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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
RIGIDEZ DE HIPERSUPERFÍCIES EM CP
n
EMERSON SILVA DE SOUSA
MANAUS
2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
EMERSON SILVA DE SOUSA
RIGIDEZ DE HIPERSUPERFÍCIES EM CP
n
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Matemática da Universidade
Federal do Amazonas, como requisito final para
obtenção do título de Mestre em Matemática,
área de concentração em Geometria Diferencial.
Orientador: Prof. Dr. José Kenedy Martins
MANAUS
2009
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EMERSON SILVA DE SOUSA
RIGIDEZ DE HIPERSUPERFÍCIES EM CP
n
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Matemática da Universidade
Federal do Amazonas, como requisito final para
obtenção do título de Mestre em Matemática,
área de concentração em Geometria Diferencial.
Manaus, 09 de Dezembro de 2009.
BANCA EXAMINADORA
......................................................................
Prof. Dr. José Kenedy Martins, Presidente
Universidade Federal do Amazonas - UFAM
......................................................................
Prof. Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy, Membro
Universidade Federal do Amazonas - UFAM
......................................................................
Prof. Dr. José Miguel Martins Velos o, Membro
Universidade Federal do Pará - UFPA
Se o SENHOR não edificar a casa, em vão trabalham os
que a edificam; se o SENHOR não guardar a cidade, em
vão vigia a sentinela. Inútil vos será levantar de madru-
gada, repousar tarde, comer o pão que penosamente
granjeastes; aos seus amados ele o dá enquanto dormem.
Salmos 127:1-2
AGRADECIMENTOS
À DEUS, o autor e sustentador da vida; que "faz forte ao cansado e multi-
plica as forças ao que não tem nenhum vigor"(Is 40:29 ).
À CRISTO JESUS, razão da minha e xistência.
Aos meus pais Antonio Mota e Maria de Lourdes pelo amor que me deram.
À minha querida esposa Lademe e minha filha Larissa, presentes de DEUS
na minha vida.
Ao amigo Elzimar Rufino, companheiro de lutas. E a todos os colegas que
contribuiram para que eu pudesse chegar até aqui.
Aos professores do mestrado pelos ensinamentos preciosos transmitidos du-
rante o curso.
Ao professor Mário Salvatierra por tudo.
Ao professor José Kenedy Martins pela dedicada e paciente orientação em
cada etapa deste trabalho.
À UFAM que me proporcionou a realização de um sonho.
À FAPEAM pelo apoio financeiro.
RESUMO
RIGIDEZ DE HIPE RSUPERFÍCIES EM CP
n
Neste trabalho, apresentamos uma nova demonstração obtida por J.K.
Martins em 1999, do Teorema de Rigidez de Hipersuperfícies em CP
n
, re-
sultado primeiramente provado po r Y.W. Choe, H. S. Kim, I.B. Kim e R.
Takagi em 1996, usando o método de Cartan. Mostraremos que a Rigidez de
hipersuperfícies em CP
n
só depende, em geral, da invariância do campo de
Hopf, isto é, se g é uma imersão isométrica de M em CP
n
e se g leva campos
de Hopf de M em campos de Hopf de g(M), então g é a restrição de uma
isometria holomorfa de CP
n
.
ABSTRACT
RIGIDITY OF HIPERSURFACES IN CP
n
In this work, we presented a new demonstration obtained by J.K.
Martins in 1999, of the Theorem of Rigidity of hypersurfaces in CP
n
, resulted
firstly proven by Y.W. Choe, H. S. Kim, I.B. Kim and R. Takagi, in 1996,
using the method of Cartan. We will show that the hipersuperfícies Rigidity
in CP
n
only depends, in general, of the invariance of the Hopf vector field,
that is, if g is an isometric immersion of M in CP
n
and if g takes Hopf
vector field of M in Hopf vector field o f g (M), then g is the restriction of a
holomorphic isometry of CP
n
.
Sumário
Introdução 1
1 Generalidades 3
1.1 Variedades Diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Campos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conexões Afins e Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Preliminares e Fundamentos 15
2.1 Equações Fundamentais de uma Imersão Isométrica . . . . . . 15
2.2 Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Estrutura Complexa em Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . 24
2.4 Estrutura Complexa de CP
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Rigidez de Hipersuperfícies em CP
n
34
3.1 Conceitos Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Teorema da Rigidez de Hipersuperfícies em CP
n
. . . . . . . . 42
Referências Bibliográficas 48
Introdução
Um resultado clássico de rigidez de uma hipersuperfície no espaço real é
dado pelo
Teorema 3.1.1. Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n, e
sejam f e g imersões isométricas de M em R
n+1
com campos de vetores
unitários normais ξ
f
e ξ
g
, respectivamente. Se as segundas formas funda-
mentais α
f
e α
g
de f e g (com relação a ξ
f
e ξ
g
), respectivamente, coincidem
em M, então existe uma isometria τ de R
n+1
tal que f = τ ◦ g.
Que nos leva ao seguinte resultado, devido a Beez [1] e Killing [5]:
Corolário 3.1.1. Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n,
conexa e orientável, e sejam f e g imersões isométricas de M em R
n+1
. Se o
posto da segunda forma de M pela imersão isométrica f é maior ou igual a
3 em todos os pontos de M, então existe uma isometria τ de R
n+1
tal que
f = τ ◦ g.
Em 1973, Taka gi mostrou um teorema de rigidez para hipersuperfícies
do espaço projetivo complexo que é o equivalente do famoso teorema de
rigidez para hipersuperfície do espaço real visto acima, isto é,
Teorema 3.1.2. Se M é uma hipersuperfície de CP
n
tal que sua segunda
forma fundamental A tenha posto maior ou igual a 3 em todos os pontos de
1
M; e f uma imersão isométrica de M em CP
n
(n ≥ 3), então,
(i) φ =
ˆ
φ se, e somente se A =
ˆ
A
(ii) Se A =
ˆ
A então existe uma isometria holomorfa F de CP
n
tal que
F |
M
= f.
Mais recentemente (1996) esse resultado foi melhorado por Takagi et al,
mostrando que a Rigidez de hipersuperfícies em CP
n
só depende, em geral,
da invariância do campo de Hopf.
Mais precisamente temos
Teorema 3.2.1. Seja M uma hipersuperfície de CP
n
tal que sua segunda
forma fundamental A tenha posto maior ou igual a 3 em todos os pontos de
M e seja g uma imersão isométrica de M em CP
n
. Se g leva campos de Hopf
de M em campos de Hopf de g(M), isto é, U =
ˆ
U, então g é a restrição de
uma isometria holomorfa de CP
n
.
Para a demonstração desses resultados Takagi usou a teoria das formas
diferenciais como ferramenta principal. Em 1999, J.K. Martins em sua tese
intitulada Hopf Hypersurfaces, desenvolveu outra maneira para provar o teo-
rema da Rigidez de Hipersuperfícies em CP
n
utilizando o mesmo método
usado no caso de Hipersuperfícies de S
6
, o u seja, as ferramentas da geome-
tria clássica.
O objetivo principal desse trabalho é dar uma prova detalhada do teorema
da Rigidez de hipersuperfícies em CP
n
conforme J.K. Martins.
2
Capítulo 1
Generalidades
Neste capítulo apresentaremos os conceitos fundamentais da geometria
Riemanniana que serão necessários para o desenvolvimento desse trabalho.
As demonstrações omitidas podem ser encontradas em [2] e [4].
1.1 Variedades Diferenciáveis
Definição 1.1 .1. Uma Variedade Diferenciável de dimensão n é um par
(M, F) onde M é um conjunto e F é uma família de aplicações biunívocas
x
α
: U
α
⊂ R
n
→ M de abertos U
α
de R
n
em M tais que:
(1 ) M =
α
x
α
(U
α
);
(2 ) Para todo par α, β, com x
α
(U
α
) ∩ x
β
(U
β
) = W = ∅, os conjuntos
x
−1
α
(W ) e x
−1
β
(W ) são abertos em R
n
e as aplicações x
−1
β
◦x
α
e x
−1
α
◦x
β
aí definidas são diferenciáveis.
(3 ) A família {(U
α
, x
α
)} é máxima relativamente às condições (1 ) e (2 ),
isto é, qualquer outra família está contida nesta.
3
Dados quaisquer par (U
α
, x
α
) e p ∈ x
α
(U
α
) dizemos que (U
α
, x
α
) é uma
Parametrização ou Sistema de Coordenadas de M em p e x
α
(U
α
) é
chamada uma Vizinhança Coordenada em p. Uma família {(U
α
, x
α
)}
satisfazendo (1 ) e (2 ) é chamada uma Estrutura Diferenciável em M.
Exemplo 1. O Espaço Euclidiano R
n
, com a estrutura diferenciável dada
pela identidade é um exemplo trivial de variedade diferenciável.
Definição 1.1.2 . Sejam M e N va riedades diferenciáveis de dimensõ es n
e m, respectivamente. Uma aplicação ϕ : M → N é Diferenciável em
p ∈ M se dada uma parametrização y : V ⊂ R
m
−→ N em ϕ(p) existe
uma parametrização x : U ⊂ R
n
−→ M em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V ) e a
aplicação
y
−1
◦ ϕ ◦x : U ⊂ R
n
→ R
m
é diferenciável em x
−1
(p). A aplicação ϕ é diferenciável num aberto de M se
é diferenciável em todos os pontos desse aberto.
Definição 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciável. Uma aplicação
diferenciável α : (−, ) → M é chamada uma Curva (diferenciável) em
M.
Definição 1.1.4. Suponha que α(0) = p ∈ M, e seja D(M) o conjunto das
funções de M diferenciáveis em p. Chama-se o Vetor Tangente à curva α
em t = 0 para a função α
(0) : D(M) → R dada por
α
(0)f =
d(f ◦ α)
dt
|
t=0
, f ∈ D(M).
Um vetor tangente em p é o vetor tangente em t = 0 de alguma curva
α : (−, ) → M com α(0) = p.
4
Definição 1.1.5. O Espaço Tangente a uma variedade M
n
em um ponto
p, representado por T
p
M, é o co njunto de todos os vetores tangentes às curvas
diferenciáveis pertencentes a M passando por p. Mostra-se que o conjunto
T
p
M é um espaço vetorial de dimensão n e que a escolha de uma parametriza-
ção x : U → M em p determina uma base associada
(
∂
∂x
1
)
0
, ..., (
∂
∂x
n
)
0
em
T
p
M, e que a estrutura linear nesse espaço, assim definida, não depende da
parametrização x.
