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Universidade de Bras´ılia
Instituto de Ciˆencias Exatas
Departamento de Matem´atica
A Fibra¸c˜ao de Hopf e Superf´ıcies de
Willmore
por
Nilton Moura Barroso Neto
Bras´ılia
2006
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Resumo
Uma imers˜ao X : M
2
→ R
3
´e dita uma Superf´ıcie de Willmore se ´e ponto cr´ıtico do
funcional W(X) =
M
H
2
da. At´e 1986, os ´unicos exemplos conhecidos de tais superf´ıcies
eram obtidas a partir de proje¸c˜oes estereogr´aficas de superf´ıcies m´ınimas e compactas
mergulhadas em S
3
. Neste trabalho mostramos a existˆencia de uma infinidade de su-
perf´ıcies de Willmore que n˜ao prov´em de superf´ıcies m´ınimas em S
3
, usando os trabalhos
de Pinkall, Langer, Singer e Moniot.
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Abstract
An immersion X : M
2
→ R
3
is called a Willmore surface if it is an extremal for the
functional W(X) =
M
H
2
da. Until 1986, the only examples of such surfaces known so
far were stereographic projections of compact embedded minimal surfaces in S
3
. In this
work we prove the existence of an infinite number of Willmore surfaces that do not stem
from minimal surfaces in S
3
, using the works of Pinkall, Langer, Singer and Moniot.
Sum´ario
Introdu¸c˜ao 1
1 A Fibra¸c˜ao de Hopf 4
1.1 Espa¸cos Projetivos Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Rota¸c˜oes em R
n
e a Fibra¸c˜ao de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 El´asticas 12
2.1 As El´asticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 An´alise das Solu¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Os Toros de Hopf e Willmore 24
3.1 O Toro de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 O Toro de Willmore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Uma Abordagem Geom´etrica 33
4.1 Observa¸c˜oes Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Redu¸c˜ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Reformula¸c˜ao do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Apˆendice A 51
Apˆendice B 53
Referˆencias Bibliogr´aficas 54
Introdu¸c˜ao
Em 1965 T. J. Willmore [5] propˆos o estudo do funcional
W(X) =
M
H
2
da (1)
para imers˜oes X : M
2
→ R
3
, onde M
2
´e uma superf´ıcie compacta, H ´e a curvatura m´edia
da imers˜ao e da ´e a forma de ´area induzida.
1
Agora, se definimos
W(X) =
M
(H
2
− K)da, (2)
ent˜ao, pelo teorema de Gauss-Bonnet, temos:
W(X) = W(X) + 2πχ(M), (3)
ou seja, os dois funcionais diferem apenas por uma constante. Na realidade o novo fun-
cional W, definido a partir do funcional original de Willmore, tem a vantagem de seu
integrando ser n˜ao-negativo e se anular exatamente nos pontos umb´ılicos da imers˜ao X.
Certamente, W(X) = 0 se, e somente se, M
2
= S
2
e X ´e totalmente umb´ılica.
Portanto o m´ınimo absoluto de W no espa¸co das imers˜oes X : S
2
→ R
3
´e 0 e o lugar
geom´etrico dos pontos cr´ıticos ´e conhecido. Quando M ´e um toro, Willmore propˆos um
exemplo de imers˜ao X : M → R
3
com W(X) = 2π
2
e provou que W(X) ≥ 2π
2
para
todas superf´ıcies suaves de revolu¸c˜ao. Ele ent˜ao conjeturou que W(X) ≥ 2π
2
para todas
as imers˜oes do toro com a igualdade valendo apenas para o exemplo que ele havia proposto:
o toro obtido pela revolu¸c˜ao de um c´ırculo de raio
r
em torno de um eixo cuja distˆancia
ao centro do c´ırculo era de
√
2r, superf´ıcie essa conhecida como Toro de Clifford.
1
Na verdade, o matem´atico alem˜ao K. Voss durante a d´ecada de 50 j´a havia considerado o funcional W.
Alguns anos mais tarde Willmore e K. Voss descobriram no livro de W. Blaschke [20] que este problema
j´a era estudado desde o in´ıcio do s´eculo, em particular nos trabalhos de Thomsen e Shadow em 1923 [19]
1
Introdu¸c˜ao
Entretanto, em 1973, J. H. White [14] provou que a 2-forma (H
2
−K)da ´e invariante
por tranforma¸c˜oes conformes de R
3
∪ {∞} (grupo de M¨obius), onde ∞ ´e o ponto no
infinito. Logo, se T ´e uma tranforma¸c˜ao conforme de R
3
∪ ∞ temos que:
W(T (X)) = W(X).
Portanto, podemos afirmar como corol´ario que se X ´e de Willmore, ent˜ao T (X)
tamb´em ser´a. Consequentemente, todas as superf´ıcies geradas via transforma¸c˜oes con-
formes do toro de Clifford tamb´em devem satisfazer W(X) = 2π
2
. A conjectura foi
ent˜ao modificada de maneira que a igualdade fosse satisfeita, a menos de transforma¸c˜oes
conformes do toro de Clifford.
Observe que, da maneira como foi enunciada, a conjectura permite considerar toros
imersos n˜ao mergulhados. Entretanto, em 1982 Li e Yau mostraram em [18] que se uma
superf´ıcie se auto-intersecta ent˜ao W ≥ 8π. Recentemente, L. Simon provou que o m´ınimo
do funcional W ´e alcan¸cado entre os toros, mas ainda n˜ao se sabe se esse toro coincide ou
n˜ao com o toro de Clifford.
O fato ´e que a conjectura de Willmore levou muitos matem´aticos a seguinte quest˜ao:
quais s˜ao os pontos cr´ıticos do funcional (2)? Dizemos que uma imers˜ao X ´e de Willmore
se ela ´e ponto cr´ıtico de W. At´e meados da d´ecada de 80, os ´unicos exemplos conheci-
dos de tais superf´ıcies eram obtidas via proje¸c˜ao estereogr´afica de superf´ıcies m´ınimas e
compactas mergulhadas em S
3
. Nesse trabalho, usando a propriedade de invariˆancia con-
forme como pano de fundo, vamos estudar o funcional W. Como veremos, isso permitir´a
demonstrar a existˆencia de um n´umero infinito de superf´ıcies de Willmore n˜ao triviais,
isto ´e, que n˜ao prov´em de superf´ıcies m´ınimas de S
3
.
Mais precisamente temos o seguinte: inicialmente consideramos a proje¸c˜ao de Hopf
π : S
3
→ S
2
. Tal aplica¸c˜ao ´e, na verdade, uma fibra¸c˜ao localmente trivial com espa¸co
total S
3
, espa¸co base S
2
e fibra t´ıpica S
1
. Em seguida, constru´ımos certos toros em
S
3
que s˜ao imagens inversas de curvas simples e fechadas em S
2
via fibra¸c˜ao de Hopf.
Mostraremos que tais superf´ıcies s˜ao pontos cr´ıticos do funcional W se, e somente se, as
curvas correspondentes s˜ao pontos cr´ıticos do funcional:
F(γ) =
L
0
1 + k
2
ds, (4)
2
Introdu¸c˜ao
onde a fun¸c˜ao s → k(s) e L s˜ao respectivamente a curvatura geod´esica e o comprimento
de γ e s ´e o comprimento do arco. Por fim, provaremos que existem um n´umero infinito
de curvas simples e fechadas em S
2
que s˜ao pontos cr´ıticos do funcional F, estabelecendo
dessa forma o resultado desejado.
O presente trabalho tem a seguinte organiza¸c˜ao: no cap´ıtulo 1 fazemos referˆencia a
alguns fatos cl´assicos que ser˜ao usados com frequˆencia durante todo o texto, bem como
uma r´apida an´alise a cerca da constru¸c˜ao e principais propriedades da fibra¸c˜ao de Hopf.
No cap´ıtulo 2, usando as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange para o funcional (4) e as equa¸c˜oes
de Frenet para a curva γ em S
2
, provaremos que γ ´e ponto cr´ıtico de (4) se, e somente se,
sua curvatura geod´esica k satisfaz
d
2
k
ds
2
= −k
2
k +
1
k
2
, (5)
onde s ´e o comprimento do arco. Na segunda parte desse mesmo cap´ıtulo provamos a
existˆencia de infinitas solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao diferencial acima e fazemos uma r´apida
an´alise qualitativa das principais propriedades dessas curvas.
No cap´ıtulo 3 consideramos curvas fechadas γ em S
2
e ξ em S
3
tais que γ = π ◦ ξ,
isto ´e, γ ´e a imagem de ξ via π : S
3
→ S
2
. Assumimos que ξ est´a parametrizada pelo
comprimento de arco e em seguida consideramos imers˜oes
X : [0, L/2] × S
1
→ S
3
(t, φ) → e
iφ
.ξ(t),
(6)
onde L ´e o comprimento de γ. Provamos em seguida que a curvatura m´edia da imers˜ao (6)
coincide com a curvatura geod´esica de γ. Finalmente, usando alguns resultados provados
por Weiner em [13], veremos que X ´e ponto cr´ıtico do funcional de Willmore se, e somente
se a fun¸c˜ao curvatura geod´esica de γ satisfaz (5), ou seja ´e ponto cr´ıtico do funcional F.
Por fim, no cap´ıtulo 4, usando um resultado de Bryant [16], reobtemos os resultados
provados no cap´ıtulo 2 sem utilizar no¸c˜oes de c´alculo de varia¸c˜oes ou geometria Rieman-
niana. Tal abordagem tem a vantagem de ser mais simples e intuitiva do ponto de vista
geom´etrico, al´em de trazer `a luz algumas interessantes rela¸c˜oes entre certas fam´ılias de
c´ırculos e curvas em S
2
.
3
Cap´ıtulo 1
A Fibra¸c˜ao de Hopf
Nesse cap´ıtulo ser´a feito um r´apido estudo das principais propriedades da fibra¸c˜ao de
Hopf. Tal aplica¸c˜ao, introduzida em 1931 pelo top´ologo alem˜ao Heinz Hopf em seu famoso
artigo [4], constitui um objeto cl´assico e de grande importˆancia para a topologia. Como
motiva¸c˜ao, investigaremos inicialmente as principais propriedades dos espa¸cos projetivos
complexos.
1.1 Espa¸cos Projetivos Complexos
Come¸cemos com algumas defini¸c˜oes importantes:
Defini¸c˜ao 1.1.1 Dizemos que um grupo G age sobre uma variedade diferenci´avel M se
existem aplica¸c˜oes ϕ : G × M → M tais que
1. Para cada g ∈ G as aplica¸c˜oes ϕ
g
: M → M s˜ao difeomorfismos;
2. ϕ(e, x) = x, ∀x ∈ M , onde e ´e a identidade do grupo G;
3. ϕ(g
1
, ϕ(g
2
, x)) = ϕ(g
1
g
2
, x), ∀g
1
, g
2
∈ G e ∀x ∈ M.
´
E comum usar a nota¸c˜ao multiplicativa para as aplica¸c˜oes: ϕ(g, x) = gx. Dessa forma
as duas ´ultimas condi¸c˜oes acima se escrevem de uma forma bastante simples e intuitiva,
a saber: ex = x e g
1
(g
2
x) = (g
1
g
2
)x.
Defini¸c˜ao 1.1.2 Dizemos que a a¸c˜ao ´e propria e descont´ınua se para todo x ∈ M existe
uma vizinhan¸ca U tal que U ∩ gU = ∅ para todo g = e, onde gU = {gx|x ∈ U}
4
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
A a¸c˜ao de G sobre M induz, de maneira natural, uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em M.
Dizemos que x
1
´e equivalente ´a x
2
(x
1
∼ x
2
) se existe g ∈ G tal que x
1
= gx
2
. O espa¸co
quociente de M por essa rela¸c˜ao de equivalˆencia ser´a indicado por M/G. A aplica¸c˜ao
quociente π : M → M/G ´e definida por π(x) = [x] = {gx|g ∈ G}, isto ´e, cada elemento e
levado em sua respectiva classe de equivalˆencia.
´
E poss´ıvel provar que se G age em M pr´opria e descontinuamente, podemos dar `a
M/G uma estrutura diferenci´avel de forma que π ´e um difeomorfismo local. Usaremos
tais fatos sem, no entanto, apresentar uma demonstra¸c˜ao desse resultado. Uma exposi¸c˜ao
bastante detalhada sobre esses fatos podem ser encontrados em [3].
Consideremos agora a esfera real unit´aria S
2n+1
, definida por:
S
2n+1
=
(z
1
, . . . , z
n+1
) ∈ C
n+1
|
n+1
i=1
|z
i
| = 1
. (1.1)
O grupo multiplicativo dos complexos de m´odulo 1 ( S
1
) age sobre S
2n+1
de maneira
natural: para cada u ∈ S
1
e para cada z = (z
1
, . . . , zn + 1) ∈ S
2n+1
definimos:
ϕ
u
(z) = u.z = (u.z
1
, . . . , u.z
n+1
). (1.2)
´
E f´acil verificar que essa a¸c˜ao ´e propria e descont´ınua. A variedade diferenci´avel
obtida pelo quociente da esfera com o c´ırculo unit´ario ´e chamada de espa¸co projetivo
complexo de dimens˜ao n e denotado por CP
n
. Observe que dado w ∈ S
2n+1
, a sua
classe de equivalˆencia ´e [z] = S
1
z = {u.z|u ∈ S
1
}. Portanto, cada uma dessas classes
´e homeom´orfica ao c´ırculo unit´ario S
1
. Concluimos ent˜ao, que a rela¸c˜ao definida acima
decomp˜oe a esfera em uma reuni˜ao de c´ırculos dois a dois disjuntos, cada um dos quais ´e
um ponto do espa¸co projetivo complexo CP
n
.
