( PDF ) A dualidade Maxwell-Cheron-Simons- Autodual e sua extensão para espaços não-comutativos.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

INSTITUTO DE F

ISICA

A Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual e

sua Extens˜ao para Espa¸cos N˜ao-Comutativos

Marcelo Santos Guimar˜aes

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Pro-

grama de P´os-gradua¸c˜ao em F´ısica, Instituto

de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de

Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos ne-

cess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em

Ciˆencias (F´ısica).

Orientador: Cl´ovis Jos´e Wotzasek

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2005

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A Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual e sua Extens˜ao

para Espa¸cos N˜ao-Comutativos

Marcelo Santos Guimar˜aes

Orientador: Cl´ovis Jos´e Wotzasek

Disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em F´ısica, Ins-

tituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos

requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (F´ısica).

Aprovada por:

Dr. Cl´ovis Jos´e Wotzasek

(Presidente e Orientador)

Dr. Patricio Alfredo Gaete Duran

Dr. Henrique Boschi Filho

Dr. Eduardo Marino

(Suplente interno)

Dr. Silvio Paolo Sorella

(Suplente externo)

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2005

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G963 Guimar˜aes, Marcelo Santos

A Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual e sua Extens˜ao para

Espa¸cos N˜ao-Comutativos / Marcelo Santos Guimar˜aes - Rio de Janeiro: UFRJ/IF,

2005.

vii, 70f.

Orientador: Cl´ovis Jos´e Wotzasek

Disserta¸c˜ao (mestrado) - UFRJ / Instituto de F´ısica / Programa de

P´os-gradua¸c˜ao em F´ısica, 2005.

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas: f. 65-70.

1. Dualidade. 2. Eletrodinˆamica Topologicamente Massiva. 3. Espa¸cos

N˜ao-Comutativos. 4. Mapa de Seiberg-Witten. I. Wotzasek, Cl´ovis Jos´e. II. Uni-

versidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de F´ısica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao

em F´ısica. III. A Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual e sua Extens˜ao para

Espa¸cos N˜ao-Comutativos.

Resumo

A Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual e sua Extens˜ao

para Espa¸cos N˜ao-Comutativos

Marcelo Santos Guimar˜aes

Orientador: Cl´ovis Jos´e Wotzasek

Resumo da disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em

F´ısica, Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como

parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (F´ısica).

Neste trabalho estudamos o conceito de dualidade e sua extens˜ao para espa¸cos n˜ao-

comutativos. A equivalˆencia entre o modelo de Maxwell-Chern-Simons (uma teoria de

calibre) e a teoria de campos vetoriais conhecida como o modelo autodual, que n˜ao pos-

sui simetria de calibre, ´e estabelecida primeiramente no espa¸co ordin´ario (comutativo)

onde, para o caso das teorias livres, estudamos diferentes m´etodos para veriﬁcar essa du-

alidade. Consideramos especialmente o acoplamento dos modelos a fontes fermiˆonicas

demonstrando que a dualidade ´e mantida. Nesse caso apresentamos alguns resultados

originais que esclarecem e generalizam an´alises anteriores.

Presseguimos com um breve estudo sobre teorias de campos em espa¸cos n˜ao-comu-

tativos, onde discutimos as principais caracter´ısticas dessas teorias. Apresentamos o

mapa de Seiberg-Witten e o aplicamos a teoria de Maxwell-Chern-Simons n˜ao-comu-

tativa. Conclu´ımos ent˜ao analisando a vers˜ao n˜ao-comutativa da dualidade Maxwell-

Chern-Simons/autodual, enfatizando a importˆancia do estabelecimento da equivalˆencia

entre os observ´aveis f´ısicos das teorias.

Palavras-chave: Dualidade, Eletrodinˆamica Topologicamente Massiva, Espa¸cos

N˜ao-Comutativos, Mapa de Seiberg-Witten.

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2005

iii

Abstract

The Maxwell-Chern-Simons/Self-Dual Duality and it’s

Extension to Noncommutative Spaces

Marcelo Santos Guimar˜aes

Orientador: Cl´ovis Jos´e Wotzasek

Abstract da disserta¸c˜ao de Mestrado submetida ao Programa de P´os-gradua¸c˜ao em

F´ısica, Instituto de F´ısica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como

parte dos requisitos necess´arios `a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias (F´ısica).

In this work we study the concept of duality and its extension for noncommutative

spaces. The equivalence between the Maxwell-Chern-Simons model (a gauge theory)

and the vector ﬁeld theory known as the self-dual model, which doesn’t possess gauge

symmetry, is established ﬁrst in the ordinary space (commutative) where, for the case

of the free theories, we study diﬀerent methods to verify this duality. We specially

consider the coupling of the models to the fermionic sources demonstrating that the

duality is maintained. In this case we present some original results that clarify and

generalize previous analyses.

We proceed with a brief study of ﬁeld theories in noncommutative spaces, where we

discuss the main characteristics of these theories. We present the Seiberg-Witten map

and apply it to the noncommutative Maxwell-Chern-Simons theory. We then conclude

analyzing the noncommutative version of the Maxwell-Chern-Simons/self-dual duality,

emphasizing the importance of the establishment of the equivalence between the physical

observables of the theories.

Key-words: Duality, Topologically Massive Electrodynamics, Noncommutative

Spaces, Seiberg-Witten Map.

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2005

Agradecimentos

Minhas sinceras gratid˜oes ao professor Cl´ovis Wotzasek, meu orientador nesta tese,

pela liberdade concedida, pelos incentivos, os ensinamentos e pela paciˆencia com minhas

constantes d´uvidas.

Agrade¸co ainda aos meus primeiros orientadores no instituto, professora Ana Maria

Senra Breitschaft e professor Valmar Carneiro Barbosa, por todo o apoio e incentivo n˜ao

somente durante minha gradua¸c˜ao mas sempre demonstrando interesse pelo progresso

de minha forma¸c˜ao e sempre dispon´ıveis.

Agrade¸co a todos os meus amigos do instituto, em especial ao Kazu, Alexandre,

Malena, Davi (que ´e o co-autor do artigo que motivou essa tese) e Jorge (que me

ajudou diretamente lendo e opinando sobre a tese e sempre me incentivando). Obrigado

a todos.

Tenho que agradecer ainda a todos os professores do instituto que contribu´ıram para

minha forma¸c˜ao. Em especial, professor Takeshi Kodama (certamente uma das pessoas

mais inteligentes e s´abias que j´a conheci). Professora Mˆonica Bahiana pela enorme

paciˆencia e disponibilidade para tirar nossas d´uvidas, n˜ao somente sobre f´ısica.

Cabe mencionar ainda os cursos que mais me marcaram. Destaco as aulas ines-

quec´ıveis do professor Marcus Ven´ıcius (onde eu aprendi ´algebra linear de verdade),

os cursos de mecˆanica quˆantica com o professor Takeshi Kodama que sempre est´a dis-

pon´ıvel para f alar de f´ısica, todos cursos que ﬁz com o professor An´ıbal Ramalho, os

cursos de eletromagnetismo com o professor Nelson Braga. Tamb´em os excelentes cur-

sos que ﬁz j´a na p´os-gradua¸c˜ao: o curso de mecˆanica quˆantica com o professor Eduardo

Marino, o curso de mecˆanica estat´ıstica com o professor S´ergio Queiroz, o curso de

teoria de campos com o professor Henrique Boschi.

Agrade¸co a CAPES pelo apoio ﬁnanceiro que recebi durante meu Mestrado.

Por ﬁm agrade¸co `a minha m˜ae, a quem dedico esta tese.

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Dualidade 5

2.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Preliminares Sobre Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 M´eto do da Me stra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Proje¸c˜ao Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Imers˜ao de Calibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Dualidade MCS/AD na presen¸ca de fontes . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Espa¸cos N˜ao-Comutativos 23

3.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 O Modelo de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Sistema de Muitas Part´ıculas (Teoria dos Campos) . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Segunda Quantiza¸c˜ao do Modelo de Landau . . . . . . . . . . . 28

3.4 A Quantiza¸c˜ao de Weyl e o produto Moyal . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 O Mapa de Seiberg-Witten e a Teoria Topologicamente Massiva N˜ao-

Comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 A Teoria Dual ao Modelo Topologicamente Massivo no Espa¸co N˜ao-

Comutativo 42

4.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Dualidade na Teoria de MCS N˜ao-Comutativa . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.1 Proje¸c˜ao Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2.2 M´eto do da Me stra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Conclus˜oes e Perspectivas 50

A Um Exemplo: D ualidade V´ortice/Part´ıcula 53

B O M´etodo de Fadeev-Jackiw 58

C Correspondˆencia das

Algebras das Teorias MCSNC e ADNC 60

C.1 Proje¸c˜ao Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

C.2 M´etodo da Mestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

vii

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜ao

A existˆencia de duas formas distintas de descrever um mesmo sistema f´ısico pode pa-

recer uma manifesta¸c˜ao de nossa ignorˆancia. Isso poderia signiﬁcar que, de alguma

forma, algum aspecto ou princ´ıpio nos escapa resultando em uma aparente ambigui-

dade na descri¸c˜ao do sistema. De fato j´a expe rimentamos sensa¸c˜ao semelhante ao nos

confrontarmos com a mecˆanica quˆantica. Einstein considerava-a uma teoria incompleta,

mas hoje vemos que a aparente ambiguidade onda/part´ıcula inerente a todo sistema

suﬁcientemente isolado (de forma que as propriedades quˆanticas sejam v´alidas), ´e mais

precisamente entendida como uma complementaridade. Descri¸c˜oes aparentemente di-

ferentes se complementam para nos dar uma vis˜ao completa do fenˆomeno.

Essa observa¸c˜ao capta a importˆancia e o c onsequente interesse nas chamadas teo-

rias duais. Para os nossos prop´ositos, dizemos que um sistema apresenta simetria de

dualidade quando existem duas formula¸c˜oes matem´aticas equivalentes para descrevˆe-lo.

Compreender as rela¸c˜oes entre as diferentes formas de descrever um sistema tem sido

de grande valia para a elucida¸c˜ao de diversos problemas f´ısicos. Podemos citar como

um dos exemplos mais famosos a determina¸c˜ao da temperatura cr´ıtica, que deﬁne a

transi¸c˜ao de fase no modelo de Ising. Nesse caso a dualidade se manifesta na forma

como calculamos a fun¸c˜ao de parti¸c˜ao e reﬂete uma liberdade no ordenamento dos

termos da soma sobre os s´ıtios da rede.

Ter duas descri¸c˜oes equivalentes de um mesmo fenˆomeno tem se mostrado muito

´util em diversas escalas de energia, desde aplica¸c˜oes em mat´eria condensada at´e o es-

clarecimento de muitos aspectos das teorias de supercordas.

E uma propriedade carac-

ter´ıstica dos sistemas duais a invers˜ao dos regimes de acoplamento via transforma¸c˜oes

de dualidade. Isso ´e uma consequˆencia de podermos interpretar a teoria dual como

a teoria na qual as excita¸c˜oes fundamentais (part´ıculas, numa interpreta¸c˜ao perturba-

tiva) s˜ao as excita¸c˜oes coletivas da teoria original (solu¸c˜oes topologicamente n˜ao triviais

das equa¸c˜oes de movimento da teoria original, comumente conhecidas como s´olitons).

Dessa forma, o estudo de teorias com acoplamento forte (QCD, por exemplo) pode ser

facilitado encontrando-se a teoria dual que teria acoplamento fraco onde as t´ecnicas

perturbativas poderiam ser empregadas. O problema ´e que encontrar a teoria dual

pode ser t˜ao ou mais dif´ıcil do que resolver o problema original.

Justamente por ser n˜ao trivial, o estudo de t´ecnicas para se obter teorias duais vˆem

recebendo grande aten¸c˜ao recentemente e a an´alise de sistemas mais simples pode nos

fornecer uma id´eia mais clara do que signiﬁca duas teorias serem duais. E mais ainda,

essas teorias podem ter um interesse f´ısico pr´oprio. Vejamos, por exemplo, o caso que

trataremos nesta tese: a eletrodinˆamica topologicamente massiva deﬁnida em (2 + 1)D,

tamb´em conhecida como o mo de lo de M axwell-Chern-Simons. Uma extensa revis˜ao

de suas propriedades pode ser encontrada em [8]. Ess a teoria tem simetria de calibre

(nesta tese trataremos apenas do caso abeliano) e descreve uma excita¸c˜ao massiva de

spin 1 que viola a simetria de paridade e tem helicidade deﬁnida. O modelo pode

ser usado em descri¸c˜oes efetivas de alguns fenˆomenos planares em mat´eria condensada

devido `as peculiaridades do termo de Chern-Simons. Em especial, esse termo aparece

naturalmente na descri¸c˜ao via teoria de campos do efeito Hall, o chamado ﬂuido Hall

[36].

O aspecto do modelo de Maxwell-Chern-Simons que mais nos interessa nesta tese ´e o

fato de existir uma descri¸c˜ao equivalente da teoria em termos de campos sem simetria de

calibre, a chamada teoria autodual. Essa caracter´ıstica ´e muito curiosa e desempenha

um papel decisivo na bosoniza¸c˜ao em (2 + 1)D [58] e facilita enormemente os c´alculos

do modelo de Maxwell-Chern-Simons na rede [12], por exemplo.

Entretanto, ape sar de intensamente estudada, a dualidade MCS/AD na presen¸ca

de fontes, sejam estas dinˆamicas ou n˜ao, s´o foi abordada bem recentemente. Um dos

aspectos dessa dualidade com fontes acopladas ao setor autodual da dualidade foi con-

siderado por [22] para caso de fontes fermiˆonicas e [23] para o caso bosˆonico. Um dos

objetivos desta tese ´e considerar o caso em que as fontes dinˆamicas de car´ater fermiˆonico

est˜ao acopladas ao setor Maxwell-Chern-Simons da dualidade.

O termo de Chern-Simons tamb´em nos revela um dos aspectos mais fascinantes

da dualidade, a conex˜ao entre ´areas aparentemente bem distintas da f´ısica. Susskind

[37] demonstrou que a teoria de Chern-Simons quando deﬁnida em um espa¸co n˜ao-

comutativo (um espa¸co cujas coordenadas guardam uma rela¸c˜ao de incerteza entre elas)

apresenta vantagens na descri¸c˜ao do ﬂuido Hall em rela¸c˜ao `a vers˜ao comutativa. Por

sua vez, teorias de calibre n˜ao-comutativas aparecem naturalmente em certos limites

de teorias de supercordas na presen¸ca de D-branas. Em especial pode-se mostrar [38]

que, considerando certos limites, a descri¸c˜ao de D0-branas se movendo em D2-branas

na presen¸ca de um campo RR (uma 2-forma) pode ser feita pela teoria de Chern-

Simons n˜ao-comutativa. Essa situa¸c˜ao ´e an´aloga `a f´ısica do ﬂuido Hall, o ﬂuido seria

representado pela D2-brana, as excita¸c˜oes pelas D0-branas e o campo magn´etico pelo

campo RR. De certa forma, essas teorias de D-branas cont´em a f´ısica do efeito Hall.

Por todas essas raz˜oes, ´e interessante investigarmos o an´alogo da dualidade Maxwell-

Chern-Simons/autodual no espa¸co n˜ao comutativo. O estudo das rela¸c˜oes de dualidade

nas extens˜oes n˜ao-comutativas dos modelos Maxwell-Chern-Simons e autodual ser´a o

principal objetivo da segunda parte desta tese.

No cap´ıtulo 2 discutiremos as diferentes t´ecnicas empregadas para estabelecer a

dualidade Maxwell-Chern-Simons/autodual no espa¸co ordin´ario (comutativo). Estuda-

remos nesse caso tanto as teorias livres quanto as teorias acopladas com fontes dinˆamicas

(consideraremos apenas o caso de fontes fermiˆonicas). No cap´ıtulo 3 estudaremos al-

gumas propriedades dos espa¸cos n˜ao-comutativos e apresentaremos o mapa de Seiberg-

Witten [48] (um mapa entre teorias deﬁnidas num espa¸co n˜ao-comutativo e teorias de-

ﬁnidas no espa¸co ordin´ario, por´em dependentes do parˆametro de n˜ao-comutatividade),

resultado que revigorou o interesse nas teorias n˜ao-comutativas. No cap´ıtulo 4, em-

pregando as t´ecnicas discutidas no cap´ıtulo 2, encontraremos a teoria dual `a teoria

de Maxwell-Chern-Simons obtida pela aplica¸c˜ao do mapa de Seiberg-Witten at´e pri-

meira ordem no parˆametro de n˜ao-comutatividade. Finalmente no cap´ıtulo 5, ser˜ao

apresentadas as conclus˜oes e perspectivas.

