( PDF ) Traité de Mécanique. Tome II

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Traité de mécanique [Document électronique]. Tome second / par S. D.

Poisson,...

Ier mesure des forces en ayant égard aux masses des mobiles.

3 io la masse d' un corps est la quantité de matière dont

il est composé. Dans les corps homogènes, la masse est

proportionnelle au volume ; mais les corps formés de différentes

substances, comprennent, en général, sous le même volume, des

quantités de matière plus ou moins grandes. Nous nous

représentons les parties intimes de tous les corps de la nature,

séparées les unes des autres par des espaces vides, que nous

appelons les pores

de la substance ; et c' est en élargissant ou en diminuant ces

espaces, que nous concevons des nombres plus petits ou plus

grands de parties matérielles, renfermées sous des volumes égaux.

La connaissance de la masse des corps nous est donnée par cette

propriété générale de la matière qu' on appelle l' inertie .

En effet, concevons un corps posé sur un plan horizontal

parfaitement poli, de manière qu' il n' éprouve aucun frottement

contre ce plan ; son poids ne s' opposera pas non plus à ce qu'

il puisse glisser le long d' un plan qu' on suppose horizontal ;

cependant, si nous voulons le mouvoir sur ce même plan, il nous

faudra, pour parvenir à le déplacer, faire un effort quelconque,

uniquement dû à ce que la matière dont ce corps est composé, ne

saurait se mouvoir d' elle-même et sans l' action d' une force,

c' est-à-dire, uniquement dû à l' inertie de la matière. Si à ce

corps on en ajoute un second, l' effort nécessaire pour les

mouvoir ensemble, devra être évidemment plus grand que pour en

déplacer un seul ; et en général, cet effort sera d' autant plus

grand, que la masse qu' on veut déplacer, sera elle-même plus

considérable. Ainsi, lorsqu' on essaie de mouvoir différens corps

sur un plan horizontal, la grandeur des efforts que l' on est

obligé de faire, pour leur imprimer le même mouvement, peut

donner l' idée de leurs masses respectives ; et quand on trouve

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que deux corps de même volume exigent des efforts différens, on

doit les regarder comme contenant, sous ce volume, des quantités

différentes de matière inerte. Mais le phénomène

le plus propre à donner une idée précise de leurs masses, et qui

peut même servir à en déterminer numériquement le rapport, c' est

le choc des corps dénués d' élasticité ; nous allons donc

analyser un cas très-simple de ce phénomène, sur lequel nous

reviendrons dans un des chapitres suivans. 3 ii les mobiles

dont il va être question, seront des sphères homogènes, formées

de différentes matières compressibles, mais dépourvues d'

élasticité ; nous mettrons leurs centres en mouvement sur une

même droite, et nous supposerons que tous les points de chaque

sphère décrivent des parallèles à cette droite, avec une vîtesse

commune. Si deux de ces sphères, égales en volume et de même

matière, viennent à se rencontrer avec des vîtesses égales et

contraires, il est évident qu' elles se comprimeront l' une

contre l' autre, jusqu' à ce que leurs mouvemens soient détruits

et qu' elles soient réduites au repos. On conçoit encore que si

la vîtesse de l' une est plus grande que celle de l' autre, la

plus petite vîtesse sera seule détruite, et la plus grande sera

diminuée d' une quantité égale à la plus petite. Appelons donc A

l' une des sphères, et B l' autre ; soient Aetb leurs vîtesses,

et supposons (..) : à l' instant du choc A sera réduite au repos,

et B conservera la vîtesse (..) ; par conséquent si l' on

enlevait la sphère A, aussitôt après le choc, B continuerait à

se mouvoir dans le même sens qu' auparavant, avec une vîtesse (..)

. Supposons que B rencontre une seconde sphère (..) , égale à la

première,

et animée de la même vîtesse A ; si (..) surpasse encore A, (..)

sera réduite au repos, et la vîtesse de B deviendra (..) .

Supprimons (..) aussitôt après le second choc ; imaginons ensuite

que B rencontre successivement une série de sphères (..) , et

animées de la vîtesse A : après un nombre quelconque N de

semblables chocs, la vîtesse de B sera réduite à (..) ; de sorte

que si la vîtesse B est un multiple de A et égale à Na, elle

se trouvera entièrement épuisée, et le corps B sera réduit au

repos. Cela posé, si les corps (..) , qui sont en nombre N,

forment une série de sphères juxtaposées / Figire /, et que

cette série, animée de la vîtesse A, vienne choquer la sphère B

, la vîtesse Na de celle-ci, sera détruite comme précédemment.

En effet, nous pouvons supposer entre les sphères (..) , des

intervalles infiniment petits ; et alors tout se passera dans ce

cas, comme dans le précédent : A perdra d' abord sa vîtesse A,

et celle de B sera réduite à (..) ; (..) agissant sur B, par l'

intermédiaire de la sphère A qui reste interposée entre ces deux

corps, perdra sa vîtesse A, et réduira celle de B à (..) ; (..)

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agissant sur B, par l' intermédiaire des deux sphères (..) ,

perdra de même sa vîtesse A, et celle de B sera encore diminuée

de A, ou réduite à (..) ; et ainsi de suite, jusqu' à la dernière

sphère de la série, qui épuisera le dernier degré de vîtesse de

B. En général, il est aisé de voir que si deux séries de sphères

juxtaposées, égales en volume et de même

matière, viennent à se rencontrer, elles se feront équilibre,

lorsque dans chaque série la vîtesse sera en raison inverse du

nombre des sphères.

3 i 4 il suit de là que la densité relative de deux corps,

exprime également le rapport de leurs poids et celui de leurs

masses, sous le même volume ; en prenant donc pour unité de

densité, celle d' une substance convenue, par exemple la densité

de l' eau, au maximum de condensation / N 93 /, et en

choisissant pour unité de masse, celle de la même substance sous

l' unité de volume, on aura (..) ; M, V, D désignant la masse,

le volume et la densité

d' un corps quelconque. Si l' on joint à cette équation celle du

N 94, savoir : (..) , on aura toutes les relations qui existent

entre la pesanteur, le poids, la masse, le volume et la densité

d' un même corps. 3 i 5 en partant de ce principe, que les

forces qui produisent le même mouvement sont proportionnelles aux

masses des mobiles, et sachant, en outre, que leurs intensités

sont entre elles comme les vîtesses qu' elles impriment à un même

corps, il nous sera aisé d' exprimer ces intensités par des

nombres, dans le cas général où les vîtesses et les masses sont

différentes. Supposons d' abord qu' on veuille comparer les

intensités de deux forces de l' espèce de celles qui agissent

instantanément sur les mobiles ; on trouvera qu' elles sont entre

elles, en raison composée des masses auxquelles ces forces sont

appliquées, et des vîtesses qu' elles leur impriment, en

supposant, toutefois, que ces vîtesses sont les mêmes en grandeur

et en direction pour tous les points d' un même corps. En effet,

soient (..) les forces, (..) les masses, (..) les vîtesses ;

considérons un troisième corps dont la masse arbitraire sera

représentée par M ; désignons par (..) la force qui lui

imprimerait la vîtesse (..) , et par (..) celle qui lui imprimerait

la vîtesse (..) . Puisque les forces F et (..) font prendre le

p10

même mouvement uniforme, aux masses M et M, elles sont entre

elles comme ces masses ; on a donc (..) ; et, par une semblable

raison, (..) ; d' ailleurs (..) agissant sur un même corps, sont

entre elles comme les vîtesses (..) , qu' elles lui impriment / Ni

95 / : donc (..) ; or, de ces trois proportions, on conclut celle-

ci : (..) . On appelle quantité de mouvement d' un corps, le

produit de sa masse par sa vîtesse. Ainsi les forces dont l'

action est instantanée, ont pour mesure la quantité de mouvement

qu' elles produisent. Une même force imprime la même quantité de

mouvement à tous les corps ; mais il en résulte, pour ces corps,

des vîtesses qui sont en raison inverse de leurs masses ; de

sorte que la force qui serait capable d' imprimer une vîtesse (..)

, à une masse M, communiquera une vîtesse égale à (..) , à une

autre masse M.

p14

Ii attraction universelle ; masses des planètes. 3 i 9

toutes les molécules de la matière s' attirent mutuellement en

raison directe des masses et inverse du carré des distances.

cette grande loi de la nature, découverte par Newton, est une

conséquence nécessaire du calcul et des faits observés. Si l' on

admet, par exemple, le mouvement elliptique des planètes autour

du soleil et la loi des aires, comme des données de l'

observation, le calcul démontre que ces corps sont

p15

retenus dans leurs orbites par une force dont l' intensité suit

la raison inverse du carré des distances à cet astre / N 24 o /.

En partant ainsi des résultats de l' expérience, on peut voir,

dans l' exposition du système du monde de M Laplace,

comment on est conduit, sans hypothèses et par une suite de

raisonnemens rigoureux, au principe de l' attraction

universelle : nous le regarderons ici comme une vérité

démontrée, et nous nous bornerons à en déduire quelques

conséquences relatives à la pesanteur terrestre et à la force qui

agit sur les planètes, qui nous feront mieux connaître la nature

de ces deux forces. 32 o celle qui retient les planètes dans

leurs orbites, n' est autre chose que la résultante des

attractions de toutes les molécules solaires, sur toutes les

molécules de chaque planète ; vu la petitesse des dimensions du

soleil et des planètes, relativement aux distances qui séparent

ces corps, on conçoit que ces attractions pourront être regardées

, sans erreur sensible, comme des forces parallèles et égales,

dans toute l' étendue d' une même planète ; leur résultante est

donc égale à leur somme, et l' on en peut conclure que la

distance restant la même, la force motrice de chaque planète est

proportionnelle au produit de sa masse multipliée par celle du

soleil. Supposons donc, pour exprimer numériquement l' intensité

de cette force, que l' on prenne une certaine distance, par

exemple celle du soleil à la terre, pour unité linéaire ;

choisissons aussi une masse et un intervalle de tems déterminés

pour unité

p16

de ces deux espèces de quantités, et prenons enfin pour unité de

force, comme dans le Ni 98, la force accélératrice constante qui

produit dans l' unité de tems une vîtesse égale à l' unité de

longueur ; concevons maintenant deux corps, dont les masses

soient égales entre elles et à celle qu' on a prise pour unité,

et qui soient placés à une distance l' un de l' autre, égale à l'

unité linéaire ; soit F la force attractive de l' un de ces deux

corps sur l' autre, c' est-à-dire le rapport numérique de son

intensité à celle de la force prise pour unité ; soient aussi M

et M, les masses du soleil et de la planète, et R, leur

distance mutuelle : la force motrice de la planète sera exprimée

par Mmf, à l' unité de distance, et elle deviendra (..) , à la

distance quelconque R. La grandeur de la quantité que nous

désignons par F, dépend du pouvoir attractif dont la matière a

été douée ; ce pouvoir est le même, à égalité de masse et de

distance, pour tous les corps de la nature ; rien, jusqu' à

présent, ne nous a appris qu' il augmente ou qu' il diminue avec

le tems ; et nous avons lieu de penser qu' il a été et qu' il

restera constamment le même.

p25

325 observons maintenant que si le point A est placé dans la

partie vide du corps / Fig 4 /, on a (..) , relativement à tous

ses élémens ; il faut donc alors prendre le signe inférieur, ce

qui réduit à zéro la quantité précédente ; d' où l' on conclut

que l' attraction d' une sphère creuse, homogène et d' une

épaisseur constante, sur un point matériel placé dans son

intérieur, est toujours nulle . Ainsi, quel que soit le lieu où

l' on place un corps de figure quelconque dans l' intérieur de

cette sphère, il y restera en équilibre ; car la résultante des

attractions que chaque point du corps éprouve, étant nulle, le

corps ne sera sollicité par aucune force. Si le point A est

placé hors du corps attirant / Fig 3 /, on aura (..) ; prenant

donc le signe supérieur, dans la formule précédente, on a (..) ,

p26

et, en intégrant par rapport à R, (..) ; C étant la constante

arbitraire. Soient donc (..) les rayons des surfaces extérieure et

intérieure du corps attirant ; l' intégrale définie, prise depuis

jusqu' à (..) , sera (..) . Cette quantité exprime la force

attractive qui agit sur le point A, suivant la droite Ac. Or,

si l' on désigne par M la masse du corps attirant, ou le produit

de son volume par sa densité, et si l' on fait attention que ce

volume est la différence de deux sphères dont les rayons sont (..)

, on aura (..) ; par conséquent la force attractive deviendra (..) .

Elle est la même que celle d' un point matériel dont la masse

serait M, et qui serait placée au point C ; il en faut donc

conclure que l' attraction d' un corps sphérique et homogène,

sur un point extérieur, est la même que si la masse entière de

ce corps était réunie à son centre . Ce théorème subsisterait

encore, si le corps attirant, au lieu d' être entièrement

homogène, était seulement composé de couches homogènes,

sphériques et concentriques ; car l' attraction de chaque couche

est la même que si la masse était réunie au

p27

centre commun, et l' attraction du corps entier est égale à la

somme des attractions de toutes ses parties. 326 la pesanteur

des corps placés à la surface de la terre, est due à l'

attraction du sphéroïde terrestre, un peu modifiée par la force

centrifuge de ces corps / N 262 / ; elle est donc un cas

particulier de l' attraction universelle, et pour cette raison on

appelle aussi cette attraction, la pesanteur ou la

gravitation universelle . Si la terre était formée de couches

sphériques homogènes, et qu' elle n' eût pas de mouvement de

rotation, l' intensité de la pesanteur à sa surface serait

constante ; mais les couches homogènes dont elle est composée,

sont aplaties vers les pôles, et cet aplatissement, joint à la

force centrifuge qui provient de la rotation, produit, comme nous

l' avons déjà dit / N 264 /, l' accroissement de pesanteur que

l' on observe, en allant de l' équateur aux pôles. Cependant,

comme cet aplatissement est peu considérable, l' attraction de la

terre sur les corps placés à sa surface, diffère peu de celle d'

une sphère de même masse et d' un rayon égal à son rayon moyen ;

en appelant donc L, ce rayon, et M, la masse de la terre, cette

attraction sera dirigée vers son centre, et à peu près égale à

. La force centrifuge diminue la pesanteur d' environ (..) à l'

équateur, et d' une moindre quantité en tout autre lieu ; si donc

on néglige cette petite diminution, et qu' on appelle G, la

pesanteur, on aura, par approximation, (..) .

p28

On pourrait même rendre cette valeur de G rigoureuse, en prenant

pour L, non pas le rayon moyen de la terre, mais un certain

rayon que la théorie détermine, et qui répond à un angle de

latitude dont le sinus est égal à (..) . Si l' on appelle (..) , la

densité moyenne de la terre, on aura aussi (..) . Lorsqu' on s'

élève au-dessus de la surface de la terre, la pesanteur, toujours

dirigée vers son centre, varie en raison inverse du carré de la

distance à ce point, du moins quand on fait abstraction de l'

aplatissement et de la force centrifuge ; car alors l' attraction

de la terre est la même que si la masse entière de cette sphère

était réunie à son centre. Dans l' intérieur de la terre, la

pesanteur suit une loi différente. En effet, si l' on considère

un point d' un corps composé de couches sphériques et homogènes,

ce point n' éprouvera aucune attraction de la part de toutes les

couches qui lui sont extérieures ; il ne sera donc attiré que par

une sphère dont la surface passe par ce point, et dont le rayon

est égal à sa distance au centre ; donc, en appelant (..) , cette

distance, et (..) , la densité moyenne des couches intérieures qui

forment cette sphère, l' attraction sera égale à (..) , et dirigée

vers le centre.

p29

C' est l' expression de la pesanteur dans l' intérieur de la

terre, supposée sphérique, et déduction faite de la force

centrifuge. On voit qu' elle serait proportionnelle à la distance

au centre, si la densité (..) était constante, ou si toutes les

couches étaient de même densité ; mais la densité des couches de

la terre décroît, suivant une loi inconnue, en allant du centre à

la surface, et pour cette raison, la loi de la pesanteur est

également inconnue. Ainsi l' hypothèse du N 2 o 2, appliquée à

une grande profondeur et jusqu' au centre même, ne doit être

regardée que comme un exemple de calcul ; cette hypothèse n' est

exacte que près de la surface de la terre, et dans une étendue où

la densité ne varie pas sensiblement.

p34

33 o cette moyenne densité de la terre, conclue de la déviation

du fil à-plomb que produit l' attraction des montagnes, a été

évaluée à quatre ou cinq fois la densité de l' eau. Cavendish l'

a trouvée égale à environ cinq fois et demie cette densité, en la

déterminant d' après l' attraction de deux globes de plomb, qu'

il a su rendre sensible au moyen de la balance de torsion .

Sans entrer ici dans tous les détails de cette belle expérience,

des diverses précautions qu' elle exige, et des calculs qu' il

faut faire pour

p35

en déduire un résultat exact, je vais seulement indiquer les

points principaux de ces calculs. La balance de torsion est l'

instrument le plus exact que nous ayons, pour servir à la mesure

des forces très-petites. Coulomb, à qui l' invention en est due,

l' a surtout employée à mesurer les forces d' attraction et de

répulsion des corps électrisés ; et pour cette raison, elle est

aussi connue en physique sous le nom de balance électrique .

Elle consiste principalement en un fil métallique, très-délié,

attaché à un point fixe, et à l' extrémité duquel est suspendu un

levier horizontal. Supposons ce levier formé d' une tige très-

mince (..) , partagée en deux parties égales à son point d' attache

B, et terminée par deux sphères d' un petit diamètre à ses

extrémités (..) ; du point B comme centre et d' un rayon égal à

Ba, décrivons, dans un plan horizontal, un cercle (..) , dont nous

diviserons la circonférence en un grand nombre de parties égales.

Lorsque le levier tournera autour du point B, ses extrémités (..)

parcourront cette circonférence, et les points de division

auxquels ils correspondront à chaque instant, feront connaître

les arcs qu' ils auront décrits. Tant que le fil de suspension n'

est point tordu, le levier reste en repos dans une certaine

position ; je suppose qu' alors il réponde à la ligne (..) , qu' on

pourra appeler la ligne de repos . Si l' on vient à l' écarter

de cette ligne, pour le mettre

p36

dans une autre position quelconque (..) , le fil de suspension sera

tordu sur lui-même, et cette torsion tendra à faire revenir le

levier vers la ligne de repos ; pour le retenir dans cette

position, supposons qu' on applique à ses deux extrémités, des

forces égales et contraires, dirigées dans le plan horizontal et

perpendiculaires à sa longueur ; la valeur commune de ces deux

forces sera la mesure de la force de torsion qui leur fait

équilibre : or, les expériences de Coulomb ont prouvé que le fil

de suspension restant le même, cette force de torsion est

proportionnelle à l' angle Abd ; en prenant donc l' angle droit

pour unité, appelant H la force de torsion qui répond à cet

angle, et désignant par (..) , l' angle Abd, la force de torsion,

dans la position (..) , sera égale à (..) . Ainsi, quand le levier

est dans cette position, la torsion de son fil de suspension

équivaut à deux forces égales à (..) , qui seraient appliquées aux

deux extrémités du levier, perpendiculairement à sa longueur et

en sens contraire l' une de l' autre, et qui tendraient à le

ramener vers la ligne (..) . Cela posé, approchons du levier deux

sphères homogènes, d' une même matière, d' un même diamètre, et

symétriquement placées de part et d' autre de la ligne (..) ;

soient (..) leurs centres, situés dans le plan horizontal qui

contient ce levier, à égale distance du point B, et sur une

droite (..) menée par ce point ; l' attraction de ces deux corps

va écarter le levier de la ligne de repos, et, à cause que tout

est semblable autour du point B, la droite (..) tournera autour

de ce point qui restera immobile. à

p37

mesure que le levier s' écarte de la ligne de repos, la force de

torsion augmente ; il existe une position dans laquelle cette

force ferait équilibre à l' attraction des deux sphères ; mais

comme le levier atteint cette position avec une vîtesse acquise,

il la dépasse et il oscille, de part et d' autre, à la manière d'

un pendule horizontal. L' observation fait connaître la durée des

oscillations ; en comparant la longueur de ce pendule à celle d'

un pendule ordinaire, qui ferait ses oscillations dans le même

tems, on en conclut le rapport de la force d' attraction de

chaque sphère, à la pesanteur, et par suite, on a le rapport de

la masse de cette sphère à celle de la terre. L' équation qui

sert à déterminer ce rapport, est facile à former, ainsi qu' on

va le voir.

p42

Principe général de dynamique. 332 la partie de la dynamique

qui va maintenant nous occuper, a pour objet de déterminer le

mouvement d' un corps ou d' un système de corps, dont les

différens points sont sollicités par des forces données en

grandeur et en direction. Ces points matériels, en vertu de leur

liaison réciproque, modifient l' action des forces qui leur sont

directement appliquées ; de sorte qu' ils ne se meuvent, en

général, ni avec les vîtesses que ces forces leur impriment, ni

dans les directions de ces vîtesses, et le plus souvent il serait

très-difficile d' assigner, à priori, les vîtesses et les

directions qu' ils doivent prendre. Heureusement cette difficulté

disparaît au moyen d' un principe général, que l' on doit à D'

Alembert, et d' après lequel on ramène toutes les questions de

dynamique à de simples questions d' équilibre. Voici l' énoncé de

ce principe : considérons un système de points matériels, liés

entre eux d' une manière quelconque, et dont les masses soient

; supposons qu' on applique à ces mobiles des forces qui

imprimeraient la vîtesse V, à la masse M, la vîtesse (..) , à la

masse (..) , la vîtesse (..) , à la masse (..) , etc., si chacune de

ces masses était isolée ; en vertu de la liaison des points

p43

du système, les vîtesses (..) , seront altérées dans leurs

grandeurs et dans leurs directions ; or, si l' on désigne par (..)

, les vîtesses inconnues que les masses (..) , prendront, suivant

des directions également inconnues, et si l' on appelle (..) , les

vîtesses qui seront perdues ou gagnées par ces mêmes masses, de

manière que Uetp soient les composantes de (..) , celles de (..) ,

celles de (..) , etc. : je dis qu' il y aura équilibre dans le

système, entre les quantités de mouvement perdues ou gagnées

; car si ces forces ne se faisaient pas équilibre, (..) , ne

seraient plus les vîtesses qui ont effectivement lieu ; ce qui

serait contre l' hypothèse.

p46

335 ces formules contiennent la théorie de la machine d' Athood

, dont on se sert en physique pour démontrer

p47

les lois du mouvement des corps graves. Cette machine consiste en

une tige verticale Ab / Fig 7 /, divisée en parties égales par

des traits marqués sur sa longueur. Une poulie fixe est placée à

la partie supérieure ; on suspend à cette poulie un fil vertical,

aux extrémités duquel on attache deux poids égaux ; le fil peut

glisser sans frottement contre la gorge de la poulie ; et quand

on veut mettre les deux corps en mouvement, il suffit d'

augmenter la masse de l' un d' eux. Les divisions de la tige font

connaître les espaces parcourus par chaque mobile ; on a près de

la machine un pendule qui bat les secondes, et en comparant les

tems écoulés aux espaces parcourus, on détermine la loi du

mouvement. On reconnaît, de cette manière, que les espaces

parcourus croissent comme les carrés des tems écoulés. On

parvient aussi, par un moyen très-simple, à rendre sensible la

vîtesse acquise, à un instant déterminé, par le mobile qui

descend. Pour cela, on attache un anneau en un point C de la

tige ; la masse qu' on a ajoutée à celle de ce mobile, est un

barreau d' une longueur plus grande que le diamètre de cet anneau

, de manière que le barreau est retenu quand le mobile arrive au

point C et traverse l' anneau ; les masses des deux corps

redeviennent donc égales, comme elles l' étaient avant l'

addition du barreau ; par conséquent leur force accélératrice est

nulle et leur mouvement se change subitement en un mouvement

uniforme, dû à la vîtesse acquise au point C. En plaçant l'

anneau en différens points de la tige, on fait voir que

p48

la vîtesse acquise est proportionnelle au tems écoulé, ou à la

racine carrée de la hauteur parcourue. Il est évident que ce

mouvement est un cas particulier de celui que nous venons d'

examiner ; c' est le cas où les deux plans donnés sont verticaux,

et où, par conséquent, leurs longueurs (..) sont égales à leur

hauteur H ; en faisant donc (..) , et supposant nulle la vîtesse

initiale A, on aura, d' après les formules du N précédent, (..) .

Au moyen de ces valeurs de V et de X, on pourra comparer la

théorie à l' expérience. Le mouvement sera d' autant plus lent

que la différence (..) des deux masses, sera plus petite par

rapport à leur somme (..) . En ralentissant ainsi le mouvement des

corps graves, sans en changer la loi, il devient plus facile de

mesurer les espaces parcourus et de découvrir cette loi. D'

ailleurs la vîtesse devenant plus petite, la résistance de l' air

devient aussi moins sensible, et l' on peut faire ensorte que ce

mouvement soit à peu près le même que dans le vide. 336 s' il

s' agissait d' une chaîne pesante, posée sur les deux plans

inclinés que nous venons de considérer, le principe de D'

Alembert conduirait encore à l' équation / I / du N 334 ; mais

dans cette équation, M représente alors la masse de la partie de

la chaîne, posée sur le plan dont la longueur est L, et (..) , la

p49

masse de l' autre partie ; ces deux quantités sont donc variables

pendant le mouvement ; et en prenant le cas le plus simple, celui

d' une chaîne homogène et d' égale épaisseur dans toute son

étendue, les masses (..) sont entre elles comme les longueurs des

deux parties. Soit X la longueur de la première partie, C la

longueur constante de la chaîne entière, et par conséquent (..) la

longueur de la seconde partie ; comme la valeur de Dv du N

précédent ne renferme que les rapports des masses (..) , à la masse

, on pourra y substituer X à la place de M, (..) à la place de

, et C à la place de (..) . De cette manière, on aura (..) ; V

est la vîtesse commune à tous les points de la chaîne, qui sont

posés, à un instant quelconque, sur le plan incliné dont la

longueur est L ; la distance variable du dernier de ces points,

au sommet du plan, étant X, la vîtesse de ce point est (..) ;

donc (..) , et (..) . En faisant, pour abréger, (..) , l' équation

précédente devient (..) . Si l' on intègre cette équation linéaire,

par les règles

p50

connues, on trouve (..) ; E étant la base des logarithmes dont le

module est égal à l' unité, et Aetb, les deux constantes

arbitraires. On déterminera facilement ces constantes, d' après

la vîtesse et la position de la chaîne à un instant déterminé.