Considere agora a proje¸c˜ao quociente π : S
2n+1
→ CP
n
. Vamos agora munir o espa¸co
projetivo complexo com uma topologia induzida por π da seguinte forma: dizemos que
um subconjunto A ⊂ CP
n
´e aberto se π
−1
(A) ⊂ S
2n+1
´e aberto na topologia induzida
por C
n+1
em S
2n+1
. Essa defini¸c˜ao torna a aplica¸c˜ao π cont´ınua. Portanto, dada uma
fun¸c˜ao cont´ınua f : S
2n+1
→ Y , onde Y ´e um espa¸co topol´ogico, tal que f(uz) = f(z)
para todo u ∈ S
1
e todo z ∈ S
2n+1
, existe uma ´unica aplica¸c˜ao f : CP
n
→ Y de modo
que f ◦ π = f. Dizemos, nesse caso que f foi obtida de f por passagem ao quociente. A
situa¸c˜ao ´e ilustrada no diagrama abaixo
5
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
S
2n+1
f=f◦π
//
π
Y
CP
n
f
77
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Lema 1.1.1 A aplica¸c˜ao π : S
2n+1
→ CP
n
´e aberta (ou seja, π ´e um homeomorfismo)
Demonstra¸c˜ao: Considere A ⊂ S
2n+1
um subconjunto aberto. Para todo u ∈ S
1
, o
conjunto u.A = {u.z|z ∈ A} ´e aberto pois a aplica¸c˜ao z → u.z ´e um homeomorfismo de
S
2n+1
. Portanto temos que π
−1
◦ π(A) = ∪
u∈S
1
u.A ∈ S
2n+1
´e aberto. Concluimos que
π(A) ´e aberto no espa¸co projetivo.
O lema acima permite concluir que CP
n
´e um espa¸co compacto de Hausdorff. Provare-
mos agora que a deconposi¸c˜ao de S
2n+1
em c´ırculos n˜ao ´e, de forma alguma, um fenˆomeno
patol´ogico. Na verdade a aplica¸c˜ao π goza de uma regularidade que ocorre em muitas
outras situa¸c˜oes geom´etricas: as chamadas fibra¸c˜oes. Trataremos desse assunto a partir
de agora.
Defini¸c˜ao 1.1.3 Uma fibra¸c˜ao localmente trivial consiste de um espa¸co total E, um
espa¸co base B, fibra t´ıpica F e uma aplica¸c˜ao cont´ınua π : E → B tal que para todo
x ∈ B existe uma vizinhan¸ca U e um homeomeorfismo
ϕ
U
: U × F → π
−1
(U) (1.3)
tal que π ◦ ϕ
U
= π
U
, onde π
U
: U × F → U ´e dada por π
U
(u, f) = u. Cada uma das
vizinhan¸cas U acima ´e dita uma vizinhan¸ca distinguida e o homeomorfismo ϕ
U
´e chamado
uma trivializa¸c˜ao local.
A partir da igualdade π (ϕ
u
(x, y)) = x concluimos que a imagem inversa de qualquer
ponto de B ´e homeom´orfica `a fibra. Um exemplo bastante simples ´e dado por E = B ×F
e π = π
B
: B ×F → B, tamb´em conhecida como fibra¸c˜ao produto. Esse exemplo admite
uma trivializa¸c˜ao global. O pr´oximo teorema fornece um importante exemplo n˜ao trivial
de fibra¸c˜oes:
Proposi¸c˜ao 1.1.1 A aplica¸c˜ao quociente π : S
2n+1
→ CP
n
´e uma fribra¸c˜ao localmente
trivial com fibra t´ıpica S
1
6
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
Demonstra¸c˜ao: Para j = 1, . . . , n + 1 considere os conjuntos abertos de S
2n+1
definidos por V
j
= {z ∈ S
2n+1
|z
j
= 0}. Portanto os conjuntos U
j
= π(V
j
) s˜ao abertos
e cobrem CP
n
. Al´em disso, V
j
= π
−1
(U
j
). Definamos ent˜ao as seguintes aplica¸c˜oes
ψ
j
: V
j
→ U
j
× S
1
como z →
π(z),
z
j
|z
j
|
. Temos que π
U
j
◦ ψ
j
= π. Para provar que as
fun¸c˜oes ψ
j
s˜ao trivializa¸c˜oes locais devemos mostrar que elas s˜ao homeomorfismos. Defi-
namos a sua inversa por ϕ
j
: U
j
× S
1
→ V
j
pondo para cada π(z) ∈ U
j
e cada u ∈ S
1
,
ϕ
j
(π(z), u) =
uz
j
|z
j
|
.z.
´
E imediato verificar que essa fun¸c˜ao ´e realmente a inversa de ψ
j
e
que ela est´a bem definida. Agora olhe para σ
j
: U
j
→ V
j
dada por σ
j
(π(z) =
z
j
|z
j
|
.z. Temos
que σ
j
◦ π : V
j
→ V
j
´e tal que z →
z
j
|z
j
|
.z
, logo cont´ınua. Portanto, σ
j
´e cont´ınua e
como ϕ
j
(w, u) = u.σ
j
(w), concluimos que ϕ
j
´e tamb´em cont´ınua. A continuidade das
aplica¸c˜oes ψ
j
´e imediata.
Existem ainda muitos resultados interessantes relativos `as fibra¸c˜oes localmente triviais,
entretanto o teorema que precisamos para dar uma defini¸c˜ao satisfat´oria da aplica¸c˜ao de
Hopf j´a foi estabelecido.
1.2 Rota¸c˜oes em R
n
e a Fibra¸c˜ao de Hopf
Vamos agora estudar os grupos SO(n ) associados a rota¸c˜oes do espa¸co euclidiano R
n
definidos por:
SO(n) = {T : R
n
→ R
n
|T x, T y = x, y e det T = 1}, (1.4)
onde T : R
n
→ R
n
s˜ao transforma¸c˜oes lineares e ·, · ´e o produto interno canˆonico de R
n
.
Os elementos de SO(n) tamb´em podem ser pensados como matrizes n×n reais ortogonais
com determinante igual a 1.
´
E possivel mostrar que SO(n) com topologia induzida por R
n
2
´e um grupo topol´ogico
[1] e a condi¸c˜ao de positividade do determinante o faz conexo por caminhos. Tamb´em
podemos provar que SO(n) ´e uma subvariedade compacta de dimens˜ao
n(n−1)
2
do espa¸co
R
n
2
. Para uma exposi¸c˜ao detalhada desses argumentos consulte [2].
Uma interpreta¸c˜ao bastante interessante das rota¸c˜oes de R
3
pode ser dada por meio
do anel dos quat´ernios H. Na verdade, foi o problema de descobrir um forma alg´ebrica
conveniente para trabalhar com rota¸c˜oes que levou o matem´atico irlandˆes William Rowan
7
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
Hamilton aos quat´ernios. O anel H pode ser obtido de R
4
a partir da seguinte identifica¸c˜ao:
(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) → x
1
+ x
2
.i + x
3
.j + x
4
.k. (1.5)
A multiplica¸c˜ao em H fica definida por bilinearidade de acordo com a seguines regras:
. 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1
(1.6)
Para esse produto (obviamente n˜ao comutativo) exigimos que valha a distributividade
e pode-se provar que vale a associatividade. Por outro lado, todo q ∈ H com q = 0 possui
um inverso multiplicativo que denotaremos por q
−1
. Para verificar essa afirma¸c˜ao vamos
introduzir o conjugado q de q = x
1
+ x
2
.i + x
3
.j + x
4
.k como:
q = x
1
− x
2
.i − x
3
.j − x
4
.k, (1.7)
donde definimos q.q = q.q = x
1
2
+ x
2
2
+ x
3
2
+ x
4
2
= |q|
2
. Portanto, se q = 0 temos |q| = 0
e a defini¸c˜ao
q
−1
=
q
|q|
2
(1.8)
satisfaz q.q
−1
= q
−1
.q = 1. Prova-se tamb´em a seguinte propriedade do m´odulo:
|q
1
.q
2
| = |q
1
|.|q
2
|. (1.9)
Considere agora a esfera tridimensional
S
3
= {q ∈ H|q.q = 1}. (1.10)
Com o que foi definido acima podemos facilmente provar que S
3
´e um grupo. Mais
ainda, como o produto em H ´e definido por bilinearidade, temos que as aplica¸c˜oes definidas
por:
(q
1
, q
2
) → q
1
· q
2
q → q
−1
= q,
(1.11)
para todo q
1
, q
2
∈ H e para todo q = 0 ∈ H s˜ao cont´ınuas, o que faz de S
3
um grupo
topol´ogico.
8
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
Lema 1.2.1 Seja q ∈ H. Se q.q = q.q ∀q ∈ ImH := span {i, j, k}, ent˜ao q ∈ R.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que q = x
1
+ x
2
.i + x
3
.j + x
4
.k’. Ent˜ao i.q = −x
2
+
x
1
.i + x
3
.k − x
4
.j e q.i = −x
2
+ x
1
.i − x
3
.k + x
4
.j. Como, por hip´otese, temos que
iq = qi concluimos que x
3
= x
4
= 0. Portanto q = x
1
+ x
2
.i. Agora q.j = x
1
j + x
2
.k e
j.q = x
1
j + x
2
k, de onde vem que x
2
= 0.
Lema 1.2.2 Nas condi¸c˜oes do lema acima, se q ∈ S
3
temos que q = ±1.
Demonstra¸c˜ao: Basta observar que os ´unicos reais puros em S
3
s˜ao ±1.
Vejamos agora uma proposi¸c˜ao interessante por si pr´opria.
Proposi¸c˜ao 1.2.1 Existe um homomorfismo cont´ınuo e sobrejetivo ϕ : S
3
→ SO(3), tal
que Ker ϕ = {1, −1}.
Demonstra¸c˜ao: Para todo q ∈ S
3
associamos transforma¸c˜oes lineares ϕ
q
: ImH →
ImH, definidas por
ϕ
q
(q) = q.q.q
−1
. (1.12)
Precisamos verificar alguns detalhes a cerca de como foram definidas as aplica¸c˜oes
acima. Considerada inicialmente como definida em H, ϕ
q
´e trivialmente linear e como
|q.q.q
−1
| = |q|, conclu´ımos que ϕ
q
´e ortogonal. Al´em disso, como ϕ
q
(1) = 1 ∀q ∈ H temos
que ϕ deixa invariante o subespa¸co dos reais R, portanto deve manter fixo tamb´em o seu
complemento ortogonal ImH. Isso mostra que as aplica¸c˜oes ϕ
u
est˜ao bem definidas. As
colunas da matriz de ϕ
q
s˜ao dadas por q.i.q
−1
,q.j.q
−1
e q.k.q
−1
, que dependem continua-
mente de q ∈ S
3
. Temos que detϕ
q
= ±1 ∀q ∈ S
3
. Como S
3
´e conexa e detϕ
1
= 1 temos
que detϕ
q
= 1 ∀q ∈ S
3
. Concluimos que ϕ
q
∈ SO(3) qualquer que seja q ∈ S
3
, o que nos
d´a uma fun¸c˜ao cont´ınua
ϕ : S
3
→ SO(3). (1.13)
Pode-se verificar facilmente que ϕ
q
1
q
2
= ϕ
q
1
◦ ϕ
q
2
, o que prova que ϕ ´e um homomor-
fismo de grupos. Se q ∈ Kerϕ ent˜ao q = q.q.q
−1
com q ∈ ImH, isto ´e, q.q = q.q ∀q ∈ ImH.
Pelo lema 1.2.2, concluimos que devemos ter q = ±1, ou seja ϕ(x) = ϕ(y) ⇐⇒ y = ±x.
Particularmente, ϕ ´e localmente injetiva. Resta demonstrar a sobrejetividade de ϕ. Para
isso, observe que ϕ ´e uma aplica¸c˜ao de classe C
∞
. Como ϕ ´e tamb´em um homomorfismo
9
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
de grupos, seu posto deve ser constante. Utilizando o teorema do posto [2] e o fato de ϕ
ser localmente injetiva, seu posto ´e m´aximo, isto ´e, igual a 3. Conclu´ımos, portanto, que
ϕ ´e aberta. Como S
3
´e compacto e ϕ(S
3
) ´e um subconjunto fechado e aberto de SO(3),
ent˜ao, pela conexidade de SO(3), o resultado segue.
Coletamos todas as informa¸c˜oes necess´arias para definir satisfat´oriamente a aplica¸c˜ao
de Hopf.
Defini¸c˜ao 1.2.1 A aplica¸c˜ao H : S
3
→ S
2
definida por h(q) = q
−1
.i.q = ϕ
q
i ´e chamada
fibra¸c˜ao de Hopf.
Proposi¸c˜ao 1.2.2 : H : S
3
→ S
2
´e uma fribra¸c˜ao localmente trivial com fibra t´ıpica S
1
.
Demonstra¸c˜ao: Pela proposi¸c˜ao 1.2.1 vemos que h ´e cont´ınua e sobrejetiva. Al´em
disso temos h(u) = h(v), se e somente se u
−1
.i.u = v
−1
.i.v, ou seja, u.v
−1
deve comutar
com i. A partir do mesmo racioc´ınio utilizado no lema 1.2 concluimos que w = u.v
−1
=
x
1
+ x
2
i ´e um n´umero complexo. Portanto, obtemos:
h(u) = h(v) ⇐⇒ u = w.v ∀w ∈ S
1
. (1.14)
Por passagem ao quociente, conforme visto na se¸c˜ao anterior, obtemos uma aplica¸c˜ao
H : CP
1
→ S
2
cont´ınua e bijetiva. No diagrama temos:
S
3
H=H◦π
//
π
S
2
CP
n
H
77
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Afirmamos que H ´e um homeomorfismo. Com efeito, seja A ⊂ CP
1
um subconjunto
aberto do espa¸co projetivo. Ent˜ao B = CP
1
\A ´e fechado em CP
1
que ´e compacto, o
que mostra que B ´e compacto. Agora, H ´e cont´ınua, portanto H(B) ⊂ S
2
´e compacto, e
como S
2
´e de Hausdorff, H(B) ´e fechado. A injetividade de H nos d´a que
H(B) = H(CP
1
\A) = S
2
\H(A). (1.15)
Isso mostra que H(A) ´e aberto em S
2
. Agora, sabemos pela proposi¸c˜ao 1.1.1, que
π : S
3
→ CP
1
´e uma fibra¸c˜ao localmente trivial com fibra t´ıpica S
1
e portanto H = H ◦π
tamb´em ser´a.
