( PDF ) A caracterização dos grupos nilpotentes de J. E. Roseblade

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Universidade de Bras´ılia

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´atica

A Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes de

J. E. Roseblade

por

Anderson Luiz Pedrosa Porto

Bras´ılia

2006

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Resumo

Nesta disserta¸c˜ao provamos um teorema cl´assico, devido J.E.Roseblade, o qual ca-

racteriza a nilpotˆencia de um grupo pela propriedade, de que todos os seus subgrupos s˜ao

subnormais de defeito limitado. Nosso estudo ´e baseado principalmente no trabalho de

Roseblade [17] e no livro de Lennox e Stonehewer [11].

Palavras-chave: defeito de um subgrupo subnormal e nilpotˆencia.

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Abstract

In this dissertation we prove a classical theorem, due to J.E.Roseblade, w hich characte-

rizes the nilpotency of a group by the prop erty, that all its subgroups are subnormal of

limited defect. Our study is mainly based on the work of Roseblade [17] and on the book

of Lennox and Stonehewer [11].

Keywords: defect of a subnormal subgroup and nilpotency.

Lista de S´ımbolos

N, N

, Z, Q O conjunto dos n´umeros naturais , naturais com o zero ,

conjunto dos n´umeros inteiros, conjunto dos n´umeros racionais

G, H, · · · Conjuntos , grupos e subgrupos

x, y, z, · · · Elementos de um conjunto

α(x) ou x

Imagem de x por α

−1

xy . O conjugado do elemento x por y

[x, y] x

−1

xy . O comutador dos ele mentos x e y

[x,

g] = [x, g, g, . . . , g

  

k vezes

] Comutador de x com g, k vezes

∼

G H ´e isomorfo a G

H ≤ G, H < G H ´e um subgrupo , um subgrupo pr´oprio de um grupo G.

H ✂ G, H ✁ G H ´e um subgrupo normal , H ´e um subgrupo normal pr´oprio

de G

H ✂ ✂ G H ´e um subgrupo subnormal de G

· · · H

Produto de subconjuntos ou de subgrupos de um grupo

X

| λ ∈ Λ Subgrupo gerado por subconjuntos X

de um grupo

∼

G W ´e isomorfo a G

|H| Ordem do subgrupo H

[G : H]

Indice do subgrupo H no grup o G

|x|, o (x) Ordem do elemento x

(H), N

(H) Centralizador , normalizador de H em G

Z(G) Centro de G

, H

Fecho normal , n´ucleo normal de H em G

f.g. ﬁnitamente gerado

× · · · × H

Produto direto de grupos

Produto direto de uma fam´ılia de grupos



= [G, G] Subgrupo derivado de um grupo G

(n)

n- ´esimo termo da s´erie derivada de G

(G) n- ´esimo termo da s´erie central inferior (ou descendente) de G

(G) n- ´esimo termo da s´erie central superior (ou ascendente) de G

Φ(G) Subgrupo de Frattini de G

H · ✂ G H ´e um subgrupo normal minimal de G

= a

| a ∈ A O subgrupo gerado pelas potˆencias n-´esimas de elementos

a ∈ A , onde n ∈ N

∞

ou Z

∞

Grupo de Pr¨ufer ( i.´e, o p-subgrupo maximal de

com a nota¸c˜ao multiplicativa ou com a nota¸c˜ao aditiva

Aut(G), End(G) Grupo dos automorﬁsmos , Grupo dos Endomorﬁsmos de G

GL(r, p) O Grupo Linear Geral das Matrizes Invers´ıveis r × r,

sobre um corpo de p elementos .

Sum´ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares sobre Teoria de Grupos 4

1.1 Alguns Resultados sobre Subgrupos Subnormais . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Deﬁni¸c˜oes e Resultados B´asicos da Teoria dos Grupos . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Grupos Nilpotentes e Localmente Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Grupos Residualmente Finitos e Polic´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Os Grupos Dedekindianos 24

2.1 Deﬁni¸c˜oes , Exemplos de Grupos Dedekindianos e o Teorema de Baer-

Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade 32

3.1 Algumas Classes de Grupos que ser˜ao mais Utilizadas e alguns Resultados

Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Resultados ﬁnais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas 56

Introdu¸c˜ao

Nota Hist´orica

Um resultado que j´a era bem conhecido da Teoria dos grupos, antes de 1964 ´e o

seguinte:

Se um grupo G ´e nilpotente, ent˜ao todos os seus subgrupos s˜ao subnormais. (∗)

Al´em do mais, se o grupo ´e nilpotente de classe menor ou igual a um certo c ∈ N

ent˜ao cada um de seus subgrupos ´e subnormal de defeito (deﬁni¸c˜ao 1.1.1. pg.4 ) no

m´aximo c. (Ver [8], pg. 154).

Uma pergunta natural que surgiu foi sobre a validade da rec´ıproca de (∗). O primeiro

passo nesse sentido foi dado por R. Dedekind em [5] ( 1897), que determinou todos os

grupos ﬁnitos nos quais cada um de seus subgrupos s˜ao normais. Mais tarde em 1933,

R.Baer em [4], estendeu este resultado para os grupos arbitr´arios (inﬁnitos).

Estes fatos s˜ao hoje conhecidos como o Teorema de Baer- Dedekind:

Todos os subgrupos de um grupo G s˜ao normais se, e somente se, G ´e abeliano ou ´e um

produto direto de um grupo quat´ernio de ordem 8, um 2-grupo abeliano elementar e um

grupo abeliano de tor¸c˜ao, cujos elementos tem todos ordem ´ımpar . Ver mais em [15] ou [8].

Depois entre 1966 e 1968, surgiram v´arias generaliza¸c˜oes desse resultado, um deles

em [21], trata sobre os Grupos Metahamiltonianos e Metadedekindianos.(Ver mais em [1],

[2],[14] ou [21]).

Enquanto ﬁcou em aberto, at´e 1968, a quest˜ao da validade da rec´ıproca de (∗), Rose-

blade, em [17](1964), conseguiu provar que para um grupo ser nilpotente, ´e suﬁciente

que seus subgrupos sejam subnormais de um defeito limitado. Al´em disso, a classe de

nilpotˆencia depende somente deste defeito. Mais exatamente, se U

´e a classe dos gru-

pos cujos subgrupos s˜ao todos subnormais de defeito ≤ d, e N

´e a classe dos grupos

nilpotentes de classe ≤ c, ent˜ao Roseblade provou que existe uma fun¸c˜ao

: N

−→ N

, tal que U

⊆ N

(d)

, ∀d ≥ 0.

Uma pergunta que ainda persistia, antes de 1968, era a seguinte:

Ser´a que a limita¸c˜ao do defeito dos subgrupos subnormais de Roseblade, ´e importante

em tal teorema?

Quatro anos depois do Teorema de Roseblade, Heineken e Mohamed em [9], constroem

um grupo metabeliano em que todos os seus subgrupos pr´oprios s˜ao subnormais, mas tal

grupo tem centro trivial, ou seja, o grupo n˜ao ´e nilpotente.

Recentemente M¨oehres mostrou em ([12], 1988) que se cada subgrupo de um grupo G

´e subnormal, ent˜ao o grupo G ´e sol´uvel.

Apresenta¸c˜ao do Trabalho

Esta disserta¸c˜ao tem como obj etivo principal realizar um estudo sobre a caracteriza¸c˜ao

dos grupos nilpotentes de J.E.Roseblade, que diz:

Se num grupo G, todos os seus subgrupos s˜ao subnormais de defeito limitado por um

certo d ∈ N

, ent˜ao o grupo G ser´a nilpotente de classe limitada por uma fun¸c˜ao inteira

n˜ao-negativa dependendo somente deste d.

Esse trabalho foi desenvolvido, baseando-se em Roseblade([17]) e para resultados auxi-

liares mais importantes, utilizamos [7], [8], [10], [11], [15] e [22].

No primeiro cap´ıtulo s˜ao introduzidos v´arios conceitos da Teoria dos Grupos e tamb´em

alguns resultados bem conhecidos, como o Teor. de Fitting, Base de Burnside, Mal’cev e

McLain, bem como teoremas sobre grupos de Baer, Grupos Polic´ıclicos, Sol´uveis e Nilpo-

tentes. Terminamos es te c ap´ıtulo com uma demonstra¸c˜ao para o seguinte Teorema de

Hirsch, que ser´a utilizado nesta disserta¸c˜ao:

Todo grupo polic´ıclico ´e residualmente ﬁnito.

O segundo cap´ıtulo trata dos Grupos Dedekindianos, onde faremos uma demons-

tra¸c˜ao ( independente das demonstra¸c˜oes existentes na literatura ), do Teorema de Baer-

Dedekind, seguindo algumas notas do Prof. Dr.Rudolf Maier.

O terceiro e ´ultimo cap´ıtulo ´e voltado para a caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes de

Roseblade. Neste cap´ıtulo ´e fundamental o estudo da classe X

(deﬁni¸c˜ao na pg. 33), que

ter´a um papel muito importante na conclus˜ao do Teorema Principal de Roseblade. Por

ﬁm citaremos o Exemplo de Heineken-Mohamed (ver [9]). Este mostra que a limita¸c˜ao

do defeito dos subgrupos subnormais n˜ao pode ser eliminada das hip´oteses do Teorema

Principal.(ver pg. 55).

Cap´ıtulo 1

Preliminares sobre Teoria de Grupos

Neste cap´ıtulo vamos apresentar algumas deﬁni¸c˜oes, lemas e proposi¸c˜oes b´asicas da

teoria dos grupos, isto feito para que haja uma melhor compreens˜ao dos resultados pos-

teriores. Vamos enfatizar principalmente sobre grupos sol´uveis, nilpotentes, subgrupos

subnormais, defeito de um subgrupo subnormal de um dado grupo, grupos residualmente

ﬁnitos, polic´ıclicos e grupos de Baer. Faremos a demonstra¸c˜ao de v´arios desses resulta-

dos e em outros casos s´o os citaremos, pois suas demostra¸c˜oes poder˜ao ser encontradas

facilmente em [8], [11], [15], [18] e [20].

1.1 Alguns Resultados sobre Subgrupos Subnormais

Deﬁni¸c˜ao 1.1.1. Um subgrupo H de um grupo G ´e dito ser subnormal em G se existe

uma cadeia de subgrupos

H = G

✂ G

m−1

✂ · · · ✂ G

✂ G

= G (1)

de comprimento m ≥ 0. Entre todas essas cadeias de subgrupos existe pelo menos uma de

menor comprimento poss´ıvel d, digamos

H = G

✁ G

d−1

✁ · · · ✁ G

✁ G

= G.

O n´umero d ´e dito o defeito subnormal de H em G . Se temos uma cadeia (1) entre H e

G , dizemos que H ´e subnormal de defeito no m´aximo m em G. Indicamos este fato por

H ✂

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Exemplos 1.1.1. a) G ´e o ´unico subgrupo subnormal de defeito zero em G ;

b) Os subgrupos normais de G s˜ao justamente os subgrupos subnormais de defeito ≤ 1 em

c) Os subgrupos subnormais de defeito ≤ 2 s˜ao os H tais que H ✂ H

✂ G. Por exemplo,

os subgrupos de ordem 2 no grupo alternado A

e os subgrupos n˜ao centrais de ordem 2

no grupo diedral D

, onde |D

| = 8, s˜ao subgrupos subnormais de defeito exatamente 2.

d) Os subgrupos n˜ao-centrais de ordem 2 no grupo diedral D

, onde |D

| = 2

, s˜ao

subnormais de defeito d − 1, mas n˜ao de defeito (d − 2).

Para quaisquer h, g ∈ G, onde G ´e um grupo, deﬁnamos:

a) o conjugado de h por g ´e h

= g

−1

hg,

b) o comutador de h e g ´e [h, g] = h

−1

hg = h

−1

c) para quaisquer subconjuntos X e Y de G n´os escreveremos

= x

| x ∈ X e y ∈ Y ,

d) sejam x

, x

, . . . , x

n−1

, x

∈ G, chamaremos de comutador de peso n, o seguinte comu-

tador:

, x

, . . . , x

n−1

, x

Este ´e deﬁnido indutivamente como

, x

, . . . , x

n−1

, x

] = [[x

, x

, . . . , x

n−1

], x

Sejam X e Y dois subconjuntos de um grupo G, ent˜ao o subgrupo comutador [X, Y ]

´e deﬁnido como [X, Y ] = [x, y] | x ∈ X , y ∈ Y .

E ´obvio que [X, Y ] = [Y, X].

Deﬁni¸c˜ao 1.1.2. Para subconjuntos X

, . . . , X

de G, n´os deﬁnimos : [X

] = X

 e

indutivamente

, X

, . . . , X

] = [[X

, X

, . . . , X

n−1

], X

] , ∀n ≥ 2

e quando X

= X

= · · · = X

= X, n´os tamb´em poderemos escrever

, X, . . . , X] = [X

X].

Lema 1.1.1. Seja G um grupo. Para quaisquer x, y, z ∈ G valem as identidades:

(i) [y, x] = [x, y]

−1

;

(ii) [xy, z] = [x, z]

[y, z] = [x, z][x, z, y][y, z] ;

(iii) [x, yz] = [x, z][x, y]

= [x, z][x, y][x, y, z];

(iv) (Identidade de Hall-Witt )

[x, y

−1

, z]

· [y, z

−1

, x]

· [z, x

−1

, y]

= 1.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Demonstra¸c˜ao. Ver [8], pg. 150 ou [15].

Seja H um subgrupo qualquer de um grupo G . O fecho normal H

de H em G ´e o

menor subgrupo normal de G que cont´em H e ´e obtido por

= h

| h ∈ H, g ∈ G =



HN✂G

Seja H um subgrupo de um grupo G . Colocando-se H

= G , H

= H

e em geral

i+1

= H

, obtemos uma cadeia de subgrupos

H ≤ H

i+1

✂ H

✂ · · · ✂ H

✂ H

= G (2) .

Esta cadeia chama-se s´erie(cadeia) dos fechos normais de H em G e cada H

´e o i-´e simo

fecho normal de H em G .

Observamos que se S, T  G e S  T, ent˜ao S

 T

, ∀i  0. Isto pode ser provado

por indu¸c˜ao sobre i.

Lema 1.1.2. Seja H um subgrupo de G. Ent˜ao H ✂

G se, e somente se, H coincide

com seu m-´esimo fecho normal em G.

Demonstra¸c˜ao. Se H ✂

G, ent˜ao existe uma s´erie do tipo

H = G

✂ · · · ✂ G

✂ G

= G

e como

H  H

 G

= H, segue que H

= H.

Reciprocamente , se H = H

temos que neste caso existir´a uma s´erie do tipo (2) :

H = H

✂ H

m−1

✂ · · · ✂ H

i+1

✂ H

✂ · · · ✂ H

✂ H

= G.

Portanto temos H ✂

Observa¸c˜ao 1.1.1. H ´e um subgrupo subnormal de G de defeito exatamente d se, e

somente se,

H = H

✁ H

d−1

✁ · · · ✁ H

✁ H

= G.

Particularmente se H ´e subnormal em G, a cadeia dos fechos normais de H em G ´e uma

cadeia subnormal de menor comprimento .

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Precisamos de alguns resultados sobre subgrupos subnormais que ser˜ao usados nas

demonstra¸c˜oes dos teoremas principais, assim a seguir provaremos e citaremos alguns re-

sultados, que podem ser encontrados em [11].

Lema 1.1.3. (a) Seja H ✂

G e K um subgrupo qualquer de G . Ent˜ao H ∩ K ✂

Em particular, H ✂

L, isto valendo se L ´e um subgrupo de G contendo H.

