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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Renormalização de Teorias Clássicas do Elétron Pontual
Thyago Sousa Mendes
Dissertação de mestrado apresentada à Pós-
Graduação em Física da Universidade Fede-
ral de Santa Catarina como parte dos requi-
sitos para obtenção do grau de Mestre em
Física.
Orientador: Prof. Dr. Jeferson de Lima
Tomazelli
Florianópolis, SC
2009
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Catalogação na fonte pela Biblioteca Universitária da
Universidade Federal de Santa Catarina
M538r Mendes, Thyago Sousa
Renormalização de teorias clássicas do elétron pontual
[dissertação] / Thyago Sousa Mendes ; orientador,
Jeferson de Lima Tomazelli. -Florianópolis, SC : 2009.
86 f
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa
Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas.
Programa de Pós-Graduação em Física.
Inclui referências
1. Física. 2. Renormalização (Física). 3. Eletrodinâmica
clássica. 4. Divergências. 5. Regularização. 6. Distri
buições. I. Tomazelli, Jeferson de Lima. II. Universidade
Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em
Física. III. Título.
CDU 53
ii
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Resumo
Neste trabalho examinamos diferentes formulações covariantes da eletrodinâmica clássica, onde
as divergências nas quantidades físicas, que aparecem devido ao caráter singular dos objetos matemáti-
cos associados, são contornadas apropriadamente. Mostramos que as teorias renormalizadas levam
à equação de Abraham-Lorentz-Dirac, a qual descreve a dinâmica clássica do elétron pontual na
presença de campos eletromagnéticos, discutindo também suas limitações.
Palavras-chave: renormalização, eletrodinâmica clássica, divergências, regularização, distribuições.
iii
Abstract
In this work we examine different covariant formulations of classical electrodynamics, where
the divergences in the physical quantities, which appear due to the singular nature of the associated
mathematical objects, are appropriately circumvented. We show that the renormalized theories lead
to the Abraham-Lorentz-Dirac equation, describing the classical dynamics of the point electron in the
presence of electromagnetic fields, also discussing their restriction bounds.
Keywords: renormalization, classical electrodynamics, divergencies, regularization, distributions.
iv
Agradecimentos
Ao meu orientador, Prof. Jeferson de Lima Tomazelli, a quem sou muito grato pela amizade e pela
orientação dedicada.
A minha mãe querida, pelo apoio durante o estudo que resultou neste trabalho.
Aos colegas Gerson, André, Paulo e Geovani pelo período de convivência.
Aos professores, demais funcionários e estudantes do departamento.
Ao CNPq, pelo suporte financeiro.
v
A minha mãe e irmã
vi
Sumário
Lista de Figuras ix
1 Introdução 3
2 O modelo de Dirac 7
2.1 A equação de Abraham-Lorentz-Dirac (ALD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Runaway e pré-aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Addendum: o problema do fator 4/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 O problema das divergências 23
3.1 O modelo estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 A proposta de Mario Schönberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Equações de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 O tensor momento-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Outras propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 A eletrodinâmica de Feynman-Wheeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.2 A proposta de Gupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Regularizações covariantes 39
4.1 Regularização de Pauli-Villars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Regularização em termos de seqüências de distribuições . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Conclusão e perspectivas futuras 51
A Expansão do tensor de campo 53
B Teoria de distribuições 57
B.1 O espaço de funções teste D e o suporte de uma distribuição . . . . . . . . . . . . . 57
B.2 Distribuições regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B.3 Operações e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.4 Seqüências de distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
C Funções de Green 65
D Expansão do tensor momento-energia 71
vii
viii SUMÁRIO
Referências bibliográficas 76
Lista de Figuras
2.1 Hipersuperfície envolvendo a linha de universo da partícula carregada . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Quadrivetor unitário u
µ
, perpendicular à face lateral do tubo em cada ponto . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Pré-aceleração de uma partícula submetida a uma força externa constante.(Extraido de [29], pág. 789) 15
3.1 Carga envolvida pelo absorvedor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ix
x LISTA DE FIGURAS
xi
xii LISTA DE FIGURAS
LISTA DE FIGURAS 1
-0.7 cm
2 LISTA DE FIGURAS
Capítulo 1
Introdução
A eletrodinâmica microscópica nasce como uma teoria de ação à distância proposta por
Wilhem Weber em 1846. Ele se baseou na hipótese de seu colega na universidade de Göttingen,
Gustav T. Fechner, que sugeriu que as correntes elétricas deveriam-se ao movimento de partículas
carregadas [1].
A teoria, embora conduzisse a inconsistências, foi capaz de descrever corretamente o fenômeno
de indução de correntes, sendo que, a partir de sua equação fundamental
F =
e · e
r
2
1 +
r
c
2
d
2
r
dt
2
2
−
1
2c
2
dr
dt
2
ˆr
para a força sobre uma partícula com carga e, na posição r, devido a uma outra de carga e
, na origem,
foi possível derivar a lei para a força entre correntes, proposta por Ampère.
Ainda no século XIX, teríamos o nascimento da eletrodinâmica de Maxwell-Faraday, onde as
interações entre distribuições contínuas de cargas são intermediadas por campos. No entanto, somente
no início do século seguinte, já após a descoberta do elétron e o sucesso do ambicioso programa de
H. A. Lorentz [2], de construção de uma teoria que descrevesse os fenômenos da eletrodinâmica e da
óptica em termos do comportamento dos elétrons, é que a eletrodinâmica clássica toma o viés de uma
teoria mista de partículas e campos.
A base da eletrodinâmica clássica são as equações de Maxwell e a lei de força de Lorentz: as
equações de campo permitem obter o campo eletromagnético, dado a dinâmica das fontes; a lei de
força de Lorentz, associada à segunda lei de Newton, permite descrever a dinâmica das fontes, dado
o campo externo.
Em cenários específicos, ambas descrições são empiricamente muito bem sucedidas dentro dos
limites clássicos, mas levam a dificuldades matemáticas e inconsistências físicas, quando reunidas
numa teoria que trate de forma unificada as influências mútuas entre campo e fontes.
3
4 Introdução
O objetivo dessa monografia é levantar quais são essas dificuldades e as propostas de soluções,
dentro do desenvolvimento histórico da teoria clássica do elétron. Vale esclarecer que o nome teorias
clássicas do elétron, que aparece no título deste trabalho, não é o mais explicativo. Muitas carac-
terísticas dos modelos que veremos não dependem de parâmetros específicos do elétron, de modo
que a teoria do elétron na verdade seria uma teoria de partículas carregadas. No entanto, muitos
dos desenvolvimentos que veremos foram motivados na descrição do elétron, e no curso do trabalho
trataremos, salvo quando se fizer necessária alguma distinção, os termos elétron e partícula carregada
como equivalentes.
A teoria do elétron possui uma etapa do seu desenvolvimento entrelaçada com o nascimento da
teoria da relatividade especial. Pouco depois da descoberta do elétron em 1897, Walter Kaufmann,
numa longa série de experimentos, descobriu e obteve a dependência da razão carga-massa do elétron
com sua velocidade.
A teoria para essa dependência, por se tratar de um fenômeno de natureza elétrica, foi construida
com base nas equações de Maxwell e na força de Lorentz, utilizando o conceito de massa eletromag-
nética, que discutiremos na seção 2.3. O elétron foi modelado inicialmente como uma pequena esfera
rígida, carregada e com partes interagentes. Esse tipo de modelo foi criticado em 1904 por Lorentz,
alertando que os modelos deveriam possuir estruturas que se contraem quando em movimento rela-
tivo ao éter, e Poincaré [3], em 1906, observou que seria necessário considerar alguma outra interação
de origem não-eletromagnética para contrabalancear a repulsão coulombiana da estrutura (problema
da estabilidade).
Em 1912, G. Mie propôs uma teoria com o intuito de resolver o problema da estabilidade de forma
radical. Este generalizou as equações de Maxwell-Lorentz e redefiniu o tensor momento-energia, de
modo que a força coulombiana repulsiva no interior do elétron é contida por outra igualmente elétrica,
e as diferenças entre sua teoria e a eletrodinâmica de Maxwell-Lorentz permanecem indetectáveis
na região exterior à carga. Esta teoria, que é não-linear, consegue equacionar a dificuldade com
a estabilidade, mas, por outro lado, padece da propriedade inaceitável do campo eletromagnético
depender do valor absoluto dos potenciais [4].
Houve também propostas de modelos clássicos pontuais. Em 1938, Dirac [5] construiu um mo-
delo relativístico para o elétron, sem considerar seu spin, com base nas equações de Maxwell e nas
leis de conservação de momento e energia, em que a equação de movimento (equação de Abraham-
Lorentz-Dirac) possui um termo correspondendo à influência do processo de irradiação sobre o movi-
mento (reação de radiação). Essa equação, no limite para baixas velocidades, coincide com a desen-
volvida por Abraham [6] e Lorentz [2] no início do século XX.
Antes de Dirac, um outro modelo pontual relativístico já havia sido proposto em 1926 por Frenkel
[7]. Tratava se de um modelo spinorial, sem reação de radiação, que foi posteriormente aprimorado
5
por muitos outros autores, dentre eles Bhabha [8] e Bhabha e Corben [9]. Esses autores, com base
no trabalho de Dirac [5], desenvolveram um modelo consistente, não só com a lei de conservação do
quadrimomento, como também com a conservação do momento angular.
Os modelos pontuais, ainda que apresentem vantagens em certos aspectos, como levar a equações
de movimento diferenciais, ao invés de integro-diferenciais, possuem sérias dificuldades. Uma delas é
o fato de que a energia eletromagnética do campo de Coulomb é infinita; essa energia está associada à
inércia da partícula, de forma que seria necessário uma quantidade ilimitada de trabalho para acelerá-
la.
Uma teoria, não discutida no presente trabalho, que vale citar pela sua importância histórica, é
a eletrodinâmica de Born e Infeld [10], de 1934. Essa teoria, assim como a de Mie, é não-linear, e
possui equações de campo que recaem nas equações de Maxwell, para campos suficientemente fracos.
O campo possui, para cada ponto do espaço, um limite superior, implicando que, à medida que a carga
seja mais localizada, a energia do campo não seja infinita; além da forte evidência experimental da
linearidade do campo electromagnético, essa teoria se torna matematicamente muito complicada para
se explorar suas conseqüências.
Esta dissertação tem ênfase na crítica de trabalhos, envolvendo o próprio campo eletromagnético
de Maxwell, que tentaram resolver as dificuldades do modelo pontual, devido às divergências da auto-
energia e do tensor momento-energia, como os de Pryce [11] e Gupta [12]. Uma outra proposta, que
já comentamos, é aquela feita em 1945 por Mario Schönberg e Leite Lopes [13], e posteriormente
desenvolvida por Mario Schönberg nos níveis clássico [14] e quântico [15].
Schönberg abriu mão da concepção de Faraday para o campo eletromagnético, como sendo o
único a intermediar as interações, entre todas as cargas do sistema, e desenvolveu um eletromag-
netismo com campos “disjuntos”: cada partícula interage com as demais através de um campo que
diverge na sua própria posição, mas não nas das demais, e interage com ela própria através de um
outro campo, que é regular nas suas vizinhanças.
A eletrodinâmica de Feynman-Wheeler [16], [17], desenvolvida também em 1945, é uma teoria
de ação à distância onde o processo de irradiação não é entendido como elementar. A irradiação por
uma carga ocorre como conseqüência de sua interação com o resto do sistema.
Uma outra teoria, importante historicamente, é a desenvolvida por Dirac [18] em 1951. A existên-
cia de uma transformação de gauge para os potenciais significa que há mais variáveis presentes do
que as fisicamente necessárias. Com base neste fato, Dirac elabora uma teoria onde a carga elétrica
é interpretada em termos dessa liberdade. Ao invés de utilizar uma condição de gauge subsidiária
para restringir a arbitrariedade do potencial, abre-se mão dessa condição para, a partir das equações
de campo livre, introduzir os graus de liberdade das cargas.
Apesar dos grandes aprimoramentos que a teoria do elétron recebeu ao longo de mais de um
6 Introdução
século, muitas dificuldades permanecem, de modo que não temos uma teoria eletromagnética com-
pletamente satisfatória, matematica e conceitualmente, dentro do nível de realidade que a compete.
Esta dissertação está organizada da seguinte forma. No capítulo 2, trataremos do modelo de
Dirac, discutindo a consistência das soluções da ALD. Discorreremos também (seção 2.3) a respeito
do problema pontuado por Poincaré e sua relação com as propriedades cinemáticas previstas pela
relatividade especial, como a contração de Lorentz.
No capítulo 3, revisaremos o problema das quantidades divergentes dos modelos pontuais, do
ponto de vista físico, resgatando propostas de reformulações conceituais da eletrodinâmica de Maxwell-
Lorentz. Mais especificamente, a proposta de Mario Schönberg, a eletrodinâmica de Feynman-
Wheeler e um trabalho de Gupta. Já no capítulo 4, revisaremos o problema das quantidades di-
vergentes do ponto de vista matemático, discutindo o método de regularização de Pauli-Villars (seção
4.1) e propriedades das funções generalizadas (seção 4.2).
Finalmente, no capítulo 5, tecemos considerações finais e apresentamos nossas pespectivas fu-
turas, quanto à continuidade do presente trabalho. Deixamos para os apêndices alguns desenvolvi-
mentos técnicos.
Capítulo 2
O modelo de Dirac
2.1 A equação de Abraham-Lorentz-Dirac (ALD)
A equação ALD foi obtida inicialmente no limite não-relativístico por M. Abraham, em 1903,
e por H. A. Lorentz, no ano seguinte. Os mesmos construíram um modelo, com massa de origem pu-
ramente eletromagnética, sendo que, ainda num período anterior à teoria da relatividade, Abraham foi
capaz de obter uma generalização covariante. No entanto, uma construção relativística, de primeiros
princípios, seria feita somente em 1938 por Dirac [5], com base nas leis de conservação de energia e
momento, além da hipótese de que o elétron seria uma partícula pontual, conjectura que não foi feita
pelos seus predecessores, Abraham e Lorentz. Estes modelaram o elétron atribuindo-lhe a estrutura
(modelo extendido) de uma pequena esfera com carga distribuida uniformemente em sua superfície
[29].
Apresentaremos nessa seção o trabalho de Dirac [5], com alguns detalhamentos feitos por Fritz
Rohrlich [24], deixando os cálculos mais extensos para o apêndice A.
Utilizaremos, ao longo da dissertação, unidades gaussianas e o tensor métrico g
µν
em com-
ponentes galileanas g
00
= −g
ii
= 1, g
µν
= 0 para µ = ν.
No modelo de Dirac, o campo eletromagnético é descrito pelas equações de Maxwell no gauge
de Lorentz, com fontes microscópicas localizadas, descritas pela função generalizada delta de Dirac
(apêndice B).
Na forma tensorial, essas equações são
∂
µ
F
µν
=
4π
c
j
ν
, (2.1)
∂
λ
F
µν
+ ∂
µ
F
νλ
+ ∂
ν
F
λµ
= 0, (2.2)
onde F
µν
é o tensor de campo, que, em termos do quadripotencial A
µ
, é definido por
7
8 O modelo de Dirac
F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
, (2.3)
enquanto j
ν
é a quadridensidade de corrente microscópica. Em termos da distribuição delta e da
linha de universo z
ν
= z
ν
(τ) do elétron, esta última é definida como
j
ν
(x) = ec
δ
(4)
(x − z(τ))
dz
ν
(τ)
dτ
dτ
= eδ
(3)
(r − z(τ
p
))v
ν
(τ
p
),
(2.4)
sendo τ
p
o valor de τ correspondente ao instante x
0
.
Vale observar que a utilização das equações de Maxwell, nascidas numa teoria macroscópica
com fontes do campo eletromagnético não-localizadas (éter ou fluido elétrico), numa teoria com
fontes localizadas (partículas), não se trata de um procedimento puramente formal. Como mostrado
primeiramente por Lorentz, as equações de Maxwell macroscóspicas podem ser derivadas de uma
base microscópica através de um procedimento de médias estatísticas [25].