Cap´ıtulo 2

Dualidade

2.1 Introdu¸c˜ao

Este cap´ıtulo ´e dedicado ao estudo da equivalˆencia entre o modelo de Maxwell-Chern-

Simons e o modelo autodual. Essa equivalˆencia foi primeiramente demonstrada por

Deser e Jackiw em [21].

A dualidade Maxwell-Chern-Simons/autodual tem consequˆencias f´ısicas muito im-

portantes. O mapeamento de uma teoria descrevendo f´ermions em uma teoria descre-

vendo b´osons ´e comumente conhecido na literatura pelo nome de b osoniza¸c˜ao. Essa ´e

uma t´ecnica muito poderosa para o estudo de teorias quˆanticas de campos e sistemas em

mat´eria condensada. Em (1+1)D a t´ecnica de bosoniza¸c˜ao ´e bem conhecida e estudada

[9, 10, 11]. Em (2 +1)D o problema foi investigado por diversos autores [54, 55, 56, 57].

Em especial, em ordem mais baixa no inverso da massa do f´ermion, foi estabelecido por

Fradkin e Schaposnik em [58] a equivalˆencia, para distˆancias grandes comparadas ao

comprimento de onda Compton do f´ermion, entre o modelo de Thirring (que descreve

f´ermions interagentes se movendo no plano) e o modelo de Maxwell-Chern-Simons (que

descreve b´osons de spin 1). Para isso, os autores primeiramente demonstraram direta-

mente a equivalˆencia entre as fun¸c˜oes de parti¸c˜ao do modelo de Thirring e do modelo au-

todual (para grandes distˆancias) e devido `a dualidade Maxwell-Chern-Simons/autodual,

conclu´ıram pela equivalˆencia entre o modelo de Maxwell-Chern-Simons e o modelo de

Thirring.

Uma outra aplica¸c˜ao interessante da dualidade Maxwell-Chern-Simons/autodual

foi realizada em [12]. Nesse trabalho os autores estudaram as excita¸c˜oes topol´ogicas

do modelo de Maxwell-Chern-Simons compacto (grupo U (1)), tais excita¸c˜oes consis-

tem de pares monop´olo-antimonop´olo linearmente conﬁnados por uma corda de ﬂuxo

magn´etico devido ao termo de Chern-Simons. Esse resultado, sugerido por outros traba-

lhos [13, 14], foi conﬁrmado estudando o modelo na rede. Na a¸c˜ao de Maxwell-Chern-

Simons, como veremos, o potencial de calibre A

aparece explicitamente, tornando

dif´ıcil a formula¸c˜ao de uma a¸c˜ao peri´odica e invariante de calibre na rede de tal forma

que o limite cont´ınuo seja bem deﬁnido. No entanto a a¸c˜ao autodual ´e deﬁnida com

campos que n˜ao possue m simetria de calibre e portanto usando a dualidade foi poss´ıvel

determinar as propriedades do modelo de Maxwell-Chern-Simons na rede.

Na subse¸c˜ao seguinte ser´a feita uma breve apresenta¸c˜ao sobre os aspectos da du-

alidade eletromagn´etica e discutiremos a motiva¸c˜ao para a dualidade Maxwell-Chern-

Simons/autodual. Nas subse¸c˜oes seguintes faremos um estudo sistem´atico das diversas

t´ecnicas usadas para estabelecer essa dualidade. Primeiramente consideraremos a dua-

lidade entre as teorias livres e depois demonstraremos que a equivalˆencia ´e mantida na

presen¸ca de fontes.

2.2 Preliminares Sobre Dualidade

A teoria eletromagn´etica no v´acuo em (3 + 1)D, deﬁnida pelas equa¸c˜oes de Maxwell

(c = 1):

∇



E = 0, ∇ ×



E = −∂



∇



B = 0, ∇ ×



B = ∂



E, (2.1)

´e uma teoria altamente sim´etrica. Em particular, as equa¸c˜oes (2.1) s˜ao invariantes por:

(



B) −→ (



B, −



E), (2.2)

que s˜ao chamadas transforma¸c˜oes de dualidade (o sinal negativo ´e consequˆencia da

assimetria entre tempo e espa¸co no espa¸co-tempo de Minkowski). Isso signiﬁca sim-

plesmente que, no v´acuo, campos el´etricos e magn´eticos s˜ao ﬁsicamente indistingu´ıveis.

A presen¸ca de cargas el´etricas acaba com essa simetria. Isso decorre da assimetria

por parte da mat´eria que parece n˜ao conter cargas magn´eticas. Dirac [1, 2] considerou

a existˆencia de cargas magn´eticas para recuperar essa simetria e deduziu uma poss´ıvel

explica¸c˜ao para a quantiza¸c ˜ao das cargas el´etricas (e magn´eticas).

Uma forma mais econˆomica (que deixa expl´ıcita a invariˆancia de Lorentz da teoria)

de escrever as equa¸c˜oes de Maxwell (2.1) ´e atrav´es do tensor de campos F

µν

deﬁnido

por:

= −F

= −E

, F

= −ε

ijk

. (2.3)

ou:

µν

= ∂

− ∂

, (2.4)

onde A

= (A

, A

) s˜ao os potenciais, tais que E

= −∂

+ ∂

e B

= −ε

ijk

∂

As equa¸c˜oes (2.1) ﬁcam:

∂

µν

= 0, (2.5)

∂

∗

µν

= 0, (2.6)

onde

∗

µν

µνρσ

ρσ

´e conhecido como o dual Hodge do campo F

µν

. Observe que

a equa¸c˜ao (2.6) ´e uma consequˆencia da deﬁni¸c˜ao de

∗

µν

e portanto ´e uma identidade

(identidade de Bianchi). Por outro lado as equa¸c˜oes de movimento (2.5) podem ser

obtidas minimizando em rela¸c˜ao `a A

a a¸c˜ao:

= −



µν

. (2.7)

A transforma¸c˜ao (2.2) ﬁca:

µν

−→

∗

µν

∗

µν

−→ −F

µν

, (2.8)

o sinal negativo vem da propriedade

∗∗

µν

= −F

µν

, no espa¸co de minkowski. Essa

transforma¸c˜ao nos sugere uma forma equivalente de descrever a teoria eletromagn´etica

no v´acuo em (3 + 1)D, considere a a¸c˜ao:

= −



∗

µν

∗

µν

, (2.9)

onde

∗

µν

= ∂

−∂

= (

) s˜ao os potenciais, tais que B

= −∂

+∂

e E

= ε

ijk

∂

. Nesse caso (2.5) ´e a identidade de Bianchi (consequˆencia de F

µν

−

µνρσ ∗

ρσ

Em (3 + 1)D a troca da identidade de Bianchi pela equa¸c˜ao de movimento ´e um

resultado quase trivial da dualidade, pois



E e



B s˜ao ambos vetores. A situa¸c˜ao se torna

muito mais interessante em (2 + 1)D. Mantendo a deﬁni¸c˜ao F

µν

= ∂

− ∂

, vemos

que o campo magn´etico (componentes espaciais de F ) ´e um pseudo-escalar enquanto o

campo el´etrico ´e um vetor. A dualidade (2.2) n˜ao existe mais. Nesse caso o dual Hodge

de F

µν

tem apenas um ´ındice:

∗

µνρ

νρ

. (2.10)

Enquanto a equa¸c˜ao de movimento ainda tem a forma (2.5), a identidade de Bianchi

agora ´e ∂

∗

= 0. Ent˜ao a pergunta ´e: qual ´e a lagrangeana que tem ∂

∗

= 0 como

equa¸c˜ao de movimento? Para responder a essa pergunta observe que queremos tratar

(2.5) como uma identidade, como antes. Portanto, com F

µν

= ε

µνρ∗

, temos:

∂

µν

= ε

µνρ

∂

∗

= 0, (2.11)

que tem solu¸c˜ao:

∗

= ∂

φ, (2.12)

logo, a equa¸c˜ao de movimento ﬁca:

∂

∗

= 0 ⇒ ∂

φ = 0, (2.13)

que, como sabemos, pode ser obtida da lagrangeana:

L =

∂

φ∂

φ. (2.14)

Ou seja, o eletromagnetismo em (2 + 1)D no v´acuo ´e equivalente `a teoria do campo

escalar n˜ao-massivo. Isso ´e esperado pois a teoria quˆantica do eletromagnetismo em

(2 + 1)D descreve uma excita¸c˜ao n˜ao-massiva de spin 0. Um outro exemplo muito

interessante da f´ısica em (2 + 1)D e que revela diversos aspectos da id´eia de dualidade

pode ser encontrado no apˆendice A.

Uma teoria vetorial massiva em (3 + 1)D s´o ´e poss´ıvel se a teoria n˜ao tiver s imetria

de calibre (mo delo de Proca), mas uma teoria vetorial massiva com liberdade de calibre

´e poss´ıvel em (2 + 1)D, ela ´e conhecida como a teoria de Maxwell-Chern-Simons:

MCS

= −

µν

µνρ

∂

. (2.15)

Essa teoria ´e invariante de calibre (se A

→ A

+ ∂

φ, L

MCS

muda por uma derivada

total) e descreve uma excita¸c˜ao massiva de spin 1 que viola a simetria de paridade e

cuja helicidade (±1) ´e deﬁnida pelo sinal do termo de Chern-Simons, suas propriedades

foram analisadas em [6]. A massa da excita¸c˜ao tem sua origem no termo de Chern-

Simons A

µνρ

∂

. Esse termo ´e um invariante topol´ogico, signiﬁcando que ele n˜ao

depende da m´etrica. O termo de Chern-Simons n˜ao ´e capaz de “sentir” a curvatura

do espa¸co-tempo. Por essa raz˜ao, a teoria (2.15) ´e tamb´em conhecida como o modelo

topologicamente massivo.

E natural nos perguntarmos se esse modelo guarda alguma rela¸c˜ao com o modelo

de Proca em (2 + 1)D. Aparentemente a resposta seria n˜ao pois o modelo de Proca

n˜ao ´e invariante de calibre e al´em disso descreve duas excita¸c˜oes massivas, enquanto

o modelo de Maxwell-Chern-Simons ´e invariante de calibre e descreve uma excita¸c˜ao

massiva com helicidade deﬁnida. Mas ainda assim uma rela¸c˜ao existe, vejamos isso com

mais detalhes. Considere o modelo de Proca em (2 + 1)D:

= −

µν

, (2.16)

cuja equa¸c˜ao de movimento ´e:

∂

µν

+ m

= 0, (2.17)

de onde segue a condi¸c˜ao ∂

= 0, deixando dois graus de liberdade massivos inde-

pendentes, de tal forma que a equa¸c˜ao (2.17) pode ser reescrita como:

∂

+ m

= 0. (2.18)

Mas em (2 + 1)D ´e poss´ıvel fazer a separa¸c˜ao expl´ıcita das excita¸c˜oes do modelo de

Proca, procedimento que Townsend, Pilch e Van Nieuwenhuizen [7] chamaram de “tirar

a raiz quadrada” da equa¸c˜ao (2.17), observe que:

∂

µν

+ m

= 0

⇒



+ δ

∂

−

∂



= 0, (2.19)

o operador acima pode ser escrito como:



+ δ

∂

−

∂





µσ

µρσ

∂



σν

−

σλρ

∂



, (2.20)

ou seja, um campo f

que satisfaz



µσ

µρσ

∂



= 0 ou



σν

−

σλρ

∂



= 0,

imediatamente ´e solu¸c˜ao de (2.19). Em resumo, o que ﬁzemos foi separar as helicidades

que estavam “misturadas” na equa¸c˜ao (2.17).

As equa¸c˜oes de movimento para f



µσ

∓

µρσ

∂



= 0, (2.21)

podem ser obtidas das lagrangeanas (uma para cada helicidade):

∓

µνρ

∂

, (2.22)

onde AD signiﬁca autodual, que se refere `a propriedade exibida pelas equa¸c˜oes de

movimento:

= ±

µρσ

∂

, (2.23)

pois, aplicando os operadores ±

αβµ

∂

dos dois lados de (2.23) obtemos:

αβµ

∂

αβµ

µρσ

∂



−δ

∂



= f

, (2.24)

onde foi usado que f

satisfaz a equa¸c˜ao de movimento (2.19). Esse proc edimento de

“tirar a raiz quadrada” da teoria evidenciando as componentes indep ende ntes pode

ser realizado diretamente na lagrangeana com a introdu¸c˜ao de um campo auxiliar e

efetuando algumas redeﬁni¸c˜oes nos campos. A esse m´etodo d´a-se o nome de proje¸c˜ao

dual [15, 16], discutiremos esse m´etodo em detalhes nas se¸c˜oes seguintes.

E importante

mencionar ainda que o procedimento inverso, “soldar” as duas helicidades do modelo

autodual obtendo o modelo de Proca, pode ser generalizado no contexto das chamadas

p-formas massivas (o campo A

´e uma 1-forma nesse contexto). O mecanismo da solda

desenvolvido em [17, 18, 19] foi aplicado por n´os nesse sentido em [20]. Nesse trabalho

mostramos que grupos podem ser associados `as opera¸c˜oes de dualidade em diversas

dimens˜oes espa¸co-temporais e deduzimos a dependˆencia desses grupos com a dimens˜ao.

Finalmente estamos em posi¸c˜ao de estabelecer a rela¸c˜ao entre o modelo de Proca e

o modelo de Maxwell-Chern-Simons (como antecipamos essa rela¸c˜ao ´e indireta). Ob-

serve que a teoria autodual descreve uma excita¸c˜ao massiva de helicidade deﬁnida que

viola a simetria de paridade, o que nos sugere uma liga¸c˜ao direta com o modelo de

Maxwell-Chern-Simons, embora o modelo autodual n˜ao possua simetria de calibre.

Ainda assim, a proposta idealizada por Deser e Jackiw [21] ´e que o modelo autodual

´e equivalente ao modelo de Maxwell-Chern-Simons. O objetivo das pr´oximas se¸c˜oes ´e

estudar as diferentes t´ecnicas que nos permitem estabelecer a dualidade entre as teorias

de Maxwell-Chern-Simons e autodual.

2.3 Dualidade Maxwell-Chern-Simons/Autodual

Nessa se¸c˜ao vamos estudar a equivalˆencia entre o modelo de Maxwell-Chern-Simons

(MCS):

MCS

= −

µν

µνρ

∂

, (2.25)

onde F

µν

= ∂

− ∂

, e o modelo autodual (AD):

−

µνρ

∂

. (2.26)

Ambos os modelos descrevem uma excita¸c˜ao top ologicamente massiva de spin 1 em

(2 + 1)D e violam simetrias de reﬂex˜ao.

A hist´oria ´e mais ou menos assim: em 1982 Deser, Templeton e Jackiw realizaram

um extenso estudo das propriedades do modelo de MCS [5, 6]. Algum tempo depois

Townsend, Pilch e van Nieuwenhuizen [7] propuseram o modelo AD, mas desconsidera-

ram a possibilidade dos modelos serem descri¸c˜oes equivalentes da mesma f´ısica porque o

modelo de MCS ´e uma teoria de calibre ao contr´ario do modelo AD. Mas em [21], Deser

e Jackiw mostraram a equivalˆencia entre os dois modelos encontrando um mape amento

entre as ´algebras canˆonicas e identiﬁcando os respectivos tensores de energia-momento,

demonstraram ainda que ambas as teorias poderiam ser obtidas a partir de uma la-

grangeana comum denominada lagrangeana mestra.

