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IFT
Instituto de F´ısica Te´orica
Universidade Estadual Paulista
DISSERTA¸C
˜
AO DE MESTRADO IFT–D.004/10
RELATIVIDADE RESTRITA DE DE SITTER:
UMA ABORDAGEM CINEM
´
ATICA
Lucas Lolli Savi
Orientador
Jos´e Geraldo Pereira
Mar¸co de 2010
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Livros Grátis
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Agradecimentos
Agrade¸co ao meu orientador, Prof. Jos´e Geraldo, pela infind´avel paciˆencia e imen-
sur´avel apoio, cruciais para a concretiza¸c˜ao deste trabalho.
Aos meus pais pelo suporte sempre fornecido.
Aos meus familiares e amigos pelo incentivo no trabalho e na vida.
Aos demais professores e colegas de estudo e de profiss˜ao com os quais aprendi e nos
quais me inspirei.
`
A CAPES, por quem este trabalho foi financiado.
i
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Resumo
O espa¸co de de Sitter foi estudado pela primeira vez como a solu¸c˜ao de v´acuo da
equa¸c˜ao de Einstein com constante cosmol´ogica. Tal vis˜ao dinˆamica acerca deste espa¸co
predomina entre os f´ısicos ainda nos dias atuais. No entanto, do ponto de vista geom´e-
trico, o espa¸co de de Sitter, assim como Minkowski, ´e um espa¸co quociente. Isto significa
que o espa¸co de de Sitter pode ser constru´ıdo independentemente de qualquer teoria
gravitacional, sendo portanto mais fundamental do que a equa¸c˜ao de Einstein. Con-
sequentemente, torna-se poss´ıvel construir uma relatividade especial baseada no grupo
de de Sitter, que ´e o grupo cinem´atico do espa¸co de de Sitter. Tal teoria vem sendo
proposta como generaliza¸c˜ao da relatividade restrita usual com o nome de relatividade
de de Sitter. Nesta, o termo cosmol´ogico ´e interpretado como uma entidade cinem´atica,
constituindo-se num segundo parˆametro invariante, al´em da velocidade da luz. Pode-se
entender tal modifica¸c˜ao da relatividade einsteniana como uma solu¸c˜ao cinem´atica para
o problema da “energia escura”. No presente texto, pretendemos delinear as proprieda-
des cinem´aticas fundamentais de tal teoria em paralelo com as da relatividade restrita
usual, baseada no grupo de Poincar´e.
Palavras Chaves: Relatividade de de Sitter; Constante Cosmol´ogica; Cinem´atica Re-
lativ´ıstica; Espa¸cos quocientes
´
Areas do conhecimento: Teoria da Relatividade; Relatividade Restrita; F´ısica Mate-
m´atica
ii
Abstract
The de Sitter space was first studied as the vaccum solution of Einstein’s field equa-
tion with cosmological constant. This dynamical view of that space is still prevalent
among physicists even today. Nevertheless, from the point of view of geometry, the de
Sitter space, like Minkowski, is a quotient space. That means that de Sitter space may be
built independently of any gravitational theory, being more fundamental than Einstein’s
equation. Consequently, it turns out possible to construct a special relativity based on
the de Sitter group. Such theory has been proposed as a generalization of ordinary spe-
cial relativity, being called de Sitter relativity. In this theory, the cosmological term is
interpreted as a kinematical entity, constituting a second invariant parameter, in addi-
tion to the speed of light. Such modification of einstenian relativity may be understood
as a kinematical solution to the “dark energy” problem. In the present text, we intend
to outline the fundamental kinematical properties of such a de Sitter-invariant special
relativity, in parallel to those of the ordinary Poincar´e-invariant special relativity.
iii
Sum´ario
1 Introdu¸c˜ao 1
1.1 Apresenta¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Motiva¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 A Constante Cosmol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Fenomenologia de Altas Energias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Limite de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espa¸cos e Grupos de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Simetrias Espa¸co-Temporais 7
2.1 O Espa¸co-Tempo Relativ´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Isometrias e Campos de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Homogeneidade e Isotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Espa¸cos Maximalmente Sim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 A Simetria Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 A Relatividade de Einstein 20
3.1 O Princ´ıpio da Relatividade e o Eletromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 A Teoria de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Uma nova relatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Aspectos Formais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.1 O Espa¸co de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.2 O grupo de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.3 O Car´ater Quociente do Espa¸co de Minkowski . . . . . . . . . . . 27
4 A Relatividade de de Sitter 29
4.1 O Espa¸co de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Coordenadas estereogr´aficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 O Grupo de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4 O Car´ater Quociente do Espa¸co de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Desvio Geod´esico no Espa¸co de de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
iv
5 Conclus˜oes 38
Referˆencias Bibliogr´aficas 41
v
Cap´ıtulo 1
Introdu¸c˜ao
1.1 Apresenta¸c˜ao
Relatividade restrita de de Sitter ´e o nome que se d´a `a teoria da relatividade restrita
que possui como grupo de movimento o grupo de de Sitter dS ≡ SO
+
(4, 1) agindo
sobre o espa¸co de de Sitter (do qual dS ´e o grupo de isometria) [1]. Esta teoria ´e uma
generaliza¸c˜ao da relatividade restrita usual (einsteniana), a qual possui como grupo de
movimento o grupo de Poincar´e P ≡ ISO
+
(3, 1) agindo sobre o espa¸co de Minkowski
(do qual P ´e o grupo de isometria). Tanto o espa¸co de Minkowski quanto o de de Sitter
s˜ao maximalmente sim´etricos [3]; por´em, enquanto aquele possui curvatura nula, este
possui uma curvatura R constante negativa
1
[4]. No grupo de de Sitter, as transla¸c˜oes
espa¸co-temporais s˜ao acrescidas de transforma¸c˜oes conformes pr´oprias, deixando de ser
comutativas. Estes termos adicionais s˜ao parametrizados por uma nova escala invariante
1/l
2
, em que l ´e um parˆametro geom´etrico ligado `a curvatura do espa¸co de de Sitter e
que desempenha, do ponto de vista alg´ebrico, papel an´alogo ao da velocidade da luz c
no caso dos boosts lorentzianos.
Al´em disso, o espa¸co de de Sitter ´e tamb´em a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein usual no
v´acuo com constante cosmol´ogica positiva [2, 4]. O valor da constante cosmol´ogica Λ na
equa¸c˜ao de Einstein que fornece um dado espa¸co de de Sitter determina univocamente o
valor da sua curvatura escalar R [4] (e, por conseq
¨
uˆencia, tamb´em o valor do parˆametro
1/l
2
no grupo de de Sitter correspondente). No limite em que a constante cosmol´ogica
tende a zero, anulam-se tamb´em a curvatura e o parˆametro das transforma¸c˜oes confor-
mes, de modo que o espa¸co-tempo torna-se Minkowski e o grupo de movimento reduz-se
ao de Poincar´e.
1
O sinal do escalar de Ricci R ≡ R
ν
ν
depende das conven¸c˜oes usadas na defini¸c˜ao da m´etrica e do
tensor de Ricci. Escolhemos, neste trabalho, η
µν
≡ diag(+1, −1, −1, −1) e R
µν
≡ R
λ
µλν
.
1
1.2 Motiva¸c˜oes
1.2.1 A Constante Cosmol´ogica
A constante cosmol´ogica Λ constitui uma generaliza¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein original
mantendo sua consistˆencia f´ısica e matem´atica [5]
2
. Atualmente, ela ´e parte integrante
do modelo padr˜ao da cosmologia
3
, o chamado modelo ΛCDM, sendo respons´avel pela
acelera¸c˜ao observada na expans˜ao do universo. Tal modelo tem sido corroborado por
diversas observa¸c˜oes, dentre as quais destacam-se as de gal´axias e supernovas do tipo
Ia (velas padr˜ao) com alto desvio para o vermelho [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16] e as da
radia¸c˜ao c´osmica de fundo [17, 18].
Existem teorias que buscam construir mecanismos dinˆamicos que imitem o efeito da
constante cosmol´ogica. No entanto, se esta for, de fato, conforme a sua defini¸c˜ao e a
concep¸c˜ao original de Einstein [5], um elemento de natureza puramente geom´etrica e
cinem´atica, Λ estar´a presente mesmo na ausˆencia de gravita¸c˜ao. Isto significa que, `a
luz do nosso conhecimento atual do universo, n˜ao apenas a cosmologia e a relatividade
geral, mas a pr´opria relatividade restrita deve assumir uma nova forma, na qual o termo
cosmol´ogico seja inclu´ıdo por constru¸c˜ao como um termo de origem cinem´atica. Uma
an´alise matem´atica dos fundamentos da teoria da relatividade, bem como dos princ´ı-
pios cinem´aticos b´asicos da f´ısica, favorece tal hip´otese, conforme explicitaremos pouco
adiante.
1.2.2 Fenomenologia de Altas Energias
Al´em da observa¸c˜ao de uma constante cosmol´ogica n˜ao nula, ainda outros fatos experi-
mentais desafiam a relatividade restrita usual. O primeiro deles diz respeito ao chamado
paradoxo GZK. Segundo previs˜oes te´oricas obtidas por Kenneth Greisen [19] e indepen-
dentemente por Vadim Kuz’min e Georgiy Zatsepin [20], as part´ıculas de raios c´osmicos
(em sua grande maioria pr´otons livres) com valores de energia acima de 10
20
eV (batizado
limite de Greisen-Zatsepin-Kuz’min (GZK)) deveriam interagir com os f´otons da radia-
¸c˜ao c´osmica de fundo dando origem a outras part´ıculas e perdendo parte da sua energia.
Desse modo, raios c´osmicos provenientes de fontes extragal´aticas suficientemente dis-
tantes (al´em de algumas dezenas de megaparsecs) n˜ao seriam capazes de alcan¸car as
imedia¸c˜oes Terra portando energias acima do limite GZK. Todavia, part´ıculas com tais
energias aparentemente tˆem sido observadas (e.g. [21, 22]) vindas de dire¸c˜oes onde n˜ao
h´a nenhuma fonte pr´oxima conhecida.
O segundo fato ´e fornecido pela observa¸c˜ao de erup¸c˜oes de raios gama provenientes
2
Para uma discuss˜ao aprofundada acerca do papel de Λ na cosmologia e em outras ´areas da f´ısica,
recomendamos as referˆencias [2], [6] e [7]. Aqui nos atemos `as implica¸c˜oes cinem´aticas do termo cosmo-
l´ogico.
3
Cf. [8] e referˆencias citadas neste par´agrafo.
2
do n´ucleo da gal´axia Markarian 501 [23]. Observou-se que a radia¸c˜ao de freq
¨
uˆencias mais
elevadas leva mais tempo para atingir a Terra do que a de baixas freq
¨
uˆencias.
Os dois fatos supracitados encontram-se al´em da capacidade de explica¸c˜ao da re-
latividade einsteniana e podem constituir ind´ıcios de que, na presen¸ca de fenˆomenos
envolvendo altas energias, o tecido do espa¸co-tempo sofra flutua¸c˜oes de um tipo novo.
Esta hip´otese faz sugerir que o termo cosmol´ogico seja na verdade dado pela cinem´a-
tica de cada sistema f´ısico, ou seja, que o valor de Λ num dado ponto do espa¸co-tempo
dependa da densidade de energia no referido ponto. Dessa forma, o espa¸co-tempo assu-
miria localmente a forma de um espa¸co de de Sitter com o valor de Λ correspondente `a
densidade de energia local. Num tal cen´ario, processos envolvendo part´ıculas altamente
energ´eticas (como ´e o caso em ambos os experimentos acima descritos) seriam capazes
de exibir comportamentos n˜ao permitidos no contexto da relatividade usual. Por outro
lado, a homogeneidade da distribui¸c˜ao de mat´eria e energia no universo em escala cos-
mol´ogica faria com que, em tal escala, o valor de Λ fosse observado como constante, o
que est´a de acordo com os fatos conhecidos.
1.2.3 Limite de Planck
Al´em da experiˆencia, a hip´otese de que a relatividade einsteniana deva falhar no limite
de altas energias ´e suportada tamb´em por ind´ıcios te´oricos.
4
Isto est´a ligado ao fato
da teoria quˆantica possuir um comprimento invariante, o comprimento de Planck, que
´e a escala a partir da qual se presume que efeitos quˆanticos da gravita¸c˜ao passem a ser
relevantes. O fato de o comprimento de Planck ser definido exclusivamente a partir de
constantes fundamentais (a constante de planck h, a velocidade da luz no v´acuo c e a
constante gravitacional G) faz dele tamb´em uma constante universal. Em observa¸c˜ao a
isso, ´e coerente pensar que o car´ater da gravita¸c˜ao n˜ao dependa do observador, ou seja,
que um efeito de gravita¸c˜ao que possua car´ater cl´assico ou quˆantico o possua intrinseca-
mente. Este fato favorece a inclus˜ao de um segundo parˆametro de escala invariante no
grupo de simetria da relatividade, al´em da velocidade da luz. O comprimento de de Sit-
ter l presente no grupo de movimento da relatividade de de Sitter satisfaz tal condi¸c˜ao.
Tal modifica¸c˜ao da teoria da relatividade restrita poderia significar um passo adiante
no sentido de se obter uma teoria da relatividade geral que possa ser consistente com a
teoria quˆantica.
1.3 Espa¸cos e Grupos de Movimento
A experiˆencia dita condi¸c˜oes precisas para a descri¸c˜ao matem´atica do pano de fundo
de uma teoria cinem´atica. Na mecˆanica cl´assica, o espa¸co ´e descrito por uma variedade
euclidiana tridimensional, ao passo que o tempo ´e um parˆametro independente. J´a no
4
Diversos trabalhos estudam tal hip´otese, entre os quais [24] e [25].
3
contexto relativ´ıstico, em que tempo e espa¸co s˜ao tratados em p´e de igualdade, tem-se
um espa¸co-tempo descrito por uma variedade lorentziana quadridimensional. Por ou-
tro lado, as exigˆencias de homogeneidade e isotropia implicam que este seja um espa¸co
maximalmente sim´etrico [3], isto ´e, que possua o m´aximo n´umero de simetrias admis-
s´ıvel para uma variedade com o seu n´umero de dimens˜oes (expressas matematicamente
pelos seus campos de Killing). Por´em, os espa¸cos maximalmente sim´etricos s˜ao aqueles
que possuem curvatura escalar R constante (n˜ao necessariamente nula) [3]. Portanto, o
espa¸co-tempo de uma teoria da relatividade restrita deve ser uma variedade quadridi-
mensional lorentziana com curvatura escalar constante. Na relatividade restrita usual,
escolhe-se R = 0. O caso mais geral, por´em, compreende R = 0. Nesse sentido, o
espa¸co de de Sitter, que possui R < 0, ´e apenas a generaliza¸c˜ao natural do espa¸co de
Minkowski
5
.