(b) Se H

✂

G , ∀λ ∈ Λ , onde m ´e independente de λ , ent˜ao



✂

Demonstra¸c˜ao. A parte (b) pode ser encontrada em [11] , pg. 3 . Vamos demonstrar a

parte (a). Sabemos que existe uma s´erie do tipo (2) para H, a seguinte:

H = H

✂ H

m−1

✂ · · · ✂ H

✂ H

= G.

Assim temos a seguinte s´erie

H ∩ K = H

∩ K ✂ H

m−1

∩ K ✂ · · · ✂ H

∩ K ✂ H

∩ K = G ∩ K = K (3) .

Mas (3) ´e uma s´erie subnormal entre H ∩ K e K. Logo H ∩ K ✂

Evidente ´e:

Lema 1.1.4. Se H ✂

K ✂

G, ent˜ao H ✂

m+n

Lema 1.1.5. Se H ✂

G e θ ´e um homomorﬁsmo de G , ent˜ao H

✂

Logo se N ✂ G, ent˜ao HN /N ✂

G/N e HN ✂

Demonstra¸c˜ao. Ver [11] , pg. 3.

Podemos veriﬁcar a partir dos lemas anteriores que a classe dos grupos em que cada

um de seus subgrupos ´e subnormal de defeito no m´aximo d, ´e fechada para a forma¸c˜ao de

subgrupos e quocientes. Isto vale em particular quando todos os subgrupos de um grupo

G, s˜ao normais.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Proposi¸c˜ao 1.1.1. Seja H um subgrupo de um grupo G e d ≥ 0. Suponha que para cada

subgrupo ﬁnitamente gerado F de H, existe um subgrupo X ✂

G, com F  X  H. Ent˜ao

H ✂

Demonstra¸c˜ao. Para qualquer subgrupo S de G, seja

S  S

i+1

✂ S

✂ · · · ✂ S

✂ S

= G,

a s´erie dos fechos normais de S em G ( isto ´e, S

i+1

= S

para i = 0, 1, 2, · · · ). N´os vamos

primeiro mostrar por indu¸c˜ao sobre i, que para qualquer g ∈ H

, existe um subgrupo

ﬁnitamente gerado F de H tal que g ∈ F

. Isto ´e claro se i  1 pois:

Para i = 0 temos que, se g ∈ H

= G, ent˜ao poderemos considerar o subgrupo {1} = F e

neste caso g ∈ F

= G.

Se i = 1 e g ∈ H

= H

, segue que existem h

, . . . , h

∈ H e y

, . . . , y

∈ G, com

g = h

· . . . · h

. Fazendo F = h

, h

, . . . , h

  H, temos que g ∈ F

= F

. Usando

indu¸c˜ao sobre i, podemos considerar a aﬁrma¸c˜ao verdadeira para i − 1, onde i ≥ 2 e seja

g ∈ H

. Pela deﬁni¸c˜ao de H

, segue que g = h

· . . . · h

, onde cada h

∈ H e cada

∈ H

i−1

Agora pela hip´otese de indu¸c˜ao aplicada sobre cada y

, y

, . . . , y

∈ H

i−1

, temos que

para cada y

∈ {y

, y

, . . . , y

} existe um subgrupo ﬁnitamente gerado(f.g.) F

[j]

 H com

∈ F

i−1

[j]

. Seja agora

F = F

[1]

, F

[2]

, . . . , F

[s]

, h

, . . . , h

  H.

Este ´e um subgrupo f.g. de H, onde y

, . . . , y

∈ F

i−1

e assim g ∈ F

i−1

= F

Vamos considerar i = d. Para cada g ∈ H

, existe um subgrupo ﬁnitamente gerado F de

H , tal que g ∈ F

. Por hip´otese temos que existe um subgrupo X de G com X ✂

G e

F  X  H. Logo temos

 F

 X

= X  H.

Portanto H

= H e assim a proposi¸c˜ao est´a provada.

1.2 Deﬁni¸c˜oes e Resultados B´asicos da Teoria dos

Grupos

Deﬁni¸c˜ao 1.2.1. Um grupo que ´e gerado por subgrupos subnormais abelianos ´e dito um

grupo de Baer. Um grupo ´e de Baer, se cada subgrupo c´ıclico x ´e subnormal em G.

Pode-se mostrar que estas propriedades s˜ao equivalentes. Para ver mais, leia [11], pg. 74.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Proposi¸c˜ao 1.2.1. (i) Um grupo G ´e um grupo de Baer se, e somente se, cada subgrupo

ﬁnitamente gerado de G ´e subnormal.

(ii) Cada subgrupo ﬁnitamente gerado de um grupo de Baer ´e nilpotente . (Nilpotˆencia,

ver pg.12).

Demonstra¸c˜ao. Ver [11] , pg. 74.

E claro que a classe dos grupos de Baer ´e fechada para a forma¸c˜ao de subgrupos,

quocientes e produtos diretos.

Deﬁni¸c˜ao 1.2.2. Um grupo G ´e dito ser sol´uvel se existe uma s´erie abeliana , isso ´e,

1 = G

✂ G

✂ · · · ✂ G

= G

em que cada fator G

i+1

´e abeliano, para i = 0, 1, . . . , n − 1.

Exemplos 1.2.1. Como exemplos importantes de grupos sol´uveis temos:

(i) grupos abelianos ;

(ii) todo p-grupo ﬁnito ´e sol´uvel ;

(iii) os grupos sim´etricos S

, se n  4 s˜ao sol´uveis ;

(iv) os grupos sim´etricos S

, para n  5 n˜ao s˜ao sol´uveis .

A sequˆencia G = G

(0)

☎ G

(1)

☎ · · · , onde

(1)

= G



= [G, G] e G

(n+1)

= (G

(n)

)



´e dita a s´erie derivada de G, onde todos os fatores

(n)

(n+1)

s˜ao grupos abelianos.

Agora segundo [15] , pg. 124 e 125 , temos a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 1.2.2. Se 1 = G

✂ G

✂ · · · ✂ G

= G ´e uma s´erie abeliana de um grupo

sol´uvel G, ent˜ao G

(i)

 G

n−i

. Em particular G

(n)

= 1. O comprimento derivado de G ´e

igual ao comprimento da s´erie derivada de G.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15] , pg. 124 e 125.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Observa¸c˜ao 1.2.1. G ´e sol´uvel de comprimeto derivado exatamente

k ≥ 0, se G

(k−1)

> G

(k)

= 1.

Deﬁni¸c˜ao 1.2.3. Um grupo sol´uvel com comprimento derivado no m´aximo 2 ´e dito

metabeliano.

Observa¸c˜ao 1.2.2. A classe de grupos sol´uveis ´e fechada para subgrupos, quocientes e

extens˜oes.

Observa¸c˜ao 1.2.3. Seja G um grupo e a ∈ G. O n´umero de conjugados de a em G ´e

igual ao ´ındice de seu centralizador, isto ´e, |a

| = [G : C

(a)].

Deﬁni¸c˜ao 1.2.4. Segundo [22], pg. 142 um grupo abeliano G ´e dito ser um p-grupo

abeliano elementar se tem expoente primo p.

Um grupo G ´e abeliano elementar de ordem p

se, e somente se, G ´e o produto direto

de d subgrupos de ordem prima p. Para mais detalhes ver [22], pg. 142.

Proposi¸c˜ao 1.2.3. Um p-subgrupo de Sylow do grupo de automorﬁsmos de um p-grupo

abeliano elementar de ordem p

tem ordem p

r(r−1)

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, se G ´e um p-grupo abeliano elementar de ordem p

, temos que:

Aut(G)

∼

GL(r, p).

Al´em disso, a ordem de GL(r, p) ´e igual a

− 1) · (p

− p) · . . . · (p

− p

r−1

) = p

r(r−1)



j=1

− 1).

Da´ı segue, que a ordem de um p-subgrupo de Sylow de GL(r, p) ´e igual a

r(r−1)

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Observa¸c˜ao 1.2.4. O grupo dos automorﬁsmos de um grupo c´ıclico ´e abeliano; para

maiores detalhes ver em [20], pg . 49.

Vamos citar mais alguns lemas que ser˜ao usados nos cap´ıtulos 2 e 3. Novamente n˜ao

ser˜ao todos demonstrados e eles podem ser encontrados facilmente em [15] e [20].

Lema 1.2.1. Para qualquer subconjunto S de um grupo G e qualquer elemento g ∈ G,

n´os temos que :

(i) S

 = S

(ii) N

) = N

(S)

(iii) C

) = C

(S)

Demonstra¸c˜ao. Ver [20] pg.14 e 15 .

Lema 1.2.2. Seja H  G, G um grupo qualquer. N´os temos que C

(H) ✂ N

(H) e o

grupo quociente N

(H)/C

(H) ´e isomorfo a um subgrupo de Aut H.

Demonstra¸c˜ao. Tome y ∈ N

(H). Temos H

= H, ∀ y ∈ N

(H). Agora

(H)

Le 1.2.1.

= C

) = C

(H), ∀ y ∈ N

(H).

Portanto C

(H) ✂ N

(H).

Agora queremos mostrar a segunda aﬁrma¸c˜ao do teorema. Seja u ∈ N

(H) um elemento

arbitr´ario. Temos H

= H. Assim a conjuga¸c˜ao pelo elemento u induz um automorﬁsmo

de H, tal que θ

: h −→ h

O elemento u ∈ N

(H), mas n˜ao est´a nescesariamente em H. Ass im θ

n˜ao ´e nescessa-

riamente um automorﬁsmo interno de H. J´a que temos θ

= θ

, com u, v ∈ N

(H), a

aplica¸c˜ao θ : u −→ θ

deﬁne um homomorﬁsmo de N

(H) em Aut H.

Seja K = Ker(θ). Ent˜ao pelos Teoremas do Isomorﬁsmo, segue que

(H)/K

∼

Im(θ)  Aut H.

E f´acil ver que K = C

(H). Logo

(H)/C

(H)

∼

Im(θ)  Aut H,

como quer´ıamos demonstrar.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Deﬁni¸c˜ao 1.2.5. O subgrupo de Frattini de qualquer grupo G ´e deﬁnido como a inter-

sec¸c˜ao de todos os seus subgrupos maximais. Se G n˜ao possui subgrupos maximais, ent˜ao

seu subgrupo de Frattini ´e o pr´oprio G.

Este subgrupo ´e evidentemente caracter´ıstico (deﬁni¸c˜ao pg. 13) e vamos represent´a-lo

por

Φ(G).

1.3 Grupos Nilpotentes e Localmente Nilpotentes

Nessa se¸c˜ao vamos deﬁnir grupos nilpotentes , localmente nilpotentes , s´erie central

ascendente , s´erie central descendente , citaremos e provaremos alguns resultados im-

portantes, entre eles o Teorema de (Mal’cev , McLain) sobre fatores principais, o

Teorema Base de Burnside, o Teorema de Fitting, entre outros.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.1. (a) Um subgrupo normal minimal N de um grupo G ´e deﬁnido como:

(i) 1 = N ✂ G,

(ii) Se 1  X  N, tal que X ✂ G, ent˜ao X = 1 ou X = N.

(b) Um fator principal H/M de um grupo G consiste de dois subgrupos normais

(H, M ✂ G), tal que M < H e H/M ´e um subgrupo normal minimal de G/M, isto ´e,

se M  X  H tal que X ✂ G , ent˜ao X = M ou X = H.

Vamos seguir [15], para deﬁnirmos grupos nilpotentes e suas propriedades.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.2. Um grupo G ´e dito ser nilpotente se tem uma s´erie central, isto ´e ,

uma s´erie normal

1 = G

 G

 · · ·  G

= G tal que G

i+1

 Z(G/G

), ∀i.

O comprimento de uma menor s´erie central de G ´e dito ser a classe de nilpotˆencia de G,

denotada por cl(G).

Observa¸c˜ao 1.3.1. A classe dos grupos nilpotentes ´e fechada para subgrupos, grupos

quocientes e produtos diretos ﬁnitos.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Observa¸c˜ao 1.3.2. Grupos nilpotentes s˜ao obviamente sol´uveis , mas grupos sol´uveis n˜ao

s˜ao nescessariamente nilpotentes, um exemplo disso ´e o grupo sim´etrico S

, que possui

centro trivial, logo n˜ao ´e nilpotente.

Lema 1.3.1. Todo p-grupo ﬁnito ´e nilpotente .

Demonstra¸c˜ao. Ver [15], pg. 122.

Vamos lembrar que um subgrupo H de um grupo G ´e dito caracter´ıstico em G se,

∀α ∈ Aut (G) temos que α (H)  H.

Mais ainda, se H ´e um subgrupo caracter´ıstico de G, ent˜ao H ✂ G. Um subgrupo H de G,

ser´a completamente caracter´ıstico em G, se a mesma propriedade ocorre para qualquer

α ∈ End (G).

Deﬁni¸c˜ao 1.3.3. A s´erie central ascendente de um grupo G ´e deﬁnida da seguinte forma:

1 = Z

(G)  Z

(G)  · · ·  Z

(G)  · · · ,

onde Z

(G) = Z(G) e indutivamente deﬁnimos

(G)/Z

i−1

(G) = Z(G/Z

i−1

(G)).

A s´erie central descendente de um grupo G ´e deﬁnida como

G = γ

(G)  γ

(G)  · · ·  γ

(G)  · · · ,

onde γ

(G) = G



= [G, G] e indutivamente deﬁnimos γ

s+1

(G) = [γ

(G), G].

Segundo [15], pg. 125 temos que

(G)/γ

n+1

(G)  Z(G/γ

n+1

(G))

e cada γ

(G) ´e completamente caracter´ıstico em G. Logo γ

(G) ✂ G, ∀n . Agora para a

s´erie central ascendente temos que Z

(G) ´e subgrupo caracter´ıstico de G , ∀j, mas n˜ao ´e

completamente caracter´ıstico em G. Assim temos tamb´em que Z

(G) ✂ G , ∀j .

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Observa¸c˜ao 1.3.3. Observe que as s´eries anteriores n˜ao atingem nescessariamente, no

primeiro caso o subgrupo trivial {1} e no segundo caso o pr´oprio grupo G.

Se existir um inteiro n˜ao-negativo c

tal que Z

(G) = G, ent˜ao o grupo G ser´a nilpotente

de classe ≤ c

. Considere G um outro grupo, se existir um inteiro positivo c

tal que

(G) = {1}, ent˜ao o grupo G ser´a nilpotente de classe ≤ c

. Devemos observar que a

classe de nilpotˆencia de um grupo G ´e igual ao comprimento da s´erie central descendente,

que tamb´em ´e igual ao comprimento da s´erie central ascendente.

As vezes vamos usar no

texto quando n˜ao houver d´uvida sobre qual grupo vamos estar trabalhando, as seguintes

nota¸c˜oes:

(G) = γ

e tamb´em Z

(G) = Z

Um fato ´obvio ´e que, se G ´e um grupo qualquer e r ∈ N, ent˜ao

(G)

´e nilpotente de

classe ≤ r − 1.

Vamos citar agora mais um lema que ser´a muito usado neste trabalho. A primeira

aﬁrma¸c˜ao ´e cl´assica e pode ser encontrada em [8]. Para provar o restante, basta usar

a deﬁni¸c˜ao de fecho normal e em alguns casos notar que dado um grupo G, temos que

(G) ´e o menor subgrupo normal de G com quociente nilpotente de classe de nilpotˆencia

≤ r − 1. Para mais detalhes, ver qualquer dos livros da bibliograﬁa.