10
Cap´ıtulo 1. A Fibra¸c˜ao de Hopf
Na literatura, ´e frequente o uso da letra grega π para representar a fibra¸c˜ao de Hopf.
A partir de agora adotaremos essa conven¸c˜ao livremente ao longo do texto.
11
Cap´ıtulo 2
El´asticas
Neste cap´ıtulo, usando alguns conceitos de c´alculo variacional, provaremos que existem
infinitas curvas fechadas em S
2
que s˜ao pontos cr´ıticos do funcional
F
λ
(γ) =
γ
λ + k
2
dt, (2.1)
onde λ ´e um n´umero real e k ´e a fun¸c˜ao curvatura geod´esica de γ.
Nos par´agrafos seguintes faremos uma demonstra¸c˜ao detalhada desse resultado, bem
como uma r´apida al´alise qualitativa da geometria global dessas curvas.
No pr´oximo cap´ıtulo, via a fibra¸c˜ao de Hopf π : S
3
→ S
2
, associaremos a cada uma
dessas curvas certas superf´ıcies em S
3
. Em seguida, mostraremos que tais superf´ıcies s˜ao
de Willmore se, e somente se, as curvas em S
2
correspondentes s˜ao pontos cr´ıticos de F.
2.1 As El´asticas
Seja (M, , ) uma variedade Riemanniana e ∇ a sua conex˜ao Riemanniana. Portanto,
dados campos de vetores X, Y e Z em M podemos escrever R(X, Y )Z = ∇
X
∇
Y
Z −
∇
Y
∇
X
Z − ∇
[X,Y ]
Z onde R ´e o tensor curvatura e [ , ] ´e o colchete de Lie.
Consideraremos nesse cap´ıtulo curvas γ : [0, 1] → M em M. Associados a γ temos o
campo tangente V = V (t), T = T (t) a tangente unit´aria e v(t) = |V (t)| = V (t), V (t)
1/2
.
Com essas defini¸c˜oes, o quadrado da curvatura de γ ´e dado por k
2
(t) = |∇
T
T |
1/2
. Dada
ainda uma varia¸c˜ao γ
w
(t) := γ(w, t) : (−, ) × [0, 1] → M definimos o campo vetorial da
varia¸c˜ao ao longo de γ(t) como W =
∂γ
∂w
(w, 0). Nesse caso V = V (w, t), T = T (w, t), W =
W (w, t) e v = v(w, t) podem ser definidos exatamente como acima.
12
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Se s ´e o comprimento de arco de γ ent˜ao escrevemos γ(s), T (s), V (s), etc. como as re-
spectivas reparametriza¸c˜oes dos vetores considerados nos par´agrafos anteriores. Definindo
L = L (γ) =
1
0
V (t), V (t)
1
2
dt ent˜ao temos que s ∈ [0, L].
A partir das considera¸c˜oes feitas acima temos o
Lema 2.1.1 Valem as seguintes afirma¸c˜oes:
1. [V, W ] = 0;
2.
∂v
∂w
= −gv, onde g = −∇
T
W, T ;
3. [W, T ] = gT ;
4. [[W, T ] , T ] = −T (g)T = −g
s
T ;
5.
∂k
2
∂w
= 2∇
T
∇
T
W, ∇
T
T + 4gk
2
+ 2R(∇
T
T, T )T, W .
Demonstra¸c˜ao:
1. Essa ´e cl´assica. Sabemos que:
D
∂w
∂γ
∂s
=
D
∂s
∂γ
∂w
,
logo,
[V, W ] =
D
∂w
∂γ
∂s
−
D
∂s
∂γ
∂w
= 0.
2. Como [V, W ] = ∇
V
W − ∇
W
V = 0 e V = vT temos que:
∂v
∂w
=
∂
∂w
V, V
1
2
=
1
2
2∇
W
V, V
V, V
1
2
=
∇
V
W, vT
v
=
∇
vT
W, vT
v
= v∇
T
W, T .
13
Cap´ıtulo 2. El´asticas
3. Novamente lembrando que [W, V ] = 0 temos:
[W, T ] = ∇
W
T − ∇
T
W
= ∇
W
V
v
− ∇
V
v
W
=
∂
∂w
1
v
V +
1
v
∇
W
V −
1
v
∇
V
W
= −
1
v
2
∂v
∂w
V +
1
v
∇
V
W −
1
v
∇
V
W
= −
1
v
2
(−gv) vT
= gT.
4. Usando a propriedade
[fX, gY ] = fg [X, Y ] + fX(g)Y − gY (f)X,
obtemos imediatamente que
[[W, T ] , T ] = [gT, T ]
= −g [T, T ] − T (g)T
= −g
s
T.
5. Primeiramente observe que:
∇
T
∇
T
W = ∇
T
(∇
W
T − [W, T ])
= ∇
T
(∇
W
T − gT )
= ∇
T
∇
W
T − g
s
T − g∇
T
T
e
∇
[W,T]
T = [[W, T ] , T ] + ∇
T
[W, T ]
= −g
s
T + ∇
T
(gT )
= −g
s
T + g
s
T + g∇
T
T
= g∇
T
T.
14
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Finalmente como, por defini¸c˜ao, k
2
= |∇
T
T |
2
temos que:
∂k
2
∂w
=
∂
∂w
∇
T
T, ∇
T
T
= 2∇
W
∇
T
T, ∇
T
T
= 2∇
W
∇
T
T + ∇
T
∇
T
W − ∇
T
∇
T
W + ∇
[W,T]
T − ∇
[W,T]
T, ∇
T
T
= 2∇
W
∇
T
T + ∇
T
∇
T
W − ∇
T
∇
W
T − ∇
[W,T]
T + g
s
T + 2g∇
T
T, ∇
T
T
= 2∇
T
∇
T
W, ∇
T
T + 2R (W, T ) T, ∇
T
T + 4gk
2
+ g
s
T, ∇
T
T .
Agora, como T, T = 1 temos que
∂
∂s
T, T = 2T, ∇
T
T = 0.
Portanto
∂k
2
∂w
= 2∇
T
∇
T
W, ∇
T
T + 2R (W, T ) T, ∇
T
T + 4gk
2
.
O lema acima permite demonstrar o seguinte resultado:
Proposi¸c˜ao 2.1.1 Uma curva fechada γ : [0, 1] → M ´e ponto cr´ıtico do funcional
F
λ
(γ)
L
0
λ + k
2
ds,
onde λ ∈ R, se satisfaz a seguinte equa¸c˜ao:
2(∇
T
)
3
T + ∇
T
3k
2
− λ
T + 2R (∇
T
T, T ) T = 0.
Demonstra¸c˜ao: Observe inicialmente que o funcional acima pode se reescrito como:
F
λ
(γ
w
) =
L
0
k
2
+ λds =
1
0
k
2
+ λ
vdt,
Afim de verificar quais s˜ao os pontos cr´ıticos desses funcionais calculamos a sua
derivada:
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
=
d
dw
1
0
k
2
+ λ
vdt
=
1
0
∂
∂w
k
2
+ λ
v
dt (2.2)
=
1
0
∂k
2
∂w
v +
k
2
+ λ
∂v
∂w
dt.
15
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Utilizando agora os resultados obtidos no lema 2.1.1 obtemos
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
=
1
0
2∇
T
∇
T
W, ∇
T
T + 4gk
2
+2R (∇
T
T, T ) T, W −
k
2
+ λ
vdt (2.3)
=
L
0
2∇
T
∇
T
W, ∇
T
T + 2R (∇
T
T, T ) T, W
+
3k
2
+ λ
gds.
Sabemos, pelas propriedades da conex˜ao Riemanniana, que dados dois campos de
vetores X e Y ao longo de γ temos:
∂
∂s
X, Y = ∇
T
X, Y + X, ∇
T
Y . (2.4)
Logo, usando a express˜ao acima e a defini¸c˜ao de g a equa¸c˜ao (2.3) acima pode ser
reescrita como:
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
=
L
0
2
∂
∂s
∇
T
W, ∇
T
T − ∇
T
W, (∇
T
)
2
T
+ (2.5)
λ − 3k
2
∇
T
W, T k
2
+ 2R (∇
T
T, T ) T, W ds,
onde usamos a seguinte nota¸c˜ao: ∇
T
(∇
T
) ≡ (∇
T
)
2
. Utilizando o teorema fundamental
do c´alculo obtemos
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
= [2∇
T
W, ∇
T
T ]
L
0
+
L
0
−2∇
T
W, (∇
T
)
2
T + (2.6)
λ − 3k
2
∇
T
W, T + 2R (∇
T
T, T ) T, W ds
Agora usando novamente a propriedade (2.4) obtemos
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
= [2∇
T
W, ∇
T
T ]
L
0
+
L
0
−2
∂
∂s
W, (∇
T
)
2
T −
W, (∇
T
)
3
T
+
λ − 3k
2
∂
∂s
W, T − W, ∇
T
T
+2R (∇
T
T, T ) T, W ds (2.7)
=
2∇
T
W, ∇
T
T + W, −2(∇
T
)
2
T
L
0
+
L
0
2W,
(∇
T
)
3
T +
λ − 3k
2
∂
∂s
W, T − W, ∇
T
T
+2R (∇
T
T, T ) T, W ds
16
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Sabemos que a conex˜ao Riemmaniana tem a propriedade
∇
T
(3k
2
− λ)T =
λ − 3k
2
∇
T
T +
∂
∂s
λ − 3k
2
T, (2.8)
donde,
λ − 3k
2
∇
T
T = ∇
T
λ − 3k
2
T −
∂
∂s
3k
2
− λ
T. (2.9)
Substituindo esse resultado na express˜ao (2.7) vem:
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
. =
2∇
T
W, ∇
T
T + W, −2(∇
T
)
2
T
L
0
+
L
0
2W, (∇
T
)
3
T
λ − 3k
2
∂
∂s
W, T − W, ∇
T
(3k
2
− λ)T −
∂
∂s
3k
2
− λ
T
+2R (∇
T
T, T ) T, W ds (2.10)
=
2∇
T
W, ∇
T
T + W, −2(∇
T
)
2
T
L
0
+
L
0
2W, (∇
T
)
3
T +
∂
∂s
λ − 3k
2
W, T
+ W, ∇
T
3k
2
− λ
T
+2R (∇
T
T, T ) T, W ds
Usando mais uma vez o teorema fundamental do c´alculo e ordenando os termos, obte-
mos finalmente a express˜ao:
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
=
L
0
W, 2(∇
T
)
3
T + ∇
T
3k
2
− λ
T + 2R (∇
T
T, T ) T
+
2∇
T
W, ∇
T
T + W, −2(∇
T
)
2
T +
λ − 3k
2
L
0
(2.11)
Como nesse trabalho estamos interessados apenas no caso de curvas fechadas os termos
de fronteira se anulam e obtemos que:
d
dw
F
λ
(γ
w
)
w=0
=
L
0
W, 2(∇
T
)
3
T + ∇
T
3k
2
− λ
T + 2R (∇
T
T, T ) T = 0. (2.12)
Finalmente, pela arbitrariedade de W , concluimos que a condi¸c˜ao para que γ seja um
ponto cr´ıtico do funcional F
λ
´e:
2(∇
T
)
3
T + ∇
T
3k
2
− λ
T + 2R (∇
T
T, T ) T = 0 (2.13)
De agora em diante chamaremos uma curva com tangente unit´aria satisfazendo 2.13
uma el´astica, ou de el´astica livre no caso λ = 0.
17
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Proposi¸c˜ao 2.1.2 Sejam S uma variedade de dimens˜ao 2 com curvatura gaussiana con-
stante G e γ : [0, 1] → S uma curva regular em S parametrizada pelo comprimento de
arco com curvatura k. Neste caso a equa¸c˜ao (2.13) se escreve como:
2k
ss
+ k
3
+ 2kG − λk = 0. (2.14)
Demonstra¸c˜ao: As equa¸c˜oes de Frenet
∇
T
T = kN (2.15)
e
∇
T
N = −kT (2.16)
nos levam `a seguinte express˜ao:
(∇
T
)
2
T = ∇
T
(∇
T
T )
= ∇
T
(kN) (2.17)
= k∇
T
N + k
s
N.
Portanto,
(∇
T
)
3
T = ∇
T
(∇
T
)
2
T
= ∇
T
(k∇
T
N + k
s
N)
= ∇
T
−k
2
T + k
s
N
= −∇
T
k
2
T
+ ∇
T
(k
s
N) (2.18)
= −2kk
s
T − k
2
∇
T
T + k
ss
N + k
s
∇
T
N
= −2kk
s
T − k
3
N + k
ss
N − kk
s
T
=
kk
ss
− k
3
N − 3kk
s
T
Agora, sabemos que:
∇
T
3k
2
− λ
T =
∂
∂s
3k
2
− λ
T +
3k
2
− λ
∇
T
T
= 6kk
s
T +
3k
2
− λ
kN (2.19)
= 6kk
s
T + 3k
3
N − λkN.