2.3.1 M´etodo da Mestra

Nessa se¸c˜ao vamos demonstrar a equivalˆencia entre a teoria de MCS e a teoria AD

utilizando o m´etodo da mestra. A lagrangeana mestra ´e obtida reduzindo a lagrangeana

de MCS para primeira ordem introduzindo um campo auxiliar (Π

MCS

= −

(ε

µνρ

∂

)(ε

µλσ

∂

) +

µνρ

∂

MCS

−→ L

= −Π

(ε

µνρ

∂

) +

µνρ

∂

. (2.27)

Resolvendo para Π

δL

δΠ

= Π

− ε

µνρ

∂

= 0 (2.28)

e substituindo em L

obtemos :

= L

MCS

. (2.29)

Por´em, se resolvermos a mestra para A

δL

δA

= −ε

µνρ

∂

+ mε

µνρ

∂

= 0 (2.30)

de onde inferimos que:

+ ∂

φ, (2.31)

onde φ ´e um campo escalar. Substituindo em L

e desconsiderando derivadas totais

(observe que dessa forma φ desaparece) obtemos a teoria dual ao modelo MCS conhecida

como autodual:

−

µνρ

∂

= L

. (2.32)

Uma observa¸c˜ao importante que devemos fazer diz respeito `a elimina¸c˜ao do campo

. Pensando na integral funcional, eliminar A

signiﬁca fazer uso da forma gaussiana

na qual ele aparece em L

e realizar a integra¸c˜ao em A

obtendo um determinante

funcional. Esse determinante deve carregar informa¸c˜oes topol´ogicas que est˜ao contidas

no termo de Chern-Simons (que codiﬁca a invariˆancia de calibre n˜ao mais presente em

(2.32)). Para deixar claro essas considera¸c˜oes, vamos usar um outro m´etodo para obter

a teoria AD, o m´etodo da proje¸c˜ao dual.

2.3.2 Proje¸c˜ao Dual

Vamos usar a lagrangeana que chamamos de mestra como ponto de partida:

= −Π

(ε

µνρ

∂

) +

µνρ

∂

= (

− Π

)(ε

µνρ

∂

) +

, (2.33)

redeﬁnindo

− Π

−→ Π

, obtemos:

= Π

(ε

µνρ

∂

) +

(

− Π

)(

− Π

). (2.34)

Realizando a seguir uma rota¸c˜ao nos campos A

e Π

como:

− A

−

)

= A

+ A

−

, (2.35)

obtemos:

− A

−

)ε

µνρ

∂

+ A

−

) +

−

−µ

µνρ

∂

−

µνρ

∂

µνρ

∂

−

µνρ

∂

−

−µ

µνρ

∂

−

µνρ

∂

−

−µ

, (2.36)

ou, renomeando mA

−

= f

e A

= A

µνρ

∂

−

µνρ

∂

= L

+ L

, (2.37)

de forma que o termo de Chern-Simons que carrega a informa¸c˜ao topol´ogica aparece

fatorado tornando expl´ıcitas as considera¸c˜oes feitas na se¸c˜ao anterior. Podemos ainda

constatar o car´ater dinamicamente in´ocuo do termo de CS quando consideramos o

processo desenvolvido acima do ponto de vista dos funcionais geradores. Consideremos

o funcional gerador correspondente `a lagrangeana mestra (2.33):



DΠDAe



. (2.38)

Pelo car´ater gaussiano do campo Π

ele pode ser integrado (evidenciando seu papel de

campo auxiliar) e (2.38) ´e equivalente ao funcional gerador da teoria de MCS (Z

MCS

As etapas desenvolvidas acima podem ser aplicadas no contexto do funcional gera-

dor s em maiores problemas, as redeﬁni¸c˜oes (2.35) s˜ao trivialmente implementadas na

medida do funcional (2.38) e nos levam `a conclus˜ao que:

MCS

= Z



DΠDAe





−



x(L

−

)+L

))

= Z

, (2.39)

No formalismo do funcional gerador sabemos que as quantidades ﬁsicamente relevantes

(fun¸c˜oes de correla¸c˜ao, por exemplo) s˜ao obtidas a partir das derivadas do logaritmo

do funcional em rela¸c˜ao a uma fonte externa. Veremos mais adiante que a dualidade

permanece v´alida na presen¸ca de fontes externas e que toda a informa¸c˜ao sobre a

corrente est´a contida em Z

ap´os a dualidade (Z

MCS

(J) = Z

(J)) de forma

que o termo de CS de fato n˜ao contribui, funcionando apenas como o portador da

informa¸c˜ao sobre a liberdade de calibre (ausente na AD).

2.3.3 Imers˜ao de Calibre

De certa maneira n´os podemos pensar na teoria AD como uma MCS c om ﬁxa¸c˜ao de

calibre. Essa observa¸c˜ao nos sugere ainda outra forma de estabelecer a dualidade entre

os dois modelos. A id´eia ´e “embutir” uma simetria de calibre na teoria AD obtendo

uma teoria invariante de calibre que esperamos que seja a MCS. Nesta se¸c˜ao n´os vamos

ver como isso funciona.

Come¸cando com a teoria AD (2.26), vamos impor a simetria δf

= ∂

.

E claro que

n˜ao ´e invariante sob essa transforma¸c˜ao, a id´eia ent˜ao ´e adicionar contra-termos

at´e que obtenhamos uma lagrangeana invariante. Para come¸car vamos impor a pr´opria

equa¸c˜ao de movimento de f

como um v´ınculo introduzindo o campo auxiliar B, esse

termo claramente n˜ao altera a dinˆamica dos campos f

(1)

= L

− B

, (2.40)

onde o ´ındice 1 serve como um contador das etapas iterativas e K

´e o vetor de Euler

tal que:

= f

−

µνρ

∂

, (2.41)

ou seja, K

= 0 ´e a equa¸c˜ao de movimento. A varia¸c˜ao de L

(1)

devido `a δf

= ∂

 ´e:

δL

(1)

= K

∂

 − K

δB

− δK

, (2.42)

deﬁnindo δB

= ∂

, temos:

δL

(1)

= −δK

= −B

(∂

 −

µνρ

∂

)

= −B

∂

 = −B

δB

= −

δ(B

). (2.43)

Logo, se:

(2)

= L

(1)

, (2.44)

teremos δL

(2)

= 0. Mas B ´e um campo auxiliar, vamos explorar sua natureza gaussiana

e elimin´a-lo de (2.44), obtendo:

(2)

= L

− K

−→ L

(2)

= L

−

. (2.45)

Observe que para o resultado (2.45) ´e importante que δf

= δK

Dessa forma, o resultado ﬁnal ´e:

(2)

−

µνρ

∂

−



−

µνρ

∂



= −

(ε

µνρ

∂

)

µνρ

∂

. (2.46)

Renomeando f

= mA

, para evidenciar o novo status do campo f

como um campo

de calibre, temos:

(2)

= −

(ε

µνρ

∂

)

µνρ

∂

= −

µν

µνρ

∂

= L

MCS

. (2.47)

2.4 Dualidade MCS/AD na presen¸ca de fontes

To dos os m´etodos desenvolvidos nas se¸c˜oes anteriores trataram das teorias livres. Para

se obter as quantidades f´ısicas relevantes em uma teoria de campos a presen¸ca de fontes

´e necess´aria, pois ´e a intera¸c˜ao que proporciona a medida. Portanto ´e importante

garantir que essa dualidade tamb´em seja v´alida na presen¸ca de fontes.

O m´etodo da imers˜ao de calibre ´e particularmente ´util para estudarmos a dualidade

MCS/AD quando esses modelos est˜ao acoplados a fontes. Para ver isso vamos considerar

primeiramente o modelo AD acoplado minimamente a uma fonte externa:

−

µνρ

∂

− eJ

. (2.48)

Impondo δf

= ∂

, temos agora:

= f

−

µνρ

∂

− eJ

, (2.49)

portanto δK

= ∂

 = δf

e pelas considera¸c˜oes que ﬁzemos na se¸c˜ao anterior, a teoria

dual ´e:

L = L

−

µνρ

∂

−

µνρ

∂

−

(ε

µνρ

∂

)

−

. (2.50)

Fazendo f

= mA

obtemos:

L = −

µν

µνρ

∂

− eA

µνρ

∂

−

= L

ε∂J

MCS

, (2.51)

onde uma integra¸c˜ao p or partes foi realizada. Vemos que o acoplamento m´ınimo para

a teoria AD se traduz em um acoplamento “n˜ao-m´ınimo” para a MCS, o campo A

acopla minimamente `a ε∂J e um termo de intera¸c˜ao corrente-corrente (tipo Thirring)

aparece naturalmente. J´a foi observado em [22, 23] que esse termo ´e necess´ario para

manter a dinˆamica da fonte inalterada, o que ´e necess´ario pois a fonte n˜ao participa do

processo de dualidade.

Para constatar isso, no caso fermiˆonico, vamos adicionar a lagrangeana de Dirac

nas teorias acima e obter as equa¸c˜oes de movimento para o campo fermiˆonico nos dois

modelos.

Para o modelo AD:

−

µνρ

∂

− eJ

ψ(iγ

∂

− M)ψ, (2.52)

obtemos (com J

ψγ

ψ) a seguinte equa¸c˜ao de movimento:

(iγ

∂

− M)ψ = ef

ψ. (2.53)

Por outro lado, a equa¸c˜ao de movimento de f

nos fornece:

= f

−

µνρ

∂



µρ

−

µνρ

∂



= R

−1

µρ

(2.54)

No espa¸co dos momentos ´e f´acil veriﬁcar que a inversa de R

−1

µρ

´e dada por:

µν

= −

− m



µν

µρν

−



, (2.55)

que ´e o propagador da teoria AD tal que f

= eR

µν

e R

µν

−1

νρ

= R

−1

ρν

νµ

= δ

Logo, obtemos a equa¸c˜ao de movimento da teoria fermiˆonica sem nenhuma men¸c˜ao aos

campos bosˆonicos da teoria AD como:

(iγ

∂

− M)ψ = e

µν

)γ

ψ. (2.56)

Por outro lado, partindo do modelo de MCS:

ε∂J

MCS

= −

µν

µνρ

∂

− eA

µνρ

∂

−

ψ(iγ

∂

− M)ψ, (2.57)

e tomando varia¸c˜oes com respeito aos campos fermiˆonicos, obtemos:

(iγ

∂

− M)ψ = (eε

µνρ

∂

+ e

)γ

ψ. (2.58)

A equa¸c˜ao de movimento de A

nos fornece (com

∗

= ε

µνρ

∂

eε

µνρ

∂

= −ε

µρσ

∂

ρ∗

+ m

∗

= mR

−1

µσ

∗

, (2.59)

que como j´a discutimos seguindo (2.54) e (2.55), podemos inverter facilmente:

∗

µν

νσρ

∂

. (2.60)

Logo, obtemos a equa¸c˜ao da dinˆamica fermiˆonica do ponto de vista do modelo de

MCS como:

(iγ

∂

− M)ψ = (

µν

νσρ

∂

+ e

)γ

ψ. (2.61)

Usando a deﬁni¸c˜ao de R

−1

µν

νσρ

∂

= g

νρ

− R

−1

νρ

, (2.62)

podemos escrever a equa¸c˜ao fermiˆonica como:

(iγ

∂

− M)ψ = (e

µν

− e

µν

−1

νσ

+ e

)γ

= e

µν

)γ

ψ, (2.63)

que, como reivindicamos, possui a mesma estrutura que no caso AD (2.56). Este ´e um

importante resultado que demonstra que as fontes, mesmo dinˆamicas, n˜ao participam

do processo de dualiza¸c˜ao e que, portanto, n˜ao podem ter sua dinˆamica alterada.

Embora o resultado acima sirva para demonstrar nossas hip´oteses sobre a possi-

bilidade de dualiza¸c˜ao na presen¸ca de fontes ele n˜ao est´a totalmente livre de cr´ıticas.

De fato como foi recentemente observado em [24] a ausˆencia de simetria de calibre no

modelo AD torna injustiﬁcado o uso de acoplamento m´ınimo neste caso. Seguindo esta

l´ogica o autor de [24] mostrou que mesmo para acoplamentos de fontes ao modelo AD

n˜ao minimamente, o processo de dualiza¸c˜ao n˜ao altera a dinˆamica dos campos, bosˆonico

ou fermiˆonicos, acoplados ao par dual MCS/AD, embora mude consideravelmente a na-

tureza do acoplamento.

Na parte ﬁnal desta se¸c˜ao vamos seguir um caminho alternativo e aproveitar a

presen¸ca da simetria de calibre no setor MCS para estudar o comportamento das fon-

tes frente `as transforma¸c˜oes de dualidade no caso de acoplamento m´ınimo com fontes

fermiˆonicas dinˆamicas.

Considere o modelo de MCS com acoplamento m´ınimo:

MCS

= −

µν

µνρ

∂

− eA

. (2.64)

Propomos, pelo que estudamos acima, que a teoria AD correspondente tenha a forma:

−

µνρ

∂

− ef

−

, (2.65)

onde ω

dado por J

= ε

µνρ

∂

´e o chern-kernel da fonte associada `a corrente em

quest˜ao [25, 26]. Vamos veriﬁcar a seguir usando o m´etodo da imers˜ao de calibre

que, de fato, este ansatz para a vers˜ao AD nos leva via dualidade ao modelo MCS

minimamente acoplado `as fontes. Para isso calculamos inicialmente o vetor de Euler

do modelo,

= f

−

µνρ

∂

− eω

, (2.66)

que satisfaz δK

= δf

= ∂

.

E imediato que:

L = L

−

µνρ

∂

−

(ε

µνρ

∂

)

, (2.67)

com f

= mA

obtemos L = L

MCS

, minimamente acoplado com as fontes, como

proposto.

Para veriﬁcar a dinˆamica das fontes, prosseguimos como antes adicionando o termo

de Dirac. Mas temos que ser mais cuidadosos nesse caso pois ω depende de

ψ de forma

n˜ao local e possui liberdade de calibre (ω

→ ω

+ ∂

φ). Fixando o calibre (∂

= 0)

podemos obter a rela¸c˜ao direta entre a corrente fermiˆonica e o chern-kernel apropriado

ao acoplamento do modelo AD:

µνρ

∂

= ∂

∂

− ∂

= −∂

⇒ ω

= −

∂

µνρ

∂

≡



yG(x − y)ε

µνρ

∂

(y)

(y), (2.68)

onde ∂

(x)

G(x − y) = −δ(x − y). Dessa forma a equa¸c˜ao de movimento do campo

fermiˆonico, no setor AD da dualidade ´e obtida tomando a varia¸c˜ao com respeito ao

campo conjugado:

δS

[

ψ]

= (iγ

∂

− M)ψ(x) −





(y) − e

(y)



δω

(y)

ψ(x)

= 0, (2.69)

onde S

[

ψ] =



. Mas (por uma integra¸c˜ao por partes):

= −



y∂

(y)

G(x − y)ε

µνρ

(y)

⇒

δω

(y)

ψ(x)

= −∂

(x)

G(y − x)ε

µνρ

ψ(x)

= ∂

(y)

G(y − x)ε

µνρ

ψ(x), (2.70)

onde foi usado que ∂

(x)

G(x − y) = −∂

(y)

G(x − y). Logo:

(iγ

∂

− M)ψ(x) =







(y) − e

(y)



∂

(y)

G(y − x)



µνρ

ψ(x)





yG(y − x)



eε

µνρ

∂

(y)

(y) − e

µνρ

∂

(y)





ψ(x). (2.71)

Para eliminarmos a dependˆencia com respeito ao campo autodual utilizamos a equa¸c˜ao

de movimento para f

= eR

µν

, (2.72)

que, junto com a equa¸c˜ao (2.62) nos permitem escrever:

eε

µνρ

∂

− e

µνρ

∂

= me

µρ

− R

−1

µρ

ρσ

− e

= me

µσ

− me

− e

, (2.73)

tal que a dinˆamica fermiˆonica no setor AD ﬁca descrita pela seguinte equa¸c˜ao:

(iγ

∂

− M)ψ(x) = e



−

∂

(mR

µσ

− mω

− J

)



ψ(x). (2.74)

Para o setor MCS da dualidade procedemos de forma an´aloga. A a¸c˜ao deste setor

´e dada por:

MCS

= −

µν

µνρ

∂

− eA

ψ(iγ

∂

− M)ψ, (2.75)

da qual obtemos a equa¸c˜ao de movimento tomando varia¸c˜oes como antes:

(iγ

∂

− M)ψ(x) = eA

ψ(x). (2.76)

Para eliminarmos a dependˆencia nos campos de calibre A

, resolvemos as equa¸c˜oes para

estes campos:

µνρ

∂

µν

, (2.77)

ﬁxando o calibre (∂

= 0) resulta em:



−

∂

µνρ

∂

ρσ

)



, (2.78)

que substituindo de volta em (2.76) resulta em:

(iγ

∂

− M)ψ(x) =



−

∂

µνρ

∂

ρσ

)



ψ(x)

= e



−

∂

µσ

− J

)



ψ(x)

= e



−

∂

(mR

µσ

− mω

− J

)



ψ(x), (2.79)

veriﬁcando (2.74). Isto demonstra, a posteriori, o ansatz adotado para a dualidade,

(2.65), assim como veriﬁca que de fato as fontes fermiˆonicas embora possuam dinˆamica,

n˜ao s˜ao afetadas pela transforma¸c˜ao de dualidade.

