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Vitor Finotto Cores
Robô contínuo telescópico para tarefas em alturas elevadas
São Paulo
2009
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Vitor Finotto Cores
Robô contínuo telescópico para tarefas em alturas elevadas
Dissertação apresentada à Escola
Politécnica da Universidade de São
Paulo para obtenção do título de
Mestre em Engenharia.
São Paulo
2009
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Vitor Finotto Cores
Robô contínuo telescópico para tarefas em alturas elevadas
Dissertação apresentada à Escola
Politécnica da Universidade de São
Paulo para obtenção do título de
Mestre em Engenharia.
Área de concentração: Engenharia
Mecatrônica
Orientador: Prof. Dr. Oswaldo
Horikawa
São Paulo
2009
Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, sob
responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador.
São Paulo, 20 de agosto de 2009.
Assinatura do autor _____________________________________
Assinatura do orientador_________________________________
FICHA CATALOGRÁFICA
Cores, Vitor Finotto
Robô contínuo telescópico para tarefas em alturas elevadas
/ V.F. Cores. -- ed.rev. -- São Paulo, 2009.
140 p.
Dissertação (Mestrado) - Escola Politécnica da Universidade
de São Paulo. Departamento de Engenharia Mecatrônica e de
Sistemas Mecânicos.
1. Robôs 2. Robótica 3. Mecanismos I. Universidade de São
Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia Meca -
trônica e de Sistemas Mecânicos II. t.
Dedico este trabalho de pesquisa
ao meu irmão, que sempre me
incentivou a ir em frente e vencer
as dificuldades na trajetória deste
trabalho.
AGRADECIMENTOS
A realização deste trabalho de pesquisa não seria possível sem a preciosa
colaboração direta ou indireta de várias pessoas. Sou especialmente grato à todas
elas.
Ao meu orientador, Prof. Dr Oswaldo Horikawa, pelo seu apoio, confiança e
paciência, que foram fundamentais na realização e finalização deste trabalho.
Ao Prof Dr. André Riyuiti
Hirakawa pelos conselhos e sugestões, que foram de
fundamental importância no desenvolvimento desta pesquisa.
Ao Prof. Dr. Isaias da Silva e a Profa. Dra. Larissa Driemeier pelas inúmeras dúvidas
esclarecidas.
À minha família por todo apoio, carinho e confiança depositados em mim.
Aos amigos, Danilo Vieira, Décio Rinaldi, Gilberto Menezes, Ivan Pirozelli, Pedro
Antunes e Rogerio Yamamoto pela amizade, compreensão e ajuda mútua ao longo
do período de mestrado.
RESUMO
Observando-se as diversas aplicações de robôs na área de serviços é
possível perceber uma crescente busca por manipulação de ferramentas em lugares
elevados utilizando dispositivos robóticos, visto que tais tarefas exigem a utilização
de diversos equipamentos de segurança e apresentam um alto risco à presença
humana. Os exemplos mais comuns desse tipo de tarefa são: inspeção de:
máquinas de grande porte, tanques de armazenamento, silos, postes, linhas de
transmissão e distribuição de energia elétrica, etc. Com o intuito de aplicar robôs a
essas tarefas, e consequentemente aumentar a segurança e eficiência dessas
operações, foi realizado, primeiramente neste trabalho, um estudo sobre as classes
de robôs manipuladores existentes. Para tanto adotou-se uma classificação que
separa os robôs de acordo com o número de juntas, o que gera uma divisão em três
diferentes grupos, robôs discretos, robôs do tipo serpente e robôs contínuos. Ao
analisar as três classes, observa-se que os robôs contínuos possuem mais graus de
liberdade que os outros grupos, apresentando como estrutura uma coluna vertebral
continuamente deformável, que em oposição aos tradicionais manipuladores
robóticos elo/junta/elo, possuem mecanismos mais simplificados, controle menos
complexo devido ao menor número de atuadores e podem interagir com obstáculos
encontrados em seu ambiente sem criar grandes forças de contato. Ao utilizar
configurações extrínsecas, ou seja, posicionando os atuadores fora da estrutura do
robô, e transmitindo o movimento utilizando cabos, é possível construir robôs com
alta isolação elétrica, o que é de grande utilidade para operações que envolvem
tarefas nas proximidades de redes elétricas de alta tensão. Apesar das diversas
vantagens, não foram encontradas na literatura aplicações de robôs contínuos na
realização de tarefas em alturas elevadas. Levando em consideração as vantagens
oferecidas pelos robôs contínuos, este trabalho propõe o estudo e a aplicação de um
robô do tipo contínuo que possua uma arquitetura mais adequada para realizar
trabalhos a alturas elevadas. Com o intuito de demonstrar as vantagens oferecidas
por essa arquitetura, será realizado um estudo de caso no qual o objeto a ser
inspecionado são as cruzetas de madeira em postes de distribuição de energia
elétrica. Em uma segunda etapa, elabora-se o projeto mecânico do robô contínuo
proposto, onde são detalhados os mecanismos propostos e são feitas simulações
utilizando o método dos elementos finitos para analisar o comportamento da
estrutura quando submetida a carregamentos. Em uma terceira etapa, adotando-se
uma estratégia de controle seqüencial é elaborado o projeto de controle. Em uma
ultima etapa, com o intuito de analisar o funcionamento do robô é construído um
protótipo, com o qual são feitos os testes.
Palavras-chave: Robôs contínuos. Mecanismo telescópico. Arquitetura de robôs.
Inspeção de redes de distribuição elétrica.
ABSTRACT
Among several applications of robots in the service field, it is possible to
percept an increasing interest in manipulate tools in higher positions using automatic
devices, due to the fact that such activities are high risked operations and demands
the use of several safety equipments. The most common examples of this kind of
activity are the inspection of machines, silos, electrical distribution poles, etc. With
the aim of apply robots to these activities and increase the safety and efficiency in
these operations, as a first step in this work is done the study of different kinds of
manipulators. Adopting a classification based on the number of joints, it is possible to
separate robots in three different classes: discrete robots, snake-like robots and
continuum robots. By analyzing these classes, it is possible to say that continuum
robots have more degrees of freedom than the robots of others groups; Compared
with the classic discrete robots, continuum robots have simplified mechanisms,
simpler control scheme due to the small number of actuators and, in the case of an
obstacle, they can contour the obstacle without generating high contact forces. By
positioning the actuators out of the robot structure and transferring the motion using
cables, i.e., adopting an extrinsic actuation, it is possible to build continuum robots
with high electric insulation that is important in applications in which the robot must
work near of an electrical distribution network. Despite these advantages, no
previous works concerning the use of continuum robots to work in higher positions
were found in the literature. Considering the advantages offered by continuum
robots, this work proposes a study and application of a continuum robot that uses a
more suitable architecture to work in higher positions. Aiming to demonstrate the
advantages provided by this architecture, It will be used a case study, in which, the
object to be inspected is the wood cross-arms of an electrical poles used in the
electrical distribution networks. In a second step, it is done the mechanical project of
the robot, where the proposed mechanisms are explained and structural simulations
using the finite element method are performed in order to analyze how the structure
would react to loads. In a third step, by adopting a strategy of sequential control, it is
done the control project. In the last step, with the aim of analyze the robot in practical
situation, a prototype is built, which is used to perform the tests.
Keywords: Continuum robots. Telescopic mechanism. Robot design. Electric power
network inspection.
LISTA DE SÍMBOLOS
A
- Área da seção transversal
E
- Módulo de Elasticidade
L
- Comprimento da estrutura
I
- Momento de inércia da seção transversal
G
- Módulo de elasticidade transversal
J
- Momento de inércia polar da seção transversal do elemento
][
e
k - Matriz de rigidez do elemento de pórtico espacial nas coordenadas locais
][
e
m - Matriz de massa do elemento de pórtico espacial nas coordenadas locais
}{
e
f - Vetor de carregamentos nas coordenadas locais
][T - Matriz de transformação das coordenadas locais para globais
][
e
K - Matriz de rigidez do elemento de pórtico nas coordenadas globais
][
e
M - Matriz de massa do elemento de pórtico nas coordenadas globais
}{
e
F - Vetor de carregamentos nas coordenadas globais
}{u - Vetor de deslocamentos nas coordenadas globais
ϕ
- Função de interpolação, ou função de forma
*
m - Massa generalizada
*
k - Rigidez generalizada
*
c - Amortecimento Generalizado
Ψ
- Modo de vibrar de uma estrutura
y
- Amplitude das vibrações ao longo de um pórtico engastado
n
ω
- Freqüência natural de vibração circular
n
f - Freqüência natural de vibração cíclica
)(
..
tx
- Vetor de aceleração
)(
.
tx
- Vetor de velocidade
)(tx - Vetor de deslocamento
{
}
)(tf - Vetor de forças aplicadas ao sistema
][M
- Matrizes de massa da estrutura
][C
- Matriz de amortecimento da estrutura
][K
- Matriz de rigidez da estrutura
[
]
r
λ
- Matriz dos autovalores
][
Ψ
- Matriz dos autovetores
{
}
r
ψ
- Vetor de deslocamento modal
[
]
φ
- Matriz modal normalizada em relação à massa
][I
- Matriz identidade
{
}
ℑ
- Vetor de força nas coordenadas modais
{
}
q - Vetor deslocamento em coordenadas modais
{
}
X
- Deslocamento em coordenadas espaciais
δ
- Deformações por forças de primeira ordem
- Carregamento normal à estrutura
H
- Carregamento gerado pelos esforços de segunda ordem ao utilizar o método P-
delta
)(sM
- Função de transferência do motor
)(s
ω
- Transformada de Laplace da velocidade angular do eixo do motor DC
)(sV
i
- Tensão de entrada do motor DC
m
τ
- Constante de tempo do motor DC
ω
k - Constante de velocidade do motor DC
)(sY
- Função de transferência da estrutura
ξ
- Constante de amortecimento
)(sG
- Função de transferência da planta
mec
K - Constante do mecanismo
∆
- Deslocamento imposto
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Principais trabalhos desenvolvidos utilizando robôs contínuos ..................39
Tabela 2 – Propriedades geometricas dos tubos utilizados..........................................76
Tabela 3 – Definição do número de interações para o processo P-delta .....................85
Tabela 4 – Ensaio para obtenção do curso máximo do mecanismo de
acionamento ...............................................................................................................104
Tabela 5 – Analise estatística dos resultados experimentais .....................................117
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1– a) Robô Industrial Kuka b) Robô explorador SRV1 c) Robô social
Ubot 19
Figura 2 – Classificação de robôs por seu número de articulações 21
Figura 3 - Robô discreto com seis graus de liberdade 22
Figura 4 – Robôs serpente : ACM III, ACM R3 e ACM –R4 [15][16][17] 23
Figura 5– Robôs serpente: Oblix Mogura e Souryu I e II [18] 24
Figura 6 – Robô serpente Ommitread 24
Figura 7 – Robôs serpente aquático :ACM -R5 [19] 24
Figura 8– Robô Soft Gripper – Segurando objetos e elevando pessoas [20] 25
Figura 9 – Robô CT-Arm [21] 25
Figura 10 - a) Seção transversal de um tentáculo mostrando a alta
densidade de fibras musculares. b) Robô contínuo Octoarm. 26
Figura 11 – Exemplos de músculos hidrostáticos 27
Figura 12 – Princípio de funcionamento de um robô contínuo extrínseco[12] 28
Figura 13 - Tensor Arm Manipulator desenvolvido por Anderson [31] 29
Figura 14– Tromba de elefante robótica desenvolvida por Hannan [33] 30
Figura 15– a) Ilustração de Atuador Intrínseco Planar b) Músculo pneumático
FESTO. 31
Figura 16– a) Necessidade de aprisionar mísseis em um navio militar, b)
Mão robótica desenvolvida por Orndorff c) Mão robótica
manipulando um míssil. 31
Figura 17– Configuração usual de robô contínuo intrínseco espacial 32
Figura 18– Princípio de funcionamento de um robô contínuo intrínseco 33
Figura 19– Atuador flexível proposto por Suzumori [42] 33
Figura 20– a) Robô manipulador AMADEUS b) Manipulador contínuo
utilizado no robô AMADEUS 34
Figura 21– Robô contínuo Slim Slime 35
Figura 22– a) Princípio de funcionamento do micro-atuador piezelétrico b)
principais componentes. 36
Figura 23– Princípio de funcionamento de um robô contínuo híbrido 37
Figura 24 – Robô contínuo KSI 38
Figura 25 – Robô contínuo Air-Octor 38
Figura 26 – Exemplo de obstáculo a) Robô discreto b) Robô Contínuo 40
Figura 27– Mecanismo telescópico retraído [63] 45
Figura 28– Princípio de funcionamento de um mecanismo telescópico 46
Figura 29 – Elemento de pórtico espacial 48
Figura 30– Conectividade de uma estrutura telescópica 51
Figura 31– Sistema de coordenadas globais do elemento de pórtico [66] 52
Figura 32– Pórtico engastado de seção constante 54
Figura 33– Três primeiros modos de vibrar de uma viga engastada de seção
constante 56
Figura 34– Sistema MMA com massa, amortecimento e rigidez
generalizadas 61
Figura 35– Método P-Delta 63
Figura 36- Modelo de torre estaiada 64
Figura 37- Configurações usuais de torres estaiadas 65
Figura 38– Princípio de funcionamento do mecanismo de atuação 66
Figura 39 – Estabilidade do robô em posições intermediárias 66
Figura 40 – Princípio de funcionamento do mecanismo auxiliar para estrutura
telescópica 67
Figura 41– Diagrama de blocos da planta do sistema de controle 69
Figura 42– Dimensões principais de um poste de transmissão 73
Figura 43– Área de difícil acesso a ser inspecionada 74
Figura 44– Estrutura telescópica esbelta instável 76
Figura 45– Estabilização da estrutura por meio de estais. 77
Figura 46– Fluxograma de funcionamento dos programas desenvolvidos 78
Figura 47– Discretização da estrutura 79
Figura 48 – Deformação da estrutura ao aplicar uma carga unitária
(Apêndice C) 80
Figura 49– Análise da resposta em relação a discretização da estrutura
(Apêndice C) 81
Figura 50– Aplicando condições de contorno não homogêneas à estrutura 82
Figura 51– Estrutura deformada ao aplicar
∆
= 1,5 metros (Apêndice C) 83
Figura 52– Primeiro modo de vibrar da estrutura (Apêndice E) 84
Figura 53- Simulação de estabilidade aplicada a diferentes materiais 87
Figura 54- Simulação utilizando Aço 87
Figura 55- Simulação utilizando Alumínio 88
Figura 56 – Simulação utilizando PVC 88
Figura 57– Decomposição das forças geradas pelo mecanismo de
acionamento 89
Figura 58 – Deformação da estrutura devido ao processo interativo P-Delta
(Apêndice D) 90
Figura 59 – Mecanismo de recolhimento e controle de tensão nos estais 91
Figura 60 – Principais componentes do mecanismo de recolhimento e
controle de tensão nos estais 92
Figura 61 – Utilização de espaçadores para grandes deformações 93
Figura 62–Robô contínuo telescópico proposto utilizando espaçadores 94
Figura 63–Ilustração do mecanismo de içamento superior 95
Figura 64- Mecanismo de içamento superior 95
Figura 65–Mecanismo de içamento inferior 96
Figura 66–Mecanismo de içamento – princípio de funcionamento 97
Figura 67–Ilustração do funcionamento do mecanismo de acionamento 98
Figura 68–Ilustração do mecanismo de acionamento para 2 planos 99
Figura 69– Princípio de funcionamento do mecanismo de acionamento 100
Figura 70– Princípio de funcionamento da primeira garra proposta 101
Figura 71– Princípio de funcionamento da segunda garra proposta 102
Figura 72 – Utilização de guias para os estais no mecanismo de
acionamento 102
Figura 73– Experimento para determinar a constante do mecanismo 103
Figura 74– Controle remoto, CLP e placa de relés 105
Figura 75 – Esquema de controle em malha aberta 106
Figura 76– Esquema do teste experimental 107
Figura 77– Esquema do teste experimental 108
Figura 78– Primeiras melhorias implementadas 109
Figura 79– Primeira bateria de testes 110
Figura 80– Resultados obtidos na primeira bateria de testes 111
Figura 81– Segunda implementação de melhorias 113
Figura 82– Estrutura de referência 115
Figura 83– Apoio móvel 115
Figura 84– Resultados experimentais obtidos na segunda bateria de testes 116
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..........................................................................................................19
1.1. Manipulação de ferramentas em alturas elevadas.............................................20
1.2. Classificação de robôs de acordo com o número de articulações .....................20
1.2.1. Robôs discretos .................................................................................................21
1.2.2. Robôs Serpente .................................................................................................23
1.2.3. Robôs contínuos ................................................................................................26
1.2.3.1. Aplicações dos robôs contínuos.......................................................................27
1.2.3.2. Classificação de Robôs Contínuos...................................................................28
1.2.3.2.1. Robôs Contínuos Extrínsecos .............................................................28
1.2.3.2.2. Robôs Contínuos Intrínsecos...............................................................30
1.2.3.2.3. Robôs contínuos Híbridos....................................................................37
1.2.3.3. Panorama geral dos trabalhos anteriores............................................39
1.2.3.4. Vantagens fornecidas pelos robôs contínuos...................................................40
1.3. Objetivos ............................................................................................................42
1.4. Metodologia .......................................................................................................43
2. PROPOSTA DE SOLUÇÃO .....................................................................................44
2.1. Sistema mecânico..............................................................................................45
2.1.1. Arquitetura telescópica ........................................................................45
2.1.1.1. Análise estrutural estática....................................................................47
2.1.1.1.1. Introdução............................................................................................47
2.1.1.1.2. Proposta de elemento finito .................................................................47
2.1.1.1.3. Análise Estática Linear ........................................................................50
2.1.1.1.4. Análise estrutural dinâmica..................................................................53
2.1.1.1.4.1. Análise Modal utilizando o Método dos Elementos Finitos ..................57
2.1.1.1.4.2. Modelo dinâmico de um grau de liberdade..........................................61
2.1.1.1.5. Análise estática não linear...................................................................62
2.1.1.1.5.1. Método P-Delta....................................................................................62
2.1.1.1.5.2. Instabilidade de estruturas esbeltas ....................................................64
2.1.1.2. Mecanismo de atuação e estabilização da estrutura ...........................65
2.2. Sistema de Controle...........................................................................................68
2.2.1. Modelagem da planta em malha aberta ..............................................69
2.2.1.1. Modelo Matemático do Motor DC ........................................................69
2.2.1.2. Função de transferência da estrutura ..................................................69
2.2.1.3. Função de transferência da planta ......................................................70
3. ESTUDO DE CASO..................................................................................................71
3.1. Introdução ao estudo de caso............................................................................71
3.2. Identificação das necessidades .........................................................................73
3.3. Projeto mecânico ...............................................................................................74
3.3.1. Análise estrutural do estudo de caso...................................................77
3.3.1.1. Implementação em ferramenta computacional....................................78
3.3.1.2. Análise Estática Linear ........................................................................79
3.3.1.2.1. Geração da Malha ...............................................................................79
3.3.1.2.2. Condições de contorno não homogêneas ...........................................82
3.3.1.3. Análise Dinâmica em um grau de liberdade ........................................84
3.3.1.4. Análise estática não linear...................................................................85
3.3.1.4.1. Definição do número de interações .....................................................85
3.3.1.4.2. Análise estática não linear do estudo de caso.....................................86
3.3.2. Mecanismos Prospostos......................................................................91
3.3.2.1. Mecanismo de recolhimento e controle de tensão nos estais..............91
3.3.2.2. Mecanismo de Içamento......................................................................94
3.3.2.3. Mecanismo de Acionamento................................................................97
3.3.2.3.1. Modelamento do mecanismo de acionamento ..................................103
3.4. Projeto de Controle ..........................................................................................104
4. TESTES EXPERIMENTAIS E MELHORIAS ..........................................................106
5. CONCLUSÃO .........................................................................................................119
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................122
APÊNDICE A .................................................................................................................131
APÊNDICE B .................................................................................................................133
APÊNDICE C .................................................................................................................136
APÊNDICE D .................................................................................................................138
APÊNDICE E .................................................................................................................139
19
1. Introdução
O estudo da robótica pode ser dividido em duas grandes vertentes, uma
delas estuda os consagrados robôs industriais e a outra pesquisa robôs de
serviço [1]. Nos dias atuais observa-se uma terceira grande área de estudo
que tem por objetivo desenvolver robôs que interajam socialmente com os
humanos [1]. Este tipo de robô é classificado como robôs sociais e em
literaturas mais recentes já são considerados uma nova linha de estudo. As
diferenças entre os três tipos de robôs acima mencionados se dá, não apenas
por suas diferenças em forma ou tamanho, mas pelo seu tipo de aplicação. A
Figura 1 ilustra um exemplo comercial de cada classe de robôs.
Figura 1– a) Robô Industrial Kuka b) Robô explorador SRV1 c) Robô social Ubot
Os robôs industriais têm sido amplamente usados na indústria de
manufatura desde o começo da década de 60, sendo utilizados principalmente
para pintar, soldar, transportar e montar, tendo como principais características
alta velocidade e precisão de posicionamento [1]. O mercado para robôs
industriais cresceu rapidamente nos anos 70 e 80 com um pico de demanda no
inicio dos anos 90. Entretanto, devido às subseqüentes recessões na economia
mundial, o mercado para robôs industriais tem diminuído ou estagnado na
última década apesar de serem mais precisos, acurados e velozes [1].
