( PDF ) Cadernos da Tv Escola: PCN na Escola

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MATEMÁTICA 1

PCN NA ESCOLA

C A D E R N O S D A

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO

SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

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Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Milhares de livros grátis para download.

A Geometria, as crianças e a realidade

Antônio José Lopes Bigode

As crianças, seus espaços e suas ações

Antônio José Lopes Bigode

Por que as coisas são como são?

Antônio José Lopes Bigode

A vida numérica na sala de aula

Simone Pannocchia Tahan

Sistema de numeração

Jorgina de Fátima Pereira de Deus

e Simone Panocchia Tahan

É de ‘mais’ ou de ‘menos’?

Mírian Louise Sequerra

Inventando estratégias de cálculo

Mírian Louise Sequerra

Desarmando as contas

Mírian Louise Sequerra

SUMÁRIO

Presidente da República

Fernando Henrique Cardoso

Ministro da Educação e do Desporto

Paulo Renato Souza

Secretário de Educação a Distância

Pedro Paulo Poppovic

Secretária de Educação Fundamental

Iara Glória Areias Prado

Secretaria de Educação a Distância

Cadernos da TV Escola

Diretor de Produção e Divulgação

José Roberto Neffa Sadek

Coordenação Geral

Vera Maria Arantes

Edição

Elzira Arantes (texto) e Alex Furini (arte)

Ilustrações

Gisele Bruhns Libutti

Consultoria

Cláudia Aratangy e Cristina Pereira

Tiragem : 110 mil exemplares

Este caderno complementa as séries da programação da TV Escola

PCN na Escola -

Matemática 1

Informações:

Ministério da Educação e do Desporto

Secretaria de Educação a Distância

Esplanada dos Ministérios, Bloco L, Anexo I, sala 325 CEP 70047-900

Caixa Postal 9659 – CEP 70001-970 – Brasília/DF - Fax: (061) 321.1178

e-mail: [email protected]

Internet: http://www.mec.gov.br/seed/tvescola

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Cadernos da TV Escola: PCN na Escola/Coordenação Geral Vera Maria

Arantes. - Brasília: Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de

64p. : .il.

Conteúdo: Matemática 1

1-Matemática. 2-Desenvolvimento do cálculo. 3-Geometria. 4-Conceito

matemático. 5-Aritmética. I- Título

CDU 373.3:51

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Programa 1

esde a Pré-história, os homens observaram a

regularidade de certas formas geométricas, no

mundo a seu redor, e aprenderam a utilizar essa

regularidade em benefício próprio.

O ser humano é um ser visual e nossos olhos são

a principal porta de entrada para o desenvolvimento

de idéias geométricas.

Neste final de século, as imagens estão presentes de

forma intensa em tudo que nos cerca: outdoors, revis-

tas, jornais, TV, cinema, cartazes, placas de sinalização,

fotos, computadores etc. Já tinha reparado nisso?

Os primeiros passos para a aprendizagem da Geome-

tria, um conhecimento essencialmente visual, devem

privilegiar o que se apreende com os olhos e com as

mãos. Não com os ouvidos.

Houve um tempo em que se acreditava que, para

aprender os conceitos geométricos, as crianças precisa-

vam prestar muita atenção às definições explicadas pe-

los professores e decorar cada formulação.

Mas, pense bem. Se você explicar para seus alunos e

mandá-los copiar no caderno: Um polígono convexo é

aquele cujo perímetro não pode ser encontrado em mais de

dois pontos por uma secante. Você acha que eles entende-

rão o que é um polígono convexo?

Não, é claro que não. Ninguém vai aprender o que

é um polígono convexo ouvindo ou lendo um texto

A GEOMETRIA,

AS CRIANÇAS E A REALIDADE

Programa 1

A Geometria, as crianças e a realidade

desses, que mais parece uma bula de remédio.

Entretanto, era assim que se ensinava Geometria

há cinqüenta anos. Felizmente, os estudos modernos

trouxeram idéias importantes para entender a manei-

ra pela qual as crianças aprendem. E isso mudou o

ensino de Geometria.

Ao entrar na escola, as crianças já sabem muitas coi-

sas de Geometria.

Talvez você esteja se perguntando: Mas, o que tudo

isso tem a ver com meus alunos e com minhas aulas?

Para responder, vamos ‘fazer de conta’. Pense em

um aluno imaginário, que talvez não seja tão imagi-

nário assim. Vamos chamá-lo de Juca.

Nosso Juca adora jogar futebol. No jogo, ele corre, se des-

loca para a frente, para trás e para os lados; se orienta para

fugir da marcação; procura não deixar a bola passar da li-

nha lateral; reconhece as fronteiras do campo; dá chutes

em diagonal para o vizinho à esquerda; sabe que, para

marcar o gol, precisa colocar a bola dentro daquele retân-

gulo que todo mundo chama de trave; corre em direção à

meta e chuta no canto direito do goleiro; depois do gol, ele

coloca a bola embaixo do braço e corre em direção ao

círculo central no meio do campo.

Vamos parar um pouco e analisar o que ele fez:

deslocamento para a frente, para trás, para os lados,

orientação, direção, linha lateral, diagonal, vizinhan-

ça, esquerda, direita, dentro, fora, retângulo, círculo,

meio do campo. Quanta Geometria junto!

Diante de todo esse conhecimento geométrico do

Juca e de outras crianças, só cabe recomendar aos

professores muita atenção, para reconhecer e explo-

rar as situações da vida real, que podem contribuir

muito para a aprendizagem.

E que outras coisas faz nosso Juca?

Juca brinca de pega-pega, faz pipa e aviãozinho, constrói

caminhõezinhos de papelão, ajuda seu irmão na construção

de um carrinho de rolimã, xereta o trabalho do pai na oficina,

e, com brinquedos estruturados, de montar, constrói coisas

que ele copia do manual de instruções e outras que inventa.

Vamos analisar novamente: o Juca constrói coisas,

imagina objetos tridimensionais na cabeça e os mon-

ta, constrói pipas que são formas geométricas bem

conhecidas, tem consciência das diagonais da pipa,

mesmo sem saber formalmente o que é uma

diagonal. Enquanto constrói aviõezinhos, faz

dobraduras relacionadas à simetria da construção.

Taí. O Juca sabe muitas coisas de natureza geométri-

ca, tem muitas habilidades de natureza geométrica. É

fácil imaginar que ele seja igualzinho a seus alunos.

Ele não vai aprender melhor Geometria se a es-

cola desprezar as coisas que ele já sabe e já faz. Ele

não vai aprender Geometria significativa só por ou-

vir uma definição de hexágono, diagonal ou outra

qualquer. É por isso que, como dissemos, não se

aprende Geometria com os ouvidos.

As crianças aprendem Geometria observando e fazen-

do coisas cujo significado compreendem.

Talvez você esteja de novo se perguntando: Como

ensinar Geometria levando tudo isso em conta?

Não é difícil. O papel do professor é promover situa-

ções que levem os alunos a expressar tudo isso que eles

já sabem (sem nunca ter pensado nisso), conversar a

respeito e fazer coisas de natureza geométrica.

O professor ajuda a criança a organizar os conhe-

cimentos que ela já tem para ampliá-los, refiná-los e

avançar para novos conceitos, mais complexos.

Uma criança em idade escolar não precisa que os

adultos lhe digam o que é um ponto, uma reta ou um

círculo. Ela já absorveu essas idéias de algum modo. O

Programa 2

estudo da Geometria contribui para o relaci-

onamento com o mundo da natureza, dos

objetos e mecanismos, da arquitetura, das

artes e até com o mundo da imaginação.

Para melhor organizar as atividades de Geome-

tria no ensino primário devemos ter em conta os

diversos contextos em que esse conhecimento

pode ser explorado, considerando os tipos de es-

paço em que as crianças transitam.

Os espaços da criança

O espaço em que vivemos varia em natureza e em

tamanho. Quanto ao tamanho, é possível distinguir

ao menos dois tipos de espaço.

Em primeiro lugar, há o espaço que está ao al-

cance das mãos, que engloba todas as coisas que

a criança pode pegar: materiais escolares, frutas,

flores, objetos de higiene, brinquedos etc. Trata-se

do espaço em que é possível manipular os obje-

tos, colocá-los em uma caixa de papelão ou sobre

uma mesa. Nesse espaço, as crianças podem ex-

plorar tarefas geométricas como montar, desmon-

tar, construir, compor, decompor ou desenhar es-

ses objetos em tamanho natural.

Mas há um outro espaço, mais amplo, alcançado

pelo olhar ou em desenhos e fotos; neste, as crianças

podem se movimentar, se orientar, se localizar, ou, sim-

AS CRIANÇAS,

SEUS ESPAÇOS E SUAS AÇÕES

trabalho do professor será explorar essas idéias, relacio-

nando-as com o dia-a-dia, com situações desafiadoras

que contribuam para promover novas descobertas.

A Geometria pode, e deve, ser explorada a partir

de situações simples do mundo da criança.

Um bom exemplo de atividade de natureza geo-

métrica para explorar na escola são os desafios e que-

bra-cabeças publicados nas revistas infantis e em su-

plementos de jornais, como por exemplo: labirintos,

ligue pontos, jogos dos sete erros e outros.

A importância dos jogos

• Resolver um ligue pontos, ou um labirinto, desenvolve

habilidades de percepção e coordenação visomotora.

• O jogo dos sete erros desenvolve a discriminação

visual, bem como o reconhecimento de atributos,

semelhanças e diferenças.

• Na busca de qual é a parte que se encaixa em ou-

tra, as crianças precisam explorar a percepção figu-

ra-fundo e se ater a regularidades e particularida-

des dos objetos e das formas.

• Ao pintar figuras que estão na mesma posição, as crian-

ças desenvolvem sua percepção da posição no espaço.

• Uma atividade como ‘quem está vendo o quê’ ex-

plora e desenvolve a orientação espacial.

Com atividades desse tipo se torna possível uma

aprendizagem significativa. No mundo atual, com a im-

portância da imagem, não há mais lugar para aqueles

cursos centrados na memorização de nomes, proprieda-

des ou teoremas, como se fazia há cinqüenta anos.

