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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
ESTUDO DO CICLO DIÁRIO DA CAMADA LIMITE
PLANETÁRIA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DOS
GRANDES TURBILHÕES
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Franciano Scremin Puhales
Santa Maria, RS, Brasil
2008
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ESTUDO DO CICLO DIÁRIO DA CAMADA LIMITE
PLANETÁRIA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DOS
GRANDES TURBILHÕES
por
Franciano Scremin Puhales
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado do
Programa de Pós-Graduação em Física, área de
Concentração em Áreas Clássicas da Fenomenologia e
suas Aplicações, da Universidade Federal de Santa
Maria (UFSM , RS), como requisito parcial para obtenção
do grau de
Mestre em Física.
Orientador: Prof. Dr. Gervásio Annes Degrazia
UFSM
Santa Maria, RS, Brasil
2008
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Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciêncas Naturais e Exatas
Programa de Pós-Graduação em Física
A Comissão Examinadora, abaixo assinada,
aprova a Dissertação de Mestrado
ESTUDO DO CICLO DIÁRIO DA CAMADA LIMITE
PLANETÁRIA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DOS
GRANDES TURBILHÕES
elaborada por
Franciano Scremin Puhales
como requisito parcial para obtenção do grau de
Mestre em Física.
COMISSÃO EXAMINADORA:
Prof. Dr. Gervásio Annes Degrazia
UFSM
(Orientador)
Prof. Dr. Fernando Porté-Agel
UMN
Prof. Dr. Edson Marques Filho
UFRJ
Santa Maria, 15 de dezembro de 2008.
Num piscar de olhos tudo se
transforma...tá vendo?!
Já passou!!!
(Humberto Gessinger)
A minha mãe, irmãos, mestre, Gabrielle e Ivan.
Agradecimentos
Neste momento agradecer é preciso...e não para poucos!!
Sem dúvida alguma, em primeiro lugar a minha mãe e minha família pelo apoio,
não só na elaboração deste trabalho mas em toda minha formação acadêmica.
Ao professor Gervásio por toda a orientação, dedicação, confiança e amizade
destes últimos anos. Por me orientar na graduação, no mestrado e continuar este
trabalho no doutorado.
Ao professor Osvaldo por todas as oportunidades e confiança. Ao professor
Otávio (Coordenador) pelo apoio, confiança que além de me ajudar no mestrado
foi um dos principais responsáveis pela minha motivação e provável conclusão do
curso de graduação Meteorologia. Ao Umberto, questo ragazzo italiano que me
ajudou muito na realização deste trabalho, pois sem sua orientação trabalhar com
LES seria muito mais complicado.
Aos meus colegas de sala, integrantes da FdS, Welter e Felipe – pelas dis-
cussões científicas, pelas horas de bom (e mau) humor no laboratório mas, prin-
cipalmente pela amizadade muito "além dos outdoors". Ao pessoal do GruMA –
gurizada da previsão. Aos professores Vagner e Everson (Bento) pela constante
ajuda na realização de trabalhos e das atividades acadêmicas. Demais colegas do
laboratório, da meteoro e da física que de alguma forma ou outra colaboraram na
conclusão deste trabalho ou em outros.
Aos membros do GEARAS, pela confiança e compreensão neste ano turbulento
(foi um bom ano!) Em especial a gurizadinha da Fênix que alegra os meus sábados;
aos pioneiros – meus leais amigos de tantas horas – pioneiros hoje, pioneiros de
6
ontem, pioneiros de SEMPRE (Hic Sunt Dracones). E claro, ao mestre Vidor por
todos os ensinamentos e amizadade de quase oito anos de atividades em conjunto,
afinal são "cavalos marinhos porque borboletas não nadam!".
Aos meus amigos dos velhos tempos, mesmo que não nos encontremos tão
seguidamente como naquela época, ainda são meus grandes amigos...Je, Bruna,
Ed, Márcio, Boris, Tícia, Filipe, Luiz Antônio, Alisson, Spall e por ai vai...
Lista de Figuras
2.1 Campo idealizado de temperatura e velocidade do vento. . . . . . . . 35
2.2 Variação no regime de escoamento. Adaptado de Oke, 1987 . . . . . . . . 37
2.3 Representação do gráfico log-log do espectro de energia cinética turbulenta
para TCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Escalas temporais e espaciais de vários fenômenos atmosféricos(OKE, 1987,
p. 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5 Representação da atmosfera padrão – uma idealização da atmosfera. . . . 47
3.1 Espectro de emissão de um corpo negro a diferentes temperaturas e Lei do
Deslocamento de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Representação do espéctro eletromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Absorção dos constituintes da atmosfera em função do comprimento de
onda da radiação incidente, adaptado de Oke, 1989. . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Evolução das médias horárias de fluxo de radiação para o dia 15 de feve-
reiro de 2004. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Evolução das médias horárias de fluxo de radiação para o dia 4 de fevereiro
de 2004. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Representação da variação diária da CLP. Adaptado de Stull, 1988. . . . . . 55
8
4.1 Representação do gráfico log-log para o espectro de energia cinética tur-
bulenta S(k) em função do número de onda k. A linha tracejada indica a
separação entre os grandes turbilhões (resolvida) e os pequenos (parame-
trizada), sendo k
c
o número de onda de filtro ou corte. . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Comportamento das funções filtro tipo caixa (pontilhado), guassiana (linha
cheia) e filtro agudo (tracejado). A figura 4.2(a) mostra o comportamento em
um espaço físico e a 4.2(b) em um espaço de números de onda, sendo que
em (a) é a própria função G e em (b) a função de transferência
ˆ
G associada
a função filtro. Adaptado de Gioia (2003). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1 Dados experimentais de fluxo de radiação global incidente medido entre 30
de setembro e 1º de outubro em Candiota-RS. . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Mapa sinótico contendo a plotagem das observações synop evidenciando
as condições de tempo reinantes sobre o sudeste da América do Sul às
12Z (9h local) do dia 30 de setembro de 2007. O retangulo sobre o Rio
Grande do Sul destaca a região de Candiota. A informação em destaque na
carta é referente ao aeródromo de Bagé - RS (cidade vizinha à Candiota).
Fonte: sítio na internet do CPTEC - Centro de Previsão de Tempo e Estudos
Climáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 Imagem do satélite GOES 12 – canal do infravermelho (IR4) – das 8h do dia
30/09/2007 horário local. O retangulo sobre o Rio Grande do Sul destaca
a região de Candiota. Fonte: Acervo de imagens do GruMA – Grupo de
Modelagem Atmosférica de Santa Maria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4 Carta sinótica de superfície às 12Z (9h local) do dia 30 de setembro de
2007. Fonte: sítio na internet da Marinha do Brasil (http://www.mar.mil.br) . 84
5.5 Dados experimentais de umidade relativa medida entre 30 de setembro e
1º de outubro em Candiota-RS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.6 Variação do passo de tempo ∆t durante a simulação do ciclo diário da CLP. 85
5.7 Perfis iniciais de temperatura potencial e umidade específica obtidos a partir
do modelo BRAMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.8 Perfis iniciais das componentes e velocidade do vento obtidos a partir do
modelo BRAMS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.9 Dados experimentais de temperatura da superfície e umidade relativa inter-
polados e incorporados ao modelo LES como forçantes de superfície. As
linhas indicam a função interpoladora e as marcas em forma de ’x’ e ’+’ o
valor experimental de cada um dos forçantes. . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.10 Evolução da temperatura potencial virtual – comparação entre LES e dados
experimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.11 Fluxo de energia na forma de calor – comparação entre LES e dados expe-
rimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.12 Evolução da umidade específica – comparação entre LES e dados experi-
mentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.13 Evolução do fluxo turbulento de umidade específica – comparação entre
LES e dados experimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.14 Evolução do módulo da velocidade do vento – comparação entre LES e
dados experimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.15 Evolução da velocidade de fricção – comparação entre LES e dados expe-
rimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.16 Evolução de z/L – comparação entre LES e dados experimentais de super-
fície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.17 Evolução do número de Richardson – comparação entre LES e dados ex-
perimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.18 Evolução da energia cinética turbulenta – comparação entre LES e dados
experimentais de superfície. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.19 Evolução da altura da CLP. Por falta de dados experimentais não há com-
paração com dados observados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.20 Perfis da componente zonal da velocidade do vento. . . . . . . . . . . . . 93
5.21 Perfis da componente meridional da velocidade do vento. . . . . . . . . . . 93
5.22 Perfis da magnitude da velocidade do vento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.23 Perfis do número de Richardson (gradiente). . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.24 Evolução temporal do perfil da componente zonal da velocidade do vento. . 94
5.25 Evolução temporal do perfil da componente meridional da velocidade do vento. 94
5.26 Evolução temporal do perfil da magnitude da velocidade do vento. . . . . . 95
5.27 Perfil de fluxo turbulento de momento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.28 Perfil de fluxo turbulento de momento – escala resolvida. . . . . . . . . . . 96
5.29 Perfil de fluxo turbulento de momento – escala de subfiltro. . . . . . . . . . 96
5.30 Perfil da temperatura potencial virtual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.31 Perfil do fluxo turbulento de energia na forma de calor. . . . . . . . . . . . 97
5.32 Perfil do fluxo turbulento de energia na forma de calor – escala resolvida. . . 97
5.33 Perfil do fluxo turbulento de energia na forma de calor – escala de subfiltro. . 97
5.34 Evolução temporal do perfil da temperatura potencial virtual. . . . . . . . . 98
5.35 Perfil de energia cinética turbulenta total da simulação (escala resolvida e
escala de subfiltro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.36 da razão entre a energia cinética de subfiltro e a energia cinética turbulenta. 99
5.37 Evolução temporal do perfil da energia cinética turbulenta total da simulação. 99
5.38 Evolução temporal do perfil da razão entre a energia cinética de subfiltro e
a energia cinética turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.39 Perfil para os termos da equação de balanço da energia cinética turbulenta
– 12h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.40 Perfil para os termos da equação de balanço da energia cinética turbulenta
– 16h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.41 Perfil para os termos da equação de balanço da energia cinética turbulenta
– 20h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.42 Perfil para os termos da equação de balanço da energia cinética turbulenta
– 00h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.43 Perfil para os termos da equação de balanço da energia cinética turbulenta
– 04h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.44 Perfil para os termos da equação de balanço da energia cinética turbulenta
– 08h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.45 Evolução temporal do perfil do termo mecânico da equação de balanço da
energia cinética turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.46 Evolução temporal do perfil do termo mecânico da equação de balanço da
energia cinética turbulenta – escala resolvida. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.47 Evolução temporal do perfil do termo mecânico da equação de balanço da
energia cinética turbulenta – escala de subfiltro. . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.48 Evolução temporal do perfil do termo de empuxo da equação de balanço da
energia cinética turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.49 Evolução temporal do perfil do termo de empuxo da equação de balanço da
energia cinética turbulenta – escala resolvida. . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.50 Evolução temporal do perfil do termo de empuxo da equação de balanço da
energia cinética turbulenta – escala de subfiltro. . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.51 Evolução temporal do perfil do termo de transporte da equação de balanço
da energia cinética turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.52 Evolução temporal do perfil do termo de transporte da equação de balanço
da energia cinética turbulenta – escala resolvida. . . . . . . . . . . . . . . 106
5.53 Evolução temporal do perfil do termo de transporte da equação de balanço
da energia cinética turbulenta – escala de subfiltro. . . . . . . . . . . . . . 106
5.54 Evolução temporal do perfil do termo de dissipação da equação de balanço
da energia cinética turbulenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.55 Representação espacial dos pontos de medida temporal do modelo LES. . . 109
5.56 Perfil da variância da componenete longitudinal da velocidade do vento nor-
malizada por uma escala de velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.57 Perfil da variância da componenete vertical da velocidade do vento norma-
lizada por uma escala de velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.58 Perfil da variância da temperatura potencial normalizada por uma escala de
temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.59 Perfil da variância de w na região de convecção livre. . . . . . . . . . . . . 114
5.60 Perfil da variância de θ na região de convecção livre. . . . . . . . . . . . . 114
5.61 Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 10, 42m. . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.62 Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.63 Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.64 S2u Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada
a partir de dados do modelo LES em z = z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.65 Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = 10, 42m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.66 Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.67 Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.68 Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.69 Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = 10, 42m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.70 Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.71 Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.72 Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.73 Gráfico log-log da função estrutura de segunda ordem D
2
u
i
(r) segundo Kol-
mogorov. A região I caracteriza o intervalo de dissipação onde as quantida-
des estatísticas dependem da taxa de dissipação e da viscosidade cinemá-
tica e r η onde D
2
u
i
(r) ∝ r
2
. A região II é conhecida com sub-intervalo
inercial onde as quantidades estatísticas dependem apenas da taxa de dis-
sipação e encontra-se no intervalo η r L e D
2
u
i
(r) ∝ r
2/3
. A região
III caracteriza os grandes turbilhões, com temanho da ordem ou maior que
L. Adaptado de Welter (2006). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.74 Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade
e a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES
em z = 10, 42m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.75 Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade
e a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES
em z = 0, 2z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.76 Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade
e a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES
em z = 0, 5z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.77 Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade
e a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES
em z = z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.78 Comparação entre perfis verticais para a taxa de dissipação de energia ci-
nética turbulenta obtidas pela função estrutura de segunda ordem da com-
ponenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo
de subgrade do modelo LES – 12h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.79 Comparação entre perfis verticais para a taxa de dissipação de energia ci-
nética turbulenta obtidas pela função estrutura de segunda ordem da com-
ponenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo
de subgrade do modelo LES – 16h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.80 Comparação entre perfis verticais para a taxa de dissipação de energia ci-
nética turbulenta obtidas pela função estrutura de segunda ordem da com-
ponenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo
de subgrade do modelo LES – 20h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.81 Comparação entre perfis verticais para a taxa de dissipação de energia ci-
nética turbulenta obtidas pela função estrutura de segunda ordem da com-
ponenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo
de subgrade do modelo LES – 00h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.82 Comparação entre perfis verticais para a taxa de dissipação de energia ci-
nética turbulenta obtidas pela função estrutura de segunda ordem da com-
ponenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo
de subgrade do modelo LES – 04h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.83 Comparação entre perfis verticais para a taxa de dissipação de energia ci-
nética turbulenta obtidas pela função estrutura de segunda ordem da com-
ponenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo
de subgrade do modelo LES – 08h (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.84 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente verti-
cal e longitudinal da velocidade em z = 10, 42m. . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.85 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente verti-
cal e longitudinal da velocidade em z = 0, 2z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.86 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente verti-
cal e longitudinal da velocidade em z = 0, 5z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.87 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente verti-
cal e longitudinal da velocidade em z = z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.88 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = 10, 42m. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.89 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = 0, 2z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.90 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = 0, 5z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.91 Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = z
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.92 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 10, 42m, às 12h. . . . . . . . . . . . . 138
5.93 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
, às 12h. . . . . . . . . . . . . . . 138
5.94 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
, às 12h. . . . . . . . . . . . . . . 139
5.95 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = z
i
, às 12h. . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.96 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 10, 42m, às 16h. . . . . . . . . . . . . 140
5.97 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
, às 16h. . . . . . . . . . . . . . . 140
5.98 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
, às 16h. . . . . . . . . . . . . . . 141
5.99 Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a par-
tir de dados do modelo LES em z = z
i
, às 16h. . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.1 Representação de V
c
e V
sis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.2 Elemento de área infinitesimal de V
c
e vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C.1 (a) Representação do elemento de fluido e as forças que sobre ele atuam.
(b) Representação das tensões que agem em uma face do elemento de fluido.158
C.2 Representação de uma partícula qualquer a uma distância r do centro da
Terra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
C.3 Sistemas de referência: referencial inercial (x, y, z) e não inercial
(x
, y
, z
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Lista de Tabelas
5.1 Parâmetros da CLP no instante de cada perfil . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Estimativas para a escala integral no horário das 12h (local) para di-
ferentes níveis da CLP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3 Estimativas para a escala integral no horário das 16h (local) para di-
ferentes níveis da CLP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4 Estimativas de alguns parâmetros que caracterizam a turbulência no
horário das 12h (local) para diferentes níveis da CLP. . . . . . . . . . . 144
5.5 Estimativas de alguns parâmetros que caracterizam a turbulência no
horário das 16h (local) para diferentes níveis da CLP. . . . . . . . . . . 144
Sumário
Resumo 22
Abstract 24
1 Introdução 26
2 Uma breve introdução à física de fluidos geofísicos 28
2.1 Definições gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Campo de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Campo de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Campo de umidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.4 Métodos de descrição de um escoamento geofísico . . . . . . 32
2.1.5 Camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.6 Regimes de escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Escoamentos turbulentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Espectro de energia cinética turbulenta . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Equações básicas no estudo da mecânica de fluidos . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Equação da Continuidade - conservação da quantidade de
matéria em um escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Equação de estado dos gases ideais . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
19
2.3.4 Segunda Lei de Newton aplicada a fluidos geofísicos – equa-
ção de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Considerações sobre as equações básicas . . . . . . . . . . . 44
2.4 Escalas dos fenômenos atmosféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.1 Modelo da Atmosfera Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Camada Limite Planetária 48
3.1 Balanço radiativo na superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Variação diária da CLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Camada limite convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Camada limite estável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 Camada limite neutra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.4 Camada limite residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Equação da energia cinética turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Dinâmica de fluidos computacional 61
4.1 Descrição do escoamento a partir do processo de médias . . . . . . . 62
4.2 Modelo de simulação dos grandes turbilhões . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Filtros utilizados em modelos LES . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.2 Modelo LES de Moeng (1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2.1 Esquema numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2.2 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2.2.3 Equações para as escalas resolvidas . . . . . . . . . 72
4.2.2.4 Modelo de subfiltro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Experimento Numérico 80
5.1 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2 Forçantes superficiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Comparação entre LES e observações de superfície . . . . . . . . . . 88
5.4 Perfis verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Balanço da energia cinética turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6 Análise estatística do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6.1 Perfil vertical das variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.6.2 Funções estrutura de segunda ordem das componentes da
velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6.3 Outras análises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Considerações Finais 146
A Teorema do Transporte de Reynolds 150
B Equação da Continuidade 155
C A Segunda Lei de Newton aplicada a fluidos geofísicos 157
RESUMO
Dissertação de Mestrado
Programa de Pós-Graduação em Física
Universidade Federal de Santa Maria
ESTUDO DO CICLO DIÁRIO DA CAMADA LIMITE
PLANETÁRIA ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO DOS
GRANDES TURBILHÕES
AUTOR: FRANCIANO SCREMIN PUHALES
ORIENTADOR: PROF. DR. GERVÁSIO ANNES DEGRAZIA
UFSM
Data e Local da Defesa: Santa Maria, 15 de dezembro de 2008.
A CLP é a região da troposfera caracterizada pela existência da turbulência
(BUSINGER, 1981). Um escoamento turbulento é aquele no qual as flutuações das
variáveis que descrevem o escoamento são amplificadas no tempo e no espaço
(LANDAU; LIFSHITZ, 1959).
O estudo da camada limite planetária (CLP) através da dinâmica de fluidos com-
putacional, sobretudo a simulação dos grandes turbilhões (LES), é uma ferramenta
bastante empregada e impulsionada pelo constante aprimoramento dos recursos
computacionais. O uso de simulações numéricas apresenta algumas vantagens em
relação a outras técnicas pois fornece uma descrição completa da extensão vertical
da CLP. No entanto, também apresenta suas limitações através de simplificações
nas equações resolvidas e aproximações dos métodos numéricos.
A técnica empregada na construção do modelo LES consiste na utilização de
médias de volume para resolver as equações de movimento para uma partícula de
fluido. Com isto espera-se resolver estas equações para os grandes turbilhões, nos
quais acredita-se estar a maior parte da energia cinética turbulenta. Chamamos
esta escala de resolvida. O restante das escalas, ou seja, as menores escalas do
escoamento são aproximadas por um modelo de subfiltro ou subgrade. A sepa-
ração entre as escalas resolvidas e de subfiltro é realizada por um processo de
filtragem. A largura deste filtro está diretamente relacionada a resolução da grade
computacional.
Neste trabalho propõem-se uma comparação entre os resultados obtidos a par-
tir do modelo LES de Moeng (MOENG, 1984) com dados experimentais obtidos na
CLP. Além disto, são realizadas comparações com resultados de outros modelos.
Adicionalmente, foram geradas estatísticas turbulentas, que descrevem o escoa-
mento em uma aproximação baseada na teoria estatística da turbulência. Para isso
foram utilizadas condições iniciais e forçantes de superfície para um dia de bom
tempo do sítio experimental de Candiota.
O desempenho do modelo LES em reproduzir os dados experimentais foi con-
siderado satisfatório. Entretanto o modelo se mostrou menos eficaz em simular a
turbulência noturna. Para tal período se faz necessária uma maior resolução de
grade.
ABSTRACT
Dissertação de Mestrado
Programa de Pós-Graduação em Física
Universidade Federal de Santa Maria
STUDY OF DAILY CYCLE OF PLANETARY
BOUNDARY LAYER BY LARGE EDDY
SIMULATION
AUTOR: FRANCIANO SCREMIN PUHALES
ORIENTADOR: PROF. DR. GERVÁSIO ANNES DEGRAZIA
UFSM
Data e Local da Defesa: Santa Maria, 15 de dezembro de 2008.
The PBL is the region on the troposphere characterized by existence of turbu-
lence (BUSINGER, 1981). Turbulent flow is that when the fluctuations of the vari-
ables that describe the flow are amplified in time and space (LANDAU; LIFSHITZ,
1959).
The study of the planetary boundary layer (PBL) through the computational fluid
dynamics, particularly the large eddie simulation (LES) is an important tool and dri-
ven by constant improvement of computing resources. The use of numerical simula-
tions has some advantages over other techniques because it gives a full description
of the vertical extent of the PBL. However, it also shows its limitations by simplifica-
tions in the equations solved and approximations of numerical methods.
The technique employed in the construction of LES models utilizes the volume-
avarege to solve the equations of motion for a particle of fluid. With this procedure
is expects to solve these equations for large eddies, in which it is believed to be the
most turbulent kinetic energy. We solved this scale. Therefore, we solve the scales
associated to the large eddies. The rest of the turbulent scales, that is, the smaller
scales are approximated by a subfilter or subgrid model. The separation between
the scales resolved and subfilter is made by a process of filtering. The width of this
filter is directly related to resolution of the grid computing.
In this work we establish a comparison between the results obtained from the
Moeng’s LES model (MOENG, 1984) with experimental data obtained in the PBL.
In addition, are accomplished comparisons with results from other models. Futher-
more, were generated turbulent statisticals, which describe the flow in approch ba-
sed on the turbulent statistical theory. To perform this task, were used for initial
conditions and forcing the surface to a good weather day at the experimental site of
Candiota.
The performance of the LES model to reproduce the experimental data was
considered satisfactory. However, the model was less effective in simulating the
turbulent night. For this period is necessary a higher resolution grid.
Capítulo 1
Introdução
Os estudos sobre turbulência e sua influência na Camada Limite Planetária são
bastante antigos porém seus resultados mais significativos começaram a surgir no
início do século XX e, desde então muitos trabalhos foram realizados tentando elu-
cidar o fenômeno turbulento. O tratamento matemático da turbulência é bastante
complicado e seu estudo experimental exibe uma relevante complexidade princi-
palmente quando se trata de turbulência atmosférica. Tendo em vista todos esses
fatores, Wyngaard em 1981 iniciou um de seus artigos com o seguinte questiona-
mento:
“Certamente não podemos esperar uma solução analítica para as
equações de movimento de uma camada limite turbulenta, mas po-
demos nos questionar: Por que é necessário modelar as equa-
ções antes de resolvê-las numericamente? Por que não podemos
resolvê-las diretamente com os grandes e rápidos computadores de
hoje?”
A resposta para esta pergunta feita em 1981 ainda é a mesma para a atuali-
dade. Não temos recursos computacionais suficientes para isso, mesmo com toda
a evolução computacional dos últimos anos. Resolver diretamente as equações do
movimento turbulento – Simulação numérica direta (DNS) – implica considerar na
solução um grande número de graus de liberdade do movimento e com isso uma
malha computacional de altíssima resolução. Porém, quando uma solução numé-
rica é vinculada a um esquema de modelagem surge um caminho viável para o
estudo da turbulência.
26
27
Em muitas áreas da mecânica de fluidos tem-se utilizado simulações computa-
cionais para o estudo da turbulência, já que as medidas observacionais são extre-
mamente complicadas e de alto custo. Em particular, no estudo da Camada Limite
Planetária (CLP) o uso da dinâmica de fluidos computacional é cada vez mais co-
mum pois observações experimentais na CLP apresentam um igridiente físico com-
plicador associado a sua grande extensão vertical que pode chegar a 3000 metros.
Além disto, o avanço da computação de alto desempenho é outro fato que tem im-
pulsionado as simulações de alta resolução na baixa atmosfera. Dentre as técnicas
de simulação empregadas em turbulência uma das mais utilizadas é a Simulação
dos Grandes Turbilhões (LES, do inglês Large Eddy Simulation).
A simulação dos grandes turbilhões consiste em um modelo de médias de vo-
lume no qual os turbilhões mais energéticos são resolvidos diretamente enquanto
os menores são filtrados e tem a sua energia parametrizada por um modelo cha-
mado de subfiltro ou subgrade. A quantidade de turbilhões e, portanto de energia
cinética turbulenta resolvida diretamente é tão grande quanto for a resolução da
grade do modelo (POPE, 2000). Contudo, algumas questões devem ser respon-
didas: É possível simular um ciclo diário da CLP utilizando a metodologia LES?
Sendo possível, os dados gerados pelo modelo são consistentes? O objetivo deste
trabalho é utilizar o modelo LES desenvolvido por Moeng (1984), utilizando a para-
metrização de subgrade proposta por Sullivan et. al (1994) para responder estas
questões. Para isso o modelo foi iniciado com dados experimentais de superfície
obtidos no sítio experimental de Candiota, RS, Brasil. Os perfis verticais iniciais das
variáveis de interesse foram determinados a partir da previsão numérica para a re-
gião de Candiota realizado pelo Grupo de Modelagem Atmosférica de Santa Maria
(GruMA), com o modelo BRAMS. Com isso compara-se a saída do modelo com os
dados medidos por uma torre micrometeorológica para diferentes casos. Além do
mais, a partir dos dados simulados foram estimados perfis verticais de velocidade e
temperatura, evolução da energia cinética turbulenta e propriedades estátisticas do
escomanto turbulento na CLP.
Capítulo 2
Uma breve introdução à física de
fluidos geofísicos
Fluido é um conjuto de partículas que se deforma continuamente sob a ação
de uma tensão tangencial (tensão de cisalhamento). Considerando que o compor-
tamento do fluido é descrito em termos de fenômenos macroscópicos o fluido é
tratado como um meio contínuo e formado por elementos de fluido. Elemento de
fluido (ou partícula de fluido) é definido como uma quantidade infinitesimal de fluido
muito maior que a escala molecular (constituído por várias moléculas) e bem menor
que a escala macroscópica. Desta maneira, do ponto de vista da termodinâmica as
interações eletromagnéticas na escala molecular são bem definidas em função das
grandezas macroscópicas.