Denotaremos F
µν
in
o campo que corresponde à solução da versão homogênea de (2.1). Este campo
representa a radiação livre que se propaga de acordo com as condições iniciais, e incide sobre o
elétron. Somando-o à solução retardada (apêndice C) da equação (2.1), temos a solução geral
F
µν
(x) = F
µν
in
(x) + F
µν
ret
(x), (2.5)
que traduz a idéia usual de causalidade, por ser uma solução determinada por eventos no passado de x,
e estar de acordo com a assimetria temporal característica do processo de irradiação. Intuitivamente,
essa assimetria corresponde ao quadro pictórico da radiação divergindo coerentemente da fonte ao
ser acelerada.
Por outro lado, formalmente, também é possível fomular o problema em termos de “condições
finais”, condições posteriores ao início da dinâmica do sistema carga-radiação. Podemos compor uma
solução geral com o campo de radiação livre F
µν
out
, o qual se propaga, conforme as condições finais,
até o elétron, e o campo avançado F
µν
adv
(apêndice C), que converge sobre a fonte,
F
µν
(x) = F
µν
out
(x) + F
µν
adv
(x). (2.6)
Essa solução é entendida como não-física, por depender da quadricorrente no futuro do evento x,
mas formalmente é idêntica a (2.5), o que implica, comparando-as, a relação
2.1 A equação de Abraham-Lorentz-Dirac (ALD) 9
F
µν
out
− F
µν
in
= F
µν
ret
− F
µν
adv
≡ F
µν
rad
. (2.7)
É importante notar que o campo F
µν
rad
fica completamente determinado pela linha de universo do
elétron, além de possuir um valor definido sobre a mesma.
Em experimentos envolvendo processos de irradiação, a radiação produzida é detectada a grandes
distâncias da fonte, decorrido um longo intervalo de tempo desde o instante da aceleração, de modo
que, na região do espaço-tempo da detecção não há radiação F
µν
adv
. Com base nisto, Dirac interpreta
o campo F
µν
rad
como aquele correspondendo ao campo eletromagnético irradiado, ao invés do campo
usual F
µν
ret
. Neste caso, além de dar significado à radiação na própria posição da fonte, sem contradizer
a observação, essa teoria dá sentido ao campo de radiação antes do instante de aceleração da fonte, e
inova o pensamento da época, ao dar certo significado físico ao campo avançado.
Nesta altura, é conveniente introduzimos algumas definições, que utilizaremos em todo o trabalho:
F
µν
−
≡
1
2
(F
µν
ret
− F
µν
adv
), (2.8)
F
µν
+
≡
1
2
(F
µν
ret
+ F
µν
adv
), (2.9)
F
µν
≡
1
2
(F
µν
in
− F
µν
out
), (2.10)
F
µ
≡
e
c
F
µν
v
ν
. (2.11)
Daremos continuidade à exposição da dedução da equação ALD, mostrando como Dirac imple-
mentou, de forma covariante, os príncipios de conservação de momento e de energia. Para isso,
consideremos uma hipersuperfície tridimensional, no espaço de Minkowski, em forma de “tubo”, um
hipertubo, com raio invariável ρ, envolvendo a linha de universo da partícula num intervalo de tempo
próprio [τ
1
, τ
2
] (Figura 2.1).
Em cada ponto da linha de universo, a lateral do hipertubo é “paralela” à quadrivelocidade da
partícula, de modo que seu elemento de volume dσ
µ
tem módulo d
3
σ e a orientação fixada pelo
quadrivetor unitário tipo-espaço u
µ
, que é perpendicular à quadri-velocidade em cada ponto da linha
de universo (Figura 2.2).
Assim,
dσ
µ
= u
µ
d
3
σ, u
µ
u
µ
= −1, u
µ
v
µ
= 0. (2.12)
10 O modelo de Dirac
Fig. 2.1: Hipersuperfície envolvendo a linha de universo da partícula carregada
Fig. 2.2: Quadrivetor unitário u
µ
, perpendicular à face lateral do tubo em cada ponto
Dado z
µ
(τ), o evento x
µ
de avaliação do campo sobre a hipersuperfície do tubo, que o é simultâ-
neo, como representado na figura 2.2, fica definido por
x
µ
− z
µ
= ρu
µ
. (2.13)
A condição para que x
µ
seja um ponto genérico sobre a superfície do hipertubo e, portanto, simultâneo
a um dado z
µ
(τ), é
d
dτ
[(x
µ
− z
µ
)v
µ
] = 0, (2.14)
o que implica, utilizando essa relação e (2.13), que
dx
µ
v
µ
c
= c(1 − ρa
u
/c
2
)dτ, (2.15)
2.1 A equação de Abraham-Lorentz-Dirac (ALD) 11
onde a
u
≡ a
λ
u
λ
.
Esta equação nos diz que um deslocamento infinitesimal, sobre a hipersuperfície do tubo, tem
componente c(1−ρa
u
/c
2
)dτ na direção da quadrivelocidade. Com isso, em analogia com volumes no
espaço tridimensional (dados pela área da base multiplicado pela altura), o produto dessa componente
com o elemento de área compreendido pelo ângulo sólido dΩ, de uma esfera de raio ρ, nos dá o
elemento de volume d
3
σ, isto é
dσ
µ
= c(1 − ρa
u
/c
2
)ρ
2
u
µ
dΩdτ. (2.16)
O tensor momento-energia representa o fluxo de quadrimomento em cada ponto, e sua definição
usual é
T
µν
=
1
4π
F
µα
F
ν
α
+
1
4
g
µν
F
αβ
F
αβ
; (2.17)
em termo de suas componentes,
T
00
= −U, T
0i
= −S
i
/c, T
ij
= T
M
ij
; i, j = 1, 2, 3, (2.18)
onde U corresponde à definição usual de densidade de energia eletromagnética, S
i
é i-ésima compo-
nente do vetor de Poynting e T
M
ij
são as componentes do tensor de Maxwell.
Para a radiação livre, a lei de conservação do quadrimomento é expressa pela relação ∂
µ
T
µν
=
0, que é uma conseqüência da invariâcia da ação do campo eletromagnético livre, sob translações
espaço-temporais; para um campo eletromagnético externo F
µν
ext
, a densidade de quadriforça
K
µ
≡ ∂
ν
T
µν
(2.19)
é, em geral, não nula.
Dirac empregou a mesma definição (2.17) para representar o fluxo de quadrimomento do campo
livre adicionado ao campo produzido pelo elétron (F
µν
= F
µν
in
+ F
µν
ret
), através da superfície do
hipertubo.
Multiplicando por um fator −1/c o fluxo do tensor momento-energia através da hipersuperfície
lateral do tubo (figura 2.1), entre os planos de simultaneidade τ
1
e τ
2
, temos o quadrivetor
∆P
µ
= −
1
c
hipertubo
T
µν
dσ
ν
, (2.20)
interpretado por Dirac como correspondendo à variação do quadrimomento total do campo, entre os
instantes τ
1
e τ
2
. Tal variação pode também ser escrita, usando (2.16), como
12 O modelo de Dirac
∆P
µ
= −
τ
2
τ
1
dτ
dΩT
µν
u
ν
ρ
2
(1 − ρa
u
/c
2
). (2.21)
A solução (2.5) das equações de Maxwell não-homogêneas, com o auxilio de (2.7), (2.9) e (2.10),
pode ser escrita na forma
F
µν
= F
µν
+
+ F
µν
. (2.22)
Em termos deste campo, podemos calcular o tensor momento-energia em todas as ordens em ρ.
No apêndice A é demonstrado que os termos que contribuem para o fluxo do tensor momento-energia
através do hipertubo, no limite para o elétron pontual ρ → 0, encontram-se todos na relação
T
µν
u
ν
=
e
2
/4π
1 − ρa
u
/c
2
1
2ρ
4
+
a
2
2c
4
ρ
2
u
µ
−
1
2c
2
ρ
3
+
3a
u
4c
4
ρ
2
a
µ
+
e/4π
1 − ρa
u
/c
2
1
cρ
2
F
µα
v
α
.
(2.23)
Substituindo essa equação em (2.21), obtemos
∆P
µ
= −
e
2
4π
τ
2
τ
1
dτ
dΩ
1
2ρ
2
+
a
2
2c
4
u
µ
+
e
2
4π
τ
2
τ
1
dτ
dΩ
1
2c
2
ρ
+
3a
u
4c
4
a
µ
−
e
4π
1
c
τ
2
τ
1
dτ
dΩF
µα
v
α
.
(2.24)
No referencial de repouso, u
µ
é um vetor puramente espacial, com componentes, digamos, (0; ˆu),
onde ˆu.ˆu = 1. Com isso, temos que a primeira integral é nula, pois
dΩˆu = 0.
Pela mesma razão, o termo cujo integrando é proporcional a a
u
, na segunda integral, também
se anula, restando, portanto, somente a última integral e aquela correspondente ao integrando da
potência ρ
−1
, o que faz com que (2.24) se reduza a
∆P
µ
=
τ
2
τ
1
dP
µ
Coul
dτ
−
e
c
F
µν
v
ν
dτ, P
µ
Coul
=
e
2
2c
2
ρ
v
µ
. (2.25)
Esta integral não dependente da forma da hipersuperfície, mas apenas dos extremos do intervalo,
τ
1
e τ
2
. Para verificar, basta tomar uma outra hipersuperfície S
3
, envolvendo externamente o hipertubo
e coincidindo com este nas extremidades.
Como a linha de universo da partícula não passa pelo interior do quadrivolume V
4
, da região entre
as duas hiper-superfícies, ∂
ν
T
µν
= 0 em V
4
. Desta forma, de acordo com o teorema de Gauss,
2.1 A equação de Abraham-Lorentz-Dirac (ALD) 13
S
3
+hipertubo
T
µν
dσ
ν
=
V
4
∂
ν
T
µν
d
4
x = 0 (2.26)
e, portanto,
hipertubo
T
µν
dσ
ν
=
S
3
T
µν
dσ
ν
. (2.27)
Isso implica que o integrando de (2.25) é a derivada total de algum quadrivetor, digamos B
µ
,
˙
B
µ
=
e
2
2c
2
ρ
a
µ
−
e
c
F
µν
v
ν
. (2.28)
Como o tensor de campo é anti-simétrico e v
µ
a
µ
= 0, temos
˙
B
µ
v
µ
= 0, que define o movimento do
elétron.
Nesse ponto, Dirac optou pela escolha mais simples possível para B
µ
:
B
µ
= kv
µ
, (2.29)
onde k é uma constante no tempo, que não depende do movimento.
Se a substituirmos na equação (2.28), temos que k = e
2
/2c
2
ρ−m, onde m é uma outra constante.
A equação de movimento do elétron torna-se
ma
µ
=
e
c
F
µν
v
ν
, (2.30)
ou, mais precisamente, uma vez que o limite ρ → 0 não foi ainda tomado,
ma
µ
=
e
c
F
µν
v
ν
+ O(ρ). (2.31)
A precisão dessa equação está limitada pelo tamanho finito do raio do hipertubo e, conseqüente-
mente, pelo tamanho do raio do elétron. Como no limite ρ → 0, e
2
/2c
2
ρ → ∞, a constante m pode
coincidir com a massa empírica se for escolhido k = k(ρ), de tal modo que, nesse limite, k → ∞.
Esse procedimento, realizado por Dirac [5], ficou conhecido como regularização clássica da massa
do elétron.
Com o auxilio da equação (2.7) e das definições (2.8) e (2.10), podemos obter a expressão F
µν
=
F
µν
−
+ F
µν
in
.
O cálculo de F
µν
−
é apresentado no apêdice A, equação (A.17). Com esse resultado, a equação de
movimento, com massa renormalizada e generalizada para o caso onde haja influência externa sobre
o elétron, é
14 O modelo de Dirac
ma
µ
=
2e
2
3c
3
(˙a
µ
+ a
λ
a
λ
a
µ
/c
2
) + F
µ
in
+ F
µ
ext
. (2.32)
Esta é a equação que ficou conhecida como equação de Abraham-Lorentz-Dirac, em que, de
acordo com a interpetação de Dirac, o primeiro termo do lado direito corresponde à quadriforça
devido ao próprio campo de radiação F
µν
rad
.
2.2 Runaway e pré-aceleração
Nessa seção, com o intuito de explicitar as principais dificuldades da teoria do elétron, analis-
aremos as soluções da equação ALD para dois casos simples, onde poderemos identificar caracterís-
ticas gerais das soluções. Faremos isso no limite não-relativístico,
m
˙
v =
2e
2
3c
3
¨
v + F
ext
. (2.33)
Esta equação corresponde à parte espacial de (2.32), descartado termos não lineares em v/c, e, como
comentamos na introdução, é a equação desenvolvida por Abraham e Lorentz no início do século XX,
e utilizada por Lorentz para descrever fenômenos ópticos e de transferência de calor.
A escolha da equação ALD no seu limite para baixas velocidades é feita com a intenção de tornar
simples as manipulações, sabendo que as características dos nossos exemplos são comuns ao caso
relativístico.
Tomemos o movimento de um elétron, na ausência de campo externo e campo livre incidente,
m
˙
v = mτ
0
¨
v, τ
0
=
2e
2
3mc
3
. (2.34)
O parâmetro τ
0
é importante em teoria do elétron, pois caracteriza a ordem de grandeza do intervalo
de tempo para a luz percorrer uma distância igual ao raio clássico do elétron.
A equação acima é de segunda ordem na velocidade e sua solução geral, dada pela combinação
de duas particulares, é
v = a
1
+ a
2
e
t/τ
0
, (2.35)
onde a
1
e a
2
são dois vetores constantes no tempo.
O caso a
2
= 0 descreve movimentos onde a velocidade da partícula aumenta indiscriminadamente
com o tempo. Soluções com esse comportamento, inaceitáveis à luz da teoria da relatividade, não
foram observadas e são conhecidas como soluções runaway.
Para resolver o problema das soluções runaway costuma-se incluir na teoria alguma hipótese física
2.2 Runaway e pré-aceleração 15
ad hoc, para selecionar as soluções fisicamente plausíveis. Por exemplo, nesse caso, contorna-se essa
inconsistência selecionando a família de soluções em que a
2
= 0, ou seja o repouso ou movimento
uniforme. Num caso geral, podemos impor, como fez Dirac [5], a condição adicional
lim
t→∞
a(t) = 0. (2.36)
Essa condição, além de evitar que o elétron se auto-acelere indefinidamente, fornece um terceiro
valor de contorno, que é indispensável, visto que a equação ALD é de terceira ordem. No entanto,
essa condição de contorno não é usual, pois funciona como se a teoria atribuisse uma finalidade ao
movimento.