Pode-se obter o an´alogo da conclus˜ao acima pensando-se em termos dos grupos cine-
m´aticos. O grupo de movimento da mecˆanica newtoniana ´e o grupo de Galileu. Este ´e
composto por um produto semidireto entre dois subgrupos. O primeiro deles ´e o grupo
quadridimensional das transla¸c˜oes, que ´e comutativo e define a homogeneidade do es-
pa¸co e do tempo. O segundo (que Minkowski [26] chamou de G
∞
) ´e um grupo de seis
dimens˜oes e ´e ele pr´oprio dividido em transforma¸c˜oes de dois tipos. Trˆes de suas di-
mens˜oes correspondem ao subgrupo n˜ao-comutativo das rota¸c˜oes espaciais SO(3), que
define a isotropia do espa¸co. As demais trˆes correspondem aos boosts galileanos, trans-
forma¸c˜oes comutativas que relacionam os referenciais inerciais da mecˆanica cl´assica, ou
seja, os observadores para os quais as leis da f´ısica s˜ao as mesmas segundo o princ´ıpio
da relatividade, tal qual definido por Poincar´e:
“The principle of relativity, according to which the laws of physical pheno-
mena should be the same, whether for an observer fixed, or for an observer
carried along in a uniform movement of translation; so that we have not and
could not have any means of discerning whether or not we are carried along
in such a motion” [27]
6
.
Estas transforma¸c˜oes formam um subgrupo abeliano normal ao grupo G
∞
, de modo que
este n˜ao ´e um grupo simples (sequer semi-simples) [31].
J´a a cinem´atica da relatividade restrita usual ´e descrita pelo grupo de Poincar´e. Este
´e obtido a partir do grupo de Galileu quando se abandona a condi¸c˜ao de comutatividade
dos boosts. Dessa forma, os boosts galileanos transformam-se nos boosts de Lorentz,
5
O caso em que R > 0 ´e chamado de espa¸co anti-de Sitter [4]. Este espa¸co n˜ao nos apresenta interesse
f´ısico no presente contexto por exibir um valor negativo da constante cosmol´ogica.
6
Apesar de o nome princ´ıpio da relatividade ter sido cunhado por Poincar´e e popularizado a partir da
sua ado¸c˜ao expl´ıcita na teoria da relatividade restrita por Einstein [28], a equivalˆencia entre observadores
em movimento relativo uniforme faz-se presente na mecˆanica de Newton desde os Principia [29] e j´a era
considerada anteriormente por Galileu [30].
4
que possuem a forma de rota¸c˜oes (hiperb´olicas) espa¸co-temporais. Isto faz com que o
grupo composto pelos boosts e pelas rota¸c˜oes espaciais se torne um grupo semi-simples
de transforma¸c˜oes n˜ao-comutativas: o grupo de Lorentz. Este grupo de rota¸c˜oes ge-
neralizadas define a isotropia do espa¸co quadridimensional de Minkowski, onde tempo
e espa¸co s˜ao integrados numa estrutura matem´atica ´unica. A n˜ao-comutatividade dos
boosts neste grupo ´e medida por um parˆametro universal introduzido nestas transfor-
ma¸c˜oes, o qual fornece o “emaranhamento” entre tempo e espa¸co: a velocidade da luz
no v´acuo c (ou, mais propriamente, por c
−2
). No limite degenerado em que c → ∞
(c
−2
→ 0), os boosts tornam a ser comutativos e o grupo de Poincar´e reduz-se de volta
ao grupo de Galileu
7
.
No entanto, apesar da unifica¸c˜ao dos boosts com as rota¸c˜oes espaciais num grupo
semi-simples, o grupo de Poincar´e como um todo n˜ao ´e ainda um grupo semi-simples.
Isto porque este ´e composto n˜ao apenas pelas transforma¸c˜oes de Lorentz, mas tamb´em
pelas transla¸c˜oes, que s˜ao as mesmas que as do grupo de Galileu e formam ainda um
subgrupo invariante e abeliano. Assim, portar adiante a id´eia de generaliza¸c˜ao que leva
do grupo de Galileu ao grupo de Poincar´e significa abrir m˜ao da comutatividade n˜ao
apenas dos boosts, mas tamb´em das transla¸c˜oes. Isto acaba fazendo com estas deixem
de constituir um subgrupo invariante do novo grupo de movimento, que ser´a, portanto,
um grupo simples. Tal grupo simples, composto pelas transforma¸c˜oes de Lorentz e
pelas novas “transla¸c˜oes generalizadas”, ´e chamado grupo de de Sitter e corresponde `as
isometrias do espa¸co de de Sitter. Esta segunda n˜ao-comutatividade presente no grupo
de de Sitter se obt´em de forma an´aloga `a do caso dos boosts: introduzindo-se, agora no
grupo das transla¸c˜oes, um novo parˆametro universal, chamado comprimento de de Sitter
l, de uma tal sorte que, no limite em que l → ∞ (l
−2
→ 0), recobra-se a comutatividade
das transla¸c˜oes e o grupo de Poincar´e ´e reobtido. Vemos, portanto, que o grupo de de
Sitter ´e uma generaliza¸c˜ao do grupo de Poincar´e no mesmo sentido em que este ´e uma
generaliza¸c˜ao do grupo de Galileu
8
, e, de fato, o grupo de de Sitter ´e o ´ultimo est´agio
nesta cadeia, vez que n˜ao h´a mais nele nenhum subgrupo invariante n˜ao-trivial
9
.
1.4 Objetivos
Com base no que foi exposto nas se¸c˜oes precedentes, percebe-se que a teoria da relati-
vidade restrita de de Sitter, al´em de dar conta naturalmente (de fato, por constru¸c˜ao) do
problema da constante cosmol´ogica, ´e tamb´em a generaliza¸c˜ao te´orica natural da relati-
7
Tal no¸c˜ao de limite degenerado no contexto de grupos encontra sua express˜ao formal no conceito de
contra¸c˜oes de grupos, conforme apresentado em [32].
8
Esta id´eia ´e tamb´em explorada nas referˆencias [33] e [34].
9
No contexto das contra¸c˜oes de grupo de In
¨
on
¨
u-Wigner [32], tal fato est´a ligado `a impossibilidade de
se obter o grupo de de Sitter por meio da contra¸c˜ao de algum outro grupo mais geral. Na referˆencia [35]
se encontra um estudo an´alogo ao argumento aqui apresentado, por´em conduzido com foco nas ´algebras
de grupo.
5
vidade de Einstein, e, ainda al´em, a express˜ao mais geral do princ´ıpio cinem´atico b´asico
de homogeneidade e isotropia de um espa¸co-tempo quadrimensional. Adicionalmente,
esta teoria cont´em dentro de si os princ´ıpios b´asicos que podem permitir a explica¸c˜ao de
fenˆomenos experimentais que at´e o momento desafiam a f´ısica te´orica, bem como outros
que possam vir a ser observados, al´em da possibilidade de uma via de constru¸c˜ao da
gravita¸c˜ao quˆantica com base numa nova simetria. Eis, portanto, nossa motiva¸c˜ao em
estud´a-la.
Isto posto, o objetivo deste texto ser´a descrever os fundamentos geom´etricos e cine-
m´aticos da relatividade restrita de de Sitter, evidenciando os paralelos existentes entre
esta e a relatividade restrita usual, bem como ressaltando as diferen¸cas em essˆencia
apresentadas por estas duas teorias. Com isto, pretende-se demonstrar a viabilidade e a
vantagem da ado¸c˜ao da relatividade restrita de de Sitter em substitui¸c˜ao `a sua corres-
pondente einsteniana como teoria cinem´atica fundamental na ausˆencia de gravita¸c˜ao.
6
Cap´ıtulo 2
Simetrias Espa¸co-Temporais
Dado o objetivo deste texto tal qual exposto no cap´ıtulo anterior, de modo a tornar
rigorosa e ao mesmo tempo transparente a analogia entre os espa¸cos de de Sitter e de
Minkowski, lan¸caremos m˜ao de conceitos matem´aticos espec´ıficos, em particular ligados
`a id´eia de simetrias (id´eia esta que nos permitir´a demonstrar e explorar o fato crucial de
que ambos os espa¸cos citados s˜ao maximalmente sim´etricos, ponto chave deste trabalho).
Para tanto, desenvolvemos uma breve exposi¸c˜ao de tais conceitos. A id´eia principal aqui,
portanto, ´e estabelecer condi¸c˜oes gerais das quais os espa¸cos de Minkowski e de Sitter
(bem como os grupos de Poincar´e e de de Sitter) ser˜ao casos particulares, edificando a
base matem´atica para os cap´ıtulos subsequentes e deixando claro como as propriedades
de ambos os espa¸cos (e grupos) s˜ao obtidas a partir de um eixo comum.
2.1 O Espa¸co-Tempo Relativ´ıstico
O pano de fundo dos fenˆomenos f´ısicos na teoria da relatividade, isto ´e, no con-
texto em que tempo e espa¸co s˜ao de fato unificados numa entidade ´unica, ´e chamado
espa¸co-tempo e representado matematicamente por uma variedade lorentziana quadridi-
mensional, ou seja, um espa¸co topol´ogico localmente euclidiano e diferenci´avel munido de
um tensor (ou, mais rigorosamente, um campo tensorial) m´etrico g com assinatura (3,1).
Em g est˜ao contidas as informa¸c˜oes a respeito das caracter´ısticas locais do espa¸co-tempo.
Um mapa que leva cada ponto de uma variedade n-dimensional no ponto x do espa¸co
euclidiano E
n
´e um sistema de coordenadas. Um mapa que transita entre dois sistemas de
coordenadas, de tal forma que x → x
, ´e uma transforma¸c˜ao de sistema de coordenadas,
ou, simplesmente, uma mudan¸ca de coordenadas. Dada uma mudan¸ca de coordenadas
x → x
, as componentes tensoriais g
µν
(x) da m´etrica g(x) = g
µν
(x)dx
µ
⊗ dx
ν
ser˜ao
transformadas de acordo:
g
µν
(x) → g
µν
(x
) =
∂x
ρ
∂x
µ
∂x
σ
∂x
ν
g
ρσ
(x). (2.1)
7
2.2 Isometrias e Campos de Killing
Diz-se que um objeto possui simetria por um dado tipo de transforma¸c˜ao se ele per-
manece idˆentico tal qual observado antes e depois da referida transforma¸c˜ao. No caso
de uma variedade m´etrica, portanto, a existˆencia de simetria por uma dada mudan¸ca
de coordenadas x → x
significa que as componentes do tensor m´etrico mantˆem a sua
forma ap´os a transforma¸c˜ao, isto ´e, para qualquer conjunto de coordenadas y (que des-
crever´a um ponto na variedade antes da transforma¸c˜ao e, em geral, outro ponto depois
da transforma¸c˜ao):
g
µν
(x
)
x
=y
= g
µν
(x)
x=y
. (2.2)
Transforma¸c˜oes obedecendo a rela¸c˜ao acima para uma dada m´etrica g(x) s˜ao formal-
mente denominadas isometrias de g(x) (ou do espa¸co que possui g(x) como m´etrica) e
expressam matematicamente a id´eia intuitiva de simetria.
As mudan¸cas de coordenadas que correspondem a mudan¸cas f´ısicas de referencial
devem respeitar a no¸c˜ao de continuidade, ou seja, devem ser transforma¸c˜oes que possam
ser obtidas por meio de uma seq
¨
uˆencia cont´ınua de transforma¸c˜oes a partir da identi-
dade. Portanto, as isometrias de interesse f´ısico s˜ao aquelas que podem ser expressas
como uma transforma¸c˜ao infinitesimal nas coordenadas (caracterizada por um parˆametro
infinitesimal )
x
µ
→ x
µ
(x) = x
µ
+ ξ
µ
(x). (2.3)
Inserindo esta equa¸c˜ao invertida
x
µ
(x
µ
) = x
µ
− ξ
µ
(x
) (2.4)
na equa¸c˜ao (2.1) para a transforma¸c˜ao das componentes da m´etrica, ficamos com
g
µν
(x
) =
∂
∂x
µ
x
ρ
− ξ
ρ
(x
)
∂
∂x
ν
x
σ
− ξ
σ
(x
)
g
ρσ
(x) (2.5)
=
δ
ρ
µ
−
∂ξ
ρ
(x
)
∂x
µ
δ
σ
ν
−
∂ξ
σ
(x
)
∂x
ν
g
ρσ
(x)
=
δ
ρ
µ
δ
σ
ν
− δ
σ
ν
∂ξ
ρ
(x
)
∂x
µ
− δ
ρ
µ
∂ξ
σ
(x
)
∂x
ν
+ O(
2
)
g
ρσ
(x) .
