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SUMÁRIO
enfoque
• Qual é a questão?
TENDÊNCIAS ATUAIS DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA
Tânia Campos (PUC-SP)
Terezinha Nunes (Universidade de Londres)
pontos de vista
• O que pensam outros especialistas?
FERRAMENTA INFORMÁTICA. ENSINO DE MATEMÁTICA E FORMAÇÃO DOS PROFESSORES
Michèle Artigne (IUFM de Reims)
Equipe DIDIREM (universidade de Paris 7)
O ENSINO CONSTRUTIVISTA
Beatriz S. D'Ambrosio e Leslie R Steffe (Universidade de Geórgia)
EVOLUÇÃO DA RELAÇÃO COM O SABER EM MATEMÁTICA
NA ESCOLA PRIMÁRIA: uma crônica sobre cálculo mental
Régine Douady (Universidade de Paris 7)
UM EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DE UMA ANÁLISE IMPLICATIVA PARA O
EXAME DE QUESTIONÁRIOS
Régis Grás (Universidade de Rennes e Universidade de Nantes)
Annie Larher (Universidade de Rennes)
APRENDER A VER E A MANIPULAR O OBJETO GEOMÉTRICO ALÉM
DO TRAÇO NO CABRI-GÉOMÈTRE
Colette Laborde (DidaTech)
Bernard Capponi (Universidade Joseph Fourier)
COMO AS CRIANÇAS ENTENDEM A NOÇÃO DE ROTAÇÃO/ÂNGULO
Sandra Magina (PUC-SP)
AVALIAÇÃO E PERSPECTIVAS DA ÁREA DE ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL
João B. Pitombeira de Carvalho (USU)
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
ISSN 0104-1037
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A IMPORTÂNCIA DO CONHECIMENTO ETNOMATEMÁTICO INDÍGENA NA
ESCOLA DOS NÃO-ÍNDIOS
Eduardo Sebastiani Ferreira (UNICAMP)
espaço aberto:
Manifestações rápidas, entrevistas, propostas, experiências, traduções, etc.
O GEEMPA, UMA VIVÍSSIMA ONG
Esther Pillar Grossi (GEEMPA)
GEPEM — GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM EDUCAÇÃO
Maria Laura Mousinho Leite Lopes (GEPEM)
resenhas:
DIDÁTICA E INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL — de N. Balachcff c M. Vivet
Nicholas Balachcff (DidaTcch)
ESTUDOS EM PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA — de Luciano Meira,
Analúcia Schlicmam, David Carraher,
Alina Spinillo e Jorge da Rocha Falcão Os autores (UFPE)
bibliografia:
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
RECHERCHES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES EN FRANCE:
elements d´unc bibliographie
N. Balachcff & Groupe thesard
painel: APRESENTAÇÃO
CARTA AO LEITOR
RELAÇÃO DE TESES E DISSERTAÇÕES DE MESTRADO. DOUTORADO OU
LIVRE DOCÊNCIA PRODUZIDAS/DEFENDIDAS NO BRASIL (1991-1994)
Dario Fiorentini (UNICAMP)
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
ENFOQUE: Qual é a questão?
TENDÊNCIAS ATUAIS DO ENSINO E APRENDIZAGEM DA
MATEMÁTICA
Tânia M.M. Campos*
Terezinha Nunes**
Introdução
A Matemática é uma ciência que estuda relações. É também uma maneira
de pensar. Ao longo da história, a Matemática desenvolveu sistemas de
representação e modelos de análise que nos permitem pensar sobre os
eventos e fenômenos, fazendo análises que não seriam possíveis sem
esses sistemas de representação. Por isso, o ensino da Matemática não
interessa apenas aos matemáticos ou aos futuros matemáticos, mas a
todos. A interpretação de gráficos, a análise de relações, a mensuração, a
modelação de fenômenos são técnicas comuns da Matemática utilizadas
nos mais diversos contextos. Nas ciências e na tecnologia a Matemática
tem um papel fundamental como instrumento de análise e previsão.
Mesmo na vida quotidiana pode ser necessário compreender o que
significam percentagens, proporções, frações, constantes e variáveis em
uma situação, ou que impacto têm as diferentes fórmulas para o cálculo
da inflação sobre o salário.
Nem sempre os alunos dominam facilmente os sistemas de representação
e as maneiras de pensar desenvolvidos pela Matemática. Um sistema
pode, por exemplo, requerer que conceitos usados de modo apenas
intuitivo na vida diária, sejam formalizados para que o sujeito compreenda
* Da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP).
** Da Universidade de Londres.
o sistema de representação. Por exemplo, intuitivamente, muitos alunos
compreendem que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão
são, respectivamente, inversas. No entanto, muitos alunos realizam essas
inversões intuitivamente, sendo-lhes difícil compreender a representação
algébrica e as manipulações com expressões algébricas, encontrando
dificuldades marcadas no uso da inversão. Outra dificuldade comumente
observada consiste em lidar com medidas intensivas (cf. Schwartz. 1988.
para maiores explicações). Enquanto as medidas extensivas e suas
operações são facilmente compreendidas, as medidas intensivas causam
dificuldades de compreensão, embora elas sejam de grande utilidade na
vida diária c nas ciências.
Portanto, a Educação Matemática é uma parte essencial da educação, tão
essencial como a leitura e a escrita, mesmo para aqueles alunos que não
pretendem avançar em Matemática como uma ciência. Muitos de seus
conceitos básicos são fundamentais também em outras ciências e
importantes no trabalho e na vida diária. Não nos referimos aqui à
aprendizagem de conteúdos matemáticos, considerados no nível que
interessa aos matemáticos — como o conjunto dos números naturais.
inteiros, ou racionais — mas aos conceitos envolvidos na compreensão
desses números sobre os quais o matemático teoriza.
Nesse número do Em Aberto, são discutidos distintos ângulos da
aprendizagem e do ensino de Matemática. Ao propor um número do Em
Aberto dedicado a esse tema, tínhamos diversas preocupações, que
exploramos a seguir.
A educação matemática e seu papel nas sociedades contemporâneas
Não é possível negar que as relações entre pessoas em um país e entre
países no mundo atual são marcadas pelas desigualdades. Falamos em
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
desenvolvimento científico-tecnológico do país, no âmbito internacional.
Para que a educação possa desempenhar esse papel, no entanto, parece
necessário repensar a própria educação.
Novas concepções de educação matemática
Nossos .alunos vivenciam na escola uma prática de Educação Matemática
que não corresponde àquela discutida na introdução desse trabalho. O
ensino de Matemática foi. e ainda é, caracterizado nos meios oficiais.
por um currículo a ser cumprido, uma lista de tópicos a ser estudada e
não como uma forma de pensar. Na versão oficial do ensino de
Matemática, considera-se apenas a Matemática. No entanto, entre os
pesquisadores da Educação Matemática, as preocupações com o ensino
têm diversas origens. Discutiremos a seguir alguns desses aspectos, a
fim de ilustrar a natureza interdisciplinar dos estudos e pesquisas em
Educação Matemática.
Questões psicológicas
Duas questões amplas vêm sendo investigadas no âmbito da psicologia
com relação à Educação Matemática. A primeira refere-se aos subsídios
da psicologia para a compreensão do processo educativo. Nesse sentido,
a contribuição da psicologia tem sido a de explicar a natureza dos
conceitos matemáticos, sua organização e seu desenvolvimento. A
contribuição de Piaget na análise dos invariantes necessários à
compreensão dos mais variados conceitos matemáticos, influenciou a
pesquisa nesse campo, sugerindo investigações relativas à melhor época
em que ensinar o conceito na escola e a importância da participação
ativa dos alunos na resolução de problemas, a fim de que eles venham a
compreender os invariantes dos conceitos. Mais recentemente, a teoria
piagetiana foi aprimorada por um psicólogo francês. Gerard Vergnaud,
que dá uma nova formulação à própria idéia de conceito matemático.
Vergnaud considera como fundamentais à análise dos conceitos
matemáticos, além dos invariantes, a consideração das situações que dão
significado ao conceito, bem como as formas utilizadas em sua
representação.
A segunda questão, proposta pela psicologia frente à Educação
Matemática, refere-se às conseqüências da aprendizagem da Matemática.
O ensino da Matemática, como o ensino do Latim ou da Gramática, já
foi. em certas ocasiões, justificado em termos de sua conseqüência ampla
para o raciocínio dos alunos. No entanto, apenas recentemente, as
conseqüências da aprendizagem da Matemática têm sido investigadas
de maneira sistemática. Essas análises têm mostrado ser a questão muito
mais complexa do que se imaginou anteriormente. Por um lado. diversos
estudos com populações pouco escolarizadas (como mestres-de-obras.
marceneiros, pequenos agricultores, feirantes. pescadores, etc.) mostram
que é possível documentar de modo claro a compreensão de inúmeros
invariantes ligados a conceitos matemáticos relativamente complexos.
em pessoas que não freqüentaram a escola por tempo suficiente para
terem recebido instrução nesses conceitos. Por outro lado. sua
representação do conceito tende a divergir daquela transmitida na escola
e a refletir as limitações específicas do modo de representação utilizado.
Uma das conseqüências desses resultados consiste em sugerir maior
flexibilidade quanto às formas de representação utilizadas na escola.
porém tentando simultaneamente promover a adoção de formas de
representação mais poderosas. Essa análise psicológica de aspectos da
Educação Matemática deve repercutir no desenvolvimento de novos
caminhos para a sala de aula, porém ainda há muito o que analisar c
pesquisar.
Questões sociológicas
Outra contribuição dos estudos recentes em Educação Matemática vem
da análise de questões sociológicas. O relacionamento professor-aluno
foi analisado no passado muitas vezes, somente em termos da satisfação
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
pessoal dos participantes (e conseqüente motivação dos ;.alunos para a
aprendizagem), aos mecanismos de controle de disciplina, ou da
abordagem diretiva ou não-diretiva à sala de aula. Uma nova forma de
compreender as relações em sala de aula resultou, nos últimos anos, dos
estudos voltados para a representação social e suas conseqüências para a
interação, quando os participantes assumem papéis determinados. A
necessidade de se considerar explicitamente o contrato didático, que
resulta de tais representações dentro do sistema educacional atual, e de
alterar esse contraio são o foco de investigação c alvo de mudança em
muitos dos esforços relacionados a propostas para a melhoria do ensino.
É necessário alterar esse contrato implícito entre alunos e professor, para
que os alunos participem do processo de solução de problemas em
Matemática de uma maneira que permita recriar a noção de uma
comunidade que examina a validade dos conceitos científicos.
Antropologia e educação matemática
Todo projeto educacional que não considera o ambiente cultural em que
vivem os alunos é. por definição, alienante. O ensino da Matemática não
será menos alienante que o ensino de qualquer outra matéria, se não
considerar o contexto cultural dos alunos.
No Brasil, podemos constatar a existência de realidades culturais as mais
contrastantes. Primeiramente, existem grupos indígenas, com línguas e
representações matemáticas próprias e, freqüentemente, desconhecidas.
A pesquisa etnomatemática é indispensável para que o ensino possa
considerar os conhecimentos dos alunos nesse caso. Em segundo lugar,
as diferenças de classes, caracterizadas por diferentes costumes e formas
de educação informal, resultam em que alguns adquiram fora da escola
um "capital cultural" valorizado pela escola, como significativo para a
aprendizagem da Matemática, enquanto outros dispõem de conhecimentos
não-reconhecidos como importantes para a aprendizagem escolar. Essa
valorização seletiva de conhecimentos matemáticos, difundidos na
cultura, precisa ser reconhecida e enfrentada como uma das formas de
alienação dos alunos diante da aprendizagem da Matemática (Abreu,
Bishop, Pompeu, 1994). Finalmente, uma análise antropológica poderá
também indicar o papel cada vez mais preponcerante da tecnologia no
mundo atual, especificando as relações entre Matemática e tecnologia
nos locais de trabalho.
Epistemologia, história c/a matemática e educação
Enquanto os aspectos psicológicos, sociológicos e antropológicos
discutidos acima analisam a efetividade c as conseqüências do processo
educativo, a consideração dos desenvolvimentos históricos e
epistemológicos é instrumental para a teorização em Educação
Matemática. A epistemologia e a história esclarecem aspectos
relacionados à complexidade dos conceitos e suas relações entre si. as
dificuldades que novos sistemas de representação solucionaram, a partir
de sua introdução, e as conseqüências da introdução de um novo conceito
ou de uma nova forma de representação para o desenvolvimento da ciência
matemática. Essas considerações devem iluminar discussões curriculares
e constituem uma fonte de hipóteses para as investigações psicológicas e
pedagógicas.
O novo papel do professor
Se considerarmos o significado da Educação Matemática no mundo atual
e a criação e o desenvolvimento de uma nova disciplina, a Educação
Matemática, devemos concluir que o professor não pode mais reproduzir
os modelos educacionais que ele próprio vivenciou enquanto aluno.
Mudaram o mundo, os objetivos e a concepção de ensino — portanto,
precisa mudar também o professor. As considerações psicológicas sugerem
que o professor tem o papel de levar o aluno a reconstruir modelos
matemáticos que ele compreenda em outras situações, representá-los de
maneira a poder utilizar os mais poderosos sistemas simbólicos da
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Matemática, como instrumento de pensamento, utilizá-los em uma
variedade de situações que lhe dêem significado. As considerações
sociológicas discutem a representação social do professor e lhe abrem
perspectivas para uma nova definição a ser conquistada por novas
maneiras de interagir com seus alunos. As considerações antropológicas
devem tornar o professor consciente de quem são seus alunos e pode
ajudá-los a construir um futuro para eles próprios. As considerações
epistemológicas e históricas devem engajar o professor num processo de
reavaliação do que importa incluir no currículo.
Finalmente, o professor de Matemática precisa também comprometer-se
com o ensino crítico da Matemática. A Matemática cria realidades para
o indivíduo como, por exemplo, através da escolha social de modelos
que determinam o preço de serviços essenciais (como eletricidade) e os
índices de inflação. A análise desses modelos que criam realidades é
essencial à formação crítica do aluno.
Conclusão
Apontamos aqui o papel da Educação Matemática nas sociedades
contemporâneas, algumas concepções da Educação Matemática e o novo
papel do professor frente ao mundo atual. Deixemos para a seção "Pontos
de Vista", trabalhos que tratam das diferentes perspectivas dessas
abordagens.
Esperamos que eles possam estimular o debate, auxiliar os professores a
compreender alguns fenômenos do ensino e aprendizagem da Matemática,
favorecendo a pesquisa.
Mais ainda, esperamos que, na medida do possível, eles possam ser
adaptados à realidade da sala de aula.
Referências bibliográficas
ABREU. G.. BISHOP. A., POMPEU. G. What Children and teachers
count as Mathcmalics. In: NUNES. T., BRYANT. P.E.(Orgs.). How
do Children learn Mathematics? Palmer: Erlbaum. 1994.
D'AMBRÓSIO, U. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1993.
GLICK, J. What is different about adult development? Lucca, 1993.
Trabalho apresentado na NATO Conference on Discourse Analysis,
Technology and Situated Cognition, Lucca. Itália, nov. 1993.
RESNICK, L.B. The new standards project. Lucca, 1993. Trabalho
apresentado na NATO Conference on Discourse Analysis, Technol-
ogy and Situated Cognition, Lucca, Itália, nov. 1993.
SCHWARTZ, J.L. Intensive quantity and referent transforming aritmetic
Operations: number concepts and Operations in the mid-dle grades.
[S.l.]: NCTM, 1988. p.41-52NCTM.
WEBER, S. Universidade: sinal fechado. Cadernos de Pesquisa, São
Paulo, n.33, p.3-28, maio 1980.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
PONTOS
DE
VISTA:
O
que pensam outros especialistas?
FERRAMENTA INFORMÁTICA, ENSINO DE MATEMÁTICA E
FORMAÇÃO DOS PROFESSORES
Michele Artigue* e
Equipe DIDIREM**
A pesquisa sobre as questões de ensino da Matemática em meio
informático iniciou-se em um clima fortemente ideológico. Tratava-se,
antes de tudo, de mostrar que a ferramenta informática proporcionava
uma nova eficácia ao ensino da Matemática, de apoiar e promover sua
integração. Era sobretudo a pesquisa de pioneiros, convictos e militantes.
O ambiente era o mesmo no nível de formação de professores. Era
necessário suscitar o interesse, o desejo de utilizar as novas ferramentas.
desconsiderávamos as dificuldades previsíveis, acalmávamos as inquietu-
des, não buscávamos identificar os limites da ferramenta, nem evidenciar
as rupturas e adaptações onerosas que sua integração implicava. Hoje, o
volume de pesquisas de que dispomos e a coerência de alguns dos
resultados obtidos possibilitam abordagens mais racionais. Ao mesmo
tempo, a evidência da dificuldade de penetração da ferramenta informática
mostra os limites da ação militante. A criação de sofwares para o ensino
aparece cada vez mais ligada à definição prévia de instruções idealizadas
concomitantemente nos planos didático e informático e vemos, pouco a
pouco, impor-se a vontade de compreender, em profundidade, o
funcionamento dos sistemas didáticos que incluem a informática e de
construir nesse campo conhecimentos, ainda que venham a incomodar.
* Da IUFM de Reims.
** Da Universidade Paris 7.
É dentro desta perspectiva que se situa a reflexão desenvolvida aqui.
Referindo-nos a algumas pesquisas recentes, focalizaremos três aspectos
que nos parecem importantes considerar quando nos interessamos pelas
contribuições potenciais da ferramenta informática no ensino da
Matemática e às questões relacionadas à integração dessa ferramenta no
sistema escolar e portanto, em particular, à formação dos professores.
que é um elemento decisivo. São os seguintes:
— ambientes informáticos e objetos de conhecimento;
— ambientes informáticos e interação entre contextos de funcionamento
dos conceitos;
— ambientes informáticos e funcionamento do sistema didático.
Logicamente, não pretendemos abranger aqui a totalidade das questões
apontadas. O tamanho imposto ao artigo obrigou-nos a fazer escolhas.
ainda que outras, sem dúvida, tivessem sido possíveis e igualmente
pertinentes. Nossas escolhas foram sem dúvida alguma guiadas, ao menos
parcialmente, pelas carências sentidas no nível de formação dos
professores.
Ambientes informáticos e objetos de conhecimento
É comum afirmar que a Matemática é afetada pelos ambientes
informáticos nos quais ela é encontrada, conceituada e trabalhada. Assim,
desde os primórdios da aventura LOGO, evidenciamos certas diferenças
entre a geometria LOGO e aquela da folha de papel, acentuando, por
exemplo, o fato de que LOGO veicula uma concepção diferencial, glo-
bal, dinâmica do círculo, colocando em primeiro plano a invariância da
curvatura, enquanto que a geometria tradicional privilegia uma concepção
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
pontual, estática, colocando em primeiro plano a invariância da distância
ao centro. Indo além deste exemplo, citado com maior freqüência,
evidenciamos, por meio do papel dominante desempenhado pelos ângulos
— o referencial essencialmente local, uma geometria LOGO em certos
aspectos mais próxima da geometria do macroespaço, no sentido definido
em Brousseau (1983), que da geometria do microespaço
1
e isto,
independentemente do tamanho da tela.
No entanto, é preciso reconhecer também que se a existência de diferenças
é comumente admitida e afirmada — se, para este ou aquele micromundo,
cada um pode citar, como acabo de fazer, alguns exemplos, algumas
características — a análise dessas diferenças, dos impactos que elas podem
ter sobre a transferência de conhecimentos construídos, em um ambiente
para outros ambientes, permanece quase sempre muito superficial e sem
coerência global. Ela só raramente é considerada como uma questão fun-
damental e prioritária na pesquisa sobre esses ambientes. Ela costuma
aparecer no desvio do caminho, em decorrência de reações ou de
dificuldades não previstas, encontradas no curso de experimentações,
que precisam ser compreendidas e interpretadas. A afirmação de
diferenças funciona com mais freqüência como declaração liminar e serve
apenas para mascarar o fato que, no fundo, a força dominante é aquela
que tende a considerar os ambientes informáticos transparentes em relação
ao saber.
1
G. Brousseau distingue três tamanhos de espaço, que apresentam características sensivelmente diferentes: o microespaço,
que é aquele de manipulação de pequenos objetos e da geometria da folha de papel; o mesoespaço, espaço dos
deslocamentos do sujeito em um campo controlado pela visão (objetos fixos entre 0,5 e 50 vezes o tamanho do sujeito)
por fim, o macroespaço, onde o controle direto não é mais possível
A identificação desse fenômeno, de suas razões e a análise de seus efeitos
negativos sobre a integração da ferramenta informática nos parecem
cruciais no tocante à formação de professores. A ilusão de transparência
não se alimentaria, na verdade, da crença cultural de que o ambiente
tradicional em papel/lápis é o ambiente natural e normal do
funcionamento matemático, logo, de fato, o único ambiente a priori
legítimo? Nessas condições, toda identificação de contrasenso em um
software constituiria uma ameaça à legitimidade da utilização desse soft-
ware no ensino. Compreendemos bem, então, que os criadores de
softwares e seus promotores sejam levados inconscientemente a um
sistema de dupla pressão: de um lado, evidenciar a novidade que justifica
o produto, e de outro, manter ao menos por um tempo, o tempo de lhe
assegurar um lugar, a ilusão de transparência.
O modo como são colocados os problemas de transferência de
conhecimentos é, também, revelador dessas questões de legitimidade.
Eles são, com efeito, sempre colocados no mesmo sentido: interrogamo-
nos sobre a possibilidade de transferência de conhecimentos elaborados
em ambientes informáticos para o ambiente tradicional. Uma resposta
negativa tende a desqualificar o ambiente informático utilizado. Em
sentido inverso, dificuldades em explorar um ambiente novo para fazer
matemática são sempre atribuídas ao software, e não à dependência con-
textual extremamente forte dos conhecimentos elaborados no ensino
tradicional.
Tomemos um exemplo particularmente banal, o das representações
gráficas de funções. O ensino tradicional baseia-se em uma teoria,
implícita em grande parte, da representação gráfica das funções: a uma
função corresponde uma representação genérica, respeitado um certo
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
número de convenções; assim, se o gráfico traçado, compatível com as
exigências conhecidas, for o mais simples possível, todas as propriedades
matemáticas identificadas deverão aparecer de forma legível, em
detrimento eventual de uma deformação do desenho, e não traçaremos
exatamente da mesma forma, por exemplo, um ramo infinito com
assíntota vertical e um ramo parabólico de direção vertical
2
. Essas
convenções não são encontradas nos traçados informáticos: a uma mesma
função corresponde, em geral, uma grande variedade de representações
perceptível diferentes, de acordo com a escolha da janela de representação;
toda função contínua pode até mesmo ser representada por uma horizon-
tal — quem dentre nós não se chocou, pela primeira vez, querendo traçar
uma senóide, obteve inoportunamente uma reta horizontal? — e as curvas
não hesitam em encontrar suas assíntotas! Explorar matematicamente
os traçados informáticos de soluções de equações diferenciais, por
exemplo, supõe que tomemos consciência dessas diferenças e. portanto.
retrospectivamente, das convenções que direcionam as representações
tradicionais.
É significativo, deste ponto de vista, que a pesquisa que desenvolvemos
na Universidade de Lille 1 sobre o ensino das equações diferenciais
(Artigue, 1992) tenha mostrado que, para uma das primeiras atividades
propostas aos estudantes, que consiste em associar as equações e as
representações de fase, a única dificuldade que persiste está em admitir
que a equação Y' = sen(xy) possa tanto estar associada ao traçado 2
como ao traçado 1:
2
J. Rogalski tentou explicar essas características em uma apresentação na 2ª Escola de verão de Didática (cf. Atos divulgados
pelo IREM de Orleans)
Traçado 1
Traçado 2
Explorar eficazmente a ferramenta informática no ensino exige, portanto,
que consideremos com seriedade a análise das relações entre objetos de
conhecimento, ambientes e o trabalho a ser feito para permitir a adaptação
a novos ambientes ou a gestão simultânea de vários ambientes. Isso exige
também que tomemos consciência dos elementos implícitos subjacentes
ao funcionamento nos ambientes tradicionais e que estejamos prontos
para questionar a tendência natural para declará-los os únicos legítimos
no ensino. Essa visão descentralizada de nossas práticas mais familiares
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
pode, por sinal, nos ajudar na conscientização de todos os elementos
implícitos sobre os quais se baseiam essas práticas, elementos que nossos
alunos não têm razão alguma para aceitar de pronto.
Uma formação de professores para a utilização de ferramentas
informáticas no ensino deveria ser a oportunidade de se colocar esse tipo
de problema a partir do trabalho sobre ambientes precisos, como faz, por
exemplo. C. Laborde em alguns artigos recentes sobre o software Cabri-
Géomètre (Laborde, 1994). Tal trabalho pode também constituir a
oportunidade para se interrogar sobre a afirmação implícita de unicidade
contida no "a" grifado acima e de se perguntar quais são as geometrias
do ensino e como o sistema administra as dificuldades ligadas às
diferenças que elas apresentam, em sua utilização simultânea ou sucessiva.
Ambientes informáticos e relacionamento de registros de
representação de um mesmo conceito
Muitas pesquisas atuais exploram, mesmo sem fazer referência explícita
à noção de contexto ou à noção de registro de representação introduzida
3
.
a possibilidade que oferece a ferramenta informática de gerenciar
simultânea e economicamente vários registros de representação de um
mesmo conceito, favorecendo assim a interação entre contextos de
funcionamento deste conceito. É o caso, por exemplo, de numerosas
pesquisas desenvolvidas atualmente sobre o conceito de função, como
testemunha, por exemplo, a monografia recentemente publicada sob o
título Epistemology? and Pedagogy of the Concept of Function (Harel,
Dubinsky, 1992). Em um número importante de trabalhos apresentados.
buscamos explorar a ferramenta informática para a conceitualização
matemática, em particular via gestão interativa de representações
algébricas e gráficas.
1
R. Douady (1984) define em sua tese um contexto como composto de objetos de um domínio matemático, de relações
entre esses objetos, de expressões e imagens mentais associadas a esses objetos. Dois contextos podem conter os mesmos
objetos, mas diferir pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas a seu respeito. A noção de registro utilizada por
R. Duval (1988) é, por sua vez, ligada á análise das representações do tipo semiótico. Em um mesmo contexto, um objeto
normalmente está sujeito a representações diversas, apresentando características semióticas diferentes.
Um dos primeiros, trabalhos amplamente divulgados neste campo foi o
de D. Tall (1986) baseado na realização do software "Graphic Calculus"
que permitia uma abordagem gráfica do início do ensino da análise. Este
trabalho teve um impacto indubitável na Grã- Bretanha, uma vez que.
por exemplo, as noções de "tangente prática" (tangente obtida ligando-
se dois pontos muito próximos da curva) e a noção associada de derivada
numérica, que ele introduziu em sua tese para elaborar uma primeira
abordagem da análise, sem o conceito de limite, foram retomadas na
reforma nacional dos programas do ensino secundário na Grã-Bretanha
e inspiraram as abordagens informais do Calculus desenvolvidas em
vários projetos norte-americanos (Artiguc. Ervynck. 1993). É preciso
entretanto admitir que muitas das pesquisas desenvolvidas neste campo
não forneceram resultados à altura das expectativas dos pesquisadores e
criadores de softwares.
As pesquisas desenvolvidas nesta área das funções contribuíram
igualmente (juntamente a muitas outras desenvolvidas em diversos
ambientes, of. Leinhart, Zaslavsky. Stein 1990), por exemplo, para
evidenciar a carga de conhecimento que traz a leitura correta das
representações gráficas e as ilusões que poderiam alimentar os professores
que pensarem que os alunos vêem em uma representação gráfica ou em
uma evolução dinâmica de representações justamente os fenômenos que
eles queiram mostrar. Daremos dois exemplos, um extraído da pesquisa
já citada sobre as equações diferenciais e o outro de Goldenberg, Lewis e
O'Kcefe(1992).
O trabalho sobre as equações diferenciais, com efeito, coloca bem em
evidência os conhecimentos que uma leitura gráfica eficaz traz à luz.
Assim, sabendo que a representação a seguir corresponde à seguinte
equação diferencial, y'=x(y
2
-l), o matemático vê neste traçado duas
soluções particulares correspondentes às retas de equações y=-l e y=l
que dividem o plano em três zonas onde as curvas-soluções são
respectivamente cercadas, pois a equação satisfaz as hipóteses do teorema
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
de existência e de unicidade sobre todo o plano. Ele sabe que as curvas-
soluções das zonas 2 e 3 admitem assíntotas horizontais, uma vez que
nenhuma solução corresponde às duas soluções particulares mas,
contrariamente às aparências, ele sabe que não pode concluir diretamente
do traçado que as duas retas são as assíntotas. Ele vê também que as
curvas-soluções da zona 1 têm uma orientação assimptótica vertical, mas
sabe que não pode discernir perceptível entre assíntota vertical e ramo
parabólico de direção vertical. Na zona 3. ele sabe, mas uma vez, que
não pode se deixar iludir pelas aparências: a priori, existem dois tipos de
soluções, as soluções que encontram o eixo Oy são decrescentes e depois
crescentes e as soluções que não o encontram, o que pode no entanto ser
apenas uma aparência relacionada com a janela de representação.
Que veriam um aluno de colégio de primeiro ciclo de universidade e um
artista nesses mesmos traçados?
Na verdade, vemos o que estamos preparados para ver com nosso
conhecimento do assunto, e o segundo exemplo citado ilustra isso de
forma ainda mais elementar. Dispondo de um traçador e querendo ilustar
o efeito da mudança do y-intercept
4
, com inclinação constante. P.
Goldenberg perguntou a seus alunos o que eles viam. quando ele fazia
crescer ou decrescer dinamicamente esse y-intercept. O matemático, neste
Traçado 3
O y-intercept designa a ordenada do ponto de intersecção com o eixo Oy.
caso, vê a reta inicial subir ou descer paralelamente a ela mesma. Esta
interpretação é, de fato, completamente guiada pelo conhecimento
aplicado à situação. Os alunos, por sua vez, vêem, com justiça, uma reta
que ao mesmo tempo se desloca para a esquerda ou para a direita!
E preciso observar, contudo, que as dificuldades evidenciadas por muitos
trabalhos, além de equilibrar os entusiasmos inocentes, tiveram um efeito
positivo. Elas suscitaram pesquisas mais aprofundadas, buscando
compreender melhor como se estabelecem, em um dado ambiente, as
conexões entre diferentes registros de representação do conceito de função.
mesmo de outros conceitos, quais processos os unem, quais dificuldades
e obstáculos são encontrados nessa articulação: portanto, numa tentativa
de se conferir os meios para. ao mesmo tempo, compreender os sucessos
e as derrotas e para, conseqüentemente, melhor delimitar as contribuições
possíveis de ambientes informáticos. É o caso da pesquisa apresentada
por J. Kaput na já citada monografia, por exemplo, mas também de
diversos trabalhos e evocaremos aqui duas delas: uma pesquisa
coordenada por A. Schoenfeld (Schoenfeld. Smith. Arcavi. 1990). citada
com freqüência, nesses últimos anos, e a tese de A. Dagher (1993).
Essas pesquisas têm origem em um ponto de vista metodológico da análise
qualitativa de casos. Elas abordam as interações aluno/sofware em um
nível de análise microscópico, baseando-se. notadamente, no registro
sistemático de todas as interações aluno/software. Trata-se obviamente
de passar, em seguida, dessas informações microscópicas a uma
modelização do aluno e da aprendizagem exprimíveis, ao menos em parte,
em níveis mais globais: identificação de conhecimentos, de teoremas
agindo por trás dos invariantes identificados no nível das ações do aluno,
hierarquização e estruturação dos conhecimentos em redes evolutivas
pertinentes. Logicamente, isso não ocorre por si só.
A pesquisa citada de A. Schoenfeld ilustra bem estas características. Ela
baseia-se no estudo do desempenho de uma única estudante (IN) de 16
anos, durante sete horas, em um ambiente informático (Black Globs).
Este trabalho evidencia, de forma surpreendente, a complexidade oculta
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
sob a simples afirmação: "Se y=mx+b é a equação de uma reta, b é o
y-intercept e m é a inclinação". São frases que IN conhece, quando ela
inicia a formação, uma vez que ela sabe encontrar a equação de uma reta
passando por dois pontos, calcular sua inclinação, etc. Para mostrar essa
complexidade, a fragilidade dos conhecimentos da estudante, sua
dependência contextual e a evolução constatada no decorrer das sete
sessões, os autores distinguem quatro níveis de descrição dos conhe-
cimentos:
— um nível de macroorganização onde conhecimentos e percepções são
organizados em esquemas globais;
— o nível dos conceitos ou entidades conceituais que descreve os objetos
do domínio e suas propriedades familiares;
— um nivel de estruturação mais apurada onde se reagrupam os elementos
primitivos e suas relações, denominado "The Cartesian connexion";
— enfim, um nivel contextual onde os elementos primitivos são indexados
por contextos precisos.
Eles mostram que há, no início, funcionamento no nível do esquema
sem que esse esquema esteja fixado em níveis mais profundos sobre as
conexões cartesianas corretas. Por exemplo, no início, IN funciona como
se ela decompusesse o plano em dois semiplanos: positivo e negativo, de
cada um dos lados do eixo horizontal. Uma rela de inclinação negativa
é. portanto, para ela uma reta que parte do lado negativo do plano,
conhecimento implícito que coexiste com uma técnica correta de cálculo
da inclinação. Para chegar a uma concepção da inclinação corretamente
articulada entre os pólos algébrico e gráfico, é necessário, na verdade,
modificar toda uma rede cognitiva. Da mesma forma, a conceitualização
de IN da noção de y-intercept passa, ao longo da formação, por uma
evolução complexa.
Os autores observam igualmente que não conseguem, contrariamente a
suas expectativas iniciais, explicar a evolução por uma sucessão de
microaprendizados; em vez disso, identificam conexões que se reforçam
ou se enfraquecem em uma rede complexa.
Por sua vez, a tese de A. Dagher (1993), evidencia claramente a
especificidade de certos processos de adaptação que se colocam nos
ambientes informáticos. Ao estudar o "funcionamento" de alunos frente
a um software (Fonctuse) que solicita a associação às cuvas mostradas
na tela (retas, parábolas, hipérboles) de expressões algébricas de forma
definida, ele mostra que uma adaptação eficaz, do ponto de vista do
ambiente informático, não ativa necessariamente os conhecimentos de
articulação algébrico-gráfica objetivados pelo aprendizado. Ele identifica.
por exemplo, no caso de parábolas às quais deve ser associada uma
equação de forma polinomial. qué um certo número de alunas alcança,
suficientemente rápido, um conhecimento perceptiva do tamanho da
abertura (que tem. neste software, um valor necessariamente inteiro) o
que lhes permite encontrar o valor exato em duas. três tentativas no
máximo. Isso lhes possibilita desenvolver uma estratégia eficaz para
determinar a equação polinomial solicitada: estimar a abertura, ler a
ordenada na origem para determinar o valor do termo constante do
polinômio e. em seguida, ler as coordenadas de um ponto e escrever a
equação correspondente para encontrar o valor do coeficiente do termo
de grau 1. No caso de insucesso, utilização do feedback determinado
(traçado da parábola associado ao polinômio proposto) para corrigir a
estimativa da abertura, modificação da equação a ser resolvida, etc. Torna-
se evidente que esses mesmos alunos não são necessariamente capazes,
no pós-teste que segue o experimento, de ordenar as parábolas traçadas
sobre papel seguindo o valor de sua abertura, como se o conhecimento
elaborado na ação sobre a abertura não dispusesse de embasamentos
conceituais suficientes para serem expressos e trabalhados em uma
formulação em termos de relação de ordem.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A. Dagher evidencia, igualmente, certos fatores que poderiam explicar a
eficácia constatada de uma utilização do software, ainda que rápida, por
ocasião dos primeiros experimentos. Esses experimentos foram efetuados
com alunos do final do colégio, familiarizados com as retas, parábolas e
funções polinomiais de lº e 2º graus, mas com competências muito
limitadas no campo da articulação gráfico-algébrica. As evoluções
observadas, contrariamente às observações feitas na pesquisa citada
anteriormente, são evoluções brutais e estáveis (o fato de que o exercício
proposto ao aluno varie pouco sem dúvida explica em parte essas diferen-
ças): em determinado momento, um coeficiente ou uma característica de
um coeficiente parece ganhar sentido e não há retrocesso no decorrer da
sessão. Esses fenômenos brutais, qualificados pelo autor de
"cristalizações" não se produzem aleatoriamente: a presença de um
catalisador parece necessária. O principal catalisador identificado é o
encontro de uma situação especial, seja do ponto de vista algebrico, seja
do ponto de vista gráfico. Mas é preciso, também, reconhecer que nem
todo catalisador necessariamente provoca cristalização. Desta forma, uma
situação especial será estatisticamente menos eficaz quando for muito
especial (por exemplo y=x
2
) ou se for encontrada muito cedo na sessão.
No entanto, a análise dos registros mostra que. dada a rapidez da interação
informática, o número de catalisadores encontrados em uma sessão é
suficientemente grande para que mesmo uma porcentagem reduzida de
eficácia produza efeitos reais.
Como explorar tudo isso no nível da formação? Gostaria de sugerir aqui
algumas pistas:
— seria indubitavelmente interessante a utilização da ferramenta
informática para reforçar a sensibilidade dos professores quanto à
existência de diferentes estruturas de desempenho, de diferentes registros
de representação para os conceitos matemáticos, quanto ao papel funda-
mental desempenhado pela articulação dessas estruturas c desses registros
na atividade matemática, visando à elaboração de estudos que favoreçam
essa articulação;
— entretanto, é igualmente importante não deixar que acreditem que a
articulação milagrosamente se tornará fácil porque disporemos de
ferramentas informáticas que a trarão econômica e facilmente à cena. A
articulação de estruturas e registros, como toda articulação de pontos de
vista, é uma operação mental cognitivamente muito dispendiosa e não é
por acaso que o ensino tende, com freqüência, a evitar essa complexidade.
compartimentando os assuntos e as abordagens. As articulações se
constróem lentamente e essa construção envolve, como bem mostram as
pesquisas recentes, toda uma rede cognitiva que ultrapassa amplamente
as simples articulações visadas;
— enfim, parece-nos importante sensibilizar os professores quanto à
especificidade dos processos de adaptação que o meio informático suscita
e quanto às variáveis que os condicionam; e, também, observar a prudência
necessária na interpretação cognitiva dos comportamentos observados.
Ambientes informáticos e funcionamento do sistema didático
Estaremos nos referindo mais particularmente nesta terceira parte a uma
pesquisa realizada em colaboração corn J. Belloc em um colégio do
subúrbio parisiense, de 1988 a 1991 (Artigue, 1991). Muitas outras re-
ferências certamente seriam possíveis.