A tensão de cisalhamento é o resultado da interação eletromagnética entre os
constituintes do fluido e suas vizinhanças. Para um fluido Newtoniano
1
a tensão de
cisalhamento é dada por(LANDAU; LIFSHITZ, 1959):
τ
ij
= µ
∂U
i
∂x
j
+
∂U
j
∂x
i
(2.1)
para todo i = j, onde µ é o coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido, x
α
é a
direção analisada e U
α
e a velocidade na direção x
α
. Além das tensões tangen-
ciais existem as tensões normais que agem sobre o elemento de fluido. Assim,
estas tensões são bem definidas pelo tensor τ
ij
, representado pela matriz 3 ×3 em
1
O modelo de fluido Newtoniano é aquele onde a tensão de cisalhamento é linearmente propor-
cional ao gradiente de velocidade nas direções perpendiculares a própria tensão. Este gradiente
também é chamado de cisalhamento do campo de velocidade.
28
29
coordenadas retangulares:
τ
ij
=
τ
xx
τ
xy
τ
xz
τ
yx
τ
yy
τ
yz
τ
zx
τ
zy
τ
zz
.
onde os elementos da diagonal principal da matriz representam as componentes
normais da tensão. Para um fluido Newtoniano e incompressível cada um dos ter-
mos da matriz é definido como (LANDAU; LIFSHITZ, 1959):
τ
ij
= −δ
ij
p + µ
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
(2.2)
onde δ
ij
é o delta de Kronecker, p é a pressão e onde u
i
é a componente do vetor
velocidade
U na direção x
i
. Analisando-se a equação (2.2) é fácil perceber que se
i = j as componentes do tensor recaem na expressão para a tensão de cisalha-
mento do fluido. Além disto, se utilizarmos a aproximação extrema de fluido não
viscoso (µ = 0) as tensões tangenciais são nulas e as tensões normais corres-
pondem a pressão sobre o elemento de fluido. Neste caso não a deformação do
elemento de fluido e a sua dinâmica corresponde a de um corpo rígido.
Fluidos geofísicos são todos os fluidos que escoam na superfície do planeta.
Em geral, o termo se refere aos oceanos e a atmosfera, sendo a atmosfera o foco
deste trabalho.
2.1 Definições gerais
2.1.1 Campo de velocidade
Seja
U o vetor velocidade de uma partícula de fluido. Considerando-se como
referencial um conjunto de eixos cartesianos este vetor pode ser escrito como
U = u
ˆ
i + v
ˆ
j + w
ˆ
k (2.3)
onde
U =
U(x, y, z, t) e
30
u =
dx
dt
y =
dy
dt
w =
dz
dt
. (2.4)
O campo de velocidade do escoamento é formado pelo conjunto de vetores ve-
locidade de cada ponto do escoamento. Se o campo de velocidade é invariante no
tempo em cada ponto do escoamento dizemos que este escoamento é estacionário
e então
U =
U(x, y, z).
2.1.2 Campo de temperatura
Seja T a temperatura de cada ponto do escoamento. O campo de temperatura é
descrito por uma função escalar que descreve a temperatura no tempo e no espaço,
assim:
T = T (x, y, z, t) (2.5)
Quando uma parcela de fluido se desloca verticamente na atmosfera sua tem-
peratura varia devido a variação de pressão e densidade do ar. Porém, se consi-
derarmos um processo adiabático podemos definir uma grandeza que se mantém
constante neste processo. Assim definimos a temperatura potencial (θ). Considere
uma parcela de fluido com temperatura absoluta T a uma pressão p
o
e densidade
ρ. A temperatura potencial desta parcela é a temperatura que esta teria se fosse
levada a uma pressão p mantendo a densidade ρ. Matematicamente temos:
θ = T
p
p
o
R
c
p
(2.6)
onde R e a constante do gas e c
p
o calor específico a pressão constante. Se o gás
for o ar seco R
d
= 287J(kgK)
−1
e c
p
= 1004J(kgK)
−1
.
31
2.1.3 Campo de umidade
A presença de água na atmosfera é um fator determinante em seus proces-
sos termodinâmicos. Isto é mais evidente quando ocorre a mudança de fase, pois
quando este fenômeno ocorre, uma grande quantidade de energia na forma de calor
latente é liberado ou absorvido do meio. Este fato é determinante para o favoreci-
mento ou inibição de vários processos atmosféricos. Existem várias formas de se
quantificar o teor de umidade do ar:
– Umidade absoluta ρ
v
: é a densidade de vapor d’água de uma parcela de ar
de volume V .
ρ
v
=
m
v
V
(2.7)
onde m
v
é a massa do vapor d’água contido no volume V .
– Umidade específica q: é a razão entre a massa de ar umido m
v
e a massa
total da parcela de ar m = m
d
+ m
v
contida em um volume V , onde m
d
é a massa
de ar seco da parcela.
q =
m
v
m
q =
m
v
m
d
+ m
v
q =
m
v
V
m
d
V + m
v
V
q =
ρ
v
ρ
d
+ ρ
v
(2.8)
– Razão de mistura : é a razão entre a massa de vapor d’água e ar seco contidos
no volume V da parcela
w =
m
v
m
d
w =
m
v
V
m
d
V
w =
ρ
v
ρ
d
. (2.9)
– Umidade relativa : é a razão entre a razão de mistura w e a razão de mistura
para o ar saturado w
s
2
2
Ar saturado é aquele que não consegue mais absorver vapor d’água. Em geral, após atingir a
saturação do ar a umidade excedente condensa. A quantidade de vapor d’água que o ar consegue
armazenar é função da temperatura.
32
f =
w
w
s
. (2.10)
Independentemente da grandeza escolhida para quantificar a umidade do ar,
matematicamente define-se um campo de umidade qualquer ψ como
ψ = ψ(x, y, z, t). (2.11)
2.1.4 Métodos de descrição de um escoamento geofísico
Um escoamento geofísico é comumente descrito em termos Eulerianos e La-
grangianos. Para diferenciar os dois métodos vamos adotar um referencial no qual
a superfície da Terra está em repouso.
Um escoamento descrito sob o ponto de vista Euleriano é aquele onde um
observador em repouso em relação ao referencial adotado anteriormente avalia o
comportamento do fluido analisando um único ponto do escoamento. Desta forma
uma variável qualquer ξ do fluido é matematicamente definida como
ξ ≡ ξ(x, y, z, t) (2.12)
onde as coordenadas espaciais x, y, e z são independentes do tempo, ou seja,
um ponto fixo em relação ao referencal do observador. Em termos experimentais a
descrição Euleriana é equivalente as medidas realizadas em uma torre micromete-
orológica.
A descrição Lagrangiana é aquela onde um observador em repouso avalia o
comportamento do escoamento seguindo um elemento de fluido no tempo en-
quanto ele se desloca pelo espaço. Assim, uma variável qualquer do fluido sob
o ponto de vista Lagrangiano é definida matematicamente como
33
ξ ≡ ξ(x, y, z)
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t). (2.13)
Nesta descrição o ponto de observação varia no tempo e no espaço em relação
ao referencial do observador. Experimentalmente esta descrição corresponde, por
exemplo, a um balão sonda que é carregado pelo vento.
É possível relacionar variações Lagrangianas e Eulerianas de uma determi-
nada variável ξ para um determinado escoamento. Uma maneira de fazer isto é
diferenciando-se ξ.
dξ =
∂ξ
∂x
dx +
∂ξ
∂y
dy +
∂ξ
∂z
dz +
∂ξ
∂t
dt
dξ
dt
=
∂ξ
∂x
dx
dt
+
∂ξ
∂y
dy
dt
+
∂ξ
∂z
dz
dt
+
∂ξ
∂t
dt
dt
dx
i
dt
= u
i
dξ
dt
= u
∂ξ
∂x
+ v
∂ξ
∂y
+ w
∂ξ
∂z
+
∂ξ
∂t
dξ
dt
=
∂ξ
∂t
+
U ·
∇ξ
∂ξ
∂t
=
dξ
dt
−
U ·
∇ξ
(2.14)
onde a derivada parcial em relação ao tempo de ξ corresponde a variação local de
ξ, ou seja, a variação em um unico ponto – Euleriana. Já a variação temporal total
corresponde a variação Lagrangiana de ξ. O termo
U ·
∇ξ é o termo que descreve
o transporte de ξ devido ao campo de velocidade do vento, chamda de advecção.
De um ponto de vista mais rigoroso a advecção é definida como
adv(ξ) = −
U ·
∇ξ. (2.15)
34
Esta definição tem uma interpretação física importante. Para o termo advectivo ser
positivo, ou seja, para que a quantidade de ξ aumente em um determinado ponto
é necessário que o vento esteja no sentido contrário do gradiente de ξ, ou seja,
o vento deve vir de uma região onde ξ é maior para uma região onde é menor.
Vamos considerar a figura 2.1 que apresenta o campo de velocidade do vento e
de temperatura de uma determinada região. O campo de velocidade do vento é
perpendicular as isotermas, assim como o vetor que indica o gradiente de tempe-
ratura. O vetor gradiente de temperatura aponta no sentido em que a temperatura
aumenta:
adv(T ) = −
U ·
∇T
adv(T ) = −
U
∇T cos θ
adv(T ) = −
U
∇T cos(π)
adv(T ) =
U
∇T . (2.16)
Logo, a advecção de temperatura é positiva e isto colabora para a variação local da
temperatura seja positiva, ou seja, colabora para um aumento local da temperatura.
Uma outra forma de relacionar estes dois pontos de vista é o Teorema do Trans-
porte de Reynolds. Seja B uma quantidade qualquer relativa a um fluido e b seu
valor por unidade de massa, tal que
B = mb. (2.17)
Este fluido escoa atraves de um volume de controle V
c
e tem uma quantidade de
massa contida no volume do sistema V
sis
, que se move com velocidade
U em re-
lação ao referencial em que V
c
está fixo. O Teorema do Transporte de Reynolds
relaciona a variação temporal de B no volume de controle e no sistema através da
equação
d
dt
B
sis
=
∂
∂t
B
V
c
+
SV
c
ρb
U · ˆndA. (2.18)
A demonstração de tal teorema é apresentada no apêndice A.
35
Figura 2.1: Campo idealizado de temperatura e velocidade do vento.
2.1.5 Camada limite
A expressão camada limite, é definida de maneira geral em mecânica de fluidos
como a região do escoamento onde existe um intenso gradiente de velocidade, for-
çando as componentes deste campo convergirem para zero quando se aproximam
de uma superfície rígida ou interface entre dois meios (LANDAU; LIFSHITZ, 1959).
Nas proximidades da superfície do planeta Terra há a formação de uma camada
limite que será discutida em detalhe no capítulo 3.
2.1.6 Regimes de escoamento
Conforme as propriedades do escoamento ele pode ser classificado em dois
regimes: regime de escoamento laminar ou turbulento. Quando um escoamento
é laminar o fluido escoa como finas lâminas (camadas) que deslizam uma sobre
36
as outras. Neste caso, não há trocas de propriedades macroscópicas entre estas
camadas do escoamento. Quando a velocidade do escoamento atinge um valor
crítico este escoamento passa por um processo de transição onde as simetrias do
escoamento laminar são quebradas e o regime de escoamento converge para um
regime de turbulência (exceto para uma fina camada do fluido próxima a superfície
que continua a ser laminar – camada superficial laminar). A turbulência consiste em
um movimento irregular e quase aleatório do fluido no qual existe uma intensa troca
de propriedades macroscópicas entre as diferentes regiões do escoamento. Ela é
caracterizada pela existência de vórtices e de uma grande resistência ao escoa-
mento. Quanto mais complicado este movimento se torna, ou seja, mais turbulento,
mais simetrias vão sendo quebradas. Entretanto, para um número de Reynolds
muito alto existe uma tendência a recuperar as simetrias do escoamento em um
senso estatístico para regiões afastadas dos contornos sistema (FRISCH, 1995, p.
11). Nesta condição se define a turbulência completamente desenvolvida, onde se
espera que todos os possíveis graus de liberdade do sistema sejam alcançados e
supõe-se que exista um domínio onde um equilíbrio estatístico universal seja atinido
(WELTER, 2006).
Turbulência completamente desenolvida (TCD) é caracterizada por um compor-
tamento espacial e temporal desordenado nas características dinâmicas e termodi-
nâmicas que descrevem o escoamento. Por isso, a utilização de teórias estatísticas
é fundamental na compreensão deste fenômeno (WELTER, 2006).
A figura 2.2 mostra de forma didática essa variação no regime de escoamento.
O valor crítico de velocidade para que existe a mudança no regime de escoamento
é definida pelo Número de Reynods.
O Número de Reynodls Re é a razão entre os forçantes inerciais e viscosos do
escoamento. Sua definição é oriunda da segunda Lei de Newton. O seu valor crítico
varia no intervalo 2300 ≤ Re ≤ 3000. Para os escoamentos na baixa atmosfera, Re
pode ser da ordem de 10
7
. O Número de Reynolds é dado por
Re =
U ·
∇
U
ν∇
2
U
(2.19)
onde ν a viscosidade cinemática do fluido. Escrevendo-se esta definição em função
37
Figura 2.2: Variação no regime de escoamento. Adaptado de Oke, 1987
da ordem de grandeza de cada termo temos que
Re =
UL
ν
(2.20)
onde U é uma velocidade característica do escoamento e L uma escala de compri-
mento característica.
2.2 Escoamentos turbulentos
A turbulência é um fenômeno físico complexo no qual perturbações infinitesi-
mais das variáveis que descrevem o escoamento são amplificadas no tempo e no
espaço. Como visto anteriormente, um escoamento é considerado turbulento a
partir de um número de Reynolds crítico. O valor deste limite varia no intervalo
2300 ≤ Re ≤ 3000.
Lumley e Panofsky (1964, página 3, apud WELTER, 2005, página 29) aponta
algumas propriedades do campo turbulento:
• Turbulência é observada ser rotacional e dissipativa, isto é, a energia mecâ-
nica é transformada em energia na forma de calor; Há movimentos aleatórios
tridimensionais que são aproximadamente irrotacionais e não dissipativos, tais
como um corpo em um fluido. Neste particular caso a sua superfície é pertur-
bada por um escoamento turbulento, mas os turbilhões não dissipam energia
mecânica em energia interna do sistema através de uma cascata que vai dos
vórtices maiores para os menores (espectro de energia cinética turbulenta).
38
• Turbulência é tridimensional. A cascata de energia para turblhões menores
pode ser pensada como um reposicionamento de “vórtices esticados” descritos
pelos termos não lineares das equações de movimento que impõe um caráter
tridimensional e não linear ao movimento.
• Turbulência é não linear. A transferência de energia que ocorre de um turbilhão
para o outro acontece de forma não linear.
• Turbulência é estocástica. De fato, não importa com qual cuidado as condições
de um experimento são reproduzidas. O campo de velocidade não poderá ser
predito em detalhes.
• Tubulência é difusiva. Uma partícula de fluido marcada irá se deslocar em
relação a sua posição inicial de maneira análoga a uma molécula em um gás,
porém, quantitativamente, de maneira muito mais intensa. Isto implica em um
transporte de quantidades como matéria, momentum, energia na forma de
calor, etc..
• Em turbulência, as escalas de tempo e comprimento do movimento são gran-
des e geralmente da mesma ordem de tempo e comprimento das escalas es-
paciais e temporais que limitam o processo de difusão.
• Turbulência é um fenômeno contínuo. Na maioria dos escoamentos a escala
dinâmica de menor importância é muito maior que o livre caminho médio das
moléculas e, conseqüêntemente, muito maior que as próprias moléculas.
2.2.1 Espectro de energia cinética turbulenta
Um parâmetro descrevendo um campo turbulento possui uma grande variabili-
dade, tanto espacial como temporal. Esta variabilidade está associada ao número
de graus de liberdade que, por sua vez, está diretamente relacionado com o nú-
mero de Reynolds (LANDAU; LIFSHITZ, 1959). Desta maneira, pode-se conceber
a idéia de uma variável turbulenta ser composta pela sobreposição de harmônicos
de diferentes números de onda (k) chamados turbilhões ou vórtices. Assim, como
a radiação eletromagnética, cada número de onda corresponde a uma quantidade
de energia cinética turbulenta e portanto, precisamos saber como esta energia está
39
distribuída nos turbilhões de diferentes tamanhos ou harmônicos de diferentes nú-
meros de onda.
Os turbilhões são formados nas grandes escalas e transferem energia para os
menores e assim por diante. Esta transferência de energia cinética turbulenta em
forma de cascata, que vai dos maiores para os menores turbilhões, ocorre até um
comprimento de onda limite no qual a ação da viscosidade se torna importante no
processo de dissipação da energia cinética turbulenta forma de calor (RICHARD-
SON, 1922).
Mesmo que uma certa analogia com o espectro de energia eletromagnética seja
válida, a distribuição da energia cinética turbulenta entre os turbilhões de diferen-
tes números de onda não se dá de forma linear como a energia eletromagnética
se distribui entre fótons de diferentes freqüências. O espectro de energia cinética
turbulenta está distribuído em intervalos que possuem diferentes características,
conforme a figura 2.3.
Figura 2.3: Representação do gráfico log-log do espectro de energia cinética turbulenta
para TCD.
• Intervalo I: Grandes turbilhões com tamanho maior ou igual a L (escala inte-
gral).
• Intervalo II – sub intervalo inercial: o caráter da turbulência, nestes números de
40
onda, é inteiramente determinado pelo fluxo de energia e pela taxa de dissipa-
ção. O fluxo de energia mais a dissipação é igual a energia total fornecida para
este intervalo. Da forma do espectro observa-se que esta energia é proveni-
ente dos turbilhões que possuem maior conteúdo de energia. Esta região do
espectro se encerra entre turbilhões menores que a escala integral e maiores
que a micro escala de Kolmogorov, η.
• Intervalo III: nesta região do espectro ocorre a dissipação da energia cinética
turbulenta em energia na forma de calor. Os turbilhões aqui são menores que
a micro escala de Kolmogorov (WELTER, 2006).
2.3 Equações básicas no estudo da mecânica de flui-
dos
Acredita-se que a equação de Navier-Stokes, que nada mais é que a segunda
lei de Newton aplicada a um elemento de fluido, associada as equações da ter-
modinâmica e da continuidade seja capaz de descrever todo o comportamento do
escoamento. Isto implica que esta equação também contenha a informação sobre
todas as quebras de simetrias que ocorrem na transição e formação de um escoa-
mento turbulento.
2.3.1 Equação da Continuidade - conservação da quantidade de
matéria em um escoamento
A equação da continuidade relaciona a variação local da densidade do fluido
em função da divergência do campo de velocidade. Esta equação e dada por:
∂ρ
∂t
+
∇ ·
U = 0, (2.21)
onde ρ é a dendidade do fluido. No apêndice B é apresentada uma derivação desta
equação.
É possível fazer uma análise interessante desta equação quanto a compressi-
bilidade do fluido. Se supomos um fluido não compressível sua densidade é cons-
41
tante, logo a sua variação local é nula. Portanto, assumir a hipótese de fluido in-
compressível é equivalente a hipótese de fluido não divergente, ou seja,
∇ ·
U = 0.
Esta simplificação é bastante válida em escoamentos na baixa atmosfera onde as
flutuações de densidade são de uma ordem bem menor que a própria densidade
do fluido.
2.3.2 Equação de estado dos gases ideais
O modelo da teoria cinética para um gás ideal é formulado com base nas se-
guintes condições:
• O gás é constituído por um número gigantesco de moléculas em movimento
aleatório que possuem dimensões insignificantes perante ao meio em que se
movem.
• A intereção entre as moléculas se dá apenas nas colisões (perfeitamente elás-
ticas e com tempo de duração desprezível) e seu deslocamento entre uma
colisão e outra é o de uma partícula livre.
• Assume-se que o movimento das moléculas se dá em um referencial inercial.
As condições deste modelo são satisfeitas, se não em sua totalidade, em boa
parte pelos escoamentos na atmosfera. Portanto é possível utilizá-lo para ajudar a
descrever estes escoamentos. Para o gás ideal a equação de estado termodinâ-
mico é dada por
pV = nT (2.22)
onde V é o volume, n o número de mols, é a constante dos gases ideias e T é
a temperatura absoluta. O número de mols contidos em um determinado volume V
de alguma substância pode ser obtido através da razão entre a massa contida em
V e a massa molar M da substância:
42
pV =
m
M
T
p =
m
V
M
T
p = ρ
M
T (2.23)
Como uma boa aproximação, podemos considerar a atmosfera como um gás ideal.
Assim, definimos a constante dis gases para o ar atmosférico, R como
R =
M
. (2.24)
A constante dos gases para a atmosfera depende da concentração dos diferen-
tes gases que compõem tal fluido. Para o ar seco este valor é bem definido pois
a atmosfera possui concentração fixa de seus principais componentes: nitrogênio,
oxigênio, gás carbônico e argônio. Porém, quando consideramos o ar úmido deve-
mos levar em conta a quantidade de vapor d’água na atmosfera o que implica numa
constante termodinâmica que depende dos constituintes da mistura, o que não é
interessante do ponto de vista matemático. A partir desta necessidade define-se a
temperatura virtual T
v
. A temperatura virtual é a temperatura que uma parcela de ar,
mantida a mesma densidade e pressão teria se o ar fosse seco. Matematicamente
tem-se:
T
v
= T (1 + 0, 61w) (2.25)
e conseqüentemente,
θ
v
= θ (1 + 0, 61w) . (2.26)
Então, podemos reescrever a equação de estado do gas ideal para uma atmosfera
úmida utilizando a constante do ar seco
p = ρR
d
T
v
(2.27)
43
2.3.3 Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da teromodinâmica é uma conseqüência direta da aplicadação
do princípio da conservação da energia em um sistema termodinâmico. Seja E
in
a energia interna do sistema. Se o sistema for perturbado infinitesimalmente uma
variação da energia interna dE
in
é percebida. Isto é decorrência da quantidade
de energia na forma de calor dQ trocada com as vizinhanças e pela quantidade
de energia trocada na forma de trabalho dW devido a expansão ou contração do
sistema contra as vizinhanças. Logo, por conservação de energia, a variação da
energia interna é dada por,
dE
in
= dQ + dW (2.28)
onde a expressão (2.28) é a representação matemática da primeira lei da termodi-
nâmica.
2.3.4 Segunda Lei de Newton aplicada a fluidos geofísicos –
equação de Navier-Stokes
A segunda Lei de Newton aplicada a fluidos geofísicos (que escoam na super-
fície ou adjacencias do planeta) é dada por
3
:
∂
U
∂t
I
+
U ·
∇
U
II
= −
1
ρ
∇p
III
+ g
ef
ˆr
IV
−2
Ω ×
U
V
+ ν∇
2
U
V I
(2.29)
esta equação também é chamada de equação de Navier-Stokes. Nela estão con-
tidas todas as informações sobre um determinado escoamento e cada termo tem
uma interpretação física. Ela relaciona a aceleração (a) em uma partícula de fluido
com as suas causas (forças (
F ) usando como constante de proporcionalidade o
inverso da massa (m).
a =
1
m
F (2.30)
3
As considerações realizadas e o desenvolvimento matemático para obter a equação são descri-
tos no apêndice C.
44
• Termo I – Variação local de velocidade: Corresponde a variação Euleriana de
velocidade, ou seja, a variação temporal da velocidade em um único ponto do
campo de velocidade.
• Termo II – Transporte advectivo: Corresponde ao transporte advectivo de ve-
locidade. A soma do termo I com o termo II equivale a variação temporal total
do campo de velocidade ou variação Lagrangiana deste campo.
• Termo III – Gradiente de pressão: Corresponde a aceleração causada em um
elemento de fluido devido ao gradiente de pressão. O sinal negativo indica que
a aceleração causada é sempre contrária ao gradiente de pressão ou seja, a
força devido a este termo tem sentido que aponta da região de alta para baixa
pressão.
• Termo IV – Gravidade efetiva: É a resultante da aceleração gravitacional e da
aceleração centrifuga imposta por um referencial não inercial que apresenta
movimento de rotação.
• Termo V – Coriolis: Este termo representa a aceleração imposta pela força de
Coriolis que surge devido a rotação da Terra.
• Termo VI – Dissipação: Este termo corresponde a desaceleração causada na
particula de fluido devido a viscosidade.
2.3.5 Considerações sobre as equações básicas
Acredita-se que a equação de Navier-Stokes juntamente com as demais equa-
ções possa descrever completamente o escoamento mediante condições inciais e
contorno apropriadas. Porém, a solução desta equação é de grande complexidade
matemática devido a natureza desta equação. Stani
˘
si
´
c (1988 apud WELTER, 2005)
indica os seguintes fatores complicadores para a realização da solução da equação
de Navier-Stokes:
• não linearidade;
• acoplamento;
• não ser compreendida pelo conjunto de equações com simetria hiperbólica,
parabólica e elíptica;
45
• a geometria e as condições de fronteira dinâmicas para quais o sistema é
sujeito.
Além da dificuldade matemática que envolve a solução da equação que descreve a
segunda lei de Newton aplicada na dinâmica de fluidos, há o problema físico de não
se conhecer as condições iniciais e os fatores que controlam o movimento. Mesmo
que as complexidades matemáticas e físicas fossem suplantadas e, fosse possível
conhecer a velocidade do escoamento em cada ponto da região de domínio, para
cada instante de tempo, ainda recairíamos em um outro obstáculo: como aplicá-
lo. A quantidade de informação seria absurdamente gigantesca e não teriamos
como lidar com essa quantidade de informação e armazená-la seria extremamente
custoso computacionalmente. Isto porque o número de graus de liberdade para
um escoamento turbulento é proporcional a Re
9/4
(LANDAU; LIFSHITZ, 1959), ou
seja, o número de graus de liberdade cresce rapidamente quando o escoamento
se torna turbulento. Desta forma, a ferramenta que torna viável o estudo deste
fenômeno complexo é o tratamento estatístico das variáveis.
Anteriormente foi discutido o fluido como um meio contínuo. Contudo, as intera-
ções moleculares podem controlar a estabilidade do fluido e pequenas flutuações
na viscosidade originadas a partir da colisão entre as moléculas, pode desencadear
o processo de quebra de simetrias que leva ao regime de escoamento turbulento.
Uma investigação mais rigorosa sobre os processos de transfêrencia de momentum
na escala molecular deveria ser tratada utilizando-se o formalismo da teoria cinética
dos gases. Seguindo este método, perderíamos de vista o modelo de fluido como
meio contínuo e passaríamos a tratar o escoamento como um problema de muitos
corpos. Neste contexto, não poderiamos utilizar o emprego da mecânica estatística
clássica pois um escoamento turbulento caracteriza um sistema longe do equilíbrio
termodinâmico. Esta é uma outra razão para se evitar considerações em primeiros
princípios e considerar métodos estatísticos no estudo da turbulência (WELTER,
2006).
46
2.4 Escalas dos fenômenos atmosféricos
A atmosfera é caracterizada por fenômenos cujas escalas temporais e espaci-
ais variam em um grande intervalo. As escalas espaciais desses fenômenos são
determinadas a partir de um tamanho ou comprimento de onda típico e a escala de
tempo se baseia no intervalo de tempo de duração ou período destes fenômenos.
A figura 2.4 mostra uma correlação entre fenômenos atmosféricos e suas escalas
temporais e espaciais. A área sombreada na figura representa os fenômenos que
são influenciados pela superfície. Esta primeira análise parece dar uma idéia de
que os fenômenos na atmosfera se manifestam de forma discretizada e que ocor-
rem independentemente uns dos outros. Porém isto não é correto – os fenômenos,
cada qual em suas escalas atmosféricas, são partesde um fenômeno dinâmico con-
tínuo que são separados apenas para fins de simplicidade no estudo (OKE, 1987,
p. 4).