Expandindo as componentes da m´etrica g(x) em s´erie de potˆencias de em torno de x
,
g
ρσ
(x) = g
ρσ
(x
) − ξ
λ
(x
)
∂
∂x
λ
g
ρσ
(x
) + O(
2
) , (2.6)
8
obtemos, em primeira ordem em ,
g
µν
(x
) =
δ
ρ
µ
δ
σ
ν
− δ
σ
ν
∂ξ
ρ
(x
)
∂x
µ
− δ
ρ
µ
∂ξ
σ
(x
)
∂x
ν
g
ρσ
(x
) (2.7)
− δ
ρ
µ
δ
σ
ν
ξ
λ
(x
)
∂
∂x
λ
g
ρσ
(x
)
= g
µν
(x
) − g
ρν
(x
)
∂ξ
ρ
(x
)
∂x
µ
− g
µσ
(x
)
∂ξ
σ
(x
)
∂x
ν
− ξ
λ
(x
)
∂
∂x
λ
g
µν
(x
) ,
ou seja,
1
g
µν
(x
) − g
µν
(x
)
= g
λν
(x
)
∂ξ
λ
(x
)
∂x
µ
+ g
µλ
(x
)
∂ξ
λ
(x
)
∂x
ν
+ ξ
λ
(x
)
∂
∂x
λ
g
µν
(x
)(2.8)
=
∂
∂x
µ
g
λν
(x
) ξ
λ
(x
)
− ξ
λ
(x
)
∂
∂x
µ
g
λν
(x
)
+
∂
∂x
ν
g
µλ
(x
) ξ
λ
(x
)
− ξ
λ
(x
)
∂
∂x
g
µλ
(x
) + ξ
λ
(x
)
∂
∂x
λ
g
µν
(x
)
=
∂ξ
ν
(x
)
∂x
µ
+
∂ξ
µ
(x
)
∂x
ν
− ξ
λ
(x
)
∂
∂x
ν
g
λν
(x
) +
∂
∂x
µ
g
µλ
(x
) −
∂
∂x
λ
g
µν
(x
)
=
∂ξ
ν
(x
)
∂x
µ
+
∂ξ
µ
(x
)
∂x
ν
− 2 ξ
ζ
(x
) Γ
ζ
µν
(x
)
= ∇
µ
ξ
ν
(x
) + ∇
ν
ξ
µ
(x
) .
No caso de uma isometria,
g
µν
(x
) − g
µν
(x
) = 0 , (2.9)
e (2.8) resulta na equa¸c˜ao de Killing para o campo ξ(x):
∇
(µ
ξ
ν)
= 0 . (2.10)
Os campos que a satisfizerem ser˜ao chamados campos de Killing. Desse modo, a cada
campo de Killing corresponder´a uma isometria (ou seja, uma simetria) infinitesimal da
m´etrica (e, conseq
¨
uentemente, da variedade) em quest˜ao
1
.
As componentes ξ
λ
(x) de qualquer campo de Killing ξ(x) de uma dada m´etrica g(x)
podem ser obtidas [3] a partir do seu valor e do valor da sua derivada num dado ponto
x
0
, sendo escritas na forma
ξ
λ
(x) = A
λ
µ
(x, x
0
)ξ
µ
(x)
x=x
0
+ B
λ
νρ
(x, x
0
)∇
ν
ξ
ρ
(x)
x=x
0
, (2.11)
onde os campos tensoriais A e B dependem do ponto x
0
escolhido, sendo que, para um
dado x
0
, ser˜ao os mesmos para todos os campos de Killing de g(x). Portanto, numa
variedade de dimens˜ao n, as n quantidades ξ
µ
(x = x
0
) mais as n(n − 1)/2 quantidades
1
Frisamos, por´em, que isometrias que n˜ao possam ser representadas por transforma¸c˜oes infinitesimais
n˜ao satisfar˜ao a equa¸c˜ao de Killing, j´a que esta ´e obtida a partir da condi¸c˜ao (2.3).
9
independentes ∇
ν
ξ
ρ
(x = x
0
) (pois, segundo (2.10), estas quantidades s˜ao anti-sim´etricas)
fornecer˜ao um m´aximo de n(n + 1)/2 campos de Killing independentes. Espa¸cos que
possuam tal n´umero m´aximo de simetrias s˜ao ditos maximalmente sim´etricos.
´
E relevante salientar que a equa¸c˜ao de Killing, apesar de usualmente estudada no
contexto da relatividade geral, n˜ao possui qualquer rela¸c˜ao a priori com a gravita¸c˜ao, ou
seja, n˜ao depende da dinˆamica em quest˜ao. Ela ´e uma equa¸c˜ao puramente geom´etrica
que pode ser resolvida para qualquer m´etrica riemanniana ou pseudo-riemanniana em
qualquer dimens˜ao, seja esta m´etrica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Einstein ou n˜ao. Ao espa¸co-
tempo vazio, em particular, s˜ao usualmente atribu´ıdas duas simetrias espec´ıficas, ambas
pass´ıveis de serem expressas por transforma¸c˜oes infinitesimais, e, portanto, por campos
de Killing: a homogeneidade e a isotropia.
2.3 Homogeneidade e Isotropia
Um objeto ´e intuitivamente considerado homogˆeneo se n˜ao h´a diferen¸ca entre as
suas partes constituintes. Formalmente, uma variedade ser´a dita homogˆenea (ou, ainda,
transitiva) se qualquer de seus pontos puder ser levado em qualquer outro por meio de
alguma isometria — o que significa que todos os pontos s˜ao formalmente equivalentes.
Mais rigorosamente, tais isometrias devem ser cont´ınuas, de modo que a condi¸c˜ao se
reescreve: em qualquer ponto da variedade, devem existir isometrias infinitesimais que
levem em qualquer ponto na sua vizinhan¸ca imediata. Tais isometras costumam ser
chamadas de transla¸c˜oes. Uma variedade homogˆenea de dimens˜ao n ter´a n transla¸c˜oes
independentes, cujos campos de Killing em cada ponto da variedade podem ser pensados
como os vetores de uma base coordenada no espa¸co tangente ao ponto.
Por outro lado, um objeto ´e intuitivamente considerado isotr´opico em torno de um
dado ponto se for exatamente o mesmo quando visto de todas as diferentes dire¸c˜oes a
partir do referido ponto. Formalmente, uma variedade ser´a dita isotr´opica em rela¸c˜ao a
um dado ponto x
0
se existirem campos de Killing que mantenham fixo o ponto x
0
(i.e.,
ξ(x
0
) = 0) e cujas derivadas covariantes em torno deste ponto ∇
µ
ξ
ν
(x)
x=x
0
assumam
todos os valores poss´ıveis. Como a equa¸c˜ao de Killing (2.10) exige que as derivadas dos
campos de Killing sejam anti-sim´etricas, uma variedade de dimens˜ao n que seja isotr´opica
em torno de um de seus pontos possuir´a n˜ao n
2
, mas apenas n(n − 1)/2 isometrias deste
tipo (tradicionalmente chamadas rota¸c˜oes no caso euclidiano).
Adicionalmente, uma variedade isotr´opica em torno de um ponto que seja tamb´em
homogˆenea ser´a necessariamente isotr´opica em torno de todos os demais pontos [3] (de
modo que podemos nos referir a ela simplesmente como uma variedade homogˆenea e
isotr´opica sem gerar ambig
¨
uidade). Notamos, ainda, que uma variedade homogˆenea e
isotr´opica possuir´a o n´umero m´aximo n + n(n − 1)/2 = n(n + 1)/2 de campos de Killing
admiss´ıvel para a sua dimens˜ao e ser´a, portanto, por defini¸c˜ao, maximalmente sim´etrica.
10
O inverso desta afirma¸c˜ao tamb´em pode ser provado [3]: todo espa¸co maximalmente
sim´etrico ´e homogˆeneo e isotr´opico.
2.4 Espa¸cos Maximalmente Sim´etricos
Alguns resultados de enorme importˆancia e fortemente restritivos podem ser obti-
dos para espa¸cos que apresentem o n´umero m´aximo de simetrias poss´ıvel para a sua
dimens˜ao. Em primeiro lugar, todo espa¸co maximalmente sim´etrico possui curvatura
escalar R ≡ R
ν
ν
constante e vice-versa [3]. Em particular, todo espa¸co plano ser´a maxi-
malmente sim´etrico. Al´em disso, dadas a assinatura (p, q) e a curvatura escalar R, um
espa¸co maximalmente sim´etrico estar´a univocamente determinado. Apoiados neste fato,
denotaremos, doravante, um tal espa¸co simplesmente por (p, q)
R
(onde p corresponder´a
`as dimens˜oes do tipo espa¸co). Em particular, (p, q)
0
≡ E
p, q
.
Em segundo lugar, qualquer (p, q)
R
de dimens˜ao p + q = n e com R = 0 pode ser
representado como uma pseudo-esfera imersa numa variedade pseudo-euclidiana (que
chamaremos de H) de dimens˜ao N = n + 1 com assinatura (P, Q) ≡ (p + 1, q) para o
caso R < 0 e (p, q + 1) para R > 0. Vamos provar esta afirma¸c˜ao efetuando a constru¸c˜ao
de um (p, q)
R
gen´erico por meio de tal imers˜ao (`a qual recorreremos no quarto cap´ıtulo
quando formos tratar do espa¸co de de Sitter).
Sejam H
AB
as componentes da m´etrica do espa¸co H ≡ (P, Q)
0
= (p +1, q)
0
= E
p+1, q
ou (p, q +1)
0
= E
p, q+1
em coordenadas cartesianas
χ
A
. Escrevemos, ent˜ao, o elemento
de linha de H como
H
AB
dχ
A
dχ
B
= H
ab
dχ
a
dχ
b
+ H
NN
dχ
N
2
, (2.12)
onde os ´ındices A e B variam no intervalo de 0 a N = n + 1 e os ´ındices a e b variam no
intervalo de 0 a n = N − 1. Se h
ab
forem as componentes cartesianas da m´etrica plana
do espa¸co (p, q)
0
= E
p, q
, teremos
H
ab
= h
ab
. (2.13)
Podemos, ent˜ao, escrever
H
AB
dχ
A
dχ
B
= dΣ
2
+ s
dχ
N
2
, (2.14)
onde
dΣ
2
≡ h
ab
dχ
a
dχ
b
(2.15)
e s ≡ H
NN
= ±1 assumir´a o sinal oposto ao de R. O espa¸co (p, q)
R
, ent˜ao, ser´a obtido
limitando-se os pontos de H `aqueles sobre a hipersuperf´ıcie da pseudo-esfera definida
pela equa¸c˜ao
H
AB
χ
A
χ
B
≡ Σ
2
+ s
χ
N
2
= s l
2
(2.16)
11
(onde Σ
2
≡ h
ab
χ
a
χ
b
) cujo pseudo-raio l satisfa¸ca [3]
l
2
=
n(n − 1)
|R|
. (2.17)
Para obtermos o elemento de linha induzido no espa¸co (p, q)
R
pela m´etrica H do
espa¸co H, precisamos eliminar χ
N
na equa¸c˜ao (2.14). A equa¸c˜ao (2.16) nos diz que o
espa¸co (p, q)
R
corresponde aos pontos de H para os quais a coordenada χ
N
satisfaz
χ
N
2
= l
2
− s Σ
2
. (2.18)
Diferenciando, obtemos
2χ
N
dχ
N
= −2 s ΣdΣ , (2.19)
onde ΣdΣ ≡ h
ab
χ
a
dχ
b
, de modo que
dχ
N
= − s
ΣdΣ
χ
N
(2.20)
e, portanto,
dχ
N
2
=
(ΣdΣ)
2
(χ
N
)
2
=
(ΣdΣ)
2
l
2
− s Σ
2
. (2.21)
Substituindo este resultado em (2.14), obtemos o elemento de linha dτ
2
induzido pela
m´etrica H de H na pseudo-esfera (p, q)
R
(com m´etrica g
αβ
num sistema de coordenadas
qualquer {x
α
}):
dτ
2
= g
αβ
(x) dx
α
dx
β
= H
AB
dχ
A
dχ
B
(2.22)
= dΣ
2
+ s
(ΣdΣ)
2
l
2
− s Σ
2
= h
µν
dχ
µ
dχ
ν
+
1
s l
2
− Σ
2
(h
µρ
χ
ρ
dχ
µ
) (h
νσ
χ
σ
dχ
ν
)
=
h
µν
+
1
s l
2
− Σ
2
h
µρ
χ
ρ
h
νσ
χ
σ
dχ
µ
dχ
ν
=
h
µν
+
1
s l
2
− Σ
2
h
µρ
χ
ρ
(x) h
νσ
χ
σ
(x)
∂χ
µ
∂x
α
dx
α
∂χ
ν
∂x
β
dx
β
,
ou seja,
g
αβ
(x) =
h
µν
+
1
s l
2
− Σ
2
h
µρ
χ
ρ
(x) h
νσ
χ
σ
(x)
∂χ
µ
∂x
α
∂χ
ν
∂x
β
. (2.23)
Em particular, no sistema de coordanadas induzido {χ
α
},
¯g
αβ
(χ) =
h
αβ
+
1
s l
2
− Σ
2
h
αρ
χ
ρ
h
βσ
χ
σ
. (2.24)
O grupo das isometrias de g(x) ser´a simplesmente o grupo das transforma¸c˜oes no
12
espa¸co H que mantˆem os pontos da pseudo-esfera sobre a pseudo-esfera, ou seja, o grupo
ortogonal indefinido [36] O(p + 1, q) para R > 0 e O(p, q + 1) para R < 0 (denotaremos
ambos genericamente por O(P, Q), de modo que P + Q = p + q + 1 = n + 1 = N), cujas
transforma¸c˜oes R satisfazem
H
AB
R
A
C
R
B
D
= H
CD
. (2.25)
Os campos de Killing de g(x), por´em, corresponder˜ao apenas `aquelas transforma¸c˜oes
pertencentes a O(P, Q) que possam ser expressas como uma sucess˜ao de transforma¸c˜oes
infinitesimais, ou seja, que possam ser obtidas continuamente a partir da identidade.
Portanto, o grupo de movimento do espa¸co (p, q)
R
ser´a a componente de identidade
de O(P, Q), ou seja, o grupo ortogonal restrito SO
+
(P, Q) (corespondente `as “rota¸c˜oes
r´ıgidas” do espa¸co (P, Q)
0
). Este grupo (bem como O(P, Q)) possui N(N − 1)/2 =
n(n + 1)/2 dimens˜oes, provando que o espa¸co assim constru´ıdo ´e de fato maximalmente
sim´etrico. E, como sabemos que cada espa¸co desse tipo ´e determinado univocamente pela
sua assinatura e pela sua a curvatura escalar, vemos que a constru¸c˜ao acima fornece
todos os espa¸cos maximalmente sim´etricos com curvatura n˜ao-nula. No caso em que
R = 0, ou seja, em que a pseudo-esfera degenera-se no plano (p, q)
0
(correspondendo ao
limite l → ∞), o grupo de isometria corresponde `as rota¸c˜oes SO
+
(p, q) acrescidas das
transla¸c˜oes em p+q dimens˜oes, o que forma o grupo afim ou inomogˆeneo [37] ISO
+
(p, q).
