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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
WILSON ROBERTO SOLUNA DE SOUZA
REPRESENTAÇÕES PLANAS DE FIGURAS
TRIDIMENSIONAIS : UM ESTUDO ENVOLVENDO VISUALIZAÇÕES
SÃO PAULO
2010
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1
WILSON ROBERTO SOLUNA DE SOUZA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
REPRESENTAÇÕES PLANAS DE FIGURAS
TRIDIMENSIONAIS : UM ESTUDO ENVOLVENDO VISUALIZAÇÕES
Dissertação apresentada à banca
examinadora da Universidade Bandeirante
de São Paulo como exigência do Programa
de Pós-graduação em Educação Matemática
para obtenção do título de Mestre, sob a
orientação da Profª Drª Vera Helena Giusti
de Souza.
SÃO PAULO
2010
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2
S719r Souza, Wilson Roberto Soluna de.
Representações planas de figuras tridimensionais: um estudo
envolvendo visualizações / Wilson Roberto Soluna de Souza –
São Paulo : [s.n.], 2010.
140f.; il. ; 30 cm.
Dissertação de Mestrado - Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo,
Curso de Educação Matemática.
Orientador: Profª Drª .Vera Helena Giusti de Souza.
1. Geometria 2. Visualização 3. Habilidades I. Título.
CDD: 510
3
WILSON ROBERTO SOLUNA DE SOUZA
REPRESENTAÇÕES PLANAS DE FIGURAS
TRIDIMENSIONAIS : UM ESTUDO ENVOLVENDO VISUALIZAÇÕES
DISSERTAÇÃO APRESENTADA À BANCA EXAMINADORA DA
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO COMO EXIGÊNCIA
DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
Presidente e Orientador
Nome:_________________________________________________________
Titulação:______________________________________________________
Instituição:_____________________________________________________
Assinatura:_____________________________________________________
1º Examinador
Nome:_________________________________________________________
Titulação:______________________________________________________
Instituição:_____________________________________________________
Assinatura:_____________________________________________________
2º Examinador
Nome:_________________________________________________________
Titulação:______________________________________________________
Instituição:_____________________________________________________
Assinatura:_____________________________________________________
NOTA FINAL:________________________________________________________
Biblioteca
Bibliotecário:__________________________________________________
Assinatura:_________________________________DATA:____/____/____
São Paulo,____de____________________________de 20____
4
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta dissertação por processos de fotocopiadora ou eletrônicos.
____________________________________
5
Dedico este trabalho à minha amada
esposa Vera, que sempre me
acompanhou incentivando-me nos
momentos difíceis. Aos meus queridos
filhos João Gabriel e Isadora, que
tiveram muita paciência comigo nesta
etapa empreendedora.
6
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por me acompanhar por toda esta etapa da minha vida.
A minha tia Oraci por ter me ajudado, pois sem essa ajuda não seria possível
ter iniciado os meus estudos.
Ao Programa Bolsa Mestrado, do Governo do Estado de São Paulo.
A professora orientadora Drª Vera Helena Giusti de Souza, que muito me
ajudou colaborando com seus conhecimentos para o desenvolvimento deste
trabalho.
Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática,
pelo apoio e incentivo.
A professora Dr
a
Maria Elisa Esteves Lopes Galvão por sua contribuição ao
trabalho.
A Vera, minha esposa, por me ajudar com suas idéias e sugestões na leitura
e revisão de todo este trabalho.
Aos alunos que colaboraram participando das entrevistas pelo empenho e
disposição.
7
RESUMO
O objetivo do estudo é investigar se a utilização de imagens externas variadas
podem ajudar no processo e no desenvolvimento de habilidades de visualização e
quais destas podem ser desenvolvidas com a análise dessas imagens. A partir da
leitura de alguns artigos e dissertações desenvolvidos nesta temática e também dos
Parâmetros Curriculares Nacionais, da Proposta Curricular do Estado de São Paulo,
do Caderno do Professor de Matemática e de livros didáticos indicados pelo
Programa Nacional do Livro do Ensino Médio, colocamos duas questões de
pesquisa, quais sejam “A utilização de imagens externas variadas pode ajudar no
desenvolvimento de habilidades de visualização?” e “Quais habilidades de
visualização podem ser desenvolvidas com a análise dessas imagens?”. Usamos
como embasamento teórico as idéias desenvolvidas por Parzysz (1988) e Gutiérrez
(1996) sobre visualização. Para realizar a pesquisa, fizemos duas entrevistas semi-
estruturadas, com questões investigativas sobre as habilidades de visualização
(GUTIERREZ, 1996), separadas por um trabalho individual, em casa, com quatro
alunos do 3
o
ano do Ensino Médio, num total de oito entrevistas. Na segunda
entrevista, regras de perspectiva foram apresentadas e exemplificadas aos alunos,
que passaram a observar as gravuras para identificar a presença ou não dessas
regras e para classificar representações cônicas ou paralelas. A análise qualitativa
dos protocolos mostra que os alunos aumentaram seu repertório de imagens e
despertaram para a necessidade de ficarem atentos para as características da
representação, a fim de bem interpretá-las. Recomendamos a vivência de atividades
de interpretação de imagens na sala de aula e na escola, de modo a garantir que o
aluno desenvolva, ao longo do período escolar, um processo de visualização que
poderá ajudá-lo no processo de aprendizagem da Geometria que priorize a
qualidade.
Palavras-chave: Geometria. Visualização. Habilidades.
8
ABSTRACT
The objective of this study is to investigate if the external varied images may help in
the process of visualization abilities development and which of them may be
developed with the analysis of these images. Starting with the reading of some
articles and papers developed in this subject matter and also based on “Parâmetros
Curriculares Nacionais”, on “Proposta Curricular do Estado de São Paulo”, on
“Caderno do Professor de Matemática” and on the schoolbooks indicated by the
“Programa Nacional do Livro do Ensino Médio”, we put two research questions: “May
the utilization of external varied images help in the visualization ability development?”
and “Which visualization abilities may be developed with these images analysis?” We
used as theoretical basis the ideas developed by Parzysz (1988) and Gutiérrez
(1996) about visualization. To realize the research we did two semi-structured
interviews, with investigative questions about the visualization abilities (GUTIÉRREZ,
1996), separated by an individual work, at home, with four students of the High
School third grade, in the total of eight interviews. In the second interview, the
perspective rules were presented and exemplified to the students that start to
observe the pictures to identify the presence or not of these rules and to classify
conic or parallel representation. The protocols qualitative analysis shows that the
students increased their images repertoire and aroused to the necessity of paying
attention to the representation characteristics in order to interpret them. We
recommend the experience with interpretation activities in the school class and in the
school in order to guarantee that the student develops, during the school period, a
visualization process of Geometry learning that prioritize the quality.
Key Words: Geometry. Visualization. Abilities.
9
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Quadro dos níveis de representação ........................................................ 20
Figura 2 - Quadrilátero .............................................................................................. 21
Figura 3 - Um quadrado e uma pirâmide? ................................................................. 22
Figura 4 - Plano P e os pontos A,B e C ..................................................................... 23
Figura 5 - Desenho de um cubo ................................................................................ 27
Figura 6 - Representação plana de módulos multicubos .......................................... 27
Figura 7 - Quadriláteros ............................................................................................ 39
Figura 8 - Cubo ........................................................................................................ 40
Figura 9 - Quadrado com suas diagonais? ............................................................... 42
Figura 10 - Cubo com as arestas prolongadas.......................................................... 43
Figura 11- Cubo PC ( 45º, 75%) ................................................................................ 53
Figura 12 - Cubo PC ( 27º, 56%) ............................................................................... 54
Figura 13 - Perspectivas ........................................................................................... 56
Figura 14 - Cubo em perspectiva .............................................................................. 57
Figura 15 - Ponto de fuga .......................................................................................... 57
Figura 16 - Vistas múltiplas ....................................................................................... 58
Figura 17 - Projeção paralela ortogonal .................................................................... 58
Figura 18 - Projeção paralela oblíquoa ..................................................................... 59
Figura 19 - Sistema ortogonal de três eixos .............................................................. 59
Figura 20 - Eixos ortogonais isométricos .................................................................. 60
Figura 21 - Cubo em perspectiva isométrica ............................................................. 60
Figura 22 - Eixos prolongados ................................................................................... 61
Figura 23 - Dimensões do cubo ................................................................................ 61
Figura 24 - Cubo em perspectiva dimétrica ............................................................... 62
10
Figura 25 - Cubo em perspectiva trimétrica .............................................................. 63
Figura 26 - Eixos com coeficientes de redução ......................................................... 64
Figura 27 - Cubo em perspectiva cavaleira PC(30º, 50%) ........................................ 64
Figura 28 - Reconstrução do templo de Jerusalém ................................................... 70
Figura 29 - Árvores rebatidas .................................................................................... 70
Figura 30 - Exorcismo dos demônios de Arezo ......................................................... 71
Figura 31 - Nascimento da Virgem(painel 7) ............................................................. 71
Figura 32 - São Francisco perante o sultão .............................................................. 72
Figura 33 - A vida na cidade. Os efeitos do Bom Governo ....................................... 72
Figura 34 - Palla de Brera ......................................................................................... 73
Figura 35 - Alegoria do Bom Governo ....................................................................... 74
Figura 36 - Alegoria do Bom Governo ....................................................................... 74
Figura 37 - Botticelli, quarto episódio da série Nastagio Degli Onesti ....................... 75
Figura 38 - A Escola de Atenas ................................................................................. 75
Figura 39 - Casa dos arames farpados ..................................................................... 84
Figura 40 - Caça palavras ......................................................................................... 86
Figura 41 - Elipsóides ................................................................................................ 87
Figura 42 - O milagre da hóstia ................................................................................. 89
Figura 43 - Hexágono I .............................................................................................. 93
Figura 44 - Hexágono II ............................................................................................. 93
Figura 45 - Cubo, representação cavaleira ............................................................... 94
Figura 46 - Cubo, papel quadriculado ....................................................................... 95
Figura 47 - Questão nº5 ENEM/2007 ........................................................................ 96
11
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Distribuição de pontos ............................................................................. 23
12
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 14
2 QUESTÕES DE PESQUISA ............................................................................... 17
3 REVISÃO DE LITERATURA .............................................................................. 18
3.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 18
3.2 TEXTOS DE PESQUISA ANALISADOS ..................................................... 18
3.2.1 Bernard Parzysz .................................................................................. 18
3.2.2 Angel Gutiérrez .................................................................................... 26
3.2.3 Miranda ( 2006 ) .................................................................................. 30
3.2.4 Rosalves ( 2006 ) ................................................................................. 31
3.2.5 Kodama ( 2006 ) .................................................................................. 32
3.3 TEXTOS DIDÁTICOS ANALISADOS ........................................................... 33
3.3.1 PCN Ensino Fundamental ................................................................... 33
3.3.2 PCN Ensino Médio .............................................................................. 46
3.3.3 A Proposta Curricular e os Cadernos do Professor ............................. 48
3.3.4 Livros didáticos .................................................................................... 50
3.3.4.1 Matemática Volume Único ........................................................ 50
3.3.4.2 Matemática Completa ............................................................... 51
3.3.5 Observações sobre os textos didáticos analisados ............................. 52
4 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ......................................................................... 55
4.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 55
4.2 Sobre as perspectivas em geral ................................................................... 56
4.2.1 Perspectiva Cônicas ............................................................................ 56
4.2.2 Perspectiva Paralelas .......................................................................... 58
4.2.2.1 Perspectiva Axonométrica Isométrica ....................................... 59
4.2.2.2 Perspectiva Axonométrica Dimétrica ........................................ 62
13
4.2.2.3 Perspectiva Axonométrica Trimétrica ........................................ 62
4.2.2.4 Perspectiva Cavaleira ............................................................... 63
4.3 AS NOSSAS ESCOLHAS ............................................................................ 65
5 A PESQUISA .................................................................................................... 66
5.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 66
5.2 ENTREVISTA REFLEXIVA .......................................................................... 66
5.3 SUJEITOS DA PESQUISA ........................................................................... 68
5.4 PROCEDIMENTOS ...................................................................................... 69
5.5 AS GRAVURAS ............................................................................................ 69
5.6 A ENTREVISTA ............................................................................................ 76
5.7 AS ANÁLISES .............................................................................................. 97
5.7.1 Análise do aluno A1 ............................................................................. 97
5.7.2 Análise do aluno A2 ........................................................................... 104
5.7.3 Análise do aluno A3 ........................................................................... 116
5.7.4 Análise do aluno A4 ........................................................................... 123
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 133
REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 137
14
1 INTRODUÇÃO
Nasci em Piedade-SP onde passei toda minha infância. Na adolescência
ingressei na escola militar em Guaratinguetá-SP, onde me formei Sargento da
Aeronáutica e, no decorrer do curso, comecei a interessar-me pela Matemática.
Após o término fui trabalhar na cidade de São Paulo em Campo de Marte, período
este em que me casei. Nessa época, a título de curiosidade, passava parte do meu
tempo resolvendo exercícios de vestibulares e de livros didáticos, sempre testando o
meu conhecimento e em busca de aprender mais. Esse estudo solitário valeu-me
como experiência, pois comecei a enxergar a Matemática de uma outra forma e
percebi a sua importância, já que tudo em nossa volta tem um pouco de Matemática.
A curiosidade inicial em resolver exercícios foi além e nasceu em mim uma vontade
de transmitir aquele conhecimento que adquirira para o próximo. Foi nesse momento
que me interessei por um curso de licenciatura na área. Ingressei no curso de
licenciatura em Matemática na Faculdade Santana São Paulo no ano de 1993, ano
de nascimento do meu primeiro filho, João Gabriel, onde concluí o primeiro ano
universitário. No ano seguinte optei por sair da vida militar e retornei para o interior
transferindo-me para a Universidade de Sorocaba (UNISO), onde passei a cursar
Ciências-Matemática, a lecionar Física em uma escola particular e Matemática e
Física na rede pública. Após concluir a Licenciatura, nasceu minha filha Isadora e,
pouco tempo depois, por meio de um concurso público, efetivei-me na rede pública
estadual no cargo de Matemática, atuando desde então em sala de aula. Apenas
me afastei pelo período de um ano quando trabalhei como professor coordenador do
período noturno e, em virtude das funções deste cargo tive mais conhecimento da
legislação e oportunidade de enxergar a escola de uma outra forma. Percebi a
necessidade de atualizar-me em benefício de minha carreira no magistério e fui à
procura de um curso de Mestrado em Educação. Comecei a preparar-me por meio
de leituras dentro e fora da área de Matemática e encontrei o curso de Mestrado em
Educação Matemática da UNIBAN-SP.
Após seis meses de curso, conheci a Prof
a
Vera, da linha Ensino e
Aprendizagem de Matemática e suas Inovações e expus a ela meu interesse em
fazer uma pesquisa de campo na área de Geometria, com foco no ensino e na
15
aprendizagem de algum tópico de geometria espacial, pois, tenho constatado
durante minhas aulas - e em contato com outros professores do mesmo componente
curricular - que os alunos do Ensino Médio apresentam muitas dificuldades em
interpretar a representação de um desenho tridimensional feito na lousa ou
constante do livro didático, em que as faces não ficam visíveis na representação
bidimensional (2D).
Trabalhando com geometria espacial com alunos de uma segunda série do
Ensino Médio em uma escola pública da cidade de Piedade, ao desenhar na lousa
um cubo um aluno me perguntou: “Professor como faço para desenhar esta figura
no meu caderno?” Fui até o aluno, mostrei a figura desenhada no livro, desenhei-a
na lousa novamente. Pelo método usual, como diz Gutièrrez (1998), desenhei um
quadrado, perguntei a eles se todos enxergavam o quadrado e a resposta foi
positiva, continuei, desenhei um outro quadrado atrás do que já estava na lousa mas
deslocado um pouco para a direita, voltei-me para os alunos e percebi que parte
deles estava acompanhando o desenvolvimento do desenho e parte estava com
certo desconforto em relação à figura na lousa. Ao ligar os vértices correspondentes
dos quadrados surge o cubo e neste momento a maioria dos alunos conseguiu
visualizá-lo. Percebi então o dilema descrito por Parzysz (1988) entre o
conhecimento em geometria espacial e o domínio das representações.
Em outra turma de segunda série ao trabalhar com pirâmides, em
continuidade do tema geometria espacial, representei na lousa um tetraedro regular
e um aluno me perguntou: “Professor, se a figura desenhada na lousa é um
tetraedro, e tetra quer dizer quatro, a figura não teria que ter quatro lados? No
entanto eu só estou vendo três.” Mostrei para este aluno todos os quatro lados da
figura desenhada na lousa e ainda pude perceber uma certa desconfiança por parte
do mesmo.
Numa outra aula de geometria ao representar na lousa um prisma hexagonal
regular uma aluna me perguntou: “Professor, por que alguns segmentos estão
tracejados?” Ao explicar que eram tracejados para indicar que estavam “na parte de
trás” da figura, comentei, em caráter de revisão, que aquela figura possuía três
dimensões no real e duas no papel. A aluna afirmou ter conhecimento de que a
parte lateral do prisma tinha seis lados e que cada lado era um retângulo mesmo
não conseguindo visualizar “os que estavam por trás”.
16
Após constatar que os alunos apresentavam dificuldades no processo de
visualização, realizei algumas leituras investigativas relacionadas ao tema e quando
li o artigo de Bernard Parzysz (1988) “‟KNOWING‟ VS „SEEING‟ Problems of the
plane representation of space geometry figures” e os artigos de Angel Gutiérrez
(1998) “LAS REPRESENTACIONES PLANAS DE CUERPOS 3-DIMENSIONALES
EM LA ENSEñANZA DE LA GEOMETRÍA ESPACIAL” e (1996) “VISUALIZATION IN
3-DIMENSIONAL GEOMETRY”, fiquei ainda mais interessado em realizar a
pesquisa, pois o depoimento desses autores sobre a temática das representações
tridimensionais para bidimensionais e vice-versa (ver mais detalhes no parágrafo da
revisão de literatura), condizem com o estudo que pretendo realizar com os alunos,
em busca de resposta às seguintes questões.
17
2 QUESTÕES DE PESQUISA
“A utilização de imagens externas variadas pode ajudar no
desenvolvimento de habilidade de visualização?”
“Quais habilidades de visualização podem ser desenvolvidas com a
análise dessas imagens?”.
18
3 REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo, detalharemos alguns aspectos, que julgamos importantes, das
leituras que fizemos e que, de alguma forma, contribuíram para a busca de resposta
às nossas questões de pesquisa.
3.1 INTRODUÇÃO
Para estruturar nossa pesquisa, lemos dissertações, artigos, os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, a
Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2009), o Caderno do Professor de
Matemática, livros didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro do Ensino
Médio (PNLEM), obras nas quais descobrimos preocupações similares às nossas ou
que nos auxiliaram no entendimento da mesma.
Preocupamo-nos em colocar os resumos numa ordem que consideramos
didática, para melhor compreender o desenvolvimento da pesquisa, pois todas as
leituras contribuíram de maneira significativa e muito nos ajudaram para a realização
do trabalho.
3.2 TEXTOS DE PESQUISAS ANALISADOS
3.2.1 Bernard Parzysz
Em seu artigo “Problemas da Representação Plana de Figuras Geométricas
Espaciais”
1
, Parzysz (1988) afirma que há perda de informação quando fazemos um
desenho bidimensional de um objeto geométrico bi ou tridimensional e analisa, entre
os alunos, o que chama de conflito entre o pólo do visto e o pólo do sabido.
1
Texto traduzido por nós do Francês
19
Pólo do visto: consiste em representar ou interpretar um desenho da maneira
como ele se apresenta aos olhos do observador, baseando-se na sua imagem
visual.
Pólo do sabido: consiste em representar (ou interpretar) um desenho tentando
preservar todas ou a maioria das propriedades e das características do objeto.
No primeiro caso, o sujeito “vê” o que aparece no desenho, sem considerar as
reais propriedades da figura. Por exemplo, num desenho plano de um cubo,
considerar que as retas suporte de arestas reversas são concorrentes.
No segundo caso, o sujeito “sabe” quais são as propriedades reais da figura e
tenta representar (ou interpretar) todas num desenho que faz ou que tem diante dos
olhos.
As representações planas de objetos tridimensionais estão presentes nas
aulas de Geometria e nos livros didáticos, porém, em nossa prática de sala de aula
podemos dizer que são muitas vezes mal interpretadas pelos alunos. As dificuldades
de representação e de visualização de objetos tridimensionais no plano são objetos
de estudo de várias pesquisas, dentre as quais escolhemos a de Parzysz (1988).
Este pesquisador desenvolveu um estudo com alunos franceses de uma
classe de 6
a
série (11-13 anos), partindo das seguintes hipóteses
(1) Existe uma dialética entre a aquisição (ou reforço) dos conhecimentos em
geometria espacial e o domínio das representações tridimensionais;
(2) É obrigatório passar por uma fase de representação de modelos 3D para que os
alunos possam formar imagens mentais que vão ajudá-los com as
representações 2D;
(3) Há necessidade de tornar explícitas as regras para fazer representações planas
de figuras tridimensionais. (PARZYSZ, 1988).
Concordamos com as hipóteses colocadas por Parzysz e vamos utilizar
fortemente a (1) e a (3), partindo do pressuposto que no Ensino Fundamental os
alunos pesquisados tomaram contato com os modelos 3D (hipótese (2)).
A análise dos protocolos dos alunos da pesquisa de Parzysz foi realizada
segundo princípios que fundamentam a decodificação (leitura) e a codificação
(produção) de representações planas de figuras tridimensionais e o pesquisador
20
desenvolveu uma engenharia didática com o objetivo de provocar, nos alunos
pesquisados, uma evolução para a elaboração de conceitos e regras, a fim de obter
o domínio dessas representações e um progresso em seus conhecimentos.
Não iremos desenvolver uma engenharia didática, como fez Parzysz, nem
considerar a produção de representações porque consideramos que, para uma
pesquisa realizada num curto espaço de tempo, basta a preocupação com a
decodificação e, neste caso, entrevistas semi-estruturadas podem dar respostas
mais interessantes.
Para Parzysz, “[...] a FIGURA é o objeto geométrico que é definido pelo texto
que o descreve” (PARSYSZ, 1988, p. 80), assim chama de DESENHO as
representações materiais feitas por um sujeito. Com isto em mente, divide as
representações em dois níveis:
Nível 1 (representações próximas): são as representações de objetos planos e
os modelos (maquetes) de objetos tridimensionais. Estas representações
podem ser:
bidimensionais ou 2D (desenhos): quando a figura se encontra no campo
da geometria plana (2D);
tridimensionais ou 3D (modelos): quando a figura pertence ao campo da
geometria espacial (3D).
Nível 2 (representações distantes): são as representações planas de objetos
tridimensionais, por exemplo o desenho de um cubo.
Na figura 1, o quadro esquematiza a relação entre uma figura e suas várias
representações.
Figura 1 - Quadro dos níveis de representação
Fonte: Parzysz (1988)
21
O nível 0, para Parzysz (1988), é o do objeto matemático, que tem uma
representação mental (abstrata), seja ele 2D ou 3D.
Quando se passa de um nível para outro, mais elevado, há uma perda de
informações (PARZYSZ,1988)
2
, associada a vários fatores, entre os quais o de que
não é possível representar todas as propriedades inerentes ao objeto em si.
Ao passar do nível 0 → 1 a representação quando feita de forma que o seu
autor (transmissor) e o seu leitor (receptor) possuam uma cultura geométrica
comum, para o leitor, as propriedades das representações só aparecem devido à
sua boa vontade de “visualização”. Temos como exemplo um quadrilátero como o da
figura 2, que pode representar um losango, um quadrado em perspectiva ou um
plano, dependendo do contexto em que se está e ainda de que maneira o
transmissor queira que se interprete.
Figura 2 – Quadrilátero
Fonte: Acervo pessoal
Quando se passa do nível 0 → 2 as representações são planas de objetos
geométricos tridimensionais. Nesta passagem, há perda tanto de informações como
de propriedades do objeto em si e, na maioria das vezes, não são possíveis de
serem observadas ou até mesmo adivinhadas pelo observador.
Parzysz, ao relatar esta passagem em seu artigo, coloca como exemplo de
representação próxima a figura 3A (um quadrado com suas diagonais) e como
representação distante a 3B (pirâmide regular de base quadrada).
2
Texto traduzido por nós do Francês
22
Figura 3 – Um quadrado e uma pirâmide?
Fonte : Parzysz ( 1988)
Podemos dizer, que a leitura e a interpretação tanto de representações
próximas como de representações distantes, geralmente só será possível com a
ajuda de um texto original ou uma legenda acompanhando as representações, como
forma de compensar a perda de informações, nem o desenho, nem o modelo podem
substituir a figura. Isto pode ser exemplificado na figura 3A, que para o leitor leigo
pode ser uma representação de um quadrado e suas diagonais, para o mais
experiente uma pirâmide com vista superior. A ambiguidade das interpretações
estará presente sempre que se faça uma passagem do nível 0 para qualquer outro.
Ao focarmos o interesse na Geometria espacial e, portanto, nas
representações distantes, retomamos os problemas de codificação e de
decodificação. Surge a dificuldade “de que o leitor pode confundir a figura
desenhada em 3D com uma figura 2D tendo a mesma representação”
(PARZYSZ,1988, p. 82)
3
.
Em um teste aplicado por Parzysz (1988) a 109 alunos de uma 6
a
série
francesa (12 a 14 anos), pedia-se: “O desenho (ver figura 4) representa um plano, P,
e três pontos, A, B, C, no espaço. Para cada um destes três pontos dizer, a partir do
desenho, se cada um deles está no plano P, ou fora dele, ou se o desenho não
permite decidir” (PARZYSZ, 1988, p.82-83).
3
Texto traduzido por nós do Francês
23
Figura 4 - Plano P e os pontos A, B e C
Fonte: Parzysz ( 1988)
Os resultados foram os seguintes, explicando uma tendência dos alunos em
considerar o desenho como o de uma representação próxima do objeto:
Tabela 1 – Distribuição de pontos
No plano
Fora do plano
Não se pode
dizer
Ponto A
81
0
28
Ponto B
0
78
31
Ponto C
1
63
45
Fonte: Parzysz (1988)
É teoricamente impossível afirmar se um determinado ponto está ou
não no plano P. Acreditamos que nesse argumento há uma percepção inquieta e
uma interpretação idêntica para os alunos no seguinte sentido: “Se a representação
do ponto é interior à representação do plano, então o ponto em si (A) é visto como
pertencente ao plano” (PARZYSZ, 1988, p.83)
4
. Em relação aos pontos B e C, vários
alunos afirmam “não se pode dizer” e fica clara mais uma hipótese observada no
teste: se o plano P pode ser estendido horizontalmente, então este plano irá conter
os pontos B e C.