18
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Substituindo (2.18) e (2.19) em (2.13) temos:
0 = 2(∇
T
)
3
T + ∇
T
3k
2
− λ
T + 2R (∇
T
T, T ) T
= 2k
ss
N − 2k
3
N − 6kk
s
T + 6kk
s
T + 3k
3
N − λkN + 2R (kN, T ) T
=
2K
ss
+ k
3
− λk
N + 2kR (N, T ) T
Tomando o produto interno com N obtemos:
2k
ss
+ k
3
+ 2kG − λk = 0, (2.20)
pois N e T s˜ao ortonormais e como a variedade tem dimens˜ao 2 a curvatura de Gauss
coincide com a curvatura seccional.
2.2 An´alise das Solu¸c˜oes
Na se¸c˜ao anterior obtivemos a equa¸c˜ao diferencial que a fun¸c˜ao curvatura deve sat-
isfazer a fim de γ ser ponto cr´ıtico do funcional F
λ
. A partir de agora discutiremos a
integra¸c˜ao da equa¸c˜ao 2.20 de modo a identificar as propriedades dessas curvas. Tratare-
mos apenas o caso de uma el´astica γ em uma variedade de dimens˜ao 2 com curvatura
Gaussiana constante G, pois esse ´e o caso interessante para o nosso trabalho. Come¸camos
reescrevendo 2.20 como :
k
ss
+
1
2
k
3
+
G −
λ
2
k = 0. (2.21)
Verifica-se facilmente que
(k
s
)
2
+
k
4
4
+
G −
λ
2
k
2
= A, (2.22)
´e uma integral primeira de (2.21), onde A ´e uma constante arbitr´aria. Fazendo agora a
mudan¸ca de vari´aveis u = k
2
temos que:
k =
√
u ⇒ k
s
=
1
2
u
s
√
u
. (2.23)
Substituindo (2.23) em (2.22) chegamos finalmente a:
(u
s
)
2
+ u
3
+ 4
G −
λ
2
u
2
− 4Au = 0. (2.24)
19
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Como a equa¸c˜ao (2.24) ´e da forma (u
s
)
2
= P (u) onde P (u) ´e um polinˆomio de grau
3, tal equa¸c˜ao pode ser resolvida por m´etodos cl´assicos em termos de fun¸c˜oes el´ıpticas.
Inicialmente observamos que P (0) = 0 e al´em disso temos lim
u→±∞
P (u) = ∓∞. En-
tretanto, dada uma solu¸c˜ao n˜ao constante u = k
2
> 0 de (2.24) devemos obrigatoriamente
ter P (u) > 0. Concluimos que P(u) deve ter ra´ızes reais −α
1
, α
2
= 0 e α
3
satisfazendo a
rela¸c˜ao −α
1
≤ 0 ≤ α
3
. Podemos, portanto, reescrever (2.24) como:
(u
s
)
2
+ u(u + α
1
)(u − α
3
), (2.25)
ou ainda
(u
s
)
2
= u(u − α
1
)(u − α
3
). (2.26)
A solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao dessa forma ´e dada por:
k
2
(s) = u(s) = α
3
1 − q
2
sn
2
(rs, p)
, (2.27)
onde
p
2
=
α
3
α
3
+ α
1
, q
2
=
α
3
− α
2
α
3
= 1, r
2
=
α
3
+ α
1
4
. (2.28)
Para uma discusss˜ao completa acerca da solu¸c˜ao de (2.26) ver apˆendice. Estamos
particularmente interessados no caso da imers˜ao γ : I → S
2
com λ = 1. Nessa situa¸cao
podemos reescrever a solu¸c˜ao (2.27) como
k(s) =
√
α
3
cn (rs, p) , (2.29)
pois q = 1, e vale a rela¸c˜ao sn
2
+ cn
2
= 1. A equa¸c˜ao acima revela um comportamento
tipo onda, pois k(s) = cn (s, p) se comporta qualitativamente como um cosseno usual.
Uma importante conseq¨uˆencia do resultado provado acima ´e o seguinte: existem in-
finitas curvas (el´asticas) que s˜ao ponto cr´ıtico do funcional F
γ
, pois α
3
em (2.29) dep ende
de uma constante arbitr´aria A e para cada uma dessas constantes obtemos uma diferente
solu¸c˜ao da equa¸c˜ao.
Veremos agora que o termo “tipo onda”empregado acima e que ´e apenas sugerido
pela fun¸c˜ao curvatura de γ, se torna realmente apropriado. Para tanto, necessitamos
de mais uma integra¸c˜ao em nosso sistema de equa¸c˜oes, o que revelar´a, pelo Teorema
Fundamental da Curvas, os formatos precisos das el´asticas consideradas. Come¸camos
com uma importante defini¸c˜ao:
20
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Defini¸c˜ao 2.2.1 Seja M uma variedade de dimens˜ao 2 e γ : I → M uma curva em M.
Dizemos que um campo de vetores W ao longo de γ ´e de Killing se ele aniquila as fun¸c˜oes
v e k, i.e, se para toda varia¸c˜ao de γ na dire¸c˜ao de W , ou seja, com
dγ
w
dw
= W
tivermos satisfeita a seguinte condi¸c˜ao:
∂v
∂w
=
∂k
∂w
= 0. (2.30)
Um importante passo para o entendimento da geometria global da el´astica γ ´e dado
pelo interessante teorema:
Teorema 1 Seja M uma variedade simplesmente conexa com curvatura seccional con-
stante G e seja γ : I → M uma el´astica. Nessas condi¸c˜oes, o campo vetorial J
γ
=
(k
2
− λ) T + 2k
s
N ´e a restri¸c˜ao a γ de um campo de Killing
J
γ
em M.
Demonstra¸c˜ao: Para demonstrar o teorema recorremos inicialmente `as partes 2 e 5 do
lema 2.1.1. Nesse caso as condi¸c˜oes (2.30) nos d˜ao:
∂v
∂w
= ∇
T
W, T v = 0
e
∂k
2
∂w
= 2∇
T
∇
T
W, ∇
T
T + 4gk
2
+ 2R(∇
T
T, T )T, W = 0.
Portanto, as condi¸c˜oes 2.30 constituem um sistema de equa¸c˜oes lineares em W cujo
espa¸co solu¸c˜ao ´e tridimensional. Como M ´e simplesmente conexa, temos que a dimens˜ao
do seu respectivo grupo de isometrias ´e tamb´em 3. Agora sabemos que a dimens˜ao do
espa¸co dos campos de Killing em M ´e igual a dimens˜ao do seu grupo de isometrias(cf.[21],
pg. 239) e, conseq¨uentemente, igual a dimens˜ao do espa¸co dos campos de Killing ao longo
de γ. Observando que a restri¸c˜ao de todo campo de Killing em M a γ ´e um campo
de Killing ao longo de γ, concluimos que qualquer campo de Killing ao longo de γ ´e,
evidentemente, a restri¸c˜ao de um campo de Killing em M. Agora devemos apenas mostrar
que J
γ
´e de fato um campo de Killing. Para isso calculamos:
∇
T
J
γ
= ∇
T
k
2
− λ
T + 2k
s
N
= ∇
T
k
2
− λ
T + ∇
T
2k
s
N
=
k
2
− λ
∇
T
T + 2k
s
kT + 2k
s
∇
T
N + 2k
ss
N.
21
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Usando as f´ormulas de Frenet (2.15) e (2.16) obtemos:
∇
T
J
γ
=
k
3
− λk
+ 2kk
s
T − 2kk
s
T + 2k
ss
N
=
2k
ss
+ k
3
− λk
N,
donde:
∂v
∂w
= ∇
T
J
γ
, T v
=
2k
ss
+ k
3
− λk
N, T v
= 0.
Agora temos que:
∇
T
∇
T
J
γ
= ∇
T
(
2k
ss
+ k
3
− λk
N
=
∂
∂s
2k
ss
+ k
3
− λk
N +
2k
ss
+ k
3
− λk
∇
T
N
=
∂
∂s
2k
ss
+ k
3
− λk
N − k
2k
ss
+ k
3
− λk
T
e
R(J
γ
, T )T = R
k
2
− λ
T + 2k
s
N, T
T
=
k
2
− λ
R(T, T )T + 2k
s
R(N, T )T
= 2k
s
R(N, T )T.
Substituindo as express˜oes acima na parte 5 do lema 2.1.1 vem:
∂k
2
∂w
= 2k
∂k
∂w
= ∇
T
∇
T
J
γ
, ∇
T
T + 4gk
2
+ R (J
γ
, T ) T, ∇
T
T
=
∂
∂s
2k
ss
+ k
3
− λk
N, kN + 2k
s
R(N, T )T, kT
= k
∂
∂s
2k
ss
+ k
3
− λk
+ 2kk
s
G
= k
∂
∂s
2k
ss
+ k
3
− λk + 2kG
,
pois g = ∇
T
W, T = 0 e R(N, T )T, N = G. Agora como, por hip´otese, γ ´e uma el´astica
vale (2.20) e ,portanto,
∂k
∂s
= 0
22
Cap´ıtulo 2. El´asticas
Agora vamos usar o resultado acima para fazer um r´apido estudo qualitativo a cerca
do comportamento de global de γ.
Se γ ´e uma el´astica n˜ao geod´esica em S
2
, essa curva induz o campo de Killing
J
γ
em S
2
e podemos supor, sem perda de generalidade, o equador como sendo a sua ´unica
geod´esica integral, i.e, o conjunto de pontos para os quais |
J
γ
| tem um m´aximo.
´
E ´obvio
que J
γ
= (k
2
− 1) T + 2k
s
N ´e tangente a γ nos seus v´ertices (os pontos onde k
s
= 0).
Ainda podemos calcular:
d
ds
|J
γ
|
2
=
d
ds
k
4
+ 4k
2
s
= 4k
3
k
s
+ 8k
s
k
ss
= 4k
s
2k
ss
+ k
3
.
Como e G = 1 e γ ´e tal que λ = 1 a equa¸c˜ao (2.20) fica:
2k
ss
+ k
3
= −k,
de onde vem que:
d
ds
|J
γ
|
2
= −4kk
s
.
Agora, a condi¸c˜ao
d
ds
|J
γ
|
2
= 0
implica que γ cruza o equador de S
2
exatamente nos seus pontos de inflex˜ao, i.e, nos
pontos onde a curvatura muda de sinal.
Vale tamb´em observar que existem infinitas solu¸c˜oes de (2.20) que geram curvas
fechadas de S
2
. Para uma an´alise detalhada desse fato, o leitor interessado p ode con-
sultar [9] e [10].
23
Cap´ıtulo 3
Os Toros de Hopf e Willmore
A restri¸cao da proje¸c˜ao canˆonica de C
2
\{0} sobre CP
1
`a esfera unit´aria S
3
⊂ C
2
´e a
maneira cl´assica de construir a fibra¸c˜ao de Hopf. Foi exatamente isso o que fizemos no
cap´ıtulo 1. Neste cap´ıtulo faremos uma abordagem um pouco diferente e mais adequada
para os nossos prop´ositos.
3.1 O Toro de Hopf
Seja a esfera unit´aria S
3
= {q ∈ H|qq = 1}. Identificaremos S
2
com o conjunto dos
quat´ernios unit´arios que est˜ao no subespa¸co de H gerado por 1, j e k, isto ´e:
S
2
= {q ∈ ger {1, j, k}|qq}. (3.1)
Definimos a aplica¸c˜ao q → q como sendo o anti-automorfismo (ou seja, q
1
q
2
→ q
2
q
1
)
que mant´em fixos 1, k e j, mas leva i em −i. Considere agora a aplica¸c˜ao de Hopf
π : S
3
→ H definida pela regra π(q) = qq. Provaremos em seguida um lema bastante
simples que estabelece algumas importantes propriedades de π
Lema 3.1.1 A aplica¸c˜ao π tem as seguintes propriedades:
1. π(S
3
) = S
2
;
2. π(e
iϕ
q) = π(q), ∀q ∈ S
3
e ϕ ∈ R;
3. O grupo S
3
age isometricamente em S
3
pela multiplica¸c˜ao a direita e em S
2
via
q → rqr com r ∈ S
3
e q ∈ S
2
.
24
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
Demonstra¸c˜ao: (1) Observe que q = q se, e somente se, q ∈ S
2
e tamb´em
q = q.
Por outro lado temos
π(q) =
qq = q
q = qq = π(q) e, pela propriedade multiplicativa do
m´odulo dos quat´ernios, vem |π(q)| = |qq| = 1. Concluimos ent˜ao que π(q) ∈ S
2
, ∀q ∈ S
3
,
isto ´e, π(S
3
) ⊂ S
2
. Certamente S
2
⊂ π(S
3
) o que demonstra (1). A prova de (2) ´e
um mero c´alculo. Com efeito, π(e
iϕ
q) =
e
iϕ
qe
iϕ
q = qe
−iϕ
e
iϕ
q = qq = π(q). Finalmente,
para demonstrar (3) observe que para todo r ∈ S
3
a aplica¸c˜oes ψ
r
: S
2
→ S
2
, dadas
por q → rqr, est˜ao bem definidas, pois
ψ
r
(q) =
rqr = rqr, o que mostra que ψ
r
(q) ∈ S
2
.
Vistas como aplica¸c˜oes de R
4
em R
4
, para todo r as ψ
r
s˜ao obviamente lineares. Portanto,
d(ψ
r
) = ψ
r
e como |ψ
r
(q)| = |q| conclu´ımos que cada ψ
q
´e uma isometria. Al´em disso,
ψ
1
= Id
S
2
. Por fim, verificamos que
ψ
r
1
◦ ψ
r
2
(q) = ψ
r
1
( r
2
qr
2
)
= r
1
( r
2
qr
2
)r
1
= ( r
1
r
2
)q(r
2
r
1
) (3.2)
= r
2
r
1
qr
2
r
1
= ψ
r
2
r
1
(q).
Para provar que S
3
age isometricamente em S
3
usamos um racioc´ınio totalmente
an´alogo.
