( PDF ) Extração de características para identificação de helicópteros em radares de defesa antiaérea

Download PDF

ads:

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

ads:

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES ................................................................................................ 10

LISTA DE TABELAS ......................................................................................................... 12

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS.................................................................... 13

1 INTRODUÇÃO .........................................................................................................18

1.1 Motivação....................................................................................................................18

1.2 A Identificação de Helicópteros ..................................................................................18

1.3 O Presente Trabalho ....................................................................................................20

1.4 Contribuições...............................................................................................................21

2 FUNCIONAMENTO DO RADAR DE DEFESA ANTIAÉREA.......................... 22

2.1 Funcionamento de um Radar Pulsado .........................................................................22

2.1.1 Ambigüidade em Distância .........................................................................................24

2.2 Radar de Compressão de Pulso ...................................................................................25

2.3 Processamento .............................................................................................................27

2.3.1 Dados Brutos ...............................................................................................................28

2.3.2 Compressão de Pulso...................................................................................................29

2.3.3 Deteção ......................................................................................................................31

2.3.4 Reamostragem e Concatenação dos Blocos ................................................................31

2.4 Medição de Velocidade ...............................................................................................33

2.4.1 Ambigüidade em Velocidade ......................................................................................33

3 MODELAGEM DO SINAL .....................................................................................35

3.1 Modelagem Clássica....................................................................................................35

3.1.1 Seção Reta Radar (RCS)..............................................................................................35

3.1.2 Componentes do Eco do Helicóptero..........................................................................36

3.1.3 Eco do Rotor Principal ................................................................................................ 37

3.2 Modelo Modificado..................................................................................................... 40

3.2.1 Eco do Rotor Principal ................................................................................................ 41

3.2.2 Eco da Fuselagem........................................................................................................41

3.2.3 Efeito do Lóbulo da Antena.........................................................................................42

3.2.4 Modelo Propriamente Dito.......................................................................................... 42

4 MÉTODOS UTILIZADOS PARA IDENTIFICAÇÃO DE HELICÓPTEROS.44

4.1 Método Clássico .......................................................................................................... 44

4.2 Análise utilizando Espectrograma STFT.....................................................................47

5 ANÁLISE DOS MODELOS.....................................................................................50

5.1 Modelo Clássico .......................................................................................................... 50

5.2 Modelo Modificado..................................................................................................... 54

5.3 Efeito da Subamostragem............................................................................................56

5.4 Efeito do Baixo Tempo de Iluminação do Alvo..........................................................58

5.5 Efeito do Ruído............................................................................................................59

6 EXTRAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS................................................................62

6.1 Transformada de Fourier a Tempo Curto (STFT).......................................................62

6.2 Transformada S ...........................................................................................................62

6.3 Transformada Wavelet contínua (CWT).....................................................................64

6.3.1 CWT no Domínio da Freqüência.................................................................................67

6.3.2 Limitação Quanto a Sinais Complexos ....................................................................... 68

6.4 Uso da Diferenciação Finita para Filtrar o Eco da Fuselagem....................................71

6.5 Energia de Teager-Kaiser............................................................................................73

6.6 Módulos Máximos da Transformada Wavelet (WTMM) ...........................................74

6.7 Aplicação da Metodologia Proposta............................................................................76

7 CONCLUSÕES..........................................................................................................82

7.1 Conclusões Acerca deste Trabalho..............................................................................82

7.2 Proposta para Pesquisas Futuras..................................................................................83

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................85

9 APÊNDICE ................................................................................................................ 87

9.1 Apêndice 1: Dados de Helicópteros ............................................................................88

10 ANEXO....................................................................................................................... 90

10.1 Anexo 1 .......................................................................................................................91

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

FIG. 2.1 Célula de resolução em distância........................................................................22

FIG. 2.2 Movimentação de um alvo no tempo .................................................................23

FIG. 2.3 Movimentação de um alvo no tempo (gráfico waterfall)...................................23

FIG. 2.4 Equivalência em energia entre pulsos ................................................................25

FIG. 2.5 Exemplo de chirp ...............................................................................................26

FIG. 2.6 Transmissão do chirp .........................................................................................26

FIG. 2.7 Processamento radar...........................................................................................27

FIG. 2.8 Compressão de Pulso..........................................................................................30

FIG. 2.9 Caminho dos dados no processamento radar......................................................32

FIG. 2.10 Medição de velocidade .......................................................................................33

FIG. 3.1 Principais contribuições para o eco radar do helicóptero...................................36

FIG. 3.2 Rotor Principal (1 – pá, 2 – cabeça, 3 – base) ....................................................37

FIG. 3.3 Incidência de onda plana sobre a pá...................................................................38

FIG. 3.4 Análise do sinal refletido por uma pá.................................................................39

FIG. 4.1 Cálculo de v

max

através da análise do sinal no domínio da freqüência............... 46

FIG. 4.2 Medição de τ através da análise do sinal no domínio do tempo.........................45

FIG. 4.3 Método do Espectrograma STFT (Número par de pás) .....................................47

FIG. 4.4 Método do Espectrograma STFT (Número ímpar de pás) .................................48

FIG. 5.1 Diferença entre o modelo clássico e o sinal medido ..........................................40

FIG. 6.1 Sinal no domínio do tempo gerado através do modelo clássico.........................50

FIG. 6.2 Resposta em freqüência do sinal simulado.........................................................51

FIG. 6.3 STFT do sinal gerado pelo modelo clássico (número par de pás)......................52

FIG. 6.4 STFT do sinal gerado pelo modelo clássico (número ímpar de pás) .................52

FIG. 6.5 Sinal no domínio do tempo gerado através do modelo modificado ...................54

FIG. 6.6 Resposta em freqüência do sinal (normal à esquerda e ampliado à direita).......55

FIG. 6.7 STFT do sinal gerado pelo modelo modificado (número par de pás) ................55

FIG. 6.8 STFT do sinal subamostrado.............................................................................. 56

FIG. 6.9 STFT de um sinal com baixo tempo de iluminação do alvo ..............................58

FIG. 6.10 STFT do sinal gerado pelo modelo modificado (número par de pás) ................60

FIG. 6.11 STFT do sinal medido de helicóptero real .........................................................61

FIG. 7.1 Transformada S do eco de helicóptero ...............................................................63

FIG. 7.2 Wavelet de Shannon com f

= 1 e f

= 1,5..........................................................65

FIG. 7.3 Wavelet de Shannon no domínio da freqüência.................................................66

FIG. 7.4 CWT do eco de helicóptero utilizando-se a wavelet de Shannon.. ....................67

FIG. 7.5 Wavelet Real de Morlet nos domínios do tempo e da freqüência......................68

FIG. 7.6 Wavelet de Complexa de Morlet nos domínios do tempo e da freqüência........69

FIG. 7.7 CWT adaptada do sinal complexo......................................................................70

FIG. 7.8 Processo de aplicação da derivada à CWT.........................................................71

FIG. 7.9 Derivada das Transformadas ..............................................................................72

FIG. 7.10 Efeito da energia de Teager-Kaiser. .................................................................73

FIG. 7.11 Módulos Máximos da Transformada Wavelet....................................................75

FIG. 7.12 Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Esquilo....................................77

FIG. 7.13 Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Apache.. ..................................78

FIG. 7.14 Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Cougar.. ..................................79

FIG. 7.15 Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Pantera.. ..................................80

FIG. 7.16 Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Pantera.. ..................................81

FIG. 8.1 Eco de helicóptero com sete células de distância (domínio do tempo)..............83

FIG. 8.2 Eco de helicóptero com sete células de distância (domínio da freqüência) .......84

FIG. 10.1 Processo de medição do tempo entre picos consecutivos...................................75

LISTA DE TABELAS

TAB. 2.1 Dados brutos recebidos pelo processamento......................................................28

TAB. 6.1 Valores utilizados para a simulação ...................................................................51

TAB. 6.2 Valores utilizados para a simulação ...................................................................53

TAB. 6.3 Valores utilizados para a simulação ...................................................................57

TAB. 6.4 Valores utilizados para a simulação ...................................................................59

TAB. 6.5 Valores utilizados para a simulação ...................................................................60

TAB. 7.1 Dados utilizados para a simulação .....................................................................77

TAB. 7.2 Dados utilizados para a simulação .....................................................................78

TAB. 7.3 Dados utilizados para a simulação .....................................................................79

TAB. 7.4 Dados utilizados para a simulação .....................................................................80

TAB. 9.1 Banco de dados de helicópteros..........................................................................88

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

ABREVIATURAS

AWGN

– Additive White Gaussian Noise

– Azimute

– Centímetro

CTEx

– Centro Tecnológico do Exército

CWT

– Continuous Wavelet Transform

– Decibel

DFT

– Discrete Fourier Transform

– Exército Brasileiro

FAB

– Força Aérea Brasileira

FFT

– Fast Fourier Transform

FRP

– Freqüência de repetição de pulsos

GHz

– Gigahertz

IFFT

– Inverse Fast Fourier Transform

– Parte imaginária

IME

– Instituto Militar de Engenharia

kHz

– Quilohertz

– Metro

m/s

– Metro por segundo

– Marinha do Brasil

IRP – Intervalo de repetição de pulsos

RCS

– Radar Cross Section

– Parte real

rpm

– Rotações por minuto

STFT

– Short-Time Fourier Transform

WTMM

– Wavelet Transform Modulus Maxima

WTMML

– Wavelet Transform Modulus Maxima Lines

SÍMBOLOS

– Distância do radar ao alvo

– Velocidade da luz

– Tempo

– Alcance máximo em distância sem ambigüidade

E – Energia do pulso

– Potência de pico de transmissão

– Largura do pulso transmitido

corr

– Correlação cruzada

chirp

– Pulso transmitido com freqüência modulada

s(t)

– Sinal simulado correspondente ao eco do helicóptero

– Número de partes refletoras do helicóptero

(t)

– Amplitude do eco de cada parte refletora do helicóptero

– Fase do eco de cada parte refletora do helicóptero

– Unidade imaginária ( 1−=j )

– Comprimento de onda

– Onda plana enviada pelo radar

– Freqüência angular da onda transmitida

– Base do logaritmo neperiano

exp

– Exponencial de base e

– Velocidade radial do helicóptero

– Ângulo entre a frente de onda e a pá do helicóptero

rot

– Freqüência angular de rotação das pás do helicóptero

– Ângulo de elevação do helicóptero em relação ao radar

– Comprimento das pás do helicóptero

– Número de pás do helicóptero

max

– Velocidade máxima da ponta da pá do helicóptero

– Tempo entre picos consecutivos no domínio do tempo

∆f

d max

– Largura do pulso no domínio da freqüência

fus

– Amplitude do eco da fuselagem do radar

dop

– Freqüência Doppler do eco do helicóptero

– Freqüência central da portadora do sinal emitido pelo radar

n(t)

– Ruído

φ(t)

– Ângulo de azimute da antena do radar

– Ângulo de azimute do alvo

max

– Freqüência Doppler máxima das partes de um helicóptero

som

– Velocidade do som

g(t)

– Função wavelet mãe

– Escala

t’

– Tempo contínuo

– Freqüência central da wavelet mãe

∆f

– Banda da wavelet mãe

– Parâmetro de banda para a wavelet de Shannon

RESUMO

A capacidade de identificar helicópteros é uma característica bastante desejável em

radares de defesa antiaérea, como uma forma alternativa de determinar se um alvo é amigo

ou inimigo. Entretanto, essa ainda é uma tarefa desafiadora para qualquer sistema de radar.

O método clássico para identificação de helicópteros utiliza o quociente entre o

comprimento das pás e o número de pás do rotor principal, onde duas características do

sinal são medidas: o tempo entre picos consecutivos no domínio do tempo e a velocidade

da ponta da pá, no domínio da freqüência. Infelizmente, essas características são difíceis de

serem medidas em ecos de alvos reais com altos níveis de ruído. Este trabalho mostra as

dificuldades para realizar estas medidas, determina a freqüência de repetição de pulso

necessária para a obtenção do eco do helicóptero sem falseamento, apresenta uma nova

forma de modelagem do eco de helicóptero, propõe uma nova forma de análise de sinal

complexo utilizando Transformada Wavelet Contínua e um novo método para a medição do

tempo entre picos.

ABSTRACT

Helicopter identification capability is a desirable feature on air defense radars, as an

alternative way of distinguishing friends of foes. However, it is still a challenging task for

any radar system. The classical method for helicopter classification uses the quotient

between blade length and number of blades in the main rotor, where two signal features are

measured: time between flashes and blade tip velocity. Unfortunately, these features are

difficult to measure on actual target echoes with high noise levels. This work shows the

difficulties for accomplishing these measures, determines the pulse repetition frequency

needed for obtaining the helicopter echo without aliasing, presents a new helicopter echo

modeling and proposes a new way for analyzing complex signal using Continuous Wavelet

Transform, and a new method for measuring time between flashes.

1 INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÃO

Na defesa antiaérea com radar, é muito importante a capacidade de diferenciar os alvos

amigos dos inimigos, a fim de evitar fratricídio. A classificação de alvos como aviões e

helicópteros e a identificação do tipo de helicóptero representam uma grande ferramenta de

avaliação do perigo que determinado alvo pode representar. O presente trabalho visa

estudar as principais técnicas de identificação de helicópteros e apresentar um método que

gere uma melhor extração de características para este tipo de identificação.

1.2 A IDENTIFICAÇÃO DE HELICÓPTEROS

Para realizar a identificação de um helicóptero, um sistema radar deve, primeiramente

realizar duas etapas anteriores: a deteção do alvo e sua classificação como helicóptero.

A deteção é o propósito básico de qualquer radar, consistindo em descobrir que existe

um objeto, agora chamado de alvo, dentro do alcance de operação do radar.

Classificação de alvos é a determinação por parte do sistema radar de que tipo de objeto

se trata o alvo detetado: veículo terrestre, embarcação, avião, helicóptero, pessoas, animais,

etc. No caso do radar de defesa antiaérea, essa classificação ocorre principalmente entre:

- aeronave de asa fixa (avião ou similar); e

- aeronave de asa móvel (helicóptero).

Após um alvo ter sido classificado pelo radar como sendo um helicóptero, identificar a

qual classe ou modelo de helicóptero o alvo pertence é uma tarefa bastante desejável em

sistemas radar modernos (Gini, Farina e Greco, 2004).

A identificação de helicópteros é um problema de reconhecimento de padrões, onde

cada classe representa um tipo de helicóptero. Como em todo problema de reconhecimento

de padrões, uma boa extração de características é essencial à solução do problema.

Como não é fácil, muito menos barata, a aquisição de diversos ecos de helicópteros com

radar, a modelagem desses ecos é essencial à realização de qualquer trabalho nessa área. O

modelo clássico de eco de helicóptero foi primeiramente apresentado por Misiurewicz et

al., 1997, e é ainda largamente utilizado na grande maioria dos trabalhos da área. Uma nova

forma de modelagem, mais completa e realista, foi apresentada por Ding et al., 2005.

Entretanto, este modelo foi apresentado de forma genérica, sem detalhamento, dificultando

sua implementação.

Toda a teoria desenvolvida até hoje sobre identificação de helicópteros se baseia no fato

de que a rotação das pás produz uma modulação periódica que pode gerar uma assinatura

radar potencialmente útil para identificação (Chen, 2000).

Contemporaneamente ao modelo clássico de eco de helicóptero, surgiu o primeiro

método de identificação de helicópteros, baseado no quociente entre o comprimento das pás

do rotor principal do helicóptero e o número de pás do mesmo (Rotander e von Sydow,

1997). Esse quociente pode ser encontrado através da medição do intervalo entre picos

consecutivos da representação do valor absoluto do sinal no domínio do tempo e a largura

do pulso que surge na representação do mesmo no domínio da freqüência.