A Geometria que se pretende ensinar deve estar

sintonizada com a realidade das crianças deste nosso

tempo. Crianças que pulam, correm, vêem, rabiscam,

desenham, cortam, colam, montam e desmontam,

imaginam e inventam.

Programa 2

As crianças, seus espaços e suas ações

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Xii! Minha caixa desmontou! gritou Martinha, um

pouco assustada.

A professora, que planejara justamente explorar a

planificação das caixas, não perdeu a deixa: propôs

que todos desmontassem as caixas, sem rasgá-las.

Após observarem as caixas planificadas e falarem

a respeito de suas características, a professora suge-

riu: copiar em cartolina, recortar, dobrar e por fim

construir novas caixas.

Na aula seguinte, as crianças exploraram as faces

das caixas de creme dental, usando-as como molde

para contornar, ou ‘carimbar’, obtendo assim as dife-

rentes vistas de uma caixa:

A partir daquela aula, os alunos estavam aptos

a montar e desmontar caixas em forma de bloco re-

tangular, incluindo o cubo, que estudaram de vários

modos, como por exemplo:

plesmente, imaginar. É o espaço das coisas bem maiores

que um ser humano, como o edifício da escola, ou as pai-

sagens da natureza. Você não pode pedir ao aluno para

pegar ou transformar tais coisas, como um avião em ta-

manho natural. Mas ele pode representar o que vê.

Considerando as diferenças entre esses dois espaços

e as possibilidades de exploração de cada um, você pode

organizar atividades em torno das ações que estão ao al-

cance das crianças em cada caso.

As crianças aprendem Geometria

• observando

A professora Cláudia propôs a construção de uma

maquete da ‘cidade do futuro’. Combinou com os alu-

nos e, durante uma semana, eles recolheram emba-

lagens de diferentes formatos. A aula seguinte come-

çou com uma conversa a respeito do material coleta-

do. Em grupos, as crianças organizaram as caixas de

acordo com algum critério estabelecido em conjunto:

caixas pequenas, médias e grandes; caixas que rolam

e que não rolam; caixas em forma de bloco retangu-

lar e assim por diante.

A professora deu um tempo para os alunos ob-

servarem as caixas, manipulá-las e conversarem a

respeito delas. Em seguida, orientou a exploração

de caixas de creme dental. Em duplas, os alunos

discutiram e registraram o que iam descobrindo:

É comprida, disse Wanderléia.

Este lado é igual a este outro, mostrou Leno a sua

colega Lilian, referindo-se ao fato de as faces opos-

tas serem iguais.

Tem oito bicos, afirmou Roberto a seu colega

Erasmo, com os dedinhos sobre os vértices.

E seis lados, complementou Erasmo, referindo-se

às faces.

• manipulando • representando

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Planta

baixa

Vista frontal Vista lateral

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Creme dentalCreme dental

Creme dental

Programa 2

As crianças, seus espaços e suas ações

Depois de identificadas as planificações do cubo,

a professora solicitou que as crianças pintassem da

mesma cor os quadradinhos que, no cubo montado,

correspondem a faces paralelas.

Essa é uma atividade que desenvolve o pensamen-

to visual, pois as crianças precisam identificar as fa-

ces paralelas só imaginando, sem montar o cubo.

Com as caixas que fabricaram, cada grupo construiu

uma maquete da ‘cidade do futuro’, com ruas e edifícios.

Um dos grupos montou uma cidade espelhada,

isto é, cada lado de uma rua era igualzinho ao que

estava em frente. Após construir a maquete, desenha-

ram o mapa da ‘cidade do futuro’ e a planta baixa das

construções.

O que aprenderam com

a ‘cidade do futuro’

A atividade, que tinha como meta explícita construir

uma maquete, envolveu uma diversidade de concei-

tos e habilidades:

• Ao discutir as características das caixas, as crianças

estavam classificando, reconhecendo atributos, se-

melhanças e diferenças.

• A exploração das caixas possibilitou a percepção de

relações e o enriquecimento do vocabulário: blocos

retangulares, vértices, faces, vistas, faces paralelas,

faces perpendiculares.

• O trabalho com a planificação e as vistas ajudou a

desenvolver a visualização e a reconhecer represen-

tações diferentes de um mesmo objeto: planifica-

ção, vistas, projeções.

• A construção de cubos e blocos retangulares a par-

tir da planificação constitui uma ferramenta impor-

tante para montar objetos.

• A construção da cidade em si mobilizou uma diver-

sidade de destrezas, além da imaginação e do sen-

so estético de cada aluno.

• A construção da planta baixa contribuiu para apren-

derem a ler mapas, esquemas e outras formas de

representação plana.

Quem diria, hem? E pensar que, à primeira vista,

as crianças apenas ‘brincaram’ com caixinhas.

Em outro dia, a professora Cláudia organizou com

a classe uma festa para dois aniversariantes. Decidi-

ram que haveria bolo, refrigerantes e bandeirinhas

para enfeitar. Como fazer as bandeirinhas? Todos de-

ram palpites, desenhando na lousa o formato das

bandeirinhas favoritas. E escolheram dois tipos de

bandeirinha.

Qual destas figuras não representa um cubo desmontado?

azul

vermelho

lilás

Programa 2

As crianças, seus espaços e suas ações

Quando acharam a solução, Cláudia pôde explo-

rar com sua turma a idéia da simetria das figuras ge-

ométricas. A marca da dobra das bandeirinhas coin-

cide com o eixo de simetria.

Com as bandeirinhas prontas, a próxima tarefa

consistiu em desenhar no caderno faixas coloridas,

com padrões geométricos regulares, associando com

os pentágonos das bandeirinhas.

O que as bandeirinhas ensinaram?

• A exploração de formas diversas, sem se preocupar

com as figuras regulares, é muito importante para

que as crianças centrem sua atenção nas proprie-

dades das figuras. Muitas vezes não pensamos nas

bandeirinhas como tendo a forma de um

pentágono, porque estamos acostumados a só re-

conhecer o pentágono regular.

• Outra forma de explorar a idéia de simetria é fazer

dobras e recortes, produzindo aquelas toalhinhas

de papel que mais parecem bordados.

• A exploração e a construção de faixas com motivos

como frisas, linhas gregas, ondas ou barras possi-

bilita que as crianças percebam e apreciem padrões

regulares.

As crianças aprendem Geometria

• transformando

Gilberto observou que os dois tipos de bandeiri-

nha tinham cinco lados: com isso, ele estava reconhe-

cendo a característica dos pentágonos, embora não

soubesse o que é um pentágono.

E Caetano completou: Esta aqui tem uma ponta pra

fora e esta outra tem uma ponta pra dentro [estava des-

cobrindo as características dos polígonos convexos e

não-convexos].

A professora distribuiu papel e tesoura para recor-

tarem as bandeirinhas. Cada grupo escolheu o modelo

que faria e dividiu as tarefas. Maria Betânia recortou

as bandeirinhas com pontas para fora. Daniela recor-

tou as que têm pontas para dentro.

Veja, encaixa..., apontou Maria, juntando sua ban-

deirinha com a de Daniela. E teve uma idéia: Acho que

dá para recortar as duas de uma vez só.

Daniela foi experimentando e logo completou: E

só com duas tesouradas!

A professora, sempre atenta ao que os alunos iam

descobrindo, propôs:

Quem consegue dobrar a folha de modo a conseguir

duas bandeirinhas diferentes, fazendo só um corte?

• construindo

Programa 3

olta e meia as crianças estão perguntando aos adul-

tos coisas do tipo: Como funciona? Por que funcio-

na? Por que é assim? O que acontece se eu fizer isto?

O universo das crianças é rico em imagens, obje-

tos e ações. Os ‘porquês’ e os ‘comos’ são indícios de

que estão observando, estabelecendo relações e for-

mulando problemas.

Grande parte dos objetos e das ações do mundo

das crianças envolve conceitos e relações geométri-

cas. Assim, para promover uma aprendizagem sólida

e significativa, a escola deve estar atenta e aberta para

explorar os ‘porquês’ e os ‘comos’ das crianças.

E você? Já parou para pensar nas coisas do nosso

mundo? Já colocou seus próprios ‘porquês’ e ‘comos’?

Pois vamos fazer uma viagem pelas coisas e pelas

relações do nosso mundo e apreciar a Geometria

embutida nelas.

Um mundo de formas retas

Grande parte de nossas construções e dos objetos

que nos rodeiam se baseia na ortogonalidade, isto

é, o ângulo reto está presente na maioria dos ca-

sos. As mesas em geral têm formato retangular, do

mesmo modo que portas, janelas, paredes, cader-

nos, livros, caixas, quadros, tijolos, ladrilhos,

lajotas, cédulas e incontáveis objetos simples de

nosso cotidiano.

POR QUE

AS COISAS SÃO COMO SÃO?

Nas duas experiências descritas, a professora ex-

plorou formas geométricas variadas, e eventualmen-

te complexas, a partir do mundo cotidiano das crian-

ças, de suas coisas, seus brinquedos e brincadeiras.

A Geometria é isso. Talvez seja a única disciplina

em que a melhor matéria-prima para desenvolver

uma aula significativa é o próprio meio da criança, os

objetos que conhece e manipula, suas idéias, suas

fantasias.

Programa 3

Por que as coisas são como são?

Os retângulos são quadriláteros que têm todos os

ângulos iguais: todos os ângulos são retos.

Os losangos são quadriláteros que têm todos os la-

dos iguais.

Os quadrados são quadriláteros que têm todos os

ângulos e todos os lados iguais.

Logo, o quadrado é ao mesmo tempo um retân-

gulo especial e um losango especial.

Por ser um retângulo especial, o quadrado tem todas

as propriedades dos retângulos – e mais algumas. Por

exemplo, o quadrado tem mais simetrias que o retângulo.

Já sabemos que retângulos e quadrados são formas

adequadas para muitas atividades práticas, principal-

mente pelas possibilidades de encaixe. Mas eles não são

as únicas formas geométricas boas para o encaixe.