4
Texto traduzido por nós do Francês
24
Os problemas de codificação de uma figura geométrica 3D em um único
desenho têm sua origem na impossibilidade de dar uma representação
próxima dele, e na conseqüente obrigação de “recuar” sobre uma
representação distante, em que há uma perda adicional de informação. O
transmissor está realmente diante de um dilema insolúvel, devido ao fato de
que se conhece de um objeto 3D entra em conflito com o que se vê do
mesmo. (PARZYSZ,1988,p.83-84)
5
Nos testes realizados por Parzysz (1988) percebemos claramente que as
representações, ao serem observadas no plano, causam uma incerteza quanto as
suas reais características, pois muitas vezes as propriedades dos objetos ficam
implícitas nas representações, necessitando do texto original para reconhecê-las ou
que os objetos tragam uma legenda para identificá-las. Nesse momento surge um
novo dilema sobre o que se sabe e o que se vê do objeto e, neste aspecto,
compartilhamos com Parzysz o que se refere ao conflito entre o que é “sabido” do
objeto representado e o que é “visto”.
Segundo Parzysz (1988), aquele que desenha um objeto tridimensional tem
que procurar encontrar uma solução para os dois conflitos, que são inconciliáveis,
pólos do “visto” e do “sabido”. A prova disto foi um teste realizado com 88 alunos do
“Ensino Médio” na França (15 a 18 anos), com uma representação próxima de uma
pirâmide regular de base quadrada, utilizada na forma de “esqueleto”, construída
com varas de madeira (arestas da base com 15 centímetros de comprimento, altura
de 20 centímetros e varas com uma secção quadrada de 4 milímetros). Dirigindo-se
à classe a professora diz:
"Esta é uma pirâmide regular (mostra), sua base é um quadrado, e as suas
faces laterais são triângulos isósceles. Você vai, no papel branco que lhe
será distribuído, fazer um desenho cuidadoso de como é uma pirâmide,
assumindo que as bordas tem espessura desprezível e utilizando
instrumentos de desenho que você pode considerar úteis. O objetivo é
encontrar o seguinte: alguém que não viu deve reconhecer que seu
desenho é uma pirâmide regular com base quadrada (o modelo é então
tirado fora da vista dos estudantes). Você não vai usar mais papel do que
iremos fornecer-lhe e se você desenhar linhas auxiliares de construção, não
apagar "(PARZYSZ,1989,p.193-194)
6
.
5
Texto traduzido por nós do Francês
6
Texto traduzido por nós do Francês
25
Dos 88 alunos somente 18 fizeram a representação, sendo que “dois fizeram
de forma suficiente para determinar a natureza exata da figura representada
(PARZYSZ, 1988, p.85)
7
.
Para Parzysz (1988), isso mostra que não é tão evidente para os alunos a
representação plana de figuras espaciais e que o desenho não pode, por si só,
substituir o objeto.
No estudo dos 88 protocolos, destaca-se um interesse especial nos seguintes
pontos:
(1) Posição da imagem da base com relação às bordas da folha: três quartos dos
alunos desenharam um paralelogramo que corresponde a posição do objeto
em perspectiva cavaleira.
(2) Forma da imagem da base: 40% dos alunos desenharam o losango e 40%, o
paralelogramo, como forma da base. Segundo Parzysz (1988), o primeiro
apresenta a vantagem de preservação do comprimento dos quatro lados e, a
inconveniência na redução no sentido do recuo, tende a fazer que a aparência
do quadrado fique alongada em profundidade; e o segundo, para efeito de
perspectiva, é mais convincente. “Portanto, os alunos que escolheram o
paralelogramo ficam do lado “visto” (eles apresentam, “a fim de ver”),
enquanto aqueles que preferem o losango ficam do lado do “sabido” (que
“torna sabido”)” (PARZYSZ, 1988, p.87)
8
.
(3) Posição da imagem do topo da pirâmide: das três estudadas foi priorizada a
representação em que se tem a “imagem do topo em uma linha reta vertical
que passa pela intersecção das diagonais do quadrilátero (este caso
corresponde à representação clássica)”.
Parzysz (1988) destaca que alguns desenhos vêm sendo apresentados há
muito tempo do mesmo jeito, ao longo do tempo, de um livro texto para outro.
Também constatamos, ao consultar os PCNs e alguns livros didáticos, esta tradição
que possui um lado positivo que nos permite, à primeira vista, reconhecer o objeto
em questão e um lado negativo, pois os alunos ficam acostumados a desenhar
7
Texto traduzido por nós do Francês
8
Texto traduzido por nós do Francês
26
numa certa posição, não se preocupando com “o porquê”, como é o caso do cubo
tradicionalmente representado em perspectiva cavaleira.
Concordamos com Parzysz, pois temos observado em livros estudados que
as representações são comuns e elas aparecem com legenda indicando o nome da
figura, por exemplo: “esta figura representa um cubo, não trazendo de que forma foi
representada”.
O trabalho feito por Parzysz mostra que para representar ou ler um objeto
tridimensional no plano é necessário que se faça um “trabalho” com os alunos no
sentido de conhecer os objetos espaciais, utilizar regras para as suas
representações e adquirir conhecimento e domínio das representações, pois senão
os desenhos ficam estereotipados.
3.2.2 Angel Gutiérrez
O estudo feito por Gutiérrez (1998) teve como objetivo refletir sobre os
problemas dos estudantes na utilização das representações planas dos objetos
tridimensionais, no ensino e na aprendizagem da geometria espacial com alunos do
ensino fundamental (1º ao 8º ciclo) na Espanha. O pesquisador apresenta vários
resultados de pesquisa e sugestões para os professores.
Segundo Gutiérrez, (1998) nenhum dos sujeitos tinha experiência escolar
prévia sobre o uso de diferentes métodos de representação de corpos espaciais e,
no desenvolver da pesquisa, Gutiérrez observou que, nas diferentes formas de
desenhos dos sólidos, a em perspectiva era a mais natural e freqüente e também
uma das mais difíceis a serem realizadas corretamente e que geralmente os
desenhos que os estudantes aprendem a fazer e observam em livros didáticos são
feitos em perspectiva paralela. “É comum, por exemplo, que os professores ensinem
seus alunos a desenhar um cubo a partir de dois quadrados iguais juntando os
vértices correspondentes” (GUTIÉRREZ,1998,p.203)
9
.
9
Texto traduzido por nós do Espanhol
27
Figura 5 - Desenho de um cubo
Fonte: GUTIÉRREZ (1998)
A nossa pesquisa está fundamentada na proposta do “visto” e do “sabido” de
Parzysz (1988) e na preocupação das dificuldades dos alunos em interpretação e
visualização das representações de figuras espaciais Gutièrrez (1996). Gutiérrez,
utilizou os “módulos multicubos” para fazer as diferentes representações planas de
objetos 3D por meio de experimentos e ainda considerou a influência dos aspectos
culturais na compreensão dos objetos tridimensionais representados no plano.
Para Gutiérrez, módulos multicubos são sólidos formados por vários cubos
iguais presos de maneira que suas faces se sobrepõem.
A vantagem dos módulos multicubos sobre os poliedros e os corpos
redondos é que permitem trabalhar facilmente em diversos problemas de
construção a partir da representação plana, devido à existência de diversos
materiais didáticos formados por cubos encaixados (por exemplo
multicubos, centicubos), coisa que é muito mais difícil no caso dos corpos
espaciais (cubos,prismas,pirâmides,etc.). (GUTIÉRREZ,1998, p.196)
10
.
Projeção em perspectiva Projeção paralela Projeção isométrica
Figura 6 - Representação plana de módulos multicubos
Fonte: GUTIÉRREZ (1998)
Concordamos com Gutierrez (1998), quando afirma que para tornar mais fácil
o ensino e a aprendizagem da Matemática temos que evitar abstrações
desnecessárias e confiar em representações ou modelos para os alunos
10
Texto traduzido por nós do Espanhol
28
observarem, construírem, manusearem. As representações gráficas são utilizadas
com freqüência na Educação Básica. Observamos em livros recentes os desenhos
de figuras geométricas espaciais que os autores utilizam e descrevem para
apresentar aos alunos e, percebemos que um cuidado que se toma é quanto à
precisão com que o modelo (físico ou gráfico) representa um conceito prévio dos
alunos. O modelo tem que ter a capacidade de representar e de transmitir o que se
deseja e os alunos a facilidade de interpretar esses objetos ou desenhos; assim, “a
escolha de um bom modelo de representação plana de sólidos é fundamental para o
ensino e a aprendizagem da geometria espacial” (GUTIÉRREZ,1998, p.194)
11
.
Para Gutiérrez (1998), as representações planas compreendem dois tipos de
dificuldades:
(1) Interpretação da figura plana para torná-la objeto tridimensional.
(2) Interpretação do objeto para o conceito geométrico em estudo.
Acreditamos, conforme Gutiérrez, que a capacidade de visualização depende
da habilidade de cada aluno em interpretar a representação, seja ela bidimensional
ou tridimensional, sendo este o elemento chave para um bom desempenho em
vários problemas de geometria espacial.
Conforme as idéias de Gutiérrez(1996), a visualização é integrada por quatro
principais elementos:
A imagem mental é qualquer tipo de representação cognitiva de um
conceito matemático ou propriedade por meio de elementos visuais ou
espaciais.
Uma representação externa pertinentes para a visualização é qualquer tipo
de representação gráfica ou verbal de conceitos ou propriedades, incluindo
fotos, desenhos, diagramas, entre outros, que ajuda a criar ou transformar
imagens mentais e fazer raciocínio visual.
Um processo de visualização é uma ação física ou mental, onde imagens
mentais estão envolvidas. Existem dois processos realizados na
visualização: Interpretação visual da informação para criar imagens
mentais, e interpretação de imagens mentais para gerar informações.
Os indivíduos devem adquirir e melhorar um conjunto de habilidades de
visualização para realizar os processos necessários com imagens mentais
específicos para um determinado problema. (GUTIÉRREZ,1996,p.9-10)
12
11
Texto traduzido por nós do Espanhol
12
Texto traduzido por nós do Inglês
29
Ainda, segundo Gutiérrez(1996), dependendo das características do problema
de matemática a serem resolvidos e as imagens criadas, o aluno deve ser capaz de
escolher entre diversas habilidades visuais. Essas habilidades podem ter bases
completamente diferentes, sendo as principais:
Figura-percepção solo: a capacidade de identificar uma figura específica por
isolamento fora de um contexto complexo.
Constância perceptiva: A capacidade de reconhecer que algumas
propriedades de um objeto (real ou em uma imagem mental) são
independente do tamanho, cor, textura ou posição, e não permite confundir
quando um objeto ou imagem é percebida em diferentes orientações.
Rotação mental: A capacidade de produzir imagens mentais dinâmicas
para visualizar uma configuração em movimento.
Percepção de posições espaciais: a capacidade de relacionar um objeto,
imagem ou imagem mental de si mesmo.
Percepção de relações espaciais: a capacidade de relacionar vários objetos,
imagens e / ou imagens mentais uns dos outros, ou simultaneamente a si
mesmo.
Discriminação visual: A capacidade de comparar vários objetos, imagens,
e / ou imagens mentais para identificar semelhanças e diferenças entre
eles. (GUTIÉRREZ,1996,p.10)
13
O referido autor também constatou que os alunos possuem dificuldades em
desenhar e, quando o fazem, são conscientes de que está errado, muitas vezes
apagam e tentam fazer novamente, mas continuam fazendo errado.
As dificuldades que Gutiérrez (1998) encontrou nos estudantes de sua
pesquisa podem ser divididas em duas:
(1) Dificuldade conceitual – está relacionada com a compreensão das
características da representação.
(2) Dificuldade técnica – está relacionada com a estratégia de construção do
desenho.
Para Gutiérrez (1998), os professores devem ser conscientes que os alunos
possuem dificuldades nas representações planas de figuras espaciais e nós também
acreditamos que não devemos deixar que estas dificuldades aumentem, criando
bloqueios em nossos estudantes no desenvolvimento do trabalho com geometria,
pois os alunos são capazes de fazer as representações de maneira correta sem se
prender às figuras estereotipadas.
13
Texto traduzido por nós do Inglês
30
Concordamos com Gutiérrez (1998) que infelizmente nenhuma forma de
representação plana de corpos espaciais é perfeita e que é necessário que os
estudantes trabalhem com várias delas para que possam selecionar as mais
adequadas para cada caso de representação e que o centro da aprendizagem está
no conhecimento de regras explícitas. Antes de iniciar formalmente as
representações planas, os professores não devem ignorar as experiências extra-
classe pois são elas que, por meio de desenhos livres e com as habilidades dos
alunos, vão se converter, por exemplo, numa projeção em perspectiva.
3.2.3 Miranda ( 2006 )
Em sua dissertação de mestrado, Miranda (2006) apresentou uma aplicação
da geometria descritiva, num estudo sobre as secções do cubo com 8 alunos do
ensino médio de uma escola militar (na faixa etária de 17 a 20 anos), em um
ambiente de Geometria Dinâmica, para responder a seguinte questão “Qual é o
papel da geometria descritiva e dinâmica nos problemas de geometria espacial?”
Para responder a esta questão o pesquisador propôs uma seqüência de três
experimentos, com o intuito de verificar a contribuição que os princípios da
Geometria Descritiva, utilizados numa geometria Dinâmica, podem trazer para que
os alunos reconheçam e identifiquem secções de um cubo. É preciso deixar claro
que estes alunos já haviam estudado Desenho Geométrico e Geometria Descritiva
no segundo ciclo do Ensino Fundamental – 7ª e 8ª séries - e no segundo ano do
Ensino Médio, o que vem ao encontro da idéia do “sabido” sugerida por Parzysz
(1988)
14
. No entanto, como reforça o estudo feito por Gutierrez (1998)
15
, os alunos
têm dificuldade em enxergar propriedades das figuras tridimensionais quando
confrontados com uma representação bidimensional (o “visto” de Parzysz).
Miranda concluiu que a utilização de um micromundo de Geometria Descritiva
privilegiou o pólo do “sabido” na maioria dos alunos pesquisados, pois foi nesse
ambiente que os alunos encontraram o maior número de secções e usaram
14
Veja parágrafo das considerações teóricas
15
Ver revisão de literatura Gutiérrez
31
propriedades evidentes nas representações na tela do computador para construir o
conjunto de todas as secções possíveis. Para solucionar o problema das secções de
um cubo, analisando-o no âmbito da Geometria Espacial (de modo empírico e
dinâmico) e na Geometria Descritiva (de forma dinâmica), abordaram os seguintes
aspectos:
As relações envolvidas entre as figuras e suas representações;
As perdas de informações (conceitos, propriedades entre outros) nas
representações das figuras geométricas;
A codificação e a decodificação dos objetos geométricos;
As influências dos pólos do “visto x sabido” (PARZYSZ,1998a) nas atitudes
individuais dos estudantes em representar figuras geométricas.
Baseando-se nas dificuldades conceituais e técnicas (GUTIÉRREZ,1998) das
figuras tridimensionais representadas no plano, Miranda tomou como base teórica os
princípios do “visto” e do “sabido” (PARZYSZ, 1988) e o uso de programas de
computadores associados à Geometria Dinâmica (BAKÓ, 2002).
Nas representações do cubo Miranda observou que, na sua maioria, foram
feitas em perspectiva cavaleira e pode verificar que, com os princípios da Geometria
Descritiva num ambiente informático, as perdas de informações são menores do que
na Geometria Espacial “axiomática”. Nesta, para a codificação das representações,
observou que a perspectiva cônica não aparece nos experimentos, porém, as
perspectivas paralelas surgiram em todos os desenhos construídos, em especial a
perspectiva cavaleira que predominou sobre a axonométrica. Constatou também que
a perspectiva paralela cavaleira foi a mais utilizada devido à familiarização ou
habilidade dos sujeitos em representar suas construções geométricas.
3.2.4 Rosalves ( 2006 )
Em outra dissertação, Rosalves (2006), escreve sobre as representações
planas de figuras espaciais pois, para a referida autora, os alunos encontram
dificuldades na passagem da Geometria Plana para a Geometria Espacial, assim
32
como Rosalves que também tomou como base o estudo feito por Parzysz(1988) do
“pólo de visto” x “pólo do sabido”.
A problemática da pesquisa insere-se no contexto do ensino e aprendizagem
da Geometria Espacial, referindo-se em particular às dificuldades dos alunos do
Ensino médio nas relações dos objetos geométricos e suas representações planas.
O estudo investigou o papel das representações dinâmicas em ambiente
informático, mais precisamente o cabri 3D, visando analisar como as representações
nesse ambiente são codificadas e decodificadas pelos alunos e em que medida
essas representações participam no desenvolvimento das habilidades de
visualização e possibilitam a interpretação de propriedades geométricas de objetos
espaciais.
O estudo foi iniciado com 6 alunos da 2ª série do Ensino Médio, mas,foi
concluído com 4 no decorrer da 3ª série do Ensino Médio de uma escola pública da
cidade de São Paulo. Fizeram parte do estudo um observador e o pesquisador, que
assumiu o papel de professor. Os resultados mostraram que, em determinadas
situações, as perdas de informações no cabri 3D são menores do que no ambiente
papel e lápis. Em uma de suas atividades com os alunos a referida pesquisadora
pode verificar que, ao se prolongar as arestas reversas de um cubo, no ambiente
papel e lápis, alguns alunos responderam que elas se cruzam. Já no cabri 3D, pelos
recursos de mudança do ponto de vista, isso não ocorreu. Por fim, constatou que
nestes dois ambientes os alunos privilegiaram o “pólo do visto”, que proporcionou
uma evolução no “pólo do sabido”.
3.2.5 Kodama ( 2006 )
Kodama (2006) pesquisou a apropriação das regras da perspectiva cavaleira
por alunos do Ensino Médio, a partir das sombras dos objetos e de um ambiente
informático, e se tais regras favoreceriam a resolução de problemas da Geometria
Espacial. A pesquisa foi baseada nas investigações de Parzysz (1989, 1991, 2001)
sobre representações planas de figuras espaciais e nos trabalhos de Boero (1996).
Utilizou uma seqüência de atividades, formuladas e aplicadas com base em alguns
33
princípios de engenharia didática, a um grupo de 7 alunos da 3ª série do Ensino
Médio. As produções dos alunos mostraram que um jogo dialético entre a geometria
concreta e a geometria espaço-gráfica contribui para a apropriação das regras da
perspectiva cavaleira. No entanto, a análise desta seqüência de ensino apontou que
a perspectiva cavaleira foi utilizada apenas como uma técnica de desenho e não
como uma ferramenta para auxiliar na resolução de problemas da Geometria
Espacial e que outras seqüências de ensino poderiam ser concebidas para estudar a
complexidade dessa passagem. Os resultados de seu trabalho apontam, ainda, a
perspectiva cavaleira como uma representação acessível e fácil para os alunos
executarem e proporcionam um equilíbrio entre o que se sabe do objeto
(propriedades, pólo do sabido) e o que se vê (pólo do visto).
3.3 TEXTOS DIDÁTICOS ANALISADOS
3.3.1 PCN Ensino Fundamental
Pesquisamos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de Matemática, e
verificamos qual era o conteúdo proposto para o 1º ciclo (1ª e 2ª séries), 2º ciclo (3ª
e 4ª séries), 3º ciclo (5ª e 6ª séries) e 4º ciclo (7ª e 8ª séries) do Ensino Fundamental
e 1ª, 2ª e 3ª séries do Ensino Médio.
O PCN do Ensino Fundamental começa com uma apresentação aos
professores explicando a finalidade do mesmo, fornece uma breve trajetória das
reformas curriculares chegando às décadas de 60/70, período em que houve no
Brasil e em outros países um movimento de renovação do ensino de Matemática
conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM).
Na seleção de conteúdos do PCN do Ensino Fundamental há uma referência
ao campo da Geometria como o estudo do espaço e das formas, contemplando não
somente as formas mas também as noções relativas à posição, à localização de
figuras e aos deslocamentos no plano e em sistemas de coordenadas.
As crianças que ingressam no 1º ciclo (1º, 2º e 3º anos), na faixa etária de 6 a
8 anos, trazem consigo uma bagagem de noções informais sobre numeração,
medida, espaço e forma, construídas em sua vivência cotidiana que servirão de
34
referência para o professor na organização das formas de aprendizagem.
Acreditamos que neste ciclo as crianças comecem a fazer relações entre o abstrato,
o desenho de uma esfera e o concreto, uma bola de futebol. E as coisas que as
crianças observam, os cálculos que elas próprias fazem e as referências que
conseguem estabelecer, serão transformadas em objeto de reflexão para suas
primeiras atividades matemáticas escolares.
Os alunos deste ciclo começam a perceber a noção de espaço com
atividades de deslocamento, orientados pelo professor, noções de lateralidade e
contato com objetos, sejam eles planos ou não, percebendo através da manipulação
e observação as diferenças dos mesmos. As características gerais deste ciclo são
atividades que aproximem o aluno das formas e do espaço, organizando
informações e estabelecendo vínculos.
Ao explorarem as situações-problema, os alunos desse ciclo precisam do
apoio de recursos como materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução
de cédulas e moedas), instrumentos de medida, calendários, embalagens,
figuras tridimensionais e bidimensionais, etc.
Contudo, de forma progressiva, vão realizando ações, mentalmente, e, após
algum tempo, essas ações são absorvidas. (PCN, p. 64).
Nos PCN, nos Objetivos de Matemática para o primeiro ciclo, no bloco
Espaço e Forma, o professor deve orientar o aluno a:
Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se
no espaço, bem como identificar relações de posição entre objetos do
espaço; interpretar e fornecer instruções, usando terminologia adequada.
Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando
formas tridimensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam
descrições orais, construções e representações. (PCN, p. 65)
Como descreve o PCN, as crianças já começam a ter um contato com a
dualidade das formas planas e tridimensionais, formas estas que futuramente serão
representadas e os alunos terão que fazer leituras e identificações.
As construções feitas pelos alunos serão por meio de materiais planificados e
suas representações serão feitas por meio de desenhos como quadriláteros e
triângulos.
35
Neste 1
o
ciclo são trabalhados desenhos bidimensionais e acreditamos que é
nesse momento que o aluno começa a conjecturar e a “imaginar” como se fariam
esses desenhos numa folha de papel, sentindo talvez a necessidade de regras para
estas representações.
Quanto aos Conteúdos de Matemática para o primeiro ciclo, segundo o PCN,
as crianças estabelecem relações que as aproximam de alguns conceitos,
descobrem procedimentos simples e desenvolvem atitudes perante a Matemática.
Seus conhecimentos não estão classificados em campos (numérico, geométrico,
métricos, entre outros), mas sim interligados.
A exploração dos conceitos e procedimentos relativos a espaço e forma é
que possibilita ao aluno a construção de relações para compreensão do
espaço a sua volta.[...]
Os assuntos referentes ao Tratamento da Informação serão trabalhados
neste ciclo de modo a estimularem os alunos a fazer perguntas, a
estabelecer relações, a construir justificativas e a desenvolver o espírito de
investigação.
A finalidade não é a de que os alunos aprendam apenas a ler e a interpretar
representações gráficas, mas que se tornem capazes de descrever e
interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos. (PCN,p. 69)
Acreditamos que essa exploração de conceitos e de procedimentos é uma
das maneiras do professor evidenciar a importância da geometria que será
explorada nos próximos ciclos.
As representações gráficas deste 1
o
ciclo são desenhos de quadriláteros,
triângulos e figuras geométricas de conhecimento dos alunos. Com o estímulo do
professor, os alunos desenvolvem atitudes de organização e de investigação,
adquirindo uma postura que os conduza a justificar e a validar suas respostas, por
meio dos conhecimentos matemáticos.
Observamos que as atividades deste 1
o
ciclo são para a aproximação do
aluno das operações, dos números, das medidas, das formas e do espaço, “da
organização de informações, pelo estabelecimento de vínculos com os
conhecimentos com que ele chega à escola”. (PCN, p. 70)
Conteúdos Conceituais e Procedimentais – Espaço e Forma.
36
Observação de formas geométricas presentes em elementos naturais e nos
objetos criados pelo homem e de suas características: arredondadas ou
não, simétricas ou não, etc.
Estabelecimento de comparações entre objetos do espaço físico e objetos
geométricos – esféricos, cilíndricos, cônicos, cúbicos, piramidais,
prismáticos – sem uso obrigatório de nomenclatura.
Percepção de semelhança e diferenças entre cubos e quadrados,
paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos, esferas e círculos.
Construção e representação de formas geométricas. (PCN, p.72-73)
Acreditamos que as características, as comparações e as diferenças
percebidas neste ciclo farão com que o aluno tenha uma reflexão do que se vê e de
que forma se representam os objetos e figuras, começando a estabelecer as regras
para as construções e as representações geométricas.
Os critérios de avaliação da Matemática para o 1
o
ciclo, segundo o PCN,
apontam para aspectos considerados essenciais em relação às competências que
se esperam que um aluno desenvolva até o final desse ciclo. Em relação a Espaço e
Forma, tem-se o seguinte critério: localizar a posição de uma pessoa ou um objeto
no espaço e identificar características nas formas dos objetos.
As noções de paralelismo e perpendicularismo aparecem de maneira informal
quando o professor lhes diz que duas retas que não se encontram são paralelas e
que dobrando-se uma folha de modo que ela fique “em pé”, esta fica perpendicular.
Quando os alunos observam um cubo desenhado numa folha começam a relacionar
as retas que não se encontram, as retas perpendiculares e vêem que está
desenhada na folha uma figura tridimensional. Acreditamos que começam neste
ciclo as investigações dos alunos em relação às representações planas de figuras
espaciais e a observação de que para validar estas representações são necessárias
regras mais formais.
Espera-se que o aluno se localize no espaço utilizando elementos de posição
como referência e, para se situar ou se movimentar, seja capaz de estabelecer
semelhanças e diferenças entre os objetos pela observação de suas formas. “A
expressão dessas observações é feita por meio de diferentes representações
(gráficas, orais, com materiais, etc.)”. (PCN, p.77.)
No 2
o
ciclo (4º e 5º ano), os alunos chegam na faixa etária entre 9 e 10 anos e
começam, segundo o PCN, a estabelecer relações de causalidade, o que os
estimula a buscar explicações das coisas (os porquês) e as finalidades (para que
37
servem). Começam a perceber transformações, passam a descobrir regularidades e
propriedades numéricas, geométricas e métricas. Apresentam uma evolução das
representações pessoais para as representações convencionais. Acreditamos ser
aqui o momento para o início das regras para as representações, que serão
formalizadas conforme as passagens de ciclos.
Estas representações passam das simples noções para as definições de
quadriláteros, para a rigidez do triângulo. A partir deste ponto as crianças começam
a perceber que existem regras que serão discutidas, analisadas e colocadas para
reflexão e se elas são importantes regras para as representações.
“É importante ressaltar que, apesar desses avanços, as generalizações são
ainda bastante elementares e estão ligadas à possibilidade de observar,
experimentar, lidar com representações, sem chegar, todavia, a uma
formalização de conceitos”. (PCN p.79)
Os Objetivos da Matemática para este 2
o
ciclo, relacionados a Espaço e
Forma são:
Estabelecer pontos de referência para interpretar e representar a
localização e a movimentação de pessoas ou objetos, utilizando
terminologia adequada para descrever posições.