Figura 2.4: Escalas temporais e espaciais de vários fenômenos atmosféricos(OKE,
1987, p. 5).
47
2.4.1 Modelo da Atmosfera Padrão
A atmosfera padrão é uma representação idealizada da atmosfera em latitudes
médias com condições anuais médias. As variações de pressão com altura na
atmosfera padrão são típicas e, em muitos casos, utilizadas como aproximação
inicial. Uma representação do perfil vertical da atmosfera padrão é apresentado na
figura 2.5. É interessante observar que a maior parte da massa da atmosfera está
até 32km de altitude, portanto são os movimentos atmosféricos até este nível que
tem impacto direto sobre o Clima e o Tempo na Terra e influenciam diretamente a
baixa atmosfera.
Figura 2.5: Representação da atmosfera padrão – uma idealização da atmosfera.
Capítulo 3
Camada Limite Planetária
Em mecânica de fluidos, de maneira geral, define-se camada limite como a
região do escoamento na qual a velocidade tende a zero na vizinhança de uma pa-
rede sólida. Portanto, esta região é caracterizada por um gradiente de velocidade
de grande magnitude (LANDAU; LIFSHITZ, 1959, p. 145). Esta definição leva em
conta apenas o forçante mecânico, ou seja, o cisalhamento do campo de veloci-
dade do escoamento. Na troposfera, próximo à superfície, também há a formação
de uma camada limite, na qual além do cisalhamento do vento deve-se considerar
os efeitos térmicos gerados pelo aquecimento da superfície devido a incidência de
radiação eletromagnética proveniente do Sol. Deste modo, considerando-se este
forçante adicional, define-se Camada Limite Planetária (CLP) como a região da
atmosfera que tem seu regime de escoamento diretamente influenciado pela pre-
sença da superfície (cisalhamento do campo de velocidade do vento e aquecimento
(ou resfriamento) dos níveis inferiores da atmosfera). O escoamento atmosférico na
CLP é essencialmente turbulento e o número de Reynolds é da ordem de 10
7
. A
intensidade da turbulência na CLP é diretamente influenciada pelos forçantes que
formam a própria camada limite planetária. Por isso uma outra definição de CLP
pode ser dada em função da turbulência: CLP pode ser definida como a porção
da atmosfera onde os efeitos diretos da superfície sobre o processo de transporte
turbulento são apreciáveis (BUSINGER, 1981). A altura da CLP possui uma grande
variabilidade e depende de condições como cobertura de nuvens, quantidade de
radiação recebida pela atmosfera, estação do ano etc. Durante um dia ensolarado
o seu valor pode chegar a mais de 1000m. Sobre regiões continentais e na ausên-
48
49
cia de nuvens a CLP tem um ciclo diário, particularmente bem definido, onde a sua
estrutura se modifica ao longo do dia em função dos forçantes que atuam sobre o
escoamento. Porém, deve ser enfatizado que o forçante fundamental na CLP é a
incidência de radiação eletromagnética na superfície.
3.1 Balanço radiativo na superfície
Na superfície do planeta Terra ocorre a quase totalidade das entradas de massa
e energia disponível no sistema Terra–Atmosfera. Estas transferências ocorrem
através de diferentes processos para níveis superiores da atmosfera ou para o inte-
rior do planeta. Todos os corpos com temperatura acima do zero absoluto emitem
energia na forma de radiação eletromagnética, e o fluxo desta energia por compri-
mento de onda é descrito pela Lei de Planck:
E
λ
=
2hc
2
λ
5
1
exp (hc/KλT ) − 1
(3.1)
onde T é a temperatura absoluta do corpo, h é a constante de Planck e c a ve-
locidade da luz. A integral da função E
λ
dλ para todos os comprimentos de onda
equivale ao fluxo de energia total recebido ou emitido pelo corpo e isto também
pode ser descrito pela Lei de Stefan-Boltzmann:
E = εσT
4
(3.2)
onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann e ε é a emissividade do corpo. O com-
primento de onda no qual ocorre o pico de emissão depende da temperatura do
corpo. A lei que desceve a variação do comprimento de onda máximo em função
da temperatura é a Lei de Deslocamento de Wien, escrita como:
λ
m
= 2, 88 × 10
−3
1
T
(3.3)
É possível distinguir a radiação solar da terrestre pela análise do comprimento
de onda. Define-se radiação de onda curta é a radiação solar e a radiação de onda
50
Figura 3.1: Espectro de emissão de um corpo negro a diferentes temperaturas e Lei do
Deslocamento de Wien
longa é a radiação terrestre.
A emissão solar se dá em uma extensa faixa, desde freqüências altíssimas até
muito baixas. A radiação solar é caracterizada por comprimentos de onda menores
que 10
−8
µm até 10
16
µm.
Raios gamma, raios-X e ultravioleta, em ondas curtas, antecedem a região es-
pectral em que a luz é visível. O espectro visível é a faixa de radiação de ondas
curtas, na qual as ondas eletromagnéticas, atuando sobre a matéria, são captadas
pelo olho humano. Tal espectro, de 400 a 700nm, contém o comprimento de onda
máximo de emissão do Sol. Nesta faixa de comprimentos de onda a atmosfera é
praticamente transparente, por isso, é o canal mais importante de aquecimento da
Terra (cerca de 70% da energia solar incidem na Terra). A região do infraverme-
lho, de 700nm em diante, desempenhará uma importante função: captar energia
liberada pela superfície em onda longa. Neste caso, os gases em suspensão na
atmosfera desempenham um papel fundamental.
Cada gás constituinte da atmosfera tem propriedades radiativas específicas.
Assim, a radiação solar incidente é por eles parcialmente refletida, transmitida,
51
Figura 3.2: Representação do espéctro eletromagnético
absorvida e reemitida. Os constituintes atmosféricos em geral não são bons ab-
sorvedores de onda curta, exceto o ozônio, que é bastante eficaz na absorção de
radiação ultravioleta. Por outro lado, o vapor d’água que se torna progressivamente
bom absorvedor para comprimentos de onda acima de 800nm. Na banda em que
ocorre o pico de emissão solar, em torno de 480nm, a atmosfera é transparente.
A absorção de onda longa por constituintes atmosféricos é mais complexa, pois
a maioria dos constituintes atmosféricos são bons absorvedores em alguma faixa.
Os constituintes que mais contribuem são o vapor d’água, o dióxido de carbono e o
ozônio, sendo o vapor d’água o mais importante pois está em maiores concentra-
ções na atmosfera. Porém, no intervalo de 8 × 10
3
nm a 11 ×10
3
nm a atmosfera, na
ausência de nuvens, é transparente para onda longa. Esse intervalo é chamado de
janela atmosférica, e é neste local que se dá a maior perda de energia do sistema
Terra–Atmosfera para o espaço.
Quando a radiação de determinado comprimento de onda incide (I
λ
) sobre uma
substância, pode ser transmitida através desta (T
λ
), refletida por sua superfície (R
λ
)
ou absorvida (A
λ
), de forma que a conservação de energia pode ser expressa como:
I
λ
= T
λ
+ R
λ
+ A
λ
(3.4)
ou
52
Figura 3.3: Absorção dos constituintes da atmosfera em função do comprimento de onda
da radiação incidente, adaptado de Oke, 1989.
t
λ
+ r
λ
+ a
λ
= 1 (3.5)
onde t
λ
é a transmissividade, r
λ
é a refletividade e a
λ
é a absorvidade.
Essas propriedades são típicas de cada substância e definidas em cada com-
primento de onda. Podemos definir, então, o albedo al, como a a refletividade em
onda curta:
al =
Radiação refletida de onda curta
Radiação incidente de onda curta
(3.6)
Quanto maior o albedo, menos radiação de onda curta é absorvida pela superfície.
O balanço radiativo corresponde a soma de quatro componentes e determina
a radiação líquida (Q∗). Assume-se como referência valores positivos de radiação
quando esta é emitida da superfície para atmosfera e negativos quando a radiação
é emitida da atmosfera para a superfície. As componentes do balanço radiativo são:
• K ↓ – radiação incidente de onda curta: é a soma das componentes direta (S)
53
e difusa(D). Varia com a latitude e a época do ano. A cobertura de nuvens
também afeta seu valor.
• K ↑ – radiação de onda curta refletida: depende da radiação incidente e do
albedo superficial.
• L ↓ – radiação de onda longa emitida pela atmosfera para a superfície: de-
pende da composição e temperatura atmosféricas. Tem pouca variação du-
rante o dia.
• L ↑ – radiação de onda longa emitida pela superfície: depende da temperatura
e emissividade superficial, de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann. Apre-
senta pouca variação diária, os valores maiores ocorrem durante o dia do que
à noite (devido à temperatura).
Q∗ = K ↓ −K ↑ +L ↓ −L ↑ (3.7)
A radiação líquida é positiva durante o dia, e negativa durante a noite como pode
ser observado nas figuras 3.4 e 3.5 que apresentam gráficos de médias horárias de
fluxo de radiação medidos na estação experimental de Paraíso do Sul. A primeira
para um dia sem cobertura de nuvens e a segunda para um dia nublado.
54
Figura 3.4: Evolução das médias horárias de fluxo de radiação para o dia 15 de fevereiro
de 2004.
Figura 3.5: Evolução das médias horárias de fluxo de radiação para o dia 4 de fevereiro
de 2004.
55
3.2 Variação diária da CLP
Com o nascer do Sol ocorre o processo de aquecimento da superfície pela radi-
ação incidente de onda curta. A atmosfera é semi-transparente a este intervalo de
freqüências do espectro eletromagnético, portanto não é a radiação incidente que
aquece diretamente a CLP mas sim a radiação absorvida pela superfície e reemitida
para a atmosfera. A partir deste aquecimento começa a se formar a Camada Limite
Planetária Convectiva ou simplesmente Camada Limite Convectiva (CLC). Esta ca-
mada vai crescendo com o passar da manhã e atinge o seu valor máximo por volta
do meio dia. Esta estrutura se mantém até o momento em que começa a diminuir
a incidência de radiação e esta começa a decair. Com isso, no pôr-do-sol a CLC
deixa de existir e em seu lugar começa a se formar uma Camada Limite Planetária
Estável ou Camada Limite Estável (CLE). Acima desta CLE formada pela estratifica-
ção térmica existe uma camada formada por resíduos da CLC, a chamada Camada
Limite Planetária Residual ou Camada Limite Residual (CLR), caracterizada pelo
decaimento da turbulência convectiva que ocorre por, aproximadamente, 1h após o
por-do-sol. A CLE se mantém até o crepúsculo matutino onde o ciclo novamente
se inicia. Durante a transição entre a CLC–CLE–CLC, em momentos onde há um
campo de velocidades intenso ou cobertura de nuvens, a CLP pode ter um caráter
neutro. Esta é a Camada Limite Planetária Neutra ou Camada Limite Neutra (CLN).
Figura 3.6: Representação da variação diária da CLP. Adaptado de Stull, 1988.
56
3.2.1 Camada limite convectiva
Devido ao aquecimento da superfície pela incidência de radiação eletromag-
nética de onda curta o solo adiquire uma temperatura maior que a da atmosfera.
Isto estabelece um gradiente vertical de temperatura e, conseqüêntemente, a troca
de energia na forma de calor entre a superfície e a CLP se dá no sentido solo-
atmosfera e então as camadas de ar adjacentes ao solo se tornam menos densas
que as superiores e ascendem criando células de convecção ou termas (com um
caráter instável) estabelendo um escoamento turbulênto na vertical. A turbulência
nesta estrutura particular da CLP é dominantemente convectiva (devido ao forçante
térmico que a suprfície impõe a atmosfera). Quanto mais intensa é a turbulência
mais eficiente é o processo de transporte das camadas inferiores de ar para as
superiores promovendo uma eficiente troca de energia na forma de calor, momen-
tum e matéria entre os níveis inferiores e superiores. Quando este processo é bem
estabelecido uma região homogênea é criada no interior da CLC, a camada de
mistura, caracterizada pelo gradiente vertical nulo de velocidade, temperatura etc.
Além disto, nos primeiros metros, em relação a superfície, existe a influência da tur-
bulência gerada mecanicamente devido ao cisalhamento do campo de vento com o
solo.
3.2.2 Camada limite estável
No final do dia quando desaparece a incidência de radiação eletromagnética
de onda curta na superfície, o gradiante vertical de temperatura se inverte. Nesta
situação a atmosfera torna-se mais quente que a superfície passando a aquecê-la
através da troca de energia na forma de calor. Com isso os níveis inferiores tornam-
se menos aquecidos que os superiores e os movimentos ascendentes das termas
são freados por ação da força de empuxo. A atuação desta força de empuxo torna
a camada estável, ou seja, uma parcela de fluido que por algum motivo é deslo-
cada de baixo para cima (ou de cima para baixo) encontra regiões mais quentes
(mais frias) e portanto menos densas (mais densas) e acaba sendo forçada a des-
cer (subir). Então, o forçante térmico que antes era fonte de instabilidade e por
conseqüência turbulência agora é sumidouro e começa a destruir estas estruturas.
57
A CLE vai aumentando sua altura de domínio conforme este gradiante de tempera-
tura negativo vai se estabelecendo nos níveis mais elevados da CLP. A turbulência
na CLE é dominantemente mecânica. Em regiões onde os ventos noturnos pos-
suem uma velocidade baixa durante a noite a intensidade da turbulência é bastante
reduzida chegando quase a extinção. Uma peculiaridade da turbulência na CLE é o
fenômeno da intermitência que corresponde a uma reorganização do escoamento
gerando picos de intensidade turbulenta durante a evolução desta camada. Outros
fenômenos interessantes que ocorrem na CLE é o meandro do vento e a formação
de jatos de baixos níveis. Em geral a CLE atinge alturas bem menores que a CLC.
3.2.3 Camada limite neutra
Esta camada não tem sua existência caracterizada por períodos apreciáveis na
CLP. Ela ocorre em momentos de transição de estabilidade ou em dias com forte
vento. Sua principal característica é o gradiente vertical de temperatura nulo.
3.2.4 Camada limite residual
A CLR se forma logo após o pôr do sol e é constituida pelo resíduo de turbu-
lência da CLC que persiste nos níveis mais altos da CLP. A turbulência convectiva
nesta camada decai rapidamente (aproximadamente 1h) e há pouca influência da
turbulência gerada na superfície nesta camada.
3.3 Equação da energia cinética turbulenta
A energia cinética turbulenta é a fração da energia cinética do escoamento de-
vido as flutuações de velocidade da partícula de fluido. Qualquer variável ξ pode
ser descrita como a soma de duas partes: uma parte média e uma flutuação.
ξ = ξ + ξ
(3.8)
onde ξ é a parte média e ξ
a flutuação ou variável turbulenta. Pela definição de
58
energia cinética temos:
E
cin
=
1
2
mu
2
i
(3.9)
onde m é a massa da partícula e u
i
é a velocidade da partícula na direção i. Defi-
nindo e como a energia cinética por unidade de massa
e =
E
cin
m
, (3.10)
temos que a energia cinética turbulenta média por unidade de massa é dada por
e
=
1
2
u
2
i
. (3.11)
O princípio da conservação da energia diz que em um sistema isolado
1
a ener-
gia se conserva, então
de
= 0
de
dt
= 0
∂e
∂t
+ u
j
∂e
∂x
j
+
∂u
j
e
∂x
j
= 0 (3.12)
Porém, na camada limite planetária temos influência de forçantes externos como
a radiação solar. Portanto para manter a condição de sistema isolado e garantir a
validade do princípio de conservação da energia precisamos incluir na equação
(3.12) os temos de fonte Ξ e sumidouro β de energia cinética turbulenta. Logo, para
um fluido incompressível
∂e
∂t
= −u
j
∂e
∂x
j
−
∂
u
j
e
∂x
j
+ Ξ + β (3.13)
Os temos de fonte e sumidouro podem ser encontrados matematicamente a
partir da manipulação da equação de Navier-Stokes. A equação da energia cinética
turbulenta com os temos de fonte e sumidouro é dada por
1
Não há troca de energia com o exterior do sistema nem a influência de forças não conservativas.
59
∂e
∂t
I
= −u
j
∂e
∂x
j
II
−
∂
u
j
e
∂x
j
III
+ δ
i3
g
θ
v
u
i
θ
v
IV
−u
i
u
j
∂u
i
∂x
j
V
−
1
ρ
∂
∂x
i
u
i
p
V I
− ε
V II
(3.14)
• Termo I: Variação temporal local da energia cinética turbulenta média;
• Termo II: Transporte advectivo médio de energia cinética turbulenta média;
• Termo III: Transporte turbulento de energia cinética turbulenta média;
• Termo IV: Criação ou destruição de energia cinética turbulenta devido ao fluxo
de energia na forma de calor u
j
θ
v
. Este termo é positivo quando a camada
é convectiva ou instável (geralmente durante o dia). Neste caso é um termo
de produção de energia cinética turbulenta. Quando a camada é estável, ge-
ralmente durante a noite, este fluxo é negativo devido a inversão do gradiente
vertical de temperatura. Este termo no período norturno impõe a CLP um
balanço delicado de energia cinética turbulenta. Por isso, durante a noite a
turbulência é muito menos intensa do que durante o dia.
• Termo V: Produção de energia cinética turbulenta a partir do cisalhamento do
campo de velocidade do vento. Este termo, mesmo com sinal negativo na
equação é termo de produção pois o fluxo de momento u
i
u
j
é sempre contrário
ao gradiente de velocidade, portanto o fluxo é negativo e com isso o termo
torna-se positivo.
• Termo VI: Transporte de energia cinética turbulenta devido as flutuações de
pressão. Este termo esta associado as oscilações no ar criadas pela resultante
da força de empuxo e força gravitacional ou ondas de gravidade.
• Termo VII: Taxa de dissipação de energia cinética turbulenta. Representa a
dissipação de energia cinética turbulenta como energia na forma de calor. Sua
origem é a interação eletromagnética (viscosidade).
Algumas simplificações podem ser feitas na equação (3.14). Considerando a
homogeniedade horizontal da turbulência a soma dos fluxos turbulentos horizontais
é nula e ainda, fazendo uma rotação de coordenadas e alinhando a componente u
do vento com o próprio valor da velocidade média do vento, temos que v e w são
nulas. Assim, reescrevemos a equação (3.14) como:
60
∂e
∂t
= −u
∂e
∂x
−
∂(w
e
)
∂z
+
g
θ
v
w
θ
v
− u
w
∂u
∂x
−
1
ρ
∂
∂z
w
p
− ε (3.15)
Capítulo 4
Dinâmica de fluidos computacional
A dinâmica de fluidos computacional (CFD, do inglês Computational Fluid Dy-
namic) é o estudo de escoamentos através de simulações numéricas. Este tipo
de estudo é empregado tanto no desenvolvimento de pesquisas científicas de base
como no de produtos tecnológicos (SAGAUT, 1998). No que se refere a investiga-
ção de escoamentos complexos, as simulações numéricas nos ajudam a entender,
modelar e prever os diferentes efeitos causados por cada um dos forçantes que
atuam no escoamento. Contudo, este tipo de estudo exige que as simulações nu-
méricas forneçam dados com grande precisão e alta performance o que implica em
uma forte relação entre o modelo físico e o algoritmo implementado para reproduzi-
lo.
A qualidade ou coerência física dos dados gerados pela simulação é extrema-
mente dependente da resolução do modelo. Para uma precisão ótima a simulação
deve ter uma resolução que contemple todas as escalas temporais e espaciais do
escoamento. Quando o intervalo de escalas é muito grande, como no escoamento
turbulento, o problema torna-se complicado uma vez que a razão entre as maiores
e menores escalas tende a um número bastante elevado.
Para inserir todas as escalas espaciais relevantes na simulação de um escoa-
mento turbulento, ou seja, para se realizar uma simulação numérica direta (DNS,
do inglês direct numerical simulation) deve-se considerar os turbilhões mais ener-
géticos, de escala
e
e a microescala de Kolmogorov η. A razão entre essas duas
escalas é diretamente relacionada com o número de Reynolds expressa pela se-
guinte relação(WYNGAARD, 1981)
61
62
e
η
∼ Re
3/4
. (4.1)
Então, a razão entre as escalas aumenta quando o escoamento torna-se mais tur-
bulento. Welter (2006), estimou o número de Reynolds da microescala de Tay-
lor (R
λ
) e a microescala de Kolmogorov para várias séries de dados consecutivas
de CLP. Utilizando uma destas séries com R
λ
= 20975m e η = 0, 53mm, tem-se
R
e
∼ 10
7
. Logo,
e
∼ 100m.
Considerando a hipótese de que a menor escala que contribui para o escoa-
mento turbulento é da ordem de η e utilizando um domínio horizontal de 5km em
cada dimensão e 2km na vertical necessitamos de uma grade tridimensional da or-
dem de 4 × 10
20
pontos. Assim, torna-se inviável a aplicação desta técnica para
simulações de escoamentos com número de Reynolds elevado.
Neste contexto aplica-se a técnica de Simulação dos Grandes Turbilhões (LES,
do inglês large eddy simulation). Esta técnica não resolve completamente o inter-
valo de escalas que compõem o escoamento e sim a parte que contém a maior
porção da energia cinética turbulenta, ou seja, os grandes turbilhões.
4.1 Descrição do escoamento a partir do processo
de médias
Como visto anteriormente, resolver completamente, mesmo que numericamente,
as equações para o campo de velocidade de um escoamento com elevado número
de Reynolds (como o escoamento na CLP) é uma tarefa considerada, atualmente,
impossível. Por isso utiliza-se modelos que resolvem equações médias para o esco-
amento. Antes de definir a natureza do processo de média aplicado às variáveis do
escoamento, escreveremos uma variável qualquer a como a soma da parte média
A é um desvio em relação à media ˘a,
a = A + ˘a (4.2)
Considerando um campo de velocidade descrito em coordenadas retangulares
63
(x, y, z), e aplicando a decomposição acima ao termo não linear do campo de velo-
cidade de um escoamento, temos
u
i
u
j
= (U
i
+ ˘u
i
) (U
j
+ ˘u
j
) (4.3)
u
i
u
j
= U
i
U
j
+ U
i
˘u
j
+ ˘u
i
U
j
+ ˘u
i
˘u
j
(4.4)
Aplicando na equação (4.3) o processo de média sobre ensemble
1
a equação
se reduz a:
u
i
u
j
= U
i
U
j
+ u
i
u
j
(4.5)
já que neste processo a média das flutuações é nula. O operador média sobre
ensemble é representado pela barra acima do termo mediado e as flutuações pelo
símbolo
. Logo o termo não linear, neste processo, é representado pelo produto das
média da velocidade em cada direção e pela média do produto das flutuações, onde
este produto u
i
u
j
é conhecido como tensor de Reynolds, em homenagem a Osborn
Reynolds que o propôs em 1895 (WYNGAARD, 1981), sendo Reynolds um dos
precursores do estudo de escoamentos turbulentos. O processo de média sobre
ensemble, largamente utilizado em mecânica estatística, na mecânica de fluidos é
bastante referenciado como média de Reynolds. Este processo de média descreve
as equações de movimento em função dos campos médios, necessitando assim
de uma resolução numérica muito menos apurada que o DNS, pois se espera que
a resolução de grade seja da ordem de
e
. Todavia este método não descreve os
processos de flutuação intrínsicos ao escoamento turbulento(WYNGAARD, 1981).
Por não fornecer informações sobre os processos de flutuação do escoamento
turbulento, muitas vezes se utiliza outros processos de média. Um deles é o pro-
cesso de média sobre volume. Considerando a compontente i do campo de ve-
locidade descrito em coordenadas retangulares (x, y, z), a operação média sobre
volume da variável u
i
pode ser definida pela seguinte expressão(DEARDORFF,
1973):
1
Considerando um experimento repetido infinitas vezes com as mesmas condições, a média
sobre ensemble corresponde a média aritimética de cada váriavel a(x
i
, t)
64
{u
i
}(x
i
, t) =
1
∆x∆y∆z
z+
1
2
∆z
z−
1
2
∆z
y+
1
2
∆y
y−
1
2
∆y
x+
1
2
∆x
x−
1
2
∆x
u
i
(ξ, η, ζ)dξdηdζ (4.6)
onde { } representa o operador média sobre volume. Este operador aplicado em
um termo não linear do tipo u
i
u
j
é escrito como (WYNGAARD, 1981)
{u
i
u
j
} = {U
i
}{U
j
} + R
ij
(4.7)
onde R
ij
é o termo que representa o tensor generalizado de Reynolds (GIOIA,
2003). Este tensor é definido por
R
ij
= {u
i
{u
j
}} + {{u
i
}u
j
} + {u
i
u
j
} (4.8)
Este tensor contém a interação entre os termos de subfiltro e escala resolvida, os
produtos não lineares dos termos de subfiltro e a influência da escala resolvida
conhecidada como termo de Leonard (WYNGAARD, 1981; MARQUES, 2004).
O processo de média sobre volume e ensemble possuem diferentes proprieda-
des. Uma das mais importantes está diretamente relacionada com a capacidade
de reproduzir as flutuações do escoamento turbulento. O processo de média sobre
ensemble remove completamente as características randômicas da variável medi-
ada, enquanto a média sobre volume não, ou seja, equanto o campo de veloci-
dade u
i
(x
i
, t) é randômico, o campo U
i
não é. O campo descrito em função de
médias de volume {U
i
}(x
i
, t) continua apresentando características aleatórias uma
vez que o volume de controle não engloba todos os possíveis estados da variável
mediada. Conseqüentemente, a média sobre volume converge para uma média
sobre ensemble ao passo em que o volume de controle empregado no processo
de média aumenta. Em termos de escoamentos turbulentos, podemos dizer que a
média de Reynolds remove as características turbulentas do escoamento enquanto
a média sobre volume remove algumas componentes (turbilhões) ou graus de li-
berdade deste escoamento. Os turbilhões removidos são aqueles que possuem
uma escala espacial menor que as dimensões da grade onde é realizada a média.
Assumindo condições estatisticamente estacionárias e homogêneas a média sobre
65
volume corresponde a média sobre ensemble dos turbilhões compreendidos nas
grandes escalas do escoamento (WYNGAARD, 1981).
4.2 Modelo de simulação dos grandes turbilhões
O modelo LES consiste na aplicação do processo de médias sobre volume para
resolver as equações que descrevem um escoamento turbulento. O argumento fí-
sico deste modelo é a separação de escalas de movimento (filtragem); as grandes
escalas
2
que contém a maior parte da ECT e são dependentes do ambiente (gran-
des turbilhões) são separados das pequenas escalas (pequenos turbilhões) nas
quais acredita-se que exista um comportamento universal (GIOIA, 2003).
Os efeitos atribuídos aos pequenos turbilhões estão diretamente ligados a dis-
sipação da ECT, já que nestas escalas a ação das forças de viscosidade é mais
intensa e dominante no escoamento. Esta escala não é resolvida diretamente, mas
parametrizada por um modelo de subfiltro. Já os grandes turbilhões são resolvidos
a partir de médias de volume. Se o volume no qual é realizada a operação de média
for suficientemente pequeno e garantir a separação entre estas escalas o modelo
LES é muito mais preciso para simular escoamentos turbulentos que dependem di-
retamente de características dos forçantes térmicos e mecânicos. Ao contrário dos
modelos baseados em médias sobre volume, os modelos tratados em termos das
médias de Reynolds presentam sérias dificuldades em representar estes detalhes
do escoamento devido à remoção da aleatoriedade.
