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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
INSTITUTO DE FÍSICA
RESSONÂNCIAS GIGANTES ISOESCALARES EM
ISÓTOPOS PARES DE NÍQUEL
Patrick Siqueira da Rocha
Dissertação apresentada ao Instituto de Física
da Universidade Federal de Mato Grosso
Para obtenção do título de
"Mestre em Ciências"
Cuiabá-Mato Grosso
Março/2008
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A minha esposa e aos meus pais.
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"O inimigo mais perigoso que você poderá encontrar será sempre você mesmo."
( Friedrich Nietzsche )
Agradecimentos
Primeiramente agradeço a minha esposa Sandra e a minha família que me deram
suporte em todos os aspectos que um homem precisa. Sem eles ao meu lado creio que
todos os problemas que enfrentei neste período teriam sido piores.
Agradeço também ao Prof
o
Dr. Max de Oliveira Roos pela orientação, amizade,
apoio, confiança e colaboração fundamental para conclusão deste trabalho.
Agradeço ao meu estimado amigo e fonte de material bibliográfico, João Basso
Marques, que me atendeu sempre que necessitei de apoio.
Agradeço a todo brasileiro pagador de impostos, pois com estes recursos pude ter
o apoio financeiro da CAPES durante parte do meu tempo no Programa de Pós-
Graduação em Física.
Resumo
O decaimento de Ressonâncias Gigantes é analisado utilizando-se a Teoria de Nú-
cleo Composto. A interpretação deste decaimento é feita em termos de suas larguras
de Damping, Escape de Pré-Equilíbrio e Escape Direto. Uma análise do resultados
obtidos para as larguras totais das Ressonâncias Gigantes Isoescalares de quadrupolo
e monopolo elétrico em isótopos
58
Ni,
60
Ni,
62
Ni e
64
Ni é feita em comparação com
dados experimentais. Com base nestes resultados uma estimativa para as larguras
destas Gessonâncias Gigantes no isótopo
56
Ni é apresentada. Os resultados obtidos
concordam com os dados experimentais presentes na literatura.
Abstract
The decay of Giant Resonances is analysed through the Compound Nucleus The-
ory. This decay is interpreted in terms of the Damping, Pre-Equilibrium Escape and
Direct Escape width. An analyse of the results obtained for the total width of isoscalar
electric giant monopole and dipole resonances in
58
Ni,
60
Ni,
62
Ni e
64
Ni isotopes are
made comparing with experimental data. Based on these results, we present a esti-
mated value for the Giant Resonance width in the
56
Ni. Our results are in agreement
with the experimental data available in literature.
Índice
1 Introdução 2
2 Fundamentação Teórica 5
2.1 Ressonâncias Gigantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Classificação das Ressonâncias Gigantes . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Modelo de Camadas de Partícula-Única . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Potencial deformado de partícula-única . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 O potencial deformado de Woods-Saxon . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Base de oscilador harmônico deformado . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Teorias Microscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Método de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2 Método de Hartree-Fock-Bogoliubov . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Teoria Estatística de Multi-Estágios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Hipótese do Encadeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Ressonâncias Gigantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Estruturas de Energia - As Funções Y . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.2 Estruturas de Momento Angular - As Funções X . . . . . . . . . 38
2.6 Larguras de decaimento de RG’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1 Larguras de Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.2 Largura de Escape de Pré-Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.3 Largura de Escape Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Metodologia, Resultados e discussões 48
3.1 Decaimento de uma Ressonância Gigante . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 Espaço de configuração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Apresentação e discussão dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 O
64
Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 O
62
Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 O
60
Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.4 O
58
Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.5 O
56
Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Conclusões 61
i
Índice ii
Apêndice A 63
Apêndice B 65
Referências 68
Lista de Figuras
2.1 Ressonâncias Gigantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Modos coletivos de uma RG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Esquemas para as RG’s E0 e E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Potenciais para o modelo de camadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Superfície de Fermi para partículas e quase-partículas . . . . . . . . . . 25
2.6 Hipótese do Encadeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Diagramas esquemáticos para as funções Y . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 Diagramas esquemáticos para as funções X . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.9 Diagramas esquemáticos para Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.10 Diagrama esquemático para processo de Pré-Equilíbrio . . . . . . . . . 43
2.11 Diagramas esquemáticos para o processo de escape direto. . . . . . . . 45
3.1 Esquema do decaimento de uma RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Esquema de níveis de partícula única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Barrier - arquivo de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Parâmetro de cut-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Comparação entre a largura, Γ, total medida experimentalmente e a
calculada neste trabalho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
Lista de Tabelas
3.1 Larguras de Damping e Escape em RG’s . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.1 Parâmetros dos potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 Energias de separação para vários núcleos . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
B.3 Espectro de Partícula-Única para o
56
Ni . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.4 Espectro de Partícula-Única para o
58
Ni e
60
Ni . . . . . . . . . . . . . 66
B.5 Espectro de Partícula-Única para o
62
Ni e
64
Ni . . . . . . . . . . . . . 67
iv
1
Introdução
Sistemas excitados através de uma pequena perturbação podem apresentar movi-
mentos coletivos. Se o sistema em questão for um núcleo atômico, esta perturbação
pode induzir um estado coletivo envolvendo todos, ou grande parte, dos núcleons que
constituem este sistema. A este fenômeno dá-se o nome de Ressonância Gigante (RG),
ocorrendo por toda a tabela de nuclídeos e se encontra no intervalo de energia de 10-30
MeV do espectro de excitação nuclear.
A primeira evidência da existência deste fenômeno coletivo nuclear foi observado
em um experimento feito em 1937, para medir a radioatividade induzida por bom-
bardeamento de várias amostras com raios γ por Bothe e Gentner [1]. Somente após
uma década é que o estudo destas ressonâncias foi sistematizado. Em 1947, Baldwin,
descobre o que seria chamado de ressonância gigante de dipolo [2]. Outras multipo-
laridades foram observadas posteriormente como a ressonância gigante de quadrupolo,
em 1972 por Lewis e Bertrand [3], e a RG de monopolo em 1977 por Youngblood et al.
[4].
Estudos envolvendo características das RG’s tem sido utilizados em diversas áreas de
conhecimento, devido a terem um papel importante em reações nucleares que ocorrem
na natureza. Um exemplo disto pode ser visto na explosão de uma estrela supernova.
A taxa de captura de elétrons que resfria o núcleo da estrela envolvida na explosão e
acelera seu processo de colapso gravitacional está associada com as propriedades da RG
Gamow-Teller. A intensidade da onda de choque criada pelo colapso está diretamente
2
3
ligada a incompressibilidade da matéria nuclear que pode ser simétrica ou assimétrica,
que neste último caso é um parâmetro para cálculos que descrevem também estrelas
de nêutrons [5], pode ser obtida através da energia de excitação da RG de monopolo
elétrico.
O inicio das atividades do Large Hadron Collider (LHC-Grande Colisor de Hadrons)
trará ainda mais destaque ao estudo de ressonâncias gigantes, visto que os experimentos
de colisões com ions pesados irão gerar vários núcleos artificiais e a criação de pares
pósitron-elétron na periferia destas colisões, junto com a excitação magnética de ambos
os ions (RG de dipolo magnético) [6].
Macroscopicamente, uma RG pode ser vista, em termos hidrodinâmicos, como uma
oscilação de gota líquida. Microscopicamente, podemos descrever as RG’s através da
superposição coerente de excitação do tipo partícula-buraco.
Um dos parâmetros adotados para o estudo teórico da excitação e decaimento das
RG’s é a largura da ressonância (Γ). como as RG’s situam-se acima do limiar de emissão
de partículas, necessitamos considerar estados meta-estáveis ressonantes que se situam
na parte contínua do espectro, além da parte discreta do mesmo. Com isto é possível
escrever a Largura Total da ressonância , Γ, como uma composição da Largura de
Escape , Γ
↑
, devido ao acoplamento de excitações do tipo partícula-buraco ao contínuo,
e a Largura de Damping, Γ
↓
, associada ao acoplamento de configurações nucleares
intrínsecas mais complexas.
A Teoria Estatística de Múltiplas Etapas de Núcleo Composto de Fashbach, Kerman
e Koonin (FKK) [7], se mostra convenientemente simples no tratamento das larguras
de decaimento de ressonâncias no formalismo de reações nucleares, mesmo com a com-
plexidade do cálculo e da interpretação destas ressonâncias devido ao grande número
de configurações partícula-buraco.
A motivação deste trabalho é a aplicação de uma teoria estatística para o decai-
mento de RG’s. O modelo utilizado é baseado na teoria FKK, com adaptações para a
4
estrutura nuclear.
Estas adaptações consistem em usar os mesmos elementos de matriz nuclear da
teoria FKK no primeiro estágio da cadeia de decaimento para os processos de Damping
e de Escape de Pré-Equilíbrio [7][8], a função da densidade de níveis desenvolvidas
por Oblo˘znský e Chadwick [9] [10] e a teoria para decaimento direto desenvolvida
por Roos [11]. Para efeito de nomenclatura, utilizaremos o termo "Teoria de Núcleo
Composto"para identificar toda a base teórica deste trabalho.
Cálculos teóricos para o
40
Ca,
90
Zr e
208
P b das larguras de decaimento [11] [12] [13]
mostram que esta teoria fornece boa concordância com os dados experimentais.
Apresentamos, no Capítulo 2, de maneira sucinta, a definição e a classificação das
RG’s. Apresentamos também o Modelo de Camadas de Partícula-Única e algumas
das principais teorias microscópicas utilizadas para o estudo teórico de ressonâncias
gigantes. Por último, veremos a fundamentação teórica básica necessária para o desen-
volvimento do cálculo do decaimento de RG’s utilizando a Teoria de Núcleo Composto.
No capítulo 3, apresentamos os resultados obtidos para as larguras de Damping,
Escape de Pré-Equilíbrio e escape direto da RGE0 e RGE2 para alguns isótopos pares
de níquel.
E, em conclusões, faremos uma síntese sucinta dos principais ítens estudados e
indicaremos possíveis refinamentos para à teoria empregada.
2
Fundamentação Teórica
2.1 Ressonâncias Gigantes
Sistemas físicos podem apresentar os mais diversos comportamentos ao serem sub-
metidos a uma pequena perturbação. De fato, tal perturbação pode representar uma
importante ferramenta para determinar algumas propriedades físicas constituintes do
sistema analisado. Podemos aplicar este método, por exemplo, a um núcleo atômico
através do bombardeamento de fótons ou espalhamento de partículas e observar qual
será a resposta dada. Na Figura 2.1 [14] observa-se o comportamento de um sis-
tema físico (núcleo) com a configuração citada anteriormente. Para energias até 10
MeV, observa-se uma excitação simples de estados envolvendo apenas alguns poucos
núcleons. No intervalo de energia de 10 MeV - 30 MeV podemos observar um compor-
tamento coletivo dos núcleons em um movimento oscilatório envolvendo grande parte
dos componentes nucleares (prótons e nêutrons), aparecendo sob a forma de bandas
ressonantes que, neste caso, são conhecidas como Ressonâncias Gigantes. A banda
ressonante que se apresenta para energias na faixa de 300 MeV (curva inferior) e 400
MeV (curva superior) são manifestações devido a excitação nos núcleons.
Uma ressonância gigante é um estado nuclear de natureza altamente coletiva, apresenta-
se sob a forma de uma oscilação muito semelhante a modos vibracionais presentes em
alguns sistema mecânicos. É também uma característica comum em sistemas quânticos
de muitos corpos.
5
2.1. Ressonâncias Gigantes 6
Ressonâncias
Gigantes
Ressonância E1
Região quase-elástica
q=w
q
=(fm
)
-1
Elástica
s
g
Ressonância
Ressonância
2
0
30
20
0
300
100
400
w( )Mev
w( )Mev
D
33
D
33
Figura 2.1: Resposta característica (seção de choque σ) de um núcleo atômico como
uma função da transferência de energia ω e momento q. A curva inferior representa
a absorção de fóton e a superior denota o espalhamento de uma partícula com q =
2fm
−1
̸= ω.
Do ponto de vista clássico, podemos considerar tais ressonâncias como sendo os-
cilações praticamente harmônicas, amortecidas e de alta freqüência da forma ou den-
sidade nuclear em torno da posição de equilíbrio. Tais oscilações são pequenas, cor-
respondendo a apenas um fração do raio nuclear total e ocorrem em uma variedade
grande de modos vibracionais.
Do ponto de vista quântico, uma RG corresponde a transição entre o estado funda-
mental e o estado coletivo, tendo sua intensidade determinada por uma amplitude de
transição. É intuitivo que esta intensidade de transição deve ser uma função das pro-
priedades básicas do sistema como, por exemplo, o número de núcleons participantes
na ressonância e o tamanho do núcleo. Isto nos leva a crer que a intensidade de tran-
sição deve ser limitada por uma regra de soma que tem uma dependência exclusiva
de propriedades do estado fundamental. Se a intensidade de transição de uma dada
ressonância exaurir grande parte desta regra de soma, ela então será classificada como
2.1. Ressonâncias Gigantes 7
gigante, ocorrendo por toda a tabela de nuclídeos e seus parâmetros variam monoto-
namente como uma função do número de núcleons do sistema (A
−
1
3
).