Pour que la chaîne restât en repos, il faudrait qu' on eût (..) ;

donc alors (..) . On aurait en même tems (..) ; ce qui fait voir que

dans l' état d' équilibre, les deux parties de la chaîne sont

entre elles comme les longueurs (..) , des plans sur lesquels elles

sont posées, ou autrement dit, les deux extrémités de la chaîne

sont dans une même droite horizontale. Réciproquement, si cette

condition est remplie, et que les points de la chaîne ne

reçoivent aucune vîtesse, l' équilibre aura lieu ; car la

proportion (..) , donne (..) ; donc on a, à un instant déterminé,

; mais on a en général (..) ;

p51

égalant donc à zéro cette valeur de la vîtesse, on aura aussi (..)

; or, cette équation, et l' avant-dernière, ayant lieu à un même

instant, ou pour une même valeur de T, on en conclut (..) ; par

conséquent la chaîne ne prendra aucun mouvement.

p53

338 je choisis maintenant une application du principe de D'

Alembert, dans laquelle nous combinerons ce principe, avec celui

des vîtesses virtuelles , et qui sera très-propre à montrer l'

avantage de cette manière de résoudre les problèmes de dynamique.

On conçoit, en effet, que les quantités de mouvement perdues ou

gagnées à chaque instant par les différens points d' un système

de corps, devant se faire équilibre, il n' y a qu' à appliquer à

ces forces le principe général des vîtesses virtuelles, pour

avoir les équations du mouvement du système. C' est la marche que

M Lagrange a suivie dans la mécanique analytique . Par ce

moyen, toute la mécanique est ramenée à un seul principe, celui

des vîtesses virtuelles ; les lois de l' équilibre et du

mouvement sont renfermées dans l' équation générale que ce

principe fournit / Ni 63 / ; et il ne s' agit que de les en

déduire, dans chaque question particulière, par des procédés

purement analytiques, auxquels M Lagrange a donné toute l'

uniformité et la simplicité qu' on peut désirer. Il s' agit de

déterminer le mouvement de plusieurs corps, attachés en différens

points d' un fil inextensible, et forcés de se mouvoir sur des

courbes données ; mais pour ne pas avoir des calculs trop longs à

écrire, nous considérerons seulement deux mobiles,

p54

et nous supposerons que les courbes qu' ils sont astreints à

décrire, sont situées dans un même plan : on verra, sans peine,

que la même analyse s' étend à un nombre quelconque de corps, et

à des courbes données dans l' espace et situées dans des plans

différens. Soient donc (..) les masses de deux points matériels

attachés l' un à l' autre par un fil inextensible, de manière que

leur distance mutuelle reste constamment la même. Supposons que

le point M soit forcé de se mouvoir sur la courbe Amb / Fig 8

/, et le point (..) , sur la courbe (..) , située dans le même plan

que la première ; menons, dans le plan de ces deux courbes, par

un point O choisi arbitrairement, deux axes rectangulaires

Oxetoy, qui seront ceux des coordonnées ; soient Xety, les

coordonnées du point M, (..) , celles du point (..) ; en appelant

A, la distance constante des deux mobiles, nous aurons d' abord

l' équation de condition : (..) . Réduisons toutes les forces

accélératrices qui agissent sur le point M, à deux : l' une

parallèle à l' axe Ox, et que nous désignerons par X ; l' autre

parallèle à l' axe Oy, et qui sera représentée par Y. Désignons

de même par (..) , les forces accélératrices, parallèles aux mêmes

axes, qui agissent sur le point (..) . Au bout d' un tems T

quelconque, les vîtesses du point M, suivant les deux axes, sont

; l' instant d' après,

p55

elles deviennent (..) ; leurs accroissemens pendant l' instant Dt

, sont donc (..) ; mais si le point M était libre, les forces

accélératrices Xety, lui imprimeraient, dans l' instant Dt, les

vîtesses Xdtetydt ; les vîtesses perdues par ce point,

parallèlement aux axes des X et des Y, sont donc (..) . Les

vîtesses perdues au même instant par le point (..) , sont (..) ;

ainsi, d' après le principe de D' Alembert, l' équilibre doit

avoir lieu dans le système, entre les forces motrices (..) ,

appliquées aux masses (..) . Supposons donc, conformément à l'

énoncé du principe des vîtesses virtuelles, que l' on transporte

, en des points (..) , infiniment voisins de leurs positions

actuelles, pris sur les courbes (..) , et tels que la distance (..)

soit égale à la distance (..) . Appelons (..) , les variations de (..)

, dues à ce déplacement ; il est aisé de voir que ces variations

sont les vîtesses virtuelles des points (..) , estimées suivant les

directions des quatre forces qui leur sont appliquées : (..) , par

exemple, exprime la vîtesse virtuelle du point M, estimée

p56

suivant la direction de la force (..) ; on aura donc, en vertu de

ce dernier principe, l' équation d' équilibre / Ni 63 /, (..) .

Puisque la distance des mobiles est invariable, les coordonnées

des points (..) , doivent satisfaire à l' équation / I / ; en la

différentiant donc, par rapport à la caractéristique (..) , on aura

. De plus, lorsque les équations des courbes (..) seront données

, elles fourniront une équation entre (..) , et une autre entre (..)

; en les joignant à l' équation / 3 /, on pourra donc

déterminer trois des quatre quantités (..) , au moyen de la

quatrième ; si l' on substitue leurs valeurs dans l' équation /

2 /, cette quatrième quantité disparaîtra, et il restera une

équation différentielle du second ordre, qui, jointe à l'

équation / I / et à celles des courbes (..) , suffira pour

déterminer les quatre coordonnées (..) , en fonction du tems. Si un

seul des deux points (..) , était assujéti à demeurer sur une

courbe donnée, il n' y aurait que deux des quatre variations des

coordonnées qui fussent déterminées ; en les éliminant dans l'

équation / 2 /, il en resterait encore deux qui seraient

indépendantes

p57

l' une de l' autre ; et en égalant à zéro les coefficiens de ces

deux indéterminées, on formerait deux équations différentielles

du second ordre, qui serviraient, avec l' équation / I / et avec

celle de la courbe donnée, à déterminer les valeurs de (..) , en

fonction de T. On voit de même que si les deux mobiles sont

seulement attachés l' un à l' autre, par un fil inextensible, et

qu' ils ne soient point astreints à se mouvoir sur des courbes

données, on aura une seule équation de condition, savoir, l'

équation / 3 /, entre les quantités (..) ; on ne pourra donc

éliminer qu' une seule de ces quantités dans l' équation / 2 /

; les trois autres resteront indéterminées, et en égalant à zéro

leurs coefficiens, on aura les trois équations nécessaires pour

déterminer, avec l' équation / I /, les valeurs de (..) . Enfin,

si les deux points (..) , sont libres et indépendans l' un de l'

autre, les variations de leurs coordonnées seront aussi

indépendantes entre elles ; leurs coefficiens dans l' équation /

2 / devront donc être séparément nuls ; ce qui donne, pour

chaque mobile, les équations connues du mouvement d' un point

matériel libre et isolé / N 2 i 9 /. On voit par là comment l'

équation / 2 / renferme la solution complète du problème qui

nous occupe, et comment elle servira à déterminer le mouvement du

système que nous considérons, dans tous les cas que ce système

peut présenter. Il ne sera pas inutile, pour en éclaircir l'

usage, de faire une hypothèse particulière sur les courbes (..) .

p62

Du mouvement d' un corps solide autour d' un axe fixe. 34 i

nous avons donné dans le cours de la première année, les

équations d' équilibre d' un corps solide de figure quelconque,

entièrement libre, ou gêné par des obstacles fixes ; il nous sera

donc facile de former les équations de son mouvement, au moyen du

principe de dynamique que l' on vient d' exposer ; et ces

équations seront toujours en même nombre que celles de l'

équilibre. Nous examinerons d' abord le cas le plus simple, où l'

on n' a qu' une seule équation à considérer, et qui a lieu

lorsque le corps est retenu par un axe fixe, autour duquel il est

forcé de tourner. Pour plus de clarté, substituons au corps

solide un système de points matériels, liés entre eux d' une

manière invariable, par des droites inflexibles. Quelles que

soient les forces qui agissent sur un pareil système, chacun des

points qui le composent se mouvra dans un cercle perpendiculaire

à l' axe fixe, et qui aura pour rayon la distance de ce point à

cet axe ; de plus, les arcs de cercle décrits dans le même tems,

seront d' un même nombre de degrés pour tous ces points ; d' où

l' on peut conclure que si l' on divise la vîtesse de chaque

point, par sa distance à l' axe fixe, on aura un quotient qui ne

changera

p63

pas, en passant d' un point à un autre du système. Ce quotient

est ce qu' on appelle la vîtesse angulaire du mobile. Ainsi

, dans un système de forme invariable, tournant autour d' un axe

fixe, tous les corps ont, à chaque instant, la même vîtesse

angulaire qui peut, d' ailleurs, être constante ou variable, d'

un instant à un autre. En général, cette vîtesse sera une

fonction du tems qui dépendra des forces appliquées au système,

et qu' il s' agira de déterminer quand ces forces seront données.

Nous allons examiner, en premier lieu, le cas particulier d' une

vîtesse angulaire constante.

p67

344 notre système de forme invariable se changera en un corps

solide continu, quand les masses (..) , deviendront infiniment

petites, et qu' en même tems elles se rapprocheront jusqu' à ce

qu' elles soient juxtaposées. Ces masses seront alors les élémens

matériels du corps ; en désignant par Dm, l' expression

différentielle de l' un quelconque de ces élémens, et par R, sa

distance à l' axe fixe, la somme (..) , se changera dans l'

intégrale (..) , qui devra être étendue à la masse entière du corps

. L' équation / 2 / donnera alors (..) . Cette valeur de (..) est

la vîtesse angulaire que prend un corps solide autour d' un axe

fixe, lorsqu' on imprime, par un moyen quelconque, à tous les

points d' une certaine portion (..) de la masse entière, une

vîtesse V dont la direction est comprise dans un plan

perpendiculaire à l' axe. La quantité F représente la

perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la masse (..) ,

sur le plan mené par l' axe fixe, parallèlement à la direction

donnée de la vîtesse V. Si l' on veut avoir un exemple d' un

semblable mouvement, prenons deux corps de forme quelconque, dont

l' un soit retenu par un axe fixe, et

p68

l' autre entièrement libre ; supposons que celui-ci se meuve dans

l' espace, et que les vîtesses de tous ses points soient égales

et parallèles ; soient (..) la masse de ce corps, et V sa vîtesse

, dont la direction sera perpendiculaire à l' axe fixe ;

concevons que ce mobile vienne choquer l' autre corps, et qu'

après le choc, il lui reste attaché, de manière que les deux

masses n' en forment plus qu' une seule : cette masse totale

tournera autour de l' axe fixe, et sa vîtesse angulaire sera

donnée par l' équation précédente, dans laquelle on mettra pour

F, la distance du centre de gravité de la masse (..) , à un plan

mené par l' axe fixe, parallèlement à la direction de la vîtesse

V. Mais si les deux corps ne restaient point attachés l' un à l'

autre après le choc, la question serait différente, et nous ne

nous occuperons pas maintenant de la résoudre. On pourrait encore

supposer que le corps retenu par l' axe fixe, est choqué

simultanément par plusieurs masses qui lui restent attachées

après le choc ; dans ce cas, il est aisé de voir que la vîtesse

angulaire serait donnée par cette formule (..) , etc. Sont les

masses des corps choquans ; (..) , leurs vîtesses avant le choc ;

les directions de ces vîtesses peuvent être différentes, mais on

les suppose toutes comprises dans des plans perpendiculaires à l'

axe fixe ; les lettres (..) , etc. Désignent les distances des

centres de gravité des masses (..) ,

p69

à des plans menés par l' axe fixe et respectivement parallèles

aux directions des vîtesses (..) ; enfin, l' intégrale (..) doit

être étendue à la masse totale, formée par la réunion des masses

, et de celle du corps choqué. Si le choc d' une ou de

plusieurs des masses (..) , par exemple celui de (..) , tendait à

faire tourner le corps en sens contraire du choc des autres

masses, il faudrait prendre avec le signe (..) , dans le numérateur

de la valeur de (..) , le terme (..) relatif à cette masse (..) .

Quand ce numérateur, en ayant égard à ce changement de signe, se

trouvera égal à zéro, il n' y aura pas de mouvement de rotation

produit ; de sorte que les quantités de mouvement (..) , se feront

équilibre autour de l' axe fixe. 345 lorsqu' un corps retenu

par un axe fixe, est mis en mouvement autour de cet axe, par un

choc, ou de toute autre manière, l' axe fixe éprouve, à l'

instant où le mouvement commence, une percussion qu' il est

important de connaître. Elle est due aux quantités de mouvement,

perdues ou gagnées à cet instant, par les différentes parties du

corps : ces forces se font équilibre au moyen de l' axe fixe, de

manière qu' elles se réduisent à d' autres forces qui coupent l'

axe ou qui lui sont parallèles, et qui produisent la percussion

que cet axe éprouve ; ainsi, on la déterminera, dans chaque cas,

en cherchant la résultante des quantités de mouvement perdues ou

gagnées, ou leurs résultantes, si ces forces ne peuvent pas être

réduites à une seule.

p70

Pour fixer les idées, supposons que le mouvement est produit par

le choc d' une seule masse (..) , animée de la vîtesse V, et qui

reste attachée au corps choqué, après le choc. Soit G, le centre

de gravité de cette masse, et Gh, la direction de la vîtesse V,

comprise dans le plan Acb perpendiculaire à l' axe fixe Cd :

les quantités de mouvement des élémens de la masse entière,

prises en sens contraire de leurs directions, doivent faire

équilibre à la force (..) , dirigée suivant la force Gh ; par

conséquent il s' agit de trouver la résultante de toutes ces

forces. Appelons M, la masse totale, formée de la masse (..) et

de celle du corps choqué ; désignons par Dm, un élément

quelconque de cette masse totale, et par X, Y, Z, les

coordonnées rectangulaires de cet élément, rapportées à l' axe

Cd que nous prendrons pour l' axe des Z, et aux deux axes

Cxetcy, menés arbitrairement dans le plan Acb. La vîtesse

angulaire étant toujours (..) , et la distance de l' élément Dm à

l' axe Cd, étant R, sa quantité de mouvement sera (..) ; la

direction de cette force est tangente au cercle dont le rayon est

R et dont le plan est perpendiculaire à l' axe Cd ; si donc on

la décompose en trois forces parallèles aux axes des X, Y, Z,

la composante parallèle à l' axe des Z, sera nulle. Pour obtenir

les deux autres, soit P la projection de l' élément Dm, sur le

plan des X, Y ; décrivons un cercle du point C comme centre et

d' un rayon égal à Cp, ou à R ; menons par le point P la

tangente (..) au cercle décrit, qui coupe les axes des X et des

Y aux points (..) : si le mouvement de rotation a lieu dans le

sens Pn, il faudra prendre la force

p71

, dans la direction contraire (..) ; de manière que pour la

décomposer suivant ces axes, il faudra la multiplier par les

cosinus des angles (..) étant le prolongement de (..) ; or, en

observant que la tangente (..) est perpendiculaire au rayon Cp,

il est aisé de trouver (..) ; donc les composantes de la force (..)

, parallèles aux axes des X et des Y, seront (..) . Je décompose

de la même manière les quantités de mouvement de tous les élémens

de M ; je prends ensuite la résultante ou la somme des forces

parallèles à chaque axe. Celle des forces parallèles à l' axe des

Y est donnée par l' intégrale (..) , qui est la même chose que (..)

; et l' on doit prendre cette intégrale (..) , dans toute l'

étendue de la masse M. Mais, si l' on désigne par X, la valeur

de X qui répond au centre de gravité de cette masse, et si l' on

fait attention que les masses sont proportionnelles aux poids, on

aura / N 99 /, (..) ; la valeur de la résultante parallèle à l'

axe des Y, devient donc (..) . On trouvera de même (..) , pour la

résultante des forces parallèles à l' axe des X, en désignant

par (..) , la valeur de Y, qui répond au centre de gravité de M.

Les momens des forces (..) , par rapport au plan des X, Y, sont

; les sommes des momens des forces parallèles à chaque axe, sont

donc (..) ;

p72

les intégrales (..) étant prises dans toute l' étendue de M. Si

donc on représente par (..) les distances des résultantes (..) , au

plan des X, Y, ces sommes de momens seront égales aux

résultantes, multipliées par les distances (..) / N 39 / ; donc,

en supprimant le facteur commun (..) , on aura ces deux équations

, qui serviront à déterminer (..) . Ainsi, toutes les forces qui

se font équilibre autour de l' axe fixe, sont maintenant réduites

à trois, savoir : (..) , dont la première est dirigée dans le plan

Cab, et les deux autres parallèles à ce plan. Or, il se présente

deux cas à examiner : I lorsque les deux intégrales (..) seront

nulles, on aura aussi (..) ; par conséquent les deux dernières

forces se trouveront dans le plan des X, Y, ainsi que la

première. Ces trois forces étant en équilibre dans ce plan,

autour du point fixe C, leur résultante doit passer par ce point

; on l' obtiendra donc en transportant en ce point chacune des

trois forces, parallèlement à elle-même et sans changer sa

grandeur, et en les réduisant ensuite en une seule, par les

règles de la composition des forces. Cette résultante sera, dans

ce premier cas, la seule percussion qu' éprouve l' axe fixe.

p73

2 si les deux intégrales (..) ne sont pas nulles, les forces (..) ,

tomberont hors du plan X, Y. On les ramènera dans ce plan sans

changer ni leurs grandeurs, ni leurs directions, par le moyen que

nous avons employé dans le N 59 ; mais alors on aura, outre les

forces dirigées dans le plan des X, Y, quatre forces parallèles

à l' axe des Z, qu' il sera facile de réduire à deux, égales

entre elles, dirigées en sens contraires, mais non directement

opposées. Ces deux forces seront détruites par la résistance de

l' axe fixe, et elles produiront sur cet axe une percussion d'

une espèce particulière. L' axe éprouvera de plus, comme dans le

cas précédent, une percussion perpendiculaire à sa longueur,

passant par le point C, et exprimée par la résultante des forces

dirigées dans le plan des X, Y.

p75

Ii propriétés des momens d' inertie et des axes principaux.

347 avant de passer au cas général où la vîtesse angulaire

est variable, il est nécessaire d' expliquer comment on calcule

l' intégrale (..) , qui entre dans les différentes formules que

nous venons de donner, et qui se retrouvera encore dans celle du

mouvement varié. Cette intégrale représente la somme des élémens

matériels du mobile que l' on considère, multipliés

respectivement par le carré de leur distance à l' axe de rotation

. On appelle cette somme le moment d' inertie du corps, pris

par rapport à cet axe. Quand l' équation de la surface du mobile

et la loi de la densité dans son intérieur, seront données, on

obtiendra la valeur de (..) par une triple intégration analogue à

celles que l' on ferait pour trouver le volume,

p76

ou la position du centre de gravité de ce corps. Les exemples

suivans suffiront pour éclaircir ce procédé.

p82

35 i le calcul du moment d' inertie d' un corps homogène,

terminé par une surface de révolution, se réduit à une seule

intégration, dépendante de la nature de la courbe génératrice,

quand on prend ce moment par rapport à l' axe de figure. Pour le

prouver, divisons ce corps en anneaux circulaires, d' une

épaisseur et d' une largeur infiniment petites, dont chacun ait

son centre dans l' axe et soit compris entre deux plans

perpendiculaires à cet axe. Soit Enf / Figii /, une

p83

section d' un de ces anneaux, P son centre, Cpd l' axe de

figure, Cmd la courbe génératrice, dont le plan est

perpendiculaire à cet anneau. Appelons R le rayon intérieur (..)

le rayon extérieur (..) , de manière que Dr soit la largeur (..) de

l' anneau ; appelons aussi X, la distance Cp du centre P, à un

point fixe C, pris arbitrairement sur l' axe Cd ; et soit enfin

Dx, l' épaisseur de l' anneau, ou la distance mutuelle des deux

plans perpendiculaires à l' axe, qui le comprennent. Cet anneau

est évidemment la différence de deux cylindres, dont la hauteur

commune est Dx, et qui ont pour rayon, (..) ; son volume, en

représentant par (..) le rapport de la circonférence au diamètre,

sera donc égal à (..) , quantité qui se réduit à (..) , en négligeant

le terme infiniment petit du 3 e ordre : la masse de cet anneau

sera donc (..) étant la densité du corps. Tous les points de l'

anneau sont à des distances de l' axe Cd, qui sont égales à R,

ou qui n' en diffèrent que d' une quantité infiniment petite ; on

aura donc son moment d' inertie, en multipliant sa masse, par le

carré de R ; ce qui donne (..) . Si l' on intègre cette formule

par rapport à R, et depuis (..) , jusqu' à (..) , on aura le moment

d' inertie d' une tranche du corps, dont l' épaisseur est Dx, et

comprise entre deux plans perpendiculaires à l' axe Cd, c' est-à

-dire, la somme des momens d' inertie de tous les anneaux compris

entre ces deux plans ; soit donc Y l' ordonnée Pm de la courbe

p84

génératrice, qui répond à l' abscisse quelconque Cp ou X, nous

aurons, en effectuant cette intégration, et observant que la

densité est supposée constante, (..) . Lorsque l' équation de la

courbe génératrice sera donnée, on en tirera la valeur de Y en

fonction de X ; en la substituant dans cette dernière formule,

il ne restera plus ensuite qu' à l' intégrer par rapport à X,

depuis (..) jusqu' à (..) : cette intégrale définie exprimera la

somme des momens d' inertie de toutes les tranches du corps, ou,

ce qui est la même chose, le moment d' inertie du corps entier.

Si l' on veut seulement avoir le moment d' inertie d' une tranche

du corps, d' une épaisseur finie et comprise entre deux plans

perpendiculaires à l' axe Cd, on donnera pour limites à cette

intégrale, les valeurs de X qui répondent aux deux plans

extrêmes. Quand le corps sera un solide creux, terminé par deux

surfaces de révolution qui ont le même axe, on aura son moment d'

inertie par rapport à cet axe, en regardant ce corps comme la

différence de deux solides de révolution, et en retranchant le

moment relatif à l' un, du moment relatif à l' autre. Enfin, si

l' on demandait le moment d' inertie d' un segment de solide de

révolution, compris entre deux plans menés par l' axe de figure,

il est évident, d' après la symétrie d' un pareil corps autour de

cet axe, que le moment d' inertie d' un segment quelconque est au

moment d' inertie du solide entier, comme l' angle

p85

des deux plans qui comprennent ce segment, est à la circonférence

entière ; par conséquent le moment d' inertie de chaque segment

se déduira toujours, sans aucune difficulté, de celui du solide.

352 supposons, pour donner un exemple, que la courbe génératrice

Cmd soit une demi-circonférence, dont le diamètre Cd, soit

représenté par 2 a. L' équation de cette courbe, rapportée au

point C comme origine des coordonnées, aura cette forme : (..) ;

la formule à intégrer deviendra donc, en y mettant pour (..) ,

cette valeur (..) ; et en intégrant, on aura (..) . Cette intégrale,

qui s' évanouit au point C, exprime le moment d' inertie de la

portion de sphère engendrée par l' aire Cpm, tournant autour de

la droite Cp. Si l' on veut avoir celui de la sphère entière,

engendrée par le demi-cercle Cmd, il n' y a qu' à supposer (..) ,

et il vient (..) pour la valeur du moment ; résultat qui est le

même que celui du N 35 o.

p86

354 quand on connaît le moment d' inertie d' un corps, par

rapport à un axe passant par le centre de gravité, on en conclut

aisément le moment d' inertie du même corps, rapporté à tout

autre axe parallèle au premier.

p87

En effet, plaçons l' origine des coordonnées X, Y, Z, au

centre de gravité, et prenons le premier axe, pour celui des Z ;

soient (..) , les coordonnées du point où le second axe coupe le

plan des X, Y, auquel ce second axe est aussi perpendiculaire ;

désignons par A, la distance du centre de gravité, au second axe

; par R, celle d' un élément quelconque Dm au premier axe ; par

, la distance du même élément au second axe. Le moment d'

inertie connu sera (..) , et celui qu' on demande, sera (..) ; ces

intégrales étant étendues à la masse entière du corps. Or, nous

aurons (..) ; multipliant par Dm, intégrant et observant que (..) ,

il vient (..) ; mais à cause que le centre de gravité est sur l'

axe des Z, on a (..) , car ces intégrales, divisées par la masse

du corps, représenteraient en général les distances de ce centre,

aux plans des Y, Z et des X, Z ; de plus (..) est la masse

entière du corps, que je représenterai par M ; l' équation

précédente se réduit donc à (..) . Donc on aura le moment demandé,

en ajoutant à celui qui est donné, la masse du corps, multipliée

par le carré de la distance du centre de gravité au nouvel axe.

p88

D' après cette règle, on aura immédiatement le moment d' inertie

d' une sphère homogène, ou composée de couches homogènes

concentriques, par rapport à un axe quelconque, puisque ce moment

est connu par rapport à tous les axes passant par le centre de

figure, qui est aussi le centre de gravité.

p105

366 jusqu' ici les axes principaux ne sont pour nous que des

droites dont la considération est utile dans le calcul des momens

d' inertie d' un corps, parce qu' elle réduit ce calcul à former

les valeurs des trois momens d' inertie principaux / N 357 /, d'

où l' on déduit ensuite, sans nouvelle intégration, le moment d'

inertie du même corps, rapporté à un axe quelconque. Mais ces

axes jouissent, en mécanique, d' une propriété importante, qui

les a fait nommer axes principaux de rotation , et que nous

allons maintenant exposer. Considérons un corps solide tournant

autour d' un

p106

axe fixe, en vertu d' une impulsion primitive, et sans qu' aucune

force accélératrice ne lui soit appliquée. Soit Oz, l' axe fixe

; désignons toujours par X, Y, Z, les coordonnées d' un

élément quelconque Dm du corps, respectivement parallèles aux

axes Ox, Oy, Oz ; par R, la distance de cette molécule à l'

axe fixe, ou le rayon du cercle que cette molécule décrit ; enfin

par (..) la vîtesse angulaire, commune à tous les points du corps.

