia {y
i
}
n∈N
em E tal que E ⊂
∞
i=1
(O
y
i
∪ N), onde ν(N) = O.
Demonstra¸c˜ao. Basta provar o teorema no caso que ν(E) < ∞. O caso geral segue do
fato que todo conjunto de Borel ´e a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de Borel de medida
finita.
Se E tem medida finita ent˜ao, pela regularidade, podemos encontrar para cada n ∈ N
um conjunto compacto C
n
⊂ E tal que ν(C
c
n
∩ E) <
1
n
. Como C
n
⊂
y∈C
n
O
y
ent˜ao
existe um n´umero finito de pontos y
n
1
, y
n
2
, . . . , y
n
k
n
∈ C
n
tais que C
n
⊂
k
n
i=1
O
y
n
i
. Tomemos
C =
∞
n=1
C
n
. Ent˜ao ν(C
c
∩ E) ≤ ν(C
c
n
∩ E) <
1
n
e assim, fazendo n → ∞ temos que
ν(C
c
∩ E) = 0 e C ∩ E ⊂
∞
n=1
k
n
i=1
O
y
n
i
. Em outras palavras, os conjuntos Oy
n
i
cobrem
E exceto, possivelmente, para um subconjunto do conjunto C
c
∩ E de medida nula.
Daremos agora a prova do teorema de Fubini.
49
Demonstra¸c˜ao. Suponha inicialmente que M ´e um conjunto compacto tal que M ⊂ S ×T .
Fixado x ∈ S , considere o conjunto de todos os pontos (x, y) ∈ S ×T . Este conjunto
´e fechado, da´ı, sua interse¸c˜ao com M ´e compacto. Se denotarmos esta interse¸c˜ao por M
x
,
ent˜ao a proje¸c˜ao de M
x
sobre T, (M
x
)
T
´e novamente compacta. Por´em, (M
x
)
T
= M
x
.
Assim, se M ´e compacto, M
x
´e um conjunto de Borel para todo x, e analogamente, M
y
´e
um conjunto Borel para todo y.
Sendo M compacto, temos que µ(M
y
) ´e uma fun¸c˜ao semicont´ınua superiormente de
y para y ∈ T. Pois, dados ε > 0 e y
o
∈ T podemos encontrar um conjunto aberto
O ⊂ S tal que M
y
o
⊂ O e µ(O) ≤ µ(M
y
o
) + ε. De acordo com 2.3.6 podemos ent˜ao
encontrar uma vizinhan¸ca P de y
o
, P ⊂ T, tal que para y ∈ P , M
y
⊂ O de modo que
µ(M
y
) ≤ µ(M
y
o
) + ε. O que garante a semi-continuidade superior de µ(M
y
).
Podemos agora provar que ν(M
x
) e µ(M
y
) s˜ao fun¸c˜oes de Baire em x e y, respectiva-
mente. Por simetria podemos nos restringir a considerar apenas µ(M
y
).
Considere α > 0. Como µ(M
y
) ´e semicont´ınua superiormente, o conjunto dos y
s
com µ(M
y
) < α ´e aberto. Assim, o conjunto complementar dos y
s com µ(M
y
) ≥ α
´e fechado. Este conjunto ´e um subconjunto do conjunto compacto M
T
, pois y /∈ M
T
implica M
y
= ∅, µ(M
y
) = 0, de modo que o conjunto de todos os y
s com µ(M
y
) ≥ α ´e
compacto e portanto, um conjunto de Borel. Deste mo do, µ(M
y
) ´e uma fun¸c˜ao de Baire
de y.
Assumindo ainda que M ´e compacto, provaremos a seguir, que dado δ > 0 podemos
encontrar um conjunto retangular K, como no exemplo dado anteriormente tal que M ⊂
K e
T
µ(K
y
)dν(y) ≤
T
µ(M
y
)dν(y) + δ.
Tome ε > 0 arbitr´ario. A compacidade de M implica a compacidade de M
S
de modo
que µ(M
S
) < ∞; podemos encontrar um inteiro positivo k tal que µ(M
S
) < kε. Para
todo i ∈ {0, 1, . . . , k − 1, k}, definamos M
i
T
como o conjunto dos pontos y ∈ M
T
para os
quais µ(M
y
) ≥ iε. Ent˜ao, temos
(2.19) M
T
= M
o
T
⊃ M
1
T
⊃ ··· ⊃ M
k−1
T
⊃ M
k
T
= ∅
e todo M
i
T
´e um conjunto de Borel.
Para cada y ∈ M
T
tome O
y
como sendo um conjunto aberto (O
y
⊂ S) tal que M
y
⊂ O
y
e µ(O
y
) ≤ µ(M
y
) + ε. Ent˜ao, por 2.3.6, podemos encontrar uma vizinhan¸ca P
y
de y tal
que y
∈ P
y
implica M
y
⊂ O
y
. Da´ı, para 1 ≤ i ≤ n,
M
i−1
T
∩ (M
i
T
)
c
⊂
y∈M
T
P
y
, y ∈ M
i−1
T
∩ (M
i
T
)
c
.
50
Logo, por 2.3.7, podemos encontrar uma seq¨uˆencia de pontos y
i
n
∈ M
i−1
T
∩ (M
i
T
)
c
e um
conjunto N
i
com ν(N
i
) = 0 tais que
(2.20) M
i−1
T
∩ (M
i
T
)
c
⊂
∞
n=1
P
y
i
n
∪ N
i
.
Observemos que os conjuntos P
y
i
n
e N
i
tem trˆes propriedades :
(i) P
y
i
n
´e um conjunto aberto;
(ii) y
∈ P
y
i
n
implica M
y
⊂ O
y
i
n
;
(iii) ν(N
i
) = 0.
Iremos substituir os conjuntos P
y
i
n
e N
i
por certos subconjuntos. Deste modo, (ii),
(iii) ser˜ao verdadeiros, enquanto (i) n˜ao ser´a considerado.
Vamos substtituir o conjunto P
y
i
n
por seu subconjunto P
y
i
n
∩
n−1
m=1
P
y
i
m
, e N
i
por seu
subconjunto N
i
∩
∞
n=1
P
y
i
n
c
. Deste modo, (i) ´e falso, enquanto (ii), (iii) permanecem
v´alidos.
∞
n=1
P
y
i
n
∪ N
i
n˜ao ´e mudado, j´a que (2.20) permanece v´alido. E os P
y
i
n
(n ∈ N) e
N
i
s˜ao agora dois a dois disjuntos. Consideremos um i fixo.
A seguir vamos substituir todos os P
y
i
n
por seu subconjunto M
i−1
T
∩ (M
i
T
)
c
∩ P
y
i
n
e
N
i
por seu subconjunto M
i−1
T
(M
i
T
)
c
∩ N
i
. Desta forma, (ii), (iii) ser˜ao v´alidos, P
y
i
n
para
n ∈ N e N
i
ser˜ao disjuntos para um i fixo, e em (2.20) ⊆ ´e substitu´ıdo por =, isto ´e,
(2.21) M
i−1
T
∩ (M
i
T
)
c
=
∞
n=i
P
y
i
n
∪ N
i
.
Tomando a reuni˜ao sobre i ∈ {1, . . . , k} obtemos, por (2.19),
(2.22) M
T
=
k
i=1
∞
n=i
P
y
i
n
∪ N
i
,
onde N =
k
i=1
N
i
.
Assim, (2.21) e (2.19) mostram que os conjuntos P
y
i
n
, N
i
de i distintos s˜ao disjuntos,
portanto:
(iv) Todos os conjuntos P
y
i
n
com i ∈ {1, . . . , k}, n ∈ N e N s˜ao dois a dois disjuntos .
De (iii) obtemos,
51
(v) ν(N) = 0.
Logo, temos as afirma¸c˜oes (2.22), (2.23) e (ii), (iii), (iv), (v).
Tomemos o subconjunto de S × T
(2.23) K =
k
i=1
∞
n=i
O
y
i
n
× P
y
i
n
∪ M
S
× N .
Se (x, y) ∈ M ent˜ao y ∈ M
T
. Da´ı, por (2.22), ou y ∈ P
y
i
n
para algum i ∈ {1, . . . , k}
e n ∈ N ou y ∈ N. Se y ∈ P
y
i
n
ent˜ao, por (ii), x ∈ rO
y
i
n
. Assim (x, y) ∈ O
y
i
n
× P
y
i
n
.
Se y ∈ N ent˜ao podemos observar que para todo x ∈ M
S
temos (x, y) ∈ M
S
× N.
Consequentemente, em todos os casos (x, y) ∈ K, isto ´e,
(2.24) M ⊆ K
Por (2.23) e (iv), K ´e um conjunto retangular, e por (2.24) M ⊆ K. Logo basta
calcular
T
µ(K
y
)dν(y).
Considerando (2.23) e (iv), temos
K
y
=
O
y
i
n
para y ∈ P
y
i
n
,
M
S
para y ∈ N,
∅ para y /∈ P
y
i
n
e y /∈ N.
Da´ı, por (iv) e (v) segue que
T
µ(K
y
)dν(y) =
k
i=1
∞
n=1
µ(O
y
i
n
)ν(P
y
i
n
)
≤
k
i=1
∞
n=1
(µ(M
y
i
n
) + ε)ν(P
y
i
n
).
Como y
i
n
∈ (M
i−1
T
) ∩ (M
i
T
)
c
e como y ∈ (M
i
T
) acarreta que µ(M
y
) < iε. Obtemos
finalmente,
(2.25)
T
µ(K
y
)dν(y) ≤
k
i=1
∞
n=1
((1 + i)ε)ν(P
y
i
n
).
Por outro lado, por (2.22), (iv) e (v),
T
µ(M
y
)dν(y) =
k
i=1
∞
n=1
P
y
i
n
µ(M
y
)dν(y).
52
Do mesmo modo, como P
y
i
n
⊂ (M
i−1
T
) ∩ (M
i
T
)
c
, por (2.21), e para y ∈ M
i−1
T
, vale que
µ(M
y
) < (i − 1)ε.E obtemos
(2.26)
T
µ(M
y
)dν(y) ≥
k
i=1
∞
n=1
((i − 1)ε)ν(P
y
i
n
).
Fazendo a diferen¸ca de (2.26) por (2.25), usando (2.22), (iv) e (v), temos
T
µ(K
y
)dν(y) −
T
µ(M
y
)dν(y) ≤ 2ε
k
i=1
∞
n=1
ν(P
y
i
n
) = 2εν(M
T
).
Tomando agora δ = 2εν(M
T
) obtemos
(2.27)
T
µ(K
y
)dν(y) −
T
µ(M
y
)dν(y) ≥ δ,
que ´e a desigualdade procurada.
Sejam δ > 0 arbitr´ario e M um conjunto compacto tal que M ⊂ S × T. Ent˜ao, pelo
foi dito ap´os o lema 2.3.7, ´e poss´ıvel encontrar um conjunto retangular K ⊃ M, tal que
T
µ(K
y
)dν(y) ≤
T
µ(M
y
)dν(y) + δ.
Assim,
S
ν(M
x
)dµ(x) ≤
S
ν(K
x
)dµ(x)
=
T
µ(K
y
)dν(y)
≤
T
µ(M
y
)dν(y) + δ.
Como esta desigualdade ´e v´alida para to do δ > 0,
S
ν(M
x
)dµ(x) ≤
T
µ(M
y
)dν(y).
Trocando os pap´eis de S e T obtemos a inequa¸c˜ao oposta, o que demonstra a validade
de (2.17).
Ap´os o lema 2.3.7, foi provado que (2.15), (2.16) e (2.17) s˜ao v´alidas para todos os
conjuntos compactos M. Pelo lema 2.1.10 as mesmas afirmativas s˜ao v´alidas para conjuntos
de Borel , j´a que verificamos que as propriedades (2.15)-(2.17) s˜ao conseq¨uˆencias dos passos
da constru¸c˜ao dada. Desta forma, resta apenas mostrar as propriedades de ρ. Temos que
ρ ´e n˜ao-negativa e completamente aditiva, assim s´o resta mostrar que ρ ´e regular.
53
Para isso ´e suficiente provar que todo conjunto compacto pode ser arbitrariamente
aproximado por conjuntos abertos dados. Por´em, todo conjunto compacto pode ser
aproximado por conjuntos retangulares, logo basta mostrar a aproxima¸c˜ao de conjun-
tos retangulares por conjuntos abertos, o que ´e imediato pelo que foi visto para conjuntos
retangulares. Agora para conjuntos retangulares a regularidade das medidas dadas, µ e
ν, segue da defini¸c˜ao de topologia no espa¸co produto S × T .
O que conclui a prova do Teorema de Fubini.
2.4 Unicidade da medida de Haar
Nesta se¸c˜ao iremos assumir que G ´e um grupo topol´ogico localmente compacto e que ν
´e uma medida regular invariante `a esquerda definida sobre os conjuntos de Borel de G,
a qual ´e finita para conjuntos compactos e positiva para conjuntos abertos. O principal
objetivo desta se¸c˜ao, ´e provar que a menos de um fator multiplicativo constante, ν ´e
unicamente determinada com suas propriedades, isto ´e, se µ ´e qualquer outra medida
regular invariante `a esquerda definida sobre todos os conjuntos de Borel de G e finita para
conjuntos compactos, ent˜ao existe uma constante finita, positiva c tal que µ(M) = cν(M),
para todo conjunto de Borel M. A prova dessa afirma¸c˜ao depender´a de alguns resultados
auxiliares.
No que segue faremos uso do grupo produto direto G × G e da medida ρ(M) obtida
aplicando o teorema de Fubini:
(2.28) ρ(M) =
ν(M
x
)dν(x) =
ν(M
y
)dν(y).
Afirmamos, inicialmente, que as seguintes aplica¸c˜oes injetivas de G × G em G × G
preservam medidas :
(2.29) (x, y) → (ax, y),
(2.30) (x, y) → (x, by),
(2.31) (x, y) → (ax, by),
54
(2.32) (x, y) → (y, x),
(2.33) (x, y) → (x, xy),
(2.34) (x, y) → (x, x
−1
y).
Temos que (2.29) segue da rela¸c˜ao ρ(M) =
ν(M
y
)dν(y). Denotaremos por M
a
imagem de M pela transforma¸c˜ao (2.29). Ent˜ao M
y
= {x ∈ G; (x, y) ∈ M
}, isto ´e, o
conjunto de todos ax para os quais (ax, y) ∈ M
. Este ´ultimo conjunto ´e um conjunto
M
y
. Assim,
ρ(M
) =
ν(M
y
)dν(y) =
ν(aM
y
)dν(y) =
ν(M
y
)dν(y) = ρ(M),
como quer´ıamos provar.
Para (2.30) o resultado segue do que foi provado acima, usando a rela¸c˜ao ρ(M) =
ν(M
x
)dν(x). O produto das aplica¸c˜oes (2.29) e (2.30) ´e (2.31), que tamb´em preserva
medida. Observemos que a afirma¸c˜ao que ρ ´e invariante sob (2.31) ´e o mesmo que dizer
que ρ ´e a medida invariante de Haar invariante `a esquerda em G × G. Que a medida ´e
preservada em (2.32) segue da simetria, em x e y.
Finalmente, para (2.33), provaremos, como anteriormente, que M
x
= xM
x
, onde M
´e o conjunto imagem de M sob (2.33), enquanto que (2.34) ´e a inversa de (2.33)
Aplicando (2.33), (2.32) e (2.34), nesta ordem, obtemos que a aplica¸c˜ao de G ×G em
G × G
(2.35) (x, y) → (xy, y
−1
)
preserva medida . Assim, se M ´e qualquer conjunto de Borel em G, e aplicando esta
aplica¸c˜ao ao conjunto G ×M, obtemos G ×M
−1
. Al´em disso, ρ(G ×M) = ρ(G ×M
−1
),
isto ´e,
(2.36) ν(G)ν(M) = ν(G) ν(M
−1
).
Observemos que se o produto ρ(A ×B) = ν(A)ν(B) ´e da forma 0.∞ ou ∞.0 seu valor
ser´a 0 (por conven¸c˜ao). Al´em disso, ν(G) > 0, por´em ν(G) ≤ ∞.
55
Lema 2.4.1. Se G ´e compacto ent˜ao ν(M) ´e invariante `a esquerda e `a direita, e tamb´em
inversa invariante, isto ´e,
(2.37) ν(aM) = ν(M),
(2.38) ν(Ma) = ν(M),
(2.39) ν(M
−1
) = ν(M).
Demonstra¸c˜ao. Temos que ν(G) < ∞. Assim, por (2.36) temos (2.39). J´a (2.37) segue
diretamente da defini¸c˜ao. Por fim, temos que (2.38) segue da aplica¸c˜ao , nesta ordem de
(2.39) e (2.37), com a
−1
, e (2.39).
Lema 2.4.2. Para todo G as aplica¸c˜oes tais que ν(M) = 0 para M ⊂ G s˜ao invariantes
`a esquerda e `a direita e possuem inversa invariante, ou seja,
(2.40) ν(aM) = 0 ´e equivalente a ν(M) = 0,
(2.41) ν(Ma) = 0 ´e equivalente a ν(M) = 0,
(2.42) ν(M
−1
) = 0 ´e equivalente a ν(M) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Temos que (2.42) segue de (2.36), enquanto que (2.40) segue da defini¸c˜ao.
Enfim, (2.41) ´e resultado da composi¸c˜ao das aplica¸c˜oes, nesta ordem, (2.42) e (2.40), com
a
−1
e (2.42), donde segue a equivalˆencia.
Teorema 2.4.3. Se M e N s˜ao conjuntos de Borel em G ent˜ao
G
ν(M ∩ xN)dν(x) = ν(M)ν(N
−1
).
56
Demonstra¸c˜ao. Consideraremos o conjunto E = M ×N
−1
⊂ G ×G. Ent˜ao a imagem E
de E sob a aplica¸c˜ao (2.33) est´a definida por
E
= {(x, y) ∈ G × G; x ∈ M, y ∈ xN
−1
}.
Assim, para todo y ∈ G temos que E
y
´e o conjunto dos x ∈ G tais que x ∈ M e x ∈ yN:
E
y
= M ∩ xN.
Como (2.33) preserva medida, obtemos a rela¸c˜ao desejada:
ρ(E) = ν(M)ν(N
−1
) = ρ(E
) =
ν(E
y
)dν(y) =
ν(M × N)dν(y).
Proposi¸c˜ao 2.4.4. Se para um conjunto de Borel M arbitr´ario de G temos que ν(M
c
∩
xM) = 0 para todo x ∈ G, ent˜ao ou ν(M) = 0 ou ν(M
c
) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que ν(M
c
∩ xM) = 0 para todo x ∈ G. Ent˜ao em virtude
do teorema 2.4.3
0 =
G
ν(M
c
∩ xM)dν(x) = ν(M
c
)ν(M
−1
),
da´ı ou ν(M
c
) = 0 ou ν(M
−1
) = 0. Portanto, por (2.42), ν(M) = 0.
Lema 2.4.5. Se M e N s˜ao dois conjuntos de Borel arbitr´arios com fechos compactos
e medidas positivas ent˜ao existem um conjunto de Borel K e elementos x e y tais que
xK ⊂ M, yK ⊂ N e
ν(K) ≥
ν(M)ν(N
−1
)
ν(M N
−1
)
,
tais que ν(M), ν(N), ν(M N
−1
) s˜ao positivas e finitas.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que ν(M), ν(N) s˜ao p ositivas. Como M e N s˜ao compactos
temos que ν(M), ν(N) s˜ao finitas. Como M = ∅ podemos tomar a ∈ M. Como ν(N) > 0
ent˜ao ν(N
−1
) > 0. Assim
ν(M N
−1
) ≥ ν(aN
−1
) = ν(N
−1
) > 0.
Al´em disso, M N
−1
⊂ M N
−1
o qual ´e compacto. Da´ı, ν(M N
−1
) ´e finita.
Temos que se x /∈ M N
−1
ent˜ao M ∩xN = ∅ e ν(M ∩xN) = 0, deste modo aplicando
o teorema 2.4.3,
57
MN
−1
ν(M × N)dν(x) =
G
ν(M × N)dν(x) = ν(M)ν(N
−1
).
Da´ı, tomando x
0
em algum subconjunto de medida positiva em M N
−1
, temos
ν(M ∩ x
0
N) ≥
ν(M)ν(N
−1
)
ν(M N
−1
)
.
Portanto, tomando K = M ∩ x
0
N, x = 1 e y = x
−1
0
obtemos o resultado desejado.
Teorema 2.4.6. Se M e N s˜ao dois conjuntos de Borel em G arbitr´arios ent˜ao existem
em G duas sequˆencias de elementos (x
n
)
n∈N
, (y
n
)
n∈N
e uma seq¨uˆencia de conjuntos de
Borel (K
n
)
n∈N
tais que
(2.43) M = x
1
K
1
∪ x
2
K
2
∪ ··· ∪ M
∞
= ∪
∞
i=1
(x
i
K
i
) ∪ M
∞
,
(2.44) N = y
1
K
1
∪ y
2
K
2
∪ ··· ∪ N
∞
= ∪
∞
i=1
(y
i
K
i
) ∪ N
∞
,
onde os elementos em cada uma das uni˜oes acima s˜ao dois a dois disjuntos, sendo
ν(M
∞
) = 0, ou ν(N
∞
) = 0.
