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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA APLICADA
“ Variedades Inerciais em um Modelo
Atmosférico de Lorenz ”
por
Jorge Luis Domínguez Rodríguez
Dissertação submetida como requisito parcial
para a obtenção do grau de
Mestre em Matemática Aplicada
Prof. Dr. Mark Thompson
Orientador
Porto Alegre, junho de 2006.
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Livros Grátis
http://www.livrosgratis.com.br
Milhares de livros grátis para download.
II
CIP - CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO
Rodríguez, Jorge Luis Domínguez
“ Variedades Inerciais em um Modelo Atmosférico
de Lorenz ” / Jorge Luis Domínguez Rodríguez.—Porto Ale-
gre: PPGMAp da UFRGS, 2006.
75 p.: il.
Dissertação (mestrado) —Universidade Federal do Rio
Grande do Sul, Programa de Pós-Graduação em Matemática
Aplicada, Porto Alegre, 2006.
Orientador: Thompson, Mark
Dissertação: Métodos Analíticos em Dinâmica de Fluidos
Equações de Àguas Rasas, Espaços de Sobolev, Métodos Es-
pectrais
ads:
III
“ Variedades Inerciais em um Modelo
Atmosférico de Lorenz ”
por
Jorge Luis Domínguez Rodríguez
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em
Matemática Aplicada do Instituto de Matemática da Universidade Fede-
ral do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para a obtenção do grau
de
Mestre em Matemática Aplicada
Linha de Pesquisa: Métodos Analíticos em Dinâmica de Fluidos
Orientador: Prof. Dr. Mark Thompson
Banca examinadora:
Prof. Dr. Manuel Milla Miranda
PPGMAp/IM/UFRJ
Prof. Dr. Leonardo Guidi
PPGMAp/IM/UFRGS
Prof. Dr. Eduardo Brietzke
PPGMAT/IM/UFRGS
Dissertação apresentada e aprovada em
21 de junho de 2006.
Prof
a
. Mária Cristina Varrialle, Ph.D.
Coordenadora
IV
Conteúdo
RESUMO 2
ABSTRACT 3
INTRODUÇÃO 4
1 FORMULAÇÃO E ANÁLISE DO PROBLEMA . . . . . . . . . . 7
1.1 Noções Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Outros Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Espaços H
s
(Ω) [Caso Ω = R
n
] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Espaço de Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Desigualdades de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Equações de Água Rasa com Orografia Inferior . . . . . . . . . 14
1.3.1 Formulação Física das Equações de Água Rasa . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Formulação do Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 As Equações Balanceadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 EQUAÇÕES REDUZIDAS COM ε
ε
ε = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Teoria de Existência para o Problema Reduzido . . . . . . . . . 26
2.3 Análise do ε
ε
ε-erro e Inicialização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Técnica de Inicialização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
V
2.3.2 Estimativas para o ε
ε
ε−erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 VARIEDADES INERCIAIS APROXIMADAS . . . . . . . . . . . 56
3.1 Método de Galerkin não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Variedades Inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 A Variedade Aproximada M
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2 A Variedade Aproximada M
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao professor Mark Thompson pela orientação e a paciência
na realização deste trabalho.
2
RESUMO
Estimativas de erro são estabelecidas em termos do número de Rossby
para a aproximação de Galerkin não linear nas soluções do modelo atmosférico ba-
lanceado de Lorenz com massa forçante. Desse modo a aproximação espectral da
aproximação de Galerkin não linear é ligada ao número de Rossby.
Palavras-chave: Massa forçante, equações de águas rasas, balanceadas,
variedade lenta, variedade inercial aproximada.
3
ABSTRACT
Error estimates are established in terms of the Rossby number for a
nonlinear Galerkin approximation to the solutions of the balanced atmosphere model
of Lorenz with mass forcing. Thereby, the approximation spectral dimension of
the nonlinear Galerkin approximation is linked to the Rossby number.
Keywords: Mass Forcing, Shallow Water Equations, Balanced, Slow
Manifold, Approximate Inertial Manifold.
4
INTRODUÇÃO
O fluxo da água sobre uma superfície é um fenômeno físico do interesse
prático para muitos cientistas e pesquisadores. Por exemplo, fluxos tais como marés
do oceano, ondas do vento, ruptura de represas, inundações de rios e tsunamis
despertam grande interesse. Apesar da familiaridade diária do fluxo da água, as
equações governando o fluxo interno compreendem um papel intratável das equações,
demasiado complexo para ser de uso prático na maioria das aplicações. Conseqüente-
mente, as descrições aproximadas do fluxo são freqüentemente mais utilizadas. Uma
aproximação do uso comum para muitas aplicações conduz às Equações de Águas
Rasas, um sistema de equações diferenciais parciais não-lineares que aproximam o
momentum da superfície horizontal do fluxo. Embora sendo uma simplificação das
equações completas, as equações rasas da água raramente podem ser resolvidas exa-
tamente e apresentam mesmo grandes dificuldades para a computação numérica.
Além disso, muitas aplicações reais introduzem complicações adicionais,
tais como regiões secas, variáveis topográficas e evoluir dentro do domínio. O mode-
lo raso da água pode ser usado para prever ondas tanto em pequenas como em
grandes escalas de fluidos. Por isto, as leis que governam a atmosfera permitem a
presença simultânea de um número de modos de oscilações, entre elas os modos de
Rossby com período de vários dias, e os modos de inércia gravidade com período de
poucas horas. Logo, as ondas de gravidade são de muito menor amplitude que as
ondas de Rossby. Por este motivo, desejamos eliminar as ondas de gravidade das
equações primitivas, posto que podem comprometer seriamente os prognósticos; pois
requerem passos de tempo pequenos e podem interferir seriamente em prognósticos
de período curto.
Neste trabalho, estuda-se o modelo de Lorenz introduzido em [17], o
qual é uma simplificação das Equações de Águas Rasas. Desejamos expressar nosso
sistema em termos do número de Rossby, assim tomamos como referência o trabalho
de C. McWilliams and I. Yavneh [19], no qual é feita uma análise das equações
5
sem termo viscoso ν∆u
u
u e força externa F . Foi provado por J. W. Cárdenas & M.
Thompson em [4], a existência de solução para o modelo atmosférico de Lorenz, o
que nos indica o caminho a seguir com base ao problema proposto na dissertação de
J. Cárdenas [5].
Aqui apresentamos novos resultados para estimativas de erro para as
equações balanceadas. Mais precisamente, no capítulo 1, fazemos uma breve in-
trodução, lembrando alguns dos principais conceitos básicos, tais como espaços L
p
,
espaços de Sobolev, espaço das funções periódicas, entre outros. Apresenta-se uma
dedução física das Equações de Águas Rasas com orografia inferior, assim como
a formulação matemática do problema. Sendo assim fazemos uma expansão das
equações de águas rasas mediante a decomposição solenoidal para a velocidade
u
u
u =
−→
k × ∇ψ + ε∇χ,
desta maneira obtemos um conjunto de equações as quais chamaremos de Equações
Diagnósticas (1.26, 1.27 e 1.28).
No capítulo 2, negligenciando os termos de ordem maior do que um em
ε, temos o novo conjunto de Equações Reduzidas (2.1, 2.2 e 2.3). O segundo sis-
tema é freqüentemente resolvido utilizando técnicas numéricas como mencionamos
anteriormente. Aproveitando os conhecimentos da Análise Funcional e dos espaços
de Sobolev, estabelecemos o ε−erro como uma diferença entre estes sistemas e faze-
mos estimativas de regularidade em H
4
(Ω), para Ω = [0.1] ×[0, 1], com a finalidade
de estabelecer uma cota pequena para este erro. Com a finalidade de obter este
resultado é preciso introduzir uma técnica chamada de inicialização [12], que nos
permite ter valores iniciais pequenos para garantir valores no tempo sempre próxi-
mos de uma variedade lenta, isto requer a introdução de uma série de estimativas
dadas mediante lemas técnicos, os quais são de vital importância para a demons-
tração de nosso resultado central. Por outro lado, nas nossas estimativas obtém-se
termos de ordem superior ao procurado, o que requer a utilização de um argumento
via contradição, seguindo J. G. Heywood & R. Rannacher em [11]. Mediante este
6
desenvolvimento conseguimos enunciar nosso resultado central na forma do Teorema
2.3.1.
Já no capitulo 3, introduzimos o método não-linear de Galerkin, fazendo
uma aproximação por variedades inerciais para a solução z(t) do sistema reduzido.
Inspirados nos trabalhos de C. Foias, O. R. Temam, [8], X. Liu, [18] e E. S. Titi
[27], introduzimos a variedade inercial M
0
= graf (Φ
0
(p)), onde Φ
0
é descrito de
maneira explícita. Na seguinte seção deste capítulo introduzimos uma outra vari-
edade analítica M
s
= graf(Φ
s
(p)), com Φ
s
dado de maneira implícita, permitindo
a utilização de métodos computacionais para sua determinação, os quais, cabe lem-
brar, não são tratados neste trabalho.
Finalmente, combinando as estimativas dadas no Teorema 2.3.1 e a
aproximação mediante variedades inerciais usando o método de Galerkin não linear
temos a estimativa dada no Teorema 3.2.4, o qual nos diz que fazendo uma projeção
sobre as N + 1 primeiras auto-funções onde N ∼ (ε
−1
) ou N ∼ (ε
−1/2
) para
as variedades inerciais M
0
e M
s
, respectivamente, também é possível obter uma
solução aproximada das equações de Águas Rasas.
7
1 FORMULAÇÃO E ANÁLISE DO PROBLEMA
No presente capítulo daremos uma introdução acerca das principais
definições da Análise Funcional, e definiremos os conhecidos espaços de Sobolev e
suas principais propriedades.
No que segue, Ω denotará um aberto de R
n
, um ponto genérico de R
n
é denotado por x
x
x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
), e a medida de Lebesgue sobre R
n
é denotada
por dx
x
x = dx
1
. . . dx
n
.
1.1 Noções Preliminares
Para 1 ≤ p < ∞, L
p
(Ω) é o espaço das funções reais sobre Ω que são
L
p
para a medida de Lebesgue dx. Para p = ∞, L
∞
(Ω) é o espaço das funções reais
sobre Ω mensuráveis e essencialmente limitadas. L
p
é um espaço de Banach com
norma
u
L
p
(Ω)
=
Ω
|u(x
x
x)|
p
dx
x
x
1/p
, 1 ≤ p < ∞
sup
x
x
x∈Ω
ess |u(x
x
x)| , p = ∞.
Quando p = 2, L
2
(Ω) é um espaço de Hilbert com o produto escalar
< u, v >=
Ω
u(x
x
x) · v(x
x
x) dx
x
x.
Seja α
α
α = {α
1
, . . . , α
n
} um multi-índice de módulo |α
α
α| = α
1
+ . . . + α
n
. Definimos
D
i
u =
∂u
∂x
i
, 1 ≤ i ≤ n,
D
α
α
α
u = D
α
1
1
u . . . D
α
n
n
u =
∂
|α
α
α|
u
∂
α
1
x
1
. . . ∂
α
n
x
n
.
Utilizamos o termo loc para dizer que a propriedade referida é satisfeita
em subconjuntos pré-compactos
1
de Ω.
1
Conjuntos cujo fecho é compacto
8
1.2 Espaços de Sobolev
Considere o seguinte conjunto
C
∞
c
(Ω) = {φ : Ω −→ R / φ ∈ C
∞
(Ω), supp(φ) é compacto}
chamaremos de funções teste os elementos deste conjunto.
Definição 1.2.1. Suponha u, v ∈ L
p
loc
(Ω), e α
α
α um multi-índice. Dizemos que v é a
α
α
α derivada parcial fraca de u, e denotamos D
α
α
α
u = v, se
Ω
uD
α
α
α
φ dx
x
x = (−1)
|α
α
α|
Ω
vφ dx
x
x, ∀ φ ∈ C
∞
c
(Ω)
Lema 1.2.1. A α
α
α derivada parcial fraca de u, se existe, é unicamente definida, salvo
em um conjunto de medida zero.
Demonstração. Suponha que existem v, v ∈ L
1
loc
(Ω), satisfazendo a definição dada
acima. Logo tem-se
Ω
(v − v) φ dx
x
x = 0 , ∀ φ ∈ C
∞
c
(Ω),
o que implica a unicidade da derivada fraca quase sempre.
Considere 1 ≤ p ≤ ∞, e m um inteiro positivo.
Definição 1.2.2. O espaço das funções u ∈ L
p
loc
(Ω), cuja α
α
α derivada parcial fraca
existe e D
α
α
α
u ∈ L
p
(Ω), para todo multi-índice |α
α
α| ≤ m, é chamado espaço de Sobolev
e denotado por W
m,p
(Ω).
Observação 1. Se p = 2, escreveremos
H
m
(Ω) = W
m,2
(Ω) m = 0, 1, . . .
o qual é um espaço de Hilbert, via o produto escalar:
< u, v >
H
m
(Ω)
=
|α
α
α|≤m
D
α
α
α
u(x
x
x), D
α
α
α
v(x
x
x)
9
O espaço de Sobolev W
m,p
(Ω), é um espaço de Banach, com a seguinte
norma
u
W
m,p
(Ω)
:=
|α
α
α|≤m
D
α
α
α
u
p
L
p
(Ω)
1/p
(1 ≤ p < ∞)
|α
α
α|≤m
D
α
α
α
u
L
∞
(Ω)
(p = ∞)
1.2.1 Outros Espaços de Sobolev
Sejam X e Y dois espaços de Hilbert, X ⊂ Y , X denso em Y , com
injeção continua. A teoria de interpolação, fornece uma família de espaços de Hilbert
denotada por [X, Y ]
θ
, 0 ≤ θ ≤ 1, tal que [X, Y ]
0
= X, [X, Y ]
1
= Y , e
X ⊂ [X, Y ]
θ
⊂ Y (1.1)
as injeções em (1.1) sendo continuas, e cada espaço denso no sucedendo. A norma
sobre [X, Y ]
θ
é tal que
u
[X,Y ]
θ
≤ c(θ)u
1−θ
X
u
θ
Y
, ∀ u ∈ X, ∀ θ ∈ [0, 1]. (1.2)
Por interpolação entre H
m
(Ω) e H
m+1
(Ω) podemos definir para α ∈ (0, 1)
H
m+α
(Ω) = [H
m+1
(Ω), H
m
(Ω)]
1−α
(1.3)
Assim é possível definir espaços intermediários entre espaços de Sobolev
W
m,p
(Ω), W
m+1,p
(Ω), m ∈ N, e assim obtemos a família de espaços W
s,p
(Ω). s ∈ R
+
,
p > 1.
Outra forma de definir estes espaços é utilizando Transformada de
Fourier, como veremos na próxima seção.
10
1.2.2 Espaços H
s
(Ω) [Caso Ω = R
n
]
Utilizando Transformada de Fourier u ∈ H
m
(Ω), m um inteiro positivo,
se
Ω
|α|≤m
(2π)
2|α|
|ξ
2α
| |ˆu(ξ)|
2
dξ < ∞,
ou, equivalentemente,
Ω
(1 + |ξ|
2
)
m
|ˆu(ξ)|
2
dξ < ∞.
Assim, é natural definir o espaço de Sobolev H
s
(Ω) para valores de s ∈ R
+
como o
conjunto das funções cujas Transformadas de Fourier satisfazem a estimativa (veja
Lions [15], pag. 35.)
u
H
s
(Ω)
=
Ω
(1 + |ξ|
2
)
s
|ˆu(ξ)|
2
dξ < ∞.
1.2.3 Espaço de Funções Periódicas
Considere u : R
n
−→ R, uma função periódica de período L
i
> 0, em
cada coordenada x
i
, (i = 1, . . . , n), isto é
u(x
x
x + L
i
e
i
) = u(x
x
x) , ∀ x
x
x ∈ R
n
, onde {e
i
}
n
i=1
é a base canônica de R
n
Neste casso denotamos o período por Ω = (0, L
1
) × . . . × (0, L
n
) e por
W
m,p
per
(Ω) o espaço das restrições a Ω das funções periódicas, as quais são W
m,p
(O),
sobre qualquer aberto limitado O.
Como um caso particular para p = 2 temos os espaços H
m
per
(Ω), os quais
podem ser estudados por meio de expansões em series de Fourier
u(x
x
x) =
k
k
k∈Z
n
ˆu
k
e
2πik
k
k·
x
x
x
L
L
L
,
x
x
x
L
L
L
=
x
1
L
1
, . . . ,
x
n
L
n
(1.4)
Então, u ∈ L
2
(Ω) se e somente se
u
2
L
2
(Ω)
= |Ω|
k
k
k∈Z
n
|ˆu
k
|
2
< ∞ , |Ω| = L
1
. . . , L
n
11
e u ∈ H
s
per
(Ω), s ∈ R
+
, se e somente se
k
k
k∈Z
n
1 + |k
k
k|
2
s
|ˆu
k
|
2
< ∞ (1.5)
Além disso, a raiz quadrada da expressão na esquerda da desigualdade (1.5) induz
sobre H
s
per
(Ω) uma norma equivalente à de H
s
(Ω).
No que segue denotaremos
˙
L
2
(Ω) =
u ∈ L
2
(Ω) :
Ω
u(x
x
x) dx
x
x = 0
˙
H
m
(Ω) =
u ∈ H
m
(Ω) :
Ω
u(x
x
x) dx
x
x = 0
Então
˙
H
s
per
(Ω), s ∈ R
+
é o espaço das funções u ∈ L
2
(Ω), satisfazendo (1.4), (1.5) e
1
|Ω|
Ω
u(x
x
x) dx
x
x = 0.