E interessante observar que os ter-

mos necess´arios para garantir a invariˆancia da dinˆamica fermiˆonica s˜ao completamente

fornecidos pelo procedimento de transforma¸c˜ao de dualidade. Isto ´e diferente de outros

procedimentos onde tais termos s˜ao em geral adicionados de forma ad hoc para garantir

tal independˆencia.

Nossa experiˆencia com as t´ecnicas desenvolvidas nesse cap´ıtulo e a existˆencia de

uma variedade de trabalhos com resultados aparentemente conﬂitantes no estudo das

extens˜oes n˜ao-comutativas da dualidade MCS/AD [59, 60, 61, 62] nos estimularam a

abordar o problema da dualidade dos modelos MCS e AD no espa¸co n˜ao-comutativo. No

cap´ıtulo seguinte discutiremos resumidamente a quest˜ao dos espa¸cos n˜ao-comutativos e

ent˜ao no cap´ıtulo posterior ser˜ao apresentados nossos resultados referentes `a dualidade

MCS/AD no plano n˜ao-comutativo.

Cap´ıtulo 3

Espa¸cos N˜ao-Comutativos

3.1 Introdu¸c˜ao

O conceito de espa¸cos n˜ao-comutativos surgiu na f´ısica como a caracter´ıstica fundamen-

tal que deﬁne um sistema quˆantico. Formulado por Heisenberg, o princ´ıpio da incerteza

´e uma consequˆencia direta do estabelecimento das vari´aveis dinˆamicas como operado-

res e da deﬁni¸c˜ao de n˜ao-comutatividade entre as vari´aveis de posi¸c˜ao e momento. A

rela¸c˜ao de incerteza entre essas vari´aveis redeﬁne a estrutura do espa¸co de fase de tal

forma que a no¸c˜ao de ponto n˜ao mais faz sentido.

Da mesma forma, a n˜ao-comutatividade das coordenadas do espa¸co de conﬁgura¸c˜ao

do sis tema implicaria na impossibilidade de s ua localiza¸c˜ao espacial. Heis enberg per-

cebeu que isso poderia ser usado para aliviar as divergˆencias que aparecem em teorias

de campos associadas as auto-energias das part´ıculas, divergˆencias essas que ocorrem

justamente pelo car´ater pontual das part´ıculas. Como em um espa¸co n˜ao-comutativo

part´ıculas (objetos pontuais) n˜ao podem ser deﬁnidas, ele imaginou que isso poderia ser

uma solu¸c˜ao. Em 1947 Snyder [28, 29], seguindo esse caminho, publicou os primeiros

trabalhos dedicados a n˜ao-comutatividade do espa¸co-tempo. Depois diss o o assunto

foi esquecido pois, al´em dos problemas que a id´eia trazia (n˜ao localidade, quebra da

invariˆancia de Lorentz,...), as t´ecnicas de renormaliza¸c˜ao e regulariza¸c˜ao foram desen-

volvidas.

Recentemente o interesse nas teorias n˜ao-comutativas foi renovado em grande parte

devido ao intenso esfor¸co empregado na dire¸c˜ao da uniﬁca¸c˜ao das intera¸c˜oes funda-

mentais. Acredita-se que qualquer teoria que combine a mecˆanica quˆantica com a

gravita¸c˜ao deve alterar radicalmente nossa no¸c˜ao do espa¸co-tempo em distˆancias da

ordem do comprimento de Planck (∼ 10

−33

cm). De fato, a maior candidata `a teoria

uniﬁcadora, a teoria das cordas, cont´em teorias de campos em espa¸cos n˜ao-comutativos.

Essas teorias surgem naturalmente em certos limites no estudo de teoria de cordas aber-

tas terminando em D-branas na presen¸ca de um campo de Neveu-Schwarz. A id´eia de

que teorias de campos n˜ao-comutativos surgem como descri¸c˜oes efetivas na teoria das

cordas gerou uma enorme variedade de trabalhos.

Em geral, p or si s´o, teorias de campo deﬁnidas em um espa¸co-tempo n˜ao-comutativo

oferecem uma excelente oportunidade para se estudar as consequˆencias que uma de-

forma¸c˜ao na estrutura espa¸co-temporal pode ter sobre os fenˆomenos f´ısicos. As t´ecnicas

j´a comuns nos tratamentos das teorias de campos nos espa¸cos ordin´arios vˆem sendo es-

tendidas para espa¸cos n˜ao-comutativos (para uma revis˜ao ver pag. 997 de [33]). Mas

a variedade de novos fenˆomenos que surgem devido `a n˜ao-comutatividade n˜ao ´e com-

pletamenta entendida e muitos problemas tˆem que ser resolvidos ainda. Por exemplo,

ao postular rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao do tipo [x

, x

] = iθ

µν

, ´e imediato que a simetria de

Lorentz ´e perdida. Essa rela¸c˜ao introduz ainda o novo parˆametro dimensional θ que

pode gerar problemas de renormaliza¸c˜ao.

Um problema caracter´ıstico que afeta a renormaliza¸c˜ao das teorias n˜ao-comutativas

´e a mistura UV/IV [34], ou seja, divergˆencias ultra-violetas est˜ao associadas a di-

vergˆencias infra-vermelhas. Essa mistura pode ser entendida heuristicamente olhando-

se para as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao entre as coordenadas que implicam em rela¸c˜oes de

incerteza do tipo ∆x∆y ≥ θ, de forma que se ∆x → 0 (UV) ent˜ao ∆y → ∞ (IV).

A an´alise perturbativa dessas teorias mostra que esses problemas s˜ao trat´aveis. Es-

sas quest˜oes n˜ao ser˜ao abordadas nessa tese mas discuss˜oes nesse sentido podem ser

encontradas em [33, 42, 47, 35].

O primeiro trabalho que fez uso da geometria n˜ao comutativa no contexto das teorias de cordas

foi [30]. Depois disso, com a descoberta das D-branas, diversos outros surgiram [31, 32, 48], para citar

alguns. Para uma revis˜ao completa do assunto ver [33, 47].

Ainda que grande parte da motiva¸c˜ao atual venha da teoria das cordas, a n˜ao-

comutatividade das coordenadas encontra um terreno f´ertil na f´ısica de mat´eria con-

densada. A descri¸c˜ao de um sistema de el´etrons se movendo num plano no qual se aplica

um campo magn´etico perpendicular apresenta uma f´ısica riqu´ıssima (respons´avel por

pelo menos dois prˆemios Nobel), mais especiﬁcamente, esse sistema se manifesta no

fenˆomeno do efeito Hall. Com um campo magn´etico forte o suﬁciente (para que, por

exemplo, possamos ignorar o spin do el´etron) esse sistema pode ser descrito efetivamente

por coordenadas n˜ao-comutativas. O sistema de el´etrons tamb´em pode ser descrito por

campos, nesse caso falamos de um ﬂuido Hall quˆantico [36] e a descri¸c˜ao efetiva a longas

distˆancias pode ser feita via teoria de Chern-Simons. Mais recentemente Susskind [37]

propˆos que a descri¸c˜ao mais eﬁciente seria com a teoria de Chern-Simons n˜ao-comutativa

e de fato mostrou que ´e poss´ıvel obter concordˆancia quantitativa precisa com a teoria

de Laughlin [39]. Paredes e Barb´on [40] sugeriram ainda que, acrescentando o termo

de Maxwell, a teoria de Maxwell-Chern-Simons n˜ao-comutativa poderia ser usada na

descri¸c˜ao da transi¸c˜ao de fase para o cristal de Wigner.

Nesse cap´ıtulo faremos um estudo resumido de espa¸cos n˜ao-comutativos come¸cando

com o modelo de Landau com o prop´osito de apresentar o surgimento da n˜ao-comutativi-

dade espacial em um sistema f´ısico, da´ı partiremos para o estudo de teorias de campos

em um espa¸co n˜ao-comutativo. Introduziremos o produto Moyal, que codiﬁca a estru-

tura n˜ao-comutativa. Depois discutiremos o mapa de Seiberg-Witten que estabelece

uma dualidade entre teorias de calibre no espa¸co n˜ao-comutativo e teorias de calibre

no espa¸co comutativo e aplicaremos o mapa a teoria de Maxwell-Chern-Simons n˜ao-

comutativa.

3.2 O Mode lo de Landau

Nessa se¸c˜ao estudaremos um exemplo bem simples do aparecimento das coordenadas

n˜ao comutativas em f´ısica, no caso que consideraremos (modelo de Landau) a n˜ao-

comutatividade ´e uma consequˆencia da redu¸c˜ao do espa¸co de fase que faz com que

coordenadas espaciais se tornem canonicamente conjugadas entre si. Portanto, nesse

caso, a n˜ao-comutatividade espacial serve como uma descri¸c˜ao efetiva do sistema. Se-

guiremos, nessa e na pr´oxima se¸c˜ao, a an´alise feita em [41] e [42].

O modelo de Landau descreve uma part´ıcula (ou sistema de part´ıculas) carregada

se movendo no plano sob a inﬂuˆencia de um campo magn´etico constante perpendicular

ao plano, a lagrangeana ´e:

L =

x

−

x ·



A − V (x, y), (3.1)

onde, x = (x, y) = (x

, x



B = ∇ ×



A = Bˆz , m e e s˜ao a massa e a carga da part´ıcula

e V ´e um potencial.

No calibre sim´etrico, o potencial vetor



A ﬁca:



A = (−

x), (3.2)

com A

= 0, logo:

L =

x

−

˙x

− V (x, y), (3.3)

onde ´ındices repetidos somam.

O momento canonicamente conjugado `a x

´e:

= m ˙x

= Π

. (3.4)

´e chamado de momento cinem´atico. O hamiltoniano pode ser encontrado via trans-

formada de Legendre:

H = p

˙x

− L

(Π

+ Π

) + V. (3.5)

Para entender a mecˆanica quˆantica desse sistema, primeiro vamos considerar o caso

com V = 0. Com as regras de comuta¸c˜ao usuais da mecˆanica quˆantica ([x

, p

] = i¯hδ

e [x

, x

] = [p

, p

] = 0), obtemos:

[Π

, Π

] = −

i¯hε

, (3.6)

vemos que as componentes do momento cinem´atico n˜ao comutam. A estrutura dos

n´ıveis de energia pode ser obtida de forma trivial se observarmos que o hamiltoniano

(3.5) com V = 0 e as regras de comuta¸c˜ao (3.6) s˜ao mapeados na dinˆamica do oscilador

harmˆonico unidimensional:

H =

(Π

+ Π

) =

mω

, (3.7)

com Π

= P e Π

= mω

X. Comparando [X, P ] = i¯h com (3.6) vemos que ω =

os n´ıveis de energia, que nesse contexto s˜ao chamados de n´ıveis de Landau, s˜ao:

= ¯hω(n +

) =

¯heB

(n +

). (3.8)

Para B  m a part´ıcula ´e projetada no estado fundamental (n´ıvel mais baixo de

Landau) E

¯heB

2mc

. Voltando a lagrangeana (3.3), nesse limite podemos desprezar a

energia cin´etica da part´ıcula e reintroduzindo V

temos:

L =

˙x

− V (x, y). (3.9)

Observe que esse limite causa uma redu¸c˜ao dimensional no espa¸co de fase, de fato,

agora o espa¸co de conﬁgura¸c˜ao (o plano onde a part´ıcula se move ) ´e o pr´oprio espa¸co

de fase. E sse sistema ´e vinculado, para obter corretamente os comutadores (a partir

dos colchetes da teoria cl´assica) vamos usar o m´etodo de Fadeev-Jackiw descrito no

apˆendice B. Por (3.9) a

(x) =

que nos leva `a:

f =



0 −



⇒ f

−1



−



, (3.10)

de tal forma que:



, x



= ε

⇒ [x

, x

] = i¯hε

. (3.11)

Ou seja, a part´ıcula desenvolveu uma incerteza em sua localiza¸c˜ao. Para uma

part´ıcula carregada se movendo em um plano com um forte campo magn´etico per-

pendicular, a no¸c˜ao de ponto n˜ao faz sentido.

E claro que a estrutura dos n´ıveis ir´a mudar, mas vamos considerar V uma perturba¸c˜ao, como a

separa¸c˜ao entre os n´ıveis ´e da ordem de

isso n˜ao ser´a muito restritivo

Foi nesse contexto que Peierls [44] usou a n˜ao-comutatividade das coordenadas es-

paciais. Substituindo em V as c oordenadas n˜ao-comutativas e prosseguindo com um

c´alculo perturbativo ele obteve corre¸c˜oes ao n´ıvel mais baixo de Landau que possuem

um maior acordo com os resultados expe rimentais que o c´alculo feito usando-se coorde-

nadas comutativas. Estendendo a discuss˜ao acima a um sistema de el´etrons (V poderia

representar impurezas na amostra) temos um modelo efetivo para descrever o efeito

Hall quˆantico.

3.3 Sistema de Muitas Part´ıculas (Teoria dos Cam-

pos)

Na se¸c˜ao anterior vimos como a n˜ao-comutatividade das coordenadas espaciais surge

naturalmente como uma descri¸c˜ao efetiva no modelo de Landau. A n˜ao-comutatividade

naquele contexto se expressa como uma rela¸c˜ao entre operadores que atuam num espa¸co

de Hilbert. No entanto, queremos estudar como a n˜ao-comutatividade espacial altera

as teorias dos campos deﬁnidos nesse espa¸co. Como as coordenadas aparecem como

parˆametros na teoria dos campos ´e mais interessante trat´a-las como n´umeros reais

de tal forma que para manter a caracter´ıstica n˜ao-comutativa do espa¸co teremos que

mudar a regra de multiplica¸c˜ao dessas quantidades. Veremos nessa se¸c˜ao que uma

regra natural de multiplica¸c˜ao n˜ao comutativa (por´em associativa) surge naturalmente

ao considerarmos a segunda quantiza¸c˜ao do modelo de Landau.

3.3.1 Segunda Quantiza¸c˜ao do Modelo de Landau

Queremos construir uma teoria de campos que descreva um sistema de el´etrons se

movendo em um plano cujas coordenadas n˜ao comutam.

Classicamente o n´umero de el´etrons no plano ´e:



xρ(x), (3.12)

onde:

ρ(x) =



I=1

δ(x − x

). (3.13)

No formalismo da segunda quantiza¸c˜ao, o operador n´umero

´e deﬁnido, como em

(3.12), pelo operador densidade:

ˆρ(x) = ψ

†

(x)ψ(x), (3.14)

onde ψ

†

(x) e ψ(x) s˜ao os operadores de cria¸c˜ao e destrui¸c˜ao, respectivamente, de

part´ıculas na posi¸c˜ao x.

No processo de quantiza¸c˜ao queremos manter a informa¸c˜ao sobre a n˜ao-comutativi-

dade das coordenadas. Pela transformada de Fourier de (3.13):

ρ(



k) =

2π



xρ(x)e

−i



k·x

2π



I=1

−i



k·x

, (3.15)

deﬁnimos o operador:

ˆρ(



k) =

2π



I=1

−i



k·

x

, (3.16)

onde, pela se¸c˜ao anterior:

[ˆx

, ˆx

] = iθ

, com θ

¯hc

e θ

= 0. (3.17)

Temos agora uma teoria de campos n˜ao-comutativos, de fato:

[ˆρ(



k), ˆρ(q)] =

(2π)



I,J=1



−i



k·

x

−iq·

x

− e

−iq·

x

−i



k·

x



(2π)



I=1



−i



k·

x

−iq·

x

− e

−iq·

x

−i



k·

x



, (3.18)

onde foi usado que [ˆx

, ˆx

] = 0 para I = J (coordenadas de el´etrons distintos comutam).