Por outro lado, os robôs de serviço representam uma área em pleno
desenvolvimento na robótica. Todos os robôs que não são aplicados para fins
industriais podem ser classificados como robôs de serviço. Normalmente são
classificados em duas grandes categorias: robôs de uso profissional e robôs de
uso pessoal [1]. Os robôs de serviço de uso profissional atuam nas mais
diversas áreas, como por exemplo, na exploração de novos planetas, inspeção
20
de componentes ou equipamentos em ambientes de difícil acesso ou de alto
risco, auxiliando em cirurgias, ou até mesmo desarmando bombas ou
combatendo incêndios dentre muitas outras tarefas. Já os robôs de serviço
para uso pessoal incluem robôs domésticos que auxiliam a cortar grama,
limpar, organizar, etc.
Já a terceira categoria apresentada, os robôs sociais, não tem como
principal característica aspectos como precisão e velocidade. As interações
homem-robô têm se tornado muito comuns nos dias atuais numa variedade de
aplicações [3], como por exemplo, ajudando a educar crianças, monitorando
idosos em hospitais, ajudando pessoas com deficiência ou em reabilitação a se
locomoverem ou até mesmo cooperando na terapia ocupacional [4]-[11].
1.1. Manipulação de ferramentas em alturas elevadas
Dentre as diversas atividades presentes na área de serviços é possível
destacar o crescente interesse em aplicar a robótica a novas tarefas. O uso e
a manipulação de ferramentas em lugares elevados envolvem grandes riscos e
exige a utilização de diversos equipamentos de segurança, o que sugere a
utilização de dispositivos robóticos. Os exemplos mais comuns desse tipo de
tarefa são: inspeção de máquinas de grande porte, tanques de
armazenamento, silos, postes, linhas de transmissão de energia elétrica, etc.
Dentro do vasto universo de aplicações aonde robôs vem sendo utilizados,
este trabalho irá abordar a aplicação de robôs na área de serviços, em
particular, na manipulação de ferramentas de inspeção em alturas elevadas.
1.2. Classificação de robôs de acordo com o número de articulações
Anteriormente foi feita uma classificação de robôs de acordo com sua
aplicação. Mas existem outros tipos de classificações para robôs, como por
exemplo, classificações por tipo de controle, capacidade de remodelagem,
mobilidade, estrutura, etc. Tais classificações são úteis na identificação de um
tipo de robô que mais se adéque para uma determinada aplicação.
21
Pois então, com o intuito de identificar um tipo de robô para tarefas em
lugares elevados, foi feita uma classificação de robôs de acordo com as suas
propriedades estruturais, mais especificamente de acordo com o número de
juntas. Ao realizar tal divisão se obtém três diferentes classes listadas a seguir
e ilustradas na Figura 2:
• Robôs Discretos
• Robôs Serpente
• Robôs Contínuos
Figura 2 – Classificação de robôs por seu número de articulações
Durante muitas décadas, a pesquisa sobre manipuladores robóticos foi
focada principalmente no desenvolvimento de manipuladores baseados no
braço humano. Mas com o decorrer do tempo, o número de articulações foi
aumentando além daquelas contidas no braço humano, gerando configurações
das mais variadas de manipuladores [12].
1.2.1. Robôs discretos
Os robôs discretos são baseados em um número pequeno de
articulações que são serialmente conectadas por elos rígidos. Tais
manipuladores têm comprovado serem muito úteis e eficazes para diversas
tarefas, mas possuem algumas limitações. A maioria desses robôs tem de 5 a
7 graus de liberdade, como mostra a Figura 3. Em um espaço de trabalho
tridimensional, a maioria dos robôs discretos precisa usar todos os seus graus
22
de liberdade para posicionar a garra que se localiza na extremidade móvel do
robô.
Figura 3 - Robô discreto com seis graus de liberdade
Este tipo de disposição é muito eficiente para ambientes abertos, mas
quando obstáculos são adicionados ao ambiente, é possível que o manipulador
não consiga posicionar a garra de maneira desejada. Esse problema ocorre
porque para fazer com que seja possível lidar com os obstáculos do ambiente e
posicionar precisamente a garra seria necessário que o robô possuísse mais
graus de liberdade.
Como já dito anteriormente, manipuladores discretos se espelham na
estrutura do braço humano, mas olhando para outros seres vivos é possível
perceber que existem outros tipos de configurações que podem ser utilizadas
pela robótica.
Animais como serpentes, polvos e elefantes realizam movimentos em
seus membros de tal modo a realizar uma manipulação eficiente de objetos
mesmo que sejam muito diferentes em estrutura se comparados com o braço
humano. Desde trombas de elefantes a tentáculos de polvos, a estrutura física
pode ser a mais diversa, mas todos eles possuem uma característica em
comum que é o fato de terem um grande número de graus de liberdade.
23
1.2.2. Robôs Serpente
Robôs do tipo serpente são também conhecidos como snake-like robots,
serpentine, robôs serpente ou robôs-cobra. Combinam uma alta densidade de
elos rígidos muito curtos interconectados por juntas. Essa disposição cria
mecanismos que possuem liberdade hiper-redundante, ou seja, mecanismos
que possuem um grande número de graus de redundância cinemática, o que
faz com que sejam mais flexíveis e adaptáveis quando estão em meios com
muitos obstáculos, aumentando o seu desempenho em meios de difícil acesso
como, por exemplo, locomoção dentro de um tubo estreito, andar sobre
escombros ou subir degraus com alturas elevadas [13]. Robôs que são
descritos como manipuladores hiper-redundantes são na maioria dos casos
considerados robôs do tipo serpente [14].
O primeiro robô serpente foi desenvolvido por Hirose [15] no Instituto de
Tecnologia de Tókio (Tokyo Institute of Technology) em 1974. O robô
conhecido como ACM (Active Cord Mechanism) é constituído por 20
segmentos que produzem os movimentos de uma serpente ao se locomover no
solo. Cada junta consiste de um mecanismo que flete para a direita e para a
esquerda. O estudo inicial trata somente da locomoção em um plano, mas
posteriormente são desenvolvidos diversos modelos que podem se locomover
em um espaço tridimensional. Como principais trabalhos pode-se citar os robôs
ACM III [15], ACM – R3 [16], ACM- R4 [17], Souryu I e II , Oblix Mogura [18] ,
desenvolvidos por Hirose, ilustrados na Figura 4 e 5, e pelo robô OmmiTread
desenvolvido pela Universidade de Michigan, ilustrado na Figura 6.
Figura 4 – Robôs serpente : ACM III, ACM R3 e ACM –R4 [15][16][17]
24
Figura 5– Robôs serpente: Oblix Mogura e Souryu I e II [18]
Figura 6 – Robô serpente Ommitread
Aplicações relacionadas à locomoção aquática são outro objeto de
estudo no desenvolvimento de robôs serpente, como exemplo o robô ACM –R5
[19] também desenvolvido por Hirose e ilustrado na Figura 7.
Figura 7 – Robôs serpente aquático :ACM -R5 [19]
Apesar da maior parte dos estudos se focarem em transposição de
obstáculos, existem estudos que utilizam as características dos robôs serpente
como robôs manipuladores ou garras. Nesse intuito, Hirose desenvolveu uma
garra robótica chamada de Soft Gripper que é constituída por diversos
25
segmentos com a qual é possível segurar objetos das mais diversas formas. E
ao controlar a força na ponta de cada elo é possível levantar objetos com
rigidez das mais variadas ou até mesmo seres humanos, como ilustrado na
Figura 8 [20].
Figura 8– Robô Soft Gripper – Segurando objetos e elevando pessoas [20]
Com o objetivo de desenvolver um robô manipulador do tipo serpente,
Hirose desenvolveu um robô chamado CT-ARM, para operar em ambientes
nucleares onde a presença humana é de alto risco, transportando peças e
ferramentas e tendo grande mobilidade, como ilustrado na Figura 9 [21].
Figura 9 – Robô CT-Arm [21]
26
1.2.3. Robôs contínuos
Diferentemente das duas classes anteriormente citadas, os robôs
contínuos não possuem articulações. Manipuladores contínuos flexionam ou
estendem continuamente a própria estrutura via deformação elástica,
produzindo movimentos similares a trombas ou tentáculos de animais [22]. O
robô Octarm ilustrado na Figura 10 é um exemplo de robô contínuo que se
baseia nos movimentos de um tentáculo de um polvo e que consegue
manipular objetos flexíveis, como por exemplo, uma bola de borracha.
Figura 10 - a) Seção transversal de um tentáculo mostrando a alta densidade de fibras
musculares. b) Robô contínuo Octoarm.
Tentáculos de cefalópodes, línguas de mamíferos e lagartos, ou
trombas de elefante, são estruturas com alta densidade de fibras musculares,
Figura 10, e possuem propriedades biomecânicas únicas, propriedades que
lhes dão uma notável diversidade e complexidade de movimentos. São
desprovidos de qualquer tipo de esqueleto e, assim sendo, os músculos são os
responsáveis por gerar os movimentos necessários para locomoção,
deformação, mudança de rigidez e sustentação do corpo além de fornecer as
habilidades pelas quais os animais interagem com grande destreza em seus
ambientes naturais.
Esse tipo de estrutura é chamada de músculo hidrostático, ilustrado na
Figura 11, e têm como principal característica biomecânica a sua invariância de
volume, ou seja, a redução de dimensão de uma parte da estrutura irá causar
um aumento autocompensador em ao menos uma outra dimensão de sua
estrutura [23].
27
Figura 11 – Exemplos de músculos hidrostáticos
Robôs contínuos são baseados em músculos hidrostáticos e possuem
uma estrutura completamente diferente de robôs convencionais. A diversidade
de movimentos do reino animal oferece aos pesquisadores inspiração e
excelentes exemplos de estrutura e aplicação para manipuladores robóticos
[22].
1.2.3.1. Aplicações dos robôs contínuos
Robôs contínuos têm sido amplamente estudados na robótica, pois
possuem diversas propriedades que os tornam mais adequados para algumas
aplicações. O seu movimento é resultante da deformação de elementos
estruturais contínuos permitindo o desenvolvimento de robôs com poucos
componentes. Isto faz com que sejam de mais fácil limpeza, tornando-os mais
adequados para aplicações envolvendo materiais de alto risco, alimentos ou
produtos médicos. A estrutura simples permite que o peso da estrutura seja
baixo e permite construir estruturas longas que possam chegar até lugares de
acesso restrito, como, por exemplo, tanques de armazenamento, linhas de
transmissão de energia elétrica ou tarefas de posicionamento que requeiram
baixa acurácia e pequenas cargas, como, por exemplo, inspeção industrial,
limpeza e transporte de peças leves [24].
Robôs contínuos também possuem propriedades que favorecem o seu
uso em garras robóticas, pois ao utilizar estruturas continuas e flexíveis como
dedos de uma garra robótica, é possível minimizar os riscos de danos ao objeto
manuseado [25][26]. Os mecanismos contínuos podem se deformar em vez de
gerar grandes forças de contato ao entrar em contato com um obstáculo no
28
ambiente, o que os faz ideais para o uso em algumas operações na área
médica, como, por exemplo, endoscópios ou colonoscópios [27][28] [24].
1.2.3.2. Classificação de Robôs Contínuos
Devido a uma grande variedade de configurações, robôs contínuos são
classificados como intrínsecos, extrínsecos e híbridos [12]. A classificação é
dada de acordo com a distribuição dos atuadores e o método de atuação. E
dependendo dos graus de liberdade da estrutura os três grupos podem ser
divididos em espaciais ou planares.
1.2.3.2.1. Robôs Contínuos Extrínsecos
A arquitetura extrínseca é uma técnica de construção de robôs contínuos
com baixo peso e diversos graus de liberdade. O princípio de funcionamento
consiste em utilizar atuadores remotos e transferir o movimento por meio de
cabos, que ao serem tracionados, aplicam forças à estrutura, como ilustrado na
Figura 12.
Figura 12 – Princípio de funcionamento de um robô contínuo extrínseco[12]
A estrutura mostrada na Figura 12 consiste em dois terminais rígidos
interligados por uma mola. Em uma das extremidades estão presos os cabos
que podem ser acionados de forma independente. Ao tensionar os cabos
consegue-se deformar a mola e orientar a estrutura em uma determinada
direção. Ao acoplar molas em série é possível aumentar os graus de liberdade
Mola
Termais
rígidos
Cabos
Tracionadores
29
e consequentemente o volume de trabalho, nesse sentido diversas construções
foram desenvolvidas variando o número de secções e cabos de maneira a
aténder diferentes tipos de tarefas [29][30]. Normalmente os robôs extrínsecos
são ocos, o que os torna leves e em algumas ocasiões ideais para o transporte
de líquidos ou materiais [12].
A configuração mais comum de robôs extrínsecos é obtida na forma de
espinha dorsal (backbone). Em 1967 Anderson [31] apresentou um robô
chamado TAM (Tensor Arm Manipulator), como mostrado na Figura 13, o robô
é formado por 15 pequenos elos serialmente conectados com 14 articulações
de dois graus de liberdade. Cada junta é acionada por 4 monofilamentos o que
gerava um total de 56 cabos para as 14 articulações, três cabos adicionais
eram usados para acionar a garra do robô.
Figura 13 - Tensor Arm Manipulator desenvolvido por Anderson [31]
Em 1993 Hirose [32] apresentou mecanismos com diferentes configurações,
porém utilizando o mesmo princípio de funcionamento. Dentre os robôs
apresentados, o mais complexo é constituído de uma mola longa que confere
suporte e flexibilidade, enquanto 8 cabos independentes são presos a uma
extremidade rígida. Ao tracionar os cabos, a estrutura se deforma no sentido da
atuação. Mais recentemente Hannan [33] desenvolveu uma tromba de elefante
30
robótica, composta ao todo por 16 juntas de dois graus de liberdade, gerando
ao todo 32 graus de liberdade como mostra a Figura 14.
Figura 14– Tromba de elefante robótica desenvolvida por Hannan [33]
Tendo uma estrutura leve, flexível e de fácil limpeza, os robôs contínuos
extrínsecos ganharam aplicações na área médica. Wendlandt [34] em 1994
desenvolveu uma plataforma continua a qual é utilizada para manipular
ferramentas endoscópicas. A plataforma possui três graus de liberdade e é
acionada por três cabos independentes devido às restrições de espaço
requeridas na endoscopia.
Usando a configuração de espinha dorsal, Simaan [35] apresentou um
robô chamado DDU (Distal Dexterity Unit), que se diferencia dos trabalhos
anteriores em termos de trabalho, aplicação e atuação. No total, a DDU é
equipada por sete juntas acionadas e têm seis graus de liberdade
independentes. No todo possui 34 graus de liberdade controlados o que lhe
permite a manipulação de até três diferentes ferramentas dentro da garganta
de pacientes.
1.2.3.2.2. Robôs Contínuos Intrínsecos
A forma mais simples de atuador contínuo é o atuador intrínseco hidráulico
planar. Estes, geralmente são constituídos por materiais poliméricos e ao se
aplicar uma simples pressão de entrada, o atuador se deforma
longitudinalmente como demonstrado na Figura 15.
31
Figura 15– a) Ilustração de Atuador Intrínseco Planar b) Músculo pneumático FESTO.
A geometria das paredes determina qual será a amplitude do movimento
produzida pela deformação. Normalmente, uma das paredes do atuador tem
uma rigidez axial diferente das demais paredes. Assim, um aumento na
pressão interna resulta na diferença de tensões ao longo do atuador e o
mesmo flete para a posição desejada [36].
Existem diversas aplicações para este tipo de mecanismo, um exemplo
disso é a mão robótica desenvolvida por Orndorff [37], a qual demonstra a
utilização de um mecanismo intrínseco planar como dedos de uma mão
robótica desenvolvida para manipular objetos a altas temperaturas, radioativos,
criogênicos e objetos que não devem sofrer danos devidos a contato ao serem
manipulados, como por exemplo mísseis, como ilustrado na Figura 16.
Figura 16– a) Necessidade de aprisionar mísseis em um navio militar, b) Mão robótica
desenvolvida por Orndorff c) Mão robótica manipulando um míssil.
32
Andorf [38] desenvolveu um manipulador robótico contínuo com o
objetivo de simular os movimentos do dedo humano para mover peças em
ambientes controlados, tendo como principal vantagem a falta de partes
móveis. Devido a tais características, estruturas intrínsecas planares também
foram estudadas com o objetivo de construir manipuladores contínuos para
transportar objetos [39][40].
Ao utilizar manipuladores contínuos intrínsecos é possível combinar em
uma única estrutura o atuador e a estrutura de suporte. Isso leva a uma
estrutura simples, compacta e leve, sem a presença de partes móveis e
contendo três graus de liberdade, permitindo que a direção e a magnitude do
movimento sejam controlados [41]. Uma das configurações mais utilizadas ao
construir manipuladores intrínsecos espaciais, mostrado na Figura 17, é obtida
ao posicionar câmaras de material polimérico em intervalos regulares em
relação a um eixo longitudinal.
Terminais rígidos
Câmaras de pressão
Entrada de ar
Figura 17– Configuração usual de robô contínuo intrínseco espacial
A operação deste tipo de estrutura se dá basicamente por fornecer
diferentes pressões para as câmaras que se deformam elasticamente de
acordo com as diferenças de pressão. Como mostrado na Figura 18, é
essencial para a operação que as pressões internas gerem extensão axial e
não expansão radial[12].
33
Figura 18– Princípio de funcionamento de um robô contínuo intrínseco
Suzumori [42], em 1992 apresentou um tipo de micro-atuador flexível
aplicado a manipuladores robóticos, Figura 19. O princípio de funcionamento
consiste basicamente em pressurizar três câmeras montadas radialmente em
um único cilindro. A montagem é feita de maneira que ao ajustar as pressões
nas câmaras obtêm-se o movimento desejado. O manipulador desenvolvido
tem como principal característica a capacidade de não só produzir movimentos
de flexão, mas também de alongamento.
Figura 19– Atuador flexível proposto por Suzumori [42]
Posteriormente Wilson [43] apresentou um robô que utiliza atuadores
similares ao proposto por Suzumori. Aqui o robô é constituído por tubos que,
quando pressurizados, fletem em apenas uma determinada direção.
34
Davies e Lane [44][26] desenvolveram uma garra hidráulica com
atuadores extrínsecos planares, com o objetivo de acoplar a garra contínua ao
robô AMADEUS, Figura 20, que tem como principal aplicação manipular
objetos em operações subaquáticas. O atuador é baseado em uma tromba de
elefante sendo muito maior do que todos até então desenvolvidos. O atuador
possui 744 mm de comprimento e cada dedo da garra é formada por sanfonas
que, ao serem pressurizadas, deformam de maneira a segurar objetos sem
causar danos por contato [45].
Figura 20– a) Robô manipulador AMADEUS b) Manipulador contínuo utilizado no robô
AMADEUS
Mais recentemente, Ohno e Hirose desenvolveram um robô contínuo
intrínseco chamado de Slim Slime Robot (SSR) [46][47], Figura 21(a). O robô é
composto por seis módulos com três graus de liberdade cada. Como mostra a
Figura 21(b) cada módulo possui uma parede sanfonada que acomoda
câmaras sanfonadas as quais se deformam com o aumento da pressão interna
e são responsáveis pela movimentação do robô. No início de cada módulo há
uma válvula de inserção e no final, uma de exaustão de ar. Com base no SSR,
Aoki, juntamente com Hirose e Ohno [47], realizaram algumas mudanças de
projeto para garantir mais graus de liberdade ao robô e propuseram uma nova
versão do robô, chamada SSR-II (Slim Slime Robot 2).
35
Figura 21– Robô contínuo Slim Slime
Já na área médica, Bailly [49] propôs e desenvolveu um micro-robô
aplicado a um cateter. O robô é acionado hidraulicamente e com a variação de
pressão em suas sanfonas o que lhe permite mudar seu comprimento,
resultando na flexão do robô.
Em 1998 Kallio [50] apresentou um manipulador robótico contínuo
intrínseco que manipulava objetos microscópicos. O manipulador possui
resolução de microns e sua área de trabalho é de centenas de micros, o
sistema de acionamento, como mostrado na Figura 22(a), consiste
basicamente em aplicar uma tensão ao atuador piezo-elétrico, que ao ser
acionado desloca um volume de óleo para dentro das sanfonas, fazendo com
que as mesmas se alonguem e vice versa. Ao acoplar três sanfonas ao sistema
é possível obter movimentos em três graus de liberdade, como mostrado na
Figura 22( b).
36
Figura 22– a) Princípio de funcionamento do micro-atuador piezelétrico b) principais
componentes.
Em 1995 Ivanescu [62] propôs um atuador que utilizava fluidos
reológicos, ou seja, fluidos que mudam sua viscosidade na presença de um
campo elétrico. Com isso, estruturas flexíveis poderiam aumentar sua rigidez
após chegar às posições desejadas.