Na euforia pioneira dos primórdios, ou mesmo enquanto as discussões
aconteciam de forma recorrente em torno do "a favor de ou contra a
informática no ensino da Matemática", os trabalhos que evidenciavam
ou as fortes resistências do sistema de ensino ou as dificuldades que não
fossem materiais ou que resultassem de negação a priori não eram
necessariamente bem-vindas. Hoje. parece-nos que o problema não é
mais esse e que estamos bem conscientes que, para assegurar a integração
da ferramenta informática no ensino, precisamos, sem dúvida, de bons
produtos — o que não é necessariamente o mais difícil; precisamos
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
também compreender como a ferramenta informática afeta o funcio-
namento do sistema didático e como podemos ajudar os professores a se
conscientizarem das adaptações necessárias e a realizá-las de forma
correta.
A pesquisa desenvolvida com J. Belloc sobre o software Euclide
5
na 4
a
série
5
. ilustra bem, pela sua própria evolução, esse fenômeno. Ela iniciou
com objetivos precisos, hipóteses a priori razoáveis e banais:
— Euclide pode auxiliar na exposição precisa da Geometria, pelos
condicionantes que impõe à linguagem, pela proximidade desses
condicionantes aos da linguagem matemática nesse campo, pela vantagem
didática oferecida na apresentação desses condicionantes como
condicionantes do meio;
— Euclide pode auxiliar na conceituação cm Geometria, obrigando à
passagem de uma Geometria perceptiva, de uma Geometria do gesto, à
uma Geometria operatória, onde esses gestos são decompostos, traduzidos
em termos de objetos geométricos ou de suas propriedades (para traçar
um Paralelogramo, ao invés de deslocar a régua, traçamos paralelas
devidamente determinadas, por exemplo);
— Euclide pode auxiliar a aproximar situações mais complexas do que
aquelas geráveis nos ambientes habituais e possibilitar que os alunos se
envolvam em uma abordagem experimental da Geometria;
— Euclide pode, finalmente, ajudar os alunos a visualizarem a
racionalidade matemática, auxiliando-os a tomarem consciência da
generalidade dos enunciados matemáticos, do estatuto da figura, das
propriedades geométricas das configurações, invariantes de uma classe
infinita de figuras.
' 0 software Euclide elaborado no IREM de Grenobie é uma extensão de LOGO que integra macroprocedimentos adaptados
ao ensino da Geometria a partir do colégio: traçado de paralelas, perpendiculares, de imagens de pontos peias transformações
habituais, etc.
1
No Brasil, corresponde à sétima série (N.Trad.).
A experimentação do primeiro ano confirmou globalmente essas hipóteses
e, ao mesmo tempo, chamou nossa atenção para problemas preocupantes,
tanto mais preocupantes quanto mais tendiam a mostrar que as situações
construídas não eram confiáveis e exigiam, para funcionar, um profes-
sor verdadeiramente especializado. Os problemas encontrados foram
principalmente de três tipos:
— a parasitagem recorrente da atividade matemática por dificuldades de
natureza informática:
— a dificuldade de discernir a carga matemática real da atividade
desenvolvida pelos alunos;
— as dificuldades encontradas pela professora para se adequar às
previsões experimentais feitas em comum, quando da situação real de
coordenação da classe.
Interessamo-nos, portanto, mais precisamente na continuidade a essas
questões, introduzindo, de um lado, certas modificações na estrutura
inicial a fim de considerar melhor as dificuldades encontradas e, de outro
lado, implementando diferentes dispositivos experimentais para estudar
de maneira mais acurada tanto as dificuldades quanto o efeito das
modificações introduzidas: observação de grupos de alunos, registros
das fases coletivas, organização de controles rápidos após cada síntese.
Sem entrar no detalhe dos resultados obtidos, gostaríamos de focalizar
aqui dois aspectos aos quais essa pesquisa nos sensibilizou de forma
particular: as modificações nas características do meio e nos processos
de gestão da classe induzidas pelo ambiente informático. Achamos que
elas desempenham um papel importante nas dificuldades de integração
da ferramenta informática no ensino, somando-se, como observamos
acima, aos problemas materiais e institucionais aos quais todos somos
prioritariamente sensíveis.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Ambiente informático e meio
A certo momento do ensino, na experimentação desenvolvida, após a
fase de iniciação ao software, os alunos confrontaram-se com uma tarefa
de construção de figura. Tratava-se da Figura 1 preparatória ao estudo
da configuração das medianas cujos diversos representantes, variando
em tamanho e orientação, eram propostos aos alunos.
Fig 1 - Configuração das medianas
Eles deviam elaborar programas de construção em linguagem matemática
tradicional e em linguagem Euclide. Uma vez que esses programas não
utilizavam todas as propriedades da figura, solicitávamos igualmente
que eles elaborassem um ou vários problemas de Geometria a partir da
construção proposta.
Os resultados obtidos satisfaziam a professora da classe no plano
matemático: eles traduziam para a grande maioria dos alunos a capacidade
de associar de forma coerente um procedimento de construção geométrica
a uma figura desse nível de complexidade, assim como a possibilidade
de distinguir entre as propriedades da figura que serviam de hipótese à
construção (variáveis segundo os alunos) e aquelas que necessitavam ser
provadas na conclusão da construção. As formulações dos alunos eram
matematicamente corretas, mesmo em se tratando, com freqüência, de
formulações intermediárias entre a linguagem matemática tradicional e
a linguagem Euclide. Em contrapartida, entre os programas Euclide
propostos, somente 3 sobre 21 mostraram-se operacionais.
Isso nos levou a introduzir uma hierarquia nos erros encontrados, em
termos de imbricação matemática/informática. Para a tarefa de construção
proposta, consideradas as características geométricas da figura, iden-
tificamos cinco classes de erros:
— os erros matemáticos (não-definição de certos objetos ou dupla
definição, adição de propriedades, confusões de termos matemáticos como
meio e mediatriz, etc), código EM:
— os erros ligados à existência de formulações matemáticas não
traduzíveis diretamente em linguagem Euclide (ex.: seja G tal que C seja
o meio do (GEI), código F
:
F;
— os erros ligados a diferenças de ordem nas duas sintaxes (ex.: "seja a
simétrica de M' em relação a O" traduz-se por "Seja M' SYMP:0:M"),
código EO;
— os erros que resultam de uma definição implícita em Matemática
(ex.: na Matemática, quando dois pontos foram definidos, a reta (AB) e
o segmento [AB] também o são automaticamente, o que não ocorre em
Euclide e nem, por sinal, no Géomètre), código EDI;
— os erros de sintaxe local, referindo-se a intervalos, aspas, dois pontos,
colchetes, etc., código E1L.
A essas categorias utilizadas na análise das produções escritas, é preciso
acrescentar, por ocasião da entrada do programa em máquina, da edição
e da execução, ao menos uma sexta categoria relacionada aos erros de
gestão dos procedimentos, de gestão do sistema-editor, etc.
Uma vez feita essa distinção, Obtemos os resultados seguintes (para 21
alunos, tendo cada um que codificar cinco construções):
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Código erro
Número
Alunos
EM
4
1
EF
7
2
EO
32
8
EDI
56
18
E1L
28
9
que evidenciam claramente a distância existente entre correção
matemática e correção Euclide.
Os problemas associados persistiram até o final da experimentação, com
as conseqüências agravadas pela falta de intimidade do software e o caráter
sumário das mensagens de erro. A despeito das modificações efetuadas
na estrutura, a parasitagem persistiu durante os dois anos seguintes, e os
meios de coleta de dados adotados evidenciaram o seguinte fenômeno
qualitativo em relação aos erros menos imbricados na Matemática: um
decréscimo inequívoco durante a fase de iniciação, um recrudescimento
quando abordamos as situações complexas, um leve decréscimo em
seguida, sem jamais atingir um nível razoável em relação ao trabalho
matemático desejado.
exploração
iniciação
Como, indo além desta pesquisa em particular, analisar didaticamente
este fenômeno? Voltamos aqui à noção de "meio". Essa noção foi
introduzida na didática (Brousseau, 1988) com o objetivo de incorporar
teoricamente os princípios construtivistas segundo os quais o aluno
aprende adaptando-se a um meio, que é fator de contradições, de
dificuldades, de desequilíbrios. Em G. Brousseau, que modeliza as
situações didáticas em termos de jogos, o meio é definido como sistema
antagônico do aluno no jogo não-didático associado à situação.
Sem abordar explicitamente essa modelização, consideraremos, de nossa
parte, o ambiente como:
— formado de objetos, ferramentas, materiais ou conceituais,
supostamente dotados de uma certa transparência para o aluno, seja por
razões culturais ou de aprendizados anteriores (assim, noções como a de
equação do segundo grau, a de função exponencial, etc. podem ser, em
determinado momento, elementos do ambiente da mesma forma que são
os instrumentos de traçado geométrico, um computador, um software,
etc);
— suporte e ambiente da atividade matemática do aluno.
A situação didática, se pretender ser meio de aprendizado, terá
necessariamente que ativar a relação do aluno com o meio: o meio será
então, em certo sentido, problemático. Isso força a distinção, na
modelização, de dois componentes do meio: o componente inerte e o
componente ativo. O primeiro constitui-se do que no meio é suposto
conservar o mesmo nível de transparência, não ser problematizado no
decorrer da situação, sendo a adaptação ao componente ativo que deve
provocar o aprendizado.
É evidente que os ambientes tradicionais do ensino da Matemática são
ambientes que podem ser ricos de componentes matemáticos, mas são.
em geral, ambientes pobres em componentes externos. A entrada de
ferramentas informáticas no sistema educativo vem corromper essa ordem
das coisas. Ela cria assim problemas aos quais os professores não estão
habituados e que seria perigoso querer subestimar.
Se voltarmos com essas ferramentas de análise à situação experimental
descrita mais acima, o computador e a linguagem LOGO (para alguns
alunos), e, em seguida, o software Euclide entram com a experimentação
no ambiente didático. Eles não são, logicamente, imediatamente
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
considerados como elementos do meio: a fase de familiarização com o
software Euclide que ocupa cinco sessões de trabalho em grupos e as
sessões de síntese correspondentes, por exemplo, tem justamente como
objetivo tornar o software um elemento do meio. Veremos, aliás, desde
esse nível, interferir de forma indireta o problema da legitimação de um
aprendizado externo à Matemática dentro do curso de Matemática: a
familiarização com o software é acompanhada de "revisões" sobre os
ângulos, os quadriláteros e os triângulos particulares. Na verdade, o que
pode ser legitimamente considerado de forma durável, no decorrer do
aprendizado, como parte ativa do meio informático, nesse caso preciso.
é a sintaxe do software em seus aspectos imbricados à Matemática, é a
estruturação da programação que leva à estruturação matemática de
procedimentos de construção de figuras. Os outros aspectos do
aprendizado informático devem ganhar, o mais rapidamente possível, a
transparência necessária para sua caracterização como componente inerte
do meio.
Infelizmente, não se trata disso aqui e o ensino deverá aceitar, em
permanência, o parasitismo da adaptação ao ambiente ativo pela não-
transparência do ambiente teoricamente inerte.
Essas questões tornam-se mais difíceis de ser resolvidas quando
consideramos, de um lado, que o ambiente cultural dos alunos, na maioria
dos casos, não é suficiente para dotar "espontaneamente" o ambiente
informático do nível de transparência desejado e, de outro lado, que os
conhecimentos subjacentes tendem a ser vivenciados como "fora do
contrato" pelos diferentes protagonistas: alunos, professores e, também,
pais (diversos dados da pesquisa efetuada atestam isso claramente).
É evidente que a importância das dificuldades encontradas e os limites
das modificações introduzidas são, em parte, devidos ao próprio soft-
ware utilizado, às escolhas didáticas que efetuamos, em especial no tocante
à programação pelos alunos, no nível dos alunos envolvidos: o nível
colegial. Mas iríamos à frente das grandes desilusões, se deduzíssemos
tratar-se de um caso de espécie e que, diante dos ambientes mais íntimos
de que dispomos agora, não há sentido em sensibilizar o professor quanto
a essas questões, em insistir cm lhe dar meios para identificar e interpretar
corretamente os fenômenos associados, e. tampouco, em lhe fornecer
determinadas ferramentas para administrá-los. De outra forma, como
evitar que, obrigados a confrontar de mãos vazias problemas
incontornáveis, sem que ninguém os tenha apontado como incontornáveis
e realmente difíceis, eles atribuam suas dificuldades unicamente à sua
incompetência!
Ambientes informáticos e coordenação da classe
Os problemas trazidos pela integração das ferramentas informáticas ao
ensino não se limitam, logicamente, a essas questões de não-transparência
do meio. Não temos aqui a intenção de abordar os problemas de ordem
material e institucional aos quais somos todos prioritariamente sensíveis.
Preferiríamos focalizar o seguinte ponto: a utilização de ambientes
informáticos perturba os sistemas de previsão e de gestão do professor.
uma vez que os dois não funcionam independentemente. Na realidade, o
computador, mesmo quando concebido simplesmente como elemento do
meio por intermédio do qual se estabelece a relação do aluno ao saber,
modifica as relações existentes no triângulo didático: professor-aluno-
saber.
Para o professor, a situação informática imediatamente aparece como
menos previsível pelo simples fato de que todo um conjunto de fenômenos
anexos vem se enxertar à Matemática, dificultando sua capacidade de
previsão e cuja importância ele tenderá a subestimar. Por exemplo, as
previsões do professor em nossa pesquisa subestimava sistematicamente
o tempo gasto na comunicação (mesmo bem-sucedida) com a máquina.
O fato de que os sistemas de previsão do professor sejam amplamente
intuitivos reforça, sem qualquer dúvida, a resistência, no tempo, dessa
imprevisibilidade.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Além disso, em um ambiente informático, qualquer que seja ele, a
mediação aluno/saber não passa só pelo professor. Um software, mesmo
não "tutorial", fornece feedbacks ao aluno e, nesse sentido, tem uma
dimensão de instrutor. Ele fornece, em parte, a garantia do verdadeiro/
falso, do possível/impossível. Esse componente é perfeitamente
reconhecido pelo aluno e torna as retomadas de trabalho, no contexto de
um trabalho, em ambiente multipostos, difíceis. Ora. essa capacidade de
retomar facilmente é essencial ao professor. Ela lhe permite ir mais rápido
quando sente a necessidade de acelerar o tempo didático, apoiando-se
sobre os alunos que já encontraram ou que já têm idéias para começar.
Ela lhe permite negociar mudanças de tarefa e sabemos bem que um
mesmo exercício matemático necessita freqüentemente de tais
renegociações: desejaremos passar de uma tarefa de construção a uma
tarefa de emissão de conjecturas, da emissão de conjecturas a seu teste,
do teste a provas mais formais... Cada mudança implica, em geral, uma
renegociação da devolução. A retomada também possibilita ao professor
homogeneizar a classe, ao menos aparentemente, iniciar o processo de
institucionalização no decorrer da própria atividade por meio de
institucionalizações locais. Se for preciso lutar para retomar, perderá
liberdade de manobra e isso modificará a visão que tem de sua classe:
sem dúvida a verá ativa, mas mais agitada, heterogênea, mais lenta e as
percepções negativas podem levá-lo às positivas, colocando-o
desconfortavelmente em sua posição de professor
7
.
Poderemos dizer, com certeza, que tais fenômenos já estão presentes até
certo ponto em toda sessão de trabalho em grupos, que os professores já
estão, portanto, parcialmente adaptados. Seria conhecer mal, ao que nos
parece, o quotidiano do ensino.
' É nossa intenção aqui somente descrever mudanças incontomáveis Se a visão que o professor tem da classe aqui é mais
ou menos verdadeira que a visão usual, se chega a ser benéfico que ele não possa manobrá-la como queira, não faz parte
de nossa análise.
Integração da ferramenta informática e formação dos professores
Abordamos, nos parágrafos precedentes, um certo número de questões
que nos pareciam dever ser levadas em consideração, quando nos
interrogamos sobre as potencialidades da ferramenta informática no
ensino dar Matemática e sobre os problemas de integração dessa
ferramenta. A formação dos professores é a chave da integração, e
gostaríamos de voltar nesse último parágrafo apoiando-nos sobre a tese
em curso de M. Abboud. Ela indagou-se, no início, sobre as razões que
levavam um professor a aceitar ou rejeitar um software (limitando-se a
softwares exploráveis a priori para o ensino das simetrias ortogonais e
centrais no colégio) e também sobre o tipo de cenário que um professor
se disporia a elaborar com um software escolhido. As tabelas de análise
de softwares publicadas na literatura surpreenderam-na, em um primeiro
momento, por suas características essencialmente externas (características
técnicas, ergonômicas, de comunicação, etc). Sem dúvida alguma, a
preocupação de abranger em uma única tabela uma ampla categoria de
softwares não é estranho, mas, fazendo isso, todo componente didático
tende a desaparecer da análise. Para as necessidades da pesquisa, ela
elaborou então uma tabela mais especificamente adaptada à análise de
softwares que poderiam ser utilizados para uma primeira abordagem do
ensino das simetrias no nível colegial, incluindo elementos de análise
didática, bem como, em caso de aceitação, a previsão de cenários e dos
elementos de comparação com os cenários papel/lápis.
Essa tabela foi experimentada com diferentes públicos, tendo relações
diferentes com a didática, de um lado, e com a ferramenta informática,
de outro. É certo que ela apresenta imperfeições, mas que não justificam
por si só os resultados extremamente radicais que forneceu. É verdade
que os resultados obtidos opõem a facilidade com a qual as pessoas
questionadas entram na análise externa dos softwares e a dificuldade
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
com que entram em uma análise mais didática. Nesse nível, muitas
questões permanecem sem resposta ou são evitadas. É também o caso
das questões que pedem uma previsão das diferenças entre funcionamento
informático e funcionamento papel/lápis no nível de funcionamento da
classe. Além disso, não notamos diferença sensível sobre os pólos didático
e de previsão entre professores questionados ao final de uma formação
com ferramenta informática (que não se apoiavam contudo diretamente
nos softwares considerados) e professores que se preparavam para iniciá-la.
Isso levou M. Abboud, em uma segunda fase da pesquisa, a tentar
identificar, por meio da literatura e de entrevistas com alguns professores
envolvidos há vários anos nas atividades de formação, as práticas de
formação nesse campo e sua evolução. Mesmo se pudermos identificar
uma evolução, parece que o modelo permanentemente dominante consiste
em apresentar softwares que julgamos interessantes para o ensino, em
familiarizar os professores com sua utilização, e, em seguida, propor-
lhes situações de ensino que nós mesmos concebemos e/ou praticamos e
que "funcionam bem", sem realmente procurar especificar o que as faz
funcionar, preocupar-se em saber qual nível de especialização elas exigem
do professor que deve administrá-la ou interrogar-se sobre suas
potencialidades reais em termos de aprendizado. Proporemos a seguir
aos professores, se a duração da formação permitir, que eles próprios
experimentem essas situações em suas classes ou que criem novas
situações e as experimentem; organizaremos sessões de relatos, sem para
tanto necessariamente fornecer ferramentas para orientar a compilação
do que pode ser observado e a análise dos experimentos, sem chamar a
atenção para este ou aquele ponto reconhecido como crítico.
Resta ainda muito trabalho a ser feito, nesse campo como em outros,
para articular com eficácia pesquisa e formação.
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
O ENSINO CONSTRUTIVISTA*
Beatriz S. D'Ambrósio e
Leslie P. Steffe**
O modelo de conhecimento que Glasersfeld (1987) chama construtivismo
radical estabeleceu suas raízes em Educação Matemática a partir de 1980.
e tem tido seu maior impacto na investigação da natureza do conhecimento
matemático e na metodologia de pesquisa (Cobb, Steffe, 1983; Steffe,
Cobb, 1988). Só recentemente o ensino da Matemática tem sido analisado
por construtivistas (cf. Confrey, 1990; D'Ambrósio. Mewborn, 199-;
Steffe, Tzur, 199-; Simon, 1992). Conseqüentemente, a forma que toma
o ensino da Matemática dentro de uma linha construtivista está ainda
por ser determinada. Vários construtivistas (Konold, Simon. Janvicr)
argumentam contra a noção de que possa haver um tipo de ensino
chamado de ensino construtivista. O argumento mais comum é o de que
todas as crianças constroem conhecimento independentemente do tipo
de instrução utilizado no processo de ensino.
Apesar de não discordarmos desse argumento, nos aventuramos a dizer
que certos objetivos e ações ao professor podem moldar a natureza das
interações matemáticas dos alunos e conseqüentemente de suas atividades
construtivas. De qualquer forma, o professor está sempre trabalhando
* Neste trabalho procuramos caracterizar o ensino construtivista da Matemática. Analisamos três componentes do ensino
construtivista que consideramos essenciais para nossa compreensão das ações do professor construtivista. Esses
componentes incluem a construção da matemática da criança pelo professor, a natureza das atividades usadas pelo profes-
sor para definir o espaço da aprendizagem e o processo de comunicação entre professores e alunos num ambiente de
aprendizagem construtivista. Nosso objetivo foi de extrair descrições e ilustrações dos componentes do ensino construtivista
presente em nossas experiências com um teaching experiment (uma seqüência de episódios de ensino) realizado com
crianças trabalhando dentro de um micromundo de frações.
** Da Universidade de Geórgia.
diante de certas condições que são importantes para a nossa definição do
ensino construtivista. Essas condições podem refletir limitações do atual
conhecimento matemático do aluno assim como limitações das ações do
professor ao criar situações de aprendizado. O professor poderá
compreender essas limitações na medida em que examina a Matemática
de seus alunos. O professor que estuda a construção matemática de seus
alunos e que interage com os alunos num espaço de aprendizagem cujo
desenho está baseado, pelo menos em parte, num modelo de Matemática
do aluno, será chamado de professor construtivista.
Um segundo argumento contra a idéia de um tipo de ensino chamado
construtivista baseia-se na visão de que um "bom ensino" pode ocorrer
mesmo que o professor não trabalhe dentro de uma visão construtivista
do processo de aprendizagem (Kilpatrick, 1987; Konold. 199-). Mais
uma vez não discordamos deste argumento. Mas esse argumento não
implica que possamos definir um tipo de ensino que possa ser chamado
de construtivista. Nosso objetivo neste trabalho é de começar a caracterizar
o "bom ensino" dentro de uma linha construtivista. Nós não nos propomos
a prescrever as ações pedagógicas descritas, nem asseguramos que tais
ações possam garantir o bom ensino. Acreditamos que a combinação
daquilo que o professor acredita sobre o processo de aprendizagem, com
suas ações e com o contínuo aprendizado do professor, durante todo o
processo de ensino, permite-nos descrever o perfil do professor
construtivista. As ações do professor são função de seu conhecimento e
de suas crenças, como também de sua interpretação das ações e da
linguagem dos alunos.
O projeto das frações
Neste trabalho descreveremos algumas características que consideramos
importantes sobre o ensino construtivista e ilustraremos com exemplos
de episódio de ensino extraídos do projeto "Children's Constructions of
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
the Rational Numbers of Arithmetic"'. Referimo-nos a este projeto como
o Projeto de Frações. O teaching experiment (coletânea de episódios de
ensino) é um instrumento de pesquisa que utilizamos para compreender
a Matemática das crianças e sua construção (Cobb. Steffe, 1983). O
objetivo principal do Projeto de Frações é de construir um modelo das
operações mentais que geram os números racionais da Aritmética. Com
este fim, investigamos as ações e operações de crianças dentro de um
micromundo chamado STICKS. Todas as atividades a que nos referimos
neste trabalho são atividades propostas aos alunos dentro desse
micromundo. Nesse micromundo. as crianças podem operar as diversas
formas com um modelo linear, uma representação de uma vareta. Dentre
as operações possíveis, a criança pode criar, copiar, juntar, quebrar.
marcar, partir, colorir e medir. O professor pode ativar ou desativar
quaisquer das operações, o que lhe permite manipular o espaço das ações
possíveis. Por exemplo, suponhamos que o objetivo de um episódio seja
de envolver os alunos em situações que exijam que o aluno faça estimativas
de frações de uma vareta. É provável que o professor desative a operação
PARTIR, que. quando ativada, subdivide a vareta em parte iguais. As
limitações do espaço de aprendizado produzidas pela falta de certas
operações levam o aluno a utilizar ações e operações das mais básicas na
solução de uma situação proposta. Essas soluções podem revelar aspectos
importantes das operações mentais e dos esquemas utilizados pelos alunos.
Acreditamos que para compreendermos o ensino construtivista é
importante explicarmos nossas ações e nosso pensamento durante os
episódios de ensino do Projeto de Frações. A auto-reflexividade — a
aplicação de princípios de construtivismo para a análise de suas próprias
atividades — é uma característica importante do construtivista (Sicir.
199) e logicamente, do professor construtivista. Primeiro ilustraremos
o processo pelo qual o professor c onstrói modelos da Matemática do
'Êste projeto foi financiado pelo National Science Foundation — NSF, n° RED-8954678. Todas as opiniões são
exclusivamente dos autores.
aluno durante um episódio de ensino. Esses modelos são continuamente
modificados durante o trabalho com o aluno e durante a análise
retrospectiva dos episódios de ensino. Segundo, descrevemos o processo
de comunicação entre os participantes de um episódio de ensino. Terceiro,
descrevemos a natureza das atividades propostas durante um episódio de
ensino e a influência do modelo de Matemática dos alunos construído
pelo professor nas atividades utilizadas durante um episódio.
A matemática do aluno
Entender o conhecimento como algo num estado de constante evolução
e adaptação caracteriza a visão do construtivista. As histórias pessoais e
histórias culturais de indivíduos modelam suas interpretações de
atividades, experiências e interações sociais. A compreensão da
Matemática nesta luz, aceitando interpretações e explanações
matemáticas, que não são as tipicamente aceitas pela comunidade
matemática formal, é um dos aspectos mais difíceis que um indivíduo
enfrenta quando procura compreender o construtivismo.
Para a professora, a necessidade de aceitar uma outra Matemática, distinta
da sua. durante um episódio de ensino c tremendamente difícil. A
professora pode descobrir que o seu conhecimento de Matemática não a
ajuda a compreender o conhecimento matemático de alunos específicos,
nem tampouco determinar como ajudar na aprendizagem de seus alunos.
Ao comparar seu conhecimento matemático com o de seus alunos, o
máximo que a professora possa vir a dizer é que o aluno parece nâo
saber. Em quase toda sua experiência corn a Matemática, a professora
vivenciou a Matemática como uma disciplina fixa e rígida, uma disciplina
onde o aprendiz tenta compreender algo que lhe é apresentado,
indiscutivelmente, algo que está nos livros.
Uma professora construtivista tem uma visão muito diferente do que
vem a ser o conhecimento matemático. Para a professora construtivista o
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
conhecimento matemático de qualquer indivíduo, inclusive da própria
professora, está em constante evolução e modificação. A interpretação
do aluno sobre uma situação matemática proposta pode variar muito,
dependendo de sua história pessoal e cultural. A aceitação do
conhecimento do aluno como Matemática legítima, apesar de sua
aparência estranha e pouco familiar, pode gerar uma Matemática do aluno
muito diferente da Matemática do professor.
O objetivo da professora construtivista é de desenvolver um modelo de
conhecimento matemático de seus alunos. Esses modelos são da maior
importância, pois dão direção às ações da professora ao imaginar possíveis
situações de ensino. Ao trabalhar com um aluno, a professora procura
elucidar o conhecimento matemático do aluno e modificar esse
conhecimento. O conhecimento matemático do aluno é comunicado à
professora na forma de ações ou verbalizações (uma forma de ação). Ao
refletir sobre as ações dos alunos, a professora pode desenvolver uma
hipótese sobre suas construções passadas e presentes. O modelo construído
pela professora sobre a Matemática do aluno depende de inferências
tiradas pelo professor através do processo de interação social e é altamente
influenciado pelo conhecimento matemático do próprio professor
(Kieren. 199-).
Professores construtivistas são participantes na vida matemática de seus
alunos, e assim, estão envolvidos em ativamente aprender sobre a
Matemática de seus alunos. Como aprendizes da Matemática de seus
alunos, os professores enfrentam momentos de perturbações e
desequilíbrio, conforme proposto por Piaget. Esses momentos ocorrem
quando as hipóteses do professor são contrariadas pelas ações de seus
alunos. Em outras palavras, a criança age de forma inesperada pelo pro-
fessor. Uma resolução parcial dessas perturbações resulta em novas ações
pelo professor, conforme reformula suas hipóteses e as testa em novas
situações de ensino.
O seguinte protocolo serve para ilustrar a modificação da hipótese de
uma professora durante um episódio de ensino. A professora, Deborah,
trabalhou com Pamela e Raimundo durante dois anos. As duas crianças,
no momento deste episódio, estavam na quarta série do ensino primário.
Episódios de ensino, dentro do Projeto de Frações, ocorriam durante
uma hora por semana, fora das atividades normais da sala de aula. Neste
episódio, Deborah coloca um problema para Pamela resolver que reflete
uma hipótese inicial: as dificuldades destas crianças com o trabalho de
frações. Esse episódio de ensino foi dedicado a ajudar as crianças a
trabalharem com linguagem de frações para expressar dadas situações e
a relação entre varetas de diversos tamanhos. A maneira de descrever as
varetas foi desenvolvida junto às crianças em episódios anteriores. As
crianças criam uma vareta que serve de unidade e constroem outras varetas
de diversos tamanhos, identificando-as pelo número de varelas-unidadc
utilizadas na sua construção. Por exemplo, a varcta-6 é uma vareta
construída repetindo a vareta-unidade seis vezes e juntando os seis
pedaços.
Protocolo 1 (7:20-11:20; 29/10/92)
D: O que você teria se juntasse duas varetas-6?
P: Uma vareta-12.
D: Você pode me construir uma vareta-12 usando duas varetas-6?
(Pamela constrói a vareta-12 copiando e juntando duas varetas-6. Deborah
pinta uma das partes).
D: Esta parte é minha e esta é sua. Qual nome você daria à sua parte?
P: Um meio.
D: Ok. O que resulta se você juntar três varetas-6?
P:9.
D: Ok. Faça a vareta-9. (Pamela constrói a vareta-9).
D: Esta é minha parte, ou melhor, a parte roxa é sua parte, a rosa é
minha, a azul é do doutor Steffe. Que nome você daria à sua parte?
P: Um terço.
D: Que nome daria à minha parte?
P:
Não sei.
D: Quanto eu tenho?
P: Um terço.
D: Quanto você tem?
P: Um terço.
D: Quanto temos juntas?
P: Dois terços.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Durante todo o episódio, Deborah enfatizou o uso da linguagem de frações
corn as crianças. Ao mesmo tempo, Deborah procurou ligara linguagem
de frações à linguagem natural das crianças, conforme mostra o protocolo
2, que é continuação do protocolo 1.
Deborah pergunta à Pamela o que obteriam se juntassem quatro varetas-
2. Pamela diz "uma vareta-8". Deborah procede pedindo à Pamela que
faça essa vareta, o que ela faz em seguida. Após algumas outras perguntas.
que não apresentam dificuldades para Pamela, o seguinte diálogo ocorre:
Protocolo 2 (11:10-14:04; 29/10/92)
D: Se juntarmos três partes quanto teremos? (apontando para três quar-
tos da vareta-8)
P: Um terço.
D: Por quê?
P: São três das quatro partes.
D: Qual o tamanho?
P: Três dos dois.
D: E quanto é três dos dois?
P: Um quatro e um dois, que é um terço.
D: Quanto é um quatro e um dois juntos?
P: Um oito, quer dizer um seis.
D: Então, temos seis partes das oito partes.
Pamela parece estar atenta às três partes e procurando dar nome a uma
das partes. O diálogo entre as duas levou Deborah a questionar sua
hipótese de trabalho. Deborah formou uma nova hipótese de trabalho,
baseada nos comentários de Pamela, que o tamanho de cada uma das
quatro peças (duas varetas-unidades) confundiu a situação para Pamela.
Pamela formou, de fato, quatro partes de tamanho dois e daí se referiu a
três das quatro partes. Temos duas conjecturas procurando explicar por
que ela chamou de "três das quatro partes" de um terço, e depois se
referiu a "três dos dois" como um quatro e um dois. Primeiro, ela pode
ter passado a considerar o inteiro como "três dos dois", ao invés de
considerá-lo oito. Segundo, ela pode ter criado três novas unidades —
uma de valor quatro e outras duas de valor dois, e chamado uma das
partes de um terço. De qualquer forma, a situação levou-a a utilizar o
termo um terço.
Deborah. por sua vez. na procura de uma explicação do que Pamela
pensava, procurou utilizara perspectiva de Pamela de uma parte de valor
quatro e outra de valor dois para tentar redefinir a situação para Pamela
c apontar para o uso de seis oitavos, porém sem sucesso. Pamela estava
convencida durante essa interação que as três peças eram de fato um
terço da vareta-8 e isso criou uma perturbação para Deborah, pois não
havia uma explicação baseada na sua hipótese de trabalho de que a raiz
da dificuldade de Pamela estava na linguagem de frações. Pamela já
havia demonstrado que podia utilizar o termo três quartos para se referir
a três de quatro partes iguais.
Apesar de a pergunta sobre o uso de linguagem, a hipótese de trabalho
de Deborah durante vários episódios, estar dando direção a todo seu
trabalho com as crianças, ela não perde de perspectiva a hipótese mais
geral do projeto, de que esquemas de trabalho com frações são
modificações de esquemas de trabalho com números inteiros. Os esquemas
de trabalho com números reais das crianças oferecem uma janela para
compreendermos seu conhecimento matemático, e era o objetivo do
projeto basear nossos episódios de ensino naquilo que vinha sendo
revelado por essa janela.
Comunicação
Existem muitas formas de comunicação verbais e não-verbais, que
ocorrem durante um episódio de ensino. Essas formas de comunicação
são de onde professores extraem sua informação levando aos modelos da
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Matemática das crianças. Comunicação como ação produz perturbações
para o professor e muitas vezes para o aluno também. Referimo-nos aqui
ao trabalho de D'Ambrósio (1991) no qual ele descreve comunicação
como uma "ação comum". Durante uma interação social ocorrem muitas
formas de ação dos participantes. Algumas são intencionais e dirigidas
aos indivíduos envolvidos na interação. Outras formas não são intencio-
nais, porém transmitem muita informação e mensagens. Por exemplo.
uma criança que senta e pensa em silêncio sobre um problema durante
um episódio de ensino pode não ter como objetivo transmitir que está
envolvido com o problema, mas o professor pode imaginar o que o aluno
está pensando e antecipar um resultado. Apesar de não-verbal, há um
tipo de ação comum entre o professor e o aluno, pelo menos no que se
refere ao fato de que a situação colocada pelo professor foi aceita pela
criança como um problema. Um "bom professor" muitas vezes infere o
que pensa a criança e sente harmonia com o pensamento da criança.
Outro exemplo seria o caso da criança que exibe ações ao resolver
situações propostas. Nestes casos, o professor pode imaginar o sentido
da ação para o aluno e por que o aluno demonstrou aquela ação e não
alguma outra. O professor pode colocar outra situação que reflete suas
hipóteses procurando explicar a necessidade de a criança agir daquela
forma.
Uma ação verbal ou não-verbal transmite significado e mensagens
somente quanto outro indivíduo se empenha em interpretá-la. Essas são
as situações em que D'Ambrósio considera haver uma ação comum. As
ações podem não ser idênticas, mas há uma forma de compreensão mútua.
Infelizmente, pouco do que ocorre numa sala de aula de Matemática
pode ser considerado ação comum, ou seja, comunicação. Em muitos
caso; as ações verbais e não-verbais dos professores não são ouvidas e
muito menos interpretadas pelos alunos. Semelhantemente, as ações e
verbalizações das crianças nâo são procuradas, usadas, interpretadas ou
sequer fazem parte de uma interação social.
A compreensão do que vem a ser ensino construtivista envolve
compreender o processo de comunicação. Alunos (e professores) criam
significados durante uma comunicação baseados em um repertório de
ações comuns e histórias pessoais. Interpretação e significado estão ligados
também às experiências comuns e histórias comuns dentre os participantes
no processo de comunicação. Neste sentido, o professor construtivista
vai além das observações e se torna um participante ativo e intérprete
dos episódios de ensino. A compreensão da história das experiências
comuns entre o professor e os alunos é crítica na interpretação da
comunicação entre eles.
Gostaríamos de enfatizar o uso da ação como uma forma de comunicação
que não requer linguagem. Em vários momentos do Projeto de Frações.
tivemos evidência da fluência de ações das crianças refletindo sua
compreensão de um problema, sem que a criança pudesse utilizar
linguagem para explicar suas ações.
No seguinte protocolo. Pamela resolve um problema proposto por
Deborah. mas é incapaz de articular claramente sua estratégia de solução
ou a razão por trás dos passos para a solução. Deborah usa a voz de
Pamela para tentar ajudar Raimundo a compreender a situação, mas no
final ele continua sem entender a solução.
Protocolo 3
D: A vareta-8 é dois terços de que vareta?
P: 16. É dois terços... (pensa um pouco e responde) 12.
D: (Espera alguns momentos para que Raimundo tenha uma oportunidade
para pensar. Como ele hesita, Deborah sugere que ele coloque a vareta-
8 na tela).
R: (Coloca a vareta-8 na tela).
D: Essa vareta é dois terços de alguma outra.
R: Não sei.
D: Pamela, você pode nos explicar como determinou o valor 12?
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
P: Bem, quatro mais quatro é 8.
D: E o que isso nos indica?
P: (Pensa um pouco). Não sei.
D: Se a vareta-8 é dois terços, quanto vale a vareta-4?
P: Se a vareta-8 é dois terços, quanto vale a vareta-4? Um terço?
D: É. Isso faz sentido, Raimundo?
P: Você tem dois quatros e mais um três.
Pamela assimilou a situação proposta por Deborah utilizando seus
esquemas de operações corn frações. Pamela está consciente do que ela
fez ("Bem, quatro mais quatro é 8") mas não consegue analisar suas
ações ("E o que isso nos indica?" "Não sei"). Ela não consegue verbalizar
por que está correta, ou seja. a estrutura de suas ações estão corretas.
Alguns diriam que a solução foi intuitiva. Nós diremos que ela não tem
consciência da necessidade lógica interna de suas operações. Porém,
Deborah, através de suas observações pode inferir que Pamela construiu,
de fato, uma solução para o problema proposto.
Neste exemplo de fluência de ação, nós acreditamos que Pamela está
consciente do resultado de suas operações, mas não de como ela operou
para produzir o resultado. Neste caso, não poderia ter havido fluência no
seu uso de linguagem para se referir àquelas ações. Mais ainda, Raimundo
não consegue se envolver em comunicação com Pamela. Com certeza,
ele interpretou o comentário de Pamela ("você tem dois quatros e mais
um é três") utilizando seus esquemas operatórios, porém os esquemas
não eram os necessários para levar à sua compreensão do que Pamela
fez. Ele ainda não havia produzido sua própria solução que lhe permitiria
interpretar as operações de Pamela e compará-las à sua solução.