Lema 1.3.2. Seja G um grupo, H  G, N ✂ G e N  J. Considere i ∈ N, ent˜ao valem :

(a) γ

(G) =  [g

, g

, . . . , g

] | g

∈ G ,

(b)





(

)

(H)  γ

(G),

(d) γ

(

) =

(G)N

(e) se G = XN, ent˜ao γ

(

) =

(X)N

Ressaltamos que um grupo G, ser´a nilpotente de uma certa classe c ∈ N

se, e somente

se,

c+1

(G) =  [g

, . . . , g

c+1

] | g

∈ G  = {1}.

Pela deﬁni¸c˜ao da s´erie ascendente {1} = Z

(G)  Z

(G)  · · ·  Z

(G)  · · · , segue

imediatamente que:

Lema 1.3.3. Seja G um grupo qualquer e sejam i e j inteiros positivos. Ent˜ao vale:



(G)



i+j

(G)

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Outro resultado b´asico que vamos mencionar, ´e o seguinte:

Se um grupo G ´e nilpotente de classe menor ou igual a um certo c ∈ N

, ent˜ao cada um

de seus subgrupos ´e subnormal de defeito no m´aximo c em G. De fato, pois para cada

H  G, podemos formar a seguinte s´erie s ubnormal entre H e G :

{1}H = H ✂ Z(G)H ✂ Z

(G)H ✂ · · · ✂ Z

c−1

(G)H ✂ Z

(G)H = G.

Lema 1.3.4. Se G ´e um grupo, ent˜ao G

(i)

 γ

(G). Se G ´e nilpotente com classe positiva

c, ent˜ao G ser´a sol´uvel de comprimento derivado no m´aximo ([log

c]+1), onde [ ], denota

a parte inteira do logaritmo.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15], pg. 126 e 127.

Proposi¸c˜ao 1.3.1. Seja G um grupo ﬁnito. Ent˜ao G ´e nilpotente se , e somente se , G

´e o produto direto de seus subgrupos de Sylow.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15] , pg. 116 .

Proposi¸c˜ao 1.3.2. Em um grupo nilpotente H de classe no m´aximo 2, valem:

(i) [x, y]

= [x, y

] = [x

, y] , ∀x, y ∈ H e m ∈ N

(ii) (xy)

= x

[y, x]

m(m−1)

, ∀m ∈ N

Demonstra¸c˜ao. (i) Se m = 0 ou 1 ´e trivial . Vamos provar por indu¸c˜ao sobre m. Considere

que existe m ∈ N

tal que

[x, y]

= [x, y

] = [x

, y].

Ent˜ao

[x, y

m+1

]

Le1.1.1.

= [x, y

][x, y][x, y, y

]

H.I.

= [x, y]

[x, y]

= [x, y]

m+1

(ii) Se m = 0 ´e trivial. Para m = 1, temos:

(xy)

= x

[y, x]

= x · y · 1 = xy.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Portanto podemos provar (ii) por indu¸c˜ao. Vamos supor que o lema ´e v´alido para algum

m ∈ N

. Como H ´e nilpotente de classe no m´aximo 2, temos [H, H]  Z

(H) = Z(H).

Agora

(xy)

m+1

= (xy)

· (xy)

H.I.

= x

[y, x]

m(m−1)

· xy

= x

(xy)[y, x]

m(m−1)

= x

· (y

x) · y[y, x]

m(m−1)

= x

· (xy

[y, x]

) · y[y, x]

m(m−1)

= x

m+1

[y, x]

m(m−1)

= x

m+1

[y, x]

(m+1)m

Vamos agora deﬁnir o que ´e um grupo localmente nilpotente e provar mais alguns

resultados b´asicos sobre grupos nilpotentes que ser˜ao usados nos cap´ıtulos 2 e 3.

Deﬁni¸c˜ao 1.3.4. (Segundo [10] , pg. 128) Um grupo G ´e dito ser localmente nilpotente

se todos os seus subgrupos ﬁnitamente gerados s˜ao nilpotentes.

Notamos que se um grupo ´e localmente nilpotente, isso n˜ao implica que ele ´e nilpotente.

Considere para isso o produto direto restrito de uma sequˆencia de grupos nilpotentes com

a classe de nilpotˆencia aumentando para o inﬁnito.

Podemos observar que:

{grupos nilpotentes}  {grupos de Baer}  {gr. localmente nilpotentes} .

Para mais detalhes ver o cap´ıtulo 12, em [15].

Vamos provar agora uma proposi¸c˜ao que ser´a usada no cap´ıtulo 3.

Proposi¸c˜ao 1.3.3 (Mal’cev , McLain). Um fator principal de um grupo localmente

nilpotente G ´e central.

Demonstra¸c˜ao. Seja N · ✂ G.

E suﬁciente mostrar apenas que N ´e central em G, pois

a classe dos grupos localmente nilpotentes ´e fechada para a forma¸c˜ao de subgrupos e

quocientes(ver [10], 128). Suponha que N  Z(G) = Z

(G) , logo existe a ∈ N e um

g ∈ G tal que [a, g] = b = 1 , ou seja , a ∈ Z(G). J´a que b ∈ N, pois N ✂ G, n´os temos

que : N = b

, pela minimalidade de N.

Portanto como a ∈ N, isso implica que

a ∈ b

, . . . , b

 ⊆ b



para certos g

∈ G. Tome agora

H = a, g, g

, . . . , g

  G.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Como G ´e localmente nilpotente, segue que H ´e nilpotente. Considere A = a

Obviamente b ∈ [A, H] ✂ A, H. Ent˜ao temos que

∈ [A, H] para os g

∈ {g

, g

, . . . , g

} ⊆ H.

Consequentemente

a ∈ [A, H] e da´ı A ⊆ [A, H].

Mas ´e claro que [A, H]  A, portanto A = [A, H].

Assim

[A ,

H] = A , ∀r ≥ 0.

J´a que H ´e nilpotente, segue que existe um d ≥ 0 tal que γ

d+1

(H) = {1} = [H ,

H].

Como

A  H, temos [A ,

H] = A = {1}.

Sendo a ∈ A, temos que a = 1, mas isso signiﬁca que b = [a, g] = 1, uma contradi¸c˜ao .

Portanto N  Z(G).

Vamos agora citar v´arios teoremas bem conhecidos que ser˜ao usados nos cap´ıtulos 1,

2 e 3, sendo que suas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas facilmente em [8], [13] e [15].

Lema 1.3.5 (Teorema de Fitting). Sejam M, N subgrupos normais e nilpotentes de

um grupo G. Se c e d s˜ao as classes de nilpotˆencia de M, N respectivamente , ent˜ao

L = MN ´e nilpotente de classe no m´aximo c + d.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15] , pg. 133.

Lema 1.3.6 (Lema de Dedekind). Sejam H, K, L subgrupos de um grupo G qualquer

e suponha que K ⊆ L. Ent˜ao (HK) ∩ L = (H ∩ L)K .

Demonstra¸c˜ao. Ver [15] , pg. 15 .

Lema 1.3.7 (Teorema Base de Burnside ). Seja G um p-grupo ﬁnito e seja Φ(G) = Φ

o subgrupo de Frattini de G. Ent˜ao A = G/Φ(G) ´e um p-grupo abeliano elementar e

Φ(G) = G



· G

, onde G

= g

| g ∈ G.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Se |A| = p

, ent˜ao cada subconjunto de geradores {z

, z

, . . . , z

} de G cont´em um sub-

conjunto {x

, . . . , x

} de r elementos que tamb´em gera G . Mas ainda, {x

Φ, . . . , x

Φ} ´e

uma base de A . Reciprocamente , cada conjunto {x

, . . . , x

} de r elementos de G , tal

que {x

Φ, . . . , x

Φ} ´e uma base para G/Φ, gera tamb´em G.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15] , pg. 140 ou [8] .

Lema 1.3.8 (Teorema Chinˆes do Resto). Se n

, n

, . . . , n

s˜ao dois a dois relativa-

mente primos( inteiros positivos) e se a

, a

, . . . , a

s˜ao quaisquer inteiros , ent˜ao existe

um inteiro a , tal que , a satisfaz o sistema abaixo :











a ≡ a

(mod n

)

a ≡ a

(mod n

)

Outro inteiro a



satisfar´a tamb´em o mesmo sistema de congruˆencias se, e somente se,

a ≡ a



(mod n

· . . . · n

Assim existe um ´unico inteiro a, com 0 ≤ a < n

· . . . · n

Demonstra¸c˜ao. Ver [13] .

Um resultado bem conhecido e que tamb´em n˜ao vamos provar ´e o seguinte:

Observa¸c˜ao 1.3.4. Um grupo que ´e nilpotente de uma certa classe  r, sendo que o

mesmo pode ser gerado por s elementos, tem a propriedade de que qualquer um de seus

subgrupos pode ser gerado por s + s

+ · · · + s

elementos. Para mais detalhes ver [8] pg.

152.

Vamos citar um Lema de Philip Hall (o Lema 1.3.9.), este ser´a usado para provar

a Proposi¸c˜ao 1.3.4., que ´e uma das pe¸cas principais para a conclus˜ao do Teorema de

Roseblade . Notamos que a prova original de tal proposi¸c˜ao se encontra em [7], pg. 799.

Lema 1.3.9. Sejam K e L subgrupos de um G e suponha que K normaliza L. Al´em disto,

considere que [L ,

K]  L



= [L , L]. Ent˜ao

[L ,

r−1

L ,

rm−r+1

K]  [L ,

L] para , r = 1, 2, 3, . . . ·

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Demonstra¸c˜ao. Ver [7] , pg 798 .

Proposi¸c˜ao 1.3.4. Seja L ✂ K, onde K ´e um grupo . Se L ´e nilpotente de classe c e

K/L



´e nilpotente de classe d , ent˜ao K ´e nilpotente de classe no m´aximo

f(c, d) =



c + 1



d −





Demonstra¸c˜ao. Se K/L



´e nilpotente de classe d segue que

d+1

(K/L



) = L



se, e somente se , γ

d+1

(K)  L



Assim

d+1

(K) = [K ,

K]  [L, L] = L



Da´ı temos [L ,

K]  [K ,

K]  L



. Como as condi¸c˜oes do Lema 1.3.9. est˜ao satisfeitas

temos que:

[[L ,

r−1

L] ,

rd−r+1

K]  [L ,

L] ; r = 1, 2, 3, . . . ·

Aﬁrma¸c˜ao : [K ,

f(i , d)

K]  [L ,

L] ; ∀i = 1, 2, 3, . . . ·

Justiﬁcativa

Vamos proceder por indu¸c˜ao sobre i. Se i = 1, temos

f(1 , d) = 1 · d − 0 = d, logo [K ,

f(1,d)

K] = [K ,

K]  L



= [L ,

L].

A nossa hip´otese de indu¸c˜ao (H.I.) ser´a a se guinte:

∀j tal que j  i − 1,

temos que:

[K ,

f(j , d)

K]  [L ,

L].

Vamos mostrar agora que [K ,

f(i , d)

K]  [L ,

L] .

Primeiro observamos que f(i , d) − f((i − 1), d) = id − i + 1, pois

f(i, d) − f((i − 1), d) = (

(i+1)i

−

i(i−1)

) · d + (

(i−1)(i−2)

−

i(i−1)

)

2id

2−2i

= id + 1 − i.

Portanto

[K,

f(i , d)

K] = [K,

f((i−1) , d)+i(d−1)+ 1

K] = [ [K,

f((i−1) , d)

K] ,

i(d−1)+1

H.I.

 [ [L,

i−1

L] ,

i(d−1)+1

K] = [L ,

i−1

L ,

id−i+1

L. Hall

 [L ,

L] .

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Assim [K ,

f(i,d)

K]  [L ,

L] e a aﬁrma¸c˜ao est´a provada.

Agora como L ´e nilpotente de classe c temos γ

c+1

(L) = [L ,

L] = 1. Logo pela

aﬁrma¸c˜ao anterior temos :

[K ,

f(c , d)

K]  [L ,

L] = 1, o que implica que γ

f(c , d)+1

(K) = 1.

Portanto K ´e nilpotente de classe no m´aximo f(c , d).

A classe de nilpotˆencia dada anteriormente por Hall, foi melhorada por Stewart em

[19]. No seu trabalho ele prova que:

a classe de nilpotˆencia de K ´e no m´aximo cd + (c − 1)(d − 1) e esse ´e o menor valor

poss´ıvel. Para o que queremos, vamos usar a classe f(c, d) dada por Hall.

Lema 1.3.10. Seja G um grupo nilpotente. Ent˜ao os elementos de ordem ﬁnita em G

formam um subgrupo T que ´e completamente caracter´ıstico em G. Al´em disso G/T ´e livre

de tor¸c˜ao e T = Dr

, onde T

s˜ao os ´unicos p-subgrupos maximais de G.

Demonstra¸c˜ao. Ver [15] , pg. 132.

1.4 Grupos Residualmente Finitos e Polic´ıclicos

Deﬁni¸c˜ao 1.4.1. Seja H  G, onde G ´e um grupo. Ent˜ao o n ´ucleo normal de H em G ´e

deﬁnido como produto de todos os subgrupos normais de G, tais que estes est˜ao contidos

em H. Vamos denotar o n´ucleo normal por H

. Vale tamb´em H



g∈G

Lembramos que se K ´e um ( n˜ao nescessariamente normal ) subgrupo de um grupo

G, ent˜ao um subgrupo Q ≤ G ser´a um complemento de K em G se K∩Q = {1} e KQ = G.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.2. Um grupo G ´e polic´ıclico se possui uma cadeia ﬁnita subnormal (c´ıclica)

{1} = A

✂ A

✂ · · · ✂ A

(r−1)

✂ A

= G (4)

em que cada grupo fator A

i+1

´e c´ıclico.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

E claro que a classe de grupos Polic´ıclicos ´e f echada para a forma¸c˜ao de subgrupos e

quocientes.

Deﬁni¸c˜ao 1.4.3. Um grupo G ´e dito residualmente ﬁnito, se para cada 1 = g ∈ G, existe

um N

✁ G tal que g ∈ N

e G/N

´e ﬁnito.

Observa¸c˜ao 1.4.1. N´os podemos ver que:

G ´e residualmente ﬁnito ⇐⇒



|G:N|<∞

N✂G

N = {1} ⇐⇒



|G:X|<∞

XG

X = {1}.

Mencionamos que o grupo c´ıclico inﬁnito C

∞

= x

∼

(Z , +) ´e um exemplo de grupo

residulamente ﬁnito, por´em n˜ao ﬁnito.

Proposi¸c˜ao 1.4.1. Um grupo nilpotente f.g. tem uma s´erie central cujos fatores s˜ao

c´ıclicos, isto ´e, tal grupo ´e polic´ıclico.

Demonstra¸c˜ao. Ver [10] , pg. 119 , Teorema 17.2.2. .

Agora podemos demonstrar um dos lemas mais importantes dessa se¸c˜ao, este resultado

ser´a usado na proposi¸c˜ao posterior, que ´e uma das pe¸cas principais na prova do Teorema

de Roseblade.

Lema 1.4.1. Um grupo polic´ıclico ´e residualmente ﬁnito.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grupo polic´ıclico. Vamos provar esta proposi¸c˜ao usando indu¸c˜ao,

com rela¸c˜ao ao comprimento n de uma s´erie c´ıclica (4) de G, de menor comprimento n.