Desde então, poucos trabalhos foram publicados nesta área, sendo a grande maioria

sobre métodos de reconhecimento de padrões que melhor se adaptem às características já

citadas. Esses trabalhos se baseiam em características extraídas de sinais gerados a partir do

modelo clássico de eco de helicóptero, não tendo o mesmo desempenho quando aplicados a

sinais obtidos por radares em situação real, sinais esses que possuem características bem

distintas do modelo clássico, como será mostrado neste trabalho.

Uma das últimas publicações sobre este assunto, apresenta um método um pouco mais

apurado para a extração destas características, propondo a medição da largura de pulso no

domínio da freqüência em um sinal coerentemente integrado e a medição do tempo entre

picos no domínio do tempo em sinal com integração não coerente (Tikkinen et al., 2005).

Esta última publicação representa um grande avanço no estudo das formas de extração

de características em sinais mais próximos daqueles oriundos de helicópteros reais.

Entretanto, o método nele apresentado não apresenta bons resultados em sinais ruidosos.

1.3 O PRESENTE TRABALHO

No presente trabalho, será inicialmente apresentada uma explanação sobre o

funcionamento do radar de defesa antiaérea. Em seguida, serão apresentados o fenômeno

físico em questão e o modelo clássico apresentado na literatura (Misiurewicz et al., 1997)

para a síntese de sinais a serem utilizados na identificação de helicópteros. Serão também

apresentadas as principais técnicas utilizadas atualmente na solução deste tipo de problema

(Rotander e von Sydow, 1997).

Depois, será apresentado um modelo modificado, construído com base no modelo

apresentado em Ding et al., 2005, e será realizada uma breve análise tanto da modelagem

clássica quanto do modelo modificado, juntamente com uma apresentação dos principais

efeitos que dificultam a aplicação dos métodos clássicos de identificação de helicópteros.

Finalmente, será proposto um método de extração de características que possibilite a

melhoria de desempenho dos classificadores utilizados atualmente na tarefa de

identificação de helicópteros.

Dadas as dificuldades encontradas pelos métodos utilizados atualmente para trabalhar

isoladamente no domínio do tempo ou no domínio da freqüência, propõe-se a obtenção de

um método que extraia características para os algoritmos de reconhecimento de padrões

através de uma análise conjunta tempo-freqüência.

Esta idéia já foi apresentada em (Yoon et al., 2000), onde o sinal medido foi submetido

a uma análise com base em espectrograma STFT (Short-Time Fourier Transform), através

do qual os autores conseguiam extrair duas características: o comprimento da pá e o

número de pás do helicóptero. Entretanto, este método apresenta uma forma de melhor

visualizar características do sinal mas não mostra como extrair esses atributos. Além disso,

ele se baseia no modelo clássico de eco de helicóptero, não tendo o mesmo resultado para

sinais de helicópteros reais.

Portanto, o objetivo deste trabalho foi procurar superar as limitações desse método

através de técnicas mais apuradas de análise tempo-freqüência existentes atualmente,

através das quais pode ser verificada a possibilidade de se realizar uma extração de

características de forma mais robusta e menos vulnerável ao efeito de ruído, ecos de alvos

estáticos e outras interferências.

1.4 CONTRIBUIÇÕES

As principais contribuições deste trabalho para comunidade científica serão brevemente

listadas nesta seção.

A primeira contribuição do trabalho é a criação da modelagem alternativa que é criada

para superar as limitações do modelo clássico que é apresentado no Capítulo 3. Esta é uma

modificação que se mostra necessária para o prosseguimento do trabalho, não é encontrada

nas principais publicações sobre o assunto e pode servir de base para outros trabalhos nesta

área.

A segunda contribuição aparece a partir da análise do efeito da subamostragem sobre o

sinal. Para evitar os efeitos analisados, desenvolve-se na Seção 5.3 uma expressão

matemática para a determinação da menor freqüência de repetição de pulsos necessária para

evitar os efeitos negativos da subamostragem. Essa expressão também não foi encontrada

nos trabalhos publicados sobre identificação de helicópteros.

Outra contribuição deste trabalho surge ao utilizar a transformada wavelet contínua

(CWT) para análise de um sinal complexo que é o sinal radar. Ao se verificar que não há

nas principais publicações sobre transformada wavelet contínua, um método eficiente para

analisar sinais complexos, resolve-se propor neste trabalho um método que possibilite a

análise das componentes positivas e negativas de freqüência de um sinal complexo

utilizando a CWT, método este que aparece na Subseção 6.3.2.

A contribuição final é o próprio método para extração de características, que é o

objetivo do trabalho e é apresentado no Capítulo 6.

2 FUNCIONAMENTO DO RADAR DE DEFESA ANTIAÉREA

2.1 FUNCIONAMENTO DE UM RADAR PULSADO

Atualmente, a quase totalidade dos radares de defesa antiaérea são radares pulso-

Doppler, que consistem de radares pulsados capazes de obter a velocidade radial do alvo

através de análise Doppler. Desta forma, para entender como funciona um radar de defesa

antiaérea típico, é necessário primeiramente entender o funcionamento de um radar

pulsado.

O radar pulsado emite pulsos de curta duração que, ao encontrarem alvos, geram ecos

que são recebidos de volta no radar. O tempo transcorrido entre a emissão de um pulso e a

recepção do eco gerado por esse pulso em um alvo determina a distância desse alvo ao

radar.

Na grande maioria dos radares pulsados, incluindo os pulso-Doppler, essa informação

de distância é digitalizada, de maneira que a resolução da digitalização determina a

resolução do radar, conforme ilustrado na FIG. 2.1. Vale ressaltar que o sinal digitalizado é

complexo e que as análises gráficas que serão realizadas a seguir têm base no valor

absoluto do sinal.

FIG. 2.1 - Célula de resolução em distância

A movimentação em distância de um alvo pode ser determinada, conforme o

representado na FIG. 2.2, através da observação dos ecos gerados a partir de uma seqüência

de pulsos, onde IRP é o intervalo de repetição de pulsos do radar, definido em conjunto

com a FRP, de acordo com a EQ. (2.1).

IRP

FRP

= (2.1)

FIG. 2.2 - Movimentação de um alvo no tempo

Neste tipo de representação, o estudo do comportamento do sinal na horizontal é

normalmente chamado de análise em distância, visto que a distância entre o eco e o pulso

retangular à esquerda representa a distância entre o alvo e o radar.

Já o estudo do comportamento do sinal na vertical é freqüentemente chamado de análise

em azimute, uma vez que, na maior parte dos radares de defesa antiaérea, a antena gira

constantemente na horizontal, gerando uma movimentação do alvo em azimute em relação

ao radar. Como essa movimentação é, quase sempre, lenta (menor que 30 rpm), a

amostragem do sinal pulso a pulso permite uma melhor representação do comportamento

do sinal em azimute do que a amostragem entre dois pulsos consecutivos.

FIG. 2.3 - Movimentação de um alvo no tempo (gráfico waterfall)

A FIG. 2.3 mostra um gráfico do tipo waterfall, o qual facilita a observação da

movimentação de um alvo no tempo (em azimute e distância).

Em geral, nos radares pulso-Doppler, a resolução em distância é superior à maior

dimensão de qualquer helicóptero, visto que a resolução típica deste tipo de radar é da

ordem de dezenas de metros para radares com compressão de pulso e de, no mínimo,

centenas de metros para radares sem esse recurso.

Desta forma, teoricamente todo o eco do helicóptero está contido em apenas uma

unidade, ou no máximo duas unidades, de resolução em distância e, portanto, para cada

pulso emitido há apenas uma medida do alvo, podendo-se assim considerar a freqüência de

repetição de pulsos como a freqüência de amostragem do sinal proveniente do alvo.

2.1.1 AMBIGÜIDADE EM DISTÂNCIA

Após um radar emitir um pulso, todos os alvos cujos ecos retornam ao radar antes que

este emita um novo pulso podem ter sua distância determinada sem ambigüidade, isto é,

sem erros teóricos, através da relação (Skolnik, 2001)

(2.2)

onde R é a distância entre o alvo e o radar, t é o tempo entre transmissão do pulso e a

chegada do eco ao radar e c é a velocidade da luz.

Por outro lado, se o alvo estiver tão distante do radar que seu eco retorne ao radar após

este ter emitido um ou mais pulsos, o radar pode considerar que o eco é devido ao último

pulso transmitido, de forma que a distância será calculada com erro. Este fenômeno é

denominado ambigüidade em distância.

A distância máxima em que um alvo poderá estar para que o radar consiga medir sua

distância sem ambigüidades é dada pela EQ. (2.3) (Mahafza, 2000). Verifica-se através da

EQ. (2.3), que para aumentar o alcance sem ambigüidade do radar, deve-se reduzir a FRP:

2FRP

= (2.3)

onde R

é o alcance máximo sem ambigüidade do radar e c é a velocidade da luz.

2.2 RADAR DE COMPRESSÃO DE PULSO

A compressão de pulso é uma técnica utilizada para melhorar a resolução em distância

sem a necessidade de utilizar pulsos muito estreitos.

Para que um radar tenha bom alcance, é interessante que ele seja capaz de emitir pulsos

de grande energia. A energia do pulso é dada pela fórmula

E = P T

(2.4)

onde P

é a potência do transmissor e

é a largura do pulso emitido.

Portanto, para que um radar tenha um bom alcance em distância, é interessante que a

potência do transmissor seja alta ou que o radar trabalhe com uma grande largura de pulso.

Para que a potência seja alta, é necessário um transmissor maior, mais caro e que necessita

de uma fonte de alimentação também maior e mais cara, o que não é desejável. Além disso,

uma potência mais alta implica em um maior risco de deteção pelo inimigo.

Resta, então, aumentar a largura de pulso. Entretanto, uma grande largura de pulso

implica em uma baixa resolução em distância.

FIG. 2.4 - Equivalência em energia entre pulsos

Uma das técnicas mais utilizadas atualmente para realizar a compressão de pulso

consiste em modular o pulso de transmissão em freqüência, de forma que o radar transmita

um pulso largo, o que é bom para o alcance do radar, e que, após a demodulação, tanto a

energia transmitida quanto a resolução em distância conseguida sejam similares ao que é

obtido através de um pulso estreito de alta potência, conforme o ilustrado na FIG. 2.4.

A compressão é possível devido à transmissão de um chirp, que é um pulso com

freqüência modulada, conforme o ilustrado na FIG. 2.5, ao invés de um pulso senoidal com

freqüência constante como seria o normal.

FIG. 2.5 - Exemplo de chirp

FIG. 2.6 - Transmissão do chirp

A FIG. 2.6 ilustra a geração e transmissão do chirp. O bloco “Chirp” gera uma

oscilação com variação em freqüência e o bloco “Amp” amplifica essa oscilação que é

transmitida através da antena.

Na recepção, a compressão de pulso propriamente dita é realizada. Ela consiste da

demodulação do sinal que retorna ao radar através de sua correlação cruzada com uma

réplica do chirp transmitido.

Amp

Chirp

Antena

2.3 PROCESSAMENTO

Normalmente, o processamento de sinal de radares com compressão de pulso por

modulação linear de freqüência seguem as seguintes etapas:

- chegada dos dados brutos ao sistema;

- compressão de pulso;

- deteção;

- reamostragem e concatenação dos blocos detetados;

FIG. 2.7 - Processamento radar

A FIG. 2.7 ilustra as etapas do processamento radar, que serão brevemente discutidas a

seguir.

Vale ressaltar que toda a explanação sobre o processamento de dados do radar,

apresentada neste capítulo, visa apenas um melhor entendimento do problema. O sinal que

será utilizado para a identificação é o histórico de reflexão do alvo que é obtido ao final

deste processamento.

2.3.1 DADOS BRUTOS

O sistema de processamento do radar analisado nesta dissertação recebe blocos que

consistem em matrizes de D linhas por C colunas de dados brutos. Cada coluna representa a

resposta em azimute obtida pelo radar para uma determinada distância, e cada linha

representa a resposta em distância para um determinado azimute, sendo cada linha

precedida por dados de cabeçalho. Vale ressaltar que os dados de radar são complexos e,

portanto, se cada dado possui 2N bits, os primeiros N bits são a parte real e os outros N são

a parte imaginária.

O valor de C, isto é, o número de colunas dessa matriz de dados limita a resolução em

distância do radar. Já a resolução em azimute é limitada também pela velocidade de rotação

da antena e pela freqüência de repetição de pulsos utilizada pelo radar.

A TAB. 2.1 ilustra o formato dos dados brutos recebidos pelo sistema de

processamento:

TAB. 2.1 - Dados brutos recebidos pelo processamento

Distância

1 2 3 C

Cabeçalho

Re Im Re Im Re Im

Re Im

Az 1

Cab1 2N bits 2N bits 2N bits

2N bits

Az 2

Cab2 2N bits 2N bits 2N bits

2N bits

Az 3

Cab3 2N bits 2N bits 2N bits

. . .

2N bits

Az D

CabD 2N bits 2N bits 2N bits

2N bits

Os dados organizados desta forma são então submetidos ao processamento do radar,

com o intuito de encontrar possíveis ecos em seu interior.

Imediatamente após a passagem da matriz por cada fase do processamento, a matriz

formada pelos próximos D azimutes é então submetido àquela fase do processamento, de

forma que possíveis alvos encontrados em matrizes subseqüentes são comparados no fim

do processamento para que seja verificado se eles correspondem à continuidade do eco do

mesmo alvo, conforme será descrito na Subseção 2.3.4.

A primeira etapa do processamento dessa matriz de dados brutos é a compressão de

pulso, que será descrita a seguir.

2.3.2 COMPRESSÃO DE PULSO

Na primeira etapa do processamento, os dados brutos passam pela compressão de pulso

em distância. Conforme mencionado na Seção 2.2, para que o radar obtenha uma boa

resolução em distância mesmo trabalhando com pulsos largos, é realizada a compressão de

pulso, que consiste da demodulação do sinal recebido pelo radar como resposta à

transmissão de chirp, através de sua correlação cruzada com uma réplica do chirp.

corr(x) = sinal(t).chirp*(t - x)dt

∫

(2.5)

onde corr é o sinal após a compressão, sinal é o sinal que chega ao receptor, chirp é a cópia

do chirp que foi transmitido e * indica o complexo conjugado. Seja

chirp(t) chirp(-t)

= (2.6)

ou seja, uma cópia do chirp transmitido invertida no tempo, o sinal demodulado pode ser

escrito como

corr(x) = sinal(t).chirp*(x - t)dt sinal(t) ch

irp(t)

= ⊗

∫

(2.7)

onde ⊗ representa convolução linear.

Portanto, a demodulação é realizada através da convolução entre o sinal recebido e uma

cópia do chirp transmitido invertida no tempo. Para a realização dessa convolução, é

aproveitada a propriedade de que a convolução no domínio do tempo equivale a uma

multiplicação no domínio da freqüência. Desta forma, a compressão de pulso é

implementada conforme ilustrado na FIG. 2.8.

FIG. 2.8 - Compressão de Pulso

Assim, é realizada a convolução linear de cada linha dos dados brutos com a réplica

invertida do chirp. Para tanto, a linha é acrescida de zeros para atingir um comprimento M

igual ao comprimento da réplica do chirp no domínio da freqüência, comprimento este que

deve equivaler à soma do comprimento da linha de dados com o comprimento do chirp no

domínio do tempo para a mesma taxa de amostragem menos 1, para garantir que a

convolução circular realizada no domínio da freqüência seja equivalente à convolução

linear entre os dois sinais (Oppenheim et al., 1999).