Demonstra¸c˜ao. Como todo conjunto de Borel pode ser escrito como uma uni˜ao disjunta
de uma seq¨uˆencia enumer´avel de conjuntos de Borel com fechos compactos, basta provar
o teorema para o caso em que ambos M e N tem fechos compactos.
Denotaremos M
0
= M e N
0
= N e suponhamos definido para cada i ∈ {1, . . . , n}
os conjuntos M
i
, N
i
tais que M
i
e N
i
s˜ao compactos, e ν(M
i
) > 0 e ν(N
i
) > 0. Desta
forma, podemos aplicar o lema 2.4.5 e obtermos x
n
, y
n
, K
n
de mo do que x
n
K
n
⊂ M
n
,
y
n
K
n
⊂ N
n
e
ν(K
n
) ≥
ν(M
n
)ν(N
−1
n
)
ν(M
n
N
−1
n
)
.
Definamos para n + 1 os conjuntos M
n+1
:= M
n
∩ (x
n
K
n
)
c
e N
n+1
:= N
n
∩ (y
n
K
n
)
c
.
Se para qualquer inteiro positivo m > n, ν(M
m
) = 0, tomamos K
m
= K
m+1
=
. . . = ∅, M
∞
= M
m
e N
∞
= N
m
. Tomando x
m
, x
m+1
, . . . , y
m
, y
m+1
, . . . ∈ G obtemos a
decomposi¸c˜ao desejada. Assim, podemos supor que a indu¸c˜ao continua indefinidamente.
Neste caso, denotaremos M
∞
=
∞
n=0
M
n
, N
∞
=
∞
n=0
N
n
e obtemos as decomposi¸c˜oes
desejadas em (2.43) e (2.44). Resta ap enas provar que um dos conjuntos M
∞
, N
∞
tem
medida nula.
58
Como
M = M
0
⊃ M
1
⊃ ··· , N = N
0
⊃ N
1
⊃ ··· ,
ent˜ao (ν(M
n
))
n∈N
e (ν(N
n
))
n∈N
s˜ao seq ¨uˆencias monotonas decrescentes limitadas, logo
podemos tomar α = lim
n→∞
ν(M
n
), β = lim
n→∞
ν(N
−1
n
). Ent˜ao
ν(M
n+1
) = ν(M
n
) − ν(x
n
K
n
) = ν(M
n
) − ν(K
n
)
≤ ν(M
n
) −
ν(M
n
)ν(N
−1
n
)
ν(M
n
N
−1
n
)
≤ ν(M
n
) −
ν(M
n
)ν(N
−1
n
)
ν(M N
−1
n
)
,
tomando o limite, obtemos
α ≤ α −
αβ
ν(M N
−1
n
)
.
Como α ≥ 0 e β ≥ 0 isto implica que pelo menos um dos n´umeros α e β ´e nulo.
Como α = ν(M
∞
), β = ν(N
−1
∞
) e como ν(N
−1
∞
) ´e nulo se, e s´o se, ν(N
∞
) ´e nulo, segue a
conclus˜ao desejada.
Nota¸c˜oes: Se M e N s˜ao conjuntos de Borel com fechos compactos ent˜ao na nota¸c˜ao
do teorema 2.4.6, ν(M) − ν(N) = ν(M
∞
) − ν(N
∞
). Al´em disso, dadas µ e ν medidas
invariantes `a esquerda tais que ν(M) = 0 ´e equivalente a µ(M) = 0, denotaremos por
∆
µ
e ∆
ν
as imagens de µ(M) e ν(M) respectivamente, quando M varia sobre todos os
conjuntos de Borel com fechos compactos. Ent˜ao defina uma aplica¸c˜ao mon´otona injetiva
f : ∆
ν
−→ ∆
µ
tal que para todo conjunto M com fecho compacto µ(M) = f(ν(M)).
Teorema 2.4.7. Se µ e ν s˜ao medidas invariantes `a esquerda tais que µ(M) = 0 ´e
equivalente a ν(M) = 0. Ent˜ao existe uma constante finita positiva c tal que µ(M) =
cν(M).
Demonstra¸c˜ao. Sem perda de generalidade, iremos nos restringir aos conjuntos M com
fecho compacto. Usaremos as nota¸c˜oes e resultados acima.
Se β
1
, β
2
∈ ∆
ν
com β
1
≤ β
2
ent˜ao podemos encontrar conjuntos de Borel M e N
com fechos compactos tais que ν(M) = β
1
e ν(N) = β
2
. Iremos escrever M e N na
forma (2.43) e (2.44), respectivamente, e tomaremos M
= y
1
K
1
∪ y
2
K
2
∪ ··· . Ent˜ao
ν(M
) = ν(M) = β
1
e M
⊂ N tal que N = M
∪N
com M
∩N
= ∅. Como ν(N) = β
2
e ν(M
) = β
1
ent˜ao ν(N
) = β
2
− β
1
, o que prova que β
2
− β
1
∈ ∆
ν
. Al´em disso, como
µ(N) = f(β
2
), µ(M
) = f(β
1
) e µ(N
) = f(β
2
−β
1
) temos que f(β
2
) = f(β
1
)+f(β
2
−β
1
).
Isto ´e,
59
(2.45)
β
1
, β
2
∈ ∆
ν
e β
1
≤ β
2
implica que β
2
− β
1
∈ ∆
ν
,
e f(β
2
− β
1
) = f(β
2
) − f(β
1
).
Vamos provar que
(2.46) f(β) = cβ para uma constante finita, positiva c.
Temos que ∆
ν
´e um conjunto de n´umeros reais que possui apenas elementos positivos,
e portanto, possui ´ınfimo pela completitude dos reais.
Suponhamos, inicialmente, que ∆
ν
possua um menor elemento, α
0
. Pela propriedade
arquimediana , temos que para todo α ∈ ∆
ν
existe i ∈ { 0, 1, 2, . . .} tal que iα
0
≤ α <
(i + 1)α
0
. Aplicando (2.45)i-vezes obtemos que α − iα
0
∈ ∆
ν
, donde 0 < α − iα
0
< α
0
o que n˜ao ´e poss´ıvel pela minimalidade de α
0
. Portanto, α − iα
0
= 0. Agora, aplicando
novamente (2.45) obtemos que f(α)−if(α
0
) = 0. Desta forma, f(α) = if(α
0
) =
α
α
0
f(α
0
),
isto ´e, f(α) = cα com c =
f(α
0
)
α
0
.
Suponhamos agora que n˜ao exista um menor elemento positivo em ∆
ν
. Seja α
1
o´ınfimo
de ∆
ν
. Claramente, α
1
≥ 0. Vamos assumir que α
1
> 0 onde α
1
/∈ ∆
ν
, por hip´otese.
Agora 2α
1
> α
1
, tomemos α ∈ ∆
ν
com 2α
1
> α. Devido ao que foi dito anteriormente
temos que α > α
1
. Assim, tomando β ∈ ∆
ν
com β < α. Obtemos, novamente, β > α
1
ent˜ao α
1
< β < α < 2α
1
. Logo, por (2.45), α −β ∈ ∆
ν
e 0 < α −β < α
1
o que contradiz
a defini¸c˜ao de α
1
. Conseq¨uentemente, α
1
= 0.
Desta forma, para todo ε > 0 existe um α ∈ ∆
ν
com 0 < α < ε.
Consideremos agora β
1
, β
2
∈ ∆
ν
, ambos positivos.
Afirmamos que
(2.47)
f(β
1
)
β
1
=
f(β
2
)
β
2
.
De fato, em caso contr´ario, podemos supor que
f(β
1
)
β
1
>
f(β
2
)
β
2
.
Conseq¨uentemente,
(2.48)
f(β
1
)
β
1
>
(p
0
+ 1)
2
p
2
0
.
f(β
2
)
β
2
, para algum p
0
∈ N.
60
Tomemos α ∈ ∆
ν
com 0 < α < min(
β
1
p
0
,
β
2
p
0
). Pela propriedade arquimediana existem
r, s ∈ N tais que rα ≤ β
1
< (r + 1)α, sα ≤ β
2
< (s + 1)α. Ent˜ao, r, s ≥ p
0
. Assim,
repetindo a aplica¸c˜ao de (2.45) dada anteriormente, obtemos
f(β
2
) − sf(α) = f(β
2
− sα) ≥ 0
(r + 1)f(α) − f(β
1
) = f((r + 1)α) − f(β
1
) = f((r + 1)α − β
1
) ≥ 0;
da´ı,
f(β
1
) ≤ (r + 1)f(α), f(β
2
) ≥ sf(α)
e ent˜ao
f(β
1
)
β
1
≤
(r + 1)f(α)
rα
=
r + 1
r
·
f(α)
α
≤
p
0
+ 1
p
0
f(α)
α
,
f(β
2
)
β
2
≤
sf(α)
(s + 1)α
=
s
s + 1
·
f(α)
α
≤
p
0
p
0
+ 1
f(α)
α
,
resultando
f(β
1
)
β
1
≤
(p
0
+ 1)
2
p
2
0
f(β
2
)
β
2
.
O que contradiz (2.48). Da´ı, (2.47) fica estabelecida.
Seja c o valor comum de
f(β)
β
para todo β ∈ ∆
ν
, por (2.47). Ent˜ao, f(β) = cβ para
todo β ∈ ∆
ν
, que tamb´em ´e v´alida para β = 0.
Agora, estamos em posi¸c˜ao de provar a unicidade da medida de Haar.
Teorema 2.4.8. Se µ e ν s˜ao medidas invariantes `a esquerda ent˜ao existe uma constante
positiva c tal que µ(M) = cν(M) para todo conjunto de Borel M.
Demonstra¸c˜ao. Sem perda de generalidade demonstraremos o teorema para os conjuntos
M com fecho compacto. Consideraremos as medidas invariantes `a esquerda
ρ(M) = ν(M) + µ(M),
σ(M) = 2ν(M) + µ(M).
Ent˜ao ρ(M) = 0 e σ(M) = 0 s˜ao equivalentes, j´a que cada um destes s˜ao equivalentes
a validade simultˆanea de ν(M) = 0 e µ(M) = 0. Da´ı, pelo teorema 2.4.7, existe uma
constante positiva δ tal que
ρ(M) = δσ(M),
61
ou
(1 − δ)µ(M) = (2δ − 1)ν(M).
Se δ ≤
1
2
ent˜ao µ(M) ≤ 0 para todo M, desta forma, µ ≡ 0. Se δ ≥ 1 ent˜ao
ν(M) ≤ 0 para todo M, logo ν ≡ 0. Por´em, como assumimos que µ e ν s˜ao positivas para
conjuntos abertos, ent˜ao nenhuma dessas possibilidades pode ocorrer. Conseq¨uentemente,
1
2
< δ < 1, e a proposi¸c˜ao 2.4.4 ´e v´alida para c =
1 − δ
2δ − 1
.
62
Cap´ıtulo 3
A Constru¸c˜ao de von Neumann
Nesse terceiro e ´ultimo cap´ıtulo apresentamos o processo de constru¸c˜ao da medida de
Haar, atrav´es do m´etodo de von Neumann. Para tal introduzimos os conceitos de O-
eq¨uidistribui¸c˜ao e de m´edia invariante. Atrav´es de exemplos exibimos o papel da no¸c˜ao
de O-eq¨uidistribui¸c˜ao na constru¸c˜ao de medidas invariantes. Finalmente, fazendo uso do
lema de Hall, Maak e Kakutani, provamos o resultado principal.
3.1 Classes especiais de fun¸c˜oes cont´ınuas
Ao longo deste cap´ıtulo consideraremos G um grupo topol´ogico localmente compacto
iremos denotar M
c
= G\M para todo conjunto M ⊂ G e consideraremos O, P e Q
como subconjuntos abertos de G; C, D e E como subconjuntos compactos de G e M, N
subconjuntos arbitr´arios de G. Al´em disso, dados a ∈ G e uma fun¸c˜ao f : G → R iremos
considerar a fun¸c˜ao definida por f
a
(x) := f(ax) para todo x ∈ G.
Defini¸c˜ao 3.1.1. Sejam F
M
o conjunto de fun¸c˜oes reais cont´ınuas em G tais que f(x) = 0
para todo x ∈ M
c
e F
o
M
o conjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em G satisfazendo
f(x) = 0 para todo x ∈ M
c
e tais que f(G) ⊂ [0, 1].
Defini¸c˜ao 3.1.2. Para qualquer fun¸c˜ao f : G → R definamos
ˇ
f(x) = f(x
−1
) para todo
x ∈ G.
Note que f ∈ F
M
(F
o
M
) ´e equivalente a
ˇ
f ∈ F
M
−1
(F
o
M
−1
).
63
Defini¸c˜ao 3.1.3. Seja M ⊂ G arbitr´ario. Para toda f ∈ F
M
e para todo aberto O ⊂ G,
com 1 ∈ O, sejam
f = sup
x∈G
|f(x)|
e
Osc
O
(f) = sup
x
−1
y∈O
|f(x) − f(y)|.
Sejam f, g ∈ F
M
e O ⊂ G aberto com 1 ∈ O. Po demos verificar as seguintes pro-
priedades:
(i) Osc
O
(
ˇ
f) = sup
xy
−1
∈O
|f(x) − f(y)|.
(ii) Osc
O
(f) = Osc
O
−1
(f).
(iii) Osc
O
(f) ≤ 2f.
(iv) Osc
O
(f + g) ≤ Osc
O
(f) + Osc
O
(g)
(v) Osc
O
(cf) = |c|Osc
O
(f)
(vi) Osc
O
(fg) ≤ ||f||Osc
O
(g) + ||g||Osc
O
(f)
Lema 3.1.4. Seja C ⊂ G compacto. Para toda f ∈ F
C
, dado ε > 0 existe um aberto
sim´etrico O = O(f; ε) com 1 ∈ O e Osc
O
(f) ≤ ε.
Demonstra¸c˜ao. Como f ´e cont´ınua ent˜ao dado ε > 0 tem-se que para todo a ∈ C existe
um aberto O
a
com a ∈ O
a
tal que se x ∈ O
a
ent˜ao |f(x) − f(a)| < ε.
Como a aplica¸c˜ao h : (x, u) ∈ G × G → axu ∈ G ´e cont´ınua podemos tomar P
a
com
1 ∈ P
a
e aP
a
P
a
⊂ O
a
. De fato, temos que W = {(x, y) ∈ G × G; axy ∈ O
a
} ´e uma
vizinhan¸ca aberta de (1, 1) ∈ G ×G, pois (1, 1) ∈ h
−1
(O
a
).
J´a que C ⊂
a∈C
aP
a
, C ´e compacto e todo aP
a
´e aberto, existe k ∈ N tal que C ⊂
k
i=1
a
i
P
a
i
.
Seja O =
k
i=1
[P
a
i
∩ P
−1
a
i
], ent˜ao 1 ∈ O, pois 1 ∈ P
a
i
para todo i = 1, ..., k, e O = O
−1
.
Fixemos x
−1
y ∈ O.
Suponhamos, inicialmente, que x ∈ C, ent˜ao x ∈ a
i
P
a
i
para algum i ∈ {1, ..., k}. Da´ı,
x ∈ a
i
P
a
i
P
a
i
⊂ O
a
i
. Al´em disso,
y = xx
−1
y ∈ a
i
P
a
i
O ⊂ a
i
P
a
i
P
a
i
⊂ O
a
i
.
64
Ent˜ao
|f(x) − f(a
i
)| <
ε
2
e |f(y) − f(a
i
)| <
ε
2
.
Conseq¨uentemente,
(*) |f(x) − f(y)| < ε
Suponhamos agora que y ∈ C. Como y
−1
x = (x
−1
y)
−1
∈ O
−1
= O ent˜ao reca´ımos no
caso anterior.
Por fim, suponhamos que x, y /∈ C. Como f ∈ F
C
segue que f(x) = f (y) = 0, obtendo
o resultado desejado.
E portanto, Osc
O
(f) ≤ ε.
Considerando C ⊂ G compacto com 1 ∈ C
i
, temos os seguintes resultados
Lema 3.1.5. . Para toda f ∈ F
C
,
f e Osc
O
(f)
s˜ao finitos.
Lema 3.1.6. Para toda f ∈ F
C
existe x
0
∈ G tal que f = |f(x
0
)|.
Lema 3.1.7. Seja C ⊂ G compacto. Para todo aberto O ⊂ G, com 1 ∈ O, existe um
aberto O
∗
= O
∗
(C, O) com 1 ∈ O
∗
⊂ O e satisfazendo a seguinte propriedade:
Para to da f ∈ F
C
, Osc
O
∗
(
ˇ
f) ≤ Osc
O
(f).
Demonstra¸c˜ao. Seja O ⊂ G tal que 1 ∈ O.
Pela propriedade (i) e visto que f(z) = 0 para todo z /∈ C temos que
ˇ
f(z) = f (z
−1
) =
0, para z /∈ C
−1
. Devemos encontrar um aberto O
∗
⊂ O tal que
(3.1) yx
−1
∈ O
∗
e x ∈ C
−1
ou y ∈ C
−1
⇒ x
−1
y ∈ O.
Neste caso, vale Osc
O
∗
(
ˇ
f) = sup
x
−1
y ∈ O
∗
x ∈ C
−1
ou y ∈ C
−1
|f(x) − f(y)| ≤ Osc
O
(f).
Observe que
(3.2) x
−1
y = x
−1
yx
−1
x = y
−1
yx
−1
y.
65
Como a aplica¸c˜ao (u, v) → u
−1
vu ´e cont´ınua e u
−1
vu = 1 para v = 1 e u ∈ G
arbitr´ario, ent˜ao para todo a ∈ G existem abertos O
a
e P
a
com a ∈ O
a
e 1 ∈ P
a
tais que,
se u ∈ O
a
e v ∈ P
a
ent˜ao u
−1
vu ∈ O. Temos que C
−1
⊂
a∈C
−1
O
a
, da´ı existe k ∈ N tal
que C
−1
=
k
i=1
O
a
i
.
Tomemos O
∗
=
k
i=1
(P
a
i
∩ O). Ent˜ao 1 ∈ O
∗
⊂ O.
Sejam u ∈ C
−1
e v ∈ O
∗
. Ent˜ao u ∈ O
a
i
para algum i ∈ {1, . . . , k} e v ∈ P
a
i
. Assim,
u
−1
vu ∈ O. Ent˜ao temos:
(3.3) u ∈ C
−1
, v ∈ O
∗
⇒ u
−1
v u ∈ O.
Por (3.2) e (3.3) temos (3.1), basta colocarmos v = yx
−1
e u = x ou u = y.
3.2 M´edias
Defini¸c˜ao 3.2.1. Seja C ⊂ G compacto. Um funcional M : F
C
−→ R ´e dito uma m´edia
se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(i) M(f + g) = M(f) + M(g);
(ii) M(f ) ≥ 0 para f ∈ F
o
C
.
Lema 3.2.2. Para toda m´edia M, temos para toda f ∈ F
C
que:
(i) M(kf) = kM(f) para qualquer k ∈ R;
(ii) M(f ) ≥ 0 se f (x) ≥ 0 para todo x ∈ G;
(iii) Existe uma constante α = α(M) tal que
| M(f) |≤ αf.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, mostremos que (i) ´e v´alido para todo k racional.
Seja k =
k
1
k
2
com k
1
, k
2
∈ Z e k
2
= 0.
Temos que se f ∈ F
C
ent˜ao rf ∈ F
C
para qualquer r ∈ R. Al´em disso, dado k ∈ Z temos
que M(kf) = kM(f). De fato, temos os seguintes casos:
(i) k = 0;
Neste caso, M(0.f) = M(0). Como M(f) = M(f + 0) = M(f ) + M(0), pelo ´ıtem (i)
da defini¸c˜ao 3.2.1, ent˜ao M(0) = 0 = 0.M(f).
66
(ii) k > 0;
Novamente, pelo ´ıtem (i) da defini¸c˜ao 3.2.1, temos que M(kf) = kM(f).
(iii) k < 0;
Ent˜ao, k = −k
para algum k
∈ N. Assim, 0 = M(0) = M((k
f) + (−k
f)) =
M(k
f) + M(−k
f) ent˜ao M(kf ) = M(−k
f) = −M(k
f). Logo, por (ii),
M(kf) = −M(k
f) = −k
M(f) = kM(f).
Deste modo,
k
1
M(f) = M(k
1
f) = M
k
2
k
2
k
1
f
= k
2
M
k
1
k
2
f
ent˜ao,
k
1
k
2
M(f) = M(
k
1
k
2
f).
Logo, o ´ıtem (i) ´e v´alido para todo k ∈ Q.
Mostremos agora o ´ıtem (ii).
Suponhamos, inicialmente, que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G. Seja k > 0 racional com
k ≥ ||f||, isto ´e, 0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G. Ent˜ao
1
k
f ∈ F
o
C
, da´ı, M(
1
k
f) ≥ 0 logo,
M ≥ 0.
Para mostrar (iii), suponhamos que n˜ao vale (iii). Ent˜ao para cada n ∈ N existe
f
n
∈ F
C
tal que
(3.4) |M(f
n
)| > 4
n
||f
n
||.