Exemplo 2. O conjunto T M = {(p, v); p ∈ M, v ∈ T
p
M}, onde M é uma
variedade diferenciável, munido com a estrutura diferenciável {(U
α
×R
n
, γ
α
)}
sendo γ
α
: U
α
× R
n
−→ T M definida por:
γ
α
(x
α
1
, ..., x
α
n
, u
1
, ..., u
n
) = (x
α
(x
α
1
, ..., x
α
n
),
n
i=1
u
i
∂
∂x
α
i
),
(u
1
, ..., u
n
) ∈ R
n
, é chamado Fibrado Tangente de M. Verifica-se que T M
munido com a estrutura diferenciável acima é uma variedade diferenciáve l
(de dimensão 2n).
Definição 1.1.6. Sejam M e N variedades diferenciáveis de dimensões n e
m, respectivamente, e seja ϕ : M → N uma aplicação diferenciável. Para
cada p ∈ M e cada v ∈ T
p
M, escolha uma curva diferenciável α : (−, ) → M
tal que α(0) = p, α
(0) = v. A aplicação dϕ
p
: T
p
M → T
ϕ(p)
N é chamada a
Diferencial de ϕ em p, dada por dϕ
p
(v) = (ϕ ◦ α)
(0).
Vemos que dϕ
p
é uma aplicação linear que não depende da escolha de α.
Definição 1.1.7. Sejam M e N variedades diferenciáveis. Uma Aplicação
ϕ : M −→ N é um Difeomorfismo se ela é diferenciável, bijetiva e sua
inversa ϕ
−1
é diferenciável. ϕ é um Difeomorfismo Local em p se existem
vizinhanças U de p e V de ϕ(p) tais que ϕ : U −→ V é um difeomorfismo.
5
Definição 1.1.8. Seja M uma variedade diferenciável. Diz-se que M é Ori-
entável se M admite uma estrutura diferenciável {(U
α
, x
α
)} tal que para
todo par α, β, com x
α
(U
α
) ∩ x
β
(U
β
) = W = ∅, o jacobiano da diferencial da
mudança de coordenadas x
−1
β
◦x
α
tem determinante positivo. Caso contrário,
diz-se que M é não orientável.
Exemplo 3. A esfera S
n
=
(x
1
, ..., x
n+1
) ∈ R
n+1
;
n+1
i=1
x
2
i
= 1
⊂ R
n+1
é
orientável.
1.2 Campos de Vetores
Definição 1.2.1. Um Campo de Vetores X em uma variedade diferen-
ciável M é uma aplicação do tipo
p ∈ M → X(p) ∈ T
p
M,
isto é, X é uma aplicação de M no fibrado tangente T M. O campo é difer-
enciável se a aplicação X : M → T M é diferenciável.
Denotaremos por X(M) o conjunto dos campos vetoriais diferenciáveis em
M.
Considerando uma parametrização de M, digamos (U, ϕ), é possível escrever
o vetor X(p) na base {
∂
∂x
i
|
p
} de T
p
M da seguinte maneira
X(p) =
n
i=1
a
i
(p)
∂
∂x
i
|
p
,
onde cada a
i
é uma função real definida em ϕ(U). É claro que X é difer-
enciável se, e somente se, as funções a
i
são diferenciáveis para alguma (e,
portanto, para qualquer) parametrização.
6
Um campo de vetores X de M pode ser interpretado como sendo uma
aplicação (derivação) do tipo
f ∈ D(M) → Xf ∈ D(M), dada por (Xf)(p) =
i
a
i
(p)
∂f
∂x
i
(p),
onde D(M) = {f : M → R; f ∈ C
∞
}.
Com esta interpretação, dados campos de vetores X, Y de M, podemos
considerar expressões do tipo X(Y f ) e Y (Xf) e obter o seguinte resultado:
Lema 1.2.1. Sejam X e Y campos diferenciáveis de vetores em uma
variedade diferenciável M. Então existe um único campo vetorial [X, Y ],
chamado Colchete, tal que ∀f ∈ D(M), [X, Y ]f = X(Y f) − Y (Xf).
A operação colchete possui as seguintes propriedades:
Proposição 1.2.1. Se X, Y e Z são campo s diferenciáveis em M, a, b são
números reais e f, g são funções diferenciáveis, então:
(1 ) [X, Y ] = −[Y, X] (anticomutatividade)
(2 ) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z] (linearidade)
(3 ) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 (identidade de Jacobi)
(4 ) [f X, gY ] = fg[X, Y ] + fX(g)Y − gY (f)X.
1.3 Variedades Riemannianas
Definição 1.3.1. Uma Métrica Riemanniana em uma variedade difer-
enciável M é uma correspondência que associa a cada ponto p de M um
7
produto interno ,
p
(isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida)
no espaço tangente T
p
M, que varia diferenciavelmente no seguinte sentido:
Dados campos de vetores X, Y em M, a aplicação p ∈ M → X(P ), Y (p)
p
∈
R é de classe C
∞
.
De modo equivalente é dizer que as funções g
ij
definidas em uma vizinhaça
coordenada V de M pela expressão
g
ij
(p) =
∂
∂x
i
|
p
,
∂
∂x
j
|
p
p
são funções de classe C
∞
em V.
Definição 1.3.2. Uma variedade M munida de uma métrica Riemanniana
é chamada uma Variedade Riemanniana.
Proposição 1.3.1. Toda variedade diferenciável M possui uma métrica Rie-
manniana.
Exemplo 4. O espaço Euclidiano R
n
munido do produto interno usual é um
exemplo trivial de uma variedade Riemanniana.
1.4 Conexões Afins e Riemannianas
Definição 1.4.1. Seja M uma variedade diferenciável. Uma Conexão Afim
∇ em M é uma aplicação
(X, Y ) ∈ X(M) × X(M) → ∇
X
Y ∈ X(M)
que possui as seguintes propriedades:
(1 ) ∇
fX+gY
Z = f∇
X
Z + g∇
Y
Z,
8
(2 ) ∇
X
(Y + Z) = ∇
X
Y + ∇
X
Z,
(3 ) ∇
X
(fY ) = X(f)Y + f∇
X
Y, onde X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M ).
Proposição 1.4.1. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão
afim ∇. Então existe uma única correspondência que associa a um campo
vetorial V ao longo de uma curva diferenciável c : I → M um outro campo
vetorial
DV
dt
ao longo de c, denominada Derivada Covariante de V ao
longo de c, tal que:
(1 )
D
dt
(V + W ) =
DV
dt
+
DW
dt
, onde W é um campo de vetores ao longo de c.
(2 )
D
dt
(fV ) =
df
dt
V + f
DV
dt
, onde f é uma função diferenciável em I.
(3 ) Se V é induzido por um campo de vetores Y ∈ X(M), isto é, V (t) =
Y (c(t)), então
DV
dt
= ∇
dc/dt
Y .
Definição 1.4.2. Um campo vetorial V ao longo de uma curva c : I → M
é chamado Paralelo quando
DV
dt
= 0, para todo t ∈ I.
Proposição 1.4.2. Sejam c : I → M uma curva diferenciável e V
0
um
vetor tangente a M em c(t
0
), t
0
∈ I (i.e. V
0
∈ T
c(t
0
)
M). Então existe um
único campo de vetores paralelo V ao longo de c, tal que V (t
0
) = V
0
; V (t) é
chamado o Transporte Paralelo de V (t
0
) ao longo de c.
Definição 1.4.3. Uma curva γ : I → M em uma variedade M munida
de uma conexão afim ∇ é dita uma Geodésica se para to do t ∈ I temos
Dγ
dt
= 0.
Definição 1.4.4. Seja M uma variedade diferenciável com uma conexão afim
∇ e uma métrica Riemanniana , . A conexão ∇ é dita Compatível com
a Métrica , , quando para toda curva diferenciável c em M e quaisquer
9
pares de campos de vetores paralelos P e P
ao longo de c, tivermos P, P
=
constante.
Proposição 1.4.3. Seja M uma variedade Riemanniana . Uma conexão afim
∇ em M é compatível com a métrica se, e somente se, para todo todo par
V e W de campos de vetores ao longo de uma curva diferenciável c : I → M
tem-se
d
dt
V, W =
DV
dt
, W
+
V,
DW
dt
, t ∈ I.
Corolário 1.4.1. Uma conexão afim ∇ em uma variedade Riemanniana M
é compatível com a métrica se, e somente se,
XY, Z = ∇
X
Y, Z+ Y, ∇
X
Z, ∀X, Y, Z ∈ X(M).
Definição 1.4.5. Uma conexão afim ∇ em uma variedade diferenciável M
é dita Simétrica quando
∇
X
Y −∇
Y
X = [X, Y ], ∀X, Y ∈ X(M).
Observação 1.4.1. Escolhendo um sistema de cordenadas (x
1
, ..., x
n
) em
torno de p e escrevendo
X =
i
x
i
X
i
e Y =
j
y
j
Y
j
,
o fato de ser ∇ simétrica implica que para todo i, j = 1, ..., n,
∇
X
i
X
j
− ∇
X
j
X
i
= [X
i
, X
j
] = 0, X
i
=
∂
∂x
i
.
Teorema 1.4.1. (Levi-Civita). Dada uma variedade Rie manniana M,
existe uma única conexão afim ∇ em M satisfazendo as condições:
(1 ) ∇ é simétrica.
(2 ) ∇ é compatível com a métrica Riemanniana.
10
A conexão dada pelo teorema acima é denominada Conexão de Levi-
Civita ou Conexão Riemanniana de M.
1.5 Curvatura
Definição 1.5.1. Seja M uma variedade riemanniana. A Curvatura R
de M é uma correspondência que associa a cada par X, Y ∈ X(M) uma
aplicação R(X, Y ) : X(M) −→ X(M), dada por
R(X, Y )Z = ∇
X
∇
Y
Z − ∇
Y
∇
X
Z − ∇
[X,Y ]
Z, Z ∈ X(M),
onde ∇ é a conexão riemanniana de M.
Exemplo 5. Seja M = R
n
, então R(X, Y )Z = 0 para todo X, Y, Z ∈ X(R
n
).
Com efeito, seja Z = (z
1
, ..., z
n
), então ∇
X
Z = (Xz
1
, ..., Xz
n
) e ∇
Y
Z =
(Y z
1
, ..., Y z
n
). Logo
∇
Y
∇
X
Z = (Y Xz
1
, ..., Y Xz
n
),
∇
X
∇
Y
Z = (XY z
1
, ..., XY z
n
),
∇
[X,Y ]
Z = ([X, Y ]z
1
, ..., [X , Y ]z
n
).
Portanto R(X, Y )Z = ∇
X
∇
Y
Z − ∇
Y
∇
X
Z − ∇
[X,Y ]
Z = 0.
Podemos p ensa r em R co mo uma maneira de medir o quanto uma variedade
M deixa de ser euclidiana.