Então, é realizada a Transformada Rápida de Fourier (FFT) deste sinal que, em seguida,

é multiplicado ponto a ponto pela réplica do chirp no domínio da freqüência. Após a

multiplicação do sinal pela réplica do chirp no domínio da freqüência, é realizada a

Transformada Inversa Rápida de Fourier (IFFT), e o sinal retorna ao domínio do tempo.

Desta forma, o resultado desta etapa é um novo bloco, que consiste em uma matriz em

que cada linha já sofreu a compressão de pulso, possui comprimento M e se encontra no

domínio do tempo.

2.3.3 DETEÇÃO

O sinal, que sofreu a compressão de pulso em distância, é agora trabalhado em azimute.

A deteção é realizada no domínio da freqüência. Para tanto, cada coluna dos dados passa

por uma FFT, gerando pequenos blocos que consistem em vetores de D pontos no domínio

da freqüência.

Esses pontos são, então, comparados com um valor teste, o limiar (threshold), de forma

que se qualquer um dos pontos for superior ao limiar, o vetor é detetado como um possível

alvo e passado a frente, caso contrário, o vetor é descartado. O limiar pode ser um valor

fixo ou variar de acordo com a distância em que o vetor analisado está localizado.

Para que não sejam detetados alvos estáticos (clutter), as raias correspondentes às

freqüências mais baixas, não são comparadas ao limiar, visto que esses pontos representam

as reflexões de menor velocidade detetadas pelo radar naquela distância. Após a deteção, é

realizada a IFFT e os blocos detetados são novamente colocados no domínio do tempo.

2.3.4 REAMOSTRAGEM E CONCATENAÇÃO DOS BLOCOS

Os blocos, ou vetores, de D pontos detetados são armazenados e aguardam a análise da

próxima matriz de dados brutos (com D azimutes por C distâncias). Quando essa análise

termina e novos vetores de D pontos são detetados, os dados que estavam armazenados e

não tiveram continuidade são descartados, ou seja, um vetor armazenado é descartado se o

bloco correspondente à sua mesma distância na análise seguinte não for detetado.

Os blocos que tiverem continuidade são mantidos armazenados até que essa

continuidade termine. Quando isso ocorre, todos os blocos detetados em seqüência naquela

distância são concatenados para formar o histórico do alvo.

Em radares de defesa antiaérea, é comum a utilização de diversas freqüências de

repetição de pulso. Neste caso, considerando que o radar possui F diferentes FRP’s,

utilizando diferente FRP a cada D pulsos emitidos, ocorre que, como a taxa de amostragem

do sinal obtido é igual à freqüência de repetição de pulsos, a freqüência de amostragem de

cada bloco detetado é diferente.

Portanto, antes de serem concatenados, os blocos são, primeiramente, reamostrados

para uma mesma taxa de amostragem. Em geral,os blocos são interpolados para uma

freqüência de amostragem igual à maior FRP utilizada pelo radar, para que o sinal

resultante tenha o máximo de pontos, o que é interessante para o processamento do sinal.

Após reamostrados e concatenados os blocos são denominados histórico de

refletividade do alvo. Esse sinal é então transmitido a estágios de processamento de nível

mais elevado do radar. Esse é o sinal que será utilizado para a realização da identificação de

helicópteros.

A FIG. 2.9 ilustra um resumo do sistema de processamento radar, mostrando o caminho

percorrido pelos dados desde sua chegada como dados brutos até sua saída como um

histórico de refletividade do alvo.

FIG. 2.9 - Caminho dos dados no processamento radar

2.4 MEDIÇÃO DE VELOCIDADE

Uma das principais diferenças entre os radares pulsados simples e os radares pulso-

Doppler é a capacidade destes últimos de medir a velocidade do alvo. Essa medição é

realizada através da análise do histórico de deteção do alvo no domínio da freqüência,

conseguido através da FFT do histórico no domínio do tempo. O valor máximo do histórico

de deteção no domínio da freqüência indica a freqüência Doppler referente à velocidade do

alvo.

FIG. 2.10 - Medição de velocidade

Portanto, se o máximo valor do histórico no domínio da freqüência ocorre para uma

freqüência Doppler f

, a velocidade do alvo é dada pela EQ. (2.8) (Mahafza, 2000).

dop

f c

= (2.8)

onde v é a velocidade do alvo, c é a velocidade da luz e f

é a freqüência central de

transmissão do radar.

2.4.1 AMBIGÜIDADE EM VELOCIDADE

Na Subseção 2.1.1, é mencionado o fenômeno da ambigüidade em distância. Fenômeno

semelhante ocorre com a medição de velocidade.

Histórico

de deteção

do alvo

Histórico de

deteção

(freqüência)

Velocidade

do alvo

FFT

Detetor

de pico

Ao aplicar a FFT no histórico de deteção do alvo, a máxima freqüência Doppler

mapeada equivale à metade da freqüência de amostragem, portanto, se o módulo da

velocidade do alvo corresponde a uma freqüência Doppler menor ou igual à metade da

freqüência de amostragem, a velocidade do alvo é corretamente medida. Se, por outro lado,

o módulo da velocidade do alvo produz uma freqüência Doppler maior que a metade da

freqüência de amostragem, a velocidade é medida com erro.

Esse fenômeno é denominado ambigüidade em velocidade. Para que um radar não sofra

com essa ambigüidade, ele deve ser projetado para que a freqüência de amostragem do

sinal seja sempre maior que o dobro da freqüência Doppler correspondente à máxima

velocidade dos alvos a que o radar se destina.

Conforme o descrito na Subseção 2.1.1, quanto maior a FRP, pior é o alcance sem

ambigüidade do radar. Desta forma, nos radares pulso-Doppler há um compromisso entre

ambigüidade em distância e ambigüidade em velocidade, onde o aumento da FRP aumenta

a robustez do radar contra a ambigüidade em velocidade e diminui a robustez contra

ambigüidade em distância.

Encontrar a FRP adequada é, portanto, um desafio aos projetistas de radares pulso-

Doppler, e o valor adotado depende bastante da aplicação desejada para o equipamento.

Pode-se, entretanto, afirmar que na maior parte destes radares, a FRP utilizada não é alta o

suficiente para permitir a realização de boas análises utilizando-se apenas o domínio da

freqüência.

3 MODELAGEM DO SINAL

3.1 MODELAGEM CLÁSSICA

A forma clássica de análise e modelagem do sinal proveniente do helicóptero a ser

utilizada para classificação pode ser encontrada em (Misiurewicz et al., 1997), sendo

completada em (Ding et al., 2005). Esta modelagem se baseia no conceito descrito a seguir.

3.1.1 SEÇÃO RETA RADAR (RCS)

A Seção Reta Radar (RCS - “Radar Cross Section”) é uma medida das características de

reflexão de um alvo, que pode ser analisada como uma área fictícia que produziria, no

radar, um eco igual ao do alvo em questão (Skolnik, 2001). Portanto, quanto maior o RCS

do alvo, mais visível ele é para o radar.

As características de reflexão de um alvo, assim como as propriedades de formação de

seu eco, variam com o comprimento de onda de transmissão do radar, e essas características

são classificadas em três regiões:

- região de Raylegh: nesta região, o comprimento de onda é muito maior que as dimensões

do alvo;

- região de ressonância: nesta região, o comprimento de onda é da mesma ordem de

grandeza das dimensões do alvo; e

- região ótica: nesta região, o comprimento de onda é muito menor que as dimensões do

alvo.

Como a maior parte dos radares de defesa antiaérea possuem freqüência de transmissão

maior que 1 GHz (comprimento de onda menor que 30 cm), a reflexão de um helicóptero se

encontra na região ótica. Nesta região, a interação entre as reflexões de cada parte do alvo

são muito pequenas, de forma que o eco do alvo pode ser considerado a soma das reflexões

de cada uma de suas partes, segundo a equação:

( )

k k

k 1

s(t) s exp j (t)

= ψ

∑

(3.1)

onde p é o número de partes refletidas do alvo e s

são, respectivamente, a amplitude e

fase de cada parte refletida do alvo.

3.1.2 COMPONENTES DO ECO DO HELICÓPTERO

O eco de um helicóptero é formado pelas reflexões de suas diversas partes, dentre as

quais, as componentes mais significativas são as apresentadas na FIG. 3.1, onde S0

representa a fuselagem, S1 o rotor principal e S2 o rotor secundário.

FIG. 3.1 - Principais componentes do eco radar do helicóptero.

- Fuselagem: normalmente gera um eco de grande amplitude, devido às suas grandes

dimensões. Entretanto, o eco da fuselagem é, em geral, muito similar entre os diversos

tipos de alvos, não sendo, portanto, adequado à tarefa de identificação. Na modelagem

clássica, este eco é ignorado.

- Rotor principal: a rotação periódica das pás do rotor principal resulta em uma modulação

em amplitude e fase do sinal que retorna ao radar. Os parâmetros dessa modulação são

determinados por características intrínsecas ao helicóptero detetado, o que torna o eco do

seu rotor principal uma boa base para a sua identificação.

- Rotor secundário (cauda do helicóptero): de forma semelhante ao que ocorre com o rotor

principal, gera uma modulação em amplitude e fase em seu eco. Entretanto, este eco é

mais difícil de ser trabalhado, pois possui menor amplitude, visto que as dimensões das

pás são bem menores que as do rotor principal. Adicionalmente, o rotor secundário é

freqüentemente encoberto pela fuselagem e, além disso, a freqüência de rotação do rotor

secundário é, normalmente, muito maior do que a do principal, exigindo assim uma maior

FRP do radar para ser apropriadamente analisado, o que nem sempre é possível. Na

modelagem clássica, e para este trabalho, o eco do rotor secundário foi desprezado, por

ser de muito baixa amplitude e depender fortemente da posição do helicóptero.

Como a freqüência de transmissão do radar se encontra na região ótica, podemos

considerar cada componente do eco do helicóptero separadamente, e a modelagem se

utiliza desta propriedade para analisar apenas o eco do rotor principal.

3.1.3 ECO DO ROTOR PRINCIPAL

O rotor principal é composto por três componentes principais:

- as pás;

- a cabeça; e

- a base (ou mastro).

FIG. 3.2 - Rotor Principal (1 – pá, 2 – cabeça, 3 – base)

O eco do conjunto base e cabeça do rotor principal é estudado em (Misiurewicz et al.,

1998), onde se demonstra que para analisar corretamente o eco da base do rotor, é

necessário um radar extremamente sensível e, de preferência, com pequeno comprimento

de onda (λ ≤ 3 cm — banda X), o que normalmente não ocorre em radares de busca

antiaérea.

Analisaremos, então, apenas o eco das pás do rotor principal. Uma pá pode ser

modelada como uma barra rígida de comprimento L. Consideremos, então, uma pá disposta

a um ângulo

em relação ao lóbulo principal do radar e iluminada pela onda plana do radar

da forma:

j t

u e

= (3.2)

onde

é a freqüência angular da onda e t é o tempo.

FIG. 3.3 - Incidência de onda plana sobre a pá

A FIG. 3.3 ilustra a pá iluminada pela onda plana proveniente do radar.

O sinal que chega a esta pá, que se encontra a uma distância R do radar e o helicóptero

se aproxima do radar com uma velocidade radial v, será, portanto:

( )

u (t) exp j t R vt

 

 

= ω − −

 

 

 

 

(3.3)

O sinal refletido será então

( )

2 x.sen

s (t) exp j t R vt 2 dx

c c

 θ 

 

= ω − − −

 

 

 

 

∫

(3.4)

( )

2 L L

s (t) exp j t R vt sen sinc sen

c c c

 

   ω 

   

= ω − − + θ θ

 

   

   

   

   

 

(3.5)

onde

rot i

θ = ω + θ

(3.6)

onde ω

rot

é a velocidade angular de rotação do rotor principal, θ

é a posição inicial da pá i,

c é a velocidade da luz e x é a distância entre o ponto de incidência de cada elemento da

onda plana e a extremidade da pá, conforme o ilustrado pela FIG. 3.4.

FIG. 3.4 - Análise do sinal refletido por uma pá

Generalizando o resultado para N pás e acrescentando um ângulo de elevação

e uma

velocidade radial v para o helicóptero, teremos o seguinte modelo para o eco do helicóptero

(Ding et al., 2005):

( )

rot i

2 L

N 1

j t R vt sen t cos

c c

pas rot i

i 0

s (t) e sinc sen t cos

 

 

−

ω − − + ω +θ β

  

 

 

 ω 

 

= ω + θ β

 

 

 

 

∑

(3.7)

onde

i 0

(i -1)

θ = θ + π (3.8)

Vale ressaltar que este modelo simula dados processados da recepção do radar, onde

apenas os dados do alvo desejado são gerados, não sendo, portanto, útil para realização de

análise em distância.

3.2 MODELO MODIFICADO

O modelo clássico é de grande importância para que se entendam as particularidades do

eco proveniente de um helicóptero. Entretanto, o sinal a ser analisado em um radar real é,

conforme o ilustrado na FIG. 3.5 (b), bastante diferente do que é gerado pelo modelo

clássico, conforme a FIG. 3.5 (a).

FIG. 3.5 - Diferença entre o modelo clássico e o sinal medido

Para que o sinal simulado seja mais fiel ao sinal que se mede em situações reais,

decidiu-se, neste trabalho, criar e implementar modificações ao modelo clássico.

Estas modificações são uma contribuição deste trabalho, utilizando como base o modelo

descrito em Ding et al., 2005, que coloca como modelo geral para ecos de aeronaves com

partes rotativas a EQ. (3.9):

s s s j j n n

s(t) a (t) c s (t) c s (t) c s (t)

 

= + +

 

(3.9)

onde a

é a influência das características do radar sobre o sinal, s

é o eco das partes fixas, s

é o eco das partes rotativas da aeronave, s

é ruído branco e c

, c

e c

são os coeficientes do

eco das partes físicas, do eco das partes móveis e do ruído, respectivamente, utilizados para

normalização, caso seja necessário.

3.2.1 ECO DO ROTOR PRINCIPAL

Neste trabalho, para o eco das partes móveis levou-se em conta apenas o rotor principal,

notadamente as pás do rotor principal, visto que, conforme já mencionado na Subseção

3.1.23.1, o rotor secundário tem dimensões pequenas e pode estar escondido pela

fuselagem. Esse eco das pás do rotor principal é simulado através da modelagem clássica,

conforme o descrito na Subseção 3.1.3, ou seja, é modelado através da EQ. (3.7).

Portanto teremos:

j j pas

c s (t) s (t)

= (3.10)

Desta forma, o modelo clássico dado por s

pas

, definido na EQ. (3.7), é apenas parte

integrante do modelo que será criado.

3.2.2 ECO DA FUSELAGEM

O eco das partes fixas do helicóptero foi considerado, para este trabalho, o eco da

fuselagem do helicóptero.

Para acrescentar a componente da fuselagem do helicóptero, esta foi modelada como

um alvo pontual, com uma velocidade v fixa. Desta forma, temos:

(

)

fus fus dop

s (t) A exp j 2 f t

 

= π

 

(3.11)

onde A

fus

é amplitude do eco da fuselagem do helicóptero e onde

dop

2vf

= (3.12)

onde f

é a freqüência central da portadora do sinal de transmissão do radar.

Desta forma teremos:

s s fus

c s (t) s (t)

= (3.13)

Esta componente representa a forte influência que a fuselagem gera no eco de um

helicóptero real.

3.2.3 EFEITO DO LÓBULO DA ANTENA

Para a influência das características do radar levou-se em conta o efeito do lóbulo da

antena, visto que este é o efeito mais visível no eco de um helicóptero real e levando em

conta a dificuldade para modelar outras características que variam bastante para radares

diferentes.