Temos que (3.4) exclue o caso em que f
n
≡ 0. Caso contr´ario, ambos os membros de
(3.4) seriam nulos. Assim, ||f
n
|| > 0.
Al´em disso, por (3.4), temos para cada n ∈ N que
1
2
n
f
n
|M(f
n
)| > 2
n
. Assim, tomando
f
n
=
f
n
2
n
f
n
temos que ||f
n
|| =
1
2
n
, isto ´e, |f
n
(x)| ≤
1
2
n
, para todo x ∈ G e M(f
n
) > 2
n
.
Logo, f
n
satisfaz (3.4).
Seja g(x) :=
∞
n=1
|f
n
(x)|, para todo x ∈ G. Notemos que g ∈ F
C
.
Com efeito, pelo teste de Weierstrass temos que g ´e cont´ınua.
Al´em disso, para todo x ∈ G e todo n ∈ N temos que g(x) ≥ |f
n
(x)| ≥ f
n
(x) donde
M(g) − M(f
n
) = M(g − f
n
) ≥ 0 e logo M(g) ≥ M(f
n
).
Da´ı, M(g) > 2
n
para todo n ∈ N, o que contradiz o fato de que g ∈ F
C
.
67
Por fim, mostremos o ´ıtem (i) para todo k irracional.
Seja f ∈ F
C
fixado. Temos que a aplica¸c˜ao h : Q → R definida por h(k) = M(kf) ´e
uniformemente cont´ınua.
Com efeito, dados k
1
, k
2
∈ Q temos que
|h(k
1
) − h(k
2
)| = |M(k
1
f) − M(k
2
f)|
= |(k
1
− k
2
)||M(f)|
≤ |k
1
− k
2
|α(M)||f||.
Deste modo, podemos estender h a todo R = Q.
Defini¸c˜ao 3.2.3. Dada uma m´edia M, definamos
||| M |||:= inf{α = α(M); | M(f) |≤ α f , para toda f ∈ F
C
}.
Lema 3.2.4. Para toda m´edia M vale
| M(f) |≤||| M ||| · f , para toda f ∈ F
C
.
Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ F
C
fixa. Se f ≡ 0 ent˜ao | M(f) |= 0 =||| M ||| · f . Caso
contr´ario, para todo α ∈ R
+
tal que | M(f ) | α f temos que
| M(f) |
f
α.
Assim, pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, temos
| M(f) |
f
||| M |||, isto ´e,
| M(f) |||| M ||| · f .
Logo, como f foi tomada arbitrariamente segue que | M(f) |||| M ||| · f para
toda f ∈ F
C
.
Lema 3.2.5. Para toda m´edia M tem-se as seguintes propriedades:
(i) ||| M |||= sup
f≤1
| M(f) |= sup
f=1
| M(f) |;
(ii) ||| M |||= sup
f∈F
o
C
M(f).
68
Demonstra¸c˜ao. (i) Pela defini¸c˜ao 3.2.3 a afirma¸c˜ao ´e trivial para f ≡ 0.
Seja f ∈ F
C
\{0}. Pelo lema 3.2.2, ´ıtem (i), podemos assumir ||f|| = 1.
Ent˜ao ||| M ||| ´e o menor α tal que | M(f ) |≤ α, isto ´e,
(3.5) ||| M |||= sup
f=1
| M(f) |
Assim,
sup
f≤1
| M(f) |≥ sup
f=1
| M(f) |
Da´ı, por (3.5),
(3.6) sup
f≤1
| M(f) |≥||| M |||
Pela defini¸c˜ao de ||| M ||| temos que |M(f)| ≤||| M ||| para ||f|| ≤ 1, da´ı
(3.7) sup
||f||≤1
|M(f)| ≤||| M ||| .
Agora, por (3.5), (3.6) e (3.7) temos (i).
(ii) Seja f ∈ F
o
C
tal que f ≤ 1. Como M(f ) ≤| M |, temos que
(3.8) sup
f∈F
o
C
M(f) ≤ sup
f≤1
| M(f) |
Sejam f ∈ F
C
tal que f ≤ 1 e g(x) = |f(x)| para todo x ∈ G.
Temos que 0 ≤ g(x) ≤ 1 para todo x ∈ G, assim g ∈ F
o
C
. Al´em disso, para todo x ∈ G
temos ±f(x) ≤ g(x). Da´ı, pelo lema 3.2.2, ´ıtem (ii), M(g(x) −(∓f(x))) ≥ 0. Ent˜ao, pelo
´ıtem (i) do lema 3.2.1 , M(g) ≥ M(±f) = ±M(f), isto ´e,
|M(f)| ≤ M(g) ≤ sup
h∈F
o
C
M(h).
Deste modo,
(3.9) sup
f≤1
| M(f) |≤ sup
h∈F
o
C
M(h)
Por (3.8), (3.9) e pelo ´ıtem (i) temos (ii).
Lema 3.2.6. Seja M uma m´edia. Ent˜ao M ≡ 0 se, e somente se, M(f ) = 0 para toda
f ∈ F
o
C
.
69
3.3 M´edias e medidas invariantes `a esquerda
M´edias invariantes `a esquerda
Defini¸c˜ao 3.3.1. Uma m´edia M ´e dita invariante `a esquerda se
M(f
a
) = M(f)
para todo a ∈ G e f
a
, f ∈ F
C
.
Defini¸c˜ao 3.3.2. Seja O ⊂ G aberto com 1 ∈ O. Uma m´edia M ´e dita aproximadamente
O-invariante `a esquerda quando
|M(f
a
) − M(f)| ≤ k
o
Osc
O
(f),
para todo a ∈ G tal que f
a
, f ∈ F
C
, onde k
o
´e uma constante absoluta(n˜ao depende do
aberto O).
Lema 3.3.3. Uma m´edia M ´e invariante `a esquerda se, e s´o se, M ´e aproximadamente
O-invariante `a esquerda para todo O ⊂ G com 1 ∈ O.
Demonstra¸c˜ao. Seja M uma m´edia invariante `a esquerda.
Ent˜ao
M(f
a
) = M(f),
para todo a ∈ G tal que f
a
, f ∈ F
C
. Fixado a ∈ G tal que f
a
, f ∈ F
o
C
⊂ F
C
segue, para
todo aberto O com 1 ∈ O, que
0 = |M(f
a
) − M(f)| ≤ k
0
Osc
O
(f).
Logo, M(f) ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda.
Por outro lado, suponhamos que M ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda para
todo O aberto com 1 ∈ O.
Seja a ∈ G tal que f
a
, f ∈ F
C
.
No caso em que f
a
, f ∈ F
o
C
temos que
|M(f
a
) − M(f)| ≤ k
0
Osc
O
(f).
Pelo lema 3.1.4, para todo n ∈ N tomando-se ε =
1
n
existe um aberto sim´etrico O
n
=
O
n
(f,
1
n
) com 1 ∈ O
n
tal que Osc
O
n
(f) ≤
1
n
. Assim,
0 ≤ |M(f
a
) − M(f)| ≤ k
0
1
n
,
70
para todo n ∈ N. Fazendo n → ∞ temos que
0 ≤ |M(f
a
) − M(f)| ≤ 0
ent˜ao
(3.10) M(f
a
) = M(f)
.
Suponhamos que f ≥ 0. Pelo lema 3.1.5 , podemos escolher k > 0 tal que k ≥ ||f||.
Da´ı, 0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G, e assim, as considera¸c˜oes feitas em (3.10) s˜ao v´alidas
para
1
k
f . Logo, tamb´em s˜ao v´alidas para f .
No caso em que f(x) < 0 para algum x ∈ G temos que:
f
1
(x) =
1
2
(| f(x) | +f(x)), f
2
(x) =
1
2
(| f(x) | −f(x)), para todo x ∈ G.
Assim, f
1
≥ 0 e f
2
≥ 0. Deste modo, temos que f
1
e f
2
satisfaz (3.10). Da´ı, como
f = f
1
− f
2
segue que f tamb´em satisfaz (3.10).
Defini¸c˜ao 3.3.4. Seja C ⊂ G compacto tal que 1 ∈ C
i
. Uma medida σ ´e dita uma
C
i
-medida se ´e regular e
(3.11) σ((C
i
)
c
) = 0.
Lema 3.3.5. Seja C ⊂ G compacto tal que 1 ∈ C
i
. Para toda medida regular τ existe
uma, e somente uma C
i
-medida σ tal que
(3.12) σ(M) = τ (M), para todo M ⊂ C
i
boreliano .
Deste modo, σ est´a definida por
(3.13) σ(M) = τ(C
i
∩ M), para todo M ⊂ G boreliano ,
e chamaremos σ o C
i
-peda¸co de τ.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma medida τ, definamos σ(M) = τ (C
i
∩ M) para todo M ⊂ G.
Temos que σ ´e uma medida, pois σ(∅) = τ(C
i
∩ ∅) = τ(∅) = 0 e dada uma seq¨uˆencia de
conjuntos de borel, dois a dois disjuntos, {A
n
}
n∈N
, temos:
σ(
n∈N
A
n
) = τ(C
i
∩ (
n∈N
A
n
)) = τ(
n∈N
(C
i
∩ A
n
)) =
n∈N
τ(C
i
∩ A
n
)
=
σ(A
n
).
71
Logo, σ ´e uma medida. Al´em disso, se τ ´e regular ent˜ao σ tamb´em ser´a regular. E com
isso, temos que σ satisfaz (3.11) e (3.12). Com efeito, σ((C
i
)
c
) = τ(C
i
∩(C
i
)
c
) = τ(∅) = 0.
Por outro lado, se σ satisfaz (3.11) e (3.12) ent˜ao σ((C
i
)
c
) = 0 e (C
i
)
c
∩ M ⊂ (C
i
)
c
o
que implica σ((C
i
)
c
∩ M) = 0. Assim,
σ(M) = σ((C
i
∪ (C
i
)
c
) ∩ M) = σ(C
i
∩ M) + σ((C
i
)
c
∩ M)
= σ(C
i
∩ M) = τ(C
i
∩ M),
pois C
i
∩ M ⊂ C
i
. Logo, σ satisfaz (3.13).
Note que dado C ⊂ G compacto, a aplica¸c˜ao
(3.14)
M : F
C
→ R
f → M(f) =
G
fdσ
´e uma m´edia, onde a medida σ satisfaz as propriedades usuais da medida de Lebesgue,
incluindo regularidade. A rela¸c˜ao (3.14) estabelece uma correspondˆencia entre as m´edias
M e todas as C
i
-medidas σ, a qual pode ser encontrada em [10] .
Defini¸c˜ao 3.3.6. Uma m´edia M e uma C
i
-medida σ que correspondem pela equa¸c˜ao
M(f) =
G
f dσ, para toda f ∈ F
C
ser˜ao ditas correspondentes. Esta ´e uma corre-
spondˆencia biun´ıvoca de todas as m´edias com todas as C
i
-medidas, como ser´a provada
pelas proposi¸c˜oes a seguir.
Proposi¸c˜ao 3.3.7. Seja C ⊂ G compacto com 1 ∈ C
i
. Dada uma m´edia M existe,
atrav´es da rela¸c˜ao (3.14), no m´aximo uma C
i
-medida σ correspondente a M.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que exista uma m´edia M a qual correspondam duas tais
C
i
-medidas: σ
1
, σ
2
. Vamos provar que σ
1
e σ
2
s˜ao iguais, isto ´e, que σ
1
(M) = σ
2
(M),
para todo conjunto de Borel M. Como σ
1
e σ
2
s˜ao medidas regulares basta provar que
σ
1
(O) = σ
2
(O) para todo O ⊂ G aberto.
Temos
σ
1
(O) = σ
1
((O ∩ C
i
) ∪ (O ∩ (C
i
)
c
)) = σ
1
(O ∩ C
i
) + σ
1
(O ∩ (C
i
)
c
) = σ
1
(O ∩ C
i
),
pois 0 ≤ σ
1
(O ∩ (C
i
)
c
) ≤ σ
1
((C
i
)
c
) = 0. Do mesmo modo,
σ
2
(O) = σ
2
(O ∩ C
i
).
72
Assim, podemos substituir O por O ∩ C
i
, isto ´e, podemos considerar O ⊂ C
i
. Desta
forma, basta provarmos que
σ
1
(O) = σ
2
(O),
para todo O ⊂ C
i
.
Dado O ⊂ C
i
, tomemos D ⊂ O compacto. Ent˜ao, pelo lema de Urysohn, existe uma
fun¸c˜ao cont´ınua f : G → [0, 1] tal que f(x) = 1, se x ∈ D e f(x) = 0, se x ∈ O
c
.
Ent˜ao a rela¸c˜ao (3.14) garante que
(3.15)
σ
1
(D) ≤ M(f) =
G
fdσ
1
;
σ
2
(D) ≤ M(f) =
G
fdσ
2
.
Al´em disso, temos
G
fdσ
1
=
D
1dσ
1
+
(D
c
)∩O
fdσ
1
≤
D
1dσ
1
+
(D
c
)∩O
1dσ
1
=
O
1dσ
1
= σ
1
(O).
De modo an´alogo, tem-se
G
fdσ
2
≤ σ
2
(O).
Da´ı, por (3.15), temos que:
(3.16) σ
1
(D) ≤ σ
2
(O).
Como (3.16) ´e v´alido para to do compacto D ⊂ O, a regularidade de σ
1
nos d´a
σ
1
(O) ≤ σ
2
(O).
Trocando os pap´eis de σ
1
, σ
2
teremos que σ
1
(O) = σ
2
(O).
Logo, σ
1
e σ
2
coincidem.
Proposi¸c˜ao 3.3.8. Seja C ⊂ G compacto com 1 ∈ C
i
. Para toda m´edia M sobre F
C
existe no m´ınimo uma C
i
-medida σ a qual corresponde, isto ´e,
M(f) =
G
fdσ
para toda f ∈ F
C
.
73
Demonstra¸c˜ao. Seja M uma m´edia. Vamos construir uma tal medida σ expl´ıcitamente.
Seja O ⊂ G ab erto, definamos
(3.17) ρ(O) := sup
f ∈ F
o
O
∩ F
C
1 ≤ f ≤ 1
M(f) ≤ sup
|| f ||≤ 1
| M(f) |=||| M ||| .
Notemos que f ∈ F
o
O
∩ F
C
se, e s´o se, f ∈ F
o
O∩C
. E visto que F
o
C
= F
o
C
i
segue que
F
o
O∩C
= F
o
O∩C
i
. Deste modo,
(3.18) ρ(O) = sup
f∈F
o
O∩C
M(f) = sup
f∈F
o
O∩C
i
M(f) ≤||| M ||| .
Al´em disso, temos que ρ(O) ´e finito, como visto no lema 3.2.5.
Definamos para todo compacto D ⊂ G,
(3.19) λ(D) := inf
O⊃D
ρ(O).
Enunciaremos algumas propriedades das aplica¸c˜oes ρ e λ definidas em (3.17) e (3.19),
respectivamente:
(I) ρ(O) = sup
O⊃D
λ(D).
Demonstra¸c˜ao. De fato, dado O ⊂ G aberto temos, por (3.19), para qualquer compacto
D ⊂ O que ρ(O) ≥ λ(D). Logo, ρ(O) ≥ sup
D⊂O
λ(D).
Desta forma, basta provarmos que ρ(O) ≤ sup
D⊂O
λ(D), o que por (3.17), ´e equivalente
a provar que:
(3.20) M(f) ≤ sup
D⊂O
λ(D),
para toda f ∈ F
o
O∩C
.
Seja f ∈ F
o
O∩C
.
Dado ε > 0, definamos o conjunto D
ε
= {x ∈ G; f(x) ≥ ε}. Temos que D
ε
´e fechado,
pois f ´e cont´ınua. Da´ı, como f ∈ F
C
ent˜ao D
ε
⊂ C ent˜ao D
ε
´e compacto. Al´em disso,
temos que f ∈ F
o
O
implica D
ε
⊂ O.
Definamos f
ε
por
74
f
ε
(x) := max(f(x) − ε, 0)
para todo x ∈ G.
Temos que f(x) ≥ 0, f
ε
(x) ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ G , e se x ∈ D
ε
ent˜ao f(x) < ε,
e da´ı, f
ε
(x) = 0. Logo, f
ε
∈ F
o
D
ε
. Desta forma, f
ε
∈ F
C
e para todo P ⊃ D
ε
aberto temos
que f
ε
∈ F
o
P
.
Conseq¨uentemente, aplicando (3.17) a um conjunto aberto arbitr´ario P ⊃ D
ε
, temos
ρ(P ) ≥ M(f
ε
).
Da´ı, aplicando (3.19) ao compacto D
ε
temos
λ(D
ε
) ≥ M(f
ε
),
e como D
ε
⊂ O segue que
(3.21) M(f
ε
) ≤ sup
D⊂O
λ(D).
Al´em disso,
h(x) = f(x) − f
ε
(x) = min(ε, f(x)),
donde 0 ≤ h(x) ≤ ε para todo x ∈ G. Assim, f − f
ε
≤ ε. Da´ı,
|M(f) − M(f
ε
)| = |M(f − f
ε
)| ≤||| M ||| f − f
ε
≤||| M ||| ε,
donde
(3.22) M(f
ε
) ≥ M(f)− ||| M ||| ε.
Combinando (3.21) e (3.22) temos
(3.23) M(f )− ||| M ||| ε ≤ sup
D⊂O
λ(D).
Como (3.23) ´e v´alida para ε > 0 arbitrariamente pequeno provamos (I).
(II) ρ(O) + ρ(P ) = ρ(O ∪ P ) ≤ ρ(Q), se O ∩ P = ∅ e O ∪ P ⊂ Q.
75
Demonstra¸c˜ao. Dadas f ∈ F
o
O
∩F
o
C
, g ∈ F
o
P
∩F
C
ent˜ao f + g ∈ F
o
Q
, j´a que O ∩ P = ∅ e
O ∪ P ⊂ Q. Da´ı, por (3.17),
M(f) + M(g) = M(f + g) ≤ ρ(Q),
e tomando o sup
f
M(f) e sup
g
M(g) obtemos a propriedade (II)
(III) ρ(O) + ρ(P ) ≥ λ(D), para O ∪ P ⊃ D.
Demonstra¸c˜ao. Como G ´e localmente compacto, existe um aberto Q ⊃ D tal que Q ´e
compacto e Q ⊂ O ∪ P. Assim, por (3.19), ρ(Q) ≥ λ(D). Da´ı, basta provar que
(3.24) ρ(O) + ρ(P ) ≥ M(f)
para toda f ∈ F
o
Q
∩ F
C
.
Seja f ∈ F
o
Q
∩ F
C
dada.
Temos que O
c
∩ Q, P
c
∩ Q s˜ao conjuntos fechados que est˜ao contidos em Q que ´e
compacto, e portanto, s˜ao compactos. Al´em disso, s˜ao disjuntos, pois
(O
c
∩ Q) ∩ (P
c
∩ Q) = (O
c
∩ P
c
) ∩ Q = (O ∪ P )
c
∩ Q = ∅
uma vez que, Q ⊂ O ∪ P. Ent˜ao, P
c
∩Q ´e fechado e G\(O
c
∩Q) ´e aberto com P
c
∩Q ⊂
(O
c
∩Q)
c
. Logo, pelo lema de Urysohn, existe uma fun¸c˜ao cont´ınua h : G → [0, 1] tal que
h(x) = 1 para x ∈ P
c
∩ Q, h(x) = 0 para x ∈ O
c
∩ Q.
Definamos agora as seguintes fun¸c˜oes
k(x) := f(x)h(x), l(x) := f(x)(1 − h(x)), para todo x ∈ G.
Ent˜ao, k, l ∈ F
C
e 0 ≤ k(x), l(x) ≤ 1. Al´em disso, se k(x) = 0 para algum x ∈ G ent˜ao
f(x) = 0, e como f ∈ F
o
Q
segue que x ∈ Q. Al´em disso, tamb´em teremos que h(x) = 0 o
que implica x /∈ O
c
∩ Q. Por´em, x ∈ Q ⊂ Q, conseq¨uentemente, x /∈ O
c
, isto ´e, x ∈ O.
Logo, k ∈ F
o
O
. Analogamente, l ∈ F
o
P
. Temos ent˜ao
M(f) = M(k + l) = M(k) + M(l) ≤ ρ(O) + ρ(P ),
o que prova (3.24).
(IV) λ(D) + λ(E) ≥ λ(D ∪ E).
76
Demonstra¸c˜ao. Dados os conjuntos O ⊃ D e P ⊃ E, temos que: O ∪ P ⊃ D ∪ E. Ent˜ao
por (III) segue
ρ(O) + ρ(P ) ≥ λ(D ∪ E).
Assim, fixando D, E temos para todo O ⊃ D e P ⊃ E que:
ρ(O) ≥ λ(D ∪ E) − ρ(P ).
Deste modo, tomando o inf
O⊃D
ρ(O) = λ(D) temos
λ(D) ≥ λ(D ∪ E) − ρ(P ).
Por outro lado,
ρ(P ) ≥ λ(D ∪ E) − λ(D).
Tomando novamente o inf
P ⊃E
ρ(P ) = λ(E), segue que
λ(D) + λ(E) ≥ λ(D ∪ E).