Os paralelogramos também têm essa propriedade.

Preste atenção à balança: a barra de cima, que

sustenta o brinquedo, está paralela ao chão. Se a base

na qual a criança senta não estivesse paralela à barra

superior, ao primeiro movimento a criança cairia.

Converse com as crianças, levando-as a identifi-

car objetos retangulares. Se perguntar: Por que será

que há tantas coisas retangulares a nossa volta?, é bem

possível que obtenha respostas do tipo: É porque en-

caixa melhor. É mais fácil cortar. Ou outras explicações

ainda mais criativas.

Os retângulos se encaixam de um modo especial.

Os ângulos retos podem ser arrumados em torno de

um ponto e formar uma volta completa de 360 graus,

possibilitando assim economia de espaço.

Esse princípio aplicado às formas tridimensionais

leva o homem prático a escolher o paralelepípedo

para fazer suas caixas e outras coisas que precisam ser

amontoadas.

Um pai de família resolve construir uma casa, pla-

nejando ampliá-la no futuro: para isso, as formas

ortogonais são ideais. Basta ir encaixando novos cô-

modos nas laterais, ou um por cima do outro.

Outro bom motivo para preferir formas ortogo-

nais: é bem mais simples trabalhar com elas. Para

fazer um armário, o marceneiro precisa serrar apenas

planos e ângulos retos, o que é bem mais fácil. Con-

verse com os alunos, para que lembrem outros aspec-

tos práticos das formas ortogonais.

Uma propriedade bem interessante dos retângu-

los é sua simetria. Os retângulos têm dois eixos de

simetria. Essa propriedade garante o encaixe perfeito

quando o retângulo gira em torno de seus eixos, ou

quando sofre uma rotação de 180 graus em torno de

seu centro.

A simetria é uma das características que fazem do

quadrado um retângulo muito especial. Você pode

estar pensando: Êpa! Mas estávamos tratando do retân-

gulo! Um quadrado é um retângulo? É, sim.

Observe este brinquedo. Você está vendo o paralelogramo?

Programa 3

Por que as coisas são como são?

cular? Por que algumas canetas se chamam esferográfi-

cas? Por que a Terra é redonda? E as frutas e bolhas?

Faça perguntas óbvias, deixe fazerem outras, esti-

mule uma tempestade de ‘porquês’. Não tenha receio

de ficar sem a resposta na ponta da língua. Os ‘por-

quês’ são importantes também para os adultos.

Desde os tempos pré-históricos, o homem pro-

curou imitar as formas em sua arte e em seu dia-a-

dia. Observou que esferas e cilindros rolam; per-

cebeu que a forma circular tem a propriedade de

ter a largura constante. E usou esses conhecimen-

tos para transportar blocos de pedra.

Percebeu também que sobre pedaços de toras

de madeira podia transportar outras coisas. Daí, in-

ventou a roda, que facilitou muito seu trabalho e

foi o ponto de partida para outras incontáveis in-

venções.

Ao cavar um poço, o trabalhador finca uma estaca

e, com uma corda amarrada, traça uma circunferên-

cia perfeita, servindo-se de outra propriedade da cir-

cunferência: todos os pontos de sua fronteira estão à

mesma distância do centro.

Entretanto, raramente vemos ladrilhos ou lajotas cujo

formato seja de paralelogramo. Não é difícil produzir

paralelogramos em escala industrial, mas é menos prá-

tico do que produzir retângulos ou quadrados.

Mas isto não tira o mérito dos paralelogramos. Eles

são quadriláteros especiais, pois têm como proprieda-

de os lados opostos paralelos. Essa é uma propriedade

importante, do ponto de vista prático.

O paralelismo está presente em muitos mecanis-

mos que nos cercam. Procure lembrar alguns, com a

ajuda dos alunos. Fale do vitrô, da janela basculante,

das lâminas de uma persiana. Mostre que o

paralelismo fica garantido quando existe a estrutura

do paralelogramo.

As crianças podem construir paralelogramos com

canudinhos de plástico atravessados por linha ou bar-

bante, com tachinhas, com palitos de sorvete.

Um mundo de formas curvas

Em nosso universo, as formas retas convivem

harmonicamente com formas curvas. Observe com seus

alunos a variedade de formas curvas: a bola, pratos e

copos, o desenho de um coração, o corpo e seus órgãos,

as rodas, o sol, a lua...

Além de observar as formas, é importante que as

crianças pensem no assunto e levantem questões.

Pergunte, para incentivar: Por que os copos e pratos

têm a borda redonda? Por que as rodas têm a forma cir-

Programa 3

Por que as coisas são como são?

Feito isso, diga para construírem um quadriláte-

ro, com lados que meçam 6, 8, 10 e 12 centímetros.

Conduza a conversa, levando-os a observar que

os triângulos são formas rígidas, têm forma fixa de-

pois de construídos, não é possível alterar seus ân-

gulos interiores. O mesmo não acontece com o qua-

drilátero, que terá uma estrutura flexível, pois os ân-

gulos internos podem ser modificados.

Quando um marceneiro faz um portão com ripas

verticais, a estrutura não fica muito firme. Então, ele

prega uma ripa em diagonal, para garantir a rigidez.

Ele triangula a estrutura.

Conclusão

Se você estiver trabalhando a Geometria na sala de

aula desse modo, despertando os olhares, as dúvidas,

os ‘porquês’ e ‘comos’ das crianças, elas vão continuar

olhando e indagando e produzindo explicações sobre

outros ‘porquês’ e ‘comos’ para o resto de suas vidas,

dentro ou fora da sala de aula. E se isto acontecer,

parabéns ! Você, educador ou educadora, está fazen-

do o que tem de ser feito. E fazendo bem.

E os pratos e copos, qual é o motivo de seu forma-

to? Aqui, uma das idéias chave é a simetria do círculo.

Podemos colocar na boca um copo de borda redon-

da em qualquer ponto da borda.

O círculo tem infinitos eixos de simetria. Qualquer

reta passando pelo centro do círculo faz com que ele

fique dividido em duas partes iguais e espelhadas.

Nem paralelo nem curvo

A esta altura, você pode estar se perguntando: Sobrou

para o triângulo, coitado, não serve para caixa, não ser-

ve para copo, pra que serve o triângulo?

Boa questão. Podemos finalizar nossa viagem fa-

lando da importância do triângulo.

O triângulo é o único polígono rígido. Usamos os tri-

ângulos para dar rigidez às estruturas.

Para os alunos entenderem bem essa propriedade,

proponha uma experiência. Diga para cortarem canudi-

nhos de plástico nos tamanhos: 6, 8, 10 e 12 centímetros.

Peça para passarem um barbante por dentro dos

canudinhos, de maneira a poder construir triângulos

cujos lados meçam:

6, 8 e 10 centímetros

6, 8 e 12 centímetros

6, 10 e 12 centímetros

8, 10 e 12 centímetros

Programa 4

A vida numérica na sala de aula

Regras do bingo

1. A professora sorteia um número e ‘canta’ para a sala.

2. Cada dupla discute entre si, para procurar na

cartela o número sorteado. Se houver, marcam

com um X.

3. Vence quem completar primeiro uma fileira, ou uma

coluna.

Observei o trabalho dos jogadores e fui escolhen-

do alguns comentários que faziam entre si e algumas

hipóteses que levantavam, ao procurar os números

nas cartelas. Essas hipóteses revelam seu processo de

construção e sua compreensão dos conceitos.

A dupla Pedro e Paulo estava com esta cartela. Eu

cantei ‘41’. Observe que, na cartela deles, havia os nú-

meros ‘51’ e ‘41’. Então, eles discutiram:

Paulo: Esse número, quarenta e um, tem que ter dois

números.

Pedro: Por quê?

Paulo: Porque a gente fala quarenta e um.

o pensar no trabalho didático referente a nume-

ração, é imprescindível ter presente uma questão

essencial: trata-se de ensinar – e de aprender – um

sistema de representação. Então, será necessário criar

situações que permitam mostrar a própria organização

do sistema numérico.

Vou contar aqui algumas situações ocorridas em

sala de aula, para mostrar certas possibilidades de um

trabalho desse tipo.

Situação 1

série, 1

semestre

Eu queria desenvolver uma atividade na qual os alu-

nos deparassem com a escrita convencional de alguns

números. A partir disso, fariam a leitura, levantariam

hipóteses e avançariam no processo de construção do

sistema de numeração.

Diante desse objetivo, propus um jogo de

bingo, distribuindo uma cartela para cada dupla.

Decidi trabalhar em duplas, porque meu grupo é

bem heterogêneo; achei que assim seria melhor

para incentivar as trocas de informação, tornando

as crianças ao mesmo tempo informantes e cola-

boradoras.

Quando a sala já estava organizada, ou seja,

cada dupla com sua cartela, combinamos as regras

do jogo.

A VIDA NUMÉRICA NA

SALA DE AULA

BINGOBINGO

BINGO

1414

2626

1919

2828

2222

2525

4545

4141

3939

4343

5959

5656

5151

4747

6060

7373

6868

7474

7272

6767

Programa 4

A vida numérica na sala de aula

Ditei o número 53 e, rapidinho, Márcia disse:

Márcia: Ah! esse eu acho que sei, porque o número da

minha casa é cinqüenta e se escreve assim [escreveu 50].

Roberto: É, mas a professora ditou cinqüenta e três,

e não cinqüenta.

Márcia: É só tirar o zero e colocar o três.

Roberto: Como você sabe?

Márcia: Porque na minha rua, o número da casa da

minha amiga é cinqüenta e sete e, na parede, está o nú-

mero cinco e o sete; então, cinqüenta e três é o 5 e o 3.

[Procuram na cartela e encontram o 53.]

Essa discussão confirmou, para mim, que é muito

importante as crianças conhecerem os números re-

dondos de dezenas, centenas, unidades de mil e as-

sim por diante (10, 100, 1.000 etc.). Depois disso, con-

seguem elaborar a escrita dos números posicionados

entre esses intervalos.