Para incluir o efeito do lóbulo da antena em azimute, este foi modelado por uma função

sinc. Assim, temos o seguinte modelo para o efeito do lóbulo da antena:

[

]

s 0

a (t) sinc (t)

= φ − φ

(3.14)

3.2.4 MODELO PROPRIAMENTE DITO

A modelagem final do sinal foi então realizada em três etapas:

- modelagem do eco do rotor principal;

- modelagem do eco da fuselagem; e

- modelagem do efeito da diretividade da antena.

Substituindo a EQ. (3.7) e a EQ. (3.11) na EQ. (3.9), temos que o modelo modificado é

dado por:

[

]

pas fus 0

s(t) s (t) s (t) sinc (t) n(t)

 

= + φ − φ +

 

(3.15)

onde

(t) é o ângulo de azimute da antena no tempo t,

é o azimute do alvo, s

pas

é dado

pela EQ. (3.7), s

fus

pela EQ. (3.11) e n(t) é um ruído aditivo branco gaussiano (AWGN).

Esse modelo modificado consiste então na primeira contribuição deste trabalho, uma

vez que sua implementação era essencial para a continuidade do trabalho e que não foi

encontrado modelo similar na literatura nesse nível de detalhamento. Vale ressaltar que a

implementação deste modelo, assim como a do modelo clássico, é feita diretamente a partir

de sua formulação matemática, apresentada na EQ. (3.15) para o modelo modificado e na

EQ. (3.7) para o modelo clássico.

4 MÉTODOS UTILIZADOS PARA IDENTIFICAÇÃO DE HELICÓPTEROS

4.1 MÉTODO CLÁSSICO

Nas duas últimas décadas, diversos métodos foram publicados na tentativa de

solucionar o problema da identificação de helicópteros. Uma das publicações mais citadas

nesta área propõe a identificação através do quociente L/N (Rotander e Sydow, 1997), onde

L é o comprimento das pás e N é o número de pás do rotor principal. Este quociente é

encontrado através da combinação da EQ. (4.1) com a EQ. (4.2).

A velocidade das pontas das pás do rotor principal de um helicóptero é proporcional ao

produto entre o comprimento dessas pás e sua freqüência de rotação

max

rot max

f c

2 f L v

π = = (4.1)

onde f

rot

é a freqüência de rotação do rotor principal, v

max

é a velocidade das pontas das pás,

max

é a freqüência Doppler determinada por v

max

A reflexão do sinal transmitido pelo radar nas pás em rotação gera pulsos que podem

ser observados no valor absoluto do sinal no domínio do tempo, conforme a FIG. 4.1. O

período de repetição desses pulsos é função da freqüência de rotação do rotor e do número

de pás, conforme a EQ. (4.2)

rot

f N , se N é par

2f N , se N é ímpar











(4.2)

onde τ é o período de repetição dos picos que aparecem no domínio do tempo.

FIG. 4.1 - Medição de τ

ττ

τ através da análise do sinal no domínio do tempo

A FIG. 4.1 ilustra o valor absoluto de um sinal gerado pelo modelo clássico apresentado

no Capítulo 3 no domínio do tempo, onde podem ser observados os picos periódicos.

A combinação da EQ. (4.1) com a EQ. (4.2) resulta na EQ. (4.3), que é a expressão

final para o quociente L/N.

max

, se N é par

N 2

, se N é ímpar

∆ τ



= =





∆ τ



= =





(4.3)

onde

max

max 0

d max

4v f

f 2f

∆ = = (4.4)

é a largura do pulso no domínio da freqüência, conforme ilustrado na FIG. 4.2.

FIG. 4.2 - Cálculo de v

max

através da análise do sinal no domínio da freqüência

Vale ressaltar que, na resposta Doppler, aparece um pulso que se estende da freqüência

Doppler mínima até a máxima produzida pelo helicóptero. Este pulso se forma pois cada

elemento da hélice do helicóptero produz uma resposta Doppler distinta, desde a ponta da

pá que se afasta do radar perpendicularmente à direção de propagação do sinal, produzindo

a menor freqüência Doppler, até a ponta da pá que se aproxima do mesmo na mesma

direção, que produz Doppler máximo, passando pelo centro do rotor, cuja resposta Doppler

se encontra no centro do pulso.

Pode-se ainda observar que o pulso não é simétrico em relação à freqüência Doppler

nula. Isto ocorre porque a velocidade de cada elemento da hélice do rotor principal é igual à

sua velocidade linear devido à rotação somada à velocidade de movimento do helicóptero

como um todo. Desta forma, essa velocidade do helicóptero produz a freqüência Doppler

que aparece no centro do pulso.

Outro método utilizado atualmente é a exploração de duas características para os

algoritmos de reconhecimento de padrões, o período de repetição dos picos e a largura dos

picos, ambas retiradas da análise do sinal no domínio do tempo.

Ambos os métodos são extremamente prejudicados pela pouca quantidade de pontos

disponíveis na maior parte dos radares de defesa antiaérea, o que dificulta a análise no

domínio do tempo, e é dificultado também pelas baixas freqüências de repetição de pulso, o

que possibilita um mapeamento pobre no domínio da freqüência.

Estes métodos conseguem bons resultados na identificação de helicópteros,

principalmente na distinção de helicópteros cujas características se destaquem da maioria

dos demais. Entretanto, devido a esta dificuldade na obtenção de características através de

análises isoladas no domínio do tempo ou da freqüência, há dificuldade para distinguir

helicópteros com características semelhantes.

4.2 ANÁLISE UTILIZANDO ESPECTROGRAMA STFT

Uma primeira análise de sinais de helicópteros utilizando análise conjunta tempo-

freqüência é o método do espectrograma STFT, apresentado em (Yoon et al., 2000), onde

max

∆

são encontrados conforme o ilustrado na FIG. 4.3, que mostra o espectrograma

STFT para a situação em que o helicóptero possui um número par de pás, e a FIG. 4.4, que

mostra o espectrograma STFT para a situação em que o helicóptero possui um número

ímpar de pás. Por este método, pode-se, também, observar claramente a diferença entre

helicópteros com número par de pás e helicópteros com número ímpar de pás.

FIG. 4.3 - Método do Espectrograma STFT (Número par de pás)

FIG. 4.4 - Método do Espectrograma STFT (Número ímpar de pás)

Pode-se observar na FIG. 4.3 e na FIG. 4.4 que a análise de um sinal modelado através

do modelo clássico utilizando espectrograma STFT gera uma visualização em que se pode

observar

max

∆

simultaneamente e permite também uma clara observação da diferença

entre o eco de helicópteros com número par de pás e com número ímpar de pás.

Em helicópteros com número par de pás, quando uma pá se encontra formando um

ângulo reto com a direção de incidência do sinal radar se aproximando deste, a pá

diametralmente oposta também estará perpendicular à direção de incidência da onda

transmitida pelo radar, se movimentando no sentido oposto. Isso faz com que haja respostas

com Doppler positivo e negativo no mesmo instante de tempo.

Já em helicópteros com número ímpar de pás, as que se aproximam do radar e as que se

afastam do mesmo ficam perpendiculares à direção de transmissão do sinal radar em

instantes alternados, gerando na STFT respostas Doppler positiva e negativa alternadas no

tempo.

O método apresentado neste artigo (Yoon et al., 2000) apresenta dois problemas. O

primeiro consiste na falta de métodos pra extrair as informações da STFT, pois o trabalho

mostra claramente apenas como a visualização das características do sinal é melhorada com

o espectrograma STFT, mas não mostra como extrair essas características.

Outro problema consiste na diferença entre o modelo utilizado para aplicar este método

e o sinal de helicópteros reais. Quando este método é aplicado a ecos de helicópteros reais,

as características do sinal mostradas nesta seção não aparecem claramente, tornando-se

difícil extrair informações úteis para a identificação de helicópteros.

Um dos principais fatores para essa dificuldade é a presença da componente devida à

fuselagem do helicóptero no eco de um alvo real. Esta componente é bastante forte, sendo

ressaltada no espectrograma STFT, o que dificulta a observação e a extração de

características devidas às pás do rotor principal do helicóptero.

Neste trabalho, tentou-se realizar a filtragem dessa componente, a fim de obter um sinal

onde as características apontadas nesta seção aparecessem claramente. Entretanto,

verificou-se que esta tarefa não é simples, de forma que o sinal filtrado obtido continha

sempre características deformadas em relação ao esperado, de forma a não ser viável uma

boa observação das características úteis para identificação.

5 ANÁLISE DOS MODELOS

Os modelos, clássico e modificado, descritos nas Seções 3.1 e 3.2, respectivamente,

foram implementados no computador a fim de permitir a realização de uma análise dos

mesmos.

5.1 MODELO CLÁSSICO

A FIG. 5.1 ilustra um sinal no domínio do tempo simulado através do modelo clássico,

onde se observam picos periódicos provenientes dos instantes em que alguma das pás

encontra-se perpendicular à direção de propagação do sinal do radar.

FIG. 5.1 - Sinal no domínio do tempo gerado através do modelo clássico

O sinal modelado representado na FIG. 5.1 foi construído a partir dos dados contidos na

TAB. 5.1:

TAB. 5.1 - Valores utilizados para a simulação

Radar

Freqüência da portadora 1,32 GHz

Freqüência de amostragem (FRP) 5 kHz

Velocidade de rotação da antena 7,5 rpm

Relação sinal-ruído 45 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 349 rpm

Comprimento das pás 5,97 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

A FIG. 5.2 ilustra o mesmo sinal modelado, no domínio da freqüência, e pode-se

observar, conforme o descrito em (Rotander e Sydow, 1997), um grande pulso centrado em

uma freqüência proporcional à velocidade radial do helicóptero (f

dop

≈ 260 Hz neste

exemplo) e com largura proporcional ao comprimento da pá do helicóptero.

FIG. 5.2 - Resposta em freqüência do sinal simulado

Utilizando espectrograma STFT, podemos realizar uma breve análise conjunta tempo-

freqüência, conforme o ilustrado na FIG. 5.3, cujo sinal foi simulado através do modelo

clássico com base nos dados contidos na TAB. 5.1.

Frequencia

Espectrograma

0 0.05 0.1 0.15

-2000

-1000

1000

2000

0 10 20

-2000

-1000

1000

2000

0 0.05 0.1 0.15

0.5

1.5

Tempo (s)

FIG. 5.3 - STFT do sinal gerado pelo modelo clássico (número par de pás)

Frequencia (Hz)

Espectrograma

0 0.05 0.1 0.15

-2000

-1000

1000

2000

0 10 20

-2000

-1000

1000

2000

0 0.05 0.1 0.15

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo (s)

FIG. 5.4 - STFT do sinal gerado pelo modelo clássico (número ímpar de pás)

A FIG. 5.4 ilustra o sinal de um helicóptero com número ímpar de pás, modelado a

partir dos dados contidos na TAB. 5.2:

TAB. 5.2 - Valores utilizados para a simulação

Radar

Freqüência da portadora 1,32 GHz

Freqüência de amostragem (FRP) 5 kHz

Velocidade de rotação da antena 7,5 rpm

Relação sinal-ruído 45 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 394 rpm

Comprimento das pás 5,345 m

Número de pás 3

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Ao comparar a FIG. 5.3 com a FIG. 5.4, pode-se observar facilmente a diferença entre o

sinal oriundo de um helicóptero com número par de pás e o resultante de um helicóptero

com número ímpar de pás, quando o sinal é gerado a partir do modelo clássico com taxa de

amostragem adequada.

No sinal oriundo de helicóptero com número par de pás, as componentes de freqüência

doppler positiva, geradas por pás que se aproximam do radar, e freqüência doppler

negativa, geradas por pás que se afastam do radar, aparecem simultaneamente. Já no sinal

gerado por um helicóptero com número ímpar de pás, estas componentes aparecem

alternadamente no tempo.

Vale ainda ressaltar a diferença de nível entre os sinais no domínio do tempo.

Comparando-se a FIG. 5.3 com a FIG. 5.4, verifica-se uma diferença na amplitude dos

picos que aparecem no domínio do tempo para ambos os sinais. Essa diferença ocorre

porque os picos que aparecem para os helicópteros com número par de pás são devidos aos

ecos de duas pás simultaneamente: da pá que se aproxima e da que se afasta do radar

quando estas se encontram simultaneamente perpendiculares à direção de incidência do

sinal radar.

No caso de helicópteros com número ímpar de pás, apenas uma pá fica perpendicular à

direção de incidência do sinal de cada vez. Portanto, o retorno gerado será menor do que no

caso do helicóptero com número par de pás.

5.2 MODELO MODIFICADO

Utilizando o modelo modificado, obtemos para as mesmas características do exemplo

anterior (contidas na TAB. 5.1) o sinal ilustrado pelas figuras FIG. 5.5, FIG. 5.6 e FIG. 5.7.

A FIG. 5.5 ilustra este sinal no domínio do tempo, a FIG. 5.6 mostra o mesmo sinal no

domínio da freqüência e a FIG. 5.7 apresenta a STFT do sinal.

FIG. 5.5 - Sinal no domínio do tempo gerado através do modelo modificado

FIG. 5.6 - Resposta em freqüência do sinal (normal à esquerda e ampliado à direita)

Frequencia

Espectrograma

0 0.05 0.1 0.15

-2000

-1000

1000

2000

0 10 20

-2000

-1000

1000

2000

0 0.05 0.1 0.15

Tempo (s)

FIG. 5.7 - STFT do sinal gerado pelo modelo modificado (número par de pás)

Pode-se verificar na FIG. 5.6 que, no domínio da freqüência, surge um pulso grande e

estreito no centro do pulso largo e baixo que aparecia anteriormente no modelo clássico.

Esse pulso estreito é a componente devida à fuselagem do helicóptero.

No domínio do tempo verifica-se que, no centro, o sinal possui maior nível médio que

nas extremidades, o que sugere a presença de uma oscilação de baixa freqüência. Esse

resultado é devido ao efeito conjunto do eco da fuselagem e da influência do lóbulo da

antena.

5.3 EFEITO DA SUBAMOSTRAGEM

A maior parte dos radares de defesa antiaérea precisam trabalhar com baixa FRP, uma

vez que necessitam ter bom alcance sem ambigüidade em distância, dado pela EQ. (2.3).

Ao reduzir a freqüência de amostragem (FRP), o sinal medido pelo radar pode ser

degradado pelo fenômeno da subamostragem, o que faz com que a análise do sinal seja

prejudicada pelo surgimento de falseamento do sinal (aliasing).

Com isso, torna-se inviável a medição de

∆

através da medição da largura de pulso no

domínio da freqüência, o que impossibilita a identificação do helicóptero através do método

do quociente L/N (Rotander e Sydow, 1997).

Frequencia

Espectrograma

0 0.05 0.1 0.15

-1000

-500

500

1000

0 10 20

-1000

-500

500

1000

0 0.05 0.1 0.15

Tempo (s)

FIG. 5.8 - STFT do sinal subamostrado

O efeito da subamostragem pode ser observado através da FIG. 5.8 que apresenta um

sinal modelado a partir dos dados contidos na TAB. 5.3:

TAB. 5.3 - Valores utilizados para a simulação

Radar

Freqüência da portadora 1,32 GHz

Freqüência de amostragem (FRP) 2,15 kHz

Velocidade de rotação da antena 7,5 rpm

Relação sinal-ruído 45 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 349 rpm

Comprimento das pás 5,97 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Para garantir que o eco de nenhum helicóptero seja subamostrado, a freqüência de

amostragem deverá ser maior que o dobro da maior freqüência possível gerada por eco de

helicóptero. Vale lembrar que, em geral, a freqüência de repetição de pulsos é a freqüência

de amostragem.