1.2.4 Desigualdades de Sobolev
Lembramos algumas desigualdades conhecidas
2
:
Teorema 1.2.1 (Desigualdade de Poincaré). Sobre
˙
H
1
per
(Ω) temos:
u
L
2
(Ω)
≤ Cu
H
1
(Ω)
. ∀ u ∈
˙
H
1
per
(Ω).
Observação 2. Em nosso caso sobre
˙
H
1
per
(Ω), com Ω = [0, 1]×[0, 1], a Desigualdade
de Poincaré é dada por
u
L
2
(Ω)
≤ λ
−1/2
1
u
H
1
(Ω)
. ∀ u ∈
˙
H
1
per
(Ω).
Teorema 1.2.2 (Desigualdade de Schwarz com ε
ε
ε). Para a, b > 0, e ε > 0,
temos:
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
2
Para maiores detalhes veja o livro de Temam [24].
12
A seguir demonstramos a desigualdade de Agmon, mas fazemos isto
por meios mais diretos do que os enunciados no livro de Agmon ( veja [2], pag 210)
e explicitando o valor das constantes envolvidas.
Teorema 1.2.3 (Desigualdade de Agmon). Existe uma constante C
∞
(Ω) tal que
|u|
L
∞
(Ω)
≤ C
∞
u
1/2
L
2
(Ω)
∆u
1/2
L
2
(Ω)
, ∀ u ∈ H
2
per
(Ω)
onde C
∞
=
1
√
π
1 +
1
4π
.
Demonstração. Não obstante o fato de que este resultado é bem conhecido na
literatura, fazemos uma demonstração direta para o caso do quadrado Ω = [0, 1] ×
[0, 1], obtendo neste caso C
∞
explicitamente. Notemos que
u(x, y)
2
= u(ξ, y )
2
+ 2
x
ξ
u(ξ, y)u
x
(ξ, y) dξ.
Então,
|u|
2
L
∞
(Ω)
≤ |u(ξ, y)|
2
+ 2
x
ξ
|u(ξ, y)|
2
dξ
1/2
x
ξ
|u
x
(ξ, y)|
2
dξ
1/2
≤ |u(ξ, y)|
2
+ 2
1
0
|u(ξ, y)|
2
dξ
1/2
1
0
|u
x
(ξ, y)|
2
dξ
1/2
Agora integrando sobre Ω, |Ω| = 1, em (ξ, y) e utilizando Schwarz, temos
|u|
2
L
∞
(Ω)
≤ u
2
L
2
(Ω)
+ 2
1
0
dξ
1
0
dy
1
0
|u(ξ, y)|
2
dξ
1/2
1
0
|u
x
(ξ, y)|
2
dξ
1/2
≤ u
2
L
2
(Ω)
+ 2u
L
2
(Ω)
u
x
L
2
(Ω)
≤
1
2π
∇u
L
2
(Ω)
u
L
2
(Ω)
+ 2∇u
L
2
(Ω)
u
L
2
(Ω)
.
Daí, utilizando a Desigualdade de Poincaré,
|u|
2
L
∞
(Ω)
≤
2 +
1
2π
u
L
2
(Ω)
∇u
L
2
(Ω)
≤
2 +
1
2π
1
2π
u
L
2
(Ω)
∆u
L
2
(Ω)
ou,
|u|
L
∞
(Ω)
≤
1
√
π
1 +
1
4π
u
1/2
L
2
(Ω)
∆u
1/2
L
2
(Ω)
.
13
Precisamos uma desigualdade de interpolação entre L
2
(Ω) e H
1
(Ω).
Para isto seguimos como referência a demonstração de Teman (Veja [24] pag. 291 ).
Teorema 1.2.4 (Desigualdade de Sobolev).
u
L
4
(Ω)
≤ C
4
u
1/2
L
2
(Ω)
∇u
1/2
L
2
(Ω)
, ∀ u ∈ H
1
per
(Ω) (1.6)
onde C
4
=
4
1
4π
2
+
2
π
+ 2 .
Demonstração. Novamente posto que esta desigualdade é conhecida na bibli-
ografia daremos uma demonstração direta do resultado para o quadrado Ω = [0, 1]×
[0, 1], com uma constante dada explicitamente. Notemos que
u(x, y)
2
= u(ξ, y )
2
+ 2
x
ξ
u(ξ, y)u
x
(ξ, y) dξ
Daí,
u(x, y)
2
≤ u(ξ, y )
2
+ 2v
1
(y),
u(x, y)
2
≤ u(x, ζ)
2
+ 2v
2
(x),
onde
v
1
(y) =
1
0
u(ξ, y)u
x
(ξ, y) dξ e v
2
(x) =
1
0
u(x, ζ)u
y
(x, ζ) dζ.
Daí,
u(x, y)
4
≤ u(ξ, y)
2
u(x, ζ)
2
+ 2v
1
(y)u(x, ζ)
2
+ 2v
2
(x)u(ξ, y)
2
+ 4v
1
(y)v
2
(x).
Integrando sobre Ω, temos
Ω
u(x
x
x)
4
dx
x
x ≤
1
0
u(ξ, y)
2
dy
1
0
u(x, ζ)
2
dx + 2
1
0
v
1
(y)dy
1
0
u(x, ζ)
2
dx
+2
1
0
v
2
(x)dx
1
0
u(ξ, y)
2
dy + 4
1
0
v
1
(y)dy
1
0
v
2
(x)dx
≤ u
4
L
2
(Ω)
+ 2u
2
L
2
(Ω)
u
L
2
(Ω)
D
1
u
L
2
(Ω)
+ u
L
2
(Ω)
D
2
u
L
2
(Ω)
+4u
2
L
2
(Ω)
D
1
u
L
2
(Ω)
D
2
u
L
2
(Ω)
≤ u
4
L
2
(Ω)
+ 4u
3
L
2
(Ω)
∇u
L
2
(Ω)
+ 2u
2
L
2
(Ω)
∇u
2
L
2
(Ω)
≤
1
4π
2
u
2
L
2
(Ω)
∇u
2
L
2
(Ω)
+
2
π
u
2
L
2
(Ω)
∇u
2
L
2
(Ω)
+ 2u
2
L
2
(Ω)
∇u
2
L
2
(Ω)
e, daí,
u
L
4
(Ω)
≤
4
1
4π
2
+
2
π
+ 2 u
1/2
L
2
(Ω)
∇u
1/2
L
2
(Ω)
.
14
1.3 Equações de Água Rasa com Orografia Inferior
As Equações de Água Rasa ou Shallow Water Equations são uma
forma simples das equações de movimento que podem ser usadas para descrever a
estrutura horizontal de uma atmosfera. Elas descrevem a evolução de um fluído
incompressível em resposta às acelerações gravitacionais e rotacionais. As soluções
das equações de água rasa representam muitos tipos de movimentos, incluindo ondas
Rossby e ondas inércia-gravidade.
1.3.1 Formulação Física das Equações de Água Rasa
Figura 1.1: Equações de Água Rasa
As Equações de Água Rasa
descrevem um problema físico consistindo
de um fluído incompressível homogêneo de
altura média H, movimentando-se sobre
uma superfície com variável topográfica
h(x
x
x), onde x
x
x = (x, y), e extensão horizon-
tal infinita. A velocidade horizontal u é
suposta independente da altura do fluído,
e a velocidade vertical é determinada pela
continuidade de massa. O sistema inteiro
é suposto sobre um f −plano, por isso a ro-
tação da terra é suposta constante. Sua superfície livre superior é z(x
x
x, t) + H.
Na Figura 1.1, z(x, t) denota o desvio do fluído com respeito a H, g a aceleração da
gravidade, p
SL
a pressão da superfície livre e p
0
a pressão na orografía inferior.
Logo em nosso modelo suponha um fluído incompressível homogêneo
em equilíbrio hidrostático, portanto:
dp
dτ
= −ρg (1.7)
15
Integrando, obtemos
p
p
SL
=0
dp =
τ
z+H
−ρgdτ
p = ρg(z + H − τ)
ou, equivalentemente,
1
ρ
∇p = g∇z. (1.8)
Por outro lado da equação de continuidade
∇ · u +
∂w
∂τ
= 0
w
0
= 0 em z = h(x
x
x),
O que implica dw = −(∇ · u)dτ, (∇ · u é independente de z). Integrando:
w
SL
=
w
SL
w
0
dw = −
z+H
h
(∇ · u)dτ = −(∇ · u)(z + H − h)
sendo z + H e h superficies materiais, temos:
w
SL
=
∂
∂t
(z + H) =
∂h
∂t
= −(∇ · u)(z + H − h) (1.9)
Além disso, para o movimento horizontal no sistema
−→
= (0, sin θ, cos θ ) e
−→
g = (0, 0, −g), tem-se:
∂u
∂t
= −
1
ρ
∇p − f
−→
k × u, (1.10)
onde f = 2
τ
= 2 cos θ é o parâmetro de Coriolis. Substituindo (1.8) em (1.10)
e considerando (1.9), temos as equações de aguas rasas sem termos forçados nem
amortecidos:
∂u
∂t
+ f
−→
k × u + g∇z = 0
∂(z − h)
∂t
+ (z + H − h)∇ · u = 0
(1.11)
16
1.4 Formulação do Modelo Matemático
Vamos derivar o modelo massa forçando com orografia zero (isto é
h(x, y) = 0) para as Equações de Águas Rasas no f−plano, introduzido por Lorenz
em [17], descrito pelas equações
∂u
u
u
∂t
+ (u
u
u · ∇)u
u
u + f
−→
k ×u
u
u + g∇z = ν
∗
∆u
u
u (1.12)
∂z
∂t
+ div (u
u
u(z + H)) = k
∗
∆z + F
∗
(1.13)
Aqui os movimentos horizontais e verticais do fluído (u
u
u = (u
1
, u
2
), u
1
e
u
2
são a velocidade zonal e meridional respectivamente), são difusivamente amorte-
cidos com coeficientes de amortecimento ν
∗
, o qual é feito para ser uma viscosidade
turbulenta ∼ 2, 25 ×10
6
m
2
/s (Lorenz [17]) e k
∗
. O sistema é forçado supondo que
é introduzida ou retirada massa do fluído. A função que descreve esta força F
∗
(x
x
x) é
independente do tempo t e por conservação de massa
Ω
∗
F
∗
dx
x
x = 0, toda a massa adi-
cionada é suposta como movimentando-se a uma velocidade localmente apropriada.
Geralmente, a altura média H = 8 km, L = 1080 km, g = 10 m/s
2
e f
−1
= 3 horas.
As equações (1.12) e (1.13) são definidas na região do plano Ω
∗
= [0, L ] ×[0, L], sob
condições de fronteira periódicas.
Como desejamos distinguir a dependência do número de Rossby é mais
conveniente usar os escalas introduzidas por Mc Williams e Yanneh em [19] e não
as de Lorenz em [17], a saber
u
u
u −→ V
∗
u
u
u , (x, y) −→ L
−1
(x, y) , z −→
R[1, R]
B
Hz , F
∗
−→
R[1, R]
B
F H,
onde V
∗
é uma velocidade característica, R =
V
∗
fL
é o número de Rossby, F
r
=
V
∗
√
gH
o número de Froude e B =
R
F
r
2
o número de Burger . Também
[1, R] = max (1, R).
Por simplicidade na análise seguinte supomos que ν
∗
= k
∗
não obstante
seria apropriado incluir a hipótese de que ν
∗
k
∗
.
17
Observe que ν
0
= f
−1
L
−2
ν
∗
∼ 48
−1
e ν = R
−1
ν
0
, B = 8. Suponhamos
o caso R 1, de tal maneira que [1, R] = 1, sob estas escalas as equações tomam a
forma
R
∂u
u
u
∂t
+ R(u
u
u · ∇)u
u
u +
−→
k ×u
u
u + ∇z = Rν∆
∆
∆u
u
u (1.14)
R
∂z
∂t
+ R(u
u
u · ∇)z + (8 + Rz) div (u
u
u) = Rν∆z + F (1.15)
Estas novas equações (1.14) e (1.15) estão definidas no domínio Ω = [0, 1] × [0, 1].
Geralmente, trabalhamos não nos termos do número de Rossby mas do
parâmetro ε, relacionado a ele através da igualdade
ε =
R[1, R]
[1, B]
=
R
8
.
1.5 As Equações Balanceadas
Introduzindo a decomposição solenoidal para a velocidade
u
u
u =
−→
k × ∇ψ + ε∇χ, ξ = (u
2
)
x
− (u
1
)
y
,
onde
χ = velocidade potencial para a parte divergente da velocidade,
ψ = função de corrente para a parte rotacional de u
u
u,
∆χ = divergência do fluxo,
∆ψ = vorticidade do fluxo.
Note que
∇ ×u
u
u = ∆ψ = ξ e div u
u
u = ε∆χ.
Na equação (1.14), tomando o rotacional ∇×, temos
R
∂(∇ ×u
u
u)
∂t
+ R∇ × [(u
u
u · ∇)u
u
u] + ∇ × [
−→
k ×u
u
u] + ∇ × (∇z) = Rν∇ × (∆
∆
∆u
u
u) (1.16)
18
onde,
∇ × [(u
u
u · ∇)u
u
u] = (u
u
u · ∇)ξ + ( div u
u
u)(∇ ×u
u
u)
∇ ×[
[
[
−→
k ×u
u
u] = div u
u
u
∇ × (∇z) = 0
∇ × ∆u
u
u = ∆
∆
∆(∇ ×u
u
u).
Com estas equações vetoriais temos
R
∂ξ
∂t
+ R(u
u
u · ∇)ξ + εR∆χ ξ + ε∆χ = Rν∆ξ. (1.17)
Assim, na equação (1.15), temos
∂z
∂t
+ (u
u
u · ∇)z +
1
ε
+ Rz
div (u
u
u) = ν∆z +
F
R
. (1.18)
Agora na equação (1.14), tomamos a divergência
R
∂( div u
u
u)
∂t
+ R div [(u
u
u · ∇)u
u
u] + div [
−→
k ×u
u
u] + ∆z = Rν div (∆
∆
∆u
u
u), (1.19)
onde
div [(u
u
u · ∇)u
u
u] = (u
u
u · ∇) div u
u
u + (u
1
)
2
x
+ 2(u
1
)
y
(u
2
)
x
+ (u
2
)
2
y
div
−→
k ×u
u
u
= −(u
2
)
x
+ (u
1
)
y
div (∆
∆
∆u
u
u) = div (∇div u
u
u) = ε∆
2
χ.
Assim temos,
εR
∂(∆χ)
∂t
+ R ε (u
u
u · ∇)∆χ − Rνε∆
2
χ = −R
(u
1
)
2
x
+ 2(u
1
)
y
(u
2
)
x
+ (u
2
)
2
y
+ ξ − ∆z.
Por outro lado, substituindo os valores de u
1
e u
2
, proporcionados pela decomposição
solenoidal temos
(u
1
)
2
x
+ 2(u
1
)
y
(u
2
)
x
+ (u
2
)
2
y
=
−2J(ψ
x
ψ
y
) + ε
2J(ψ
y
, χ
y
) + 2J(ψ
x
, χ
x
) + ε
χ
2
xx
+ 2χ
2
xy
+ χ
2
yy
.
Definamos
E(ψ, χ) = 2J(ψ
y
, χ
y
) + 2J(ψ
x
, χ
x
) + ε(χ
2
xx
+ χ
2
yy
+ 2χ
2
xy
). (1.20)
19
Então,
εR
∂(∆χ)
∂t
+ R ε (u
u
u · ∇)∆χ − Rνε∆
2
χ = 2RJ(ψ
x
ψ
y
) − εRE(ψ, χ) + ξ − ∆ z.
Então as equações (1.14) e (1.15) tomam a forma
∂ξ
∂t
+ (u
u
u · ∇)ξ − ν∆ξ = −
1
8
+ εξ
∆χ, (1.21)
∂z
∂t
+ (u
u
u · ∇)z − ν∆z = −(1 + εz)∆χ +
F
R
, (1.22)
εR
∂∆χ
∂t
+ εR(u
u
u · ∇)∆χ − νεR∆
2
χ = 2R J(ψ
x
, ψ
y
) − εRE(ψ, χ) + ξ − ∆ z, (1.23)
ξ = ∆ψ. (1.24)
Recordemos agora que as Equações Balanceadas são obtidas negligenciando os ter-
mos O(εR). Assim, em (1.23) temos que
∆(ψ − z) = −16εJ(ψ
x
, ψ
y
)
tal que, se J(ψ
x
, ψ
y
) = O(1), temos (ψ − z) = O(ε). Isto motiva a introdução de
uma nova variável dependente w, dada por ψ − z = εw.
Na equação (1.22), fazendo cálculos vetoriais temos
∂z
∂t
− ν∆z = −(u
u
u · ∇)z − (1 + εz)∆χ +
F
R
,
onde
(u
u
u · ∇)z =
−→
k × ∇ψ · ∇
z + ε∇χ · ∇z = J(ψ, z) + ε∇χ · ∇z.
Por outro lado, ψ = z + εw, então J(ψ, z) = εJ(w, z). Daí, temos
∂z
∂t
− ν∆z = εJ(z, w) − ∇χ · ∇z − (1 + εz)∆χ +
F
R
. (1.25)
Agora da equação (1.21), considerando que ξ = ∆z + ε∆w, temos
ε
∂∆w
∂t
− εν∆
2
w = −(u
u
u · ∇)∆z − ε(u
u
u · ∇)∆w
−
∂∆z
∂t
− ν∆
2
z
−
1
8
+ ε∆z + ε
2
∆w
∆χ,
20
Agora calculamos cuidadosamente os termos do lado direito da equação anterior:
(u
u
u · ∇)∆z = J(ψ, ∆z) + ε∇χ · ∇∆z
= J(z, ∆z) + εJ(w, ∆z) + ε∇χ · ∇∆z
Analogamente,
(u
u
u · ∇)∆w = J(z, ∆w) + εJ(w, ∆w) + ε∇χ · ∇∆w.