La force centrifuge de l' élément Dm sera exprimée par (..) / N

259 / et dirigée suivant le prolongement du rayon R ; la force

motrice correspondante à cette force accélératrice est égale au

produit (..) ; l' axe fixe est donc tiré perpendiculairement à sa

longueur, par cette force (..) , et par une force semblable pour

chacun des élémens du corps. La résultante de cette infinité de

forces, ou leurs deux résultantes, si ces forces ne sont pas

réductibles à une seule, expriment la pression totale que l' axe

éprouve pendant le mouvement du corps ; pression qu' il est

important de connaître, et qu' on déterminera facilement. En

effet, transportons le point d' application de la force (..) , au

point où sa direction coupe l' axe Oz ; et décomposons-la en ce

point, en deux forces parallèles aux axes Ox, Oy, et dirigées

dans les plans des X, Z, et des Y, Z : la direction de la

force (..) , fait avec les axes des X et des Y, des angles dont

les cosinus sont (..) ; les composantes de cette force, parallèles

à ces axes, sont donc (..) ; donc la résultante ou la somme de

toutes

p107

les composantes parallèles à l' axe des X, est donnée par l'

intégrale (..) ; laquelle intégrale est égale à (..) , M désignant

la masse du corps, et (..) la valeur de X, qui répond à son

centre de gravité. De même la résultante des forces parallèles à

l' axe des Y, et dirigées dans le plan des Y, Z, est égale à

, en désignant par Y la distance du centre de gravité au plan

des X, Z. Et si l' on représente par (..) , les distances des

résultantes (..) , au plan des X, Y, on trouvera, d' après la

théorie des momens des forces parallèles, les deux équations (..) ,

dont on se servira pour déterminer (..) . De cette manière, on

connaîtra les intensités des forces dirigées dans les plans des

X, Z, et des Y, Z, qui tirent l' axe fixe perpendiculairement

à sa longueur, et les points de cette ligne où ces forces sont

appliquées. Quand on aura (..) , les deux forces (..) , seront

appliquées au même point ; par conséquent elles se réduiront à

une seule, dont l' intensité sera (..) , et qui exprimera la

pression que l' axe éprouve pendant le mouvement du corps.

p110

Iii mouvement varié ; oscillations du pendule composé. 3

69 après cette digression sur les propriétés des momens d'

inertie et des axes principaux, reprenons le problème du

mouvement d' un corps solide autour d' un axe fixe, et supposons

maintenant que tous les points du mobile sont sollicités par des

forces accélératrices données. Partageons toujours la masse du

corps en élémens infiniment petits : soit Dm un de ces élémens ;

R sa distance à l' axe fixe, ou le rayon du cercle que ce point

matériel décrit dans un plan perpendiculaire à cet axe ; (..) /

Figi 4 / deux élémens consécutifs de ce cercle, et (..) , leurs

prolongemens dans le sens du mouvement du corps. Considérons le

point matériel Dm, à l' instant qu' il parvient au point M de

sa trajectoire ; désignons, à cet instant, par (..) , l' intensité

de la force accélératrice qui agit sur Dm ; par (..) , l' angle

aigu ou obtus, que la direction de cette force fait avec la ligne

Mt ; par (..) , la vîtesse angulaire du corps ; et par T, le tems

écoulé depuis l' origine du mouvement. Si l' on décompose la

force (..) , en trois forces rectangulaires, l' une parallèle à l'

axe fixe, l' autre dirigée suivant le rayon R, et la troisième

dirigée suivant la ligne Mt, les deux

p111

premières seront détruites par la résistance de l' axe : il

serait nécessaire d' y avoir égard dans le calcul de la pression

que cette droite supporte ; mais elles n' ont aucune influence

sur le mouvement du corps, et nous en pouvons faire entièrement

abstraction. La composante de (..) , dirigée suivant Mt, est égale

à (..) ; c' est cette force qui fait varier la vîtesse angulaire

, dont nous nous proposons de déterminer la valeur en fonction

du tems. Or, à la fin du tems T, la vîtesse de Dm est égale à

, et dirigée suivant Mt ; si l' élément Dm se détachoit du

corps et devenait libre, l' action de la force (..) augmenterait

cette vîtesse de (..) , pendant l' instant Dt ; donc à la fin du

tems (..) , la vîtesse de Dm serait encore dirigée suivant Mt, et

égale à (..) . Mais l' élément Dm continuant de faire partie du

corps, sa vîtesse, à la fin du tems (..) , se trouve dirigée

suivant (..) et égale à (..) ; donc, en vertu du principe général

de dynamique / N 333 /, il y aura équilibre dans le système, si

l' on imprime à chaque élément du corps, deux vîtesses qui seront

, par rapport à l' élément quelconque (..) : la première, dirigée

suivant Mt, dans le sens du mouvement du corps ; la seconde,

dirigée suivant (..) , en sens contraire de ce mouvement. En

multipliant ces vîtesses par la masse de l' élément, on aura les

quantités de mouvement qui doivent se faire équilibre ; et en

multipliant de nouveau ces produits par la distance de l' élément

à l' axe fixe, on aura les momens de ces forces qui doivent

entrer dans l' équation d' équilibre

p112

autour de cet axe / N 65 /, lesquels momens seront (..) ,

relativement à l' élément Dm. Cette équation se forme en égalant

la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner leurs

points d' application, dans le sens du mouvement du corps, à la

somme des momens de celles qui tendent à faire tourner leurs

points d' application en sens contraire de ce mouvement ; la

première somme est donnée par l' intégrale de (..) , prise par

rapport à Dm, et étendue à la masse entière du corps ; la

seconde est donnée par l' intégrale de (..) , prise de la même

manière ; donc l' équation d' équilibre sera (..) ; ou bien, en

réduisant, (..) . Cette équation servira à déterminer la vîtesse

angulaire (..) , en fonction du tems, lorsque la force (..) et l'

angle (..) seront donnés pour tous les points du corps.

p161

Du mouvement d' un corps solide libre. 397 pour nous

représenter avec plus de facilité le mouvement d' un corps solide

dans l' espace, nous lui substituerons deux autres mouvemens

simultanées, l' un de rotation , autour d' un point du corps,

regardé comme fixe, l' autre de translation , commun à tous

les points du mobile. Cela revient évidemment à regarder, à un

instant quelconque, la vîtesse de chaque point, comme la

résultante de deux vîtesses, dont l' une soit commune à tous les

points, égale et parallèle à celle du point que l' on choisit

pour centre du mouvement de rotation, et dont l' autre soit

particulière à chaque point : en ayant seulement égard aux

vîtesses particulières, le corps tourne autour du centre comme

autour d' un point fixe ; et en vertu de la vîtesse commune, tous

ses points sont transportés dans l' espace, d' un mouvement

commun qui n' altère, en aucune manière, le mouvement de rotation

. Tant qu' on aura seulement pour but de décomposer le mouvement

du corps en deux mouvemens plus simples et plus faciles à

concevoir, on pourra choisir arbitrairement le centre du

mouvement de rotation ; mais lorsqu' il s' agira de déterminer

ces deux mouvemens, nous prendrons pour ce point, le

p162

centre de gravité du mobile, parce que son mouvement, dans un

grand nombre de cas, peut être déterminé directement et

indépendamment de celui des autres points du corps : c' est ce

que nous allons d' abord faire voir, en cherchant les équations

du mouvement de ce centre, considéré comme un point matériel.

p165

399 lorsque les forces données qui agissent sur les points du

mobile, seront des attractions dirigées vers d' autres points

fixes ou mobiles, leurs intensités dépendront des distances des

premiers points aux seconds, et les quantités X, Y, Z, seront

des fonctions des coordonnées de tous ces points. Dans ce cas,

les équations / 3 / ne pourront pas servir à déterminer

directement les coordonnées (..) , du point G ; ou, autrement dit,

on ne pourra pas déterminer le mouvement de ce point,

indépendamment de celui des autres points du corps. Mais quand

ces forces seront constantes en grandeur et en direction, comme

la pesanteur dans un corps de dimension ordinaire, les équations

/ 3 / feront connaître immédiatement le mouvement du centre de

gravité : ce centre se mouvra alors comme un point matériel

p166

pesant ; son mouvement horizontal sera uniforme, son mouvement

vertical, uniformément varié, et sa trajectoire, une parabole

dont le sommet et le paramètre dépendront de sa position et de sa

vîtesse initiales / N 229 /. 4 oo en général les équations

différentielles secondes du mouvement d' un point matériel,

laissent indéterminées les coordonnées, la vîtesse et la

direction du mobile à l' origine ; ces coordonnées et les

composantes de cette vîtesse, parallèles aux trois axes, sont les

constantes arbitraires qui complètent les intégrales de ces

équations, et qui doivent être déterminées dans chaque cas

particulier. Or, la position initiale du corps étant censée

connue, on aura, sans difficulté, les coordonnées du point de

départ de son centre de gravité ; et quant aux vîtesses initiales

de ce point, suivant les axes, on les déterminera immédiatement,

d' après les intensités et les directions des forces qui ont agi

sur le corps à l' origine du mouvement. En effet, quelles que

soient les vîtesses initiales des différens points du corps, il

faut que leurs quantités de mouvement, prises en sens contraire

des directions de ces vîtesses, fassent équilibre aux forces

appliquées à ces points, et qu' on regarde comme données / N 333

/ ; il faut donc, puisque le corps est entièrement libre, que la

somme de ces quantités de mouvement, suivant chaque axe des

coordonnées, soit égale à la somme des composantes des forces

données, suivant le même axe ; mais, à un instant

p167

quelconque, les quantités de mouvement de l' élément Dm, sont

, parallèlement aux axes des X, Y, Z ; on aura donc, à l'

origine du mouvement, (..) , en prenant ces intégrales dans toute

l' étendue de la masse du mobile, et en représentant par A, B,

C, les sommes des composantes des forces données, respectivement

parallèles aux axes des X, des Y et des Z. Donc, en vertu des

équations / I /, on aura (..) ; et en divisant par M, on en

conclura les valeurs initiales de (..) . 4 oi ces équations

montrent que la vîtesse initiale du centre de gravité, est la

même, en grandeur et en direction, que si la masse entière du

corps y était réunie, et que les forces appliquées en différens

points du mobile, à l' origine du mouvement, fussent transportées

à ce centre, parallèlement à elles-mêmes et sans changer leurs

intensités. Si donc le corps solide (..) / Figi 6 / est

entièrement libre, et qu' on applique en un point A, suivant la

direction quelconque Ba, une force de l' espèce de celles qui

agissent instantanément sur les

p168

mobiles : le centre de gravité G de ce corps se mouvra suivant

la droite Gc, parallèle à Ba ; sa vîtesse sera égale à l'

intensité de cette force, divisée par la masse du corps ; de

manière que l' intensité de la force étant représentée par F, la

masse du mobile par M, et la vîtesse de son centre de gravité

par V, on aura (..) . La grandeur de cette vîtesse ne dépend,

comme on voit, ni de la direction, ni du point d' application de

la force F ; la même force, appliquée successivement en

différens points d' un corps, et suivant différentes directions,

imprimera toujours la même vîtesse à son centre de gravité ;

propriété qui distingue ce centre, de tous les autres points du

mobile. On voit aussi que si des forces dont les intensités sont

inconnues, agissent dans des directions quelconques sur des

masses données, ces intensités seront entre elles comme les

produits de ces masses par les vîtesses que prendront leurs

centres de gravité ; par conséquent, quelle que soit la direction

d' une force qui agit instantanément sur un corps solide libre,

et quel que soit aussi le mouvement qu' elle imprime à ses

différens points, son intensité aura pour mesure le produit de la

masse de ce corps, multipliée par la vîtesse de son centre de

gravité. Ce résultat complète ce que nous avons dit, dans le N 3

i 5, sur la mesure des forces qui agissent instantanément sur les

mobiles : nous savions qu' une

p169

force de cette nature a pour mesure la quantité de mouvement qu'

elle imprime à une masse quelconque, en supposant que tous les

points de cette masse prennent des vîtesses égales et parallèles

; mais quand l' action de la force produit un mouvement de

rotation, de manière que les vîtesses des différens points du

mobile ne sont plus les mêmes, il restait à déterminer par

laquelle de ces vîtesses on doit multiplier la masse du corps

pour avoir la mesure de la force qui a produit le mouvement : or,

nous voyons maintenant que l' intensité de cette force sera

toujours égale au produit de la masse du mobile, multipliée par

la vîtesse de son centre de gravité. Le choc d' un corps en

mouvement contre un corps en repos, est une force qui agit

instantanément sur ce second corps, ou du moins, le tems pendant

lequel elle exerce son action est, en général, si petit qu' on en

peut faire abstraction sans erreur sensible ; l' intensité de

cette force devra donc être représentée dans le calcul, par le

produit de la masse du corps choqué, multipliée par la vîtesse

que le choc imprime à son centre de gravité ; quant à son point

d' application, c' est le point de contact des deux mobiles, et

sa direction est toujours la normale commune en ce point aux deux

surfaces. Lorsqu' un corps en repos sera choqué à la fois par

plusieurs autres corps en mouvement, l' intensité de chaque force

de percussion sera égale au produit de la masse du corps choqué,

multipliée par la vîtesse que prendrait son centre de gravité, si

cette force agissait seule.

p170

4 o 2 après avoir trouvé les équations du mouvement du centre de

gravité, il nous reste maintenant à déterminer le mouvement de

rotation du corps autour de ce point. Pour cela, imprimons à tous

les points de ce mobile un mouvement égal et contraire à celui de

son centre de gravité G ; ce point deviendra immobile ; l' un

des deux mouvemens du corps, celui de translation, sera détruit,

et son mouvement de rotation, autour du point G, ne sera

aucunement altéré. Or, pour produire ce mouvement contraire, il

est évident qu' il faut imprimer à tous les points du corps, I

une vîtesse initiale, égale et contraire à la vîtesse initiale du

centre de gravité ; 2 une force accélératrice variable, égale

et contraire, à chaque instant, à la force accélératrice du point

G. Voyons d' abord ce qui résulte de la première condition. En

imprimant ainsi à tous les points du corps, des vîtesses égales

et parallèles entre elles, il en résultera pour tous ces points,

des quantités de mouvement proportionnelles à leurs masses et de

même direction ; ou bien, si l' on partage le corps en élémens

égaux en masse, tous ces élémens auront des quantités de

mouvement égales ; or, la résultante de ces forces parallèles et

égales, passera toujours par le centre de gravité de la masse

entière ; mais dans tout mouvement de rotation autour d' un point

fixe, on peut négliger les forces dont la résultante passe par ce

point ; on peut donc ici faire abstraction de ces forces

parallèles, puisque le centre de gravité du corps

p171

est supposé être le point fixe. Donc le mouvement de rotation

initial d' un corps solide, autour de son centre de gravité, sera

produit par les forces données qui agissent à l' origine sur

différens points de ce corps, et ce mouvement sera le même que si

le centre de gravité ne prenait lui-même aucune vîtesse initiale.

Relativement à la seconde condition, j' observe qu' il en

résultera, pour tous les points du corps, des forces motrices qui

seront constamment parallèles entre elles, et proportionnelles

aux masses de ces points ; on pourra donc aussi en faire

abstraction, puisque leur résultante passera à chaque instant par

le centre de gravité ; d' où je conclus que le mouvement de

rotation, autour de ce centre, est produit, à l' origine, et

pendant toute sa durée, par les forces données qui agissent sur

les points du mobile, et auxquelles on ne doit ajouter aucune

autre force. Connaissant ces forces et leurs directions, dans

chaque cas particulier, on formera les six équations

différentielles du premier ordre, ou les trois équations du

second ordre, dont ce mouvement de rotation dépend / N 384 / ;

en les joignant aux équations / 3 / du N 398, on aura toutes

les équations nécessaires pour déterminer les deux mouvemens du

corps ; mais ce ne sera que dans un très-petit nombre de cas

particuliers qu' on parviendra à les intégrer. 4 o 3 il est

aisé de concevoir, d' après cela, comment on déterminera le

double mouvement de rotation et de translation d' un corps solide

entièrement libre,

p172

produit par l' action simultanée de plusieurs forces données, qui

agissent instantanément sur ce mobile. Supposons, en effet, que

, soient les intensités de ces forces, et qu' elles soient

appliquées aux points (..) , etc., d' un corps solide libre / Figi

6 /, suivant les directions (..) . Puisque ces intensités sont

données, on est censé connaître la vîtesse que chaque force

imprimerait au mobile, si cette force agissait seule ; soit donc

V la vîtesse qui serait due à la force F, (..) celle qui serait

due à (..) , et désignons par M, la masse du mobile : nous aurons

/ N 4 oi / (..) . Or, G étant le centre de gravité du corps, ce

point doit se mouvoir comme si la masse M y était réunie, et que

les forces (..) , y fussent appliquées parallèlement à leurs

directions ; je mène donc, par le point G, des droites (..) ,

parallèles aux directions (..) ; sur ces droites, je porte, à

partir du point G, des parties qui soient entre elles comme les

forces (..) , ou, ce qui est la même chose, comme les vîtesses (..)

; je prends ensuite, par les règles connues, la résultante de ces

vîtesses, et cette résultante sera, en grandeur et en direction,

la vîtesse du point G. Ainsi le centre de gravité du mobile que

nous considérons, se meut d' un mouvement rectiligne et uniforme,

avec une vîtesse égale à la résultante de celles qui lui seraient

communiquées par les forces

p173

, si chacune de ces forces était seule appliquée au mobile.

Maintenant le corps doit tourner autour de son centre mobile,

comme s' il était fixe, et que les mêmes forces données (..) ,

fussent appliquées au mobile, sans rien changer à leurs

directions et à leurs points d' application ; je regarde donc le

centre de gravité G, comme un point fixe ; je détermine, par les

formules du premier livre / N 86 /, le moment principal des

forces (..) , relativement au point G, et la direction du plan

auquel ce moment se rapporte, lequel plan sera celui qui passe

par le point G et par la direction de leur résultante, quand ces

forces auront une résultante unique : le mouvement de rotation

autour du point G, ne dépend que de la direction de ce plan et

de la grandeur de ce moment, et connaissant l' une et l' autre,

on peut, dans tous les cas, déterminer ce mouvement d' une

manière complète / N 39 o /. Lorsque les forces (..) , se

réduiront à deux, parallèles, égales et dirigées en sens opposés,

la vîtesse du centre de gravité sera nulle, puisqu' en

transportant ces forces au point G, elles s' y feront équilibre.

Dans ce cas, le centre de gravité demeurera immobile, et le corps

aura seulement un mouvement de rotation autour de ce point. Au

contraire, quand les forces (..) , auront une résultante unique,

passant par le point G, il n' y aura pas de mouvement de

rotation ; tous les points du corps seront transportés dans l'

espace, avec une vîtesse commune, égale et parallèle à celle du

point G.

p174

Mais, en général, les deux mouvemens de rotation et de

translation subsisteront ensemble et se détermineront

indépendamment l' un de l' autre, ainsi que nous venons de l'

expliquer. 4 o 4 pour fixer les idées, supposons que le mobile

est mis en mouvement, par l' action de la seule force F, et que

le plan qui renferme à la fois le centre de gravité G et la

direction Ba de cette force, est perpendiculaire à l' un des

trois axes principaux du corps qui se coupent au point G. Cet

axe resterait immobile, et le corps tournerait uniformément si le

point G était réellement un point fixe / Nos 368 et 394 / ;

donc, puisque le mobile doit tourner autour de son centre de

gravité, de la même manière que s' il était fixe, il s' ensuit

que l' axe principal sera transporté dans l' espace,

parallèlement à lui-même, avec le centre de gravité, et que,

pendant ce mouvement, ce corps tournera uniformément autour de

cet axe. En désignant toujours par M, la masse du mobile ; par

V, la vîtesse de son centre de gravité, qui sera parallèle à la

direction Ba de la force F ; par F, la perpendiculaire Gh,

abaissée du point G sur cette direction : le produit Mvf sera

le moment, pris par rapport à ce point, de la force qui produit

le mouvement ; et si l' on représente encore par C, le moment d'

inertie de la masse M, par rapport à l' axe de rotation, et par

, la vîtesse angulaire autour de cet axe regardé comme fixe, on

aura / N 343 / (..) .

p175

Cet exemple est très-propre à montrer comment on parvient à

déterminer complètement, le double mouvement que prend un corps

solide, frappé suivant une direction qui ne passe pas par son

centre de gravité. D' après ce qu' on a démontré dans le N 395,

le mouvement que nous considérons sera dans un état stable, quand

la quantité C sera le plus grand ou le plus petit des trois

momens d' inertie relatifs aux axes principaux qui se coupent au

point G ; au contraire, quand elle ne sera ni le plus grand, ni

le plus petit, ce mouvement manquera de stabilité ; par

conséquent, lorsqu' on voit un corps solide libre tourner autour

d' un axe qui reste parallèle à lui-même, ou qui s' écarte très-

peu du parallélisme, en faisant des oscillations très-petites de

part et d' autre d' une position moyenne, on peut être assuré que

l' axe de rotation est un des axes principaux du mobile, qui se

coupent à son centre de gravité, et que le moment d' inertie

relatif à cet axe, est le plus petit ou le plus grand des trois

momens d' inertie principaux. 4 o 5 lorsque les points du

mobile seront sollicités par la pesanteur ou par d' autres forces

accélératrices, ces forces troubleront, en général, les deux

mouvemens du corps produits par l' impulsion primitive qu' il a

reçue ; mais toutes les fois que les forces accélératrices auront

une résultante qui passera constamment par le centre de gravité

du mobile, elles n' influeront aucunement sur le mouvement de

rotation autour de ce centre, et l' on pourra en faire

p176

abstraction quand il s' agira de déterminer ce mouvement. Ainsi,

en supposant que le mobile que nous avons considéré dans les deux

Nos précédens, soit un corps pesant, son mouvement de rotation

ne sera pas changé : il arrivera seulement que son centre de

gravité, au lieu de se mouvoir en ligne droite, décrira une

parabole dans l' espace. Si, par exemple, le mobile est un boulet

et qu' on le suppose exactement sphérique et homogène, le plan

mené par le centre et par la direction de l' impulsion primitive,

sera toujours perpendiculaire à un axe principal, puisque tous

les diamètres sont des axes principaux ; le boulet tournera donc

uniformément autour du diamètre perpendiculaire à ce plan ; ce

diamètre restera constamment parallèle à lui-même, pendant le

mouvement ; et le centre décrira une parabole, contenue dans un

plan vertical et dont la première tangente sera parallèle à la

direction de l' impulsion primitive. 4 o 6 en supposant le

soleil et les planètes sphériques et homogènes, ou composés de

couches homogènes, l' attraction du soleil sur chaque planète, et

la réaction de cette planète sur le soleil, sont des forces

constamment dirigées suivant la droite qui joint les centres de

ces deux corps ; donc, dans cette hypothèse, la force motrice qui

retient chaque planète dans son orbite autour du soleil / N 32 i

/, passera rigoureusement par le centre de gravité de la planète

; de sorte qu' elle ne troublera pas son mouvement de rotation.

Ce mouvement aurait donc lieu

p177

autour du diamètre de la planète, perpendiculaire au plan qui

contient le centre et la direction de l' impulsion primitive,

lequel diamètre resterait parallèle à lui-même, tandis que le

centre décrirait une ellipse autour du soleil. Mais les planètes

sont aplaties vers leurs pôles de rotation ; la résultante des

attractions que le soleil exerce sur toutes leurs molécules, ne

passe pas exactement par le centre de chaque planète, dans toutes

ses positions par rapport au soleil ; et pour cette raison, l'

attraction solaire influe sur les mouvemens de rotation de ces

corps. Relativement à la terre, les perturbations de son

mouvement de rotation sont dues à l' attraction du soleil et à

celle de la lune ; ces forces n' altèrent pas sensiblement la

vîtesse de rotation de la terre, dans laquelle l' observation et

la théorie n' ont fait découvrir aucune variation appréciable ;

elles ne déplacent pas non plus les pôles de rotation à la

surface de la terre, c' est-à-dire, que l' axe de rotation et le

plan de l' équateur qui lui est perpendiculaire, rencontrent la

surface de la terre constamment dans les mêmes points ; mais ces

forces font varier la direction de l' axe et de l' équateur dans

l' espace, de manière que cette droite et ce plan, prolongés

indéfiniment, rencontrent le ciel en des points qui ne sont pas

toujours les mêmes : c' est dans ces variations que consistent le

phénomène de la précession des équinoxes et celui de la

nutation de l' axe terrestre .

p178

Du mouvement d' un corps solide sur un plan fixe. 4 o 7

considérons un corps solide, terminé par une surface continue

dont l' équation sera donnée dans chaque cas particulier ;

supposons que tous les points de ce corps sont sollicités par des

forces données en grandeur et en direction, et qu' en vertu de

ces forces, le mobile roule sur un plan fixe, de manière qu' il

le touche constamment en un seul point, dans lequel ce plan est

tangent à la surface du mobile. Les quantités de mouvement

perdues à un instant quelconque, par les différens points du

corps, devront se faire équilibre au moyen du plan fixe ; ces

forces auront donc une résultante unique passant par le point de

contact et perpendiculaire au plan fixe, ou normale à la surface

du mobile ; laquelle résultante sera détruite par la résistance

du plan et exprimera la pression qu' il éprouve. Comme cette

pression devra être telle, qu' elle appuie le mobile sur le plan

fixe, il faudra qu' elle soit dirigée suivant la partie de la

normale à sa surface, qui tombe hors du corps ; la résistance du

plan sera, au contraire, dirigée suivant la partie de cette

normale, comprise dans l' intérieur du corps ; or, si

p179

l' on ajoute aux forces données, qui agissent sur le mobile, une

force agissant suivant cette dernière direction, et qui

représente, à chaque instant, la résistance du plan fixe, on

pourra ensuite faire abstraction de ce plan, et considérer le

mobile comme un corps solide entièrement libre. Ainsi le centre

de gravité se mouvra de la même manière que si la masse entière

du mobile y était réunie, et que toutes les forces, y compris la

résistance du plan, fussent appliquées à ce point parallèlement à

elles-mêmes et sans changer leurs intensités / N 398 /. De plus

on formera les équations du mouvement de rotation autour de ce

centre mobile, en le considérant comme un point fixe, et en ayant

égard aux forces données et à la résistance du plan / N 4 o 2 /

; ces équations contiendront donc quatre quantités inconnues,

savoir, l' intensité de cette résistance dont la direction

seulement est connue, et les coordonnées de son point d'

application qui, en général, change de position, pendant le

mouvement, sur la surface du mobile ; mais on aura quatre autres

équations de condition qui completteront, dans tous les cas, le

nombre des équations nécessaires pour déterminer le double

mouvement de translation et de rotation du mobile. En effet, le

point d' application de la force inconnue, étant le point de

contact de la surface du mobile avec le plan fixe, on a d' abord,

entre ses trois coordonnées, les équations de ce plan et de cette

surface ; et ensuite, on en a deux autres pour exprimer la

condition du contact.

p208

Du choc des corps. Ier choc de deux corps sphériques et

homogènes. 42 i tous les corps de la nature sont plus ou

moins compressibles ; et quand une cause quelconque les a

comprimés, ils tendent tous, plus ou moins, à reprendre leur

figure primitive. Cette tendance est ce qu' on appelle l'

élasticité . Un corps est parfaitement élastique , lorsqu' il

reprend exactement sa figure primitive, aussitôt que la cause qui

l' a comprimé vient à cesser d' agir sur lui. L' élasticité n'

est point en raison de la compressibilité : l' air et le gaz sont

les corps les plus compressibles, et ils sont aussi parfaitement

élastiques ; mais il y a tel autre corps très-compressible, qui

est à peu près dénué d' élasticité, et tel autre, très-peu

compressible, dans lequel on observe une élasticité parfaite.