Segundo Pope (2000), o modelo LES é composto, conceitualmente, por quatro
passos:
(i) Filtragem: a operação de filtragem é definida como a decomposição da veloci-
dade u
i
(x
i
, t) em uma parte filtrada ou resolvida {U
i
}(x
i
, t) e uma parte residual
ou subfiltro u
i
(x
i
, t). O campo de velocidade resolvido {U
i
}(x
i
, t) representa a
solução para a equação de movimento para as grandes escalas (ver figura
4.1).
2
Grandes escalas dentro do escoamento turbulento
66
(ii) Obtenção da equação de movimento: a equação para a evolução para o
campo de velocidade filtrada é obtida a partir da equação de Navier-Stokes.
Esta equação contém o tensor de cisalhamento (tensor residual) que é res-
ponsável por descrever a evolução das pequenas escalas.
(iii) Modelo de subfiltro: o fechamento da equação é obtido através da parametri-
zação do tensor residual através do modelo de subfiltro.
(iv) Resolução numérica: a equação de movimento é resolvida numericamente
para as componentes filtradas {U
i
}(x
i
, t).
Figura 4.1: Representação do gráfico log-log para o espectro de energia cinética
turbulenta S(k) em função do número de onda k. A linha tracejada indica a separação
entre os grandes turbilhões (resolvida) e os pequenos (parametrizada), sendo k
c
o número
de onda de filtro ou corte.
4.2.1 Filtros utilizados em modelos LES
As discussões anteriores mostram claramente que a metodologia LES é ba-
seada na separação de escalas de movimento. As escalas de movimento são
separadas através da aplicação de um filtro de freqüências que elimina as altas
freqüências do escoamento turbulento (filtro passa-baixa). Matematicamente, a fil-
tragem é representada em um espaço físico pela convolução da função filtro G pela
variável a ser filtrada, assim:
67
{f} = G ∗ f (4.9)
Entretanto, muitas vezes, os efeitos da filtragem são mais claros quando se
utiliza uma representação espectral. Utilizando a transformada de Fourier F (k
i
) da
função f(x
i
), definida por
F (k
i
) =
1
2π
+∞
−∞
f(x
i
)e
−ik
i
x
i
dx
i
. (4.10)
Podemos escrever a convolução para F, como
{F } =
ˆ
G ∗ F (4.11)
onde
ˆ
G é a função de transferência associada a G. A operação de filtragem apre-
senta algumas propriedades (POPE, 2000)(GIOIA, 2003):
1. As constantes envolvidas no processo de média se conservam:
{a} = a ⇔
V
G(x
i
− x
i
, t)dx
i
= 1 (4.12)
2. O Princípio de Superposição Linear é válido:
{f + g} = {f} + {g} (4.13)
3. A comutação do operador derivada parcial temporal é válida:
∂f
∂t
=
∂
∂t
{f} (4.14)
4. Relação entre derivadas espaciais é dada pela seguinte expressão
∂
∂x
i
{f} =
∂f
∂x
i
+
V
f(x
i
− x
i
, t)
∂
∂x
i
G(x
i
− x
i
, t)dx
i
(4.15)
Se o filtro for isotrópico e homogêneo:
∂
∂x
i
G(x
i
− x
i
, t)dx
i
= 0 (4.16)
∂
∂x
i
{f} =
∂f
∂x
i
(4.17)
Logo, para filtros deste tipo a operação derivada parcial espacial também co-
muta.
68
Em modelos LES, existem três tipos de filtro que são normalmente utilizados
para realizar a separação de escalas. O filtro do tipo box, gaussiano e top hat.
Filtro tipo box: a função filtro G assume um valor constante e não nulo para
um determinado intervalo de freqüências e nulo para o resto do dominínio de
filtragem:
G
i
(x
i
− x
i
, t) =
∆
−1
, se |x
i
− x
i
| ≤ 0, 5∆
0, se |x
i
− x
i
| > 0, 5∆
(4.18)
onde ∆ é a largura do filtro.
Filtro Gaussiano: A função filtro é expressa por uma distribuição gaussiana.
G
i
(x
i
− x
i
, t) =
γ
π∆
2
1/2
exp
−
γ/∆
2
(x
i
− x
i
, t)
2
(4.19)
onde a constante γ é geralmente da ordem de 6 e a variância da distribuição
gaussiana é dada por(GIOIA, 2003):
σ
2
=
1
12
∆
2
(4.20)
Filtro top hat: Neste filtro a função G assume o valor nulo para os turbilhões
com número de onda (ou freqüência) maiores que o número de onda de corte
k
c
, definido como
k
c
=
π
∆
(4.21)
e a função filtro é dada por
G
i
(x
i
− x
i
, t) =
2 sin [k
c
(x
i
− x
i
) ]
π (x
i
− x
i
)
(4.22)
A figura 4.2 esboça o comportamento de cada função filtro descrita anterior-
mente em um espaço físico e de números de onda.
69
Figura 4.2: Comportamento das funções filtro tipo caixa (pontilhado), guassiana (linha
cheia) e filtro agudo (tracejado). A figura 4.2(a) mostra o comportamento em um espaço
físico e a 4.2(b) em um espaço de números de onda, sendo que em (a) é a própria função
G e em (b) a função de transferência
ˆ
G associada a função filtro. Adaptado de Gioia
(2003).
4.2.2 Modelo LES de Moeng (1984)
O modelo LES de Moeng (1984) é um dos mais utilizados pela comunidade
científica para o estudo da CLP. Este modelo emprega o método pseudo-espectral
para resolver numericamente as derivadas espaciais horizontais. Para as derivadas
espaciais verticais o método de diferenças finitas(SULLIVAN; MCWILLIAMS; MO-
ENG, 1994; MARQUES, 2004; GIOIA, 2003; RIZZA et al., 2006; DEGRAZIA et al.,
2007).
4.2.2.1 Esquema numérico
A escolha do esquema numérico deste modelo é baseada no comportamento
da turbulência na CLP. Em relação à homegenidade, a turbulência atmosférica apre-
senta um comportamento totalmente diferente na horizontal e vertical. A quase ho-
mogenidade em todos os planos horizontais possibilita a aplicação de condições de
contorno periódicas nas direções x e y. Por outro lado, na vertical, a presença de
fontes e sumidouros de turbulência distribuidos de forma não uniforme implica em
uma não homogenidade vertical (GIOIA, 2003). Desta forma, um esquema misto de
70
expansão em séries de Fourier, utilizada nas componentes horizontais, e diferenças
finitas na vertical é apropriado para a discretização das equações de movimento.
A formulação matemática do modelo pseudo-espectral foi desenvolvido por Fox
e Orzag (1973) . Esta formulação permite calcular as derivadas de qualquer ordem
no plano horizontal do modelo, por exemplo a derivada da componente v na direção
y, levando esta dimensão para um espaço de Fourier (GIOIA, 2003),
{ˆv}(x, k
m
, z) =
1
N
N
n=1
{v}(x, y
n
, z)e
−ik
m
y
n
(4.23)
A derivada de {v} em relação a y é dada por
∂{v}
∂y
n
=
N/2
m=−(N/2)+1
ik
m
{ˆv}(x, k
m
, z)e
−ik
m
y
n
(4.24)
onde N é o número total de pontos no plano, n é o ponto onde está sendo realizada
a transformada, e k
m
é o número de onda dado por
k
m
= 2π
m
N
1
∆y
(4.25)
O avanço dos campos tridimensionais no tempo é realizado através da apli-
cação do esquema numérico explícito de terceira ordem – Runge-kuta (RK3). A
estabilidade numérica é verificada a cada interação temporal n do modelo, através
de um parâmetro cfl (Número de Courant-Friedrich-Levy). Neste modelo LES o
número cfl = 0, 6. Este esquema temporal implica em um passo de tempo ∆t va-
riável durante a simulção, pois se torna dependente do campo de velocidade e da
estabilidade da camada.
∆t = cfl
∆x
i
max(u
i
)
(4.26)
4.2.2.2 Condições de contorno
Condições de contorno laterais:
71
O uso do método pseudo-spectral nas componentes horizontais do modelo im-
põe condições de contorno periódicas, ou seja, os valores obtidos na borda de fuga
do modelo são utilizados como entrada no outro lado do domínio do plano x − y.
Esta condição facilita o processo computacional pois elimina o problema das bordas
laterais mal definidas. Todavia ele é apropriado somente para condições de terreno
homogêneo.
Condições de contorno inferior:
A borda inferior, ou contorno de superfície, no modelo LES é uma interface
rígida onde a velocidade vertical é nula. A conexão entre os dados de superfície,
que são utilizados como forçante no modelo, e o primeiro ponto da grade numérica é
realizada através da teoria de similaridade de Monin-Obukov, através das relações
(STULL, 1988):
∂V
s
∂z
=
u
∗
φ
m
kz
(4.27)
∂θ
∂z
=
θ
∗
φ
h
kz
(4.28)
onde V
s
é a velocidade do escoamento dada por V
s
=
√
u
2
+ v
2
, θ é a temperatura
potencial, u
∗
a velocidade de fricção, θ
∗
é a escala de temperatura superficial, φ
m
a função de estabilidade mecânica de Monin-Obukov, φ
h
a função de estabilidade
térmica de Monin-Obukov, k é a constante de von karman e z é a altura em relação
a superfície.
Condições de contorno superior:
As condições de contorno superior impõem velocidade vertical média nula, flu-
xos de subgrade nulos, barotropia e gradiente linear de temperatura potencial. Isto
significa que não há variação da velocidade entre os dois últimos pontos verticais
da grade e a variação de temperatura é linear. Matematicamente, definimos estas
condições da seguinte maneira
72
∂V
s
∂z
= 0 (4.29)
∂θ
∂z
= γ (4.30)
{W } = 0 (4.31)
Este tipo de condição de contorno não permite a transmissão de ondas de gra-
vidade que podem ser geradas em uma camada estável. Desta forma, para que
esta condição artificial não se propague para o restante do dominínio durante a si-
mulação, a condição de contorno superior é estabelecida bem acima do topo da
camada limite planetária simulada (MARQUES, 2004)(GIOIA, 2003).
4.2.2.3 Equações para as escalas resolvidas
As equações da escala resolvida neste modelo LES são obtidas a partir da
equação de Navier-Stokes, que utilizando a notação do somátorio de índices é ex-
pressa pela equação (4.32)
∂u
i
∂t
+ u
j
∂u
i
∂x
j
= −
1
ρ
∂p
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
u
k
+ ν
∂
2
u
i
∂x
2
j
(4.32)
Assumindo-se a hipótese de fluido incompressível, temos
ρ = cte
∂u
j
∂x
j
= 0
u
i
∂u
j
∂x
j
= 0 (4.33)
assim, podemo somar a expressão (4.33) ao lado esquerdo da equação (4.32) sem
alterar a igualdade,
∂u
i
∂t
+ u
j
∂u
i
∂x
j
+ u
i
∂u
j
∂x
j
= −
1
ρ
∂p
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
u
k
+ ν
∂
2
u
i
∂x
2
j
∂u
i
∂t
+
∂
∂x
j
(u
i
u
j
) = −
1
ρ
∂p
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
u
k
+ ν
∂
2
u
i
∂x
2
j
(4.34)
73
Por se tratar de um escoamento turbulento, a difusividade molecular é despre-
zível quando comparada à turbulenta, logo podemos considerar ν ≈ 0.
∂u
i
∂t
+
∂
∂x
j
(u
i
u
j
) = −
1
ρ
∂p
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
u
k
(4.35)
Aplicando-se o operador média sobre volume em todos os termos da equação
(4.35), resulta
∂{u
i
}
∂t
+
∂
∂x
j
{u
i
u
j
} = −
1
ρ
∂{p}
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
} (4.36)
O termo não linear pode ser substituido pela equação (4.7), onde o tensor R
ij
pode ser escrito como
R
ij
= τ
ij
+
1
3
R
αα
δ
ij
(4.37)
onde τ
ij
é o tensor de Reynolds diretamente relacionado ao fluxo cinemático turbu-
lento de momento de subgrade e R
kk
os termos da diogonal principal do tensor R
ij
.
Desta forma, o termo não linear é dado por
u
i
u
j
= {U
i
}{U
j
} + τ
ij
+
1
3
R
αα
δ
ij
(4.38)
Substituindo-se (4.38) em (4.36), temos
∂{u
i
}
∂t
+
∂
∂x
j
{{U
i
}{U
j
} + τ
ij
+
1
3
R
αα
δ
ij
} = −
1
ρ
∂{p}
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
}
∂{u
i
}
∂t
+
∂
∂x
j
{{U
i
}{U
j
}} +
∂τ
ij
∂x
j
+
1
3
∂R
αα
∂x
i
= −
1
ρ
∂{p}
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
}
∂{u
i
}
∂t
+ {{U
j
}
∂{U
i
}
∂x
j
} + {{U
i
}
∂{U
j
}
∂x
j
} +
∂τ
ij
∂x
j
+
1
3
∂R
αα
∂x
i
=
−
1
ρ
∂{p}
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
} (4.39)
74
Na equação (4.39) podemos simplificar o lado esquerdo da igualdade já que
por assumir a incompressibilidade do fluido, a terceira parcela deste termo é nula.
Além disto, podemos aplicar as propriedades do cálculo vetorial e escrever o termo
de advecção da seguinte maneira
u
j
∂u
i
∂x
j
= −ε
ijk
u
j
ε
kij
∂
∂x
i
u
j
k
+
1
2
∂u
2
α
∂x
j
δ
ij
u
j
∂u
i
∂x
j
= ε
ikj
ε
kij
∂
∂x
i
u
j
k
u
j
+
1
2
∂u
2
α
∂x
i
u
j
∂u
i
∂x
j
= ε
ikj
ζ
k
u
j
+
1
2
∂u
2
α
∂x
i
(4.40)
onde ζ é a vorticidade do campo de velocidade do escoamento. Realizando a
substituição de (4.40) na equação (4.39), temos
∂{u
i
}
∂t
+ ε
ikj
{{ζ
k
}{U
j
}} +
1
2
∂{u
2
α
}
∂x
i
+
∂τ
ij
∂x
j
+
1
3
∂R
αα
∂x
i
= −
1
ρ
∂{p}
∂x
i
+g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
} (4.41)
O termo de pressão da equação (4.41) pode ser separado em duas partes:
{p} = {p
∗
} + P
∗
, onde {p
∗
} representa pressão hidrostática na escala resolvida e
P
∗
a média espacial da pressão hidrostática relacionada a pressão exercida pelo
escoamento de escala sinótica na micro escala. Logo, o gradiente de P
∗
pode
ser representado pelo vento geostrófico, e este termo corresponde a um forçante
no modelo LES. Substituindo-se a decomposição de pressão na equação (4.41),
obtem-se
∂{u
i
}
∂t
+ ε
ikj
{{ζ
k
}{U
j
}} +
1
2
∂{u
2
α
}
∂x
i
+
∂τ
ij
∂x
j
+
1
3
∂R
αα
∂x
i
= −
1
ρ
∂{p}
∗
∂x
i
−
1
ρ
∂P
∗
∂x
i
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
} (4.42)
O gradiente horizontal de P
∗
pode ser representado pela aproximação geostró-
fica. Deste modo, agrupando os demais termos derivados em relação a x
i
, ficamos
75
com a seguinte equação:
∂{u
i
}
∂t
= −ε
ikj
{{ζ
k
}{U
j
}} −
∂
∂x
i
{u
2
α
}
2
+
R
αα
3
+
{p}
∗
ρ
−
∂τ
ij
∂x
j
− fU
gj
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
} (4.43)
onde f é o parametro de Coriolis e U
gj
a j-esima componente do vento geostrófico.
O termo entre parenteses é definido como a pressão modificada Π e representa o
efeito dinâmico da turbulência sobre o campo de pressão na escala resolvida. Se
não houvesse escoamento, a pressão modificada seria igual a pressão hidrostática.
A presença do termo de vento geostrófico indica que o forçante externo do modelo
induz à convergência para um estado de equilíbrio geostrófico (MARQUES, 2004).
Substituindo-se a definição de Π, temos
∂{u
i
}
∂t
= −ε
ikj
{{ζ
k
}{U
j
}} −
∂Π
∂x
i
−
∂τ
ij
∂x
j
− fU
gj
+ g
i
− 2ε
ijk
Ω
j
{u
k
} (4.44)
Esta é a principal equação do modelo LES de Moeng. Dela são derivadas as
equações para cada componente da velocidade do escoamento. Para as compo-
nentes horizontais, u e v, temos:
∂{u}
∂t
= {{ζ
z
}{V }} − {{ζ
y
}{W }} −
∂Π
∂x
−
∂τ
uu
∂x
−
∂τ
uv
∂y
−
∂τ
uw
∂z
− f(V
g
+ {v})(4.45)
∂{v}
∂t
= {{ζ
x
}{W }} − {{ζ
x
}{U}} −
∂Π
∂y
−
∂τ
vu
∂x
−
∂τ
vv
∂y
−
∂τ
vw
∂z
+ f(U
g
− {u})(4.46)
A equação para a velocidade vertical inclui a aproximação de Boussinesq e
impõe a condição de velocidade vertical mediada na horizontal nula, dada por:
∂{w}
∂t
= {{ζ
y
}{U}} − {{ζ
x
}{V }} +
{θ}
θ
o
g −
∂Π
∂z
−
∂τ
wu
∂x
−
∂τ
wv
∂y
−
∂τ
ww
∂z
−
∂{w}
∂t
(4.47)
onde θ é a temperatura potencial e θ
o
a temperatura potencial de referência. Na
equação (4.47) o que garante a condição de velocidade média vertical nula e tam-
76
bém a aceleração vertical média nula é a ultima parcela do segundo termo da equa-
ção, mantendo assim o equilíbrio hidrostático (MARQUES, 2004)(DEARDORFF,
1972).
Para resolver o campo de pressão modificado utiliza-se a equação de Poisson
(MOENG, 1984):
∇
2
Π =
∂H
x
∂x
+
∂H
y
∂y
+
∂H
z
∂z
(4.48)
onde H
x
, H
y
, e H
z
são obtidos das equações (4.45), (4.46) e (4.47), respectiva-
mente, através da soma das parcelas do lado direito de cada equação, exceto os
gradientes de pressão modificada (MOENG, 1984).
A equação que torna este sistema de quações um sistema fechado é a equa-
ção de conservação da temperatura potencial, dada por (MARQUES, 2004)(GIOIA,
2003)
∂{θ}
∂t
= −{{U}
∂{θ}
∂x
} − {{V }
∂{θ}
∂y
} − {{W }
∂{θ}
∂z
} − {w}
∂θ
o
∂z
−
∂τ
θu
∂x
−
∂τ
θv
∂y
−
∂τ
θw
∂z
(4.49)
onde τ
θj
representa o fluxo cinemático turbulento de energia na forma de calor sen-
sível de subfiltro.
Os tensores τ
ij
e τ
θj
são desconhecidos e devem ser parametrizados pelo mo-
delo LES. A parametrização destes termos é realizada através de um modelo de
subgrade ou subfiltro. Nestes termos estão as grandes incertezas do modelo LES,
principalmente em regiões próximas a superfície e camada de entranhamento onde
os turbilhões menores são dominantes.
4.2.2.4 Modelo de subfiltro
O modelo de subfiltro tem como objetivo parametrizar os tensores τ
ij
e τ
θj
pre-
sentes nas equações do modelo LES. Estes tensores estão relacionados com a
escala resolvida através dos coeficientes de difusividade turbulenta, obtidos a partir
do modelo de viscosidade de Smagorinsky (1963) (MARQUES, 2004).
77
O modelo de viscosidade de Smagorinsky é um modelo não linear que impõe
um equilíbrio local entre a produção mecânica de energia cinética turbulenta (ECT)
e a dissipação viscosa. Além disto, supõe uma cascata de transferência onde a
energia passa dos grandes turbilhões para os de menor estrutura. Porém, condi-
ções convectivas, o principal forçante da CLP é o térmico, o que torna o modelo
de Smagorinsky pouco eficaz neste caso. Adicionalmente, próximo a superfície, o
cisalhamento do campo de velocidade induz a uma quebra na isotropia das flutu-
ações de velocidade, fazendo com que os turbilhões dominantes no escoamento,
nesta região, sejam menores. Assim, estes fatores comprometem a capacidade do
modelo LES em reproduzir o escoamento turbulento na camada superficial.
Tendo em vista esses problemas fenomenológicos e baseando-se na descri-
ção estatística da turbulência, Sullivan et. al. (1994) propuseram um modelo de
subgrade. Neste modelo o tensor de cisalhamento é dividido em dois termos: um
isotrópico – dependente da flutuação do tensor de deformação do escoamento e
um termo não homogêneo relacionado com a média espacial horizontal do tensor
de deformação. Este modelo de subgrade também garante o perfil log-linear da
velocidade do vento junto a superfície e satisfaz a teoria de similaridade de Monin-
Obukov.
Os tensores que representam os fluxos cinemáticos turbulentos de momento e
de energia na forma de calor de subgrade são dados respectivamente por (SULLI-
VAN; MCWILLIAMS; MOENG, 1994)
τ
ij
= −2K
M
γS
ij
− 2K
M
S
ij
(4.50)
τ
θj
= −K
H
∂{θ}
∂x
j
(4.51)
onde { } representa o operador média sobre volume, o operador média espacial
horizontal, K
M
é o coeficiente de difusividade turbulenta de momento isotropico,
K
M
é o coeficiente de difusividade turbulenta de momento não homogêneo, K
H
é
o coeficiente de difusividade turbulenta de energia na forma de calor, γ é o fator de
isotropia e S
ij
é o tensor de deformação do escoamento, sendo este definido por
78
S
ij
=
1
2
∂{u
i
}
∂x
j
+
∂{u
j
}
∂x
i
(4.52)
e o fator de isotropia é dado por
γ =
(S
ij
− S
ij
)
2
(S
ij
− S
ij
)
2
+ S
ij
2
1/2
(4.53)
O fator de isotropia é definido como a razão entre a taxa de estiramento dos
vórtices de pequena e grande escala. Próximo ao contorno inferior, o fator de iso-
tropia tente a zero enquanto nas regiões superiores da CLP tente a um (SULLIVAN;
MCWILLIAMS; MOENG, 1994; GIOIA, 2003).
Os coeficientes de difusividade turbulenta são dados pelas seguintes expres-
sões:
K
M
= c
k
√
e
(4.54)
K
H
=
1 + 2
∆
K
M
(4.55)
onde e
é a energia cinética turbulenta associada à subgrade e c
k
uma constante
cujo o valor, neste modelo é 0, 1 (MOENG, 1984), ∆ é o espaçamento médio da
grade dado por ∆ = (∆x∆y∆z)
1/3
e é a escala de comprimento de mistura de
subgrade. De acordo com Deardorff (1980), para contemplar os efeitos da esta-
bilidade local da camada, é definido como o valor mínimo entre duas escalas
(MOENG, 1984; MARQUES, 2004)
= min
0, 76
√
e
g
θ
o
∂{θ}
∂z
−1/2
; ∆
(4.56)
onde a primeira escala esta relacionada com a freqüência de Brünt-Vaisäla. Em
condições bastante estáveis K
H
≈ K
M
e em condições convectivas K
H
= 3K
M
.
Para uma CLP homogênea na horizontal, a parte não homogênea do coeficiente de
difusão de momento é dado por
79
K
M
= (c
k
)
2
∂ {u}
∂z
2
+
∂ {v}
∂z
2
1/2
(4.57)
A energia cinética turbulenta na escala de subgrade é calculada a partir da
seguinte equação
∂e
∂t
= −{u
j
}
∂e
∂x
j
− {u
i
u
j
}
∂{u
j
}
∂x
j
+
g
θ
o
{w
θ
} −
∂
∂x
i
−2K
M
∂e
∂x
i
− ε (4.58)
onde ε é a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta, dada por (MOENG,
1984)
ε = c
ε
(e
)
3/2
(4.59)
e c
ε
= 0, 19 + 0, 74(/∆).
Contudo, estudos realizados em laboratório e com simulações DNS mostram
que o processo de transferência de energia cinética turbulenta nos pequenos tur-
bilhões também ocorre dos menores para os maiores turbilhões (cascata inversa).
Assim, os modelos de subgrade ainda precisam de muito aprimoramento para re-
presentar fidedignamente a turbulência próxima a superfície do escoamento (MAR-
QUES, 2004).
Capítulo 5
Experimento Numérico
Para a realização do experimento numérico utilizando o modelo LES foram em-
pregados dados experimentais do projeto Candiota 2007, realizado pelo Laboratório
de Micrometeorologia da UFSM na cidade de Candiota, RS. O experimento consiste
na simulação do ciclo diário da CLP, totalizando, aproximadamente, 28h simuladas.
O dia escolhido para o início do experimento numérico foi 30 de setembro de 2007,
às 8h da manhã (local). Este dia foi escolhido devido à ausência de nebulosidade e
de forçante sinótica evidente – crista
1
, cavado, frente fria – sobre a região de inte-
resse e à presença de condições de umidade relativa abaixo dos 100%. A ausência
de nebulosidade é uma condição necessária já que o modelo LES de Moeng (1984)
não resolve e nem mesmo parametriza a cobertura de nuvens na CLP. A ausência
de nuvens pode ser constatada a partir da figura 5.1 que mostra a radiação glo-
bal medida no sítio experimental nos dias escolhidos para o experimento numérico
e também pela figura 5.2 que mostra as condições do tempo (através do código
synop) na região em um horário representativo para o período como um todo
A ausência das forçantes sinóticas citadas anteriormente se faz necessária pois,
na presença de uma frente fria, por exemplo, a forçante externa ao modelo LES (a
saber, o vento geostrófico) deixa de ser uma aproximação válida, mesmo para os
niveis superiores da atmosfera. Para avaliar a condição sinótica foram consultadas
imagens de satélite (GOES-12) e cartas sinóticas de superfície, apresentadas nas
figuras 5.3 e 5.4, respectivamente.
1
A presença de uma crista geralmente está associada a condições de bom tempo, porém neste
caso não são desejáveis pela curvatura acentuada nas isóbaras.
80
81
Figura 5.1: Dados experimentais de fluxo de radiação global incidente medido entre 30
de setembro e 1º de outubro em Candiota-RS.
As figuras 5.3 e 5.4 mostram que há uma região de alta pressão sobre o Rio
Grande do Sul, associada a uma massa de ar frio e que não há presença de sis-
temas precipitantes ou curvaturas muito acentuadas nas isóbaras, garantindo uma
melhor representação da escala sinótica, no modelo LES, pelo vento geostrófico
(HOLTON, 1992).
A necessidade de umidade relativa inferior a 100% durante o experimento nu-
mérico surge devido ao fato do modelo LES de Moeng (1984) não resolver nem
parametrizar mundaças de fase da água na atmosfera. Portanto, neste experimento
numérico, o vapor d’água é tratado como um escalar passivo. Os dados de umidade
relativa medidos em Candiota, durante o experimento Candiota 2007 apontam para
valores menores que 100%, conforme figura 5.5.