A fim de calcular o terceiro termo utilizamos a equação (1.25), anteriormente en-
contrada:
∂∆z
∂t
− ν∆
2
z = −∆
2
χ + ε [∆J(z, w ) − ∆ (∇χ · ∇z) − ∆ (z∆χ)] +
∆F
R
,
onde
∆J(z, w) = J(∆z, w) + 2J(z
x
, w
x
) + 2J(z
y
, w
y
) + J(z, ∆w)
∆ (∇χ · ∇z) = ∇∆χ · ∇z + 2 ∇χ
x
· ∇z
x
+ 2∇χ
y
· ∇z
y
+ ∇χ · ∇∆z
∆ (z∆χ) = ∆z∆χ + 2∇z · ∇∆χ + z∆
2
χ.
Daí temos:
∂∆z
∂t
− ν∆
2
z = −∆
2
χ + ε [J(∆z, w) + 2J(z
x
, w
x
) + 2J(z
y
, w
y
) + J(z, ∆w)
− 3∇∆χ · ∇z − 2∇χ
x
· ∇z
x
− 2∇χ
y
· ∇z
y
− ∇χ · ∇∆z
− ∆z∆χ − z∆
2
χ
+
∆F
R
e assim
ε
∂∆w
∂t
− εν∆
2
w = J(∆z, z) + εJ(∆ z, w) − ε∇χ · ∇∆z + εJ(∆w, z)
+ ε
2
J(∆w, w) − ε
2
∇χ · ∇∆w + ∆
2
χ + ε [−J(∆z, w )
− 2J(z
x
, w
x
) − 2J(z
y
, w
y
) −J(z, ∆w) + 3∇∆χ · ∇z
+ 2∇χ
x
· ∇z
x
+ 2∇χ
y
· ∇z
y
+ ∇χ · ∇∆z + ∆ z∆χ
+ z∆
2
χ
−
1
8
+ ε∆z + ε
2
∆w
∆χ −
∆F
R
Finalmente da equação (1.23), temos
ε
∂∆χ
∂t
− νε∆
2
χ = −ε(u
u
u · ∇)∆χ + 2 J(ψ
x
, ψ
y
) − εE(ψ, χ) +
1
8
∆w,
21
onde
(u
u
u · ∇)∆χ = J(z, ∆χ) + εJ(w, ∆χ) + ε∇χ · ∇∆χ
J(ψ
x
, ψ
y
) = J(z
x
, z
y
) + εJ(z
x
, w
y
) + εJ(w
x
, z
y
) + ε
2
J(w
x
, w
y
).
Segue que
ε
∂∆χ
∂t
− νε∆
2
χ =
1
8
∆w + 2J(z
x
, z
y
)
+ ε [J(∆χ, z) + 2J(z
x
, w
y
)
+ 2J(w
x
, z
y
) − 2J(ψ
y
, χ
y
) − 2J(ψ
x
, χ
x
)]
+ ε
2
J(∆χ, w) − ∇χ · ∇∆χ + 2J(w
x
, w
y
) − χ
2
xx
− χ
2
yy
− 2χ
2
xy
.
Por outro lado, uma vez que ψ = z + εw, temos
J(ψ
y
, χ
y
) = J(z
y
, χ
y
) + εJ(w
y
, χ
y
)
J(ψ
x
, χ
x
) = J(z
x
, χ
x
) + εJ(w
x
, χ
x
)
Deste modo obtemos o novo conjunto de equações a seguir que chamare-
mos de Equações Diagnósticas
3
:
∂z
∂t
− ν∆z = −∆χ + ε [J(z, w) − ∇χ · ∇z − z∆χ] +
F
R
,
(1.26)
ε
∂∆w
∂t
− εν∆
2
w =
−
1
8
∆χ + J(∆z, z) + ∆
2
χ
+ ε [2J(∆w, z) + 3∇∆χ · ∇z
+ z∆
2
χ + 2J(w
x
, z
x
) + 2J(w
y
, z
y
) + 2∇χ
x
· ∇z
x
+ 2∇χ
y
· ∇z
y
+ ε
2
[J(∆w, w) − ∇χ · ∇∆w − ∆w∆χ] −
∆F
R
(1.27)
ε
∂∆χ
∂t
− νε∆
2
χ =
1
8
∆w + 2J(z
x
, z
y
)
+ ε [J(∆χ, z) + 2J(z
x
, w
y
)
+ 2J(w
x
, z
y
) + 2J(χ
y
, z
y
) + 2J(χ
x
, z
x
)]
+ ε
2
[−∇χ · ∇∆χ + 2J(w
x
, w
y
) + 2J(χ
y
, w
y
)
+ 2J(χ
x
, w
x
) + J(∆χ, w) − χ
2
xx
− χ
2
yy
− 2χ
2
xy
(1.28)
3
Também chamadas Equações da Vorticidade - Divergência.
22
2 EQUAÇÕES REDUZIDAS COM ε
ε
ε = 0
Neste capítulo apresentamos como um exemplo não trivial o caso no
qual ε = 0. Este caso também é tratado no artigo de Kopell [12], mas para as
equações de Navier Stokes, que não é o caso neste trabalho.
No sistema reduzido (1.26) - (1.28), desprezando os termos da ordem ε
mais alta do que zero, obtemos o conjunto reduzido das equações
∂z
∂t
− ν∆z + ∆χ −
F
R
= 0, (2.1)
−
1
8
∆χ + J(∆z, z) + ∆
2
χ −
∆F
R
= 0 (2.2)
1
8
∆ w + 2J(z
x
, z
y
) = 0. (2.3)
De (2.2) obtemos
χ =
−∆
2
+
1
8
∆
−1
J(∆z, z) −
∆F
R
e substituindo χ in (2.1) obtemos
∂z
∂t
− ν∆z =
F
R
−
−∆ +
1
8
−1
J(∆z, z) −
∆F
R
z (0) = z
0
.
(2.4)
Então w e χ são obtidas das equações reduzidas (2.2) e (2 .3) em Ω. A condição
inicial deve ser restrita a
w(0) = −16∆
−1
J(ψ
0,y
, ψ
0,x
),
ψ(0) = z(0) − 16ε∆
−1
J(ψ
0,y
, ψ
0,x
)
e
χ(0) =
−∆
2
+
1
8
∆
−1
J(∆z
0
, z
0
) −
∆F
R
.
(2.5)
Segue-se que podemos com segurança comparar o ε−sistema reduzido (1.26)−(1.28),
somente para os dados iniciais restritos z
0
, ψ
0
=
ψ(0), χ
0
= χ(0) dados por (2.5).
Em essência, supomos que estes dados iniciais ficam próximos a uma Variedade
Lenta e obtemos estimativas em intervalos determinados do tempo.
23
2.1 Considerações Gerais
Seja
V =
Ψ =
u
u
u
z
∈ P, satisfazendo
Ω
u
u
u dx
x
x = 0,
Ω
z dx
x
x = 0
onde P é o espaço dos polinômios trigonométricos de período 2π em x
x
x = (x, y).
Em cada caso definimos
H o fecho de V em L
2
(Ω) e
V =
˙
H
1
per
(D) o fecho de V em H
m
(Ω)
Funções em H
m
per
(Ω) podem ser estudadas por meio de series de Fourier
Ψ =
u
u
u
(
x
x
x, t
)
z(x
x
x, t)
=
k
k
k∈Z
2
a
k
(
t
)
b
k
(t)
e
2πik
k
k·x
x
x
, k
k
k = 0 , u
u
u =
u
u
u, z = z.
Tem-se Ψ ∈ H
m
per
(Ω) se e somente se
Ψ
2
m,2
=
k
k
k∈Z
2
(|a
k
|
2
+ |b
k
|
2
)(1 + |k
k
k|
2
)
m
< ∞.
Definição 2.1.1. Para u ∈ H e v ∈ V , definimos
|u|
2
=
Ω
|u(x)|
2
dx , e v
2
=
Ω
|∇v(x)|
2
dx
as normas e < ·, · >, << ·, · >> os produtos internos em H e V , respectivamente.
Definimos o operador A
0
com D(A
0
) =
˙
H
2
per
(Ω) por meio da forma
bilinear
< A
0
u, v >=<< u, v >> u, v ∈
˙
H
1
per
(Ω)
A
−1
0
é um operador linear continuo de H em D(A
0
), além disso, compacto e auto-
adjunto em H. Assim podemos usar a teoria espectral elementar de operadores
compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert para inferir que existe uma base
ortonormal de auto-funções de A
−1
0
A
−1
0
w
j
= µ
j
w
j
, w
j
∈ D(A
0
)
µ
1
≥ µ
2
≥ . . . , µ
j
−→ 0, quando j −→ ∞.
24
Fazendo λ
j
= µ
−1
j
, obtemos uma seqüência enumerável de autofunções {w
j
, j ∈ N},
as quais formam uma base ortonormal de H, tais que
A
0
w
j
= λ
j
w
j
, w
j
∈ D(A
0
)
0 < λ
1
≤ λ
2
≤ . . . , λ
j
−→ ∞, quando j −→ ∞
Considerando A
0
um operador não limitado, definido positivo, auto-adjunto uti-
lizamos a teoria espectral (veja [23]) para definir potências destes operadores A
s
0
de
A
0
para s ∈ R. Para todo s > 0, A
s
0
é um operador não limitado auto-adjunto com
domínio denso. O operador A
s
0
é positivo definido e injetivo.
Para u, v ∈ H
1
(Ω) definimos B(u, v) ∈ V
por
b(u, v, w) = < B(u, v), w >=< (u · ∇)v, w >, u, v, w ∈ V.
=
2
i,j=1
Ω
u
i
(D
i
v
j
)w
j
dx
x
x.
Então B é um operador continuo bilinear de H
1
(Ω)×H
1
(Ω)(ou V ×V ) em V
e este
operador pode ser estendido como um operador de H
m
1
(Ω) ×H
m
2
(Ω) em V
ou H,
para apropriados valores de m
1
e m
2
. Enunciamos a seguir algumas desigualdades
para o operador definido acima:
E1. |b(u, v, w)| ≤ C
4
|u|
1/2
u
1/2
v |w|
1/2
w
1/2
, ∀ u, v, w ∈ V .
Demonstração. Fazendo repetidas aplicações das desigualdades de
Schwarz e Sobolev, encontramos
|b(u, v, w)| ≤
2
i,j=1
Ω
|u
i
(D
i
v
j
)w
j
| dx
x
x
≤
2
i,j=1
u
i
L
4
(Ω)
D
i
v
j
L
2
(Ω)
w
j
L
4
(Ω)
≤
2
i,j=1
|D
i
v
j
|
2
1/2
·
2
i,j=1
u
i
2
L
4
(Ω)
1/2
·
2
i,j=1
w
j
2
L
4
(Ω)
1/2
.
Por outro lado, utilizando a equação (1.6), tem-se
2
i,j=1
u
i
2
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
2
i,j=1
|u
i
| |∇u
i
| ≤ C
2
4
|u| u.
25
Analogamente, temos uma estimativa para w
j
. Daí,
|b(u, v, w)| ≤ C
4
|u|
1/2
u
1/2
v |w|
1/2
w
1/2
Observação 3. Se u, v, w ∈ V , a relação
b(u, v, w) = −b(u, w, v)
estabelece uma outra estimativa para b:
|b(u, v, w)| ≤ C
4
|u|
1/2
u
1/2
|v|
1/2
v
1/2
v.
E2. |B(u, v)| ≤ C
∞
|u|
1/2
|A
0
u|
1/2
v, ∀ v ∈ V, ∀ u ∈ D(A
0
).
Demonstração. Note que
|B(u, v)| = |(u.∇)v| ≤ |u|
∞
|A
1/2
0
v| ≤ C
∞
|u|
1/2
|A
0
u|
1/2
|A
1/2
0
v|.
E3. |B(u, v)| ≤ C
1
|u|
1/2
u
1/2
v
1/2
|A
0
v|
1/2
, ∀ u ∈ V, ∀ v ∈ D(A
0
).
Demonstração. Interpolando e utilizando a desigualdade 1.6, temos
|B(u, v)| ≤ u
L
4
(Ω)
∇v
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
|u|
1/2
|A
1/2
0
u|
1/2
|A
1/2
0
v|
1/2
|A
0
v|
1/2
e assim temos, C
1
= C
2
4
.
E4. B(u, v) ≤
C
2
√
λ
1
|A
0
u| |A
0
v|, ∀ u, v ∈ D(A
0
).
Demonstração. Também,
|A
1/2
0
B(u, v)| = |∇[(u.∇)v]|
≤ A
1/2
0
u
L
4
(Ω)
A
1/2
0
v
L
4
(Ω)
+ u
L
∞
(Ω)
|A
0
v|
≤ C
2
4
|A
1/2
0
u|
1/2
|A
0
u|
1/2
|A
1/2
0
v|
1/2
|A
0
v|
1/2
+ |u|
∞
|A
0
v|
≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
0
u| |A
0
v| + C
∞
|u|
1/2
|A
0
u|
1/2
|A
0
v|
≤ (C
2
4
+ C
∞
)λ
−1/2
1
|A
0
u| |A
0
v|.
26
Logo, temos C
2
=
1
4π
2
+
2
π
+ 2 +
1
√
π
1 +
1
4π
E5.
A
s/2
0
B(u, v)
≤
C
3
λ
s/2−1/2
1
|A
s/2
0
u| |A
s+1
2
0
v|, s > 1.
Demonstração. Utilizando a fórmula de Leibniz, temos:
A
s/2
0
B(u, v)
≤
β≤s/2
s/2
β
A
β
0
u
A
s/2−β
0
A
1/2
0
v
L
∞
(Ω)
≤
β≤s/2
s/2
β
C
∞
λ
s/2−1/2
1
A
s/2
0
u
A
s+1
2
0
v
Assim temos C
3
=
β≤s/2
s/2
β
1
√
π
1 +
1
4π
.
2.2 Teoria de Existência para o Problema Reduzido
Nesta seção consideramos a teoria de existência para o problema re-
duzido descrito pelas equações (2.4)( e (2.5)). Denotaremos ∇
⊥
=
∂
∂y
, −
∂
∂x
, além
disso, lembremos que
J(f, g) =
f
x
g
x
f
y
g
y
= ∇f · ∇
⊥
g.
Observe primeiramente que para z suficientemente suave, obtemos me-
diante integração por partes:
Ω
J(∆z, z) dx
x
x =
Ω
∇∆z · ∇
⊥
z dx
x
x = −
Ω
∆z div (∇
⊥
z) dx
x
x = 0.
Além disto,
< J(∆z, z), z > =
Ω
J(∆z, z) z dx
x
x =
Ω
(∇(∆z) · ∇
⊥
z) z dx
x
x
=
1
2
Ω
∇(∆z) · ∇
⊥
z
2
dx
x
x = −
1
2
Ω
∆z div (∇
⊥
z
2
) dx
x
x = 0
27
por outro lado < J(∆z, z), ∆z >= − < J(z, ∆z), ∆z >, obtendo assim,
Ω
J(∆z, z) dx
x
x = 0 (2.6)
< J(∆z, z), z >= 0, e < J(∆z, z), ∆z >= 0 (2.7)
Note que (2.4) pode ser reescrita na forma:
∂
∂t
A
0
+
1
8
z + ν
A
0
+
1
8
A
0
z =
F
8R
+ J(A
0
z, z)
z(0) = z
0
(2.8)
No que segue supomos que z
0
∈ H
2
per
(Ω). Esta não parece ser uma
exigência muito restritiva. Tomando o produto escalar de (2.8) com
A
0
+
1
8
z.
Obtemos
1
2
d
dt
A
0
+
1
8
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
z
2
=
1
8
F
R
,
A
0
+
1
8
z
+
J(A
0
z, z),
A
0
+
1
8
z
.
(2.9)
Note que o termo
J(A
0
z, z),
A
0
+
1
8
z
= < J(A
0
z, z), A
0
z > +
1
8
< J(A
0
z, z), z >
= 0 por (2.7)
Utilizando a Desigualdade de Schwarz e a Desigualdade de Poincaré,
1
8
F
R
,
A
0
+
1
8
z
≤
λ
−1/2
1
8
F
R
A
0
+
1
8
z
≤
δ
2
A
0
+
1
8
z
2
+
1
128δλ
1
F
R
2
.
(2.10)
Então, usando as estimativas (2.10) na equação (2.9), temos
1
2
d
dt
A
0
+
1
8
z
2
+
1
2
(ν − δ)
A
0
+
1
8
z
2
≤
1
128δλ
1
F
R
2
=
C
δ
2
e
d
dt
A
0
+
1
8
z
2
+ (ν − δ) λ
1
A
0
+
1
8
z
2
≤ C
δ
(2.11)
28
segue-se que
A
0
+
1
8
z
2
≤ e
−(ν−δ)λ
1
t
A
0
+
1
8
z
0
2
+
C
δ
λ
1
(ν − δ)
1 − e
−(ν−δ)λ
1
t
(2.12)
Um teorema de existência rigoroso pode ser estabelecido por meio dos métodos
padrão de Faedo-Galerkin [24], mostrando desse modo que (2.4) tem uma solução
forte satisfazendo (2.12). A teoria de variedades inerciais aproximadas de Constantin-
Foias-Temam pode ser aplicada ao sistema (2.2) - (2.4). Entretanto, vamos exam-
inar primeiro a aproximação do sistema completo (1.26) - (1.28) por este sistema
reduzido.