Se n ≤ 1, n˜ao h´a nada a fazer. Numa s´erie c´ıclica:

{1} = M

✁ M

✁ · · · ✁ M

n−1

✁ M

= G,

de menor comprimento poss´ıvel, consideremos H = M

n−1

. Temos que G/H ´e c´ıclico (ﬁnito

ou inﬁnito) e pela H.I., H ´e residualmente ﬁnito, pois ´e polic´ıclico e com cadeia de com-

primento menor que n. Assim



JH

|H:J |<∞

J = {1}.

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Vamos dividir a demonstra¸c˜ao em dois casos:

Caso I

Se |G/H| < ∞, temos



XG

|G:X|<∞

X ⊆



JH

|H:J |<∞

J = {1}

e nesse caso G ´e residualmente ﬁnito.

Caso II

Suponha que G/H ´e c´ıclico inﬁnito, digamos G/H = xH =

xH

. Segue da´ı que G =

xH, onde obviamente x ∩ H = {1}. Portanto x ´e um complemento para H em G.

Seja Y um subgrupo normal de H qualquer com |H/Y | < ∞, digamos |H /Y | = k.

Para todo g ∈ G temos que Y

✂ H e |H/Y

| = k. Como Y



g∈G

, segue que



g∈G

´e um quociente de tor¸c˜ao ( tem expoente dividindo k) e ´e polic´ıclico, portanto ´e ﬁnito .

Mas G/H

∼

(Z , +), portanto ´e residualmente ﬁnito e isso implica que



XG

|G:X|<∞

X  H.

Suponhamos que xY

= W. Temos

W ∩ H = (xY

) ∩ H

Le.1.3.6.

= (x ∩ H)Y

= Y

Portanto

|G : W | = |W H : W | = |H : W ∩ H| = |H/Y

| < ∞.

Agora



XG

|G:X|<∞

X  H ∩ W = Y

 Y , ∀ Y ✂ H , |H /Y | < ∞.

Portanto como H ´e residualmente ﬁnito temos



XG

|G:X|<∞

X 



|H:Y |<∞

Y ✂H

Y = {1}.

Assim vemos que G ´e residualmente ﬁnito .

Cap´ıtulo 1. Preliminares sobre Teoria de Grupos

Agora vamos demonstrar uma proposi¸c˜ao que ser´a uma pe¸ca fundamental no Teo-

rema de Roseblade. Este por sua vez, vai reduzir em grande parte a demonstra¸c˜ao do

Teorema Principal , para um estudo sobre p-grupos ﬁnitos. Antes, vamos deﬁnir as

seguintes classes de grupos:

N : como a classe de to dos os grupos que s ˜ao nilpotentes;

: como a classe de todos os grupos que s˜ao nilpotentes de classe ≤ n, para algum

n ∈ N

Proposi¸c˜ao 1.4.2. Seja M uma classe de grupos fechada para a forma¸c˜ao de subgrupos

e quocientes (imagens homom´orﬁcas). Suponhamos que para todo primo p, ocorre que

cada p-grupo ﬁnito de M seja nilpotente de classe ≤ c. Ent˜ao cada M-grupo localmente

nilpotente G, pertence a classe N

Demonstra¸c˜ao. Seja G um M-grupo localmente nilpotente . Queremos mostrar que para

quaisquer x

, x

, . . . , x

c+1

pertencentes a G, temos que [x

, x

, . . . , x

c+1

] = 1.

Sejam dados x

, x

, . . . , x

c+1

∈ G. O subgrupo F = x

, x

, . . . , x

c+1

 de G ´e nilpotente

pela nossa hip´otese. Pela Proposi¸c˜ao 1.4.1., F ´e polic´ıclico. Usando o Lema 1.4.1.,

temos que F ´e residualmente ﬁnito .

Seja

K ✂ F , |F/K| < ∞.

E claro que F/K ´e nilp otente e sendo ﬁnito segue da Proposi¸c˜ao 1.3.1. que F/K ´e o

produto direto de seus subgrupos de Sylow. Mas cada subgrupo de Sylow de F/K est´a

na classe M ( devido ao seu fechamento ) e ´e um p-grupo ﬁnito . Portanto a hip´otese nos

d´a que cada um desses subgrupos de Sylow ´e nilpotente de classe menor ou igual a c.

Da´ı F/K ∈ N

Assim

c+1

(F )  K , ∀K ✂ F , |F/K| < ∞.

Portanto temos que

c+1

(F ) 



|F :K| < ∞

K✂F

K = {1}.

Da´ı segue que [x

, . . . , x

c+1

] = 1.

Agora pela arbitrariedade de F e de seu conjunto gerador, vemos que

c+1

(G) =  [x

, . . . , x

c+1

]|x

, . . . , x

c+1

∈ G  = {1}.

Portanto G ´e nilpotente de classe ≤ c.

Cap´ıtulo 2

Os Grupos Dedekindianos

Nosso objetivo nesse cap´ıtulo ´e apresentar uma demonstra¸c˜ao para o Teorema Cl´assico

de Baer-Dedekind sobre a c lassiﬁca¸c˜ao dos grupos Dedekindianos (ver [15], pg.143 ,

144 e 145 ).

Para isso vamos dar os conceitos de grupos Dedekindianos e vamos provar alguns re-

sultados separados que fornecem a demonstra¸c˜ao do teorema.

A demonstra¸c˜ao que apresentaremos foi comunicada para mim pelo professor Dr. Rudolf

Maier. Observamos que este cap´ıtulo ´e uma motiva¸c˜ao para o estudo do Cap´ıtulo 3 ,

onde trataremos uma caracteriza¸c˜ao dos grupos nilpotentes devido `a Roseblade.

2.1 Deﬁni¸c˜oes , Exemplos de Grupos Dedekindianos

e o Teorema de Baer-Dedekind

Deﬁni¸c˜ao 2.1.1. Um grupo G ´e dito ser Dedekindiano, se todo subgrupo (c´ıclico) de

G ´e normal em G.(Ver mais em [4])

Obvio ´e que se um grupo G ´e abeliano , ent˜ao todos os seus subgrupos s˜ao normais;

assim grupos abelianos s˜ao Dedekindianos .

Deﬁni¸c˜ao 2.1.2. Os grupos Dedekindianos n˜ao-abelianos s˜ao ditos grupos Hamilto-

nianos. (Ver mais em [22], pg. 159 , 160 e 161).

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

Exemplo 2.1.1. O grupo quat´ernio de ordem 8

= {1, −1, i, −i, j , −j , k, −k},

onde

−1

= −i , j

−1

= −j e k

−1

= −k,

tem um ´unico elemento de ordem 2, o (−1 ). Este gera o grupo derivado Q



. Logo se

1 = H  Q, temos que Q



 H, da´ı H ✂ Q.

Portanto todos os subgrupos de Q

s˜ao normais , ou seja , Q

´e um grupo Hamiltoniano,

pois n˜ao ´e abeliano (ij = ji).

Lema 2.1.1. Seja G um grupo Dedekindiano. Ent˜ao G ´e nilpotente de classe menor

ou igual a dois.

Demonstra¸c˜ao. ∀x ∈ G, sabemos que x ✂ G, ent˜ao segue que N

(x) = G. Ent˜ao pelo

Lema 1.2.2. temos que

(x)/C

(x)

∼

subgrupo de Aut (x).

Agora pela Observa¸c˜ao 1.2.4. segue que Aut (x) ´e abeliano. Logo



 C

(x) , ∀ x ∈ G, da´ı G







x∈G

(x) =



x∈G

(x) = Z(G).

Portanto G ´e nilpotente de classe no m´aximo 2.

Como aﬁrmamos no Cap´ıtulo 1, pg. 7, a classe dos Grupos Dedekindianos ´e fechada

para a forma¸c˜ao de subgrupos e quocientes.

Um exemplo de um grupo Hamiltoniano ´e descrito no exemplo geral:

Exemplo 2.1.2. Seja G um grupo tal que G

∼

× E × A , onde E ´e um 2-grupo

abeliano elementar e A ´e um qualquer grupo abeliano de tor¸c˜ao no qual todo elemento

tem ordem ´ımpar. Ent˜ao G ´e um grupo Grupo Hamiltoniano.

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

Demonstra¸c˜ao. Que G n˜ao ´e abeliano ´e ´obvio , pois Q

n˜ao ´e . Basta mostrar portanto

que o grupo G possui todos os seus subgrupos (c´ıclicos) normais.

Sejam g , g

∈ G , digamos g = xyz e g

= x

, com x , x

∈ Q

; y , y

∈ E e

z, z

∈ A . Temos

= (xyz)

= x

yz.

Se x

= x temos :

= xyz = g ∈ g.

Ent˜ao g

= g

 = g ✂ G.

Suponha agora que x

= x

−1

, ent˜ao temos g

= x

−1

yz. Note que mdc(|z| , 4) = 1,

visto que z ∈ A e que A s´o tem elementos de ordem ´ımpar. Agora pelo Lema 1.3.8.

segue que existe n ∈ N tal que n ≡ 3(mod 4) e n ≡ 1(mod |z|).

Lembrando que |y|  2, temos :

= x

−1

yz = x

4k+3

|z|j+1

= x

= (xyz)

= g

∈ g.

Assim para todo g

∈ G temos

g

= g

 = g

  g.

Logo g ✂ G.

Conclus˜ao: G ´e um grupo Hamiltoniano .

Vamos preparar a seguir uma demonstra¸c˜ao para a rec´ıproca do exemplo geral ante-

rior:

Todo grupo Hamiltoniano ´e da forma descrita no exemplo 2.1.2..

Come¸caremos com a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.1.1. Seja G um grupo Dedekindiano n˜ao-abeliano. Ent˜ao G ´e um grupo

de tor¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao. Seja x ∈ G , x de ordem inﬁnita. Se x ∈ Z(G), ent˜ao existe um y ∈ G

com xy = yx. Como x ✂ G e  y ✂ G , segue que [x, y] ∈ x ∩ y , da´ı x ∩ y = 1 ,

isto ´e , x ∩ y = x

 , para algum n ∈ N. Mas ent˜ao

∈ y, e da´ı [x

, y] = 1, logo (x

)

= x

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

Por outro lado : x

= x

−1

e assim

−1

y = (x

)

= x

−n

= x

pois n = 0. Portanto x ∈ Z(G).

Agora se a ∈ G \ Z(G) ent˜ao a tem ordem ﬁnita e tamb´em xa ∈ G \ Z(G).

Se k = |xa| |a| < ∞, ent˜ao

= x

= (xa)

= 1,

um absurdo pois x tem ordem inﬁnita .

Conclus˜ao : G ´e um grupo de tor¸c˜ao .

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Seja p um primo ´ımpar e P um p-grupo Dedekindiano. Ent˜ao P ´e

abeliano.

Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que P ´e um p-grupo Dedekindiano, mas P n˜ao

´e abeliano. Isso nos diz que , existem a, b ∈ P com ab = ba. Considere o subgrupo

a, b = ab. Como o(a) e o(b) s˜ao potˆencias do primo p, temos que a, b ´e um subgrupo

ﬁnito e n˜ao abeliano de P. Portanto para provar tal proposi¸c˜ao ´e suﬁciente supor que P

´e ﬁnito.

Seja agora P um p-grupo Dedekindiano, ﬁnito, n˜ao-abeliano de ordem m´ınima. Se

a, b ∈ P com ab = ba, ent˜ao P = ab. Usando o Lema 1.3.7. P/Φ(P ) ´e abeliano

elementar com |P/Φ(P )| = p

. Assim P



 Φ(P ).

Note que todo subgrupo pr´oprio S de P e todo quociente P/N com 1 = N  P s˜ao

abelianos. Se N

, N

 P tal que |N

| = |N

| = p e N

= N

, vemos que ambos

os quocientes P/N

e P/N

seriam abelianos. Ent˜ao P



 N

∩ N

= 1 e assim P

seria abeliano, um absurdo. Portanto P possui um ´unico subgrupo N de ordem p e vale

N = P



Consideremos a aplica¸c˜ao ϕ : P −→ P onde x −→ x

. Pelo Lema 2.1.1., P ´e nilpotente

de classe ≤ 2 e assim vale a igualdade (ii) da Proposi¸c˜ao 1.3.2.. Lembremos tamb´em

que p ´e um primo ´ımpar (p > 2,) logo p|

p(p−1)

e j´a que P



tem ordem p, segue que

[y, x]

p(p−1)

= 1. Portanto

ϕ(xy) = (xy)

= x

= ϕ(x)ϕ(y).

Logo ϕ ´e um endomorﬁsmo de P .

E f´acil ver que Im(ϕ)  Φ(P ), pois P/Φ(P ) tem expoente p. Como P/Ker(ϕ)

∼

Im(ϕ)

segue que

|Ker(ϕ)| =

|P |

|Im(ϕ)|

 p

Assim existe mais de um subgrupo de ordem p em Ker(ϕ), j´a que este tem expoente p.

Portanto existe mais de um subgrupo de ordem p em P, uma contradi¸c˜ao como j´a vimos

na primeira parte desta demonstra¸c˜ao.

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

Proposi¸c˜ao 2.1.3. Seja Q um 2-grupo Dedekindiano , ﬁnito , minimal n˜ao-abeliano,

isto ´e, os subgrupos pr´oprios de Q s˜ao abelianos . Ent˜ao Q

∼

Demonstra¸c˜ao.

E ´obvio que |Q| = 2

≥ 8 .

Sejam x, y ∈ Q tais que xy = yx , ent˜ao Q = x, y = xy, vale |Q/Φ(Q)| = 4 e Q

possui exatamente trˆes subgrupos maximais , isto ´e , subgrupos de ´ındice 2. Estes s˜ao

abelianos. Al´em disso, 1  Q



 Φ(Q) = Z(Q).

Vamos dividir o nosso problema em dois casos.

Caso 1. Existe um quociente n˜ao-abeliano Q/N com |N| = 2. Ent˜ao, Q/N ´e 2-

grupo Dedekindiano, ﬁnito , minimal n˜ao-abeliano com |Q/N| < |Q|. Pela nossa H.I.

Q/N

∼

e como |N| = 2, segue que |Q| = 16. Como Q ´e Dedekindiano temos

x ✂ Q ; y ✂ Q e como xy = yx temos que x ∩ y > 1.

E claro que o(x) = 16 e o mesmo ocorre com y. Agora suponha que

|x| = |y| = 4, da´ı 16 = |xy| =

|x| |y|

|x ∩ y|

, portanto |x ∩ y| = 1,

um absurdo. Assim um dos elementos x ou y tem que ter ordem 8, digamos que |x| = 8.

Vale N  x , pois caso contr´ario Q = x × N seria abeliano. Portanto, N = x

.

Como Q/N ´e quat´ernio de ordem oito , temos que y inverte x m´odulo N, isso ´e ,

= x

−1

ou x

= x

−1

= x

J´a que x

y < Q segue que o subgrupo anterior ´e abeliano e assim (x

)

= x

. Logo

temos que :

= (x

)

= (x

)

= x

= x

pois o(x) = 8. Portanto temos um absurdo e o caso 1 n˜ao ocorre .

Caso 2. Sejam agora todos os quocientes pr´oprios de Q ab elianos. Usando o mesmo

argumento da Proposi¸c˜ao 2.1.2. , segue que Q



´e o ´unico subgrupo de ordem 2 em Q.

Al´em disso os subgrupos maximais de Q, sendo abelianos e possuindo um ´unico subgrupo

de ordem 2, s˜ao c´ıclicos.

Se Q



 Φ(Q), existe X com Q



< X  Φ(Q) e |X/Q



| = 2.