Nesse jogo de bingo, percebi que poucas duplas

sabiam isso. Resolvi então preparar outras atividades,

para que todos os alunos se apropriassem desses co-

nhecimentos. Pensei em um bingo de dezenas e cen-

tenas exatas, ou em pedir para preencherem alguns

números (as dezenas exatas), usar a fita métrica, jogo

da memória (confeccionar cartões com dezenas) e as-

sim por diante.

Situação 2

série, 1

bimestre

Mesmo sendo de 2

série, minha sala ainda precisa

resolver algumas questões referentes ao sistema de

numeração. A maioria dos alunos diz: É o primeiro

quem manda; ou então: O maior número é aquele que

Pedro: Ah, então, o último número é 1!

Paulo: Já achei dois [mostra o 41 e o 51].

Pedro: Só pode ser um deles, vamos ver qual dos dois é.

Paulo: Eu acho que quarenta e um é este aqui [mostra

o 41], porque este [mostra 51] começa com 5 e, quando

a gente fala quarenta e um não parece nem um pouco

com o som do 5 [Assinalam então o 41].

Ao passar, perguntei: Como vocês concluíram que

este é o quarenta e um?

Paulo contou exatamente como aconteceu. Apontei

para o ‘14’ e perguntei, para ver se estavam atentos à

posição dos algarismos: E por que não pode ser este?

Paulo: Porque quando a gente fala quarenta e um,

o último que a gente diz é o um e não o quatro,

então é este [mostra o 41].

Diante da discussão dessa dupla, percebi que eles

estavam muito ligados à ordenação da numeração fa-

lada. Em outras situações, eu deveria propor um tipo

de atividade que ressaltasse novas características do

sistema: por exemplo, o valor posicional do número.

Em outra dupla, com Márcia e Roberto, a discus-

são foi diferente. A cartela era esta:

BINGOBINGO

BINGO

1515

1313

1818

2525

2222

2929

2121

3939

3434

3636

3131

5353

4848

4747

5555

6060

6565

7070

6767

7474

7373

Programa 4

A vida numérica na sala de aula

Quando perguntei às crianças qual achavam que

estava certa, a maioria respondeu que o registro de

Fernanda era o certo. Algumas justificaram:

Acertou, Fernanda acertou, olha aqui! [e explicavam,

escrevendo também, 20, 7, e falando: vinte, sete].

O Rodrigo esqueceu que quando a gente escreve

números, não pode ter letra. Letra é para escrever e

número é para contar, e não tem letra.

Perguntei a Maria por que escrevera 27 daquela

forma e ela explicou:

Eu olhei no calendário da parede e contei até o 27.

Diante do argumento de Maria, os demais ficaram

um pouco confusos, pois sabiam que no calendário

os números sem dúvida estavam escritos de forma

correta.

Percebi que estavam aceitando a escrita de Maria

apenas por estar apoiada no calendário, mas sem

entender o que estava por trás disso. Ao dizer que

estava mesmo certa, pedi para descobrirem por que

essa era a forma correta. Algumas justificativas:

• Já sei, a gente tira o zero, porque zero significa

‘nada’, então não precisa colocar.

• Não pode mesmo ter três números, porque cem

tem três números e é muito maior que vinte e sete.

Situação 3

série, 2

bimestre

Comecei a aula de Matemática de um jeito diferente.

Coloquei em dúvida as afirmações corretas de meus

alunos e, com isso, eles responderam às minhas per-

guntas e me mostraram claramente o que sabem a

respeito do sistema de numeração.

Propus que me ditassem números. Alguém disse:

‘cento e trinta e três”; e completaram: “é com um, um

três e um três”.

tem mais algarismos. No entanto, não têm uma com-

preensão mais profunda da organização do sistema,

ou seja, ainda não estabeleceram a relação entre os

critérios elaborados e o valor de cada algarismo em

termos de ‘dezes’ ou ‘cens’.

Para quem não conhece a escrita convencional, escre-

ver números é uma atividade altamente significativa

e carregada de desafios.

Propus, então, um ditado de números. Para come-

çar, cada um escreveria em seu caderno os números

que eu ditava. Depois, a classe toda discutiria os re-

gistros feitos.

Ao observar a solução dos colegas e perceber o

registro de diferentes escritas, eles poderiam desen-

volver hipóteses e ampliar sua compreensão do sis-

tema de numeração. Ditei: 27; 100; 78; 821; 1.100; 725.

Durante o ditado, as crianças se mostraram

muito concentradas e manifestaram grande empe-

nho. A cada novo número ditado, elas iam pensan-

do, organizando as idéias e colocando suas hipó-

teses no papel.

Chamei na lousa três crianças e pedi para escre-

verem o número 27 exatamente como tinham escrito

na folha. Obtive as seguintes soluções:

207 20 E 7 27

Fernanda Rodrigo Maria

Programa 4

A vida numérica na sala de aula

A participação do aluno

Existe um certo parentesco entre algumas das situações

que proponho aqui e determinadas atividades tradicio-

nais, como o ditado de números, por exemplo. Mas,

nessas atividades que apresentei, o aluno ocupa um

lugar de destaque; o que ele pensa é valorizado e seu

‘erro’ é na verdade um registro de sua construção, e não

um registro de seu desconhecimento.

O que importa, então, não é que uma atividade seja

categorizada como ‘tradicional’ ou ‘inovadora’. O impor-

tante é que as propostas de trabalho reúnam certas con-

dições, tais como:

• contemplar diferentes procedimentos;

• admitir diferentes respostas;

• fornecer o debate e a circulação de informação;

• garantir a integração com a numeração escrita

convencional;

• propiciar uma crescente autonomia na busca de

informações;

• aproximar, na medida do possível, o uso escolar

do uso social da notação numérica.

Eu: Como? Com dois três?

Jonas: Bom, é que os dois são o número três, mas

têm valores diferentes.

Eu: Como pode ser que o mesmo número tenha

valor diferente? Como vamos entender isso?

Lia: Olha, os números são sempre o três, porém há

diferentes três. Escreve aí na lousa: três, três, três. Isto

é o trezentos e trinta e três, não é? Tem um três que

é três, o segundo que é o trinta e o outro é três de

‘cem’.

Eu: Sempre acontece isso?

Guilherme: Sim... Com o quinhentos e cinqüenta e

cinco também, o do meio é cinqüenta.

Eu: Eu não vejo nenhum cinqüenta ali [fiz esse

comentário para verificar se as crianças estavam

construindo uma compreensão maior a respeito

do valor posicional].

Várias crianças: Não, porque o outro é cinco! Se não

fosse cinqüenta e cinco, e fosse quinhentos e cinqüen-

ta, você colocaria o zero, aí você veria o cinqüenta, mas

como é cinqüenta e cinco, aí tem que pôr o cinco.

Com as respostas que obtive, pude perceber que

meus alunos já conheciam muitas coisas sobre o sis-

tema de numeração. Não toda a sala, mas boa parte

dela.

Vou continuar a desenvolver essas atividades du-

rante este bimestre e espero que, a partir dessas pro-

duções, reflitam sobre diferentes formas de

conceituar e possam trocar informações, confrontar

idéias e, conseqüentemente, avançar em sua compre-

ensão de nosso sistema de numeração.

Programa 5

Sistema de numeração

• Ao escutar seus pais se queixarem do aumento

dos preços?

• Ao tentar entender como sua mãe sabe qual das

marcas de determinado produto é a mais barata?

• Ao ver que seu irmão recorre ao calendário para cal-

cular os dias que ainda faltam para seu aniversário?

O que será que as crianças aprendem ao ouvir os

outros falarem em números e em noções numéricas?

Você pode manter sua classe interessada ao tra-

balhar diversos aspectos do sistema de numeração

com o jogo de batalha, por exemplo.

Jogo de batalha

Prepare um baralho com números até 40. Forme du-

plas e distribua as cartas do baralho entre os joga-

dores.

Explique as regras:

• Sem olhar as cartas, cada jogador faz uma pilha, com

as cartas viradas para baixo.

• Simultaneamente, os dois jogadores abrem a pri-

meira carta de sua respectiva pilha.

• O jogador que virar a carta maior fica com as duas.

• Vence o jogo quem, no final, tiver o maior número

de cartas.

Para variar, você pode confeccionar um baralho com

numerais maiores. Ou mudar a regra, fazendo o joga-

dor que virar a carta menor ficar com as duas.

Quanto maior a quantidade de

algarismos, maior é o número

Sem conhecer os nomes dos números, Fernando e

Ivan explicam suas decisões no jogo de batalha:

Fernando: Este [mostra o 23, porém não o nomeia,

uitos professores desenvolvem o ensino do

sistema de numeração de maneira fragmenta-

da. Assim, trabalham na pré-escola apenas os

numerais de zero a nove, na 1

série até o cem, na 2

série até o mil, e assim por diante. No entanto, bem

antes de ingressar na 1

série, as crianças já sabem

muitas coisas acerca de numeração.

O sistema de numeração aparece nas revistas, em

etiquetas de preços, nos calendários, nas regras de jo-

gos, nas embalagens, nos anúncios, nos endereços das

pessoas e assim por diante.

O ensino fragmentado e outros recursos didáticos

(como o trabalho com as diferentes bases) não facilitam

em nada a compreensão do sistema de numeração e de

sua organização. Os famosos ‘vai um’ e ‘peço empresta-

do’, por exemplo, não fazem o menor sentido e ainda le-

vam as crianças a cometer erros elementares.

Constatando tais limitações dos métodos tradicio-

nais, os pesquisadores decidiram procurar uma abor-

dagem do ensino do sistema de numeração que fa-

vorecesse uma compreensão mais profunda e

operacional da notação numérica.

O que as crianças pensam

Que conclusões podem tirar as crianças a partir de seu

contato cotidiano com a numeração escrita? Que in-

formações relevantes obtêm:

SISTEMA DE NUMERAÇÃO

Programa 5

Sistema de numeração

Paulo [depois de afirmar que 21 é maior que 12]:

Porque aqui [mostra o 12] o um é primeiro e o dois

é depois. Mas aqui [aponta o 21] o dois é que fica

primeiro e o um está no fim.