Os helicópteros são projetados para que a maior velocidade linear de nenhuma de suas

partes ultrapasse a velocidade do som. Se a velocidade linear de qualquer parte do

helicóptero ultrapassasse a velocidade do som, o ruído gerado seria insuportável para a

tripulação.

Notadamente, essa máxima velocidade ocorre com a ponta da pá que se desloca em

direção à dianteira do helicóptero quando o helicóptero trafega para frente em sua

velocidade máxima.

De posse destas informações, decidiu-se, neste trabalho, obter uma expressão que

determine um valor de FRP que garanta a não ocorrência do falseamento. Foi assim

verificado que, para garantir que o eco de nenhum helicóptero seja subamostrado, a FRP

deverá ser maior que o dobro da velocidade do som. Desta forma, a FRP necessária para

evitar subamostragem deve ser

som 0

max

4v f

FRP 2f

≥ = (5.1)

onde f

max

é a freqüência Doppler máxima e v

som

é a velocidade do som.

Esse resultado deve ser analisado em conjunto com o valor mínimo de FRP para que

seja possível medir os picos no domínio do tempo (Ziyue et al., 2001), dado pela EQ. (5.2).

rot

2 L

FRP

0,443

≥

(5.2)

Assim, torna-se extremamente desejável, para um sistema de radar que tenha como um

de seus objetivos realizar a identificação de helicópteros, trabalhar com uma FRP que

obedeça à EQ. (5.1) e à EQ. (5.2). Assim é possível evitar a ocorrência de falseamento, que

é extremamente prejudicial à realização da identificação.

5.4 EFEITO DO BAIXO TEMPO DE ILUMINAÇÃO DO ALVO

Outro efeito que pode dificultar a tarefa da identificação de helicópteros é o baixo

tempo de iluminação do alvo, o que faz com que poucos picos gerados pelas pás do

helicóptero apareçam em cada histórico de refletividade do alvo.

Frequencia

Espectrograma

0 0.02 0.04 0.06

-1000

-500

500

1000

0 10 20

-1000

-500

500

1000

0 0.02 0.04 0.06

1.5

2.5

3.5

Tempo (s)

FIG. 5.9 - STFT de um sinal com baixo tempo de iluminação do alvo

O sinal modelado representado na FIG. 5.9 foi construído a partir dos dados contidos na

TAB. 5.4:

TAB. 5.4 - Valores utilizados para a simulação

Radar

Freqüência da portadora 1,32 GHz

Freqüência de amostragem (FRP) 2,15 kHz

Velocidade de rotação da antena 15 rpm

Relação sinal-ruído 45 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 349 rpm

Comprimento das pás 5,97 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Pode-se observar na FIG. 5.9 que poucos picos aparecem no domínio do tempo. Além

disso, o baixo tempo de iluminação do alvo faz com que se tenham poucos pontos

disponíveis no histórico de deteção do alvo, o que dificulta a aplicação de qualquer método

de processamento de sinais.

Desta forma, é interessante para qualquer sistema de radar trabalhar com alto tempo de

iluminação do alvo. Entretanto, isto implica em uma baixa velocidade de rotação da antena,

o que faz com que a atualização da informação dos alvos presentes no espaço aéreo seja

mais demorada, o que não é interessante para radares de defesa antiaérea. Torna-se,

portanto, um desafio aos projetistas de radar encontrar o maior tempo de iluminação do

alvo com que o radar pode trabalhar sem prejudicar suas demais funções.

5.5 EFEITO DO RUÍDO

Finalmente, com o aumento do ruído podemos simular um histórico de refletividade do

alvo de forma similar o de um radar real e observar a dificuldade em aplicar os métodos

clássicos de identificação de helicópteros.

Frequencia

Espectrograma

0 0.02 0.04 0.06

-1000

-500

500

1000

0 10 20

-1000

-500

500

1000

0 0.02 0.04 0.06

1.5

2.5

3.5

Tempo (s)

FIG. 5.10 - STFT do sinal ruidoso gerado pelo modelo modificado

O efeito do ruído pode ser observado no sinal modelado representado pela FIG. 5.10,

que foi construído a partir dos dados contidos na TAB. 5.5:

TAB. 5.5 - Valores utilizados para a simulação

Radar

Freqüência da portadora 1,32 GHz

Freqüência de amostragem (FRP) 2,15 kHz

Velocidade de rotação da antena 15 rpm

Relação sinal-ruído 17,5 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 349 rpm

Comprimento das pás 5,97 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Verifica-se, através da FIG. 5.10 que um sinal que sofre com a subamostragem, o baixo

tempo de iluminação e com ruído é bastante diferente do ideal mostrado no modelo

clássico.

Num sinal deste tipo, a componente da fuselagem se sobressai sobre quaisquer outras

características do sinal e é difícil identificar a localização dos pulsos gerados pelo eco das

pás do helicóptero.

Frequencia

Espectrograma

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

-1000

-500

500

1000

0 1 2

x 10

-1000

-500

500

1000

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

x 10

Tempo (s)

FIG. 5.11 - STFT do sinal medido de helicóptero real

A FIG. 5.11 ilustra o sinal medido a partir de um helicóptero real. Comparando a FIG.

5.10 com a FIG. 5.11 pode-se observar as semelhanças e diferenças entre o sinal simulado

com o modelo modificado e o sinal real, ambos com base nas mesmas características de

radar e helicóptero (dadas pela TAB. 5.5).

6 EXTRAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS

Uma fase essencial para a resolução de um problema de reconhecimento de padrões é a

extração de características ou atributos. Para este problema, alguns métodos de extração de

características foram testados.

6.1 TRANSFORMADA DE FOURIER A TEMPO CURTO (STFT)

A Transformada de Fourier a Tempo Curto ou STFT (Short-Time Fourier Transform) é

um método de análise tempo-freqüência em que, a cada intervalo de tempo, é realizada a

transformada discreta de Fourier (DFT), gerando uma matriz de coeficientes que permitem

uma análise das características do sinal em tempo e freqüência simultaneamente.

A STFT é dada pela expressão (Oppenheim et al., 1999)

j m

X(n, ) x(n m)w(m)e

+∞

− ω

=−∞

ω = +

∑

(6.1)

onde w é uma função janela, n representa o tempo discreto e

a freqüência angular digital.

Este método é largamente utilizado por ser o mais conhecido dentre os meios de análise

conjunta tempo-freqüência. Sua utilidade para a identificação de helicópteros é apresentada

em (Yoon et al., 2000).

A principal desvantagem da STFT é sua baixa resolução, de forma que, para melhorar a

resolução no tempo, é necessário degradar bastante a resolução em freqüência, e vice-versa.

6.2 TRANSFORMADA S

É um método mais atual de análise tempo-freqüência, onde a resolução no tempo é

melhor para freqüências mais altas. Foi publicada na década de 90 por Stockwell e é dada

pela EQ. (7.2) (Stockwell et al., 1996).

( )

t' t f

j2 ft

S t ',f h(t) e e dt

+∞

−

− π

=−∞

∫

(6.2)

onde t’ é o tempo contínuo, f a freqüência e h(t) é o sinal a ser analisado.

A Transformada S compara o sinal com gaussianas cujos desvios padrões são

proporcionais ao inverso do valor absoluto da freqüência. Isso faz com que seja produzida

uma análise com alta resolução em freqüência e baixa resolução no tempo para baixas

freqüências e com baixa resolução em freqüência e alta resolução no tempo para altas

freqüências.

Frequencia (Hz)

Transformada S

0 0.02 0.04 0.06 0.08

-2000

-1000

1000

2000

0 10 20

-2000

-1000

1000

2000

0 0.02 0.04 0.06 0.08

Tempo (s)

FIG. 6.1 – Transformada S do eco de helicóptero

Para o eco de helicóptero, a transformada S não apresentou bom resultado. A boa

resolução em freqüência e baixa resolução no tempo para baixas freqüências fez com que a

Transformada S ressaltasse a componente devida ao corpo do helicóptero, o que ocultou as

demais características do sinal, conforme o ilustrado na FIG. 6.1.

6.3 TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA (CWT)

A Transformada Wavelet Contínua ou CWT (Continuous Wavelet Transform) é uma

análise realizada em relação a uma função base chamada wavelet mãe, que é comparada

com o sinal em diversas escalas. Ela é calculada pela correlação entre o sinal a ser

analisado e uma família de formas de onda (wavelets) geradas a partir da wavelet mãe.

A CWT é definida através da expressão

( )

a,b a,b

W(b,a) s,g s(t)g t dt

+∞

=−∞

= =

∫

(6.3)

onde b é o tempo contínuo, a é a escala, s é o sinal a ser analisado, g é a wavelet mãe e

onde

a,b

1 t b

g (t) g

−

 

 

 

(6.4)

é a família de formas de onda geradas a partir da wavelet mãe.

Portanto, a CWT pode ser escrita como (Schneider, 1988)

1 t b

W(b,a) s(t) g dt

+∞

=−∞

−

 

 

 

∫

(6.5)

Desta forma, se a wavelet mãe é limitada em banda, com freqüência central f

e banda

∆

, a freqüência central de cada uma das wavelets filha

−

 

 

 

t b

será

, e a banda

relativa será igual para todas as formas de onda da família.

∆f

= = constante

f f

(6.6)

Diferentemente da STFT e da transformada S, a CWT não produz uma representação

tempo-freqüência do sinal, mas uma representação tempo-escala. Essa escala determina a

dilatação aplicada à wavelet mãe antes de ser comparada ao sinal em análise.

A qualidade da análise realizada com a utilização da CWT depende bastante da wavelet

mãe escolhida. Para o caso do eco de helicóptero, diversas wavelets mãe foram testadas. As

características do sinal foram melhor observadas quando utilizada a CWT com a wavelet de

Shannon, dada por

j2 f x

b b

g(x) f sinc(f x)e

= (6.7)

onde f

é a freqüência central da wavelet e f

é um parâmetro de banda (∆f

~ f

A FIG. 6.2 ilustra o comportamento da wavelet de Shannon no domínio do tempo.

50 100 150 200 250

0.5

Parte Real

50 100 150 200 250

-0.5

0.5

Parte Imaginaria

50 100 150 200 250

0.2

0.4

0.6

0.8

Magnitude

50 100 150 200 250

Fase

FIG. 6.2 - Wavelet de Shannon com f

= 1 e f

= 1,5

No domínio da freqüência, a wavelet de Shannon, G(

) na EQ. (6.8), é representada por

um pulso retangular centrado em f

e de largura proporcional a f

, o que pode ser observado

na FIG. 6.3.

c c

b b

a aπ aπ

, se - f

ω f

f f

G(ω)=

0, em caso contrário



+ ≤ ≤ +









(6.8)

-1 -0.5 0 0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Fase da Wavelet de Shannon no dominio da frequencia

Frequencia (

)

Valor Absoluto

-1 -0.5 0 0.5

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

Frequencia (

)

Fase

Valor Absoluto da Wavelet de Shannon no dominio da frequencia

FIG. 6.3 - Wavelet de Shannon no domínio da freqüência

A formulação para a CWT no domínio do tempo também, pode ser analisada como a

correlação entre a família de formas de onda e o sinal a ser analisado. Isto é normalmente

implementado como a convolução entre o sinal e o complexo conjugado de uma cópia da

forma de onda (wavelet) invertida no tempo, conforme a equação.

a,b

1 b t

W(b,a) s(t) g dt s g

+∞

− −

=−∞

−

 

= = ⊗

 

 

∫

(6.9)

onde

a,b a,b

g (t) g ( t)

−

= −

(6.10)

Este tipo de formulação facilita a previsão e o entendimento do resultado da CWT de

um sinal real com uma wavelet real. Entretanto, é difícil analisar o resultado da convolução

quando um dos sinais é complexo, como ocorre com sinais de radar. Portanto, torna-se

bastante interessante desenvolver uma formulação para a CWT no domínio da freqüência.

6.3.1 CWT NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

Partindo da equação (6.4), pode-se aplicar a Tansformada de Fourier, obtendo-se

(

)

j b

a,b

G ( ) aG a e

− ω

ω = ω (6.11)

Utilizando-se o Teorema de Parseval, pode-se obter uma formulação no domínio da

freqüência para a CWT (Sadowsky, 1996):

( )

j b

W(b,a) a S( )G a e d

+∞

ω=−∞

= ω ω ω

∫

(6.12)

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo (s)

Escala

CWT do eco de helicoptero

0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.05

0.1

0.15

0.2

Tempo (s)

Escala

CWT do valor absoluto do eco de helicoptero

0 0.02 0.04 0.06 0.08

FIG. 6.4 - CWT do eco de helicóptero utilizando-se a wavelet de Shannon. (a) CWT do eco do

helicóptero. (b) CWT do valor absoluto do eco do helicóptero.

A FIG. 6.4 a) ilustra a CWT do eco de um helicóptero, a partir da wavelet de Shannon,

onde verifica-se que a CWT produz uma visível demarcação dos instantes em que ocorrem

picos de reflexão devido à posição das pás do helicóptero. Essa demarcação corresponde às

manchas verticais estreitas que aparecem sobre a grande mancha horizontal, que

corresponde ao eco da fuselagem.

Pode-se verificar na FIG. 6.4 b) que o eco da fuselagem é bastante atenuado e a

demarcação dos instantes de pico é reforçada quando a CWT é tomada sobre o valor

absoluto do sinal.

Esta é uma boa saída para melhorar a qualidade da medição do intervalo entre picos.

Entretanto, este artifício pode mascarar características espectrais do sinal.

Este bom resultado conseguido especificamente com a wavelet de Shannon era

esperado, uma vez que, assim como o eco do helicóptero, a wavelet de Shannon é complexa

e baseada em uma função sinc.

6.3.2 LIMITAÇÃO QUANTO A SINAIS COMPLEXOS

Existe uma limitação para a análise de sinais complexos utilizando a CWT. Esta

limitação consiste no fato de que as wavelets reais são redundantes em freqüência, ou seja,

possuem o mesmo espectro tanto para freqüências positivas quanto negativas. Desta forma,

ao serem correlacionadas com um sinal complexo, não permitem analisar o comportamento

do sinal para freqüências positivas e negativas.

Este comportamento pode ser observado na FIG. 6.5, que ilustra uma wavelet real.

-2 0 2

Wavelet de Morlet no dominio da frequencia

Frequencia

Magnitude

10 20 30 40

-0.5

0.5

Tempo

Magnitude

Wavelet de Morlet no domínio do tempo

FIG. 6.5 - Wavelet Real de Morlet nos domínios do tempo e da freqüência

As wavelets complexas, por sua vez, possuem apenas componentes espectrais de

freqüência positiva, conforme o apresentado na FIG. 6.6. Desta forma, ao serem

correlacionadas com o sinal, permitem analisar apenas as componentes de freqüência

positiva do sinal.

-1 -0.5 0 0.5

Wavelet Complexa de Morlet no dominio da frequencia

Frequencia (

)

Valor Absoluto

20 40 60 80 100 120

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tempo (s)

Amplitude

Parte Real da Wavelet Complexa de Morlet no dominio do tempo

FIG. 6.6 - Wavelet de Complexa de Morlet nos domínios do tempo e da freqüência

Propõe-se neste trabalho, como uma boa solução para contornar este problema, uma

adaptação da CWT com wavelets complexas para analisar tanto as freqüências positivas

quanto negativas. Esta adaptação consiste em calcular CWT do sinal com a wavelet

complexa normalmente e, então, recalcular CWT, desta vez com a wavelet complexa

invertida em freqüência, e concatenar os resultados.