Outra forma de atuação intrínseca são os músculos artificiais (PAM -
Polymer Artificial Muscle), Figura 15(a). Os PAMs são atuadores contráteis e
conseqüentemente geram deslocamento em apenas uma direção, sendo
possível montar robôs contínuos intrínsecos utilizando diversos músculos para
obter movimentos espaciais [51][52]. Outra forma de utilização de músculos foi
proposta por Kornbluh em 1998 [53], sugerindo o uso de EPAMs
(Electrostrictive Polymer Artificial Muscle) para aplicações robóticas ao
construir um braço contínuo redundante multi-seção. Os atuadores EPAM
contraem quando uma tensão é aplicada ao polímero dielétrico, e assim como
os músculos artificiais, resultam em atuadores silenciosos, de baixo peso e
compactos.
Outros importantes tipos de atuação, e amplamente pesquisados, são os
metais com memória de forma (SMA – Shape Memory Alloy), que normalmente
são utilizados em aplicações de baixa eficiência e resposta lenta. Em 1988
Ikuta [29] desenvolveu um sistema endoscópico utilizando SMA. Outra
37
aplicação de robôs contínuos em endoscópios foi feita por Maeda [61] em 1996
e mais recentemente Dario [54] desenvolveu um robô contínuo atuado por SMA
para auxiliar em exames de colonoscopía. Posteriormente Fukuda [55]
desenvolveu atuadores baseados em SMA e os aplicou a um robô contínuo
móvel com objetivo realizar a inspeção de tubos. Outros trabalhos relacionados
foram desenvolvidos por Aramaki [56] ao construir um micro manipulador de 5
graus de liberdade, formado por um tubo com 1mm de diâmetro e 80 mm de
comprimento que se deforma com o intuito de inspecionar tubos com pequenos
diâmetros, e posteriormente Mineta [57] propôs um micro-manipulador
utilizando SMA aplicados a um cateter ativo.
1.2.3.2.3. Robôs contínuos Híbridos
Estruturas híbridas seguem um caráter similar a estruturas contínuas
extrínsecas acionadas por cabos, exceto que as molas passivas são
substituídas por sanfonas ativamente controladas, Figura 23.
Figura 23– Princípio de funcionamento de um robô contínuo híbrido
38
Em 1994 Hemani [58] propôs uma construção de manipulador contínuo
híbrido com diversas seções de dois graus de liberdade. Mais recentemente,
um manipulador contínuo híbrido, chamado de tentáculo robótico KSI, foi
desenvolvido comercialmente. O KSI é acionado por sanfonas pneumáticas
(atuação intrínseca) e motores elétricos que tracionam cabos atados à
estrutura, (acionamento extrínseco) [59], Figura 24.
Figura 24 – Robô contínuo KSI
Em 2004 Jones [60] se baseou no trabalho realizado anteriormente por
Hannan [33] e desenvolveu um robô contínuo híbrido, mostrado na Figura 25.
O robô chamado de Air-Octor é composto por dois cilindros flexíveis. O cilindro
exterior é conectado a tendões responsáveis pela flexão da estrutura, enquanto
o cilindro interno é acionado pneumaticamente variando o comprimento da
estrutura.
Figura 25 – Robô contínuo Air-Octor
39
1.2.3.3. Panorama geral dos trabalhos anteriores
A tabela 1 resume os diferentes trabalhos realizados sobre robôs
contínuos. Os trabalhos relacionados a robôs contínuos intrínsecos são
classificados de acordo com o tipo de atuação, já os trabalhos relacionados a
robôs contínuos extrínsecos ou híbridos são classificados de acordo com o
número de módulos, ou seja, se existem módulos em série ou se o robô
consiste de apenas um módulo. Nos campos da tabela são exibidos o nome do
pesquisador juntamente com o ano de publicação do trabalho relacionado ao
robô e a respectiva referência bibliográfica.
Extrínseco Intrínseco Híbrido
Em série Não em série Hidráulico ou
Pneumático
Metais com
memória
Outros tipos
de atuação
Série Não em série
Anderson-
1967 [31]
Wendlant
1994 [34]
Davies 1991
[44]
Cieslak 1999
[28]
Kallio 98 [50] Jones 2004
[60]
Hirose 1993
[32]
Suzumori
1992 [42]
Ikuta 1988
[29]
Ivanescu 95
[62]
Immega 95
[59]
Hannan 2001
[33]
Wilson 1993
[43]
Fukuda 1989
[55]
Kornbluh 98
[53]
Simaan[35] Lane 1999
[26]
Maeda 96
[61]
Ohno 2000
[47]
Aramaki 95
[56]
Ohno 2001
[45]
Mineta 2001
[57]
Aoki 2002
[47]
Lim 1996 [27]
Bailly 2004
[49]
Dario 2002
[30]
Chen2006
[24]
Tabela 1 – Principais trabalhos desenvolvidos utilizando robôs contínuos
40
1.2.3.4. Vantagens fornecidas pelos robôs contínuos
É importante destacar as diferenças entre robôs com características
contínuas dos robôs hiper-redundantes. Normalmente robôs hiper-redundantes
são definidos como tendo um maior número de graus de liberdade atuados do
que graus de liberdade de seu espaço de trabalho. Robôs contínuos não se
enquadram nessa definição, pois podem exibir um grande número de graus de
liberdade, mas nem todos esses graus de liberdade precisam ser diretamente
acionados, consequentemente, é possível construir robôs contínuos que não
sejam classificados como hiper-redundantes.
Diferentemente de manipuladores contínuos, os manipuladores
convencionais utilizam conexões seriais com articulações diretamente
acionadas. Um simples exemplo dessa desvantagem é dado quando o robô
precisa vencer um obstáculo, como mostra a Figura 26 [33]. O manipulador
discreto precisa prover atuação em suas três juntas para conseguir ultrapassar
o obstáculo, enquanto o robô contínuo precisa de apenas um atuador.
Seguindo o mesmo conceito, os manipuladores hiper-reduntantes do tipo
serpente resultam em robôs extremamente complexos e difíceis de
implementar. O uso de robôs do tipo contínuo pode simplificar a arquitetura de
manipuladores convencionais.
Figura 26 – Exemplo de obstáculo a) Robô discreto b) Robô Contínuo
41
Ao analisar os trabalhos propostos anteriormente observa-se que os
robôs contínuos são mais leves, e consequentemente podem ser portáteis,
possuem mecanismos mais simplificados, controle menos complexo devido ao
menor número de atuadores e podem interagir com obstáculos encontrados em
seu ambiente sem criar grandes forças de contato. Ao utilizar configurações
extrínsecas, ou seja, ao posicionar os atuadores fora da estrutura do robô, e
transmitindo o movimento utilizando cabos é possível construir robôs com alta
isolação elétrica o que é de grande utilidade para operações que envolvem
tarefas nas proximidades de redes elétricas de alta tensão. Outra vantagem
encontrada consiste no fato de que ao não possuírem juntas, os robôs
contínuos apresentam elevada repetibilidade de posicionamento, visto que o
posicionamento é o resultado da deformação elástica da estrutura. Em resumo,
pode-se afirmar que ao analisar as vantagens oferecidas pela arquitetura
contínua percebe-se que os robôs contínuos são mais adequados para tarefas
a alturas elevadas.
42
1.3. Objetivos
Através desta parte inicial do trabalho, foi identificada uma classe
importante de tarefas a serem executadas por robôs: a manipulação de
ferramentas em locais elevados. Em seguida, através de um estudo crítico
sobre as variedades de robôs existentes, identificou-se os robôs contínuos
como sendo a melhor solução a ser aplicada. Neste momento dos estudos,
estabelecem-se como objetivos:
-
Propor um robô contínuo para manipulação de ferramentas em locais
elevados. Esta proposta inclui: um mecanismo que permita atingir
diferentes posições em alturas elevadas, um mecanismo para o seu
acionamento e a estratégia de controle. O problema de manipulação é
simplificado e neste trabalho será considerado somente o problema de
posicionamento em posições elevadas.
-
Realizar um estudo de caso que trata de um problema real de
manuseio de ferramenta em local elevado, sendo que aqui será
realizado todo o desenvolvimento e detalhamento da solução de modo
a validar o robô proposto.
43
1.4. Metodologia
Primeiramente foi identificada uma classe de tarefas, que consiste em
manipular ferramentas a alturas elevadas, a qual existe a possibilidade e o
interesse de aplicar dispositivos robóticos. Ao fazer um estudo para classificar
e selecionar o tipo de robô mais indicado para efetuar tais tarefas, percebeu-se
qual a classe mais adequada de robô a ser utilizado.
Tendo definido o tipo de robô a ser utilizado, foi feita uma revisão
bibliográfica, com a qual foi possível analisar os meios de acionamento e as
principais arquiteturas do tipo de robô escolhido. Já em uma segunda etapa,
será proposta uma nova arquitetura para robô contínuo que lhe permita atingir
locais a alturas elevadas e serão propostos mecanismos que realizam tanto o
acionamento quanto a estabilização do robô. Tendo elaborado os modelos
teóricos, será adotado um estudo de caso para aplicar os conhecimentos
desenvolvidos.
Em uma terceira etapa serão levantadas as necessidades de trabalho do
robô e será iniciada a fase de projeto. Nesta fase serão feitos o projeto
mecânico e a análise estrutural do robô. Tendo elaborado o projeto, será
iniciada a construção do protótipo e após concluir a fabricação, serão efetuados
testes para avaliá-lo. Ao analisar o comportamento do robô serão propostas e
implementadas melhorias, e os resultados obtidos serão analisados.
44
2. Proposta de solução
Ao analisar os robôs contínuos propostos por diversos autores, é
possível notar que o volume de trabalho desses robôs é limitado, já que está
diretamente relacionado com a capacidade que cada robô tem de deformar a
própria estrutura em regime elástico. Em atividades onde se almeja um volume
de trabalho maior, como por exemplo, manipular ferramentas a grandes alturas
é necessário fazer com que o robô possua um grande comprimento para que
suas deformações sejam capazes de aténder as especificações de trabalho.
Levando em conta as dificuldades de transporte que estruturas de
grande comprimento possuem e que muitos dos locais a serem inspecionados
se localizam em lugares de difícil acesso, chega-se a conclusão que é
necessário utilizar robôs que possuam dimensões reduzidas. É proposta então
a utilização de mecanismos telescópicos, pois ao utilizá-los é possível obter um
aumento significativo no volume de trabalho e ao mesmo tempo simular uma
estrutura continua.
Com o intuito de explicar o princípio de funcionamento da arquitetura
proposta, o texto a seguir é divido em duas seções:
• Sistema Mecânico: Nesta seção será proposta uma nova
arquitetura de robô contínuo que mais se adequa a manipular
ferramentas em alturas elevadas. Também será feita a análise da
estrutura de maneira a estudar a instabilidade desta e, finalmente,
propor um sistema de acionamento que seja capaz de manter a
estrutura estável e ao mesmo tempo acionar o robô.
• Sistema de Controle: Nesta seção será proposto um modelo
dinâmico do sistema em um grau de liberdade que utiliza os
dados obtidos na análise dinâmica da estrutura. Também será
definida a estratégia de controle utilizada neste trabalho. Com
isso este trabalho deixara aberto um caminho para o
desenvolvimento de uma estratégia de controle que considera a
dinâmica do sistema. Neste trabalho será considerada uma
45
estratégia de controle que leva em conta somente o modelo
estático o que será suficiente em operações em baixas
velocidades. Será ainda neste trabalho demonstrada a viabilidade
de execução de controle em malha aberta.
2.1. Sistema mecânico
2.1.1. Arquitetura telescópica
Mecanismos telescópicos são formados por um conjunto de perfis
normalmente tubulares que possuem diâmetros diferentes e seqüenciais. São
montados de maneira seqüencial onde os tubos de diâmetro menor são
montados dentro dos que possuem diâmetro maior como ilustra a Figura 27
[63].
Figura 27– Mecanismo telescópico retraído [63]
Ao utilizar um mecanismo telescópico é possível variar o comprimento
da estrutura sem deformá-la, o que gera um aumento significativo no volume
de trabalho dos robôs do tipo contínuo. Apesar de ter partes móveis, a
estrutura telescópica é capaz de simular uma estrutura continua mesmo
quando o robô não utiliza seu comprimento máximo. Como ilustrado na Figura
28, o princípio de funcionamento de estruturas telescópicas consiste
basicamente em acionar o primeiro estágio que se desloca até atingir o fim de
curso, situação 1, após esse momento o segundo estágio entra em movimento
até chegar ao seu fim de curso, e assim sucessivamente.
46
Figura 28– Princípio de funcionamento de um mecanismo telescópico
Esse conceito pode ser expandido para diversos estágios e
consequentemente alcançar alturas das mais variadas, porém ao aumentar o
comprimento da estrutura a seção transversal dos estágios começa a ser
demasiadamente pequena em relação ao comprimento da estrutura, ou seja, a
estrutura se torna cada vez mais esbelta, tornando o projeto mais complexo. Ao
trabalhar com estruturas esbeltas e de grande comprimento é importante
realizar uma análise estrutural para entender como a estrutura irá se
comportar, como será visto na próxima seção.
Situação 1
Situação 2
Comprimento
em contato
Tubo 3
Tubo 1
(fixo)
Tubo 2
47
2.1.1.1. Análise estrutural estática
2.1.1.1.1. Introdução
Robôs contínuos são formados por estruturas de natureza continua, ou
seja, seu comportamento pode ser definido nos infinitos pontos que formam o
contínuo, gerando sistemas com infinitos graus de liberdade. Para uma análise
rigorosa de tais estruturas é necessário integrar as equações diferenciais que
expressam o equilíbrio de um elemento infinitesimal genérico das mesmas.
A integração analítica das equações de equilíbrio é com freqüência
difícil, ou impossível, devido à geometria da estrutura, natureza das condições
de contorno, propriedades dos materiais, o tipo de carga e etc. Por isso se faz
necessário utilizar métodos simplificados que permitam analisar a estrutura de
maneira aproximada. Neste trabalho será utilizado o método dos elementos
finitos (MEF) que é um dos procedimentos que existem para aproximar o
comportamento de uma estrutura com infinitos graus de liberdade por outra
com aproximadamente as mesmas propriedades físicas e geométricas. Porém
com um número finito de graus de liberdade cujas equações de equilíbrio
podem expressar-se por um sistema algébrico de equações simultâneas com
um número limitado de incógnitas [64][65].
2.1.1.1.2. Proposta de elemento finito
Ao modelar uma estrutura utilizando o método dos elementos finitos é
muito importante escolher o elemento finito adequado, em termos de suas
definições como geometria, graus de liberdade de seus nós, funções de
interpolação, física do problema em questão, entre outros. Com isso se procura
simular a realidade com menos perda de acurácia possível.
Ao analisar a estrutura de robôs contínuos esbeltos, observa-se que é
possível reproduzir a estrutura utilizando elementos de pórtico espacial, que é
formulado por um modelo de viga com seção transversal arbitraria, o qual pode
deformar não apenas na direção axial, mas também nas direções
perpendiculares ao eixo da viga. O elemento de pórtico espacial é capaz de
48
suportar forças tanto nas direções axiais e transversais assim como momentos.
Um elemento de pórtico espacial possui 6 graus de liberdade por nó, dos quais
3 representam as translações nos eixos x,y,z, e três rotações em torno dos
respectivos eixos x,y e z. Entretanto, como um elemento de pórtico possui no
mínimo 2 nós, cada elemento possui 12 graus de liberdade, como demonstrado
na Figura 29 [66].
Figura 29 – Elemento de pórtico espacial
Onde o vetor de deslocamentos pode ser dado por:
(1)
A matriz de rigidez do elemento pode ser obtida analisando os esforços
no elemento ao aplicar um deslocamento unitário em cada um dos graus de
liberdade [67], e pode ser escrita como:
49
(2)
Onde A é a área da seção transversal, a é o comprimento, E é o modulo
de elasticidade,
Y
I e
Z
I são os momentos de inércia das seções transversais
do elemento de pórtico em relação aos eixos y e z respectivamente,
G
é o
módulo de elasticidade transversal e
J
é momento de inércia polar da seção
transversal do elemento [67]. Já a matriz de massa é dada por:
(3)
Onde
A
I
r
x
x
=
2
, sendo
x
I o momento de inércia da seção transversal em relação
ao eixo x do elemento de pórtico.
50
2.1.1.1.3. Análise Estática Linear
Na formulação de elementos finitos, o corpo elástico contínuo é
representado por um sistema discreto, formado por um conjunto de elementos
estruturais unidos entre si através de um número finito de pontos denominados
nós do modelo. Um elemento estrutural é definido como uma parte do corpo
elástico e o seu comportamento é determinado a partir do conhecimento dos
deslocamentos ou forças nodais deste elemento.
O conhecimento do comportamento dos elementos individuais permite
representar o comportamento do sistema como um todo de acordo com a teoria
de elementos finitos [69][70]. As matrizes de massa e rigidez da estrutura
denominadas de matrizes globais são montadas a partir das matrizes
elementares de massa e rigidez estimadas individualmente para cada
elemento. As matrizes globais representam n equações diferenciais, sendo n o
número de graus de liberdade do modelo discreto [70].
Para obter um modelo matemático da estrutura real, é necessário utilizar
uma matriz de conectividade para definir como os elementos estarão
conectados. Como se pode observar na Figura 30, os elementos estão
conectados em série, e em uma primeira análise, cada elemento pode ser
entendido como uma variação de rigidez da estrutura. Ao ser constituída de
tubos de diversos diâmetros existe uma variação significativa entre a rigidez
dos tubos e a rigidez das buchas intermediarias que, como comentado
anteriormente fazem o contato entre os tubos de maior e menor diâmetro de
maneira a que um deslize dentro do outro.
51
1
2
3
i
4
n-1
n
Figura 30– Conectividade de uma estrutura telescópica
Após realizar a numeração dos graus de liberdade, é possível montar as
matriz de rigidez global e a matriz de massa global, que são as matrizes que
descrevem a rigidez e a massa da estrutura levando em conta a participação
de todos os elementos acima definidos. Para montar as matrizes globais é
necessário levar em conta a relação de forças entre os elementos e as leis de
equilíbrio e compatibilidade, características que estão definidas na matriz de
conectividade.
Também é preciso estabelecer um novo sistema de coordenadas, já que
as coordenadas de cada elemento não são necessariamente iguais às
coordenadas do sistema da estrutura, ou seja, as coordenadas locais podem
ser diferentes das coordenadas globais. Ao adotar um novo sistema de
coordenadas observa-se que cada grau de liberdade sofre uma rotação, como
ilustrado na Figura 31, para realizar a transformação de um sistema para outro
é utilizada uma matriz de transformação de coordenadas. A matriz de
transformação é facilmente encontrada ao generalizar as rotações sofridas pelo
elemento ao passar das coordenadas locais para as globais [66] . Uma
importante propriedade da matriz de transformação de coordenadas é a
52
ortogonalidade, ou seja, a transposta da matriz coincida com sua inversa, fato
permite obter facilmente a relação entre a matriz de coordenadas locais e
globais.
Figura 31– Sistema de coordenadas globais do elemento de pórtico [66]
As coordenadas do sistema global estão expressas em letras
maiúsculas e o sistema local em letras minúsculas. A matriz de rigidez dos
elementos sofre alteração uma vez que se muda a orientação dos elementos,
para isso deve-se realizar as seguintes operações [66]:
TkTK
e
T
e
= (4)
TmTM
e
T
e
= (5)
e
T
e
fTF = (6)
Onde
e
K ,
e
M e
e
F são as matrizes de rigidez e massa e o vetor de
carregamento em coordenadas globais, e
e
k ,
e
m e
e
f são as matrizes de
rigidez e massa e o vetor de carregamento nas coordenadas locais,
respectivamente. Tendo a matriz de transformação em função dos ângulos de
53
rotação, aplicam-se as rotações de maneira a fazer com que a estrutura fique
na vertical.
Ao possuir a matriz de rigidez global aplica-se a relação mostrada na
Equação 7:
{
}
[
]
{
}
uKF = (7)
Onde
F
representa o vetor de carregamentos,
K
a matriz de rigidez e
u
o vetor de deslocamentos. Assim é possível determinar o gradiente de
deformações da estrutura ou as forças necessárias para provocar uma
determinada deformação.
2.1.1.1.4. Análise estrutural dinâmica
Estruturas contínuas podem ser representadas por sistemas de
parâmetros distribuídos, ou seja, propriedades como massa e rigidez variam de
acordo com o comprimento. Em um primeiro estudo, foi feita uma aproximação
na qual um sistema de infinitos graus de liberdade é aproximado por sistema
de um grau de liberdade. Para realizar essa aproximação de forma analítica é
necessário adotar que a estrutura se deformará sempre com a mesma forma.
Assim sendo, a forma da estrutura deformada é aproximada por uma função de
interpolação expressa pela letra
ϕ
. Ao adotar uma função de interpolação é
possível obter as propriedades generalizadas do sistema, ou seja, como a
rigidez do sistema e a massa do sistema irão se comportar quando a estrutura
estiver sujeita a carregamentos dinâmicos [72][73]. Para uma barra de seção
constante e parâmetros distribuídos, ilustrada na Figura 32, temos as seguintes
equações que representam a massa e a rigidez generalizadas [72]:
dxxmm
L
∫
=
0
2
)(*
ϕ
(8)
dxxEIk
L
∫
=
0
2
..