´
E interessante notar que tanto os grupos SO
+
(p + 1, q) e SO
+
(p, q + 1) quanto o
grupo ISO
+
(p, q) possuem o grupo SO
+
(p, q) como subgrupo. Estas transforma¸c˜oes se
caracterizam por manterem a origem fixa e formam, portanto, o subgrupo de isotropia
destes grupos (para qualquer valor de R). Torna-se evidente da´ı que a mecˆanica cl´as-
sica n˜ao ´e uma teoria efetivamente quadrimensional, vez que os boosts galileanos n˜ao
possuem a estrutura de “rota¸c˜oes” (transforma¸c˜oes ortogonais). Com efeito, n˜ao existe
uma entidade que se possa considerar com propriedade como sendo “o espa¸co-tempo
quadridimensional da mecˆanica cl´assica”. Isso porque a mecˆanica cl´assica “acontece”
n˜ao em E
4
ou E
3,1
, mas sim em E
3
munido de um parˆametro universal t. O conceito
de espa¸co-tempo passa a fazer sentido a partir do momento em que os boosts galileanos
s˜ao substitu´ıdos pelos boosts lorentzianos, os quais possuem a forma de “rota¸c˜oes” (hi-
perb´olicas) espa¸co-temporais, emaranhando derradeiramente tempo e espa¸co por meio
do parˆametro de convers˜ao c.
Trataremos destes grupos em mais detalhes nos pr´oximos cap´ıtulos, no contexto
espec´ıfico do espa¸co de Minkowski, que ´e o caso p = 3, q = 1, R = 0 (cap´ıtulo 3) e dos
espa¸cos de de Sitter e anti-de Sitter, que s˜ao o caso p = 3, q = 1, R = 0 (ca´ıtulo 4).
O que se torna claro aqui, contudo, ´e que estes trˆes espa¸cos s˜ao casos particulares de
uma mesma estrutura geral, qual seja, a dos espa¸cos maximalmente sim´etricos (em 3 + 1
dimens˜oes).
13
2.5 A Simetria Conforme
Um conceito relevante no contexto da relatividade de de Sitter ´e o da simetria con-
forme. As transforma¸c˜oes conformes num dado espa¸co s˜ao uma generaliza¸c˜ao das suas
isometrias. Enquanto estas s˜ao as transforma¸c˜oes que mantˆem constante a forma da
m´etrica g(x), aquelas s˜ao as que mantˆem a forma de g(x) a menos de um fator de escala
dado por uma fun¸c˜ao do ponto na variedade (equivalentemente, s˜ao transforma¸c˜oes que
preservam ˆangulos). Ou seja, enquanto as isometrias s˜ao transforma¸c˜oes que satisfazem
g
µν
(x) = g
µν
(x), (2.26)
para qualquer x ∈ E
n
, as transforma¸c˜oes conformes s˜ao as que satisfazem
g
µν
(x) = S(x)g
µν
(x). (2.27)
Vemos, portanto, que as transforma¸c˜oes conformes s˜ao uma generaliza¸c˜ao das isometrias.
Com efeito, uma transforma¸c˜ao conforme com S(x) ≡ 1 ´e uma isometria.
Vamos manter nossa aten¸c˜ao nas transforma¸c˜oes de interesse f´ısico, ou seja, aquelas
que podem ser descritas por um parˆametro infinitesimal, conforme (2.3). Vimos, no
estudo das isometrias (segunda se¸c˜ao deste cap´ıtulo), que esta condi¸c˜ao leva `a equa¸c˜ao
(2.8):
1
g
µν
(x) − g
µν
(x)
= ∇
µ
ξ
ν
(x) + ∇
ν
ξ
µ
(x) . (2.28)
No caso de uma transforma¸c˜ao conforme, ou seja, quando
g
µν
(x) − g
µν
(x) = [ 1 − S(x) ] g
µν
(x) , (2.29)
teremos
∇
(µ
ξ
ν)
=
1
(1 − S) g
µν
. (2.30)
Quando S(x) for a identidade, esta equa¸c˜ao reduzir-se-´a evidemente `a equa¸c˜ao de Killing,
conforme esperado. Por analogia, chamamos (2.30) de equa¸c˜ao de Killing conforme e de
campos de Killing conformes os campos ξ que a satisfizerem.
Num espa¸co plano (cuja m´etrica denotaremos por h
µν
), as derivadas covariantes
reduzem-se a derivadas convencionais e a equa¸c˜ao de Killing conforme se torna
∂
(µ
ξ
ν)
=
1
(1 − S) h
µν
. (2.31)
Para encontrar a forma dos campos de Killing conformes, come¸camos por tomar o tra¸co
desta equa¸c˜ao:
2 ∂
µ
ξ
µ
=
n
(1 − S) , (2.32)
14
ou
1
(1 − S) =
2
n
∂
µ
ξ
µ
≡ F (x) , (2.33)
onde n = h
ν
ν
novamente ´e a dimens˜ao da variedade. Assim, (2.31) se torna
∂
(µ
ξ
ν)
= F h
µν
. (2.34)
Aplicamos, ent˜ao, mais uma derivada
∂
λ
∂
(µ
ξ
ν)
= ∂
λ
F h
µν
, (2.35)
e, permutando os ´ındices, obtemos
∂
µ
∂
(ν
ξ
λ)
= ∂
µ
F h
νλ
(2.36)
e
∂
ν
∂
(λ
ξ
µ)
= ∂
ν
F h
λµ
. (2.37)
Subtraindo (2.37) de (2.36), ficamos com
h
νλ
∂
µ
F − h
λµ
∂
ν
F = (∂
µ
∂
ν
ξ
λ
+ ∂
µ
∂
λ
ξ
ν
) − (∂
ν
∂
λ
ξ
µ
+ ∂
ν
∂
µ
ξ
λ
) (2.38)
= ∂
µ
∂
λ
ξ
ν
− ∂
ν
∂
λ
ξ
µ
= ∂
λ
(∂
µ
ξ
ν
− ∂
ν
ξ
µ
) ,
e, integrando em dx
λ
,
dx
λ
(h
νλ
∂
µ
F − h
λµ
∂
ν
F ) =
dx
λ
∂
λ
(∂
µ
ξ
ν
− ∂
ν
ξ
µ
) (2.39)
(dx
ν
∂
µ
F − dx
µ
∂
ν
F ) = ∂
µ
ξ
ν
− ∂
ν
ξ
µ
+ ω
µν
,
onde ω ´e um tensor constante e anti-sim´etrico. Portanto,
∂
[µ
ξ
ν]
= −ω
µν
+
(dx
ν
∂
µ
F − dx
µ
∂
ν
F ) . (2.40)
Agora, somando (2.34) e (2.40), temos
∂
µ
ξ
ν
= −ω
µν
+
1
2
F h
µν
+
1
2
(dx
ν
∂
µ
F − dx
µ
∂
ν
F ) . (2.41)
Integrando esta equa¸c˜ao em dx
µ
,
ξ
ν
= a
ν
− ω
µν
x
µ
+
1
2
dx
ν
F +
1
2
dx
µ
(dx
ν
∂
µ
F − dx
µ
∂
ν
F ) , (2.42)
15
onde a ´e um vetor constante, obtemos o campo ξ
ν
em fun¸c˜ao de F (x) ≡
2
n
∂
µ
ξ
µ
.
Para encontrar F , contra´ımos (2.38) com h
λµ
:
∂
ν
F − n ∂
ν
F = ∂
µ
∂
µ
ξ
ν
− ∂
ν
∂
µ
ξ
µ
. (2.43)
Mas
∂
µ
ξ
µ
= ∂
µ
ξ
µ
≡
n
2
F , (2.44)
de modo que
∂
2
ξ
ν
=
1 −
n
2
∂
ν
F . (2.45)
Tomando mais uma derivada,
∂
2
∂
µ
ξ
ν
=
1 −
n
2
∂
µ
∂
ν
F (2.46)
e simetrizando:
∂
2
∂
(µ
ξ
ν)
=
1 −
n
2
∂
(µ
∂
ν)
F (2.47)
=
1 −
n
2
2 ∂
µ
∂
ν
F
= (2 − n) ∂
µ
∂
ν
F .
Agora, de (2.34), temos que
∂
2
∂
(µ
ξ
ν)
= ∂
2
F h
µν
. (2.48)
Logo, (2.47) se torna
∂
2
F h
µν
= (2 − n) ∂
µ
∂
ν
F . (2.49)
O tra¸co desta equa¸c˜ao fornece
n ∂
2
F = (2 − n) ∂
2
F (2.50)
(n − 1) ∂
2
F = 0 .
Portanto, para n > 1,
∂
2
F = 0 , (2.51)
o que, substitu´ıdo em (2.49), nos d´a
∂
µ
∂
ν
F = 0 (2.52)
para n > 2. Nesse caso, F (x) dever´a ser uma fun¸c˜ao linear, que escreveremos
F (x) = 2 λ + 4 c
ν
x
ν
, (2.53)
16
com λ e c
ν
constantes, de forma que
∂
µ
F = 4 c
ν
δ
ν
µ
= 4 c
µ
. (2.54)
Substituindo (2.53) e (2.54) em (2.42), obtemos finalmente
ξ
µ
= a
µ
− ω
µν
x
ν
+
dx
µ
(λ + 2 c
ν
x
ν
) + 2
dx
ν
(dx
µ
c
ν
− dx
ν
c
µ
) (2.55)
= a
µ
− ω
µν
x
ν
+ λ x
µ
+ 2 c
ν
(x
ν
dx
µ
+ x
µ
dx
ν
) − 2 c
µ
x
ν
dx
ν
= a
µ
− ω
µν
x
ν
+ λ x
µ
+ 2 c
ν
x
µ
x
ν
− c
µ
x
ν
x
ν
= a
µ
− ω
µν
x
ν
+ λ x
µ
+ c
ν
(2 h
νρ
x
µ
x
ρ
− δ
µ
ν
σ
2
(x)) ,
que ´e a forma geral para um campo de Killing conforme num espa¸co plano (aqui, σ
2
(x) ≡
x
ν
x
ν
).
Neste momento, ´e interessante retornarmos `a equa¸c˜ao de Killing (2.10) e resolvˆe-la
tamb´em para um espa¸co plano, de modo a tra¸carmos um paralelo com a sua vers˜ao
conforme. Para uma m´etrica plana, (2.10) se torna
∂
(µ
ξ
ν)
= 0 . (2.56)
Agora, assim como no caso conforme, tomamos uma derivada adicional
∂
λ
∂
(µ
ξ
ν)
= 0 (2.57)
e permutamos os ´ındices
∂
µ
∂
(ν
ξ
λ)
= 0 (2.58)
∂
ν
∂
(λ
ξ
µ)
= 0 . (2.59)
Subtraindo (2.59) de (2.58), temos
∂
λ
∂
[µ
ξ
ν]
= 0 . (2.60)
Somando (2.60) a (2.57), vemos que
∂
λ
∂
µ
ξ
ν
= 0 , (2.61)
a mesma condi¸c˜ao obtida para ∂
ν
ξ
ν
no caso conforme. Num espa¸co plano, portanto, os
campos de Killing assumir˜ao a forma
ξ
µ
= a
µ
− ω
µν
x
ν
, (2.62)
17
com a
µ
e ω
µν
constantes. De (2.56) tamb´em vemos que ω
µν
´e anti-sim´etrico. Logo,
notamos que o campo de Killing geral num espa¸co plano (2.62) corresponde aos dois
primeiros termos do campo de Killing conforme geral no espa¸co correspondente (2.55).
Cada um dos termos do campo de Killing conforme (2.55) da m´etrica plana h
µν
corresponde a um tipo de transforma¸c˜ao, cujos geradores podem ser identificados como
segue.
Transla¸c˜oes:
ξ
µ
= a
µ
(2.63)
= a
ν
δ
µ
ν
= a
ν
∂
ν
x
µ
≡ (a
ν
P
ν
) x
µ
,
com os n geradores
P
ν
= ∂
ν
; (2.64)
(Pseudo-)Rota¸c˜oes:
ξ
µ
= −ω
µν
x
ν
(2.65)
= ω
νµ
x
ν
= ω
νρ
∂
ρ
x
µ
x
ν
=
1
2
(ω
νρ
− ω
ρν
) x
ν
∂
ρ
x
µ
=
1
2
(ω
νρ
x
ν
∂
ρ
− ω
ρν
x
ν
∂
ρ
) x
µ
=
1
2
ω
νρ
(x
ν
∂
ρ
− x
ρ
∂
ν
) x
µ
≡
1
2
ω
νρ
M
νρ
x
µ
,
com os
1
2
n(n − 1) geradores independentes (anti-sim´etricos)
M
νρ
= x
ν
P
ρ
− x
ρ
P
ν
; (2.66)
Dilata¸c˜oes:
ξ
µ
= λ x
µ
(2.67)
= λ x
ν
δ
µ
ν
= λ x
ν
∂
ν
x
µ
≡ λ D x
µ
,
18
com o gerador
D = x
ν
P
ν
; (2.68)
Transforma¸c˜oes conformes especiais (ou pr´oprias):
ξ
µ
= c
ν
(2 h
νρ
x
µ
x
ρ
− δ
µ
ν
σ
2
) (2.69)
= c
ν
(2 h
νρ
x
λ
x
ρ
− δ
λ
ν
σ
2
) δ
µ
λ
= c
ν
(2 h
νρ
x
λ
x
ρ
− δ
λ
ν
σ
2
) ∂
λ
x
µ
= c
ν
K
ν
x
µ
,
com os n geradores
K
ν
= (2 h
νρ
x
λ
x
ρ
− δ
λ
ν
σ
2
) P
λ
. (2.70)
No total, temos n +
1
2
n(n − 1) + 1 + n =
1
2
(n + 2)(n + 1) geradores correspondentes
aos
1
2
(n + 2)(n + 1) parˆametros a
µ
, ω
µν
, λ e c
µ
. Cada uma das quatro fam´ılias de
transforma¸c˜oes constitui uma estrutura alg´ebrica de grupo, bem como o conjunto de
todas elas. Este ´ultimo ´e chamado grupo conforme (em n = p + q dimens˜oes) C(p, q) e ´e
isom´orfico `a componente de identidade do grupo pseudo-ortogonal em (p + 1) + (q + 1)
dimens˜oes SO
+
(p + 1, q + 1). Os primeiros dois tipos de transforma¸c˜oes, em particular,
comp˜oem, de acordo com (2.62), as isometrias do espa¸co em quest˜ao, dadas por n +
n(n − 1)/2 = n(n + 1)/2 geradores referentes aos n(n + 1)/2 parˆametros a
µ
e ω
µν
(o que
condiz com o fato de os espa¸cos planos serem maximalmente sim´etricos).
