( PDF ) Cadernos da Tv Escola: PCN na Escola

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PCN NA ESCOLA

C A D E R N O S D A

MATEMÁTICA 2

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

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Livros Grátis

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Jogos e atividades para trabalhar as operações

Mírian Louise Sequerra

A natureza da multiplicação

Jorgina de Fátima Pereira de Deus

e Simone Panocchia Tahan

A natureza da divisão

Jorgina de Fátima Pereira de Deus

e Simone Panocchia Tahan

Algoritmos de multiplicação e divisão

Jorgina de Fátima Pereira de Deus

e Simone Panocchia Tahan

O cálculo e a vida moderna

Antônio José Lopes Bigode

As ferramentas de cálculo

Antônio José Lopes Bigode

A calculadora e o raciocínio da criança

Antônio José Lopes Bigode

Atividades com medidas

Marcelo Lellis e Luiz Márcio Imenes

Medindo áreas

Marcelo Lellis e Luiz Márcio Imenes

Tratamento da informação

Marcelo Lellis e Luiz Márcio Imenes

SUMÁRIO

Presidente da República

Fernando Henrique Cardoso

Ministro da Educação e do Desporto

Paulo Renato Souza

Secretário de Educação a Distância

Pedro Paulo Poppovic

Secretária de Educação Fundamental

Iara Glória Areias Prado

Secretaria de Educação a Distância

Cadernos da TV Escola

Diretor de Produção e Divulgação

José Roberto Neffa Sadek

Coordenação Geral

Vera Maria Arantes

Edição

Elzira Arantes (texto) e Alex Furini (arte)

Ilustrações

Gisele Bruhns Libutti

Consultoria

Cláudia Aratangy e Cristina Pereira

Tiragem : 110 mil exemplares

Este caderno complementa as séries da programação da TV Escola

PCN na Escola -

Matemática 2

Informações:

Ministério da Educação e do Desporto

Secretaria de Educação a Distância

Esplanada dos Ministérios, Bloco L, Anexo I, sala 325 CEP 70047-900

Caixa Postal 9659 – CEP 70001-970 – Brasília/DF - Fax: (061) 321.1178

e-mail: [email protected]

Internet: http://www.mec.gov.br/seed/tvescola

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Cadernos da TV Escola: PCN na Escola/Coordenação Geral Vera Maria

Arantes. - Brasília: Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de

64p. : .il.

Conteúdo: Matemática 2

1-Matemática. 2-Desenvolvimento do cálculo. 3-Aritmética. 4-Conceito

matemático. 5-Aritmética. I- Título

CDU 373.3:51

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Programa 9

s quatro operações fundamentais – adição, sub-

tração, multiplicação e divisão – ocupam gran-

de espaço no ensino da Matemática nas séries

iniciais. O método mais comum consiste nos ‘proble-

mas de enunciado’ – mas existem maneiras bem mais

dinâmicas e significativas de desenvolver esse conhe-

cimento.

A utilização de jogos é um ótimo recurso. Pelo

jogo, as crianças exercitam o raciocínio, o senso de

observação, o cálculo e o pensamento lógico, de for-

ma divertida e gostosa, além de desenvolver seus

conhecimentos a respeito dos números. Isso sem fa-

lar na socialização e no aprendizado com os colegas.

É importante que o professor selecione os jogos

mais adequados ao objetivo que pretende alcançar,

isto é, de acordo com os conhecimentos que preten-

de trabalhar com os alunos.

Jogo: Vinte e um

Uma professora de 2

série, que já havia trabalhado

as quatro operações com sua classe a partir de dife-

rentes problemas, resolveu apresentar esse jogo. Ela

achou que seria bem bom para exercitar intensamen-

te as operações de adição e subtração.

A professora preparou um cartaz com as regras.

Leu essas regras e depois deixou o cartaz exposto,

para que as crianças pudessem consultá-lo.

JOGOS E ATIVIDADES PARA

TRABALHAR AS OPERAÇÕES

Programa 9

Jogos e atividades para trabalhar as operações

Embora a classe estivesse ruidosa, o clima era de

grande concentração: as crianças falavam muito e come-

moravam cada jogada. Algumas escolhiam rapidamen-

te a carta a colocar, calculavam mentalmente o resulta-

do da soma e diziam logo, ao colocar a carta. Outras se

sentiam inseguras e precisavam apoiar sua contagem nos

dedos. Atenta, a professora incentivava a participação de

cada aluno, de acordo com seus recursos.

Quando percebeu sinais de cansaço, e achou que

já era suficiente, avisou que o jogo ia terminar. De-

pois, comentou o jogo com a classe. Pediu para al-

guns explicarem como haviam escolhido a carta a jo-

gar, a cada vez. As respostas variaram:

Marcos: Eu sabia em que número tinha parado, en-

tão contava quanto faltava para chegar ao 21; de-

pois que contava, escolhia uma carta que tivesse o

mesmo valor, ou chegasse bem perto.

Júlia: Escolhia uma carta qualquer e somava baixi-

nho quanto ia dar se juntasse com as cartas da mesa;

se desse mais de 21, escolhia outra, até achar uma

que desse menos de 21.

Leonardo: Pegava a minha carta mais baixa, para

não passar do 21, então somava para ver se não pas-

sava mesmo; só então colocava na mesa.

Sandra: Pegava a minha carta mais alta, e calcula-

va se passava ou não de 21; se passasse, escolhia a

segunda mais alta e assim por diante, até encontrar

uma que não passasse.

Lígia: Contava assim: começava do 21 e ia voltan-

do até chegar no número que estava na mesa; esco-

lhia uma carta que fosse igual ou um pouco menor

do que o resultado dessa conta.

A professora encerrou a atividade e repetiu o jogo em

outra aula. Dessa vez, antes de começar, discutiu as me-

lhores estratégias para ganhar, entre as que haviam sido

Regras

Jogadores: 4 a 7

Distribuição: Cada jogador recebe seis cartas, que são

entregues uma a uma. As cartas que sobrarem são

postas de lado e não são utilizadas nessa rodada.

Partida: Inicia o jogo o jogador à esquerda de quem

distribuiu.

O jogo: O primeiro jogador abre uma carta no centro

da mesa e diz seu valor. Os ases e as figuras (rei, dama

e valete) valem 1 ponto cada. O próximo jogador co-

loca sua carta no centro e diz o valor da soma de sua

carta com a anterior.

Nenhum jogador pode ultrapassar 21. Se um jo-

gador completar 21 com a carta que colocou, ele pega

todas as cartas e as coloca em um outro monte, diante

de si. Mas se a carta que ele coloca der um resultado

superior a 21 ele diz ‘stop’; quem fica com todas as

cartas é o jogador anterior, que começa novamente o

jogo, colocando uma carta na mesa.

O jogo termina quando um dos jogadores fica sem

cartas na mão.

Quem vence: O vencedor é aquele que consegue jun-

tar o maior número de cartas ganhas.

Para tornar bem clara a explicação, ela começou com

uma simulação: chamou quatro crianças para jogar dian-

te dos colegas. Nessa demonstração, elas mantiveram as

cartas abertas, para que todos pudessem vê-las. A pro-

fessora foi relendo cada um dos passos e os jogadores

foram executando. Ela esclareceu as dúvidas, pediu opi-

niões e fez os alunos explicarem as jogadas.

Quando achou que todos haviam entendido bem,

organizou grupos de quatro ou cinco crianças e o jogo

começou. Foi caminhando entre os grupos, para es-

clarecer dúvidas e auxiliar quando fosse necessário.

Programa 9

Jogos e atividades para trabalhar as operações

dois ou três algarismos, compará-los (quando procu-

ravam o lugar correto de colar no álbum) ou ordená-

los (ao organizar as figurinhas, antes de colá-las).

A professora sabia muito bem que todas essas ativi-

dades (interpretar, comparar e ordenar) são fundamen-

tais para a compreensão do sistema de numeração. Con-

cluiu então que o álbum de figurinhas seria uma ótima

atividade para sua classe, que estava tendo alguma difi-

culdade com os números altos, de dois ou três dígitos.

Por outro lado, ela estava também desenvolven-

do com a classe um estudo dos mamíferos brasilei-

ros, que despertava grande interesse nas crianças.

Juntando as duas coisas, a professora resolveu pro-

por a realização de um álbum de figurinhas com os

animais estudados. A idéia foi aceita com entusiasmo.

Durante algumas aulas, discutiram como fariam o

álbum. Decidiram que cada página teria seis

figurinhas e seria dedicada a um animal, com um

pequeno texto referente a seu modo de vida. As

figurinhas, por sua vez, apresentariam informações

relativas à alimentação, ao ambiente em que o bicho

vive, a seus predadores etc.

A classe tinha 25 alunos. Eles dividiriam entre si as

tarefas de escrever o texto e desenhar as figurinhas.

Quando terminassem de preparar o álbum, ele seria

xerocado para que cada um tivesse sua própria coleção.

Propostas de cálculo

As crianças conheciam o dobro e a metade de alguns

números e estavam habituadas a buscar formas pes-

soais de resolver alguns problemas de multiplicação,

mas ainda não haviam estudado a conta armada. A

professora lançou então a seguinte pergunta:

Quantas figurinhas teremos em um álbum, se cada

um de vocês desenhar seis figurinhas?

Pedro: Temos de colocar 25 vezes o número 6 e de-

comentadas anteriormente. Além disso, usou o jogo como

base para alguns problemas de enunciado, tais como:

• Num jogo de 21, Carlos tinha um Ás, um 5 e um 8. Se

no centro da mesa já jogaram um 10 e um 5, qual a

carta que ele deve pôr? Por que você acha isso?

• Nesse mesmo jogo, Maria pôs um 8 e completou

21, ganhando todas as cartas daquela rodada. Em

que número havia chegado a soma das cartas an-

tes de ela jogar?

• Numa das rodadas, dois jogadores lançaram suas

cartas. José era o terceiro. Jogou um 9 e completou

21. Que cartas podem ter sido jogadas pelos dois

colegas que jogaram primeiro? Discuta com seus

colegas quantas possibilidades existem para José

conseguir esse resultado.