)(*
ϕ
(9)
54
Figura 32– Pórtico engastado de seção constante
Com o objetivo obter a equação de movimento do sistema é necessário
adotar uma função de interpolação que defina como será a deformação da
estrutura. Uma vez que o comportamento dinâmico estrutural de sistemas
mecânicos pode ser descrito por seus parâmetros modais, ou seja, suas
freqüências naturais, constante modal e razões de amortecimento. A análise
modal é um procedimento bastante eficaz para determinar esses parâmetros e
a literatura mostra que essa técnica vem conquistando uma ampla gama de
aplicação. A análise modal empregada para investigar o comportamento
dinâmico de uma estrutura é sustentada em três hipóteses básicas [74][75]:
• Linearidade do comportamento dinâmico: a resposta da estrutura para
uma combinação de forças aplicadas simultaneamente é equivalente à
soma das respostas de cada força atuando individualmente;
• Invariável no tempo: os parâmetros físicos da estrutura são constantes;
• Observável: a relação entrada/saída medida contém informações
suficientes para determinar o comportamento dinâmico do modelo.
Portanto para determinar a função de interpolação, é necessário determinar
os modos de vibração da estrutura, sendo que a equação que descreve as
vibrações ao longo de um pórtico de seção constante é dada por [72][73]:
).().(),(
tsenxytx
ω
=
Ψ
(10)
Onde a solução da equação diferencial é a amplitude y(x) da vibração
dos pontos x da barra e pode ser escrita por
55
)cos()()cosh()()(
4321
qxAqxsenAqxAqxsenhAxy +++= (11)
Aplicando as condições de contorno determina-se a freqüência natural
do sistema que pode ser expressa por [72][73]:
4
2
..
*
LA
IE
r
nn
ρ
ω
=
(12)
Onde
n
f é a freqüência do modo normal n de vibração, A é a área da
seção transversal, L o comprimento, E o módulo de elasticidade e I o momento
de inércia, e os valores das raízes
Lqnrn .
=
, da Equação (10), são calculadas
pelo procedimento numérico do ponto médio, seus primeiros valores são
=
rn
1.875, 4.693, 7.855, 10.996 [72]. A amplitude y(x) dos distintos pontos x da
barra no modo normal é definida pela equação [72]:
−
−
−
−−=
))cos().(cosh(
))cos()(cosh(
))()((
))()(()( xqxq
LqLq
LqsenLqsenh
xqsenxqsenhxy
nn
nn
nn
nnn
(13)
Conforme os resultados obtidos no programa apresentado no apêndice
E é possível obter os primeiros modos de vibração do pórtico em questão,
como ilustrado na Figura 33. O primeiro modo possui uma amplitude maior que
os demais e ao analisar o comportamento dinâmico da estrutura observa-se
que o primeiro modo é predominante quando uma estrutura de grande
comprimento esta em vibração livre.
56
Figura 33– Três primeiros modos de vibrar de uma viga engastada de seção constante
Com isso pode-se aproximar a função de interpolação
ϕ
pela equação
que define a amplitude dos distintos pontos x da barra no primeiro modo
normal, e com isso obter a massa e a rigidez generalizada como mostrado a
seguir:
dxxqxq
LqLq
LqsenLqsenh
xqsenxqsenhxmm
L
∫
−
−
−
−−=
0
2
11
11
11
11
))cos().(cosh(
))cos()(cosh(
))()((
))()(()(*
(14)
dxxqxq
LqLq
LqsenLqsenh
xqsenxqsenhxEIk
L
∫
−
−
−
−−=
0
2
..
11
11
11
11
))cos().(cosh(
))cos()(cosh(
))()((
))()(()(*
(15)
Ao analisar as equações (14) e (15) observa-se que mesmo para um
caso simplificado, como um pórtico de seção continua, as equações
diferenciais que regem o sistema possuem diversas variáveis e são de difícil
resolução, o que torna inviável estudar sistemas multi-seção analiticamente
devido à complexidade das equações e ao número de variáveis envolvidas nos
processos de integração.
57
Entretanto estruturas lineares podem ser representadas por modelos
matemáticos lineares obtidos a partir da discretização da estrutura em
elementos conectados rigidamente por nós, assim como já foi feito na análise
estática. A interação entre as forças dos vários elementos que constituem a
estrutura é representada por forças resultantes dos esforços de flexão, torção e
tração atuando nesses nós [76]. Tal procedimento permite realizar a análise
modal de sistemas mais complexos, como no caso do robôs contínuos
telescópicos que são estruturas que possuem diversas seções.
2.1.1.1.4.1. Análise Modal utilizando o Método dos
Elementos Finitos
Como já dito anteriormente, as matrizes de massa e rigidez da estrutura,
denominadas de matrizes globais, são montadas a partir das matrizes
elementares de massa e rigidez estimadas individualmente para cada
elemento. As matrizes globais representam n equações diferenciais, sendo n o
número de graus de liberdade do modelo discreto. A equação diferencial
algébrica que expressa o equilíbrio das forças de um sistema de vários graus
de liberdade é utilizada para a representação de uma estrutura por elementos
finitos. Essa abordagem leva a um modelo discreto da estrutura, representado
por um sistema linear de n equações diferenciais de segunda ordem
acopladas. Na forma matricial tem-se [72][73]:
{ }
)()(][)(][)(][
...
tftxKtxCtxM =
+
+
(16)
Onde
)()(,)(
...
txetxtx
- são os vetores de aceleração, velocidade e
deslocamento respectivamente.
{
}
)(tf
- é a força aplicada ao sistema.
58
][][],[ KeCM
são matrizes de massa, amortecimento e rigidez,
respectivamente
Para estudar os modos de vibração natural podem-se desconsiderar os efeitos
do amortecimento, a Equação (16) torna-se:
{ }
)()(][)(][
..
tftxKtxM =
+
(17)
Assumindo uma força de excitação do tipo
{
}
{
}
ti
eFtf
ω
=
)(
e uma solução da
forma
{
}
{
}
ti
eXtx
ω
=
)(
,a equação do movimento pode ser expressa por:
(
)
{
}
{
}
titi
eFeXKM
ωω
ω
=+−
][][
2
(18)
Onde
ω
é a freqüência de oscilação da força,
{
}
F
é o vetor de constante
complexas da força de excitação e
{
}
X
é o vetor de constantes complexas da
resposta.
De qualquer forma, a solução numérica da Equação (18) não é simples
devido às dificuldades computacionais, particularmente para sistemas de alta
ordem. Para certos casos especiais, uma maneira apropriada de resolver o
sistema é utilizar a análise modal. Este processo requer a solução do problema
de autovalor do sistema e a resposta da estrutura é expressa como uma
combinação linear dos autovetores [77].
Para uma estrutura não amortecida, a equação homogênea associada
com a equação do movimento pode ser escrita assumindo que as forças de
excitação são nulas. A resposta do sistema neste caso pode ser obtida
considerando a solução homogênea a partir de um problema de autovalor
Equação (19) [70].
(
)
{
}
0][][
2
=+−
ti
eXKM
ω
ω
(19)
A solução não trivial da Equação (19) conforme discutida em Meirovitch
[77], é dada por uma matriz diagonal
[
]
r
λ
,para r =1,....n, chamada de matriz
59
dos autovalores, e está associada a uma outra matriz
[
]
Ψ de ordem n x n,
chamada de matriz de autovetores. Particularmente, cada
2
rr
ωλ
= está
relacionado a um vetor deslocamento
{
}
r
ψ
[78]. Na dinâmica estrutural, os
autovalores e os autovetores são interpretados como as freqüências naturais e
os modos próprios de vibrar, respectivamente, portanto, o problema de
autovalor pode ser expresso por:
[
]
{
}
{
}
r
r
r
MK
ψλψ
][
= (20)
A solução computacional do problema de autovalor é bem conhecida e
existem vários métodos de resolução bastante utilizados [70]. Vale ressaltar
que neste tipo de problema, quando a matriz
][M
é simétrica, positiva definida
e a matriz
][K
é simétrica e semi-definida positiva, os autovalores são reais e
não negativos. Para o caso de uma estrutura na condição livre-livre, a solução
admite autovalores nulos associados aos autovetores representando os modos
de corpo rígido, ou seja, o corpo livre pode movimentar-se numa freqüência
nula sem se deformar [79].
Uma das propriedades mais importantes dos modos próprios é a
ortogonalidade em relação as matrizes de massa e rigidez, sua dedução pode
ser verificada detalhadamente em Meirovitch [78]. A propriedade de
ortogonalidade é de grande utilidade e convenientemente aplicada na solução
de problemas de autovalor em elementos finitos, além de ser freqüentemente
utilizada para desacoplar as equações de movimento do sistema,
transformando as matrizes de massa e rigidez da estrutura em matrizes de
massa e rigidez modal:
[
]
[
]
[
]
*][..
mM
T
=ΨΨ
(21)
[
]
[
]
[
]
*][..
kK
T
=ΨΨ
(22)
Onde
[
]
Ψ é a matriz modal que contém os vetores modais, *][
m
é a matriz de
massa modal, e *][
k
a matriz de rigidez modal. É importante ressaltar que tanto
a matriz de massa modal como a matriz de rigidez modal são matrizes
60
diagonais, onde cada elemento da matriz representa a massa generalizada e a
rigidez generalizada para um determinado modo [80]. Quando os modos são
normalizados em relação à massa modal, as propriedades de ortogonalidade
são chamadas de ortonormais e passam a satisfazer as seguintes relações:
[
]
[
]
[
]
][..
IM
T
=
φφ
(23)
[
]
[
]
[
]
][..
λφφ
=K
T
(24)
Onde
[
]
{
}
[ ]
r
r
m
ψ
φ
=
é a matriz modal normalizada em relação à massa, ][
I
é a
matriz identidade e ][
λ
é a matriz dos autovalores.
É importante notar que, outro aspecto de interesse das propriedades de
ortogonalidade dos autovetores é a sua utilização na transformação das
coordenadas físicas do modelo em coordenadas modais, que permite o
desacoplamento das equações diferenciais do movimento. Isto possibilita
resolver as equações do movimento como se fosse um sistema de um grau de
liberdade para cada equação e depois retornar ao sistema físico [80].
A representação do modelo em coordenadas modais pode ser obtida
pré-multiplicando a Equação (18) pela matriz modal transposta
[
]
T
Ψ
e pós-
multiplicando pela identidade. O sistema de equações do movimento é então
desacoplado, Equação (25).
[
]
{
}
[
]
{
}
{
}
ℑ=Ψ+Ψ−
−−
XkXm
11
2
*][*][
ω
(25)
A Equação (25) permite representar o sistema como n sistemas de um grau de
liberdade, onde
{
}
[
]
{
}
F
T
Ψ=ℑ
é o vetor força em coordenadas modais.
Neste caso, o vetor deslocamento
{
}
q
em coordenadas modais é dado pela
expressão (26).
{
}
[
]
{
}
Xq
1−
Ψ=
(26)
61
Pré-multiplicando a Equação (26) pela matriz modal obtém-se novamente o
vetor deslocamento em coordenadas espaciais
{
}
X
, Equação (27).
{
}
[
]
{
}
qX Ψ=
(27)
A Equação (27) mostra que os deslocamentos físicos do modelo podem
ser escritos como uma combinação das colunas da matriz modal escalonados
pelo vetor modal [81].
2.1.1.1.4.2. Modelo dinâmico de um grau de liberdade
Ao realizar a analise modal da estrutura é possível obter modelos
dinâmicos levando em consideração quais os modos de vibrar mais influentes
na dinâmica da estrutura, tais modelos podem ser utilizados ao estudar a
dinâmica da estrutura e consequentemente serem aplicados a teorias de
controle.
A utilização da transformação das coordenadas físicas do modelo em
coordenadas modais, permite o desacoplamento das equações diferenciais do
movimento. Isto possibilita resolver as equações do movimento como se fosse
um sistema de um grau de liberdade para cada equação e depois retornar ao
sistema físico. O que permite modelar o sistema dinâmico de um grau de
liberdade como sendo um sistema massa-mola-amortecedor (MMA), como
ilustrado na Figura 34, onde os valores de rigidez e massa são os valores
generalizados para o primeiro modo de vibração.
Figura 34– Sistema MMA com massa, amortecimento e rigidez generalizadas
62
2.1.1.1.5. Análise estática não linear
Ao possuir uma estrutura continua, flexível, esbelta e de grande
comprimento, os robôs contínuos que utilizem estruturas telescópicas de
grande comprimento possuem um comportamento não linear, ainda que
constituído de um material que obedeça à lei de Hooke. Para valores
relativamente grandes de deslocamentos, a deflexão lateral de um membro
pode trazer como conseqüência, o aparecimento de momentos fletores
adicionais, denominadas de segunda ordem, em virtude da presença de um
esforço normal, tais momentos fazem a estrutura fletir. A flambagem seria outra
forma de instabilidade, contudo antes que a estrutura flambe os momentos
fletores gerados pelos carregamentos de segunda ordem fazem com que
estrutura se flexione. A esse tipo de comportamento não-linear, dá-se o nome
de não-linearidade geométrica, onde os efeitos não lineares estão associados
às equações de equilíbrio, que consideram a configuração deformada, e as
relações deformação/ deslocamento.
Ao consultar a norma estrutural NBR 6118 observa-se a importância de
estudar efeitos de segunda ordem já que a norma exige o cálculo dos efeitos
de segunda ordem toda vez que os esforços de segunda ordem forem
superiores a mais de 10% dos de primeira ordem.
2.1.1.1.5.1. Método P-Delta
Com o intuito de levar em consideração a não linearidade geométrica da
estrutura na análise pelo método dos elementos finitos, pode-se utilizar um
procedimento numérico chamado P-Delta, o qual tem como princípio simular o
efeito não linear através de cargas horizontais fictícias aplicadas a estrutura,
como ilustrado na Figura 35 [82]. Sob efeito das cargas horizontais, os nós da
estrutura deslocam-se horizontalmente, fazendo com que os elementos de
pórtico espacial assumam uma outra configuração geométrica, que é a de nós
deslocados.
63
δ
L
Figura 35– Método P-Delta
Este processo é feito interativamente, pesquisando a posição final da
estrutura deformada. Os esforços solicitantes, forças normais, momentos
fletores e esforços cortantes, calculados com a estrutura indeformada
produzem esforços de 1ª ordem. Os mais importantes, são os momentos
fletores nas extremidades da estrutura, considerando que, devido às cargas
horizontais, a estrutura assumiu a configuração deslocada, como mostrado na
ilustração acima, as cargas normais acrescentam aos momentos de 1ª ordem
uma força que é dada por:
L
H
δ
.
=
(28)
O acréscimo nos momentos de 1ª ordem é acompanhado de novo
deslocamento horizontal, o que torna o processo iterativo, onde os
deslocamentos são cada vez menores, obtendo-se o equilíbrio da estrutura
[83].
64
2.1.1.1.5.2. Instabilidade de estruturas esbeltas
Ao aplicar o método interativo P-Delta a robôs contínuos de grande
comprimento, onde o peso da estrutura é muito superior à grandeza dos
esforços envolvidos nos efeitos de primeira ordem, observa-se que
dependendo do material a estrutura pode colapsar com o próprio peso, já que a
cada interação do método são gerados deslocamentos cada vez maiores, que
tendem ao infinito à medida que se aumenta o número de interações. Este
comportamento da estrutura pode ser visto experimentalmente, porém não
aparece na análise linear já que a mesma considera todos os carregamentos
na vertical como se estivesse apenas comprimindo a estrutura.
Com o objetivo de encontrar soluções para este problema foram
estudadas estruturas continuas e esbeltas e percebeu-se que a perda de
estabilidade devido ao peso é comum em torres estaiadas, e a maneira mais
usual de estabilizar a estrutura consiste em utilizar cabos tracionadores,
chamados de estais, que exercem uma pré-carga na estrutura, como mostrado
na Figura 36.
Estrutura
Estais
Figura 36- Modelo de torre estaiada
65
As configurações mais comuns de torres estaiadas são mostradas na
Figura 37, e ao analisá-las é possível perceber que é possível utilizar a
configuração (b) juntamente com o mecanismo telescópico já proposto de
maneira a obter um robô contínuo telescópico estruturalmente estável.
Estrutua
Estais
Figura 37- Configurações usuais de torres estaiadas
2.1.1.2. Mecanismo de atuação e estabilização da estrutura
Utilizando estais para manter a estrutura em uma posição de equilíbrio,
observa-se que unindo o conceito de utilização de estais ao conceito de
atuação extrínseca de robôs contínuos, pode-se utilizar o mesmo cabo
tracionador para fornecer estabilidade ao robô e ao mesmo tempo para acionar
a estrutura de maneira extrínseca, ou seja, ao posicionar os atuadores na base
do robô e tracionar um estai mais que os outros, a estrutura se deforma até as
posições desejadas.
Para que a estrutura seja acionada e ao mesmo tempo não perca a
estabilidade é necessário aplicar uma pré-carga e garantir que ao puxar um
estai, o que se localiza antagonicamente ao mesmo deve ser afrouxado na
mesma proporção, como ilustrado na Figura 38.
66
P
Polias
Pré-carga
Estrutura
Figura 38– Princípio de funcionamento do mecanismo de atuação
Ao puxar o ponto P de maneira a deformar a estrutura, é possível fazer
com que a estrutura permaneça estável mesmo em uma posição intermediaria,
como mostrado na Figura 39.
Estrutura
Deformada
P
Figura 39 – Estabilidade do robô em posições intermediárias
Ao considerar as características telescópicas da estrutura, é necessário
levar em conta que, ao variar o comprimento da estrutura a mola que
estabelece a pré-carga deve ser capaz de se deformar de tal forma a sempre
tracionar os cabos, mesmo que a estrutura telescópica esteja totalmente
67
retraída. Para isso, pode-se utilizar um tambor, que pode ser considerado
como uma mola de torção que possua uma capacidade de realizar grandes
deformações, e consequentemente enrolar os estais, como mostrado na Figura
40.
Polias
Tambor
Estrutura
T
P
Figura 40 – Princípio de funcionamento do mecanismo auxiliar para estrutura
telescópica
Ao ser acionado um dos estais, o mesmo estará exercendo uma força
com o objetivo de deformar a estrutura enquanto o outro será tracionado pela
estrutura e sustentará o peso da mesma. Com isso chega-se a um mecanismo
auxiliar que permite estabilizar e acionar a estrutura telescópica.
68
2.2. Sistema de Controle
Com o intuito de estabelecer uma estratégia de controle, com a qual seja
possível demonstrar o funcionamento do robô ao realizar testes experimentais,
foram feitas algumas considerações. Primeiramente foi levado em
consideração o princípio de funcionamento dos robôs contínuos, cujos
movimentos são baseados exclusivamente na deformação elástica de uma
estrutura central, espera-se que o processo de movimentação da extremidade
do robô mediante acionamento dos estais apresente elevada repetibilidade.
Levando em consideração a ausência de juntas, mesmo para os robôs
contínuos de pequeno comprimento existe uma grande dificuldade de medição
da deformação da ponta [12]. Para o robô proposto se torna uma tarefa ainda
mais complexa. Para fazer a medição da ponta da estrutura é possível utilizar
câmeras que obtenham imagens sobre a estrutura e através da analise dessas
imagens seria possível saber a deformação da estrutura, porém tal método é
complexo e foge ao escopo deste trabalho. Outra maneira de tentar realizar a
medição das deformações seria fazer a analise dos deslocamentos dos estais
e determinar a posição da estrutura por relações geométricas, porém acredita-
se que tal procedimento apresente erros muito elevados.
Distúrbios e efeitos dinâmicos da estrutura também são
desconsiderados, tal aproximação permite analisar a estrutura sob um ponto de
vista estático, com o qual é possível comprovar que a arquitetura aténde as
aplicações propostas.
Adotando as considerações acima, pretende-se assegurar a precisão de
posicionamento segundo uma estratégia de controle em malha aberta. Porém,
apesar deste trabalho não se destinar a realizar o modelamento dinâmico do
sistema, foi feita a formulação um modelo dinâmico com o intuito de fornecer
um ponto de partida para futuros trabalhos. No modelo apresentado são
levados em consideração os modos mais importantes de vibração natural da
estrutura e o mecanismo de acionamento é representado por uma constante
obtida em testes experimentais.
69
2.2.1. Modelagem da planta em malha aberta
A planta do sistema de controle do robô contínuo proposto pode ser dividida
em três blocos, como mostrado na Figura 41. O primeiro deles é o motor DC
que recebe sinal elétrico e o transforma em rotação. O mecanismo é acionado
e consequentemente traciona os estais deformando a estrutura.
Motor
DC
Estrutura
f
V
θ
X
F
Mecanismo
de
acionamento
Figura 41– Diagrama de blocos da planta do sistema de controle
2.2.1.1. Modelo Matemático do Motor CC
O modelo matemático de um motor DC pode ser aproximado pela
seguinte função de transferência:
( )
( )
ff
m
f
RsLbJss
K
sV
s
++
=
)(
)(
θ
(28)
Onde K
m
é uma constante do motor CC dado em N.m/A , J é a inércia do
motor em N.m.s²/rad , L
f
é a indutância em H e R
f
é a resistência em Ω [84].