Cabe observar aqui que a propriedade 2 acima reflete o fato de π ser uma fibra¸c˜ao local-
mente trivial com fibra t´ıpica S
1
. A fibra que cont´em o ponto q ´e o conjunto
e
iφ
φ∈[0,2π]
.
Seja γ : [a, b] → S
2
uma curva mergulhada em S
2
. Tome ξ : [a, b] → S
3
tal que
π ◦ ξ = γ, isto ´e, γ ´e a imagem de ξ pela fibra¸cao de Hopf π : S
3
→ S
2
. Agora, com a
nota¸c˜ao S
1
:= R/2πZ definimos uma imers˜ao X do cilindro [a, b] × S
1
em S
3
por
X(t, φ) = e
iφ
ξ(t). (3.3)
A imers˜ao X ´e dita um cilindro de Hopf. No caso em que a curva ξ ´e fechada X ´e
chamada de toro de Hopf. A partir desse momento, assumiremos que ξ est´a parametrizada
pelo comprimento de arco, e que essa curva ´e ortogonal `as fibras de π, ou seja, ξ
(t) ´e
perpendicular a X
φ
(t, φ) = ie
iφ
ξ(t). Portanto
ξ
(t), ie
iφ
ξ(t) = 0, (3.4)
25
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
onde S
3
tˆem a m´etrica riemanniana induzida p or R
4
e os sub-´ındices s˜ao usados para
representar as derivadas parciais de X. Al´em disso, como ξ est´a paramentrizada pelo
comprimento de arco sabemos que
ξ, ξ
= 0. (3.5)
Essas observa¸c˜oes permitem concluir o seguinte:
Lema 3.1.2 Existe uma fun¸c˜ao u : [a, b] → ger {j, k} tal que |u| = 1 e ξ
= uξ.
Demonstra¸c˜ao: Como X
φ
e ξ s˜ao ortogonais temos que
0 = ie
iφ
ξ(t), ξ
(t)
= i(cos φ + i senφ)ξ(t), ξ
(t) (3.6)
= cos φiξ(t), ξ
(t) − senφξ(t), ξ
(t).
Por´em, temos ξ, ξ
= 0. Logo:
iξ(t), ξ
(t) = 0. (3.7)
Observe agora que {ξ, iξ, jξ, kξ} formam uma base ortonormal de R
4
. Como por (3.5) e
(3.7), ξ
n˜ao tem componentes em iξ e ξ respectivamente. Concluimos que ξ
(t) = u(t)ξ(t)
com u ∈ ger {j, k} para todo t ∈ [a, b].
Utilizando o lema 3.1.2, para a curva γ = π ◦ ξ em S
2
obtemos:
γ =
ξξ,
γ
=
ξ
ξ +
ξξ
, (3.8)
γ
=
uξξ +
ξuξ.
Agora, como u = u, pois u ∈ ger {j, k}, temos:
γ
=
ξuξ +
ξuξ
=
ξuξ +
ξuξ (3.9)
= 2
ξuξ.
26
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
As duas derivadas parciais de X
X
φ
= ie
iφ
ξ(t) = e
iφ
iξ(t) (3.10)
e
X
t
= e
iφ
ξ
(t) = e
iφ
uξ(t), (3.11)
s˜ao ortogonais, como se vˆe facilmente pois iξ e ξ
= uξ tamb´em o s˜ao.
A proposi¸c˜ao seguinte estabelece que o cilindro de Hopf ´e flat, isto ´e, tem curvatura
intr´ınceca igual a zero.
Lema 3.1.3 Seja γ uma curva fechada em S
2
de comprimento L. Ent˜ao o toro de Hopf
correspondente ´e isom´etrico a [0, L/2] × S
1
.
Demonstra¸c˜ao: Observe inicialmente que (3.9) implica que o comprimento de ξ ´e
a metade do comprimento de γ. Al´em disso, como as curvas s˜ao fechadas temos que
ξ(t + L/2) = ξ(t), ou seja, a imers˜ao X induz um recobrimento do plano ( t, φ) sobre o
toro de hopf com regi˜ao fundamental L/2 × [0, 2π]. Agora, de (3.10) e (3.11) temos que
E
X
= X
φ
, X
φ
= |X
φ
|
2
= 1 (3.12)
e
G
X
= X
t
, X
t
= |X
t
|
2
= 1. (3.13)
Alem disso, como F = X
φ
, X
t
= 0, a primeira forma fundamental do cilindro de
Hopf ´e dada por
ds
2
= dφ
2
+ dt
2
. (3.14)
Como os coeficientes da primeira forma fundamental do cil´ındro [0, L/2]×S
1
s˜ao iguais
`as obtidas em (3.14), concluimos que essas variedades s˜ao isom´etricas.
3.2 O Toro de Willmore
Estamos agora interessados em determinar a curvatura m´edia do toro de Hopf X.
Provaremos que a curvatura m´edia da imers˜ao X ´e igual `a curvatura geod´esica da curva as-
sociada ao toro pela aplica¸c˜ao de Hopf π, i.e, γ. Por fim daremos uma condi¸c˜ao necess´aria
27
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
e suficiente para que um toro de Hopf em S
3
, seja uma superf´ıcie de Willmore, isto ´e,
ponto cr´ıtico do funcional
W(X) =
H
2
− K
da, (3.15)
onde K ´e a curvatura gaussiana de X.
Pelo lema 3.1.2 temos que ξ
= uξ. Como e
iφ
u ∈ ger {j, k} obtemos que
e
iφ
u =
e
iφ
u
= ue
−iφ
(3.16)
= ue
−iφ
.
Portanto, de 3.11 temos
X
t
(t, φ) = e
iφ
ξ
= e
iφ
uξ (3.17)
= ue
−iφ
ξ.
Afirmamos agora que o campo normal a imers˜ao X ´e dado por
η(t, φ) = iu(t)e
−iφ
ξ(t). (3.18)
Talvez seja conveniente fazer alguns coment´arios pertinentes para esclarecer um pouco
a situa¸c˜ao acima.
Dada uma imers˜ao f : M
m
→ N
n=m+r
entre duas variedades Riemannianas, ´e
bem sabido que, no caso em que M tem a m´etrica induzida por f , isto ´e u, v
x
=
df
x
(u), df
x
(v)
f(x)
∀u, v ∈ T
p
M, f ´e dita uma imers˜ao isom´etrica. Al´em disso, para todo
x ∈ M existe uma vizinhan¸ca U de x tal que f(U) ´e uma subvariedade de N. Fazendo
a identifica¸c˜ao f(U) ≈ U e lembrando que todos os fatos que ser˜ao estudados s˜ao locais,
podemos, sem perda de generalidade, considerar M como uma subvariedade de N. Nesse
caso, o espa¸co tangente a M em p, T
p
M, ´e um subespa¸co vetorial de T
p
N e a m´etrica
riemanniana de N permite a seguinte decomposi¸c˜ao:
T
p
N = T
p
M ⊕ T
p
M
⊥
, (3.19)
28
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
onde T
p
M
⊥
´e o complemento ortogonal de T
p
M em T
p
N. Portanto, podemos definir duas
proje¸coes naturais
: T
p
N → T
p
M
⊥ : T pN → T
p
M
⊥
.
(3.20)
Conseq¨uentemente, todo vetor tangente de N se escreve de maneira ´unica como
v = v
+ v
⊥
. (3.21)
Um campo normal da imers˜ao f ´e um campo de vetores em M que est´a em T
p
M
⊥
para todo p ∈ M, isto ´e, s˜ao perpendiculares a todo vetor tangente de M. Observe que a
dimens˜ao de T
p
M
⊥
(= r) ´e igual a codimens˜ao da imers˜ao.
Portanto para que η seja, de fato, o campo normal da imers˜ao X, ´e necess´ario e
suficiente provar que η, X = η, X
φ
= η, X
t
= 0. As duas ´ultimas igualdades mostram
que η ´e perpendicular ao espa¸co tangente, enquanto que a primeira condi¸c˜ao estabelece
que η, X, X
φ
e X
t
formam uma base ortonormal de R
4
, que ´e o espa¸co ambiente de S
3
.
Vamos demonstrar que isso realmente ocorre.
Inicialmente observe que
η(t, φ) = iu(t)e
−iφ
ξ(t)
= ie
iφ
u(t)ξ(t) (3.22)
= ie
iφ
ξ
(t).
Logo, por (3.10) e como ξ, ξ
= 0 obtemos:
η, X
φ
= 0. (3.23)
Agora, por (3.17) e (3.23) respectivamente, ´e imediato que
η, X
t
= 0 (3.24)
e
η, X = 0. (3.25)
Como o espa¸co ambiente de S
3
´e R
4
, sabemos que a derivada usual do campo normal,
exatamente como no caso da teoria de superf´ıcies, permite calcular a curvatura m´edia da
29
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
imers˜ao. Tomando as derivadas de (3.18) temos:
η
φ
(t, φ) = iu(t)(−i)e
iφ
ξ(t)
= −e
iφ
u(t)ξ(t) (3.26)
= −X
t
,
e
η
t
(t, φ) = iu
(t)e
−iφ
ξ(t) + iu(t)e
−iφ
ξ
(t)
= −2ke
iφ
u(t)ξ(t) + ie
iφ
u(t)u(t)ξ(t) (3.27)
= −2kX
t
− X
φ
,
onde definimos k pela equa¸c˜ao u
= 2iku e observamos que uu = −1.
Provaremos agora uma importante proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.2.1 A aplica¸c˜ao definida por t → k(t) ´e a fun¸c˜ao curvatura geod´esica de
γ = π ◦ ξ =
ξξ.
Demonstra¸c˜ao: Para verificar o afirmado come¸camos observando que γ
= 2
ξuξ por
(3.9). Al´em disso
γ
= (2
ξuξ)
= 2
ξ
uξ + 2
ξu
ξ + 2
ξuξ
= 2
ξuuξ + 2
ξuξ + 2
ξuuξ (3.28)
= 2
ξu
ξ − 4
ξξ
= 2
ξ(u
− 2)ξ.
Agora lembre que, pelo lema 2.1.1, a aplica¸c˜ao que leva q ∈ S
2
para rqr ´e uma
isometria de S
2
para todo r ∈ S
3
. Por esse motivo, para o c´alculo da curvatura geod´esica
podemos analizar em (3.9) e (3.28) apenas os termos u e (u
− 2).
Sabemos que u ∈ ger {j, k} e portanto, por (3.9), T
γ(t)
S
2
∼ ger {j, k}. Observe que a
equa¸c˜ao (3.28) nos mostra que a componente γ
no plano tangente de S
2
´e exatamente
u
= 2iku. Veja a figura abaixo:
30
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
k
||
z
z
z
z
z
z
z
z
z
j
OO
R
//
u
aa
B
B
B
B
B
B
B
FF
u
= 2iku
22
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
u
− 2
Como |u
| = 2|k| concluimos que a fun¸c˜ao t → k(t) ´e a componente tangencial da
curvatura de γ, ou seja, a sua curvatura geod´esica.
Sabemos que a curvatura m´edia do toro de Hopf ´e dada pela m´edia do negativo do
tra¸co da diferencial da aplica¸c˜ao normal de Gauss. De (3.26) e (3.27) obtemos que a
curvatura m´edia da imers˜ao X ´e o negativo do tra¸co da matriz
dη =
−2k −1
−1 0
. (3.29)
Isso mostra que a curvatura m´edia de X ´e dada por H = −
−2k
2
= k, ou seja, igual a
curvatura da curva γ associada ao toro pela aplica¸c˜ao de Hopf.
Agora daremos a defini¸c˜ao de superf´ıcies de Willmore [16, 13] e usaremos os resul-
tados j´a estabelecidos para obter uma outra caracteriza¸c˜ao de tais superf´ıcies. Veremos
ainda que tal caracteriza¸c˜ao permite demonstrar a existˆencia de um n´umero infinito de
superf´ıcies de Willmore n˜ao triviais, isto ´e, que n˜ao prov´em de uma superf´ıcie m´ınima de
S
3
.
Defini¸c˜ao 3.2.1 Seja M
2
uma superf´ıcie compacta. Dizemos que uma imers˜ao X :
M
2
→ S
3
´e uma superf´ıcie de Willmore se ´e ponto cr´ıtico do funcional
W(M) =
M
H
2
− K
da, (3.30)
onde H e K s˜ao, respectivamente, as curvaturas m´edia e gaussiana da imers˜ao.
J´a coletamos todas as informa¸c˜oes necess´arias para provar o resultado mais importante
desse cap´ıtulo.
Teorema 2 Um toro de Hopf X ´e uma superf´ıcie de Willmore se, e somente se, a fun¸c˜ao
curvatura geod´esica s → k(s) da curva γ associada `a X ´e ponto cr´ıtico do funcional
F(γ) =
L
0
1 + k
2
(s)ds, (3.31)
31
Cap´ıtulo 3. Os Toros de Hopf e Willmore
onde L ´e o comprimento de γ e s ´e o comprimento de arco.
Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao dessa proposis˜ao ´e uma mera coleta dos resultados
que obtemos nos par´agrafos anteriores. De fato, conforme foi provado por Weiner em
[13] a imers˜ao X ´e ponto cr´ıtico do funcional de Willmore W se, e somente se, satisfaz a
seguinte equa¸c˜ao diferencial parcial:
∆H + 2H
3
− 2H det (dη) = 0, (3.32)
onde ∆ ´e o operador laplaciano.