2.1.1 Classificação das Ressonâncias Gigantes
Uma RG pode ser classificada de acordo com três números quânticos: A multipo-
laridade L, o spin da ressonância S e o isospin T (como pode ser observado na Figura
2.2). Estes números quânticos estão relacionados com características da ressonância,
como se segue :
• L: número quântico associado ao momento angular orbital, também denota a
multipolaridade onde um L = 0 corresponde a uma ressonância de monopolo,
L = 1 corresponde a dipolo, L = 2 a quadrupolo e assim sucessivamente com
L = 0, 1, 2, 3, 4..., n e a multipolaridade sendo igual a 2
L
-polo.
• S: número quântico associado ao spin Assume os valores 0 (RG elétrica) ou 1 (RG
magnética), devido a estas ressonâncias possuírem fortes modos de decaimento
envolvendo emissão de fótons multipolares tanto elétricos quanto magnéticos.
Uma RG com S = 0 representa uma oscilação puramente espacial do centro de
massa ou distribuição de carga nuclear, enquanto que para S = 1 temos uma
oscilação de spin.
• T: número quântico associado ao isospin. Assume valores de 0 e 1 e denota o
comportamento relativo de prótons contra nêutrons onde, T = 0 (RG isoescalar)
indica que prótons e nêutrons oscilam em fase e para T = 1 (RG isovetorial) estes
núcleons oscilam em fases opostas.
Na literatura, pode-se representar os modos coletivos de uma RG usando um con-
junto de letras maiúsculas para se referir a uma dada característica: isovetorial (IV),
isoescalar (IS), magnética (S), elétrica (nenhuma letra é usada), gigante (G), monopolo
2.1. Ressonâncias Gigantes 8
pn
n
p
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
p
n
n
p
pn
p
n
L=0
L=1
L=2
S=0
T=0
S=0
T=1
S=1
T=0
S=1
T=1
Figura 2.2: Representação esquemática de vários modos coletivos caracterizados pelos
números quânticos L,S e T .
(M), dipolo (D), quadrupolo (Q), ressonância (R). Portanto, uma ressonância gigante
isovetorial de dipolo magnético seria IVSGDR. Iremos nos referir constantemente, neste
trabalho, as ressonâncias ISGMR e ISGQR apenas por RGE0 e RGE2, respectivamente.
Dentre os vários modos coletivos apresentados na Figura 2.2 dois são tratados nesta
dissertação: são os modos E0 e E2. O modo coletivo ressonante E0 representa uma RG
isoescalar de monopolo elétrico. Sua principal função, do ponto de vista exp erimental,
consiste na possibilidade de determinar o coeficiente de compressibilidade nuclear, K
∞
,
extremamente difícil de ser medido em laboratório. Por este modo coletivo corresponder
a uma oscilação puramente radial do núcleo como um todo, por está característica,
a RGE0 ficou conhecida como modo de respiração (breathing mode) por lembrar o
movimento dos pulmões ao se respirar. A RGE2 é caracterizada por uma alteração na
forma nuclear, fazendo o núcleo oscilar de uma forma oblata para um forma prolata.
Um esquema representando estas duas RG’s pode ser visto na Figura 2.3.
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 9
Evolução Temporal
E0
E2
Evolução Temporal
Figura 2.3: Representação esquemática para os modos E0 e E2, indicando a variação
da forma nuclear ao longo do tempo.
2.2 Modelo de Camadas de Partícula-Única
A princípio a solução da equação de Schrödinger,
H |Ψ⟩ =
A
i=1
p
2
i
2m
+
A
i>j=1
V (r
i
, r
j
)
|Ψ⟩ = E |Ψ⟩ (2.2.1)
seria suficiente para entender as energias, spins e paridades dos estados possíveis de
um sistema de A núcleons. Entretanto, a forma do potencial, V (r
i
, r
j
), que representa
a força entre dois núcleons não é perfeitamente entendida, e este potencial deveria
explicar a existência dos números mágicos observados experimentalmente. Muitos po-
tenciais tem a capacidade para reproduzir grande parte das características observadas
experimentalmente. Três potenciais de interesse físico relevante são apresentados na
Figura 2.4.
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 10
(r)
U
U
(r)
r
0
0
U
r
(r)
U
a
r
U
0
r
0
U
0
r
Figura 2.4: Representação esquemática de três potenciais físicos considerados no mod-
elo de camadas de partícula-única, da esquerda para a direita: Potencial de Woods-
Saxon, Potencial de Poço Quadrado e Potencial do Oscilador Harmônico.
2.2.1 Potencial deformado de partícula-única
Auto-estados de um campo nuclear médio deformado foram primeiramente cal-
culados por Nilsson [15]. Seu oscilador harmônico deformado tem sido utilizado com
sucesso na descrição de muitos aspectos do movimento de partícula única em núcleos
deformados. O Hamiltoniano para o modelo de camadas de partícula-única, para nú-
cleos esféricos pode ser dado por:
H = H
0
+ f(r)
−→
L ·
−→
s (2.2.2)
com o termo f(r)
−→
L ·
−→
s sendo o acoplamento spin-órbita. O Hamiltoniano de Nilsson
no entanto, pode ser escrito como:
H = H
0
+ Cl · s+Dl
2
(2.2.3)
onde Cl · s é o termo de acoplamento spin-órbita usual, Dl
2
é o termo que fornece
a correção do potencial de oscilador para grandes distâncias (importante para altos
valores de l) e
H
0
= −
2
2m
∇
′2
+
m
2
(ω
2
x
x
′2
+ ω
2
y
y
′2
+ ω
2
z
z
′2
) (2.2.4)
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 11
onde x
′
, y
′
e z
′
são as coordenadas de uma partícula no sistema intrínseco de coor-
denadas. Considerando uma forma axialmente simétrica, com o eixo z como eixo de
simetria,podemos introduzir um parâmetro de deformação, δ, através de
ω
2
x
= ω
2
y
= ω
2
0
(1 +
2
3
δ) ≡ ω
2
⊥
(2.2.5)
e
ω
2
z
= ω
2
0
(1 −
4
3
δ). (2.2.6)
Com estas duas definições e a condição de volume constante,
ω
2
⊥
ω
z
= ω
3
0
(δ), (2.2.7)
a freqüência do oscilador deformado ω
0
(δ) está relacionada com a freqüência do os-
cilador não deformado
o
ω
0
, por:
ω
0
(δ) =
o
ω
0
(1 −
4
3
δ
2
−
16
27
δ
3
)
−
1
6
(2.2.8)
onde
o
ω
0
é o valor de ω
0
(δ) para δ = 0.
Coordenadas cartesianas são difíceis de se trabalhar com potenciais em l · s e l
2
,
assim, Nilsson introduziu um sistema de coordenadas adimensional dependente da de-
formação:
r =
mω
0
(δ)
r
′
. (2.2.9)
Com essas novas coordenadas H
0
é separado em um termo esféricamente simétrico,
o
H
0
, e um termo representando o acoplamento da partícula ao eixo de deformação, H
δ
,
o qual é proporcional a δ. O Hamiltoniano toma, então, uma forma mais detalhada:
H =
o
H
0
+ H
δ
+ Cl · s+Dl
2
. (2.2.10)
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 12
Uma representação é usada onde
o
H
0
é diagonal, juntamente com l
2
, l
z
e s
z
que
comutam com
o
H
0
mas não com o Hamiltoniano total. Os correspondentes números
quânticos são denotados por l, Λ e Σ. O termo H
δ
é diagonal em N, número quântico
principal do oscilador, devido a transformação de coordenadas, e a componente do mo-
mento angular ao longo do eixo de simetria, j
z
, não comuta com toda a Hamiltoniana.
No potencial deformado os níveis de energia dependem de j
z
(j
z
= l
z
+ s
z
) com os
correspondentes números quânticos Ω, Λ e Σ.
Ao passo que no caso esférico todas as componentes de j são degeneradas, as de-
generescências nos níveis de energia deformados são duas vezes (±Ω), onde Ω e a
paridade [π = (−1)
N
] são usados para descreverem os níveis de partícula única. Os
estados |NlΛΣ > são os estados da base para os autoestados correspondendo a um
específico Ω; N referindo-se ao nível de camada do oscilador harmônico, tal que:
o
H
0
|NlΛΣ⟩ =
N +
3
2
ω
0
|NlΛΣ > . (2.2.11)
2.2.2 O potencial deformado de Woods-Saxon
O potencial deformado de oscilador harmônico, usado em cálculos fenomenológi-
cos realísticos, produzem efeitos indesejados conectados com o termo dependente da
velocidade, ∼ l
2
, contido na Hamiltoniana. Tais efeitos não estão presentes no caso de
potenciais finitos mais realísticos como os dos tipos de Woods-Saxon .
Um potencial nuclear realístico dependente da deformação é indispensável para
a análise não somente dos modos de partícula única ou quase-partícula única, mas
também para os modos coletivos (rotações nucleares, vibrações coletivas, processos de
fissão, etc..), especialmente quando estamos interessados em uma descrição quantita-
tiva do fenômeno observado. Como em Cwick et al. [16] e em Garcia et al. [17] [18]
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 13
assume-se que a forma do núcleo é definida pela superfície Σ :
Σ : f(r, θ, ϕ) = 0. (2.2.12)
A origem do sistema de coordenadas pode ser escolhida de tal maneira que coincida
com o centro de massa correspondente a esta forma:
r∈Interior de Σ
r d
3
r = 0. (2.2.13)
A forma da superfície nuclear é expandida em harmônicos esféricos, definida pela
relação:
f(r, θ, ϕ) ≡ r −R(
ˆ
Ω, ˆα) (2.2.14)
onde
R(
ˆ
Ω, ˆα) = c(ˆα)R
0
[1 +
λ≥2
µ
α
∗
λµ
Y
λµ
(
ˆ
Ω)] (2.2.15)
define a distância da origem do sistema de coordenadas ao ponto da superfície nuclear
cuja posição é especificada pelos ângulos (θ, ϕ) ≡
ˆ
Ω. Nesta última equação R
0
= r
0
A
1
3
é o raio do núcleo esférico de volume idêntico ao do interior da superfície e ˆα denota
o conjunto completo de parâmetros de deformação. O efeito da incompressibilidade
da matéria nuclear é levada em conta pelo requerimento de que o volume envolto pela
superfície Σ seja constante, independentemente da deformação nuclear (condição de
volume constante):
r ∈ Interior de Σ
d
3
r =
4
3
πR
3
0
. (2.2.16)
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 14
Esta equação define o fator de escala c(ˆα):
c(ˆα) =
4π
1 +
λ≥2
µ
α
∗
λµ
Y
λµ
(
ˆ
Ω)
3
dΩ
1/3
. (2.2.17)
No caso de formas axiais, a equação (2.2.15) é simplesmente:
R(t,
ˆ
β) = c(
ˆ
β)R
0
[1 +
λ≥2
β
λ
Y
λ0
(t)], (2.2.18)
onde t = cos θ. Na presença de multipolos ímpares, λ = 3, 5, ... nesta expansão, o reque-
rimento (2.2.13) para fixar o centro de massa na origem pode ser satisfeito introduzindo
a transformação de centro de massa:
z −→ z − z
cm
(2.2.19)
onde
z
cm
=
r ∈ Interior de Σ
rd
3
r
r ∈ Interior de Σ
d
3
r
=
3
8
R
0
c
4
(
ˆ
β)
+1
−1
[1 +
λ≥2
β
λ
Y
λ0
(t)]
4
t dt. (2.2.20)
A expansão em β definida na equação (2.2.18) é, usualmente limitada a coeficientes
de ordem baixa: β
2
(quadrupolo), β
3
(octupolo) e β
4
(hexadecapolo). Para formas
fortemente alongadas e com assimetria de massa, entretanto, deve-se usar multipolos
de ordem superior.
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 15
O potencial deformado de Woods-Saxon é definido da seguinte maneira [19]:
V
r,
ˆ
β
=
V
0
1 + exp
dist
Σ
r,
ˆ
β
/a
(2.2.21)
onde dist
Σ
r,
ˆ
β
é igual a distância (tomada com sinal negativo dentro da superfície)
entre o ponto r e a superfície nuclear representada pela equação (2.2.18) e a denota
a difusividade nuclear. A escolha acima tem fortes implicações geométricas [20]. A
equação V
r,
ˆ
β
= const., a qual define superfícies equipotenciais, é estritamente
equivalente a equação dist
Σ
r,
ˆ
β
= const.. Para uma superfície definida por esta
última temos:
∇dist
Σ
r,
ˆ
β
2
= 1 e ∆ dist
Σ
r,
ˆ
β
= 0. (2.2.22)
Portanto, para qualquer superfície equipotencial, o gradiente do potencial também
é constante. Por exemplo, se selecionamos a superfície dist
Σ
r,
ˆ
β
= 0, a qual corres-
ponde a Σ definida por (2.2.18), podemos ver a área difusa do potencial é constante,
independentemente da deformação nuclear. Usando a definição do potencial de Woods-
Saxon acima garante-nos, também, uma difusividade constante em qualquer ponto da
superfície.
