une fonction arbitraire d' un des indices. Pareillement, l'
équation à trois indices exige que l' on connaisse un ou
plusieurs plans de séries, dont les termes généraux peuvent être
exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices, et
ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra, par des
éliminations successives, déterminer un terme quelconque des
séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine,
étant comprises dans un même système d' équations générales ;
toutes les expressions des termes successifs que l' on obtient
par ces éliminations, doivent être comprises dans une expression
générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme.
Cette expression est l' intégrale de
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l' équation proposée aux différences, et sa recherche est l'
objet du calcul intégral. Si l' on conçoit les indices des séries
que nous venons de considérer, comme infinis ; et qu' en divisant
chacun d' eux par un nombre infini, mais constant, on représente
ces divers quotiens par autant de variables ; si l' on regarde
ensuite, comme différence infiniment petite d' une quelconque de
ces variables, l' unité divisée par le nombre infini constant qui
lui correspond ; enfin, si l' on néglige les puissances
supérieures de ces infiniment petits, relativement aux
inférieures, et les infiniment petits eux-mêmes, eu égard aux
quantités finies ; les équations aux différences finies seront
transformées dans des équations aux différences infiniment
petites, dont les intégrales seront celles des équations aux
différences finies, dans lesquelles on aura substitué, au lieu
des indices, les variables correspondantes, en négligeant
pareillement les infiniment petits, relativement aux quantités
finies. Les quantités qu' on néglige dans ce passage du fini à l'
infiniment petit, semblent ôter au calcul infinitésimal, la
rigueur des résultats géométriques ; mais il suffit, pour la lui
rendre, d' envisager les quantités que l' on conserve dans le
développement des équations aux différences finies et de leurs
intégrales, par rapport aux puissances des différences
indéterminées, comme ayant toutes pour facteurs leurs plus
petites puissances, dont on compare entre eux les coefficiens.
Cette comparaison étant rigoureuse, le calcul différentiel qui n'
est évidemment que cette comparaison même, a toute la rigueur des
autres opérations algébriques. Mais la considération des
infiniment petits de différens ordres que l' on reconnaît souvent
avec facilité par l' inspection seule des grandeurs, et l'
omission des infiniment petits d' un ordre supérieur à celui que
l' on conserve, à mesure qu' ils se présentent, simplifient
extrêmement les calculs, et sont l' un des principaux avantages
de l' analyse infinitésimale, qui d' ailleurs, en réalisant les
infiniment petits, donne par une première approximation, les
différences et les sommes des quantités. Le passage du fini à l'
infiniment petit, a l' avantage d' éclairer plusieurs points de
l' analyse infinitésimale, qui ont été l' objet de grandes