Nádia [justificando que 43 é maior que 28]: Quem

manda é o primeiro número. Quatro é maior que

dois, então este [mostra o 43] é maior que este [in-

dica o 28].

Guilherme [para explicar que 21 é maior que 12]: Os

dois têm os mesmos números. Só que aqui [21] o dois

está antes e aqui [12] está atrás. O maior é o que fica na

frente. O dois é maior, então este [o 21] é maior.

Estas crianças já descobriram que, além do víncu-

lo entre a quantidade de algarismos e a magnitude do

número, existe outra característica: o valor que um al-

garismo representa, apesar de ser sempre o mesmo,

depende do lugar em que está localizado em relação

aos outros que constituem o número. A isso chama-

mos valor posicional.

Elas sabem também que, se compararem dois

números de igual quantidade de algarismos, o maior

tem o primeiro algarismo maior. Por isso podem afir-

mar que “o primeiro é quem manda”.

Sabem ainda que, quando o primeiro algarismo

das duas quantidades é o mesmo, é preciso apelar ao

segundo para identificar o maior.

O critério de comparação baseado na posição dos

algarismos não se constrói de uma só vez. Antes de

generalizar, a criança precisa superar certos obstácu-

los. É o que nos mostra Mariana; em outras situações

apresentadas em classe, já aplicou o critério do valor

posicional de forma adequada. Mas se confunde dian-

te de uma situação nova.

No jogo de batalha, a carta de Mariana é 25, e a

de Ariel é 16. Quando a professora pergunta quem

ganhou o jogo, ambos respondem:

pois desconhece sua denominação oral] é maior,

porque tem dois números e tem mais. Já este [mos-

tra o 5] tem só um número.

Ivan: O maior é este [mostra o número 12], porque

tem mais números do que este [mostra o 6].

Neste caso, o critério de comparação das crianças se

baseou na quantidade de algarismos, pois elas não co-

nhecem o nome dos números que estão comparando. Na

comparação oral, elas também recorrem ao lugar que

cada número ocupa na seqüência de contagem:

Quando eu conto, eu falo primeiro 6, e só depois

vem o 12; então, 6 é menor que 12.

O último número é maior

Comparando dois números para decidir qual era o

maior, os alunos argumentaram:

Paula [comparando 29 e 52]: O maior é 29, porque

9 é maior que 2. É diferente no 52.

Henrique [entre 1.110 e 999]: Este [aponta o 999] é

maior, porque este [aponta o 1.110] tem números

muito baixinhos.

Essa hipótese, na qual as crianças relacionam o va-

lor numérico ao valor absoluto de cada numeral, é fa-

cilmente descartada quando elas começam a prestar

atenção na quantidade de algarismos. Torna-se claro

que, entre as duas hipóteses, a quantidade de alga-

rismos pesa muito mais que qualquer consideração

vinculada ao valor absoluto.

O primeiro é quem manda

Ao comparar números com a mesma quantidade de

algarismos, os argumentos das crianças mostram se

elas já descobriram que a posição dos algarismos

cumpre uma função relevante. Observe:

Programa 5

Sistema de numeração

Escrevo como falo

Para elaborar conceitos a respeito da escrita dos nú-

meros, as crianças se baseiam nas informações da

numeração falada e no que já sabem, na escrita con-

vencional, a respeito das dezenas e centenas exatas.

Para produzir os números cuja escrita convencional

não dominam, as crianças misturam os símbolos que já

conhecem e procuram fazê-los corresponder com a or-

denação dos termos na numeração falada.

Veja este exemplo. A professora faz um ditado de

numerais e os alunos comentam e justificam a escrita

que produziram:

• Márcio escreve 725 assim: 700205. Fica claro que

ele escreveu o número exatamente como se fala:

setecentos e vinte e cinco.

• Paula escreve 6 para o 100 e explica: Olha, quando

se fala cem, começa com cê, então é esse seis.

• Bruno escreveu 109, quando a professora ditou

19. Ele justifica: Olha dez e nove, fala rápido que

dá dezenove.

• João, para 2.000, escreveu 2 1.000 (dois mil).

Na escrita de João, pode parecer que ele usou o

fator multiplicativo, mas, na verdade, ele se apoiou

exclusivamente na fala (2 e 1.000).

A hipótese segundo a qual a escrita numérica é o

resultado de uma correspondência com a numeração

falada conduz as crianças a elaborar notações não-

convencionais. Por que isso ocorre?

Ao se sentir em conflito diante do número que

escreveu, a criança reage com perplexidade e insatis-

fação. Tal insatisfação a leva a efetuar correções, pro-

curando ‘diminuir’ a escrita, ou interpretá-la atribuin-

do-lhe um valor maior. Porém, essas correções so-

mente são possíveis depois da escrita dos números.

Mariana: O Ariel.

Ariel: Não, foi ela que ganhou!

Mariana: Foi ele, porque este [o 25] tem um dois e

um cinco, e este [o 16] tem um número um e um

seis. Seis é um número a mais que cinco.

Ariel: Não! O que conta é o primeiro.

Números especiais: os zeros

A apropriação da escrita convencional dos números pe-

las crianças não segue a ordem da série numérica. Elas

manipulam em primeiro lugar a escrita de números

com zeros – dezenas, centenas, unidades de mil –, e só

depois elaboram a escrita dos números posicionados

nos intervalos entre eles.

A professora propôs um jogo. Os alunos forma-

riam duplas e cada aluno deveria escrever o maior

número que soubesse. Em seguida, iria compará-lo

com o do colega; ganharia o jogo quem escrevesse o

maior número. Observe os comentários:

Ivo: Eu acho que ganhei, porque fiz mais mil.

João: Mas eu fiz mais cens.

Ivo: Mais cens? Eu fiz mais mil e mil é maior que

cem.

Francis: Eu não sei o nome deste número, só sei que

precisa de muitos zeros.

As respostas das crianças sugerem que, na escrita

convencional, elas se apropriam em primeiro lugar da

potência de base 100 e que a escrita dos outros zeros

correspondentes a essa potência é elaborada a partir

desse modelo.

Programa 6

s operações de adição e subtração sem dúvida

precisam ser exploradas nas diversas séries do

ensino fundamental. Ninguém questiona isso.

Infelizmente, às vezes esse conteúdo é entendido

como o ensino das contas que resolvem os proble-

mas de adição e subtração. Essa atitude ignora a im-

portância do significado dessas operações.

Ao falar no significado de uma operação, estamos

nos referindo basicamente às idéias ou às ações ligadas

a ela. Por exemplo, quando vou à feira, sei que preciso

somar os valores que gastei ao comprar laranjas, bana-

nas e cebolas, para calcular o gasto total. Faço uma adi-

ção, porque sei que uma das ações associadas a essa

operação é juntar diversos valores, para compor um va-

lor total.

Se, além de ensinar as contas, estivermos preocu-

pados também com a compreensão que nossos alu-

nos têm das operações, é importante refletir:

• Que situações nossos alunos associam à adição

e à subtração?

• Essas situações são as únicas que podem ser

relacionadas com tais operações?

• Posso ampliar a compreensão que eles têm des-

sas operações, propondo novas idéias que tam-

bém estejam associadas a elas?

Para que os alunos tenham a possibilidade de am-

pliar seus conhecimentos, é fundamental apresentar a

É DE ‘MAIS’ OU DE ‘MENOS’?

Ela ainda não consegue prever os possíveis ajustes

antes de escrever o número e sempre enfrenta o con-

flito, ao escrever um novo número.

Em síntese, a escrita de acordo com a numeração

falada entra em contradição com as hipóteses vincu-

ladas à quantidade de algarismos das notações nu-

méricas.

Tomar consciência desse conflito e elaborar fer-

ramentas para superá-lo parecem passos necessários

para progredir até a notação convencional.

Até aqui, foram descritos os aspectos essenciais do

processo pelo qual as crianças constroem a compre-

ensão da natureza do sistema de numeração.

As crianças produzem e interpretam escritas conven-

cionais muito antes de poder justificá-las.

Diante de tudo isso, será que é preciso trabalhar

passo a passo, e recortar drasticamente o universo dos

números, predeterminando uma meta para cada sé-

rie escolar?

Cremos que não, pois esse recorte curricular não

dá às crianças oportunidades de tecer comparações

entre diferentes intervalos da seqüência. Isso dificul-

ta a descoberta das regularidades de nosso sistema

de numeração.

Programa 6

É de ‘mais’ ou de ‘menos’?

Para introduzir símbolos da linguagem matemá-

tica, Cláudia ensinou esta outra representação:

Pouco a pouco, algumas crianças começaram a utili-

zar os sinais matemáticos para resolver os problemas

propostos. Diante disso, Cláudia quis verificar quais as

situações que as crianças associariam a essas operações

e, para isso, desenvolveu algumas atividades:

Atividade 1

Pediu para os alunos inventarem problemas de adição

e de subtração. Ela pretendia verificar que idéias ocorre-

riam às crianças e como relacionariam essas idéias com

as operações. Alguns dos problemas que inventaram:

• Eu tinha 22 figurinhas em meu álbum. Ganhei 14

do meu colega. Com quantas fiquei? [identificado

como problema de adição].

• Na hora do lanche, as crianças trouxeram 6 bana-

nas e 12 laranjas. Quantas frutas trouxeram?

[identificado como problema de adição].

• Ganhei 10 reais de mesada. Gastei 3 reais para

comprar um lanche. Com quanto fiquei? [identi-

ficado como problema de subtração].

Os problemas criados pelas crianças sem dúvida

eram adequados, mas se restringiam a uma varieda-

de bem pequena de idéias.

Algumas idéias básicas de adição e subtração são

construídas pelas crianças antes mesmo de entrarem

na escola. É o caso das situações em que se acrescen-

ta uma quantidade a um valor inicial, ou se junta

quantidades que inicialmente estavam separadas

(como nos dois primeiros problemas propostos), ou

se quer retirar determinado valor de uma quantidade

inicial (como no terceiro problema).

eles situações variadas nas quais precisem operar com

números: jogos que requeiram cálculos, situações coti-

dianas que peçam alguma contagem, comparação ou

controle de quantidades (contagem de coleções, cálculo

do total de uma compra, pontos ganhos por uma equi-

pe após várias etapas de jogos), e tantas outras.