A simetria conforme n˜ao ´e uma simetria f´ısica global na relatividade restrita. Po-
r´em, estas transforma¸c˜oes preservam a estrutura do cone de luz, sobre o qual todas as
distˆancias s˜ao nulas — ou seja, ds
2
= 0, que ´e uma condi¸c˜ao invariante conforme (i.e.
n˜ao depende de escala). Logo, f´otons, os quais n˜ao possuem massa (e que, portanto,
viajam sobre o cone de luz) obedecem a simetria conforme e o eletromagnetismo ´e, con-
seq
¨
uentemente, uma teoria invariante de escala. Part´ıculas massivas, por outro lado,
obedecem ds
2
< 0, estabelecendo uma escala dada pela sua massa e n˜ao respeitando,
conseq
¨
uentemente, a simetria conforme.
Como veremos adiante, no grupo de de Sitter, cada uma das quatro transla¸c˜oes
espa¸co-temporais do grupo de Poincar´e ser´a adicionada da transforma¸c˜ao conforme pr´o-
pria correspondente. Al´em disso, a m´etrica do espa¸co de de Sitter ser´a conformalmente
plana, ou seja, ser´a a mesma que a de Minkowski a menos de uma fun¸c˜ao multiplicativa.
Como conseq
¨
uˆencia deste fato, veremos que raios de luz viajar˜ao sobre linhas retas no
espa¸co de de Sitter. Tais quest˜oes ser˜ao tratadas no quarto cap´ıtulo, onde discutiremos
em detalhe o espa¸co de de Sitter e suas simetrias.
19
Cap´ıtulo 3
A Relatividade de Einstein
Conforme discutido na se¸c˜ao anterior, as teorias cinem´aticas aceitas na f´ısica desde a
mecˆanica cl´assica incorporam como fundamento impl´ıcito ou expl´ıcito o princ´ıpio da
relatividade. A relatividade newtoniana, no entanto, n˜ao abarca fenˆomenos eletromag-
n´eticos, que s´o passaram a ser descritos formalmente por uma teoria completa a partir
de Maxwell em 1865 [39]. A teoria de Maxwell, por introduzir elementos fundamental-
mente novos, demandou a formula¸c˜ao de uma nova relatividade (ou, em outras palavras,
uma nova defini¸c˜ao cinem´atica dos referenciais inerciais), feito alcan¸cado na sua forma
derradeira por Einstein em 1905 [28]. Minkowski, posteriormente, demonstraria [26] ser
o pr´oprio princ´ıpio da relatividade conseq
¨
uˆencia de uma propriedade mais fundamen-
tal do universo: a inseparabilidade entre tempo e espa¸co. Os detalhes deste processo
fornecem uma ilumina¸c˜ao valiosa no sentido de uma compreens˜ao mais profunda acerca
dos princ´ıpios-guia na edifica¸c˜ao da teoria da relatividade restrita e, num ˆambito mais
amplo, das quest˜oes em jogo no processo de formula¸c˜ao de teorias cinem´aticas em geral.
Iniciamos, portanto, com um tratamento de tal desenvolvimento hist´orico, passando da´ı
para uma exposi¸c˜ao formal dos fundamentos da teoria. Tais conte´udos ser˜ao de vital
importˆancia no desenvolvimento dos princ´ıpios da relatividade restrita de de Sitter e na
an´alise do seu status como teoria cinem´atica vi´avel.
3.1 O Princ´ıpio da Relatividade e o Eletromagnetismo
3.1.1 A Teoria de Maxwell
Precussores e contemporˆaneos de Maxwell defendiam a id´eia de que as intera¸c˜oes eletro-
magn´eticas, assim como a gravita¸c˜ao newtoniana, atuariam a distˆancia. Tais intera¸c˜oes,
todavia, difeririam da gravita¸c˜ao em serem dependentes n˜ao apenas da separa¸c˜ao espa-
cial, mas tamb´em das velocidades dos corpos envolvidos. Com respeito a isso, Maxwell,
apesar de reconhecer o ˆexito das teorias obtidas a partir de tal hip´otese, advertia:
“The mechanical difficulties, however, which are involved in the assump-
tion of particles acting at a distance with forces which depend on their velo-
20
cities are such as to prevent me from considering this theory as an ultimate
one [...]”,
propondo alternativa:
“I have therefore preferred to seek an explanation of the fact in another
direction, by supposing them to be produced by actions which go on in the
surrounding medium as well as in the excited bodies, and endeavoring to
explain the action between distant bodies without assuming the existence of
forces capable of acting directly at sensible distances.” [39].
Portanto, Maxwell propunha que as intera¸c˜oes eletromagn´eticas fossem propagadas
no meio existente entre os corpos. Tal id´eia possu´ıa, adicionalmente, sustentan¸c˜ao no
entendimento da ´epoca acerca dos fenˆomenos termodinˆamicos e ´opticos (at´e ent˜ao, a
´optica n˜ao possu´ıa v´ınculos com o eletromagnetismo), segundo o qual a propaga¸c˜ao de
calor e luz entre os corpos dependeria sempre de algum meio que lhe desse suporte (da
mesma forma como as ondas sonoras). Acreditava-se, ainda, que tal meio possu´ısse uma
natureza que ultrapassasse a da mat´eria usual (da´ı receber o nome ´eter), visto que tal
propaga¸c˜ao aconteceria independentemente da existˆencia de mat´eria entre os corpos, a
qual apenas modific´a-la-ia em certa instˆancia. Considerando tais argumentos, Maxwell
estendeu a id´eia do ´eter para o dom´ınio do eletromagnetismo, definindo o que chamou
de campo eletromagn´etico:
“The electromagnetic field is that part of space which contains and sur-
rounds bodies in electric or magnetic conditions.
It may be filled with any kind of matter, or we may endeavour to render
it empty of all gross matter, as in the case of Geissler’s tubes and other so
called vacua.
There is always, however, enough of matter left to receive and transmit
the undulations of light and heat, and it is because the transmission of these
radiations is not greatly altered when transparent bodies of measurable den-
sity are substituted for the so-called vacuum, that we are obliged to admit
that the undulations are those of an æthereal substance, and not of the gross
matter, the presence of which merely modifies in some way the motion of the
ether.
We have therefore some reason to believe, from the phenomena of light
and heat, that there is an æthereal medium filling space and permeating
bodies, capable of being set in motion and of transmitting that motion from
one part to another, and of communicating that motion to gross matter so
as to heat it and affect it in various ways.” [39],
21
Tal passagem esclarece o acima exposto acerca das motiva¸c˜oes de Maxwell e torna
clara a fun¸c˜ao essencial da presen¸ca do ´eter na sua teoria eletromagn´etica. Tal teoria
teve entre suas conseq
¨
uˆencias mais relevantes a predi¸c˜ao da existˆencia de ondas eletro-
magn´eticas. Estas possuiriam, de acordo com a equa¸c˜ao de onda obtida por Maxwell,
uma velocidade de propaga¸c˜ao constante dada por c =
1
µ
0
0
, onde µ
0
e
0
s˜ao a
permissividade el´etrica e permeabilidade magn´etica do v´acuo (ou, no caso, do ´eter) res-
pectivamente. Tal valor coincidia com a velocidade ent˜ao experimentalmente conhecida
de propaga¸c˜ao da luz, o que levou Maxwell a propor que a natureza fundamental da
luz fosse de fato a de radia¸c˜ao eletromagn´etica. A velocidade c seria praticada pela luz
com rela¸c˜ao ao ´eter, o qual assumiria, desse modo, a fun¸c˜ao de um referencial absoluto.
A produ¸c˜ao de ondas de r´adio por Hertz em 1885 forneceu a confirma¸c˜ao experimetal
definitiva da teoria de Maxwell.
Um fato, por´em, assombrava as equa¸c˜oes de Maxwell: estas n˜ao s˜ao invariantes por
boosts de Galileu. A pr´opria universalidade do valor c =
1
µ
0
0
para a velocidade da
luz, pela constru¸c˜ao da teoria segundo a interpreta¸c˜ao de Maxwell, s´o seria poss´ıvel
para referenciais em repouso com rela¸c˜ao ao ´eter — e n˜ao para outros em movimento,
ainda que retil´ıneo e uniforme, relativamente a este [40]. Desse modo, observadores neste
´ultimo caso seriam capazes de conhecer a sua condi¸c˜ao de movimento com rela¸c˜ao ao
´eter pela medida da velocidade da luz no seu referencial, o que contrariaria o princ´ıpio
da relatividade (segundo o qual, reiteramos, repouso e movimento retil´ıneo uniforme
s˜ao indistingu´ıveis). Portanto, parecia aos f´ısicos da ´epoca que o eletromagnetismo, ao
contr´ario da mecˆanica (leis de Newton e gravita¸c˜ao), n˜ao respeitaria o princ´ıpio da re-
latividade na sua completude. No entanto, a “n˜ao-galileanidade” da teoria de Maxwell
acabou revelando conter inova¸c˜oes te´oricas (e matem´aticas) profundas, demonstrando se-
rem n˜ao somente o eletromagnetismo mas a pr´opria mecˆanica fundamentalmente sujeitos
a um outro tipo de relatividade, da qual a newtoniana seria apenas uma aproxima¸c˜ao.
3.1.2 Uma nova relatividade
Tanto antes quanto depois de Maxwell, diversas teorias existiram no que diz respeito
`a propaga¸c˜ao da luz e `a natureza do ´eter. Tamb´em diversos foram os experimentos
realizados em fins do s´eculo XIX e come¸co do s´eculo XX no intuito de se observar o mo-
vimento dos corpos em rela¸c˜ao ao ´eter. O resultado negativo de tais experimentos levou
cientistas como Lorentz, FitzGerald, Larmor e Poincar´e a trabalharem em id´eias que se
conformariam no que Poincar´e batizou como transforma¸c˜oes de Lorentz (hoje mais pro-
priamente chamadas boosts de Lorentz ). Estas s˜ao transforma¸c˜oes de coordenadas entre
referenciais em movimento relativo, ou seja, o equivalente aos boosts galileanos, por´em
levando-se em conta a nova simetria imposta pelas equa¸c˜oes de Maxwell e interpretada
`a luz dos resultados dos experimentos citados. De acordo com tais transforma¸c˜oes, as
coordenadas cartesianas (t
, x
, y
, z
) do referencial de um observador inercial movendo-
22
se com velocidade de magnitude v na dire¸c˜ao x tal qual medida por um observador num
outro referencial inercial com coordenadas (t, x, y, z) ser˜ao:
t
= γ
t −
v
c
2
x
(3.1)
x
= γ (x − vt) (3.2)
y
= y (3.3)
z
= z, (3.4)
onde
γ ≡
1 −
v
2
c
2
−2
. (3.5)
Tais transforma¸c˜oes carregam consigo os conceitos de contra¸c˜ao espacial e dilata¸c˜ao
temporal, al´em da relatividade do conceito de simultaneidade.
Com base nestas transforma¸c˜oes, uma teoria cinem´atica do movimento dos corpos
no ´eter foi elaborada, especialmente por Lorentz e Poincar´e, compat´ıvel com as equa¸c˜oes
de Maxwell, com os resultados experimentais — o ´eter seria, nesta teoria, indetect´avel
— e com o princ´ıpio da relatividade.
Einstein, por´em, mostrou-se insatisfeito com a interpreta¸c˜ao do eletromagnetismo
decorrente da suposta existˆencia do ´eter. Segundo esta, fenˆomenos cujos resultados ob-
servacionais s´o dependem dos movimentos relativos entre os corpos envolvidos seriam
descritos formalmente de modo diferente dependendo de como se considerasse o movi-
mento destes corpos com rela¸c˜ao ao ´eter. Este fato o levou a tomar um caminho te´orico
diferente do de seus contemporˆaneos: Einstein restituiu ao princ´ıpio da relatividade o
status de postulado que lhe fora conferido de modo nato por Galileu, assumindo adici-
onalmente o segundo postulado de que a luz prapagar-se-ia no v´acuo com a velocidade
constante c em rela¸c˜ao a todos os observadores inerciais (e n˜ao ao ´eter). Einstein pˆode,
assim, obter as transforma¸c˜oes de Lorentz, e, por extens˜ao, todos os resultados da teoria
de Lorentz e Poincar´e, sem a necessidade de um ´eter lumin´ıfero [28].
Em 1908, Minkowski [26] obteve o belo e valioso resultado de que o postulado da
constˆancia da velocidade da luz adicionado por Einstein ao princ´ıpio da relatividade
significava algo muito mais fundamental: uma uni˜ao entre tempo e espa¸co muito mais
´ıntima do que aquela existente na mecˆanica cl´assica. Em Newton, espa¸co e tempo, ainda
que atuando conjuntamente para constituir o pano de fundo dos fenˆomenos naturais,
s˜ao grandezas de naturezas distintas, cada qual com suas unidades de medida pr´oprias e
incomunic´aveis entre si, visto que qualquer escala de velocidade escolhida para relacionar-
se medidas de tempo com medidas de espa¸co sofreria varia¸c˜ao pelos boosts de Galileu e
n˜ao possuiria, portanto, car´ater universal. Em Einstein, por´em, segundo observado por
Minkowski, a velocidade c fornece um parˆametro universal de convers˜ao entre medidas
de espa¸co e de tempo, tornando os dois conceitos compat´ıveis. Tal velocidade acaba
23
por ser a m´axima conceb´ıvel na teoria, e hoje sabemos que ´e praticada pela luz devido
ao fato de os f´otons n˜ao possu´ırem massa. Portanto, o segundo postulado de Einstein
torna-se conseq
¨
uˆencia da fus˜ao entre espa¸co e tempo numa ´unica entidade.