Proposição 1.5.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M goza
das seguintes propriedades:
11
(1 ) R é bilinear em X(M) × X(M), isto é,
R(fX
1
+ gX
2
, Y
1
) = f R(X
1
, Y
1
) + gR(X
2
, Y
1
),
R(X
1
, fY
1
+ gY
2
) = f R(X
1
, Y
1
) + gR(X
1
, Y
2
),
onde f, g ∈ D (M ) e X
1
, X
2
, Y
1
, Y
2
∈ X(M).
(2 ) Para todo par X, Y ∈ X(M), o operador curvatura R(X, Y ) : X(M) →
X(M) é linear, isto é,
R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )Z + R(X, Y )W,
R(X, Y )fZ = fR(X, Y )Z,
com f ∈ D(M) e Z, W ∈ X(M).
(3 ) (Identidade de Bianchi) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.
Proposição 1.5.2. Para todo X, Y, Z, T ∈ X(M) e fazendo a identificação
R(X, Y )Z, T = (X , Y, Z, T ), são válidas as seguintes relações:
(1 ) (X, Y, Z , T ) + (Y, Z , X, T ) + (Z, X, Y, T ) = 0,
(2 ) (X, Y, Z , T ) = −(Y, X, Z, T ),
(3 ) (X, Y, Z , T ) = −(X, Y, T, Z),
(4 ) (X, Y, Z , T ) = (Z, T, X, Y ).
Definição 1.5.2. Sejam M uma variedade Riemanniana, p ∈ M, σ ⊂ T
p
M
um subespaço bi-dimensional do espaço tangente T
p
M e {X, Y } uma base
qualquer de σ. A Curvatura Seccional de σ em p, K(σ) = K(X, Y ), é por
definição
K(X, Y ) =
R(X, Y )X, Y
|X ∧ Y |
2
, (1.1)
12
onde |X ∧ Y | =
|X|
2
|Y |
2
− X, Y
2
, representa a área do paralelogramo
bi-dimensional determinado pelos vetores X, Y ∈ σ.
Verifica-se que esta definição não depende das escolhas dos geradores
X, Y ∈ σ. De fato, se X = aX + bY e Y = cX + dY são outros geradores de
σ, então um cálculo direto nos mostra que
R(X,Y )X,Y
X
2
Y
2
−X,Y
2
=
(ad−bc)
2
R(X,Y )X,Y
(ad−bc)
2
(X
2
Y
2
−X,Y
2
)
=
R(X,Y )X,Y
(X
2
Y
2
−X,Y
2
)
o que demostra a afirmação acima.
Proposição 1.5.3. Seja M uma variedade Riemanniana e p um ponto de
M. Defina uma aplicação trilinear R
: T
p
M × T
p
M × T
p
M → T
p
M por
R
(X, Y, W ), Z = X, W Y, Z − Y, W X, Z,
para todo X, Y, Z, W ∈ T
p
M. Então M tem curvatura seccional constante c
se, e somente se, R = cR
, onde R é a curvatura de M.
Exemplo 6. Entre as variedades Riemannianas, aquelas de curvatura sec-
cional constante c são as mais simples. Podemos citar como exemplo, o
Espaço Euclidiano R
n
com c = 0, a Esfera Unitária S
n
com c = 1 e o
Espaço Hiperbólico H
n
que tem curvatura seccional c = −1.
Definição 1.5.3. Um Tensor T em uma variedade riemanniana é uma apli-
cação multilinear T : X(M) × ... × X(M)
r−f atores
→ D(M).
Isto quer dizer que, dados Y
1
, ..., Y
r
∈ X(M), T (Y
1
, ..., Y
r
), é uma função
diferenciável em M, e que T é linear em cada arg umento, isto é,
T (Y
1
, ..., fX + gY, ..., Y
r
) = f T (Y
1
, ..., X , ..., Y
r
) + gT (Y
1
, ..., Y, ..., Y
r
),
para todo X, Y ∈ X(M), f, g ∈ D(M).
13
Definição 1.5.4. Seja T um tensor de ordem r. A Diferencial Covariante
∇T de T é um tensor de ordem (r + 1) dada por
∇T (Y
1
, ..., Y
r
, Z) = Z(T (Y
1
, ..., Y
r
)) −T (∇
Z
Y
1
, ..., Y
r
) −... −T (Y
1
, ..., ∇
Z
Y
r
).
Para cada Z ∈ X(M), a Derivada Covariante ∇
Z
T de T em relação
a Z é um tensor de ordem r dado por
∇
Z
T (Y
1
, ..., Y
r
) = ∇T (Y
1
, ..., Y
r
, Z). (1.2)
14
Capítulo 2
Preliminares e Fundamentos
2.1 Equações Fundamentais de uma Imersão
Isométrica
Definição 2.1.1. Sejam M
n
e N
m
variedades diferenciáveis. Uma a plicação
diferenciável ϕ : M −→ N é dita uma Imersão se dϕ
p
: T
p
M −→ T
ϕ(p)
N
é injetiva para todo p ∈ M. Se, além disso, ϕ é um homeo morfismo sobre
ϕ(M) ⊂ N, onde ϕ(M) tem a topologia induzida p o r N, diz-se que ϕ é um
Mergulho. Se M ⊂ N e a inclusão i : M → N é um mergulho, diz-se que M
é uma Subvariedade de N. Se ϕ : M −→ N é uma imersão, então n ≤ m,
neste caso a diferença m − n é chamada a Codimensão da imersão ϕ.
Proposição 2.1.1. Seja ϕ : M
n
−→ N
m
uma imersão da variedade M na
variedade N. Para todo p ∈ M, existe uma vizinhança U ⊂ M de p tal que
a restrição ϕ|
U
é um mergulho.
A Proposição 2.1.1 nos diz que to da imersão é localmente um mergulho.
Definição 2.1.2. Seja ϕ : M
n
→ M
n+m
uma imersão de uma variedade
diferenciável M em uma variedade Riemanniana M com métrica ,
M
. Diz-
15
se que ϕ é Isométrica se
X, Y
M
= dϕ
p
(X), dϕ
p
(Y )
M
, ∀p ∈ M, X, Y ∈ T
p
M.
Sendo a imersão ϕ : M → M localmente um mergulho (Proposição 2.1.1),
podemos identificar um aberto U de M com ϕ(U), e dizer que ϕ é localmente
a aplicação inclusão. Mais ainda, podemos considerar U como uma subvar-
iedade de M. Em particular, estamos identificando p ∈ U com ϕ(p) ∈ ϕ(U).
Assim, o espaço tangente de M em p se torna um subespaço do espaço tan-
gente a M, e o produto interno de T
p
M o decompõe em soma direta
T
p
M = T
p
M ⊕ (T
p
M)
⊥
,
onde (T
p
M)
⊥
é o complemento ortogonal de T
p
M em T
p
M. Assim, do modo
como definimos o fibrado tangente T M no Exemplo 1.5.3, podemos definir
também o Fibrado Normal
T M
⊥
= {(p, ξ); p ∈ M e ξ ∈ (T
p
M)
⊥
}.
Com respeito à decomposição acima temos as aplicações
( )
: T M → T M
( )
⊥
: T M → T M
⊥
chamadas Projeção Tangencial e Projeção Normal , respectivamente.
Agora, tomando campos vetoriais X, Y ∈ X(M), e sabendo que ϕ|
U
é
um mergulho, existem extensões locais X e Y de X e Y , respectivamente,
numa vizinhaça U de M. Então, se ∇ é a conexão Riemanniana de M,
faz sentido calcular ∇
X
Y ou ∇
X
Y . Verifica-se que ∇
X
Y não depende da
extensão Y de Y , logo por simplicidade de notação, denotaremos ∇
X
Y po r
16
∇
X
Y, lembrando que isso significa tomar uma extensão de Y para calcular a
derivada covariante. Assim, pela unicidade da conexão Riemanniana verifica-
se que
∇
X
Y = (∇
X
Y )
isto é, se X, Y ∈ X(M) então
∇
X
Y = ∇
X
Y + (∇
X
Y )
⊥
(2.1)
Definição 2 .1 .3. A Segunda Forma Fundamental da imersão ϕ é definida
como sendo a aplicação α : X(M) × X(M) → X(M)
⊥
dada por,
α(X, Y ) = (∇
X
Y )
⊥
Assim, para todo X, Y ∈ X(M), obtemos de (2.1) a Fórmula de Gauss
α(X, Y ) = ∇
X
Y −∇
X
Y.
Verifica-se que a segunda forma fundamental α é simétrica e bilinear sobre
D(M).
Sejam X ∈ X(M) e ξ ∈ X(M)
⊥
, temos
∇
X
ξ = (∇
X
ξ)
+ (∇
X
ξ)
⊥
.
e com relação à compenente normal, definimos
∇
⊥
X
ξ := (∇
X
ξ)
⊥
.
Note que para quaisquer X, Y ∈ X(M), f, g ∈ D(M) e ξ, η ∈ X(M)
⊥
,
temos que
∇
⊥
: X(M) × X(M)
⊥
→ X(M)
⊥
é por definição
∇
⊥
fX+gY
ξ = ∇
fX+gY
ξ − (∇
fX+gY
ξ)
.
17
Com isso, podemos concluir que ∇
⊥
é D(M)-linear em X e R-linear em ξ,
pois ∇ e ∇
são conexões afins. Ta mbém vemos que ∇
⊥
é compatível com
a métrica, ou seja, Xξ, η = ∇
⊥
X
ξ, η + ξ, ∇
⊥
X
η, onde , é a métrica de
M. Assim, ∇
⊥
é uma c onexão afim em T M
⊥
chamada Conexão Normal.
Com relação à componente tangencial, definimos a aplicação
A
ξ
: X(M) → X(M) dada por
A
ξ
(X) := −(∇
X
ξ)
.
Dado p ∈ M, verificamos que A
ξ
p
: T
p
M → T
p
M é um o perador linear
auto-adjunto. Com efeito, se X, Y ∈ X(M) e ξ ∈ X(M)
⊥
temos
A
ξ
X, Y = −(∇
X
ξ)
, Y = −∇
X
ξ, Y
= ξ, ∇
X
Y = ξ, ∇
X
Y + α(X, Y )
= ξ, α(X, Y ) = ξ, α(Y, X) = . . .
= A
ξ
Y, X.
Note que em particular, A
ξ
(X), Y = α(X, Y ), ξ. O operador A
ξ
é chamado
Operador de Weingarten ou po r abuso de linguagem, de Segunda Forma
Fundamental da imersão ϕ.
Assim, temos a Fórmula de Weingarten
∇
X
ξ = −A
ξ
(X) + ∇
⊥
X
ξ.