O potencial spin-órbita é assumido na forma:
V
so
= λ
2Mc
2
∇
V
0
1 + exp
dist
Σ
r,
ˆ
β
/a
(σ × p) , (2.2.23)
onde λ denota a intensidade do potencial de spin-órbita, M é a massa nucleônica, o
vetor operador s composto pelas matrizes de Pauli está conectado com o operador de
spin s do núcleon pela relação s =
1
2
σ, e p é o operador de momento linear.
O potencial coulombiano para prótons, V
c
, é assumido ter uma carga nuclear
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 16
(Z − 1) e distribuída uniformemente dentro da superfície Σ, e é calculado em coor-
denadas cilíndricas usando-se a seguinte expressão [21]:
V
c
(z, ρ) = ρ
e
z
2
z
1
dz
′
ρ
2
Σ
− ρ
2
− (z
′
− z)
2
− (z
′
− z)
∂ρ
2
Σ
∂z
′
F (a, b) + E(a, b)
,
(2.2.24)
onde ρ
Σ
é o valor de ρ para um ponto na superfície com coordenada z, ρ
e
é uma
densidade de carga constante, z
1
e z
2
são os limites de integração ao longo do eixo z
(com z
1
= −z
2
para o caso simétrico), e
F (a, b) = a
−1
π/2
0
dφ
1 −
a
2
− b
2
a
2
sen
2
φ
−1/2
, (2.2.25)
E(a, b) = a
π/2
0
dφ
1 −
a
2
− b
2
a
2
sen
2
φ
1/2
, (2.2.26)
com a
2
= (z
′
− z)
2
− (ρ
′
+ ρ)
2
e b
2
= (z
′
− z)
2
− (ρ
′
− ρ)
2
e as coordenadas z
′
e ρ
′
se
referem aos pontos onde está a distribuição de carga.
A profundidade do potencial central é parametrizado como:
V = V
0
1 ± κ
(N − Z)
(N + Z)
(2.2.27)
com o sinal (+) para prótons e o sinal (−) para nêutrons, e κ depende da parametrização
utilizada.
Existem várias parametrizações do potencial de Woods-Saxon que podem ser en-
contradas na literatura. Algumas das mais conhecidas são aquelas de Blomqvist e
Wahlborn [22], de Chepurnov [23] e de Rost [24]. Outras como a parametrização ”op-
timal” [25][19] e a ”universal”[26][27] são também disponíveis.
2.2. Modelo de Camadas de Partícula-Única 17
2.2.3 Base de oscilador harmônico deformado
As autofunções de oscilador harmônico com simetria axial em um sistema de
coordenadas cilíndricas
|n
ρ
n
z
Λ Σ⟩ = ψ
Λ
n
ρ
(ρ) ψ
n
z
(z) ψ
Λ
(φ) χ (Σ) (2.2.28)
foram escolhidas como base para os cálculos do potencial deformado de partícula única.
Na equação (2.2.28), Σ = 2 m
s
m
s
= ±
1
2
e
ψ
Λ
(Λ) =
1
√
2π
e
iΛφ
, (2.2.29)
ψ
n
z
(z) =
1
(
√
π2
n
z
n
z
!)
Mω
z
1
4
e
−
ξ
2
2
H
n
z
(ξ) , (2.2.30)
ψ
Λ
n
ρ
(ρ) =
n
ρ
!
(n
ρ
+ |Λ|)!
2Mω
⊥
|Λ|
2
L
|Λ|
n
ρ
(η) . (2.2.31)
Λ denota a projeção do momento angular orbital no eixo de simetria, e as coordenadas
adimensionais (η, ξ) são
η =
Mω
⊥
ρ
2
,
ξ =
Mω
z
1
2
z,
ρ
2
= x
2
+ y
2
. (2.2.32)
Os polinômios de Hermite e os polinômios generalizados de Laguerre são denotados
por H
n
z
(ξ) e L
|Λ|
n
ρ
(η) , respectivamente[28]. Os símbolos χ (m
s
) são as funções de spin
χ
1
2
=
1
0
e χ
−
1
2
=
0
1
. (2.2.33)
2.3. Teorias Microscópicas 18
A energia de um dado estado base é dada por:
E
n
ρ
,n
z
,Λ
=
n
z
+
1
2
ω
z
+
n
⊥
+
1
2
ω
⊥
, (2.2.34)
onde
n
⊥
= 2n
ρ
+ |Λ| (2.2.35)
e o número quântico principal do oscilador é:
N = n
z
+ n
⊥
. (2.2.36)
As frequências ω
z
e ω
⊥
são obtidas impondo-se a condição de ”conservação de vo-
lume”
ω
2
⊥
ω
z
= ω
3
0
(2.2.37)
e a condição de deformação do potencial:
ω
⊥
ω
z
=
< z
2
>
Σ
< ρ
2
>
Σ
1
2
. (2.2.38)
Os termos ω
0
são obtidos pela relação:
ω
0
= (FACC)
41A
−
1
3
MeV (2.2.39)
onde (FACC) é um parâmetro de entrada que serve para otimizar a estabilidade para
grandes deformações; na maioria dos casos utiliza-se (FACC) ≈ 1, 2.
2.3 Teorias Microscópicas
O problema de estrutura nuclear é claramente um problema de muitos corpos.
Apesar do núcleo apresentar muitas propriedades em comum com sistemas de muitos
2.3. Teorias Microscópicas 19
corpos, possui características distintas. O sistema que mais próximo se parece com
um núcleo é o átomo, mas, ao contrário dos elétrons, núcleons são mantidos juntos
única e exclusivamente por sua atração mútua, sem a ajuda de um campo central
externo. Isto quer dizer que os métodos de campos auto-consistentes é muito mais
incerto, principalmente quando se considera a natureza repulsiva da força de curto
alcance entre os núcleons. Ao contrário dos sistemas de estado sólido, o núcleo é um
sistema de muitos corpos finito, contendo apenas algumas poucas, ou no caso limite,
centenas de partículas. Aproximações que são válidas na ordem de
1
A
, onde A é o
número de partículas, são portanto não necessariamente confiáveis. Por outro lado, o
núcleo possuí partículas demais para ser tratado como como um problema de poucos
corpos. O núcleo possuí então seu próprio problema especial, que as vezes se complexo,
mas raramente tolo.
Existem muitas teorias que são usadas para descrever o núcleo, no entanto existe
um tema comum muito discutido na literatura. Este tema comum é conhecido como
método de campo auto-consistente de Hartree-Fock.
2.3.1 Método de Hartree-Fock
Ao considerarmos que as partículas são independentes, podemos negligenciar o
potencial de interação entre dois núcleons. Deste modo o sistema pode ser representado
por um simples Hamiltoniano e resulta na equação de onda de Schrödinger:
−
2
2M
∇
2
+ u
0
(r)
ψ
1
(r) = ε
i
ψ
i
(r). (2.3.1)
No entanto, seria mais adequado considerar que os núcleons se movem em um
potencial criado por todos os demais núcleons. Isto nos permite escrever um interação,
que representa a interação média sentida por um núcleon i, devido a todos os demais
núcleons, na forma:
2.3. Teorias Microscópicas 20
u
i
(r
i
) =
A
j̸=i
|ψ
j
(r
j
)|
2
v(r
i
, r
j
)dr
j
(2.3.2)
onde v(r
i
, r
j
) é a interação entre dois núcleons. Este potencial nos leva a uma
equação de onda modificada
−
2
2M
∇
2
+ u
0
(r) + u
i
(r)
ψ
1
(r) = ε
i
ψ
i
(r) (2.3.3)
que é uma equação de partícula independente e perfeitamente solúvel. A função de
onda total é então:
ϕ(12 . . . A) = ψ
1
(1)ψ
2
(2) . . . ψ
A
(A). (2.3.4)
que é conhecido como produto de Hartree.
Enquanto esta forma funcional se mostra conveniente, ela apresenta um problema:
ela não satisfaz o princípio de anti-simetria, que diz que uma função de onda descre-
vendo fermions devem ser anti-simétricas com respeito a troca de qualquer conjunto
de coordenadas de espaço ou spin.
A consideração fundamental assumida pela teoria HF é que a função de onda nuclear
é um produto anti-simétrico das funções de onda de partícula independente
ϕ(12 . . . A) = Aψ
1
(1)ψ
2
(2) . . . ψ
A
(A). (2.3.5)
onde A representa uma operação de anti-simetrização que gera o determinante de
Slater normalizado
2.3. Teorias Microscópicas 21
Aψ
1
(1)ψ
2
(2) . . . ψ
A
(A) =
1
√
A!
cccψ
1
(1)ψ
2
(1) . . . ψ
A
(1)
ψ
1
(2)ψ
2
(2) . . . ψ
A
(2)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ψ
1
(A)ψ
2
(A) . . . ψ
A
(A)
(2.3.6)
A melhor função de onda possível desta forma é determinada pela aplicação do
princípio variacional. O princípio variacional determina que, para pequenas variações
de um auto-estado, o valor esperado da energia é estacionário; para o estado funda-
mental, em particular, este valor é mínimo. Portanto
δ ⟨ϕ|H |ϕ⟩ = ⟨δϕ|H |ϕ⟩ = 0 (2.3.7)
para pequenas variações δϕ que preservem a normalização das funções de onda de
partícula única
|ψ
i
(r)|
2
dr = 1 (2.3.8)
Considere a seguinte Hamiltoniana:
H =
A
i
T
i
+
1
2
A
ij
v(r
i
, r
j
) (2.3.9)
o valor esperado da energia é dado por:
⟨ϕ|H |ϕ⟩ = −
2
2M
A
i
ψ
∗
i
(r)∇
2
ψ
i
(r)dr
+
1
2
A
ij
ψ
∗
i
(r)ψ
∗
j
(r
′
)v(r, r
′
)ψ
i
(r)ψ
j
(r
′
)drdr
′
−
1
2
A
ij
ψ
∗
i
(r)ψ
∗
j
(r
′
)v(r, r
′
)ψ
i
(r
′
)ψ
j
(r)drdr
′
(2.3.10)
2.3. Teorias Microscópicas 22
aplicando a variação em ψ
∗
i
(r), temos a equação de onda de partícula única
−
2
2M
∇
2
ψ
i
(r) +
A
ij
ψ
∗
j
(r
′
)v(r, r
′
)ψ
i
(r)ψ
j
(r
′
)dr
′
−
1
2
A
ij
ψ
∗
j
(r
′
)v(r, r
′
)ψ
i
(r
′
)ψ
j
(r)dr
′
= ε
i
ψ
i
(r) (2.3.11)
onde ε
I
é o multiplicador de lagrange, que força o vinculo 2.3.8 e tem significado de
energia de partícula única, isto fica mais aparente quando reescrevemos 2.3.11 sob a
forma:
−
2
2M
∇
2
ψ
i
(r) +
u(r, r
′
)ψ
i
(r
′
)dr
′
= ε
i
ψ
i
(r) (2.3.12)
O primeiro termo é o termo direto, correspondendo a um campo de Hartree. O
segundo termo é a contribuição de exchange e é não local. Aparentemente o alcance da
não localidade do campo de HF é estreitamente relacionado com o alcance da interação
de dois corpos, v(r, r
′
).
Geralmente, a interação de dois corpos não é simplesmente uma função das coor-
denadas das partículas, como poderíamos supor, mas, também depende do momento
relativo. Então, uma interação de dois corpos mais geral seria um operador ou uma
função não local. Generalizando a interação de dois corpos, a expressão para o campo
se torna:
u(r
1
, r
′
1
) =
A
j
v(r
1
r
2
; r
′
1
r
′
2
)ψ
i
(r
2
)ψ
∗
j
(r
2
)dr
2
dr
′
2
−
A
j
v(r
1
r
2
; r
′
2
r
′
1
)ψ
j
(r
′
2
)ψ
∗
j
(r
2
)dr
2
dr
2
(2.3.13)
ou
u(r
1
, r
′
1
) =
V (r
1
r
2
; r
′
1
r
′
2
)ρ(r
′
2
r
2
) ≡ T r
2
(v
12
ρ
2
) (2.3.14)
2.3. Teorias Microscópicas 23
onde V é a interação anti-simétrica
V (r
1
r
2
; r
′
1
r
′
2
) = v(r
1
r
2
; r
′
1
r
′
2
) − v(r
1
r
2
; r
′
2
r
′
1
) (2.3.15)
e ρ(r
′
2
r
2
) é a densidade de partícula-única.