Note que (2.12) conduz a lim
t−→∞
A
0
+
1
8
z
≤
C
1/2
δ
λ
1/2
1
(ν − δ)
1/2
.
Daqui, tomando δ = ν/2 é possível dizer
A
0
+
1
8
z
≤
1
4λ
1
ν
F
R
= D
F,z
0
(2.13)
2.3 Análise do ε
ε
ε-erro e Inicialização
Desejamos comparar as soluções dos sistemas (1.26) - (1.28) e (2.1) -
(2.3). Isto estabelece um sistema de equações, onde teremos que fazer as estimativas
a fim de demonstrar que dito erro é controlado pela escolha dos dados iniciais.
2.3.1 Técnica de Inicialização
Nesta seção introduziremos uma Técnica de Inicialização, a qual nos
permitira tomar os dados iniciais perto de uma variedade (lenta), Σ, a qual definire-
mos no Lema Técnico 2.3.2.
A escolha dos dados iniciais permitirá um maior controle em nossas
constantes a estimar, as quais serão suficientemente pequenas para as finalidades
precisas. Fazemos isto enunciando e demonstrando alguns Lemas Técnicos, os quais
permitiram fazer uma estimativa do ε−erro.
29
Lema Técnico 2.3.1. Seja z satisfazendo (2.1). Então,
|A
3/2
0
z | ≤ ρ
1
, ∀ t ≥ t
0
=
2
νλ
1
,
onde
ρ
1
=
5
32λ
1
ν
2
1 +
1
8λ
1
F
R
2
exp
C
2
∞
8λ
2
1
ν
3
1 +
1
8λ
1
2
F
R
2
e F feito uma apropriada variedade de dimensão infinita.
Demonstração. Integrando a equação (2.11) entre t e t + r, obtemos
(ν − δ)
t+r
t
A
0
+
1
8
z
2
dτ ≤ C
δ
τ +
A
0
+
1
8
z
2
.
Note que
A
0
+
1
8
3/2
z
≤
1 +
1
8λ
1
A
0
+
1
8
z
.
Segue-se fazendo δ = ν/2, temos C
δ
=
1
32νλ
1
F
R
2
e
t+r
t
A
0
+
1
8
3/2
z
2
dτ ≤
2
ν
1 +
1
8λ
1
C
δ
r +
A
0
+
1
8
z
2
≤
2
ν
1 +
1
8λ
1
C
δ
r +
2C
δ
νλ
1
+ e
−
λ
1
ν
2
t
A
0
+
1
8
z
0
2
.
Coloque σ =
A
0
+
1
8
3/2
z
2
. Tomando o produto interno de (2.8) com
A
0
+
1
8
2
z,
1
2
dσ
dt
+ ν
A
0
+
1
8
3/2
z
2
=
F
8R
,
A
0
+
1
8
2
z
σ
1
+
J(A
0
z, z),
A
0
+
1
8
2
z
σ
2
,
onde
σ
2
≤
1 +
1
8λ
1
2ν
|J(A
0
z, z)|
2
+
ν
2
A
1/2
0
A
0
+
1
8
3/2
z
2
.
Por outro lado,
|J(A
0
z, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
A
3/2
0
z
2
≤ C
∞
λ
−1/2
1
σ.
30
Então, utilizando a desigualdade de Schwarz,
σ
1
≤
ν
2
A
0
+
1
8
3/2
z
2
+
1
2ν
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
σ
2
≤
1
2ν
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−1
1
σ
2
+
ν
2
A
0
+
1
8
3/2
z
2
.
Segue-se que
dσ
dt
≤
1
ν
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−1
1
σ
2
+
1
ν
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
,
onde
t+r
t
σdτ ≤
2
ν
1 +
1
8λ
1
C
δ
r +
2C
δ
νλ
1
+ e
−
λ
1
ν
2
t
A
0
+
1
8
z
0
2
= a
3
a
1
=
1
ν
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−1
1
a
3
a
2
=
1
ν
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
r.
Agora, usando o Lema de Gronwall uniforme obtemos a estimativa,
σ(t) ≤
a
3
r
+ a
2
exp(a
1
) , t ≥ r.
Note que para t grande,
a
3
∼
2
ν
1 +
1
8λ
1
C
δ
r +
2C
δ
νλ
1
a
1
∼
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
C
2
∞
λ
−1
1
C
δ
r +
2C
δ
νλ
1
e
σ(t) ≤
1
ν
1 +
1
8λ
1
2
C
δ
+
2C
δ
νλ
1
r
+
F
8R
2
r
exp(a
1
)
≤
1 +
1
8λ
1
F
R
2
1
16λ
1
ν
2
+
1
8λ
2
1
ν
3
r
+
r
64ν
×exp
1 +
1
8λ
1
2
F
R
2
1
16λ
2
1
ν
3
+
1
8λ
3
1
ν
4
r
C
2
∞
tomando r =
2
νλ
1
, para t ≥
2
νλ
1
, temos
σ(t) ≤
5
32λ
1
ν
2
1 +
1
8λ
1
F
R
2
exp
C
2
∞
8λ
2
1
ν
3
1 +
1
8λ
1
2
F
R
2
31
Lema Técnico 2.3.2. Seja z satisfazendo a equação (2.1) e cujos dados inicias
são tais que 2λ
−1
1
C
∞
ρ
1
≤ ν. Então
A
3
/
2
0
z
t
≤
A
3
/
2
0
z
t
(t
0
)
= β , t ≥ t
0
, (2.14)
onde β é uma constante pequena.
Demonstração. Derivando em relação a t a equação (2.8) e supondo F indepen-
dente de t, obtemos que
∂
2
z
∂
2
t
+ νA
0
∂z
∂t
=
A
0
+
1
8
−1
[J(A
0
z
t
, z) + J(A
0
z, z
t
)] . (2.15)
Tomando o produto interno da equação (2.15) com A
3
0
z
t
, obtemos
1
2
d
dt
A
3/2
0
z
t
2
+ ν
A
2
0
z
t
2
=
(A
0
+ 1/8)
−1
[J(A
0
z
t
, z) + J(A
0
z, z
t
)] , A
3
0
z
t
≤ (|J(A
0
z
t
, z)| + |J(A
0
z, z
t
)| )
A
2
0
z
t
,
onde
|J(A
0
z
t
, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
z
t
| |A
3/2
0
z |
|J(A
0
z, z
t
)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
A
3/2
0
z
t
A
3/2
0
z
.
Assim, temos
1
2
d
dt
A
3/2
0
z
t
2
+ ν
A
2
0
z
t
2
≤ 2C
∞
λ
−1/2
1
A
3/2
0
z
t
A
3/2
0
z
A
2
0
z
t
Aplicando Schwarz’s, temos
d
dt
A
3/2
0
z
t
2
+ ν
A
2
0
z
t
2
≤
4C
2
∞
λ
−2
1
ρ
2
1
ν
A
3/2
0
z
t
2
Supomos como hipótese, com base nos dados iniciais, que 2λ
−1
1
C
∞
ρ
1
≤
ν e assim obtemos a estimativa desejada.
Lema Técnico 2.3.3. Seja z satisfazendo (2.1). Então,
|A
2
0
z | ≤ ρ
2
, ∀ t ≥ t
0
,
32
onde
ρ
2
2
=
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
1
ν
4
λ
4
1
1 +
1
8λ
1
2
C
4
∞
+ 1
F
8R
2
+
λ
1
2
1 +
1
8λ
1
ρ
2
1
+
1
λ
1
ν
2
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
× exp (b
1
)
b
1
=
8
ν
4
λ
3
1
1 +
1
8λ
1
3
C
2
∞
1
ν
4
λ
4
1
1 +
1
8λ
1
2
C
4
∞
+ 1
F
8R
2
+
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
C
2
∞
λ
−2
1
ρ
2
1
Demonstração. Tomando o produto interno de (2.8) com
A
0
+
1
8
3
z e pondo
Y =
A
0
+
1
8
2
z
2
temos:
1
2
dY
dt
+ ν
A
0
+
1
8
2
z
2
=
F
8R
,
A
0
+
1
8
3
z
Y
1
+
J(A
0
z, z),
A
0
+
1
8
3
z
Y
2
onde
Y
2
≤
1 +
1
8λ
1
2ν
A
0
+
1
8
1/2
J(A
0
z, z)
2
+
ν
2
A
0
+
1
8
2
z
2
.
Por outro lado
A
0
+
1
8
1/2
J(A
0
z, z)
≤ 2C
∞
λ
−1
1
Y.
Então, utilizando a desigualdade de Schwarz,
Y
2
≤
ν
2
A
1/2
0
A
0
+
1
8
2
z
2
+
1 +
1
8λ
1
2ν
F
8R
2
Y
1
≤
2
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−2
1
ν
Y
2
+
ν
2
A
1/2
0
A
0
+
1
8
2
z
2
.
Segue-se que
dY
dt
≤
1
ν
1 +
1
8λ
1
2C
2
∞
λ
−2
1
Y
2
+
1
2
F
8R
2
. (2.16)
33
Agora tomando o produto interno de (2.8) com
A
0
+
1
8
2
z,
1
2
dσ
dt
+ ν
A
0
+
1
8
3/2
z
2
=
F
8R
,
A
0
+
1
8
2
z
σ
1
+
J(A
0
z, z),
A
0
+
1
8
2
z
σ
2
,
onde
σ
2
≤
2
ν
1 +
1
8λ
1
|J(A
0
z, z)|
2
+
ν
8
A
1/2
0
A
0
+
1
8
2
z
2
,
Além disto
|J(A
0
z, z)| ≤ C
∞
λ
−1
1
σ
1/2
A
0
+
1
8
3/2
z
Então, utilizando a desigualdade de Schwarz,
σ
1
≤
ν
8
A
0
+
1
8
2
z
2
+
2
ν
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
σ
2
≤
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−2
1
σ +
3ν
8
A
0
+
1
8
2
z
2
.
Logo, temos
dσ
dt
+ ν
A
0
+
1
8
3/2
z
2
≤
2
ν
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−2
1
ν
σ +
F
8R
2
Integrando de t até t + r, e lembrando que
Y ≤
1 +
1
8λ
1
A
0
+
1
8
3/2
z
2
,
temos
t+r
t
Y dτ ≤
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
C
2
∞
λ
−2
1
ν
t+r
t
σ dτ +
F
8R
2
r
+
1
ν
1 +
1
8λ
1
σ(t).
Note que para t ≥
2
νλ
1
, tem-se
t+r
t
Y dτ ≤
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
C
2
∞
λ
−2
1
ν
a
3
+
F
8R
2
r
+
1
ν
1 +
1
8λ
1
ρ
2
1
= b
3
Daí, na equação (2.16) aplicando o Lema de Gronwall Uniforme
Y (t) ≤
b
3
r
+ b
2
exp (b
1
) , ∀ t ≥ r
34
b
1
=
2
ν
1 +
1
8λ
1
C
2
∞
λ
−2
1
b
3
b
2
=
1
2ν
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
r
b
3
∼
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
2
ν
3
1 +
1
8λ
1
2
C
4
∞
λ
−3
1
C
δ
r +
2C
δ
νλ
1
+
F
8R
2
r
+
1
ν
1 +
1
8λ
1
ρ
2
1
.
Então, tomando r = t
0
, temos
Y (t) ≤
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
4
ν
3
1 +
1
8λ
1
2
C
4
∞
λ
−3
1
C
δ
+
F
8R
2
+
λ
1
2
1 +
1
8λ
1
ρ
2
1
+
1
λ
1
ν
2
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
×exp (b
1
)
por outro lado C
δ
=
1
32νλ
1
F
R
2
, e
b
1
=
8
ν
4
λ
3
1
1 +
1
8λ
1
3
C
2
∞
1
ν
4
λ
4
1
1 +
1
8λ
1
2
C
4
∞
+ 1
F
8R
2
+
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
C
2
∞
λ
−2
1
ρ
2
1
assim tem-se
Y (t) ≤
2
ν
2
1 +
1
8λ
1
2
1
ν
4
λ
4
1
1 +
1
8λ
1
2
C
4
∞
+ 1
F
8R
2
+
λ
1
2
1 +
1
8λ
1
ρ
2
1
+
1
λ
1
ν
2
1 +
1
8λ
1
F
8R
2
× exp (b
1
)
Lema Técnico 2.3.4. Seja χ satisfazendo (2.2). Então,
|A
3/2
0
χ | ≤ ρ
3
, ∀ t ≥ t
0
onde ρ
3
= C
∞
λ
−1
1
ρ
2
1
+ λ
−1/2
1
A
0
F
R
.
35
Demonstração. Temos da equação (2.2),
A
0
A
0
+
1
8
χ = J(A
0
z, z) −
A
0
F
R
.
Por outro lado temos
|A
3/2
0
χ| ≤ λ
−1/2
1
|A
2
0
χ| ≤ λ
−1/2
1
A
0
A
0
+
1
8
χ
.
Logo, é possível dizer
|A
3/2
0
χ| ≤ λ
−1/2
1
|J(A
0
z, z)| +
A
0
F
R
,
onde
|J(A
0
z, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
ρ
2
1
.
Desta última estimativa segue o resultado.
Lema Técnico 2.3.5. Seja w satisfazendo (2.3). Então,
|A
3/2
0
w | ≤ ρ
4
, ∀ t ≥ t
0
onde ρ
4
= 32C
∞
λ
−1
1
ρ
2
.
Demonstração. Da equação (2.3), tem-se
A
0
w = 16J(z
x
, z
y
).
Então,
|A
3/2
0
w| ≤ 16
|A
0
z
x
| ∇z
y
L
∞
(Ω)
+ |∇z
x
| A
0
z
y
L
∞
(Ω)
≤ 16
2C
∞
|A
3/2
0
z | |A
0
z|
1/2
|A
2
0
z|
1/2
≤ 32C
∞
λ
−1
1
|A
2
0
z|
2
.
Assim concluímos a demonstração.
Lema Técnico 2.3.6. Seja χ satisfazendo (2.2). Então,
∂(A
0
χ)
∂t
≤ M
1
, ∀ t ≥ t
0
onde M
1
= 2C
∞
λ
−3/2
1
ρ
1
β.
36
Demonstração. Note que
∂(A
0
χ)
∂t
= A
0
∂ χ
∂t
, da equação (2.2) temos,
A
0
A
0
+
1
8
∂ χ
∂t
= J(A
0
z
t
, z) + J(A
0
z, z
t
).
Por outro lado,
A
0
∂ χ
∂t
≤ λ
−1
1
A
2
0
∂ χ
∂t
≤ λ
−1
1
A
0
A
0
+
1
8
∂ χ
∂t
.
Daí,
∂(A
0
χ)
∂t
≤ λ
−1
1
(|J(A
0
z
t
, z)| + |J(A
0
z, z
t
)|) ,
onde
|J(A
0
z
t
, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
ρ
1
|A
3/2
0
z
t
|
|J(A
0
z, z
t
)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
ρ
1
|A
3/2
0
z
t
|.
Utilizando a técnica de inicialização introduzida no Lema Técnico 2.3.2, temos
∂(A
0
χ)
∂t
≤ 2C
∞
λ
−3/2
1
ρ
1
|A
3/2
0
z
t
| ≤ 2C
∞
λ
−3/2
1
ρ
1
β.
O controle deste termo é conseguido com controle de
A
3/2
0
z
t
(0)
ou com β, essen-
cialmente uma forma de inicialização.
Lema Técnico 2.3.7. Seja χ satisfazendo (2.2). Então,
|A
2
0
χ | ≤ M
2
, ∀ t ≥ t
0
,
onde M
2
= C
∞
λ
−1/2
1
ρ
2
1
+
A
0
F
R
.
Demonstração. Da equação (2.2), temos
|A
2
0
χ| ≤ |J(A
0
z, z)| +
A
0
F
R
≤ C
∞
λ
−1/2
1
ρ
2
1
+
A
0
F
R
.
Lema Técnico 2.3.8. Seja w satisfazendo (2.3). Então,
∂(A
0
w)
∂t
≤ M
3
, ∀ t ≥ t
0
,
onde M
3
= 32C
2
4
λ
−1/2
1
ρ
1
β.
37
Demonstração. Da equação (2.3) temos
∂(A
0
w)
∂t
= 16 (J(z
tx
, z
y
) + J(z
x
, z
ty
)) ,
onde
|J(z
tx
, z
y
)| ≤ A
1/2
0
z
tx
L
4
(Ω)
A
1/2
0
z
y
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
|A
0
z
t
|
1/2
|A
3/2
0
z
t
|
1/2
|A
0
z |
1/2
|A
3/2
0
z |
1/2
≤ C
2
4
λ
−1/2
1
ρ
1
|A
3/2
0
z
t
|.
Analogamente,
|J(z
x
, z
ty
)| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
ρ
1
|A
3/2
0
z
t
|.
Utilizando a Técnica de inicialização introduzida no Lema técnico 2.3.2, temos
∂(A
0
w)
∂t
≤ 32C
2
4
λ
−1/2
1
ρ
1
|A
3/2
0
z
t
(0)| ≤ 32C
2
4
λ
−1/2
1
ρ
1
β
O controle deste termo também é conseguido com controle de β.
Lema Técnico 2.3.9. Seja w satisfazendo (2.3). Então temos:
|A
0
w| ≤ M
4
, ∀ t ≥ t
0
,
onde M
4
= 2(C
∞
+ 2C
2
4
)λ
−3/2
1
ρ
2
2
.