Nous allons exposer les lois de la communication du mouvement, d'

abord entre des corps que nous regarderons comme dénués d'

élasticité, et ensuite entre des corps parfaitement élastiques ;

et pour commencer par le cas le plus simple, les mobiles que nous

considérerons dans ce premier paragraphe, seront des sphères

homogènes, dont les centres se meuvent sur une même droite, et

dont tous les

p209

points décrivent des parallèles à cette droite. Tout étant

semblable autour de cette droite, il est évident que le choc ne

saurait imprimer aucun mouvement de rotation à de semblables

mobiles, de manière qu' après le choc, leurs différens points

continueront de décrire des droites parallèles, avec une vîtesse

commune qu' il s' agira de déterminer. 422 soient (..) / Fig 2

i / deux sphères homogènes et non élastiques ; (..) leurs centres

; Bd, la droite sur laquelle ces deux points se meuvent. Pour

fixer les idées, supposons que les deux corps s' avancent du

point B vers le point D, et que la vîtesse de A est plus

grande que celle de (..) . Le mobile A finira par atteindre le

mobile (..) ; or, quand deux corps compressibles viennent à se

rencontrer, ils se compriment mutuellement, en vertu de leur

différence de vîtesse ; la compression continue jusqu' à ce que,

pour ainsi dire, leurs vîtesses se soient mises de niveau ; ce

qui arrive dans un tems d' autant plus court, que les corps sont

moins compressibles, ou qu' ils approchent davantage d' être

parfaitement durs. Il faut toujours admettre dans les corps les

plus durs qu' on puisse trouver, un certain degré de

compressibilité, et supposer qu' en se choquant ils se compriment

pendant un tems dont la durée sera quelquefois inappréciable.

Ainsi, dans le choc, la vîtesse de A sera diminuée, et celle de

augmentée, jusqu' à ce qu' elles soient devenues égales ;

alors les deux mobiles cesseront d' agir l' un sur l' autre ;

puisque nous les supposons dénués

p210

d' élasticité, ils conserveront la forme que la compression leur

aura donnée ; ils continueront donc à se mouvoir avec une vîtesse

commune, comme s' ils ne formaient qu' un seul et même corps.

Désignons par U cette vîtesse après le choc ; par V la vîtesse

de A, et par (..) celle de (..) , avant le choc ; par (..) les

masses de ces deux corps. Nous aurons (..) , pour la vîtesse perdue

dans le choc par le corps A, et (..) , pour la vîtesse gagnée par

; donc, d' après le principe de D' Alembert, l' équilibre

doit exister entre les deux masses (..) , animées des vîtesses (..) .

Or, la notion que nous avons de la masse des corps, suppose que

les masses de deux mobiles sont en raison inverse des vîtesses

avec lesquelles elles se font équilibre dans le choc / N 3 i 2 /

; nous aurons donc cette équation (..) , qui servira à déterminer

la vîtesse U, au moyen des vîtesses (..) , et d' où l' on tire (..)

. Par un raisonnement semblable, et que je me dispenserai de

répéter, on trouvera, pour la vîtesse après le choc, (..) , dans le

cas où les deux mobiles, au lieu de se mouvoir dans le même sens,

iront au contraire l' un au-devant

p211

de l' autre, avec des vîtesses (..) . Le mouvement des deux masses

réunies aura lieu, après le choc, dans le sens du mouvement de M

, ou dans celui du mouvement de (..) , avant le choc, selon qu' on

aura (..) . Au reste, cette seconde valeur de U peut être comprise

dans la première, en convenant de regarder comme positives, les

vîtesses dirigées dans un sens, par exemple, de B vers D, et

comme négatives, les vîtesses dirigées dans le sens opposé, ou de

D vers B. 423 il est important d' observer que le seul effet

du choc mutuel de deux corps non élastiques, est de réunir leur

masse en une seule, qui se trouve avoir la même vîtesse que si

les forces qui ont mis ces deux corps en mouvement, agissaient

simultanément sur cette masse totale. En effet, soit F la force

qui imprime la vîtesse V, à la masse M ; cette même force

communiquera une vîtesse (..) , à la masse (..) / N 3 i 5 / ; soit

aussi (..) , la force qui a communiqué la vîtesse (..) , à la masse

; agissant sur la masse (..) , elle lui communiquera la vîtesse

; la vîtesse de (..) , due à l' action simultanée des deux forces

, sera donc égale à la somme (..) , quand (..) seront dirigées

dans le même sens ; elle sera égale à la différence (..) , lorsque

leurs directions seront contraires, et dans ce cas, cette vîtesse

sera

p212

dirigée dans le sens de la plus grande de ces deux forces, qui

répond à la plus grande des deux quantités (..) . Or, dans les deux

cas, la vîtesse de (..) coïncide avec celle qui résulte du choc

des deux masses (..) . 424 si l' une des masses (..) , par exemple

la masse (..) , est en repos avant le choc, et qu' elle soit

extrêmement grande par rapport à la masse M, qui vient la

frapper, on aura (..) , et la vîtesse après le choc se réduira à

, quantité extrêmement petite, que l' on peut souvent regarder

comme nulle. Dans la nature, il n' existe aucun point absolument

fixe ; il n' existe que des masses qui sont comme infinies par

rapport à celles des corps en mouvement ; de manière que ces

grandes masses détruisent le mouvement des autres corps, sans

prendre une vîtesse appréciable. C' est, par exemple, ce qui

arrive par rapport aux différens mobiles qui viennent frapper la

surface de la terre. 425 lorsqu' on veut évaluer l' effet d'

une machine, ou comparer entre eux les effets que l' on peut

attendre de différentes machines, on a besoin de considérer le

produit de la masse qu' il s' agit de mouvoir, multipliée par le

carré de sa vîtesse. Ce produit est ce qu' on appelle une force

vive . C' est une règle générale que toutes les fois que le

mouvement d' un système de corps éprouve un changement brusque,

il en résulte une diminution dans la somme des forces vives de

tous ces corps.

p213

D' après un théorème que l' on doit à M Carnot, cette

diminution est équivalente à la somme des forces vives dues aux

vîtesses perdues ou gagnées par les mobiles. Pour le vérifier

dans le choc de deux corps durs, j' observe qu' on a alors / N 4

22 / (..) ; multipliant les deux membres de cette équation par 2

u, et la retranchant ensuite de l' équation identique : (..) , il

vient (..) , ou, ce qui est la même chose, (..) : équation qui

coïncide évidemment avec l' énoncé du théorème. 426 connaissant

les lois du choc des corps dépourvus d' élasticité, il est facile

d' en conclure celles du choc des corps parfaitement élastiques.

Examinons d' abord ce qui arrive lorsqu' un corps de cette espèce

vient frapper un plan fixe, dans une direction perpendiculaire à

ce plan. L' observation nous apprend qu' alors le corps se

comprime contre le plan, c' est-à-dire, que son diamètre

perpendiculaire à ce plan diminue successivement, tandis que sa

section parallèle s' élargit ; en se comprimant

p214

ainsi, le mobile perd graduellement sa vîtesse, et la compression

cesse aussitôt que cette vîtesse est détruite ; à cet instant, le

corps commence à retourner vers sa forme primitive ; son diamètre

perpendiculaire augmente, et sa section parallèle au plan fixe se

rétrécit ; pendant ce retour, la vîtesse qu' il a perdue, lui est

restituée en sens contraire et par les mêmes degrés qu' elle lui

a été enlevée ; de manière que, si l' élasticité est supposée

parfaite, le corps reprend une vîtesse exactement égale et

contraire à sa vîtesse primitive. Ainsi l' effet général de l'

élasticité est de rendre aux corps une vîtesse égale et contraire

à celle que la compression leur a fait perdre. S' il s' agissait,

par exemple, d' un corps pesant, abandonné à lui-même et tombant

dans le vide, d' une certaine hauteur, sur un plan horizontal :

la compression, produite par le choc, lui enleverait d' abord

toute la vîtesse acquise pendant sa chute ; ensuite l' élasticité

parfaite lui rendant une vîtesse égale et contraire, le corps

remonterait à la hauteur d' où il est tombé / Ni 9 o /. Dans le

cas d' une élasticité imparfaite, la vîtesse rendue serait plus

petite que la vîtesse perdue ; par conséquent, le mobile

remonterait à une hauteur plus petite que celle de sa chute ; d'

où il résulte un moyen fort simple de comparer entre eux les

degrés d' élasticité de différens corps. 427 considérons

présentement les deux corps (..) , comme parfaitement élastiques,

et cherchons les vîtesses de chacun d' eux, après leur choc

p215

mutuel. Soient toujours (..) , leurs masses, et (..) leurs vîtesses

avant le choc. Supposons d' abord que ces deux corps vont au-

devant l' un de l' autre, avec des vîtesses telles, qu' ils se

feraient équilibre s' ils étaient dénués d' élasticité, c' est-à-

dire, supposons (..) . Soit aussi E / Fig 22 /, le point de la

droite Bd, où les deux mobiles se joignent ; concevons par ce

point, un plan Mn, perpendiculaire à la droite Bd ; nous

pouvons regarder Mn comme un plan fixe, contre lequel les deux

masses (..) viennent se comprimer, et perdre leurs vîtesses (..) ;

en reprenant leur forme sphérique, l' élasticité leur restituera,

en sens contraire, des vîtesses égales à celles qu' ils auront

perdues ; par conséquent, dans ce premier cas, les deux mobiles

retrograderont après le choc, avec des vîtesses égales à celles

qu' ils avaient auparavant. Quelles que soient maintenant les

vîtesses (..) des deux mobiles avant le choc, nous pouvons

partager chaque vîtesse en deux autres, l' une, qui sera la même

pour les deux mobiles et que nous déterminerons comme nous le

jugerons convenable, et l' autre, égale à l' excès de la vîtesse

donnée, sur cette première vîtesse arbitraire. Désignons celle-ci

par U, ou, ce qui est la même chose, remplaçons par (..) , les

deux vîtesses (..) . Soient aussi (..) , les vîtesses de (..) après le

choc, et afin de n' avoir pas à distinguer les différens cas que

peuvent présenter les directions des mobiles, avant et après le

choc, convenons de regarder comme positives, les vîtesses

dirigées dans le sens du mouvement de M, avant le choc, et comme

p216

négatives, les vîtesses dirigées en sens opposé ; de cette

manière V sera toujours une quantité positive ; (..) , pourront

être des quantités positives ou négatives. Il est évident que les

deux corps sont dans le même état que s' ils allaient l' un au-

devant de l' autre, avec des vîtesses (..) , et qu' en même tems la

droite Bd que leurs centres parcourent, fût elle-même en

mouvement avec la vîtesse U ; or, le mouvement de cette droite

ne saurait avoir aucune influence sur le choc de ces deux corps ;

faisons donc abstraction, pour un moment, de la vîtesse U ; de

plus, supposons la quantité U déterminée par l' équation (..) ;

de manière que (..) soient les vîtesses avec lesquelles les masses

se feraient équilibre, si elles n' étaient point élastiques.

D' après ce qu' on vient de dire, ces vîtesses seront détruites

dans le choc ; mais en vertu de l' élasticité, les deux mobiles

rétrograderont l' un et l' autre, savoir, A avec la vîtesse (..) ,

et (..) , avec la vîtesse (..) ; d' où l' on conclut, en

rétablissant la vîtesse U, que celle de A après le choc, sera

égale à U diminuée de (..) , et celle de (..) égale à U, augmentée

de (..) ; par conséquent on aura, pour les valeurs de (..) , (..) . L'

équation précédente donne (..) ;

p217

substituant cette valeur dans celles de (..) , elles deviennent (..)

. 428 il se présente plusieurs conséquences à déduire de ces

formules : I quand on a (..) , les dernières valeurs de (..) ,

deviennent : (..) ; ainsi, dans le cas particulier où les masses

sont égales, il arrive qu' après le choc, chacun des mobiles a la

vîtesse de l' autre avant le choc. 2 les deux valeurs (..) ,

donnent immédiatement : (..) ; ce qui signifie que dans tous les

cas la vîtesse relative des deux corps après le choc, est égale

et de signe contraire à leur vîtesse relative avant le choc. On

entend en général par vîtesse relative de deux mobiles, la

différence de leurs vîtesses absolues. 3 ces mêmes valeurs de

, donnent aussi : (..) . En ayant égard à la valeur de U, on voit

que le second membre de cette équation se réduit à (..) ; on a

donc (..) ;

p218

par conséquent, dans le choc de deux corps parfaitement

élastiques, la somme de leurs forces vives est la même avant et

après le choc. Les corps ne sont jamais ni parfaitement

élastiques, ni entièrement dénués d' élasticité ; c' est pour

cette raison qu' il y a toujours une perte de force vive dans le

choc de deux corps ; mais cette perte est moindre que celle qui a

été trouvée dans le N 425, et elle est d' autant plus petite que

les deux corps approchent davantage d' être parfaitement

élastiques. 429 le choc des corps durs et celui des corps

élastiques, ont une propriété commune qui n' est qu' un cas

particulier d' un principe général de mécanique, connu sous le

nom de principe de la conservation du mouvement du centre de

gravité . Il consiste en ce que l' action réciproque de

différens corps d' un même système, qui agissent les uns sur les

autres, soit en se choquant, soit de toute autre manière, n'

altère pas le mouvement du centre de gravité du système entier.

Nous en donnerons la démonstration dans le chapitre suivant : il

ne s' agit ici que de vérifier ce théorème, dans le cas du choc

de deux corps. Pour cela, je conserve les dénominations du N 427

; de plus, je représente par (..) les distances variables des

centres des deux mobiles, au point fixe B, choisi arbitrairement

sur la ligne qu' ils décrivent, et par X, la distance du centre

de gravité de ces deux corps au même point. En observant que les

poids sont proportionnels aux masses, on aura pour

p219

déterminer X, (..) . Si l' on différentie cette équation par

rapport au tems, que nous appellerons T, il vient (..) ; or, (..)

expriment les vîtesses des deux mobiles au bout du tems T, et

exprime la vîtesse correspondante de leur centre de gravité ; on

obtiendra donc la valeur de cette vîtesse avant le choc, en

mettant (..) à la place de (..) , dans la dernière équation ; et

pour avoir la vîtesse du même point, après le choc, il faudra

mettre, dans cette équation, (..) à la place de (..) . Soient donc

, ces deux vîtesses du centre de gravité, nous aurons (..) . Cette

valeur de Y n' est autre chose que celle de la quantité que nous

avons désignée précédemment par U ; mais dans le cas où les deux

mobiles ne sont point élastiques, les vîtesses (..) après le choc,

sont égales entre elles, et l' on a (..) ; d' où il résulte (..) ,

et par conséquent (..) . Si, au contraire, ces deux corps sont

parfaitement élastiques,

p220

on a (..) ; substituant ces valeurs dans celle de (..) , et

comparant celle-ci à la valeur de Y, on trouve (..) ; par

conséquent (..) , à cause de (..) . Ainsi, la vîtesse du centre de

gravité est la même immédiatement avant et après la rencontre des

deux mobiles ; de manière que le choc de deux corps, qui change

la vîtesse de chacun d' eux, n' apporte cependant aucune

altération dans la vîtesse de leur centre de gravité. Ii choc

de deux corps de forme quelconque. 43 o le mouvement d' un

corps solide dans l' espace est déterminé lorsqu' on connaît à

chaque instant : I la vîtesse et la direction du centre de

gravité ; 2 la direction de l' axe instantanée de rotation,

passant par ce point ; 3 la vîtesse angulaire de rotation

autour de cet axe. L' effet du choc mutuel de deux corps en

mouvement est, en général, de changer brusquement ces divers

élémens ; le problème qui va nous occuper, consistera donc à

déterminer ces changemens, par rapport à l' un et à l' autre

mobile ; de sorte qu' en supposant ces élémens connus à l'

instant du choc, nous nous proposerons de trouver ce qu' ils

seront devenus immédiatement après. Or, si l' on fait d' abord

abstraction de l' élasticité des deux mobiles, il faudra, d'

après le principe de

p221

D' Alembert, que l' équilibre ait lieu entre les quantités de

mouvement perdues ou gagnées, dans leur choc mutuel, par toutes

leurs molécules. Soient donc (..) / Fig 23 /, les deux mobiles ;

supposons qu' à l' instant du choc leurs surfaces ont un seul

point de contact : soit (..) ce point ; soit aussi (..) , la normale

commune aux deux surfaces, la partie (..) étant comprise dans l'

intérieur de M, et l' autre partie (..) , dans l' intérieur de (..)

. Dans le choc, ces deux corps s' appuieront l' un contre l'

autre, par le point de contact (..) ; si donc on veut que des

forces quelconques, appliquées aux différens points de (..) , se

fassent équilibre au moyen de ce point d' appui, il sera

nécessaire que toutes les forces appliquées au corps M se

réduisent à une seule, dirigée suivant la normale (..) , du point

vers le point (..) , et que toutes celles qui agissent sur (..) , se

réduisent de même à une force égale à la première résultante et

dirigée en sens contraire, c' est-à-dire du point (..) vers le

point K. Les quantités de mouvement que le choc fait perdre ou

gagner à toutes les molécules de chacun des deux corps auront

donc une résultante unique, dirigée suivant la normale, au point

de contact (..) ; la grandeur de cette force sera la même pour les

deux mobiles, et elle sera, pour chaque mobile, égale et

contraire à la percussion qu' il éprouve, laquelle percussion

s' exerce sur le corps M, suivant la direction (..) , et sur le

corps (..) , suivant la direction (..) . En appliquant donc à l' un

et à l' autre une force inconnue en grandeur,

p222

qui représentera cette percussion, et que j' appellerai N, on

pourra ensuite considérer chaque mobile isolément ; par

conséquent on aura, par rapport à chacun des deux corps, un

certain nombre d' équations d' équilibre entre la force N et les

quantités de mouvement perdues par ses molécules, savoir, six

équations, quand le mobile sera entièrement libre, et un moindre

nombre, quand il sera retenu par un point ou un axe fixe. Nous

allons d' abord former ces équations d' équilibre, dans le cas où

les mobiles ne sont retenus par aucun point fixe ; nous verrons

ensuite si elles suffisent à la détermination complète du

mouvement des deux corps après le choc, puis nous examinerons

comment ces résultats sont modifiés par l' élasticité.

p248

443 le problème du choc de deux corps étant un de ceux qui

trouvent le plus souvent une application utile dans la pratique,

on ne trouvera pas trop longs les détails dans lesquels je suis

entré à ce sujet. Les formules et les principes exposés dans ce

paragraphe, donneront la solution complète du problème, dans tous

les cas qu' il peut présenter ; et cette solution est aussi

simple qu' il est possible, puisqu' elle se réduit, dans chaque

cas, à résoudre un nombre d' équations du premier degré égal à

celui des inconnues qu' on a à déterminer. Il est rare qu' on ait

à considérer le choc de plus de deux corps à-la-fois ; le choc

simultanée d' un nombre quelconque de corps, qui va nous occuper

dans le paragraphe suivant, n' est donc qu' une question de pure

curiosité, remarquable par l' uniformité de l' analyse dont nous

ferons usage, et par la généralité des résultats. Mais afin de ne

pas compliquer cette question, nous supposerons que les mobiles

sont des sphères homogènes qui pourront être de différens rayons

et de différentes matières. Si ces corps ont un mouvement de

rotation autour de leurs centres, il ne sera point altéré par le

choc, et nous serons dispensés d' y avoir égard. Nous supposerons

donc aussi que tous les points d' une même sphère se meuvent,

avant et après le choc, avec la même vîtesse et dans la même

direction que son centre ; mais cette vîtesse et cette direction

varieront d' une sphère à une autre, et chaque mobile aura, dans

l' espace, une direction et une vîtesse particulières.

p249

Iii choc simultanée d' un nombre quelconque de corps

sphériques et homogènes. 444 la question que nous nous

proposons de résoudre, consiste à déterminer les vîtesses et les

directions de ces corps après le choc, connaissant leurs vîtesses

et leurs directions, avant le choc, les directions des droites

qui joignent leurs centres deux à deux, à l' instant du choc, et

enfin leurs masses. Supposons d' abord les mobiles sans

élasticité ; soient (..) , etc., leurs masses ; (..) , etc., leurs

vîtesses avant le choc ; (..) , etc., leurs vîtesses après le choc

; (..) , etc., les centres de ces corps sphériques. Pour fixer les

directions de ces vîtesses, menons arbitrairement par un point

quelconque O / Fig 27 /, trois axes rectangulaires Ox, Oy,

Oz ; désignons par A, B, C, les trois angles que fait la

direction de la vîtesse V, avec des parallèles à ces axes ; par

; etc., les angles analogues qui se rapportent aux directions

des vîtesses (..) , etc. ; et par (..) ; etc., les angles qui

déterminent de la même manière, les directions des vîtesses (..) ,

etc. : tous ces angles étant comptés comme il a été dit au

commencement de ce traité / N 5 /, et les vîtesses (..) , etc. ;

, etc., étant toutes des quantités positives. Quant aux

directions des lignes (..) , etc., qui joignent les centres deux à

deux, nous n' emploierons pas de nouvelles lettres pour les

désigner : Cx, Cy, Cz, étant trois droites menées par le point

p250

parallèlement aux axes Ox, Oy, Oz, la direction de la ligne

, ou de la force qui agit suivant cette droite, du point C vers

le point (..) , sera fixée par les trois angles (..) , aigus ou obtus

, que cette ligne fait avec les parallèles ; de même (..) , étant

des parallèles aux mêmes axes, menées par le point (..) , la

direction de la droite (..) , ou de la force qui agit suivant cette

ligne, de (..) vers C, sera déterminée par les trois angles (..) ,

qui sont supplémens des trois premiers ; et ainsi de suite pour

toutes les autres lignes. Nous distinguons, comme on voit, la

ligne (..) de la ligne (..) , afin de ne pas confondre la force qui

agit de C vers (..) , avec la force contraire qui agit de (..) vers

C. Cela posé, l' équilibre doit avoir lieu dans le système, en

conservant à tous les points des masses (..) , etc., leurs vîtesses

, etc., et leur imprimant, en outre, des vîtesses égales et

contraires à (..) , etc. / N 333 / ; ce qui revient à appliquer

aux centres (..) , etc., de ces sphères, des forces (..) , etc.,

dirigées dans le sens des vîtesses (..) , etc., et des forces (..) ,

etc., dirigées en sens contraire des vîtesses (..) , etc. Or, pour

que cet équilibre général subsiste, il faut qu' il ait lieu

séparément dans chaque sphère, en ayant égard aux deux forces qui

sont appliquées à son centre, et aux quantités de mouvement qui

lui sont imprimées à l' instant du choc, par les sphères qui la

touchent ; et comme ces quantités de mouvement sont dirigées

suivant les rayons de la sphère touchée, qui aboutissent aux

points de contact, il s' ensuit

p251

que les directions de toutes les forces qui doivent se faire

équilibre sur une même sphère, viennent concourir à son centre ;

par conséquent il suffit que les trois sommes de leurs

composantes parallèles aux axes Ox, Oy, Oz, soient égales à

zéro / N 22 /. Supposons donc qu' à l' instant du choc, la

sphère M, dont le centre est C, est touchée par les sphères (..)

, etc., dont les centres sont (..) , etc. ; soit / (..) /, la

quantité de mouvement que M reçoit de (..) , et qui est dirigée

suivant la ligne (..) , de (..) vers C ; / (..) / celle que M

reçoit de (..) , et qui est dirigée suivant la ligne (..) , de (..)

vers C ; et ainsi de suite : en décomposant ces forces, ainsi

que les forces Mvetmu, suivant les axes Ox, Oy, Oz, et

égalant ensuite à zéro la somme des composantes, suivant chaque

axe, on trouvera, d' après les notations convenues, (..) . On

trouve de même, pour l' équilibre de (..) , (..) ;

p252

pour l' équilibre de (..) , (..) ; et ainsi de suite. Dans ces

équations, nous représentons, en général, par la notation / (..) /

, la quantité de mouvement que la sphère dont le centre est (..) ,

imprime à celle dont le centre est (..) , à l' instant du choc,

quantité de mouvement qui est dirigée suivant la droite (..) , de

vers (..) . La notation / (..) / représente la quantité de

mouvement que la seconde sphère rend à la première, en sens

contraire de celle qu' elle en a reçue. Ces deux forces n'

existent pas, ou doivent être supposées nulles, lorsque les

centres (..) appartiennent à des sphères qui ne se touchent pas à

l' instant du choc ; de sorte que le nombre de ces notations, qui

entrent dans les équations précédentes, est égal au double des

contacts de toutes les sphères entre elles. En joignant à ces

équations, celles-ci : (..) , etc., on en aura un nombre quadruple

de celui des masses (..) , etc., et par conséquent égal à celui des

inconnues (..) ; etc.,

p253

qu' il s' agit de déterminer ; mais comme ces équations

renferment en outre les inconnues / (..) /, etc., il nous reste

encore à trouver d' autres équations, en nombre égal à celui de

ces dernières inconnues.

p255

447 nous avons déjà remarqué / N 434 / que l' effet de l'

élasticité dans le choc est de doubler la quantité de mouvement,

et par conséquent aussi la vîtesse que chaque mobile reçoit,

suivant la direction de la normale au point de contact ; pour

étendre

p256

cette loi au choc simultanée de plusieurs corps, il faut supposer

que la communication du mouvement se fait au même instant entre

tous ces corps ; hypothèse admissible, dans le cas où l' un des

mobiles touche à-la-fois tous les autres, mais qui n' est plus

exacte, lorsque le mouvement se transmet successivement d' un

corps à un autre. Par exemple, si nous considérons une suite de

billes en repos (..) , etc. / Figire /, parfaitement élastiques,

juxta-posées et dont les centres sont rangés sur une même droite

; et si nous supposons qu' une autre bille élastique B, dont le

centre se meut sur la même droite, vient frapper la première

bille A, la communication du mouvement n' aura pas lieu au même

instant dans toute cette suite de corps ; au contraire, le

mouvement s' y propagera successivement d' une bille à la

suivante, et il emploiera pour parvenir à la dernière, un

intervalle de tems qui deviendrait appréciable, si le nombre des

billes était fort grand. L' expérience prouve que les choses se

passent alors comme si les billes ne se touchaient pas

rigoureusement, et que chaque bille, avant d' agir sur celle qui

la suit, eût le tems de prendre la vîtesse que celle qui la

précède doit lui communiquer. En effet, pour rendre le résultat

plus évident, donnons la même masse à B, et à chacune des billes

en repos (..) , etc., et ne supposons pas ces corps en contact ;

dans le choc B contre A, ces deux corps de même masse et

parfaitement élastiques, feront un échange de vîtesses / N 428 /

; B sera donc réduit au repos et A prendra la vîtesse de B

avant le choc ;

p257

par la même raison, A sera réduit au repos en choquant (..) qui

prendra sa vîtesse ; (..) perdra ensuite sa vîtesse qui passera à

; et ainsi de suite, jusqu' au dernier de ces corps. Il

arrivera donc qu' après cette suite de chocs, tous les corps (..) ,

etc., demeureront en repos, excepté le dernier, qui continuera de

se mouvoir avec la vîtesse primitive de B. Or, l' expérience

montre que lors même que les billes (..) , etc., sont juxta-posées

et forment une suite non interrompue, le choc de B contre A

détache seulement la dernière bille de cette suite, de sorte que

toutes les autres billes et le mobile, restent en repos et juxta-

posés après ce choc. Il serait difficile d' avoir égard à la

durée de la communication du mouvement dans le choc des corps

élastiques ; nous nous bornerons donc à considérer les cas dans

lesquels cette communication a lieu au même instant entre tous

les mobiles, en quelque nombre qu' on les suppose ; et nous

admettrons, comme dans le N 434, que l' effet de l' élasticité

se réduit à doubler la vîtesse que chaque mobile a perdue ou

gagnée pendant sa compression. 448 la vîtesse que la sphère (..)