Apresentaremos a seguir algumas atividades com

problemas de enunciado; esta é uma das formas de

aproximar os alunos das ações e das idéias envolvi-

das nas operações.

O que os alunos sabem

de adição e subtração?

Cláudia, professora de 1

série, desde o início do ano

propôs problemas bem variados a seus alunos. E

orientou as crianças para desenhar os dados do pro-

blema, ou então representar as quantidades com pa-

litos e bolinhas.

A cada problema, Cláudia pede para algum aluno

mostrar aos colegas “seu modo de resolver”; e apro-

veita para relacionar a representação feita pela crian-

ça com os símbolos próprios da linguagem matemá-

tica. Esta foi uma forma que ela descobriu de ir fami-

liarizando os alunos com a linguagem matemática.

Ela propôs, por exemplo:

Em nossa classe há 14 meninos e 17 meninas.

Quantas crianças há na classe?

Juliana resolveu da seguinte maneira:

Ela acrescentou 14 palitos ao número de meninos.

Depois, fez a contagem a partir do 17 e chegou ao

resultado: 31.

17 +

= 31

Programa 6

É de ‘mais’ ou de ‘menos’?

Segundo as pesquisas mais recentes na área da Didáti-

ca da Matemática, os problemas envolvendo a adição e

a subtração devem ser trabalhados em conjunto, “já que

guardam entre si estreitas conexões, ou seja, compõem

uma mesma família” (PCN - Matemática, p. 67).

Se analisarmos os dois caminhos percorridos, fica cla-

ro que as crianças do primeiro grupo se apoiaram na sub-

tração, enquanto as outras utilizaram um raciocínio aditivo.

Se a professora tivesse identificado esse proble-

ma com uma só operação, procurando garantir que o

grupo todo associasse o problema apenas à adição ou

à subtração, estaria limitando a possibilidade de de-

senvolver novas idéias. Na realidade, os dois cami-

nhos são adequados: o problema pode ser associado

à adição ou à subtração.

Quando permitimos que nossos alunos descubram as

soluções de seu próprio jeito, constatamos que os proce-

dimentos variam muito. Se é assim, será que é necessário

apresentar cada operação como um conteúdo isolado?

Situações de adição e subtração

Existem vários grupos de situações que envolvem a

adição e a subtração. É importante desenvolver ativi-

dades em cada grupo, com uma grande variedade de

situações, no decorrer dos dois ciclos.

Apresentamos a seguir algumas idéias. Se quiser

conhecer outras possibilidades, ou aprofundar as que

damos aqui, consulte o livro de Matemática dos

Parâmetros Curriculares Nacionais.

Combinar dois estados para obter

um terceiro

Paulo e João decidiram juntar seus carrinhos. Paulo ti-

nha 25 e João, 12. Com quantos carrinhos ficaram?

Atividade 2

No entanto, nem sempre os alunos associam outras

idéias às operações de adição ou subtração. Pensan-

do em explorar novas idéias, Cláudia propôs o pro-

blema a seguir.

Estou na página 64 de um livro de 80 páginas.

Quantas me faltam para terminá-lo?

Os alunos não conheciam o algoritmo da adição ou

da subtração (as contas armadas). Precisariam resolver

o problema recorrendo apenas a suas próprias estraté-

gias de cálculo.

Alguns fizeram assim: desenharam 80 palitos, corres-

pondentes ao total de páginas do livro.

Depois, riscaram 64 (correspondentes às páginas

já lidas).

Por fim, contaram os palitos restantes e chegaram

ao resultado.

Outras crianças partiram do número 64 e foram

acrescentando palitos e contando, até chegar ao 80.

Em seguida, contaram quantos palitos haviam so-

mado.

Programa 6

É de ‘mais’ ou de ‘menos’?

A partir desse enunciado podemos formular estes outros:

• Antônio tem 42 selos. Pedro tem 7 a menos.

Quantos selos Pedro tem?

• Se Antônio tem 42 selos e Pedro tem 35, quantos selos

Pedro precisa ganhar para ter o mesmo que Antônio?

Algumas conclusões

Algumas idéias da adição (como por exemplo a de

acrescentar uma quantidade a outra inicial) e da

subtração (como a de diminuir determinado valor

de uma quantidade dada) são familiares para as

crianças. Mesmo antes de chegar à escola, elas já

construíram boas estratégias que lhes permitem

Esta situação pode dar lugar a duas outras:

• Paulo e João juntaram seus carrinhos e ficaram

com 37. Quantos eram de Paulo, se 12 eram de

João?

• Paulo tinha 25 carrinhos e resolveu juntá-los com

os de João. Depois que juntaram tudo, ficaram 37.

Quantos carrinhos João tinha?

Transformação: a um estado inicial é

acrescentada ou diminuída determinada

quantidade

• Maria estava na casa 24 de um jogo de trilha. Jogou

o dado e tirou 6. Qual o número da casa em que caiu?

• Carlos tinha 12 peixinhos em seu aquário. Um dia,

ficou muito triste ao perceber que 7 haviam

morrido. Com quantos peixinhos ficou?

Novamente, cada um destes problemas gera outros:

• Maria estava jogando trilha. Tirou 6 no dado e

caiu na casa número 30. Em que casa estava antes

dessa jogada?

• Maria estava na casa 24 de um jogo de trilha. Em

uma jogada, avançou até a casa número 30. Quan-

to ela tirou no dado para chegar aí?

• Carlos tinha um aquário com lindos peixinhos.

Um dia, 7 deles morreram e só sobraram 5.

Quantos peixinhos ele tinha antes disso?

• No aquário de Carlos havia 12 peixinhos. Um dia,

ele percebeu que somente 5 estavam vivos.

Quantos morreram?

Comparação

• Pedro e Antônio colecionam selos. Pedro tem 35 e

Antônio, 42. Quantos selos Antônio tem a mais?

Em resumo

• Ao analisar as estratégias adotadas pelas crianças,

constatamos que elas alcançam seus resultados a

partir de diferentes raciocínios. Por isso, achamos

discutível a necessidade de associar uma só opera-

ção a cada problema. Além disso, mostramos aqui

como são próximas as situações relacionadas com

a adição e com a subtração.

• Buscamos destacar como é importante levar em

conta as formas que as crianças constroem para

resolver os problemas apresentados, tanto para ga-

rantir que ampliem suas idéias e seus conhecimen-

tos das operações, quanto para se sentirem confian-

tes em relação aos conhecimentos matemáticos que

já construíram.

• Além de garantir que os alunos possam buscar suas

estratégias de resolução, é fundamental proporcio-

nar-lhes o contato com diferentes idéias relaciona-

das com as operações.

Programa 7

resolução de problemas aritméticos muitas ve-

zes é entendida como uma oportunidade de

aplicar formas de cálculo já aprendidas, como

os algoritmos (ou contas armadas). Para os alunos, es-

ses problemas não representam nenhum problema,

pois já lhes foi ensinado tudo que precisam para

resolvê-los.

No entanto, o que acontecerá se propusermos as

mesmas situações-problema a nossos alunos e dei-

xarmos eles buscarem suas próprias formas de reso-

lução?

Quando a situação envolve quantidades pequenas,

as crianças podem fazer representações: desenham

palitos ou bolinhas, contam nos dedos etc.

Quando as quantidades envolvidas implicam nú-

meros de pelo menos dois dígitos, elas tentam recor-

rer aos mesmos procedimentos, mas logo percebem

que ‘perdem a conta’ facilmente, se confundem e não

encontram o resultado correto. Para superar essa di-

ficuldade, freqüentemente a criança cria formas de re-

solução bem interessantes, utilizando basicamente a

decomposição decimal.

Veja, por exemplo, em relação a este problema:

Os alunos da 1

série resolveram organizar uma

gibiteca. No primeiro dia conseguiram 23 gibis e

no segundo, 46. Quantos gibis conseguiram no

total?

INVENTANDO

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

achar o resultado em situações desse tipo. No en-

tanto, a adição e a subtração envolvem também

idéias mais complexas.

A construção de diferentes significados deve ser en-

tendida como um processo, ou seja, para que se con-

cretize, o aluno precisa trabalhar durante o tempo que

for necessário com situações e idéias variadas.

“É importante que os alunos tenham oportuni-

dade de trabalhar problemas de adição e subtração

nos dois ciclos, em função das dificuldades lógicas

que vão sendo colocadas à medida que avançam no

estudo dos números e dos procedimentos de cálcu-

lo” (PCN - Matemática, p. 68).

Programa 7

Inventando estratégias de cálculo

Se você perguntar como fizeram a conta 20 + 40,

talvez respondam: “Se eu sei que 2 + 4 é 6, então é só

juntar um zero, no 20 + 40, para ficar 60”.

Esta é uma propriedade do sistema de numeração

decimal, pois o 20 são ‘dois dez’, o quarenta são ‘qua-

tro dez’, e a soma dá ‘seis dez’.

Aqui também os alunos estão utilizando proprie-

dades da adição, mesmo sem saber formulá-las.

Quando somam separadamente 20 + 40, e depois 3 + 6,

as crianças estão aplicando a propriedade associativa

da adição: a soma de várias parcelas não se altera se

somarmos separadamente duas (ou mais) delas, para

depois juntarmos as outras.

Haverá ainda alunos que farão o seguinte cálculo:

23 + 46 = 46 + 23 23 = 10 + 10 + 3

46 + 23 = 46 + 10 + 10 + 3

46 + 10 = 56

56 + 10 = 66

66 + 3 = 69

Neste caso, a criança também se apoiou na decom-

posição decimal, mas fez isso apenas com um dos ter-

mos da adição (decompôs o 23 em 10 + 10 + 3), que

foi somando parceladamente ao 46 nas três últimas

contas. Observe também que ela inverteu a ordem das

parcelas em relação ao enunciado, aplicando assim a

propriedade comutativa da adição.