Pela f´ormula de Baker-Campbell-Hausdorﬀ (e

= e

A+B

[A,B]

), temos:

−i



k·

x

−iq·

x

= e

−i(



k+q)·

x

−

[



k·

x

,q·

x

]

= e

−i(



k+q)·

x

−

, (3.19)

logo:

[ˆρ(



k), ˆρ(q)] =

2π

ˆρ(



k + q)



−

− e



−i

ˆρ(



k + q) sin

, (3.20)

que ´e a algebra do operador de transla¸c˜ao magn´etica no efeito Hall quˆantico fracion´ario

[45, 46]. Classicamente podemos deﬁnir a m´edia de uma fun¸c˜ao f (x) qualquer:

f =



xρ(x)f(x) =



kρ(



k)f (−



k). (3.21)

No contexto da segunda quantiza¸c˜ao a rela¸c˜ao acima serve como um mapeamento entre

fun¸c˜oes e operadores f (x) →

f (basta substituir ρ em (3.21) por ˆρ). Usando (3.20),

podemos calcular o comutador entre

f e

g e usando o mapa acima podemos deter-

minar como a n˜ao-comutatividade se manifesta para as fun¸c˜oes f e g. Vejamos como

isso funciona. Por (3.20) encontramos:

[

f,

g] =



q[ˆρ(



k), ˆρ(q)]f (−



k)g(−q)

2π



q ˆρ(



k + q)



−

− e



f(−



k)g(−q), (3.22)

por outro lado, temos:

ˆρ(



k) =

2π



xˆρ(x)e

−i



k·x

, (3.23)

e o primeiro termo de (3.22) ﬁca:

(2π)



xˆρ(x)e

−i(



k+q)·x

−

f(−



k)g(−q)

(2π)



xˆρ(x)e

−i



k·x



1 + (−

) + ...



−iq·x

f(−



k)g(−q)

(2π)



xˆρ(x)



−i(



k+q)·x



−

∂

−i



−i



k·x



∂

−i



−iq·x





+ ...



×f(−



k)g(−q)

(2π)



xˆρ(x)f(−



k)e

−i



k·x

←

∂

→

∂

g(−q)e

−iq·x



xˆρ(x)f(x)e

←

∂

→

∂

g(x)



xˆρ(x)f(x) ∗ g(x), (3.24)

onde f (x) ∗ g(x) ≡ f(x)e

←

∂

→

∂

g(x) ´e conhecido como o produto Moyal. Procedendo

da mesma forma para o segundo termo de (3.22) obtemos ﬁnalmente:

[

f,

g] =

[f, g]

∗

, (3.25)

onde [f, g]

∗

= f ∗ g − g ∗ f . Isso nos sugere uma regra para deﬁnir teorias de campos

n˜ao comutativos, basta substituir a multiplica¸c˜ao usual por multiplica¸c˜ao Moyal. Na

pr´oxima se¸c˜ao formalizaremos essas id´eias (ver em particular (3.44)).

3.4 A Quantiza¸c˜ao de Weyl e o produto Moyal

Nessa se¸c˜ao vamos generalizar a discuss˜ao feita anteriormente formalizando a conex˜ao

entre a n˜ao-comutatividade de operadores e a n˜ao-comutatividade de fun¸c˜oes via pro-

duto Moyal. Vamos discutir apenas os pontos principais, para mais detalhes ver [47],

no qual esta se¸c˜ao foi baseada.

No contexto da quantiza¸c˜ao canˆonica, Weyl introduziu um algor´ıtmo para asso-

ciar um operador quˆantico a uma fun¸c˜ao cl´assica das vari´aveis do espa¸co de fase. O

mapeamento ´e deﬁnido com a ajuda da transformada de Fourier. Dada a fun¸c˜ao f(x):

f(x) =

(2π)



f(k)e

, (3.26)

deﬁnimos o s´ımbolo de Weyl:

W[f] =

(2π)



f(k)e

ˆx

, (3.27)

como o operador correspondente `a f. Cabe a observa¸c˜ao que ˆx

na exponencial s˜ao

operadores hermitianos. Como na se¸c˜ao anterior e diferentemente da se¸c˜ao 3.5, os

operadores s˜ao identiﬁcados pelo s´ımbolo circunﬂexo. Ao fazer isso estamos adotando

o ordenamento de Weyl:

W[e

] = e

ˆx

. (3.28)

Observe ainda que se f ´e real

W[f] ´e hermitiano.

Podemos escrever o mapeamento (3.27) de uma forma mais sugestiva:

W[f] =



xf(x)

∆(x), (3.29)

onde:

∆(x) =

(2π)



(ˆx

−x

)

. (3.30)

Vemos que

∆(x) ´e hermitiano e funciona como uma base para os operadores tendo

f(x) como coordenadas. Observe que se os ˆx

comutam obtemos

∆(x) = δ

(ˆx − x),

logo

W[f] = f(ˆx), ou seja, n˜ao tendo problemas de ordenamento, para encontrar o

operador correspondente `a f(x) basta realizar a substitui¸c˜ao:

x → ˆx. (3.31)

Mas se as coordenadas n˜ao comutam,

∆(x) ´e um operador altamente n˜ao trivial.

A mecˆanica quˆantica nos diz como podemos deﬁnir a opera¸c˜ao de derivada para

operadores, as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao quˆanticas na representa¸c˜ao de posi¸c˜ao ﬁcam (¯h =

1):

[ˆx

, ˆp

] = iδ

⇒ [x

, −i∂

] = iδ

⇒ [∂

, x

] = δ

[ˆp

, ˆp

] = 0 ⇒ [∂

, ∂

] = 0.

Deﬁnimos ent˜ao o “operador derivada” generalizando (3.31) para as derivadas deﬁ-

nindo:

x → ˆx (3.32)

∂ →

∂. (3.33)

De forma que:

[

∂

, ˆx

] = δ

(3.34)

[

∂

] = 0. (3.35)

Ent˜ao, de (3.30) temos:

[

∂

∆(x)] = [

∂

, ˆx

]

∂

∆(x) =

∂

∆(x) = −∂

∆(x). (3.36)

Logo, por (3.29):

[

∂

W[f]] =



xf(x)[

∂

∆(x)]



xf(x)



−∂

∆(x)





x∂

f(x)

∆(x)

W[∂

f], (3.37)

onde uma integra¸c˜ao por partes foi realizada.

Naturalmente podemos deﬁnir tamb´em a opera¸c˜ao de integra¸c˜ao. A partir do ope-

rador derivada deﬁnimos o operador transla¸c˜ao:

[

∂

∆(x)] = −∂

∆(x) ⇒ e

∂

∆(x)e

−a

∂

∆(x − a). (3.38)

Deﬁnindo a opera¸c˜ao tra¸co (T r) com propriedade c´ıclica, atuando em operadores,

segue de (3.38) que:

T r

∆(x) = T r

∆(x − a), (3.39)

portanto o tra¸co n˜ao depende de x.

E conveniente deﬁnirmos a normaliza¸c˜ao T r

∆(x) =

1 de forma que, por (3.29):

T r

W[f] =



xf(x). (3.40)

Vemos que a integra¸c˜ao no espa¸co n˜ao-comutativo ´e representada pela opera¸c˜ao tra¸co.

Para estudar mais a fundo as propriedades da rela¸c˜ao entre as fun¸c˜oes e os opera-

dores ´e importante encontrar o mapa inverso, ou seja, como obter fun¸c˜oes a partir de

operadores. J´a vimos que

∆(x) pode ser tomado como uma base para operadores com

f(x) como coordenada (3.29). Vamos ver agora que devido `a simetria entre ˆx

e x

na deﬁni¸c˜ao de

∆(x) (3.30) podemos, de forma semelhante, considerar

∆(x) uma base

para f(x) com

W[f] como coordenadas.

Para estabelecer essa propriedade temos que provar que os

∆(x) formam um con-

junto ortonormal. De fato, usando a f´ormula de Baker-Campbell-Hausdorﬀ(e

ˆx

i(k+q)

ˆx

−

), temos:

∆(x)

∆(y) =



(2π)



(2π)

i(k+q)

ˆx

−

−ik

−iq



(2π)



(2π)



i(k+q)

∆(z)e

−

−ik

−iq

, (3.41)

onde usamos (3.28). Por (3.41) e usando T r

∆(x) = 1, obtemos:

T r(

∆(x)

∆(y)) =

(2π)



qδ

(k + q)e

−

−ik

−iq

(2π)



−ik

(x−y)

= δ

(x − y), (3.42)

onde usamos o fato de θ

ser antissim´etrico. De forma que ´e imediato por (3.29) que:

f(x) = T r(

W[f]

∆(x)). (3.43)

A fun¸c˜ao f(x) deﬁnida dessa forma a partir de um operador quˆantico ´e chamada de

fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de Wigner. Temos ent˜ao uma correspondˆencia biun´ıvoca entre

campos de Wigner e operadores de Weyl (correspondˆencia Weyl-Wigner).

Essa correspondˆencia nos permite representar a multiplica¸c˜ao de operadores por um

produto (n˜ao-comutativo) de fun¸c˜oes:

T r



W[f]

W[g]

∆(x)



= T r





yf (y)

∆(y)



zg(z)

∆(z)

∆(x)





zf (y)g(z) ×

×T r





(2π)



(2π)



i(k+q)

−

−ik

−iq

∆(w)

∆(x)





zf (y)g(z)



(2π)



(2π)

i(k+q)

−

−ik

−iq

(2π)



i(k+q)

f(k)g(q)e

−

(2π)



f(k)e

←

∂

→

∂

g(q)e

= f(x)e

←

∂

→

∂

g(x)

= f(x) ∗ g(x), (3.44)

que ´e, como sugerido no ﬁnal da se¸c˜ao anterior, o pro duto Moyal. Abaixo, resumiremos

algumas importantes propriedades do produto Moyal.

1. Produto Moyal entre exponenciais

Usando a f´ormula de Baker-campbell-Hausdorﬀ e a correspondˆencia Weyl-Wigner:

ikx

∗ e

iqx

= e

i(k+q)x

−

(3.45)

2. Representa¸c˜ao de Fourier

Essa propriedade foi demonstrada na dedu¸c˜ao da equa¸c˜ao (3.44):

(f ∗ g) (x) =

(2π)



i(k+q)

f(k)g(q)e

−

(3.46)

3. Associatividade

Usando a representa¸c˜ao de Fourier (3.46) essa propriedade segue imediatamente:

[(f ∗ g) ∗ h] (x) = [f ∗ (g ∗ h)] (x) (3.47)

4. Integra¸c˜ao do produto Moyal

Integrando (3.46) no espa¸co e us ando a antissimetria de θ

obtemos:



x (f ∗ g) (x) =



x (g ∗ f) (x) =



kf (k)g(−k) =



xf(x)g(x), (3.48)

5. Propriedade c´ıclica

Essa propriedade ´e consequˆencia direta da propriedade 4:



x (f

∗ f

∗ ...f

) (x) =



x (f

∗ ...f

∗ f

) (x) (3.49)

Observe que a n˜ao-comutatividade das coordenadas espaciais pode ser representada

substituindo-se o produto usual por produto Moyal com as coordenadas tomando valores

reais:



, x



∗

= iθ

. (3.50)

Ent˜ao para deﬁnir uma teoria de campos n˜ao-comutativos n˜ao vamos acrescentar

`as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao (num formalismo da quantiza¸c˜ao canˆonica) comutadores do

tipo [φ

(x), φ

(y)] = iδ

δ(x − y), que seria o natural em analogia com a mecˆanica

quˆantica n˜ao-comutativa [49]. A id´eia ´e considerar teorias de campos ordin´arias por´em

substituindo-se a regra usual de multiplica¸c˜ao pelo produto Moyal.

3.5 O Mapa de Seiberg-Witten e a Teoria Topolo-

gicamente Massiva N˜ao-Comutativa

Nessa se¸c˜ao vamos apresentar o mapa de Seiberg-Witten [48] e aplic´a-lo a teoria de

Maxwell-Chern-Simons n˜ao comutativa.

Uma teoria de campos n˜ao-comutativos ´e uma teoria intrinsecamente n˜ao local (o

produto Moyal introduz derivadas de ordem arbitr´arias) o que pode gerar problemas

de n˜ao-causalidade e, ao quantizar, problemas de n˜ao-unitaridade.

Para evitar problemas de causalidade vamos considerar que o parˆametro de n˜ao-

comutatividade n˜ao p ossui componentes temporais (θ

= 0), ou seja, a coordenada

temporal comuta com todas as co ordenadas. Como j´a foi discutido, deﬁniremos o

espa¸co n˜ao-comutativo pelo produto Moyal:



, x



∗

= iθ

. (3.51)

Queremos construir teorias de campo nesse espa¸co, em especial teorias de calibre.

No caso geral de teorias n˜ao-abelianas deﬁnimos o produto Moyal entre matrizes ape nas

substituindo o produto usual de suas componentes pelo produto Moyal. Dessa forma,

a partir das deﬁni¸c˜oes usuais dos campos e transforma¸c˜oes de calibre:

= ∂

λ + i [λ, A

]

µν

= ∂

− ∂

− i [A

, A

]

µν

= i [λ, F

µν

] , (3.52)

deﬁnimos os campos e transforma¸c˜oes no espa¸co n˜ao-comutativo da forma:

= ∂

λ + i



λ,



∗

µν

= ∂

− ∂

− i





∗

µν

= i



λ,

µν



∗

, (3.53)

onde usamos a nota¸c˜ao de [48] em que, diferentemente da se¸c˜ao anterior, o circunﬂexo

indica quantidades multiplicadas via produto Moyal e ´e imp ortante notar que (3.53)

se reduz `a (3.52) para θ → 0. Observe ainda que mesmo no caso da simetria U (1) as

transforma¸c˜oes de calibre n˜ao-comutativas s˜ao n˜ao triviais.

O caso que estamos interessados ´e a teoria de Maxwell-Chern-Simons abeliana:

MCS

= −

µν

µνρ

∂

. (3.54)

No espa¸co n˜ao-comutativo, deﬁnimos a teoria de Maxwell-Chern-Simons com uma

estrutura semelhante `a teoria n˜ao-abeliana

MCSN C

= −

µν

∗

µν

µνρ



∗ ∂

−

∗



. (3.55)

onde g tem dimens˜ao de massa assim como

Seiberg e Witten [48] estudando cordas abertas terminando em D-branas na presen¸ca

de um campo de Neveu-Schwarz descobriram que, depois de considerar certos limites

semelhantes aos considerados no modelo de Landau com o campo de Neveu-Schwarz

no papel do campo magn´etico, a teoria dos campos na D-brana era uma teoria de

Yang-Mills n˜ao regularizada. Ao regularizar a teoria, eles perceberam que usando o

m´eto do de separa¸c˜ao de pontos, devido `a caracter´ıstica do pr´oprio m´etodo (no processo

de regulariza¸c˜ao por separa¸c˜ao de pontos, campos distintos nunca est˜ao no mesmo

ponto), a teoria obtida era uma Yang-Mills n˜ao-comutativa. Por outro lado, usando a

regulariza¸c˜ao de Pauli-Villars a teoria seria a Yang-Mills ordin´aria. Como a f´ısica n˜ao

De fato, pode-se mostrar que assim como no caso n˜ao abeliano [6], o parˆametro m (massa to-

pol´ogica) tamb´em ´e quantizado [50, 51]. Isso ´e muito importante para a descri¸c˜ao do efeito Hall (como

mencionamos na introdu¸c˜ao) e se traduz na quantiza¸c˜ao da taxa de preenchimento (ﬁlling fraction) no

efeito Hall quˆantico fracion´ario

pode depender do m´etodo de regulariza¸c˜ao ´e natural supor que as duas teorias sejam

duais. Seiberg e Witten ent˜ao conjecturaram que deveria existir um mapeamento entre

a teoria comutativa e a n˜ao-comutativa.