2.2.1.2. Função de transferência da estrutura
O modelo dinâmico da estrutura pode ser aproximado por um modelo de
um grau de liberdade representado por um sistema massa, mola e
amortecedor, sistema de segunda ordem. Ao aplicar a transformada de Laplace
à equação 16, é possível obter a função de transferência da estrutura no
domínio da freqüência, que pode ser escrita como [84]:
22
0
2
0
2
))(2(
*)/*(*)/*(
)*))(/*((
)(
)(
nn
n
ss
ys
mksmbs
ymbs
sF
sX
ωξω
ξω
++
+
=
++
+
= (29)
70
2.2.1.3. Função de transferência da planta
Assim a função de transferência que rege a planta do sistema pode ser
escrita da seguinte forma:
( )
( )
22
2
)2(
..)(
nn
n
mec
ff
m
ss
s
K
RsLbJss
K
sG
ωξω
ξω
++
+
++
= (30)
Onde
mec
K é a constante do mecanismo de acionamento utilizado para realizar
o acionamento da estrutura.
71
3. Estudo de caso
Neste capítulo será realizado um estudo de caso visando demonstrar a
eficácia da solução proposta no capítulo anterior, que consiste na utilização de
robô contínuo para realizar tarefas a alturas elevadas. Primeiramente é
apresentada uma introdução à inspeção de cruzetas de madeira, que é o
objeto adotado no estudo de caso escolhido, depois são levantadas as
necessidades de projeto e apresentados o projeto mecânico e o projeto e o
controle do robô contínuo telescópico proposto.
3.1. Introdução ao estudo de caso
As redes de distribuição de energia elétrica são formadas por um grande
número de sistemas que podem ser agrupados em cinco diferentes grupos,
como listados a seguir:
• Linhas de alta tensão;
• Linhas de média tensão;
• Linhas de baixa tensão;
• Subestações para redução da tensão;
Em meio a um sistema tão vasto e complexo é fácil imaginar a
quantidade de componentes e partes que podem apresentar problemas, e,
levando em conta que este sistema de distribuição fornece energia para
industrias e hospitais, pode-se concluir que é necessário ter um planejamento
bem definido de como realizar a manutenção do sistema, já que um simples
curto circuito pode apenas deixar uma residência sem luz por algumas horas
como originar um prejuízo extremamente alto a uma indústria ou até mesmo
colocar em risco o funcionamento de diversos equipamentos em um hospital
[85].
A manutenção das redes de distribuição é realizada de acordo com
critérios que organizam as atividades de manutenção, objetivando à obtenção
do máximo rendimento do sistema de distribuição a menores custos e dentro
dos padrões de qualidade e segurança requeridos. Dentre esses critérios pode-
72
se citar a importância da localidade, número de consumidores, consumo
industrial, densidade de carga e dimensão da área.
Dependendo do tipo de sistema e dos componentes a serem avaliados,
a manutenção pode ser corretiva, preventiva ou preditiva. Os procedimentos de
manutenção e inspeção são na maioria dos casos de alto risco, pois envolvem
operações próximas a altas tensões, uso de diversos equipamentos de
segurança, equipes especializadas e em muitas vezes os lugares são de difícil
acesso. As ferramentas usadas nessas tarefas ainda são em sua maioria
mecânicas e exigem esforço físico, longos períodos de trabalho e geram altos
riscos de acidente [86].
Em uma rotina de manutenção de uma linha de distribuição de baixa
tensão são checados os seguintes itens: cabos, postes, cruzetas, ferragens,
isoladores, condutores, conexões, atérramento, haste e cabo-guarda, pára-
raios, chave fusível e chave faca, transformadores, regulador, chave a óleo,
religador, seccionalizador, capacitores, afastamentos mínimos, ramais de
serviço, iluminação pública, faixa de servidão, seccionamento das cercas e
chave remota. Obviamente para cada um dos itens citados acima existe um
procedimento especifico de como realizar a inspeção e a manutenção.
As cruzetas são inspecionadas visualmente e tem vital importância em
uma linha de transmissão. A inspeção de cruzetas consiste em checar o nível,
ou seja, observar se estão inclinadas ou deslocadas em relação à posição
normal e checar se a cruzeta apresenta queimaduras extensas de raios,
rachaduras, lascas ou sinais de apodrecimento, aparecimento das ferragens ou
deformação da estrutura para cruzetas de concreto. A inspeção é feita
visualmente e sem a elevação do eletricista, ou seja, o eletricista permanece no
solo e observa a cruzeta com a utilização de um binóculo. Este procedimento é
pouco eficaz já que a maior parte das vezes as rachaduras ou os sinais de
apodrecimento se localizam na parte superior da cruzeta impedindo ao
eletricista de observá-los. Com isso surge a necessidade de otimizar a maneira
com a qual é feita a inspeção das cruzetas.
73
3.2. Identificação das necessidades
Para realizar a inspeção de cruzetas de maneira mais eficaz se sugere o
uso de uma câmera fotográfica que seja acoplada à extremidade livre de um
robô do tipo contínuo que seja capaz de elevar e posicionar a câmera na altura
e posição desejada. Como mostra a Figura 42, as cruzetas se localizam a uma
altura de 9m, possuem até 3m de comprimento e suportam o peso de
isoladores e cabos condutores que transmitem eletricidade a uma tensão de 12
kV.
Figura 42– Dimensões principais de um poste de transmissão
Com isso observa-se a necessidade de propor uma estrutura que seja
composta por materiais dielétricos e flexíveis. A utilização de uma estrutura
contínua se torna mais adequada, pois diversos cabos podem estar
posicionados ao redor do poste sem seguir qualquer tipo de padronização,
como mostrado na Figura 43. Caso haja contato com algum cabo a estrutura se
deformará e gerando baixas forças de contato, e evitando acidentes.
3 m
9 m
Cruzetas
74
Figura 43– Área de difícil acesso a ser inspecionada
Como as redes de distribuição se localizam não só em regiões urbanas,
mas também em regiões rurais, o robô deve possuir baixo peso e ser de fácil
portabilidade, sendo possível ser transportado sem a utilização de veículos.
3.3. Projeto mecânico
Analisando as necessidades previamente mencionadas, chega-se a
conclusão que a estrutura deve ser leve, ser de fácil transporte, ter isolação
elétrica e a amplitude de suas deformações devem ser grandes o bastante para
fotografar a cruzeta e obter o máximo de detalhes sobre seu estado.
Considerando que as câmeras atuais já possuem diversos tipos de resolução e
assumindo que o comprimento máximo de uma cruzeta pode chegar a 3
metros, considera-se que o robô proposto deva possuir uma amplitude de
deformação em sua extremidade livre de entre 0,7 a 1,5m em um determinado
sentido, sendo assim a deformação em um plano seria de 1,4 a 3m,
dependendo da deformação máxima do robô, a câmera utilizada poderia utilizar
mais ou menos recursos como zoom para realizar a inspeção com sucesso.
Analisando as necessidades encontradas foram pesquisados diversos
materiais, dentre eles destacam-se o aço carbono, alumínio, materiais
compósitos (fibra de vidro e fibra de carbono) e o PVC (cloreto de polivinila).
75
A solução mais imediata de material é o aço carbono que é um material
de elevado módulo de elasticidade e resistência mecânica além de ser um
material usualmente empregado em construções mecânicas apresentando um
baixo custo. Comparado ao aço carbono, o alumínio e os materiais compósitos
são mais interessantes por possibilitarem a obtenção de soluções equivalentes
sob o ponto de vista de resistência mecânica, mas de peso mais reduzido.
Apesar das vantagens do aço e do alumínio, o PVC foi escolhido para a
implementação do robô contínuo, uma vez que os tubos de PVC, utilizados em
diversas aplicações, são facilmente encontrados no mercado em variados
diâmetros, além de serem de fácil usinagem.
Tais tubos apresentam elevada tolerância dimensional – variação de
diâmetro ao longo do comprimento da ordem de centésimos de milímetro, o
que é um quesito importante na implementação de um mecanismo telescópico
que é o elemento mecânico central do robô contínuo proposto neste trabalho. A
obtenção de tubos de outros materiais que não o PVC e com precisão
comparável a estes tubos comerciais de PVC, implicaria num custo muito
maior. Tal custo não se justifica neste caso, pois o objetivo maior aqui é a
validação da arquitetura de robô continuo que foi proposta no capítulo anterior.
Além do que, para este estudo caso, as cargas envolvidas são reduzidas, não
se questiona a velocidade com que o robô realiza as suas tarefas e portanto,
não se exige uma elevada rigidez da estrutura mecânica.
Há consciência de que o PVC não é material ideal a ser utilizado em
robô contínuo, oferecendo certas dificuldades. Como será visto mais adiante, a
estrutura telescópica em PVC pode se tornar instável, se deformando
continuamente devido ao seu peso próprio, como mostrado teoricamente na
figura 39, e experimentalmente na Figura 44. Tal instabilidade poderia ser
contornada mediante dimensionamento adequado do diâmetro e espessura de
parede dos tubos de PVC empregados. Mas isto é difícil, uma vez que está se
optando pelo uso de tubos comercialmente disponíveis. Contorna-se o
problema através do uso de mecanismos auxiliares, que no caso, são os
estais.
76
4º Estagio
3º Estagio
2º Estagio
1º Estagio
Figura 44– Estrutura telescópica esbelta instável
Em uma primeira versão, projetada para atingir uma altura de 9m, foram
utilizados quatro tubos de PVC, com os diâmetros de tamanho comercial,
indicados na tabela 2. Os tubos foram numerados de acordo com seu diâmetro,
sendo que os de maior diâmetro foram numerados primeiro, cada tubo possui
2,6 m de comprimento o que resulta em um total de 9 m, dentre os quais 0,35m
ficam distribuídos ao longo das juntas de maneira a evitar travamentos.
Tubo
nº:
Diâmetro
Externo (mm)
Diâmetro Interno
(mm)
Comprimento (m)
1 50,0 44,0 2,6
2 39,9 35,1 2,6
3 32,0 27,0 2,6
4 16,3 12,7 2,6
Tabela 2 – Propriedades geometricas dos tubos utilizados
77
Porém, como já dito anteriormente, ao adotar uma estrutura esbelta e de
baixa rigidez surgem grandes deformações geradas pelo próprio peso. Para
solucionar esse problema foram utilizados estais, que minimizam as
deformações, dando a estabilidade à estrutura ao aplicar uma pré-carga, Figura
45.
Pré-carga
Figura 45– Estabilização da estrutura por meio de estais.
3.3.1. Análise estrutural do estudo de caso
Com o intuito de analisar o comportamento da estrutura ao ser
submetida a carregamentos, é feita uma analise estrutural utilizando o método
dos elementos finitos. Em uma primeira etapa são feitas as simulações lineares
para obter as forças que os atuadores deveriam efetuar para que a estrutura se
deforme e aténda as necessidades de projeto. Em seguida é feita uma análise
dinâmica da estrutura, utilizando o método de superposição modal, que permite
obter um modelo dinâmico de um grau de liberdade que pode ser utilizado em
futuros estudos, para o modelamento dinâmico da estrutura e a elaboração do
algoritmo de controle em malha fechada.
78
Em uma segunda etapa são analisados os efeitos não lineares que
surgem ao utilizar uma estrutura esbelta de grande comprimento. Em uma
terceira etapa é feita a analise não linear para descobrir a força que os
atuadores deveriam efetuar levando em conta os efeitos de não linearidade
geométrica da estrutura.
3.3.1.1. Implementação em ferramenta computacional
Em seu desenvolvimento, o Método de Elementos Finitos requer a
recorrência de diversas matrizes em suas etapas preliminares. Como já
explicado anteriormente, o procedimento de rigidez direta permite a obtenção
de uma matriz de rigidez global, a partir de matrizes elementares por meio de
procedimentos de manipulação matricial. Neste estudo, utilizou-se a ferramenta
comercial MATLAB. Esta é plenamente adequada para as operações
necessárias, além de possuir facilidades para o armazenamento de
informações, por meio de vetores e matrizes indexadas. Neste trabalho foram
feitas analises estáticas lineares, não lineares e dinâmicas, porém para diminuir
o tempo de simulação, os programas foram separados de maneira que todos
utilizam como base os mesmos dados de entrada, com isso podemos dividir os
programas desenvolvidos como ilustrado na Figura 46.
Figura 46– Fluxograma de funcionamento dos programas desenvolvidos
Onde o programa chamado “Dados de entrada” tem como função coletar todos
os dados de entrada sobre as características geométricas e propriedades dos
materiais da estrutura, e seu código fonte esta disponível no Apêndice A, o
Dados de entrada
(A)
Matrizes globais
(B)
Análise Estática
Não Linear
(D)
Análise Estática
Linear
(C)
Análise Dinâmica
(E)
79
programa “Matrizes Globais” define o elemento de pórtico espacial nas
coordenadas locais, e manipula as matrizes de forma a montar a matriz global
de rigidez e de massa da estrutura, o código fonte esta disponível no Apêndice
B. Já os demais programas, como o próprio nome indica, são os responsáveis
por efetuar as analises estática linear, não linear e dinâmica e estão
disponíveis nos apêndices C, D e E respectivamente.
3.3.1.2. Análise Estática Linear
3.3.1.2.1. Geração da Malha
Para realizar a análise estrutural foi levada em conta a condição critica
de trabalho do robô, ou seja, quando o robô estiver operando em fim de curso,
com um comprimento efetivo de aproximadamente 9 m. Em uma primeira
análise é possível discretizar a estrutura em 7 elementos de rigidez diferente,
como ilustra a Figura 47, onde os elementos 1,3,5,7 são tubos e os elementos
2,4,6 são as buchas que possuem menor comprimento e rigidez
significativamente mais elevada.
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
Z
7
X
Y
Figura 47– Discretização da estrutura
80
É importante ressaltar que o número de elementos utilizados na análise
influencia diretamente o resultado da mesma [68]. Levando tal fato em
consideração, primeiramente foram identificados os elementos principais que
formam a estrutura, para, em uma segunda análise, se discutir o número de
elementos que a estrutura deve possuir de forma que a resposta seja a mais
acurada possível com o menor custo computacional, para isso foi adotado um
carregamento unitário no grau de liberdade na direção x do último elemento
livre, e aplicar a relação dada na Equação (5), como ilustrado na Figura 48.
Figura 48 – Deformação da estrutura ao aplicar uma carga unitária (Apêndice C)
Com o intuito de estudar a discretização necessária da estrutura pode-se
de maneira interativa aumentar o número de elementos e comparar a resposta
do sistema, como ilustrado na Figura 49.
81
Figura 49– Análise da resposta em relação a discretização da estrutura (Apêndice C)
Ao analisar as simulações, observa-se que não há mudança do valor do
deslocamento mesmo após discretizar o sistema em mais de 500 elementos, o
que sugere que a discretização inicial em 7 elementos já é suficiente para
realizar a análise da estrutura.
82
Condições de contorno não homogêneas
Aplicar condições não homogêneas a estrutura consiste em aplicar um
deslocamento a um dos nos livres da estrutura e descobrir a força que deveria
ser exercida na estrutura para que esse deslocamento fosse alcançado. No
caso do robô contínuo, o deslocamento desejado é de 1,5 metros, como
ilustrado na Figura 50 [65][71].
Figura 50– Aplicando condições de contorno não homogêneas à estrutura
Para resolver o problema de condições de contorno não homogêneas se
aplica uma deformação
∆
no grau de liberdade desejado e são zeradas todas
as linhas e colunas da matriz de rigidez que influenciam este nó. Portanto,
dada uma matriz de rigidez
nxn
K temos que :
(31)
∆
−
−
−
−
−
=
+++
+
+
+
++
+++
+
+
+
)*(
)*(
)*(
5,1
)*(
)*(
0
0
0
000100
0
0
,
)1(,)1()1(
,
2,22
1,11
)1(
3
2
1
,
),1(
)1(,
)1(),1(
,
),1(
2,
2),1(
1,
1),1(
,)1(,,2,1,
,2)1(,2,22,21,2
,1)1(,1,12,11,1
nnn
iii
iii
n
i
i
nn
ni
in
ii
in
ii
n
i
n
i
niiiiiii
nii
nii
KuF
KuF
KuF
KuF
KuF
u
u
u
u
u
u
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
KKKKK
KKKKK
KKKKK
δ
δ
δ
δ
δ
83
Ao compensar o vetor de deslocamentos com os coeficientes de rigidez
que foram anulados na matriz de rigidez
nxn
K , descobre-se a força necessária
aplicada ao grau de liberdade escolhido para gerar deslocamento
∆
[65][71].
Ao realizar as simulações, obtêm-se que para fazer com que a estrutura
se deforme 1,5m é necessário que os atuadores apliquem uma força F =
0,8531N na direção x, como mostrado na Figura 51. É importante ressaltar que
na analise linear, os esforços normais a estrutura, ou seja os esforços na
direção z, são considerados como sendo esforços que promovem apenas a
tração ou compressão da estrutura.
Neste caso, como a estrutura é submetida a grandes deformações,
sendo assim as forças normais à estrutura serão responsáveis por
deslocamentos também na direção x, como será visto mais adiante na análise
não linear.
F
X
Z
Figura 51– Estrutura deformada ao aplicar
∆
= 1,5 metros (Apêndice C)
84
3.3.1.3. Análise Dinâmica em um grau de liberdade
A análise dinâmica da estrutura proposta neste trabalho tem por objetivo
formular um modelo matemático da dinâmica da estrutura, de base para futuros
trabalhos que visem estudar as características dinâmicas da arquitetura
proposta. Conforme será discutido adiante, neste trabalho será considerado
somente o comportamento estático do sistema.
Ao utilizar o programa disponível no Apêndice E, é possível construir
modelos com diversos graus de liberdade, que levam em consideração os
principais modos de vibração da estrutura. Para comprovar seu funcionamento,
nesta seção é demonstrada a analise em um grau de liberdade considerando o
modo de vibração mais influente como sendo o primeiro modo natural de
vibração.
Ao analisar o comportamento dinâmico do robô para o primeiro modo de
vibração, como ilustrado na Figura 52, programa disponível no apêndice G, é
possível modelar o sistema como sendo um modelo simplificado de grau de
liberdade. No sistema massa, mola, amortecedor de um grau de liberdade os
valores de rigidez e massa são os valores generalizados para o primeiro modo
de vibração.
Figura 52– Primeiro modo de vibrar da estrutura (Apêndice E)
85
Ao efetuar a simulação obtem-se os valores
*k
=0.6 e
*m
=2.2 e ao
adotar um coeficiente de amortecimento
05,0
=
ξ
temos um amortecimento
aproximado
0575,0*
=
c
,que como dito anteriormente, podem ser utilizados em
um modelo MMA.
3.3.1.4. Análise estática não linear
Para realizar a analise não linear da estrutura foi utilizado o método P-
Delta, que como já comentado anteriormente é um método interativo. Assim
sendo nesta seção primeiramente é definido o número de interações para que
seja possível obter resultados estáveis para depois em uma segunda etapa ser
analisada a estrutura proposta.
3.3.1.4.1. Definição do número de interações
Para que a análise não linear tenha resultados estáveis é necessário
realizar diversas interações até que a resposta converja para um valor
especifico. Para tal foi feita uma análise utilizando uma carga unitária na
direção vertical (z) e uma carga de 0,1 na direção horizontal (x).
Número de
interações
Deslocamentos em x (m)
Nó 1 Nó 2 Nó 3 Nó 4 Nó 5 Nó 6 Nó 7
1 0,0053 0,0058 0,0263 0,0276 0,0694 0,0718 0,1758
2 0,0064 0,0069 0,0314 0,0330 0,0830 0,0858 0,2102
3 0,0066 0,0072 0,0324 0,0341 0,0856 0,0885 0,2169
4 0,0066 0,0072 0,0326 0,0343 0,0861 0,0891 0,2182
5 0,0066 0,0072 0,0326 0,0343 0,0862 0,0892 0,2185
7 0,0066 0,0072 0,0326 0,0343 0,0863 0,0892 0,2185
15 0,0066 0,0072 0,0326 0,0343 0,0863 0,0892 0,2185
25 0,0066 0,0072 0,0326 0,0343 0,0863 0,0892 0,2185
50 0,0066 0,0072 0,0326 0,0343 0,0863 0,0892 0,2185
Tabela 3 – Definição do número de interações para o processo P-delta
86
Como mostrado na tabela 4, a partir de 7 interações o valor do
deslocamento não sofre mais nenhuma alteração. É importante perceber que o
valor dos nós que estão mais próximos da base da estrutura estabilizam
primeiro, já que a medida que o número de interações aumenta o momento
gerado pela carga H diminui, e como o braço dessa força fictícia em relação à
base é menor, não possuem mais influencia significativa na análise.
Os resultados obtidos mostram que ao levar em consideração os efeitos
de segunda ordem, ocorre uma variação significativa da resposta, pois o
deslocamento do último nó foi de 0,17858m a 0,21850m para um mesmo
carregamento, o que representa um erro percentual de 18%.
3.3.1.4.2. Análise estática não linear do estudo de caso
Os efeitos de segunda ordem são causados por cargas que agem na
direção axial da estrutura, e no caso do robô contínuo, o peso próprio da
estrutura é muito superior à grandeza dos esforços envolvidos para acionar o
robô como já foi visto na análise estática linear.