Pensar matematicamente

Ao elaborar tais estratégias, as crianças procuram resol-

ver o problema de forma mais eficiente e menos traba-

lhosa; também se vêem diante da possibilidade de utili-

zar conhecimentos que já construíram a respeito dos

números. Criam assim novas formas de resolução.

Algumas crianças resolveram da seguinte forma:

23 = 10 + 10 + 3

23 + 46 = 10 + 10 + 3 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 3

60 + 6 + 3 = 69

Ao adotar este esquema, a criança demonstra que

já compreende que o 23 é formado por duas vezes o

número 10, acrescido do 3; e que o 46 corresponde a

quatro vezes o número 10, acrescido do 6. E assim

decide que pode simplificar a operação, contando

primeiro todos os 10, para depois juntar o 3 e o 6.

Ao contar primeiro todos os 10, a criança está apli-

cando a propriedade comutativa da adição (mesmo

sem ter conhecimento dela), ou seja, percebe que

pode alterar a ordem em que as parcelas serão so-

madas, sem que o resultado se altere.

Outras crianças podem fazer o seguinte:

Esta estratégia é mais elaborada que a anterior;

aqui, o aluno já está sabendo que o 23 é ‘formado’

pelo 20 + 3 e o 46, pelo 40 + 6.

46 = 10 + 10 + 10 + 10 + 6

23 + 46 = 20 + 3 + 40 + 6

3 + 6 = 9

20 + 40 = 60

60 + 9 = 69

—>

Programa 7

Inventando estratégias de cálculo

Consumo de pães Quantidade

No 1

dia

No 2

dia

Total

Depois de preenchida, a tabela ficou assim:

A professora pediu então para as crianças calcu-

larem o total de pães servidos nos dois dias. Apare-

ceram diversas formas de resolução:

forma

RESPOSTA: 81

forma

47 +

RESPOSTA: 81

forma

47 + 34 = 40 + 7 + 30 + 4

40 + 30 = 70

7 + 4 = 11

70 + 11 = 70 + 10 + 1 = 80 + 1 = 81

RESPOSTA: 81

Consumo de pães Quantidade

No 1

dia

No 2

dia

Total

3434

4747

Com soluções como essas apresentadas, nossos

alunos estão utilizando os conhecimentos que já cons-

truíram a respeito do sistema de numeração decimal.

Para desenvolver tais conhecimentos, é importante

que tenham várias oportunidades de interagir com os

números (de diferentes grandezas), discutir e trocar

informações, ao mesmo tempo que trabalham com as

operações.

Mesmo quando recorrem a estratégias como es-

sas, as crianças podem cometer erros de cálculo. A

atuação do professor é fundamental: ele deve apon-

tar o erro, mas é importante que valorize a adequa-

ção da resposta apresentada, para que o aluno conti-

nue a realizar seu trabalho de forma confiante.

Nem todos os alunos farão uso de estratégias ela-

boradas. Muitos precisarão se apoiar na representa-

ção das quantidades, uma a uma, outros procurarão

contar nos dedos. Então, como fazer para que tais

conhecimentos possam ser compartilhados por um

número maior de crianças? Veja a seguir um exemplo.

Ampliação das

estratégias de cálculo

Uma professora de 1

série propôs a seguinte situação:

Vamos à cozinha da escola, para perguntar às cozi-

nheiras quantos pães usaram hoje para preparar a

merenda. Amanhã faremos a mesma coisa e anota-

remos as quantidades nesta tabela:

Programa 7

Inventando estratégias de cálculo

rer a outras estratégias de cálculo. Algumas eram

menos trabalhosas e mais seguras, evitando o risco

de cometer erros ao fazer a contagem.

Em outra aula, a professora apresentou mais um

problema que poderia ser resolvido pela adição e

propôs que as crianças trabalhassem em grupos. Su-

geriu que utilizassem uma das formas discutidas na

aula anterior, deixando de fora as que envolviam con-

tagem de um em um.

A professora queria garantir o avanço de seus alu-

nos, propondo que experimentassem as estratégias dos

colegas. Ao formar os grupos, procurou colocar em cada

um deles pelo menos uma das crianças que haviam uti-

lizado as formas de resolução mais adequadas.

Para as crianças que haviam recorrido à contagem

de um em um, entrar em contato com as estratégias

elaboradas pelos colegas contribuiria para seu avan-

ço. Com isso iriam assimilando as técnicas que se

apóiam na decomposição decimal.

Conclusões

Para que as crianças elaborem suas próprias estraté-

gias de cálculo, é preciso respeitar algumas condições

de trabalho na sala de aula:

• O trabalho com as operações deve ser desenvol-

vido ao mesmo tempo que abordamos o modo

de representar os números no sistema de nume-

ração decimal. As crianças se apóiam nesses co-

nhecimentos para elaborar suas estratégias;

além disso, ao criar novas estratégias de resolu-

ção de problemas, elas estão avançando também

na própria compreensão das propriedades do

sistema numérico.

• É importante que as situações-problema propos-

tas façam sentido para as crianças, que tenham

algum vínculo com seu cotidiano. É uma forma

forma

34 = 10 + 10 + 10 + 4

47 = 10 + 10 + 10 + 10 + 7

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 4 + 7 = 81

RESPOSTA: 81

forma

47 + 10 = 57

57 + 10 = 67

67 + 10 = 77

77 + 4 = 81

RESPOSTA: 81

Ao propor que as crianças registrem a estratégia que

utilizaram, o professor favorece uma boa oportuni-

dade de troca entre elas. Em primeiro lugar, permite

que cada uma entenda com maior clareza o próprio

raciocínio. Além disso, promove o progresso da clas-

se como um todo, já que a confrontação e a discus-

são são mais produtivas a partir das anotações (e

não apenas das explicações orais).

No dia seguinte, para explorar bem as distintas

formas de resolução, a professora chamou vários alu-

nos para mostrar na lousa aos colegas “seu modo de

resolver”. Enquanto isso, ia fazendo perguntas do tipo:

Por que você colocou que 34 é igual a 10 + 10 + 10 + 4?

Era uma forma de fazer os alunos pensarem no que

haviam feito, organizando seu conhecimento.

Algumas crianças que haviam adotado a 1

e a 2

formas de resolução perceberam que poderiam recor-

Programa 8

s contas de adição e subtração representam uma

das grandes dificuldades das crianças de 1

e 2

séries. Muita gente acredita que, para aprender

essas contas, basta decorar uma série de etapas. Por

exemplo, para resolver esta conta:

Em geral, as crianças aprendem a ir recitando

mentalmente o que fazer: “oito mais quatro igual a

doze, fica dois, vai um. Um mais dois mais quatro

igual a sete. O resultado é 72”.

Essa criança sabe fazer a conta; mas, se lhe per-

guntarmos o que significa o ‘vai 1’, ela pode respon-

der: Não sei, só sei que é assim que precisa fazer. Ou

então: É porque é... aprendi desse jeito...

Permitir que as crianças tenham acesso a diferentes

formas de calcular, seguindo várias propostas, é mais

coerente com o que acontece no dia-a-dia.

As contas são ensinadas como ‘técnicas’ ou seja,

“séries de ações que, se repetidas, conduzem ao re-

sultado esperado”. Na maioria das vezes, essas ações

são aplicadas sem que se saiba seu significado, sem

que se saiba o porquê de cada etapa; sem saber o que

faz a conta “dar o resultado correto”.

DESARMANDO AS CONTAS

de garantir que compreendam as ações contidas

nos enunciados, contribuindo para que ampliem

suas idéias a respeito das operações.

• Ao permitir que nossos alunos encontrem suas

próprias estratégias, estamos garantindo que

venham a utilizar, em uma situação nova, os co-

nhecimentos que já possuem sobre os números.

Além disso, também criamos a possibilidade de

identificação das situações matemáticas como

um estímulo para o aparecimento de novas

idéias. Para que os alunos sintam de fato a ne-

cessidade de buscar suas próprias estratégias de

cálculo, é indispensável o professor não apre-

sentar antes outras técnicas para resolver o mes-

mo problema. Se a situação-problema for ape-

nas uma oportunidade para as crianças realiza-

rem contas que já sabem, estamos implicitamen-

te solicitando uma atitude passiva: basta aplicar

uma técnica.

• Dar aos alunos a oportunidade de discutir suas

produções contribui para socializar os conhecimen-

tos individuais e, ao mesmo tempo, oferece outra

alternativa de concepção do ensino de Matemáti-

ca. “Se a Matemática é uma coleção de relações

formais e estabelecidas, não há lugar para discutir

[...]. Mas se matemáticas são também as idéias e

produções dos alunos, geradas a partir de um pro-

blema, então pode haver lugar para o debate e a

demonstração. Nesse debate, nas tentativas de pro-

var ou refutar, os alunos aprendem a explicitar suas

idéias e socializá-las e se formam, pouco a pouco,

na arte de demonstrar.” (David Block & Martha

Dávila. “La Matemática expulsada de la escuela”,

Educación Matemática (3), vol. 5. México, 1993).

Programa 8

Desarmando as contas

a) Arredondar os números envolvidos e obter uma

soma aproximada. Neste caso, faríamos: 30 (‘ar-

redondando’ 29) mais 30 (‘arredondando’ 32).

Portanto, 60, que seria um valor aproximado do

resultado dessa conta.

b) Utilizar a decomposição decimal dos números.

Neste caso, 29 se converteria em 20 + 9 e 32 ficaria

30 + 2. Em seguida, é preciso somar as dezenas: 20

(do 29) + 30 (do 32) = 50. Depois, somar as unida-

des: 9 (do 29) + 2 (do 32) = 11. Por fim, basta juntar

os totais parciais encontrados: 50 + 11 = 61.

c) Recorrer a outras decomposições. Poderíamos

fazer o seguinte:

29 = 25 + 4 32 = 25 + 7

29 + 32 = 25 + 25 + 4 + 7

29 + 32 = 50 + 4 + 7

A escolha da estratégia mais adequada depende

da situação. No caso do supermercado, se eu quiser

apenas ter uma idéia aproximada de quanto já gastei,

talvez a primeira estratégia seja melhor.