Natureza das atividades
As atividades constituem um meio de realizar ações e geram ação em
comum. Num episódio de ensino construtivista, atividades servem de
meio para instigar ações e conseqüentemente comunicação, já que abrem
caminhos para crianças e professores comunicarem. Uma professora
construtivista modela as atividades baseando-se no seu modelo da
Matemática das crianças.
As atividades utilizadas no Projeto de Frações foram criadas para atingir
vários objetivos. Primeiro, servem para revelara Matemática das crianças.
Conforme as crianças se envolvem nas atividades propostas pela
professora, a professora pode observar e refletir sobre as ações da criança
e as suas. Conforme a professora se comunica com as crianças dentro do
espaço gerado pelo micromundo, ela gera e reformula hipóteses sobre a
Matemática das crianças. Novas atividades são formuladas para testar
as hipóteses.
Segundo, as atividades servem para testar a potencial zona de construção
do aluno. A potencial zona de construção é uma hipótese de trabalho
tida pela professora que indica o que ela acredita que a criança possa
construir, dentro de seu modelo da Matemática da criança. O seguinte
protocolo demonstra a idéia de Deborah de uma atividade que ela
acreditava estar dentro da potencial zona de construção de Raimundo.
(Nota: Pamela já havia resolvido uma atividade semelhante
independentemente.)
Protocolo 4 (5:35-11:19; 12/11/92)
D: Eu vou fazer uma vareta que é dois terços de outra vareta (Deborah
desenha uma vareta-6 na tela). Qual o tamanho da vareta maior?
P: 18?
D: Essa (aponta à vareta na tela) é dois terços de uma maior. De que
tamanho é a vareta maior?
P e R: (Pensam por um tempo).
P: Repita por favor.
D: Essa vareta-6 é dois terços de alguma outra vareta. Essa é dois terços
de qual vareta? Raimundo você tem alguma idéia?
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
R: Uma vareta com 18 pequenas partes... (aparentemente está usando o
comentário inicial de Pamela).
D: De uma vareta-18?
R:É.
D: Por quê?
R: Porque... (hesita e não responde).
D: Se esse é dois terços você pode me dizer o que é um terço?
P: É... (aponta para a vareta-3).
D: Você pode me mostrar construindo a vareta na tela?
P: (Pamela coloca a vareta-3 do lado da vareta-6).
D: Você concorda Raimundo? Se a vareta cor-de-rosa é dois terços, então
a vareta amarela é um terço?
R: (Raimundo coloca a vareta amarela em cima da rosa e diz): Não, isso
faz somente dois. Você teria que juntar outra (passa a vareta amarela
para a ponta). Daí daria certo.
D: O que você obteria se juntasse a amarela nessa ponta?
R: Hummm. Obteria uma vareta... o que será que seria?
D: Pamela, diga-nos por que a vareta-3 é um terço, quando a vareta-6 é
dois terços?
P: Porque 6, 3 vezes 2 é 6, então dois 3 são seis.
D: Raimundo, isso faz sentido?
Deborah procede para explicar, mas Raimundo comunica, através de
expressões corporais e verbais, que não está entendendo. Pamela, por
outro lado, podia verbalizar sua solução apesar de não muito fluentemente.
Há claramente dissonância entre o par de alunos. Enquanto Pamela parece
capaz de resolver a situação, Raimundo não consegue. A inabilidade de
Raimundo de resolver a situação inicialmente produziu um conflito para
Deborah. Sua pergunta "se esse é dois terço você pode me dizer o que é
um terço?" foi uma tentativa de modificar a situação na procura de uma
atividade dentro da potencial zona de construção de Raimundo. A
dificuldade de Raimundo mesmo com essa nova situação levou Deborah
a formular um modelo de trabalho muito mais explícito da compreensão
de Raimundo sobre frações. Os esquemas de operações de Raimundo
pareciam irreversíveis, enquanto Pamela parecia ter esquemas reversíveis.
Qualquer modelo de trabalho representa uma hipótese, portanto, através
de uma análise retrospectiva, Deborah planejou outra modificação nas
atividades para acomodar as dificuldades de Raimundo. O protocolo
demonstra que ela não está totalmente convencida de que os esquemas
de Raimundo são de fato irreversíveis.
Protocolo 5 (13:25-16:07; 17/11/92)
D: Qual vareta poderíamos repetir três vezes para obter a vareta-18?
R: 3 vezes 6 (desenha três varetas-6).
D: Então, essa é uma vareta-18. Se você pintar uma das partes o que
teria pintado?
R: Hummm (hesita)... um terço.
D: E se você pintasse as duas primeiras partes?
R: Dois terços.
D: Qual o tamanho de dois terços comparado com um terço?
R: É o dobro.
D: Então, se eu lhe desse uma vareta e lhe dissesse que é um terço de
alguma outra, você poderia construir dois terços?
R: Sim, é só fazer outra aqui.
D: Então, faça.
R: (Resolve corretamente).
D: E se eu invertesse a pergunta. E se eu desse uma vareta de dois terços
e pedisse para você construir uma de um terço?
R: Ah, eu tiraria duas partes. (Na tela há uma vareta decomposta em 3
parte iguais. Raimundo modifica o problema para um que ele já superou
e mostra um terço numa figura onde constam três terços).
D: Ok. (Apaga toda a tela e desenha uma nova vareta, sem nenhuma
subdivisão). E se eu dissesse que essa é dois terços, como você construiria
um terço?
R: Eu dividiria em três partes.
D: Três?
R: É. Para obter terços.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Raimundo, apesar das modificações feitas por Deborah, ainda não
raciocina de forma reversível. Ele não parece capaz de construir o inteiro,
dada a parte fracionária. Apesar de ele resolver com sucesso a situação
em que Deborah pede para que ele utilize uma fração unitária para
reconstruir o inteiro reiterando o pedaço dado, ele parece incapaz de
partir de uma fração não unitária, construir a fração unitária e reconstruir
o inteiro. Neste momento. Deborah se convence de que a situação
permanecerá sem solução para Raimundo, pelo menos temporariamente.
Seu próximo passo é de procurar explicar por que isso ocorre, o que
refinaria ainda mais seu modelo dos esquemas de frações de Raimundo.
Note que não é suficiente dizer que seus esquemas são irreversíveis na
formulação do modelo. É preciso ir além e especificar as operações
constitutivas de seus esquemas e o nível de abstração em que elas parecem
operar, o que está além do objetivo deste trabalho (cf. Steffe. Cobb, 1988.
para um exemplo do tipo de explanação a que nos referimos). Usamos
aqui os protocolos para obter algum insight sobre o que consideramos
importantes características do ensino construtivista.
Comentários finais
Concordamos com Edith Ackermann (199-) quando ela comenta que
"eu acredito que o ensino construtivista seja um elo difícil de entender"
(tradução nossa).
A essência do dilema do professor reside na seguinte questão:
Como um professor pode vir a dar razão ao aluno (Duckworth,
1987) apreciando a novidade e consistência do seu pensamento,
ao mesmo tempo, dando razão aos especialistas cujo
pensamento coincide com as mais avançadas idéias na área
(Ackermann, tradução nossa).
Esse dilema é parcialmente resolvido com a realização explícita de que é
o professor que dá razão ao pensamento do aluno. Ou seja, dentro da
perspectiva do professor, a Matemática do aluno é construída dos
elementos perceptuais do professor. Nós entendemos a Matemática do
aluno como um sistema conceituai tido pelo professor que, quando
aplicado a um aluno particular (ou a alunos particulares), forma uma
explanação da Matemática daquele aluno (ou alunos). A compreensão
deste fato é importante para reconsiderarmos o dilema proposto por
Ackermann.
Nós aceitamos que nossos alunos possuem conhecimento matemático
próprios que são diferentes do nosso conhecimento matemático. Porém.
o melhor que podemos fazer é formular um modelo do seu conhecimento
baseado nos nossos elementos perceptuais. Não podemos conhecê-lo
independentemente de nosso modo de conhecer e entender. O modelo
não existe para nós a não ser que nós o construamos, e essa construção
implica que vemos certos alunos de certa forma dentro de determinado
contexto.
O que diferencia nosso conhecimento da Matemática do aluno de nosso
próprio conhecimento? Se um aluno resolvesse qualquer problema de
fração que lhe pudéssemos colocar, não haveria motivo para fazer uma
distinção entre o conhecimento do aluno sobre frações e o nosso
conhecimento. As limitações, como as dos protocolos 2 e 5 que
vivenciamos como professores ao interagir com alunos nos forçam a fazer
uma distinção. Encontramos limitações desse tipo. conforme os alunos
procuram resolver atividades que lhes propomos sem nossa intervenção.
Não saberíamos, porém, que essas limitações são necessárias sem tentar
neutralizar as perturbações que encontramos quando os alunos não
conseguem resolver situações que lhes propomos. Modificamos as
situações, pedimos aos alunos que expliquem o seu modo de pensar a
outros alunos, e criamos novas situações de ensino. Essas intervenções
nos servem para tentar modificar os esquemas de ação e operação dos
alunos. Como professores construtivistas, temos que nos relembrar que
são os alunos que devem fazer as modificações em seus esquemas,
independentemente de nossas ações. De certa forma, nós, professores.
resolvemos os nossos problemas somente a partir do momento que os
alunos resolvem os deles.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Tentar ajudar o aluno a se ajudar é muito mais complicado do que lhes
dizer o que devem fazer, o que consideramos extremamente
contraprodutivo. Apesar de não termos adequadamente ilustrado este
trabalho, durante os episódios de ensino, procuramos organizar as
atividades propostas aos alunos de forma que se encontrem na "beirada"
do conhecimento do aluno. Organizamo-las também de forma que possam
contribuir para modificações nos esquemas dos alunos. Consideramos
nosso conhecimento inacessível aos nossos alunos, portanto é nossa
responsabilidade aprender como agir como professores para estabelecer
um meio em que haja comunicação. Neste sentido, queremos reconsiderar
o dilema de Ackermann.
A essência do dilema do professor reside na seguinte questão:
Como um professor pode vir a dar razão ao um aluno,
apreciando a novidade e consistência do seu pensamento,
dando, ao mesmo tempo, razão ao seu próprio conhecimento
matemático?
Apesar de todo o trabalho já existente que procura especificar a
Matemática de alunos, esta não está pronta para nenhum professor. Há
benefícios em ler trabalhos e comunicar com outros sobre formulações
da Matemática de alunos. Porém, é essencial que cada professor interaja
com seus alunos de forma a aprender o seu modo e meios de operar e
conhecer. Um sistema conceituai que temos chamado de Matemática do
aluno tem que ser construído através da interação com o aluno. O pro-
fessor que procura determinar tudo o que pode sobre o pensamento
matemático de seus alunos pode ser chamado de professor construtivista,
e o tipo de atividades que ele utiliza para esse fim de ensino construtivista.
Para nós, o dilema, mesmo modificado, desaparece quando a Matemática
do aluno é considerada uma Matemática legítima.
No ensino construtivista trabalhamos sob a proposta de que a Matemática
é o resultado de operações mentais. Como taí, a Matemática não pode
ser vista como uma disciplina elitista reservada apenas a alunos talentosos.
Matemática deve ser considerada uma atividade humana, como a
linguagem ou a música. O objetivo do ensino construtivista é de
compreender essa atividade e os seus resultados.
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
EVOLUÇÃO DA RELAÇÃO COM O SABER EM MATEMÁTICA
NA ESCOLA PRIMÁRIA: uma crônica sobre cálculo mental
Régine Douady*
Introdução
Neste artigo, interessa-me a relação entre o que o professor se propõe a
ensinar em Matemática e o que os alunos aos quais ele se dirige são
suscetíveis de aprender de fato. As palavras ensinar, aprender, saber
podem acobertar diferentes sentidos. Definirei o sentido que dou a elas.
Todavia, acima das escolhas de ensino, coloca-se uma questão crucial.
de ordem sociológica, mas que condiciona o direcionamento das ações
didáticas que se queira empreender.
Qual é o lugar do saber na escola para o ensino, para os alunos? Ele é
subordinado a relação didática?
Na vida real, todos sabem que a resposta a essas questões é complexa e
não pode ser expressa em "tudo ou nada" ou em "sim, não". Todavia no
que se segue, optei por identificar e apresentar os diferentes casos segundo
a tendência principal.
Na primeira parte, examino os efeitos sobre as escolhas e decisões dos
professores, segundo seja ou não o saber matemático, o principal objetivo
da relação didática. Na segunda parte, descrevo um exemplo de realização
didática no decorrer da qual o sentido da escola, em particular a relação
com o saber matemático, evolui nos alunos.
" Da Universidade de Paris 7.
O saber matemático na relação didática
O que é saber matemática? O que é aprender?
Quando um professor e os alunos se encontram em uma classe, a regra
determina que o professor esteja lá para ensinar um certo saber e os
alunos, para aprender esse mesmo conhecimento.
Definirei abaixo o sentido que dou as palavras "saber, ensinar, aprender".
Saber Matemática apresenta um duplo aspecto. Por um lado. é ter a
disponibilidade funcional de certas noções e teoremas matemáticos para
resolver problemas, interpretar novas questões... Em tal sistema científico.
as noções e teoremas matemáticos desempenham o papel de ferramenta.
As ferramentas inserem-se em um contexto, sob a ação e o controle de
alguém (ou de um grupo) em um dado momento.
As situações, ou os problemas nos quais as noções matemáticas evoluem,
são geradoras de sentidos para essas noções de um certo ponto de vista
que chamaremos semântico. São também geradoras de relações que podem
ser parcialmente externas à Matemática ou então completamente internas
a ela. Saber Matemática é também identificar noções e teoremas como
elementos de um corpus reconhecido científico e socialmente. É também
formular definições, enunciar teoremas do corpus e demonstrá-los. Digo
então que as noções e teoremas matemáticos relacionados desempenham
o papel de objeto. Eles são descontextualizados, despersonalizados
(mesmo que sejam designados por um nome próprio) e atemporais.
O trabalho de descontextualização e despersonalização tem participação
na capitalização do saber. O trabalho de recontextualização e o
tratamento dos problemas que daí decorrem permitem que o sentido se
amplie. Isso não impede a capitalização de práticas ou de conhecimentos
particulares e até mesmo provisórios.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
As noções, bem como os teoremas, podem ser trabalhadas, modificadas
segundo as situações, onde são solicitadas resultando em novas noções,
matéria, por sua vez, de trabalho, interpretação, modificação,
generalização, etc. Para os teoremas, podemos explorar o domínio de
validades: imaginar variantes, demonstrá-las, ou ao contrário, construir
contra-exemplos para certificar de que não são possíveis... Em todos os
casos, somos levados a relacionar noções diferentes. Essas relações são
fonte de sentido para os que as realizam.
Esse trabalho matemático pode ser feito, tanto sobre as ferramentas, no
âmbito de um problema, como sobre os objetos para ampliar seu escopo,
sem finalidade precisa, ou por preocupação estética. Ele deve respeitar
um conjunto de regras internas à Matemática e diferentes modos de
expressão. Trata-se de um outro componente do sentido, que chamaremos
sintático.
Ensinar, para um professor, é criar as condições que levarão conhecimento
aos alunos.
Aprender, para um aluno, é envolver-se em uma atividade intelectual
cuja conseqüência final seja a disponibilidade de um saber com seu duplo
papel de ferramenta e objeto. Para que haja ensino e aprendizagem, é
preciso, portanto, que o conhecimento seja um objeto importante, e mesmo
essencial, de troca entre o professor e seus alunos, que o saber seja uma
finalidade importante da escola.
A realidade pode efetivamente ser essa, e o trabalho do professor consiste
então em escolher cenários e representações do saber aceitáveis pelos
alunos e eficazes em relação ao objetivo de aprendizagem. São possíveis
diversas modalidades que podem necessitar de conhecimentos e
competências internas ou externas à Matemática e também da organização
de comportamentos sociais e mesmo morais por um trabalho talvez
externo à Matemática.
Mas a realidade também pode ser bem diferente. O saber pode ser um
valor para o professor, mas absolutamente não o ser para um certo número
de alunos ou, ao contrário, ser um valor para certos alunos e não para o
professor. Então, dois elementos influenciarão as decisões do professor
e, em todos os casos, modularão suas expectativas:
1) O que representa para tais alunos o fato de ir a escola, o que eles
esperam da escola? O que é aprender?
2) Qual é a proporção de alunos da classe para a qual o saber não é um
valor da escola?
Em uma mesma classe, pode acontecer que alguns venham à escola para
adquirir conhecimentos, enquanto outros procuram passar de ano cm
ano e ir o mais longe possível para ter um bom oficio. Outros vêm à aula
para aprender a viver, a se socializar, a se virar na vida. Pouco importa
que se ensine Matemática ou qualquer outra coisa. A disciplina é o suporte
da comunicação com o professor, que visa responder à sua demanda, e
aliás, ao menor custo (Charlot, Bautier. 1993).
Deve-se notar, paradoxalmente, em relação às idéias recebidas, que a
Matemática pode ser um domínio paradigmático da comunicação com a
escola. Temos como referência para isso os trabalhos de B. Charlot e E.
Bautier (1993) nos quais a Matemática é espontaneamente tomada como
base pelos alunos interrogados para descrever sua relação corn a escola.
Minha hipótese é que isso se justifica se ela representar a oportunidade
de um imenso desafio intelectual compreendido como tal para aqueles
aos quais ela se destina.
Todavia, quaisquer que sejam as intenções quando se chega à escola,
cada aluno vai mais ou menos triunfar ou fracassar em seu projeto. De
outro lado, conforme a história pessoal do professor, seu próprio
conhecimento da Matemática, sua concepção do aprendizado da
Matemática, sua vontade de convencer e a força dos condicionantes aos
quais está sujeito, ele tentará defender e fazer prevalecer suas convicções
ou, ao contrário, tentará apenas sobreviver. E, às vezes, isso já não será
tão mau!
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Assim, são oferecidas duas possibilidades ao professor que ele poderá
usar efetivamente ou que poderá modular, conforme as circunstâncias:
— manter sua exigência sobre o saber como objetivo de sua relação com
os alunos ou
— renunciar. É a situação que consideraremos no parágrafo seguinte.
O saber matemático não é um valor nem para o professor nem para os
alunos
Neste caso. para que o professor possa exercer seu ofício de professor e
para que os alunos desempenhem seu ofício de alunos, a classe é
condenada a viver uma ficção didática: o professor "ensinará" alguma
coisa e os alunos "aprenderão" alguma coisa. Estes serão avaliados e
terão notas aceitáveis em nível global.
Mas onde está a Matemática? O que pode fazer o professor? Uma resposta
usual é a seguinte: propor aos alunos a execução de tarefas, que são
parceladas em subtarefas algoritmizadas segundo as necessidades dos
alunos, até que uma porcentagem aceitável de alunos da classe tenha
respondido de modo satisfatório.
A conseqüência de tal escolha é que o sentido da atividade matemática é
sacrificado. Os alunos não dispõem de nenhum outro meio para controlar
sua produção a não ser o de refazer o trabalho nos mesmos termos. A
experiência dos professores é a de que tal controle é pouco confiável.
Aliás a própria questão da legitimidade do controle é colocada. Corrigir
é trabalho do professor. O aspecto mágico se sobrepõe ao aspecto racional.
A memória é cada vez mais solicitada, mas há pouca possibilidade de
estruturá-la. O recurso aos exercícios repetitivos é incontornável. Os
alunos compreendem cada vez menos por que são obrigados a aprender
Matemática. Nessas condições, será necessário parcelar e algoritmizar
cada vez mais. Mas o professor poderá avançar seu programa, e desde
que escolha bem as provas de avaliação — pequenas questões conformes
aos hábitos — muitos alunos poderão passar à classe superior. Para o
professor e os alunos, a sobrevivência está assegurada.
Resta o destino dos alunos que recusam esse jogo ou o dos que não têm
sucesso, apesar da boa vontade.
O saber matemático é um valor para o professor, mas não para os alunos
Aqui. ainda, apresentam-se duas eventualidades, ao menos no inicio do
ano escolar:
— o professor aceita entrar na lógica dos alunos, pelo menos
provisoriamente, e se dedica progressivamente a fazer o contrato evoluir;
— o professor logo entra em conflito com os alunos.
Para o professor, trata-se de obter uma modificação da relação com a
Matemática de uma maioria dos alunos da classe. Então este pode ser
um desafio muito grande para o professor que se encontrará engajado,
através da Matemática, em um processo de modificação da relação com
a escola, da relação professor-aluno e das relações entre alunos.
Com efeito, uma modificação da relação com a Matemática implica para
esses alunos uma atribuição de sentido dos conteúdos dessa disciplina e
a disponibilidade de ferramentas de tratamento sob seu controle. Isso
exige que esses alunos possam entrar cm uma atividade intelectual c que
eles sejam convencidos que isso vale a pena. não somente de ponto de
vista de sua inserção na escola, mas também de um ponto de vista social
e cultural. Isso significa que o professor coloca seus alunos em situação
de terem que fazer escolhas, testar seus efeitos, coordená-las,
eventualmente voltar as primeiras escolhas e fazer outras... O professor
deve então se assegurar que seus alunos disponham de um mínimo de
meios para fazê-lo. Isso significa, em nível de contrato, que os alunos
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62,. abr./jun. 1994
aceitam um papel de ator e não se refugiam no simples papel de
executantes. E neste contexto de aprendizagem que o jogo de devolução
(Brousseau, 1990) é incontornável para o professor (Perrin-Glorian,
1993). Para Brousseau, "a devolução é o ato pelo qual o professor faz o
aluno aceitar a responsabilidade de uma situação de aprendizagem (não-
didática) ou de um problema e ele próprio aceita as conseqüências dessa
transferência". Isso quer também dizer que o professor reconhece o esforço
dos alunos e os legitima, mesmo se eles não forem coroados de sucesso.
Isso quer dizer que ele inscreve os esforços de cada um em um contexto
coletivo, onde os impasses analisados de uns são indicações de escolhas
melhores para outros e, por isso mesmo, suscetíveis de serem produtivos.
É importante considerar logo no início e durante vários anos a necessária
interação entre atribuição de sentido e capitalização do saber. M. J.
Perrin-Glorian trabalhou particularmente nessa questão com alunos de
meio popular em dificuldade. Digamos, por enquanto, tratar-se de uma
situação difícil de gerenciar e fazer com que alunos, que se habituaram a
recusar o jogo matemático, após anos de fracassos, progridam.
Então o professor pode tentar trabalhar com sua dimensão afetiva. Isso
funcionará, talvez um momento, talvez um ano, com maior ou menor
felicidade conforme a idade dos alunos, mas não há estabilidade suficiente
para assegurar a construção de uma massa crítica de conhecimentos
necessária para desencadear uma nova relação com a Matemática.
A tentação é grande para o professor de renunciar ao conhecimento e se
voltar para uma aprendizagem de técnicas e algoritmos mais ou menos
bem memorizados, mas que mais distanciam os alunos do que poderia
fazer sentido para eles.
O saber matemático é um valor para certos alunos, mas não para o
professor
Não esqueçamos o risco de decepcionar alunos que vêm à escola aprender
alguma coisa, que estão interessados pela Matemática, quando é o objeto
do ensino. Esses alunos podem então rejeitar não só o curso de Matemática
mas também a escola, se sentirem implicitamente que ela não cumpre a
sua função. Eles podem ir procurar o conhecimento ou outros centros de
interesse em outro lugar, se tiverem possibilidade, indo para melhor ou
para pior, ou entrar em conflito com os professores. Esta situação não é
utópica. Ela é encontrada em classes muito heterogêneas. E aí, mesmo
se um professor puder detectar a dificuldade, ele não tem sozinho controle
da situação.
O saber matemático é um valor tanto para o professor como para os
alunos
É a situação favorável do ponto de vista da Matemática. Todavia, a
elaboração do sentido não implica necessariamente a capitalização do
saber. Sob certas condições, ela favorece sua estruturação, condição para
sua memorização. É todo o trabalho que deve ser concebido para essa
finalidade.
Campos conceituais (Vergnaud, 1991), teoria das situações (Brousseau,
1987 e 1990), dialética ferramenta-objeto. jogos de quadros e janelas
conceituais (Douady, 1984,1986 e 1992), representações metacognitivas
(Robert, Robinet, 1989) são ferramentas para compreender e/ou organizar
a relação com o saber matemático dos diferentes atores do sistema didático
e ajudar os alunos em seu esforço para conceitualizar o real.
Claro que numerosas questões didáticas ficam abertas, e os problemas
de adequação entre o que é ensinado, de um lado, e o que é efetivamente
aprendido, de outro, estão longe de estarem bem resolvidos. Isso leva a
que se considere com modéstia e otimismo os estudos realizados e os
resultados obtidos.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Um exemplo de evolução da relação com o saber — cálculo mental
no CM2: uma crônica
As circunstâncias
A história passa-se em uma escola bem nova de subúrbio, em um grupo
de grandes prédios novos de habitação popular que abrigavam
prioritariamente grandes famílias em situação social e econômica difícil.
O professor é recém-nomeado para essa escola. Mas é um professor
experiente e um membro de nossa equipe de pesquisa em didática da
Matemática na escola elementar há vários anos.
Ele toma contato com sua nova classe em setembro e se dirige a seus 24
alunos conforme seus hábitos. Ele percebe rapidamente que 11 dos 24
alunos não conseguem ler um texto relativamente simples, eles não
desenvolveram o princípio da articulação das sílabas. Eles têm as mesmas
dificuldades para escrever. Nessas condições, como fazer Matemática?
Um bom ponto de partida possível: o cálculo mental. Trata-se de uma
atividade matemática que evoca essencialmente o pensar, cujas sessões
são, em geral, curtas e periódicas (diariamente, cerca de 10 minutos).
Com efeito, é um verdadeiro processo, que evolui com o tempo. Sua
expressão é principalmente oral com uma parte bem pequena para o
escrito, ao qual se poderia renunciar no começo do processo em casos
particulares. É, aliás, uma boa via de acesso para a escrita, como veremos
mais tarde. O professor tem uma boa experiência como método que
contribui a conceitualização dos números e de suas propriedades
operatórias. É um caminho que nos parece perfeitamente adaptado as
dificuldades da classe, esperançosa da experiência que temos.
O método previsto
— O mestre propõe oralmente uma operação a fazer.
—Os alunos escutam e memorizam a questão. Eles efetuam mentalmente
a operação.
— A um sinal do professor, eles escrevem a resposta em suas lousas,
depois a levantam para que o professor possa ler a resposta de todos.
Algumas são corretas, outras erradas. E a situação padrão.
— O professor interroga, visando à participação de todos, vários alunos
(tanto entre as respostas certas como nas erradas) sobre o procedimento
de cálculo.
— Todos devem ser capazes de descrever sua seqüência de cálculos. Em
caso de erro, o aluno interrogado pode localizar um erro e corrigi-lo
oralmente, desde que explique o que não estava certo e o porquê. Os
outros alunos escutam, prontos a intervir em caso de contestação.
— O professor chama então os alunos que tenham calculado de outro
modo a se manifestarem (eles levantam a mão) e explicarem seu método.
— Os alunos, de forma coletiva, durante as trocas verbais (entre alunos)
conduzidas pelo professor, comparam os métodos, suas vantagens,
inconvenientes, a rapidez, as possibilidades de controle.
Durante esse trabalho, muitas propriedades dos números e das operações,
propriedades de ordem e compatibilidade das operações entram em jogo,
explicitamente, nos usos, mas sem denominação teórica. Essas
propriedades intervém como ferramenta para guiar os cálculos, fazer
escolhas, justificar as respostas ou localizar incoerências. Elas
desenvolvem-se a partir de práticas explícitas de cálculo e de controle de
resultados. Por exemplo: "estou certo de que seu resultado é falso porque
12x11 é maior que 12x10 e ele encontra menos de 120".
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Além disso, a atenção e a escuta mútuas são solicitadas e desenvolvidas
bem como a memória, de maneira intensa, mas durante um tempo que,
em geral, não passa de 10 ou 15 minutos.
A realização
Com efeito, esse belo programa mostrou-se falho desde a primeira etapa.
Para um grande número de alunos, não fazia parte do contrato que eles
deviam ouvir o professor quando este se dirigia a eles. A única relação
ao professor que eles concebiam nesse momento era um relacionamento
baseado na autoridade do professor e na obediência — de fato, a
desobediência — dos alunos. Diante dessa situação, o professor podia
escolher entre três possibilidades:
— aceitar a lógica deles e se envolver com eles em uma relação de força
baseada na autoridade que lhe conferia sua posição institucional;
— tentar convencê-los, com os argumentos baseados em sua representação
da escola, centro do saber, e em o que a escola poderia lhes trazer: que
seria melhor para eles mudarem de lógica;
— aceitar sua lógica somente no começo e fazer escolhas didáticas
adequadas para fazer evoluir a relação deles com a escola.
A primeira, possivelmente, levaria a confrontos dos quais o professor
certamente sairia vencedor, mas em detrimento do saber para um bom
número de alunos e uma grande fadiga nervosa para o professor. A
segunda possibilidade era, por muitas razões que não exporei aqui, fadada
ao fracasso. Finalmente, as decisões do professor derivarão da última
possibilidade. Como se vê, não é mais uma escolha, mas a única via
possível de comunicação com a maioria dos alunos.
Os objetivos
De maneira global, trata-se para o professor de trabalhar visando a um
deslocamento do valor da escola para seus alunos e a uma modifição do
que implicitamente eles vêm procurar nela. A ambição do professor é
fazer com que a Matemática se torne, durante os momentos institucionais
reservados a essa disciplina, o objeto principal da comunicação entre os
alunos e ele e o centro de interesse nas trocas entre alunos.
Trata-se, também, para os membros da equipe, de interrogar-nos sobre
os fatores dos quais dependem tal deslocamento de valor, sobre a
possibilidade de identificar fatores determinantes, isto é, tais que. em
agindo sobre eles, modifiquemos o relacionamento com a Matemática e.
em relação a isso, sobre os meios de que pode dispor um professor para
agir eficazmente sobre esses fatores no sentido que ele deseja.
De modo mais preciso, os objetivos do professor são os seguintes:
— escuta e respeito na relação entre professor e alunos ou na relação
entre alunos — quando o professor se dirige aos alunos ou um aluno se
dirige a outros alunos, aqueles que não falam, escutam e tentam
compreender o que diz aquele ou aquela que fala;
— o conteúdo das trocas é essencialmente matemático.
No exemplo que se segue, descrevemos uma seqüência de lições centradas
no cálculo mental. Trata-se de trabalhar com número e operações.
A escolha das mensagens e sua classificação traduz intenções didáticas,
sustentadas pela meta de deslocamento de valor para a Matemática,
juntamente com a meta de aquisições de conhecimentos do lado dos
alunos: conhecimentos numéricos, mas também competências no uso
dos símbolos, na prática dos raciocínios, e uma certa responsabilidade
da validade do que é produzido.
Os conhecimentos supostos dos alunos e que inicialmente vão ser
suficientes para o professor são os nomes dos números, os nomes das
operações.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Primeira mensagem ou a autoridade do professor
P (o professor): Vou propor a vocês operações e vou pedir que alguns de
vocês repitam o que eu disse. Não peço para calcular ou achar um
resultado, mas só para repetir exatamente.
Todo aluno pode responder ao pedido do professor, salvo se recusa o
jogo da escola. Aliás, há ruído e protestos entre vários alunos.
O professor persiste e propõe:
P: 14 multiplicado por 4, Pedro; 5 multiplicado por 22, Paulo; 40 dividido
por 8, Maria...
Perguntas análogas vão se renovar durante vários dias, tornando-se os
enunciados cada vez um pouco mais complexos.
Neste caso, as variáveis de situação á disposição do professor são:
— Para a Matemática:
• o campo de números solicitados (entre 0 e 100 no início);
• a natureza dos números: inteiros ou não;
• as operações: familiares, menos familiares;
• a complexidade do enunciado (uma operação, várias operações).
— Para a gestão da classe:
• o número de alunos interrogados;
• a duração da atividade em cada dia;
• o número de sessões.
Segunda mensagem e mudança de contrato
P: Vou propor operações e pedirei para alguns de vocês repeti-las de
outro modo. Por exemplo, para 15x3, vocês podem propor 5x3x3 ou
(10+5)x3 ou qualquer outra expressão que daria o mesmo resultado se
fizéssemos o cálculo, mas não fazeremos o cálculo. Não se repete duas
vezes a mesma expressão. Quem for interrogado tem o direito de ser
ajudado por outro aluno, se ele não tiver idéia. Os outros devem ouvir
bem para dizer se podemos aceitar a expressão proposta ou não e o porquê.
Nova variável à disposição do professor: sugerir ou não aos alunos que
escrevam suas proposições.
Assim, após algumas sessões sob o completo controle do professor, aqueles
que possuem conhecimentos numéricos têm a ocasião de exprimi-los em
um contexto relativamente pouco incômodo, mas mesmo assim limitado.
Eles têm muita escolha dentro de um quadro estabelecido, e afinal,
tranqüilizante. De outro lado, eles respondem a uma solicitação do pro-
fessor e não se arriscam a serem tomados por "pequenos professores" e
rejeitados pelos colegas menos dotados matematicamente.
Várias sessões, durante duas ou três semanas, serão consagradas a essa
mensagem.
Terceira mensagem e alunos assumem a responsabilidade rumo a um
novo objeto de estudo
P: Vou ainda propor operações e vou pedir para que vocês repitam de
outra forma. Cada um tem o direito de propor sua resposta. A única
condição é que ela não tenha ainda sido dita. Quero uma nova a cada
vez.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
O professor quer orientar o trabalho dos alunos, de um lado para a escrita
e de outro, para o estudo explícito de propriedades dos núneros e das
operações. Para isso, ele conta com uma evolução do jogo, do oral para
a escrita, e com uma interação entre os dois modos. É preciso, portanto,
organizar essa evolução. A análise que segue explica suas decisões.
A expressão oral é suficiente desde que a informação que os alunos devem
recolher e tratar não ultrapasse sua capacidade de memória. Para que a
expressão escrita seja necessária, é preciso que a expressão oral se torne
deficiente, ou seja, a capacidade de memória amplamente ultrapassada.
Há ao menos duas razões para isso: abranger a diversidade dos alunos e
tornar inoperante um esforço de memória. Assim, para obter a evolução
desejada, o professor joga com o valor da variável "número de alunos
interrogados". Ele vai provocar um salto neste valor mudando a regra do
jogo: todos têm o direito de propor sua resposta.
O professor conta com a familiaridade desenvolvida nesta prática de
cálculo mental para obter muitas proposições.
Para que os alunos sejam efetivamente capazes de responder a expectativa
do mestre, eles precisam saber escrever expressões numéricas variáveis,
dentro de um campo "razoável" de números incluindo sinais operatórios
e parênteses. É o objeto de uma outra parte do aprendizado que se alavanca
e é desenvolvida progressivamente, em paralelo e em referência ao
trabalho oral a partir da segunda mensagem e, também, a um trabalho
sobre a leitura e escrita fora da Matemática.
Da parte dos alunos, a reação esperada se produz após duas ou três sessões:
"não podemos nos lembrar de tudo, precisamos escrever"; "é preciso
colocarmo-nos de acordo sobre as proposições que são iguais e as que
são novas".
As propriedades operatórias aqui são ferramentas implícitas de
classificação, expressas em termos de ações em um certo contexto. A
explicitação oral pedida a cada aluno em condições de "escuta ativa" da
parte dos outros tem por objetivo favorecer a despersonalização dos
procedimentos e progredir na conceitualização das propriedades
subjacentes.
Quarta mensagem e mudança de problemática
P: Encontrar regras para ordenar as proposições entre aquelas que se
parecem e aquelas que são diferentes.
Do ponto de vista matemático, os objetos de estudos situam-se sempre
no campo numérico.
Todavia, não são mais os números e as relações entre números que estão
em estudo, mas as propriedades das operações.
Avaliação
A devolução do cálculo mental, tal como foi concebido pelo professor, e
as interações oral/escrita levaram ao menos dois meses para se
concretizarem, com 10 a 30 minutos conforme os dias, cinco dias por
semana. Essa prática desenvolveu-se e enriqueceu-se em suas modalidades
com a evolução dos conhecimentos dos alunos ao longo de todo o ano.
Problemas cujas abordagens eram inconcebíveis puderam ser estudados;
problemas de Geometria e medidas coordenados com a introdução de
números decimais, por exemplo.
Conclusão
No que tange aos objetivos do professor, pode-se dizer que vários fatores
se combinaram para fazer evoluir as relações sociais na classe, de um
lado, e as relações com o saber, de outro.
Entre esses fatores, a atividade de cálculo mental, tal como foi vivenciada,
desempenhou um papel-chave. Assinalemos um outro fator que teve um
papel muito importante: a condução da classe por dois docentes em forte
coordenação, especialmente no trabalho de simbolização — um profes-
sor para as disciplinas científicas e uma professora com formação
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
psicológica e experiência corn alunos que têm dificuldades de leitura
para os outros campos disciplinares (para respeitar as regras institucionais,
os dois docentes se responsabilizaram por duas classes, com a mesma
divisão de tarefas).
Cálculo mental e resolução de problemas
A propósito das Perpectivas que oferece o cálculo mental, uma questão
mais ampla se coloca: a da retomada no estudo de um problema das
competências numéricas derivadas do cálculo mental.
Observamos, no âmbito de nossas pesquisas, que a prática regular do
cálculo mental, tal como foi descrito, desenvolve em quase todos alunos
uma grande rapidez de cálculo. Além disso, a facilidade de certos alunos
para calcular mental e rapidamente intervinha, com efeito, em várias
ocasiões, quando eles se confrontavam com um problema:
— no começo do estudo, para obter informações suficientes para criar
uma idéia da situação a tratar. Daremos um exemplo: dado um retângulo,
encontrar um outro retângulo de perímetro maior e área menor.
Para responder a essa questão, observamos um primeiro método utilizado.
Ele consistia em escolher vários retângulos de perímetro maior e calcular
a área, ou vários retângulos de área menor e calcular o perímetro, antes
de poder visar às variações conjuntas. A possibilidade de fazer numerosos
cálculos mental e rapidamente era um trunfo nesse estudo;
— durante o estudo, para evitar escrever as operações simples e ir mais
rápido, por exemplo, as multiplicações ou a divisão por 2. ou ainda, para
otimizar as escolhas numéricas nas situações de classificação;
— no fim, para controlar os resultados de um algoritmo. Por exemplo,
resolver uma equação aplicando um algoritmo, depois testar a validade
do resultado, substituindo-o na equação.