Identificar características das figuras geométricas, percebendo semelhanças
e diferenças entre elas, por meio de composição e decomposição, simetrias,
ampliações e reduções.( PCN, p.81)
Os Conteúdos de Matemática para o 2
o
ciclo são uma ampliação dos
conteúdos já trabalhados no 1
o
ciclo, estabelecendo relações que aproximam os
alunos de novos conceitos, aperfeiçoando procedimentos conhecidos com a
construção de novos.
Se no primeiro ciclo o trabalho do professor centra-se na análise das
hipóteses levantadas pelos alunos e na exploração das estratégias pessoais
que desenvolvem para resolver situações-problema, neste ciclo ele pode
dar alguns passos no sentido de proporcionar a seus alunos a compreensão
dos enunciados, terminologias e técnicas convencionais sem, no entanto,
deixar de valorizar e estimular suas hipóteses e estratégias pessoais. (PCN,
p.83).
38
Ainda no 2
o
ciclo, o professor deve estimular a observação de características
das figuras tridimensionais e bidimensionais, o que lhes permitirá identificar
propriedades e, desse modo, estabelecer algumas classificações. “O segundo ciclo
tem como característica geral o trabalho com atividades que permitem ao aluno
progredir na construção de conceitos e procedimentos matemáticos”. (PCN, p. 85)
Conteúdos Conceituais e Procedimentais – Espaço e Forma.
Representação do espaço por meio de maquetes.
Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre corpos redondos,
como a esfera, o cone, o cilindro e outros.
Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre poliedros (como os
prismas, as pirâmides e outros) e identificação de elementos como faces,
vértices e arestas.
Composição e decomposição de figuras tridimensionais, identificando
diferentes possibilidades.
Identificação da simetria em figuras tridimensionais.
Exploração das planificações de algumas figuras tridimensionais.
Identificação de figuras poligonais e circulares nas superfícies planas das
figuras tridimensionais.
Exploração de características de algumas figuras planas, tais como: rigidez
triangular, paralelismo e perpendicularismo de lados, etc.
Composição e decomposição de figuras planas e identificação de que
qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares.
Representação de figuras geométricas. (PCN, p. 88-89)
Os critérios de avaliação de Matemática para o 2
o
ciclo, segundo o PCN,
apontam para aspectos considerados essenciais em relação às competências que
se esperam que um aluno desenvolva até o final desse ciclo. Em relação a Espaço e
Forma, tem-se o seguinte critério:
Interpretar e construir representações espaciais (croquis, itinerários,
maquetes), utilizando-se de elementos de referência e estabelecendo
relações entre eles.
Reconhecer e descrever formas geométricas tridimensionais e
bidimensionais. (PCN, p. 94)
Finalizando os PCN dos 1º e 2º ciclo há algumas orientações didáticas que
“pretendem contribuir para a reflexão a respeito de como ensinar, abordando
aspectos ligados às condições nas quais se constituem os conhecimentos
39
matemáticos”. (PCN, p. 97), como um trabalho constante de observação e de
construção das formas é que levará o aluno a perceber semelhanças e diferenças
entre elas. Para tanto, diferentes atividades podem ser realizadas: compor e
decompor figuras, perceber a simetria como característica de algumas e não de
outras, entre outras.
Dessa exploração, resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais
(como cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides) e bidimensionais
(como quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágonos) e a identificação de
suas propriedades.
Ao término do 4º ciclo o aluno já terá as propriedades dos quadriláteros
definidas, suas subdivisões (trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e
quadrados), os nomes dos triângulos quanto ao número de lados e as noções de
paralelas e perpendiculares.
Figura 7: Quadriláteros
Fonte: Acervo pessoal
Neste 2
o
ciclo os alunos aproximam-se bastante dos objetos tridimensionais
por meio da manipulação e da observação. Acreditamos que com as definições de
paralelismo e perpendicularismo, mais as propriedades dos quadriláteros, estes
alunos consigam diferenciar algumas das representações planas de objetos
tridimensionais como o cubo, o paralelepípedo e os prismas em geral.
No 3
o
ciclo (6º e 7º anos), para alunos na faixa etária de 11 e 12 anos, os
objetivos que destacamos são:
40
“relacionados ao pensamento geométrico, por meio da exploração de
situações de aprendizagem que levem o aluno a: Estabelecer relações entre
figuras espaciais e suas representações planas, envolvendo a observação
das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e interpretando suas
representações”. (PCN. p. 64-65).
Essas relações, ao serem estabelecidas, ajudarão os alunos nas
representações das figuras, por isso acreditamos que haja a necessidade de regras
para construir, representar e interpretar essas representações.
Observamos que nesse 3
o
ciclo já se apresenta uma noção de representações
planas de figuras geométricas espaciais. As atividades geométricas centram-se na
observação, nas representações e nas construções de figuras, bem como no
manuseio de instrumentos de medidas, o que ao longo do desenvolvimento, vai
permitir ao aluno analisar e descobrir algumas propriedades dessas figuras que vão
ajudá-lo no momento de fazer uma representação a colocar em um plano
bidimensional todas as possíveis medidas do objeto, de modo que as perdas de
informações sejam as menores, pois Parzysz (1998) já afirmava que “para que estas
sejam minimizadas,é necessário o conhecimentos de certas regras”.
Ao se desenhar um cubo como se observa na figura 8, as arestas AD, DC e
DH, por estarem representadas por segmentos tracejados, sinalizarão que estão na
parte de trás do cubo, ou seja, num plano paralelo ao da face ABFE. A perda de
informação no desenho plano (faces paralelas) poderá ser superada pelo
conhecimento de uma regra simples.
Figura 8 – Cubo
Fonte: Acervo pessoal
41
Segundo o PCN (p.72-73), os conceitos e os procedimentos a serem
adotados em relação a Espaço e Forma são: “Distinção, em contextos variados, de
figuras bidimensionais e tridimensionais, descrevendo algumas de suas
características, estabelecendo relações entre elas e utilizando nomenclatura
própria.”
Com o conhecimento das características e das propriedades das figuras
planas ou espaciais, ao estabelecer relações, um sujeito pode perceber que
precisam existir regras para fazer uma representação no papel. Miranda (2006), ao
pesquisar sobre as secções feitas em um cubo observou que, com papel e lápis os
alunos tiveram dificuldades em observar algumas delas e que, com o software
“Cabri-géomètre II” como micromundo, encontraram todas as secções possíveis. A
maioria dos cubos desenhados foram em perspectiva cavaleira e acreditamos que
estes alunos conheciam as regras para fazer tais representações.
Pudemos verificar ao ler os PCN‟s que os conteúdos, os objetivos, os
conceitos e os procedimentos, trabalhados de maneira correta, poderão ajudar os
alunos a desenvolverem suas habilidades na Geometria, facilitando as
interpretações necessárias para o entendimento de representações planas de
figuras planas e espaciais.
Ao final do texto referente ao 3
o
ciclo são apresentados os critérios de
avaliação, pelos quais o professor irá verificar as expectativas de aprendizagem,
considerando os objetivos e conteúdos propostos, possibilitando identificar os
assuntos que necessitam ser retomados e organizar novas situações que
possibilitem sua efetiva aprendizagem.
O critério de avaliação relacionado a espaço e forma é:
Analisar, classificar e construir figuras geométricas bidimensionais e
tridimensionais, utilizando as noções geométricas como ângulos,
paralelismo, perpendicularismo, estabelecendo relações e identificando
propriedades. (PCN, p.77).
Ao analisar um desenho, o observador tem que ter conhecimento de espaço e
de forma e das regras para sua interpretação, por exemplo, um cubo tem todas as
arestas de mesma medida, as que se interceptam são perpendiculares e os lados
são quadrados. No trabalho apresentado por Parzysz (1998), ao se observar numa
42
folha o desenho de um quadrado com suas diagonais pode-se, ou não, “adivinhar”
que esse desenho seja a representação simplesmente de um quadrado com suas
diagonais ou uma vista superior de uma pirâmide, por isso a necessidade de regras
para que uma representação não seja mal interpretada.
Figura 9 - Quadrado com suas diagonais?
Fonte: Parzysz (1988)
O 4
o
e último ciclo do Ensino Fundamental (8º e 9º anos, 13 a 14 anos de
idade) é um período em que os alunos estão passando por transformações,
mudanças corporais, começam a se preocupar com a continuidade dos estudos e
com o futuro profissional.
Muitos têm a sensação de que a Matemática é uma matéria difícil, e que
seu estudo se resume em decorar uma série de fatos matemáticos, sem
compreendê-los e sem perceber suas aplicações e que isso lhes será de
pouca utilidade.(PCN, p.79)
É nessa fase que os alunos começam a ter o conhecimento de mundo,
surgem experiências de vida, fora do círculo familiar. Começam a verificar a
presença da Matemática em outras áreas do currículo, “particularmente no estudo
de alguns fenômenos físicos, químicos, no estudo da informática entre outras.”(PCN,
p.80).
Os objetivos propostos para este ciclo, relacionados a Espaço e Forma, visam
o desenvolvimento do pensamento geométrico por meio da exploração de situações
de ensino que propiciem ao aluno: “Ampliar e aprofundar noções geométricas como
incidência, paralelismo, perpendicularismo e ângulo para estabelecer relações,
inclusive as métricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais”. (PCN, p.81)
Esse aprofundamento pode, sob nosso ponto de vista, ser acompanhado do
conhecimento de regras de representação e de construção, pois ao se observar um
43
cubo com suas arestas paralelas e ortogonais no espaço, podemos e queremos que
estas relações “apareçam” no desenho bidimensional.
Observe a representação do cubo ABCDEFGH abaixo:
Figura 10 - Cubo com as arestas prolongadas
Fonte: Acervo pessoal
As arestas EF e HG estão contidas nas retas s e r, respectivamente, sendo
r//s e as arestas BF e CG estão contidas nas retas u e t, respectivamente, com u//t,
mas as arestas EF e CG são reversas e as arestas HG e BF idem; no entanto, no
desenho, as retas r e u “parecem” concorrentes e as retas s e t também. Se as
regras ficarem claras e explícitas, esperamos que os alunos não se deixem enganar
pelo que “parece”.
Neste 4
o
ciclo, da mesma maneira que no anterior, os conteúdos do bloco
Espaço e Forma têm como ponto de partida a análise das figuras pelas
observações, manuseios e construções que permitam fazer conjecturas e identificar
propriedades, apontando para a necessidade de um raciocínio dedutivo, que é
inerente a cada aluno, e fará com que surjam perguntas quanto às propriedades das
figuras, levando-o a necessitar de regras para validar tais propriedades.
Encontramos no caderno do aluno nº3 da 5ª série/6º ano (p.21-23), distribuído
pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, uma atividade em que os
alunos já necessitam dessa habilidade, pois devem observar objetos colocados em
cima de uma mesa (desenhados no caderno) e desenharem as vistas frontal, lateral
e superior. Para isto, vão precisar observar e conjecturar, numa boa amostra do
raciocínio dedutivo próprio.
44
Quanto aos conceitos e procedimentos, dentro do bloco Espaço e Forma:
Secções de figuras tridimensionais por um plano e análise das figuras.
Análise em poliedros da posição relativa de duas arestas (paralelas,
perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares).
Representação de diferentes vistas (lateral, frontal e superior) de figuras
tridimensionais e reconhecimento da figura representada por diferentes
vistas. (PCN, p.88)
Miranda (2006) observou que nas secções de um cubo, quando feitas dentro
de um ambiente utilizando geometria dinâmica, os alunos em sua pesquisa,
encontraram todas as possíveis secções e isso nos leva a acreditar que, se o aluno
conhecer as regras de representação terá maior facilidade de encontrar estas
secções.
Os PCN‟s propõem conteúdos ricos em Geometria (Espaço e Forma) visando
um conhecimento básico em construções, visualizações, transformações
geométricas, composição e decomposição de figuras planas e percepção de figuras
espaciais, para o desenvolvimento de habilidades essenciais para um bom
entendimento do que se pode ter no espaço e as formas que os objetos podem
ocupar no mesmo, porém, este estudo fica restrito somente ao bloco Espaço e
Forma.
Como campo de problemas, o estudo do espaço e das formas envolvem três
objetos de natureza diferente:
O espaço físico, ele próprio - ou seja, o domínio de materializações;
A geometria, concebida como modelização desse espaço físico – domínio
das figuras geométricas;
O(s) sistema(s) de representação plana das figuras espaciais – domínio das
representações gráficas. (PCN, p.122)
A esses objetos correspondem três questões relativas à aprendizagem que
são ligadas e interagem umas com as outras. São elas:
A do desenvolvimento das habilidades de percepção espacial;
A da elaboração de um sistema de propriedades geométricas e de uma
linguagem que permitam agir nesse modelo;
45
A de codificação e decodificação de desenhos. (PCN, p.122-123)
O desenvolvimento dessas habilidades e as futuras conjecturas das
propriedades, no momento da codificação (construção) e decodificação (leitura),
podem conduzir o aluno ao conflito do que é visto e do que é sabido. Segundo
Parzysz (1998), ao “ler” um desenho, um sujeito tende a “ver” as suas propriedades
como propriedades do objeto em si, como por exemplo no cubo da figura 10, que as
retas s e t são concorrentes e r e u também e não ortogonais e reversas, ou ainda,
que nem todas as faces do cubo são quadradas, pois as faces EFGH “parecem” um
paralelogramo e não um quadrado.
No que diz respeito aos sistemas de representação plana das figuras
espaciais sabemos que as principais funções do desenho são as seguintes: (PCN.
p.125).
Visualizar – fazer ver, resumir;
Ajudar a provar;
Ajudar a fazer conjecturas (o que se pode dizer).
Quando os alunos têm de representar um objeto geométrico por meio de um
desenho, buscam uma relação entre a representação do objeto e suas
propriedades e organizam o conjunto do desenho de uma maneira
compatível com a imagem global que têm do objeto. (PCN, p.125).
As produções dos alunos mostram que eles costumam situar-se em relação a
dois pólos, geralmente antagônicos:
Um que consiste em procurar representar o objeto tal como ele (aluno)
imagina como o objeto se apresentaria à sua vista;
O outro que consiste em procurar representar, sem adaptação, as
propriedades do objeto que ele (aluno) julga importante. (PCN, p.126)
Para Parzysz (1998), este antagonismo pode ser entendido se nos basearmos
em três hipóteses:
1) Existe uma dialética entre a aquisição dos conhecimentos em geometria
do espaço e o domínio das representações;
46
2) É obrigatório passar por uma fase de utilização de uma representação
tridimensional, mesmo em nível do Ensino Médio;
3) Existe uma necessidade de tornar explícitas as regras para desenhar
figuras espaciais.
Segundo o PCN o aluno faz composição e adota critérios para obter um
resultado que ele julga o melhor possível, pois não consegue conjugar os dois pólos.
Estes critérios ficam mais apurados com a evolução da idade, o desenvolvimento
das capacidades gráficas e os conhecimentos geométricos.
A dificuldade dos alunos é de encontrar articulações entre as propriedades
que ele conhece e a maneira de organizar o conjunto do desenho, pois ele
deverá escolher entre sacrificar ou transformar algumas delas, como o
desenho das figuras tridimensionais”.
Mesmo no início do terceiro ciclo os alunos usam ainda de forma bastante
espontânea sua percepção para representar figuras; aos poucos, essa
espontaneidade tende a diminuir e é substituída por uma tendência de
apoiar-se nos métodos do professor.
As atividades de Geometria são muito propícias para que o professor
construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências
concretas leve-os a compreender a importância e a necessidade da prova
para legitimar as hipóteses levantadas. Para delinear esse caminho, não se
deve esquecer a articulação apropriada entre os três domínios citados
anteriormente: o espaço físico, as figuras geométricas e as representações
gráficas. (PCN, p.126).
3.3.2 PCN Ensino Médio
O Ensino Médio é a etapa final da Educação Básica e tem como finalidade
“assegurar a todos os cidadãos a oportunidade de consolidar e aprofundar os
conhecimentos adquiridos no Ensino Fundamental”. (PCN,p.22)
No início do PCN são feitas considerações importantes sobre o ensino da
Matemática e em seguida estabelecem-se os objetivos para esta disciplina com a
finalidade de proporcionar ao aluno, no que diz respeito à Geometria, “reconhecer
representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos
associados às diferentes representações” (PCN, p. 254).
47
Sobre o aprofundamento dos estudos em todas as áreas da Matemática, em
particular a Geometria, segundo o PCN:
Numa outra direção, as habilidades de visualização, desenho,
argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas
podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para
que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na
representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (PCN, p.
257)
Os parâmetros de 2006 complementam os anteriores, organizando os
conteúdos básicos em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria;
Análise de dados e probabilidade.
No PCN do Ensino Médio, o conteúdo Geometria refere-se ao que era
chamado Espaço e Forma no Ensino Fundamental:
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas práticos do cotidiano, como, por
exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias
percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber
usar diferentes unidades de medida.
O trabalho de representar as diferentes figuras planas e espaciais,
presentes na natureza ou imaginadas, deve ser aprofundado e
sistematizado nesta etapa de escolarização. ( PCN, p. 75)
O estudo da Geometria no Ensino Médio finaliza os estudos iniciados nos
ciclos I e II do Ensino Fundamental. Ocorre nessa etapa um trabalho aprofundado e
sistematizado proporcionando ao aluno um aprendizado para resolver problemas
práticos do cotidiano. Acreditamos que ao passar por todos o ciclos o aluno poderá
chegar a essa etapa com um conhecimento muito bom em Geometria e que o
antagonismo entre os pólos visto x sabido será provavelmente superado, com a
discussão, a definição e a reflexão das regras de representação plana de figuras
espaciais. O aluno, por meio destas regras, será capaz de decodificar um desenho
plano de uma figura, seja ela espacial ou não.
Durante as nossas leituras dos PCNs dos 1º e 2º ciclos, mantivemos uma
conversa informal com algumas professoras destes níveis de ensino e os
depoimentos orais obtidos nos levaram a uma constatação, já descrita no PCN, de
que um aluno que obteve uma formação passando por todos os ciclos do Ensino
48
Fundamental deveria chegar ao Ensino Médio sabendo, por exemplo, o que é um
cubo, qual sua forma, como são as características de perpendicularismo e de
ortogonalidade, como são as faces, quantas são e ainda tendo uma idéia de como
fazer um desenho dele no papel. No entanto, percebemos na nossa prática diária,
que os alunos ao final do Ensino Fundamental mostram muitas dificuldades tanto
para interpretar como para visualizar desenhos de figuras geométricas,talvez por
não conhecerem as regras.
3.3.3 A Proposta Curricular e os Cadernos do Professor
A Proposta Curricular da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, no
que se refere aos conteúdos fundamentais de Geometria a serem ensinados cita
que o Ensino Fundamental deve ocupar-se inicialmente do reconhecimento, da
representação e classificação das formas planas e espaciais. A proposta ainda
determina que a Geometria seja trabalhada em todos os anos, em abordagem
espiralada, para que os grandes temas sejam vistos tanto no Ensino Fundamental
como no Ensino Médio diferenciando-os pela escala de tratamento do tema.
Como parte integrante dessa proposta recebemos os Cadernos do Professor,
material que foi distribuído por bimestre em 2008 para nortear o professor no
desenvolvimento dos conteúdos propostos e em 2009, com a mesma periodicidade
de distribuição, mas já oficializado como o novo Currículo da Secretaria da
Educação do Estado de São Paulo. Os Cadernos estão divididos em Situações de
Aprendizagem sobre os temas propostos e são esses materiais que trazem
exemplos e sugestões para que o professor, juntamente com o livro didático,
trabalhe os conteúdos.
Observamos, através da leitura da Proposta e dos Cadernos do Professor,
que o tema Geometria, no Ensino Fundamental, é abordado no 3º bimestre do 6º
ano com Formas Geométricas; no 2º bimestre do 7º ano com ângulos, polígonos,
circunferência, simetrias, construções geométricas e poliedros; no 4º bimestre do 8º
ano com o Teorema de Tales, o Teorema de Pitágoras, áreas de polígonos e volume
do prisma; no 3º bimestre do 9º ano com proporcionalidade na geometria (o conceito
49
de semelhança, semelhança de triângulos, razões trigonométricas) e no 4º bimestre
com corpos redondos.
No currículo do Ensino Médio para o curso da 1ª série, a geometria aparece
somente no 4
o
bimestre; na 2
a
série, também aparece somente no 4º bimestre com
geometria espacial, elementos de geometria de posição, poliedros, prismas e
pirâmides, cilindros, cones e esfera, sendo o último tema a ser abordado nesta série.
As representações aparecem em formas de desenhos, que vêm acompanhados, em
sua maioria, com frases do tipo: a figura abaixo representa uma esfera; observe o
cubo; dada uma pirâmide de base quadrangular regular, entre outras. As regras para
essas representações não são explicitadas junto aos desenhos e não as
encontramos como um assunto a ser trabalhado em nenhum outro lugar da
proposta.
O Caderno do Professor do 4º bimestre da 2
a
série define como uma das
competências e habilidades a serem trabalhadas em situação de aprendizagem
sobre o prisma, a “capacidade de visualização de figuras espaciais no plano”.
Apresenta como sugestão que o professor trabalhe com materiais do dia-dia, como
caixa de fósforos e embalagens, e traz definições por escrito, como “se o prisma
tiver todas as faces quadradas, ele forma um cubo, também chamado de hexaedro
regular (do grego hexa= seis e hedros = apoiar-se, faces)”. As figuras aparecem
como desenhos e quando estes se referem a algum tipo de prisma, aparece um
texto do tipo “Uma caixa de lápis tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo
com 3 cm de comprimento, 4 cm de profundidade e 12 cm de altura” e não são
explicitadas as regras para as representações, acreditamos que são desenhadas em
perspectiva, pelo tipo de desenho. Uma das orientações do Caderno do Professor é
para que os professores observem as dificuldades dos alunos “quanto à
visualização e à representação plana dos prismas” e que se utilize uma malha
quadriculada para as representações.
O caderno segue propondo as demais situações de aprendizagem para
cilindros, pirâmides, cones e esferas, destacando como competências e habilidades
a serem trabalhadas: a visualização de sólidos formados por rotação; visualização e
representação de pirâmides e cones. Sugere que o professor apresente objetos,
como embalagens em forma de prisma, pirâmides, cone e esfera para que haja a
manipulação e a visualização, faça a confecção destes a partir de diversos recursos,
50
utilizando a planificação, bolinhas de isopor, palitos entre outros (conforme
hipóteses de Parsysz (1998) já relatadas em nosso trabalho).
A Geometria Espacial não faz parte do currículo da 3ª série, somente a
geometria analítica, cônicas e números complexos.
3.3.4 Livros didáticos
Consultamos os livros didáticos, indicados pelo PNLEM de 2008 e escolhidos
pela escola em 2007, que foram utilizados pelos professores de Matemática entre
2008 e 2009 com os alunos que serão sujeitos desta pesquisa, para nos
apropriarmos dos estudos realizados na 1
a
série do Ensino Médio.
3.3.4.1 Matemática Volume Único
Este livro é dividido em 8 unidades e cada uma delas, em capítulos. Na
unidade 1 “Álgebra”, não se trabalha Geometria. Na unidade 2 “Geometria plana”,
estudo das propriedades de figuras geométricas; semelhança de triângulos; as
relações métricas no triângulo retângulo; polígonos regulares inscritos na
circunferência e comprimento da circunferência; áreas; medidas de superfícies. Na
unidade 3 “Trigonometria”. Nas unidade 4 e 5 “Álgebra II” e “Estatística e Matemática
Financeira”, respectivamente, não se trabalha Geometria. Na unidade 6 “Geometria
Espacial: de posição e métrica”, os assuntos são: a introdução de relação entre
ponto e reta, ponto e ponto, relação entre duas retas de um plano; posições
relativas: ponto e reta, ponto e plano; posições relativas de pontos no espaço;
determinação de um plano; posições relativas de dois planos no espaço (exercício
proposto com a 1ª e a 2ª aparições do cubo); Perpendicularidade no espaço (retas
perpendiculares), onde o cubo aparece pela 3ª vez com o desenho precedido da
frase: “Pelo cubo, podemos visualizar ...” e o autor utiliza o desenho para definir
retas paralelas, retas concorrentes ou retas reversas, por meio da observação das
arestas do cubo; Poliedros: Prismas e Pirâmides. Esta unidade termina com os
51
corpos redondos. Nas unidades 7 “Geometria Analítica” e 8 “Álgebra III“,
respectivamente, a Geometria não aparece.
Na introdução dos temas da unidade 6, aparece um desenho de um cubo.
Tomando este para análise das representações que aparecem no livro observamos
que a partir desse ponto o cubo é sempre representado em perspectiva cavaleira, na
sua maioria voltado para o lado direito e não é acompanhado de nenhuma das
regras de representação, como ângulo e coeficiente de redução, (isto novamente
nos remete aos trabalhos de Parsysz (1989) e de Gutierrez (1998), pois estes
chamam a atenção para os desenhos estereotipados. O autor utiliza a linguagem
“observando o cubo da figura ...”, aparentemente partindo do princípio que o aluno já
conhece o cubo e suas características e os desenhos são sempre colocados no livro
de forma que o aluno não precise conjecturar, visualizar ou observar, porque há
sempre um texto explicativo sobre a natureza da figura representada e as regras
não precisam aparecer.
3.3.4.2 Matemática Completa
O volume 1 é para alunos da 1ª Série do Ensino Médio. O primeiro tema é a
geometria plana: segmentos proporcionais; relações métricas no triângulo retângulo;
circunferência; coordenadas de um ponto, seguida pelo desenvolvimento de outros
conteúdos que não são relacionados à Geometria.
O volume 2 é para alunos da 2ª Série do Ensino Médio, começando com um
aprofundamento em Trigonometria seguido de Matrizes, Determinantes, Sistemas
Lineares, Análise Combinatória e Probabilidade. O tema Geometria aparece no
penúltimo capítulo do livro, que começa com retas e planos no espaço (noções
primitivas); postulados; determinação de plano; posições relativas de duas retas no
espaço; posições relativas de uma reta e um plano no espaço; posições relativas de
dois planos no espaço. Num exemplo aparece um desenho semelhante ao de um
cubo para explicar retas paralelas, concorrentes e reversas. Aparece pela 1ª vez um
cubo quando os autores dizem “A figura a seguir representa um cubo”, para o aluno
poder resolver um problema. Em seguida é tratado o perpendicularismo entre reta e
plano (aparece o desenho de um cubo em perspectiva cavaleira, sobre um plano,
52
para demonstrar que por um ponto fora de um plano passa uma única reta
perpendicular a esse plano); projeção ortogonal; distância entre retas reversas;
ângulo de uma reta com um plano e num exemplo o autor escreve “Observando o
cubo da figura seguinte, responda: ...”; teoremas de paralelismo e de
perpendicularismo; tópicos de geometria plana; poliedros; poliedros regulares, onde
o autor cita o hexaedro regular e coloca um desenho do cubo em perspectiva
cavaleira e um cubo planificado; relação de Euler (exemplo com um cubo); prismas.