Demonstração. Utilizando a equação (2.3), temos
A
2
0
w = 16A
0
J(z
x
, z
y
),
isto é,
|A
2
0
w| ≤ 16 (|J(A
0
z
x
, z
y
)| + 2|J(z
xx
, z
yx
)| + 2|J(z
xy
, z
yy
)| + |J(z
x
, A
0
z
y
)|) ,
onde
|J(A
0
z
x
, z
y
)| ≤ |A
3/2
0
z
x
| |∇z
y
|
L
∞
(Ω)
≤ C
∞
|A
2
0
z ||A
0
z |
1/2
|A
2
0
z |
1/2
≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
2
0
z|
2
.
38
De maneira análoga para o outro termo obtemos,
|J(A
0
z
x
, z
y
)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
ρ
2
2
|J(z
x
, A
0
z
y
)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
ρ
2
2
.
Nos termos restantes temos,
|J(z
xx
, z
yx
)| ≤ |A
3/2
0
z |
2
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
|A
3/2
0
z | |A
2
0
z | ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
2
0
z |
2
.
Também,
|J(z
xy
, z
yy
)| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
ρ
2
2
.
Das estimativas acima facilmente concluímos a demonstração.
2.3.2 Estimativas para o ε
ε
ε−erro
Agora com a ajuda dos lemas técnicos antes demonstrados teremos
possibilidades para estimar o ε−erro. Assim, demonstraremos que a norma em
H
2
(Ω) da diferença entre a solução do sistema diagnóstico e o sistema balanceado é
de ordem ε
1/2
.
Enunciamos o resultado de uma longa serie de estimativas, como um
teorema.
Teorema 2.3.1. Suponha que os dados iniciais estejam próximos da variedade lenta,
Σ, tendo a hipótese C
∞
(ε + 1)ρ
1
λ
−1
1
≤
ν
4
. Então a seguinte estimativa é válida
z − z
H
2
(Ω)
∼ (ε
1/2
) , ∀ t ∈ [t
0
, t
0
+ T ] (2.17)
Demonstração. Fazendo z = Z +z, w = W + w, χ = X + χ e subtraindo (2.1),
(2.2) e (2.3) de (1.26), (1.27) e (1.28), respectivamente, multiplicando na equação
para Z por ε e passando para a variável τ =
t
ε
, obtemos:
39
∂A
0
Z
∂τ
+ νεA
2
0
Z − εA
2
0
X = H
1
∂A
0
X
∂τ
+ νεA
2
0
X −
1
8
A
0
W = H
2
ε
∂A
0
W
∂τ
+ νεA
2
0
W + A
0
A
0
+
1
8
X = H
3
Z(τ
0
) = X(τ
0
) = W (τ
0
) = 0.
(2.18)
Os termos do lado direito da equação (2.18) são dados por:
H
1
= ε
2
[A
0
J(z, w) − A
0
(∇χ · ∇z) + A
0
(z A
0
χ)]
(2.19)
H
2
= −
∂(A
0
χ)
∂τ
− νεA
2
0
χ − 2 [J(z
x
, z
y
) − J(z
x
, z
y
)]
−ε [−J(A
0
χ, z) + 2J(z
x
, w
y
) + 2J(w
x
, z
y
) + 2J(χ
y
, z
y
) + 2J(χ
x
, z
x
)]
−ε
2
[∇χ · ∇A
0
χ + 2J(w
x
, w
y
) + 2J(χ
y
, w
y
) + 2J(χ
x
, w
x
) − J(A
0
χ, w)
−χ
2
xx
− χ
2
yy
− 2χ
2
xy
(2.20)
H
3
= −
∂(A
0
w)
∂τ
− νεA
2
0
w + J(A
0
z, z) − J(A
0
z, z)
−ε [−2J(A
0
w, z) − ∇A
0
χ · ∇z + zA
2
0
χ + 2J(w
x
, z
x
) + 2J(w
y
, z
y
)
+2∇χ
x
· ∇z
x
+ 2∇χ
y
· ∇z
y
] − ε
2
[∇χ · ∇A
0
w − J(A
0
w, w) − A
0
w A
0
χ]
(2.21)
Pondo Θ =
Z
X
W
, a equação (2.18) pode ser escrita na forma matricial
∂A
0
Θ
∂τ
+ L
0
Θ = H, (2.22)
40
onde
L
0
=
νεA
2
0
−εA
2
0
0
0 νεA
2
0
−
1
8
A
0
0 A
0
A
0
+
1
8
νεA
2
0
, H(z) =
H
1
H
2
H
3
.
Utilizando uma base de auto-funções do sistema diagonal
A
0
0 0
0 A
0
0
0 0 A
0
; exp (2π i (mx + ny))
1
1
1
obtemos a matriz
L
0mn
=
νελ
2
m,n
−ελ
2
m,n
0
0 νελ
2
m,n
−
1
8
λ
m,n
0 λ
m,n
λ
m,n
+
1
8
νελ
2
m,n
, com λ
m,n
= 4π
2
(m
2
+n
2
).
Associada com esta matriz está o Polinômio de Cayley-Hamilton de tal modo
que as raízes de
λ − νελ
2
m,n
ελ
2
m,n
0
0 λ − νελ
2
m,n
1
8
λ
m,n
0 −λ
m,n
λ
m,n
+
1
8
λ − νελ
2
m,n
= 0
λ
0
m,n
= νελ
2
m,n
, λ
±
m,n
= λ
0
m,n
±
i
2
√
2
λ
m,n
λ
m,n
+
1
8
são associados com a base de auto-vectores
U
0
m,n
=
1
0
0
, U
+
m,n
=
−ελ
m,n
i
2
√
2
λ
m,n
+
1
8
λ
m,n
+
1
8
, U
−
m,n
=
−ελ
m,n
−
i
2
√
2
λ
m,n
+
1
8
λ
m,n
+
1
8
,
dando origem à transformação de semelhança formada pelos autovetores, dados
acima
P
m,n
= (U
0
m,n
U
+
m,n
U
−
m,n
),
41
tal que
P
−1
m,n
L
0mn
P
m,n
=
λ
0
m,n
0 0
0 λ
+
m,n
0
0 0 λ
−
m,n
= Λ
m,n
.
Segue-se tomando coeficientes de Fourier
∂(λ
m,n
ˆ
Z
m,n
)
∂τ
+ νελ
2
m,n
ˆ
Z
m,n
− ελ
2
m,n
ˆ
X
m,n
= (
ˆ
H
1
)
m,n
∂(λ
m,n
ˆ
X
m,n
)
∂τ
+ νελ
2
m,n
ˆ
X
m,n
−
1
8
λ
m,n
ˆ
W
m,n
= (
ˆ
H
2
)
m,n
∂(λ
m,n
ˆ
W
m,n
)
∂τ
+ νελ
2
m,n
ˆ
W
m,n
+ λ
m,n
λ
m,n
+
1
8
ˆ
X
m,n
= (
ˆ
H
3
)
m,n
ou,
λ
m,n
∂
ˆ
Θ
m,n
∂τ
+ L
omn
ˆ
Θ
m,n
=
ˆ
H
m,n
Assim, obtemos que
P
−1
m,n
ˆ
H
m,n
= λ
m,n
∂
∂τ
P
−1
m,n
ˆ
Θ
m,n
+ P
−1
m,n
L
0mn
P
m,n
P
−1
m,n
ˆ
Θ
m,n
ou
P
−1
m,n
ˆ
H
m,n
= λ
m,n
∂
∂τ
P
−1
m,n
ˆ
Θ
m,n
+ Λ
m,n
P
−1
m,n
ˆ
Θ
m,n
(2.23)
Tomando o produto escalar de (2.23) com
λ
2
m,n
P
∗
m,n
ˆ
Θ
m,n
, P
∗
é a matriz adjunta de P
obtemos que
1
2
d
dτ
λ
3
m,n
|
ˆ
Θ
m,n
|
2
+ λ
2
m,n
ˆ
Θ
m,n
, Λ
m,n
ˆ
Θ
m,n
= λ
2
m,n
<
ˆ
H
m,n
,
ˆ
Θ
m,n
> (2.24)
e tomando a parte real da equação (2.24) obtemos
1
2
d
dτ
λ
3
m,n
|
ˆ
Θ
m,n
|
2
+ νελ
4
m,n
|
ˆ
Θ
m,n
|
2
= λ
2
m,n
Re <
ˆ
H
m,n
,
ˆ
Θ
m,n
> (2.25)
Somando (2.25) com m e n, obtemos
1
2
d
dτ
A
3/2
0
Θ
2
+ νε|A
2
0
Θ|
2
≤ | < H, A
2
0
Θ > |
(2.26)
Neste caso temos de estimar os termos < H
1
, A
2
0
Z >
E
1
, < H
2
, A
2
0
X >
E
2
e < H
3
, A
2
0
W >
E
3
na norma L
2
(Ω).
42
Estimativas para < H
1
H
1
H
1
,A
A
A
2
0
Z
Z
Z >= E
1
1. Vejamos o primeiro termo
A
0
J(z, w) = A
0
J(Z, W ) + A
0
J(Z, w) + A
0
J(z, W) + A
0
J(z, w),
onde
|A
0
J(Z, W )| ≤ |J(A
0
Z, W )| + 2|J(Z
x
, W
x
)| + 2|J(Z
y
, W
y
)| + |J(Z, A
0
W )|.
Em seguida, estimando cada um dos termos acima, temos
|J(A
0
Z, W )| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
W |
|J(Z, A
0
W )| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
W |.
Nos outros termos, temos:
|J(Z
x
, W
x
)| ≤ ∇Z
x
L
4
(Ω)
∇W
x
L
4
(Ω)
≤ A
0
Z
L
4
(Ω)
A
0
W
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
|A
0
Z|
1/2
|A
3/2
0
Z|
1/2
|A
0
W |
1/2
|A
3/2
0
W |
1/2
≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
W |.
Assim, também,
|J(Z
y
, W
y
)| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
W |
contudo, temos:
|A
0
J(Z, W )| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
W | (2.27)
de maneira análoga, é possível dizer:
|A
0
J(Z, w)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
w | (2.28)
|A
0
J(z, W)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
W | (2.29)
|A
0
J(z, w)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
w | (2.30)
43
Por outro lado para as equações balanceadas temos:
|A
3/2
0
z| ≤ ρ
1
, |A
3/2
0
w| ≤ ρ
4
, |A
3/2
0
χ| ≤ ρ
3
.
| < A
0
J(z, w), A
2
0
Z > | ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)
|A
3/2
0
Θ|
2
+(ρ
1
+ ρ
4
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
4
|A
2
0
Θ| (2.31)
2. No seguinte termo a estimar, temos:
A
0
(∇χ · ∇z) = A
0
(∇X · ∇Z) + A
0
(∇X · ∇z) + A
0
(∇χ · ∇Z) + A
0
(∇χ · ∇z),
onde temos
|A
0
(∇X · ∇Z)| ≤ |∇A
0
X · ∇Z| + 2|∇X
x
· ∇Z
x
|
+|∇X · ∇A
0
Z| + 2|∇X
y
· ∇Z
y
|
De maneira análoga ao item 1, temos:
|A
0
(∇X · ∇Z)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
Z|
|A
0
(∇X · ∇z)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
z|
|A
0
(∇χ · ∇Z)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
Z|
|A
0
(∇χ · ∇z)| ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
z|
Contudo, temos:
| < A
0
(∇χ · ∇z) , A
2
0
Z > | ≤ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)
|A
3/2
0
Θ|
2
+(ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ| (2.32)
3. Finalmente, estimamos o último termo
A
0
(zA
0
χ) = A
0
(ZA
0
X) + A
0
(ZA
0
χ) + A
0
(zA
0
X) + A
0
(zA
0
χ),
onde
A
0
(ZA
0
X) = A
0
ZA
0
X + 2∇Z · ∇A
0
X + ZA
2
0
X.
Estimamos cada um destes termos em separado:
44
(a) Veja o primeiro termo
|A
0
ZA
0
X| ≤ A
0
Z
L
4
(Ω)
A
0
X
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
|A
0
Z|
1/2
|A
3/2
0
Z|
1/2
|A
0
X|
1/2
|A
3/2
0
X|
1/2
≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
X|
(b) No seguinte termo,
|∇Z · ∇A
0
X| ≤ ∇Z
L
∞
(Ω)
|A
3/2
0
X|
≤ C
∞
|A
1/2
0
Z|
1/2
|A
3/2
0
Z|
1/2
|A
3/2
0
X|
≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
X|
(c) Finalmente, no termo restante
|ZA
2
0
X| ≤ Z
L
∞
(Ω)
|A
2
0
X|
≤ C
∞
|Z|
1/2
|A
0
Z|
1/2
|A
2
0
X|
≤ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Z| |A
2
0
X|
Dos item a), b) e c), é possível dizer:
|A
0
(ZA
0
X)| ≤ λ
−1/2
1
(C
2
4
+ 2C
∞
)|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
X| + C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Z| |A
2
0
X|
|A
0
(ZA
0
χ)| ≤ λ
−1/2
1
(C
2
4
+ 2C
∞
)|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
χ | + C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Z| |A
2
0
χ |
|A
0
(zA
0
X)| ≤ λ
−1/2
1
(C
2
4
+ 2C
∞
)|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
X| + C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
z| |A
2
0
X|
|A
0
(zA
0
χ)| ≤ λ
−1/2
1
(C
2
4
+ 2C
∞
)|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
χ | + C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
z | |A
2
0
χ |
Destas últimas equações, temos:
| < A
0
(zA
0
χ), A
2
0
Z > | ≤ λ
−1/2
1
(C
2
4
+ 2C
∞
)
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ|
+ρ
1
ρ
3
) |A
2
0
Θ| + C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ| + |A
3/2
0
Θ|M
2
+ρ
1
|A
2
0
Θ| + ρ
1
M
2
) |A
2
0
Θ|
(2.33)
45
Dos cálculos feitos nos item 1, 2 e 3, e as equações (2.31), (2.32) e (2.33), obtidas
nestes, temos
E
E
E
1
≤ ε
2
2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
4
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
4
+ 2λ
−1/2
1
(C
∞
+ 2C
2
4
)
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
+ λ
−1/2
1
(C
2
4
+ 2C
∞
)
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
+ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ| + |A
3/2
0
Θ|M
2
+ ρ
1
|A
2
0
Θ| + ρ
1
M
2
|A
2
0
Θ|
denotando r = 2C
2
4
λ
−1/2
1
, s = C
∞
λ
−1/2
1
, temos
E
E
E
1
≤ ε
2
λ
−1/2
1
s|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
λ
−1/2
1
sρ
1
|A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
(6s + 9r/2)|A
3/2
0
Θ|
2
+ [2(s + r)(ρ
1
+ ρ
4
)
+ (4s + 5r/2)(ρ
1
+ ρ
3
) + 5λ
−1/2
1
M
2
]|A
3/2
0
Θ|
+ [2(s + r)(ρ
3
+ ρ
4
) + (r/2 + 2s)ρ
3
+ sλ
−1/2
1
M
2
]ρ
1
|A
2
0
Θ|
novamente fazendo a
1
= 6s + 9r/2, a
2
= 2(s + r)(ρ
1
+ ρ
4
) + (4s + 5r/2)(ρ
1
+ ρ
3
) +
5λ
−1/2
1
M
2
, a
3
= [2(s + r)(ρ
3
+ ρ
4
) + (r/2 + 2s)ρ
3
+ sλ
−1/2
1
M
2
]ρ
1
, temos
| < H
1
, A
2
0
Z > | ≤ ε
2
λ
−1/2
1
s|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
λ
−1/2
1
sρ
1
|A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
a
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ a
2
|A
3/2
0
Θ| + a
3
|A
2
0
Θ|
(2.34)
Estimativas para < H
2
H
2
H
2
,A
A
A
2
0
X
X
X >= E
E
E
2
Trataremos de estimar os termos um a um muito cuidadosamente.
1. Utilizando o Lema Técnico 2.3.6, temos diretamente, utilizando o Lema de Schwarz
∂(A
0
χ)
∂τ
, A
2
0
X
≤ δνε|A
2
0
Θ|
2
+
M
2
1
4δνε
.
(2.35)
2. Utilizando o Lema Técnico 2.3.7, obtemos,
A
2
0
χ, A
2
0
X
≤ M
2
|A
2
0
X|.
(2.36)
46
3. Veja o seguinte termo
J(z
x
, z
y
) − J(z
x
, z
y
) = J(Z
x
, Z
y
) + J(Z
x
, z
y
) + J(z
x
, Z
y
).
Observe que
|J(Z
x
, Z
y
)| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z|
2
|J(z
x
, Z
y
)| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
Z|
|J(Z
x
, z
y
)| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
Z|
levando à estimativa
2| < J(z
x
, z
y
) − J(z
x
, z
y
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ 2ρ
1
|A
3/2
0
Θ|
|A
2
0
Θ|
(2.37)
4. Em seguida, estimamos os termos de ordem ε.
(a) Note que
J(A
0
χ, z) = J(A
0
X, Z) + J(A
0
X, z) + J(A
0
χ, Z) + J(A
0
χ, z)
e
|J(A
0
X, Z)| ≤ |∇A
0
X| |∇Z|
L
∞
(Ω)
≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
Z|.
Enquanto,
|J(A
0
X, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
z |
|J(A
0
χ, Z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
Z |
|J(A
0
χ, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
z |.