Al´em disso, o pr´oprio princ´ıpio da relatividade, agora expresso pelos boosts de Lo-
rentz em vez dos de Galileu, assume um novo significado, tornando-se, como o segundo
postulado, conseq
¨
uˆencia da unifica¸c˜ao entre espa¸co e tempo. Na mecˆanica cl´assica, as
transla¸c˜oes e rota¸c˜oes espaciais, as transla¸c˜oes no tempo e os boosts correspondiam, res-
pectivamente, `a homogeneidade e `a isotropia do espa¸co, `a homogeneidade do tempo e ao
princ´ıpio da relatividade newtoniano. Na relatividade einsteniana, por outro lado, temos
um espa¸co-tempo uno, as transla¸c˜oes espa¸co-temporais correspondendo `a sua homoge-
neidade e as transforma¸c˜oes de Lorentz (rota¸c˜oes espaciais mais boosts lorentzianos, ou,
conjuntamente, “rota¸c˜oes espa¸co-temporais”), `a sua isotropia.
A relatividade restrita, portanto, pode (e deve) ser pensada, em termos fundamentais,
como a teoria cinem´atica cl´assica que assume um espa¸co-tempo unificado, homogˆeneo e
isotr´opico
1
(ou, em outras palavras, maximalmente sim´etrico), desta defini¸c˜ao seguindo a
constˆancia da velocidade da luz, as transforma¸c˜oes de Lorentz, o princ´ıpio da relatividade
e todas as suas demais propriedades.
3.2 Aspectos Formais
Expomos nesta se¸c˜ao os elementos fundamentais da relatividade restrita na lingua-
gem da f´ısica-matem´atica moderna, ou seja, a sua variedade m´etrica e o seu grupo de
movimento, a partir dos quais todas as suas propriedades cinem´aticas podem ser obtidas.
3.2.1 O Espa¸co de Minkowski
Dentre os espa¸cos maximalmente sim´etricos de 3+1 dimens˜oes, o espa¸co de Minkowski M
´e definido como aquele que possui curvatura nula; ou seja, ´e o espa¸co pseudo-euclidiano
M ≡ E
3,1
. (3.6)
Sua m´etrica, portanto, em coordenadas cartesianas, ´e expressa pela matriz diagonal
η ≡ (+1, −1, −1, −1), o que fornece o elemento de linha (c = 1)
dτ
2
= η
µν
x
µ
x
ν
= dt
2
− dx
2
− dy
2
− dz
2
= dt
2
− dl
2
, (3.7)
onde dl
2
= dx
2
+ dy
2
+ dz
2
´e o elemento de linha no espa¸co euclidiano tridimensional
(distˆancia espacial).
1
Minkowski [26] batizou tal princ´ıpio de postulado do mundo absoluto, usando a palavra “mundo” no
sentido de espa¸co-tempo, e defendendo expressamente ser este o postulado cinem´atico fundamental da
teoria da relatividade, em lugar do princ´ıpio da relatividade.
24
3.2.2 O grupo de Poincar´e
Conforme visto no segundo cap´ıtulo, as isometrias infinetesimais de um espa¸co plano
(p, q)
0
qualquer s˜ao dadas pelos geradores
P
µ
= ∂
µ
(3.8)
M
µν
=
1
2
(x
µ
∂
ν
− x
ν
∂
µ
) , (3.9)
que fornecem respectivamente as n = p+q transla¸c˜oes e as n(n−1)/2 (pseudo-)rota¸c˜oes.
As transla¸c˜oes formam um grupo alg´ebrico, que denotaremos por T
n
. As pseudo-
rota¸c˜oes, por outro lado, constituem o grupo SO
+
(p, q). O conjunto de todas as com-
bina¸c˜oes poss´ıveis entre transla¸c˜oes e pseudo-rota¸c˜oes forma o grupo ISO
+
(p, q). Este
grupo ´e um produto semi-direto [41] entre T
n
e SO
+
(p, q) (denotamos ISO
+
(p, q) =
T
n
SO
+
(p, q)) pois [42]:
1. cada transforma¸c˜ao de ISO
+
(p, q) pode ser expressa como a composi¸c˜ao entre
uma ´unica transla¸c˜ao e uma ´unica rota¸c˜ao;
2. o ´unico elemento em comum entre T
n
e SO
+
(p, q) ´e a identidade;
3. T
n
´e um subgrupo invariante [31] de ISO
+
(p, q), ou seja,
AT A
−1
∈ T
n
∀ T ∈ T
n
, A ∈ ISO
+
(p, q) . (3.10)
O grupo SO
+
(p, q), por´em, n˜ao ´e um subgrupo invariante de ISO
+
(p, q), e por isto
este n˜ao ´e um produto direto [42]. Fisicamente, isto significa que, numa composi¸c˜ao
de duas transforma¸c˜oes gen´ericas de ISO
+
(p, q), a parte translacional ´e afetada pela
parte rotacional (mas n˜ao o inverso). Para tornar clara e rigorosa esta id´eia, denota-
mos cada transforma¸c˜ao de ISO
+
(p, q) como (Λ , a), onde Λ representa a matriz da
rota¸c˜ao e a o vetor da transla¸c˜ao que, efetuadas nesta ordem, fornecem em conjunto a
referida transforma¸c˜ao. Sabemos que uma transla¸c˜ao ( , a) seguida de outra transla¸c˜ao
( , a
) fornece a transla¸c˜ao ( , a + a
) = ( , a
+ a) (aqui notamos, de passagem, que
as transla¸c˜oes s˜ao comutativas), e que a seq
¨
uˆencia de duas rota¸c˜oes (Λ , 0) e (Λ
, 0)
fornece igualmente a rota¸c˜ao (Λ
Λ , 0) (aqui, por outro lado, a ordem dos fatores faz
diferen¸ca). Se efetuamos, por´em, uma transforma¸c˜ao gen´erica (Λ , a) seguida de outra
transforma¸c˜ao (Λ
, a
), teremos como resultante a transforma¸c˜ao (Λ
Λ , Λ
a + a
). No
caso de um produto direto, por outro lado, a resultante seria simplesmente (Λ
Λ , a +a
),
sem interferˆencia m´utua entre os dois subgrupos [41].
No caso do espa¸co de Minkowski (3, 1)
0
, as pseudo-rota¸c˜oes correspondem `as trans-
forma¸c˜oes de Lorentz (boosts de Lorentz mais rota¸c˜oes espaciais). O grupo SO
+
(3, 1)
´e, portanto, chamado grupo de Lorentz e denotado por L. J´a o grupo ISO
+
(3, 1) de
todas as isometrias de M ´e chamado grupo de Poincar´e e denotado por P, de modo que
P = T
4
L [43].
25
As transforma¸c˜oes do grupo T
4
podem ser expressas como
x
µ
→ x
µ
+ a
µ
, (3.11)
onde x
µ
s˜ao as coordenadas espa¸co-temporais cartesianas e os parˆametros a
µ
s˜ao as
componentes cartesianas de um quadrivetor constante. Da forma destas transforma¸c˜oes
vemos que o grupo T
4
age transitivamente em M, ou seja, que as transla¸c˜oes levam
qualquer ponto da variedade M em qualquer outro. O grupo T
4
, portanto, ´e o subgrupo
de P respons´avel pela homogeneidade do espa¸co de Minkowski (dizemos tamb´em que M
´e transitivo por transla¸c˜oes e que a variedade correspondente a T
4
´e M).
Por outro lado, o grupo de Lorentz ´e o subgrupo de isotropia de P, ou seja, ´e o
subgrupo das transforma¸c˜oes de P que deixam a origem fixa (sendo esta uma carac-
ter´ıstica das transforma¸c˜oes ortogonais). Portanto, dentro do grupo P das isometrias
do espa¸co de Minkowski, L ´e o subgrupo respons´avel pela isotropia deste espa¸co. As
transforma¸c˜oes de tal grupo, portanto, podem ser expressas como
x
µ
→ Λ
µ
ν
x
ν
, (3.12)
onde Λ
µ
ν
s˜ao componentes de matrizes ortogonais de ordem 4 e que podem ser defor-
madas continuamente at´e se obter a matriz identidade (estas matrizes, evidentemente,
possuem todas determinante igual a +1, vez que det = +1).
Al´em disso, o grupo de Lorentz, sendo um grupo ortogonal, possui a estrutura de um
grupo de rota¸c˜oes generalizadas. Os seus elementos podem ser divididos em dois con-
juntos. Aqueles que mantˆem a componente temporal do espa¸co-tempo intacta formam
um subgrupo isom´orfico ao grupo ortogonal especial SO(3), constitu´ıdo pelas rota¸c˜oes
pr´oprias (ou seja, descontadas reflex˜oes) nas trˆes dimens˜oes espaciais. As transforma¸c˜oes
restantes em L fornecem “rota¸c˜oes em planos espa¸co-temporais”, ou seja, rota¸c˜oes hiper-
b´olicas (imagin´arias) envolvendo coordenadas de espa¸co e de tempo. Este subconjunto
constitui os boosts de Lorentz: as transforma¸c˜oes que relacionam referenciais inerciais
em movimento relativo — definindo o conceito de movimento uniforme no sentido do
princ´ıpio da relatividade — no contexto da relatividade restrita. Portanto, podemos
compreender a equa¸c˜ao (3.12) como sendo Λ matrizes de rota¸c˜ao atuando nas coorde-
nadas (it, x, y, z) (em unidades naturais, i.e. c = 1). No caso em que a componente
temporal ´e envolvida, obtˆem-se as express˜oes para os boosts descritas na se¸c˜ao anterior.
´
E v´alido salientar que tal subconjunto, ao contr´ario das rota¸c˜oes espaciais, n˜ao constitui
um grupo por conta pr´opria (visto que a composi¸c˜ao de dois boosts de Lorentz, em geral,
n˜ao fornece um boost de Lorentz). Al´em disso, nem as rota¸c˜oes espaciais nem os boosts
lorentzianos s˜ao comutativos (ao contr´ario dos boosts galileanos) e o grupo de Lorentz,
ao contr´ario do seu correspondente galileano G
∞
, ´e um grupo semi-simples. O grupo de
Poincar´e como um todo, por outro lado, n˜ao ´e um grupo semi-simples, pois o subgrupo
26
T
4
´e ainda abeliano.
A partir das formas finitas das transla¸c˜oes e transforma¸c˜oes de Lorentz dadas acima,
vemos que uma transforma¸c˜ao gen´erica de P possuir´a a forma
x
µ
→ Λ
µ
ν
x
ν
+ a
µ
(3.13)
caso a transforma¸c˜ao de Lorentz seja efetuada antes da transla¸c˜ao, ou
x
µ
→ Λ
µ
ν
(x
ν
+ a
ν
) = Λ
µ
ν
x
ν
+ Λ
µ
ν
a
ν
(3.14)
caso contr´ario. Notamos que esta transforma¸c˜ao ´e uma express˜ao linear inomogˆenea em
x, ou seja, consiste de um termo proporcional a x (transforma¸c˜ao de Lorentz) acrescido de
um termo independente de x (transla¸c˜ao). Por conta disso, P ´e tamb´em chamado grupo
de Lorentz inomogˆeneo (da´ı a nota¸c˜ao ISO
+
(1, 3)) — enquanto L, nesse caso, ´e chamado
grupo de Lorentz homogˆeneo. O car´ater inomogˆeneo conferido pelas transla¸c˜oes ao grupo
de Poincar´e significa que as transforma¸c˜oes de P em geral n˜ao mantˆem a origem fixa
(preservada pelo grupo de Lorentz homogˆeneo). Devido a este fato, o grupo de Poincar´e
´e considerado o grupo afim ao grupo de Lorentz. Tal propriedade confere tamb´em ao
espa¸co de Minkowski o car´ater de um espa¸co afim, em vez de um espa¸co vetorial, pois
nele n˜ao existe uma origem privilegiada, ou seja, todos os pontos s˜ao equivalentes, de
modo que uma transla¸c˜ao (mudan¸ca da origem) mant´em o espa¸co idˆentico.
A matriz que representa a transforma¸c˜ao (3.13) ´e imediatamente obtida como sendo
Λ
0
0
Λ
0
1
Λ
0
2
Λ
0
3
a
0
Λ
1
0
Λ
1
1
Λ
1
2
Λ
1
3
a
1
Λ
2
0
Λ
2
1
Λ
2
2
Λ
2
3
a
2
Λ
3
0
Λ
3
1
Λ
3
2
Λ
3
3
a
3
0 0 0 0 1
, (3.15)
donde o car´ater afim de P fica claro no sentido matricial [44].
3.2.3 O Car´ater Quociente do Espa¸co de Minkowski
O grupo de Poincar´e, bem como os seus subgrupos L e T
4
, s˜ao grupos de Lie. Isto
significa que a cada um deles corresponde uma variedade diferenci´avel. As variedades
s˜ao, antes de tudo, espa¸cos topol´ogicos. O grupo de Lorentz (entre outros subgrupos
de P) define uma simetria — e, portanto, uma rela¸c˜ao de equivalˆencia — na variedade
correspondente ao grupo de Poincar´e (a qual denotaremos tamb´em por P). Tal rela¸c˜ao
consiste em se identificarem todos os pontos da variedade P (que possui 10 dimens˜oes)
os quais podem ser obtidos uns a partir dos outros por meio de alguma transforma¸c˜ao
de Lorentz. Um espa¸co topol´ogico S munido de uma rela¸c˜ao de equivalˆencia R (que
27
denotaremos por S
R
) permite a defini¸c˜ao de um espa¸co quociente S/R [45], que ´e o espa¸co
resultante da identifica¸c˜ao dos pontos dada pela rela¸c˜ao de equivalˆencia — ou seja, o
espa¸co cujos pontos s˜ao as classes de equivalˆencia em S
R
(com a topologia induzida por
S). O quociente da variedade P pela classe de equivalˆencia dada por L (ou, simplesmente,
o quociente de P por L
2
) ´e tamb´em uma maneira de se definir o espa¸co de Minkowski:
M ≡ P/L. (3.16)
O car´ater quociente do espa¸co-tempo, como veremos, ´e preservado na relatividade
de de Sitter.
2
Note-se que n˜ao tratamos aqui efetivamente do quociente entre dois grupos (no sentido alg´ebrico),
mas sim de um quociente no sentido topol´ogico, ou seja, de um espa¸co topol´ogico por uma rela¸c˜ao de
equivalˆencia — ainda que cada um de ambos corresponda a um grupo. Dessa forma, o resultado obtido
n˜ao ´e um grupo (como seria no caso alg´ebrico), mas sim um outro espa¸co topol´ogico (no caso, por se
tratarem de grupos de Lie, uma variedade diferenci´avel).