Analisemos agora um segundo caso, correspondente ao movimento de um elétron sob a influência
de uma ação externa, que pode ser expressa em termos de uma força função do tempo
m
˙
v = mτ
0
¨
v + F(t). (2.37)
Para integrar essa equação, multipliquemos ambos os lados pelo fator integrante e
−t/τ
0
, e integre-
mos de t ao infinito
−
∞
t
mτ
0
d
dt
[e
−t
/τ
0
˙
v(t
)]dt
=
∞
t
e
−t
/τ
0
F(t
)dt
. (2.38)
Se integrarmos o primeiro termo, utilizando a condição
lim
t→∞
e
−t/τ
0
a(t) = 0, (2.39)
que é mais fraca que (2.36), mas elimina as soluções runaway, temos
mτ
0
e
−t/τ
0
˙
v(t) =
∞
t
e
(t−t
)/τ
0
F(t
)dt
. (2.40)
Com a mudança de variável t
= t + τ
0
s, veficamos que a aceleração é dada por
˙
v(t) =
1
m
∞
0
e
−s
F(t + τ
0
s)ds. (2.41)
A equação acima mostra que a aceleração no instante t depende da força em todo o futuro t +
τ
0
s, o que representa uma clara violação de causalidade, ao menos na sua forma mais comumente
entendida. Podemos visualizar melhor a situação na figura 2.3, que ilustra alguns parâmetros da
dinâmica unidimensional de uma partícula, submetida a uma força constante que começa a agir sobre
a mesma no instante t = 0
Observa-se que o elétron é acelerado antes mesmo da ação da força externa. Essa pré-aceleração,
como é conhecida, possui duração da ordem de τ
0
, que para o elétron é ∼ 10
−23
s, um intervalo que
16 O modelo de Dirac
Fig. 2.3: Pré-aceleração de uma partícula submetida a uma força externa constante.(Extraido de [29], pág. 789)
seria muito difícil de ser detectado em laboratório. Além disso, para se sondar um elétron durante
um intervalo de tempo finito ∆t, as medidas de sua energia estariam sujeitas a uma incerteza ∆E ∼
¯h/∆t. Para não entrar no domínio da teoria quântica, é necessário que ∆E mc
2
, onde m é a massa
de repouso do elétron. Isto implica que a dinâmica clássica só existe para intervalos ∆t 137τ
0
τ
0
, o que nos diz que o comportamento acausal ocorre somente durante uma etapa da evolução do
sistema que deveria, em princípio, ser descrita pela física quântica.
Devido aos problemas de acausalidade e soluções runaway da equação ALD, outras equações
foram propostas. Podemos citar as equações de segunda ordem propostas por Bonnor [19], em que
a energia irradiada é suprida pela redução da massa de repouso da partícula, e a equação de Landau-
Lifshtz (LL) [20], [21]. Esta última foi construída em base ao argumento físico de que o procedimento
de regularização não é fidedigno, e o campo externo não deve enxergar a estrutura do elétron. Em
2000, um importante trabalho foi realizado por Spohn [22], mostrando que as soluções de LL po-
dem ser obtidas perturbativamente a partir do setor de soluções fisicamente aceitáveis (aceleração
assintótica nula) de ALD. Rohrlich em [23] propõem uma interpretação física para esse fato.
2.3 Addendum: o problema do fator 4/3
Embora o problema do fator 4/3 não esteja relacionado ao modelo de Dirac, este será tratado
nesta seção devido a sua relação com o conceito de massa eletromagnética, discutido na seção 3.1 do
próximo capítulo, e a sua importância no desenvolvimento inicial da teoria da relatividade especial.
J. J. Thomson [26], em 1881, analisou o movimento não-relativístico de partículas carregadas,
modelando-as como pequenas esferas rígidas, de raio a e com distribuição superfícial de carga ho-
mogênea, verificando que o movimento de uma partícula com carga e produz uma energia adicional
no campo, devido ao campo magnético
2.3 Addendum: o problema do fator 4/3 17
B =
v
c
× E, E =
e
r
2
ˆr, (2.42)
que existe em função do movimento da partícula com velocidade v.
Representando a densidade de energia eletromagnética por U = (E
2
+ B
2
)/8π, Thomson verifi-
cou que a energia adicional devido ao campo magnético é
E
adic
≡
1
8π
B
2
d
3
r
=
1
2
4
3
e
2
2ac
2
v
2
. (2.43)
Curiosamente, esse resultado possui a forma da expressão da mecânica newtoniana para a energia
cinética de uma partícula com velocidade v. Mais que isso, para os seguidores de Maxwell, por
representar a energia de um campo magnético, estaria associada à energia cinética do éter.
Diante dessa interpretação, Thomson associou duas massas ao movimento de uma partícula car-
regada: m
bare
, a massa que corresponde ao conceito da mecânica clássica, que tanto partículas neutras
quanto as carregadas possuem; m
elm
, a massa eletromagnética, que descreveria uma inércia prove-
niente das propriedades eletromagnéticas da partícula.
Para o modelo analisado por Thomson, a massa eletromagnética corresponde à expressão entre
parênteses na equação (2.43)
m
elm
=
4
3
e
2
2ac
2
. (2.44)
Assim, uma partícula carregada possui energia cinética
K =
1
2
(m
bare
+ m
elm
) v
2
. (2.45)
Como a energia eletrostática para o modelo em questão é
W
est
=
e
2
2a
, (2.46)
a massa eletromagnética se relaciona com a energia eletrostática por
m
elm
=
4
3
W
est
c
2
. (2.47)
Essa relação entre massa e energia, cujo fator 4/3 deixa inquieto qualquer físico contemporâneo,
foi incomodar somente com o surgimento da teoria da relatividade especial, que prevê a relação
18 O modelo de Dirac
m = E/c
2
.
É importante observar que o fator 4/3 não poderia simplesmente ser absolvido na definição da
massa eletromagnética. Fazer isso, seria transferir o fator para a expressão da energia adicional
(equação (2.43)).
Jules Henri Poincaré, em 1916 [3], se propôs a explicar a presença do fator 4/3, argumentando que
somente a interação eletromagnética entre as partes do elétron não oferecia estabilidade ao mesmo e,
portanto, uma parte da auto-energia do életron deveria ser de natureza não-eletromagnética. Poincaré,
então, postulou a existência de uma força estabilizadora, cuja pressão compensaria a repulsão coulom-
biana e diminuiria a auto-energia em W
est
/3, de modo que a relação de Einstein E = mc
2
não fosse
mais violada.
De forma mais matemática, o que foi feito por Poincaré corresponde a postular a existência de
um tensor simétrico Π
µν
que, somado ao tensor momentum-energia T
µν
(equação (2.17)), produz o
tensor Θ
µν
= T
µν
+ Π
µν
, cuja densidade de quadriforça associada K
µ
= ∂
ν
Θ
µν
é nula em todo
espaço, o que corresponde a uma estrutura estável para o elétron.
A hipótese básica de Thomson para o cálculo da massa eletromagnética está na equação (2.43),
onde o contorno de integração é uma esfera de raio a, independente do estado de movimento. Abra-
ham e Lorentz definiram a massa eletromagnética a partir de uma expressão para o momento. Uti-
lizaram como hipótese básica as definições, para a energia e momento,
W = −
T
00
d
3
r =
Ud
3
r,
p
j
= −
1
c
T
0j
d
3
r =
1
c
2
S
j
d
3
r. (2.48)
Essas definições, quando aplicadas ao mesmo modelo, de esfera rígida, se deslocando a baixas ve-
locidades, usado por Thomson, leva a uma relação entre momento e energia, também com a presença
do mesmo fator 4/3
p
j
=
4
3
W
est
c
2
v
j
. (2.49)
Para velocidades arbitrárias, a relação é
p
j
=
4
3
W
est
c
2
1 − v
2
/c
2
v
j
. (2.50)
Historicamente, o problema do fator 4/3, como ficou conhecido, foi entendido como correspon-
dendo ao problema da estabilidade do elétron. Entretanto, veremos que esses dois problemas são
2.3 Addendum: o problema do fator 4/3 19
independentes, e que o primeiro, na verdade, corresponde a encontrar a correta transformação, entre
diferentes observadores, das propriedades do sistema.
Isso foi feito por Rohrlich [27], em 1960, quem observou que as definições (2.48) envolvem
integrações que vão da superfície esférica do elétron até o infinito. No entanto, a forma da superfície
não é a mesma, para todos os observadores, ou seja, essas definições não são covariantes. E para
corrigir o problema, Rohrlich propôs uma definição que fosse manifestamente covariante, definindo
o quadrivetor P
µ
= (W/c, p) como
P
µ
≡ −
1
c
(σ)
T
µν
dσ
ν
, (2.51)
onde dσ
ν
é um elemento de volume do hiperplano tipo-espaço σ e o índice (σ) indica que a integração
é realizada sobre um o hiperplano com um “corte” na região dos eventos que correspondem à super-
fície tridimensional da partícula.(Para detalhes complementares sobre essa definição, vide referência
[24].)
Escolhendo o hiperplano σ perpendicular (no sentido de quadrivetores) à linha de universo da
partícula, temos que dσ
ν
tem modulo d
3
σ e a orientação de um quadrivetor perpendicular ao plano,
como o quadrivetor v
ν
/c, isto é
dσ
ν
=
v
ν
c
d
3
σ. (2.52)
Assim, a definição (2.51), em termos das componentes do tensor momento-energia (2.18) e das
compomentes da quadrivelocidade da partícula v
µ
= (γc; γv), pode ser reescrita como
W = γ
Ud
3
σ −
γ
c
2
S
j
v
j
d
3
σ,
p
j
=
γ
c
2
S
j
d
3
σ +
γ
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
σ, (2.53)
Chamando de d
3
r o elemento de volume espacial no referencial de repouso, temos que, devido à
contração de Lorentz-Fitzgerald, γd
3
σ = d
3
r.
Com isso, as equações (2.53), no limite não-relativístico, em primeira ordem em v/c, são
W =
Ud
3
r
p
j
=
1
c
2
S
j
d
3
r +
1
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
r, (2.54)
levando-se em conta que o argumento das integrais correspondem aos limites não-relativísticos de U,
20 O modelo de Dirac
S
j
e T
M
ji
.
O segundo termo da expressão para a energia em (2.53) foi truncado, devido ao fato de que o vetor
de Poynting é linear na velocidade, o que faz com que o termo em questão seja de segunda ordem em
v/c.
Devemos observar que as definições de Rohrlich (2.54) diferem das usadas por Lorentz e Abraham
somente por um termo aditivo, na expressão do momento. Mostraremos, através de um cálculo
simples, que esse termo aditivo é o que falta para a relação esperada p
j
= (W
est
/c
2
)v
j
.
Para isso, necessitamos das compomentes do tensor de Maxwell, que são
T
M
ij
=
1
4π
[E
i
E
j
+ B
i
B
j
−
1
2
(E
2
+ B
2
)δ
ij
]. (2.55)
Com ele, com as definições para o campo da partícula a baixas velocidades
E =
e
r
2
ˆ
r
B =
1
c
v × E, (2.56)
poderemos calcular o termo
1
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
r da definição de momento em (2.54), levando em conta
somente termos lineares em v/c,
1
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
r =
e
2
4πc
2
1
r
4
{(
ˆ
r · v)
ˆ
r +
1
c
2
[(v ×
ˆ
r) · v](v ×
ˆ
r) −
1
2
v +
1
c
2
(v ×
ˆ
r)
2
v}
j
d
3
r. (2.57)
O segundo termo do integrando é nulo, pois (v ×
ˆ
r) · v = 0; o quarto termo será despresado por
ser de segunda ordem em v/c, de modo que, escrevendo o elemento de volume d
3
r = r
2
dΩ, temos
1
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
r =
e
2
4πc
2
[(
ˆ
r · v)
ˆ
r −
1
2
v]
j
dΩ
∞
a
dr
r
2
,
(2.58)
ou
1
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
r =
1
2πc
2
[(
ˆ
r · v)
ˆ
r −
1
2
v]
j
dΩ
1
8π
∞
a
e
r
2
ˆ
r
2
4πr
2
dr
.
(2.59)
2.3 Addendum: o problema do fator 4/3 21
Além disso, temos
(
ˆ
r · v)
ˆ
rdΩ = 4πv/3, o que é facilmente verificado escolhendo v na direção
ˆ
z; o termo entre colchetes corresponde exatamente à energia eletrostática W
est
, definida na equação
(2.46). Desta forma, finalmente chegamos a
1
c
2
T
M
ji
v
i
d
3
r = −
1
3
W
est
c
2
v
j
.
(2.60)
Adicionando este último ao termo com o outro
S
j
/c
2
d
3
r, da definição do momento na equação
(2.54), que corresponde à definição utilizada por Abraham e Lorentz, dado pela equação (2.49), veri-
ficamos a relação
p
j
=
4
3
W
est
c
2
v
j
−
1
3
W
est
c
2
v
j
=
W
est
c
2
v
j
,
(2.61)
O que demonstra que a presença do fator 4/3 não possui relação com propriedades dinâmicas do
elétron, como a estabilidade, e sim, é uma conseqüência da cinemática relativística.
No caso relatívistico, pode-se chegar à mesma conclusão de uma forma mais simples. Visto que
P
µ
= (W/c; p) na definição (2.51) é um quadrivetor no espaço de Minkowski, podemos obter explici-
tamente suas componentes, para um observador inercial qualquer, calculando primeiro (W
(0)
/c; p
(0)
) =
P
µ
0
, suas componentes no referencial de repouso, ou seja, realizando a integral de (2.51) sob o hiper-
plano σ perpendicular à quadrivelocidade, e posteriormente aplicando a elas um boost na direção v
do movimento. O boost que relaciona P
µ
0
e P
µ
é dado pelas equações
W
c
= γ
W
0
c
+ p
0
·
v
c
,
p = p
0
+
(γ − 1)
v
2
(p
0
· v)v + γ
W
0
c
v
c
. (2.62)
Necessitamos agora calcular W
0
e p
(0)
. Das definições (2.53), é imediato que W
0
= W
est
e
p
(0)
= 0.
Substituindo esses valores na expressão do boost, concluimos que
W =
(W
est
/c
2
)
1 − v
2
/c
2
c
2
22 O modelo de Dirac
p =
(W
est
/c
2
)
1 − v
2
/c
2
v. (2.63)
Nota-se que em momento algum foram feitas hipóteses com respeito à estabilidade da estrutura do
elétron. O resultado independe da densidade de quadriforça K
µ
ser ou não nula sobre a superfície do
elétron. Isto torna desnecessária a especulação de qualquer interação de origem não eletromagnética.
Capítulo 3
O problema das divergências
Este capítulo é dedicado à revisão de algumas formulações da eletrodinâmica que adotam a
hipótese do caracter pontual para o elétron e se propõem a equacionar as dificuldades com quantidades
divergentes, provenientes desta hipótese.
Antes de tratar dessas formulações da eletrodinâmica, daremos o exemplo de uma teoria que evita
as divergências, modelando o elétron como uma partícula com estrutura, um modelo extendido. Esta
teoria é útil para exemplificar as vantagens de não se modelar o elétron como uma partícula pontual e
identificar características comuns entre os modelos pontuais e extendidos.
3.1 O modelo estendido
A equação de terceira ordem ALD viola a primeira lei de Newton, além de exibir outras
patologias. Como discutido na seção 2.2, esta equação exibe soluções runaway e soluções com pré-
aceleração, mas, apesar dessas inconsistências, a ALD vem sendo considerada a equação com reação
de radiação mais promissora para a descrição da dinâmica clássica de partículas carregadas.
Embora Dirac [5] tenha elaborado uma teoria consistente e covariante, foi feito um trucamento
dos termos de ordem superior no raio ρ do hipertubo (seção 2.1) para o cálculo do fluxo do tensor
momento-energia.
O raio do tubo é o parâmetro que delimita o tamanho do elétron, de modo que o limite ρ → 0
levaria a uma massa eletromagnética infinita na equação de movimento, embora a equação tenha sido
redefinida através do procedimento de regularização clássica da massa. No entanto, não poderíamos
dizer que a ALD é uma aproximação, pois não temos outra equação, válida, para comparação.
O que faz a regularização clássica da massa é eliminar termos da auto-interação, adicionais ao
quadrivetor de Abraham Γ
µ
(equação (A.19)), que vão a zero no limite pontual. Sharp e Moniz [28]
elaboraram um modelo onde todos esses termos são considerados, mantendo o raio do elétron finito,
23
24 O problema das divergências
portanto, dispensando regularizações. Como veremos, esse modelo equivale ao de Dirac, exposto
na seção 2.1, no limite para baixas velocidades e com força externa que varie suficientemente pouco
sobre a extensão do elétron.
Partiremos da auto-interação que, no modelo em questão, é definida em termos da força de Lorentz
F
self
=
d
3
r
ρ(r, t)E
s
(r, t) +
1
c
j(r, t) × B
s
(r, t)
, (3.1)
onde o índice s refere-se ao campo produzido pelas partes da superfície do elétron, modelado como
uma esfera com distribuição de carga superficial uniforme.