Segue-se que
| < J(A
0
χ, z), A
2
0
X > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.38)
(b) Para os outros termos será suficiente estimar um deles:
J(z
x
, w
y
) = J(Z
x
, W
y
) + J(Z
x
, w
y
) + J(z
x
, W
y
) + J(z
x
, w
y
),
47
onde pelo visto no item 1, temos
J(Z
x
, W
y
) ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
W |
J(Z
x
, w
y
) ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
w|
J(z
x
, W
y
) ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
z| |A
3/2
0
W |
J(z
x
, w
y
) ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
z| |A
3/2
0
w|.
Daí, temos:
2| < J(z
x
, w
y
), A
2
0
Θ > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
4
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
4
|A
2
0
Θ|.
(2.39)
Analogamente, para as outras equações estimadas de maneira similar, obtém-se
2| < J(w
x
, z
y
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
4
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
4
|A
2
0
Θ|
(2.40)
2| < J(χ
y
, z
y
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.41)
2| < J(χ
x
, z
x
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.42)
Das equações (2.38) - (2.42), tem-se
|H
2
(ε), A
2
0
X| ≤ ε
C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
+ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
4
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
4
+ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ|.
(2.43)
5. Finalmente temos de estimar os termos de ordem ε
2
(a) Veja que
∇χ · ∇A
0
χ = ∇X · ∇A
0
X + ∇X · ∇A
0
χ + ∇χ · ∇A
0
X + ∇χ · ∇A
0
χ,
onde
|∇X · ∇A
0
X| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X|
2
|∇X · ∇A
0
χ| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
χ|
|∇χ · ∇A
0
X| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
X|
|∇χ · ∇A
0
χ| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ|
2
.
48
Destas ultimas equações, é possível ter
| < ∇χ · ∇A
0
χ, A
2
0
X > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
3
2
|A
2
0
Θ| (2.44)
(b) Os termos seguintes possuem estimativas similares ao caso quando esti-
mamos os de ordem ε. Por esta razão utilizamos diretamente estas estimativas
2| < J(w
x
, w
y
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
2
|A
2
0
Θ| (2.45)
2| < J(χ
y
, w
y
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.46)
2| < J(χ
x
, w
x
), A
2
0
X > | ≤ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.47)
do mesmo maneira feito acima, temos
| < J(A
0
χ, w), A
2
0
X > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.48)
(c) Finalmente nos termos restantes temos
χ
2
xx
= X
2
xx
+ 2X
xx
χ
xx
+ χ
2
xx
.
e, então,
|χ
2
xx
| ≤ A
0
X
2
L
4
(Ω)
+ 2A
0
X
L
4
(Ω)
A
0
χ
L
4
(Ω)
+ A
0
χ
2
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
|A
0
X| |A
3/2
0
X| + 2C
2
4
|A
0
X|
1/2
|A
3/2
0
X|
1/2
|A
0
χ|
1/2
|A
3/2
0
χ|
1/2
+C
2
4
|A
0
χ| |A
3/2
0
χ|
≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X|
2
+ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
χ|+ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ|
2
,
isto é,
|χ
2
xx
| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| + |A
3/2
0
χ|
2
|χ
2
yy
| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| + |A
3/2
0
χ|
2
.
Por outro lado,
χ
2
xy
= X
2
xy
+ 2X
xy
χ
xy
+ χ
2
xy
49
e, então,
|χ
2
xy
| ≤ A
1/2
0
X
x
2
L
4
(Ω)
+ 2A
1/2
0
X
x
L
4
(Ω)
A
1/2
0
χ
x
L
4
(Ω)
+ A
1/2
0
χ
x
2
L
4
(Ω)
≤ A
0
X
2
L
4
(Ω)
+ 2A
0
X
L
4
(Ω)
A
0
χ
L
4
(Ω)
+ A
0
χ
2
L
4
(Ω)
≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X|
2
+ 2|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
χ|+ |A
3/2
0
χ|
2
ou,
|χ
2
xy
| ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| + |A
3/2
0
χ|
2
.
Assim, temos:
| < χ
2
xx
+ χ
2
yy
+ 2χ
2
xy
, A
2
0
X > | ≤ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
3
2
|A
2
0
Θ|. (2.49)
Das equações (2.44) - (2.49), temos a seguinte estimativa para os termos de ordem
ε
2
:
|H
2
(ε
2
), A
2
0
X| ≤ ε
2
(C
∞
+ 4C
2
4
)λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
3
2
+C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
+2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
2
+4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|
(2.50)
Das equações (2.37), (2.43) e (2.50) temos
E
E
E
2
≤ M
1
|A
2
0
Θ| + νεM
2
|A
2
0
Θ|
+ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ 2ρ
1
|A
3/2
0
Θ|
|A
2
0
Θ|
+ ε
C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
+ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
4
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
4
+ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ|
+ ε
2
(C
∞
+ 4C
2
4
)λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
3
2
+ 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
2
+ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
+ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|
50
lembrando que r = 2C
2
4
λ
−1/2
1
e s = C
∞
λ
−1/2
1
temos
E
E
E
2
≤ M
1
|A
2
0
Θ| + νεM
2
|A
2
0
Θ| + r
|A
3/2
0
Θ|
2
+ 2ρ
1
|A
3/2
0
Θ|
|A
2
0
Θ|
+ ε
(4r + s)|A
3/2
0
Θ|
2
+ [(s + 2r)(ρ
1
+ ρ
3
) + 2r(ρ
1
+ ρ
4
)]|A
3/2
0
Θ|
+ [sρ
3
+ 2r(ρ
3
+ ρ
4
)]ρ
1
}|A
2
0
Θ|
+ ε
2
(2s + 5r)|A
3/2
0
Θ|
2
+ [2ρ
3
(s + 2r) + 2rρ
4
+ (2r + s)(ρ
4
+ ρ
3
)]
×|A
3/2
0
Θ| + [(s + 2r)ρ
2
3
+ rρ
2
4
+ (2r + s)ρ
4
ρ
3
]
|A
2
0
Θ|
Novamente denotando b
1
= 4r + s, b
2
= (s + 2r)(ρ
1
+ ρ
3
) + 2r(ρ
1
+ ρ
4
), b
3
=
[sρ
3
+ 2r(ρ
3
+ ρ
4
)]ρ
1
, c
1
= 2s + 5r, c
2
= 2ρ
3
(s + 2r) + 2rρ
4
+ (2r + s)(ρ
4
+ ρ
3
) e
c
3
= (s + 2r)ρ
2
3
+ rρ
2
4
+ (2r + s)ρ
4
ρ
3
, obtemos
| < H
2
, A
2
0
X > | ≤ M
1
|A
2
0
Θ| + νεM
2
|A
2
0
Θ| + r|A
3/2
0
Θ|
2
|A
2
0
Θ| + 2ρ
1
r|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
+ ε
b
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ b
2
|A
3/2
0
Θ| + b
3
|A
2
0
Θ|
+ ε
2
c
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ c
2
|A
3/2
0
Θ| + c
3
|A
2
0
Θ|
(2.51)
Estimativas para < H
3
H
3
H
3
,A
A
A
2
0
W
W
W >= E
E
E
3
1. Utilizando o Lema Técnico 2.3.8, temos diretamente utilizando o Lema de Schwarz
∂(A
0
w)
∂τ
, A
2
0
W
≤ δνε|A
2
0
Θ|
2
+
M
2
3
4δνε
.
(2.52)
2. Novamente utilizando o Lema Técnico 2.3.9, podemos dizer:
A
0
w, A
2
0
W
≤ M
4
|A
2
0
Θ|.
(2.53)
3. Vejamos o seguinte termo
J(A
0
z, z) − J(A
0
z, z) = J(A
0
Z, Z) + J(A
0
Z, z) + J(A
0
z, Z).
As estimativas para cada um destes termos são similares às feitas anteriormente.
Assim temos:
|J(A
0
Z, Z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z|
2
|J(A
0
Z, z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Z| |A
3/2
0
z |
|J(A
0
z, Z)| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
z | |A
3/2
0
Z|.
51
Daí temos:
| < J(A
0
z, z) − J(A
0
z, z), A
2
0
W > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ 2ρ
1
|A
3/2
0
Θ|
|A
2
0
Θ|
(2.54)
4. A seguir, estimamos os termos de ordem ε
ε
ε,
(a) Para este termo, utilizamos diretamente estimativas antes feitas para H
2
,
obtendo:
2| < J(A
0
w, z), A
2
0
W > | ≤ 2C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
1
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
1
|A
2
0
Θ|.
(2.55)
(b) No seguinte termo, temos:
∇A
0
χ · ∇z = ∇A
0
X · ∇Z + ∇A
0
X · ∇z + ∇A
0
χ · ∇Z + ∇A
0
χ · ∇z,
onde
|∇A
0
X · ∇Z| ≤ |A
3/2
0
X| |∇Z|
L
∞
(Ω)
≤ |A
3/2
0
X|C
∞
|A
1/2
0
Z|
1/2
|A
3/2
0
Z|
1/2
≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
Z|.
Analogamente
|∇A
0
X · ∇z| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
z|
|∇A
0
χ · ∇Z| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
Z|
|∇A
0
χ · ∇z| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
z|.
Destas últimas equações temos:
| < ∇A
0
χ · ∇z, A
2
0
W > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
|A
2
0
Θ|.
(2.56)
(c) No terceiro termo temos
zA
2
0
χ = ZA
2
0
X + ZA
2
0
χ + zA
2
0
X + zA
2
0
χ,
52
onde
|ZA
2
0
X| ≤ Z
L
∞
(Ω)
|A
2
0
X|
≤ C
∞
|Z|
1/2
|A
0
Z|
1/2
|A
2
0
X|
≤ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Z| |A
2
0
X|.
Analogamente,
|ZA
2
0
χ| ≤ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Z| |A
2
0
χ|
|zA
2
0
X| ≤ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
z| |A
2
0
X|
|zA
2
0
χ| ≤ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
z| |A
2
0
χ|.
Destas últimas equações, obtemos
| < zA
2
0
χ, A
2
0
W > | ≤ C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
|A
2
0
Θ|
2
+C
∞
λ
−1
1
M
2
|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
|A
2
0
Θ|.
(2.57)
(d) Nos outros termos as estimativas são feitas de maneira análoga às estimativas
feitas para H
H
H
2
. Desta maneira temos:
2
< J(w
x
, z
x
), A
2
0
W >
= 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
1
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
1
|A
2
0
Θ|
2
< J(w
y
, z
y
), A
2
0
W >
= 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
1
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
1
|A
2
0
Θ|
2
< ∇χ
x
· ∇z
x
, A
2
0
W >
= 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|
2
< ∇χ
y
· ∇z
y
, A
2
0
W >
= 2C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|.
Das equações (2.55), (2.56), (2.57) e as estimativas acima, é possível estabelecer a
seguinte estimativa
|< H
3
(ε), A
2
0
W >| ≤ ε
2C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
1
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
1
+C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
1
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
ρ
3
+C
∞
λ
−1
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ| + ρ
1
|A
2
0
Θ| + M
2
|A
3/2
0
Θ| + ρ
1
M
2
+4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
1
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
1
+ 4C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|.
(2.58)
53
5. Finalmente, estimaremos os termos de ordem ε
ε
ε
2
.
(a) Veja o primeiro termo
∇χ · ∇A
0
w = ∇X · ∇A
0
W + ∇X ·∇A
0
w + ∇χ · ∇A
0
W + ∇χ · ∇A
0
w,
onde
|∇X · ∇A
0
W | ≤ ∇X
L
∞
(Ω)
|∇A
0
W |
≤ C
∞
|A
1/2
0
X|
1/2
|A
3/2
0
X|
1/2
|A
3/2
0
W |
≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
W |.
Analogamente,
|∇X · ∇A
0
w| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
X| |A
3/2
0
w|
|∇χ · ∇A
0
W | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
W |
|∇χ · ∇A
0
w| ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
χ| |A
3/2
0
w|.
Daí temos
| < ∇χ · ∇A
0
w, A
2
0
W > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|.
(2.59)
(b) No seguinte termo temos uma estimativa imediata das feitas anteriormente,
| < J(A
0
w, w), A
2
0
W > | ≤ C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
2
|A
2
0
Θ|. (2.60)
(c) O terceiro termo é também uma estimativa feita para H
1
, então
| < A
0
wA
0
χ, A
2
0
W > | ≤ C
2
4
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
|A
2
0
Θ|.
(2.61)
Das equações (2.59), (2.60) e (2.61), temos
| < H
3
(ε
2
), A
2
0
W > | ≤ ε
2
(C
2
4
+ C
∞
)λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ (ρ
4
+ ρ
3
)|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
ρ
3
+C
∞
λ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ| + ρ
4
2
|A
2
0
Θ|.
(2.62)
54
Das equações (2.54), (2.58) e (2.62)
E
E
E
3
≤ M
3
|A
2
0
Θ| + νεM
4
|A
2
0
Θ| + sελ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ sερ
1
λ
−1/2
1
|A
2
0
Θ|
2
+s|A
3/2
0
Θ|
2
|A
2
0
Θ| + 2ρ
1
s|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
+ε
(3s + 4r)|A
3/2
0
Θ|
2
+ [(ρ
4
+ 2ρ
1
+ ρ
3
)(2r + 1) + sλ
−1/2
1
M
2
]|A
3/2
0
Θ|
+(ρ
3
+ ρ
4
)ρ
1
+ 2rρ
4
(ρ
1
+ ρ
3
) + sλ
−1/2
1
ρ
1
M
2
|A
2
0
Θ|
+ε
2
(r/2 + 2s)|A
3/2
0
Θ|
2
+ [(r/2 + s )(ρ
4
+ ρ
3
) + 2sρ
4
]|A
3/2
0
Θ|
+(r/2 + s)ρ
4
ρ
3
+ sρ
2
4
}|A
2
0
Θ|.
ainda denotando d
1
= 3s + 4r, d
2
= (ρ
4
+ 2ρ
1
+ ρ
3
)(2r + 1) + sλ
−1/2
1
M
2
, d
3
=
(ρ
3
+ρ
4
)ρ
1
+2rρ
4
(ρ
1
+ ρ
3
)+sλ
−1/2
1
ρ
1
M
2
, e
1
= r/2+2s, e
2
= (r/2+s)(ρ
4
+ρ
3
)+2sρ
4
e e
3
= (r/2 + s)ρ
4
ρ
3
+ sρ
2
4
, obtemos
E
E
E
3
≤ M
3
|A
2
0
Θ| + νεM
4
|A
2
0
Θ| + εsλ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ εsρ
1
λ
−1/2
1
|A
2
0
Θ|
2
+s|A
3/2
0
Θ|
2
|A
2
0
Θ| + 2ρ
1
s|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
+ε
d
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ d
2
|A
3/2
0
Θ| + d
3
|A
2
0
Θ|
+ε
2
e
1
|A
3/2
0
Θ|
2
+ e
2
|A
3/2
0
Θ| + e
3
|A
2
0
Θ|.
(2.63)
Tendo feito nossas estimativas, voltamos agora à equação (2.26). Utilizando as
equações (2.34), (2.51) e (2.63), temos
1
2
d
dτ
A
3/2
0
Θ
2
+ νε|A
2
0
Θ|
2
≤ M
1
|A
2
0
Θ| + νεM
2
|A
2
0
Θ| + M
3
|A
2
0
Θ| + νεM
4
|A
2
0
Θ|
+ (r + s)|A
3/2
0
Θ|
2
|A
2
0
Θ| + 2ρ
1
(r + s)|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
+ εsλ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ εsρ
1
λ
−1/2
1
|A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
sλ
−1/2
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
sρ
1
λ
−1/2
1
|A
2
0
Θ|
2
+ ε
(b
1
+ d
1
)|A
3/2
0
Θ|
2
+ (b
2
+ d
2
)|A
3/2
0
Θ|
+ (b
3
+ d
3
)}|A
2
0
Θ| + ε
2
(a
1
+ c
1
+ e
1
)|A
3/2
0
Θ|
2
+ (a
2
+ c
2
+ e
2
)|A
3/2
0
Θ| + (a
3
+ c
3
+ e
3
)
|A
2
0
Θ|
assumindo como hipótese s(ε + 1)ρ
1
λ
−1/2
1
≤
ν
4
e pondo novas constantes, temos:
d
dτ
A
3/2
0
Θ
2
+ νε|A
2
0
Θ|
2
≤ c
|A
2
0
Θ| + εc
|A
2
0
Θ| + ε
2
c
|A
2
0
Θ|
+ c
0
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ c
1
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
+ εc
3
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ εc
4
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
+ ε
2
c
5
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+ ε
2
c
6
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
55
utilizando a desigualdade de Poincaré,
1
2
d
dτ
A
3/2
0
Θ
2
+
3νε
4
|A
2
0
Θ|
2
≤
c
2
4νδε
+
εc
2
4νδ
+
ε
3
c
2
4νδ
+ 6νεδ|A
2
0
Θ|
2
+
c
0
+ εc
3
+ ε
2
c
5
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+
c
2
1
4νδε
+
εc
2
4
4νδ
+
ε
3
c
2
6
4νδ
|A
3/2
0
Θ|
2
pondo δ =
1
24
, temos
d
dτ
A
3/2
0
Θ
2
+ νε|A
2
0
Θ|
2
≤
12c
2
νε
+
12εc
2
ν
+
12ε
3
c
2
ν
+ 2
c
0
+ εc
3
+ ε
2
c
5
|A
3/2
0
Θ||A
2
0
Θ|
2
+
12c
2
1
νε
+
12εc
2
4
ν
+
12ε
3
c
2
6
ν
|A
3/2
0
Θ|
2
.