28
Cap´ıtulo 4
A Relatividade de de Sitter
4.1 O Espa¸co de de Sitter
Vimos no cap´ıtulo anterior que o espa¸co de Minkowski M caracteriza-se matematica-
mente por ser o espa¸co maximalmente sim´etrico de 3+1 dimens˜oes e curvatura nula (ou
seja, (3, 1)
0
na nota¸c˜ao definida no primeiro cap´ıtulo) e que o seu grupo de isometria ´e o
grupo de Poincar´e P, o qual ´e formado pelo produto semi-direto entre o grupo das trans-
la¸c˜oes T
4
(respons´avel pela homogeneidade de M) e o grupo de Lorentz L (respos´avel
pela sua isotropia).
Por outro lado, o espa¸co de de Sitter (estudado pela primeira vez pelo astrˆonomo
neerlandˆes Willem de Sitter [46], de quem leva o nome) ´e definido como dS
R
≡ (3, 1)
R
,
R < 0, ou seja, ´e o espa¸co maximalmente sim´etrico tamb´em de 3+1 dimens˜oes, por´em
com curvatura escalar negativa (na conven¸c˜ao de sinais da m´etrica em que as componen-
tes espaciais s˜ao negativas). A sua contraparte em curvatura positiva ´e o espa¸co anti-de
Sitter AdS
R
≡ (3, 1)
R
, R > 0.
Conforme visto no primeiro cap´ıtulo, ambos estes espa¸cos podem ser visualizados
como hipersuperf´ıcies quadridimensionais imersas num espa¸co H pseudo-euclidiano lo-
rentziano em cinco dimens˜oes. Tal imers˜ao ´e definida pela equa¸c˜ao (2.16), que, neste
caso, fornece
H
AB
χ
A
χ
B
≡ η
ab
χ
a
χ
b
+s
χ
4
2
≡
χ
0
2
−
χ
1
2
−
χ
2
2
−
χ
3
2
+ s
χ
4
2
= s l
2
, (4.1)
onde H
AB
≡ diag(+1, −1, −1, −1, s) s˜ao as componentes da m´etrica pseudo-euclidiana
do espa¸co H nas coordenadas cartesianas
χ
A
, ao passo que η
ab
≡ (+1, −1, −1, −1)
e {x
a
} s˜ao a m´etrica e coordenadas cartesianas sobre o espa¸co de Minkowski E
3,1
(de
modo que H
ab
= η
ab
para a, b = 0, 1, 2, 3).
No caso de de Sitter (R < 0), H ≡ (4, 1)
0
≡ E
4,1
, ou seja, s = −1, de modo que (4.1)
se torna
χ
0
2
−
χ
1
2
−
χ
2
2
−
χ
3
2
−
χ
4
2
= −l
2
. (4.2)
29
Esta hipersuperf´ıcie ´e um hiperbol´oide equil´atero de uma folha centrado na origem cujos
semi-eixos principais medem l. Damos a este parˆametro o nome de comprimento ou raio
de de Sitter.
J´a o caso anti-de Sitter (R > 0), H ≡ (3, 2)
0
≡ E
3,2
, ou seja, s = +1. Temos,
portanto,
χ
0
2
−
χ
1
2
−
χ
2
2
−
χ
3
2
+
χ
4
2
= l
2
, (4.3)
ou seja, este espa¸co ´e um hiperbol´oide equil´atero de duas folhas.
De (2.17), temos que, para ambos estes espa¸cos,
l
2
=
12
|R|
. (4.4)
Por outro lado, da equa¸c˜ao de Einstein com termo cosmol´ogico no v´acuo
R
µν
−
R
2
+ Λ
g
µν
= 0 , (4.5)
obtemos de imediato, por contra¸c˜ao com g
µν
,
R = −4Λ (4.6)
e, conseq
¨
uentemente,
l
2
=
3
|Λ|
(4.7)
para um dado valor experimental da constante cosmol´ogica. Notamos que o limite em
que a constante cosmol´ogica (e, conseq
¨
uentemente, a curvatura) se anula corresponde ao
limite em que o comprimento de de Sitter tende a infinito. Por outro lado, no limite em
que o comprimento de de Sitter tende a zero, a constante cosmol´ogica tende a infinito,
o que d´a origem a um espa¸co-tempo singular [47].
O tensor de Riemann ´e dado (para qualquer espa¸co com curvatura constante) [3] por
R
µνρ
σ
=
R
12
δ
σ
ν
g
µρ
− δ
σ
µ
g
ρν
= −
Λ
3
δ
σ
ν
g
µρ
− δ
σ
µ
g
ρν
, (4.8)
de onde obtemos tamb´em o tensor de Ricci:
R
µν
=
R
4
g
µν
= −Λg
µν
(4.9)
(o memso resultado obt´em-se pela combina¸c˜ao de (4.5) e (4.6)).
30
4.2 Coordenadas estereogr´aficas
Para estudarmos o espa¸co de de Sitter em compara¸c˜ao com o espa¸co de Minkowski,
´e ´util introduzirmos naquele um sistema de coordenadas que o projete sobre este. Para
tanto, escolhemos a proje¸c˜ao estereogr´afica [48] do hiperbol´oide de de Sitter (ou anti-de
Sitter) sobre o plano de Minkowski M com este situado em χ
4
= −l, ou seja, M =
M × {−l} ⊂ H (lembrando que o hiperbol´oide est´a centrado na origem do sistema
cartesiano
χ
A
do espa¸co plano H).
As quatro coordenadas estereogr´aficas {x
a
} relacionam-se `as cinco coordenadas car-
tesianas
χ
A
de H por meio do comprimento de de Sitter l segundo
χ
a
x
a
=
Σ(χ)
σ(x)
=
1
2
1 − ¯χ
4
≡ Ω
l
¯χ
4
, (4.10)
onde
Σ(χ) ≡
H
ab
χ
a
χ
b
1/2
, σ(x) ≡
η
ab
x
a
x
b
1/2
e ¯χ
4
≡
χ
4
l
(4.11)
(lembrando que a, b = 0, 1, 2, 3). Portanto, a mudan¸ca da coordenadas ´e dada simples-
mente por
x
a
(χ) = Ω
l
−1
¯χ
4
χ
a
. (4.12)
´
E v´alido salientar que esta proje¸c˜ao ´e definida para todos os pontos do hiperbol´oide de
de Sitter exceto aqueles para os quais ¯χ
4
= 1, ou seja, χ
4
= l (que correspondem ao
“p´olo norte” na proje¸c˜ao estereogr´afica da esfera euclidiana, a partir do qual os demais
pontos s˜ao projetados [48]). Estes pontos ser˜ao “projetados sobre o infinito” do plano
de Minkowski. A proje¸c˜ao dos demais pontos do hiperbol´oide cobre toda a regi˜ao finita
deste plano.
Para obtermos as transforma¸c˜oes inversas (que dependem de Ω
l
(¯χ
4
)), precisamos
come¸car por encontrar ¯χ
4
(x). Para isto, voltamos `a equa¸c˜ao que define os espa¸cos de de
Sitter e anti-de Sitter (4.1), que agora reescrevemos como
s
l
2
Σ
2
(χ) +
¯χ
4
2
= 1 . (4.13)
Aqui usamos
Σ
2
(χ) = σ
2
(x) Ω
l
2
¯χ
4
(4.14)
=
σ(x)
2
2
1 − ¯χ
4
2
.
31
Assim, definindo
ζ(x) ≡ s
σ(x)
2l
2
, (4.15)
temos
ζ(x)
1 − ¯χ
4
2
= 1 −
¯χ
4
2
(4.16)
=
1 + ¯χ
4
1 − ¯χ
4
.
Como ¯χ
4
= 1, logo,
ζ(x)
1 − ¯χ
4
= 1 + ¯χ
4
, (4.17)
de modo que
ζ( ¯χ
4
) =
1 + ¯χ
4
1 − ¯χ
4
e ¯χ
4
(x) =
ζ(x) − 1
ζ(x) + 1
, (4.18)
o que nos d´a
Ω
l
(x) =
1
2
1 −
ζ(x) − 1
ζ(x) + 1
(4.19)
=
1
ζ(x) + 1
.
Agora sim, munidos de Ω
l
(x), podemos efetuar as transforma¸c˜oes inversas
χ
a
(x) = Ω
l
(x) x
a
e χ
4
(x) = l
ζ(x) − 1
ζ(x) + 1
= l Ω
l
(x) (ζ(x) − 1) . (4.20)
Neste sistema de coordenadas, a m´etrica de de Sitter demonstra seu car´ater confor-
malmente plano
g
µν
(x) = Ω
l
2
(x) η
µν
. (4.21)
4.3 O Grupo de de Sitter
O grupo das isometrias do hiperbol´oide de de Sitter (bem como do de anti-de Sit-
ter), isto ´e, o grupo das transforma¸c˜oes que mantˆem os pontos do hiperbol´oide sobre o
hiperbol´oide, ´e o grupo que preserva a m´etrica η = (+1, −1, −1, −1, s) do espa¸co H, ou
seja, o grupo O(4, 1) (no caso de de Sitter) ou O(3, 2) (no caso anti-de Sitter). O grupo
de movimento da relatividade de de Sitter, portanto, ser´a a componente de identidade
de O(4, 1), ou seja, o grupo de de Sitter dS ≡ SO
+
(4, 1) (no caso de uma constante
cosmol´ogica negativa, ter´ıamos o grupo anti-de Sitter AdS ≡ SO
+
(3, 2) como grupo de
movimento). Usando as coordenadas cartesianas do espa¸co H, os geradores de ambos os
32
grupos SO
+
(4, 1) e SO
+
(3, 2) se escrevem
L
AB
= H
AC
χ
C
∂
∂χ
B
− H
BC
χ
C
∂
∂χ
A
. (4.22)
Interessa-nos, por´em, saber a forma que estes geradores assumem no espa¸co de de
Sitter (ou anti-de Sitter), e n˜ao apenas no espa¸co H. Para tanto, usamos as coordenadas
estereogr´aficas definidas na se¸c˜ao anterior, que nos fornecem, em primeiro lugar, para
a, b < 4
L
ab
= H
aC
χ
C
∂
∂χ
b
− H
bC
χ
C
∂
∂χ
a
(4.23)
=
η
ac
χ
c
+ H
a4
χ
4
∂
∂χ
b
−
η
bc
χ
c
+ H
b4
χ
4
∂
∂χ
a
(4.24)
= η
ac
χ
c
∂
∂χ
b
− η
bc
χ
c
∂
∂χ
a
. (4.25)
Aqui, usamos
∂
∂χ
a
=
∂x
b
(χ)
∂χ
a
∂
∂x
b
(4.26)
= Ω
−1
l
¯χ
4
∂χ
b
∂χ
a
∂
∂x
b
= Ω
−1
l
δ
b
a
∂
∂x
b
= Ω
−1
l
∂
∂x
a
,
de modo que
L
ab
= η
ac
(Ω
l
x
c
)
Ω
−1
l
∂
∂x
b
− η
ac
(Ω
l
x
c
)
Ω
−1
l
∂
∂x
a
(4.27)
= η
ac
x
c
∂
∂x
b
− η
ac
x
c
∂
∂x
a
(4.28)
= M
ab
. (4.29)
Portanto, os L
ab
correspondem aos geradores de Lorentz (2.66). Isso mostra que os
grupos de de Sitter SO
+
(4, 1) e anti-de Sitter SO
+
(3, 2) possuem o grupo de Lorentz
L ≡ SO
+
(3, 1) como subgrupo. Como este grupo encerra as transforma¸c˜oes que mantˆem
a origem do espa¸co-tempo fixa, temos que, assim como no caso do grupo de Poincar´e, o
grupo de Lorentz ´e o subgrupo de isotropia dos grupos de de Sitter e anti-de Sitter. A
simetria de Lorentz portanto, ´e preservada na presen¸ca de constante cosmol´ogica.
Para os demais quatro geradores, temos
L
4b
= H
4C
χ
C
∂
∂χ
b
− H
bC
χ
C
∂
∂χ
4
. (4.30)
33
Usamos aqui
H
4C
χ
C
= H
44
χ
4
= s χ
4
= s l Ω
l
(ζ − 1) , (4.31)
de modo que o primero membro de (4.30) se torna
H
4C
χ
C
∂
∂χ
b
= s l Ω
l
(ζ − 1) Ω
−1
l
∂
∂x
b
(4.32)
= s l (ζ − 1)
∂
∂x
b
.
Por outro lado,
∂
∂χ
4
=
∂x
a
(χ)
∂χ
4
∂
∂x
a
(4.33)
=
∂
∂χ
4
Ω
−1
l
¯χ
4
χ
a
∂
∂x
a
= χ
a
−Ω
−2
l
∂
∂χ
4
Ω
l
1 − ¯χ
4
2
∂
∂x
a
= x
a
Ω
−1
l
1
2l
∂
∂x
a
,
de modo que o segundo membro de (4.30) se torna
H
bC
χ
C
∂
∂χ
4
= (η
bc
Ω
l
x
c
)
1
2l
Ω
−1
l
x
a
∂
∂x
a
(4.34)
=
1
2l
η
bc
x
c
x
a
∂
∂x
a
.
Assim, temos enfim
L
4b
= s l (ζ − 1)
∂
∂x
b
−
1
2l
η
bc
x
c
x
a
∂
∂x
a
(4.35)
=
σ
2
4l
∂
∂x
b
− s l
∂
∂x
b
−
1
2l
η
bc
x
c
x
a
∂
∂x
a
= −s l
∂
∂x
b
+
1
4l
σ
2
δ
a
b
− 2η
bc
x
c
x
a
∂
∂x
a
= −s lP
b
−
1
4l
K
b
,
ou, ainda,
Π
b
≡
L
4b
−s l
= P
b
+
s
4l
2
K
b
, (4.36)
onde identificamos os geradores das transla¸c˜oes (2.64) e das transforma¸c˜oes especiais
conformes (2.70) no espa¸co de Minkowski. Estas transforma¸c˜oes levam qualquer ponto do
espa¸co de (anti-)de Sitter em qualquer outro [3], definido, portanto, a sua homogeneidade.
Neste ponto reparamos na diferen¸ca crucial entre o grupo de Poincar´e e os grupos
34
de de Sitter e anti-de Sitter. Embora o grupo de isotropia (“rota¸c˜oes”) seja o mesmo em
todos estes, o grupo de transitividade (“transla¸c˜oes”) ser´a diferente para cada um deles.