/ Fig 27 /, communique à la sphère M, suivant la droite (..) ,

conservera donc la même direction et deviendra double, quand ces

deux corps seront supposés parfaitement élastiques ; il en sera

de même à l' égard de la vîtesse que (..) rend à M, suivant la

droite (..) ; et généralement, si nous supposons tous les corps

, etc., doués d' une élasticité parfaite, les vîtesses

p258

que chaque corps reçoit de tous ceux qui le touchent, et celles

qu' il leur restitue, auront les mêmes directions que dans la

supposition d' une élasticité nulle, mais elles seront doubles en

grandeur, de ce qu' elles seroient dans cette hypothèse. En

décomposant donc parallèlement aux trois axes Ox, Oy, Oz, les

vîtesses qui sont imprimées à la sphère M, par toutes celles qui

la touchent à l' instant du choc, et faisant les sommes des

composantes suivant chaque axe, ces sommes seront doubles, dans

le cas d' une élasticité parfaite, de ce qu' elles seraient dans

le cas d' une élasticité nulle, toutes les données étant d'

ailleurs les mêmes dans les deux cas ; de plus, il est évident

que la somme relative à chaque axe est égale à la différence des

vîtesses du mobile, suivant cet axe, avant et après le choc ; or,

en conservant les notations précédentes, les différences de ces

vîtesses, dans le cas de l' élasticité nulle, sont (..) , suivant

l' axe Ox ; (..) , suivant l' axe Oy ; (..) , suivant l' axe Oz ;

donc, dans le cas de l' élasticité parfaite, ces mêmes

différences seront (..) . Si on les ajoute aux composantes (..) , de

la vîtesse de M avant le choc, on aura, en réduisant, (..) , pour

les composantes de sa vîtesse après le choc ; d' où il sera aisé

de conclure la grandeur et la direction de cette vîtesse dans l'

espace.

p259

En accentuant une fois, deux fois, etc., les lettres (..) , on aura

les composantes parallèles aux mêmes axes Ox, Oy, Oz, des

vîtesses de (..) , etc., après le choc, lesquelles composantes

seront (..) . Lors donc que les vîtesses (..) , etc., après le choc,

et les angles (..) , etc., dont leurs directions dépendent, auront

été déterminées dans l' hypothèse d' une élasticité nulle, on

pourra aussi assigner les vîtesses et les directions de tous les

mobiles après le choc, dans l' hypothèse d' une élasticité

parfaite ; par conséquent la solution du problème de la

communication du mouvement, entre des corps sphériques et

homogènes, entièrement dénués d' élasticité, ou parfaitement

élastiques, se réduit à résoudre, dans chaque cas particulier,

les équations des N 444 et 446. On peut observer que ces

équations sont seulement du premier degré par rapport aux

inconnues / (..) /, etc., et aux produits (..) , etc., qui seront

les vîtesses des mobiles après le choc. De plus, ces équations

sont en même nombre que toutes ces quantités ; de manière que le

calcul de leurs valeurs sera toujours aussi simple qu' on peut le

desirer. Voici maintenant plusieurs conséquences générales qui se

déduisent de ces équations, avec une grande facilité.

p260

449 dans le cas des corps non élastiques, les quantités de

mouvement (..) , etc., se détruiront dans le choc, et les corps

resteront en repos, toutes les fois que les vîtesses (..) , etc.,

après le choc, seront nulles ; or, si l' on fait (..) , etc., les

équations du N 446 deviennent identiques, et les angles (..) , etc

., disparaissent en même tems que ces vîtesses, dans les

équations (..) , etc., du N 444 ; éliminant donc entre ces

dernières équations, les quantités (..) , etc., il restera des

équations de condition entre les quantités données (..) , etc. ;

; etc., qui devront être satisfaites pour que l' équilibre des

quantités de mouvement (..) , etc., ait lieu. Les équations d'

équilibre seront donc en nombre égal à trois fois celui des corps

, moins le nombre de leurs contacts ; d' où l' on voit que le

nombre des corps restant le même, celui des conditions d'

équilibre sera d' autant plus grand, qu' il y aura moins de

points de contact entre les corps, à l' instant du choc. L'

équilibre serait impossible, comme on le verra bientôt, si les

mobiles étaient élastiques.

p286

Ii conservation des forces vives ; principe de la moindre

action. 467 les principes généraux de la conservation des

aires et du mouvement du centre de gravité, ne sont autre chose,

comme on a pu le voir, que la traduction des six équations du

mouvement d' un système de forme invariable, étendues à un

système quelconque ; mais le principe de la conservation des

forces vives, qui va maintenant nous occuper, n' est point

compris dans les six équations du N 455 ; et pour le démontrer

dans toute sa généralité, il est nécessaire de recourir au

principe des vîtesses virtuelles, énoncé dans la statique / Ni 6

3 /. Appliquons donc ce principe aux quantités de mouvement

perdues (..) , etc. / N 454 /, qui doivent se faire équilibre.

Pour cela, supposons qu' on imprime arbitrairement au système des

points (..) , etc., un des mouvemens qu' il peut prendre, et que

par suite de ce mouvement, tous ces points soient transportés

dans des positions infiniment voisines de leurs positions

actuelles. Soient N la nouvelle position du point M, et (..) ,

les projections sur les axes Ox, Oy, Oz, de la droite

infiniment petite Mn, décrite par ce point M, et que nous avons

appelée sa vîtesse virtuelle / Ni 63 /. En substituant à la

force Mp, appliquée à ce point, ses trois composantes (..) , le

produit de cette force, par la vîtesse virtuelle du point M,

sera,

p287

d' après le Ni 68, égal à (..) ; faisant donc la somme des

produits semblables, pour tous les points du système, et

indiquant toujours cette somme par la caractéristique (..) , l'

équation générale des vîtesses virtuelles aura cette forme : (..) .

Cette équation a également lieu, lorsque les mobiles (..) , etc.,

éprouvent, par une cause quelconque, un changement brusque dans

leurs vîtesses, c' est-à-dire, lorsque leurs vîtesses perdues (..)

, etc., sont supposées des quantités finies ; et quand la loi de

continuité n' est point interrompue dans le mouvement de ces

corps, ou, ce qui revient au même, quand les vîtesses perdues (..)

, etc., sont infiniment petites. Elle subsiste pour tous les

déplacemens que l' on peut faire subir au système, sans violer

les conditions qui lient les corps entre eux, et qui en

astreignent une partie à se mouvoir sur des surfaces ou sur des

courbes données. Dans chaque cas, cette équation générale donnera

autant d' équations particulières, qu' il y aura de ces mouvemens

possibles, et l' ensemble de ces équations servira à déterminer

le mouvement du système. Nous pourrions facilement en déduire les

six équations générales du mouvement d' un système de forme

invariable ; mais nous ne nous arrêterons point à cette recherche

, et nous continuerons de

p288

considérer un système quelconque de points matériels. 468 les

coordonnées de M, à un instant quelconque, étant X, Y, Z ;

celles de (..) , au même instant, étant (..) ; etc., on peut

supposer les conditions du système, exprimées par des équations

données entre ces coordonnées. Quelquefois ces équations

contiendront aussi la variable T, qui représente le tems ; ce

cas arrivera, par exemple, quand un des mobiles devra se trouver

constamment sur une surface, qui est elle-même en mouvement,

suivant une loi donnée ; car alors on aura une équation entre les

coordonnées du mobile et la variable T, qui sera l' équation de

cette surface, à un instant quelconque. Représentons donc, pour

plus de généralité, par (..) , une des équations de condition du

système. Pour que le mouvement arbitraire qu' on lui imprime à l'

instant où l' on considère l' équilibre des forces (..) , etc.,

soit permis, il faut que les coordonnées des mobiles dans la

nouvelle position du système, satisfassent encore à cette

équation ; or, ces coordonnées sont (..) , relativement à M ;

celles de (..) , seront (..) , si nous désignons par (..) , les

projections de sa vîtesse virtuelle sur les axes Ox, Oy, Oz ;

et de même, pour tous les autres points : donc l' équation

précédente devra être

p289

satisfaite, en y substituant (..) , à la place de (..) , à la place

de (..) ; etc. ; par conséquent la différentielle de la fonction

F doit être égale à zéro, cette différentielle étant prise en

regardant T comme une constante et en indiquant les variations

des coordonnées X, Y, Z ; (..) ; etc., par la caractéristique

; c' est-à-dire, qu' on doit avoir (..) . Mais les coordonnées des

mobiles sont des fonctions du tems, qui satisfont à l' équation /

2 /, pour toutes les valeurs de cette variable ; la

différentielle complète de la fonction F, par rapport à T, et

en regardant (..) , etc., comme des fonctions de cette variable,

est donc égale à zéro ; de manière qu' on a toujours (..) ; le

terme Tdt étant la différentielle de F, prise par rapport au

tems que cette fonction renferme explicitement. En comparant

cette équation à celle qui la précède, on voit qu' on satisfera à

celle-ci, toutes les fois que le terme Tdt sera nul, en prenant

, etc. Ainsi, lorsqu' aucune des équations de condition du

système ne renferme le tems explicitement, on peut supposer les

vîtesses virtuelles des mobiles, suivant les axes de leurs

coordonnées, égales aux différentielles de ces coordonnées, qui

sont les espaces

p290

parcourus par leurs projections sur ces axes, pendant l' instant

Dt ; hypothèse qui revient à imprimer au système, le mouvement

qu' il a réellement à l' instant où on le considère ; et qui ne

sera plus permise, dès qu' une des équations de condition

contiendra le tems d' une manière explicite. 469 dans cette

supposition, l' équation / I / devient (..) . En y substituant les

valeurs de (..) , données dans le N 454, savoir : (..) , il vient,

après avoir divisé par Dt, (..) . Appelons V la vîtesse de M, à

un instant quelconque, nous aurons (..) , et par conséquent, (..) ;

équation qui s' intégrera immédiatement, quand le

p291

second membre sera la différentielle complète d' une fonction des

coordonnées des mobiles, considérées comme des variables

indépendantes. En supposant donc (..) , et intégrant, on aura (..) ;

C étant une constante arbitraire que l' on déterminera d' après

la valeur de (..) , dans une position déterminée du système. Or,

nous savons déjà que la formule (..) , est une différentielle

complète, lorsque les mobiles sont sollicités par des forces

dirigées vers des centres fixes, et dont les intensités sont des

fonctions de leurs distances à ces centres ; car alors (..) est

une différentielle complète, pour chaque mobile isolément / N 22

5 /. La même formule est encore une différentielle complète, en

ayant égard à l' attraction mutuelle des mobiles, pourvu que les

forces accélératrices dues à cette attraction soient

proportionnelles aux masses des corps attirans, et exprimées par

une fonction quelconque de la distance. En effet, soit F la

distance des deux points (..) du système ; F une fonction donnée

de F ; (..) la force accélératrice de M, provenant de l'

attraction de (..) : Mf la force accélératrice

p292

de (..) , provenant de l' attraction de M : la force (..) étant

dirigée suivant la ligne qui joint les points (..) , de M vers (..)

, il est aisé de voir que ses composantes parallèles aux axes Ox

, Oy, Oz, seront (..) ; donc en ne considérant que cette force,

on aura (..) . De même, en désignant par (..) , les composantes

parallèles aux mêmes axes, des forces accélératrices qui agissent

sur (..) , on aura, relativement à la force Mf, (..) . Multipliant

la première de ces quantités par M, la seconde par (..) , et les

ajoutant ensuite, on voit que l' attraction mutuelle de (..) ,

introduit dans la formule (..) , le terme (..) . Mais on a (..) , et en

différentiant complètement, il vient (..) ; le terme précédent

devient donc (..) , quantité qui est la différentielle d' une

fonction de F, puisque F n' est fonction que de cette distance.

p293

Ainsi, l' équation / 4 / a lieu dans le mouvement de tout

système de corps soumis à leur attraction mutuelle et à d' autres

attractions dirigées vers des centres fixes ; les points du

système peuvent être liés entre eux et à des points fixes, de

telle manière qu' on voudra ; tous ces mobiles, ou seulement une

partie, peuvent être assujétis à se mouvoir sur des courbes ou

sur des surfaces fixes et données : dans un pareil système, la

somme des forces vives (..) , à un instant quelconque, sera donné

par l' équation / 4 /, quand on connaîtra la valeur de cette

somme, à un instant déterminé, et les coordonnées des mobiles

dans ces deux positions du système. L' accroissement ou la

diminution de la somme des forces vives, en passant d' une

position à l' autre, ne dépendra nullement des courbes décrites

par les mobiles ; cet accroissement sera nul, et la somme des

forces vives redeviendra la même, toutes les fois que le système

reviendra à la même position ; enfin cette somme se conservera

constamment la même, lorsque les mobiles ne seront sollicités par

aucune force accélératrice. On voit par là, comment le théorème

relatif au carré de la vîtesse, que nous avions trouvé / N 3 oo

/ en considérant le mouvement d' un point matériel isolé, s'

étend au mouvement d' un système de corps. Ce théorème, qu' on a

souvent l' occasion de citer, est connu sous le nom de principe

général de la conservation des forces vives . 47 o ce que

nous venons de dire, par rapport à l' attraction mutuelle des

points du système, s' applique

p294

également à leur répulsion, produite par l' action de ressorts

interposés entre eux, en observant que la force d' un ressort

contracté entre deux points mobiles, ou entre un point mobile et

un point fixe, ne peut être qu' une certaine fonction de la

distance de ces points. Le principe des forces vives subsiste

donc encore dans le cas de ces forces de ressort ; d' où nous

pouvons conclure que la somme des forces vives n' est point

altérée, dans le choc des corps élastiques, entre eux ou contre

des obstacles fixes ; proposition que nous avons déjà vérifiée, à

l' égard du choc mutuel des corps sphériques et homogènes / N 45

i /. En effet, on peut considérer un système de corps élastiques

qui se choquent simultanément, les uns contre les autres, ou

contre des obstacles fixes, comme formant un assemblage de points

matériels, entre lesquels sont interposés des ressorts

immatériels, qui se contractent lorsque les corps se compriment.

La somme des forces vives de tous les points du système, est donc

variable pendant la durée du phénomène du choc, quelque courte

qu' on la suppose ; pour en avoir la valeur à un instant

quelconque, au moyen de l' équation / 4 /, il faudrait

connaître la loi des forces de ressorts ; mais si l' élasticité

est parfaite, et que les corps reprennent exactement leur figure

primitive, il suit du théorème précédent que la somme des forces

vives se retrouvera, à la fin du choc, la même qu' elle était au

commencement ; donc cette somme a la même valeur immédiatement

avant et immédiatement après le choc.

p295

47 i le principe des forces vives n' a pas lieu, quand les

mobiles se meuvent dans un milieu résistant, ou quand ils

éprouvent un frottement contre des obstacles fixes ; car alors la

formule (..) ne satisfait plus aux conditions d' intégrabilité ;

et d' ailleurs il est facile de s' assurer que si les mobiles ne

sont pas sollicités par d' autres forces que ces résistances, la

somme de leurs forces vives diminue graduellement et finit par s'

anéantir. Ce principe exige aussi que le mouvement du système

soit soumis à la loi de continuité : chaque changement brusque

qui survient dans les vîtesses des mobiles, produit une

diminution dans la somme des forces vives du système ; et cette

somme peut être réduite à zéro, par une suite de semblables

diminutions. C' est pourquoi, lorsqu' on a à construire une

machine dont l' objet est d' entretenir le mouvement d' un

système, on doit surtout éviter les frottemens et les chocs des

corps non élastiques du système, entre eux ou contre des

obstacles fixes. Nous avons précédemment évalué la perte des

forces vives dans le choc des corps durs / N 452 / ; mais on

peut parvenir au même résultat, d' une manière plus simple et

plus générale, au moyen de l' équation / 3 /. Pour cela, soit,

comme dans le N 459, A, B, C, les composantes parallèles aux

axes Ox, Oy, Oz, de la vîtesse de M, avant le choc ; A, B,

C, les composantes de sa vîtesse après le choc : les composantes

de la vîtesse perdue par ce point matériel seront (..) ; et par

p296

conséquent, à l' instant de ce changement brusque, on a (..) .

Immédiatement après le choc, les projections de M sur les axes,

parcourront les espaces Adt, Bdt, Cdt, pendant l' instant Dt

; les valeurs des différentielles Dx, Dy, Dz, qui entrent dans

l' équation / 3 /, sont donc (..) . En faisant les substitutions

convenables, et divisant par Dt, l' équation / 3 / devient (..)

; et si l' on suppose (..) , il sera aisé de lui donner cette autre

forme : (..) . Or, Vetv sont les vîtesses de M avant et après le

choc, U est sa vîtesse perdue dans le choc ; cette dernière

équation signifie donc que la somme des forces vives de tous les

points du système avant le choc, est égale à la somme des forces

vives dues aux vîtesses perdues par tous ces points. Lorsque le

système est composé de points matériels libres, et de points qui

se meuvent sur des courbes ou sur des surfaces données,

assujéties à la loi de continuité, la vîtesse perdue à chaque

instant par chacun de ces points, en vertu de sa liaison

p297

avec tous les autres, est une quantité infiniment petite ; la

somme des forces vives perdues au même instant, par le système

entier, n' est donc qu' une quantité infiniment petite du second

ordre : répétée une infinité de fois, pendant un tems fini, il n'

en résulte qu' une perte infiniment petite de forces vives ; et

voilà pourquoi la somme des forces vives se conserve constamment

la même, dans un pareil système, si toutefois les mobiles ne sont

sollicités par aucune force accélératrice. 472 l' équation /

4 / nous montre que (..) est un maximum ou un minimum , en

même tems que la fonction désignée par (..) , c' est-à-dire, quand

la différentielle de cette fonction est égale à zéro, ou quand on

a (..) . Or, cette équation a lieu toutes les fois que le système

se trouve dans une position où il resterait en équilibre, en

vertu des forces accélératrices qui le sollicitent, si on l' y

plaçait directement sans lui imprimer aucune vîtesse. En effet,

dans une semblable position, on a, d' après le principe des

vîtesses virtuelles, (..) ; (..) , étant les variations des

coordonnées X, Y, Z, du point quelconque M, provenant d' un

déplacement arbitraire, compatible avec les conditions du système

; de plus, on vient de voir que, relativement au système que nous

considérons, il est permis de prendre (..) ;

p298

supposition qui change l' équation / 6 / dans l' équation / 5

/ : donc le premier membre de cette équation / 5 / est nul, et

la somme des forces vives (..) atteint son maximum ou son

minimum , toutes les fois que le système vient à passer, pendant

son mouvement, par une des positions d' équilibre. Ainsi, par

exemple, lorsqu' un cylindre à base elliptique, pesant et

homogène, roule sur un plan horizontal, la somme des forces vives

de tous ses points est la plus grande ou la plus petite, quand l'

un des quatre sommets de sa base atteint le plan horizontal ; car

c' est alors que le cylindre resterait en équilibre, si ses

points n' avaient aucune vîtesse. En général, dans le mouvement

d' un système de corps pesans, liés entre eux d' une manière

quelconque, les positions d' équilibre correspondent aux instans

où le centre de gravité est le plus haut ou le plus bas qu' il

est possible / Ni 76 / ; donc la somme des forces vives est

toujours, ou un maximum ou un minimum , quand le centre

cesse de monter et commence à descendre, et quand il cesse de

descendre et commence à monter. On peut même ajouter que le

minimum a lieu dans le premier cas, et le maximum dans le

second. En effet, si l' on prend l' axe des Z, vertical et

dirigé dans le sens de la pesanteur ; que l' on désigne par G,

cette force constante, par M, la somme des masses de tous les

points matériels du système, par (..) , la valeur de Z qui répond

à leur centre de gravité, il est aisé de voir que l' équation /

4 /, deviendra, relativement à ce système, (..) ;

p299

où l' on voit clairement que (..) atteindra son maximum ou son

minimum , en même tems que (..) . 473 supposons maintenant que

le système étant sollicité par des forces accélératrices données,

on le place dans une de ses positions d' équilibre : la valeur de

la fonction (..) , qui répond à cette position, sera toujours un

maximum ou un minimum , par rapport à toutes les positions

voisines qu' on pourrait faire prendre au système, sans violer

les conditions de la liaison de ses parties. En effet, la

variation de cette fonction, en passant d' une position à une

autre, infiniment voisine de la première, est généralement

exprimée par le premier membre de l' équation / 6 / ; or, si la

première position est une position d' équilibre, ce premier

membre sera nul pour tous les déplacemens compatibles avec les

conditions du système ; ce qui est le caractère commun au

maximum et au minimum de la fonction (..) . Réciproquement,

on voit aussi que ce n' est que dans les positions d' équilibre,

que la valeur de la fonction (..) peut être, ou plus grande, ou

plus petite que dans toutes les positions voisines du système.

Mais je dis de plus, que l' équilibre sera stable, ou seulement

instantanée, dans une position donnée, selon que la fonction (..)

y sera un maximum ou un minimum . Relativement aux

systèmes de corps pesans, cette nouvelle proposition revient à

dire que l' équilibre est stable dans les positions où le centre

de gravité du système est le plus bas, et que l' équilibre n' est

pas stable, dans les positions où ce centre est le plus haut,

ainsi que nous l' avons déjà vérifié dans le

p300

Ni 78, sur plusieurs exemples pour lesquels la différence des

deux états d' équilibre était évidente. 474 pour démontrer, d'

une manière générale, la stabilité de l' équilibre dans le cas du

maximum de la fonction (..) , imaginons que l' on trouble l'

équilibre, en imprimant des vîtesses très-petites à tous les

points du système ; soit, après un tems T quelconque, U la

vîtesse du point M, (..) celle de (..) , etc., et (..) , la somme des

forces vives de tous ces points ; soit aussi, au même instant,

, les coordonnées de M, les constantes A, B, C étant les

coordonnées de M, dans la position d' équilibre ; (..) , les

coordonnées de (..) , les constantes (..) , étant les coordonnées de

dans la position d' équilibre ; et ainsi de suite pour tous

les autres points. En substituant ces coordonnées à la place de

X, Y, Z ; (..) ; etc., dans la fonction (..) , nous aurons, d'

après le principe des forces vives, (..) . Je développe la fonction

, suivant les dimensions croissantes des variables (..) , etc. ;

le premier terme de ce développement est (..) , et il se réunit à

la constante arbitraire C ; la somme des termes de première

dimension est nulle, puisque (..) est un maximum ; on démontre

aussi, dans le calcul différentiel, que la somme des termes de

seconde dimension peut se mettre, lors du maximum , sous la

forme d' une somme de carrés, pris avec le signe (..) , et qui sont

p301

en même nombre que les variables indépendantes du problème : si

donc nous désignons ces carrés par (..) , etc., de sorte que (..) ,

etc., soient des fonctions linéaires de (..) , etc., qui deviennent

nulles en même tems que ces variables, et si nous représentons

par R, le reste du développement de la fonction (..) , comprenant

les termes de dimension supérieure à la seconde, nous aurons (..) .

La constante C est égale à la somme des forces vives dues aux

vîtesses très-petites que l' on a imprimées aux mobiles ; cette

constante est donc une quantité positive et très-petite, que l'

on peut même supposer aussi petite que l' on voudra, en diminuant

convenablement ces vîtesses. Les variables (..) , etc., qui sont

nulles dans la position d' équilibre, commencent d' abord par

être très-petites, quand le système commence à s' écarter de

cette position ; tant que ces variables sont très-petites, les

quantités (..) , etc., le sont aussi ; et réciproquement, à des

valeurs très-petites de (..) , etc., correspondent toujours des

valeurs très-petites de (..) , etc. ; d' ailleurs, on sait que pour

de semblables valeurs, chaque terme de seconde dimension est plus

grand, abstraction faite du signe, que R, qui ne renferme que

des termes de dimension supérieure ; par conséquent, tant que

tous les carrés (..) , etc., sont encore très-petits, chacun d' eux

surpasse la valeur de R. Cela posé, nous sommes en droit de

conclure

p302

que les quantités (..) , etc., demeureront toujours très-petites,

et qu' aucune d' elles ne deviendra égale à (..) ; car si la plus

grande de ces quantités, S par exemple, pouvait devenir égale à

, on aurait en même tems (..) , etc., et (..) ; résultat absurde,

puisque cette valeur de (..) serait négative. Donc aussi les

variables (..) , etc., resteront constamment très-petites, et le

système ne fera qu' osciller autour de sa position d' équilibre.