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

Tempo (s)

Escala

CWT do sinal complexo

0 0.02 0.04 0.06 0.08

-40

-30

-20

-10

FIG. 6.7 - CWT adaptada do sinal complexo

Esta adaptação da CWT é representada pela FIG. 6.7, onde a metade superior da figura,

com escala positiva, é a CWT do sinal com uma wavelet complexa, que analisa as

componentes de freqüência positiva do sinal. A metade inferior, aqui representada com

escala negativa, é a CWT do mesmo sinal, desta vez com a mesma wavelet invertida em

freqüência.

Atualmente, a CWT é muito utilizada para análise de sinais reais mas pouco utilizada

para a análise de sinais complexos. Essa pouca utilização tem como um de seus principais

motivos a dificuldade em interpretar seu resultado e a relação entre as escalas utilizadas e

as freqüências positivas e negativas.

Com a utilização desta adaptação, fica mas clara a análise do sinal através da

observação da relação entre a wavelet mãe e as componentes de freqüências positivas e

negativas do sinal.

6.4 USO DA DIFERENCIAÇÃO FINITA PARA FILTRAR O ECO DA FUSELAGEM

Uma solução para eliminar a forte componente devida ao eco do corpo do helicóptero,

que mascara as demais características do sinal, é a tomada da derivada, ou diferenciação

finita, na direção do tempo, de forma a eliminar da análise componentes constantes no

tempo e ressaltar transições nesta direção, conforme o ilustrado na FIG. 6.8. A

diferenciação finita é tomada de acordo com a EQ. (6.13)

dif

W (b,a) W(b,a) W(b 1,a)

= − − (6.13)

FIG. 6.8 - Processo de aplicação da derivada à CWT

Este método foi utilizado em conjunto com a STFT, a Transformada S e a CWT,

conforme o ilustrado na FIG. 6.9. Pode-se observar que, em todos os casos, a derivada

conseguiu eliminar a componente do corpo do helicóptero, ressaltando a componente

relativa às pás.

Tempo (s)

Frequencia (Hz)

(a) Espectrograma STFT

0 0.02 0.04 0.06 0.08

-2000

2000

Tempo (s)

Frequencia (Hz)

(b) Derivada da STFT

0 0.02 0.04 0.06 0.08

-2000

2000

Tempo (s)

Frequencia (Hz)

0 0.02 0.04 0.06 0.08

-2000

2000

Tempo (s)

Frequencia (Hz)

(d) Derivada da transformada S

0 0.02 0.04 0.06 0.08

-2000

2000

Tempo (s)

Escala

(e) CWT

0 0.02 0.04 0.06 0.08

Tempo (s)

Escala

(f) Derivada da CWT

0 0.02 0.04 0.06 0.08

FIG. 6.9 - Derivada das Transformadas

A diferenciação finita ao longo do tempo, ou seja, na direção horizontal, destaca

transições nessa direção e atenua patamares constantes nessa direção. Essa característica

provoca a atenuação do eco da fuselagem do helicóptero, que se espalha como uma mancha

horizontal.

Essa propriedade torna esse método bastante útil, uma vez que esse eco da fuselagem

dificulta a observação dos picos gerados pelas pás, picos esses que aparecem como

manchas verticais.

Comparando o resultado da diferenciação finita quando utilizada em conjunto com a

STFT, a transformada S e a CWT, verifica-se que, apesar de a diferenciação ter melhorado

todas as análises, sua utilização com a CWT gera um resultado que permite uma melhor

determinação da localização dos picos verticais no tempo.

6.5 ENERGIA DE TEAGER-KAISER

Normalmente, a energia de um sinal é calculada através do quadrado das amplitudes

instantâneas. Esse método, entretanto, não leva em conta a variação do sinal com o tempo.

Uma forma alternativa de cálculo da energia instantânea de um sinal discreto no tempo

pode ser estimada utilizando-se as mostras instantâneas de amplitude e seus vizinhos no

tempo, conforme a EQ. (6.14)(Kaiser, 1990).

E x[n]x *[n] x[n 1]x *[n 1]

≈ − + −

(6.14)

A energia de Teager-Kaiser quando expressa pela EQ. (6.14) não representa uma boa

estimativa quando aplicada a sinais com múltiplos componentes de freqüência. Desta

forma, a energia de Teager-Kaiser pode ser aplicada ao longo de cada escala após o cálculo

da CWT (Matos e Johann, 2007).

Quando a energia de Teager-Kaiser foi aplicada à diferenciação finita da CWT,

verificou-se uma boa eficácia na redução do ruído, uma vez que esta energia realçou

características do sinal sobre o fundo ruidoso, conforme pode ser observado na FIG. 6.10.

0.5

1.5

escalas

(a)

0.05

0.1

0.15

0.2

escalas

(b)

0.02

0.04

escalas

(c)

tempo (s)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

FIG. 6.10 – Efeito da energia de Teager-Kaiser. (a) CWT do sinal; (b) CWT do sinal após

diferenciação finita; (c) energia de Teager-Kaiser da CWT após diferenciação finita

A FIG. 6.10 mostra a aplicação dos métodos estudados até o momento para a melhorar

a observação do sinal. A FIG. 6.10(a) apresenta a CWT do sinal, que é o primeiro passo em

sua análise. Pode-se observar a forte componente da fuselagem do helicóptero, que dificulta

a observação dos picos gerados pelas pás.

A seguir, o resultado da CWT é submetido à diferenciação finita no tempo, o que

atenua o eco da fuselagem, permitindo uma melhor observação dos picos gerados pelas pás,

conforme a FIG. 6.10(b). Essa observação é apenas um pouco dificultada por estar sobre

um fundo bastante ruidoso.

Esse ruído de fundo é então atenuado através da utilização da energia de Teager-Kaiser,

que valoriza os picos verticais em detrimento do ruído de fundo, conforme a FIG. 6.10(c).

A partir desta última visualização, já é possível determinar a localização dos picos verticais

no tempo e, assim, calcular o tempo entre picos.

6.6 MÓDULOS MÁXIMOS DA TRANSFORMADA WAVELET (WTMM)

Pode ser visto na FIG. 6.10 que os picos devidos às pás do helicóptero são realçados

após a CWT, diferenciação finita e a energia de Teager-Kaiser. O próximo passo é,

portanto, encontrar uma forma de determinar a posição no tempo desses picos, de forma a

tornar possível o cálculo do tempo entre picos consecutivos.

Um método eficiente para medir a posição dos picos na CWT é chamado de Módulos

Máximos da Transformada Wavelet (WTMM) e tem como princípio básico que transições e

singularidades podem ser encontradas através da primeira derivada da CWT (Matos et al.,

2007).

Este método consiste em encontrar os máximos locais da CWT e ligá-los a fim de

produzir linhas chamadas Linhas dos Módulos Máximos da Transformada Wavelet

(WTMML). Estas linhas estão ilustradas na FIG. 6.11. De posse da localização dessas

linhas no tempo, é possível calcular o tempo entre picos consecutivos.

0.4

0.6

0.8

1.2

amplitude

(a)

0.05

0.1

escalas

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

tempo (s)

escalas

(c)

FIG. 6.11 - Módulos Máximos da Transformada Wavelet. (a) Sinal no domínio do tempo; (b) Energia de

Teager-Kaiser da diferenciação finita da CWT; (c) WTMML.

Assim, podemos agora completar o esquemático da FIG. 6.8, de forma que o processo

sugerido é o descrito na FIG. 6.12.

FIG. 6.12 - Processo de medição do tempo entre picos consecutivos

Distância

entre picos

Finalmente é, assim, obtido um bom método para a medição do tempo entre as pás do

helicóptero. Esse método traz duas boas possibilidades: permite obter o tempo entre picos

com uma única passagem da antena pelo alvo; e possibilita a medição do tempo entre picos

mesmo em sinais bastante degradados pelo falseamento.

O método proposto foi também descrito em Costa e Matos, 2008, artigo que foi aceito

para publicação pela 2008 IEEE Radar Conference. Este texto encontra-se no Anexo 1

desta dissertação.

6.7 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA PROPOSTA

Nesta seção, serão aplicados os métodos apresentados neste capítulo em alguns sinais

simulados e em um sinal medido em radar real. A todos os sinais é aplicada a CWT, que

passa pela diferenciação finita.

A energia de Teager-Kaiser é aplicada ao resultado da diferenciação e, finalmente, o

intervalo entre picos é medido através da determinação dos módulos máximos da

Transformada Wavelet.

A FIG. 6.13 ilustra o sinal simulado de um helicóptero Esquilo, cujos dados estão

contidos na TAB. 6.1.

O Esquilo é um helicóptero com número ímpar de pás, o que faz com que os picos

gerados por suas pás tenham menor intensidade do que os gerados por helicópteros com

número par de pás. Ainda assim, o método obteve uma boa localização dos picos no tempo

para o eco do Esquilo.

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

amplitude

(a)

0.01

0.02

escalas

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

tempo (s)

escalas

(c)

FIG. 6.13 - Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Esquilo. (a) Sinal simulado no domínio do

tempo; (b) Energia de Teager-Kaiser da diferenciação finita da CWT; (c) WTMML.

TAB. 6.1 - Dados utilizados para a simulação

Radar

Freqüência de amostragem (FRP) 5 kHz

Velocidade de rotação da antena 10 rpm

Relação sinal-ruído 17,5 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 394 rpm

Comprimento das pás 5,345 m

Número de pás 3

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

A FIG. 6.14 apresenta o eco de um helicóptero Apache, que foi simulado com os dados

contidos na TAB. 6.2.

0.2

0.3

0.4

0.5

amplitude

(a)

0.01

0.02

0.03

escalas

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

tempo (s)

escalas

(c)

FIG. 6.14 - Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Apache. (a) Sinal simulado no domínio do

tempo; (b) Energia de Teager-Kaiser da diferenciação finita da CWT; (c) WTMML.

TAB. 6.2- Dados utilizados para a simulação

Radar

Freqüência de amostragem (FRP) 5 kHz

Velocidade de rotação da antena 10 rpm

Relação sinal-ruído 17,5 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 289 rpm

Comprimento das pás 7,315 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Os dados contidos na TAB. 6.3 foram utilizados para simular o sinal proveniente de

um helicóptero Cougar. Este sinal está apresentado na FIG. 6.15.

0.4

0.6

0.8

amplitude

(a)

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

escalas

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

tempo (s)

escalas

(c)

FIG. 6.15 - Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Cougar. (a) Sinal simulado no domínio do

tempo; (b) Energia de Teager-Kaiser da diferenciação finita da CWT; (c) WTMML.

TAB. 6.3 - Dados utilizados para a simulação

Radar

Freqüência de amostragem (FRP) 5 kHz

Velocidade de rotação da antena 10 rpm

Relação sinal-ruído 17,5 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 265 rpm

Comprimento das pás 7,8 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Os helicópteros Apache e Cougar, possuem uma freqüência menor de rotação das pás, o

que gera menos pulsos para serem analisados. O método proposto obteve uma boa

localização dos pulsos no tempo para esse tipo de helicóptero.

A FIG. 6.16 mostra o eco simulado de um helicóptero Pantera. A TAB. 6.4 apresenta os

valores utilizados nesta simulação.

0.2

0.4

0.6

0.8

amplitude

(a)

0.02

0.04

0.06

escalas

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

tempo (s)

escalas

(c)

FIG. 6.16 - Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Pantera. (a) Sinal simulado no domínio do

tempo; (b) Energia de Teager-Kaiser da diferenciação finita da CWT; (c) WTMML.

TAB. 6.4 - Dados utilizados para a simulação

Radar

Freqüência de amostragem (FRP) 5 kHz

Velocidade de rotação da antena 10 rpm

Relação sinal-ruído 17,5 dB

Helicóptero

Freqüência do rotor principal 349 rpm

Comprimento das pás 5,97 m

Número de pás 4

Elevação 10°

Velocidade 29,511 m/s

Pode-se, então, comparar este resultado com o obtido de um helicóptero Pantera em

situação real e similar à que foi simulada. Este sinal, medido em situação real, está ilustrado

na FIG. 6.17.

0.2

0.4

0.6

0.8

amplitude

(a)

0.02

0.04

0.06

escalas

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08

tempo (s)

escalas

(c)

FIG. 6.17 - Módulos Máximos da CWT de um helicóptero Pantera. (a) Sinal medido no domínio do

tempo; (b) Energia de Teager-Kaiser da diferenciação finita da CWT; (c) WTMML.

O sinal medido de helicóptero real apresentado na FIG. 6.17 está subamostrado e com

baixo tempo de iluminação do alvo, o que representa, portanto, as piores condições para a

análise do sinal. Mesmo assim, o método consegue uma boa determinação da posição dos

picos no tempo. Entretanto, é clara a diferença entre a qualidade dessa determinação em

relação ao caso em que esses efeitos negativos não ocorrem, como o caso do sinal mostrado

na FIG. 6.16, que contém uma simulação do mesmo helicóptero (Pantera) sem os efeitos da

subamostragem ou do baixo tempo de iluminação do alvo.

O método proposto foi testado em diversos sinais medidos de helicóptero real,

apresentando satisfatória localização dos picos verticais mesmo para sinais subamostrados.

Entretanto, sinais amostrados corretamente ainda apresentaram um ganho de qualidade em

suas respostas, não apenas para este método, mas em qualquer tipo de análise do sinal.

7 CONCLUSÕES

7.1 CONCLUSÕES ACERCA DESTE TRABALHO

A extração de características para identificação de helicópteros é uma tarefa

extremamente difícil para qualquer sistema de radar. Para vencer esta dificuldade, foram

realizados diversos passos, onde foram fundamentais a pesquisa bibliográfica e algumas

contribuições deste trabalho.

Primeiramente foi implementado o modelo clássico de representação do eco de

helicóptero, apresentado em (Misiurewicz et al., 1997), onde apenas o eco das pás do

helicóptero é modelado. Em seguida é apresentado um modelo modificado, que consiste em

uma contribuição deste trabalho que tem por base a estrutura de modelo apresentada em

(Ding et al., 2005).

Nesse modelo modificado, são levados em conta também o eco da fuselagem do

helicóptero e o efeito da passagem do lóbulo da antena do radar. Essa contribuição é

importante, pois não é uma tarefa fácil filtrar o eco de um helicóptero real para obter um

sinal similar ao obtido através do modelo clássico de helicóptero, ao contrário do que possa

parecer em uma primeira análise.

Foi apresentado o método clássico de identificação de helicópteros, que consiste na

determinação do quociente entre comprimento das pás e o número de pás do helicóptero,

quociente este que pode ser obtido através da medição do intervalo entre picos consecutivos

no domínio do tempo e da largura do pulso obtido no domínio da freqüência (Rotander e

von Sydow, 1997).

Em seguida, foram analisadas as influências da Freqüência de Repetição de Pulsos no

sinal obtido, o que resultou na determinação de um valor mínimo para a FRP para que seja

possível identificar o eco sem falseamento (aliasing). Vale ressaltar que, quando a FRP está

abaixo desse valor, o sinal fica fortemente degradado, o que torna inviável a medição da

largura de pulso no domínio da freqüência, restando apenas a medição do intervalo entre

picos no domínio do tempo, tarefa esta também bastante dificultada pelo falseamento. Tudo

isso torna bastante difícil a tarefa de classificar helicópteros nessa situação.

Finalmente, o trabalho foi desenvolvido como a utilização de diversos métodos de

análise tempo-freqüência na tentativa de obter uma melhora na medição e obtenção de

características para a identificação de helicópteros.

Como resultado final, obteve-se um método para obtenção do tempo entre picos

consecutivos, utilizando-se a Transformada Wavelet Contínua (CWT). Esse método

consiste basicamente em passar o histórico de deteção do alvo pela CWT com a wavelet de

Shannon e, em seguida, aplicar a diferenciação finita a cada linha do resultado da CWT. A

energia de Teager-Kaiser do resultado já permite visualizar mais claramente os picos.