O domínio de simulação corresponde a uma caixa medindo 4km nos eixos hori-
zontais x −y e 2km na vertical. A discretização do domínio corrsponde a uma grade
númerica de 128 pontos em cada um dos eixos horizontais e 192 pontos na vertical.
O espaçamento de grade é o quociente entre o tamanho do domínio e o número de
pontos em uma dada direção. Para esta simulação temos: ∆x = ∆y = 31, 25m e
∆z ≈ 10, 42m. A simulação do ciclo diário da CLP utilizando o modelo LES de Mo-
82
Figura 5.2: Mapa sinótico contendo a plotagem das observações synop evidenciando as
condições de tempo reinantes sobre o sudeste da América do Sul às 12Z (9h local) do dia
30 de setembro de 2007. O retangulo sobre o Rio Grande do Sul destaca a região de
Candiota. A informação em destaque na carta é referente ao aeródromo de Bagé - RS
(cidade vizinha à Candiota). Fonte: sítio na internet do CPTEC - Centro de Previsão de
Tempo e Estudos Climáticos
eng (1984) foi realizanda em um cluster com 8 nós de processamento. A simulação
utilizou um tempo computacional de 360 horas (aproximadamente) sendo gerados
em torno de 50Gb de dados. O passo de tempo da simulação é variável e depende
das características do escoamento. O gráfico da figura 5.6 mostra a variação do
passo de tempo ∆t em função do número de interações.
83
Figura 5.3: Imagem do satélite GOES 12 – canal do infravermelho (IR4) – das 8h do dia
30/09/2007 horário local. O retangulo sobre o Rio Grande do Sul destaca a região de
Candiota. Fonte: Acervo de imagens do GruMA – Grupo de Modelagem Atmosférica de
Santa Maria.
84
Figura 5.4: Carta sinótica de superfície às 12Z (9h local) do dia 30 de setembro de 2007.
Fonte: sítio na internet da Marinha do Brasil (http://www.mar.mil.br)
85
Figura 5.5: Dados experimentais de umidade relativa medida entre 30 de setembro e 1º
de outubro em Candiota-RS.
Figura 5.6: Variação do passo de tempo ∆t durante a simulação do ciclo diário da CLP.
86
5.1 Condições iniciais
Como qualquer modelo numérico, o LES de Moeng (1984) necessita de condi-
ções iniciais para a simulação. Esta condição inicial inclui perfis verticais de veloci-
dade do vento, temperatura potencial e umidade específica, bem como parametros
da CLP: velocidade de fricção (u
∗
), fluxo de energia na forma de calor na super-
fície (w
θ
) e a altura da camada (z
i
). Os valores de u
∗
e w
θ
foram obtidos de
dados experimentais. Neste trabalho, utilizou-se o valor inicial de u
∗
= 0.56ms
−1
e w
θ
= 0.053Kms
−1
. O valor de zi bem como os perfis verticais de tempera-
tura, umidade específica e velocidade do vento não puderam ser estimados a partir
de medidas devido a falta de sondagens verticais em todo o perfil da CLP. Desta
forma, foram utilizados perfis extraídos do modelo BRAMS – Brazilian Regional
Atmospheric Modeling System. O BRAMS é um modelo de escala regional, larga-
mente utilizado no Brasil para previsão de tempo. O valor de altura inicial da CLP
empregado foi de zi ≈ 196m. Portanto, as condições iniciais para a simulação LES
foram obtidas em parte de dados experimentais e parte de um modelo regional de
previsão do tempo. A figura 5.7 mostra os perfis inicias de temperatura potencial e
umidade relativa utilizados na inicialização do modelo, já a figura 5.8 mostra o perfil
das duas componentes do vento – u e v e o módulo da velocidade do vento dado
por M =
√
u
2
+ v
2
.
Figura 5.7: Perfis iniciais de temperatura
potencial e umidade específica obtidos a
partir do modelo BRAMS
Figura 5.8: Perfis iniciais das
componentes e velocidade do vento
obtidos a partir do modelo BRAMS.
87
5.2 Forçantes superficiais
Para realizar a simulação, o modelo LES de Moeng (1984) utiliza valores de
fluxo de energia na forma de calor ou temperatura, ambos em superfície para forçar
o primeiro nível do modelo através da teoria de similaridade de Monin-Obukov. O
mesmo ocorre para a umidade. Neste trabalho utilizou-se os dados de temperatura
e umidade específica medidos a 20cm do solo com taxa de aquisição de 1hz. Estes
dados foram tratatos através de um processo de média móvel de 30min com um
passo de tempo de 3min a cada janela.
Os dados de superfície foram introduzidos no modelo LES através de uma fun-
ção do tempo (T = T (t) e q = q(t)). As funções que descrevem as variações de
temperatura e umidade específica no tempo foram obtidos a partir da interpolação
polinomial da série de dados de cada uma das variáveis. A figura 5.9 apresenta os
gráficos da temperatura e umidade específica de superfície.
Figura 5.9: Dados experimentais de temperatura da superfície e umidade relativa
interpolados e incorporados ao modelo LES como forçantes de superfície. As linhas
indicam a função interpoladora e as marcas em forma de ’x’ e ’+’ o valor experimental de
cada um dos forçantes.
88
5.3 Comparação entre LES e observações de super-
fície
Para realizar a comparação entre a saída do modelo LES e os dados de su-
perfície foi utilizado o primeiro ponto da grade vertical do modelo (que está a uma
altura z
1
≈ 10, 4m) e os dados medidos por uma torre micrometeorológica com ins-
trumentos operando na freqüência de 10 e 1hz a uma altura de 10m. É importante
salientar que os pontos mais próximos da superfície, no modelo LES, são os mais
complicados de se analisar visto que nesta região o número de onda de corte do
filtro do modelo é da ordem do número de onda do máximo espectral.
Neste trabalho foram comparados a evolução das variáveis médias, fluxos turbu-
lentos e parâmetros que descrevem a estabilidade da CLP. Os dados experimentais
foram tratados a partir de médias temporais de 30min com um passo de tempo de
3min a cada janela. Já os dados do modelo LES correspondem a média espacial
do primeiro plano horizontal a cada interação temporal realizada na simulação.
De maneira geral, o modelo LES obteve uma boa reprodução das variáveis de
superfície. As figuras 5.10 e 5.11 apresentam os gráficos com os dados do modelo
LES e medidas experimentais de temperatura e fluxo de energia na forma de calor.
A temperatura simulada pelo modelo LES apresenta uma evolução defasada em re-
lação aos dados observados. Esta defasagem pode estar relacionada com a pouca
eficiência do processo de randomização do escoamento durante a inicialização do
modelo. O fluxo turbulento de energia na forma de calor modelado não apresenta
os picos que os dados experimentais apontam, além de apresentar uma magnitude
inferior aos valores medidos no período diurno da simulação. As figuras 5.12 5.13
mostram a evolução da umidade específica e o fluxo turbulento vertical desta variá-
vel, respectivamente. A umidade específica simulada pelo modelo LES apresenta
durante o período de simulação valores menores do que os resultados experimen-
tais. O modelo LES de Moeng (1984) não possui parametrizações para a umidade
e esta variável é tratada como um escalar passivo, porém na atmosfera o vapor
d’água é um dos principais constituintes e fonte de liberação ou absorção de gran-
des quantidades de energia na forma de calor latente. Portanto, ignorar as trocas
89
de fase que ocorrem com a água presente na atmosfera é uma das fontes de erro
dos resultados obtidos por este modelo. O fluxo turbulento de umidade específica
apresenta uma boa relação com os resultados obtidos experimentalmente.
Figura 5.10: Evolução da temperatura
potencial virtual – comparação entre LES e
dados experimentais de superfície.
Figura 5.11: Fluxo de energia na forma
de calor – comparação entre LES e dados
experimentais de superfície.
Figura 5.12: Evolução da umidade
específica – comparação entre LES e
dados experimentais de superfície.
Figura 5.13: Evolução do fluxo turbulento
de umidade específica – comparação entre
LES e dados experimentais de superfície.
Os gráficos apresentados nas figuras 5.14 e 5.15 exibem, respectivamente, a
comparação entre o módulo da velocidade e a velocidade de fricção. O modelo LES,
durante o período noturno da simulação, apresenta valores mais baixos de veloci-
dade do que apontam os dados experimentais. O mesmo ocorre com a velocidade
de fricção pois estas duas variáveis são diretamente relacionadas. Isto mostra que
o LES apresenta uma maior dificuldade em reproduzir a turbulência mecânica do
que a convectiva. Isto é, de certa forma, esperado já que os turbilhões associados
a turbulência mecânica são menores que os turbilhões associados a convecção.
Nas figuras 5.16 e 5.17 são apresentados, respectivamente, a evolução tempo-
90
Figura 5.14: Evolução do módulo da
velocidade do vento – comparação entre
LES e dados experimentais de superfície.
Figura 5.15: Evolução da velocidade de
fricção – comparação entre LES e dados
experimentais de superfície.
ral de z/L e do número de Richardson (fluxo) R
f
dado por (STULL, 1988)
R
f
=
g
θ
v
w
θ
v
u
i
u
j
∂U
i
∂x
j
(5.1)
Estes dois parâmetros descrevem a condição de estabilidade da CLP, sendo am-
bos uma razão entre os forçantes térmicos e mecânicos da turbulência. Para a
parte convectiva da simulação, quando confrontados os resultados simulados com
os obtidos a partir de medições ambas as variáveis apresentadas nos gráficos re-
produzem bem a condição de estabilidade da CLP. A maior discrepância ocorre no
período noturno onde o modelo LES impõe um caráter muito mais estável que o
apresentado pelos dados experimentais, apontando novamente a falta de precisão
do modelo LES em representar a camada limite noturna com a resolução utilizada.
É interessante observar que, em torno das 4h da manhã (horário local) há um pico
de estabilidade na CLP que pode ser notado também nos gráficos de velocidade e
velocidade de fricção.
A figura 5.18 apresenta a evolução da energia cinética turbulenta (ECT) na CLP.
Neste gráfico fica claro o problema associado a inicialização do modelo LES. O
processo de randomização dos perfis iniciais de velocidade do vento, temperatura
e umidade, não é eficaz em reproduzir um escoamento com características seme-
lhantes a um escoamento turbulento. Desta forma a simulação parte de um valor
muito baixo de ECT que vai aumentando gradativamente enquanto o escoamento
91
Figura 5.16: Evolução de z/L –
comparação entre LES e dados
experimentais de superfície.
Figura 5.17: Evolução do número de
Richardson – comparação entre LES e
dados experimentais de superfície.
simulado converge para um escoamento turbulento próximo da realidade. Outro
problema que pode ser identificado neste gráfico é o forte amortecimento dos graus
de liberdade do escoamento turbulento enquanto a camada convectiva decai para
uma camada estável. O valor da ECT no período noturno fica muito abaixo do es-
perado, exceto próximo das 4h da manhã quando ocorre um pico de estabilidade
na CLP.
A evolução da altura da CLP é mostrada no gráfico da figura 5.19. Não existem
dados experimentais para comparar a altura da camada simulada.
Figura 5.18: Evolução da energia cinética
turbulenta – comparação entre LES e
dados experimentais de superfície.
Figura 5.19: Evolução da altura da CLP.
Por falta de dados experimentais não há
comparação com dados observados.
92
5.4 Perfis verticais
Estudos experimentais que descrevam o perfil vertical das variáveis na CLP são
bastante complicados e geralmente de alto custo. Uma das grandes vantagens do
modelo LES é que podemos investigar, com uma boa confiabilidade, a estrutura
vertical da CLP. O experimento Candiota 2007 não contava com sondagens ver-
ticais, por isso não há como comparar os resultados desta simulação com perfis
experimentais. Entretanto, Basu et. al (2008) publicaram um artigo comparando os
resultados de uma simulação LES com o experimento de Wangara. Utilizaremos
este artigo para comparar (de forma qualitativa) os resultados obtidos em nossa
simulação, bem como outros artigos científicos envolvendo perfis verticais na CLP.
Os perfis apresentados nesta sessão correspondem ao perfil médio de cada
variável. O valor em cada nível vertical representa a média horizontal das variáveis.
Para uma variável Ψ, o perfil vertical é dado por Ψ = Ψ(z). Serão apresentados
perfis verticais de 6 instantes de tempo da simulação, representando as 12, 16 e 20
horas (local) do primeiro dia de simulação (30/09) e 0, 4 e 8h (local) do segundo dia
de simulação (01/10). A tabela 5.1 apresenta alguns parâmetros da CLP simulada
em cada um dos horários previstos acima.
Tabela 5.1: Parâmetros da CLP no instante de cada perfil
hora z
i
(m) w
θ
s
(Kms
−1
) θ
s
(K) w
∗
(ms
−1
) u
∗
(ms
−1
) z/L(10
−1
)
1200 579, 5 0, 13 298, 3 1, 35 0, 47 −0.90
1600 869, 9 0, 05 298, 9 1, 13 0, 45 −0, 39
2000 101, 6 −0, 05 289, 4 – 0, 28 1, 60
0000 177, 3 −0, 04 287, 7 – 0, 34 0, 74
0400 151, 2 −0, 03 286, 5 – 0, 31 0, 79
0800 157, 5 0, 01 289, 9 0, 38 0, 37 −0, 16
As figuras 5.20, 5.21 e 5.22 mostram os perfis das componentes u, v e a magni-
tude da velocidade do vento M, respectivamente, para diferentes horários da simu-
lação. Nos horários das 1200h e 1600h (horário local) o perfil vertical da velocidade
do vento apresenta características típicas de camada convectiva, com uma região
de mistura bem definida no centro da camada. Para os demais horários podemos
perceber a formação de um jato no topo da camada limite estável – jato de bai-
93
xos níveis (JBN). Estes resultados estão de acordo com os apresentados por Basu
et. al (2008). Além de Basu et. al (2008), Cuxart e Jiménez (2007) publicaram
um trabalho que utiliza o modelo LES para simular uma camada estável. Neste
trabalho, um padrão de formação de um JBN também é observado, tanto em da-
dos experimentais como na simulação LES . Além dos perfis de velocidade, Cuxart
e Jiménez (2007) apresentam gráficos do número de Richardson. A figura 5.23
mostra o perfil do número de Richardson, em diferentes horários. Os resultados
observados nesta simulação são qualitativamente semelhantes àquela de Cuxart e
Jiménez (2007), revelando um pico no número de Richardson no topo da CLE, ou
seja, o pico do número de Richardson esta associado ao JBN, resultado também
constatado por Mahrt et al. (1979, apud BASU et al., 2008). As figuras 5.24, 5.25
e 5.26 apresentam a evolução temporal dos perfis da componente u, v e da magni-
tude da velocidade do vento. Nestas figuras pode-se acompanhar a intensificação
do JBN com o desenvolvimento da CLE. Após atingir um máximo por volta das 4h
da manhã o jato começa a se desentensificar e se desconfigura com o início da
convecção (processo de mistura) com o nascer do sol.
Figura 5.20: Perfis da componente zonal
da velocidade do vento.
Figura 5.21: Perfis da componente
meridional da velocidade do vento.
94
Figura 5.22: Perfis da magnitude da
velocidade do vento.
Figura 5.23: Perfis do número de
Richardson (gradiente).
Figura 5.24: Evolução temporal do perfil
da componente zonal da velocidade do
vento.
Figura 5.25: Evolução temporal do perfil
da componente meridional da velocidade
do vento.
A figura 5.27 apresenta o perfil do fluxo turbulento de momento na CLP. Para os
períodos convectivos o fluxo tem uma variação quase linear com a altura, conver-
gindo para zero no topo da camada. O interessante nesta figura é o comportamento
dos fluxos noturnos. O perfil de fluxo turbulento de momento na camada estável de-
cresce linearmente com a altura até o topo da camada estável, onde volta a crescer,
atingindo uma magnitude menor que a da superfície e voltando ao valor nulo na al-
tura da CLP convectiva. Esta figura indica a presença de turbulência residual acima
da CLE o que concorda com o comportamento esperado da CLP e com resultados
apresentados para esta mesma variável por Cuxart e Jiménez (2007). As figuras
5.28 e 5.29 mostram o fluxo turbulento de momento de escala resolvida e escala de
subfiltro, respectivamente. Nestes gráficos podemos notar que, no período onde a
CLP apresenta um caráter convectivo, a escala de subfiltro é maior que a resolvida
apenas próximo à superfície, sendo este resultado esperado devido ao processo de
95
Figura 5.26: Evolução temporal do perfil da magnitude da velocidade do vento.
filtragem. Nos períodos estáveis da CLP a escala de subfiltro domina no interior da
CLE, porém, acima desta região, na camada residual (CLR) a escala resolvida volta
a ser maior que a escala de subfiltro, porém a uma razão menor que na camada
convectiva.
As figuras 5.30 e 5.31 apresentam os gráficos referentes aos perfis de tem-
peratura potencial virtual e fluxo turbulento de energia na forma de calor sensível,
respectivamente. A figura 5.30 tem uma boa concordância com o esperado para
o ciclo diário da CLP, mostrando o processo de inversão e estratificação térmica.
Tanto Basu et al. (2008) como Cuxart e Jiménez (2007) encontraram resultados
qualitativamente semelhantes para os perfis de temperatura simulados com outros
modelos LES. Além do mais, os perfis simulados estão de acordo com o esperado
quando comparados a perfis experimentas disponíveis na literatura (STULL, 1988;
SORBJAN, 1989). Por outro lado, Basu et al. (2008) constatou que os resultados
dos perfis de temperatura no período noturno apontavam uma camada limite está-
vel mais rasa que os resultados experimentais de Wangara. Tal consideração pode
ser válida para a simulação referente ao projeto Candiota 2007, pois os resultados
do modelo LES de Moeng (1984) apresentam uma forte estratificação estável, ge-
96
Figura 5.27: Perfil de fluxo turbulento de momento.
Figura 5.28: Perfil de fluxo turbulento de
momento – escala resolvida.
Figura 5.29: Perfil de fluxo turbulento de
momento – escala de subfiltro.
rada por um intenso gradiente de temperatura. Contudo, não podemos comprovar
esta hipótese devido a falta de dados experimentais. O gráfico da figura 5.31 tam-
bém está de acordo com o comportamento esperado do fluxo de energia na forma
de calor sensível na CLP. Este fluxo é positivo durante o dia, exceto na região de
entranhamento, e negativo durante a noite. Estas condições são bem representa-
das pelo modelo LES. No perfil de w
θ
para as 0800h pode-se verificar o processo
de quebra de inversão térmica no transiente da manhã. Neste horário, o perfil do
fluxo turbulento de energia na forma de calor sensível está se tornando positivo,
próximo ao solo, devido ao aquecimento da superfície pela radiação de onda curta
mas ainda é negativo na região superior da camada limite planetária que continua
97
dominada por um regime estável. As figuras 5.32 e 5.33 mostram, respectivamente,
os fluxos turbulentos de energia na forma de calor da escala resolvida e da escala
de subfiltro. Em períodos no qual a CLP apresenta uma estrutura convectiva, os
fluxos de escala de subfiltro são maiores que os da escala resolvida apenas na
região próxima ao solo, devido a relação entre a largura do filtro e o pico espectral.
Contudo, na simulação referente a camada estável, os fluxos de escala resolvida
dominam em todas as regiões da CLE, ressaltando o problema da resolução da
grade numérica para simular a CLE. A figura 5.34 mostra a evolução temporal do
perfil de temperatura potencial virtual na CLP. Pode-se ver o desenvolvimento da
CLC a partir da elevação da camada de inversão e a formação da CLE com a inver-
são térmica junto a superfície.
Figura 5.30: Perfil da temperatura
potencial virtual.
Figura 5.31: Perfil do fluxo turbulento de
energia na forma de calor.
Figura 5.32: Perfil do fluxo turbulento de
energia na forma de calor – escala
resolvida.
Figura 5.33: Perfil do fluxo turbulento de
energia na forma de calor – escala de
subfiltro.
98
Figura 5.34: Evolução temporal do perfil da temperatura potencial virtual.
A figura 5.35 apresenta os gráficos do perfil de energia cinética turbulenta para
os horários selecionados anteriormente. Nesta figura percebe-se que durante o
período diurno os perfis de energia cinética turbulenta estão de acordo com os re-
sultados encontrados na literatura. Estes perfis apresentam um decréscimo quase
linear com a altura até próximo do topo da CLC onde converge para um valor quase
nulo. Nos primeiros horários da noite, os perfis exibem um “bolsão” de turbulência
acima da CLC, evidenciando a presença de turbulência residual enquanto a CLC
decai para CLE. Além disto, os perfis referentes ao período da madrugada (quando
ocorre a intensificação do JBN) indicam um pico de energia cinética na posição do
JBN e uma menor quantidade de energia cinética turbulenta na CLR. A figura 5.36
mostra a razão entre a energia cinética turbulenta da escala de subfiltro e a ener-
gia cinética total. Neste gráfico pode-se ver que durante a simulação convectiva, a
razão entre a escala de subfiltro e a energia total é sempre menor que 0, 2, mesmo
próximo a superfície. Contudo, na simulação estável esta razão aumenta em su-
perfície e sobretudo, torna-se mais elevada (chegando a 0, 6) na posição do JBN.
Este resultado indica uma grande incerteza na coerência do pico de energia cinética
turbulenta. Cuxart e Jiménez (2007) apresentam um gráfico para energia cinética
turbulenta em um caso noturno simulado com LES. Em seu trabalho não se verifica
99
tal pico de energia cinética turbulenta na posição do JBN. Entretanto o “bolsão” de
energia cinética turbulenta na CLR também aparece em seus resultados. As figuras
5.37 e 5.38 mostram, respectivamente, a evolução da energia cinética turbulenta e
da razão entre a escala de subfiltro e a energia cinética turbulenta total da simu-
lação. Nestas figuras pode-se observar que durante o período diurno, os maiores
valores de energia cinética turbulenta estão próximos a superfície e que a razão
entre as escalas é sempre pequena. Além disto, a questão do desenvolvimento
de um pico de energia cinética turbulenta no topo da CLE pode ser acompanhado.
Este aumento começa com a intensificação do JBN e com isto ocorre também o
aumento da razão entre as escalas. Outro fato interessante e o desenvolvimento
da CLC a partir do nascer do sol.
Figura 5.35: Perfil de energia cinética
turbulenta total da simulação (escala
resolvida e escala de subfiltro).
Figura 5.36: da razão entre a energia
cinética de subfiltro e a energia cinética
turbulenta.
Figura 5.37: Evolução temporal do perfil
da energia cinética turbulenta total da
simulação.
Figura 5.38: Evolução temporal do perfil
da razão entre a energia cinética de
subfiltro e a energia cinética turbulenta.
100
5.5 Balanço da energia cinética turbulenta
O desenvolvimento da energia cinética turbulenta descreve a evolução da turbu-
lência e da camada limite planetária. Como discutido anteriormente, o modelo LES
nos proporciona um conhecimento de toda estrutura vertical da CLP. Nesta sessão
será discutida a evolução da energia cinética turbulenta na CLP. Pretende-se in-
vestigar a entrada de energia cinética turbulenta pelos diferentes forçantes, o seu
transporte e a sua dissipação entre os diferentes níveis da CLP. Podemos entender
os processos físicos que influenciam a energia cinética turbulenta através de sua
equação de balanço (equação (3.15), no capítulo 3). De forma simplificada esta
equação pode ser expressa como
de
dt
= C + M + T + D (5.2)
onde e representa a energia cinética turbulente, t é o tempo, de/dt representa a
taxa com que a energia cinética turbulenta aumenta ou diminui no tempo, C é o
termo convectivo ou térmico, M o termo mecânico ou de cisalhamento, T o termo
de transporte de energia cinética turbulenta e D a dissipação. O termo convectivo
está associado com o fluxo de energia na forma de calor sensível. Desta maneira
ele representa um termo de fonte ou sumidouro de energia cinética turbulenta. De
maneira geral, o termo convectivo ou térmico é a principal fonte de energia cinética
turbulenta durante o dia (exceto na região de entranhamento). No período da noite,
este termo presenta um sumidouro de energia cinética turbulenta. O termo mecâ-
nico M representa a entrada de energia cinética turbulenta devido ao cisalhamento
do campo de velocidade. Assim, o termo mecânico é sempre um termo de fonte de
energia cinética turbulenta. O termo de transporte T está associado com a trans-
ferência de energia cinética turbulenta dentro da CLP. Deste modo, não representa
nem fonte nem sumidouro. O transporte de energia cinética turbulenta pode ser
relaizado tanto pelo próprio transporte turbulento que leva partículas de fluido com
maior (menor) quantidade de energia cinética turbulenta para regiões com menor
(maior) quantidade de energia cinética turbulenta. Adicionalmente, uma outra forma
de transportar energia cinética turbulenta ocorre devido ao trabalho realizado pela
101
turbulência através de flutuações no campo de pressão. O termo de dissipação D
refere-se a transformação da energia cinética turbulenta em energia interna da CLP
devido a viscosidade molecular. Este termo é sempre negativo e dominante nas
menores escalas do escoamento turbulento.
Neste trabalho, cada um dos termos foi obtido através de um processo de média
espacial horizontal. Além disto, os termos foram separados em função das escalas
resolvidas e das escalas de subfiltro. A equação para a escala resolvida é dada por
d
dt
e
LE
= C
LE
+ M
LE
+ T
LE
(5.3)
onde representa a média horizontal. Deve-se notar que na equação (5.3) não
existe o termo de dissipação. Isto deve-se ao fato da dissipação só ocorrer nas
menores escalas e ser calculada pelo modelo de subfiltro ou subgrade. A equação
de balanço de energia cinética turbulenta na subgrade é dada por
d
dt
e
sfs
= C
sfs
+ M
sfs
+ T
sfs
+ D (5.4)
As figuras 5.39, 5.40, 5.41, 5.42, 5.43 e 5.44 mostram, respectivamente, perfis
verticais dos termos: térmico C, mecânico M, transporte T e dissipação D, para os
mesmos horários dos perfis apresentados anteriormente na tabela 5.1. Os temos
C, M e T correspondem a soma das duas escalas. Os perfis simulados concor-
dam com as previsões teóricas sobre o comportamento de cada um dos termos.
Todavia, cabe salientar o comportamento incomum da taxa de dissipação nas fi-
guras 5.39, 5.43 e 5.44. Nestes perfis há um pico na taxa de dissipação no topo
da CLE. Este resultado não concorda com outros trabalhos publicados (MOENG;
SULLIVAN, 1994; COXART; JIMÉNEZ, 2006). Como a taxa de dissipação está
diretamente ligada a energia cinética turbulenta de subfiltro e, como visto anterior-
mente, nestes horários a energia cinética turbulenta desta escala apresenta valores
espúrios, pode-se atribuir este resultado à incerteza vinculada ao modelo de sub-
grade. Outro fato interessante é a magnitude do termo de empuxo ou convectivo
em relação ao mecânico ou cisalhamento. O termo mecânico é maior próximo a
superfície, porém decai rapidamente com a altura enquanto o valor do termo de
102
empuxo decai de maneira mais lenta com a altura. Além disto pode ser observado
que, em períodos convectivos, o termo de transporte é negativo na parte inferior da
camada e positivo na parte superior, concordando com os resultados observacio-
nais de Caughey (1982) . Isto está diretamente relacionado com o sentido em que a
energia cinética turbulenta é transferida dentro da CLP. Na região inferior, por haver
maior quantidade de energia cinética turbulenta, há um transporte negativo, ou seja,
a energia é transportada das regiões inferiores da camada para as superiores, que
apresentam sinal positivo para este termo. Na camada estável, o transporte dentro
da CLP é muito pequeno como pode ser visto nos perfis.
