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Dissertação de
Mestrado
Rotação do Plano de Polarização em
Métricas em Rotação
Claudia Isabel Azucena del Pilar Rivas plata Paz
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas-CBPF
Rio de Janeiro, Março de 2009
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Dedicatória
A mi mamá Lolita y mi tia Maritza.
i
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Agradecimentos
Em primeiro lugar agradecer a minha família por ter-me apoiado sempre, por ter-me dado
forças para eu seguir adiante com este objetivo sem ter que me preocupar por outra coisa.
À minha linda mãe que me deu carinho e compreensão, a meu pai que me deu segurança
e estabilidade durante toda a minha vida. Nunca acabarei de lhes agradecer.
Obrigada também a meu eterno parceiro que me deu forças em horas de ansiedade e
por ter acreditado em mim em tempos de pouca fé em mim mesma. Eu te amo Alfredo.
Agradeço ao professor José Salim por toda a paciência e bom humor durante nossas
sessões, e por todos os ensinamentos com os quais consegui concluir este trabalho.
A todos meus amigos que compratilharam comigo horas de dispersão, começando pe-
los meus companheiros de sala Cassio, Enrique, Jose…ne à pequena colonia peruana aqui
no CBPF, Virginia, William, Pablo, Diego, Victor, Jacky, etc. Obrigado a todos pela sua
amizade!
ii
Resumo
Estudamos o efeito que os campos gravitacionais produzem nas ondas eletromagnéti-
cas. O plano de polarização gira rigidamente ao longo da trajetória. A partição 1+3 de
Landau-Lifshitz de espaços estacionários nos permitiram trabalhar no formalismo tridi-
mensional. Obtivemos uma lei de evolução para o plano de polarização na aproximação
ótica geométrica. Esses resultados foram aplicados aos espaços de Kerr e Gödel
iii
Abstract
We have studied the e¤ect of gravitational …elds produced by rotating bodies on electro-
magnetic waves . The polarization plane rotates rigidlly along the trajectory. The 1+3
partition of Landau-Lifshitz of stationary spaces allowed us to work in a threedimensional
formalism. We obtained an evolution law for the polarization plane in the geometric
optics aproximation. These results were aplied on the Kerr and Gödel metrics.
iv
Sumário
Dedicatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Sumário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1 Introdução 1
2 Geodésicas em Métricas com Rotação 4
2.1 Geodésicas em Espaço de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Breve revisão da métrica de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 Equações gerais de movimento geodésico e Método de Separação
das equações de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Geodésicas em espaços de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Polarização 17
3.1 Ótica Geométrica em Espaços Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Espaço-Tempo Estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Aplicações em Espaços de Kerr e Gödel 32
4.1 Espaço de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.1 Sistemas de Referência Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
v
4.1.2 Aplicação à Métrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Espaço de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 Sistema de Referência Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2 Aplicação à Métrica de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Conclusões 44
vi
Capítulo 1
Introdução
Em relatividade geral é bem conhecido o fato de que os campos eletromagnéticos num
espaço-tempo são afetados p or campos gravitacionais provocando o fenômeno já conhecido
como a de‡exão da luz. Outro efeito produzido por campos gravitacionais é o redshift
gravitacional, que modi…ca o comprimento de onda de uma onda eletromagnética quando
esta é emitida num campo gravitacional forte e detetada num ponto onde o campo grav-
itacional é fraco. Mas existe outro efeito, que se produz quando as fontes do campo grav-
itacional estão girando: o fenômeno da rotação do plano de polarização da luz. Este efeito
foi abordado por diferentes autores com diferentes enfoques [4], [7], [8], [9], [11], [10], [6] .
O estudo feito por Mohamad [3] consiste em fazer uma analogia com o efeito da rotação de
Faraday num contexto gravitoeletromagnético. Demonstra-se que a rotação têm a mesma
forma integral que o efeito de Faraday habitual, ou seja o ângulo de rotação é proporcional
à integral de linha da componente do camp o gravitomagnético ao longo da trajetória do
raio de luz. Outro trabalho que aborda o tema é o de Mashhoon[6], ele considera que
as ondas se propagam num espaço plano, mas na presença de um "meio"de…nido por
sua permissividade elétrica e permeabilidade magnética. É nelas onde são encontradas as
propriedades do espaço-tempo. Nesse contexto as equações de Maxwell são escritas numa
forma não covariante de tal forma que elas serão equivalentes às equações eletrodinâmicas
num meio.
1
Apesar de ambos estudarem o mesmo problema, o enfoque proposto por Mohammed
não podería ser aplicado para a métrica de Gödel, já que para achar o ângulo de rotação,
ele integra numa curva fechada, dividida em duas partes, dentro da qual …ca a fonte.
Uma parte passa perto da fonte e a outra está in…nitamente longe da fonte. Isso faz que
a contribuição da trajetoria que está longe seja nula, com isso ele aplica o teorema de
Stokes e resolve o problema. Porém em Gödel o espaço é homogeneo e não têm região
assintóticamente plana. Conseqüentemente não é possível aplicar este método no espaço
de Gödel.
Em nosso trabalho vamos estudar a rotação do plano de polarização de uma onda
eletromagnética num campo gravitacional baseado no artigo de Fayos e Llosa [5]. Os
espaços nos quais vamos estudar este efeito serão os espaço de Kerr que já for estudado
em [5] e o espaço de Gödel, onde esse método não foi utilizado. Ambos são espaço-tempos
com métricas em rotação.
No primeiro capítulo são descritos os comportamentos das geodésicas em cada espaço-
tempo. As geodésicas têm um papel muito importante na relatividade geral porque uma
vez determinadas, elas dão toda a informação sobre o movimento de uma partícula livre
nesse espaço. Então o problema do cálculo do movimento se reduz a achar as geo désicas
de uma geometria dada. No caso do espaço-tempo de Kerr, que é um espaço-tempo
estacionário e apresenta simetria axial, a simples vista veremos que existem três leis de
conservação, a do momento angular por ter simetria axial, a da energia por ser estacionário
e a conservação da norma da 4-velocidade, porém todas elas não serão su…cientes para
resolver o problema de encontrar as equações geodésicas. O que se fez então foi aplicar
o método de separação de variáveis das equações de Hamilton-Jacobi, méto do descoberto
por Carter. No caso de Gödel utilizamos um outro método, desenvolvido por Novello
et al [2], onde o potencial efetivo é utilizado para tirar informação das geo désicas sem
necessitar integrar.
O capítulo 2 estará dedicado ao estudo do propósito deste trabalho, a polarização.
Começando vamos obter as principais leis da ótica geométrica em espaços curvos no
2
marco da relatividade geral. Por outro lado usaremos a partição 1 + 3 de Landau-Lifshitz
para espaços-tempo estacionários, onde a conexão r da variedade Riemanniana
4
se
relaciona com a conexão
~
r em
3
: A seguir na seção Polarização o tensor eletromagnético
é de…nido por medio do potencial vetor eletromagnético e são aplicados alguns resultados
da ótica geométrica e …nalmente com isso obtemos as equações de propagação dos vetores
de polarização e vetor de onda k.
No último capítulo são feitas as aplicações dos resultados obtidos no capítulo anterior
nas geometrias de Kerr e Gödel. Estudamos o efeito quando o raio se propaga em
diferentes direções. No espaço de Kerr no primeiro caso o raio incide paralelamente ao
eixo de simetria do espaço onde as equações obtidas no capítulo 1 devem ser modi…cadas
de acordo com a direção do raio. No segundo caso o raio emerge radialmente onde também
neste caso as equações geodésicas gerais do capítulo 1 devem ser modi…cadas segundo as
condições do caso. No espaço de Gödel o ângulo é calculado para os caso em que o foton
se propaga numa direção paralela ao eixo z , quando se propaga no plano (r; '), e numa
direção arbitraria.
3
Capítulo 2
Geo désicas em Métricas com
Rotação
Em Relatividade Geral as geodésicas têm um papel importante, já que o movimento
de uma partícula sob ação de uma distribuição de energía e momento, que modi…ca a
geometria, é reduzido ao problema de determinar as geodésicas do espaço-tempo.