Como o toro de Hopf ´e flat, o laplaciano em S
3
´e calculado exatamente como no caso
de espa¸co euclidiano. Al´em disso, usando que H = k concluimos que 3.32 se escreve como:
0 = ∆k + 2k
3
+ 2k
=
∂
2
k
∂t
2
+ 2k
3
+ 2k
= 4k
ss
+ 2k
3
+ 2k,
onde usamos o fato que
t
2
= s. Agora, arrumando a express˜ao acima obtemos:
k
ss
= −k
2
k +
1
k
2
,
que ´e exatamente a equa¸c˜ao diferencial 2.20 das el´asticas que provamos no cap´ıtulo 2 para
o caso G = λ = 1, ou seja, a curva γ ´e ponto cr´ıtico do funcional F se, e somente se, a
imers˜ao X ´e um toro de Willmore.
Conforme vimos no cap´ıtulo 2, existe um n´umero infinito de curvas fechadas que s˜ao
pontos cr´ıticos do funcional F. A partir dessa observa¸c˜ao e com base no teorema acima
concluimos imediatamente o
Corol´ario 2.1 Existem infinitos toros de Hopf mergulhados em S
3
que s˜ao pontos cr´ıticos
do funcional W.
Como o funcional de Willmore ´e um invariante conforme, a proje¸c˜ao esterogr´afica de
cada um desses toros de Hopf em R
3
´e dito um todo de Willmore. Portanto, o corol´ario
acima afirma essencialmente que existem infinitos toros de Willmore em R
3
.
32
Cap´ıtulo 4
Uma Abordagem Geom´etrica
Neste cap´ıtulo, utilizando um resultado de Robert Bryant [16], mostraremos como reobter
os resultados de Langer e Singer discutidos no cap´ıtulo 3 sem utilizar conceitos de c´alculo
de varia¸c˜oes. A abordagem utilizada aqui tem a vantagem de ser mais simples e mais
intuitiva do ponto de vista geom´etrico. Este cap´ıtulo ´e baseado no trabalho de Moniot
[12].
4.1 Observa¸c˜oes Preliminares
Seja M uma superf´ıcie imersa em S
3
. Agora, considere esferas tangentes a M
e de mesma curvatura m´edia nos respectivos pontos de tangencia. Essas esferas, que
chamaremos de esf´eras m´edias, constituem uma fam´ılia a dois parˆametros que possui duas
superf´ıcies envelopes, sendo M uma delas. Bryant mostrou em [16] que, se a superf´ıcie
M n˜ao tem pontos umb´ılicos, est˜ao ela ´e ponto cr´ıtico de W =
S
1 + H
2
ds se, e somente
se, as esferas m´edias de M s˜ao tamb´em m´edias para o outro envelope tangente. Por outro
lado, conforme vimos no cap´ıtulo anterior, um toro de Hopf em S
3
´e ponto cr´ıtico de W
se, e somente se, a curva que lhe corresponde pela fibra¸c˜ao de Hopf em S
2
´e ponto cr´ıtico
de F =
γ
1 + k
2
ds. Estudaremos nessa se¸c˜ao uma condi¸c˜ao semelhante a de Bryant para
essas curvas em S
2
. Mais detalhadamente temos o seguinte: seja T um toro de Hopf que
´e ponto cr´ıtico de W e
T a outra superf´ıcie envelope definida pela congruˆencia de esferas
m´edias de T . Essas superf´ıcies s˜ao enviadas em curvas em S
2
pela fibra¸c˜ao de Hopf π, ao
passo que as esferas s˜ao enviadas em discos. Pergunta-se, ent˜ao, se deve existir alguma
33
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
rela¸c˜ao semelhante a de Bryant em S
2
, ou seja, qual deve ser a rela¸c˜ao entre as curvaturas
dessas curvas e a curvatura da fam´ılia de c´ırculos que tem as curvas como envelopes. A
resposta para essa quest˜ao ´e dada pelos seguintes lemas:
Lema 4.1.1 Seja S ⊂ S
3
uma esfera com curvatura extr´ınseca b. Ent˜ao a fam´ılia a 1
parˆametro de esferas
e
iφ
S
φ∈[0,2π]
tem como envelope um toro de Hopf. Al´em disso a
imagem desse toro pela fibra¸c˜ao de Hopf π ´e um c´ırculo com curvatura k =
1
2
b −
1
b
.
Demonstra¸c˜ao: Seja S uma esfera de S
3
de curvatura b. Consideremos ent˜ao a fam´ılia
de esferas
e
iφ
.S
φ∈[0,2π]
. Afirmamos que essa fam´ılia admite por envelope um toro de
Hopf, isto ´e, composto por fibras de Hopf. Para provar esse fato consideremos inicialmente
uma parametriza¸c˜ao de S
3
dada por:
X(ψ, θ, Φ) = (senψ cos Φ senθ, cos ψ, senψ senΦ senθ, senψ cos θ) , (4.1)
onde 0 < θ, ψ < π e 0 < Φ < 2π. Observe que para todo ψ
0
fixado obtemos uma esfera de
raio senψ
0
. Os casos degenerados s˜ao ψ = 0, π onde a esfera se reduz a um ´unico ponto.
Tomando ψ = ψ
0
fixado, obtemos de (4.1) a seguinte parametriza¸c˜ao de S:
S
ψ
0
(θ, Φ) = (senψ
0
cos Φ senθ, cos ψ
0
, senψ
0
senΦ senθ, senψ
0
cos θ) .
Calculando as derivadas parciais de S em rela¸c˜ao a θ e Φ obtemos:
S
ψ
0
θ
= (senψ
0
cos Φ cos θ, 0, senψ
0
senΦ cos θ, −senψ
0
senθ)
e
S
ψ
0
Φ
= (−senψ
0
senΦ senθ, 0, senψ
0
cos Φ senθ, 0) .
Verifica-se facilmente que:
S
ψ
0
θ
, S
ψ
0
= S
ψ
0
Φ
, S
ψ
0
= 0.
Portanto, dados os vetores S
ψ
0
θ
, S
ψ
0
Φ
e S
ψ
0
, existem apenas dois vetores unit´arios ±n em
R
4
perpendiculares a eles. Completando a base pelo processo de Grand-Schmidt temos:
n = (cos Φ senθ cos ψ
0
, −senψ
0
, senΦ senθ cos ψ
0
, cos θ cos ψ
0
) (4.2)
34
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Vamos provar que o envelope da fam´ılia de esferas considerada acima ´e o toro obtido
pela a¸c˜ao de e
iφ
sobre o subconjunto de S
ψ
0
tal que
iS
ψ
0
, n = 0, (4.3)
ou seja, o conjunto de S
ψ
0
tal que a fibra seja tangente a S
ψ
0
.
Com efeito, como iS
ψ
0
= (−cos ψ
0
, senψ
0
cos Φ senθ, −senψ
0
cos θ, senψ
0
senΦ senθ)
temos que:
iS
ψ
0
, n = −cos
2
ψ
0
senθ cos Φ − sen
2
ψ
0
cos Φ senθ −
cos ψ
0
cos θ senθ senΦ cos θ + cos ψ
0
cos θ senθ senΦ cos θ
= −cos Φ senθ,
e, portanto, (4.3) nos d´a que
cos Φ senθ = 0,
donde Φ =
π
2
, pois 0 < θ < π. Isso prova que o envelope da fam´ılia a um parˆametro de es-
feras
e
iφ
.S
ψ
0
φ∈[0,2π]
´e obtido considerando-se a fibra de Hopf que passa em cada ponto do
grande c´ırculo de S
ψ
0
dado por S
ψ
0
(θ) = S
ψ
0
(θ, Φ = π/2) = (0, cos ψ
0
, senψ
0
senθ, senψ
0
cos θ).
Explicitamente, calculando o envelope da fam´ılia de esferas obtemos o toro T
b
: S
1
×
S
1
→ S
3
dado por:
T
b
(θ, φ) = e
iφ
.S
ψ
0
(θ) = (senφ cos ψ
0
, cos φ cos ψ, senψ
0
sen(φ − θ), senψ
0
cos(φ − θ))
Agora, observe que qualquer esfera S de S
3
pode ser obtida a partir das esferas con-
sideradas em (4.1) ,via isometrias
I : S
3
→ S
3
x → wx,
onde w ´e um quat´ernio unit´ario.
A condi¸c˜ao de tangˆencia entre a fibra da esfera S ser´a dada por:
i
wS
ψ
0
, wn = 0.
Se escrevemos w = w
1
+ w
2
i + w
3
j + w
4
k a condi¸c˜ao acima pode ser reescrita como:
c
1
iS
ψ
0
, n + c
2
jS
ψ
0
, n + c
3
kS
ψ
0
, n = 0.
35
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Agora, temos que
iS
ψ
0
, n = cos Φ senθ,
jS
ψ
0
, n = −cos θ
e
kS
ψ
0
, n = senΦ senθ,
ou seja, s˜ao proporcionais `as entradas de S
ψ
0
omitindo-se a coordenada constante cos ψ
0
.
Seja V ∈ R
3
esse novo vetor.
Podemos, portanto, interpretar a condi¸c˜ao de ortogonalidade como sendo a condi¸c˜ao
de ortogonalidade entre V e o vetor fixo c = (c
1
, c
2
, c
3
). Isso prova que os pontos da esfera
S
ψ
0
que correspondem aos pontos de S = wS
ψ
0
tais que a fibra ´e tangente a esfera S
formam um grande c´ırculo de S
ψ
0
. Logo, a imagem deste grande c´ırculo pela isometria I
´e tamb´em um grande c´ırculo em S e est´a demonstrado que os pontos de S em que a fibra
´e tangente formam um grande c´ırculo de S.
Usando agora a equa¸c˜ao de Gauss temos que:
b.k
2
= K
T
b
− K
S
3
= −1,
pois, como j´a sabemos, o toro de Hopf ´e flat, isto ´e, tem curvatura intr´ınseca nula e uma
das curvaturas principais ´e k
1
= b. Portanto, temos que a curvatura principal k
2
´e dada
por 1/b e a curvatura m´edia do toro ´e:
H
b
=
1
2
b −
1
b
.
Como vimos na segunda se¸c˜ao do cap´ıtulo anterior, a curvatura m´edia do toro de Hopf
T
b
´e igual a curvatura da curva em que ele se projeta pela fibra¸c˜ao de Hopf, ou seja, a
curva γ
b
tal que π
−1
(γ
b
) = T
b
. Como o toro T
b
tem curvatura m´edia constante igual a
1
2
b −
1
b
, concluimos que γ
b
´e um c´ırculo de curvatura
1
2
b −
1
b
. Essa curva forma a
fronteira do disco em que se projeta a esfera S.
Lema 4.1.2 Uma curva fechada γ de curvatura k ´e ponto cr´ıtico do funcional F se, e
somente se, a fam´ılia de c´ırculos tangentes de curvatura
1
2
k −
1
k
admite uma outra curva
envelope fechada e, al´em disso, essa outra curva tem a mesma curvatura nos pontos de
contato com esse c´ırculo.
36
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Demonstra¸c˜ao:
Se γ ´e uma curva de S
2
e se S ´e tangente a superf´ıcie π
−1
(γ), ent˜ao T
b
´e tangente ao
longo da fibra passando pelo ponto de tangˆencia entre S e π
−1
(γ), portanto, γ
b
´e tangente
a γ.
Agora, se M ´e uma superf´ıcie de S
3
, podemos considerar a fam´ılia de esferas m´edias
que s˜ao tangentes a M e tˆem a mesma curvatura m´edia nos respectivos pontos de contato.
Essa fam´ılia admite duas superf´ıcies envelopes, sendo M uma delas. Em [16] Bryant
mostrou que, na ausˆenscia de pontos umb´ılicos, uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para
que M seja ponto cr´ıtico de W ´e que as esferas dessa fam´ılia sejam esferas m´edias tamb´em
em rela¸c˜ao ao outro envelope.
Logo, se uma curva γ em S
2
tem curvatura k, o toro de Hopf que lhe corresponde
tamb´em possui curvatura m´edia k, pelo que provamos no cap´ıtulo anterior. As esferas
m´edias desse toro, por defini¸c˜ao, tˆem curvatura k e se projetam em uma fam´ılia de
discos tangentes a γ cuja fronteira ´e um c´ırculo de curvatura
1
2
k −
1
k
, o que conclui a
demonstra¸c˜ao do lema.
4.2 Redu¸c˜ao do Problema
O objetivo desta se¸c˜ao ´e mostrar que todos os c´ırculos da fam´ılia F considerada no
lema 4.1.2 est˜ao centrados em um grande c´ırculo de S
2
.
Lema 4.2.1 Se uma curva fechada γ em S
2
´e ponto cr´ıtico de F, ent˜ao todos os c´ırculos
da fam´ılia F est˜ao centrados em um grande c´ırculo de S
2
.
Demonstra¸c˜ao: Como vimos no lema da se¸c˜ao anterior, se γ ´e ponto cr´ıtico do
funcional F ent˜ao deve existir uma outra curva γ que tem a mesma curvatura de γ.
Concluimos, portanto, que essas curvas s˜ao isom´etricas, isto ´e, existe uma isometria de
S
2
que envia γ em γ.
Observa¸c˜ao: A rigor ´e necess´ario provar tamb´em que se s ´e o comprimento de arco de γ,
ent˜ao tamb´em ser´a para γ. Isto realmente ocorre, e a demonstra¸c˜ao desse fato pode ser
encontrada no apˆendice B.
Sabemos que as isometrias de S
2
s˜ao de trˆes tipos: rota¸c˜oes, reflex˜oes em rela¸c˜ao a
um grande c´ırculo ou uma composi¸c˜ao de uma rota¸c˜ao com uma reflex˜ao por um grande
37
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
c´ırculo invariante pela rota¸c˜ao. Vamos agora considerar cada caso separadamente.