Figura 5.39: Perfil para os termos da
equação de balanço da energia cinética
turbulenta – 12h (local)
Figura 5.40: Perfil para os termos da
equação de balanço da energia cinética
turbulenta – 16h (local)
Figura 5.41: Perfil para os termos da
equação de balanço da energia cinética
turbulenta – 20h (local)
Figura 5.42: Perfil para os termos da
equação de balanço da energia cinética
turbulenta – 00h (local)
103
Figura 5.43: Perfil para os termos da
equação de balanço da energia cinética
turbulenta – 04h (local)
Figura 5.44: Perfil para os termos da
equação de balanço da energia cinética
turbulenta – 08h (local)
As figuras 5.45, 5.46 e 5.47 apresentam, respectivamente, a evolução do termo
mecânico no tempo. Este termo apresenta valores positivos e intensos na região
próxima a superfície. Comparando-se 5.46 e 5.47 nota-se que a escala de subfiltro
é dominante neste termo, sobretudo na camada estável.
Figura 5.45: Evolução temporal do perfil do termo mecânico da equação de balanço da
energia cinética turbulenta.
104
Figura 5.46: Evolução temporal do perfil
do termo mecânico da equação de balanço
da energia cinética turbulenta – escala
resolvida.
Figura 5.47: Evolução temporal do perfil
do termo mecânico da equação de balanço
da energia cinética turbulenta – escala de
subfiltro.
As figuras 5.48, 5.49 e 5.50, respectivamente, mostram a evolução do termo
de empuxo ou convectivo na CLP. Visualizando-se 5.48 nota-se que, na camada
convectiva, este termo é positivo e contribui fortemente para o aumento da energia
cinética turbulenta, exceto na região de entranhamento, onde a troca de ar poten-
cialmente mais aquecido da atmosfera livre com a CLP impõe um fluxo de energia
na forma de calor negativo. Na camada estável, como pode ser visto na figura 5.48
o papel deste termo se inverte e seu sinal negativo atribui a esta quantidade um
caráter de sumidouro de energia cinética turbulenta. Além do mais, analisando-se
as figuras 5.49 e 5.50 percebe-se que a contribuição da escala de subfiltro neste
termo é bastante relevante durante a noite, porém muito pequena durante o dia.
O termo de trasporte é apresentado nas figuras 5.51, 5.52 e 5.53, sendo as
duas últimas, respectivamente, a contribuição da escala resolvida e de subfiltro
no transporte de energia cinética turbulenta. Na figura 5.51, observa-se que para
a simulação diurna, existe um forte transporte de energia cinética turbulenta daa
região inferior para a superior da CLP. Conforme as figuras 5.52 e 5.53, este trans-
porte efetivo é realizado, principalmente, pelos grandes turbilhões que existem na
camada convectiva o que contribui em uma redução nas componentes de subfiltro.
Por outro lado, na parte estável da simulação, o termo de transporte é quase im-
perceptível devido ao amortecimento da turbulência convectiva com a estratificação
térmica estável.
105
Figura 5.48: Evolução temporal do perfil do termo de empuxo da equação de balanço da
energia cinética turbulenta.
Figura 5.49: Evolução temporal do perfil
do termo de empuxo da equação de
balanço da energia cinética turbulenta –
escala resolvida.
Figura 5.50: Evolução temporal do perfil
do termo de empuxo da equação de
balanço da energia cinética turbulenta –
escala de subfiltro.
106
Figura 5.51: Evolução temporal do perfil do termo de transporte da equação de balanço
da energia cinética turbulenta.
Figura 5.52: Evolução temporal do perfil
do termo de transporte da equação de
balanço da energia cinética turbulenta –
escala resolvida.
Figura 5.53: Evolução temporal do perfil
do termo de transporte da equação de
balanço da energia cinética turbulenta –
escala de subfiltro.
107
A figura 5.54 mostra a evolução do perfil vertical da taxa de dissipação. Esta
variável é sempre muito complicada, pois exige uma grande resolução em medidas
experimentais para ser determinada. O modelo LES obtém o valor da taxa de dissi-
pação a partir do modelo de subgrade. Contudo, na figura 5.54 percebemos alguns
valores que não condizem com o comportamento esperado na CLP, principalmente
no topo da CLE, onde existe uma região com alta dissipação. Considerando-se
apenas o intervalo convectivo da simulação, o valor da taxa de dissipação está de
acordo com o esperado a partir de resultados téoricos e outras simulações LES,
sendo maior próxima da superfície e diminuindo com a altura (CAUGHEY, 1982;
MOENG; SULLIVAN, 1994).
Figura 5.54: Evolução temporal do perfil do termo de dissipação da equação de balanço
da energia cinética turbulenta.
108
5.6 Análise estatística do escoamento
Nesta sessão pretende-se discutir alguns resultados da simulação LES do ciclo
diário da CLP à luz da teoria estatística da turbulência. Para isso foram calcula-
dos perfis verticais da variância (σ
2
(z)) da velocidade longitudinal e vertical. Além
disso foram calculados perfis verticais da variância de temperatura para os horá-
rios apontados na tabela 5.1. A variância é o momento estatístico que representa
o quanto uma determinada variável ξ flutua em torno da sua média. No caso dos
perfis verticais da variância das componentes da velocidade e temperatura, as flu-
tuações avaliadas foram calculadas em relação a média espacial horizontal de cada
plano (nível) da grade numérica. Desta forma a variância de ξ foi obtida através da
equação (5.5)
σ
2
ξ
=
1
N − 1
N
i=1
(ξ
i
− ξ)
2
. (5.5)
Outra análise estatística realizada foi a avaliação das funções estrutura eule-
rianas de segunda ordem das componentes da velocidade. As funções estrutura
foram obtidas através de uma análise estatística temporal do modelo LES. Para isto
foram selecionados os quatro pontos centrais da grade horizontal do modelo em
todos os níveis verticais. Destes quatro pontos, a cada interação foram armaze-
dos os valores instantâneos das componentes do campo de velocidade do modelo
LES analogamente a quatro torres micrometeorológicas, ou seja, os dados obti-
dos nestas séries temporais fornecem uma descrição eulerina do escoamento. A
figura 5.55 exibe uma representação dos quatro pontos de grade selecionados que
equivalem à quatro torres micrometeorológicas (T
1
, T
2
, T
3
e T
4
).
As funções estutura foram calculadas a partir da seguinte definição (PANCHEV,
1971)
D
n
u
i
(τ) = (u
i
(t + τ ) − u
i
(t))
n
(5.6)
onde a barra representa o processo de média temporal. Neste trabalho foram uti-
lizadas funções estrutura de segunda ordem, ou seja, fazendo n = 2 na equação
109
Figura 5.55: Representação espacial dos pontos de medida temporal do modelo LES.
(5.6). No estudo da turbulência utiliza-se uma definição diferente para as com-
ponentes da velocidade. Neste estudo considera-se a componente u do vento a
componente longitudinal (alinhada com a velocidade média do vento). Deste modo,
as componentes lateral v e vertical w possuem um valor médio nulo. A rotação de
coordenadas é necessária pois a teoria estatística da turbulência é baseada na teo-
ria de campos de funções aleatórias e esta teoria descreve as relações estatísticas
entre as variáveis neste formalismo (componente radial ou longitudinal e compo-
nentes normais ou transversais) (PANCHEV, 1971). Para se realizar esta rotação
de coordenadas, alinhando a componente u com o campo médio da velocidade do
vento empregou-se a rotação de coordenadas proposta por McMillen (1988)(KAI-
MAL; FINNINGAN, 1994). Foram calculadas funções estrutura de segunda ordem
para os períodos representativos dos horários propostos na tabela 5.1 no primeiro
nível da grade, ou seja a altura de 10, 42m. Além do mais, foram calculadas funções
estrutura de segunda ordem para os niveis de 0, 2z
i
, 0, 5z
i
e z
i
para as séries dos
quatro pontos de grade selecionados.
5.6.1 Perfil vertical das variâncias
As figuras 5.56 e 5.57 apresentam, respectivamente, a variância vertical da
compontente longitudinal da velocidade do vento e da componente vertical. Estas
variâncias foram normalizadas pelo quadrado da escala de velocidade convectiva
(w
2
∗
) para os casos convectivos ou pelo quadrado da velocidade de fricção (u
2
∗
) para
os casos estáveis (conforme a tabela 5.1). Na figura 5.56 percebe-se que, próximo
da superfície a variância da componente longitudinal do vento apresenta uma maior
110
magnitude do que em regiões em torno de 0, 3z
i
e z
i
. Nesta região central e superior
da CLP, σ
2
u
/w
2
∗
apresenta um valor constante com a altura, da ordem de 0, 4. Este
comportamento concorda com as observações de Caughey (1982) e com diversos
perfis desta grandeza apresentados por Sorbjan (1987) em seulivro clássico sobre
estrutura da camada limite planetária. Os bons resultados encontrados para a va-
riância da componente longitudinal da velocidade também são observados para a
variância da componente vertical da velocidade do vento (figura 5.57), para o pe-
ríodo convectivo da simulação. A variância da velocidade vertical apresenta valores
pequenos próximo a superfície e no topo da camada. Na região central há um valor
máximo bem definido da razão σ
2
w
/w
2
∗
em aproximadamente 0, 4z
i
, com magnitude,
em torno de 0, 5. O comportamento da variância da velocidade vertical está de
acordo com as descrições teoricas e experimentais de vários trabalhos publicados
na literatura (KAIMAL et al., 1976; CAUGHEY, 1982; SORBJAN, 1989). Para os
períodos de simulação de camada estável, o comportamento das variâncias de ve-
locidade – tanto longitudinal como vertical – apresentam um perfil diferente daquele
proposto pela literatura ao relatar evidências experimentais. Espera-se que tanto o
perfil da variância longitudinal quanto vertical tenham valores que decrescem rapi-
damenete com a altura. Este fato não é bem reproduzido pelos dados obtidos na
simulação. Os dados da simulação indicam um perfil de variância de velocidade
praticamente constante com a altura dentro da clp (exceto na região mais baixa,
até 0, 2z
i
).
111
Figura 5.56: Perfil da variância da componenete longitudinal da velocidade do vento
normalizada por uma escala de velocidade.
Figura 5.57: Perfil da variância da componenete vertical da velocidade do vento
normalizada por uma escala de velocidade.
112
A figura 5.58 exibe a variância da temperatura potencial σ
2
θ
normalizada pelo
quadrado da escala de temperatura superficial (θ
2
∗
). A escala de temperatura super-
ficial é definida como (STULL, 1988)
θ
∗
=
w
θ
/w
∗
, se w
θ
> 0
−w
θ
/u
∗
, se w
θ
< 0
(5.7)
Para os períodos de camada convectiva a figura 5.58 apresenta um compor-
tamento diferente. No horário das 12h (local), o comportamento da razão σ
2
θ
/θ
2
∗
concorda com o apresentado no trabalho experimental de Caughey (1982) e ou-
tros autores (KAIMAL et al., 1976; SORBJAN, 1989). Neste horário, a variância da
temperatura potencial apresenta um máximo próximo da superfície, diminui com a
altura e torna a apresentar uma grande flutuação de temperatura potencial na região
de entramento. Para o horário das 16h, a forma da curva que descreve o perfil da
variância de temperatura potencial é semelhante ao apresentado para às 12h. En-
tretanto, a magnitude das flutuações é consideravelmente inferior, chegando a ser
uma ordem de gradeza menor. É interessante observar que neste horário, o fluxo de
energia na forma de calor na superfície é bastante pequeno (cerca de 0, 05Kms
−1
,
ver tabela 5.1). Isto mostra uma dependência muito grande das flutuações de tem-
peratura em relação ao fluxo de energia na forma de calor na camda convectiva.
Além do mais, o perfil da variância de temperatura para as 8h (local) apresenta um
crescimento com a altura. Este é um horário de transição da camada estável para
convectiva. Não se tem observações deste período do dia para confrontar com os
dados simulados. Os perfis da variância de temperatura potencial para a camada
estável apresentam um comportamento semelhante ao da convectiva, exceto o per-
fil das 20h que exibe um decrescimo desta variância até 0, 4z
i
e depois assume um
perfil constante com a altura até 1, 4z
i
onde volta a diminuir. Os perfis para a vari-
ância de temperatura na camada estável encontrados na literatura apresentam um
rápido decrescimo desta variância com a altura, chegando a valores próximos de
zero no topo da camada. Entretanto, assim como para as variâncias de velocidade,
os dados do modelo LES não exibiram tal comportamento.
As figuras 5.59 e 5.60 apresentam a comparação entre os perfis da variância da
113
Figura 5.58: Perfil da variância da temperatura potencial normalizada por uma escala de
temperatura.
velocidade vertical e temperatura potecial para a região próxima da superfície em
periodos convectivos (convecção livre) com curvas de similaridade obtidas de dados
experimentais (KAIMAL et al., 1976; CAUGHEY, 1982). A variância da velocidade
vertical nesta região é dada por
σ
2
w
w
2
∗
= 1, 8
z
z
i
2/3
(5.8)
enquanto a função que descreve o comportamento vertical da variância da tem-
peratura potencial na região de convecção livre é expressa pela seguinte equação
(CAUGHEY, 1982)
σ
2
θ
θ
2
∗
= 1, 8
z
z
i
−2/3
. (5.9)
O comportamento da variância da velocidade vertical (apresenta na figura 5.59)
é bastante coerente com a curva de similaridade. Já em relação a figura 5.60 que
mostra a variação vertical de σ
2
θ
com a altura na região de convecção livre, o melhor
resultado é em relação ao perfil das 12h (local), como já comentado anteriormente.
114
Figura 5.59: Perfil da variância de w na
região de convecção livre.
Figura 5.60: Perfil da variância de θ na
região de convecção livre.
115
5.6.2 Funções estrutura de segunda ordem das componentes
da velocidade
A teoria de Kolmogorov para a turbulência completamente desenvolvida preve a
existência de um sub-intervalo de equilíbrio universal. Este intervalo está localizado
entre os turbilhões de tamanho r que são muito maiores que a microescala de de
Kolmogorov η e a escala integral L (WELTER, 2006), matematicamente expresso
pela desigualdade
η r L (5.10)
Para este intervalo há uma relação bastante conhecida entre a função estrutura
de segunda ordem da velocidade é a dimensão dos turbilhões. Esta relação é a
"Lei dos 2/3"de Kolmogorov (PANCHEV, 1971) dada por
D
2
u
i
∝ r
2/3
(5.11)
onde D
2
u
i
é a função estrutura da i-ésima componente da velocidade. Neste tra-
balho as funções estrutura foram obtidas de séries temporais extraídas do modelo
LES. A relação entre a escala temporal e a dimensão do turbilhão foi obtida através
da relação r = u
i
τ, onde u
i
é a média da i-ésima componente da velocidade velo-
cidade e τ o incremento temporal entre dois valores consecutivos de velocidade na
série de dados. Desta forma τ nada mais é que o passo de tempo do modelo.
O conceito de função estrutura foi introduzido pela escola russa de estatística na
década de trinta (PANCHEV, 1971). Kolmogorov (1941) utilizou tal conceito para o
estudo da turbulência definindo um intervalo de escalas espaciais onde a turbulên-
cia deveria ser localmente homogênia e isotrópica. Portanto, as funções estrutura
são definidas em função do espaçamento r pertencente ao subintervalo inercial, ou
seja, em termos espaciais. Para se realizar esse tipo de análise necessita-se que o
sistema de referência esteja alinhando com a velocidade média do vento devido ao
requerimento da relação de isotropia entre componentes transversais e longitudinas
da velocidade (LANDAU; LIFSHITZ, 1959)
116
2rD
2
v = 2rD
2
w =
d
dr
r
2
D
2
u
. (5.12)
A determinação de funções estrutura espaciais de um experimento numérico
necessita que os pontos de grade utilizados para o cálculo da função estrutura es-
tejam alinhados com a velocidade média do vento. De forma prática isto é bastante
complicado, mesmo através de modelos, pois se faz necessário uma grade numé-
rica com uma resolução relevante para que haja o número de pontos para con-
vergência estatística. Por esta razão, neste trabalho, baseando-se na hipótese de
Taylor (STULL, 1988) as funções estrutura foram calculadas em relação a incremen-
tos temporais e transformadas em funções estrutura espaciais. Este procedimento
foi realizado devido a facilidade em se obter a rotação de coordenadas neste tipo
de dado.
É comum no estudo da turbulência a utilização de espectros. No caso de es-
pectros espaciais a menor escala resolvida seria da ordem de duas vezes o es-
paçamento de grade. Além disto, o espectro de Fourier (mesmo em uma análise
no espaço de freqüências) apresenta um aspecto bastante ruidoso nas pequenas
escalas, o que dificulta a visualização da forma da função espectral. Devido a este
ruído nas altas freqüências, a utilização de espectros ainda exige um pós proces-
samento dos dados. De forma geral, segundo Mahrt e Gamage (1986), funções
estrutura apresentam propriedades vantajosas para a análise de movimentos alta-
mente não lineares e são menos sensíveis a tendências.
As figuras 5.61, 5.62, 5.63 e 5.64 exibem, respectivamente, as funções estru-
tura de segunda ordem da componente longitudinal da velocidade para z = 10, 42m
(primeiro ponto de grade do modelo), z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
. As funções es-
trutura em cada um dos níveis foram calculadas para diferentes horários (definidos
na tabela 5.1). Cada figura possui quatro gráficos, sendo cada um deles referente
a um dos pontos de grade utilizados para a obtenção das séries temporais. A po-
sição dos gráficos na figura está condicionada a disposição dos pontos de grade
selecionados (ver a figura 5.55). Além das funções estrutura, cada gráfico con-
tém a presentação de uma função f(x) ∝ r
2/3
, para comparação da inclinação da
função estrutura e verificação da existência de um sub-intervalo inercial.
117
Figura 5.61: Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 10, 42m.
Figura 5.62: Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
118
Figura 5.63: Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
Figura 5.64: S2u Função estrutura da componente longitudinal da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = z
i
119
As figuras 5.65, 5.66, 5.67 e 5.68 apresentam, respectivamente, as funções
estrutura de segunda ordem da componente lateral da velocidade para os níveis de
z = 10, 42m, z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
. A organização dos gráficos em cada
figura segue a mesma lógica da representação das funções estrutura de segunda
ordem da componente longitudinal.
Figura 5.65: Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = 10, 42m
120
Figura 5.66: Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
Figura 5.67: Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
121
Figura 5.68: Função estrutura da componente lateral da velocidade calculada a partir de
dados do modelo LES em z = z
i
122
As figuras 5.69, 5.70, 5.71 e 5.72 apresentam, respectivamente, as funções
estrutura de segunda ordem da componente lateral da velocidade para os níveis de
z = 10, 42m, z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
. A organização dos gráficos em cada
figura segue a mesma lógica da representação das funções estrutura de segunda
ordem das demais componentes da velocidade apresentadas anteriormente.
Figura 5.69: Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = 10, 42m
123
Figura 5.70: Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
Figura 5.71: Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
124
Figura 5.72: Função estrutura da componente vertical da velocidade calculada a partir
de dados do modelo LES em z = z
i
125
De uma maneira geral, as funções estrutura obtidas a partir dos dados do mo-
delo LES apresentam características qualitativas semelhantes àquelas calculadas
a partir de dados experimentais. Entretanto, sabe-se que a função estrutura de
uma variável turbulenta apresenta três intervalos bem definidos em sua extensão,
conforme a figura 5.73
Figura 5.73: Gráfico log-log da função estrutura de segunda ordem D
2
u
i
(r) segundo
Kolmogorov. A região I caracteriza o intervalo de dissipação onde as quantidades
estatísticas dependem da taxa de dissipação e da viscosidade cinemática e r η onde
D
2
u
i
(r) ∝ r
2
. A região II é conhecida com sub-intervalo inercial onde as quantidades
estatísticas dependem apenas da taxa de dissipação e encontra-se no intervalo
η r L e D
2
u
i
(r) ∝ r
2/3
. A região III caracteriza os grandes turbilhões, com temanho
da ordem ou maior que L. Adaptado de Welter (2006).
Nas funções estrutura de segunda ordem obtidas de dados do modelo LES não
ficam claros estes três intervalos, sobretudo o sub-intervalo inercial. Para resol-
ver este problema pode-se utilizar a uma técnica matemática conhecida por finite
size lyapunov esponent, FSLE. Está técnica foi introduzida em estudos de teória
de sistemas dinâmicos caóticos (BOFFETTA; CELANI, 2000; GIOIA et al., 2004;
LACORATA; MAZZINO; RIZZA, 2008). Espera-se que o modelo LES, em seu pro-
cesso de médias sobre volume, resolva os turbilhões que contêm a maior parte da
energia. Para separar os grandes turbilhões (escala resolvida) dos menores (escala
se subfiltro) aplica-se um filtro passa-baixa. O ideal é que a filtragem ocorra dentro
126
do subintervalo inercial, ou pelo menos, no início deste intervalo. Contudo, este
fato esta diretamente ligado a resolução de grade do modelo. O LES de Moeng
(1984) aplica um filtro agudo de Fourrier nos turbilhões com número de onda igual
a K ≈ 1, 33π/∆x
i
em cada componente horizontal da velocidade (MOENG; WYN-
GAARD, 1988). Para este trabalho, ∆x = ∆y = 31, 25m, desta forma o número de
onda de corte é igual a K = 0, 13m
−1
. Desta maneira, a dimensão r do turbilhão
onde é realizado o corte é r
c
≈ 23, 5m. Analisando as funções estrutura das com-
ponentes horizontais da velocidade do vento, percebemos que este é o valor do
menor turbilhão representado por estas funções. Devido a isto, a função estrutura
de segunda ordem deveria apresentar uma inclinação equivalente a uma função
f(r) ∝ r
2/3
(representativa do sub-intervalo inercial, segundo Kolmogorov (1941)).
Porém não consegue-se identificar tal intervalo claramente nas funções estrutura.
Contudo, a componente vertical da velocidade independe do filtro utilizado. Nas
funções estrutura calculadas para esta componente, verifica-se mais claramente a
presença de um intervalo com inclinação equivalente a f(r) ∝ r
2/3
, sobretudo nos
períodos convectivos da simulação.
Mesmo não sendo claro visualmente a existência do sub-intervalo inercial, as
funções estrutura da componente longitudinal da velocidade foram utilizadas para
calcular a taxa de dissipação de cada série turbulenta pada cada nível simulado da
CLP. Para o cálculo da taxa de dissipação a seguinte metodologia foi empregada:
dividiu-se a função estrutura (localmente) pela dimensão r
2
/3 dos turbilhões. As-
sim foram obtidos os seguintes gráficos apresentados nas figuras 5.74, 5.75, 5.76 e
5.77 para os horários e níveis verticais já mencionados seguindo a mesma distribui-
ção gráfica das figuras anteriores para função estrutura. Nestes gráficos a região
compreendida pelo subintervalo intercial deveria ser uma reta constante (pico platô)
proporcional a constante de Kolmogorov (C
k
) e taxa de dissipação (ε). Neste tra-
balho utilizou-se o valor de C
k
= 2, 13 estimado por Sreenivasan (1995). Para o
sub-intervalo inercial a função estrutura de segunda ordem é dada por
D
2
u = C
k
ε
2/3
r
2/3
(5.13)
Assim, as curvas apresentadas nas figuras 5.74, 5.75, 5.76 e 5.77 deverião
apresentar uma região de máximo constante como valor dado por C
k
ε
2/3
. Como
127
este máximo não é evidente visualmente como uma região plana, um algoritmo foi
empregado para encontrar o valor da taxa de dissipação a partir da função estrutura
de segunda ordem. Este algoritmo localiza o valor máximo da razão D
2
u/r
2/3
e
calcula o valor da taxa de dissipação da série de dados pela seguinte equação
ε =
1
r
D
2
u
C
k
3/2
(5.14)
A taxa de dissipação calculada a partir das funções estrutura obtidas do modelo
LES foi comparada com aquela calculada pelo própio modelo de subfiltro. A com-
paração entre os perfis das taxas de dissipação de energia cinética turbulenta para
os horários selecionados são apresentados nas figuras 5.78, 5.79, 5.80, 5.81, 5.82
e 5.83. Nestas figuras pode-se constatar que o modelo de subfiltro representa de
forma similar a taxa de dissipação calculada a partir das funções estrutura de se-
gunda ordem da componente longitudinal da velocidade. Contudo, nas figuras 5.78,
5.82 e 5.83 o modelo de subfiltro apresenta um pico na taxa de dissipação. Na ses-
são 5.5 este fato já havia sudo discutido. Naquela sessão este pico foi interpretado
com um valor espúrio, conseqüência da incerteza atribuída ao modelo de subfiltro,
visto que na região vertical da CLP onde ocorre o pico da taxa de dissipação tam-
bém existe a presença um pico de energia cinética turbulenta associada à escala
de subfiltro. A comparação entre as duas formas de obtenção da taxa de dissipação
corrobora a hipótese de erro vinculado à incerteza do modelo de subfiltro na deter-
minação da taxa de dissipação de energia cinética turbulenta. Além do mais, os
perfis obtidos para a taxa de dissipação de energia cinética turbulenta apresenta-
dos nas figuras 5.78, 5.79, 5.80, 5.81, 5.82 e 5.83 concordam com aqueles obtidos
por Basu et. al (2008) e Cuxart e Jiménez (2007).
128
Figura 5.74: Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade e
a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES em z = 10, 42m.
Figura 5.75: Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade e
a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
129
Figura 5.76: Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade e
a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
Figura 5.77: Razão entre a função estrutura da componente longitudinal da velocidade e
a separação de escalas r
2/3
calculada a partir de dados do modelo LES em z = z
i
130
Figura 5.78: Comparação entre perfis
verticais para a taxa de dissipação de
energia cinética turbulenta obtidas pela
função estrutura de segunda ordem da
componenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
,
T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo de
subgrade do modelo LES – 12h (local)
Figura 5.79: Comparação entre perfis
verticais para a taxa de dissipação de
energia cinética turbulenta obtidas pela
função estrutura de segunda ordem da
componenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
,
T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo de
subgrade do modelo LES – 16h (local)
Figura 5.80: Comparação entre perfis
verticais para a taxa de dissipação de
energia cinética turbulenta obtidas pela
função estrutura de segunda ordem da
componenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
,
T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo de
subgrade do modelo LES – 20h (local)
Figura 5.81: Comparação entre perfis
verticais para a taxa de dissipação de
energia cinética turbulenta obtidas pela
função estrutura de segunda ordem da
componenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
,
T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo de
subgrade do modelo LES – 00h (local)
131
Figura 5.82: Comparação entre perfis
verticais para a taxa de dissipação de
energia cinética turbulenta obtidas pela
função estrutura de segunda ordem da
componenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
,
T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo de
subgrade do modelo LES – 04h (local)
Figura 5.83: Comparação entre perfis
verticais para a taxa de dissipação de
energia cinética turbulenta obtidas pela
função estrutura de segunda ordem da
componenete longitudinal do vento (T
1
, T
2
,
T
3
e T
4
) e a calculada pelo modelo de
subgrade do modelo LES – 08h (local)
132
Uma outra informação importante que podemos obter através das funções es-
trutura de segunda ordem de uma variável turbulenta é a relação de isotropia local.