475 lorsque la fonction (..) est un minimum , la somme des

termes de seconde dimension, dans son développement, est

essentiellement négative ; l' équation des forces vives peut

alors être satisfaite, sans que les variables (..) , etc., soient

assujéties à rester toujours très-petites ; mais cela ne suffit

pas pour prouver que ces quantités n' ont pas de limites. Ce n'

est qu' en déterminant leurs valeurs, en fonction du tems, qu' on

parvient à prouver qu' elles croissent indéfiniment, quelque

petites que soient les vîtesses initiales des mobiles : d' où l'

on conclut que l' état d' équilibre, qui répond au minimum de

la fonction (..) , n' est pas un équilibre stable. Si la fonction

est un maximum ou un minimum , selon que l' équilibre est

stable ou non stable, il suit de ce qu' on a vu dans le N 472,

que la somme des forces vives d' un système de corps en mouvement

, est la plus grande, quand le système passe

p303

par une position d' équilibre stable, et la plus petite, quand il

passe par une position d' équilibre non stable. 476 la théorie

des petites oscillations d' un système de corps autour d' une

position d' équilibre stable, est une des plus intéressantes de

la mécanique, à cause de ses nombreuses applications à des

questions de physique. Les variables qui déterminent les lieux

des mobiles à chaque instant, dépendent d' équations

différentielles linéaires, qui sont susceptibles d' une solution

générale ; mais quoique cette solution donnée par M Lagrange,

soit aussi simple qu' on peut le desirer, elle exige encore trop

de développemens pour trouver place ici ; et nous sommes forcés

de renvoyer à la cinquième section de la mécanique analytique /

2 e partie /, où elle est complètement exposée. Nous nous

contenterons de faire connaître d' une manière générale et sans

le démontrer, le principe de la co-existence des petites

oscillations , que l' on doit à Daniel Bernoulli, et auquel il

a été conduit par induction. Les petites oscillations d' un

système de corps dépendent de la cause qui a troublé son

équilibre ; deux causes différentes produisent des oscillations

différentes : or, d' après le principe de Daniel Bernoulli, si

ces deux causes concourent ensemble à troubler l' équilibre du

système, les deux espèces d' oscillations qu' elles auraient

produites, en agissant séparément, ont lieu à-la-fois et sans se

nuire ; et il en est de même pour un plus grand nombre de causes

simultanées. La co-existence des petites

p304

oscillations est surtout remarquable dans les ondes qui sont

produites à la surface de l' eau, en plusieurs points à-la-fois,

et qui se superposent sans s' altérer mutuellement. Les sons qui

se croisent en tous sens, dans une masse d' air, sans se modifier

en aucune manière, offrent encore une application du principe que

nous citons.

p307

Notions générales sur les fluides. 478 un fluide est un

amas de points matériels qui cèdent au moindre effort que l' on

fait pour les séparer les uns des autres. Les fluides que la

nature nous présente, approchent plus ou moins de cet état de

fluidité parfaite que notre définition suppose : l' adhérence qui

existe entre les molécules de plusieurs de ces substances, et qui

produit ce qu' on appelle la viscosité du fluide, s' oppose à

la séparation de leurs parties ; mais dans la théorie que nous

allons exposer, nous ferons abstraction de cette adhérence, et

nous ne considérerons que des fluides parfaits. On distingue deux

espèces de fluides : les uns sont incompressibles , comme l'

eau et tous les liquides ; ils peuvent prendre une infinité

de figures différentes ; mais sous toutes ces formes, ils

conservent toujours le même volume. Les fluides de la seconde

espèce comprennent l' air, les gaz et les vapeurs ; ils sont

p308

compressibles et doués d' une élasticité parfaite ; de sorte

qu' ils peuvent changer à-la-fois de forme et de volume, par la

compression, et revenir exactement à leur figure primitive, dès

que cette compression a cessé. Les vapeurs diffèrent de l' air et

des gaz permanens, en ce qu' elles perdent leur forme de fluides

élastiques, et se réduisent en liquides, lorsqu' on les comprime

à un certain degré, ou quand on diminue leur température ; tandis

que l' air et les gaz ont toujours conservé cette forme, quelles

que soient la compression et la température, auxquelles on les a

soumis jusqu' à présent. 479 la propriété caractéristique et

fondamentale des fluides, celle qui les distingue des solides, et

qui servira de base à la théorie de leur équilibre et de leur

mouvement, est la faculté qu' ils ont de transmettre également,

en tout sens, les pressions que l' on exerce à leur surface. Nous

admettrons cette propriété, comme un fait constaté par l'

expérience et avoué de tous les physiciens ; c' est au reste la

seule hypothèse sur laquelle est fondée l' hydrostatique , ou

la partie de la mécanique qui traite de l' équilibre des fluides.

Pour développer cette hypothèse, et nous en former une idée

précise, considérons d' abord les fluides incompressibles ;

représentons-nous un vase Be / Fig 29 /, prismatique droit,

posé sur un plan horizontal fixe, et rempli, jusqu' à une

certaine hauteur Bc, d' un liquide tel que l' eau, par exemple ;

supposons que l' on recouvre cette eau, par un piston

p309

horizontal Cd, qui ferme le vase exactement ; afin de ne pas

compliquer l' état de la question, faisons abstraction de la

pesanteur de l' eau, de sorte que ce fluide n' exerce, par lui-

même, aucune pression sur les parois du vase ; enfin, posons sur

le piston un poids donné P, qui sera, si l' on veut, le poids

même du piston. Il est évident que la base horizontale du prisme,

se trouve pressée de la même manière que si le poids P était

posé immédiatement sur cette base, et qu' il fût distribué

uniformément sur toute son étendue : tous ses points éprouveront

des pressions verticales, égales entre elles ; la pression qui en

résultera pour une portion quelconque A de cette base, sera

proportionnelle à A ; elle équivaudra à une force verticale,

appliquée au centre de gravité de l' aire A, et égale à (..) , A

étant l' aire de la base entière. Or, le principe de l' égalité

de pression en tout sens , consiste en ce que la pression que

le poids P exerce à la partie supérieure de l' eau, se transmet

par l' intermédiaire du fluide, non-seulement sur la base du vase

, mais encore sur toutes les autres parois : tous les points du

vase sont également pressés, dans des directions perpendiculaires

aux parois ; et une aire A, prise sur une des faces latérales du

prisme, éprouve la même pression (..) , que si elle faisait partie

de la base horizontale. Généralement, supposons que le vase ait

la forme d' un polyèdre quelconque / Fig 3 o /, qu' il soit

fermé

p310

de toutes parts, et exactement rempli d' un liquide sans

pesanteur ; détachons la face Cd du polyèdre, et remplaçons-la

par un piston ; appliquons à ce piston une force donnée P,

perpendiculaire à la surface du liquide adjacent. Le fluide ne

sera pas mis en mouvement par cette force, et d' après notre

principe, la pression qu' elle exerce sur la surface adjacente,

se transmettra, par l' intermédiaire du liquide, sur toutes les

faces du polyèdre. Tous les points du vase, en y comprenant les

points de la surface du piston, seront également pressés, de

dedans en dehors, dans des directions perpendiculaires aux parois

; si l' on considère une aire A prise sur une de ces parois ou

sur la surface du piston, sa pression sera une force

perpendiculaire à son plan, appliquée à son centre de gravité, et

égale à (..) , A étant l' aire entière du piston. Ce résultat s'

étend sans peine au cas où une partie des parois du vase sont des

surfaces courbes, continues ou discontinues : il suffit alors de

décomposer ces surfaces en élémens infiniment petits, que l' on

regardera comme les faces planes d' un polyèdre d' une infinité

de faces ; et si l' on désigne par (..) l' aire d' un de ces

élémens, on aura (..) , pour la pression qu' il éprouve ; A étant

toujours l' aire du piston, et P la force perpendiculaire qui y

est appliquée. En appelant P la pression constante que

supporterait une aire plane, égale à l' unité de surface, il est

évident qu' on aura (..) ; donc (..)

p311

sera la pression sur l' élément (..) , et Pa, la pression sur l'

aire égale à A. 48 o quand le liquide contenu dans le vase,

est pesant, il transmet les pressions que l' on exerce à sa

surface, de la même manière que quand il est dénué de pesanteur ;

mais il exerce en outre sur les parois du vase, une pression due

à son poids, et variable d' un point à un autre de ces parois. Il

en est de même à l' égard d' une masse fluide en équilibre, dont

les molécules sont sollicitées par des forces accélératrices

données, et qui est contenu dans un vase fermé de toutes parts.

Si les parois de ce vase sont nécessaires à l' équilibre, ensorte

qu' on ne puisse pas y faire une ouverture sans que le liquide ne

s' échappe aussitôt, il en faut conclure que ces parois éprouvent

, en chaque point, une pression particulière, dirigée de dedans

en dehors, suivant la normale à la surface du vase ; car ce n'

est que suivant cette normale, qu' une surface peut éprouver une

pression, et la détruire par sa résistance. La grandeur de cette

pression en chaque point, nous est inconnue ; elle dépend des

forces accélératrices données et de la position du point ; nous

apprendrons dans la suite à la déterminer ; mais il est bon de

dire d' avance comment on mesure cette pression variable. Comme

elle change, en général, d' un point à un autre, on ne peut la

supposer rigoureusement constante, que dans une étendue

infiniment petite ; or, pour mesurer la pression

p312

qu' un élément déterminé de la surface éprouve, on conçoit une

aire plane, que l' on prend pour unité, et qui soit pressée dans

toute son étendue, comme cet élément : P étant la pression

totale que cette aire supporte, et (..) l' étendue infiniment

petite de l' élément, le produit (..) exprime la pression de cet

élément. La quantité P est ce que nous appellerons la pression

en chaque point du vase, rapportée à l' unité de surface ; quand

on est parvenu à la déterminer en fonction des coordonnées de ce

point, on a la pression (..) sur un élément quelconque ; d' où l'

on conclut, par les règles du calcul intégral, la pression sur

une portion plane de la surface du vase. On trouve aussi le point

d' application de cette force, au moyen de la théorie connue des

momens des forces parallèles. Cela posé, imaginons que l' on

enlève une portion plane de la surface du vase, qu' on la

remplace par un piston de même étendue, et qu' on applique à ce

piston une force égale et contraire à la pression que le vase

éprouvait en cet endroit. Il est évident que l' équilibre

subsistera comme auparavant ; il ne sera pas encore troublé, si,

à cette première force, on ajoute une force quelconque P ; car

les forces appliquées aux molécules étant en équilibre, tout doit

se passer, relativement à la force P, comme si ces forces n'

existaient pas ; donc, d' après le principe exposé dans le N

précédent, la force P ne mettra pas le fluide en mouvement, et

la pression qu' elle exerce sur la surface du fluide adjacent au

piston, sera transmise par le fluide, également

p313

en tous sens ; par conséquent la pression P, rapportée à l'

unité de surface, se trouvera augmentée, en chaque point du vase,

d' une quantité constante et égale à (..) ; A étant l' étendue de

la surface plane du fluide, en contact avec le piston. Il est

important de bien distinguer, comme nous le faisons ici, les deux

sortes de pressions que supportent les parois d' un vase qui

contient un fluide en équilibre : l' une est due aux forces

motrices des molécules du fluide, et varie d' un point à un autre

du vase ; l' autre, constante pour tous ces points, provient des

pressions que l' on exerce directement à la surface, et qui sont

transmises sur toutes les parois, par l' intermédiaire du fluide.

Ces deux pressions s' ajoutent en chaque point, pour former la

pression totale. 48 i d' après le principe de l' égalité de

pression en tout sens, un fluide incompressible, contenu dans un

vase de position fixe, doit être regardé comme une véritable

machine ; car une machine est, en général, un appareil au

moyen duquel une force agit sur des points qui sont hors de sa

direction, et produit sur ces points un plus grand ou un plus

petit effet que si elle y était immédiatement appliquée ; or, c'

est le cas d' une force appliquée à la surface du liquide, au

moyen d' un piston, puisqu' elle agit, par l' intermédiaire de ce

fluide, sur tous les points du vase, et qu' elle exerce, sur

chaque portion plane des parois, une pression égale à son

intensité

p314

multipliée par le rapport de l' aire de la paroi à l' aire du

piston. Le principe des vîtesses virtuelles s' observe dans l'

équilibre de cette machine, comme dans celui de toutes les autres

machines connues. Pour le prouver, prenons un vase de position

fixe et de forme quelconque / Fig 3 i /, qui ait plusieurs

ouvertures en (..) , etc. ; à chacune de ces ouvertures, ajustons

un cylindre prolongé indéfiniment hors du vase ; emplissons ce

vase d' un liquide tel que l' eau, dont nous ne considérerons pas

la pesanteur ; supposons que cette eau s' élève dans tous les

cylindres, jusqu' à une certaine hauteur, et qu' elle soit

terminée, dans chaque cylindre, par une surface plane,

perpendiculaire à la longueur du cylindre ; enfin, posons sur ces

surfaces, des pistons (..) , etc., qui les recouvrent exactement,

et qui puissent glisser sans frottement dans les cylindres.

Soient (..) , etc., les bases de ces pistons, qui sont aussi les

bases des cylindres ; appliquons à ces pistons, des forces

données (..) , etc. ; la première, au piston dont la base est A,

la seconde, au piston dont la base est (..) , etc. ; et supposons

que ces forces qui réagissent les unes sur les autres, par l'

intermédiaire de l' eau, se fassent équilibre. Dans cet état, la

pression rapportée à l' unité de surface doit être la même sur

toutes les parois du vase, en y comprenant les bases des pistons

/ N 479 / ; en désignant donc sa valeur par P, on aura (..) , etc

., pour toutes les pressions

p315

dirigées de dedans en dehors, que supportent les bases des

pistons ; mais ces pressions doivent évidemment être égales et

contraires aux forces (..) , etc. ; donc on a ces équations : (..) .

L' une d' elles servira à déterminer l' inconnue P ; éliminant

ensuite cette quantité, on aura les équations d' équilibre du

système, qui seront en nombre égal à celui des pistons moins un.

Maintenant, imaginons, conformément à l' énoncé du principe des

vîtesses virtuelles, que l' on déplace le système, de manière qu'

une partie des pistons s' abaisse, et que l' autre partie s'

élève dans les cylindres : par exemple, le piston Cd est

transporté en Cd, et le piston (..) , en (..) . Comme l' eau qui

remplit le vase est incompressible et doit toujours conserver le

même volume, il est évident que la somme des quantités d' eau qui

s' élève doit toujours être égale à la somme des quantités d' eau

qui s' abaisse ; d' ailleurs, le volume d' eau qui s' élève ou

qui s' abaisse, dans chaque cylindre, est égal à sa base,

multipliée par l' espace que le piston a parcouru ; donc si l' on

désigne cet espace par une quantité positive, quand le piston s'

est abaissé, et par une quantité négative, dans le cas contraire,

et que l' on représente par (..) , etc., les espaces parcourus par

les pistons dont les bases sont respectivement (..) , etc., on aura

l' équation de condition (..) .

p316

Multipliant cette équation par P, et remplaçant les pressions

, etc., par les forces (..) , etc., il vient (..) : or, il est

facile de reconnaître dans ce résultat, le principe des vîtesses

virtuelles, énoncé en statique / Ni 63 /. 482 le principe de

l' égalité de pression en tout sens, convient aux fluides

élastiques, comme aux fluides incompressibles ; mais relativement

aux premiers, il n' est pas nécessaire que des forces motrices

agissent sur leurs molécules, ou que l' on exerce des pressions

sur leur surface, pour qu' ils pressent eux-mêmes les parois des

vases qui les contiennent : il suffit pour cela de leur

élasticité, en vertu de laquelle ces fluides font continuellement

effort pour se dilater et pour occuper un plus grand volume.

Ainsi, qu' une masse d' air ou d' un gaz quelconque, soit

contenue dans un vase fermé de toutes parts, et qu' on fasse

abstraction de la pesanteur du fluide, les parois du vase

éprouveront des pressions égales en tous leurs points, et

dirigées de dedans en dehors, suivant les normales à ces parois.

La pression rapportée à l' unité de surface sera la même dans

toute l' étendue du vase ; pour la déterminer, on fera une

ouverture dans un endroit du vase, pris au hasard ; on y

appliquera un piston, et à ce piston, la force nécessaire pour le

maintenir en équilibre : cette force sera égale

p317

et contraire à la pression que le piston éprouve ; en la divisant

par l' aire de la base du piston, on aura la pression rapportée à

l' unité de surface ; et l' on trouvera toujours le même quotient

, quel que soit l' endroit du vase où l' on a appliqué le piston.

Si, par exemple, le vase représenté par la figure 3 i, est

rempli d' un fluide élastique, les forces, qu' il faudra

appliquer aux différens pistons (..) , etc., pour les empêcher de

glisser dans les cylindres, seront proportionnelles aux bases (..)

, etc., de ces pistons, et le rapport de chaque force à sa base,

sera le même pour tous les pistons. Lorsque l' on aura égard à la

pesanteur du fluide, ou plus généralement, quand ses molécules

seront sollicitées par des forces accélératrices données, la

pression variera d' un point à un autre du vase, suivant une

certaine loi qu' il s' agira de déterminer dans la suite.

p318

équations générales de l' équilibre des fluides. 484 pour

traiter la question de la manière la plus générale, considérons

une masse fluide, homogène ou hétérogène, compressible ou

incompressible, dont toutes les molécules sont sollicitées par

des forces accélératrices données, et proposons-nous d' exprimer

par des équations, les conditions de son équilibre. Soient X, Y

, Z, les coordonnées rectangulaires d' un point quelconque de

cette masse, parallèles aux axes Ox, Oy, Oz / Fig 32 /. Nous

supposerons, pour fixer les idées, le plan des X, Y, horizontal

et situé au-dessus de la masse fluide Abcd, et l' axe vertical

Oz, situé au-dessous de ce plan. Désignons par X, Y, Z, les

sommes des composantes parallèles aux axes des X, des Y et des

Z, des forces accélératrices qui agissent sur ce point.

Partageons la masse fluide en une infinité d' élémens infiniment

petits, par des plans parallèles à ceux des coordonnées, et

infiniment rapprochés les uns des autres ; ces élémens seront des

parallélépipèdes rectangles, qui auront leurs côtés parallèles

aux axes et égaux aux différentielles des coordonnées ; les deux

bases horizontales de celui qui correspond aux coordonnées X, Y

, Z, et qui est représenté dans la figure,

p319

seront égales à Dxdy ; sa hauteur verticale sera égale à Dz ;

et l' on aura le produit Dxdydz, pour son volume. La densité du

fluide peut être regardée comme constante dans toute l' étendue

de cet élément ; en la désignant donc par (..) , et par Dm, la

masse, on aura (..) : (..) sera une quantité constante, dans les

liquides homogènes, et une fonction de X, Y, Z, dans les

fluides hétérogènes et dans les fluides élastiques homogènes, qui

ne seront pas partout également comprimés. Dans cette même

étendue de l' élément Dm, les forces X, Y, Z peuvent aussi

être regardées comme constantes ; par conséquent les produits

Xdm, Ydm, Zdm, sont les forces motrices de Dm, parallèles aux

axes Ox, Oy, Oz. Cela posé, j' observe que le parallélépipède

Dxdydz est pressé de dehors en dedans, sur ses six faces, par le

fluide environnant, et que les pressions qu' il éprouve, doivent

faire équilibre aux trois forces Xdm, Ydm, Zdm. Désignons donc

par P la pression verticale rapportée à l' unité de surface, qui

s' exerce sur la base supérieure Dxdy suivant la direction Cb,

de manière que P soit la pression totale que supporterait une

aire plane, égale à l' unité de surface, qui serait pressée dans

tous ses points, comme l' aire infiniment petite Dxdy / N 48 o

/. Cette pression verticale varie avec la position de l' élément

que l' on considère ; la quantité P, qui en représente la valeur

, et qui se rapporte à un élément quelconque, est

p320

donc une fonction de X, Y, Z ; alors Xety restant les mêmes,

et Z devenant (..) , P devient (..) , et exprime la pression

verticale, rapportée à l' unité de surface, qui a lieu sur la

base inférieure de l' élément Dxdydz ; d' où il suit que les

pressions verticales et contraires, que cet élément éprouve sur

ses deux bases horizontales, suivant les directions Cb et (..) ,

sont égales à Pdxdy et (..) : la première tend à l' abaisser, et

la seconde, à l' élever ; par conséquent il faut, pour que cet

élément reste en équilibre, que l' excès de la seconde sur la

première, soit égal à la force verticale Zdm ; ce qui donne (..) .

On trouvera de même les équations (..) , qui sont nécessaires pour

que l' élément ne se meuve, ni dans le sens des Y, ni dans celui

des X, et dans lesquelles Qetr représentent les pressions

rapportées à l' unité de surface, qui s' exercent sur les faces

parallèles aux plans des X, Z et des Y, Z, les plus voisines

de ces plans. Substituant dans ces équations, la valeur de Dm,

et supprimant ensuite le facteur commun Dxdydz, il vient (..) .

p321

Or, si les élémens dans lesquels nous avons partagé la masse

fluide, étaient solides au lieu d' être fluides, ensorte que

cette masse fût un assemblage de parallélépipèdes rectangles,

solides et juxtaposés, il n' y aurait aucune relation nécessaire

entre les pressions que chacun de ces parallélépipèdes

éprouverait sur ses faces non parallèles : l' élément Dxdydz

pourrait, par exemple, éprouver une pression quelconque sur ses

bases horizontales, et n' en éprouver aucune sur ses faces

verticales ; mais ces élémens étant fluides, comme la masse

entière, la propriété fondamentale des fluides leur convient

aussi bien qu' à cette masse ; et en vertu de cette propriété,

les trois pressions P, Q, R, sont égales entre elles, ou du

moins, il ne peut exister entre ces pressions, qu' une différence

infiniment petite. En effet, la pression que le fluide

environnant exerce sur une des faces de l' élément Dxdydz, se

transmet sur les autres faces, par l' intermédiaire du fluide

dont l' élément est composé ; cette transmission se fait de la

manière qu' on a expliquée précédemment, et dont il résulte que

si l' on représente par Pdxdy, la pression qui a lieu sur l' une

des bases horizontales, les pressions transmises sur les faces

verticales devront être représentées en même tems, par

Pdxdzetpdydz ; donc, pour avoir la pression entière Qdxdz, qu'

éprouve la face verticale, parallèle au plan des X, Z, et la

plus voisine de ce plan, il faut encore ajouter au terme Pdxdz,

la pression due aux forces motrices Xdm, Ydm, Zdm de l'

élément ;

p322

mais quoique nous ne sachions pas encore calculer cette dernière

pression, il est néanmoins évident qu' elle est infiniment petite

du troisième ordre, comme la masse Dm ; la quantité Qdxdz est

donc égale à Pdxdz, plus un terme infiniment petit du troisième

ordre ; et en divisant par Dxdz, nous voyons que Q ne diffère

de P, que d' une quantité infiniment petite ; conclusion qui s'

applique également aux deux quantités Retp. Si les trois

pressions P, Q, R, ne peuvent différer entre elles que d' une

quantité infiniment petite, on doit les supposer égales dans les

trois dernières équations, qui deviennent alors (..) .

p346

498 lorsqu' un corps solide est plongé en tout ou en partie dans

un fluide pesant, il éprouve, dans tous les points de la partie

plongée de sa surface, une pression perpendiculaire à cette

surface, et dirigée de dehors en dedans. La pression totale que

supporte une portion plane de cette surface, se déterminera de la

même manière que la pression qui a lieu sur une paroi plane du

vase qui contient le fluide ; si cette portion de surface est

courbe, il faudra, pour déterminer sa pression totale, la

partager en élémens infiniment petits ; décomposer sa pression

sur chaque élément, en trois forces parallèles à des axes

rectangulaires ; chercher ensuite, à l' aide du calcul intégral,

la résultante des forces dirigées suivant chaque axe, et le point

d' application de cette résultante ; enfin, réduire, s' il est

possible, les trois résultantes qu' on aura obtenues, en une

seule force, qui sera la pression demandée. Mais cette recherche

se simplifie beaucoup, quand on se propose de trouver la

résultante des pressions que le fluide exerce sur la surface

entière du corps plongé ; car alors il est inutile d' avoir égard

aux composantes horizontales des pressions élémentaires, à cause

que ces composantes se détruisent deux à deux, quelle que soit la

forme du corps. Pour le prouver, soit Amb / Fig 36 / le corps

dont il est question ; désignons par X, Y, Z, les coordonnées

p347

d' un point quelconque M de sa surface, et prenons, comme

précédemment, le plan horizontal du niveau du fluide, pour le

plan des X, Y, et l' axe des Z vertical et dirigé dans le sens

de la pesanteur ; considérons une portion de cette surface,

infiniment petite dans ses deux dimensions, terminée par une

courbe quelconque, et qui répond au point M ; représentons

toujours par (..) , l' aire de cet élément, et par (..) la pression

qu' il éprouve, P étant la pression rapportée à l' unité de

surface : la valeur de P sera la même, dans l' état d' équilibre

, pour tous les points qui sont à la même distance Z du niveau

du fluide, soit que ce fluide stagnant soit homogène, soit que

seulement il soit composé de couches homogènes et horizontales.