Nesta seção estudaremos os movimentos geodésicos em espaço-tempos estacionários
com rotação em particular os espaços de Kerr e Gödel. Para o espaço de Kerr é usado
o método de separação das equações de Hamilton-Jacobi [1] . Para o espaço de Gödel é
usado o método do potencial efetivo [2]:
2.1 Geodésicas em Espaço de Kerr
2.1.1 Breve revisão da métrica de Kerr.
A solução de Kerr em coordenadas de Boyer-Lindquist é dada por
ds
2
=
1
2Mr
2
dt
2
r
2
+ a
2
+
2Mra
2
sin
2
2
sin
2
d'
2
+
4aMr sin
2
2
d'dt
2
dr
2
2
d
2
(2.1)
4
r
2
2mr + a
2
;
2
r
2
+ a
2
cos
2
:
Esta expressão é a mais usada porque permite com mais facilidade obter informação
das caracteristicas e propriedades do espaço. A simple vista vemos que o elemento de
linha (2:1) depende dos parametros a e m, e ao mesmo tempo se reduz à solução de
Schwarzschild quando a = 0. Mas o que representa o parâmetro a?. Deixemos esa
pergunta para o …nal.
Os coe…cientes em (2:1) não dependem de t nem ': A não dependencia de t indica que
a solução é estacionária, ou seja ela admite um vetor de killing tipo tempo
@
@t
em todo o
espaço-tempo. A independência de ' indica que ela têm simetria axial. Isto signi…ca que
existe um eixo …xo de simetria no qual a rotação da solução permanece invariante.
Outra propriedade interessante do espaço de Kerr é a invariança com respeito à re‡exão
das coordenadas t e '; ou seja se t ! t e ' ! ' se transformam simultaneamente, a
equação (2:1) permanece invariante. Isto nos sugere que o espaço de Kerr é o produto de
uma fonte em rotação. O elemento de linha é invariante tambem se t e a se transformam
como t ! t e a ! a simultaneamente, então podemos dizer que a sería responsável
pela direção de rotação.
A terceira propriedade a considerar é a presença de um elemento cruzado dtd'.
Fazendo uma analogía com a teoria Newtoniana, também sugere uma rotação. Falando
rigorosamente, não existe um análogo clássico à métrica de Kerr. Na teoría clássica da
gravitação, o campo de um corpo com simetria axial é indep endente de seu movimento
rotacional diferindo com os resultados em relatividade. Em 1918 Lense e Thirring acharam
a solução para uma esfera com densidade constante em rotação. Eles conseguiram en-
contrar uma solução aproximada válida só para taxas baixas de rotação e para campos
5
gravitacionais fracos tanto dentro como fora da esfera. A solução exterior à esfera é:
ds
2
=
1
2m
r
dt
2
1 +
2m
r
d
2
+ 4
kJ
r
sin
2
d'dt: (2.2)
Podemos chegar a esta solução se aproximamos (2:1) expandindo em primeira ordem
a ,onde r. O elemento de linha nessa aproximação …ca:
ds
2
=
1
2m
dt
2
+
1 +
2m
1
dr
2
+
2
d
2
+ sin
2
d'
2
+ 4
ma
sin
2
d'dt: (2.3)
Vemos que esta expressão é a solução de Schwarszchild exata mais um termo cruzado,
usamos este fato para expressar o elemento de linha em sua forma isotrópica usando as
mesmas co ordenadas isotrópicas de métrica de Schwarszchild. Seja = ^ (1 + m2^)
2
.
Onde ^ é a coordenada isotrópica e expandindo outra vez em primeira ordem em
m
^
; e
temos,
ds
2
=
1
2m
^
dt
2
1 +
2m
^
1
d
2
+ 4
ma
^
sin
2
d'dt; (2.4)
onde d
2
é o elemento de linha tridimensional
d^
2
+ ^
2
d
2
+ ^
2
sin
2
d'
2
. Comparando
ambas soluções, a de Kerr (2:4) e a de Lense e Thirring (2:2), podemos fazer a correspon-
dencia
a
J
m
: (2.5)
Assim, respondendo a pergunta feita anteriormente, o parámetro a é uma medida do
momento angular por unidade de massa da fonte. Cabe ressaltar que isto não implica que
a fonte no espaço de Kerr seja necessariamente esférica pois esta solução baseia-se num
argumento aproximado da solução de Lense -Thirring. Por isso para referir-nos à fonte só
diremos que ela possui um momento angular igual a ma sem falar da sua estructura
6
2.1.2 Equações gerais de movimento geodésico e Método de
Separação das equações de Hamilton-Jacobi
Sabendo agora que o espaço de Kerr é estacionário e têm simetría axial é possível encontrar
duas constantes de movimento: a energía e o momento angular. Além disso a norma da
quadri-velocidade também é …xa. Com isso já temos três quantidades que se conservam,
mas estas três constantes não serão su…cientes para resolver as equações de movimento
geodésico. Contudo é possível ainda resolver o problema usando o fato de se po der separar
as equações de Hamilton-Jacobi e com isso encontrar mais uma quantidade conservada[1].
Método descoberto por Carter(1968). A continuação se obterão as equações geodésicas
que se derivam usando este método.
Tendo o lagrangeano,
2L =
1
2Mr
2
_
t
2
+
4aMr sin
2
2
_
t _'
2
_r
2
2
_
2
r
2
+ a
2
+
2a
2
Mr
2
sin
2
sin
2
_'
2
;
(2.6)
facilmente podemos deduzir a energia e o momento angular, utilizando
p
=
@L
@
:
x
(2.7)
E = p
t
=
1
2Mr
2
_
t +
2aMr sin
2
2
_'; (2.8)
L
z
= p
'
=
2aMr sin
2
2
_
t +
r
2
+ a
2
+
2a
2
Mr sin
2
2
sin
2
_': (2.9)
A equação de Hamilton-Jacobi num espaço-tempo de tensor métrico g
está dada
por,
7
2
@S
@
= g
S;
S;
(2.10)
onde S é a equação principal de Hamilton, com g
para a geometria de Kerr dada
por,
g
=
0
B
B
B
B
B
B
B
@
2
2
0 0
2aMr
2
0
2
0 0
0 0
1
2
0
2aMr
2
0 0
(a
2
sin
2
)
2
sin
2
1
C
C
C
C
C
C
C
A
; (2.11)
a equação …ca ,
2
@S
@
=
2
2
@S
@t
2
+
4aMr
2
@S
@t
@S
@'
( a
2
sin
2
)
2
sin
2
@S
@'
2
+ (2.12)
2
@S
@r
2
1
2
@S
@
2
;
é mais conveniente escrever a equação da seguinte forma :
2
@S
@
=
1
2
r
2
+ a
2
@S
@t
+ a
@S
@'
2
1
2
sin
2
a sin
2
@S
@t
+
@S
@'
2
2
@S
@r
2
1
2
@S
@
2
(2.13)
por outro lado,
k
= (
_
t; _r;
_
; _'):
j k j
2
=
1
em nosso caso consideramos geodésicas nulas, logo
1
toma o valor de 0, mas vamos manter
1
para estudo mais geral deste método.
Podemos encontrar a solução para a equação (2:13) utilizando o método de separação
de variáveis, propondo que S seja da forma
8
S =
1
2
1
Et + L
z
' + S
r
(r) + S
(); (2.14)
Substituindo (2:14) em (2:13) e usando a identidade :
(aE sin
2
L
z
)
2
cos ec
2
= (L
2
z
cos ec
2
a
2
E
2
) cos
2
+ (L
z
aE)
2
; (2.15)
a equação …ca ,
dS
r
dr
2
1
r
2
+ a
2
E aL
z
2
+ (L
z
aE)
2
+
1
r
2
+
dS
d
2
+
+
L
2
z
cos ec
2
a
2
E
2
+
1
a
2
cos
2
g = 0: (2.16)
Assím a separação está dada e podemos inferir que
dS
r
dr
2
=
1
r
2
+ a
2
E aL
z
2
` + (L
z
aE)
2
+
1
r
2
; (2.17)
dS
d
2
= `
L
2
z
cos ec
2
a
2
E
2
+
1
a
2
cos
2
; (2.18)
onde ` é a constante de separação. Abreviando,
S
r
=
Z
p
R (r)
dr =) R (r) =
r
2
+ a
2
E aL
z
2
` + (L
z
aE)
2
+
1
r
2
;
(2.19)
S
=
Z
p
()d =) () = `
L
2
z
cos ec
2
+
1
E
2
a
2
cos
2
; (2.20)
a solução para S é
S =
1
2
1
Et + L
z
' +
Z
p
R
dr +
Z
p
d (2.21)
As equações de movimento podem ser encontradas derivando parcialmente a equação
9
(2:21) com relação a cada uma das constantes de movimento `;
1
; E; L
z
e igualamos a
zero.