Para todo Y com Q



< Y e |Y/Q



| = 2 , temos que |X| = |Y | = 4 e X, Y pertencem

ambos a um dos subgrupos maximais de Q . Como os mesmos s˜ao c´ıclicos, temos X = Y.

Portanto, o grupo Q/Q



, possuindo um ´unico subgrupo de ordem 2 , ´e c´ıclico. Mas

isso n˜ao ´e verdade pois, Q/Q



tem trˆes subgrupos maximais, j´a que Q tamb´em possui

trˆes subgrupo maximais. Logo devemos ter Q



= Φ(Q) e como |Q/Φ(Q)| = 4, segue que

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

|Q| = 8.

Conclus˜ao:

Q ´e um grupo ﬁnito, n˜ao-abeliano, de ordem 8 e Dedekindiano. Segue da classiﬁca¸c˜ao

dos grupos de ordem oito que Q

∼

Proposi¸c˜ao 2.1.4. Seja D um 2-grupo Dedekindiano, n˜ao - abeliano. Ent˜ao

∼

× E,

onde E ´e um 2-grupo abeliano elementar.

Demonstra¸c˜ao. Como D n˜ao ´e abeliano segue que existem a, b ∈ D com ab = ba. O

subgrupo a, b = ab ´e ﬁnito e al´em disso existe um subgrupo n˜ao-abeliano minimal

Q em a, b. Agora pe la Proposi¸c˜ao 2.1.3. temos que Q

∼

. Vamos provar agora

que Q possui um complemento em D : pelo Lema de Zorn , temos que entre todos

os subgrupos X  D com Q ∩ X = {1}, existe um subgrupo maximal M com esta

propriedade. Agora resta mostrar que

D = QM.

Suponha por absurdo que QM  D.

Tamb´em D/M ´e 2-grupo Dedekindiano n˜ao-abeliano e QM/M

∼

. O ´unico

K/M  D/M tal que

∩

= M/M ´e K/M = M/M,

pois se QM ∩ K = M, temos

Q ∩ K = QM ∩ Q ∩ K = Q ∩ (QM ∩ K) = Q ∩ M = 1.

Temos uma contradi¸c˜ao se K > M, pela maximalidade do M. Logo K = M.

Portanto, pondo M = {1}, teremos que o ´unico K  D com Q ∩ K = {1} ´e K = {1}.

Particularmente n˜ao existe

K  Q, com |K| = 2.

Seja Q  Y  D tal que |Y/Q| = 2, isto ´e, |Y | = 16. A demonstra¸c˜ao estar´a completa se

conseguirmos um b ∈ Y \ Q, com |b| = 2.

Se tal b n˜ao existe, ent˜ao Y possui um ´unico subgrupo de ordem 2. Se x ∈ Y \ Q, segue

ent˜ao que |x| = 4 ou |x| = 8. Vamos dividir o nosso problema novamente em dois casos:

Caso 1.

Suponha que a ordem de x ´e oito. Se considerarmos Q = ij = Q

, ent˜ao pelo fato de

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

ter ordem 4 , temos que x

∈ i ou j ou k. Assim podemos admitir sem perda de

generalidade que x

∈ i. Logo x

= i

±1

= ±i. Mas x

tamb´em tem ordem 8 e x

∈ Y \Q.

Assim se

= −i, segue que x

= (x

)

= (−i)

= i,

portanto podemos admitir que x

= i. Temos

= x, x

, x

ou x

Como i

= i

−1

= −i, vemos que x

= x ou x

= x

´e imposs´ıvel, pois nesse caso o i

seria

igual a i. Portanto x

= x

ou x

= x

−1

= x

. Agora tome o seguinte subgrupo c´ıclico

x

 = −1 = N e assim temos o grupo quociente

Y/x

 = Y/N.

Vale

|xN| = 4, |jN| = 2 e (xN)

= x

N = x

{−1 ou 3}

N = (xN)

−1

Portanto,

Y/x



∼

onde D

´e o grupo Diedral de ordem 8, que pelo exemplo 1.1.1 (c) n˜ao ´e Dedekindi-

ano, um absurdo.

Caso 2.

Suponha que a ordem de x ´e quatro. Se x comuta com i, j ou com k = ij, ent˜ao

x, i, x, j ou x, k, ser´a um subgrupo abeliano n˜ao c´ıclico, que possui mais de um sub-

grupo de ordem 2 ( por exemplo x, i possui como subgrupos distintos de ordem 2: x



e xi ), um absurdo.

Assim devemos assumir que x n˜ao comuta com i , j e k. Agora como i ✂ Y ; j ✂ Y e

k ✂ Y, temos que:

= i

−1

, j

= j

−1

e k

= k

−1

Portanto vale o seguinte:

(ij)

−1

= (ij)

= i

−1

= (ji)

−1

um absurdo .

Logo Q possui um complemeto em D, digamos E. Sup onha que E n˜ao seja um 2-

grupo abeliano elementar. Ent˜ao existe um a ∈ E com a

= 1, assim posso assumir que

o(a) = 4. Agora para o subgrupo ia, temos

(ia)

= i

−1

a ∈ ia.

Logo ia  D, um absurdo j´a que D ´e Dedekindiano. Portanto D = Q

E ´e um

produto direto interno de um grupo de quat´ernio de ordem oito com um 2-grupo abeliano

elementar, ou seja, D

∼

× E.

Cap´ıtulo 2. Os Grupos Dedekindianos

Vamos agora usar os resultados vistos nesta se¸c ˜ao para provar a proposi¸c˜ao a seguir.

Esta ´e a pe¸ca principal para a prova do Teorema de Baer-Dedekind sobre os grupos

Dedekindianos.

Ao ﬁnal vamos sugerir algumas generaliza¸c ˜oes desse teorema. Os trabalhos originais po-

dem ser encontrados em [4] e [5].

Proposi¸c˜ao 2.1.5. Seja G um grupo Dedekindiano n˜ao-abeliano . Ent˜ao

∼

× E × A,

onde A ´e um qualquer grupo abeliano de tor¸c˜ao no qual todo elemento tem ordem ´ımpar

e E ´e um 2-grupo abeliano elementar.

Demonstra¸c˜ao. Seja G um grupo Dedekindiano, n˜ao-abeliano. Ent˜ao pelos Lemas

2.1.1. e Proposi¸c˜ao 2.1.1., temos que G ´e nilpotente de classe menor ou igual a dois e

´e de tor¸c˜ao. Segue que G

∼

D ×K, onde D ´e o conjunto dos 2-elementos e K ´e o conjunto

dos elementos de ordem ´ımpar.

Agora pelo Lema 1.3.10. temos que K ´e o produto direto dos seus ´unicos p-subgrupos

maximais para p primo ´ımpar. Como G ´e Dedekindiano, segue que cada um dos p-

subgrupos maximais que comp˜oem K s˜ao abelianos, pela Proposi¸c˜ao 2.1.2..

Logo K = A ´e abeliano , de tor¸c˜ao e cujos elementos tem todos ordem ´ımpar . N˜ao

podemos ter D abeliano, sen˜ao G seria abeliano e isso contradiz a nossa hip´otese. Ent˜ao

D ´e um 2-grupo Dedekindiano , n˜ao-abeliano. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.4., temos que

∼

× E.

Portanto G

∼

× E × A, como quer´ıamos demonstrar.

Agora podemos enunciar o Teorema de Baer- Dedekind, da seguinte forma:

Teorema 2.1.1. Todos os subgrupos de um grupo G s˜ao normais se, e somente se, G

´e abeliano ou G

∼

× E × A, onde Q

´e o grupo quat´ernio de ordem oito, A ´e um

grupo abeliano onde todos os seus elementos tem ordem ´ımpar e E ´e um 2-grupo abeliano

elementar.

Para ver generaliza¸c˜oes sobre os Grupos Dedekindianos, leia [21] e [14], como ex-

emplos.

Cap´ıtulo 3

Caracteriza¸c˜ao dos Grupos

Nilpotentes segundo Roseblade

Um fato conhecido da Teoria dos Grupos ´e que se um grupo ´e nilpotente de uma

certa classe c, ent˜ao cada um dos seus subgrupos ser´a subnormal de defeito no m´aximo c.

Assim Roseblade em [17] mostra uma ”rec´ıproca”para esse fato: cada grupo G que tem

todos os seus subgrup os subnormais de defeito limitado ser´a nilpotente com classe limi-

tada. Mais ainda, esta limita¸c˜ao s´o depende do defeito dos seus subgrupos subnormais.

Nosso objetivo ´e fazer um estudo desse trabalho, mas para encurtarmos a demonstra¸c˜ao

do Teorema Principal, vamos usar alguns fatos acerca de p- grupos ﬁnitos. Este trabalho

tamb´em pode ser encontrado em [11], pg. 172 ´a 180.

3.1 Algumas Classes de Grupos que ser˜ao mais Uti-

lizadas e alguns Resultados Preliminares

Vamos agora deﬁnir algumas classes de grupos, s˜ao elas:

U : classe de todos os grupos em que cada um de seus subgrupos ´e subnormal;

d,n

: classe de todos os grupos G tal que cada subgrupo n-gerado ´e subnormal de

defeito no m´aximo d, onde n ∈ N

e d ∈ N

;

: classe de todos os grupos G tal que seus subgrupos s˜ao subnormais de defeito no

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

m´aximo d em G, onde d ∈ N

;

: classe de todos os grupos que s˜ao sol´uveis de comprimento derivado no m´aximo

LN : classe de todos os grupos que s˜ao localmente nilpotentes;

: para n ≥ 1, ´e a classe de todos os grupos, deﬁnida por:

G ∈ X

se, e somente se, γ

)  H, para cada H  G,

quando H pode ser gerado por n elementos .

Se n = 0, deﬁnimos

= {{1}}, como sendo a classe unit´aria .

Observamos que para n = 1, temos X

como sendo a classe dos grupos Dedekindianos.

Lema 3.1.1. Para todo r ≥ 0, temos:

(a) A classe X

´e fechada para a forma¸c˜ao de subgrupos e quocientes.

(b) X

⊆ U

r,r

⊆ LN.

Demonstra¸c˜ao. a) Primeiro vamos mostrar o fechamento de X

para a forma¸c˜ao de sub-

grupos. Seja G ∈ X

e considere H um subgrupo de G qualquer. Tome J um subgrupo

r-gerado de H, queremos que γ

)  J. Como H  G, segue que J

 J

. Portanto

)  γ

)  J,

pois J tamb´em ´e um subgrupo r-gerado de G.

Vamos mostrar agora que a classe X

´e fechada para a forma¸c˜ao de quocientes . Seja

G ∈ X

e N ✂ G qualquer. Considere o quociente G/N. Queremos que G/N ∈ X

, isto ´e,

((J/N)

G/N

)  J/N,

para todo subgrupo J/N, r-gerado de G/N.

Seja J/N = j

N, . . . , j

N =

, com X = j

, j

, . . . , j

, para alguns j

, . . . , j

perten-

centes a J.

Segue do Lema 1.3.2., que:







(

)



= γ





= γ







Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

como quer´ıamos demonstrar.

Por ﬁm, vamos mostrar a parte b).

Primeiro X

⊆ U

r,r

, ∀r ≥ 0.

Seja G ∈ X

e H  G tal que H ´e r-gerado. Ent˜ao pela deﬁni¸c˜ao de X

temos que

)  H. Tamb´em temos H

/γ

) ∈ N

(r−1)

. Portanto segue que,

H ✂

(r−1)

✂ G, e da´ı H ✂

G, ou seja , G ∈ U

r,r

Agora vamos mostrar a segunda parte . Seja G ∈ U

r,r

E suﬁcie nte mostrar que G ´e um

grupo de Baer, j´a que Baer-Grupos s˜ao localmente nilpotentes.

Como U

r,r

⊆ U

r,1

e pela Deﬁni¸c˜ao 1.2.1. temos que os grupos em U

r,1

s˜ao de Baer.

Vemos que

r,r

⊆ LN.

Observamos que N ⊆ U e tamb´em N

⊆ U

. Agora vamos provar mais alguns lemas,

que ser˜ao muito utilizados neste cap´ıtulo.

Lema 3.1.2.

∞



n=1

d,n

Demonstra¸c˜ao. Uma parte ´e ´obvia j´a que

⊆

∞



n=1

d,n

, pela deﬁni¸c˜ao de U

Supondo G ∈

∞



n=1

d,n

, isso nos diz que

G ∈ U

d,k

, ∀k ∈ N.

Considere H  G qualquer. Queremos que H ✂

G. Procuramos aplicar a Proposi¸c˜ao

1.1.1.: ´e claro que em H existe pelo menos um subgrupo ﬁnitamente gerado, o {1}.

Ent˜ao para cada subgrupo ﬁnitamente gerado F em H, existe um subgrupo X = F ✂

( usamos aqui a deﬁni¸c˜ao de U

d,k

) tal que

F  X = F  H.

Logo pela Proposi¸c˜ao 1.1.1. temos que H ✂

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Devemos lembrar que a classe U

d,n

´e fechada para a forma¸c˜ao de subgrupos e quo-

cientes. Pelo lema anterior temos que a U

, tamb´em ´e fechada para a forma¸c˜ao de sub-

grupos e quocientes.

Lema 3.1.3. Seja G um grupo e A ✂ G, abeliano. Para todo x ∈ G , considere a seguinte

aplica¸c˜ao de A em A, ξ

: a −→ [a, x]. Al´em disso seja s ∈ N. Ent˜ao:

(i) ξ

´e um endomorﬁsmo de A,

(ii) se [A, G



] = {1} , ent˜ao ξ

= ξ

∀ x, y ∈ G,

(iii) ∀x, y ∈ G temos [a, xy] = a

+ξ

= a

(iv) (I + ξ

)

= I + ξ

, onde I ´e a identidade do anel dos endomorﬁsmos de A.

Demonstra¸c˜ao. (i) Sejam a, b ∈ A arbitr´arios. Para cada x ∈ G temos:

(ab)

= [ab, x] = [a, x]

[b, x] = [a, x][b, x] = a

pois [[a, x], b] = 1. Logo ξ

´e um endomorﬁsmo de A para cada x.

(ii) Sab emos que:

= [[a, x], y] = [a, x, y] e a

= [[a, y], x] = [a, y, x].

Vamos usar a Identidade de Hall-Witt, ou seja,

[a, x, y]

−1

, y

−1

, a]

[y, a

−1

, x

−1

]

= 1.

Como [[x

−1

, y

−1

], a] ∈ [G



, A], temos que [[x

−1

, y

−1

], a] = [x

−1

, y

−1

, a] = 1. Assim, da

igualdade acima resta-nos o seguinte:

[a, x, y]

−1

[y, a

−1

, x

−1

]

= 1, logo [a, x, y] =



[y, a

−1

, x

−1

]

−1





[[y, a

−1

], x

−1

]

−1



Agora

[y, a

−1

, x

−1

]

−1

= [[y, a

−1

], x

−1

]

−1

= [x

−1

, [y, a

−1

]] e (x

−1

)

= x

−1

ax = x

−1

[a, x].

Portanto

[a, x, y] = [(x

−1

)

, [y, a

−1

]

] = [a, x]

−1

[y, a

−1

]

−1

[a, x]x

−1

[y, a

−1

]x =

= [[y, a

−1

], x] = [[a, y]

−1

, x] =

= [[a, y], x] = [a, y, x].

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

(iii)

+ξ

= [a, x][a, y][[a, x], y] = [a, x][a, y][a, x]

−1

[a, x]y =

= [a, y]y

−1

[a, x]y = a

−1

ayy

−1

axy =

= [a, xy] = a

(iv) Vamos provar tal aﬁrma¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre s.