Como j´a discutimos, no caso de uma teoria com simetria de calibre U(N), quando

substitu´ımos o produto usual por produto Moyal, ´e claro que o grupo de simetria ir´a

mudar. Seguindo Seiberg e Witten, no caso da teoria U (1), que estamos interessados,

a invariˆancia de calibre da teoria comutativa se expressa por:

= ∂

λ, (3.56)

enquanto que na teoria n˜ao-comutativa ´e:

= ∂

λ + i

λ ∗

− i

∗

λ, (3.57)

que tem estrutura n˜ao-abeliana. Se existe um mapeamento entre essas teorias, n˜ao pode

ser um mapeamento entre os grupos pois esse seria um mapeamento entre uma teoria

abeliana e uma n˜ao-abeliana, o que ´e imposs´ıvel. Temos que s er menos restritivos e

observar que para que a f´ısica n˜ao mude (condi¸c˜ao deﬁnidora da dualidade) ´e suﬁciente

termos a preserva¸c˜ao das classes de equivalˆencia de calibre, ou seja:

A(A) +

A(A) =

A(A + δ

A). (3.58)

Para que (3.58) n˜ao represente um mapeamento entre grupos, Seiberg e Witten consi-

deraram que

λ =

λ(λ, A), ou seja, o parˆametro de calibre n˜ao-comutativo ´e fun¸c˜ao n˜ao

apenas do parˆametro comutativo mas tamb´em do campo de calibre comutativo.

Vamos resolver (3.58), ou seja, encontrar

A como fun¸c˜ao de A, at´e primeira ordem

em θ primeiro. Faremos isso no caso geral, para uma teoria U(N). Deﬁnindo

A =

A + A



(A) e

λ = λ + λ



(λ, A) com λ



, A



= O(θ), obtemos de (3.58):

+ A



+ ∂

λ + ∂



+ i[λ + λ



, A

+ A



]

∗

= A

+ ∂

λ + A



(A + δ

⇒ A



(A + δ

A) − A



− ∂



− i[λ, A



] − i[λ



, A

]

= −

(∂

λ∂

+ ∂

λ∂

) + O(θ

onde os comutadores s˜ao os usuais ([A, B] = AB − BA).

Pode ser veriﬁcado que essa equa¸c˜ao ´e resolvida por:

(A) = A

−

, ∂

+ F

jµ

} + O(θ

)

λ(λ, A) = λ +

{∂

λ, A

} + O(θ

), (3.59)

onde {A, B} = AB + BA. De

A(A) dado por (3.59) obt´em-se:

µν

= F

µν

(2 {F

µi

, F

νj

} − {A

, D

µν

+ ∂

µν

}) + O(θ

), (3.60)

onde D

= ∂

+ i[ , A

] (que no caso abeliano ﬁca D

= ∂

). Para veriﬁcar que (3.59)

de fato ´e solu¸c˜ao de (3.58) (at´e primeira ordem em θ) Seiberg e Witten notaram que as

´unicas propriedades do produto Moyal que precisam ser usadas ´e a associatividade e:

δθ

∂

∂θ

(f ∗ g) =

δθ

∂f

∂x

∗

∂g

∂x

, (3.61)

que segue imediatamente de:

f(x) ∗ g(x) ≡ f (x)e

←

∂

→

∂

g(x), (3.62)

e conclu´ıram, brilhantemente, que o problema que acabamos de resolver (encontrar

A(A) at´e primeira ordem em θ) ´e equivalente a encontrar o mapeamento entre uma

teoria n˜ao-comutativa com parˆametro θ (

A(θ)) e outra com parˆametro θ+δθ (

A(θ+δθ))

em primeira ordem em δθ. Dessa forma, adaptando (3.59) e (3.60), equa¸c˜oes diferenciais

descrevendo como

A(θ) e

λ(θ) variam em fun¸c˜ao de θ podem ser imediatamente escritas:

(θ) = δθ

∂

∂θ

(θ) = −

δθ



, ∂



∗

λ(θ) = δθ

∂

∂θ

λ(θ) =

δθ



∂

λ,



∗

µν

(θ) = δθ

∂

∂θ

µν

(θ) =

δθ





µi

νj



∗

−



µν

+ ∂

µν



∗



,(3.63)

onde {A, B}

∗

= A ∗ B + B ∗ A e

= ∂

+ i[ ,

]

∗

. Essas s˜ao as equa¸c˜oes de

Seiberg-Witten.

A id´eia agora ´e aplicar esse mapa `a teoria de Maxwell-Chern-Simons n˜ao-comutativa

(MCSNC) deﬁnida por (3.55), para isso ´e muito importante o resultado obtido por

Grandi e Silva [52]. Eles mostraram que o termo de Chern-Simons n˜ao-comutativo ´e

mapeado no termo de Chern-Simons comutativo, ou seja, no caso abeliano o termo

c´ubico ´e cancelado pelo mapa. Vejamos como isso funciona. A a¸c˜ao de Chern-Simons

n˜ao-comutativa ´e:

CSN C



µνρ



∗ ∂

−

∗



, (3.64)

que pode ser escrita como:

CSN C



µνρ



∗ ∂

−

∗







0ij



∂

− 2i

∗



+ ε

i0j

∂









, (3.65)

onde a deﬁni¸c˜ao de

F (3.53) e a propriedade 4 do produto moyal foram usados. O que

Grandi e Silva ﬁzeram foi mostrar que usando (3.63) para calcular a varia¸c˜ao da a¸c˜ao

(3.65) ao variar o parˆametro θ, obt´em-se:

∂S

CSN C

∂θ

µν

= 0, (3.66)

ou seja, S

CSN C

n˜ao depende de θ e portanto S

CSN C

= S

. Mencionamos na introdu¸c˜ao

que o modelo de Chern-Simons n˜ao-comutativo tinha vantagens em rela¸c˜ao ao modelo

de Chern-Simons comutativo na descri¸c˜ao do ﬂuido Hall, como foi demonstrado por

Susskind [37]. Na demonstra¸c˜ao de Grandi e Silva [52], derivadas totais foram descar-

tadas para obter o resultado (3.66). Vemos portanto que devem ser as propriedades de

borda (as derivadas totais na lagrangeana) do modelo (3.64) as respons´aveis p elo seu

sucesso na descri¸c˜ao do ﬂuido Hall, essa conclus˜ao foi obtida no trabalho de Barb´on e

Paredes [40].

Dessa forma, na lagrangeana (3.55) s omente o termo de Maxwell ´e afetado, com

(3.60), que podemos escrever como (caso abeliano):

µν

= F

µν

+ θ

µi

νj

− A

∂

µν

) , (3.67)

obtemos, at´e primeira ordem em θ:

MCSN C

= −

µν

µνρ

∂

−

µν

µi

νj

− A

∂

µν

) . (3.68)

Como estamos considerando θ

= 0, podemos escrever sem risco de ambiguidade θ =

. Descartando algumas derivadas totais escrevemos (3.68) como:

MCSN C

= −

µν

µνρ

∂

−

µν

= −

(1 + θ

∗

)

∗

. (3.69)

O prop´osito do pr´oximo cap´ıtulo ´e encontrar a teoria dual `a (3.69).

Cap´ıtulo 4

A Teoria Dual ao Modelo

Topologicamente Massivo no

Espa¸co N˜ao-Comutativo

4.1 Introdu¸c˜ao

Nesse cap´ıtulo vamos obter a teoria dual ao modelo de MCS n˜ao-comutativo deﬁnida

no cap´ıtulo anterior (3.69). Com as informa¸c˜oes acumuladas nos cap´ıtulos anteriores

estamos aptos a abordar essa quest˜ao, nossos resultados est˜ao publicados em [53].

O mapa de Seiberg-Witten, como pode ser inferido pelo que discutimos no cap´ıtulo

anterior, n˜ao ´e deﬁnido para teorias sem simetria de calibre, de forma que s´o podemos

estudar a vers˜ao n˜ao-comutativa dessas teorias pelo m´etodo usual de substituir o pro-

duto ordin´ario por produto Moyal. A dualidade no entanto nos oferece uma alternativa,

veremos que para um e spa¸co com pequena n˜ao-comutatividade, ou seja, com parˆametro

de n˜ao-comutatividade θ muito menor que a ´area caracter´ıstica do problema (de forma

que possamos desprezar termos de ordem θ

) ´e poss´ıvel encontrar o an´alogo da teoria

AD no espa¸co n˜ao-comutativo (tal que para θ → 0 recuperamos (2.26)).

No caso comutativo a dualidade MCS/AD foi usada no contexto da bosoniza¸c˜ao

[58] para estabelecer a equivalˆencia entre o modelo de Thirring de f´ermions massivos e

a teoria de MCS (que descreve b´osons) no limite de grandes comprimentos de onda (em

rela¸c˜ao ao comprimento de onda Compton dos f´ermions). Teorias de calibre planares

tˆem se revelado de enorme interesse no estudo de muitos fenˆomenos como supercondu-

tividade com alta temperatura cr´ıtica e o efeito Hall quˆantico. Como j´a discutimos an-

teriormente acredita-se que uma descri¸c˜ao n˜ao-comutativa de alguns desses fenˆomenos

pode apresentar vantagens quantitativas nos resultados [37, 44]. Acreditamos portanto

que o estudo da dualidade MCS/AD no espa¸co n˜ao-comutativo ´e importante.

Recentemente v´arios artigos tocaram na mesma quest˜ao de encontrar a extens˜ao

n˜ao-comutativa da dualidade MCS/AD [59, 60, 61, 62]. Diversas t´ecnic as foram em-

pregadas nesses trabalhos levando a resultados bem distintos. Em [59], o m´etodo da

mestra, ap´os aplica¸c˜ao do mapa de Seiberg-Witten, foi empregado (discutiremos essa

abordagem em detalhes na subse¸c˜ao 4.2.2). Em [60] por´em, a mestra foi deﬁnida antes

da aplica¸c˜ao do mapa de Seiberg-Witten, sendo portanto necess´aria uma extens˜ao do

mapa levando ao risco de tornar a dualidade mal deﬁnida. O ponto crucial no entanto

´e que em nenhum dos dois trabalhos foi veriﬁcada a equivalˆencia entre as equa¸c˜oes de

movimento ou observ´aveis das teorias duais. Em [61] por outro lado, o problema foi

estudado sem referˆencia ao mapa de Seiberg-Witten de tal forma que o resultado ´e n˜ao

perturbativo em θ tornando dif´ıcil a compara¸c˜ao direta com os outros trabalhos.

Em [62], foi argumentado que a teoria de MCSNC (3.69) seria equivalente `a teoria de

MCS ordin´aria (2.25). Para chegar a essa conclus˜ao uma an´alise da ´algebra obedecida

pelos campos foi realizada. O autor corretamente observou que obter a a¸c˜ao de uma

teoria a partir de outra n˜ao estabelece necessariamente a dualidade e por isso partindo

da representa¸c˜ao da ´algebra obedecida pelos campos da teoria de MCSNC ele obteve

uma outra representa¸c˜ao obedecida pelos campos que o autor identiﬁcou com os campos

da teoria AD no espa¸co comutativo. No entanto, da mesma forma que nos outros

trabalhos, n˜ao foi realizada a ve riﬁca¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento.

Esses resultados conﬂitantes nos motivaram a estudar a quest˜ao tendo em vista

nossa experiˆencia anterior no caso comutativo (conforme cap´ıtulo 2). Nesse cap´ıtulo

apresentaremos nossos resultados. Primeiro discutiremos o conte´udo de nosso artigo

[53], encontraremos a teoria dual ao modelo de MCSNC utilizando o m´etodo da proje¸c˜ao

dual e veriﬁcaremos a equivalˆencia das equa¸c˜oes de movimento dos dois modelos a partir

de uma correspondˆencia expl´ıcita entre os respectivos campos. Essa correspondˆencia

tamb´em ser´a utilizada para identiﬁcar as ´algebras obedecidas pelos respectivos cam-

pos. Depois, esses mesmos procedimentos ser˜ao desenvolvidos considerando o m´etodo

da mestra. Veremos nesse contexto que a estrutura n˜ao-comutativa e o fato de nos

restringirmos `a ordem primeira em θ introduz uma maior liberdade em rela¸c˜ao ao caso

comutativo de tal forma que as teorias duais obtidas pelo m´etodo da proje¸c˜ao dual e

pelo m´etodo da mestra diferem nesse caso, mas n˜ao de forma conﬂitante pois ambas

equivalem `a teoria de MCSNC e portanto s˜ao equivalentes entre si. Nesse sentido talvez

seja mais preciso falar de uma trialidade.

4.2 Dualidade na Teoria de MCS N˜ao-Comutativa

4.2.1 Proje¸c˜ao Dual

Nessa se¸c˜ao, partindo de (3.69), vamos obter a lagrangeana mestra (ou interpolante)

via redu¸c˜ao da ordem temporal e ent˜ao, conforme discutido na subse¸c˜ao 2.3.2, vamos

obter a teoria dual. O conte´udo dessa se¸c˜ao ´e o tema de um trabalho que desenvolvemos

que culminou em um artigo publicado no PLB [53].

Por (3.69), temos:

= Π

∗

(1 − θ

∗

) Π

∗

, (4.1)

onde escrevemos g do lado esquerdo da equa¸c˜ao para n˜ao sobrecarregar as manipula¸c˜oes

subsequentes. Para recuperar (3.69) extremizamos S



em rela¸c˜ao `a Π

desprezamos termos de ordem θ

Como em (2.3.2) queremos fatorar L

em um setor dinamicamente inerte (res-

pons´avel pela informa¸c˜ao da s imetria de calibre) e um setor dinˆamico que seria o an´alogo

do modelo AD no espa¸co n˜ao-comutativo. Antes por´em ´e conveniente evidenciar as de-

rivadas temporais de A

(explicitar o setor simpl´etico), para isso deﬁnimos:

= Π

−

θδ

, (4.2)

de forma que, em primeira ordem em θ:

= χ

θδ

. (4.3)

Substituindo em (4.1), obtemos:





∗

(1 + θχ

) χ

, (4.4)

de maneira que podemos colocar o setor simpl´etico em uma forma canˆonica deﬁnindo:

= χ

, (4.5)

tal que:

= p

µ∗



−



−



1 + θ



−



. (4.6)

Agora podemos seguir os passos da se¸c˜ao (2.3.2) e realizar a proje¸c˜ao dual estabelecida

pelas transforma¸c˜oes canˆonicas:

= A

+ A

−



− A

−



, (4.7)

que nos leva `a:



µνρ

∂







1 − mθA

−



−

−µ

−

µνρ

∂

−



. (4.8)

Com esse resultado alcan¸camos nosso objetivo. Analogamente `a subse¸c˜ao 2.3.2 fato-

ramos L

em dois setores: um termo de CS puro que n˜ao corresponde a graus de

liberdade propagantes e carrega a simetria de calibre da teoria original e um termo que,

consequentemente, cont´em toda a informa¸c˜ao dinˆamica da teoria original e, semelhante

`a AD, n˜ao tem simetria de calibre. Por isso vamos chamar esse termo de teoria AD

n˜ao-comutativa (obtida via proje¸c˜ao dual):

ADN CP D

(1 − θf

) f

−

µνρ

∂

, (4.9)

onde redeﬁnimos f

= mA

−

. Observe que se θ → 0 recuperamos L

eq. (2.26).

Para provar diretamente a dualidade vamos primeiramente estabelecer a equiva-

lˆencia entre as equa¸c˜oes de movimento das teorias L

ADN CP D

(4.9) e L

MCSN C

(3.69).