Appelons encore (..) , les angles que la direction de la pression

, ou la normale Mn à la surface du corps, fait avec les axes

des X, des Y et des Z ; de sorte que (..) , soient les

composantes de cette force, suivant ces axes. Enfin, supposons

qu' on projette l' élément (..) sur les trois plans des

coordonnées ; et désignons ses projections, par A, sur le plan

des Y, Z ; par B, sur le plan des X, Z ; et par C, sur le

plan des X, Y. En observant que le plan tangent au point M, ou

le plan perpendiculaire à la droite Mn, n' est que le

prolongement indéfini de l' élément (..) , on aura, comme dans le

N 8 o, (..) . Multipliant ces équations par P, il vient (..) ;

p348

donc Pa, Pb, Pc, sont les composantes suivant les axes des X,

des Y et des Z, de la pression (..) ; ce qui fait voir que la

composante de cette pression, perpendiculaire à un plan

quelconque, se déduit de la pression elle-même, en y remplaçant

l' élément (..) , par sa projection sur ce plan. Or, le corps étant

terminé de toutes parts, il y a nécessairement au moins un second

élément de sa surface, qui a la même projection sur un plan donné

, que l' élément (..) . Ainsi, par exemple, en prolongeant dans l'

intérieur du corps toutes les perpendiculaires abaissées du

contour de l' élément (..) , sur le plan des Y, Z, elles

rencontreront une seconde fois la surface ; elles détermineront

donc sur cette surface un second élément, que je désignerai par

, et qui aura la même projection que (..) , sur le plan des Y, Z

. Ces deux élémens (..) seront à la même distance Z du niveau du

fluide ; les pressions qu' ils éprouvent seront donc représentées

par (..) , le coefficient P étant le même pour l' un et pour l'

autre ; donc leurs composantes parallèles à l' axe des X seront

égales entre elles et représentées par Pa, puisque A est la

projection commune de (..) sur le plan des Y, Z. D' ailleurs les

pressions normales (..) agissant de dehors en dedans du corps, il

s' ensuit que leurs composantes suivant une droite quelconque,

sont dirigées en sens contraire l' une de l' autre ; donc les

composantes parallèles à l' axe des X de ces deux pressions, se

détruisent réciproquement. Dans la figure, l' élément (..) répond

au point (..) ; la pression (..) s' exerce suivant la normale (..) ,

et sa composante

p349

Pa, suivant la droite (..) , du point (..) vers le point M : au

contraire, la composante Pa de la pression (..) , est dirigée

suivant cette droite (..) , mais de M vers (..) . Si l' on prolonge

de même les perpendiculaires abaissées du contour de (..) sur le

plan des X, Z, jusqu' à ce qu' elles rencontrent une seconde

fois la surface du corps, on déterminera un élément (..) de cette

surface, dont la projection sur le plan des X, Z, sera B,

comme celle de (..) . La composante parallèle à l' axe des Y, de

la pression (..) qui a lieu sur cet élément, sera égale et

contraire à la composante parallèle au même axe, de la pression

qui a lieu sur l' élément (..) ; ces deux composantes se

détruiront donc réciproquement ; par conséquent les deux

composantes horizontales de la pression (..) , sont détruites, l'

une par la composante suivant l' axe des X, de la pression (..) ,

l' autre par la composante suivant l' axe des Y, de la pression

. C' est de cette manière que les pressions horizontales que le

fluide exerce sur tous les élémens de la surface du corps, se

détruisent mutuellement dans chaque tranche horizontale de ce

corps. 499 quant aux composantes verticales de ces pressions

élémentaires, pour en trouver la résultante, je suppose que l' on

prolonge les perpendiculaires abaissées du contour de l' élément

, sur le plan des X, Y, jusqu' à ce qu' elles rencontrent de

nouveau la surface du corps, ce qui déterminera sur cette surface

un autre élément (..) , qui aura la même

p350

projection horizontale que (..) . Ces perpendiculaires formeront un

cylindre vertical, terminé de part et d' autre à la surface du

corps par les élémens (..) ; sa section horizontale est égale à la

projection C, commune à ces deux élémens ; sa hauteur verticale

est la distance d' un de ces élémens à l' autre ; nous la

désignerons par L, et alors Cl sera son volume. Dans la figure,

l' élément (..) , répond au point (..) , et L est la longueur de la

verticale (..) . Si le corps est entièrement plongé dans le fluide,

le cylindre terminé par les élémens (..) , éprouvera, à ses deux

extrémités, des pressions normales à la surface du corps, et

représentées par (..) ; (..) étant les pressions rapportées à l'

unité de surface qui répondent aux élémens (..) , et qui ne sont

pas les mêmes, parce que ces élémens ne se trouvent pas à une

même distance du niveau du fluide. Les composantes verticales de

ces pressions sont (..) ; elles agissent en sens contraire l' une

de l' autre ; la force verticale qui tend à élever le cylindre,

est égale à l' excès de la pression inférieure sur la pression

supérieure ; elle sera donc exprimée par (..) , en supposant que

soit l' élément inférieur. Quand le fluide est homogène, on a

, G étant la gravité, et (..) la densité ; donc alors la

différence des pressions devient (..) , c' est-à-dire, qu' elle est

égale au poids d' un volume Cl du fluide, égal au volume du

cylindre que nous considérons. En partageant ainsi le corps en

une infinité de cylindres verticaux, on voit que chacun de ces

cylindres sera poussé de bas en haut par une

p351

force verticale, égale et contraire au poids du cylindre fluide

dont il tient la place ; par conséquent la résultante de toutes

ces forces, sera aussi égale et contraire au poids entier de la

masse fluide remplacée par le corps ; de sorte qu' en désignant

par V son volume, on aura (..) , pour l' intensité de cette

résultante ; et cette force sera dirigée de bas en haut, suivant

la verticale qui passe par le centre de gravité de la masse

fluide déplacée. Quoique nous ayons supposé le corps entièrement

plongé dans le fluide, notre raisonnement s' applique également

au cas où il n' y est plongé qu' en partie : il est aisé de voir

que dans ce cas la résultante des pressions verticales du fluide,

est égale au poids de la masse fluide déplacée par la partie

plongée du corps, et qu' elle est dirigée de bas en haut, suivant

la verticale menée par le centre de gravité de cette masse. Il

est encore facile d' appliquer le même raisonnement au cas où le

fluide est composé de couches horizontales et homogènes, de

différentes densités. Pour avoir la résultante des pressions

verticales qu' un semblable fluide exerce sur un corps qui y est

plongé en tout ou en partie, on imaginera chaque couche homogène

prolongée dans l' intérieur du corps ; ce qui formera une masse

fluide, analogue à celle qui environne le corps, et de même

volume que sa partie plongée : la pression demandée sera égale au

poids de cette masse fluide et appliquée à son centre de gravité.

p352

5 oo on parvient immédiatement à tous ces résultats relatifs aux

pressions horizontales et verticales, par une considération

indirecte, qu' il est bon de connaître. Considérons un fluide

pesant et homogène, ou seulement composé de couches horizontales

et homogènes, en équilibre dans un vase ouvert à sa partie

supérieure ; l' équilibre ne sera pas troublé, si l' on suppose

qu' une partie de ce fluide vient à se solidifier ; et l' on peut

prendre cette portion à la surface ou tout-à-fait dans l'

intérieur de la masse fluide entière. Dans l' un et l' autre cas,

on aura un corps solide pesant, suspendu et en repos dans le

reste du fluide : il faut donc que les pressions normales que le

fluide exerce sur la surface de ce corps, se réduisent à une

seule force, égale et contraire au poids du fluide solidifié. Or,

si l' on remplace ce corps solide par un autre, qui soit

exactement de même forme, il est évident que celui-ci éprouvera

en tous ses points les mêmes pressions que le premier ; d' où l'

on conclut, I que les pressions qu' un corps fluide pesant

exerce sur tous les points de la surface d' un corps solide,

plongé dans ce fluide, ont une résultante unique ; 2 que cette

résultante est verticale et dirigée de bas en haut ; 3 qu' elle

est égale au poids de la portion de fluide déplacée par le corps

; 4 qu' elle est appliquée au centre de gravité de cette

portion de fluide : résultats qui s' accordent avec ceux des Nos

précédens, et qui comprennent à-la-fois le cas où une partie du

corps surnage, et celui où le corps entier est plongé dans le

fluide.

p353

5 oi connaissant en grandeur et en direction, la résultante des

pressions qu' un fluide pesant exerce sur un corps solide, il est

aisé d' en déduire les conditions d' équilibre de ce corps, en

ayant égard à son poids et à cette résultante. Dans tous les cas,

ces conditions se réduiront à deux : la première, que le centre

de gravité du corps et celui de la portion de fluide déplacée,

soient sur une même verticale ; la seconde, que le poids de cette

portion de fluide soit égal au poids du corps. Il est évident que

ces deux conditions suffisent et sont nécessaires pour que la

résultante des pressions et le poids du corps se fassent

équilibre. Quand le corps est homogène et entièrement plongé dans

un fluide également homogène, la première condition est toujours

remplie, parce qu' alors les deux centres de gravité coïncident ;

il suffit donc, pour que ce corps ne prenne aucun mouvement, que

son poids soit égal à celui du fluide qu' il déplace ; et comme

le volume du fluide et celui du corps sont les mêmes, cette

condition se réduit à ce que leurs densités soient égales : bien

entendu qu' il faut en outre que le corps soit capable de

résister aux pressions qu' il éprouve dans tous ses points,

pressions qui tendent à le comprimer de toutes parts, et qui sont

d' autant plus grandes que le corps est placé à une plus grande

profondeur au-dessous du niveau du fluide. Si les densités sont

différentes, le corps montera ou descendra selon que sa densité

sera plus petite ou plus grande que celle du fluide : on le

maintiendra en repos, dans

p354

le premier cas, en l' attachant au fond du vase par un fil

inextensible ; et dans le second cas, en le suspendant à l'

extrémité inférieure d' un semblable fil, attaché par son autre

extrémité à un point fixe. Or, si nous supposons, dans ce second

cas, que le point de suspension soit pris sur un plateau d' une

balance, il est évident que ce plateau ne soutiendra qu' une

partie du poids du corps, savoir, l' excès de son poids entier

sur celui qui représente la résultante des pressions verticales

du fluide ; on ne devra donc poser dans l' autre plateau de la

balance, pour la tenir en équilibre, qu' un poids égal à la

différence de ces deux poids ; d' où l' on conclut ce principe d'

hydrostatique, qu' un corps pesé dans un fluide, y perd une

partie de son poids, égale au poids du fluide qu' il déplace .

5 o 2 nous considérerons plus en détail, dans le chapitre

suivant, les conditions d' équilibre des corps pesans, soutenus

par un fluide ; mais c' est ici le lieu d' indiquer l' usage de

la balance hydrostatique , qui ne diffère pas

essentiellement d' une balance ordinaire, et que l' on emploie à

peser les corps successivement dans le vide et dans l' eau, afin

de déterminer le rapport de leur densité à celle de ce fluide.

Cette détermination se fait au moyen d' une formule très-simple

dans laquelle il n' entre que le poids du corps dans le vide et

dans l' eau. Soient, en effet, P le poids donné d' un corps dans

le vide ; (..) le poids aussi donné du même corps, quand il est

entièrement

p355

plongé dans l' eau ; V son volume, D sa densité, (..) le poids

de l' eau qu' il déplace, et dont le volume est le même que le

sien, (..) la densité de ce fluide, G la gravité ; nous aurons

; et à cause que le poids du corps pesé dans l' eau, est diminué

du poids du volume d' eau qu' il déplace, nous aurons aussi (..) .

éliminant V et (..) entre ces équations, G s' en va en même tems

, et l' on trouve (..) ; en prenant donc la densité de l' eau pour

unité, cette équation fera connaître le nombre D qui doit

représenter la densité du corps, ou ce que les physiciens

appellent sa pesanteur spécifique . Ce moyen ne s' applique

qu' aux substances solides qui ne se dissolvent pas dans l' eau.

On peut voir dans les traités de physique, les méthodes que l' on

a imaginées pour obtenir les pesanteurs spécifiques des autres

substances, et pour en former des tables.

p359

Ii conditions d' équilibre des fluides contenus dans des

vases communiquans. 5 o 7 la considération des couches de

niveau nous a déjà fait connaître les conditions d' équilibre de

différens fluides renfermés dans un même vase ;

p360

mais ces conditions ne sont plus suffisantes, lorsque ces fluides

sont contenus dans plusieurs vases, dont chacun est ouvert à sa

partie supérieure, et qui communiquent entre eux par des

ouvertures latérales, de manière que les fluides peuvent couler

d' un vase dans l' autre. Si l' équilibre existe dans un pareil

système de fluides, il est certain qu' il ne sera pas troublé, en

supposant qu' on ferme les ouvertures latérales des vases. Cet

état ne saurait donc subsister dans le système entier, à moins

qu' il n' ait lieu séparément dans chaque vase ; ainsi, il faudra

d' abord que les fluides de différentes densités contenus dans un

même vase, y soient disposés par couches horizontales ; cette

condition étant remplie, il faudra en outre qu' il existe un

certain rapport entre les densités des fluides et les hauteurs de

leurs niveaux dans les vases communiquans ; et c' est ce rapport

qu' il s' agit maintenant de déterminer. 5 o 8 d' abord

supposons qu' on ait un seul fluide, homogène et incompressible,

répandu dans plusieurs vases communiquans, dont chacun est ouvert

à sa partie supérieure ; il faudra que le fluide s' élève à la

même hauteur, ou qu' il ait le même niveau dans tous ces vases.

En effet, s' il y avait un vase dans lequel le fluide s' élevât à

une plus grande hauteur que dans les autres, la pression ne

saurait être nulle à la surface libre du fluide dans ceux-ci :

elle y serait proportionnelle à la distance de cette surface au

niveau le plus élevé ; par conséquent il faudrait, pour l'

équilibre, que le vase dans lequel le fluide

p361

s' élève à la plus grande hauteur, restât seul ouvert, et que

tous les autres fussent fermés par des parois fixes, adjacentes à

la surface supérieure du fluide. Ainsi, toutes les fois qu' un

fluide, tel que l' eau, par exemple, peut couler d' un vase dans

un autre, et que nous le voyons néanmoins demeurer en repos, nous

en pouvons conclure que le fluide est alors de niveau dans les

deux vases. L' usage qu' on fait du niveau d' eau , dans les

opérations trigonométriques, est une application immédiate de ce

principe. 5 o 9 l' eau étant ainsi de niveau dans deux vases

communiquans Adcetbef / Fig 38 /, versons un nouveau fluide

dont la densité soit (..) , dans le premier, et un autre fluide

dont la densité soit (..) , dans le second ; soit Cdef le niveau

de l' eau dans les deux vases, (..) , ceux des nouveaux fluides,

, les hauteurs de ces niveaux au-dessus du niveau de l' eau.

Quelle que soit la forme des deux vases au-dessus du niveau Cdef

, la pression que le premier fluide exerce sur la surface Cd de

l' eau, sera égale à (..) , A étant l' aire de cette surface ; et

la pression exercée par le second fluide sur la surface Ef, sera

égale à (..) , B étant l' aire de la section Ef du second vase /

N 493 / : or, pour que ces deux pressions ne troublent pas l'

équilibre de l' eau, il faut qu' elles soient entre elles comme

les surfaces Aetb / N 48 i / ; donc, il faut qu' on ait (..) , c'

est-à-dire, que les hauteurs des deux fluides au-dessus du niveau

primitif, doivent être réciproquement proportionnelles à leurs

densités.

p362

Sans entrer dans de plus grands détails, il est aisé de voir que

si l' on a un nombre quelconque de vases communiquans par des

ouvertures latérales, qu' ils soient remplis d' un premier fluide

, d' eau par exemple, jusqu' à une certaine hauteur au-dessus de

ces ouvertures, que ce fluide ait le même niveau dans tous les

vases, et qu' on verse à-la-fois dans chaque vase, plusieurs

fluides de différentes densités, disposés par couches

horizontales : il suffira et il sera nécessaire pour l' équilibre

, que la somme des hauteurs verticales de ces couches,

multipliées respectivement par les densités, soit la même dans

tous les vases. Pour déterminer la pression sur le fond, ou sur

toute autre paroi de l' un de ces vases, on aura seulement égard

aux fluides qu' il contient, et l' on fera abstraction de ceux

qui sont contenus dans les autres vases. En effet, on peut, sans

troubler l' équilibre et sans rien changer aux pressions, fermer

toutes les communications de ces vases par des parois fixes, et

considérer ensuite chaque vase isolément. 5 io au lieu de

verser un nouveau fluide dans les deux vases Adcetbef, on aurait

pu recouvrir la surface de l' un de ces vases, par une paroi

mobile, et poser un poids quelconque sur cette paroi ; en donnant

au fluide versé dans l' autre vase, une hauteur convenable, au-

dessus du niveau de l' eau, la pression due à ce fluide pourra

toujours faire équilibre à ce poids quelque grand qu' il soit. C'

est sur ce principe qu' est fondée la construction

p363

de la presse hydrostatique , dans laquelle un simple filet d'

eau peut faire équilibre à un poids énorme, et qu' on avait

proposé, dans ces derniers tems, d' employer à peser à-la-fois

les voitures et leurs charges. Qu' on se représente, en effet,

une caisse ouverte à sa partie supérieure, et à laquelle nous

donnerons, pour plus de simplicité, la forme d' un

parallélépipède rectangle Mn / Fig 39 / : cette caisse est

remplie d' eau jusqu' à une certaine hauteur ; on pose sur la

surface Abcd de ce fluide, un couvercle, ou une paroi mobile,

qui ferme la caisse exactement ; au-dessous du niveau de l' eau,

on fait une ouverture E, à l' une des parois latérales, à

laquelle on ajuste un tuyau recourbé Efg, ouvert à sa partie

supérieure, et dont nous supposerons la branche Fg, verticale. à

cause du poids du couvercle, et de tout autre poids qu' on y peut

ajouter, l' eau doit s' élever dans le tube au-dessus de son

niveau dans la caisse ; ainsi K étant le point où le

prolongement du plan horizontal Abcd vient couper le tube, l'

eau s' élevera jusqu' en un point N, situé au-dessus du point K

. Pour déterminer la position de ce point N, appelons H la

hauteur verticale Nk, (..) la densité de l' eau, G la gravité,

P le poids posé sur la surface Abcd de l' eau, A l' aire de

cette surface, A l' aire de la section horizontale du tube au

point K ; la pression de l' eau en ce point sera égale au

produit (..) ; pour qu' elle fasse équilibre à la pression P qui

s' exerce sur la surface A, il faudra qu' on ait (..) ;

p364

d' où l' on tire (..) . Les choses étant dans cet état, ajoutons au

point P, un nouveau poids X, inconnu et qu' il s' agit de

déterminer : l' eau s' élevera au-dessus du point N jusqu' en un

point tel que (..) ; en même tems le niveau de ce fluide s'

abaissera dans la caisse et deviendra, je suppose, (..) ; soit (..)

le point où le plan horizontal (..) prolongé, vient couper le tube

; faisons (..) ; nous aurons dans ce nouvel état d' équilibre (..)

; mais à cause que l' eau est un fluide incompressible, l'

abaissement Y et l' élévation X, devront être en raison inverse

des surfaces Aeta / N 48 i /, c' est-à-dire, qu' on aura (..) ;

mettant donc Ax à la place de Ay, et pour P sa valeur, dans la

dernière équation, elle se réduit à (..) ; formule qui fera

connaître immédiatement le poids X, quand on aura mesuré la

hauteur X, ou l' élévation de l' eau dans le tube, au-dessus de

son niveau primitif, produite par ce poids X. 5 ii la pression

atmosphérique qui s' exerce sur la surface des fluides contenus

dans des vases communiquans, ne saurait jamais troubler l'

équilibre de ces fluides ; car cette pression est toujours

proportionnelle

p365

à l' étendue de la surface du fluide, en contact avec l' air / N

494 /, ou, ce qui est la même chose, la pression rapportée à l'

unité de surface est la même partout ; condition suffisante et

nécessaire pour qu' elle ne détruise pas l' équilibre des fluides

qu' on suppose exister / N 48 i /. Mais si l' un de ces vases s'

ouvre dans le vide, tandis que les autres s' ouvrent dans l' air,

on conçoit que l' équilibre sera troublé, et que le fluide s'

élevera au-dessus du niveau dans le vase où il n' éprouve pas la

pression de l' air. En supposant donc que les vases communiquans

Adcetebf / Fig 38 /, soient tous deux ouverts à leur partie

supérieure Dcetef, et que l' on y verse un fluide homogène, tel

que l' eau : ce fluide se mettra de niveau dans les deux vases,

et y demeurera malgré la pression atmosphérique ; mais si l' on

fait le vide dans le vase Ebf, et qu' on le ferme exactement

dans sa partie supérieure, l' eau s' élevera aussitôt dans ce

vase, et s' abaissera en même tems dans l' autre. Soit donc (..)

le niveau de l' eau dans le vase, fermé Ebf, et Cd le niveau du

même fluide dans le vase ouvert Adc. Sans la pression de l' air

qui s' exerce sur la surface Cd, le niveau dans le vase Edf

serait Ef, qui se trouve dans le même plan horizontal que Cd ;

appelons H la hauteur verticale du niveau (..) , au-dessus de Ef

; la pression rapportée à l' unité de surface que la portion d'

eau (..) exerce sur la surface Ef, sera égale à (..) , (..) étant

toujours la densité du fluide et la gravité ; donc, pour que

cette pression fasse

p366

équilibre à celle de l' air, il faudra qu' on ait (..) ; en

désignant par (..) , la pression atmosphérique rapportée à l' unité

de surface. On voit, par cette équation, que l' élévation des

fluides au-dessus de leur niveau, produite par la pression de l'

air, ne dépend ni de l' étendue de la surface qui éprouve cette

pression, ni de la forme des vases dans lesquels ces fluides sont

contenus ; elle ne dépend que de la densité de chaque fluide, et

la pression de l' air restant la même, l' élévation d' un fluide

quelconque est en raison inverse de sa densité. Relativement à un

même fluide, cette élévation est la plus grande à la surface de

la terre ; elle est moindre au sommet d' une montagne d' une

hauteur sensible, et elle décroît à mesure qu' on s' élève au-

dessus de cette surface, parce qu' alors la pression

atmosphérique diminue. La loi de ce décroissement et l'

application importante qu' on en a faite à la mesure des hauteurs

verticales, seront l' objet spécial de l' un des chapitres

suivans. L' élévation de l' eau due à la pression atmosphérique,

est d' environ Io mètres et 4 décimètres, à la surface de la

terre. En partant de cette donnée, il sera aisé de conclure l'

élévation de tout autre fluide, produite par la même cause, quand

on connaîtra le rapport de sa densité à celle de l' eau.

p369

5 i 4 la pesanteur est la seule force que nous ayons considérée

dans ce paragraphe ; nous n' avons point eu égard à l' attraction

mutuelle des molécules fluides, non plus qu' à l' attraction des

parois des vases

p370

sur ces mêmes molécules ; cependant les lois de l' équilibre des

fluides pesans sont modifiées en plusieurs points, par l' action

de ces forces. Il ne faut pas confondre l' attraction dont je

veux parler maintenant, avec celle dont il a été question dans le

premier chapitre du livre précédent. Toutes les parties de la

matière sont en effet soumises à deux sortes d' attractions

mutuelles, essentiellement distinctes l' une de l' autre. L'

intensité de l' une de ces forces suit la raison inverse du carré

des distances des molécules. Son action s' étend à de très-

grandes distances ; c' est elle qui produit tous les phénomènes

que nous présentent les mouvemens des corps célestes ; et elle

comprend, comme cas particulier, la pesanteur terrestre.

Relativement aux plus grandes masses que l' on puisse considérer

à la surface de la terre, cette attraction est toujours une force

très-petite par rapport à la pesanteur / N 328 /, et quand on

cherche les conditions d' équilibre d' un fluide pesant contenu

dans un vase, on peut, sans qu' il en résulte aucune erreur

appréciable, négliger l' attraction de cette espèce que le vase

exerce sur le fluide, et celle du fluide sur lui-même. L' autre

espèce d' attraction est extrêmement grande dans le contact des

molécules : son action s' étend à distance autour de la molécule

attirante, mais elle décroît avec une extrême rapidité, et l'

étendue de sa sphère d' activité sensible est plus petite qu'

aucune distance que nous puissions apprécier. La loi de ce

décroissement est inconnue ; on ignore si elle est la même pour

toutes les substances de la nature ; l' expérience

p371

a seulement appris que la grandeur absolue de cette force varie

avec ces diverses substances, c' est-à-dire qu' une même molécule

, dans les mêmes circonstances, n' exerce pas une attraction

égale sur des molécules de différentes matières. Quoi qu' il en

soit, la réaction est toujours égale à l' action, entre des

molécules égales en masse, de sorte que cette attraction mutuelle

ne peut jamais mettre en mouvement le centre de gravité d' un

assemblage de molécules qui lui sont soumises. C' est cette

dernière espèce d' attraction qui modifie les conditions d'

équilibre des fluides pesans. En vertu de cette force, la surface

d' un fluide contenu dans un vase, n' est plus rigoureusement

horizontale ; elle est concave ou convexe près des parois de ce

vase, et elle ne devient plane et horizontale qu' à une certaine

distance de ces parois ; mais de toutes ces modifications, la

plus remarquable est l' élévation ou l' abaissement du niveau des

fluides dans les tubes capillaires . L' expérience prouve, en

effet, que si l' on plonge un tube très-étroit dans un fluide, ce

fluide ne prend pas dans le tube le niveau qu' il a en dehors :

le niveau s' élève dans un tube de verre, plongé dans l' eau ; au

contraire, le niveau du mercure s' abaisse dans le même tube ; or

, cette élévation et cet abaissement sont dus à l' attraction du

tube, sur les molécules du fluide, combinée avec l' attraction du

fluide sur lui-même. On doit à M Laplace une théorie

mathématique et complète du phénomène de la capillarité, et d' un

grand nombre d' autres phénomènes qui dépendent

p372

d' une cause semblable, quoiqu' ils paraissent d' abord n' avoir

aucun rapport entre eux : les bornes et la nature de ce traité ne

nous permettent pas d' exposer, d' une manière convenable, cette

importante théorie dont on trouvera tous les développemens dans

le supplément au Ioe livre de la mécanique céleste . Iii

notions sur les pompes. 5 i 5 les machines que l' on emploie

le plus communément à élever l' eau au-dessus de son niveau, sont

les différentes espèces de pompes. Leur théorie est une

application immédiate et fort simple des lois de l' équilibre des

fluides pesans, et pour cette raison, nous allons maintenant en

expliquer les points principaux. Une pompe consiste, en

général, en un tuyau cylindrique Ced / Fig 44 /, dans lequel un

piston Ab glisse en le remplissant exactement et de façon

que ni l' air, ni l' eau ne puissent passer entre le cylindre et

le piston. Le tuyau Ced est composé de deux parties Eceted, qui

sont le plus souvent des cylindres de différens diamètres,

exactement joints l' un à l' autre, et séparés par une espèce de

cloison Ef, qui leur est fixement attachée. Cette cloison est

percée vers son centre ; l' ouverture est fermée par un couvercle

à charnière S, qu' on appelle une soupape , et qui s' ouvre

de bas en haut, comme l' indique la figure. La soupape, en s'

ouvrant, permet à l' eau de passer du cylindre inférieur Ed,

dans le cylindre supérieur Ce ; mais quand elle

p373

est fermée, elle empêche ce fluide de revenir du second cylindre

dans le premier. Le piston Ab est pareillement percé vers son

centre, et l' ouverture est aussi fermée par une soupape (..) , qui

s' ouvre, comme la première, de bas en haut. Dans toutes les

espèces de pompes, l' eau est élevée d' un cylindre dans l' autre

par le jeu du piston ; mais dans celles qu' on appelle pompes

foulantes , le fluide est immédiatement foulé ou poussé par le

piston ; dans les autres, c' est l' aspiration de l' air contenu

entre le piston et l' eau, qui produit l' élévation de ce fluide,

et pour cette raison, on les nomme pompes aspirantes :

quelquefois aussi ces deux moyens sont combinés ensemble dans une

même pompe, de manière qu' elle est à-la-fois aspirante et

foulante . Examinons d' abord le mécanisme de la pompe aspirante

. 8

p389

de l' équilibre des corps flottans. 523 pour qu' un corps

pesant puisse se tenir en équilibre à la surface d' un fluide

stagnant, il est nécessaire que son poids soit plus petit que

celui d' un volume du fluide égal au sien. Cette règle générale

souffre cependant une exception, relativement aux corps d' un

très-petit volume, formés d' une matière qui n' exerce aucune

attraction sur les molécules du fluide, ou dont l' action est

beaucoup plus faible que celle du fluide sur lui-même. Dans ce

cas le fluide s' abaisse au-dessous de son niveau, autour du

corps flottant ; il se forme un vide près de sa surface ; on peut

regarder cet espace vide comme faisant partie du volume du corps,

et à raison de cette augmentation de volume, on conçoit que le

corps peut surnager, quoique sa pesanteur spécifique soit plus

grande que celle du fluide. Afin de n' avoir pas à tenir compte

de cet effet, nous supposerons aux corps flottans, que nous

allons considérer, un volume assez grand pour que l' espace vide

qui peut se former autour d' eux, et qui est toujours fort petit,

puisse être négligé, sans erreur sensible par rapport à ce volume

. La condition que le poids du corps soit plus petit

p390

que celui du fluide sous le même volume, étant remplie, le corps

s' enfonce dans le fluide, jusqu' à ce que le poids du fluide

déplacé soit devenu égal à celui du corps ; et lorsque ces deux

poids sont égaux, le corps reste en équilibre, si son centre de

gravité et celui du fluide déplacé, se trouvent sur une même

verticale / N 5 oi /. Relativement aux corps homogènes, ce

second centre de gravité coïncide avec celui de la partie du

corps, plongée dans le fluide ; pour que le poids du fluide

déplacé soit égal à celui du corps, il faut que les densités

soient en raison inverse des volumes, ou que le volume de la

partie plongée soit au volume entier du corps, comme sa densité

est à celle du fluide ; il s' ensuit donc que la recherche des

positions d' équilibre d' un corps homogène, placé à la surface

d' un fluide d' une densité donnée et plus grande que celle du

corps, se réduit à un problème de pure géométrie, dont l' énoncé

est fort simple : il s' agit de couper le corps par un plan, de

manière que le volume d' un des segmens soit à celui du corps

entier, dans un rapport donné, et que les centres de gravité de

ce segment et du corps, se trouvent sur une même perpendiculaire

au plan coupant. Dans chaque cas particulier, on exprimera ces

deux conditions par des équations dont la solution complète fera

connaître toutes les directions qu' on peut donner au plan

coupant, et d' où résulteront autant de positions d' équilibre du

corps. Quelquefois, le nombre de ces positions sera infini, comme

, par exemple, dans le cas des solides de révolution dont l' axe

p391

figure est horizontal ; d' autres fois, ce nombre sera fini et

déterminé ; mais il serait difficile de démontrer, à priori,

qu' il y a toujours au moins une position d' équilibre, quelle

que soit la forme du corps.