O elemento diagonal, ρ(r, r), da densidade de partícula-única é a densidade clás-
sica ρ(r); a probabilidade de encontrar uma partícula na posição r. A densidade de
partícula-única, ρ(r
′
2
r
2
), é a amplitude de probabilidade de que uma partícula possa ser
removida do núcleo na posição r
′
e re-colocada na posição r, sem que haja a excitação
do núcleo. Em termos da segunda quantização, temos:
ρ(r
′
2
r
2
) ≡ ⟨ϕ|a
†
r
a
r
′
|ϕ⟩. (2.3.16)
isto nos leva a ter que usar a densidade na representação de configuração. Seus
elementos de matriz serão definidos por:
ρ
v
′
v
≡ ⟨ϕ|a
†
v
a
v
′
|ϕ⟩. (2.3.17)
da relação
a
†
v
=
ψ
v
(r)a
†
r
dr (2.3.18)
temos que:
ρ
v
′
v
=
ψ
†
v
′
(r
′
)ρ(r
′
, r)ψ
v
(r)drdr
′
= ⟨v
′
|ρ |v⟩. (2.3.19)
A densidade de partícula-única para um produto de funções de onda do tipo 2.3.5,
tem a simples forma:
ρ(r
′
, r) =
A
j
ψ
j
(r
′
)ψ
∗
j
(r) (2.3.20)
2.3. Teorias Microscópicas 24
e tem propriedades especiais, em particular
ρ(r
′
, r
′
′)ρ(r
′
′, r) = ρ(r
′
, r) (2.3.21)
Este resultado, que pode ser expresso em qualquer representação,
ρ
2
= ρ, (2.3.22)
é a marca característica de uma partícula-independente ou produto de funções de onda.
Para solucionar a equação de HF, podemos proceder iterativamente no ciclo:
u
(0)
→ ψ
i
→ ρ → u
(1)
= T r(V
ρ
)
Estimando um valor inicial para o campo u
(0)
, um conjunto de funções de onda de
partícula-única é calculado. Estas funções são então usadas para calcular uma melhor
aproximação, u
(1)
, para o campo e assim por diante, até que a auto-consistência seja
atingida.
Como se pode esperar, o campo é uma função apenas das funções de onda ocupadas
de partícula-única. Todavia, a equação de onda 2.3.12 gera um conjunto completo de
funções de onda de partícula-única. Construindo o determinante de HF, naturalmente
selecionamos A dentre as funções de onda com a mais baixa energia. Então, o estado
de HF corresponde ao "Mar de Fermi"de partículas delimitado por uma superfície de
heavyside.
Para vários propósitos será conveniente considerar o estado de HF como o vácuo
de partícula-buraco, escrito como |⟩. Estados de partícula serão então definidos como
estados de partícula-única acima da superfície de Fermi (desocupados) e estados de
buraco serão então aqueles estados ocupados situados abaixo da superfície de Fermi.
Uma comparação entre os estados de partícula (buraco) com os estados de quase-
2.3. Teorias Microscópicas 25
partícula pode ser vista na Figura 2.5.
Superfície
de Fermi
Estado de Buraco
Estados de Partícula
Estado de Quase-Partícula
t
P
(n)
P
(n)
t
n
m
V
m
2
U
m
2
Figura 2.5: Probabilidade de ocupação de orbitais de partícula-única: para modelo
de partícula independente (esquerda) e com a inclusão de forças de emparelhamento
(direita).U
2
µ
e V
2
µ
, denotam a probabilidade de ocupação de um estado por um buraco
ou uma partícula, respectivamente.
2.3.2 Método de Hartree-Fock-Bogoliubov
A principal diferença entre o método de Hartree-Fock e o método de Hartree-Fock-
Bogoulibov é que, no primeiro, temos um estado com a possibilidade única de ocupação
por um buraco (U
2
µ
= 1, V
2
µ
= 0) ou partícula (U
2
µ
= 0, V
2
µ
= 1), no segundo temos
um estado com a possibilidade de ocupação simultânea por uma partícula ou buraco
(U
2
µ
+ V
2
µ
= 1).
Uma Hamiltoniana de dois corpos para um sistema de férmions pode ser expressa
em função de um conjunto de operadores de criação e aniquilação (a, a
†
):
H =
n
1
n
2
e
n
1
n
2
a
†
n
1
a +
1
4
n
1
n
2
n
3
n
4
v
n
1
n
2
n
3
n
4
a
†
n
1
a
†
n
2
a
n
3
a
n
4
(2.3.23)
2.3. Teorias Microscópicas 26
onde v
n
1
n
2
n
3
n
4
= ⟨n
1
n
2
|V |n
3
n
4
− n
4
n
3
⟩ são elementos da matriz anti-simétrica de in-
teração de dois corpos. No método Hatree-Fo ck-Bogoliubov, a função de onda |Φ⟩ é
definida como o vácuo de quase-partícula α
k
|Φ⟩ = 0, onde os operadores de quase-
partícula (α, α
†
) estão conectados aos operadores originais de partícula por meio da
transformação linear de Bogoliubov-Valatin
α
k
=
n
(U
∗
nk
a
n
+ V
∗
nk
a
†
n
), α
†
k
=
n
(V
nk
a
n
+ U
nk
a
†
n
) (2.3.24)
que pode ser reescrita na forma matricial
α
α
†
=
U
†
V
†
V
T
U
T
a
a
†
(2.3.25)
As matrizes U e V devem satisfazer as relações:
U
†
U + V
†
V = I, UU
†
+ V
∗
V
T
= I, U
T
V + V
T
U = 0, UV
†
+ V
∗
U
T
= 0 (2.3.26)
Em termos das matrizes de densidade de um-corpo, definidas por
ρ
nn
′
= ⟨Φ|c
†
n
′
c
n
|Φ⟩ = (V
∗
V
T
)
nn
′
, κ
nn
′
= ⟨Φ|c
n
′
c
n
|Φ⟩ = (V
∗
U
T
)
nn
′
(2.3.27)
o valor esperado da Hamiltoniana é dado como um funcional de energia
E[ρ, κ] =
⟨Φ|H |Φ⟩
⟨Φ||Φ⟩
= T r[(e +
1
2
Γ)ρ] −
1
2
T r[∆κ
∗
] (2.3.28)
onde
Γ
n
1
n
2
=
n
2
n
4
v
n
1
n
2
n
3
n
4
ρ
n
4
n
2
, ∆
n
1
n
2
=
1
2
n
3
n
4
v
n
1
n
2
n
3
n
4
κ
n
3
n
4
(2.3.29)
2.4. Teoria Estatística de Multi-Estágios 27
A variação da energia em razão a ρ e κ resulta nas equações de Hartree-Fock-Bogoliubov:
e + Γ − λ ∆
−∆
∗
−(e + Γ)
∗
+ λ
U
V
= E
U
V
(2.3.30)
2.4 Teoria Estatística de Multi-Estágios
De acordo com a teoria estatística de reações, de Feshbach, Kerman e Koonin
(FKK)[7], as reações são classificadas em dois tipos; estatísticas compostas de multi-
estágios e estatísticas diretas de multi-estágios. Na primeira delas o sistema (núcleo
alvo) é excitado, formando um estado meta-estável para então decair. Já na segunda,
o sistema decai sem a necessidade da formação destes estados intermediários. Como
resultado temos que a seção de choque total é uma soma destas duas contribuiçõ es onde
a parte composta de multi-estágios domina próximo a região de evaporação (partículas
são emitas com pouca energia e estados excitados na vizinhança da região de alta
energia do espectro) e a parte direta de multi-estágios domina próximo a região direta
(partículas emitidas com altas energias e estados excitados na vizinhança da região de
baixa energia do espectro).
Para interpretação desta teoria, usa-se o modelo de éxcitons, no qual o sistema,
núcleo alvo mais partícula incidente, é descrito com base no modelo de camadas de
partícula única. Os estados excitados são caracterizado pela soma do número de éxci-
tons (partículas e buracos).
Considera-se então, neste contexto, que a reação ocorre numa seqüencia de estágios.
Cada estágio será então determinado por uma classe de excitações possuindo uma
certa complexidade e o aumento nesta complexidade será determinado pelo aumento
do número de éxcitons. Podemos então dizer que as excitações do n-ésimo estágio são
mais complexas que as do (n-1)-ésimo estágio e menos complexas que as do (n+1)-
ésimo estágio da cadeia. Em ambos os processos há uma complexidade crescente nos
2.4. Teoria Estatística de Multi-Estágios 28
estágios. Cada estágio que pertencer ao processo direto terá ao menos uma partícula
no contínuo. Enquanto que no processo de núcleo composto, todas as partículas são
ligadas em um dado potencial.
A teoria FKK faz duas suposições, a saber:
• Hipótese do encadeamento: A interação residual só pode induzir transições do
n-ésimo estágio para um estágio com n ± 1.
• Hipótese estatística: Assume-se que as fases relativas de certos elementos de ma-
triz são aleatórios. No processo composto de multi-estágios todos os elementos
necessários para identificar um canal específico (momentos angulares totais, pari-
dades e outros números quânticos) tem fases aleatórias de modo que nenhum
termo de interferência sobreviverá a um processo de média estatística. Já no
processo direto de multi-estágios, os termos que envolverem a mesma mudança
no momento da partícula no contínuo irão interferir construtivamente sobre o
processo de média estática. Isto irá preservar a "memória"da direção inicial re-
sultando em uma anisotropia da distribuição angular.
2.4.1 Hipótese do Encadeamento
A teoria FKK original assume que existe uma partição encadeada do espaço de
Hilbert em espaços P e Q, chamada de hipótese do encadeamento. Podemos observar
como se dá essa partição na Figura 2.6.
Onde, uma partição encadeada a Q consiste de um conjunto de sub-espaços Q
n
com operadores de projeção Q
n
de modo que:
n
Q
n
= Q;
n
Q
n
= Q; Q
n
Q
m
= δ
nm
(2.4.1)
2.4. Teoria Estatística de Multi-Estágios 29
P
0
2
=
P P P P P
Q Q Q Q Q
1
1
1
1
2
3
3
4
4
=
...
...
Figura 2.6: Particionamento do espaço de Hilbert, de acordo com a Hipótese do En-
cadeamento.
e
h
nm
= Q
n
h
QQ
Q
m
= 0; se | n −m |≥ 2. (2.4.2)
A partição do espaço de Hilbert é definida pelas equações 2.4.1, enquanto que
a condição do encadeamento é definida pela equação 2.4.2. Nesta última é possível
ver que existe um sub-espaço ordenado com respeito ao aumento da complexidade,
o operador h
QQ
conectará o espaço Q
n
apenas aos seus vizinhos, onde um deles é
mais complexo que Q
n
pertencendo ao (n+1)-ésimo estágio da cadeia e o outro menos
complexo pertencendo ao (n-1)-ésimo estágio.
Iniciaremos agora a construção do encadeamento para um núcleo excitado na RG,
por exemplo, por uma radiação gama. Suponhamos que v seja um operador de dois
corpos
v =
1
2
αβα
′
β
′
v(β
′
α
′
; αβ)a
†
β
′
a
†
α
′
a
β
a
α
, (2.4.3)
onde, como de costume, os termos a
†
e a são operadores de criação e aniquilamento da
2.4. Teoria Estatística de Multi-Estágios 30
interação residual da Hamiltoniana nuclear do modelo de camadas de partícula única.
Estados onde o núcleo se encontra no estado fundamental constituem o espaço P
0
,
muito embora qualquer P
n
sirva como canal de entrada.
RG’s podem ser vistas como a superposição coerente de excitações do tipo partícula-
buraco, então, um estado que descreve o núcleo excitado até a RG pode ser escrito
como:
ψ
1
= a
†
γ
′
a
γ
ψ
0
(2.4.4)
onde ψ
0
é o vetor que representa o estado fundamental do núcleo alvo e satisfaz
(T + v)ψ
0
= 0 (2.4.5)
com T sendo o operador de energia cinética. Quando v opera em ψ
1
, uma combinação
linear de estados em P
0
, P
1
e Q
1
é gerada:
vψ
1
= [v, a
†
γ
′
a
γ
]ψ
0
− a
†
γ
′
a
γ
T ψ
0
(2.4.6)
Os estado em P
1
e Q
1
são do tipo 2 partículas-2 buracos (2p −2h). Estes aparecem
no primeiro termo [v, a
†
γ
′
a
γ
] sendo combinações lineares do tipo
v(β
′
α
′
; βγ)a
†
β
′
a
†
α
′
a
β
a
γ
ψ
0
(2.4.7)
O segundo termo é também uma composição de combinações lineares do tipo 2p −
2h. A restrição para Q
1
está na imposição de que todos os estados de partícula na
equação 2.4.7 sejam ligados a um potencial definido. O espaço Q
1
é referido como
espaço de doorway e os estados definidos pela equação 2.4.7 são chamados de estados
de doorway. O próximo espaço mais complexo na cadeia pode ser obtido ao se fazer
v atuar nos estados descritos pela equação 2.4.7 e são do tipo 3p − 3h, definindo um
2.5. Ressonâncias Gigantes 31
espaço Q
2
. Se este processo continuar, o espaço Q torna-se um conjunto ordenado de
Q
n
sub-espaços com uma configuração do tipo np − nh.
Um processo análogo por ser feito com o canal aberto P. O espaço P
1
contém
estado do tipo 2p − 2h, também definidos por 2.4.7, para os quais, ao menos um dos
estados β
′
ou α
′
estão no contínuo. P
n
irá conter ao menos uma partícula no contínuo
juntamente com (n − 1) partículas e n buracos representando o resto do sistema. O
espaço P também deve satisfazer a hipótese do encadeamento:
P
n
vP
m
= 0 se | n −m |≥ 2. (2.4.8)
2.5 Ressonâncias Gigantes
A Teoria Estatística de Múltiplas Etapas de Núcleo Composto [7] fornece um
método de cálculo das larguras de Damping e de Escape para Ressonâncias Gigantes.