Em base à segunda lei de Newton, Sharp e Moniz postularam a equação de movimento
m
bare
˙
v = F
ext
+ F
self
, (3.2)
com m
bare
representando a inércia relacionada às propriedades puramente mecânicas da partícula e
F
ext
sendo uma força externa que varia pouco espacialmente, de modo a enxergar o elétron como
pontual.
O desenvolvimento da expressão (3.1) é longo e fora do propósito desta seção. O cálculo pode ser
encontrado em Jackson [29], onde a auto-força é desenvolvida, desprezando-se termos não linerares
em v/c, na forma de uma série infinita, dada por
F
self
= −
2
3c
2
∞
n=0
(−1)
n
n!c
n
γ
n
d
n+1
dt
n+1
v(t), (3.3)
onde γ
n
é o fator geométrico
γ
n
=
d
3
rd
3
r’ρ(r, t)ρ(r
, t)|r − r
|
n−1
. (3.4)
Para o modelo de Sharp e Moniz, esse fator pode ser calculado facilmente, representando a den-
sidade de carga em termos da função delta de Dirac por
ρ(r, t) =
e
4πa
2
δ(| r −r
0
(t) | −a), (3.5)
onde a é o raio da esfera, r e r
0
(t) são as posições de um ponto genérico do espaço e do centro da
esfera no instante t, respectivamente.
Com essa representação, obtemos
γ
n
= 2e
2
(2a)
n−1
n + 1
. (3.6)
Substituindo esses coeficientes na série para a auto-força (3.3), podemos escrever
3.1 O modelo estendido 25
F
self
=
e
2
3ca
2
∞
n=0
1
(n + 1)!
d
n+1
v
dt
n+1
(t)
−
2a
c
n+1
, (3.7)
ou ainda, fazendo k = n + 1 e somando e subraindo o termo correspondente a k = 0, podemos
reescreve-la na forma
F
self
=
e
2
3ca
2
∞
k=0
1
k!
d
k
v
dt
k
(t)
−
2a
c
k
−
1
0!
d
0
v
dt
0
(t)
−
2a
c
0
. (3.8)
Observa-se que o somatório é exatamente a expansão em série de Taylor de v(t
= t − 2a/c) em
torno do ponto t
= t. Com isso,
F
self
=
e
2
3ca
2
[v(t − 2a/c) −v(t)] (3.9)
e a equação de movimento (3.2) adquire a forma
m
bare
˙
v(t) = F
ext
+
e
2
3ca
2
[v(t − 2a/c) −v(t)] . (3.10)
Esta é uma equação diferencial-diferença do tipo retardada, que possui dois parâmetros livres,
m
bare
e o raio a do elétron. No entanto, m
bare
guarda, a príncipio, um difícil contato com a experiência
por não corresponder à massa empírica, que pode ser medida. É possível remediar este problema
postulando a quantidade m ≡ m
bare
+ 2e
2
/3c
2
a como correspondendo à massa empírica. Assim,
m
bare
˙
v(t) = (m
bare
+ 2e
2
/3c
2
a)
˙
v(t) − (2e
2
/3c
2
a)
˙
v(t) = m(1 − cτ
0
/a)
˙
v(t), (3.11)
onde τ
0
é definido em (2.34).
A definição acima permite escrever a equação de movimento (3.10) na forma
˙
v(t) =
1
m(1 − cτ
0
/a)
F
ext
+
(c/2a)(cτ
0
/a)
(1 − cτ
0
/a)
[v(t − 2a/c) −v(t)] . (3.12)
Analisemos esta equação para o caso de uma partícula hipótetica com m
bare
= 0, movimentando-
se de modo que os termos da auto-força proporcionais a potências positivas de a sejam nulos ou
desprezíveis. Para isso, precisamos expandir v(t − 2a/c) até segunda ordem:
v(t − 2a/c) ≈ v(t) −
2a
c
˙
v(t) +
1
2!
2a
c
2
¨
v(t). (3.13)
Fazendo m
bare
= 0 e substituindo esta expansão em (3.10), ou em (3.12), temos a equação
m
˙
v(t) = F
ext
+
2e
2
3c
3
¨
v(t), m =
4
3
W
est
c
2
, (3.14)
26 O problema das divergências
que corresponde ao limite não-relativístico de ALD (equação (2.2)).
Análise das soluções
Estabelecida a relação entre a equação do modelo de Sharp e Moniz e a ALD, analisemos as
características das soluções de (3.12).
Façamos isso para o caso F
ext
= 0, em que a equação de movimento é
˙
v(t) = ξ [v(t −2a/c) − v(t)] , ξ =
(c/2a)(cτ
0
/a)
(1 − cτ
0
/a)
. (3.15)
Essa equação possui solução particular da forma
v(t) = v(0)e
βt/τ
0
, (3.16)
onde v(0) é um vetor constante no tempo e β é um número complexo.
Para encontrarmos os possíveis valores de β, basta substituir a expressão acima na equação de
movimento (3.15), obtendo
β
τ
0
= ξ
e
−2aβ/cτ
0
− 1
. (3.17)
Não podemos resolver analiticamente esta equação, mas é possível conhecer o sinal da parte real
através da parametrização
β =
1
2
cτ
0
a
2
(η + iϑ),
g =
1
1 − cτ
0
/a
, (3.18)
onde η e ϑ são números reais.
Utilizando a parametrização acima na equação (3.17), obtemos o par de equações
η = −g[1 − e
−(cτ
0
/a)η
cos(cτ
0
ϑ/a)], (3.19)
ϑ = −ge
−(cτ
0
/a)η
sin(cτ
0
ϑ/a). (3.20)
Observa-se que, para a > cτ
0
, a equação (3.19) não possui soluções para valores positivos de η, o
que nos garante que, neste caso, não há soluções runaway.
3.2 A proposta de Mario Schönberg 27
Já para o caso a < cτ
0
, é possível a existência de soluções da equação (3.19) para η > 0, o que
significa a possibilidade de runaways.
Quanto à questão da pré-aceleração, Sharp e Moniz, no mesmo trabalho, analisam as soluções
de (3.12) para o caso em que F
ext
= 0, verificando a existência de uma relação causal entre a força
externa e a aceleração da partícula somente para a > cτ
0
, mostrando que, assim como as soluções
runaway, a pré-aceleração não é própria do caracter pontual do elétron.
3.2 A proposta de Mario Schönberg
Mario Schönberg propôs eliminar as divergências sobre a linha de universo do elétron, da
auto-força e do tensor momento-energia, com um método inspirado na eletrostática.
Por exemplo, em eletrostática, num sistema de cargas, a força total sobre uma partícula pontual
com carga e
i
, posicionada em r
i
,
F
i
= −
j=i
e
i
e
j
r
3
ij
r
ij
, r
ij
= r
i
− r
j
, (3.21)
assim como a energia do campo elétrico
W =
1
2
j=i
e
i
e
j
r
ij
, (3.22)
não divergem, pois a teoria postula que a i-ésima partícula interege somente com as demais partículas
do sistema. No entanto, para o caso da eletrodinâmica, solução em tal sentido não seria possível, pois
não descreveria a influência no movimento das cargas devido ao processo de irradiação.
Schönberg e Leite Lopes [13] dividiram o campo produzido pela i-ésima partícula em duas partes:
(1) a parte que reage sobre a própria partícula, descrevendo a perda de energia no processo de irra-
diação, o campo rad (esse campo difere por um fator do campo definido por Dirac, seção 2.1); (2) a
parte que não age sobre a i-ésima partícula, mas influencia o movimento das demais, o campo at.
O campo da parte (1), definido por Schönberg em [14], seria
F
µν
rad,i
≡
i
2
(F
µν
ret,i
− F
µν
adv,i
). (3.23)
Este, a menos de um fator
i
/2, é o campo definino por Dirac em (2.7).
Já o campo at, correspondente à parte (2), foi definido pelo tensor
F
µν
at,i
=
1
2
(F
µν
ret,i
+ F
µν
adv,i
). (3.24)
Na teoria de Schönberg não há um único campo responsável por todas as interações do sistema.
28 O problema das divergências
Diferentemente da concepção de Maxwell e Faraday, cada partícula interage com um campo distinto.
O fator
i
≡ ±1 corresponde às duas orientações da linha de universo da partícula i. O significado
físico para cada um dos valores vem do quadrimomento cinético, definido por
G
µ
kin
≡ m
dx
µ
dτ
. (3.25)
A orientação
i
= 1 foi interpretada por Schönberg como correspondendo a movimentos com energia
cinética (cG
0
kin
) positiva e a orientação
i
= −1 não como correspondendo a movimentos retrógrados,
como poderia ser pensado, mas a movimentos com energia cinética negativa.
Como o sinal da energia cinética é o mesmo do intervalo infinitesimal sobre a linha de universo,
temos que
ds
i
=
i
dx
µ
i
dx
i,µ
. (3.26)
O campo total produzido pela i-ésima partícula é
F
µν
part,i
≡ F
µν
rad,i
+ F
µν
at,i
(3.27)
e assume os valores
F
µν
part,i
= F
µν
rad,i
+ F
µν
at,i
=
F
µν
ret,i
, se
i
= +1,
F
µν
adv,i
, se
i
= −1.
(3.28)
Esta equação nos diz que F
µν
part,i
é sempre um campo retardado, para um observador cujo tempo
próprio flua na mesma direção do tempo próprio da partícula i.
3.2.1 Equações de movimento
Com base no significado físico dos campos F
µν
rad,i
e F
µν
part,i
, Schönberg, ainda no mesmo tra-
balho [14], define o campo
F
µν
act,i
≡ F
µν
rad,i
+
j=i
F
µν
part,j
+ F
µν
ext
, (3.29)
atribuindo ao mesmo a representação de todas as influências sofridas pela i-ésima partícula do sis-
tema. Além disso, nos moldes de uma equação de movimento newtoniana, foi postulado que a
dinâmica de um sistema de n cargas é dada pelo sistema de equações
m
i
a
µ
i
=
e
i
c
F
µν
act,i
v
i;ν
, i = 1, 2, . . . , n. (3.30)
3.2 A proposta de Mario Schönberg 29
Através das equações (A.18) e (A.19) é fácil verificar que
F
µ
rad,i
=
e
i
c
F
µν
rad,i
v
i;ν
=
2
i
e
2
i
3c
3
(a
µ
i
+ a
i;λ
a
λ
i
v
µ
i
/c
2
). (3.31)
Com isso, podemos reescrever a equação (3.30) na forma
m
i
a
µ
i
=
2
i
e
2
i
3c
3
(a
µ
i
+ a
i;λ
a
λ
i
v
µ
i
/c
2
) +
j=i
F
µ
part,j
+ F
µ
ext
. (3.32)
3.2.2 O tensor momento-energia
Na primeira parte da seção 3.2 mostramos como Schönberg contornou o problema da auto-força
divergente, postulando funções para diversos campos. Aqui mostraremos qual foi sua proposta para
o tensor momento-energia do qual pode ser derivada a expressão correta para a densidade de força,
evitando, ao mesmo tempo, que as integrais espaciais de suas componentes fossem infinidas.
Schönberg postulou o tensor momento-energia pela expressão
4πT
µν
Sch
= (F
να
in
+
i
F
να
rad,i
)(F
µ
tot;α
+
i
F
µ
at,i;α
) +
1
4
g
µν
(F
αβ
in
+
i
F
αβ
rad,i
) ×
(F
tot;αβ
+
i
F
at,i;αβ
) +
i
j=i
(F
να
at,i
F
µ
at,j;α
+
1
4
g
µν
F
αβ
at,i
F
at,j;αβ
), (3.33)
onde
F
tot;αβ
=
i
F
part,i;αβ
+ F
in;αβ
. (3.34)
Observa-se que, para essa definição, T
µν
Sch
diverge segundo r
−2
, e não r
−4
como na definição
usual (equação (2.17)). Logo, a integral espacial das componentes do tensor-momento energia sobre
qualquer região é sempre finita.
Essa é uma propriedade importante, pois somente respeitada, a quantidade G(σ) =
1
c
σ
T
µν
dσ
ν
pode representar o quadrimomento do campo.
A diferenciação de um termo típico de T
µν
Sch
seria, por exemplo,
∂
l;ν
i
j=i
F
να
at,i
F
µ
at,j;α
=
4π
c
i=l
F
µ
at,i;α
j
α
l
+
i=l
F
να
at,i
(∂
l;ν
F
µ
at,l;α
). (3.35)
Derivando de modo semelhante os demais termos e agrupando-os, pode-se mostrar que a densi-
30 O problema das divergências
dade de quadriforça da partícula l é
K
µ
Sch,l
≡ ∂
l;ν
T
µν
Sch
=
1
c
(F
µν
act,l
+ F
µν
in
)j
l;ν
=
e
l
c
(F
µν
act,l
+ F
µν
in
)δ
(3)
v
l;ν
. (3.36)
Portanto, a quadriforça F
µ
(z
l
) agindo sobre a l-ésima partícula na posição z
µ
l
é
F
µ
(z
l
) ≡
K
µ
Sch,l
d
3
r =
e
l
c
(F
µν
act,l
+ F
µν
in
)v
l;µ
, (3.37)
que corresponde à quadriforça na equação (3.32), acrescida a força da radianção livre F
µν
in
.
O sinal de integração na equação acima é simplesmente simbólico. Rigorosamente, K
µ
Sch,l
é
uma distribuição não-regular (apêndice B), de modo que a integração em (3.37) não faz sentido.
O lado esquerdo dessa equação pode ser entendido como K
µ
Sch,l
, φ (vide apêndice B), a atuação
da distribuição K
µ
Sch,l
sobre uma função teste φ, onde φ é uma função diferenciável com suporte
contendo uma vizinhança de z
µ
l
.
3.3 Outras propostas
3.3.1 A eletrodinâmica de Feynman-Wheeler
Esta teoria interpreta o processo de irradiação como conseqüência da interação entre uma
partícula e o resto do sistema, de forma que, num sistema com uma única partícula, mesmo acelerada,
não haveria irradiação.
Essa concepção é explicada em [16] com a citação das palavras de H. Tetrode, um dos pais da
idéia, que transcrevemos abaixo
“The sun would not radiate if it were alone in space and no other bodies could absorb its
radiation . . .
˙
If for example I observed through my telescope yesterday evening that star
which let us say is 100 light years away, then not only did I know that the light which
it allowed to reach my eye was emitted 100 years ago, but also the star or individual
atoms of it knew already 100 years ago that I, who then did not even exist, would view it
yestarday evening at such and such time . . . . One might accordingly adopt the opinion
that the amount of material in the universe determines the rate of emission.”
3.3 Outras propostas 31
Diferente da teoria de Schönberg, onde há auto-interação, a eletrodinâmica de Feynman-Wheeler
postula que uma dada partícula, a qual chamaremos, a partir de agora, de fonte, só interage com as
demais partículas do sistema, cujo conjunto chamaremos de absorvedor.
O campo dessa interação, produzido pela k-ésima partícula do absorvedor, foi postulado como
sendo
F
µν
k,int
≡
1
2
(F
µν
k,ret
+ F
µν
k,adv
). (3.38)
Outra diferença entre esta teoria e a de Schönberg está na função do absorvedor, que cumpre um
papel essencial na explicação do mecanismo de interação. Por isso, como veremos, o absorvedor
não é simplesmente o restante do sistema, são atribuídas ao mesmo propriedades específias, como ser
composto de um número suficientemente grande de partículas, capazes de absorver completamente a
radiação emitida pela fonte.
Apresentaremos a seguir um modelo muito ilustrativo, com uma configuração específica para o
absorvedor, onde está aplicado as hipóteses da teoria. Esse é um dos exemplos dados por Feynman e
Wheeler em [16].