Na realidade, essa disponibilidade do cálculo mental com finalidade de
prática de cálculo parece ligada à legitimidade que o professor lhe conferiu
na aula e nas ocasiões em que foi empregado. Quer dizer que só a
competência não é suficiente; é preciso também que seu uso seja
reconhecido pelo professor. Isso significa que o professor solicitava tal
cálculo durante o trabalho em um problema, nas diferentes situações
descritas acima.
Coloca-se uma questão: a calculadora pode substituir o cálculo mental?
Senão, o que é específico a cada um dos modos de cálculo: mental, escrito.
calculadora e como podem eles se conjugar cm um trabalho onde o
numérico é importante?
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
UM EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DE UMA ANÁLISE IMPLI-
CATIVA PARA O EXAME DE QUESTIONÁRIOS
Régis Gras*
Annie Larher**
Problemática didática
A didática, tanto do lado do professor como do pesquisador e excluindo-
se algumas áreas, atualmente não dispõe de respostas categóricas com
relação às questões que lhe são formuladas. Ora. para adquirir fundamento
científico, ultrapassando a simples opinião, ela deve poder formular e
antecipar hipóteses correspondentes a essas questões. Ela deve poder
estabelecer um dispositivo confiável e fiel de compilação e tratamento
de dados capaz de corroborar ou invalidar as hipóteses c levar a
conclusões. Certamente essa estratégia ambiciosa mas rigorosa não pode
ser montada desde os primeiros contatos com os fenômenos a serem
observados e de onde surgem as questões. Ela se impõe, entretanto.
posteriormente, se desejarmos que as decisões didáticas se apóiem em
regularidades, em uma estabilidade e uma pertinência de respostas e
obtenham assim adequação e validade.
Por exemplo, por meio de uma análise apriorística de uma situação-
problema. imaginamos a existência de certos procedimentos de resolução
c uma hierarquia de eficácia. A observação leva ao aparecimento de um
desvio entre o modelo a priori e o conjunto dos procedimentos
efetivamente observados. Quais conclusões podemos tirar dessa distorção?
" Do I RM AR . Universidade de Rennes e do IR ES TE, Universidade de Nantes.
" Do I.R.M.A.R, Universidade de Rennes.
Outro exemplo: um questionário sobre uma parte heterogênea de um
programa escolar é apresentado a uma vasta população de alunos.
Supomos complexidades específicas: a independência de certos itens, de
certos campos do saber, competências particulares a certas famílias de
alunos, etc. A observação evidencia a existência de certos fatores
discriminantes. Quais são eles? Qual a sua hierarquia efetiva? Como se
posecionam as famílias de alunos em relação a eles?
Outro exemplo: uma vez observadas estratégias de resolução de
problemas, podemos associá-las a concepções consistentes? São elas
evolutivas e como''
Último exemplo: em psicologia cognitiva, será possível evidenciar, por
meio de um questionário adaptado, um segmento de uma epistemologia
genética diferencial?
Surgem dificuldades a todo momento e o pesquisador isolado encontra-
se desarmado diante das alternativas que se apresentam c das decisões a
serem tomadas. Por exemplo, como processar as informações
quantitativas? Como codificar os dados? A partir de que número de alunos
assegura-se a credibilidade de um resultado? Qual método estatístico
podemos adotar? Como interpretar os resultados? Trata-se de encontrar
um equilíbrio adequado, na busca da validação de hipóteses, entre a
depreciação dos métodos estatísticos, a recusa de investimento nessa área
e a "estatisticomania"' que conduz a um excesso de resultados inutilizáveis,
acompanhado da ilusão de transparência.
Ruptura epistemológica da estatística clássica: a análise dos dados,
suas possibilidades de resposta
Uma dupla conjuntura possibilitará respostas satisfatórias à nossa
problemática:
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
— de um lado, a formalização da álgebra linear, da geometria e das
probabilidades possibilitará a elaboração de novos métodos de tratamento
de dados;
— de outro lado. o computador permitirá acumular esses dados, efetuar
cálculos sobre estruturas complexas sem alterar a extensão dos quadros
a serem tratados e fornecer representações variadas da informação obtida.
Com efeito, a análise dos dados — metodologia de tratamento dos dados
visando à modelização dos fenômenos — fornece atualmente múltiplos
métodos, chamados análises de dados, que permitirão obter, contraria-
mente à sua designação, sínteses desses dados, em uma visão holográfica,
dos fatores discriminantes, das tipologias, hierarquias, etc.
Assim, a ruptura epistemológica diz respeito tanto aos objetivos esperados
e atingidos, aos meios técnicos para obtê-los (informática), aos dados
tratados (número, natureza, variedade, etc), aos modos de restituição
da informação, aos procedimentos (ir dos dados em direção aos modelos
e não o inverso), aos métodos matemáticos empregados e aos conceitos
neles implícitos, etc. Neste sentido, a análise dos dados distingue-se tanto
da estatística de inferência e decisão como da estatística descritiva.
Porém, as novas perspectivas oferecidas, aparentemente com um
entusiasmo sem reservas, criam ou mantêm a ficção de que dados colhidos
e tratados sem escolha adequada do método e sem hipóteses preliminares
fornecerão informações claras e resultados organizados. Muitos
pesquisadores, que por sinal abandonaram essa metodologia em seguida
por este motivo, terminaram com pilhas de papel não utilizável.
Desperdício econômico e intelectual! Parece-me indispensável, cerca de
vinte anos após os meus primeiros contatos com a análise de dados,
proceder da seguinte forma:
— formular hipóteses sem alimentar a ilusão de que elas possam ser
refutadas ou definitivamente aceitas, mas somente questionadas ou
corroboradas;
— escolher um método de análise adaptado; por exemplo, se buscamos
evidenciar:
• os principais fatores discriminantes em uma população por meio de
variáveis: uma análise fatorial;
• uma divisão entre as variáveis: as populações dinâmicas;
• uma tipologia ou uma classificação: uma classificação hierárquica das
similaridades;
• uma implicação entre variáveis ou classes de variáveis: uma árvore
implicativa ou uma hierarquia implicativa, etc.
— conhecer de forma sucinta os conceitos matemáticos que embasam as
sínteses (distância do x
2
, por exemplo); esse conhecimento controlará e
facilitará a interpretação;
— interpretar os resultados numéricos e gráficos de forma sintética
adotando um certo distanciamento, e saber ampliar ou restringir os dados
para a realização de uma segunda passagem que pareça necessária para
confirmar ou criticar as primeiras interpretações.
Eventualmente, neste caso, utilizar um método de inferência.
Será necessário, para o pesquisador, ultrapassar as evidências de certos
resultados, servindo-se dessa convenção para dar crédito às interpretações
mais ocultas, mais surpreendentes, que justifiquem por si próprias o
emprego de um método sofisticado.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A análise implicativa
Implicação entre variáveis
Contrariamente aos métodos mencionados acima, onde distância e índice
de similaridade são simétricos, o método implicalivo. que criamos e
desenvolvemos, é não-simétrico. A problemática que o introduz é a
seguinte, no caso onde as variáveis consideradas sejam binárias (um
indivíduo satisfaz ou não uma variável):
Se A e B são as subpopulações dos indivíduos que satisfizeram as variáveis
a e b respectivamente, até que ponto podemos dizer: "se a então b". uma
vez que a implicação não deva ser conotada a priori de causalidade.
Se A B, a proposição é verificada; mas, geralmente, os casos mais
freqüentes apresentam uma intersecção A B não vazia.
O índice de implicação mede, de forma comparável à similaridade de
I.C. Lerman, o grau de "estranheza" diante da pequenez de A B, tendo
em vista a independência a priori e os efetivos observados. Desta forma,
diremos, por exemplo, que X e Y sendo duas partes aleatórias de E de
mesmos cardinais respectivos que A e B e descrevendo de maneira
independente a totalidade das partes de E:
"a => b" é admissível no nível de confiança ou com a intensidade
implicativa de 0,95 se e somente se:
Prob [card (X Y) < card (A B)] < 0,05.
Esta noção foi ampliada, desde a tese de A. Larher, em variáveis modais
e numéricas, unificadas em variáveis freqüenciais.
Uma árvore implicativa capta a ordem parcial induzida por essa
intensidade de implicação. Ag Almouloud (1992). Ratsimba-Rajohn
(1992) e Totohasina (1992) evidenciam cm sua tese uma ordem parcial
entre os procedimentos empregados por estudantes no tratamento de
exercícios, procedimentos inclusos na definição de concepções ou de
modelos mais ou menos funcionais. Eles enfatizam as contribuições
respectivas dos métodos de análise que empregam. Londeix. cm sua tese,
reconstrói, a partir de um teste, uma hierarquia de estágios segundo Piaget
e mostra uma defasagem diferencial devido aos contextos dos exercícios
do teste.
Implicação entre classes de variáveis
Insuficientemente sintética, a implicação entre variáveis é
conceitualmente extensível a uma implicação entre classes de variáveis.
Uma vez que o exame de tal relação entre duas classes não tem sentido
verdadeiro exceto no caso de um "bom fechamento" das classes, definimos
o conceito de coesão de uma classe como oposto ao de "desordem
implicativa" (no sentido da entropia na teoria da informação). Desta
forma, a implicação entre duas classes bem "coesivas", isto é. já ordenadas
em seu interior, traduz a força implicativa de uma sobre a outra.
Um exemplo de análise cm Geometria (A. Larher, 1991)
Observações e alguns estudos mais aprofundados de produções de alunos,
de 12-14 anos principalmente, sobre os problemas com demonstração
geométrica, mostraram a grande quantidade e a grande variedade de
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
procedimentos errôneos dos alunos, apesar da estrutura da solução já
estar esclarecida. Certamente, os erros têm origem profunda na ausência
de significação da prova matemática e em uma certa carência de domínio
do léxico necessário (já que, portanto, pois, porque...), mas também de
forma conseqüente ou conjunta:
— na ausência de rigor na articulação dissimétrica dos três elementos-
chave da inferência: hipótese - teorema - conclusão;
— na aceitação de indicadores extrínsecos para a escolha de qualquer
um desses elementos-chave:
• indicadores formais (estrutura, ritmo ...);
• indicadores semióticos (palavra, letra, símbolo...);
• indicadores semânticos (um sentido próximo, uma utilização anterior...).
Todo professor sabe bem como é difícil, e até mesmo impossível,
identificar em cada trabalho escolar o tipo de erro cometido e sobretudo
a sua repetição pelo aluno, sua freqüência na classe e as condições nas
quais o erro se forma e aparece. Além disso, é ainda mais difícil para ele
descobrir para cada aluno as situações que permitiriam tornar esses
procedimentos — ou até concepções — conscientes e desequilibrá-los.
O computador, em compensação, possibilita um trabalho mais
individualizado e, sobretudo uma sanção imediata do erro e portanto que
o aluno faça uma revisão de seus procedimentos.
Metodologia adotada
Parece portanto importante, para em seguida trabalhar melhor esses
procedimentos com cada aluno, identificá-los e reconhecer suas
circunstâncias de aparecimento.
Nossa missão didática e informática
1
consistirá, então, a mais ou menos
longo prazo:
— em construir situações onde as variáveis são controláveis;
—em identificar e interpretar os erros e as condições de seu aparecimento;
— em construir um modelo de previsão de procedimentos errôneos:
— em elaborar programas computacionais que satisfaçam os objetivos
didáticos.
Esquematicamente, levando em conta esses objetivos, o microcomputador
é integrado sob dois aspectos:
— auxílio didático ao aluno em uma situação de problema com
demonstração (software DEFI: "Demonstração e Análise da Figura
Interativa" que nós desenvolvemos);
— auxílio ao professor para melhor compreensão dos erros cometidos
pelo aluno e se possível, sua correção (software apresentado mais adiante).
Parece necessário limitar as variáveis em interação em uma demonstração,
fornecendo ao aluno situações onde o nexo desenvolvido para o objetivo
distante dessa demonstração não seja o estímulo essencial e onde o léxico
seja reduzido.
Para tanto, estabeleceremos uma lista de fatos matemáticos (geométricos,
no caso) que possam ensejar, de acordo com a situação, hipóteses ou
conclusões e uma lista de teoremas. Tendo sido proposta uma inferência
incompleta (ou mesmo um problema com demonstração), o aluno deverá,
de forma pertinente, escolher um ou vários fatos, um ou vários teoremas
para que a inferência ou as inferências sucessivas sejam validadas.
1
No contexto do Gtupo de Pesquisas do C.N.R.S.: "Didática e aquisição de conhecimentos cientíBcos".
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
O trabalho do aluno será executado em microcomputador, com o auxílio
de um software que possibilita um trabalho personalizado, seguido de
uma análise individual de suas respostas (após eventualmente duas
tentativas).
Esse software não é um "tutorial" propriamente dito, mas, mais
exatamente, uma ferramenta de diagnóstico com três funções:
— reforço do aprendizado das regras de dedução em uma etapa;
— balanço das aquisições sobre o ponto precedente;
— revelação e meio de análise dos erros por estudo diagnóstico
Dependendo da escolha feita no início pelo professor, o aluno terá diversas
chances ou não e a resposta correta lhe será ou não fornecida.
Apresentação do questionário
Um conjunto de seis questões é portanto proposto a alunos do segundo
ano do colégio (12-13 anos) após o ensino de algumas propriedades da
simetria em relação a um ponto. A cada questão corresponde uma
inferência que o aluno deve completar escolhendo um dos 11 fatos
seguintes a titulo de conclusão:
Fatos
1 (EF) e (CD) são simétricos em relação ao ponto I
2 [MN] é o simétrico de [PR] em relação ao ponto I
3 (AB) e (CD) são simétricos em relação ao ponto 0
4 (MN) // (PR)
5 (CD) // (EF)
6 (AB) // (CD)
7 (AB) // (EF)
8 MN = PR
9 CD = EF
10 AB = CD
11 AB = EF
Teoremas
1 A simetria central conserva os comprimentos.
2 Se (D) // (D') e (D') // (D"), então (D) // (D").
3 A simétrica de uma reta (D) em relação a um ponto é
uma reta (D') // (D).
4 Se duas retas são simétricas em relação a um ponto.
então elas são paralelas.
5 Dois segmentos simétricos em relação a um ponto têm
o mesmo comprimento.
6 A simetria central conserva as direções.
Questão: Dados hipótese e teorema das listas acima, encontrar a conclusão
tirada da lista dos fatos (duas tentativas possíveis para cada questão).
Demonstrações
Hipótese: 1
Ql Teorema: 3
Conclusão: 3
HIPÓTESES
TEOREMA
? CONCLUSÃO
a encontrar
(EF)
e
(CD)
simétricos em
relação a 1
A simétrica de (D)
em relação a um
ponto é ( D') // (D)
(EF) // (CD)
Hipótese: 4
Q2 Teorema: 4
Conclusão: 6
(AB)e(CD)
simétricos em
relação a O
Se duas retas sao
simétricas em relação
a um ponto então elas
sao paralelas
(AB) //(CD)
Hipótese: 2
Q3 Teorema: 5
Conclusão: 8
(MN) e simétrico
de (PR) em
relação a 1
2 segmentos simé-
tricos em relação a
um ponto bem o mes
mo comprimento
MN = PR
Hipótese: 3
Q4 Teorema: 6
Conclusão: 6
(AB)e(CD)
simétricos em
relação a O
A simetria central
conserva as
direções
(AB) //(CD)
Hipótese: 6e 5
QS Teorema: 2
Conclusão: 7
(AB)//(CD)
(CD) // (EF)
Se (D)//(D)
então (D) // (D')
(AB)//(EF)
MN = PR
A simetria central
conserva os
comprimentos
[MN) e simétrico
de (PR) em
relação a 1
Hipótese: 2
<J6 Teorema: I
Conclusão: 8
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Por meio do questionário, buscamos controlar o efeito das seguintes
variáveis didáticas:
— o conceito: 5 das 6 questões tratam da simetria central; uma questão
trata da transitividade do paralelismo (questão nº 5);
— a especificação ou competência
2
dos teoremas (exemplo: teorema 1
versus teorema 4);
— grau de generalidade da invariante relacionai (exemplo: teorema 1
versus teorema 5);
— a complexidade léxica (exemplo: "conservar") ou conceituai (exemplo:
"direção");
— a formulação "se ... então" (teorema 2);
— a simetria da relação entre os objetos denominados (exemplo: fato 1
versus fato 2);
— a confusão entre // e = (exemplo: fato 4 versus fato 8);
— a expressão de propriedades (exemplo: teorema 1);
Uma análise apriorística da complexidade nos leva a prever as seguintes
hierarquias entre os sucessos
Podemos esquematizar as proximidades formal, semântica e referencial,
a priori, dessas seis questões:
Do francês insianciation (N.Trad.).
Efetuamos para esse questionário o tratamento estatístico dos dados
colhidos conforme dois métodos de análise: a classificação hierárquica
(segundo Lerman) e a classificação implicativa (segundo Gras). Veremos
mais adiante os resultados que deduzimos do segundo método.
Podemos nos perguntar desde já quais são as bases da estratégia de decisão
do aluno neste exercício muito especial que consiste em fazer uma escolha
entre um conjunto fechado de soluções. Ela é necessariamente muito
próxima da estratégia desenvolvida nas Questões de Múltipla Escolha e,
em compensação, muito diferente da que é seguida nas demonstrações
em várias etapas, nos problemas apresentados e mesmo no software DEFI.
Aqui, o aluno deve somente aceitar ou rejeitar um elemento de uma
lista. Ele não tem atividade criativa verdadeira. Além disso, o sentido
global não é acessível; os únicos pontos de apoio são o sentido da etapa
de demonstração e o conjunto léxico das assertivas ou teoremas de que
dispõe o aluno. No entanto, observamos, graças à repetição, à acumulação
e a concomitância de erros, a estabilidade de certos procedimentos que
correspondem a modelos de funcionamento em equilíbrio tanto em um
aluno em particular como em alunos em geral. Os erros, que geralmente
chamamos de "erros de raciocínio" procedem de causas profundamente
arraigadas e não necessariamente de ordem lógica. Devem-se igualmente
ao conhecimento errôneo dos objetos tratados (quando não do vocabulário
utilizado), e também, com muita freqüência, ao poder de atração de certas
palavras, certos sinais ou símbolos, certas formas (estruturas de frases,
ritmos...) quando da articulação hipótese teorema >conclusão.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
O aluno se confunde mais, quando erra, diante de um critério "sinal" do
que de um critério "sentido". Ele vai buscar nas soluções oferecidas os
indícios formais mais plausíveis, os que lhe parecem mais pertinentes.
Resultados: parâmetros dos sucessos
Médias
Reencontramos a hierarquia presumida a priori entre os sucessos S. nas
seis questões: S
2
(96,25%), S, (78,75%) e S
4
(72,5%).
Além disso: S
3
= S
6
(87,5%).
A taxa de sucesso de Q
5
(85%) é um pouco inferior à taxa de sucesso de
Q
5
e Q
6
(Q
5
não faz referência à simetria central; seu teorema tem
competência diversa dos outros
3
. Ela é claramente inferior à de Q, apesar
da mesma formulação do teorema em "se... então..."; será por causa da
dupla hipótese?
Coeficientes de Correlação entre as Modalidade "de Sucesso" das seis
Questões
As mais fortes relações positivas são observadas entre:
S
1
e S, (formulação diferente do teorema mas o mesmo conteúdo):
P = 0,38;
S
1
e S
6
(p = 0,358): trata-se dos mesmos alunos que têm dificuldade para
começar (Q
1
) e para concentrar a atenção (Q
6
)?
S
3
e S
5
têm um coeficiente de correlação bem próximo de 0, e mesmo
negativo, com todos os outros sucessos exceto com S
4
1
Do francês son ihêortme esl instancié (N.Tníd.).
Análise implicativa dos seis sucessos
O quadro das implicações permite construir o gráfico orientado transitivo,
ponderado e associado à relação de quase-implicação.
Árvore Implicativa de Sucessos
Hierarquia Implicativa
Retomando o método desenvolvido por R. Gras e A. Larher, podemos
constituir classes de sucessos que se organizam dessa forma em função
das implicações intraclasses.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Encontramos similaridades bastante surpreendentes com as classes
formadas a priori a partir das proximidades formal, semântica e
referencial das seis questões:
— separação bem nítida de S
5
, sucesso na única questão relativa à
transitividade do paralelismo;
— classe (S
1
S
2
): as questões Q
1
e Q
2
diferenciam-se apenas peias
expressões de seus teoremas: nenhum deles contém a palavra "conservar"
de compreensão ambígua e, de toda forma, difícil para os alunos;
— classe (S
4
, S
3
, S
6
) que reagrupa os sucessos nas duas questões (Q
3
.) e
(Q
6
) relativas à propriedade métrica da simetria central e do sucesso na
questão (Q
4
). de natureza afim mas cujo teorema, como o de (Q
6
), é
expresso em termos de conservação. Esse último ponto colocará os 3
itens em um mesmo nível de complexidade?
Concluindo, haverá necessidade de indicar o poder de exploração desse
método de análise dos fatos didáticos? Constatamos que ele possibilita e
possibilitará, graças à sua implementação em informática, decisões em
tempo real a partir de estratégias, e mesmo de concepções, extraídas da
concomitância repetida de comportamentos. Ela se impõe como
ferramenta nova e complementação dos métodos simétricos, oferecendo
às questões didáticas as hipóteses de estabilidade que elas buscam.
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APRENDER A VER E A MANIPULAR O OBJETO GEOMÉ-
TRICO ALÉM DO TRAÇADO NO CABRI-GÉOMÈTRE
Colette Laborde e
Bernard Capponi*
A Didática da Matemática dedicou uma parte importante de seus trabalhos
ao estudo das situações-problema nas quais o aluno deve construir
ferramentas de solução (que apresentem para ele um aspecto de novidade)
para resolver o problema que lhe é apresentado. A teorização proposta
por Brousseau (1986) descreve essas situações como as de uma interação
entre um meio e o aluno. Em termos de sistema, se o sistema didático c
aquele construído em torno do triângulo professor, saber, alunos, o meio
encontra-se no interior desse sistema como o subsistema antagonista do
aluno. É por ações sobre o meio, pela interpretação de retroações do meio
suscetíveis de fornecerem elementos de validação de sua solução
(Margolinas, 1993, cap. 1 e 2), na repetição de tentativas de resolução de
um mesmo problema, que o aluno elabora adaptações novas à situação
que o problema lhe apresenta. Essa adaptação pode ser a fonte de novos
conhecimentos. Uma hipótese importante em didática postula que o meio
deve ser organizado de forma a permitir tais adaptações do aluno.
Os Ambientes Interativos de Aprendizagem com Computador (En-
vironnements Interactifs d'Apprentissage avec Ordinateur — EIAO)
podem servir à constituição de ambientes organizados visando à
aprendizagem e serem analisados a partir desse ponto de vista. Com
efeito, eles oferecem, de forma particular, uma possibilidade de
confrontação longa e repetida com uma situação-problema e uma
dualidade de ação e áefeedbacks do dispositivo para as produções dos
alunos, como foi confirmado por um grande número de observações de
alunos trabalhando no computador (Gras, 1987; Artigue, 1991;
Bellemain, Capponi, 1992). As especificidades do EIAO decorrem, em
particular, dos seguintes fatos:
— um EIAO contém conhecimentos (matemáticos, neste caso);
— esses conhecimentos, em função de limitações de representações em
máquina e na interface, podem ter um funcionamento peculiar, diferente
em certos aspectos daquele dos conhecimentos de referência;
A primeira especificidade implica particularmente que:
— ações conceitualmente complexas podem se tornar possíveis
diretamente ao utilizador do dispositivo;
— a máquina é suscetível de oferecer retroações fundamentadas em
conhecimentos;
— a máquina tem um comportamento em parte independente do aluno.
O objetivo deste artigo é a análise das especificidades de um EIAO e seu
papel sobre a concepção e o funcionamento de situações adidáticas. O
exemplo escolhido é o software Cabri-Géomètre, uma vez que constitui
um meio organizado para o aprendizado da noção de figura geométrica.
Esse aprendizado é, com efeito, um ponto-chave do aprendizado da
Geometria no colégio
1
, conforme tentaremos mostrar a seguir.
Apresentaremos depois o software e dedicaremos o resto do artigo ao
estudo do meio adidático suscetível de ser organizado em torno do soft-
ware e ao caráter adidático de situações que envolvam as relações entre
desenho e objeto geométrico.
" DidaTech — LSD2 IMAG-CNRS, Universidade Joseph Fourier.
1
Correspondente, no Brasil, ao antigo ginásio (N.Trad.).
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
As relações entre desenho e objeto geométrico
A Geometria ensinada trata de objetos teóricos, mas envolve também
representações gráficas cujo papel no aprendizado da Geometria não
precisa mais ser enfatizado.
Afigura vista como relação entre desenho e objeto geométrico
Como entidade material sobre um suporte, o desenho pode ser considerado
um "significante" de um referencial teórico (objeto de uma teoria
geométrica como a da Geometria euclidiana ou da Geometria de
projeções). A figura geométrica consiste no emparelhamento de um
referencial dado com todos os seus desenhos; é então definida como o
conjunto dos pares formados de dois termos, sendo o primeiro o referencial
e o segundo um dos desenhos que o representa; o segundo termo é tomado
do universo de todos os desenhos possíveis do referencial. O termo figura
geométrica visto nesta acepção leva ao estabelecimento de uma relação
entre um objeto geométrico e suas possíveis representações. Dentro desta
abordagem, as relações entre um desenho e seu referencial elaboradas
por um sujeito, leitor ou produtor do desenho, constituem para esse sujeito
o "significado" associado da figura geométrica. Esse significado
corresponde ao que Fishbein (1993) chama de figurai concept.
As relações entre desenho e objeto geométrico podem ser caracterizadas,
grosso modo, pelo fato de que as propriedades do objeto geométrico se
traduzem graficamente por relações espaciais. Por exemplo, um traço
retilínco que toca um traçado circular pode ser interpretado em uma
teoria geométrica como uma rela tangente a uma circunferência. Contudo.
é importante ressaltar a complexidade das relações entre desenho e objeto
geométrico; com efeito, a passagem do desenho para o objeto geométrico
é objeto de uma interpretação de um ser humano. Disso decorre que:
— de um lado, um desenho geométrico não é necessariamente interpretado
por seu leitor como correspondente a um objeto geométrico;
— de outro lado, as interpretações de um mesmo desenho como
significante de um objeto geométrico são múltiplas por duas razões: a
primeira decorre de que as interpretações dependem do leitor e de seus
conhecimentos bem como do contexto; a segunda decorre da própria
natureza do desenho; sozinho, ele não pode caracterizar um objeto
geométrico.
Esclareceremos essas informações que servem de pontos de partida ao
nosso quadro teórico.
Um desenho conduz aos objetos teóricos da Geometria na medida cm
que aquele que o lê decide fazê-lo.
A interpretação depende, evidentemente, da teoria com a qual o leitor
decide ler o desenho bem como dos conhecimentos desse leitor. O contexto
desempenha um papel fundamental na escolha do tipo de interpretação.
Desta forma, a Figura 1 pode ser interpretada como o desenho de uma
maçã sobre a qual vem grudado um pedaço de madeira. Em um contexto
matemático, um matemático sem dúvida alguma reconhecerá uma
circunferência. Mas ele será mais hesitante em fazê-lo para o desenho da
direita (Figura 2), apesar do conjunto das marcas de tinta sobre o papel
do desenho da direita ser provavelmente uma aproximação melhor dos
mínimos quadrados de um círculo.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Esse comportamento pode ser explicado se considerarmos a escolha do
tipo de interpretação do leitor. O matemático, em seu contexto de trabalho,
considera esses desenhos sob uma interpretação totalmente geométrica
e, uma vez que nessa interpretação os desenhos devem conduzir a objetos
definidos a partir da teoria, levando em consideração o traçado a mão
livre, ele se esforçará para ver uma circunferência no primeiro, ao passo
que hesitará entre uma elipse e uma circunferência no segundo,
considerada a aparente exatidão do traçado.
Um desenho, mesmo geométrico, pode ser interpretado de múltiplas
maneiras e a percepção, em especial, interfere na elaboração de uma
interpretação quando o leitor não possui conhecimentos teóricos profundos
de Geometria que lhe permitam ultrapassar a primeira leitura perceptiva
Pudemos desta forma mostrar que os aspectos perceptivos (Duval, 1988;
Mesquita, 1989; Padilla, 1990) do desenho podem atrapalhar ou, ao
contrário, favorecer a leitura geométrica por alunos do colégio, chamando
a atenção para os elementos do desenho não pertinentes para essa leitura.
Assim, a configuração de Thales (Cordier, Cordier, 1991) não é
identificada pelos alunos da 3
a
série
2
nos dois desenhos da Figura 3.
Fig.
3
Desenhos prototípicos de objetos geométricos (Noirfalise, 1991)
constituíram-se ao longo do tempo, resultantes de influências ao mesmo
:
Corresponde, no Brasil, à 8ª série do lº grau (N.Trad.).
tempo perceptivas e culturais (em sentido amplo e escolar). Alguns são
bem conhecidos (quadrado/losango), outros menos, como o do
Paralelogramo: o desenho prototípico de um Paralelogramo é, ao menos
na França, aquele em que a diagonal AC é perpendicular ao lado AD
(Figura 4); pudemos justamente identificar esse caso de tipicalidade
utilizando o Cabri-Géomètre.
Fig. 4
Visto como significante de um objeto geométrico, o desenho revela
propriedades desse objeto, mas o faz apenas parcialmente. Podemos
associar ao desenho um domínio de funcionamento (conjunto das
propriedades geométricas representadas por algumas das propriedades
espaciais do desenho). Desta forma, um desenho não traduz o domínio
de variação dos elementos do objeto geométrico. A partir de um desenho,
é impossível inferir se um ponto de segmento pertence somente ao
segmento ou à reta base do segmento, se duas circunferências secantes o
são por hipótese ou se podem estar em uma posição relativa qualquer. É
necessária uma descrição discursiva que caracterize o objeto geométrico
para eliminar as ambigüidades inerentes ao desenho (Duval, 1988;
Parzysz, 1988).
Inversamente, nem todas as propriedades espaciais do desenho podem
ser interpretadas como correspondentes a propriedades do objeto; ao
desenho corresponde um domínio de interpretação. A posição do desenho
na folha de papel, por exemplo, está fora do domínio de interpretação
dos desenhos tidos como significantes de objetos da Geometria euclidiana.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62. abr./jun. 1994
Alguns dos problemas encontrados pelos alunos ocorrem justamente por
eles funcionarem com um domínio de interpretação diferente daquele da
Geometria euclidiana.
As relações entre desenho e objeto geométrico no ensino da Geometria
O ensino da Geometria ignora as relações entre objeto geométrico e
desenho, silenciando sobre a distinção entre os dois ou agindo como se
um elo natural os unisse. Gostaríamos de retomar a tese defendida por
Berthelot e Salin (1992) e o quadro teórico correspondente desenvolvido
sobre as relações entre conhecimentos espaciais e conhecimentos
geométricos: o aniquilamento dos conhecimentos espaciais cm favor dos
conhecimentos geométricos resulta no apoio descontrolado da Geometria
ensinada sobre uma relação privilegiada com o espaço reservado ao
tratamento de pequenos objetos ou de traçados realizáveis sobre uma
folha de papel, sobre a evidência perceptiva: "vemos claramente que..."
(Bessot, 1993). Interpretamos o descaso pelo ensino dessas relações entre
desenho e objeto geométrico com relação a esse aniquilamento: o ensino
negligencia a possibilidade de uma leitura espacial do desenho e considera
unicamente sua leitura geométrica; ele desconhece a existência do
domínio de interpretação de um desenho: a evidência perceptiva é natu-
ral e imediatamente interpretada em termos geométricos. É preciso dizer
que a linguagem favorece essa confusão espacial-geométrica; é freqüente
o mesmo termo designar a propriedade espacial e a propriedade
geométrica a que está relacionada. Por causa dessa indiferenciação, o
ensino desconhece a especificidade das relações entre desenho e objeto
geométrico e não os toma por objeto de aprendizado.
Poderíamos dar uma breve descrição dessas relações dizendo que, de um
lado, a Geometria pode ser considerada como o resultado de uma
modelização do desenho e que, desta forma, pode servir como instrumento
de produção e de controle do desenho ou mesmo de predição. Porém, de
maneira inversa, o desenho em Geometria pode ser considerado como
modelo do objeto geométrico (Laborde, 1992), e, como tal, oferece um
ambiente de experimentação gráfica (Chevallard, 1990). Uma vez que o
ensino ignora as relações entre desenho e objeto geométrico, esse caráter
de experimentação não é. digamos assim, percebido pelos alunos e menos
ainda utilizado (adicionar a um desenho elementos não mencionados
pelo enunciado ou pelo professor não resulta de decisões espontâneas
dos alunos, mas necessita de um aprendizado). Como modelo da
Geometria, o desenho é adequado a experimentações que revelem questões
colocadas à teoria. Estas, traduzidas então no desenho, suscitam nele
uma resposta à qual não corresponde uma resposta na teoria, e sim
suposições e pistas para o trabalho teórico. Podemos desta forma traçar
um grande número de triângulos e observar a inclinação em função de
suas alturas.
Essas relações são sutis e isso significa que, para que os alunos se
conscientizem delas, será necessário desenvolver no ensino situações-
problema:
— que tratem de desenhos nos quais a Geometria é uma ferramenta
eficaz de modelização e de solução; por exemplo, nos quais ela permita
a produção de desenhos que satisfaçam a determinadas limitações, de
forma menos custosa que o tateamento controlado pela percepção e nos
quais garanta a correção do resultado: por exemplo, a Geometria responde
pelo caráter tangente de uma reta em relação a uma circunferência quando
esta é perpendicular ao raio;
— em Geometria onde recorrer ao desenho e fazer experiências sobre
ele impedem o desvio por soluções teóricas longas demais.
Com esse pensamento, têm sido desenvolvidos, há alguns anos, ambientes
informáticos que oferecem um sistema de representação de objetos
geométricos por meio de desenhos na tela do computador realizáveis por
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
comandos definidos em uma linguagem geométrica. Esses objetos na
tela apresentam um domínio de funcionamento mais extenso do que os
desenhos em papel/lápis e possibilitam a desqualilícação de certas
interpretações ilícitas. O Cabri-Géomètre, apresentado no parágrafo
seguinte, é um deles.
Características do ambiente Cabri-Géomètre
Duas características importantes desse ambiente informático
3
residem
na coexistência de primitivas de desenho puro e de primitivas geométricas
e na manipulação direta do desenho. Sc deslocarmos, com o auxílio do
mouse, um dos elementos de base do desenho, este deforma-se respeitando
as propriedades geométricas utilizadas em seu traçado c aquelas que
decorrem dele. em conseqüência, se um desenho houver sido construído
com o auxílio de primitivas de desenho puro. isto é. de modo aproximativo,
ele perde suas propriedades espaciais aparentes em seu estado original
quando do deslocamento de um de seus elementos. A Figura 5 apresenta
um Paralelogramo obtido pelo traçado de quatro segmentos feitos de
modo aproximativo na tela (os pontos superiores são os pontos de base)
no estado original, à esquerda, e após o deslocamento de A, à direita.
Fig.
5
1
Para uma descrição do ambiente, cf. Bellemain, Capponi, 1992; Laborde, Strasser, 1990.
O traçado na tela de um desenho relacionado a um objeto geométrico
deve manter, no curso do deslocamento, suas propriedades espaciais que
caracterizam as propriedades geométricas desse objeto; ele precisa,
portanto, ser produzido pelas primitivas geométricas (como ponto médio,
mediatriz, reta paralela, reta perpendicular, etc). A exigência de se
comunicar ao software um procedimento geométrico de construção
possibilita a caracterização do objeto geométrico (reencontramos a
necessidade que mencionamos acima da descrição discursiva do objeto
geométrico para sua caracterização). Portanto, no traçado na tela do
desenho de um objeto geométrico, é a interação entre as duas
características do software que induz à utilização das primitivas
geométricas, conforme indica o esquema da Figura 6. O software foi
concebido com base em que esta passagem pelas primitivas geométricas
deveria favorecer a utilização de conhecimentos geométricos.
Fig.
6
Portanto, o ambiente responde à intenção de se oferecer um sistema de
significantes com um domínio maior de funcionamento cm relação à
Geometria e que torne mais aparentes os limites do domínio de
interpretação. Devido ao deslocamento de o desenho ser controlado por
uma teoria geométrica (grosso modo a da Geometria euclidiana), o
ambiente deixa transparecer em particular a variabilidade dos elementos
do objeto geométrico e de seu domínio de variação (extensão do domínio
de funcionamento) e possibilita a desqualificação das interpretações não
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Observamos que a própria interpretação de uma ausência de relação entre
constituintes de um Cabri-Desenho pode ser interpretada em dois níveis
diferentes:
— como uma ausência de relação de tipo físico ou mecânico em nível do
Cabri-Desenho, a interrogação do sujeito não se refere ao objeto
geométrico, e sim ao Cabri-Desenho. A retificação obviamente será feita
pelo uso de primitivas geométricas do software, mas para satisfazer a
uma finalidade relacionada à aparência do Cabri-Desenho;
— como uma ausência de relação geométrica entre elementos do objeto
geométrico representado pelo Cabri-Desenho. A retificação também será
feita pelo uso de primitivas geométricas, mas para satisfazer a uma
finalidade geométrica.
Procuramos analisar geometricamente certos elementos do Cabri-Desenho
no deslocamento:
— para validar ou invalidar a construção em relação à satisfação das
condições solicitadas;
— ou para procurar os erros nos casos onde a produção seja reconhecida
como inválida.
Utilização na interação das possibilidades de ação e retroação
Como em toda situação, as retroações do meio podem ser solicitadas
pelo sujeito que decide empreender certas ações cuja sanção pelo meio
fornecerá elementos de informação sobre sua produção. Trata-se, em
certos aspectos, de uma experimentação dentro do modelo fornecido pelo
ambiente informático.
O ambiente Cabri-Géomètre possibilita esse tipo de experimentação pela
conjugação do uso das primitivas geométricas e do deslocamento. Assim,
para verificar que duas retas são perpendiculares, traçamos a perpen-
dicular a uma das retas e verificamos que no deslocamento ela coincide
com a outra reta.
O sujeito pode até mesmo dedicar-se a uma experimentação baseada em
um cálculo inferencial: ele mostra a equivalência da propriedade P a ser
verificada e de uma outra propriedade P' que pode ser verificada pelo
procedimento apresentado acima. Por exemplo, para certificar-se de que
construiu bem um losango, ele pode traçar a mediatriz de uma diagonal
e observar, pelo deslocamento, a coincidência dessa mediatriz com a
outra diagonal.
Em uma análise de um determinado Cabri-Desenho com a finalidade de
identificar as dependências geométricas entre propriedades do objeto
geométrico, um outro tipo de experimentação possível consiste em
suprimir relações geométricas entre elementos e em verificar se as relações
que supúnhamos dependentes não são mais satisfeitas.