De acordo com esta teoria a largura total (Γ
nJ
) de uma dada RG com energia de
excitação E, momento angular J e uma configuração próxima ao n-ésimo estágio da
cadeia (Q
n
), pode ser dada pela equação:
⟨Γ
nJ
⟩ = ⟨Γ
↓
nJ
⟩ +
n+1
ν=n−1
js
E−B
0
⟨Γ
jsν
nJ
(U)ρ
sν
(U)⟩dU (2.5.1)
onde ⟨Γ
↓
nJ
⟩ é a largura de Damping e o termo remanescente a direita da igualdade
caracteriza a largura de escape , com ν = n − 1 , ν = n e ν = n + 1 correspondendo
a emissão de um núcleon com a simultânea criação de um par partícula-buraco, ne-
nhuma mudança no número de éxcitons ou a aniquilação de um par partícula-buraco,
respectivamente. Onde ρ é a densidade de níveis de partícula única, B é a energia de
ligação do núcleon emitido e U é a energia do núcleo residual. Se o núcleo estiver sendo
descrito por um número par de éxcitons, teremos uma relação para este número, no
2.5. Ressonâncias Gigantes 32
n-ésimo estágio com N = p + h, por N = 2n. Se o núcleon for descrito por um número
ímpar, teremos N = 2n + 1, com N = p + h + 1.
Para configurações onde apareçam p partículas- h buracos, podemos expressar a
densidade de níveis, ρ, com spin J e energia E através do modelo de éxcitons onde
adota-se um igual espaçamento, g, entre os estados. Está expressão é:
ρ
ph
(E, J) =
g(gE)
N−1
p!h!(N − 1)!
R
N
(J) (2.5.2)
onde
R
N
(J) =
(2J + 1)
π
1
2
N
3
2
σ
3
e
−(J+1/2)
2
/N σ
2
(2.5.3)
é a distribuição de spins dos níveis de partícula única. O parâmetro de corte (cut-off )
de spin de partícula única (σ) e o espaçamento entre os níveis (g) são funções que
dependem do número de núcleons (A)[7]:
g ∼
3A
4π
2
, σ =
√
12
45π
A
5/3
g
1/2
(2.5.4)
Para descrever o comportamento microscópico do mecanismo de equilíbrio, o modele
adota uma força do tipo δ entre os éxcitons, expressa por:
V (r
1
, r
2
) = V
0
4
3
πr
3
0
δ(r
1
− r
2
) (2.5.5)
V
0
é um parâmetro de intensidade e r
0
= 1, 25fm é a constante de raio nuclear.
Para que o cálculo das larguras seja possível, deve-se assumir uma fatorização na
dependência em energia e momento angular da densidade de estados. Paras as larguras
de escape envolvidas no processo de emissão de núcleons, suas equações irão assumir a
forma:
⟨Γ
jsν
nJ
(U)ρ
sν
(U)⟩ = X
jsν
nJ
(U)Y
ν
n
(U) (2.5.6)
2.5. Ressonâncias Gigantes 33
e para as larguras de damping a forma:
⟨Γ
↓
nJ
⟩ = X
↓
nJ
Y
↓
n
(E) (2.5.7)
Nestas condições, as funções X contém a estrutura de momento angular inclusa na
força-δ e a distribuição de spins dos níveis de partícula única, enquanto as funções Y
contém toda a dependência originada na densidade final de níveis. Deve-se ressaltar
ainda o fato de que, na largura de escape, as funções X também carrega uma dependên-
cia em energia pois, a largura depende do estado do núcleo residual caracterizado pela
energia U e spin s.
2.5.1 Estruturas de Energia - As Funções Y
Como citado anteriormente, as funções Y carregam toda a dependência em energia
na fatorização das larguras de ressonância. É possível representar, para cada estágio n
da cadeia, através de diagramas esquemáticos presentes na Figura 2.7
Nos diagramas, as linhas duplas são usadas para caracterizar o núcleon levando
ao sistema composto, setas subindo (descendo) representam partículas (buracos), en-
quanto que as linhas tracejadas representam a interação e as linhas três linhas paralelas
verticais denotam os éxcitons que não participam da interação.
Pode-se calcular as funções Y , presentes nestes diagramas, através das expressões
presentes na teoria FKK original[7] ou a formulação proposta pro Oblo˘zinský[9, 10]. Em
ambas as teorias é suposto um espaçamento eqüidistante entre os estados de partícula
única (
1
g
) e a energia de excitação E está distribuída entre p partículas e h buracos. A
diferença básica entre as duas teorias aparece na formulação de Oblo˘zinský, como se
segue:
• Um poço com profundidade finita é considerado.
2.5. Ressonâncias Gigantes 34
e+B
e+B
e+B
e+B
e+B
U
E-U-t
U-t
U
U
U
U
U-t
E-U-t
Y
(U)=
n+1
n-1
n
Y
Y
n
n
(U)=
(U)=
n
t
t
Figura 2.7: Diagramas esquemáticos para as funções Y
v
. Para v = n temos um
processo onde o número de éxcitons permanece constante, enquanto que para v =
n + 1 ou v = n − 1 indicam a criação ou aniquilação de um par partícula-buraco.
Setas simples subindo (descendo) denotam partículas (buracos) ligadas, enquanto a
dupla seta representa partículas emitidas. A linha portilhada horizontal representa a
interação residual e as três linhas verticais representam os éxcitons que não participam
da interação. (desligadas)
• Dois vínculos de energia são impostos: A energia de estado de buraco único não
pode exceder a energia de Fermi F , e as excitações de partícula única não devem
ser menores que a energia de ligação do núcleon B
• Efeitos de blocking de Pauli são incluídos no cálculo das densidades de partícula-
2.5. Ressonâncias Gigantes 35
buraco.
Segundo a teoria FKK, temos as seguintes expressões para as funções Y :
Y
n
n
(U) = gp
p − 1
2
+ h
(N − 1) ξ
N−2
1 −
N − 2
N − 1
ξ
(2.5.8)
Y
n−1
n
(U) =
hp (p − 1)
4E
(N − 1)!
(N − 4)!
ξ
N−4
(1 − ξ)
2
(2.5.9)
Y
n+1
n
(U) = g (gE) ξ
N
(2.5.10)
onde ξ = U/E. Temos também a seguinte expressão para Damping:
Y
↓
n
(E) = g
(gE)
2
2(n + 1)
(2.5.11)
podemos representar esquematicamente está expressão com um diagrama esquemático
semelhante aos presentes na segunda linha da Figura 2.7, bastando apenas a troca
da dupla seta por uma simples, uma vez que o núcleon que ela deve representar per-
manecerá ligado.
Segundo Oblo˘zinský, conservando-se a notação feita acima, as funções Y para escape
2.5. Ressonâncias Gigantes 36
serão dadas por:
Y
n
n
(U) =
1
2
g
3
ω(p, h, E)
Θ (U − E + 2B)
N − 2
(U − E + 2B) ω(p −2, h, U
N−2
)
+
ω(p − 2, h, (E − 2B)
N−1
) − ω(p −2, h, U
N−1
)
N − 1
+ B
ω(p − 1, h −1, U
N−2
)
N − 2
(2.5.12)
Y
n−1
n
(U) =
ω(p − 2, h −1, U)
ω(p, h, E)
ω(2, 1, E − U) (2.5.13)
Y
n+1
n
(U) =
1
2
g
3
ω(p, h, E)
ω(p, h − 1, U
N
)
N (N − 1)
(2.5.14)
e para damping:
Y
↓
n
(E) =
a
Y
↓
n
+
b
Y
↓
n
(2.5.15)
com:
a
Y
↓
n
=
1
2
g
4
ω(p, h, E)
×
ω(p − 1, h, E
N+1
) − ω(p −1, h, (E − B)
N+1
)
(N − 1) N (N + 1)
−
Bω(p − 1, h, (E − B)
N
)
(N − 1)
−
B
2
ω(p − 1, h, (E − B)
N−1
)
2 (N − 1)
(2.5.16)
2.5. Ressonâncias Gigantes 37
e
b
Y
↓
n
=
1
2
g
4
ω(p, h, E)
×
ω(p, h − 1, E
N+1
) − ω(p, h − 1, (E − B)
N+1
)
(N − 1) N (N + 1)
+
Bω(p, h − 1, (E − F )
N
)
N
+
ω(p, h − 1, E
2
(E − F )
N−1
) − ω(p, h − 1, (E − B)
2
(E − F )
N−1
)
2 (N − 1)
(2.5.17)
Nestas expressões, a densidade de partícula-buraco ω(p, h, E) é dada por:
.ω(p, h, E) =
g
N
p!h!(N−1)!
p
i=0
h
k=0
(−1)
i+k
p
i
h
k
Θ (E − α
ph
− iB − kF )
× (E − A
ph
− iB − kF )
N−1
(2.5.18)
onde B é a energia de ligaçãoo e F a energia de Fermi,
α
ph
=
1
2
p
2
+ p
g
+
h
2
− h
g
(2.5.19)
A
ph
=
1
2
p
2
+ p
g
+
h
2
− 3h
g
(2.5.20)
2.5. Ressonâncias Gigantes 38
e, para as demais densidades, usamos a notação compacta:
ω(p, h, U
N+ν
) =
g
p+h
p!h!(N−1)!
p
i=0
h
k=0
(−1)
i+k
p
i
h
k
× Θ (U − iB − kF ) (U − iB − kF )
N+ν
para U > 0
0 para U ≤ 0
(2.5.21)
2.5.2 Estruturas de Momento Angular - As Funções X
A representação das funções X, contendo o acoplamento de momento angular,
podem ser vistas na Figura 2.8.
J
Q
X
n+1
n
(U)
j
j
j
j
j
j
1
4
1
2
3
J
s
j
3
j
1
j
2
j
Q
j
4
s
J
J
j
j
j
2
j
3
s
J
J
Q
j
4
X
n-1
n
X
n
n
(U)
(U)
Figura 2.8: Diagramas esquemáticos representando as funções X
v
. Onde, semelhante
as funções Y , temos um processo ocorrendo sem a mudança no número de éxcitons,
com a criação ou aniquilação de um par partícula-buraco para v = n, v = n + 1 e
v = n − 1, respectivamente.
2.5. Ressonâncias Gigantes 39
As expressões para escape para cada estágio da cadeia será dada por [7, 8]:
X
jsn
nJ
(U) = 2π
(2j + 1) (2s + 1)
R
N
(J)
Qj
3
j
4
(2Q + 1) F (Q) (2j
3
+ 1) R
1
(j
3
) R
N−2
(j
4
)
×
j j
3
Q
1
2
−
1
2
0
2
j j
3
Q
j
4
J s
2
I
2
(j
1
, j
2
, j
3
, J)∆(QJj
4
)
(2.5.22)
X
js(n+1)
nJ
(U) = 2π
(2j + 1) (2s + 1)
R
N
(J)
Qj
3
j
4
(2Q + 1) F (j
3
) (2j
3
+ 1) R
1
(Q) R
N−1
(j
4
)
×
j Q j
3
1
2
−
1
2
0
2
j j
3
Q
j
4
J s
2
I
2
(j
1
, j
2
, j
3
, J)∆(QJj
4
)
(2.5.23)
X
js(n−1)
nJ
(U) = 2π
R
N−3
(s)
R
N
(J)
Qj
3
j
4
(2Q + 1) F (Q) (2j
3
+ 1) R
1
(j
3
)
×
j j
3
Q
1
2
−
1
2
0
2
I
2
(j
1
, j
2
, j
3
, j)∆(jsJ) (2.5.24)
onde a densidade de momento angular de pares é:
F (Q) =
j
1
j
2
(2j
1
+ 1) R
1
(j
1
) (2j
2
+ 1) R
1
(j
2
)
j
1
j
2
Q
1
2
−
1
2
0
2
, (2.5.25)
as funções R
N
(J) são dadas pela equação (2.5.3) e a função delta triangular, ∆(j
a
j
b
j
c
),
encerra a conservação do momento angular (|j
a
− j
b
| ≤ j
c
≤ |j
a
+ j
b
|).
2.5. Ressonâncias Gigantes 40
Para damping temos:
X
↓
nJ
= 2π
1
R
N
(J)
Qjj
3
j
4
R
1
(Q) R
N−1
(j
4
) (2j
3
+ 1) F (j
3
) (2j + 1) R
1
(j)
×
j j
3
Q
1
2
−
1
2
0
2
I
2
(j
1
, j
2
, Q, j)∆(j
4
QJ) (2.5.26)
com F (j
3
) definida pela equação (2.5.25).
As integrais, I, que aparecem nas equações acima são definidas por:
I (j
1
, j
2
, Q, j) =
4
3
πr
3
o
V
o
1
4π
∞
0
R
j
1
(r)R
j
2
(r)R
Q
(r)R
j
(r)
dr
r
2
(2.5.27)
onde as funções R
j
(r) são as partes radiais das funções de onda de oscilador harmônico
para estados ligados [29], dadas por:
R
j
(r) = R
nl
(r)
=
1
(2l + 1)!!
2
l−n+3
(2n + 2l − 1)!!
b
3
π
1/2
(n − 1)!!