(V) λ(D) + λ(E) = λ(D ∪ E), se D ∩ E = ∅.
Demonstra¸c˜ao. Dados os conjuntos D, E com D ∩ E = ∅ pela propriedade (IV) basta
provar
(3.25) λ(D) + λ(E) ≤ λ(D ∪ E).
O que por (3.19) ´e equivalente a mostrar que
(3.26) λ(D) + λ(E) ≤ ρ(O), se O ⊃ D ∪ E.
Como G ´e localmente compacto temos que se D ∩E = ∅ ent˜ao existem dois conjuntos
abertos P ⊃ D e Q ⊃ E tais que P ∩ Q = ∅. Substituir P e Q por P ∩ O e Q ∩ O,
respectivamente, n˜ao interferir´a nos resultados podemos ent˜ao assumir P , Q ⊂ O.
Dados D ⊂ P , E ⊂ Q temos λ(D) ≤ ρ(P ), λ(E) ≤ ρ(Q), por (3.19). Al´em disso,
como P ∩ Q = ∅ e P ∪ Q ⊂ O temos
ρ(P ) + ρ(Q) ≤ ρ(O).
77
Deste modo, vale a desigualdade (3.26).
Como λ ´e positiva, finita e possui as propriedades (IV) e (V) segue que λ satisfaz as
propriedades da se¸c˜ao 1.2. Assim, seguindo o procedimento do primeiro cap´ıtulo, podemos
definir µ e ν . Comparando a propriedade (I) com (1.6), mostramos que µ assim obtido
coincide com nosso ρ. Sabemos tamb´em do lema 1.2.12 que µ(O) = ν(O) para todo
O ⊂ G aberto. Da´ı,
(3.27) ρ(O) = µ(O) = ν(O),
para todo O ⊂ G aberto.
Da regularidade de ρ resulta que ν(D) = inf
O⊃D
ρ(O). Tudo isto juntamente com
(3.19), garante que
(3.28) λ ≡ ν.
Como µ(O) = ρ(O) para todo aberto O, iremos denotar a aplica¸c˜ao resultante ν por
σ.
(VI) σ ´e uma C
i
−medida tal que
σ(O) = ρ(O), para todo aberto O ⊂ G e
σ(D) = λ(D), para todo compacto D ⊂ G
.
Demonstra¸c˜ao. Com efeito, por constru¸c˜ao σ ´e uma medida regular . As duas equa¸c˜oes
acima s˜ao reformula¸c˜oes de (3.27) e (3.28). Logo , falta apenas provarmos que σ((C
i
)
c
) =
0.
Como C
i
, G s˜ao conjuntos abertos temos, por (3.18), que ρ(C
i
) = ρ(G) ´e finito. Por
(3.27), σ(C
i
) = σ(G) ´e finito . Conseq¨uentemente, σ((C
i
)
c
) = σ( G) − σ(C
i
) = 0, como
quer´ıamos mostrar.
Tendo definido σ iremos estabelecer a correspondˆencia (3.14) em v´arios passos.
(VII) M(f) ≤
G
fdσ para toda f ∈ F
o
C
.
78
Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ F
o
C
. Dado ε > 0, tome n ∈ {0, 1, 2, . . .} tal que nε ≥ 1.
Para cada i ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1, n}, definamos f
i
(x) := min{iε, f(x)}. Ent˜ao,
f
i
∈ F
o
C
. Al´em disso, para todo x ∈ G temos
(3.29) 0 = f
o
(x) ≤ f
1
(x) ≤ f
2
(x) ≤ ··· ≤ f
n−1
(x) ≤ f
n
(x) = f(x),
e
(3.30) f
i
(x) − f
i−1
(x) =
ε, se f(x) > iε;
f(x) − (i − 1)ε, se (i − 1)ε < f (x) ≤ iε;
0, se f(x) ≤ (i − 1)ε.
com 1 ≤ i ≤ n.
Definamos tamb´em
(3.31) g
i
(x) :=
1
ε
(f
i
(x) − f
i−1
(x)) para i ∈ {1, . . . , n}
e
(3.32) O
i
:= {x ∈ G; f(x) > iε} para i ∈ {0, 1, . . . , n}.
Agora, por (3.29) e (3.30), temos
(3.33) f(x) = ε
n
i=1
g
i
(x), para todo x ∈ G.
Tamb´em, por (3.30) e (3.31), temos para todo i ∈ {0, 1, . . . , n} que
0 ≤ g
i
(x) ≤ 1, para todo x ∈ G.
Agora, (3.30), (3.31) e (3.32) mostram para cada i ∈ {0, . . . , n} que
g
i
(x) = 0 para x /∈ O
i−1
.
Da´ı, g
i
∈ F
o
O
i−1
. Deste modo, para todo i ∈ {1, . . . , n} temos que g
i
∈ F
C
j´a que todo
f
i
∈ F
C
. Conseq¨uentemente, segue de (3.1) e (VI) que
(3.34) M(g
i
) ≤ ρ(O
i−1
) = σ(O
i−1
).
De (3.32) temos
(3.35) O
o
⊃ O
1
⊃ ··· ⊃ O
n−1
⊃ O
n
= ∅.
79
Por (3.33) e (3.34), temos
(3.36) M(f) = ε
n
i=1
M(g
i
) ≤ ε
n
i=1
σ(O
i−1
).
Por´em, de (3.35)
σ(O
i−1
) = σ(O
i−1
) − σ(O
n
) =
n
j=i
(σ(O
j−1
) − σ(O
j
))
=
n
j=i
σ(O
j−1
∩ (O
j
)
c
),
n
i=1
σ(O
i−1
) =
n
j=1
jσ(O
j−1
∩ (O
j
)
c
).
Assim, por (3.36)
(3.37) M(f) ≤
n
j=1
jεσ(O
j−1
∩ (O
j
)
c
).
Por outro lado, j´a que O
j−1
∩ (O
j
)
c
s˜ao disjuntos por (3.35) para j = 1, . . . , n, temos
G
(f + ε)dσ ≥
n
j=1
O
j−1
∩O
c
j
(f + ε)dσ ≥
n
j=1
O
j−1
∩O
c
j
jε dσ
=
n
j=1
jεσ(O
j−1
∩ (O
j
)
c
).
Isto ´e,
(3.38)
G
(f + ε)dσ ≥
n
j=1
jεσ(O
j−1
∩ (O
j
)
c
).
Deste modo, segue de (3.37) e (3.38) que
(3.39) M(f) ≤
G
(f + ε)dσ,
como σ(G) = ρ(G) ´e finito, pela propriedade (VI) ou (3.19), a validade de (3.39) para
todo
ε >
0 implica a propriedade (VII).
(VIII) M(f) =
G
f dσ para toda f ∈ F
o
C
.
80
Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ F
o
C
dada.
Dado ε > 0, a aplica¸c˜ao de (3.18) com O = G permite escolher uma fun¸c˜ao h ∈ F
o
C
com
(3.40) M(h) ≥ σ(G) − ε.
Definamos para cada x ∈ G, a fun¸c˜ao g(x) := max(0, h(x) −f(x)). Ent˜ao g ∈ F
o
C
,
f(x) + g(x) = max(f(x), h(x)), para todo x ∈ G
e
(3.41) h(x) ≤ (f(x) + g(x)) ≤ 1, para todo x ∈ G.
Agora de (3.40) e (3.41) segue que
M(f) + M(g) = M(f + g) ≥ M(h) ≥ σ(G) − ε,
isto ´e,
G
f dσ +
G
g dσ =
G
(f + g)dσ ≤
G
dσ = σ(G).
Da´ı
(3.42) M(f) + M(g) ≥
G
f dσ +
G
g dσ − ε.
Por outro lado, aplicando a propriedade (VII) para f e g obtemos
(3.43) M(f) ≤
G
f dσ e M(g) ≤
G
g dσ.
Como isto ´e v´alido para to do ε > 0, demonstramos (VIII).
(IX) M(f) =
G
f dσ, para toda f ∈ F
C
.
Demonstra¸c˜ao. Seja f ∈ F
C
.
Primeiramente, assumamos que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G. Escolha um k > 0 tal que
k ≥ ||f||. Da´ı, 0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G. Ent˜ao
1
k
f ∈ F
o
C
, logo podemos aplicar
a propriedade (VI II) a
1
k
f. Deste modo, a propriedade (IX) ´e v´alida para
1
k
f
ent˜ao a
propriedade (IX) tamb´em ´e v´alida para f .
Por outro lado, suponhamos que existe x ∈ G tal que f(x) < 0. Tomemos
f
1
(x) =
1
2
(|f(x)| + f(x)), f
2
(x) =
1
2
(|f(x)| − f(x)), para todo x ∈ G.
Ent˜ao f
1
, f
2
∈ F
C
j´a que f ∈ F
C
. Como f
1
(x), f
2
(x) ≥ 0 para todo x ∈ G ent˜ao (IX)
vale para f
1
e f
2
e como f = f
1
− f
2
temos que (IX) tamb´em ´e v´alida para f .
81
Por fim, temos que as propriedades (VIII) e (IX) completam a prova do lema.
Lema 3.3.9. Se M e σ s˜ao correspondentes ent˜ao
|||M||| = σ(C
i
) = σ(C) = σ(G).
Demonstra¸c˜ao. Por (3.18), temos
(3.44) ρ(C
i
) = ρ(G) = sup
f∈F
o
C
i
M(f).
Por (3.27), os dois termos do lado esquerdo de (3.44) s˜ao iguais a σ(C
i
) e a σ(G),
respectivamente. Da´ı, segue de F
o
C
= F
o
C
i
que sup
f∈F
o
C
i
M(f) = sup
f∈F
o
C
M(f) = |||M|||, por (ii)
no lema 3.2.5. Ent˜ao (3.44) implica que
(3.45) σ(C
i
) = σ(G) = |||M|||.
Deste modo, (3.45) d´a a primeira e a terceira das equa¸c˜oes do lema. A segunda resulta
da rela¸c˜ao
σ(C
i
) ≤ σ(C) ≤ σ(G).
Observa¸c˜ao: Notemos que os resultados da se¸c˜ao 3.3, resumidos nas proposi¸c˜oes 3.3.7
e 3.3.8 conduzem a prova de uma correspondˆencia biun´ıvoca entre as m´edias e as C
i
-
medidas, que pelo lema 3.3.9 preserva normas. Este fato pode ser visto como a vers˜ao de
von Neumann do cl´assico teorema da representa¸c˜ao de Riesz.
Medidas invariantes `a esquerda
Consideraremos C ⊂ G compacto tal que C
i
= ∅.
Defini¸c˜ao 3.3.10. Uma medida J em G ´e dita invariante `a esquerda se
J(aM) = J(M), para todo a ∈ G e M ⊂ G boreliano.
Defini¸c˜ao 3.3.11. Uma C
i
-medida σ ´e dita C
i
-invariante `a esquerda se
σ(aM) = σ(M), para M, aM ⊂ C
i
borelianos.
82
Lema 3.3.12. Se J ´e uma medida invariante `a esquerda ent˜ao seu C
i
-peda¸co σ ´e uma
C
i
-medida C
i
-invariante `a esquerda.
Demonstra¸c˜ao. Seja a ∈ G tal que M, aM ⊂ C
i
ent˜ao
σ(M) = J(M) = J(aM) = σ(aM).
Proposi¸c˜ao 3.3.13. Dada uma C
i
-medida σ, C
i
-invariante `a esquerda, existe no m´aximo
uma medida J invariante `a esquerda em G cujo C
i
-peda¸co ´e σ.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que existam duas medidas invariantes `a esquerda J
1
e J
2
tais que σ ´e o C
i
-peda¸co de ambas. Ent˜ao M ⊂ C
i
implica J
1
(M) = σ(M) = J
2
(M).
Al´em disso, M ⊂ aC implica a
−1
M ⊂ C
i
, logo
J
1
(M) = J
1
(a
−1
M) = J
2
(a
−1
M) = J
2
(M).
De modo que,
(3.46) J
1
(M) = J
2
(M), para M ⊂ aC
i
.
Dado o conjunto compacto D, temos que D ⊂
k
i=1
a
i
C
i
, pois D ⊂
a∈G
aC
i
e C
i
= ∅.
Conseq¨uentemente,
(3.47) D =
k
i=1
N
i
com N
i
∩ N
j
= ∅ para i = j e N
j
⊂ a
j
C
i
.
Tome M
j
= D ∩ (a
j
C
i
), N
i
= M
i
∩
i−1
j=1
M
j
. Da´ı, por (3.46) e (3.47), temos
J
1
(D) =
k
i=1
J
1
(N
i
) =
k
i=1
J
2
(N
i
) = J
2
(D),
isto ´e,
(3.48) J
1
(D) = J
2
(D).
Como J
1
e J
2
s˜ao regulares, (3.48) garante que J
1
(M) = J
2
(M) para todos os conjuntos
de Borel M, isto ´e, J
1
≡ J
2
.
83
Proposi¸c˜ao 3.3.14. Dada uma C
i
-medida C
i
-invariante `a esquerda σ existe no m´ınimo
uma medida invariante `a esquerda J em G cujo C
i
-peda¸co ´e σ.
Demonstra¸c˜ao. Dada uma medida σ satisfazendo as hip´oteses do teorema, vamos con-
struir J explicitamente.
Seja D ⊂ G compacto.
Pelo que foi visto na prova da proposi¸c˜ao 3.3.13, podemos tomar
(3.49) D =
k
i=1
N
i
com N
i
∩ N
j
= ∅ para i = j e N
j
⊂ a
j
C
i
,
para algum k ∈ N e a
1
, . . . , a
k
∈ G.
Deste modo, a
−1
j
N
j
⊂ C
i
, e ent˜ao podemos formar
(3.50) λ(D) =
k
i=1
σ(a
−1
1
N
i
).
Vamos deduzir agora v´arias propriedades de λ.
(I) λ ´e uma fun¸c˜ao apenas de D, isto ´e, ´e independente da decomposi¸c˜ao particular
utilizada (3.49) de D .
Demonstra¸c˜ao. Consideremos duas decomposi¸c˜oes
D =
k
i=1
N
i
com N
i
∩ N
j
= ∅ para i = j e N
j
⊂ a
j
C
i
,
D =
k
i=1
N
p
com N
p
∩ N
q
= ∅ para p = q e N
p
⊂ a
p
C
i
.
Ent˜ao, N
i
⊂ D =
k
p=1
N
p
para todo i ∈ {1, . . . , k} , assim,
N
i
=
k
p=1
(N
i
∩ N
p
), a
−1
i
N
i
=
k
p=1
a
−1
i
(N
i
∩ N
p
) e ent˜ao
(3.51)
k
i=1
σ(a
−1
i
N
i
) =
k
i=1
k
p=1
σ(a
−1
i
(N
i
∩ N
p
)).
84
De modo an´alogo,
(3.52)
k
p=1
σ(a
−1
i
N
p
) =
k
i=1
k
p=1
σ(a
−1
i
(N
i
∩ N
p
)),
onde a
−1
i
(N
i
∩ N
p
) ⊂ C
i
, a
−1
p
(N
i
∩ N
p
) ⊂ C
i
e a
−1
p
(N
i
∩ N
p
) = (a
−1
p
a
i
)(a
−1
i
(N
i
∩ N
p
)).
Conseq¨uentemente, da C
i
-invariˆancia `a esquerda de σ segue
(3.53) σ(a
−1
i
(N
i
∩ N
p
)) = σ(a
−1
p
(N
i
∩ N
p
)).
Combinando (3.51), (3.52) e (3.53) obtemos
(3.54)
k
i=1
σ(a
−1
i
N
i
) =
k
p=1
σ(a
−1
p
N
p
),
o que demonstra a propriedade (I).
(II) λ(D) + λ(E) ≥ λ(D ∪ E), D e E compactos.
(III) λ(D) + λ(E) = λ(D ∪ E), se D ∩ E = ∅.
Demonstra¸c˜ao. Aplicando (3.49) a D ∪ E temos:
(3.55) D ∪ E =
k
i=1
N
i
com N
l
∩ N
j
= ∅, para l = j e N
l
⊂ a
l
C
i
.
Ent˜ao
(3.56) D =
k
i=1
N
i
∩ D,
(3.57) E =
k
i=1
N
i
∩ E,
para os mesmos k e a
1
, . . . , a
k
temos (3.49) para D e para E, respectivamente. Con-
seq¨uentemente,
(3.58)
λ(D ∪ E) =
k
i=1
σ(a
−1
i
N
i
),
λ(D) =
k
i=1
σ(a
−1
i
(N
i
∩ D)),
λ(E) =
k
i=1
σ(a
−1
i
(N
i
∩ E)).
85
Al´em disso, N
i
⊂ D∪E ent˜ao N
i
= (N
i
∩D)∪(N
i
∩E), a
−1
i
N
i
= a
−1
i
(N
i
∩D)∪a
−1
i
(N
i
∩E)
para todo i ∈ {1, . . . , k}. Da´ı,
(3.59) σ(a
−1
i
(N
i
∩ D)) + σ(a
−1
i
(N
i
∩ E)) ≥ σ(a
−1
i
N
i
),
(3.60) σ(a
−1
i
(N
i
∩ D)) + σ(a
−1
i
(N
i
∩ E)) = σ(a
−1
i
N
i
) se D ∩ E = ∅.
Assim, (3.58), (3.59) provam a propriedade (II) e, (3.58), (3.60) provam a propriedade
(III).
Como λ ´e sempre n˜ao-negativa, finita e satisfaz as propriedades (II) e (III) segue
que λ satisfaz as exigˆencias da se¸c˜ao 1.2. Al´em disso, podemos definir µ e ν seguindo o
procedimento da se¸c˜ao 1.2. Iremos denotar ν por I.
(IV) I ´e uma medida invariante `a esquerda.
Demonstra¸c˜ao. Devemos provar que dado um conjunto de Borel M ⊂ G, vale
I(M) = I(aM) para todo a ∈ G.
Como I ´e definido atrav´es de λ, basta provarmos que
(3.61) λ(aD) = λ(D) para todo a ∈ G.
Temos que se substituimos em (3.49) D, a
i
, N
i
por aD, aa
i
, aN
i
n˜ao afetar´a a
igualdade, j´a que (aa
i
)
−1
(aN
i
) = a
−1
i
N
i
. Agora (3.50) mostra que λ(aD) = λ(D), isto ´e,
que (3.61) ´e v´alida.
(V) λ(D) = σ(D), se D ⊂ C
i
.
Demonstra¸c˜ao. Se D ⊂ C
i
ent˜ao podemos escolher em (3.49) k = 1, a
1
= 1, e N
1
= D.
Logo, (3.50) prova (V).
(VI) σ ´e o C
i
-peda¸co de I.
86
Demonstra¸c˜ao. Devemos provar
(3.62) I(M) = σ(M) para todo M ⊂ C
i
boreliano.
Para isto, basta provar
(3.63) I(O) = σ(O) se O ⊂ C
i
, O aberto.
Aplicando inf
M⊂O⊂C
i
em ambos os lados de (3.63) obtemos
(3.64) inf
M⊂O⊂C
i
I(O) = inf
M⊂O⊂C
i
σ(O) se M ⊂ C
i
.
Assim, inf
M⊂O⊂C
i
I(O) ≥ inf
M⊂O
I(O) e inf
M⊂O⊂C
i
σ(O) ≥ inf
M⊂O
σ(O). Por outro lado, dado
M ⊂ O ⊂ C
i
implica que M ⊂ O∩C
i
⊂ C
i
. Assim, I(O∩C
i
) ≤ I(O) e σ(O∩C) ≤ σ(O).
Ent˜ao,
inf
M⊂O⊂C
i
I(O) ≤ inf
M⊂O
I(O) e inf
M⊂O⊂C
i
σ(O) ≤ inf
M⊂O
σ(O).
Desta forma, temos que inf
M⊂O⊂C
i
I(O) = inf
M⊂O
I(O) e inf
M⊂O⊂C
i
σ(O) = inf
M⊂O
σ(O), ou seja,
por (3.64), vale
(3.65) inf
M⊂O
I(O) = inf
M⊂O
σ(O) se M ⊂ C
i
.
Como I e σ s˜ao regulares isto implica (3.62). Falta provar (3.63), para isto tomemos
O ⊂ C
i
aberto. Pela propriedade (V) temos que
(3.66) sup
D⊂O
λ(D) = sup
D⊂O
σ(D) se O ⊂ C
i
.
Pela defini¸c˜ao de µ, temos que µ(O) = sup
D⊂O
λ(D) e, como µ(O) = ν(O) = I(O) segue
que I(O) = sup
D⊂O
λ(D). Por outro lado, como σ ´e regular temos
I(O) = sup
D⊂O
λ(D) = sup
D⊂O
σ(D) = σ(O ) para todo O ⊂ C
i
.
O que prova (3.63).
Finalmente, as propriedades (IV) e (VI) completam a prova do lema.
Defini¸c˜ao 3.3.15. Uma medida invariante `a esquerda I, e uma C
i
-medida C
i
-invariante
`a esquerda σ tal que σ ´e o C
i
-peda¸co de I, ser˜ao denominadas por correspondentes.
Nos lemas a seguir estabeleceremos conex˜oes entre as v´arias no¸c˜oes de invariˆancia `a
esquerda para m´edias e medidas.