Com relação a ` :
@S
@`
=
1
2
Z
1
p
R
@R
@`
dr +
1
2
Z
1
p
@
@`
d = 0; (2.22)
chega-se à seguinte equação,
Z
dr
p
R
=
Z
d
p
; (2.23)
com relação a
1
:
=
Z
r
2
p
R
dr + a
2
Z
cos
2
p
d; (2.24)
com relação a E :
t =
1
2
Z
1
p
R
@R
@E
dr +
1
2
Z
1
p
d
= E + 2M
Z
r
r
2
E a (L
z
aE)
dr
p
R
; (2.25)
e com relação a L
z
:
' =
1
2
Z
1
p
R
@R
@L
z
dr
1
2
Z
1
p
@
@L
z
d;
= a
Z
r
2
+ a
2
E aL
z
dr
p
R
+
Z
L
z
cos ec
2
aE
d
p
: (2.26)
As equações (2:23 2:26) são equivalentes às equações (160 163) deduzidas em [1],
usando teoremas sobre integrais de movimento geodésico em espaços-tempo tipo-D, se a
constante de separação ` for de…nida como,
` = K (L
z
aE)
2
; (2.27)
onde K é uma integral de movimento geodésico.
10
Em particular, com esta identi…cação de ` (2:27) as equações (2:19) e (2:20) concordam
con as equações (160) e (164) de Chandrasekhar [1]. Nossas equações então são
_r =
p
R
2
; (2.28)
_
=
p
2
; (2.29)
_' =
1
2
2aMrE +
2
2M r
L
z
cos ec
2
; (2.30)
_
t =
1
2
2
E 2aMrL
z
: (2.31)
2.2 Geodésicas em espaços de Gödel
O espaço de Gödel foi objeto de estudo de vários autores, em particular o movimento
geodésico foi analizado por Chandrasekhar e Wright e por Kundt, eles encontrarom
propriedades inusuais das trajetorias das partículas, aqui nos centramos num enfoque
diferente proposto p or Novello et al. [2]. A diferença básica desta proposta está em que
foi usado o método do potencial efetivo, o qual obtém não só as mesmas propriedades
do modelo de Chandrasekhar mas ressalta também uma imagem clara do movimento de
partículas nesse espaço-tempo e sem necessidade de integrar as equações geodésicas.
Em coordenadas cilindricas (t; r; ; z) o intervalo para uma métrica de tipo Gödel é
dada por,
ds
2
= a
2
[dt + H (r) d]
2
dr
2
dz
2
R
2
(r) d
2
; (2.32)
para o espaço de Gödel,
R (r) = sinh r cosh r;
H (r) =
p
2 sinh
2
r;
a
2
=
4
!
2
e ! é a medida da rotação constante da materia.
11
Da densidade Lagrangeana
2L = a
2
_
t
2
+ 2H (r)
_
t _' +
H (r)
2
R
2
_'
2
_r
2
_z
2
; (2.33)
podemos encontrar as equações de movimento facilmente usando as equações de Euler-
Lagrange
d
d
@L
@
:
x
=
@L
@x
: (2.34)
Temos as seguintes equações de movimento,
p
t
=
_
t + H
:
'
= A
0
; (2.35)
p
z
= _z = C
0
; (2.36)
p
'
= (H
2
R
2
) _' + H
_
t = B
0
; (2.37)
Para a coordenada _r usamos o fato que j k j
2
=2 , e temos
_
t
_
t + H _'
+ _'
H
_
t +
H
2
R
2
_'
_r
2
=
2
a
2
+ C
2
0
; (2.38)
com k
= (
_
t; _r; _'; _z) e 2 pode ter valores de zero ou um para geodésicas nulas ou
tipo tempo respetivamente. De…nimos o lado direito da equação anterior atraves de um
novo parâmetro D
2
0
;
D
2
0
= C
2
0
+
a
2
(2.39)
12
onde para fotons D
0
= C
0
: As equações geodésicas podem ser escritas como,
_' =
p
2A
0
cosh
2
r
B
0
sinh
2
r cosh
2
r
; (2.40)
_
t = A
0
1
2 sinh
2
r
cosh
2
r
+
p
2B
0
cosh
2
r
; (2.41)
_z = C
0
; (2.42)
_r
2
= A
2
0
D
2
0
p
2A
0
sinh r
cosh r
B
0
sinh r cosh r
2
: (2.43)
A equação (2:43) pode ser reescrita como
_r
2
= A
2
0
V (r); (2.44)
é aqui onde o potencial e¤etivo V (r) aparece e permite entender melhor as trajetórias
das geodésicas, onde
V (r) = D
2
0
+ [
p
2A
0
sinh r
cosh r
B
0
sinh r cosh r
]
2
; (2.45)
Para nosso caso = 0 (fotons) : De (2:44) podemos inferir que A
0
é a energia total e
B
0
é interpretado como o momento angular total da trajetória. Podemos diferenciar três
tipos de trajetória tomando B
0
> 0, B
0
= 0 e B
0
< 0: De…nimos os parámetros
=
B
0
A
0
;
2
=
D
2
0
A
2
0
(2.46)
Assim (2:45) …ca em função desses parâmetros e teremos três casos distintos de V (r)
2
A
0
para > 0, = 0; < 0: [2], mostrados nos grá…cos da …gura 2:1
Podemos ver nos grá…cos que devido a que A
2
0
é uma quantidade …xa para cada geo-
désica, a trajetória é mantida num intervalo r
1
r r
2
; onde r
1
e r
2
são os limites
do casco cilíndrico onde a partícula se movimenta e são obtidos pelas raizes da equação
13
Figura 2.1: Grá…co do Potencial Efetivo para a) > 0:b) = 0:c) < 0
_r
2
= 0
sinh
2
r
i
=
1 + 2
p
2
2
1
2
1
2
h
2 +
p
2
2
1 +
2
i
1
2
2
1 +
2
; (2.47)
onde i = 1; 2:
Caso > 0
A Fig. 2.1 a) mostra que para
2
= 1 o potencial V (r) apresenta um mínimo em A
2
0
e que a foton se movimenta só no eixo z: Além disso, implica trajetórias de partículas
massivas ou fotons com momento não nulo ao longo da direção z. Para um
2
geral
(
2
6= 0 6= 1) o foton se movimenta numa casca cilíndrica entre r
1
e r
2
, a qual vai diminuir
comforme
2
! 1: Neste limite
2
! 1 (D
0
= C
0
! A
0
) toda a energia se concentra
na direção z , então os fotons viajam só na direção z a uma distância r
min
do eixo z: A
coordenada radial r correspondente ao mínimo do potencial é
r = r
min
= arcsin h
2
p
2
2
;
2
= 1
(2.48)
Substituindo (2:48) em (2:40) vemos que _' = 0 o qual con…rma que o foton se movimenta
na direção z: A única importancia que vai ter aqui é a de determinar a distância do
foton ao eixo z:
14
Por outro lado quando
2
= 0 as trajetórias correspondem a fotons que se movimentam
na casca cilíndrica r
1
r r
2
no plano z = const; já que
2
=
C
2
0
A
2
0
= 0 e tendo em conta
(2:42) :
Caso = 0
Para
2
= 0 (fotons) vemos que o valor máximo que r pode ter é sinh r
c
= 1: O valor
r = r
c
foi chamado p or Gödel como o valor que limita as regiões causais com as regiões
não causais. A …g. 2.1 b) mostra que para qualquer valor de A
2
0
os fotons vão estar sempre
con…nados a se movimentar dentro do cilindro de radio r
c
:
Caso < 0
O potencial V (r) apresenta um mínimo em
r = r
min
= arcsin h
2
"
p
2
2
1 +
p
2
#
; (2.49)
este mínimo esta dado por
V
min
2
A
2
0
= 4B
2
0
"
p
2
+ 1
#
(2.50)
E da equação (2:43) também temos
V
min
A
2
0
(2.51)
Isto implica que os valores negativos para estam limitados por
p
2 +
1 +
2
1
2
2
< 0 (2.52)
O valor mínimo de =
min
min
=
p
2 +
1 +
2
1
2
2
(2.53)
que corresponde a igualdade em (2:50) : Isto leva a valores para
2
< 1 e _' 6= 0; então
15
para este limite as órbitas terão =
min
e _' = cte 6= 0 e r = r
min
: Isto corresponde a
orbitas que são circulares na projecção no plano (r; ') :
A visualização das trajetórias se apresenta na seguinte …gura.