“Um prisma reto cujas bases são retângulos é chamado paralelepípedo
retângulo. As principais dimensões de um paralelepípedo retângulo são:
comprimento, largura e altura”. (p.259).
“Quando as três dimensões são iguais o paralelepípedo retângulo é
denominado cubo”. (p. 260)
Os desenhos são sempre em perspectiva cavaleira, voltados para o lado
direito e não aparecem as regras para as representações. Aparentemente, os
autores partem do princípio que o aluno já conhece bem o cubo, com suas
características e propriedades, e também sabe como desenhá-los. O capítulo
termina com as pirâmides e os corpos redondos.
O volume 3 recomendado para alunos da 3ª série do Ensino Médio contém:
Geometria analítica; cônicas; números complexos; polinômios; equações
polinomiais; limites; derivadas e finaliza com questões do ENEM e outros testes.
3.3.5 Observações sobre o material didático analisado
Escolhemos a Proposta Curricular e os livros distribuídos pelo PNLEM porque
foi o material com os quais os alunos, sujeitos desta pesquisa, tiveram contato na 1
a
e 2
a
séries do Ensino Médio. Observamos que as representações do cubo aparecem
no conteúdo da 2ª série do Ensino Médio, no momento em que se apresentam as
posições de retas (retas paralelas e/ou perpendiculares) e posições de planos para
servir de apoio aos exemplos, mas, muitas vezes aparentemente para ter certeza
que é um cubo, o autor escreve “A figura a seguir representa um cubo”.Essas
representações são apresentadas, em sua maioria, em perspectiva cavaleira,
53
voltados para o lado direito e não se apontam as regras de representação em
nenhum lugar dos textos. Tanto o Caderno do Professor como os livros partem do
pressuposto que o aluno já conhece as características e as propriedades de um
cubo. O caderno sugere ainda que o professor trabalhe com materiais, objetos,
caixas, entre outros, para que o aluno os manipule e possa visualizar, relacionando-
os com os temas abordados, mas não ficam claras as regras para o desenho destes
objetos no plano, o que nos preocupa, pois sabemos que o que é “visto” pode muitas
vezes ser enganoso.
No caderno do professor aparece uma sugestão para que se faça uso da
malha quadriculada de modo a ajudar o aluno a ler e interpretar os desenhos, pois,
ficam evidentes os paralelismos, alguns perpendicularismos e as comparações de
medidas (por exemplo, segmentos de mesma medida ou com coeficiente de redução
conhecido), no caso da perspectiva cavaleira ou axonométrica isométrica.
Observamos, após todo o estudo que fizemos, que tanto no Caderno do
Professor como nos livros didáticos analisados, não se apresentam propostas de
trabalho sistematizado com as representações das figuras geométricas, com uma
discussão sobre a necessidade de fazê-las, de usá-las e de conhecer as regras para
tal, apesar de sempre estar escrito que o aluno tem que visualizar e representar. Os
trabalhos desenvolvidos parecem dar mais valor à manipulação e a uma
visualização intuitiva, ficando a desejar no que diz respeito às regras e aos critérios
para as representações das figuras no plano, conforme exemplificamos a seguir.
Nas figuras abaixo, desenhadas em papel quadriculado, para se dizer que é
um cubo em perspectiva cavaleira é preciso conhecer algumas das regras de
representação com as quais estas foram feitas, como por exemplo o coeficiente de
redução e o ângulo de direção. Se estes não forem explicitados, o desenho poderia
ser o de um paralelepípedo com base num paralelogramo não quadrado.
Figura 11 - Cubo PC (45º,75%)
Fonte: AUDIBERT (1990)
54
Figura 12 - Cubo PC (27º,56%)
Fonte: AUDIBERT (1990)
No Caderno do Professor sugere-se o uso da malha quadriculada para as
representações de figuras espaciais e acreditamos que, com o conhecimento das
regras e com o uso deste tipo de papel, podemos contribuir para a interpretação e
visualização dos desenhos e para a utilização de perspectivas paralelas, cavaleiras
ou axonométricas. No caso da perspectiva cavaleira no papel quadriculado, por
exemplo, se explicarmos para os alunos o papel do ângulo de direção e do
coeficiente de redução fica quase evidente quando se trata de um cubo, de um outro
paralelepípedo ou ainda de outra figura geométrica, pois é possível “ver”, com a
ajuda das linhas tracejadas, se a figura tem faces paralelas ou não, quadradas ou
não, perpendiculares ou não, ortogonais ou não. De qualquer forma, o professor
precisa ficar atento às dificuldades que surgirem.
Através da nossa pesquisa pretendemos ampliar um pouco mais o estudo
sobre as representações das figuras, pois, observamos nos materiais já publicados,
que muito se trabalha com a visualização e a manipulação e pouco ou quase nada
com as regras para as representações bidimensionais de figuras bi ou
tridimensionais.
Ao terminarmos esta nossa revisão de literatura, que incluiu algumas
pesquisas, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental e do
Ensino Médio, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo; um livro didático de
Matemática do tipo volume único; e uma coleção didática de Matemática, estes
últimos para o Ensino Médio.
55
4 CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS
Realizamos algumas leituras para a revisão de literatura, a fim de responder
nossas questões de pesquisa e optamos por utilizar as idéias de Parzysz (1988) e
Gutiérrez (1996/1998) para orientar nosso estudo sobre a utilização de
representações planas de figuras tridimensionais nas aulas de Matemática.
Acreditamos que as regras para elaborar tais representações precisam ser
explicitadas e trabalhadas e, uma vez que não são de aprendizagem imediata -
segundo Gutiérrez (1998), a habilidade para desenhar é um fator que realmente
afeta a capacidade de fazer representações de sólidos e nós educadores temos que
estar conscientes de que esta capacidade não cresce de maneira espontânea
16
-
fomos em busca daquelas que, no nosso entender, podem e devem ser usadas pelo
professor de Matemática.
Nesse sentido, encontramos uma definição de perspectiva na Wikipédia:
“Define-se a perspectiva como a projeção em uma superfície bidimensional
de um determinado fenômeno tridimensional. Para ser representada na
forma de um desenho (conjunto de linhas, formas e superfícies) devem ser
aplicados mecanismos gráficos estudados pela Geometria descritiva, os
quais permitem uma reprodução precisa ou analítica da realidade
tridimensional.”
17
(WIKIPEDIA, 2010.)
No caso da Matemática na Educação Básica a superfície bidimensional é uma
lousa, um livro didático ou uma folha de papel, que são os instrumentos de trabalho
do professor em sala de aula. O desenho é a representação plana de figuras
tridimensionais que gostaríamos que os alunos compreendessem. A Geometria
Descritiva é a teoria matemática que vai fornecer as regras com as quais fazemos
esses desenhos.
4.1 Introdução
16
Texto traduzido por nós do Espanhol
17
Grifo nosso
56
Dividimos este capítulo em duas partes, na primeira colocamos as
informações sobre perspectiva cônica e na segunda sobre perspectiva paralela.
4.2 Sobre as perspectivas em geral
A maioria das representações que encontramos em livros didáticos brasileiros
de Matemática é feita em perspectiva e, para um melhor entendimento, colocamos
na figura a seguir, um quadro comparativo das perspectivas de um cubo: cônicas e
paralelas (cavaleira e axonométrica).
Figura13: Perspectivas
Fonte: Miranda (2006)
4.2.1 Perspectivas Cônicas
Na Perspectiva Cônica, as representações de segmentos paralelos podem
não ser paralelas. Com isto, os paralelismos não ficam todos evidentes e as regras
para tais representações tornam-se mais elaboradas, o que pode dificultar ainda
mais o trabalho didático do professor de Matemática.
As perspectivas cônicas se subdividem em três tipos: com um, dois ou com
três pontos de fuga.
57
Figura 14: Cubos em perspectiva
Fonte: Acervo pessoal
Segundo Lellis(2009), as linhas paralelas que não são paralelas ao quadro (ou
ao plano de representação) convergem todas para o ponto P, dito ponto de fuga.
Assim, não são mantidos paralelismos, nem comprimentos. Alguns dizem ser esta a
“verdadeira perspectiva”, a que mais se assemelha à visão do olho humano.
Figura 15: Ponto de fuga
Fonte: Machado(2009)
58
4.2.2 Perspectivas Paralelas
Na Perspectiva Paralela, que se subdivide em perspectiva cavaleira e
perspectiva axonométrica (ou axonometria), as figuras conservam as propriedades
de paralelismo e dão idéia de profundidade, o que pode facilitar sua interpretação.
Parzysz (1989, p.209) afirma que na França, os desenhos são na sua maioria
(90%) feitos em perspectiva cavaleira, com fuga para cima e à direita, e Gutierrez,
(1998, p.195) afirma que as perspectivas paralelas cavaleira e isométrica são as
mais freqüentes no estudo de geometria e no Brasil elas também são uma constante
nos livros didáticos.
Na perspectiva axonométrica, a direção de projeção é ortogonal ao plano de
projeção (o observador está no infinito, olhando de frente para a figura e para o
plano de projeção) e na perspectiva cavaleira, a direção de projeção é oblíqua (o
observador está no infinito e não está olhando de frente para a figura).
Projetantes paralelos entre si e perpendiculares ao plano de projeção.
Figura 16: Vistas múltiplas
Fonte: Instituto Politécnico de Leiria
Projetantes paralelos entre si e perpendiculares ao plano de projeção.
Figura 17: Projeção paralela ortogonal
Fonte : Instituto Politécnico de Leiria
59
Projetantes paralelos entre si e oblíquos em relação ao plano de projeção.
Figura 18 : Projeção paralela oblíquoa
Fonte: Instituto Politécnico de Leiria
Axonometria = Axon (eixo) + metreo (medida) é um tipo de projeção cilíndrica
ortogonal em que as figuras são formadas a partir de um sistema ortogonal de três
eixos que formam um triedro. Na escolha deste sistema, colocamos também em jogo
as medidas dos ângulos que os eixos formam entre si e as “escalas” em cada um
deles. Conforme estas medidas, podemos classificar as perspectivas axonométricas
em isométricas, dimétricas e trimétricas.
Figura 19: Sistema ortogonal de três eixos
Fonte: Adaptado de Perspectiva da- l
4.2.2.1 Perspectiva Axonométrica Isométrica
Ocorre quando o observador está situado no infinito e os raios projetantes são
paralelos uns aos outros, incidindo perpendicularmente no plano de projeção. É o
processo de representação tridimensional em que o objeto se situa num sistema de
60
três eixos coordenados (axonometria). Estes eixos, quando perspectivados, formam
entre si ângulos de 120º:
Figura 20: Eixos ortogonais isométricos
Fonte: Perspectiva da-l
Na perspectiva isométrica, o ponto O é um vértice de um cubo, cujas arestas
se apóiam nas direções x, y e z. Os ângulos das faces que convergem no vértice O,
que no real medem 90º, na representação medem 120º e as medidas das arestas
são iguais.
Figura 21: Cubo em perspectiva isométrica
Fonte: Miranda ( 2006)
61
Na maioria dos textos que analisamos costuma-se utilizar, nas construções de
perspectivas, os prolongamentos dos eixos x e y a partir do ponto O no sentido
contrário, formando ângulos de 30º com a horizontal, enquanto o eixo z (vertical)
permanece inalterado.
Figura 22: Eixos prolongados
Fonte:Perspectiva da-l
No caso da perspectiva isométrica de um cubo podemos aproveitar os
próprios eixos para “completar” o desenho, Assim, temos como possibilidade:
Figura 23: Dimensões do cubo
Fonte: Perspectiva da-l
62
4.2.2.2 Perspectiva Axonométrica Dimétrica
Na perspectiva dimétrica, no sistema Oxyz, dois dos eixos têm escalas
métricas iguais (que podem ser de redução ou não) e estes eixos formam ângulos
congruentes com o terceiro eixo, no qual há uma mudança de escala.
Figura 24: Cubo em perspectiva dimétrica
Fonte : Miranda (2006)
4.2.2.3 Perspectiva Axonométrica Trimétrica
Na perspectiva trimétrica, no sistema Oxyz, os ângulos formados pelos eixos
são distintos entre si, ocasionando três coeficientes de redução para as medidas nas
três direções.
63
Figura 25: Cubo em perspectiva trimétrica
Fonte: Miranda (2006)
4.2.2.4 Perspectiva Cavaleira
Na perspectiva cavaleira, ou também conhecida como perspectiva militar, o
observador está situado no infinito e os raios projetantes são paralelos e incidem de
forma oblíqua no plano de projeção. Uma das faces é paralela a este plano, com
uma das arestas na horizontal e tem a forma e as dimensões conservadas,
enquanto que as demais sofrerão distorção, o que equivale a dizer que o sistema
Oxyz é escolhido de tal forma que os eixos Oy e Oz mantêm a escala 1:1, Oy é
horizontal, Oz é vertical e o eixo Ox forma um ângulo α com a direção horizontal (ver
figura 26 ). O que varia neste tipo de representação é a direção de projeção (α) e o
coeficiente de redução (k), na direção do eixo x. É costume utilizar a notação: PC (α,
k%) para designar uma perspectiva cavaleira com os parâmetros α e k.
64
Figura 26: Eixos com os coeficientes de redução
Fonte: Desenho, geométrico e arquitetura online
Figura 27: Cubo em perspectiva cavaleira PC(30º,50%)
Fonte : Acervo pessoal
Na perspectiva cavaleira, valem as seguintes propriedades:
(1) Segmentos e figuras paralelos ao plano de projeção são representados em
verdadeira grandeza, figuras congruentes, situadas em planos diferentes do
plano de projeção, têm representações congruentes.
(2) Os segmentos representados na direção Ox, no objeto real são
perpendiculares ao plano de projeção e podem ter medida reduzida pelo
coeficiente K.
(3) Segmentos de retas paralelos no objeto real são representados por
segmentos de retas paralelos no desenho.
65
Como convenção, traça-se linhas cheias para as arestas que estão visíveis
para o observador, se imaginarmos que a figura tridimensional é sólida, e linhas
tracejadas para as invisíveis (que ficam escondidas do observador).
4.3 AS NOSSAS ESCOLHAS
As representações planas de figuras tridimensionais que mais encontramos
em livros didáticos brasileiros de Matemática são as feitas com base ou na
perspectiva cavaleira ou na axonométrica isométrica, segundo Parzysz (1988) e
Gutiérrez (1998) são as mais usuais também em sala de aula de Matemática da
França e da Espanha, respectivamente.
Para o desenvolvimento de nossa pesquisa decidimos investir em
perspectivas cavaleiras e axonométricas isométricas por serem aquelas que os
alunos já viram e desenharam de modo estereotipado, sem o cuidado com as regras
que permitem formar uma figura o mais próxima possível do objeto real, sem que
caiamos no engodo do chamado pólo do visto, e, em perspectivas cônicas para
explicar os pontos de fuga constantes ou não em gravuras com características
matemáticas, que farão parte deste estudo. E porque acreditamos que, conhecendo
as regras que permitem elaborar as representações, os alunos conseguirão ler e
interpretar grande parte das representações planas de figuras tridimensionais, sem
serem iludidos pelo pólo do visto.
66
5 A PESQUISA
Em nosso trabalho pretendemos responder a duas questões de pesquisa:
“A utilização de imagens externas variadas pode ajudar no desenvolvimento
de habilidade de visualização?”
“Quais habilidades de visualização podem ser desenvolvidas com a análise
dessas imagens?”.
5.1 INTRODUÇÃO
Realizamos entrevistas semi-estruturadas individuais com um grupo de alunos
do Ensino Médio no intuito de verificar as suas habilidades de visualização através
da observação e análise de algumas gravuras.
Acreditamos que através da análise dessas entrevistas poderemos contribuir
com o processo de ensino aprendizagem de Geometria Espacial nas aulas de
Matemática do Ensino Médio.
5.2 ENTREVISTA REFLEXIVA
O método de pesquisa escolhido é o de uma entrevista semi-estruturada do
tipo reflexivo, que segundo Szymanski (1998) representa uma situação de interação
humana entre os atores sociais, possibilitando uma construção de conhecimentos.
Neste tipo de entrevista, em geral, o entrevistado pode refletir sobre sua fala à
medida que fala com o entrevistador e esse movimento reflexivo torna possível a
67
discussão e a articulação da informação. Por esta razão, permite explorar o maior
número de informações, nas mais diversas formas em que o assunto aparece.
Para Szymanski (1998), dois objetivos principais se destacam numa entrevista
reflexiva:
1. Suscitar informações objetivas e subjetivas (estas últimas remetendo à
construção do significado).
2. Conduzir o processo de diálogo para que o tema discutido seja ampliado e
aprofundado.
[...] o pesquisador tem em mente que é necessário o estabelecimento de
uma situação de confiabilidade e credibilidade para que o entrevistado se
sinta à vontade na exposição dos fatos, e traga, em contrapartida, os dados
importantes para o estudo. A autora ressalta também, que o fato do
entrevistado aceitar colaborar com a pesquisa, já demonstra a intenção do
mesmo em participar do estudo. (SZYMANSKI, 2004, apud COSTA, 2007,
p. 62-63)
18
.
No primeiro momento ocorre uma apresentação e aproximação do grupo, que
é o contato inicial com os participantes. No nosso caso, o grupo é constituído pelo
aluno (entrevistado), pelo entrevistador (este pesquisador). O segundo momento é
representado pela condução da entrevista, que será áudio-gravada com autorização
prévia dos responsáveis pelos menores, para resguardo das informações trocadas.
Acreditamos que a entrevista reflexiva seja de maior aceitação junto aos
alunos, pois cada um pode responder ou não às perguntas feitas, propiciando
liberdade para que haja discussão e troca de informações, possibilitando a
ampliação e o aprofundamento do assunto estudado e fazendo com que haja uma
construção de conhecimentos e significados. Através dessa entrevista poderemos
ainda, obter respostas objetivas às perguntas do tipo “conhece ou não as regras da
perspectiva”, “sabe ou não interpretar um desenho”; e respostas subjetivas, do tipo
“concordo (ou não) que é importante (ou não) conhecer as regras, porque ...”,
“conhecer as regras facilitou (ou não) minha leitura do desenho, porque ...”. Todas
serão importantes para as análises e para as conclusões de nossa pesquisa.
18
SZYMANSKI, Heloisa et al. (2004). A entrevista na pesquisa em educação: a prática reflexiva.
Brasília: Líber Editora.
68
Durante a entrevista esperamos colaborar com estes alunos para que eles, ao
fazerem a leitura de um cubo representado no plano, possam analisar a
representação e juntos possamos conjecturar e verificar quais foram as regras
usadas na representação. Com a verificação da importância (ou não) do uso dessas
regras na representação do cubo e se elas facilitam (ou não) a interpretação dessas
representações, acreditamos conseguir uma forma de provocar nesses alunos a
preocupação com as regras para a representação plana de figuras geométricas em
geral.
Assim, conseguiremos uma forma de fazer com que os desenhos das figuras
geométricas não sejam mais vistos de forma estereotipada pois, segundo Parzysz
(1988) sempre existirá perda de informações numa representação plana de figuras
espaciais.
5.3 SUJEITOS DA PESQUISA
Realizaremos a entrevista com quatro alunos da 3ª série do Ensino Médio em
uma escola pública da cidade de Piedade – SP onde lecionamos, porém não temos
contato direto com os referidos alunos visto que eles estudam em um período
diferente daquele em que ministramos aulas.
Os sujeitos da pesquisa serão chamados de A1, A2, A3 e A4, com o intuito de
preservar as identidades por motivos éticos, são alunos que vieram de uma 2ª série
em 2009 e estão na 3ª série em 2010, e foram convidados a participar do projeto por
intermédio da professora de Matemática da turma. Dentre os que aceitaram o
convite, selecionamos aqueles que apresentaram um perfil diferenciado, de acordo
com as informações da professora.
A1 é considerado excelente, gosta de Matemática, realiza todas as atividades,
possui facilidade nas resoluções e utiliza, muitas vezes, cálculo mental;
A2 realiza as atividades algumas vezes apresentando dificuldades;
A3 realiza todas as atividades, é considerado um aluno de bom para ótimo;
A4 demonstra interesse e responsabilidade pelos estudos, sempre está
perguntando e busca a todo o momento novos conhecimentos;
69
5.4 PROCEDIMENTOS
Realizamos quatro entrevista cada uma delas foi realizada em duas partes: a
primeira com a apresentação de 11 gravuras acompanhadas das seguintes
questões:
Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
O aluno deveria descrever a cena representada e através de sua observação
e interpretação, responder as questões. Além dessa análise, orientamos os alunos
que levassem para casa outras duas figuras, as chamadas por nós “palhaços” e
“elipsóides”, e, primeiramente fizemos uma verificação com a figura “casa dos
arames farpados”.
Juntamos a todo esse material as atividades feitas pelos alunos em casa,
analisamos novamente, chegamos a uma característica inerente a cada um e
fizemos a segunda parte da entrevista, voltada para a matemática e explorando a
visualização de cada aluno.
As entrevista foram realizadas na sala de uma escola na cidade de Piedade-
SP onde estavam presentes o entrevistado e o pesquisador. As conversas foram
gravadas e o material utilizado recolhidos e guardados para análises.
5.5 AS GRAVURAS
70
Para efeito de leitura optamos por apresentar as 11 gravuras na ordem em
que foram utilizadas na entrevista, para depois desenvolver o texto com as
respostas dos alunos em nossa análise.
Figura 28: Reconstrução do templo de Jerusalém
Fonte: Wikipédia
Figura 29: Árvores rebatidas
Fonte: Wikipédia
71
Figura 30: Exorcismo dos demônios de Arezzo
Fonte: Wikipédia
Figura 31: Nascimento da Virgem (painel 7)
Fonte: História da arte
73
Figura 34: Palla de Brera
Fonte: www.slideshare.net(2009)
75
Figura 37: Botticelli, quarto episódio da série Nastagio Degli Onesti
Fonte: Wikipédia
Figura 38: A Escola de Atenas
Fonte: Wikipédia
76
5.6 A ENTREVISTA
Realizamos um total de quatro entrevistas sendo que uma delas será
apresentada na íntegra, propiciando uma noção geral do trabalho desenvolvido junto
aos alunos, e, respectivamente apresentaremos as perguntas direcionadas a cada
uma das gravuras apresentadas anteriormente.
A entrevista que apresentamos a seguir é do aluno A2. Iniciamos com a
primeira parte da entrevista realizada em uma sala da escola onde estavam
presentes somente o pesquisador e o entrevistado e a sessão foi gravada.
Primeiramente fizemos uma leitura da introdução e, posteriormente, das perguntas
e a entrevista prosseguiu como apresentamos a seguir.
As gravuras que selecionamos têm características de uma civilização e/ou um
período da história e apresentam representações planas que descrevem cenas
espaciais. Os alunos deverão analisar cada uma delas, avaliar e responder o que
pedimos .
Figura 28
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: A construção de um reino.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: As pessoas, as casas,os trabalhadores.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, porque uma cidade é constituída de casas e pessoas.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Não, porque há pessoas que são do tamanho de uma árvore,
outras com o tamanho de um castelo.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
77
Resposta: Sim, porque há umas figuras estreitas que dão a impressão de
longevidade. Sim, algumas árvores e um castelo bem pequeno em cima de
uma pedra.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: Sim,a construção de um novo castelo.
Figura 29
Esta figura foi colocada com a intenção de provocar quanto a idéia de
proporcionalidade pois, nela esta evidente que não há proporção.
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Sim,as pessoas estão plantando alguma coisa.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Há duas imagens no quadro, na 1ª ele colocou pessoas plantando
e na 2ª colhendo.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, é fácil saber que na 1ª imagem há o plantio de alguma coisa e
na 2ª a colheita.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim pra primeira imagem, pois as pessoas são maiores que as
árvores,e não pra 2ª imagem pois as árvores são maiores que as pessoas.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Na imagem 1 não, na imagem 2 sim, porque parece que as
pessoas estão dentro de um buraco. Sim, o buraco profundo.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: As pessoas plantando.
78
Figura 30
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: O fim do mundo.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Sim, o céu tá muito escuro e parece que tem demônios saindo das
nuvens, há pessoas escondidas, o chão tá todo rachado e há dois homens
que chamam muita a atenção, o primeiro está em pé e aparenta ser um
padre, o 2º aparenta ser Jesus, ou uma pessoa muito cristã, pois está
ajoelhada dando a impressão de estar orando.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, o ambiente é muito feio, dá a impressão de que é o fim do
mundo mesmo.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Não, porque a pessoa que parece o padre é do tamanho de um
muro e o castelo é maior que as pessoas que estão escondidas.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, porque há diminuição de algumas casas, dando a impressão
de que elas estão longe. O tamanho decrescente das casas.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: A pessoa que parece estar orando e o céu escuro.
Figura 31
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: O nascimento de duas crianças.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Sim, há duas crianças que parecem ser recém-nascidas, que estão
recebendo os cuidados de mulheres, na cama há uma mulher que parece ser
79
a mãe das crianças e na porta há um homem que está recebendo um
presente para as crianças de algum vizinho.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, é fácil interpretar o quadro, você vê duas crianças com um
círculo amarelo em volta da cabeça, já sabe que se trata de um nascimento.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, as pessoas são proporcionais ao tamanho da casa.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Não, porque parece que as pessoas estão alinhadas em uma reta.
Não.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
As duas crianças recebendo cuidados.
Figura 32
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: A morte de uma pessoa em uma fogueira, por ela ser feiticeira.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Sim, tem um rei, tipo apontando pra fogueira e olhando pro
feiticeiro, como se dissesse que lá na fogueira era o lugar dele (feiticeiro).
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, porque a arquitetura da obra representa uma época em que
bruxas e feiticeiros não tinham direito algum de liberdade de expressão.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, as pessoas e as construções são proporcionais.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
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Resposta: Não, parece que todas as pessoas estão alinhadas em uma reta.
Não.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: O rei apontando pra fogueira, lançando um olhar pro feiticeiro, do
tipo você tem que morrer.
Figura 33
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Um reino.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Há castelos, moças e rapazes com vestimentas bem antigas.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, porque quando você bate o olho na obra sabe que se trata de
um reino.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Não, os castelos são maiores que as pessoas.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, porque há diminuição dos castelos, pois eles começam
grandes e terminam pequenos. Os castelos menores e as pessoas que estão
em cima desse castelo também.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: A arquitetura da obra, os castelos.
Figura 34
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Um ritual.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
81
Resposta: Há um número pequeno de pessoas reunidas em volta de uma
criança morta e um samurai ajoelhado no chão, meio que orando.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Não, é muito complicado de entender a obra.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, todas as pessoas são do mesmo tamanho, com exceção da
criança morta.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, porque têm poucas pessoas reunidas em volta da criança, só
que o espaço é muito menor, então ficam 6 pessoas a frente e outras 4 atrás ,
que transmitem essa impressão.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: A criança morta e o samurai.
Figura 35
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Um reino.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Castelos, rainha, as roupas.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, você vê a obra, vê que tem castelo, pronto já sabe que é um
reino.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, as pessoas são menores que os castelos.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
82
Resposta: Sim, porque têm algumas ruas em que as pessoas podem seguir,
e essas ruas devem levá-las aos castelos mais longe, que estão desenhados
em tamanho menor.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: A rainha sendo observada por algumas pessoas.