87
Lema 3.3.16. Dada uma m´edia M seja σ a C
i
-medida correspondente, isto ´e, M(f) =
G
f dσ para toda f ∈ F
C
. Ent˜ao, M ´e invariante `a esquerda se, e somente se, σ ´e
C
i
-invariante `a esquerda.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos, inicialmente, que a m´edia M ´e invariante `a esquerda, ou
seja, para todo a ∈ G temos que
(3.67) M(f
a
) = M(f), para f
a
, f ∈ F
C
.
Se f
a
∈ F
C
ent˜ao f ∈ F
a
−1
C
. Assim, pela hip´otese de (3.67), temos que f ∈ F
C
∩
F
a
−1
C
, ou seja, f ∈ F
C∩a
−1
C
. Definamos
(3.68) M
(f) := M(f), para toda f ∈ F
C∩a
−1
C
,
(3.69) M
(f) := M(f
a
), para toda f ∈ F
C∩a
−1
C
,
ent˜ao, por (3.67), M
e M
s˜ao m´edias idˆenticas para C ∩ a
−1
C.
Sejam σ
e σ
os (C ∩ a
−1
C)
i
-peda¸cos de σ e σ
a
−1
, respectivamente.
Como M e σ s˜ao correspondentes ent˜ao σ
e σ
s˜ao os correspondentes de M
e M
,
respectivamente. Conseq¨uentemente, por (3.67), a identidade de M
e M
equivale `a
identidade de σ
e σ
, isto ´e,
σ
(M) = σ
(M) para todo M ⊂ (C ∩a
−1
C)
i
= C
i
∩ a
−1
C
i
.
Devido a (3.12) e (3.13), isto significa que
σ(M) = σ(aM) = σ
a
(M) para todo M ⊂ C
i
∩ a
−1
C
i
,
ou seja,
(3.70) σ(M) = σ
a
(M) para todo M, aM ⊂ C
i
.
Desta forma, a invariˆancia `a esquerda de M, que ´e equivalente `a validade de (3.67)
para todo a ∈ G, garante a validade de (3.70) para todo a ∈ G. Mas isto ´e o mesmo que
dizer que σ ´e C
i
-invariante `a esquerda.
Proposi¸c˜ao 3.3.17. A rela¸c˜ao
M(f) =
G
f dν para toda f ∈ F
C
estabelece uma correspondˆencia biun´ıvoca entre todas as m´edias invariantes `a esquerda M
e todas as medidas invariantes `a esquerda ν.
88
Demonstra¸c˜ao. Seja σ o C
i
-peda¸co de ν. Ent˜ao a rela¸c˜ao dada ´e equivalente a
(3.71) M(f) =
G
f dσ para toda f ∈ F
c
.
Se ν ´e invariante `a esquerda ent˜ao σ ´e C
i
-invariante `a esquerda e se σ ´e invariante `a
esquerda ent˜ao ν pode ser escolhida invariante `a esquerda. Esta correspondˆencia entre
ν e σ ´e bijetiva pelo lema 3.3.12 e da proposi¸c˜ao 3.3.13. A correspondˆencia (3.71) entre
as m´edias invariantes `a esquerda M e as medidas C
i
-invariantes `a esquerda σ tamb´em ´e
bijetiva pela defini¸c˜ao 3.3.15 junto com o lema 3.3.16 dado anteriormente.
Deste modo, tomando-se a composi¸c˜ao dessas duas aplica¸c˜oes bijetivas temos que a
correspondˆencia entre as m´edias M invariantes `a esquerda e as medidas invariantes `a
esquerda ν tamb´em ´e bijetiva.
3.4 Sistemas convergentes de m´edias aproximadamente
invariantes `a esquerda
Vamos considerar C como um conjunto compacto tal que C
i
= ∅.
Teorema 3.4.1. Seja o conjunto aberto O, 1 ∈ O. Suponhamos que existe um conjunto
N
O
tal que
(i) N
O
´e um conjunto n˜ao-vazio de m´edias O-aproximadamente invariantes `a esquerda
M em C;
(ii) Para toda f ∈ F
o
C
e todo ε > 0 existe um aberto O
o
= O
o
(f, ε) com 1 ∈ O
o
tal que
podemos obter conjuntos abertos O
e O
tais que
1 ∈ O
, O
⊂ O
o
e
se M
∈ N
O
, M
∈ N
O
ent˜ao |M
(f) − M
(f)| ≤ ε.
Ent˜ao, existe uma, e somente uma m´edia M com a seguinte propriedade:
(iii) Para toda f ∈ F
C
e todo ε > 0 existe um conjunto aberto O
1
= O
1
(f, ε) com 1 ∈ O
1
tal que
1 ∈ O
⊂ O
1
e
se M ∈ N
O
1
ent˜ao |M(f) − M
(f)| ≤ ε.
89
Demonstra¸c˜ao. A prova ser´a feita em etapas.
(I) Dada f ∈ F
o
C
existe um n´umero real ζ com a seguinte propriedade:
Se ε > 0, 1 ∈ O ⊂ O
o
(f, ε), M ∈ N
O
ent˜ao |ζ − M(f)| ≤ ε.
Demonstra¸c˜ao. Para todo sistema ε, O(aberto), M(m´edia) com
(3.72) ε > 0, 1 ∈ O ⊂ O
o
(f, ε), M ∈ N
O
,
considere o intervalo
(3.73) I(ε, O, M) = {ζ ∈ R; M(f) − ε ≤ ζ ≤ M(f ) + ε}.
Consideremos agora uma fam´ılia finita de sistemas ε
i
, O
i
, M
i
para 1 ≤ i ≤ n os quais
satisfazem (3.72). Sejam i, j ∈ {1, . . . , n} arbitr´arios. Tomemos O
∗
= O
o
(f, ε
i
) ∩O
o
(f, ε
j
)
e escolhamos M
∗
∈ N
O
∗
. Aplicando (ii) a ε
i
, O
i
, O
∗
, M
i
, M
∗
e a ε
j
, O
j
, O
∗
, M
j
, M
∗
no lugar de ε, O
, O
, M
, M
, obtemos:
|M
i
(f) − M
∗
(f)| ≤ ε
i
, |M
j
(f) − M
∗
(f)| ≤ ε
j
,
e portanto,
(3.74) M
i
(f) − ε
i
≤ M
j
(f) + ε
j
.
Como (3.74) ´e v´alida para todo i, j ∈ {1, . . . , n} implica, conjuntamente com (3.72),
que
(3.75) I(ε
1
, O
1
, M
1
) ∩ ··· ∩ I(ε
n
, O
n
, M
n
) = ∅.
Como I(ε, O, M) s˜ao conjuntos compactos segue de (3.75) que todos os intervalos
I(ε, O, M) possuem um elemento comum ζ
o
. Fixemos o sistema ε
+
, O
+
, M
+
que satisfaz
(3.72) e consideremos I(ε, O, M) ∩ I(ε
+
, O
+
, M
+
) no lugar de I(ε, O, M).
Por constru¸c˜ao temos que ζ
o
possui a propriedade explicitada na etapa I.
(II) Dada f ∈ F
C
, existe um n´umero real ζ
o
com a seguinte propriedade:
Para todo ε > 0 existe um aberto O
1
= O
1
(f, ε) tal que:
Se 1 ∈ O ⊂ O
1
, M ∈ N
O
1
ent˜ao |ζ
o
− M(f)| ≤ ε.
Demonstra¸c˜ao. Se f ∈ F
o
C
ent˜ao (II) segue de (I) com O
1
(f, ε) = O
o
(f, ε).
Suponhamos agora que f ∈ F
C
\F
o
C
.
90
Vamos assumir, inicialmente, que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ G. Escolha k > 0 tal que
k ≥ ||f||. Da´ı,
0 ≤ f(x) ≤ k para todo x ∈ G.
Ent˜ao,
1
k
f ∈ F
o
C
. Logo, (II) ´e v´alida para
1
k
f. Conseq¨uentemente, tamb´em ´e v´alida
para f com O
1
(f, ε) = O
1
1
k
f,
1
k
ε
.
Suponhamos agora que exista x
o
∈ G tal que f(x
o
) < 0. Definamos
f
(x) :=
1
2
(|f(x)| + f(x)), f
(x) :=
1
2
(|f(x)| − f(x)), para todo x ∈ G.
Ent˜ao, f
, f
∈ F
C
. Como f
(x), f
(x) ≥ 0 para todo x ∈ G ent˜ao (II) ´e v´alida para f
,
f
. Da´ı, f = f
− f
tamb´em satisfaz (II) com O
1
(f, ε) = O
1
f
,
ε
2
∩ O
1
f
,
ε
2
.
(III) O ζ
o
de (II) ´e ´unico e ser´a denotado por M(f).
Demonstra¸c˜ao. Dados f ∈ F
C
e ε > 0, sejam ζ
o
, ζ
o
amb os satisfazendo (II) com O
1
(f, ε),
O
1
(f, ε), respectivamente.
Forme O = O
1
f,
ε
2
∩ O
1
f,
ε
2
e escolha M ∈ N
O
. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao de (II) com
ζ
o
e ζ
o
resulta em |ζ
o
− ζ
o
| ≤ ε. Como esta desigualdade ´e v´alida para todo ε > 0 segue
que ζ
o
= ζ
o
.
(IV) O M de (III) ´e uma m´edia em F
C
.
Demonstra¸c˜ao. Por (II) e a afirma¸c˜ao da unicidade de (III) temos as propriedades (i) e
(ii) da defini¸c˜ao 3.2.1.
(V) A m´edia M satisfaz (iii). Para qualquer f ∈ F
o
C
podemos escolher O
1
(f, ε) =
O
o
(f, ε).
Demonstra¸c˜ao. A prova segue de (II) e (I).
(VI) A m´edia M ´e a ´unica m´edia que satisfaz (iii).
Demonstra¸c˜ao. Segue de (III), pois (iii) coincide com (II).
(VII) A m´edia M ´e invariante `a esquerda.
91
Demonstra¸c˜ao. Seja P ⊂ G aberto com 1 ∈ P .
Sejam a ∈ G e f tais que f, f
a
∈ F
o
C
. Dado ε > 0 tomemos
O = P ∩ O
1
f,
ε
2
∩ O
1
f
a
,
ε
2
e escolhamos M ∈ N
O
.
Ent˜ao, M ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda, da´ı
|M(f
a
) − M(f)| ≤ k
o
Osc
O
(f) ≤ k
o
Osc
P
(f).
Logo, aplicando (iii) a f e a f
a
obtemos:
|M(f
a
) − M(f)| ≤ k
o
Osc
P
(f) + ε.
Que ´e v´alida para todo ε > 0, por essa raz˜ao
|M(f
a
) − M(f)| ≤ k
o
Osc
P
(f).
Portanto, M ´e aproximadamente P -invariante `a esquerda.
Como o aberto P foi tomado arbitrariamente segue, do lema 3.3.3, que M ´e invariante
`a esquerda.
Enfim, pelas etapas (IV), (V), (VI) e (VII) completamos a prova.
Nota : No teorema acima faltou analisar o caso em que M ≡ 0, neste caso sua medida
correspondente I ≡ 0. Se isto acontece ent˜ao a invariˆancia ´e v´alida.
Excluiremos este caso exigindo a existˆencia de α = α (O) > 0 fixo tal que
(3.76) |||M||| ≥ α > 0 para toda M ∈ N
O
.
Teorema 3.4.2. Suponha que sob as hip´oteses do teorema3.4.1 dado anteriormente, ex-
istem f
o
∈ F
C
e β
o
> 0 fixos com a seguinte propriedade:
Para todo aberto O com 1 ∈ O existe um aberto O
com 1 ∈ O
⊂ O e uma m´edia
M
= M
(O) ∈ N
O
tais que
|M
(f
o
)| ≥ β
o
> 0.
Ent˜ao para M, do teorema 3.4.1, tamb´em vale
|M(f
o
)| ≥ β
o
> 0,
e conseq¨uentemente, M n˜ao ´e identicamente nula.
92
Demonstra¸c˜ao. Dado ε > 0 tomemos o aberto O = O
∩ O
1
(f, ε). Ent˜ao,
|M(f
o
)| ≥ β
o
− ε.
Como essa desigualdade ´e v´alida para todo ε > 0 ent˜ao |M(f
o
)| ≥ β
o
, como quer´ıamos
provar.
3.5 Eq¨uidistribui¸c˜ao
Seja G um grupo topol´ogico, C ⊂ G compacto fixo e 1 ∈ O ⊂ G aberto.
Defini¸c˜ao 3.5.1. Um conjunto
(3.77) F
(m)
= {a
1
, . . . , a
m
} ⊂ C (m ∈ N)
´e O-eq¨uidistribu´ıdo (1 ∈ O) se, e s´o se, possui a seguinte propriedade: Para todo a ∈ G
existe uma permuta¸c˜ao que depende de a {1, . . . , m} de {1, . . . , m}, tal que para todo
i ∈ {1, 2, . . . , m}, vale
(A) a
i
O ∩ aa
−1
i
O = ∅, ou
(B) a
i
O ∩ (aC)
c
= ∅ e a
−1
i
O ∩ (a
−1
i
C)
c
= ∅.
Lema 3.5.2. Seja o conjunto aberto P tal que P ⊂ C e 1 ∈ P . Ent˜ao existem um aberto
O
o
= O
o
(P ) com 1 ∈ O
o
e β
o
= β
o
(C, P ) > 0 com as seguintes propriedades:
Se o F de (3.77) dado acima ´e O-eq¨uidistribu´ıdo com 1 ∈ O ⊂ O
o
ent˜ao
#{i ∈ {1, 2, . . . , m}; a
i
∈ P } ≥ β
0
m.
Demonstra¸c˜ao. Como (x, y, z) → xyz
−1
de G ×G ×G
−1
em G ´e cont´ınua, e como 1 ∈ P ,
existe O
o
= O
o
(P ) com 1 ∈ O
o
e O
o
O
o
O
−1
o
⊂ P . Conseq¨uentemente,
(3.78) 1 ∈ O
o
⊂ O
o
O
o
⊂ O
o
O
o
O
−1
o
⊂ P ⊂ C.
Temos que C ⊂
d∈C
dO
o
, onde cada dO
o
aberto. Ent˜ao
(3.79) C ⊂
k
n=1
d
n
O
o
,
onde k e os d
1
, . . . , d
k
dependem de C e P .
93
Consideremos agora um aberto O com 1 ∈ O ⊂ O
o
e o conjunto F da forma (3.77),
O-eq¨uidistribu´ıdo.
Para todo a
i
∈ C temos, por (3.79), que
k
n=1
#{i ∈ {1, . . . , m}; a
i
∈ d
n
O
o
} = m.
Da´ı, existe um n ∈ {1, . . . , k} tal que
(3.80) #{i ∈ {1, . . . , m}; a
i
∈ d
n
O
o
} ≥
m
k
,
pois em caso contr´ario, ter´ıamos que
k
n=1
#{i ∈ {1, . . . , m}, a
i
∈ d
n
O
o
} <
k
n=1
m
k
≤ m, o
que negaria C ⊂
k
n=1
d
n
O
o
.
Consideremos i ∈ {1, . . . , m} tal que a
i
∈ d
n
O
o
. Devemos ter uma das alternativas
(A) e (B) dadas na defini¸c˜ao anterior.
Se ocorre (B) ent˜ao a
i
O\d
n
C = ∅. Como
a
i
O ⊂ d
n
O
o
O ⊂ d
n
O
o
O
o
⊂ d
n
C, por (3.78),
obtemos assim uma contradi¸c˜ao.
Da´ı nos resta (A). Isto implica a
i
O ∩ d
n
a
−1
i
O = ∅. Conseq¨uentemente,
a
−1
i
∈ d
−1
n
a
i
OO
−1
⊂ d
−1
n
(d
n
O
o
)OO
−1
= O
o
OO
−1
⊂ O
o
O
o
O
−1
o
⊂ P, por (3.78).
De fato, como a
i
O ∩d
n
a
−1
i
0 = ∅ ent˜ao existe x ∈ a
i
O ∩d
n
a
−1
i
O, ou seja, existem o, o
∈ O
tais que x = a
i
o e x = d
n
a
−1
i
o
⇒ d
n
a
¯
i
o
= a
i
o ⇒ a
−1
i
= d
−1
n
a
i
o ·o
−1
∈ d
−1
n
a
i
OO
−1
. Vimos
ent˜ao que:
(3.81) a
i
∈ d
n
O ⇒ a
−1
i
∈ P.
Conseq¨uentemente,
(3.82) #{j ∈ {1, . . . , m}; a
j
∈ P } ≥ #{i ∈ {1, . . . , m}; a
i
∈ d
n
O}
Combinando (3.80) e (3.82) temos:
#{j ∈ {1, . . . , m}; a
j
∈ P }
m
≥
1
k
=
1
k(C, P)
·
Deste modo, podemos tomar β
o
= β
o
(C, P ) =
1
k
=
1
k(C, P)
> 0 e a prova est´a completa.
94
Para apresentar exemplos de eq¨uidistribui¸c˜ao vamos utilizar um resultado cl´assico,
de natureza combinat´oria, conhecido Lema de Hall, Maak e Kakutani enunciado abaixo.
Tendo em vista nossos prop´ositos e a extens˜ao de sua prova omitiremo-la. Para maiores
detalhes ver [6].
Lema de Hall, Maak e Kakutani.
Sejam
(a) A =
m
i=1
A
i
e B =
n
j=1
B
j
(m, n ∈ N) para A
i
, B
j
⊂ G,
se para cada s temos que
(b)
j∈J
(s+1)
B
j
⊆
i∈I
(s)
A
i
e
(c)
i∈I
(s+1)
A
i
⊆
j∈J
(s)
B
j
onde I
(k)
e J
(k)
denotam conjuntos finitos com exatamente k elementos.
Ent˜ao podemos encontrar
(A) uma permuta¸c˜ao {p(1), . . . , p(m)} de {1, . . . , m};
(B) uma permuta¸c˜ao {q(1), . . . , q(n)} de {1, . . . , n};
(C) p ∈ {1, 2, . . . , min(m, n)},
tais que:
(α) A
p(k)
∩ B
q(k)
= ∅ para k = 1, 2, . . . , p,
(β) A
i
⊆ B ⇒ i = p(k) para algum k = 1, . . . , p,
(γ) B
j
⊆ A ⇒ j = q(k) para algum k = 1, . . . , p.
Primeiro exemplo de eq¨uidistribui¸c˜ao
Consideremos um compacto C e um aberto O. Assumiremos que 1 ∈ O. Como C ⊂
a∈C
aO temos que para um conjunto finito adequado C ⊂
m
i=1
a
i
O. Tome
(3.83) F
(m)
= {a
1
, . . . , a
m
} ⊂ C (m ∈ N)
tal que
(3.84) C ⊂
m
i=1
a
i
O.
95
Vemos que (3.84) ´e equivalente a
(3.85) C =
m
i=1
M
i
com M
i
= C ∩ (a
i
O).
Temos agora:
Lema 3.5.3. Escolha o F de (3.83) com o menor m poss´ıvel que satisfaz (3.84)(isto ´e,
(3.85)). Este F ´e O-eq¨uidistribu´ıdo.
Demonstra¸c˜ao. Usemos (3.85).
Temos, para a arbitr´ario, que
(3.86) C =
m
i=1
M
i
e aC =
m
i=1
aM
i
.
Aplicando o Lema de Hall, Maak e Kakutani em (3.86), tomando na primeira condi¸c˜ao
m = n, A = C, B = aC, A
i
= M
i
, B
i
= aM
i
. Vamos provar que as condi¸c˜oes (b) e (c)
do Lema de H-M-K s˜ao satisfeitas, isto ´e, que
(3.87)
i∈I
(s)
M
i
⊃
i∈J
(s+1)
aM
i
e
(3.88)
i∈J
(s)
aM
i
⊃
i∈I
(s+1)
M
i
Como (3.87) pode ser obtida de (3.88) multiplicando ambos os lados por a
−1
e sub-
stituindo a por a
−1
basta considerar (3.88). Assumamos o oposto, isto ´e que (3.88) ´e
violada. Ent˜ao,
i∈J
(s)
aM
i
⊃
i∈I
(s+1)
M
i
;
por (3.86), temos
C ⊂
i∈{1,...,m}−I
(s+1)
M
i
i∈J
(s)
aM
i
,
pois
C =
m
i=1
M
i
=
i∈{1,...,m}−I
(s+1)
M
i
i∈I
(s+1)
M
i
⊂
i∈{1,...,m}−I
(s+1)
M
i
i∈J
(s)
aM
i
.
96
Ent˜ao, por (3.85),
C ⊂
i∈{1,...,m}−I
(s+1)
a
i
O
∪
i∈J
(s)
aa
i
O
.
Denotemos os a
i
com i ∈ {1, . . . , m}−I
(s+1)
e os aa
i
com i ∈ J
(s)
em alguma ordem,
por ¯a
1
, . . . , ¯a
m−1
. Temos ent˜ao que C ⊂
m−1
k=1
¯a
k
O, contradizendo a minimalidade de m em
(3.84).
Desta forma, o lema de Hall, Maak e Kakutani ´e v´alido para (3.86).