A repetição
Margolinas (1993, p. 117) tornou evidente a importância da repetição do
problema nos trabalhos de engenharia, que até então, nâo havia sido
considerada no plano teórico. Ela demonstra claramente não se tratar,
de forma alguma, de uma conseqüência de uma opção behaviorista, na
qual a repetição da confrontação a estímulos possibilitaria um aprendizado
por reforço, e sim de uma conseqüência de uma opção construtivista: a
repetição da confrontação com o mesmo problema possibilita ao aluno a
elaboração de um sentido para o problema (processo de devolução),
"torna-o cada vez mais consciente do que o impulsiona a agir". A repetição
é interessante quando as retroações não são simplesmente do tipo certo
ou errado, mas são de natureza rica. É justamente o que a análise dos
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
dois parágrafos precedentes tendia a mostrar. No uso regi lar de Cabri-
Géomètre em um período longo em classes de 4
a
e 3
a
sérus
4
de um dos
autores (B. Capponi), pudemos constatar, quando da resolução de
problemas, uma ausência de renúncia da parte dos alunos, quase sempre
um envolvimento importante representado pela sucessão de numerosas
tentativas de solução e — com uma freqüência certamente um pouco
menor — por uma evolução das soluções.
Um novo aprendizado?
As situações adidáticas em Geometria têm por objetivos que:
— as estratégias de solução fundamentadas em conhecimentos
geométricos apareçam como mais eficazes que estratégias empíricas ou
baseadas na percepção. "A Geometria resulta de um ardil, de um desvio
cuja pista indireta possibilita o acesso ao que ultrapassa uma prática
imediata" (Serres, 1993, p.196);
— estas estratégias não sejam a resposta a expectativas externas ao
problema que o aluno acredita poder adivinhar, por exemplo, no profes-
sor ou no autor do problema.
Nossa atenção volta-se aqui para as situações que dão sentido à noção de
figura geométrica; essas situações envolvem, portanto, um desenho que
pode, com o auxílio de uma análise geométrica, ser interpretado como
representante de um objeto geométrico. Para que esta interpretação
aconteça, é preciso que seja solicitada pelo problema a ser resolvido, isto
é, que a resolução do problema conduza a um tratamento geométrico.
No parágrafo seguinte, procuramos determinar as modificações trazidas
por Cabri-Géomètre nas características das situações: Que novos tipos
de abordagem um ambiente como Cabri-Géomètre pode favorecer aos
alunos? Qual novo tipo de situação adidática tornou-se possível?
1
Equivalente, no Brasil, às 7ª e 8ª séries do 1º grau (N.lrad.).
Que tipo de problemas usar no ambiente Cabri-Géomètre?
Podemos distinguir dois tipos de problemas, conforme a produção
solicitada aos alunos:
— problemas de produção de Cabri-Desenhos;
— problemas de demonstração.
No primeiro tipo de problemas, a produção solicitada é, como já vimos,
de natureza "nova": não se trata de fornecer um traçado, e sim um desenho
na tela que conserve certas propriedades espaciais impostas quando do
deslocamento de um dos pontos de base do desenho. A tarefa do aluno
consiste, portanto, na elaboração de um procedimento de produção do
Cabri-Desenho, fundamentado nas primitivas geométricas disponíveis.
Além do caráter "novo" da produção solicitada, o deslocamento introduz
ainda novos tipos de problemas:
— produção de Cabri-Desenhos que tenham um comportamento
subordinado em nível de seu deslocamento;
— a pesquisa da generalidade do procedimento de construção;
— a reprodução de um dado Cabri-Desenho na tela que possa ser
explorado pelo deslocamento.
Um Cabri-Desenho é um desenho dinâmico, além da invariância de
propriedades espaciais, podemos impor limitações específicas de
movimento. Por exemplo, podemos solicitar a produção de um triângulo
equilátero que gire em torno de seu centro. Isso implica a imposição de
pontos fixos, de pontos móveis do Cabri-Desenho e certas trajetórias.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Operamos aqui sobre a nova natureza do Cabri-Desenho—é um desenho
cujos elementos descrevem trajetórias, sendo essas trajetórias ou reduzidas
a um ponto do plano, ou a um subconjunto de pontos do plano ou ainda
ao plano todo. A Geometria torna-se neste problema uma ferramenta de
modelização de relações espaciais do desenho durante o movimento. Esse
tipo de situação exige, portanto, uma análise em termos geométricos.
Alguns procedimentos de construção dependem das posições respectivas
de certos elementos de base e são profundamente modificados se essas
posições mudam. Tomemos, por exemplo, o procedimento de obtenção
de uma tangente a uma circunferência de centro O que passe por um
ponto P dado; o procedimento habitual difere, conforme o ponto esteja
sobre a circunferência ou fora dela: no primeiro caso, traçamos a per-
pendicular ao raio, no segundo, uma circunferência de diâmetro PO. Se
deslocarmos P, a tangente obtida permanece tangente à circunferência
até desaparecer quando P recai sobre a circunferência. A produção de
Cabri-Desenhos conduz, portanto, a um novo tipo de problemas — o da
generalidade de um procedimento de construção.
Na reprodução de desenhos sobre papel/lápis, os conhecimentos
geométricos podem representar uma ferramenta eficaz, mas sabemos
também que o traçado empírico controlado simplesmente pela percepção
pode fornecer um traçado visualmente satisfatório. A reprodução de Cabri-
Desenhos desqualifica o traçado empírico controlado pela visualização.
Ela exige também o reconhecimento de invariantes geométricos desse
Cabri-Desenho no deslocamento, ou, dito de forma mais apropriada, ela
exige que reconheçamos as propriedades geométricas com o auxílio de
invariantes espaciais do desenho no deslocamento. Esse tipo de problema
focaliza de forma particular a correspondência entre visualização de
invariantes espaciais e sua descrição geométrica. Chamaremos de caixa
preta essas situações-problema nas quais os alunos devem reproduzir
um Cabri-Desenho na tela, de forma a obter um Cabri-Desenho com um
comportamento idêntico quando do deslocamento. Essas atividades podem
ser utilizadas no aprendizado das transformações geométricas.
A demonstração pode levar a outro nível no Cabri-Géomètre, uma vez
que possibilita a explicação de fenômenos visuais ou mesmo a
impossibilidade destes fenômenos. Desta forma, alunos da 5ª série
5
perguntaram-se se um triângulo poderia ter dois ângulos obtusos (Bergue,
1992). A precisão do software e o deslocamento contínuo garantem aos
olhos dos alunos a impossibilidade de obtenção de tal triângulo. Eles
estão em situação de assimilar a questão da explicação de tal
impossibilidade. Há devolução (Brousseau, 1986) do problema da prova
matemática da inexistência de tais triângulos. A demonstração assume
por isso um outro nível, o da explicação das propriedades espaciais que
contradizem as expectativas dos alunos. Uma outra fonte de problemas,
que leva a uma demonstração, consiste em pedir que se busquem as
condições às quais um objeto geométrico deve satisfazer, para que se
obtenha na tela um caso particular que resista ao deslocamento. Por
exemplo, sendo A, B e C três pontos fixos, sob quais condições de D as
mediatrizes do quadrilátero ABCD encontram-se em um mesmo ponto?
(Figura 7). Os alunos podem obter o traço do ponto D manualmente,
tentando satisfazer visualmente às imposições de intersecção das quatro
mediatrizes. Eles obtêm o que um de nossos colegas, J. F. Bonnet, chama
de lugar frouxo. Mais uma vez, a demonstração aparece como um meio
de se certificar da natureza desse lugar frouxo.
Fig. 7
1
Equivalente, no Brasil, à 6ª série do 1º grau (N.Trad.).
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Discussão do caráter adidático de situações de produção de Cabri-
Desenhos
O caráter não didático de produção de Cabri-Desenho pode parecer mais
fácil de ser satisfeito por duas razões:
— trata-se de mandar fazer e não de fazer um desenho; os alunos devem
comunicar um procedimento de traçado ao dispositivo e não fazer o
traçado por si mesmos. O dispositivo exige a distinção entre traçado e
procedimento de traçado. Por outro lado, o professor não participa do
processo de comunicação com o dispositivo;
— um Cabri-Desenho é, por definição, um desenho que conserva ao
longo do deslocamento as propriedades espaciais distintivas das
propriedades geométricas relacionadas ao objeto geométrico que ele
representa; os procedimentos de traçado de modo aproximativo são
desqualificados pelo próprio dispositivo. Pelo deslocamento, o software
oferece uma invalidação dos traçados por aproximação, e os alunos são
levados a efetivamente utilizarem as primitivas geométricas, para obterem
o traçado na tela de um Cabri-Desenho de um objeto geométrico.
No entanto, será possível, a partir dessa constatação, fazer duas hipóteses
suplementares segundo as quais:
— solicitar aos alunos se a produção de um Cabri-Desenho determinando
o conjunto de primitivas geométricas disponíveis não abriria a
possibilidade para uma pesquisa das expectativas do professor,
favorecendo, dessa forma, aos alunos a pesquisa de procedimentos
embasados em conhecimentos geométricos?
—a utilização das primitivas geométricas não se basearia necessariamente
em um tratamento geométrico?
É evidente que não!
Gostaríamos de diferenciar essas hipóteses que fornecem um quadro
demasiadamente contrastante das relações entre alunos e máquina. De
um lado, fenômenos de contrato podem ser produzidos, assim como certas
primitivas geométricas podem parecer aos olhos dos alunos de utilização
mais desejável que as propostas pelo professor.
Por outro lado, admitimos a hipótese de que as estratégias empíricas dos
alunos são reforçadas pelo fato de haver um número reduzido dos
comandos de construção: é permitido que tentem construir o Cabri-
Desenho solicitado, pela experimentação sucessiva de diversas
combinações de menus, inclusive pelo número reduzido de primitivas
geométricas. Não é a utilização de conhecimentos geométricos que
controla o processo de traçado, mas a busca de uma série de menus que
conduzam a um Cabri-Desenho que será validado pelo deslocamento. A
concepção de situações adidáticas de construção geométrica com Cabri-
Géomètre deve levar em conta a intensificação dessa dimensão empírica,
escolhendo-se os traçados a serem realizados para os quais tais estratégias
sejam difíceis e não conduzam ao sucesso.
Pudemos ainda constatar que se estabelece um jogo, entre uma atividade
perceptiva favorecida pelo deslocamento, uma estratégia combinatória e
a utilização de conhecimentos de Geometria, nas situações onde os alunos
devem produzir um Cabri-Desenho, a partir de uma caracterização
discursiva. Os alunos abordam o problema por combinações sistemáticas
de menus sobre os objetos existentes. No entanto, pode ocorrer que
descubram, por ocasião do deslocamento, um dos invariantes geométricos
solicitados mais, relacionado a outros objetos que os desejados. Eles se
colocam então em uma problemática geométrica, na qual buscam reobter
esse invariante entre os objetos desejados e com esse objetivo, eles
analisam geometricamente o que fizeram de forma empírica: a Geometria
torna-se um meio que lhes permite controlar a reprodução de um
invariante obtido de forma aleatória.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Validação da produção de um Cabri-Desenho
O ambiente também oferece uma validação pragmática de um Cabri-
Desenho que satisfaça às condições dadas. Basta para tanto que o profes-
sor crie uma macroconstrução de argumentos dos objetos dados do
problema que realizem a construção solicitada. Por exemplo, no problema
do traçado de um quadrado de lado dado [AB], o aluno que queira verificar
sua produção chama uma macroconstrução pré-gravada da construção
de um quadrado de lado dado, aplica-a sobre [ AB] e pode verificar se sua
produção coincide com o quadrado solução, com o deslocamento de A
ou de B. A superposição de dois desenhos idênticos do papel/lápis é
substituída aqui, pela superposição com o deslocamento de dois Cabri-
Desenhos. Essa superposição, muito provavelmente, assegura a identidade
dos objetos geométricos associados. Essa possibilidade de validação
provou ser capaz de relançar os alunos na atividade, quando suas
produções não satisfazem as condições solicitadas.
Conclusão
O reconhecimento visual pode, portanto, desempenhar um papel
importante no ambiente Cabri-Géomètre. Ora, o reconhecimento visual
de propriedades espaciais associadas às propriedades geométricas não é
espontâneo e deve ser o objeto de um aprendizado. A associação entre
visual e geométrico raramente tem sentido no ambiente papel/lápis, que
destrói a distinção entre visual e geométrico (estreiteza do domínio de
funcionamento e ausência de limites aparentes do domínio de
interpretação). Como foi dito, o ambiente Cabri-Géomètre foi concebido
para possibilitar a distinção entre visual e geométrico. A observação dos
alunos mostra que a Geometria pode também aparecer no Cabri-Géomètre
como um meio de reprodução do visual ou de sua explicação (explicação
do comportamento de um Cabri-Desenho). O geométrico não seria
construído nesse ambiente somente como paliativo dos limites do visual,
mas também na ligação corn o visual; o geométrico é uma ferramenta de
modelização do visual. E uma dimensão que nos parece interessante, na
medida em que a Geometria encontra sua origem no controle dos
fenômenos espaciais.
Entre, de um lado e o duelo visual e geométrico de outro a ruptura entre
esses dois aspectos, um caminho diferente nos parece possível, no qual o
aprendizado da Geometria, em seu início, consistiria no aprendizado do
controle das relações entre visual e geométrico. O ambiente Cabri-
Géomètre oferece possibilidades de organização de um meio para a
aprendizagem desse controle por três razões:
— os fenômenos visuais ganham importância pela dimensão dinâmica
do Cabri-Desenho;
— esses fenômenos são controlados pela teoria, pois são o resultado de
uma modelização gráfica e de um modelo analítico de propriedades
geométricas;
— as possibilidades sem limites de situações geométricas que podem ser
visualizadas com um grande número de objetos de forma precisa.
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
COMO AS CRIANÇAS ENTENDEM A NOÇÃO DE ROTAÇÃO/
ÂNGULO?*
Sandra Magina**
Entre o conhecimento e a aprendizagem
Uma questão antiga dentro da Psicologia Cognitiva gira em torno do
papel da aprendizagem e do conhecimento na formação de conceitos.
Muitos pesquisadores da Educação Matemática têm adotado o
construtivismo como posição teórica, mas mesmo esse guarda-chuva
abraça posições que vai desde as mais psicológicas até as mais
epistemológicas. A pesquisa descrita aqui foi guiada pelo construtivismo
sob uma perspectiva da Psicologia apoiada nas teorias de Piaget e Vygotsky
e evidenciada, em particular, pelos trabalhos de Vergnaud e Nunes. A
principal proposição do construtivismo diz que a criança constrói sua
própria versão da realidade através de suas experiências, onde, nesse
processo, ela tem um papel ativo na criação de novas relações entre idéias
já existentes e a incorporação de novos pedaços de informação. Isto
permitirá o surgimento de novas estruturas. Piaget (1960), talvez o mais
conhecido dos construtivistas, advoga que a aprendizagem é resultado
de dois processos inter-relacionados, ação e internalização dessa ação,
• O presente trabalho faz parte de um projeto mais amplo, o qual teve como objetivo mapear o caráter multidimensional
da concepção de ângulo da criança que envolviam a construção e interpretação de ângulos. Visto que o interesse maior se
pautou em questões desenvolvimentais, foi adotada uma abordagem crois-seccional, onde 54 crianças divididas em nove
grupos de idades, variando entre 6 e 14 anos, responderam às mesmas tarefas. Aqui serão apresentados e discutidos os
resultados derivados de apenas um contexto, o relógio analógico, considerando somente sua realização na situação do dia-
a-dia.
"" Di Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).
que acontecem durante o desenvolvimento da criança. Vygotsky (1962),
também desenvolvimentalista, enfatiza a ação do sujeito no processo de
aprendizagem. Ele defende como ponto central de sua teoria que o
conhecimento é determinado social e culturalmente. Então, embora simi-
lar em alguns aspectos básicos, esses dois autores construíram teorias de
caminhos distintos, onde Piaget dá ênfase ao biológico/individual e
Vygotsky, ao social/cultural.
Uma outra diferença entre os dois teóricos reside no papel que o ensino
tem no desenvolvimento da criança. Para Piaget, o ensino tem um papel
limitado na aquisição do conhecimento e desenvolvimento, ao passo que
para Vygotsky o ensino é o principal catalisador para a apropriação de
conceitos, já que ele estabelece a direção do desenvolvimento mental da
criança. Esta posição é evidente na sua noção de "zona de desenvolvimento
proximal", a qual contrasta o nível efetive do desenvolvimento da criança
—a função psicointelectual que a criança já alcançou — com seu potencial
de desenvolvimento (Vygotsky, 1991).
De acordo com o ponto de vista de Piaget (Piaget, Inhelder, Sinclair,
1968; Furth, 1969), o conhecimento envolve mais do que uma simples
descrição das coisas, ele está ligado com a operação dessas coisas. O
primeiro aspecto do conhecimento — a descrição de coisas que Piaget
chama de conhecimento figurativo — está presente em qualquer
percepção, enquanto que o segundo aspecto do conhecimento — a
operação sobre as coisas que Piaget chama de conhecimento operativo
— diz respeito à transformação dos estados de realidade; ele envolve o
pensamento lógico. Furth sumariza o conhecimento operativo da criança
como sendo "sua própria atividade no mundo exterior". Da perspectiva
da Educação Matemática, Laborde pontua uma crucial diferença entre
desenho — que está relacionado com aspectos visuais e expressa apenas
algumas propriedades do problema a ser resolvido — e figura — que
embora seja uma representação material, está principalmente relacionado
à conceitos teóricos. Numa linguagem piagetiana nós podemos dizer que
"desenho" está relacionado ao conhecimento figurativo e "figura" ao
operativo.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Tanto Vergnaud (1984 e 1987) como Nunes têm baseado seus estudos de
concepções matemáticas nessas fundamentais teorias. Vergnaud afirma
que o conhecimento é o pivô da aprendizagem, argüindo que a
aprendizagem depende significantemente do conteúdo a ser ensinado.
Ele sugere que a criança deve interagir com o conteúdo dentro de
situações-problemas, onde os conceitos relevantes devem ser significantes
para ela. Ele ainda advoga que o conhecimento se forma dentro do que
ele chama de "campo conceptual" — um consistente elo entre um conjunto
de situações que requer uma diversidade de conceitos, ações (invariantes.
que podem estar relacionados com a competência ou com a concepção).
e o domínio de sua representação simbólica.
Já Nunes (1991) ressalta a importância do que ela chama "situações
semânticas" — um rico lugar de aprendizagem (não necessariamente no
mundo real), onde é possível as crianças apreciarem o sentido e propósito
de suas atividades.
Nosso estudo, parte do qual e relatado aqui, visa a identificar os esquemas
de ângulo da criança
1
, isto é, os invariantes de suas ações dentro de
situações envolvendo ângulo. O estudo foi delineado de tal forma a
detectar nas respostas das crianças os significantes através dos quais os
invariantes, implícitos e explícitos, são expressos. Sendo assim, tanto as
respostas das crianças coito as subseqüentes explicações para as
estratégias utilizadas foram consideradas no estudo. Assim sendo, o
comportamento das crianças foi considerado não meramente como uma
manifestação da cognição individual, mas principalmente como o produto
de uma infinidade de facetas compreendendo um indivíduo num mundo
socialmente constituído.
A concepção de ângulo das crianças
A maioria das recentes pesquisas sobre as concepções de ângulo das
crianças está firmemente arraigada no paradigma das "concepções
enganosas". Os estudos têm identificado uma série de respostas
"incorretas" das crianças para as questões de ângulo e explicado seus
achados através da referência a certos elementos da situação-tarefa (cf.
Clese, 1982; APU, 1987). Essas concepções enganosas referem-se à falha
no reconhecimento de ângulos retos, agudos e obtusos em outras
orientações que nâo a vertical/horizontal; da confusão entre um ângulo c
o tamanho de seus raios; e da dificuldade em identificar os ângulos dentro
de uma figura complexa. Em todos esses estudos as questões foram postas
no contexto do papel e lápis e pouca ou nenhuma importância foi dada
para as interpretações do estudante da situação-tarefa.
Outro contexto no qual se pode explorar problemas envolvendo ângulo é
o dia-a-dia. Infelizmente, há poucas pesquisas explorando ângulo nesse
contexto, o que implica que pouco se sabe sobre como as noções
espontâneas de ângulo das crianças co-existem com o conceito formal
advindo da escola. Considerando o que foi exposto acima com a posição
de Freudenthal (1973), o qual defende que a Geometria deve ser vista
como um ato de apropriação do espaço onde vivemos, respiramos e
movemos, é razoável pensar então que o entendimento de ângulo da
criança surge, pelo menos em parte, de suas próprias experiências a partir
da sua interação com o seu meio ambiente. Há, claro, vários contextos
do dia-a-dia onde a criança poderia lidar com a noção de ângulo. Um
deles c o do relógio analógico, o qual foi objeto deste estudo.
O estudo
Amostra
O presente estudo foi realizado em Recife, cidade situada no Nordeste do
Brasil, onde 54 crianças entre 6 e 14 anos, advindas de uma escola par-
ticular para classe média
2
, foram divididas, de acordo com suas idades e
1
O termo "esquema" segue a descrição de Vergnaud (1984 e 1987) que, por sua vez, tem sentido similar ao de Piaget.
Esquema refere-se a uma ação organizada que pode ser transferida ou generalizada através de sua repetição em situação
análoga. Em outras palavras, um esquema é a formação de um conceito ainda de forma limitada porque ele é usado em
apenas um sentido.
1
O critério para classificar a amostra como classe média baseou-se no valor da mensalidade cobrada pela escola
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
nível de escolarização, em nove grupos de seis crianças cada. Assim
sendo, seis crianças de 6 anos e cursando a alfabetização, formaram o
grupo mais novo da amostra, seis crianças de 7 anos, cursando a primeira
série, formavam o grupo seguinte, e assim por diante até chegar nas seis
crianças de 14 anos que cursavam a oitava série.
Por que relógio?
Diversas foram as razões que nos levaram a explorar a noção de ângulo
das crianças através do relógio analógico. A primeira delas foi por causa
do sentido semântico que o relógio tem no dia-a-dia das pessoas. De
fato, o relógio é uma ferramenta presente e familiar em praticamente
toda parte do mundo, o que inevitavelmente tem um potencial para evocar
um conjunto de estratégias espontâneas na criança através da sua ação
de dar sentido ao tempo. Adicionalmente, apesar do relógio digital ter se
tornado o mais popular dentre os modelos de relógios, os analógicos
ainda são usados em larga escala, principalmente nas escolas.
Uma segunda razão foi de cunho pragmático, ou seja, nós entendemos
que perguntar às crianças "sobre tempo" implica situações mais fáceis
de serem modeladas e para tanto nós usamos relógios feitos cm cartolina.
Como terceira razão, temos o fato de que a medição de ângulo por rotação
faz parte do modo pelo qual o tempo pode ser representado nesse tipo de
relógio.
Finalmente, apontamos o fator cultural como mais uma razão. Embora
os números na face do relógio sejam obviamente importantes na
quantificação das horas para uma pessoa de qualquer nacionalidade, no
Brasil o número 6 tem um significado especial. Entre nós, o número 6
está intrinsecamente associado ao valor de meia dúzia e metaforicamente
ele é muito usado como "meia", o que torna comuns expressões como
"meu telefone é dois, meia, oito, um, meia. três, zero" (para o telefone de
número 268 1630). Por tanto, o número 6, por causa do seu sentido
cultural, pode ser um elemento a mais de informação neste estudo.
Vale a pena salientar que com relação à influência do ensino, sabemos
que não é de responsabilidade da escola ensinar seu alunos sobre relógios
(como um relógio funciona e como ele nos informa as horas), embora
saibamos que algumas escolas o fazem. No caso da escola deste estudo
isso não ocorria, o que nos permite assumir que praticamente tudo que
as crianças sabiam sobre relógio derivava de suas próprias experiências
fora da escola. Através de atividades utilizando relógios de vários
tamanhos feitos, seja em cartolina, nós sentimos que teríamos um rico
contexto para explorar uma série de questões no que tange à noção de
ângulo. Questões do tipo: "como as crianças 'medem' o tempo no relógio:
através dos números ou por medidas espaciais"? "Suas estratégias são
afetadas pelas características físicas do relógio: sua forma, seu tamanho,
a presença ou ausência de números em sua face"? "As diferentes
representações do relógio (mudança no significante ou no meio no qual
ele foi desenhado) influenciam as respostas das crianças"? E. finalmente,
"é possível identificar progressos entre os grupos de crianças e, se sim,
quais são as mudanças reveladas — como, digamos, crianças de 6 anos
diferem, no modo de construir e comparar ângulos, das de 13 anos? está
esse progresso associado à instrução escolar"?
Descrição das atividades na situação do dia-a-dia (relógios de cartolina)
Nessa situação foram usados nove relógios divididos em três grupos, a
saber: três relógios grandes de formato circular cuja cartolina era de cor
azul, três pequenos também de formato circular feitos em cartolina de
cor vermelha, e três de cor preta e formato oval. dois dos relógios de
cada conjunto não tinham números e um tinha. As cores diferentes de
cada grupo de relógios ajudavam na distinção das respostas das crianças.
As atividades foram desenvolvidas seguindo a orientação horária.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
a) Atividades de Prediçáo
As cinco primeiras atividades pediam para a criança predizer a posição
do ponteiro dos minutos meia volta/meia hora depois do tempo mostrado
na face do relógio. Em cada caso era pedido para que a criança movesse
o ponteiro dos minutos para o lugar que ela achasse correto e depois para
que ela justificasse sua predição. Nas três primeiras atividades (Figura
1) pediam que a criança girasse o ponteiro meia volta, enquanto nas
duas últimas meia hora (Figura 2). O tempo inicial, o formato, o tamanho
e a presença e ausência de números na face do relógio variavam de
atividade para atividade, como se pode ver nas figuras abaixo:
Figura 1: Atividades envolvendo predição de meia vota
Por causa da ausência de números nos relógios e porque as questões
diziam respeito aos giros do ponteiro ao invés de sua hora, essas três
atividades requeriam um baixo nível de competência; as crianças não
precisavam ter qualquer conhecimento da métrica do relógio nem de
saber sobre ângulo; tudo o que precisavam saber para resolver essas
atividades era o que significava meia volta e estarem aptos a fazer uma
rotação nos relógios. Portanto, nós consideramos as atividades 1, 2 e 3
mais fáceis que as seguintes.
— Atividades 4 e 5: três relógios, circular grande e pequeno e oval,
todos com números mostrando 12h (atividade 4) e 12: lOh (atividade 5),
foram apresentados simultaneamente à criança.
Figura 2: Atividades envolvendo predição de meia hora
Nós consideramos que a introdução de números nos relógios significa
uma nova variável para as crianças. Além do mais, o fato de termos
introduzido simultaneamente três formatos de relógios indicando a mesma
hora, pode causar alguma confusão se elas tomarem o formato como um
invariante. Por outro lado, se elas souberem usar a métrica do relógio,
elas não terão nenhum problema para resolverem as atividades, mesmo
tendo sido introduzidas essas variáveis. Outro ponto a ser considerado
aqui é que o número 6 como significando "meia" pode trazer também
alguma dificuldade. Se sim, elas resolverão a atividade 4. mas não a 5.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
b) Atividades de Comparação
As três atividades que envolveram a comparação de tempo entre relógios,
apresentaram relógios ora com ponteiros começando em posições
diferentes, ora relógios de tamanhos e formatos diferentes. Tendo em
vista que nossa intenção era "brincar de relógio" ao invés de ter situações
precisas de horas, nós não giramos o ponteiro das horas em perfeita
sintonia com o dos minutos. Nesse sentido, nós estávamos realmente
trabalhando com uma situação semântica para o relógio.
— Atividade 6: foram usados seis relógios (dois de cada formato), todos
sem números e indicando 12h, os quais foram mostrados simultaneamente
à criança. Foi dito à criança que cada um daqueles relógios tinha sido
entregue a um aluno para marcar o tempo que ele gastava fazendo sua
tarefa de casa. Era a pesquisadora quem girava os ponteiros de cada
relógio até que este chegasse na hora em que a tarefa de casa de cada
suposto aluno tivesse terminado. Eram perguntadas à criança duas
questões:
1) Que aluno gastou mais tempo na tarefa (aponte para o relógio do
aluno);
2) Que aluno gastou menos tempo na tarefa (aponte para o relógio do
aluno).
Sempre que requerida, a pesquisadora repetia a ação de "rotacionar" os
ponteiros dos relógios. A posição final dos seis relógios estão apresentadas
na Figura 3.
Figura 3: Comparando seis relógios simultaneamente
Através da atividade 6 nós poderemos observar se a rotação é algo
considerado pela criança, ou se outras variáveis irrelevantes, tais como
formato dos relógios e distância entre seus ponteiros na posição final,
influenciam mais fortemente as suas respostas.
— Atividades 7 e 8: as comparações aqui pedidas eram entre relógios
que girariam meia hora, porém teriam posições iniciais, e con-
seqüentemente finais, diferentes um do outro. A pesquisadora usou a
mesma estória da tarefa de casa da atividade anterior, com a diferença
que a pergunta agora era se os alunos tinham gasto ou não o mesmo
tempo para resolverem suas tarefas de casa e como era possível saber. Na
atividade 7 os relógios envolvidos eram um circular pequeno e um oval,
enquanto na atividade 8 foram usados um relógio circular pequeno e um
circular grande. Todos eles com números, como mostra a Figura 4.
Figura 4: Comparação de 1/2 hora entre dois relógios que mostram horas diferentes
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A nova variável introduzida nessas duas últimas atividades foi a diferença
na hora que um relógio apresentava com relação ao outro, tanto nas suas
posições iniciais como finais. Para obter sucesso aqui a criança deve ter
consciência de que o lugar onde o ponteiro dos minutos estará meia hora
depois depende de sua posição inicial. Se a criança levar em conside-
ração apenas a posição final, ela responderá que o relógio oval (para a
atividade 7) e o circular pequeno (para a atividade 8) trabalharam mais.
Resultados das atividades de predição
Predição de meia volta: os resultados obtidos para as atividades 1, 2 e 3
mostram que as crianças, exceto as de 6, 7 e talvez 8 anos, não
apresentaram dificuldades para resolver estas atividades. Isso significa
que acima de 8 anos as crianças sabiam fazer meia volta, isto é. estavam
aptas a fazer uma rotação corretamente.
Predição de meia hora: o primeiro resultado importante a relatar é que
as crianças deram a mesma resposta para os três formatos de relógios,
seja na atividade 4 ou na 5, isto é, eles acertaram ou erraram consisten-
temente, mas as respostas podiam diferir da atividade 4 para a 5.
A Tabela 1 mostra os números de respostas incorretas, em cada idade,
para as cinco primeiras atividades.
Tabela 1
Número de respostas incorretas para predição de meia volta e meia hora
Ensino
Fundam.
Ensino
Médio
TOTAL
% incor.
Idadade
6
7
8
9
1O
11
12
13
14
Meia
Ativ. 1
Tempo
início
12:00
6
5
0
1
1
0
0
O
0
13
24.1
volta
Ativ. 2
Tempo
início
12:30
4
5
0
1
0
0
0
0
0
10
18.5
Ativ. 3
Tempo
início
11:45
6
4
2
1
0
0
0
0
0
13
24.1
Meia
Ativ. 4
Tempo
início
12:00
3
3
0
0
0
1
0
0
0
7
13
hora
Ativ. 5
Tempo
início
12:10
6
6
3
4
2
3
1
1
0
26
48.1
Discussão
Idade: a análise dos dados através da idade mostra uma forte tendência
à melhoria de performance com avanço da idade; crianças de 6-7 anos
tiveram uma considerável dificuldade com todas as tarefas, crianças entre
12 e 14 anos praticamente não cometeram erros e crianças entre 8 e 11
anos se saíram muito bem em algumas atividades e em outras não. Esses
achados apontam para um efeito desenvolvimental, mas a influência do
ensino de ângulo, principalmente para o ensino médio, deve ser levado
também em consideração.
Estratégia: nas atividades de 1 a 3 os números não estavam presentes
nas faces dos relógios, o que "forçava" as crianças a usarem rotação
como única métrica disponível. Adicionalmente, foi pedido
especificamente a elas para girarem o ponteiro dos minutos por meia
volta . As crianças acima de 10 anos tiveram uma performance
praticamente perfeita, enquanto as crianças de 6 e 7 anos apresentaram
bastante dificuldades. As crianças entre 8 e 10 anos variaram em suas
performances.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Na atividade 4 houve poucos erros de um modo geral. As crianças mais
novas cometeram a maioria dos erros, o que confirma nossa hipótese do
efeito desenvolvimental, porém o número de erros tanto das crianças
mais novas (6 e 7 anos) como das crianças de idades intermediárias
(entre 8 e 10 anos) foi consideravelmente reduzido. Já na atividade 5,
houve um considerável aumento nos erros nâo apenas por parte das
crianças mais novas como também no grupo de idades intermediárias e
mesmo no grupo das mais velhas. A partir das respostas das crianças nas
atividades 4 e 5, nós podemos distinguir quatro tipos de estratégias:
Sem estratégia: quando a criança dá explicações irrelevantes. Isso foi
encontrado em cinco das seis respostas do grupo de 6 anos e em três do
grupo de 7 anos. Exemplos desse tipo de respostas são:
É aqui porque o ponteiro quer (6 anos);
Eu ainda não aprendi horas (6 anos);
Depois de meia hora o ponteiro tem que ficar noutro lugar,
qualquer lugar (7 anos).
Representação fixa: quando a criança associa o lugar de meia hora com
o lugar do número 6 no relógio. A estratégia da representação fixa ocorre
quando a criança usa o aspecto do conhecimento figurativo, onde a posição
do número 6 aparece como um rótulo para meia hora. Nesse caso, a
criança pode ter sucesso na atividade 4, mas não na 5. Esse tipo de
estratégia foi encontrada em crianças desde 6 anos até 13 anos. Três
exemplos desse tipo de estratégia são dados a seguir:
Eu tenho que parar no número 6 porque meia hora é meia e
meia é 6 (7 anos);
Meia é no número 6(11 anos);
O número 6 significa meia e você me perguntou por meia hora
(13 anos).
Erro de contagem: quando a criança começa a associar a idéia de meia
hora com pular um certo número de espaços na face do relógio. Contudo,
ela não tem certeza como fazer isso. A criança aqui se encontra num
nivel de transição entre o conhecimento figurativo e operativo. Em termo
de competência das crianças, nós podemos distinguir dois subníveis. No
subnível mais baixo a criança parece misturar a estratégia da
representação fixa corn a estratégia de contagem, isto é, na atividade 4
ela associa meia hora com a posição do número 6 e na atividade 5, baseado
na atividade anterior, ela conta do 12 até o número 6 (considerando
inclusive o 12) e então pula 7 números, como mostra o exemplo abaixo:
Na última tarefa eu pulei 7 números para parar no meia e
agora eu fiz a mesma coisa... contei 7 números (10 anos).
Eu contei e fui pulando ... contei 7 (9 anos).
No segundo subnível as crianças tentam evitar o rótulo do número 6,
elas agora passam a usar apenas a idéia de pular. No entanto, elas
apresentam dúvidas se o número inicial entra na contagem ou quantos
números devem ser pulados. Os exemplos abaixo ilustram essas duas
dúvidas:
Eu contei seis números e então coloquei o ponteiro no sexto
(contando o número onde o ponteiro se encontrava inicialmente
como o primeiro número).
Para ser meia hora tem que mover o ponteiro três números.
Estratégia coordenada: quando a criança consegue coordenar meia hora
com o ato de pular seis números, porque quando o ponteiro passa por
seis números significa que se passaram 30 minutos. Para essas crianças,
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
meia hora é o mesmo que meia volta, na situação do relógio e para tanto
é preciso levar em consideração a posição inicial do ponteiro. Essas
crianças demonstram um claro entendimento de rotação em consonância
com a métrica do relógio, elas estão usando o conhecimento operativo.
Todas as crianças de 14 anos e mais a maioria das de 13 e 12 anos
explicaram suas predições usando esse tipo de estratégia, como mostram
os exemplos abaixo:
Uma hora é 60 minutos, metade é 30. Se eu contar seis números
eu chego na metade porque no relógio tem 12 números que
formam 1 hora e a metade é 6 (14 anos);
Meia hora é o mesmo que meia volta, o ponteiro tem que parar
no meio da volta toda, mas depende de onde ele começou a
rodar (13 anos).
Resultados das atividades de comparação
Tabela 2
Número de respostas incorretas nas atividades de comparação
Ensino
Fundam.
Ensino
Médio
Idade
6
7
8
9
10
11
12
13
14
TOTAL
% incor.
Ativ. 6
Gastou +
tempo
Gastou •
tempo
Respost. incorret.
segundo a idade
5
4
4
4
3
3
2
1
0
26
48.1
5
3
3
3
3
1
1
1
0
24
44.4
Ativ. 7
Tradalhou mais
Circular
pequena
com. 13:10
0
1
1
0
0
0
0
0
0
2
Oval
com. 13:15
S
5
4
5
5
3
1
0
0
28
Total
incor.
5
6
5
5
5
3
1
0
0
30
55.5
Ativ. B
Trabalhou mais
Circ. grande
com. 13:10
2
1
1
0
0
0
0
0
0
4
Circ. peq.
com. 13:15
3
5
3
5
3
2
1
0
0
22
Total
incor.
5
6
4
5
3
2
1
0
0
26
48.1
O primeiro resultado a discutir é que as crianças fizeram menos erros na
atividade 6 (comparação simultânea de seis relógios) que na 7, onde só
dois relógios estavam envolvidos. Isto foi particularmente notado entre
as crianças de até 10 anos. A primeira vista, esse resultado pode parecer
estranho e alguém poderia pensar que comparar seis relógios terminando
em tempos diferentes seria uma tarefa bem mais difícil que comparar
apenas dois. Contudo se olharmos mais cuidadosamente para as duas
tarefas em questão, podemos notar duas grandes diferenças entre elas. as
quais nos levarão a um pensamento oposto. A primeira delas diz respeito
à diferença na posição inicial dos ponteiros nas tarefas, ou seja, enquanto
na atividade 6 todos os relógios começam na mesma posição, eles ainda
começam em cima do número 12 (uma posição simétrica), na atividade
7 os ponteiros começam em posições distintas e não simétricas. A segunda
diferença é que na atividade 6 nenhum dos seis relógios tinha números
em suas faces, o que permitia à criança pensar (se quisesse) só em termos
de rotação, ignorando a métrica do relógio. Além disso, na atividade 6
cada relógio moveu diferente quantidade de tempo, e seus ponteiros
pararam em lugares diferentes, o que coincide com um raciocínio intuitivo,
isto é, você tem diferentes posições finais se você trabalhou diferentes
quantidades de tempo. Já na atividade 7, os dois relógios terminaram em
posições diferentes, mas trabalharam a mesma quantidade de tempo.