Finalmente, com a utilização dos Módulos Máximos desta energia, obtém-se a posição dos

picos e, conseqüentemente, o tempo entre eles.

7.2 PROPOSTA PARA PESQUISAS FUTURAS

Apesar de, teoricamente, o eco de um helicóptero estar inteiramente contido em apenas

uma célula de resolução em distância, dados de radares reais mostram que o eco de um alvo

em uma célula de distância pode gerar reflexos em outras células, o que faz com que

informações de um alvo apareçam não apenas em uma célula de resolução em distância,

mas também em sua vizinhança.

Tempo (s)

Celula de Distancia

Varias Celulas de Resolucao em Distancia (dominio do tempo)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

-3

-2

-1

FIG. 7.1 - Eco de helicóptero com sete células de distância (domínio do tempo)

Frequencia (Hz)

Celula de Distancia

Varias Celulas de Resolucao em Distancia (dominio da frequencia)

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000

-3

-2

-1

FIG. 7.2 - Eco de helicóptero com sete células de distância (domínio da freqüência)

A FIG. 7.1 e a FIG. 7.2 ilustram o eco de um helicóptero recebido por um radar real no

domínio do tempo e no domínio da freqüência, respectivamente. Em ambas os dados são

exibidos em sete células de resolução em distância, onde a distância indicada por zero teria

sido detetada e as demais correspondem às três células anteriores (indicadas com a

numeração negativa) e as três posteriores (indicadas com a numeração positiva).

A análise utilizando várias células de distância é uma possibilidade ainda não

explorada, principalmente devido à dificuldade de modelar esse efeito apropriadamente,

mas pode vir a ser de grande auxílio na tarefa de identificação de helicópteros.

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CHEN, V. C., Analysis of radar micro-Doppler with time-frequency transform,

Proceedings of the Tenth IEEE Workshop on Statistical Signal and Array Processing,

2000, p. 463-466.

COSTA, H. C. A. e MATOS, M. C., Measuring Time Between Peaks in Helicopter

Classification Using Continuous Wavelet Transform, IEEE Radar Conference, 2008.

DING, J.; Yu, Z.; YAN, D. & RUAN, C., Modeling and Validation of Modulated

Characteristics for Aircraft Rotating Structure, IEEE International Radar

Conference, 2005, p. xiii- xxiii.

GINI, F.; FARINA, A. & GRECO, M. S., Radar Detection and PreClassification Based

on Multiple Hypothesis Testing, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic

Systems, 2004, v. 40, p. 1046 - 1059.

KAISER J. F., On a simple algorithm to calculate the ‘energy’ of a signal, in Proc.

IEEE ICASSP, 1990, p. 381-384.

MAHAFZA, B. R., Radar Systems Analysis and Design using Matlab, CRC Press, 2000.

MATOS, M. C. e JOHANN, P. R. S., Revealing geological features through seismic

attributes extracted from the wavelet transform Teager-Kaiser energy, 77th Annual

International Meeting, SEG, Expanded Abstracts, 2007, p. P1442-P1446.

MATOS, M. C.; OSORIO, P. L. M. e JOHANN, P. R. S., Unsupervised seismic facies

analysis using wavelet transform and self-organizing maps, Geophysics, Jan.-Feb.

2007, v. 72, p. P9-P21.

MISIUREWICZ, J.; KULPA, K. & CZEKALA, Z., Analysis of Radar Echo from a

Helicopter Rotor Hub, 12th International Conference on Microwaves and Radar,

1998. MIKON '98. v. 3, p. 866-870.

MISIUREWICZ, J.; KULPA, K. & CZEKALA, Z., Analysis of Recorded Helicopter

Echo, IEE Radar 97 (Conf. Publ. No. 449), 1997, p. 449-453.

OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. & BUCK, J. R., Discrete-Time Signal

Processing, Prentice Hall, 1999.

ROTANDER, C. E. & VON SYDOW, H., Classification of Helicopters by the L/N-

quotient, IEE Radar 97 (Conf. Publ. No. 449), 1997, p. 629-633.

SADOWSKY, J., Investigation of Signal Characteristics Using the Continuous

Wavelet Transform, Johns Hopkins APL Technical Digest, 1996, v. 17, p. 258-269.

SCHNEIDER, H., Application of an autoregressive reflection model for the signal

analysis of radar echoes from rotating objects, International Conference on

Acoustics, Speech, and Signal Processing, 1988, v. 2, p. 1236-1239.

SKOLNIK, M. I., Introduction to Radar Systems, McGraw Hill, 2001.

STOCKWELL, R. G.; MANSINHA, L. & LOWE, R. P., Localization of the Complex

Spectrum: The S Transform, IEEE Transactions on Signal Processing, 1996, v. 44(4),

p. 998-1001.

TIKKINEN, J. M.; HELANDER, E. E. & VISA, A., Joint Utilization of Incoherently

and Coherently Integrated Radar Signal in Helicopter Categorization, in Proc.

IEEE International Radar Conference, 2005, p. 540-545.

YOON, S.; KIM, B. & KIM, Y., Helicopter Classification Using Time-Frequency

Analysis, IEE Electronics Letters Online, 2000, v. 36(22), p. 1871-1872.

WURTS, E., Banco de Dados de Helicópteros – [Características básicas], Relatório

Interno CTEx, 2007.

ZIYUE, T.; YONGLIANG, W. & ZHIWEN, W., AEW Radar Multi-Channel joint

CFAR Detection of Hovering Helicopters, CIE International Conference on Radar

Proceedings IEEE, 2001, p. 1067-1070.

9 APÊNDICE

9.1 APÊNDICE 1: DADOS DE HELICÓPTEROS

Durante a realização do trabalho, foram coletados dados sobre os principais modelos de

helicópteros utilizados atualmente. Esses dados foram coletados com o objetivo de fornecer

dados para uma futura implementação de algoritmo de reconhecimento de padrões para

realizar a classificação de helicópteros, e foram também utilizados para a geração de sinais

simulados que foram empregados em testes com os métodos apresentados neste trabalho. A

TAB. 9.1 apresenta os dados de helicópteros que foram coletados (Wurts, 2007).

TAB. 9.1 - Banco de dados de helicópteros

MODELO HELICÓPTERO

Velocidade da

ponta da pá

(m/s)

Raio

(m)

Nr de

pás

Intervalo

entre picos

(ms)

Freqüência

do rotor

(rpm)

Hughes 269A / A-1/B / C / D 201,731 4,090 3 21,2 471,000

Colibri EC 120 B 212,581 5,000 3 24,6 406,000

Esquilo HB-355 (H-55) 220,530 5,345 3 25,4 394,000

Esquilo AS 350L-1 (EB) 220,530 5,345 3 25,4 394,000

Esquilo AS-350B2 (MB) 220,532 5,345 3 25,4 394,000

Esquilo AS 550 A2 (EB) 218,294 5,345 3 25,6 390,000

Esquilo AS 355 (FAB) 216,055 5,345 3 25,9 386,000

Esquilo AS 350B 213,000 5,345 3 26,3 380,736

Sea King S-61D-3 (MB) 200,890 9,450 5 29,6 203,000

Hughes 500 MD / 530 MD 214,668 4,165 4 30,5 492,180

Bell 407 230,735 5,335 4 36,3 413,000

Agusta A109 Hirundo 221,759 5,500 4 39,0 385,025

BK 117 C1 221,000 5,500 4 39,1 383,903

Pantera AS 365K (EB) 218,812 5,970 4 42,9 350,000

Pantera AS 365N 218,000 5,965 4 43,0 349,171

Super Lynx Mk21A (MB) 218,487 6,400 4 46,0 326,000

Sikorsky S 76 - Spirit 221,878 6,705 4 47,5 316,000

Apache AH 64 221,391 7,315 4 51,9 289,013

MODELO HELICÓPTERO

Velocidade da

ponta da pá

(m/s)

Raio

(m)

Nr de

pás

Intervalo

entre picos

(ms)

Freqüência

do rotor

(rpm)

Puma AS 332 L1 217,000 7,790 4 56,4 266,142

Sikorsky CH 53 204,044 11,005

6 56,5 177,054

Robinson R22 Beta II 213,198 3,835 2 56,5 530,870

Cougar AS 532 Mk1 (MB) 216,456 7,800 4 56,6 265,000

Super Puma AS-332F1 (MB) 216,456 7,800 4 56,6 265,000

Cougar AS 532 UE (EB) 216,456 7,800 4 56,6 265,000

Super Puma AS-332M1 (FAB)

216,456 7,800 4 56,6 265,000

H-34 216,460 7,800 4 56,6 265,000

Black Hawk S70 A (EB) 221,005 8,180 4 58,1 258,000

Super Five BO 105/EC 109,052 4,920 4 70,9 211,660

Robinson R44 Raven 219,231 5,300 2 75,9 395,000

Bell 206L-3 232,730 5,640 2 76,1 394,044

Bell 206B-3 (MB) 239,306 5,800 2 76,1 394,000

Bell 222B 256,587 7,040 2 86,2 348,044

UH-1H (Bell 205A-1) (FAB) 248,192 7,315 2 92,6 324,000

AH-1S 227,306 6,700 2 92,6 323,972

10 ANEXO

10.1 ANEXO 1

MEASURING TIME BETWEEN PEAKS IN HELICOPTER CLASSIFICATION USING

CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM

Heraldo C. A. Costa and Marcílio C. de Matos

Electronic Engineering Department, Military Institute of Engineering

Praça General Tibúrcio, 80, 22290-270, Rio de Janeiro, Brazil

fax: + (55) 21-2546-7019, email: alves@ctex.eb.br or marcilio@.matos.eng.br

web: www.ime.eb.br/~marcilio

Keywords: Signal processing, radar, helicopter classifica-

tion.

ABSTRACT

Helicopter classification capability is a desirable feature on

air defense radars, as a way of distinguishing friends of

foes. However, it is still a challenging task for any radar

system. The classical method for helicopter classification is

the L/N-quotient method, where two signal features are

measured: time between peaks and blade tip velocity. Un-

fortunately, these features are difficult to measure on actual

target echoes with high noise levels. This paper shows the

difficulties for measuring these features and presents a way

of measuring time between peaks using Continuous Wavelet

Transform (CWT).

1. INTRODUCTION

Distinguishing targets as friends or foes is a very important

capability in any radar based air defense system, in order to

avoid friendly fire. Helicopter classification is a great tool to

evaluate if a target represents any kind of danger.

Radar based helicopter classification is essentially a pattern

recognition problem and, as so, is strongly dependent on

signal features extraction. The most important features used

nowadays in order to perform helicopter classification are

presented in [1]. They are given by measuring the time be-

tween successive peaks in time domain and the blade tip

velocity in frequency domain.

A better way to measure both features is presented in [2],

where the blade tip is measured by a moving windows detec-

tion algorithm and the time between peaks is measured by a

peak detector procedure after incoherent integration of sam-

ples obtained from several successive dwells. However, these

features are still very difficult to measure in signals with low

signal-to-noise conditions.

An alternative to measure these features is the use of time-

frequency analysis techniques. This kind of analysis was first

shown in [3], where spectrogram STFT is used to aid in fea-

ture extraction. In that work, however, the helicopter fuselage

echo is ignored and, due to the STFT’s poor resolution in

time, the time between peaks is measured in time domain and

the STFT is only used to find the number of blades in the

helicopter main rotor, which limits the time-frequency analy-

sis tool.

This work presents a way of measuring the time between

successive blade flashes using CWT.

2. SIGNAL MODELING

A classical signal modeling for representing helicopter ech-

oes is presented in [4]. This model is based on the concept

that the helicopter echo is formed by the backscatter of the

followings components:

• Helicopter fuselage echo: similar to a fixed-wing air-

craft echo, with high radar cross section, when com-

pared to other helicopter parts, and poor Doppler sig-

nature.

• Helicopter main rotor blades echo: consists of a few

blades rotating on angular velocities dependent on

the helicopter model. Those blades have high RCS

when placed on a perpendicular position relative to

the radar line-of-sight, and low RCS in other posi-

tions. This produces peaks in time domain, due to the

passage of the blades by the position of high RCS.

• Helicopter tail rotor: it has a composition similar to

that of the main rotor, but with much smaller RCS,

faster rotation rate and with a position relative to the

radar much more instable, being hidden by the fuse-

lage in several situations.

Taking those considerations into account, we notice that the

most important component to perform helicopter classifica-

tion is the main rotor blades echo. Then, only this component

is modeled.

This model is given by

( )

[ ]

N 1

j i

i 0

j t R vt

s (t) e sinc

 

 

−

 

 

ω − − +Ψ

= Ψ

∑

(2)

with

rot

i 1

(t) sen t 2 cos

c N

 

 

 

−

Ψ = ω + θ + π β

(3)

0.5

1.5

2.5

3.5

Frequency (Hz)

(c)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-2000

-1000

1000

2000

0 5 10

-2000

-1000

1000

2000

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0.5

1.5

Time (s)

(a)

Figure 1 – Classic model for helicopter echo: (a) signal in time do-

main; (b) FFT spectrum of the signal; (c) STFT spectrogram

where N is the number of blades, L is the blade length, R is

the distance between helicopter and radar, v is the helicopter

radial velocity,

rot

is the blade rotation angular frequency,

is the blade initial angular position and

is the helicopter

elevation angle relative to radar position.

is the radar

transmission angular frequency and c is the velocity of light.

The result is the signal presented in Figure1. However, the

echo of a real helicopter has the strong influence of the fuse-

lage echo. Besides, other influences are strongly present in a

real helicopter echo and they have to be taken into account,

such as antenna lobe influence.

A more complete model for the signal produced by radar

echo of an helicopter is presented in [5]. That model can be

described as:

(

)

s s s j j n n

s(t) a (t) c s (t) c s (t) c s (t)

= + + (1)

where:

• s

is a model of the helicopter fuselage echo, s

is a

narrowband white noise, and s

is the model of the

main rotor presented in [4] and given by equations

(2) and (3).

• c

, c

and c

are the normalized coefficients of the fu-

selage echo, main rotor echo and noise, respectively.

• a

is the integrated influence of the air defense radar

system on the target echoes, and can be given by

s T A R

a (t) a (t)a (t)a (t)

(4)

where a

is a model of the transmitted radar signal, a

is a model of antenna scanning, and a

is a model of

radar linear receiver.

The result is the signal shown in Figure 2, where it can

be seen the helicopter echo and its features in time and

frequency domains, in a low noise condition.

Frequency (Hz)

(c)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-2000

-1000

1000

2000

0 5 10

-2000

-1000

1000

2000

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Time (s)

(a)

Figure 2 – Helicopter echo with fuselage component: (a) signal in

time domain; (b) FFT spectrum of the signal; (c) STFT spectrogram

3. UNDERSAMPLING

To accurately accomplish measuring time between peaks

and, specially, blade tip velocity it is necessary for a radar to

perform a suitable sampling of the signal, in order to avoid

undersampling and aliasing. That is achieved when the sam-

pling rate obeys Nyquist Sampling Theorem [6]. In this

case, the sampling frequency must be greater than twice the

maximum Doppler frequency possible for an helicopter

echo.

Helicopters are designed for having no parts with linear ve-

locity greater than sound velocity, otherwise the noise would

be unsupportable for anyone inside or near the helicopter.

With this information, we can assure that a radar can avoid

undersampling of any helicopter echo if the sampling rate is

greater than twice the Doppler frequency due to sound veloc-

ity.

In ordinary air defense radars, and in any other ordinary

pulse or pulse-Doppler radar, the sampling rate is equal to the

pulse repetition frequency (PRF), since each pulse echo gen-

erates a sample.