Figura 36
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Não, porque há um grande número de pessoas aglomeradas, que
eu não sei explicar o motivo dessa aglomeração.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Um castelo, o rei, rainha e o povo.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Não, porque é difícil a pessoa saber de cara o real motivo dessas
pessoas da obra estarem aglomeradas.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Não, o rei, rainha, príncipe, princesa são maiores do que as
pessoas que estão aglomeradas.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, há pessoas maiores e menores que dão essa impressão. O
rei maior que o povo.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: O rei.
Figura 37
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Um banquete.
83
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Um ambiente ao ar livre, com mesas cheias de pessoas, e
mordomos ou garçons, servindo o banquete.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, porque quando você vê a obra, olha aquelas mesas grandes
e os garçons servindo comida, já sabe que é um banquete.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, há proporção aos objetos e pessoas na obra.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, a paisagem no fundo da obra deixa bem claro essa impressão
de longevidade. As montanhas.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: As mesas longas e os garçons.
Figura 38
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Uma escola.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: Um santuário, com pessoas lendo, outras explicando e algumas
bisbilhotando.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, algumas pessoas lendo e outras desinteressadas, a gente
assimila de que seja uma escola.
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, são proporcionais ao tamanho do ambiente.
84
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, é como se o ambiente fosse ficando estreito conforme
aumenta o número de pessoas. As nuvens atrás das pessoas.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: Um rapaz lendo, e um outro meio que dormindo.
Após o aluno ter observado os 11 gravuras e termos instigado sua percepção
visual, foi apresentado uma outra chamada por nós de “Casa dos arames farpados”
(figura 39), colocada com a intenção de provocar quanto a sua observação e visão,
sendo feita algumas perguntas.
Seguem as perguntas, respostas dadas pelo aluno A2:
Figura 39: Casa dos arames farpados
Fonte: Baixaki
85
O que você observa nesta representação?
Resposta: Um chalé no meio de um rio.
Era um dia de Sol? Por quê?
Resposta: Sim, o céu estava azul.
Onde está o Sol? Como você sabe?
Resposta: Está do lado direito, porque há sombra dos objetos desse lado.
Os arames estão encostados na casa?
Resposta: Não,não sei justificar.
O telhado da casa da frente parece estar encostado na casa do fundo. Isto é
verdade?
Resposta: Não, porque se percebe que tem uma distância da 1ª casa para a
2ª casa.
Observe a cumeeira do telhado da casa do fundo. Ela é paralela aos arames
farpados? Estão no mesmo plano?
Resposta: Sim. Não.
Em que posição está a árvore da esquerda? Ela está encostada na casa do
fundo? Por quê?
Resposta: Ela está no meio. Não. Porque dá pra perceber que há uma árvore
mais próxima da casa.
Os galhos desta árvore parecem estar em cima da casa do fundo. Isto é
verdade?
Resposta: Não, elas não estão em cima da casa, mas parecem estar.
A gravura Caça palavras, conforme figura 40, foi entregue ao aluno para que
respondesse em casa algumas perguntas. Esta gravura teve como objetivo,
provocar sua visualização e ainda começar de maneira sutil a introdução às
perspectivas paralelas que seriam explicadas na segunda parte da entrevista.
Seguem as perguntas e as respostas do aluno.
86
Figura 40: Caça palavras
Fonte: Baixaki
Você conhece o objeto que o palhaço da direita está segurando em sua mão
direita? Que nome você dá a ele?
Resposta: Sim, cubo mágico.
Existem mais desses objetos no quadro? Quais?
Resposta: Sim, existem alguns cubos mágicos flutuando, e alguns enterrados
na areia.
O objeto maior (indicado pelo pesquisador na figura) é formado por peças
menores qual é o nome delas? Quantas são?
Resposta: Elas são cubos também, só que são menores. São 17 peças.
Os palhaços estão sentados em cima de objetos que parecem enterrados na
areia. Como você descreve estes objetos?
São 2 cubos mágicos, um deles está quase enterrado por inteiro e o outro
está meio inclinado, com boa parte do cubo sem areia.
A figura 41 mostra a gravura que chamamos de “Elipsóides”, que também foi
encaminhado para casa e pedido que fossem respondidas perguntas com a
intenção de instigar a visualização quanto às formas dos objetos, tamanhos,
posições, a existência do foco de luz, e se o aluno utiliza a idéia de proporção, com
relação à posição, no real, dos objetos observados na figura 41.
87
Figura 41: Elipsóides
Fonte: Baixaki
O que você observa neste quadro?
Resposta: Figuras em formato oval e uma barra retangular flutuando. As
figuras ovais são coloridas.
Você percebe que tem uma fonte de luz? Em que posição esta se encontra?
Por que você acha isso?
Resposta: Sim, no teto do ambiente. Porque todas as figuras do quadro
possuem sombras.
Todos os elementos são do mesmo tipo?
Resposta: Não, há figuras ovais e retangulares.
Todos são do mesmo tamanho?
Resposta: Não, há figuras maiores e figuras menores.
O que são as manchas cinzas que podemos ver na figura?
Resposta: As sombras das figuras.
Na medida do possível, ordene as figuras semelhantes de acordo com o
tamanho, da menor para a maior, observando os números de cada uma.
Resposta: 14-1-2-13-3-7-4-9-6-10-5-11-8-12
Se estes objetos fossem caixas e pudessem ser colocados um dentro do
outro como ficaria? Justifique sua resposta.
88
Resposta: 14-1-2-13-3-7-4-9-6-10-5-11-8-12. Ficaria dessa forma, porque os
objetos menores devem ser colocados dentro dos objetos maiores.
Quantos objetos temos? Quantas manchas cinzas temos?
Resposta: 15 objetos. 21 manchas cinzas.
Observe o objeto nº 5. Qual é a sombra dele? Explique.
Resposta: É a sombra que se encontra na parede branca com uma listra
vermelha, que quase divide a sombra da figura 5.
Os objetos de números 1, 2, 3 e 4 possuem o mesmo tamanho? Por quê?
Resposta: Não, porque o nº 1 é maior que o nº 2 que é maior que nº 3 que é
maior que nº 4. É uma sequência crescente, do maior para o menor.
O objeto nº 12 é maior ou menor que objeto nº11? Por quê?
Resposta: Menor, porque se for colocado em uma ordem crescente o objeto
nº 11 vem primeiro, e a sombra do objeto nº 11 é maior que a do nº 12.
Qual a posição relativa dos objetos 9 e 14? Por quê?
Resposta: A cor vermelha, porque os dois são vermelhos
O objeto nº 4 é maior ou menor que o nº 5? Por quê?
Resposta: Maior, porque se for colocado em uma ordem decrescente o nº 5
vem primeiro por ser menor.
Como é o nome do bloco que se encontra flutuando?
Resposta: Tijolo
O bloco que se encontra flutuando produz uma mancha cinza. Essa mancha
cinza representa que figura geométrica?
Resposta: Retângulo
Observe as faixas coloridas de branco, azul claro e azul escuro. O que você
observa a respeito dessas faixas? Descreva.
Resposta: Que a parede que possui essas faixas não possui nenhuma
sombra.
Em relação as outras faixas o que você observa? Descreva.
Resposta: A parede que possui faixas amarelas e vermelhas possui sombras
das figuras do quadro.
Nossa intenção era apenas iniciar a discussão sem dar muitas explicações
para não influenciar as respostas dos alunos.
89
Ao iniciarmos a segunda entrevista foi apresentado uma nova gravura
(figura 42) para que se fizesse uma análise utilizando-se das perguntas feitas na
primeira entrevista.
Apresentamos esta gravura com o objetivo de provocar o aluno de forma que
perguntasse o que são as linhas verdes que convergem para o ponto de fuga.
Figura 42: O milagre da hóstia
Fonte: : www.ricardocosta.com
Seguem as perguntas e as respostas do aluno.
a) Você consegue descrever a cena real que está representada na figura?
Resposta: Sim, tem uma mulher comprando alguma coisa.
b) Você percebe que organização o autor escolheu para a representação da
cena? Descreva-a.
Resposta: A mulher da obra está com uma moeda na mão e há um balcão
com um homem atrás.
c) Você considera a organização escolhida adequada para a representação?
Explique.
Resposta: Sim, fica bem claro que a mulher é uma cliente e o homem um
vendedor, pela divisão que o balcão faz entre eles.
90
d) Os vários elementos representados estão com os tamanhos adequados?
Resposta: Sim, por causa da proporção entre as duas pessoas da imagem e
os objetos representado na obra.
e) Na figura, a noção de profundidade é evidente? Você identifica algum
elemento especial que permita a visão da profundidade da cena
representada?
Resposta: Sim, o ponto de fuga, a parede e o piso dão impressão de algo
muito estreito.
f) Entre as figuras, você pode selecionar a que melhor representa a cena
descrita?
Resposta: A mulher com a moeda na mão.
Após discutirmos todas as perguntas, passamos a explicar para o aluno por
meio da gravura, o que é uma representação em perspectiva cônica e que, no caso,
para o ponto de fuga convergem as linhas horizontais, que são paralelas no real. As
linhas verticais continuam paralelas, sendo tudo visto de uma forma melhor
observando o chão representado no quadro. Que as obras de arte, até uma certa
época, não utilizavam regras matemáticas para serem desenhadas. Por esse
motivo, as representações podiam ter tamanhos desproporcionais. Após o
surgimento das regras de representação, as obras que seguiam estas regras,
começaram a apresentar um aspecto melhor, tanto para a visualização como para
um estudo mais matemático. Para esta segunda parte da entrevista iríamos procurar
fazer um estudo direcionado à parte matemática.
Em seguida, apresentamos para o aluno novamente as 11 gravuras da
primeira entrevista e perguntamos se ele percebia as mesmas características da
gravura da figura 42.
Para o aluno, as figuras 28,29,30,31,31,33,35,36 e 38 não possuem as
características da figura 42 apresentada no inicio da entrevista, para ele somente as
figuras 34 e 37 são representações em perspectiva cônica.
Quando foi apresentada a figura 30 percebemos que o aluno ficou um pouco
em dúvida, pois devido à profundidade estar evidente pensou que a representação
91
teria ponto de fuga, tentando achá-lo na representação. Então comentamos que toda
gravura que possui ponto de fuga tem profundidade, mas nem toda gravura que tem
profundidade tem ponto de fuga. O aluno observou melhor a representação e
afirmou que realmente não tinha as características pedidas. A mesma situação
aconteceu com a figura 33, ao apresentar retomamos a conversa que tivemos na
figura 30 e o aluno afirmou não ter as características da representação cônica. Para
as figuras 34 e 37, as quais identificou como sendo representações cônicas
perguntei onde se encontrava o ponto de fuga e o aluno respondeu apontando na
figura de maneira correta. O aluno não identificou a figura 38 com as características
da perspectiva cônica, apesar de perguntado várias vezes.
Após as apresentações das figuras comentamos com o aluno que grande
parte das representações artísticas são feitas em perspectivas cônicas e que elas se
dividem em três tipos: com um ponto de fuga, dois ou três pontos de fuga.
Apresentamos imagens com os pontos de fuga para que o aluno conhecesse as
figuras com essas características. Entre as imagens colocamos um cubo, com um,
dois e três pontos de fuga, dissemos para o aluno que este tipo de representação
para a Matemática pode ficar inadequado, pois as imagens ficam com
características reais. Assim, em Matemática, temos utilizado um outro tipo de
representação, não se baseando em perspectivas “deformadas”, o que pode
introduzir complicações didáticas.
Retomamos a gravura dos „Elipsóides”, colamos a gravura numa cartolina,
traçamos as retas paralelas as sombras e aos elipsóides e juntos localizamos o foco
de luz, acima e à direita, confirmando a resposta dada por ele quanto à posição do
foco de luz. Em relação a ordem crescente e decrescente que o aluno trocou o
conceito para responder as questões diz ter se confundido e saber a definição
correta mas escreveu errado. Perguntamos o motivo por ter contado 21 sombras,
respondeu mostrando na figura como contou, percebemos que contou para certas
figuras a sombra duas vezes, ou seja quando a sombra estava na parede e no
chão, ver objeto nº 6, o aluno contou duas vezes, e ao ser perguntado novamente
quantos objetos havia, contou 15, mostramos as três sombras abaixo do bloco
retangular imediatamente o aluno disse que havia mais três objetos escondidos e
que não tinha percebido, então concluímos que a representação tem 18 sombras e
18 objetos. O bloco que havia chamado de tijolo comentamos que se chama bloco
retangular.
92
Para “Casa dos arames farpados” (figura 39) ao comentarmos as respostas
voltamos a perguntar “os arames estão encostados na casa?” O aluno ficou em
silêncio e disse não saber responder, fizemos juntos a observação, que entre a casa
e o arame existe um chafariz, se o arame estivesse encostado na casa teria sombra
do arame na casa, o aluno compreendeu as explicações, constatamos que o aluno
possui uma certa dificuldade nas habilidades “percepção de posições espaciais e
percepção de relações espaciais”, em seguida passamos para a figura Caça
palavras (figura 40).
Ao comentar suas respostas, perguntamos de que forma tinha contado os
cubinhos que formam o cubo maior, indicou a figura no que percebemos que
somente havia contado os cubinhos que estavam visíveis, e respondeu que tinha
mais cubos que os 17 que havia respondido anteriormente, mas não conseguiu
contar quantos eram. Precisou que a auxiliássemos contando juntos os cubinhos,
totalizando 27 cubinhos que formam o cubo maior. Percebemos nesta etapa da
entrevista que o aluno possui uma certa dificuldade na habilidade “rotação mental”,
segundo Gutierrez.
Aproveitamos a figura do cubo e fizemos uma introdução aos tipos de
perspectiva paralela e comentarmos que perspectivas paralelas se dividem em duas:
a cavaleira e a axonométrica e que a axonométrica subdivide-se em mais três, a
isométrica, dimétrica e trimétrica mas as que são de grande uso na matemática e
que interessam aos nossos estudos são a cavaleira e a isométrica, mostrando no
cubo da figura que aquela construção possuía as arestas com as mesmas medidas
e que no plano as arestas formam ângulos de 120º, logo seria uma representação
paralela isométrica.
Após toda essa apresentação das perspectivas paralelas foi mostrado para o
aluno a seguinte figura numa folha de papel sulfite:
93
Figura 43: Hexágono I
Fonte: Acervo pessoal
Perguntamos o que ele enxergava nesta figura. Sua resposta foi imediata “é
um cubo”. Em seguida perguntamos se fosse uma representação plana, que figura
seria essa? “Um hexágono”. Se fosse uma figura espacial que figura seria essa?
“Um cubo”. Pedimos pra que nos mostrasse na figura o cubo enxergado por ele,
mostrou as faces frontal, lateral, superior. Comentamos que por ser uma
representação paralela as faces são paralelas, indicando na figura as faces. Em
seguida apresentamos a seguinte figura em papel sulfite:
Figura 44: Hexágono II
Fonte: Acervo pessoal
Perguntamos que figura é esta? “Um cubo”. O tracejado ajuda a enxergar
melhor o cubo? “Ajuda”. O que representam as linhas tracejadas na figura? O aluno
não soube responder. Então, pedimos para que colocasse letras nos vértices do
cubo para termos uma referência melhor. Ao colocar as letras o aluno percebeu que
94
no centro da figura ficaram duas letras juntas, a letra C e a letra H, então
comentamos que no plano as letras estão juntas, mas como é um cubo, estamos
nos referindo a figura espacial. Perguntamos o que representa elas estarem juntas e
o aluno respondeu que o vértice H está atrás, na mesma direção do vértice C,
parecendo estarem juntos. Aqui podemos dizer que entram os pólos do visto e do
sabido de Parzysz, pois perguntamos novamente o que seria o tracejado, o aluno
continuou ainda sem saber o que seria, percebemos possuir dificuldades nas
habilidades de rotação mental e constância perceptiva, segundo Gutierrez.
Fizemos uma atividade utilizando a imagem do cubo que o aluno colocou as
letras em seus vértices. Explicamos que um dado, usado para jogos, tem o formato
de um cubo e que a soma dos números das faces opostas resultam sete. Pedimos
para que fosse colocasse o número 2 em uma face e perguntamos onde estaria o 5.
O número 6 em outra face, onde estaria o 1. O número 3 em uma face, onde estaria
o 4. O aluno conseguiu responder facilmente as questões, não apresentando para
esta atividade dificuldades na habilidade de rotação mental. Colocamos o número 2
numa face adjacente ao número 5, e perguntamos se isso seria possível. O aluno
disse que não pois as faces teriam que ser opostas.
Terminando esta atividade comentamos novamente sobre a representação
axonométrica isométrica e o aluno confirmou ter entendido este tipo de
representação.
Apresentamos a figura abaixo como sendo a perspectiva paralela cavaleira:
Figura 45: Cubo, representação cavaleira
Fonte: Acervo pessoal
95
Comentamos que esta representação é a mais utilizada em livros didáticos.
Explicamos a construção deste tipo de representação e voltamos a fazer as
perguntas como se o cubo acima fosse um dado. O aluno respondeu corretamente
as questões sem apresentar dificuldades. Em seguida foi apresentado um cubo
desenhado em papel quadriculado, conforme figura abaixo.
Figura 46: Cubo, no papel quadriculado
Fonte: Acervo pessoal
Perguntamos se o quadriculado ajuda na construção, o aluno disse que sim
pois ficaria mais fácil para desenhar o quadrado da frente e o de trás contando o
número de quadradinhos, ficando com dúvidas quanto a medida da aresta lateral
que liga os dois quadrados, se teria mesmo sido reduzida. Fizemos juntos os
cálculos utilizando como medida uma unidade para o lado de cada quadradinho,
aplicamos o teorema de Pitágoras encontrando a medida da aresta lateral
22
unidades para um cubo de aresta 4 unidades e direção de projeção de 45º.
Explicamos que esta é uma representação por este motivo a aresta que acabamos
de calcular sofreu uma redução, que é uma das características da representação
cavaleira, e que no real todas as medidas das arestas são iguais.
Finalizando a entrevista perguntamos se já tinha visto estas representações
anteriormente e se ajudaria a partir de agora em suas atividades matemáticas
futuras.
O aluno disse que não tinha conhecimento das representações que foi muito
interessante e acrescentou muito nos seus conhecimentos e que aprendeu muito
com as entrevistas e as conversas realizadas por nós.
96
Então apresentei uma questão do ENEM/2007 e perguntei se todo aquele
aprendizado ajudaria a resolver tal questão.
Segue a seguinte questão:
Figura 47: Questão nº 5, ENEM/2007
Fonte: MEC
O aluno respondeu que a alternativa correta é a E, pois seria a única que
consegueria construir e ainda fez algumas observações das figuras, que as
madeiras estavam “entrelaçadas” segundo o aluno não sendo possível as
construções. Ao ser perguntado se as regras de representação ajudaram a
97
responder a questão disse que sim pois se não tivesse conhecimento das regras
teria ficado em dúvida entre as alternativas A e C.
5.7 AS ANÁLISES
Vamos apresentar a seguir as análises feitas das entrevistas de cada aluno .
5.7.1 Análise do aluno A1
O aluno fez observação da figura 28, usando sua habilidade de discriminação
visual, comparando os trabalhadores com os nobres que segundo ele estão mais
bem vestidos e maiores. Nesta representação ficou com dificuldades para identificar
profundidade, pois a diferença de tamanho entre as pessoas e objetos lhe causou
confusão, sua percepção de posições e relações espaciais foi pouco utilizada
mesmo assim o aluno diz: “acredito que o fundo da imagem representa essa
profundidade”.
A figura 29 possui organização, mas as representações não estão
adequadas. O aluno percebe que os homens estão pegando água pela sua
habilidade de figura-percepção solo mas fica confuso ao observar o 1º quadro,
quanto a organização. Não responde se estão adequadas. O aluno perguntou se as
representações laterais eram árvores, porém não identificou estas imagens como
árvore demonstrando que sua habilidade de constância perceptiva foi pouco usada.
No 2º quadro considera os elementos adequados, provavelmente por não ter feito as
comparações entre seus tamanhos, a habilidade de discriminação visual foi também
pouco usada e identifica profundidade somente no segundo quadro por comparar a
imagem com uma piscina, usando de sua habilidade de percepção de relações
espaciais e também pelo fato de ter este tipo de imagem em seu repertório de
imagens.
Na figura 30, usa sua habilidade de discriminação visual para comparar
pessoas e objetos, mas sem utilizar a idéia de proporcionalidade. Fica confuso
98
quando pedido para evidenciar profundidade, justificando essa confusão devido às
diferenças de tamanhos das imagens. Como o aluno não explicou a resposta, talvez
não consiga enxergar a profundidade de forma clara por ter percebido que o autor
do quadro não utilizou regras de proporção.
O aluno percebe na figura 31 que o ambiente é pequeno para o tamanho das
mulheres que estão representadas fazendo comparações, usando sua habilidade de
discriminação visual. Apresenta dificuldades para identificar algum elemento que
permita a visão da profundidade, suas habilidades de percepção de posições e
relações espaciais foram pouco usadas.
Percebemos que o aluno observa as figuras mais pelo lado social. Quanto ao
tamanho das pessoas, considera inadequados quando se apresentam com
diferenças de tamanhos, e adequados se estão do mesmo tamanho. Na figura 32,
quanto ao tamanho das pessoas e objetos, justifica de forma que “parece estar com
as dimensões corretas” baseando-se no pólo do visto e usando sua habilidade de
discriminação visual, pois consegue identificar profundidade nesta figura observando
as construções pela sua habilidade de figura-percepção solo, identificando de
maneira específica e isolada.
Percebemos que o aluno identifica profundidade de maneira específica
através do isolamento de um objeto, no caso da figura 33. A construção que está na
frente é para o aluno a que evidencia a profundidade, sua dificuldade para
identificar esta profundidade fica explícita, não se apropria de suas habilidades de
percepção de posições e relações espaciais. Consegue diferenciar o tamanho das
pessoas e objetos fazendo uma discriminação visual e suas comparações são feitas
de forma a relatar que as pessoas ou objetos são “muito grandes” não utilizando a
idéia de proporcionalidade baseando-se no pólo do visto.
Novamente percebemos que o aluno considera a organização parcialmente
adequada ou não adequada quando as imagens das figuras possuem elementos de
tamanhos variados. Quando os elementos e as pessoas aparentam ser do mesmo
tamanho considera-as adequadas, é o que acontece na figura 34. O aluno
considera a organização adequada, provavelmente pelas imagens estarem
representadas mais de acordo com as regras da perspectiva cônica, (pólo do visto).
Consegue identificar profundidade pela sombra projetada na parede do fundo.
Percebemos que o aluno começa a usar, nesta visualização, sua habilidade de
percepção de posições e relações espaciais.
99
O aluno percebe que a figura 35 é semelhante à figura 33, na realidade é
continuação, sua habilidade de constância perceptiva foi empregada nesta
observação. Ao perceber que existem pessoas de diferentes tamanhos e que há
trabalhadores “lá no fundo em cima de um edifício” o aluno faz uma discriminação
visual e usa suas habilidades de percepção de posições e relações espaciais.
O aluno continua observando a imagem pelo lado social, considerando na
figura 36 o rei “maior” que os demais por ser mais importante. Usa sua habilidade de
discriminação visual para fazer as comparações, utilizando o termo “maior” sem o
uso da idéia de proporcionalidade e parece basear-se novamente no pólo do visto.
Para o aluno, “as coisas todas estão no mesmo plano”, apresentando dificuldade em
visualizar profundidade e suas habilidades de percepção de posições e relações
espaciais não foram empregadas.
Ao observar a figura 37 e responder quanto aos tamanhos, se estão
adequados, o aluno diz “tudo está com as dimensões corretas”, provavelmente sua
resposta esteja baseada no pólo do visto, pois não fez comparações e não utilizou a
discriminação visual de objetos e pessoas. Quanto à noção de profundidade, disse
que “ a grande edificação que eles se encontram, pode dar uma noção de
profundidade”, a resposta mostra a insegurança do aluno ao evidenciar profundidade
demonstrando novamente que suas habilidades de percepção de posições e
relações espaciais são pouco usadas.
Na figura 38 o aluno considerou a organização adequada mas que os
elementos representados não estariam com os tamanhos adequados e que tudo
estaria normal, percebemos que o aluno faz a discriminação visual e baseia-se
sempre no pólo do visto para responder quanto ao tamanho das pessoas , objetos e
a profundidade.
Ao terminarmos esta etapa de perguntas, percebemos que o aluno não
aparentava mais tanta segurança como no início da entrevista e que suas respostas
eram curtas, não discorrendo sobre a pergunta. Quando respondeu que os
tamanhos não estavam adequados e que tudo estava normal, percebemos que o
aluno se utiliza da discriminação visual, de suas habilidades de constância
perceptiva e percepções de posições e relações espaciais de maneira inconsciente,
pois provavelmente respondeu as questões baseando-se no pólo do visto,
principalmente quando é perguntado se há profundidade nas figuras.
100
Para “a casa dos arames farpados”, figura 39 que colocamos como uma
prévia das atividades que seriam levadas para casa, o aluno utiliza sua habilidade
de percepção de posições e relações espaciais para localizar a posição em que se
encontra o sol e para dizer que o arame se encontra mais próximo dele do que da
casa, que os telhados das casas não estavam encostados. Respondendo de
maneira curta e direta, percebemos que sua observação se baseia no pólo do visto,
pois o aluno diz que entre as casas e as árvores existe uma certa distância, que
provavelmente são imagens que já se encontram em seu repertório de imagens.
Quanto ao paralelismo do arame com a cumeeira e se estão no mesmo plano, o
aluno demonstrou desconhecer o que seja estar no mesmo plano ou as definições
de paralelismo.
Quando apresentamos a gravura Caça palavras (figura 40), percebemos que
o aluno já possuía a imagem do cubo em seu repertório de imagens, pois respondeu
e localizou os objetos com facilidade, usou suas habilidades de constância
perceptiva e percepção de posições e relações espaciais.
Quanto à contagem de cubinhos, o aluno respondeu de forma correta a
pergunta e ainda percebeu que existia mais um cubo em formação ao lado. Usou
sua habilidade de rotação mental para contar os cubinhos menores e sua percepção
de posições e relações espaciais localizando e percebendo a falta de cubinhos do
cubo ao lado.
Já na gravura “elipsóides”( figura41), o aluno percebe que a fonte de luz está
localizada à direita e consegue diferenciar os objetos quanto ao tamanho aos e
tipos por meio de sua habilidade de percepção de posições e relações espaciais e
discriminação visual. Percebemos que todas estas observações são feitas baseadas
provavelmente no pólo do visto.
O aluno ordena os objetos conforme sua discriminação visual e ao responder
que restaria somente o objeto14 ao ser colocado um dentro do outro percebemos
que sua habilidade de constância perceptiva foi empregada. Ao contar a quantidade
de objetos (15) igual a quantidade de sombra (15), usou sua habilidade de
percepção de posições e relações espaciais, passando despercebido que abaixo do
bloco retangular havia mais três sombras, consequentemente, de mais três objetos.