Existem ent˜ao duas permuta¸c˜oes {p(1), . . . , p(m)} e {q(1), . . . , q(m)} de {1, . . . , m}
com p ∈ {1, . . . , m} tais que :
(3.89) M
p(k)
∩ (aM
q(k)
) = ∅ para k = 1, . . . , p,
(3.90) se M
i
⊂ aC ent˜ao i = p(k) para k = 1, . . . , p,
(3.91) se aM
j
⊂ C ent˜ao j = q(k) para k = 1, . . . , p.
Combinando (3.85) e (3.89), obtemos
(3.92) a
p(k)
O ∩ aa
q(k)
O = ∅ para k = 1, 2, ··· , p.
Agora, a
p(k)
O ⊂ aC ou a
q(k)
O ⊂ a
−1
C com k ∈ {1, . . . , m} o que, por (3.85), implica
M
p(k)
⊂ aC ou aM
q(k)
⊂ C. Assim, por (3.90) e (3.91), isto ´e v´alido para todo k ∈
{1, 2, ··· , p}. Vemos ent˜ao que
(3.93) a
p(k)
O\aC = ∅ e a
q(k)
O\a
−1
C = ∅
para p + 1 ≤ k ≤ m.
Deste modo, por (3.92) e (3.93), se definirmos a permuta¸c˜ao {
¯
1, . . . , ¯m} por
¯
p(k) =
q(k) para 1 ≤ k ≤ m, podemos garantir as alternativas de (A) e (B) na defini¸c˜ao de
O−eq¨uidistributividade.
97
Segundo exemplo de eq¨uidistribui¸c˜ao
Consideremos um compacto C e um aberto O tais que 1 ∈ O e bO ⊂ C para algum b, e
tomemos os conjuntos finitos
(3.94) G
(n)
= {b
1
, . . . , b
n
} ⊂ C (n ∈ N)
para os quais temos
(3.95) C ⊃
n
j=1
b
j
O,
onde os conjuntos b
j
O s˜ao disjuntos. Notemos que (3.95) ´e equivalente a
(3.96) C =
n
j=1
M
j
com M
j
⊃ b
j
O.
Tais conjuntos G
n
existem em virtude das hip´oteses originais: G
(1)
= {b}. Afirmamos
agora o seguinte lema:
Lema 3.5.4. Escolha o G
n
de (3.94) com o maior n poss´ıvel satisfazendo (3.95) . Isto
´e poss´ıvel pois o conjunto dos n
s em quest˜ao ´e limitado. Este conjunto G ´e OO
−1
O−
eq¨uidistribu´ıdo.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, iremos provar que o conjunto {n; G
(n)
de (3.94) satisfaz
(3.95)} ´e limitado.
Como x
−1
y ´e cont´ınua, podemos escolher um aberto P com 1 ∈ P e P P
−1
⊂ O.
Aplicando as considera¸c˜oes do in´ıcio do primeiro exemplo para P no lugar de O, obtemos
(3.97) C ⊂
m
i=1
a
i
P
para um certo m o qual vamos considerar como fixado.
Consideremos agora (3.95), assumindo n > m. Ent˜ao, como 1 ∈ O temos que
b
j
∈ C para todo j ∈ {1, 2, ··· , n}, pois b
j
∈ b
j
O ⊂ C. Da´ı, deve existir dois j
1
, j
2
em {1, 2, ··· , n} distintos com b
j
1
, b
j
2
∈ a
i
P para o mesmo i ∈ {1, 2, . . . , m}. Conseq¨uen-
temente, a
i
∈ b
j
1
P
−1
. Assim, b
j
2
∈ a
i
P ⊂ b
j
1
P
−1
P ⊂ b
j
1
O. Como b
j
2
∈ b
j
2
O, isto
contradiz b
j
1
O ∩ b
j
2
O = ∅, por (3.95).
98
Desta forma, n ≤ m. Mostrando que o conjunto dos n
s com essa propriedade ´e
limitado.
Vamos mostrar agora que G ´e OO
−1
O-eq¨uidistribu´ıdo.
Usando a forma (3.95), consideremos um b ∈ G para o qual nem
(3.98) bO\C = bO ∩ C
c
= ∅
nem
(3.99) b ∈ b
j
OO
−1
para algum j ∈ {1, 2, ··· , n}.
Um tal b satisfaz bO ⊂ C e b /∈ b
j
OO
−1
, bO ∩ b
j
O = ∅ para todo j ∈ { 1 , 2, ··· , n}. Da´ı,
(3.100) C ⊃
n
j=1
b
j
O
bO,
e ent˜ao de (3.100) ter´ıamos (3.95) com n+1, onde b
(n+1)
= b, contradizendo a propriedade
de maximalidade de n. Deste modo, todo b satisfaz (3.98) ou (3.99), isto ´e, se definirmos
(3.101) C
=
n
j=1
b
j
OO
−1
ent˜ao
(3.102) b /∈ C
implica bO\C = ∅.
Como b /∈ C implica que bO\C = ∅, podemos refor¸car (3.102) para
(3.103) b /∈ C ∩ C
implica bO\C = ∅.
Temos agora, devido a (3.95), (3.101) e ao fato que b
j
O ⊂ b
j
OO
−1
com 1 ∈ O, as
rela¸c˜oes
n
j=1
b
j
O ⊂
n
j=1
b
j
OO
−1
= C
,
⊂ C;
da´ı,
(3.104)
n
j=1
b
j
O ⊂ C ∩C
⊂
n
j=1
b
j
OO
−1
.
99
Conseq¨uentemente, podemos colocar
(3.105) C ∩ C
=
n
j=1
N
j
com b
j
O ⊂ N
j
⊂ b
j
OO
−1
.
Temos para qualquer a ∈ G que
(3.106) C ∩ C
=
n
j=1
N
j
, a(C ∩ C
) =
n
j=1
aN
j
.
Aplicando o Lema de Hall, Maak e Kakutani com (3.106) no lugar da sua primeira
condi¸c˜ao, ou seja, m = n, A = C ∩ C
, B = a(C ∩ C
), A
j
= N
j
e B
j
= aN
j
. Provemos
que as respectivas segunda e terceira condi¸c˜oes dadas no teorema s˜ao equivalentes:
(3.107)
j∈I
(s)
N
j
j∈J
(s+1)
aN
j
,
(3.108)
j∈J
(s)
aN
j
j∈I
(s+1)
N
j
.
Como (3.108) deriva de (3.107) multiplicando ambos os lados por a
−1
e ent˜ao substi-
tuindo a por a
−1
, basta para considerar (3.107). Assuma que (3.107) ´e falsa. Ent˜ao
j∈I
(s)
N
j
⊃
j∈J
(s+1)
aN
j
;
Da´ı, de (3.106) temos
C ⊃ C ∩ C
=
n
j=1
N
j
=
j∈{1,...,n}−I
(s)
N
j
j∈I
(s)
N
j
⊃
j∈{1,...,n}−I
(s)
N
j
j∈J
(s+1)
aN
j
,
ent˜ao, por (3.105),
(3.109) C ⊃
j∈{1,...,n}−I
(s)
b
j
O
j∈J
(s+1)
ab
j
O
.
100
Denote os b
j
com j ∈ {1, . . . , n} − I
(s)
e os ab
j
com j ∈ J
(s+1)
em alguma ordem,
digamos que seja
¯
b
1
, . . . ,
¯
b
n+1
. Ent˜ao
(3.110) C ⊃
n+1
k=1
¯
b
k
O,
contradizendo a maximilidade de n na forma (3.95).
Assim, o lema de Hall, Maak e Kakutani ´e v´alido para (3.106).
Ent˜ao temos duas permuta¸c˜oes {p(1), . . . , p(n)} e {q(1), . . . , q(n)} junto com um p ∈
{1, . . . , n} tais que as equivalˆencias de (α) − (γ) s˜ao v´alidas para (3.106), ou seja,
(3.111) N
p(k)
∩ aN
q(k)
= ∅ para 1 ≤ k ≤ p,
(3.112) se N
j
⊂ a(C ∩ C
), ent˜ao j = p(k) para 1 ≤ k ≤ p,
(3.113) se aN
j
⊂ C ∩ C
, ent˜ao j = q(k) para 1 ≤ k ≤ p.
Combinando (3.105) e (3.111) obtemos
(3.114) (b
p(k)
OO
−1
) ∩ (b
q(k)
OO
−1
) = ∅ para 1 ≤ k ≤ p.
Mas, b
p(k)
OO
−1
⊂ a(C∩C
) ou b
q(k)
OO
−1
⊂ a
−1
(C∩C
) o que implica, por (3.105), que
N
p(k)
⊂ a(C ∩C
) ou aN
q(k)
⊂ C ∩C
para todo 1 ≤ k ≤ p, por (3.112) e (3.113). Por outro
lado, b
p(k)
OO
−1
⊂ a(C ∩C
) ou b
q(k)
OO
−1
⊂ a
−1
(C ∩C
) significa que a
−1
b
p(k)
OO
−1
⊂ C ∩
C
ou ab
q(k)
OO
−1
⊂ C ∩C
. Da´ı, por (3.103), eles s˜ao implicados por a
−1
b
p(k)
OO
−1
O ⊂ C
ou ab
q(k)
OO
−1
O ⊂ C, isto ´e, por b
p(k)
OO
−1
O ⊂ aC ou b
q(k)
OO
−1
O ⊂ a
−1
C. Vemos ent˜ao
que
(3.115) b
p(k)
OO
−1
O\aC = ∅ e b
q(k)
OO
−1
O\a
−1
C = ∅
para p + 1 ≤ k ≤ n.
Deste modo, a alternativa (A) ou (B) na defini¸c˜ao de eq¨uidistribui¸c˜ao est´a garantida para
OO
−1
O no lugar de O, por (3.114) e (3.115), lembremos que OO
−1
⊂ OO
−1
O j´a que 1 ∈ O,
se definimos a permuta¸c˜ao {
¯
1, . . . , ¯n} por p(k) = q(k) para todo k ∈ {1, 2, ··· , n}.
101
3.6 Exemplos de M´edias
Consideremos C compacto com C
i
= ∅, e um conjunto finito arbitr´ario
(3.116) F
(m)
= {a
1
, . . . , a
m
} ⊂ C.
Para α
i
≥ 0, i = 1, . . . , m fixados, definamos para toda f ∈ F
C
(3.117) M(f) :=
m
i=1
α
i
f(a
i
) com α
i
≥ 0 para todo i ∈ {1, . . . , m}
ent˜ao M ´e uma m´edia em F
C
. E definindo
(3.118) N(f) :=
1
m
m
i=1
f(a
i
), para toda f ∈ F
C
que ´e um caso especial de (3.117), tamb´em ´e uma m´edia em F
C
.
Os lemas a seguir estabelecer˜ao algumas propriedades dessas m´edias.
Lema 3.6.1. Se o conjunto F
m
de (3.116) ´e O-eq¨uidistribu´ıdo ent˜ao a m´edia N de (3.118)
´e aproximadamente O-invariante `a esquerda.
Demonstra¸c˜ao. Consideremos um conjunto F
m
O-eq¨uidistribu´ıdo de (3.116), e formemos
a m´edia N de (3.118). Devemos provar que para a constante absoluta k
0
:
|N(f
a
) − N(f)| ≤ k
o
Osc
O
(f) quando f, f
a
∈ F
o
C
.
Consideraremos k
0
= 2.
Sejam a ∈ G e f tais que f, f
a
∈ F
o
C
. Visto que F ´e O-eq¨uidistribu´ıdo, discutiremos
as duas alternativas de (A) e (B) da defini¸c˜ao de eq¨uidistribui¸c˜ao:
Para (A): Neste caso, existe z
i
∈ a
i
O ∩ aa
−1
i
O. Ent˜ao, a
−1
i
z
i
, a
−1
i
a
−1
z
i
∈ O, da´ı,
|f(a
i
) − f(z
i
)| ≤ Osc
O
(f) e |f(aa
−1
i
) − f(z
i
)| ≤ Osc
O
(f),
e ent˜ao
(3.119) |f(a
i
) − f(aa
−1
i
)| ≤ 2 · Osc
O
(f).
102
Para (B): Neste caso, existem u
i
∈ (a
i
O)\(aC) e v
i
∈ (a
−1
i
O)\(a
−1
C). Ent˜ao a
−1
i
u
i
,
a
−1
i
a
−1
av
i
= a
−1
i
v
i
∈ O e tamb´em, u
i
/∈ aC e av
i
/∈ C. Deste modo,
|f(a
i
) − f(u
i
)| ≤ Osc
O
(f) e |f(aa
−1
i
) − f(av
i
)| ≤ Osc
O
(f).
Como f
a
, f ∈ F
o
C
ent˜ao f(u
i
) = 0 = f(av
i
). Conseq¨uentemente, (3.119) ocorre.
Como (3.119) ocorre para todo i ∈ {1, . . . , m} e
N(f
a
) − N(f) =
1
m
m
i=1
f(a
i
) −
1
m
m
i=1
f(aa
i
)
=
1
m
m
i=1
f(a
i
) −
1
m
m
i=1
m
i=1
f(aa
−1
i
)
=
1
m
m
i=1
(f(a
i
) − f(aa
−1
i
)),
ent˜ao
(3.120) |N(f
a
) − N(f)| ≤ 2Osc
O
(f),
o que completa a prova.
Lema 3.6.2.
(i) Existe uma fun¸c˜ao f
o
∈ F
o
C
a qual n˜ao ´e identicamente nula.
(ii) Fixado f
o
∈ F
o
C
por (i), existe um aberto O
o
= O
o
(f
o
) com 1 ∈ O
o
e γ
o
= γ
o
(f
o
) >
0, com a seguinte propriedade:
Se 1 ∈ O ⊂ O
o
e F
(m)
de (3.116) ´e O-eq¨uidistribu´ıdo ent˜ao para a m´edia N de (3.118)
temos
N(f
o
) ≥ γ
o
> 0.
Demonstra¸c˜ao. De (i): Como C
i
= ∅ podemos tomar a
o
∈ C
i
. Assim, pelo lema de
Urysohn, existe uma fun¸c˜ao cont´ınua f
o
tal que
(I) f
o
(a
o
) = 1,
(II) f
o
(x) = 0 para todo x /∈ C
i
,
(III) 0 ≤ f
o
(x) ≤ 1 para todo x ∈ G.
103
Logo, f
o
´e a fun¸c˜ao procurada.
De (ii): Seja f
o
satisfazendo (i). Ent˜ao, ||f
o
|| > 0.
Definamos o conjunto P
o
:=
x ∈ G; f
o
(x) >
1
2
||f
o
||
. Temos que P
o
´e aberto, pois f
o
´e cont´ınua, P
o
⊂ C e P
o
= ∅.
Aplicando o lema 3.5.2 a P
o
e assumindo 1 ∈ O ⊂ O
o
= O
o
(P
o
) = O
o
(f
o
) temos que
N(f
0
) =
1
m
m
i=1
f
o
(a
i
) ≥
1
m
p(m)
i=p(1)
f
o
(a
i
), onde {a
p(1)
, a
p(2)
, . . . , a
p(m)
} = P
o
∩ F
(m)
.
≥
1
m
p(m)
i=p(1)
1
2
||f
o
||
=
1
2
||f
o
||
p(m)
m
=
1
2
||f
o
||β
o
,
onde β
o
= β
o
(C, P
o
) =
p(m)
m
.
Temos para γ
o
= γ
o
(f
o
) =
1
2
||f
o
||β
o
> 0, a desigualdade desejada N(f
o
) ≥ γ
o
.
Com o aux´ılio dos dois lemas acima, obtemos:
Lema 3.6.3. Consideremos a fun¸c˜ao f
o
de (i) do lema 3.6.2, e os correspondentes O
o
e
γ
o
de (ii) do lema 3.6.2.
Suponhamos que 1 ∈ O ⊂ O
o
e que o F
(m)
de (3.116) ´e O-eq¨uidistribu´ıdo. Tomemos
a m´edia N de (3.118), e definamos
(3.121) M(f) :=
γ
o
N(f
o
)
N(f), para toda f ∈ F
C
.
Ent˜ao, temos
(i) M ´e uma m´edia da forma (3.117);
(ii) M ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda com k
o
= 2, como no lema 3.6.1;
(iii) |||M||| ≤ 1;
(iv) M(f
o
) = γ
o
.
Demonstra¸c˜ao. De (i): De fato, pois N tem a forma (3.118).
De (ii): Como N ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda com k
o
= 2, pelo lema 3.6.1
, segue que M ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda, pois o fator
γ
o
N(f
o
)
´e menor
ou igual a 1, por (ii) do lema 3.6.2.
104
De (iii): Como N tem a forma (3.118) ent˜ao |N(f)| ≤ ||f|| para toda f ∈ F
C
, ou seja,
|||N||| ≤ 1. O que implica |||M||| ≤ 1, j´a que o fator
γ
o
N(f
o
)
´e menor ou igual a 1 .
De (iv): Segue da defini¸c˜ao de M.
Iremos agora definir para todo conjunto aberto O, 1 ∈ O, os conjuntos M
O
os quais
possuem as mesmas propriedades dos conjuntos N
O
descritos nos teoremas 3.4.1 e 3.4.2.
Defini¸c˜ao 3.6.4. Consideremos f
o
, O
o
e γ
o
como nos lemas 3.6.2, 3.6.3.
Seja o aberto O tal que 1 ∈ O ⊂ O
o
.
Consideremos todos os conjuntos O-eq¨uidistribu´ıdos F
(m)
, como foi visto em (3.116),
as m´edias N, vistas em (3.118), e a m´edia
M(f) =
γ
o
N(f
o
)
N(f).
Ent˜ao, M
O
denotar´a o conjunto de todas estas m´edias M.
Defini¸c˜ao 3.6.5. Dado um aberto O com 1 ∈ O, definiremos M
O
por M
O
:= M
O∩O
o
.
Lema 3.6.6. M
O
satisfaz a condi¸c˜ao (i) no teorema 3.4.1 e tamb´em a exigˆencia adicional
do teorema 3.4.2.
Demonstra¸c˜ao. Para (i) no teorema 3.4.1: Temos que M
O
= M
O∩O
o
= ∅, pois existem
conjuntos F , O ∩ O
o
-eq¨uidistribu´ıdos, em virtude dos lemas nas se¸c˜oes 3.5 e 3.6, ou
equivalentemente pela discuss˜ao na se¸c˜ao 3.7. Todo M ∈ M
O
= M
O∩O
o
´e uma m´edia
aproximadamente O ∩O
o
-invariante `a esquerda, pelo lema 3.6.3 , e por conseguinte, uma
m´edia aproximadamente O -invariante `a esquerda.
Para o teorema 3.4.2: Por (iv) no lema 3.6.3, temos para todo M ∈ M
O
= M
O∩O
o
que M(f
o
) = γ
o
> 0.
3.7 M´edias e fun¸c˜oes cont´ınuas de 2-vari´aveis
Defini¸c˜ao 3.7.1. F
CC
´e o conjunto das fun¸c˜oes de 2-vari´aveis f que possuem as seguintes
propriedades:
(i) f : G × G → R
(
x,u
)
→
f
(
x,u
)
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua de 2-vari´aveis;
(ii) f (x, u) = 0 se x /∈ C ou u /∈ C.
105
Nota¸c˜ao: Seja M : f ∈ F
C
→ M(f) ∈ R uma m´edia. Denotaremos M(f) por M
x
(f)
para explicitar que a m´edia M est´a aplicada na fun¸c˜ao f cuja vari´avel dependente ´e x.
Defini¸c˜ao 3.7.2. Duas m´edias M, N : F
C
→ R s˜ao comutativas, se :
Para toda f ∈ F
CC
, segue que
(i) Fixado x ∈ G, considerando a fun¸c˜ao de u
f
x
: G → R
u → f
x
(u) = f(x, u), a qual pertence a F
C
, pois f ∈ F
CC
,
temos que a fun¸c˜ao definida por
K: G → R
x → K(x) = N
u
(f
x
)
pertence a F
C
.
(ii) Fixado u ∈ G, considerando a fun¸c˜ao de x
f
u
: G → R
x → f
u
(x) = f(x, u), que pertence a F
C
, pois f ∈ F
CC
,
temos que a fun¸c˜ao dada por
L: G → R
u → L(u) = M
x
(f
u
)
pertence a F
C
.
(iii) L(K(x))) = K(L(u)) para todo (x, u) ∈ G × G.
Lema 3.7.3. Quaisquer duas m´edias M e N dadas por (3.117) e (3.118), respectivamente,
s˜ao comutativas.
Demonstra¸c˜ao. Para toda f ∈ F
C
, sejam
(3.122) M(f) =
m
i=1
α
i
f(a
i
)
e
(3.123) N(f) =
p
j=1
β
j
f(b
j
),
106
onde α
i
, β
j
≥ 0 e os a
i
, b
j
∈ C s˜ao fixos.
Ent˜ao, para toda fun¸c˜ao f ∈ F
CC
temos
(3.124) N
u
(f
x
) =
p
j=1
β
j
f(x, b
j
),
(3.125) M
x
(f
u
) =
m
i=1
α
i
f(a
i
, u),
(3.126) M
x
(N
u
(f
x
)) =
m
i=1
p
j=1
α
i
β
j
f(a
i
, b
j
) = N
u
(M
x
(f
u
)),
provando (i), (ii) e (iii) na defini¸c˜ao 3.7.2.