Agora, usando a s fórmulas de Gauss e Weingarten vamos obter as Equações
Fundamentais de uma Imersão Isométrica, a sab er, as equações de
Gauss, Codazzi e Ricci. Sejam X , Y, Z ∈ X(M), R, R os operadores cur-
vatura de M e M, respectivamente. Assim, temos
R(X, Y )Z = ∇
X
∇
Y
Z − ∇
Y
∇
X
Z − ∇
[X,Y ]
Z.
18
Das fórmulas de Gauss e Weingarten segue que
∇
X
∇
Y
Z = ∇
X
(∇
Y
Z + α(Y, Z)) = ∇
X
∇
Y
Z + ∇
X
α(Y, Z)
= ∇
X
∇
Y
Z + α(X, ∇
Y
Z) − A
α(Y,Z)
X + ∇
⊥
X
α(Y, Z).
De modo análogo, também temos
∇
Y
∇
X
Z = ∇
Y
∇
X
Z + α(Y, ∇
X
Z) − A
α(X,Z)
Y + ∇
⊥
Y
α(X, Z).
E por fim, também p ela fórmula de Gauss,
∇
[X,Y ]
Z = ∇
[X,Y ]
Z + α([X, Y ], Z).
Tomando a parte tangencial do operador curvatura de M temos
(R(X, Y )Z)
= ∇
X
∇
Y
Z − A
α(Y,Z)
X − ∇
Y
∇
X
Z + A
α(X,Z)
Y −∇
[X,Y ]
Z
= R(X, Y )Z + A
α(X,Z)
Y −A
α(Y,Z)
X.
Assim, para todo W ∈ X(M) obtemos a Equação de Gauss
R(X, Y )Z, W = R(X, Y )Z, W + α(X, Z), α(Y, W ) − α(Y, Z), α(X, W ).
(2.2)
Se K(X, Y ) = R(X, Y )Y, X e K(X, Y ) = R(X, Y )Y, X denotam as
curvaturas seccionais em M e M, respectivamente do plano gerado pelos
vetores ortonormais X, Y ∈ T
p
M, então a equação de Gauss será
K(X, Y ) − K(X, Y ) = α(X, X), α(Y, Y ) − α(X, Y )
2
. (2.3)
Tomando agora a componente normal de R (X, Y )Z temos,
(R(X, Y )Z)
⊥
= α(X, ∇
Y
Z)+∇
⊥
X
α(Y, Z)−α(Y, ∇
X
Z)−∇
⊥
Y
α(X, Z)−α([X, Y ], Z).
Usando o fato de que a conexão em M é simétrica e denotando (∇
⊥
X
α)(Y, Z)
por
(∇
⊥
X
α)(Y, Z) = ∇
⊥
X
α(Y, Z) − α(∇
X
Y, Z) − α(Y, ∇
X
Z)
19
obtemos a Equação de Codazzi
(R(X, Y )Z)
⊥
= (∇
⊥
X
α)(Y, Z) − (∇
⊥
Y
α)(X, Z). (2.4)
Finalmente consideremos o operador de curvatura normal
R
⊥
: X(M) × X(M) × X(M)
⊥
→ X(M)
⊥
definido por
R
⊥
(X, Y )ξ = ∇
⊥
X
∇
⊥
Y
ξ − ∇
⊥
Y
∇
⊥
X
ξ − ∇
⊥
[X,Y ]
ξ, ∀X, Y ∈ X(M), ξ ∈ X(M)
⊥
.
Usando as fórmulas de Gauss e Weingarten e tomando a projeção normal de
R(X, Y )ξ obtemos a Equação de Ricci
(R(X, Y )ξ)
⊥
= R
⊥
(X, Y )ξ + α(A
ξ
X, Y ) − α(X, A
ξ
Y )
ou
R(X, Y )ξ, η = R
⊥
(X, Y )ξ, η − [A
ξ
, A
η
]X, Y ,
onde η ∈ X(M)
⊥
, [A
ξ
, A
η
] = A
ξ
◦ A
η
− A
η
◦ A
ξ
e (∇
Y
A)(X, ξ) = ∇
Y
A
ξ
X −
A
ξ
∇
Y
X − A
∇
⊥
Y
ξ
X.
Se considerarmos uma imersão isométrica ϕ : M
n
→ M
n+m
c
, onde M
n+m
c
denota uma variedade de curvatura seccional constante c, então pela Proposição
(1.5.3) o tensor curvatura de M é dado por
R(X, Y )Z = c(X ∧ Y )Z = c(Y, ZX − X, ZY ), ∀X, Y, Z ∈ X(M).
Assim, as equações de Gauss, Codazzi e Ricci, são, respectivamente
(1 ) Equação de Gauss
R(X, Y )Z, W = c(X∧Y )Z, W +α(Y, Z), α(X, W )−α(X , Z), α(Y, W )
20
(2 ) Equação de Codazzi
(∇
X
A)(Y, ξ) = (∇
Y
A)(X, ξ)
(3 ) Equação de Ricci
R
⊥
(X, Y )ξ, η = [A
ξ
, A
η
]X, Y
para X, Y ∈ X(M) e ξ, η ∈ X(M)
⊥
.
Decorre dessa última equação que R
⊥
= 0 se, e somente se, [A
ξ
, A
η
] = 0
para todo ξ, η, ou seja, se e somente se para todo p ∈ M existe uma base de
T
p
M que diagonaliza simultaneamente todos os operadores A
ξ
.
Definição 2.1.4. Seja ϕ : M
n
→ M
n+1
uma imersão isométrica. Nesse caso
particular em que a codimensão da imersão é 1, ϕ(M) ⊂ M é denominada
uma Hipersuperfíci e. É imediato que para hipersuperfícies, dado p ∈ M
temos dim
R
((T
p
M)
⊥
) = 1, logo [A
ξ
, A
η
] = 0.
Exemplo 7. Considere uma hipersuperfície ϕ : M
n
→ M
n+1
. Assim, dados
p ∈ M , ξ ∈ (T
p
M)
⊥
e usando o fato de que a aplicação de Weingarten é auto-
adjunta, é possível determinar uma base ortonormal {e
1
, ..., e
n
} de T
p
M que
diagonaliza A
ξ
p
, isto é, A
ξ
p
= λ
i
e
i
com i ∈ {1, ..., n}. Deste modo a expressão
(2.3) se escreve como
K(e
i
, e
j
) − K(e
i
, e
j
) = λ
i
λ
j
.
O produto λ
1
λ
2
...λ
n
é chamado de Curvatura de Gauss-Kronecker de
M em p e coincide com a curvatura seccional no caso em que n = 2 e M = R
3
.
21
Numa hipersuperfície, se X, Y ∈ X(M) e ξ ∈ X(M)
⊥
é um campo veto-
rial unitário então α(X, Y ) = P roj
T
p
M
⊥
∇
X
Y = λξ, ou seja, α(X, Y ), ξ =
λ. Portanto,
∇
X
Y = ∇
X
Y + α(X, Y ) = ∇
X
Y + α(X, Y ), ξξ,
ou seja,
∇
X
Y = ∇
X
Y + A
ξ
X, Y ξ,
que é a fórmula de Gauss para as hipersuperfícies. Por outro lado, como
ξ é um campo vetorial unitário, temos que
∇
X
ξ, ξ = 0 logo ∇
⊥
X
ξ = 0 para
todo X ∈ X(M). Portanto, a fórmula de Weingarten torna-se
∇
X
ξ = −A
ξ
X.
Neste caso a equação de Ricci é identicamente nula e usando o fato de que
α(X, Y ) = A
ξ
X, Y ξ e tomando as componentes tangenciais de R(X, Y )Z
obtemos a equação de Gauss
R(X, Y )Z = (R(X, Y )Z)
⊥
+ (A
ξ
X ∧ A
ξ
Y )Z,
onde (A
ξ
X ∧ A
ξ
Y )Z = A
ξ
Y, ZA
ξ
X − A
ξ
X, ZA
ξ
Y.
e a equação de Codazzi, é
(R(X, Y )ξ)
⊥
= (∇
Y
A
ξ
)X − (∇
X
A
ξ
)Y,
onde por definição (∇
X
A
ξ
)Y := ∇
X
(A
ξ
Y ) − A
ξ
∇
X
Y.
Observação 2.1.1. Vimos acima que as equações de Gauss, Codazzi e Ricci
são satisfeitas para qualquer imersão isométrica ϕ : M
n
→ M
n+m
. O teo-
rema fundamental das subvariedades nos dá uma recíproca deste fato quando
M
n+m
= Q
n+m
c
, onde Q
n+m
c
denota a forma espacial de dimensão n + m e
22
curvatura constante c. Trata-se de uma variedade Riemanniana completa e
simplesmente conexa (n + m) − dimencional com curvatura seccional con-
stante c, isto é, o espaço Euclidiano R
n+m
, a esfera Euclidiana S
n+m
c
, ou o
espaço hiperbólico H
n+m
c
. Uma prova desse teorema pode ser vista em [6].
2.2 Fibrados Vetoriais
Definição 2.2.1. Sejam E e M variedades diferenciáveis e π : E → M uma
aplicação diferenciável. Dizemos que π : E → M é um Fibrado Vetorial
Diferenciável de p osto m, ou simplesmente Fibrado Vetorial , quando
para cada ponto p ∈ M tem-se,
(1 ) π
−1
(p) é um espaço vetorial real de dimensão m,
(2 ) Existe uma vizinhança U de p em M e um difeomorfismo ϕ : π
−1
(U) →
U ×R
m
cuja restrição a π
−1
(q) é um isomorfismo sobre {q}×R
m
para
cada q ∈ U.
Definição 2.2.2. Dado um fibrado vetorial π : E → M , para cada p ∈ M
chamamos o espaço vetorial E
p
= π
−1
(p) de Fibra de π sobre p. Uma
Seção Local sobre um conjunto aberto U ∈ M é uma aplicação diferenciável
ξ : M → E tal que π ◦ ξ = id
U
. Se U = M dizemos que ξ é uma Seção
Global , ou simplesmente, Seção de π. Denotaremos por Γ(π) o conjunto
das seções de π.
Observação 2.2.1. Dado e ∈ E existe uma seção ξ tal que ξ(π(e)) = e. De
fato, se e ∈ E temos π(e) = p ∈ M e, pela definição de fibrado vetorial, existe
uma vizinhança U ⊂ M de p e um difeomorfismo ϕ : π
−1
(U) → U × R
m
.
Note que ϕ(e) = (p, v
0
), onde v
0
∈ R
m
. Definindo η : U → U× → R
m
por
23
η(q) = (q, v
0
) e fazendo ξ : U → E como ξ(p) = ϕ
−1
◦ η, temos que ξ é
diferenciável e ξ ◦ π(e) = ϕ
−1
◦ η ◦ π(e) = ϕ
−1
◦ η(p) = e, como queríamos
encontrar. Em particular, isto mostra que Γ(π) é não vazio.