Para isso ´e conveniente recolocar os´ındices no parˆametro θ (mas ainda ﬁca subentendido

que θ

= 0). Vamos deﬁnir

∗

µνρ

νρ

, onde somente

∗

= 0. Variando (3.69) em

rela¸c˜ao `a A

, obtemos:

µνρ

∂



−

∗

−

∗

−

∗



= 0, (4.10)

da mesma forma, variando (4.9) em rela¸c˜ao `a f

, obtemos:

−

µνρ

∂

−

µ∗

−

α∗

= 0. (4.11)

Para θ = 0, sabemos que a correspondˆencia entre as equa¸c˜oes de movimento se d´a para:

∗

. (4.12)

Esperamos ent˜ao que a correspondˆencia entre as equa¸c˜oes acima se estabele¸ca para uma

rela¸c˜ao do tipo:

∗

νµ

, (4.13)

onde X

νµ

= X

νµ

(

∗

) ´e uma fun¸c˜ao do campo

∗

de ordem zero em θ. Substituindo

(4.13) em (4.11), mantendo, como sempre, somente a primeira ordem em θ, obtemos:

∗

νµ

−

∗

−

∗

−

µνρ

∂

∗

−

µνρ

∂

(

∗

αρ

) = 0, (4.14)

comparando com (4.10), que pode ser escrita da seguinte forma:

∗

−

µνρ

∂

∗

−

µνρ

∂

(

∗

) −

µνρ

∂

(

∗

) = 0, (4.15)

´e imediato que se:

νµ

∗

νµ

, (4.16)

podemos identiﬁcar as duas equa¸c˜oes. Obtemos assim o mapeamento expl´ıcito entre as

vari´aveis das duas teorias:

∗

, (4.17)

que podemos inverter (at´e primeira ordem em θ):

∗

= f

−

∗

−

α∗

. (4.18)

Essa correspondˆencia nos permite demonstrar diretamente a equivalˆencia entre as

´algebras da MCSNC e da ADNCPD. Reservamos os detalhes dos c´alculos para o

apˆendice C. De (4.9) obtemos a ´algebra:

(x), f

(y)} = gθ (f

(x) + f

(y)) ∂

(x)

δ (x − y) ,



(x), f

(y)



= g (1 + 3θf

(x)) ∂

(x)

δ (x − y) ,



(x), f

(y)



= −mgε

δ (x − y) , (4.19)

que ´e equivalente, via (4.18), `a ´algebra derivada de (3.69) obtida em [62]



(x), E

(y)



= −mgε

(1 + 2θB(x)) δ (x − y)

−gθ



(x) + ε

(y)



∂

(x)

δ (x − y)



(x), B(y)



= gε

(1 + θB(x)) ∂

(x)

δ (x − y) ,

{B(x), B(y)} = 0, (4.20)

onde E

= −ε

ij ∗

e B = −

∗

Observe que j´a no caso comutativo existe uma ambiguidade na correspondˆencia

f ↔

∗

F , pois se identiﬁcarmos:

= −

∗

, (4.21)

na equa¸c˜ao de movimento do modelo AD livre, obteremos da mesma forma a equa¸c˜ao

de movimento da MCS, nesse caso a ambiguidade ´e trivial. No caso n˜ao-comutativo,

devido `a aproxima¸c˜ao de primeira ordem em θ que estamos adotando, existe ainda

outra fonte de ambiguidade. Falaremos disso na pr´oxima se¸c˜ao.

A ´algebra calculada em [62] ´e um p ouco diferente da (4.20) devido a um erro de sinal e a ausˆencia

da constante g

4.2.2 M´etodo da Mestra

Nessa se¸c˜ao vamos utilizar o m´etodo da mestra, desenvolvido originalmente em [21] para

o caso comutativo como vimos na subse¸c˜ao 2.3.1, para obter a teoria dual `a MCSNC

(3.69). Veremos que o resultado difere do obtido via proje¸c˜ao dual na se¸c˜ao anterior,

o que, a princ´ıpio, poderia representar uma falha do m´etodo. Mas vamos mostrar que

nesse caso tamb´em existe uma identiﬁca¸c˜ao entre as equa¸c˜oes de movimento por meio

de uma nova correspondˆencia entre os campos f

∗

Comecemos com a lagrangeana mestra (4.1). Prosseguindo com o m´etodo da mestra

vamos resolver para A

e substituir em L

. Escrevendo L

na forma:

= A

µνρ

∂

−

µνρ

∂

(

∗

) +

µνρ

∂

, (4.22)

podemos eliminar A

atrav´es de sua equa¸c˜ao de movimento:

µνρ

∂

−

µνρ

∂

(

∗

) + mε

µνρ

∂

= 0, (4.23)

obtendo:

gL =

−

µνρ

∂

µνρ

∂

(

∗

) , (4.24)

ou, renomeando Π → f, identiﬁcamos (4.24) com a suposta teoria AD n˜ao-comutativa

obtida pelo m´etodo da mestra:

ADN CM

−

µνρ

∂

µνρ

∂

(

∗

) , (4.25)

que difere de (4.9) obtida via proje¸c˜ao dual.

Podemos veriﬁcar diretamente que a correspondˆencia:

∗

= −f

−

µ∗

αβγ

∂

, (4.26)

veriﬁca a equivalˆencia das equa¸c˜oes de movimento. De fato, as equa¸c˜oes de movimento

da teoria MCSNC escrita em termos do campo

∗

s˜ao (4.10):

∗

− ε

µνρ

∂

∗

− ε

µνρ

∂

(

∗

) +

∗

µρσ

∂

(

∗

) = 0, (4.27)

enquanto as equa¸c˜oes de movimento do modelo (4.25) s˜ao:

− ε

µνρ

∂

+ f

µ∗

ρλσ

∂

−

∗

ρλµ

∂

) = 0. (4.28)

Notemos que, conforme hav´ıamos menc ionado, trabalhar at´e ordem θ introduz uma

ambiguidade. Por (4.28) vemos que a seguinte igualdade ´e v´alida na camada de massa:

θmf

= θε

µνρ

∂

, (4.29)

qualquer corre¸c˜ao `a (4.29) ser´a de ordem sup erior em θ. Dessa forma, substituindo

(4.26) em (4.27) obtemos:

+ ε

µνρ

∂

− f

µ∗

ρλσ

∂

∗

ρλµ

∂

) +

µνρ

∂



∗

αβγ

∂



−ε

µνρ

∂

∗

) = 0, (4.30)

mas usando (4.29) os dois ´ultimos termos se cancelam e reobtemos (4.28).

Da mesma forma que ﬁzemos no caso da proje¸c˜ao dual podemos conﬁrmar nosso

resultado observando que f

∗

, relacionados por (4.26), satisfazem diferentes repre-

senta¸c˜oes da mesma ´algebra. De (4.28) obtemos

(x), f

(y)} = 0,



(x), f

(y)



= g (1 − 2θf

(x)) ∂

(x)

δ (x − y) ,



(x), f

(y)



= −mgε

δ (x − y) , (4.31)

que pela correspondˆencia (4.26) equivale `a (4.20).

detalhes no apˆendice C

Cap´ıtulo 5

Conclus˜oes e Perspectivas

Podemos considerar o conceito de dualidade como um dos mais abrangentes na descri¸c˜ao

dos fenˆomenos naturais. Experimentamos atualmente um intenso esfor¸co na dire¸c˜ao da

uniﬁca¸c˜ao de diferentes ´areas da f´ısica e certamente a dualidade tem papel decisivo nesse

sentido. Com a crescente complexidade na descri¸c˜ao dos fenˆomenos, ter descri¸c˜oes

alternativas para um mesmo fenˆomeno ou mesmo constatar que diferentes sistemas

exibem a mesma f´ısica ´e sem d´uvida de crucial importˆancia. Recentemente veriﬁcamos

isso no ˆambito da teoria das supercordas. O que ﬁcou conhecido como segunda revolu¸c˜ao

das supercordas nada mais ´e que o estabelecimento de uma teia de rela¸c˜oes duais entre

as diversas teorias que at´e ent˜ao pareciam conﬂitantes entre si. Na f´ısica de baixas

energias, a determina¸c˜ao da temperatura cr´ıtica no modelo de Ising, sem a necessidade

de entrar em c´alculos complicados, foi uma das primeiras demonstra¸c˜oes da utilidade

do conceito de dualidade.

Nesse trabalho estudamos os diversos aspectos da dualidade MCS/AD. Em particu-

lar apresentamos dois resultados originais que certamente contribuem para um maior

entendimento do conceito de dualidade, considerando a presen¸ca de fontes dinˆamicas e

a extens˜ao dessa dualidade para espa¸cos n˜ao-comutativos.

No cap´ıtulo 2 revisamos o caso comutativo com a presen¸ca de fontes dinˆamicas.

Nessa oportunidade exploramos detalhadamente os diferentes m´etodos usados para es-

tabelecer essa dualidade no caso livre. Durante nossa an´alise, ﬁcou evidente o car´ater

topol´ogico do termo de Chern-Simons quando usamos o m´etodo da proje¸c˜ao dual. O

mais importante nesse cap´ıtulo por´em, foi o estabelecimento dessa dualidade tamb´em

para as teorias acopladas a fontes fermiˆonicas dinˆamicas. Nessa ocasi˜ao observamos que

a presen¸ca de termos tipo Thirring (corrente-corrente) ´e crucial para manter inalterada

a dinˆamica fermiˆonica durante o processo de dualidade, o que condiz com o papel de

espectadores desempenhado pelos f´ermions nesse processo. Pelo nosso m´etodo esses ter-

mos n˜ao precisam ser inclu´ıdos de forma ad hoc e aparecem como consequˆencia natural.

Constatamos ainda que o acoplamento m´ınimo para uma teoria se manifesta em um

acoplamento n˜ao-m´ınimo para a sua parceira dual, para isso a deﬁni¸c˜ao do chern-kernel

da corrente foi fundamental. Esses resultados generalizam alguns estudos anteriores

[22, 23].

N˜ao tratamos do caso do acoplamento com a mat´eria bosˆonica, esse caso foi estu-

dado em [23] (para acoplamento m´ınimo com o modelo AD) onde foi observado que

existem diﬁculdades decorrentes da estrutura n˜ao trivial dos acoplamentos que levam a

uma dep endˆencia expl´ıc ita do propagador da AD com o campo bosˆonico. Planejamos

considerar esse caso posteriormente.

Na segunda parte dessa tes e, ap´os uma breve revis˜ao sobre o tratamento de teorias

de campo em espa¸cos n˜ao-comutativos, prosseguimos, inspirados por diversos resultados

conﬂitantes [59, 60, 61, 62], na busca pela teoria dual ao modelo de Maxwell-Chern-

Simons no espa¸co n˜ao-comutativo (MCSNC), ver eq.(3.69), este obtido atrav´es do mapa

de Seiberg-Witten at´e primeira ordem no parˆametro de n˜ao-comutatividade θ. Perce-

bemos que a restri¸c˜ao `a primeira ordem em θ introduz alguma liberdade na deﬁni¸c˜ao da

teoria dual, dessa forma fomos capazes de obter dois modelos equivalentes ao modelo

MCSNC (e portanto equivalentes entre si). Para conﬁrmar essa equivalˆencia, veriﬁca-

mos a correspondˆencia entre as equa¸c˜oes de movimento e as ´algebras das teorias. Vemos

portanto que os m´etodos desenvolvidos para estabelecer a dualidade no caso comutativo

s˜ao trivialmente generalizados para o caso n˜ao-comutativo. Esse resultado ´e importante

tendo em vista que estes s˜ao m´etodos bem gerais utilizados para comprovar rela¸c˜oes de

dualidade entre outras teorias.

Devido `as recentes especula¸c˜oes sobre as vantagens exibidas pelos modelos n˜ao-

comutativos na descri¸c˜ao de alguns fenˆomenos efetivamente planares em mat´eria con-

densada, os resultados apresentados aqui tˆem grande potencial para aplica¸c˜oes nesse

sentido.

Para ﬁnalizar, ´e necess´ario mencionar algumas quest˜oes que n˜ao abordamos mas

que podem nos servir como objetos de estudo no futuro. Primeiro ´e uma poss´ıvel

an´alise quˆantica perturbativa no esp´ırito dos recentes estudos em teorias de campos em

espa¸cos n˜ao-comutativos. C´alculos podem ser simpliﬁcados com o uso da dualidade aqui

discutida. Segundo, o acoplamento com fontes no caso n˜ao-comutativo. N˜ao tratamos

desse ponto pois a forma exata dos acoplamentos, via mapa de Seiberg-Witten, ainda

n˜ao est´a clara para n´os. Certamente esse ´e um problema que abordaremos no futuro.

Outro ponto, talvez o mais importante, surge ao observarmos que n˜ao existe ainda

um mapa equivalente ao mapa de Seiberg-Witten para teorias sem simetria de calibre.

Seria portanto interessante se pud´essemos relacionar a dualidade entre os campos A

e f

dos modelos MCSNC e ADNC, respectivamente, com uma dualidade entre cam-

pos

[61] das respectivas teorias deﬁnidas com produto Moyal. Dessa forma,

poder´ıamos estabelecer o an´alogo do mapa de Seiberg-Witten relacionando f

Apˆendice A

Um Exemplo: Dualidade

V´ortice/Part´ıcula

Neste apˆendice veremos um exemplo bem intuitivo de algumas propriedades e t´ecnicas

envolvidas no processo de dualidade, o que segue ´e baseado no excelente livro de A. Zee

[3].

Consideremos uma teoria em (2 + 1)D descrevendo a dinˆamica de um campo com-

plexo com potencial da forma V (φφ

†

) = λ(φφ

†

− v

)

= ∂

φ∂

†

− V (φφ

†

). (A.1)

Queremos encontrar solu¸c˜oes cl´assicas para essa teoria que sejam est´aveis e tenham

energia ﬁnita. A conﬁgura¸c˜ao assint´otica do campo tem que anular o potencial para

que sua contribui¸c˜ao `a energia seja ﬁnita. De forma geral exigimos que:

φ → ve

inθ

para r → ∞. (A.2)

Para que φ seja un´ıvoca, n tem que ser inteiro. Essa lagrangeana possui uma simetria

global (φ → e

iα

φ, α = cte) que implica na corrente de Noether:

= i(φ∂

†

− φ

†

∂

φ). (A.3)

Para uma conﬁgura¸c˜ao est´atica do campo, assintoticamente teremos:

= 2v

n∂

θ, (A.4)

que em coordenadas polares vemos que s´o possui a componente

θ, ou seja, a corrente

circula no inﬁnito. Por isso chamamos essa conﬁgura¸c˜ao de v´ortice. Mas temos um

problema, consideremos a energia da conﬁgura¸c˜ao est´atica:

E =



x[∂

†

∂

φ + λ(φ

†

φ − v

)

]. (A.5)

Observe o primeiro termo. Na regi˜ao r → ∞ (coordenadas polares), temos:

∇φ

†

∇φ =

∂

−inθ

∂

inθ

, (A.6)

que nos leva `a:



x(∂

†

∂

φ) ∼



∞

, (A.7)

que diverge logaritmicamente.

Para contornar esse problema vamos introduzir uma intera¸c˜ao com o campo ele-

tromagn´etico elevando a simetria global a uma simetria local. Isso signiﬁca fazer a

substitui¸c˜ao:

∂

φ −→ D

φ = ∂

φ − ieA

φ, (A.8)

onde A ´e o potencial de calibre e e ´e a constante de acoplamento.

Podemos agora impor uma condi¸c˜ao em A

tal que D

φ → 0 para r → ∞:

φ = 0 = ivn∂

θ − ieA

v ⇒ A

−→

∂

θ, para r −→ ∞. (A.9)

Dessa forma a energia, que agora ´e:

E =



x[D

†

φ + λ(φ

†

φ − v

)

] +

(



+ B

) (A.10)

onde



E e B s˜ao os campos el´etrico e magn´etico

, respectivamente, ´e ﬁnita.

O campo A, que ´e puro gauge assintoticamente (A.9), ´e respons´avel por dar um

ﬂuxo magn´etico a conﬁgura¸c˜ao, de fato:

ﬂuxo =



xB =





A · d



l =



2π

rdθ =



2π

∂

∂θ

(

nθ

)rdθ =

2πn

(A.11)

Observe que em 2 + 1 dimens˜oes o campo magn´etico ´e um pseudo-escalar.

onde C ´e o contorno em r → ∞.

Observe que o ﬂuxo ´e quantizado, essa propriedade ´e muito curiosa e ´e um efeito

de natureza puramente quˆantica [4] observado experimentalmente em supercondutores

tipo II.