Da teoria de equações diferenciais existe um intervalo [τ
0
, τ
0
+ s], s pequeno, tal que
|A
3/2
0
Θ| ≤
νε
2(c
0
+ εc
3
+ ε
2
c
5
)
,
assim, trocando novamente as constantes, onde devemos notar que c
∼ O()
c
0
=
12c
2
νε
2
+
12c
2
ν
+
12ε
2
c
2
ν
, c =
12c
2
1
νε
+
12εc
2
4
ν
+
12ε
3
c
2
6
ν
temos uma equação do tipo:
d
dτ
A
3/2
0
Θ
2
≤ εc
0
+ c|A
3/2
0
Θ|
2
daí,
A
3/2
0
Θ
2
≤
εc
0
c
e
c(τ−τ
0
)
− 1
esta última desigualdade sendo válida no intervalo [τ
0
, τ
0
+ T ],
εc
0
c
(e
cT
− 1) ≤
νε
2(c
0
+ εc
3
+ ε
2
c
5
)
e
cT
− 1
≤
cν
2
ε
4c
0
(c
0
+ εc
3
+ ε
2
c
5
)
2
T ≤
1
c
log
cν
2
ε
4c
0
(c
0
+ εc
3
+ ε
2
c
5
)
2
+ 1
Assim é possível concluir com a seguinte estimativa;
|A
0
Θ| ≤ ε
1/2
K , t ∈ [t
0
, t
0
+ T ]
onde K é uma constante.
56
3 VARIEDADES INERCIAIS APROXIMADAS
Neste capítulo fazemos uma aproximação por meio de uma variedade
inercial, para isto empregamos o método não linear de Galerkin. Embora o problema
de achar uma variedade inercial aproximada para as Equações de Água Rasa e as
Equações Diagnóstico seja um problema aberto, a apresentação neste capítulo tem
por objetivo mostrar que se tem outra alternativa na procura de soluções para as
Equações de Água Rasa. No caso de existir uma Variedade Inercial Aproximada
temos de fato estimativas da solução aproximada com a solução real.
3.1 Método de Galerkin não-linear
O método de Galerkin não-linear é motivado pela teria de Variedades
Inerciais Aproximadas (veja por exemplo [9, 10, 12]). Em princípio este pode ser
utilizado para equações da forma
dU
dt
+ AU + G(U) = f, (3.1)
onde A é um operador linear, auto-adjunto, definido positivo com inverso compacto e
G inclui a não-linearidade. Seja P = P
N
a projeção em H sobre H
N
, o espaço gerado
pelas N primeiras auto-funções {w
1
, . . . , w
N
} de A, e seja Q = Q
N
= I −P
N
. Denote
p = P U, q = QU, p representa a superposição de grandes vórtices e q representa
pequenos vórtices.
Usando os operadores projeção P e Q, vemos que a equação 3.1 é equiva-
lente ao sistema de equações:
∂p
∂t
+ Ap + P G(p + q) = P f, p(0) = P z(0)
∂q
∂t
+ Aq + QG(p + q) = Qf, q(0) = Qz(0)
A diferença do método de Galerkin padrão no qual se faz q = 0, e daí,
∂p
∂t
+ Ap + P G(p) = P f
57
No método de Galerkin não linear não podemos negligenciar completamente q(t),
mas aproximamos utilizando uma relação funcional entre q(t) e p (t),
q(t) = Φ(p(t))
Como com variedades inerciais, usando a forma inercial (aproximada), obtemos o
seguinte ODE
∂p(t)
∂t
+ Ap(t) + P G(p(t) + Φ(p(t))) = P f.
3.2 Variedades Inerciais
A seguir reescrevemos a equação resultante do sistema reduzido, já
utilizada no capítulo anterior:
∂z
∂t
+ νA
0
z =
A
0
+
1
8
−1
J(A
0
z, z) +
F
8R
. (3.2)
Agora aplicamos o método de Galerkin não linear, a seguir denotaremos p = P z,
q = Qz. Projetando a equação (3.2) sobre o primeiro grupo de auto-funções, tem-se
∂p
∂t
+ νA
0
p =
A
0
+
1
8
−1
P J(A
0
p + A
0
q, p + q) +
P F
8R
, (3.3)
∂q
∂t
+ νA
0
q =
A
0
+
1
8
−1
QJ(A
0
p + A
0
q, p + q) +
QF
8R
. (3.4)
Uma Variedade Inercial para (3.2) é um subconjunto M ⊂ H que
satisfaz as seguintes propriedades:
1. M é uma variedade de Lipschitz de dimensão finita,
2. M é positivamente invariante sob o fluxo, (i.e. se z
0
∈ M então a
solução de (3.2) z(t) ∈ M para todo t > 0),
3. M atrai cada trajetória exponencialmente (i.e. para toda solução z(t)
da equação (3.2) dist(z(t), M) → 0 exponencialmente.)
58
Se além disto requerermos M ser o gráfico de uma função Lipschitz Φ : H
N
→ QH,
então a condição de invariância (2) é equivalente a: Para toda solução p(t) e q(t) de
(3.3), (3.4), respectivamente, com q(0) = Φ(p(0)) temos q(t) = Φ(p(t)) para todo
t > 0. Daí, se tal função Φ existe, então a redução do sistema (3.3), (3.4) para M é
equivalente à equação diferencial ordinaria, a qual é chamada uma forma inercial:
∂p
∂t
+ νA
0
p =
A
0
+
1
8
−1
P J(A
0
p + A
0
Φ(p(t)), p + Φ(p(t))) +
P F
8R
(3.5)
Teorema 3.2.1. Suponha F ∈ D
A
0
+
1
8
s
, onde s é um número real fixo tal que
s ≥ 3/2. ou s = 1/2, 1. Então existe uma constante K
s
dependendo de ν, λ
1
, R e
|(A
0
+ 1/8)
s−1
F |, tal que se t
s
= t
0
+ 2s(νλ
1
)
−1
e t ≥ t
s
, temos
A
0
+
1
8
s
z
≤ K
s
. (3.6)
Além, se t ≥ t
(1)
s
= t
s
+ 3
√
2(4T
s
)
−1
, então
A
0
+
1
8
s
∂z
∂t
≤ K
(1)
s
. (3.7)
Demonstração. Passo 1. Primeiro provaremos que (3.6) é válida para todo s
tal que 2s é um inteiro não negativo.
Para s = 0, tomando o produto interno de (3.2) com z, temos
d
dt
A
0
+
1
8
1/2
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
1/2
z
2
≤
F
8R
, z
ou,
d
dt
A
0
+
1
8
1/2
z
2
+ νλ
1
A
0
+
1
8
1/2
z
2
≤
1
νλ
1
A
0
+
1
8
−1/2
F
8R
2
tal que,
A
0
+
1
8
1/2
z
2
≤
A
0
+
1
8
1/2
z(0)
2
e
−νλ
1
t
+
1
ν
2
λ
2
1
A
0
+
1
8
−1/2
F
8R
2
1 − e
−νλ
1
t
ou,
|z|
2
≤
λ
1
+
1
8
−1
A
0
+
1
8
1/2
z(0)
2
e
−νλ
1
t
+
1
ν
2
λ
2
1
λ
1
+
1
8
−1
A
0
+
1
8
−1/2
F
8R
2
1 − e
−νλ
1
t
59
Tomando K
0
=
2
νλ
1
λ
1
+
1
8
−1/2
(
A
0
+
1
8
)
−1/2
F
8R
e
t
0
=
(νλ
1
)
−1
log
4| z(0)|
2
2K
2
0
, z(0) = 0
0 , z(0) = 0
então se t ≥ t
0
,
|z| ≤ K
0
.
Agora seja r um número fixo. Para s = 1/2, uma vez que a solução do sistema
reduzido z(t) é limitada em V para todo z(0) e todo intervalo finito [0, T ], existe
uma constante K
1/2
(r, ν, λ
1
, |
A
0
+
1
8
−1/2
F |) tal que se t > t
1/2
= t
0
+ r, então a
estimativa (3.6) é válida.
Para s = 1, tomando o produto interno de (3.2) com
A
0
+
1
8
z, temos
1
2
d
dt
A
0
+
1
8
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
z
2
≤
A
−1/2
0
F
8R
A
0
+
1
8
z
ou,
d
dt
A
0
+
1
8
z
2
+ νλ
1
A
0
+
1
8
z
2
≤
1
νλ
1
F
8R
2
daí,
A
0
+
1
8
z
2
≤
A
0
+
1
8
z(0)
2
e
−νλ
1
t
+
1
ν
2
λ
2
1
F
8R
2
1 − e
−νλ
1
t
Tomando K
1
=
2
νλ
1
F
8R
, temos que a estimativa (3.6) é válida, para todo t ≥ t
1
=
t
0
+ 2r
Passo 2. Para s >
3
2
, 2s é um inteiro não negativo , supomos (3.6) válida para
s − 1/2. Tomando o produto interno de (3.2) com
A
0
+
1
8
2s−1
z, temos
d
dt
A
0
+
1
8
s
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
s
z
2
≤
2
νλ
1
A
0
+
1
8
s−1
J(A
0
z, z)
2
+
2
νλ
1
A
0
+
1
8
s−1
F
8R
2
60
onde,
A
0
+
1
8
s−1
J(A
0
z, z)
≤
β≤s−1
s − 1
β
C
∞
A
0
+
1
8
β+3/2
z
×
×
A
0
+
1
8
s−β−1/2
z
1/2
A
0
+
1
8
s−β+1/2
z
1/2
≤
d
1
λ
s−3/2
1
A
0
+
1
8
s
z
2
,
onde d
1
=
β≤s−1
s − 1
β
C
∞
, daí:
d
dt
A
0
+
1
8
s
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
s
z
2
≤
2
νλ
1
d
2
1
λ
2s−3
1
A
0
+
1
8
s
z
4
+
A
0
+
1
8
s−1
F
8R
2
(3.8)
Agora substituindo s por s − 1/2 na desigualdade acima. Então,
d
dt
A
0
+
1
8
s−1/2
z
2
+ ν
A
1/2
0
A
0
+
1
8
s−1/2
z
2
≤
2
νλ
1
d
2
1
λ
2s−4
1
A
0
+
1
8
s−1/2
z
4
+
A
0
+
1
8
s−3/2
F
8R
2
(3.9)
se for t ≥ t
s−1/2
,
t+r
t
A
0
+
1
8
s−1/2
z
2
dτ ≤
2
ν
2
λ
1
d
2
1
K
4
s−1/2
λ
2s−4
1
+
A
0
+
1
8
s−3/2
F
8R
2
r +
K
2
s−1/2
ν
logo de (3.9), temos:
d
dt
A
0
+
1
8
s−1/2
z
2
+ νλ
1
A
0
+
1
8
s−1/2
z
2
≤
2
νλ
1
d
2
1
λ
2s−2
1
A
0
+
1
8
s−1/2
z
4
+
A
0
+
1
8
s−3/2
F
8R
2
Em seguida, utilizando o Lema Uniforme de Gronwall, temos que existe uma cons-
tante K
s
(ν, λ, R, |( A
0
+
1
8
)
s−1
F |), tal que se t ≥ t
s−1/2
+ r, então a estimativa dada
em (3.6) é válida para todo s.
61
Passo 3. Provaremos que (3.6) é válida, para todo s > 3/2.
Seja θ um número real tal que θ > 3/2 e s < θ < s + 1/2, onde 2s é um
inteiro não negativo. Substituindo s por θ em (3.8) e (3.9), obtemos
d
dt
A
0
+
1
8
θ
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
θ
z
2
≤
2
νλ
1
d
2
1
λ
2θ−3
1
A
0
+
1
8
θ
z
4
+
A
0
+
1
8
θ−1
F
8R
2
(3.10)
d
dt
A
0
+
1
8
θ−1/2
z
2
+ ν
A
0
+
1
8
θ−1/2
z
2
≤
2
νλ
1
d
2
1
λ
2θ−4
1
A
0
+
1
8
θ−1/2
z
4
+
A
0
+
1
8
θ−3/2
F
8R
2
(3.11)
De (3.11), para r
1
= (2θ − 2s)r temos
t+r
1
t
A
0
+
1
8
θ−1/2
z
2
dτ ≤
2
ν
2
λ
1
d
2
1
λ
4s−2θ−2
1
t+r
1
t
A
0
+
1
8
s
z
4
dτ +
A
0
+
1
8
θ−1
F
8R
2
r
1
+
1
νλ
2s−2θ+1
1
A
0
+
1
8
s
z
2
para t ≥ t
s
, pelo passo 2, obtemos
t+r
1
t
A
0
+
1
8
θ−1/2
z
2
dτ ≤
2
ν
2
λ
1
d
2
1
r
1
λ
4s−2θ−2
1
K
4
s
+
A
0
+
1
8
θ−1
F
8R
2
r
1
+
K
2
s
νλ
2s−2θ+1
1
(3.12)
Agora de (3.10) e (3.12), pelo Lema Uniforme de Gronwall, temos que
existe uma constante K
θ
(r, ν, λ
1
, |
A
0
+
1
8
θ−1
F |) tal que se t ≥ t
s
+r
1
= t
0
+2θ·r =
t
θ
então (3.6) é válida. Se escolhemos um r apropriado r = (νλ
−1
1
), então provamos
a primeira parte do teorema.
62
Como conseqüência desta estimativa, derivando em relação a t , a equação
(3.2), e supondo F independente de t, temos:
∂
2
A
0
+
1
8
z
∂
2
t
+ νA
0
A
0
+
1
8
∂z
∂t
= J(A
0
z
t
, z) + J(A
0
z, z
t
), (3.13)
Neste caso tomamos como ponto inicial t
s
. Seja θ um número real tal
que θ > 3/2 e s < θ < s + 1/2, onde 2s é um inteiro não negativo. Tomando o
produto interno de (3.13) com
A
0
+
1
8
2θ−1
z
t
, temos
1
2
d
dt
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
+ ν
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
≤
A
−1/2
0
A
0
+
1
8
θ−1
J(A
0
z
t
, z)
A
0
+
1
8
θ
z
t
+
A
−1/2
0
A
0
+
1
8
θ−1
J(A
0
z, z
t
)
A
0
+
1
8
θ
z
t
ou,
d
dt
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
+ ν
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
≤
2
νλ
1
A
0
+
1
8
θ−1
J(A
0
z
t
, z)
2
+
A
0
+
1
8
θ−1
J(A
0
z, z
t
)
2
onde,
A
0
+
1
8
θ−1
J(A
0
z
t
, z)
≤
d
1
λ
θ−3/2
1
A
0
+
1
8
θ
z
A
0
+
1
8
θ
z
t
A
0
+
1
8
θ−1
J(A
0
z, z
t
)
≤
d
1
λ
θ−3/2
1
A
0
+
1
8
θ
z
A
0
+
1
8
θ
z
t
.
Daí, temos
d
dt
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
+ ν
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
≤
4d
2
1
νλ
2θ−2
1
A
0
+
1
8
θ
z
2
A
0
+
1
8
θ
∂z
∂t
2
.
(3.14)
63
Seja r um número fixo. Supondo a estimativa (3.7) válida para θ − 1/2 e mudando
θ por θ − 1/2 em (3.14). Então
d
dt
A
0
+
1
8
θ−1/2
∂z
∂t
2
+ ν
A
0
+
1
8
θ−1/2
∂z
∂t
2
≤
4d
2
1
νλ
2θ−3
1
A
0
+
1
8
θ−1/2
z
2
A
0
+
1
8
θ−1/2
∂z
∂t
2
(3.15)
para r
1
= (2θ − 2s)r temos
t+r
1
t
A
0
+
1
8
θ−1/2
∂z
∂t
2
dτ ≤
4d
2
1
ν
2
λ
4s−2θ−1
1
t+r
1
t
A
0
+
1
8
s
z
2
A
0
+
1
8
s
∂z
∂t
2
dτ +
1
νλ
s−θ+1/2
1
A
0
+
1
8
s
∂z
∂t
2
.
Se t ≥ t
(1)
s
, então
t+r
1
t
A
0
+
1
8
θ−1/2
∂z
∂t
2
dτ ≤
4d
2
1
K
2
s
K
(1)
s
2
r
1
ν
2
λ
4s−2θ−1
1
+
K
(1)
s
2
νλ
s−θ+1/2
1
.
(3.16)
Agora, do Lema Uniforme de Gronwall, a hipótese de indução (3.16) e (3.14), temos
que existe uma constante K
(1)
θ
(r, ν, λ
1
, |(A
0
+ 1/8)
θ−1
F |) tal que se t ≥ t
(1)
s
+ r
1
,
então (3.7) é válida para θ.
Como uma conseqüência do teorema anterior, lembrando que q = Qz,
temos o seguinte corolário:
Corolário 3.2.1. Seja F ∈ D
(A
0
+
1
8
)
s
, onde s é um número fixo e s ≥ 3/2 ou
s =
1
2
, 1. Para qualquer solução z(t) = p(t) + q(t) de (3.3), (3.4) o componente dos
pequenos vortices q de z satisfaz as desigualdades:
|q| ≤ K
s
λ
−s
N+1
(3.17)
∂q
∂t
≤ K
(1)
s
λ
−s
N+1
. (3.18)
64
3.2.1 A Variedade Aproximada M
0
Argumentos heurísticos e físicos conduzem Foias - Manley - Temam em
[8, 9] a introduzir a variedade analítica de dimensão finita
M
0
= graf(Φ
o
), (3.19)
onde
Φ
0
(p) = (νA
0
)
−1
A
0
+
1
8
−1
QJ(A
0
p, p) +
QF
8R
, p ∈ H
N
como uma melhor aproximação ao atractor universal (global) em H
N
.