Figura 2.2: Grá…cos das trajectórias no plano (r; ')
16
Capítulo 3
Polarização
Nesta seção estudamos as leis da propagação da luz usando os princípios da ótica ge-
ométrica em espaços curvos, que são derivados das equações de Maxwell que servirão
para achar a equação de evolução do vetor polarização. Obteremos uma expressão para o
ângulo de rotação que este experimenta quando passa por um espaço-tempo em rotação.
3.1 Ótica Geométrica em Espaços Curvos
A ótica geométrica estuda a propagação da luz em forma de raios. Os raios são curvas
cujas tangentes coincidem com a direção de propagação da onda, ou seja são geodésicas
nulas. Para chegar à idéia de raio vamos fazer uso do conceito de ondas planas.
Ondas planas têm a propriedade de ter a amplitude constante e a mesma direção de
propagação em toda parte do espaço. Ondas eletromagnéticas arbitrarias não têm esta
propriedade, contudo em regiões pequenas podem ser consideradas localmente planas.
Para isto a amplitude e a direção de propagação devem permanecer constantes em regiões
da ordem da longitude de onda. Satisfeita esta condição podemos introduzir o conceito de
frente de onda, superfície na qual a fase é igual em todos os pontos e que é perpendicular
à direção da propagação. É nesse sentido que entra o conceito de raio. Podemos dizer
agora que a ótica geométrica estuda as leis de propagação das ondas, em particular da
17
luz, como raios sem ter em conta as propriedades ondulatórias da mesma, limitada a casos
em que ! 0:
De…nimos as seguintes longitudes,
: comprimento de onda
$ : comprimento onde , a polarização e a amplitude variam.
<: radio de curvatura do espaço onde as ondas se propagam.
A região de validade da ótica geométrica é determinado por
$; (3.1)
<: (3.2)
A ótica geométrica é valida quando o comprimento de onda é muito menor comparado
com < e $: O p otencial vetor eletromagnético A
A =
^
Ae
i
=
^
Ae
i(k:x!t+)
=
^
Ae
i
(
k
x
+
)
; (3.3)
(omitimos aqui o Re, pois é entendido que tomaremos em conta só a parte real de todas
as expressões seguintes), é expressado através de uma fase real (chamada eikonal) que
varia rapidamente onde,
(distancia propagada) . (3.4)
No caso em que a onda não seja plana e a ótica geométrica ainda é aplicável, a amplitude
^
A varia lentamente e a fase não tem a forma simples de (3:3) mas sabemos que a fase pelo
menos deve ser uma quantidade grande, já que estamos trabalhando no limite ! 0, ou
seja quando $ e < são …xadas e fazemos ir …cando menor e a fase , que é inversamente
proporcional a , vai …car maior. Em regiões pequenas do espaço a fase pode ser
18
expandida em serie, em termos de primeira ordem, temos
=
0
+ r:
@
@r
+ t
@
@t
;
comparando com (3:3) vemos que
k
=
;
=
@
@x
: (3.5)
A amplitude, como já dizíamos linhas acima, varia lentamente. Podemos então ex-
pandir a amplitude em potencias de
^
A = a + b + c + :::
Onde a é a parte dominante da amplitude e independente de , b é proporcional a , c é
proporcional a
2
, etc. Na verdade a expansão se faz em função do número adimensional
L
;
onde L =minf<; $g: Esta expansão é chamada "two-length-scale expansion"(expansão a duas escalas).
É útil introduzir o parâmetro que irá nos permitir saber quão rápido os termos do
vetor potencial irão se aproximando a zero. Assim, nosso potencial vetor ótico geométrico
toma a forma
A
=
a
+ b
+
2
c
+ :::
e
i
: (3.6)
Ou seja, qualquer termo com fator com
n
varia como
L
n
. A única importância que
o fator têm é de dar-nos uma referência de como os termos do vetor potencial variam e
pode ser eliminado quando necessário. A forma do vetor potencial eletromagnético (3:6)
é a base para encontrar todas as leis que a ótica geométrica fornece.
As equações de Maxwell para o espaço vazio e o gauge de Lorentz são:
r
r
A
= 0; (3.7)
r
A
= 0: (3.8)
19
Substituindo (3:6) na condição de Lorentz (3:8) :
A
;
=
i
k
(a
+ b
+ :::) + (a
+ b
+ :::)
;
e
i
; (3.9)
o único termo signi…cativo é da ordem
1
. Obtemos,
k
a
= 0; (3.10)
de…nindo o vetor polarização como
p
a
; (3.11)
onde = (a
a
)
1
2
é a amplitude escalar. Disso vemos que
p
k
= 0: (3.12)
As equações (3:10) e (3:12) são equivalentes e claramente vemos que tanto a amplitude
como a polarização são perpendiculares ao vetor de onda. Da equação (3:7) ; segue que
1
2
k
k
a
+ b
+
2
c
+ :::
2
i
k
a
+ b
+
2
c
+ :::
;
+
i
k
;
a
+ b
+
2
c
+ :::
(a
+ :::)
;
e
i
= 0; (3.13)
considerando só os termos de ordem
1
2
e
1
; agrupamos respetivamente e temos,
para termos de O
1
2
:
a
k
k
= 0 =) k
k
= 0: (3.14)
Esta equação revela que o vetor de onda é nulo.
20
Para termos de O
1
:
a
q
k
=
1
2
a
k
q
=)
!
r
k
!
a =
1
2
!
r
!
k
!
a ; (3.15)
obtemos a equação de propagação do vetor amplitude. É também possível obter uma
equação que determina a conservação dos fotons. Da equação anterior multiplicamos por
a
a
a
q
k
=
1
2
(
2
k
)
q
2
2
k
q
=
2
2
k
q
;
2
k
q
= 0: (3.16)
Esta equação expressa a lei de conservação do número de fotons, terceiro resultado
importante da ótica geométrica.
Da equação (3:14) e usando (3:5) chegamos a um dos principais resultados das leis da
ótica geométrica,
k
q
k
= 0 =) r
k
k = 0; (3.17)
a equação da propagação do vetor de onda, que como vemos, determina uma geodésica.
Agora de (3:15) e usando (3:11) temos que,
r
k
(p
) +
1
2
(r
k
) a
= 0;
r
k
p + p
r
k
+
1
2
(r:k)
= 0;
De (3:16) vamos ver que o segundo termo é zero,
2
q
k
+
2
k
q
= 0
2r
k
+ (r:k) = 0
r
k
=
1
2
(r:k) ; (3.18)
21
com isto podemos deduzir facilmente que,
r
k
p = 0: (3.19)
Esta última equação mostra a lei de propagação do vetor de polarização. Junto com
(3:17) formam os principais resultados da ótica geométrica.