Se a turbulência for localmente isotrópica a razão entre a função estrutura transver-
sal (seja lateral ou vertical) e a função estrutura longitudinal é igual a 4/3 (WELTER,
2006)
D
2
w
D
2
u
=
D
2
v
D
2
u
=
4
3
(5.15)
A partir das funções estrutura apresentadas anteriormente foram calculados
os fatores de isotropia para cada uma das séries geradas pelo modelo LES em
diferentes períodos (ver tabela 5.1) e níveis verticais. As figuras 5.84, 5.85, 5.86 e
5.87 repectivamente, apresentam os gráficos para a razão entre a função estrutura
de segunda ordem da componente vertical e longitudinal da velocidade para os
níveis z = 10, 42m, z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
. Cada figura contém quatro
gráficos representando os pontos de grade do modelo selecionados para a análise
temporal (conforme figura 5.55). Seguindo a mesma estrutura de apresentação, as
figuras 5.89, 5.90 e 5.91 exibem os gráficos para a razão entre a função estrutura de
segunda ordem da componente vertical e longitudinal da velocidade para os níveis
z = 10, 42m, z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
, respectivamente. Nestas figuras fica
claro a falta de isotropia em relação a componente vertical da velocidade quando
são analisados os períodos estáveis da simulação e o primeiro nível do modelo.
Para os níveis superiores apresentados nas figuras 5.85, 5.86 e 5.87 os períodos
convectivos confirmam uma boa razão de isotropia. Já a relação de isotropia entre
as componentes lateral e longitudinal da velocidade exibem uma relação bem mais
próxima dos 4/3 do que as componentes vertical e longitudinal. Inclusive, este bom
resultado é obtido para o primeiro nível da simulação. De qualquer maneira, a razão
de 4/3 entre D
2
v/D
2
u é mais evidente para os períodos convectivos da simulação.
133
Figura 5.84: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente
vertical e longitudinal da velocidade em z = 10, 42m.
Figura 5.85: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente
vertical e longitudinal da velocidade em z = 0, 2z
i
.
134
Figura 5.86: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente
vertical e longitudinal da velocidade em z = 0, 5z
i
.
Figura 5.87: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente
vertical e longitudinal da velocidade em z = z
i
.
135
Figura 5.88: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = 10, 42m.
Figura 5.89: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = 0, 2z
i
.
136
Figura 5.90: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = 0, 5z
i
.
Figura 5.91: Razão entre as funções estrutura de segunda ordem da componente lateral
e longitudinal da velocidade em z = z
i
.
137
5.6.3 Outras análises
Para o período das 12h e 16h (local) foram calculadas as funções de autocor-
relação das três componentes da velocidade. A função de auto correlação de uma
variável ξ qualquer é definida por (PANCHEV, 1971)
R
ξ
=
ξ
i+1
∗ ξ
i
σ
2
ξ
(5.16)
As figuras 5.92, 5.93, 5.94 e 5.95 exibem o comportamento das funções de
autocorrelação para os níveis z = 10, 42m, z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
no horário
das 12h. Os gráficos estão organizados de modo similar àquele empregado na
representação das funções estrutura. Além das funções de autocorrelação cada
gráfico apresenta um ajuste de curva da função de autocorrelação da componente
longitudinal da velocidade. O ajuste de curva foi realizado através da função
R
uf it
(r) = e
−r/a
(5.17)
onde a é uma constante que será definida mais tarde (ANFOSSI et al., 2000).
As figuras 5.96, 5.97, 5.98 e 5.99 exibem o comportamento das funções de
autocorrelação para os níveis z = 10, 42m, z = 0, 2z
i
, z = 0, 5z
i
e z = z
i
no horário
das 16h e seguem a mesma organização das figuras anteriores(5.92, 5.93, 5.94 e
5.95).
138
Figura 5.92: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 10, 42m, às 12h.
Figura 5.93: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
, às 12h.
139
Figura 5.94: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
, às 12h.
Figura 5.95: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = z
i
, às 12h.
140
Figura 5.96: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 10, 42m, às 16h.
Figura 5.97: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 0, 2z
i
, às 16h.
141
Figura 5.98: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = 0, 5z
i
, às 16h.
Figura 5.99: Função de autocorrelação das componentes da velocidade calculada a
partir de dados do modelo LES em z = z
i
, às 16h.
142
O ajuste de curva na função de autocorrelação foi utilizado para estimar a escala
integral da série turbulenta. Neste caso, a constante a da equação (5.17) é definida
como a escala integral de comprimento, a ≡ L. Para cada uma das séries dos
horários selecionados estimou-se o valor de L. Com isto montou-se as tabelas 5.2
e 5.3. Estas tabelas indicam na sua primeira linha o ponto de grade (ver figura
5.55) e na sua primeira coluna o nível no qual foi estimado a escala integral. A
última coluna expressa a média de cada nível.
Tabela 5.2: Estimativas para a escala integral no horário das 12h (local) para diferentes
níveis da CLP.
12h T
1
T
2
T
3
T
4
T
10, 42m 138, 86m 158, 66m 91, 62m 103, 68m 123, 21m
0, 2z
i
269, 59m 282, 74 233, 17m 255, 01m 260, 17m
0, 5z
i
119, 13m 124, 91m 102, 03m 110, 10m 114, 04m
z
i
263, 89m 258, 81m 250, 50m 265, 67m 259, 72m
Tabela 5.3: Estimativas para a escala integral no horário das 16h (local) para diferentes
níveis da CLP.
16h T
1
T
2
T
3
T
4
T
10, 42m 153, 21m 141, 87m 162, 16m 176, 07m 159, 00m
0, 2z
i
194, 94m 205, 77 155, 41m 160, 68m 180, 54m
0, 5z
i
186, 07m 178, 88m 229, 58m 219, 01m 203, 55m
z
i
197, 76m 201, 36m 171, 73m 175, 30m 186, 48m
Os valores encontrados para a escala integral, nos dois períodos, são maiores
(uma ordem de grandeza) do valor encontrado por Welter (2006) a partir de da-
dos experimentos. Além do mais, o valor de L diminuir no centro da camada, no
horário das 12h, causa uma certa desconfiança na confiabilidade desta estimativa.
Contudo, o problema pode estar na forma de estimar a escala integral a partir da
função de autocorrelação. Pela definição, a escala integral é a área sob a curva da
função de autocorrelação, ou seja, a integral da mesma. Entretanto, mesmo para
dados de alta resolução é difícil efetuar o cálculo da escala integral pelo método de
integração pois o valor numérico não converge devido as oscilações nas maiores
escalas da série de dados.
143
Empregando-se o valor médio encontrado para a escala integral nos quatro
pontos de grade selecionados e, além disto, a velocidade longitudinal média destes
pontos em cada nível calculou-se alguns parâmetros que caracterizam a turbulên-
cia: a intensidade da turbulência (I), o número de Reynolds (Re), o número de
Reynolds da microescala de Taylor (R
λ
), o comprimento da escala de Taylor (λ) e
a taxa de dissipação (ε). Estes valores foram calculados a partir de equações que
relacionam estas variáveis. Como conseqüência, estas equações forncem uma es-
timativa para estes parâmetros turbulentos. A análise que foi realizada é relevante
uma vez que obter estes parâmetros com alta precisão exige uma sofisticada téc-
nica de medida e uma alta resolução nos dados.
A intensidade da turbulência I é definida como a razão entre o desvio padrão
da velocidade longitudinal e a velocidade longitudinal média, assim temos
I =
σ
u
u
. (5.18)
O número de Reynolds foi calculado pela sua definção, dada por
Re =
uL
ν
. (5.19)
Neste trabalho utilizado um valor padrão para a viscosidade cinemática ν = 1, 42 ×
10
−5
m
2
s
−1
. O número de Reynolds da microescala de Taylor foi estimado a partir
da relação 5.20 (LANDAU; LIFSHITZ, 1959; HINZE, 1975)
R
λ
= (Re)
1/2
. (5.20)
O comprimento da microescala de Taylor foi obtido de uma relação para estimar o
número de Reynolds desta escala. Uma expressão equivalente para o número de
Reynolds é expressa na seguinte forma
R
λ
=
σ
u
λ
ν
. (5.21)
A partir equação (5.21) pode-se facilmente encontrar uma expressão para estimar
144
o comprimento da microescala de Taylor. Desta maneira o comprimento da escala
de Taylor pode ser dado por
λ =
R
λ
ν
σ
u
. (5.22)
A taxa de dissipação foi estimada a partir da seguinte expressão, que relaciona
a viscosidade cinemática, o desvio padrão da velocidade longitudinal e o compri-
mento da microescala de Taylor
ε = 15ν
σ
u
λ
2
. (5.23)
Empregando-se as relações apresentadas anteriormente e os dados obtidos do
modelo LES foram construídas as tabelas 5.4 e 5.5, com as características da turbu-
lência na camada limite planetária, em diferentes niveis nos horários das 12h e 16h
(local). Nestas tabelas todos os valores que possuem unidade estão apresentados
no SI.
Tabela 5.4: Estimativas de alguns parâmetros que caracterizam a turbulência no horário
das 12h (local) para diferentes níveis da CLP.
12h u σ
u
I Re R
λ
λ ε
10, 42m 7, 04 0, 77 0, 11 6, 11 × 10
7
7, 82 × 10
3
0, 14 6, 08 × 10
−3
0, 2z
i
8, 81 0, 44 0, 05 1, 61 ×10
8
1, 30 × 10
4
0, 41 2, 50 × 10
−4
0, 5z
i
8, 72 0, 33 0, 04 7, 00 ×10
7
8, 37 × 10
3
0, 36 1, 78 × 10
−4
z
i
9, 38 0, 35 0, 04 1, 72 ×10
8
1, 31 × 10
4
0, 53 9, 24 × 10
−5
Tabela 5.5: Estimativas de alguns parâmetros que caracterizam a turbulência no horário
das 16h (local) para diferentes níveis da CLP.
16h u σ
u
I Re R
λ
λ ε
10, 42m 6, 38 0, 59 0, 09 7, 14 × 10
7
8, 45 × 10
3
0, 20 1, 90 × 10
−3
0, 2z
i
9, 53 0, 27 0, 03 1, 21 ×10
8
1, 10 × 10
4
0, 58 4, 62 × 10
−5
0, 5z
i
9, 29 0, 26 0, 03 1, 33 ×10
8
1, 15 × 10
4
0, 63 3, 62 × 10
−5
z
i
7, 90 0, 12 0, 02 1, 04 ×10
8
1, 02 × 10
4
1, 21 2, 09 × 10
−6
Os dados apresentados nas tabelas 5.4 e 5.5 indicam que, nestes horários, a
turbulência na CLP é bem desenvolvida. Welter (2006) calculou alguns destes pa-
145
râmetros a partir de dados medidos em uma torre micrometeorológica e os estimou
de maneira diferente (através da função estrutura de segunda ordem e integral da
função de autocorrelação). Em seu estudo, Welter (2006) encontrou para a escala
integral valores da ordem de dezenas de metros, ou seja, uma ordem de gran-
deza menor que os apresentados nas tabelas 5.4 e 5.5. Quanto ao número de
Reynolds da microescala de Taylor, Welter (2006) apresenta valores de uma or-
dem de grandeza maior que os apresentados neste trabalho (considerando dados
em z = 10, 42m). Entretanto os valores do comprimento da escala de Taylor evi-
denciam uma boa relação com os observados por Welter (2006) a partir de dados
experimentais. Além disto, é importante ressaltar que nos dois períodos analisados
(em todos os níveis) a intensidade da turbulência calculada apresenta valores me-
nores que 0, 5. Isto é importante pois satisfaz a hipótese de Taylor e nos permite
associar as funções estrutura e de autocorrelação espaciais com medidas tempo-
rais (hipótese da turbulência congelada)(STULL, 1988).
Capítulo 6
Considerações Finais
Neste trabalho evidencia-se a capacidade do modelo LES de Moeng (1984) em
representar escoamentos turbulentos na camda limite planetária. Isto é inferido a
partir da comparação entre os resultados de uma simulação do ciclo diário da CLP,
sob condições de bom tempo, com dados experimentais obtidos em uma torre mi-
crometeorológica. Da mesma forma, resultados publicados na literatura a respeito
de conclusões experimentais e simulações com outros modelos LES corroboram a
capacidade do modelo LES de Moeng (1984) em gerar os diferentes e complexos
aspectos da turbulência na CLP. Na simulação realizada nste trabalho, o modelo
LES apresenta maior dificuldade para descrever a CLP no período noturno. Devido
as diferentes propriedades da turbulência nos dois períodos, esta falta de precisão
em tal período é, provavelmente, decorrência da falta de resolução da malha nu-
mérica. O período noturno exige um espaçamento de grade menor que o período
convectivo.
A comparação com dados experimentais de superfície, obtidos no sítio expe-
rimental de Candiota, RS, Brasil apresentou resultados satisfatórios, sobretudo no
período diurno. No período noturno a maior dificuldade do modelo LES foi reprodu-
zir a energia cinética turbulenta. Outro ponto que deve ser avaliado é a inicialização
do modelo, pois a comparação entre LES e dados experimentais apontam uma fa-
lha no processo de randomização dos campos iniciais, ou seja, o LES não impõe
uma condição semelhante a um escoamento turbulento nos momentos iniciais da
simulação. Após algumas centenas de interações o modelo começa a convergir
para um escoamento mais realistico, ou seja, uma situação mais próxima daquela
146
147
exibida na natureza. Isto pode não ser um problema quando se deseja simular um
campo turbulento qualquer tendo como objetivo apenas comparar as propriedades
do escoamento após este período de convergência. Entretanto, quando se deseja
comparar os resultados da saída do modelo com dados experimentais necessita-se
que o modelo apresente uma rápida convegência.
Uma das grandes vantagens do modelo LES é a capacidade de reproduzir todo
o perfil vertical da CLP com uma alta resolução temporal e espacial. Este mesmo
tipo de análise é bastante complicada e de alto custo quando realizada do ponto
de vista observacional e este é um dos fatores pelo qual o LES é tão largamente
utilizado pela comunidade científica. O experimento realizado no Projeto Candiota
2007 não contava com sondagens verticais do perfil da CLP. Devido a isto, para
se comparar os resultados obtidos neste trabalho foram utilizados perfis observa-
dos por outros pesquisadores através de modelos LES e experimentos. O modelo
LES de Moeng (1984) reproduziu bem os perfis verticais das diferentes variáveis
de interessa na CLP, principalmente no período convectivo da simulação. No pe-
ríodo noturno, que é caracterizado pela estratificação térmica estável, foi observado
a presença do jato de baixos níveis (JBN) no topo da CLE. Este é um resultado
positivo, um a vez que outros pesquisados também os verificaram através de expe-
rimentos e simulações LES (STULL, 1988; SORBJAN, 1989; COXART; JIMÉNEZ,
2006; BASU; VINUESA; SWIFT, 2008). Entretanto, ocorrem picos de energia ciné-
tica turbulenta associada às escalas de subfiltro. Este fato acarreta uma incerteza
nos resultados nos perfis de energia cinética turbulenta.
Um dos objetivos deste trabalho foi a obtenção da evolução dos termos da equa-
ção de balanço da energia cinética turbulenta para a CLP. Os perfis calculados na
simulação do ciclo diário da CLP concordam com as previsões teóricas e expe-
rimentais sobre estes termos(CAUGHEY, 1982; STULL, 1988; SORBJAN, 1989).
Contudo, a evolução da taxa de dissipação apresenta um comportamento fora do
esperado no topo da CLE. Nesta região vertical ocorre um pico na taxa de dissi-
pação, de forma que os valores são maiores que os valores na superfície. A taxa
de dissipação, no modelo LES, é calculada a partir do modelo de subfiltro ou sub-
grade (SULLIVAN; MCWILLIAMS; MOENG, 1994). Como também ocorre um pico
148
de energia cinética turbulenta em tal região é bastante provável que este pico na
taxa de dissipação esteja associado às incertezas do modelo de subfiltro.
É importante salientar que na realização de um trabalho sobre camada limite
planetária é impossível de se deixar de estudar as propriedades do campo tur-
bulento a ela relacionadas. Uma metodologia utilizadas para a análise de dados
turbulentos é a teoria estátistica da turbulência. Neste ponto deve ser lembrado que
a turbulência pode ser interpretada como um sistema termodinâmico fora do equi-
líbrio e portanto não é descrita pelas equações de mecânica estatística clássica
(WELTER, 2006). No presente estudo investigou-se tanto propriedades estatísti-
cas espaciais quanto temporais. Do ponto de vista espacial foram obtidas os perfis
verticais das variâncias da velocidade e temperatura. Estes perfis geradis do mo-
delo LES apresentam uma boa concordância com os dados experimentais medidos
por vários autores para a CLP convectiva(KAIMAL et al., 1976; CAUGHEY, 1982;
STULL, 1988; SORBJAN, 1989). No entanto os dados simulados para a CLP está-
vel exibem um comportamento diferente do descrito na literatura. Do ponto de vista
temporal foram calculadas as funções estrutura de segunda ordem e as funções de
autocorrelação das componentes da velocidade. Tanto as funções estrutura como
de autocorrelação são definidas em termos espaciais. Como estas funções exigem
um tratamento matemático baseado em um sistema de referência bem definido pela
teoria estatistica de funções aleatórias (PANCHEV, 1971), a utilização de uma série
de dados temporais facilita a obtenção destes requisitos teóricos. Além do mais,
pela hipótese de Taylor é possível relacionar dados estatísticos fornecidos a par-
tir de uma série temporal em um formalismo espacial. As funções estrutura para
diferentes níveis e períodos da CLP, obtidas a partir dos dados do modelo LES,
apresentam um comportamento semelhante àquelas estimadas através de dados
experimentais. Nestas funções estrutura espera-se encontrar três intervalos bem
definidos que descrevem diferentes escalas da turbulência, sobretudo o subinter-
valo inercial. Porém este intervalo não é claramente observado na análise destas
funções. Entretanto isto não é apenas um problema do modelo LES. Mesmo com
dados experimentais de boa qualidade este intervalo característico do escoamento
turbulento não é bem representado nestas funções (WELTER, 2006). Contudo, a
partir das funções estrutura e da teoria estatística proposta por Kolmogorov (1941)
149
obteve-se a variação vertical da taxa de dissipação da energia cinética turbulenta.
Comparando-se os valores encontrados a partir das funções estrutura e do modelo
de subfiltro verificou-se que os picos da taxa de dissipação apresentados pelo mo-
delo de subfiltro realmente são oriundos das incertezas atribuídas àquelas escalas.
Além do mais, a partir das funções de autocorrelação e relações que estimam parâ-
metros turbulentos obteve-se algumas quantidades que caracterizam a turbulência
na CLP (intensidade da turbulência, número de Reynolds (global e escala de Tay-
lor), comprimento da microescala de Taylor e taxa de dissipação. De forma geral,
estes parâmetros apresentaram uma boa relação com o esperado a partir de re-
sultados teóricos. É importante ressaltar que a intensidade da turbulência obtida
garante a utilização da hipótese de Taylor.
A partir deste trabalho pretende-se continuar um estudo sobre a caracterização
da turbulência gerada pelo modelo LES. Alguns trabalhos futuros nesta linha estão
previstos, dentre eles novas simulações com maior resolução com o intuito de se
obter funções estrutura de ordem superior e com isso investigar o comportamento
do modelo LES em relação a auto similaridade extendida da turbulência. Da mesma
forma, pretende-se determinar a constante de Kolmogorov. Adicionalmente, um
objetivo futuro será o desenvolvimento de um novo modelo de inicialização para a
simulação LES. Espera-se que este novo método de inicialização contemple uma
estatística mais realística do ponto de vista da turbulência.
Apêndice A
Teorema do Transporte de Reynolds
Seja B uma quantidade qualquer relativa a um fluido e b seu valor por unidade
de massa, m, tal que
B = mb. (A.1)
Este fluido escoa através de um volume de controle V
c
e tem uma quantidade de
massa contida no volume do sistema V
sis
, que se move com velocidade
U em re-
lação ao referencial em que V
c
está fixo. O Teorema do Transporte de Reynolds
relaciona a variação temporal de B no volume de controle e no sistema. Para um
volume infinitesimal δV de fluido temos que
δm = ρδV, (A.2)
logo,
B = ρδV b. (A.3)
O valor de B para todo o sistema vale:
B
sis
=
i
b
i
(ρδV
i
) . (A.4)
No limite em que δV
i
→ 0,
150
151
B
sis
=
sis
ρbdV. (A.5)
De forma análoga, o valor de B no volume de controle é dado por
B
V
c
=
V
c
ρbdV. (A.6)
A taxa de variação temporal de B em cada um dos volumes de contorno anali-
sados é dada por:
d
dt
B
sis
=
d
dt
sis
ρbdV
d
dt
B
V
c
=
d
dt
V
c
ρbdV (A.7)
Considerando-se que em um tempo inicial t
= t, B
c
= B
sis
e analisando-se a
figura A.1 em um instante t
= t + δt teremos
B
sis
(t + δt) = B
V
c
(t + δt) − B
V
I
(t + δt) + B
V
II
(t + δt). (A.8)
A variação de B
sis
em um intervalo de tempo δt é dada por
δB
sis
δt
=
B
sis
(t + δt) − B
sis
(t)
δt
, (A.9)
substituindo a equação (A.8) em (A.9) temos:
δB
sis
δt
=
B
V
c
(t + δt) − B
V
I
(t + δt) + B
V
II
(t + δt) − B
sis
(t)
δt
. (A.10)
Lembrando-se que em t
= t, B
c
= B
sis
e, substituindo-se em (A.10),
δB
sis
δt
=
B
V
c
(t + δt) − B
V
c
(t)
δt
−
B
V
I
(t + δt)
δt
+
B
V
II
(t + δt)
δt
. (A.11)
Calculando-se (A.10) no limite em que δt → 0, resulta
152
Figura A.1: Representação de V
c
e V
sis
lim
δt→0
δB
sis
δt
= lim
δt→0
B
V
c
(t + δt) − B
V
c
(t)
δt
− lim
δt→0
B
V
I
(t + δt)
δt
+ lim
δt→0
B
V
II
(t + δt)
δt
. (A.12)
d
dt
B
sis
=
∂
∂t
B
V
c
− lim
δt→0
B
V
I
(t + δt)
δt
+ lim
δt→0
B
V
II
(t + δt)
δt
. (A.13)
d
dt
B
sis
=
∂
∂t
B
V
c
−
˙
B
ent
+
˙
B
sai
, (A.14)
onde
˙
B
ent
representa a taxa com B entra e
˙
B
sai
a taxa com B sai do volume de
controle V
c
através das superfícies que fazem fronteira entre V
c
e V
sis
, sendo estas
superfícies definidas como F E e F S, respectivamente. O valor de
˙
B
sai
é dado pela
soma das contribuições desta quantidade que passa por cada elemento infinitesimal
de área δA de F S. Analisando-se a figura A.2, podemos chegar nas seguintes
relações:
153
Figura A.2: Elemento de área infinitesimal de V
c
e vetores
δB = δmb
δB = ρδV b
δV = δAδl cos θ
δl = Uδt
δB = ρbδAUδt cos θ, (A.15)
então
δ
˙
B
sai
=
δB
δt
lim
δt→0
δB
δt
= lim
δt→0
ρbδAUδt cos θ
δt
lim
δt→0
δB
δt
= ρbδAU cos θ, (A.16)
escrevendo U cos θ como
U · ˆn, onde ˆn é o vetor unitário normal a superfície
δ
˙
B = ρb
U · ˆnδA. (A.17)
No limite em que δA → 0, faz-se a soma de todos os elementos
˙
B
sai
que atravessam
a superficie F S. Isto equivale a integrar δ
˙
B
sai
sobre esta superfície, então
154
˙
B
sai
=
F S
δ
˙
B
sai
˙
B
sai
=
F S
ρb
U · ˆndA. (A.18)
De maneira análoga,
˙
B
ent
é dado por
˙
B
ent
= −
F E
ρb
U · ˆndA. (A.19)
Logo, o saldo da variação de B no volume de controle é dado por:
˙
B
sai
−
˙
B
ent
=
F S
ρb
U · ˆndA +
F E
ρb
U · ˆndA
˙
B
sai
−
˙
B
ent
=
SV
c
ρb
U · ˆndA, (A.20)
onde SV
c
é a superfície do volume de controle. Substituindo-se a equação (A.20)
em (A.14) obtem-se
d
dt
B
sis
=
∂
∂t
B
V
c
+
SV
c
ρb
U · ˆndA. (A.21)
A equação (A.21) relaciona a variação temporal do volume de contorno do sis-
tema com a variação temporal local do volume de controle. A diferença entre as
duas é a variação do fluxo da quantidade B atráves da superfície do volume de
contorno. A variação temporal de B
sis
fornece a descrição lagrangiana, ou seja,
a variação vista por um observador fixo que segue uma determinada particula de
fluido. Já a variação local de B
V
c
fornece uma descrição euleriana da quantidade
B. O termo que indica a variação do fluxo é o termo de transporte ou advecção de
B.
Apêndice B
Equação da Continuidade
Existem várias maneiras de se obter a equação da continuidade. Aqui, a sua
derivação será feita a partir do Teorema de Transporte de Reynolds. Fazendo-se
as mesmas considerações para os volumes de contorno do apêndice A, e B = m,
logo, b = 1, pelo Teorema de Transporte de Reynols, temos:
d
dt
m
sis
=
∂
∂t
m
V
c
+
SV
c
ρ
U · ˆndA. (B.1)
Se a massa se conserva,
d
dt
m
sis
= 0, (B.2)
logo
∂
∂t
m
V
c
+
SV
c
ρ
U · ˆndA = 0. (B.3)
Aplicando-se o teorema da divergência de Gauss na integral de superfície da equa-
ção (B.3) e considerando-se as seguintes igualdades:
ρ =
dm
dV
dm = ρdV
m =
ρdV, (B.4)
155
156
a expressão (B.3) pode ser reescrita como
∂
∂t
V
c
ρdV +
V
c
∇ ·
ρ
U
dV = 0. (B.5)
Como os limites de integração da região V
c
independem do tempo, o operador deri-
vada parcial pode ser manipulado e colocado dentro do operador integral,
V
c
∂ρ
∂t
dV +
V
c
∇ ·
ρ
U
dV = 0
V
c
∂ρ
∂t
+
∇ ·
ρ
U
dV = 0
∂ρ
∂t
+
∇ ·
ρ
U
= 0. (B.6)
A equação (B.6) é a equação da continuidade e, nesta forma, associa a vari-
ação local da densidade do fluido com a divergência do fluxo de massa do fluido.
Manipulando o termo do divergente na equação, obtem-se
∂ρ
∂t
+
∇ ·
ρ
U
= 0
∂ρ
∂t
+
U ·
∇ρ + ρ
∇ ·
U = 0
dρ
dt
+ ρ
∇ ·
U = 0
1
ρ
dρ
dt
+
∇ ·
U = 0, (B.7)
onde a equação (B.7) associa a variação total da densidade de um fluido com a
divergência do campo de velocidade, ou seja, se um fluido for incompressível, por-
tanto, apresentando densidade constante, o escoamento é não divergente. Assim,
as seguintes igualdades são válidas:
ρ = cte
dρ
dt
= 0,
logo,
∇ ·
U = 0.