Nesta atividade o aluno utiliza suas habilidades de percepção de posições e
relações espaciais a todo momento para localizar os objetos pelas posições das
sombras e ainda utiliza sua habilidade de discriminação visual para diferenciar
101
quanto aos tamanhos, embora diga que o objeto 4 seja maior que o 5 pois
“ visualmente é a idéia que se dá”, provavelmente baseou-se no pólo do visto.
Reconheceu o bloco retangular pois já deve ter este tipo de imagem em seu
repertório de imagens e sua sombra como retângulo não conseguindo enxergar que
a sombra formada é de um paralelogramo. Sua habilidade de figura-percepção solo
foi pouco utilizada.
Percebemos que o aluno respondeu as questões de maneira resumida e as
que lhe causavam dúvidas dizia estarem confusas. Possui muita dificuldade em
identificar profundidade, compreendeu melhor depois que fizemos algumas
observações e faz comparações de maneira intuitiva sempre se baseando no pólo
do visto.
Ao retomarmos a 2ª parte da entrevista e apresentarmos uma outra gravura
(figura 42), notamos que o aluno usa o termo proporções da forma “sim, tudo
parece estar nas suas devidas proporções” considerando os tamanhos adequados
sem o uso da idéia de proporcionalidade e sempre através do pólo do visto,
identificando a profundidade por meio da observação do piso desenhado na
gravura. Percebemos que nesta retomada o aluno entendeu o que seria
profundidade, conseguindo identificar de uma forma mais rápida ao ser provocado
por suas habilidades de percepção de posições e relações espaciais.
O aluno não percebeu a existência das linhas verdes convergendo para o
ponto de fuga e, ao chamarmos a atenção para este ponto, o aluno o chamou de
ponto de visão, provavelmente tenha estudado este tipo de representação em aulas
de Arte, mas disse desconhecer o nome deste tipo de representação. Após
explicarmos as representações cônicas, procuramos evidenciar que este é um dos
recursos para poder enxergar a profundidade e, segundo o aluno, ficou mais fácil
identificá-las conhecendo estas representações, apesar de sentirmos um pouco de
insegurança em sua resposta.
Após explicações sobre a representação em perspectiva cônica o aluno disse
ter entendido e ao expormos as 11 primeiras gravuras e perguntarmos quais eram
semelhantes a gravura com as linhas verdes (figura 42) o aluno observou e ora
respondia ser cônica ora não, ficando com dúvidas na figura 29 e figura 32.
Intervimos e explicamos novamente a representação cônica com 1 ponto de fuga, o
aluno desta vez aparentou entender, pois, ao apresentarmos as gravuras seguintes
102
acertou as que tinham o ponto de fuga. Na figura 34 o aluno começou a procurar as
retas que se encontrariam no ponto de fuga. Na figura 37 observou a construção e
as mesas, que segundo o aluno, ao serem prolongados os segmentos que formam a
mesa eles irão se encontrar no ponto de fuga, na figura 38 reconheceu pela
construção e pelas linhas desenhadas no chão. Com o conhecimento da
representação cônica com um ponto de fuga o aluno passou a observar as figuras
procurando encontrar este ponto, embora algumas das representações não o
possuíssem e que agora começasse a enxergar as representações não só pela
parte artística mas também pela parte matemática.
Ao final desta etapa percebemos que o aluno entendeu a representação
cônica com um ponto de fuga e reconheceu que nas duas figuras em que havia
ficado com dúvidas no início, figuras 29 e 32, isto ocorreu pois não havia
compreendido corretamente esse tipo de representação. Percebemos que o aluno
começou a assimilar os conhecimentos que estávamos discutindo para desenvolver
o processo de visualização. Usou algumas habilidades de percepção de posições e
relações espaciais, que acreditamos, poderão ser mais desenvolvidas se
devidamente trabalhadas.
Percebemos que o aluno, apesar de ter estudado em Arte uma parte das
perspectivas, só se lembrou ao explicarmos novamente os três tipos de
representações cônicas. Acreditamos que se utilizássemos este tipo de atividade
nas aulas de Matemática, as habilidades de visualização seriam melhor
desenvolvidas, dando ao aluno a oportunidade de visualizar profundidade nas
imagens, superando assim uma das dificuldades por nós detectadas neste caso.
Continua respondendo as questões de forma curta e direta, na gravura
“elipsóides” (figura 41) usa suas habilidades de percepção de posições e relações
espaciais para localizar o foco de luz e também sua habilidade de discriminação
visual para diferenciar os tamanhos dos objetos pelas sombras. Quanto à sombra do
bloco retangular confirmou ser um retângulo, não reconhecendo ser um
paralelogramo. Sua habilidade de constância perceptiva não foi empregada para
esta situação.
Ao comentarmos sobre o paralelismo entre a cumeeira e os arames farpados,
o aluno ficou um pouco pensativo e talvez desconheça as propriedades de
paralelismo no espaço, ficando com dificuldade para justificar matematicamente o
paralelismo que sabia existir no real.
103
Quando revimos a gravura Caça palavras (figura 40), o aluno confirmou que
todos os objetos perguntados da figura eram cubos. Reconhecidos por meio de sua
habilidade de constância perceptiva, pois já tem formada esta imagem em seu
repertório de imagens. Apesar dos objetos em que os palhaços estão sentados
aparentarem ser prismas retangulares, o aluno não se referiu a eles desta forma,
mesmo ao insistirmos para que observasse com mais detalhes. Não fez um estudo
isolado destes objetos, utilizando uma habilidade de figura-percepção solo, para
confirmar serem cubos. Percebemos que se refere aos objetos pelo pólo do visto,
não se apropriando das regras da perspectiva paralela para justificar as afirmações
feitas.
Quanto à contagem de cubinhos que formam o cubo maior, próximo ao
palhaço da esquerda, a fez de forma correta e utilizou suas habilidades de rotação
mental e percepção de posições e relações espaciais.
A partir deste desenho fizemos a apresentação das perspectivas paralelas e
explicamos que são divididas em paralela cavaleira e perspectiva axonométrica,
sendo que a axonométrica se subdivide em perspectiva paralela axonométrica
isométrica, dimétrica e trimétrica e as mais usuais nas aulas e livros de matemática
são as paralelas cavaleira e isométrica.
Ao apresentarmos o desenho do hexágono com suas diagonais (figura 43) e
pedirmos para observá-lo, percebemos que o aluno começou a confundir as
representações cônicas e paralelas, tentando encontrar na figura o ponto de fuga.
Foi quando retomamos a explicação e o aluno então tentou desenhar uma figura
espacial com uma visão superior lateral dizendo ser um prisma hexagonal com uma
pirâmide na sua base superior, para justificar a visualização da figura apresentada.
Como nossa intenção era que enxergasse um cubo, apresentamos um outro
desenho (figura 44), para que percebesse o cubo.
Ao provocarmos este aluno quanto a visualização, percebemos que vai
desenvolvendo suas habilidades de percepção de relações espaciais e rotação
mental. Provavelmente se este tipo de atividade fosse mais aplicada em sala de
aula, o aluno teria menos dificuldades para desenvolver sua visualização.
Realizamos uma atividade considerando o desenho mostrado como sendo um
cubo e ao pedir ao aluno que colocasse números em faces opostas da forma que se
representasse um dado, ele o fez de forma tranquila, pois possuía em seu repertório
de imagens a definição de faces opostas. Respondeu todas as perguntas sem
104
dificuldades e quanto aos vértices sobrepostos no centro do desenho, percebeu que
eles não estão juntos na real, se visualizar um cubo. Se nos limitarmos ao pólo do
visto diante desenho, estes vértices seriam um só. Usou suas habilidades de
percepção de posições e relações espaciais e rotação mental por serem estas uma
das mais instigadas em toda a nossa entrevista.
Quanto ao cubo desenhado no papel quadriculado (figura 46) percebemos
que o aluno sentiu-se mais seguro para visualizar o real, pois utilizou suas
habilidades de constância perceptiva, percepção de posições e relações espaciais e
apropriou-se da contagem de quadradinhos e de cálculos para verificar as arestas
que foram reduzidas.
Perguntamos se já eram de seu conhecimento as regras de representações
axonométricas e cavaleira e se daqui para frente iria ajudar a enxergar de outra
forma as representações, disse que não conhecia e que ajudaria sim, mas teria que
estar sempre relembrando e estudando as representações.
Percebemos que o aluno desenvolveu algumas habilidades para a
interpretação das representações, porém estas poderiam ser melhor desenvolvidas
se fossem sempre provocadas por representações externas variadas. Percebemos
também que a visualização depende de imagens mentais e representações externas
e que o processo de visualização e o raciocínio visual podem ser estimulados pela
utilização de representações externas variadas.
Apresentamos uma questão do ENEM/2007 (figura 47) para fazer uma leitura
e responder assinalando a correta, o aluno fez de maneira correta, reconheceu que
as regras de representação ajudam nas resoluções de problemas e que precisam
ser trabalhadas nas aulas de matemática pois essas habilidades só serão
desenvolvidas se forem provocadas e trabalhadas em sala.
5.7.2 Análise do aluno A2
O aluno observa a figura 28 mais pelo lado social e reponde as questões
descrevendo de forma resumida , usa sua habilidade de discriminação visual para
fazer as comparações de forma que “há pessoas que são do tamanho de uma
árvore, outras com o tamanho de um castelo”. O aluno respondeu a questão
105
trocando as respostas, descrevendo a organização no lugar da cena e a cena no
lugar da organização. Em relação à noção de profundidade, não consegue se
expressar de forma clara, relacionando profundidade com as imagens estando
“ longe e mais estreitas”, e por estarem longe ficam pequenas. O aluno utilizou sua
habilidade percepção de relações espaciais e da percepção de posições espaciais
respondendo novamente de forma resumida e provavelmente se coloca no pólo do
visto para responder as questões.
A figura 29 foi colocada com a intenção de provocar quanto a idéia de
proporcionalidade, pois nela está evidente que não há proporção. Existe uma
organização, mas as representações não estão adequadas, as árvores estão
rebatidas e o aluno não percebe esse fato. Respondeu de modo resumido as
perguntas trocando a descrição da cena pela da organização, ao dizer ser uma
plantação. Não percebe que na primeira imagem aparece uma pessoa da cintura
para cima, que supostamente estaria imersa em algum líquido, sua habilidade de
constância perceptiva foi pouco usada, possui um repertório de imagens limitado.
Quanto aos tamanhos dos elementos estarem adequados, ao usar sua
habilidade de discriminação visual engana-se em sua resposta, pois responde que
“as pessoas são maiores que as árvores”. Já se percebe que não estão com
tamanhos adequados, tanto no primeiro quadro quanto no segundo, demonstrando
nesta passagem apresentar dificuldades para perceber as imagens em diferentes
orientações, habilidade de constância perceptiva pouco empregada.
O aluno fica confuso quanto à profundidade na primeira imagem, já na
segunda descreve ter profundidade por enxergar no quadro “um buraco”, ficando a
resposta confusa, pois não percebe que a situação ocorre numa cisterna. Apropriou-
se das habilidades de percepção de posições e relações espaciais, porém foram
pouco usadas.
Na figura 30 o aluno responde de forma resumida não descrevendo a cena
real. Percebe-se que trocou as respostas novamente, a cena pela organização e
vice-versa, considera adequada a organização fazendo uma comparação entre o
padre e o muro, o castelo e as pessoas, utilizando-se de sua habilidade de
discriminação visual. Usa o termo “maior”, não fazendo uso de proporcionalidade em
nenhum momento. Justifica que os tamanhos não estão adequados, somente se
baseando no pólo do visto, não se apropria do conceito de proporcionalidade,
apesar do mesmo não existir nesta representação. Percebemos que para o aluno a
106
noção de profundidade é vista quando há evidência da diminuição dos objetos e
pessoas e imagens. Baseia-se no pólo do visto, possui um repertório de imagens
limitado, consegue identificar uma figura por isolamento, fora de um contexto
complexo, por sua habilidade de figura-percepção solo.
Na figura 31 o aluno não discorre das perguntas, respondendo sempre de
forma resumida. Faz uma descrição da cena e não da organização, percebe-se que
trocou as respostas novamente. Nesta figura, a idéia de nascimento está
relacionada, para o aluno, ao fato das crianças terem os círculos amarelos em torno
de suas cabeças, usa sua habilidade de percepção de posições e relações
espaciais. Na representação há pessoas grandes e pequenas, o cômodo
aparentemente pequeno para as pessoas e a cama grande, não existindo
proporcionalidade. Ao responder que “as pessoas são proporcionais ao tamanho da
casa”, o aluno utiliza o pólo do visto, não se apropria da idéia de proporcionalidade.
Para o aluno, a idéia de profundidade está relacionada à diminuição de objetos e
pessoas, fazendo com que se tenha a impressão de que a imagem esteja indo para
o “fundo”. Como a imagem não possui esta característica, não consegue identificar
profundidade. Sua habilidade de percepção de posições e relações espaciais foram
pouco utilizadas.
Até este momento percebemos que o aluno não discorre ao responder as
perguntas, suas respostas são curtas, troca a descrição da cena pela da
organização e vice-versa. Na figura 32, por tratar-se de uma obra de arte, o aluno
usa de sua imaginação fazendo a interpretação de que na época existiam bruxas e
feiticeiras, considerando adequada a representação, usa nesta interpretação suas
habilidades de figura-percepção solo. O aluno usa somente o pólo do visto para
dizer que “as pessoas e as construções são proporcionais”, possui um pequeno
repertório de imagens, usa de sua habilidade de discriminação visual comparando
só pessoas depois só construções, não recorrendo à idéia de proporcionalidade.
Fica evidente que o aluno não consegue identificar profundidade nas cenas onde
não haja a diminuição de objetos e pessoas, dando a impressão que estão indo para
o “fundo”, pois afirma com veemência que nestas representações não existe
profundidade, apesar da comanda no início das perguntas afirmar que se tratavam
de “representações planas que descrevem cenas espaciais”. Como o aluno usa
sua imaginação, os elementos que mais se destacaram foram o rei, o feiticeiro e a
fogueira, conseguindo identificar, mesmo sendo de uma forma fantasiosa, uma
107
figura específica por isolamento fora de um contexto complexo, por sua habilidade
de figura-percepção solo. Verificamos ainda que o pólo do visto é muito usado
dentro de seu pequeno repertório de imagens.
Na figura 33, o aluno consegue identificar de imediato, devido à organização
feita pelo autor, a idéia de ser um reino, mas não especificando que tipo de reino.
Considera a organização adequada “porque quando você bate o olho na obra sabe
que se trata de um reino”, (pólo do visto). Continua trocando as respostas entre a
cena e a organização usando sua habilidade de discriminação visual. Faz uma
comparação usando os termos maior ou menor, não se apropriando de conceitos
baseados na idéia de proporcionalidade, “os castelos são maiores que as pessoas”,
como de fato teria que ser, mas existem pessoas grandes e pequenas, ficando
evidente que a representação está desproporcional. Nesta gravura o aluno
conseguiu identificar a profundidade pois está dentro da idéia que possui: maior,
menor, grande, pequeno. O fato de começar grande e terminar pequeno facilita a
noção de profundidade, evidente para o aluno, quando a representação dá a
impressão de que a imagem está indo para o “fundo”, como já foi descrito
anteriormente. Percebemos que o aluno usa pouco suas habilidades de constância
perceptiva e percepção de posições e relações espaciais, sempre se baseando no
pólo do visto.
Na figura 34, o aluno não descreve a cena pedida, escreve resumidamente,
continua trocando as respostas, no lugar da cena e da organização e vice-versa.
Ao descrever a organização usa sua habilidade de constância perceptiva. Descreve
como sendo um ritual e acha complicado seu entendimento, considerando não
adequada a representação, apesar disso o aluno considera os tamanhos
adequados, usando sua habilidade de discriminação visual e o pólo do visto, em
nenhum momento tomou como hipótese a idéia de proporcionalidade. Nesta
representação, a idéia de profundidade é vista de uma outra forma: como existem
pessoas posicionadas na frente e atrás, há essa noção de profundidade, que não foi
relatada nas cenas anteriores. Usa sua habilidade de percepção de relações e
posições espaciais e seu pequeno repertório de imagens.
O aluno não descreve a cena real e não percebe que a figura 35 é
continuação da figura 33, não usou sua habilidade de figura-percepção solo para
fazer este reconhecimento, respondendo as perguntas de forma resumida, não
discorrendo do assunto perguntado. Continua trocando a descrição da cena pela da
108
organização, a existência de um castelo é o suficiente para que sua interpretação
seja de um reino (pólo do visto). O aluno considera o tamanho dos elementos
adequados, não fazendo uso de sua habilidade de discriminação visual, pois ao
considerar que “as pessoas são menores que os castelos” faz esta comparação,
usando somente o pólo do visto. A resposta poderia estar correta se
comparássemos somente certas pessoas e as construções, mas existe na
representação pessoas maiores, menores, maiores que um cavalo, deixando os
tamanhos inadequados para a representação. Não utiliza a idéia de
proporcionalidade, apesar das representações serem desproporcionais. Apresenta
uma idéia de comparação e usou da habilidade de discriminação visual ao referir-se
várias vezes à figura com as expressões maior e menor. Compara quem está mais
longe e quem está mais perto, por exemplo, ao se referir “...castelos mais longe, que
estão desenhados em tamanho menor”. Novamente falta a idéia de
proporcionalidade para justificar, ou tentar justificar, o aumento ou diminuição de
pessoas e objetos. Ao fazer estas relações, usa sua habilidade de percepção de
relações e posições espaciais, baseando-se provavelmente no pólo do visto , dentro
de seu repertório limitado de imagens.
Fazendo uma retomada da análise das figuras 33 e 35 (complemento da
primeira), na pergunta sobre o que melhor representa a cena descrita, anteriormente
o aluno considerou que eram as construções e neste segundo momento a sua
resposta foi a rainha. As duas figuras são muito semelhantes, pois a segunda é uma
sequência da primeira, fator este não observado pelo aluno. Percebemos que o
aluno possui dúvidas quanto a esta representação, para identificar uma figura
específica por isolamento fora de um contexto complexo (habilidade figura-
percepção solo).
O aluno fica confuso quando apresentamos a figura 36, não conseguindo
descrevê-la, novamente sua habilidade de figura-percepção solo não foi utilizada.
Não conseguiu descrever a organização, fez uma descrição muito resumida da
cena, identifica pessoas como sendo rei, rainha e o povo, pela sua habilidade de
constância perceptiva. Considerou inadequada a representação; consegue por
meio da observação e usando sua habilidade de discriminação visual, identificar que
existem pessoas de vários tamanhos na obra, fazendo uso dos termos maior ou
menor, não procurando em momento algum valer- se da idéia de proporcionalidade,
embora a obra não apresente proporcionalidade. Baseia-se no pólo do visto e nas
109
imagens de seu pequeno repertório de imagens. O aluno apresenta uma resposta
confusa quanto à profundidade, pois utiliza novamente os termos maior e menor, “há
pessoas maiores e menores que dão essa impressão”, expressões essas
características do repertório do aluno e que podem determinar uma condição
necessária mas não suficiente para justificar a evidência de profundidade nesta
obra. Usa pouco suas habilidades de percepção de posições e relações espaciais e
baseia-se provavelmente no pólo do visto e em seu repertório limitado de imagens.
Na figura 37, aparece a representação de um banquete e o aluno, ao
descrevê-la, novamente troca as respostas entre cena e organização. Usa sua
habilidade de discriminação visual, considerando o tamanho das pessoas adequado,
referindo-se de forma que “há proporção aos objetos e pessoas da obra” e não usa a
idéia de proporcionalidade. Percebemos que, para o aluno, quando as pessoas “vão
ficando mais longe, vão ficando menores” e que essa proporcionalidade a que o
aluno se refere não está relacionada à Matemática, mas sim à impressão que a obra
trás por apresentar um ponto de fuga. Provavelmente baseia-se no pólo do visto. Em
todas as figuras que apresentaram características onde se tenha a impressão de
que a imagem esteja “indo para o fundo” ou “ficando mais longe” e as “pessoas
diminuindo”, o aluno consegue identificar profundidade mais facilmente, usando
suas habilidades de percepção de posições e relações espaciais. Baseia-se
provavelmente no pólo do visto e em seu repertório limitado de imagens.
Na figura 38, o aluno faz uma pequena descrição da cena, trocando
novamente as respostas da cena pela da organização. Suas respostas continuam
resumidas e sua habilidade de constância perceptiva é pouco utilizada, pois fica um
pouco confuso ao responder, ora escrevendo como se fosse uma escola ora um
santuário. Utiliza sua habilidade de discriminação visual para responder que os
tamanhos estão adequados, “são proporcionais ao tamanho do ambiente”, o termo
proporcionais é usado sem a idéia de proporcionalidade, baseia-se provavelmente
no pólo do visto e em seu repertório de imagens. Quanto à profundidade, usa sua
habilidade de percepção de posições e relações espaciais, respondendo de forma
confusa quando descreve que o ambiente fica estreito por ter muitas pessoas.
Percebemos que o aluno não apresentou dificuldades para identificar profundidade
neste tipo de representação
110
Ao término das 11 gravuras percebemos que o aluno trocou em todas as
figuras a descrição da cena pela organização e que suas respostas são curtas e que
é de seu perfil responder somente o que se está perguntando não discorrendo em
suas respostas. Quando perguntamos se os elementos representados estão com
tamanhos adequados, o aluno procura fazer uma comparação entre pessoas e
objetos, usando sua habilidade de discriminação visual. Utiliza os termos maior ou
menor, proporcionais ou não, sem o uso da idéia de proporcionalidade e,
provavelmente, para todas as figuras tenha se baseado no pólo do visto.
A figura 39, casa dos arames farpados foi colocada para observação tendo
como referência a casa vista de frente; logo, o que se encontra à direita do
observador estará à direita da casa. O aluno observa a imagem, diz não conseguir
ver o Sol, mas responde estar do lado direito pois observou que era projetada no
chão a sombra do muro, então deduz estar o Sol do lado direito. Utiliza sua
percepção de posição e relações espaciais para responder, mas não consegue
utilizar estas mesmas habilidades para justificar quando perguntamos se os arames
estão encostados na casa. O aluno demonstra já ter visto este tipo de situação e
provavelmente saiba que os arames não estão encostados.
O aluno observa que existe uma distância entre as duas casas pelo gramado
que as separa, respondendo que os telhados não estão encostados e, após
explicarmos o que é cumeeira o aluno diz que o arame e a cumeeira são paralelos
mas que não estão no mesmo plano . Nesta resposta percebemos que ficou com
certa dúvida do que seja “estar no mesmo plano”, provavelmente desconhece a
definição de retas e planos paralelos, suas habilidades de percepção de posições e
relações espaciais são pouco utilizadas.
Quando perguntamos se os galhos da árvore pareciam estar em cima da
casa do fundo, respondeu que sim, mas não estavam. Observarmos todas as
respostas dessa gravura e podemos dizer que o aluno se baseia normalmente no
que é visto (pólo do visto) e que suas habilidades visuais estão restritas a um
limitado repertório de imagens.
Já na gravura Caça palavras (figura 40), o aluno reconhece o objeto
representado como um “cubo mágico” pela sua habilidade de figura-percepção solo
e que este objeto está assim definido em seu repertório de imagens. Ao
perguntarmos o nome e quantos são os objetos menores que formam o objeto
maior, próximo ao palhaço da esquerda, respondeu ser de 17 peças, não
111
conseguindo visualizar as demais formadas por cubos menores. Percebemos que o
aluno não conseguiu contar todos os cubinhos da figura e que sua habilidade de
rotação mental foi pouco utilizada
Para o aluno os objetos em que os palhaços estão sentados são “cubos
mágicos”, estando em parte fora da areia. Percebemos que para ele todos os
objetos do quadro se assemelham ao cubo. Esta resposta ficou a critério da
observação do aluno, provavelmente coloca-se no pólo do visto, pois por ser uma
obra de arte, não podemos definir se são ou não cubos grandes formados por
menores enterrados na areia.
Na gravura que chamamos de “Elipsóides” (figura 41), o aluno faz um
comentário sobre os objetos visualizados, chamando-os de ovais, com exceção da “
barra retangular”. Confirma que existe uma fonte de luz que se encontra no teto,
porém ao perguntarmos em qual posição, indicou a parte de cima à direita de quem
observa a gravura, justificando que a posição da sombra permitia que se chegasse a
essa conclusão. O aluno utiliza sua habilidade de percepção de posições e relações
espaciais e de constância perceptiva e, por meio destas, reconhece no quadro que
só existe dois tipos de objetos, os ovais e o retangular. Quanto ao tamanho,
responde usando sua habilidade de discriminação visual, fazendo as comparações
utilizando os termos “maior ou menor”, demonstrando que não utiliza a idéia de
proporção e que as comparações são feitas somente pela observação, ou seja,
baseia-se no pólo do visto.
Pedimos para o aluno colocar em ordem crescente os objetos semelhantes e
o aluno ordena do maior para a menor, sua habilidade de figura-percepção solo é
pouco ou não utilizada, provavelmente o aluno tenha feito uma confusão entre
crescente e decrescente, não se refere em nenhum momento se os objetos são ou
não proporcionais.
O aluno conta 15 objetos e 21 sombras e percebemos que consegue visualizar
15 objetos, mas na realidade temos 18 objetos no quadro, logo teríamos que ter 18
sombras, mas ele conta 21. Sua percepção de posições e relações espaciais são
pouco utilizadas. Localiza de maneira correta a sombra do objeto número 5 e ainda
usa a imaginação quando diz que a listra vermelha quase divide a sombra ao meio.
Quanto aos tamanhos dos objetos 2 e 3 faz uma comparação, usando sua
habilidade de discriminação visual e novamente usa os termos “maior ou menor”,
sendo essa uma das características mais marcantes desse aluno, pois percebemos
112
que ele faz comparações valendo-se somente das observações (pólo do visto) não
usando a idéia de proporção. Ao comparar o objeto nº 12 com o objeto nº11, o aluno
quando justifica sua resposta, confunde novamente crescente e decrescente.
Percebemos que ele quer dizer que o menor cabe dentro do maior, pois fez a
comparação observando as sombras para confirmar qual era realmente o maior.
Quando perguntamos sobre a posição relativa dos objetos 9 e 14 respondeu de
maneira vaga, provavelmente o aluno não entendeu a pergunta. E quando
perguntamos se o objeto nº 4 é maior ou menor que o nº 5 percebemos em suas
resposta que considera do menor para o maior como sendo decrescente e do maior
para o menor crescente. Por essa razão as respostas ficam confusas, mas notamos
que para ele o objeto nº 5 é menor que o nº4.
Quanto ao nome do bloco que se encontra flutuando disse ser um tijolo.
Observamos pela resposta que o repertório de imagens de figuras espaciais do
aluno é limitado, buscou em seu repertório as imagens que seriam comuns em seu
dia a dia e não do conhecimento matemático, o mesmo em relação à sombra do
bloco: quando diz ser um retângulo, sua habilidade de figura-percepção solo é pouco
utilizada, pois a sombra produzida pelo bloco retangular é um paralelogramo.