Nós sugerimos então que a diferença na performance entre as atividades
6 e 7 origina-se da posição inicial do relógio, particularmente quando
esta nâo é 12h. Quais as implicações desta interpretação? Ela
inevitavelmente nos leva a conjecturar que as crianças não estavam
pensando em termos de rotação ou medição dinâmica de meia volta —
mesmo que isto tenha sido mostrado a eles através das inúmeras vezes
que os ponteiros foram "rotacionados" pela pesquisadora — ao
contrário, elas estavam focando outros aspectos da situação, tais como,
apenas a posição inicial, apenas a posição final ou, ainda, a relação
espacial dos ponteiros.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Para explorar nossa hipótese mais profundamente, vamos analisar
primeiramente a atividade 6. Primeiro, a despeito da melhoria com a
idade, ainda tivemos que 13 das 50 respostas incorretas vieram das
crianças que cursavam o estudo médio, onde é esperado que nessa faixa
de idade as crianças já teimam total familiaridade e dominio com a métrica
do relógio. Das 26 respostas incorretas referentes à parte da atividade
que perguntava qual dos relógios tinha andado mais, 23 responderam
que foi o oval (mostrando 14:45). Para essas crianças, nós sugerimos, o
que foi levado em consideração foi a posição final dos relógios, e em
particular quão longe um ponteiro estava do outro, como ilustrado pela
explicação de um garoto de 9 anos que, tendo escolhido o relógio oval
como aquele que tinha trabalhado mais, justificou da seguinte maneira:
"eu sei por causa dos ponteiros, eles estão muito longe um do outro. Veja
esse ponteiro aqui (apontando para o ponteiro dos minutos) está do outro
lado". Da mesma forma uma criança de 12 anos escolheu o oval
argumentando que "é por causa da diferenças entre os ponteiros". Então
nos parece que, junto com a posição final dos ponteiros, o formato dos
relógios também contribuiu para essa escolha. Essas crianças estavam
usando a métrica do espaço e ignorando a métrica do movimento. Vale
salientar que apenas 5 crianças da escola média cometeram erros, o que
provavelmente nos aponta para um efeito de idade e/ou ensino escolar.
Olhando agora a atividade 7, nós vimos que das 30 respostas erradas 28
responderam que o relógio oval tinha trabalhado mais. Examinando as
explicações das crianças para essa escolha, nós sugerimos três possíveis
interpretações: primeiro, algumas crianças simplesmente olharam para
a posição final dos ponteiros nos relógios, vendo que no oval o ponteiro
dos minutos terminou em cima do número 9 e no circular pequeno num
número antes. Essas crianças assumiram implicitamente que o ponto
inicial dos relógios era o mesmo. A resposta de uma garota de 10 anos
exemplifica bem essa interpretação: "este (relógio oval) está mostrando
45 minutos e esse (relógio circular pequeno) andou 40 minutos".
Segundo, algumas crianças foram influenciadas pelos formatos do
relógios, como ilustra a resposta de um garoto de 8 anos que escolheu o
oval: "esse (ponteiro dos minutos do relógio oval) parou mais longe do
outro ponteiro (ponteiro das horas do mesmo relógio) que esse (ponteiro
dos minutos do relógio circular pequeno) desse ponteiro aqui (ponteiro
das horas do circular pequeno)".
A terceira interpretação é que algumas crianças tenham considerado em
suas respostas os ângulos formados pelos ponteiros depois do giro de
meia hora (a pesquisadora girou apenas o ponteiro dos minutos). Um
exemplo disso foi encontrado na resposta de uma garotinha de 6 anos,
que justificou que o relógio oval andou mais porque "ele terminou muito
aberto". Todas essas respostas indicaram falhas para reconhecer a
irrelevância dos formatos ou dos tamanhos dos ponteiros em questão, ou
ainda falha em não considerar o ponto final em relação ao inicial. Parece
claro que essas crianças não estavam considerando o movimento feito de
um ponto a outro ponto. Em outras palavras, essas crianças resolveram
as atividades através do conhecimento figurativo.
Um perfil similar foi encontrado na atividade 8, onde 22 das 26 respostas
incorretas disseram que o relógio circular pequeno trabalhou mais que o
grande. Novamente podemos discutir que esse tipo de resposta foi
influenciado pelas posições finais dos relógios, como ilustra a resposta
de uma garota de 8 anos que explica: "aqui é 9 e 9 é mais que 8, vem
depois", ou a resposta de um menino de 10 anos: "aqui (circular pequeno)
é 45 minutos e aqui (circular grande) é 40, então o que foi 45 andou
mais".
É importante salientar que o tamanho e/ou formatos dos relógios, que
não foram relevantes para essas crianças nas cinco primeiras atividades,
passou a ser nas três últimas.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Conclusão
A primeira conclusão está relacionada com o fator de desenvolvimento.
De fato, embora não possamos desconsiderar o efeito do ensinamento
escolar sobre a performance dessas crianças, nós percebemos que é
possível dividir as crianças em três subgrupos: grupo 1, composto por
crianças de 6 e 7 anos, que mostrou grande dificuldade para resolver
todas as atividades. Este grupo apresentou uma performance um
pouquinho melhor nas atividades de predição que no reconhecimento de
giros. O grupo 2. formado por crianças entre 8 e 11 anos. apresentou
claras dificuldades nas atividades de comparação, enquanto que nas de
predição se saiu muito melhor. Finalmente, o grupo 3, que incluía as
crianças entre 12 e 14 anos, foi aquele onde as crianças se saíram bem
tanto nas tarefas de comparação como nas de predição. Diferentemente
dos dois grupos anteriores, onde crianças de diferentes idades mostraram
performances similares, no grupo 3 os resultados das crianças de 12
anos foram claramente inferior aos de 13 e 14 anos, mas, por outro lado,
seus resultados foram duas vezes superior aos das crianças do grupo 2.
Em resumo, podemos dizer que a principal variável do grupo 1 foi o não
conhecimento da métrica do relógio; no grupo 2 a variável mais
importante foi a condição das atividades, isto é, comparar horas foi mais
difícil que predizê-las. Dois fatores devem ser levados em consideração
aqui, primeiro que é por volta dessas idades que as crianças estão
aprendendo a reconhecer horas no relógio, isto é, elas estão formando os
invariantes desse conceito. O segundo fator é que a Geometria ensinada
para alunos até a quarta série se centra basicamente no estudo das formas
das figuras. Com esses dois fatores em mente, podemos interpretar que
as crianças do grupo 2 são, em geral, competentes para predizer giros
em termos de rotação, contudo, em relação à hora, essas crianças são
fortemente influenciadas por algumas variáveis irrelevantes, tais como
formato, distância final entre os ponteiros ou representação fixa. Por
fim, pareceu-nos que nenhuma dessas variáveis foram suficientes para
influenciar as performances das crianças do grupo 3, exceção, talvez,
para as crianças de 12 anos.
Com relação ao sistema de sinais, notamos que o número 6 representou
não apenas um número — um referente — mas também o lugar da meia
hora — conhecimento figurativo, relacionado com a memória das crianças
— ou ainda a quantidade de números a ser pulados a fim de se chegar a
meia hora — transição entre os conhecimentos figurativo e operativo —
para, finalmente, ser internalizado como um invariante de concepção. O
modo pelo qual as crianças dos diferentes grupos trabalharam com o
número 6 nos mostrou a importância da representação interna para a
formação simbólica do conceito. Assim sendo, foi possível detectar três
estágios nessa formação: no primeiro, o número 6 está associado a meia
hora. mas como sendo um lugar fixo, ou seja. meia hora tem seu lugar
fixo no relógio. No segundo estágio, as crianças percebem que o número
6 está relacionado com meia hora e isso significa pular seis números,
contudo não está ainda claro se a posição onde o ponteiro se encontra
deve ou não ser contada. Por fim, num terceiro estágio, as crianças fazem
relação entre o número 6 ou meia volta, que na situação do relógio
significa meia hora e que isso implica pular seis números a partir do
número seguinte ao que o ponteiro se encontra em sua posição inicial.
Aqui o referente não é mais o número 6. mas seis números; o significante
para 6 continua sendo "meia", mas no sentido de metade, de meio; e o
significado dessa quantidade deixa de ser uma visão estática e assume
uma perspectiva dinâmica, onde a rotação do ponteiro se torna o princi-
pal foco.
Com relação à influência da escolarização, acreditamos que certamente
ela existe, uma vez que é quase impossível a criança aprender a métrica
do relógio sem saber a tabuada de 5. Contudo, esse fato parece está
mixigenado tanto com o fator de desenvolvimento quanto com a questão
cultural', advinda da própria experiência da criança dentro do seu meio
ambiente.
1
Estamos considerando como um fator cultural, por exemplo, o significado do número ó para a sociedade brasileira: se
nós estávamos perguntando a criança sobre 'meia' (seja meia volta ou meia hora) e 6 significa meia em nossa sociedade,
então 6 passa a ser um importante invariante a ser apropriado por essas crianças na direção de sua formação de conceitos.
Em Abertn Brasilia, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
AVALIAÇÃO E PERSPECTIVAS DA ÁREA DE ENSINO DE MA-
TEMÁTICA NO BRASIL*
João Pitombeira de Carvalho**
Histórico da Educação Matemática no Brasil
Em primeiro lugar, o desenvolvimento da Educação Matemática no Brasil
se insere no contexto mais amplo da renovação de todo o ensino de
Ciências em nosso país. Assim, antes de entrarmos especificamente na
área da Educação Matemática, desejamos fazer um breve apanhado do
desenvolvimento do ensino de Ciências como um todo. Para isso,
utilizaremos dados coletados para o trabalho Avaliação e Perspectivas
da Área de Ensino de Ciências e Matemática no Brasil (Carvalho. 1993).
Fazemos este apanhado global de toda a área de ensino de Ciências, aí
incluindo Matemática, também porque uma das tarefas importantes para
os que trabalham em Educação Matemática é a de sua inserção no campo
da educação, ou seja. sua percepção de que não estão isolados, mas sim
fazem parte de um todo maior e dele devem participar. Como diz Carlos
Roberto Jamil Cury, referindo-se especificamente às áreas de ensino de
Ciências e Matemática e Informática e Educação:
* Texto da palestra de abertura do Primeiro Seminário Brasileiro de Pesquisa em Educação Matemática, promovido pelo
INEP e pela PUC de São Paulo, em Águas de São Pedro, de 1 a o de maio de 1994.
** Da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ) e Universidade Santa Úrsula.
Tomar o ensino de Ciências e Matemática e a correlação
Informática-Educação como subáreas ou mesmo como
temáticas de produção de conhecimento é não deixar de estar
presente a realidades mais avançadas e contemporâneas do
mundo atual...
Por outro lado. a temática de ensino de Ciências e Matemática,
quer como subáreas temáticas de programas de pós-graduação
em educação, quer como áreas específicas, já tem uma
cobertura nacional...
Se há ainda indícios de uma relação de "nós e eles", há sinais
positivos de convívio, sobretudo na busca de
interdisciplinaridade. Mas há ainda um caminho para que tanto
"nós como eles " se encontrem não só no mútuo reconhecimento,
como também na prática de pesquisa (Cury. 1993).
Coerentemente com essa idéia de que o ensino de Matemática não é
isolado, apresentaremos freqüentemente, nesta exposição, fatos, dados c
comentários sobre a área de ensino de Ciências c Matemática como um
todo.
Mencionaremos, em primeiro lugar, como fato importante na renovação
do ensino de Ciências c Matemática no Brasil, a criação, em 1946. do
Instituto Brasileiro de Educação, Ciência e Cultura (IBECC). ligado ao
Ministério das Relações Exteriores, como Comissão Brasileira da Unesco.
A partir de 1950, o IBECC, por meio de sua comissão estadual em São
Paulo, desenvolveu muitas atividades para a renovação do ensino de
Ciências e Matemática, principalmente junto aos alunos, com atividades
extraclasse, e aos professores, com cursos de treinamento em serviço.
Mais tarde, entre 1963 e 1965, o Ministério da Educação criou seis Centros
de Ciências, situados nas capitais dos Estados de São Paulo. Minas Gerais,
Bahia. Rio Grande do Sul, Guanabara (antigo Distrito Federal, hoje parte
do Estado do Rio de Janeiro) e Pernambuco. Segundo Krasilchik (1987.
p.12).
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
sua flexibilidade de organização lhes permitiu adaptarem-se
aos locais em que foram sediados. Em Minas Gerais, na Ba-
hia, em Pernambuco e em São Paulo, ficaram situados nas
Universidades, mantendo fortes vínculos com a comunidade
acadêmica, apesar de servirem aos sistemas educacionais de
ensino e realizarem programas conjuntos com as secretarias
de educação. No Rio de Janeiro e no Rio Grande do Sul, os
Centros de Ciências, hoje, fazem parte do sistema estadual de
ensino e estão inseridos em fundações de formação de recursos
humanos.
Em 1967. o IBECC de São Paulo criou a Fundação Brasileira para o
Desenvolvimento do Ensino de Ciências (FUNBEC), que recebeu como
patrimônio as instalações e os equipamentos pertencentes ao IBECC.
Embora formalmente independentes, o IBECC e a FUNBEC têm
trabalhado em conjunto, muito contribuindo para a melhoria do ensino
de Ciências e Matemática no Brasil. Em particular, no fim da década de
60, a FUNBEC participou de um projeto que distribuiu por todo o país,
em bancas de jornais, kits de experiências científicas básicas.
Em 1968, foi criado, no Ministério da Educação, o Programa de Expansão
e Melhoria do Ensino Médio (PREMEM), com o objetivo de incentivar
o desenvolvimento quantitativo, a transformação estrutural e o
aperfeiçoamento do ensino fundamental e médio.
Quatro anos depois, o Ministério da Educação criou o Projeto Melhoria
do Ensino de Ciências, programa executado pelo PREMEM. De 1972 a
1980, o projeto atuou em duas áreas bem definidas: elaboração e
experimentação de material didático para o ensino de Ciências e
Matemática no lº e 2º graus; capacitação de recursos humanos para o
ensino de Ciências no lº e 2º graus.
Na área de capacitação de recursos humanos, as atividades do
projeto diversificaram-se entre cursos de treinamento em
serviço, licenciaturas, seminários, etc. Menção especial merece
o "Projeto Multinacional para a Melhoria do Ensino de
Ciências e Matemática", com a colaboração da OEA, cujo
objetivo era a identificação e o treinamento, em nível de pós-
graduação (mestrado) de lideranças habilitadas a promover a
melhoria do ensino de Ciências e de Matemática em suas regiões
de origem. Essa iniciativa pioneira teve lugar na UNICAMP.
(Krasilchik. 1987)
Em 1977, o antigo DAU-MEC (atual SESU) criou, na CAPES, o
Programa de Apoio ao Desenvolvimento do Ensino Superior (PADES),
com o objetivo de melhorar a qualidade do ensino de 3º grau.
Os objetivos deste programa visavam ao desenvolvimento
docente, instrucional e organizacional do ensino superior. A
idéia básica do PADES era introduzir inovações no ensino su-
perior através da atuação de uma equipe multidisciplinar que
identificasse, em suas respectivas localidades, as mudanças
necessárias. (Krasilchik. 1987)
O PADES financiou, de 1977 a 1981, vários projetos com o objetivo de
melhorar o ensino de Ciências e de Matemática.
Em 1982, a Secretaria de Ensino Superior (SESU) lançou o Programa
de Integração da Universidade com o Ensino de lº e 2º Graus. Este
programa, embora não limitado ao ensino de Ciências e Matemática,
apoiou vários projetos nessas áreas.
Em 1983, o Ministério da Educação, por intermédio da CAPES, criou o
Projeto para a Melhoria do Ensino de Ciências e Matemática, instituído
com recursos do próprio Ministério. No ano seguinte, em 1984, ele foi
incorporado ao Programa de Apoio ao Desenvolvimento Científico e
Tecnológico (PADCT). passando a ter o nome de Subprograma Educação
para a Ciência (SPEC), sem modificar seu objetivo básico de melhorar o
ensino de Ciências e de Matemática, prioritariamente no lº grau.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Em sua primeira fase, de 1983 a 1990, o Programa, com atuação vigorosa,
financiou 169 projetos, em 86 instituições de 56 cidades em 21 estados
brasileiros. Estes projetos agruparam-se em quatro grandes grupos de
atividades: pesquisa em ensino de Ciências e Matemática (formação de
professores — Magistério, Licenciatura e Pós-Graduação na área);
atividades de treinamento; atividades extracurriculares (apoio a Centros
de Ciências, feiras de Ciências, periódicos dedicados ao ensino de Ciências
e Matemática, olimpíadas, etc); além disso, o SPEC distribuiu bolsas de
estudo para mestrado, doutorado e pós-doutorado. no país e no exterior.
e promoveu visitas de grupos de professores (inclusive professores de 1º
e 2
8
graus) a centros importantes de ensino de Ciências e de Matemática
no exterior. Foram também concedidas 55 bolsas para estágios de curta
duração e participação em congressos no exterior. O total de bolsistas de
mestrado, doutorado e pós-doutorado no país ou no exterior, financiados
pelo SPEC, nesta primeira fase, foi de 111. Até 1992, 54 bolsistas no
país haviam obtido o grau de mestre com bolsas do SPEC. No exterior,
os graus obtidos com bolsas do SPEC, até 1992, foram: especialização
um; mestrado três; doutorado 29; pós-doutorado seis.
Em sua primeira fase, na qual foram gastos aproximadamente 14 milhões
de dólares, a política do Subprograma foi criar uma comunidade, em
todo o país, na área de ensino de Ciências e de Matemática. Em uma fase
intermediária, entre sua primeira fase e a segunda (esta última ainda em
curso), o SPEC apoiou alguns programas de pesquisa cooperativa em
ensino de Ciências e de Matemática, envolvendo grupos de reconhecida
competência em universidades brasileiras e centros no exterior.
Considerando que já se tinha criado uma comunidade na área. distribuída
por quase todos os estados, o SPEC decidiu que em sua segunda fase o
apoio seria concentrado nos grupos com real possibilidade de influírem
efetivamente sobre o ensino de Ciências e de Matemática nos sistemas
públicos de ensino; foi também decidido promover o trabalho conjunto
de tais grupos, envolvendo universidades e secretarias de educação.
Recentemente, o SPEC decidiu investir recursos na criação de museus
vivos de Ciências no Brasil, contando para isso com a colaboração da
VITAE. O Subprograma começou também a avaliar, para fins de difusão,
os materiais instrucionais já elaborados em projetos por ele financiados.
O SPEC tem se preocupado com o problema da revitalização das
licenciaturas, procurando maneiras de apoiar licenciaturas piloto. Outra
área de atuação tem sido a renovação das bibliotecas universitárias, na
área de ensino de Ciências e Matemática. Nesta segunda fase. para a
qual foram alocados inicialmente 22 milhões de dólares, o Subprograma
tem se voltado também para projetos sobre a questão ambiental e as
relações Cicncia-Tccnologia-Sociedade, dentro da filosofia geral de
Preparar o cidadão para atuar em uma sociedade complexa,
cada vez mais permeada pela Ciência e pela Tecnologia (MEC,
CAPES. 1989).
Esta percepção de que o ensino de Ciências e Matemática destina-se a
preparar cidadãos para agir de maneira crítica e consciente em uma
sociedade altamente complexa é recente. Na década de 50, as nações
industrializadas, embaladas pela ilusão de que se abria para a humanidade
uma nova era de prosperidade e consumo ilimitados, confiavam na ciência
como a chave que abriria as portas para este paraíso terrestre. Mais tarde,
já na década de 60, em plena guerra fria, com o sucesso tecnológico
inesperado dos soviéticos, os Estados Unidos acordaram de seu sonho de
que eram os senhores incontestes do mundo e se voltaram para a ciência
como a ferramenta que garantiria sua sobrevivência e supremacia. Datam
desta época grandes projetos de renovação do ensino de Ciências e
Matemática, baseados na crença ingênua de que uma revolução curricu-
lar, dirigida de cima para baixo, associada à produção de textos escritos
por grandes nomes da ciência e da Matemática poderiam renovar
instantaneamente o ensino de 1º e 2º graus. A motivação confesssada
destes empreendimentos era motivar e preparar os jovens para carreiras
em ciência, engenharia e matemática. A idéia de dar uma formação
científica e matemática básica a todos os cidadãos era subsicária tarefa
Pm Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, aberto 1994
de formar batalhões de cientistas e matemáticos, prontos a enfrentar os
inimigos da democracia. Para termos uma idéia da ideologia subjacente
a este esforço de melhoria do ensino de Ciências e Matemática, é suficiente
folhear os volumes O Cientista, O Engenheiro e A Matemática da
coleção científica Life.
Não cabe aqui historiar as razões para o fracasso desses empreendimentos
de reforma, alguns deles ingênuos e românticos, e que em geral não
funcionaram. No caso específico da Educação Matemática, pode-se ter
uma visão das idéias subjacentes ao movimento lendo o artigo As Idéias
Fundamentais da Matemática Moderna (Carvalho, 1985).
De maneira geral, em uma primeira aproximação, poderíamos dizer que
estes grandes programas se caracterizavam pela preocupação do que
ensinar. Como diz Fiorentini (1993, p 183), referindo-se especificamente
ao Brasil:
até início da década de 70, as experiências e estudos relativos
ao ensino da Matemática foram marcados pela preocupação
dominante com "o que ensinar". As questões de ordem
metodológica ou pedagógica — do "como ensinar", "por que
ensinar", e "para que ensinar" — ficariam ignoradas ou
relegadas a segundo plano, subjugadas à "natureza" do
conteúdo enquanto conhecimento logicamente estruturado. Este
caráter conteudístico se exarcebaria no período de implantação
da Matemática Moderna no Brasil.
No entanto, um mérito destes movimentos foi preparar os líderes que
mais tarde, já na década de 70, mais experimentados e realistas, se
dedicariam ao ensino de Ciências e Matemática de maneira mais profícua,
abandonando as esperanças de soluções rápidas e milagrosas, voltando-
se para um trabalho lento e paciente de formação e reciclagem de
professores, de elaboração de material didático em parceria com
professores de 1º e 2º graus, de experimentação de seqüências didáticas.
Ao mesmo tempo, os progressos na Psicologia cognitiva, com a difusão
dos trabalhos de Piaget, Vigotsky e outros, trouxeram contribuições
essenciais à compreensão do processo de ensino-aprendizagem de crianças
e adolescentes.
Como diz Fávero (1993, p. 150-151), referindo-se às relações entre o
ensino de Matemática e a Psicologia cognitiva:
De um modo geral, podemos dizer que o que tem caracterizado
esta relação, nos últimos 20 anos, é o esforço comum na análise
experimental e teórica dos problemas relativos à relação entre
o conteúdo específico da Matemática e a cognição humana.
Resultado disto é o fato de hoje nos referirmos a uma
"Psicologia do desenvolvimento do pensamento matemático "
ou a uma "Psicologia da Matemática ".
Hoje, todos se dizem construtivistas, mesmo quando na prática não o
são. Isso mostra a influência das idéias de Piaget. Segundo Fávero (1993,
p. 152-153),
as investigações centradas na relação entre o conteúdo
especifico da Matemática e a cognição humana têm sido
fortemente influenciadas pelos trabalhos de Piaget e, portanto,
têm se desenvolvido a partir de concepções consensuais sobre
o tipo de conhecimento que está envolvido no desenvolvimento
do conceito de número. (...) A concepção predominante,
portanto, das pesquisas de base piagetiana é a existência de
uma progressão inevitável em direção à compreensão dos
conceitos aritméticos e matemáticos, cuja base se encontra nas
mentes infantis, necessitando apenas de abstração para aflorar.
E assumido, portanto, que a Matemática é um produto natural
da mente humana.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Ao longo das décadas de 70 e 80 se avolumaram as interações entre os
psicólogos e os educadores na área de ensino de Ciências e Matemática.
Alguns daqueles têm dado contribuições essenciais à compreensão de
como a criança elabora certos conceitos ou operações matemáticos, com
resultados valiosos para o professor que labuta na sala de aula. Por
exemplo, os trabalhos de Vergnaud sobre as estruturas aditivas e
multiplicativas explicam muitas das dificuldades encontradas pelas
crianças de primeiro grau ao lidarem com a soma e o produto. Num
sentido mais global, esta procura do como e do porquê conduziu a
formulações como a Teoria de van Hiele para o aprendizado da Geometria.
que formula vários estágios pelos quais passa o aluno em sua compreensão
progressiva da Geometria, desde a percepção intuitiva e ingênua de formas
geométricas até a sofisticação no manejo de demonstrações formais e
abstratas. Paralelamente, muito avançaram as investigações sobre a gênese
do pensamento algébrico.
Ao mesmo tempo, como diz ainda Fávero (1993. p. 153):
Por outro lado, os anos 50 foram marcados também pela
proposição da abordagem do processamento de informações e
passou-se a utilizar os termos da linguagem computacional,
como hardware e software, em referência a estruturas e
estratégias humanas. Esta abordagem, sustentada sobretudo
por Newell, teve e tem grande impacto no estudo sobre a
resolução de problemas, e colocou em evidência a importância
da representação, e por isto mesmo, a importância da
linguagem.
As relações entre a linguagem matemática e a língua materna têm se
intensificado, com a colaboração de psicólogos, filósofos, lingüistas,
teóricos da comunicação e matemáticos.
De maneira bem geral, poderíamos dizer que todas estas investigações
dizem respeito a como se dá o processo de ensino-aprendizagem em
vários contextos.
3i3
Pouco a pouco, ao longo das décadas de 70 e 80, cristalizaram-se alguns
temas importantes em Educação Matemática.
Em primeiro lugar, a percepção de que Matemática serve para resolver
problemas. Ela não é um campo de erudição, mas sim uma atividade que
exige participação ativa. Matemática não é esporte para espectadores.
Ela exige que todos entrem em campo e a pratiquem.
Fora do que geralmente chamamos Educação Matemática, dois
matemáticos do século XX. Georg Polya e Paul Halmos. sempre
chamaram atenção para o fato de que fazer Matemática é resolver
problemas. O primeiro deles, criador da heurística de Polya, tentou nortear
a atividade de resolver problemas nos vários níveis de aprendizagem
matemática em livros notáveis, que até hoje merecem ser lidos e
meditados. O segundo, sempre incentivou, em seus cursos, conferências
e escritos o hábito de resolver problemas. Foi o redator de coleções de
livros dedicados a problemas de Matemática, em vários níveis.
Mais especificamente na área de Educação Matemática, os estudos sobre
resolução de problemas orientam-se em duas direções que nâo podem
ser dissociadas: uma tenta entender como a criança e o adolescente
resolvem problemas, quais as características de um bom resolvedor de
problemas, etc; a outra tenta elaborar seqüências didáticas baseadas
sobre a resolução de problemas, em oposição ao ensino expositivo clássico.
Pode-se talvez dizer que a modelagem é descendente da resolução de
problemas. Eni modelagem tenta-se descrever, em termos matemáticos.
uma situação mais ou menos complexa. Assim, a modelagem pode ser
interpretada, sem nenhum desdouro, como a matematização de uma
situação-problema. Alguns dos grandes feitos da ciência são na área de
modelagem, como, por exemplo, os modelos da gravitação universal de
Isaac Newton e da Teoria da Relatividade de Albert Einstein. O ensino
por modelagem tenta fazer com que o aluno participe, em um nível mais
modesto, desta atividade de explicar matematicamente fenômenos bem
contextualizados.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Embora a Matemática seja uma ciência e uma linguagem universal
1
.
cada grupo social a traduz e utiliza de maneira bem específica. O estudo
da Matemática usada e criada por cada grupo social é a etnomatemática,
entre cujos criadores está um brasileiro, Ubiratan D'Ambrósio (Ferreira,
1993). Nela, tenta-se recuperar o que cada grupo cultural faz da
Matemática, para poder resgatar estes conhecimentos e utilizá-los no
ensino-aprendizagem de pessoas deste grupo.
Nota-se, em todo o movimento de renovação do ensino de Matemática.
na última década, a preocupação de contextualizar a Matemática c de
mostrar que ela é uma criação cultural de grupos humanos, e não de
cérebros privilegiados e isolados. O método lógico-dedutivo da
Matemática, cada vez mais enfatizado ao longo do século XX, estendeu-
se aos manuais escolares com o movimento da Matemática moderna.
Assim, o modelo rigoroso e linear pelo qual já se ensinava Geometria
euclidiana estendeu-se a outras áreas do currículo de Matemática. A
percepção de que este modelo não é pedagogicamente adequado ao aluno
aumentou. Crescentemente, foge-se da linearidade estrita do discurso
matemático clássico no ensino de Matemática. Em um certo sentido.
Freudenthal já tinha se referido a isso ao falar da necessidade de
"axiomatizações locais", embora suas palavras não devam ser
interpretadas como Propugnando uma fragmentação pós-moderna do
discurso matemático.
Como resultado desta busca de contextualização e inserção da Matemática
em um meio, em uma época bem definida, cresceu o interesse peia História
da Matemática como ferramenta de ensino, tendo sido criada mesmo
uma associação internacional dedicada às relações entre a Pedagogia e a
História da Matemática.
1
Nilson José Machado salienta o papel da matemática como linguagem e faz um paralelo entre ela e a lingua materna. Ver
MACHADO, Nilson José, Matemática e Lingua Materna,...
A percepção da importância de recontextualizar a Matemática levou
Régine Douady à criação do conceito de dualidade ferramenta-objeto: os
conceitos matemáticos são primeiro uma ferramenta para a resolução de
situações-problema bem específicas, contextualizadas. Uma vez que
atingiram este status de ferramenta, são explicitados pelo professor e os
alunos, e se tornam descontextualizados, adquirem o status de saber
matemático, podem ser aplicados em outras situações. Aí, já se
transformaram em Matemática, abstrata, descontextualizada, o que
paradoxalmente lhe dá uma grande aplicabilidade c versatilidade. Um
dos desafios da escola é exatamente resgatar o saber ferramenta que os
alunos trazem de casa. da rua, e transformá-lo em saber objeto, rico e
frutífero.
Desenvolveram-se também os estudos sobre metacognição, com pesquisas
sobre três direções distintas, mas correlacionadas:
/. Seu conhecimento sobre seus próprios esquemas de
pensamento. Quão exato é você ao descrever sua maneira de
pensar?
2.
Controle ou auto-regulação. Quão bem você registra o que
você está fazendo quando, por exemplo, resolve um problema,
e como você usa o resultado destas observações como
orientação para seu comportamento posterior?
3.
Crenças e intuições. Que idéias sobre a Matemática você
traz a suas atividades matemáticas, e como é que elas moldam
a maneira como você faz Matemática? (Schoenfeld, 1987,
p.190)
A nosso ver, merecem especial destaque as tentativas de teorização
empreendidas pelos pesquisadores franceses, a partir das idéias de
Brousseau, com os conceitos de dialética ferramenta-objeto, engenharia
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
didática, contrato didático, situação didática, situação fundamental, etc,
e que têm lançado muita luz por um lado sobre o que se passa em sala de
aula, e por outro lado sobre a compreensão de certos bloqueios e de como
trabalhar para removê-los. Esta "escola", ao invés de tentar construir
uma "teoria da Educação Matemática" in abstracto, procura teorizar
situações bem específicas sobre as quais é possível fazer-se uma análise
cuidadosa, construir teorias locais, e planejar "experimentos didáticos"
que reforçarão ou negarão a teoria.
Outra área de pesquisa ativa está centrada na Sociologia da Matemática
e da sala de aula (Baldino, 1993, p. 132-136). Qual o contrato explícito
ou implícito estabelecido entre o professor e os alunos? Qual o
gerenciamento da sala de aula? Qual a participação dos alunos em sua
avaliação, na escolha do conteúdo, etc?
Nesta direção, salientemos a percepção e compreensão crescente de que
o ensino de Matemática não se ministra em um vácuo. Ele está
condicionado por vários fatores institucionais, políticos e socioculturais.
Luís Antônio Cunha (1993, p.178) ressalta a importância dos aspectos
sociais do ensino de Matemática:
0 exame dos textos que tratam da Educação Matemática mostra
que eles não levam em conta as condições concretas da
educação nem dos destinatários principais — os alunos das
escolas públicas. Talvez por esta razão, acabam por se polarizar
em torno de questões epistemológicas ou de questões didáticas
e psicopedagógicas. Sem embargo da importância destas
questões, quero chamar a atenção, ainda que de modo
preliminar, para os aspectos sociais do ensino da Matemática
na escola pública de lº e 2º graus. Sem pretender esgotar o
assunto, o conhecimento a que se chegou das práticas escolares,
em nosso país, permite afirmar com segurança que a
desconsideração das dimensões sociais do ensino, (...) impedirá
o sucesso de soluções didáticas e psicopedagógicas, por mais
engenhosas que sejam.
Paralelamente a todas estas grandes frentes de pesquisa, embutida nelas,
por vezes revigorando-as e modificando-as profundamente, temos a
presença do computador na Educação Matemática. Ele obrigou a uma
reavaliação dos conteúdos relevantes, a uma busca de novas maneiras de
apresentá-los, e, talvez até de maneira mais profícua, a longo prazo,
permitiu novas percepções de como se constrói o conhecimento
matemático, além de trazer uma nova linguagem, novos problemas c
novos esquemas conceituais a vários campos de pesquisa. No Brasil, as
pesquisas sobre o computador na Educação Matemática prosseguem
vigorosamente. Há excelentes grupos no Rio Grande do Sul, dentro do
contexto mais amplo de informática e educação. O mesmo acontece na
UFRJ. Na PUC do Rio de Janeiro e na PUC de São Paulo investiga-se
prioritariamente o uso do computador no ensino introdutório do 3º grau.
Uma das linhas de pesquisa do Mestrado da Universidade Santa Ursula
ocupa-se de informática e educação. O mesmo acontece no programa de
pós-graduação em Educação Matemática da UNESP- Rio Claro. O estudo
dos usos do computador na Educação Matemática, passados certos
exageros e desvios iniciais, se firmou como uma das áreas mais ativas e
relevantes da Educação Matemática, por um lado como ferramenta de
investigação cognitiva, por outro, como maneira de renovar os cursos
tradicionais, expositivos, lineares.
A pergunta para que e por que ensinar Matemática é feita mais e mais
freqüentemente. No início da década de 90, o Documento Básico do SPEC
já afirmava que o objetivo do ensino [de Matemática] deve ser
Preparar o cidadão para atuar em uma sociedade complexa,
cada vez mais permeada pela Ciência e pela Tecnologia (MEC,
CAPES, 1989).
Recentemente, o National Council of Teachers of Mathematics tentou
responder a esta pergunta listando os objetivos do ensino-aprendizagem
da Matemática, visando a preparar cidadãos para atuarem em uma
sociedade moderna e complexa. Em tradução livre, eles são:
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Entre as competências básicas com as quais o ensino de
Matemática pode contribuir para a preparação de cidadãos
para uma sociedade moderna temos:
— a capacidade de planejar as ações e de projetar as soluções
para problemas novos, que exigem iniciativa e criatividade;
— a capacidade de compreender e transmitir idéias
matemáticas, por escrito ou oralmente;
— a capacidade de usar independentemente o raciocínio
matemático, para a compreensão do mundo que o cerca;
— saber aplicar Matemática nas situações do dia-a-dia;
— saber avaliar se resultados obtidos na solução de situações-
problema são ou não são razoáveis;
— saber fazer estimativas mentais de resultados ou cálculos
aproximados;
— saber aplicar as técnicas básicas do cálculo aritmético;
— saber empregar o pensamento algébrico, incluindo o uso de
gráficos, tabelas, fórmulas e equações;
— saber utilizar os conceitos fundamentais de medidas em
situações concretas;
— conhecer as propriedades das figuras geométricas planas e
sólidas, relacionando-as com os objetos de uso comum, no dia-
a-dia ou no trabalho.
— saber utilizar a noção de probabilidade para fazer previsões
de eventos ou acontecimentos.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A percepção de que o ensino de Matemática visa, em última análise, a
habilitar o cidadão a agir com consciência crítica em um mundo cada
vez mais complexo, em que decisões vitais para a própria espécie humana
são tomadas, está muito presente em várias linhas de pesquisa em
Educação Matemática. De maneira geral, podemos afirmar que hoje o
educador matemático tem consciência de sua responsabilidade social. A
Matemática não pode ser nem uma brincadeira intelectual
descomprometida, nem uma ferramenta usada para maior domínio e
controle da sociedade. Como construção social, ela pertence a toda a
sociedade, para seu bem.
Ainda outra linha de pesquisa diz respeito aos fundamentos históricos e
filosóficos da Educação Matemática. Neste sentido, há inclusive tentativas
de teorizar a Educação Matemática como um todo. tentando enquadrá-la
em certos modelos, preexistentes ou criados especificamente para isso.
A Educação Matemática é uma atividade essencialmente pluri e
interdisciplinar. Constitui um grande arco, onde há lugar para pesquisas
e trabalhos dos mais diferentes tipos. Nele, há espaço para trabalhos de
pesquisa acadêmica pura em Psicologia, atividades de pesquisa-ação.
reciclagem de professores, elaboração de textos, pesquisas em História
do Ensino de Matemática, e muitas outras. O que deve ser ponto comum
a todos estes pesquisadores, quer sejam matemáticos, psicólogos,
educadores, filósofos, historiadores, etc, é em primeiro lugar o
reconhecimento de que o trabalho de todos tem um objetivo comum — a
melhoria do ensino-aprendizagem da matemática, em todos seus níveis,
e o respeito pelo trabalho dos outros.
Como já dissemos, inserido no desenvolvimento geral da área de ensino
de Ciências e Matemática no Brasil, temos o crescimento e a consolidação
da subárea de ensino de Matemática, ou de Educação Matemática.
Em primeiro lugar, nunca é demasiado ressaltar o papel dos pioneiros da
Educação Matemática no Brasil. Já na década de 30, Euclides Roxo foi o
porta-voz dos movimentos de reforma preconizados por Felix Klein e
pelo IMUK. Seu livro O Ensino da Matemática no Ensino Secundário
tem ainda hoje um sabor moderno. Também na longa polêmica que
sustentou com Joaquim Inácio de Almeida Lisboa, na década de 1930,
nota-se este aspecto renovador, que o credencia como o precursor da
Educação Matemática no Brasil.
As sementes lançadas por vários pioneiros, no meio da incompreensão,
germinaram aos poucos, e hoje vemos, aqui, nesta sala, os frutos colhidos
após quatro décadas do trabalho de Maria Laura Leite Lopes, Martha de
Souza Dantas, Mello e Souza, Ornar Catunda, Ubiratan D'Ambrósio, e
tantos outros, entre os quais quero incluir o nome de Luiz Alberto Brasil,
um dos primeiros brasileiros a perceber a importância das idéias de Piaget
para o ensino de Matemática.