Em conclusão podemos dizer que o vetor de polarização é paralelamente propagado
ao longo da geodésica seguida pelo raio e é perpendicular ao vetor de onda. Os vetores k
e p uma vez especi…cados num ponto são determinados ao longo do raio devido as suas
equações de propagação.
3.2 Espaço-Tempo Estacionario.
Um espaço-tempo representado pela variedade
4
; é estacionário quando possui um vetor
de killing tipo tempo u.
L
u
g = 0 ; hu:ui < 0: (3.20)
Isto quer dizer que o tensor métrico é independente da coordenada x
0
. Esta coorde-
nada é chamada tempo universal, cabe ressaltar que o tempo universal não é único, se
acrescentamos uma função dependente só das coordenadas, a métrica segue sendo inde-
pendente de x
0
. Isso se deve ao fato de ser possível escolher arbitrariamente a origem do
tempo em qualquer ponto no espaço.
Como consequencia de (3:20) na vizinhança de um evento qualquer na variedade
4
há
um sistema de coordenadas x
tal que x
0
é de tipo tempo e u = @
o
e com isso @
o
g
= 0:
Estas coordenadas estão em repouso em relação a
4
. Podemos particionar
4
num
conjunto de classes de equivalência
3
; se temos que, dado P; Q 2
4
; P Q obedecem a
mesma relação de equivalência, se e somente se existe uma curva integral de u entre P
e Q. Então, de…ne-se uma projeção canônica de
4
em
3
: As coordenadas espaciais de
qualquer sistema (x
) em repouso em
4
de…nem um sistema de coordenadas (x
i
) em
3
:
22
Este espaço
3
esta de…nido por uma métrica espacial Riemanniana
ij
,
ij
x
k
=
g
ij
g
0i
g
0j
g
00
x
k
: (3.21)
ij
= g
ij
: (3.22)
As outras componentes do tensor métrico g
ij
são:
g
i
(x
k
)
g
0i
g
00
(x
k
) ; g
i
x
k
g
0i
x
k
(3.23)
h
x
k
g
00
x
k
(3.24)
elas se transformam em
3
como um campo vetorial g e como campo escalar h respetiva-
mente. Vale notar que o produto escalar em
3
é de…nido da maneira habitual a b com
a métrica (3:21) :
De…niremos agora as derivadas
~
r em
3
e vamos ver como elas se relacionam com as
derivadas r em
4
. A conexão
se expressa através da métrica como
=
1
2
g
(g
;
+ g
;
g
;
) : (3.25)
Encontramos as componentes de
com relação as componentes espaciais da métrica
(3:21), o vetor (3:23) e o escalar (3:24) como segue
i
00
=
1
2
h
0i
; (3.26)
i
j0
=
h
2
~
r
j
g
i
~
r
i
g
j
1
2
g
j
h
0i
; (3.27)
i
jk
=
i
jk
+
h
2
g
j
~
r
i
g
k
~
r
k
g
i
+
~
r
i
g
j
~
r
j
g
i
+
1
2
g
j
g
k
h
0i
; (3.28)
onde
i
jk
são as conexões em
3
.
23
3.3 Polarização
O tensor eletromagnético F
é construido com campos elétrico E
e magnético B
. Um
observador em um ponto dado Q 2
4
caracterizado por um vetor unitario de tipo tempo
^
N; pode escrever o campo eletromagnético da seguinte forma:
F
= E
N
E
N
+
B
N
; (3.29)
os vetores E
e B
são perpendicualers a N
; e são dados por
E
= F
N
(3.30)
B
=
1
2
F
N
(3.31)
Nos limítes da ótica geométrica aplicando as equações (3:5) ; (3:6) e (3:11), o tensor
eletromagnético …ca
F
=
(x)
e
i
fp
k
p
k
g + O
0
; (3.32)
por (3:30) temos o quadri-vetor elétrico da forma
E
=
(x)
e
i
(p
k
N
p
k
N
) ;
E
=
(x)
e
i
k
N
p
p
N
k
N
k
: (3.33)
De…nimos um novo vetor
p
p
N
k
N
k
; (3.34)
que é um vetor unitario.
24
O quadri-vetor
tem as seguintes propriedades
k
= 0: (3.35)
Para qualquer sistema de refêrencia em repouso, em
4
:
^
N =
1
h
1
2
@
0
a componente zero de
0
= N
= 0 (3.36)
Isto também pode ser explicado pelo fato que as equações (3:12) e (3:14) admitem
uma transformação de
;
0
=
+ Ck
. Com o qual se demonstra que há uma certa
liberdade em escolher com o qual podemos ajustar o valor de
a zero sem perder
generalidade.
As componentes espacias
i
e k
i
se comportam como 3-vetores e k quando trans-
formadas de um sistema de coordenadas em repouso a outro em
4
: Por outro lado as
componentes
0
e k
0
permanecem invariantes ante essas transformações: É facil ver que
0
= g
0
= g
00
0
+ g
0i
i
= g
0i
i
;
0
= g
i
i
= :k: (3.37)
A componente zero de k
também pode ser expressada de maneira análoga a equação
anterior, de (3:14)
k
k
= g
k
k
= g
00
k
0
2
+ 2g
0i
k
0
k
i
+ g
ij
k
i
k
j
= 0: (3.38)
A componente k
0
em função da componente covariante k
0
pode ser obtida atraves de
k
= g
k
; segue que,
25
k
0
= g
0
k
= g
00
k
0
+ g
0i
k
i;
k
0
= g
00
k
0
g
i
k
i
;
k
0
= h
k
0
g:k
: (3.39)
Substituindo em (3:38)
k
k
= h
k
0
h
+ g
i
k
i
2
2g
00
k
0
g
i
k
i
+ g
ij
k
i
k
j
= 0; (3.40)
de (3:21)
h
k
0
h
+ g
i
k
i
2
2h
k
0
h
+ g
i
k
i
g
i
k
i
+
ij
g
i
g
0j
k
i
k
j
= 0;
h
k
0
h
+ g
i
k
i
2
2g
i
k
i
k
0
2h
g
i
k
i
2
+
ij
k
i
k
j
+ h
g
i
k
i
2
= 0;
k
2
o
h
+ h
g
i
k
i
2
+ 2k
0
g
i
k
i
2g
i
k
i
k
0
2h
g
i
k
i
2
+
ij
k
i
k
j
+ h
g
i
k
i
2
= 0;
k
2
o
h
+
ij
k
i
k
j
= 0;
k
2
o
h
k:k = 0:
k
0
=
p
h (k:k): (3.41)
Se veri…ca facilmente que
:k= 0 ; (3.42)
:= 1 ; (3.43)
onde é chamado vetor de polarização. Todas as expressões que chegamos acima vão ser
usadas para a dedução da evolução do vetor polarização.
26
De (3:34) ; de…nindo
p
N
k
N
; segue,
p
=
+ k
: (3.44)
Substituindo esta equação em (3:19) temos
k
r
p
= k
r
+ ;
k
k
= 0; (3.45)
tomando a parte espacial só:
k
r
a
+ k
;
k
a
= 0; (3.46)
a = 1; 2; 3:
Calculando o primero termo k
r
a
com ajuda de (3:26 3:28), temos que
k
r
a
=
a
;
j
k
j
+
a
ij
i
k
j
+
1
2
h
0a
0
k
0
+
h
2
~
r
i
g
a
~
r
a
g
i
0
k
i
1
2
(g:k) h
0a
0
+
1
2
g
i
h
0a
i
k
0
+
h
2
h
g
i
~
r
a
g
j
~
r
j
g
a
i
k
j
+ g
j
~
r
a
g
j
~
r
j
g
a
i
k
j
i
+
+
1
2
g
i
g
j
h
0a
i
k
j
+
h
2
~
r
i
g
a
~
r
a
g
i
i
k
0
; (3.47)
os primeros dos termos formam a derivada covariante
~
r
k
em
3
. Sabendo que
~
r
s
g
n
~
r
n
g
s
=
s
nl
(rotg)
l
; (3.48)
27
substituimos em (3:46) e a equação …ca como
k
r
a
=
~
r
k
+
1
2
h
0a
0
k
0
h
k
0
k
0
2
a
il
(rotg)
l
k
i
0
1
2
(g:k) h
0a
0
h
k
0
k
0
2
a
il
(rotg)
l
i
k
0
+
1
2
(g:)h
0a
k
0
+
h
k
0
k
0
2
a
jl
(rotg)
l
k
j
(g:) +
k
0
2
a
jl
(rotg)
l
i
(g:k)
+
1
2
h
0a
(g:)(g:k):
(3.49)
Chamamos a ! como
!