Suponhamos inicialmente que I ´e a composi¸c˜ao de uma rota¸c˜ao por um ˆangulo α em
rela¸c˜ao ao eixo norte-sul com uma reflex˜ao pelo equador C de S
2
. Sejam p um ponto
de γ e p o ponto de γ que corresponde a p por I, isto ´e, I(p) = p. Considere agora os
grandes c´ırculos C
1
e C
2
passando pelos dois polos N e S e que cont´em os pontos p e p
respectivamente. Obviamente o ˆangulo entre C
1
e C
2
´e exatamente o ˆangulo da rota¸c˜ao α.
Veja a figura abaixo:
p
p
N
S
•
•
α
C
1
C
2
•
•
S
2
C
Figura (a)
Fazendo uma proje¸c˜ao estereogr´afica pelo ponto obtido pela intersec¸c˜ao de C com o
grande c´ırculo passando por N, S e fazendo um ˆangulo α/2 com C
1
e C
2
obtemos a situa¸c˜ao
representada abaixo:
38
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
C
1
C
2
•
•
Z
Z
Z
Z
Z
Z
k
k
k
k
k
k
T
ep
γ
T
p
γ
C
•
•
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
D
N
S
α
Figura (b)
A tangente a γ em p (T
p
γ) ´e enviada pela isometria na reta tangente a γ em p (T
ep
γ). Por
outro lado, existe um circulo em S
2
de F que ´e tangente a γ e γ em p e p respectivamente.
A imagem desse c´ırculo pela proje¸c˜ao estereogr´afica ´e representado na figura acima por
C.
Qualquer rota¸c˜ao em S
2
corresponde, pela proje¸c˜ao estereogr´afica, a uma trans-
forma¸c˜ao de M¨obius M
α
no plano, ao passo que a reflex˜ao pelo equador C corresponde a
uma conjuga¸c˜ao em C. Portanto, podemos escrever a isometria em quest˜ao como
I = M
α
,
ou seja, como a composi¸c˜ao de
M
α
(z) =
az + b
cz + d
, ad − bc = 0,
com a aplica¸c˜ao z → z. A partir de agora trataremos de calcular explicitamente a
express˜ao de I, o que permitir´a, como veremos em breve, determinar o ˆangulo de rota¸c˜ao
α.
Pela constru¸c˜ao acima sabemos que os polos norte e sul se S
2
devem permanecer fixos
pela a¸c˜ao de M
α
, ou seja, M
α
(N = 1) = 1 e M
α
(S = −1) = −1. Observe tamb´em que o
39
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
ponto no infinito p = ∞ ´e levado, pela rota¸c˜ao em um ponto p
∈ S
2
. Pela figura (c), que
mostra o efeito da rota¸c˜ao sobre o ponto p, temos que
1
cos α
=
AO
senα
.
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
A
p
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
B O
p
α
y
senα
cos α
1
Figura (c)
Concluimos portanto que AO =
senα
1−cos α
, logo
M
α
(∞) =
a
c
= i
senα
1 − cos α
.
Agora, a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao ad −bc = 1 nos d´a o seguinte sistema de equa¸c˜oes:
a + b = c + d
−a + b = c − d
a
c
= i
senα
1 − cos α
ad − bc = 1
(4.4)
Resolvendo o sistema acima obtemos
a = d = ±
senα
2(1 − cos α)
e
b = c = ∓i
1 − cos α
2
.
Como a ´e um n´umero real e b ´e um imagin´ario puro concluimos que M
α
´e da forma
M
α
(z) =
az + b
−bz − a
.
Pela simetria do c´ırculo C , pode-se mostrar facilmente que I tamb´em pode ser repre-
sentada como a reflex˜ao pela reta D, mediatriz dos pontos p e p (veja figura b). Temos,
portanto, duas maneiras distintas de representar I no plano.
40
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Utilizando a regra da cadeia e o fato de serem z → z e S
D
aplica¸c˜oes lineares temos
que
dM
α
(p)(T
p
γ) = S
D
(T
p
γ). (4.5)
A partir da express˜ao acima, trataremos agora de obter alguma restri¸c˜ao para o ˆangulo
de rota¸c˜ao α.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(0, y
0
)
α−π
2
α
2
α
2
ρ
−1
1
C
α
Figura (d)
Pela figura(d), onde completamos um dos c´ırculos obtidos pela proje¸c˜ao estereogr´afica
de C
1
e C
2
, vemos que:
cos
α
2
=
y
o
ρ
e
sen
α
2
=
1
ρ
,
donde concluimos que ρ =
1
sen
α
2
e y
0
= cot
α
2
. Logo, a equa¸c˜ao do circulo C
α
(θ) =
(0, y
0
) + ρe
iθ
´e dada por:
C
α
(θ) =
cos θ
sen
α
2
+ i
senθ − cos
α
2
sen
α
2
.
Agora, como M
α
´e uma fun¸c˜ao holomorfa temos que
dM
α
(z) =
d
dz
M
α
(z) =
1
(bz + a)
2
,
de onde vem, arg(M
α
(z)) = −2 arg(bz + a). Usando as express˜oes para os coeficientes a
e b e fazendo z = p ∈ C
α
(θ) vemos que
41
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
bp + a = −i
1
1 − cos α
cos θ
sen
α
2
+ i
senθ − cos
α
2
(1 − cos α) + sen α
(1 − cos α) sen
α
2
.
Logo,
arg(bp + a) = arctan
senθ − cos
α
2
(1 − cos α) + sen α sen
α
2
cos θ (1 − cos α)
−
π
2
= arctan
senθ − cot
α
2
sen
α
2
+
senα
1−cos α
sen
α
2
cos θ
−
π
2
= arctan (tan θ) −
π
2
= θ −
π
2
,
onde usamos a rela¸c˜ao cot
α
2
=
senα
(1−cos α)
.
Por outro lado, como p = −p, temos que a inclina¸c˜ao da reta D pode ser escrita como
arg(p) +
π
2
. Dessa forma:
Inclina¸c˜ao de D = arctan
senθ − cos
α
2
cos θ
+
π
2
= η +
π
2
,
onde fizemos
η = arctan
senθ − cos
α
2
cos θ
. (4.6)
Uma vez calculada a inclina¸c˜ao de D sabemos que a aplica¸c˜ao S
D
envia o n´umero
complexo e
iψ
´e em e
2i(η−
π
2
)
e
−iψ
. Analogamente, a diferencial da tranforma¸c˜ao de M¨obius
M
α
leva e
iψ
em e
−2i(θ+
π
2
)
e
iψ
e, em seguida, a conjuga¸c˜ao nos d´a e
2i(θ+
π
2
)
.e
−iψ
.
Agora, observe que a rela¸c˜ao 4.5 implica que
θ +
π
2
= η −
π
2
,
e, como a fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica de per´ıodo π, concluimos imediatamente que:
tan θ = tan η = tan θ −
cos
α
2
senθ
,
de onde vem
cos
α
2
= 0.
42
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Como podemos sempre assumir que 0 ≤ α ≤ π obtemos α = π, logo I ´e a aplica¸c˜ao
ant´ıpoda. Neste caso, os c´ırculos de F s˜ao grandes c´ırculos, e portanto tˆem curvatura
nula de onde obtem-se, pelo lemma 4.1.2, que a curva γ ´e um c´ırculo de curvatura 1.
Considerando-se uma varia¸c˜ao de γ por c´ırculos paralelos, verifica-se facilmente que, nesse
caso, a curva γ n˜ao ´e ponto cr´ıtico de F.
Suponha agora que a isometria considerada seja apenas uma rota¸c˜ao. Neste caso a
reta D, mediatriz dos pontos p e p, coincide com o eixo
−→
ox, e portanto, tem inclina¸c˜ao
nula. Logo, temos que S
D
(z) = z, e conseq¨uentemente S
D
e
iψ
= e
−iψ
. Agora, pelo que
mostramos anteriormente, arg (dM
α
(p)) = −2θ + π e portanto
dM
α
(p)
e
iψ
= e
−i2θ
.e
i(ψ+π)
= −e
−i2θ
.e
iψ
.
Novamente (4.5) implica que θ = π. Isso se justifica pelo fato de S
D
inverter a
orienta¸c˜ao de T
p
γ ao passo que a rota¸c˜ao M
α
a preserva. Agora se α < π obtemos uma
contradi¸c˜ao, pois nesse caso necessariamente θ = π (veja figura (d)). Por outro lado, se
α = π a condi¸c˜ao θ = 0 implica que devemos ter p e p sobre o equador. Nesse caso as
curvas γ, γ e os c´ırculos de F se confundem e a condi¸c˜ao do lema 4.1.2 n˜ao ´e satisfeita.
Concluimos que devemos ter α = 0 ou α = 2π e portanto a rota¸c˜ao ´e a identidade.
No caso em que a isometria ´e apenas uma reflex˜ao por um grande c´ırculo temos que
todo c´ırculo passando por p, p = I(p) e tangente a γ e γ deve, necessariamente, estar
centrado sobre o grande c´ırculo da reflex˜ao, o que conclui nossa demonstra¸c˜ao.
4.3 Reformula¸c˜ao do Problema
Pelo lema 4.2.1, sabemos que toda curva γ que ´e ponto cr´ıtico de F ´e envelope de uma
fam´ılia de c´ırculos de S
2
centrados em um grande c´ırculo. Este resultado, juntamente com
a rela¸c˜ao entre as curvaturas dos c´ırculos e das curvas, nos permitir˜ao reobter a condi¸c˜ao
necess´aria e suficiente para que uma curva fechada γ , parametrizada por comprimento de
arco, seja ponto cr´ıtico de F, i.e, provaremos que a sua fun¸c˜ao curvatura deve satisfazer a
equa¸c˜ao diferencial obtida em (2.20) com λ = G = 1, explicitamente:
k
= −k
2
k +
1
k
2
. (4.7)
43
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Para isso introduziremos agora a variedade de De-Sitter (espa¸co de c´ırculos). Esse
artif´ıcio permitir´a reconhecer com mais facilidade as rela¸c˜oes entre as curvaturas da curva
e dos c´ırculos dos quais ela ´e envelope.
Come¸camos definindo o espa¸co de Lorentz L
4
= (R
4
, , ), onde definimos:
x, y = x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ x
3
y
3
− x
4
y
4
∀x, y ∈ R
4
.
Os vetores x ∈ L
4
podem ser classificados de trˆes formas:
||x||
< 0 , tipo-tempo,
= 0 , tipo-luz,
> 0 , tipo-espa¸co.
A variedade de De-Sitter Γ consiste de todos os pontos de L
4
com norma de Lorentz
igual a 1, isto ´e,
Γ =
x ∈ L
4
; x, x = 1
.
Considere agora o cone de luz C = {x ∈ L
4
; x, x = 0}. O plano afim P = e
4
+
ger {e
1
, e
2
, e
3
} intersecta C em uma esfera S de dimens˜ao 2. A m´etrica de Lorentz restrita
a essa esfera ´e uma m´etrica euclidiana de onde conclui-se que S
2
´e isom´etrica a S, bastando
considerar a seguinte aplica¸c˜ao (x
1
, x
2
, x
3
) → (x
1
, x
2
, x
3
, 1). Obviamente a interse¸c˜ao de
S com todo o plano do tipo (+,+,-) ´e um c´ırculo de S. Reciprocamente todos os c´ırculos
de S s˜ao obtidos pela intesce¸c˜ao com um plano de normal positiva, isto ´e, do tipo (+,+,-).
Portanto, a cada ponto da variedade de De-Sitter Γ corresponde um c´ırculo de S e por
isso ´e chamada de espa¸co dos c´ırculos. Para mais referˆencias sobre esse assunto o leitor
interessado pode consultar [12].
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
___________________
o
C
S
P ≈ R
3
e
4
Figura (e)
44
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Seja γ uma curva em S
2
e seja (γ, 1) a curva correspondente em S. Sejam ainda γ
e n os vetores tangente e normal do plano tangente a S
2
e (γ
, 0) e (n, 0) os respectivos
vetores de ( γ, 1). Todo o c´ırculo tangente a γ pode ser escrito no espa¸co dos c´ırculos como
o vetor σ = (n, 0) + t(γ, 1) onde t ∈ R. Com efeito, os c´ırculos tangentes a γ s˜ao formados
pela interce¸c˜ao de planos passando por γ e contendo o vetor γ
. As retas normais a esses
planos s˜ao dadas por n + t.γ e a sua equa¸c˜ao ´e da forma n + t.γ, x = t, onde , ´e
o produto interno euclidiano. Essa ´ultima equa¸c˜ao se estende naturalmente para L
4
da
forma (n + t.γ, 0) + t.(γ, 1), x = 0, que tem σ como vetor normal. Pode-se ainda
verificar que t ´e, de fato, a curvatura do c´ırculo em quest˜ao.
Concluimos, portanto, que uma fam´ılia de c´ırculos tangentes a γ e de curvatura K ´e
dada pela curva σ = (n, 0) + K.(γ, 1) no espa¸co dos c´ırculos. Sabemos ainda que n
= kγ
,
onde k ´e a fun¸c˜ao curvatura de γ. Da´ı concluimos que:
σ
= (n
, 0) + K .(γ
, 0) + K
(γ, 1)
= (k.γ
, 0) + K .(γ
, 0) + K
(γ, 1)
= (K − k) .(γ
, 0) + K
(γ, 1).
Tamb´em podemos mostrar que
σ
= (K
− k
) .(γ
, 0) + (K − k) .(γ
, 0) + K
(γ
, 0) + K
.(γ, 1)
= (2K
− k
) .(γ
, 0) + (K − k) .(γ
, 0) + K
.(γ, 1).
A partir das equa¸c˜oes acima calculamos:
σ, (γ, 1) = (n, 0) + K.(γ, 1), (γ, 1)
= (n, 0), (γ, 1) +K. (γ, 1), (γ, 1)
= n, γ + K(γ, γ − 1)
= 0,
pois n, γ = 0 e γ, γ = 1. Analogamente:
45
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
σ
, (γ, 1) = (K − k) .(γ
, 0) + K
(γ, 1), (γ, 1)
= (K − k) (γ
, 0), (γ, 1) +K
(γ, 1), (γ, 1)
= (K − k) γ, γ
+ K
(γ, γ − 1)
= 0.