Observe ainda que a regi˜ao assint´otica pode ser identiﬁcada com um c´ırculo (S

), a

mesma topologia de φ nessa regi˜ao. De fato, φ mapeia S

em S

φ(r → ∞) −→ ve

inθ

o n´umero n deﬁne mapeamentos homotopicamente distintos, em linguagem mais formal

isso signiﬁca que:

) = Z, o 1 subscrito se refere a S

Uma imagem intuitiva dessas considera¸c˜oes pode ser feita se pensarmos em um anel

) onde enrolamos um el´astico (S

), uma volta corresponde `a n = 1 e claramente

(com o el´astico sempre sobre o anel) n˜ao podemos deformar essa situa¸c˜ao em uma

na qual o el´astico d´a duas voltas (n = 2) no anel. Dizemos que para um dado n a

conﬁgura¸c˜ao ´e topologicamente est´avel.

Pode-se mostrar que de forma mais geral, temos:

) = Z (A.12)

que signiﬁca que o n-´esimo grupo de homotopia de S

´e Z.

O fato de esses grupos serem n˜ao triviais nos informa imediatamente que podemos

procurar por solu¸c˜oes com caracter´ısticas topol´ogicas especiais

Mas voltando aos v´ortices, vamos pensar ﬁsicamente no que est´a acontecendo. Con-

sideremos uma regi˜ao distante o suﬁciente do centro do v´ortice, de tal forma que

φ = ve

inθ

mas A

n˜ao ´e puro gauge. Nesse caso a lagrangeana (A.1) pode ser escrita

como:

= v

(n∂

θ − eA

)

, (A.13)

Lembre que n veio da propriedade de unicidade do campo complexo, na an´alise dos supercondutores

n vem da propriedade de unicidade da fun¸c˜ao de onda

Em (3 + 1)D considera¸c˜oes an´alogas nos levam ao monop´olo de ’t Hooft-Polyakov.

onde a dinˆamica de A

foi omitida pois n˜ao participar´a dos c´alculos que seguem.

vamos introduzir um campo auxiliar (Π

= Π

(n∂

θ − eA

) −

, (A.14)

Integrando Π

, reobtemos L

. Da forma como foi deﬁnido, θ ´e uma vari´avel angular e

portanto n˜ao ´e un´ıvoca, isso ´e essencial para o que segue. Vamos escrever θ na forma:

θ(x) = χ(x) + α(x), (A.15)

onde χ ´e uma fun¸c˜ao bem comportada (suave, cont´ınua, ...) e α cont´em as propriedades

que tornam θ descont´ınua. A lagrangeana (A.14) ﬁca:

= nχ∂

+ nΠ

∂

α − eΠ

−

. (A.16)

Vemos que χ ´e um multiplicador de lagrange impondo a condi¸c˜ao:

∂

= 0, (A.17)

que nos permite introduzir um novo campo de calibre (a

= ε

µνρ

∂

. (A.18)

A lagrangeana ﬁca:

= nε

µνρ

∂

α − eε

µνρ

∂

−

(ε

µνρ

∂

)

= −na

µνρ

∂

α − eε

µνρ

∂

−

µν

, (A.19)

onde uma derivada total foi omitida e f

µν

= ∂

− ∂

. Observe a importˆancia do

car´ater singular de α, pois de outra forma ter´ıamos ε

µνρ

∂

α = 0. Mas o que esse

termo representa? Vemos que nε

µνρ

∂

α se acopla ao campo de gauge a que possui

dinˆamica tipo Maxwell, portanto esperamos que esse termo represente uma corrente.

Para ver o que isso signiﬁca vamos olhar para a componente 0 desse termo. Integrando

no plano temos:



xε

0ij

∂

α = n



x∇ × ∇α = n





l · ∇α = 2πn. (A.20)

Fica claro dessa forma que:

2π

µνρ

∂

α, (A.21)

´e a corrente associada aos v´ortices.

E muito interessante observar tamb´em que o termo

que se acopla ao campo de gauge original A

representa a corrente do campo complexo

φ, ou seja, J

= eε

µνρ

∂

. Isso ´e caracter´ıstico em t´ecnicas de bosoniza¸c˜ao (aqui

estamos bosonizando um b´oson!). Portanto a dinˆamica do campo a

´e determinada pelo

comportamento das excita¸c˜oes do campo φ, mas precisamente, a dinˆamica de Maxwell

de a

est´a associada a uma intera¸c˜ao corrente-corrente (tipo thirring) do campo φ

((ε∂a)

Obtemos assim a representa¸c˜ao dual do sistema onde os v´ortices s˜ao vistos como

part´ıculas acopladas minimamente ao campo “eletromagn´etico” a. Podemos ir mais

longe na analogia e introduzir um campo complexo que cria e destr´oi v´ortices e an-

tiv´ortices e reescrever (A.19) como:

= −

µν

+ D

ΦD

†

− W (ΦΦ

†

) − A

, (A.22)

onde D

= ∂

− i2πa

e W ´e um potencial determinado pelo comportamento dos

v´ortices a curtas distˆancias. Com essa forma para a teoria, a dualidade adquire um

signiﬁcado completo, pois impondo a condi¸c˜ao W → 0 para r → ∞, podemos prosseguir

exatamente como antes. De fato, o v´ortice da teoria acima possui um “ﬂuxo magn´etico”

associado a a

(como antes, para que a energia da conﬁgura¸c˜ao est´atica seja ﬁnita

devemos ter a

→

2π

∂

θ para r → ∞):

fluxo =



xε

∂





l · a =



2π

∂

θ = 1, (A.23)

mas J

= eε

µνρ

∂

, de forma que a carga do “v´ortice” ´e:



= e



xε

∂

= e, (A.24)

que ´e a carga do campo original φ. Logo o v´ortice do v´ortice ´e a part´ıcula original!

Apˆendice B

O M´etodo de Fadeev-Jackiw

O m´etodo de Fadeev-Jackiw [43] ´e uma alternativa ao m´etodo de Dirac [27]. A id´eia

´e come¸car com uma lagrangeana de primeira ordem nas derivadas temporais. Isso

sempre pode ser feito via transformada de Legendre (´e isso que fazemos para obter o

hamiltoniano). Dessa forma, a lagrangeana ﬁca:

L( ˙q, q) −→ L( ˙p, p, ˙q, q) = p ˙q − H(p, q), (B.1)

na verdade L( ˙p, p, ˙q, q) n˜ao depende de ˙p.

Usando uma nota¸c˜ao gen´erica (ξ) para as vari´aveis (p, q), a lagrangeana pode ser

escrita como:

L = a

(ξ)

− H(ξ), (B.2)

onde ξ

= ξ

(t). As equa¸c˜oes de Euler-Lagrange nos fornecem:

∂L

∂ξ

∂a

∂ξ

−

∂H

∂ξ

(ξ) =

∂a

∂ξ

, (B.3)

ou, com f

∂a

∂ξ

−

∂a

∂ξ

∂H

∂ξ

. (B.4)

Normalmente, como

∂L

∂

= a

(ξ), diz-se que o momento canˆonico est´a vinculado a depen-

der ape nas das coordenadas e assim para estabelecer o formalismo canˆonico, o m´etodo

de Dirac ´e aplicado.

Mas, como foi observado por Fadeev e Jackiw, p odemos estabelecer o formalismo

canˆonico diretamente se f

possui uma inversa f

, de fato, as equa¸c˜oes de movimento

seguem diretamente de (B.4):

= f

∂H

∂ξ

. (B.5)

Estamos interessados nos colchetes da teoria, de tal forma que:



, H





, ξ



∂H

∂ξ

. (B.6)

E imediato, por (B.5) e (B.6), que:



, ξ



. (B.7)

Para quaisquer fun¸c˜oes F

(ξ) e F

(ξ):

, F

} =

∂F

∂ξ

∂F

∂ξ

. (B.8)

Logo para encontrar os colchetes da teoria prec isamos encontrar a inversa de f

. Se

for singular ou n˜ao possuir uma inversa, ent˜ao v´ınculos ter˜ao que ser considerados

e o tratamento se torna mais complicado, mas n˜ao trataremos desse caso nessa tese.

Apˆendice C

Correspondˆencia das

Algebras das

Teorias MCSNC e ADNC

C.1 Proje¸c˜ao Dual

Pelo m´eto do da proje¸c˜ao dual obtemos a teoria:

ADN CP D

(1 − θf

) f

−

µνρ

∂

. (C.1)

Essa teoria possui um v´ınculo (o momento canonicamente conjugado `a f

n˜ao ´e deﬁ-

nido), poder´ıamos seguir o m´etodo de Dirac [27] (ou o m´etodo de Fadeev-Jackiw [43])

para obter os colchetes de Poisson da teoria, mas vamos proceder deﬁnindo os colchetes

para f

e obter os de f

considerando f

= f

). A componente µ = 0 das equa¸c˜oes

de movimento obtidas de (C.1) ´e:

−

∂

−

θf

−

θf

= 0. (C.2)

O momento canonicamente conjugado `a f

´e, por (C.1):

= −

, (C.3)

postulando as rela¸c˜oes canˆonicas:



(x), Π

(y)



= δ

δ (x − y) ,

⇒



(x), f

(y)



= −mgε

δ (x − y) , (C.4)

e usando (C.2) e (C.4), temos:



(x), f

(y)





∂

(x) +

θf

(x)f

(x) +

θf

(x)f

(x), f

(y)



∂

(x)



−mgε

δ (x − y)



+ θf

(x)



−mgε

δ (x − y)



+ 3θf

(x)



(x), f

(y)



⇒



(x), f

(y)



= g (1 + 3θf

(x)) ∂

(x)

δ (x − y) + mgθε

(x)δ (x − y) , (C.5)

onde termos de ordem superior em θ foram desprezados. Temos ainda, por (C.2), (C.4)

e (C.5):



(x), f

(y)



∂

(x)

∂

(y)



(x), f

(y)



(x)ε

∂

(y)



(x), f

(y)



(y)ε

∂

(x)



(x), f

(y)



3θ

(x)ε

∂

(y)



(x), f

(y)



3θ

(y)ε

∂

(x)



(x), f

(y)



∂

(x)

∂

(y)

(mgδ (x − y)) +

(x)∂

(y)

(−mgδ (x − y))

(y)∂

(x)

(mgδ (x − y)) +

3θ

(x)ε

∂

(y)



g∂

(x)

δ (x − y)



3θ

(y)ε

∂

(x)



−g∂

(y)

δ (x − y)



= θg (f

(x) + f

(y)) ∂

(x)

δ (x − y) , (C.6)

onde foi usado que ∂

(y)

δ (x − y) = −∂

(x)

δ (x − y) e que termos do tipo

∂

(x)

∂

(y)

δ (x − y) s˜ao identicamente nulos.

De posse da correspondˆencia obtida no cap´ıtulo 4:

∗

= f

−

∗

−

α∗

= f

− θf

−

θδ

, (C.7)

obtemos, com E

= −ε

ij ∗

e B = −

∗

{B(x), B(y)} =



(x), f

(y)



− 3θ (f

(x) + f

(y))



(x), f

(y)



−θf

(y)



(x), f

(y)



− θf

(x)



(x), f

(y)



= θg (f

(x) + f

(y)) ∂

(x)

δ (x − y) − gθf

(y)∂

(x)

δ (x − y) + gθf

(x)∂

(y)

δ (x − y)

= 0 (C.8)



(x), B(y)





ij ∗

(x),

∗

(y)



= ε

(x), f

(y)} − 3θf

(y)ε

(x), f

(y)} − θf

(y)ε

(x), f

(y)}

−θf

(x)ε

(x), f

(y)} − θε

(x) {f

(x), f

(y)}

= gε

(1 + 3θf

(x)) ∂

(x)

δ (x − y) + mgθf

(x)δ (x − y)

−3gθf

(y)ε

∂

(x)

δ (x − y) − mgθf

(y)δ (x − y) − gθf

(x)ε

∂

(x)

δ (x − y)

= gε

(1 − θf

(x)) ∂

(x)

δ (x − y) ,

= gε

(1 + θB(x)) ∂

(x)

δ (x − y) , (C.9)

ﬁnalmente:



(x), E

(y)





ik∗

(x), ε

jl∗

(x)



= ε

(x), f

(y)} − ε

θf

(x) {f

(x), f

(y)} − ε

θf

(x) {f

(x), f

(y)}

−ε

θf

(y) {f

(x), f

(y)} − ε

θf

(y) {f

(x), f

(y)}

= −mgε

δ (x − y) + mgε

(x) + f

(y)) δ (x − y)

−ε

gθf

(x)∂

(x)

δ (x − y) − ε

gθf

(y)∂

(x)

δ (x − y)

= −mgε

(1 − 2θf

(x)) δ (x − y) − gθ



(x) + ε

(y)



∂

(x)

δ (x − y)

= −mgε

(1 + 2θB(x)) δ (x − y)

−gθ



(x) + ε

(y)



∂

(x)

δ (x − y) . (C.10)

(C.8), (C.9) e (C.10) veriﬁcam a ´algebra obtida em [62] para o modelo MCSNC.

C.2 M´etodo da Mestra

Nesse caso temos:

ADN CM

−

µνρ

∂

µνρ

∂

(

∗

)

−

µνρ

∂

θε

∂

, (C.11)

cuja componente µ = 0 das equa¸c˜oes de movimento ´e:

− ε

∂

+ f

θε

∂

= 0

⇒ f

∂



1 −

∂



. (C.12)

Observe que o fato de nos restringirmos `a θ

= 0 ⇒

∗

= 0 faz com que a estru-

tura simpl´etica de (C.11) seja a mesma que de (C.1), logo o momento canonicamente

conjugado `a f

continua sendo dado por (C.3) de forma que tamb´em nesse caso:



(x), f

(y)



= −mgε

δ (x − y) . (C.13)

Usando (C.12), temos:



(x), f

(y)





∂

(x) −

∂

(x)ε

∂

(x), f

(y)



∂

(x)



−mgε

δ (x − y)



− 2

∂

(x)

(x)



−mgε

∂

(x)

δ (x − y)



= g∂

(x)

δ (x − y) − 2g

∂

(x)

(x)∂

(x)

δ (x − y)

= g∂

(x)

δ (x − y) − 2gθf

(x)∂

(x)

δ (x − y) , (C.14)

onde na ´ultima passagem usamos que θmf

= θε

∂

, que segue de (C.12) a menos

de termos de ordem superior em θ. Temos ainda:



(x), f

(y)





∂

(x),

∂

(y)



−2

∂

(x)

(x)



∂

(x),

∂

(y)



−2

∂

(y)

(y)



∂

(x),

∂

(y)



∂

(x)

∂

(y)

δ (x − y)

−2

∂

(x)

(x)



∂

(x)

∂

(y)

δ (x − y)



−2

∂

(y)

(y)



∂

(x)

∂

(y)

δ (x − y)



= 0. (C.15)

Com a correspondˆencia:

∗

= −f

−

θε

∂

= −f

− θf

, (C.16)

´e imediato que:

{B(x), B(y)} =



∗

(x),

∗

(y)



= 0, (C.17)

onde foi usado (C.15). Temos ainda:



(x), B(y)





ij ∗

(x),

∗

(y)



= ε

(x), f

(y)} + θf

(x)ε

(x), f

(y)} + 2θf

(y)ε

(x), f

(y)}

= gε

∂

(x)

δ (x − y) − 2gθε

(y)∂

(x)

δ (x − y)

+gθf

(x)ε

∂

(x)

δ (x − y) + 2gθf

(y)ε

∂

(x)

δ (x − y)

= gε

(1 + θf

(x)) ∂

(x)

δ (x − y)

= gε

(1 + θB(x)) ∂

(x)

δ (x − y) , (C.18)



(x), E

(y)





ik∗

(x), ε

jl∗

(x)



= ε

(x), f

(y)} + ε

θf

(x) {f

(x), f

(y)} + ε

θf

(x) {f

(x), f

(y)}

+ε

θf

(y) {f

(x), f

(y)} + ε

θf

(y) {f

(x), f

(y)}

= −mgε

δ (x − y) − mgε

(x) + f

(y)) δ (x − y)

+ε

gθf

(x)∂

(x)

δ (x − y) + ε

gθf

(y)∂

(x)

δ (x − y)

= −mgε

(1 + 2θf

(x)) δ (x − y) + gθ



(x) + ε

(y)



∂

(x)

δ (x − y)

= −mgε

(1 + 2θB(x)) δ (x − y)

−gθ



(x) + ε

(y)



∂

(x)

δ (x − y) , (C.19)

veriﬁcando a ´algebra tamb´em nesse caso.

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