Foram feitas simulações com diferentes materiais, no caso foram
utilizados Aço, Alumínio e PVC. As simulações consistem basicamente utilizar
a estrutura proposta, aplicar o carregamento indicado na Figura 53, e utilizando
o método P-Delta estudar como a estrutura se comporta levando em
consideração o peso da mesma.
87
Figura 53- Simulação de estabilidade aplicada a diferentes materiais
Os materiais apresentam relações entre densidade e rigidez bem
diferenciadas. Primeiramente foi feita a simulação utilizando aço como material
estrutural e como mostra a Figura 54, a deformação se estabiliza em
aproximadamente 0,0162m após 8 interações.
0,01
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Interações
Deformação (m)
Aço
Figura 54- Simulação utilizando Aço
Em uma segunda analise foi feito o mesmo teste porém utilizando como
material estrutural o alumínio, e como mostrado na Figura 55, ao ser um
material menos rígido, o número de interações é maior, aproximadamente 12
interações até que o resultado convirja para o valor final que é de
aproximadamente 0,0539m.
88
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0,05
0,055
0,06
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Interações
Deformação (m)
Aluminio
Figura 55- Simulação utilizando Alumínio
Por último foi feita a simulação adotando o PVC como material
estrutural, dentre os materiais escolhidos nota-se que o PVC é o material mais
flexível e a proporção entre o peso e a rigidez faz com que ele colapse, já que
após algumas interações os resultados de deformação se tornam incoerentes,
como demonstrado na Figura 56. Isso ocorre devido ao fato que o modelo
matemático de elemento finito adotado considera que o corpo seja
infinitamente elástico, e ao analisar tais deformações é possível concluir que a
estrutura colapsaria com o próprio peso.
0,01
5,01
10,01
15,01
20,01
25,01
30,01
35,01
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Interações
Deformação (m)
PVC
Figura 56 – Simulação utilizando PVC
89
Ao realizar as simulações, observa-se que mesmo as estruturas mais
rígidas se estabilizam em configurações deformadas, ou seja, o próprio peso
da estrutura faz com que a mesma saia da posição central, considerada inicial,
e se estabilize em uma segunda posição. Surge então a necessidade de utilizar
mecanismos auxiliares para estabilizar a estrutura mesmo nas mais rígidas.
Levando em consideração que os mecanismos de estabilização irão
neutralizar o peso da estrutura, foi feita uma segunda simulação não linear,
desprezando o peso da estrutura. Com isso é possível levantar os esforços que
os atuadores devem promover para deformar a estrutura e aténder as
especificações de trabalho, levando em consideração os efeitos de segunda
ordem ignorados na analise linear.
Ao utilizar um mecanismo de acionamento extrínseco preso à base do
robô é preciso considerar que a força exercida pelo mesmo terá uma
componente na vertical com módulo maior do que a componente na horizontal,
como ilustrado na Figura 57.
Figura 57– Decomposição das forças geradas pelo mecanismo de acionamento
Ao analisar as dimensões da estrutura, já apresentadas anteriormente
e disponíveis no Apêndice A, obtemos
°
=
2.3
β
o que nos fornece que a
componente na vertical pode ser escrita em função do cosseno de
β
e a
componente na horizontal, em relação ao seno. Ou seja, a componente na
vertical será 17,1477 vezes maior que a componente na horizontal.
Fr
Fx
Fy
°
=
2.3
β
90
Com isso observa-se a necessidade de reavaliar a força aplicada à
estrutura, pois ao aplicar a força de acionamento de 0,8531N, determinada na
análise linear, obtem-se deformações muito maiores do que as desejadas. A
força adequada é determinada por um processo interativo onde a força
aplicada à estrutura é diminuída gradativamente até se chegar à deformação
desejada de 1,5m. Chegou-se assim à conclusão de que para se alcançar as
deformações desejadas, a força
x
F deve ser de 0,2600 N, como ilustra a
Figura 58.
Figura 58 – Deformação da estrutura devido ao processo interativo P-Delta (Apêndice
D)
A simulação não linear mostra que ao se utilizar uma estrutura muito
flexível, pequenas cargas provocam descolamentos de grande amplitude, o
que pode ser considerado como uma vantagem para este caso, pois assim
sendo, é possível utilizar atuadores para menores esforços, minimizando o
peso da estrutura.
91
3.3.2. Mecanismos Prospostos
3.3.2.1. Mecanismo de recolhimento e controle de tensão nos
estais
Como já dito anteriormente, ao utilizar estais para estabilizar a estrutura
e fazer com que o robô permaneça em uma posição central, considerada como
inicial, é necessário utilizar um mecanismo que faz com que a estrutura se
estabilize não só em seu comprimento máximo, mas também em alturas
intermediarias. Ou seja, um mecanismo que permite alterar o comprimento dos
estais mas mantém uma mesma força de tensionamento nos mesmos. O
princípio de funcionamento do mecanismo consiste em utilizar um tambor para
enrolar ou soltar os estais sendo acionado por um motor elétrico que
dependendo da leitura dos sensores faz com que o mecanismo aplique uma
tensão maior ou menor nos estais. O mecanismo é composto por dois
sensores, que definem a posição final e inicial da alavanca responsável por
aplicar a pré carga a estrutura e um carretel, que é acionado por um motor DC,
que enrola os estais aplicando uma pré-carga à estrutura, como mostrado na
Figura 59.
Tambor
Motor DC
Sensor 1
Estais
Alavanca
Figura 59 – Mecanismo de recolhimento e controle de tensão nos estais
92
O princípio de funcionamento do mecanismo consiste basicamente em
fazer com que a mola exerça uma força na alavanca, que faz com que a
mesma gire e tracione os estais. Caso a estrutura esteja aumentando seu
comprimento a força nos estais irá aumentar fazendo com que a alavanca
acione o sensor 1, quando isso acontece o motor gira no sentido anti-horário e
libera os estais, até atingir a posição de equilíbrio novamente.
Caso os estais fiquem frouxos, ou seja, caso a estrutura esteja
diminuindo seu comprimento, a mola faz com que a roldana acione o sensor 2
que faz com que o carretel enrole os estais até que eles comecem a exercer
uma força maior que a da mola e faça com que a alavanca fique em uma
posição intermediaria, na qual exerce uma pré carga na estrutura, como
ilustrado na Figura 60
Mola
Sensor 2
Estais
Alavanca
Roldana
Figura 60 – Principais componentes do mecanismo de recolhimento e controle de
tensão nos estais
Ao analisar o funcionamento do mecanismo de estabilização observa-se
que ao utilizar a configuração de estais proposta anteriormente, os estais
funcionam adequadamente para pequenas deformações, como mostrado na
figura, porém desde que a estrutura não seja submetida a grandes
deformações. Quando submetido a grandes deformações um dos estais pode
cruzar a linha elástica da estrutura como mostrado na Figura 61, e se isso
ocorrer não é possível fazer com que a estrutura volte à posição inicial, pois
mesmo afrouxando um dos estais e tracionando o outro a estrutura sempre
93
tenderá a se deformar cada vez mais. Para solucionar esse problema basta
utilizar um espaçador que guie os estais e não deixe que eles cruzem a linha
elástica da estrutura.
Deformações
Pequenas
P
Espaçador
Grandes
Deformações
Figura 61 – Utilização de espaçadores para grandes deformações
Pode-se concluir que ao utilizar espaçadores o robô contínuo telescópico
proposto maximiza seu volume de trabalho e os esforços gerados pelos
atuadores diminuem uma vez que o ângulo
β
,ilustrado anteriormente na
Figura 57, aumenta. Juntamente com essas modificações é proposta a
utilização de estais secundários, mostrado na Figura 62, para aumentar a pré-
carga no primeiro estágio, caso seja necessário aumentar a rigidez da estrutura
telescópica, já que uma pequena deformação ou desalinhamento no primeiro
estágio implica em um grande deslocamento da ponta to robô.
94
Espaçadores
Estais
Estrutura
Estais
Secundários
Mecanismos
Base
Figura 62–Robô contínuo telescópico proposto utilizando espaçadores
3.3.2.2. Mecanismo de Içamento
Ao possuir uma estrutura telescópica é necessário fazer com que a
estrutura se estenda do seu comprimento mínimo para o máximo. Para isso, é
necessário um sistema de polias e cabos que ao serem acionados por um
motor elétrico façam com que a estrutura varie seu comprimento.
O mecanismo desenvolvido, chamado de mecanismo de içamento, pode
ser dividido em duas partes. A primeira delas, chamada de mecanismo
superior, se localiza na extremidade superior de cada um dos tubos, com
exceção do tubo 4, e é presa externamente aos tubos como mostrado nas
Figura 63 e 64. O mecanismo superior consiste basicamente de duas peças,
95
um fim de curso mecânico, chamado de fim de curso superior e uma tampa que
é presa à extremidade do tubo e que tem a finalidade de acomodar uma polia
para guiar o cabo de içamento, que irá transmitir o movimento entre os tubos.
Figura 63–Ilustração do mecanismo de içamento superior
Figura 64- Mecanismo de içamento superior
Tubo 2
Roldana
Mecanismo
superior
Tubo 1
Fim de curso
superior
Tampa
Cabo de içamento
96
Já o mecanismo inferior é composto por um fim de curso inferior e um
suporte para acomodar uma polia que guia a o cabo de içamento, como
mostrado na Figura 65.
Fim de curso
inferior
Tubo
2
Roldana
Suporte
Cabo de içamento
Figura 65–Mecanismo de içamento inferior
Como demonstrado na Figura 65, o cabo de içamento passa pelas polias
tanto do mecanismo inferior como do superior de todos os tubos. Com isso, ao
fixar uma das extremidades do cabo e tracionar a outra é possível movimentar
os tubos, como ilustrado Figura 66. Ao fixar a extremidade superior do cabo ao
tubo 4 e tracionar a outra extremidade ocorre um estiramento do cabo e
consequentemente o tubo 4 se movimenta verticalmente em relação ao tubo 3.
Ao atingir o fim de curso, o tubo 3 começa a subir em relação ao tubo 2 e assim
sucessivamente até atingir o comprimento máximo.
97
Figura 66–Mecanismo de içamento – princípio de funcionamento
Ao utilizar mecanismos telescópicos é necessário levar em consideração
fatores como folgas e o atrito entre os tubos. No protótipo, aplicou-se uma
camada de parafina em torno dos tubos, o que fez com que a força necessária
para realizar o içamento diminua significativamente. As folgas foram
minimizadas na fabricação e na montagem e mantidas o suficiente para não
impedir um deslizamento suave entre os tubos do mecanismo telescópico.
3.3.2.3. Mecanismo de Acionamento
De modo a possibilitar o posicionamento da extremidade superior do
robô em duas direções ortogonais num plano horizontal, foi desenvolvido um
mecanismo que traciona os estais fazendo com que a estrutura se deforme e
atinja as posições desejadas, como ilustrado na Figura 67. A rigor, a trajetória
percorrida pela extremidade da estrutura é curvilínea, mas dado que o
comprimento da estrutura é muito grande em relação ao deslocamento, a
trajetória é muito próxima de retilínea.
Fim de curso
superior
Tubo 4
Extremidade do
cabo fixa
Cabo de içamento
Tubo 3
Fim de curso
inferior
98
O mecanismo utiliza apenas um atuador e movimenta a estrutura em
sentidos opostos em um mesmo plano, pois como detalhado anteriormente, o
mecanismo tensiona o estai preso a um lado da estrutura e ao mesmo tempo
afrouxa o estai que está preso ao outro lado da estrutura, assim sendo é
possível deformar no sentido que é aplicado o deslocamento.
Estais
Estrutura
deformada
Estais
secundários
Mecanismos
Figura 67–Ilustração do funcionamento do mecanismo de acionamento
Para fazer com que a estrutura se deforme em dois planos
perpendiculares são utilizados 2 mecanismo, onde cada um controla o
movimento da extremidade livre do robô em um plano, como mostrado na
Figura 68.
99
Mecanismo de
estabilização
Mecanismo de
acionamento
Figura 68–Ilustração do mecanismo de acionamento para 2 planos
O mecanismo, ilustrado na Figura 69, é basicamente constituído por um
motor CC que gira um fuso. Conforme previsto na analise estrutural a força dos
mecanismos deveria ser inferior a 0,26 N, e como o mecanismo proposto utiliza
um fuso para amplificar a força promovida pelos motores CC adota-se que o
esforço obtido foi superior a 0,26 N.
O fuso movimenta uma mesa guiada por uma rampa de acionamento.
Quando a roda de acionamento atrelado à mesa se encontra na posição
neutra, a garra fica aberta, permitindo que os estais que por ela passam se
movimentem livremente com relação à mesa. Ao se acionar o motor, a mesa se
movimenta e a roda de acionamento sai de sua posição neutra, sobe pela
rampa e passa a ser forçada para o lado direito da figura. Isto faz com que a
garra se feche prendendo os estais à mesa.
A partir deste momento, os estais passam a deslocar juntamente com a
mesa. Os dois estais, um disposto em cada lado da estrutura, passa pelo
interior do mecanismo. O estai de um lado da estrutura entra no mecanismo
pela sua parte superior. Já o estai do outro lado, entra pela parte inferior do
mecanismo. Desta forma, ao se movimentar a mesa, o estai de um lado da
100
estrutura é tracionada enquanto o estai do outro lado é afrouxada. Dois deste
mecanismo são instalados, cada um para movimentar a estrutura numa
direção.
Rampa de
acionamento
Posição neutra
Roda de
acionamento
Mesa móvel
Fuso
Motor DC
Mecanismo de
Estabilização
Garra
Curso
máximo
Figura 69– Princípio de funcionamento do mecanismo de acionamento
Foram desenvolvidos e testados dois modelos de garra. O primeiro
modelo consiste basicamente de uma chapa de alumínio dobrada e ranhurada.
Quando a mesa móvel sai de posição neutra, a roda de acionamento é
deslocada, fazendo com que a chapa prense os estais contra a parede da
mesa. Foram colocadas molas entre a roda e a chapa de alumínio de modo a
se absorver imperfeições dimensionais na rampa de acionamento, como
ilustrado na Figura 70.
101
Posição neutra
Estais
Fuso
Chapa de
alumínio
Roda de
acionamento
Molas
Força de
Pinçamento
1º Garra
Mesa móvel
Figura 70– Princípio de funcionamento da primeira garra proposta
Como será discutido posteriormente, o primeiro modelo de garra
apresentou problemas práticos e foi desenvolvido um segundo modelo, com o
intuito de aumentar a força de pinçamento e evitar travamentos devido a
desalinhamentos e folgas presentes no mecanismo. No segundo modelo, a
roda de acionamento prensa os estais contra as bordas de num canal,
promovendo uma força de pinçamento muito maior, como ilustrado na Figura
71.
102
Canal
Força de
pinçamento
2º Garra
Roda de
acionamento
Mesa móvel
Figura 71– Princípio de funcionamento da segunda garra proposta
Em ambos os casos, foi necessário instalar guias para que os estais não
se cruzem e estejam sempre na mesma posição, como ilustrado na Figura 72.
Guia para
cabos
Estais
Rampa de
acionamento
Figura 72 – Utilização de guias para os estais no mecanismo de acionamento
103
3.3.2.3.1. Modelamento do mecanismo de acionamento
Com o intuito conhecer o curso necessário no mecanismo de
acionamento da figura 69 para se ter um deslocamento mínimo de 1,5m na
extremidade do robô, foi realizado um teste que consiste basicamente em
tensionar os estais manualmente até se atingir o deslocamento especificado
em projeto. O comprimento do estai recolhido é o curso necessário no
mecanismo de acionamento, vide Figura 73. Este teste foi repetido 10 vezes e
os valores obtidos em cada teste estão listados na Tabela 5. O valor médio foi
de 0,071m.
9 m
Estrutura de
Referência
Estrutura
Cabo
–
Posição
Inicial
Cabo –
Posição Final
Estrutura
deformada
Ponto adotado para
marcação do cabo
1,5 m
Figura 73– Experimento para determinar a constante do mecanismo
104
Medição nº: Valor Medido
1 0,065 m
2 0,070 m
3 0,075 m
4 0,080 m
5 0,070 m
6 0,060 m
7 0,075 m
8 0.065 m
9 0,070 m
10 0.080 m
Valor Médio 0,071 m
Tabela 4 – Ensaio para obtenção do curso máximo do mecanismo de acionamento
3.4. Projeto de Controle
Conforme discutido no capitulo anterior, a dinâmica do sistema é
desconsiderada e somente os efeitos estáticos são considerados neste
trabalho. A estratégia de controle adotada foi seqüencial. Dada a natureza do
robô aqui desenvolvido, cujos movimentos são baseados exclusivamente na
deformação elástica de uma estrutura telescópica, espera-se que o processo
de movimentação da extremidade do robô mediante acionamento dos estais
apresente elevada repetibilidade. Desta forma, pretende-se assegurar a
precisão de posicionamento segundo uma estratégia em malha aberta. Ou
seja, numa primeira etapa de calibração, se elabora um mapa que relaciona o
deslocamento de cada estai ao deslocamento na extremidade do robô. Ao se
realizar um determinado posicionamento, consulta-se o mapa e determina-se o
deslocamento necessário nos estais. Para efeitos práticos, o deslocamento dos
estais são medidos de forma indireta pelo número de voltas completadas pelo
fuso que aciona a mesa do mecanismo de acionamento.
Para implementar o controle foi utilizado um CLP que controla quantas
voltas o fuso efetuou e consequentemente qual foi o deslocamento dos estais.
O esquema de controle consiste basicamente em acionar o mecanismo através
de um controle remoto que envia dados de entrada para o CLP, dependendo
105
do botão apertado o CLP comuta um dos reles da placa de reles, ilustrada na
Figura 74.
Placa de Relés PLC
Controle Remoto
Figura 74– Controle remoto, CLP e placa de relés
Ao ser acionado, o motor elétrico presente no mecanismo de
acionamento faz com que a mesa móvel se movimente e consequentemente os
estais sejam tracionados pelo mecanismo. Enquanto a estrutura se deforma, o
CLP conta o número de voltas dadas pelo fuso, utilizando um encoder, e
verifica se os sensores fim de curso estão ativados. Caso algum sensor de fim
de curso seja acionado, o CLP interrompe a corrente nos motores e permite
somente o movimento da mesa em direção à posição neutra, como ilustrado na
Figura 75.
O mapa de posições mencionado anteriormente é armazenado na
memória do CLP e é consultado pelo algoritmo de controle. Na operação
manual do robô através do joy stick, o mapa de posições é consultado de modo
que o CLP indique a posição atual da extremidade do robô. Já numa possível
106
operação automática, onde o operador entra com a posição desejada, o CLP
obtém através do mapa o número de voltas do fuso necessárias em cada
mecanismo de acionamento para se atingir a posição desejada. Em seguida
aciona os motores dos dois mecanismos até se completar os números de
voltas pré determinados.
CLP
Sensor fim de curso
Sensor fim de curso Sensor posição neutra
Encoder
Mapa de posições do
robô
n1
-
2
n1
-
1
Nº de Voltas (n1)
Motor do mecanismo 1
Z2
X2
n2
-
2
Z1
X1
n2
-
1
Deformação em (z)
Deformação em (x)
Nº de Voltas (n2)
Motor do mecanismo 2
Mecanismo 2
IHM
Botões de
acionamento
Figura 75 – Esquema de controle em malha aberta
4. Testes experimentais e melhorias
Em uma primeira etapa, os testes tiveram o objetivo de avaliar a
estabilidade da estrutura. A primeira bateria de testes consistia basicamente
em estender o robô até seu comprimento máximo (9m), então os mecanismos
são acionados até que o robô chegue a uma determinada posição, então é feito
o mesmo posicionamento diversas vezes e é analisado o número de voltas que
o fuso deu para alcançar aquela posição, como ilustrado na Figura 76.
107
Estrutura
Deformada
Limite de
posicionamento
Escala para
medição
Figura 76– Esquema do teste experimental
Nos primeiros ensaios notou-se uma grande dificuldade em fazer com que o
robô retornasse à posição inicial (posição vertical). A estrutura se deformava
devido ao efeito do peso próprio não retornando à posição inicial, mesmo que
se diminuísse a tensão nos estais. Uma eventual solução para este problema
seria a aplicação de uma pré-carga através dos estais. Mas isto não foi
possível, pois o último estágio apresentava uma rigidez tão baixa que uma pré-
carga fazia com que a mesma flambasse. Associado a estes problemas,
observou-se também problemas de baixa resistência dos espaçadores. Ao
submeter os estais a uma força maior de tracionamento, os espaçadores se
deformavam.
108
Com o intuito de solucionar esse problema foram, realizadas algumas
melhorias na estrutura do robô. Dentre as melhorias, foi eliminado o último
estágio e foram substituídos os demais estágios de maneira a utilizar 3
estágios de aproximadamente 3,3m, como ilustrado na Figura 77.
1º Estagio
2º Estagio
3º Estagio
9 m
Figura 77– Esquema do teste experimental
Em um segundo passo se aumentou a rigidez do último estágio, colando o
tubo que anteriormente era o último estágio por dentro do terceiro estágio. Para
aumentar a rigidez dos espaçadores foram construídas cruzes de madeira fixas
109
ao final de cada estágio intermediário que suportam os espaçadores, como
ilustrado Figura 78.