Exemplo 8. Seja T M = {(p, v
p
); p ∈ M, v
p
∈ T
p
M}. A aplicação π :
T M → M, dada por π(p, v
p
) = p, é um espaço fibrado vetorial de classe C
∞
,
chamado o espaço Fibrado Tangente a M. Assim, uma seção do espaço
fibrado tangente TM é um camp o de vetores X em M, que para todos os
efeitos, é uma aplicação que a cada p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ T
p
M.
Exemplo 9. Seja , uma métrica riemanniana em M
n
e N
m
⊂ M
n
uma
subvariedade de M. Dado p ∈ M, seja T
p
N
⊥
⊂ T
p
M o subespaço de vetores
normais a T
P
N; definimos ω(N) = {(p, v
p
); p ∈ N, v
p
∈ T
p
N
⊥
}. A aplicação
π : ω(N) → N, dada por π(p, v
p
) = p é um espaço fibrado vetorial, chamado
o espaço Fibrado Normal.
2.3 Estrutura Complexa em Espaços Vetoriais
Definição 2.3.1. Seja V um espaço vetorial real. Um homomorfismo linear
J : V → V satisfazendo J
2
= −I, onde I é a aplicação identidade em V , é
chamado de Estrutura Complexa em V .
Seja V um espaço vetorial real com uma estrutura complexa J. Podemos
definir o produto λX de um número complexo λ = a + ib e um elemento X
de V por
λX = (a + ib)X = aX + bJX.
Então podemos considerar V como um espaço vetorial sobre C.
24
Observação 2.3.1. Note que com relação às operações adição(usual) e mul-
tiplicação por um número complexo definida por (a + ib)v := av + bJv,
a + ib ∈ C e v ∈ V , V torna-s e um espaço vetorial sobre C, que será deno-
tado por V
J
, uma vez fixada a estrutura complexa J. Também, podemos
verificar que a dimensão real de V , ou seja, a dimensão de V como espaço
vetorial real, é par. De fato, seja {e
1
, ..., e
n
} uma base do espaço vetorial V
sobre C,então {e
1
, ..., e
n
, ie
1
, ..., ie
n
} é base de V sobre R pois,
n
j=1
a
j
e
j
+
n
j=1
ib
j
e
j
= 0 ⇒
n
j=1
(a
j
+ ib
j
)e
j
= 0
⇒ a
j
+ ib
j
= 0, ∀j
⇒ a
j
= b
j
= 0, ∀j.
Logo, dim
C
V = n, então dim
R
V = 2n.
Dado um espaço vetorial complexo de dimensão complexa n, seja J o
endomorfismo linear definido por JX = iX, para todo X ∈ V . Considerando
V como espaço vetorial real de dimensão 2n, então J é a estrutura complexa
de V .
Seja V um espaço vetorial real com uma estrutura complexa J. Então
podemos estender J a um endomorfismo linear complexo de V
C
= {X +
iY ; X, Y ∈ V }, também denotado por J, dado por
J(X + iY ) = JX + iJY.
Em um espaço vetorial real 2n-dimensional com estrutura complexa J,
existem elementos X
1
, ..., X
n
de V tal que {X
1
, ..., X
n
, JX
1
, ..., JX
n
} é uma
base de V .
Consideremos Z
k
=
1
√
2
(X
k
− iJX
k
) e Z
k
=
1
√
2
(X
k
+ iJX
k
), k = 1, ..., n.
25
Então {Z
1
, ...Z
n
, Z
1
, ...Z
n
} é uma base de V
C
, desde que, dimV
C
= dim
R
V =
2n e dado que o conjunto acima é linearmente independente.
Além disso,
J(Z
k
) = J
1
√
2
(X
k
− iJX
k
)
=
1
√
2
(JX
k
− iJ
2
X
k
)
=
1
√
2
(JX
k
+ iX
k
)
= iZ
k
, ∀k;
e,
J(Z
k
) = J
1
√
2
(X
k
+ iJX
k
)
=
1
√
2
(JX
k
+ iJ
2
X
k
)
=
1
√
2
(JX
k
− iX
k
)
= −iZ
k
, ∀k.
Assim, i e −i são os autovalores de J, correspondentes aos autovetores Z
k
e
Z
k
, resp ectivamente, para k = 1, ..., n, e portanto J é diagonalizável (i e −i
têm multiplicidade n).
Sejam V
(1,0)
= {Z ∈ V
C
; JZ = iZ}, e V
(0,1)
= {Z ∈ V
C
; JZ = −iZ}, os
autoespaços correspondentes aos autovalores i e −i respectivamente.
Proposição 2.3.1. Vale os seguintes itens
1. V
(1,0)
= {X − iJX; X ∈ V } e V
(0,1)
= {X + iJX; X ∈ V };
2. V
C
= V
(1,0)
⊕ V
(0,1)
.
Demonstração.
26
1. Para todo X − iJX ∈ {X − iJX; X ∈ V } temos que
J(X − iJX) = JX − iJ
2
X
= JX + iX
= i(X − iJX),
então X − iJX ∈ {Z ∈ V
C
; JZ = iZ}, e
{X − iJX; X ∈ V } ⊂ {Z ∈ V
C
; JZ = iZ}.
Seja Z ∈ {Z ∈ V
C
; JZ = iZ}, então Z ∈ V
C
e JZ = iZ, ou seja,
Z = X + iY e J(X + iY ) = i(X + iY ) ⇒ JX + iJY −iX + Y = 0 ⇒
−JX = Y e X = JY . Assim, Z = X + iY = X + i(−JX) = X −iJX,
isto é, Z ∈ {X − iJX; X ∈ V } e
{Z ∈ V
C
; JZ = iZ} ⊂ {X − iJX; X ∈ V }.
Logo,
V
(1,0)
= {Z ∈ V
C
; JZ = iZ} = {X − iJX; X ∈ V }.
De modo análogo temos
V
(0,1)
= {Z ∈ V
C
; JZ = −iZ} = {X + iJX; X ∈ V }.
2. Primeiro observe que para qualquer Z ∈ V
C
,
Z =
1
2
(Z − iJZ) +
1
2
(Z + iJZ),
com
1
2
(Z − iJZ) ∈ V
(1,0)
e
1
2
(Z + iJZ) ∈ V
(0,1)
. De fato
1
2
(Z − iJZ) =
1
2
(X + iY − iJ(X + iY ))
27
=
1
2
(X + iY − iJX + JY )
=
1
2
((X + JY ) − i(JX − Y ))
=
1
2
((X + X) − i(JX + JX))
= X − iJX,
analogamente
1
2
(Z + iJZ) = X + iJX.
Além disso, se Z ∈ V
(1,0)
∩ V
(0,1)
então JZ = iZ e JZ = −iZ, o que
implica que iZ = −iZ ⇔ Z = 0. Portanto Z ∈ V
(1,0)
∩ V
(0,1)
= {0},
logo V
C
= V
(1,0)
⊕ V
(0,1)
.
Seja M uma variedade diferenciável, indicaremos por T
C
M a complex-
ificação do fibrado tangente, ou seja, T
C
M = {X + iY ; X, Y ∈ T M}.
Como foi visto anteriormente, a extensão de J ao fibrado tangente com-
plexificado pode ser diagonalizada tendo i e −i como autovalores. Os au-
toespaços associados aos autovalores i e −i serão denotados por T
(1,0)
M e
T
(0,1)
M, respectivamente. Segue também que T
C
p
M = T
(1,0)
p
M ⊕ T
(0,1)
p
M,
onde T
(1,0)
p
M = {X − iJX; X ∈ T M} e T
(0,1)
p
M = {X + iJX; X ∈ T M}.
Definição 2.3.2. Seja V um espaço vetorial sobre C. Um Produto Interno
Complexo sobre V é uma aplicação ., . : V × V → C tal que para
quaisquer u, v, w ∈ V e α, β ∈ C tem-se
(1 ) u, v = v, u
(2 ) αu + βv, w = αu, w + βv, w
(3 ) u, u > 0 e u, u = 0 ⇔ u = 0
28
Daí tem-se que
u, λv = λv, u = λv, u =
¯
λv, u =
¯
λu, v, ∀u, v ∈ V, λ ∈ C
Definição 2.3.3. Um produto interno ., . : V × V → R sobre um es-
paço vetorial quase-complexo (V, J) é dito Hermitiano quando Ju, Jv =
u, v, ∀u, v ∈ V. A terna (V, J, ., .) é então chamada um Espaço Vetorial
Hermitiano, e representaremos tal produto interno por ., .
h
.
Definição 2.3.4. Seja M uma variedade diferenciável real. Um campo de
tensores J em M é chamado uma Estrutura Quase Complexa em M,
se para cada ponto p ∈ M, J
p
é um endomormismo do espaço tangente
T
p
M tal que J
2
p
= −I. A variedade M munida com tal estrutura é dita uma
Variedade Quase Complexa.
Definição 2.3.5. Sejam U ⊂ C
m
= {(z
1
. . . z
m
) ∈ C × . . . × C; z
j
= x
j
+
iy
j
} aberto e f : U → C, f = u + iv de classe C
1
, isto é, existem e são
contínuas as derivadas parciais
∂u
∂x
k
,
∂u
∂y
k
,
∂v
∂x
k
,
∂v
∂y
k
, 1 ≤ k ≤ m. Dizemos
que f é Holomorfa (derivável no sentido complexo) em U quando valem as
Equações de Cauchy-Riemann
∂u
∂x
k
=
∂v
∂y
k
e
∂u
∂y
k
= −
∂v
∂x
k
, k = 1, . . . , m
.
Definição 2.3. 6. Sejam U ⊂ C
m
aberto e f = (f
1
. . . f
n
) : U → C
n
, onde
cada f
j
: U → C é de classe C
1
. Dizemos que f é holomorfa em U quando
cada f
j
é holomorfa em U.
Definição 2.3.7. Uma Variedade Complexa de dimensão m é um con-
junto M e uma família de aplicações biunívocas f
α
: U
α
→ M de abertos
U
α
⊂ C
m
em M tais que:
29
(1 )
α
f
α
(U
α
) = M
(2 ) para quaisquer α, β com f
α
(U
α
) ∩ f
β
(U
β
) = W = ∅, os conjuntos
f
−1
α
(W ) e f
−1
β
(W ) são abertos em C
m
e, além disto, as aplicações
f
−1
β
◦ f
α
e f
−1
α
◦ f
β
aí definidas são holomorfas.