1
2
r
b
l
e
−r
2
/2b
2
1
F
1
1 − n, l +
3
2
;
r
2
b
2
(2.5.28)
onde a série confluente hipergeométrica é dada por:
1
F
1
1 − n, l +
3
2
;
r
2
b
2
=
n−1
k=0
(−1)
k
(n − 1)!2
k
(n − k − 1)!k!
(2l + 1)!!
(2l + 2k + 1)!!
r
b
2k
(2.5.29)
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 41
2.6 Larguras de decaimento de RG’s
2.6.1 Larguras de Damping
O cálculo da largura de damping foi feito utilizando a Teoria de Núcleo composto,
exposta neste trabalho. Nesta aproximação se faz uma fatorização em dependência da
energia de excitação e momento angular. Então, se pode escrever a largura de damping
associada com o n-ésimo estágio na seguinte forma:
⟨Γ
↓n+2
nJ
(E)⟩ = X
↓n+2
nJ
Y
↓n+2
nJ
(E) (2.6.1)
Diagramas esquemáticos correspondentes a esta descrição podem ser visto na Figura
2.9.
e+B
e+B
E-U-t
U-t
U
U
U-t
E-U-t
t
t
j
3
j
1
j
2
j
Q
j
4
s
J
E
J
E
E
E
Figura 2.9: Diagramas esquemáticos representando as dependências em energia e mo-
mento angular.
A função X, contendo os detalhes do acoplamento do momento angular é dada pela
equação 2.5.26. As funções Y , dadas pelas equações 2.5.15, 2.5.16 e 2.5.17, descrevem
o espaço de fase disponível para a transição e são calculadas considerando a densidade
de estados de partícula-buraco nas configurações iniciais e finais, de acordo com o
proposto por Oblo˘zinský [9]. Esquematicamente, podemos observar os processos que
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 42
contribuem para as funções Y na Figura 2.9.
2.6.2 Largura de Escape de Pré-Equilíbrio
A largura total de escape é definida por:
⟨Γ
↑
nJ
⟩ =
n+1
ν=n−1
js
E−B
0
⟨Γ
jsν
nJ
(U)ρ
sν
(U)⟩dU (2.6.2)
Para se calcular esta expressão primeiro soma-se sobre todos os spins do núcleo
residual, s, e após isto calcula-se a integral em energia. Convém notar no entanto
que a primeira somatória deve ser feita apenas para a emissão no processo direto e de
pré-equilíbrio, pois o termo de aniquilação (v = n − 1) de um par partícula-buraco
com a configuração inicial 1p-1h, corresponde a emissão gama, que não contribui para
a largura de escape de partículas no doorway.
Os termos correspondentes a criação de um novo par partícula-buraco no processo de
pré-equilíbrio são calculados usando-se os mesmos elementos da matriz nuclear da teoria
FKK. Aplicando-se a fatoração exposta na equação (2.5.6), a função X que aparece é
a da equação (2.5.23). Somando-se sobre s, e aplicando-se a relação de completeza dos
coeficientes 6 − j, dada por:
s
(2s + 1) (2Q + 1)
j J s
j
4
j
3
Q
2
= 1 (2.6.3)
com
j j
3
Q
j
4
J s
2
=
j J s
j
4
j
3
Q
2
(2.6.4)
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 43
a função X, torna-se independente do núcleo residual e pode ser expressa como:
X
↑n+1
nJ
= 2π
jQj
3
j
4
(2j + 1) F (j
3
) (2j
3
+ 1)
R
1
(Q) R
N−1
(j
4
)
R
N
(J)
×
j Q j
3
1
2
−
1
2
0
2
I
2
(j
1
, j
2
, j
3
, J)∆(QJj
4
). (2.6.5)
Por outro lado, usando a função Y de Oblo˘zinský na equação 2.6.2 e integrando-se na
e+B
U-t
U
E-U-t
t
j
3
j
1
j
2
j
Q
j
4
s
J
J
E
E
Figura 2.10: Diagrama esquemático para processo de Pré-Equilíbrio contendo as de-
pendências em momento angular e energia.
energia do núcleo residual, podemos escrever que:
⟨Γ
↑
nJ
(E)⟩ = Y
↑n+1
n
(E) X
↑n+1
nJ
. (2.6.6)
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 44
onde teremos entao:
Y
↑n+1
n
(E) = Y
↑
Oblo
=
E−B
0
1
2
g
3
ω(p, h, E)
ω(p, h − 1, U
N
)
N (N − 1)
dU
=
1
2
g
3
g
g
2
BN(N − 1)
E−B
0
U
N
Θ (U) dU −
E−B
0
(U − B)
N
Θ (U − B) dU
=
1
2
g
2
BN(N − 1)
(E − B)
N+1
(N + 1)
−
E−B
B
(U − B)
N
dU
ou seja:
Y
↑n+1
n
(E) = Y
↑
Oblo
=
1
2
g
2
BN(N − 1)
(E − B)
N+1
(N + 1)
−
(E − 2B)
N+1
(N + 1)
(2.6.7)
Na Figura 2.10, podemos ver os diagramas esquemáticos correspondentes a este
processo.
2.6.3 Largura de Escape Direto
A interação entre uma partícula e um buraco que leva a emissão de uma partícula,
através do processo direto (número de éxcitons constante), é calculada em analogia aos
elementos de matriz nucleares da teoria de Feshbach, Kerman e Koonin, construídos
para um número ímpar de éxcitons com uma interação de força do tipo δ. No entanto
quando o número de éxcitons não for alterado (processo direto) devemos recalcular estes
elementos em ordem a satisfazer a condição de que o decaimento ocorra com 1p-1h tanto
na configuração inicial quanto na final. Também os elementos provenientes do termo
de energia, na fatoração das larguras, serão válidos na aproximação de Oblo˘zinský, no
processo direto deve-se incluir algumas alterações para satisfazer nossa condição inicial,
como proposto por Roos [13], este pode ser representado pelos diagramas esquemáticos
presentes na Figura 2.11.
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 45
e+B
U
j
1
j
2
j
J
J
E
E
j
3
Figura 2.11: Diagramas esquemáticos representando a dependência em energia e mo-
mento angular para o processo de escape direto.
Para este esquema, o elemento de matriz nuclear de acoplamento é dado por:
ˆ
M = ˆȷˆȷ
1
ˆȷ
2
ˆȷ
3
j
1
j
2
J
1
2
−
1
2
0
j j
3
J
1
2
−
1
2
0
I (j
1
, j
2
, j
3
, j) (2.6.8)
onde I (j
1
, j
2
, j
3
, j) é a integral de overlap (2.5.27) e R(r), naquela expressão, são as
funções de onda radiais de oscilador harmônico antes e depois da interação.
Para se obter as funções X, somamos os quadrados destes elementos de matriz
mediando-os sobre os estados iniciais e finais. O número de estados inicial e final
depende das densidades envolvidas, As densidades expostas na função Y são deter-
minadas pela densidade de estados de partícula-única, enquanto que as densidades de
momento angular são levadas em conta nas funções X. A função para distribuição de
spin,
R
N
(j) =
(2j + 1)
π
1
2
N
3
2
σ
3
e
−(j+1/2)
2
/N σ
2
(2.6.9)
representa a fração de estados com N-éxcitons com o momento angular j. O processo
de média nos estados iniciais requer a soma sobre j
1
e j
2
, mediados pelo fator de
peso R
1
(j
1
) R
1
(j
2
) /R
N
(J), que expressa a probabilidade de que o estado inicial de
N-éxcitons tem a respectiva estrutura de momento angular. A soma sobre o estado
final requer a soma sobre j
3
mediada por R
1
(j
3
). Desta maneira, a função X pode ser
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 46
expressa por:
X
jn
nJ
= 2π
(2j + 1)
R
N
(J)
j
1
j
2
j
3
(2j
3
+ 1) F (J) R
1
(j
3
)
j j
3
J
1
2
−
1
2
0
2
I
2
(j
1
, j
2
, j
3
, j) ∆ (jj
3
J) .
(2.6.10)
com F (J) representando a densidade de momento angular de pares de estados e po-
dendo ser escrita como:
F (J) = (2j
1
+ 1) R
1
(j
1
) (2j
2
+ 1) R
1
(j
2
)
j
1
j
2
J
1
2
−
1
2
0
2
∆ (j
1
j
2
J) , (2.6.11)
onde a função triangular ∆, ∆(j
a
j
b
J), encerra a conservação do momento angular.
A função Y contendo a dependência em energia originária da densidade de níveis fi-
nal de estados é a mesma proposta por Feshbach, Kerman e Koonin [7] e por Oblo˘zinský
[9] para processos com ∆n = 0, desde que a contagem para contribuições do tipo 2p−1h
e 1p − 1h tem as mesmas expressões finais.
A função Y é mostrada na figura 2.11 e é dada por [7]:
Y
n
n
(U) = gp
p − 1
2
+ h
(N − 1) ξ
N−2
1 −
N − 2
N − 1
ξ
(2.6.12)
com N = p + h e ξ = U/E.
A expressão para este diagrama usando a formulação de Obložinský pode ser cal-
culada e resulta em:
Y
n
n
(U) = ω(p −1, h, U) (2.6.13)
Colocando p = 1 e h = 1 nestas duas últimas expressões, vemos que os resultados
são idênticos e iguais a g.
Para calcular a largura total de escape no processo direto, integramos a função
2.6. Larguras de decaimento de RG’s 47
Y
n
n
(U) para todas as possíveis energias do núcleo residual
Y (E) =
E−B
0
gdU = g (E − B) (2.6.14)
e efetuamos a somatória sobre todos os momentos angulares j no espaço de configuração
do contínuo.
A expressão para a largura total de escape no processo direto é, então, dada por:
⟨Γ
↑
J
⟩ = X
J
Y
↑
(E) (2.6.15)
onde
X
J
= 2π
jj
1
j
2
j
3
(2j + 1) (2j
3
+ 1) F (J) R
1
(j
3
)
R
2
(J)
j j
3
J
1
2
−
1
2
0
2
I
2
(j
1
, j
2
, j
3
, j) ∆ (jj
3
J) ,
(2.6.16)
e Y
↑
(E) dada pela equação (2.6.14).
3
Metodologia, Resultados e discussões
3.1 Decaimento de uma Ressonância Gigante
Neste trabalho, nos propomos a explicar como um dado sistema (núcleo), com uma
dada energia E e uma configuração 1p − 1h, decai no primeiro estágio da cadeia de
encadeamento. Usamos uma interação residual de dois corpos do tipo δ para calcular
os elementos de matriz médios quadráticos que são usados nas larguras médias de
Damping e de Escape. Estes decaimentos podem ser observados esquematicamente na
Figura 3.1
Como a configuração inicial é do tipo 1p−1h, o decaimento deve ocorrer em um pro-
cesso com a manutenção do número de éxcitons ou com a criação de um par partícula-
buraco. Para isso, devemos fazer algumas modificações nos diagramas de Feynman
apresentados para acomodar nossa condição inicial.
3.1.1 Espaço de configuração
O espectro de configuração deve ser calculado para fornecer os estados de partícula
ou de buraco únicos. Como existe a probabilidade de algum núcleon escapar do núcleo
é necessário também simular a parte contínua do espectro.
Os estados de partícula única foram gerados por um potencial esférico de Woods-
Saxon em uma base de oscilador harmônico. Os estados de partícula (buraco) ligados
48
3.1. Decaimento de uma Ressonância Gigante 49
A
A-1
A-1
G
1p-1h
2p-2h
G
G
A
Figura 3.1: Esquema de decaimento de damping, escape de pré-equilíbrio e escape
direto de uma Ressonância Gigante
são calculados para que se possa reproduzir os estados de partícula (buraco) experi-
mentais. Depois disso calcula-se os estados de partícula única mantendo-se a melhor
parametrização possível para tal potencial. Este espectro pode ser representado pela
Figura 3.2.
O cálculo dos níveis de energia de partícula-única foram feitos usando-se o forma-
lismo apresentado no Cap. 2, Seção 2 com o programa BARIER [18], que basicamente
fornece os níveis de partícula e buracos únicos para núcleos deformados. Esta escolha
se deu devido aos isótopos de níquel estudados possuírem pequenas deformações. No
programa, se considerarmos nulos os parâmetros de deformação, é possível obter o es-
pectro de partícula-única para núcleos esféricos o que, para uma primeira aproximação,
se mostra conveniente. A figura 3.3 mostra uma saída típica do programa BARRIER.
Note que com um parâmetro de deformação nulo, há uma degenerecência no níveis
de partícula-única. Ao se considerar estes parâmetros como não nulos, ocorre a quebra
3.1. Decaimento de uma Ressonância Gigante 50
d
ph
Espectro
Contínuo
E=0
Estados
de
partícula
única
Estados
de
buraco
único
B
F
e
máx
Figura 3.2: Representação esquemática para os níveis de partícula-única.
desta degenerecência, com os estados de partícula-única definidos pela teoria apresen-
tada neste trabalho. Para compor o espectro de partícula-única, escolhemos dentre os
estados degenerados o maior j
z
, que representa a projeção de spin no eixo z, necessária
pois o número quântico j não comuta com a hamiltoniana no modelo de camadas para
núcleos deformados. Ao escolhermos a maior projeção, o que fazemos é compor o j
através deste valor em uma aproximação para núcleos esféricos.