k
0
2
(rotg) ; (3.50)
e a equação (3:46) …ca
k
r
a
=
~
r
k
+
1
2
h
0a
0
k
0
+
h
k
0
a
il
!
l
k
i
0
1
2
(g:k) h
0a
0
+
h
k
0
a
il
!
l
i
k
0
1
2
(g:)h
0a
k
0
h
k
0
a
jl
!
l
k
j
(g:) +
a
jl
!
l
i
(g:k)
+
1
2
h
0a
(g:)(g:k); (3.51)
Identi…cando os termos com rotacional escrevemos,
k
r
a
=
~
r
k
+
1
2
h
0a
0
k
0
+
h
k
0
(k !)
a
0
1
2
(g:k) h
0a
0
+
h
k
0
( !)
a
k
0
1
2
(g:)h
0a
k
0
h
k
0
[(k !)
a
(g:) + ( !)
a
(g:k)] +
1
2
h
0a
(g:)(g:k); (3.52)
agrupando os termos com fatores iguais
k
r
a
=
~
r
k
+
1
2
h
0a
0
k
0
+
h
k
0
(k !)
a
0
(g:)
+
h
k
0
( !)
a
k
0
(g:k)
+
1
2
(g:)h
0a
k
0
+
1
2
h
0a
(g:k)
(g:)
0
: (3.53)
28
usando (3:39) e calculando analogamente para
0
temos
0
= h
0
g:
= 0: (3.54)
Nossa equação (3:53) é
k
r
a
=
~
r
k
+
1
2
h
0a
0
k
0
+ ( !)
a
1
2
(g:)h
0a
k
0
;
k
r
a
=
~
r
k
+ ( !) : (3.55)
Vamos agora reduzir o segundo termo ;
k
k
a
de (3:46). Para isto tomamos a repre-
sentação covariante de com = 0
k
r
0
+ ;
k
k
0
= 0;
k
0;
0
k
+ ;
k
k
o
= 0;
;
k
k
o
=
0
k
(3.56)
Desenvolvindo o termo direito da equação
0
k
=
0
0
0
k
+
i
0
i
k
;
0
k
=
i
0o
i
k
0
+
i
0j
i
k
j
;
0
k
=
1
2
h
0i
i
k
0
+
h
2
~
r
j
g
i
~
r
i
g
j
i
k
j
1
2
g
j
h
0i
i
k
j
;
tendo usado (3:26 3:28) na equação anterior. Então a equação (3:56) …ca
;
k
k
o
=
1
2
h
0i
i
k
0
+
h
2
r
j
g
i
r
i
g
j
i
k
j
1
2
g
j
h
0i
i
k
j
;
;
k
=
1
2
rh:
k
0
k
0
h
2k
0
i
jl
(rotg)
l
i
k
j
1
2k
0
(g:k)
r:
;
=
1
2k
0
rh:
k
0
(g:k)
h
k
2
0
k
!
i
i
:
29
Usando (3:38)
h
k
2
0
=
1
k:k
;
temos,
;
k
k
a
=
1
2h
~
rh:
k
a
(k !)
i
k:k
i
k
a
: (3.57)
Tendo desenvolvido cada termo de (3:46) ; estamos prontos para unir-los. Nossa
equação de evolução para o vetor de polarização …ca:
~
r
k
+ ( !) +
1
2h
~
rh:
k
a
k
!
i
k:k
i
k
a
= 0;
~
r
k
= (! )
1
2h
~
rh:
k
a
(! k)
i
k:k
i
k
a
;
~
r
k
= (! )
hk
2
0
k
2
0
2h
2
~
rh:
k
a
(! k)
i
k:k
i
;
~
r
k
= (! )
h
k
2
0
(L:) k
a
(! k)
i
k:k
i
:
Onde
L =
k
2
0
2h
2
~
rh; (3.58)
e aplicando algumas propriedades do produto vetorial …nalmente obtemos,
~
r
k
=2 (! ) +
L k
k:k
!:k
k:k
k :
Em forma simples chegamos a
~
r
k
=! ; (3.59)
de…nidno ! como
! = 2!
!:k
k:k
k+
1
k:k
L k:
30
O signo representa o producto vetorial em
3
asociado com
ij
. Para o vetor k se
procede similarmente fazendo uso de (3:17) com a qual obtemos uma expressão semelhante
~
r
k
k =! k+k; (3.60)
onde = (L:k) : (k:k)
1
:
As equações (3:59) e (3:60) mostram que os vetores e k giram rigidamente com uma
velocidade angular ! ao longo da trajetoria do raio. O plano de polarização é determinado
pelos vetores e k e a rotação ao redor de k é dada por
!
q
=
(!:k)
(k:k)
1
2
;
!
q
=
1
2
p
h (k: (r g)) : (3.61)
Se integramos a equação anterior entre dois pontos (
1
) e (
2
), o ángulo de rotação
obtido será
=
2
Z
1
!
q
() d: (3.62)
Este ángulo de rotação na realidade seria aquele entre o vetor de polarização no ponto
(
2
) e o paralelamente transportado atraves de
e
r ao ponto (
1
) :
31
Capítulo 4
Aplicações em Espaços de Kerr e
Gödel
Neste capítulo aplicaremos os resultados obtidos no capítulo anterior à métrica de Kerr e
Gödel. Para o espaço de Kerr iremos tomar direções de raios que permitam um cálculo
mais simples exempli…cando de modo claro o procedimento, generalização para outros
raios pode ser obtida implicando apenas integrais mais complexas.
4.1 Espaço de Kerr
4.1.1 Sistemas de Referência Local
No capítulo anterior obtivemos uma expressão para a rotação do vetor de polarização . É
sabido que objetos em rotação alem de curvar o espaço produzem um efeito de arraste do
referencial conhecido como efeito Lense e Thirring. Este efeito nos leva a pensar que não
é su…ciente obter uma expressão para a evolução da polarização mas também é preciso
estabelecer a evolução do sistema de referência ao longo da trajetoria do raio.
Uma partícula teste que parte do repouso em qualquer ponto do espaço-tempo de Kerr
se movimenta no plano (r; ). Essa direção e a do eixo de precessão do giroscopio que
também pertence ao plano (r; ) e é diferente da determinada pela partícula; permitem
32
estabelecer em qualquer ponto o plano (^e
r
; ^e
) e a direção ^e
'
; perpendicular ao plano
(r; ), que vai servir de referência para medir la rotação do plano de polarização.
O vetor unitário em coordenadas de Boyer-Lindquist é determinado por
be
'
=
@
'
p
''
; (4.1)
Se pode de…nir então o plano (be
'
; k) com o qual vamos a fazer referencia para calcular
o ângulo total.
A rotação real do plano (; k) com relação ao plano (be
'
; k) desde (
1
) a (
2
)
vai estar dado pela diferença entre os ângulos de rotação de ambos planos. Para isto
precisamos saber como be
'
se propaga ao longo da trajetoria.
e
r
k
be
'
l
= k
a
1
2
''
l
'
;
a
+
l
ab
k
a
1
2
''
b
'
;
=
1
2
3
2
''
l
'
'';a
k
a
+
1
2
lm
mb;a
+
am;b
ab;m
k
a
b
'
1
2
''
;
=
1
2
3
2
''
l
'
'';a
k
a
+
1
2
''
'';a
k
a
1
2
''
l
'
1
2
'';m
ml
k
'
1
2
''
: (4.2)
como
ab
não depende da coordenada r nem de ; e sendo também diagonal, ou seja
''
=
1
''
, os dois primeiros termos cancelam, então temos
e
r
k
be
'
l
=
1
2
'';m
ml
k
'
1
2
''
: (4.3)
=
1
2
'';r
rl
k
'
1
2
''
1
2
'';
l
k
'
1
2
''
(4.4)
Por outro lado temos que:
(!