Exemplo
Nesse modelo, o absorvedor é suposto como composto de um número infinito de cargas livres,
todas em repouso e separadas por uma longa distância.
Suponha que a fonte com carga e, inicialmente em repouso, receba no instânte t uma aceleração
a(t). Isso produz um campo elétrico retardado, que r
k
(t)/c segundos depois perturba a k-ésima
partícula do absorvedor, situada na posição r
k
(t) no momento da aceleração da fonte. Esse campo
elétrico, de acordo com a hipótese do modelo de grande afastamento entre as partículas, é, em boa
aproximação,
E
e,e
k
=
e
c
2
r
3
k
r
k
(t) × (r
k
(t) × a(t)). (3.39)
Essa expressão só possui o termo correspondente ao campo de radiação, que cai com r
−1
k
. Um
outro termo, a parte coulombiana, que cai mais rapidamente, com r
−2
k
, foi desprezado. A expressão
geral para esse campo pode ser obtida na seção 63 da referência [21].
Após a aceleração da fonte, no instante t
= t + r
k
(t)/c, quando o campo E
e,e
k
atingir a carga e
k
,
com massa m
k
, esta sofrerá uma aceleração
a
k
=
e
k
m
k
E
e,e
k
. (3.40)
32 O problema das divergências
Segundo a teoria, isso fará com que essa partícula do absorvedor reaja, irradiando um campo
elétrico metade retardado e metade avançado, dado pela equação (3.38), sendo que a parte retardada
dessa radiação alcançará a fonte somente no instante t
= t + r
k
(t)/c + r
k
(t
)/c, sendo r
k
(t
) a
distância entre a carga e
k
e a fonte no instante t
.
Já a parte avançada alcança a fonte no instante t
= t + r
k
(t)/c −r
k
(t)/c = t, ou seja, a radiação
avançada reage sobre a fonte no mesmo instante de sua aceleração inicial a(t), o que implica numa
força elétrica instantânea, cuja componente na direção de a(t) é
f
k
= e
1
2
e
k
c
2
r
3
k
[−r
k
(t) × (−r
k
(t) × a
k
(t))] ·
ˆ
a(t). (3.41)
Utilizando as equações (3.40) e (3.39), para escrever a
k
em termos de r
k
e a, podemos obter f
k
,
omitindo o argumento (t), na forma
f
k
=
e
2
e
2
k
2c
4
m
k
r
6
k
{−r
k
× [−r
k
× (r
k
× (r
k
× a))]} ·
ˆ
a, (3.42)
ou, utilizando a identidade vetorial A × (B × C) = (A · C)B −(A ·B)C,
f
k
=
e
2
e
2
k
a
2c
4
m
k
r
2
k
sen
2
(r
k
, a), (3.43)
onde o argumento da função seno indica o ângulo entre r
k
e a.
Por motivos de simplificação, os autores do modelo trataram somente uma componente de Fourier
da aceleração, isto é, escolheram
a = a
0
e
−iωt
. (3.44)
No modelo, a velocidade de propagação do campo avançado da partícula k não é considerada c,
e sim c/n, sendo n o indíce de refração do meio constituido pelo absorvedor, que, por hipótese, é
suposto constituído por partículas distribuidas uniformemente por todo o espaço, com densidade N.
O índice de refração, para a componente de Fourier do campo com freqüência ω, é dado pela
conhecida expressão da teoria de dispersão para meios não-dissipativos, com coeficiente de absorção
pequeno,
n = 1 −
2πNe
2
k
m
k
ω
2
. (3.45)
Essa alteração na velocida da radiação avançada faz com que sua componente com freqüência ω
chege à fonte com uma fase temporal e
−iω(r
k
/c−nr
k
/c)
.
Com esta fase temporal e a hipótese da homogeneadade do abosorvedor, podemos calcular a
reação total sobre a fonte, na direção de a, através da integral
3.3 Outras propostas 33
f =
Nf
k
e
−iω(r
k
/c−nr
k
/c)
d
3
r, (3.46)
que com o auxílio das equações (3.43) e (3.45), e escrevendo d
3
r = r
2
k
dΩ, pode ser reescrita como
f =
e
2
e
2
k
Na
0
e
−iωt
2c
4
m
k
dΩsen
2
(r
k
, a)
∞
0
dr
k
e
−i(2πNe
2
k
/m
k
cω)r
k
. (3.47)
A integral
∞
0
dr
k
e
−i(2πNe
2
k
/m
k
cω)r
k
não é convergente, mas pode ser redefinida em termos de
seu valor principal (apêndice C) V P
∞
0
dr
k
e
−i(2πNe
2
k
/m
k
cω)r
k
, o que equivale a escolher o fator na
exponencial complexa, entre parênteses, como um número complexo na forma (2πNe
2
k
/m
k
cω) −iε,
realizar a integração e depois tomar o limite ε → 0.
Este cálculo simples nos leva a
V P
∞
0
dr
k
e
−i(2πNe
2
k
/m
k
cω)r
k
= −i
m
k
cω
2πNe
2
k
. (3.48)
Finalmente, utilizando
dΩsen
2
(r
k
, a) =
8π
3
e a equação acima, chegamos a
f =
2e
2
3c
3
(−iωa
0
e
−iωt
) =
2e
2
3c
3
da
dt
. (3.49)
Observa-se que essa expressão corresponde ao primeiro termo do lado direito da equação (2.33),
que corresponde à reação de radiação da equação ALD, no limite não-relativístivo.
A teoria será exposta, agora, em termos gerais, para melhor compreensão das hipóteses utilizadas
no modelo.
Teoria geral
Como foi comentado, a eletrodinâmica de Feynman-Wheeler é formulada com base no papel do
absorvedor. Todas as situações descritas pela teoria admitem sua existência.
O absorvedor na teoria geral é caracterizado pela propriedade de que no seu exterior (figura 3.1)
vale a relação
k
1
2
(F
µν
ret,k
+ F
µν
adv,k
) = 0, (3.50)
onde o somatório inclui todas as partículas do sistema, inclusive a fonte.
Em termos físicos, como cada elemento da soma representa, segundo a definição (3.38), o campo
produzido pela k-ésima partícula do sistema, essa equação diz que uma partícula teste, do lado de
fora, não experimentaria nenhuma força, em outras palavras, a equação acima corresponde à completa
absorção da radiação.
34 O problema das divergências
Fig. 3.1: Carga envolvida pelo absorvedor.
Como os campos retardado total e o avançado total representam ondas divergentes e convergentes,
respectivamente, estes não podem interferir destrutivamente em todos os intantes e todas as posições
fora do absorvedor, implicando ser possível a validade da equação (3.50) somente caso
k
F
µν
ret,k
=
k
F
µν
adv,k
= 0. (3.51)
Portanto
F
µν
outside
≡
k
1
2
(F
µν
ret,k
− F
µν
adv,k
) = 0 (3.52)
fora do absorvedor.
F
µν
outside
é uma solução da versão homogênea da equação de Maxwell (2.1), isto é, ∂
ν
F
µν
outside
= 0,
em todo o espaço e qualquer instante.
Um teorema sobre funções harmônicas garante que se ∂
ν
F
µν
= 0 em todo espaço e o campo
F
µν
decai, assintoticamente, mais rápido que 1/r
3/2
, então F
µν
= 0 em todo espaço. Aplicando o
teorema ao campo F
µν
outside
, temos que equação (3.52) é válida dentro e fora do absorvedor.
Equação de movimento
O campo total que age sobre a fonte, rotulada por l, é o campo metade retardado e metade
avançado produzido por todas as partículas do absorvedor
k=l
1
2
(F
µν
ret,k
+ F
µν
adv,k
), (3.53)
de modo que a equação de movimento da fonte é
m
l
a
µ
l
=
e
l
c
k=l
1
2
(F
µν
ret,k
+ F
µν
adv,k
)
v
ν,l
. (3.54)
O campo (3.53) pode ser dividido em três partes
3.3 Outras propostas 35
k=l
1
2
(F
µν
ret,k
+ F
µν
adv,k
) =
k=l
F
µν
ret,k
+
1
2
(F
µν
ret,l
− F
µν
adv,l
) −
k
1
2
(F
µν
ret,k
− F
µν
adv,k
). (3.55)
O último termo do lado direito desta equação é nulo, devido (3.52); o primeiro termo encontra-se
no apêndice A (equação (A.17)). Assim, a equação de movimento da fonte (3.54) adquire a forma
m
l
a
µ
l
=
2e
2
l
3c
3
(˙a
µ
l
+ a
λ
l
a
λl
v
µ
l
/c
2
) +
k=l
F
µ
ret,k
, (3.56)
que, em termos da interpretação do campo de acordo com o modelo de Dirac (seção 2.1), corresponde
à equação de movimento de uma partícula interagindo com o seu próprio campo de radiação (primeiro
termo) e com o campo externo retardado produzido pelas demais partículas.
3.3.2 A proposta de Gupta
Gupta [12] apresentou, em 1950, uma proposta interessante e simples para a eliminação das
divergências da eletrodinâmica clássica, que conduz à equação ALD.
Nessa teoria, a remoção da auto-energia das partículas carregadas de um sistema é feita através
da modificação da expressão usual da densidade de quadriforça total, com base na hipótese de que a
auto-energia não possui significado físico.
O tensor momento-energia referente à nova densidade de quadriforça possui singularidade quadrática
e a quadriforça sobre cada partícula, associada ao mesmo, é finita.
Gupta postulou a adição de um contra-termo na expressão para a densidade total de quadri-
força. Para um sistema com n partículas, sendo J
ν
≡
n
k=1
j
ν,k
, a quadricorrente total, e F
µν
≡
n
k=1
F
µν
ret,k
+ F
µν
ext
, o campo retardado total adicionado ao campo externo, a densidade de quadriforça
total ao invés de
K
µ
=
1
c
F
µν
J
ν
, (3.57)
passa a ser dada por
K
µ
S.G
=
1
c
(F
µν
J
ν
−
k
F
µν
+,k
j
ν,k
), (3.58)
onde F
µν
+,k
é o campo simétrico correspondente a partícula k, definido em (2.9).
A nova densidade de quadriforça total deve se relacionar ao tensor momento-energia T
µν
, difer-
ente do usual (equação (2.17)). Como, por definição, K
µ
S.G
= ∂
ν
T
µν
S.G
, Gupta fez a seguinte escolha
para o tensor momento-energia
36 O problema das divergências
T
µν
S.G
= T
µν
−
k
T
µν
+,k
, (3.59)
onde
T
µν
≡
1
4π
F
µα
F
ν
α
+
1
4
g
µν
F
αβ
F
αβ
(3.60)
e
T
µν
+,k
≡
1
4π
F
µα
+,k
F
ν
+,k;α
+
1
4
g
µν
F
+,k;αβ
F
αβ
+,k
. (3.61)
Embora T
µν
e
k
T
µν
+,k
divirjam sobre as linhas de universo de cada partícula, de acordo com r
−4
,
T
µν
S.G
diverge coforme r
−2
. Para verificar, observe que
F
µν
=
k
F
µν
+,k
+
k
F
µν
−,k
+ F
µν
ext
, (3.62)
onde F
µν
−,k
é definido por (2.8). O termo entre colchetes é finito em todo o espaço-tempo, implicando
que o tensor T
µν
, pelo fato de ser quadrático no campo, pode ser dividido em três partes
T
µν
=
n
k=1
T
µν
+,k
+ T
µν
mix
+ T
µν
fin
, (3.63)
onde T
µν
mix
diverge quadraticamente sobre as linhas de universo de cada partícula, por envolver o
produto entre o primeiro e o segundo termo do lado direito de (3.62); T
µν
fin
é finito, pois envolve
somente o campo entre colchetes de (3.62). Com isso, podemos escrever T
µν
S.G
na forma
T
µν
S.G
= T
µν
mix
+ T
µν
fin
, (3.64)
comprovando sua divergência quadrática e, portanto, fazendo com que qualquer integral espacial do
mesmo seja finita, o que é importante para uma representação covariante da energia e do momento do
campo, como comentado na seção 3.2.2.
Com o novo tensor momento-energia, a densidade de quadriforça da k-ésima partícula passa a ser
K
µ
S.G,k
= ∂
ν,k
T
µν
S.G
=
1
c
(F
µν
− F
µν
+,k
)j
k;ν
, (3.65)
ou, utilizando a definição de quadricorrente em termos da função delta, equação (2.4),
K
µ
S.G,k
=
e
k
c
(F
µν
− F
µν
+,k
)δ
(3)
v
k;ν
. (3.66)
Integrando K
µ
S.G,l
em todo o espaço, encontrarmos a quadriforça total agindo sob a l-ésima partícula,
3.3 Outras propostas 37
K
µ
S.G,l
d
3
r =
e
l
c
(F
µν
− F
µν
+,l
)v
l;ν
. (3.67)
O campo entre parênteses na equação acima pode ser dividido em três partes
F
µν
− F
µν
+,l
= F
µν
−,l
+
k=l
F
µν
ret
+ F
µν
ext
, (3.68)
o que conduz à equação ALD,
m
l
a
µ
l
=
2
3
e
2
c
3
(˙a
µ
l
+
1
c
2
a
λ
l
a
l;λ
v
µ
l
) + F
µ
ext
. (3.69)
38 O problema das divergências
Capítulo 4
Regularizações covariantes
Este capítulo é dedicado ao estudo de métodos de regularização, que são procedimentos formais
usados para transformar uma teoria com quantidades divergentes em outra com as mesmas quanti-
dades finitas, mantendo simetrias, como covariância, invariância de gauge, etc.
4.1 Regularização de Pauli-Villars
Como mostrado no apêndice C, as funções de Green D
ret,M
e D
adv,M
e as funções de comu-
tação D
(+)
, D
(−)
, D
(c)
e D exibem singularidades tipo delta δ(λ), onde λ = x
2
, e pólos de primeira
ordem 1/λ, que são independentes da massa M de cada campo. Exibem também singularidades
logarítmicas ln(λ) e descontinuidades tipo salto θ(λ) que são proporcionais a M
2
. Pauli e Villars
[30] propuseram um método para subtrair, de forma covariante, essas singularidades de funcionais
lineares dessas funções. O método consiste em supor a existência de campos fictícios com mas-
sas M
j
e, associando a estes uma função de Green ou de comutação D
M
j
do conjunto {D
M
i
} =
{D
(+)
, D
(−)
, D, D
ret,M
i
, D
adv,M
i
}, construir propagadores através de combinações das funções desse
conjunto. Isto é, dada uma função D
M
i
, para a subtração das singularidades, a mesma deve ser sub-
stituída por outra reg{D
M
i
}, definida pela combinação
reg{D
M
i
} ≡
j
c
j
D
M
j
. (4.1)
Os coeficientes c
j
devem estar submetidos às condições
j
c
j
= 0, (4.2)
39
40 Regularizações covariantes
para a remoção das singularidades independentes das massas dos campos, e
j
c
j
M
2
j
= 0, (4.3)
para eliminação das singularidades proporcionais ao quadrado das massas.
Para se obter expressões contínuas e com derivadas contínuas sobre o cone de luz até ordem n−1,
deve-se estender as condições acima,
j
c
j
M
4
j
= 0
.
.
.
j
c
j
M
2n
j
= 0. (4.4)
Faz parte da prescrição do método tomar o primeiro termo da série (4.1) como a própria função
D
M
i
, a ser regularizada, e c
i
= 1, assim como a condição
lim
M
j
→∞
j=i
c
j
D
M
j
= 0, (4.5)
de modo que, tomando o limite M
j
→ ∞ no final dos cálculos, a expressão não regularizada é
recuperada, isto é
lim
M
j
→∞
reg{D
M
i
} = D
M
i
. (4.6)
Essa propriedade é assegurada pela condição imposta pelo método às massas fictícias e aos coefi-
cientes c
j
lim
M
j
→∞
j=i
| c
j
|
M
2
j
= 0. (4.7)
Desejamos, como aplicação do método, regularizar o tensor de campo retardado F
µν
ret
, que é um
funcional da função de Green D
ret
. Encontra-se no apêndice C a expansão dessa função, que mostra
que sua única singularidade, em λ = 0, é a do tipo delta, além de uma descontinuidade tipo salto.