Se s = 1, segue que (I + ξ

)

= I + ξ

Suponhamos que ocorre (I + ξ

)

= I + ξ

, para algum s ∈ N. Agora

(I + ξ

)

s+1

H.I.

= (I + ξ

)(I + ξ

)

= I + ξ

+ ξ

(iii)

= I + ξ

s+1

como quer´ıamos demonstrar.

Vamos agora provar uma proposi¸c˜ao que ser´a de importˆancia vital para a conclus˜ao do

nosso trabalho. Sua prova original pode ser encontrada em [6], pg. 452 , mas a demons-

tra¸c˜ao que faremos aqui ´e dada em [11], pg. 174 e 175.

Proposi¸c˜ao 3.1.1. Seja A um subgrupo abeliano e normal qualquer de um grupo G e

que x ∈ G. Suponha que [A , G



] = {1} e que ξ

= 0 , ∀x ∈ G , d ≥ 1. Ent˜ao existe um

(d) ∈ N, tal que:

(d)

 Z

d−1

(G).

Demonstra¸c˜ao. Pelo le ma anterior sab emos ξ

: a −→ [a, x] ´e um endomorﬁsmo de A.

Agora sejam x, y ∈ G e abreviemos ξ

= ξ e ξ

= η. Do lema anterior temos

ξη = ηξ e [a, xy] = a

ξ+η+ξη

= a

Vamos provar tal Proposi¸c˜ao por indu¸c˜ao sobre d .

Se d = 1 temos ξ

= ξ

= 0 , ∀x ∈ G, assim fazendo-se β

(1) = 1, temos

(1)

= A  Z

1−1

(G) = Z

(G) = Z(G), pois [a, x] = 1 , ∀x ∈ G e ∀a ∈ A.

Logo assumiremos indutivamente que d > 1. Agora queremos provar tal assertiva para

o caso β

(d). Assim por hip´otese devemos assumir que ξ

= 0 , ∀x ∈ G. Dados x, y ∈

G, segue que (ξ + η + ξη)

= 0, onde 0 ´e o zero do anel dos Endomorﬁsmos de A. Al´em

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

disso, como d  2 segue que (2d − 2)  d. Temos portanto (ξ + η + ξη)

2d−2

= 0.

Agora pela nossa hip´otese, qualquer termo de grau d ou maior em ξ ou η ´e zero e al´em

disso ξ + η + ξη = ξ + η(I + ξ). Para facilitar o desenvolvimento que se segue, suponha

que θ = η(I + ξ) e nesse caso (ξ + θ)

(2d−2)

= 0. Portanto:

(ξ + θ)

(2d−2)

2d−2



j=0



2d − 2



2d−2−j

d−2



j=0



2d − 2



2d−2−j



2d − 2

d − 1



d−1

2d−2



m=d



2d − 2



2d−2−m

= 0.

Mas para

m = d, (d + 1), . . . , (2d − 2), temos, m ≥ d

e como

0 ≤ j ≤ (d − 2), temos − (d − 2) ≤ −j ≤ 0, logo d ≤ 2d − 2 − j ≤ 2d − 2.

Assim a soma anterior se reduz a:



2d − 2

d − 1



d−1



2d − 2

d − 1



d−1

(I + ξ)

d−1

= 0.

Agora queremos provar que



2d − 2

d − 1



d−1

= 0. Para isso ´e suﬁciente mostrar que

(ξ + ξ

)

d−1

= ξ

d−1

. De fato pois

(ξ

+ ξ)

d−1



j=0



d − 1







d−1−j

d−2



j=0



d − 1



2d−2−j

+ ξ

d−1

= ξ

d−1

pois (2d − 2 − j) ≥ d. Considere ent˜ao

t =



2d − 2

d − 1



Agora seja A

= a

| a ∈ A , x ∈ G, onde φ

= tξ

d−1

Aﬁrma¸c˜ao : A

✂ G e a

d−1

= 1 , ∀a

∈ A

e x ∈ G.

Justiﬁcativa: seja y ∈ G qualquer, ent˜ao







tξ

d−1



= ([a,

d−1

)

= [a

(d−1)

]

= (a

)

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

para alguns a

∈ A e x

∈ G.

Agora, dado a

pertencente ao conjunto gerador de A

, onde z ∈ G qualquer, temos





d−1



tξ

d−1



d−1

= a

tξ

d−1

= 1.

Assim temos que A

´e abeliano pois ´e subgrupo de A e

, G



] ⊆ [A, G



] = {1}, logo [A

, G



] = {1}.

Al´em disto a

d−1

= 1 , ∀x ∈ G. Portanto segue da hip´otese de indu¸c˜ao que

= A

(d−1)

 Z

d−1−1

(G) = Z

d−2

(G), sendo b = β

(d − 1).

Abreviaremos Z

d−2

(G) = Z. Logo para qualquer a ∈ A, temos a

tbξ

d−1

∈ Z, pois

tbξ

d−1

= (a

tξ

d−1

)

= a

∈ A

 Z,

para algum a

∈ A

Assim se deﬁnirmos A

= A

, ent˜ao claramente a

d−1

∈ Z , ∀a

∈ A

Vamos trabalhar agora em G/Z e notando que A

✂ G. Segue do Teorema da Corres-

pondˆencia que (A

Z)/Z ✂ G/Z. Al´em disto como A

 A, temos que (A

Z)/Z ´e um

subgrupo ab eliano de G/Z. Tamb´em ´e f´acil ver que [(A

Z)/Z, (G/Z)



] = Z/Z. Deﬁnindo

∀x ∈ G , ξ

: a

Z −→ [a

, x]Z temos que de fato este ´e um endomorﬁsmo bem deﬁnido

de A

Z/Z. Tamb´em, usando o fato de que

d−1

∈ Z, isto ´e, (a

d−1

= Z , ∀a

Z ∈ A

Z/Z,

temos que ξ

d−1

= 0 , ∀xZ ∈ G/Z. Agora podemos aplicar uma segunda vez a hip´otese

de indu¸c˜ao: ∀a

∈ A

, temos que para b = β

(d − 1), vale:





(d−1)





 Z

d−2





Logo

= a

Z ∈ Z

d−2

(G/Z) = Z

d−1

(G)/Z. Portanto a

∈ Z

d−1

(G).

Mas, como

∈ A

, segue da´ı que a

∈ A

 Z

d−1

(G).

Assim o lema estar´a provado se deﬁnirmos β

(d) = t · (β

(d − 1))

, onde claramente j´a

sabemos que t s´o depende de d. Portanto A

(d)

 Z

d−1

(G).

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

O passo seguinte na prova do teorema principal ´e o de conseguirmos provar a nilpotˆencia

de certos grupos metabelianos, e stabelecendo uma limita¸c˜ao para sua classe de nilpotˆencia.

Antes disso, devemos lembrar que

0,0

∩ A

= U

0,0

= {{1}} = N

al´em disto

1,1

∩ A

= U

1,1

⊆ N

pelo Lema 2.1.1..

Lema 3.1.4. Existe uma fun¸c˜ao β : N

−→ N

, tal que ∀d  0 ocorre U

d,d

∩ A

⊆ N

β(d)

Demonstra¸c˜ao. Suponha que G ∈ U

d,d

∩ A

e seja A = G



. Como G ´e metab eliano temos

que:



, G



] = [A, A] = {1}.

Seja x ∈ G. Dado que G ∈ U

d,d

, segue que o subgrupo x, 1-gerado, satisfaz x ✂

Logo existe uma cadeia subnormal

x = X

✂ X

d−1

✂ · · · ✂ X

✂ X

= G.

Assim, como x ∈ X

, temos que [a, x] ∈ X

, ∀a ∈ G, pois X

´e normal em G. Agora

[[a, x], x] = [a,

x] ∈ X

, pois x ∈ X

e X

✂ X

e assim por diante. Indutivamente, temos

[a,

x] ∈ X

= x, logo [a,

d+1

x] = [[a,

x], x] = 1, ∀a ∈ A (∗∗).

Usando as nota¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 3.1.1., temos que 1 = [a ,

d+1

x] = a

d+1

e j´a que

todas as hip´oteses de tal proposi¸c˜ao est˜ao satisfeitas, segue que existir´a um β

(d + 1) = b

tal que

(d+1)

= A

 Z

(G) = Z.

Substituindo G por G/Z, n´os poderemos assumir que A

= 1. Considere y = x

, onde

k = d!b. Al´em disso sejam ξ = ξ

, η = ξ

. Ent˜ao η = kξ +





+ · · · +





onde ξ

d+1

= 0. De fato, pois usando o Lema 3.1.3.(iv), quando s = k, temos (I + ξ

)

I + ξ

. Logo

η = (I + ξ

)

− I

= I + kξ





+ · · · +





− I

= kξ





+ · · · +





Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Al´em disto, b divide todos os





, ∀i = 1, 2, . . . , d. Isto se deve ao fato de i! | d!.

Como

η = (bd!)ξ + (bl

)ξ

+ · · · + (bl

)ξ

onde {l

, . . . , l

} ⊂ N, segue que

η = b(d!ξ + l

+ · · · + l

Agora aplicando η em qualquer a ∈ A, teremos que a

= 1, pois A

= 1. Em outras

palavras, η = 0. Da´ı

, A] = 1 , ∀y ∈ G.

Sejam agora x

, . . . , x

elementos arbitr´arios e ﬁxos de G e considere o seguinte subgrupo

de G,

X = x, x

, . . . , x

.

Aﬁrma¸c˜ao 1 :

X/C

(A) ´e um grupo abeliano de expoente dividindo k e tem ordem no m´aximo k

d+1

Justiﬁcativa :

Primeiro, ´e ´obvio que C

(A) ✂ X. Agora pelos Teoremas do Isomorﬁsmo segue que:

X/C

(A) = X/(C

(A) ∩ X)

∼

X · C

(A)/C

(A)  G/C

(A)

∼

(G/G



)/(C

(A)/G



Como G/G



∈ A segue que G/C

(A) ∈ A. Portanto X/C

(A) ´e abeliano. Al´em disto

o expoente de X/C

(A) divide k, pois [g

, a] = 1 , ∀g ∈ X e ∀a ∈ A, isto ´e, g

∈

(A) , ∀g ∈ X. Isto nos garante que o expoente de X/C

(A) divide k.

E claro que X/C

(A) ´e ﬁnitamente gerado, mas o mesmo tamb´em ´e abeliano e de tor¸c˜ao.

Como j´a ´e conhecido da Teoria dos Grupos, X/C

(A) ´e ﬁnito e tem ordem no m´aximo

d+1

Al´em disso X



 A, o que implica que X



tem expoente dividindo b. Tamb´em X



´e

abeliano e ´e gerado por todos os conjugados em X de s eus comutadores de peso 2 nos

geradores do subgrupo X. Vamos mostrar a seguir que X



´e ﬁnito e vale



|  b

d(d+1)k

d+1

= β

(d), para algum β

(d) ∈ N.

Sabemos que C

(a) ⊇ C

(A) , ∀a ∈ A e como X/C

(A) ´e ﬁnito, temos que

|X/C

(a)| < ∞.

Mas pela Observa¸c˜ao 1.2.3. o n´umero de conjugados em X do elemento a ∈ A ´e

|X : C

(a)|  |X/C

(A)|  k

d+1

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Em particular, como X



 A, segue que cada comutador de peso 2 (n˜ao-trivial), nos gera-

dores de X, possui no m´aximo k

d+1

conjugados distintos. Assim, como X = x, x

, . . . , x

,

podemos obter uma quantidade menor ou igual a



d + 1



· k

d+1

d(d + 1)

· k

d+1

geradores para X



. Al´em disto, cada x



∈ X



possui ordem divisora de b. Logo conclu´ımos

que de fato vale,



|  b

d(d+1)k

d+1

= β

(d).

Seja Y = [a, x, x

, . . . , x

]|a ∈ A.

E f´acil ver que Y ✂ G, pois G ∈ A

e A = G



procedimento ´e por indu¸c˜ao sobre d ∈ N). Agora como G ∈ U

d,d

, segue que

x, x

, . . . , x

d−1

 ✂

Por um racioc´ınio an´alogo ao que foi feito em (∗∗), temos que:

[a, x, x

, . . . , x

d−1

] ∈ x, x

, . . . , x

d−1

 ⊂ X.

Da´ı vemos que:

[a, x, x

, . . . , x

] = [[a, x, x

, . . . , x

d−1

], x

] ∈ X



pois x

∈ X. Assim |Y |  β

(d). Al´em disto, G ∈ LN, pelo Lema 3.1.1.(b).

Aﬁrma¸c˜ao 2:

Y  Z

(d)

(G).

Justiﬁcativa: Vamos usar agora a Proposi¸c˜ao 1.3.3.. Como Y ´e ﬁnito e normal em

G, segue que existe uma s´erie principal em G, contendo Y :

{1} = Y

✁ Y

✁ · · · ✁ Y

s−1

✁ Y

= Y ✂ G = Y

s+1

Pela Proposi¸c˜ao 1.3.3., cada um dos seus fatores principais ser´a central em G, isto ´e ,

j+1

 Z





, para todo j = 0, 1, 2, . . . , s − 1.

Assim temos:

= Y

 Z(G). Tamb´em temos

 Z





. Da´ı [Y

, G]  Y

 Z

(G), logo Y

⊆ Z

(G).

Procedendo assim por indu¸c˜ao sobre j, teremos que Y

 Z

(G) , ∀j. Mas ´e ´obvio que

j ≤ β

(d). Logo

Y  Z

(d)

(G).

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Agora γ

d+3

(G) ´e gerado por todos os comutadores de peso d + 3 em G, ou seja, ´e

gerado por elementos da forma [m

, m

, . . . , m

d+3

] para quaisquer m

∈ G. Note que

Y  Z

(d)

(G) independente da escolha dos geradores de X. Logo variando todos os

x, x

, . . . , x

poss´ıveis em G, teremos que γ

d+3

(G) ser´a gerado por todos os elementos da

forma

, u

, x, x

, . . . , x

] = [a, x, x

, . . . , x

onde a = [u

, u

] ∈ G



= A.

Portanto γ

d+3

(G)  Z

(d)

(G).

Relembrando que n´os estamos trabalhando m´odulo Z, n´os conclu´ıremos a prova de tal

Lema pela deﬁni¸c˜ao de β(d) = d + 2 + β

(d) + 2

, pois:

substituindo G por G/Z segue que

d+3

(G/Z)  Z

(d)

(G/Z) = Z

(d)

(G/Z

(G)).

Agora procedendo por indu¸c˜ao sobre l ∈ N

nos ´ındices das s´eries centrais superiores e

inferiores, conclu´ıremos que

(d+3)+l

(G/Z)  Z

(d)−l

(G/Z) , ∀l  0.

Assim para l = β

(d), segue que γ

d+3+β

(d)

(G/Z) = Z/Z.

Ent˜ao

G/Z ∈ N

d+2+β

(d)

Mas por outro lado, vale

(d)+d+2

(G/Z) = Z

(d)+d+2+2

(G)/Z ·

Isto signiﬁca que

(d)+d+2+2

(G) = G.

Conclus˜ao, G ´e nilpotente de classe no m´aximo

(d) + d + 2 + 2

= β(d).

Agora podemos provar a seguinte proposi¸c˜ao por indu¸c˜ao para o caso sol´uvel de com-

primento derivado m qualquer.