0
be
'
)
l
=
l
ab
!
a
0
be
b
'
=
p
n
"
l
r'
!
r
0
1
2
''
+ "
l
'
!
0
1
2
''
o
;
=
p
n
l
!
r
0
1
2
''
+
l
r
!
0
1
2
''
o
: (4.5)
33
Comparando (4:4) e (4:5) obtemos que
!
r
0
=
1
2
p
'';
k
'
(4.6)
!
0
=
1
2
p
'';r
k
'
(4.7)
com isto vemos que
!
0
= !
a
0
@
a
= !
r
0
@
r
+ !
0
@
!
0
=
k
'
2
p
@
''
@
r
@
r
''
@
(4.8)
!
0
conforma a velocidade angular com a qual o vetor unitario be
'
varia na direção a k:
Por tanto a rotação ao redor de k é
!
oq
=
!
0
:k
(k:k)
1
2
(4.9)
Com isso temos o ângulo que o plano (be
'
; k) girou desde (
1
) até (
2
) é dado por
0
=
1
Z
2
!
oq
() :d (4.10)
Assim o ângulo total de rotação é
=
0
(4.11)
4.1.2 Aplicação à Métrica de Kerr
Raio Paralelo ao eixo de Simetria.
Para obter as equações das geodésicas para um raio que incide paralelo ao eixo de simetría
do espaço-tempo de Kerr desde z = 1, modi…camos as equações gerais (2:28 2:31)
para esse caso especí…co. Por ser paralelo ao eixo de simetría automaticamente fazemos
34
L
z
= 0 e obviamente tambem
1
= 0:(f otons)
k
r
= _r =
[(r
2
+ a
2
) E]
2
[` aE
2
]
1
2
2
; (4.12)
k
=
_
=
` + E
2
a
2
cos
2
2
; (4.13)
k
'
= _' =
2aMrE
2
: (4.14)
Da equação (2:27) as equações (4:12) e (4:13) …cam
k
r
= _r =
E
2
f
r
2
+ a
2
2
K
E
2
g
1
2
(4.15)
k
=
_
=
E
2
f
K
E
2
a
2
sin
2
g
1
2
: (4.16)
De…nindo o parámetro L de (2:27) com L
z
= 0
` = K a
2
E
2
L =
`
E
2
=
K
E
2
a
2
L + a
2
=
K
E
2
(4.17)
As equações (4:15 4:17) …cam
k
r
= _r =
E
2
f
r
2
+ a
2
2
L + a
2
g
1
2
(4.18)
k
=
_
=
E
2
fL + a
2
cos
2
g
1
2
: (4.19)
k
'
= _' =
2aMrE
2
: (4.20)
Mas o qué signi…ca o parámetro L ?. Das condições iniciais no limite a r; podemos
35
estabelecer que
2
0
= r
2
0
+ a
2
cos
2
0
2
0
= r
2
0
1 +
a
2
r
2
0
cos
2
0
r
2
0
4
0
' r
4
0
:
onde
0
; r
0
;
0
são valores inicales de ; r; respetivamente.
Com isso a equação (4:19) …ca
:
2
0
=
K
r
4
0
a
2
r
4
0
sin
2
r
2
0
:
2
0
'
K
r
2
0
: (4.21)
A equação anterior representa a condition inicial.
Como o raio incide paralelamente ao eixo de simetría, chamamos D a distancia do raio
ao eixo. A direção da velocidade inicial em coordenadas esféricas é dada por
!
V
0
= _r
0
^r + r
0
_
0
^
(4.22)
!
V
0
= V
0
cos
0
^r + V
0
sin
0
^
(4.23)
onde é o angulo entre o eixo de simetría e o vetor ^r: De (4:22) e (4:23)
r
0
_
0
= V
0
sin
0
; (4.24)
lembrando que V
0
= c = 1 ( para fotons) : Combinamos (4:24) com (4:21) chegamos
a,
sin
2
0
=
K
r
2
0
(4.25)
36
e sabendo que
sin
0
=
D
r
0
(4.26)
temos
D
2
= K = E
2
L + a
2
D
2
E
2
= L + a
2
= s
2
L = s
2
a
2
(4.27)
L então esta determinado pelo parámetro de impacto s e pelo parámetro a:
Na aproximação linear r sin = s: Com isso vamos ter só dependencia de . Ou seja
d =
d
k
(4.28)
A equação (3:61) …ca como
=
Z
!
q
()
d
k
(4.29)
=
2
Z
0
ma
2
a
2
sin
2
8
<
:
2 sin
r
2
a
2
cos
2
4r cos
"
(r
2
+ a
2
)
2
s
2
s
2
a
2
sin
2
#
1
2
9
=
;
d
(4.30)
Na aproximação linear (trajetória de linea reta) temos que r sin = s e a equação
(4:30) …ca
' 0: (4.31)
A rotação de ^e
'
é dada por
0
=
0
Z
h
1
2
k
'
2k
0
k
r
k
@
''
@
r
''
d; (4.32)
37
e em aproximação de primeira ordem, obtemos
0
'
4ma
s
2
: (4.33)
O ângulo total segundo a equação (4:11) é
'
4ma
s
2
: (4.34)
Raio emergente radialmente.
A continuação derivamos a rotação do plano de polarização ao longo do raio das con-
gruências principais nulas. Aqui a principal diferença com o caso anterior é que L
z
não
vai ser mais igual a zero. Nas equações (2:19) e (2:20) introduzimos novos parámetros,
=
L
z
E
e =
`
E
2
(4.35)
e elas …cam como
R
E
2
= r
4
+
a
2
2
r
2
+ 2mr
+ ( a)
2
a
2
(4.36)
E
2
= + (a )
2
(a sin csc )
2
(4.37)
Os parámetros e substituem ao parâmetro de impacto s. Para órbitas gerais vamos
nos concentrar nas projeções no plano (r; ). E a equação que rege essa projeção é dada
pela equação (2:23). Vemos que deve ser sempre positivo 0. De (4:37) para que
seja positivo a condição
+ (a )
2
0 (4.38)
deve ser cumprida. Para o caso das congruências principais nulas
+ (a )
2
= 0 (4.39)
38
só para
0
=constante. Com isso os parâmetros e assumem os valores
= a sin
2
0
; = a
2
cos
4
0
(4.40)
Introduzindo (4:40) em (2:28 2:30) chegamos a,
k
r
= _r = E (4.41)
k
'
= _' =
aE
(4.42)
k
=
_
= 0 (4.43)
Substituindo nas equações (3:61) …ca
=
Z
2mar cos
2
a
2
sin
2
dr (4.44)
= arctan
r
a cos
+
a cos
(a
2
cos
2
m
2
)
1
2
arctan
r m
(a
2
cos
2
m
2
)
1
2
j
r
2
r
1
; ja cos j > m
(4.45)
O ângulo total de rotação do plano de polarização é
=
cos sin
2
a
2
sin
4
+ 4m
2
cos
2
4m
2
cot
2
arctan
r
a cos
+ ma ln
r
2
2mr + a
2
2
+
+
a
2
sin
2
2m
2
(
a
(a
2
m
2
)
1
2
arctan
r m
(a
2
m
2
)
1
2
)#
r
2
r
1
(4.46)
a equação (4:46) é dada para jaj > m: Para órbitas no plano equatorial
=
2
pode
ser visto que não têm rotação para esse caso. A equação se reduz para aproximação de
campos fracos a
=
h
cos
a
r
i
r
2
r
1
(4.47)
39
4.2 Espaço de Gödel
4.2.1 Sistema de Referência Lo cal
De…na-se o vetor unitario
^e
z
=
1
2
zz
@
z
(4.48)
Da mesma forma como procedemos para o espaço de Kerr, temos que
~
r
k
^e
z
l
=
1
2
zz
l
z
qa
k
a
(4.49)
~
r
k
^e
z
l
=
1
2
zz
l
z
;a
k
a
+
l
ma
1
2
zz
k
a
m
z
(4.50)
~
r
k
^e
z
l
=
1
2
l
m;a
+
a;m
ma;
1
2
zz
k
a
m
z
(4.51)
~
r
k
^e
z
l
=
1
2
l
z;a
+
a;z
za;
1
2
zz
k
a
(4.52)
~
r
k
^e
z
l
= 0 (4.53)
Isto quer dizer que o vetor ^e
z
não varia ao longo de k: Sabendo disso podemos pegar
como plano de referência o plano (^e
z
; k) : Isto signi…ca que o ângulo de rotação do plano
de polarização dado pela equação (3:62) é o ângulo total.