Para o cálculo de F
µν
ret
basta, como veremos, eliminar a singularidade tipo delta, de modo que a
condição (4.2) é suficiente. Isto implica que somente uma massa auxiliar M é necessária, além
daquela correspondente a D
ret
, que é nula. Com isso, temos que, da equação (4.1),
4.1 Regularização de Pauli-Villars 41
reg{D
ret
(x)} = c
0
D
ret
(x) + c
1
D
ret,M
(x). (4.8)
Da prescrição do método, c
0
= 1 e, de (4.2), segue que c
0
= −c
1
= 1. Considerando estes valores
para os coeficientes c
j
e utilizando a expressão da função de Green retardada
D
ret
(x) =
θ(x
0
)
2π
δ(λ) −
M
2
θ(λ)
J
1
(M
√
λ)
√
λ
, (4.9)
cujo desenvolvimento se encontra no apêndice C, temos que
reg{D
ret
(x)} =
M
4π
θ(x
0
)θ(λ)
J
1
(M
√
λ)
√
λ
. (4.10)
Como pode ser encontrado no apêndice C, a transformada de Fourier da função de Green G do
operador + M
2
é
G(k) = −
1
k
2
− M
2
+ i
, (4.11)
o que implica que a transformada de Fourier de reg{D
ret
(x)}, que denotaremos simplesmente por
reg{D
ret
(k)}, tem a forma
reg{D
ret
(k)} = −
1
k
2
+ i
+
1
k
2
− M
2
+ i
, (4.12)
que é o conhecido cutoff de Feynman, em que o primeiro termo é o propagador, no espaço recíproco,
do campo eletromagnético, não massivo, e o segundo termo é o propagador do campo fictício. Nessa
forma, é imediata a verificação que o propagador original é recuperado no limite M → ∞.
Aplicação: regularização do auto-campo do elétron pontual
Nesta seção vamos expor o cálculo da regularização do tensor de campo F
ret;µν
feito por
Coleman em [31], usando o método de Pauli-Villars.
Por economia na notação, tomaremos a velocidade da luz igual à unidade e recuperaremos os
fatores envolvendo c no final dos cálculos, por análise dimensional.
Substituindo a definição (2.3) na equação (2.1) e utilizando a condição de gauge de Lorentz, temos
a equação de campo
A
µ
= 4πj
µ
, = ∂
ν
∂
ν
, (4.13)
cuja solução em termos da função de Green retardada D
ret
(apêndice C) é
42 Regularizações covariantes
A
ret;µ
(x) = 4πe
τ
p
−∞
D
ret
(x − z(τ)) ˙z
µ
(τ)dτ. (4.14)
Este funcional de D
ret
diverge sobre a linha de universo z
µ
(τ), mas podemos regularizá-lo nessa
região do espaço-tempo substituindo D
ret
por reg{D
ret
} e, antes de aplicar o limite M → ∞, como
prescrito pelo método de regularização de Pauli-Villars, eliminar os termos em potências positivas de
M.
De acordo com o método, a equação (4.14) pode ser escrita na forma
A
µ
(x) = lim
M→∞
4πe
τ
p
−∞
reg{D
ret
(x − z(τ))}˙z
µ
(τ)dτ. (4.15)
Por economia na notação, também omitiremos o sinal de limite e o símbolo reg{ }. Utilizando a
definição (2.3) para o cálculo do tensor de campo e escolhendo o evento x sobre a linha de universo,
coincidindo com o evento w = z(τ
p
), podemos verificar que o auto-campo do elétron é
F
ret;µν
(z(τ
p
)) = 4πe
τ
p
−∞
∂
µ
D
ret
(w − z(τ))dz
ν
(τ) − (µ ↔ ν), (4.16)
onde o segundo termo, denotado por (µ ↔ ν), é, a menos da troca do índice µ por ν, igual ao
primeiro.
Podemos reparametrizar a integral acima em termos do intervalo entre os eventos w = z(τ
p
) e
z(τ ), r
2
= (w − z(τ))
2
, de modo que
∂
µ
=
(w − z)
µ
r
d
dr
(4.17)
e, portanto,
F
ret;µν
(z(τ
p
)) = 4πe
0
∞
(w − z)
µ
r
d
dr
D
ret
(r)
dz
ν
dr
dr − (µ ↔ ν). (4.18)
Integrando por partes a equação acima e eliminando termos simétricos nos índices µ e ν, temos
que
F
ret;µν
(z(τ
p
)) = 4πe
∞
0
drD
ret
(r)
d
dr
(w − z)
µ
r
dz
ν
dr
− (µ ↔ ν). (4.19)
Para obter o auto-campo em termos de uma série, vamos expandir a trajetória z
µ
(r) em torno do
evento w
µ
, ou seja, em torno de r = 0,
z
µ
(r) = z
µ
(0) + z
µ
(0)r +
1
2
z
µ
(0)r
2
+
1
6
z
µ
(0)r
3
+ O(r
4
), (4.20)
onde cada
representa uma derivada em relação a r.
4.1 Regularização de Pauli-Villars 43
Desta equação podemos calcular a expansão para dz
µ
/dr,
dz
µ
dr
(r) = z
µ
+ z
µ
r +
1
2
z
µ
r
2
+ O(r
3
), (4.21)
onde os argumentos das derivadas foram omitidos e o continuarão sendo nas próximas passagens.
Com as duas expansões, podemos calcular a derivada do termos entre cochetes que aparece em
(4.19),
d
dr
(w − z)
µ
r
dz
ν
dr
=
−z
µ
z
ν
−
1
2
z
µ
z
ν
+
−z
µ
z
ν
− z
µ
z
ν
−
1
3
z
µ
z
ν
r + O(r
2
), (4.22)
com a qual, eliminando o termo simétricos nos índices µ e ν, chegamos a
d
dr
(w − z)
µ
r
dz
ν
dr
− (µ ↔ ν) =
1
2
z
µ
z
ν
+
2
3
z
µ
z
ν
−
2
3
z
µ
z
ν
r + O(r
2
). (4.23)
Nesta última passagem, eliminamos os termos simétricos nos índices µ e ν e mantivemos a precisão
somente até primeira ordem em r, pois os demais termos produziriam, no resultado final, termos do
tipo O(1/M), que vão a zero no limite M → ∞.
Substituindo (4.23) e a expressão para reg{D
ret
}, equação (4.10), em (4.19), temos a expressão
F
ret;µν
(z(τ
p
)) = eM(
1
2
z
µ
z
ν
)
∞
0
r
−1
J
1
(Mr)dr +
eM(
2
3
z
µ
z
ν
−
2
3
z
µ
z
ν
)
∞
0
J
1
(Mr)dr + O(1/M), (4.24)
em que as integrais podem ser calculadas com ajuda da identidade
∞
0
r
n
J
1
(Mr)dr =
2
n
M
n+1
Γ(1 +
1
2
n)
Γ(1 −
1
2
n)
, (4.25)
levando a
F
ret;µν
(z(τ
p
)) = eM(
1
2
z
µ
z
ν
) + e(
2
3
z
µ
z
ν
−
2
3
z
µ
z
ν
) + O(1/M), (4.26)
que pode ainda ser reescrita em termos das derivadas em relação ao tempo próprio τ, através das
relações
44 Regularizações covariantes
z
µ
= −˙z
µ
,
z
µ
= ¨z
µ
,
z
µ
= −
...
z
µ
+ ˙z
µ
d
3
τ
dr
3
. (4.27)
Finalmente, utilizando as relações acima, concluímos que
F
ret;µν
(z(τ
p
)) = −
eM
2
(¨z
µ
˙z
ν
) +
2e
3
(
...
z
µ
˙z
ν
− ˙z
µ
...
z
ν
) + O(1/M). (4.28)
O primeiro termo dessa expressão é infinito no limite M → ∞ e, portanto, deve ser absolvido
nos parâmetros para os quais a teoria não prevê valores. Com isso, o campo regularizado na posição
da partícula, recuperado os fatores envolvendo c que dão a correta dimensão, é
F
ret;µν
(z(τ
p
)) =
2
3
e
2
c
4
(
...
z
µ
˙z
ν
− ˙z
µ
...
z
ν
)
=
2
3
e
c
4
˙a
[µ
v
ν]
, (4.29)
que é a o mesmo campo dado por (A.17).
4.2 Regularização em termos de seqüências de distribuições
Mostraremos agora a regularização da quadriforça F
ret;µ
, utilizando um método em que a
distribuição delta é representada como o limite de uma seqüência de distribuições regulares (apêndice
B). Esse cálculo foi realizado em [32]. Faremos c = 1 para simplificação da notação e recuperaremos
a unidade correta no final dos cálculos.
A função de Green retardada é dada por
D(x)
ret
=
θ(x
0
)
2π
δ(x
2
),
(4.30)
Podemos expressar essa distribuição como o limite com b → 0
+
da seqüência
δ
b
(t
2
) =
e
−t
2
/b
b
, (4.31)
4.2 Regularização em termos de seqüências de distribuições 45
que possui a propriedade
lim
b→0
+
∞
0
δ
b
(t)h(t)dt = h(0), (4.32)
onde h(t) é uma função integrável qualquer e o parâmetro b é conhecido como parâmetro de regula-
rização. Com a seqüência (4.31) podemos definir o funcional
F
b
[h] =
∞
0
e
−t
2
/b
b
h(t)dt, (4.33)
que, em termos da expansão em série de Taylor de h(t) em torno de t = 0, é
F
b
[h] =
∞
n=0
b
(n−1)/2
h
(n)
(0)
n!
∞
0
e
−t
2
t
n
dt
(4.34)
=
1
2
∞
n=0
b
(n−1)/2
h
(n)
(0)
n!
Γ(
n + 1
2
).
Esta série mostra que no limite b → 0
+
temos uma única divergência, do tipo 1/
√
b, a qual não
seria problema para o sub-espaço das funções h(t) que são nulas na origem. Uma forma de subtrair
esta divergência, sem restringir o funcional ao sub-espaço de funções h(t) tal que h(0) = 0, é através
da definição do novo funcional
regF
b
[h] ≡
∞
0
δ
b
(t
2
)(h(t) − h(0))dt. (4.35)
Para esta nova definição, o limite b → 0
+
, que chamaremos de regF [h], é
regF [h] ≡ lim
b→0
+
regF
b
[h] =
1
2
h
(0). (4.36)
Nesse mesmo espírito, dado o funcional envolvendo a seqüência que converge para a derivada da
distribuição delta δ
b
(t)
F
b
[h] ≡
∞
0
δ
b
(t
2
)h(t)dt, (4.37)
podemos redefini-lo, subtraindo suas divergências, através do funcional
regF
b
[h] ≡
∞
0
δ
b
(t
2
)(h(t) − h(0) −th
(0) − t
2
h
(0)/2!)dt
46 Regularizações covariantes
(4.38)
e, expandindo h(t), verificar que
regF
b
[h] = −
1
12
h
(0), (4.39)
Como veremos, a auto-força pode ser expressa em termos de um funcional semelhante ao (4.37).
Para verificar, partamos da expressão do apêndice B para A
µ
ret
(x)
A
µ
ret
(x) = 2e
τ
p
−∞
δ[(x −z(τ))
2
]v
µ
(τ)dτ, (4.40)
onde τ
p
é o valor de τ correspondente a x
0
.
Com esta expressão, podemos calcular o tensor de campo retardado pela definição (2.3)
F
ret;µν
(x) = 4e
τ
p
−∞
δ
{[x − z(τ)]
2
}[x − z(τ)]
[µ
v
ν]
(τ)dτ, (4.41)
onde [x − z(τ)]
[µ
v
ν]
(τ) ≡ [x − z(τ)]
µ
v
ν
(τ) − [x −z(τ)]
ν
v
µ
(τ).
E fácil verificar que a seqüência
δ
b
(t) = −
∂
∂b
e
−t/b
b
(4.42)
converge para a distribuição δ
no limite b → 0
+
. Ou seja
lim
b→0
+
∞
0
δ
b
(t)h(t)dt = −h
(0). (4.43)
Com (4.42), podemos reescrever (4.41) na forma
F
ret;µν
(x) = − lim
b→0
+
4e
∂
∂b
τ
p
−∞
e
−[x−z(τ)]
2
/b
b
[x − z(τ)]
[µ
v
ν]
(τ)dτ. (4.44)
Escolhendo x = z(τ
p
), ou seja, sobre a linha de universo da partícula, e utilizando a definição da
quadriforça (2.11), temos que a auto-força do elétron é
F
ret;µ
(z(τ
p
)) = − lim
b→0
+
4e
2
∂
∂b
τ
p
−∞
e
−[z(τ
p
)−z(τ)]
2
/b
b
[z(τ
p
) − z(τ)]
[µ
v
ν]
(τ)v
ν
(τ
p
)dτ. (4.45)
Realizando uma mudança de variável de integração τ → τ
p
− τ, temos
4.2 Regularização em termos de seqüências de distribuições 47
F
ret;µ
(z(τ
p
)) = − lim
b→0
+
4e
2
∂
∂b
∞
0
e
−[z(τ
p
)−z(τ
p
−τ)]
2
/b
b
[z(τ
p
) − z(τ
p
− τ)]
[µ
v
ν]
(τ
p
− τ)v
ν
(τ
p
)dτ.
(4.46)
Para se obter uma expressão em termos de potências do parâmetro de regularização, como em
(4.34), necessitamos expandir o integrando da equação acima em torno de τ = 0. A expansão do
expoente da função exponencial é
[z(τ
p
) − z(τ
p
− τ)]
2
= τ
2
−
1
12
a
λ
(τ
p
)a
λ
(τ
p
)τ
4
+
1
12
a
λ
(τ
p
)˙a
λ
(τ
p
)τ
5
−
1
45
˙a
λ
(τ
p
)˙a
λ
(τ
p
) +
1
40
a
λ
(τ
p
)¨a
λ
(τ
p
)
τ
6
+ O(τ
7
).
(4.47)
Podemos também calcular a expansão de [z(τ
p
) − z(τ
p
− τ)]
[µ
v
ν]
(τ
p
− τ):
[z(τ
p
) − z(τ
p
− τ)]
[µ
v
ν]
(τ
p
− τ) =
1
2
a
[µ
v
ν]
τ
2
−
1
3
˙a
[µ
v
ν]
τ
3
+
1
8
¨a
[µ
v
ν]
+
1
12
˙a
[µ
a
ν]
τ
4
−
1
24
...
a
[µ
v
ν]
+
1
24
¨a
[µ
a
ν]
τ
5
+ O(τ
6
), (4.48)
onde os argumentos (τ
p
) foram omitidos.
Definindo as funções
g(τ, s) ≡
1
12
a
λ
a
λ
s
4
−
1
12
a
λ
˙a
λ
s
5
+
1
45
˙a
λ
˙a
λ
+
1
40
a
λ
¨a
λ
s
6
+ O(s
7
)
(4.49)
e
f
µ
(τ, τ
p
) ≡ [z(τ
p
) − z(τ
p
− τ)]
[µ
v
ν]
(τ
p
)v
ν
(τ), (4.50)
cuja expansão é
f
µ
(τ, τ
p
) = −
1
2
a
µ
τ
2
+
1
3
(˙a
µ
+ a
λ
a
λ
v
µ
)τ
3
+ O(τ
4
), (4.51)
48 Regularizações covariantes
(4.46) adquire a forma
F
ret;µ
(z(τ
p
)) = −4e
2
lim
b→0
+
∂
∂b
∞
0
e
−τ
2
/b
b
e
g/b
f
µ
dτ. (4.52)
É fácil verificar que as derivadas da função e
g/b
seguem o padrão
d
m
dτ
m
e
g(0,τ
p
)/b
=
1, se m = 0,
0, se 1 < m < 3,
g
(m)
(0, τ
p
)/b, se m > 3.