Avaliação da atividade

Ao avaliar a atividade, a professora constatou que seus

alunos haviam podido operar de diversas formas com

os números, em uma situação de grande envolvimento.

Além disso, pensaram em critérios diferentes para esco-

lher a carta e, ao explicar suas opções, no final do jogo,

cada um aprendeu um pouco com as propostas dos co-

legas, ampliando suas possibilidades.

Enquanto estavam jogando, as crianças realizaram

muitas contas diferentes. Ela concluiu que um jogo

adequado às possibilidades dos alunos e àquilo que

se pretende ensinar pode valer por mil problemas!

O álbum de figurinhas

Observando seus alunos no recreio, a professora de

uma classe de 3

série viu o enorme envolvimento de

todos com os álbuns de figurinhas.

Refletindo, percebeu que, nessa brincadeira, as

crianças eram obrigadas a interpretar números de

Programa 9

Jogos e atividades para trabalhar as operações

2+2+2+2+2=

2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=

PACOTES

—>

100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10

50=10+10+10+10+10

PACOTES

150 = 100 + 50

20 + 10

As crianças formaram duplas, pois seria mais fá-

cil resolver a situação apresentada discutindo com o

colega e confrontando os resultados. Apareceram di-

versas formas de resolução, como por exemplo esta:

150 = 100 + 50

EM CADA DEZENA HÁ 2 PACOTES DE 5 FIGURINHAS

PRECISAREMOS 30 SAQUINHOS PARA CADA ÁLBUM.

Então, compraram os saquinhos e se encarrega-

ram de colocar cinco figurinhas em cada um. Come-

çaram assim a coleção.

Todos os dias, a professora distribuía no final da

aula três pacotes para cada criança. Elas colavam as

figurinhas novas e guardavam bem as repetidas para

o momento da troca, que acontecia uma vez por se-

mana. Na troca, as crianças eram organizadas em

duplas e tinham de dizer em voz alta os números das

figurinhas repetidas. O colega consultava seu contro-

le e realizava a troca, se tivesse interesse.

Nessa atividade, as crianças estavam a todo mo-

mento interpretando, comparando e localizando nú-

meros, o que contribuía para ampliar seu conheci-

mento sobre eles.

A professora reparou que várias crianças estavam

curiosas por saber quantas figurinhas faltavam para com-

pletar o álbum. Aproveitou esse interesse para fazer uma

pois contar de seis em seis, para ver quanto dá.

Ana: Eu sei um jeito mais fácil: podemos fazer 6

vezes 10, que sabemos que dá 60. Fazemos isso 2 ve-

zes, que dá 120. Até agora, já contamos 20 vezes o

seis. Faltam só cinco vezes. Mas se eu sei que 6 vezes

10 é 60, 6 vezes 5 é a metade, então dá 30. 120 mais

30 dá 150, é isso que dá, 150 figurinhas!

O álbum teria uma folha de controle, com os núme-

ros das figurinhas representados, para seu dono assi-

nalar cada figurinha nova que ganhasse. Esse controle

seria uma boa oportunidade para os alunos compara-

rem números e localizá-los na seqüência numérica.

Por fim... e os saquinhos? Afinal, em toda boa

coleção, as figurinhas são compradas em saqui-

nhos... Poderiam comprar saquinhos do vendedor

de cachorro quente que ficava na porta da escola,

para empacotar as figurinhas. A professora aprovei-

tou essa situação para colocar um novo problema:

Se em cada um dos álbuns temos 150 figurinhas e

colocaremos cinco figurinhas em cada pacote,

quantos saquinhos serão necessários para empaco-

tar todas as figurinhas de um álbum?

Reflexões da professora

• Todos os alunos estavam muito envolvidos na ati-

vidade e interessados em participar.

• As crianças ainda não haviam aprendido o algoritmo

da divisão, nem tinham trabalhado com quantida-

des tão altas nesse tipo de problema.

• Os conhecimentos dos alunos eram suficientes para per-

mitir que chegassem ao resultado. Já haviam realizado

problemas de enunciado envolvendo situações de divi-

são; além disso, estavam habituados a recorrer à decom-

posição decimal para resolver situações-problema.

Programa 10

A NATUREZA DA MULTIPLICAÇÃO

erá que sabemos o que é multiplicar? O raciocí-

nio multiplicativo envolve muitos aspectos.

Apresentamos a seguir cinco problemas. Será

que a multiplicação é o único modo de resolvê-los?

Veja a maneira pela qual as crianças resolveram cada

um, sem conhecer o algoritmo da multiplicação.

Problema 1

Paulo tem 4 canetas e seu amigo João tem 3 vezes o

que Paulo tem. Quantas canetas João tem?

Mariana e Pedro resolveram assim:

A situação deste problema está associada à idéia de com-

paração, o mesmo tipo de comparação que ocorre em pro-

blemas que envolvem o dobro, ou o triplo. O raciocínio da

resolução é essencialmente aditivo e, neste caso, a multi-

plicação é a estratégia mais econômica.

nova proposta. Cada aluno faria uma tabela, como esta

abaixo, para registrar diariamente as figurinhas novas e

as que faltavam para completar a coleção.

A tabela era preenchida todos os dias e os alunos

se viam diante de novas questões, como por exem-

plo: Recebi 15 figurinhas hoje, mas 7 eram repetidas.

Quantas figurinhas novas colei em meu álbum? Ou

então: Se ontem precisava de 124 figurinhas para com-

pletar meu álbum e hoje colei 12, quantas ainda estão

faltando?

A atividade durou cerca de um mês e os alunos

puderam operar com os números de diferentes ma-

neiras. Para isso, precisaram utilizar conhecimentos

que já haviam construído, discutiram com os colegas

da classe e compararam as soluções.

Essa classe absorveu vários conteúdos matemáticos

e aprendeu a conceber a Matemática de uma nova

forma. Em vez de receber técnicas de cálculo pron-

tas, os alunos puderam inventar suas próprias

estratégias; em vez de se dedicar a resolver situações

distantes, utilizaram seus conhecimentos em contex-

tos nos quais se sentiam diretamente envolvidos.

Mariana

Pedro

PAULO 4

JOÃO 12

TRÊS VEZES 4 CANE-

TAS SÃO 12 CANETAS

Figurinhas que

eu tinha

Data

Figurinhas

novas

Total Quanto

falta

Programa 10

A natureza da multiplicação

Explicação de Luís:

Eu pensei: 27 é 10 + 10 + 7 quilos. Aí, eu multipliquei 5

por 10, que eu já sei, é só pôr um zero; 10 é metade de 20.

Então, fiz duas vezes. Depois somei os 7 quilos que falta-

vam para cada criança. Foi fácil saber que o barco não

pode carregar as 5 crianças, porque 135 é mais que 130.

As estratégias de resolução foram diferentes: o racio-

cínio de Leonardo foi essencialmente aditivo, enquanto

Luís utilizou o raciocínio multiplicativo. O fato de conhe-

cer a multiplicação por dez ajudou Luís na resolução e

promoveu um avanço na forma de registro.

Problema 3

Mário coleciona figurinhas. Seu álbum tem 30 pá-

ginas e em cada página cabem 9 figurinhas. Quantas

figurinhas terá o álbum depois de preenchido?

Resolução de Gabriel:

Eu pensei na atividade que eu tinha feito com tabela,

outro dia, e resolvi criar uma tabela para esse problema.

Comecei colocando 1 página e fui aumentando; quan-

do cheguei no 5, percebi que para 10 era só dobrar o

resultado e assim fui fazendo até chegar ao 30.

Neste problema está presente a noção de

proporcionalidade: 1 está para 9, enquanto 30 está para...

Quando esse tipo de problema é apresentado aos alunos

desde as séries iniciais, eles aprendem a realizar associa-

ções importantes entre a multiplicação e a divisão.

Problema 2

Cinco crianças vão dar uma volta de barco. O barco

não pode carregar mais de 130 quilos. As crianças

pesam, em média, 27 quilos cada uma. Será que o

barco agüenta carregar as 5 crianças?

Leonardo e Luís resolveram assim:

Leonardo

Explicação de Leonardo:

Primeiro, eu somei 27 + 27 e vi que deu 54. Então,

juntei os outros, de dois em dois, e sobrou um 27.

Fiz a mesma coisa com 54 + 54 e deu 108. Então, eu

somei o 27 que sobrou e vi que o barco não pode

levar todas as crianças.

O raciocínio de Leonardo foi brilhante. Embora te-

nha se atrapalhado no último cálculo (o total correto

é 135), isso não tira seu mérito, pois ele acertou o pro-

cesso de elaboração da resolução. Nós, educadores,

devemos tirar o foco do resultado e valorizar o pro-

cesso.

Luís

5 X 10 = 50

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35

100 + 35 = 135

27 + 27 + 27 + 27 + 27

—>

54 + 54

134

108 + 27

—>

Programa 10

A natureza da multiplicação

Desenhei os sorvetes. Depois, fui colocando as 2 co-

berturas nos 6 sorvetes, uma de cada vez, e deu 12.

Acho que se eu fizer 2 vezes 6 também dá certo.

Esse problema envolve a idéia de combinação –

são tantas coberturas para cada sorvete. À medida que

vão reconhecendo os problemas desse tipo como

multiplicativos, os alunos passam a utilizar procedi-

mentos de cálculo mais econômicos.

Problema 5

Um azulejista reservou 147 azulejos para colocar em

uma das paredes do banheiro de sua casa. Ele já sabe

que são 8 fileiras e 15 colunas de azulejos. Serão su-

ficientes as peças que ele reservou?

Marcela explica seu procedimento.

Eu desenhei a parede, com as 8 fileiras e as 15 colu-

nas de azulejo. Então, separei 10 colunas, porque eu

já sabia que 10 vezes 8 é 80, é só aumentar um zero

no número que a gente multiplica por 10. Aí, eu vi

que faltavam 5 colunas. Pensei: “5 é metade de 10;

se 8 vezes 10 é igual a 80, então 8 vezes 5 é igual a

40”. Somei 80 com 40, deu 120. Já sei que vão sobrar

azulejos. É bom, porque alguns podem quebrar.