4.2.2 Aplicação à Métrica de Gödel
A rotação ao longo de k é dada pela equação (3:61) lembrando que têm a seguinte forma,
!
q
=
1
2
p
h (k: (r g)) ;
e da métrica dada por (2:32) desenvolvemos cada fator da equação. Começando por
!
r
!
g =
ijk
@
j
g
k
(4.54)
40
usando (3:23) achamos g
k
g
k
=
g
0k
g
00
=
2a
2
p
2 sinh
2
r
a
2
2
z
= 2
p
2 sinh
2
r
2
k
(4.55)
A equação (4:54) …ca
!
r
!
g
i
=
4
p
2
a
3
i
3
:
Com isto a equação (3:61) …ca
!
q
=
1
2
p
h (k: (r g))
!
q
=
1
2
a
2
k
i
4
p
2
a
3
i
3
!
q
=
2
p
2
a
k
z
=
2
p
2
a
C
0
(4.56)
O ângulo total é dado por
=
Z
2
p
2
a
C
0
d (4.57)
Para um foton se movimentando numa direção paralela ao eixo z
2
= 1
. só
vai depender de z; então,
d =
d
dz
dz =
dz
_z
(4.58)
e a integral (4:57) …ca
=
Z
2
p
2C
0
a _z
dz; (4.59)
usando (2:42) o ângulo é dado por
=
2
p
2
a
z (4.60)
Vemos que o ângulo de rotação é independente dos valores de , mas devemos ter em
41
conta o seguinte, que para um foton com > 0, ele vai seguir uma trajetória paralela ao
eixo z a uma distância dada por a equação (2:48) ; para o caso em que o foton apresente
um = 0 ele se movimenta no mesmo eixo z. Ambos casos apresentam a mesma variação
do ângulo . O caso < 0 não aceita que o foton se movimente ao longo ou paralelo a z.
Para um foton que se movimenta no plano (r; ') ; ou seja
2
= 0
o ângulo de
rotação é sempre zero, já que
2
= 0 signi…ca que C
0
= 0; e com isso o !
q
= 0:
= 0 (4.61)
Vemos que este caso também é independente de . Só que analizando as diferentes
situações, quando > 0 o foton esta con…nado a se movimentar entre r
1
e r
2
dadas por
(2:47), quando o foton se movimenta com = 0 ele é con…nado a se movimentar de
0 r r
c
nesse caso a coordenada radial sim pode tomar o valor de zero.
Para
2
6= 0 6= 1 e = 0 (B
0
= 0)é uma trajetória geral e o d é expressado como
d =
dr
_r
(4.62)
O ângulo então, é dado por
=
2
p
2
a
C
0
Z
dr
_r
: (4.63)
=
2
p
2
a
C
0
Z
(
A
2
0
D
2
0
p
2A
0
sinh r
cosh r
2
)
1
2
dr; (4.64)
reduzindo esta equação …ca
=
2
p
2
a
C
0
Z
cosh r dr
q
(A
2
0
D
2
0
) cosh
2
r 2A
2
0
sinh
2
r
(4.65)
42
Depois de ter feito a mudança de variável u = sinh r e integrar, temos
=
2
p
2C
0
a
p
A
2
0
+ D
2
0
arcsin
"
p
A
2
0
+ D
2
0
p
A
2
0
D
2
0
sinh r
#
(4.66)
Lembrando que a coordenada r não pode tomar valores maiores que o valor crítico r
c
e que neste caso ângulo é válido só para valores de 0 <
2
< 1: (trajetória geral)
Para o caso
2
6= 0 6= 1 e > 0
=
2
p
2
a
C
0
Z
"
A
2
0
D
2
0
p
2A
0
sinh r
cosh r
B
0
sinh r cosh r
2
#
1
2
dr (4.67)
em função de e …ca,
=
2
p
2
a
Z
2
4
1
2
p
2 sinh
2
r
sinh r cosh r
!
2
3
5
1
2
(4.68)
=
p
2
a
arcsin h
2
4
sinh
2
r (1
2
+ 4
p
2)
q
1
4
(1
2
+ 4
p
2)
2
2
2
3
5
(4.69)
Assim chegamos à expressão para o ângulo de rotação de uma trajetória geral com
> 0:
43
Capítulo 5
Conclusões
Estudamos a rotação do plano de polarização de uma onda eletromagnética em espaço-
tempos que apresentam rotação, mais especí…camente os espaços de Kerr e Gödel. Aproveita-
mos o fato de que ambos são geometrias estacionarias onde podemos considerar um tempo
universal separado do espaço de uma maneira bem de…nida. Este trabalho foi baseado
no artigo de Fayos e Llosa os quais propuseram um método para determinar a evolução
da polarização do campo eletromagnético em geometrias estacionárias. Foram discutidos
os resultados lá obtidos e aplicado o mesmo método para o espaço-tempo de Gödel. O
sucesso deste método é que dada a partição 1+3 de Landau-Lifshitz é possivel trabalhar
no formalismo tridimensional do eletromagnetismo. Foi possível achar uma lei de evolução
do vetor de polarização no limite ótico-geométrico e com isso o ângulo de rotação do plano
de polarização, tendo em conta o arraste do referencial provocado por estas métricas.
No capítulo 4 aplicamos o método à métrica de Kerr para duas classes de trajetórias
diferentes. Para a trajetória paralela ao eixo de simetria chegamos a uma dependência
inversamente proporcional do ângulo com o parâmetro de impacto s. O ângulo
dependerá então da proximidade da partícula com a fonte. Para a trajetória radialmente
emergente vemos que não apresenta rotação nenhuma no caso em que =
2
.No caso
de Gödel as trajetórias no plano (r; ') não apresentam rotação nehuma o que concorda
com o trabalho de Mashhoon[6] , as trajetórias paralelas ao eixo z apresentam rotação,
44
esta rotação têm uma dependencia linear em z o que indica que o ângulo crece conforme
o foton avança em z. Quando o foton for em sentido contrário, ou seja z o plano de
polarização gira em sentido contrario. Em todos os casos é a presença da componente k
z
do raio luminoso que induz a variação da polarização.
Esse método pode também ser aplicado para estudar o efeito de acoplameto não mín-
imo entre a curvatura e o campo eletromagnético, na variação da polarização.
45
Referências Bibliográ…cas
[1] S.Chandrasekhar. (1983). The Mathematical Theory of Black Holes, Edition Oxford
Science Publication
[2] M. Novello, I. Damião Soares, and J. Tiomno (1983) Phys. Rev. D, 27, 4
[3] Mohammad Nouri-Zonoz (1999). Phys. Rev. D, 60 ,024013
[4] N. L. Balaz (1957). Phys. Rev. D, 110,1
[5] F. Fayos and J. Llosa (1982). Gen. Rel. Grav, Vol 14, No. 10
[6] B. Mashhoon (1975). Phys. Rev. D, Vol 11, No. 10
[7] Plebansky, J. (1960): Phys. Rev., 118, 1396.
[8] Pineault, S., and Roeder, R. C. (1977). Astrophys. J., 212, 541.
[9] Newman, E., and Penrose, R. (1962). J. Math. Phys., 3, 566.
[10] Godfrey, B. (1970). Phys REv., D, 10, 2721.
[11] Su, F. S. O., and Mallett, R. (1980). Astrophys. J., 238, 1111.
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