Corol´ario 3.7.4. Quaisquer duas m´edias M e N pertencentes a quaisquer dois conjuntos
M
O
e M
O
s˜ao comutativas.
Demonstra¸c˜ao. Segue do lema 3.7.3, e do item (i) do lema 3.6.3.
3.8 Compara¸c˜ao de duas m´edias aproximadamente
O-invariantes `a esquerda
Consideraremos C compacto tal que C
i
= ∅.
Como (x, y) → xy ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua podemos escolher um aberto P
∗
com
1 ∈ P
∗
e P
∗
P
∗
⊂ C. Seja O
∗
= P
∗
P
−1
∗
ent˜ao
(3.127) 1 ∈ O
∗
, O
∗
= O
−1
∗
e O
∗
O
∗
⊂ C.
Este O
∗
estar´a fixado na discuss˜ao a seguir.
Dado um aberto P ⊂ O
∗
, pelo lema 3.1.7 , temos que existe um aberto O∗ = O
∗
(C, P )
tal que 1 ∈ O∗ ⊂ P . Tomemos agora uma aberto O tal que
(3.128) 1 ∈ O ⊂ O
∗
⊂ P ⊂ O
∗
.
Fixemos os abertos O e P dados acima.
107
Nesta se¸c˜ao tomaremos duas m´edias M e N sobre as quais iremos assumir que:
(3.129) M, N s˜ao m´edias aproximadamente O-invariantes `a esquerda
(com k
o
= 2 como visto nos lemas 3.6.1 e 3.6.3),
(3.130) |||M|||, |||N||| ≤ 1 e
(3.131) M e N s˜ao comutativas consigo mesmas e entre si.
Seja F
o
O
∗
o conjunto que foi definido na se¸c˜ao 3.1.
Por (3.127),
(3.132) F
o
O
∗
⊂ F
o
C
⊂ F
C
.
Para toda fun¸c˜ao f definamos
(3.133)
∨
f(x) := f(x
−1
) para todo x ∈ G.
Ent˜ao, como O
−1
∗
= O
∗
, por (3.127),
(3.134) f ∈ F
o
O
∗
se, e s´o se,
∨
f ∈ F
o
O
∗
.
Com isso, resulta de (3.132) que f,
∨
f ∈ F
o
C
⊂ F
C
.
Lema 3.8.1. Suponhamos que (3.127) a (3.131) ocorram. Se f, g ∈ F
o
O
∗
ent˜ao
(i) a fun¸c˜ao h : G ×G → R dada por h(x, u) = f(x)g(u
−1
x), para todo (x, u) ∈ G ×G
pertence a F
CC
;
(ii) |M
u
(M
x
(h
u
)) − M(f)M(
∨
g)| ≤ k
o
Osc
O
(
∨
g).
Demonstra¸c˜ao. De (i): Temos que h ´e cont´ınua em G × G. Falta apenas analisar a
condi¸c˜ao (ii), ou seja, devemos provar que
f(x)g(u
−1
x) = 0 quando x /∈ C ou u /∈ C.
Suponhamos que f(x)g(u
−1
x) = 0 para (x, u) ∈ G×G. Ent˜ao, f(x) = 0 e g(u
−1
x) = 0.
Como f, g ∈ F
o
O
∗
temos que x, u
−1
x ∈ O
∗
. Deste modo, por (3.127), x ∈ O
∗
⊂ C,
u = x(u
−1
x)
−1
∈ O
−1
∗
O
∗
⊂ C, isto ´e, x, u ∈ C, como quer´ıamos provar.
De (ii): Fixemos x ∈ C.
108
Suponhamos, inicialmente, que f(x) = 0. Assim, a fun¸c˜ao G
x
: G → R definida para
todo u ∈ G por
(3.135) G
x
(u) := g(u
−1
x) = g((x
−1
u)
−1
) =
∨
g
x
−1
(u)
pertence a F
C
.
Logo, por (3.134),
∨
g ∈ F
o
O
∗
e portanto, por (3.132),
(3.136)
∨
g ∈ F
C
.
Desta forma, por (3.135), (3.127), usando o item (i) no lema 3.2.2 e pela defini¸c˜ao de
m´edia aproximadamente O -invariante `a esquerda, obtemos para todo u ∈ G que
|M
u
(G
x
) − M
u
(
∨
g)| = |M
u
(
∨
g
x
−1
) − M
u
(
∨
g)| ≤ k
o
Osc
O
(
∨
g).
Assim, como | f (x) |≤ 1 ent˜ao
(3.137) | f(x) | |M
u
(
∨
g
x
−1
) − M
u
(
∨
g)| = |M
u
(h
x
) − f(x)M
u
(
∨
g)| ≤ k
o
Osc
O
(
∨
g).
Por outro lado, se f(x) = 0 ent˜ao ambos os termos de (3.137) se anulam. Logo, (3.137)
ocorre para todo x ∈ C. Por´em, como f ∈ F
o
O
∗
e O
∗
⊂ C, por (3.127), segue que (3.137)
ocorre para todo x ∈ G.
Como |||M||| ≤ 1, por (3.130), temos que:
|M
x
(M
u
(h
x
) − fM
u
(
∨
g))| ≤ 1 · |M
u
(h
x
) − fM
u
(
∨
g)|
ent˜ao
(3.138) |M
x
(M
u
(h
x
)) − M
x
(f)M
x
(M
u
(
∨
g))| ≤ k
o
Osc
O
(
∨
g).
Como, por (3.131), M comuta com si pr´opria
(3.139) M
u
(M
x
(h
u
)) = M
x
(M
u
(h
x
)).
Conseq¨uentemente, por (3.138),
(3.140) |M
u
(M
x
(h
u
)) − M(f)M(
∨
g)| ≤ k
o
Osc
O
(
∨
g),
como quer´ıamos demonstrar.
Lema 3.8.2. Sob as hip´oteses do lema 3.8.1, temos
M
u
(M
x
(h
u
)) ≥ (M(f))
2
M(
∨
g) − k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g) + 2Osc
O
(
∨
g)).
109
Demonstra¸c˜ao. Fixado u ∈ G ent˜ao f(x)g(u
−1
x) ∈ F
o
C
como uma fun¸c˜ao de x, pois
f ∈ F
o
C
e 0 ≤ g(u
−1
x) ≤ 1 para todo x ∈ G. Do mesmo modo, f(ux)g(x) ∈ F
o
C
como
uma fun¸c˜ao de x, pois g ∈ F
o
C
e 0 ≤ f(ux) ≤ 1 para todo x ∈ G. Ent˜ao, temos
(3.141) h
u
, f
u
g ∈ F
C
como fun¸c˜ao de x.
E tamb´em,
(3.142) f(ux)g(u
−1
(ux)) = f(ux)g(x) para todo x ∈ G.
Deste modo, por (3.141), (3.142) e pela defini¸c˜ao de m´edia aproximadamente O-
invariante `a esquerda , temos que
(3.143) |M
x
(f
u
g) − M
x
(h
u
)| ≤ k
o
Osc
O
(f
u
g).
Temos que Osc
O
(f
u
) = Osc
O
(f). Da´ı, pela propriedade (vi) na se¸c˜ao 3.1, temos
Osc
O
(f
u
g) ≤ Osc
O
(f) + Osc
O
(g).
Assim, por (3.143),
(3.144) |M
x
(f
u
g) − M
x
(h
u
)| ≤ k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g)).
Por hip´otese, temos que 0 ≤ f(ux)g(x) ≤ g(x) para todo x ∈ G. Assim,
(3.145) M
x
(f
u
g) ≤ M(g).
Conseq¨uentemente, por (3.144) e (3.145), temos
M
x
(h
u
) ≤ M(g) + k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g)).
Aplicando M acima e usando que |||M||| ≤ 1, por (3.130), temos
M
u
(M
x
(h
u
)) ≤ M
u
(M(g) + k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g)))(3.146)
≤ M(g) + k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g)), p or (3.130) .
Agora, por (3.146) e pelo item (ii) do lema 3.8.1 , obtemos
(3.147) M(g) ≥ M(f)M(
∨
g) − k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g) + Osc
O
(
∨
g)).
Substituindo g por
∨
g em (3.147) ent˜ao, por (3.134), segue
(3.148) M(
∨
g) ≥ M(f)M(g) − k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g) + Osc
O
(
∨
g)).
Por fim, substituindo (3.148) no item (ii) do lema 3.8.1 e observando que M(f) ≤ 1
devido a 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ G e |||M||| ≤ 1, ent˜ao
(3.149) M
u
(M
x
(h
u
)) ≤ (M(f))
2
M(g) − k
o
(Osc
O
(f) + Osc
O
(g) + Osc
O
(
∨
g))
como quer´ıamos demonstrar.
110
Lema 3.8.3. Sob as hip´oteses do lema 3.8.1 dado anteriormente, existem uma fun¸c˜ao
ϕ ∈ F
o
O
∗
e u
+
∈ G com as seguintes propriedades:
(i) existem f
+
e g
+
tais que f(x) = ϕ(x) + f
+
(x) e g(x) = ϕ(u
+
x) + g
+
(x), para todo
x ∈ G. E todas as quatro fun¸c˜oes ϕ, f
+
, ϕ
u
+
, g
+
∈ F
o
O
∗
;
(ii) Sejam δ = max(Osc
P
(f), Osc
P
(g)) e δ
+
= max(Osc
P
(f
+
), Osc
P
(g
+
)). Ent˜ao, δ
+
≤
2δ;
(iii) Seja δ = max(Osc
P
(f), Osc
P
(g)). Ent˜ao,
Osc
P
(ϕ) ≤ 2δ.
(iv) Sejam α = M(f)M(g) e α
+
= M(f
+
)M(g
+
). Ent˜ao,
α
+
≤ α − α
2
+ 4k
o
δ.
Demonstra¸c˜ao. Sejam α = M(f)M(g) e δ = max(Osc
P
(f), Osc
P
(g)), dependendo de f e
g dadas na hip´otese. Ent˜ao, por (3.128), temos para todo O ⊂ P que
Osc
O
(f) ≤ Osc
P
(f), Osc
O
(g) ≤ Osc
P
(g)
e do lema 3.1.7 segue que
Osc
O
(
∨
g) ≤ Osc
P
(g).
Desta forma,
Osc
O
(f) + Osc
O
(g) + 2 · Osc
O
(
∨
g) ≤ 4δ.
Assim, pelo lema 3.8.2, temos
M
u
(M
x
(h
u
)) ≥ (M(f))
2
M(g) − 4k
o
δ,
isto ´e,
(3.150) M(h
) ≥ (M(f))
2
M(g) − 4k
o
δ com h
(u) = M
x
(h
u
)
para todo u ∈ G.
Logo, por |||M||| ≤ 1 visto em (3.129),
||h|| ≥ (M(f))
2
M(g) − 4k
o
δ.
Da´ı, pelo lema 3.1.6, existe u
+
∈ G
||h
|| = h
(u
+
) ≥ (M(f))
2
M(g) − 4k
o
δ.
111
Isto ´e,
(3.151) M
x
(h
u
) ≥ (M(f))
2
M(g) − 4k
o
δ.
Definamos agora a fun¸c˜ao
(3.152) ϕ(x) := f(x)g(u
+−1
x), para todo x ∈ G.
Ent˜ao,
(3.153) ϕ(u
+
x) = f(u
+
x)g(x) para todo x ∈ G.
Definamos tamb´em, para todo x ∈ G,
(3.154) f
+
(x) := f(x) − ϕ(x) = f(x)(1 − g(u
+−1
x)) e
(3.155) g
+
(x) := g(x) − ϕ(u
+
x) = g(x)(1 − f(u
+
x)).
Como f, g ∈ F
o
O
∗
ent˜ao 0 ≤ f(x), g(x) ≤ 1, para todo x ∈ G. Conseq¨uentemente,
(3.152)-(3.155) implicam
(3.156) ϕ(x) ≥ 0, f
+
(x), ϕ(u
+
x), g
+
(x) ≤ 1 para todo x ∈ G.
E como x ∈ O
∗
implica que f(x) = g(x) = 0, logo (3.152)-(3.155) implicam
(3.157) ϕ(x) = f
+
(x) = ϕ(u
+
x) = g
+
(x) = 0 se x ∈ O
∗
.
Desta forma, (3.156) e (3.157) implicam que
(3.158) ϕ, f
+
, ϕ
u
+
, g
+
∈ F
o
O
∗
.
Vamos concluir agora a demonstra¸c˜ao de (i) a (iii):
De (i): Segue de (3.154), (3.155) e (3.158).
De (ii): Mostraremos que δ
+
≤ 2δ.
Suponhamos sem perda de generalidade que δ
+
= max(Osc
P
(f
+
), Osc
P
(g
+
)) = Osc
P
(f
+
).
Ent˜ao, por (3.154),
Osc
P
(f
+
) = Osc
P
(f(1 − g
u
+−1
))
≤ ||f||Osc
P
(1 − g
u
+−1
) + ||1 − g
u
+−1
||Osc
P
(f)
≤ ||f||(Osc
P
(1) + Osc
P
(g
u
+−1
)) + Osc
P
(f)
≤ Osc
P
(g
u
+−1
) + Osc
P
(f) = Osc
P
(g) + Osc
P
(f).
112
De modo an´alogo, se δ
+
= Osc
P
(g
+
) ent˜ao, por (3.155), temos que Osc
P
(g
+
) ≤ Osc
P
(f)+
Osc
P
(g). Logo, δ
+
≤ 2 · max(Osc
P
(g), Osc
P
(f)) = 2δ.
De (iii): Provaremos que O sc
P
(ϕ) ≤ 2δ.
De fato, por (3.152),
Osc
P
(ϕ) = Osc
P
(fg
u
+−1
) ≤ ||f||Osc
P
(g
u
+−1
) + ||g
u
+−1
||Osc
P
(f) ≤ Osc
P
(g) + Osc
P
(f).
Portanto, Osc
P
(ϕ) ≤ 2δ.
De (iv):
Como ϕ
u
+
≥ 0 ent˜ao M
x
(ϕ
u
+
) ≥ 0. Da´ı, por (i),
(3.159) M(g
+
) ≤ M(g).
Assim, por (3.151) e (3.152) temos
(3.160) M(f
+
) ≤ M(f) − (M(f))
2
M(g) + 4k
o
δ.
Multiplicando agora (3.159) e (3.160), e observando que M(g) ≤ 1 devido a 0 ≤ g(x) ≤
1 para todo x ∈ G, obtemos
M(f
+
)M(g
+
) ≤ M(f)M(g) − (M(f)M(g))
2
+ 4k
o
δ,
isto ´e,
(3.161) α
+
≤ α − α
2
+ 4k
o
δ
como quer´ıamos demonstrar.
Lema 3.8.4. Considerando as hip´oteses do lema 3.8.1 existe uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes
ϕ
: G → G e uma seq¨uˆencia u
∈ G, ∈ N, com as seguintes propriedades:
(i) Dado ∈ N, existem f
l
e g
l
∈ F
o
O
∗
tais que
f(x) = f
o
(x) =
n=1
ϕ
n
(x) + f
(x),
g(x) = g
o
(x) =
n=1
ϕ
n
(u
n
x) + g
(x), para todo x ∈ G.
Ent˜ao as fun¸c˜oes ϕ
, f
, ϕ
u
, g
∈ F
o
O
∗
.
(ii) Seja δ
= max(Osc
P
(f
), Osc
P
(g
)) para todo ∈ N. Ent˜ao,
δ
≤ 2δ
−1
para ∈ N.
113
(iii) Osc
P
(ϕ
) ≤ 2δ
−1
para todo ∈ N.
(iv) Seja α
= M(f
)M(g
) para todo ∈ N. Ent˜ao,
α
≤ α
−1
− α
2
−1
+ 4k
o
δ
−1
para todo ∈ N.
Demonstra¸c˜ao. Sejam f
o
(x) = f(x), g
o
(x) = g(x) para todo x ∈ G.
Consideremos ∈ N tal que f
−1
, g
−1
est˜ao bem definidas e f
−1
, g
−1
∈ F
o
O
∗
.
Pelo lema 3.8.3 com f
−1
e g
−1
no lugar de f e g, respectivamente, existem ϕ
, u
,
f
, g
no lugar de ϕ, u
+
, f
+
, g
+
, respectivamente. Ent˜ao, os itens (i) a (iv) do lema 3.8.4
coincidem com os itens (i) a (iv) do lema 3.8.3 , respectivamente.
Lema 3.8.5. Considerando as hip´oteses e as nota¸c˜oes utilizadas no lema 3.8.4 temos:
(i) Se δ = δ
o
= max(Osc
P
(f), Osc
P
(g)) ≤
1
2
p+1
p
2
(p + 1)k
o
para p ∈ {2, 3, 4, . . . } fixado,
ent˜ao
(ii) δ
≤
1
2
p−+1
p
2
(p + 1)k
o
para todo ∈ {0, 1, 2, . . . },
(iii) α
≤
1
+ 1
para todo ∈ {0, 1, 2, . . . , p}.
Demonstra¸c˜ao. De (ii): De fato, por (ii) do lema 3.8.4 e por (i) dado acima, segue por
indu¸c˜ao sobre que
δ
≤
1
2
p−+1
p
2
(p + 1)k
o
para todo ∈ {0, 1, 2, . . . }.
De (iii):
Consideremos, primeiramente, = 0. Como f ≡ f
o
, g ≡ g
o
e visto que M(f), M(g) ≤ 1
segue que α
o
= M(f
o
) − M(g
o
) ≤ 1, o que satisfaz (iii).
Tomemos agora = 1. Por (iv) no lema 3.8.4,
α
1
≤ α
o
− α
2
o
+ 4k
o
δ
o
≤ 4k
o
1
2
p+1
p
2
(p + 1)k
o
=
1
2
p−1
p
2
(p + 1)
para p ∈ {2, 3, 4, . . . }.
Assim, para p = 2 temos:
α
1
≤
1
2 · 2
2
· (3)
=
1
24
<
1
2
·
114
Logo, = 1 satisfaz (iii).
Por fim, consideremos ∈ {2, 3, 4, . . . } tal que − 1 satisfaz (ii). Ent˜ao, α
−1
≤
1
·
Assim, por (iv) no lema 3.8.4 e por (ii) dado acima, temos para todo ∈ {2, 3, . . . , p} que
α
≤ α
−1
− α
2
−1
+ 4k
o
δ
−1
≤
1
−
1
2
+
1
2
p−1
· p
2
· ( + 1)
·
Como ≤ p segue que
2
= p
2
. Logo
α
≤
1
−
1
2
+
1
2
( + 1)
=
1
−
1
( + 1)
=
1
+ 1
para todo ∈ {2, 3, 4, . . . }, o que completa a demonstra¸c˜ao de (iii) para to do ∈
{0, 1, 2, 3, . . . }.
Lema 3.8.6. Considerando as hip´oteses e as nota¸c˜oes dos lemas 3.8.4 e 3.8.5 temos:
Existe ∈ {0, 1, 2, 3, . . . } tal que
(i) k
o
n=1
Osc
P
(ϕ
n
) ≤ w(δ),
(ii) M(f
) ≤ w(δ) ou M(g
) ≤ w(δ),
onde w : [0, +∞) → [0, 1] ´e uma fun¸c˜ao fixada tal que lim
δ→0
w(δ) = 0.
Observa¸c˜ao: Para ser exato, w ´e a seguinte fun¸c˜ao:
Tome para cada p ∈ {2, 3, . . . }
(3.162) ε
p
=
1
2
p+1
p
2
(p + 1)k
o
.
Temos que
(3.163)
1
96k
o
= ε
2
> ε
3
> ε
4
> ··· > 0.
Definamos para δ > 0
(3.164) w(δ) =
1, para δ > ε
2
,
1
√
p
, para ε
p+1
< δ < ε
p
com p ∈ {2, 3, . . . }.
Desta forma, temos assintoticamente
(3.165) w(δ) ∼
1
log
1/δ
2
para δ → 0.
115
Demonstra¸c˜ao. Seja δ > 0 fixo. Para δ >
ε
2
, tomemos = 0. Ent˜ao o lado esquerdo de
(i) no lema se anula, logo (i) ´e v´alida. Em (ii) temos que M(f), M(g) ≤ 1 ent˜ao (ii) ´e
tamb´em v´alido.
Suponhamos agora que ε
p+1
< δ ≤ ε
p
com p ∈ {2, 3, . . .}.
Tomemos = p. Ent˜ao dos lemas 3.8.4, 3.8.5 resulta
k
o
p
h=1
Osc
p
(ϕ
h
) ≤ k
o
p
h=1
2δ
h−1
≤
p
h=1
1
2
p−h
p
2
(p + 1)
=
1
p
2
(p + 1)
p
h=1
1
2
p−h
≤
1
p
2
(p + 1)
<
1
√
p
,
(3.166) k
o
p
h=1
Osc
p
(ϕ
h
) <
1
√
p
·
E α
p
≤
1
p + 1
<
1
p
e M(f
p
)M(g
p
) <
1
p
. Assim, temos as alternativas
(3.167)
ou M(f
p
) <
1
√
p
ou M(g
p
) <
1
√
p
·
Agora, (3.166) e (3.167) provam (i) e (ii), respectivamente. Portanto, a prova est´a com-
pleta.