O par (U
α
, f
α
) (ou a aplicação f
α
) com p ∈ f
α
(U
α
) é chamado uma
parametrização (ou sistema de coordenadas) de M em p e f
α
(U
α
) é chamada
de vizinhança coordenada em p. A família {(U
α
, f
α
)} é chamada uma estru-
tura holomorfa em M.
Exemplo 10. O Espaço Projetivo Complexo n-dimensional CP
n
é dado
pelo quociente CP
n
= C
n+1
∗
/ ∼, onde dados z, w ∈ C
n+1
∗
= C
n+1
\ {0},
z ∼ w ⇔ z = λw para algum λ ∈ C
∗
.
CP
n
é então o conjunto das classes [z], onde z ∈ C
n+1
∗
.
Mas,
[z] = {w ∈ C
n+1
∗
; w ∼ z}
= {w ∈ C
n+1
∗
; w = λz para algum λ ∈ C
∗
}
{λz; λ ∈ C
∗
}
Ou seja, CP
n
é o conjunto dos subespaços de dimensão complexa 1 em C
n
.
Note que qualquer elemento de CP
n
é da forma [(z
1
, . . . , z
n+1
)], onde
(z
1
, . . . , z
n+1
) ∈ C
n+1
∗
. Segue daí que dado [(z
1
, . . . , z
n+1
)] ∈ CP
n
, tem-
se z
j
= 0 para algum 1 ≤ j ≤ n + 1, de onde concluimos que se V
j
=
{[(z
1
, . . . , z
n+1
)]; z
j
= 0} então CP
n
=
n+1
j=1
V
j
. Também [w] = [z] ⇔ w ∼ z ⇔
w = λz para algum λ ∈ C
∗
.
Isto quer dizer que [w] = [z] se, e somente se, w é um múltiplo de z
30
Em particular, se z = (z
1
, . . . , z
n+1
) ∈ C
n+1
∗
é tal que z
j
= 0 para algum
j = 1, . . . , n + 1 então
[(z
1
, . . . , z
n+1
)] =
1
z
j
(z
1
, . . . , z
n+1
)
=
z
1
z
j
, . . . ,
z
j−1
z
j
, 1,
z
j+1
z
j
, . . . ,
z
n+1
z
j
Assim, podemos escrever
[(z
1
, . . . , z
n+1
)] = [(w
1
, . . . , w
j−1
, 1, w
j
, . . . , w
n
)],
onde w
k
=
z
k
z
j
. Para cada j = 1, . . . , n + 1, definimos
V
j
= {[(z
1
, . . . , z
n+1
)] ∈ C
n+1
∗
; z
j
= 0}
= {[(w
1
, . . . , w
j−1
, 1, w
j
, . . . , w
n
)]; (w
1
, . . . , w
n
) ∈ C
n
}
e f
j
: C
n
→ V
j
⊂ CP
n
pondo f
j
(w
1
, . . . , w
n
) = [(w
1
, . . . , w
j−1
, 1, w
j
, . . . , w
n
)].
Podemos verificar que {(C
n
, f
j
); j = 1, . . . , n + 1} é uma estrutura holo -
morfa em CP
n
o que o torna uma variedade complexa de dimensão n. De
fato, f
j
é obviamente bijetiva, logo
n+1
j=1
f
j
(C
n
) =
n+1
j=1
V
j
= CP
n
.
Agora só falta mostrarmos que se f
j
(C
n
) ∩f
i
(C
n
) = V
j
∩V
i
= 0, f
−1
j
(V
j
∩
V
i
) é aberto e que f
−1
i
◦ f
j
é holomorfa. Para isso, suporemos i < j(o caso
i>j é análogo).
Dado ((w
1
, . . . , w
n
)) com w
i
= 0, tem-se
f
j
((w
1
, . . . , w
n
)) = [(w
1
, . . . , w
j−1
, 1, w
j
, . . . , w
n
)]
=
1
w
i
(w
1
, . . . , w
j−1
, 1, w
j
, . . . , w
n
)
=
w
1
w
i
, . . . ,
w
i−1
w
i
, 1,
w
i+1
w
i
, . . . ,
w
j−1
w
i
,
1
w
i
,
w
j+1
w
i
, . . . ,
w
n
w
i
= f
i
w
1
w
i
, . . . ,
w
i−1
w
i
,
w
i+1
w
i
, . . . ,
w
j−1
w
i
,
1
w
i
,
w
j+1
w
i
, . . . ,
w
n
w
i
∈ f
i
(C
n
) = V
i
.
Portanto, f
j
(w
1
, . . . , w
n
) ∈ V
j
∩ V
i
e daí (w
1
, . . . , w
n
) ∈ f
−1
j
(V
j
∩ V
i
).
31
Dado [(z
1
, . . . , z
n+1
)] ∈ V
j
∩ V
i
tem-se
[(z
1
, . . . , z
n+1
)] =
z
1
z
j
, . . . ,
z
j−1
z
j
, 1,
z
j+1
z
j
, . . . ,
z
n+1
z
j
.
Logo,
f
−1
j
([(z
1
, . . . , z
n+1
)]) =
z
1
z
j
, . . . ,
z
j−1
z
j
,
z
j+1
z
j
, . . . ,
z
n+1
z
j
= (w
1
, . . . , w
n
)
com w
i
=
z
i
z
j
= 0, pois z
i
= 0 já que (z
1
, . . . , z
n+1
) ∈ V
i
Provamos então que
f
−1
j
(V
i
∩ V
j
) = {(w
1
, . . . , w
n
); w
i
= 0}.
que é de fato aberto.
Agora,
f
−1
i
◦ f
j
(w
1
, . . . , w
n
) = f
−1
i
([w
1
, . . . , w
j−1
, 1, w
j+1
, . . . , w
n
])
= f
−1
i
w
1
w
i
, . . . ,
w
i−1
w
i
, 1,
w
i+1
w
i
, . . . ,
w
j−1
w
i
,
1
w
i
,
w
j+1
w
i
, . . . ,
w
n
w
i
=
w
1
w
i
, . . . ,
w
i−1
w
i
,
w
i+1
w
i
, . . . ,
w
j−1
w
i
,
1
w
i
,
w
j+1
w
i
, . . . ,
w
n
w
i
.
Portanto, f
−1
i
◦ f
j
é holomorfa, já que cada coordenada determina uma
função holomorfa.
2.4 Estrutura Complexa de CP
n
Temos que S
2n+1
⊂ R
2n+2
≡ C
n+1
. Sejam π : S
2n+1
→ CP
n
a projeção
canônica de S
2n+1
sobre CP
n
que leva cada z ∈ S
2n+1
a uma reta p = [z] ∈
CP
n
, onde σ
R
= span
R
{z, iz} ⊂ C
n+1
. Então
π
−1
(p) = {w ∈ S
2n+1
; z ∼ w}
= {w ∈ S
2n+1
; w = λz para algum λ ∈ S
1
}
32
= {λz; λ = a + bi ∈ S
1
}
= {(a + bi)z; a, b ∈ R e |(a + bi)z| = 1}
= {az + b(iz); a, b ∈ R e |az + b(iz)| = 1}
= S
2n+1
∩ {az + b(iz); a, b ∈ R}
= S
2n+1
∩ σ
R
∼
=
S
1
. Logo, S
1
é a fibra de π sobre p.
Temos que T
z
S
2n+1
= {w ∈ C
n+1
; w ⊥ z} e, portanto, iz ∈ T
z
S
2n+1
.
Como π é constante em π
−1
(p)
∼
=
S
1
, tem-se dπ
z
restrita ao subespaço tan-
gente a π
−1
(p) é identicamente nula. Tal subespaço tem dimensão 1 e é
gerado por um vetor perpendicular z e contido no plano σ
R
, ou seja, gerado
por iz. Logo, dπ
z
|
span
R
{iz}
≡ 0.
Seja
˜
T
z
= {{iz}
⊥
em T
z
S
2n+1
} = {w ∈ C
n+1
; w ⊥
C
z}. Então T
z
S
2n+1
=
˜
T
z
⊕ span
R
{iz},
˜
T
z
tem dimensão 2n e, como dπ
z
(span
R
{iz}) = {0}, temos
que dπ
z
tem posto 2n − 2. Portanto d˜π = dπ|
˜
T
z
:
˜
T
z
→ T
p
CP
n
é um
isomorfismo.
Se denotamos por ·, ·
h
o produto interno hermitiano sobre C
n+1
=
R
2n+2
, isto é, z, w
h
=
n+1
k=1
z
k
w
k
, então o produto interno euclidiano ., .
sobre R
2n+2
pode ser escrito como X, Y = X, Y
h
. Dessa forma pode-
mos definir uma métrica Riemanniana g sobre CP
n
pondo ∀X, Y ∈ T
p
CP
n
,
g
p
(X, Y ) = (d˜π)
−1
(X), (d˜π)
−1
(Y )
g é chamada Métrica de Fubini-Study .
Sejam p ∈ CP
n
, d˜π = dπ|
˜
T
z
e a estrutura complexa
˜
J :
˜
T
z
→
˜
T
z
dada
por
˜
J(w) = iw, z ∈ S
2n+1
tal que π(z) = p e J = d˜π
z
◦
˜
J ◦d˜π
−1
z
: T
P
CP
n
→
T
p
CP
n
. Dessa forma, p odemos verificar que J é uma estrutura complexa
sobre CP
n
e que a métrica de Fubini-Study é hermitiana co m respeito a es-
trutura J.
33
Capítulo 3
Rigidez de Hipersuperfícies em
CP
n
3.1 Conceitos Preliminares
Definição 3.1.1. Uma variedade complexa M
n
, com estrutura complexa J
em T M é chamada Variedade Kähleriana se J é um operador ortogonal,
paralelo na conexão Riemanniana ∇, ou seja, ∇J = 0 ou ainda para todo
par de campos tangentes X, Y tem-se (∇
X
J)Y = ∇
X
(JY ) − J∇
X
Y = 0 e
portanto ∇
X
(JY ) = J∇
X
Y . No caso em que J satisfaz apenas a condição
(∇
X
J)X = 0 para todo campo tangente X, a variedade é dita Quase Käh-
leriana.
Definição 3.1.2. Seja (M, J) uma variedade Kähleriana. Diz-se que M tem
Curvatura Seccional Holomorfa quando na definição (1.1) considerarmos
sempre K(X , JX) para todo X ∈ T
p
M. A Curvatura Seccional Holomorfa é
Constante se para todo X ∈ T
p
M tivermos K(X, JX) ≡ c.
Exemplo 11. O espaço projetivo complexo CP
n
com a métrica de Fubini-
34
Study tem curvatura seccional holomorfa constante c = 4.