Oferecer aos alunos a possibilidade de experimentar

diferentes formas de cálculo favorece a escolha das

estratégias mais adequadas, na vida prática. O

algoritmo tradicional (ou conta armada) também é

importante e precisa ser ensinado. Mas não como a

única forma de calcular.

Se queremos que nossos alunos tenham contato

com o algoritmo, mas que não o aprendam como uma

série de passos sem significado, e também queremos

que experimentem outras estratégias, é importante

dar-lhes tempo para pesquisar, trocar experiências

com seus colegas e ‘inventar’ formas de calcular, an-

tes de aprender o algoritmo.

Além disso, com freqüência o ensino da conta ar-

mada se confunde com a própria operação a que se

relaciona. Ouvimos dizer que “aquele aluno já sabe

somar”, porque ele saber fazer uma conta de adição.

A operação de adição é um conteúdo bem mais am-

plo e complexo, que envolve várias ações e várias

idéias, não apenas uma técnica de cálculo.

Outro ponto a ser considerado é que, para as crian-

ças, é importante o contato com diferentes maneiras de

calcular e, principalmente, é importante que possam uti-

lizar estratégias criadas por elas mesmas. Entre outras

coisas, as várias formas de calcular constituem um óti-

mo recurso para controlar os resultados obtidos.

O algoritmo da adição

Ao aprender o algoritmo da adição, uma criança de 1

série fez esta conta:

Como ainda não havia compreendido o transpor-

te para a coluna das dezenas, somou as unidades e

colocou o 12 abaixo da linha; depois, somou as deze-

nas e encontrou o resultado apresentado.

No entanto, essa criança já realizava há algum tempo

suas contas por meio da decomposição dos números; e

sabia que o resultado deveria estar próximo de 60 (pois

somou: 20 + 40 = 60, sendo o 20 do 28 e o 40 do 44). Antes

mesmo que o professor apontasse, percebeu que seu re-

sultado não estava correto. O fato de ter acesso a diferentes

estratégias de cálculo ajudou-a a controlar seu resultado.

Quando vamos ao supermercado e temos de so-

mar o total de uma compra como, por exemplo, 29 +

32, podemos:

Programa 8

Desarmando as contas

Ensinar aos alunos diferentes técnicas de cálculo

(como a conta armada), com base no que eles mes-

mos criaram pensando em correspondências, é uma

ótima maneira de valorizar suas contribuições. Além

disso, garante que o aprendizado não seja memori-

zado mecanicamente, sendo compreendido de fato

pelas crianças.

A busca de estratégias pessoais de realização do cál-

culo envolve diversos conhecimentos a respeito dos

números e da maneira de operar com eles. Todo esse

aprendizado será fundamental para a compreensão dos

passos envolvidos na realização da conta armada.

Estratégias pessoais

O que acontece quando se propõe às crianças que

resolvam contas, antes de terem aprendido a conta

armada? Vejamos na conta já citada:

A criança que resolveu essa conta está na 1

série. Tal

como toda sua classe, ela recebe estímulos para buscar

formas novas de resolver seus problemas, mostrar suas

soluções aos colegas e discutir as diferentes estratégias.

A professora costuma acolher com atenção as diversas

tentativas e valorizar as contribuições dos alunos. Nesse

contexto, as crianças se sentem à vontade para associar di-

ferentes conhecimentos e buscar suas próprias soluções.

Lucas resolveu assim a mesma conta:

28 + 44 =

20 + 8 = 28 E 40 + 4 = 44

20 + 40 = 60 E 8 + 4 = 12

60 + 12 = 60 + 10 + 2 = 70 + 2 = 72

Comparando este modo de calcular com aquilo

que acontece na conta armada, vemos que há muitas

semelhanças. Essa comparação pode sugerir possibi-

lidades de desenvolver o trabalho com a conta arma-

da de forma mais eficiente.

Estratégia de Lucas

Inicialmente, decompôs

os números envolvidos e

agrupou separadamente

as dezenas e as unida-

des:

20 + 8 = 28

40 + 4 = 44

20 + 40 = 60

8 + 4 = 12

Quando juntou seus resul-

tados parciais, ele encon-

trou:

60 + 12 = 60 + 10 + 2

Ou seja, fez uma nova de-

composição do 12, obten-

do mais uma dezena para

juntar ao resultado da

adição das dezenas que já

havia feito.

Na conta armada

Estes passos corres-

pondem àquilo que

fazemos ao alinhar os

algarismos em colu-

nas, de acordo com a

ordem que represen-

tam: unidades embai-

xo de unidades, deze-

nas sob dezenas:

A nova dezena obtida a

partir da soma das uni-

dades é exatamente o

‘vai um’ que aparece

nessa mesma adição:

44+

Programa 8

Desarmando as contas

—>

Quando cortamos o 7, para que ele ‘empreste 1’

ao 2, estamos cobrindo os seguintes passos:

a) Separamos uma das dezenas do 70, transfor-

mando-o em 6 dezenas + 10 unidades.

b) Juntamos as 10 unidades com o 2, totalizando

12.

É muito importante não esquecer que, nesta con-

ta armada, o 7 não é apenas um 7: na verdade, ele

continua ‘valendo 70’, ou 7 dezenas. Quando ‘empres-

ta 1’, está emprestando uma dezena, que se juntará

com as duas unidades, transformando o 2 em 12 (10

+ 2).

É mais ou menos isso que Juliana fez, ao ‘trans-

formar’ um 10, daqueles em que decompôs o 72, em

dez palitos. Ela não juntou essas dez unidades com

as outras duas porque, para seu cálculo, isso não se-

ria necessário. Mas, no algoritmo, é.

A conta de ‘escorregar’

Uma outra maneira de realizar a conta de subtração é

aquela em que se empresta 1, mas esse 1 ‘escorrega’

e é acrescentado ao subtraendo:

É bem mais difícil explicar o que aconteceu neste

caso. Por que esse procedimento dá certo? Antes de

responder, vamos observar estas subtrações:

12 - 5 = 7

22 - 15 = 7

14 - 7 = 7

O algoritmo da subtração

No ensino da conta de adição, a principal dificuldade

é o transporte (o ‘vai um’). E a conta de subtração tam-

bém coloca seus desafios, se quisermos que as crian-

ças não se limitem a repetir as etapas, sem

compreendê-las.

No caso da subtração, o maior desafio é explicar

o significado do ‘empresta 1’. Vamos partir de um

exemplo, e vejamos como os alunos resolvem, antes

de aprender a conta armada.

João tinha 72 reais. Gastou 38 reais comprando al-

gumas roupas. Quanto sobrou?

Juliana resolveu o problema assim:

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 2

RESPOSTA: 34 REAIS.

É simples compreender o que ela fez, não é? Ela

decompôs o 72 em 7 grupos de 10, pois sabe que o 7

do número 72 vale 7 vezes o número 10. Depois, ris-

cou os três grupos de 10 correspondentes ao 38. Para

subtrair o 8, transformou uma das dezenas restantes

em dez unidades, deixando sobrar 2 (10 - 8). Feito

isso, bastou contar quanto sobrou.

Como seria a conta armada para resolver esse

mesmo problema?

Programa 8

Desarmando as contas

A segunda conta envolve o conhecimento de uma

propriedade da subtração – “se somarmos ou subtrair-

mos um mesmo valor aos dois termos de uma sub-

tração, não alteraremos o resultado”. Não é fácil com-

preender isso nas séries iniciais.

Para finalizar

Procuramos enfatizar a importância de não tratar de

forma mecânica o aprendizado do algoritmo. Os dife-

rentes passos de seu processo de resolução têm sig-

nificados precisos. A compreensão desses passos con-

tribui para evitar que as crianças cometam erros cria-

dos pela incompreensão do processo e, por outro

lado, permite que elas estabeleçam relações com as

propriedades do sistema de numeração.

Propor atividades nas quais as crianças têm a

possibilidade de explorar formas pessoais de cálculo,

antes de apresentar a elas o algoritmo convencional,

permite que elas tenham contato com procedimentos

variados. Isso será útil para entenderem o algoritmo

como apenas uma, entre várias possibilidades de cal-

cular.

Vimos também que as estratégias de cálculo ela-

boradas pelas crianças podem ser um ótimo recurso

para que compreendam melhor o mecanismo da con-

ta armada.

Para concluir: permitir que os alunos criem suas

próprias estratégias contribui para valorizar sua pro-

dução e para estimular uma atitude aberta ao buscar

novas soluções, nas mais diferentes situações-proble-

ma apresentadas.

Como você vê, as três subtrações têm o mesmo re-

sultado. Isso se deve a uma propriedade da subtração.

Quando somamos um mesmo valor ao minuendo e

ao subtraendo, não alteramos o resultado da subtra-

ção. Esta é uma propriedade da subtração.

Veja o que foi feito:

Na conta armada que estávamos resolvendo com

Juliana fizemos assim:

Assim, somando 10 aos dois termos, o resultado

da subtração se mantém o mesmo.

Para os alunos das primeiras séries é sem dú-

vida bem mais fácil compreender o primeiro modo

de fazer uma subtração, ‘emprestando 1’. Fica mais

simples relacionarem as várias etapas desse mé-

todo aos conhecimentos que já construíram. Eles

sabem que, no 72, o 7 vale 70 ou 7 grupinhos de

10; que um desses grupinhos de 10 corresponde a

10 unidades, e assim por diante.

conta

12 - 5 = 7

(12 + 10) - (5 + 10) = 7

(12 + 2) - (5 + 2) = 7

Somamos 10 ao minuen-

do e 10 ao subtraendo

Somamos 2 ao minuendo

e 2 ao subtraendo

Este pequeno 1 junto às unidades significa que

acrescentamos 10 ao 72 (ficou 70 + 12)

Este pequeno 4 junto às dezenas significa que

acrescentamos 10 também aqui. Em vez de 3 de-

zenas, ficaram 4 (em vez de 38, temos 48).

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