Proposi¸c˜ao 3.1.2. Existe uma fun¸c˜ao f

: N

× N

−→ N

, tal que para todo d  0 e

para todo m  0, temos

d,d

∩ A

⊆ N

(d,m)

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Demonstra¸c˜ao. O caso m = 0 ´e trivial. Se m = 1 temos

d,d

∩ A

⊆ A = N

Se m = 2 j´a foi feito no lema anterior. Ent˜ao vamos supor que m > 1 e a nossa hip´otese

de indu¸c˜ao ser´a a seguinte: a fun¸c˜ao f

est´a deﬁnida para (m−1), ou seja, existe f

(d, m−

1), ∀d ≥ 0 e al´em disto,

d,d

∩ A

m−1

⊆ N

(d , (m−1))

, para todo d  0.

Seja agora

G ∈ U

d,d

∩ A

Consideremos agora o grupo fator G/G

 

· Temos G/G

 

∈ A

e tamb´em G/G

 

∈ U

d,d

Assim satisfeitas as hip´oteses do Lema 3.1.4., existir´a uma fun¸c˜ao

β : N

−→ N

tal que G/G

 

∈ N

β(d)

, para todo d ≥ 0.

E claro que G



∈ U

d,d

∩ A

m−1

, logo pela H.I. existe f

( d , (m − 1)), ∀d ≥ 0 tal que



∈ N

( d , (m − 1)).

Vamos usar agora a Proposi¸c˜ao 1.3.4., onde L



= G

 

e K = G. Portanto G ∈ N

( d , m)

onde

( d , m ) =



( d , (m − 1) ) + 1



β(d) −



( d , (m − 1))



Vamos deﬁnir agora o que ´e rank ﬁnito r de um dado grupo G. Esta deﬁni¸c˜ao segue

de [11], pg. 39.

Deﬁni¸c˜ao 3.1.1. Um grupo G tem rank(posto) ﬁnito r se cada um de seus subgrupos f.g.

pode ser gerado por no m´aximo r elementos e r ´e o menor natural com esta propriedade.

Mencionamos que se G ´e um p-grupo abeliano e E(G) = {x ∈ G | px = 0}, seu maior

subgrupo abeliano elementar, ent˜ao G tem rank ﬁnito r, se e somente se, E(G) ´e ﬁnito,

com |E(G)| = p

. Para tais grupos vale tamb´em

G/pG

∼

E(G).

Al´em disto, se G ´e um grupo abeliano r -gerado, ent˜ao cada um de seus subgrupos ser´a

gerado por no m´aximo r elementos.

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Agora vamos provar um Lema de Philip Hall, que trata de propriedades de p-

grupos de automorﬁsmos de p-grupos abelianos ﬁnitos. Para generaliza¸c˜oes sobre p-grupos

abelianos de rank ﬁnito ver Baer e Heineken em [3]. Neste trabalho vamos provar a

vers˜ao ﬁnita que pode ser encontrada em [11] pg. 178 e 179.

Lema 3.1.5. Suponha que A ´e um p-grupo abeliano, ﬁnito, de posto r, onde r ∈ N. Ent˜ao

qualquer p-subgrupo de AutA, pode ser gerado por

r(5r−1)

elementos.

Demonstra¸c˜ao. Vamos usar a nota¸c˜ao aditiva para A ao longo de toda a demonstra¸c˜ao.

Seja P um p-subgrupo qualquer de Aut (A). Agora tome o subgrupo pA.

E claro que

pA = Φ(A) ´e um subgrupo caracter´ıstico de A e |A/pA| = |E(A)| = p

Seja C = C

(A/pA). Agora P/C pode ser reconhecido como um p-subgrupo de

Aut(A/pA)

∼

GL(r, p).

Mas pela Proposi¸c˜ao 1.2.3. ou pelo fato de que um p-subgrupo de Sylow de GL(r, p)

ter ordem p

r(r−1)

, temos que

|P/C|  p

r(r−1)

Assim P/C pode ser gerado (trivialmente) por

r(r−1)

elementos. Logo para mostrarmos

tal lema ´e suﬁciente provar que C pode ser gerado por:

r(5r − 1)

−

r(r − 1)

= 2r

elementos.

Se pA = 0, segue que A/pA

∼

A. Logo C = {id} e n˜ao h´a nada a fazer. Ent˜ao vamos

assumir que o expoente de A ´e p

e este ´e maior que p (e > 1).

Agora para cada α ∈ C \ {id}, existe um maior inteiro positivo 1  m = m(α) < e tal

que α centraliza A/p

A, mas n˜ao centraliza A/p

m+1

Como o posto de A ´e r, ent˜ao consideremos a

, a

, . . . , a

uma base de A. Assim podemos

escrever para cada 1  i  r,

α(a

) = a

+ p



j=1

onde os inteiros α

n˜ao s˜ao todos divis´ıveis por p, pois caso contr´ario ter´ıamos

α(a

) = a

+ p

m+1



j=1

para cada i.

Nesse caso α centralizaria A/p

m+1

A, o que contradiz a escolha do m.

Agora podemos representar α pela matriz (r × r),

Id + p

M, onde M = M(α)

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

´e uma matriz r × r com coeﬁcientes inteiros tal que M ≡ 0(mod p).

Vamos usar posteriormente o s´ımbolo ” := ”, para signiﬁcar: ”´e representado por ”. Agora

se  ´e o maior inteiro positivo tal que m < e, n´os poderemos representar α

−1

pela matriz

Id +





i=1

(−p

De fato, relembrando a identidade

(Id − X)(Id + X + · · · + X

) = Id − X

n+1

e tomando n =  e X = −p

M segue que

(Id − (−p

M)) (Id − p

M + p

− · · · ± p

m



) = Id − (−p

+1

= Id − (−1)

+1

m(+1)

+1

= Id(mod p

onde p

m+m

≥ p

. Portanto,

−1

:= (Id − (−p

M))

−1

= Id +





i=1

(−p

Vamos tomar {α

, . . . , α

} como um conjunto minimal para geradores de C e sejam

= M(α

), as matrizes tal que M

≡ 0(mod p). Tamb´em seja m

= m(α

), o maior

inteiro positivo tal que α

centraliza A/p

A, mas n˜ao centraliza A/p

A ( onde m

< e).

Al´em disso α

:= Id + p

e consideraremos tamb´em

m(α

, . . . , α

) = m

+ · · · + m

Entre todas as possibilidades para conjuntos minimais de geradores de C, escolha um

{α

, . . . , α

} tal que m(α

, . . . , α

) ´e o m´aximo poss´ıvel. Vamos assumir tamb´em que os



s s˜ao ordenados assim:

≤ m

≤ · · · ≤ m

Vamos dividir o restante da demonstra¸c˜ao em trˆes casos.

Caso 1 Se d  2r

, ent˜ao C poder´a ser gerado por 2r

elementos e isso ´e o que

queremos.

Vamos supor que d > 2r

Caso 2 Seja m

= 1, isso signiﬁca que m

= 1 para todo j  r

+ 1.

Suponhamos que i seja o menor inteiro positivo tal que M

, . . . , M

s˜ao L.D. sobre um

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

corpo de p elementos. Ent˜ao como o espa¸co vetorial de todas as matrizes r × r sobre

qualquer corpo tem dimens˜ao r

, segue que

i − 1  r

, e da´ı 1 < i  r

+ 1.

Assim existem k

, com 0  k

< p, n˜ao todos nulos, tal que

≡

i−1



j=1

(mod p).

Vamos tomar

α = α

−1

· . . . · α

i−1

J´a que

= m

= · · · = m

= 1,

os automorﬁsmos α

ser˜ao representados por

Id + p

= Id + pM

, onde M

= M(α

Agora note que se ζ ∈ C qualquer, n˜ao unidade e diferente de α

−1

em C, onde

ζ := Id + p

Θ , Θ ≡ 0(mod p) e Θ ´e uma matriz (r × r),

ent˜ao

αζ := (Id + p

M)(Id + p

Θ).

Isso ´e v´alido para um produto ﬁnito qualquer de elementos em C.

Segue da´ı que o automorﬁsmo α ser´a representado pela matriz Id + pM, sendo que

M ≡ −M

i−1



j=0

≡ 0(mod p).

De fato, pois α ser´a representada por



Id +





j=1

(−pM

)



· (Id + pM

)

· . . . · (Id + pM

i−1

)

i−1

Agora

(Id + pM

)

= Id + pk

− 1)

+ · · · + p

, ∀s = 1, 2, . . . , (i − 1).

Logo α ser´a representada por

Id+pk

+pk

+· · ·+pk

i−1

−pM



somas de termos em que as potˆencias de p

s˜ao maiores ou iguais a 2



Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

= Id+p (k

+ · · · + k

i−1

− M

)+p



somas de termos em que as potˆencias de p

s˜ao maiores ou iguais a 1



Portanto temos que

α := Id+p



+ · · · + k

i−1

− M



somas de termos em que as potˆencias de p

s˜ao maiores ou iguais a 1



Agora na congruˆencia m´odulo p temos que



somas de termos em que as potˆencias de p

s˜ao maiores ou iguais a 1



= 0.

Pela hip´otese anterior

i−1



j=1

− M

≡ 0 (mod p). Portanto

α := Id + pM, , onde M ≡ 0(mod p).

Logo α centraliza A/p

A e nesse caso m(α) = m > 1. Observe tamb´em que o gerador

∈ C pode ser escrito assim

= α

· . . . · α

i−1

· α

−1

∈ α

, . . . , α

i−1

, α.

Portanto {α

, . . . , α

i−1

, α, α

i+1

, . . . , α

} ´e tamb´em um conjunto minimal para geradores

de C. J´a que m(α) > m(α

) = 1, segue que

m(α

, . . . , α

i−1

, α, α

i+1

, . . . , α

) > m(α

, . . . , α

i−1

, α

i+1

, . . . , α

Temos um absurdo pela nossa hip´otese de maximalidade sobre m(α

, . . . , α

Caso 3 Vamos considerar agora que m

> 1. Note que r

< d − r

, pois d > 2r

e como a dimens˜ao do espa¸co vetorial das matrizes (r × r) sobre um corpo K qualquer ´e

, temos que os elementos

, . . . , M

s˜ao L.D. m´odulo p.

Seja t o menor inteiro tal que r

+ 1 < t  d e que M

´e expresso como combina¸c˜ao linear

de M

, . . . , M

t−1

. Ent˜ao existem k

, com 0  k

< p, n˜ao todos nulos tais que

≡

t−1



j=r

(mod p).

Agora considere α = Id , α ∈ C, tal que

α = α

−1

t−1



j=r

, onde k

= k

−m

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

relembrando que m

 m

Como todos os m

para j  r

+ 1 s˜ao maiores que 1, segue que todos os α

ser˜ao

representados m´odulo p

por Id + p

Com uma expans˜ao binomial an´aloga `a que foi feita no Caso 2, temos que α ser´a

representada por Id + p

M, onde

M ≡ −M

t−1



j=r

≡ 0(mod p).

Portanto α centraliza A/p

A, sendo assim m(α) > m

. Logo temos que

{α

, . . . , α

t−1

, α, α

t+1

, . . . , α

}

´e um conjunto minimal para geradores de C, tal que

m(α

, . . . , α

t−1

, α, α

t+1

, . . . , α

) > m(α

, . . . , α

Temos novamente uma contradi¸c˜ao.

Logo s´o ocorre o Caso 1 e isso ´e o suﬁciente para conclu´ırmos a nossa demonstra¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 3.1.3. Seja G um p-grupo ﬁnito que ´e um produto de subgrupos normais

abelianos e r-gerados. Ent˜ao G tem classe de nilpotˆencia no m´aximo f

(r) + 1, onde

(r) =

r(5r−1)

Demonstra¸c˜ao. Suponha que G ´e um p-grupo ﬁnito, onde G ´e um produto de subgrupos

normais, abelianos e r-gerados, digamos G = H

· . . . · H

. Seja H

= h

, h

, . . . , h

.

Temos

= H

= h

, h

, . . . , h

 = h



· . . . · h



Logo G =



i=1



j=1

h



e todo h



´e normal, abeliano e r-gerado, pois H

´e abeliano.

Portanto podemos escolher um subconjunto {x

|λ ∈ {1, 2, . . . , n}} de G, tal que X

x



´e um subgrupo normal, abeliano e r-gerado de G. Neste caso G ser´a o produto de

todos os X

. Fixe um λ ∈ {1, 2, . . . , n} e seja o subgrupo X = x



. Considere

H = G/C

(X).

J´a sabemos que X ✂ G, ou seja, N

(X) = G. Assim pelo Lema 1.2.2. temos

(X)/C

(X) = G/C

(X)

∼

J  Aut(X).

Al´em disto X tem posto ≤ r. Portanto pelo Lema 3.1.5., H poder´a ser gerado por

(r) =

r(5r−1)

elementos. Um fato bem conhecido ´e que H/Φ(H) ´e um p-grupo abeliano

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

elementar, logo H/Φ(H) tem ordem menor ou igual a p

(r)

. Assim H/Φ(H), poder´a ser

gerado por no m´aximo f

(r) elementos.

Agora H pode ser gerado pelos x

(X) , µ ∈ {1, 2, . . . , m}. Pelo Lema 1.3.7., H poder´a

ser gerado por um conjunto de f

(r) destes elementos. Logo, H ´e um produto de f

(r)

subgrupos abelianos e normais e pelo Teorema de Fitting H ∈ N

(r)

. Da´ı segue que

(r)+1

(G/C

(X)) = {C

(X)}, o que signiﬁca γ

(r)+1

(G)  C

(X).

Conclu´ımos ent˜ao que γ

(r)+1

(G) centraliza X, independentemente do λ escolhido. Como

G ´e o produto dos X

temos que γ

(r)+1

(G) comuta com todos os elementos de G, ou

seja,

(r)+1

(G)  Z(G).

Conclus˜ao G ∈ N

(r)+1

3.2 Resultados ﬁnais

Nessa se¸c˜ao ﬁnalizaremos o nosso estudo sobre a caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpo-

tentes segundo Roseblade. Antes disso vamos provar dois Lemas e uma Proposi¸c˜ao, que

ser˜ao fundamentais na prova do Teorema Principal.

Lema 3.2.1. Seja P um p-grupo ﬁnito qualquer ( p ´e qualquer primo ), tal que P ∈ X

Ent˜ao existe um f

(r) ∈ N

, tal que

P ∈ A

(r)

Demonstra¸c˜ao. Para obtermos um limite para o comprimento derivado de P , n´os primeiro

vamos mostrar que ´e poss´ıvel reduzir o problema para o caso onde P ´e o produto de sub-

grupos normais abelianos. Para ver isto ´e s´o deﬁnir a seguinte s´erie ascendente :

1 =

P ✂

P ✂ · · · ✂

P ✂ · · ·  P,

de subgrupos normais de P tal que

α+1

P ´e o produto de to dos os subgrupos normais

e abelianos de P/

Seja x ∈ P . Pela deﬁni¸c˜ao de X

temos que γ

(x

)  x. Logo dado a ∈ γ

(x

) segue

que

a ∈ x e da´ı [a , x] = 1 para todo a ∈ γ

(x

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Portanto [x , γ

(x

)] = 1.

E f´acil ver que γ

r+1

(x

) = 1. Da´ı temos

x

∈ N

Desejamos mostrar agora que x



P . Para fazermos isto vamos usar indu¸c˜ao sobre r.

Para r = 1, ´e trivial . Se r = 2, segue que x

∈ N

e pela deﬁni¸c˜ao de

P temos que

o mesmo ´e um subgrupo normal de P tal que

P ´e o pro duto de todos os subgrupos

normais e abelianos de P/

P. Seja H = x

. Agora

∼

H ∩

Como H ∈ N

, segue que H ´e metabeliano. Assim temos H



normal e abeliano em P.