Com essa equação, podemos expandir a função e
g/b
em torno de τ = τ
p
e reescrever (4.52) na
forma
F
ret;µ
(z(τ
p
)) = −4e
2
lim
b→0
+
∂
∂b
∞
0
e
−τ
2
/b
b
f
µ
(τ, τ
p
)dτ +
∞
m=4
g
(m)
(0, τ
p
)
m!
∂
∂b
1
b
∞
0
e
−τ
2
/b
b
f
µ
(τ, τ
p
)dτ
,
(4.53)
ou, em termos das definições (4.33) e (4.37) de F
b
e F
b
, respectivamente,
F
ret;µ
(z(τ
p
)) = 4e
2
lim
b→0
+
F
b
[f
µ
] +
∞
m=4
g
(m)
(0, τ
p
)
m!
b
−2
F
b
[τ
m
f
µ
] + F
b
[τ
m
f
µ
]
. (4.54)
Poderíamos regularizar essa expressão simplemente substituindo F
b
por regF
b
e F
b
por regF
b
;
no entanto, o funcional b
−2
F
b
, devido ao fator b
−2
, necessita de uma definição particular que subtraia
todas suas divergências. Definamos, com esse propósito, o funcional
regb
−2
F
b
[h] ≡
∞
0
δ
b
(t
2
)(h(t)−h(0) −th
(0)−t
2
h
(0)/2!−t
3
h
(0)/3!−t
4
h
(iv)
(0)/4!)dt. (4.55)
Com este funcional, temos que a auto-força regularizada regF
ret;µ
(z(τ
p
)) é
regF
ret;µ
(z(τ
p
)) = 4e
2
lim
b→0
+
regF
b
[f
µ
] +
∞
m=4
g
(m)
(0, τ
p
)
m!
regb
−2
F
b
[τ
m
f
µ
] + regF
b
[τ
m
f
µ
]
.
(4.56)
No limite b → 0
+
, todos os termos do somatório vão a zero, restando simplesmente
4.2 Regularização em termos de seqüências de distribuições 49
regF
ret;µ
(z(τ
p
)) = 4e
2
lim
b→0
+
refF
b
[f
µ
], (4.57)
=
e
2
3
f
µ
(0, τ
p
), (4.58)
de acordo com (4.39).
Utilizando a expressão para f
µ
(0, τ
p
) que se encontra no coeficiente do termo de terceira ordem
na expansão (4.51), temos que
regF
ret;µ
(z(τ
p
)) =
2e
2
3
(˙a
µ
+ a
λ
a
λ
v
µ
). (4.59)
Recuperando os fatores envolvendo a velocidade da luz, chegamos à expressão para a auto-força
regularizada
regF
ret;µ
(z(τ
p
)) =
2e
2
3c
3
(˙a
µ
+ a
λ
a
λ
v
µ
/c
2
), (4.60)
o qual, como esperado, corresponde ao quadrivetor de Abraham.
50 Regularizações covariantes
Capítulo 5
Conclusão e perspectivas futuras
Neste trabalho, mostramos uma visão geral do desenvolvimento da teoria eletromagnética mi-
croscópica, baseada em modelos clássicos para o elétron pontual, procurando enfatizar tanto aspectos
conceituais quanto matemáticos, ao lidarmos com quantidades divergentes.
No capítulo 2, expusemos o modelo de Dirac, onde, como foi visto, a divergência no coeficiente da
aceleração foi eliminada através do procedimento que ficou conhecido como regularização clássica
da massa. Este procedimento não é geral e poderia ter comprometido a estrutura da teoria, violando
alguma simetria, como, por exemplo, a invariância de gauge. À época, o único procedimento adotado
para lidar com quantidades divergentes constituia-se no esquema da chamada física de subtrações
[38], utilizada na teoria quântica relativística.
Vimos, ainda no capítulo 2, que nem todas as soluções da ALD são aceitáveis, o que levou Fritz
Rohrlich, em 2008, a impor condições físicas sobre ALD, modificando-a numa equação de segunda
ordem, livre de soluções não físicas. A análise de Rohrlich pressupõe que a aceleração da carga se
anula na região assintótica; o papel das condições assintóticas para o campo eletromagnético, como
já houvera salientado Coleman [31], é fundamental, tanto na teoria quântica do espalhamento quanto
na própria eletrodinâmica clássica, problema que surge já na mecânica newtoniana, ao considerar-
mos condições iniciais assintóticas na determinação das soluções das equações de movimento para a
partícula [40].
Analisamos, no capítulo 3, o problema das divergências em algumas formulações da eletrodinâ-
mica clássica, que dão origem à equação ALD. Vimos exemplos de como as divergências podem
ser evitadas, alterando o corpo conceitual da teoria eletromagnética, como fez Mario Schönberg ao
postular que a auto-interação e a interação entre cargas se dá através de campos distintos, ou através
de hipóteses físicas, como fizeram Feynman e Wheeler, supondo que o universo possui um número
suficientemente grande de partículas para absorver toda a radiação emitida.
No capítulo 4, retomamos a eletrodinâmica de Maxwell-Lorentz e rederivamos a equação ALD,
51
52 Conclusão e perspectivas futuras
modificando os propagadores do campo eletromagnético, de modo a tornar a teoria finita, recuperando
a teoria original no limite apropriado.
Ao longo do trabalho utilizamos algumas propriedades intrínsecas à teoria de distribuições, o que
é indispensável, por exemplo, para se representar a densidade de carga e de corrente associadas a um
objeto idealizado como uma carga pontual. Pensamos que uma formulação adequada da eletrodinâ-
mica de partículas pontuais necessita de um formalismo com base nestes objetos.
Como pespectiva futura, pretendemos investigar a viabilidade de se formular a eletrodinâmica
clássica de Maxwell-Lorentz como uma teoria construída diretamente no espaço de Schwartz [39],
assim como feito para a eletrodinâmica quântica, na teoria de Epstein e Glaser [41]. Pretendemos
também estudar futuramente modelos clássicos de partículas com spin, como os de Frenkel [7] e de
Bargmann, Michel e Telegdi [42], além de prosseguir no estudo de modelos sem a inclusão do spin
do elétron, como o de Bhabha [8].
Apêndice A
Expansão do tensor de campo
Para o cálculo do tensor de campo retardado e avançado F
µν
ret
adv
(x) nas vizinhanças da linha de
universo z
µ
(τ) do elétron, partiremos das expressões dos potenciais de Liénard-Wiechert
A
ret
adv
(x) =
ev
c | r − z | (1 ∓v
/c)
, φ
ret
adv
(x) =
e
| r − z | (1 ∓ v
/c)
, (A.1)
onde v
= v.(r − z)/ | r − z | e os índices ret e adv indicam que a expressões do lado direito das
respectivas equações devem ser tomadas para os valores de τ correspondentes às intersecções da linha
de universo com o cone do passado do evento x
µ
(intersecção que passaremos a chamar de ponto re-
tardado) e com o cone do futuro (intersecção que chamaremos de ponto avançado), respectivamente.
O desenvolvimento das expressões em (A.1) pode ser encontrado em [24] e [33], assim como o
reagrupamento de ambos potênciais na forma das compomentes do quadripotencial A
µ
= (φ, A):
A
µ
ret
adv
=
ev
µ
cρ
, (A.2)
onde
ρ
ret
adv
= ∓v
µ
R
µ
ret
adv
/c, R
µ
ret
adv
= x
µ
− z
µ
. (A.3)
Para um dado evento x
µ
, de avaliação do campo, existe sempre um outro evento z
µ
(τ
) sobre a
linha de universo da partícula simultâneo ao primeiro no seu referencial próprio no instânte τ
(Figura
2.2). Logo, τ
fica definido pela equação
v
µ
(τ
)(x
µ
− z
µ
(τ
)) = 0, (A.4)
o que implica em escrever
53
54 Expansão do tensor de campo
x
µ
− z
µ
(τ
) = ρu
µ
(τ
), (A.5)
onde u
µ
é um quadrivetor perpendicular (no sentido da métrica de Minkowski) à quadrivelocidade
em cada instante e com a propriedade u
µ
u
µ
= −1.
Diferenciando, podemos mostrar as relações
∂
µ
ρ
ret
adv
= u
µ
− a
u
R
µ
ret
adv
/c
2
, a
u
= a
ν
u
ν
, (A.6)
∂
µ
A
ν
(x) = −
ev
ν
cρ
2
∂
µ
ρ +
ea
ν
cρ
∂
µ
τ. (A.7)
Com essas expressões e a definição do tensor de campo (2.3) podemos expressar este último como
F
µν
ret
adv
(x) =
e
cρ
2
(v
µ
u
ν
− v
ν
u
µ
) +
e
c
2
ρ
(a
µ
v
ν
− a
ν
v
µ
)/c + u
µ
v
ν
c
a
u
∓ a
ν
−
v
µ
c
a
u
∓ a
µ
ret
adv
.
(A.8)
A expansão do tensor de campo será feita de modo a manter somente termos que não vão a zero
no limite ρ → 0. Com esse objetivo, basta expandir z
µ
(τ) até terceira ordem em torno de τ
p
, o valor
de τ correspondente a x
0
,
z
µ
(∓τ) = z
µ
∓ τv
µ
+
τ
2
2
a
µ
∓
τ
3
6
˙a
µ
+ . . . , (A.9)
onde o argumento ∓τ é uma notação em que o sinal negativo refere-se ao ponto retardado e o sinal
positivo ao avançado. Com essa notação , podemos reescrever a equação acima em termos de uma
derivada, para facilitar os calculos:
F
µν
ret
adv
(x) =
±
e
ρc
2
d
dτ
v
µ
R
ν
− v
ν
R
µ
ρ
ret
adv
. (A.10)
Faremos c = 1 a partir de agora e recuperaremos a unidade correta no final do cálculo.
De (A.9) seque que a expansão para a quadrivelocidade é
v
µ
(∓τ) = v
µ
∓ τa
µ
+
τ
2
2
˙a
µ
+ . . . . (A.11)
Com esta expansão, (A.9) e a definição (A.3), calcula-se a expansão correspondente a ρ(∓τ ) = ρ
ret
adv
:
ρ(∓τ) = τ(1 − ρa
u
) ∓
τ
2
2
˙a
u
−
τ
3
6
a
2
+ . . . . (A.12)
55
Com a expansão (A.9), a equação (A.5) e o fato de R
µ
(∓τ)R
µ
(∓τ) ser nulo, pois R
µ
(∓τ) é
tipo-luz, encontramos a relação entre ρ(τ
p
) e τ
ρ
2
= τ
2
1 − ρa
u
±
ρτ
3
˙a
u
−
τ
2
12
a
2
. (A.13)
A expansão da quantidade 1/ρ(∓τ ), que aparece em (A.10), pode ser obtida invertendo e ex-
pandindo (A.12):
1
ρ(∓τ)
=
1
τ
1
1 − ρa
u
1 ∓
1
2
ρτ ˙a
u
+
1
6
τ
2
a
2
. (A.14)
Substituindo (A.9), (A.11) e (A.14) na equação (A.10) e realizando a derivação em relação a τ ,
temos
F
µν
ret
adv
(x) =
−e
√
1 − ρa
u
−
1
ρ
2
ρ
τ
3
(1 − ρa
u
)
−3/2
v
[µ
u
ν]
+
1
2
1
ρ
ρ
τ
(1 − ρa
u
)
−3/2
v
[µ
a
ν]
±
1
2
ρ
τ
2
˙a
u
(1 − ρa
u
)
−3/2
v
[µ
u
ν]
±
2
3
(1 − ρa
u
)
−3/2
v
[µ
˙a
ν]
+
1
2
ρ
τ
(1 − ρa
u
)
−3/2
˙a
[µ
u
ν]
,
(A.15)
com a notação b
[µ
d
ν]
= b
µ
d
ν
− b
ν
d
µ
.
Eliminando na equação acima a dependência com relação a τ através de (A.13), chegamos a
F
µν
ret
adv
(x) =
e
√
1 − ρa
u
1
ρ
2
v
[µ
u
ν]
−
1
2ρ
v
[µ
a
ν]
−
a
u
2
v
[µ
a
ν]
−
a
2
8
v
[µ
u
ν]
−
1
2
˙a
[µ
u
ν]
±
2
3
˙a
[µ
v
ν]
. (A.16)
Com esta expansão podemos calcular o campo F
µν
−
, definido em (2.8), sobre a linha de universo da
partícula
F
µν
−
(z(τ
p
)) =
2e
3
˙a
[µ
v
ν]
. (A.17)
Recuperando os fatores envolvendo a velocidade da luz, esse campo pode ser reescrito como
F
µν
−
(z(τ
p
)) =
2e
3c
3
˙a
[µ
v
ν]
(A.18)
e com este podemos calcular o quadrivetor de Abraham Γ
µ
:
56 Expansão do tensor de campo
Γ
µ
≡
e
c
F
µν
−
(z(τ
p
))v
ν
(τ
p
) =
2e
2
3c
3
(˙a
µ
+ a
λ
a
λ
v
µ
/c
2
). (A.19)
Apêndice B
Teoria de distribuições
Uma distribuição é um funcional linear contínuo T, que atribui um valor complexo T, φ a
cada função teste φ de um espaço D, de funções infinitamente diferenciáveis.
O funcional T ser contínuo significa que, para toda seqüência de funções teste {φ
n
(t)}
∞
n=1
que
converge para φ(t) ∈ D, a seqüência {T, φ
n
}
∞
n=1
converge para T, φ, [35],[34].
B.1 O espaço de funções teste D e o suporte de uma distribuição
Uma função φ pertence ao espaço D se, e somente se, esta for infinitamente diferenciável e nula
fora de algum intervalo finito. Um exemplo de função que pertence a D é
ξ(t) =
0, se |t| ≥ 0
exp
1
t
2
−1
, se |t| < 1
(B.1)
O menor intervalo fora do qual uma função é nula é o seu suporte. No caso da função acima, seu
suporte é o conjunto |t| < 1; no entanto, não necessariamente todos os elementos de D devem possuir
o mesmo suporte.
Também se define o suporte de uma distribuição. Uma distribuição T é dita nula dentro de um
conjunto Ω ⊂ R
n
se T, φ = 0, para toda φ ∈ D que tem seu suporte em Ω, sendo o suporte de T
definido como o complemento desse conjunto.
B.2 Distribuições regulares
Podemos gerar distribuições a partir de uma função f(t) localmente integrável. Definimos a
distribuição correspondente a f(t), que denotaremos com a mesma letra f, mas sem seu argumento,
pela integral convergente
57
58 Teoria de distribuições
f, φ ≡
f(t)φ(t)dt. (B.2)
Devido às propriedades da integral, f é claramente um funcional linear; quanto à continuidade,
seja {φ
n
(t)}
∞
n=1
uma seqüência que converge em D para φ(t). Com o uso da desigualdade triangular,
temos que
|f, φ − f, φ
n
| =
f(t)[φ(t) − φ
n
(t)]dt
≤
|f(t)||φ(t) − φ
n
(t)|dt. (B.3)
Da definição de limite de uma seqüência de Cauchy, para todo ε > 0, existe n
0
tal que, para todo
n > n
0
, vale |φ(t) − φ
n
(t)| < ε. Utilizando essa desigualdade na inequação acima, concluimos que
|f, φ − f, φ
n
| < ε
|f(t)|dt = ε
. (B.4)
Como ε
= ε
|f(t)|dt é arbitrário, lim
n→∞
{f, φ
n
} = f, φ, confirmando que f é um funcional
linear contínuo e, portanto, uma distribuição.