p399

528 outre leurs positions d' équilibre horizontales, les corps

prismatiques ou cylindriques terminés par des bases

perpendiculaires à leurs arêtes,

p400

ont aussi des positions verticales dans lesquelles leurs bases

sont parallèles au niveau du fluide, et qui sont doubles pour

chaque corps, parce que l' une ou l' autre des deux bases peut

être plongée dans le fluide. Il ne s' agit alors que de

déterminer l' enfoncement du corps dans le fluide, et pour cela

on prendra sur l' une des arêtes, à partir de la base plongée,

une partie qui soit à la longueur entière de l' arête, comme la

densité du corps est à celle du fluide : le volume du prisme

plongé sera au volume du prisme entier dans le même rapport. Les

solides de révolution ont de même deux positions d' équilibre

dans lesquelles l' axe de figure est vertical, et qui sont

faciles à déterminer pour chaque solide en particulier. Si, par

exemple, le solide est un cône droit, il pourra demeurer en

équilibre, quand le sommet sera plongé dans le fluide, et lorsqu'

il en sera dehors : dans le premier cas, le solide plongé sera un

cône semblable au cône entier ; leurs volumes seront entre eux

comme les cubes de leurs hauteurs ; donc en appelant X la

hauteur du premier cône, où la partie de l' axe de figure,

plongée dans le fluide, H la hauteur du cône entier, et R le

rapport de la densité de ce corps à celle du fluide, il faudra

qu' on ait (..) ; d' où l' on tire (..) . Dans le second, on

trouvera (..) , en désignant

p401

par Y, la hauteur du cône tronqué, plongé dans le fluide. En

général, les corps qui sont symétriques par rapport à une droite,

jouissent de la même propriété que les prismes et les solides de

révolution. J' entends ici par corps symétrique , un corps

homogène ou hétérogène, composé d' une suite de tranches

perpendiculaires à une même droite, d' une épaisseur infiniment

petite, et qui ont toutes leurs centres de gravité sur cette

droite, que j' appellerai l' axe du corps. Tout plan

perpendiculaire à l' axe partage un corps de cette espèce en deux

parties dont chacune a son centre de gravité sur l' axe, ainsi

que le corps entier ; par conséquent, en tenant l' axe vertical,

et en plongeant une partie du corps dans un fluide, on sera

toujours certain que le centre de gravité de la partie plongée et

celui du corps entier, seront sur une même verticale ; de sorte

qu' il suffira, pour l' équilibre, que le poids du fluide déplacé

soit égal au poids entier du corps. Cette égalité sera toujours

possible, si la densité du corps, quand il est homogène, ou sa

densité moyenne, quand il est hétérogène, est plus petite que

celle du fluide ; d' où l' on peut conclure que dans ce cas le

corps a deux positions d' équilibre, inverses l' une de l' autre,

et dans lesquelles son axe est vertical. L' instrument qu' on

appelle aréomètre ou pèse-liqueur , est un corps symétrique

par rapport à un axe vertical ; on l' emploie à comparer entre

elles les densités de différens fluides, dont il indique les

rapports par ses différens degrés d' enfoncement dans

p402

ces fluides ; on le fait aussi servir d' une manière ingénieuse,

à déterminer la pesanteur spécifique des corps solides. 529 les

diverses positions d' équilibre d' un même corps solide flottant

à la surface d' un fluide, jouissent d' une propriété remarquable

, qui peut se démontrer sans aucun calcul. Supposons qu' on fasse

tourner le corps autour d' un axe mobile, assujéti à rester

constamment parallèle à une droite fixe et horizontale ; et que

de cette manière on le fasse passer successivement par toutes ses

positions d' équilibre, dans lesquelles cet axe a cette direction

; je dis que les positions d' équilibre stable et non-stable, se

succéderont alternativement, de sorte que s' il part d' une

position d' équilibre stable, la seconde position d' équilibre

qu' il rencontrera, ne sera pas stable, la troisième le sera, la

quatrième ne le sera pas ; et ainsi de suite, jusqu' à ce qu' il

soit revenu à sa position primitive. En effet, tant qu' il sera

encore très-voisin de sa position primitive, il tendra à y

revenir, puisque cette position est supposée stable ; cette

tendance diminuera graduellement, et enfin le corps tendra à s'

écarter de cette position ; mais avant que cette tendance change,

pour ainsi dire, de signe, il y aura une position dans laquelle

elle sera nulle, et où le corps ne tendra ni à revenir à sa

position primitive, ni à s' en écarter davantage ; ce sera donc

p403

seconde position d' équilibre ; or, on voit qu' en deçà de cette

position, le corps tend à revenir à la première ; par conséquent

à s' écarter de la seconde : au-delà de cette même position, le

corps tend à s' écarter de la première, et en même tems de la

seconde ; donc la seconde position d' équilibre n' est pas stable

, puisque de part et d' autre de cette position, le corps tend à

s' en écarter davantage. Lorsqu' il a dépassé sa seconde position

d' équilibre, sa tendance à s' en écarter diminue continuellement

; elle devient nulle ; puis le corps tend à revenir à cette

seconde position. La position où cette tendance est nulle, est

une troisième position d' équilibre, qui est évidemment stable ;

car en-deçà et au-delà, le corps tend à y revenir, soit pour s'

éloigner, soit pour se rapprocher de la seconde position. Si la

troisième position est stable, on prouvera par notre même

raisonnement que la quatrième ne l' est pas ; et la quatrième ne

l' étant pas, la cinquième le sera, et ainsi de suite. Ainsi,

quand le corps sera revenu à sa position initiale, il aura

nécessairement passé par un nombre pair de positions d' équilibre

, alternativement stable et non stable. Par exemple, si l' on

fait tourner autour d' une droite horizontale, le prisme

équilatéral que nous venons de considérer / N 527 /, il passera

par les six ou par les douze positions d' équilibre que nous

avons déterminées ; or, la moitié de ces positions répondra à des

états stables, et l' autre moitié à des états non stables ; et

les positions d' équilibre

p404

de l' une et de l' autre espèce, se succéderont alternativement.

53 o il est important de savoir distinguer l' équilibre stable

d' un corps flottant, de celui qui ne l' est pas. On a pour cela

une règle générale, qui s' applique à tous les cas, et qui se

déduit du principe des forces vives / N 469 / ; mais avant de la

faire connaître, je crois utile de considérer un cas particulier

qui se présente souvent, et dans lequel la stabilité dépend d'

une condition très-facile à vérifier. Ce cas est celui d' un

corps qui est partagé par un plan vertical Ced / Fig 48 / en

deux parties parfaitement semblables, et pour la forme, et pour

la densité. On suppose de plus, que l' on écarte ce corps de sa

position d' équilibre, de manière que cette section Ced reste

verticale, et qu' après l' avoir ainsi dérangé, on l' abandonne à

lui-même sans lui imprimer aucune vîtesse initiale ; de cette

manière la section Ced demeurera dans un même plan vertical,

pendant tout le mouvement du corps ; car, tout étant semblable de

part et d' autre de cette section, il n' y a pas de raison pour

qu' elle sorte jamais du plan vertical où elle se trouvait à l'

origine. Par la même raison le centre de gravité du fluide

déplacé, sera toujours un point de la section Ced, ainsi que le

centre de gravité du corps entier. Soit donc G, ce dernier

centre ; soit aussi, dans la position d' équilibre, O le centre

de gravité du fluide déplacé, et Ab l' intersection du niveau du

fluide avec le plan Ced ; dans cette position, la droite Go qui

joint les deux centres, est verticale, et

p405

par conséquent perpendiculaire à la droite Ab ; elle s' incline

en général, quand on écarte le corps de cette position ; et en

même tems, le centre de gravité de la partie plongée, et la ligne

d' intersection du niveau avec le plan Ced, changent de position

sur ce plan. Je supposerai donc que ce centre et cette ligne

deviennent le point (..) et la droite (..) , après qu' on a troublé

l' équilibre ; les forces qui mettront le mobile en mouvement,

sont le poids du corps qui est dirigé suivant la verticale Gh,

menée par le centre de gravité G, et la résultante des pressions

verticales du fluide sur la surface du corps ; résultante qu' on

appelle la poussée du fluide, qui est égale au poids du

fluide déplacé, et qui agit au point (..) / N 5 oo /, en sens

contraire de la pesanteur, ou suivant la verticale (..) . Cette

verticale et la droite inclinée Go étant dans un même plan, se

couperont en un certain point M ; on appelle ce point d'

intersection, le métacentre ; et c' est, comme on va le voir,

de la position de ce point par rapport au centre de gravité G,

que dépend la stabilité de l' équilibre. Il est permis de le

prendre pour point d' application de la poussée du fluide, qui

agira alors suivant la droite (..) ; le corps sera donc sollicité

par deux forces parallèles et contraires, appliquées aux

extrémités de la droite Go ; or, il s' agit d' examiner le

mouvement que prendra le mobile, et si ces forces tendront à le

ramener à la position d' équilibre, ou à l' en écarter davantage.

D' abord elles produiront un mouvement d' oscillations du point

G. En effet le centre de gravité

p406

doit se mouvoir comme si ces deux forces lui étaient directement

appliquées / N 398 / ; donc, à cause que sa vîtesse initiale est

nulle, son mouvement sera rectiligne, vertical, et uniquement dû

à l' excès de la plus grande des deux forces sur la plus petite.

Si, à l' origine du mouvement, le poids du corps l' emporte sur

la poussée du fluide, le point G commencera par descendre : son

mouvement sera d' abord accéléré ; mais à mesure que le corps s'

enfoncera dans le fluide, il en déplacera un plus grand volume ;

la poussée du fluide augmentera donc ; et enfin, il arrivera un

instant où elle sera égale au poids du corps. Le point G

continuera encore de se mouvoir dans le même sens en vertu de sa

vîtesse acquise ; mais alors la poussée du fluide l' emportant

sur le poids du corps, son mouvement sera retardé ; le point G

s' arrêtera quand il aura perdu toute sa vîtesse, puis il

remontera vers sa position initiale, et il oscillera ainsi jusqu'

à ce que la résistance que le fluide même oppose au mouvement du

corps, ait entièrement détruit ce mouvement. L' amplitude de ces

oscillations sera d' autant plus petite, que la différence

initiale entre le poids du corps et celui du fluide déplacé sera

elle-même plus petite par rapport au poids du corps. Si le corps

a été très-peu écarté de sa position d' équilibre, cette

différence sera très-petite, l' amplitude de ces oscillations le

sera aussi, et ces petites oscillations du centre de gravité n'

auront aucune influence sur la stabilité de l' équilibre. Pendant

les oscillations du point G, le corps tournera autour de ce

centre comme s' il était fixe / N 4 o 2 / ;

p407

son mouvement de rotation sera donc produit par la poussée du

fluide, qui agit au point M suivant la direction (..) ; et son

état d' équilibre sera stable ou non stable, selon que, dans ce

mouvement, la droite Go reviendra à la position verticale, ou s'

en écartera davantage. Or, l' inspection de la figure suffit pour

montrer que la poussée du fluide ramènera la droite Go à la

position verticale, toutes les fois que le point M sera au-

dessus du point G ; au contraire, si le métacentre est au-

dessous du point G, en (..) , par exemple, la poussée du fluide

qui agira alors suivant (..) , écartera la droite Go de la

position verticale, et fera chavirer le corps flottant. Donc

quand le métacentre est au-dessous du centre de gravité d' un

corps flottant, tel que celui que nous considérons, l' équilibre

n' est pas stable ; et au contraire, lorsque le métacentre est au

-dessus de ce centre, l' équilibre est stable, du moins pour les

dérangemens dans lesquels le plan Ced reste vertical. Si, dans

un cas particulier, le métacentre coïncide avec le centre de

gravité, il n' y aura pas de mouvement de rotation, et la droite

Go conservera l' inclinaison qu' on lui aura donnée. 53 i

lorsque la forme du corps flottant sera connue, il sera toujours

facile, en le mettant dans une position très-voisine de sa

position d' équilibre, de déterminer le lieu du métacentre, ou

plutôt de reconnaître si ce point est au-dessus ou au-dessous du

centre de gravité du mobile. Supposons, par exemple, que ce corps

est un cylindre horizontal

p408

à base elliptique homogène, et d' une densité égale à la moitié

de celle du fluide ; soit Aebd / Fig 49 et 5 o /, une section

verticale, faite à égale distance des deux bases ; dans la

position d' équilibre, l' un des deux axes de cet ellipse sera

vertical ; et comme la moitié du volume sera plongée dans le

fluide, il s' ensuit que l' autre axe se trouvera à fleur d'

eau , et représentera le niveau du fluide. L' axe vertical Ed

est le grand axe dans la Fig 49, et le petit, dans la Fig 5 o ;

or, je dis que, dans le premier cas, le métacentre est au-dessous

du centre G de l' ellipse qui est aussi le centre de gravité du

cylindre, et qu' au contraire il est au-dessus dans le second cas

. En effet, menons par le point G une droite (..) qui fasse un

angle très-petit avec Ed ; concevons ensuite que l' on incline

l' axe Ed, de manière que (..) devienne verticale, et en même

tems, supposons qu' on élève ou qu' on abaisse un tant soit peu

le centre G, ensorte que le niveau du fluide devienne la droite

, perpendiculaire à la droite (..) au point (..) . Dans cette

position, la partie (..) de l' ellipse Aedb se trouvera plongée

dans le fluide ; cette partie est divisée en deux portions

inégales (..) , par la droite (..) ; or, il est évident que le

centre de gravité du fluide déplacé se trouvera quelque part en

un point (..) , compris dans la plus grande de ces deux portions ;

d' où l' on voit, en considérant les deux figures que la

parallèle (..) , à la droite (..) , ira rencontrer la droite De au-

dessous du centre G, dans la première figure, et au-dessus, dans

p409

seconde. L' intersection M est le métacentre qui se trouve placé

comme nous l' avions annoncé. Ainsi le cylindre que nous

considérons est dans une position d' équilibre stable ou non

stable, selon que le petit axe ou le grand axe de sa base est

vertical. En supposant que le corps tourne autour de la droite

horizontale qui joint les centres de ses deux bases, il passera

successivement par quatre positions d' équilibre, qui seront

alternativement stables et non stables, ce qui est conforme au

théorème du N 529.

p429

Usage du baromètre pour la mesure des hauteurs verticales. 539

un baromètre est formé, en général, d' un tube de verre

recourbé Abc / Fig 52 / ; la branche Ab est fermée à son

extrémité supérieure A ; l' autre branche Bc est ouverte en C

; le tube est en partie rempli de mercure qui s' élève à des

hauteurs inégales dans les deux branches. Je suppose que ce

fluide s' élève jusqu' au point D, dans la branche Ab, et que

l' intervalle Ad, compris entre son niveau et le sommet de la

branche, soit exactement vide d' air ; soit aussi E, le niveau

du mercure dans la branche Bc qui communique avec l' atmosphère

; par le point E, concevons un plan horizontal qui coupe en F

la branche Ab ; la portion Feb de mercure sera d' elle-même en

équilibre ; il faut donc, quand la masse entière est en repos,

que la pression rapportée à l' unité de surface, exercée en F

par la colonne Df de mercure, soit égale à celle que l' air

exerce en E. La première de ces pressions est exprimée par Gmh,

G étant la pesanteur, M la densité du mercure, H la hauteur

verticale de son niveau D, au-dessus du point F ; puisque le

tube est ouvert au point C, la colonne d' air qui presse

p430

sur le mercure en E, doit être censée prolongée indéfiniment

dans l' atmosphère ; la pression que la surface du mercure

éprouve, est donc égale au poids de la colonne cylindrique d' air

, qui a pour base cette surface, et qui se termine à la limite de

l' atmosphère ; donc la pression rapportée à l' unité de surface,

qui a lieu au point E, est égale au poids d' une semblable

colonne, dont la base serait la surface qu' on prend pour unité :

on aura donc, en désignant ce poids par (..) , (..) . Diverses

circonstances, telles que les vents, la température, la quantité

d' eau suspendue dans l' air, font varier le poids (..) de la

colonne atmosphérique ; la hauteur H du mercure dans le

baromètre, doit varier dans le même rapport ; aussi cette hauteur

n' est-elle pas constamment la même dans le même lieu de la terre

. La hauteur la plus commune du baromètre, à Paris, paraît être

de 76 centimètres ; ses variations sont très-petites au-dessus

de ce terme ; mais au-dessous, elles s' élèvent souvent jusqu' à

environ de la hauteur moyenne. à mesure qu' on s' élève au-

dessus de la surface de la terre, le poids (..) et la hauteur H

diminuent ; ces diminutions dépendent de la hauteur à laquelle on

s' est élevé, et de la loi que suivent les densités des couches

atmosphériques ; si cette loi nous était connue, on conçoit qu'

on pourrait déterminer la différence des hauteurs verticales de

deux points, par la comparaison des hauteurs du baromètre en

p431

ces deux points ; mais pour découvrir cette loi, il est

nécessaire de recourir à quelques données de l' expérience qui

sont relatives à la densité de l' air sous différentes pressions

et à différentes températures, et que nous allons d' abord

exposer. 54 o supposons que la branche Bc de notre tube, au

lieu de s' ouvrir dans l' air libre, s' ouvre maintenant dans un

vase fermé, de petites dimensions, et rempli d' air ou d' un gaz

quelconque. On peut alors faire abstraction du poids de cette

petite portion de fluide ; mais à raison de son élasticité, ce

gaz exerce une certaine pression sur les parois du vase, qui est

la même en tous leurs points / N 482 / ; c' est la pression qu'

il exerce sur la surface du mercure, en E, qui soutient ce

fluide au-dessus du niveau F dans la branche Ab ; par

conséquent, H étant toujours la hauteur Df du mercure, le

produit Gmh sera la mesure de la pression du gaz, due à son

élasticité, et rapportée à l' unité de surface ; c' est-à-dire,

la mesure de ce qu' on appelle la force élastique du gaz. L'

appareil qui sert à la mesurer, se nomme un manomètre : il

consiste, comme on voit, en un baromètre ordinaire Abc, dont la

branche ouverte Bc communique dans un vaisseau fermé, dans

lequel on place le gaz ou la vapeur dont on veut connaître la

force élastique. La hauteur du mercure dans un baromètre dont la

branche ouverte communique avec l' atmosphère, donne la mesure de

la force élastique de l' air, au point où ce fluide est en

contact avec le mercure ; car si l' on

p432

ferme l' ouverture C du tube Abc, sans rien changer à l' état

de l' air contenu dans la branche Ec, il est évident que l'

équilibre du mercure et de cet air ne sera pas troublé ; la force

élastique de cette portion d' air Ec, fait donc équilibre à la

pression de la colonne de mercure Fd ; donc cette force

élastique a pour mesure le produit Gmh. La force élastique d'

une portion d' air, contenue dans un vaisseau fermé, ne varie pas

tant que cet air conserve la même densité et la même température

; si donc on transporte un manomètre d' un lieu dans un autre, et

qu' on ait soin de ne changer en aucune manière l' état de l' air

qu' il contient, le produit Gmh, qui mesure la force élastique

de cet air, ne devra pas changer non plus ; par conséquent, si la

gravité G varie d' un lieu à l' autre, la hauteur H du mercure

variera en raison inverse, en supposant que la densité M de ce

fluide ne change pas ; d' où l' on voit comment les variations

des hauteurs du mercure dans le manomètre, peuvent rendre

sensibles celles de la pesanteur à la surface de la terre, et

servir même à les déterminer / N 94 /. 54 i l' expérience a

appris que, la température restant la même, la force élastique d'

un même gaz à différentes densités, est proportionnelle à ces

densités. Ainsi, que l' on ait un gaz quelconque, contenu dans un

vase cylindrique vertical, et recouvert à sa partie supérieure,

d' un piston qui ferme exactement ce vase ; que ce piston soit

chargé d' un poids donné P, en y comprenant le poids même du

p433

piston ; qu' on substitue successivement à ce poids P, une suite

de poids 2 p, 3 p, 4 p, etc. : le gaz se comprime de plus

en plus, et l' expérience prouve que son volume devient

successivement la moitié, le tiers, le quart, etc., de ce qu' il

était d' abord ; sa densité devient donc, au contraire, double,

triple, quadruple, etc., de sa densité primitive ; c' est-à-dire,

que la densité croît dans le même rapport que le poids comprimant

; or, ce poids est la mesure de la force élastique du gaz ; donc

la densité est toujours proportionnelle à la force élastique, et

réciproquement. Maintenant supposons que le poids P restant le

même, on élève la température du gaz soumis à sa pression ; ce

gaz se dilatera, son volume croîtra et sa densité diminuera ; or,

on sait, par les expériences de M Gay-Lussac, I que tous les

gaz se dilatent uniformément, du moins dans l' intervalle de la

température zéro, à celle de (..) du thermomètre centigrade ; 2

que la dilatation due à un même accroissement de température, est

exactement la même pour tous les gaz, vapeurs ou mélanges de gaz

et de vapeurs ; 3 que le volume du gaz à la température zéro,

étant pris pour unité, cette dilatation commune est de O, Oo 37

5, par chaque degré du thermomètre ; de sorte qu' à la

température X, ce volume sera exprimé par (..) . Quoique cette loi

de dilatation ne soit vérifiée par l' expérience, qu' entre les

limites zéro et (..) , nous pouvons l' étendre, par analogie, hors

de ces limites, et supposer que X représente ici un nombre

p434

quelconque de degrés du thermomètre centigrade, positif quand la

température est au-dessus de zéro, négatif quand elle est au-

dessous. On peut ramener ce volume (..) , à son état primitif, soit

en ramenant la température à zéro, soit en changeant le poids P,

qui comprime le gaz, sans changer la température ; de cette

seconde manière, il faudra substituer au poids P, un poids (..) ,

qui sera la mesure de la force élastique du gaz ramené à sa

densité première ; d' où l' on conclut que le volume et la

densité d' un gaz quelconque restant les mêmes, sa force

élastique augmente dans le même rapport que sa température. Si,

d' une part, la force élastique d' un gaz est proportionnelle à

sa densité, quand la température ne varie pas ; que d' un autre

côté, cette force croisse dans le même rapport que la température

, lorsque la densité reste la même, il est aisé d' en conclure l'

intensité de cette force, en fonction de ces deux élémens

supposés variables ensemble : en désignant par (..) , la densité ;

par X, le nombre de degrés du thermomètre centigrade, qui marque

la température ; par P la force élastique du gaz, ou la pression

qu' il exerce sur l' unité de surface, nous aurons (..) ; A étant

le rapport de la force élastique à la densité, à la température

zéro. Ce coefficient A est constant pour un même fluide

élastique ; mais il varie d' un fluide à un autre, et il doit

être déterminé

p435

par l' expérience, pour chaque gaz en particulier.

p443

Du mouvement d' un fluide pesant. 545 l' hydrodynamique est la

partie de la mécanique rationnelle qui traite du mouvement des

fluides ; l' application des principes de cette science à l' art

de conduire les eaux et de les faire servir à mouvoir les

machines, se nomme hydraulique . En appliquant aux fluides le

principe de D' Alembert, on formera immédiatement les équations

générales de leur mouvement, d' après celles de leur équilibre ;

mais comme ces équations sont très-compliquées, il y a des

questions relatives au mouvement des fluides, dont il est plus

simple de chercher directement la solution, que d' essayer de la

déduire de ces équations générales ; c' est pour cette raison qu'

avant de les donner, je vais considérer en particulier le

mouvement des fluides pesans, et résoudre, par rapport à ces

fluides, plusieurs problèmes importans qui dépendent d' une

analyse fort simple.

p458

554 la dépense par un orifice très-petit, calculée d' après

cette théorie, ne s' accorde point avec celle qui résulte de l'

expérience : celle-ci est toujours moindre que la première, et il

paraît que le rapport de l' une à l' autre est une quantité

constante qui ne varie ni avec la largeur de l' orifice, ni avec

la hauteur du niveau. D' après les expériences les plus récentes,

ce rapport est égal à la fraction O, 62 ; de sorte que la

dépense qui a réellement lieu, par l' orifice K, la hauteur du

niveau étant constante et égale à H, doit être exprimée par (..) ,

au lieu de (..) ; (..) étant toujours la hauteur qu' un

p459

corps pesant parcourt dans le vide, pendant le tems correspondant

à cette dépense. Cette différence entre la théorie et l'

expérience est due à la contraction que le fluide éprouve à

la sortie du vase ; phénomène qu' on attribue aux directions que

prennent les molécules, quand elles s' approchent de l' orifice,

et d' après lesquelles elles concourent toutes vers cet orifice :

lorsqu' elles sont sorties du vase, elles conservent encore, en

partie, ces directions ; ce qui produit un rétrécissement dans la

largeur de la veine fluide, qui subsiste jusqu' à une certaine

distance de l' orifice. On s' est assuré par l' expérience, qu'

en enfermant la veine fluide dans une enveloppe exactement de

même forme qu' elle, partant de l' orifice, et se terminant à l'

endroit de la plus grande contraction, la dépense n' est ni

augmentée, ni diminuée par l' addition de cette paroi ; d' où l'

on a conclu que la dépense est la même que si le vase se

prolongeait jusqu' à la plus petite section de la veine fluide,

et que cette plus petite section fût effectivement l' orifice par

lequel l' eau s' écoule. La distance à l' ouverture du vase est

toujours très-petite, de manière que la hauteur H du niveau

reste à-peu-près la même, en substituant un orifice à l' autre ;

en désignant donc par (..) , la largeur de la veine fluide à l'

endroit de la plus grande contraction, on devra avoir (..) , pour

la dépense pendant un tems donné ; or, cette dépense est égale,

d' après l' expérience, à (..) ; il en faut donc conclure que (..) ,

c' est-à-dire, que la plus petite largeur de la veine fluide est

à la largeur

p460

de l' orifice, dans le rapport constant de la fraction O, 62 à

l' unité : conclusion qui est confirmée par des mesures directes.

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