Estais
1º Estagio
3º Estagio
Cruz
Espaçador
2º Estagio
Figura 78– Primeiras melhorias implementadas
Ao implementar as primeiras melhorias foi possível estabilizar a estrutura
em uma posição inicial, por outro lado foi possível observar que os motores DC
estavam sendo mais exigidos uma vez que a rigidez da estrutura aumentou e
consequentemente a tensão e a deformação nos estais era maior.
Ao iniciar os testes notou-se uma grande dificuldade para medir o
deslocamento da ponta do robô, para isso foi utilizada uma trena como escala
de referência e um bastão como estrutura de referência, onde a trena foi
estendida no telhado e foi utilizado o bastão como elo entre a trena e a ponta
da estrutura. No procedimento de medição percebeu-se que havia uma grande
dificuldade em manter o bastão a 90º com a escala de referência, como
ilustrado na Figura 79.
110
3º Estagio
2º Estagio
Estrutura de
referência
Figura 79– Primeira bateria de testes
Apesar das imprecisões obtidas durante o processo de medição foi possível
avaliar o comportamento da estrutura e obter os primeiros dados
experimentais, durante a primeira bateria de testes foram feitos 120
posicionamentos, mais especificamente 60 posicionamentos com o mecanismo
que controla o eixo x e 60 com o mecanismo que controla o eixo y. Os testes
consistiam basicamente em deformar a estrutura dez vezes até 0,5m e medir o
número de voltas no fuso, e assim sucessivamente para 1m e 1,5m.
A seguir são exibidos na Figura 80 os resultados obtidos ao testar um dos
mecanismos. No gráfico exibido temos o número de voltas efetuadas pelo
motor no eixo y, ou seja, quanto que a mesa móvel andou, e no eixo x são
exibidos o número de medições efetuadas. Na legenda pode-se ver que cada
111
uma das linhas representa uma faixa de valores, onde foi adotado como
valores positivos a deformação em um sentido e negativo no sentido oposto.
-150
-100
-50
0
50
100
150
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
Medições
Número de Voltas
-1,5 m +1,5 m +1 m -1 m +0,5 m -0,5 m
Figura 80– Resultados obtidos na primeira bateria de testes
Durante a coleta de dados foi possível observar que em algumas ocasiões a
primeira garra desenvolvida não exercia uma força de pinçamento constante,
permitindo com que os estais deslizassem durante o posicionamento, fazendo
com que ocorressem erros de posicionamento, e que quando isso ocorria não
era possível fazer com que a estrutura voltasse para a posição de origem.
Assim era necessário manter a garra na posição neutra para liberar os estais e
fazer com que a estrutura retornasse a posição inicial manualmente.
Tais problemas ocorreram devido à imprecisões na fabricação dos
mecanismos, gerando assim desalinhamentos que faziam com que a garra,
ilustrada na Figura 70, não conseguisse exercer uma força constante durante
seu curso. Foram feitas diversas tentativas para aumentar a pressão exercida
pela mola presente na garra e foi observado que ao fazer isso a força de
pinçamento aumentava e o mecanismo travava, pois os motores não possuíam
torque para fechar a garra.
112
Como mostrado na Figura 80, os erros de repetibilidade de posicionamento
comprometem a repetibilidade do robô proposto, o que inviabilizaria a utilização
de um mapa de posições para fazer o controle do robô em malha aberta.
Para resolver o problema foram feitas algumas alterações no mecanismo ao
substituir a garra por um segundo modelo onde a força de atrito entre a garra e
os estais é maior e consequentemente a força de pinçamento também é maior.
Também foi observado que o primeiro estágio estava empenado e ainda
estava muito flexível, levando em conta que qualquer deformação presente no
primeiro estágio resulta em um deslocamento amplificado na extremidade do
robô, foram utilizados estais secundários, que são estais fixos presos a
primeira cruz e a base que exercem uma pré-carga no primeiro estágio,
aumentando sua rigidez estrutural e mantendo seu peso.
Ao analisar resultados obtidos na primeira bateria de testes é possível
perceber que apesar dos erros de posicionamento a estrutura aténde as
necessidades, porém, com o intuito de melhorar os resultados, foram propostas
uma segunda etapa de melhorias.
As principais melhorias implementadas, ilustradas na Figura 81, foram:
• a utilização de um segundo modelo de garra, ilustrado na figura 71;
• o aumento de comprimento do primeiro estágio para 3,5m e a
diminuição do comprimento do último estágio para 3m;
• a utilização de estais secundários para aumentar a rigidez do primeiro
estágio;
• a utilização de uma cruz intermediária para guiar os estais, pois com o
aumento de rigidez da estrutura foi necessário também aumentar a
rigidez dos espaçadores para que eles suportassem as forças
envolvidas na nova configuração.
113
Estais
Secundários
Cruz
intermediária
Espaçadores
Figura 81– Segunda implementação de melhorias
Concluída a implementação da segunda etapa de melhorias foi realizada a
segunda etapa de testes experimentais, porém, como já comentado
anteriormente, durante a primeira bateria de testes, observou-se uma grande
dificuldade em realizar as medições de forma precisa.
Com o intuito de melhorar a precisão de medição os procedimentos
experimentais foram modificados. Assim como anteriormente, no segundo
procedimento de teste se adotou que as rotações positivas são as rotações no
sentido horário, e as rotações negativas no sentido anti-horário. Feitas essas
considerações o procedimento consistiu em:
114
• fornecer +30 rotações ao motor do mecanismo de acionamento
• medir o deslocamento da ponta da estrutura
• fornecer +30 rotações ao motor do mecanismo de acionamento
(ao todo o motor efetuou +60 rotações)
• medir o deslocamento da ponta da estrutura
• fornecer +60 rotações ao motor do mecanismo de acionamento
(ao todo o motor efetuou +120 rotações)
• medir o deslocamento da ponta da estrutura
• fornecer -120 rotações ao motor do mecanismo de acionamento no
sentido anti-horário
• analisar se a ponta da estrutura voltou a posição inicial
• caso a posição inicial não seja atingida ou for ultrapassada, mede-se
a distância entre a posição inicial e a posição real que a ponta da
estrutura alcançou
(essa medida é considerada como sendo +0 , pois a estrutura havia
se deslocado primeiramente no sentido horário)
• fornecer -30 de rotações ao motor do mecanismo de acionamento
• medir o deslocamento da ponta da estrutura
• fornecer -30 rotações ao motor do mecanismo de acionamento
(ao todo o motor efetuou -60 rotações)
• medir o deslocamento da ponta da estrutura
• fornecer -60 rotações ao motor do mecanismo de acionamento
(ao todo o motor efetuou -120 rotações)
• medir o deslocamento da ponta da estrutura
• fornecer +120 rotações ao motor do mecanismo de acionamento no
sentido anti-horário
• analisar se a ponta da estrutura voltou a posição inicial
• caso a posição inicial não seja atingida ou for ultrapassada, mede-se
a distância entre a posição inicial e a posição real que a ponta da
estrutura alcançou
(essa medida é considerada como sendo -0 , pois a estrutura havia
se deslocado primeiramente no sentido horário)
115
Visando evitar erros de desalinhamento, foi construída uma
estrutura de referencia fixa a um apoio móvel, como ilustrado na Figura
82 .
Apoio móvel
Estrutura
Estrutura de
referência
Figura 82– Estrutura de referência
A estrutura de referencia construída permite deslizar o apoio
móvel seguindo linhas de guia presentes no local de testes, utilizando
uma trena, que ao ser fixa as linhas de guia, possibilitava analisar e
realizar medições da ponta da estrutura, conforme ilustrado na Figura 83
Y
c3
Y
c2
Y
c1
Y
b1
Y
b2
Y
b3
Zero
-
1,5m
-
1mm.
1mm.
-
1m
2 m
1,5m
Apoio móvel Trena Medições
Figura 83– Apoio móvel
116
Ao efetuar a segunda bateria de testes foram obtidos os resultados
indicados na
Figura 84
, onde o eixo vertical representa o deslocamento da ponta da
estrutura em milímetros, no eixo horizontal são exibidos o número de medições
e a legenda mostra quantas voltas o motor realizou para cada uma das linhas
do gráfico.
Figura 84– Resultados experimentais obtidos na segunda bateria de testes
A tabela 6 sintetiza os resultados experimentais obtidos, mostrando o
desvio padrão, o deslocamento médio da ponta do robô, o número de voltas
relacionado a esse deslocamento e o desvio padrão relativo (DSR) expresso
em porcentagem.
117
Número de
Voltas
Deslocamento
médio da ponta
(mm)
Desvio padrão
(mm)
DSR %
+ 30 227 18,88 11,65 %
- 30 254 13,49 6,88 %
+ 60 462 17,51 5,20 %
-60 456 13,50 3,87 %
+120 724 15,05 5,67%
- 120 725 9,72 2,21 %
Tabela 5 – Analise estatística dos resultados experimentais
Ao analisar os dados experimentais obtidos, é possível perceber que
com o aumento de rigidez da estrutura, a amplitude de suas deformações
diminuíram, porém a repetibilidade aumentou, tendo como o maior desvio
padrão relativo 11,65%.
O próximo passo para concluir a automatização do robô seria fazer a
instalação do motor de içamento junto à base da estrutura, pois até então a
estrutura era içada manualmente. Também estaria contida no escopo da
automatização a utilização dos dados obtidos na tabela 6, para programar o
CLP de modo que o robô atinja posições diversas no plano de forma
automática.
Neste trabalho não foram realizados tais procedimentos, pois acredita-se
que os principais resultados já foram obtidos e com isso, fica evidenciada a
eficácia da arquitetura de robô contínuo proposta neste trabalho. Além do que,
os resultados obtidos demonstram seguros indícios para o pleno aténdimento
dos requisitos considerados neste estudo de caso, pois, para fazer inspeção de
cruzetas não é necessário que os eletricistas, que irão operar o robô, saibam
ou forneçam o posicionamento que a ponta do robô deverá atingir.
118
Durante a inspeção, os eletricistas irão posicionar a câmera na extremidade
da estrutura de maneira que esta obtenha uma foto com a qual seja possível
analisar o estado da cruzeta, caso seja necessário os eletricistas irão acionar o
robô para ajustar o ângulo de visão da câmera. O acompanhamento das
imagens exibidas pela câmera seria feito em tempo real utilizando um
computador portátil. Acredita-se também que as tarefas acima propostas no
sentido de completar a automação não oferecem maiores dificuldades.
119
5. Conclusão
Ao realizar a revisão bibliográfica foi possível adotar uma classificação que
separa os robôs de acordo com seu número de articulações, com isso foi
possível separar os robôs em três classes. Dentre essas classes, observa-se
que os robôs contínuos possuem mais graus de liberdade que os outros
grupos, mecanismos mais simplificados, diagramas de controle menos
sofisticados devido ao menor número de atuadores, estruturas com baixo peso
que possibilitam a construção de robôs com estruturas dielétricas. Portanto é
possível concluir que os robôs contínuos são mais indicados para serem
utilizados ao manipular ferramentas a alturas elevadas.
Ao analisar os robôs contínuos encontrados na literatura foi possível
perceber que seu volume de trabalho é limitado pela amplitude de suas
deformações, porém, ao utilizar uma estrutura telescópica em vez de uma
estrutura contínua, é possível expandir o volume de trabalho e manter as
características da estrutura contínua. Contudo, ao utilizar estruturas contínuas,
esbeltas e de grande comprimento surgem efeitos estruturais que fazem com
que esse tipo de estrutura perca a estabilidade, e, dependendo do material,
pode até colapsar. Uma das maneiras de evitar que isso aconteça é utilizar
estais para estabilizar a estrutura, assim como é feito em torres estaiadas.
Baseando-se no conceito de acionamento extrínseco utilizado por robôs
contínuos, é possível perceber que os estais que fazem a estabilização podem
ser utilizados para fazer com que a estrutura se deforme e alcance posições
desejadas. Porém, para que isso aconteça, é necessário utilizar mecanismo
auxiliares que mantenham a estrutura estabilizada e exerça diferentes tensões
nos estais de maneira a fazer com que a estrutura contínua se deforme.
Com isso pode-se concluir que ao unir os conceitos de estrutura
telescópica, estabilização por estais e acionamento extrínseco é possível
propor um robô contínuo que seja mais adequado para trabalhos a alturas
elevadas.
120
Ao adotar o estudo de caso, surgiu a possibilidade de aplicar os
conceitos até então desenvolvidos e construir um protótipo para comprovar
experimentalmente a arquitetura proposta. Em uma primeira fase foram
levantadas as necessidades de projeto do robô telescópico contínuo para
inspeção de cruzetas e em uma segunda etapa foram feitas as simulações
para realizar a análise estrutural do robô.
A análise estrutural teve como principal objetivo em uma primeira etapa
analisar os esforços que os atuadores deveriam exercer sobre a estrutura,
porém através das simulações foi possível perceber que dependendo do
material utilizado para construção da estrutura o robô poderia colapsar.
Foi feita então em uma segunda etapa a analise de diversos materiais e
estudado a viabilização da utilização de cada um deles, após realizar esse
estudo concluiu-se que o material mais adequado para a construção da
estrutura do robô contínuo flexível eram os tubos de PVC, então foram feitas
simulações para verificar a possibilidade da estrutura colapsar, devido ao
próprio peso e em uma terceira etapa foram feitas simulações para descobrir a
força feita pelos atuadores considerando os efeitos não lineares apresentados
pela estrutura esbelta e de grande comprimento.
Ao realizar as análises utilizando o método dos elementos finitos foi
possível concluir que é imprescindível levar em consideração os efeitos de não
linearidade geométrica da estrutura ao realizar os cálculos estruturais, pois a
força gerada pelos atuadores na analise linear foi quatro vezes maior do que as
forças geradas no cálculo não linear, ou seja, caso as forças indicadas na
análise linear tivessem sido aplicadas a estrutura, ela iria colapsar. Após
realizar a análise modal foi possível construir um modelo dinâmico da estrutura
que servirá de base para o desenvolvimento de uma estratégia de controle que
considera a dinâmica da estrutura.
Com o intuito de validar a arquitetura proposta foi construído um
protótipo que foi submetido a testes experimentais, onde foi possível concluir
que ao trabalhar com deformações de grande amplitude é necessário utilizar
espaçadores para guiar os estais e manter a estrutura estável. Após iniciar a
121
fase de testes percebeu-se a necessidade de implementar melhorias tanto na
estrutura do robô quanto nos mecanismos, foi possível também perceber uma
grande dificuldade para monitorar o descolamento na extremidade do robô.
Após implementar as melhorias e analisar os dados experimentais é
possível concluir que a arquitetura proposta é mais adequada para manipular
ferramentas a alturas elevadas. Também é possível concluir que a arquitetura
proposta apresenta uma alta repetibilidade de posicionamento, pois apesar do
protótipo mostrar erros de posicionamento na ordem de 12% o robô proposto
aténde os requisitos de projeto, podendo em uma futura etapa utilizar o mapa
de posições e o içamento automático para efetuar trabalhos de inspeção.
Durante o desenvolvimento da pesquisa também foi possível concluir que a
arquitetura proposta pode ser utilizada não só para trabalhos a alturas
elevadas, mas também trabalhos em locais de difícil acesso onde a estrutura
seria posicionada em outras direções alem da vertical, com isso é possível
expandir consideravelmente o universo de aplicações desse tipo de arquitetura.
Se comparado com os tradicionais robôs manipuladores discretos a
arquitetura proposta possui um peso muito inferior e viabiliza a operação em
alturas elevadas, porém a precisão é inferior.
Trabalhos futuros trabalhos poderão analisar o comportamento dinâmico da
estrutura, propor modelos de controladores para controlar a estrutura em malha
fechada, elaborar sensores para realizar a medição das deformações do robô,
estudar a utilização de materiais compósitos aplicados à estrutura do robô,
estudar o comportamento de estruturas telescópicas esbeltas sujeitas a
carregamentos de torção, analisar o influencia que as folgas entre os perfis
telescópicos possuem na repetibilidade do robô e o estudo de arquiteturas com
as quais seja possível desenvolver robôs telescópicos mais compactos.