Procure utilizar sempre esse tipo de problema, ao tra-

balhar com a multiplicação. Como se vê, não é necessá-

rio aprender regra de três para operar com proporções.

Problema 4

Em uma sorveteria, há 6 sabores de sorvete, que

podem ser servidos com 2 tipos de cobertura: cho-

colate e caramelo. De quantos modos diferentes você

pode pedir um sorvete, se escolher só um sabor?

Ian mostrou como resolveu o problema.

CHOCOLATE

CARAMELO

1 2

1211

Programa 11

A NATUREZA DA DIVISÃO

m dos desafios essenciais – e, ao mesmo tem-

po, uma das dificuldades principais – do ensi-

no da Matemática consiste em fazer com que o

conteúdo seja carregado de significado, fazer com que

tenha sentido para o aluno. A construção desse signi-

ficado deve ser pensada em dois níveis: no nível ex-

terno (campo de utilização desse conhecimento) e no

nível interno (como funciona tal recurso, e por que

funciona).

Quando se pensa no ensino da divisão, muitas

vezes se considera como ponto central o algoritmo.

Mas isso faz com que se deixe de lado alguns aspec-

tos essenciais, como:

• Que problemas escolher para ensinar divisão?

• As crianças estão em condições de resolver um

problema de divisão antes de aprender o

algoritmo convencional? Com que recursos?

• Os diferentes procedimentos apresentados pe-

las crianças implicam um mesmo nível de

conceitualização?

• Em que momento apresentar a conta armada?

• O cálculo mental ajuda os alunos a resolver pro-

blemas de divisão?

• Como os alunos concluem que a conta de divi-

dir resolve o problema de divisão?

Marcela representou a situação com um desenho e,

com isso, percebeu que a multiplicação era o melhor

recurso. Nesse caso há a idéia de configuração retangu-

lar. Os problemas dessa natureza não devem ser aban-

donados em função de sua complexidade. Os alunos

podem resolvê-los, apoiados em suas experiências an-

teriores com multiplicação, como demonstrou Marcela.

Conclusão

As estratégias pessoais dos alunos mostraram que os

problemas apresentados podem ser resolvidos também

com outras operações, e não apenas com a multiplica-

ção. Mas a multiplicação é o processo mais econômico.

Para levar os alunos a fazer essa constatação, o profes-

sor precisa apresentar grande diversidade de situações

que envolvem a multiplicação, oferecendo-lhes:

a) Grande variedade de atividades destinadas a cons-

truir o repertório multiplicativo. É importante pro-

curar trabalhar com as propriedades, estabelecen-

do relações e organizando resultados.

b) Programação freqüente desse tipo de ativida-

de. Não será da primeira vez que enfrentam si-

tuações desafiadoras como as descritas no texto

que os alunos irão encontrar as soluções.

Saber multiplicar é:

• Reconhecer se a multiplicação é, ou não, o recurso

mais adequado para a resolução de um problema.

• Dispor de procedimentos para calcular produtos.

• Estabelecer relações entre diferentes sentidos do con-

ceito – comparação, proporcionalidade, combinação

e produto de medidas ou configuração retangular.

• Eleger as estratégias mais econômicas, de acordo

com a situação abordada.

Programa 11

A natureza da divisão

Todos estes problemas envolvem a divisão de 47

por 6, de uma maneira ou de outra, embora em situa-

ções variadas.

Algoritmos e comparações

É fácil organizar o ensino de algoritmos do ponto de

vista do saber institucionalizado, bem como verificar sua

aquisição. Para ver se os alunos sabem dividir, basta

apresentar-lhes algumas contas e depois verificar os re-

sultados. As técnicas são bem conhecidas, e os pais fi-

cam sabendo se os filhos aprenderam a dividir.

Porém, tanto os professores quanto os pais deseja-

riam que a escola conseguisse transmitir aos alunos não

só o saber institucional, mas também a compreensão das

situações de divisão e o significado dos conceitos. Mas

com freqüência a aprendizagem dos algoritmos acaba

eliminando a busca da compreensão.

Isolados de seu contexto, os algoritmos nada mais

são que respostas adquiridas para perguntas futuras;

servirão para resolver problemas, mas ninguém sabe

de que problema se trata.

Em geral, as crianças não dispõem de recursos para

reconhecer se sua solução está errada. Nem chegam a

analisar o número obtido para avaliar se, do ponto de

vista do significado, pode ser o resultado do problema.

O quociente obtido pela aplicação do algoritmo

nem sempre coincide com o número procurado. De

acordo com o problema a ser resolvido, é preciso

muitas vezes fazer uma escolha. Quando se fala em

dividir um número por outro, nem sempre se trata de

algo preciso. Veja como, nestes dois problemas, a

mesma conta pede resultados diferentes.

• Quero distribuir igualmente 25 lápis entre 3 crian-

ças. Quantos lápis deverá receber cada uma?

• Como a divisão se relaciona com a multiplica-

ção, a adição e a subtração?

Para refletir a respeito desses aspectos, vejamos

o que têm em comum os seguintes problemas:

• Se dispusermos de 47 azulejos para a parede do

banheiro e colocarmos 6 azulejos em cada fila,

quantas filas poderão ser feitas?

• Se contarmos para trás de 6 em 6, a partir de 47,

qual será o último número enunciado?

• Em quantos pedaços de 6 centímetros se pode cortar

uma vara de madeira de 47 centímetros?

• Quero fazer 6 varas com o mesmo comprimento,

cortando uma vara de 47 centímetros. De que

comprimento ficará cada uma?

• Em cada caixa para fita cassete cabem 6 fitas;

quantas caixas eu preciso para 47 fitas?

• Vou repartir eqüitativamente 47 bolinhas de gude

entre 6 crianças, dando a cada uma delas o máximo

possível. Com quantas bolinhas ficará cada uma?

• Se repartirmos eqüitativamente 47 bolinhas de

gude entre 6 crianças, dando a cada uma delas o

máximo possível, quantas bolinhas ficarão de fora

da distribuição?

• Se repartirmos eqüitativamente 47 reais entre 6

pessoas, quanto receberá cada uma?

• Preciso repartir 47 litros de vinho em garrafões de 6

litros. Quantos garrafões serão necessários?

• Seis pessoas receberam de herança um terreno de 47

hectares; decidem repartir a área em 6 lotes com a

mesma superfície. Que tamanho terá cada lote?

• Ao multiplicar certo número por 6 se obtém 47.

Qual é esse número?

• Eu pressiono na calculadora, consecutivamente, as

teclas: 4, 7, :, 6 e =. O que aparece no visor?

Programa 11

A natureza da divisão

Para concluir

A representação da divisão não pode se reduzir ao

conhecimento de uma estratégia de solução acompa-

nhada de um suposto ‘sentido’ ou significado que

permita aplicar a operação. Na verdade implica a ca-

pacidade de controlar várias estratégias, passando de

uma a outra de acordo com as circunstâncias.

A resolução dos problemas e, em particular, a utiliza-

ção de um procedimento em lugar de outro, dependem do

significado que o aluno atribui à situação proposta.

O ensino deve provocar a evolução do sentido da

divisão a partir de três aspectos:

• Resolução de problemas que impliquem divisão,

admitindo que os problemas favorecem a cons-

trução de novas aprendizagens. Os problemas

para os quais um conhecimento é útil dão sen-

tido a esse conhecimento.

• Manuseio de textos e representações dessa ope-

ração, com suas possíveis variações. Isso impli-

ca assumir que os conhecimentos e suas repre-

sentações não são estáticos, estão em constante

aperfeiçoamento e reelaboração.

• Uso e domínio do algoritmo, como conseqüên-

cia do trabalho na resolução de problemas, as-

sumindo a relação entre o significado da divi-

são e seu algoritmo.

• Se 3 pacotes de bolacha custaram 25 reais, e todos

tinham o mesmo preço, quanto custou cada um?

Cada um destes problemas se resolve com a mesma

operação: 25 dividido por 3. Porém, a cada um corresponde

uma resposta diferente. Quando se fala em dividir um nú-

mero por outro, nem sempre se trata de algo preciso.

Solução do problema 1

São 8 lápis para cada criança e sobra 1 lápis, pois

não se pode distribuir 1 lápis.

Neste problema, se espera que o resultado seja

um número natural.

Nos livros didáticos há uma grande variedade de

problemas que remetem à divisão inteira. São dados

dois números naturais (dividendo e divisor), para que

sejam encontrados outros dois números naturais

(quociente e resto), de maneira que:

dividendo = divisor x quociente + resto (com o resto

igual ou maior que zero e menor que o divisor).

Solução do problema 2

Cada pacote custou 8 reais e 33 centavos.

Já este problema poderia ser um bom candidato

a modelo para divisão exata. Porém, nosso sistema

monetário aceita apenas duas casas decimais e uma

precisão maior do resultado não seria possível.

25 : 3 = 8 X 3 + 1

8,33

Programa 12

Algoritmos de multiplicação e divisão

na o próprio pensamento e estabelece relações entre

os conhecimentos que já possui. Veja, por exemplo,

como resolver um problema assim:

Quantos reais vou precisar para comprar 30 choco-

lates, se cada chocolate custa 2 reais?

Uma forma de calcular mentalmente pode ser:

10 chocolates = 20 reais

Agora, basta somar: 20 + 20 + 20 = 60 reais

O professor precisa levar as crianças a perceber

que podem usar os conhecimentos que já têm para

resolver a questão. Por exemplo:

Preciso saber o resultado de 5 x 6. E já sei que o

resultado de 5 x 5 é 25. Então, não fica difícil pensar

em 5 x 6 como 5 x 5, + 5 = 30. Ou então:

Quero saber o resultado de 27 x 5. Então, posso

decompor o número 27 e calcular assim:

É desse jeito que resolvemos as questões no dia-

a-dia, com as chamadas ‘contas de cabeça’. Por que não

valorizar esses cálculos dentro da escola?

Pense em outra situação corriqueira: você tem

uma receita calculada para um certo número de pes-

soas e precisa adaptá-la para o jantar que vai ofere-

cer, com mais convidados. Como adaptar? Provavel-

mente, você não irá fazer as proporções no papel,

nem utilizar uma calculadora. Veja a seguir a situa-

ção que a professora propôs aos alunos da 3

série.