Se faz necessário ainda, o cálculo da energia de corte (ϵ
máx
) do espectro discretizado
de partícula única no contínuo sendo a máxima energia cinética que este possuíra, sua
expressão leva em conta o tipo de decaimento e é definida por:
3.1. Decaimento de uma Ressonância Gigante 51
Figura 3.3: Saída do programa Barrier para as energias de partícula-única para
nêutrons do
60
Ni esférico (esquerda) e deformado (direita).
ϵ
máx
= E − B, (3.1.1)
para o decaimento de escape direto [11], e
ϵ
máx
= E − B −
1
2
δ
ph
. (3.1.2)
para o decaimento de escape de pré-equilíbrio [13], onde E é a energia de excitação da
RG, B é a energia de separação do núcleon emitido e δ
ph
é energia mínima necessária
para a criação de um par partícula-buraco. δ
ph
é calculado usando-se os valores expe-
rimentais das energias de ligação dos núcleons:
δ
ph
= B(A, X) − B(A + 1, X + 1) (3.1.3)
3.1. Decaimento de uma Ressonância Gigante 52
Figura 3.4: Energias de corte para a RGE2 e RGE0, respectivamente, de alguns isótopos
de Níquel.
onde X = Z ou N, dependendo se δ
ph
é calculado para prótons ou nêutrons. É intuitivo
também perceber que, caso E < B + δ
ph
, o núcleo não possuirá energia suficiente para
emitir núcleons no processo de Escape de Pré-Equilíbrio. Na Tabela A.2, no apêndice A,
são apresentados todos os valores experimentais para energia de separação de prótons
e nêutrons para todos os isótopos estudados e seus respectivos vizinhos na tabela de
nuclídeos.
No Gráfico 3.4, o resultado do cálculo de ϵ
máx
é apresentado para os processos de
escape direto e de pré-equilíbrio para todos os isótopos trabalhados, com separação em
prótons e nêutrons.
Fica evidente a variação de ϵ
máx
quando se olha para a tabela de núclideos, o
56
Ni
encontra-se próximo a linha de estabilidade de prótons, tendo portanto uma menor
energia de separação para prótons que a respectiva energia para nêutrons. Conforme se
avança sobre a linha de isótopos de Ni, em sentido crescente para nêutrons, observamos
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 53
que os valores para ϵ
máx
de prótons aumenta ao passo que diminui para nêutrons, isto
se deve ao fato de estarmos nos aproximando da linha de estabilidade de nêutrons,
onde, a energia de separação para este tipo de núcleon deve diminuir. Percebe-se ainda
que, para alguns isótopos de Ni, não haverá escape de núcleons.
3.2 Apresentação e discussão dos resultados
Nesta seção apresentamos uma comparação feita entre os valores experimentais e
os calculados neste trabalho, o resultado pode ser visualizado no Gráfico 3.5, mostrando
a concordância entre eles. Os parâmetros usados para obter os espectros de partícula-
única podem ser vistos no apêndice A, junto com as energias de separação usadas para
o cálculo das energias de corte e os espectros de partícula-única usados nos cálculos
podem ser encontrados no Apêndice B. Os cálculos das larguras das RG’s se mostra
extremamente sensível ao parâmetro que define a densidade de níveis de partícula-única
(g). Existem na literatura várias aproximações possíveis para g, no entanto, em nossos
cálculos optamos por utilizar a densidade de níveis de partícula-única do oscilador
harmônico [30]:
g =
2(N
máx
+
3
2
)
2
ω
≈
3
5
A
π
2
. (3.2.1)
O parâmetro de intensidade da interação residual (força δ) V
0
é modificado para
V
0
→ V
0
(2j + 1), como sugerido por Roos [13] onde (V
0
) assume o valor de 5MeV [8].
A Tabela 3.1 mostra as larguras calculadas e experimentais para os processos de
damping, escape de pré-equilíbrio e escape direto.
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 54
Núcleo RG E
exc
Γ
exp
Γ
↓
Γ
↑
2p−2h
Γ
↑
1p−1h
Γ
total
56
Ni
E0
E2
19,30±0, 50
[31]
16,20±0, 17
[31]
?
?
2,40
3,47
0,78
0,76
0,38
0,00
3,56
4,23
58
Ni
E0
E2
16,95±0, 45
[32]
16,50±0, 30
[33]
2,50±0, 30
[32]
5,40±0, 30
[33]
1,56
2,57
0,23
2,97
0,52
0,00
2,31
5,55
60
Ni
E0
E2
16,85±0, 45
[32]
16,40±0, 20
[33]
2,70±0, 30
[32]
5,90±0, 30
[33]
1,91
3,58
0,16
2,39
0,64
0,00
2,71
5,97
62
Ni
E2 15,90±0, 40
[33]
6,40±0, 80
[33]
4,67 1,43 0,00 6,10
64
Ni
E2 15,60±0, 30
[33]
5,60±0, 40
[33]
3,56 2,37 0,00 5,93
Tabela 3.1: Larguras de Damping e Escape em RG’s. E
exc
e Γ
exp
se referem a energia
de excitação e a largura experimental total. Todas as unidades são dadas em MeV.
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 55
Figura 3.5: Comparação entre a largura, Γ, total medida experimentalmente e a cal-
culada neste trabalho.
3.2.1 O
64
Ni
O
64
Ni é um isótopo estável, porém sua abundância é de apenas ∼ 1%, sendo o
mais raro dos cinco isótopos estáveis de níquel (
58
Ni,
60
Ni,
61
Ni,
62
Ni e
64
Ni). Nossos
cálculos mostram uma largura total para a RGE2 de 5, 93 MeV com uma aproximação
de ∼ 95% com o a medida experimental [33]. O processo de decaimento dominante é
de damping, com ∼ 60% da largura total, resultado previsto na literatura onde este
processo deva dominar para todos os núcleos [34], exceto os mais leves (A ≤ 40) [35]. O
processo de escape, tanto pré-equilíbrio quanto direto, usualmente ocorre pelo canal de
nêutrons pois, os isótopos de níquel possuem o espectro de partícula-única fechado em
camada mágica para prótons (28 prótons). De fato, este comportamento foi observado
para todos os isótopos apresentados nesta dissertação. Ressalta-se ainda o fato de não
observarmos larguras de escape direto para a RGE2 em nenhum dos isótopos estudados.
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 56
Os níveis de buraco são (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
, 2p
3/2
, 1f
5/2
)
ν
para
nêutrons e (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
)
π
para prótons. Os níveis de partícula
são (1g
9/2
, 2p
1/2
, 2d
5/2
, 3s
1/2
, 2d
3/2
)
ν
e (2p
3/2
, 1f
5/2
, 1g
9/2
, 2p
1/2
)
π
para nêutrons e pró-
tons, respectivamente.
O espaço de configuração no contínuo é (1g
9/2
, 3p
3/2
, 1h
11/2
, 3p
1/2
)
ν
, com um escape
preferencial para os estados 3p
3/2
(∼ 55%) e 3p
1/2
(∼ 45%). Obviamente, este resul-
tado reflete um maior acoplamento destes estados ao momento angular deste tipo de
ressonância. Não observamos escape de pré-equilíbrio pelo canal de prótons e escape
direto em ambos os canais.
3.2.2 O
62
Ni
O isótopo de
62
Ni ocorre naturalmente com uma abundância de ∼ 4%. Obtivemos
uma largura total para a RGE2 de 6, 10 MeV, com uma concordância de ∼ 95% com
o valor experimental [33]. Assim como foi observado no
64
Ni, o
62
Ni apresenta um
predominância no mecanismo de decaimento por damping, com ∼ 77% do valor total
da largura calculada. O comportamento deste isótopo é extremamente semelhante
ao anterior, apresentando escape de núcleons apenas pelo canal de pré-equilíbrio de
nêutrons.
Os níveis de buraco são (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
, 2p
3/2
, 2p
1/2
)
ν
para
nêutrons e (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
)
π
para prótons. Os níveis de partícula
são (1g
9/2
, 1f
5/2
, 2d
5/2
, 3s
1/2
, 2d
3/2
)
ν
e (2p
3/2
, 2p
1/2
, 1g
9/2
, 1f
5/2
)
π
para nêutrons e pró-
tons, respectivamente.
O espaço de configuração no contínuo é (1g
7/2
, 3p
3/2
)
ν
, para o processo de escape
de pré-equilíbrio. Como nós já esperávamos, o escape se dá preferencialmente para o
nível 3p
3/2
, sendo este responsável por mais de 99% do valor total da largura de escape
de pré-equilíbrio. Novamente não foi observado escape de pré-equilíbrio pelo canal de
prótons nem tampouco escape direto por ambos os canais.
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 57
3.2.3 O
60
Ni
O isótopo
60
Ni representa ∼ 26% dos isótopos estáveis de níquel. Este núcleo
apresenta RGE0 e RGE2.
A largura da RG E2 calculada foi de 5, 97 MeV com uma aproximação de ∼ 99%
para o valor experimental [33]. Apresentou uma largura de damping correspondente a
∼ 60% da largura total, apresentando também emissão de núcleons dominante no canal
de nêutrons no escape de pré-equilíbrio, a contribuição do escape de pré-equilíbrio para
prótons é quase insignificante, correspondendo a apenas menos de 1% da largura total.
Este núcleo também não apresentou escape direto.
Para a RGE0, obtivemos uma largura total de 2, 71 MeV em concordância com os
resultados experimentais [32]. O cálculo para esta ressonância mostra uma largura de
damping de ∼ 70%, semelhante a todos os outros isótopos já discutidos até aqui. No
entanto, observou-se a existência de escape direto em ambos os canais com ∼ 72%
da largura total sendo composta pelo escape (direto e de pré-equilíbrio) no canal de
nêutrons e ∼ 7% para o escape de prótons. A ocorrência de escape pelo canal de prótons
é esperada, visto que nós aproximamos da curva de estabilidade de prótons, portanto
os valores para as energias de ligação destes núcleons diminui consideravelmente. Com
isto aumenta a energia disponível para ocorrer o escape destes núcleons.
Os níveis de buraco de nêutrons são (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
, 2p
3/2
)
ν
para e (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
)
π
para prótons. Os níveis de partícula
são (2p
1/2
, 1g
9/2
, 1f
5/2
, 2d
5/2
, 3s
1/2
)
ν
e (2p
3/2
, 2p
1/2
, 1f
5/2
)
π
para nêutrons e prótons, re-
spectivamente.
O espaço de configuração é (2d
3/2
, 3p
3/2
)
ν
, com uma predominância de escape para
o estado 3p
3/2
, com ∼ 99% do valor total da largura de pré-equilíbrio.
O espaço de configuração para os estados do contínuo é (2d
3/2
)
ν
para pré-equilíbrio,
com uma contribuição ∼ 5% da largura total da ressonância. Os estado do contínuo
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 58
são (2d
3/2
, 3p
3/2
, 1h
11/2
, 3p
1/2
, 2f
7/2
)
ν
e (1g
9/2
, 2d
5/2
, 3s
1/2
, 2d
3/2
)
π
para o escape direto,
com os níveis (2d
3/2
)
ν
e (3s
1/2
)
π
contribuindo com ∼ 98% das larguras de escape direto
de nêutron e próton, respectivamente. Observamos que para nêutrons a preferência de
escape continua no orbital 3p, no entanto para o escape de prótons, observa-se que esta
preferência é para o orbital 3s.
3.2.4 O
58
Ni
O isótopo
58
Ni (o mais abundante dos cinco estáveis, correspondendo a aproxi-
madamente ∼ 70% de todos os isótopos de níquel que ocorrem naturalmente) apresen-
tou comportamento semelhante aos demais isótopos estudados. Este núcleo também
apresenta RGE0 e RGE2.
Para a RGE2, nossos cálculos mostram uma largura total de 5, 55 MeV, com um
erro relativo de ∼ 3% em relação a medida experimental [33]. O mecanismo dominante
é de escape de pré-equilíbrio mas com valor muito próximo ao de damping (∼ 54% e
∼ 46%, respectivamente). Observou-se ainda que o escape ocorre pelo canal de nêutron
no processo de pré-equilíbrio e não acontece em nenhum dos canais para o processo
direto.
Os níveis de buraco de nêutrons são (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
, 2p
3/2
)
ν
e (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
)
π
para prótons. Os níveis de partícula são
(2p
1/2
, 1g
9/2
, 1f
5/2
, 2d
5/2
, 3s
1/2
)
ν
e (2p
3/2
, 2p
1/2
, 1f
5/2
)
π
para nêutrons e prótons, respec-
tivamente.
O espaço de configuração no contínuo é (2d
3/2
, 1h
11/2
, 3p
3/2
)
ν
, com uma contribuição
de ∼ 95% do nível 3p
3/2
. Não sendo observado escape de pré-equilíbrio de nêutrons e
escape direto de prótons ou nêutrons.