122
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131
APÊNDICE A
Código fonte do MATLAB do programa:
Dados de entrada
Número de elementos
N=7;
Comprimento dos tubos e buchas
L= zeros(1,N);
%Compriment do cestágio 1
L_l1 = 2.175; %metro
%Compriment da bucha do estágio 2 com o 1
L_lb12 = 0.1; %metro
%Compriment do cestágio 2
L_l2 = 2.175; %metro
%Compriment da bucha do estágio 3 com o 2
L_lb23 = 0.1; %metro
%Compriment do cestágio 3
L_l3 = 2.175; %metro
%Compriment da bucha do estágio 4 com o 3
L_lb34 = 0.1; %metro
%Compriment do cestágio 4
L_l4 = 2.175; %metro
L_tot =
L_l1+L_lb12+L_l2+L_lb23+L_l3+L_lb34+L_l4;
Módulo de Elasticidade
E= zeros(1,N);
v=0.4; % Módulo de elasticidade do Tubo Pvc
Epvc= 3e+009; % Em Pa
Eaco= 210e+009; % = 210GPa
Módulo de Elasticidade Transversal
Gpvc = Epvc / ( 2 * ( 1+ v));
E_l1 = Epvc;
E_lb12 = Epvc;
E_l2 = Epvc;
E_lb23 = Epvc;
E_l3 = Epvc;
E_lb34 = Epvc;
E_l4 = Epvc;
Diâmetro dos tubos
db_l1 = 50 *10^-3
ds_l1 = 44 *10^-3
db_lb12 = 44 *10^-3
ds_lb12 = 39.9 *10^-3
db_l2 = 39.9 *10^-3
ds_l2 = 35.1 *10^-3
db_lb23 = 35.1 *10^-3
ds_lb23 = 32 *10^-3
db_l3 = 32 *10^-3
ds_l3 = 27 *10^-3
db_lb34 = 27 *10^-3
ds_lb34 = 16.3 *10^-3
db_l4 = 16.3 *10^-3
ds_l4 = 12.7 *10^-3
Momentos de Inércia
I=zeros(1,N);
I_l1 = (pi/64 )* (db_l1^4 - ds_l1^4) ;
I_lb12 = (pi/64 )* (db_lb12^4 - ds_lb12^4);
I_l2 = (pi/64 )* (db_l2^4 - ds_l2^4) ;
I_lb23 = (pi/64 )* (db_lb23^4 - ds_lb23^4);
I_l3 = (pi/64 )* (db_l3^4 - ds_l3^4) ;
I_lb34 = (pi/64 )* (db_lb34^4 - ds_lb34^4);
I_l4 = (pi/64 )* (db_l4^4 - ds_l4^4) ;
Momentos de Inércia Polar
IP=zeros(1,N);
Ip_l1 = (pi/32 )* (db_l1^4 - ds_l1^4) ;
Ip_lb12 = (pi/32 )* (db_lb12^4 - ds_lb12^4);
Ip_l2 = (pi/32 )* (db_l2^4 - ds_l2^4) ;
Ip_lb23 = (pi/32 )* (db_lb23^4 - ds_lb23^4);
Ip_l3 = (pi/32 )* (db_l3^4 - ds_l3^4) ;
Ip_lb34 = (pi/32 )* (db_lb34^4 - ds_lb34^4);
Ip_l4 = (pi/32 )* (db_l4^4 - ds_l4^4) ;
Áreas da seção transversal
A=zeros(1,N);
A_l1 = (pi*(db_l1)^2) - (pi*(ds_l1)^2);
A_lb12 = (pi*(db_lb12)^2) - (pi*(ds_lb12)^2);
A_l2 = (pi*(db_l2)^2) - (pi*(ds_l2)^2);
A_lb23 = (pi*(db_lb23)^2) - (pi*(ds_lb23)^2);
A_l3 = (pi*(db_l3)^2) - (pi*(ds_l3)^2);
A_lb34 = (pi*(db_lb34)^2) - (pi*(ds_lb34)^2);
A_l4 = (pi*(db_l4)^2) - (pi*(ds_l4)^2);
Massas dos tubos
M=zeros (1,N);
M_l1 = den * (A_l1) * (L_l1);
M_lb12 = den * (A_lb12) * (L_lb12);
M_l2 = den * (A_l2) * (L_l2);
M_lb23 = den * (A_lb23) * (L_lb23);
M_l3 = den * (A_l3) * (L_l3);
M_lb34 = den * (A_lb34) * (L_lb34);
M_l4 = den * (A_l4) * (L_l4);
Distâncias até a linha neutra
h =zeros(1,N);
h_l1 = db_l1/2;
h_lb12 = db_lb12/2;
h_l2 = db_l2/2;
h_lb23 = db_lb23/2;
h_l3 = db_l3/2;
h_lb34 = db_lb34/2;
h_l4 = db_l4/2;
Ângulo de inclinação de cada tubo em
relação as coordenadas locais
B=zeros(1,N);
B_l1 = -90;
B_lb12 = -90;
B_l2 = -90;
B_lb23 = -90;
B_l3 = -90;
B_lb34 = -90;
B_l4 = -90;
Distribuição dos dados de entrada ao longo
da discretização do sistema
for i=N/7
L(i) = L_l1/(N/7);
E(i) = E_l1;
I(i) = I_l1;
Ip(i) = Ip_l1;
132
A(i) = A_l1;
h(i) = h_l1;
B(i) = B_l1;
M(i) = M_l1;
end
for i=((N/7)+1:(2*N/7))
L(i) = L_lb12/(N/7);
E(i) = E_lb12;
I(i) = I_lb12;
Ip(i) = Ip_lb12;
A(i) = A_lb12;
h(i) = h_lb12;
B(i) = B_lb12;
M(i) = M_lb12;
end
for i=((2*(N/7))+1:(3*N/7))
L(i) = L_l2/(N/7);
E(i) = E_l2;;
I(i) = I_l2;
Ip(i) = Ip_l2;
A(i) = A_l2;
h(i) = h_l2;
B(i) = B_l2;
M(i) = M_l2;
end
for i=((3*(N/7))+1:(4*N/7))
L(i) = L_lb23/(N/7);
E(i) = E_lb23;
I(i) = I_lb23;
Ip(i) = Ip_lb23;
A(i) = A_lb23;
h(i) = h_lb23;
B(i) = B_lb23;
M(i) = M_lb23;
end
for i=((4*(N/7))+1:(5*N/7))
L(i) = L_l3/(N/7);
E(i) = E_l3
I(i) = I_l3;
Ip(i) = Ip_l3;
A(i) = A_l3;
h(i) = h_l3;
B(i) = B_l3;
M(i) = M_l3;
end
for i=((5*(N/7))+1:(6*N/7))
L(i) = L_lb34/(N/7);
E(i) = E_lb34;
I(i) = I_lb34;
Ip(i) = Ip_lb34;
A(i) = A_lb34;
h(i) = h_lb34;
B(i) = B_lb34;
M(i) = M_lb34;
end
for i=((6*(N/7))+1:(7*N/7))
L(i) = L_l4/(N/7);
E(i) = E_l4;
I(i) = I_l4;
Ip(i) = Ip_l4;
A(i) = A_l4;
h(i) = h_l4;
B(i) = B_l4;
M(i) = M_l4;
end
Condições de Contorno
% no x,y,z (x=1,y=2,z=3);
%1=engastado 0=livre
for i=1:N+1;
cont(i,1)=0;
cont(i,2)=0;
cont(i,3)=0;
cont(i,4)=0;
cont(i,5)=0;
cont(i,6)=0;
end
cont(1,1)=1;
cont(1,2)=1;
cont(1,3)=1;
cont(1,4)=1;
cont(1,5)=1;
cont(1,6)=1;
133
APÊNDICE B
Código fonte do MATLAB do programa:
Matrizes Globais
Matriz de incidência
for i=1:N+1
inc(1,i)=i;
inc(2,i)=i+1;
end
var=0;
for n=1:N+1
if cont(n,1)== 1
var=var+1;
end
if cont(n,2) ==1
var=var+1;
end
if cont(n,3) == 1
var=var+1;
end
if cont(n,4) == 1
var=var+1;
end
if cont(n,5) == 1
var=var+1;
end
if cont(n,6) == 1
var=var+1;
end
var;
num_presos= var;
Numeração dos nós nas coordenadas
globais
nl=0;
for c=1:(N+1)
if cont(c,1)==0
num(1,c) = nl +1;
nl=nl+1;
end
if cont(c,2)==0
num(2,c) = nl +1;
nl=nl+1;
end
if cont(c,3)==0
num(3,c) = nl +1;
nl=nl+1;
end
if cont(c,4)==0
num(4,c) = nl +1;
nl=nl+1;
end
if cont(c,5)==0
num(5,c) = nl +1;
nl=nl+1;
end
if cont(c,6)==0
num(6,c) = nl +1;
nl=nl+1;
end
end
gdls_livres = nl;
for c=1:N+1;
if cont(c,1)==1
nl = nl+1;
num(1,c) = nl;
end
if cont(c,2)==1
nl = nl+1;
num(2,c) = nl;
end
if cont(c,3)==1
nl = nl+1;
num(3,c) = nl;
end
if cont(c,4)==1
nl = nl+1;
num(4,c) = nl;
end
if cont(c,5)==1
nl = nl+1;
num(5,c) = nl;
end
if cont(c,6)==1
nl = nl+1;
num(6,c) = nl;
end
end
Matriz de conexão
for el=1:N
% gdlloc no el
conect(1,el)=num(1,inc(1,el));
conect(2,el)=num(2,inc(1,el));
conect(3,el)=num(3,inc(1,el));
conect(4,el)=num(4,inc(1,el));
conect(5,el)=num(5,inc(1,el));
conect(6,el)=num(6,inc(1,el));
conect(7,el)=num(1,inc(2,el));
conect(8,el)=num(2,inc(2,el));
conect(9,el)=num(3,inc(2,el));
conect(10,el)=num(4,inc(2,el));
conect(11,el)=num(5,inc(2,el));
conect(12,el)=num(6,inc(2,el));
end
Matriz de rigidez do elemento de pórtico
espacial nas coordenadas locais
K=zeros(12,12 ,N);
134
for n=1:N
X = 1*E(n)*A(n)/L(n);
Y1 = 12*E(n)*I(n)/L(n)^3;
Y2 = 6*E(n)*I(n)/L(n)^2;
Y3 = 4*E(n)*I(n)/L(n);
Y4 = 2*E(n)*I(n)/L(n);
Z1 = Y1;
Z2 = Y2;
Z3 = Y3;
Z4 = Y4;
S = Gpvc*Ip(n)/L(n);
K(1,1,n)= X ;
K(1,7,n)= -X;
K(2,2,n)= Y1;
K(2,6,n)= Y2;
K(2,8,n)= -Y1;
K(2,12,n)= Y2;
K(3,3,n)=Z1;
K(3,5,n)=-Z2;
K(3,9,n)=-Z1;
K(3,11,n)=-Z2;
K(4,4,n)= S;
K(4,10,n)=-S;
K(5,5,n)= Z3;
K(5,9,n)= Z2;
K(5,11,n)= Z4;
K(6,6,n)= Y3;
K(6,8,n)= -Y2;
K(6,12,n)= Y4;
K(7,7,n)= X;
K(8,8,n)= Y1;
K(8,12,n)= -Y2;
K(9,9,n)=Z1;
K(9,11,n)=Z2;
K(10,10,n)= S;
K(11,11,n)= Z3;
K(12,12,n)= Y3;
end
Matriz de massa do elemento de pórtico
espacial nas coordenadas locais
Ma=zeros(12,12 ,N);
for n=1:N
X = 1*E(n)*A(n)/L(n);
Y1 = 12*E(n)*I(n)/L(n)^3;
Y2 = 6*E(n)*I(n)/L(n)^2;
Y3 = 4*E(n)*I(n)/L(n);
Y4 = 2*E(n)*I(n)/L(n);
Z1 = Y1;
Z2 = Y2;
Z3 = Y3;
Z4 = Y4;
S = Gpvc*Ip(n)/L(n);
Ma(1,1,n)= 140 ;
Ma(1,7,n)= 70;
Ma(2,2,n)= 156;
Ma(2,6,n)= 22*L(n);
Ma(2,8,n)= 54;
Ma(2,12,n)= -13*L(n);
Ma(3,3,n)=156;
Ma(3,5,n)=-22*L(n);
Ma(3,9,n)=54;
Ma(3,11,n)=13*L(n);
Ma(4,4,n)= (140*Ip(n))/A(n);
Ma(4,10,n)=(70*Ip(n))/A(n);
Ma(5,5,n)= 4*(L(n))^2;
Ma(5,9,n)= -13*L(n);
Ma(5,11,n)= -3*(L(n))^2;
Ma(6,6,n)= 4*(L(n))^2;
Ma(6,8,n)= 13*L(n);
Ma(6,12,n)= -3*(L(n))^2;
Ma(7,7,n)= 140;
Ma(8,8,n)= 156;
Ma(8,12,n)= -22*L(n);
Ma(9,9,n)=156;
Ma(9,11,n)=22*L(n);
Ma(10,10,n)= (140*Ip(n))/A(n);
Ma(11,11,n)= 4*(L(n))^2;
Ma(12,12,n)= 4*(L(n))^2;
Ma= (M(n)/420)*Ma;
end
Aplicando a simetria as matrizes de massa e
rigidez
for n=1:N
for j=1:11
for i=j+1:12
K(i,j,n)=K(j,i,n);
Ma(i,j,n)=Ma(j,i,n);
end
end
end
Matriz de rotação do elemento de pórtico
espacial
R=zeros(12,12,N);
for n=1:N
cob=cos(B(n)*pi/180);
seb=sin(B(n)*pi/180);
% for n=1:1
% syms cob seb R
R(1,1,n)=cob;
R(1,2,n)=seb;
R(2,1,n)=-1*seb;
R(2,2,n)=cob;
R(3,3,n)=1;
R(4,4,n)=cob;
R(4,5,n)=seb;
R(5,4,n)=-1*seb;
R(5,5,n)=cob;
R(6,6,n)=1;
R(7,7,n)=cob;
R(7,8,n)=seb;
R(8,7,n)=-1*seb;
R(8,8,n)=cob;
R(9,9,n)=1;
R(10,10,n)=cob;
R(10,11,n)=seb;
R(11,10,n)=-1*seb;
R(11,11,n)=cob;
R(12,12,n)=1;
end
135
Matriz de Massa e Rigidez no sistema Global
de Coordenadas
for n=1:N
Kr(:,:,n)=R(:,:,n)'*K(:,:,n)*R(:,:,n);
Mar(:,:,n)=R(:,:,n)'*Ma(:,:,n)*R(:,:,n);
end
%
Ns=max(max(conect));
Ks=zeros(Ns,Ns);
Mas=zeros(Ns,Ns);
for n=1:N
for i=1:12
for j=1:12
ii=conect(i,n);
jj=conect(j,n);
if ii~=0 & jj~=0
Ks(ii,jj)=Ks(ii,jj)+Kr(i,j,n);
Mas(ii,jj)=Mas(ii,jj)+Mar(i,j,n);
end
end
end
end
136
APÊNDICE C
Código fonte do MATLAB do programa:
Análise Estática Linear
• Análise Linear Impondo Condições
de Contorno Não Homogêneas
% Vetor das forças Aplicadas (nós livres)
for i=1:gdls_livres
Pa(i) = 0;
end
Pa=Pa';
Qb = [ 0 0 0 ]';
%Número de Graus de Liberdade
sPa=max(size(Pa)); % Tamanho do vetor de
forças aplicadas
na=sPa(1); %Número de Graus de Liberdade
Livres
sQb=max(size(Qb)); % Tamanho do vetor de
descolamentos preescritos
nb=sQb(1); %Número de Graus de Liberdade
Prescritos
nt=na+nb; %Número Total de Graus de
Liberdade
Aplicacao das Condicoes de Contorno
Kaa=Ks(1:na,1:na); %livres
Kab=Ks(1:na,na+1:nt);
Kba=Kab';
Kbb=Ks(na+1:nt,na+1:nt); %prescritos (com
condições de contorno ou seja presos)
Pef=Pa-Kab*Qb;
Fd = Pef; % Copiando o vetor de
carregamentos
Aplicando o deslocamento imposto:
dd=1.5;
ii= (gdls_livres-5) ; %
Aplicando condição de contorno do lado
direito da equação
for n=1:na
Fd(n)= Fd(n)- (Kaa(n,ii)*dd);
Fd(ii)=0;
end
Kaaa = Kaa;
Aplicando a condição de contorno a matriz
Kaa
for n=1:na
Kaa(ii,n)=0;
Kaa(n,ii)=0;
end
Kaa(ii,ii)=1;
Obtendo o vetor de deslocamentos
Q = inv(Kaa) * Fd;
Q(ii) = dd;
Obtendo a força necessária para causar o
deslocamento imposto
Fd = Kaaa * Q;
• Análise Linear Impondo Condições
de Contorno Homogêneas
disp ('Cálculo das Forças');
Qx=0;
% Vetor das forças Aplicadas (nos livres)
Pa=0 ;
% Vetor das forças Aplicadas (nos livres)
for i=1:gdls_livres
Pa(i) = 0;
end
Pa(gdls_livres-5)= 0.8531 ;% X
Pa(38)=0 ;% Z (n vertical)
Pa(39)=0 ;% Y
Pa=Pa';
ik=1;
% Vetor dos descolamentos Prescritos (nos
presos)
Qb = [ 0 0 0 0 0 0]';
%Número de Graus de Liberdade
sPa=size(Pa); % Tamanho do vetor de forças
aplicadas
na=sPa(1); %Número de Graus de Liberdade
Livres
sQb=size(Qb); % Tamanho do vetor de
descolamentos preescritos
nb=sQb(1); %Número de Graus de Liberdade
Prescritos
nt=na+nb; %Número Total de Graus de
Liberdade
Aplicacao das Condicoes de Contorno
Kaa=Ks(1:na,1:na); %livres
Kab=Ks(1:na,na+1:nt);
Kba=Kab';
Kbb=Ks(na+1:nt,na+1:nt); %prescritos
Pef=Pa-Kab*Qb;
Solucao das Equacoes para os glds Livres
Qa=Kaa\Pef;
%Reacoes de Apoio
Pb=Kba*Qa+Kbb*Qb;
%Vetor Completo dos Deslocamentos em
Coordenadas Globais
Q=[Qa
Qb ];
• Algoritmo para Plotar Gráficos e
Resultados
Vetor de Deslocamentos na direção X
j=1;
for i=1:(6*(N+1))
if j<=(6*N)-2
Qx(i) = Q(j);
j=j+6;
end
end
Qx(7)
Vetor de Deslocamentos na direção Y
j=2;
for i=1:(6*(N+1))
if j<=(6*N)-2
Qz(i) = Q(j);
j=j+6;
137
end
Vetor de Deslocamentos na direção Z
end
j=3;
for i=1:(6*(N+1))
if j<=(6*N)-2
Qy(i) = Q(j);
j=j+6;
end
end
% Escala para plotar em relação ao tamanho
fisico de cada elemento
Lplot=0;
j=1;
for i=0+(2.175/(N/7)):(2.175 /(N/7)):2.175
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
for i=2.175+(0.1/(N/7)):(0.1/(N/7)):2.275
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
for i=2.275+(2.175/(N/7)):(2.175/(N/7)):4.45
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
for i=4.45+(0.1/(N/7)):(0.1/(N/7)):4.55
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
for i=4.55+(2.175/(N/7)):(2.175/(N/7)):6.725
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
for i=6.725+(0.1/(N/7)):(0.1/(N/7)):6.825
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
for i=6.825+(2.175/(N/7)):(2.175/(N/7)):9
Lplot(j) = [i];
j=j+1;
end
Qxplot (1) = 0;
for i=1:N
Qxplot(i+1) = Qx(i);
end
Qyplot (1) = 0;
for i=1:N
Qyplot(i+1) = Qy(i);
end
Qzplot (1) = 0;
for i=1:N
Qzplot(i+1) = Qz(i);
end
Gradiente de comprimentos relacionado com
os elementos
Lplot2 (1) = 0;
for i=1:(N)
Lplot2(i+1) = Lplot(i);
End
Plotando a estrutura
plot3(Qx,Lplot,Qz,Lplot,Qy,Lplot);
Plotando as estruturas seqüencialmente
%
% plot(Qxplot'+N,Lplot2','-ob','markersize',2)
% axis equal;
% Grid on
% title('Estrutura Deformada')
% xlabel('x(m)')
% ylabel('y(m)')
% Hold on
% Plotando somente uma estrutura
plot3(Qxplot',Qyplot',Lplot2','-ob','markersize',4)
axis equal;
Grid on
138
APÊNDICE D
Código fonte do MATLAB do programa:
Análise Estática Não Linear
disp ('Cálculo das Forças');
disp ('Cálculo não linear em X (gdls_livres -5 ) e em Y
(gdls_livres -3 )');
Qx=0;
% Vetor das forças Aplicadas (nos livres)
Pa=0 ;
% Vetor das forças Aplicadas (nos livres)
for i=1:gdls_livres
Pa(i) = 0;
end
% Pa(37)=0.49 ;% X (Em newtons) gdls_livres-5
% Pa(38)=2.2 ;% Z (n vertical) gdls_livres-4
% Pa(39)=0.5 ;% Y gdls_livres-3
Pa(37)=0.26 ;% X (Em newtons) gdls_livres-5
Pa(38)=17.14*Pa(37) ;% Z (n vertical) gdls_livres-4
Pa(39)=0 ;% Y gdls_livres-3
Processo P-Delta
Heqx = zeros (n*6,1);
Heq = zeros (n*6,1);
Pyyj =zeros (n*6,1);
Pa=Pa';
Pa_0 = Pa;
Cálculo do P- Delta
% Vetor de carregamentos na vertical
j=2;
Pyj = zeros (n*6,1);
for i=1:(6*(N+1))
if j<=(6*N)-2
Pyj(j) = Pa(j);%9.81*M(i) + Pa(j); % Onde 9.81 * M é
o peso de cada elemento
Pyi(i) = Pa(j);%9.81*M(i) + Pa(j);
Pyyj(j) =0;%9.81*M(i); % Vetor apenas dos pesos
j=j+6;
end
end
% Inserindo o peso no vetor de carregamentos
Pa = Pa + Pyyj;
Pa_1 = Pa;
% Isolando os carregamentos em X
j=1;
Pxj = zeros (n*6,1);
for i=1:(6*(N+1))
if j<=(6*N)-2
Pxj(j) = Pa(j); % Onde 9.81 * M é o peso de cada
elemento
Pxi(i) = Pa(j);
j=j+6;
end
end
Número de Interações
Nn = 70;
f(1)=0;
for ik=1:Nn
% Vetor dos descolamentos Prescritos (nos presos)
Qb = [ 0 0 0 0 0 0]';
%Número de Graus de Liberdade
sPa=size(Pa); % Tamanho do vetor de forças
aplicadas
na=sPa(1); %Número de Graus de Liberdade
Livres
sQb=size(Qb); % Tamanho do vetor de
descolamentos preescritos
nb=sQb(1); %Número de Graus de Liberdade
Prescritos
nt=na+nb; %Número Total de Graus de
Liberdade
Aplicacao das Condicoes de Contorno
Kaa=Ks(1:na,1:na); %livres
Kab=Ks(1:na,na+1:nt);
Kba=Kab';
Kbb=Ks(na+1:nt,na+1:nt); %prescritos
Pef=Pa-Kab*Qb;
Solucao das Equacoes para os glds Livres
Qa=Kaa\Pef;
Reacoes de Apoio
Pb=Kba*Qa+Kbb*Qb;
Vetor Completo dos Deslocamentos
em Coordenadas Globais
Q=[Qa
Qb ];
Cálculo da força virtual (H) em x causada pela não
linearidade geométrica
for cc=1:N
Heqx(cc,1) = Pyi(cc) * (Qx(cc))/L_t(cc); % %
escrevendo K continuamente x1 x2 x3
Heqx(7)
end
% Escrevendo o vetor H em coordenadas J x1 0 0 0 0
0 0 x2 0 0 0
j=1;
for i=1:(6*(N+1))
if j<=(6*N)-2
Heq(j) = Heqx(i); % Onde 9.81 * M é o peso de cada
elemento
j=j+6;
end
end
Atualizando o carregamento em X
% Pxj = Heq + Pxj;
Somando os esforços obtidos ao vetor de
carregamentos ja existente;
Pa = Pa_1 + Heq;
Obtendo os vetores de deformação de cada ponto
for jj=1:7
fx(ik,jj) = Qx(jj); % Somando a def a def
original
end
139
APÊNDICE E
Código fonte do MATLAB do programa:
Análise Dinâmica Linear
Análise Modal utilizando MEF
A= inv(Maa)*Kaa;
[autovetores,autovalores]=eig(A);
for c=1:na
autoval (c,1) = autovalores(c,c);
end
lambda = min(min(autoval));
Vetor de frequencias naturais
w = sqrt (lambda);
Wc = w/(2*pi);
Calculando os autovetores ou modos naturais que
correspondem a cada freqüência
i=1;
% Freq natural do modo 1 2 e 3
E = Kaa - (w^2 * Maa);
Vetor "deslocamentos modais
Phi = zeros (na,1);
ii=gdls_livres-5;
Phi(ii)=1;
Aplicando condição de contorno do lado direito da
equação
for n=1:gdls_livres
Phi(n)= Phi(n) - (E(n,ii)*1);
end
Phi(ii)=1;
Aplicando a condição de contorno a matriz T -lado
direito
for n=1:gdls_livres
E(ii,n)=0;
E(n,ii)=0;
end
E(ii,ii)=1;
EE =E ;
Vetor dos modos de vibrar
Phir (:,i) = inv(E) * (Phi);
j=(N*3)-2;
j=1
y(1)=0;
z = 1;
x(1)=0;
y(1)=0;
for i=1:N
x(i+1) = Phir(j,1);
y(i+1) = y(z)+L(i);
z=z+1;
j=j+6;
end
Massa generalizada para o primeiro modo de
vibrar
M_gen = (Phir)' * Maa * Phir;
Rigidez generalizada para o primeiro modo de
vibrar
K_gen = (Phir)' * Kaa * Phir;
Amortecimento generalizadp para o primeiro modo
de vibrar
Xsi=0.05;
C_gen = 2*Xsi*M_gen*w;
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