100

20 x 5 =

5 x 5 =

2 x 5 =

135

ALGORITMOS DE

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

s contas armadas são em geral a maneira mais

comum de ensinar multiplicação. Mas, será que

o aluno compreende o que está fazendo, ao

resolvê-las? Pense nestas contas:

Você acha que ele percebe estar multiplicando deze-

na por centena, unidade por dezena e assim por diante?

E se ele não conhecesse a conta armada, como re-

solveria a situação? Pense um pouco: como você faz isso

no dia-a-dia, sem lápis e sem papel?

Em geral, a gente faz, de cabeça, um cálculo apro-

ximado: arredonda os números, decompõe as parce-

las, arranja um jeito mais fácil de calcular. Enfim, nós

acionamos os recursos de que dispomos, ou então

usamos uma calculadora.

Se a multiplicação aparece para a criança apenas

como uma conta armada, ela não precisa desenvol-

ver suas próprias formas de pensar e de resolver os

problemas, nem mesmo precisa compreender como

funciona uma conta armada.

Ao pensar de várias maneiras em uma situação

que envolve multiplicação, a criança sente que domi-

322

xx x

27 x 5

Programa 12

Algoritmos de multiplicação e divisão

8 + 8 = 16 (É POUCO)

16 + 8 = 24 (AINDA É POUCO)

24 + 8 = 32 (PRECISA AUMENTAR 4 VEZES)

Cebolas para 32 pessoas

8 + 8 = 16

8 + 8 = 16 +

32 CEBOLAS

Creme de leite para 32 pessoas

DUAS VEZES UM QUARTO DE LATA DÁ MEIA

LATA. ENTÃO, PRECISO DUAS VEZES MEIA

LATA, ISTO É, UMA LATA.

Manteiga para 32 pessoas

2 COLHERES X 4 = 8 COLHERES

A partir de situações cotidianas como estas fica

bem claro que ‘armar a conta’ não é a única forma de

aprender a dividir e multiplicar.

Nós, professores, precisamos valorizar os recur-

sos pessoais na resolução de problemas, para que

os alunos avancem na compreensão dessas opera-

ções, bem como na compreensão dos algoritmos

convencionais.

A multiplicação por 10, 100 e 1.000 em geral é um re-

curso de apoio bem útil nessas situações, já que grande

parte dos cálculos mentais se baseia na decomposição

multiplicativa.

Sopa de cebola

para 8 pessoas

8 cebolas

1 litro de água (= 5 copos tipo americano)

4 cubos de caldo de galinha

2 colheres de sobremesa de manteiga

¼ de lata de creme de leite

Quais as modificações necessárias para adaptar esta re-

ceita para 4 pessoas? E para 32 pessoas?

Para 4 pessoas

Neste caso, a grande maioria das respostas foi obtida

partindo as quantidades pela metade, ou seja, divi-

dindo:

Para 32 pessoas

Aqui, as crianças usaram alguns recursos interessan-

tes. Em primeiro lugar, precisaram descobrir quantas

vezes iriam aumentar a receita.

CEBOLAS PARA 8 PESSOAS CEBOLAS PARA 4 PESSOAS

CREME DE LEITE

PARA 8 PESSOAS

CREME DE LEITE

PARA 4 PESSOAS

Programa 12

Algoritmos de multiplicação e divisão

18 X 100 = 1.800

18 X 120 = 2.160 (É MUITO)

18 X 110 = 1.980 (NÓS PASSAMOS)

18 X 108 = 1.944

18 X 104 = 1.872

18 X 106 = 1.908

18 X 105 = 1.890

(SÃO 105 FILAS E SOBRAM 7 AZULEJOS)

Outro aluno resolveu assim:

Tenho 1.897 azulejos para distribuir em 18 colunas.

Quantas fileiras terei?

134

300

600

2.000

3.082

3 x 4

3 x 30

3 x 100

20 x 4

20 x 30

20 x 100

Veja este exemplo:

Mesmo que às vezes o aluno erre o cálculo, a opção pelo

uso de estratégias pessoais permite que ele ‘faça’ mate-

mática; ou seja, nessas tentativas e aproximações ele

adquire uma visão mais plena da Matemática, transcen-

dendo sua dimensão mecânica.

Para dar um significado aos procedimentos

adotados pelas crianças para resolver uma multipli-

cação por dois algarismos você pode procurar reor-

ganizar os passos, vinculando o raciocínio aos pas-

sos do algoritmo convencional. Veja este exemplo,

para fazer a multiplicação 50 x 13:

50 x 13 = 50 x 10 + 50 x 3 = 500 + 150 = 650

Aqui se utiliza o número todo (3 x 50, em vez de

3 x 0 e 3 x 5, como se faz no algoritmo convencio-

nal). Isso favorece o controle do resultado obtido.

É comum os alunos errarem a conta armada por

esquecer (ou por não compreender) o que se ele-

va, ou por não fazer o posicionamento correto. Eles

precisam entender o que estão fazendo, para avaliar

o resultado obtido.

Aqui, as crianças introduziram algoritmos interme-

diários para a operação: 134 x 23. Observe.

150

500

650

50 x 3

50 x 10

35 x 5 =

30 x 5 =

5 x 5 =

150

175

134

2.000 + 900 + 170 + 12

2.000 + 600 + 80

100 + 30 + 4

20 + 3

300 + 90 + 12

3.082

134

Programa 12

Algoritmos de multiplicação e divisão

Conclusão

O trabalho com os algoritmos deve ser simultâneo e

complementar com o processo de entendimento da

natureza das operações. Assim, os alunos vão identi-

ficando as operações com suas representações e com

os problemas que elas permitem resolver.

As estratégias pessoais, bem como as que são cria-

das em grupo e socializadas, permitem que a criança

se aproxime do algoritmo convencional de maneira

significativa. Mesmo que não cheguem a ele, o pro-

fessor pode apresentar o algoritmo e levar seus alu-

nos a explicar seu funcionamento. Assim, o algoritmo

convencional passa a ser mais uma ferramenta para

enfrentar situações problemáticas.

Em cada situação, o aluno irá decidir qual o pro-

cedimento mais adequado: se achar melhor, usa o

algoritmo convencional; mas, se tiver alguma dúvida,

pode recorrer a outras formas de resolução.

Outro aluno resolveu assim:

Veja estes casos de divisão:

1.243 :- 8 =

1.243

100

-800

443

-400

-40

100 + 50 + 5 = 155.

SOBRAM 3

8.273 :- 24 =

8.273

100

-2.400

5.873

-2.400

3.473

-2.400

1.073

- 480

593

- 480

113

- 96

1.897

1.800

SÃO 105 FILAS E SOBRAM 7 AZULEJOS

100 + 4 + 1 = 105

1.800 = 18 x

100

72 = 18 x 4

18 = 18 x 1

100

344

Programa 13

O cálculo e a vida moderna

Chegando em casa, JotaSilva abriu sua correspondência

e resolveu conferir o extrato bancário. Foi ticando, no

talão, os cheques já descontados e verificou quais ainda

não tinham entrado. Agora, sabia aproximadamente quan-

to dispunha na conta.

No dia seguinte, JotaSilva foi à feira, para comprar alguns

legumes e frutas frescas. Em vez de levar o carrinho de feira,

pegou a sacola; ele sabia que ia comprar poucas coisas, pois

levou somente 10 reais, calculando Deve dar para o gasto.

Aqui, seu JotaSilva realizou uma operação pouco

prestigiada nos currículos de dez anos atrás. Ele fez

uma estimativa.

Antes de voltar para casa, o senhor JotaSilva passou pelo

banco para pagar uma conta que havia vencido dois dias

antes de ele ter recebido seu salário. Pensou: Puxa!! Vou

ter de pagar uma multa de 10 por cento! A conta, que era

de R$ 27,50, passou a ser R$ 30,25. Para fazer a conta, ele

usou a calculadora que sempre carrega no bolso.

Depois da feira, do banco e do almoço, uma espiada no

jornal, para relaxar. Ele logo vê a manchete: Malé foi comprado

pelo Esporte Clube Perna de Pau por R$ 40.000,00. E JotaSilva

pensa: Humm!! Daria para comprar a casa do vizinho!

Seu JotaSilva sabe a dimensão de algo em torno

de 40 mil reais, relacionando com cifras familiares,

como o preço da casa do vizinho.

Mas logo vem a outra notícia Siderúrgica foi vendida por

3,8 bilhões de dólares. Será que foi caro, ou barato demais?

Um número da ordem de bilhões de dólares não

é familiar para seu JotaSilva. Ele não tem referências

confiáveis para avaliar um número tão grande.

Para finalizar a leitura, ele passou os olhos pela página

de esportes e calculou as chances de seu time ir à final.

O CÁLCULO E A VIDA MODERNA

ouve um tempo em que um indivíduo era con-

siderado bom de Matemática se soubesse mui-

to bem fazer contas. Tudo era resolvido na pon-

ta do lápis. Mas, e hoje? Que desafios esperam aque-

les que serão os cidadãos do século 21?

Você já pensou nas habilidades matemáticas que

serão necessárias para enfrentar os futuros proble-

mas? Pensemos em um dos componentes do conhe-

cimento matemático: o cálculo. Para isso, vamos ima-

ginar o dia-a-dia de um cidadão comum, um típico ci-

dadão de classe média, o senhor JotaSilva.

Seu JotaSilva foi com sua esposa fazer uma compra no

supermercado. Foram escolhendo os produtos nas pra-

teleiras, de acordo com os preços, a marca e a qualida-

de. Com tudo no carrinho, passaram pelo caixa.

Nem seu JotaSilva nem sua esposa memorizaram os

preços. Tinham apenas uma idéia da ordem de grande-

za: sabiam, por exemplo, que o quilo de feijão custava

menos de 3 reais. Seu JotaSilva reparou que o funcioná-

rio do caixa não precisava fazer os cálculos, nem digitar

os preços, graças ao código de barras.

Seu JotaSilva passou os olhos pelo ticket, com a indica-

ção dos produtos que comprou, a quantidade e os respecti-

vos preços. Não passou por sua cabeça conferir a conta.