Queremos mostrar que todas as soluções de (3.2) são atraídas por uma
vizinhança muito fina de M
0
. Seja q
N
= Φ
0
(p), onde p = p(t) = P z(t), z(t) é uma
solução de (3.2). Então esta satisfaz
νA
0
A
0
+
1
8
q
N
= QJ(A
0
p, p) +
QF
8R
. (3.20)
Primeiro obtemos uma estimativa de |A
s
0
q
N
|. Tomemos o produto interno da equação
anterior com A
2s−1
0
q
N
. Então para s > 0, temos
ν
A
s+1/2
0
q
N
2
≤
A
s−3/2
0
QJ(A
0
p, p)
A
s+1/2
0
q
N
+
A
s−3/2
0
QF
8R
A
s+1/2
0
q
N
onde, utilizando a fórmula de Leibniz temos;
A
s−3/2
0
QJ(A
0
p, p)
≤
β≤s−3/2
s − 3/2
β
A
β+3/2
0
p
A
s−β−1
0
p
L
∞
(Ω)
≤
β≤s−3/2
s − 3/2
β
A
β+3/2
0
p
C
∞
A
s−β−1
0
p
1/2
A
s−β
0
p
1/2
≤
β≤s−3/2
s − 3/2
β
C
∞
λ
−s+7/2
N+1
A
s−3/2
0
p
A
s−1
0
p
.
Então
A
s−3/2
0
QJ(A
0
p, p)
≤
d
2
λ
s−7/2
N+1
A
s−3/2
0
p
A
s−1
0
p
65
onde d
2
=
β≤s−3/2
s − 3/2
β
C
∞
. Assim, temos
ν
A
s+1/2
0
q
N
2
≤
d
1
λ
s−7/2
N+1
A
s−3/2
0
p
A
s−1
0
p
+
A
s−3/2
0
QF
8R
A
s+1/2
0
q
N
obtendo,
ν
A
s+1/2
0
q
N
≤
d
1
λ
s−7/2
N+1
A
s−3/2
0
p
A
s−1
0
p
+
A
s−3/2
0
QF
8R
Supondo:
A
s−3/2
0
p
≤ K
s−3/2
,
A
s−1
0
p
≤ K
s−1
.
Defina
K
s
=
1
ν
c
λ
s−7/2
N+1
K
s−3/2
K
s−1
+
A
s−3/2
0
QF
8R
escrevemos este resultado, da seguinte maneira.
Lema 3.2.1. Supondo F ∈ D
(A
0
+
1
8
)
s
, s ≥ 3/2 ou s = 1/2, 1. Se t ≥ t
s
, temos
A
s
0
q
N
≤ K
s
ou |A
s
0
q
N
| ≤ K
s
λ
−1/2
N+1
.
Agora tentamos estimar a distância das órbitas de (3.2) para M
0
. Seja
z(t) = p(t) + q(t) uma órbita de (3.2), z
N
(t) = p(t) + q
N
(t), então
dist(z(t), M
o
) ≤ | z(t) − z
N
(t)|
≤ |q(t) − q
N
(t)|.
Seja δ = q(t) − q
N
(t). De (3.4) e (3.20) obtemos
νA
0
A
0
+
1
8
δ = QJ(A
0
p, q) + QJ(A
0
q, p) + QJ(A
0
q, q) +
∂q
∂t
.
Para s fixo, s ≥ 1 ou s = 1/2, temos
|QJ(A
0
p, q )| ≤ C
∞
|A
3/2
0
p| |A
1/2
0
q|
1/2
|A
3/2
0
q|
1/2
≤ C
∞
K
3/2
K
s
λ
−s+1
N+1
66
|QJ(A
0
q, p)| ≤ C
∞
|A
3/2
0
q| |A
1/2
0
p|
1/2
|A
3/2
0
p|
1/2
≤ C
∞
λ
−s+3/2
N+1
K
s
K
1/2
1/2
K
1/2
3/2
|QJ(A
0
q, q)| ≤ C
∞
|A
3/2
0
q|
3/2
|A
1/2
0
q|
1/2
≤ C
∞
λ
−2s+5/2
N+1
K
2
s
.
Logo, temos
|A
2
0
δ| ≤
C
∞
νλ
s−1
N+1
K
3/2
K
s
+
C
∞
νλ
s−3/2
N+1
K
s
K
1/2
1/2
K
1/2
3/2
+
C
∞
νλ
2s−5/2
N+1
K
2
s
+
K
(1)
s
νλ
s−3/2
N+1
daí, obtemos
|A
0
δ| ≤ ρ
s
λ
−s+3/2
N+1
para t ≥ t
(1)
s
onde,
ρ
s
=
C
∞
νλ
1/2
N+1
K
3/2
K
s
+
C
∞
ν
K
s
K
1/2
1/2
K
1/2
3/2
+
C
∞
νλ
s−1
1
K
2
s
+
K
(1)
s
ν
.
Enunciamos, isto mediante o seguinte resultado:
Teorema 3.2.2. Assuma F ∈ D
(A
0
+
1
8
)
s−3/2
, s ≥ 3/2 ou s = 1 / 2, 1. Então se
t ≥ t
s
, para qualquer órbita de (3.2)
|q(t) − Φ
0
(p(t))| ≤ ρ
s
λ
−s+1/2
N+1
(3.21)
q(t) − Φ
0
(p(t)) ≤ ρ
s
λ
−s+1
N+1
(3.22)
|A
0
(q(t) − Φ
0
(p(t)))| ≤ ρ
s
λ
−s+3/2
N+1
. (3.23)
3.2.2 A Variedade Aproximada M
s
Denotemos por
B = {p ∈ P H : |A
3/2
0
p| ≤ K
3/2
},
B
⊥
= {q ∈ QV : |A
3/2
0
q| ≤ K
3/2
}
onde K
3/2
satisfaz (3.6).
67
Para N grande, existe uma aplicação Φ
s
: B → QV , satisfazendo
Φ
s
(p) = (νA
0
)
−1
A
0
+
1
8
−1
QJ(A
0
p + A
0
Φ
s
(p), p + Φ
s
(p)) +
QF
8R
, ∀ p ∈ B
(3.24)
Além disto, o gráfico de Φ
s
, o qual denotamos M
s
,
M
s
= graf(Φ
s
),
é uma C− variedade analítica e esta contém todas as soluções estacionárias de (3.2).
O seguinte teorema estabelece a existência de Φ
s
e dá um limite inferior
para N.
Lema 3.2.2. Seja N suficientemente grande para que
λ
N+1
≥ max
16r
2
2
,
r
2
1
K
2
3/2
. (3.25)
Então existe uma única aplicação Φ
s
: B → QV que satisfaz (3.24). Além disto
A
3/2
0
Φ
s
(p)
≤ λ
−1/2
N+1
r
1
, (3.26)
onde
r
1
= ν
−1
4C
∞
K
2
3/2
λ
−1/2
N+1
+
QF
8R
,
r
2
= ν
−1
C
∞
K
3/2
λ
−1/2
N+1
.
Demonstração. Seja p ∈ B fixo. Definamos T
p
: B
⊥
→ QV por
T
p
(q) = (νA
0
)
−1
A
0
+
1
8
−1
QJ(A
0
p + A
0
q, p + q) +
QF
8R
.
Será suficiente mostrar que T
p
tem um único ponto fixo.
1. Primeiro mostraremos que T
p
: B
⊥
→ B
⊥
. Seja q ∈ B
⊥
, e w ∈ H, com |w| = 1.
Então,
A
3/2
0
T
p
(q), w
≤ ν
−1
J(A
0
p + A
0
q, p + q), A
−1/2
0
Qw
+
A
−1/2
0
QF
8R
, w
,
68
onde, o termo genérico da parte não linear, na desigualdade acima, satisfaz
|J(A
0
p, p)| ≤ C
∞
A
3/2
0
p
A
1/2
0
p
1/2
A
3/2
0
p
1/2
≤ C
∞
K
2
3/2
λ
−1/2
N+1
.
Assim, temos
A
3/2
0
T
p
(q), w
≤ 4ν
−1
C
∞
K
2
3/2
λ
−1/2
N+1
A
−1/2
0
Qw
+ λ
−1/2
N+1
ν
−1
QF
8R
≤ ν
−1
4C
∞
K
2
3/2
λ
−1/2
N+1
+
QF
8R
λ
−1/2
N+1
.
Desta última equação e utilizando (3.25) temos
A
3/2
0
T
p
(q)
≤ λ
−1/2
N+1
r
1
≤ K
3/2
(3.27)
2. Agora mostramos que T
p
é uma contração. Observe que
∂
∂q
T
p
(q)η = (νA
0
)
−1
A
0
+
1
8
−1
Q [J(A
0
p + A
0
q, η) + J(A
0
η, p + q)] , ∀ η ∈ QV
Seja w ∈ H, com |w| = 1. Então,
A
3/2
0
∂
∂q
T
p
(q)η, w
≤ ν
−1
J(A
0
p + A
0
q, η), A
−1/2
0
Qw
+ ν
−1
J(A
0
η, p + q), A
−1/2
0
Qw
,
onde, o termo geral da última desigualdade satisfaz a seguinte estimativa:
|J(A
0
p, η)| ≤ C
∞
A
3/2
0
p
A
1/2
0
η
1/2
A
3/2
0
η
1/2
≤ C
∞
K
3/2
λ
−1/2
N+1
A
3/2
0
η
.
Então,
A
3/2
0
∂
∂q
T
p
(q)η, w
≤ 4ν
−1
C
∞
K
3/2
λ
−1/2
N+1
A
3/2
0
η
A
−1/2
0
Qw
≤ 4ν
−1
C
∞
K
3/2
λ
−1
N+1
A
3/2
0
η
.
Assim,
A
3/2
0
∂
∂q
T
p
(q)
L(QV )
≤ r
2
λ
−1/2
N+1
.
Aplicando (3.25), temos
A
3/2
0
∂
∂q
T
p
(q)
L(QV )
≤
1
2
.
69
Pelo Principio da Contração concluímos que existe um único q(p) ∈ B
⊥
tal que
q(p) = T
p
(q).
Denotamos Φ
s
(p) = q(p), observe que (3.27) implica (3.26).
A seguir demonstraremos que toda trajetória z(t) = p(t)+ q(t) se aproxi-
ma numa pequena vizinhança da variedade M
s
.
Teorema 3.2.3. Seja N suficientemente grande tal que (3.25) seja válida. Então,
para toda solução z(t) = p(t) + q(t) de (3.3), (3.4) temos
q(t) − Φ
s
(p(t)) ≤ 2ν
−1
K
(3)
s
λ
−s+1/2
N+1
(3.28)
e
|q(t) − Φ
s
(p(t))| ≤ 2ν
−1
K
(3)
s
λ
−s
N+1
, (3.29)
onde
K
(3)
s
= C
∞
λ
−s+3/2
N+1
K
2
s
+ C
∞
K
2
3/2
+ K
(1)
0
.
Demonstração. Seja ∆(t) = Φ
s
(p(t)) − q(t). De (3.4) e (3.24) temos
νA
0
∆ =
A
0
+
1
8
−1
Q [J(A
0
p, ∆) + J(A
0
∆, p) − J(A
0
q, q) + J(A
0
Φ
s
(p), Φ
s
(p))]
+
∂q
∂t
.
Tomando o produto interno em H da equação acima com A
2
0
∆, temos
ν|A
3/2
0
∆|
2
≤ |< J(A
0
p, ∆), A
0
∆ >| + |< J(A
0
∆, p), A
0
∆ >| + |< J(A
0
q, q), A
0
∆ >|
+ |< J(A
0
Φ
s
(p), Φ
s
(p)), A
0
∆ >| +
dq
dt
, A
0
∆
,
onde
|J(A
0
p, ∆)| ≤ C
∞
λ
−1/2
N+1
|A
3/2
0
p| |A
3/2
0
∆| ≤ C
∞
λ
−1/2
N+1
K
3/2
|A
3/2
0
∆|
|J(A
0
∆, p)| ≤ C
∞
λ
−1/2
N+1
|A
3/2
0
p| |A
3/2
0
∆| ≤ C
∞
λ
−1/2
N+1
K
3/2
|A
3/2
0
∆|
|J(A
0
q, q)| ≤ C
∞
|A
1/2
0
q|
1/2
|A
3/2
0
q|
1/2
≤ C
∞
λ
−s+1
N+1
K
2
s
70
e
|J(A
0
Φ
s
(p), Φ
s
(p))| ≤ C
∞
λ
−1/2
N+1
|A
3/2
0
Φ
s
(p)|
2
≤ C
∞
λ
−1/2
N+1
K
2
3/2
.
Daí,
ν|A
3/2
0
∆|
2
≤ 2C
∞
λ
−1/2
N+1
K
3/2
|A
3/2
0
∆| |A
0
∆| + C
∞
λ
−s+1
N+1
K
2
s
|A
0
∆|
+C
∞
λ
−1/2
N+1
K
2
3/2
|A
0
∆| + λ
−1/2
N+1
K
(1)
0
|A
0
∆|
ν|A
3/2
0
∆| ≤ 2C
∞
λ
−1
N+1
K
3/2
|A
3/2
0
∆| + C
∞
λ
−s+1/2
N+1
K
2
s
+C
∞
λ
−1
N+1
K
2
3/2
+ λ
−1
N+1
K
(1)
0
tal que
ν − 2C
∞
λ
−1
N+1
K
3/2
|A
3/2
0
∆| ≤
C
∞
λ
−s+3/2
N+1
K
2
s
+ C
∞
K
2
3/2
+ K
(1)
0
λ
−1
N+1
.
Pelo Lema 3.2.2, temos que ν/2 ≥ 2C
∞
λ
−
1
N+1
K
3/2
. Assim da desigualdade acima
temos
|A
3/2
0
∆| ≤
2K
(3)
s
ν
λ
−3/2
N+1
,
concluindo a prova.
Do Teorema 2.3.1 enunciado e demonstrado no capítulo anterior e desta
aproximação pelas variedades inerciais (M
0
, M
s
), temos o seguinte resultado.
Teorema 3.2.4. Para a solução geral z(t) do sistema (1.26)-(1.28), que constituem
as equações diagnósticas e a solução aproximada p(t) usando o método não-linear de
Galerkin no sistema reduzido (para z(t)), podemos inferir as seguintes estimativas:
1. Para a aproximação q
N
= Φ
0
(p), onde a solução do sistema reduzido é da
forma z(t)
N
= p(t) + q
N
(t), e N suficientemente grande tal que N ∼ (ε
−1
) temos
z − p
H
2
(Ω)
≤ ε
1/2
K + K
1
λ
−1/2
N+1
= O(ε
1/2
) , t ≥ t
0
(3.30)
71
2. Fazendo q = Φ
s
(p), com solução do sistema reduzido da forma z(t) = p(t) +
q(t), e N suficientemente grande tal que N ∼ (ε
−1/2
) temos
z − p
H
2
(Ω)
≤ ε
1/2
K + r
1
λ
−1
N+1
= O(ε
1/2
) , t ≥ t
0
.
(3.31)
Demonstração. seja z(t) a solução do sistema de equações diagnósticas, z(t) a
solução do sistema reduzido e p(t) a solução utilizando o método não linear de
Galerkin:
1. Do teorema 2.3.1 temos
z − z
H
2
(Ω)
≤ O(ε
1/2
)K
e do Lema 3.2.1,
z − p
H
2
(Ω)
= |A
0
q
N
| ≤ K
1
λ
−1/2
N+1
então
z − p
H
2
(Ω)
≤ z − z
H
2
(Ω)
+ z − p
H
2
(Ω)
≤ z − z
H
2
(Ω)
+ |A
0
q
N
|
≤ ε
1/2
K + K
1
λ
−1/2
N+1
, t ≥ t
0
Assim temos O(ε
1/2
) ∼ O(N
−1/2
) ou equivalentemente N ∼ O(ε
−1
).
2. Em seguida, para a variedade M
s
, isto é q = Φ
s
(p), do Lema 3.2.2, temos
|A
0
Φ
s
(p)| ≤ λ
−1
N+1
r
1
então novamente temos;
z − p
H
2
(Ω)
≤ z − z
H
2
(Ω)
+ z − p
H
2
(Ω)
≤ z − z
H
2
(Ω)
+ |A
0
Φ
s
(p)|
≤ ε
1/2
K + r
1
λ
−1
N+1
, t ≥ t
0
assim temos O(ε
1/2
) ∼ O(N
−1
) ou equivalentemente N ∼ O(ε
−1/2
).
72
Devemos lembrar um resultado utilizado na prova do Teorema 3.30,
fazendo um ordenamento dos autovalores do laplaciano λ
n,m
= 4π
2
(m
2
+ n
2
), com
m, n = 0, obtemos uma seqüência λ
N
.
Seja N(λ) = o número de autovalores menores ou iguais que λ, isto é
4π
2
(m
2
+ n
2
) ≤ λ
Geometricamente, N(λ) é o número de pontos, no primeiro quadrante, no interior
da circunferência:
x
2
+ y
2
=
√
λ
2π
2
desta maneira,
N
(
λ
)
é aproximadamente igual a um quarto da area da circunferência,
i.e
N(λ) ≤
λ
16π
(3.32)
Por outro lado, estes quadrados incluem a parte da circunferência:
(x + 1)
2
+ (y + 1)
2
=
√
λ
2π
2
no primeiro quadrante. Isto é igual a um quarto da circunferência, daí;
N(λ) ≥
λ
16π
−
√
λ
π
(3.33)
das equações (3.32) e (3.33) segue-se que
N(λ) =
λ
16π
+ O(
√
λ) (3.34)
obtendo desta última que λ
N
∼ N o qual justifica nosso resultado final.
73
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