Ao perguntarmos o que observa em relação às faixas coloridas de branco,
azul claro e azul escuro, o aluno não utiliza suas habilidades de percepção de
posições e relações espaciais, pois ao responder que “a parede que possui as faixas
não possui sombras” percebemos que ficou entretido com os objetos e suas
sombras, não se referindo às faixas como sendo paralelas, perpendiculares, ou
qualquer outra posição conforme uma interpretação prevista e esperada por nós.
Apresentamos uma nova gravura ( figura 42) para uma análise, num segundo
momento e, utilizamos as perguntas da primeira entrevista.
A gravura apresentada teve como objetivo provocar o aluno de forma que
perguntasse o que eram as linhas verdes que convergiam para o ponto de fuga.
O aluno continua escrevendo de forma resumida, trocando de posição suas
respostas em relação à cena e à organização. Ainda considera a organização e os
tamanhos adequados, e, para ele, proporcionais, de maneira que não está clara a
idéia de proporcionalidade, pois como foi analisado em outras figuras vistas na
primeira entrevista, ficou evidente em suas respostas que a proporcionalidade está
relacionada com “maior e menor”, provavelmente usando o pólo do visto.
113
Quanto à profundidade, o aluno a identifica pelo ponto de fuga, usando sua
percepção de posições e relações espaciais. Ao perguntarmos onde viu o termo
“ponto de fuga”, respondeu que nas aulas de Arte. Quanto às linhas verdes, disse
que se encontravam no ponto de fuga, mas não soube explicar o motivo.
Perguntamos se somente o ponto de fuga é que identificava a profundidade, o aluno
respondeu que observando a parede também era possível, pois “ia para o fundo”.
Percebemos que o aluno observa a figura procurando a profundidade, proporções
entre pessoas e objetos baseando-se no pólo do visto.
Apresentamos novamente as 11 gravuras da primeira entrevista e
perguntamos se possuíam as mesmas características da gravura ( figura 42) com o
qual iniciamos a segunda entrevista. Quando apresentamos a figura 30, percebemos
que o aluno ficou um pouco em dúvida, pois como a profundidade está evidente,
pensou que a representação teria ponto de fuga, tentando achá-lo na representação
por meio de sua habilidade de percepção de posições e relações espaciais. A
mesma situação aconteceu com a figura 33. Para as figuras 34 e 37, as quais
identificou como sendo representações cônicas, perguntamos onde se encontrava o
ponto de fuga e o aluno apontou na figura de maneira correta. O aluno não
identificou a figura 38 com as características da perspectiva cônica, apesar de
perguntarmos várias vezes. Percebemos que, após as apresentações, o aluno ficou
com dúvidas ao observar as representações, utilizando pouco suas habilidades de
visualização, ficando evidente na maioria das vezes, o uso do pólo do visto. Para o
aluno, as figuras 28,29,30,31,32,33,35,36 e 38 não possuem as características da
figura apresentada no inicio da segunda entrevista, somente as figuras 34 e 37 são
representações em perspectiva cônica.
Após apresentarmos as gravuras, comentamos com o aluno que grande parte
das representações artísticas são feitas em perspectiva cônica e que elas se
dividem em três tipos: com um ponto de fuga, dois e três pontos de fuga.
Retomamos a gravura dos “Elipsóides” (figura 41), colamos a gravura numa
cartolina, traçamos as retas paralelas às sombras e aos elipsóides e juntos
localizamos o foco de luz, acima e à direita, confirmando a resposta dada por ele
quanto à posição do foco. Utilizou nesta atividade sua habilidade de figura-
percepção solo e a percepção de posições espaciais. Em relação à ordem crescente
e decrescente que o aluno havia trocado para responder as questões, diz ter se
confundido e saber a definição correta mas escreveu errado. Perguntamos o motivo
114
por ter contado 21 sombras, respondeu mostrando na gravura como contou e
percebemos que contou para certos objetos a sombra duas vezes, ou seja quando
a sombra estava na parede e no chão (ver objeto nº 6). O aluno contou duas vezes,
e ao ser perguntado novamente quantos objetos haviam, contou 15. Mostramos as
três sombras abaixo do bloco retangular e imediatamente o aluno disse que havia
mais três objetos escondidos e que não tinha percebido, então concluímos que a
representação tem 18 sombras e 18 objetos. O bloco, que havia chamado de tijolo
comentamos que se chama bloco retangular. Sua habilidade de percepções e
relações espaciais é pouco utilizada em suas observações, novamente percebemos
que se baseia no pólo do visto para responder as questões.
Para “Casa dos arames farpados” figura 39, ao comentarmos as respostas,
voltamos a perguntar se os arames estão encostados na casa. O aluno ficou em
silêncio e disse não saber responder. Fizemos juntos a observação de que entre a
casa e o arame existe um chafariz. Se o arame estivesse encostado na casa, teria
sombra do arame na casa. O aluno diz ter compreendido as explicações e
constatamos que possui uma certa dificuldade na habilidade de percepção de
posições e relações espaciais.
Já na figura 40 Caça palavras, ao comentar suas respostas, perguntamos de
que forma tinha contado os cubinhos que formam o cubo maior. Indicou na gravura e
percebemos que somente havia contado os cubinhos que estavam visíveis, sua
habilidade de rotação mental não foi utilizada e em seguida percebeu respondendo
que tinha mais cubos que os 17 que havia contado anteriormente. Neste momento,
sua habilidade de rotação mental e percepção de posições espaciais foi instigada,
mas não conseguiu contar quantos eram. Precisou que o auxiliássemos contando
juntos os cubinhos, totalizando 27 cubinhos que formam o cubo maior. Percebemos
nesta etapa da entrevista que o aluno possui uma certa dificuldade na habilidade
rotação mental.
Aproveitamos a gravura do cubo (figura 40) e fizemos a introdução das
perspectivas paralelas. Após essa apresentação, foi mostrado para o aluno um
desenho (figura 43) numa folha de papel sulfite e pedido para que observa-se e
respondesse o que enxergaria. Usou suas habilidades de figura-percepção solo e
percepção de posições e relações espaciais respondendo que se a representação
for plana seria um hexágono e se espacial um cubo. O aluno respondeu de imediato,
115
não apresentando dificuldades nesta atividade, provavelmente tenha feito uma
relação com o cubo apresentado anteriormente.
E ao apresentarmos um outro desenho com tracejados (figura44), respondeu
ser um cubo e que o tracejado ajuda a enxergar melhor o cubo, mas não soube
responder o que representam as linhas tracejadas na figura. Então, pedimos para
que colocasse letras nos vértices do cubo para termos uma referência melhor. Ao
colocar as letras o aluno percebeu que no centro da figura ficaram duas letras
juntas, a letra C e a letra H, então comentamos que no plano as letras estão juntas,
mas como é um cubo, estamos nos referindo à figura espacial. Perguntamos o que
representa elas estarem juntas e o aluno respondeu que o vértice H está atrás, na
mesma direção do vértice C, parecendo estarem juntos. Aqui podemos dizer que
entram os pólos do visto e do sabido. Perguntamos novamente o que seria o
tracejado, o aluno continuou ainda sem saber o que seria, percebemos possuir
dificuldades nas habilidades de rotação mental e constância perceptiva.
Fizemos uma atividade utilizando a imagem do cubo em que o aluno colocou
as letras em seus vértices. Explicamos que um dado, usado para jogos, tem o
formato de um cubo e que a soma dos números das faces opostas resultam sete.
Pedimos para que colocasse o número 2 em uma face e perguntamos onde estaria
o 5. O número 6 em outra face, onde estaria o 1. O número 3 em uma face, onde
estaria o 4. O aluno conseguiu responder facilmente as questões, não apresentando
para esta atividade dificuldades na habilidade de percepção de posições e relações
espaciais. Colocamos o número 2 numa face adjacente ao número 5 e perguntamos
se isso seria possível. O aluno disse que não pois as faces teriam que ser opostas.
Ao terminarmos esta atividade, comentamos novamente sobre a representação
axonométrica isométrica e o aluno confirmou ter entendido este tipo de
representação.
Apresentamos um cubo desenhado em papel quadriculado (figura46) e
perguntamos se o quadriculado ajuda na visualização, disse que sim pois ficaria
mais fácil para desenhar o quadrado da frente e o de trás contando o número de
quadradinhos, ficando com dúvidas quanto à medida da aresta lateral que liga os
dois quadrados, se teria mesmo sido reduzida. Fizemos juntos os cálculos, utilizando
como medida uma unidade para o lado de cada quadradinho, aplicamos o teorema
de Pitágoras encontrando a medida da aresta lateral
22
unidades para um cubo
116
de aresta 4 unidades e direção de projeção de 45º. Explicamos que esta é uma
representação por este motivo, a aresta que acabamos de calcular sofreu uma
redução, que é uma das características da representação cavaleira, e que no real
todas as medidas das arestas são iguais.
Finalizando a entrevista, perguntamos se já tinha visto estas representações
anteriormente e se ajudaria a partir de agora em suas atividades matemáticas
futuras. O aluno disse que não tinha conhecimento das representações, que foi
muito interessante e acrescentou muito nos seus conhecimentos e que aprendeu
muito com as entrevistas e as conversas realizadas por nós.
Então apresentei uma questão do ENEM/2007 (figura 47) e perguntei se todo
aquele aprendizado ajudaria a resolver tal questão. O aluno respondeu que a
alternativa correta é a E, pois seria a única que conseguiria construir, e ainda fez
algumas observações das figuras, que as madeiras estavam “entrelaçadas” segundo
a aluna não sendo possível as construções. Ao ser perguntado se as regras de
representação ajudaram a responder a questão disse que sim pois se não tivesse
conhecimento das regras teria ficado em dúvida entre as alternativas A e C.
Percebemos que após todo este trabalho o aluno entendeu as representações
porém continua com grandes dificuldades na utilização de suas habilidades de
visualização.
5.7.3 Análise do aluno A3
Na figura 28 o aluno faz a observação pelo lado social, usa sua habilidade
figura-percepção solo reparando que as construções e as roupas eram antigas.
Verifica que há diferença de tamanho entre as pessoas e as construções
respondendo que as pessoas que estão mais ao fundo da imagem estão com os
tamanhos adequados e que as pessoas que estão à frente são maiores que as
construções. A profundidade é percebida ao observar as construções à frente e as
“que estão longe”. Utiliza sua habilidade de percepção de posições e relações
espaciais e discriminação visual.
A figura 29, foi dividida em duas apresentações, na 1ª o aluno percebeu as
árvores rebatidas, achando estranho, e que haviam dois homens com jarros
117
pegando água, sendo que um deles estava no rio com água até a cintura, indicando
profundidade. Usa sua habilidade de percepção de posições e relações espaciais,
figura-percepção solo e constância perceptiva. Ao ser perguntado sobre o tamanho,
comparou o pé de um deles com o tamanho da árvore dizendo ser desproporcional.
Usa sua habilidade discriminação visual, fazendo comparações, não utilizando a
idéia de proporcionalidade. Considerou a representação inadequada devido às
árvores rebatidas e os tamanhos desproporcionais. Na 2ª representação usa sua
habilidade figura-percepção solo descrevendo pessoas brincando na piscina, e ao
ser perguntado o porquê da definição de uma piscina, respondeu que a forma era
de um quadrado, e que parecia um buraco com uma pessoa dentro. O canto da
representação acima mostrava que tinha fundo e ainda um homem com água até a
cintura, usa para suas observações as habilidades de percepção de posições e
relações espaciais. Para o aluno, o tamanho do homem era o mesmo da árvore, e a
representação também era desproporcional. Utiliza sua habilidade discriminação
visual e constância perceptiva.
Na figura 30 o aluno utiliza sua habilidade figura-percepção solo ao observar
um monge olhando para os dragões e sua habilidade discriminação visual ao dizer
que eram menores por estarem longe, atrás, dando noção de profundidade.
Comparou o tamanho do monge com a construção dizendo ser o monge do tamanho
do muro. Faz as comparações sem o uso da idéia de proporcionalidade.
Já na figura 31 o aluno usa sua habilidade de figura-percepção solo ao
escrever que a cena representava um parto. Ao ser perguntado sobre profundidade,
utilizou sua habilidade percepção de posições e relações espaciais citando que a
cama que era grande e larga e que existia um espaço na casa para a cama, com
pessoas a frente e atrás da cama dando a noção de profundidade. Quanto ao
tamanho das pessoas observou, usando sua habilidade discriminação visual, que
“as mulheres estão umas muito menores do que as outras” e que eram
desproporcionais ao tamanho da casa, e que a porta para se sair da casa era
pequena. Continua usando o termo desproporcionais sem o uso da idéia de
proporcionalidade.
Ao observar a figura 32, o aluno usa de sua imaginação e de sua habilidade
figura-percepção solo descrevendo ser um rei ordenando para que fosse jogado
alguma pessoa no fogo. Quanto ao tamanho das pessoas achou que estava normal,
(pólo do visto). Usa sua habilidade discriminação visual comparando as pessoas
118
com o tamanho da construção e do fogo, e quanto a noção de profundidade utiliza
sua habilidade de posição e relação espacial observando que existiam pessoas e
atrás delas uma construção.
Na figura 33 o aluno usa sua habilidade constância perceptiva e rotação
mental, reconhecendo ser uma cidade devido as construções e que as pessoas
estavam andando, trabalhando e cuidando de seus cavalos. Ao observar que as
pessoas da esquerda eram maiores que as da direita e que o cavalo era pequeno
em relação as pessoas, utilizou sua habilidade discriminação visual. O aluno usa sua
habilidade de percepção de posições e relações espaciais evidenciando
profundidade quando observa que existiam construções atrás e, lá no fundo ao
longe, alguns homens pequenos trabalhando, e ao ser perguntado por que eram
pequenos disse que era por estarem longe, distante (pólo do visto).
O aluno observa a figura 34 utilizando sua habilidade figura-percepção solo
descrevendo que as pessoas estavam reunidas em um templo orando e através da
sua habilidade constância perceptiva e discriminação visual, considera a
organização e o tamanho das pessoas adequados. Ao responder que “as pessoas
estão do mesmo tamanho e a construção maior”, percebemos que aluno escreve
as respostas de forma curta e que provavelmente se coloca no pólo do visto para
responder as questões. Para o aluno, observar pessoas umas atrás das outras
evidencia profundidade utilizando sua habilidade de posições e relações espaciais.
O aluno observa a figura 35 e não percebe que é a continuação da figura 33,
utiliza de sua habilidade figura-percepção solo e rotação mental descrevendo ser
uma cidade com pessoas dançando em frente as construções. Considerou a
organização adequada e o tamanho dos elementos inadequados fazendo
comparações, “há pessoas menores que outras e o cavalo menor que o homem”
utilizando sua habilidade discriminação visual. Observou, ao utilizar sua habilidade
de posições e relações espaciais, que as construções estavam uma atrás da outra e
que haviam pessoas menores ao fundo evidenciando a noção de profundidade.
Na figura 36 o aluno descreve, utilizando sua habilidade figura-percepção
solo, o rei em cima de um palanque com a nobreza atrás e o povo ouvindo um
discurso. Usa sua habilidade discriminação visual comparando os tamanhos do rei e
da nobreza percebendo serem maiores que do povo. Percebemos que o aluno
procura sempre localizar as posições de pessoas e objetos, como por exemplo “o
119
rei estava na frente e as pessoas mais atrás”, utilizando sua habilidade percepção
de posições e relações espaciais para evidenciar profundidade.
Na figura 37 ficou em dúvida se era almoço ou jantar, usa de sua habilidade
percepção de posições e relações espaciais percebendo ser um almoço pois o céu
estava claro, ao utilizar sua habilidade discriminação visual faz comparações
considerando a organização e o tamanho dos elementos adequados pois “eles vão
diminuindo conforme vai indo para o fundo” , e ao ser perguntado sobre
profundidade comparou com o comprimento da mesa que ia para o fundo, dando
essa noção, como também a construção. Percebemos que o aluno não utiliza a idéia
de proporcionalidade por desconhecer as regras de representação e que talvez
esteja se baseando no pólo do visto.
Ao observar a figura 38 e utilizar sua habilidade figura-percepção solo o aluno
identifica ser uma igreja onde havia pessoas lendo, dormindo e conversando. Usa
sua habilidade discriminação visual observando que as pessoas estavam no
tamanho normal, comparando com a construção que para ele era grande, pólo do
visto, e a noção de profundidade foi notada ao observar que existiam pessoas umas
atrás das outras e que a arquitetura do local ia para o fundo, usa de sua habilidade
de posições de relações espaciais.
Para a “casa dos arames farpados” figura 39 que colocamos como uma prévia
das atividades que seriam levadas para casa, o aluno usa sua habilidade percepção
de posições e relações espaciais descrevendo ser uma casa na água com muito
verde parecendo ser uma chácara, que era dia de sol percebendo que ele se
encontrava à direita por observar a sombra da casa e do muro. Responde que os
arames não estavam encostados na casa pois existia um chafariz na frente da casa
e o arame estava na frente do chafariz, e ao ser perguntado se o arame estava
encostado no chafariz disse parecer mas que não, que aparentemente havia uma
distância entre o arame e o chafariz. Percebemos que o aluno consegue justificar as
perguntas através de suas habilidades constância perceptiva, figura-percepção
solo, percepção de posições e relações espaciais ou talvez através de sua vivência
pessoal. Quanto ao telhado das casas, se estavam encostados, usa de sua
habilidade figura-percepção solo respondendo que embora parecesse não estava
pois havia uma distância entre as casas que ele percebia observando o chão.
Quando perguntado sobre a cumeeira disse ser paralela aos arames farpados e que
estavam no mesmo plano e na mesma direção. Questionamos o que seria “mesmo
120
plano” e o aluno não soube explicar mas disse que estavam na mesma direção, o
aluno demonstra desconhecer definições de paralelismo. Quando perguntado dos
galhos das árvores e sua posição disse novamente que a árvore estava mais a
frente pois dava para perceber pelo chão e que parecia estar em cima da casa mas
não estava, o aluno usa de suas habilidades percepção de posições e relações
espaciais para responder as questões e talvez de sua vivência pessoal.
Ao apresentamos a gravura Caça palavras (figura 40) o aluno usa de sua
habilidade figura-percepção solo reconhecendo o cubo. Percebe que na gravura
existem mais cubos e que o cubo maior próximo do palhaço da esquerda era
formado por 26 cubos pequenos, usa de sua habilidade percepção de posições e
relações espaciais e rotação mental contando errado a quantidade de cubinhos.
Descreve os objetos que os palhaços estavam sentados em cima, que parecem
estar enterrados na areia, como sendo cubos pequenos uns em cima de outros,
formando um cubo maior, não utiliza sua habilidade figura-percepção solo para
observar com maiores detalhes os objetos que os palhaços estão sentados que,
aparentemente, não são cubos.
O aluno observa que a gravura chamado por nós “elipsóides” (figura 41),
usando de sua habilidade constância perceptiva, percepção de posições e relações
espaciais e discriminação visual, é composto por figuras geométricas diferentes nas
formas e tamanhos, com uma fonte de luz à direita, percebida pela posição das
sombras dos objetos.
Ordena corretamente as figuras semelhantes de acordo com o tamanho
usando sua habilidade discriminação visual, da menor para a maior. Numa
contagem de quantidade de objetos e de manchas cinzas usa sua habilidade figura-
percepção solo. Provavelmente o aluno tenha se confundido ao afirmar que havia
um total de 14 objetos e 15 manchas.
Quanto ao objeto nº 5 localizou sua sombra corretamente. Em relação aos
objetos de números 1,2, 3 e 4 , usa sua habilidade de posições e relações espaciais
respondendo não serem do mesmo tamanho “porque apesar de estarem um atrás
do outro dá para ver que são uns menores do que os outros”, provavelmente baseia-
se no pólo do visto. Ao responder que o objeto número 12 era menor que o número
11 “porque dava para ver bem que eles tem tamanhos diferentes” usa sua
habilidade percepção de posições e relações espaciais e talvez o pólo do visto. A
mesma observação foi feita em relação aos objetos 4 e 5, o 4 era o maior. Quanto a
121
posição relativa dos objetos 9 e 14 o aluno respondeu de uma outra forma, talvez
por não ter entendido a pergunta, que “eles estão de frente no quadro e de lado para
a luz”. Ao observar o bloco que se encontrava flutuando, usando sua habilidade
figura-percepção solo, reponde ser paralelepípedo reto-retângulo e sua sombra
representava um retângulo. Quanto às faixas coloridas de branco, azul claro e
escuro e as demais faixas observa, utilizando sua habilidade de percepção de
posições e relações espaciais, que elas se cruzavam e formavam figuras
geométricas e as que se encontravam ao fundo evidenciavam profundidade.
Ao começarmos a 2ª parte da entrevista apresentamos ao aluno uma outra
gravura (figura 42), e utilizamos as perguntas da primeira entrevista. Ele respondeu
as perguntas usando sua habilidade percepção de posições e relações espaciais
descrevendo a cena e a organização considerando adequadas. Usa a habilidade
discriminação visual para comparar e considerar os tamanhos inadequados e
desproporcionais, não usando a idéia de proporcionalidade por desconhecer as
regras de perspectiva cônica. Evidencia a profundidade usando sua habilidade
percepção de posições e relações espaciais, observando “o desenho na parede
atrás da mulher e a casa que vai mais para o fundo”.
O aluno usou sua habilidade de figura-percepção solo identificando que as
linhas verdes se convergem para o ponto de fuga, que ele disse ter estudado nas
aulas de Arte, mas desconhecia este tipo de representação. Explicamos as
representações cônicas e pedimos para que observasse novamente as 11 gravuras
apresentadas na primeira entrevista e indicasse aquela que se assemelhava a figura
42 com as linhas verdes.
O aluno usou sua habilidade percepção de posições e relações espaciais e
figura-percepção solo identificando as três figuras que eram representadas em
perspectiva cônica. Percebemos que o aluno entendeu as representações cônicas
ao comentar que as demais representações apresentavam elementos
desproporcionais ou não apresentavam as características da perspectiva cônica.
Na gravura “elipsóides” (figura 41) o aluno usou sua habilidade percepção de
posições e relações espaciais para poder traçar as retas em uma cartolina
encontrando o foco de luz. Percebeu que havia 18 objetos e 18 sombras. Não
conseguiu justificar a posição relativa dos objetos 9 e 14 e confirmou ser um
retângulo a sombra do bloco retangular, sua habilidade figura-percepção solo não foi
usada.
122
Na gravura Caça palavras (figura 40) o aluno confirmou que as
representações eram todas cubos, usando de sua habilidade percepção de posições
e relações espaciais e rotação mental, e ainda admitiu ter dificuldades em contar os
cubinhos.
Aproveitamos o desenho do cubo e apresentamos as perspectivas paralelas,
explicando que são divididas em perspectiva paralela cavaleira e perspectiva
paralela axonométrica, e que a axonométrica subdivide-se em perspectiva
axonométrica isométrica, dimétrica e trimétrica, sendo as mais usuais nas aulas de
matemática as perspectivas paralela cavaleira e axonométrica.
Apresentamos o desenho do hexágono com suas diagonais (figura 43) e o
aluno observou usando sua habilidade figura-percepção solo percebendo que no
plano representa um hexágono, não conseguindo visualizar de imediato o cubo
como sendo uma representação espacial. Ao apresentarmos um segundo desenho
(figura 43) com as semi-diagonais tracejadas o aluno também não conseguiu
visualizar o cubo de imediato. Percebemos que sua habilidade figura-percepção não
estava sendo usada. Quando afirmamos que na representação havia um cubo, o
aluno conseguiu visualizar. Ao observar novamente e conseguir visualizar o cubo
o aluno disse que as linhas tracejadas ajudaram na visualização. Percebemos que
sua habilidade figura-percepção solo foi utilizada ao ser instigada.
Quando pedimos para que colocasse números nas faces opostas do cubo na
forma de um dado, sabendo-se que a soma dos números das faces opostas são 7,
o aluno o fez usando sua habilidade percepção de posições e relações espaciais
sem apresentar dificuldades.
Na representação cavaleira do cubo, o aluno entendeu as regras
desenvolvendo a mesma atividade de colocar os números sem dificuldades.
Ao apresentarmos a representação cavaleira em papel quadriculado
(figura 46) e perguntarmos se ajudaria a visualizar o cubo, disse que não pois
bastaria o conhecimento das regras.
Resolveu a questão do ENEM/2007 (figura 47) usando sua habilidade
posições e relações espaciais e figura percepção solo de maneira correta, dizendo
ter conseguido resolver por ter passado por este novo aprendizado.
123
5.7.4 Análise do aluno A4
O aluno participou da 1ª entrevista de maneira tranqüila respondendo as
questões sem dificuldades. Observava as gravuras por um bom tempo e depois
passava a escrever. Foram feitas apresentações de 7 gravuras na 1ª entrevista de
um total de 11, pois o aluno demorou um bom tempo em cada gravura, observando
e escrevendo com detalhes .
Na figura 28 o aluno usa sua habilidade de discriminação visual ao comparar
o tamanho dos objetos e pessoas da cena. Sua relação de proporcionalidade está
confusa ao dizer que o homens estão mais altos devido a inclinação da rua, pois se
fosse uma representação cônica estes homens seriam maiores ainda ao descer a
rua e não conseguiriam passar pela porta. Considera a organização adequada,
apesar de não justificar as diferenças de tamanhos. Para o aluno, o fato dos homens
serem pequenos é por estarem longe. Sua habilidade de percepção de posições
espaciais não é usada de maneira correta, pois não utiliza a idéia de
proporcionalidade, fazendo as comparações somente pela percepção visual.
A figura 29 foi colocada com a intenção de provocar quanto a idéia de
proporcionalidade, pois está evidente que não há proporção,existe uma organização,
mas não está adequada, pois as árvores estão rebatidas. O aluno usa sua
habilidade figura-percepção solo e discriminação visual considerando adequada a
representação mesmo achando estranho as árvores estarem invertidas e os
tamanhos fora do normal. O aluno usou sua habilidade percepção de posições e
relações espaciais para, ao observar a vista frontal e superior lateral, identificar
profundidade no 2º quadro.
Na figura 30 o aluno mostra-se confuso ao considerar a organização
adequada e o tamanho dos elementos inadequados. Usa os termos maior e
desproporcional sem a idéia de proporcionalidade, observando e fazendo as
comparações, usando sua habilidade discriminação visual. Usa sua habilidade de
percepção de relações e posições espaciais para identificar a profundidade,pois
percebemos que o aluno relaciona a profundidade com objetos, pessoas e bichos
que vão diminuindo, por exemplo “as casinhas conforme mais distantes menores
ficam”. Talvez observe a imagem colocando-se no pólo do visto. Percebemos que o
124
aluno tem noção de perspectivas por ter estudado desenho técnico e artístico, mas
não demonstra sinais de conhecimento das regras de representação.