Portanto H





P e assim

H∩

´e abeliano. Logo

´e abeliano e normal em P/

Temos ent˜ao H

P 

P , e da´ı x



P .

Procedendo analogamente ao caso r = 2 poderemos concluir por indu¸c˜ao que x



P .

Note que o r independe do x escolhido arbitrariamente em P. Portanto cada x ∈ P est´a

P. Logo temos

P =

P .

Portanto, se n´os conseguirmos mostrar que existe um f

(r) ∈ N

tal que cada

i+1

´e sol´uvel de comprimento derivado no m´aximo f

(r), ent˜ao P tamb´em ser´a sol´uvel de

comprimento derivado no m´aximo f

(r) = rf

(r).

Logo n´os podemos reduzir o problema ao caso onde P =

P , ou seja, para o caso onde P

´e o produto de todos os seus subgrupos normais e abelianos.

Considere P = H

· . . . · H

, onde os H



s˜ao subgrupos normais e abelianos de P.

Agora qualquer subgrupo de P ´e f.g., ou seja,

= h

, . . . , h

 , ∀i = 1, 2, . . . , n, onde o j

depende do i.

Portanto H

= H

= h



· . . . · h



, ∀i. Logo

P =



i=1



k=1

h



Assim poderemos escolher um conjunto de geradores para P, seja este igual ao seguinte

| λ ∈ Λ < ∞} tal que x



´e um subgrupo abeliano e normal de P.

Seja X um subgrupo de P que ´e gerado por r dos elementos do conjunto de geradores

anterior, isto ´e, X = x

, . . . , x

. Ent˜ao X

= x

, . . . , x

, que ´e um produto de r

subgrupos abelianos e normais de P. Assim pelo Teorema de Fitting segue que X

´e

nilpotente de classe no m´aximo r.

Levando em conta o fato de que P ∈ X

segue que

V = γ

)  X,

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

pois X ´e r-gerado. Como X  X

, segue que X tem classe de nilpotˆencia no m´aximo r.

Portanto pela Observa¸c˜ao 1.3.4., V = γ

) tem n´umero de geradores limitado por

r + r

+ · · · + r

elementos.

Aﬁrma¸c˜ao : V ´e abeliano e normal em γ

(P ). O produto de todos os subgrupos V

´e o pr´oprio γ

(P ).

Justiﬁcativa : primeiro, V ´e abeliano, pois V  Z(X

), j´a que

∈ N

Que V ´e normal em γ

(P ) ´e tamb´em imediato pelo fato de V ser caracter´ıstico em X

✂P.

Deﬁnamos Π, como sendo o produto de todos os V.

(i)Π  γ

(P ), pois cada V do produto ´e subgrupo normal de γ

(P ).

(ii)Queremos provar que γ

(P ) ⊆ Π. J´a sabemos que

(P ) = [y

, . . . , y

] | y

∈ P  .

Para provarmos o que queremos basta mostrar que os geradores de γ

(P ) est˜ao todos

em Π. Seja [y

, . . . , y

] um gerador arbitr´ario para γ

(P ). Usando as identidades (ii) e

(iii) do Lema 1.1.1., temos que [y

, . . . , y

], poder´a se r escrito como um produto (#)

de conjugados de comutadores de peso r, nos geradores x

escolhidos para P. Agora para

cada um dos comutadores

, . . . , x

]

que comp˜oem o produto (#), escolha um X

= x

, . . . , x

, tal que o V

, ser´a o

). Da´ı como cada V

✂ P, teremos que [y

, . . . , y

] ∈ Π, para qualquer gerador de

(P ).

E claro que γ

(P ) ´e um p-grupo ﬁnito e j´a que as hip´oteses da Proposi¸c˜ao 3.1.3. est˜ao

satisfeitas, temos que γ

(P ) tem classe de nilpotˆencia no m´aximo

(r + r

+ · · · + r

) + 1 = k.

Neste caso, γ

k+1

(γ

(P )) = 1. Temos que P/γ

(P ) ´e nilpotente de classe no m´aximo r − 1.

Logo P/γ

(P ) ´e sol´uvel de comprimento derivado no m´aximo [log

(r − 1)] + 1 pelo Lema

1.3.4.. Pelo mesmo lema, γ

(P ) ´e sol´uvel de comprimento derivado no m´aximo [log

k]+1.

Portanto temos que

([log

(r−1)] +1)

 γ

(P ).

Assim

([log

(r−1)] +1+ [log

k]+1)

= {1}, ou seja , P ∈ A

([log

(r−1)] +[lo g

k]+2)

Agora como k s´o depende de r, podemos deﬁnir

(r) = 1f

(r) = [log

(r − 1)] + [log

k] + 2.

Conclus˜ao: P ´e sol´uvel de comprimento derivado no m´aximo f

(r).

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Proposi¸c˜ao 3.2.1. Existe uma fun¸c˜ao f

: N

−→ N

tal que

⊆ N

(r)

Demonstra¸c˜ao. Seja P um p-grupo ﬁnito (para cada primo p) em X

. Pelo Lema 3.2.1.

temos que

P ∈ A

(r)

Al´em disso pelo Lema 3.1.1.(b), P ∈ U

r,r

. Assim

P ∈ U

r , r

∩ A

(r)

, ∀r ≥ 0.

Agora pela Proposi¸c˜ao 3.1.2. temos que

P ∈ N

(r,f

(r))

Como X

´e uma classe de grupos fechada para a forma¸c˜ao de subgrupos e quocientes,

al´em disso X

⊆ LN, temos que as hip´oteses da Proposi¸c˜ao 1.4.2. est˜ao satisfeitas.

Portanto basta deﬁnir f

(r) = f

(r , f

(r)), ∀r ≥ 0, pois nesse caso X

⊆ N

(r)

Lema 3.2.2. Suponha que G ∈ U

d,r

e que H ´e um subgrupo t-gerado de G, para t ≤ r.

Ent˜ao H

d−j

d−j+1

∈ U

j , (r−t)

para 0 ≤ j ≤ d.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que X/H

d−j+1

´e um subgrupo (r − t) gerado de H

d−j

d−j+1

onde 0 ≤ j ≤ d. Ent˜ao X = Y H

d−j+1

, onde Y tem (r − t) geradores. Seja agora

K = H, Y , segue que K tem t + (r − t) = r geradores e pela hip´otese sobre G temos

que K ✂

G. Agora pelo Lema 1.1.2. temos que K = K

. Portanto K = K

✂

d−j

pela deﬁni¸c˜ao de fechos normais. Al´em disto K  H

d−j

 K

d−j

, pois claramente

H  K = H, Y 

e pela hip´otese

X  H

d−j

Da´ı Y ⊆ H

d−j

. Mas como H ⊆ H

d−j

, segue que K ⊆ H

d−j

. Assim temos de fato K✂

d−j

pelo Lema 1.1.3. Usando o Lema 1.1.5. e o fato de que

X = Y H

d−j+1

= H, Y H

d−j+1

= KH

d−j+1

onde H

d−j+1

⊇ H, temos que:

d−j+1

✂

d−j

d−j+1

, 0 ≤ j ≤ d.

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Portanto

d−j

d−j+1

∈ U

j,(r−t)

para cada 0 ≤ j ≤ d.

Finalmente chegamos ao Teorema de Roseblade, que ser´a feito por indu¸c˜ao sobre

o defeito d dos subgrupos subnormais de um grupo G dado.

Teorema 3.2.1 (Teorema de Roseblade). Existem duas fun¸c˜oes f

, f

: N

−→ N

de tal maneira que

d , f

(d)

⊆ N

(d)

, para todo d ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao.

E preciso construir as duas fun¸c˜oes f

, f

: N

−→ N

, tal que

d , f

(d)

⊆ N

(d)

Vamos fazer isto indutivamente .

Se d = 0, ent˜ao f

(0) = f

(0) = 0 pois nesse caso a classe U

0,0

= {{1}} = N

. Se d = 1,

ent˜ao f

(1) = 2 e f

(1) = 1 e assim o resultado segue do Lema 2.1.1., pois nesse caso

temos

1 , 1

⊆ N

Assim vamos assumir indutivamente que d > 1 e que o teorema ´e v´alido para (d − 1), isto

´e, as fun¸c˜oes f

e f

j´a est˜ao deﬁnidas para d − 1. Agora vamos deﬁnir

m = (d − 1)([log

(d − 1)] + 1) , f

(d) = f

(d, m) + 1 e f

(d) = f

(d − 1) + f

(d).

Tome qualquer G ∈ U

d , f

(d)

e suponha que H  G arbitr´ario com f

(d) ≤ f

(d) geradores.

Queremos que G ∈ N

(d)

Se 0 ≤ j ≤ d − 1, n´os temos pelo Lema 3.2.2. que

d−j

d−j+1

∈ U

j , f

(d−1)

onde f

(d) − f

(d) = f

(d − 1). Agora pela H.I. temos que

d−j

d−j+1

∈ U

j , f

(d−1)

⊆ U

d−1 , f

(d−1)

⊆ N

(d−1)

para cada 0 ≤ j ≤ d − 1. Logo pelo Lema 1.3.4. temos que

d−j

d−j+1

∈ A

([log

(d−1)]+1)

. (∗ ∗ ∗)

Sabemos que H ´e um subgrupo f

(d)-gerado de G, assim H tamb´em pode ser f

(d)-gerado,

logo

H ✂

G , ou seja, H = H

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Segue de (∗ ∗ ∗) e da deﬁni¸c˜ao de m, que





(

d−1

·(d−1)

)





(m)

= H

(m)

 H

= H.

Por indu¸c˜ao sobre d, podemos mostrar que f

(d) ≥ d. Assim temos

/(H

)

(m)

∈ U

d , d

∩ A

, onde H

∈ U

d , f

(d)

⊆ U

d,d

Pela Proposi¸c˜ao 3.1.2., existe uma fun¸c˜ao f

: N

× N

−→ N

tal que para todo d ≥ 0,

ocorre que

d,d

∩ A

⊆ N

(d , m)

. Logo

)

(m)

∈ N

(d)−1

Portanto

(d)



)

(m)



)

(m)

)

(m)



)

(m)

ou seja,

(d)

)  H.

Conclus˜ao: G ∈ X

(d)

Agora pela Proposi¸c˜ao 3.2.1., existe uma fun¸c˜ao

: N

−→ N

, tal que G ∈ N

(d))

Mas a fun¸c˜ao anterior tamb´em ´e uma fun¸c˜ao de N

−→ N

, dependendo somente de d.

Ent˜ao considere f

(d) = f

(d)) e assim

d , f

(d)

⊆ N

(d)

Corol´ario 3.2.1. Se todo subgrupo de um grupo G ´e subnormal de defeito ≤ d, ent˜ao G

´e nilpotente de classe

cl(G) ≤ f

(d) , ∀d ≥ 0.

Em outras palavras,

⊆ N

(d)

, ∀d ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente do Lema 3.1.2. e do Teorema 3.2.1. pois

∞



n=1

d , n

, ∀d ≥ 0.

Cap´ıtulo 3. Caracteriza¸c˜ao dos Grupos Nilpotentes segundo Roseblade

Logo

⊆ U

d , f

(d)

T e.3 .2.1.

⊆ N

(d)

, ∀d ≥ 0.

Quatro anos depois do Teorema de Roseblade , Heineken e Mohamed constroem

um grupo, este por sua vez mostra que a limita¸c˜ao do defeito dos subgrupos subnormais

de Roseblade, n˜ao pode ser eliminada da hip´otese do teorema anterior. Este exemplo tem

cada subgrupo subnormal, mas o grupo n˜ao ´e nilpotente.

Vamos citar tal teorema, sem demonstr´a-lo, como sendo o seguinte exemplo geral:

Exemplo 3.2.1. Existe um grupo G com as seguintes propriedades:

(HM I) G



´e p-grupo abeliano elementar e G/G



∼

∞

(G ´e metabeliano),

(HM II) Cada subgrupo pr´oprio de G ´e nilpotente e subnormal,

(HM III) O centro do grupo G ´e trivial.

Demonstra¸c˜ao. Ver [11] ou [9].

Em 1988, M¨oehres mostrou em sua Tese de Doutorado, que se cada subgrupo de um

dado grupo ´e subnormal, ent˜ao o grupo ´e sol´uvel. Para mais detalhes ver [12].

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

[1] Abramovskiˇı, I.N., Locally Generalized Hamiltonin Groups , Siberian Math. J. 7,

391-3 (1966).

[2] Abramovskiˇı, I.N., The Structure of Locally Generalized Hamiltonin Groups , Linin-

grad Gos. Ped. Inst. Uˇcen, Zap 302 , 43-9 (1967).

[3] Baer , R. and Heineken , H. ,Radical Group of Finite Abelian Subgroup Rank , Illinois

J. Math. 16 , 533-80 (1972) .

[4] Baer , R., Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe . Sitz , Berlin -

Heidelberg Akad.2 , 12-17 (1933) .

[5] Dedekind , R. ,

Uber Gruppen , deren S¨amtliche Teiler Normalteiler Sind , Math.

Ann. 48 , 548-61 (1897).

[6] Gruenberg, K.W. , The Upper Central Series in Soluble Groups, Illinois J. Math .3,

436-66 (1961).

[7] Hall , P. , Some Suﬃcient Conditions for a Group to be Nilpotent, Illinois J. Math.

2, 787-801 (1958).

[8] Hall, M.,The Theory of groups , Macmillan , New York , 1959.

[9] Heineken , H. and Mohamed , I.J., A Group whith Trivial Centre Satisfyng the Nor-

malizer condition , J.

Algebra 10 , 368-376 (1968) .

[10] Kargapolov , M. I. and Merzljakov , J.I. , Fundamentals of the Theory of Groups ,

Springer - Verlag , New York Inc. , 1979 .

[11] Lennox , J. C. and Stonehewer , S. E. , Subnormal Subgroups of Groups , Oxford

Mathematical Monographs , New York , 1987 .

[12] M¨oehres , W. , Gruppen , deren Untergruppen alle Subnormal Sind , Julius-

Maximilians-Universit¨at , W¨urzburg , 1988.

[13] Mozzo chi , C.J. , A Simple Proof of the Chinese Remainder Theorem , Amer. Math.-

Monthy 74 , 1967 .

Referˆencias Bibliogr´aﬁcas

[14] Nymann , D.S. , Dedekind Groups , Paciﬁc J. Math. 21 , 153-9 (1967) .

[15] Robinson , D.J.S. , A Course in the Theory of Groups , New York - Heidelberg -

Berlin : Springer , 1980 .

[16] Robinson , D.J.S. , Finiteness Conditions and Generalized Soluble Groups , Part 1 ,

New York - Heidelberg - Berlin : Springer , 1972 .

[17] Roseblade , J. E. , On Group in which every Subgroup is Subnormal , J.

Algebra 2 ,

402-12 (1965) .

[18] Rotman, J.J. , An Introduction to Theory of Groups , Allyn and Bacon Inc. , 1965 .

[19] Stewart, A.G.R., On the Class of Certain Nilpotent Groups , Australian National

University, S.G.S., Camberra, (1965).

[20] Suzuki , M. , Group Theory I , Springer- Verlag Berlin-Heidelberg , New York , 1980.

[21] Vil’jans , N.N. , Metadedekind and Metahamiltonian Groups , Math. USSR-Sb. 5 ,

599-616 (1968) .

[22] Zassenhaus , H. , The Theory of Groups , 2nd ed. Chelsea , New York , 1958 .

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