Apêndice C
A Segunda Lei de Newton aplicada a
fluidos geofísicos
A segunda Lei de Newton expressa a relação “causa-conseqüência” na dinâ-
mica de uma partícula em relação a um referencial. Isto é feito através da relação
entre força resultante que atua sobre a partícula (causa) com a variação temporal
do momento linear da mesma, (conseqüência). Matematicamente, definimos
F =
dp
dt
(C.1)
onde
F =
i
F
i
é a força e p é o momento linear da partícula. Considerando-se
a Segunda Lei de Newton aplicada a um elemento de fluido (representado por um
cubo, como o da figura C.1(a)) devemos inicialmente analisar as forças que atuam
sobre tal elemento afim de encontrar a sua resultante. Adotando-se um referencial
fixo na Terra e assumindo-se este referencial como inercial, as forças atuantes em
um elemento de fluido presente na atmosfera terrestre são: a força peso (de origem
gravitacional) que atua no centro gravitacional do elemento de fluido e a força de
superfície (de origem eletromagnética) que atua nas paredes do elemento de fluido
e surge devido ao contato de um elemento de fluido com as adjacências.
Força de natureza gravitacional – Força Peso
Aproximando-se a forma do planeta como esférico e de massa uniformemente
distribuída e um elemento infenitesimal de fluido, a força de origem gravitacional
157
158
Figura C.1: (a) Representação do elemento de fluido e as forças que sobre ele atuam.
(b) Representação das tensões que agem em uma face do elemento de fluido.
que atua sobre o elemento é dada pela Lei de Newton para a Gravitação
δF g = −G
Mδm
r
2
ˆr (C.2)
onde G é a constante de gravitação universal, M a massa do planeta, δm a massa
do elemento de fluido e r a distância do centro da Terra até a posição do elemento
de fluido (ˆr o versor que indica a direção e sentido da força gravitacional). Como
a força gravitacional é a própria força peso definida como
P = mg, onde g é a
aceleração da gravidade, igualando-se as equações (C.2) e a definição de força
peso resulta
δF g =
δP
−G
Mδm
r
2
ˆr = δmg
g = −G
M
r
2
ˆr (C.3)
Pode-se escrever a distância que separa a partícula do centro da Terra como a
soma do raio da Terra (a) e a altura em que ela se encontra (a partir da superfície)
(h), logo r = a + h. Substituindo-se esta relação na equação (C.3), obtem-se
159
Figura C.2: Representação de uma partícula qualquer a uma distância r do centro da
Terra.
g = −G
M
(a + h)
2
ˆr. (C.4)
A variável a na equação anterior pode ser fatorada e disto resulta,
g = −G
M
a
2
1 +
h
a
−2
ˆr
g = −g
o
1 +
h
a
−2
ˆr, (C.5)
onde g
o
é definido como o módulo da aceleração da gravidade na superfície da
Terra,
g
o
≡ G
M
a
2
. (C.6)
Fazendo-se uma simples análise de escala baseada na atmosfera padrão re-
sulta uma simplificação na equação (C.5). Para um elemento de fluido na atmos-
fera terrestre h a, pois os níveis mais altos da atmosfera são da ordem de
500km, entretanto, a maior parte do ar atmosférico (cerca de 99%) está até uma
160
altura de aproximadamente 32km. Logo podemos sem problemas usar um valor
máximo para h de 100km (nível onde inicia a termosfera que é uma camada da at-
mosfera composta principalmente por Hidrogênio e Hélio em baixas concentrações.
Comparado-se com o raio da Terra que é aproximadamente 6400km a razão h/a é
aproximadamente zero (h/a = 0, 0156 ≈ 0), segue que
1 + h/a ≈ 1, (C.7)
então a expressão (C.5) pode ser aproximada por
g = −g
o
ˆr. (C.8)
Desta maneira o elemento diferencial de força de origem gravitacional que atua
sobre um fluido é dado por
δF
g
= −δmg
o
ˆr
δF
g
= δmg. (C.9)
Pela definição de densidade:
ρ =
δm
δV
, (C.10)
onde ρ é a densidade e δV o volume do elemento diferencial de fluido. Logo,
δm = ρδV, (C.11)
e a equação (C.9) é reescrita como:
δF
g
= ρδV g
δF
g
δV
= ρg. (C.12)
No limite δV → 0:
161
lim
δV →0
δF
g
δV
= lim
δV →0
ρg
dF
g
dV
= ρg
dF
g
dV
= −ρg
o
ˆr (C.13)
Forças de natureza eletromagnética – Forças de Su-
perfície
A análise da força de superfície é um pouco mais sofisticada pois além de con-
siderar a direção em que a força atua também devemos levar em conta a “face” do
elemento de fluido. Logo, as interações eletromagnéticas na superfície do elemento
de fluido são bem descritas pelas componentes de um tensor τ
ij
, onde defini-se que
o primeiro índice identifica a direção normal à face analisada e o segundo índice a
direção da componente do tensor. De acordo com a figura C.1(b) o tensor τ
ij
é
definido pela matriz:
τ
ij
=
τ
xx
τ
xy
τ
xz
τ
yx
τ
yy
τ
yz
τ
zx
τ
zy
τ
zz
.
onde as componentes do tensor que são normais as faces do elemento de fluido
ocupam a diagonal principal da matriz e doravante serão definidos como τ
i,i
= σ
i,i
.
A relação entre cada componente do tensor e a respectiva componente da força de
superfície é dada por
τ
ij
=
δF
ij
δA
(C.14)
onde δA é a área de uma face do elemento de fluido. Cada componente x, y, z da
força é proporcional a soma dos elementos de cada coluna da matriz que define o
tensor τ.
Para o eixo y, a força de superfície é dada por:
162
δF
s
y
= δF
xy
+ δF
yy
+ δF
zy
δF
s
y
= τ
xy
δyδz + σ
yy
δxδz + τ
zy
δxδy (C.15)
De forma análoga para o eixo x e y:
δF
s
x
= δF
xx
+ δF
yx
+ δF
zx
δF
s
x
= σ
xx
δyδz + τ
yx
δxδz + τ
zx
δxδy, (C.16)
δF
s
z
= δF
xz
+ δF
yz
+ δF
zz
δF
s
z
= τ
xz
δyδz + τ
yz
δxδz + σ
zz
δxδy. (C.17)
Porém, o elemento de fluido têm duas faces normais a cada eixo, portanto a
compotente τ
ij
deve ser a resultante entre as componetes τ
ij
1
e τ
ij
2
que atua em
cada face. Para as faces normais ao eixo y definimos τ
yj
1
≡ τ
yj↑
como as tensões
que agem na face superior do elemento de fluido e τ
yj
2
≡ τ
yj↓
as que agem na face
oposta. Logo, pelo referencial adotado (expresso na figura C.1):
τ
yj
= τ
yj↑
− τ
yj↓
(C.18)
Para calcular a tensão em cada face obtemos a sua variação através do ele-
mento de fluido. Considerando-se que o elemento de fluido é um cubo de aresta
δl tal que δl = δx = δy = δz, e escolhendo um ponto P
0
(P
0
= (x
0
, y
0
, z
0
) =
(δx/2, δy/2, δz/2)) no centro do elemento de fluido tal que a tensão que age neste
ponto é dada por
τ
0
= τ
yj
(x
0
, y
0
, z
0
). (C.19)
A variação de τ
yj
ao logo do eixo j pode ser estimada através de uma expansão
em Série de Taylor. Para as tensões que agem na superfície superior e inferior do
elemento de fluido na direção x,
163
τ
yx↑
= τ
0
+
∂τ
yx
∂x
δx
2
+
1
2
∂
2
τ
yx
∂x
2
δx
2
2
+ . . .
τ
yx↓
= τ
0
−
∂τ
yx
∂x
δx
2
+
1
2
∂
2
τ
yx
∂x
2
δx
2
2
+ . . . (C.20)
Desprezando-se os termos de ordem n ≥ 2 da série de Taylor, devido as suas
pequenas magnitudes (conseqüência do termo (δx/n!)
n
), a tensão resultante na
face y na direção x é dada por:
τ
yx
= τ
yx↑
− τ
yx↓
τ
yx
=
τ
0
+
∂τ
yx
∂y
δy
2
−
τ
0
−
∂τ
yx
∂y
δy
2
τ
yx
=
∂τ
yx
∂y
δy. (C.21)
De forma análoga, para as demais tensões tangenciais:
τ
yz
=
∂τ
yz
∂y
δy
τ
xy
=
∂τ
xy
∂x
δx
τ
xz
=
∂τ
xz
∂x
δx
τ
zx
=
∂τ
zx
∂z
δz
τ
zy
=
∂τ
zy
∂z
δz,
e para as normais
σ
xx
=
∂σ
xx
∂x
δx
σ
yy
=
∂σ
yy
∂y
δy
σ
zz
=
∂σ
zz
∂z
δz.
Então a equação (C.15) que expressa a força de superfície na direção y pode
ser reescrita como:
164
δF
s
y
=
∂τ
xy
∂x
δxδyδz +
∂σ
yy
∂y
δyδxδz +
∂τ
zy
∂z
δzδxδy
δF
s
y
=
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
yy
∂y
+
∂τ
zy
∂z
δxδyδz
δF
s
y
=
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
yy
∂y
+
∂τ
zy
∂z
δV
δF
s
y
δV
=
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
yy
∂y
+
∂τ
zy
∂z
. (C.22)
Levando volume do elemento de fluido para um volume infinitesimal, temos que
lim
δV →0
δF
s
y
δV
= lim
δV →0
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
yy
∂y
+
∂τ
zy
∂z
dF
s
y
dV
=
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
yy
∂y
+
∂τ
zy
∂z
. (C.23)
Aplicando manipulações matemáticas similares para as outras dimensões re-
sulta que,
dF
s
x
dV
=
∂σ
xx
∂x
+
∂τ
yx
∂y
+
∂τ
zx
∂z
dF
s
z
dV
=
∂τ
xz
∂x
+
∂τ
yz
∂y
+
∂σ
zz
∂z
. (C.24)
Podemos escrever o tensor τ
ij
como a seguinte soma (LANDAU; LIFSHITZ,
1959):
τ
ij
= −δ
ij
p + Λ
ij
(C.25)
onde δ
ij
é o delta de Kronecker, p é a pressão e Λ
ij
é o tensor de viscosidade. Assim
o tensor τ é a soma dos efeitos de pressão e viscosidade agindo no elemento de
fluido. É interessante observar que o tensor delta de Kronecker é definido como
uma matriz identidade:
δ
ij
=
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
.
165
portanto δ
ij
= 1 se i = j e δ
ij
= 0 se i = j. Deste modo a pressão só tem
participação nas componentes normais do tensor τ
ij
.
Considerando-se um fluido newtoniano
1
o tensor de viscosidade pode ser es-
crito como
Λ
ij
= a
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
+ δ
ij
b
∂u
α
∂x
α
(C.26)
onde u
i
é a componente do vetor velocidade
U na direção x
i
. Defindo-se que u, v, w
são as componentes do vetor
U nas direções (x, y, z), respectivamente, percebe-se
que o último termo da equação (C.26) tem suas componentes somadas em todas
direções. Para cada valor de i, a componente normal do tensor τ
ij
na direção y
pode ser escrito como:
σ
yy
= −p + a
∂v
∂y
+
∂v
∂y
+ b
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
σ
yy
= −p + a
∂v
∂y
+
∂v
∂y
+ b
∇ ·
U. (C.27)
e as demais componentes do tensor na direção y são dadas por:
τ
xy
= a
∂u
∂y
+
∂v
∂x
(C.28)
τ
zy
= a
∂w
∂y
+
∂v
∂z
(C.29)
Substituindo-se as equações (C.27), (C.28) e (C.29) na equação (C.23) temos que
a força na direção y é dada por:
dF
s
y
dV
=
∂
∂x
a
∂u
∂y
+
∂v
∂x
+
∂
∂y
−p + a
∂v
∂y
+
∂v
∂y
+ b
∇ ·
U
+
∂
∂z
a
∂w
∂y
+
∂v
∂z
. (C.30)
1
Fluido newtoniano é um modelo no qual o tensor de viscosidade é proporcional a variação da
velocidade na direção normal ao escoamento. Esta aproximação é válida na maioria dos fluidos de
interesse da mecânica de fluidos geofísicos, em especial para o ar atmosférico.
166
Aproximando-se o fluido newtoniano por um fluido newtoniano e imcompressí-
vel
2
e analisando-se a equação da continuidade (ver página 156 no apêndice B)
resulta que o escoamento é não divergente, portanto
∇ ·
U = 0. Empregando esta
aproximação na equação (C.30),
dF
s
y
dV
=
∂
∂x
a
∂u
∂y
+
∂v
∂x
+
∂
∂y
−p + a
∂v
∂y
+
∂v
∂y
+
∂
∂z
a
∂w
∂y
+
∂v
∂z
.
(C.31)
Assumindo-se a como uma constante e definindo-a como a ≡ µ, onde µ é a visco-
sidade dinâmica, a equação (C.31) é reescrita como:
dF
s
y
dV
= µ
∂
∂x
∂u
∂y
−
∂p
∂y
+ µ
∂
2
v
∂y
2
+ µ
∂
∂y
∂v
∂y
+ µ
∂
∂z
∂w
∂y
(C.32)
Considerando-se a simetria do tensor τ
ij
podemos aplicar a seguinte propriedade:
∂
∂x
i
∂u
i
∂x
j
=
∂
∂x
j
∂u
i
∂x
i
então a equação (C.32) pode ser reescrita como
dF
s
y
dV
= µ
∂
∂y
∂u
∂x
−
∂p
∂y
+ µ
∂
2
v
∂y
2
+ µ
∂
∂y
∂v
∂y
+ µ
∂
∂y
∂w
∂z
dF
s
y
dV
= −
∂p
∂y
+ µ
∂
2
v
∂y
2
+ µ
∂
∂y
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
dF
s
y
dV
= −
∂p
∂y
+ µ
∂
2
v
∂y
2
+ µ
∂
∂y
∇ ·
U
dF
s
y
dV
= −
∂p
∂y
+ µ
∂
2
v
∂y
2
(C.33)
analogamente para as direções x e z:
2
Esta é uma aproximação largamente utilizada em dinâmica de fluidos na atmosfera, principal-
mente na CLP onde as flutuações de densidade são muito menores que a própria densidade do
ar.
167
dF
s
x
dV
= −
∂p
∂x
+ µ
∂
2
u
∂x
2
(C.34)
dF
s
z
dV
= −
∂p
∂z
+ µ
∂
2
w
∂x
2
, (C.35)
logo a força de superfície resultante é dada por
dF
s
dV
=
dF
s
x
dV
+
dF
s
y
dV
+
dF
s
z
dV
dF
s
dV
= −
∂p
∂x
+ µ
∂
2
u
∂x
2
−
∂p
∂y
+ µ
∂
2
v
∂y
2
−
∂p
∂z
+ µ
∂
2
w
∂x
2
dF
s
dV
= −
∂p
∂x
+
∂p
∂y
+
∂p
∂z
+ µ
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
v
∂y
2
+
∂
2
w
∂z
2
dF
s
dV
= −
∇p + µ∇
2
U (C.36)
Forças Inerciais
A primeira Lei de Newton define os referenciais inerciais como sendo aqueles
onde uma partícula esta em repouso ou com movimento retilíneo uniforme (MRU)
e nestes referenciais muito peculiares as leis de Newton são válidas. Portanto,
um referencial que se move juntamente com o planeta Terra, em relação a um re-
ferencial inercial, não pode ser considerado um referencial desta natureza devido
ao movimento de translação e rotação da Terra, que são acelerados. Então, para
utilizarmos as Leis de Newton para uma partícula que tem sua posição obtida a
partir de um referencial que se move com a superfície da Terra (em relação a um
referencial inercial) devemos incluir forças de origem inercial (que surgem devido
a aceleração do referencial em relação a um referencial inercial) no somatório das
forças que atuam sobre partícula. Estas forças surgem naturalmente quando mani-
pulamos matematicamente a segunda Lei de Newton. Um referencial aceito como
inercial é aquele no qual as estrelas distantes estão em repouso ou em MRU, pois
é senso comum na física que o movimento destas estrelas em relação a um refe-
rencial fixo na Terra é imperceptível, portanto estão em repouso.
Tomando como refencial o conjunto de eixos coordenados (x, y, z) que garan-
168
tem a condição de repouso ou MRU das estrelas distantes e o conjunto de eixos
coordenados (x
, y
, z
) (figura C.3) como fixo na superfície do planeta podemos ob-
ter as forças de origem inercial e incluí-las na segunda lei de Newton.
✠
✲
✻
y
z
x
✠
✲
✻
ˆ
j
ˆ
k
ˆ
i
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟
✟✯
R
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑✸
r
❈
❈
❈
❈
❈
❈
❈
❈❲
◗
◗
◗
◗
◗
◗
◗
◗❦
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑
✑✸
y
z
x
❈
❈❲
◗
◗❦
✑
✑✸
✻
ˆ
j
ˆ
k
ˆ
i
Ω
✡
✡
✡
✡
✡
✡✡✣
r
r
P
Figura C.3: Sistemas de referência: referencial inercial (x, y, z) e não inercial (x
, y
, z
).
Vamos considerar como exemplo o elemento de fluido na posição P (figura C.3)
tal que sua posição em relação ao referencial (x, y, z) é dada pelo vetor r e em
relação ao referencial (x
, y
, z
) é dada pelo vetor
r
. O vetor
R define a posição da
origem do sistema (x
, y
, z
) em relação a (x, y, z), logo
r
=
R + r. Se tomarmos a
a variação temporal de r em relação ao referencial fixo (inercial), resulta
dr
dt
I
=
d
R
dt
I
+
d
r
dt
I
, (C.37)
onde I indica que a derivada é realizada em relação ao referencial inercial. Sendo
R = R
x
ˆ
i + R
y
ˆ
j + R
z
ˆ
k, onde
ˆ
i,
ˆ
j,
ˆ
k são os versores da base do referencial (x, y, z) e
portanto são independentes do tempo, logo:
d
R
dt
I
=
dR
x
dx
ˆ
i +
dR
y
dy
ˆ
j +
dR
z
dz
ˆ
k. (C.38)
169
Analisando-se a variação temporal do vetor r em relação ao referencial inercial
deve-se atentar-se para o fato de que
ˆ
i
,
ˆ
j
,
ˆ
k
não são constantes no tempo, logo
d
r
dt
I
=
dr
x
dx
ˆ
i
+
dr
y
dy
ˆ
j
+
dr
z
dz
ˆ
k
a
+ r
x
d
ˆ
i
dx
+ r
y
d
ˆ
j
dy
+ r
z
d
ˆ
k
dz
b
. (C.39)
O termo (a) na equação (C.39) corresponde a variação temporal das coordenadas
de
r
no próprio sistema de referência (x
, y
, z
), e o termo (b) corresponde a varia-
ção dos versores
ˆ
i
,
ˆ
j
,
ˆ
k
que pode ser interpretado como os versores dos vetores
velocidade naquele referencial,
ˆ
u
,
ˆ
v
,
ˆ
w
. Como o referencial (x
, y
, z
) tem um movi-
mento de rotação dado pela velocidade angulas
Ω pode-se usar a relação
u
=
Ω×
ˆ
i
e reescrever a equação como
d
r
dt
I
=
d
r
dt
NI
+ r
x
Ω ×
ˆ
i
+ r
y
Ω ×
ˆ
j
+ r
z
Ω ×
ˆ
k
d
r
dt
I
=
d
r
dt
NI
+
Ω × r
x
ˆ
i
+
Ω × r
y
ˆ
j
+
Ω × r
z
ˆ
k
d
r
dt
I
=
d
r
dt
NI
+
Ω ×r. (C.40)
Portanto, a variação temporal (considerada em um sistema de referência inercial)
de um vetor pertencente um sistema de referência não inercial equivale a soma da
variação temporal do vetor no próprio sistema de referência não inercial NI com o
produto vetorial da velocidade angular do sistema de referência com o próprio vetor.
A partir destas considerações segue que
dr
dt
I
=
d
R
dt
I
+
d
r
dt
NI
+
Ω ×
r
. (C.41)
A variação temporal da posição define a velocidade. Observando-se isto na
equação (C.41) pode-se escrever a relação entre a velocidade de uma determinada
partícula tomada em relação a um referencial inercial e a equivalente velocidade
em relação a um referencial não inercial,
170
U
I
=
Υ
I
+
U
NI
+
Ω ×r, (C.42)
onde
Υ é a velocidade da origem do sistema de eixos cartesianos (x
, y
, z
). To-
mando a derivada temporal em relação ao referencial inercial na equação (C.42)
d
U
I
dt
I
=
d
Υ
I
dt
I
+
d
U
NI
dt
I
+
d
dt
Ω ×r
I
d
U
I
dt
I
=
d
Υ
I
dt
I
+
d
U
NI
dt
I
+
Ω ×
dr
dt
I
. (C.43)
Por analogia a expressão (C.40),
d
U
I
dt
I
=
d
Υ
I
dt
I
+
d
U
NI
dt
NI
+
Ω ×
U
NI
+
Ω ×
dr
dt
NI
+
Ω ×r
d
U
I
dt
I
=
d
Υ
I
dt
I
+
d
U
NI
dt
NI
+
Ω ×
U
NI
+
Ω ×
dr
dt
NI
+
Ω ×
Ω ×r.
(C.44)
Lembrando que o referencial não inercial é a própria Terra, algumas considerações
podem ser feitas. Em primeiro lugar, a velocidade medida em relação ao referencial
não inercial é a própria velocidade em relação ao referencial fixo na Terra, logo
U
NI
=
U, e para facilitar a notação vamos de agora em diante assumir que as
derivas que não possuem indicação sobre o referencial são realizadas em relação
ao referencial não inercial fixo na Terra. O termo de variação temporal da velocidade
da origem do sistema é a própria variação da velocidade de orbita da Terra. Como
a escala de tempo desta variação é muito maior que a escala de tempo da maioria
dos eventos atmosféricos, em primeira análise podemos desconsiderá-la. Assim, a
expressão (C.44) é reescrita como:
d
U
I
dt
I
=
d
U
dt
+
Ω ×
U +
Ω ×
U +
Ω ×
Ω ×r
d
U
I
dt
I
=
d
U
dt
+ 2
Ω ×
U − Ω
2
r. (C.45)
171
Considerando-se que a massa δm do elemento de fluido não varia no tempo, se
multiplicarmos a equação (C.45) por δm
δm
d
U
I
dt
I
= δm
d
U
dt
+ 2δm
Ω ×
U − δmΩ
2
r
δ
F
I
= δ
F + 2δm
Ω ×
U − δmΩ
2
r
δ
F
I
= δ
F + 2ρδV
Ω ×
U − ρδV Ω
2
r
δ
F
I
δV
=
δ
F
δV
+ 2ρ
Ω ×
U − ρΩ
2
r
δV → 0
lim
δV →0
δF
I
δV
= lim
δV →0
δF
δV
+ 2ρ
Ω ×
U − ρΩ
2
r
d
F
I
dV
=
d
F
dV
+ 2ρ
Ω ×
U − ρΩ
2
r (C.46)
onde 2m
Ω ×
U é a força de Coriolis e −mΩ
2
r a força centrifuga. A primeira é res-
ponsável por criar um desvio na trajetória do elemento de fluido devido a rotação
da Terra. A segunda, é uma força de carater inercial que tem o mesmo modulo,
direção porém sentido contrário ao da força centripeta e deve ser acrescentada ao
sistema para equilibrar esta força quando o observador está no referencial não iner-
cial. Assim temos uma relação que nos permite aplicar a segunda Lei de Newton
para referencias não inerciais.
Segunda Lei de Newton aplicada a fluidos newtonia-
nos incompressíveis - Equação de Navier-Stokes
Partindo-se da Segunda Lei de Newton (equação (C.1)),
172
F =
dp
dt
F =
d
dt
m
U
I
dt
F =
d
dt
V
ρ
U
I
dV
F =
V
ρ
d
U
I
dt
dV
d
F
dV
= ρ
d
U
I
dt
. (C.47)
Substituindo-se os termos de força gravitacional, força de superfície e a correção
para utilizar a Segunda Lei de Newton em um referencial não inercial na equação
(C.47),
dF
g
dV
+
dF
s
dV
= ρ
d
U
dt
+ 2
Ω ×
U − Ω
2
r
−ρg
o
ˆr −
∇p + µ∇
2
U = ρ
d
U
dt
+ 2
Ω ×
U − Ω
2
rˆr
(C.48)
dividindo-se a equação (C.48) por ρ e isolando-se o termo da variação temporal da
velocidade, resulta
d
U
dt
= −
1
ρ
∇p +
−g
o
+ ∇
2
r
ˆr +
µ
ρ
∇
2
U − 2
Ω ×
U
d
U
dt
= −
1
ρ
∇p + g
ef
ˆr − 2
Ω ×
U + ν∇
2
U (C.49)
onde g
ef
é definida como a gravidade efetiva sendo a resultante entre a aceleração
gravitacional e a aceleração centrifuga e ν é viscosidade cinemática definida como
a razão entre a viscosidade dinâmica e a densidade do fluido. Desta maneira a
equação (C.49) relaciona:
d
U
dt
=
1
ρ
d
F
dV
(C.50)
A equação (C.49) é a Equação de Navier-Stokes para um fluido newtoniano
incompressível sob uma análise lagrangiana.
173
Aplicando o Teorema do Transporte de Reynolds na segunda Lei de Newton
obtemos:
F
sis
=
dp
sis
dt
F
sis
=
∂p
V c
∂t
+
SV c
Uρ
U · ˆndA
F
sis
=
∂
∂t
V c
ρ
UdV +
SV c
Uρ
U · ˆndA. (C.51)
Como os limites da intergral de volume em função de V c são independentes do
tempo, já que V c é fixo (ver definição de volume de controle V c no apêndice A) o
operador derivada parcial pode ser inserido dentro da integral de volume em V c. Já
a integral sobre a superfície fechada de V c pode ser escrita como a diverência do
integrando no volume V c (Teorema da Divergência de Gauss).
F
sis
=
V c
∂
∂t
ρ
U
dV +
V c
∇ ·
Uρ
U
dV
F
sis
=
V c
∂
∂t
ρ
U
+
∇ ·
Uρ
U
dV (C.52)
Derivando (C.52) em função do volume temos
d
F
sis
dV
=
d
dV
V c
∂
∂t
ρ
U
+
∇ ·
Uρ
U
dV
d
F
sis
dV
=
∂
∂t
ρ
U
+
∇ ·
Uρ
U
d
F
sis
dV
= ρ
∂
U
∂t
+
U
∂ρ
∂t
+ ρ
U
∇ ·
U +
U ·
∇
ρ
U
. (C.53)
Pela condição de fluido incompressível ρ = cte e
∇ ·
U = 0. Logo,
d
F
sis
dV
= ρ
∂
U
∂t
+ ρ
U ·
∇
U
1
ρ
d
F
sis
dV
=
∂
U
∂t
+
U ·
∇
U. (C.54)
Utilizando a relação (C.50) e substituindo a equação (C.49) em (C.54),
174
∂
U
∂t
+
U ·
∇
U = −
1
ρ
∇p + g
ef
ˆr − 2
Ω ×
U + ν∇
2
U (C.55)
onde a equação (C.55) é a equação de Navier-Stokes para um fluido newtoniano
incompressível sob uma análise euleriana.
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