Na figura 31 apresentou dificuldades para identificar profundidade, pois a
figura não apresenta as características da figura 3 de objetos e pessoas ficando
pequenas por estarem distantes, semelhante as características das perspectiva
cônica. Sua habilidade de relações e posições espaciais são provocadas quando
perguntado se existe espaço no ambiente. O aluno faz uso de sua habilidade figura-
percepção solo percebendo que existem pessoas atrás da cama, atrás das pessoas
uma cortina e até mesmo o espaço ocupado pela própria cama. Percebe
visualmente indicando na imagem. Consegue verificar que o tamanhos das mulheres
são diferentes, usando sua habilidade discriminação visual, mas continua não
usando a idéia de proporcionalidade, pois usa os termos maior e menor,
considerando adequada a organização apesar do ambiente onde se encontram as
pessoas ser muito pequeno para a representação da cena.
Na figura 32 o aluno fez comparação de pessoas com pessoas e pessoas
com as edificações, usando sua habilidade discriminação visual. Usa o termo
proporcional sem a idéia de proporcionalidade, mas não percebe que não existe
uma relação entre as edificações e as pessoas, considerando ainda adequada a
organização. Sua habilidade constância perceptiva precisa ser melhor trabalhada
para que consiga observar os objetos em diferentes orientações. Quanto a noção de
profundidade usa sua habilidade percepção de relações e posições espaciais
observando as edificações quanto ao comprimento, largura, altura e as pessoas uma
atrás da outra, ficando evidente que na figura existe profundidade. Percebemos
novamente que as regras de representação provavelmente não são do
conhecimento do aluno.
Na figura 37 o aluno utiliza sua habilidade discriminação visual, percepção de
relações e posições espaciais e constância perceptiva comparando os elementos da
figura usando novamente o termo proporcional, como por exemplo “as pessoas que
estão sentadas lá no fundo estão menores em questão da distância”, para justificar
que os elementos são do mesmo tamanho e proporcionais, pois já tem em seu
repertório de imagens a noção da perspectivas cônicas por já ter cursado desenho
técnico e estudado desenho artístico na escola, mas não se apropria da idéia de
proporcionalidade, pois novamente não mostra sinais de conhecimentos das regras
125
de representação. Percebemos que as figuras com estas características ficam fáceis
para o aluno identificar profundidade.
Na figura 38 o aluno faz uso de sua habilidade discriminação visual
comparando as pessoas e objetos, porém considera normal as diferenças de
tamanhos (pólo do visto). Utiliza sua habilidade percepções de relações e posições
espaciais para relacionar os objetos, pessoas, imagens e observar que as pessoas
estão agachadas ou distantes, não usando a idéia de proporcionalidade. Ao
evidenciar a profundidade utiliza sua habilidade de percepção de relações espaciais
e rotação mental descrevendo pessoas andando uma atrás das outras e a porta que
esta lá no fundo.
Percebemos que o aluno considerou todas as figuras com a organização
adequadas. Por ser aluno do 3º ano do ensino médio o processo de visualização e
as habilidades de visualização poderia ter sido melhor trabalhadas, pois
percebemos que as dificuldades encontradas, relacionadas as suas habilidades,
não foram desenvolvidas e que não é de costume este tipo de atividade na escola.
Já na gravura chamada por nós de “casa dos arames farpados” (figura39)
percebemos que o aluno observou a figura descrevendo a cena através de sua
vivência pessoal. Utilizou suas habilidades de percepção de posições e relações
espaciais, conseguindo identificar a posição da casa, do Sol, da sombra do muro.
Usou sua habilidade de constância perceptiva ao justificar que os arames não
estariam encostados na casa ou mesmo sua habilidade percepção de posições e
relações espaciais. Quanto aos telhados estarem encostados, o aluno observou o
gramado para responder que não se encostavam, usou a habilidade percepção de
posições espaciais, pois observou que existia um espaço entre as duas casas.
Nesta parte fica um pouco nebuloso, pois ficamos em dúvida se o aluno se apropria
de suas habilidades visuais ou se observa o desenho do pólo do sabido, o mesmo
ocorrendo com os galhos das árvores.
Na gravura Caça palavras (figura 40), o aluno reconhece o objeto, mesmo
que esteja colocado em diferentes orientações, através de sua habilidade figura-
percepção solo e por estar em seu repertório de imagens, pois já os estudou em
aulas de matemática, porém o aluno não consegue contar quantos objetos menores
formam o maior. Usando sua habilidade rotação mental, percebe que os objetos em
que os palhaços estão sentados que ficam enterrados na areia não são cubos, pois
126
possui a imagem de cubos em seu repertório de imagens, percebendo através de
sua habilidade percepção de relações espaciais.
Ao ser perguntado o que observa na gravura “Elipsóides” (figura 41), o aluno
faz uma pequena descrição dos objetos observados, que se tratavam de formas
geométricas com algumas bolas ovais e prisma retangular regular e listas nas
paredes e no chão. Quanto ao fato da existência de uma fonte de luz e qual a sua
posição, o aluno diz saber de sua existência através da sombra que aparece no
desenho e dos sinais de luz nas figuras do lado direito, observação esta registrada
pelo aluno de acordo com suas vivências pessoais.
O aluno ainda classifica todos os elementos da gravura como sendo de um
mesmo tipo e em sua maioria do mesmo tamanho, ficando confusa sua resposta,
pois o aluno não especifica qual é o tipo de objeto e quais seriam do mesmo
tamanho, segundo sua interpretação, escrevendo de maneira resumida.
Ao ser questionado sobre as „manchas cinzas‟ que aparecem na gravura, o
aluno afirmou serem as sombras dos objetos, descrevendo: “são as sombras dos
objetos que aparecem quando a luz não consegue iluminar um dos lados do objeto,
então este lado não iluminado produz uma sombra”.
O aluno, por orientação do entrevistador, ordenou os objetos da gravura de
acordo com o tamanho da menor para a maior, segundo sua observação.
Prosseguindo, foi solicitado que o aluno simulasse como poderia colocar os objetos
um dentro do outro, como se fossem caixas, e o aluno manteve a sequência
observada anteriormente, ou seja, encaixaria os objetos do maior para a menor, de
modo que todos ficariam dentro da maior estando correta sua interpretação.
No que diz respeito à quantidade de objetos constantes na gravura, o aluno
observou a existência de quinze objetos e dezenove manchas cinzas.
Nesta parte será trabalhada a visualização em relação a tamanho, posição e
localização dos objetos. É solicitado ao aluno que localize a posição do objeto nº 5 e
de sua respectiva sombra, ao que o aluno discrimina que aparece representado
pela mancha cinza que está na parede do lado esquerdo do referido objeto. A seguir
a análise será sobre a igualdade de tamanho dos objetos 1, 2 e 3 – o aluno ficou em
dúvida e afirmou que mesmo achando que todos eram do mesmo tamanho,
aparentemente não eram, e o que tornava confusa a sua certeza eram os objetos
que se encontravam posicionados mais ao fundo, que davam a impressão de serem
menores que os demais por estarem distantes. Ainda nos reportando ao tamanho,
127
foi solicitado que o aluno observasse se o objeto 12 era maior que o 11, e o aluno
novamente afirmou, que na sua observação, a posição distante do 12 em relação
ao 11 aparentava que o seu tamanho fosse menor, mas que na verdade, os dois
eram do mesmo tamanho, pois o 12 parecia menor por estar mais distante. O aluno
não se posicionou em relação a posição relativa dos objetos 9 e 14. Quanto ao
tamanho do objeto 4 em relação ao 5 o aluno afirmou que o 4 é maior, mesmo
estando posicionado atrás, e que se estivesse colocado junto ao 5 seria maior ainda,
segundo sua observação,pois o aluno tem noção de perspectiva cônica e
provavelmente esteja relacionando as imagens com as representações cônicas mas
sem ter o conhecimento das regras de representação.
A gravura apresenta algumas faixas coloridas e, segundo o aluno, as de cores
azuis representadas em três tonalidades diferentes aparentam ser labirintos e
quanto as demais nada escreveu, provavelmente, devido a posição frontal das faixas
em tons azuis destacando-as em relação as demais.
Os blocos que aparecem flutuando na gravura são descritos pelo aluno como
“prisma retangular regular” e sua sombra um retângulo.
Percebemos que para o aluno os objetos que se colocam numa direção em
que „vão diminuindo‟ no sentido de „ir para o fundo‟ são proporcionais, evidenciando
que o mesmo não tem a idéia de proporcionalidade, pois provavelmente não
conheça as regras de representações.
Na gravura chamada por nós “elipsóides”(figura 41) usa sua habilidade
discriminação visual e percepção de posições e relações espaciais, percebendo a
existência de uma fonte de luz através das sombras, ordenando os elementos do
menor para o maior, apesar de achar que a maioria dos elementos possuíam o
mesmo tamanho, (pólo do visto), pois pelas respostas do aluno percebemos que
para ele os objetos são menores por estarem distantes, valendo-se, mesmo que
inconscientemente, das noções de regras das perspectivas cônicas, pois o aluno já
estudou desenho técnico e artístico, porém não utiliza a idéia de proporcionalidade,
usando os termos maior, menor e proporcional.
O aluno respondeu as questões de forma curta, deixando algumas sem
responder ou incompleta, demonstrando que não é costume fazer este tipo de
atividade na escola e que suas habilidades de visualização precisam ser melhor
desenvolvidas para que possa entender e compreender as representações e suas
regras de representação.
128
Para o início da 2ª etapa foi apresentada uma gravura (figura 42) em
perspectiva cônica, que não era de conhecimento do aluno, em que as linhas
horizontais se convergiam para o ponto de fuga e eram sutilmente traçadas na cor
verde, e foram feitas as mesmas perguntas da primeira entrevista. O nosso objetivo
era chamar a atenção do aluno para o ponto de fuga e as linhas horizontais verdes
para então retomar as imagens apresentadas na primeira entrevista para que o
aluno verificasse quais delas possuem as mesmas características e então
começarmos a explicar e apresentar as representações em perspectivas cônicas.
Ao pedirmos para o aluno descrever a cena real e se ele percebeu, qual
organização o autor escolheu para a representação da cena descrevendo-a, o aluno
a fez de acordo com sua interpretação considerando adequada.
Percebemos que o aluno continua considerando a organização adequada em
todas as gravuras apresentadas. Algumas hipóteses podem ser levantadas: o aluno
parece não conseguir analisar criticamente a obra ou ainda não possui segurança
para responder tais questões, diante do professor de matemática
Quando foi perguntado se os tamanhos estavam adequados respondeu que
sim, mas segundo o aluno a pessoa que está atrás do balcão parece maior por estar
em cima de uma base e ainda usar chapéu.
O aluno não faz uso da idéia de proporcionalidade, nem das regras de uma
possível perspectiva cônica para responder se os elementos estão com tamanhos
adequados, usando sua habilidade percepção de posições e relações espaciais ,
figura percepção solo e discriminação visual, identificando que o homem atrás do
balcão parece maior, fazendo comparação com a pessoa que esta à frente,
ignorando o fato que ambas estão no mesmo plano paralelo ao de projeção.
Quanto à noção de profundidade, o aluno vai buscar em seu repertório de
imagens, observando e usando sua habilidade percepção de posições e relações
espaciais e constância perceptiva e o conhecimento que já possuía, relacionando
as linhas verdes e o ponto com o ponto de fuga
Em seguida explicamos para o aluno que se tratava de uma representação
em perspectiva cônica com um ponto de fuga. Percebemos que após nossa
conversa sobre a figura apresentada o aluno ficou mais atento ao observar a figura
quanto a profundidade, usando sua habilidade percepção de posições e relações
espaciais, relacionando os objetos e a construção com o ponto de fuga.
129
Explicamos para o aluno que neste momento apresentaríamos o total de 11
gravuras, diferentemente da primeira entrevista onde o aluno analisou apenas 7 das
gravuras propostas, pois prolongou-se demais demorando nas análises e
respostas. Devido a este fato e o pouco tempo que dispúnhamos, as gravuras foram
reduzidas. Pedimos para que indicasse nesta nova abordagem aquela que tivesse
as mesmas características da figura 42 que possuía as linhas verdes.
Percebemos que para esta segunda abordagem o aluno observou as figuras
de uma maneira a tentar encontrar o ponto de fuga e que suas habilidades de
constância perceptiva e percepção de relações espaciais foram um pouco mais
desenvolvidas. O aluno conseguiu identificar que as figuras 34, 37 e 38 eram
representações cônicas, sem apresentar dificuldades.
Apresentamos os três tipos de representações cônicas, com 1, 2 e 3 pontos
de fuga e ainda mostramos o cubo representado nestas três representações
(figura 14).
Ao voltarmos a gravura dos elipsóides (figura 41) e verificarmos a posição do
foco de luz, traçando as retas tangentes ao elipsóide e sua respectiva sombra, o
aluno mostrou-se interessado e participativo. Acrescentou a seus conhecimentos
mais um aprendizado e argumentou até a possibilidade da existência de um outro
foco de luz. Desenvolveu um pouco mais sua habilidade de constância perceptiva.
Percebemos que o aluno considerou todos os objetos como sendo figuras
geométricas, pois esta é a definição que trás em seu repertório de imagens. Mesmo
após explicarmos as perspectivas cônicas, o aluno respondeu serem os elementos
do mesmo tamanho sem relacioná-los com as perspectivas, apesar da
representação não parecer cônica.
Usa sua habilidade percepção de posições e relações espaciais contando 15
objetos e 19 sombras demonstrando estar confuso nestas observações, pois conta
duas vezes a mesma sombra. O objeto 7, para o aluno, produz uma sombra na
parede e outra no chão, pondo em dúvida a existência de outro foco de luz. Faz
estas observações usando sua habilidade figura-percepção solo e constância
perceptiva.
Ao mostrarmos três sombras que estavam em baixo do bloco retangular e
perguntamos o que seriam, o aluno respondeu ser a sombra de mais três objetos e
disse não ter observado estas sombras anteriormente, então concluímos serem 18
objetos e 18 sombras.
130
Quanto a posição relativa dos objetos 9 e 14, o aluno não havia respondido a
questão, pois não sabia o que era posição relativa. Após explicação, observou
novamente e usou sua habilidade de constância perceptiva respondendo de maneira
correta. Percebemos que algumas questões não são respondidas por falta de
vocabulário, o aluno não entende o que se pede.
Percebemos que o aluno ao responder as questões que foram entregues para
casa o fez de forma resumida e ao observar a gravura do bloco retangular não usa
a habilidade figura-percepção solo, ou talvez não saiba o que significa regular.
Quanto à sombra do bloco retangular, não percebeu que era um
paralelogramo, mostrando que sua habilidade percepção de posição espacial está
confusa. O fato das faces do paralelepípedo serem retângulos, para o aluno, sua
sombra também será. Este tipo de atividade não é comum em sala de aula, por essa
razão o aluno não possui a imagem mental da sombra de sólidos geométricos em
seu repertório de imagens.
Na gravura Caça palavras ( figura 40) o aluno identifica facilmente os objetos
como sendo cubos, usando sua habilidade de constância perceptiva, por estas
imagens já se encontrarem em seu repertório de imagens. Usando de sua
habilidade discriminação visual, observa e compara os objetos em que os palhaços
estão sentados afirmando não serem cubos, pois as medidas dos lados são
diferentes, admitindo uma perspectiva isométrica.
Quanto ao objeto próximo ao palhaço da esquerda, o aluno identifica
facilmente como sendo um cubo, mas não consegue enxergar as partes que não
estão aparecendo na representação. Sua habilidade de rotação mental e percepção
de posições espaciais não foram desenvolvidas para este tipo de atividade sendo
esta a causa das dificuldades que apresentou para contar quantos cubinhos
existiam. Após apresentarmos as representações paralelas e juntos contarmos a
quantidade de cubos, o aluno começou a compreender melhor este tipo de
representação, acrescentando em seu repertório de imagens as imagens mentais
envolvidas neste tipo de resolução.
Ao apresentarmos o desenho de um hexágono com suas diagonais (figura 43)
e pedirmos para o aluno observar, como uma representação plana, ele respondeu,
usando sua habilidade figura-percepção solo ser um hexágono. Em seguida,
pedimos para que observasse, como uma representação espacial, e ele não
conseguiu visualizar um cubo. Orientamos que poderia virar a folha. Usou de sua
131
habilidade percepção de posições e relações espaciais e figura percepção solo,
conseguindo visualizar o cubo.
Quando apresentamos o desenho com os tracejados (figura 44) o aluno
observou de imediato dizendo ser a mesma figura. Perguntamos se os tracejados
ajudavam a visualizar melhor o cubo e o aluno disse que sim. Perguntamos o que
representariam esses tracejados, e o aluno usa sua habilidade figura-percepção
solo, respondendo serem as “linhas de fundo que aparentemente não conseguimos
enxergar”. Percebemos que o aluno observou que na representação do cubo as
linhas tracejadas são as arestas que estariam atrás do cubo. Pedimos que
colocasse letras nos vértices do cubo de maneira que pudéssemos identificar melhor
as faces.
Voltamos a conversar sobre as representações, se a representação
observada for plana é um hexágono e ao se colocar as letras o ponto no centro do
hexágono ficará com duas letras. Questionamos junto ao aluno, no caso da
representação ser espacial se algo mudaria. O aluno respondeu que os pontos
estariam alinhados se encontrando ao ser observado, (pólo do visto), mas de fato,
não se encontrariam estando um na frente e outro lá atrás no real. O aluno usa sua
percepção de relações e posições espaciais para diferenciar a posição dos pontos.
Consideramos o cubo como sendo um dado, e que nos dados as soma dos
números das faces opostas tem que resultar 7. Mostramos para o aluno o desenho
(figura 43) e pedimos para que colocasse o número 1 em uma das faces e
perguntamos onde seria colocado o número 6, e o aluno apontou a face correta.
Fizemos esta atividade por um bom tempo trocando os números e o aluno foi
acertando todas as perguntas. Percebemos que usou sua habilidade percepção de
posições e relações espaciais e constância perceptiva. O mesmo ocorreu ao
colocarmos o número 2 numa face e o número 5 em outra adjacente. Perguntamos
se seria possível ocorrer esta situação e o aluno respondeu que não, pois as faces
teriam que ser opostas.
Ao apresentarmos a perspectiva paralela cavaleira e sua regra de
representação e realizarmos a mesma atividade anterior, o aluno utiliza suas
habilidades de percepção de posições e relações espaciais realizando a atividade
sem dificuldades.
Apresentamos em seguida uma representação em perspectiva paralela
cavaleira, no papel quadriculado (figura 46). Percebemos que ao apresentarmos a
132
representação em papel quadriculado o aluno sentiu-se mais a vontade, por haver a
possibilidade de contar quadradinhos para fazer suas verificações. Isto demonstra
que facilita sua visualização melhorando as habilidades de discriminação visual e
percepção de posições e relações espaciais. Esta representação proporciona a ele
fazer cálculos, pois toma como medida um quadradinho e é de costume na escola
relacionar geometria somente a cálculos não com as visualizações das figuras
espaciais e as regras para estas representações.
Ao retomarmos as representações, explicando que as mais usuais na
matemática são as perspectivas paralelas axonométrica isométrica e cavaleira,
perguntamos se o conhecimento dessas regras ajudam a compreender melhor as
representações na matemática e o aluno afirmou que sim.
Em seguida, para finalizar, apresentamos uma questão do ENEM/2007
(figura 47) e pedimos para o aluno ler, observar e responder, escolhendo uma das
cinco alternativas. O aluno usou sua habilidade percepção de posições e relações
espaciais e figura percepção solo, foi eliminando as alternativas que apresentavam
respostas que considerava impossível de se construir com madeira e escolheu a
alternativa (e) que era a correta.
Perguntamos se as regras de representação ajudaram na sua escolha, e o
aluno afirmou que sim, procurando justificar que na alternativa escolhida existiam
segmentos paralelos, a noção de profundidade estava evidente e na parte de cima
da figura tinha triângulos na frente, atrás, dos lados e que as regras estudadas
ajudaram a escolher essa alternativa por poder visualizar melhor.
Percebemos que aluno passou a observar as figuras de forma a analisá-las,
se nelas estão presentes as representações cônicas ou paralelas. Este nosso
estudo acrescentou um pouco mais a seus conhecimentos, fazendo com que o
aluno interprete as representações criando imagens mentais e interpretando as
imagens mentais gerem informações.
133
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Fundamentamos nosso trabalho de pesquisa nas aulas de Matemática para
alunos do Ensino Médio, principalmente no currículo do segundo ano, onde
observamos uma dificuldade latente por parte desses alunos em interpretar e
visualizar representações planas de figuras tridimensionais.
Optamos por um trabalho voltado para esse grupo específico de alunos com a
pretensão de ajudá-los a diminuírem as distâncias do que é visto e do que é sabido.
Realizamos algumas leituras de dissertações, teses, textos e livros didáticos
para nos aprofundarmos à temática em questão. Observamos que nos livros
didáticos são encontradas usualmente representações de figuras em perspectiva
paralela cavaleira e axonométrica isométrica, mas as regras para essas
representações não são explicitadas e não se encontra representações de figuras
em perspectiva cônica.
Utilizamos entrevistas semi-estruturadas para realizarmos a nossa pesquisa e
convidamos um grupo de quatro alunos da escola pública onde lecionamos, na
cidade de Piedade-SP, para participar desse processo investigativo qualitativo.
Os referidos alunos responderam primeiramente a um questionário voltado a
um levantamento de perfil. Uma das questões propostas pedia uma reflexão sobre a
importância da Matemática na vida dos alunos e eles responderam demonstrando
certa igualdade de opinião, apesar de fazerem uso de palavras diferentes, que a
Matemática é muito importante como forma de conhecimento e está em todo lugar,
fazendo parte da nossa vida. Essa resposta unânime foi considerada como um
ponto de partida para a formação do grupo para a entrevista.
Partimos para as entrevistas semi-estruturadas onde os alunos observaram
gravuras que apresentam representações planas que descrevem cenas espaciais.
Apresentamos a seguir uma conclusão da análise realizada, de acordo com
as respostas proferidas pelos alunos entrevistados, conforme a definição de
Gutiérres (1996) no que se refere a visualização e o pólo do visto e do sabido de
Parzysz (1998).
De modo geral, observamos que os alunos se baseiam muito no pólo do visto
para analisar as gravuras apresentadas.
134
Uma característica comum às gravuras é que todas têm profundidade, apesar
de não estarem todas em perspectiva cônica, e os alunos tiveram facilidade em
evidenciá-la, exceto o aluno A1 que apresentou dificuldades.
Todos os alunos apresentaram a habilidade discriminação visual e figura
percepção-solo.
Os alunos A1, A3 e A4, escreveram de modo sucinto através de respostas
curtas e diretas e apresentaram uma visão predominantemente social, pois
valorizaram esse aspecto na observação das gravuras. O aluno A2 também faz uso
de respostas diretas, porém mais óbvias e estritamente ao que foi solicitado e
observou, mas não enfatizou, a característica social em suas respostas.
Em relação às habilidades constância perceptiva e percepção de posições e
relações espaciais, percebemos que os alunos A1 e A2 possuem dificuldades,
principalmente em relação ao apresentado pelos alunos A3 e A4, que
demonstraram ter essas habilidades mais desenvolvidas.
O aluno A1 destacou-se na habilidade rotação mental, visto que os alunos A3
e A4 apresentaram dificuldades, aproximando-se do resultado esperado, já o aluno
A2 cometeu muitos erros nessa parte da análise.
Em nosso trabalho utilizamos as estratégias supracitadas, que se destinaram
a responder as seguintes perguntas de pesquisa: “A utilização de imagens externas
variadas pode ajudar no desenvolvimento de habilidade de visualização?” e “Quais
habilidades de visualização podem ser desenvolvidas com a análise dessas
imagens?”.
Podemos concluir que a utilização de imagens externas variadas pode ajudar
no desenvolvimento de habilidade de visualização e as habilidades que se
desenvolvem com a análise dessas imagens são as já definidas por Gutiérres (1996)
e discriminadas a seguir, numa ordem determinada por nós.
Primeiramente, a habilidade figura-percepção solo, que consiste na
capacidade de identificar uma figura específica por isolamento fora de um contexto
complexo. Em seguida a habilidade discriminação visual, que é a capacidade de
comparar vários objetos, imagens e/ou imagens mentais para identificar
semelhanças e diferenças entre eles. Constatamos que todos os alunos
entrevistados apresentaram essas habilidades através da análise das gravuras,
135
evidenciando que estão mais presentes ao cotidiano e vivência pessoal dos alunos e
associadas ao pólo do visto.
A habilidade constância perceptiva que é a capacidade de reconhecer que
algumas propriedades de um objeto (real ou em uma imagem mental) são
independente do tamanho, cor, textura ou posição, e não permite confundir quando
um objeto ou imagem é percebido em diferentes orientações; a habilidade rotação
mental que é a capacidade de produzir imagens mentais dinâmicas para visualizar
uma configuração em movimento; a habilidade percepção de posições espaciais que
é a capacidade de relacionar um objeto, imagem ou imagem mental de si mesmo e a
habilidade percepção de relações espaciais que é a capacidade de relacionar vários
objetos, imagens e / ou imagens mentais uns dos outros, ou simultaneamente a si
mesmo, podem ser desenvolvidas através de práticas em salas de aula,
principalmente nas aulas de Matemática, pois no decorrer da entrevista, ao
explicitarmos as regras de representação de perspectiva paralela cavaleira e
perspectiva paralela axonométrica isométrica e uma noção de perspectiva cônica,
percebemos que os alunos apropriaram-se desse novo conhecimento que facilitou
as suas observações em relação aos conteúdos matemáticos.
Os alunos parecem não reconhecer os conteúdos trabalhados nesta pesquisa
como pertencente à área de Matemática, pelo fato de não envolverem diretamente
cálculos, por não serem explicitadas às regras de representações em sala de aula,
observando-as somente pelo pólo do visto e por não estarem familiarizados com
esse tipo de atividade na escola.
Observamos que os alunos entrevistados possuem dificuldades em visualizar
representações planas de figuras espaciais e percebemos então que à escola, cabe
o papel de desenvolver um trabalho de modo a provocar essas habilidades em seus
alunos.
Os alunos necessitam de um tempo para que o processo de visualização
ocorra e a escola pode e deve propiciar esse momento de modo a garantir que o
processo de ensino aprendizagem ocorra efetivamente e o aluno passe a enxergar e
vivenciar a Matemática nas várias formas possíveis e não apenas como um
momento em que aprendemos (ou não) a fazer continhas, decorar fórmulas e
resolver problemas.
136
Consideramos que a elaboração de um projeto interdisciplinar nas áreas de
Matemática e Arte, com vistas a trabalhos a serem desenvolvidos futuramente em
sala de aula, seria uma estratégia adequada para que os alunos pudessem interagir
através de atividades envolvendo os dois componentes curriculares em questão,
pois percebemos que o processo de visualização através de gravuras artísticas
facilitou a inserção de alguns conteúdos de Matemática, e o aluno tomou
conhecimento de uma utilização prática e importante dos estudos em Geometria
Espacial de modo que os estudos realizados neste trabalho de pesquisa não fiquem
restritos ao papel e sim possibilitem uma perspectiva de melhoria na qualidade das
aulas de Matemática e, consequentemente, na aprendizagem dos alunos.
137
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