Ainda sabemos que:
0 =
d
dt
γ, γ
= γ
, γ
+ γ
, γ,
de onde concluimos que γ
, γ = −γ
, γ
. Usando esse resultado temos por fim
σ
, (γ, 1) = (2K
− k
) .(γ
, 0) + (K − k) .(γ
, 0) + K
.(γ, 1), (γ, 1)
= (2K
− k
) (γ
, 0), (γ, 1) + (K − k) (γ
, 0), (γ, 1)
+K
(γ, 1)(γ, 1)
= (K − k) γ
, γ
= (k − K) γ
, γ
.
Ap´os essas considera¸c˜oes iniciais estamos prontos para demonstrar nosso teorema.
Teorema 3 Uma curva fechada γ em S
2
parametrizada pelo comprimento do arco ´e ponto
cr´ıtico de
F =
γ
1 − k
2
dt
se, e somente se, a sua fun¸c˜ao curvatura k satisfaz a equa¸c˜ao diferencial
k
= −k
2
k +
1
k
2
.
Demonstra¸c˜ao: Se uma curva γ ´e ponto cr´ıtico de F, vimos que ela ´e envelope de
uma fam´ılia de c´ırculos centrados em um grande c´ırculo que podemos supor, sem perda
de generalidade, como sendo o obtido pela interse¸c˜ao de S
2
com o plano que tem vetor
normal e
3
. Abaixo vamos estudar a rela¸c˜ao entre uma fam´ılia σ de c´ırculos de curvatura
K centrados nesse grande c´ırculo e γ, uma de suas curvas envelopes.
46
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
Podemos parametrizar a fam´ılia σ considerando o ˆangulo θ(s) formado entre o centro
de σ(s) e o vetor e
1
. Nessa situa¸c˜ao, os c´ırculos de σ podem ser escritos como:
σ(s) = cosh(l(s)) (cos(θ(s))e
1
+ sen(θ(s))e
2
) + senh(l(s))e
4
, (4.8)
onde, por simplicidade, introduzimos a fun¸c˜ao l(s) tal que senh(l(s)) = K. A partir de
4.8 e das defini¸c˜oes
A = γ, cos θe
1
+ senθe
2
B = γ, −senθe
1
+ cos θe
2
,
o sistema de equa¸c˜oes que obtemos anteriormente
σ
, (γ, 1) = (k − K) γ
, γ
σ
, (γ, 1) = 0
σ, (γ, 1) = 0
pode ser reescrito como:
cosh(l)A − senh(l) = 0
l
senh(l)A + θ
cosh(l)B − l
cosh(l) = 0
l
senh(l) + (l
)
2
cosh(l) − (θ
)
2
cosh(l)
A
+ (2l
θ
senh(l) + θ
cosh(l)) B −
l
cosh(l) + (l
)
2
senh(l)
= (k − K) γ
, γ
Eliminando A e B do sistema acima obtemos:
A =
senh(l)
cosh(l)
e
B =
l
cosh(l) − l
senh(l).A
θ
cosh(l)
=
l
θ
−
l
senh
2
(l)
θ
cosh(l)
.
Substituindo A em B vem:
θ
θ
l
− (θ
)
2
senh(l) cosh(l) = l
− 2 (l
)
2
tanh(l) + cosh(l) (k − K) γ
, γ
(4.9)
Agora, como assumimos que γ ´e ponto cr´ıtico de F temos que senh(l) = K =
1
2
k −
1
k
de onde obtemos k = e
l
se k > 0 e k = −e
−l
se k < 0. Mais ainda, se γ ´e parametrizada
pelo comprimento de arco vem γ
, γ
= 1. Calculando σ
a partir de 4.8 obtemos:
σ
= (−θ
cosh l senθ + l
cos θsenhl ) e
1
+ (θ
cosh l cos θ + l
sin θsenhl ) e
2
+ l
cosh l e
4
47
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
de onde vem que:
σ
, σ
= (−θ
cosh l senθ + l
cos θ senhl)
2
+ (θ
cosh l cos θ + l
senθ senhl)
2
−l
2
cosh
2
l
= θ
2
cosh
2
l sen
2
θ + l
2
cos
2
θ senh
2
l − 2θ
l
cosh l senhl senθ cos θ
θ
2
cosh
2
l cos
2
θ + l
2
sen
2
θ senh
2
l + 2θ
l
cosh l senhl senθ cos θ
−l
2
cosh l
= θ
2
cosh
2
l + l
2
senh
2
l − l
2
cosh l
= θ
2
cosh
2
l − l
2
.
Por outro lado, sabemos que σ
= (K − k) (γ
, 0) + K
(γ, 1) e, portanto
σ
, σ
= (K − k)
2
=
senhl − e
l
2
= cosh
2
l .
Das duas equa¸c˜oes obtidas acima para σ
, σ
chegamos a igualdade suplementar:
θ
2
=
cosh
2
l + l
2
cosh
2
l
. (4.10)
Esta equa¸c˜ao nos permite calcular o valor de
θ
θ
. Com efeito, se θ
=
f(s) temos que
θ
=
1
2
f(s)
−
1
2
f
(s),
logo
θ
θ
=
f
(s)
2f(s)
Tomando f =
cosh
2
l+l
2
cosh
2
l
de acordo com a igualdade suplementar que calculamos acima
vemos que:
θ
θ
=
l
l
cosh l − l
3
senhl
cosh l
cosh
2
l + l
2
.
Substituindo este resultado em 4.9 vem
48
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
0 =
l
l
2
cosh l − l
4
senhl
cosh l
cosh
2
l + l
2
−
cosh
2
l + l
2
cosh
2
l
.senhl . cosh l − l
+
+2l
2
senhl
cosh l
− cosh l (k − senhl)
= l
l
2
cosh l − l
4
senhl + −
cosh
2
lsenhl + l
2
senhl
.
cosh
2
l + l
2
−
−l
cosh
3
l + l
l
2
cosh l + 2l
2
senhl cosh
2
l + 2l
4
senhl −
−cosh
2
l (k − senhl) .
cosh
2
l + l
2
= l
cosh l + k cosh
2
l + kl
2
− l
2
senhl
= l
cosh l + l
2
e
l
− senhl
+ e
l
cosh
2
l
= l
+ l
2
+ e
l
cosh l.
Logo, temos que
l
+ l
2
= −e
l
cosh l.
Reescrevendo a express˜ao acima em termos da fun¸c˜ao curvatura obtemos o resultado
procurado:
k
= −k
2
k +
1
k
2
. (4.11)
Vale observar que essa mesma equa¸c˜ao vale para o caso em que k < 0.
Reciprocamente, suponha que γ ´e uma curva em S
2
parametrizada p elo comprimento
de arco satisfazendo a equa¸c˜ao diferencial (4.11). Definimos uma fun¸c˜ao l tal que e
l
=
k,
onde
k ´e a fun¸c˜ao curvatura de γ e uma fun¸c˜ao θ tal que
θ
=
cosh l + (l
)
2
cosh
2
l
.
Considere agora a fam´ılia de c´ırculos σ definidos pela fun¸c˜oes l e θ acima e seja γ uma
das curvas envelopes dessa fam´ılia. Se γ tem curvatura k ent˜ao a equa¸c˜ao 4.9 nos d´a:
cosh(l) = (k − sinh(l)) γ
, γ
(4.12)
Ainda, por um racioc´ınio an´alogo ao anterior, sabemos que
σ
, σ
= (k − senhl)
2
γ
, γ
49
Cap´ıtulo 4. Uma Abordagem Geom´etrica
e tamb´em
σ
, σ
= θ
2
cosh
2
l − l
2
=
cosh
2
l + l
2
cosh
2
l
cosh
2
l − l
2
= cosh
2
l
de onde conclui-se imediatamente que
cosh
2
(l) = (k − senh(l))
2
γ
, γ
. (4.13)
Dividindo 4.13 por 4.12 obtemos:
γ
, γ
= 1
e
k − senhl = cosh l,
donde concluimos que k = e
l
.
As duas curvas γ e γ est˜ao ambas parametrizadas pelo comprimento de arco e tem a
mesma curvatura. Portanto, existe um isometria I de S
2
que envia γ em γ. A fam´ılia
de c´ırculos σ admite duas curvas envelopes sim´etricas em rela¸c˜ao a um grande c´ırculo e
que tem a mesma curvatura. Podemos concluir ent˜ao, que a imagem de σ por I ´e uma
fam´ılia de circulos tangente a γ e que verifica as condi¸c˜oes do lema 4.1.2. Portanto γ ´e
ponto cr´ıtico de F.
50
Apˆendice A
Para entender como resolver a equa¸c˜ao geral el´ıptica
(y
x
)
2
= h
2
(y − α)(y − β)(y − γ), (4.14)
vamos definir as seguintes express˜oes:
z
2
=
α − γ
y − γ
, p
2
=
β − γ
α
−
γ
, r
2
=
α − γ
4
. (4.15)
A partir dessas defini¸c˜oes, arrumando os termos e extraindo a raiz quadrada obtemos
1
h∆
1
(y)
dy
dx
= 1, (4.16)
onde (∆
1
(u))
2
= (y − α)(y − β)(y − γ) e h pode ter ambos os sinais.
Agora, por um lado
dz
2
dx
= 2z
dz
dx
.
Tamb´em temos que:
dz
2
dx
=
d
dx
α − γ
y − γ
= −
(α − γ)
(y − γ)
2
.
dy
dx
.
Juntando tudo e fazendo alguns c´alculos vem:
dz
dx
=
(α − γ)(y − γ)
2(y − γ)
2
.
dy
dx
= −
r
(y − γ)
3/2
.
dy
dx
.
Agora definimos (∆(z))
2
= (1 − z
2
)(1 − p
2
z
2
). Utilizando a espress˜ao acima pode-se
mostrar facilmente que:
1
∆(z)
.
dz
dx
= −
r
∆
1
(y)
.
dy
dx
,
51
Apˆendice A
e portanto, por 4.16 temos
1
∆(z)
.
dz
d(−hrx)
= 1.
Reduzimos nosso problema `a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao:
dz
d(−hrx)
2
= (1 − z
2
)(1 − p
2
z
2
),
mas, pela mudan¸ca de vari´aveis z = senφ esta express˜ao ´e equivalente a:
−hrx =
φ
0
dφ
1 − p
2
sen
2
(φ)
(4.17)
e portanto, por defini¸c˜ao temos que z = sn(−hrx, p), onde sn ´e o seno el´ıptico de Jacobi.
Agora invertendo a primeira equa¸c˜ao em 4.15 para obter a fun¸c˜ao y vem:
y = γ + (α − γ) sn
−2
(−hrx, p), (4.18)
que ainda pode ser reescrita como:
y = γ + (β − γ)sn
2
(hrx, p). (4.19)
Para demonstrar a passagem de (4.18) para (4.19) precisamos de uma propriedade
especial da fun¸c˜ao sn. Explicitamente:
1
sn(x, p)
= ±p.sn(x
, p), (4.20)
onde x
= x + v −K, K ´e um per´ıodo de sn e v ´e tal que p
2
sn
2
(v, p) = 1 . Aplicando essa
ultima rela¸c˜ao em (4.18) obtemos:
y = γ + (α − γ) p
2
sn
2
(−hrx
, p)
= γ + (β − γ) sn
2
(−hrx
, p)
= γ
1 −
γ − β
γ
sn
2
(−hrx
, p)
,
Como sn ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar em rela¸c˜ao ao primeiro argumento temos sn(−x, p) =
−sn(x, p), donde conclu´ımos que sn
2
(−x, p) = sn
2
(x, p). Logo:
y = γ
1 − q
2
sn
2
(hrx
, p)
, (4.21)
com
q
2
=
γ − β
γ
. (4.22)
52
Apˆendice B
Suponha que γ ´e ponto cr´ıtico do funcional F. Neste caso, pelo lema 4.1.2, existe
uma curva γ em S
2
que tem a mesma curvatura de γ. Seja F a fam´ılia de c´ırculos em S
2
tangentes a essas duas curvas γ e γ.
Sejam
σ
(
t
) os representantes dos c´ırculos da fam´ılia
F
no espa¸co dos c´ırculos Γ.
Suponha ainda que k(t) ´e a curvatura de γ γ e que K ´e a curvatura do c´ıculo F(t).
Se n(t) e n(t) representam respectivamente as normais de γ e γ temos que
σ(t) = (n(t), 0) + K(t).γ(t) (4.23)
e
σ(t) = (n(t), 0) + K(t).γ(t). (4.24)
Um c´aculo semelhante ao que foi feito na se¸cao 4.3 mostra que
σ
(t) = (K(t) − k(t)) .γ
(t) + K
(t).γ(t),
portanto,
σ
, σ
= (K − k)
2
γ
. (4.25)
De maneira an´aloga, para (4.24) temos:
σ
, σ
= (K − k)
2
γ
. (4.26)
Igualando as espress˜oes (4.25) e (4.26) obtemos finalmente que:
γ
= γ
,
o que prova que as curvas γ e γ tˆem a mesmo o mesmo comprimento de arco.
53
Referˆencias Bibliogr´aficas
[1] Lima. E. L., Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento, Projeto Euclides, Rio
de Janeiro, 1992.
[2] Lima. E. L., Curso de An´alise Vol. 2, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1988.
[3] do Carmo, M. P. Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1988.
[4] H. Hopf,
¨
Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sph¨are auf die Kuglelfl¨ache,
Math. Ann. 104 (1931), 637-665.
[5] T. J. Willmore, Note on Embedded surfaces, An. Sti. Univ.”Al. I. Cuza”Iasi Sect. Ia.
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