Vemos, por´em, que, tanto no caso de de Sitter quanto no caso anti-de Sitter, no limite de
constante cosmol´ogica nula (em que o raio de de Sitter diverge), escrevendo os geradores
na forma apropriada, recuperamos as transla¸c˜oes de Minkowski (Π
a
→ P
a
) e o grupo de
de Sitter contrai-se para o grupo de Poincar´e (dS → P).
Os grupos de de Sitter e anti-de Sitter, por´em, s˜ao matematicamente mais trat´aveis
do que o grupo de Poincar´e. Este ´ultimo ´e um grupo afim, ou seja, um produto semi-
direto entre um subgrupo ortogonal (L) e um outro subgrupo invariante abeliano (T
4
).
Aqueles, por outro lado, s˜ao simplesmente grupos ortogonais, de modo que n˜ao possuem
subgrupos invariantes e s˜ao, portanto, grupos simples. De fato, pode-se consider´a-los
matematicamente como vers˜oes do grupo de Lorentz com uma dimens˜ao extra (do tipo
espa¸co ou do tipo tempo, conforme o caso seja de Sitter ou anti-de Sitter).
4.4 O Car´ater Quociente do Espa¸co de de Sitter
No cap´ıtulo anterior, vimos que o espa¸co de Minkowski pode ser definido como um
quociente no sentido topol´ogico. O mesmo vale para os espa¸cos de de Sitter e anti-de
Sitter, vez que estes tamb´em s˜ao espa¸cos homogˆeneos, podendo ser identificados com
as variedades correspondentes aos seus subgrupos de transitividade. Como estes dois
espa¸cos possuem o grupo de Lorentz como subgrupo de isotropia, eles podem ent˜ao ser
definidos respectivamente como o quociente do grupo de de Sitter e o do grupo anti-de
Sitter pela rela¸c˜ao de equivalˆencia dada pelo grupo de Lorentz:
dS
R
≡ SO
+
(4, 1)/SO
+
(3, 1) (4.37)
AdS
R
≡ SO
+
(3, 2)/SO
+
(3, 1) . (4.38)
Comparando estas defini¸c˜oes com a do espa¸co de Minkowski
M ≡ ISO
+
(3, 1)/SO
+
(3, 1) , (4.39)
vemos que os trˆes espa¸cos compartilham de fato de uma mesma natureza matem´atica
em essˆencia. O espa¸co de de Sitter, portanto, ´e matematicamente t˜ao adequado quanto
o de Minkowski para o papel de espa¸co-tempo f´ısico na relatividade restrita.
4.5 Desvio Geod´esico no Espa¸co de de Sitter
Nesta se¸c˜ao pretendemos demonstrar um resultado geom´etrico referente a uma pro-
priedade intr´ınseca do espa¸co de de Sitter que ilustra de modo especial a sua semelhan¸ca
e ao mesmo tempo a sua diferen¸ca crucial com rela¸c˜ao ao espa¸co de Minkowski.
35
O desvio geod´esico [49] ´e uma propriedade caracter´ıstica dos espa¸cos curvos. Seja
γ
s
(t) uma fam´ılia de geod´esicas parametrizadas pelo parˆametro t e distinguidas entre si
pelo parˆametro s. Assim, T ≡
∂
∂t
ser´a o campo vetorial tangente `as geod´esicas e X ≡
∂
∂s
ser´a o campo vetorial que mede a separa¸c˜ao entre estas. Esta fam´ılia de geod´esicas cobre
uma subvariedade bidimensional sobre a variedade espa¸co-temporal, cujas coordenadas
podem ser escolhidas naturalmente como sendo t e s.
Num espa¸co curvo (como ´e o caso de de Sitter), a separa¸c˜ao medida por X n˜ao ser´a
necessariamente constante (em fun¸c˜ao de t). Medimos a sua taxa de mudan¸ca por meio
da sua derivada covariante D
T
X com rela¸c˜ao a T , que chamamos de desvio geod´esico.
A taxa de mudan¸ca desta quantidade, por sua vez, chamamos de acelera¸c˜ao do desvio
geod´esico a ≡ D
T
(D
T
X).
As geod´esicas de γ
s
(t) ser˜ao paralelas (num certo ponto de sua extens˜ao, dado por
um determinado valor de t) se a sua separa¸c˜ao for constante, ou seja, se D
T
X = 0. No
caso da existˆencia de uma acelera¸c˜ao de desvio a, por´em, o valor de D
T
X deixar´a de ser
nulo para valores subseq
¨
uentes de t e, portanto, as geod´esicas passar˜ao a se afastar ou se
aproximar. Isto nunca acontece em espa¸cos planos, onde a ´e sempre nula. A existˆencia
de tal desvio, ou seja, a falha de uma fam´ılia de geod´esicas inicialmente paralelas em se
manterem paralelas, pode de fato ser pensada como uma defini¸c˜ao de curvatura.
Vamos ent˜ao calcular a express˜ao para a acelera¸c˜ao do desvio geod´esico v´alida para
as m´etricas de de Sitter e anti-de Sitter.
´
E importante ressaltar que nenhuma restri¸c˜ao
est´a sendo feita com rela¸c˜ao ao tipo de geod´esicas em quest˜ao — tipo tempo, tipo espa¸co
ou tipo luz —, raz˜ao pela qual o parˆametro t ainda n˜ao foi identificado com o tempo
pr´oprio nem o campo T com a quadrivelocidade.
A express˜ao para a acelera¸c˜ao do desvio geod´esico em termos do tensor de Riemann
´e [49]
a
µ
= −R
σρν
µ
X
ρ
T
σ
T
ν
. (4.40)
Usando o tensor de Riemann do espa¸co de de Sitter (4.8), temos
a
µ
=
Λ
3
δ
µ
ρ
g
νσ
− δ
µ
σ
g
νρ
X
ρ
T
σ
T
ν
(4.41)
=
Λ
3
(X
µ
T
ν
T
ν
− T
µ
X
ν
T
ν
) .
Aqui podemos escolher uma parametriza¸c˜ao tal que X
ν
T
ν
se anule em todos os pontos
[49]. Temos, ent˜ao,
a
µ
=
Λ
3
T
2
X
µ
. (4.42)
Vemos, portanto, que a acelera¸c˜ao do desvio geod´eisco no espa¸co de de Sitter aumenta
lineramente em fun¸c˜ao da distˆancia entre as geod´esicas. Al´em disso, notamos um fato de
interesse: para raios de luz (T
2
= 0), o desvio geod´esico ´e nulo, o mesmo n˜ao acontecendo
para part´ıculas massivas (T
2
= 0). Em outras palavras, part´ıculas massivas, que seguem
36
geod´esicas do tipo tempo, ir˜ao “sentir” a curvatura do espa¸co de de Sitter e tender a
desviar umas das outras, ao passo que raios de luz n˜ao ir˜ao “sentir” esta curvatura e
seguir˜ao geod´esicas que n˜ao se desviam. Em particular, um experimento com raios de
luz em princ´ıpio n˜ao seria capaz de distinguir entre os espa¸cos de Minkowski e de Sitter
(pelo menos n˜ao por meio do desvio de suas trajet´orias geod´esicas), apesar de que um
experimento com part´ıculas massivas poderia efetuar esta distin¸c˜ao. Podemos tamb´em
entender esta propriedade geom´etrica do espa¸co de de Sitter como decorrente de a sua
m´etrica ser conformalmente plana, pois, como vimos no segundo cap´ıtulo, a simetria
conforme preserva a estrutura do cone de luz.
37
Cap´ıtulo 5
Conclus˜oes
O espa¸co de de Sitter ´e usualmente interpretado como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de campo
de Einstein sem fontes na presen¸ca de uma constante cosmol´ogica Λ. De fato, ´e praxe
nos livros-texto de gravita¸c˜ao apresentar tal espa¸co nas se¸c˜oes ligadas `as solu¸c˜oes da
equa¸c˜ao de Einstein. Em geral, o termo cosmol´ogico ´e introduzido `a m˜ao na equa¸c˜ao
de campo, sendo a sua origem atualmente um dos mais intrigantes problemas da f´ısica.
Recentemente, por conta de novos fatos experimentais (como a acelera¸c˜ao observada na
taxa de expans˜ao do universo), o interesse na constante cosmol´ogica se tem renovado e
diversas tentativas de explicar a sua origem ou de imitar o seu efeito tˆem despontado
na literatura, muitas das quais fazem uso de campos escalares munidos de potenciais
apropriadamente escolhidos. O objetivo desta disserta¸c˜ao foi propor uma explica¸c˜ao
alternativa para a origem de Λ, e com isso uma nova interpreta¸c˜ao para o espa¸co de de
Sitter.
As motiva¸c˜oes para o nosso trabalho se baseiam em quatro pontos fundamentais:
(1) a evidˆencia cosmol´ogica em favor de Λ > 0; (2) a aparente viola¸c˜ao experimental
da relatividade restrita usual em fenˆomenos de altas energias; (3) o argumento te´orico
advindo da teoria quˆantica em favor de uma escala de comprimento invariante na cine-
m´atica de sistemas f´ısicos na escala de Planck e (4) o fato de que o espa¸co e o grupo de de
Sitter constituem generaliza¸c˜oes matem´aticas naturais dos seus correpondentes einste-
nianos (M e P) no mesmo sentido em que estes constituem generaliza¸c˜oes matem´aticas
naturais dos seus correspondentes galileanos.
Em termos de relatividade restrita, portanto, os dados cosmol´ogicos apontam no
sentido de um espa¸co-tempo intrinsecamente curvo, caracterizado por um parˆametro
invariante l ligado `a constante cosmol´ogica. A teoria quˆantica, por outro lado, aponta
no sentido da invariˆancia do comprimento de Planck l
P
. Isto significa que o grupo de
Poincar´e (que n˜ao admite um comprimento invariante) deva de algum modo falhar na
descri¸c˜ao da cinem´atica tanto na escala cosmol´ogica quanto na escala de Planck. Algum
outro grupo, portanto, deve governar a cinem´atica em tais escalas. A escolha natural
tanto do ponto de vista f´ısico quanto matem´atico ´e o grupo de de Sitter, que representa
38
as simetrias de um espa¸co-tempo vazio com termo cosmol´ogico positivo e generaliza
algebricamente de modo natural o grupo de Poincar´e modificando apenas a sua se¸c˜ao
translacional — mantendo, portanto, intacta a simetria de Lorentz, intimamente ligada
ao conceito fundamental de causalidade. Tal substitui¸c˜ao traz como conseq
¨
uˆencia uma
mudan¸ca tamb´em nos conceitos de energia e momento (grandezas ligadas `a simetria
translacional) — conservando, por outro lado, os conceitos de momento angular e spin
(ligados `a simetria de Lorentz).
Com base nestes argumentos, estudamos neste trabalho os fundamentos geom´etri-
cos, alg´ebricos e cinem´aticos de uma da relatividade restrita baseada na simetria de de
Sitter. A rela¸c˜ao entre esta e as teorias cinem´aticas cl´assicas da f´ısica (newtoniana e
einsteniana) pode ser compreendida atrav´es da rela¸c˜ao entre os seus grupos de movi-
mento, a qual ´e formalmente expressa por meio dos processos de contra¸c˜ao e expans˜ao
de grupos propostos por Wigner e In
¨
on
¨
u. A relatividade restrita usual, baseada no grupo
de Poincar´e, pode ser vista como descrevendo as implica¸c˜oes sofridas pela relatividade
newtoniana devidas `a introdu¸c˜ao de uma escala de velocidade fundamental no grupo
de Galileu. Inversamente, esta ´ultima pode ser obtida a partir do grupo de Poincar´e
tomando-se o limite formal em que tal escala de velocidade tende a infinito (limite n˜ao-
relativ´ıstico). Pode-se, de modo an´alogo, dizer que a relatividade restrita de de Sitter
descreve as implica¸c˜oes sofridas pela relatividade newtoniana devidas `a introdu¸c˜ao de
duas escalas invariantes, uma de velocidade e uma de comprimento. No limite formal
em que a escala de comprimento tende a infinito, o grupo de de Sitter contrai-se para o
grupo de Poincar´e, no qual apenas a escala de velocidade se faz presente. Num segundo
limite, em que a escala de velocidade tende a infinito, recupera-se o grupo de Galileu.
Caso se insista em interpretar o espa¸co de de Sitter como sendo produzido dinamica-
mente por meio de fontes materiais, como por exemplo um fluido, termina-se com equa-
¸c˜oes de estado n˜ao-f´ısicas, envolvendo press˜oes negativas. Esta ´e uma indica¸c˜ao clara de
que a constante cosmol´ogica n˜ao deve estar conectada a qualquer tipo de fonte por meio
de equa¸c˜oes de campo gravitacionais. Apesar de, tanto o espa¸co de Minkowski quanto
o de de Sitter serem evidentemente solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Einstein, ambos s˜ao mais
fundamentais do que esta equa¸c˜ao no sentido que, como espa¸cos quocientes e maximal-
mente sim´etricos, ambos podem ser constru´ıdos matematicamente independentemente
de qualquer teoria de gravita¸c˜ao. Por conseguinte, tais espa¸cos devem ser interpreta-
dos como panos-de-fundo fundamentais sobre os quais qualquer teoria de campos pode
ser constru´ıda, incluindo a gravita¸c˜ao. Do ponto de vista cinem´atico, a ´unica diferen¸ca
entre estes dois espa¸cos encontra-se nos seus respectivos grupos de movimento. Caso a
cinem´atica verdadeira dos fenˆomenos naturais seja aquela determinada pelo grupo de de
Sitter, como as evidˆencias atuais parecem indicar, ent˜ao o espa¸co-tempo fundamental
sobre o qual tais fenˆomenos se d˜ao ser´a o espa¸co de de Sitter, com a constante cosmo-
l´ogica surgindo naturalmente como consequˆencia desta cinem´atica. De acordo com essa
39
proposta, portanto, a solu¸c˜ao de de Sitter deveria passar a ser estudada nos cap´ıtulos
iniciais dos livros, e n˜ao no cap´ıtulo de solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Einstein, como ´e feito
usualmente.
40
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[43] R. Aldrovandi & J. G. Pereira, Op. Cit., p. 594
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44
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