Afinal, ele deve ter pensado: as máquinas não erram.

Até aqui, parece que as pessoas dessa história não

realizaram qualquer operação de cálculo.

Programa 13

O cálculo e a vida moderna

A calculadora e as estimativas

Um homem precisa calcular: 34 + 27 + 16; e, logo depois: 3

x 13. Se ele pegar um lápis e um papel, com certeza não

está bem preparado. Seria também absurdo usar uma cal-

culadora em uma situação tão simples.

Agora, e se alguém lhe pedir a raiz quadrada de

234,25? É muito difícil imaginar outro recurso que não

seja a calculadora. O algoritmo da raiz quadrada é

peça de baú, não deve mais ser ensinado nas escolas,

como era antigamente.

Imagine agora que seja necessário, na escola ou na

vida profissional, ter uma idéia aproximada (não exata)

da medida do lado de uma sala quadrada cuja área é

234,25 m

. Podemos imaginar: “Deve ser uma medida

entre 10 e 20 metros”; ou então: “Deve ser algo entre 15

e 16 metros”. Uma ou outra resposta pode ser aceita,

dependendo do grau de aproximação desejado.

Mas pense em uma pessoa que recorre à calcu-

ladora para efetuar uma operação de troco do tipo

R$ 20,00 - R$13,50. Novamente, este é um caso fácil

de ser resolvido apenas com cálculo mental.

Um dos papéis da escola é ensinar a decidir, com in-

teligência, se é mais adequado calcular com lápis e

papel, mentalmente, com a calculadora, ou ainda es-

timar o resultado.

Caminhamos para uma época em que saber cal-

cular, conhecer todos os algoritmos e propriedades é

muito importante. Mas não basta para preparar nos-

sos alunos para a diversidade de situações que eles

vão encontrar em suas vidas pessoais ou profissio-

nais. Se é fato que as máquinas se encarregarão da

maioria dos cálculos, resta ao indivíduo controlar esse

cálculo por meio de todo seu acervo de conceitos,

técnicas e habilidades, que estarão também a serviço

de situações novas, diversificadas e significativas.

Fez tudo de cabeça: Ufa! Parece que vai dar. São quase

80 por cento de chances a favor.

Na sala de aula

Vamos fazer uma pausa e analisar toda essa história

do ponto de vista do ensino. Seu JotaSilva é um ho-

mem comum, que faz relações matemáticas a cada

momento, de acordo com suas necessidades. Sem

dúvida ele realiza muitos cálculos, mas quase nunca

precisa usar lápis e papel.

Essa é a realidade: fora de atividades profissionais,

são raras as situações que requerem resultados exatos.

Quando a precisão é indispensável, como por exemplo

no pagamento da conta com 10 por cento de multa, tan-

to os indivíduos quanto as empresas empregam instru-

mentos adequados, como calculadoras e computadores.

Em suas aulas, o professor precisa propiciar situa-

ções que levem os alunos a usar equilibradamente as

várias formas de cálculo.

A idéia central dessa proposição pode ser imagina-

da como uma mesa apoiada em seus quatro pés.

O tampo da mesa corresponde às competências de

cálculo. Os quatro pés correspondem a: cálculo escrito

(compreensão dos algoritmos e propriedades); estimati-

va; cálculo mental; e uso de instrumentos como a calcu-

ladora. O ensino de Matemática deve saber equilibrar es-

ses quatro pés, para evitar que nossa mesa fique bamba.

Programa 14

As ferramentas de cálculo

Os pontos de referência adotados por Maria foram

os números 900 e 1.600, que são quadrados perfeitos.

A outra questão apresentada foi:

Achar ‘de cabeça’ quanto é um terço de 280.

As respostas:

Luís: 1/3 de 280 é aproximadamente 90.

Paulo: Meu resultado é melhor, dá uns 93.

Profa.: Como vocês pensaram?

Luís: Eu parti do número 270, pois 3 x 90 = 270

Paulo: 1/3 de 280 é quase 270 + 9 dividido por 3,

então dá 90 + 3. O resultado aproximado é 93.

O resultado de 12,34 x 4,87 é aproximadamente 60.

Qual foi o raciocínio?

13 x 5 = 65 12 x 4 = 48

12 x 4 < 12,34 4,87 < 13 x 5

12,34 x 4,87 é um número entre 48 e 65.

Tendo como referência que 4,87 é quase 5, é pos-

sível chutar, sem receio, que o resultado é aproxima-

damente 12 x 5 = 60.

A experiência é fundamental para estimativas mais

seguras. A realização sistemática de estimativas au-

menta a capacidade de fazê-las, bem como de utili-

zar outras modalidades de cálculo.

Convém que o professor planeje regularmente ati-

vidades com o objetivo específico de exercitar o cál-

culo de estimativas, para que os alunos aperfeiçoem

seus métodos, tomando consciência de que a estima-

tiva é um recurso de cálculo.

Uma boa estratégia consiste em apresentar no dia-

a-dia situações variadas, que não exijam um cálculo

AS FERRAMENTAS DE CÁLCULO

o mundo todo, os currículos de Matemática deste

final de século conferem um lugar especial às ha-

bilidades de fazer estimativa e cálculo mental, que

se combinam com as atividades de cálculo escrito e com

o uso de calculadoras.

A estimativa

Em nosso dia-a-dia fazemos muitas estimativas, para

avaliar um resultado ou tomar uma decisão: ao fazer as

compras no mercado, ao colocar combustível no carro

ou ao organizar uma festa de aniversário. Os cientistas

fazem estimativas para determinar a idade da Terra, ou

a quantidade de estrelas do Sistema Solar. Os geógrafos

e planejadores econômicos fazem estimativas da popu-

lação, ou da safra agrícola.

Uma das principais características da estimativa é

a possibilidade de fazer um cálculo aproximado, rá-

pido, com métodos simples. É ideal em situações nas

quais não é indispensável conhecer o valor exato.

Para estimar algum valor, em geral partimos de

uma informação conhecida, ou de um ponto de refe-

rência. Veja alguns exemplos.

A professora pediu para seus alunos acharem a

raiz quadrada de 1.000.

Maria: Com certeza é trinta e qualquer coisa.

Profa.: Como você sabe?

Maria: Ué! 30 x 30 é 900 e 40 x 40 = 1.600!

Programa 14

As ferramentas de cálculo

A base para o cálculo mental reside no conhecimento

das operações e no uso adequado de suas propriedades.

Tal como no caso da estimativa, é uma forma de ra-

ciocínio que exige experiência. Quem treina sempre,

desenvolve a capacidade de fazer rapidamente cálcu-

los mentais e outras modalidades de cálculo.

As situações de troco sempre requerem cálculo

mental. Por exemplo:

Vendedor: São R$ 8,30 senhora.

[A freguesa dá uma nota de R$ 10,00.]

Vendedor: A senhora teria 30 centavos, para facili-

tar o troco?

[A freguesa dá os 30 centavos e o vendedor lhe

devolve R$ 2,00 de troco.]

Vamos analisar o que ocorreu. O troco a que a fregue-

sa tem direito é: R$ 10,00 - R$ 8,30 = R$ 1,70

Quando a freguesa dá os 30 centavos pedidos, a nova

situação fica assim: R$ 10,30 - R$ 8,30 = R$ 2,00

QUANTO A

FREGUESA

DEU AO

VENDEDOR

CUSTO DA

MERCADORIA

TROCO DEVIDO

(R$ 10,00 + R$ 0,30) - R$ 8,30 = (R$ 1,70 + R$ 0,30)

—>

———>

QUANTO A

FREGUESA

DEU AO

VENDEDOR

CUSTO DA

MERCADORIA

TROCO DEVIDO

R$ 10,00 - R$ 8,30 = R$ 1,70

—>

———>

exato e permitam fazer estimativas, ou aproximações.

Alguns exemplos: dizer quantos minutos faltam para

o final de uma aula sem olhar no relógio; estimar a

distância de casa à escola; avaliar a altura de uma

montanha ou de um edifício.

Atividade 1

Distribua feijões entre os alunos e leve-os a fazer a es-

timativa da quantidade de feijões existente em um

determinado punhado. Observando e verificando

quantos feijões há no punhado de cada aluno, o grupo

passa a ter uma referência para essa estimativa. Podem

determinar, com pequena margem de erro, quantos fei-

jões há em dois punhados, o total de punhados de toda

a classe, ou tentar avaliar quantos feijões há no punha-

do que está na mão de um adulto.

Atividade 2

Colocar na lousa o enunciado:

a) 1.234 - 237

b) 1.234 - 147

Quantos algarismos tem cada resultado?

Situações desse tipo, em que o objetivo da tarefa

não é chegar ao resultado exato, contribuem para que

as crianças desenvolvam estratégias próprias para fa-

zer novas estimativas e para controlar um resultado,

avaliando se é razoável.

O cálculo mental

Quando fazemos operações ‘de cabeça’, sem escrever

os elementos que intervêm na operação nem usar

instrumentos de cálculo como a calculadora, dizemos

que estamos efetuando um cálculo mental.

c) 5 x 231

d) 124 + 679

e) 124 + 879

f) 2.004 : 4

Programa 14

As ferramentas de cálculo

Essas duas situações evidenciam alguns recursos

simples e espontâneos utilizados pelas crianças:

• partir de dobros conhecidos: 9 e 9 são 18; 7 e 7

são 14; 11 e 11 igual a 22;

• subir de 1 em 1: 11 e 9 mais ... 12, 13, 14, ..., 18, 19, 20;

• somar múltiplos de 10: tem 53, mais 10 é 63, mais

10 ...;

• partir de múltiplos de 10: 40 mais 53 dá 93, me-

nos 1, é 92;

• trabalhar separadamente dezenas e unidades: 30

mais 50 são 80 e 9 + 3 são 12 ...;

É importante que o professor leve os alunos a explicitar

a técnica que estão utilizando. Ao fazerem isso e ao so-

cializarem com os colegas sua linha de raciocínio, todos

aprimoram seus recursos, para poder resolver mental-

mente cálculos mais complexos.