Definição 3.1.3. Seja M uma variedade Riemanniana dotada de estrutura
quase complexa ortogonal J e M uma hipersuperfície de M. Seja, também,
ξ um campo local de vetores unitários normais em M. O campo de vetores
tangentes U := Jξ ∈ X(M) será chamado Campo Vetorial de Hopf em
M e diremos que M é uma Hipersuperfície de Hopf de M se as curvas
integrais de U são geodésicas de M, isto é
∇
U
U = 0.
Definição 3.1.4. Seja g : M → M uma imersão isométrica de uma Var-
iedade Riemanniana M
2n−1
em uma variedade Quase Kahleriana (M
n
, J) e
seja
˜
ξ um campo de vetores normais na hipe rsuperfície
˜
M = g(M) de M.
Então podemos definir em M uma estrutura de campo vetorial
ˆ
U e tensores
ˆ
φ e
ˆ
A de modo que
ˆ
U
q
= dg
−1
(J
˜
ξ)
ˆ
φ(X) = dg
−1
(Jdg(X) − Jdg(X),
˜
ξ
˜
ξ)
ˆ
A(X) = −dg
−1
(∇
dg(X)
˜
ξ).
Observamos que a estrutura do campo de vetores
ˆ
U corresponde ao campo
de vetores de Hopf dg(
ˆ
U) de g(M) com relação ao campo normal
˜
ξ. Assim,
quando M é uma subvariedade de M e g é a inclusão então podemos denotar
essa estrutura induzida na hipersuperfície M por U, φ, A e ξ está no fibrado
normal de M. Nesse caso, teremos de modo mais simples, as expressões,
U = Jξ, (3.1)
φ(X) = JX + X, Uξ. (3.2)
35
Usando a condição de Kähler, ∇
X
(JY ) = J(∇
X
Y ) em CP
n
, encontramos
a taxa de variação dos campos induzidos U e
ˆ
U (se considerarmos uma imer-
são isométrica g : M → C P
n
), ou seja
∇
X
U = ∇
X
(Jξ)
= ∇
X
(Jξ) − ∇
X
(Jξ), ξξ
= J(∇
X
ξ) + Jξ, ∇
X
ξξ
= −J(AX) − U, AXξ
= −(J(AX) + U, AXξ)
Assim, comparando essa igualdade com (3.2) temos
∇
X
U = −φAX. (3.3)
Procedendo de modo análogo com ∇
X
ˆ
U também obtemos,
∇
X
ˆ
U = −
ˆ
φ
ˆ
AX. (3.4)
Através dessa estrutura induzida (
ˆ
U,
ˆ
φ) podemos verificar as seguintes
propriedades:
(P1 ) φ
2
X = −X + X, UU
(P2 ) φX, φY = X, Y + X, UY, U
(P3 ) φ é anti-simétrico
(P4 ) ker(φ) = span{U}
(P5 ) φ : U
⊥
→ U
⊥
é uma isometria linear, onde
U
⊥
= {U(p)}
⊥
= {v ∈ T
p
M; v, U(p) = 0}.
(P6 ) (∇
X
φ)Y = AX, Y U − Y, UAX.
36
Com efeito,
Aplicando φ em φX = JX + X, Uξ temos
φ
2
X = φJX + X, Uφξ
= JJX + JX, Uξ + X, UU
= −X + X, UU
Portanto vale (P1 ).
Temos que φX = JX + X, Uξ e φY = JY + Y, Uξ. Daí, segue que
φX, φY = X, Y + X, UY, U. Portanto vale (P2 ).
Usando (P1 ) e (P2 ) temos que φ
2
X, φY = φX, Y + φX, UY, U.
Assim, −X, φY = φX, Y . Logo vale (P3 ).
Em φX = JX + X, Uξ, fazendo X = U temos,
φU = JU + U, Uξ
= J
2
ξ + ξ
= −ξ + ξ
= 0
então span{U} ⊂ Ker(φ). Por outro lado, se φX = 0 temos JX + X, Uξ =
0, logo JX = −X, Uξ. Aplicando J nessa última igualdade temos,
J
2
X = −X, UJξ
−X = −X, UU
X = X, UU.
assim, X é múltiplo de U. Segue que span{U} ⊃ Ker(φ). Portanto vale (P4 ).
37
Por (P2 ) ∀X ∈ U
⊥
temos φ
2
X, φU = φX, U + φX, UU, U. Por
(P4 ) φU = 0, logo φX, U = 0, isto é, φX ∈ U
⊥
. Assim a restrição de φ a U
⊥
é linear. Por outro lado, usando (P2 ) ∀X, Y ∈ U
⊥
temos φX, φY = X, Y ,
ou seja, φ é isometria. Logo vale (P5 ).
Agora, pela definição de derivada covariante de um tensor vista em (1.2),
temos
(∇
X
φ)Y = ∇
X
(φY ) − φ(∇
X
Y )
= ∇
X
(φY ) − ∇
X
(φY ), ξξ − J(∇
X
Y ) − ∇
X
Y, Uξ
= ∇
X
(JY + Y, Uξ) + φY, ∇
X
ξξ − J(∇
X
Y −∇
X
Y, ξξ)
− ∇
X
Y, Uξ
= ∇
X
(JY ) + ∇
X
Y, Uξ + Y, ∇
X
Uξ + Y, U∇
X
ξ
− φY, AXξ − J(∇
X
Y ) − Y, ∇
X
ξJξ − ∇
X
Y, Uξ
= −Y, φAXξ − Y, UAX + Y, φAXξ + Y, AXU
= Y, AXU − Y, UAX
= AX, Y U − Y, UAX.
Portanto vale (P6 ).
Definição 3.1 .5. Sejam M e M variedades Riema nnianas e g : M → M
uma imersão isométrica. Diz-se que a subvariedade g(M) é Rígida em M se
para cada imersão isométrica f : M → M, existe uma isometria τ : M → M
tal que f = τ ◦ g.
De outra forma,
Definição 3.1.6. Seja M uma variedade Riemanniana e M ⊂ M uma sub-
38
variedade de M. Se G é um grupo de isometrias de M, diz-se que M é
Rígida em M com relação a G se toda imersão isométrica f : M → M
é extendível a uma isometria do espaço ambiente M. Em outras palavras,
existe uma isometria τ ∈ G tal que f = τ |
M
. Neste caso dizemos que as
variedades M e f(M) são G-congruente.
Observação 3.1. 1. Em espaço real, a rigidez de hipersuperfícies cuja se-
gunda forma fundamental tem posto maior ou igual a 3 em todo p onto é um
resultado clássico bem co nhecido que pode ser encontrado, por exemplo, em
[6] e [9]. Lembremos desse resultado.
Teorema 3.1.1. Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n, e sejam
f e g imersões isométricas de M em R
n+1
com campos de vetores unitários
normais ξ
f
e ξ
g
, respectivamente. Se as segundas formas fundamentais α
f
e
α
g
de f e g (com relação a ξ
f
e ξ
g
), respectivamente, coincidem em M, então
existe uma isometria τ de R
n+1
tal que f = τ ◦ g.
Como consequência temos
Corolário 3.1.1. Seja M uma variedade Riemanniana de dimensão n, conexa
e orientável, e sejam f e g imersões isométricas de M em R
n+1
. Se o posto da
segunda forma de M pela imersão isométrica f é maior ou ig ual a 3 em to-
dos os pontos de M, então existe uma isometria τ de R
n+1
tal que f = τ ◦g.
Esse resultado (3.1.1) é devido a Beez [1] e Killing [5]. Uma prova desse
teorema fazendo uso das formas diferenciais pode ser encontrado em E. Car-
tan [3].
39
Em 1973, Takagi [10] mostrou um teorema de rigidez para hipersuperfícies
do espaço projetivo complexo que é o equivalente do famoso teorema de
rigidez para hipersuperfície do espaço real visto acima, isto é, ele provou o
Teorema 3.1.2. Seja M uma hipersuperfície de CP
n
tal que sua segunda
forma fundamental A tenha posto maior ou igual a 3 em todos os pontos de
M. Seja f uma imersão isométrica de M em CP
n
(n ≥ 3). Então,
(i) φ =
ˆ
φ se, e somente se A =
ˆ
A
(ii) Se A =
ˆ
A então existe uma isometria holomorfa F de CP
n
tal que
F |
M
= f.
Mais recentemente (1996) esse resultado foi melhorado por Takagi et al
[11], mostrando que a Rig idez de hipersuperfícies em CP
n
só depende, em
geral, da invariância do campo de Hopf, isto é, basta U =
ˆ
U. Trataremos
desse resultado com detalhes na próxima seção.
Considere o espaço projetivo complexo (CP
n
, J, <>, ∇, R ) dotado com a
métrica de Fubini-Study de curvatura seccional holomorfa constante igual a
4. Então seu tensor curvatura R, encontrado em [6], é dado por
R(X, Y )Z = Y, ZX − X, ZY −Y, JZJX
+ X, JZJY + 2X, JY JZ (3.5)
Seja M uma hipersuperfície de CP
n
com segunda forma fundamental α e
estrutura induzida <>, ∇, R, etc. Seja ξ um campo unitário normal em M.
Lembremos que
α(X, Z) = ∇
X
Z − ∇
X
Z
= ∇
X
Z − (∇
X
Z − ∇
X
Z, ξξ)
40
= ∇
X
Z, ξξ
= Z, −∇
X
ξξ
= Z, AXξ
Também, α(Y, W ) = W, AY ξ, logo
α(X, Z), α(Y, W ) = AX, ZAY, W .
Procedendo de modo análogo, temos
α(Y, Z), α(X, W ) = AY, ZAX, W .
Assim, as equações de Gauss (2.2) e Codazzi (2.4) para M são, respectiva-
mente:
R(X, Y )Z, W = R(X, Y )Z, W + AX, ZAY, W
− AX, W AY, Z (3.6)
R(X, Y )Z, ξ = (∇
X
α)(Y, Z), ξ − (∇
Y
α)(X, Z), ξ, (3.7)
onde a derivada covariante do tensor h é por definição dado por
(∇
X
α)(Y, Z) := ∇
X
α(Y, Z) − α(∇
X
Y, Z) − α(Y, ∇
X
Z).
Da aplicação de Weingarten sabemos que α(Y, Z), ξ = AY, Z, logo
XAY, Z = Xα(Y, Z), ξ
= ∇
X
α(Y, Z), ξ+ α(Y, Z), ∇
X
ξ
= ∇
X
α(Y, Z), ξ− α(Y, Z), AX
= ∇
X
α(Y, Z), ξ.
De modo análogo, vemos que Y AX, Z = ∇
Y
α(X, Z), ξ.