Distribuições como f, geradas a partir de funções localmente integráveis, são chamadas de dis-
tribuições regulares. No entanto, nem todas as distribuições podem ser geradas dessa maneira: são
as chamadas distribuições não-regulares, cujo exemplo é a distribuição conhecida em Física como
função delta de Dirac, definida por
δ, φ ≡ φ(0) (B.5)
ou
δ(t
0
), φ ≡ φ(t
0
). (B.6)
Na notação δ(t
0
), (t
0
) não indica um argumento, indica somente que o funcional leva a função φ no
seu valor φ(t
0
).
Caso a distribuição delta pudesse ser gerada a partir de uma função integrável, teríamos para a
função ξ(t/a) (equação (B.1))
e
−1
=
a
−a
δ(t)ξ(t/a)dt. (B.7)
No entanto, o teorema geral da integral de Lebesgue afirma que o lado direito dessa equação tem
limite zero para a → 0, o que contradiz o lado esquerdo. Sendo assim, a expressão comumente
encontrada nos textos de Física
φ(0) =
δ(t)φ(t)dt, (B.8)
B.3 Operações e propriedades 59
pressupondo existir uma função δ(t) com tal propriedade, não pode ser entendida como uma inte-
gração ordinária, embora operacionalmente isto seja feito, levando a resultados com significado.
B.3 Operações e propriedades
Derivada distribucional
Assim como no caso de funções, podemos definir a operação de diferenciação para distribuições.
A derivada distribucional T
de uma distribuição unidimensional T é também uma distribuição,
definida por
T
, φ ≡ −T, φ
. (B.9)
De forma mais geral, para uma distribuição de dimensão qualquer,
D
a
T, φ ≡ (−1)
|a|
T, D
a
φ, (B.10)
onde
D
a
=
i
(∂/∂x
i
)
a
i
, |a| =
i
a
i
. (B.11)
A função de Heaviside θ(t) é definida por
θ(t) =
0, se t ≤ 0
1, se t > 0.
(B.12)
Como exemplo de derivadas de distribuições, calculemos a derivada da distribuição regular θ, gerada
a partir da função de Heaviside, definida por
θ, φ ≡
θ(t)φ(t)dt. (B.13)
Da definição de derivada distribucional,
θ
(t)φ(t)dt = −
θ(t)φ
(t)dt, (B.14)
o que, utilizando a definição () no lado direito, leva a
θ
, φ = φ(0), (B.15)
ou seja, no sentido distribucional,
60 Teoria de distribuições
θ
= δ. (B.16)
Essa relação, muito utilizada operacionalmente em Física, fica justificada pela definição de derivada
distribucional.
Convolução entre distribuições
Já para definir o produto entre distribuições, encontram-se dificuldades. Pois, por exemplo, se
uma função f(t) é integrável e, portanto, existe uma distribuição regular f associada à mesma, nada
garante que a função g(t) = f
2
(t) também seja integrável, permitindo associar a g(t) uma distribuição
regular g. O que se define para distribuições, regulares ou não, é o produto entre uma função difer-
enciável α(t) e uma distribuição T. Essa entidade é uma nova distribuição, que denotamos por αT,
definida por
αT, φ ≡ T, αφ. (B.17)
Uma outra operação muito importante em teoria de distribuições é a chamada convolução. Dadas
duas distribuições S e T, a convolução entre elas, denotada por S ∗T, é uma terceira distribuição cuja
definição é
S ∗ T, φ ≡ S
ξ
, T
η
, φ(ξ + η), ξ + η ∈ suporte de φ. (B.18)
Dentre as propriedades da convolução, destacamos:
S ∗ T = T ∗ S, (i)
δ
4
(y) ∗ T(x) = T(x − y), (ii)
(DS) ∗ T = S ∗(DT). (iii)
. (B.19)
Podemos utilizar essas propriedades para resolver a equação de campo
A
µ
= (4π/c)j
µ
(B.20)
em termos da solução da equação de Green
G = δ. (B.21)
B.3 Operações e propriedades 61
Utilizando a propriedade (iii) da convolução, temos
(G(x)) ∗ A
µ
(x) = G(x) ∗ (A
µ
(x))
que, de acordo com a equação de Green, fornece
= δ(x) ∗A
µ
(x).
e com a propriedade (ii)
= A
µ
(x).
Isto é
A
µ
(x) =
4π
c
G(x) ∗ j
µ
(x). (B.22)
Uma das soluções da equação de Green (apêndice C) é
G(x) =
1
2π
δ(x
2
),
(B.23)
de modo que, usando a definição da quadricorrente em (2.4), temos
A
µ
(x) = 2e
δ(x
2
) ∗ δ
4
(x − z(τ))v
µ
(τ)dτ.
(B.24)
A partir da propriedade (i) e (ii), concluímos que
A
µ
(x) = 2e
δ[(x −z(τ))
2
]v
µ
(τ)dτ. (B.25)
Restringindo a integração aos intervalos [−∞, τ
p
] e [τ
p
, ∞], onde τ
p
é o valor de τ correspondente
a x
0
, temos, respectivamente,
62 Teoria de distribuições
A
µ
ret
(x) = 2e
τ
p
−∞
δ[(x −z(τ))
2
]v
µ
(τ)dτ (B.26)
e
A
µ
adv
(x) = 2e
∞
τ
p
δ[(x − z(τ))
2
]v
µ
(τ)dτ. (B.27)
B.4 Seqüências de distribuições
Dizemos que a seqüência de distribuições {T
n
}
∞
n=0
converge para a distribuição T se para toda
função φ(t) ∈ D a seqüência de números {T
n
, φ}
∞
n=0
converge, no sentido de convergencia de
seqüências de números complexos, para T, φ.
Como exemplo, avaliemos qual é o limite b → ∞ da seqüência de distribuições regulares
S
b
(t) =
sin(bt)
πt
. (B.28)
Para isso, é necessário calcular o limite
lim
b→∞
S
b
, φ = lim
b→∞
∞
−∞
sin(bt)
πt
φ(t)dt. (B.29)
Expandindo φ em torno de t = 0, temos
lim
b→∞
S
b
, φ} = lim
b→∞
∞
m=0
φ
(m)
(0)
b
m
π
∞
−∞
sinx
x
1−m
dx =
φ
(0)
(0)
b
0
π
∞
−∞
sinx
x
dx = φ(0), (B.30)
que mostra que a seqüência de distribuições regulares S
b
converge para a distribuição não-regular
delta.
Albuns outros exemplos de seqüência distribuições que convergem no limite b → ∞ para a
distribuição delta são:
B.4 Seqüências de distribuições 63
i)
b
√
π
e
−b
2
t
2
,
ii)
b
2
e
−b|t|
,
iii)
b
π(1 + b
2
t
2
)
. (B.31)
64 Teoria de distribuições
Apêndice C
Funções de Green
A transformada de Fourier FT de uma distribuição T é definida como uma distribuição pela
equação
FT, φ ≡ T, Fφ, (C.1)
onde Fφ é a transformada de Fourier da função φ ∈ D.
Esta expressão não possui sentido para T qualquer, pois φ pertencer a D não garante que Fφ
também pertença. Uma categoria de distribuições a que a definição acima pode ser aplicada são as
chamadas distribuições temperadas, que são distribuições que atuam no espaço G, de funções infini-
tamente diferenciáveis, que decaem assintoticamente, junto com suas derivadas, mais rapidamente
que 1/r (vide [36]).
A distribuição delta de Dirac é uma distribuição temperada. De acordo com a definição (C.1)
Fδ, φ = δ, Fφ. (C.2)
Sendo a transformada de Fourier de φ dada por
Fφ(k) =
e
−ik.x
φ(x)d
4
x, (C.3)
temos que
Fδ
(4)
, φ = δ
(4)
(k),
e
−ik.x
φ(x)d
4
x
65
66 Funções de Green
=
φ(x)d
4
x, (C.4)
ou seja, simbolicamente
Fδ = 1. (C.5)
Também simbolicamente, a transformda de Fourier da constante 1/(2π)
4
é dada por
F =
1
(2π)
4
= δ
4
. (C.6)
Vamos utilizar (C.5) e (C.6) para resolver a equação de Green
( + M
2
)D(x) = δ
(4)
(x). (C.7)
Pode-se mostrar que
F[( + M
2
)D](k) = (−k
2
+ M
2
)FD(k), (C.8)
de modo que, utilizando a equação (C.5), temos
(−k
2
+ M
2
)FD(k) = 1. (C.9)
Uma solução partíular desta equação é dada pelo valor principal
FD(k) = V P
1
−k
2
+ M
2
≡
1
(2π)
4
e
−ik·r
d
3
kV P
∞
−∞
e
ik
0
x
0
k
2
+ M
2
− k
2
0
dk
0
. (C.10)
Para x
0
> 0, a integral em k
0
pode ser calculada pelo método de residuos, contornando os pólos
em k
0
= ±
√
k
2
+ M
2
pela parte inferior do plano complexo, e a integral no ângulo sólido dΩ
k
pode
ser facilmente resolvida, escolhendo r na direção ˆz, resultando em
D
ret
(x) = −
1
8π
2
r
∞
0
e
i(
√
κ
2
+M
2
x
0
+κr)
κdκ
√
κ
2
+ M
2
+
∞
0
e
−i(
√
κ
2
+M
2
x
0
+κr)
κdκ
√
κ
2
+ M
2
67
−
∞
0
e
−i(
√
κ
2
+M
2
x
0
−κr)
κdκ
√
κ
2
+ M
2
−
∞
0
e
i(
√
κ
2
+M
2
x
0
−κr)
κdκ
√
κ
2
+ M
2
, (C.11)
onde κ =| k |.
As integrais entre chaves podem ser parametrizadas por
√
κ
2
+ M
2
= M cosh ϕ,
κ = M sinh ϕ,
x
0
=
√
λ cosh ϕ
0
,
r =
√
λ sinh ϕ
0
,
(C.12)
onde λ = x
2
, de modo que, por exemplo, a primeira dessas integrais adquire a forma
−i
∂
∂r
∞
0
e
iM
√
λ cosh(ϕ+ϕ
0
)
dϕ.
(C.13)
Utilizando a representação integral para a função de Hankel de primeira espécie
H
(1)
0
(s) ≡ J
0
(s) + iN
0
(s) =
2
πi
∞
0
e
is cosh t
dt, s > 0, (C.14)
podemos mostrar que a função de Green retardada D
ret,M
(x), que é nula para x
0
< 0 e λ < 0, para
x
0
> 0 e λ > 0, é
−
M
4π
J
1
(M
√
λ)
√
λ
. (C.15)
A expressão é diferente para λ = 0 pois a representação em (C.14) só é valida para s > 0. Para
λ = 0 a função de green retardada difere de (C.15) pelo valor correspondente ao caso M = 0 de
(C.11), que pode facilmente ser mostrado ser
68 Funções de Green
1
2π
δ(λ), (C.16)
de modo que
D
ret,M
(x) =
θ(x
0
)
2π
δ(λ) −θ(λ)θ(x
0
)
M
4π
J
1
(M
√
λ)
√
λ
. (C.17)
Nas proximidades da linha de universo
D
ret,M
(x) =
θ(x
0
)
2π
δ(λ) −
M
2
8π
θ(λ)θ(x
0
) + O(λ). (C.18)
Com um procedimento semelhante, para o caso x
0
< 0, obtemos a função de Green avançada,
que é nula para x
0
> 0,
D
adv,M
(x) =
θ(−x
0
)
2π
δ(λ) −θ(λ)θ(−x
0
)
M
4π
J
1
(M
√
λ)
√
λ
. (C.19)
Com estas funções podemos cálcular a função de Pauli-Jordan D ≡ D
ret,M
− D
adv,M
:
D(x) ≡ D
ret,M
(x) − D
adv,M
(x) =
(x
0
)
2π
δ(λ) −θ(λ)(x
0
)
M
4π
J
1
(M
√
λ)
√
λ
, (C.20)
cuja expansão nas proximidades da linha de universo é
D(x) =
(x
0
)
2π
δ(λ) −
M
2
8π
θ(λ)(x
0
) + O(λ). (C.21)
Outras funções inportantes são as chamadas funções de comutação (nome herdado dos comuta-
dores dos operadores do campo eletromagnético quantizado).
D
(+)
(x − y) ≡ i[ϕ
−
(x), ϕ
+
(y)] =
1
4π
δ(λ) −
iM
8π
√
λ
θ(λ)
N
1
(M
√
λ) − iε(x
o
)J
1
(M
√
λ)
+θ(−λ)
Mi
4π
2
√
−λ
K
1
(M
√
−λ), (C.22)
69
e
D
(−)
(x − y) ≡ i[ϕ
+
(x), ϕ
−
(y)] =
1
4π
δ(λ) +
iM
8π
√
λ
θ(λ)
N
1
(M
√
λ) + iε(x
o
)J
1
(M
√
λ)
−θ(−λ)
Mi
4π
2
√
−λ
K
1
(M
√
−λ), (C.23)
onde ϕ
+
e ϕ
−
são os operadores associados às partes de freqüência positiva e negativa, respectiva-
mente, do campo de Klein-Gordon livre de massa M.
As expansões destas funções nas proximidades da linha de universo são
D
(±)
(x − y) =
(x
0
)
4π
δ(λ) ±
i
4π
2
λ
∓
iM
2
8π
2
ln
M
√
λ
2
−
M
2
16π
(x
0
)θ(λ) + O(
√
λ ln | λ |). (C.24)
Para maiores detalhes sobre as funções de comutação vide refêrencia [37].
70 Funções de Green
Apêndice D
Expansão do tensor momento-energia
Substituindo (2.22) em (2.17) obtemos
4πT
µν
u
ν
= F
µα
+
F
+,αν
u
ν
+ F
µα
+
F
αν
u
ν
+ F
µα
F
+,αν
u
ν
+ F
µα
F
αν
u
ν
+
+
1
4
F
αβ
+
F
+,αβ
u
µ
+ F
αβ
+
F
αβ
u
µ
+ F
αβ
F
+,αβ
u
µ
+ F
αβ
F
αβ
u
µ
. (D.1)
A expansão de cada um destes termos nas visinhanças da linha de universo da carga é obtida utilizando
(A.16):
F
µα
+
F
+,αν
u
ν
=
e
2
1 − ρa
u
1
ρ
4
+
a
u
2ρ
3
+
a
2
u
2ρ
2
+
a
2
4ρ
2
u
µ
−
1
2ρ
3
+
3a
u
4ρ
2
a
µ
, (D.2)
F
µα
F
+,αν
u
ν
= −
e
1 − ρa
u
1
ρ
2
F
µα
v
α
, (D.3)
1
4
F
αβ
+
F
+,αβ
u
µ
= −
e
2
1 − ρa
u
1
2ρ
4
+
a
u
2ρ
3
+
a
2
u
2ρ
2
+
a
2
4ρ
2
u
µ
. (D.4)
Os demais termos não serão calculados, pois todos os demais possuem ordem maior que 1/(1 −
ρa
u
)ρ
2
, a que necessitamos. Nesta ordem de aproximação, a contração do tensor momento-energia
com o vetor u
µ
é
71
72 Expansão do tensor momento-energia
T
µν
u
ν
=
e
2
/4π
1 − ρa
u
1
2ρ
4
+
a
2
2ρ
2
u
µ
−
1
2ρ
3
+
3a
u
4ρ
2
a
µ
−
e/4π
1 − ρa
u
1
ρ
2
F
µα
v
α
(D.5)
Acrescentando a esta expressão os fatores envolvendo a velocidade da luz, temos
T
µν
u
ν
=
e
2
/4π
1 − ρa
u
/c
2
1
2ρ
4
+
a
2
2c
4
ρ
2
u
µ
−
1
2c
2
ρ
3
+
3a
u
4c
4
ρ
2
a
µ
−
e/4π
1 − ρa
u
/c
2
1
cρ
2
F
µα
v
α
.
(D.6)
Referências Bibliográficas
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[41] G. Scharf, Finite Quantum Electrodynamics: the Causal Approach, 2nd ed. (Springer, Berlin,
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76 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Referências Bibliográficas
77
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