Há outras técnicas comuns como:

• descobrir somas que dão 10 ou 100: 2 + 8; 7 + 3;

12 + 88; 47 + 53;

• buscar dezenas cheias:

7 + 5 = (7 + 3) + 2 [o 5 foi decomposto em 3 + 2]

25 + 7 = (25 + 5) + 2 [o 7 foi decomposto em 5 + 2]

2 x 13 = 2 x (10 + 3) = 2 x 10 + 2 x 3 = 20 + 3

Aqui foi usada a propriedade distributiva. Mesmo

que inconscientemente, este é um dos recursos mais

utilizados.

Embora não saibam disso, as crianças sempre uti-

lizam diversas propriedades das operações.

18 + 47 + 32 = 50 + 47 = 92

uso da associativa (18+32) + 47

O recurso utilizado foi a compensação, ou seja a

freguesa deu mais 30 centavos e os recebeu de volta,

embutidos nos R$ 2,00 que recebeu de troco.

Atividades de cálculo mental

Ao fazer um cálculo mental, um recurso bem comum

consiste em multiplicar por 10, ou por 100, acrescen-

tando um ou dois zeros:

8 x 10 = 80 13 x 100 = 1.300

Mas as crianças às vezes recorrem a estratégias mais

originais de cálculo mental para resolver contas simples.

Veja estas duas situações, nas quais alunos de 1

série calcularam os resultados sem conhecer o

algoritmo da adição.

A professora coloca na lousa: 9 + 11 =

Ribamar: 9 e 9 são 18, mais dois são 20.

Adão: 7 e 7 são 14, portanto 8 e 8 são 16, 9 e 9 seria

18, assim 9 + 11 deve ser igual a 20.

Josélia: 11 e 11 igual a 22, 10 e 11 igual a 21. 9 e 11

igual a 20.

Rodrigo: 11 e 9 mais ... 12, 13, 14, ..., 18, 19, 20

A professora coloca na lousa: 39 + 53 =

Guilherme: 40 mais 53 dá 93, menos 1, é 92.

Ana: 50 mais 30 dá 80, então 9 mais 1 seria 90, mais

2 seria 92.

Joel: Tem 53, mais 10 é 63, mais 10 ... 73, mais 10 ...

83, mais 9 ... 92.

Otávio: Deixa ver, 39 mais 50 é 89, depois junta 3, faz 92.

Mônica: 30 mais 50 são 80 e 9 mais 3 são 12. Pondo

tudo isto junto dá 92.

Programa 15

A CALCULADORA

E O RACIOCÍNIO DA CRIANÇA

al como o computador, a calculadora de bolso é

uma máquina matemática, muito útil para fazer-

mos cálculos precisos com rapidez. Ela é utilizada

no mundo todo, em praticamente todas as atividades pro-

fissionais, para evitar as tarefas demoradas, enfadonhas

e repetitivas de certos cálculos.

As primeiras máquinas mecânicas de calcular fo-

ram inventadas há cerca de 350 anos. Mas as peque-

nas calculadoras eletrônicas de bolso surgiram há

cerca de trinta anos. Foram sendo aperfeiçoadas, di-

minuindo de tamanho e de preço e, agora, são obje-

tos tão indispensáveis quanto o relógio ou a caneta.

Porém, apesar de sua importância incontestável e de

sua presença obrigatória no dia-a-dia da maioria das

pessoas, as calculadoras têm sido pouco utilizadas nas

salas de aula. Sua ausência é explicada pela crença em

alguns mitos, como o de que as crianças ‘vão deixar de

raciocinar’, ou ‘vão ficar preguiçosas’. No entanto, querer

que uma criança faça, como lição de casa, cinqüenta con-

tas com lápis e papel não garante que ela vá raciocinar.

A calculadora pode e deve ser usada em sala de aula

sempre que o cálculo for um passo do trabalho, e não a

atividade principal. Para que seus alunos usem a calcu-

ladora com inteligência, o professor precisa selecionar

atividades adequadas, que sejam motivadoras e desper-

tem a curiosidade, ajudando a raciocinar.

4 X 23 = 80 + 12 = 92

uso da distributiva (4 x 20) + (4 x 3)

7 X 9 = 70 - 7 = 63

reconhecimento de que 9 = 10-1 e uso da

distributiva: 7 x 9 = 7 x (10 - 1) = (70 - 7)

8 X 99 = 800 - 8 = 792

uso da distributiva 8 x 99 = 8 x (100 - 1) = 800 - 8

Analise estas outras técnicas de cálculo mental e

as propriedades que as legitimam:

• Multiplicar por 5, reconhecendo que 5 = 10 : 2

18 x 5 —> (18 : 2) x 10 —> 9 x 10 —> 90

• Multiplicar por 25, reconhecendo que 25 = 100 : 4

12 x 25 —> (12 : 4) x 100 —> 3 x 100 —> 300

• Multiplicar por 4, dobrando o dobro: 4 x 13

13 —> 26 —> 52

• Multiplicar por 8, dobrando o dobro do dobro:

8 x 7

7 —> 14 —> 28 —> 56

• Calcular 10% de desconto:

120 : 10 —> 120 - 12 = 108

Neste final de século, cada vez mais as pessoas se

vêem diante de situações em que precisam tomar

decisões que envolvem cálculos numéricos. Preparar

nossos alunos para tais situações implica desenvol-

ver suas competências de cálculo, equilibrando o en-

sino dos algoritmos e as idéias e propriedades das

operações, por meio do cálculo escrito, do cálculo

mental, das estimativas e do uso da calculadora.

Programa 1

A leitura na escola primária brasileira

Depois dessa exploração, a professora pediu para

os alunos confirmarem suas hipóteses na calculado-

ra. Ao obter 59,68858, um deles comenta:

Tonico: Êba! A Joana matou na mosca. É quase 60.

Essa atividade mobilizou três modalidades de cál-

culo: o cálculo mental, a estimativa e o uso da calcu-

ladora. O foco da atividade proposta era o cálculo

mental e a estimativa. Nesse caso, não é necessário o

resultado exato, 59,68858, com todas suas casas deci-

mais. No dia-a-dia, são raras as atividades que pedem

um resultado com esse grau de precisão.

Os estudos demonstram que, quando liberados do

cálculo, os alunos conseguem se concentrar melhor

nas relações entre os dados, nas condições e nas va-

riáveis dos problemas. Em outras palavras, canalizam

suas energias para o raciocínio.

Veja esta outra situação, que pode ser bem comum

em uma sala de aula.

A classe do João pretende organizar uma festa junina. Eles

se dividiram em grupos para comprar doces, salgados e

refrigerantes.

Alguém lembrou das bandeirinhas: vão ter de com-

prar papel de seda, barbante e cola. Querem montar bar-

racas de correio elegante, prisão, bola na lata e outras

brincadeiras.

O objetivo é cobrir as despesas e obter um lucro para

engordar a caixinha da formatura. Então, eles vão cobrar

uma entrada e estipular um preço para cada barraca.

A organização da festa vai exigir que os alunos façam

estimativas de custos, calculem o número de barracas e a

quantidade de comes e bebes. Envolve cálculos diversos,

para as crianças decidirem quanto comprar e quanto co-

brar. Trata-se de uma atividade de planejamento.

A calculadora permite que a criança pense mate-

maticamente diante de determinadas situações do

mundo real, quando aparecem aqueles números

‘malcomportados’, com todas suas vírgulas e casas

decimais. Imagine que você se veja diante do seguin-

te problema:

Tenho R$ 419,50. Posso comprar uma dúzia e meia de

camisas por R$ 23,49, ou duas dúzias por R$ 17,39?

Você faria esta conta com lápis e papel? Pode até

ser que sim. Porém, no mundo de hoje, no comércio,

nas indústrias e nos escritórios, o cálculo com lápis e

papel é coisa do passado. Além de consumir tempo

precioso, oferece grande risco de provocar erros às

vezes fatais.

A calculadora é muito útil para os alunos aperfeiçoa-

rem suas estratégias ao fazer estimativas e cálculo

mental.

A professora escreveu na lousa:

12,34 x 4,837

Depois, pediu aos alunos para tentarem encontrar

a maior aproximação possível desse resultado. Veja

algumas das respostas:

João: É maior que 48, pois é 12 e alguma coisa mul-

tiplicado por 4 e alguma coisa.

[João se baseou no cálculo: 4 x 12 = 48]

Maria: E também é menor que 65, pois 13 x 5 é igual

a 65.

[Maria raciocinou: 5 x 10 + 5 x 3 = 50 + 15 = 65]

Joana: Acho que deve estar muito perto de 60, que é

igual a 12 x 5.

[Joana levou em consideração que 4,837 é quase 5]

Programa 1

A leitura na escola primária brasileira

Bia pensa no que Alice falou e, depois de alguns

minutos, comenta.

Bia: Número que termina em 5 também.

Atenta ao que estava acontecendo, a professora in-

tervém, para socializar o tema:

Profa.: Muito interessante a descoberta da Alice e da

Bia. Vamos tentar descobrir com que outros núme-

ros essa regra vale.

Com a calculadora, os alunos fazem tentativas e logo

descobrem que a regra é válida para todos os núme-

ros que terminam em 0, 1, 5 e 6.

Percebendo o potencial dessa atividade, a professo-

ra ampliou a pesquisa, pedindo para os alunos presta-

rem atenção nas dezenas finais. Eles descobriram que

qualquer número terminado em 25 multiplicado por ele

mesmo resulta em um número terminado em 25. O

mesmo ocorre com os que terminam em 76.

Essa atividade ajuda a memorizar fatos importan-

tes da multiplicação, muito úteis em cálculos mentais

e na confirmação de resultados. Além disso, sem sa-

ber, os alunos estão explorando a noção de quadra-

do de determinados números.

Tal como a régua e o compasso, a calculadora é mais um

instrumento para promover a aprendizagem. Entretanto,

ela possui um potencial bem mais amplo de aplicações em

situações extra-escolares. E isso a coloca numa situação

privilegiada, como poderoso auxiliar da aprendizagem.

Se o objetivo principal do ensino da Matemática

é levar os alunos a desenvolver a compreensão

conceitual das idéias matemáticas, para ativar o racio-

cínio e resolver problemas, então não cabem dúvidas

acerca do uso da calculadora em aula. Nossa tarefa

consiste em saber utilizá-la com inteligência.