Em 1955, Martha de Souza Dantas organizou, em Salvador, o Primeiro
Congresso Brasileiro de Educação Matemática. Seguiram-se a ele os
Congressos de 1957 no Rio Grande do Sul, de 1959 no Rio de Janeiro,
de 1962 em Belém do Pará, de 1966 em São José dos Campos, São Paulo.
O próximo congresso seria na Paraíba, mas não foi realizado. A tradição
desses congressos só seria retomada com os Encontros Nacionais de
Educação Matemática (ENEM), já na década de 80, que se realizaram
na seguinte ordem: o primeiro na PUC de São Paulo, em São Paulo,
organizado pela professora Tânia Campos, em 1987; o segundo em
Maringá, em 1988, o terceiro em Natal, em 1990, e o quarto em
Blumenau. Durante o II ENEM, foi criada a Sociedade Brasileira de
Educação Matemática (SBEM), que passaria a organizar os Encontros
Nacionais de Educação Matemática, além de reuniões regionais, e a
publicar periódicos especificamente voltados para a Educação
Matemática. A criação da SBEM foi certamente uma demonstração do
amadurecimento da comunidade de Educação Matemática no Brasil.
Os primeiros grupos de trabalhadores e pesquisadores em Educação
Matemática se reuniram em associações. As três principais foram o
GEPEM, no Rio de Janeiro, o GEMPA em Porto Alegre, e o GEEM, em
São Paulo, fundado em 1961, e que teve papel preponderante na difusão
das idéias da Matemática moderna no Brasil; seus membros traduziram
vários volumes da coleção do School Mathematics Study Group, um dos
movimentos reformadores do ensino de Matemática nos Estados Unidos,
na década de 60.
Situação atual da área
Atualmente, a área de ensino de Matemática cresce e se consolida
rapidamente no Brasil. Neste contexto, é sempre oportuno salientar o
papel decisivo desempenhado pelo SPEC durante os últimos 10 anos.
Pode-se dizer que o período 1985-1995 será visto, no futuro, como o da
substituição progressiva dos amadores pelos profissionais. A palavra
amador não é aqui usada pejorativamente. Empregamo-la para definir
pessoas cuja formação inicial foi geralmente em Ciências (Física,
Matemática, Química, Biologia) e que, aos poucos, se interessaram por
problemas educacionais ligados a suas áreas, passando a trabalhar
prioritariamente em ensino de Ciências ou de Matemática. Alguns deles
são altamente competentes e criativos, reconhecidos internacionalmente.
Os profissionais são aqueles pesquisadores da área cuja formação já foi
em ensino de Ciências e de Matemática.
Podemos dizer, juntos com Myriam Krasilchik (1987, p. 14-15), que já
existe hoje no Brasil uma
nova comunidade acadêmica — a dos educadores em ciência
— uma área fronteira entre educação e ciência, que se preocupa
prioritariamente com o significado das disciplinas cientificas
no curriculo. Este campo de conhecimento em formaçao está
hoje apoiado em associações de classe, publicações periódicas
e cursos de formação de profissionais, em nivel de graduação
e pos-graduação.
Em Aberto, Brasilia, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
De 1971 a 1990, foram defendidas 189 teses de mestrado, doutoramento
ou livre-docência em ensino de Matemática (Educação Matemática) no
Brasil (Fiorentini, 1992). Estima-se que há, atualmente, em 1994, mais
de 30 bolsistas no exterior em programas de doutorado na área de ensino
de Ciências e de Matemática, corn bolsas do SPEC, CAPES e CNPq.
Nas instituições com programas formais de pós-graduação nestas áreas
estavam matriculados, em 1993, 55 alunos de mestrado e 9 de doutorado.
A estes números devemos acrescentar os alunos matriculados em
instituições de que não obtivemos informações e naquelas que apresentam
produção esporádica de mestres ou doutores na área (UFRJ. PU
r
-Rio.
PUC-SP. UFF, UFMG, UnB. etc), geralmente dentro de seus programas
de pós-graduação em Educação ou em convênio com estes, como acontece
na USP. Dos 111 doutores relacionados pelas instituições consultadas.
em 1993, e que trabalham cm ensino de Ciências e Matemática,
certamente mais da metade atuam em Educação Matemática.
É impossível fazer uma listagem perfeita das instituições e dos grupos
que trabalham e pesquisam em Educação Matemática no Brasil. Trata-
se de um quadro dinâmico, em crescimento acentuado. Indicamos a seguir
os grupos principais.
A grande concentração de centros que têm programas formais de pós-
graduação na área de ensino de Matemática é na região Sudeste. Mais
precisamente, a Universidade de São Paulo, que tem uma longa tradição
principalmente em ensino de Física e de Biologia, conta também com
pesquisadores em Educação Matemática. Boa parte das pesquisas aí
realizadas são feitas na Faculdade de Educação. Entre os institutos, o
que tem maior tradição de pesquisa na área é o de Física. A UNICAMP
tem vários grupos trabalhando em Educação Matemática, ensino de Física
e de Química, com participação também da Faculdade de Educação, onde.
em 1994, foi aberta uma linha de concentração em Educação Matemática.
nos programas de mestrado e doutorado. Na UNESP, em Rio Claro,
funcionam um mestrado e um doutorado em Educação Matemática, que
recebe periodicamente pesquisadores estrangeiros. O início deste
Mestrado em Educação Matemática, em 1983, foi um marco no
desenvolvimento da Educação Matemática no Brasil. O doutorado iniciou-
se em 1992. Este programa já conta hoje com quarenta dissertações de
mestrado defendidas. Recentemente, a Universidade Metodista de
Piracicaba abriu, em seu programa de pós-graduação cm educação, uma
área de concentração em ensino de Ciências. A PUC de São Paulo tem
um grupo vigoroso de atividades em Educação Matemática e cm seus
programas de pós-graduação em Educação e Psicologia têm sido
defendidas dissertações e teses sobre Educação Matemática.
Recentemente, seu programa de mestrado cm Matemática foi
transformado em um mestrado específico cm Educação Matemática.
No Rio de Janeiro, funciona um mestrado em Educação Matemática na
Universidade Santa Úrsula. A Universidade Federal do Rio de Janeiro.
que conta com vários grupos de pesquisadores nas áreas de ensino de
Física, de Biologia c principalmente de Educação Matemática, abriu um
curso de especialização em Educação Matemática, como primeiro passo
para a criação de uma pós-graduação formal na área. Os vários grupos
dedicados ao ensino da UFRJ se integram no bem conhecido "Projeto
Fundão", o qual. de maneira pioneira, prenunciou a preocupação do SPEC
em apoiar atividades relativas ao meio ambiente, incluindo em seu
primeiro projeto um grupo de Geografia e meio ambiente. Na PUC do
Rio de Janeiro, está sendo criado um programa interdisciplinar em pós-
graduação (mestrado e doutorado) em ensino de Ciências e Matemática.
Ainda na Região Sudeste, embora sem programas formais de pós-
graduação na área, temos grupos ativos e que trabalham há bastante
tempo em Educação Matemática, principalmente em ensino de Geometria,
na Universidade Federal Fluminense, a qual tem mais tradição em ensino
de Física; na Universidade Federal do Espírito Santo, em estreita
colaboração com a Secretaria de Educação: em Juiz de Fora. onde estas
atividades de ensino de Ciências e Matemática se institucionalizaram
em espaço próprio; em Belo Horizonte, em trabalho comum do Instituto
de Matemática, Faculdade de Educação e de outras instituições.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Na Região Centro-Oeste, a Universidade de Brasília firmou-se como grupo
de atuação e pesquisa em Educação Matemática, com longa tradição em
trabalho com professores e elaboração de currículos. A Universidade
Federal de Mato Grosso do Sul tem atividades de pesquisa em Educação
Matemática como subárea temática em seu Mestrado em Educação, com
professores doutores de formação específica em Educação Matemática.
Na Região Sul. o Instituto de Física da Universidade Federal do Rio
Grande do Sul se dedica tradicionalmente a pesquisas em ensino de Física
e já formou vários mestres nesta área. Nesta Universidade há também
pesquisadores que se dedicam ao ensino da Química e à Educação
Matemática. Em Santa Catarina, no programa de pós-graduação em
Educação, existe uma linha de concentração em ensino de Ciências e
Matemática, formando mestres e doutores.
Na Região Nordeste, o mestrado em Psicologia da Universidade Federal
de Pernambuco, que mantém estreita colaboração com pesquisadores do
Instituto de Matemática, há muitos anos se dedica a pesquisas que
envolvem Educação Matemática, com muitas dissertações de mestrado
já defendidas sobre o assunto. Ainda no Recife, surge um grupo na
Universidade Federal Rural de Pernambuco, com trabalhos, entre outros.
na área de História da Matemática e suas relações com o ensino. Na
Universidade Federal do Ceará, constituiu-se um grupo interdisciplinar,
envolvendo matemáticos, psicólogos e educadores. Na universidade Fed-
eral do Piauí, existe um grupo de trabalho em Educação Matemática.
Na Região Norte, em Belém do Pará, como desdobramento de projetos
financiados pelo SPEC, constituiu-se um apo de trabalho em ensino
de Ciências e Matemática, que se exporta por todo o Estado.
Alguns grupos de pesquisa mantêm o intercâmbio com o exterior, recebendo
visitantes pesquisadores. Constantimente temos, entre outros, o mestrado
em Psicologia da UFPE; mestrado de educação Matemática da UFRJ,
PUC-RJ, PUC-SP, UNESP-Rio Claro, Sama Úrsula, UNICAMP e UFSC;
os vários grupos de ensino das Ciências da USP e UNICAMP; o grupo
de ensino de Física da UFRGS. O programa de pós-graduação da UNESP-
Rio Claro mantém intercâmbio principalmente com pesquisadores de
Bielefcld e de Portugal. Atualmente, existe um convênio de cooperação
internacional em pesquisa em Educação Matemática, envolvendo a PUC
de São Paulo, a PUC do Rio de Janeiro e a Universidade Federal de
Pernambuco.
Existem no Brasil vários periódicos com publicação regular dedicados à
divulgação de trabalhos em ensino de Matemática: a Revista de Ensino
de Ciências, dirigida para professores do 1º grau; o Boletim do GEPEM,
que publica artigos de pesquisa, traduzindo por vezes artigos importantes
de periódicos estrangeiros: a revista Temas e Debates, da Sociedade
Brasileira de Educação Matemática: o Bolema, do Programa de Mestrado
e Doutorado em Educação Matemática de Rio Claro. Foi publicado
recentemente o primeiro número da revista da Sociedade Brasileira de
Educação Matemática, A Educação Matemática em revista, dedicado à
Etnomatemática. A Revista do Professor de Matemática da Sociedade
Brasileira de Matemática, dirigida a professores do 2º grau. já se firmou
e em seus artigos, juntamente com conteúdos, se preocupa corn problemas
de metodologia.
Já há no Brasil reuniões tradicionais sobre ensino de Ciências e de
Matemática: o Congresso Sul-Brasileiro de Ensino de Ciências; o
Congresso Norte-Nordeste de Ensino de Ciências e Matemática; o
Encontro Nacional de Educação Matemática; o Encontro Paulista de
Educação Matemática; o Congresso de Ensino de Física; o encontro
Perspectivas do Ensino de Biologia; o Encontro Nacional de Professores
de Química. Realizou-se, em 1993, no Rio de Janeiro, o Primeiro
Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro.
com conferencistas convidados de vários países. Os programas de pós-
graduação da UNESP em Rio Claro já promoveram várias reuniões
temáticas, algumas delas de cunho nacional, sobre Educação Matemática.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Será realizado, em julho próximo, em Blumenau, organizado pela SBEM,
o Segundo Congresso Ibero-Americano de Educação Matemática, seguido
imediatamente de um congresso internacional sobre História e Pedagogia
no ensino de Matemática.
Além das reuniões específicas promovidas pela Sociedade Brasileira de
Educação Matemática, as reuniões regionais da Sociedade Brasileira de
Matemática têm aberto um espaço crescente para atividades de ensino,
oferecendo minicursos para professores do 2º grau e promovendo me-
sas-redondas sobre ensino. Também, nas reuniões anuais da SBPC, nos
últimos anos. tem sido crescente o número de atividades sobre ensino de
Ciências e Matemática. Durante as décadas de 70 e 80. a Sociedade
Brasileira de Matemática promoveu várias reuniões sobre as licenciaturas
em Matemática: a SBPC, tradicionalmente em suas reuniões anuais, tem
discutido as licenciaturas em ciência, aí incluindo a Matemática.
Nos últimos anos, os pedidos de bolsa ou auxílios apresentados ao Comitê
de Educação do CNPq. na área de ensino de Ciências e Matemática, têm
se concentrado em Educação Matemática, seguida pelas áreas de Ensino
de Física. Biologia e Química, nesta ordem. O número global de pedidos.
envolvendo todas as áreas de ensino de Ciências e Matemática, tem caído.
Na área de Educação Matemática, o maior número de pedidos tem sido
para temas envolvendo informática e ensino de Matemática. No Comitê
de Educação há um representante da área de ensino de Ciências e
Matemática.
É impossível listar aqui todas as linhas específicas de pesquisa em
Educação Matemática atualmente no Brasil. Uma das finalidades deste
seminário é exatamente efetuar tal levantamento, agora que o campo foi
enriquecido com tantos jovens pesquisadores talentosos. Listamos a seguir
as indicações sobre pesquisas na área, fornecidas em 1993 pela maioria
das instituições consultadas:
— Currículos de Matemática no lº e 2º graus.
— Currículos das licenciaturas em Matemática.
—• Educação Matemática como área do conhecimento.
— Formação inicial de professores (cursos de Magistério e Licenciatura).
— Crenças e concepções de licenciandos e professores sobre a
Matemática, a Pedagogia Matemática e a aprendizagem.
— Pontos de estrangulamento na aprendizagem da Matemática e
sugestões de atividades inovadoras para ao ensino desses tópicos
(exemplos: frações, números decimais, números inteiros, números
racionais, introdução à Geometria, frações e proporções).
— Métodos alternativos de avaliação de raciocínio e aprendizagem em
Matemática.
— Tipos de argumentação usados em Geometria e em Cálculo.
— Ensino de Cálculo (dificuldades, obstáculos epistemológicos, proposta
de atividades inovadoras de ensino e avaliação).
— Aspectos cognitivos da organização das estruturas multiplicativas,
especificamente do conceito de fração.
— Introdução do conceito de função por meio de softwares interativos.
— Ensino-aprendizagem da noção de área no ensino do lº grau menor,
partindo das hipóteses didáticas de R. Douady.
— O ensino de Geometria Analítica e Álgebra Linear no primeiro ano
da universidade.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
relação posterior entre professores de Matemática em situação
tica.
Análise de livros didáticos.
— História do desenvolvimento dos conceitos matemáticos.
— Desenvolvimento do raciocínio matemático sob uma ótica lógico-
dedutiva-construtiva.
— A verdade na relação didática.
— Produção de seqüências de ensino utilizado vídeos.
— Avaliação em Matemática.
— O simbólico em Educação Matemática.
— Hermenêutica em Educação Matemática.
— Educação ambiental e Educação Matemática.
— Teorias da aprendizagem.
— Assimilação solidária.
— Etapas na construção do conceito de função.
— Estatística e Probabilidade a partir das séries iniciais.
— Educação Matemática e prática pedagógica.
— Mudança conceituai, atitudes.
— Resolução de problemas.
— Construtivismo em Educação Matemática.
— Formaçao continuada de professores de Matemática.
— Desenvolvimento dos conceitos matemáticos no processo ensino-
aprendizagem.
— O ensino-aprendizado de Geometria.
— A teoria de van Hiele.
— Informática e Educação Matemática.
— Processos de aquisição de conceitos matemáticos durante experimentos
de ensino, do ponto de vista construtivista.
— Epistemologia do pensamento algébrico.
— Visão integrada entre Matemática, Física e Astronomia, segundo uma
perspectiva etnográfica.
— Gerenciamento da sala de aula. Grupos de assimilação solidária.
— Gênese do pensamento diferencial.
— História da Matemática.
— Etnociência e Educação.
— Epistemologia, História e Educação Matemática.
— Educação e Estatística.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
— Etnomatemática.
— Resolução de problemas e criatividade.
— Matemática e linguagem.
— Fundamentos filosóficos e científicos da Educação Matemática.
— História como proposta metodológica.
— Criatividade na perspectiva da Psicologia cognitiva, visando ao ensino-
aprendizado da Matemática.
Para concluir este trabalho, referimo-nos novamente ao artigo de Luís
Antônio Cunha já citado. De maneira feliz e lapidar, cremos nós. ele
caracteriza a prioridade para a Educação Matemática no Brasil:
A escola normal é o elemento mais importante para uma ação
política educacional visando à melhoria do ensino da
Matemática o que, aliás, vale para a alfabetização. Não se
trata apenas de aumentar a carga horária de Matemática no
curso normal, nem de incentivar as professorandas a manejarem
técnicas didáticas não convencionais. Trata-se de algo mais
difícil, que é mudar os valores que elas têm a respeito da
Matemática como "vocação masculina", ou seja, quebrar a
cadeia de reprodução e discriminação de gênero. Para tanto, é
preciso conhecer bem esses valores, em suas conexões com
outros, o que só pode ser feito com muita pesquisa, não sobre a
Matemática propriamente, mas sobre as professorandas e sua
"mentalidade" (Cunha, 1993, p. 180-181),
o que nos remete aos estudos de metacognição, e ao fato de que o objetivo
principal da Educação Matemática no Brasil deve ser melhorar a atuação
do professor no processo de ensino-aprendizagem. O problema básico
da educação matemática em nosso país deveria ser o da formação inicial
e continuada do professor.
A este respeito, muito se aprendeu com os projetos desenvolvidos com
recursos do SPEC na década de 80. Hoje, os cursos puramente de
conteúdo, com poucas horas de aula, estão ficando desacreditados. Como
afirmado acima por Luiz Antônio Cunha, o importante é mudar a atitude
do professor. Alguns projetos do SPEC e o financiado pela V1TAE em
parceria com as secretarias de educação de vários estados, se propõem
realizar um tabalho a longo prazo com grupos de professores, exatamente
para conseguir essa mudança de atitude; ao mesmo tempo, elabora livros
para uso dos professores atendidos e para serem adotados nas disciplinas
matemáticas dos cursos de licenciatura.
Continuando, diz Cunha (1993):
É preciso mudar radicalmente o ponto de vista: sair da 3ª série
do 2
a
grau (especialmente do interesse real ou presumido dos
alunos que vão fazer um curso técnico ou, então, cursos
superiores de "exatas "), para se por no lugar dos alunos que
deixam a escola, por uma razão ou por outra, antes de chegar
até lá, coisa que ocorre com 88% dos que ingressam juntos na
escola a cada ano. Para essa imensa maioria, é necessário que
a Matemática tenha aplicação prática e que esta seja tão
imediata e diretamente percebida quanto possível, como, aliás,
o aprendizado da leitura e da escrita. Para isso, é preciso
abandonar a atitude de quem domina o conjunto da Matemática,
enquanto corpo de conhecimento, para o que a dedução é a
operação fundamental, para mergulhar no interior do processo
de ensino-aprendizagem, onde a indução deve ser o ponto de
partida para o desenvolvimento da prática da dedução, que é
justamente onde a Matemática mais contribui para a educação
geral. Pois bem, como partir das práticas cotidianas para se
chegar à Matemática é tema para pesquisas que podem reunir
matemáticos e outros profissionais, a exemplo de psicólogos,
pedagogos e sociólogos,
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
o que nos faz mergulhar no âmago da interdisciplinaridade da Educação
Matemática, resgatando ao mesmo tempo toda nossa responsabilidade
social. O desafio é ensinar Matemática útil e relevante para o cidadão,
sem perder as especificidades e a estrutura inatas à Matemática. Como
diz Frank Lester, usando como referência o título de um livro de E. T.
Bell, Matemática, Serva e Rainha das Ciências, todo aluno de
Matemática, quer no 1º
i
, 2º ou 3º grau, deve ter a oportunidade de conhecer
a rainha, de perceber o encanto e o poder da Matemática, sua capacidade
organizadora de estruturas lógicas, sua versatilidade prodigiosa.
Atentos a isso, estou certo de que nós, que trabalhamos em Educação
Matemática, muito melhoraremos a educação em nosso país.
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A IMPORTÂNCIA DO CONHECIMENTO ETNOMATEMÁTICO
INDÍGENA NA ESCOLA DOS NÃO-ÍNDIOS
Eduardo Sebastiani Ferreira*
Introdução
Meu envolvimento com a educação indígena do Brasil vem de oito anos
atrás, quando fui convidado para assessorar o trabalho educacional em
Matemática na Escola da Aldeia Tapirapé, no Estado do Mato Grosso, c
isto devido ao trabalho que vinha fazendo junto a favelas e regiões rurais
vizinhas a Campinas. Este início, ainda temeroso, seguiu-se de uma ava-
lanche de convites de outras áreas, nesta época eu era, pelo que sei. o
único matemático interessado em educação indígena. Fui assessorado
por colegas indigenistas, antropólogos e lingüistas, e iniciei como pude
o trabalho em algumas tribos, buscando sempre o máximo respeito à
cultura numa preocupação constante de não destrui-la, mas mais do que
isto, valorizando-a.
Educação indígena
Um panorama da situação indígena brasileira hoje e a filosofia de como
deve ser pensada sua escolarização encontramos no Caderno Educação
Básica, série Institucional, vol. 2:
Existem hoje no Brasil cerca de 200 sociedades indígenas
diferentes, falando em torno de 180 línguas e dialetos e
habitando centenas de aldeias situadas em diferentes estados
da Federação. Remanescentes de um grande contingente
populacional, cujas estimativas históricas indicam estar em
torno de 6 milhões de indivíduos quando da chegada dos
europeus no século XVII, as sociedades indígenas são porta-
• IMECC-UNICAMP.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
doras de tradições culturais especificas e vivenciaram processos
históricos distintos. Cada um desses povos é único, tem uma
identidade própria, específica, fundada na própria língua, no
território habitado e explorado, nas crenças, costumes,
histórias, organização social.
Por outro lado, as sociedades indígenas compartilham um
conjunto de elementos básicos que são comuns a todas elas e
que as diferenciam da sociedade não-indígena. Assim, os povos
indígenas têm formas próprias de ocupações de suas terras e
de exploração dos recursos que nelas se encontram; têm formas
propios de vida comunitária, têm formas de ensino e
aprendizagem, baseadas na transmissão oral do saber coletivo
e dos saberes de cada indivíduo (MEC, 1993. p. 10).
Estas premissas nos levam a considerar que "as escolas indígenas, por
conseguinte, deverão ser específicas e diferenciadas, ou seja. as
características de cada escola, em cada comunidade, só poderão surgir
de diálogo, do envolvimento e do compromisso dos respectivos grupos.
como agentes e co-autores de todo o processo" (MEC. 1993, p. 11).
Encontrei-me numa época assessorando mais de dez tribos, no trabalho
de orientar e formar professores índios, que estavam ministrando aulas
na aldeia, ou que iriam assumir a escola. Corn toda a diversidade que me
deparei, já na pesquisa etnográfica, línguas distintas, culturas diferentes
e mesmo históricas que tinham muito pouco cm comum, resolvi trabalhar
com um grupo de estudantes em nivel de pós-graduação. Cada um deles
assumia o trabalho etnográfico e o assessoramento às escolas, e eu iniciava
cada pesquisa e orientava estes alunos.
Formamos então na UNICAMP, no Instituto de Matemática, Estatística
e Ciência da Computação um grupo interessado na educação indígena e
especificamente na Educação Matemática destes grupos. Como fruto deste
grupo, tivemos implantação de escolas em aldeias, currículos específicos
para estas escolas, mudança de posturas de professores não-índios que
atuam em escolas de aldeias, numa linha filosófica que acreditamos ser
a melhor para este tipo de ação.
Uma das perguntas mais freqüentes que me chega quando falo deste
meu trabalho é: por que uma escola (de branco) numa aldeia indígena?
É necessário uma escola que vai ensinar em particular uma ciência
desenvolvida pela sociedade européia aos índios? Retorno aqui ao caderno
do MEC para responder a tais inquietações:
A escola indígena tem como objetivo a conquista da autonomia
sócio-econômico-cultural de cada povo, contextualizada na
recuperação de sua memória histórica, na reafirmação de sua
identidade étnica, no estudo e valorização da própria língua e
da própria ciência sintetizada em seus etnoconhecimentos, bem
como no acesso às informações e aos conhecimentos técnicos
e científicos da sociedade majoritária e das demais sociedades,
indígenas e não-indígenas. A escola indígena tem que ser parte
do sistema de educação de cada povo, no qual, ao mesmo tempo
em que se assegura e fortalece a tradição e o modo de ser
indígena, fornecem-se os elementos para uma relação positiva
com outras sociedades, a qual pressupõe por parte das
sociedades indígenas o pleno domínio da sua realidade: a
compreensão do processo histórico em que estão envolvidas, a
percepção crítica dos valores e contravalores da sociedade
envolvente, e a prática de autodeterminação.
Como decorrência da visão exposta, a educação indígena tem
de ser necessariamente específica e diferenciada, intercultural
e bilíngüe (MEC, 1993, p. 12).
Com estas características para a escola indígena, que Matemática deve
ser construída em tal escola? Ou então, podemos explicitar tal
questionamento perguntando: Como propiciar ao aluno índio a construção
de conceitos da Matemática formal, ou também chamada de acadêmica?
Eu fui procurado para assessorar a educação indígena pelo meu trabalho
com a Etnomatemática em escolas de periferia e zona rural. Praticamente
minha formação e crença (no sentido kuhniano) de educador matemático
e no Programa Etnomatemática e a História da Matemática.
Programa de etnomatemática ou alfabetização cm "matemática
materna"
Não há como ignorar que existem mudanças na Matemática hoje que,
acreditamos, são reflexos das mudanças na vida social de nosso planeta.
Em The Sociology of Mathematics Revisited: a Persona! Note, D.J. Struik
(1986, p.280) afirma: "Uma mudança radical na natureza de nosso
relacionamento social será refletida numa mudança em como organizar
o fazer matemático — e esta mudança afetará o como pensamos em
relação ao conteúdo matemático". Nosso relacionamento social neste fi-
nal de século parece ser mais questionador, crítico e tolerante. O
paradigma racionalista-cartesiano é colocado em dúvida.
O reflexo disso se faz sentir na Matemática, "... a natureza da Matemática
está mudando: há muitos indícios disto. Cada dia, mais pessoas
questionam o modelo de Matemática infalível, absoluto, longe da intuição
empírica e da realizada terrena, que dominou até agora urbi et orbi.
Cada vez se percebe melhor a íntima relação entre as matemáticas e a
sociedade. Cada vez tem-se mais espaços para um novo paradigma sobre
a natureza das matemáticas, um paradigma empírico e construtivista,
um paradigma que recorre à intuição sensorial, um paradigma que integre
no seu seio as influências sociais e culturais, que recorre à História das
Matemáticas e das Ciências como inspiração, não só para anedotas, senão
para estabelecer a lógica que sustenta a prática educativa de uma forma
mais acertada". Estas foram palavras de A.R. Zufliga, na conferência
"Las Matemáticas Modernas en Ias Américas: filosofia de una reforma"
proferida no VIII CIAEM, Miami, USA, 1991.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Para uma melhor compreensão dessa nova visão da Matemática, é
necessário que se faça uma nova interpretação de sua "história oficial",
contida na maioria dos livros. Nesta, poucas são as exceções que vêem a
Matemática como uma criação humana, que não se desenvolve
independente dos fatores socioculturais. A História da Matemática
relatada é linear, internalista, evolucionista. impregnada de eurocen-
trismo, ignorando as matemáticas desenvolvidas em culturas não
dominadas pelo homem branco ocidental.
"Aos historiadores das ciências cabe a recuperação de conhecimentos,
valores e atitudes, muitas vezes relegados a plano inferior, ignorados e
às vezes até reprimidos e eliminados, que poderão ser decisivos na busca
desses novos rumos", afirmou U.D'Ambrosio referindo-se à busca de
"novos rumos" para a humanidade, com a finalidade de sobrevivência
do planeta e da civilização. Prosseguindo, "a procura de novas vias para
o progresso tem sido dominada por padrões acadêmicos rígidos.
amparados por uma História e Filosofia das Ciências que sugere um
progresso científico linear, cumulativo, do qual não há possibilidade de
se escapar da desvantagem atual... A busca de alternativas historio-
gráficas, que conduzam a uma história que nâo venha embebida de um
determinismo eurocêntrico, favorecendo a manutenção do statusquo, é
essencial no processo que estamos vivendo, de questionamento da atual
ordem internacional" (D'Ambrosio, 1993a, p.7).
Mas qual o reflexo disso na escola e, principalmente, na aula de
Matemática? Para Zufiiga, na conferência citada, "... eu sempre digo
que os educadores matemáticos são aqueles que melhor podem perceber
os problemas da visão racionalista, platônica e formalista das matemáticas.
Precisamente porque a aula é um laboratório vivencial, na qual a prova e
o erro funcionam, um laboratório formidável onde se vêem as virtudes e
os erros mais rapidamente".
O modelo tecnológico dominante na educação atual não trouxe melhorias
significativas para a sala de aula, bem como não responde às questões
dessa sociedade emergente. Há, pois, que se buscarem novas "saídas"
para a Educação Matemática, que atendam quer aos anseios de professores
e alunos quer à sociedade, compreendida como um todo.
Ncil Post man tece considerações que lançam alguma luz nessa direção.
Afirma que:
Quando olho para os principais problemas aluais, vejo que
eles não têm nada a ver com tecnologia. Se existem crianças
morrendo de fome na Somália, se a criminalidade está semeando
o terror em nossas cidades e se as famílias estão se
fragmentando, não é porque dispomos de dados, informações
ou mesmo conhecimentos insuficientes. AIguma outra coisa está
faltando. Eu não disputaria por um segundo qualquer a
afirmação a respeito da possibilidade de utilizar computadores
para o aprendizado mais eficiente ou mais interessante. Mas, a
pergunta que temos que nos colocar, continuamente, é: para
que serve aprender? E aqui que entra o problema. As únicas
respostas que as pessoas vêm oferecendo ultimamente são:
'Vocês têm que ir à escola para arrumarem empregos melhores'.
E claro que isto significa pensar os Estados tinidos como uma
economia, em vez de pensá-los como uma cultura. Tem que
haver outras razões para as escolas. Precisamos de narrativas
unificadoras. Quero dizer, mitos compartilhados, que confiram
significado, metas e rumo a uma cultura. E isso que as escolas
deveriam fornecer. Existe uma grande diferença entre adquirir
conhecimento para ganhar a vida e adquirir conhecimento para
fazer uma vida (Postman, 1993, p.21, grifo nosso).
O Programa Etnomatcmático é uma tentativa permeada pela busca dos
mitos compartilhados que sejam matematicamente significativos. Propõe
"um enfoque epistemológico alternativo associado a uma historiografia
mais ampla. Parte da realidade e chega, de maneira natural e através de
um enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural, à ação
pedagógica" (D'Ambrósio, 1993b, p.6).
Eni Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Paulus Gerdes, no livro Estudos Etnomatemáticos (1989, p.2), define
Etnomatemática quando, ao transpor a caracterização de Favrod de
Etnolingüística para a Etnomatemática, escreve: "A Etnomatemática tenta
estudar a Matemática (ou idéias matemáticas) nas suas relações com o
conjunto da vida cultural e social".
O Programa Etnomatemática resgata a Matemática existente nas
diferentes formas de expressão cultural presentes no cotidiano do aluno
e, embora não se parta da chamada Matemática acadêmica (ou ocidental).
por necessidade empregamos a terminologia acadêmica na sua discussão.
Criamos modelos matemáticos como tentativas de solução para os
questionamentos levantados pela Etnologia em uma dada realidade.
Os esquemas 1 e 2 procuram traduzir graficamente a situação descrita.
No esquema 1, estão os passos que procuramos seguir quando usamos o
Programa Etnomatemático em sala de aula. O esquema 2 procura mostrar
como este programa está inserido em um contexto mais amplo, mas em
sala de aula, denominado por alguns educadores de Modelagem
Matemática.
Nosso processo se inicia com a alfabetização matemática e, tomando a
terminologia da Lingüística, denominamos "Matemática materna", para
expressar o conhecimento etno da criança. A expressão desse
conhecimento é grafada empregando-se a terminologia da Matemática
ocidental. O termo Matemática materna deve ser compreendido como o
conhecimento matemático que a criança traz para a escola.
Duas são as razões para denominar de "Matemática materna" a
Etnomatemática que a criança traz para a escola. Primeiramente, ela
sugere uma analogia com a alfabetização na língua materna; a segunda
razão diz respeito ao elevado número de concepções abarcadas sob o
título de Etnomatemática. Ela é utilizada, hoje, para denominar o
conhecimento matemático construído por um grupo étnico, ou seja, desde
a Matemática do pedreiro, por exemplo, à Matemática do pesquisador.
Figura 2 - Modelagem Matemática
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Figura 1 - Programa Etnomatemático
O conhecimento indígena na educação do não-índio
alguns artigos sobre a educação indígena e o trabalho em
aldeia (Ferreira. 1990a c 1990b). mas até hoje nada tinha escrito sobre
como este conhecimento pode colaborar com a Educação Matemática
dos não-índios. Para isto tenho que me colocar frente à educação e à
Educação Matemática como eu a vejo hoje. Passamos por uma época
muito recente, que ainda pode ser detectada na maioria das escolas.
embora contestada por todo educador matemático atual, que foi a do
formalismo. Pode-se resumidamente dizer que: "O formalismo pedia a
remoção do significado do objeto para ordenar o trabalho exclusivo com
'forma' e com relação entre os objetos, que eram derivadas das bi
axiomáticas das teorias ... . Uma vez que um resultado matemático é
descoberto, ele tem que ser 'justificado' com uma estrutura formal c
então c escrito para ser ensinado" (Morcno-Anclla. Waldegg. 1993.
p.655). A supervalorização da forma em detrimento ao objeto fez com
que o ensino se revestisse de um encadeamento teórico de dcfiniçõi
demonstrações, logicamente constituídos, c a Matemática mantinha um
discurso estruturado, incontestável com verdades ditas universais: não
permitindo ao aluno nenhuma contestação cabendo a ele pura c
simplesmente repelir o mesmo discurso.
Desde Platão c Aristóteles, passando por Descartes, os objetos ma-
nicos epistemologicamente constituídos são independentes do
observado. Cabe a Jean Piaget, baseado em idéias kanlianas. mudar esta
concepção de objetos matemáticos. "Para Jean Piaget, objetos matemáticos
não mais habitam um interno ou externo mundo para o conhecimento.
mas são produtos construídos pelo próprio conhecimento através de um
contínuo processo de assimilação c acomodação, que ocorre cm suas
estruturas cognitivas" (Morcno-Anclla. Waldegg. 1993, p.657).
Baseado neste processo cognitivo, nasce o construtivismo na educação.
onde na Matemática a forma perde seu status de importância, passando
este para ação. ação esta contextualizada que cria significado aos objetos
matemáticos.
Conhecinhecimento, segundo o ponto de vista construtivista,é sem-
pre contextualizada e nunca separa,do sujeito no processo de
conhecimento, o sujeito designa uma série de significados para
o objetivo. Conhecer é agir mas conhecer implica também compre
ender de que maneira o conhecimento pode ser compartilhado
com outros (...) A Matemática é então reconhecida como uma
atividade, e a internalização das ações é seu ponto de partida....
A Matemática trabalha com as estruturas de um mundo ideal
cuja 'matéria bruta' é internalização da ação do sujeito. Uma
linguagem formal é requerida para descrever este mundo ideal.
Na versão da Didática derivada do formalismo, existe uma
tendência a identificar os objetos matématicos (que são objetos
epistêmicos com seus constitutivos de conhecimento) com o nome
que usamos para nos referir a ele na linguagem formal. Desta ma
neira a realidade epistemológica é escondida, mas a necessidade
para construir significado a traz à luz. Por que não tira desta si-
tuação inevitavel (Moreno-Anella, Waldegg, 1993, p.658-660
Em Aberto. Brasília, ano 14. n. 62, abr./jun. 1994
Pensando a escola sob o ponto de vista construtivista, temos de reestruturá-
la desde o currículo até fisicamente. Com a ação tomando o lugar da
forma. "A vivência na escola e fora dela é constituída por ações e
interações que configuram, todas elas configuram todas elas o desenvol
vimento do indiv íduo
Não cabe. assim, falar de experiência extra-escolar e da experiência
colar como antagônicas. Um dos aspectos relevantes para a definição do
curriculo de uma escola c o conhecimento da prática cultural do grupo a
que a escola se destina, já que essas práticas é que definem determinadas
estratégias de ação c padrões de interação entre as pessoas, que
determinantes no processo de desenvolvimento do indivíduo" (MEC.
1993. p. 13). Este texto refere-se às escolas indígenas, mas creio que tem
significado importante para qualquer escola, quando se respeita o
etnoconhecimento do grupo ao qual a escola se destina. Continuando a
citar o mesmo texto: "Para uma ação educacional efetua requer-se não
apenas uma intensa experiência em desenvolvimento curricular, mas
também métodos de investigação e pesquisa para compreender as práticas
culturais do grupo". Temos aí contemplado todo o Programa
Etnomatemático, com sua pesquisa de campo (Etnografia), a análise
(Etnologia), a construção do modelo matemático, a busca de sua (suas)
solução (soluções), as verificações de cada passo e por fim, para mim o
mais importante, o retorno da pesquisa à comunidade. Além do respeito
à cultura do próprio grupo, é muito importante que a escola não esqueça
de outras culturas pois: "A interculturalidade, isto é. o intercâmbio positivo
é mutuamente enriquecedor entre as culturas das diversas sociedades.
deve ser característica básica da escola..." (MEC. 1993, p.ll). O texto
aqui completa com "da escola indígena", mas eu ainda reafirmo que
também é enriquecedora a interculturalidade em qualquer escola.
Por tudo que foi dito, penso que ficou claro como acho importante que a
Etnomatemática indígena seja exposta aos alunos não-índios. Além de
todo o valor do relacionamento intercultural, de um conhecimento
construído em nosso país, da valorização da cultura de uma outra
sociedade, que está sendo dominada pela sociedade envolvente; é na
própria Matemática que quero ressaltar este valor.
Hoje a Matemática perde seu status de mathesis universalis, isto é, de
verdade universal e de existência independente dos seres humanos que
apenas a redescobrem, para assumir seu papel de uma ciência criada por
nós e, portanto, sem verdades absolutas e contextualizadas. Nada melhor.
para mostrar a nova visão desta ciência, que observar como outras
sociedades a estão construindo. Quando a unidade em tribos brasileiras
como os Tapirapés, Krahó e Mynky é o dois e não o um. sentimos a
importância social da criação matemática. Esta concepção de a unidade
ser o um para a Matemática dita ocidental vem de Parmênides na Grécia
do século IV antes de Cristo, quando se refere à unidade do ser (cf.