A RGE0, em nossos resultados, apresenta uma largura total de 2, 31 MeV, sendo
∼ 92% do valor experimental [32]. Para este núcleo observamos um comportamento
muito semelhante ao apresentado pelo
60
Ni onde, temos o damping como maior con-
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 59
tribuição (∼ 68%). Também temos a presença de escape direto, notando um aumento
pequeno na contribuição pelo canal de prótons e um diminuição na contribuição do
canal de nêutrons. A contribuição de escape de nêutrons foi de ∼ 22%, enquanto que
a contribuição de escape para prótons foi de ∼ 10%.
O espaço de configuração no contínuo é (2d
3/2
, 1h
11/2
)
ν
, onde o escape de pré-
equilíbrio se dá preferencialmente para o estado 2d
3/2
(∼ 99%). Para o escape direto
temos (2d
3/2
, 1h
11/2
, 3p
3/2
)
ν
, com uma preferência pelo estado 3p
3/2
com quase toda a
parcela de escape direto de nêutrons. Para prótons temos (1g
9/2
, 2d
5/2
)
π
, para o es-
cape de pré-equilíbrio, com uma contribuição quase total do nível 2d
5/2
. Entretanto, ao
acrescentarmos os níveis (3s
1/2
, 2d
3/2
, 1g
7/2
)
π
, para ajustar o contínuo ao nosso parâme-
tro de corte para a energia, observamos que o escape ocorre, quase em sua totalidade,
para o nível 3s
1/2
.
3.2.5 O
56
Ni
O
56
Ni, único isótopo não estável estudado, se apresenta como um núcleo exótico
de vida curta [31]. Não possui valores medidos para a largura total das ressonâncias, a
proximidade à curva de estabilidade de prótons o transforma em um núcleo diferente
dos demais isótopos de níquel nesta região de massa (A ∼ 60). O
56
Ni decai princi-
palmente com a emissão de radiação β+, onde há a transformação de um próton em
um nêutron com a emissão de um pósitron. De acordo com o proposto por Centelles
et al. [36], devemos esperar um aumento na largura da RGE0 próximo as curvas de
estabilidade. Nosso cálculo nos mostra que a RGE0 para o
56
Ni tem o maior valor da
largura total dentre todos os isótopos estudados. Outro ponto que convém mencionar é
o fato de que há uma inversão no mecanismo de decaimento. Até então observamos um
comportamento similar, onde o damping não possuía a preferência por nenhum tipo de
núcleon, sendo quase igual a parcela de contribuição para prótons e nêutrons no dam-
ping. No entanto, para este isótopo, há um domínio total do damping de nêutrons para
3.2. Apresentação e discussão dos resultados 60
as duas RG’s estudadas. De fato, este resultado é esperado ao se analisar o mecanismo
de decaimento para este isótopo, a alta energia de separação para nêutrons impede
que o sistema ejete nêutrons em processos de escape. Portanto o resultado obtido de
∼ 72% e ∼ 66% do valor total das larguras para a RGE0 e RGE2, respectivamente, ser
devido a contribuição de damping é perfeitamente aceitável e coerente. Por outro lado,
a contribuição em processos de escape para prótons deve ser dominante. Isto aparece
em nossos cálculos pois, percebemos um escape de prótons (direto e pré-equilíbrio) de
∼ 30% para E0 e ∼ 18% para RGE2. É importante lembrar ainda que não há ener-
gia suficiente disponível para que o sistema ejete nêutrons nos processos direto e de
pré-equilíbrio para a RGE2, e no processo de pré-equilíbrio para a RGE0.
Os níveis de buraco são (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
)
ν
para nêutrons
e (1s
1/2
, 1p
3/2
, 1p
1/2
, 1d
5/2
, 2s
1/2
, 1d
3/2
, 1f
7/2
)
π
para prótons. Os níveis de partícula são
(2p
3/2
, 2p
1/2
, 1g
9/2
, 1f
5/2
, 2d
5/2
)
ν
e (2p
3/2
)
π
para nêutrons e prótons, respectivamente.
Os espaços de configuração possíveis são (2p
1/2
, 1g
9/2
, 1f5/2, 2d
5/2
)
π
para ambas
as RG’s, com um escape predominante para o estado 2p
1/2
, para o processo de pré-
equilíbrio e devemos acrescentar os níveis (3s
1/2
, 2d
3/2
, 3p3/2, 2f
7/2
)
π
onde o nível 3s
1/2
é o estado preferencial para o escape direto na RGE0.
4
Conclusões
Utilizando a Teoria de Núcleo Composto, estudamos o mecanismo de decaimento
para a RGE0 e RGE2 de alguns isótopos pares de níquel. Os resultados obtidos foram
comparados com os dados experimentais disponíveis e nos permite afirmar que a teoria
utilizada para o cálculo das larguras de RG’s é plenamente satisfatório. Com base nas
comparações feitas com os dados experimentais, foi possível fazer uma estimativa do
valor das larguras das RGE0 e RGE2 para o
56
Ni, uma vez que não existem medidas
feitas para este isótopo. A região de massa escolhida para este trabalho se mostra
complexa, onde o núcleo duplamente mágico (
56
Ni) é exótico e instável.
O procedimento para a otimização dos programas utilizados permitiria uma análise
de uma quantidade maior de núcleons, o que tornaria possível fazer melhores estima-
tivas para os parâmetros utilizados na teoria empregada. Um destes parâmetros é a
densidade de níveis (g), tomada como constante para cada núcleo. Uma melhor es-
timativa para este parâmetro deveria considerar g como uma função do espectro de
partícula-única.
Foi possível, através de sistemático estudo, observar uma dependência do valor das
larguras destas RG’s com o momento angular, J, destas ressonância, como proposto
por Roos [13].
Estas RG’s se mostram extremamente sensíveis a aproximações consideradas no
cálculo do espectro de partícula-única, pela sistematização de quais estados de partícula
considerar, tanto na parte discreta quanto na parte contínua do espectro.
61
Conclusões 62
A teoria utilizada neste trabalho considera somente estados puros de partículas ou
buracos únicos, no entanto uma outra aproximação que deveria ser considerada para
um refinamento da teoria seria o uso de quase-partículas (Hartree-Fock-Bogoulibov)
além de considerar a possibilidade de que o estado fundamental não tem apenas carac-
terísticas de partícula independente, mas contém correlações.
Apêndice A
Parâmetros dos potenciais e energias
de separação para núcleons
Tabela A.1: Parâmetros dos potenciais de Woods-Saxon esférico
Núcleo V
0
(MeV)
r
0
(fm)
rso
(fm)
λ κ a
0
(fm)
a
so
(fm)
56
28
N i
28
ν
π
54,493
50,890
1,197
1,250
1,050
0,900
33,690
31,940
0,650
0,650
0,600
0,600
0,600
0,500
58
28
N i
30
ν
π
56,920
56,350
1,210
1,236
1,100
1,212
35,100
19,390
0,650
0,650
0,600
0,600
0,600
0,630
60
28
N i
32
ν
π
59,800
53,378
1,150
1,250
1,000
1,150
36,950
20,200
0,600
0,650
0,630
0,630
0,630
0,640
62
28
N i
34
ν
π
61,886
53,298
1,183
1,250
1,100
1,150
24,750
21,750
0,750
0,650
0,690
0,630
0,690
0,640
64
28
N i
34
ν
π
54,720
53,358
1,254
1,250
1,190
1,150
29,900
21,200
0,650
0,650
0,690
0,630
0,690
0,640
63
Apêndice A 64
Tabela A.2: Energias de separação de prótons e nêutrons para isótopos de Níquel e
seus vizinhos na tabela de núclideos.
Núcleo S
n
(Mev) S
p
(Mev) Núcleo S
n
(Mev) S
p
(Mev)
55
Co 14,09 5,06
61
Co 9,32 8,78
55
Ni 14,20 4,62
61
Cu 11,71 4,80
56
Ni 16,64 7,17
61
Ni 7,82 9,86
57
Co 11,38 6,03
62
Ni 10,60 11,14
57
Cu 16,78 0,70
63
Co 8,48 10,23
57
Ni 10,25 7,33
63
Cu 10,85 6,12
58
Ni 12,22 8,17
63
Ni 6,84 11,37
59
Co 10,45 7,36
64
Ni 9,66 12,55
59
Cu 12,76 3,42
65
Cu 9,91 7,45
59
Ni 9,00 8,60
65
Ni 6,10 12,32
60
Ni 11,39 9,53
Apêndice B
Espectros de Partícula-Única para isótopos pares de Níquel
Tabela B.3: Espectro de Partícula-Única para o
56
Ni
nl
j
nêutrons prótons nl
j
nêutrons prótons
1s
1/2
-43.7795 -30.3143 3p
3/2
4.2903 10.0352
1p
3/2
-35.6075 -23.9591 3p
1/2
4.8664 10.5957
1p
1/2
-31.6257 -18.6885 1h
11/2
5.2703 13.8481
1d
5/2
-26.5731 -16.2768 2f
7/2
11.6430
2s
1/2
-20.9644 -10.1500 1g
7/2
11.8741
1d
3/2
-18.8248 -7.7159 2f
5/2
13.1144
1f
7/2
-16.6607 -7.1722
2p
3/2
-10.2475 -0.7005
2p
1/2
-7.2496 1.2831
1g
9/2
-5.9422 3.1352
1f
5/2
-5.4398 2.8668
2d
5/2
-0.6544 6.9966
3s
1/2
0.1651 7.0865
2d
3/2
2.4003 9.0549
65
Apêndice B 66
Tabela B.4: Espectro de Partícula-Única para o
58
Ni e
60
Ni
58
Ni
60
Ni
nl
j
nêutrons prótons nl
j
nêutrons prótons
1s
1/2
-45.3006 -34.5498 1s
1/2
-45.8887 -35.2180
1p
3/2
-37.2449 -26.7286 1p
3/2
-37.5054 -27.6413
1p
1/2
-33.7049 -25.0546 1p
1/2
-32.6669 -25.8096
1d
5/2
-28.3922 -17.8381 1d
5/2
-28.2976 -19.0045
2s
1/2
-22.9075 -13.6556 2s
1/2
-22.2233 -14.8840
1d
3/2
-21.1703 -14.2869 1d
3/2
-19.1141 -15.2952
1f
7/2
-18.7610 -8.1722 1f
7/2
-18.1970 -9.5339
2p
3/2
-12.2200 -3.4227 2p
3/2
-11.3805 -4.8004
2p
1/2
-9.0038 -1.5977 2p
1/2
-7.8231 -3.1401
1g
9/2
-8.3896 1.9883 1g
9/2
-7.2525 0.5414
1f
5/2
-7.7082 -2.4570 1f
5/2
-5.1842 -3.8490
2d
5/2
-2.3380 5.4457 2d
5/2
-1.5801 4.2505
3s
1/2
-0.9499 5.8499 3s
1/2
-0.4528 4.8389
2d
3/2
1.3759 7.5177 2d
3/2
2.1376 6.1797
3p
3/2
3.8046 9.4007 3p
3/2
3.8514 8.9392
3p
1/2
4.4152 9.7244 3p
1/2
4.5277 9.2619
1h
11/2
2.5454 12.1170 1h
11/2
4.2548 10.7882
2f
7/2
5.1273 11.1719 2f
7/2
5.4244 10.5461
1g
7/2
5.1746 9.4633 1g
7/2
6.9048 7.6590
2f
5/2
7.0970 12.1522 2f
5/2
7.3232 11.5608
Apêndice B 67
Tabela B.5: Espectro de Partícula-Única para o
62
Ni e
64
Ni
62
Ni
64
Ni
nl
j
nêutrons prótons nl
j
nêutrons prótons
1s
1/2
-46.1513 -36.4307 1s
1/2
-40.8178 -37.7119
1p
3/2
-37.6205 -28.9786 1p
3/2
-33.1574 -30.3153
1p
1/2
-34.4348 -27.0400 1p
1/2
-31.3318 -28.4544
1d
5/2
-28.1522 -20.4811 1d
5/2
-24.7011 -21.8609
2s
1/2
-23.6635 -16.2180 2s
1/2
-21.0959 -17.6129
1d
3/2
-22.2957 -16.5278 1d
3/2
-20.9099 -18.0418
1f
7/2
-17.8341 -11.1421 1f
7/2
-15.6251 -12.5502
2p
3/2
-12.9082 -6.1201 2p
3/2
-11.4501 -7.4495
2p
1/2
-10.6022 -4.2987 1f
5/2
-9.6618 -6.5890
1g
9/2
-6.8427 -1.1553 1g
9/2
-6.0983 -2.5649
1f
5/2
-4.6811 -5.0252 2p
1/2
-5.0524 -5.6434
2d
5/2
-3.0439 3.1528 2d
5/2
-2.5926 2.0503
3s
1/2
-2.1121 4.0653 3s
1/2
-1.6603 3.1932
2d
3/2
-0.2879 5.4025 2d
3/2
-0.1239 4.4070
3p
3/2
3.1527 8.5626 3p
3/2
3.3627 8.1683
3p
1/2
3.7007 8.9266 3p
1/2
3.8568 8.5507
1h
11/2
4.4179 9.1474 1h
11/2
3.5946 7.8097
2f
7/2
4.4987 9.9812 2f
7/2
4.3776 9.3928
1g
7/2
2.3699 6.6615 1g
7/2
1.6317 5.1935
2f
5/2
6.2236 11.2327 2f
5/2
6.0645 9.3929
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