Aprofundamento de conceitos

Você já tentou obter o resto da divisão de 1.997 por

23 usando uma calculadora? Experimente. Pegue uma

calculadora simples e faça a divisão. O visor vai exibir

86,826086, que é uma aproximação.

Aí está: as calculadoras comuns não dão direta-

mente o resto de uma divisão. A professora de uma

série propôs esse problema e os alunos levaram de

5 a 10 minutos para resolvê-lo, com duas estratégias.

Estratégia 1

Se 1.997 : 23 = 86,826086, então o quociente apro-

ximado é 86.

O resto será: 1.997 - (86 x 23) —> 86 x 23 = 1.978

1.997 - 1978 = 19 —> O resto é 19.

Estratégia 2

Se 1.997 : 23 = 86,826086, então o quociente é 86 e

a parte decimal é o resto, que foi dividido por 23.

Para obter o total do resto, basta multiplicar a parte

decimal por 23.

0,826086 x 23 = 18,999978, ou seja, aproximada-

mente 19, que é o resto.

Aí está uma atividade que exige raciocínio. Ela articu-

la o uso da calculadora com a estrutura do algoritmo da

divisão. Esse exemplo serve para derrubar o mito de que

as crianças ficam preguiçosas por usar a calculadora.

Um instrumento de investigação

No meio de uma aula de Matemática, Alice cochicha

para sua colega Bia:

Alice: Descobri que qualquer número terminado em

1, multiplicado por ele mesmo, dá como resultado

um número que termina em 1.

Programa 16

Atividades com medidas

Deixe as crianças testarem algumas vezes. Para tor-

nar o jogo mais interessante e instrutivo, proponha fa-

zer uma contagem dos pontos em cada lançamento.

Consulte os alunos, para que eles decidam como fazer

a contagem. Uma boa idéia para contar os pontos é me-

dir quantos dedos a moeda ficou longe da linha de giz.

Um ou mais alunos podem ir registrando os pon-

tos. Esse registro é um desafio, enquanto as crianças

ainda não sabem escrever os números. Mas certamen-

te descobrirão um jeito de anotar os pontos. Um modo

prático consiste em fazer risquinhos.

Essa atividade desempenha diversos papéis

educativos. Em primeiro lugar, as crianças desenvol-

vem a habilidade motora, ao tentar lançar a moeda

no lugar certo. Em segundo lugar, desenvolvem o co-

nhecimento da idéia de medir.

Ao usar a largura de seus dedos para verificar quantas

unidades de medida cabem no comprimento, as

crianças aplicam na verdade o procedimento básico

de todo sistema de medida.

3 pontos

5 pontos

ATIVIDADES COM MEDIDAS

enhum professor deixa de trabalhar os números e

as operações, ao ensinar Matemática nas primei-

ras séries. No entanto, o ensino de medidas mui-

tas vezes é erroneamente abandonado, embora seja de

extrema utilidade.

Um jogo com medidas

Este jogo pode ser proposto às crianças no início da

série. O ‘campo’ pode ser a mesa do professor.

A uma distância de seis ou sete dedos da borda

da mesa, trace com giz uma linha paralela à borda e

dentro dessa faixa coloque uma moeda.

Explique que um aluno deverá dar um peteleco na

moeda, de maneira que ela deslize pela mesa. O ob-

jetivo é fazer a moeda ultrapassar ao máximo possí-

vel a linha de giz, sem cair para fora da mesa.

Programa 16

Atividades com medidas

Mostrou para os alunos e procurou fazer com que

eles interpretassem o que estava registrado, pergun-

tando por exemplo: O que é peso líquido? O que signi-

fica essa escrita, 0,155 kg? E 0,075 kg?

Combinou com as crianças: elas perguntariam a

seus pais, para trazer as explicações no dia seguinte.

No dia seguinte conversaram a respeito. Todos jun-

tos, foram decifrando as etiquetas e concluíram:

• peso líquido é o peso do produto, descontando

o peso da embalagem;

• 0,155 kg indica 0,155 quilogramas (ou 0,155 qui-

los) ou, ainda, 155 gramas;

• 0,075 kg corresponde a 75 gramas.

Continuando, a professora perguntou como seria

a etiqueta correspondente a apenas 5 gramas. Houve

quem pensasse que seria 0,5 kg; mas depois, com base

na etiqueta de 0,075 kg, concluíram que 5 gramas

correspondem a 0,005 kg.

Os alunos já sabiam que 1 quilograma contém

1.000 gramas. (Em símbolos: 1 kg = 1.000 g) Partindo

desse ponto, a professora desenvolveu diversas no-

ções de números decimais.

Por exemplo, ensinou que cada grama é 1 milé-

simo do quilograma: dividindo o quilo em 1.000

partezinhas iguais, cada uma dessas partes é 1 gra-

ma, ou 1 milésimo do quilograma. E continuou a

desenvolver o tema, explorando as perguntas das

crianças.

Para complementar, o jogo da moeda desafia as

crianças a representar o número de pontos obtidos.

Com isso, elas percebem a necessidade de representar

números em uma situação que é de seu interesse. E de-

senvolvem as noções que têm dos números, tornando-

se mais receptivas ao aprendizado dos algarismos.

O comprimento do quilômetro

Uma professora de 2

série notou que seus alunos ti-

nham alguma noção do significado da palavra ‘quilô-

metro’, sem possuir o conceito. Então, ela resolveu le-

vantar o assunto. Perguntou: Vocês sabem quanto é um

quilômetro?

As opiniões variaram. Uma menina achava que de

sua casa até a escola havia um quilômetro; um cole-

ga discordou, dizendo que eram muitos quilômetros.

Sabendo que da escola até uma pracinha próxima ha-

via cerca de um quilômetro, a professora combinou

uma caminhada com a classe.

Fizeram a caminhada em menos de quinze minu-

tos e as crianças tiveram uma idéia de qual é a dis-

tância correspondente a um quilômetro.

No aprendizado das medidas, são importantes as ex-

periências que ajudam a perceber o tamanho das uni-

dades. Na prática, isso contribui para as crianças esco-

lherem a unidade adequada a cada situação.

Quilograma e grama

No supermercado, as balanças utilizadas para pesar

produtos como frios, queijo, legumes e outros emi-

tem uma etiqueta com os dados da pesagem. Uma

professora de 4

série levou para a classe algumas

etiquetas como esta:

QUEIJO

Programa 17

ÉÉ

MEDINDO ÁREAS

comum encontrarmos nos jornais anúncios

como estes abaixo. Nos dois casos aparece o

símbolo m

, que significa metro quadrado. Isso

indica a presença do conceito matemático de

área. O que é área?

A medida de área, ou superfície, serve para identifi-

car o tamanho de um espaço – uma sala, um terreno,

um tapete, uma parede, um país etc.

Partindo da observação de etiquetas, as crianças refor-

çaram seu conhecimento acerca de quilogramas e gra-

mas e aprenderam bastante sobre a escrita decimal com

vírgula. Isso mostra que o ensino das medidas pode

contribuir para o aprendizado de outros assuntos, como,

neste caso, os números decimais.

Conclusões

Horas e minutos, quilogramas e gramas, quilômetros

e metros, litros e mililitros fazem parte de nosso dia-

a-dia. Assim, as medidas estão sempre presentes em

nossas atividades; aprender a utilizá-las e dominar

esse conceito tem grande valor prático.

Além disso, como vimos nos exemplos, o trabalho

com medidas sempre cria oportunidades de aprendi-

zagem de outros temas. Os alunos de 1

série tiveram

noções geométricas e de registro de números; os de

identificaram distâncias na cidade; os de 4

amplia-

ram seu conhecimento acerca de decimais.

Por tudo isso, o trabalho com medidas não pode ser

esquecido na Matemática de 1

a 4

série. E ensinar

medidas não se resume a dar nomes de unidades e di-

zer quanto valem. Há muito mais idéias envolvidas.

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Programa 17

Medindo áreas

A figura A é um polígono, com área de 10,5

quadradinhos, porque nele cabem 10 quadradinhos

inteiros mais meio quadradinho. Confira, fazendo a

contagem. No entanto, se multiplicarmos o compri-

mento total pela largura o resultado será 13,5.

Atenção! A idéia de multiplicar comprimento por lar-

gura para obter a área só funciona para quadrados e

retângulos.

A figura B não é um polígono. É a superfície de

uma folha. Você acha estranho calcular a área de uma

folha? Saiba que para as pessoas que estudam os ve-

getais, como os engenheiros agrônomos, pode ser um

cálculo importante. A área da folha é de 4

quadradinhos, aproximadamente, pois contamos 2

quadradinhos quase inteiros, mais 4 metades de

quadradinho.

Os quadradinhos com lados de 1 cm das figuras

Agora, preste atenção a estas duas salas. Qual de-

las é mais espaçosa? Em qual delas cabe mais gente,

ou cabem mais cadeiras?

Para achar as respostas, basta saber qual é a área

de cada uma delas.

Para medir alguma coisa, precisamos de uma uni-

dade de medida adequada. Por exemplo: para medir

um comprimento, a unidade pode ser nosso palmo,

ou então o metro.

Para medir a superfície de uma sala, ou seja, para obter

a área da sala, podemos usar também o metro ou, então,

recorrer aos ladrilhos como unidade de medida. Nas duas

salas acima, os ladrilhos são iguais e servem como uni-

dade de medida para fazer a comparação. A área de cada

sala é o número de ladrilhos que cabem no chão.

A sala da esquerda tem 10 ladrilhos e a da direita, 9.

Então, a sala da esquerda é a de maior área. Como as

salas são retangulares, fica mais fácil calcular multipli-

cando o número de filas pelo de colunas.

Observe agora estas figuras.

Programa 17

Medindo áreas

• Mede-se a área de um tapete para fixar seu preço.

O preço depende da quantidade de matéria-prima

utilizada e do volume de trabalho, fatores que va-

riam de acordo com o tamanho do tapete.

• Sabendo a área de sua cozinha, a dona de casa

pode saber quantos metros quadrados de ladri-

lho comprar para cobrir o piso.