Szabó, 1977, p.282-287). Com um exemplo simples como este, "cai por
terra" toda a concepção de uma Matemática universal, a criação dos
objetos matemáticos passam a ser vistos contextualizados, com uma
história e um significado social.
Teria vários exemplos a citar como a concepção de frações para os Krahó,
a importância das diagonais nos retângulos para os Tapirapés. a simetria
de rotação na pintura corporal dos Kadawel e tantos outros que o meu
trabalho etnográfico tem me trazido. Para o professor do ensino secundário
acredito que teríamos (hoje já somos uma dezena de matemáticos
assessorando a educação indígena) que escrever especificamente seja um
livro paradidático, ou então colaborar com os livros textos de Matemática.
no sentido de trazer à escola do não-índio, o conhecimento etno-
matemático do índio brasileiro. Alguns livros didáticos dão numerações
egípcias, babilônias, romana c mesmo maia, mas nenhum cita a
numeração de alguma tribo brasileira.
Nâo estou culpando especificamente os autores dos livros textos, se culpa
há, ela só é nossa que trabalhamos com escolas indígenas e até hoje não
pensamos na importância de trazer esse conhecimento para a escola de
nossos filhos.
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Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
de Matemática. Doutorados surgem em várias universidades, sobre
Didática. Eles se apoiam em estudos de Piaget, Wallon, Vigotsky. Brunner
e tantos mais que se debruçaram na busca do entendimento a respeito
das essencialidades do pensamento humano.
Como o GEEMPA ressentiu aquela lacuna dos anos 70 e como reagiu?
Voltou-se durante 10 anos, sobretudo para a área da alfabetização. E isto
por quê? Por duas razões, fundamentalmente. Porque a alfabetização é o
mais grave desafio da educação nacional e porque para ela. Emília
Ferreiro, especialmente, tinha uma contribuição significativa sobre o
processo de aprendizagem que permitia a construção de uma proposta
didática levando em conta também este aspecto, para além da lógica do
conteúdo a ensinar. Baseando-nos nisto é que produzimos as Didáticas
de Alfabetização, que estão permitindo em vários lugares do Brasil re-
verter os índices de 30% de aprovação nas classes de alfabetização para
90%, o que tem uma significação estupenda.
Trata-se de uma intervenção didático-pedagógica com capacidade de fazer
face a um dos mais graves atentados à democracia que é a exclusão de
milhões de brasileiros do acesso à leitura e à escrita, exigência mínima
para a cidadania.
A proposta didático-pedagógica do GEEMPA para alfabetização resultou
do concurso, durante quase uma década, de especialistas em diversos
ramos do conhecimento, tais como pedagogos, médicos, psicólogos e
psicanalistas, sociólogos, antropólogos, filósofos, etc. A interdis-
ciplinaridade da equipe, associada à convicção de que a Didática é um
novo campo científico e não o mero fruto de aplicações intuitivas dos
demais campos, é que está também presidindo o atual trabalho do
GEEMPA para além da alfabetização.
E importantíssimo salientar que o GEEMPA se deu conta que formar
professores só se faz com eficácia, se ela está continuamente alimentada
por pesquisa e associada imediatametne à ação docente a que se destina.
Por causa disso é que nos seus cursos, ou de Especialização ou de
Extensão, exige a presença de 70% de regentes das classes a que se
destinam. Eles garantem à turma o vínculo imediato com a prática.
Outrossim, se não há pesquisa criando teoria, embebendo a atividade de
formação de professores, esta é completamente inoperante. O slogan "só
ensina quem aprende", formulado durante os quatro anos em que exerci
o mandato de secretária de educação de Porto Alegre, tem validade
profunda. Sem esta dinâmica inter-relação entre teoria e prática, a
formação ou a atualização de professores não resulta em melhoria da
aprendizagem do alunado nas escolas, que é a sua finalidade. Esta
dolorosa constatação vem sendo confirmada no próprio GEEMPA a cada
vez que nos afastamos deste princípio.
É fruto desta descoberta o Projeto "Vanguardas Pedagógicas" que vimos
desenvolvendo desde 1991. Ele se realiza durante todo o ano letivo.
reunindo de duas em duas semanas centenas de professores regentes de
classes. Estes são subdivididos em pequenos grupos com um coordenador
que se denomina supervanguarda. Teoria e prática são aí confrontadas
no calor das demandas emanadas das próprias salas de aula. no seu dia-
a-dia. Este Projeto é feito em parceria com a ULBRA e a PUC e recebe
apoio financeiro do MEC. Eleja está em sua quarta etapa e a cada ano
amplia sua faixa de atuação. Em 1994, temos 400 professores nele
engajados, divididos em equipes de formação de docentes, desde a
educação infantil (de 0 a 6 anos e 9 meses) até a 4ª série. E os seus
resultados são animadores. A aprovação tem girado em torno dos 90%,
devendo ser salientado que este projeto reúne sobretudo professores de
escolas públicas estaduais e municipais, inclusive de várias cidades
próximas a Porto Alegre. Nas escolas públicas, como é sabido, estão os
filhos de operários de mais baixa renda, quando não os desempregados e
marginalizados de nossa sociedade. Costumam sair destas escolas os
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
brasileiros que engrossam a cada ano o contingente de analfabetos de
nossa pátria. Projetos como este, das Vanguardas Pedagógicas, apontam
para uma saída do impasse em que está embretado o país na área da
educação escolar. As Vanguardas Pedagógicas, bem como todas as
atividades do GEEMPA. incluem visceralmente a concepção de campo
conceituai que permeia em todas as dimensões os novos paradigmas pós-
piagetianos. Damo-nos conta hoje que aprender é um fenômeno que
engloba muito mais do que a dimensão cognitiva dos conceitos. Estes
estão embutidos no espaço, no tempo e nas representações simbólicas de
sujeitos reais e concretos que aprendem, os quais não podem viver
isolados, porque são "geneticamente sociais". Isto quer dizer também
que aprender está embebido em desejo, ou melhor, que sem desejo não se
aprende. E é por isso que formar professores nâo acontece por convocação
obrigatória. A opção desejante do professor é absolutamente essencial.
E, neste sentido, as Vanguardas Pedagógicas concretizam esta faceta.
uma vez que acolhem professores que nelas se engajam por decisão e
iniciativa próprias. Entretanto, esta marca constituinte do ser humano
de ser "geneticamente social" implica também os limites da guerrilha
educacional, ou seja, da iniciativa de pequenos grupos constituídos sem
o aval das coordenações mais amplamente responsáveis nas redes de
ensino. Uma vontade política, legitimamente ocupando um espaço de
coordenação, sobretudo nas instâncias governamentais, é um elemento
decisivo para o avanço das possibilidades de ensinar de verdade nas
escolas de nosso país. Permanece, entretanto, a necessidade de preservação
da democracia na adesão voluntária a propostas que estas coordenações
apresentam. Pois imprescindível se faz distinguir "propor" de "impor",
na área do ensino-aprendizagem.
Por último, a inserção do tempo e do espaço no ensino significa o respeito
e a aproximação com o jeito como cada grupo humano envolve os
conceitos que lhe são importantes. Este envolvimento singular é a fonte
da sociopsicogênese de cada campo conceituai. Isto é. os níveis
sociopsicogenéticos da apreensão dos conhecimentos nada mais são do
que a configuração que assumem os saberes em cada grupo humano.
Este são a forma como. seqüencial e existencialmente. uma comunidade
se aproxima de um conjunto de conceitos que lhe são significativos. O
trânsito entre saberes e conhecimentos c que constitui função específica
da escola, incluindo as universidades e este trânsito pode chamar-se
Didática. E proposta didática é então o conjunto de atividades que
oportunizam este trânsito e que, portanto, geram as aprendizagens.
Mais do que fatos ou feitos, as idéias que inundam os grupos de estudo
do GEEMPA podem descrevê-lo c caracterizá-lo. Por outro lado, expondo-
as, esperamos que elas sejam provocadoras de ainda mais contatos
fecundos com toda a comunidade científica de nosso país.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
GEPEM — GRUPO DE ESTUDOS E PESQUISAS EM EDUCA-
ÇÃO MATEMÁTICA
Maria Laura Mousinho Leite Lopes*
Como situar o GEPEM, criado a 24 de fevereiro de 1976, no Rio de
Janeiro, dentro do contexto nacional e internacional da Educação
Matemática?
Qual tem sido a atuação do GEPEM durante os seus 18 anos de existência?
Ao procurar respostas para essas perguntas, uma breve história deste
grupo ficará traçada.
A preocupação dos políticos em encontrar meios de instrumentar a
sociedade, após a Segunda Guerra Mundial, para o acelerado
desenvolvimento tecnológico, cujo suporte é o conhecimento científico.
determinou uma reformulação do ensino de Ciências em todos os níveis.
Com esse objetivo, matemáticos e políticos reunidos na Convenção da
OECE (Organização Européia de Cooperação Econômica) de 1959.
encontraram a solução: a reforma do ensino da Matemática da qual
decorreria a do ensino científico, como desejavam os políticos. Tal reforma
que passou a ser conhecida como da Matemática moderna, seria realizada
mediante a reformulação dos currículos, com base nos conteúdos e apoiada
nas idéias estruturalistas do grupo Bourbaki, de tão grande prestígio.
A Matemática devia ser viva, tanto no seu conteúdo como no seu ensino;
ênfase especial foi colocada sobre a atividade do aluno para chegar à
abstração dos conceitos matemáticos. Inovadores como Dienes, Nicole
Picard e Papy desenvolveram uma pedagogia da ação e da descoberta.
As bases dessas ações estavam nos trabalhos de J. Piaget sobre as
estruturas da inteligência.
* Do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática — GEPEM.
O novo enfoque, que devia ser dado aos métodos do ensino da Matemática,
colocou em evidência não apenas os conhecimentos da Psicologia (do
desenvolvimento e da aprendizagem), mas também das outras disciplinas
da área da Educação e, principalmente, da propria Matemática.
Tornaram-se necessários o estudo e a pesquisa para procurar resolver os
graves problemas do ensino da Matemática neste complexo contexto,
consolidando o ramo de conhecimento: a Educação Matemática.
Professores universitários nos Estados Unidos mostraram-se
sensibilizados pela reformulação do ensino da Matemática como prova a
criação, de 1951, do University of Illinois Commitee School Mathemat-
ics (UICSM) e. posteriormente, do projeto School Mathematics Study
Group (SMSG) da Universidade de Chicago, por volta dos anos 60. Em
1969, o governo francês fundou junto às principais universidades do
país os Instituts de Recherches sur Tenseignement des Mathématiques
(DIEM).
No Brasil, alguns grupos se associaram ao movimento: entre eles mais
se destacaram o GEEM, de São Paulo, que empreendeu a reciclagem dos
professores pela abordagem do conteúdo e o GEEMPA. de Porto Alegre.
enfatizando a metodologia. No Rio de Janeiro, alguns professores idea-
listas, sob a liderança do professor Arago Backx, fundaram, em 1970, o
Grupo de Estudos de Matemática do Estado da Guanabara (GEMEG).
Por falta de recursos financeiros, o GEMEG não conseguiu desenvolver
o programa a que se propunha. A partir da experiência do GEMEG,
após várias reuniões preliminares em que se ajustaram os propósitos e se
fixar. nas bases para uma ação futura, 32 professores assinaram a Ata
da Assembléia Geral de Criação do GEPEM, realizada na Escola Israelita
Brasileira Eliezer Steinberg, no dia 24 de fevereiro de 1976.
É preciso salientar, no momento da criação do GEPEM, o apoio decisivo,
ao nosso tempo, discreto e desinteressado que nos dava o professor José
Carlos de Mello e Souza, um dos batalhadores, desde a década de 40,
pela melhoria do ensino no Brasil. A liderança de Mello e Souza foi
marcante na organização da CADES, órgão do MEC, que se destinava à
preparação de professores secundários de todas as disciplinas por meio
de cursos de férias em vários estados do país.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A primeira atividade do GEPEM foi a de organizar um Seminário
Nacional para os dias 12, 13 e 14 de abril de 1976, em preparação ao
Congresso Internacional de Educação Matemática a realizar-se em
Karlsruhe (Alemanha) no mês de agosto.
O Seminário contou com a ajuda financeira do PREMEN e da Academia
Brasileira de Ciências que também proporcionou todo o apoio logístico.
Estiveram presentes 200 professores de 20 unidades da Federação dos
quais 40 como observadores.
Em dezembro do mesmo ano de 1976, apareceu o Boletim nº1 do GEPEM
e, até o presente já foram publicados 30 números, distribuídos aos seus
850 sócios. Nos últimos anos, tem contado com o apoio financeiro do
Subprograma Educação para a Ciência (SPEC/PADCT/CAPES).
Nos seus três primeiros anos, a maior atividade do GEPEM foram cursos
de treinamento para públicos diversos (professores da pré-escola, do
primeiro e do segundo graus, pessoal da Petrobrás). Por outro lado, não
se perdia a oportunidade para convidar especialistas brasileiros ou
estrangeiros de passagem pelo Rio de Janeiro, a falar no GEPEM. Com
esta prática tivemos ótimas conferências de Luiz Alberto Brasil, Esther
Grossi, Claude Gaulin, Charles Roumier, Georges Glaeser, Peter Hilton,
Jean Dieudonné para citar apenas alguns.
Firmou-se também a tradição, que permanece, de manter uma palestra
mensal para os sócios e aberta ao público interessado.
Em 1978, surgiu a oportunidade de submeter ao INEP/MEC um projeto
de pesquisa, intitulado "Binômio Professor-Aluno na Iniciação à Educação
Matemática" que mereceu a aprovação e foi desenvolvido com apoio
técnico-financeiro daquele órgão do MEC durante os anos de 79 e 80.
O relato desta pesquisa foi publicado no Boletim nº 11 do GEPEM e foi
tal o interesse despertado e a importância para o Grupo de Educação
Matemática que começava a se formar no Instituto de Matemática da
UFRJ que a Fundação Universitária José Bonifácio, graças à compreensão
do saudoso professor Frota Moreira, então seu secretário-geral, patrocinou
uma segunda tiragem do relato.
Em comemoração aos 10 anos do GEPEM. sob a presidência da profes-
sora Moema Sá Carvalho, foi realizado Seminário que contou com a
participação de mais de 200 professores de lº a 3º grau do Rio e de
outros 12 Estados. Contribuíram com apoio logístico e/ou financeiro a
Universidade Santa Úrsula (USU), CNPq e FINEP.
Para desenvolver qualquer atividade, sobretudo, a educacional, a formação
de recursos humanos é fundamental. Com esta preocupação, o GEPEM
tem sempre procurado tornar os educadores matemáticos capacitados a
questionar e procurar respostas para esses questionamentos mediante a
pesquisa que, em sentido amplo, dizem respeito ao:
— conhecimento e à avaliação do que se passa em sala de aula para
poder planejar o conteúdo específico e o método;
—entendimento do processo da compreensão do aluno para poder orientar
o ato de ensinar esse conteúdo.
Os resultados das pesquisas e as respostas às muitas perguntas devem ter
como finalidade levar ao professor de Matemática subsídios para melhorar
o desempenho do seu dia-a-dia na sala de aula. Esta foi a força que
moveu a diretoria do GEPEM, em 1981, a implantar pioneiramente no
Brasil, um curso de pós-graduação lato sensu em Educação Matemática
em Convênio com a USU. Foram estes mesmos motivos que levaram a
madre Maria de Fátima Ramos a assumir o desafio de criar na
Universidade Santa Úrsula, com a assistência técnica do GEPEM. o curso
de mestrado em Educação Matemática, sob a coordenação da professora
Esteia Kaufman Fainguelernt, atual presidente do GEPEM.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
Sempre com a preocupação de desenvolver atividades que visem à
melhoria do ensino-aprendizagem da Matemmática, o GEPEM, ainda
em convênio com a USU, está instalando um Laboratório de Matemática
para atendimento a alunos e professores de lº, 2º e 3º graus.
No presente ano, o GEPEM e a Universidade Santa Úrsula estão
organizando a 5ª Semana da Matemática de 27 de junho a 2 de julho
para professores, pesquisadores e profissionais interessados em Educação
Matemática ou em Matemática. Pela segunda vez, o professor Abraham
Arcavi, PhD do Instituto Weizmann de Israel, participará da Semana da
Matemática, proferindo uma palavra. Os professores Arcavi e Rina
Hershkovvitz, também do Instituto Weizmann, têm colaborado com
professores visitantes do curso de mestrado, assim como o professor
norueguês Otto B. Bekken, cujo livro sobre a História da Álgebra, tema
do curso que ministrou, está sendo impresso para ser lançado na 5ª
Semana de Matemática.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
BALACHEFF, N., VIVET, M. (Eds.). Didática e inteligência artificial.
Grenoble: La Pensée Sauvage, [199-]. 302p.
Esta obra é a edição para difiisão em livrarias do número duplo (1 e 2) do
volume 14 da revista Recherches en Didactique deshíathéniatiques sobre
o tema dos ambientes informáticos de aprendizagem da Matemática.
A pesquisa em Didática da Matemática e a dos Ambientes Interativos de
Aprendizagem com Computador (EIAO) têm aproximadamente a mesma
idade. Com efeito, é no início dos anos 70 que G. Brousseau publica seu
texto fundador da teoria das situações didáticas (Brousseau. 1972), e é
nessa mesma época que J.R. Carbonell (1970) publica um artigo
geralmente reconhecido como precursor das problemáticas comuns à
Inteligência Artificial (IA) e à educação
1
. O encontro dessas duas linhas
de pesquisa ocorre na França em meados dos anos 80. período de intenso
desenvolvimento das pesquisas comuns à IA e à educação
2
no plano
internacional.
O EIAO revela-se, deste modo. lugar de convergência para a IA e a
Didática sobre as questões ligadas à modelização dos conhecimentos e
dos processos didáticos, reconsiderados como processos responsáveis peia
organização das interações entre sistemas de cognição naturais e
artificiais. Realizaram-se estreitas colaborações entre informáticos e
pedagogos em torno de ações concretas de pesquisa como: APLUSIX em
Orsay, Cabri-geómctre em Grenoble, DEFI e MENTONIEZH em Rennes,
ELISE e STUDIA em Mans. Um importante evento resultante dessa
aproximação é a criação, em fevereiro de 1991, de um grupo nacional
comum EIAO que reúne pesquisadores em Didática e pesquisadores em
1
Para alguma indicações históricas, cf. Dillenbourg.
Realização cm 1985, em Exeter. do Primeiro Congresso Internacional Bianual Artificial Intelligence and Education;
criação, em 1988, do jornal Artificial Intelligence in Education, etc. (N.Trad.).
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
RESENHAS
IA. A característica essencial desse grupo é desenvolver uma colaboração
que possibilita a evolução de uma relação de serviço para uma relação de
cooperação orientada para a produção comum de conhecimentos
necessários ao progresso do EIAO. Os artigos reunidos nesta obra.
apresentando o estado mais avançado das questões comuns aos
pesquisadores em Didática e em Inteligência Artificial, atestam-no
Para o didata, afirmar que os dispositivos informáticos "funcionam" não
basta para assegurar que eles representam a realização de um processo
didático pertinente. Será necessário ainda poder descrever a especificidade
desses dispositivos em função do conhecimento a ensinar c do
conhecimento de referencia, descrever a natureza das interações que
possibilitam, para quais aprendizados, e, finalmente, definir as condições
de sua inserção em um processo didático. Essas questões, oriundas
fundamentalmente de uma problemática epistemológica, são também
dirigidas ao pesquisador em Inteligência Artificial. na medida em que
ele é rapidamente conduzido a uma interrogação sobre o que ocorre com
o conhecimento no processo de modelização e de representação
empreendido.
As exigências de modelização formal da IA solicitam um desenvolvimento
e uma maior precisão dos conceitos de Didática e, talvez, um novo exame
de seus significados.
Em particular, a realização de um processo didático pela máquina leva-
nos a formular, de diferentes maneiras, a questão da modelização
calculável da devolução, da institucionalização e até mesmo do contrato.
Se, como muitos sugerem, ocorrer que somente uma parte desses processos
seja modelizável a ponto de poder ser calculada, qual será a conseqüência
para a Didática? Outras questões pertencem ao campo comum da EIAO:
as cooperações entre ambientes de aprendizagem informatizados e
professores, as condições dessas cooperações, a natureza do controle
possível por parte do professor, passagem de informação, gestão da
memória da classe como problema da continuidade dos processos
didáticos, mas também como problema explícito das decisões de
informações a serem conservadas pelo sistema. Essa riqueza da interação
entre IA e Didática ultrapassa as questões compartilhadas no campo da
EIAO, suas conseqüências atingem o que há de essencial nas disciplinas
envolvidas. Isso faz desse domínio fundamentalmente interdisciplinar
uni lugar de emergência exemplar das ciências cognitivas.
O capítulo introdutório de N. Balachcff empenha-se cm mostrar como
esta perspectiva renova as questões de Didática e suscita indagações
originais.
A questão da dependência ou da independência dos processos de
aprendizagem em relação ao domínio de referência é objeto de debates
difíceis. O ponto de vista da informática, preocupada com a transferibi-
lidade. é em geral de garantira independência do modelo cm relação ao
domínio. A contribuição de M. Rogalski, como conclusão de uma longa
cooperação com E. Delozanne quando da realização do sistema ELISE.
evidencia pontos fundamentais da análise das contingências ligadas ao
conteúdo e adianta algumas teses sobre o assunto.
Intercâmbios complexos c duráveis entre pesquisadores em Didática e
em IA foram suscitados pelas questões ligadas à representação dos
conhecimentos. Com o intuito de posicionar a comunicação entre
pesquisadores sobre os objetos do ensino. J.F Nicaud. em seu artigo.
sugere um contexto geral que retoma a hipótese do nível conhecimento
de Newell, nivel que teria todo o rigor do computável. mas que
permaneceria acessível ao controle e à elaboração pelo agente humano.
O conhecimento implícito em um EIAO deve ser apresentado
exaustivamente, incluindo o metaconhecimento compreendido como o
conhecimento que possibilita o controle do raciocínio.
Considerar o aluno é indispensável à condução de uma interação que
torne possível o aprendizado. Dessa forma, a modelização do aluno é um
assunto-chave em EIAO. D. Py aborda-a no tema da Geometria e mostra
como no projeto MENTONIEZH ela identifica o plano seguido pelo aluno
para elaborar uma demonstração.
S. Ag. Almouloud. hoje professor associado na PUC de São Paulo, e I.
Giorgiutti abordam essas questões no contexto de DEFI. um programa
de auxílio à exploração da figura em Geometria e à construção de uma
demonstração. Eles mostram o interesse da construção de ferramentas
para analisar a produção dos alunos e. por exemplo, para determinar
uma tipologia dos comportamentos.
C. Laborde e B. Capponi apresentam o estudo de um meio (didático
organizado em torno de um EIAO. Cabri-Géomctrc. visando ao
aprendizado da noção de figura geométrica por alunos do colégio
3
. Eles
procuram, em particular, determinar as "contingências" teóricas sobre
as situações construídas em Cabri-Géomctre para que elas requeiram o
auxílio dos conhecimentos geométricos e quais processos conduzem a
esse auxílio. Trabalhos experimentais levam-nos a identificar a
importância das interações entre os aspectos visuais e os aspectos
geométricos no contexto da manipulação direta dos objetos de Geometria
acessível pelo dispositivo informático.
E. Delozanne. de sua parte, apresenta o exemplo de um processo de
colaboração entre um pesquisador cm IA e um pesquisador cm Didática.
Ela explicita a gênese do sistema ELISE — sobre a pesquisa de primitivas
de uma função de uma variável real — desde as idéias originais ligadas
à criação, cm torno de um solucionador de problemas CAMELIA, de um
sistema capaz de explicar a Matemática até as revisões de problemática
resultante da colaboração com M. Rogalski.
A análise c mesmo o controle dos aspectos temporais ligados à dinâmica
de uma situação de aprendizagem levantam numerosos problemas. A
possibilidade de confronto de certas abordagens utilizadas em IA para
tratamento formal do raciocínio temporal, com os trabalhos de didática
relativos à análise detalhada dos efeitos do transcurso do tempo em uma
sessão de aprendizagem, é uma questão recente e amplamente aberta. O
capítulo de R. Gras e S. Ag. Almouloud mostra o tipo de trabalho que
pode ser feito nesse sentido.
1
Correspondente ao nosso antigo ginásio (N.Trad.).
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
A concepção dos EIAO, nas abordagens iniciais, partia naturalmente de
uma análise dos conhecimentos em um domínio, completada pela análise
dos conhecimentos do aluno e uma abordagem de tipo pedagógico
amplamente baseada em uma lógica de transmissão de conhecimentos.
Nas pesquisas atuais, a concepção parte de uma análise do que serão as
situações didáticas criadas incluindo o dispositivo informático. Trata-se
então de considerar as intervenções do professor e dos alunos e de se
colocar de forma mais definida em uma lógica de recriação ou
reconstrução dos conhecimentos. O interesse e as conseqüências dessa
modificação metodológica são examinados no capítulo redigido por E.
Bruillard e M. Vivet.
Da modelização dos conhecimentos objetos de ensino e dos conhecimentos
do aluno às condições de pertinência de um EIAO no sistema didático,
as questões abordadas neste livro formam um conjunto complexo e vasto.
A perspectiva oferecida é sem dúvida parcial em vista do dinamismo das
pesquisas na área, mas mostra com clareza a fecundidade de uma
cooperação entre pesquisadores em Didática c pesquisadores em IA.
Referências bibliográficas
BROUSSEAU, G. La mathématique à I 'école elementaire. Paris: APMEP,
1972. p.428-442:Processus de malhématisation.
CARBONELL, J.R. Al in CAI: an artificial Intelligence approach to
computer-assisted instruction. IEEE Transaction on Man-Machine
Systems, v.ll, n.4, p. 190-202. 1970.
DILLENBOURG, P. Evolution épistémologique en EIAO. Ingénierie
Educative. no prelo.
Nicolas Balachcff
Dida Tech, Grenoble
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
MEIRA, Luciano, SHLIEMANN, Analúcia, CARRAHER, David,
SPINILLO, Auna. FALCÃO, Jorge da Rocha. Estudos em Psi-cologia
da Educação Matemática.
A história das relações entre as ciências da cognição e a prática
instrucional na escola têm sido, no mínimo, problemáticas. De fato. não
existe uma conexão trivial entre teorias da aprendizagem, ou do
desenvolvimento cognitivo, e modelos instrucionais para o ensino de
disciplinas específicas. A respeito destas complexas relações, atribui-se
ao renomado psicólogo Ulric Nasser uma crítica à Psicologia, segundo a
qual "se x é um problema socialmente relevante, x foi raramente abordado
pela Psicologia". Assim é que outro importante representante das ciências
cognitivas na atualidade, Andrea di Sessa. defende com muita propriedade
que, se uma teoria cognitiva é articulada e robusta, sua "aplicação" direta
na prática educacional é não trivial, senão impraticável.
Exageros à parte, as teses mais avançadas em diversas linhas da Psicologia
(experimental, do desenvolvimento e cognitiva) eram vistas há até bem
pouco tempo como um campo periférico aos interesses mais amplos da
educação. A influência da Psicologia na educação ficava por conta quase
exclusiva da área de influência behaviorista, através de estudos de
aprendizagem que investigavam comportamentos de relevância duvidosa
para a aprendizagem humana, em situações fora do laboratório. Análises
de conceitos complexos como aqueles encontrados diariamente nas aulas
de Matemática, por exemplo, não eram comuns na literatura psicológica.
ou divergiam bastante das análises realizadas por matemáticos. Em outros
casos, os conceitos eram tratados como medidas de testes de inteligência,
ou mesmo como respostas mecânicas a serem adquiridas pelo aluno em
conformidade com uma história de reforço.
Por outro lado, o psicólogo que mantinha contato direto com o professor
— o psicólogo escolar — preocupava-se com questões relativas a
dificuldades emocionais, afetivas e de inteligência ou aptidão. Este
profissional exercia na escola um papel semelhante àquele do psicólogo
clínico: diagnosticava os alunos com suspeita de serem "portadores" de
problemas, identificava sua suposta origem e aconselhava o professor, a
família e a Direção da escola sobre as providências necessárias.
Freqüentemente, concluía-se que residia no próprio aluno a causa de
seus problemas, ou que o problema era localizado na família, nas
condições de vida do aluno, na sociedade. Raramente, o papel da escola
na emergência destes problemas era questionado. Ao longo dos últimos
anos. tornou-se evidente que este procedimento não passa de uma forma
de deslocar o foco de discussão de questões fundamentais relativas a
formas de ensinar e de aprender, para questões onde a escola não poderia
ser responsabilizada. É importante notar que o aluno '"normal", bem
como a "aprendizagem normal", não eram assuntos para o psicólogo.
Claro, a Psicologia evoluiu enormemente nos últimos anos. Com a
divulgação dos trabalhos de Jean Piaget c Lev Vygotsky. entre outros, a
relação entre a Psicologia e a educação iniciou um período de redefinição.
As pesquisas piagetianas e vygotskianas deram apoio a uma idéia
relativamente simples e muito importante, cujas repercussões continuam
a expandir-se: o desenvolvimento e a aprendizagem são profundamente
relevantes para o ensino. É verdade que esta noção havia sido antecipada
nas concepções filosóficas de Rousseau e Dewey. Mas Piaget, por exemplo.
conduziu, pela primeira vez, estudos empíricos minuciosos e elaborou
complexas análises teóricas sobre uma variedade enorme de conceitos
matemáticos e científicos, tais como número, espaço, tempo, causalidade,
probabilidade, força, velocidade, aceleração, reação química, razão e
proporção, relação, função, etc. Embora estas análises nâo indicassem
diretamente o que deveria ser feito em sala de aula, elas foram importantes
para que começássemos a compreender como a criança pensa e quais as
dificuldades que enfrenta na aprendizagem de conceitos. Com Vygotsky.
hoje em evidência mundial, passamos também a reconhecer a necessidade
de empreender estudos mais diretamente relacionados aos contextos
socioculturais da escola e da atividade profissional e à aprendizagem de
conteúdos específicos, que poderiam ser trabalhados na escola. Os
conceitos de Zona de Desenvolvimento Proximal (que coloca de forma
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
intrínseca as relações entre aprendizagem e desenvolvimento) e Ação
Mediada (o uso de ferramentas cognitivas e culturais na atividade
humana) são uma contribuição inestimável a tal empreendimento.
No que diz respeito à Educação Matemática, a contribuição da Psicologia
traduz-se de forma bem particular. Há quarenta anos. se pedíssemos a
educadores matemáticos para identificar os campos de conhecimento
que compõem a Educação Matemática, a maioria certamente mencionaria
a Educação e a Matemática, mas poucos citariam a Psicologia. Só cm
1976. durante o III Congresso Internacional de Educação Matemática
(ICME3) na Alemanha, criou-se um grupo internacional de estudos sobre
a Psicologia da Educação Matemática (PME) com a finalidade de
promover o intercâmbio científico e pesquisas interdisciplinares, na
tentativa de aprofundar a compreensão dos aspectos psicológicos do ensino
e da aprendizagem da Matemática. É significativo que o PME não definiu
este novo campo como pertencendo exclusivamente à Educação, à
Matemática ou à Psicologia, mas como uma área de interseção entre
estas disciplinas.
Embora a pesquisa em Psicologia da Educação Matemática exista no
Brasil há vários anos, sua designação não tem sido amplamente
reconhecida. O livro Estudos em Psicologia da Educação Matemática
representa uma tentativa de promover no Brasil o reconhecimento
explícito desta área eminentemente interdisciplinar e de inegável
importância teórica e prática.
Estudos em Psicologia da Educação Matemática traduz a preocupação
de vários pesquisadores na área da Psicologia Cognitiva no aprofunda-
mento de reflexões sobre como a criança desenvolve a compreensão de
conceitos matemáticos dentro e fora da escola, quais as dificuldades que
enfrenta e qual a melhor forma de proporcionar oportunidades para a
aquisição e desenvolvimento desse conhecimento. O livro reúne quatro
artigos, baseados em estudos realizados por pesquisadores do mestrado
em Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE),
sobre a compreensão de conceitos matemáticos. Tratando de diferentes
temas de importância central na Educação Matemática, os artigos têm
em comum a concepção de que o conhecimento matemático é o resultado
de construções que os indivíduos realizam em contextos específicos. Nesse
sentido, os artigos compartilham também o ponto de vista de que a
elaboração de situações adequadas em sala de aula requer do professor.
tanto o conhecimento sobre os conteúdos da Matemática, quanto o
conhecimento sobre como a criança desenvolve sua compreensão de
conceitos matemáticos, quais as dificuldades que enfrenta e quais as
características das concepções que desenvolve. Os diversos capítulos
analisam diferentes tipos de conteúdos matemáticos e os tipos de
atividades que podem proporcionar o progresso de estratégias intuitivas
(de alcance limitado, mas bem compreendidas pelo aluno), para
estratégias de aplicação mais eficiente e geral que mantenham a
compreensão sobre as relações envolvidas nos problemas.
No capítulo 1. Analúcia Schliemann e David Carraher mostram como a
compreensão de razões e proporções pode ocorrer independentemente
do ensino escolar, mas que é através da instrução que estratégias mais
eficientes e gerais podem ser aprendidas. Para isso, os autores discutem
as características da compreensão sobre proporcionalidade que a criança
ou o adulto desenvolve fora da escola, quais os seus pontos fortes e quais
os seus limites. Crianças que trabalham no comércio de doces fora da
escola usam uma estratégia escalar de adições sucessivas, implementando
transformações paralelas nas variáveis que compõem a razão. Os autores
observam, entretanto, que estas crianças não descobrem espontaneamente
que as relações entre preço e número de objetos comprados, por exemplo.
são de mesma natureza que as relações entre outros tipos de variáveis. A
construção desta relação exige a experiência com novas variáveis para
que as semelhanças matemáticas possam emergir. Este é um problema
educacional interessante, pois se nos restringirmos às situações já
dominadas pelo aluno, este acerta os problemas, mas deixa de ampliar
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
este respeito, o autor critica o uso tradicional de tabelas apenas como um
'arquivo" de coordenadas a serem grafadas no plano cartesiano; 3) o
estudo das representações algébricas de funções deve envolver a constante
busca de significados para símbolos representados no papel. Finalmente,
o autor considera que estes são objetivos complexos, mas que podem ser
gradualmente atingidos na medida em que o ensino engaje os alunos cm
atividades de discussão que enfoquem as relações entre símbolos
algébricos e quantidades representadas em gráficos, tabelas de valores e
sistemas físicos.
Finalmente, no capitulo 4, Jorge da Rocha Falcão apresenta uma análise
das dificuldades que os alunos enfrentam ao adotar a representação
algébrica para a resolução de problemas. Para Falcão, a Álgebra refere-
se a um conjunto de conceitos e procedimentos (algoritmos) matemáticos
que permitem a representação prévia e a resolução de uni determinado
tipo de problema, para o qual os procedimentos aritméticos mostram-se
insuficientes. Nesse sentido, a Álgebra, assim como vários outros
conteúdos da Matemática, caracteriza-se por uma dupla natureza
epistemológica: ela é um objeto de estudo (enquanto objeto matemático),
mas é igualmente uma ferramenta de trabalho a serviço de outros
domínios. Além de observar sua natureza epistemológica. Falcão propõe
que o ensino introdutório da Álgebra deve considerar a dialética ruptura
versus continuidade da Álgebra em relação à Aritmética. Diferentemente
da Aritmética, a Álgebra requer mudanças na abordagem de problemas.
ao incluir uma formalização prévia ao cálculo propriamente dito. Ao
mesmo tempo, o ensino da Álgebra requer consideração dos elementos
de continuidade, visto que muitos dos problemas enfrentados em didática
da Álgebra se originam na Aritmética. As seguintes recomendações são
propostas por êste autor: 1) não restringir o ensino introdutório da Álgebra
ao uso de algoritmos a partir de equações prontas; 2) solicitar
freqüentemente dos alunos o esforço prévio de escrever equações a partir
de situações, prevendo atividades de apoio didático nesse sentido (através
do uso de planilhas eletrônicas, por exemplo); 3) explorar atividades
interdisciplinares envolvendo a observação de fenômenos físicos,
construção de tabelas c gráficos e tentativa de construção de modelos
algébricos.
Como conclusão desta revisão sumária dos estudos publicados cm Estudos
em Psicologia da Educação Matemática, os autores ressaltam que o
professor tem um papel fundamental na criação de tarefas e de um
contexto de atividades que possam guiar a participação do aluno c o
processo de construção de conhecimentos na sala de aula. Para isto, c
necessário que o professor pesquise possibilidades pedagógicas c esteja a
par de resultados de pesquisas realizadas, nas áreas de Psicologia
Cognitiva e Educação Matemática. Este livro representa para o profes-
sor, sobretudo, uma fonte de material que poderá inspirar o planejamento
de atividades que proporcionarão ao aluno a oportunidade de descobrir
relações, resolver problemas e aprender novos formas de representar mais
eficientemente suas concepções, no sentido de compreender-lhe o
significado.
Os autores
(Universidade Federal de Pernambuco)
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
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Théses: Laborde. Douady, Balacheff, Audibert
Actes: III et IVº École d'été; Colloque de Sévres 1987: Colloque franco-
allemand.
Em Aberto, Brasília, ano 14, n. 62, abr./jun. 1994
EM ABERTO, para frente
1994 — Até 31/dez., publicaremos mais dois números, atualizando, assim, sua periodicidade em 100% ( arte-final em laser-
filme):
nº 63: Educação Escolar Indígena, com 215 páginas.
nº 64: A Educação no Mundo Pós-Guerra Fria, com 135 paginas.
1995 — Já foi definido um número sobre Educação, Trabalho e Desenvolvimento, a ser organizado por Elenice M. Leite
(SENAI/SP).
BIBLIOGRAFIA BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO, mais um passo
1994 — Até 31/dez. publicaremos o ano de 1989, com 550 páginas (arte-final em laser-filme).
1995 — Até 15/mar., publicaremos o ano de 1990, com cerca de 600 páginas.
REVISTA BRASILEIRA DE ESTUDOS PEDAGÓGICOS, continua inovando
1994 — Até 31/dez. publicaremos os nº 176 e 177, com nova imagem e qualidade (arte-final em laser-filme):
— novo desenho de capa, mais leve e agradável, focalizando a revista (em vez da institutição);
— seção Questão em Debate, continuando sobre o tema de Paradigmas em Educação;
— seção Segunda Edição;
— seção Traduções;
— e mais as seções tradicionais: Estudos, Notas de Pesquisa, Resenhas Críticas e Comunicações e Informações.
1995 — Até 15/mar. publicaremos o n° 178, ainda continuando sobre o tema Paradigmas em Educação na seção Questão
em Debate.
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