Lema 3.8.7. Suponhamos, como anteriormente, a validade de (3.127)-(3.131) . Consid-
eremos as m´edias M, N de (3.129)-(3.131). Se f, g ∈ F
o
O
∗
, ent˜ao ou
(i) M(f) ≥ M(g) − 3w(δ) e N(f) ≥ N(g) − 3w(δ), ou
(ii) M(f) ≤ M(g) + 3w(δ) e N(f) ≤ N(g) + 3w(δ).
onde w ´e a fun¸c˜ao dada na observa¸c˜ao anterior.
Demonstra¸c˜ao. Tomemos a m´edia
M
(f) =
1
2
(M(f) + N(f)) para toda f ∈ F
o
O
∗
.
116
Temos que M
satisfaz (3.129) a (3.131) assim como M e N.
Aplicamos o lema 3.8.6 com M
no lugar de M. Escolhendo ∈ {0, 1, 2, . . . } ent˜ao os
itens (i) e (ii) do lema 3.8.6 s˜ao v´alidas. Podemos assumir, por simetria para f e g, que
a afirmativa (ii) do lema 3.8.6 ´e v´alida. Vamos mostrar que desse ´ultimo fato decorre a
afirmativa (i).
A condi¸c˜ao (i) do lema 3.8.6 afirma que:
(3.168) k
o
h=1
Osc
P
(ϕ
h
) ≤ w(δ).
A segunda alternativa afirma, com M
(f) =
1
2
(M(f) + N(f)) no lugar de M(f), que
1
2
(M(g
) + N(g
)) ≤ w(δ).
Como M(g
), N(g
) ≥ 0 isto implica que
(3.169) M(g
), N(g
) ≤ 2w(δ).
Somamos (3.169) as inequa¸c˜oes
(3.170) M(f
), N(f
) ≥ 0.
Finalmente, como M ´e aproximadamente O-invariante `a esquerda e P -invariante `a
esquerda ent˜ao
M(ϕ
h
u
h
) ≤ M(ϕ
h
) + k
o
Osc
P
(ϕ
h
) ≤ M(ϕ
h
) + k
o
Osc
P
(ϕ
h
).
Da´ı,
(3.171)
h=1
M(ϕ
h
u
h
) ≤
h=1
M(ϕ
h
) + k
o
h=1
Osc
P
(ϕ
h
).
De modo an´alogo, temos
(3.172)
h=1
N(ϕ
h
u
h
) ≤
h=1
N(ϕ
h
) + k
o
h=1
Osc
P
(ϕ
h
).
Agora, por (i) no lema 3.8.4 com (3.169), (3.170), (3.171), (3.172) e (3.168) resulta
M(g) ≤ M(f) + 3w(δ),
N(g) ≤ N(f) + 3w(δ),
o que prova (i).
117
Lema 3.8.8. Considerando as hip´oteses e as nota¸c˜oes do lema 3.8.7 temos:
|M(f)N(g) − M(g)N(f)| ≤ 6w(δ).
Demonstra¸c˜ao. Seja γ
o
uma constante tal que
(3.173) 0 ≤ γ
o
≤ 1.
Aplicando o lema 3.8.7 para γ
o
M, N no lugar de M, N. N˜ao podemos ter simultanea-
mente
(3.174) γ
o
M(f) < M(g) − 3w(δ),
(3.175) γ
o
N(f) > N(f) − 3w(δ),
pois (3.174) , (3.175) excluem ambas as alternativas (i), (ii) do lema 3.8.7.
Em outras palavras, N
o
γ
o
pode satisfazer as trˆes condi¸c˜oes (3.173), (3.174) e (3.175)
simultaneamente.
Se existe γ
o
tal que
N(g) + 3w(δ)
N(f)
< γ
o
<
M(g) − 3w(δ)
M(f)
e γ
o
≤ 1
ent˜ao γ
o
satisfaz (3.174) e (3.175). Existe um tal γ
o
se
(3.176)
N(g) + 3w(δ)
N(f)
<
M(g) − 3w(δ)
M(f)
e
N(g) + 3w(δ)
N(f)
≤ 1.
Logo, (3.176) n˜ao deve ser v´alida.
Se a primeira inequa¸c˜ao de (3.176) n˜ao ´e v´alida, ent˜ao
M(f)(N(g) + 3w(δ)) ≥ N(f)(M(g) − 3w(δ)),
M(f)N(g) − M(g)N(f) ≥ 3(M(f) + N(f))w(δ).
Como M(f), N(f) ≤ 1 a inequa¸c˜ao dada acima implica
(3.177) M(f)N(g) − M(g)N(f) ≥ −6w(δ).
Se a segunda inequa¸c˜ao de (3.176) n˜ao ´e v´alida, ent˜ao
(3.178) N(f) < N(g) + 3w(δ).
Assim, temos que: Ou (3.177), ou (3.178) ´e v´alida.
118
Suponha agora que (3.177) n˜ao ´e verdadeira. Ent˜ao (3.178) ocorre. A substitui¸c˜ao
simultˆanea de M, N e de f, g n˜ao interfere na hip´otese do lema 3.8.8, nem em (3.177).
Assim, sua aplica¸c˜ao em (3.178) tamb´em ´e v´alida, isto ´e,
(3.179) M(g) < M(f) − 3w(δ).
Por (3.178), (3.179) e M(f), N(f ) ≤ 1, temos
M(f)N(g) − M(g)N(f) = M(f)(N(g) − N(f)) + N(f )(M(f ) − M(g))
> 1(−3w(δ)) + 1(−3w(δ))
= −6w(δ).
Deste modo, (3.177) est´a provada por contradi¸c˜ao.
Uma troca simultˆanea de M, N, mas n˜ao de f e g, n˜ao altera as hip´oteses. Da´ı, sua
aplica¸c˜ao a (3.177) ´e tamb´em v´alida, isto ´e,
(3.180) M(f)N(g) − M(g)N(f) ≤ 6w(δ).
Logo, (3.177) e (3.180) juntas completam a demonstra¸c˜ao.
Lema 3.8.9. Dados C ⊂ G compacto e um aberto Q ⊂ G n˜ao vazio, existem t =
t(C, Q) ∈ N e t fun¸c˜oes f
s
(x) = f
s
(C, Q; x) para 1 ≤ s ≤ t, para todo x ∈ G, e t
elementos correspondentes a
s
= a
s
(C, Q) ∈ G, 1 ≤ s ≤ t com as seguintes propriedades:
(i) f
s
∈ F
o
Q
para todo s ∈ {1, . . . , t},
(ii)
t
s=1
f
s
(a
s
x) = 1 se x ∈ C.
Demonstra¸c˜ao. Seja x
o
∈ Q.
Como G ´e regular e localmente compacto existe um aberto Q
tal que x
o
∈ Q
⊂ Q
⊂ Q
e Q
´e compacto. Ent˜ao, pelo lema de Urysohn, podemos encontrar uma fun¸c˜ao cont´ınua
h: G → [0, 1] tal que h(x) = 1 para x ∈ Q
e h(x) = 0 para x /∈ Q.
Como C ⊂
a∈G
aQ
temos que C ⊂
t
s=1
b
s
Q
. Definamos a fun¸c˜ao
(3.181) k(x) :=
t
s=1
h(b
−1
s
x) para todo x ∈ G.
119
Temos que k ´e cont´ınua, pois h ´e cont´ınua. Se x ∈ C ent˜ao x ∈ b
s
1
Q
para algum
s
1
∈ {1, . . . , t}. Da´ı, b
−1
s
1
x ∈ Q
, h(h
−1
s
1
x) = 1, e conseq¨uentemente, k(x) ≥ h(b
−1
s
1
x) = 1.
Desta forma,
(3.182) k(x) ≥ 1 para todo x ∈ C.
Definamos agora para cada s ∈ {1, . . . , t}
(3.183) f
s
(x) :=
h(x)
max(1, k (b
s
x))
para todo x ∈ G.
Afirmamos que, (i) e (ii) s˜ao v´alidas para este t e estas fun¸c˜oes f
s
, 1 ≤ s ≤ t, se
tomarmos a
s
= b
−1
s
, 1 ≤ s ≤ t.
Prova de (i): h ∈ F
o
Q
por (i)-(iii) o que implica f
s
∈ F
o
Q
, pois o denominador em (3.183)
´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e maior ou igual a 1.
De (ii): Usando (3.182) e (3.183), para x ∈ C temos
t
s=1
f
s
(b
−1
s
x) =
t
s=1
h(b
−1
s
x)
max(1, k (x))
=
t
s=1
h(b
−1
s
x)
k(x)
= 1
como quer´ıamos demonstrar.
Lema 3.8.10. Suponha a validade de (3.127) e (3.128) , considerando as m´edias M e N
de (3.129)-(3.131) . Ent˜ao existe uma constante positiva C = C(C), t = t(C) ∈ N, e t
fun¸c˜oes f
s
(x) = f
s
(C; x), 1 ≤ s ≤ t com as seguintes propriedades:
(i) f
s
∈ F
o
C
para todo s ∈ {1, 2, . . . , t};
(ii) Se f, g ∈ F
o
C
ent˜ao
|M(f)N(g) − M(g)N(f)| ≤ Cw(2η),
onde η = max(Osc
P
(f), Osc
P
(g), Osc
P
(f
1
), . . . , Osc
P
(f
t
) e w ´e a fun¸c˜ao definida na
observa¸c˜ao feita no lema 3.8.6.
Demonstra¸c˜ao. Vamos aplicar o lema 3.8.9 a C e a Q = O
∗
, onde O
∗
foi definido em
(3.127). Tomemos t e t
s
com s ∈ {1, 2, . . . , t} adequadamente. No lema 3.8.9 estes
dependem de C e Q, enquanto agora dependem apenas de C, pois C determina o aberto
Q = O
∗
.
120
Definamos, para cada s ∈ {1, . . . , t},
(3.184)
f
s
(x) := f(a
−1
s
x)f
s
(x),
g
s
(x) := g(a
−1
s
x)f
s
(x)
,
para todo x ∈ G.
Usando o lema 3.8.9 temos que f
s
, g
s
∈ F
o
O
∗
, ou seja,
(3.185) f
s
, g
s
∈ F
o
O
∗
⊂ F
o
C
para 1 ≤ s ≤ t.
Como para todo s ∈ {1, . . . , t} temos
(3.186)
f
s
(a
s
x) = f(x)f
s
(a
s
x)
g
s
(a
s
x) = g(x)f
s
(a
s
x)
para todo x ∈ G, segue que
(3.187) f
s
a
s
, g
s
a
s
∈ F
o
C
para 1 ≤ s ≤ t.
Temos que Osc
P
(f
a
−1
s
) = Osc
P
(f) ent˜ao
Osc
P
(f
s
) ≤ Osc
P
(f) + Osc
P
(f
s
) para 1 ≤ s ≤ t.
De modo an´alogo,
Osc
P
(g
s
) ≤ Osc
P
(f) + Osc
P
(f
s
).
Pela defini¸c˜ao de η temos
(3.188) Osc
P
(f
s
), Osc
P
(g
s
) ≤ 2η.
Como 0 ≤ f
s
(x), g
s
(x) ≤ 1 para todo x ∈ G, por (3.185), ent˜ao 0 ≤ f
s
(a
s
x), g
s
(a
s
x) ≤ 1
para todo x ∈ G. Assim, como |||M|||, |||N||| ≤ 1 temos que
(3.189) 0 ≤ M
x
(f
s
), N
x
(f
s
), M
x
(f
s
a
s
), N
x
(f
s
a
s
), M
x
(g
s
), N
x
(g
s
), M
x
(g
s
a
s
), N
x
(g
s
a
s
) ≤ 1.
Finalmente, observemos que
(3.190)
f(x) =
t
s=1
f
s
(a
s
x),
g(x) =
t
s=1
g
s
(a
s
x)
para todo x ∈ G.
121
De fato, para x ∈ C, isto ´e uma conseq¨uˆencia de (3.186) e de (ii) do lema 3.8.9. Para
x /∈ C ambos os lados se anulam, pois f, g ∈ F
o
c
e por (3.187).
Afirmamos que (i) e (ii) s˜ao v´alidas para este valor de t e as fun¸c˜oes f
s
para 1 ≤ s ≤ t
tomando C = 14t
2
.
Com efeito, para (i) temos, por (i) no lema 3.8.9, f
s
∈ F
o
O
∗
⊂ F
o
C
. Para (ii) devido a
(3.185), (3.187)
|M
x
(f
s
a
s
) − M
x
(f
s
)| ≤ k
o
Osc
P
(f
s
).
Da´ı, por (3.188),
(3.191) |M
x
(f
s
a
s
) − M
x
(f
s
)| ≤ 2k
o
η.
Tamb´em, por (3.189),
(3.192) |M
x
(f
s
a
s
) − M
x
(f
s
)| ≤ 2.
Pela observa¸c˜ao no lema 3.8.6 temos que
(3.193) w(δ) ≥ min
1,
k
o
δ
2
para todo δ > 0.
Aplicando (3.193), com δ = 2η, a (3.191) e (3.192) obtemos
(3.194) |M
x
(f
s
a
s
) − M
x
(f
s
)| ≤ 2w(2η).
Substituindo agora f, f
s
por g, g
s
transforma (3.194) em
(3.195) |M
x
(g
s
a
s
) − M
x
(g
s
)| ≤ 2w(2η).
Agora, substituindo M por N de (3.194), (3.195) obtemos
(3.196) |N
x
(f
s
a
s
) − N
x
(f
s
)| ≤ 2w(2η),
(3.197) |N
x
(g
s
a
s
) − N
x
(g
s
)| ≤ 2w(2η).
Segue de (3.189) e (3.194) a (3.197) que
(3.198)
|{M
x
(f
s
a
s
)N
x
(g
s
a
s
) − M
x
(g
s
a
s
)N
x
(f
s
a
s
)}
−{M
x
(f
s
)N
x
(g
s
) − M
x
(g
s
)N
x
(f
s
)}| ≤ 8w(2η).
Por (3.185) e pelo lema 3.8.8 temos, considerando que (3.188),
(3.199) |M
x
(f
s
a
s
)N
x
(g
s
a
s
) − M
x
(g
s
a
s
)N
x
(f
s
a
s
)| ≤ 6w(2η).
122
Agora, por (3.198) e (3.199), temos
(3.200) |M(f
s
)N(g
s
) − M(g
s
)N(f
s
)| ≤ 14w(2η).
Finalmente, por (3.190) e (3.200), obtemos
|M(f)N(g) − M(g)N(f)| ≤
t
s,u=1
|M(f)N(g
u
) − M(g
u
)N(f
s
)|
≤
t
s,u=1
14w(2η) = 14t
2
w(2η),
isto ´e,
|M(f)N(g) − M(g)N(f)| ≤ 14t
2
w(2η).
O que demonstra (ii).
3.9 O Teorema Principal
Consideremos um conjunto compacto C tal que C
i
= ∅.
Consideremos o conjunto M
O
definido em 3.6.5. Tomemos f
o
, O
o
e γ
o
como dados na
defini¸c˜ao 3.6.4. Antes de partir para o teorema principal, iremos provar que M
O
satisfaz
as hip´oteses do teorema 3.4.1. Pelo lema 3.6.6, basta verificarmos que M
O
satisfaz a
condi¸c˜ao (ii) do teorema 3.4.1.
Sejam f ∈ F
o
C
e ε > 0 dados.
Escolhamos η
o
> 0 tal que, com o C e os f
s
’s para 1 ≤ s ≤ t do lema 3.8.10 para γ
o
dado acima,
(3.201) C w(2η
o
) ≤ γ
o
ε.
Tomemos ent˜ao um aberto P com 1 ∈ P tal que
(3.202) Osc
P
(f), Osc
P
(f
0
), Osc
P
(f
1
), . . . , Osc
P
(f
t
) ≤ η
o
pelo lema 3.1.4. Finalmente, tomemos como em (3.128),
(3.203) O
∗
= O
∗
(C, P ) ⊂ P ⊂ O
∗
.
Consideremos agora dois abertos O
, O
tais que
(3.204) 1 ∈ O
, O
⊂ O
o
∩ O
∗
.
123
Ent˜ao pelas defini¸c˜oes 3.6.4 e 3.6.5 temos
(3.205)
M
O
= M
O
M
O
= M
O
Al´em disso, consideremos duas m´edias
(3.206) M
∈ M
O
e M
∈ M
O
.
Temos que o lema 3.6.3 pode ser aplicado a ambas as m´edias comparando com a
defini¸c˜ao 3.6.4. Al´em disso, estas m´edias satisfazem (3.129) a (3.131). Sendo (3.129)
devido a (i) no lema 3.6.3, (3.130) devido a (iii) do lema 3.6.3, e (3.131) devida a (i) do
lema 3.6.3 juntamente com o lema 3.7.3.
Conseq¨uentemente, o lema 3.8.10 pode ser aplicado a f
0
e f
1
no lugar de f e g
1
,
respectivamente. Por (3.202), temos
(3.207) η ≤ η
o
para η citado anteriormente. Agora, por (ii) do lema 3.8.10,
(3.208) |M
(f)M
(f
o
) − M
(f)M
(f
o
)| ≤ w(2η).
da´ı, por (3.207) e (3.201),
(3.209) |M
(f)M
(f
o
) − M
(f)M
(f
o
)| ≤ γ
o
ε.
E de (iv) no lema 3.6.3 segue que
M
(f
o
) = M
(f
o
) = γ
o
.
Assim, por (3.209), temos
(3.210) |M
(f) − M
(f)| ≤ ε.
Agora, por (3.204), para O
e O
, (3.206) implicam (3.210). Isto significa que a
condi¸c˜ao (ii) do teorema 3.4.1 ´e satisfeita, se tomarmos O
1
= O
1
(f, ε) = O
o
∩ O
∗
. O
que ´e leg´ıtimo j´a que nosso O
o
depende apenas de C , como visto na defini¸c˜ao 3.6.4 e no
124
lema 3.6.2. E O∗ dep ende apenas de C, enquanto P por sua vez depende de C, f, ε, por
(3.201) e (3.202).
Finalmente, podemos enunciar o resultado principal da disserta¸c˜ao no seguinte teo-
rema:
Teorema Principal: Dado um compacto C tal que C
i
= ∅ ent˜ao:
(i) Existe uma ´unica m´edia M que satisfaz (iii) no teorema 3.4.1 para os conjuntos M
O
das defini¸c˜oes 3.6.4 e 3.6.5.
(ii) M ´e invariante `a esquerda e n˜ao ´e identicamente nula.
(iii) Existe uma ´unica medida J invariante `a esquerda em G, a qual ´e a correspondente
da m´edia M dada acima , isto ´e, satisfaz
M(f) =
G
f(x)dJ
x
para toda f ∈ F
C
.
onde J n˜ao ´e identicamente nula.
Demonstra¸c˜ao.
De (i): Pelo que foi mostrado anteriormente e pelo lema 3.6.6 o conjunto M
O
satisfaz as
hip´oteses do teorema 3.4.1. Logo, (i) segue do teorema 3.4.1.
De (ii): Considerando o teorema 3.4.1 temos que M ´e invariante `a esquerda e n˜ao ´e
identicamente nula pelo teorema 3.4.2.
De (iii): Por (ii) e pelo lema 3.3.17.
O teorema principal mostra que a existˆencia e a unicidade da medida de Haar podem
ser estabelecida atrav´es de um processo longo e extenuante, por´em puramente construtivo.
As referˆencias [1], [5], [10] e [11] apresentam exemplos de grupos topol´ogicos localmente
compactos com as correspondentes integrais de Haar.
125
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Bourbaki,N., Integration, volumes 1 e 2, Springer-Verlag, 2004.
[2] Coquand,T. and Spitters,B., A construtive proof of the Peter-Weyl theorem, Math-
ematical Logic Quartely, vol.4, 2005, pp. 351-359.
[3] Cohn,Donald L., Measure Theory , Birk¨auser Boston, 1980.
[4] Kershner, R., The number of circles covering a set, American of Journal of Mathe-
matics 61 (1939), 665-671.
[5] Nachbin, L., A integral de Haar, Instituto de F´ısica e Matem´atica, Universidade do
Recife, 1960.
[6] Neumann, John von, Invariant Measures, American Mathematical Society (1999).
[7] Pedersen, G. K., Analysis Now, Graduate Texts in Mathematics 118, Springer-
Verlag,1989.
[8] Pedersen, G. K., The existence and uniqueness of the Haar integral on a locally
compact topological group, Technical Report - Department of Mathematics,University
of Copenhagen, November 2000.
[9] Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 3rd edition, 1987.
[10] Saks, S., Theory of the integral, Warszawa, 1937.
[11] Silva, A.R., Notas de Aula de Medida e Integra¸c˜ao, Instituto de Matem´atica-UFRJ
(2005).
[12] Spitters, B., Aproximating integrable sets by compacts construtively. In “From sets
and types to Topology and Analysis”, edited by Laura Crosilla and Peter Schuster,
Oxford University Press (2005).
126
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