• Para construir um conjunto de casas populares em um

terreno, é necessário saber quantos hectares ele tem.

E, para calcular quantas casas cabem, é preciso saber

a área ocupada por uma casa.

E o ensino?

Tratamos aqui do conceito matemático de área, não

da maneira de transmiti-lo aos alunos. Na verdade,

este texto aborda alguns conhecimentos que serão

adequados apenas para os alunos de 5

ou 6

série.

No entanto, convém que os alunos já tenham algumas

noções ao terminar a 4

série.

Há professores que, já na 4

série, avançam muito

mais no ensino do conceito de área. Fazem os alunos

decorar fórmulas para calcular áreas de triângulos ou

trapézios e para transformar unidades de área.

Na maioria das vezes, esses alunos não sabem o que

estão calculando, nem para que fazem isso. Não fixaram

o conceito de área e não sabem, por exemplo, que a área

de uma sala dá uma idéia do espaço da sala.

Esse é o típico exemplo de aprendizado não-sig-

nificativo, que deve ser evitado. Antes de aprender a

calcular a área, o aluno precisa ter absorvido o con-

ceito e saber a utilidade desse cálculo.

Quanto ao ensino de fórmulas de cálculo de área

ou de transformação de unidades, certamente isso só

é adequado após a 4

série.

anteriores correspondem à unidade de área chamada

centímetro quadrado, cujo símbolo é cm

. Podemos

escrever que a figura A tem 10,5 cm

de área.

No dia-a-dia, as unidades de medida de área mais usa-

das são o metro quadrado (símbolo: m

) e o quilôme-

tro quadrado (símbolo: km

). Outras unidades bastan-

te usadas, especialmente na zona rural, são o hectare

(símbolo: ha) e o alqueire (que não tem símbolo).

É fácil dar às crianças uma idéia do tamanho de 1

metro quadrado. Basta riscar no chão um quadrado

com 1 metro em cada lado.

O hectare corresponde a um quadrado com 100

metros de lado. A área de um quadrado desses é:

100 m x 100 m = 10.000 m

O hectare tem 10.000 metros quadrados. Você conse-

gue ter uma idéia do que representa essa área? Se você

morar na cidade, é mais fácil. Em geral, os quarteirões são

quadrados com lados de aproximadamente 100 metros.

Cada quarteirão, portanto, tem cerca de 1 hectare de área.

Ter uma idéia do tamanho do quilômetro quadrado

já é mais difícil. Ele corresponde a um quadrado com 1

quilômetro em cada lado. Dá para imaginar? É a mesma

coisa que um quadrado com 1.000 metros de lado. Um

quilômetro tem 1.000 metros, mas um quilômetro qua-

drado tem 1.000.000 de metros quadrados!

A medida do alqueire varia de acordo com a re-

gião do país. No Sul, corresponde a 2,4 hectares; em

Minas Gerais e Goiás, tem 4,8 hectares; e no Norte a

medida de 1 alqueire é 2,7 hectares. Trata-se de uma

medida usada para dar a área de sítios e fazendas.

Por que medir a área?

São diversas as situações em que a medida da área é

importante. Por exemplo:

Programa 18

Tratamento da informação

as informações, selecioná-las e usá-las. Disso depen-

de o desempenho no trabalho e o exercício crítico da

cidadania (votar, preservar o meio ambiente, recla-

mar direitos etc.).

Vamos aqui dar alguns exemplos de atividades que

podem ser desenvolvidas na sala de aula, particular-

mente o trabalho com tabelas e gráficos. Pesquise

mais esse assunto em guias curriculares, livros didá-

ticos, revistas que tratam de educação e nos progra-

mas da TV Escola.

Para entender e construir tabelas

A tabela é uma maneira prática de organizar e apresentar

informações; aprender a ler e construir uma tabela contri-

bui para que as crianças organizem melhor o raciocínio.

Exemplo 1

Crianças de 1

ou 2

série podem resolver este problema.

sabores de 2 bolas

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

s Parâmetros Curriculares Nacionais recomen-

dam que um dos conteúdos de Matemática seja

o Tratamento da Informação. O que vem a ser

isso? Qual sua importância?

Atualmente, milhares de informações são

divulgadas a cada momento. Esse volume não era tão

significativo no passado, quando pouca gente tinha

aparelho de TV e não existiam satélites de comunica-

ção, computadores pessoais e Internet.

O Tratamento da Informação está associado à Mate-

mática porque:

• inúmeras informações divulgadas incluem dados

numéricos (índices, taxas, porcentagens, valores em

dinheiro etc.);

• há um ramo da Matemática, a Estatística, que visa

organizar, resumir, apresentar e interpretar as infor-

mações. A Estatística trabalha com médias, porcen-

tagens, tabelas, gráficos etc.

Pelo menos uma parte da informação que recebe-

mos pode ser de grande importância. Pense na notí-

cia de um novo tratamento para uma doença grave,

de uma nova política do governo em relação à edu-

cação, da elevação ou da queda dos preços e muitas

outras. São informações que influenciam nosso dia-

a-dia, no trabalho e em casa.

É indispensável que cada um de nós saiba tratar

Desenhe os sorvetes que completam a tabela

sabores de

1 bola

coco

morango

chocolate

Programa 18

Tratamento da informação

A construção de um gráfico

As informações que aparecem em uma tabela podem ser

visualizadas rapidamente quando transpostas para um grá-

fico. Não faltam oportunidades nem assuntos que motivem

o trabalho com gráficos, em todas as séries do 1

grau.

Vamos mostrar a estratégia utilizada por uma pro-

fessora para trabalhar gráficos pela primeira vez.

Em primeiro lugar, ela desenvolveu uma conversa a

respeito da família. Algumas crianças disseram, por exem-

plo, que seus pais tinham muitos irmãos, mas que elas

mesmas tinham só um, ou dois irmãos. A professora

propôs então que descobrissem qual era o número de

irmãos mais freqüente nas famílias atuais. Ela colocou

em sua mesa pequenos cartazes, assim:

A FERRUGEM - Loja de ferragens

Artigo

Preço

Unitário

Pedido Total

TOTAL GERAL R$

pacote pregos 10mm

pacote parafusos

lata de solvente 0,5L

tinta spray

1,20

1,65

4,20

2,80

Para completar a tabela, é preciso compreender sua

organização. Por exemplo, deve-se perceber que, na pri-

meira linha da tabela a ser preenchida, todos os sorve-

tes têm a bola de chocolate na parte de baixo. Veja no

final do texto a Resposta 1.

Exemplo 2

Na região Sul do País, cerca de 31 por cento dos

professores têm o magistério completo e cerca de

51 por cento têm 3

grau completo. Em valores

aproximados, esses números são respectivamente 40

e 50 por cento na região Sudeste e 37 e 47 por

cento na Centro-Oeste. Nas regiões Nordeste e

Norte o quadro muda e os percentuais passam a

ser aproximadamente de 50 e 22 por cento na pri-

meira e 52 e 16 por cento na segunda.

Apresentada assim, essa informação é complicada e

confusa, mas pode ser resumida e organizada em uma

tabela. A tabela pode ser feita de várias maneiras. Veja

na Resposta 2, no final do texto, uma das possibilidades.

No entanto, o assunto não é de interesse para nos-

sos alunos. A partir da 4

série, você pode orientá-los

para construir tabelas a respeito de temas que sejam

de seu interesse, como por exemplo:

• o Campeonato Brasileiro de Futebol;

• a audiência de programas de TV;

• as preferências dos eleitores em época de eleições.

Exemplo 3

Temos aqui um problema aritmético que sugere um tipo

de tabela muito usado no comércio. É adequado para a

ou a 4

série. Veja a Resposta 3 no final do texto.

Em uma loja de ferragens, o vendedor fez um pedi-

do de compra para um freguês. Veja o pedido, com-

plete-o e calcule quanto o freguês gastou.

Programa 18

Tratamento da informação

A exploração das questões levantadas a partir de

um gráfico como esse faz com que as crianças come-

cem a aprender a ler gráficos. A professora pergun-

tou, por exemplo: quantos alunos têm 2 irmãos,

quantos têm 3 ou mais irmãos, qual é o número de

irmãos mais freqüente etc. Também se pode levantar

duas questões um pouco mais difíceis:

• Quantos alunos tem a classe representada no

gráfico?

• Faça uma tabela com a mesma informação dada

pelo gráfico. Veja a Resposta 4 no final deste texto.

Você pode criar situações na classe para levar as

crianças a construir gráficos e, aos poucos, começar a

lhes propor questões de interpretação de gráficos.

Para concluir

Hoje em dia, para ler jornais e revistas não basta ser

realmente alfabetizado. É indispensável saber tam-

bém ler e compreender tabelas e gráficos. Por esse

motivo, não se pode deixar de trabalhar o Tratamen-

to da Informação desde o início do 1

grau.

Neste texto demos algumas idéias do trabalho com

tabelas e gráficos, mas – atenção! – isso é apenas uma

pequena parte do que se pode fazer.

Resposta 1

sabores de 2 bolas

Depois, distribuiu entre os alunos caixinhas de

fósforos vazias. Disse para cada um colocar sua

caixinha no grupo em que estivesse incluído, isto é,

no lugar referente a zero irmão, ou a um irmão etc.

Veja o resultado:

Todos perceberam logo que a pilha mais alta era

a referente a um irmão; então, o mais comum era as

crianças terem um só irmão. Naquela classe, era mais

comum a família com duas crianças.

Depois, a professora pediu para os alunos copia-

rem no caderno a disposição das pilhas de caixinhas,

registrando a quantos irmãos correspondia cada pi-

lha. Com alguma ajuda e orientação da professora, as

crianças desenharam o primeiro gráfico de sua vida:

Programa 18

Resposta 2

Resposta 3: R$ 22,30

Resposta 4

• A classe tem trinta alunos.

• A tabela equivalente ao gráfico pode ser assim:

Região

Formação

Sul

Sudeste

Centro-

Oeste

Nordeste Norte

Magistério

completo

grau

completo

31%

51%

40%

50%

37%

47%

50%

22%

52%

16%

irmãos

número de

alunos

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