Therefore, the necessary PRF for a radar to avoid undersam-

pling is

s 0

max

4v f

PRF 2f

≥ = (5)

where f

max

is the maximum possible Doppler frequency in the

helicopter echo, v

is the sound velocity and f

is radar trans-

mission frequency.

The undesired effects of undersampling are represented in

Figure 3, where it can be seen, just comparing with Figure 2,

that the frequency spectrum is not completely represented,

clearly suffering from aliasing. It can also be noticed that, in

this case, it is not possible to perform efficient measures in

time domain.

Frequency (Hz)

(c)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-1000

-500

500

1000

0 5 10

-1000

-500

500

1000

(b)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Time (s)

(a)

Figure 3 – Undersampled helicopter echo: (a) signal in time domain;

(b) FFT spectrum of the signal; (c) STFT spectrogram

4. CLASSICAL TECHNIQUE

The classic and largely used technique for radar based heli-

copter classification is the L/N quotient technique, presented

in [1]. This technique consists in calculating the L/N-

quotient, where L is the helicopter blade length and N is the

number of blades in the main rotor. This quotient can be

calculated by the following relations ([2]):

tip

rot tip

f c

2 f L v

π = =

(6)

and

rot

f N , if N is even

2f N , if N is odd











(7)

where f

rot

is the blade rotation frequency, v

tip

is the blade tip

velocity, f

tip

is the Doppler frequency due to v

tip

and τ is time

between successive peaks.

Those relations can be combined to allow calculating the

L/N-quotient

tip tip

v f

, if N is even

N 2

v f

, if N is odd

τ τ



= =





τ τ



= =





(8)

Therefore, the quotient can be obtained by measuring time

between peaks and blade tip Doppler frequency, as shown in

Figure 4. Performing these measures can become a difficult

task when the signal presents high noise levels or undersam-

pling.

Figure 4 – Obtaining the L/N quotient in the classical model:

(a) time between peaks; (b) blade tip velocity

Nowadays, τ and f

tip

can be directly used as features for a

pattern recognition algorithm after a suitable preprocessing.

A more efficient method to measure those features is pre-

sented in [2], where the time between peaks is measured by

a peak detector over a incoherently integrated signal, while

the blade tip Doppler frequency is measured by a sliding

windows procedure over a coherently integrated signal.

5. THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM

(CWT)

The Continuous Wavelet Transform of a signal s(t) with

respect to a wavelet g(t) is defined as a matrix of scalar

products in L

( ) ([7]), where which term is given by

( )

a,b a,b

W(b,a) s,g s(t)g t dt

+∞

=−∞

= =

∫

(9)

where

a,b

1 t b

g (t) g

−

 

 

 

(10)

is a family of wavelets based on the wavelet g(t), called

mother wavelet, and generated through a dilation by a factor

and a translation by b . Then, the signal can be

represented and analyzed in terms of time and scale.

Therefore, the CWT can be written as

1 t b

W(b,a) s(t) g dt

+∞

=−∞

−

 

 

 

∫

(11)

Then, if the mother wavelet is band limited, with central

frequency f

and bandwidth

∆

, the central frequency of

each one of the daughter wavelets

−

 

 

 

will be

and the relative bandwidth will be the same for every wave-

let in the family.

∆f

= = constant

f f

= (12)

-500 0 500

(b)

Frequency (Hz)

Magnitude

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-0.5

0.5

Time (s)

Amplitude

(a)

-500 0 500

(d)

Frequency (Hz)

Magnitude

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Time (s)

Amplitude

(c)

Figure 5 – Morlet Wavelet: (a) real part of the Real Morlet Wavelet

in time domain; (b) absolute value of the Real Morlet Wavelet in

frequency domain; (c) real part of the Complex Morlet Wavelet in

time domain; (d) absolute value of the Complex Morlet Wavelet in

frequency domain;

The time domain formulation for CWT can also be analyzed

as a correlation between the wavelets family and the signal

to be analyzed. This is usually implemented as a convolution

between the signal and the complex conjugate of a wavelet

copy inverted in time, such as

a,b

1 b t

W(b,a) s(t) g dt s g

+∞

− −

=−∞

−

 

= = ⊗

 

 

∫

(13)

where

a,b a ,b

g (t) g ( t)

−

= −

(14)

This kind of formulation facilitates foreseeing the result of

the CWT of a real signal and a real wavelet. However, it is

difficult to analyze the convolution results when there is a

complex signal involved. Therefore, it is very interesting to

look for a formulation of the CWT in frequency domain.

5.1. CWT in Frequency Domain

Starting from equation (10), one can apply the Fourier trans-

form, obtaining

(

)

j b

a,b

G ( ) aG a e

− ω

ω = ω (15)

Using Parseval’s Theorem, it can be derived a frequency

domain formulation for CWT ([8])

( )

j b

W(b,a) a S( )G a e d

+∞

ω= −∞

= ω ω ω

∫

(16)

5.2. Complex Signals Analysis

Using CWT to analyze complex signals, some details have to

be taken into account. When analyzing a complex signal us-

ing CWT with a real wavelet, the positive and negative parts

of the frequency spectrum are overlapped, since the real

wavelet has redundant spectrum for both positive and nega-

tive frequencies.

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

Time (s)

Scales

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-100

-50

100

Figure 6 – Adapted Continuous Wavelet Transform

Otherwise, when using a complex wavelet, that has only

positive frequency components, to analyze a complex signal,

only positive frequency components of the signal are ana-

lyzed, while negative frequency components are ignored.

Figure 5 illustrates the behaviour of real and complex wave-

lets, where it can be noticed the spectral redundancy of the

real wavelet and the positive only spectrum of the complex

wavelet.

A solution to completely analyze complex signals is to per-

form an adapted wavelet transform, consisting in calculating

two CWT’s, being one with the standard wavelet and other

with a copy of the first wavelet inverted in frequency, and

concatenating the results to have the same kind of analysis

for both negative and positive frequencies.

Figure 6 shows an adapted CWT, where the upper half of the

figure, indicated by positive scales, represents the regular

CWT of the signal, which analyzes positive spectrum com-

ponents. The lower half of the figure, indicated by negative

scales, is the CWT of the signal relative to the frequency

inverted copy of the wavelet, analyzing negative components

of the signal.

The signal used in this example is an echo from a helicopter

with negative Doppler frequency; therefore, it would not be

suitably analyzed by a regular CWT with complex wavelet.

6. PROPOSED TECHNIQUE

6.1. Using CWT to Measure Time Between Peaks

A good feature of the CWT is its capability of detecting dis-

continuities. This feature is used here to find the peaks due to

the helicopter main rotor blades.

Several wavelets were tested with the helicopter echo and the

best result was achieved for the complex Shannon wavelet

j2 f x

b b

g(x) f sinc(f x)e

= (17)

Figure 7 – Finite differentiation of the CWT

where f

is the central frequency and f

is a bandwidth pa-

rameter (

∆

~ f

In frequency domain, the complex Shannon wavelet is a rec-

tangular pulse centered in f

and with width proportional to

the parameter f

c c

b b

a aπ aπ

, se - f

ω f

f f

G(ω)=

0, otherwise



+ ≤ ≤ +









(18)

6.2. Using Finite Differences to Eliminate Fuselage

Component

When using CWT over a helicopter echo signal, it appears a

strong component due to the fuselage echo, masking the

blades echo and turning it hard to measure the time between

successive peaks. This phenomenon occurs not only for

CWT, but with any kind of joint time-frequency analysis.

The strong component can be eliminated by differentiating

the CWT of the helicopter echo in time direction. It makes

transitions in time to stand out, while transitions in scale

(frequency) are ignored.

diff

(b, a) = W(b, a) – W( b – 1, a) (19)

Figure 7 illustrates the process workflow, from the original

helicopter echo through the final visualization after the

differentiation of the CWT. This technique of applying a

finite differentiation to eliminate fuselage echoes can also be

used with other joint time-frequency techniques.

As illustrated in Figure 8, this method was also tested with

STFT spectrogram. It can be noticed that it is possible to use

finite differentiation along with STFT spectrogram to make it

easier to measure blade tip Doppler frequency in signals with

higher noise levels.

However, the best results were achieved using CWT, and the

time between peaks have been measured with the samples of

a single dwell even when the signal is undersampled.

Figure 8 – Effect of finite differentiation in STFT and CWT:

(a) STFT spectrogram of the signal; (b) finite differentiation of the

STFT; (c) CWT of the signal; (d) finite differentiation of the CWT

6.3. Teager-Kaiser energy

Usually, the energy of a signal is calculated by taking the

square of the instantaneous amplitudes. However this method

does not take into account the signal variation in time.

It is shown in [9] that instantaneous energy of a discrete time

signal can be estimated using the amplitude samples and their

neighbors in time.

E ≈ x[n]x*[n] – x[n + 1]x*[n – 1] (20)

The original Teager-Kaiser energy when it is expressed by

Equation (20) is not effective when applied to signals which

have multi frequency components. Then, as suggested by

[10], the Teager-Kaiser energy can be applied along each

scale after calculating the CWT.

When the Teager-Kaiser energy had been applied to the CWT

finite differentiation, it turned out to be very useful in noise

reduction, since this energy makes the signal features to stand

out against the noisy background, as shown by Figure 9.

6.4. Wavelet transform modulus maxima (WTMM)

In Figure 9 it can be seen that blade peaks stand out after

CWT and finite differentiation in time. The next step is,

therefore, to find a way of measuring the position in time of

these peaks, in order to make it possible to calculate time

between successive peaks.

An efficient method to measure peaks positions in CWT can

be found in [11], where it is said that signal transitions and

singularities can be found by the first derivative of the CWT.

This method is called Wavelet Transform Modulus Maxima

(WTMM). It consists in finding the local maxima of the

CWT and linking them to produce lines called Wavelet

Transform Modulus Maxima Lines (WTMML). The

WTMML are illustrated in Figure 10.

With the localization of these lines in time direction, it is

possible to calculate the time between successive helicopter

echo peaks.

0.2

0.4

0.6

0.8

scales

(a)

0.05

0.1

scales

(b)

0.005

0.01

0.015

scales

(c)

time (s)

100 200 300 400 500 600

Figure 9 – (a) CWT of the signal; (b) CWT of the signal after finite

differentiation; (c) Teager-Kaiser energy of the CWT after finite

differentiation

7. CONCLUSIONS

Radar based helicopter classification is not an easy task spe-

cially under noisy environment, and this paper shows that

Continuous Wavelet Transform can be a very useful tool

when trying to determine one of the most important features

for classifying helicopters, the time between successive

peaks.

In [2], a way of finding the blade tip velocity from a coher-

ently integrated radar signal is presented. This paper presents

a way of measuring time between peaks also using a coher-

ently integrated radar signal.

A conclusion achieved from this work is the expression for

the minimum radar pulse repetition frequency (PRF) neces-

sary for avoiding aliasing in the helicopter echo presented in

equation (5).

It is important to mention that in the case where the radar

PRF does not obey the equation (5) and the aliasing occurs, it

is almost impossible to measure blade tip velocity and, there-

fore, in this case the time between peaks can be the only fea-

ture available when trying to perform helicopter classifica-

tion. In these cases, the method presented in this paper for

measuring time between peaks also achieved good results.

Finally, the use of other techniques, as the Wavelet transform

modulus maxima and the Teager-Kaiser energy, shows that

many other tools already existent in signal processing can

turn out to be very useful in the determination of features for

this task.

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

scales

(b)

100 200 300 400 500 600

time (s)

scales

(c)

0.2

0.4

0.6

0.8

amplitude

(a)

Figure 10 – (a) Signal in time domain; (b) Teager-Kaiser energy of

the CWT after finite differentiation; (c) Wavelet transform modulus

maxima lines (WTMML).

REFERENCES

[1] C. E. Rotander and H. von Sydow, “Classification of Helicopters

by the L/N-quotient”, in Proc. IEE Radar 97 (Conf. Publ. No. 449),

Oct. 1997, pp. 629-633.

[2] J. M. Tikkinen, E. E. Helander and A. Visa (2005), “Joint Utili-

zation of Incoherently and Coherently Integrated Radar Signal in

Helicopter Categorization”, in Proc. IEEE International Radar

Conference, May 2005, pp. 540-545.

[3] S. Yoon, B. Kim and Y. Kim, “Helicopter Classification Using

Time-Frequency Analysis”, IEE Electronics Letters Online, vol. 36,

pp. 1871-1872, Oct. 2000.

[4] J. Misiurewicz, K. Kulpa and Z. Czekala, “Analysis of Recorded

Helicopter Echo”, in Proc. IEE Radar 97 (Conf. Publ. No. 449),

Oct. 1997, pp. 449-453.

[5] J. Ding, Z. Yu, D. Yan and C. Ruan, “Modeling and Validation

of Modulated Characteristics for Aircraft Rotating Structure”, in

Proc. IEEE International Radar Conference, May 2005, pp. xiii-

xxiii.

[6] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer and J. R. Buck, Discrete-Time

Signal Processing, Prentice Hall, 1999.

[7] M. S. Diallo, M. Kulesh, M. Holschneider, F. Scherbaum and F.

Adler, “Characterization of polarization attributes of seismic waves

using continuous wavelet transforms”, Geophysics, vol. 71, pp.

V67–V77, May-June 2006.

[8] J. Sadowsky, “Investigation of Signal Characteristics Using the

Continuous Wavelet Transform”, Johns Hopkins APL Technical

Digest, vol. 17, pp. 258-269, 1996.

[9] J. F. Kaiser, “On a simple algorithm to calculate the ‘energy’ of

a signal”, in Proc. IEEE ICASSP, 1990, pp. 381-384.

[10] M. C. de Matos and P. R. S. Johann, “Revealing geological

features through seismic attributes extracted from the wavelet trans-

form Teager-Kaiser energy”, 77th Annual International Meeting,

SEG, Expanded Abstracts, pp. P1442-P1446.

[11] M. C. de Matos, P. L. M. Osorio and P. R. S. Johann, “Unsu-

pervised seismic facies analysis using wavelet transform and self-

organizing maps”, Geophysics, vol. 72, pp. P9-P21, Jan.-Feb. 2007.

Livros Grátis
( http://www.livrosgratis.com.br )
 
Milhares de Livros para Download:
 
Baixar livros de Administração
Baixar livros de Agronomia
Baixar livros de Arquitetura
Baixar livros de Artes
Baixar livros de Astronomia
Baixar livros de Biologia Geral
Baixar livros de Ciência da Computação
Baixar livros de Ciência da Informação
Baixar livros de Ciência Política
Baixar livros de Ciências da Saúde
Baixar livros de Comunicação
Baixar livros do Conselho Nacional de Educação - CNE
Baixar livros de Defesa civil
Baixar livros de Direito
Baixar livros de Direitos humanos
Baixar livros de Economia
Baixar livros de Economia Doméstica
Baixar livros de Educação
Baixar livros de Educação - Trânsito
Baixar livros de Educação Física
Baixar livros de Engenharia Aeroespacial
Baixar livros de Farmácia
Baixar livros de Filosofia
Baixar livros de Física
Baixar livros de Geociências
Baixar livros de Geografia
Baixar livros de História
Baixar livros de Línguas

Baixar livros de Literatura
Baixar livros de Literatura de Cordel
Baixar livros de Literatura Infantil
Baixar livros de Matemática
Baixar livros de Medicina
Baixar livros de Medicina Veterinária
Baixar livros de Meio Ambiente
Baixar livros de Meteorologia
Baixar Monografias e TCC
Baixar livros Multidisciplinar
Baixar livros de Música
Baixar livros de Psicologia
Baixar livros de Química
Baixar livros de Saúde Coletiva
Baixar livros de Serviço Social
Baixar livros de Sociologia
Baixar livros de Teologia
Baixar livros de Trabalho
Baixar livros de Turismo
 
 