41
Em termos do operador de Weingarten A de M a equação de Codazzi
(3.7) pode ser escrita como
R(X, Y )Z, ξ = ∇
X
α(Y, Z) − h(∇
X
Y, Z) − α(Y, ∇
X
Z), ξ
− ∇
Y
α(X, Z) − α(∇
Y
X, Z) − α(X, ∇
Y
Z), ξ
= ∇
X
α(Y, Z), ξ− α(∇
X
Y, Z), ξ − α(Y, ∇
X
Z), ξ
− ∇
Y
α(X, Z), ξ+ α(∇
Y
X, Z), ξ+ α(X, ∇
Y
Z), ξ
= AX, ∇
Y
Z − AY, ∇
X
Z + AZ, ∇
Y
X
− AZ, ∇
X
Y + XAY, Z − Y AX, Z. (3.8)
De outra fo rma, desenvolvendo o segundo membro da igualdade (3.8) obte-
mos,
R(X, Y )Z, ξ = (∇
X
A)Y −(∇
Y
A)X, Z (3.9)
Assim, substituindo (3.5) em (3.6) e em (3.9) obtemos para toda hipersuper-
fície M de CP
n
as equações de Gauss e Codazzi simplificadas para
R(X, Y )Z = Y, ZX − X, ZY + φY, ZφX − φX, ZφY
− 2φX, Y φZ + AY, ZAX − AX, ZAY, (3.10)
e
(∇
X
A)Y −(∇
Y
A)X = 2φX, Y U + Y, UφX − X, UφY. (3.11)
3.2 Teorema da Rigidez de Hipersuperfícies em
CP
n
Agora, traremos como resultado principal deste trabalho a nova prova de
[8] do teorema da Rigidez de Hipersuperfícies em CP
n
, utilizando ferramen-
42
tas da geometria clássica vistas até aqui.
Teorema 3.2.1. Seja M uma hipersuperfície de CP
n
tal que sua segunda
forma fundamental A tenha posto maior ou igual a 3 em todos os pontos de
M e seja g uma imersão isométrica de M em CP
n
. Se g leva campos de Hopf
de M em campos de Hopf de g(M), isto é, U =
ˆ
U, então g é a restrição de
uma isometria holomorfa de CP
n
.
Demonstração:
Façamos algumas considerações iniciais.
Sendo U =
ˆ
U, segue de (3.3) e (3.4) que para todo X ∈ X(M)
φAX =
ˆ
φ
ˆ
AX (3.12)
Como g preserva a curvatura, isto é, R =
ˆ
R, obtemos de (3.10) que
X, φZφY + 2X, φY φZ −Y, φZφX − AX, ZAY + AY, ZAX =
X,
ˆ
φZ
ˆ
φY + 2X,
ˆ
φY
ˆ
φZ − Y,
ˆ
φZ
ˆ
φX −
ˆ
AX, Z
ˆ
AY +
ˆ
AY, Z
ˆ
AX
(3.13)
Em particular se Z = U, sabendo que φU = 0 e
ˆ
φU =
ˆ
φ
ˆ
U = 0 (pela
propriedade (P4 ) ), e substituido em (3.13) obtemos
X, AUAY − Y, AUAX = X,
ˆ
AU
ˆ
AY −Y,
ˆ
AU
ˆ
AX (3.14)
Também se Y = U a equação (3.14) será
X, AUAU − U, AUAX = X,
ˆ
AU
ˆ
AU − U,
ˆ
AU
ˆ
AX (3.15)
Se W denota o complemento ortogonal do espaço vetorial gerado por
{AU,
ˆ
AU} então para quaisquer Y ∈ X(M) e X ∈ W as equações (3.14) e
43
(3.15) serão, respectivamente
Y, AU AX = Y,
ˆ
AU
ˆ
AX, (3.16)
U, AUAX = U,
ˆ
AU
ˆ
AX. (3.17)
Fazendo Y = AU e Y =
ˆ
AU em (3.16) obtemos para todo X ∈ W ,
respectivamente
|AU|
2
AX =
ˆ
AU, AU
ˆ
AX, (3.18)
ˆ
AU, AUAX = |
ˆ
AU|
2
ˆ
AX. (3.19)
Agora, faremos a demonstração considerando dois casos.
1
o
CASO: AU = 0.
Sendo o posto de A maior ou igual a 3, existe um vetor X ∈ W tal
que AX = 0, e assim das equações (3.18) e (3.19) temos que
ˆ
AX = 0,
ˆ
AU = 0 e
ˆ
AU, AU = 0. Tomando o quociente entre os mó dulos dessas
equações obtemos |
ˆ
AU, AU| = |
ˆ
AU||AU|. Consequentemente
ˆ
AU = δAU,
onde δ = ±
|
ˆ
AU|
|AU|
. Usando esse resultado em (3.18) segue que AX = δ
ˆ
AX para
todo X ∈ W.
Por outro lado, da propriedade (P2 ) temos que
φAX, φAX = AX , AX + AX, UAX, U,
e
ˆ
φ
ˆ
AX,
ˆ
φ
ˆ
AX =
ˆ
AX,
ˆ
AX +
ˆ
AX, U
ˆ
AX, U.
Como AX, U = X, AU = 0 e
ˆ
AX, U = X,
ˆ
AU = 0, e usando (3.12)
segue que |AX| = |
ˆ
AX| para todo X ∈ W , logo AX = ±
ˆ
AX e assim, δ = ±1.
44
Escolhendo se necessário, o campo normal oposto em g(M), podemos assumir
que δ = 1. Assim,
AX =
ˆ
AX, (3.20)
AU =
ˆ
AU. (3.21)
Se AU, U = 0 e substituindo (3.21) em (3.15) obtemos que A =
ˆ
A, para
todo X ∈ X(M).
Se AU, U = 0, pela propriedade (P5 ) podemos escolher um vetor X ∈ U
⊥
tal que φX = AU ∈ U
⊥
.
Observação 3.2.1. Usando a propriedade (P1 ) nesse caso em que X ∈ U
⊥
,
temos que φ
2
X = −X, logo
ˆ
φ
2
(φX) = −φX. Por outro lado, usando
(3.12) temos tamb ém que
ˆ
φ(φX) = −X, logo
ˆ
φ
2
(φX) = −
ˆ
φX e portanto
ˆ
φX = φX. Afirmamos que AφX =
ˆ
A
ˆ
φX. De fato, basta verificar (e verifi-
camos facilmente) que AφX, Z =
ˆ
A
ˆ
φX, Z, onde Z = AU ou Z ∈ (AU)
⊥
.
Usando a propriedade (P1 ) temos que
ˆ
φ
2
(AU) = −AU + AU, Uξ, logo
ˆ
φ
2
(AU) = −AU.
Aplicando A na igualdade φX = AU ∈ U
⊥
e usando os resultados vistos
na observação anterior temos,
A(AU) = A(φX) =
ˆ
A
ˆ
φX = −
ˆ
A
ˆ
φ
2
(AU) =
ˆ
A(AU).
que juntamente com (3.20) e (3.21) obtemos A =
ˆ
A, para todo X ∈ X(M).
Assim, fazendo Z = Y na expressão (3.13) reduzimo-la para
X, φY φY = X,
ˆ
φY
ˆ
φY.
Usando a propriedade (P5 ) podemos considerar X = φY ∈ U
⊥
e X =
ˆ
φY ∈ U
⊥
, que substituindo na expressão acima, e calculando o quociente
45
entre seus módulos obtemos |
ˆ
φY, φY | = |
ˆ
φY ||φY |. Assim, procedendo com
o mesmo argumento usado para mostrar que AX = ±
ˆ
AX, temos que para
todo X ∈ U
⊥
podemos verificar que φX = ±
ˆ
φX. Por outro lado, devido a
propriedade (P4 ) devemos ter φ = ±
ˆ
φ para todo Z ∈ X(M). Mas, por (3.12)
e (3.20) sabemos que φAX =
ˆ
φAX, e portanto φ =
ˆ
φ.
2
o
CASO: AU = 0.
Nesse caso, fazendo Z = U e usando (3.3) e (3.4), juntamente com a
propriedade (P3 ), a equação de Codazzi (3.8) para as hipersuperfícies M e
g(M) são escritas, respectivamente por
R(X, Y )U, ξ = 2φAX, AY , ou (3.22)
R(dgX, dgY )dgU,
˜
ξ = 2
ˆ
φ
ˆ
AX,
ˆ
AY . (3.23)
Por outro lado, usando o tensor curvatura de CP
n
visto em (3.5) temos para
todo X, Y ∈ U
⊥
que
R(X, Y )U = 2φX, Y ξ,
R(dgX, dgY )dgU = 2
ˆ
φX, Y
˜
ξ
Assim, fazendo R(X, Y )U, ξ = 2φX, Y ξ, ξ e comparando com (3.22)
obtemos
φX, Y = φAX, AY (3.24)
Procedendo de modo análogo com a outra equação, obtemos
ˆ
φX, Y =
ˆ
φ
ˆ
AX,
ˆ
AY . (3.25)
Em outras palavras, usando (3.12) juntamente com (3.24) e (3.25), obtemos
para todo X ∈ U
⊥
AφA = φ (3.26)
46
ˆ
AφA =
ˆ
φ. (3.27)
Agora, tomando Z = Y em (3.13) temos,
3X, φY φY − AX, Y AY + AY, Y AX =
3X,
ˆ
φY
ˆ
φY −
ˆ
AX, Y
ˆ
AY +
ˆ
AY, Y
ˆ
AX (3.28)
Pondo Y = −φAX, pela propriedade (P1 ) e por (3.26) obtemos
φY = −φ
2
AX = AX e AY = −AφAX = −φX.
Por (3.12) também Y = −
ˆ
φ
ˆ
AX, logo p ela propriedade (P1 ) e por (3.27)
também obtemos
ˆ
φY =
ˆ
AX e
ˆ
AY = −
ˆ
φX.
Assim, substituindo esses valores em (3.28), para todo X ∈ U
⊥
obtemos
X, AXAX = X,
ˆ
AX
ˆ
AX.
Por outro lado, de −φ
2
AX = AX temos −φ
2
AX, AX = AX, AX que
por sua vez é φAX, φAX = AX , AX, logo
|AX| = |φAX|.
De modo análogo, também
|
ˆ
AX| = |
ˆ
φ
ˆ
AX|.
Portanto da igauldade (3.12) temos
|AX| = |φAX| = |
ˆ
φ
ˆ
AX| = |
ˆ
AX|
e consequentemente AX = ±
ˆ
AX em U
⊥
. Escolhendo um campo de vetores
normais apropriado, se necessário, podemos assumir A =
ˆ
A. Então, de (3.26)
e (3.27) segue que φ =
ˆ
φ.
Portanto, a prova do teorema segue do Teorema 3.1.2.
47
Referências Bibliográficas
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49
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